Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.10 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1106178 1105502 2026-07-09T06:31:04Z Bert Niehaus 20843 /* Funktionentheorie - Teil 3 */ 1106178 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/holomorphe Wege in Vektorfeldern/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 01ya76stj0ieslb1p429d3wq3g5r0sk 1106182 1106178 2026-07-09T06:39:10Z Bert Niehaus 20843 /* Funktionentheorie - Teil 3 */ 1106182 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> d96twl7ivytz6rebvok9lpe6t5heulg 1106198 1106182 2026-07-09T07:30:44Z Bert Niehaus 20843 /* Singularität und Residuen */ 1106198 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> dp4fp8hpot00hutrjni14bxmqjhs33b 1106235 1106198 2026-07-09T10:16:19Z Bert Niehaus 20843 /* Singularität und Residuen */ 1106235 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 4iqhn40wlhopzmd6mtyt1jabeyy2gaj 2 36268 1106171 1105044 2026-07-08T12:30:53Z Falko Wilms 8588 1106171 wikitext text/x-wiki [[File:FWilms.png|thumb|130px|left|Mein rechtes Auge]] [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb|240px|right|<center>[http://www.fhv.at <small>URL</small>] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg <small>youtube</small>] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg <small>facebook</small>] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg <small>twitter</small>]</center>]] {{Babel|de|en-3|fr-2|public scientist}} </div> Mein Name ist [http://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms Falko Wilms]. Ich war lange Jahre Hochschullehrer der FHVorarlberg und bin seit dem WS 26/27 dort als pensionierter externer Lehrbeauftragter tätig. <br><br> Meine Erfahrungen in der Gestaltung von Lehr-/Lern-Arrangements mit Wikiversity als ein öffentlicher Wissenschaftler sind durchweg positiv. Öffentliche Wissenschaft bedeutet für mich, dass Lehren + Lernen zusammen gehört und durch dabei ein gemeinsamer Prozess der wissenschaftlichen Wissensproduktion durchgeführt wird, bei dem Konzepte, Ideen, brainstormingartige Stichpunkte usw. online stellt und diskutiert werden. <br><br> Öffentliche Wissenschaft bedeutet für mich auch, bereits im Prozess der wissenschaftlichen Wissensproduktion erste Konzepte, Ideen, brainstormingartige Stichpunkte usw. online zu stellen und mit anderen zu diskutieren, um einen "emerging progress" zu ermöglichen. Sie sind herzlich eingeladen, eigene Ideen und Kommentare auf der Diskussionsseite zu hinterlassen. <br><br> Diese und alle damit zusammenhängende Seite von mir sind im Fluss und werde es auch bleiben, denn: [[w:Panta rhei|Panta rhei]]. {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | '''Kurs im Wintersemester''' * [[Kurs:Systemorientierte Organisationslehre|Systemorientierte Organisationslehre]] - - - - '''Kurse im Sommersemester''' *[[Kurs:Angewandte_Entscheidungstheorie|Angewandte Entscheidungstheorie]] *[[Kurs:Prozessmanagement|Geschäftsprozessmanagement]] <br> '''abgelaufene Kurse''' <div style="float:center; margin-left:1.0em; margin-bottom:0.4em; border:solid 1px #99B3FF; background-color:3f3ff; overflow:auto; width:360px; height:120px"> *[[Kurs:BWL-Grundlagen für die Pflege|BWL-Grundlagen für die Pflege]] *[[Kurs:Bachelor-Startworkshop|BWL-Bachelor-Startworkshop]] *[[Kurs:Integration-BWL|Bachelor - Integration Seminar]] *[[Kurs:Finanzen & Prozessmanagement|Finanzen & '''Prozessmanagement''']] *[[Kurs:Führungsinstrumente|Führungsinstrumente]] *[[Kurs:Führung und Unternehmen: Team|Führung und Unternehmen: Team]] *[[Kurs: Interdisziplinäre Integration 2: Modul Umgangsformen|Interdisziplinäre Integration 2: Modul Umgangsformen]] *[[Kurs:Personale und Interpersonale Kompetenzen|Personale und Interpersonale Kompetenzen]] *[[Kurs:Prozessmanagement|Prozessmanagement]] *[[Kurs:Grundlagen der F%C3%BChrung|Grundlagen der Führung]] *[[Kurs:Human_Ressource_Management|Human Ressource Management]] *[[Kurs:Management von Organisationen|Management von Organisationen]] *[[Kurs:Grundlagen der Organisation|Grundlagen der Organisation]] *[[Kurs:Integration-BWL|Bachelor - Integration Seminar]] * [[Kurs:Komplexe Systeme|Komplexe Systeme]] *[[Kurs:MASTER-Startworkshop|BWL-MASTER-Startworkshop]] *[[Kurs:Problemlösungstechniken|Problemlösungstechniken]] *[[Kurs:Das_Mitarbeitergespräch_als_Führungsinstrument|Mitarbeitergespräch als Führungsinstrument]] *[[Kurs:Organisationslehre|Organisationslehre]] *[[Kurs:Organisationsentwicklung|Organisationsentwicklung]] *[[Kurs:Problemlösung und Entscheidungsfindung|Problemlösung & Entscheidungsfindung]] *[[Kurs:Profit- und Nonprofit-Organisationen|Profit- und Nonprofit-Organisationen]] *[[Kurs:Systems_Engineering|Systems Engineering1]] *[[Kurs:Systems_Engineering I|Systems Engineering I]] *[[Kurs:Systems_Engineering II|Systems Engineering II]] *[[Kurs:Systems_Engineering III|Systems Engineering III]] *[[Kurs:Systems_Engineering III(alt)|Systems Engineering III (alt)]] *[[Kurs:Team_und_Kommunikation_2|Team und Kommunikation 2]] *[[Kurs:Team_und_Kommunikation_3 NB|Team und Kommunikation 3 (Teilzeit)]] *[[Kurs:Team_und_Kommunikation_3 VZ|Team und Kommunikation 3 (Vollzeit)]] *[[Kurs:Team_und_Kommunikation_1(T)|Team und Kommunikation 1 (Techniker)]] *[[Kurs: Umgangsformen|Umgangsformen für Techniker]] *[[Kurs:Virtual_Teamwork|Virtuelle Teamarbeit (dt.)]] *[[:en:Virtual_Teamwork|Virtual Teamwork (engl.)]] *[[Kurs:Startworkshop Elektrotechnik Dual|Startworkshop Elektrotechnik Dual]] * [[Kurs:Wirtschaftsethik|Wirtschaftsethik]]<br> </div> <br> '''geplante Kursangebote''' *[[:en:Introduction_to_Probem_Solving|Introduction to Probem Solving (engl.)]] *[[Kurs:Verhandlung|Verhandlung]] | '''Hilfreiche Hinweise''' <div style="float:center; margin-left:1.0em; margin-bottom:0.4em; border:solid 1px #99B3FF; background-color:3f3ff; overflow:auto; width:360px; height:120px"> *[[Benutzer:Falko Wilms/Anwesenheitspflicht|'''Anwesenheitspflicht''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Asynchrone Lehre|'''Asynchrone Lehre''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Chatbot als Tutor|'''Chatbot als persönlicher Tutor''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Erwartungsklärung|'''Erwartungsklärung''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Dialog mit einem Chatbot|'''Dialog mit einem Chatbot''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Distance Learning|'''Distance Learning''']] *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''fake news erkennen]]''' *[[Benutzer:Falko Wilms/Lernen|'''Gedanken zum akademischen Lernen''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Lernen & KI|'''Gedanken aufbau von Expertise''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Bildung|'''Gedanken zur Bildung''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Selbststudium|'''Gedanken zum Selbststudium''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|'''Guidelines for Gadgets''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/teachingphilosophy|'''Philosophy of Teaching''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/ICM|Grundidee des '''inverted classroom''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Lern-Links|'''Links zu Lernen und Kompetenzen''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Idee der Wikiversity-Kurse|Idee der Wikiversity-Kurse]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Kurslogbuch|'''Kurslogbuch''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Texterstellung im Wiki|Texterstellung im Wiki]] *[[Benutzer:Falko Wilms/wissenschaftliches Arbeiten|wissenschaftliches Arbeiten]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Abstract|Grundlegendes zum Schreiben eines '''Abstract'''s]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Anwesenheit|'''Anwesenheit''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Benotung des Wertschöpfungs-Charts|Benotung des Wertschöpfungs-Charts]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Benotung der Seminararbeit|Benotung der Seminararbeit]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Benotung der SE3-Seminararbeit|Benotung der SE3-Seminararbeit]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|besser beschriften]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Texten|bessere Texte schreiben]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Chart|Das '''Chart''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Chart+Text|'''Chart und Text''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Exzerpt|Das '''Exzerpt''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Grundlegendes zur '''Gruppenarbeit''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Vorgehen|Grundsätzliches '''Vorgehen''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Nugget-Chart|'''Nugget-Chart''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Strukturiertes_Nugget-Chart|'''Nugget-Chart (strukturiert)''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/wiss.Poster|'''Poster''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Präsentation|'''Präsentation''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Lösungspräsentation|'''Präsentation einer Lösung''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Referenzmodell|'''Referenzmodell''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Rezension|'''Rezension''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Tagesprotokoll|'''Tagesprotokoll''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Thesenpapier|'''Thesenpapier''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/erweitertes Thesenpapier|'''Erweitertes Thesenpapier''']] *[[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für Studierende''']] *[[Benutzer:Falko_Wilms/Unterlagen|'''Unterlagen]]''' *[[Benutzer:Falko_Wilms/Verständlichkeit|'''Verständlichkeit]]''' *[[Benutzer:Falko_Wilms/wiss. Arbeiten|'''wiss. Arbeiten]]''' *[[Benutzer:Falko Wilms/Verfassen einer Bac-Arbeit|'''Verfassen einer Bac-Arbeit''']] <br><br> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Seminararbeit statt Klausur|'''coronabedingte Änderung]]''' *[[Benutzer:Falko_Wilms/Teegespräch|'''Tee-Gespräche]]''' </div> <br><br> '''Vorlagen:''' [[Benutzer:Falko Wilms/Textvorlage|'''Wiki-Text''']] | [[Benutzer:Falko Wilms/Thesenblatt|'''Arbeitsthesen''']] | [[Benutzer:Falko Wilms/Rollen|'''Teamarbeit''']] <br> '''relationale Benotungsverfahren''' *[[Benutzer:Falko Wilms/Chartbenotung|Benotung des strukturierten Charts]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Wertschöpfungs-Chart|Benotung des Wertschöpfungs-Charts]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Benotung der SE3-Arbeit|Benotung der SE3-Arbeit]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Benotung der Seminararbeit|Benotung der Seminararbeit]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Benotung des Decision Briefing Papers|Benotung des Decision Briefing Papers]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Thesenpapierbenotung|Benotung eines Thesenpapiers]] *[[Benutzer:Falko Wilms/Benotung des erweiterten Thesenpapiers|Benotung des erweiterten Thesenpapiers]] <br><br> '''Hilfe für die Erstellung eigener Wikiversity-Seiten''' *[[Kurs:Template|Kursseite-Template]] *[[Kurs:Corona-Template|Distance Learning Kursseiten-Template]] *[https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:X_X Beutzerseite-Template] *[https://de.wikiversity.org/wiki/Spezial:Benutzerkonto_anlegen eigenes Benutzerkonto anlegen] |} <br> '''Tagungs-Templates''' [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/GWS GWS-Tagung 2016]'''-''' [https://de.wikiversity.org/wiki/Tagung Tangungs-Template]'''-''' [https://de.wikiversity.org/wiki/Tagung/Navigation Navigations-Template]'''-''' [https://de.wikiversity.org/wiki/Tagung/Format Format-Template]. [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] 1ouh9mdc7bjslsssyggv8stfafwgjss 106 80515 1106172 1081427 2026-07-08T12:32:02Z Falko Wilms 8588 /* Lehrender */ 1106172 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2025/26</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''(systemorientierte) Organisationslehre'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre"</span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Zielgruppe </big>'''</div> Studierende im Studienangebot "Einführung in die Betriebswirtschaftliche", zu dem dieses Lehrmodul gehört. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> HILFREICHE PODCASTS</big>'''</div> * [http://www.falko-wilms.de/pod/wozu%20podcast_SD.mp4 '''Wozu podcasts?'''] * [https://media.fhv.at/PublicMedia/140310_falko_wikiversity.mp4 '''Podcasts in der FHV'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe Begriffe] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Richtig Lesen </big>'''</div> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ <br><br> ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> <big>[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big>'''|'''</big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort <br> In diesem Zusammenhang wird das aktuelle St. Galler Management-Modell in diesem Lehrangebot benutz, weil es folgende Vorteile bietet: * <span style="color:green;"> vollzeitlich Studierenden wird eine Möglichkeit geboten, über aktuelle Erkenntnisse aus Forschung, Lehre und Praxis gemeinsamen nachzudenken * <span style="color:brown;"> nebenberuflich Studierenden wird es ermöglicht, aus dem eigenen Erfahrungsschatz heraus aktuelle/potentielle erfolgskritische Ereignisse, Entscheidungen und Entwicklungen mitsamt der sich daraus ergebenden Handlungsmöglichkeiten zu bedenken.<br> ==<span style="color:blue;"><big>'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''</big>== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> ==<big><span style="color:grey;"><small>auf Wunsch der Studierenden:</small> '''Schneller Lesen können'''</big> am 12.12.== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] -------------- </div> Die Fähigkeit, Bücher und Textpassagen zu lesen und zu verstehen ist von zentraler Bedeutung für ein erfolgreiches Studieren, denn: # Um ein Fachgebiet zu erlernen sind oft anspruchsvolle Texte zu lesen. Geübtes Lesen ermöglicht ein besseres Verständnis von Texten sowie das schnellere Erkennen von wesentlichen Aussagen. # Um Informationen wirksam zu verarbeiten sind auch längere Texte mit größeren Mengen an Informationen zu erfassen und zu verarbeiten. Geübtes Lesen ermöglicht es zu erfassen, welche Teile eines Textes besonders bedeutsam sind. # Um die Logik und die Kernaussagen eines Textes zu erkennen ist zu unterscheiden zwischen gemessenen Daten, getätigten Annahmen und vertretenen Meinungen mit deren Begründung. Geübtes Lesen ermöglicht eine vertiefte Analyse von gelesenen Texten. # Geübtes Lesen ermöglicht es, in kurzer Zeit verschiedene Quellen aus unterschiedlichen Perspektiven zu verarbeiten. Dies fördert ein interdisziplinäres Verständnis. # Geübtes Lesen von längeren Texten ermöglicht ein schnelleres Lernen. Dies erleichtert das Bewältigen großer Mengen an Lernstoff erheblich. # Geübtes, schnelles Lesen erweitert erst den passiven und dann den aktiven Wortschatz. Dadurch können Ideen, Gedanken und Argumente klarer ausgedrückt und besser dokumentiert werden. # Um Prüfungen erfolgreich zu bestehen ist ein tiefes Verständnis von einem eingegrenzten Fachgebiet nötig. Geübtes, schnelles Lesen hilft, wesentliche Informationen eines Fachgebietes zu erkennen, das in Texten dokumentierte Wissen zu verinnerlichen. In Zeiten der digitalen Transformation von Wirtschaft und Gesellschaft wird die Fähigkeit zum selbstständigen lebenslangen Lernen immer wichtiger. Dazu ist die Suche, die Beschaffung und die Bewertung von geeigneten Informationen entscheidend. Geübtes Lesen hilft erheblich bei der Abschätzung der Glaubwürdigkeit und der Passgenauigkeit von gefundenen Informationen und ihren Quellen. '''In der Betriebswirtschaft ist es von entscheidender Bedeutung, sich ''schneller'' als die Konkurrenz in neue, bislang unvertraute Themen und Problemstellungen einzuarbeiten. Dazu sind zunehmend und größere Mengen an Informationen zu verarbeiten. Auch deshalb bereitet eine kurze Lehreinheit über das schnellere Lesen die Studierenden der BWL optimal auf diese Anforderung der Praxis vor.''' Grundlegende Inspationen zum geübten Lesen: * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI <span style="color:grey;">podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|<span style="color:grey;">besser lesen]] </span> <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um die Lernfortschritte einschätzen zu können, sollten Sie * <span style="color:blue;">die gestellten Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für erkannte Verständnisschwächen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780547<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780540 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780548<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780541 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780550<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780543 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. ==Quellen== [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] edr27v5624ezn13s9nyalipqd188cyb 1106173 1106172 2026-07-08T12:32:49Z Falko Wilms 8588 /* auf Wunsch der Studierenden: Schneller Lesen können am 12.12. */ 1106173 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2025/26</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''(systemorientierte) Organisationslehre'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre"</span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Zielgruppe </big>'''</div> Studierende im Studienangebot "Einführung in die Betriebswirtschaftliche", zu dem dieses Lehrmodul gehört. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> HILFREICHE PODCASTS</big>'''</div> * [http://www.falko-wilms.de/pod/wozu%20podcast_SD.mp4 '''Wozu podcasts?'''] * [https://media.fhv.at/PublicMedia/140310_falko_wikiversity.mp4 '''Podcasts in der FHV'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe Begriffe] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Richtig Lesen </big>'''</div> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ <br><br> ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> <big>[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big>'''|'''</big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort <br> In diesem Zusammenhang wird das aktuelle St. Galler Management-Modell in diesem Lehrangebot benutz, weil es folgende Vorteile bietet: * <span style="color:green;"> vollzeitlich Studierenden wird eine Möglichkeit geboten, über aktuelle Erkenntnisse aus Forschung, Lehre und Praxis gemeinsamen nachzudenken * <span style="color:brown;"> nebenberuflich Studierenden wird es ermöglicht, aus dem eigenen Erfahrungsschatz heraus aktuelle/potentielle erfolgskritische Ereignisse, Entscheidungen und Entwicklungen mitsamt der sich daraus ergebenden Handlungsmöglichkeiten zu bedenken.<br> ==<span style="color:blue;"><big>'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''</big>== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> ==<big><span style="color:grey;"><small>auf Wunsch möglich</small> '''Schneller Lesen können'''</big> am 12.12.== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] -------------- </div> Die Fähigkeit, Bücher und Textpassagen zu lesen und zu verstehen ist von zentraler Bedeutung für ein erfolgreiches Studieren, denn: # Um ein Fachgebiet zu erlernen sind oft anspruchsvolle Texte zu lesen. Geübtes Lesen ermöglicht ein besseres Verständnis von Texten sowie das schnellere Erkennen von wesentlichen Aussagen. # Um Informationen wirksam zu verarbeiten sind auch längere Texte mit größeren Mengen an Informationen zu erfassen und zu verarbeiten. Geübtes Lesen ermöglicht es zu erfassen, welche Teile eines Textes besonders bedeutsam sind. # Um die Logik und die Kernaussagen eines Textes zu erkennen ist zu unterscheiden zwischen gemessenen Daten, getätigten Annahmen und vertretenen Meinungen mit deren Begründung. Geübtes Lesen ermöglicht eine vertiefte Analyse von gelesenen Texten. # Geübtes Lesen ermöglicht es, in kurzer Zeit verschiedene Quellen aus unterschiedlichen Perspektiven zu verarbeiten. Dies fördert ein interdisziplinäres Verständnis. # Geübtes Lesen von längeren Texten ermöglicht ein schnelleres Lernen. Dies erleichtert das Bewältigen großer Mengen an Lernstoff erheblich. # Geübtes, schnelles Lesen erweitert erst den passiven und dann den aktiven Wortschatz. Dadurch können Ideen, Gedanken und Argumente klarer ausgedrückt und besser dokumentiert werden. # Um Prüfungen erfolgreich zu bestehen ist ein tiefes Verständnis von einem eingegrenzten Fachgebiet nötig. Geübtes, schnelles Lesen hilft, wesentliche Informationen eines Fachgebietes zu erkennen, das in Texten dokumentierte Wissen zu verinnerlichen. In Zeiten der digitalen Transformation von Wirtschaft und Gesellschaft wird die Fähigkeit zum selbstständigen lebenslangen Lernen immer wichtiger. Dazu ist die Suche, die Beschaffung und die Bewertung von geeigneten Informationen entscheidend. Geübtes Lesen hilft erheblich bei der Abschätzung der Glaubwürdigkeit und der Passgenauigkeit von gefundenen Informationen und ihren Quellen. '''In der Betriebswirtschaft ist es von entscheidender Bedeutung, sich ''schneller'' als die Konkurrenz in neue, bislang unvertraute Themen und Problemstellungen einzuarbeiten. Dazu sind zunehmend und größere Mengen an Informationen zu verarbeiten. Auch deshalb bereitet eine kurze Lehreinheit über das schnellere Lesen die Studierenden der BWL optimal auf diese Anforderung der Praxis vor.''' Grundlegende Inspationen zum geübten Lesen: * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI <span style="color:grey;">podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|<span style="color:grey;">besser lesen]] </span> <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um die Lernfortschritte einschätzen zu können, sollten Sie * <span style="color:blue;">die gestellten Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für erkannte Verständnisschwächen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780547<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780540 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780548<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780541 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780550<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780543 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. ==Quellen== [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] 14cedbok3q1g00d5vl4j7n87v02h5zk 1106174 1106173 2026-07-08T12:33:26Z Falko Wilms 8588 /* auf Wunsch möglich Schneller Lesen können am 12.12. */ 1106174 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2025/26</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''(systemorientierte) Organisationslehre'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre"</span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Zielgruppe </big>'''</div> Studierende im Studienangebot "Einführung in die Betriebswirtschaftliche", zu dem dieses Lehrmodul gehört. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> HILFREICHE PODCASTS</big>'''</div> * [http://www.falko-wilms.de/pod/wozu%20podcast_SD.mp4 '''Wozu podcasts?'''] * [https://media.fhv.at/PublicMedia/140310_falko_wikiversity.mp4 '''Podcasts in der FHV'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe Begriffe] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Richtig Lesen </big>'''</div> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ <br><br> ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> <big>[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big>'''|'''</big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort <br> In diesem Zusammenhang wird das aktuelle St. Galler Management-Modell in diesem Lehrangebot benutz, weil es folgende Vorteile bietet: * <span style="color:green;"> vollzeitlich Studierenden wird eine Möglichkeit geboten, über aktuelle Erkenntnisse aus Forschung, Lehre und Praxis gemeinsamen nachzudenken * <span style="color:brown;"> nebenberuflich Studierenden wird es ermöglicht, aus dem eigenen Erfahrungsschatz heraus aktuelle/potentielle erfolgskritische Ereignisse, Entscheidungen und Entwicklungen mitsamt der sich daraus ergebenden Handlungsmöglichkeiten zu bedenken.<br> ==<span style="color:blue;"><big>'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''</big>== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> ==<big><span style="color:grey;"><small>auf Wunsch möglich</small> '''Schneller Lesen können'''== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] -------------- </div> Die Fähigkeit, Bücher und Textpassagen zu lesen und zu verstehen ist von zentraler Bedeutung für ein erfolgreiches Studieren, denn: # Um ein Fachgebiet zu erlernen sind oft anspruchsvolle Texte zu lesen. Geübtes Lesen ermöglicht ein besseres Verständnis von Texten sowie das schnellere Erkennen von wesentlichen Aussagen. # Um Informationen wirksam zu verarbeiten sind auch längere Texte mit größeren Mengen an Informationen zu erfassen und zu verarbeiten. Geübtes Lesen ermöglicht es zu erfassen, welche Teile eines Textes besonders bedeutsam sind. # Um die Logik und die Kernaussagen eines Textes zu erkennen ist zu unterscheiden zwischen gemessenen Daten, getätigten Annahmen und vertretenen Meinungen mit deren Begründung. Geübtes Lesen ermöglicht eine vertiefte Analyse von gelesenen Texten. # Geübtes Lesen ermöglicht es, in kurzer Zeit verschiedene Quellen aus unterschiedlichen Perspektiven zu verarbeiten. Dies fördert ein interdisziplinäres Verständnis. # Geübtes Lesen von längeren Texten ermöglicht ein schnelleres Lernen. Dies erleichtert das Bewältigen großer Mengen an Lernstoff erheblich. # Geübtes, schnelles Lesen erweitert erst den passiven und dann den aktiven Wortschatz. Dadurch können Ideen, Gedanken und Argumente klarer ausgedrückt und besser dokumentiert werden. # Um Prüfungen erfolgreich zu bestehen ist ein tiefes Verständnis von einem eingegrenzten Fachgebiet nötig. Geübtes, schnelles Lesen hilft, wesentliche Informationen eines Fachgebietes zu erkennen, das in Texten dokumentierte Wissen zu verinnerlichen. In Zeiten der digitalen Transformation von Wirtschaft und Gesellschaft wird die Fähigkeit zum selbstständigen lebenslangen Lernen immer wichtiger. Dazu ist die Suche, die Beschaffung und die Bewertung von geeigneten Informationen entscheidend. Geübtes Lesen hilft erheblich bei der Abschätzung der Glaubwürdigkeit und der Passgenauigkeit von gefundenen Informationen und ihren Quellen. '''In der Betriebswirtschaft ist es von entscheidender Bedeutung, sich ''schneller'' als die Konkurrenz in neue, bislang unvertraute Themen und Problemstellungen einzuarbeiten. Dazu sind zunehmend und größere Mengen an Informationen zu verarbeiten. Auch deshalb bereitet eine kurze Lehreinheit über das schnellere Lesen die Studierenden der BWL optimal auf diese Anforderung der Praxis vor.''' Grundlegende Inspationen zum geübten Lesen: * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI <span style="color:grey;">podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|<span style="color:grey;">besser lesen]] </span> <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um die Lernfortschritte einschätzen zu können, sollten Sie * <span style="color:blue;">die gestellten Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für erkannte Verständnisschwächen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780547<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780540 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780548<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780541 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780550<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780543 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. ==Quellen== [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] 3wgnhwmrxbpg3x9rqipyb7xbftq59m3 1106175 1106174 2026-07-08T12:34:32Z Falko Wilms 8588 /* Erkenntnisse aus der Forschung */ 1106175 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2025/26</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''(systemorientierte) Organisationslehre'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre"</span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Zielgruppe </big>'''</div> Studierende im Studienangebot "Einführung in die Betriebswirtschaftliche", zu dem dieses Lehrmodul gehört. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> HILFREICHE PODCASTS</big>'''</div> * [http://www.falko-wilms.de/pod/wozu%20podcast_SD.mp4 '''Wozu podcasts?'''] * [https://media.fhv.at/PublicMedia/140310_falko_wikiversity.mp4 '''Podcasts in der FHV'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe Begriffe] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Richtig Lesen </big>'''</div> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ <br><br> ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> <big>[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big>'''|'''</big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort <br> In diesem Zusammenhang wird das aktuelle St. Galler Management-Modell in diesem Lehrangebot benutz, weil es folgende Vorteile bietet: * <span style="color:green;"> vollzeitlich Studierenden wird eine Möglichkeit geboten, über aktuelle Erkenntnisse aus Forschung, Lehre und Praxis gemeinsamen nachzudenken * <span style="color:brown;"> nebenberuflich Studierenden wird es ermöglicht, aus dem eigenen Erfahrungsschatz heraus aktuelle/potentielle erfolgskritische Ereignisse, Entscheidungen und Entwicklungen mitsamt der sich daraus ergebenden Handlungsmöglichkeiten zu bedenken.<br> ==<span style="color:blue;">'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> ==<big><span style="color:grey;"><small>auf Wunsch möglich</small> '''Schneller Lesen können'''== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] -------------- </div> Die Fähigkeit, Bücher und Textpassagen zu lesen und zu verstehen ist von zentraler Bedeutung für ein erfolgreiches Studieren, denn: # Um ein Fachgebiet zu erlernen sind oft anspruchsvolle Texte zu lesen. Geübtes Lesen ermöglicht ein besseres Verständnis von Texten sowie das schnellere Erkennen von wesentlichen Aussagen. # Um Informationen wirksam zu verarbeiten sind auch längere Texte mit größeren Mengen an Informationen zu erfassen und zu verarbeiten. Geübtes Lesen ermöglicht es zu erfassen, welche Teile eines Textes besonders bedeutsam sind. # Um die Logik und die Kernaussagen eines Textes zu erkennen ist zu unterscheiden zwischen gemessenen Daten, getätigten Annahmen und vertretenen Meinungen mit deren Begründung. Geübtes Lesen ermöglicht eine vertiefte Analyse von gelesenen Texten. # Geübtes Lesen ermöglicht es, in kurzer Zeit verschiedene Quellen aus unterschiedlichen Perspektiven zu verarbeiten. Dies fördert ein interdisziplinäres Verständnis. # Geübtes Lesen von längeren Texten ermöglicht ein schnelleres Lernen. Dies erleichtert das Bewältigen großer Mengen an Lernstoff erheblich. # Geübtes, schnelles Lesen erweitert erst den passiven und dann den aktiven Wortschatz. Dadurch können Ideen, Gedanken und Argumente klarer ausgedrückt und besser dokumentiert werden. # Um Prüfungen erfolgreich zu bestehen ist ein tiefes Verständnis von einem eingegrenzten Fachgebiet nötig. Geübtes, schnelles Lesen hilft, wesentliche Informationen eines Fachgebietes zu erkennen, das in Texten dokumentierte Wissen zu verinnerlichen. In Zeiten der digitalen Transformation von Wirtschaft und Gesellschaft wird die Fähigkeit zum selbstständigen lebenslangen Lernen immer wichtiger. Dazu ist die Suche, die Beschaffung und die Bewertung von geeigneten Informationen entscheidend. Geübtes Lesen hilft erheblich bei der Abschätzung der Glaubwürdigkeit und der Passgenauigkeit von gefundenen Informationen und ihren Quellen. '''In der Betriebswirtschaft ist es von entscheidender Bedeutung, sich ''schneller'' als die Konkurrenz in neue, bislang unvertraute Themen und Problemstellungen einzuarbeiten. Dazu sind zunehmend und größere Mengen an Informationen zu verarbeiten. Auch deshalb bereitet eine kurze Lehreinheit über das schnellere Lesen die Studierenden der BWL optimal auf diese Anforderung der Praxis vor.''' Grundlegende Inspationen zum geübten Lesen: * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI <span style="color:grey;">podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|<span style="color:grey;">besser lesen]] </span> <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um die Lernfortschritte einschätzen zu können, sollten Sie * <span style="color:blue;">die gestellten Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für erkannte Verständnisschwächen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780547<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780540 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780548<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780541 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780550<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780543 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. ==Quellen== [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] 8dgv6shouqhrvdufgmfw0vtt0fvd7c4 2 89799 1106176 504411 2026-07-08T13:03:36Z Alexis Jazz 32026 this is a terrible template [[[w:en:User:Alexis Jazz/Factotum|Factotum]]] 1106176 wikitext text/x-wiki {{Benutzer:Holger Brenner/Präsentation/Tag der Mathematik/2017/Gestaltung|16|Berufsfelder| {{ inputbild |Bell telephone magazine (1950) (14755092795)|jpg|200px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }}{{ Auflistung11 |Softwareentwicklung |Datensicherheit |Telekommunikation |Versicherungswesen |Finanzwesen |Unternehmensberatung |Management |Logistik |Statistik |Schule |... }}|}} p1qq2of58140xt0na6r9jpeqozk60bc 2 92108 1106217 1062852 2026-07-09T09:16:45Z Bert Niehaus 20843 1106217 wikitext text/x-wiki [[Maxima CAS/Funktionsplots]] Siehe [https://en.wikiversity.org/wiki/User:Bert_Niehaus Nutzerseite in der englischsprachigen Wikiversity] == Direkte Links zu Wikiversity == * [[Digitale Lernumgebung]] * [[Diffusion]] pre-alpha-Version * [[Kurs:Ethik und Digitalisierung]] * [[Kurs:Didaktik der Stochastik für Lernumgebungen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Kurs:Numerik I]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Räumliche Modellbildung]] Zitat Beispiel<ref>Kurs:Räumliche Modellbildung. (22. April 2021). Wikiversity, . Abgerufen am 22. April 2021, 10:23 von https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung&oldid=690228. </ref> * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] == Testumgebung == * [[/Bücher/]] * [[/Wiki2Reveal - Test/]] * [[/Subseite/]] * [[/Syntax Highlighting/]] === Erstelltes Quiz - Mathematik === * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie]] * [[Hilfe:Quiz]] * {{Coordinate|NS=48/14/7/N |EW=16/24/51/E |type=landmark |region=AT-9}} === Wiki Translations of Pages === * [https://en.wikipedia.org/wiki/Help:Interlanguage_links Interlanguage Links]: Um einen Interlanguage-Link im Menü auf der rechten Seite sichtbar zu machen, muss man wie folgt in den Quelltext der Seite den folgenden Verweis einfügen. Das folgende Beispiel bezieht sich auf die Wikiversity-Seite [[Wasser]] und die englische Seite in Wikiversity [[v:en:Water|Water]]. Auf der deutschsprachigen Seite wurde am Ende des Quelltextes der folgende Interlanguage-Link eingefügt: <pre> <noinclude>[[en:Water]]</noinclude> </pre> : After saving the article in Wikiversity an interlanguage link will be shown on the left in the menu to the translation. Vice versa add the following interlanguage link to the german article about water "[[v:de:Wasser|Wasser]]" === Wikipedia Import === Bei fehlenden Vorlagen Wikiversity ist ein Import aus Wikipedia möglich. Vorher einen Test durchführen, ob abhängig Templates bereits importiert und ggf. verändert wurden: : '''[[Spezial:Importieren]]''' === Wartung === * [[Spezial:Verwaiste_Seiten]] == Externe Dateien für Lernressourcen == * https://niebert.github.io/wikiversity_files * [[CSV2Chart]] - Diagramme aus CSV-Dateien für die Integration in Wikiversity erstellen. * [https://niebert.github.io/wikipedia2wikiversity Wikipedia2Wikiversity] - Linkkonvertierung von Wikipedia zu Wikiversity - macht nur Sinn, wenn mehr als 50% der Links auf Wikipedia verweisen. Vorher sollte das Import-Tool verwendet werden, damit die Page-History der Seite integriert ist. * [[Wiki2Reveal]] - Aus Wikiversity-Seiten dynamisch RevealJS-Präsentation generieren. == Quellennachweise == rd8x0wxavqneavlimh4o6crgphnas4w 1106219 1106217 2026-07-09T09:17:17Z Bert Niehaus 20843 /* Erstelltes Quiz - Mathematik */ 1106219 wikitext text/x-wiki [[Maxima CAS/Funktionsplots]] Siehe [https://en.wikiversity.org/wiki/User:Bert_Niehaus Nutzerseite in der englischsprachigen Wikiversity] == Direkte Links zu Wikiversity == * [[Digitale Lernumgebung]] * [[Diffusion]] pre-alpha-Version * [[Kurs:Ethik und Digitalisierung]] * [[Kurs:Didaktik der Stochastik für Lernumgebungen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Kurs:Numerik I]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Räumliche Modellbildung]] Zitat Beispiel<ref>Kurs:Räumliche Modellbildung. (22. April 2021). Wikiversity, . Abgerufen am 22. April 2021, 10:23 von https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung&oldid=690228. </ref> * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] == Testumgebung == * [[/Bücher/]] * [[/Wiki2Reveal - Test/]] * [[/Subseite/]] * [[/Syntax Highlighting/]] === Erstelltes Quiz - Mathematik === * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie]] * [[Hilfe:Quiz]] * Koordinaten === Wiki Translations of Pages === * [https://en.wikipedia.org/wiki/Help:Interlanguage_links Interlanguage Links]: Um einen Interlanguage-Link im Menü auf der rechten Seite sichtbar zu machen, muss man wie folgt in den Quelltext der Seite den folgenden Verweis einfügen. Das folgende Beispiel bezieht sich auf die Wikiversity-Seite [[Wasser]] und die englische Seite in Wikiversity [[v:en:Water|Water]]. Auf der deutschsprachigen Seite wurde am Ende des Quelltextes der folgende Interlanguage-Link eingefügt: <pre> <noinclude>[[en:Water]]</noinclude> </pre> : After saving the article in Wikiversity an interlanguage link will be shown on the left in the menu to the translation. Vice versa add the following interlanguage link to the german article about water "[[v:de:Wasser|Wasser]]" === Wikipedia Import === Bei fehlenden Vorlagen Wikiversity ist ein Import aus Wikipedia möglich. Vorher einen Test durchführen, ob abhängig Templates bereits importiert und ggf. verändert wurden: : '''[[Spezial:Importieren]]''' === Wartung === * [[Spezial:Verwaiste_Seiten]] == Externe Dateien für Lernressourcen == * https://niebert.github.io/wikiversity_files * [[CSV2Chart]] - Diagramme aus CSV-Dateien für die Integration in Wikiversity erstellen. * [https://niebert.github.io/wikipedia2wikiversity Wikipedia2Wikiversity] - Linkkonvertierung von Wikipedia zu Wikiversity - macht nur Sinn, wenn mehr als 50% der Links auf Wikipedia verweisen. Vorher sollte das Import-Tool verwendet werden, damit die Page-History der Seite integriert ist. * [[Wiki2Reveal]] - Aus Wikiversity-Seiten dynamisch RevealJS-Präsentation generieren. == Quellennachweise == azqctghncee9mtisbhf8kmp6tw1h62a 1106220 1106219 2026-07-09T09:22:48Z Bert Niehaus 20843 1106220 wikitext text/x-wiki [[Maxima CAS/Funktionsplots]] [[Datei:Toxic Algae Bloom in Lake Erie.jpg|mini|Toxische Algeblüte - Fernerkundung - [[w:en:One Health|One Health]] ]] Siehe [https://en.wikiversity.org/wiki/User:Bert_Niehaus Nutzerseite in der englischsprachigen Wikiversity] == Direkte Links zu Wikiversity == * [[Digitale Lernumgebung]] * [[Diffusion]] pre-alpha-Version * [[Kurs:Ethik und Digitalisierung]] * [[Kurs:Didaktik der Stochastik für Lernumgebungen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Kurs:Numerik I]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Räumliche Modellbildung]] Zitat Beispiel<ref>Kurs:Räumliche Modellbildung. (22. April 2021). Wikiversity, . Abgerufen am 22. April 2021, 10:23 von https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung&oldid=690228. </ref> * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] == Testumgebung == * [[/Bücher/]] * [[/Wiki2Reveal - Test/]] * [[/Subseite/]] * [[/Syntax Highlighting/]] === Erstelltes Quiz - Mathematik === * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie]] * [[Hilfe:Quiz]] * Koordinaten === Wiki Translations of Pages === * [https://en.wikipedia.org/wiki/Help:Interlanguage_links Interlanguage Links]: Um einen Interlanguage-Link im Menü auf der rechten Seite sichtbar zu machen, muss man wie folgt in den Quelltext der Seite den folgenden Verweis einfügen. Das folgende Beispiel bezieht sich auf die Wikiversity-Seite [[Wasser]] und die englische Seite in Wikiversity [[v:en:Water|Water]]. Auf der deutschsprachigen Seite wurde am Ende des Quelltextes der folgende Interlanguage-Link eingefügt: <pre> <noinclude>[[en:Water]]</noinclude> </pre> : After saving the article in Wikiversity an interlanguage link will be shown on the left in the menu to the translation. Vice versa add the following interlanguage link to the german article about water "[[v:de:Wasser|Wasser]]" === Wikipedia Import === Bei fehlenden Vorlagen Wikiversity ist ein Import aus Wikipedia möglich. Vorher einen Test durchführen, ob abhängig Templates bereits importiert und ggf. verändert wurden: : '''[[Spezial:Importieren]]''' === Wartung === * [[Spezial:Verwaiste_Seiten]] == Externe Dateien für Lernressourcen == * https://niebert.github.io/wikiversity_files * [[CSV2Chart]] - Diagramme aus CSV-Dateien für die Integration in Wikiversity erstellen. * [https://niebert.github.io/wikipedia2wikiversity Wikipedia2Wikiversity] - Linkkonvertierung von Wikipedia zu Wikiversity - macht nur Sinn, wenn mehr als 50% der Links auf Wikipedia verweisen. Vorher sollte das Import-Tool verwendet werden, damit die Page-History der Seite integriert ist. * [[Wiki2Reveal]] - Aus Wikiversity-Seiten dynamisch RevealJS-Präsentation generieren. == Quellennachweise == 5qpmtuvb2egt5u7lqn8ykv0bwavsc9z 1106227 1106220 2026-07-09T09:46:44Z Bert Niehaus 20843 1106227 wikitext text/x-wiki [[Maxima CAS/Funktionsplots]] [[Datei:Toxic Algae Bloom in Lake Erie.jpg|mini|Toxische Algeblüte - Fernerkundung - [[v:en:One Health|One Health]] ]] Siehe [https://en.wikiversity.org/wiki/User:Bert_Niehaus Nutzerseite in der englischsprachigen Wikiversity] == Direkte Links zu Wikiversity == * [[Digitale Lernumgebung]] * [[Diffusion]] pre-alpha-Version * [[Kurs:Ethik und Digitalisierung]] * [[Kurs:Didaktik der Stochastik für Lernumgebungen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Kurs:Numerik I]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Räumliche Modellbildung]] Zitat Beispiel<ref>Kurs:Räumliche Modellbildung. (22. April 2021). Wikiversity, . Abgerufen am 22. April 2021, 10:23 von https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung&oldid=690228. </ref> * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] == Testumgebung == * [[/Bücher/]] * [[/Wiki2Reveal - Test/]] * [[/Subseite/]] * [[/Syntax Highlighting/]] === Erstelltes Quiz - Mathematik === * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie]] * [[Hilfe:Quiz]] * Koordinaten === Wiki Translations of Pages === * [https://en.wikipedia.org/wiki/Help:Interlanguage_links Interlanguage Links]: Um einen Interlanguage-Link im Menü auf der rechten Seite sichtbar zu machen, muss man wie folgt in den Quelltext der Seite den folgenden Verweis einfügen. Das folgende Beispiel bezieht sich auf die Wikiversity-Seite [[Wasser]] und die englische Seite in Wikiversity [[v:en:Water|Water]]. Auf der deutschsprachigen Seite wurde am Ende des Quelltextes der folgende Interlanguage-Link eingefügt: <pre> <noinclude>[[en:Water]]</noinclude> </pre> : After saving the article in Wikiversity an interlanguage link will be shown on the left in the menu to the translation. Vice versa add the following interlanguage link to the german article about water "[[v:de:Wasser|Wasser]]" === Wikipedia Import === Bei fehlenden Vorlagen Wikiversity ist ein Import aus Wikipedia möglich. Vorher einen Test durchführen, ob abhängig Templates bereits importiert und ggf. verändert wurden: : '''[[Spezial:Importieren]]''' === Wartung === * [[Spezial:Verwaiste_Seiten]] == Externe Dateien für Lernressourcen == * https://niebert.github.io/wikiversity_files * [[CSV2Chart]] - Diagramme aus CSV-Dateien für die Integration in Wikiversity erstellen. * [https://niebert.github.io/wikipedia2wikiversity Wikipedia2Wikiversity] - Linkkonvertierung von Wikipedia zu Wikiversity - macht nur Sinn, wenn mehr als 50% der Links auf Wikipedia verweisen. Vorher sollte das Import-Tool verwendet werden, damit die Page-History der Seite integriert ist. * [[Wiki2Reveal]] - Aus Wikiversity-Seiten dynamisch RevealJS-Präsentation generieren. == Quellennachweise == 9v0aasa0dgkjjh7ldfo7sr34nem5v9i 106 170330 1106177 1106170 2026-07-09T06:29:57Z Bert Niehaus 20843 /* Holomorphe Funktion */ 1106177 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2nx9pyvg1vma6m4pdw6d4t375kzdfaa 1106196 1106177 2026-07-09T07:29:15Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1106196 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[meromorphe Funktion]] * [[orientierte Fläche]] * [[Potenzreihe]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] a2xfpr5uk8ewlqbhmedz33w1okrdn1v 1106200 1106196 2026-07-09T08:27:36Z Bert Niehaus 20843 /* Weg als gesuchte Funktion */ 1106200 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Spur eines gesuchten Weges === === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[meromorphe Funktion]] * [[orientierte Fläche]] * [[Potenzreihe]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4byxawuzx5il0zbqtlgtpgus8u06jfc 1106201 1106200 2026-07-09T08:31:50Z Bert Niehaus 20843 /* Spur eines gesuchten Weges */ 1106201 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Spur eines gesuchten Weges === In der folgenden Abbildung ist eine mögliche Spur eines gesuchten Weges <math>\gamma [a,b]\to \mathbb{C}</math> eingezeichnet. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z mit weg.png|350px|centered|path of curve visualization - solution of differential equation]] === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[meromorphe Funktion]] * [[orientierte Fläche]] * [[Potenzreihe]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] icum90q1r2htoq9877pweoa5h0ajp10 1106210 1106201 2026-07-09T09:03:27Z Bert Niehaus 20843 /* Spur eines gesuchten Weges */ 1106210 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Spur eines gesuchten Weges === In der folgenden Abbildung ist eine mögliche Spur eines gesuchten Weges <math>\gamma [a,b]\to \mathbb{C}</math> eingezeichnet. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z mit weg.png|350px|center|path of curve visualization - solution of differential equation]] === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[meromorphe Funktion]] * [[orientierte Fläche]] * [[Potenzreihe]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nsp92b5p6kfm8vn3lf4kg3m6ykbel9q 1106211 1106210 2026-07-09T09:06:27Z Bert Niehaus 20843 /* Spur eines gesuchten Weges */ 1106211 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Spur eines gesuchten Weges === In der folgenden Abbildung ist eine mögliche Spur eines gesuchten Weges <math>\gamma [a,b]\to \mathbb{C}</math> eingezeichnet. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z mit weg.png|350px|center|path of curve visualization - solution of differential equation]] Siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen]] === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[meromorphe Funktion]] * [[orientierte Fläche]] * [[Potenzreihe]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] e1o245skbi25ulsfsmgiwpb6zdumjur 1106212 1106211 2026-07-09T09:06:38Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1106212 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Spur eines gesuchten Weges === In der folgenden Abbildung ist eine mögliche Spur eines gesuchten Weges <math>\gamma [a,b]\to \mathbb{C}</math> eingezeichnet. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z mit weg.png|350px|center|path of curve visualization - solution of differential equation]] Siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen]] === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[meromorphe Funktion]] * [[orientierte Fläche]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] l73xim1t90id4lrbslr2n9zzagq87t4 1106213 1106212 2026-07-09T09:06:48Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1106213 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Spur eines gesuchten Weges === In der folgenden Abbildung ist eine mögliche Spur eines gesuchten Weges <math>\gamma [a,b]\to \mathbb{C}</math> eingezeichnet. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z mit weg.png|350px|center|path of curve visualization - solution of differential equation]] Siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen]] === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[meromorphe Funktion]] * [[orientierte Fläche]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] c6anrhjh5oweq62pzycky37dkx6o0gp 1106234 1106213 2026-07-09T10:15:41Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1106234 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfeld]] in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Spur eines gesuchten Weges === In der folgenden Abbildung ist eine mögliche Spur eines gesuchten Weges <math>\gamma [a,b]\to \mathbb{C}</math> eingezeichnet. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z mit weg.png|350px|center|path of curve visualization - solution of differential equation]] Siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen]] === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[meromorphe Funktion]] * [[orientierte Fläche]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1kmisnvfel7k2kt5u89yhafactmorw9 1106241 1106234 2026-07-09T10:40:24Z Bert Niehaus 20843 /* Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld */ 1106241 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfeld]] in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Spur eines gesuchten Weges === In der folgenden Abbildung ist eine mögliche Spur eines gesuchten Weges <math>\gamma [a,b]\to \mathbb{C}</math> eingezeichnet. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z mit weg.png|350px|center|path of curve visualization - solution of differential equation]] Siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen]] === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[meromorphe Funktion]] * [[orientierte Fläche]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rhjjz8xn3m3sdu82gfvp8qmg8kivc5e 106 171533 1106199 1105780 2026-07-09T08:18:41Z Björn Henrich 41518 /* ABC-Formel anwenden */ 1106199 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ''' Lösungen ''': <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sek2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei <math>x=11,22</math>, aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt eher bei <math>x=10</math> zu erwarten ist. Mit Hilfe der Regressionsfunktion lassen sich also die ungefähren Lagen charakteristischer Punkte gut einordnen, was jedoch nicht zwangsläufig bedeutet, dass die Ergebnisse mit den realen Werten exakt übereinstimmen. Abschließend besteht neben dem gewählten Vorgehen mit einer polynominalen Regression die Möglichkeit, die Datenpunkte über abschnittsweise definierte lineare Funktionen zu verbinden, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt wird. Zugunsten der Übersichtlichkeit sind die meisten Graphen hier jedoch nur als Strecken zwischen den Punkten und nicht als Geraden eingezeichnet. Letzteres wäre jedoch zur Ermittlung der jeweiligen Funktionsvorschrift in der praktischen Umsetzung sinnvoller: [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] Der Vorteil dieses Vorgehens besteht darin, dass bereits Kenntnisse aus der Sek1 ausreichend sind, um die Datenpunkte zu untersuchen, da es sich in jedem Fall lediglich um lineare Funktionen handelt. Die lineare Interpolation scheint bei einer geringen Anzahl von Datenpunkten möglicherweise sinnvoll und beschreibt die Eingabedaten vermutlich in Teilen sogar genauer als eine polynominale Regression. Bei zunehmender Anzahl an Daten steigt jedoch ebenso die Zahl der benötigten abschnittsweise definierten Funktionen linear mit an. In unserem Beispiel mit 31 Datenpunkten wären so bereits 30 verschiedene Funktionen nötig, die jeweils aufgestellt und bei denen der Definitionsbereich festgelegt werden müsste. Der Rechenaufwand wäre also um ein vielfaches größer als bei einer einzigen Polynomfunktion. Im Rahmen der Umsetzung in der Sek2 können die beiden Vorgehen also direkt nebeneinander gestellt und miteinander verglichen sowie auf diese Weise auch Nachteile bzw. Schwierigkeiten der linearen Interpolation diskutiert werden. q37hppcy8jh7y3h0on8ulipgu1uct3e 106 171867 1106202 1105976 2026-07-09T08:32:38Z Nils Huck 41520 /* Realer Modellierungszyklus */ 1106202 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb|20 Jahre|800px|center]] [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb|20 Jahre|800px|center]] [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|800px|center]] 3tzrk0wki48mrrdsdn9d8rex4p6cz1w 1106203 1106202 2026-07-09T08:37:23Z Nils Huck 41520 /* Realer Modellierungszyklus */ 1106203 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] 16nps6ji9k4bfuzdfwx0prvv2w4cd7z 1106204 1106203 2026-07-09T08:45:37Z Nils Huck 41520 /* Realer Modellierungszyklus */ 1106204 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] 2qh953p87y56tbmbr20slirhsnjynoj 1106209 1106204 2026-07-09T09:02:35Z Nils Huck 41520 /* Realer Modellierungszyklus */ 1106209 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == Die bisher vorgestellten mathematischen Modelle, mit ihrer glatten, differenzierbaren Zielfunktion und dem klaren Maximum bei einem einzigen optimalen Standort, bieten eine hervorragende Grundlage, um die Prinzipien des Gradientenverfahrens und der numerischen Optimierung zu verstehen. Doch die Realität ist komplexer: Windkraftanlagen werden nicht in einer idealisierten, unendlichen Ebene errichtet, sondern in Landschaften mit vielfältigen physikalischen und ökologischen Gegebenheiten. Um das Modell realistischer zu gestalten, wird nun der modellbasierte Entscheidungsprozess erweitert: Statt von einer kontinuierlichen Funktion auszugehen, wird nun ein Gitternetz von möglichen Standorten erzeugt, das die tatsächliche Landschaft repräsentiert. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] 3ehd628khogia3cqk07h1c07n96i282 106 171930 1106205 1106086 2026-07-09T08:53:53Z ~2026-38353-40 41705 /* Rand- und Anfangsparameter */ 1106205 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstromrauch. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. Es bietet sich an, zwischen Haupt- und Nebenrauchstrom zu unterscheiden. Der Hauptstrom beschreibt den Rauch beim Ausatmen, während der Nebenstrom den Rauch der glimmenden Zigarette umfasst. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. Es wird ein Quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. ===Anfangsbedingung=== Was für uns besser passt: - Zigarette mit Ein- und Ausfluss mit Strömungslinien des Rauchs. Setzt man in Quader (ist unser Gitter) Zigarette wäre auszuschneidendes Element. Teilchen sitzen auf den Strömungslinien. Könnte Partikel setzen und verfolgen. Mehr Verwirbelungen. oder '''- Quader mit Mund/Mensch mit Zigarette, deren Rauch ausgestoßen wird. Weniger Verwirbelung. Rauch strömt aus und Ausbreitung des Rauchs ist Ziel. -> vgl. Modellation in 2D von Abgase-Auto -> Nebenstrom schwer, da Gitteränderung: Möglich durch feste Hand/Arm Bewegung vorschreiben (vgl. Schiff)''' -> '''Modellierung in 3D bei uns!!''' -> Isofläche für Konzentration (vgl. Stand in Ader von ihre Datei) -> Transport verdümnnter Spezies: Neue Physik in Gebiet einfügen: Dependent Variables c. Berechnung Konzentration von Rauchpartikeln. Muss nicht nur laminare Strömung sondern Verknüpfung mit anderer Physik. Wichtig andere Gleichung: Zeitableitung, Gradient Skalarprodukt ist Divergenz als Diffussionsterm; ... Stoff diffundiert durch die Luft, Stoff wird mit Geschwindigkeit transportiert. Muss Comsol diese Geschwindigkeit aus der laminaren Strömung sagen. ->Randbedingungen können mit echten oder gewählten Werten gemacht werden. -> Mensch braucht Mund in der Modellierung ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. '''nein, 3D''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) f14glvqudiwbde7wdhdhuy0glsxpbl3 1106206 1106205 2026-07-09T08:54:46Z ~2026-38353-40 41705 /* Rand- und Anfangsparameter */ 1106206 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstromrauch. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. Es bietet sich an, zwischen Haupt- und Nebenrauchstrom zu unterscheiden. Der Hauptstrom beschreibt den Rauch beim Ausatmen, während der Nebenstrom den Rauch der glimmenden Zigarette umfasst. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Modell == Es wird ein Quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Was für uns besser passt: - Zigarette mit Ein- und Ausfluss mit Strömungslinien des Rauchs. Setzt man in Quader (ist unser Gitter) Zigarette wäre auszuschneidendes Element. Teilchen sitzen auf den Strömungslinien. Könnte Partikel setzen und verfolgen. Mehr Verwirbelungen. oder '''- Quader mit Mund/Mensch mit Zigarette, deren Rauch ausgestoßen wird. Weniger Verwirbelung. Rauch strömt aus und Ausbreitung des Rauchs ist Ziel. -> vgl. Modellation in 2D von Abgase-Auto -> Nebenstrom schwer, da Gitteränderung: Möglich durch feste Hand/Arm Bewegung vorschreiben (vgl. Schiff)''' -> '''Modellierung in 3D bei uns!!''' -> Isofläche für Konzentration (vgl. Stand in Ader von ihre Datei) -> Transport verdümnnter Spezies: Neue Physik in Gebiet einfügen: Dependent Variables c. Berechnung Konzentration von Rauchpartikeln. Muss nicht nur laminare Strömung sondern Verknüpfung mit anderer Physik. Wichtig andere Gleichung: Zeitableitung, Gradient Skalarprodukt ist Divergenz als Diffussionsterm; ... Stoff diffundiert durch die Luft, Stoff wird mit Geschwindigkeit transportiert. Muss Comsol diese Geschwindigkeit aus der laminaren Strömung sagen. ->Randbedingungen können mit echten oder gewählten Werten gemacht werden. -> Mensch braucht Mund in der Modellierung ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. '''nein, 3D''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) 47yk85m69oz94qgy1k0a5l2lqrrveco 1106207 1106206 2026-07-09T08:55:02Z ~2026-38353-40 41705 /* Modell */ 1106207 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstromrauch. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. Es bietet sich an, zwischen Haupt- und Nebenrauchstrom zu unterscheiden. Der Hauptstrom beschreibt den Rauch beim Ausatmen, während der Nebenstrom den Rauch der glimmenden Zigarette umfasst. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Modellierung == Es wird ein Quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Was für uns besser passt: - Zigarette mit Ein- und Ausfluss mit Strömungslinien des Rauchs. Setzt man in Quader (ist unser Gitter) Zigarette wäre auszuschneidendes Element. Teilchen sitzen auf den Strömungslinien. Könnte Partikel setzen und verfolgen. Mehr Verwirbelungen. oder '''- Quader mit Mund/Mensch mit Zigarette, deren Rauch ausgestoßen wird. Weniger Verwirbelung. Rauch strömt aus und Ausbreitung des Rauchs ist Ziel. -> vgl. Modellation in 2D von Abgase-Auto -> Nebenstrom schwer, da Gitteränderung: Möglich durch feste Hand/Arm Bewegung vorschreiben (vgl. Schiff)''' -> '''Modellierung in 3D bei uns!!''' -> Isofläche für Konzentration (vgl. Stand in Ader von ihre Datei) -> Transport verdümnnter Spezies: Neue Physik in Gebiet einfügen: Dependent Variables c. Berechnung Konzentration von Rauchpartikeln. Muss nicht nur laminare Strömung sondern Verknüpfung mit anderer Physik. Wichtig andere Gleichung: Zeitableitung, Gradient Skalarprodukt ist Divergenz als Diffussionsterm; ... Stoff diffundiert durch die Luft, Stoff wird mit Geschwindigkeit transportiert. Muss Comsol diese Geschwindigkeit aus der laminaren Strömung sagen. ->Randbedingungen können mit echten oder gewählten Werten gemacht werden. -> Mensch braucht Mund in der Modellierung ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. '''nein, 3D''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) qzbgd5fkss9q0xqmmqcg2ykyk63bxw2 1106208 1106207 2026-07-09T08:58:38Z ~2026-38319-60 41704 /* Relevanz */ 1106208 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. Es bietet sich an, zwischen Haupt- und Nebenrauchstrom zu unterscheiden. Der Hauptstrom beschreibt den Rauch beim Ausatmen, während der Nebenstrom den Rauch der glimmenden Zigarette umfasst. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Modellierung == Es wird ein Quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Was für uns besser passt: - Zigarette mit Ein- und Ausfluss mit Strömungslinien des Rauchs. Setzt man in Quader (ist unser Gitter) Zigarette wäre auszuschneidendes Element. Teilchen sitzen auf den Strömungslinien. Könnte Partikel setzen und verfolgen. Mehr Verwirbelungen. oder '''- Quader mit Mund/Mensch mit Zigarette, deren Rauch ausgestoßen wird. Weniger Verwirbelung. Rauch strömt aus und Ausbreitung des Rauchs ist Ziel. -> vgl. Modellation in 2D von Abgase-Auto -> Nebenstrom schwer, da Gitteränderung: Möglich durch feste Hand/Arm Bewegung vorschreiben (vgl. Schiff)''' -> '''Modellierung in 3D bei uns!!''' -> Isofläche für Konzentration (vgl. Stand in Ader von ihre Datei) -> Transport verdümnnter Spezies: Neue Physik in Gebiet einfügen: Dependent Variables c. Berechnung Konzentration von Rauchpartikeln. Muss nicht nur laminare Strömung sondern Verknüpfung mit anderer Physik. Wichtig andere Gleichung: Zeitableitung, Gradient Skalarprodukt ist Divergenz als Diffussionsterm; ... Stoff diffundiert durch die Luft, Stoff wird mit Geschwindigkeit transportiert. Muss Comsol diese Geschwindigkeit aus der laminaren Strömung sagen. ->Randbedingungen können mit echten oder gewählten Werten gemacht werden. -> Mensch braucht Mund in der Modellierung ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. '''nein, 3D''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) csjk50ihmhxbonvc93toc1rrx24jowp 1106214 1106208 2026-07-09T09:14:00Z ~2026-38319-60 41704 /* Anfangsbedingung */ 1106214 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. Es bietet sich an, zwischen Haupt- und Nebenrauchstrom zu unterscheiden. Der Hauptstrom beschreibt den Rauch beim Ausatmen, während der Nebenstrom den Rauch der glimmenden Zigarette umfasst. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Modellierung == Es wird ein Quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Für die Simulation der Rauchausbreitung wird angenommen, dass sich die Luft im Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. Was für uns besser passt: - Zigarette mit Ein- und Ausfluss mit Strömungslinien des Rauchs. Setzt man in Quader (ist unser Gitter) Zigarette wäre auszuschneidendes Element. Teilchen sitzen auf den Strömungslinien. Könnte Partikel setzen und verfolgen. Mehr Verwirbelungen. oder '''- Quader mit Mund/Mensch mit Zigarette, deren Rauch ausgestoßen wird. Weniger Verwirbelung. Rauch strömt aus und Ausbreitung des Rauchs ist Ziel. -> vgl. Modellation in 2D von Abgase-Auto -> Nebenstrom schwer, da Gitteränderung: Möglich durch feste Hand/Arm Bewegung vorschreiben (vgl. Schiff)''' -> '''Modellierung in 3D bei uns!!''' -> Isofläche für Konzentration (vgl. Stand in Ader von ihre Datei) -> Transport verdümnnter Spezies: Neue Physik in Gebiet einfügen: Dependent Variables c. Berechnung Konzentration von Rauchpartikeln. Muss nicht nur laminare Strömung sondern Verknüpfung mit anderer Physik. Wichtig andere Gleichung: Zeitableitung, Gradient Skalarprodukt ist Divergenz als Diffussionsterm; ... Stoff diffundiert durch die Luft, Stoff wird mit Geschwindigkeit transportiert. Muss Comsol diese Geschwindigkeit aus der laminaren Strömung sagen. ->Randbedingungen können mit echten oder gewählten Werten gemacht werden. -> Mensch braucht Mund in der Modellierung ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. '''nein, 3D''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) n3pxwwhjyoy4tuf17h03zo0um8jtgzq 1106215 1106214 2026-07-09T09:14:51Z ~2026-38319-60 41704 /* Anfangsbedingung */ 1106215 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. Es bietet sich an, zwischen Haupt- und Nebenrauchstrom zu unterscheiden. Der Hauptstrom beschreibt den Rauch beim Ausatmen, während der Nebenstrom den Rauch der glimmenden Zigarette umfasst. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Modellierung == Es wird ein Quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. Was für uns besser passt: - Zigarette mit Ein- und Ausfluss mit Strömungslinien des Rauchs. Setzt man in Quader (ist unser Gitter) Zigarette wäre auszuschneidendes Element. Teilchen sitzen auf den Strömungslinien. Könnte Partikel setzen und verfolgen. Mehr Verwirbelungen. oder '''- Quader mit Mund/Mensch mit Zigarette, deren Rauch ausgestoßen wird. Weniger Verwirbelung. Rauch strömt aus und Ausbreitung des Rauchs ist Ziel. -> vgl. Modellation in 2D von Abgase-Auto -> Nebenstrom schwer, da Gitteränderung: Möglich durch feste Hand/Arm Bewegung vorschreiben (vgl. Schiff)''' -> '''Modellierung in 3D bei uns!!''' -> Isofläche für Konzentration (vgl. Stand in Ader von ihre Datei) -> Transport verdümnnter Spezies: Neue Physik in Gebiet einfügen: Dependent Variables c. Berechnung Konzentration von Rauchpartikeln. Muss nicht nur laminare Strömung sondern Verknüpfung mit anderer Physik. Wichtig andere Gleichung: Zeitableitung, Gradient Skalarprodukt ist Divergenz als Diffussionsterm; ... Stoff diffundiert durch die Luft, Stoff wird mit Geschwindigkeit transportiert. Muss Comsol diese Geschwindigkeit aus der laminaren Strömung sagen. ->Randbedingungen können mit echten oder gewählten Werten gemacht werden. -> Mensch braucht Mund in der Modellierung ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. '''nein, 3D''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) jc0mc68oc2jburbvpn460tl2a9l53u1 1106216 1106215 2026-07-09T09:16:06Z ~2026-38319-60 41704 /* Anfangsbedingung */ 1106216 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. Es bietet sich an, zwischen Haupt- und Nebenrauchstrom zu unterscheiden. Der Hauptstrom beschreibt den Rauch beim Ausatmen, während der Nebenstrom den Rauch der glimmenden Zigarette umfasst. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Modellierung == Es wird ein Quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. Was für uns besser passt: - Zigarette mit Ein- und Ausfluss mit Strömungslinien des Rauchs. Setzt man in Quader (ist unser Gitter) Zigarette wäre auszuschneidendes Element. Teilchen sitzen auf den Strömungslinien. Könnte Partikel setzen und verfolgen. Mehr Verwirbelungen. oder '''- Quader mit Mund/Mensch mit Zigarette, deren Rauch ausgestoßen wird. Weniger Verwirbelung. Rauch strömt aus und Ausbreitung des Rauchs ist Ziel. -> vgl. Modellation in 2D von Abgase-Auto -> Nebenstrom schwer, da Gitteränderung: Möglich durch feste Hand/Arm Bewegung vorschreiben (vgl. Schiff)''' -> '''Modellierung in 3D bei uns!!''' -> Isofläche für Konzentration (vgl. Stand in Ader von ihre Datei) -> Transport verdümnnter Spezies: Neue Physik in Gebiet einfügen: Dependent Variables c. Berechnung Konzentration von Rauchpartikeln. Muss nicht nur laminare Strömung sondern Verknüpfung mit anderer Physik. Wichtig andere Gleichung: Zeitableitung, Gradient Skalarprodukt ist Divergenz als Diffussionsterm; ... Stoff diffundiert durch die Luft, Stoff wird mit Geschwindigkeit transportiert. Muss Comsol diese Geschwindigkeit aus der laminaren Strömung sagen. ->Randbedingungen können mit echten oder gewählten Werten gemacht werden. -> Mensch braucht Mund in der Modellierung ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. '''nein, 3D''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) 6y9uww6qhuoc3upvwa367cp4tg2xc36 1106218 1106216 2026-07-09T09:17:10Z ~2026-38319-60 41704 /* Anfangsbedingung */ 1106218 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} Für strömungsmechanische Berechnungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. Es bietet sich an, zwischen Haupt- und Nebenrauchstrom zu unterscheiden. Der Hauptstrom beschreibt den Rauch beim Ausatmen, während der Nebenstrom den Rauch der glimmenden Zigarette umfasst. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Modellierung == Es wird ein Quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. Was für uns besser passt: - Zigarette mit Ein- und Ausfluss mit Strömungslinien des Rauchs. Setzt man in Quader (ist unser Gitter) Zigarette wäre auszuschneidendes Element. Teilchen sitzen auf den Strömungslinien. Könnte Partikel setzen und verfolgen. Mehr Verwirbelungen. oder '''- Quader mit Mund/Mensch mit Zigarette, deren Rauch ausgestoßen wird. Weniger Verwirbelung. Rauch strömt aus und Ausbreitung des Rauchs ist Ziel. -> vgl. Modellation in 2D von Abgase-Auto -> Nebenstrom schwer, da Gitteränderung: Möglich durch feste Hand/Arm Bewegung vorschreiben (vgl. Schiff)''' -> '''Modellierung in 3D bei uns!!''' -> Isofläche für Konzentration (vgl. Stand in Ader von ihre Datei) -> Transport verdümnnter Spezies: Neue Physik in Gebiet einfügen: Dependent Variables c. Berechnung Konzentration von Rauchpartikeln. Muss nicht nur laminare Strömung sondern Verknüpfung mit anderer Physik. Wichtig andere Gleichung: Zeitableitung, Gradient Skalarprodukt ist Divergenz als Diffussionsterm; ... Stoff diffundiert durch die Luft, Stoff wird mit Geschwindigkeit transportiert. Muss Comsol diese Geschwindigkeit aus der laminaren Strömung sagen. ->Randbedingungen können mit echten oder gewählten Werten gemacht werden. -> Mensch braucht Mund in der Modellierung ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. '''nein, 3D''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = Laminar nicht ideal; aber Netz wird an bestimmten Stellen verfeinert um Turbulenzen zu erkennen = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) l748x58a9yceu7wny3iow2lsnfvgbu4 1106221 1106218 2026-07-09T09:39:58Z ~2026-38353-40 41705 1106221 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== Es wird ein Quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ==Geometrie-Erstellung== Raum: Raucher: Nicht-Raucher: ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig? ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) mscqjdtateceltbtxb0bgomwbwgjug6 1106222 1106221 2026-07-09T09:40:41Z ~2026-38353-40 41705 /* Wählen der Physik */ 1106222 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== Es wird ein Quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ==Geometrie-Erstellung== Raum: Raucher: Nicht-Raucher: ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig? ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) omk0oaruzznrbzbjrym6kzzp43kr84c 1106223 1106222 2026-07-09T09:40:55Z ~2026-38353-40 41705 /* Wählen der Physik */ 1106223 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== Es wird ein Quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ==Geometrie-Erstellung== Raum: Raucher: Nicht-Raucher: ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig? ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) mz9vj26pis006ypxrn9vuz7bq6wwrbc 1106224 1106223 2026-07-09T09:41:27Z ~2026-38319-60 41704 /* Randbedingung */ 1106224 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== Es wird ein Quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== Raum: Raucher: Nicht-Raucher: ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig? ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) ioqq5ghu6fenhiefyi7gc9s5foc34qe 1106225 1106224 2026-07-09T09:41:32Z ~2026-38353-40 41705 /* Physikalische Annahmen */ 1106225 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== Es wird ein Quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== Raum: Raucher: Nicht-Raucher: ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig? ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) sd08bldmbv6erl4j2nmz5vecba0mggq 1106226 1106225 2026-07-09T09:43:59Z ~2026-38353-40 41705 /* Geometrie-Erstellung */ 1106226 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== Es wird ein Quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== Raum: Raucher: Nicht-Raucher: ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig? ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) gzhk7msr4rzhn4ofjzdj3honycmyrva 106 171940 1106179 2026-07-09T06:36:48Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1106179 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}}}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}}}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. == Holomorphe Wege ==l Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Beispiel - Wege als Potenzreihen == Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> pxxs9lx0tjvpimomzn2a4rrmpxwbs3h 1106180 1106179 2026-07-09T06:37:06Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1106180 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. == Holomorphe Wege ==l Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Beispiel - Wege als Potenzreihen == Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> fzegci74rha8zvh9g8xnth4y1mrjvor 1106181 1106180 2026-07-09T06:37:18Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1106181 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Beispiel - Wege als Potenzreihen == Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> flly33nsu6flo4u51d8h7cn42rp7exd 1106183 1106181 2026-07-09T06:45:15Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1106183 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Beispiel - Wege als Potenzreihen == Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> k8rjka0ramws1ih5hj0l6vmsjdk3l94 1106184 1106183 2026-07-09T06:46:02Z Bert Niehaus 20843 /* Fallunterscheidung - für 3. Potenz */ 1106184 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Beispiel - Wege als Potenzreihen == Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] n4tq9e18dkfndvhn5cziewxv9wk9e42 1106185 1106184 2026-07-09T06:46:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Wege als Potenzreihen */ 1106185 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pj421zh5uvpaepokr3pj6ygy6vwgxrp 1106186 1106185 2026-07-09T06:48:14Z Bert Niehaus 20843 /* Konvexkombination als holomorpher Weg */ 1106186 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der Cauchy-Integralformel]] Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qvan3bdahvu71vu5idm7ajnrb6o3oyu 1106187 1106186 2026-07-09T06:51:42Z Bert Niehaus 20843 /* Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen */ 1106187 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2xk80fhje42owjdkwr9jp8x8iqca435 1106188 1106187 2026-07-09T06:59:40Z Bert Niehaus 20843 /* Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen */ 1106188 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fq7iyynyirqd27qankltx25qbwm6v2y 1106189 1106188 2026-07-09T07:00:17Z Bert Niehaus 20843 /* Konvexkombination als holomorpher Weg */ 1106189 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bppd48qyobfqit0d2jyptiwndl0l8mc 1106190 1106189 2026-07-09T07:00:32Z Bert Niehaus 20843 /* Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen */ 1106190 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 43yim4vrfgpl4gnblmheo1mffgqghwv 1106191 1106190 2026-07-09T07:05:07Z Bert Niehaus 20843 /* Wege als Potenzreihen */ 1106191 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7a2o3leod1l25p52tr2cz4lf1aq101t 1106192 1106191 2026-07-09T07:23:51Z Bert Niehaus 20843 /* Wege als Laurentreihen */ 1106192 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ghky5qji67o1bepzcx1bu8n1wnahrt8 1106193 1106192 2026-07-09T07:24:41Z Bert Niehaus 20843 /* Fallunterscheidung - für 3. Potenz */ 1106193 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nght41gt96ncbh2oh2ord7h8vyupbnk 1106194 1106193 2026-07-09T07:26:56Z Bert Niehaus 20843 /* Seiteninformation */ 1106194 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] aezdf6zifwk9o4pjxx0qs9h1hgsxt7a 1106195 1106194 2026-07-09T07:28:10Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1106195 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfeldern]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1nffxiuosdp6ljatxe924umsjkpb7pa 1106197 1106195 2026-07-09T07:29:27Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1106197 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7fvm9smb7ihpsfetjqyzr68buale0zi 1106228 1106197 2026-07-09T09:58:21Z Bert Niehaus 20843 /* Konstante der Potenzreihen */ 1106228 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ly5osagmhx1xc6xoxa6e60qmszs4gnv 1106229 1106228 2026-07-09T09:58:32Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1106229 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] suaxpcuj5ec49868oot1jbqddqgush8 1106230 1106229 2026-07-09T09:58:41Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1106230 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} </math> == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] s058rn4lyfxrclqs5aq959vsi4tl1o6 1106231 1106230 2026-07-09T10:10:03Z Bert Niehaus 20843 /* Fallunterscheidung - für 3. Potenz */ 1106231 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist. == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] p9scmdvoyb7y5tu9b9gehtpp25o29bf 1106232 1106231 2026-07-09T10:11:13Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ 1106232 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die Vektorfelder <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bda75ogo2i8qq4s489o6jbl45cxbf8d 1106233 1106232 2026-07-09T10:15:15Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1106233 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auf die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] l85w8yzl0jh0w4akhs6bjzv6vsf3iwg 106 171941 1106236 2026-07-09T10:32:04Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1106236 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer Differentialgleichung mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^3</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a:= \gamma(a)\in \mathbb{C}</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. rbug86adj92jamubgdikasrcl9q8ene 1106237 1106236 2026-07-09T10:32:36Z Bert Niehaus 20843 /* Geometrische Grundidee */ 1106237 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer Differentialgleichung mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^3</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a:= \gamma(a)\in \mathbb{C}</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === == Siehe auch == skhevg7o5z0m8juvmzpvvpy8dk4kzlc 1106238 1106237 2026-07-09T10:33:57Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1106238 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer Differentialgleichung mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^3</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a:= \gamma(a)\in \mathbb{C}</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] jj3gqcy7obdbwv123e3kspva6rt2t5d 1106239 1106238 2026-07-09T10:36:01Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung Vektorfeld */ 1106239 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer Differentialgleichung mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^3</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a:= \gamma(a)\in \mathbb{C}</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht, [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] als Lösung von Differentialgleichungen zu finden, dann stellt man fest, dass diese nur durch konstante Wege gelöst werden können, d.h. == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] pej11lzuu6kn28ctswwdxcho9cy14io 1106240 1106239 2026-07-09T10:38:55Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung Vektorfeld */ 1106240 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer Differentialgleichung mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^3</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a:= \gamma(a)\in \mathbb{C}</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht, [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] als Lösung von Differentialgleichungen zu finden, dann stellt man fest, dass diese nur durch konstante Wege gelöst werden können, d.h. == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] m9v6wx2a742znnmxcyhewhaiwsxgyv3 1106242 1106240 2026-07-09T11:02:28Z Bert Niehaus 20843 /* Holomorphe Weg in Vektorfeldern */ 1106242 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer Differentialgleichung mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^3</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a:= \gamma(a)\in \mathbb{C}</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht, [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] als Lösung von Differentialgleichungen zu finden, dann stellt man fest, dass diese nur durch konstante Wege gelöst werden können, d.h. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> ist damit eine [[meromorphe Funktion]]. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle nicht definiert <math>t_0</math> . == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] 2xesxcyfyo14noinc1hhqpnxfgfr4cw 1106243 1106242 2026-07-09T11:05:42Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1106243 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht, [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] als Lösung von Differentialgleichungen zu finden, dann stellt man fest, dass diese nur durch konstante Wege gelöst werden können, d.h. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> ist damit eine [[meromorphe Funktion]]. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle nicht definiert <math>t_0</math> . == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] g2igbbet391hw1ffu513347n1g25p5g 1106244 1106243 2026-07-09T11:32:16Z Bert Niehaus 20843 /* Holomorphe Weg in Vektorfeldern */ 1106244 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^3</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> ist damit eine [[meromorphe Funktion]]. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle nicht definiert <math>t_0</math> . == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] gf2480j8x7yin74hde4edit3wagwef8 1106245 1106244 2026-07-09T11:32:49Z Bert Niehaus 20843 /* Holomorphe Weg in Vektorfeldern */ 1106245 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> ist damit eine [[meromorphe Funktion]]. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle nicht definiert <math>t_0</math> . == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] psbadwabt1igyz45b0y7qs3ih662u42 1106246 1106245 2026-07-09T11:34:16Z Bert Niehaus 20843 /* Lösung der Differentialgleichung */ 1106246 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> und ist damit eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle nicht definiert <math>t_0</math> . == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] sam8tqo0t3savr2l6dr9jx5imcdkwj2 1106247 1106246 2026-07-09T11:35:16Z Bert Niehaus 20843 /* Pol auf der Spur des Weges */ 1106247 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> und ist damit eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] 0qdud14b6zrff16jsh7hwcnmitc3nsq 1106248 1106247 2026-07-09T11:36:57Z Bert Niehaus 20843 /* Pol auf der Spur des Weges */ 1106248 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> und ist damit eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] 2eopahb0s6aykeokimsn52fpmrd3fo1 1106249 1106248 2026-07-09T11:49:02Z Bert Niehaus 20843 /* Lösungsweg für Differentialgleichungen */ 1106249 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> und ist damit eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] ne18v8vfjdjjd11cjv0rj6dit9druh7