Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.9 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 10 19002 1106111 1061905 2026-07-07T08:34:06Z Bocardodarapti 2041 1106111 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=<br />\mathl{{{{term|{{{1}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |js={{{1|{{{term}}}}}} |check=R{{{SZ|}}} |wikicode=<nowiki><math></nowiki>{{{1|{{{term}}}}}}<nowiki></math></nowiki>{{{{SZ|}}}} |#default = {{#tag:math|{{}} {{{term|{{{1}}}}}}}}{{{SZ|}}} }}</includeonly><noinclude> {{Diese Vorlage|wird eingesetzt für relativ lange mathematische Terme (unterhalb einer Displaylänge). Sie wirkt im normalen Wikimodus wie [[:Vorlage:Math]]. Im Latexmodus, beim Einsatz einer größeren Schrift (wie in einer Vortragsvorlage) wird es als mathematisches Display interpretiert.}}{{Mathematische Umgebungsvorlage}}</noinclude> 4qiwbnqxmuvczm1xhhv3yau85t02p5f 1106112 1106111 2026-07-07T08:34:54Z Bocardodarapti 2041 1106112 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=<br />\mathl{{{{term|{{{1}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |js={{{1|{{{term}}}}}} |check=R{{{SZ|}}} |wikicode=<nowiki><math></nowiki>{{{1|{{{term}}}}}}<nowiki></math></nowiki>{{{SZ|}}} |#default = {{#tag:math|{{}} {{{term|{{{1}}}}}}}}{{{SZ|}}} }}</includeonly><noinclude> {{Diese Vorlage|wird eingesetzt für relativ lange mathematische Terme (unterhalb einer Displaylänge). Sie wirkt im normalen Wikimodus wie [[:Vorlage:Math]]. Im Latexmodus, beim Einsatz einer größeren Schrift (wie in einer Vortragsvorlage) wird es als mathematisches Display interpretiert.}}{{Mathematische Umgebungsvorlage}}</noinclude> ccfv02fvz8hdgzml1s1chs82dt9h78k 10 20259 1106097 163407 2026-07-06T19:29:30Z Bocardodarapti 2041 1106097 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=\mathind { {{{1|}}} {{{obj|}}} } { {{{2|}}} {{{ind|}}} }{{{{SZ|}}}} |js={{{1|{{{term}}}}}} |wikicode=<math>{ {{{1|}}} {{{obj|}}} }, \, { {{{2|}}} {{{ind|}}} }</math>{{{{SZ|}}}} |#default = {{#tag:math| {{{term|{{{1|}}} {{{obj|}}}, \, {{{2|}}} {{{ind|}}}}}}}}{{{SZ|}}} }}</includeonly><noinclude>{{Mathematische Umgebungsvorlage}}</noinclude> bf8u813kyv93y1s904uezcupeoj27lg 10 47560 1106131 276401 2026-07-07T09:13:23Z Bocardodarapti 2041 1106131 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=\defeq |wikicode=:= |#default=:= }}</includeonly><noinclude>{{Operatorvorlage|Logik|Definitionsgleichheit}}</noinclude> fyedf4wky12wna1o71zfb54lz9koaxl 106 60844 1106142 1020240 2026-07-07T09:34:52Z Bocardodarapti 2041 1106142 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|Abbildungen}} {{:Abbildung/Einführung/Textabschnitt}} Zu zwei Mengen {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ= }} bezeichnet man die {{Stichwort|Menge der Abbildungen|SZ=}} von {{math|term= L|SZ=}} nach {{math|term= M|SZ=}} mit {{ Relationskette/display | {{op:Abbildungsmenge|L|M}} || {{Mengebed|f: L \rightarrow M|f \text{ Abbildung} }} || || || |SZ=. }} {{:Abbildung/Darstellungsmöglichkeiten/Gallerie/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Injektive und surjektive Abbildungen}} {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Injektiv/Surjektiv/Bijektiv/Definition|| }} Diese Begriffe sind fundamental! Die Frage, ob eine Abbildung {{math|term= F|SZ=}} diese Eigenschaften besitzt, kann man anhand der Gleichung {{ Math/display|term= F(x) = y |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in den beiden Variablen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }}| |SZ= }} erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem {{mathl|term= y \in M|SZ=}} mindestens eine Lösung {{mathl|term= x\in L|SZ=}} für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem {{mathl|term= y \in M|SZ=}} maximal eine Lösung {{mathl|term= x\in L|SZ=}} für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem {{mathl|term= y \in M|SZ=}} genau eine Lösung {{mathl|term= x \in L|SZ=}} für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden. Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen {{ mathkor|term1= x |und|term2= x' |SZ= }} aus der Voraussetzung {{mathl|term= F(x)=F(x')|SZ=}} erschließt, dass {{mathl|term= x=x'|SZ=}} ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus {{mathl|term= x \neq x'|SZ=}} auf {{mathl|term= F(x) \neq F(x')|SZ=}} zu schließen. {{ inputbeispiel |Abbildung/Quadrieren/Injektiv und surjektiv/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|Hintereinanderschaltung von Abbildungen}} {{:Abbildung/Hintereinanderschaltung/Textabschnitt|zusatz2=Fußnote}} {{Zwischenüberschrift|Graph, Bild und Urbild einer Abbildung}} {{ inputdefinition |Abbildung/Graph (Menge)/Definition|| }} {{ inputdefinition |Abbildung/Bild einer Abbildung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Abbildung/Urbild einer Abbildung/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|Verknüpfungen}} {{:Verknüpfung/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputbeispiel |Abbildungsmenge/Verknüpfungseigenschaften/Beispiel|| }} Beginnend mit der nächsten Vorlesung beschäftigen wir uns mit den reellen Zahlen, bei denen es die Addition und die Multiplikation als Verknüpfungen gibt. Erstaunlicherweise erfüllen diese beiden Verknüpfungen {{ Zusatz/Klammer |text=bei der Multiplikation muss man die Multiplikation herausnehmen| |ISZ=|ESZ= }} für sich genommen eine wichtige algebraische Struktur: Es handelt sich um Gruppen. {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition||v=\circ }} Solch abstrakte Strukturen führen ein Doppelleben: Einerseits sind sie wirklich nur die gegebene formale Struktur, die Elemente sind nur irgendwelche Elemente einer irgendwie gegebenen Menge, die Verknüpfung ist irgendeine Verknüpfung, unter der man sich nichts Bestimmtes vorstellen soll. Die gewählten Symbole sind willkürlich und ohne Bedeutung. Andererseits erhalten solche abstrakte Strukturen dadurch ihr Leben, dass konkrete mathematische Strukturen darunter subsummiert werden können. Die konkreten Strukturen sind {{Stichwort|Beispiele|msw=Beispiel|SZ=}} oder {{Stichwort|Modelle|msw=Modell|SZ=}} für die abstrakte Struktur {{ Zusatz/Klammer |text=und sie sind mathematikhistorisch auch die Motivation, abstraktere Strukturen einzuführen| |ISZ=|ESZ=. }} Beide Ebenen sind wichtig, man sollte sie aber stets auseinander halten. {{Fußnotenliste}} }} neryee4kznsxisfnel9s21ohklesvcr 0 77154 1106151 829540 2026-07-07T10:32:30Z Bocardodarapti 2041 1106151 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= f_n:[1,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}_{\geq0}|SZ=}}, für {{math|term= n\in\mathbb{Z}_+|SZ=}}, die Funktionenfolge {{ Math/display|term= f_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{n^2}, \text{ falls } x\in[n,+\infty[ \, , \\ 0, \text{ andernfalls } . \end{cases} |SZ= }} Berechnen Sie {{ Math/display|term= \lim_{n\rightarrow+\infty}f_n \text{ und } \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{[1,+\infty]}f_n d\lambda^1. |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie auf den reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Funktionenfolge |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mak5trjjy5bxzgf6l0xsrkpb0n95mhy 0 82600 1106095 1102875 2026-07-06T18:10:49Z Bocardodarapti 2041 1106095 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Aus der Schule sind sicherlich die {{Stichwort|binomischen Formeln|msw=Binomische Formeln|SZ=}} bekannt, also die Beziehungen {{ Relationskette/display |(a+b)^2 ||a^2 +2ab +b^2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |(a-b)^2 ||a^2 -2ab +b^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |(a+b)(a-b) ||a^2 -b^2 || || || |SZ=. }} Wir stellen uns die folgenden Fragen. {{ Aufzählung7 |Für welche {{math|term= a,b|SZ=}} gelten diese Formeln? |Gibt es eine Beziehung zwischen ihnen? |Wie wichtig bzw. wie grundlegend sind sie? |Welche Anwendungen haben diese Formeln? |Wie intuitiv sind diese Formeln? |Warum gelten diese Formeln, worauf beruhen sie, wie kann man sie begründen? |Kann man die Gültigkeit der Formeln in einem bestimmten Zahlbereich auf die Gültigkeit der Formeln in einem kleineren Zahlbereich zurückführen? }} Was fällt uns dazu ein? {{ Aufzählung7 |Vermutlich kann man sich an keine Einschränkung erinnern, die Formeln gelten für alle {{Anführung|Zahlen|SZ=,}} also für natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen{{{zusatz1|.}}} Dennoch kann es große Unterschiede geben, wie man jeweils die Gültigkeit der Formeln beweist. Etwas sonderbar ist allerdings schon, dass man die zweite binomische Formel explizit formuliert, wenn die erste für beliebige ganze Zahlen gilt. |Denn dann kann man ja das {{math|term= b |SZ=}} in der zweiten binomischen Formel als {{ Relationskette |b || -c || || || |SZ= }} schreiben und erhält unter Verwendung von einfachen Rechengesetzen für {{math|term= -1 |SZ=}} {{ Relationskette/align | (a-b)^2 || (a +c)^2 || a^2 +2ac +c^2 || a^2 + 2a(-b) + (-c)^2 || a^2 -2ab +b^2 |SZ=, }} und so ergibt sich die zweite binomische Formel unmittelbar aus der ersten. Die zweite ist also als eigene Regel überflüssig, wenn man negative Zahlen zur Verfügung hat und mit ihnen umgehen kann. Wenn man hingegen nur mit den natürlichen Zahlen arbeitet, so kann man den Trick von eben nicht anwenden und die zweite binomische Formel braucht die zusätzliche Voraussetzung, dass {{ Relationskette |a | \geq|b || || || |SZ= }} ist, da sonst {{mathl|term= a-b|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= \N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} nicht definiert ist. Aber auch im Fall von natürlichen Zahlen kann man die zweite Formel auf die erste zurückführen. Dazu berechnen wir {{ Relationskette/align | a^2 || ((a-b) + b)^2 || (a-b)^2 + 2 (a-b)b +b^2 || (a-b)^2 + 2ab - 2b^2 +b^2 || (a-b)^2 + 2ab - b^2 || |SZ=. }} Dabei haben wir im ersten Schritt einfach das {{math|term= a |SZ=}} kompliziert geschrieben, im zweiten Schritt die erste binomische Formel angewendet, dann {{ Zusatz/Klammer |text=distributiv| |ISZ=|ESZ= }} ausmultipliziert und zusammengefasst. Eine einfache Umstellung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=die|Abziehregel|Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Hilfseigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} ergibt nun {{ Relationskette/display |(a-b)^2 ||a^2 - 2ab +b^2 || || || |SZ=. }} |Sie kommen häufig in der Schule vor, doch welche Schlussfolgerung kann man daraus ziehen? Vielleicht sind ja eigentlich wichtigere Sachen für die Schüler und Schülerinnen {{ Zusatz/Klammer |text=oder die Lehrer und Lehrerinnen| |ISZ=|ESZ= }} zu schwierig? Keine Panik, so ist es nicht, man kann viel über die Gewichtung von Schulstoff diskutieren, aber völlig abwegig ist die Stoffauswahl nicht. Eine andere Frage ist die nach grundlegend. Wir haben gerade gesehen, dass man die zweite binomische Formel auf die erste binomische Formel zurückführen kann. Vielleicht stecken grundlegendere Sachverhalte hinter diesen Formeln? (Siehe 6.) |Die binomischen Formeln haben eine Vielzahl von Anwendungen. Da ist zunächst die Anwendung bei der Multiplikation von natürlichen Zahlen und speziell beim Quadrieren. Beispielsweise berechnet man {{ Relationskette/display | 25^2 || (20 +5)^2 || 20^2 + 2 \cdot 5 \cdot 20 + 5^2 || 400 +200 +25 || 625 |SZ= }} oder {{ Relationskette/display | 104 \cdot 96 || (100+4)( 100 -4) || 100^2 - 4^2 || 10000 -16 || 9984 |SZ=. }} Weiterhin spielt es beim quadratischen Ergänzen bzw. dem Lösen quadratischer Gleichungen eine herausragende Rolle. Es verallgemeinert sich auf allgemeinere algebraische Strukturen {{ Zusatz/Klammer |text=kommutative Halbringe| |ISZ=|ESZ= }} und auf höhere Potenzen, also Ausdrücke der Form {{mathl|term= (a+b)^n |SZ=,}} siehe {{ Faktlink |Präwort=die|allgemeine binomische Formel|Faktseitenname= Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Die erste binomische Formel kann man sich einfach durch Flächeninhalte wie im Bild veranschaulichen. {{ inputbild |A plus b au carre|svg| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=A_plus_b_au_carre |Autor= |Benutzer=Alkarex |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} Dies erfordert natürlich Grundkenntnisse über Flächeninhalte von Rechtecken, was letztlich mathematisch ein deutlich schwierigeres Konzept als das rein arithmetisch-algebraische Konzept der binomischen Formel ist. Es ist eine wichtige Bemerkung und ein Lernziel im Mathematikstudium, dass man das Intuitiv-anschauliche vom Logisch-mathematischen trennen und ihre jeweilige Bedeutung einordnen kann. Beides ist wichtig. Für das mathematische Argumentieren ist aber das zweite das entscheidende. |Die binomischen Formeln {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar alle drei| |ISZ=|ESZ= }} sind in allen Rechenbereichen, in denen sie gelten, Spezialfälle des {{Stichwort|Distributivgesetzes|msw=Distributivgesetz|SZ=}} und des {{Stichwort|Kommutativgesetzes|msw=Kommutativgesetz|SZ=}} für die Multiplikation. Ersteres besagt für beliebige Zahlen {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} die Gleichheit {{ Relationskette/display | c \cdot (a+b) || (c \cdot a) + ( c \cdot b) || || || |SZ= }} und letzteres besagt {{ Relationskette/display |a \cdot b ||b \cdot a || || || |SZ=. }} Unter Verwendung dieser beiden Regeln kann man die erste binomische Formel durch {{ Zusatz/Klammer |text=wir verwenden schon die Regel Punktrechnung vor Strichrechnung, um Klammern zu sparen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align |(a+b)^2 || (a+b) \cdot (a+b) || (a+b) \cdot a + (a+b) \cdot b || a \cdot a + b \cdot a + a \cdot b + b \cdot b || a \cdot a + a \cdot b + a \cdot b + b \cdot b || a^2 +2ab +b^2 |SZ= }} erhalten. Es ist eine wichtige Zielsetzung des Mathematikstudiums, die Abhängigkeiten und Hierarchien zwischen mathematischen Gesetzmäßigkeiten zu erkennen und zu klären. Für die natürlichen Zahlen gelten die binomischen Formeln genauso wie das Distributivgesetz und das Kommutativgesetz. Letztere sind aber grundlegender, da man aus ihnen die binomischen Formeln ableiten kann. Ein tiefes Verständnis für die Hierarchien zwischen mathematischen Sachverhalten wird erst im begriffsorientierten axiomatischen Aufbau der Mathematik möglich. Diese logischen Hierarchien haben auch einen großen Einfluss auf die Didaktik der Mathematik: das Distributivgesetz ist wichtiger als die binomischen Formeln und es sollte im Schulunterricht mindestens so breit behandelt werden wie diese {{ Zusatz/Klammer |text=Schlüsse von der logischen Hierarchie auf die didaktische Gewichtung sind nie zwingend; es kann auch Gründe geben, didaktisch anders zu verfahren, und das Distributivgesetz durch die binomischen Formeln zu motivieren, etc.| |ISZ=|ESZ=. }} |Über die Beziehung zwischen natürlichen und ganzen Zahlen haben wir schon gesprochen. Gehen wir davon aus, dass die binomischen Formeln für die ganzen Zahlen schon bekannt sind. Wir hätten die binomischen Formeln gern für die Brüche, also für rationale Zahlen. Wir schreiben die beteiligten rationalen Zahlen als {{ Mathkor/display|term1= a= {{op:Bruch|k|m}} |und|term2= b= {{op:Bruch|r|s}} |SZ= }} und erhalten, unter Verwendung von grundlegenden Rechenregeln für Brüche, die Gleichheiten {{ Relationskette/align | (a+b)^2 || {{makl| {{op:Bruch|k|m}} + {{op:Bruch|r|s}} |}}^2 || {{makl| {{op:Bruch|ks+rm|ms}} |}}^2 || {{op:Bruch|(ks+rm)^2|(ms)^2}} || {{op:Bruch|(ks)^2+2ksrm +(rm)^2|(ms)^2}} || {{op:Bruch|(ks)^2| (ms)^2}} + 2 {{op:Bruch|ksrm|(ms)^2}} + {{op:Bruch|(rm)^2|(ms)^2}} || {{makl| {{op:Bruch|k|m}} |}}^2 + 2 {{op:Bruch|ks|ms}} \cdot {{op:Bruch|rm|ms}} + {{makl| {{op:Bruch|r|s}} |}}^2 || a^2 +2ab +b^2 |SZ=, }} also die erste binomische Formel. Der Übergang von {{math|term= \Q|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=}} ist deutlich schwieriger. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 57o7zq54f7hhvlt3pkm1vbv5olgashp 0 85247 1106068 1096590 2026-07-06T11:59:15Z Bocardodarapti 2041 1106068 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Kommutativität und die Assoziativität der beiden Verknüpfungen sind klar. Das neutrale Element des Maximums ist die {{math|term= 0 |SZ=}} und das neutrale Element des Minimums ist {{math|term= 1 |SZ=,}} da ja nur Elemente aus dem rationalen Einheitsintervall vorkommen. Es bleibt also noch das Distributivgesetz zu zeigen, welches bei den gegebenen Verknüpfungen {{ Zusatz/Klammer |text=wir setzen das Maximum als Addition und das Minimum als Multiplikation an| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | \operatorname{min} (a, \operatorname{max} (b,c)) || \operatorname{max} ( \operatorname{min} (a,b) , \operatorname{min} (a,c)) || || || |SZ= }} bedeutet. Dies beweisen wir durch eine Fallunterscheidung. Da die Situation in {{ mathkor|term1= b |und|term2= c |SZ= }} symmetrisch ist, können wir {{ Relationskette | b | \leq | c || || || |SZ= }} annehmen. Bei {{ Relationskette/display | a | \leq | b | \leq | c || || |SZ= }} ergibt sich links {{math|term= a |SZ=}} und rechts ebenfalls {{ Relationskette | \operatorname{max} ( a , a) || a || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette/display | b | \leq | a | \leq | c || || |SZ= }} ergibt sich links {{ Relationskette/display | \operatorname{min} (a, \operatorname{max} (b,c)) || \operatorname{min} (a,c) || a || || |SZ= }} und rechts ebenfalls {{ Relationskette/display | \operatorname{max} ( \operatorname{min} (a,b) , \operatorname{min} (a,c)) || \operatorname{max} ( b , a) || a || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette/display | b | \leq | c | \leq | a || || |SZ= }} ergibt sich links {{ Relationskette/display | \operatorname{min} (a, \operatorname{max} (b,c)) || \operatorname{min} (a,c) || c || || |SZ= }} und rechts ebenfalls {{ Relationskette/display | \operatorname{max} ( \operatorname{min} (a,b) , \operatorname{min} (a,c)) || \operatorname{max} ( b ,c) || c || || |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l9cngynro0h27yqa6l94dy2mxw8il2d 10 85381 1106120 972253 2026-07-07T08:54:28Z Bocardodarapti 2041 1106120 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=<br />\mavergleichskettek<br />{\vergleichskettek<br />{{{{1|}}}}<br />{ {{#if:{{{2|}}}|{{{2|}}}|=}} }{{{{3|}}}}<br />{ {{#if:{{{5|}}}| {{#if:{{{4|}}}|{{{4|}}}|=}} |}} }{{{{5|}}}}<br />{ {{#if:{{{7|}}}|{{#if:{{{6|}}}|{{{6|}}}|=}}|}} }{{{{7|}}}}<br />{ {{#if:{{{9|}}}|{{#if:{{{8|}}}|{{{8|}}}|=}}|}} }{{{{9|}}}}<br />} {{#if:{{{11|}}}|{<br />\vergleichskettefortsetzungk<br />{{{{10|}}}}{{{{11|}}}} {{{{12|}}}}{{{{13|}}}}<br />{{{{14|}}}}{{{{15|}}}}<br />{{{{16|}}}}{{{{17|}}}}<br />}{}{{{{SZ|}}}}|{}{}{{{{SZ|}}}} }} |wikicode=<nowiki><math></nowiki><span style="white-space:nowrap">{{#if:trim|<nowiki />{{{1|}}}|}} {{#if:trim|<nowiki />{{#if:{{{2|}}}|{{{2|}}}|=}}|}} {{#if:trim|<nowiki/>{{{3|}}}|}}{{#if:{{{5|}}}| {{#if:trim|<nowiki />{{#if:{{{4|}}}|{{{4|}}}|=}}|}} {{#if:trim|<nowiki/>{{{5|}}}|}}|}}{{#if:{{{7|}}}|{{#if:trim|<nowiki />{{#if:{{{6|}}}|{{{6|}}}|=}}|}} {{#if:trim|<nowiki/>{{{7|}}}|}}|}}{{#if:{{{9|}}}|{{#if:trim|<nowiki />{{#if:{{{8|}}}|{{{8|}}}|=}}|}} {{#if:trim|<nowiki/>{{{9|}}}|}}|}}{{#if:{{{11|}}}|{{#if:trim|<nowiki />{{#if:{{{10|}}}|{{{10|}}}|=}}|}} {{#if:trim|<nowiki/>{{{11|}}}|}}|}}</span><nowiki></math></nowiki>{{{SZ|}}} |#default={{math|term= {{{term|{{{1|}}} {{#if:{{{2|}}}|{{{2|}}}|=}} {{{3|}}} {{#if:{{{5|}}}|{{#if:{{{4|}}}|{{{4|}}}|=}} {{{5|}}}}} {{#if:{{{7|}}}|{{#if:{{{6|}}}|{{{6|}}}|=}} {{{7|}}}}} {{#if:{{{9|}}}|{{#if:{{{8|}}}|{{{8|}}}|=}} {{{9|}}}}} {{#if:{{{11|}}}|{{#if:{{{10|}}}|{{{10|}}}|=}} {{{11|}}}}} {{#if:{{{13|}}}|{{#if:{{{12|}}}|{{{12|}}}|=}} {{{13|}}}}} {{#if:{{{15|}}}|{{#if:{{{14|}}}|{{{14|}}}|=}} {{{15|}}}}} {{#if:{{{17|}}}|{{#if:{{{16|}}}|{{{16|}}}|=}} {{{17|}}}}} {{#if:{{{19|}}}|{{#if:{{{18|}}}|{{{18|}}}|=}} {{{19|}}}}} {{#if:{{{21|}}}|{{#if:{{{20|}}}|{{{20|}}}|=}} {{{21|}}}}} }}} |SZ= {{{SZ|}}} }} }}</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Materialien zur Mathematik/Strukturvorlagen|Vergleichskette]]</noinclude> ag68o1yh59hpu636qzroh8l01lkewsr 0 106611 1106153 1100093 2026-07-07T10:33:31Z Bocardodarapti 2041 1106153 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Nullstellenmenge {{ Relationskette/display |V || V(X-YZ,Y-XZ) | \subseteq | K^3 || || |SZ= }} und bestimmen die {{ Definitionslink |irreduziblen Komponenten| |Kontext=| |SZ= }} davon. Die {{math|term= z |SZ=-}}Achse {{mathl|term= V(X,Y) |SZ=}} ist eine Teilmenge von {{math|term= V |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette/display | Y(X-YZ) -X(Y-XZ) || -(Y^2-X^2) Z || -(Y-X)(Y+X)Z || || |SZ= }} gehört auch das Produkt {{mathl|term= (Y-X)(Y+X)Z|SZ=}} zum definierenden Ideal. Für einen jeden Punkt {{ Relationskette/display |P ||(x,y,z) | \in | V || || || |SZ= }} gilt also {{ Relationskette |z || 0 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | x || y || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | x || -y || || || |SZ=. }} Im ersten Fall ist auch {{ Relationskette | x || y || 0 || || |SZ=. }} Im zweiten Fall werden die beiden definierenden Polynome zu {{ Relationskette/display |X-XZ || X(1-Z) || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette/display | x || 0 || || || |SZ= }} gehört der Punkt zur {{math|term= z |SZ=-}}Achse, andernfalls ist {{ Relationskette/display |P | \in | V(Y-X, Z-1) || || || |SZ=. }} Im dritten Fall kommt noch die Möglichkeit {{ Relationskette/display |P | \in | V(Y+X, Z+1) || || || |SZ= }} hinzu. Somit ist {{ Relationskette/display |V || V(X,Y) \cup V(Y-X, Z-1) \cup V(Y+X, Z+1) || || || |SZ= }} eine Vereinigung von drei Geraden, wobei sich die erste und die zweite in {{mathl|term= (0,0,1) |SZ=}} und die erste und die dritte in {{mathl|term= (0,0,-1) |SZ=}} treffen. Insbesondere ist {{math|term= V |SZ=}} eindimensional und zusammenhängend. Wir betrachten nun die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ=, }} diese ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix23| 1 | -Z| -Y| -Z| 1 | -X}} |SZ=. }} Diese hat in einem Punkt {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} genau dann den {{ Definitionslink |Rang| |Kontext=Matrix| |SZ= }} {{math|term= 1 |SZ=,}} wenn die zweite Zeile das {{math|term= -z|SZ=-}}fache der ersten Zeile ist. Dann ist {{ Relationskette |z^2 || 1 || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette |z || 1 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette |z || -1 || || || |SZ=. }} Im ersten Fall ist wegen der letzten Spalte der Jacobi-Matrix {{ Relationskette | y || (-1) (-y) || -x || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |z || 1 || || || |SZ= }} werden aber beide definierenden Gleichungen zu {{ Relationskette | x || y || || || |SZ=, }} sodass nur im Kreuzungspunkt {{mathl|term= (0,0,1) |SZ=}} eine Singularität vorliegt. Der zweite Fall {{ Relationskette |z || -1 || || || |SZ= }} führt entsprechend zur Singularität {{mathl|term= (0,0,-1) |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 20e041f5h66knx2ejcyf5fowuyo0e0k 106 114925 1106141 1069344 2026-07-07T09:34:32Z Bocardodarapti 2041 1106141 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Vorlesungsgestaltung|18| {{ inputbild |Waeller48|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Da der Wurf ziemlich groß war, und Vorli als letzte geboren wurde, bekam sie wenig Milch ab. Die prallen Zitzen waren immer schon von den Geschwistern besetzt. Eine Zeitlang stand es kritisch um sie und sie musste von Hand aufgezogen werden. |Autor= |Benutzer=Odatrulle |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|Aufspannende Bäume}} {{ inputbild |4x4_grid_spanning_tree|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor=David Eppstein |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Die U-Bahn Osnabrück soll renoviert werden, deshalb müssen einzelne Streckenabschnitte geschlossen werden. Einerseits möchte man möglichst viele Streckenabschnitte gleichzeitig renovieren, andererseits möchte man sicherstellen, dass noch jede Station angefahren wird und dass das Netz zusammenhängend bleibt. In einem engmaschigen Netz wie der Osnabrücker U-Bahn gibt es viele Möglichkeiten, das Netz in der beschriebenen Weise aufzubrechen. Ein solches verbleibendes Restnetz nennt man einen Spannbaum oder aufspannenden Baum. {{:Graph/Aufspannender Baum/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Matroide}} Wie wollen die Gesamtheit aller Wälder und insbesondere aller Bäume in einem Graphen verstehen. Dazu ist ein kombinatorisches Konzept hilfreich, das auch in anderen Kontexten auftritt und eine abstrakte Theorie von Unabhängigkeit beschreibt. {{:Matroide/Einführung/Textabschnitt|}} Wir werden im Folgenden zeigen, dass auch die Wälder in einem Graphen ein Matroid bilden. {{Zwischenüberschrift|Aufspannende Wälder}} {{:Graph/Aufspannender Baum/Matroid/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Multigraphen}} Wir beschreiben eine rekursive Möglichkeit, um die Anzahl der aufspannenden Bäume in einem Graphen zu bestimmen. Dazu ist es für den induktiven Aufbau der Argumentation sinnvoll, mit Multigraphen zu arbeiten. {{:Ungerichteter Multigraph/Schleifenfrei/Einführung/Textabschnitt|}} Die Definition eines Spannbaumes ändert sich für einen Multigraphen nicht. Unter der Kontraktion entlang einer Kante {{math|term= e |SZ=}} verstehen wir im Kontext von Multigraphen denjenigen Graphen, der entsteht, wenn die beiden Endpunkte von {{math|term= e |SZ=}} miteinander identifiziert werden und jede Kante des Ausgangsgraphen im Kontraktionsgraphen übernommen wird, entstehende Schleifen aber weggelassen werden. Insbesondere werden sämtliche Kanten, die mit {{math|term= e |SZ=}} Anfangs- und Endpunkt teilen, ebenfalls kontrahiert. Dabei kann aus einem einfachen Graphen ein Multigraph entstehen. Diese Kontraktion wird wieder mit {{math|term= G/e |SZ=}} bezeichnet. {{Zwischenüberschrift|Zur Anzahl von aufspannenden Bäumen}} {{ inputbild |Spanning_Trees_qtl1|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Die Spannbäume des vollständigen Graphen {{math|term=K_4|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Quartl |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| || }} Im vorstehenden Lemma ist es durchaus erlaubt, dass der Graph nicht zusammenhängend ist {{ Zusatz/Klammer |text=dann gibt es keine aufspannenden Bäume| |ISZ=|ESZ=, }} oder dass durch die Herausnahme einer Kante der Zusammenhang verloren geht. Das Konzept Multigraph ist für die vorstehende Argumentation unverzichtbar, man denke etwa an einen Rundgang mit drei Knotenpunkten. Dieser hat offenbar drei Spannbäume. Wenn man eine Kante herausnimmt, so erhält man einerseits einen dreipunktigen Pfad und andererseits bei der Kontraktion einen zweipunktigen Graphen, wo aber zwei verbindende Kanten geerbt werden. {{ inputbeispiel |Aufspannender Baum/Rekursionsformel/1/Beispiel|| }} }} okugghdyow1gvzbtjidzch70j88607x 0 116528 1106148 1103404 2026-07-07T10:22:25Z Bocardodarapti 2041 1106148 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Weg/Definition|| }} Statt Weg sagt man auch {{Stichwort|Kantenzug|SZ=}} oder {{Stichwort|Pfad|msw=Pfad (Graph) |SZ=.}} {{math|term= v_1 |SZ=}} heißt {{Stichwort|Anfangspunkt|SZ=}} und {{math|term= v_m |SZ=}} heißt {{Stichwort|Endpunkt|SZ=}} des Weges. Man sagt in dieser Situation auch, dass der angegebene Weg die Punkte {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_m |SZ= }} verbindet. Zu jedem Knotenpunkt {{math|term= v |SZ=}} gibt es den konstanten, kantenleeren Weg, der keine Kanten besitzt, und {{math|term= v |SZ=}} mit sich selbst verbindet. Bei einem Weg sind Wiederholungen erlaubt, und zwar sowohl von Punkten als auch von Kanten. Gelegentlich wird ein Weg in der Form {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_{m-1} |SZ=}} mit Kanten {{ Relationskette | e_i | \in| E || || || |SZ= }} angegeben, wobei dann vorauszusetzen ist, dass die Kanten {{ mathkor|term1= e_i |und|term2= e_{i+1} |SZ= }} stets {{ Definitionslink |koinzident| |Kontext=Graph| |SZ= }} sind und der Anfangspunkt eventuell explizit zu machen ist. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Verbunden/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Zusammenhangskomponente/Definition|| }} Die Zusammenhangskomponenten eines Graphen sind einfach die {{ Definitionslink |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |SZ= }} zur Äquivalenzrelation, miteinander verbunden zu sein. Ein isolierter Punkt eines Graphen ist dasselbe wie eine einpunktige Zusammenhangskomponente. Die verschiedenen Zusammenhangskomponenten eines Graphen haben nichts miteinander zu tun und daher studiert man vor allem zusammenhängende Graphen. {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Blatt/Hinwegnahme/Zusammenhang/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} enxfoi36e3xu5xje9ebmck3qwod4hu5 0 116531 1106144 1040040 2026-07-07T10:17:25Z Bocardodarapti 2041 1106144 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} {{mathl|term= (V,E) |SZ=}} heißt {{ Definitionswort |zusammenhängend| |msw=Zusammenhängend (Graph) |SZ=, }} wenn es zu je zwei Punkten {{ Relationskette | u,v | \in | V || || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Weg| |Kontext=Graph| |SZ= }} gibt, der {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} verbindet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie des Zusammenhangs in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Zusammenhängender Graph |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ekys61fm1pkaxjx4mlba5hfeep1q22s 0 116605 1106117 1045931 2026-07-07T08:42:20Z Bocardodarapti 2041 1106117 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} |Voraussetzung= mit mindestens drei Knotenpunkten, der die Bedingung {{ Relationskette/display | d(u) + d(v) | \geq | {{op:Anzahl| V |}} || || || |SZ= }} für je zwei nicht adjazente Knoten {{math|term= u,v |SZ=}} erfüllt. |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term= G |SZ=}} {{ Definitionslink |hamiltonsch| |Kontext=| |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Hamiltonkreise |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz von Ore |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t0ftbhypzld4pvtyqhw5pzrlj2l0xxm 0 116633 1106125 1104934 2026-07-07T09:04:29Z Bocardodarapti 2041 1106125 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette | V || A \uplus B || || || |SZ= }} eine bipartite Zerlegung eines bipartiten Graphen. In jedem {{ Definitionslink |Weg| |Kontext=Graph| |SZ= }} in einem bipartiten Graphen gehören die Knoten abwechselnd zu {{math|term= A |SZ=}} oder zu {{math|term= B |SZ=.}} Die Existenz eines Kreises mit ungerader Länge führt daher direkt zu einem Widerspruch. {{parskip|}} Es sei nun umgekehrt die Kreisbedingung erfüllt. Wir können annehmen, dass {{math|term= G |SZ=}} {{ Definitionslink |zusammenhängend| |Kontext=Graph| |SZ= }} ist. Es sei {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} ein fixierter Punkt. Wir definieren {{ Relationskette/display | A || {{Mengebed| x \in V| \text{ es gibt einen geradzahligen Weg von } v \text{ nach } x }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | B || {{Mengebed| x \in V| \text{ es gibt einen ungeradzahligen Weg von } v \text{ nach } x }} || || || |SZ=. }} Wegen der Zusammenhangseigenschaft ist {{ Relationskette/display | V || A \cup B || || || |SZ=. }} Nehmen wir an, dass {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} nicht disjunkt sind, sagen wir {{ Relationskette | y | \in | A \cap B || || || |SZ=. }} Es gibt dann Wege {{ Relationskette/display | v || v_0 | \sim | v_1 | {{simdots|}} | v_r || y || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | v || v_0 | \sim |u_1 | {{simdots|}} | u_s || y || |SZ= }} mit {{math|term= r |SZ=}} gerade und mit {{math|term= s |SZ=}} ungerade. Indem man die beiden Wege zusammensetzt, erhält man einen Zyklus mit ungerade vielen Knoten. Wenn es in ihm eine Knotenwiederholung gibt, so kann man daraus zwei kleinere Zyklen herausarbeiten, von denen einer ebenfalls eine ungerade Anzahl besitzt. Somit erhält man auch einen ungeraden Kreis im Widerspruch zur Voraussetzung. Die beiden Mengen sind also disjunkt. Wenn es eine Kante innerhalb von {{math|term= A |SZ=}} geben würde, so würden die daran beteiligten Punkte sofort auch zu {{math|term= B |SZ=}} gehören im Widerspruch zur gezeigten Disjunktheit. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5bs6m20odslb07pwh4qe2lws0kink8q 0 116816 1106096 1103403 2026-07-06T19:24:50Z Bocardodarapti 2041 1106096 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild | 3-simplex graph|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=3-simplex_graph |Text=Eine ebene nicht überschneidungsfreie Skizze |Autor= |Benutzer=Koko90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild | 3-demicube t0 B3|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=3-demicube_t0_B3 |Text=und eine ebene überschneidungsfreie Realisierung des vollständigen Graphen mit vier Punkten. |Autor= |Benutzer=Tomruen |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Cube skeleton|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Cube_skeleton |Text=Eine ebene Realisierung des Würfelgraphen |Autor= |Benutzer=Apocheir |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Planar/Definition|| }} Unter einem Gebiet in der Ebene verstehen wir ein durch die Bilder von stetigen Wegen berandetes zusammenhängendes Flächenstück. Ein planarer Graph bewirkt eine Einteilung der Ebene in Gebiete. Eine exakte Definition von Gebiet, Begrenzung, innen und außen gehört zur Topologie, wir fassen die für uns relevanten und intuitiv klaren Prinzipien kurz zusammen. {{ inputbemerkung |Ungerichteter Graph/Planar/Gebiet/Topologische Prinzipien/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der planaren Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 7e9olihj6ng9yv4tjttoz97h0r9s6k8 0 116818 1106092 957518 2026-07-06T15:26:29Z Bocardodarapti 2041 1106092 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{mathl|term= (V,E) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ=. }} Wir realisieren die Knotenmenge als Menge der Standardvektoren {{ mathind| e_v | v \in V |SZ=, }} im reellen Vektorraum {{math|term= \R^V |SZ=,}} also der Menge aller {{math|term= V |SZ=-}}Tupel mit Werten in {{math|term= \R |SZ=.}} Der Vektor {{math|term= e_v |SZ=}} hat also an der Stelle {{math|term= v |SZ=}} den Wert {{math|term= 1 |SZ=}} und an den anderen Stellen den Wert {{math|term= 0 |SZ=.}} Eine Kante zwischen zwei Knotenpunkten {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} realisieren wir als die Strecke {{ Math/display|term= se_u + (1-s)e_v,\, s \in [0,1] |SZ=. }} Diese Strecke enthält {{ mathkor|term1= e_u |und|term2= e_v |SZ= }} als Endpunkte, für {{ mathkor|term1= s=0 |bzw.|term2= s=1 |SZ=. }} Diese beiden Endpunkte sind zugleich die einzigen Punkte dieser Strecke, bei denen nur eine Koordinate von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden ist, bei den anderen Punkten der Strecke sind zwei Koordinaten von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden, nämlich die {{math|term= u |SZ=-}} und die {{math|term= v |SZ=-}}Koordinate. Die Strecken zu verschiedenen Kanten haben allenfalls einen Endpunkt gemeinsam, und dies ist genau dann der Fall, wenn die zugrunde liegenden Kanten im Graphen einen gemeinsamen Knotenpunkt besitzen. D.h. es liegt insbesondere eine {{ Zusatz/Klammer |text=überschneidungsfreie| |ISZ=|ESZ= }} geometrische Realisierung des Graphen im Sinne der folgenden Definition vor. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/R^n/Definition|| }} Zu einer jeden Kante in {{math|term= G |SZ=}} gibt es also einen injektiven stetigen Verbindungsweg zwischen den zugehörigen geometrischen Punkten. Man bezeichnet diese stetigen Abbildungen als stetige Wege, manchmal auch die Bilder davon. Diese {{ Zusatz/Klammer |text=Bilder der| |ISZ=|ESZ= }} Wege sind untereinander überschneidungsfrei in dem Sinne, dass allenfalls die geometrischen Endpunkte identisch sind. Letzteres liegt genau dann vor, wenn die beiden zugrunde liegenden Kanten einen gemeinsamen Endpunkt besitzen. Die oben beschriebene geometrische Realisierung des Graphen im {{math|term= \R^V|SZ=}} heißt {{Stichwort|Standardrealisierung|msw=Standardrealisierung (Graph) |SZ=.}} Sie ist hochdimensional, eine sinnvolle Fragestellung ist, in welcher niedrigeren Dimension man einen Graphen ebenfalls realisieren kann. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der geometrischen Realisierung von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jbye8h4i1avd44kau7r4z5z16a6q4pq 0 116876 1106098 1100704 2026-07-06T19:37:08Z Bocardodarapti 2041 1106098 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Man platziert die {{math|term= n |SZ=}} Punkte {{ mathbed|term= P_i ||bedterm1= i {{=|}} 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} in der Ebene {{ Relationskette/display | \R^2 \times \{ 0 \} | \subseteq | \R^3 || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} derart, dass die {{math|term= \epsilon |SZ=-}}Umgebungen der Punkte zueinander disjunkt sind. Es sei {{ Relationskette | m || {{op:Binomialkoeffizient| n | 2}} || || || |SZ=. }} Man platziert nun in der {{math|term= \epsilon |SZ=-}}Umgebung von einem jeden Punkt {{math|term= P_i |SZ=}} jeweils {{math|term= n |SZ=}} Punkte {{math|term= Q_{ij} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Liftungspunkte| |ISZ=|ESZ= }} und setzt diese in die Ebene {{ Relationskette/display | \R^2 \times \{m\} | \subseteq | \R^3 || || || |SZ=. }} Der Punkt {{math|term= P_i |SZ=}} wird durch gerade {{ Zusatz/Klammer |text=nahezu vertikale| |ISZ=|ESZ= }} Strecken {{math|term= V_{ij} |SZ=}} mit seinen {{math|term= n |SZ=}} Liftungspunkten verbunden. Diese Verbindungsstrecken liegen allesamt im Schlauch {{mathl|term= {{op:Offener Ball|P_i | \epsilon }} \times [0,m] |SZ=.}} Zu jedem Punktepaar {{ Relationskette | P_i | \neq | P_j || || || |SZ= }} gehört eine Ebene {{math|term= \R^2 \times {\ell} |SZ=,}} {{ Relationskette | \ell || 1 {{kommadots|}} m || || || |SZ=. }} Die Punkte {{math|term= P_i |SZ=}} und {{math|term= P_j |SZ=}} werden nun dadurch miteinander verbunden, dass man von {{math|term= P_i |SZ=}} aus entlang {{math|term= V_{ij} |SZ=}} und von {{math|term= P_j |SZ=}} aus entlang {{math|term= V_{ji} |SZ=}} jeweils bis zum Durchstoßungspunkt mit der {{math|term= \ell |SZ=-}}Ebene hochgeht. Die beiden Durchstoßungspunkte werden dann horizontal in der {{math|term= \ell |SZ=-}}Ebene durch eine gerade Strecke verbunden. In dieser Konstruktion werden alle Punkte miteinander überschneidungsfrei verbunden, da die Verbindungswege nur in den Schläuchen und in den verschiedenen Ebenen verlaufen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der geometrischen Realisierung von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mqrlroy8133uwkye37nki2ekcrq1h98 0 116946 1106127 1103402 2026-07-07T09:06:49Z Bocardodarapti 2041 1106127 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichter Graph/Paarung/Definition|| }} Mit disjunkt meint man hier natürlich knotendisjunkt, bei einer Paarung ist jeder Punkt höchstens zu einer Kante der Paarung inzident. In einer Skizze eines Graphen kann man eine Paarung dadurch kenntlich machen, dass man die beteiligten Kanten dicker {{ Zusatz/Klammer |text=oder mit einer Farbe| |ISZ=|ESZ= }} malt. Statt Paarung sagt man auch {{Stichwort|Matching|SZ=}} oder man spricht von einer Menge von unabhängigen Kanten. {{ inputbild |Blossom Counter|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Blossom_Counter |Text=Eine maximale Paarung, aber keine optimale Paarung. |Autor= |Benutzer=0g1o2i3k4e5n6 |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ungerichter Graph/Paarung/Punktabdeckung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichter Graph/Knotenteilmenge/Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichter Graph/Perfekte Paarung/Definition|| }} Eine perfekte Paarung ist somit eine Paarung für die gesamte Knotenmenge. {{ inputbeispiel |Vollständiger bipartiter Graph/Perfekte Paarung/Beispiel|| }} Eine perfekte Paarung gibt es im Allgemeinen nicht, deshalb betrachtet man auch die folgenden Konzepte. {{ inputdefinition |Ungerichter Graph/Maximale Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichter Graph/Optimale Paarung/Definition|| }} Man beachte, dass hier der Sprachgebrauch nicht einheitlich ist. Wir verwenden maximal ordnungstheoretisch, wobei wir Kantenmengen und insbesondere Paarungen über die Inklusion miteinander vergleichen. Eine maximale Paarung liegt also genau dann vor, wenn jede Hinzunahme einer weiteren Kante die Disjunktheit der Kanten zerstört. Es kann aber durchaus {{Anführung|völlig}} andere Paarungen geben, die mehr Kanten als eine vorliegende maximale Paarung enthalten. Optimal bezieht sich hingegen auf die Anzahl der beteiligten Kanten. {{ inputdefinition |Ungerichter Graph/Paarungszahl/Definition|| }} Es geht also um die Anzahl der Kanten in einer optimalen Paarung. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Paarungen in Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1f3zmvf9bu2vmlvm3w3pt9a3rph7l75 0 117088 1106138 1101811 2026-07-07T09:29:32Z Bocardodarapti 2041 1106138 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über die Anzahl der Knoten. Bei einem einzigen Knoten gibt es einen Spannbaum und die Determinante der leeren Matrix ist {{math|term= 1 |SZ=.}} Bei zwei Knoten und {{math|term= m |SZ=}} verbindenden Kanten gibt es {{math|term= m |SZ=}} Spannbäume. Die Adjazenzmatrix ist {{mathl|term= {{op:Matrix22| 0 | m |m| 0 |}} |SZ=}} und die Gradmatrix ist {{mathl|term= {{op:Matrix22| m | 0 | 0|m}} |SZ=.}} Daher ist die Laplace-Matrix gleich {{mathl|term= {{op:Matrix22| m | -m| -m| m |}} |SZ=.}} Streicht man die erste Zeile und erste Spalte {{ Zusatz/Klammer |text=oder die zweite Zeile und zweite Spalte| |ISZ=|ESZ=. }} so hat die Streichungsmatrix die Determinante {{math|term= m |SZ=.}} {{parskip}} Es sei nun die Aussage für alle Multigraphen mit höchstens {{mathl|term= n-1 |SZ=}} Knoten bewiesen, und sei ein Multigraph {{math|term= G |SZ=}} mit {{math|term= n |SZ=}} Knoten gegeben. Wir führen nun {{ Zusatz/Klammer |text=eine innere| |ISZ=|ESZ= }} Induktion über die Anzahl {{math|term= m |SZ=}} der Kanten. Wenn es gar keine Kante gibt, so gibt es keinen Spannbaum und die Laplace-Matrix und die Streichungsmatrix davon sind die Nullmatrix mit Determinante {{math|term= 0 |SZ=.}} Es sei also die Aussage auch für alle Graphen mit {{math|term= n |SZ=}} Knoten und mit weniger als {{math|term= m |SZ=}} Kanten bewiesen, und {{math|term= G |SZ=}} habe {{math|term= n |SZ=}} Knoten und {{math|term= m |SZ=}} Kanten. Wir überlegen uns, was passiert, wenn man eine Kante herausnimmt bzw. kontrahiert. Ohne Einschränkung werde eine Kante zwischen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 2 |SZ= }} herausgenommen {{ Zusatz/Klammer |text=was für die Kontraktion bedeutet, dass alle parallelen Kanten auch kontrahiert werden| |ISZ=|ESZ=. }} von denen es {{ Relationskette | a_{12} | \geq | 1 || || || |SZ= }} gibt. Die Laplace-Matrix von {{math|term= G |SZ=}} sei {{ Math/display|term= {{op:Matrix55|d_1 | -a_{12}| -a_{13}| \ldots | -a_{1 n}| -a_{12}| d_2 | -a_{23} | \ldots | -a_{2 n} | -a_{13} | -a_{23} | d_3 | \ldots | -a_{3 n} | \vdots |\vdots | \vdots | \ddots | \vdots | -a_{1 n} | -a_{2 n} | -a_{3n} | \ldots | d_{ n} }} |SZ=. }} Die Laplace-Matrix von {{mathl|term= G \setminus \{e\} |SZ=}} ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix55| d_1-1 | -a_{12}+1 | -a_{13} | \ldots| -a_{1 n} | -a_{12}+1 | d_2-1 | -a_{23} | \ldots | -a_{2 n} | -a_{13} | -a_{23} | d_3 | \ldots | -a_{3 n} |\vdots | \vdots | \vdots | \ddots | \vdots | -a_{1 n} | -a_{2 n} | - a_{3n} | \ldots | d_{ n} }} |SZ= }} und die Laplace-Matrix zur Kontraktion {{mathl|term= G/e |SZ=}} ist die {{math|term= (n-1) \times (n-1) |SZ=-}}Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| d_1 +d_2 -2a_{12 } | -a_{13} - a_{23} | \ldots | -a_{1 n} - a_{2 n} | -a_{13} -a_{23} | d_3 | \ldots | -a_{3 n} | \vdots | \vdots | \ddots | \vdots | -a_{1 n} -a_{2 n} | -a_{3n} | \ldots | d_{ n} }} |SZ=. }} Die Streichungsmatrizen zur jeweils ersten Zeile und ersten Spalte hiervon sind der Reihe nach {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| d_2 | -a_{23} | \ldots | -a_{2 n} | - a_{23} | d_3 | \ldots | -a_{3 n} | \vdots | \vdots | \ddots | \vdots | -a_{2 n} | -a_{3n} | \ldots | d_{ n} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| d_2 -1 | -a_{23} | \ldots | -a_{2 n} | -a_{23} | d_3 | \ldots | -a_{3 n} | \vdots | \vdots | \ddots | \vdots | -a_{2 n} | -a_{3n} | \ldots | d_{ n} }} |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| d_3 | \ldots | -a_{3 n} | \vdots | \ddots | \vdots | -a_{3n} | \ldots | d_{ n} }} |SZ=. }} Entwicklung nach der ersten Spalte {{ Zusatz/Klammer |text=für die beiden ersten Matrizen| |ISZ=|ESZ= }} zeigt, dass die Determinante der ersten Matrix die Summe der Determinanten der beiden folgenden Matrizen ist. Somit folgt die Aussage mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} aus den beiden Induktionsvoraussetzungen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gx8im02admtpvmhlao0p5kjium0kch3 0 117111 1106113 1102957 2026-07-07T08:37:22Z Bocardodarapti 2041 1106113 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild | 7 bridges|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=7_bridges |Text=Euler möchte bei seinem täglichen Spaziergang über jede Brücke genau einmal gehen. Man spricht vom {{Stichwort|Königsberger Brückenproblem|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Chris-Martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Eulerscher Kantenzug/Definition|| }} Man spricht auch kurz von einem {{Stichwort|Eulerzug|SZ=.}} Bei einem eulerschen Kantenzug wird jede Kante genau einmal durchlaufen. Es kann dabei Knoten geben, die dabei mehrfach oder auch {{ Zusatz/Klammer |text=isolierte Punkte| |ISZ=|ESZ= }} gar nicht berührt werden. Unter einem geschlossenen eulerschen Kantenzug versteht man einen eulerschen Kantenzug, bei dem die Anfangskante mit der Endkante koinzident ist. Nicht geschlossene eulersche Kantenzüge nennt man auch offene eulersche Kantenzüge. Das ursprüngliche Brückenproblem bezieht sich auf einen Multigraphen, da die linke Insel doppelt mit beiden Flussseiten verbunden ist. Indem man aber auf diesen Kanten jeweils einen Hilfsknoten einführt, gelangt man zu einem äquivalenten Problem über einen einfachen Graphen. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Eulersch/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Untergraph/Kantendisjunkt/Definition|| }} {{ inputbild |Hierholzer(1)|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Tidoni |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Hierholzer(2)|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Tidoni |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Hierholzer(3)|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Tidoni |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Hierholzer(4)|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Tidoni |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Hierholzer(5)|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Tidoni |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt|Satz|| }} {{ inputbemerkung |Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Durchführung/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantenfolge/Fakt|Korollar|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der eulerschen Kantenzüge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gbgvi1m0pg0ynsircvia00row8283ft 0 117134 1106114 1105784 2026-07-07T08:38:25Z Bocardodarapti 2041 1106114 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Von (1) nach (2) ist klar, da bei einem geschlossenen Eulerzug jeder Knotenpunkt genau so oft besucht wie verlassen wird. {{parskip|}} Von (2) nach (3). Wir führen Induktion über die Anzahl der Kanten. Da der Graph zusammenhängend ist, handelt es sich um einen isolierten Punkt oder aber jeder Knoten besitzt einen Grad von zumindest {{math|term= 2 |SZ=.}} Deshalb muss es in {{math|term= G |SZ=}} einen {{ Definitionslink |Kreis| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} geben. Man kann ja in einem beliebigen Punkt starten und von diesem Punkt ausgehend nach und nach einen Kantenzug konstruieren. Wenn der Kantenzug in einen Punkt hineingeht, so kann man den Kantenzug fortsetzen, da zumindest zwei Kanten in dem Punkt zusammenlaufen. Wenn erstmal ein schon erreichter Punkt erneut auftaucht, ist der Kreis fertig, die {{Anführung|Vorperiode}} kann man außer Acht lassen. Es seien {{math|term= F |SZ=}} die Kanten des Kreises und wir betrachten den neuen Graphen {{ Relationskette |G' || (V, E \setminus F) || || || |SZ=. }} Wenn ein Punkt aus {{math|term= V |SZ=}} zu einer Kante aus {{math|term= F |SZ=}} inzident ist, so reduziert sich der Grad in diesem Knoten um {{math|term= 2 |SZ=,}} da ja jeder Punkt in einem Kreis inzident zu zwei Kanten ist. Wenn ein Punkt im Kreis nicht aufgerufen wird, so ändert sich der Grad nicht. In jedem Fall besitzt in {{math|term= G'|SZ=}} jeder Punkt wieder einen geraden Grad. Der neue Graph muss nicht mehr zusammenhängend sein, allerdings erfüllen die einzelnen {{ Definitionslink |Zusammenhangskomponenten| |Kontext=Graph| |SZ= }} von {{math|term= G'|SZ=}} wieder die Voraussetzung, dass sämtliche Grade gerade sind. Nach Induktionsvoraussetzung besitzen die Zusammenhangskomponenten jeweils eine Darstellung als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen. Also besitzt {{math|term= G'|SZ=}} eine Darstellung als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen und zusammen mit {{math|term= K |SZ=}} ergibt sich eine Darstellung von {{math|term= G |SZ=}} als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen. {{parskip|}} Von (3) nach (1). Es seien {{ Relationskette |K_j || (V_j,E_j) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |j | \in | J || || || |SZ=, }} die beteiligten kantendisjunkten Kreise, die {{math|term= G |SZ=}} überdecken. Wir konstruieren induktiv Kantenzüge, die für zunehmend größere Vereinigungen dieser Kreise einen Eulerzug darstellen. Einen einzelnen Kreis kann man unmittelbar als einen Eulerzug für diesen Kreis auffassen. Es sei nun vorausgesetzt, dass man {{math|term= s |SZ=}} Kreise, die wir als {{math|term= K_1 {{kommadots|}} K_s |SZ=}} durchnummerieren, derart gefunden hat, dass es einen Eulerzug für {{ Relationskette/display | G_s || \bigcup_{j {{=}} 1}^s K_j || || || |SZ= }} gibt. Bei {{ Relationskette | s | < | r || || || |SZ= }} gibt es aufgrund des Zusammenhangs des Graphen einen weiteren Kreis, den wir {{math|term= K_{s+1} |SZ=}} nennen, der einen gemeinsamen Knotenpunkt mit {{math|term= G_s |SZ=}} hat, sagen wir {{math|term= u |SZ=.}} Dann erhält man aus dem Eulerzug für {{math|term= G_s|SZ=}} einen Eulerzug für {{ Relationskette | G_{s+1} || G_{s} \cup K_{s+1} || || || |SZ=, }} indem man, wenn der Eulerzug den Punkt {{math|term= u |SZ=}} erreicht, in den Kreis {{math|term= K_{s+1} |SZ=}} abbiegt, diesen einmal durchläuft und danach an der Stelle {{math|term= u |SZ=}} den alten Eulerzug fortsetzt. Da {{math|term= K_{s+1} |SZ=}} kantendisjunkt zu {{math|term= G_s |SZ=}} ist, entsteht dabei wieder ein Eulerzug. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a8658hu2udr5vdrm5rd8khy12er32n4 1106115 1106114 2026-07-07T08:40:41Z Bocardodarapti 2041 1106115 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Von (1) nach (2) ist klar, da bei einem geschlossenen Eulerzug jeder Knotenpunkt genau so oft besucht wie verlassen wird. {{parskip|}} Von (2) nach (3). Wir führen Induktion über die Anzahl der Kanten. Da der Graph zusammenhängend ist, handelt es sich um einen isolierten Punkt oder aber jeder Knoten besitzt einen Grad von zumindest {{math|term= 2 |SZ=.}} Deshalb muss es in {{math|term= G |SZ=}} einen {{ Definitionslink |Kreis| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} geben. Man kann ja in einem beliebigen Punkt starten und von diesem Punkt ausgehend nach und nach einen Kantenzug konstruieren. Wenn der Kantenzug in einen Punkt hineingeht, so kann man den Kantenzug fortsetzen, da zumindest zwei Kanten in dem Punkt zusammenlaufen. Sobald ein schon erreichter Punkt erneut auftaucht, ist der Kreis fertig, die {{Anführung|Vorperiode}} kann man außer Acht lassen. Es seien {{math|term= F |SZ=}} die Kanten des Kreises und wir betrachten den neuen Graphen {{ Relationskette |G' || (V, E \setminus F) || || || |SZ=. }} Wenn ein Punkt aus {{math|term= V |SZ=}} zu einer Kante aus {{math|term= F |SZ=}} inzident ist, so reduziert sich der Grad in diesem Knoten um {{math|term= 2 |SZ=,}} da ja jeder Punkt in einem Kreis inzident zu zwei Kanten ist. Wenn ein Punkt im Kreis nicht aufgerufen wird, so ändert sich der Grad nicht. In jedem Fall besitzt in {{math|term= G'|SZ=}} jeder Punkt wieder einen geraden Grad. Der neue Graph muss nicht mehr zusammenhängend sein, allerdings erfüllen die einzelnen {{ Definitionslink |Zusammenhangskomponenten| |Kontext=Graph| |SZ= }} von {{math|term= G'|SZ=}} wieder die Voraussetzung, dass sämtliche Grade gerade sind. Nach Induktionsvoraussetzung besitzen die Zusammenhangskomponenten jeweils eine Darstellung als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen. Also besitzt {{math|term= G'|SZ=}} eine Darstellung als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen und zusammen mit {{math|term= K |SZ=}} ergibt sich eine Darstellung von {{math|term= G |SZ=}} als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen. {{parskip|}} Von (3) nach (1). Es seien {{ Relationskette |K_j || (V_j,E_j) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |j | \in | J || || || |SZ=, }} die beteiligten kantendisjunkten Kreise, die {{math|term= G |SZ=}} überdecken. Wir konstruieren induktiv Kantenzüge, die für zunehmend größere Vereinigungen dieser Kreise einen Eulerzug darstellen. Einen einzelnen Kreis kann man unmittelbar als einen Eulerzug für diesen Kreis auffassen. Es sei nun vorausgesetzt, dass man {{math|term= s |SZ=}} Kreise, die wir als {{math|term= K_1 {{kommadots|}} K_s |SZ=}} durchnummerieren, derart gefunden hat, dass es einen Eulerzug für {{ Relationskette/display | G_s || \bigcup_{j {{=}} 1}^s K_j || || || |SZ= }} gibt. Bei {{ Relationskette | s | < | r || || || |SZ= }} gibt es aufgrund des Zusammenhangs des Graphen einen weiteren Kreis, den wir {{math|term= K_{s+1} |SZ=}} nennen, der einen gemeinsamen Knotenpunkt mit {{math|term= G_s |SZ=}} hat, sagen wir {{math|term= u |SZ=.}} Dann erhält man aus dem Eulerzug für {{math|term= G_s|SZ=}} einen Eulerzug für {{ Relationskette | G_{s+1} || G_{s} \cup K_{s+1} || || || |SZ=, }} indem man, wenn der Eulerzug den Punkt {{math|term= u |SZ=}} erreicht, in den Kreis {{math|term= K_{s+1} |SZ=}} abbiegt, diesen einmal durchläuft und danach an der Stelle {{math|term= u |SZ=}} den alten Eulerzug fortsetzt. Da {{math|term= K_{s+1} |SZ=}} kantendisjunkt zu {{math|term= G_s |SZ=}} ist, entsteht dabei wieder ein Eulerzug. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hwnxs61q2zj8ftsv86bambgqx39dpg1 0 117207 1106116 1105783 2026-07-07T08:41:10Z Bocardodarapti 2041 1106116 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text={{bildskip|}} {{ inputbild |Butterfly graph|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Butterfly_graph |Text= |Autor= |Benutzer=KoKo90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} Das im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt |Nr= |SZ= }} beschriebene Verfahren, um, falls die Gradbedingung erfüllt ist, einen geschlossenen eulerschen Kantenzug über die kantendisjunkten Kreise zu finden, ist grundsätzlich konstruktiv. Man nennt das Verfahren den {{Stichwort|Algorithmus von Hierholzer|SZ=.}} Bei einem Knotenpunkt vom Grad {{math|term= 2 |SZ=}} ist der Kantendurchlauf für einen Eulerzug bis auf die Orientierung vorgegeben. Man kann aber im Allgemeinen bei einem Knotenpunkt mit einem Grad {{math|term= >2 |SZ=}} nicht frei vorgeben, in welcher Reihenfolge die in dem Punkt zusammenlaufenden Kanten hintereinander gelegt werden. Im {{Stichwort|Schmetterlingsgraphen|msw=Schmetterlingsgraph|SZ=}} können in einem Eulerzug die beiden rechten Kanten, die am Kreuzungspunkt anliegen, nicht direkt aufeinander folgen, da sonst der rechte Kreis geschlossen wird. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der eulerschen Kantenzüge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ey9gib474biifrbaqlm1va84pyp6g1u 0 117288 1106107 1101031 2026-07-07T08:18:44Z Bocardodarapti 2041 1106107 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über die Anzahl der Knoten, wobei die Aussage bei höchstens {{math|term= 5 |SZ=}} Knoten unmittelbar klar ist. Es liege also ein ebener Graph {{math|term= G |SZ=}} mit {{math|term= n |SZ=}} Knoten vor und für jeden ebenen Graphen mit weniger als {{math|term= n |SZ=}} Knoten wissen wir, dass es eine zulässige Färbung mit höchstens {{math|term= 5 |SZ=}} Farben gibt. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Abschätzungen/Fakt |Nr=2 |SZ= }} gibt es einen Knoten {{math|term= u |SZ=}} mit höchstens {{math|term= 5 |SZ=}} Nachbarn. Es sei {{math|term= H |SZ=}} der Graph, der aus {{math|term= G |SZ=}} entsteht, wenn man {{math|term= u |SZ=}} und die an {{math|term= u |SZ=}} anliegenden Kanten herausnimmt. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt {{math|term= H |SZ=}} eine zulässige Färbung mit höchstens fünf Farben. Wenn die Nachbarn von {{math|term= u |SZ=}} nur höchstens vier Farben verwenden, was insbesondere dann der Fall ist, wenn {{math|term= u |SZ=}} höchstens vier Nachbarn besitzt, so kann man unmittelbar eine zulässige Färbung von {{math|term= H |SZ=}} zu einer zulässigen Färbung von {{math|term= G |SZ=}} ausbauen, indem man {{math|term= u |SZ=}} eine Farbe gibt, die bei seinen Nachbarn nicht vorkommt. {{parskip|}} Der Punkt {{math|term= u |SZ=}} habe also genau {{math|term= 5 |SZ=}} Nachbarn mit {{math|term= 5 |SZ=}} verschiedenen Farben. Wir fixieren eine ebene Realisierung und wir bezeichnen die Nachbarn von {{math|term= u |SZ=}} mit {{math|term= v_1,v_2,v_3,v_4,v_5 |SZ=}} im Uhrzeigersinn {{ Zusatz/Klammer |text=ein kleiner Kreis um {{math|term= u |SZ=}} in {{math|term= \R^2 |SZ=,}} der keinen weiteren Knotenpunkt enthält, trifft jeden Verbindungsweg zu den Nachbarn in einem Punkt der Peripherie, dies legt die Reihenfolge fest| |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{math|term= c |SZ=}} eine zulässige Färbung auf {{math|term= H |SZ=.}} Wir betrachten den {{ Definitionslink |induzierten Untergraphen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | V_{13} || {{Mengebed|v \in H|c(v) {{=|}} c(v_1) \text{ oder } c(v) {{=|}} c(v_3) }} || || || |SZ=. }} Wir machen nun eine Fallunterscheidung je nachdem, ob {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_3 |SZ= }} in {{math|term= V_{13} |SZ=}} miteinander durch einen {{ Definitionslink |Weg| |Kontext=Graph| |SZ= }} verbunden sind oder nicht. {{parskip|}} Fall 1. Sie sind nicht miteinander verbunden. Es sei {{mathl|term= W_{13} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Zusammenhangskomponente| |Kontext=Graph| |SZ= }} von {{math|term= V_{13} |SZ=,}} die {{math|term= v_1 |SZ=}} enthält. Dabei gilt {{ Relationskette |v_3 |\notin| W_{13} || || || |SZ=. }} Wir legen jetzt auf {{math|term= H |SZ=}} eine neue Färbung {{math|term= c'|SZ=}} fest, indem wir {{ Relationskette/display | c'(v) || \begin{cases} c(v),\, \text{ falls } v \notin W_{13} \, , \\ c(v_3),\, \text{ falls } v \in W_{13} \text{ und } c(v) {{=|}} c(v_1) \, , \\ c(v_1),\, \text{ falls } v \in W_{13} \text{ und } c(v) {{=|}} c(v_3) \, . \end{cases} || || || |SZ= }} festlegen. Für die Knoten aus {{math|term= W_{13} |SZ=}} werden also die beiden Farben {{ mathkor|term1= c(v_1) |und|term2= c(v_3) |SZ= }} vertauscht, alle anderen Knoten behalten ihre Farben. Diese Färbung ist wieder zulässig. Dies ist klar für Kanten, die ganz außerhalb von {{math|term= W_{13} |SZ=}} oder ganz innerhalb von {{math|term= W_{13} |SZ=}} verlaufen. Bei {{ Relationskette | x | \in | W_{13} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y |\notin|W_{13} || || || |SZ= }} besitzt bei {{ Relationskette | y |\notin| V_{13} || || || |SZ= }} dieser Knoten eine von {{ mathkor|term1= c(v_1) |und|term2= c(v_3) |SZ= }} verschiedene Farbe, und bei {{ Relationskette | y | \in | V_{13} || || || |SZ= }} gibt es keine Kante. {{parskip|}} Fall 2. Es gibt nun einen verbindenen Weg in {{math|term= V_{13} |SZ=}} von {{math|term= v_1 |SZ=}} nach {{math|term= v_3 |SZ=.}} Wenn es keinen verbindenden Weg von {{math|term= v_2 |SZ=}} nach {{math|term= v_4 |SZ=}} innerhalb des entsprechend definierten Untergraphen {{math|term= V_{24} |SZ=}} gibt, so sind wir aufgrund der Argumentation im ersten Fall fertig. Wir sind somit in der Situation, wo es einen Weg {{math|term= P_{13} |SZ=}} von {{math|term= v_1 |SZ=}} nach {{math|term= v_3 |SZ=}} in {{math|term= V_{13} |SZ=}} und einen Weg {{math|term= P_{24} |SZ=}} von {{math|term= v_2 |SZ=}} nach {{math|term= v_4 |SZ=}} in {{math|term= V_{24} |SZ=}} gibt. Wir ergänzen {{math|term= P_{13} |SZ=}} durch die Kanten {{ mathkor|term1= \{u, v_1\} |und|term2= \{u, v_3\} |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Zyklus| |Kontext=Graph| |SZ= }} in {{math|term= G |SZ=,}} der in der ebenen Realisierung einem geschlossenen Weg entspricht {{ Zusatz/Klammer |text=indem wir {{math|term= P_{13} |SZ=}} ohne Knotenwiederholungen wählen, können wir diesen geschlossenen Weg als überschneidungsfrei annehmen| |ISZ=|ESZ=. }} Hierbei liegt einer der Punkte {{ mathkor|term1= v_2 |oder|term2= v_4 |SZ= }} im Inneren des durch den Weg begrenzten Gebietes und der andere außerhalb davon. Dann gibt es aber eine Überschneidung der beiden Wege, und diese muss in einem Knotenpunkt vorliegen. Dies ist aber ein Widerspruch, da die Farben {{mathl|term= c(v_1),c(v_2),c(v_3),c(v_4) |SZ=}} alle verschieden sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rl15l23374xrmsjo3tf740ryiuuqnhx 0 117530 1106147 1093516 2026-07-07T10:21:22Z Bocardodarapti 2041 1106147 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= G |SZ=}} zusammenhängend und {{ Relationskette | u,v | \in | G \setminus \{b\} || || || |SZ=. }} Dann gibt es in {{math|term= G |SZ=}} einen verbindenden Weg von {{ mathkor|term1= u |nach|term2= v |SZ=. }} Wenn in diesem Weg {{math|term= b |SZ=}} vorkommt, so jedenfalls nicht als Anfangs- oder als Endpunkt, da dies explizit ausgeschlossen ist. Wenn {{math|term= b |SZ=}} in der Mitte vorkommt, so in der Form {{mathl|term= w,b,w |SZ=,}} wobei {{mathl|term= \{b,w\} |SZ=}} die einzige Kante an {{math|term= b |SZ=}} bezeichne. Doch in diesem Fall kann man diesen Wegabschnitt herausnehmen und erhält einen kürzeren Weg von {{math|term= u |SZ=}} nach {{math|term= v |SZ=.}} Deshalb gibt es auch einen verbindenen Weg, in dem {{math|term= b |SZ=}} gar nicht vorkommt. {{parskip|}} Es sei nun {{mathl|term= G \setminus \{b\} |SZ=}} zusammenhängend und seien {{ Relationskette | u, v | \in | G || || || |SZ=. }} Wenn {{ Relationskette | u,v | \neq | b || || || |SZ= }} ist, so kann man direkt einen verbindenden Weg aus {{mathl|term= G \setminus \{b\} |SZ=}} nehmen. Wenn {{ Relationskette | u || b || || || |SZ= }} ist, so ist {{math|term= b |SZ=}} mit einem weiteren Knotenpunkt {{math|term= w |SZ=}} verbunden, und einen Weg in {{mathl|term= G \setminus \{b\} |SZ=}} von {{math|term= w |SZ=}} nach {{math|term= v |SZ=}} kann man durch die Kante {{mathl|term= \{b,w\} |SZ=}} zu einem Weg in {{math|term= G |SZ=}} von {{math|term= b |SZ=}} nach {{math|term= v |SZ=}} verlängern. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategore2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7x3kge03w5jpr8lvivw0petjrraf67o 1106162 1106147 2026-07-07T10:55:05Z Bocardodarapti 2041 1106162 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= G |SZ=}} zusammenhängend und {{ Relationskette | u,v | \in | G \setminus \{b\} || || || |SZ=. }} Dann gibt es in {{math|term= G |SZ=}} einen verbindenden Weg von {{ mathkor|term1= u |nach|term2= v |SZ=. }} Wenn in diesem Weg {{math|term= b |SZ=}} vorkommt, so jedenfalls nicht als Anfangs- oder als Endpunkt, da dies explizit ausgeschlossen ist. Wenn {{math|term= b |SZ=}} in der Mitte vorkommt, so in der Form {{mathl|term= w,b,w |SZ=,}} wobei {{mathl|term= \{b,w\} |SZ=}} die einzige Kante an {{math|term= b |SZ=}} bezeichne. Doch in diesem Fall kann man diesen Wegabschnitt herausnehmen und erhält einen kürzeren Weg von {{math|term= u |SZ=}} nach {{math|term= v |SZ=.}} Deshalb gibt es auch einen verbindenden Weg, in dem {{math|term= b |SZ=}} gar nicht vorkommt. {{parskip|}} Es sei nun {{mathl|term= G \setminus \{b\} |SZ=}} zusammenhängend und seien {{ Relationskette | u, v | \in | G || || || |SZ=. }} Wenn {{ Relationskette | u,v | \neq | b || || || |SZ= }} ist, so kann man direkt einen verbindenden Weg aus {{mathl|term= G \setminus \{b\} |SZ=}} nehmen. Wenn {{ Relationskette | u || b || || || |SZ= }} ist, so ist {{math|term= b |SZ=}} mit einem weiteren Knotenpunkt {{math|term= w |SZ=}} verbunden, und einen Weg in {{mathl|term= G \setminus \{b\} |SZ=}} von {{math|term= w |SZ=}} nach {{math|term= v |SZ=}} kann man durch die Kante {{mathl|term= \{b,w\} |SZ=}} zu einem Weg in {{math|term= G |SZ=}} von {{math|term= b |SZ=}} nach {{math|term= v |SZ=}} verlängern. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategore2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i10m06li6aw108xdomw2o920rgq5lm7 0 117557 1106146 1087207 2026-07-07T10:19:28Z Bocardodarapti 2041 1106146 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Jeder Knotenpunkt ist durch den leeren Kantenzug mit sich selbst verbunden. Dies sichert die Reflexivität. Wenn {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} durch den Kantenzug {{mathl|term= u=v_1,v_2 {{kommadots|}} v_{r-1}, v_r=v |SZ=}} miteinander verbunden sind, so ist {{math|term= v |SZ=}} mit {{math|term= u |SZ=}} durch den umorientierten Kantenzug {{mathl|term= v_r,v_{r-1} {{kommadots|}} v_2,v_1 |SZ=}} verbunden. Dies sichert die Symmetrie. Wenn {{math|term= u |SZ=}} mit {{math|term= v |SZ=}} durch den Kantenzug {{mathl|term= u=v_1,v_2 {{kommadots|}} v_r=v |SZ=}} verbunden ist und {{math|term= v |SZ=}} mit {{math|term= w |SZ=}} durch den Kantenzug {{mathl|term= v=w_1, w_2 {{kommadots|}} w_s=w |SZ=}} verbunden ist, so ist {{math|term= u |SZ=}} mit {{math|term= w |SZ=}} durch den zusammengesetzten Kantenzug {{mathl|term= u=v_1,v_2 {{kommadots|}} v_r=v=w_1 ,w_2 {{kommadots|}} w_s=w |SZ=}} verbunden. Dies sichert die Transitivität. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e1gmkgo2xq1hvj7y05txzjrek3287bj 0 117564 1106149 1103405 2026-07-07T10:23:40Z Bocardodarapti 2041 1106149 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Zyklus/Definition|| }} Den konstanten Weg und einen Weg der Form {{mathl|term= u,v,u |SZ=}} betrachten wir als triviale Zyklen. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kreis/Definition|| }} Mit der Formulierung ohne Wiederholungen meint man ohne Wiederholungen in der Knotenmenge mit Ausnahme der Endpunkte. Dies impliziert insbesondere keine Wiederholungen in der Kantenmenge. Umgekehrt kann es aber Wege ohne Kantenwiederholungen geben, bei denen sich Knotenpunkte wiederholen, dies sind keine Kreise. Ein {{Stichwort|zyklischer Graph|SZ=}} ist ein Graph mit zumindest einem Kreis. Anderfalls nennt man ihn {{Stichwort|zyklenfrei|msw=Zyklenfreier Graph|SZ=.}} {{ inputbild |Circle Line (old)|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Circle_Line_(old) |Text=Die Circle line von London ist für sich genommen ein Rundgang. |Autor= |Benutzer=DavidCane, James D. Forrester |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition|| }} Die beiden folgenden Definitionen ergeben nur für zyklische Graphen Sinn. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Taille/Definition|| }} Statt mit der kürzesten Länge eines Kreises kann man genauso gut mit der Länge eines nichttrivialen Zyklus arbeiten. Die Taille ist zumindest {{math|term= 3 |SZ=.}} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Umfang/Definition|| }} Hier kann man nicht mit beliebigen Zyklen arbeiten, da man diese ja mehrfach durchlaufen kann. Der Umfang ist durch die Knotenanzahl des Graphen beschränkt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kreise in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4ix0c9cy2bnv8xkzjlfeerawy32sjqm 1106150 1106149 2026-07-07T10:25:17Z Bocardodarapti 2041 1106150 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Zyklus/Definition|| }} Den konstanten Weg und einen Weg der Form {{mathl|term= u,v,u |SZ=}} betrachten wir als triviale Zyklen. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kreis/Definition|| }} Mit der Formulierung ohne Wiederholungen meint man ohne Wiederholungen in der Knotenmenge mit Ausnahme der Endpunkte. Dies schließt insbesondere Wiederholungen in der Kantenmenge aus. Umgekehrt kann es aber Wege ohne Kantenwiederholungen geben, bei denen sich Knotenpunkte wiederholen, dies sind keine Kreise. Ein {{Stichwort|zyklischer Graph|SZ=}} ist ein Graph mit zumindest einem Kreis. Anderfalls nennt man ihn {{Stichwort|zyklenfrei|msw=Zyklenfreier Graph|SZ=.}} {{ inputbild |Circle Line (old)|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Circle_Line_(old) |Text=Die Circle line von London ist für sich genommen ein Rundgang. |Autor= |Benutzer=DavidCane, James D. Forrester |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition|| }} Die beiden folgenden Definitionen ergeben nur für zyklische Graphen Sinn. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Taille/Definition|| }} Statt mit der kürzesten Länge eines Kreises kann man genauso gut mit der Länge eines nichttrivialen Zyklus arbeiten. Die Taille ist zumindest {{math|term= 3 |SZ=.}} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Umfang/Definition|| }} Hier kann man nicht mit beliebigen Zyklen arbeiten, da man diese ja mehrfach durchlaufen kann. Der Umfang ist durch die Knotenanzahl des Graphen beschränkt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kreise in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gqid7vw9dflqjmry7rd2ngdtk3ynsfu 1106152 1106150 2026-07-07T10:33:04Z Bocardodarapti 2041 1106152 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Zyklus/Definition|| }} Den konstanten Weg und einen Weg der Form {{mathl|term= u,v,u |SZ=}} betrachten wir als triviale Zyklen. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kreis/Definition|| }} Mit der Formulierung ohne Wiederholungen meint man ohne Wiederholungen in der Knotenmenge mit Ausnahme der Endpunkte. Dies schließt insbesondere Wiederholungen in der Kantenmenge aus. Umgekehrt kann es aber Wege ohne Kantenwiederholungen geben, bei denen sich Knotenpunkte wiederholen, dies sind keine Kreise. Ein {{Stichwort|zyklischer Graph|SZ=}} ist ein Graph mit zumindest einem Kreis. Andernfalls nennt man ihn {{Stichwort|zyklenfrei|msw=Zyklenfreier Graph|SZ=.}} {{ inputbild |Circle Line (old)|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Circle_Line_(old) |Text=Die Circle line von London ist für sich genommen ein Rundgang. |Autor= |Benutzer=DavidCane, James D. Forrester |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition|| }} Die beiden folgenden Definitionen ergeben nur für zyklische Graphen Sinn. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Taille/Definition|| }} Statt mit der kürzesten Länge eines Kreises kann man genauso gut mit der Länge eines nichttrivialen Zyklus arbeiten. Die Taille ist zumindest {{math|term= 3 |SZ=.}} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Umfang/Definition|| }} Hier kann man nicht mit beliebigen Zyklen arbeiten, da man diese ja mehrfach durchlaufen kann. Der Umfang ist durch die Knotenanzahl des Graphen beschränkt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kreise in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} fton1o45owiz84ly3djjhc2uemzkuva 106 118356 1106071 1105930 2026-07-06T12:28:18Z ~2026-38432-76 41706 /* SOSE 2026 */ 1106071 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] Der Kurs zur räumlichen Modellbildung wurde im Sommersemester 2020 erstellt und nutzt den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator Wiki2Reveal], der direkt aus dem jeweiligen Wiki-Quelltext eine Präsentation erstellt, die man im Browser mit der Taste "F" in den Vollbildmodus (z.B. für die Nutzung direkt in der Vorlesung verwenden kann. Mit der Taste "C" (Comment) kann man die Folien im Browser auch beschreiben. Mit der Taste "B" (Blackboard) hat man zu jeder Folien eine digitale Tafel für handschriftliche Anmerkungen. Die Annotationen bleiben nur für den jeweiligen Aufruf der Wiki2Reveal-Präsentation im eigenen Browser erhalten und sind bei nächsten Aufruf der Seite nicht mehr sichtbar. == Hinweis == Diese Seite wird während der [[COVID-19|COVID-19-Pandemie]] aufgebaut. Es ist eine Lerneinheit zur räumliche Modellbildung. Bitte informieren Sie sich bzgl. [https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/nCoV.html COVID-19] immer auf * offiziellen Seite von internationalen Gesundheitsbehörden - '''[https://www.who.int/emergencies/diseases/novel-coronavirus-2019 Weltgesundheitsorganisation - WHO]''' oder * offiziellen nationalen Einrichtungen - '''[https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/nCoV.html Robert Koch Institut - RKI]<ref>Robert Koch Institut (2020) Informationen zum neuartigen Corona-Virus COVID-19 - URL: https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/nCoV.html - (accessed 2020/03/27)</ref>''' - [https://www.cdc.gov/coronavirus/2019-ncov/about/index.html CDC] über aktuelle Empfehlungen und Hinweise. ::: '''<div style="color:red">Eine Lerneinheit kann nie die Informationen der offiziellen Behörden ersetzen!!!</div>'''. == Wesentliche Begriffsdefinitionen == * [[w:de:Partielle_Ableitung|Partielle Ableitung]], [[ w:Richtungsableitung |Richtungsableitung]] <br> * [[w:de:Gewöhnliche_Differentialgleichung|Gewöhnliche Differentialgleichung]] * [[w:de:Partielle_Differentialgleichung|Partielle Differentialgleichung]] <!-- [[File:Video Gradient.webm|thumb|Gradient und Tangentialebende, Screencast vom [https://www.geogebra.org/m/ngbpudth interaktivem Geogebra-Applet Gradient], Autor L. Sittinger und S. Schmitz ]] [[File:Video Richtungsableitung.webm|thumb|Richtungsableitung, geometrische Darstellung, Screencast vom [https://www.geogebra.org/m/rzpyhdf2 Geogebra-Applet Richtungsableitung], Autor L. Sittinger und S. Schmitz]] --> Zu geometrischer Darstellung der partiellen Ableitungen als Komponenten vom Gradientvektor, Tangentialebende, des steilsten Anstiegs siehe [https://www.geogebra.org/m/ngbpudth Interaktives Geogebra-Applet Gradient], der Richtungsableitung und ihre Approximation durch Differenzenquotient siehe [https://www.geogebra.org/m/rzpyhdf2 Interaktives Geogebra-Applet Richtungsableitung] (Autor L. Sittinger und S. Schmitz). {| class="wikitable" |+ |- ! Gradient und Tangentialebene !! Richtungsableitung |- | [[File:Video Gradient.webm|500px|Gradient und Tangentialebende]] || [[File:Video Richtungsableitung.webm|500px|Tichtungsableitung]] |- | [https://www.geogebra.org/m/ngbpudth Interaktives Geogebra-Applet Gradient] (L. Sittinger und S. Schmitz)|| [https://www.geogebra.org/m/rzpyhdf2 Interaktives Geogebra-Applet Richtungsableitung] (L. Sittinger und S. Schmitz) |} == Lernressourcen == <!-- Kommentartext * [[/Aufgaben Tutorium SS2020/]]--> * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium kontinuerliche räumliche Modellierung|Aufgaben Tutorium kontinuerliche räumliche Modellierung ]] * [[COVID-19]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] * [[/Deterministisches Kontaktmodell/]] === Kontinuerliche Modellierung === In diesem Teil des Kurses werden kontinuerliche Modelle für räumliche (Verbreitungs)Prozesse mithilfe Differentialgleichungen studiert und in der Modellierung der Coronaverbreitung angewendet. In solchem Modellen sind die gesuchte Größen (Konzentration eines Stoffes oder der Corona-Infizierten Menschen) als makroskopische Größen betrachtet und als unbekannte Dichtefunktion der Raum- und Zeitveränderlichen <math display="block"> {\bf u} (x,t), x \in \mathbb R^n, \ t \in \mathbb R^+</math> beschrieben.<br> Die Anzahl der Infizierten auf einer Fläche <math>S</math> im Zeitpunkt <math>t</math> ergibt sich als Integral der Dichtefunktion über diese Fläche, <math>I(t)=\int_S f(x,t) \ dx.</math> <br> Es werden dynamische Populationsmodelle wie [https://de.wikiversity.org/wiki/COVID-19/Mathematische_Modellierung exponenzielle und logistische], Kompartimentmodelle wie [https://de.wikipedia.org/wiki/SIR-Modell SIR-Modell] im Kursteil [[Kurs:Räumliche Modellbildung#Epidemiologie_-_Modellbildung|Epidemiologie - Modellbildung]] vorgestellt und in diesem Kursteil mit räumlichen Diffusionsprozessen verknüpft. Das resultierende [https://de.wikipedia.org/wiki/Reaktionsdiffusionsgleichung Reaktion-Difussionsmodell] wird in diesem Kursteil näher studiert. Die numerische Diskretisierung mit [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Differenzen-Methode Finite-Differenzen-Methode] wird implementiert und praktisch angewendet. Inhalte des Kurses Kontinuerliche Modellierung: ==== Einstieg in die räumliche Modellierung ==== * [[/Deterministisches Kontaktmodell/| Deterministisches Kontakt-Modell]] ==== [[Reaktion-Diffusionsprozess|Reaktionsdiffusiongleichung ]] ==== * ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Reaktion-Diffusionsprozess&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&audioslide=yes Folien 06.04]).- AH [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], ==== [[Modelle der Populationsdynamik|Modelle der Populationsdynamik ]] ==== * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], (Anna Hundertmark - 2020) ==== [[Numerische Modellierung der Diffusion| Numerische Modellierung des Reaktionsdiffusionsprozesses ]] ==== * ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Numerische%20Modellierung%20der%20Diffusion&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes Folien 16.04]).- AH [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], <br> ==== Tutorium zu kontinuerlichen Modellierung ==== <!-- ===== Kontakt-Modell ===== --> <!-- Kommentartext * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|1. Tutoriumaufgabe.]]- Kontaktmodell. --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#1._Übungsaufgabe_SW1%3A_Kontaktmodell |1. Tutoriumaufgabe]]- Kontaktmodell <!-- ===== Reaktion-Diffusionsprozess ===== --> <!-- * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|2. Tutoriumaufgabe.]]- Fundamentallösungen der Poisson und der Diffusionsgleichung. * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|3. Tutoriumaufgabe.]]- Kompartimentmodelle für die dynamische Beschreibung der Infektionsverbreitung und die Datenlage --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#2._Übungsaufgabe_SW2_- Fundamentallösungen |2. Tutoriumaufgabe]]- Fundamenallösunen der Diffusionsgleichung <!-- ===== Populationsmodelle ===== --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#3._Übungsaufgabe_SW5:_Kompartimentmodelle|3. Tutoriumaufgabe]]- SIR Populationsmodell <!-- ===== Numerischen Modellierung ===== --> <!-- * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|4. Tutoriumaufgabe.]]- Randwertaufgabe für Poissongleichung mit Finite-Differenzen-Verfahren. * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|5. Tutoriumaufgabe.]]- Epidemiologische Modellierung durch numerische Diskretisierung --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#4._Übungsaufgabe_SW7:_Poissongleichung_mit_FDM|4. Tutoriumaufgabe]]- FDM für Poisongleichung * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#5._Übungsaufgabe_SW11:_Epidemiologische_Modellierung_als_Reaktionsdiffusionsprozess_mit_FDM|5. Tutoriumaufgabe]] - Räumliche Epidemieausbreitung mit FDM ==== Studentische Arbeiten zur kontinuerlichen Modellierung SOSE 2020==== * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_1#Kontinuierliche_Diffusionsprozesse_(Hundertmark)| Gruppe 1]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_4| Gruppe 4]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_6#A1_Einfaches_Kontaktmodell |Gruppe 6]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_8#Kontinuierliche_Modellierung_von_Diffusionsprozessen| Gruppe 8 ]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_11 | Gruppe 11]] ==== Studentische Arbeiten SOSE 2021==== Sie können sich einem dieser Gruppenseiten zuordnen: * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_2#Kontinuierliche_Diffusionsprozesse_(Hundertmark)| Gruppe 2]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_3| Gruppe 3]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_5#A1_Einfaches_Kontaktmodell |Gruppe 5]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_7#Kontinuierliche_Modellierung_von_Diffusionsprozessen| Gruppe 7 ]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_9 | Kirstin, Erika, Moritz, Erik]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_10 | Gruppe 10]] oder eine neue Gruppe bilden: * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_13| Gruppe 13]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_14| Gruppe 14]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_15| Gruppe 15]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_16| Gruppe 16]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_Nr |Gruppe 17]] ==== Studentische Arbeiten Thema Fluiddynamik ==== ===== SOSE 2022 ===== * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_Nr18 |Gruppe 18]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_Nr19 |Gruppe 19]] ===== SOSE 2023 ===== * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr1 |Gruppe 1: Simulation des Luftstroms in einer Blockflöte]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr2 |Gruppe 2: Simulation einer Ölverschmutzung des Rheins]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr3 |Gruppe 3: Simulation der Aerodynamik verschiedener Autoformen]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr4 |Gruppe 4: Simulation eines Windrades in 2D und 3D]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr5 |Gruppe 5: Simulation des Windschattens bei Radfahrern in 2D]] * [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung#Modellierungszyklus_4_-_Implementierung_in_Comsol_2D| Gruppe 6: Simulation Aerosolen im Klassenzimmer]] ===== SOSE 2026 ===== * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_1|Gruppe_1: Ausbreitung von Zigarettenrauch]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_2|Gruppe_2: Meerestiere]] === Diskrete Modellbildung === In diesem Kursteil gehen wir von der epidemiologischen Situation<ref>„Epidemiologie“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 10. April 2021, 13:41 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Epidemiologie&oldid=210784660 (Abgerufen: 22. April 2021, 10:25 UTC) </ref> aus und versuchen daraus schrittweise die mathematischen Anforderungen und Rahmenbedingungen für die Modellbildung abzuleiten. Die folgenden Wiki2Reveal-Folien können für die Portfolioprüfung verwendet und angepasst werden. Ob Erweiterungen vorgenommen werden oder eine eigen Wiki2Reveal-Präsentation verwendet wird, wir jeweils in der Lehrveranstaltung besprochen * '''[[/COVID-19/|COVID-19 Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung/COVID-19&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes Folien 15.04.2021]) - EN - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], ==== Mathematische Modellbildung COVID-19 ==== Unter der Lernressource '''[[COVID-19/Mathematische_Modellbildung|Mathematische Modellbildung COVID-19]]''' finden Sie einführende Informationen zur mathematischen Modellbildung von COVID-19, die als mathematische Werkzeuge untersucht werden, aber nicht zur tatsächlichen Risikoabschätzung verwendet werden sollten (dazu bitte RKI, WHO, Gesundheitsbehörden, ...) * '''[[Epidemiologische Distanz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Epidemiologische%20Distanz&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellierung&language=de&audioslide=yes Folien 22.04.2021]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT|Krankheitsmodellierungszeitraum:]]''' Zeitspanne über die die Krankheitsentwicklung modelliert wird. === Beiträge zu Wikiversity === In dem folgenden Dokument werden die Beiträge gelistet, die einzelne Gruppe/Studierende zu der kollaborativen Entwicklung von Inhalten beigetragen haben. Verweisen Sie auf den entsprechenden Artikel in Wikiversity den Sie optimiert haben, bzw. den Sie in Absprache in der Lehrveranstaltungen selbst oder in der Gruppe erstellt haben. * [[/SoSe 2021/]] * [[/Arbeitsaufträge/|Arbeitsaufträge diskrete Modellbildung]] === Zitieren von Vorarbeiten === Auch in Wikiversity kann man und sollte man Vorarbeiten von anderen Studierende oder anderen Mitgliedern der Wiki-Gemeinschaft in anderen Artikeln zitieren. Dies ist auf jeder Seite in Wikipedia und Wikiversity mit dem Menüpunkt "Diese Seite zitieren" möglich. ==== Gruppenarbeit in Videokonferenz ==== In einem [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Videokonferenzsystem kann Gruppenarbeit]] abbgebildet werden (Breakouträume in BigBlueButton). Es wird versucht die Gruppengröße an die Schwierigkeit der Aufgaben für die Gruppenarbeit anzupassen. == Zeiten Flipped Classroom == In Breakout-Räumen in BigBlueButton werden die individuellen Arbeiten in den Gruppen besprochen. Es werden Zeit-Slots in Breakouträumen für die Gruppen angeboten ('''Termin 15.04.2021 12c.t.'''): Die Breakouträume sind mit Links hinterlegt, auf denen Sie vorab Kernfragen für die individuelle Betreuung in den Breakouträumen definieren können. Das erlaubt die Planung bestimmte Gruppen mit gleichen Themen zusammenzufassen. Die Nummern der Breakouträume werden in der Regel konsistent zu den Gruppennummer gewählt. Es kann aber auch sein, dass sich Gruppe 1 (VN) und Gruppe 7 (HP) gemeinsam im Breakoutraum 1 treffen sollen, weil ein bestimmtes Thema beide Gruppen betrifft. Dann würde das jeweils angegeben. === Gruppenseiten === Wenn Sie auf den Gruppenlink klicken kommen Sie auf Ihre Wikiversity-Gruppenseite, auf der Sie Informationen aus Ihren Portfolio zusammentragen können. Diese Informationen sind die Grundlage für die Prüfung. Sie können bei anderen Gruppen schauen und ihre Arbeit anpassen. Verwenden Sie die Option "Seite zitieren", um wie bei einer wissenschaftlichen Veröffentlichung auf die Arbeiten anderer Gruppen zu verweisen {| class="wikitable sortable" |+ Projektdokumentation |- ! Gruppe (Kürzel) !! Doku !! Funktionen !! Implementation !! Octave-Tut !! Script-URL !! Fertig |- | '''[[/Gruppe 1/|Gruppe 1:]]''' - (NWG) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 1/Script/|Script 1]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 2/|Gruppe 2:]]''' - (GLP) || Dok100% || Fkt || Imp100% || || [[/Gruppe 2/Script/|Script 2]] || JA |- | '''[[/Gruppe 3/|Gruppe 3:]]''' - (D) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 3/Script/|Script 3]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 4/|Gruppe 4:]]''' - (HHL) || Dok || Fkt || Imp75% || || [[/Gruppe 4/Script/|Script 4]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 5/|Gruppe 5:]]''' - (CGL) || Dok || Fkt || Imp100% || || [[/Gruppe 5/Script/|Script 5]] || JA |- | '''[[/Gruppe 6/|Gruppe 6:]]''' - (KWS) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 6/Script/|Script 6]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 7/|Gruppe 7:]]''' - (HP) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 7/Script/|Script 7]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 8/|Gruppe 8:]]''' - (ST) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 8/Script/|Script 8]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 9/|Gruppe 9:]]''' - (OK) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 9/Script/|Script 9]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 10/|Gruppe 10:]]''' - (VT) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 10/Script/|Script 10]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 11/|Gruppe 11:]]''' - (BSM) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 11/Script/|Script 11]] || JA |- | '''[[/Gruppe 12/|Gruppe 12:]]''' - (KKS) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 12/Script/|Script 12]] || NEIN |} === Zeitplanung 15.04.2021 === * Wenn Breakoutzeiten unbelegt bleiben, beginnt die Gruppenphase später. * Definition von mathematischen Funktionen: Wählen Sie in Ihrem Projekt eine kleine Funktion aus der Implementierung der Modellbildung aus und dokumentieren Sie diese. Auf den Gruppenseiten sollten die Funktionen ** sowohl in einer mathematischen Schreibweise als Funktion definiert sein und ** als dokumentierter Code in Octave mit Eingabeparametern (Definitionsbereich) und Rückgabewerten (Wertebereich ** Passen Sie dazu die bereitgestellten Textblöcke auf Ihren Gruppenseiten an. ** Für die Prüfung benötigen Sie keine LibreOffice-Impress-Folien. Ein exportiertes PDF-Dokument reicht. {| class="wikitable" |- ! Gruppe/Raum !! Thema/Beratung !! Zeit |- | '''[[/Plenum/|Plenum:]]''' || [[COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT|Krankheitsmodellierungszeitraum]] || Do 12:15-12:30 min (EN) |- | '''Breakoutraum 5:''' || [[/Gruppe 5/]] || Gruppenphase 0:00 - 15min (CGL) |- | '''Breakoutraum 1:''' || [[/Gruppe 12/]] - || Gruppenphase +0:15 - 15min (KKS) |- | '''Breakoutraum 4:''' ||[[/Gruppe 4/]] || Gruppenphase +0:30 - 15min (HHL) |- | '''Breakoutraum 2:''' || [[/Gruppe 2 /]] || Gruppenphase +0:45 - 15min (GLP) |- | '''Breakoutraum 3:''' || [[/Gruppe 3/]] || Gruppenphase +1:00 - 15min (DJ) |} === Zeitplanung 22.04.2021 === {| class="wikitable" |- ! Gruppe/Raum !! Thema/Beratung !! Zeit |- | '''[[/Plenum/|Plenum:]]''' || [[COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT|Krankheitsmodellierungszeitraum]] || Do 12:15- 12:30min (EN) |- | '''Breakoutraum 7:''' ||[[/Gruppe 7/]] || Do 12:30-12:45 - 15min (HP) |- | '''Breakoutraum 3:''' || [[/Gruppe 3/]] || Do 12:45-13:00 - 15min (DJ) |- | '''Breakoutraum 2:''' || [[/Gruppe 9/]] || Do 13:00-13:15 - 15min (OK) |- | '''Breakoutraum 1:''' || [[/Gruppe 1/]] - Nachholtermin || Do 13:15-13:30 - 15min (VN) |- | '''Breakoutraum 8:''' || [[/Gruppe 8/]] - Nachholtermin || Do 13:30-13:45 - 15min (ST) |} === Zeitplanung 29.04.2021 === {| class="wikitable" |- ! Gruppe/Raum !! Thema/Beratung !! Zeit |- | '''[[/Plenum/|Plenum:]]''' || [[/Plenum/|Zusammenfassung der Rückmeldung]] || Do 12:15-12:45 - 30min (EN) |- | '''[[/Gruppe 6/|Breakoutraum 6:]]''' || Gruppentermin 6 - Nachholtermin wegen Zeitmangel || Do 12:45-13:00 - 15min - (KWS) |- | '''[[/Gruppe 7/|Breakoutraum 7:]]''' || Gruppentermin 7 - Nachholtermin wegen Zeitmangel || Do 13:00-13:15 - 15min - (HP) |- | '''[[/Gruppe 1/|Breakoutraum 1:]]''' || Gruppentermin 1 || Do 13:15-13:30 - 15min - (VN) |- | '''[[/Gruppe 8/|Breakoutraum 8:]]''' || Neue Gruppe 8 - ohne Vorstellung in der Übung || Do 13:30-13:45 - 15min - (ST) |} Bitte dokumentieren Sie Ihr Projekt auf den Gruppenseiten und kennzeichnen Sie Ihre Gruppe durch ein selbst gewähltes eindeutiges '''<div style="color:red">Namenskürzel der Gruppe</div>''', z.B. wenn sich Ihre Gruppe zu einem bestimmten Zeitfenster in einem Breakoutroum trifft '''<div style="color:red">(ABC) 22.06.2020 Breakoutroom 5</div>''' ein * z.B. wie bei (EN) bei Plenum * Nennen Sie die Gruppe und das Gruppenkürzel und belegen Sie die freien Beratungsplätze. * Sie können den Breakoutraum während der gesamten Gruppenarbeitsphase verwenden. Die angegebenen Zeiten beziehen sich auf die geplante Besuchszeit des Dozenten in der Gruppe. * Speichern Sie die geteilten Dokumente vor dem Verlassen der Breakouträume ab bzw. machen Sie Screenshots von den Skizzen. [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Videokonferenz/PDF_Kollaboration_BigBlueButton.pdf Leere Arbeitsblätter]<ref>Bert Niehaus (2020) [https://niebert.github.io/wikiversity_files Leere Arbeitsblätter für Gruppenarbeit in Breakouträumen von BigBlueButton] - URL: https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Videokonferenz/PDF_Kollaboration_BigBlueButton.pdf - Enthalten im GitHub-ZIP File </ref> können * Besuch des Dozenten in den Breakouträume findet ungefähr in dem angegebenen Zeitfenster statt * Wenn z.B. die Zeiten für die individuelle Arbeitsruppenberatung nicht ausreichend sind. == Siehe auch == * [[Graph einer Funktion]] * [[w:de:Optimierung_(Mathematik)|Optimierung in der Mathematik]] * [[Räumliche Diffusion]] * [[/Explizte-implizite Modelle/]] * [[COVID-19/Mathematische_Modellierung]] * [[Octave-Tutorial]] * [[Octave-Tutorial/Funktionsdefinition|Funktionsdefinition in Octave]] * [[b:Octave_Programming_Tutorial|Wikibook zu Octave]] * [[Humanitarian Open Streetmap]] - Kartenerstellung für humanitäre Zwecke - Räumliche Modellbildung für die Erstellung von Risikokarten. * [[Kontinuitätsgleichung]] == Externe Links == * [https://www.hotosm.org/impact-areas/public-health/ HOT-OSM Public Health] == Quellen/Literatur == [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Epidemiologie]] [[Kategorie:Mathematische Modellierung]] 8xf30adhqo81r6bxyfkfvstw94a9zd6 1106072 1106071 2026-07-06T12:29:50Z ~2026-38356-10 41707 /* SOSE 2026 */ 1106072 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] Der Kurs zur räumlichen Modellbildung wurde im Sommersemester 2020 erstellt und nutzt den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator Wiki2Reveal], der direkt aus dem jeweiligen Wiki-Quelltext eine Präsentation erstellt, die man im Browser mit der Taste "F" in den Vollbildmodus (z.B. für die Nutzung direkt in der Vorlesung verwenden kann. Mit der Taste "C" (Comment) kann man die Folien im Browser auch beschreiben. Mit der Taste "B" (Blackboard) hat man zu jeder Folien eine digitale Tafel für handschriftliche Anmerkungen. Die Annotationen bleiben nur für den jeweiligen Aufruf der Wiki2Reveal-Präsentation im eigenen Browser erhalten und sind bei nächsten Aufruf der Seite nicht mehr sichtbar. == Hinweis == Diese Seite wird während der [[COVID-19|COVID-19-Pandemie]] aufgebaut. Es ist eine Lerneinheit zur räumliche Modellbildung. Bitte informieren Sie sich bzgl. [https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/nCoV.html COVID-19] immer auf * offiziellen Seite von internationalen Gesundheitsbehörden - '''[https://www.who.int/emergencies/diseases/novel-coronavirus-2019 Weltgesundheitsorganisation - WHO]''' oder * offiziellen nationalen Einrichtungen - '''[https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/nCoV.html Robert Koch Institut - RKI]<ref>Robert Koch Institut (2020) Informationen zum neuartigen Corona-Virus COVID-19 - URL: https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/nCoV.html - (accessed 2020/03/27)</ref>''' - [https://www.cdc.gov/coronavirus/2019-ncov/about/index.html CDC] über aktuelle Empfehlungen und Hinweise. ::: '''<div style="color:red">Eine Lerneinheit kann nie die Informationen der offiziellen Behörden ersetzen!!!</div>'''. == Wesentliche Begriffsdefinitionen == * [[w:de:Partielle_Ableitung|Partielle Ableitung]], [[ w:Richtungsableitung |Richtungsableitung]] <br> * [[w:de:Gewöhnliche_Differentialgleichung|Gewöhnliche Differentialgleichung]] * [[w:de:Partielle_Differentialgleichung|Partielle Differentialgleichung]] <!-- [[File:Video Gradient.webm|thumb|Gradient und Tangentialebende, Screencast vom [https://www.geogebra.org/m/ngbpudth interaktivem Geogebra-Applet Gradient], Autor L. Sittinger und S. Schmitz ]] [[File:Video Richtungsableitung.webm|thumb|Richtungsableitung, geometrische Darstellung, Screencast vom [https://www.geogebra.org/m/rzpyhdf2 Geogebra-Applet Richtungsableitung], Autor L. Sittinger und S. Schmitz]] --> Zu geometrischer Darstellung der partiellen Ableitungen als Komponenten vom Gradientvektor, Tangentialebende, des steilsten Anstiegs siehe [https://www.geogebra.org/m/ngbpudth Interaktives Geogebra-Applet Gradient], der Richtungsableitung und ihre Approximation durch Differenzenquotient siehe [https://www.geogebra.org/m/rzpyhdf2 Interaktives Geogebra-Applet Richtungsableitung] (Autor L. Sittinger und S. Schmitz). {| class="wikitable" |+ |- ! Gradient und Tangentialebene !! Richtungsableitung |- | [[File:Video Gradient.webm|500px|Gradient und Tangentialebende]] || [[File:Video Richtungsableitung.webm|500px|Tichtungsableitung]] |- | [https://www.geogebra.org/m/ngbpudth Interaktives Geogebra-Applet Gradient] (L. Sittinger und S. Schmitz)|| [https://www.geogebra.org/m/rzpyhdf2 Interaktives Geogebra-Applet Richtungsableitung] (L. Sittinger und S. Schmitz) |} == Lernressourcen == <!-- Kommentartext * [[/Aufgaben Tutorium SS2020/]]--> * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium kontinuerliche räumliche Modellierung|Aufgaben Tutorium kontinuerliche räumliche Modellierung ]] * [[COVID-19]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] * [[/Deterministisches Kontaktmodell/]] === Kontinuerliche Modellierung === In diesem Teil des Kurses werden kontinuerliche Modelle für räumliche (Verbreitungs)Prozesse mithilfe Differentialgleichungen studiert und in der Modellierung der Coronaverbreitung angewendet. In solchem Modellen sind die gesuchte Größen (Konzentration eines Stoffes oder der Corona-Infizierten Menschen) als makroskopische Größen betrachtet und als unbekannte Dichtefunktion der Raum- und Zeitveränderlichen <math display="block"> {\bf u} (x,t), x \in \mathbb R^n, \ t \in \mathbb R^+</math> beschrieben.<br> Die Anzahl der Infizierten auf einer Fläche <math>S</math> im Zeitpunkt <math>t</math> ergibt sich als Integral der Dichtefunktion über diese Fläche, <math>I(t)=\int_S f(x,t) \ dx.</math> <br> Es werden dynamische Populationsmodelle wie [https://de.wikiversity.org/wiki/COVID-19/Mathematische_Modellierung exponenzielle und logistische], Kompartimentmodelle wie [https://de.wikipedia.org/wiki/SIR-Modell SIR-Modell] im Kursteil [[Kurs:Räumliche Modellbildung#Epidemiologie_-_Modellbildung|Epidemiologie - Modellbildung]] vorgestellt und in diesem Kursteil mit räumlichen Diffusionsprozessen verknüpft. Das resultierende [https://de.wikipedia.org/wiki/Reaktionsdiffusionsgleichung Reaktion-Difussionsmodell] wird in diesem Kursteil näher studiert. Die numerische Diskretisierung mit [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Differenzen-Methode Finite-Differenzen-Methode] wird implementiert und praktisch angewendet. Inhalte des Kurses Kontinuerliche Modellierung: ==== Einstieg in die räumliche Modellierung ==== * [[/Deterministisches Kontaktmodell/| Deterministisches Kontakt-Modell]] ==== [[Reaktion-Diffusionsprozess|Reaktionsdiffusiongleichung ]] ==== * ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Reaktion-Diffusionsprozess&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&audioslide=yes Folien 06.04]).- AH [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], ==== [[Modelle der Populationsdynamik|Modelle der Populationsdynamik ]] ==== * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], (Anna Hundertmark - 2020) ==== [[Numerische Modellierung der Diffusion| Numerische Modellierung des Reaktionsdiffusionsprozesses ]] ==== * ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Numerische%20Modellierung%20der%20Diffusion&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes Folien 16.04]).- AH [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], <br> ==== Tutorium zu kontinuerlichen Modellierung ==== <!-- ===== Kontakt-Modell ===== --> <!-- Kommentartext * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|1. Tutoriumaufgabe.]]- Kontaktmodell. --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#1._Übungsaufgabe_SW1%3A_Kontaktmodell |1. Tutoriumaufgabe]]- Kontaktmodell <!-- ===== Reaktion-Diffusionsprozess ===== --> <!-- * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|2. Tutoriumaufgabe.]]- Fundamentallösungen der Poisson und der Diffusionsgleichung. * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|3. Tutoriumaufgabe.]]- Kompartimentmodelle für die dynamische Beschreibung der Infektionsverbreitung und die Datenlage --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#2._Übungsaufgabe_SW2_- Fundamentallösungen |2. Tutoriumaufgabe]]- Fundamenallösunen der Diffusionsgleichung <!-- ===== Populationsmodelle ===== --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#3._Übungsaufgabe_SW5:_Kompartimentmodelle|3. Tutoriumaufgabe]]- SIR Populationsmodell <!-- ===== Numerischen Modellierung ===== --> <!-- * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|4. Tutoriumaufgabe.]]- Randwertaufgabe für Poissongleichung mit Finite-Differenzen-Verfahren. * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|5. Tutoriumaufgabe.]]- Epidemiologische Modellierung durch numerische Diskretisierung --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#4._Übungsaufgabe_SW7:_Poissongleichung_mit_FDM|4. Tutoriumaufgabe]]- FDM für Poisongleichung * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#5._Übungsaufgabe_SW11:_Epidemiologische_Modellierung_als_Reaktionsdiffusionsprozess_mit_FDM|5. Tutoriumaufgabe]] - Räumliche Epidemieausbreitung mit FDM ==== Studentische Arbeiten zur kontinuerlichen Modellierung SOSE 2020==== * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_1#Kontinuierliche_Diffusionsprozesse_(Hundertmark)| Gruppe 1]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_4| Gruppe 4]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_6#A1_Einfaches_Kontaktmodell |Gruppe 6]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_8#Kontinuierliche_Modellierung_von_Diffusionsprozessen| Gruppe 8 ]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_11 | Gruppe 11]] ==== Studentische Arbeiten SOSE 2021==== Sie können sich einem dieser Gruppenseiten zuordnen: * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_2#Kontinuierliche_Diffusionsprozesse_(Hundertmark)| Gruppe 2]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_3| Gruppe 3]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_5#A1_Einfaches_Kontaktmodell |Gruppe 5]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_7#Kontinuierliche_Modellierung_von_Diffusionsprozessen| Gruppe 7 ]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_9 | Kirstin, Erika, Moritz, Erik]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_10 | Gruppe 10]] oder eine neue Gruppe bilden: * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_13| Gruppe 13]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_14| Gruppe 14]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_15| Gruppe 15]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_16| Gruppe 16]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_Nr |Gruppe 17]] ==== Studentische Arbeiten Thema Fluiddynamik ==== ===== SOSE 2022 ===== * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_Nr18 |Gruppe 18]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_Nr19 |Gruppe 19]] ===== SOSE 2023 ===== * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr1 |Gruppe 1: Simulation des Luftstroms in einer Blockflöte]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr2 |Gruppe 2: Simulation einer Ölverschmutzung des Rheins]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr3 |Gruppe 3: Simulation der Aerodynamik verschiedener Autoformen]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr4 |Gruppe 4: Simulation eines Windrades in 2D und 3D]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr5 |Gruppe 5: Simulation des Windschattens bei Radfahrern in 2D]] * [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung#Modellierungszyklus_4_-_Implementierung_in_Comsol_2D| Gruppe 6: Simulation Aerosolen im Klassenzimmer]] ===== SOSE 2026 ===== * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_1|Gruppe_1: Ausbreitung von Zigarettenrauch]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_2|Gruppe_2: Meerestiere]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_3|Gruppe_3: Die Simulation einer Flussrinne]] === Diskrete Modellbildung === In diesem Kursteil gehen wir von der epidemiologischen Situation<ref>„Epidemiologie“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 10. April 2021, 13:41 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Epidemiologie&oldid=210784660 (Abgerufen: 22. April 2021, 10:25 UTC) </ref> aus und versuchen daraus schrittweise die mathematischen Anforderungen und Rahmenbedingungen für die Modellbildung abzuleiten. Die folgenden Wiki2Reveal-Folien können für die Portfolioprüfung verwendet und angepasst werden. Ob Erweiterungen vorgenommen werden oder eine eigen Wiki2Reveal-Präsentation verwendet wird, wir jeweils in der Lehrveranstaltung besprochen * '''[[/COVID-19/|COVID-19 Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung/COVID-19&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes Folien 15.04.2021]) - EN - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], ==== Mathematische Modellbildung COVID-19 ==== Unter der Lernressource '''[[COVID-19/Mathematische_Modellbildung|Mathematische Modellbildung COVID-19]]''' finden Sie einführende Informationen zur mathematischen Modellbildung von COVID-19, die als mathematische Werkzeuge untersucht werden, aber nicht zur tatsächlichen Risikoabschätzung verwendet werden sollten (dazu bitte RKI, WHO, Gesundheitsbehörden, ...) * '''[[Epidemiologische Distanz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Epidemiologische%20Distanz&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellierung&language=de&audioslide=yes Folien 22.04.2021]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT|Krankheitsmodellierungszeitraum:]]''' Zeitspanne über die die Krankheitsentwicklung modelliert wird. === Beiträge zu Wikiversity === In dem folgenden Dokument werden die Beiträge gelistet, die einzelne Gruppe/Studierende zu der kollaborativen Entwicklung von Inhalten beigetragen haben. Verweisen Sie auf den entsprechenden Artikel in Wikiversity den Sie optimiert haben, bzw. den Sie in Absprache in der Lehrveranstaltungen selbst oder in der Gruppe erstellt haben. * [[/SoSe 2021/]] * [[/Arbeitsaufträge/|Arbeitsaufträge diskrete Modellbildung]] === Zitieren von Vorarbeiten === Auch in Wikiversity kann man und sollte man Vorarbeiten von anderen Studierende oder anderen Mitgliedern der Wiki-Gemeinschaft in anderen Artikeln zitieren. Dies ist auf jeder Seite in Wikipedia und Wikiversity mit dem Menüpunkt "Diese Seite zitieren" möglich. ==== Gruppenarbeit in Videokonferenz ==== In einem [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Videokonferenzsystem kann Gruppenarbeit]] abbgebildet werden (Breakouträume in BigBlueButton). Es wird versucht die Gruppengröße an die Schwierigkeit der Aufgaben für die Gruppenarbeit anzupassen. == Zeiten Flipped Classroom == In Breakout-Räumen in BigBlueButton werden die individuellen Arbeiten in den Gruppen besprochen. Es werden Zeit-Slots in Breakouträumen für die Gruppen angeboten ('''Termin 15.04.2021 12c.t.'''): Die Breakouträume sind mit Links hinterlegt, auf denen Sie vorab Kernfragen für die individuelle Betreuung in den Breakouträumen definieren können. Das erlaubt die Planung bestimmte Gruppen mit gleichen Themen zusammenzufassen. Die Nummern der Breakouträume werden in der Regel konsistent zu den Gruppennummer gewählt. Es kann aber auch sein, dass sich Gruppe 1 (VN) und Gruppe 7 (HP) gemeinsam im Breakoutraum 1 treffen sollen, weil ein bestimmtes Thema beide Gruppen betrifft. Dann würde das jeweils angegeben. === Gruppenseiten === Wenn Sie auf den Gruppenlink klicken kommen Sie auf Ihre Wikiversity-Gruppenseite, auf der Sie Informationen aus Ihren Portfolio zusammentragen können. Diese Informationen sind die Grundlage für die Prüfung. Sie können bei anderen Gruppen schauen und ihre Arbeit anpassen. Verwenden Sie die Option "Seite zitieren", um wie bei einer wissenschaftlichen Veröffentlichung auf die Arbeiten anderer Gruppen zu verweisen {| class="wikitable sortable" |+ Projektdokumentation |- ! Gruppe (Kürzel) !! Doku !! Funktionen !! Implementation !! Octave-Tut !! Script-URL !! Fertig |- | '''[[/Gruppe 1/|Gruppe 1:]]''' - (NWG) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 1/Script/|Script 1]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 2/|Gruppe 2:]]''' - (GLP) || Dok100% || Fkt || Imp100% || || [[/Gruppe 2/Script/|Script 2]] || JA |- | '''[[/Gruppe 3/|Gruppe 3:]]''' - (D) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 3/Script/|Script 3]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 4/|Gruppe 4:]]''' - (HHL) || Dok || Fkt || Imp75% || || [[/Gruppe 4/Script/|Script 4]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 5/|Gruppe 5:]]''' - (CGL) || Dok || Fkt || Imp100% || || [[/Gruppe 5/Script/|Script 5]] || JA |- | '''[[/Gruppe 6/|Gruppe 6:]]''' - (KWS) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 6/Script/|Script 6]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 7/|Gruppe 7:]]''' - (HP) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 7/Script/|Script 7]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 8/|Gruppe 8:]]''' - (ST) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 8/Script/|Script 8]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 9/|Gruppe 9:]]''' - (OK) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 9/Script/|Script 9]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 10/|Gruppe 10:]]''' - (VT) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 10/Script/|Script 10]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 11/|Gruppe 11:]]''' - (BSM) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 11/Script/|Script 11]] || JA |- | '''[[/Gruppe 12/|Gruppe 12:]]''' - (KKS) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 12/Script/|Script 12]] || NEIN |} === Zeitplanung 15.04.2021 === * Wenn Breakoutzeiten unbelegt bleiben, beginnt die Gruppenphase später. * Definition von mathematischen Funktionen: Wählen Sie in Ihrem Projekt eine kleine Funktion aus der Implementierung der Modellbildung aus und dokumentieren Sie diese. Auf den Gruppenseiten sollten die Funktionen ** sowohl in einer mathematischen Schreibweise als Funktion definiert sein und ** als dokumentierter Code in Octave mit Eingabeparametern (Definitionsbereich) und Rückgabewerten (Wertebereich ** Passen Sie dazu die bereitgestellten Textblöcke auf Ihren Gruppenseiten an. ** Für die Prüfung benötigen Sie keine LibreOffice-Impress-Folien. Ein exportiertes PDF-Dokument reicht. {| class="wikitable" |- ! Gruppe/Raum !! Thema/Beratung !! Zeit |- | '''[[/Plenum/|Plenum:]]''' || [[COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT|Krankheitsmodellierungszeitraum]] || Do 12:15-12:30 min (EN) |- | '''Breakoutraum 5:''' || [[/Gruppe 5/]] || Gruppenphase 0:00 - 15min (CGL) |- | '''Breakoutraum 1:''' || [[/Gruppe 12/]] - || Gruppenphase +0:15 - 15min (KKS) |- | '''Breakoutraum 4:''' ||[[/Gruppe 4/]] || Gruppenphase +0:30 - 15min (HHL) |- | '''Breakoutraum 2:''' || [[/Gruppe 2 /]] || Gruppenphase +0:45 - 15min (GLP) |- | '''Breakoutraum 3:''' || [[/Gruppe 3/]] || Gruppenphase +1:00 - 15min (DJ) |} === Zeitplanung 22.04.2021 === {| class="wikitable" |- ! Gruppe/Raum !! Thema/Beratung !! Zeit |- | '''[[/Plenum/|Plenum:]]''' || [[COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT|Krankheitsmodellierungszeitraum]] || Do 12:15- 12:30min (EN) |- | '''Breakoutraum 7:''' ||[[/Gruppe 7/]] || Do 12:30-12:45 - 15min (HP) |- | '''Breakoutraum 3:''' || [[/Gruppe 3/]] || Do 12:45-13:00 - 15min (DJ) |- | '''Breakoutraum 2:''' || [[/Gruppe 9/]] || Do 13:00-13:15 - 15min (OK) |- | '''Breakoutraum 1:''' || [[/Gruppe 1/]] - Nachholtermin || Do 13:15-13:30 - 15min (VN) |- | '''Breakoutraum 8:''' || [[/Gruppe 8/]] - Nachholtermin || Do 13:30-13:45 - 15min (ST) |} === Zeitplanung 29.04.2021 === {| class="wikitable" |- ! Gruppe/Raum !! Thema/Beratung !! Zeit |- | '''[[/Plenum/|Plenum:]]''' || [[/Plenum/|Zusammenfassung der Rückmeldung]] || Do 12:15-12:45 - 30min (EN) |- | '''[[/Gruppe 6/|Breakoutraum 6:]]''' || Gruppentermin 6 - Nachholtermin wegen Zeitmangel || Do 12:45-13:00 - 15min - (KWS) |- | '''[[/Gruppe 7/|Breakoutraum 7:]]''' || Gruppentermin 7 - Nachholtermin wegen Zeitmangel || Do 13:00-13:15 - 15min - (HP) |- | '''[[/Gruppe 1/|Breakoutraum 1:]]''' || Gruppentermin 1 || Do 13:15-13:30 - 15min - (VN) |- | '''[[/Gruppe 8/|Breakoutraum 8:]]''' || Neue Gruppe 8 - ohne Vorstellung in der Übung || Do 13:30-13:45 - 15min - (ST) |} Bitte dokumentieren Sie Ihr Projekt auf den Gruppenseiten und kennzeichnen Sie Ihre Gruppe durch ein selbst gewähltes eindeutiges '''<div style="color:red">Namenskürzel der Gruppe</div>''', z.B. wenn sich Ihre Gruppe zu einem bestimmten Zeitfenster in einem Breakoutroum trifft '''<div style="color:red">(ABC) 22.06.2020 Breakoutroom 5</div>''' ein * z.B. wie bei (EN) bei Plenum * Nennen Sie die Gruppe und das Gruppenkürzel und belegen Sie die freien Beratungsplätze. * Sie können den Breakoutraum während der gesamten Gruppenarbeitsphase verwenden. Die angegebenen Zeiten beziehen sich auf die geplante Besuchszeit des Dozenten in der Gruppe. * Speichern Sie die geteilten Dokumente vor dem Verlassen der Breakouträume ab bzw. machen Sie Screenshots von den Skizzen. [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Videokonferenz/PDF_Kollaboration_BigBlueButton.pdf Leere Arbeitsblätter]<ref>Bert Niehaus (2020) [https://niebert.github.io/wikiversity_files Leere Arbeitsblätter für Gruppenarbeit in Breakouträumen von BigBlueButton] - URL: https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Videokonferenz/PDF_Kollaboration_BigBlueButton.pdf - Enthalten im GitHub-ZIP File </ref> können * Besuch des Dozenten in den Breakouträume findet ungefähr in dem angegebenen Zeitfenster statt * Wenn z.B. die Zeiten für die individuelle Arbeitsruppenberatung nicht ausreichend sind. == Siehe auch == * [[Graph einer Funktion]] * [[w:de:Optimierung_(Mathematik)|Optimierung in der Mathematik]] * [[Räumliche Diffusion]] * [[/Explizte-implizite Modelle/]] * [[COVID-19/Mathematische_Modellierung]] * [[Octave-Tutorial]] * [[Octave-Tutorial/Funktionsdefinition|Funktionsdefinition in Octave]] * [[b:Octave_Programming_Tutorial|Wikibook zu Octave]] * [[Humanitarian Open Streetmap]] - Kartenerstellung für humanitäre Zwecke - Räumliche Modellbildung für die Erstellung von Risikokarten. * [[Kontinuitätsgleichung]] == Externe Links == * [https://www.hotosm.org/impact-areas/public-health/ HOT-OSM Public Health] == Quellen/Literatur == [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Epidemiologie]] [[Kategorie:Mathematische Modellierung]] 6ynyonpdy41v3oq6cv1w9fn6bdktakg 0 118413 1106157 1099934 2026-07-07T10:41:30Z Bocardodarapti 2041 1106157 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Metro Lisboa Route Map (only with routes in operation)|png| 400px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Metro_Lisboa_Route_Map_(only_with_routes_in_operation) |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} Wir betrachten das Metronetz von Lissabon. Es handelt sich um einen {{ Definitionslink |zusammenhängenden Graphen| |Kontext=| |SZ=. }} Der durch die gelbe Linie beschriebene {{ Definitionslink |Weg| |Kontext=Graph| |SZ= }} hat die {{ Definitionslink |Länge| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= 12 |SZ=.}} Der {{ Definitionslink |Abstand| |Kontext=Graph| |SZ= }} von São Sebastião zu Alameda ist {{math|term= 2 |SZ=,}} der kürzeste Weg ist über Saldanha {{ Zusatz/Klammer |text=mit der roten Linie| |ISZ=|ESZ= }} gegeben. Es gibt natürlich auch deutlich längere Wege zwischen diesen beiden Stationen, beispielsweise über Marquês de Pombal mit der blauen Linie, dann nach Campo Grande mit der gelben Linie und dann mit der grünen Linie nach Alameda, der die Länge {{math|term= 12 |SZ=}} besitzt. Der {{ Definitionslink |Durchmesser| |Kontext=Graph| |SZ= }} des Netzgraphen ist {{math|term= 21 |SZ=,}} dieser wird im Abstand von Reboleira zu Aeroporto angenommen. Der {{ Definitionslink |Radius| |Kontext=Graph| |SZ= }} des Graphen ist {{math|term= 11 |SZ=,}} und zwar haben sowohl Saldanha als auch São Sebastião diese {{ Definitionslink |Exzentrizität| |Kontext=Graph| |SZ=. }} Die Exzentrizität von Cidade Universitária beträgt {{math|term= 14 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8zo65bpcvn96gpcsxts3zkarpbivljj 0 118415 1106158 1011884 2026-07-07T10:44:27Z Bocardodarapti 2041 1106158 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Unter dem {{ Definitionswort |Radius| |msw=Radius (Graph) |SZ= }} eines {{ Definitionslink |zusammenhängenden| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} versteht man {{ Math/display|term= {{op:Minimum| {{op:Maximum| d(u,v) | u \in V }} | v \in V }} |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Radius (Graph) |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fwb1urz7dyd0ok19i0fbvmpden9rwox 0 118550 1106139 1094117 2026-07-07T09:31:40Z Bocardodarapti 2041 1106139 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir beweisen die Aussage durch Induktion über {{math|term= \ell|SZ=,}} wobei der Induktionsanfang für {{ Relationskette | \ell || 1 || || || |SZ= }} unmittelbar aus der Definition der Adjazenzmatrix folgt, da ja die Kanten die einzigen Wege der Länge {{math|term= 1 |SZ=}} sind {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k | \ell || 0 || || || |SZ= }} stimmt die Aussage ebenfalls, da es nur die konstanten kantenleeren Wege der Länge {{math|term= 0 |SZ=}} gibt und die {{math|term= 0 |SZ=-}}te Potenz der Matrix als Einheitsmatrix zu interpretieren ist| |ISZ=|ESZ=. }} Ein Weg der Länge {{mathl|term= \ell +1 |SZ=}} von {{math|term= u |SZ=}} nach {{math|term= v |SZ=}} startet mit einer Kante {{mathl|term= \{u,w\} |SZ=}} gefolgt von einem Weg von {{math|term= w |SZ=}} nach {{math|term= v |SZ=}} der Länge {{math|term= \ell|SZ=.}} Es gilt also unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Anzahl| \text{ Weg von } u \text{ nach } v \text{ der Länge } \ell +1 |}} || \sum_{ \{ u, w\} \in E } {{op:Anzahl| \text{ Weg von } w \text{ nach } v \text{ der Länge } \ell |}} || \sum_{ \{ u, w\} \in E } {{makl| A^\ell |}}_{ (w,v)} || \sum_{w \in V} A_{( u, w)} {{makl| A^\ell |}}_{ (w,v)} || {{makl| A \cdot A^\ell |}}_{ (u,v)} || {{makl| A^{\ell+1} |}}_{ (u,v)} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ajhu9yx54urjwc0i4eomg1ypw3rfn6p 0 118555 1106137 1103011 2026-07-07T09:26:50Z Bocardodarapti 2041 1106137 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Graph/Adjazenzmatrix/Charakteristisches Polynom/Definition|| }} Entsprechend nennt man die Eigenwerte {{ Zusatz/Klammer |text=Eigenvektoren, Eigenräume u.s.w.| |ISZ=|ESZ= }} der Adjazenzmatrix auch die Eigenwerte des Graphen. Man beachte, dass man aufgrund der Symmetrie der Adjazenzmatrix mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Symmetrische Matrix/R/Diagonalisierbar/Fakt |Nr= |SZ= }} erhält, dass die Matrix über {{math|term= \R |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=| |SZ= }} ist, das charakteristische Polynom zerfällt also in reelle Linearfaktoren und es gibt eine Basis aus Eigenvektoren. {{ inputbeispiel |Vollständiger Graph/Charakteristisches Polynom/Eigenräume/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Graph/Adjazenzmatrix/Eigentheorie/Interpretation/Bemerkung|| }} Im vollständigen Graphen gibt es nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Vollständiger Graph/Charakteristisches Polynom/Eigenräume/Beispiel |Nr= |SZ= }} die beiden Eigenwerte {{ mathkor|term1= n-1 ||term2= -1 |SZ=. }} Die Gerüchtverteilung {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1| 1|\vdots| 1}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=an jeder Stelle wird mit der gleichen Intensität {{math|term= 1 |SZ=}} das Gerücht geglaubt| |ISZ=|ESZ= }} wird durch einen Weitergabevorgang in die Gerüchtverteilung {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|n-1|n-1|\vdots|n-1}} |SZ=}} überführt, jeder hört das Gerücht {{mathl|term= n-1 |SZ=}} mal. Die Gerüchtverteilung {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1| -1| 0|\vdots| 0}} |SZ=,}} wobei {{math|term= -1 |SZ=}} so zu verstehen ist, dass das Gerücht an dieser Stelle mit der gleichen Intensität abgelehnt wird, wird durch den Vorgang in die Verteilung {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| -1 | 1 | 0 | \vdots | 0 }} |SZ=}} überführt. Die beiden nichtneutralen Personen übernehmen wechselseitig ihre Einstellung zum Gerücht und alle anderen Personen hören es einmal in positiver und einmal in negativer Weise, was sich aufhebt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des charakteristischen Polynoms eines Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 57a4gcakzsqhz1mzj6izvfo8pzuz7xo 0 118571 1106126 950568 2026-07-07T09:05:28Z Bocardodarapti 2041 1106126 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es steht nun im Anschluss an {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Austausch/Brieffreundschaft/Beispiel |Nr= |SZ= }} der Schüleraustausch zwischen der Klasse {{math|term= A |SZ=}} aus Osnabrück und der Klasse {{math|term= B |SZ=}} aus Málaga an. Dabei besuchen die Kinder aus Osnabrück zuerst Málaga und jedes Kind soll bei einem Kind unterkommen, mit dem es bereits durch eine Brieffreundschaft verbunden ist. Es soll also innerhalb des vorgegebenen Brieffreundschaftsgraphen eine Paarung vorgenommen werden. Naheliegende Fragen sind: Wann ist das möglich? Auf wie viele Arten ist es möglich? Wie findet man eine solche Paarung? |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Paarungen in Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} llyapxymud1bwu9okaioi304v1kjur7 0 118653 1106118 1105047 2026-07-07T08:48:52Z Bocardodarapti 2041 1106118 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Ein jeder Knotenpunkt {{ Relationskette |v | \in | V || || || |SZ= }} liegt höchstens an einer Kante aus {{mathl|term= P \setminus Q |SZ=}} an, da ja sonst {{ Relationskette | \{v,u \} , \{v,w \} | \in | P || || || |SZ= }} wären, was der Paarungseigenschaft widerspricht. Gleiches gilt für {{mathl|term= Q \setminus P |SZ=.}} Da die Kanten in {{math|term= H |SZ=}} durch {{mathl|term= (P \setminus Q ) \cup ( Q \setminus P) |SZ=}} gegeben sind, besitzt jeder Knotenpunkt in {{math|term= H |SZ=}} höchstens zwei anliegende Kanten, wobei bei zwei Kanten die eine aus {{math|term= P |SZ=}} und die andere aus {{math|term= Q |SZ=}} sein muss. Deshalb verbleiben die angegebenen Möglichkeiten. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0414ai5jyaeztzbj30eo239rf9jfl31 0 119096 1106124 1104931 2026-07-07T08:59:43Z Bocardodarapti 2041 1106124 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} disjunkte Mengen und sei {{math|term= R |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=. }} Dann erhält man auf {{ Relationskette/display | V | {{defeq|}} | A \uplus B || || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |bipartiten Graphen| |Kontext=| |SZ=, }} indem man {{mathl|term= \{a,b\} |SZ=}} als Kante erklärt, falls {{ Relationskette | (a,b) | \in | R || || || |SZ= }} ist. Dadurch entsteht auf {{math|term= V |SZ=}} eine symmetrische Relation allein dadurch, dass {{math|term= A |SZ=}} und {{math|term= B |SZ=}} feste Rollen in der Relation {{math|term= R |SZ=}} haben. Dies muss man sich klar machen, um Missverständnisse zu vermeiden. Wenn beispielsweise {{math|term= A |SZ=}} eine Menge von Männern und {{math|term= B |SZ=}} eine Menge von Frauen ist und {{ Relationskette | (a,b) | \in | R || || || |SZ= }} bedeutet, dass {{math|term= a |SZ=}} Person {{math|term= b |SZ=}} nett findet, so bedeutet die Kante {{mathl|term= \{a,b\} |SZ=}} genau dies, dass {{math|term= a |SZ=}} die Person {{math|term= b |SZ=}} nett findet, nicht, dass sie sich gegenseitig nett finden. Dies gilt auch, wenn man die Kante als {{mathl|term= \{b,a\} |SZ=}} schreibt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie2=Theorie der Relationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ir7u9rlkdqirxnrejoz9oxllpy0eec2 0 121321 1106164 1039943 2026-07-07T11:15:55Z Bocardodarapti 2041 1106164 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Durchmesser| |Kontext=Graph| |SZ= }} eines Graphen mindestens so groß ist wie sein {{ Definitionslink |Radius| |Kontext=Graph| |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass der Durchmesser eines Graphen höchstens doppelt so groß ist wie sein Radius. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für jede natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} einen Graphen an, bei dem sowohl der Durchmesser als auch der Radius gleich {{math|term= n|SZ=}} sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ilors9kerhdui62ouwi1yljop35ygkk 0 121329 1106143 951754 2026-07-07T10:10:41Z Bocardodarapti 2041 1106143 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Spielzuggraphen| |Kontext=| |SZ= }} des Turmes auf dem Schachbrett und interessieren uns für die {{ Definitionslink |Spannbäume| |Kontext=| |SZ= }} darauf. Beispielsweise gibt es lineare Spannbäume, man kann ja die erste Zeile ablaufen, an deren Ende vertikal in die zweite Zeile wechseln und diese rückwärts durchlaufen u.s.w. Man kann auch {{Anführung|eckig spiralförmig}} lineare Spannbäume angeben. Nichtlineare Spannbäume erhält man, wenn man eine Zeile linear durchläuft und an jeden Punkt der Zeile linear eine Spalte anhängt. Diese Spannbäume verfügen alle über {{math|term= 63 |SZ=}} Kanten. Die angegebenen Bäume sind auch Spannbäume auf der gleichknotigen Menge, bei der nur geometrisch direkt {{ Zusatz/Klammer |text=vertikal oder horizontal| |ISZ=|ESZ= }} nebeneinander liegende Felder durch eine Kante verbunden sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0g8qzdfu6nrmvys3y7b3njm4y4zkcty 0 122660 1106094 646073 2026-07-06T17:12:46Z Λυκας 38324 1106094 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= An einem {{ Zusatz/Klammer |text=zu einer Kante des Graphen gehörenden| |ISZ=|ESZ= }} Weg liegen ein oder zwei Gebiete an. Verschiedene Gebiete schneiden sich in einer Vereinigung von Wegen. Jeder Punkt der Ebene ist entweder ein Bildpunkt eines Knotenpunktes oder gehört zu genau einem Weg {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Endpunkt| |ISZ=|ESZ= }} oder gehört zu genau einem Gebiet {{ Zusatz/Klammer |text=ohne den Rand| |ISZ=|ESZ=. }} Zu einem Kreis des Graphen gehört ein geschlossener Weg, der die Ebene in ein Innen und Außen einteilt. Das Innere und das Äußere davon ist eine Vereinigung von Gebieten. Ein stetiger Weg von einem Punkt des Innern zu einem Punkt des Äußeren trifft den Begrenzungsweg. An jedes geschlossene {{ Zusatz/Klammer |text=endliche| |ISZ=|ESZ= }} Gebiet grenzen zumindest drei Wege an. Es gibt ein äußeres unendliches Gebiet. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der planaren Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3b1fwx4ewzibw3gv4u7rr4l07lbii5s 0 124045 1106156 1103243 2026-07-07T10:36:05Z Bocardodarapti 2041 1106156 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In den ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=}} gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung, d.h. jede ganze Zahl {{ Relationskette |n |\neq| 0 || || || |SZ= }} lässt sich als ein {{ Zusatz/Klammer |text=bei einer negativen Zahl braucht man noch das Vorzeichen {{math|term= -1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} Produkt von {{ Zusatz/Klammer |text=positiven| |ISZ=|ESZ= }} Primzahlen schreiben, wobei die Anzahl der auftretenden Primzahlen, die Primfaktoren, eindeutig bestimmt ist. Beispielsweise ist {{ Relationskette/display | 175 || 5 \cdot 5 \cdot 7 || 5 \cdot 7 \cdot 5 || 5^2 \cdot 7 || |SZ=. }} Für eine Primzahl ist diese Faktorzerlegung einfach die Zahl selbst. In einem größeren Ring, beispielsweise einem Körper, ergeben sich neue Darstellungsmöglichkeiten. Es ist in {{math|term= \R|SZ=}} {{ Relationskette/display | 7 || {{op:Bruch| 7| 5}} \cdot 5 || 7 \cdot 5^{-1} \cdot 5 || 7 \cdot \pi^{-1} \pi || |SZ=. }} Das sind natürlich Uneindeutigkeiten, die sich einfach daraus ergeben, dass es Elemente gibt, die ein Inverses besitzen. Wenn man an {{ Relationskette | 7 || (-1) (-7) || || || |SZ= }} denkt, gibt es dieses Phänomen schon in {{math|term= \Z |SZ=.}} Wir halten kurz die folgende Definition fest. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Einheit/Definition|| }} In {{math|term= \Z |SZ=}} sind nur {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= -1 |SZ= }} Einheiten, der Einfluss auf die Teilbarkeitstheorie ist daher sehr überschaubar. Ein kommutativer Ring ist genau dann ein Körper, wenn in ihm jedes von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedene Element eine Einheit ist {{ Zusatz/Klammer |text=der Nullring ist kein Körper, da in ihm sogar die {{math|term= 0 |SZ=}} eine Einheit ist| |ISZ=|ESZ=. }} Deshalb gibt es in einem Körper keine aussagekräftige Teilbarkeitstheorie. Ein anderes Phänomen sind die Faktorzerlegungen {{ Relationskette/display | 7 || \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} || \sqrt[3] {7} \cdot \sqrt[3] {7} \cdot \sqrt[3]{7} || \sqrt[4] {7} \cdot \sqrt[4] {7} \cdot \sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{7} || |SZ=. }} In diesem Sinne kann man beliebig weitermachen, es gibt dann für die Zahl {{math|term= 7 |SZ=}} beliebig lange zunehmend feinere Zerlegungen - aber keine Primfaktorzerlegung. Betrachten wir genauer die Zerlegung {{ Relationskette/display | 7 || \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} || |SZ=. }} Diese hat nichts mit Einheiten zu tun, sondern allein mit der Existenz der Quadratwurzel {{ Zusatz/Klammer |text=oder in den weiteren Fällen mit der Existenz der dritten oder vierten Wurzel| |ISZ=|ESZ= }} der {{math|term= 7 |SZ=.}} Um eine solche Faktorzerlegung hinzuschreiben, braucht man nicht die vollen reellen Zahlen, sondern eben nur diese Wurzeln. Um die erste Gleichung ausdrücken zu können, braucht man nur das neue Element {{mathl|term= \sqrt{7} |SZ=}} mit der charakteristischen Eigenschaft, dass das Produkt mit sich selbst gleich {{math|term= 7 |SZ=}} ist. Doch allein diese Hinzunahme, also die Mengen {{math|term= \N \cup \{ \sqrt{7} \} |SZ=}} bzw. {{math|term= \Z \cup \{ \pm \sqrt{7} \} |SZ=}} liefert keine sinnvolle algebraische Struktur, da darin weder die Multiplikation {{mathl|term= 4 \cdot \sqrt{7} |SZ=}} noch die Addition {{mathl|term= 4 + \sqrt{7} |SZ=}} definiert ist. Da verliert man also viel zu viel. Man möchte {{Anführung|nur}} die Quadratwurzel aus {{math|term= 7 |SZ=}} hinzutun, aber gleichzeitig sinnvolle algebraische Strukturen erhalten. Mit {{math|term= \sqrt{7} |SZ=}} muss dann auch beispielsweise {{mathl|term= 13-22 \sqrt{7} |SZ=}} drin sein. Zahlen von dieser Form sind offenbar additiv abgeschlossen. Sie sind aber auch multiplikativ abgeschlossen, es gilt ja {{ Relationskette/display | {{makl| a+ b \sqrt{7} |}} {{makl| c+ d \sqrt{7} |}} || {{makl| ac+ 7bd |}} + {{makl|ad+bc |}} \sqrt{7} || || || |SZ= }} für beliebige {{ Relationskette | a,b,c,d | \in| \Z || || || |SZ=. }} Diese Zahlen bilden also wieder einen kommutativen Ring, und zwar kann man ihn als Unterring der reellen Zahlen realisieren, weshalb die Assoziativität der Verknüpfungen direkt erfüllt ist. Wir haben also eine Ringerweiterung {{ Relationskette/display | \Z | \subseteq| \Z[\sqrt{7}] || \Z + \Z \sqrt{7} || {{Mengebed| a+b \sqrt{7}| a,b \in \Z }} |{{defeqr}}| R |SZ=, }} wobei die ganzen Zahlen den Summen {{mathl|term= a+b \sqrt{7} |SZ=}} mit {{ Relationskette | b || 0 || || || |SZ= }} entsprechen. Die Addition in {{math|term= R |SZ=}} ist komponentenweise und die Multiplikation ist wie in {{math|term= \R |SZ=}} bzw. explizit wie oben bzw. distributiv unter Verwendung der einzigen relevanten Regel {{ Relationskette/display | \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} || 7 || || || |SZ= }} erklärt. Die Darstellung {{mathl|term= a + b \sqrt{7} |SZ=}} eines Elementes aus {{math|term= R |SZ=}} ist ferner eindeutig, d.h. {{ Relationskette | a + b \sqrt{7} || a' + b' \sqrt{7} || || || |SZ= }} ist nur bei {{ Relationskette/display | a || a' || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | b || b' || || || |SZ= }} möglich. Andernfalls hätte man eine Gleichung {{ Relationskette/display | r || s \sqrt{7} || || || |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= r,s \in \Z ||term2= r,s \neq 0 |SZ=, }} woraus sich {{ Relationskette/display | \sqrt{7} || {{op:Bruch|r|s}} || || || |SZ= }} im Widerspruch zur Irrationalität von Quadratwurzeln auf Primzahlen ergibt, die aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung in {{math|term= \Z|SZ=}} folgt, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Quadratwurzel aus Primzahl/Irrationalität/Primfaktorzerlegung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ Zusatz/Klammer |text=der Spezialfall, die Irrationalität der Quadratwurzel aus {{math|term= 2 |SZ=,}} ist ein typisches Beispiel für einen Widerspruchsbeweis aus den Anfängervorlesungen, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratwurzel/2/Irrational/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Aufgrund der definierenden Gleichung sieht man direkt, dass {{math|term= 7 |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} nicht mehr prim ist, sondern nichttriviale Teiler, nämlich {{math|term= \sqrt{7} |SZ=}} besitzt, wobei wir aber die exakten Definitionen noch nicht fixiert haben. Zunächst muss man sich klar machen, dass {{math|term= 7 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{math|term= \sqrt{7} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} keine Einheit in {{math|term= R |SZ=}} wird. Dies kann man aber wegen {{ Relationskette/display | 7 {{makl| a+b \sqrt{7} |}} || 7a + 7b \sqrt{7} || 1 || || |SZ= }} sofort ausschließen. Was aber keineswegs klar ist, ob es in {{math|term= R |SZ=}} weitere Faktorzerlegungen für {{math|term= 7 |SZ=}} gibt, ob {{math|term= \sqrt{7} |SZ=}} prim ist, ob es neue Einheiten in {{math|term= R |SZ=}} gibt, wie sich die Existenz von {{math|term= \sqrt{7} |SZ=}} auf die Faktorzerlegung von anderen ganzen Zahlen auswirkt. Um Zerlegungsphänome von der Bauart {{ Relationskette/display | 7 || u (u^{-1} 7) || || || |SZ= }} mit einer Einheit {{math|term= u |SZ=}} auszuschließen bzw. zu erkennen, müssen wir zuerst wissen, ob in {{math|term= R |SZ=}} neue Einheiten dazukommen. Mit dem Argument von eben kann man direkt einsehen, dass ganze Zahlen {{math|term= \neq 1,-1 |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} Nichteinheiten bleiben. Es gibt aber in der Tat eine Vielzahl von neuen Einheiten! Betrachten wir in {{math|term= R |SZ=}} die Gleichung {{ Relationskette/display | {{makl| 8 +3 \sqrt{7} |}} {{makl| 8-3 \sqrt{7} |}} || 64 -9 \cdot 7 || 1 || || |SZ=, }} die ja besagt, dass die beiden Elemente {{ mathkor|term1= 8 + 3 \sqrt{7} |und|term2= 8 - 3 \sqrt{7} |SZ= }} zueinander invers sind und damit Einheiten sind. Damit sind auch alle Zahlen der Form {{mathl|term= \pm {{makl| 8 + 3 \sqrt{7} |}}^n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | n | \in| \Z || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} Einheiten, und das sind alle Einheiten von {{math|term= R |SZ= {{{zusatz1|.}}}|}} Die Existenz von Einheiten erschwert die Entscheidung, ob eine Faktorzerlegung auf Einheiten beruht oder auf eine Zerlegung in substantiell grundlegendere Bestandteile. Handelt es sich beispielsweise bei {{ Relationskette/display | {{makl| 5 + 4 \sqrt{7} |}} {{makl| -5+4 \sqrt{7} |}} || -25 +16 \cdot 7 || -25+ 112 || 87 || 3 \cdot 29 |SZ= }} um zwei wesentlich verschiedene Faktorzerlegungen der {{math|term= 87 |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=?}} Hier haben wir schon zum zweiten Mal die dritte binomische Formel ausgenutzt, um durch eine Multiplikation von zwei Zahlen aus {{math|term= R |SZ=}} wieder in {{math|term= \Z |SZ=}} zu landen. Wegen {{ Relationskette/display | 3 || (2 + \sqrt{7} )(-2+ \sqrt{7}) || || || |SZ= }} kann man aber die {{math|term= 3 |SZ=}} weiter zerlegen. Der erste Faktor kommt auch in der Zerlegung {{ Relationskette/display | 5+4 \sqrt{7} || {{makl| 2+ \sqrt{7} |}} {{makl| 6- \sqrt{7} |}} || || || |SZ= }} vor. In der verfeinerten Zerlegung {{ Relationskette/display | 87 || {{makl| 2 + \sqrt{7} |}} {{makl| -2 + \sqrt{7} |}} {{makl| 6- \sqrt{7} |}} {{makl| 6+ \sqrt{7} |}} || || || |SZ= }} kommen somit beide obigen Zerlegungen vor, die sich daher als keine Primfaktorzerlegung erweisen. Das ist also wie bei {{ Relationskette/display | 210 || 6 \cdot 35 || 10 \cdot 21 || 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 || |SZ=, }} allerdings mit dem Unterschied, dass es in {{math|term= R |SZ=}} zunächst einmal keine systematische Methode gibt, Zahlen auf die Primeigenschaft zu überprüfen. Eine wichtige Fragestellung der algebraischen Zahlentheorie ist, wie sich Teilereigenschaften und die Primfaktorzerlegungen von {{math|term= \Z |SZ=}} ändern, wenn man zusätzliche Elemente hinzunimmt. Typischerweise werden dabei die Primfaktorzerlegungen zerstört, es entstehen aber neue Faktorzerlegungen {{ Zusatz/Klammer |text=nicht unbedingt Primfaktorzerlegungen| |ISZ=|ESZ=, }} die selbst wieder zahlentheoretischen Sachverhalte ausdrücken und sichtbar machen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Algebraische Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(7)) |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8wiz6lmroyhxrbi931rpjz1jy9jx11r 0 128943 1106106 1105702 2026-07-07T07:10:34Z Jeb 26942 7. Juli 1106106 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 7. Juli == ; Mission Blüher 2.0 Janosch (SLUB) zeigt Kulinaria: https://www.slub-dresden.de/entdecken/deutsches-archiv-der-kulinarik/digitalisierung-und-erschliessung-kulinarischer-quellen/ocr-blueher * Blueher OCR Korrektur App https://blueher-korrektur.culinaria-online.de/ * Vokabulartdaten für https://skosmos.org/, https://demo.skosmos.org/euro/de/, Skosmos [[d:Q130281770]] ; Schon gewusst? [[w:Tafellied|Tafellied]] in der Wikipedia Dazu Saxorum: https://saxorum.hypotheses.org/15983, Zugriffsstatistik: https://pageviews.wmcloud.org/?project=de.wikipedia.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&range=latest-30&pages=Tafellied == 30. Juni == [[Datei:Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914.pdf|mini|Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt, 1914]] ; [[v:de:Kurs:Wikisource ASpB 2026|Spezialbestände aus Spezialbibliotheken]] {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914|''Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens (§§ 36 bis 43 des Versicherungsgesetzes für Angestellte)''}} == 23. Juni == ; Stadtansichten Alexander Winkler entdeckt (in & für) Berlin ''Wikidata Bildpositionen'': https://wd-image-positions.toolforge.org/, vgl. [[c:User:Awinkler3/Annotating_the_City]]. Austausch willkommen! ; Geschichtsvereinsbibliotheken linked open JB: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026|Projekt]] mit Daniel F. == 16. Juni == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter 1915 Nr. 1 Seite 110 Grafik.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter 1915, Nr. 1, [[s:Seite:Dresdner Geschichtsblätter Sechster Band.pdf/113|S. 110]]]] Neu ist der Artikel [[w:Tafellied]]. ; Lied der Töpfer Altstadtwaldenburg: https://nearby.hypotheses.org/6053 == 9. Juni == ; 180 Tage Zukunft [[Datei:Lepidoptera collection 01652.jpg|mini|Lepidoptera collection 01652]] * Naturalienkabinett Waldenburg: https://www.museum-waldenburg.de/forschen-bewahren/wunderkammer-digital, ... https://www.geschichtsverein-waldenburg.de * neu: [[s:Waldenburg (Sachsen)]], siehe auch: [[c:Category:Museum Waldenburg]] == 2. Juni == {{Wikisource|Ludwig Richter}} ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? ; Neu : [[c:Category:Elbhang-Kurier]] : Leipziger Ausstellungsdaten: [[c:Category:Strukturen der Macht (exhibition)]] == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource DDB im Wikiversum q.jpg|[[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Deutsche Digitale Bibliothek im Wikiversum]]]] </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] 1qa20zer3vubkhl34hgq330oat8inrh 0 130960 1106163 1081640 2026-07-07T11:14:02Z Bocardodarapti 2041 1106163 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |gerichteter Graph| |SZ= }} auf der Menge {{math|term= M |SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |symmetrisch| |Kontext=Relation| |SZ= }} ist, wenn für jede Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq | M || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | T | \subseteq | M \setminus {{op:Vorgängermenge|M \setminus {{op:Vorgängermenge| T |}} |}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} afgknbta76vb72zp1ednxifpgez9x49 106 131509 1106093 970259 2026-07-06T17:05:27Z Kdkeller 971 Turmhöhe hinzugefügt 1106093 wikitext text/x-wiki '''Lösungen''' zum Projekt ''Astronomie im Freien'' ==Aufgabe: Planetenweg== Mit einem Maßstab von 1:14 Milliarden ergibt sich: {| class="wikitable center" |- ! Modell !! Modelldurchmesser (!) in mm !! Abstand zur Modell-Sonne in m !! Bemerkung |- |Sonne |100 | - | |- |Merkur |0,4 |4 | |- |Venus |0,9 |8 | |- |Erde |0,9 |11 | |- |Mars |0,5 |16 | |- |Jupiter |10,3 |56 | |- |Saturn |8,7 |102 | |- |Uranus |3,7 |206 | |- |Neptun |3,6 |323 | |- | | | | |- |Mond |0,2 |0,03 |Entfernung zur Modell-Erde |} Man sieht: Die inneren Gesteinsplaneten bis zum Mars sind alle relativ nahe beieinander, dann kommt lange nichts. Vom Jupiter zum Saturn verdoppelt sich die Entfernung, ebenso vom Saturn zum Uranus. Der nächste Stern Proxima Centauri wäre „nur“ 15,4 mm groß in einem Abstand von 2900 m, somit weiter weg als Hohenmemmingen. ==Aufgabe: Milchstraße== a) Der Durchmesser des Tanzkreises ist ca. 50 Meter. b) Die Dicke beträgt dann 0,25 m, in der Mitte 3,75 m. c) <math> \frac {2.500.000}{200.000} \cdot 50 m = 625 m</math> ist die Andromedagalaxie entfernt. Das entspricht ziemlich genau der Entfernung und auch dem Durchmesser des runden Steiff-Museums. ==Aufgabe: Bogenminute und Bogensekunde== 1 Grad: <math> d=100m \cdot \tan 1^\circ \approx 1,75 m </math>, z.B. Personengröße 1 Bogenminute: <math> d=100m \cdot \tan \frac{1^\circ}{60} \approx 0,029 m \approx 3 cm </math>, z.B. 2 Finger breit 1 Bogensekunde: <math> d=100m \cdot tan \frac{1^\circ}{3600} \approx 0,00048 m \approx 0,5 mm </math>, z.B. sehr dünnes Ästchen ==Aufgabe: Sonnenfinsternis== a) Faktor <math>\frac{r_{Sonne}}{r_{Mond}}=\frac{696.300 km}{1.737 km} \approx 400</math> c) Das Verhältnis sollte gleich sein wie in a), nämlich auch ca. 400. ==Aufgabe: Höhe des Aussichtsturms== Der Aussichtsturm auf dem Schießberg ist 15 m hoch.<ref>[https://media.lgrb-bw.de/link/gto/gto_9789.pdf ''Aussichtsturm auf dem Schießberg, Giengen''] Steckbrief auf der Website des LRGB Baden-Württemberg. Abgerufen am 6. Juli 2026.</ref> ==Einzelnachweise== <references /> [[Kategorie:Fachbereich Astronomie]] 1922kwbc0bl60zys4warj6w2sv9watd 0 155089 1106154 922292 2026-07-07T10:34:03Z Bocardodarapti 2041 1106154 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Meromorphe Funktion/C/Punkt/Laurent-Entwicklung/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Meromorphe Funktion/C/Punkt/Laurent-Entwicklung/Negativ endlich/Fakt|Lemma|| }} Dieser Sachverhalt ermöglicht die folgende Definition. {{ inputdefinition |Meromorphe Funktion/C/Punkt/Ordnung/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Meromorphe Funktion/C/Punkt/Ordnung/Pol/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Meromorphe Funktion/Tangens/Ordnung/Beispiel|| }} Die Konzepte {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptteil| |Kontext=Laurent-Reihe| |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Nebenteil| |Kontext=Laurent-Reihe| |SZ= }} einer Laurent-Reihe sind insbesondere für meromorphe Funktionen relevant. {{ inputdefinition |Meromorphe Funktion/C/Punkt/Hauptteil/Definition|| }} Der Hauptteil einer meromorphen Funktion in einem Punkt {{math|term= P |SZ=}} ist insbesondere ein Laurent-Polynom. {{ inputdefinition |Meromorphe Funktion/C/Punkt/Nebenteil/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Laurent-Entwicklung einer meromorphen Funktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} qnbsw8xpf3g050lzq9unobzp24jn2j7 0 155283 1106155 1034398 2026-07-07T10:34:47Z Bocardodarapti 2041 1106155 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | U | \subseteq | {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Gebiet| |Kontext=| |SZ=, }} {{ Abbildung |name= f |U | {{CC|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |meromorphe Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term=\neq 0|SZ=}} und {{ Relationskette | P | \in | U || || || |SZ= }} ein Punkt. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=meromorph| |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} in {{math|term= P |SZ=}} ist eine ganze Zahl, man spricht auch von der {{Stichwort|Nullstellenordnung|msw=|SZ=,}} wobei diese Bezeichnung insbesondere bei positiver Ordnung verwendet wird. Die Ordnung ist {{math|term= \geq 0 |SZ=}} genau dann, wenn {{math|term= f |SZ=}} holomorph in {{math|term= P |SZ=}} ist. Andernfalls ist die Ordnung negativ und es liegt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Pol| |Kontext=meromorph| |SZ= }} vor. In diesem Fall nennt man das Negative der {{ Zusatz/Klammer |text=negativen| |ISZ=|ESZ= }} Ordnung die {{Stichwort|Polordnung|msw=|SZ=}} von {{math|term= f |SZ=}} in {{math|term= P |SZ=,}} diese ist also positiv. Wenn man von einem Pol der Ordnung {{math|term= 5 |SZ=}} spricht, so meint man, dass ein Pol der Polordnung {{math|term= 5 |SZ=}} vorliegt, die Ordnung ist also {{math|term= -5 |SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Ordnung einer meromorphen Funktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} dw1cfvp3o0f2qvnim6x5f85ulfl7gf9 106 160377 1106091 1105691 2026-07-06T14:28:48Z Bocardodarapti 2041 1106091 wikitext text/x-wiki {{ Klausur24{{{opt|}}} |Endliche Permutation/Element mit Ordnung/Größer/Aufgabe|p||| |Term/Einsetzen/4/Aufgabe|p||| |Polynom/Einsetzung/Beispiel/1/Aufgabe|p||| |Primelemente/Zahl geq 100000 alle Primteiler geq 20/Polynomring über Z mod 3/Polynom Grad geq 9 alle Primteiler geq 3/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Exponent/72657/Zu 3/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod p/Additive und multiplikative Ordnung sind teilerfremd/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p||| |Z mod 7/Modulo x^3+4x^2+x+5/(2x^2+5x+3)(3x^2+x+6)/Aufgabe|p||| |Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/Multiplikation/Gruppenhomomorphismus/Kern/Aufgabe|p||| |Zahlenlotto/Nur erste Hälfte/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe|p||| |Billard/Periodische Verläufe/Skizze/Aufgabe|p||| |Billard/Periodische Verläufe/Skizze/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ikuhozl4zuplsu0e3focnbev5q4f9uf 0 165449 1106145 1011915 2026-07-07T10:17:53Z Bocardodarapti 2041 1106145 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} heißt {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |zusammenhängend| |SZ=, }} wenn es zu je zwei Punkten {{ Relationskette | u,v |\in| V || || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Weg| |Kontext=Graph| |SZ= }} gibt, der {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} verbindet. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} be4mvnflue9tnbk4ocb9utlzed3814t 106 168631 1106140 1099646 2026-07-07T09:33:59Z Bocardodarapti 2041 1106140 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|21| {{Zwischenüberschrift|Aufspannende Bäume}} {{ inputbild |4x4 grid spanning tree|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=4x4_grid_spanning_tree |Text= |Autor=David Eppstein |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Die U-Bahn Osnabrück soll renoviert werden, deshalb müssen einzelne Stre{{drucktrenn}}ckenabschnitte geschlossen werden. Einerseits möchte man möglichst viele Streckenabschnitte gleichzeitig renovieren, andererseits möchte man sicherstellen, dass noch jede Station angefahren wird und dass das Netz zusammenhängend bleibt. In einem engmaschigen Netz wie der Osnabrücker U-Bahn gibt es viele Möglichkeiten, das Netz in der beschriebenen Weise aufzubrechen. Ein solches verbleibendes Restnetz nennt man einen Spannbaum oder aufspannenden Baum. {{:Graph/Aufspannender Baum/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Matroide}} Wir wollen die Gesamtheit aller Wälder und insbesondere aller Bäume in einem Graphen verstehen. Dazu ist ein kombinatorisches Konzept hilfreich, das auch in anderen Kontexten auftritt und eine abstrakte Theorie von Unabhängigkeit beschreibt. {{:Matroide/Einführung/Textabschnitt|}} Wir werden im Folgenden zeigen, dass auch die Wälder in einem Graphen ein Matroid bilden. {{Zwischenüberschrift|Aufspannende Wälder}} {{:Graph/Aufspannender Baum/Matroid/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Multigraphen}} Wir beschreiben eine rekursive Möglichkeit, um die Anzahl der aufspannenden Bäume in einem Graphen zu bestimmen. Dazu ist es für den induktiven Aufbau der Argumentation sinnvoll, mit Multigraphen zu arbeiten. {{:Ungerichteter Multigraph/Schleifenfrei/Einführung/Textabschnitt|}} Die Definition eines Spannbaumes ändert sich für einen Multigraphen nicht, es ist ein {{ Zusatz/Klammer |text=einfacher| |ISZ=|ESZ= }} Baum, der jeden Knotenpunkt trifft. Unter der Kontraktion entlang einer Kante {{math|term= e |SZ=}} verstehen wir im Kontext von Multigraphen denjenigen Graphen, der entsteht, wenn die beiden Endpunkte von {{math|term= e |SZ=}} miteinander identifiziert werden und jede Kante des Ausgangsgraphen im Kontraktionsgraphen übernommen wird, entstehende Schleifen aber weggelassen werden. Insbesondere werden sämtliche Kanten, die mit {{math|term= e |SZ=}} Anfangs- und Endpunkt teilen, ebenfalls kontrahiert. Dabei kann aus einem einfachen Graphen ein Multigraph entstehen. Diese Kontraktion wird wieder mit {{mathl|term= G/e |SZ=}} bezeichnet. {{Zwischenüberschrift|Zur Anzahl von aufspannenden Bäumen}} {{ inputbild |Spanning Trees qtl1|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Spanning_Trees_qtl1 |Text=Die Spannbäume des vollständigen Graphen {{math|term= K_4 |SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Quartl |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} Im vorstehenden Lemma ist es durchaus erlaubt, dass der Graph nicht zusammenhängend ist {{ Zusatz/Klammer |text=dann gibt es keine aufspannenden Bäume| |ISZ=|ESZ=, }} oder dass durch die Herausnahme einer Kante der Zusammenhang verloren geht. Das Konzept Multigraph ist für die vorstehende Argumentation unverzichtbar, man denke etwa an einen Rundgang mit drei Knotenpunkten. Dieser hat offenbar drei Spannbäume. Wenn man eine Kante herausnimmt, so erhält man einerseits einen dreipunktigen Pfad und andererseits bei der Kontraktion einen zweipunktigen Graphen, wo aber zwei verbindende Kanten geerbt werden. {{ inputbeispiel |Aufspannender Baum/Rekursionsformel/1/Beispiel|| }} }} jgz7k6pany78sluijdof6fi9djl7s2v 0 169677 1106109 1104136 2026-07-07T08:21:21Z Bocardodarapti 2041 1106109 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Four color world map|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Four_color_world_map |Text= |Autor= |Benutzer=XalD |Domäne= |Lizenz=public domain |Bemerkung= }} Die Länder auf der Erde bilden zusammenhängende Gebiete {{ Zusatz/Klammer |text=Exklaven werden ausgeschlossen| |ISZ=|ESZ=, }} ihre Grenzen bilden kurvige Wege. Wir repräsentieren diese Situation durch einen {{Stichwort|Nachbarschaftsgraphen|msw=Nachbarschaftsgraph|SZ=,}} wobei die Länder zu Knotenpunkten werden und zwei Knotenpunkte miteinander durch eine Kante verbunden werden, wenn die zugehörigen Länder eine Grenze gemeinsam haben, wobei wir Berührungen in einem einzigen Punkt ausschließen. Wenn man bei einer Karte jedem Land eine Farbe geben möchte derart, dass angrenzende Länder unterschiedliche Farben bekommen, so bedeutet dies, für den Graphen eine zulässige Färbung zu finden. Eine wichtige Frage der Graphentheorie ist, mit wie vielen Farben dies möglich ist. Da die Länder in der Ebene gegeben sind, ist der zugehörige Graph planar. Deshalb ist die Frage letztlich, was die chromatische Zahl eines ebenen Graphen ist. Wir werden hier den sogenannten Fünf-Farben-Satz beweisen, der besagt, dass man für jeden ebenen Graphen eine zulässige Färbung mit höchstens fünf Farben finden kann. Als Einstimmung beweisen wir zuerst den Sechs-Farben-Satz. {{ inputbild |Allmänhetens partisympatier 1999|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Allmänhetens_partisympatier_1999 |Text=Wenn auch nur punktweise Berührungen zwischen Ländern als Grenzen denkbar sind, so lässt sich dies nicht durch einen planaren Graphen realisieren, da dann beliebig große vollständige Graphen auftreten können. |Autor= |Benutzer=Slarre~commonswiki |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Ebener Graph/Sechs Farben/Fakt|Satz|| }} {{ inputbild |Dinhlynammau|jpg| 180px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Ntmyhue |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt|Satz|| }} Es war ein lange offenes Problem der Graphentheorie, ob auch der Vier-Farben-Satz gilt, ob man also jeden planaren Graphen mit vier Farben zulässig färben kann. Dieser Satz wurde erst 1976 von [[w:Kenneth Appel|Kenneth Appel]] und [[w:Wolfgang Haken|Wolfgang Haken]] bewiesen; der Beweis erforderte den Einsatz von Computern, um die vielen nötigen Fallunterscheidungen zu beherrschen. Bis heute gibt es keinen computerfreien Beweis. {{ inputfakt |Ebener Graph/Vier Farben/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Färbungen von planaren Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} crl6wx5su85j85ov6vb6rk5h55xd19f 106 170179 1106099 1106022 2026-07-07T06:17:00Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung der Randwege */ 1106099 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}\\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1gwvs0d6p3d9zfvpysv9afuzf157a5b 1106100 1106099 2026-07-07T06:30:55Z Bert Niehaus 20843 /* Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 */ 1106100 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}\\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot (1-t_1) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot t_1 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7828s0s7drbtlpypjsoyng1sq2fe7x7 1106101 1106100 2026-07-07T06:35:09Z Bert Niehaus 20843 /* Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 */ 1106101 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}\\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1gwvs0d6p3d9zfvpysv9afuzf157a5b 1106102 1106101 2026-07-07T06:36:31Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 */ 1106102 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}\\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] a70uvn7q9t9iagsiwpgzks9bnji0wte 1106103 1106102 2026-07-07T06:37:03Z Bert Niehaus 20843 /* Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 */ 1106103 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}\\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 6 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0kr7i0tlvx8vs7wlkxbv7e0dg1llgrk 1106104 1106103 2026-07-07T06:40:04Z Bert Niehaus 20843 /* Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 */ 1106104 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + re^{} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}\\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 6 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bgr8ndyhl476pv3lnays78a4mhqntlc 1106105 1106104 2026-07-07T06:44:45Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der orientierten Kreisfläche */ 1106105 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}\\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 6 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qzmyx8ultgw46dyyeys64h39b98x5wy 106 170330 1106108 1105891 2026-07-07T08:18:58Z Bert Niehaus 20843 /* Euler-Verfahren */ 1106108 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Wenn kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] cbr7yf8r203h4xukznk49cxs2nej1eo 1106121 1106108 2026-07-07T08:56:21Z Bert Niehaus 20843 /* Differentialgleichung und Potenzreihen */ 1106121 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> === Bemerkung -Anwendung Identitätssatz === In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Wenn kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] g7g6skxfkwcc5n9mbwqjjpf0qyrhw73 1106122 1106121 2026-07-07T08:56:54Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung -Anwendung Identitätssatz */ 1106122 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - Anwendung Identitätssatz ==== In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Wenn kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] c2cd0ouubcehycw88nuwryhtf1vzh3s 1106123 1106122 2026-07-07T08:58:32Z Bert Niehaus 20843 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 */ 1106123 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - Anwendung Identitätssatz ==== In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Wenn kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] sy0bprkxkh72fhg7ppq9jsqqsy2x6r4 1106128 1106123 2026-07-07T09:10:52Z Bert Niehaus 20843 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 */ 1106128 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - Anwendung Identitätssatz ==== In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Wenn kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Fallunterscheidung - für 3. Potenz === Betrachtet wurde in den vorherigen Fällen: * <math>b_0 =</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: * <math>b_0 =</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] i7fi6imuxbx1fead63mlr9n6a00nk9u 1106129 1106128 2026-07-07T09:11:41Z Bert Niehaus 20843 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit */ 1106129 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - Anwendung Identitätssatz ==== In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Fallunterscheidung - für 3. Potenz === Betrachtet wurde in den vorherigen Fällen: * <math>b_0 =</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: * <math>b_0 =</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ljye1tpwmkjbl6gts2mbfncvohhw4wi 1106130 1106129 2026-07-07T09:12:58Z Bert Niehaus 20843 /* Fallunterscheidung - für 3. Potenz */ 1106130 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - Anwendung Identitätssatz ==== In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Fallunterscheidung - für 3. Potenz === Betrachtet wurde in den vorherigen Fällen: * <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> </math> * <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt: ::<math> </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7e4fjs1h0kczql0141z0b8s8iifamof 1106132 1106130 2026-07-07T09:13:41Z Bert Niehaus 20843 /* Fallunterscheidung - für 3. Potenz */ 1106132 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - Anwendung Identitätssatz ==== In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Fallunterscheidung - für 3. Potenz === Betrachtet wurde in den vorherigen Fällen: * <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> * <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] agd7pfyculu6930sw3y47a9om4f6pgp 1106133 1106132 2026-07-07T09:16:51Z Bert Niehaus 20843 /* Fallunterscheidung - für 3. Potenz */ 1106133 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - Anwendung Identitätssatz ==== In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Fallunterscheidung - für 3. Potenz === Betrachtet wurde in den vorherigen Fällen: * <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = \underbrace{3\cdot b_0^2 \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} </math> * <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = \underbrace{3\cdot b_0^2 \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ko13na72kckghbhspc1dpgcf5742cmz 1106135 1106133 2026-07-07T09:19:00Z Bert Niehaus 20843 /* Fallunterscheidung - für 3. Potenz */ 1106135 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - Anwendung Identitätssatz ==== In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Fallunterscheidung - für 3. Potenz === Betrachtet wurde in den vorherigen Fällen: * <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = \underbrace{3\cdot b_0^2 \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} </math> * <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fdez4yozcgxz4rl9ho588jpkm6cw1vu 1106136 1106135 2026-07-07T09:23:00Z Bert Niehaus 20843 /* Fallunterscheidung - für 3. Potenz */ 1106136 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - Anwendung Identitätssatz ==== In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Fallunterscheidung - für 3. Potenz === Betrachtet wurde in den vorherigen Fällen: * <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = \underbrace{3\cdot b_0^2 \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} </math> * <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2e0mx50ov26hq4cjng7h18fzzjj1kdh 0 171455 1106159 1103690 2026-07-07T10:46:39Z Bocardodarapti 2041 1106159 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Tetrapod Cladogram|png| 230px {{!}} right {{!}} |Zusname=Tetrapod_Cladogram |Text=Ein Kladogramm der Tetrapoden (Landwirbeltiere) |Autor= |Benutzer=Ceballosvg |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Binärbaum/Wurzelbaum/Ausgehende Kanten/Definition|| }} Statt Binärbaum sagt man auch {{Stichwort|binärer Baum|msw=|SZ=.}} Die Definition verwendet, dass man gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Wurzelbaum/Gerichtet und ungerichtet/Fakt |Nr= |SZ= }} einen Wurzelbaum als einen gerichteten Baum ansehen und deshalb von eingehenden und ausgehenden Kanten sprechen kann. In jedem von der Wurzel verschiedenen Knotenpunkt geht genau eine Kante ein {{ Zusatz/Klammer |text=der Pfeil endet| |ISZ=|ESZ= }} und höchstens zwei Kanten aus. Deshalb ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Maximalgrad| |Kontext=Graph| |SZ= }} eines binären Baumes gleich {{math|term= 3 |SZ=.}} Ein Knotenpunkt ohne Ausgangskante ist ein Blatt {{ Zusatz/Klammer |text=ein Endpunkt| |ISZ=|ESZ=, }} ein Knotenpunkt mit einem Ausgangspunkt nennt man auch ein {{Stichwort|Halbblatt|msw=|SZ=.}} Namensgebend sind die Knotenpunkte mit zwei Ausgangskanten. Diese stellen eine Verzweigung einer Entwicklung oder einen Entscheidungsprozess dar. Beispiele sind der Stammbaum einer Person, entwicklungsgeschichtliche Stammbäume {{ Zusatz/Klammer |text=Kladogramms| |ISZ=|ESZ=, }} ein zufälliger Pfad auf einer Geraden {{ Zusatz/Klammer |text=rechts/links, wobei die einzelnen Sprünge notiert werden| |ISZ=|ESZ=, }} ein Verarbeitungsdiagramm {{ Zusatz/Klammer |text=dabei liegen in den Blättern die Eingangsdaten, die sukzessive gemäß einer Verknüpfung verarbeitet werden, das Endergebnis liegt in der Wurzel.| |ISZ=|ESZ=, }} u.v.m. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der binären Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 1lum6ago3anbgwntbnafbdef0vaohp3 1106160 1106159 2026-07-07T10:48:33Z Bocardodarapti 2041 1106160 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Tetrapod Cladogram|png| 230px {{!}} right {{!}} |Zusname=Tetrapod_Cladogram |Text=Ein Kladogramm der Tetrapoden (Landwirbeltiere) |Autor= |Benutzer=Ceballosvg |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Binärbaum/Wurzelbaum/Ausgehende Kanten/Definition|| }} Statt Binärbaum sagt man auch {{Stichwort|binärer Baum|msw=|SZ=.}} Die Definition verwendet, dass man gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Wurzelbaum/Gerichtet und ungerichtet/Fakt |Nr= |SZ= }} einen Wurzelbaum als einen gerichteten Baum ansehen und deshalb von eingehenden und ausgehenden Kanten sprechen kann. In jedem von der Wurzel verschiedenen Knotenpunkt geht genau eine Kante ein {{ Zusatz/Klammer |text=der Pfeil endet| |ISZ=|ESZ= }} und höchstens zwei Kanten aus. Deshalb ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Maximalgrad| |Kontext=Graph| |SZ= }} eines binären Baumes gleich {{math|term= 3 |SZ=.}} Ein Knotenpunkt ohne Ausgangskante ist ein Blatt {{ Zusatz/Klammer |text=ein Endpunkt| |ISZ=|ESZ=, }} ein Knotenpunkt mit einer Ausgangskant nennt man auch ein {{Stichwort|Halbblatt|msw=|SZ=.}} Namensgebend sind die Knotenpunkte mit zwei Ausgangskanten. Diese stellen eine Verzweigung einer Entwicklung oder einen Entscheidungsprozess dar. Beispiele sind der Stammbaum einer Person, entwicklungsgeschichtliche Stammbäume {{ Zusatz/Klammer |text=Kladogramms| |ISZ=|ESZ=, }} ein zufälliger Pfad auf einer Geraden {{ Zusatz/Klammer |text=rechts/links, wobei die einzelnen Sprünge notiert werden| |ISZ=|ESZ=, }} ein Verarbeitungsdiagramm {{ Zusatz/Klammer |text=dabei liegen in den Blättern die Eingangsdaten, die sukzessive gemäß einer Verknüpfung verarbeitet werden, das Endergebnis liegt in der Wurzel| |ISZ=|ESZ=, }} u.v.m. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der binären Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} ni47aehfgrustvvb6vwxdhe9jibey6s 1106161 1106160 2026-07-07T10:53:56Z Bocardodarapti 2041 1106161 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Tetrapod Cladogram|png| 230px {{!}} right {{!}} |Zusname=Tetrapod_Cladogram |Text=Ein Kladogramm der Tetrapoden (Landwirbeltiere) |Autor= |Benutzer=Ceballosvg |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Binärbaum/Wurzelbaum/Ausgehende Kanten/Definition|| }} Statt Binärbaum sagt man auch {{Stichwort|binärer Baum|msw=|SZ=.}} Die Definition verwendet, dass man gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Wurzelbaum/Gerichtet und ungerichtet/Fakt |Nr= |SZ= }} einen Wurzelbaum als einen gerichteten Baum ansehen und deshalb von eingehenden und ausgehenden Kanten sprechen kann. In jedem von der Wurzel verschiedenen Knotenpunkt geht genau eine Kante ein {{ Zusatz/Klammer |text=der Pfeil endet| |ISZ=|ESZ= }} und höchstens zwei Kanten aus. Deshalb ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Maximalgrad| |Kontext=Graph| |SZ= }} eines binären Baumes gleich {{math|term= 3 |SZ=.}} Ein Knotenpunkt ohne Ausgangskante ist ein Blatt {{ Zusatz/Klammer |text=ein Endpunkt| |ISZ=|ESZ=, }} ein Knotenpunkt mit einer Ausgangskant nennt man auch ein {{Stichwort|Halbblatt|msw=|SZ=.}} Namensgebend sind die Knotenpunkte mit zwei Ausgangskanten. Diese stellen eine Verzweigung einer Entwicklung oder einen Entscheidungsprozess dar. Beispiele sind der Stammbaum einer Person, entwicklungsgeschichtliche Stammbäume {{ Zusatz/Klammer |text=Kladogramme| |ISZ=|ESZ=, }} ein zufälliger Pfad auf einer Geraden {{ Zusatz/Klammer |text=rechts/links, wobei die einzelnen Sprünge notiert werden| |ISZ=|ESZ=, }} ein Verarbeitungsdiagramm {{ Zusatz/Klammer |text=dabei liegen in den Blättern die Eingangsdaten, die sukzessive gemäß einer Verknüpfung verarbeitet werden, das Endergebnis liegt in der Wurzel| |ISZ=|ESZ=, }} u.v.m. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der binären Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} a60cwmliv68t8wrcooadwi4vywtl9rc 0 171789 1106119 1105069 2026-07-07T08:51:20Z Bocardodarapti 2041 1106119 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |bipartiter Graph| |Kontext=| |SZ= }} mit einer bipartiten Zerlegung {{ Relationskette | V || A \uplus B || || || |SZ=. }} Dann liefert {{math|term= A |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso {{math|term= B |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Knotenüberdeckung| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn {{math|term= A |SZ=}} keine {{ Definitionslink |Prämath= |isolierten Punkte| |Kontext=Graph| |SZ= }} enthält, so ist {{math|term= A |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |minimale Knotenüberdeckung| |Kontext=| |SZ=, }} die im Allgemeinen nicht {{ Definitionslink |Prämath= |optimal| |Kontext=Knotenüberdeckung| |SZ= }} sein muss. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} r4d91n0la49qszubtcz0zw5zseyakgp 0 171864 1106110 1105455 2026-07-07T08:27:18Z Bocardodarapti 2041 1106110 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir wählen eine Nummerierung von {{math|term= V |SZ=}} und färben die Punkte nach und nach in einer zulässigen Weise. Es seien die ersten {{math|term= k |SZ=}} Punkte schon zulässig gefärbt. Der nächste Punkt {{math|term= v |SZ=}} ist höchstens mit {{math|term= \triangle(G) |SZ=}} Punkten adjazent, die schon eine Farbe bekommen haben. Jedenfalls hat man noch mindestens eine Farbe zur Verfügung, die man {{math|term= v |SZ=}} geben kann, wobei die Zulässigkeit erhalten bleibt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} hkpyn6gozkzyby6mfzaguzph95ovkx6 106 171903 1106090 1105692 2026-07-06T14:27:04Z Bocardodarapti 2041 1106090 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/33/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/33/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Größter gemeinsamer Teiler/4369, 4131, 3383/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p||| |Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Starr/4/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} jy292e4jfuhw41tlpqaisse523eag0r 106 171904 1106089 1105687 2026-07-06T14:25:58Z Bocardodarapti 2041 1106089 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/34/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/34/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/10!/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Q/Äquivalenzklassen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 52b4ggo9zicryqdr2axaqa57kk7bufn 106 171930 1106069 1106060 2026-07-06T12:15:29Z ~2026-38353-40 41705 /* Materialparameter Zigarettenrauch */ 1106069 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstrom- rauch8,10,16,22–24,38. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Es bietet sich an zwischen Haupt- und Nebenstrom zu unterscheiden. Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) 7i18nu3nxmqbp8p10slmgdf5bgwo467 1106070 1106069 2026-07-06T12:16:38Z ~2026-38353-40 41705 /* Relevanz */ 1106070 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstromrauch. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Es bietet sich an zwischen Haupt- und Nebenstrom zu unterscheiden. Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) 1xxqpiczdvy9u67629gc5ymmyqt0ojh 1106074 1106070 2026-07-06T12:32:20Z ~2026-38353-40 41705 /* Diskussion */ 1106074 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstromrauch. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Es bietet sich an zwischen Haupt- und Nebenstrom zu unterscheiden. Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) 4awwnimjs7kthtyu05m109zc1l0p2o3 1106075 1106074 2026-07-06T12:32:39Z Clara Schug 41691 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1106075 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstromrauch. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Es bietet sich an zwischen Haupt- und Nebenstrom zu unterscheiden. Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) 62h9isife67xo2jpixdbbkrbid2mktc 1106077 1106075 2026-07-06T12:33:18Z Clara Schug 41691 /* Implementierung in Comsol */ 1106077 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstromrauch. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Es bietet sich an zwischen Haupt- und Nebenstrom zu unterscheiden. Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. '''nein, 3D''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) 1zj77rphhio4cxt6sp3ko8irr7yfy8a 1106078 1106077 2026-07-06T12:36:21Z ~2026-38353-40 41705 /* Materialparameter Zigarettenrauch */ 1106078 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstromrauch. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Es bietet sich an zwischen Haupt- und Nebenstrom zu unterscheiden. Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. '''nein, 3D''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) 43pnbvz94k7scfspt5h0y8s99mecc9o 1106079 1106078 2026-07-06T12:40:29Z ~2026-38353-40 41705 /* Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch */ 1106079 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstromrauch. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. '''nein, 3D''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) f9u03k7i71846055ho0tl9gk3ddu49m 1106080 1106079 2026-07-06T12:41:30Z ~2026-38353-40 41705 /* Materialparameter Zigarettenrauch */ 1106080 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstromrauch. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. Es bietet sich an, zwischen Haupt- und Nebenrauchstrom zu unterscheiden. Der Hauptstrom beschreibt den Rauch beim Ausatmen, während der Nebenstrom den Rauch der glimmenden Zigarette umfasst. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. '''nein, 3D''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) dh49dk7swzs3gx6zguitjqebanjzzpq 1106083 1106080 2026-07-06T13:00:58Z ~2026-38353-40 41705 /* Anfangsbedingung */ 1106083 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstromrauch. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. Es bietet sich an, zwischen Haupt- und Nebenrauchstrom zu unterscheiden. Der Hauptstrom beschreibt den Rauch beim Ausatmen, während der Nebenstrom den Rauch der glimmenden Zigarette umfasst. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== Was für uns besser passt: - Zigarette mit Ein- und Ausfluss mit Strömungslinien des Rauchs. Setzt man in Quader (ist unser Gitter) Zigarette wäre auszuschneidendes Element. Teilchen sitzen auf den Strömungslinien. Könnte Partikel setzen und verfolgen. Mehr Verwirbelungen. oder - Quader mit Mund/Mensch mit Zigarette, deren Rauch ausgestoßen wird. Weniger Verwirbelung. Rauch strömt aus und Ausbreitung des Rauchs ist Ziel. -> vgl. Modellation in 2D von Abgase-Auto -> Nebenstrom schwer, da Gitteränderung: Möglich durch feste Hand/Arm Bewegung vorschreiben (vgl. Schiff) -> '''Modellierung in 3D bei uns!!''' -> Isofläche für Konzentration (vgl. Stand in Ader von ihre Datei) -> Transport verdümnnter Spezies: Neue Physik in Gebiet einfügen: Dependent Variables c. Berechnung Konzentration von Rauchpartikeln. Muss nicht nur laminare Strömung sondern Verknüpfung mit anderer Physik. Wichtig andere Gleichung: Zeitableitung, Gradient Skalarprodukt ist Divergenz als Diffussionsterm; ... Stoff diffundiert durch die Luft, Stoff wird mit Geschwindigkeit transportiert. Muss Comsol diese Geschwindigkeit aus der laminaren Strömung sagen. ->Randbedingungen können mit echten oder gewählten Werten gemacht werden. -> Mensch braucht Mund in der Modellierung ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. '''nein, 3D''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) 6a7um9wm2u53nyarfzwmqv3w4xwhhjj 1106085 1106083 2026-07-06T13:18:16Z ~2026-38353-40 41705 /* Materialparameter Zigarettenrauch */ 1106085 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstromrauch. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. Es bietet sich an, zwischen Haupt- und Nebenrauchstrom zu unterscheiden. Der Hauptstrom beschreibt den Rauch beim Ausatmen, während der Nebenstrom den Rauch der glimmenden Zigarette umfasst. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== Was für uns besser passt: - Zigarette mit Ein- und Ausfluss mit Strömungslinien des Rauchs. Setzt man in Quader (ist unser Gitter) Zigarette wäre auszuschneidendes Element. Teilchen sitzen auf den Strömungslinien. Könnte Partikel setzen und verfolgen. Mehr Verwirbelungen. oder - Quader mit Mund/Mensch mit Zigarette, deren Rauch ausgestoßen wird. Weniger Verwirbelung. Rauch strömt aus und Ausbreitung des Rauchs ist Ziel. -> vgl. Modellation in 2D von Abgase-Auto -> Nebenstrom schwer, da Gitteränderung: Möglich durch feste Hand/Arm Bewegung vorschreiben (vgl. Schiff) -> '''Modellierung in 3D bei uns!!''' -> Isofläche für Konzentration (vgl. Stand in Ader von ihre Datei) -> Transport verdümnnter Spezies: Neue Physik in Gebiet einfügen: Dependent Variables c. Berechnung Konzentration von Rauchpartikeln. Muss nicht nur laminare Strömung sondern Verknüpfung mit anderer Physik. Wichtig andere Gleichung: Zeitableitung, Gradient Skalarprodukt ist Divergenz als Diffussionsterm; ... Stoff diffundiert durch die Luft, Stoff wird mit Geschwindigkeit transportiert. Muss Comsol diese Geschwindigkeit aus der laminaren Strömung sagen. ->Randbedingungen können mit echten oder gewählten Werten gemacht werden. -> Mensch braucht Mund in der Modellierung ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. '''nein, 3D''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) 7xalt6ssstwu4x0q3nlz5rib9iq88b7 1106086 1106085 2026-07-06T13:19:15Z ~2026-38353-40 41705 /* Materialparameter Zigarettenrauch */ 1106086 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstromrauch. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. Es bietet sich an, zwischen Haupt- und Nebenrauchstrom zu unterscheiden. Der Hauptstrom beschreibt den Rauch beim Ausatmen, während der Nebenstrom den Rauch der glimmenden Zigarette umfasst. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== Was für uns besser passt: - Zigarette mit Ein- und Ausfluss mit Strömungslinien des Rauchs. Setzt man in Quader (ist unser Gitter) Zigarette wäre auszuschneidendes Element. Teilchen sitzen auf den Strömungslinien. Könnte Partikel setzen und verfolgen. Mehr Verwirbelungen. oder - Quader mit Mund/Mensch mit Zigarette, deren Rauch ausgestoßen wird. Weniger Verwirbelung. Rauch strömt aus und Ausbreitung des Rauchs ist Ziel. -> vgl. Modellation in 2D von Abgase-Auto -> Nebenstrom schwer, da Gitteränderung: Möglich durch feste Hand/Arm Bewegung vorschreiben (vgl. Schiff) -> '''Modellierung in 3D bei uns!!''' -> Isofläche für Konzentration (vgl. Stand in Ader von ihre Datei) -> Transport verdümnnter Spezies: Neue Physik in Gebiet einfügen: Dependent Variables c. Berechnung Konzentration von Rauchpartikeln. Muss nicht nur laminare Strömung sondern Verknüpfung mit anderer Physik. Wichtig andere Gleichung: Zeitableitung, Gradient Skalarprodukt ist Divergenz als Diffussionsterm; ... Stoff diffundiert durch die Luft, Stoff wird mit Geschwindigkeit transportiert. Muss Comsol diese Geschwindigkeit aus der laminaren Strömung sagen. ->Randbedingungen können mit echten oder gewählten Werten gemacht werden. -> Mensch braucht Mund in der Modellierung ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. '''nein, 3D''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) o1huitywuy5t6m8ysbobe3kwxmbfaec 106 171938 1106073 2026-07-06T12:30:54Z Julius.Stutzenberger 38549 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1106073 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstromrauch. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Es bietet sich an zwischen Haupt- und Nebenstrom zu unterscheiden. Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) 1xxqpiczdvy9u67629gc5ymmyqt0ojh 1106076 1106073 2026-07-06T12:32:44Z Julius.Stutzenberger 38549 1106076 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger = Thema = Meerestiere = Fragestellung = = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Es bietet sich an zwischen Haupt- und Nebenstrom zu unterscheiden. Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) qtl3ukgynln9rigjle12hpz5y91ejjy 1106081 1106076 2026-07-06T12:53:03Z Julius.Stutzenberger 38549 /* Thema */ 1106081 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger = Thema = Meerestiere in einer Wasserströmung = Fragestellung = = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Es bietet sich an zwischen Haupt- und Nebenstrom zu unterscheiden. Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) a91nhl4k4i8bh39m3j1bipp0xfjlafu 1106082 1106081 2026-07-06T12:57:52Z Julius.Stutzenberger 38549 /* Literaturverzeichnis */ 1106082 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger = Thema = Meerestiere in einer Wasserströmung = Fragestellung = = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Es bietet sich an zwischen Haupt- und Nebenstrom zu unterscheiden. Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = 1y8d6n69f4fhj3ubemhu3bv2bsqm01a 1106084 1106082 2026-07-06T13:06:14Z Julius.Stutzenberger 38549 1106084 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger = Thema = Meerestiere in einer Wasserströmung Betrachtung verschiedene Meerestiere in einer Wasserströmung. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Es bietet sich an zwischen Haupt- und Nebenstrom zu unterscheiden. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = s7t6rx7nzg76zvnukxv9c98pb7cwtff 1106087 1106084 2026-07-06T13:26:09Z Julius.Stutzenberger 38549 1106087 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger = Thema = Meerestiere in einer Wasserströmung Betrachtung verschiedene Meerestiere in einer Wasserströmung. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Physikalische Annahmen == === Materialparameter === === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = g0zq8ga2dnjyibn85yiashrf2drein2 1106088 1106087 2026-07-06T13:35:15Z Julius.Stutzenberger 38549 /* Gruppenteilnehmer */ 1106088 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger * Lena Erb = Thema = Meerestiere in einer Wasserströmung Betrachtung verschiedene Meerestiere in einer Wasserströmung. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Physikalische Annahmen == === Materialparameter === === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = lo4l9apgg29lbq0keslv7utpajaz5rf 106 171939 1106134 2026-07-07T09:17:53Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1106134 wikitext text/x-wiki {{Wikicode}} 8naakp9ocuuvwb6cam233v1pz4j17ar