Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.10 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 10 18918 1106315 1061426 2026-07-10T08:28:30Z Bocardodarapti 2041 1106315 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Sie dient dazu, auf eine mathematische Definition zu verweisen. Als Linkverankerung dient der Begriff (bzw. eine Variante), wie er im Text vorkommt. Der Verankerungstext kann auch sowas sein wie {{Anführung|aufgrund der Definition}}. Die Latex-Version soll mit dem Latex label/ref-System arbeiten. Dem Referenzparameter kann in einem Haupttext ein Wert zugeordnet werden, beispielsweise {{Anführung|(siehe/vgl. Definition 5.3)}}.}} Zur Verlinkung der Definition für {{Anführung|kompakt}} sollte der Eintrag so aussehen: <pre> {{ Definitionslink |kompakt| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition |SZ= }} </pre> Darüber hinaus gibt es ein Weiterleitungssystem, damit nicht jedes mal nach dem genauen Namen der Definition gesucht werden muss. Dann sieht der Eintrag so aus <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |SZ= }} </pre> bzw. <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=Topologie| |SZ= }} </pre> In der letzten Form ist der Eintrag im Kontext eine Spezifizierungshilfe für die Weiterleitungen. </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs={{Vorlage:Definitionslink in Kurs|{{{1|}}}| |Prämath/klammer={{{Prämath/klammer|}}} |Prämath={{{Prämath|}}} |msw={{{msw|}}} |Kontext={{{Kontext|}}} |Kontext2={{{Kontext2|}}} |prä={{{prä|}}} |Definitionsseitenname={{{Definitionsseitenname|}}} |SZ={{{SZ|}}}|}} |#default={{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|(${{{Prämath/klammer|}}}$)-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|${{{Prämath|}}}$-|}}\definitionsverweis {{{{1|}}}}{{{{term|{{{Refname|}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |wikicode={{#if:{{{Prämath|}}}|<nowiki><math></nowiki>{{{Prämath|}}}<nowiki></math></nowiki>-|}}{{{1|}}}{{{SZ|}}} |#default= {{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{#ifeq:{{{Definitionsseitenname|}}}|| {{Mathematische Standardverlinkung|prä={{{prä|}}}|1={{{1|}}}|linkwort={{{1|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|SZ={{{SZ|}}} }} |{{#ifeq:{{{Definitionsseitenname|}}}|/Definition| {{Mathematische Standardverlinkung|prä={{{prä|}}}|1={{{1|}}}|linkwort={{{1|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|SZ={{{SZ|}}} }} |[[{{{term|{{{Definitionsseitenname|}}}}}}|{{{1}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}]]{{{SZ|}}}}}}}}}}}</includeonly><noinclude>{{Semantische Vorlage für Stichwort}}</noinclude> 7ia5lji0gulzi4u43em8zi7hn4iyuq5 10 19920 1106268 604716 2026-07-09T15:57:00Z Bocardodarapti 2041 1106268 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex |#default= \left\{ {{{1}}} \mid {{{2}}} {{#if:{{{3|}}}|, \, {{{3|}}} | }} {{#if:{{{4|}}}|, \, {{{4|}}} | }} \right\} }} </includeonly><noinclude> BEISPIEL {| class="prettytable" ! Eingabe (in mathematischer Umgebung) !! Ausgabe |- |<nowiki> {{Mengebed|Element|Bedingung}} </nowiki> |{{math|term= {{Mengebed|Element|Bedingung}} |SZ=}} |- |<nowiki> {{Mengebed| x \in \R^n | \sqrt{x_1^2 + \ldots +x_n^2} {{=}} 1}}</nowiki> |{{math|term= {{Mengebed|x \in \R^n |\sqrt{x_1^2 + \ldots +x_n^2} {{=}} 1}} |SZ=}} |- |} [[Kategorie:Mengentheorie/Strukturvorlagen|Bedingung]]</noinclude> luror0tr1b761fpzrhzt5wq6g9n4ipf 0 20267 1106332 1049591 2026-07-10T09:16:04Z Bocardodarapti 2041 1106332 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur |Situation= |Voraussetzung= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |SZ= }} und seien {{ Relationskette |F,G | \in | K[X,Y,Z] || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |homogene Polynome| |Kontext=| |SZ= }} vom Grad {{math|term= m |SZ=}} und {{math|term= n |SZ=}} ohne gemeinsame Komponente mit zugehörigen Kurven {{ Relationskette | C {{=|}} V_+(F), D {{=|}} V_+(G) | \subset | {{op:Projektive Ebene|K}} || || || |SZ=. }} |Übergang= |Folgerung= Dann gilt {{ Relationskette/display | {{Summe/index| {{op:Schnittmultiplizität| C | D | P}} | P}} || mn || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Der Satz von Bezout (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Der Satz von Bézout |Abfrage=Satz von Bézout |Autor= |Bearbeitungsstand= }} me0iv4zlz94y7fv8mqht65p5lxz40vm 10 20303 1106253 592162 2026-07-09T14:25:09Z Bocardodarapti 2041 1106253 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={ \# \left( {{{1|}}} \right) } |wikicode=\# \left( {{{1|}}} \right) |#default={ \# \left( {{{1|}}} \right) } }}</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Theorie der endlichen Mengen/Strukturvorlagen|Anzahl]] </noinclude> 61q9q6r7tyqnflx7kptnqfxq8rt70l4 10 22121 1106254 628099 2026-07-09T14:29:11Z Bocardodarapti 2041 1106254 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex |#default=\{ 1 {{kommadots|}} {{{n|n}}} \} }}</includeonly><noinclude> [[Kategorie:Mengentheorie/Strukturvorlagen|N]]</noinclude> fii9xynsvk1ds2hov77uqlw8m6kg1rr 0 27097 1106256 1103425 2026-07-09T14:46:12Z Bocardodarapti 2041 1106256 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Verknüpfung/Definition|| }} Eine Verknüpfung macht also aus einem Paar {{ Relationskette/display | (x,y) | \in| M \times M || || || |SZ= }} ein einziges Element {{ Relationskette/display | x \circ y | \in| M || || || |SZ=. }} Eine Vielzahl von mathematischen Konstruktionen fällt unter diesen Begriff: Die Addition, die Differenz, die Multiplikation, die Division von Zahlen, die Verknüpfung von Abbildungen, der Durchschnitt oder die Vereinigung von Mengen, etc. Als Verknüpfungssymbol kommt eine ganze Reihe in Frage, z.B. {{math|term= \circ, \cdot, +,-, \oplus, \clubsuit, \heartsuit |SZ=}} usw. Je nach dem gewählten Symbol spricht man statt Verknüpfung auch von {{Stichwort|Multiplikation|SZ=}} oder {{Stichwort|Addition|SZ=,}} ohne dass man damit eine inhaltliche Bedeutung verbinden sollte. Wichtige strukturelle Eigenschaften einer Verknüpfung werden in den folgenden Definitionen aufgelistet. {{ inputdefinition |Verknüpfung/Kommutativ/Definition|| }} {{ inputdefinition |Verknüpfung/Assoziativ/Definition|| }} {{ inputdefinition |Verknüpfung/Neutrales Element/Definition|| }} Im kommutativen Fall muss man natürlich für das neutrale Element nur eine Reihenfolge betrachten. {{ inputdefinition |Verknüpfung/Inverses Element/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6djhbx3d7fkbyk74adtlz9xft96b48h 0 28629 1106368 998914 2026-07-10T10:34:52Z Bocardodarapti 2041 1106368 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= B |SZ=}} ein Blatt Papier {{ Zusatz/Klammer |text=oder ein Taschentuch| |ESZ=. }} Man versuche, sich die folgenden {{ Definitionslink |Äquivalenzrelationen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= B |SZ=}} und die zugehörigen {{ Definitionslink |Identifizierungsabbildungen| |Kontext=| |SZ= }} vorzustellen {{ Zusatz/Klammer |text=möglichst geometrisch| |ESZ=. }} {{ Aufzählung8 |Die vier Eckpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. |Alle Randpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. |Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. |Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand und jeder Punkt des oberen Randes ist äquivalent zu seinem vertikal gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. |Jeder Punkt des Randes ist äquivalent zu seinem punktsymmetrisch {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich des Mittelpunktes des Blattes| |ESZ= }} gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. |Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein Kreis {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. eine Kreislinie| |ESZ= }} auf dem Blatt. Alle Kreispunkte seien untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. |Es gebe zwei Punkte {{ Relationskette | P | \neq | Q || || || |SZ=, }} die untereinander äquivalent seien, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. |Es sei {{math|term= H |SZ=}} die horizontale Halbierungsgerade des Blattes. Zwei Punkte sind genau dann äquivalent, wenn sie achsensymmetrisch zu {{math|term= H |SZ=}} sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientenmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Blatt |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dqr9i3j9jyz69tt1dkbfh52qo1yyj2v 0 28886 1106316 960522 2026-07-10T08:30:58Z Bocardodarapti 2041 1106316 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term={{{K|K}}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |SZ= }} und {{math|term={{{V|V}}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath={{{K|K}}}|Vektorraum| |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n8p1rd7maa0fij2to3gfwap84shpt8l 10 34696 1106273 999681 2026-07-09T16:14:17Z Bocardodarapti 2041 1106273 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=\mathlk{{{{term|{{{1}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |js={{{1|{{{term}}}}}} |check=C{{{SZ|}}} |wikicode=<nowiki><math></nowiki>{{{1|{{{term}}}}}}<nowiki></math></nowiki>{{{SZ|}}} |#default = {{#tag:math|{{{term|{{{1}}}}}}}}{{{SZ|}}} }}</includeonly><noinclude> {{Diese Vorlage|wird eingesetzt für relativ lange mathematische Terme (unterhalb einer Displaylänge), die allerdings innerhalt einer Klammer stehen. Sie wirkt im normalen Wikimodus wie [[:Vorlage:Math]]. Im Latexmodus, beim Einsatz einer größeren Schrift (wie in einer Vortragsvorlage) kann es als mathematisches Display interpretiert werden.}}{{Mathematische Umgebungsvorlage}}</noinclude> mii9cdjy9zm561dv6qsi0eohvyvw1ag 0 43143 1106339 1092291 2026-07-10T09:20:16Z Bocardodarapti 2041 1106339 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt|Satz|| }} {{{zusatz1|}}} Die beiden folgenden Aussagen nennt man {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=}} bzw. {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Zwei teilerfremde Elemente/Darstellung der 1/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt|Korollar|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hauptidealbereiche |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 43yaxey6ahu8ouhd1jfyvu4gi8q6b6p 0 43576 1106369 1042005 2026-07-10T10:37:25Z Bocardodarapti 2041 1106369 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= H |SZ= }} {{ Definitionslink |Gruppen| |SZ= }} und {{ Abbildung |name=\varphi | G | H || |SZ= }} sei ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Relationskette | \varphi (e_G) || e_H || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | (\varphi(g))^{-1} || \varphi (g^{-1}) || || || |SZ= }} für jedes {{ Relationskette | g | \in | G |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7dca5dl7vx1glqzld1r2dobu031i6b1 14 44774 1106337 262483 2026-07-10T09:18:20Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Kategorie:Lemma von Bezout (MSW)]] nach [[Kategorie:Lemma von Bézout (MSW)]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 262483 wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=L|Anf2=e|Anf3=m|Lemma von Bezout (MSW)}} t76kv1rh6kwmf9iiou3reiodx1f30jy 106 61149 1106359 1020298 2026-07-10T09:31:28Z Bocardodarapti 2041 1106359 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Vorlesungsgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|Primzahlen}} {{ inputbild |New Animation Sieve of Eratosthenes|gif|230px {{!}} right {{!}} |Text=Das {{Stichwort|Sieb des Eratosthenes}} liefert eine einfache Methode, eine Liste von Primzahlen unterhalb einer bestimmten Größe {{math|term= k|SZ=}} zu erstellen. Man streicht einfach die echten Vielfachen der kleinen {{ Zusatz/Klammer |text=kleiner als oder gleich {{math|term=\sqrt{k}|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} schon etablierten Primzahlen durch, die verbleibenden Zahlen sind prim. |Autor= |Benutzer=M.qrius |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= n |SZ=, }} und die müssen verschieden sein. {{math|term=1|SZ=}} ist also keine Primzahl. Die ersten Primzahlen sind {{mathl|term=2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, {{ldots}}|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt|Satz|| || }} Für {{mathl|term=105|SZ=}} beispielsweise findet man den Primfaktor {{math|term=3|SZ=}} und kann daher {{ Relationskette |105 ||3 \cdot 35 || || || |SZ= }} schreiben. Von der kleineren Zahl {{math|term=35|SZ=}} ist die Zerlegung{{ Relationskette |35 ||5 \cdot 7 || || || |SZ= }} nach Induktionsvoraussetzung schon bekannt und man erhält {{ Relationskette/display |105 ||3 \cdot 5 \cdot 7 || || || |SZ=. }} Wenn man mit dem Primfaktor {{math|term=5|SZ=}} startet, so ergibt sich {{ Relationskette |105 ||5 \cdot 21 ||5 \cdot 3 \cdot 7 || || |SZ=, }} insgesamt kommen also die gleichen Primfaktoren vor. Weiter unten werden wir zeigen, dass die Primfaktorzerlegung bis auf Reihenfolge eindeutig ist, was keineswegs selbstverständlich ist und einige Vorbereitungen bedarf. {{ inputfaktbeweis2 |Primzahlen/Unendlich viele/Fakt|Satz||zusatz1=Dies ist ein Widerspruch, da ein {{math|term= p_i |SZ=}} nicht gleichzeitig ein Teiler und kein Teiler von {{math|term= N|SZ=}} sein kann. Also muss die Annahme {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die Endlichkeit der Primzahlmenge| |ISZ=|ESZ= }} falsch gewesen sein. || }} {{Zwischenüberschrift|Teilerfremdheit}} {{ inputdefinition |Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition|| }} Beispielsweise sind {{ mathkor|term1= 12 |und|term2= 25 |SZ= }} teilerfremd, {{ mathkor|term1= 15 |und|term2= 25 |SZ= }} sind nicht teilerfremd, da {{math|term=5|SZ=}} ein gemeinsamer Teiler ist. Die {{math|term=1|SZ=}} ist zu jeder natürlichen Zahl {{ Zusatz/Klammer |text=auch zu {{math|term=0|SZ=}} und {{math|term=1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} teilerfremd. Für eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} und eine natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} gilt folgende Alternative: Entweder teilt {{math|term= p|SZ=}} die Zahl {{math|term= n|SZ=,}} oder aber {{ mathkor|term1= p |und|term2= n |SZ= }} sind teilerfremd. Ein gemeinsamer Teiler muss ja ein Teiler von {{math|term= p|SZ=}} sein, und da kommen nur {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= p |SZ= }} in Frage. {{ inputbild |Kielcanal|PNG|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Grunners |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die Aufgabe ist lösbar: Man macht fünfmal den {{math|term=10|SZ=-}}Liter-Eimer in der Nordsee voll und transportiert dies in die Ostsee. Danach {{ Zusatz/Klammer |text=oder gleichzeitig| |ISZ=|ESZ= }} macht man siebenmal den {{math|term=7|SZ=-}}Liter-Eimer in der Ostsee voll und transportiert dies in die Nordsee. Unterm Strich hat man dann {{ Relationskette |5 \cdot 10 - 7 \cdot 7 ||1 || || || |SZ= }} Liter transportiert. Die dieser Überlegung zugrunde liegende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie}} Wir möchten nun zur Primfaktorzerlegung, deren Existenz wir bereits gezeigt haben, beweisen, dass sie eindeutig ist. Natürlich kann man {{ Relationskette/display |12 ||3 \cdot 2 \cdot 2 ||2 \cdot 3 \cdot 2 ||2 \cdot 2 \cdot 3 || |SZ= }} schreiben, mit eindeutig ist also eindeutig bis auf Reihenfolge gemeint. Um dies zu zeigen brauchen wir zunächst das sogenannte {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=,}} das eine wichtige Eigenschaft einer Primzahl beschreibt. {{ inputfaktbeweis3 |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz|| || }} Aus dem Lemma von Euklid folgt sofort die etwas stärkere Aussage: Wenn eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} ein beliebiges Produkt {{mathl|term= a_1 a_2 {{cdots|}} a_n |SZ=}} teilt, dann teilt {{math|term= p|SZ=}} mindestens einen Faktor. Man wendet das Lemma einfach auf {{mathl|term= (a_1 a_2 {{cdots|}} a_{n-1}) \cdot a_n |SZ=}} an {{ Zusatz/Klammer |text=formal ist das eine Induktion über die Anzahl der Faktoren| |ISZ=|ESZ=. }} Dies wird im Beweis des folgenden {{Stichwort|Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie|msw=Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie|SZ=}} verwendet. {{ inputfaktbeweis3 |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|Primzahlprobleme}} {{:Mathematische Probleme/Beispiel Primzahlzwillinge/Einführung/Textabschnitt}} }} tbv59l18fl9tdom36iyyotjiyndvt79 0 61184 1106331 1047256 2026-07-10T09:14:41Z Bocardodarapti 2041 1106331 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= |Voraussetzung=Es seien {{ Relationskette |a,b | \in |\N || || || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |teilerfremde| |Kontext=N| |SZ= }} natürliche Zahlen. |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es ganze Zahlen {{ Relationskette |r,s | \in |\Z || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | ra+sb || 1 || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Das Lemma von Bezout (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Lemma von Bézout ({{math|term= \N|SZ=}}) |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iuqxu40umfv7he06nj96lipf7jwibhj 106 67569 1106356 1052583 2026-07-10T09:30:07Z Bocardodarapti 2041 1106356 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Vorlesungsgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|Primzahlen}} {{ inputbild |New Animation Sieve of Eratosthenes|gif|230px {{!}} right {{!}} |Text=Das {{Stichwort|Sieb des Eratosthenes}} liefert eine einfache Methode, eine Liste von Primzahlen unterhalb einer bestimmten Größe {{math|term= k|SZ=}} zu erstellen. Man streicht einfach die echten Vielfachen der kleinen {{ Zusatz/Klammer |text=kleiner als oder gleich {{math|term= \sqrt{k} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} schon etablierten Primzahlen durch, die verbleibenden Zahlen sind prim. |Autor= |Benutzer=M.qrius |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= n |SZ=, }} und die müssen verschieden sein. {{math|term=1|SZ=}} ist also keine Primzahl. Die ersten Primzahlen sind {{mathl|term= 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, {{ldots}} |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt|Satz|| || }} Für {{mathl|term=105|SZ=}} beispielsweise findet man den Primfaktor {{math|term=3|SZ=}} und kann daher {{ Relationskette |105 ||3 \cdot 35 || || || |SZ= }} schreiben. Für {{math|term=35|SZ=}} hat man die Zerlegung {{ Relationskette |35 ||5 \cdot 7 || || || |SZ= }} und man erhält {{ Relationskette/display |105 || 3 \cdot 5 \cdot 7 || || || |SZ=. }} Wenn man mit dem Primfaktor {{math|term=5|SZ=}} startet, so ergibt sich {{ Relationskette | 105 || 5 \cdot 21 || 5 \cdot 3 \cdot 7 || || |SZ=, }} insgesamt kommen also die gleichen Primfaktoren vor. Weiter unten werden wir zeigen, dass die Primfaktorzerlegung bis auf Reihenfolge eindeutig ist, was keineswegs selbstverständlich ist und einiger Vorbereitungen bedarf. Der folgende Satz wird Euklid zugeschrieben. {{ inputbild |Euklid-von-Alexandria 1|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |Zusname=Euklid-von-Alexandria_1 |Text=[[w:Euklid|Euklid (4. Jahrhundert v. C.)]] |Autor= |Benutzer=Luestling |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www.bath.ac.uk/~ma1dp/Biography.html }} {{ inputfaktbeweis2 |Primzahlen/Unendlich viele/Fakt|Satz||zusatz1=Dies ist ein Widerspruch, da ein {{math|term= p_i |SZ=}} nicht gleichzeitig ein Teiler und kein Teiler von {{math|term= N|SZ=}} sein kann. Also muss die Annahme {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die Endlichkeit der Primzahlmenge| |ISZ=|ESZ= }} falsch gewesen sein. || }} {{Zwischenüberschrift|Teilerfremdheit}} {{ inputdefinition |Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition|| }} Beispielsweise sind {{ mathkor|term1= 12 |und|term2= 25 |SZ= }} teilerfremd, {{ mathkor|term1= 15 |und|term2= 25 |SZ= }} sind nicht teilerfremd, da {{math|term=5|SZ=}} ein gemeinsamer Teiler ist. Die {{math|term=1|SZ=}} ist zu jeder natürlichen Zahl {{ Zusatz/Klammer |text=auch zu {{math|term=0|SZ=}} und {{math|term=1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} teilerfremd. Für eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} und eine natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} gilt folgende Alternative: Entweder teilt {{math|term= p|SZ=}} die Zahl {{math|term= n|SZ=,}} oder aber {{ mathkor|term1= p |und|term2= n |SZ= }} sind teilerfremd. Ein gemeinsamer Teiler muss ja ein Teiler von {{math|term= p|SZ=}} sein, und da kommen nur {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= p |SZ= }} in Frage. {{ inputbild |Kielcanal|PNG|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Grunners |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die Aufgabe ist lösbar: Man macht dreimal den {{math|term=7|SZ=-}}Liter-Eimer in der Nordsee voll und transportiert dies in die Ostsee. Danach {{ Zusatz/Klammer |text=oder gleichzeitig| |ISZ=|ESZ= }} macht man zweimal den {{math|term=10|SZ=-}}Liter-Eimer in der Ostsee voll und transportiert dies in die Nordsee. Unterm Strich hat man dann {{ Relationskette/display | 3 \cdot 7 -2 \cdot 10 || 1 || || || |SZ= }} Liter transportiert {{ Zusatz/Klammer |text=eine andere Möglichkeit ist {{ Relationskette | 5 \cdot 10 - 7 \cdot 7 ||1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Die dieser Überlegung zugrunde liegende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie}} Wir möchten nun zur Primfaktorzerlegung, deren Existenz wir bereits gezeigt haben, beweisen, dass sie eindeutig ist. Natürlich kann man {{ Relationskette/display | 12 || 3 \cdot 2 \cdot 2 || 2 \cdot 3 \cdot 2 || 2 \cdot 2 \cdot 3 || |SZ= }} schreiben, mit eindeutig ist also eindeutig bis auf Reihenfolge gemeint. Um dies zu zeigen brauchen wir zunächst das sogenannte {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=,}} das eine wichtige Eigenschaft einer Primzahl beschreibt. {{ inputfaktbeweis3 |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz|| || }} Aus dem Lemma von Euklid folgt sofort die etwas stärkere Aussage: Wenn eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} ein beliebiges Produkt {{mathl|term= a_1 a_2 {{cdots|}} a_n |SZ=}} teilt, dann teilt {{math|term= p|SZ=}} mindestens einen Faktor. Man wendet das Lemma einfach auf {{mathl|term= (a_1 a_2 {{cdots|}} a_{n-1}) \cdot a_n |SZ=}} an {{ Zusatz/Klammer |text=formal ist das eine Induktion über die Anzahl der Faktoren| |ISZ=|ESZ=. }} Dies wird im Beweis des folgenden {{Stichwort|Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie|msw=Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie|SZ=}} verwendet. {{ inputfaktbeweis3 |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|Primzahlprobleme}} {{:Mathematische Probleme/Beispiel Primzahlzwillinge/Einführung/Textabschnitt}} }} qawxnjsc0s6iznjp8r4yfk7jsxn4ier 106 74550 1106348 1069666 2026-07-10T09:26:40Z Bocardodarapti 2041 1106348 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|26| Für die weitere Untersuchung von linearen Abbildungen und speziell trigonalisierbaren Abbildungen müssen wir noch eine wichtige Gesetzmäßigkeit im Polynomring über einem Körper besprechen, das {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Das Lemma von Bézout}} Wir erinnern daran, dass ein Polynom {{mathl|term= T \in K[X]|SZ=}} ein Polynom {{mathl|term= P \in K[X]|SZ=}} teilt, wenn es ein Polynom {{mathl|term= Q \in K[X]|SZ=}} mit {{ Relationskette/display |P || T Q || || || |SZ= }} gibt. Dies entspricht der Teilbarkeitsbeziehung für ganze Zahlen. Von dort ist auch das Konzept von einem größten gemeinsamen Teiler bekannt. {{:Polynomring/Körper/1/Gemeinsamer Teiler/Textabschnitt}} {{:Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/2/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Haupträume}} Wir wollen weiterhin untersuchen, inwiefern man trigonalisierbare Abbildungen durch Matrizen beschreiben kann, die nicht nur obere Dreiecksgestalt haben, sondern darüber hinaus noch weitere einfache Eigenschaften erfüllen. Dafür gehen wir zwei Schritte. In dieser Vorlesung werden wir eine trigonalisierbare Abbildung als direkte Summe von Abbildungen auf Haupträumen darstellen. In den nächsten beiden Vorlesungen werden wir die Endomorphismen auf den Haupträume selbst studieren. {{ inputdefinition |Vektorraum/Lineare Abbildung/Hauptraum/Definition|| }} Wenn {{math|term= V|SZ=}} endlichdimensional ist, so wird die Kette {{ Relationskette/display | {{op:Kern| {{makl| \varphi - \lambda {{op:Identität||}} |}} |}} |\subseteq| {{op:Kern| {{makl| \varphi - \lambda {{op:Identität||}} |}}^2|}} |\subseteq|{{op:Kern| {{makl| \varphi - \lambda {{op:Identität||}} |}}^3 |}} |\subseteq| ... || |SZ= }} stationär, d.h. es gibt ein {{mathl|term= r \in \N|SZ=}} mit {{ Relationskette/display |{{op:Hauptraum|\varphi|\lambda}} || {{op:Kern| {{makl| \varphi - \lambda {{op:Identität||}} |}}^r|}} || || || |SZ=. }} Haupträume sind nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Vektorraum/Endomorphismus/Polynom/Kern/Invarianter Unterraum/Aufgabe |Nr= |SZ= }} invariant unter der linearen Abbildung. Es gilt nach Definition {{ Relationskette/display | {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda}} |\subseteq| {{op:Hauptraum|\varphi|\lambda}} || || || |SZ=, }} wobei für diagonalisierbares {{math|term=\varphi|SZ=}} Gleichheit gilt, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Diagonalisierbar/Hauptraum/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Trigonalisierbare Abbildungen werden wir über ihre Haupträume verstehen. {{ inputfaktbeweis |Charakteristisches Polynom/Teilerfremde Zerlegung/Direkte Summe/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Hauptraum/Algebraische Vielfachheit/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe/Fakt|Satz|| || }} }} i4oagt9gt3r8igljhf5z2nzk5qll6kd 0 78314 1106334 1048359 2026-07-10T09:16:54Z Bocardodarapti 2041 1106334 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und seien {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Polynome| |Kontext=1| |SZ= }} über {{math|term= K |SZ=.}} Es sei {{math|term= G |SZ=}} ein {{ Definitionslink |größter gemeinsamer Teiler| |Kontext=Polynomring| |SZ= }} der {{math|term= P_i |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es eine Darstellung {{ Relationskette/display | G || Q_1 P_1 {{plusdots|}} Q_n P_n || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | Q_1 {{kommadots|}} Q_n | \in | K[X] || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Das Lemma von Bezout (Polynomring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Das Lemma von Bézout |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0wiguz3dvyar4pbkbca221ejx6wszih 0 81429 1106336 1027503 2026-07-10T09:17:42Z Bocardodarapti 2041 1106336 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Peano-Halbring| |Kontext=| |SZ= }} das {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=}} in der Form gilt, dass es zu zwei teilerfremden {{ Zusatz/Klammer |text=das ist zu definieren| |ISZ=|ESZ= }} Elementen {{mathl|term= x,y|SZ=}} Elemente {{mathl|term= a,b|SZ=}} mit {{ Relationskette/display |ax || 1+by || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Peano-Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9z8ae40yt0jankc772dzxh3s13ntzpd 0 82604 1106383 1101156 2026-07-10T11:19:00Z Bocardodarapti 2041 1106383 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir zeigen zuerst, dass jede minimale Darstellung von {{math|term= w |SZ=}} die in (2) angegebenen Koeffizientenbedingungen erfüllt. Es sei also {{ Relationskette/display |w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || || || |SZ= }} eine minimale Darstellung. Wenn der Koeffizient vor {{math|term= 1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= a_1 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} größer als {{math|term= 1 |SZ=}} wäre, also mindestens {{math|term= 2 |SZ=,}} so könnte man zwei {{math|term= 1 |SZ=-}}Euromünzen durch eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünze ersetzen und hätte eine Darstellung mit weniger Summanden im Widerspruch zur Minimalität {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso für den Koeffizienten vor {{math|term= 10 |SZ=}} und vor {{math|term= 100 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wenn der Koeffizient vor {{math|term= 5 |SZ=}} größer als {{math|term= 1 |SZ=}} wäre, also mindestens {{math|term= 2 |SZ=,}} so könnte man zwei {{math|term= 5 |SZ=-}}Euroscheine durch einen {{math|term= 10 |SZ=-}}Euroschein ersetzen und hätte eine Darstellung mit weniger Summanden im Widerspruch zur Minimalität {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso für den Koeffizienten vor {{math|term= 50 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn der Koeffizient vor {{math|term= 2 |SZ=}} größer als {{math|term= 2 |SZ=}} wäre, also mindestens {{math|term= 3 |SZ=,}} so könnte man drei {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünzen durch eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Euromünze und einen {{math|term= 5 |SZ=-}}Euroschein ersetzen und hätte eine Darstellung mit weniger Summanden im Widerspruch zur Minimalität {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso für den Koeffizienten vor {{math|term= 20 |SZ=}} und vor {{math|term= 200 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wenn eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünze doppelt und eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Euromünze einfach vorkommt, so kann man dies durch einen {{math|term= 5 |SZ=-}}Euroschein ersetzen im Widerspruch zur Minimalität der Darstellung, ebenso bei einem doppelten Vorkommen von {{math|term= 20 |SZ=}} oder {{math|term= 200 |SZ=.}} Wir zeigen nun die Eindeutigkeit der minimalen Darstellung und nehmen an, dass zwei Zerlegungen {{ Relationskette/align |w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 ||b_1 \cdot 1 + b_2 \cdot 2 +b_3 \cdot 5 + b_4 \cdot 10 +b_5 \cdot 20 +b_6 \cdot 50 + b_7 \cdot 100+ b_8 \cdot 200 + b_9 \cdot 500 || || |SZ= }} vorliegen. Da beide Darstellungen minimal sind, müssen nach der bisherigen Überlegung die Koeffizienten jeweils die Koeffizientenbedingungen erfüllen. Wir werden zeigen, dass es überhaupt nur eine Darstellung gibt, die die Koeffizientenbedingungen erfüllt. Wir müssen also zeigen, dass {{ Relationskette/display |a_i ||b_i || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | i || 1 {{kommadots|}} 9 || || || |SZ= }} gilt. Wenn für ein bestimmtes {{math|term= i |SZ=}} die Koeffizienten {{ mathkor|term1= a_i |und|term2= b_i |SZ= }} beide {{mathl|term= \geq 1 |SZ=}} sind, so kann man beidseitig die zugehörige Eurozahl {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell zweimal| |ISZ=|ESZ= }} abziehen und erhält dann eine kleinere Zahl {{math|term= w'|SZ=,}} für die zwei Darstellungen vorliegen, die ebenfalls die Koeffizientenbedingungen erfüllen. Da man diese Überlegung für jedes {{math|term= i |SZ=}} durchführen kann, gelangt man zu einer Gleichheit, bei der jeweils mindestens einer der Koeffizienten {{math|term= a_i,b_i |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Es ist dann zu zeigen, dass auch der andere Koeffizient gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Dies zeigen wir absteigend, beginnend mit {{math|term= a_9 |SZ=}} bzw. {{math|term= b_9 |SZ=.}} Da die Situation symmetrisch{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Die Situation ist symmetrisch, da die beiden Darstellungen gleichberechtigt sind. In einer solchen Situation bedeutet es keine Einschränkung der Aussagekraft der Argumentation, wenn man eine Umbenennung vornimmt bzw. eine Eigenschaft, die eines der beteiligten Objekte hat, dem ersten zuweist. In einer solchen Situation finden sich häufig Formulierungen wie {{Anführung|wir können annehmen, dass ...|SZ=.}} | |ISZ=|ESZ= }} ist, können wir annehmen, dass {{ Relationskette |a_9 || 0 || || || |SZ= }} ist. Aufgrund der Koeffizientenbedingungen ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Klammern sind suggestiv und sollen die verwendeten Abschätzungen verdeutlichen, die erste ist echt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/handlinks | (a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5) + (a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50) + (a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200) |< | 10 + 90+ 400 || 500 || || |SZ=. }} Daher kann {{math|term= b_9 |SZ=}} nicht größergleich {{math|term= 1 |SZ=}} sein und ist ebenfalls {{math|term= 0 |SZ=.}} So zeigt man absteigend, dass alle Koeffizienten {{math|term= 0 |SZ=}} sind und dass die Darstellung also eindeutig ist. Wir zeigen nun die andere Richtung aus Teil (2), dass eine Darstellung mit den gegebenen Koeffizientenbedingungen die eindeutige Darstellung sein muss. Mit der gleichen Argumentation wie eben, angewendet auf eine solche Darstellung und die minimale Darstellung, ergibt sich, dass die Darstellungen übereinstimmen. Der dritte Teil ergibt sich daraus, dass die entstehende Darstellung die in (2) formulierten Koeffizientenbedingungen erfüllen muss. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l30wxbaf7ici1pz5yt6srdqwnmypmjb 106 82807 1106353 1052880 2026-07-10T09:29:36Z Bocardodarapti 2041 1106353 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesungsgestaltung|3| {{ inputbild |Euklid-von-Alexandria 1|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |Zusname=Euklid-von-Alexandria_1 |Text=[[w:Euklid|Euklid (4. Jahrhundert v. C.)]] |Autor= |Benutzer=Luestling |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www.bath.ac.uk/~ma1dp/Biography.html }} {{Zwischenüberschrift|Der euklidische Algorithmus}} {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Zi/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Das Lemma von Bézout und das Lemma von Euklid}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt|Satz|}} Die vorstehende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} In einem euklidischen Bereich kann man mit dem euklidischen Algorithmus eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers bestimmen, indem man rückwärts durch den Algorithmus wandert. Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=.}} {{inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt|Lemma||}} {{Zwischenüberschrift|Die Faktorialität von Hauptidealbereichen}} {{:Hauptidealbereich/Faktoriell/Z/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Restklassenringe von Hauptidealbereichen}} {{inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt|Satz|}} {{Fußnotenliste|}} }} 4f8vw5haxuap1m19dxmca3li6pbd4yw 106 82999 1106360 1069966 2026-07-10T09:32:06Z Bocardodarapti 2041 1106360 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|20| Wir kehren zur Thematik der Primzahlen und der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl zurück. Bisher kennen wir nur die Existenz einer Primfaktorzerlegung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} aber noch nicht die Eindeutigkeit. Obwohl wir diese Fragestellung für natürliche Zahlen formuliert haben, ergibt sich im Kontext der ganzen Zahlen ein neuer Zusammenhang, der für diese Thematik hilfreich ist. {{Zwischenüberschrift|Teilerfremdheit und das Lemma von Bézout}} {{ inputbild |Kielcanal|PNG|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Grunners |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Zille vorichte|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor=Heinrich Zille |Benutzer=Hendrike |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die Aufgabe ist lösbar: Man macht dreimal den {{math|term=7|SZ=-}}Liter-Eimer in der Nordsee voll und transportiert dies in die Ostsee. Danach {{ Zusatz/Klammer |text=oder gleichzeitig| |ISZ=|ESZ= }} macht man zweimal den {{math|term=10|SZ=-}}Liter-Eimer in der Ostsee voll und transportiert dies in die Nordsee. Unterm Strich hat man dann {{ Relationskette/display |3 \cdot 7 -2 \cdot 10 ||1 || || || |SZ= }} Liter transportiert {{ Zusatz/Klammer |text=eine andere Möglichkeit ist {{ Relationskette |5 \cdot 10 - 7 \cdot 7 ||1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Die dieser Überlegung zugrunde liegende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz|| || }} Die Division mit Rest, die wir bisher nur für natürliche Zahlen formuliert haben, überträgt sich unmittelbar auf ganze Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=der Divisor bleibt eine natürliche Zahl| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Division mit Rest/Z/Fakt|Satz|| || }} {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Untergruppe/Definition|| }} In einer Untergruppe kann man also die Verknüpfung der Gruppe ausführen, man kann das Inverse nehmen und das neutrale Element gehört dazu. In additiver Schreibweise, die für uns im Mittelpunkt steht, bedeuten die Bedingungen einfach {{ Aufzählung3 | {{math|term=0 \in H|SZ=.}} |Mit {{math|term= g,h \in H|SZ=}} ist auch {{math|term= g + h \in H|SZ=.}} |Mit {{math|term= g \in H|SZ=}} ist auch das Negative {{math|term=- g \in H|SZ=.}} }} Beispielsweise bilden alle Vielfachen der {{math|term=5|SZ=}} innerhalb der ganzen Zahlen eine Untergruppe, die wir mit {{math|term=\Z 5|SZ=}} bezeichnen. Es ist ja {{ Relationskette/display |0 || 0 \cdot 5 || || || |SZ=, }} wenn {{ Relationskette | g || 5 \cdot a || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | h || 5 \cdot b || || || |SZ= }} sind, so ist {{ Relationskette/display |h+g || 5 \cdot (a+b) || || || |SZ= }} nach dem Distributivgesetz und mit {{ Relationskette |g || 5 \cdot a || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette |-g || 5 \cdot (-a) || || || |SZ=. }} Wie im eingangs gegebenen Beispiel kann man sich eine Menge {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} von ganzen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=Eimergrößen| |ISZ=|ESZ= }} vorgeben und sich fragen, welche Zahlen man daraus mit Hilfe von ganzzahligen Koeffizienten bilden kann {{ Zusatz/Klammer |text=welche Wassermengen man transportieren kann| |ISZ=|ESZ=. }} Es geht also um die Menge aller Zahlen der Form {{ Math/display|term= n_1a_1 {{plusdots|}} n_ka_n \text{ mit } n_j \in \Z |SZ=. }} Diese Gesamtmenge bildet eine Untergruppe von {{math|term=\Z|SZ=,}} man spricht von der von den {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} {{Stichwort|erzeugten Untergruppe|msw=Erzeugte Untergruppe|SZ=}} von {{math|term=\Z|SZ=.}} Statt Eimern kann man sich eine Menge von ganzzahligen Pfeilen vorstellen. {{ inputfaktbeweis |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz|| || }} {{inputfaktbeweis|Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt|Lemma||ref1=}} {{Zwischenüberschrift|Der Euklidische Algorithmus}} {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Einführung/Textabschnitt}} Wenn man mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler {{math|term= d|SZ=}} von zwei Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} gefunden hat, so kann man aus diesen Rechnungen häufig direkt ablesen, wie die Quotienten {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|a|d}} |und|term2= {{op:Bruch|b|d}} |SZ= }} aussehen. {{:Strecken/Euklidischer Algorithmus/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Darstellung des größten gemeinsamen Teilers}} {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Darstellung des ggT/Textabschnitt}} }} dr6atisxme7vlmst5c0afehqgcccgma 0 83126 1106388 957389 2026-07-10T11:40:13Z Bocardodarapti 2041 1106388 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Betrachten wir nochmal die beiden Beispielaussagen {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün}} und {{Beispielsatz|Ich fresse einen Besen|SZ=,}} und schauen uns die innere Struktur genauer an. In der ersten Aussage wird einer gewissen Art von Lebewesen eine Eigenschaft zugesprochen, so wie wenn man sagt, dass Geparden schnell sind oder dass Faultiere faul sind. Damit kann man meinen, dass Marsmenschen {{Anführung|im Normalfall|SZ=}} oder {{Anführung|fast immer}} grün sind, oder aber im strengeren Sinn, dass wirklich alle Marsmenschen grün sind. In der Mathematik interessiert man sich für Aussagen, die ohne Ausnahmen gelten {{ Zusatz/Klammer |text=wobei man allerdings in einer mathematischen Aussage die Ausnahmen auch explizit machen kann| |SZ=, }} sodass wir die Aussage im strengen Sinn verstehen wollen. Es handelt sich um eine sogenannte {{Stichwort|Allaussage|SZ=.}} In ihr kommen zwei {{Stichwort|Prädikate|msw=Prädikat|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Eigenschaften, Attribute| |SZ= }} vor, nämlich einerseits, ein Marsmensch zu sein, andererseits, grün zu sein. Ein Prädikat {{math|term= P |SZ=}} ist etwas, das einem Objekt {{ Zusatz/Klammer |text=grammatisch spricht man von einem Subjekt| |SZ=, }} einem Gegenstand, einem Element zukommen oder nicht zukommen kann. Ein Prädikat ist für sich genommen keine Aussage; aus einem Prädikat kann man aber grundsätzlich auf zwei verschiedene Arten eine Aussage machen, indem man nämlich einerseits {{ Zusatz/Klammer |text=durch {{Stichwort|einsetzen|SZ=}}| |SZ= }} für ein konkretes Objekt {{math|term= a |SZ=}} die Aussage {{ Math/display|term= P(a) |SZ= }} bildet, die bedeutet, dass das Objekt {{math|term= a |SZ=}} die Eigenschaft {{math|term= P |SZ=}} besitzt, was wahr sein kann oder eben auch nicht. Andererseits kann man daraus durch {{Stichwort|Quantifizierung|SZ=}} eine Aussage gewinnen. So kann man die Aussage bilden, dass alle{{Zusatz/Fußnote|text=Andere Formulierungen sind: jedes, ein beliebiges, irgendein Objekt/Element aus der Grundmenge. Wenn die Grundmenge räumlich ist, so spricht man auch von überall, wenn sie zeitlich ist, so spricht man von immer, stets, ...|ESZ=|ISZ=.}} Objekte {{ Zusatz/Klammer |text=typischerweise aus einer bestimmten Grundmenge| |SZ= }} die Eigenschaft {{math|term= P |SZ=}} haben, was wiederum wahr oder falsch sein kann. Das drückt man formallogisch durch {{ Math/display|term= \forall x P(x) |SZ= }} aus. Das Symbol {{Math/display|term=\forall|SZ=}} ist eine abkürzende Schreibweise für {{Stichwort/anf|für alle|SZ={{Zusatz/Fußnote|text=Man kann mit einiger Berechtigung sagen, dass die Vokabeln {{Stichwort/anf|für alle}} und {{Stichwort/anf|es gibt}} die wichtigsten Formulierungen der Mathematik sind|ESZ=|ISZ=.}},|}} und besitzt ansonsten keine tiefere Bedeutung. Es wird {{Stichwort|Allquantor|SZ=}} genannt. Die obige Marsmenschenaussage kann man als {{ Math/display|term= \forall x (M(x) \rightarrow G(x)) |SZ= }} schreiben. Das bedeutet, dass für alle Objekte ohne weitere Einschränkung gilt: wenn es sich um einen Marsmenschen handelt {{ Zusatz/Klammer |text=wenn also {{math|term= M |SZ=}} zutrifft| |SZ=, }} dann ist er auch grün. Für jedes {{math|term= x |SZ=}} steht in der großen Klammer eine Aussage in der Form einer Implikation, die eben besagt, dass wenn der Vordersatz wahr ist, dann auch der Nachsatz wahr sein muss. Die zweite Beispielaussage kann bedeuten, dass ich genau einen Besen fresse oder aber mindestens einen Besen. Die Wortbedeutung des unbestimmten Artikels ist nicht eindeutig, in einer Aussage wie {{Anführung|eine Pflanze braucht Wasser}} bedeutet {{Stichwort/anf|eine|SZ=}} sogar {{Stichwort/anf|alle|SZ=.}} In der Mathematik bedeutet es fast immer {{Stichwort/anf|mindestens einen|SZ=.}} Die Besenaussage kann man also paraphrasieren als {{Beispielsatz|Es gibt einen Besen, den ich fresse|SZ=.}} Dies ist eine {{Stichwort|Existenzaussage|SZ={{ Zusatz/Fußnote |text=Neben {{Anführung|es gibt}} trifft man auf Formulierungen wie {{Anführung|es existiert|SZ=,}} {{Anführung|man findet|SZ=,}} {{Anführung|man kann finden|SZ=.}} Wenn die Existenz eines Objektes bekannt ist, so wird in einer mathematischen Argumentation häufig ein solches Element {{Anführung|hergenommen|SZ=,}} irgendwie bezeichnet und dann weiterverarbeitet| |ISZ=.|ESZ=. }}|}} Eine formallogische Repräsentierung ist {{ Math/display|term= \exists x (B(x) \wedge F(x)) |SZ=, }} wobei {{mathl|term= B(x) |SZ=}} bedeutet, dass das Objekt {{math|term= x |SZ=}} ein Besen ist und wobei {{mathl|term= F(x) |SZ=}} bedeutet, dass ich dieses {{math|term= x |SZ=}} fresse. Man könnte genauso gut {{ Math/display|term= \exists x (F(x) \wedge B(x)) |SZ= }} schreiben. Das Zeichen {{Math/display|term=\exists|SZ=}} wird {{Anführung|es gibt|}} oder {{Anführung|es existiert}} gesprochen und wird der {{Stichwort|Existenzquantor|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Existenzoperator|SZ=}}| |SZ= }} genannt. Eine Allaussage behauptet, dass ein gewisses Prädikat allen Objekten {{ Zusatz/Klammer |text=aus einer gewissen Grundmenge| |SZ= }} zukommt. Wie alle Aussagen kann dies wahr oder falsch sein. Eine Allaussage ist genau dann falsch, wenn es mindestens ein Objekt {{ Zusatz/Klammer |text=aus der Grundmenge| |SZ= }} gibt, dem das Prädikat nicht zukommt. Daher sind die beiden Quantoren, also der Allquantor und der Existenzquantor, über die Negation eng miteinander verknüpft und lassen sich gegenseitig ersetzen, und zwar gelten die Regeln {{ Math/display|term= \neg ( \forall x P(x)) \text{ ist gleichbedeutend mit } \exists x ( \neg P(x)) |SZ=, }} {{ Math/display|term= \neg ( \exists x P(x)) \text{ ist gleichbedeutend mit } \forall x ( \neg P(x)) |SZ=, }} {{ Math/display|term= \forall x P(x) \text{ ist gleichbedeutend mit } \neg ( \exists x ( \neg P(x))) |SZ= }} und {{ Math/display|term= \exists x P(x) \text{ ist gleichbedeutend mit } \neg ( \forall x ( \neg P(x))) |SZ=. }} Neben einstelligen Prädikaten wie {{mathl|term= P(x) |SZ=}} gibt es auch mehrstellige Prädikate der Form {{ Math/display|term= P(x,y) \text{ oder } Q(x,y,z) \text{ etc. } |SZ=, }} die eine Beziehung zwischen mehreren Objekten ausdrücken, wie z.B. {{Anführung|ist verwandt mit|SZ=,}} {{Anführung|ist größer als|SZ=,}} {{Anführung|sind Eltern von|SZ=}} u.s.w. Entsprechend kann dann über die verschiedenen Variablen quantifiziert werden, d.h. man hat mit Ausdrücken der Form {{ Math/display|term= \forall x (\exists y P(x,y)),\, \exists x (\forall y P(x,y)) ,\, \forall x (\exists y (\forall z Q(x,y,z))) \text{ usw. } |SZ= }} zu tun. Die Variablenbezeichnung in einer quantifizierten Aussage ist grundsätzlich unwichtig, d.h. es ist egal, ob man {{mathl|term= \forall a P(a) |SZ=}} oder {{mathl|term= \forall t P(t) |SZ=}} schreibt. Man darf dabei aber nur Variablennamen {{ Zusatz/Klammer |text=also Buchstaben| |SZ= }} verwenden, die im gegenwärtigen Kontext nicht schon anderweitig verwendet sind. Die Logik, die sich mit quantifizierten Aussagen auseinandersetzt, heißt {{Stichwort|Prädikatenlogik|SZ=}} oder {{Stichwort|Quantorenlogik|SZ=.}} Wir werden sie nicht systematisch entwickeln, da sie in der Mathematik als Mengentheorie auftritt. Statt {{mathl|term= P(x) |SZ=,}} dass also ein Prädikat einem Objekt zukommt, schreiben wir {{mathl|term= x \in P |SZ=,}} wobei dann {{math|term= P |SZ=}} die Menge aller Objekte bezeichnet, die diese Eigenschaft haben. Mehrstellige Prädikate treten in der Mathematik als Relationen auf. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Logik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} e1cz8qvw5eeno1uqogjh51xrjnvdse1 0 83607 1106313 1082442 2026-07-10T08:15:25Z Bocardodarapti 2041 1106313 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette | a,b | \in | R || || || |SZ= }} Elemente in einem {{ Definitionslink |kommutativen Halbring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die binomische Formel für die vierte Potenz, also {{ Relationskette/display | (a+b)^4 || a^4 +4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 || || || |SZ=, }} auf die beiden folgenden Arten. {{ Aufzählung2 |Berechne{{n Sie}} {{ Math/display|term= {{makl| a+b |}} \cdot {{makl| a+b |}}^3 |SZ=. }} |Berechne{{n Sie}} {{ Math/display|term= {{makl| a+b |}}^2 \cdot {{makl| a+b |}}^2 |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0vwiog20axhk6a2qoghvts38ljlfl9z 0 83805 1106384 1073470 2026-07-10T11:22:16Z Bocardodarapti 2041 1106384 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In einer Argumentation versucht man, eine Behauptung mittels allgemein anerkannter Prinzipien zu begründen, als wahr {{ Zusatz/Klammer |text=oder gültig| |ISZ=|ESZ= }} zu erweisen. Grundsätzlich kann man mit sich selbst argumentieren, typischerweise gibt es ein Publikum, das man von der Behauptung überzeugen möchte. Argumentationen gibt es in den unterschiedlichsten Kontexten, in der Wissenschaft, in der Politik, in Beziehungen. Dabei gibt es kontextspezifische Prinzipien und Argumentationsmuster, im politischen Kontext beruft man sich gerne auf weitgehend anerkannte Grundsätze wie Menschenrechte, Grundgesetz, den Willen des Volkes, um daraus unter Berücksichtigung von Daten und Fakten eine politische Entscheidung herzuleiten. Die Erfahrung lehrt, dass dort die Argumente nicht so gut sind, um alle überzeugen zu können, und dass dort auch die Interessen von spezifischen Gruppen vertreten werden. Auch in der mathematischen Argumentation versucht man, die Wahrheit von Behauptungen {{ Zusatz/Klammer |text=oder die Korrektheit eines Rechenweges oder die Angemessenheit einer Modellierung| |ISZ=|ESZ= }} zu begründen. Die eingesetzten Mittel, die Argumentationsstrenge hängen auch da von der Zielgruppe, ihrem Vorwissen und ihrer Motivation, der Beziehung {{ Zusatz/Klammer |text=Bindung, Vertrauen| |ISZ=|ESZ= }} zwischen der Person, die die Behauptung vertritt, und den Personen, die überzeugt werden sollen {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise Lehrer und Schüler| |ISZ=|ESZ=, }} ab. Die mathematische Argumentation im wissenschaftlichen Kontext verfügt in mehrfacher Hinsicht über gewisse Argumentationsstandards. Eine wissenschaftliche Argumentation zeichnet sich durch {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere im mathema{{drucktrenn}}tisch-naturwissenschaftlichen Kontext| |ISZ=|ESZ= }} folgende Punkte aus. {{ Auflistung6 |Die starke Präsenz von Fachbegriffen, die definiert werden müssen und gemäß ihrer Definition eingesetzt werden. |Die Existenz weniger benennbarer Grundprinzipien{{ Zusatz/Fußnote |text=Über die selbst wiederum reflektiert wird und wo die Grenze zwischen Wissenschaft und Philosophie verläuft| |ISZ=.|ESZ=. }} |Der Einsatz von Logik zum Erschließen neuer Erkenntnisse. |Die freie Verwendung von in der Wissenschaft bereits etabliertem Wissen. |Die freie Zugänglichkeit und Überprüfbarkeit der Ergebnisse{{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist ein großer Unterschied zur Esoterik, wo das {{Anführung|Wissen}} nur unter ganz speziellen Bedingungen {{ Zusatz/Klammer |text=Verschwiegenheit, Würdigkeit, ... | |ISZ=|ESZ= }} von Eingeweihten weitergegeben wird| |ISZ=.|ESZ=. }} |Der Anspruch, dass die {{ Zusatz/Klammer |text=Gültigkeit der| |ISZ=|ESZ= }} Erkenntnisse unabhängig von subjektiven Wünschen und Empfindungen{{ Zusatz/Fußnote |text=Das heißt keineswegs, dass die Erkenntnisse und ihre Entdeckungen nicht von Gefühlen begleitet würden. Im Gegenteil, Wissenschaft macht denen, die sie betreiben, ziemlich viel Spaß| |ISZ=.|ESZ= }} sind, dass sie zeitlos und kulturunabhängig sind{{ Zusatz/Fußnote |text=Die Generierung von Wissen ist sehr stark zeit- und kulturabhängig| |ISZ=.|ESZ=. }} }} In der mathematischen Argumentation im wissenschaftlichen Kontext treten diese Punkte besonders deutlich hervor{{ Zusatz/Fußnote |text=Dafür fehlt der Mathematik ein entscheidender Punkt der Naturwissenschaften, die Beobachtung, die Empirie, das Experiment. Deshalb wird die Mathematik oft nicht zu den Naturwissenschaften gerechnet. Aber auch die Zuordnung zu den Geisteswissenschaften ist schwierig, so spricht man von {{Stichwort|Strukturwissenschaft|SZ=}}| |ISZ=.|ESZ=, }} was sich insbesondere schon darin niederschlägt, dass es einen eigenen Begriff für das mathematische Argumentieren gibt: {{Stichwort|Beweis|SZ=.}} Eine bewiesene mathematische Behauptung nennt man einen {{Stichwort|Satz|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Theorem oder Lemma oder Korollar| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Auflistung6 |Die mathematischen Begriffe werden alle exakt und nur unter Verwendung von anderen mathematischen Begriffen definiert. Die Definitionen sind so angelegt, dass jedes sinnvolle mathematische Objekt entweder unter den Begriff fällt oder nicht, und zwar unabhängig davon, ob man das immer entscheiden kann{{ Zusatz/Fußnote |text=Insbesondere sind beispielhafte Definitionen vom Typ etwas wie ... nicht zulässig| |ISZ=.|ESZ=. }} |Die Mathematik wird heute {{ Zusatz/Klammer |text=seit ca. 130 Jahren| |ISZ=|ESZ= }} auf Mengen aufgebaut. Sie ist axiomatisch-logisch organisiert, aber realweltlich-anschaulich motiviert. |Die Logik ist das Handwerkszeug der Mathematik. Es gibt {{ Zusatz/Klammer |text=im Prinzip| |ISZ=|ESZ= }} eine vollständige Liste von erlaubten Schlussweisen der Aussagenlogik und der Prädikatenlogik{{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist Gegenstand der mathematischen Logik| |ISZ=.|ESZ=. }} |Bewiesene mathematische Aussagen, also Sätze, werden weiterverwendet{{ Zusatz/Fußnote |text=Sie sind auch nicht patentierbar| |ISZ=.|ESZ=. }} Für eine systematische Darstellung eines Teilgebietes der Mathematik {{ Zusatz/Klammer |text=wie in einer Vorlesung oder in einem Buch| |ISZ=|ESZ= }} bedeutet dies, dass man die grundlegenden Sachen zuerst darstellt und darauf zunehmend komplexere Sachen aufbaut. Wenn ein zuvor bewiesener Satz dann irgendwo eingesetzt wird, wird über diesen Satz nicht nachgedacht, sondern nur, ob in der jetzigen Situation alle Voraussetzungen erfüllt sind, damit man den Satz anwenden kann. |Mathematik wird in Zeitschriften und Büchern veröffentlicht, in Vorlesungen gelehrt, ist im Internet und in Bibliotheken zugänglich{{ Zusatz/Fußnote |text=Einschränkung: Dies gilt nicht unbedingt für sicherheitsrelevante kryptologische Forschung, die zum Teil an regierungsnahen Forschungsinstituten durchgeführt wird| |ISZ=.|ESZ=. }} |Die Mathematik wird heute in einer erdumspannenden Gemeinschaft entwickelt{{ Zusatz/Fußnote |text=Wobei das Hauptgewicht nach wie vor auf den Industrieländern liegt. Die anderen Länder holen aber schnell auf. Die wichtigste mathematische Auszeichnung, die [[w:Fields-Medaille|Fields-Medaille]], ging 2014 an eine Iranerin, einen Brasilianer, einen Kanadier indischer Herkunft und einen Österreicher| |ISZ=.|ESZ=. }} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 39f7nom8a2okaszxtlr0dsfztssn6bb 0 83826 1106382 563266 2026-07-10T11:15:29Z Bocardodarapti 2041 1106382 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In diesem Kurs stehen die Fragen von Typ (5) und (6) an erster Stelle, das Warum{{{zusatz1|}}}. Die Frage nach der logischen Abhängigkeit ist eine Frage nach dem Warum, da man versucht, Gesetzmäßigkeiten auf grundlegendere Gesetzmäßigkeiten zurückzuführen. Das Zurückführen auf fundamentalere Sachverhalte nennt man argumentieren, begründen, zeigen, ableiten, beweisen. Da man irgendwo anfangen muss, spielen in der Mathematik die Logik, Axiome und Definitionen eine fundamentale Rolle. Die Frage nach dem Warum soll zu einem vertieften Verständnis der Mathematik führen. (2) ist auch ein wichtiger Punkt, die inhaltliche Bedeutung der Zahlen und die damit ermöglichten Anwendungen sind letztlich der Grund, sich mit Mathematik zu beschäftigen, Rechengesetze vereinfachen Rechnungen, Anwendungen der elementaren Mathematik sind allgegenwärtig{{{zusatz2|.}}} Die logische Abhängigkeit ist zwar in den Einzelschritten unmittelbar einleuchtend, da aber häufig eine Vielzahl an solchen Einzelschritten aufgetürmt werden muss, um zu einer prägnanten Aussage zu kommen, sieht man manchmal den Wald vor lauter Bäumen nicht. In Interpretationen, Veranschaulichungen, Visualisierungen tritt die inhaltliche Bedeutung einer Formel deutlich hervor, zugleich ist es nicht die Formel selbst. In diesem Zusammenhang ist es wichtig, die Argumentationsebenen auseinander zu halten. Diese reflexive Fähigkeit zu entwickeln ist ein wesentliches Lernziel. Beispielsweise sind manche Visualisierungen auf den ersten Blick sehr einsichtig, bei genauerem Hinsehen muss man sich aber eingestehen, wie viel an Vorwissen und Vorannahmen eingehen{{{zusatz3|.}}} Die Fragestellungen (1) und (4) sind auch wichtig, sie stellen aber kein ernstes Problem dar, da die Rechengesetze und sonstige Formeln aus der Schule bekannt sind {{ Zusatz/Klammer |text=sein sollten| |ISZ=|ESZ= }} und da es letztlich auch nicht so viele gibt. Auch die Formulierungen sind eher einfach, zumindest, wenn man sich auf algebraische Eigenschaften konzentriert, wie sie im ersten Semester im Mittelpunkt stehen {{ Zusatz/Klammer |text=bei der Einführung der reellen Zahlen sieht dies etwas anders aus| |ISZ=|ESZ=. }} Zur Kenntnis der Gesetzmäßigkeiten gehört das korrekte algorithmische Anwenden {{ Zusatz/Klammer |text=rechnen| |ISZ=|ESZ= }} in passenden Situationen (3). Die Fragestellungen in (7) sind auch sehr wichtig, insbesondere in Hinblick auf den angestrebten Beruf. Für die didaktischen Aspekte gibt es einen eigenen einjährigen Kurs {{ Zusatz/Klammer |text=Grundkurs Mathematikdidaktik (BEU)| |ISZ=|ESZ=. }} Mit etwas Wohlwollen {{ Zusatz/Gs |text=insbesondere, wenn man Begrifflichkeiten, Formulierungen nicht überbewertet und sich auf das Verständnis konzentriert| |ISZ=|ESZ= }} erkennt man große Parallelen zwischen der Lern- und Lehrreihenfolge und dem logischen Aufbau der Mathematik{{ Zusatz/Fußnote |text=Konkret: Das Wort Halbgruppe hat in der Schule nichts verloren. Dennoch erfasst es sehr genau ein Bündel an Rechenkompetenzen, das in einem bestimmten mathematischen Entwicklungsstadium vorliegt| |ISZ=.|ESZ=. }} In den Aufgaben werden gelegentlich gewisse didaktische Szenarien angesprochen. Eine gewisse Gefahr liegt darin, die Didaktik bzw. die angebliche berufliche Situation gegen eine fundierte mathematische Ausbildung vorzubringen. Ein Ziel der angestrebten Reflexionsstufe ist es, dies als ein oberflächliches Ausweichmanöver zu durchschauen. Die Herausstellung der beiden Punkte (5) und (6) gilt für diesen Kurs, ist aber keine Gesamtbewertung über verschiedene Aspekte der Mathematik. Die Mitberücksichtigung der anderen Aspekte schlägt sich an vielen Stellen nieder, ist aber auch eine Aufgabe für die Studierenden. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} o6qr82ch9g13p3ygezz47krvdnwmc7p 0 83843 1106385 1102862 2026-07-10T11:26:39Z Bocardodarapti 2041 1106385 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine {{Stichwort|Aussage|SZ=}} ist ein sprachliches Gebilde, das {{Stichwort|wahr|SZ=}} oder {{Stichwort|falsch|SZ=}} sein kann{{ Zusatz/Fußnote |text=Statt {{Anführung|wahr}} sagt man auch, dass die Aussage {{Stichwort|gilt|SZ=}} oder dass sie {{Stichwort|richtig|SZ=}} ist, statt {{Anführung|falsch}} auch, dass sie nicht gilt.| |ESZ=. }} Es ist durchaus erlaubt, dass man nicht entscheiden kann, ob die Aussage wahr oder falsch ist, weil man dazu Zusatzinformationen benötigt. Wichtig ist allein, dass die Prädikate wahr und falsch sinnvolle Prädikate des Gebildes aufgrund seiner syntaktischen und semantischen Gestalt sind. Die Bedingung der Bedeutungsklarheit wird von natürlich-sprachlichen Aussagen selten erfüllt. Nehmen wir z.B. den Satz {{Beispielsatz|Dieses Pferd ist schnell|SZ=.}} Einerseits haben wir keine Information, um welches Pferd es sich handelt, von dem da die Rede ist, und die Gültigkeit der Aussage hängt vermutlich davon ab, welches Pferd gemeint ist. Andererseits ist die Bedeutung von {{Anführung|schnell}} nicht so fest umrissen, dass, selbst wenn es klar wäre, um welches Pferd es sich handelt, vermutlich Uneinigkeit herrscht, ob es als schnell gelten soll oder nicht. Weitere alltagssprachliche Aussagen sind {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün|SZ=.}} {{Beispielsatz|Ich fresse einen Besen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Heinz Ngolo und Mustafa Müller sind Freunde|SZ=.}} In der natürlichen Sprache besteht die Möglichkeit, durch Zusatzinformationen, Kontextbezug, intersubjektive Vereinbarungen und kommunikative Bedeutungsangleichungen eine Gesprächssituation zu erzeugen, in der man über die Gültigkeit von solchen nicht scharf definierten Aussagen weitgehende Einigkeit erzielen kann. In der Logik und in der Mathematik hingegen sind diese praktischen Notlösungen nicht erlaubt, sondern die Bedeutung einer Aussage soll allein aus der Bedeutung der in ihr verwendeten Begriffe erschließbar sein, wobei diese Begriffe zuvor klar und unmissverständlich definiert worden sein müssen. Einige mathematische Aussagen {{ Zusatz/Klammer |text=egal ob wahr oder falsch| |SZ= }} sind {{Beispielsatz| {{ Relationskette | 5 |>| 3 || || || |SZ=. }} }} {{Beispielsatz| {{ Relationskette | 5 |<| 3 || || || |SZ=. }} }} {{Beispielsatz| 5 ist eine natürliche Zahl|SZ=.}} {{Beispielsatz|Es ist {{ Relationskette | 7+5 || 13 || || || |SZ=. }}|}} {{Beispielsatz|Primzahlen sind ungerade|SZ=.}} {{Beispielsatz|Die minimale Darstellung eines Geldbetrages durch die Eurozahlen ist eindeutig|SZ=.}} Wenn man diese Aussagen versteht, und insbesondere die in ihnen verwendeten Begriffe und Symbole kennt, so sieht man, dass es sich um Aussagen handelt, die entweder wahr oder falsch sind, und zwar unabhängig davon, ob der Leser weiß, ob sie wahr oder falsch sind. Ob ein sprachliches Gebilde eine Aussage ist, hängt nicht vom Wissen, ob sie wahr oder falsch ist, oder vom Aufwand ab, mit dem man durch zusätzliches Nachforschen, durch Experimente oder durch logisch-mathematisches Überlegen entscheiden könnte, ob sie wahr oder falsch ist. Bei den folgenden Beispielen handelt es sich zwar um mathematische Objekte, aber nicht um Aussagen: {{Beispielsatz| 5 }} {{Beispielsatz| 5+11 }} {{Beispielsatz|Die Menge der Primzahlen}} {{Beispielsatz|{{math|term= A \cap B |SZ=}} }} {{Beispielsatz|Eine Summe von fünf Quadraten}} {{Beispielsatz|{{math|term= \int_a^b f(t)dt |SZ=.}} }} Statt uns jetzt mit konkreten Aussagen auseinander zu setzen, nehmen wir im Folgenden den strukturellen Standpunkt ein, dass eine Aussage eine Aussagenvariable {{math|term= p |SZ=}} ist, die einen der beiden {{Stichwort|Wahrheitswerte|msw=Wahrheitswert|SZ=}} wahr oder falsch annehmen kann. Zunächst interessiert uns dann, wie sich diese Wahrheitsbelegungen bei einer Konstruktion von neuen Aussagen aus alten Aussagen verhalten. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} k4lnrntmn6xitocm7ai6zi9k7mne568 0 83845 1106386 1092143 2026-07-10T11:28:52Z Bocardodarapti 2041 1106386 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Um sich die Abhängigkeiten von zusammengesetzten Aussagen allein von den einzelnen Wahrheitsgehalten der beteiligten Teilaussagen und den Junktoren, nicht aber von den konkreten Aussagen und ihren Bedeutungen klarer zu machen, ist es sinnvoll, mit {{Stichwort|Aussagenvariablen|msw=Aussagenvariable|SZ=}} zu arbeiten und die Junktoren durch Symbole zu repräsentieren. Für Aussagen schreiben wir jetzt {{ Math/display|term= p,q, \ldots |SZ=, }} und wir interessieren uns also nicht für den Gehalt von {{math|term= p |SZ=,}} sondern lediglich für die möglichen Wahrheitswerte {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Belegungen|msw=Belegung|SZ=}}| |SZ= }} von {{math|term= p |SZ=,}} die wir mit {{math|term= w |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= wahr| |SZ= }} oder {{math|term= f |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=falsch| |SZ= }} bezeichnen {{ Zusatz/Klammer |text=gelegentlich verwendet man auch die Wahrheitswerte {{ mathkor/k|term1= 1 |und|term2= 0 |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Bei der {{Stichwort|Negation|SZ=}} werden einfach die Wahrheitswerte vertauscht, was man mit einer einfachen {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} ausdrückt: {{Wahrheitstabelle/1|Negation|\neg p |f|w}} Bei einer konkreten Aussage gibt es in der Regel mehrere sprachliche Möglichkeiten, die Negation zu formulieren. Um die Aussage {{Anführung|ich fresse einen Besen}} zu negieren, ist es egal, ob man sagt: {{Beispielsatz|Ich fresse nicht einen Besen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Ich fresse keinen Besen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Es ist nicht der Fall, dass ich einen Besen fresse|SZ=.}} {{Beispielsatz|Es trifft nicht zu, dass ich einen Besen fresse|SZ=.}} Die Negation wirkt auf eine einzelne Aussage, man spricht von einem {{Stichwort|einstelligen Operator|msw=Einstelliger Operator|SZ=.}} Kommen wir nun zu {{Stichwort|mehrstelligen Operatoren|msw=Mehrstelliger Operator|SZ=,}} die von mindestens zwei Aussagen abhängen. Bei der Verknüpfung von zwei Aussagen gibt es insgesamt vier mögliche Kombinationen der Wahrheitswerte, sodass jede logische Verknüpfung dadurch festgelegt ist, wie sie diesen vier Kombinationen einen Wahrheitswert zuordnet. Daher gibt es insgesamt {{math|term= 16 |SZ=}} logische Verknüpfungen, die wichtigsten sind die folgenden vier. Die {{Stichwort|Konjunktion|SZ=}} ist die {{Stichwort|Und-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind; sie ist also falsch, sobald nur eine der beteiligten Aussagen falsch ist. Die {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} der Konjunktion sieht so aus. {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion|p {{logund|}} q|w|f|f|f}} Die {{Stichwort|Disjunktion|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Alternation|SZ=}}| |SZ= }} ist die einschließende {{Stichwort|Oder-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist wahr sobald mindestens eine der Teilaussagen wahr ist, und insbesondere auch dann wahr, wenn beide Aussagen zugleich wahr sind. Sie ist nur in dem einzigen Fall falsch, dass beide Teilaussagen falsch sind. Offensichtlich sind bei einer Konjunktion und einer Disjunktion die beteiligten Teilaussagen gleichberechtigt. {{Wahrheitstabelle/2/1|Disjunktion|p {{logoder|}} q |w|w|w|f}} Die {{Stichwort|Implikation|SZ=}} ist die in der Mathematik wichtigste Verknüpfung. Mathematische Sätze haben fast immer die Gestalt einer {{ Zusatz/Klammer |text=verschachtelten| |SZ= }} Implikation. Der logische Gehalt einer Implikation ist, dass aus der Gültigkeit einer {{Stichwort|Voraussetzung|SZ=}} die Gültigkeit einer {{Stichwort|Konklusion|SZ=}} folgt{{ Zusatz/Fußnote |text=Genauer gesagt haben mathematische Sätze fast immer die Gestalt {{math|term= p_1 {{logund|}} p_2 {{logunddots|}} p_n \rightarrow q |SZ=.}}| |ESZ=. }} Sie wird meistens durch {{Anführung|Wenn {{math|term= p |SZ=}} wahr ist, dann ist auch {{math|term= q |SZ=}} wahr}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder kurz: Wenn {{math|term= p |SZ=,}} dann {{math|term= q |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ausgedrückt. Ihre Wahrheitsbedingung ist daher, dass wenn {{math|term= p |SZ=}} mit wahr belegt ist, dann muss auch {{math|term= q |SZ=}} mit wahr belegt sein. Dies ist erfüllt, wenn {{math|term= p |SZ=}} falsch ist oder wenn {{math|term= q |SZ=}} wahr ist{{ Zusatz/Fußnote |text=An die Wahrheitsbelegung einer Implikation für den Fall, wo der Vordersatz falsch ist, muss man sich etwas gewöhnen. Der Punkt ist, dass wenn man eine Implikation {{math|term= p \rightarrow q |SZ=}} beweist, dass man dann {{math|term= p |SZ=}} als wahr annimmt und davon ausgehend zeigen muss, dass auch {{math|term= q |SZ=}} wahr ist. Der Fall, dass {{math|term= p |SZ=}} falsch ist, kommt also in einem Implikationsbeweis gar nicht explizit vor. In diesem Fall gilt die Implikation, obwohl sie keine {{Anführung|Schlusskraft}} besitzt. Nehmen wir als Beispiel die mathematische Aussage, dass wenn eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} durch vier teilbar ist, sie dann gerade ist. Dies ist eine wahre Aussage für alle natürlichen Zahlen, sie gilt insbesondere auch für alle Zahlen, die {{Betonung/Negation|nicht|SZ=}} durch vier teilbar sind. Es gibt auch jeweils für alle drei Wahrheitsbelegungen, die eine Implikation wahr machen, Beispiele von natürlichen Zahlen, die genau diese Wahrheitsbelegung repräsentieren, nicht aber für die vierte| |ISZ=. |ESZ=. }} Ihre Wahrheitstabelle ist daher {{Wahrheitstabelle/2/1|Implikation|p \rightarrow q|w|f|w|w}} Bei einer Implikation sind die beiden beteiligten Teilaussagen nicht gleichberechtigt, die Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} sind verschiedene Aussagen. Eine Implikation hat also eine {{Stichwort/anf|Richtung|SZ=}}{{ Zusatz/Fußnote |text=Bei einer Implikation {{math|term= p \rightarrow q |SZ=}} sagt man auch, dass {{math|term= p |SZ=}} eine {{Stichwort|hinreichende Bedingung|SZ=}} für {{math|term= q |SZ=}} und dass {{math|term= q |SZ=}} eine {{Stichwort|notwendige Bedingung|SZ=}} für {{math|term= p |SZ=}} ist. Siehe dazu auch die Wahrheitstabelle zur Kontraposition weiter unten.| |ESZ=. }} Im allgemeinen Gebrauch und auch in der Mathematik werden Implikationen zumeist dann verwendet, wenn der Vordersatz der {{Anführung|Grund|}} für die Konklusion ist, wenn die Implikation also einen kausalen Zusammenhang ausdrückt. Diese Interpretation spielt aber im aussagenlogischen Kontext keine Rolle. Wenn die beiden Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} zugleich gelten, so wird das durch {{Anführung|genau dann ist {{math|term= p |SZ=}} wahr, wenn {{math|term= q |SZ=}} wahr ist}} ausgedrückt. Man spricht von einer {{Stichwort|Äquivalenz|SZ=}} der beiden Aussagen, die Wahrheitstabelle ist {{Wahrheitstabelle/2/1|Äquivalenz|p \leftrightarrow q|w|f|f|w}} Beispiele für eine mathematische Äquivalenzaussage sind: {{Beispielsatz|Eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} ist genau dann gerade, wenn sie im Zehnersystem auf {{mathl|term= 0,2,4,6 |SZ=}} oder {{math|term= 8 |SZ=}} endet|SZ=.}} {{Beispielsatz|Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn es eine Seite gibt, deren Quadrat gleich der Summe der beiden anderen Seitenquadrate ist|SZ=.}} Die Hinrichtung im zweiten Beispielsatz ist dabei der Satz des Pythagoras, die Rückrichtung gilt aber auch. Achtung: In gewissen Kontexten werden Äquivalenzen als Implikationen formuliert. Dies gilt beispielsweise für Belohnungen, Bestrafungen und auch in mathematische Definitionen. Wenn man sagt: {{Anführung|wenn du nicht durch {{math|term= 0 |SZ=}} teilst, bekommst du ein Gummibärchen|SZ=,}} so meint man in aller Regel, dass man auch nur dann eines bekommt, aber nicht, wenn man durch {{math|term= 0 |SZ=}} teilt. Mathematische Definitionen wie {{Anführung|eine Zahl heißt gerade, wenn sie ein Vielfaches der {{math|term= 2 |SZ=}} ist|SZ=,}} sind als genau dann, wenn zu verstehen. Unter Verwendung der Negation kann man jede logische Verknüpfung durch die angeführten Verknüpfungen ausdrücken, wobei man noch nicht mal alle braucht. Z.B. kann man die Konjunktion {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso die Implikation und die Äquivalenz| |SZ= }} auf die Disjunktion zurückführen, die Wahrheitstabelle{{ Zusatz/Fußnote |text=Im Folgenden verwenden wir, um Klammern zu sparen, die Konvention, dass die Negation stärker bindet als alle mehrstelligen Junktoren, und dass die Konjunktion stärker bindet als die anderen zweistelligen Junktoren.| |SZ= }} {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion als Disjunktion|\neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |w|f|f|f}} zeigt nämlich, dass die Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= \neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |SZ=}} mit der Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= p {{logund|}} q |SZ=}} übereinstimmt. Daher sind die beiden Ausdrücke logisch gleichwertig. Bei einem solchen nur leicht verschachtelten Ausdruck kann man die Wahrheitswerte noch einfach berechnen und damit die Wahrheitsgleichheit mit der Konjunktion feststellen. Bei komplizierteren {{ Zusatz/Klammer |text=tiefer verschachtelten| |SZ= }} Ausdrücken ist es sinnvoll, abhängig von den Belegungen der beteiligten Aussagenvariablen die Wahrheitswerte der Zwischenausdrücke zu berechnen. Im angegebenen Beispiel würde dies zur Tabelle {{Wahrheitstabelle/2/4|Konjunktion als Disjunktion|\neg p | f|f|w|w| \neg q |f|w|f|w| \neg p {{logoder|}} \neg q |f|w|w|w| \neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |w|f|f|f}} führen. Natürlich kann man statt zwei auch beliebig viele Aussagenvariablen verwenden und daraus mit den Verknüpfungen neue Aussagen konstruieren. Die Wahrheitsbelegung der zusammengesetzten Aussagen lassen sich dann ebenfalls in entsprechend größeren Wahrheitstabellen darstellen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8bl0ozdaq3p2vz36kx02y5ug55m9yfs 0 84075 1106374 564904 2026-07-10T10:52:45Z Bocardodarapti 2041 1106374 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf Ruggetong heißt die Währung Riggating und es gibt nur zwei Münzen {{ Zusatz/Klammer |text=mit vollen Riggatingbeträgen| |ISZ=|ESZ=. }} Es kann jeder volle Geldbetrag damit bezahlt werden. Zeige{{n Sie}}, dass dann die minimale Darstellung eines jeden Geldbetrages eindeutig ist. Wie kann man sie berechnen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bl2mjdg7vklul6d501ve467d1t2i2ju 0 84856 1106275 1076339 2026-07-09T16:22:48Z Bocardodarapti 2041 1106275 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In der Klasse gibt es vier Reihen mit je acht Sitzplätzen, die alle besetzt sind. Vorne stehen Frau Maier-Sengupta und Herr Lutz. Frau Maier-Sengupta zählt die Kinder durch, wobei sie reihenweise von {{ Zusatz/Klammer |text=zuerst| |ISZ=|ESZ= }} links nach rechts und {{ Zusatz/Klammer |text=dann| |ISZ=|ESZ= }} von vorne nach hinten durchzählt. Herr Lutz zählt die Kinder von rechts hinten nach links vorne, wobei er zuerst die ganz rechts sitzenden Kinder durchzählt usw. {{ Aufzählung3/a |Welche Nummer bekommt dasjenige Kind, das von Frau Maier-Sen{{drucktrenn}}gupta die Nummer {{math|term= 23 |SZ=}} bekommt, von Herrn Lutz? |Welche Nummer bekommt dasjenige Kind, das von Herrn Lutz die Nummer {{math|term= 18 |SZ=}} bekommt, von Frau Maier-Sengupta? |Welche Nummer bekommt das Kind, das in der dritten Reihe von vorne auf dem sechsten Stuhl von links sitzt, von den beiden Lehrkräften? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie2=Theorie der Produktmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie2=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jolax2eh8h8yowe8ifxvi01cy3zbuvl 0 85149 1106320 848424 2026-07-10T08:47:16Z Bocardodarapti 2041 1106320 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bringe{{n Sie}} die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl {{math|term= n |SZ=}} durch eine natürliche Zahl {{math|term= t |SZ=}} mit dem Begriff der {{ Definitionslink |Produktmenge| |Kontext=| |SZ= }} in einen Zusammenhang. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2=Theorie der Produktmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pdnatjxbu4l8bp3ggvtuppfxcorqzcg 0 85823 1106333 858182 2026-07-10T09:16:27Z Bocardodarapti 2041 1106333 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Interpretiere{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=das|Lemma von Bézout|Faktseitenname= Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt |Nr= |SZ= }} als eine Lösungsaussage über eine Gleichung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Lemma von Bezout (Z) |Kategorie2=Theorie der Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} szw50cp6fhqo3bgofonx9rdvxaulvsp 0 85944 1106330 782566 2026-07-10T09:12:13Z Bocardodarapti 2041 1106330 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf einer Baustelle gibt es eine große Waage mit zwei Schalen und {{ Zusatz/Klammer |text=beliebig viele| |ISZ=|ESZ= }} Gewichte der Masse {{math|term= 12 |SZ=}} bzw. {{math|term= 50 |SZ=}} Kilogramm. {{ Aufzählung2 |Erläutere{{n Sie}}, wie man damit sechs Kilogramm Sand abwiegen kann. |Bestimme{{n Sie}}, welche Massen man damit abwiegen kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des größten gemeinsamen Teilers (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1by9le7sdfcxmt1ekxlhun8ofdeepsy 0 86332 1106335 486451 2026-07-10T09:17:16Z Bocardodarapti 2041 1106335 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} das Lemma von Bézout für teilerfremde natürliche Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} durch Induktion über das Maximum von {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jefyyz88vukjsh8ev9g692thvnvo4wg 0 87597 1106261 1103301 2026-07-09T15:11:41Z Bocardodarapti 2041 1106261 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Ideal/Definition|| }} Ein Ideal ist insbesondere eine Untergruppe der kommutativen Gruppe {{mathl|term= (R,+,0) |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | R || \Z || || || |SZ= }} ist jede Untergruppe bereits ein Ideal. Die Restklassengruppe {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} ist in kanonischer Weise nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} eine kommutative Gruppe und die kanonische Abbildung {{ Abbildung/display |name= | R | R/ {{ideala|}} || |SZ= }} ist mit der Addition verträglich. Wir werden sehen, dass man in {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} zusätzlich eine Multiplikation und ein Einselement definieren kann derart, dass {{math|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} zu einem kommutativen Ring wird und dass die kanonische Abbildung auch die Multiplikation respektiert, also ein Ringhomomorphismus ist. Die Nebenklassen {{mathl|term= a+ {{ideala|}} |SZ=}} sind gerade die {{ Definitionslink |Nebenklassen| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} zur Untergruppe {{ Relationskette | {{ideala|}} | \subseteq|R || || || |SZ=. }} Zwei Elemente {{ Relationskette |a,b | \in|R || || || |SZ= }} definieren genau dann die gleiche Nebenklasse, also {{ Relationskette | a+ {{ideala|}} || b+ {{ideala|}} || || || || |SZ=, }} wenn ihre Differenz {{mathl|term= a-b|SZ= }} zum Ideal gehört. {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt|Lemma|| || }} Die kanonische Projektion nennt man wieder die {{Definitionswort/enp|Restklassenabbildung}} oder den {{Definitionswort/enp|Restklassenhomomorphismus|SZ=.}} Das Bild von {{ Relationskette |a | \in|R || || || |SZ= }} in {{mathl|term= R/ {{ideala}} |SZ= }} wird mit {{math|term= [a] |SZ=,}} häufig aber auch mit {{math|term= \overline{a} |SZ= }} oder einfach mit {{math|term= a |SZ=}} selbst bezeichnet und heißt die {{Definitionswort/enp|Restklasse}} von {{math|term= a |SZ=.}} Bei dieser Abbildung gehen genau die Elemente aus dem Ideal auf {{math|term= 0 |SZ=,}} d.h. der Kern dieser Restklassenabbildung ist das vorgegebene Ideal. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Restklassenringe (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 58a9i02zreshr8oqz4vhr0led3987is 0 89035 1106317 1027677 2026-07-10T08:36:18Z Bocardodarapti 2041 1106317 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beim neutralgeschlechtlichen Speeddating treffen sich {{math|term= n|SZ=}} Personen, und jede Person plaudert mit jeder von ihr verschiedenen Person fünf Minuten lang. Danach schreibt jede Person auf einen Zettel, welche Personen sie wiedersehen möchte. Die Moderatorin sammelt die Zettel ein und erstellt daraus eine Liste von Paaren, bei denen sich beide wiedersehen wollen. {{ Aufzählung2 |Beschreibe{{n Sie}} diese Situation mit einer Relation und einer Umkehrrelation. |Es sei {{ Relationskette |n || 6 || || || |SZ=. }} Zeichne{{n Sie}} ein Diagramm mit sechs Punkten und verschiedenfarbigen Verbindungsstrecken zwischen den Punkten, das beschreibt, in welcher Reihenfolge die Personen miteinander plaudern {{ Zusatz/Klammer |text=die erste Farbe soll die Gesprächspartner der ersten Runde angeben usw.| |ISZ=|ESZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nzv878d1wxkxjeeek5lu41kalqtrdd7 106 91537 1106351 993818 2026-07-10T09:28:36Z Bocardodarapti 2041 1106351 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|26| {{Motto| |Text=Durch starkes Denken kann man ein Kamel zu Fall bringen. |Autor=[[w:Ibn Sina|Ibn Sina]] }} Für die weitere Untersuchung von linearen Abbildungen und speziell trigonalisierbaren Abbildungen müssen wir noch eine wichtige Gesetzmäßigkeit im Polynomring über einem Körper besprechen, das {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Das Lemma von Bézout}} Wir erinnern daran, dass ein Polynom {{ Relationskette | T |\in| K[X] || || || |SZ= }} ein Polynom {{ Relationskette | P |\in|K[X] || || || |SZ= }} teilt, wenn es ein Polynom {{ Relationskette | Q |\in|K[X] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |P || T Q || || || |SZ= }} gibt. Dies entspricht der Teilbarkeitsbeziehung von ganzen Zahlen. Von dort ist auch das Konzept von einem größten gemeinsamen Teiler bekannt. {{:Polynomring/Körper/1/Gemeinsamer Teiler/Textabschnitt}} {{:Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Textabschnitt}} Wir erwähnen noch das Lemma von Bezout für die ganzen Zahlen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Anwendung auf Endomorphismen}} {{:Polynomring/Körper/1/Lemma von Bezout/Endomorphismus/Anwendung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Haupträume}} Wir wollen weiterhin untersuchen, inwiefern man trigonalisierbare Abbildungen durch Matrizen beschreiben kann, die nicht nur obere Dreiecksgestalt haben, sondern darüber hinaus noch weitere einfache Eigenschaften erfüllen. Dafür gehen wir zwei Schritte. In dieser Vorlesung werden wir eine trigonalisierbare Abbildung als direkte Summe von Abbildungen auf Haupträumen darstellen. In den nächsten beiden Vorlesungen werden wir die Endomorphismen auf den Haupträume selbst studieren. {{:Endomorphismus/Hauptraum/Einführung/Textabschnitt}} }} o2089u2wuhkmmeqxksz5eacsrt5hgfe 106 99366 1106358 1069637 2026-07-10T09:30:58Z Bocardodarapti 2041 1106358 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|20| Wir kehren zur Thematik der Primzahlen und der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl zurück. Bisher kennen wir nur die Existenz einer Primfaktorzerlegung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} aber noch nicht die Eindeutigkeit. Obwohl wir diese Fragestellung für natürliche Zahlen formuliert haben, ergibt sich im Kontext der ganzen Zahlen ein neuer Zusammenhang, der für diese Thematik hilfreich ist. {{Zwischenüberschrift|Teilerfremdheit und das Lemma von Bézout}} {{ inputbild |Kielcanal|PNG|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Grunners |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Zille vorichte|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor=Heinrich Zille |Benutzer=Hendrike |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die Aufgabe ist lösbar: Man macht dreimal den {{math|term=7|SZ=-}}Liter-Eimer in der Nordsee voll und transportiert dies in die Ostsee. Danach {{ Zusatz/Klammer |text=oder gleichzeitig| |ISZ=|ESZ= }} macht man zweimal den {{math|term=10|SZ=-}}Liter-Eimer in der Ostsee voll und transportiert dies in die Nordsee. Unterm Strich hat man dann {{ Relationskette/display |3 \cdot 7 -2 \cdot 10 ||1 || || || |SZ= }} Liter transportiert {{ Zusatz/Klammer |text=eine andere Möglichkeit ist {{ Relationskette/k |5 \cdot 10 - 7 \cdot 7 ||1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Die dieser Überlegung zugrunde liegende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz|| || }} Man sagt auch, dass {{ Relationskette | ra+sb ||1 || || || |SZ= }} eine {{Stichwort|Darstellung|msw=Darstellung der 1|SZ=}} der {{math|term=1|SZ=}} als eine {{Stichwort|Linearkombination|SZ=}} der {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} ist. Die {{mathl|term= r,s|SZ=}} heißen {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} der Darstellung. {{Zwischenüberschrift|Die Untergruppen von {{math|term=\Z|SZ=}} }} Die Division mit Rest, die wir bisher nur für natürliche Zahlen formuliert haben, überträgt sich unmittelbar auf ganze Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=der Divisor bleibt eine natürliche Zahl| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Division mit Rest/Z/Fakt|Satz|| || }} {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Untergruppe/Definition|| }} In einer Untergruppe kann man also die Verknüpfung der Gruppe ausführen, man kann das Inverse nehmen und das neutrale Element gehört dazu. In additiver Schreibweise, die für uns im Mittelpunkt steht, bedeuten die Bedingungen einfach {{ Aufzählung3 |{{math|term=0 \in H|SZ=.}} |Mit {{math|term= g,h \in H|SZ=}} ist auch {{math|term= g + h \in H|SZ=.}} |Mit {{math|term= g \in H|SZ=}} ist auch das Negative {{math|term=- g \in H|SZ=.}} }} Beispielsweise bilden alle Vielfachen der {{math|term=5|SZ=}} innerhalb der ganzen Zahlen eine Untergruppe, die wir mit {{math|term=\Z 5|SZ=}} bezeichnen. Es ist ja {{ Relationskette/display |0 || 0 \cdot 5 || || || |SZ=, }} wenn {{ Relationskette | g || 5 \cdot a || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | h || 5 \cdot b || || || |SZ= }} sind, so ist {{ Relationskette/display |h+g || 5 \cdot (a+b) || || || |SZ= }} nach dem Distributivgesetz und mit {{ Relationskette |g || 5 \cdot a || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette |-g || 5 \cdot (-a) || || || |SZ=. }} Wie im eingangs gegebenen Beispiel kann man sich eine Menge {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} von ganzen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=Eimergrößen| |ISZ=|ESZ= }} vorgeben und sich fragen, welche Zahlen man daraus mit Hilfe von ganzzahligen Koeffizienten bilden kann {{ Zusatz/Klammer |text=welche Wassermengen man transportieren kann| |ISZ=|ESZ=. }} Es geht also um die Menge aller Zahlen der Form {{ Math/display|term= n_1a_1 {{plusdots|}} n_ka_k \text{ mit } n_j \in \Z |SZ=. }} Diese Gesamtmenge bildet eine Untergruppe von {{math|term=\Z|SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Z/Erzeuger/Untergruppe/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} man spricht von der von den {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} {{Stichwort|erzeugten Untergruppe|msw=Erzeugte Untergruppe|SZ=}} von {{math|term=\Z|SZ=.}} Statt Eimern kann man sich auch eine Menge von ganzzahligen Pfeilen, die man hintereinanderlegen und umdrehen kann, vorstellen, oder eine vorgegebene Menge an Sprungmöglichkeiten, oder eine Menge an Gewichten. Der folgende Satz heißt auch {{Anführung|Ein-Eimer-Satz|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz|| || }} {{inputfaktbeweis|Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt|Lemma||ref1=}} {{Zwischenüberschrift|Der Euklidische Algorithmus}} Der euklidische Algorithmus dient dazu, zu gegebenen Zahlen {{math|term= a,b|SZ=}} ihren größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen, und eine Darstellung dieses größten gemeinsamen Teilers ale eine Linearkombination der {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} explizit zu finden. {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Einführung/Textabschnitt}} Wenn man mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler {{math|term= d|SZ=}} von zwei Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} gefunden hat, so kann man aus diesen Rechnungen auch die Quotienten {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|a|d}} |und|term2= {{op:Bruch|b|d}} |SZ= }} bestimmen, da dann alle euklidischen Reste Vielfache von {{math|term= d|SZ=}} sind. {{Zwischenüberschrift|Darstellung des größten gemeinsamen Teilers}} {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Darstellung des ggT/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Kommensurabilität}} {{:Strecken/Euklidischer Algorithmus/Textabschnitt}} }} g6fqym9tybz8n2ufo4po638hoxq56ye 0 102129 1106276 961376 2026-07-09T16:25:30Z Bocardodarapti 2041 1106276 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |endliche Menge| |Kontext=| |SZ= }} mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen und sei {{math|term= w |SZ=}} ein Element, das nicht zu {{math|term= M |SZ=}} gehöre. Zeige{{n Sie}}, dass dann die Vereinigung {{mathl|term= M \cup \{w\} |SZ=}} genau {{mathl|term= n^\prime |SZ=}} Elemente besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kgyaevq5q1w8q141xgt2tausg7a2lex 0 102867 1106279 1082433 2026-07-09T16:44:26Z Bocardodarapti 2041 1106279 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{math|term= n |SZ=-}}elementige Menge. Wir bezeichnen mit {{mathl|term= {{op:Potenzmengeanzahl| M |k}} |SZ=}} die Menge der {{math|term= k |SZ=-}}elementigen Teilmengen von {{math|term= M |SZ=}} und mit {{mathl|term= {{op:Nummerierungen| M |}} |SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |bijektiven Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= \{1,2,3 {{kommadots}} n\} |SZ=}} nach {{math|term= M |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also alle Nummerierungen von {{math|term= M |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} unter Verwendung der Abbildung {{ Abbildung/display |name=\Psi | {{op:Nummerierungen| M |}} | {{op:Potenzmengeanzahl| M |k}} | \varphi | \{\varphi(1), \varphi(2) {{kommadots|}} \varphi(k) \} |SZ=, }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Zählvorganges (endliche Mengen) |Kategorie2=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1e3bfokebod6whwnm03m6lbeqz3vh00 0 103599 1106329 784951 2026-07-10T09:10:21Z Bocardodarapti 2041 1106329 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Zusatz/Klammer |text=beliebig viele| |ISZ=|ESZ= }} gemalte Pfeile der Länge {{math|term= 7 |SZ=}} und der Länge {{math|term= 12 |SZ=}} gegeben. Wie muss man die Pfeile hintereinanderlegen {{ Zusatz/Klammer |text=wobei immer ein Pfeilende an der Pfeilspitze des Vorgängerpfeils anliegt| |ISZ=|ESZ=, }} damit insgesamt ein Gesamtpfeil der Länge {{math|term= -1 |SZ=}} entsteht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Lemma von Bezout (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q8umarg0qh2wvwrfljv5xkjwpyudoha 0 103607 1106327 982167 2026-07-10T09:05:08Z Bocardodarapti 2041 1106327 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine {{ Zusatz/Klammer |text=einfachere, aber langsamere| |ISZ=|ESZ= }} Variante des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zu zwei gegebenen natürlichen Zahlen {{mathl|term= a,b|SZ=.}} Der Algorithmus geht folgendermaßen. Wenn {{ Relationskette | a | \neq | b || || || |SZ= }} ist, so ersetze das Paar {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} durch das Paar, das aus der kleineren Zahl und der Differenz zwischen der kleineren und der größeren Zahl besteht. Wiederhole dies rekursiv. Wenn {{ Relationskette | a || b || || || |SZ= }} ist, so ist man fertig und es wird das Ergebnis {{math|term= a |SZ=}} ausgegeben. {{ Aufzählung4 |Führe{{n Sie}} diesen Algorithmus für das Paar {{mathl|term= (7,3) |SZ=}} durch. |Zeige{{n Sie}}, dass dieser Algorithmus nach endlich vielen Schritten aufhört. |Zeige{{n Sie}}, dass dieser Algorithmus korrekt ist, also wirklich den größten gemeinsmen Teiler ausgibt. |Man gebe für jedes {{math|term= n |SZ=}} ein Beispiel, wo der euklidische Algorithmus nach einem Schritt fertig ist, wo aber die Variante {{math|term= n |SZ=}} Schritte benötigt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=2 |p3=3 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} is7gldvtm9a36m626cl2q1q4g7e0kdi 1106328 1106327 2026-07-10T09:05:58Z Bocardodarapti 2041 1106328 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine {{ Zusatz/Klammer |text=einfachere, aber langsamere| |ISZ=|ESZ= }} Variante des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zu zwei gegebenen natürlichen Zahlen {{mathl|term= a,b|SZ=.}} Der Algorithmus geht folgendermaßen. Wenn {{ Relationskette | a | \neq | b || || || |SZ= }} ist, so ersetze das Paar {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} durch das Paar, das aus der kleineren Zahl und der Differenz zwischen der kleineren und der größeren Zahl besteht. Wiederhole dies rekursiv. Wenn {{ Relationskette | a || b || || || |SZ= }} ist, so ist man fertig und es wird das Ergebnis {{math|term= a |SZ=}} ausgegeben. {{ Aufzählung4 |Führe{{n Sie}} diesen Algorithmus für das Paar {{mathl|term= (7,3) |SZ=}} durch. |Zeige{{n Sie}}, dass dieser Algorithmus nach endlich vielen Schritten aufhört. |Zeige{{n Sie}}, dass dieser Algorithmus korrekt ist, also wirklich den größten gemeinsamen Teiler ausgibt. |Man gebe für jedes {{math|term= n |SZ=}} ein Beispiel, wo der euklidische Algorithmus nach einem Schritt fertig ist, wo aber die Variante {{math|term= n |SZ=}} Schritte benötigt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=2 |p3=3 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1292aub7tf9kvvdaigz8d9v7q0a8bq9 0 106795 1106367 1084775 2026-07-10T10:34:21Z Bocardodarapti 2041 1106367 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= F |SZ=}} ein Faden. Man versuche, sich die folgenden {{ Definitionslink |Äquivalenzrelationen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= F|SZ=}} und die zugehörigen {{ Definitionslink |Identifizierungsabbildungen| |Kontext=| |SZ= }} vorzustellen {{ Zusatz/Klammer |text=möglichst geometrisch| |ESZ=. }} {{ Aufzählung6 |Die beiden Endpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. |Es seien zwei Punkte {{ Relationskette | P,Q | \in | F || || || |SZ= }} fixiert. Diese beiden Punkte seien zueinander äquivalent, ansonsten seien die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. |Es seien {{math|term= n |SZ=}} Punkte {{ Relationskette | P_1, P_2 {{kommadots|}} P_n | \in | F || || || |SZ= }} fixiert. Diese Punkte seien untereinander äquivalent, ansonsten seien die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. |Auf dem Faden seien abwechselnd {{math|term= 3 |SZ=}} rote Punkte und {{math|term= 3 |SZ=}} blaue Punkte markiert. Die roten Punkte sollen untereinander äquivalent sein und die blauen Punkte sollen untereinander äquivalent sein, ansonsten seien die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. |Es sei {{math|term= M |SZ=}} der Mittelpunkt des Fadens. Zwei Punkte seien zueinander äquivalent, wenn sie zu {{math|term= M|SZ=}} den gleichen Abstand {{ Zusatz/Klammer |text=gestreckt| |ISZ=|ESZ= }} haben. |Der Faden wird in {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{mathlk|term= 3,4,5, \ldots|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} gleichlange Teile unterteilt, die Länge eines Teiles sei {{math|term= s |SZ=.}} Zwei Punkte sind zueinander äquivalent, wenn ihr Abstand ein Vielfaches von {{math|term= s |SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientenmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Blatt |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tazd36n5r68yq2o6mc83qkbszv995j4 0 111332 1106387 1092142 2026-07-10T11:32:20Z Bocardodarapti 2041 1106387 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Um sich die Abhängigkeiten von zusammengesetzten Aussagen allein von den einzelnen Wahrheitsgehalten der beteiligten Teilaussagen und den Junktoren, nicht aber von den konkreten Aussagen und ihren Bedeutungen klarer zu machen, ist es sinnvoll, mit {{Stichwort|Aussagenvariablen|msw=Aussagenvariable|SZ=}} zu arbeiten und die Junktoren durch Symbole zu repräsentieren. Für Aussagen schreiben wir jetzt {{ Math/display|term= p,q, \ldots |SZ=, }} und wir interessieren und also nicht für den Gehalt von {{math|term= p |SZ=,}} sondern lediglich für die möglichen Wahrheitswerte {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Belegungen|msw=Belegung|SZ=}} | |SZ= }} von {{math|term= p |SZ=,}} die wir mit {{math|term= w |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= wahr| |SZ= }} oder {{math|term= f |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=falsch| |SZ= }} bezeichnen {{ Zusatz/Klammer |text=gelegentlich verwendet man auch die Wahrheitswerte {{ mathkor/k|term1= 1 |und|term2= 0 |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Bei der {{Stichwort|Negation|SZ=}} werden einfach die Wahrheitswerte vertauscht, was man mit einer einfachen {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} ausdrückt: {{Wahrheitstabelle/1|Negation|\neg p |f|w}} Bei einer konkreten Aussage gibt es in der Regel mehrere sprachliche Möglichkeiten, die Negation zu formulieren. Um die Aussage {{Anführung|ich fresse einen Besen}} zu negieren, ist es egal, ob man sagt: {{Beispielsatz|Ich fresse nicht einen Besen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Ich fresse keinen Besen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Es ist nicht der Fall, dass ich einen Besen fresse|SZ=.}} {{Beispielsatz|Es trifft nicht zu, dass ich einen Besen fresse|SZ=.}} Die Negation wirkt auf eine einzelne Aussage, man spricht von einem {{Stichwort|einstelligen Operator|msw=Einstelliger Operator|SZ=.}} Kommen wir nun zu {{Stichwort|mehrstelligen Operatoren|msw=Mehrstelliger Operator|SZ=,}} die von mindestens zwei Aussagen abhängen. Bei der Verknüpfung von zwei Aussagen gibt es insgesamt vier mögliche Kombinationen der Wahrheitswerte, sodass jede logische Verknüpfung dadurch festgelegt ist, wie sie diesen vier Kombinationen einen Wahrheitswert zuordnet. Daher gibt es insgesamt {{math|term= 16 |SZ=}} logische Verknüpfungen, die wichtigsten sind die folgenden vier. Die {{Stichwort|Konjunktion|SZ=}} ist die {{Stichwort|Und-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind; sie ist also falsch, sobald nur eine der beteiligten Aussagen falsch ist. Die {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} der Konjunktion sieht so aus. {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion|p {{logund|}} q|w|f|f|f}} Die {{Stichwort|Disjunktion|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Alternation|SZ=}}| |SZ= }} ist die einschließende {{Stichwort|Oder-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist wahr sobald mindestens eine der Teilaussagen wahr ist, und insbesondere auch dann wahr, wenn beide Aussagen zugleich wahr sind. Sie ist nur in dem einzigen Fall falsch, dass beide Teilaussagen falsch sind. Offensichtlich sind bei einer Konjunktion und einer Disjunktion die beteiligten Teilaussagen gleichberechtigt. {{Wahrheitstabelle/2/1|Disjunktion|p {{logoder|}} q |w|w|w|f}} Die {{Stichwort|Implikation|SZ=}} ist die in der Mathematik wichtigste Verknüpfung. Mathematische Sätze haben fast immer die Gestalt einer {{ Zusatz/Klammer |text=verschachtelten| |SZ= }} Implikation. Beispiele sind {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Konvergente Folge/Beschränkt/Fakt |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} {{Beispielsatz|Wenn ein Polynom den Grad {{math|term= d |SZ=}} besitzt, dann hat es höchstens {{math|term= d |SZ=}} Nullstellen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Wenn eine Folge konvergiert, dann ist sie beschränkt|SZ=.}} Der logische Gehalt einer Implikation ist, dass aus der Gültigkeit einer {{Stichwort|Voraussetzung|SZ=}} die Gültigkeit einer {{Stichwort|Konklusion|SZ=}} folgt{{ Zusatz/Fußnote |text=Genauer gesagt haben mathematische Sätze fast immer die Gestalt {{math|term= p_1 {{logund|}} p_2 {{logunddots|}} p_n \rightarrow q |SZ=.}}| |ESZ=. }} Sie wird meistens durch {{Anführung|Wenn {{math|term= p |SZ=}} wahr ist, dann ist auch {{math|term= q |SZ=}} wahr}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder kurz: Wenn {{math|term= p |SZ=,}} dann {{math|term= q |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ausgedrückt. Ihre Wahrheitsbedingung ist daher, dass wenn {{math|term= p |SZ=}} mit wahr belegt ist, dann muss auch {{math|term= q |SZ=}} mit wahr belegt sein. Dies ist erfüllt, wenn {{math|term= p |SZ=}} falsch ist oder wenn {{math|term= q |SZ=}} wahr ist{{ Zusatz/Fußnote |text=An die Wahrheitsbelegung einer Implikation für den Fall, wo der Vordersatz {{ Zusatz/Klammer |text=die Prämisse| |ISZ=|ESZ= }} falsch ist, muss man sich etwas gewöhnen. Der Punkt ist, dass wenn man eine Implikation {{math|term= p \rightarrow q |SZ=}} beweist, dass man dann {{math|term= p |SZ=}} als wahr annimmt und davon ausgehend zeigen muss, dass auch {{math|term= q |SZ=}} wahr ist. Der Fall, dass {{math|term= p |SZ=}} falsch ist, kommt also in einem Implikationsbeweis gar nicht explizit vor. In diesem Fall gilt die Implikation, obwohl sie keine {{Anführung|Schlusskraft}} besitzt. Nehmen wir als Beispiel die mathematische Aussage, dass wenn eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} durch vier teilbar ist, sie dann gerade ist. Dies ist eine wahre Aussage für alle natürlichen Zahlen, sie gilt insbesondere auch für alle Zahlen, die {{Betonung/Negation|nicht|SZ=}} durch vier teilbar sind. Es gibt auch jeweils für alle drei Wahrheitsbelegungen, die eine Implikation wahr machen, Beispiele von natürlichen Zahlen, die genau diese Wahrheitsbelegung repräsentieren, nicht aber für die vierte| |ISZ=. |ESZ=. }} Ihre Wahrheitstabelle ist daher {{Wahrheitstabelle/2/1|Implikation|p \rightarrow q|w|f|w|w}} Bei einer Implikation sind die beiden beteiligten Teilaussagen nicht gleichberechtigt, die Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} sind verschiedene Aussagen. Eine Implikation hat also eine {{Stichwort/anf|Richtung|SZ=}}{{ Zusatz/Fußnote |text=Bei einer Implikation {{math|term= p \rightarrow q |SZ=}} sagt man auch, dass {{math|term= p |SZ=}} eine {{Stichwort|hinreichende Bedingung|SZ=}} für {{math|term= q |SZ=}} und dass {{math|term= q |SZ=}} eine {{Stichwort|notwendige Bedingung|SZ=}} für {{math|term= p |SZ=}} ist. Siehe dazu auch die Wahrheitstabelle zur Kontraposition weiter unten.| |ESZ=. }} Im allgemeinen Gebrauch und auch in der Mathematik werden Implikationen zumeist dann verwendet, wenn der Vordersatz der {{Anführung|Grund|}} für die Konklusion ist, wenn die Implikation also einen kausalen Zusammenhang ausdrückt. Diese Interpretation spielt aber im aussagenlogischen Kontext keine Rolle. Wenn die beiden Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} zugleich gelten, so wird das durch {{Anführung|genau dann ist {{math|term= p |SZ=}} wahr, wenn {{math|term= q |SZ=}} wahr ist}} ausgedrückt. Man spricht von einer {{Stichwort|Äquivalenz|SZ=}} der beiden Aussagen, die Wahrheitstabelle ist {{Wahrheitstabelle/2/1|Äquivalenz|p \leftrightarrow q|w|f|f|w}} Beispiele für eine mathematische Äquivalenzaussage sind: {{Beispielsatz|Eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} ist genau dann gerade, wenn sie im Zehnersystem auf {{mathl|term= 0,2,4,6 |SZ=}} oder {{math|term= 8 |SZ=}} endet|SZ=.}} {{Beispielsatz|Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn es eine Seite gibt, deren Quadrat gleich der Summe der beiden anderen Seitenquadrate ist|SZ=.}} Die Hinrichtung im zweiten Beispielsatz ist dabei der Satz des Pythagoras, die Rückrichtung gilt aber auch. Achtung: In gewissen Kontexten werden Äquivalenzen als Implikationen formuliert. Dies gilt beispielsweise für Belohnungen, Bestrafungen und auch in mathematischen Definitionen. Wenn man sagt: {{Anführung|wenn du heute brav bist, dann gehen wir morgen in den Zoo|SZ=,}} so meint man in aller Regel, dass man auch nur dann in den Zoo geht, wenn man brav ist. Mathematische Definitionen wie {{Anführung|eine Zahl heißt gerade, wenn sie ein Vielfaches der {{math|term= 2 |SZ=}} ist|SZ=,}} sind als genau dann, wenn zu verstehen. Unter Verwendung der Negation kann man jede logische Verknüpfung durch die angeführten Verknüpfungen ausdrücken, wobei man noch nicht mal alle braucht. Z.B. kann man die Konjunktion {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso die Implikation und die Äquivalenz| |SZ= }} auf die Disjunktion zurückführen, die Wahrheitstabelle{{ Zusatz/Fußnote |text=Im Folgenden verwenden wir, um Klammern zu sparen, die Konvention, dass die Negation stärker bindet als alle mehrstelligen Junktoren, und dass die Konjunktion stärker bindet als die anderen zweistelligen Junktoren.| |SZ= }} {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion als Disjunktion|\neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |w|f|f|f}} zeigt nämlich, dass die Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= \neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |SZ=}} mit der Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= p {{logund|}} q |SZ=}} übereinstimmt. Daher sind die beiden Ausdrücke logisch gleichwertig. Bei einem solchen nur leicht verschachtelten Ausdruck kann man die Wahrheitswerte noch einfach berechnen und damit die Wahrheitsgleichheit mit der Konjunktion feststellen. Bei komplizierteren {{ Zusatz/Klammer |text=tiefer verschachtelten| |SZ= }} Ausdrücken ist es sinnvoll, abhängig von den Belegungen der beteiligten Aussagenvariablen die Wahrheitswerte der Zwischenausdrücke zu berechnen. Im angegebenen Beispiel würde dies zur Tabelle {{Wahrheitstabelle/2/4|Konjunktion als Disjunktion|\neg p | f|f|w|w| \neg q |f|w|f|w| \neg p {{logoder|}} \neg q |f|w|w|w| \neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |w|f|f|f}} führen. Natürlich kann man statt zwei auch beliebig viele Aussagenvariablen verwenden und daraus mit den Verknüpfungen neue Aussagen konstruieren. Die Wahrheitsbelegung der zusammengesetzten Aussagen lassen sich dann ebenfalls in entsprechend größeren Wahrheitstabellen darstellen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 6gjjyt2k5wiz18jatuwh68t1sv6gq7h 0 116502 1106269 1103398 2026-07-09T16:00:17Z Bocardodarapti 2041 1106269 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Graph/Ungerichtet/Definition|| }} Man spricht auch kurz von einem {{Stichwort|Graphen|msw=Graph (Relation)|SZ=.}} Ein Graph ist nichts anderes als eine {{ Definitionslink |symmetrische Relation| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= V |SZ=}} ohne Selbstbezug {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Schleifen| |ISZ=|ESZ=. }} Typischerweise ist die Grundmenge, zu der man auch {{Stichwort|Knotenmenge|SZ=}} oder {{Stichwort|Punktmenge|SZ=}} oder {{Stichwort|Vertexmenge|SZ=}} sagt, endlich. Grundsätzlich könnte man immer {{ Relationskette | V || {{Menge1n|}} || || || |SZ= }} nehmen, doch ist dies nicht immer sinnvoll. Eine typische Darstellung eines Graphen ist ein Diagramm aus {{math|term= n |SZ=}} Punkten, von denen manche miteinander durch eine {{Stichwort|Kante|SZ=}} verbunden sind, manche nicht. Die Menge der Kanten bildet eine Teilmenge der Potenzmenge von {{math|term= V |SZ=,}} und zwar eine, wo sämtliche Teilmengen zweielementig sind. Im Sinne der obigen Definition darf {{mathl|term= (v,v) |SZ=}} keine Kante sein. Die Menge aller Kanten wird häufig mit {{math|term= E |SZ=}} bezeichnet und man schreibt kurz {{ Relationskette | uv | \in | E || || || |SZ= }} für den Sachverhalt, dass {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} eine Kante des Graphen ist. Ein Graph wird oft kurz in der Form {{mathl|term= (V,E) |SZ=}} angegeben. Wenn man zu einer Menge {{math|term= V |SZ=}} mit {{mathl|term= {{Op:Potenzmengezwei|V}} |SZ=}} die Menge aller zweielementigen Teilmengen von {{math|term= V |SZ=}} bezeichnet, so kann man die Kantenmenge als {{ Relationskette | E | \subseteq| {{Op:Potenzmengezwei| V }} || || || |SZ= }} auffassen. {{{zusatz1|}}} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Nachbarn/Definition|| }} Wenn zwei Punkte benachbart sind, also durch eine Kante verbunden, so sagt man auch, dass sie {{Stichwort|adjazent|msw=Adjazente Knoten|SZ=}} sind. Ferner sagt man, dass eine Kante mit einem Knoten {{Stichwort|inzident|SZ=}} ist, wenn der Knoten in der Kante vorkommt. Die Kante {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} ist also inzident zu {{math|term= u |SZ=}} und zu {{math|term= v |SZ=}} und sonst zu keinem Punkt. Zwei Kanten nennen wir {{Stichwort|koinzident|msw=Koinzidente Kanten|SZ=,}} wenn ihr Durchschnitt nicht leer ist, wenn sie also inzident zu einem gemeinsamen Punkt sind. Für eine Teilmenge {{ Relationskette |S | \subseteq|V || || || |SZ= }} setzt man {{ Relationskette |N(S) || \bigcup_{ s \in S} N(s) || || || |SZ= }} und nennt dies die Nachbarschaftsmenge von {{math|term= S |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 29dgobdu6w4yxn5bvftsix087g76dcx 0 116728 1106272 1093503 2026-07-09T16:11:53Z Bocardodarapti 2041 1106272 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Definition|| }} Ein Homomorphismus von Graphen ist einfach eine relationserhaltende Abbildung, er führt adjazente Knotenpunkte in adjazente Knotenpunkte über. Er wird kurz als {{ Abbildung |name= \varphi | G | H || |SZ= }} notiert. Ein Untergraph ist im Wesentlichen dasselbe wie ein injektiver Graphhomomorphismus. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Erste Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Isomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Isomorph/Definition|| }} Isomorphe Graphen sind hinsichtlich sämtlicher graphentheoretischer Eigenschaften als gleich anzusehen. Gelegentlich braucht man die folgende Variante eines Graphhomomorphismus, insbesondere, wenn durch eine Kante verbundene Knotenpunkte auf einen Punkt abgebildet werden sollen. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Schwach/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qeq0nfu9sx55j8jas8rg24k8bwsvujy 0 117054 1106264 1102945 2026-07-09T15:35:58Z Bocardodarapti 2041 1106264 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Set partitions 5; circles|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Set_partitions_5;_circles |Text=Die {{math|term= 52 |SZ=}} Partitionen einer fünfelementigen Menge. |Autor= |Benutzer=Watchduck |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Menge/Partition/Definition|| }} Es ist also {{ Relationskette/display | M || \biguplus_{A \in P} A || || || |SZ= }} eine disjunkte Vereinigung von nichtleeren Teilmengen, die auch die {{Stichwort|Blöcke|msw=Block|SZ=}} der Partition heißen. Da eine Partition als Teilmenge der Potenzmenge angesetzt wird, sind zwei Partitionen genau dann gleich, wenn sie die gleichen Blöcke enthalten. Die Blöcke sind nicht geordnet oder nummeriert. Als Extremfälle gibt es die Partition in einen einzigen Block, der alle Elemente enthält {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Stichwort|Klumpenpartition|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und die Partition, bei der jeder Block einelementig ist. Wir werden hier Partitionen von endlichen Mengen in den Mittelpunkt stellen. Typischerweise werden wir eine Menge mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke aufteilen. Jeder Block hat dann eine gewisse Anzahl, und man kann diese Situation kombinatorisch studieren. Dabei ist eine Partition stets von ihrem numerischen Typ zu unterscheiden. Wenn beispielsweise eine fünfelementige Menge in zwei Blöcke mit zwei bzw. drei Elementen eingeteilt wird, so stehen dahinter zehn verschiedene Partitionen. Es ist aber sinnvoll, sich alle Partitionen entlang solcher numerischer Überlegungen zu vergegenwärtigen. {{ inputbemerkung |Endliche Menge/Partitionen/Interpretationen/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Menge/Äquivalenzrelation/Partition/Fakt|Lemma|| }} Die Menge aller Partitionen einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke wird mit {{mathl|term= \operatorname{Part}(n,k) |SZ=}} bezeichnet. {{ inputbemerkung |Endliche Menge/Partitionen/Surjektive Abbildungen/Bemerkung||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Partitionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4cw5046vb2cfmle4ofko8dhz2bwg29u 0 118203 1106278 1081535 2026-07-09T16:35:01Z Bocardodarapti 2041 1106278 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= M_1,M_2 {{kommadots|}} M_\ell |SZ=}} endliche Mengen. Zeige{{n Sie}} durch Induktion über {{math|term=\ell|SZ=}} unter Verwendung von {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl|M_1 \times M_2 {{timesdots|}} M_\ell|}} || {{op:Anzahl|M_1 }} \cdot {{op:Anzahl|M_2 }} {{cdots}} {{op:Anzahl|M_\ell}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 199gnn5jlzpvtfru04u6pyp62z19yd9 0 118231 1106257 1100575 2026-07-09T14:54:56Z Bocardodarapti 2041 1106257 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{bildskip|}} {{ inputbild |Totale orde|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Totale_orde |Text=Eine totale Ordnung auf einer endlichen Menge ist durch ein Angangselement {{ Zusatz/Klammer |text=kleinstes Element| |ISZ=|ESZ= }} und dadurch gegeben, dass jedem Element {{ Zusatz/Klammer |text=außer dem größten Element| |ISZ=|ESZ= }} das nächstkleinste Element zugeordnet wird. In der Skizze wird nur diese Zuordnung dargestellt, die gesamte Ordnung ergibt sich, wenn man sich Selbstpfeile und transitive Pfeile dazudenkt. |Autor= |Benutzer=Rinke 80 |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Auf einer endlichen Menge {{math|term= M |SZ=}} mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen sind die {{ Definitionslink |totalen Ordnungen| |Kontext=| |SZ= }} einfach zu überschauen. Eine totale Ordnung auf {{math|term= M |SZ=}} ist das gleiche wie eine {{ Definitionslink |bijektive Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name=\varphi | {{Menge1n|}} | M || |SZ=, }} also eine Nummerierung von {{math|term= M |SZ=.}} Eine solche Nummerierung legt über {{ Relationskette | \varphi(i) | \geq | \varphi(j) || || || |SZ=, }} falls {{ Relationskette |i | \geq | j || || || |SZ=, }} eine totale Ordnung fest, und eine totale Ordnung legt eine Nummerierung fest, indem {{math|term= 1 |SZ=}} auf das kleinste Element von {{math|term= M |SZ=}} abgebildet wird, {{math|term= 2 |SZ=}} auf das zweitkleinste Element usw. Insbesondere gibt es wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt |Nr= |SZ= }} {{math|term= n! |SZ=}} totale Ordnungen auf {{math|term= M |SZ=.}} Es ist ziemlich schwierig, sich eine systematische Übersicht über alle {{ Zusatz/Klammer |text=auch die nicht totalen| |ISZ=|ESZ= }} Ordnungen in einer endlichen Menge zu verschaffen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der geordneten endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ap93vxm1ns095tdxbmewc8z4tblejbm 0 118258 1106255 1102927 2026-07-09T14:34:49Z Bocardodarapti 2041 1106255 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Bei einem Tanzkurs mit {{math|term= n |SZ=}} Damen und {{math|term= n |SZ=}} Herren gilt heute beim Schneewalzer Damenwahl, wobei die Damen in der Reihenfolge ihrer Sitzordnung wählen dürfen. Die erste Dame hat {{math|term= n |SZ=}} Wahlmöglichkeiten, die zweite {{math|term= n-1 |SZ=}} Möglichkeiten, die dritte {{math|term= n-2 |SZ=}} Möglichkeiten, usw., die vorletze Dame hat noch zwei Möglichkeiten und für die letzte Dame verbleibt eine Möglichkeit{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man könnte sich daran stören, dass man von Möglichkeiten spricht, obwohl nur eine Möglichkeit da ist, also keine echte Wahlmöglichkeit besteht. Mathematisch ist das aber die einzig sinnvolle Interpretation; eine Möglichkeit als keine Möglichkeit zu zählen würde alles durcheinander bringen| |ISZ=.|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition|| }} Es ist {{ Relationskette | (n+1)! || (n+1)(n!) || || || |SZ=. }} Man setzt {{ Relationskette | 0! || 1 || || || |SZ=. }} Für kleine {{math|term= n |SZ=}} erhält man die folgende Wertetabelle. {{wertetabelle11|text1= {{math|term= n |SZ=}} |text2= {{math|term= n!|SZ=}} | 0| 1| 2| 3| 4| 5| 6| 7| 8| 9| 10| 1| 1| 2| 6| 24| 120| 720| 5040| 40320| 362880| 3628800|}} {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt|Satz|| }} Gleichbedeutend damit ist, dass es {{math|term= n!|SZ=}} Möglichkeiten gibt, {{math|term= n |SZ=}} Objekte auf {{math|term= n |SZ=}} Plätze zu verteilen, oder {{math|term= n!|SZ=}} Möglichkeiten, {{math|term= n |SZ=}} unterscheidbare Kugeln auf {{math|term= n |SZ=}} unterscheidbare Urnen so zu verteilen, dass keine Urne leer bleibt, oder {{math|term= n!|SZ=}} Möglichkeiten, eine Menge von {{math|term= n |SZ=}} Objekten abzuzählen {{ Zusatz/Klammer |text=durchzunummerieren| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis2 |Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Korollar|| }} Bijektive Abbildungen einer Menge in sich bekommen einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Menge/Permutation/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Permutationen/3/Wertetabellen/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Die Fakultätsfunktion (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qlokqz0ks6nk0zf3glo9ti3b68mu9c6 0 118277 1106258 1102981 2026-07-09T14:57:03Z Bocardodarapti 2041 1106258 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Größtes Element/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Kleinstes Element/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Maximales Element/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Minimales Element/Definition|| }} Bei einer total geordneten Menge fallen die Konzepte größtes Element und maximales Element zusammen, im Allgemeinen muss man sie aber sorgfältig unterscheiden. Ein größtes Element ist, wenn es existiert, eindeutig bestimmt und dann auch das einzige maximale Element. In einer endlichen geordneten Menge gibt es stets maximale und minimale Elemente. Das abgeschlossene Intervall {{mathl|term= [0,1] |SZ=}} besitzt die {{math|term= 0 |SZ=}} als kleinstes und die {{math|term= 1 |SZ=}} als größtes Element, das offene Intervall {{mathl|term= ]0,1[ |SZ=}} besitzt weder minimale noch maximale Elemente. In der Menge der natürlichen Zahlen mit der durch die Teilbarkeitsrelation gegebenen Ordnung ist {{math|term= 1 |SZ=}} das kleinste Element, da die {{math|term= 1 |SZ=}} jede Zahl teilt, und die {{math|term= 0 |SZ=}} ist das größte Element, da die {{math|term= 0 |SZ=}} von jeder Zahl geteilt wird. Auf {{math|term= \N_{\geq 2} |SZ=}} mit der Teilbarkeitsrelation sind genau die {{ Definitionslink |Primzahlen| |Kontext=| |SZ= }} die minimalen Elemente, es gibt keine maximalen Elemente. Bei einer Potenzmenge mit der durch die Inkusion gegebenen Ordnung ist die leere Menge das kleinste Element und die Gesamtmenge das größte Element. Wenn man die leere Menge aus der Potenzmenge herausnimmt, so sind die einelementigen Teilmengen die minimalen Elemente {{ Zusatz/Klammer |text=diese nennt man auch {{Stichwort|Atome|msw=Atom|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Geordnete Menge/Teilmenge/Obere Schranke/Definition|| }} {{ inputdefinition |Geordnete Menge/Teilmenge/Untere Schranke/Definition|| }} {{ inputdefinition |Geordnete Menge/Teilmenge/Supremum/Definition|| }} {{ inputdefinition |Geordnete Menge/Teilmenge/Infimum/Definition|| }} Für das offene Intervall {{ Relationskette | ]0,1[ | \subseteq | \R || || || |SZ= }} ist jede reelle Zahl {{ Relationskette | s | \geq| 1 || || || |SZ= }} eine obere Schranke und {{math|term= 1 |SZ=}} ist das Supremum. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Extrema von geordneten Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nof8ldz0jbcop3ds541lk1l5ubx694q 0 118278 1106259 1015613 2026-07-09T14:57:35Z Bocardodarapti 2041 1106259 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu natürlichen Zahlen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} bildet die Menge {{math|term= G |SZ=}} aller {{ Definitionslink |gemeinsamer Teiler| |Kontext=N| |SZ= }} der {{math|term= a_i |SZ=}} eine endliche Menge, die bezüglich der Teilbarkeit geordnet ist. Dabei ist der größte gemeinsame Teiler in {{math|term= G |SZ=}} in der Tat das {{ Definitionslink |größte Element| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= 1 |SZ=}} ist der kleinste gemeinsame Teiler. Es ist keineswegs selbstverständlich, dass es einen größten gemeinsamen Teiler gibt, das hängt mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung zusammen und folgt beispielsweise aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt |Nr= |SZ=. }} Unter der Ordnungsrelation {{math|term= \geq|SZ=}} gibt es in {{math|term= G |SZ=}} natürlich ein größtes Element, es ist aber eine zahlentheoretische Besonderheit, dass dieses Element von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird. Die Menge {{math|term= V |SZ=}} der gemeinsamen Vielfachen von {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} ist unendlich und ist ebenfalls über die Teilbarkeit geordnet. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist darunter das kleinste Element, und zwar bezüglich der Teilbarkeitsrelation als auch bezüglich der Größergleichrelation. |Textart=Beispiel |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h9udj8l3jimub8kblu9aghr36l37izr 0 118279 1106321 1036859 2026-07-10T08:48:34Z Bocardodarapti 2041 1106321 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |endliche| |SZ= }} {{ Definitionslink |geordnete Menge| |SZ= }} mit einem einzigen {{ Definitionslink |maximalen Element| |SZ= }} {{math|term= m |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= m |SZ=}} das {{ Definitionslink |größte Element| |SZ= }} von {{math|term= M |SZ=}} ist. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine geordnete Menge mit genau einem maximalen Element, das aber nicht das größte Element ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von geordneten Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s9d6p24w4xgo0yzb6e6f1h6pureei74 0 118315 1106379 1097436 2026-07-10T11:03:52Z Bocardodarapti 2041 1106379 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} eine endliche {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |kleinsten Element| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= 0 |SZ=}} und einem {{ Definitionslink |größten Element| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= 1 |SZ=,}} die darüber hinaus aus Elementen {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} mit {{ Relationskette | 0 | < | x_i | < | 1 || || |SZ= }} besteht, und für die es untereinander keine Größerbeziehung gibt. Ist dies ein {{ Definitionslink |Verband| |Kontext=| |SZ=? }} Ist er {{ Definitionslink |komplementär| |Kontext=Verband| |SZ=? }} Ist er {{ Definitionslink |distributiv| |Kontext=Verband| |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qsk1tg7aqfkawdk5ng954s8y9bpuq2v 0 118367 1106376 1097445 2026-07-10T10:55:32Z Bocardodarapti 2041 1106376 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |AmsterdamMetroWashingtonStyle (from 2018)|svg| 300px {{!}} right {{!}} | |Zusname=AmsterdamMetroWashingtonStyle_(from_2018) |Text= |Autor= |Benutzer=Alargule |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= V |SZ=}} die Menge der Haltestellen der Amsterdamer U-Bahn. Es sei {{math|term= N |SZ=}} der Netzgraph und {{math|term= F |SZ=}} der zugehörige umsteigefreie Erreichbarkeitsgraph {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Verkehrsnetz/Erreichbarkeit/Graph/Beispiel |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ=. }} Bestimme{{n Sie}} für die folgenden Stationen den {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Graph| |SZ= }} in {{ mathkor|term1= N |bzw.|term2= F |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Isolatorweg. |Van der Madeweg. |Noord. |Centraal Station. |De Pijp. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ol4vo7wvimo3c9ppo037hwd1xs7eahn 0 118437 1106271 1099767 2026-07-09T16:08:38Z Bocardodarapti 2041 1106271 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Butan Lewis|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Butan Lewis |Text= |Autor= |Benutzer=NEUROtiker |Domäne= |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} Wir wollen die {{ Definitionslink |Automorphismengruppe| |Kontext=| |SZ= }} des chemischen Elementes Butan {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. der zugehörigen Darstellung als Graph {{math|term= G |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass die Benennung von einigen Knotenpunkten mit {{math|term= C |SZ=}} und mit {{math|term= H |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=was natürlich eine chemische Bedeutung hat| |ISZ=|ESZ= }} keine eigenständige graphentheoretische Information darstellt, da sie ja aus dem Graphen direkt rekonstruierbar ist: Die Punkte mit dem {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= 4 |SZ=}} werden mit {{math|term= C |SZ=}} und die Punkte mit dem Grad {{math|term= 1 |SZ=,}} also die {{ Definitionslink |Blätter| |Kontext=Graph| |SZ=, }} werden mit {{math|term= H |SZ=}} bezeichnet. In den folgenden Überlegungen werden wir zwecks Vereinfachung die chemischen Benennungen verwenden. Ein Automorphismus des Graphen führt {{math|term= H |SZ=-}}Atome in {{math|term= H |SZ=-}}Atome und {{math|term= C |SZ=-}}Atome in {{math|term= C |SZ=-}}Atome über, da der Grad bei einem Isomorphismus erhalten bleibt. Dies führt insbesondere zu einem {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\Psi | {{op:Aut| G |}} | S_4 || |SZ=, }} wobei {{math|term= S_4 |SZ=}} die Gruppe der Permutationen auf den vier {{math|term= C |SZ=-}}Atomen und {{math|term= \Psi |SZ=}} die Einschränkung eines Automorphismus bezeichnet. Bei einem Automorphismus {{math|term= \varphi|SZ=}} des Moleküls wird also geschaut, was dieser mit den {{math|term= C |SZ=-}}Atomen macht. Diese Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus. Die vier {{math|term= C |SZ=-}}Atome haben zwar alle den Grad {{math|term= 4 |SZ=,}} sie sind aber nicht gleichberechtigt, die beiden äußeren sind mit drei Blättern und die beiden inneren sind mit zwei Blättern verbunden. Wenn man die beiden inneren vertauscht, so muss man auch die beiden äußeren vertauschen, da ja bei einem Automorphismus Kanten erhalten bleiben. Deshalb ist das Bild von {{math|term= \Psi |SZ=}} die zyklische Gruppe {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| 2 |}} || S_2 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in der Tat ist die Spiegelung an der vertikalen Achse ein Automorphismus| |ISZ=|ESZ=. }} Wir haben also einen surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name=\Psi | {{op:Aut| G |}} | S_2 || |SZ=. }} Dies erleichtert die Bestimmung der Automorphismengruppe, da man diese aufspalten kann nach solchen Automorphismen, die auf den {{math|term= C |SZ=-}}Atomen identisch wirken, und solchen, die die {{math|term= C |SZ=-}}Atome spiegeln. Aufgrund von gruppentheoretischen Gesetzmäßigkeiten gibt es von beiden Sorten gleich viele. Deshalb betrachten wir nur noch den {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} von {{math|term= \Psi|SZ=.}} Es sei also {{math|term= \varphi|SZ=}} ein Automorphismus, der auf den {{math|term= C |SZ=-}}Atomen identisch wirkt. Dann wird jedes {{math|term= H |SZ=-}}Atom unter {{math|term= \varphi|SZ=}} auf ein {{math|term= H |SZ=-}}Atom abgebildet, das mit dem selben {{math|term= C |SZ=-}}Atom verbunden ist. Was unter {{math|term= \varphi|SZ=}} mit den an einem {{math|term= C |SZ=-}}Atom hängenden {{math|term= H |SZ=-}}Atomen passiert, ist unabhängig voneinander. Der Kern ist deshalb gleich {{ Math/display|term= S_3 \times S_2 \times S_2 \times S_3 |SZ= }} und besitzt {{math|term= 144 |SZ=}} Elemente, die gesamte Automorphismengruppe besitzt {{math|term= 288 |SZ=}} Elemente. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ex8i1m0egb56ohos9e8r8griyj7oy9a 1106274 1106271 2026-07-09T16:17:35Z Bocardodarapti 2041 1106274 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Butan Lewis|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Butan Lewis |Text= |Autor= |Benutzer=NEUROtiker |Domäne= |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} Wir wollen die {{ Definitionslink |Automorphismengruppe| |Kontext=| |SZ= }} des chemischen Elementes Butan {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. der zugehörigen Darstellung als Graph {{math|term= G |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass die Benennung von einigen Knotenpunkten mit {{math|term= C |SZ=}} und mit {{math|term= H |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=was natürlich eine chemische Bedeutung hat| |ISZ=|ESZ= }} keine eigenständige graphentheoretische Information darstellt, da sie ja aus dem Graphen direkt rekonstruierbar ist: Die Punkte mit dem {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= 4 |SZ=}} werden mit {{math|term= C |SZ=}} und die Punkte mit dem Grad {{math|term= 1 |SZ=,}} also die {{ Definitionslink |Blätter| |Kontext=Graph| |SZ=, }} werden mit {{math|term= H |SZ=}} bezeichnet. In den folgenden Überlegungen werden wir zwecks Vereinfachung die chemischen Benennungen verwenden. Ein Automorphismus des Graphen führt {{math|term= H |SZ=-}}Atome in {{math|term= H |SZ=-}}Atome und {{math|term= C |SZ=-}}Atome in {{math|term= C |SZ=-}}Atome über, da der Grad bei einem Isomorphismus erhalten bleibt. Dies führt insbesondere zu einem {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\Psi | {{op:Aut| G |}} | S_4 || |SZ=, }} wobei {{math|term= S_4 |SZ=}} die Gruppe der Permutationen auf den vier {{math|term= C |SZ=-}}Atomen und {{math|term= \Psi |SZ=}} die Einschränkung eines Automorphismus bezeichnet. Bei einem Automorphismus {{math|term= \varphi|SZ=}} des Moleküls wird also geschaut, was dieser mit den {{math|term= C |SZ=-}}Atomen macht. Diese Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus. Die vier {{math|term= C |SZ=-}}Atome haben zwar alle den Grad {{math|term= 4 |SZ=,}} sie sind aber nicht gleichberechtigt, die beiden äußeren sind mit drei Blättern und die beiden inneren sind mit zwei Blättern verbunden. Wenn man die beiden inneren vertauscht, so muss man auch die beiden äußeren vertauschen, da ja bei einem Automorphismus Kanten erhalten bleiben. Deshalb ist das Bild von {{math|term= \Psi |SZ=}} die zyklische Gruppe {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| 2 |}} || S_2 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in der Tat ist die Spiegelung an der vertikalen Achse ein Automorphismus| |ISZ=|ESZ=. }} Wir haben also einen surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name=\Psi | {{op:Aut| G |}} | S_2 || |SZ=. }} Dies erleichtert die Bestimmung der Automorphismengruppe, da man diese aufspalten kann nach solchen Automorphismen, die auf den {{math|term= C |SZ=-}}Atomen identisch wirken, und solchen, die die {{math|term= C |SZ=-}}Atome spiegeln. Aufgrund von gruppentheoretischen Gesetzmäßigkeiten gibt es von beiden Sorten gleich viele. Deshalb betrachten wir nur noch den {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} von {{math|term= \Psi|SZ=.}} Es sei also {{math|term= \varphi|SZ=}} ein Automorphismus, der auf den {{math|term= C |SZ=-}}Atomen identisch wirkt. Dann wird jedes {{math|term= H |SZ=-}}Atom unter {{math|term= \varphi|SZ=}} auf ein {{math|term= H |SZ=-}}Atom abgebildet, das mit demselben {{math|term= C |SZ=-}}Atom verbunden ist. Was unter {{math|term= \varphi|SZ=}} mit den an einem {{math|term= C |SZ=-}}Atom hängenden {{math|term= H |SZ=-}}Atomen passiert, ist unabhängig voneinander. Der Kern ist deshalb gleich {{ Math/display|term= S_3 \times S_2 \times S_2 \times S_3 |SZ= }} und besitzt {{math|term= 144 |SZ=}} Elemente, die gesamte Automorphismengruppe besitzt {{math|term= 288 |SZ=}} Elemente. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ixhor48i77627hg4imp4rhre0q69r97 0 118441 1106270 1105143 2026-07-09T16:05:23Z Bocardodarapti 2041 1106270 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Identity graph5|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Identity_graph5 |Text= |Autor= |Benutzer=Hikin1987 |Domäne= |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} Der abgebildete Graph {{math|term= G |SZ=}} ist {{ Definitionslink |starr| |Kontext=Graph| |SZ=. }} Bei einem solchen Nachweis geht man am besten sukzessive vor, man zeigt für einen Automorphismus unter Bezug auf graphentheoretische Eigenschaften, dass er alle Knoten auf sich selbst abbildet, wobei man mit besonders einfachen Knotenpunkten anfängt und dann weitere Knotenpunkte betrachtet und dabei verwendet, dass andere Knotenpunkte auf sich selbst abgebildet werden. {{parskip}} {{:Ungerichteter Graph/Starr/5/Aufgabe/Lösung|opt=Text|zusatz1=also}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0hhork81lrjwgank0towxh6vsk9lbd6 0 118893 1106262 1103185 2026-07-09T15:16:46Z Bocardodarapti 2041 1106262 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Der {{ Definitionslink |Binomialkoeffizient| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient|n| {{{r|r}}} }} |SZ=}} beschreibt die Anzahl der {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=-}}elementigen Teilmengen einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge. Eine solche Teilmenge kann man auch auffassen als eine Zerlegung einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in zwei Teilmengen, von denen die eine {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=}} und die andere {{math|term= n-{{{r|r}}} |SZ=}} Elemente besitzt, und wobei man sich die Rollen der beiden Teilmengen merkt. Man kann sich nun fragen, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in {{math|term= k |SZ=}} Teilmengen aufzuteilen, wobei die Teilmengen vorgegebene Anzahlen haben und wobei die Teilmengen durchnummeriert werden. Dies führt zum Begriff Multinomialkoeffizient. {{ inputdefinition |Multinomialkoeffizient/Definition|| }} Statt Multinomialkoeffizient sagt man auch {{Stichwort|Polynomialkoeffizient|SZ=.}} Für {{ Relationskette |k || 2 || || || |SZ= }} ist dies der Binomialkoeffizient, in diesem Fall legt die erste Zahl {{ Relationskette |r_1 | \leq|n || || || |SZ= }} durch die Bedingung {{ Relationskette |r_2 ||n-r_1 || || || |SZ= }} die zweite Zahl fest. Generell legen die Zahlen {{mathl|term= r_1 {{kommadots|}} r_{k-1} |SZ=,}} deren Summe {{math|term= \leq n |SZ=}} ist, die letzte Zahl {{math|term= r_k |SZ=}} fest. Die Multinomialkoeffizienten besitzen eine Vielzahl an Interpretationen, zentral ist die folgende Interpretation mit Abbildungen. {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt|Lemma|| }} Durch die Bedingungen {{ Relationskette | r_j | \geq| 1 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= j |SZ=}} sind die surjektiven Abbildungen gekennzeichnet. Die Multinomialkoeffizienten beschreiben also die Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term= n |SZ=}} Elemente auf {{math|term= k |SZ=}} Ziele abzubilden, wobei das {{math|term= j |SZ=-}}te Ziel durch {{math|term= r_j |SZ=}} Elemente getroffen wird. Man sagt auch so: Es gibt {{mathl|term= {{op:Multinomialkoeffizient| n | r_1 | r_k }} |SZ=}} viele Möglichkeiten, {{math|term= n |SZ=}} unterscheidbare Kugeln auf {{math|term= k |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen derart, dass in der ersten Urne {{math|term= r_1 |SZ=}} Kugeln, in der zweiten Urne {{math|term= r_2 |SZ=}} Kugeln usw. landen. Die entsprechende Abbildung aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt |Nr= |SZ= }} ordnet jeder Kugel die Urne zu, in die sie reinkommt {{ Zusatz/Klammer |text=Elemente in einer Menge sind stets unterscheidbar; bei Verteilungen von Kugeln auf Urnen gibt es auch nicht unterscheidbare Szenarien| |ISZ=|ESZ=. }} Man kann auch umgekehrt aus unterscheidbaren Urnen, die jeweils eine hinreichend große Anzahl von urnenspezifischen Objekten beinhalten, eine geordnete Ziehung der Länge {{math|term= n |SZ=}} vornehmen, derart, dass aus der {{math|term= j |SZ=-}}ten Urne {{ Zusatz/Klammer |text=also der {{math|term= j |SZ=-}}te Objekttyp| |ISZ=|ESZ= }} genau {{math|term= r_j |SZ=}} Elemente gezogen werden. Die Objekte aus der gleichen Urne müssen nicht unterscheidbar sein, dies wird durch die Ziehreihenfolge übernommen. Die entsprechende Abbildung aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt |Nr= |SZ= }} ordnet der Nummer von {{ mathkor|term1= 1 |bis|term2= n |SZ= }} die Urne bzw. den Objekttyp zu, der für diese Nummer gezogen wird. Beispielsweise ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer vorgegebenen Buchstabenansammlung mit {{math|term= k |SZ=}} Buchstaben, die {{math|term= r_j |SZ=-}}fach vorkommen, {{ Relationskette | 1 | \leq|j | \leq|k || || |SZ=, }} Wörter zu bilden, die genau diese Buchstaben verbrauchen, durch den Multinomialkoeffizienten {{mathl|term= {{op:Multinomialkoeffizient|n|r_1 |r_k}} |SZ=}} gegeben. Ein Wort der Länge {{math|term= n |SZ=}} kann man direkt als eine Wertetabelle einer Abbildung von {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} in die Buchstabenmenge auffassen. {{ inputbeispiel |Wort/Anordnungen/Anzahl/Homomorphismus/Beispiel|| }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Multinomialsatz|SZ=}} oder {{Stichwort|Polynomialsatz|SZ=}} und ist eine direkte Verallgemeinerung {{ Faktlink |Präwort=des| binomischen Lehrsatzes|Faktseitenname= Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Multinomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ccr6d0pxhpfn5iz8vgh6ls4dy02jsel 1106263 1106262 2026-07-09T15:20:17Z Bocardodarapti 2041 1106263 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Der {{ Definitionslink |Binomialkoeffizient| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient|n| {{{r|r}}} }} |SZ=}} beschreibt die Anzahl der {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=-}}elementigen Teilmengen einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge. Eine solche Teilmenge kann man auch auffassen als eine Zerlegung einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in zwei Teilmengen, von denen die eine {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=}} und die andere {{math|term= n-{{{r|r}}} |SZ=}} Elemente besitzt, und wobei man sich die Rollen der beiden Teilmengen merkt. Man kann sich nun fragen, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine {{math|term= n |SZ=-}}elementige Menge in {{math|term= k |SZ=}} Teilmengen aufzuteilen, wobei die Teilmengen vorgegebene Anzahlen haben und wobei die Teilmengen durchnummeriert werden. Dies führt zum Begriff Multinomialkoeffizient. {{ inputdefinition |Multinomialkoeffizient/Definition|| }} Statt Multinomialkoeffizient sagt man auch {{Stichwort|Polynomialkoeffizient|SZ=.}} Für {{ Relationskette | k || 2 || || || |SZ= }} ist dies der Binomialkoeffizient, in diesem Fall legt die erste Zahl {{ Relationskette | r_1 | \leq | n || || || |SZ= }} durch die Bedingung {{ Relationskette | r_2 || n-r_1 || || || |SZ= }} die zweite Zahl fest. Generell legen die Zahlen {{mathl|term= r_1 {{kommadots|}} r_{k-1} |SZ=,}} deren Summe {{math|term= \leq n |SZ=}} ist, die letzte Zahl {{math|term= r_k |SZ=}} fest. Die Multinomialkoeffizienten besitzen eine Vielzahl an Interpretationen, zentral ist die folgende Interpretation mit Abbildungen. {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt|Lemma|| }} Durch die Bedingungen {{ Relationskette | r_j | \geq| 1 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= j |SZ=}} sind die surjektiven Abbildungen gekennzeichnet. Die Multinomialkoeffizienten beschreiben also die Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term= n |SZ=}} Elemente auf {{math|term= k |SZ=}} Ziele abzubilden, wobei das {{math|term= j |SZ=-}}te Ziel durch {{math|term= r_j |SZ=}} Elemente getroffen wird. Man sagt auch so: Es gibt {{mathl|term= {{op:Multinomialkoeffizient| n | r_1 | r_k }} |SZ=}} viele Möglichkeiten, {{math|term= n |SZ=}} unterscheidbare Kugeln auf {{math|term= k |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen derart, dass in der ersten Urne {{math|term= r_1 |SZ=}} Kugeln, in der zweiten Urne {{math|term= r_2 |SZ=}} Kugeln usw. landen. Die entsprechende Abbildung aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt |Nr= |SZ= }} ordnet jeder Kugel die Urne zu, in die sie reinkommt {{ Zusatz/Klammer |text=Elemente in einer Menge sind stets unterscheidbar; bei Verteilungen von Kugeln auf Urnen gibt es auch nicht unterscheidbare Szenarien| |ISZ=|ESZ=. }} Man kann auch umgekehrt aus unterscheidbaren Urnen, die jeweils eine hinreichend große Anzahl von urnenspezifischen Objekten beinhalten, eine geordnete Ziehung der Länge {{math|term= n |SZ=}} vornehmen, derart, dass aus der {{math|term= j |SZ=-}}ten Urne {{ Zusatz/Klammer |text=also der {{math|term= j |SZ=-}}te Objekttyp| |ISZ=|ESZ= }} genau {{math|term= r_j |SZ=}} Elemente gezogen werden. Die Objekte aus der gleichen Urne müssen nicht unterscheidbar sein, dies wird durch die Ziehreihenfolge übernommen. Die entsprechende Abbildung aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt |Nr= |SZ= }} ordnet der Nummer von {{ mathkor|term1= 1 |bis|term2= n |SZ= }} die Urne bzw. den Objekttyp zu, der für diese Nummer gezogen wird. Beispielsweise ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer vorgegebenen Buchstabenansammlung mit {{math|term= k |SZ=}} Buchstaben, die {{math|term= r_j |SZ=-}}fach vorkommen, {{ Relationskette | 1 | \leq|j | \leq|k || || |SZ=, }} Wörter zu bilden, die genau diese Buchstaben verbrauchen, durch den Multinomialkoeffizienten {{mathl|term= {{op:Multinomialkoeffizient|n|r_1 |r_k}} |SZ=}} gegeben. Ein Wort der Länge {{math|term= n |SZ=}} kann man direkt als eine Wertetabelle einer Abbildung von {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} in die Buchstabenmenge auffassen. {{ inputbeispiel |Wort/Anordnungen/Anzahl/Homomorphismus/Beispiel|| }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Multinomialsatz|SZ=}} oder {{Stichwort|Polynomialsatz|SZ=}} und ist eine direkte Verallgemeinerung {{ Faktlink |Präwort=des| binomischen Lehrsatzes|Faktseitenname= Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Multinomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gfezlmnulno94bny8gbc9v657y6ziy4 0 119020 1106371 1014629 2026-07-10T10:42:12Z Bocardodarapti 2041 1106371 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Schreibe{{n Sie}} ein Computerprogramm, das die {{ Definitionslink |Bellzahlen| |SZ= }} {{math|term= B_n |SZ=}} berechnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen von endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 468ai228lesnfsr63jy2wbk0efks1hq 0 119035 1106370 1081735 2026-07-10T10:41:43Z Bocardodarapti 2041 1106370 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} eine Formel für die Anzahl der {{Anführung|Pseudopartitionen}} einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke, wenn die Blöcke auch leer sein dürfen, mit Hilfe der {{ Definitionslink |Stirlingzahlen zweiter Art| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen von endlichen Mengen |Kategorie2=Theorie der Stirling-Zahlen zweiter Art |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1xhiiikyhvhrorqob1cu6vyqcgw7adh 0 119320 1106282 1013822 2026-07-09T16:53:28Z Bocardodarapti 2041 1106282 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} eine Formel für die Anzahl der {{ Definitionslink |Permutationen| |SZ= }} auf einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge mit zumindest {{math|term= r |SZ=}} {{ Definitionslink |Fixpunkten| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fixpunkte von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} np1pe7bogw6k9iv2ox29oeoze9zkmic 0 119338 1106280 1072653 2026-07-09T16:46:22Z Bocardodarapti 2041 1106280 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Venn diagram gr la ru|svg|230px {{!}} right {{!}} |Zusname=Venn_diagram_gr_la_ru |Text= |Autor= |Benutzer=Watchduck |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= LA |SZ=}} die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, {{math|term= GA |SZ=}} die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und {{math|term= RA |SZ=}} die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Überprüfe{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=die|Siebformel|Faktseitenname= Endliche Menge/Siebformel/Fakt |Nr= |SZ= }} anhand dieses Beispiels. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Siebformel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fqts4sx1lw4rqk5mlfelkr7anv92orq 0 120213 1106380 1026414 2026-07-10T11:05:19Z Bocardodarapti 2041 1106380 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass auf der Funktionenmenge {{ Relationskette | M || {{op:Abbildungsmenge|\R|\R}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Infima| |SZ= }} und {{ Definitionslink |Suprema| |SZ= }} existieren und dass somit {{math|term= M |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Verband| |SZ= }} ist. Skizziere{{n Sie}} das Infimum der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Funktionen |Kategorie2=Verbandstheorie |Kategorie3=Theorie der Produktordnung |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l31d8hyv8d6g4vcj2tbk3oy8wr0bhc5 0 124057 1106341 662707 2026-07-10T09:22:04Z Bocardodarapti 2041 1106341 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Z ist Hauptidealbereich/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt|Satz|| }} In jedem Hauptidealbereich gibt es stes eine Zerlegung in irreduzible Elmente. {{ inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt|Lemma|| }} Über diese Aussage hinaus ist aber in einem Hauptidealbereich jedes irreduzible Element auch prim und damit gibt es auch stets eine Faktorzerlegung in Primelemente. Der Nachweis davon braucht einige Vorbereitungen, nämlich das {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=}} und das {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Zwei teilerfremde Elemente/Darstellung der 1/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt|Korollar|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hauptidealbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} leyah46xc8m1twangogf9vdcqh9kh22 106 131193 1106346 1052531 2026-07-10T09:24:57Z Bocardodarapti 2041 1106346 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Vorlesungsgestaltung|2| Wir erinnern an einige weitere Begriffe. Man sagt, dass eine ganze Zahl {{math|term= a|SZ=}} eine ganze Zahl {{math|term= b|SZ=}} {{Stichwort|teilt|msw=Teiler|SZ=}} {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Scheinbar trivialer Stoff/Bemerkung|| }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder dass {{math|term= a|SZ=}} ein {{Stichwort|Teiler|SZ=}} von {{math|term= b|SZ=}} ist oder dass {{math|term= b|SZ=}} ein {{Stichwort|Vielfaches|SZ=}} von {{math|term= a|SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=, }} wenn es eine weitere ganze Zahl {{math|term= c|SZ=}} mit {{ Relationskette |b ||ac || || || |SZ= }} gibt. {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Gleichung/Sachverhalt/Bemerkung|| }} Beispielsweise ist {{math|term= 3 |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= 15 |SZ=,}} aber {{math|term=2|SZ=}} ist kein Teiler von {{math|term= 15 |SZ=.}} Eine {{Stichwort|gerade Zahl|SZ=}} ist eine ganze Zahl, die ein Vielfaches von {{math|term= 2 |SZ=}} ist, eine {{Stichwort|ungerade Zahl|SZ=}} ist eine ganze Zahl, die kein Vielfaches von {{math|term= 2 |SZ=}} ist. Wenn {{math|term= a |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist, so verwenden wir die Bezeichnung {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=}} für diejenige {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmte| |ISZ=|ESZ= }} ganze Zahl {{math|term= c |SZ=,}} für die die Gleichheit {{ Relationskette |b ||ac || || || |SZ= }} gilt. {{Zwischenüberschrift|Primzahlen}} {{ inputbild |New Animation Sieve of Eratosthenes|gif|230px {{!}} right {{!}} |Text=Das {{Stichwort|Sieb des Eratosthenes}} liefert eine einfache Methode, eine Liste von Primzahlen unterhalb einer bestimmten Größe {{math|term= k|SZ=}} zu erstellen. Man streicht einfach die echten Vielfachen der kleinen {{ Zusatz/Klammer |text=kleiner als oder gleich {{math|term= \sqrt{k} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} schon etablierten Primzahlen durch, die verbleibenden Zahlen sind prim. |Autor= |Benutzer=M.qrius |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= n |SZ=, }} und die müssen verschieden sein. {{math|term=1|SZ=}} ist also keine Primzahl. Die ersten Primzahlen sind {{mathl|term= 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, {{ldots}} |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt|Satz| |zusatz1=. {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Inklusion von Extremfällen/Bemerkung|| }} |zusatz2=. {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Beweis/Konstruktive Existenz/Bemerkung|| }}| }} Für {{mathl|term=105|SZ=}} beispielsweise findet man den Primfaktor {{math|term=3|SZ=}} und kann daher {{ Relationskette |105 ||3 \cdot 35 || || || |SZ= }} schreiben. Für {{math|term=35|SZ=}} hat man die Zerlegung {{ Relationskette |35 ||5 \cdot 7 || || || |SZ= }} und man erhält {{ Relationskette/display |105 || 3 \cdot 5 \cdot 7 || || || |SZ=. }} Wenn man mit dem Primfaktor {{math|term=5|SZ=}} startet, so ergibt sich {{ Relationskette | 105 || 5 \cdot 21 || 5 \cdot 3 \cdot 7 || || |SZ=, }} insgesamt kommen also die gleichen Primfaktoren vor. Weiter unten werden wir zeigen, dass die Primfaktorzerlegung bis auf Reihenfolge eindeutig ist, was keineswegs selbstverständlich ist und einiger Vorbereitungen bedarf. Der folgende Satz wird Euklid zugeschrieben. {{ inputbild |Euklid-von-Alexandria 1|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |Zusname=Euklid-von-Alexandria_1 |Text=[[w:Euklid|Euklid (4. Jahrhundert v. C.)]] |Autor= |Benutzer=Luestling |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www.bath.ac.uk/~ma1dp/Biography.html }} {{ inputfaktbeweis2 |Primzahlen/Unendlich viele/Fakt|Satz| |zusatz1=, {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Beweis durch Widerspruch/Bemerkung|| }} |zusatz3=Dies ist ein Widerspruch, da ein {{math|term= p_i |SZ=}} nicht gleichzeitig ein Teiler und kein Teiler von {{math|term= N|SZ=}} sein kann. Also muss die Annahme {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die Endlichkeit der Primzahlmenge| |ISZ=|ESZ= }} falsch gewesen sein. || }} {{Zwischenüberschrift|Teilerfremdheit}} {{ inputdefinition |Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition|| }} Beispielsweise sind {{ mathkor|term1= 12 |und|term2= 25 |SZ= }} teilerfremd, {{ mathkor|term1= 15 |und|term2= 25 |SZ= }} sind nicht teilerfremd, da {{math|term=5|SZ=}} ein gemeinsamer Teiler ist. Die {{math|term=1|SZ=}} ist zu jeder natürlichen Zahl {{ Zusatz/Klammer |text=auch zu {{math|term=0|SZ=}} und {{math|term=1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} teilerfremd. Für eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} und eine natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} gilt folgende Alternative: Entweder teilt {{math|term= p |SZ=}} die Zahl {{math|term= n|SZ=,}} oder aber {{ mathkor|term1= p |und|term2= n |SZ= }} sind teilerfremd. Ein gemeinsamer Teiler muss ja ein Teiler von {{math|term= p|SZ=}} sein, und da kommen nur {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= p |SZ= }} in Frage. {{ inputbild |Kielcanal|PNG|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Grunners |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die Aufgabe ist lösbar: Man macht dreimal den {{math|term=7|SZ=-}}Liter-Eimer in der Nordsee voll und transportiert dies in die Ostsee. Danach {{ Zusatz/Klammer |text=oder gleichzeitig| |ISZ=|ESZ= }} macht man zweimal den {{math|term=10|SZ=-}}Liter-Eimer in der Ostsee voll und transportiert dies in die Nordsee. Unterm Strich hat man dann {{ Relationskette/display | 3 \cdot 7 -2 \cdot 10 || 1 || || || |SZ= }} Liter transportiert {{ Zusatz/Klammer |text=eine andere Möglichkeit ist {{ Relationskette | 5 \cdot 10 - 7 \cdot 7 ||1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Die dieser Überlegung zugrunde liegende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz||| || }} {{Zwischenüberschrift|Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie}} Wir möchten nun zur Primfaktorzerlegung, deren Existenz wir bereits gezeigt haben, beweisen, dass sie eindeutig ist. Natürlich kann man {{ Relationskette/display | 12 || 3 \cdot 2 \cdot 2 || 2 \cdot 3 \cdot 2 || 2 \cdot 2 \cdot 3 || |SZ= }} schreiben, mit eindeutig ist also eindeutig bis auf Reihenfolge gemeint. Um dies zu zeigen brauchen wir zunächst das sogenannte {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=,}} das eine wichtige Eigenschaft einer Primzahl beschreibt. {{ inputfaktbeweis3 |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz||zusatz1= {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Direkter Beweis/Bemerkung|| }} || }} Aus dem Lemma von Euklid folgt sofort die etwas stärkere Aussage: Wenn eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} ein beliebiges Produkt {{mathl|term= a_1 a_2 {{cdots|}} a_n |SZ=}} teilt, dann teilt {{math|term= p|SZ=}} mindestens einen Faktor. Man wendet das Lemma einfach auf {{mathl|term= (a_1 a_2 {{cdots|}} a_{n-1}) \cdot a_n |SZ=}} an {{ Zusatz/Klammer |text=formal ist das eine Induktion über die Anzahl der Faktoren| |ISZ=|ESZ=. }} Dies wird im Beweis des folgenden {{Stichwort|Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie|msw=Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie|SZ=}} verwendet. {{ inputfaktbeweis3 |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|Primzahlprobleme}} {{:Mathematische Probleme/Beispiel Primzahlzwillinge/Einführung/Textabschnitt}} }} h815fdxafsihfe3pvg2x9j53iokc7uh 0 136368 1106375 1086657 2026-07-10T10:53:43Z Bocardodarapti 2041 1106375 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette |a,b | \in | {{CC|}} || || || |SZ=. }} Wir schreiben {{ Relationskette/display | \sum_{ \ell {{=}} 0}^\infty (a+bt)^\ell t^\ell || \sum_m c_m t^m || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |c_m | \in | {{CC|}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Koeffizienten die Anfangsbedingungen {{ Relationskette | c_0 || 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | c_1 || a || || || |SZ= }} und die Rekursionsbedingung {{ Relationskette/display | c_{m+1} || a c_m + b c_{m-1} || || || |SZ= }} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4iizrndugcgaviu9stth4i85wk8zlwd 0 136519 1106373 1072282 2026-07-10T10:51:46Z Bocardodarapti 2041 1106373 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette | a,b | \in | {{CC|}} || || || |SZ= }} und es sei {{ Relationskette/display | x_{r+1} || ax_r+ bx_{r-1} || || || |SZ= }} die dadurch definierte lineare Rekursion. Es sei {{math|term= c_r |SZ=}} die zugehörige Folge zu den Startwerten {{math|term= c_0,c_1 |SZ=}} und sei {{math|term= d_r |SZ=}} die zugehörige Folge zu den Startwerten {{math|term= d_0, d_1 |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Differenzen {{ Relationskette | f_r || c_r-d_r || || || |SZ= }} ebenfalls die lineare Rekursion erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kcma3804kz37pql2gfiwdgr6twm4yql 0 142068 1106389 1102818 2026-07-10T11:47:47Z Bocardodarapti 2041 1106389 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} Bei einer Abbildung {{ Abbildung |name=F |L|M || |SZ= }} heißt {{math|term= L |SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Definitionsmenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Definitionsbereich| |SZ= }} der Abbildung und {{math|term= M |SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Wertemenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Wertevorrat|SZ=}} oder {{Stichwort|Zielbereich|SZ=}} | |SZ= }} der Abbildung. Zu einem Element {{ Relationskette | x | \in| L || || || |SZ= }} heißt das Element {{ Relationskette/display | F(x) | \in| M || || || |SZ= }} der {{Stichwort|Wert|SZ=}} von {{math|term= F |SZ=}} an der {{Stichwort|Stelle|SZ=}} {{math|term= x |SZ=.}} Statt Stelle sagt man auch häufig {{Stichwort|Argument|SZ=.}} Zwei Abbildungen {{ mathkor|term1= {{ abb |name=F |L_1 |M_1 || |SZ= }} |und|term2= {{ abb |name=G |L_2 |M_2 || |SZ= }} |SZ= }} sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle {{ Relationskette | x | \in| L_1 || L_2 || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette | F(x) || G(x) || || || |SZ= }} in {{ Relationskette | M_1 || M_2 || || || |SZ= }} gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch {{Stichwort|Funktionen|msw=Funktion|SZ=}} genannt. Der Abbildungsbegriff ist fundamental für die Mathematik, es gibt eine Vielzahl an verschiedenen Abbildungen und an Darstellungsmöglichkeiten von Abbildungen. Im jetzigen Kontext interessieren wir uns nur für Abbildungen zwischen endlichen Mengen, die stets durch eine vollständige Wertetabelle angegeben werden können. Für die Mengen {{ Relationskette/display | L || \{1,2,3,4,5,6,7,8\} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | M ||\{a,b,c,d,e,f,g\} || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{Wertetabelle8|text1={{math|term= x |SZ=}}| 1| 2| 3| 4| 5| 6| 7| 8|text2={{math|term= F(x) |SZ=}}|c|a|a|b|e|b|e|d|}} eine vollständige Wertetabelle. Aus ihr kann man unmittelbar den Wert {{math|term= F(3) |SZ=}} als {{math|term= a |SZ=}} ablesen. Es handelt sich aber offenbar nicht um eine korrekte Abzählung der Menge {{math|term= M |SZ=,}} da {{math|term= a |SZ=}} und {{math|term= e |SZ=}} mehrfach im Bild auftauchen {{ Zusatz/Klammer |text=mehrfach gezählt werden| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= f |SZ=}} überhaupt nicht im Bild auftaucht {{ Zusatz/Klammer |text=übersehen wird| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn die obigen Fehlerquellen (1) und (2) ausgeschlossen sind, so ist das {{ Zusatz/Klammer |text=versuchsweise| |ISZ=|ESZ= }} Abzählen einer Menge {{math|term= M |SZ=}} eine Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |{{Menge1n}} |M | i| \varphi(i) |SZ=. }} Jeder natürlichen Zahl {{math|term= i |SZ=}} wird also ein eindeutiges Element der Menge {{math|term= M |SZ=}} zugeordnet. Die beiden Fehlerquellen (3) und (4) sind durch den Abbildungsbegriff {{Betonung/Negation|nicht}} ausgeschlossen. Eine Abbildung {{math|term= F |SZ=}} kann für verschiedene Definitionsstellen, also beispielsweise Zahlen {{ Relationskette | i |\neq| j || || || |SZ= }} den gleichen Wert, also {{ Relationskette/display | F(i) || F(j) || || || |SZ= }} haben und sie muss nicht jedes Element der Menge {{math|term= M |SZ=}} erfassen {{ Zusatz/Klammer |text=treffen| |ISZ=|ESZ=. }} Es kann also Elemente {{ Relationskette | m | \in| M || || || |SZ= }} mit der Eigenschaft geben, dass für jedes {{math|term= i |SZ=}} aus dem Definitionsbereich stets {{ Relationskette/display | F(i) | \neq| m || || || |SZ= }} gilt. Diese beiden Fehlerquellen erfassen wir mit den folgenden Begriffen. {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Injektiv/Surjektiv/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputbild |Aplicación|svg| 230px {{!}} left {{!}} | |Text=Weder injektiv noch surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación inyectiva sobreyectiva|svg| 230px {{!}} left {{!}} | |Text=Injektiv und surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación no inyectiva sobreyectiva|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Nicht injektiv, aber surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación inyectiva no sobreyectiva|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Injektiv, nicht surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Diese Begriffe sind fundamental! Beispielsweise ist die Nachfolgerabbildung {{ Abbildung/display |name= |\N|\N | x| x' |SZ=, }} auf der Menge der natürlichen Zahlen wegen der oben angeführten Eigenschaft (4) injektiv, aber wegen der Eigenschaft (3) nicht surjektiv, da das Startelement nicht der Nachfolger einer Zahl ist. Die Frage, ob eine Abbildung {{math|term= F |SZ=}} diese Eigenschaften besitzt, kann man anhand der Gleichung{{ Zusatz/Fußnote |text=Über Gleichungen und Variablen werden wir später ausführlicher sprechen| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Relationskette/display |F(x) || y || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in den beiden Variablen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }}| |SZ= }} erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Relationskette | y | \in| M || || || |SZ= }} mindestens eine Lösung {{ Relationskette | x | \in| L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Relationskette | y | \in| M || || || |SZ= }} maximal eine Lösung {{ Relationskette | x | \in| L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Relationskette | y | \in| M || || || |SZ= }} genau eine Lösung {{ Relationskette | x | \in| L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden. Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen {{ mathkor|term1= x |und|term2= x' |SZ= }} aus der Voraussetzung {{ Relationskette | F(x) || F(x') || || || |SZ= }} erschließt, dass {{ Relationskette | x || x' || || || |SZ= }} ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus {{ Relationskette | x |\neq| x' || || || |SZ= }} auf {{ Relationskette | F ( x) |\neq|F ( x' ) || || || |SZ= }} zu schließen. {{ inputbild |Appelbijektion1|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} Unser erstes Hauptanliegen ist es zu begründen, dass die natürliche Zahl {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} dabei eindeutig bestimmt ist. Wir werden nach einigen Vorbereitungen zeigen, dass, wenn {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{Menge1n|}} |M || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=\psi | {{Menge1k|}} |M || |SZ= }} bijektive Abbildungen sind, dann {{ Relationskette/display | n || k || || || |SZ= }} ist. Diese Zahl heißt die {{Stichwort|Anzahl|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder die {{Stichwort|Kardinalität|SZ=}}| |SZ= }} der Menge. Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Anzahl|M}} |SZ=}} oder mit {{mathl|term= {{op:Anzahl/Betrag|M}} |SZ=}} bezeichnet. Die bijektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \{1 {{kommadots|}} {{{n|n}}} \} | M || |SZ= }} kann man eine {{Stichwort|Nummerierung|SZ=}} der Menge {{math|term= M |SZ=}} nennen. Eine Menge besitzt also {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} Elemente, wenn man sie mit den natürlichen Zahlen von {{math|term= 1 |SZ=}} bis {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} durchnummerieren kann. Zwei endliche Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ=, }} für die es eine Bijektion {{ Abbildung/display |name= | M | N || |SZ= }} gibt, besitzen die gleiche Anzahl. Dies beruht einfach darauf, dass diese Bijektion verknüpft mit der bijektiven Nummerierung wieder eine Bijektion ist. Eine Menge, die nicht endlich ist, für die es also keine Bijektion mit {{mathl|term= {{Menge1n}} |SZ=}} für irgendein {{math|term= n |SZ=}} gibt, heißt {{Stichwort|unendlich|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Mathematik/Zählen/Modellierung/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Theorie des Zählvorganges (endliche Mengen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jl6j059bl2j3ovt3btrvst9bdl53jls 106 142105 1106381 861695 2026-07-10T11:09:20Z Bocardodarapti 2041 1106381 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|1| {{Motto| |Text=Wenn der Wind der Veränderung weht, bauen die einen Mauern und die anderen Windmühlen |Autor=Chinesische Weisheit }} {{Zwischenüberschrift|Rechengesetze für natürliche Zahlen}} Wir geben eine Einführung in typische Fragestellungen, wie sie in diesem Kurs im Mittelpunkt stehen. {{ Aufzählung7 |Welche Rechengesetze für natürliche Zahlen kennen Sie? |Was bedeuten sie, sind sie inhaltlich einsichtig? Gibt es geeignete Illustrationen, Visualisierungen, Veranschaulichungen? |Gibt es Anwendungen? |Gelten die Gesetzmäßigkeiten auch für andere Zahlbereiche, wie für die ganzen, die rationalen, die reellen Zahlen? Für Polynome? |Warum gelten sie? |Gibt es innerhalb dieser Rechengesetze logische Abhängigkeiten, d.h. kann man die Gültigkeit des einen Gesetzes auf die Gültigkeit eines anderen Gesetzes logisch zurückführen? |Gibt es innerhalb dieser Rechengesetze entwicklungspsychologische, lernpsychologische, didaktische Abhängigkeiten? Gibt es im Lernen und im Lehren der Gesetze eine natürliche Reihenfolge? }} {{:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Rechengesetze/Publikumsbeiträge/Textabschnitt}} {{:Grundkurs Mathematik/Fragestellung/Rechengesetze/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Im didaktischen Kontext beschreibt man solche unterschiedlichen Aspekte gerne als {{Stichwort|Kompetenzen|msw=Kompetenz|SZ=.}} (1) und (4) repräsentieren in diesem Sinne die inhaltliche Kompetenz, die Aspekte (5) und (6) laufen unter Argumentations- und Kommunikationskompetenz, wobei auch die Problemlösekompetenz mit eingeht, da es eben oft schwierig ist, aus einer Gegebenheit etwas anderes herzuleiten. In (2) findet sich die Darstellungskompetenz und die Modellierungskompetenz wieder| |ISZ=.|ESZ= }} |zusatz2={{ Zusatz/Fußnote |text=Und banal. Auch die historischen Anfangsgründe der Mathematik in den frühen Hochkulturen sind eher banal, sie liegen wie für die Schrift in der Bürokratie für eine wachsende Stadtbevölkerung begründet| |ISZ=.|ESZ=. }} |zusatz3={{ Zusatz/Fußnote |text=Man betrachte beispielsweise das Rechteck zur Erläuterung der ersten binomischen Formel weiter unten| |ISZ=.|ESZ=. }} }} {{Zwischenüberschrift|Beispiel: Die binomischen Formeln}} Als Beispiel betrachten wir die binomischen Formeln genauer. {{:Binomische Formeln/Abhängigkeit/Mathematische Argumentation/Motivation/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Man spricht auch vom {{Stichwort|Permanenzprinzip|SZ=.}} Eine wichtige Fragestellung beim Übergang von kleineren Zahlbereichen zu größeren Zahlbereichen ist, ob dabei Gesetzmäßigkeiten erhalten bleiben. Insbesondere werden Regeln, die {{Anführung|immer}} gelten, besonders herausgestellt, bekommen einen eigenen Namen, werden zu einem Axiom, u.s.w.| |ISZ=.|ESZ=. }}|}} {{Zwischenüberschrift|Die Verknüpfungen auf den natürlichen Zahlen}} Wir haben gesehen, dass das Distributivgesetz grundsätzlicher als die binomischen Formeln ist. Werden wir noch grundsätzlicher: Was ist eigentlich die Addition und was ist die Multiplikation auf den natürlichen Zahlen? Was ist für Sie die Addition, wie ist sie definiert? An was denken Sie zuerst? Welche Zugänge zu diesen Operationen kennen Sie, wie ist Ihr Verhältnis zueinander? Worin unterscheiden sich die Zugänge, welche sind besonders intuitiv, welche sind einfach begründbar, kommunizierbar, dokumentierbar? {{Fußnotenliste}} }} ews84u29kpmir4c6vuvzwj4q7xx3hqj 106 142126 1106343 1018569 2026-07-10T09:22:58Z Bocardodarapti 2041 1106343 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|20| Wir kehren zur Thematik der Primzahlen und der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl zurück. Bisher kennen wir nur die Existenz einer Primfaktorzerlegung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} aber noch nicht die Eindeutigkeit. Obwohl wir diese Fragestellung für natürliche Zahlen formuliert haben, ergibt sich im Kontext der ganzen Zahlen ein neuer Zusammenhang, der für diese Thematik hilfreich ist. {{Zwischenüberschrift|Teilerfremdheit und das Lemma von Bézout}} {{ inputbild |Kielcanal|PNG|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Grunners |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Zille vorichte|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor=Heinrich Zille |Benutzer=Hendrike |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{:Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe}} Die Aufgabe ist lösbar: Man macht dreimal den {{math|term=7|SZ=-}}Liter-Eimer in der Nordsee voll und transportiert dies in die Ostsee. Danach {{ Zusatz/Klammer |text=oder gleichzeitig| |ISZ=|ESZ= }} macht man zweimal den {{math|term=10|SZ=-}}Liter-Eimer in der Ostsee voll und transportiert dies in die Nordsee. Unterm Strich hat man dann {{ Relationskette/display |3 \cdot 7 -2 \cdot 10 ||1 || || || |SZ= }} Liter transportiert {{ Zusatz/Klammer |text=eine andere Möglichkeit ist {{ Relationskette/k |5 \cdot 10 - 7 \cdot 7 ||1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Die dieser Überlegung zugrunde liegende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bezout|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz|| || }} Man sagt auch, dass {{ Relationskette | ra+sb ||1 || || || |SZ= }} eine {{Stichwort|Darstellung|msw=Darstellung der 1|SZ=}} der {{math|term=1|SZ=}} als eine {{Stichwort|Linearkombination|SZ=}} der {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} ist. Die {{mathl|term= r,s|SZ=}} heißen {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} der Darstellung. {{Zwischenüberschrift|Die Untergruppen von {{math|term=\Z|SZ=}} }} {{:Ganze Zahlen/Untergruppen/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Der Euklidische Algorithmus}} Der euklidische Algorithmus dient dazu, zu gegebenen Zahlen {{math|term= a,b|SZ=}} ihren größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen, und eine Darstellung dieses größten gemeinsamen Teilers ale eine Linearkombination der {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} explizit zu finden. {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Einführung/Textabschnitt}} Wenn man mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler {{math|term= d|SZ=}} von zwei Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} gefunden hat, so kann man aus diesen Rechnungen auch die Quotienten {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|a|d}} |und|term2= {{op:Bruch|b|d}} |SZ= }} bestimmen, da dann alle euklidischen Reste Vielfache von {{math|term= d|SZ=}} sind. {{Zwischenüberschrift|Darstellung des größten gemeinsamen Teilers}} {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Darstellung des ggT/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Kommensurabilität}} {{:Strecken/Euklidischer Algorithmus/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste|}} }} aoymxu5mhgues8gernck354l226vsg2 1106344 1106343 2026-07-10T09:23:58Z Bocardodarapti 2041 1106344 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|20| Wir kehren zur Thematik der Primzahlen und der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl zurück. Bisher kennen wir nur die Existenz einer Primfaktorzerlegung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} aber noch nicht die Eindeutigkeit. Obwohl wir diese Fragestellung für natürliche Zahlen formuliert haben, ergibt sich im Kontext der ganzen Zahlen ein neuer Zusammenhang, der für diese Thematik hilfreich ist. {{Zwischenüberschrift|Teilerfremdheit und das Lemma von Bézout}} {{ inputbild |Kielcanal|PNG|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Grunners |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Zille vorichte|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor=Heinrich Zille |Benutzer=Hendrike |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{:Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe}} Die Aufgabe ist lösbar: Man macht dreimal den {{math|term=7|SZ=-}}Liter-Eimer in der Nordsee voll und transportiert dies in die Ostsee. Danach {{ Zusatz/Klammer |text=oder gleichzeitig| |ISZ=|ESZ= }} macht man zweimal den {{math|term=10|SZ=-}}Liter-Eimer in der Ostsee voll und transportiert dies in die Nordsee. Unterm Strich hat man dann {{ Relationskette/display |3 \cdot 7 -2 \cdot 10 ||1 || || || |SZ= }} Liter transportiert {{ Zusatz/Klammer |text=eine andere Möglichkeit ist {{ Relationskette/k |5 \cdot 10 - 7 \cdot 7 ||1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Die dieser Überlegung zugrunde liegende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz|| }} Man sagt auch, dass {{ Relationskette | ra+sb ||1 || || || |SZ= }} eine {{Stichwort|Darstellung|msw=Darstellung der 1|SZ=}} der {{math|term=1|SZ=}} als eine {{Stichwort|Linearkombination|SZ=}} der {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} ist. Die {{mathl|term= r,s|SZ=}} heißen {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} der Darstellung. {{Zwischenüberschrift|Die Untergruppen von {{math|term=\Z|SZ=}} }} {{:Ganze Zahlen/Untergruppen/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Der Euklidische Algorithmus}} Der euklidische Algorithmus dient dazu, zu gegebenen Zahlen {{math|term= a,b |SZ=}} ihren größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen, und eine Darstellung dieses größten gemeinsamen Teilers ale eine Linearkombination der {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} explizit zu finden. {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Einführung/Textabschnitt}} Wenn man mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler {{math|term= d|SZ=}} von zwei Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} gefunden hat, so kann man aus diesen Rechnungen auch die Quotienten {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|a|d}} |und|term2= {{op:Bruch|b|d}} |SZ= }} bestimmen, da dann alle euklidischen Reste Vielfache von {{math|term= d |SZ=}} sind. {{Zwischenüberschrift|Darstellung des größten gemeinsamen Teilers}} {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Darstellung des ggT/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Kommensurabilität}} {{:Strecken/Euklidischer Algorithmus/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste|}} }} 43hu1outww88uss7700joldyooqltvs 0 157556 1106340 1033813 2026-07-10T09:21:04Z Bocardodarapti 2041 1106340 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt|Satz|}} Die folgende Kurzform wird auch oft als {{Stichwort|Lemma von Bézout}} bezeichnet. {{ inputfaktbeweishier |Hauptidealbereich/Zwei teilerfremde Elemente/Darstellung der 1/Fakt|Korollar|| Beweistext=Dies folgt direkt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt |Nr= |SZ=. }} }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=.}} {{inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt|Satz|}} {{inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt|Satz||}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt|Lemma|}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in Hauptidealbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 5ybt2uv992oqdweqeyxe2uk8tuma76w 106 157660 1106352 994076 2026-07-10T09:29:08Z Bocardodarapti 2041 1106352 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|26| Für die weitere Untersuchung von linearen Abbildungen und speziell trigonalisierbaren Abbildungen müssen wir noch eine wichtige Gesetzmäßigkeit im Polynomring über einem Körper besprechen, das {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Das Lemma von Bézout}} Wir erinnern daran, dass ein Polynom {{ Relationskette | T |\in| K[X] || || || |SZ= }} ein Polynom {{ Relationskette | P |\in|K[X] || || || |SZ= }} teilt, wenn es ein Polynom {{ Relationskette | Q |\in|K[X] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |P || T Q || || || |SZ= }} gibt. Dies entspricht der Teilbarkeitsbeziehung von ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=.}} Von dort ist auch das Konzept von einem größten gemeinsamen Teiler bekannt. {{:Polynomring/Körper/1/Gemeinsamer Teiler/Textabschnitt}} {{:Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Textabschnitt}} Wir erwähnen noch das Lemma von Bezout für die ganzen Zahlen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Anwendung auf Endomorphismen}} {{:Polynomring/Körper/1/Lemma von Bezout/Endomorphismus/Anwendung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Haupträume}} Wir wollen weiterhin untersuchen, inwiefern man trigonalisierbare Abbildungen durch Matrizen beschreiben kann, die nicht nur obere Dreiecksgestalt haben, sondern darüber hinaus noch weitere einfache Eigenschaften erfüllen. Dafür gehen wir zwei Schritte. In dieser Vorlesung werden wir eine trigonalisierbare Abbildung als direkte Summe von Abbildungen auf Haupträumen darstellen. In den nächsten beiden Vorlesungen werden wir die Endomorphismen auf den Haupträumen selbst studieren. {{:Endomorphismus/Hauptraum/Einführung/Textabschnitt}} }} e3svlec07s6btm7h1umcudijjbkx2qt 106 161369 1106347 1052985 2026-07-10T09:25:52Z Bocardodarapti 2041 1106347 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Vorlesungsgestaltung|3| {{ inputbild |Euklid-von-Alexandria 1|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |Zusname=Euklid-von-Alexandria_1 |Text=[[w:Euklid|Euklid (4. Jahrhundert v. C.)]] |Autor= |Benutzer=Luestling |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www.bath.ac.uk/~ma1dp/Biography.html }} {{Zwischenüberschrift|Der euklidische Algorithmus}} {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Zi/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Das Lemma von Bézout und das Lemma von Euklid}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt|Satz|}} Die vorstehende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} In einem euklidischen Bereich kann man mit dem euklidischen Algorithmus eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers bestimmen, indem man rückwärts durch den Algorithmus wandert, siehe beispielsweise {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/3146 und 1515/Darstellung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=.}} {{inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt|Lemma||}} {{Zwischenüberschrift|Die Faktorialität von Hauptidealbereichen}} {{:Hauptidealbereich/Faktoriell/Z/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Restklassenringe von Hauptidealbereichen}} {{inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt|Satz|}} {{Fußnotenliste|}} }} ryxvoqn7t931u7kjwipnly3p4pqnt16 10 164782 1106364 1009481 2026-07-10T09:37:13Z Bocardodarapti 2041 1106364 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=<br />\mathdisp {{{{term|{{{1}}}}}}} {{{{SZ|}}}}<br /> |wikicode=&nbsp;<br><nowiki>::<math></nowiki> {{{term|{{{1}}} }}} {{{SZ|}}} <nowiki></math></nowiki>&nbsp;<br> |#default={{#tag:math| {{}} {{{term|{{{1}}}}}}}}{{{SZ|}}} }}</includeonly><noinclude>{{Mathematische Umgebungsvorlage}}</noinclude> 9lnilvlicc7gw7jlsqna534fgco45sj 1106366 1106364 2026-07-10T09:39:26Z Bocardodarapti 2041 1106366 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=<br />\mathdisp {{{{term|{{{1}}}}}}} {{{{SZ|}}}}<br /> |wikicode=<nowiki><math></nowiki>{{{1|{{{term}}}}}}<nowiki></math></nowiki>{{{SZ|}}} |#default={{#tag:math| {{}} {{{term|{{{1}}}}}}}}{{{SZ|}}} }}</includeonly><noinclude>{{Mathematische Umgebungsvorlage}}</noinclude> ka98w0fdg132qirx6p0ec1akvlloa9v 0 168523 1106251 1103736 2026-07-09T14:10:24Z Bocardodarapti 2041 1106251 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In der diskreten Mathematik geht es zu einem Großteil um endliche Mengen, ihre Anzahl, mögliche Strukturen wie Relationen, Ordnungen oder Verknüpfungen auf endlichen Mengen, die kombinatorische Relevanz von endlichen Mengen, etc. Es kann gar nicht so einfach sein, die Anzahl einer endlichen Menge zu bestimmen, insbesondere, wenn die Elemente der Menge verschiedene Möglichkeiten, verschiedene Anordnungen oder verschiedene Lösungen zu einem Problem repräsentieren. Bei einem direkt und naiv gestellten Anzahlproblem ist es oft auch gar nicht unmittelbar klar, welche Menge die richtige Modellierung für das Problem ist. Wenn man beispielsweise Kugeln auf Urnen verteilen möchte, so ist die Anzahl der Möglichkeiten dafür abhängig davon, ob man die Kugeln bzw. die Urnen als unterscheidbar oder als nicht unterscheidbar ansieht, wie man Symmetrien berücksichtigt, was man miteinander identifiziert u.s.w. Zuerst aber soll es hier um den Anzahlbegriff selbst gehen. Wir können einer Menge eine Anzahl zuordnen, weil wir ihre Elemente abzählen, also mit einer Nummer versehen können. Dies setzt voraus, dass wir das Zählen, also das Nachfolgernehmen in den natürlichen Zahlen, beherrschen, und dass wir eine irgendwie gegebene Menge {{math|term= M |SZ=}} mit einer Menge der Form {{mathl|term= \{ 1, 2, 3 {{kommadots|}} n \} |SZ=}} in eine eindeutige Beziehung setzen {{ Zusatz/Klammer |text=nummerieren| |ISZ=|ESZ= }} können. Für uns gehört die {{math|term= 0 |SZ=}} zu den natürlichen Zahlen, der Zählvorgang beginnt aber natürlich mit der {{math|term= 1 |SZ=.}} Neben den natürlichen Zahlen einschließlich des Beweisverfahrens durch Induktion setzen wir einen naiven Mengenbegriff und den Abbildungsbegriff mit den Konzepten injektiv, surjektiv, bijektiv voraus. {{ inputbild |Appelbijektion1|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} Die leere Menge besitzt {{math|term= 0 |SZ=}} Elemente, dies ist der entscheidende Grund, warum wir die {{math|term= 0 |SZ=}} zu den natürlichen Zahlen rechnen. In dieser Vorlesung werden wir {{Anführung|intuitiv klare}} Gesetzmäßigkeiten über endliche Mengen beweisen. Dies legt ein sicheres Fundament für das Folgende und ist eine gute Übung im mathematischen Argumentieren. Man sollte also erstmal davon ausgehen, dass gar nichts klar ist und dass alles mit dem obigen Anzahlbegriff erfasst werden muss. Insbesondere ist noch nicht einmal unmittelbar klar, dass die Anzahl einer endlichen Menge wohldefiniert ist, dass also die Zahl {{math|term= n |SZ=}} unabhängig von den möglichen Zählreihenfolgen ist. Für den Nachfolger einer natürlichen Zahl {{math|term= \ell |SZ=}} schreiben wir zunächst kurz {{math|term= \ell' |SZ=}} statt {{math|term= \ell +1 |SZ=,}} da die Addition für die folgenden Überlegungen nicht nötig ist. Die Beziehung {{ Relationskette | m |>| n || || || |SZ= }} zwischen natürlichen Zahlen bedeutet, dass im Abzählprozess der natürlichen Zahlen {{math|term= m |SZ=}} später als {{math|term= n |SZ=}} kommt. {{ inputfaktbeweis |Endliche Menge/1 bis k/Eins heraus/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbild |VerschiedeneNummerierungen|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor=Bocardodarapti |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbild |Delaunay points|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Delaunay_points |Text=Eine wilde Menge von Punkten. Über eine gute Nummerierung dieser Menge kann man sich streiten, aber nicht über die Anzahl. |Autor= |Benutzer=Nü Es |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Die natürliche Zahl {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} heißt die {{Stichwort|Anzahl|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder die {{Stichwort|Kardinalität|SZ=}} | |SZ= }} der Menge. Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Anzahl|M}} |SZ=}} oder mit {{mathl|term= {{op:Betrag|M}} |SZ=}} bezeichnet. Die bijektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \{1 {{kommadots|}} {{{n|n}}} \} | M || |SZ= }} nennt man eine {{Stichwort|Nummerierung|SZ=}} der Menge {{math|term= M |SZ=.}} Eine Menge besitzt also {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} Elemente, wenn man sie mit den natürlichen Zahlen von {{math|term= 1 |SZ=}} bis {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} durchnummerieren kann. Die Mengen {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} dienen also als {{Stichwort|Standardmenge|SZ=}} oder {{Stichwort|Referenzmenge|SZ=}} für endliche Mengen. Für jede endliche Menge gibt es nach Definition zwar eine bijektive Abbildung zu einer solchen Standardmenge, es gibt aber keine optimale oder kanonische bijektive Abbildung zu einer Standardmenge. Zumeist ist die Wahl einer Nummerierung willkürlich, man denke etwa an eine wilde Punktmenge in der Ebene. Insgesamt empfiehlt es sich daher, weitgehend mit beliebigen Mengen zu arbeiten und natürliche Identifizierungen zwischen Mengen zu erkennen, und die Anzahlen durch Rechnungen statt durch Nummerierungen zu bestimmen. Zwei endliche Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ=, }} für die es eine Bijektion {{ Abbildung/display |name= |M|N || |SZ= }} gibt, besitzen die gleiche Anzahl. Dies beruht einfach darauf, dass diese Bijektion verknüpft mit der bijektiven Nummerierung wieder eine Bijektion ist. Man spricht vom {{Stichwort|Bijektivitätsprinzip|SZ=.}} Wenn man sich für die Anzahl einer Menge {{math|term= M |SZ=}} interessiert, und weiß, dass diese in eine Bijektion zu einer anderen Menge {{math|term= N |SZ=}} gebracht werden kann, so kann man genauso gut die Anzahl von {{math|term= N |SZ=}} bestimmen. Eine Menge, die nicht endlich ist, für die es also keine Bijektion mit {{mathl|term= \{ 1 {{kommadots|}} {{{n|n}}} \} |SZ=}} für irgendein {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} gibt, heißt {{Stichwort|unendlich|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Endliche Menge/Schubfachprinzip/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbild |TooManyPigeons|jpg| 250px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=McKay |Domäne=en Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die vorstehende Aussage heißt {{Stichwort|Schubfachprinzip|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Taubenschlagprinzip|SZ=}}| |SZ=. }} Es besagt, dass wenn man {{math|term= m |SZ=}} Tauben auf {{math|term= n |SZ=}} Plätze verteilt mit {{ Relationskette | m |>| n || || || |SZ=, }} dass dann auf mindestens einem Platz mindestens zwei Tauben landen. {{ inputfaktbeweis{{{opt1|}}} |Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt|Lemma|| |zusatz1=&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text=hier geht auch {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Endliche Menge/Surjektives Bild/Aufgabe |SZ= }} ein| |SZ= }}| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 2ms14xftssn5qvh0za0jf08vg3unnbs 1106252 1106251 2026-07-09T14:16:55Z Bocardodarapti 2041 1106252 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In der diskreten Mathematik geht es zu einem Großteil um endliche Mengen, ihre Anzahl, mögliche Strukturen wie Relationen, Ordnungen oder Verknüpfungen auf endlichen Mengen, die kombinatorische Relevanz von endlichen Mengen, etc. Es kann gar nicht so einfach sein, die Anzahl einer endlichen Menge zu bestimmen, insbesondere, wenn die Elemente der Menge verschiedene Möglichkeiten, verschiedene Anordnungen oder verschiedene Lösungen zu einem Problem repräsentieren. Bei einem direkt und naiv gestellten Anzahlproblem ist es oft auch gar nicht unmittelbar klar, welche Menge die richtige Modellierung für das Problem ist. Wenn man beispielsweise Kugeln auf Urnen verteilen möchte, so ist die Anzahl der Möglichkeiten dafür abhängig davon, ob man die Kugeln bzw. die Urnen als unterscheidbar oder als nicht unterscheidbar ansieht, wie man Symmetrien berücksichtigt, was man miteinander identifiziert usw. Zuerst aber soll es hier um den Anzahlbegriff selbst gehen. Wir können einer Menge eine Anzahl zuordnen, weil wir ihre Elemente abzählen, also mit einer Nummer versehen können. Dies setzt voraus, dass wir das Zählen, also das Nachfolgernehmen in den natürlichen Zahlen, beherrschen, und dass wir eine irgendwie gegebene Menge {{math|term= M |SZ=}} mit einer Menge der Form {{mathl|term= \{ 1, 2, 3 {{kommadots|}} n \} |SZ=}} in eine eindeutige Beziehung setzen {{ Zusatz/Klammer |text=nummerieren| |ISZ=|ESZ= }} können. Für uns gehört die {{math|term= 0 |SZ=}} zu den natürlichen Zahlen, der Zählvorgang beginnt aber natürlich mit der {{math|term= 1 |SZ=.}} Neben den natürlichen Zahlen einschließlich des Beweisverfahrens durch Induktion setzen wir einen naiven Mengenbegriff und den Abbildungsbegriff mit den Konzepten injektiv, surjektiv, bijektiv voraus. {{ inputbild |Appelbijektion1|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} Die leere Menge besitzt {{math|term= 0 |SZ=}} Elemente, dies ist der entscheidende Grund, warum wir die {{math|term= 0 |SZ=}} zu den natürlichen Zahlen rechnen. In dieser Vorlesung werden wir {{Anführung|intuitiv klare}} Gesetzmäßigkeiten über endliche Mengen beweisen. Dies legt ein sicheres Fundament für das Folgende und ist eine gute Übung im mathematischen Argumentieren. Man sollte also erstmal davon ausgehen, dass gar nichts klar ist und dass alles mit dem obigen Anzahlbegriff erfasst werden muss. Insbesondere ist noch nicht einmal unmittelbar klar, dass die Anzahl einer endlichen Menge wohldefiniert ist, dass also die Zahl {{math|term= n |SZ=}} unabhängig von den möglichen Zählreihenfolgen ist. Für den Nachfolger einer natürlichen Zahl {{math|term= \ell |SZ=}} schreiben wir zunächst kurz {{math|term= \ell' |SZ=}} statt {{math|term= \ell +1 |SZ=,}} da die Addition für die folgenden Überlegungen nicht nötig ist. Die Beziehung {{ Relationskette | m |>| n || || || |SZ= }} zwischen natürlichen Zahlen bedeutet, dass im Abzählprozess der natürlichen Zahlen {{math|term= m |SZ=}} später als {{math|term= n |SZ=}} kommt. {{ inputfaktbeweis |Endliche Menge/1 bis k/Eins heraus/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbild |VerschiedeneNummerierungen|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor=Bocardodarapti |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbild |Delaunay points|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Delaunay_points |Text=Eine wilde Menge von Punkten. Über eine gute Nummerierung dieser Menge kann man sich streiten, aber nicht über die Anzahl. |Autor= |Benutzer=Nü Es |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Die natürliche Zahl {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} heißt die {{Stichwort|Anzahl|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder die {{Stichwort|Kardinalität|SZ=}} | |SZ= }} der Menge. Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Anzahl|M}} |SZ=}} oder mit {{mathl|term= {{op:Betrag|M}} |SZ=}} bezeichnet. Die bijektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \{1 {{kommadots|}} {{{n|n}}} \} | M || |SZ= }} nennt man eine {{Stichwort|Nummerierung|SZ=}} der Menge {{math|term= M |SZ=.}} Eine Menge besitzt also {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} Elemente, wenn man sie mit den natürlichen Zahlen von {{math|term= 1 |SZ=}} bis {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} durchnummerieren kann. Die Mengen {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} dienen also als {{Stichwort|Standardmenge|SZ=}} oder {{Stichwort|Referenzmenge|SZ=}} für endliche Mengen. Für jede endliche Menge gibt es nach Definition zwar eine bijektive Abbildung zu einer solchen Standardmenge, es gibt aber keine optimale oder kanonische bijektive Abbildung zu einer Standardmenge. Zumeist ist die Wahl einer Nummerierung willkürlich, man denke etwa an eine wilde Punktmenge in der Ebene. Insgesamt empfiehlt es sich daher, weitgehend mit beliebigen Mengen zu arbeiten und natürliche Identifizierungen zwischen Mengen zu erkennen, und die Anzahlen durch Rechnungen statt durch Nummerierungen zu bestimmen. Zwei endliche Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ=, }} für die es eine Bijektion {{ Abbildung/display |name= |M|N || |SZ= }} gibt, besitzen die gleiche Anzahl. Dies beruht einfach darauf, dass diese Bijektion verknüpft mit der bijektiven Nummerierung wieder eine Bijektion ist. Man spricht vom {{Stichwort|Bijektivitätsprinzip|SZ=.}} Wenn man sich für die Anzahl einer Menge {{math|term= M |SZ=}} interessiert, und weiß, dass diese in eine Bijektion zu einer anderen Menge {{math|term= N |SZ=}} gebracht werden kann, so kann man genauso gut die Anzahl von {{math|term= N |SZ=}} bestimmen. Eine Menge, die nicht endlich ist, für die es also keine Bijektion mit {{mathl|term= \{ 1 {{kommadots|}} {{{n|n}}} \} |SZ=}} für irgendein {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} gibt, heißt {{Stichwort|unendlich|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Endliche Menge/Schubfachprinzip/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbild |TooManyPigeons|jpg| 250px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=McKay |Domäne=en Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die vorstehende Aussage heißt {{Stichwort|Schubfachprinzip|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Taubenschlagprinzip|SZ=}}| |SZ=. }} Es besagt, dass wenn man {{math|term= m |SZ=}} Tauben auf {{math|term= n |SZ=}} Plätze verteilt mit {{ Relationskette | m |>| n || || || |SZ=, }} dass dann auf mindestens einem Platz mindestens zwei Tauben landen. {{ inputfaktbeweis{{{opt1|}}} |Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt|Lemma|| |zusatz1=&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text=hier geht auch {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Endliche Menge/Surjektives Bild/Aufgabe |SZ= }} ein| |SZ= }}| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 7hwref4ufdlgbuongmar6pdqal27gzt 106 168621 1106260 1075180 2026-07-09T15:05:35Z Bocardodarapti 2041 1106260 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|11| {{Zwischenüberschrift|Äquivalenzklassen und Repräsentantensysteme}} Eine Äquivalenzrelation {{ Relationskette | R | \subseteq | M \times M || || || |SZ= }} auf einer Menge {{math|term= M }} kann auch als Zerlegung der Menge {{math|term= M }} aufgefasst werden. Hierzu ist der Begriff der {{Stichwort| Äquivalenzklasse}} nützlich. {{inputdefinition |Mengentheorie/Relationen/Äquivalenzklasse/Definition||}} In Worten: {{math|term= [x] }} ist die Teilmenge aller Elemente von {{math|term= M |SZ=,}} die zu {{math|term= x }} äquivalent sind, also einfach die Faser zu {{math|term= x |SZ=.}} Jede Teilmenge {{ Relationskette | S | \subseteq | M || || || |SZ=, }} die die Gestalt {{ Relationskette | S || [x] || || || |SZ= }} für ein {{ Relationskette |x |\in|M || || || |SZ= }} besitzt, heißt Äquivalenzklasse. Jedes Element {{ Relationskette | y |\in|[x] || || || |SZ= }} heißt ein {{Stichwort|Repräsentant|SZ=}} für die Äquivalenzklasse {{mathl|term= [x] |SZ=.}} Insbesondere ist {{math|term= x |SZ=}} selbst ein Repräsentant für die Klasse {{mathl|term= [x] |SZ=,}} doch ist dies keineswegs der einzige oder der {{Anführung|beste}} Repräsentant. {{inputdefinition |Äquivalenzrelation/Repräsentantensystem/Definition||}} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Wäschesortierung/Haufen als Klassen/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Äquivalenzrelation/Äquivalenzklassen und Repräsentanten in Beispielen/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Ganze Zahlen/Teiler/Nebenklassen/Beispiel|| }} {{ inputbild |Concentric circles isotropy|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Concentric_circles_isotropy |Text= |Autor= |Benutzer=Tampert |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Ebene/Abstand zum Nullpunkt/Äquivalenzklassen/Beispiel|| }} {{ inputbild |ParalleleGeradenKlassen|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Drei Äquivalenzklassen für die durch die Parallelität gegebene Äquivalenzrelation. |Autor=Mgausmann |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Ebene/Parallele Geraden/Äquivalenzklassen/Beispiel|| }} {{ inputbild |Chess Board|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Chess_Board |Text= |Autor= |Benutzer=Nevit |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Schach/Läufer/Äquivalenzklassen/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Quotientenmenge und kanonische Abbildung}} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Wäschesortierung/Menge der Haufen/Beispiel|| }} {{inputdefinition |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Definition|}} Die Quotientenmenge ist also einfach die Menge der Äquivalenzklassen. Wenn man die Äquivalenzrelation mit {{math|term= \sim |SZ=}} bezeichnet, so schreibt man {{mathl|term= M/\sim |SZ=}} für die Quotientenmenge. Das Konzept Quotientenmenge ist nicht einfach, allein schon deshalb, da es nach Definition eine Menge von Mengen, nämlich der Äquivalenzklassen ist. Von der Handhabung und der Vorstellung her betrachtet man aber diese Äquivalenzklassen eher als neue {{Anführung|Punkte|}} in einer neuen Menge, die eben erst durch die Konstruktion entsteht. Auch die Beziehung zu einem Repräsentantensystem ist nicht ganz einfach. Wenn man ein Repräsentantensystem {{ Relationskette | T | \subseteq | M || || || |SZ= }} für eine Äquivalenzrelation hat, so ergibt sich eine bijektive Abbildung {{ Abbildung |name= | T | Q || |SZ= }} zwischen dem Repräsentantensystem und der Quotientenmenge. Diese kann zu Verwechslungen führen. Wichtig ist, dass ein Repräsentantensystem von einer Wahl abhängt und nur selten kanonisch ist, während die Quotientenmenge nicht von Wahlen abhängt. Wenn es allerdings ein besonders einfaches Repräsentantensystem gibt, so übernimmt man die Bezeichnungen für die Elemente wiederum auch als Bezeichnungen für die Elemente der Quotientenmenge. Man muss aber auch sagen, dass die Abstraktion, die in der Quotientenmenge zum Ausdruck kommt, in vielen Kontexten anzutreffen ist. Beispielsweise gibt es die Menge der Tiere und die Menge der Tierarten. Hinter Tierart steckt doch eine andere Idee als die Menge der zu unter diese Tierart fallenden Einzeltiere oder die Idee, aus jeder Tierart einen Vertreter auszuwählen. Die Menge aller geraden und die Menge aller ungeraden Zahlen wird durch das Eigenschaftspaar gerade oder ungerade deutlicher gemacht. Entsprechend führt die Parallelität zur Idee der {{Anführung|Richtung}} einer Geraden, usw. Im oben angeführten {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ganze Zahlen/Teiler/Nebenklassen/Beispiel |Nr= |SZ= }} besteht die Quotientenmenge aus den Restklassen {{mathl|term= [0], [1] {{kommadots|}} [d-1] |SZ=,}} wobei die Bezeichnungen des einfachsten Repräsentantensystems übernommen werden. Die konzentrischen Kreise um den Punkt {{math|term= M |SZ=}} aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene/Abstand zum Nullpunkt/Äquivalenzklassen/Beispiel |Nr= |SZ= }} kann man mit ihrem Radius identifizieren, d.h. die Quotientenmenge steht in einer natürlichen Korrespondenz zu {{math|term= \R_{\geq 0} |SZ=.}} Auch dies ist eine wichtige Beobachtung, dass die Quotientenmenge häufig eine neue Struktur besitzt oder in einer natürlichen Beziehung zu einem anderen mathematischen Gebilde steht, was von der Ausgangsmenge her nicht unmittelbar ersichtlich ist. So kann man auch die Menge der Geraden durch einen Punkt {{math|term= M |SZ=,}} die ein Repräsentantensystem für die Parallelität ist, in einem weiteren Schritt mit den Punkten auf einem halboffenen Halbkreis um {{math|term= M |SZ=}} identifizieren, um eine geometrische gehaltvolle Interpretation der Quotientenmenge zu erhalten. Die Quotientenmenge zur Äquivalenzrelation des Läufers besteht nur aus den Feldfarben weiß und schwarz. {{inputdefinition |Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition|}} Man spricht auch von der {{Stichwort|Identifizierungsabbildung|SZ=,}} da unter dieser Abbildung äquivalente Elemente auf das gleiche Element, ihre Klasse, abgebildet werden. {{ inputfaktbeweis |Äquivalenzklassen/Partition/Quotientenmenge/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} Bei der Eigenschaft (2) sagt man auch, dass die Äquivalenzrelation eine {{Stichwort|Partition|SZ=}} der Menge bewirkt. Die Eigenschaft (4) bedeutet insbesondere, dass man zu jeder Äquivalenzrelation eine Abbildung, nämlich die kanonische Abbildung in die Quotientenmenge, angeben kann, derart, dass Elemente genau dann äquivalent sind, wenn sie unter der Abbildung den gleichen Wert besitzen. Damit ist gezeigt, dass man jede Äquivalenzrelation als eine Äquivalenzrelation zu einer Abbildung im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt |Nr= |SZ= }} erhalten kann. Die folgende Aussage beschreibt die {{Stichwort|universelle Eigenschaft|msw=|SZ=}} der Quotientenmenge. {{ inputfaktbeweis |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbemerkung |Äquivalenzrelation/Abbildung/Projektion/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Projektiver Raum/Körper/Beispiel|| }} }} nfd49oos11snw81ko1wkmn4jqdzenlo 0 169073 1106338 1104002 2026-07-10T09:19:17Z Bocardodarapti 2041 1106338 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Kielcanal|PNG| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Grunners |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Zille vorichte|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Zille_vorichte |Text= |Autor=Heinrich Zille |Benutzer=Hendrike |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} Die dieser Überlegung zugrunde liegende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} {{ inputfaktbeweishier |Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz||Beweistext=Dies ergibt sich{{{zusatz1|}}} als Korollar zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt |Nr= |SZ=, }} man kann es aber auch direkt durch Induktion über das Maximum von {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} beweisen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} }} Man sagt auch, dass {{ Relationskette | ra+sb || 1 || || || |SZ= }} eine {{Stichwort|Darstellung|msw=Darstellung der 1|SZ=}} der {{math|term= 1 |SZ=}} als eine {{Stichwort|Linearkombination|SZ=}} der {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} ist. Die {{mathl|term= r,s |SZ=}} heißen {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} der Darstellung. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Das Lemma von Bezout (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 4kmsymcevgf6ol20ecx40qyimxtfw8i 0 169406 1106266 1080938 2026-07-09T15:46:28Z Bocardodarapti 2041 1106266 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Lineare Rekursion/Körper/Definition|| }} Unter linearer Rekursion versteht man sowohl die angegebene Gleichung als auch die dadurch definierte Folge. Genauer ist, von einer linear-rekursiven Folge zu sprechen. Eine lineare Rekursion kann man als eine Matrixrekursion {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| x_n | x_{n-1} | \vdots | x_{ n-{{{d|d}}}+1 } }} || {{op:Matrix44| a_1 | a_2 | \ldots | a_{{{d|d}}} | 1 | 0 | \ldots | 0 | \vdots | \ddots | \ddots | \vdots | 0 | \ldots | 1 | 0 }} {{op:Spaltenvektor| x_{n-1} | x_{n-2} | \vdots| x_{ n-{{{d|d}}} } }} || || || |SZ= }} schreiben. Die Wirkungsweise ist so, dass in der ersten Zeile die eigentliche Rechnung durchgeführt wird und in den weiteren Zeilen die Glieder bis auf {{math|term= x_{n-{{{d|d}}}} |SZ=}} übernommen werden, wobei die Rolle der Einträge um eins verschoben werden. Wenn man die {{mathl|term= {{{d|d}}} \times {{{d|d}}} |SZ=-}}Matrix {{math|term= M |SZ=}} nennt, so geht es um die Matrixpotenzen {{math|term= M^n |SZ=}} angewendet auf einen Startvektor {{ Relationskette | {{op:Spaltenvektor| x_{ {{{d|d}}}-1} | \vdots | x_0 }} || {{op:Spaltenvektor| c_{ {{{d|d}}}-1} | \vdots | c_0 }} || || || |SZ=. }} Es ist naheliegend, diese Situation allgemein für eine beliebige {{mathl|term= {{{d|d}}} \times {{{d|d}}} |SZ=-}}Matrix {{math|term= M |SZ=}} zu untersuchen und dabei Ergebnisse der linearen Algebra heranzuziehen. In diesem Fall ist die folgende vektorielle Schreibweise sinnvoll. {{ inputdefinition |Matrixrekursion/Körper/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Lineare Rekursion/Ordnung 1/Lösung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Matrixrekursion/Abhängigkeit von Startvektor/Linear/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Matrixrekursion/Eigenvektor/Lösungsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Matrixrekursion/Basis aus Eigenvektoren/Lösungsformel/Fakt|Satz|| }} Da man die Eigenwerte einer quadratischen Matrix aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Matrix erhalten kann, und da zu einer linearen Rekursion die Matrix, die die zugehörige Matrixrekursion beschreibt, eine besonders einfache Gestalt besitzt, ist es wichtig, für diese das charakteristische Polynom zu bestimmen. Es stellt sich heraus, dass man dieses direkt aus den Koeffizienten der linearen Rekursion ablesen kann. {{ inputfaktbeweis |Lineare Rekursion/Matrix/Charakteristisches Polynom/Fakt|Lemma|| }} Entsprechend heißt {{mathl|term= T^{{{d|d}}} -a_1 T^{{{{d|d}}}-1} -a_2 T^{{{{d|d}}} -2} {{minusdots}} a_{{{{d|d}}}-1} T - a_{{{d|d}}} |SZ=}} auch das charakteristische Polynom der linearen Rekursion. {{ inputfaktbeweis |Lineare Rekursion/Ordnung 2/Explizite Lösungsformel/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbeispiel |Fibonacci-Zahlen/Rekursion/Matrix und Lösungsformel/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} ipyg8m5vrd2o0a4uf9d7odq1nem2yiu 1106267 1106266 2026-07-09T15:49:10Z Bocardodarapti 2041 1106267 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Lineare Rekursion/Körper/Definition|| }} Unter linearer Rekursion versteht man sowohl die angegebene Gleichung als auch die dadurch definierte Folge. Genauer ist, von einer linear-rekursiven Folge zu sprechen. Eine lineare Rekursion kann man als eine Matrixrekursion {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| x_n | x_{n-1} | \vdots | x_{ n-{{{d|d}}}+1 } }} || {{op:Matrix44| a_1 | a_2 | \ldots | a_{{{d|d}}} | 1 | 0 | \ldots | 0 | \vdots | \ddots | \ddots | \vdots | 0 | \ldots | 1 | 0 }} {{op:Spaltenvektor| x_{n-1} | x_{n-2} | \vdots| x_{ n-{{{d|d}}} } }} || || || |SZ= }} schreiben. Die Wirkungsweise ist so, dass in der ersten Zeile die eigentliche Rechnung durchgeführt wird und in den weiteren Zeilen die Glieder bis auf {{math|term= x_{n-{{{d|d}}}} |SZ=}} übernommen werden, wobei die Rolle der Einträge um eins verschoben wird. Wenn man die {{mathl|term= {{{d|d}}} \times {{{d|d}}} |SZ=-}}Matrix {{math|term= M |SZ=}} nennt, so geht es um die Matrixpotenzen {{math|term= M^n |SZ=}} angewendet auf einen Startvektor {{ Relationskette | {{op:Spaltenvektor| x_{ {{{d|d}}}-1} | \vdots | x_0 }} || {{op:Spaltenvektor| c_{ {{{d|d}}}-1} | \vdots | c_0 }} || || || |SZ=. }} Es ist naheliegend, diese Situation allgemein für eine beliebige {{mathl|term= {{{d|d}}} \times {{{d|d}}} |SZ=-}}Matrix {{math|term= M |SZ=}} zu untersuchen und dabei Ergebnisse der linearen Algebra heranzuziehen. In diesem Fall ist die folgende vektorielle Schreibweise sinnvoll. {{ inputdefinition |Matrixrekursion/Körper/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Lineare Rekursion/Ordnung 1/Lösung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Matrixrekursion/Abhängigkeit von Startvektor/Linear/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Matrixrekursion/Eigenvektor/Lösungsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Matrixrekursion/Basis aus Eigenvektoren/Lösungsformel/Fakt|Satz|| }} Da man die Eigenwerte einer quadratischen Matrix aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Matrix erhalten kann, und da zu einer linearen Rekursion die Matrix, die die zugehörige Matrixrekursion beschreibt, eine besonders einfache Gestalt besitzt, ist es wichtig, für diese das charakteristische Polynom zu bestimmen. Es stellt sich heraus, dass man dieses direkt aus den Koeffizienten der linearen Rekursion ablesen kann. {{ inputfaktbeweis |Lineare Rekursion/Matrix/Charakteristisches Polynom/Fakt|Lemma|| }} Entsprechend heißt {{mathl|term= T^{{{d|d}}} -a_1 T^{{{{d|d}}}-1} -a_2 T^{{{{d|d}}} -2} {{minusdots}} a_{{{{d|d}}}-1} T - a_{{{d|d}}} |SZ=}} auch das charakteristische Polynom der linearen Rekursion. {{ inputfaktbeweis |Lineare Rekursion/Ordnung 2/Explizite Lösungsformel/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbeispiel |Fibonacci-Zahlen/Rekursion/Matrix und Lösungsformel/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} lehvz2kn21lt5onqmlkti6idcxwffne 0 169669 1106372 1073126 2026-07-10T10:48:35Z Bocardodarapti 2041 1106372 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Rekursion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | x_n || 3x_{n-1} +7 x_{n-2} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung5/a |Erstelle{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Rekursionsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} zu dieser Rekursion. |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=lineare Rekursion| |SZ= }} zu dieser Rekursion. |Bestimme{{n Sie}} die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. |Bestimme{{n Sie}} die Eigenvektoren zur Rekursionsmatrix. |Bestimme{{n Sie}} die explizite Lösung zu dieser Rekursion für die Anfangsglieder {{ Relationskette | x_0 || 2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x_1 || -5 || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=2 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 93ybiynoyab2ixgayhplt6kbln3u6xv 106 170330 1106305 1106241 2026-07-09T19:10:18Z Bert Niehaus 20843 /* Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld */ 1106305 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfeld]] in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Spur eines gesuchten Weges === In der folgenden Abbildung ist eine mögliche Spur eines gesuchten Weges <math>\gamma [a,b]\to \mathbb{C}</math> eingezeichnet. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z mit weg.png|350px|center|path of curve visualization - solution of differential equation]] Siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen]] === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Plot des Weges für die Lösung ==== Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[meromorphe Funktion]] * [[orientierte Fläche]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2h0dnk07qfhevwmkkq2782rso4pyxs1 1106306 1106305 2026-07-09T19:13:09Z Bert Niehaus 20843 /* Spur eines gesuchten Weges */ 1106306 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfeld]] in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Spur eines gesuchten Weges === In der folgenden Abbildung ist eine mögliche Spur eines gesuchten Weges <math>\gamma [a,b]\to \mathbb{C}</math> eingezeichnet. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z mit weg.png|350px|center|path of curve visualization - solution of differential equation]] ==== Bemerkung - Lösung von Differentialgleichungen ==== Wenn der Weg <math>\gamma</math> als [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Lösung einer Differentialleichung]] bestimmt werden kann, kann man die Spur des Weges <math>\gamma</math> ohne numerischen Näherung [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|plotten]]. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Plot des Weges für die Lösung ==== Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[meromorphe Funktion]] * [[orientierte Fläche]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mzu359uph690vfcmo3vbjtos3v8xllg 1106307 1106306 2026-07-09T19:16:01Z Bert Niehaus 20843 /* Spur eines gesuchten Weges */ 1106307 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfeld]] in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Spur eines gesuchten Weges === In der folgenden Abbildung ist eine mögliche Spur eines gesuchten Weges <math>\gamma [a,b]\to \mathbb{C}</math> eingezeichnet. Numerische Berechnungen besitzen durch die Diskretisierung einen Fehler. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z mit weg.png|350px|center|path of curve visualization - solution of differential equation]] ==== Bemerkung - Lösung von Differentialgleichungen ==== Wenn der Weg <math>\gamma</math> als [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Lösung einer Differentialleichung]] bestimmt werden kann, kann man die Spur des Weges <math>\gamma</math> ohne numerischen Näherung [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|plotten]]. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Plot des Weges für die Lösung ==== Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[meromorphe Funktion]] * [[orientierte Fläche]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nn4j3p16lnhgjmfsc8qgfw7zb9dud2x 106 170342 1106300 1105510 2026-07-09T18:35:13Z Jonas Dächert 41519 /* Modellierungszyklen */ 1106300 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== Die Standortwahl für Windkraftanlagen wird auf drei unterschiedlichen Niveaus modelliert: *[[/Sekundarstufe 1/]] *[[/Sekundarstufe 2/]] *[[/Uni-Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dgxjq0gzzrkc3cc7roofedohkwfhg13 0 170422 1106265 1081056 2026-07-09T15:43:30Z Bocardodarapti 2041 1106265 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten Situationen von Paaren von Abbildungen, wo die Definitionsmenge oder die Wertemenge fixiert ist und wo wir nur bijektive Übergänge in den nicht fixierten Mengen erlauben. {{ inputdefinition |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Definition|| }} Diese Eigenschaft bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Dreieck/ru|L|M_1|M_2|abb12=f_1|abb13=f_2|abb23=\psi }} vorliegt. {{ inputdefinition |Abbildungen/Rechts fest/Linksisomorph/Definition|| }} Diese Eigenschaft bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Dreieck/lo| L_1 | M | L_2 |abb12= f_1 |abb32= f_2 |abb13= \varphi {{netzziehziehzieh}} }} vorliegt. {{ inputbeispiel |Konstante Abbildungen/Rechtsisomorph/Nicht linksisomorph/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Wertetabellen/Linksisomorph/Nicht rechtsisomorph/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Sinus und Kosinus/Linksisomorph/Nicht rechtsisomorph/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Abbildungen/Links fest/Endlich/Rechtsisomorph/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 9ph3jqcij6ax7phgza9qoyzkmzr68c6 0 171313 1106378 1092805 2026-07-10T10:59:14Z Bocardodarapti 2041 1106378 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den zweiseitigen {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphiebegriff| |Kontext=Relation| |SZ= }} für {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=| |SZ=, }} dabei sind also zwei Graphen {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | H || (W,F) || || || |SZ= }} zueinander isomorph {{ Zusatz/Klammer |text=als Relation| |ISZ=|ESZ=, }} wenn es Bijektionen {{ Abbildung/display |name= \varphi, \psi | V | W || |SZ= }} derart gibt, dass {{mathl|term= uv |SZ=}} genau dann eine Kante in {{math|term= E |SZ=}} ist, wenn {{mathl|term= \varphi(u) \psi (v) |SZ=}} eine Kante in {{math|term= F |SZ=}} ist. {{ Aufzählung3 |Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= H |SZ= }} isomorph. Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der Kanten übereinstimmt. |Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= H |SZ= }} isomorph. Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem Punkt {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Knotengrad| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= v |SZ=}} mit dem Knotengrad von {{math|term= \varphi(v) |SZ=}} übereinstimmt. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für zwei Graphen, die in dem beschriebenen Sinn zueinander isomorph sind, aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert-isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Relationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=2 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 0fyv7llulb0q14wfyx8aic0vz6awe4l 0 171554 1106319 1093989 2026-07-10T08:40:00Z Bocardodarapti 2041 1106319 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | n | \geq | 1 || || || |SZ= }} fixiert. Aus einer Menge {{math|term= S |SZ=}} von Symbolen soll ein Kartenset {{math|term= M |SZ=}} bestehend aus Karten konstruiert werden, derart, dass die folgenden Inzidenzbedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung3 |Auf jeder Karte befinden sich genau {{math|term= n |SZ=}} Symbole. |Zu je zwei Karten gibt es genau ein Symbol, das sich auf den beiden Karten befindet. |Zu jedem Symbol gibt es mindestens eine Karte, auf der dieses Symbol nicht liegt. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung3/a |Zu jedem Symbol {{ Relationskette | s | \in | S || || || |SZ= }} gibt es höchstens {{math|term= n |SZ=}} Karten, auf denen sich das Symbol {{math|term= s |SZ=}} befindet. |Die Anzahl der Karten ist höchstens gleich der Anzahl der Symbole. |Es gibt höchstens {{mathl|term= n^2-n +1 |SZ=}} Karten. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Ebene über einem endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=3 |p2=3 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 2fy2vpg8nxvs5tmxg4155bw673p5ghy 0 171741 1106377 1104678 2026-07-10T10:57:43Z Bocardodarapti 2041 1106377 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu zwei {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} {{ mathkor|term1= G=(V,E) |und|term2= H=(W,F) |SZ= }} nennt man den Graphen mit der Knotenmenge {{mathl|term= V \times W |SZ=,}} wobei zwischen zwei Knoten {{ mathkor|term1= (v_1,w_1) |und|term2= (v_2,w_2) |SZ= }} genau dann eine Kante besteht, wenn sowohl zwischen {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} als auch zwischen {{ mathkor|term1= w_1 |und|term2= w_2 |SZ= }} eine Kante besteht, das {{ Definitionswort |Tensorprodukt| |msw=Tensorprodukt (Graphen) |SZ= }} der Graphen. Es wird mit {{mathl|term= G \otimes H |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Konstruktionen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Tensorprodukt (Graph) |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k037wucszy0cgq3f8cki6beht04vlxs 106 171867 1106277 1106209 2026-07-09T16:32:18Z Nils Huck 41520 /* Realer Modellierungszyklus */ 1106277 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] c3ej54ozyt8e3d1lrbmxp1ximxmeqxp 1106281 1106277 2026-07-09T16:48:58Z Jonas Dächert 41519 /* Realer Modellierungszyklus */ 1106281 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Octave-Code zur Berechnung der Differenz zu den benachbarten Punkten.png|thumb|Octave-Code zur Berechnung der Differenz zu den benachbarten Punkten|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] 6i2fnix1nx87bo9danfes0nkry05ros 1106283 1106281 2026-07-09T16:55:22Z Jonas Dächert 41519 /* Realer Modellierungszyklus */ 1106283 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Octave-Code zur Berechnung der Differenz zu den benachbarten Punkten.png|thumb|Octave-Code zur Berechnung der Differenz zu den benachbarten Punkten|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] l652xwpwy8l4v33qttcv0fdo33gdftp 1106293 1106283 2026-07-09T17:48:34Z Jonas Dächert 41519 /* Realer Modellierungszyklus */ 1106293 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] 20hmy0x85dv3dxoyzhgec26f7dwevo3 1106294 1106293 2026-07-09T17:49:29Z Jonas Dächert 41519 /* Realer Modellierungszyklus */ 1106294 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] 84g1szihh0vq27sfkbiub3ofyj23sw4 1106308 1106294 2026-07-10T06:50:51Z Björn Henrich 41518 /* Durchführung des Optimierungsverfahrens */ 1106308 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] 1y1p2ejjjjv1ogzn0jwmhzmbsyexqbm 1106309 1106308 2026-07-10T06:51:09Z Björn Henrich 41518 /* Abbruchkriterium */ 1106309 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] e8x2lw7yowy2b9z1cp0n4l4ampsxnm6 1106310 1106309 2026-07-10T06:51:41Z Björn Henrich 41518 /* Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren */ 1106310 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] q1yow75hjmwrp6oa4lbvbmhigab09nt 1106311 1106310 2026-07-10T06:51:52Z Björn Henrich 41518 /* Interpretation der Erweiterung */ 1106311 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] 4tcr0hnwifssmutdppdia98071yzgzt 1106312 1106311 2026-07-10T06:52:24Z Björn Henrich 41518 /* Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren */ 1106312 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] 4sdi2e4zn66iiexsxqhlsyk5ikxvuyu 1106314 1106312 2026-07-10T08:28:04Z Björn Henrich 41518 /* Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg */ 1106314 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] obizu5dtal91y5ua977b1qoyhaka7y6 1106318 1106314 2026-07-10T08:39:28Z Björn Henrich 41518 /* Zielfunktion */ 1106318 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] 4yw4q9renv2rflwr2tqp3aztiq55c0g 1106354 1106318 2026-07-10T09:29:49Z Björn Henrich 41518 /* Modellierung des Energieertrags */ 1106354 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] 6708n7mn158r7k9xtkar8mem1mb9ugy 1106361 1106354 2026-07-10T09:34:40Z Björn Henrich 41518 /* Mathematisches Modell */ 1106361 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|center]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] clrcs1w69i94r2xviub8r0f3butc2ps 1106362 1106361 2026-07-10T09:35:16Z Björn Henrich 41518 /* Mathematisches Modell */ 1106362 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] dzp1wq5qgchv7hvz695vfxcfp7r08b6 1106363 1106362 2026-07-10T09:36:19Z Björn Henrich 41518 /* Gradientenaufstiegsverfahren */ 1106363 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] edvfjth6ctorx2c45r132lhfi7f5f54 1106365 1106363 2026-07-10T09:39:20Z Björn Henrich 41518 /* Gradientenaufstiegsverfahren */ 1106365 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,5,3,2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,5,3,2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,5,3,2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,75,3,36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,75,3,36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2,375,3,488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] ko705dxuck6e1k95gh028t7lx912lxu 106 171930 1106322 1106226 2026-07-10T08:50:29Z Katharina Müller3203 37345 /* Implementierung in COMSOL */ 1106322 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== Raum: Raucher: Nicht-Raucher: ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig? ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) hf4r7s1uwwdbn5s5v20n2hwnrh0om0d 1106323 1106322 2026-07-10T08:52:41Z Katharina Müller3203 37345 /* Geometrie-Erstellung */ 1106323 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== * '''Raum:''' Es wird ein Quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig? ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) aiixnfr9itv8oimnftixjvwz0g5sbza 1106324 1106323 2026-07-10T08:53:55Z Katharina Müller3203 37345 /* Geometrie-Erstellung */ 1106324 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== * '''Raum:''' Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig? ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) k8qa6jdgxolyz2delc56tjnflm3rmo8 1106325 1106324 2026-07-10T09:02:14Z Katharina Müller3203 37345 /* Geometrie-Erstellung */ 1106325 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. * '''Raum:''' Es wird ein Quader mit den Maßen 10m x 5m x 2,5m erstellt. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 2m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig? ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) qqh6qznhb0axn65wlbuex5r18oh0vv9 1106326 1106325 2026-07-10T09:02:47Z Katharina Müller3203 37345 /* Geometrie-Erstellung */ 1106326 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 1 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen 10m x 5m x 2,5m. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 2m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig? ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) 78ig1kmdvtg6hdnj0mjayt0utkazwac 1106342 1106326 2026-07-10T09:22:56Z Katharina Müller3203 37345 /* Materialparameter Zigarettenrauch */ 1106342 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen 10m x 5m x 2,5m. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 2m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig? ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) lj4kap9t1l49lpv6j4l5j1742dvtq18 1106345 1106342 2026-07-10T09:24:08Z Katharina Müller3203 37345 /* Art der Studie */ 1106345 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen 10m x 5m x 2,5m. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 2m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig? Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) a7itwsn7gh2zs42rt2frp3c1rga8g4i 1106349 1106345 2026-07-10T09:28:01Z Katharina Müller3203 37345 /* Literaturverzeichnis */ 1106349 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen 10m x 5m x 2,5m. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 2m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig? Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 8c9t9opeg0xc12vtjwf9f3zoqnx4be5 1106350 1106349 2026-07-10T09:28:12Z Katharina Müller3203 37345 /* Literaturverzeichnis */ 1106350 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen 10m x 5m x 2,5m. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 2m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig? Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). p8hkixxdhdhwp6474b0w304e40peikg 1106355 1106350 2026-07-10T09:29:50Z Katharina Müller3203 37345 /* Art der Studie */ 1106355 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen 10m x 5m x 2,5m. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 2m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COmSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig mit momentan einer Sekunde als Intervall. Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). dov5ha0g0857085rv53xv86fujtw7im 1106357 1106355 2026-07-10T09:30:25Z Katharina Müller3203 37345 /* Material-Auswahl */ 1106357 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen 10m x 5m x 2,5m. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 2m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig mit momentan einer Sekunde als Intervall. Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 4k7p7y14hfv5sjk0drlukkz0u7cg6xx 106 171941 1106250 1106249 2026-07-09T12:05:36Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 2: Definition des Wegintegrals */ 1106250 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> und ist damit eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> G(z)=z^{-2}</math> == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] 2hw5x3mbsont9ogbqdlwnay8a5sr9xs 1106284 1106250 2026-07-09T17:00:40Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 2: Definition des Wegintegrals */ 1106284 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> und ist damit eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-2} z^{-1} = -\tfrac{1}{2z}</math>. == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] kx00wv8n3jorughwdt2dv8je6woketp 1106285 1106284 2026-07-09T17:03:29Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 2: Definition des Wegintegrals */ 1106285 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> und ist damit eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-2} z^{-1} = -\tfrac{1}{2z}</math>. ==== Schritt 3: Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] pevtw1d6493jrvi7a3yokiwaxpbqj10 1106286 1106285 2026-07-09T17:09:46Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 3: Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen */ 1106286 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> und ist damit eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-2} z^{-1} = -\tfrac{1}{2z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{2\cdot \gamma(b)} + \frac{1}{2\cdot \gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t_o]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t_o-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{2\cdot \gamma(t_o)} + \frac{1}{2\cdot z_a} </math> == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] o6vtlpc2zyi297b6lef3p2u1j6l6q8t 1106287 1106286 2026-07-09T17:23:06Z Bert Niehaus 20843 /* Lösungsweg für Differentialgleichungen */ 1106287 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> und ist damit eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-2} z^{-1} = -\tfrac{1}{2z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{2\cdot \gamma(b)} + \frac{1}{2\cdot \gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t_o]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t_o-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{2\cdot \gamma(t_o)} + \frac{1}{2\cdot z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{2z_a(a-t) + 1}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} t-a - \frac{1}{2\cdot z_a} & = & -\frac{1}{2\cdot \gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ 2(a-t) + \frac{1}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{2z_a(a-t) + 1}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] 9il7o5k766ha892vvr1583i4wjk9vdv 1106288 1106287 2026-07-09T17:25:44Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable */ 1106288 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> und ist damit eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-2} z^{-1} = -\tfrac{1}{2z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{2\cdot \gamma(b)} + \frac{1}{2\cdot \gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t_o]</math> mit <math>t_o > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t_o-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{2\cdot \gamma(t_o)} + \frac{1}{2\cdot z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{2z_a(a-t) + 1}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} t-a - \frac{1}{2\cdot z_a} & = & -\frac{1}{2\cdot \gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ 2(a-t) + \frac{1}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{2z_a(a-t) + 1}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] fd6v3heg0mi3b9h9kmq8rznlx7hsnuh 1106289 1106288 2026-07-09T17:26:13Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable */ 1106289 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> und ist damit eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-2} z^{-1} = -\tfrac{1}{2z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{2\cdot \gamma(b)} + \frac{1}{2\cdot \gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{2\cdot \gamma(t)} + \frac{1}{2\cdot z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{2z_a(a-t) + 1}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} t-a - \frac{1}{2\cdot z_a} & = & -\frac{1}{2\cdot \gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ 2(a-t) + \frac{1}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{2z_a(a-t) + 1}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] 41eln45a7r3arg1t10o1u7w5yl90bsj 1106290 1106289 2026-07-09T17:31:30Z Bert Niehaus 20843 /* Lösungsweg für Differentialgleichungen */ 1106290 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> und ist damit eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1} z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{z_a(a-t) + 1}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} + \frac{z_a(a-t)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1+z_a(a-t)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] ikbjdcc1omrw4kkb9ajjti85j72wi8v 1106291 1106290 2026-07-09T17:37:15Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 5 - Berechnung des Weges */ 1106291 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. === Lösung der Differentialgleichung === Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math> und ist damit eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten, da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math>. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1} z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] 48lwlxcc7fw2vh499ozdy7wjzodkaas 1106292 1106291 2026-07-09T17:43:46Z Bert Niehaus 20843 /* Lösung der Differentialgleichung */ 1106292 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1} z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] hlaz465cix7tcgmyuekizgg6uq37clm 1106295 1106292 2026-07-09T17:56:56Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1106295 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1} z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Darstellung des Weges in Geogebra == == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] 8vego3bzract3wwfuf6oct76fq2f9k7 1106296 1106295 2026-07-09T18:08:08Z Bert Niehaus 20843 /* Darstellung des Weges in Geogebra */ 1106296 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1} z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Darstellung des Weges in Geogebra == Um die Spur des Weges in Geogebra zu zeichnen, zerlegt man <math>\gamma(t)=\gamma_1(t)+i\cdot \gamma_2(t)</math> in die Realteilfunktion <math>\gamma_1 : [a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>\gamma_2 : [a,b]\to \mathbb{R}</math>, um den Pfad in <math>\mathbb{R}^2</math> als [[w:de:Ortlinie|Ortlinie]] zeichnen zu können. == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] 6rl8d6p7w9tpm4kw7zif32a8e0geaaw 1106297 1106296 2026-07-09T18:13:27Z Bert Niehaus 20843 /* Darstellung des Weges in Geogebra */ 1106297 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1} z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Darstellung des Weges in Geogebra == Um die Spur des Weges in Geogebra zu zeichnen, zerlegt man <math>\gamma(t)=\gamma_1(t)+i\cdot \gamma_2(t)</math> in die Realteilfunktion <math>\gamma_1 : [a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>\gamma_2 : [a,b]\to \mathbb{R}</math>, um den Pfad in <math>\mathbb{R}^2</math> als Ortlinie zeichnen zu können. === Realteil- und Imaginärteilfunktion === In der Definition der Lösung <math>\gamma(t)</math> muss man zunächst den Nenner reellwertig machen, um die Real- und Imaginärteilfunktion bestimmen zu können. Dies erfolgt über: == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] c48j0pj9p81k3gjpmgqenh8lldj5lzh 1106298 1106297 2026-07-09T18:14:53Z Bert Niehaus 20843 /* Realteil- und Imaginärteilfunktion */ 1106298 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1} z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Darstellung des Weges in Geogebra == Um die Spur des Weges in Geogebra zu zeichnen, zerlegt man <math>\gamma(t)=\gamma_1(t)+i\cdot \gamma_2(t)</math> in die Realteilfunktion <math>\gamma_1 : [a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>\gamma_2 : [a,b]\to \mathbb{R}</math>, um den Pfad in <math>\mathbb{R}^2</math> als Ortlinie zeichnen zu können. === Realteil- und Imaginärteilfunktion === In der Definition der Lösung <math>\gamma(t)</math> muss man zunächst den Nenner reellwertig machen, um die Real- und Imaginärteilfunktion bestimmen zu können. Dies erfolgt über: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] qxcuzy8tkc8euw5lcnxyraufn2d6bc6 1106299 1106298 2026-07-09T18:23:24Z Bert Niehaus 20843 /* Realteil- und Imaginärteilfunktion */ 1106299 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1} z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Darstellung des Weges in Geogebra == Um die Spur des Weges in Geogebra zu zeichnen, zerlegt man <math>\gamma(t)=\gamma_1(t)+i\cdot \gamma_2(t)</math> in die Realteilfunktion <math>\gamma_1 : [a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>\gamma_2 : [a,b]\to \mathbb{R}</math>, um den Pfad in <math>\mathbb{R}^2</math> als Ortlinie zeichnen zu können. === Realteil- und Imaginärteilfunktion === In der Definition der Lösung <math>\gamma(t)</math> muss man zunächst den Nenner reellwertig machen, um die Real- und Imaginärteilfunktion bestimmen zu können. Dies erfolgt über: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} = \frac{z_a\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}} \\ & = & \frac{z_a\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{(1 - z_a \cdot (t-a) - \overline{z_a} \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] 8poymf61v7eeokttu09cibx9raj3q7v 1106301 1106299 2026-07-09T18:44:01Z Bert Niehaus 20843 /* Realteil- und Imaginärteilfunktion */ 1106301 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1} z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Darstellung des Weges in Geogebra == Um die Spur des Weges in Geogebra zu zeichnen, zerlegt man <math>\gamma(t)=\gamma_1(t)+i\cdot \gamma_2(t)</math> in die Realteilfunktion <math>\gamma_1 : [a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>\gamma_2 : [a,b]\to \mathbb{R}</math>, um den Pfad in <math>\mathbb{R}^2</math> als Ortlinie zeichnen zu können. === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 1=== In der Definition der Lösung <math>\gamma(t)</math> muss man zunächst den Nenner reellwertig machen, um die Real- und Imaginärteilfunktion bestimmen zu können. Dies erfolgt über: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} = \frac{z_a\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}} \\ & = & \frac{z_a\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{(1 - z_a \cdot (t-a) - \overline{z_a} \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 2=== Mit <math>\gamma(a)=z_a=z_{a,1}+i\cdot z_{a,2}</math> als Anfangswert des Weges erhält mit dem reellwertigen Nenner aus Schritt 1: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}} +i\cdot \overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{\underbrace{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2}_{\in\mathbb{R}}} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 3=== Damit erhält man nun die Realteilfunktion <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> für den Anfangswert des Weges <math>z_a</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_1}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \gamma_{_2}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Plot des Weges === Plotten Sie nun den Weg durch Festlegung des Punktes <math>(\gamma_1(t),\gamma_2(t))\in \mathbb{R}^2</math> in Abhängigkeit des Schiebereglers für <math>t\in [a,b]</math>. === Aufgabe 2 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie Weg für eine Vektorfeld <math>f(z)=z^n</math> allgemein, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist, die keine Nullstellen in dem Intervall <math>[a,b]\subset G</math> auf der reellen Achse besitzt. === Aufgabe 3 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie Weg allgemein für eine Vektorfeld, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist und <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt. Warum ist es wichtig für die Lösbarkeit der Differentialgleichung, dass <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] swvbnwjf0wjbp4ypc8785mweulxxyn8 1106302 1106301 2026-07-09T18:55:31Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 1 - Plot des Weges */ 1106302 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1} z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Darstellung des Weges in Geogebra == Um die Spur des Weges in Geogebra zu zeichnen, zerlegt man <math>\gamma(t)=\gamma_1(t)+i\cdot \gamma_2(t)</math> in die Realteilfunktion <math>\gamma_1 : [a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>\gamma_2 : [a,b]\to \mathbb{R}</math>, um den Pfad in <math>\mathbb{R}^2</math> als Ortlinie zeichnen zu können. === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 1=== In der Definition der Lösung <math>\gamma(t)</math> muss man zunächst den Nenner reellwertig machen, um die Real- und Imaginärteilfunktion bestimmen zu können. Dies erfolgt über: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} = \frac{z_a\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}} \\ & = & \frac{z_a\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{(1 - z_a \cdot (t-a) - \overline{z_a} \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 2=== Mit <math>\gamma(a)=z_a=z_{a,1}+i\cdot z_{a,2}</math> als Anfangswert des Weges erhält mit dem reellwertigen Nenner aus Schritt 1: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}} +i\cdot \overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{\underbrace{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2}_{\in\mathbb{R}}} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 3=== Damit erhält man nun die Realteilfunktion <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> für den Anfangswert des Weges <math>z_a</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_1}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \gamma_{_2}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Plot des Weges === Plotten Sie nun den Weg durch Festlegung des Punktes <math>(\gamma_1(t),\gamma_2(t))\in \mathbb{R}^2</math> in Abhängigkeit des Schiebereglers für <math>t\in [a,b]</math>. ==== Animation zur Aufgabe 1 ==== === Aufgabe 2 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie Weg für eine Vektorfeld <math>f(z)=z^n</math> allgemein, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist, die keine Nullstellen in dem Intervall <math>[a,b]\subset G</math> auf der reellen Achse besitzt. === Aufgabe 3 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie Weg allgemein für eine Vektorfeld, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist und <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt. Warum ist es wichtig für die Lösbarkeit der Differentialgleichung, dass <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] 4txsmx2qgifu6p6xrnyep6a93hlku4i 1106303 1106302 2026-07-09T18:59:00Z Bert Niehaus 20843 /* Animation zur Aufgabe 1 */ 1106303 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1} z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Darstellung des Weges in Geogebra == Um die Spur des Weges in Geogebra zu zeichnen, zerlegt man <math>\gamma(t)=\gamma_1(t)+i\cdot \gamma_2(t)</math> in die Realteilfunktion <math>\gamma_1 : [a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>\gamma_2 : [a,b]\to \mathbb{R}</math>, um den Pfad in <math>\mathbb{R}^2</math> als Ortlinie zeichnen zu können. === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 1=== In der Definition der Lösung <math>\gamma(t)</math> muss man zunächst den Nenner reellwertig machen, um die Real- und Imaginärteilfunktion bestimmen zu können. Dies erfolgt über: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} = \frac{z_a\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}} \\ & = & \frac{z_a\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{(1 - z_a \cdot (t-a) - \overline{z_a} \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 2=== Mit <math>\gamma(a)=z_a=z_{a,1}+i\cdot z_{a,2}</math> als Anfangswert des Weges erhält mit dem reellwertigen Nenner aus Schritt 1: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}} +i\cdot \overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{\underbrace{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2}_{\in\mathbb{R}}} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 3=== Damit erhält man nun die Realteilfunktion <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> für den Anfangswert des Weges <math>z_a</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_1}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \gamma_{_2}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Plot des Weges === Plotten Sie nun den Weg durch Festlegung des Punktes <math>(\gamma_1(t),\gamma_2(t))\in \mathbb{R}^2</math> in Abhängigkeit des Schiebereglers für <math>t\in [a,b]</math>. ==== Animation zur Aufgabe 1 ==== [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Aufgabe 2 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie Weg für eine Vektorfeld <math>f(z)=z^n</math> allgemein, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist, die keine Nullstellen in dem Intervall <math>[a,b]\subset G</math> auf der reellen Achse besitzt. === Aufgabe 3 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie Weg allgemein für eine Vektorfeld, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist und <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt. Warum ist es wichtig für die Lösbarkeit der Differentialgleichung, dass <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] dt3biil0dxcbe3korva9cayr8v6hedb 1106304 1106303 2026-07-09T19:00:48Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 2: Definition des Wegintegrals */ 1106304 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1}\cdot z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Darstellung des Weges in Geogebra == Um die Spur des Weges in Geogebra zu zeichnen, zerlegt man <math>\gamma(t)=\gamma_1(t)+i\cdot \gamma_2(t)</math> in die Realteilfunktion <math>\gamma_1 : [a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>\gamma_2 : [a,b]\to \mathbb{R}</math>, um den Pfad in <math>\mathbb{R}^2</math> als Ortlinie zeichnen zu können. === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 1=== In der Definition der Lösung <math>\gamma(t)</math> muss man zunächst den Nenner reellwertig machen, um die Real- und Imaginärteilfunktion bestimmen zu können. Dies erfolgt über: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} = \frac{z_a\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}} \\ & = & \frac{z_a\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{(1 - z_a \cdot (t-a) - \overline{z_a} \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 2=== Mit <math>\gamma(a)=z_a=z_{a,1}+i\cdot z_{a,2}</math> als Anfangswert des Weges erhält mit dem reellwertigen Nenner aus Schritt 1: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}} +i\cdot \overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{\underbrace{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2}_{\in\mathbb{R}}} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 3=== Damit erhält man nun die Realteilfunktion <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> für den Anfangswert des Weges <math>z_a</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_1}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \gamma_{_2}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Plot des Weges === Plotten Sie nun den Weg durch Festlegung des Punktes <math>(\gamma_1(t),\gamma_2(t))\in \mathbb{R}^2</math> in Abhängigkeit des Schiebereglers für <math>t\in [a,b]</math>. ==== Animation zur Aufgabe 1 ==== [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Aufgabe 2 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie Weg für eine Vektorfeld <math>f(z)=z^n</math> allgemein, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist, die keine Nullstellen in dem Intervall <math>[a,b]\subset G</math> auf der reellen Achse besitzt. === Aufgabe 3 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie Weg allgemein für eine Vektorfeld, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist und <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt. Warum ist es wichtig für die Lösbarkeit der Differentialgleichung, dass <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] 0lzgra4yobt3kk5hqzylqsqprz2uf1c