Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.10 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 170330 1106165 1106136 2026-07-07T14:36:56Z Bert Niehaus 20843 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit */ 1106165 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - Anwendung Identitätssatz ==== In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Fallunterscheidung - für 3. Potenz === Betrachtet wurde in den vorherigen Fällen: * <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = \underbrace{3\cdot b_0^2 \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} </math> * <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 8bp46y1e6ltbiuz4tl9yacnd31y2bna 1106166 1106165 2026-07-07T14:39:40Z Bert Niehaus 20843 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 */ 1106166 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - Anwendung Identitätssatz ==== In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> === Fallunterscheidung - für 3. Potenz === Betrachtet wurde in den vorherigen Fällen: * <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = \underbrace{3\cdot b_0^2 \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} </math> * <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] o63rnrokrep3e6u935d6vt46o3yr18p 1106167 1106166 2026-07-07T14:43:34Z Bert Niehaus 20843 /* Fallunterscheidung - für 3. Potenz */ 1106167 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - Anwendung Identitätssatz ==== In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> ==== Fallunterscheidung - für 3. Potenz ==== Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = \underbrace{3\cdot b_0^2 \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kldsixwl1cco3ltul4gwlm2369w80k8 1106168 1106167 2026-07-07T14:45:53Z Bert Niehaus 20843 /* Fallunterscheidung - für 3. Potenz */ 1106168 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - Anwendung Identitätssatz ==== In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> ==== Fallunterscheidung - für 3. Potenz ==== Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rr7ft99e4vtj0g5inueb76g8azt55uv 1106169 1106168 2026-07-07T15:01:52Z Bert Niehaus 20843 /* Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld */ 1106169 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - Anwendung Identitätssatz ==== In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> ==== Fallunterscheidung - für 3. Potenz ==== Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] iele8l2npqzuc77f0di3pnipou9x50h 1106170 1106169 2026-07-07T15:02:35Z Bert Niehaus 20843 /* Wege als Potenzreihen */ 1106170 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Laurentreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - Anwendung Identitätssatz ==== In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit ==== Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 ==== Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> ==== Fallunterscheidung - für 3. Potenz ==== Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ibf0zy9x6soi5vnu1km2czau76yt7no