Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.10 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 10 11003 1106759 1074989 2026-07-12T13:50:19Z Bocardodarapti 2041 1106759 wikitext text/x-wiki {{#switch: {{SUBPAGENAME}} |latex=<br /><br /><br /><br /><br />\inputbemerkung<br />{{{{2}}}}<br />{ |wikicode=<br><nowiki>==</nowiki> Bemerkung <nowiki>==</nowiki> |#default=<div class="remark"> == [[{{{1}}}|Bemerkung {{#if:{{{2|}}}|({{{2}}})}}]] [{{fullurl:{{{1|}}}|action=edit}} &nbsp;] {{#switch: 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Mathematik/Einlesevorlagen|Definitionen]]</noinclude> fkottjiz86v1tzj9acbgzdto5uxynvt 0 11320 1106745 1087521 2026-07-12T12:11:27Z Bocardodarapti 2041 1106745 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette |K || Q(R) || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} und {{ Relationskette |q | \in | K || || || |SZ= }} ein Element, das die {{ Definitionslink |Ganzheitsgleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | q^n+ r_{n-1}q^{n-1} + r_{n-2}q^{n-2} {{plusdots|}} r_1q +r_0 || 0 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |r_i | \in | R || || || |SZ= }} erfüllt. Wir schreiben {{ mathbed|term= q{{=}} a/b |mit|bedterm1= a,b \in R ||bedterm2= b \neq 0 |SZ=, }} wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir müssen zeigen, dass {{math|term= b |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=}} ist, da dann {{ Relationskette | q || a b^{-1} || || || |SZ= }} zu {{math|term= R |SZ=}} gehört. Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit {{math|term= b^n |SZ=}} und erhalten in {{math|term= R |SZ=}} {{ Relationskette/display | a^n+ {{makl| r_{n-1}b |}} a^{n-1} + {{makl| r_{n-2}b^2 |}} a^{n-2} {{plusdots|}} {{makl| r_1b^{n-1} |}} a + {{makl| r_0 b^n |}} || 0 || || || |SZ=. }} Wenn {{math|term= b |SZ=}} keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler {{math|term= p |SZ=}} von {{math|term= b |SZ=.}} Dieser teilt alle Summanden {{ mathbed|term= {{makl| r_{n-i}b^{i} |}} a^{n-i} |für|bedterm1= i \geq 1 ||bedterm2= |SZ= }} und daher auch den ersten, also {{math|term= a^n |SZ=.}} Das bedeutet aber, dass {{math|term= a |SZ=}} selbst ein Vielfaches von {{math|term= p |SZ=}} ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g7mnogrw2d9ws03xqsxdj0zwu7ck765 10 11337 1106757 1003041 2026-07-12T13:33:55Z Bocardodarapti 2041 1106757 wikitext 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Es sei umgekehrt {{math|term= f |SZ=}} ganz über {{math|term= \Z |SZ=,}} und sei {{ Relationskette |S | \in |\Z[X] || || || |SZ= }} ein normiertes ganzzahliges Polynom mit {{ Relationskette | S(f) || 0 || || || |SZ=, }} das wir als irreduzibel in {{mathl|term= \Z[X] |SZ=}} annehmen dürfen. Wir betrachten {{ Relationskette |S | \in |\Q[X] || || || |SZ=. }} Dort gilt {{ Relationskette/display |S || PT || || || |SZ=. }} Da nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Gauß|Faktseitenname= Polynomring/Z und Q/Lemma von Gauß/Fakt |Nr= |SZ= }} ein irreduzibles Polynom von {{mathl|term= \Z [X] |SZ=}} auch in {{mathl|term= \Q [X] |SZ=}} irreduzibel ist, folgt {{ Relationskette | S || P || || || |SZ= }} und daher sind alle Koeffizienten von {{math|term= P |SZ=}} ganzzahlig. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lkria0qkj9540ljwv30yr32dxikrjnp 0 14994 1106762 1101873 2026-07-12T14:01:26Z Bocardodarapti 2041 1106762 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Im Fall {{ Relationskette | D || 2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette | A_D || \Z[X]/(X^2-D) || || || |SZ= }} und daher bilden {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= X |SZ=}} eine Ganzheitsbasis. Die möglichen Produkte zu dieser Basis sind in Matrixschreibweise {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 1 | X | X|D}} |SZ=. }} Wendet man darauf komponentenweise die {{ Definitionslink |Spur| |Kontext=| |SZ= }} an, so erhält man {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 2 | 0 | 0| 2D}} |SZ= }} und die Determinante davon ist {{math|term= 4D |SZ=.}} {{parskip|}} Im Fall {{ Relationskette |D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} ist hingegen {{ Relationskette/display | A_D || \Z[\omega]/ {{makl| \omega^2-\omega - \frac{D-1}{4} |}} || || || |SZ= }} und eine Ganzheitsbasis ist {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= \omega|SZ=.}} Die Matrix der Basisprodukte ist dann {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 1 | \omega | \omega | \omega + {{op:Bruch|D-1| 4}} }} |SZ=. }} Wendet man darauf die Spur an {{ Zusatz/Klammer |text=die Spur von {{math|term= \omega|SZ=}} ist {{math|term= 1 |SZ=}} | |SZ=, }} so erhält man {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 2 | 1 | 1 | 1 + {{op:Bruch|D-1| 2}} }} |SZ= }} und die Determinante davon ist {{ Relationskette/display | 2 {{makl| 1+ \frac{D-1}{2} |}} -1 || 2 +D-1-1 || D || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} trl9ke69ys3uo2oi2v2n4kx1q1zmbrm 0 15022 1106799 988621 2026-07-13T07:34:35Z Bocardodarapti 2041 1106799 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || \Z[X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Primideale in {{math|term= R |SZ=,}} die über den Primzahlen {{ Relationskette | p || 2,3,5,7 || || || |SZ= }} liegen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungsring |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jtan2yovvea74v4fce29jnmldylplaz 0 15878 1106770 1101002 2026-07-12T14:41:32Z Bocardodarapti 2041 1106770 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{math|term= (1) \Rightarrow (2) |SZ=}} folgt direkt aus der {{ Definitionslink |Definition| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition |SZ=. }} {{math|term= (2) \Rightarrow (3) |SZ=}} folgt aus {{ Faktlink{{{optlink1|}}} |Faktseitenname= Hauptidealbereich/Faktoriell/Fakt |Faktseitenname2= Hauptidealbereich/Ist faktoriell (ohne Begriff)/Fakt |SZ=. }} {{math|term= (3) \Rightarrow (4) |SZ=}} folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt |SZ=. }} {{math|term= (4) \Rightarrow (5) |SZ=.}} Es sei {{mathbed|term=f \in {{idealm}} |bedterm1=f \neq 0 |SZ=.}} Dann ist {{mathl|term= R/(f) |SZ=}} ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich {{ Relationskette/k | \tilde{ {{idealm}} } || {{idealm}} R/(f) || || || |SZ= }}| |SZ=. }} Daher gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Noethersch lokal nulldimensional/Potenz ist null/Fakt |SZ= }} ein {{ Relationskette |n | \in |\N || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \tilde{ {{idealm}} }^n || 0 || || || |SZ=. }} Zurückübersetzt nach {{math|term= R |SZ=}} heißt das, dass {{ Relationskette | {{idealm}}^n | \subseteq | (f) || || || |SZ= }} gilt. Wir wählen {{math|term= n |SZ=}} minimal mit den Eigenschaften {{ Mathkor/display|term1= {{idealm}}^n \subseteq (f) |und|term2= {{idealm}}^{n-1} \not\subseteq (f) |SZ=. }} Wähle {{mathkon|g \in {{idealm}}^{n-1}|mit|g \not\in (f) |SZ=}} und betrachte {{ Relationskette/display |h | {{defeq|}} |\frac{f}{g} | \in | Q(R) || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{ Relationskette/k |g |\neq| 0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Das Inverse, also {{ Relationskette | h^{-1} ||\frac{g}{f} || || || |SZ=, }} gehört nicht zu {{math|term= R |SZ=,}} sonst wäre {{ Relationskette |g | \in |(f) || || || |SZ=. }} Da {{math|term= R |SZ=}} nach Voraussetzung normal ist, ist {{math|term= h^{-1} |SZ=}} auch nicht {{ Definitionslink |ganz| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Definition |SZ= }} über {{math|term= R |SZ=.}} Nach dem Modulkriterium {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt |SZ= }} für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal {{ Relationskette | {{idealm}} | \subset | R || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | h^{-1} {{idealm}} | \not\subseteq | {{idealm}} || || || |SZ=. }} Nach Wahl von {{math|term= g |SZ=}} ist aber auch {{ Relationskette/display | h^{-1} {{idealm}} || \frac{g}{f} {{idealm}} | \subseteq | \frac{ {{idealm}}^n }{f} | \subseteq | R || |SZ=. }} Daher ist {{mathl|term= h^{-1} {{idealm}} |SZ=}} ein Ideal in {{math|term= R |SZ=,}} das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist {{ Relationskette | h^{-1} {{idealm}} || R || || || |SZ=. }} Das heißt einerseits {{ Relationskette |h | \in | {{idealm}} || || || |SZ= }} und andererseits gilt für ein beliebiges {{ Relationskette | x | \in | {{idealm}} || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette | h^{-1}x | \in | R || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | x || h (h^{-1}x) || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | x | \in |(h) || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | (h) || {{idealm}} || || || |SZ=. }} {{math|term= (5) \Rightarrow (1) |SZ=.}} Sei {{ Relationskette | {{idealm}} || (\pi) || || || |SZ=. }} Dann ist {{math|term= \pi |SZ=}} ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Es sei {{mathbed|term=f\in R|bedterm1=f \neq 0 |SZ=}} keine Einheit. Dann ist {{ Relationskette |f | \in | {{idealm}} || || || |SZ= }} und daher {{ Relationskette |f || \pi g_1 || || || |SZ=. }} Dann ist {{math|term= g_1 |SZ=}} eine Einheit oder {{ Relationskette |g_1 | \in | {{idealm}} || || || |SZ=. }} Im zweiten Fall ist wieder {{ Relationskette |g_1 || \pi g_2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | f || \pi^2 g_2 || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass man {{ Relationskette |f || \pi^k u || || || |SZ= }} mit einem {{ Relationskette |k | \in |\N || || || |SZ= }} und einer Einheit {{math|term= u |SZ=}} schreiben kann. Andernfalls könnte man {{ Relationskette |f || \pi^n g_n || || || |SZ= }} mit beliebig großem {{math|term= n |SZ=}} schreiben. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Noethersch lokal nulldimensional/Potenz ist null/Fakt |SZ= }} gibt es ein {{ Relationskette |m | \in |\N || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | (\pi^m) || {{idealm}}^m | \subseteq |(f) || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |n | \geq |m+1 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette | \pi^m || af || a \pi^{m+1}b || || |SZ= }} und der Widerspruch {{ Relationskette | 1 || ab \pi || || || |SZ=. }} Es lässt sich also jede Nichteinheit {{math|term= \neq 0 |SZ=}} als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist {{math|term= R |SZ=}} faktoriell. Für ein beliebiges Ideal {{ Relationskette | {{ideala}} || (f_1 {{kommadots|}} f_s) || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | f_i || \pi^{n_i } u_i || || || |SZ= }} mit Einheiten {{math|term= u_i |SZ=.}} Dann sieht man leicht, dass {{ Relationskette | {{ideala}} || (\pi^n) || || || |SZ= }} ist mit {{ Relationskette |n || \min_{i}\{n_i\} || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jqr1a0ihwylp0u9sdpohi1ckq5k2tyl 0 15918 1106766 1069365 2026-07-12T14:29:25Z Bocardodarapti 2041 1106766 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Ein diskreter Bewertungsring ist kein Körper. In einem Hauptidealbereich, der kein Körper ist, wird jedes maximale Ideal von einem Primelement erzeugt, und die Primerzeuger zu verschiedenen maximalen Idealen können nicht assoziiert sein. Also gibt es genau ein maximales Ideal. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereiche sind Dedekindbereiche/Fakt |SZ= }} ist ein Hauptidealbereich insbesondere ein Dedekindbereich, sodass es als weiteres Primideal nur noch das Nullideal gibt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6wpvawlgf188atvkw6ygze8b46n4sqr 0 16127 1106761 982865 2026-07-12T13:58:10Z Bocardodarapti 2041 1106761 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereiche/Minimalpolynom mit ganzzahligen Koeffizienten/Fakt |SZ=, }} aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche einfache Körpererweiterung/Norm und Spur im Minimalpolynom des Erzeugers/Fakt |SZ= }} und aus der Gestalt des Minimalpolynoms {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich gleich {{mathl|term= f^2 -S(f)f +N(f) |SZ=,}} falls {{ Relationskette/k | f |\notin| \Q || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} im quadratischen Fall. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i0cua7uz8fev5h9c3vylwibukfe6e8f 0 16178 1106771 1070225 2026-07-12T14:43:29Z Bocardodarapti 2041 1106771 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt |SZ= }} besagt in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt |SZ=, }} dass wenn man bei einem Dedekindbereich und speziell einem Zahlbereich {{math|term= R |SZ=}} zur Lokalisierung {{math|term= R_{{idealm|}} |SZ=}} an einem maximalen Ideal {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} übergeht, dass dort die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kd5gx5guly3i4rrfvtj60rvwiihxhwh 10 17490 1106746 1074994 2026-07-12T12:23:12Z Bocardodarapti 2041 1106746 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{Diese Vorlage|wird für die Einbindung einer mathematischen Aussage und eines Beweises verwendet. Sie hat drei unbenannte Paramter. # die Seite mit dem Inhalt der Aussage (die Seite mit dem Beweis wird dann als Beweis eingebunden). Der Beweis wird dabei rechtsbündig mit einer {{math|term= \Box|SZ=}} abgeschlossen. # die Beschreibung des Aussagentyps (Satz, Lemma, Korollar), gleichzeitig ein Link zu der als erstem Parameter anzugebenden Seite. # eine zusätzliche inhaltliche Kennzeichnung für die Aussage, wie von Gauss oder (Gauss).}} </noinclude><includeonly>__NOEDITSECTION__</includeonly> {{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |wikicode=<br><nowiki>==</nowiki> {{{2|}}} <nowiki>==</nowiki><br><nowiki><div class="content" style="{{{STYLE|font-style:italic;}}}"></nowiki>{{:{{{1}}}|}}<nowiki></div></nowiki><br><nowiki>===</nowiki> Beweis <nowiki>===</nowiki><br>{{:{{{1|}}}/Beweis}} |Übersetzungsvorbereitung=<nowiki> </nowiki> <nowiki>{{Übersetzung|</nowiki> <nowiki>DeTitel=<includeonly></nowiki>[[{{{1|}}}]]<nowiki></includeonly>|</nowiki> <nowiki>EnTitel=</nowiki> [[{{{1|}}}]] <nowiki>|</nowiki> <nowiki>EnText=abcd {{subst::</nowiki>{{{1|}}}<nowiki>|}} efgh</nowiki> <nowiki>|}}</nowiki> <nowiki> </nowiki> 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Als Linkverankerung dient der Begriff (bzw. eine Variante), wie er im Text vorkommt. Der Verankerungstext kann auch sowas sein wie {{Anführung|aufgrund der Definition}}. Die Latex-Version soll mit dem Latex label/ref-System arbeiten. Dem Referenzparameter kann in einem Haupttext ein Wert zugeordnet werden, beispielsweise {{Anführung|(siehe/vgl. Definition 5.3)}}.}} Zur Verlinkung der Definition für {{Anführung|kompakt}} sollte der Eintrag so aussehen: <pre> {{ Definitionslink |kompakt| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition |SZ= }} </pre> Darüber hinaus gibt es ein Weiterleitungssystem, damit nicht jedes mal nach dem genauen Namen der Definition gesucht werden muss. 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Dann sieht der Eintrag so aus <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |SZ= }} </pre> bzw. <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=Topologie| |SZ= }} </pre> In der letzten Form ist der Eintrag im Kontext eine Spezifizierungshilfe für die Weiterleitungen. </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs={{Vorlage:Definitionslink in Kurs|{{{1|}}}| |Prämath/klammer={{{Prämath/klammer|}}} |Prämath={{{Prämath|}}} |msw={{{msw|}}} |Kontext={{{Kontext|}}} |Kontext2={{{Kontext2|}}} |prä={{{prä|}}} |Definitionsseitenname={{{Definitionsseitenname|}}} |SZ={{{SZ|}}}|}} |#default={{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|(${{{Prämath/klammer|}}}$)-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|${{{Prämath|}}}$-|}}\definitionsverweis {{{{1|}}}}{{{{term|{{{Refname|}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |wikicode={{#if:{{{Prämath|}}}|<nowiki><math></nowiki>{{{Prämath|}}}<nowiki></math></nowiki>-|}}{{{1|}}}{{{SZ|}}} |#default= {{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{#ifeq:{{{Definitionsseitenname|}}}|| {{Mathematische Standardverlinkung|prä={{{prä|}}}|1={{{1|}}}|linkwort={{{1|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|SZ={{{SZ|}}} }} |{{#ifeq:{{{Definitionsseitenname|}}}|/Definition| {{Mathematische Standardverlinkung|prä={{{prä|}}}|1={{{1|}}}|linkwort={{{1|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|SZ={{{SZ|}}} }} |[[{{{term|{{{Definitionsseitenname|}}}}}}|{{{1}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}]]{{{SZ|}}}}}}}}}}}</includeonly><noinclude>{{Semantische Vorlage für Stichwort}}</noinclude> 7ia5lji0gulzi4u43em8zi7hn4iyuq5 10 20259 1106744 1106097 2026-07-12T12:04:52Z Bocardodarapti 2041 1106744 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=\mathind { {{{1|}}} {{{obj|}}} } { {{{2|}}} {{{ind|}}} }{{{{SZ|}}}} |js={{{1|{{{term}}}}}} |wikicode=<nowiki><math></nowiki>{ {{{1|}}} {{{obj|}}} }, \, { {{{2|}}} {{{ind|}}} }<nowiki></math></nowiki>{{{{SZ|}}}} |#default = {{#tag:math| {{{term|{{{1|}}} {{{obj|}}}, \, {{{2|}}} {{{ind|}}}}}}}}{{{SZ|}}} }}</includeonly><noinclude>{{Mathematische Umgebungsvorlage}}</noinclude> t6r0vmkqv892a555tupm08wlaglorj4 10 20583 1106767 163398 2026-07-12T14:33:45Z Bocardodarapti 2041 1106767 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=\mathkon { {{{1|}}} {{{obj1|}}} } { {{{2|}}} {{{kon|}}} } { {{{3|}}} {{{obj2|}}} }{ {{{SZ||}}}} |wikicode=<nowiki><math></nowiki>{{{1|}}} {{{obj1|}}} {{{2|}}} {{{kon|}}} {{{3|}}} {{{obj2|}}}<nowiki><math></nowiki>{{{SZ|}}} |#default = {{#tag:math| {{{term|{{{1|}}} {{{obj1|}}}}}}}} {{{2|}}}{{{kon|}}} {{#tag:math| {{{term|{{{3|}}} {{{obj2|}}}}}}}}{{{SZ|}}} }}</includeonly><noinclude>{{Mathematische Umgebungsvorlage}}</noinclude> 2xeftdy8pgu6drno9l4hmjlw62jkpc0 1106768 1106767 2026-07-12T14:36:56Z Bocardodarapti 2041 1106768 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=\mathkon { {{{1|}}} {{{obj1|}}} } { {{{2|}}} {{{kon|}}} } { {{{3|}}} {{{obj2|}}} }{ {{{SZ||}}}} |wikicode=<nowiki><math></nowiki>{{{1|}}} {{{obj1|}}} {{{2|}}} <nowiki></math></nowiki> {{{kon|}}} <nowiki><math></nowiki> {{{3|}}} {{{obj2|}}}<nowiki></math></nowiki>{{{SZ|}}} |#default = {{#tag:math| {{{term|{{{1|}}} {{{obj1|}}}}}}}} {{{2|}}}{{{kon|}}} {{#tag:math| {{{term|{{{3|}}} {{{obj2|}}}}}}}}{{{SZ|}}} }}</includeonly><noinclude>{{Mathematische Umgebungsvorlage}}</noinclude> 2x4va9tugk54cj3d2rf2fprnrl66mcr 1106769 1106768 2026-07-12T14:38:20Z Bocardodarapti 2041 1106769 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=\mathkon { {{{1|}}} {{{obj1|}}} } { {{{2|}}} {{{kon|}}} } { {{{3|}}} {{{obj2|}}} }{ {{{SZ||}}}} |wikicode=<nowiki><math></nowiki>{{{1|}}} {{{obj1|}}} <nowiki></math></nowiki> {{{2|}}} {{{kon|}}} <nowiki><math></nowiki> {{{3|}}} {{{obj2|}}}<nowiki></math></nowiki>{{{SZ|}}} |#default = {{#tag:math| {{{term|{{{1|}}} {{{obj1|}}}}}}}} {{{2|}}}{{{kon|}}} {{#tag:math| {{{term|{{{3|}}} {{{obj2|}}}}}}}}{{{SZ|}}} }}</includeonly><noinclude>{{Mathematische Umgebungsvorlage}}</noinclude> b10wvob5iwoht6fa7xycxzf98zh15cs 10 28472 1106747 1074996 2026-07-12T12:23:39Z Bocardodarapti 2041 1106747 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{Diese Vorlage|wird für die Einbindung einer mathematischen Aussage verwendet zusammen mit einem Beweis, der lediglich auf eine Aufgabe verweist. Sie hat drei unbenannte Paramter und einen benannten Parameter. Die unbenannten Parameter sind: # die Seite mit dem Inhalt der Aussage. # die Beschreibung des Aussagentyps (Satz, Lemma, Korollar), gleichzeitig ein Link zu der als erstem Parameter anzugebenden Seite. # eine zusätzliche inhaltliche Kennzeichnung für die Aussage, wie von Gauss oder (Gauss). # Der benannte Parameter ist refa, was für die Referenznummer der Aufgabe steht.}} </noinclude><includeonly>__NOEDITSECTION__</includeonly> {{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |wikicode=<br><nowiki>==</nowiki> {{{2|}}} <nowiki>==</nowiki><br><nowiki><div class="content" style="{{{STYLE|font-style:italic;}}}"></nowiki>{{:{{{1}}}|}}<nowiki></div></nowiki><br><nowiki>===</nowiki> Beweis <nowiki>===</nowiki><br>Siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= {{{1|}}}/Beweis/Aufgabe |SZ=. }} |#default= {{#ifeq: {{SUBPAGENAME}}|latex|<div class="latex">\inputfaktbeweis<br />{{{{1}}}}<br />{{{{2}}}}<br />{{{{3}}}}<br />{{{:{{{1}}} |ref1={{#if: {{{ref1|}}}|{{{ref1}}}|Fakt}} |ref2={{#if: 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Relationskette |R ||\Z[\sqrt{-5}] || || || |SZ= }} das Ideal {{ Relationskette/display | {{idealp}} || {{makl| 2, 1 + \sqrt{-5} |}} || || || |SZ= }} kein {{ Definitionslink |Hauptideal| |Kontext=| |SZ= }} ist, was in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Kein Hauptideal/Beispiel |Nr= |SZ= }} gezeigt wurde, aber die Eigenschaft besitzt, dass das Quadrat davon ein Hauptideal ist. Insbesondere definiert die zugehörige {{ Definitionslink |Idealklasse| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes Element in der Divisorenklassengruppe mit der Eigenschaft, dass das Doppelte davon trivial ist. Es ist {{ Relationskette/display | {{idealp}}^2 || {{makl| 4,2+ 2 \sqrt{-5}, -4+2 \sqrt{-5} |}} || (2) || || |SZ=. }} Dabei ist die Inklusion {{math|term= \subseteq |SZ=}} klar und die umgekehrte Inklusion {{math|term= \supseteq |SZ=}} ergibt sich aus {{ Relationskette/display | -4 + {{makl| 2 +2 \sqrt{-5} |}} - {{makl| -4 +2 \sqrt{-5} |}} || 2 || || || |SZ=. }} Wir betrachten nun das Ideal {{ Relationskette/display | {{idealq|}} || {{makl| 7, 3+ \sqrt{-5} |}} || || || |SZ=. }} Der Restklassenring ist {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| 7 |}} [X]/ {{makl| X^2+5, 3+X |}} | \cong| {{op:Zmod| 7 |}} || || || |SZ=, }} sodass ein Primideal mit der Norm {{math|term= 7 |SZ=}} vorliegt, das kein Hauptideal ist, da es in {{math|term= R |SZ=}} kein Element mit Norm {{math|term= 7 |SZ=}} gibt. Die beiden Ideale {{ mathkor|term1= {{idealp|}} |und|term2= {{idealq|}} |SZ= }} definieren die gleiche Idealklasse. Dazu betrachten wir die Multiplikation {{ Abbildung/display |name= |Q(R)| Q(R) | h |h {{op:Bruch| 3+ \sqrt{-5} | 2}} |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | 2 \cdot {{op:Bruch| 3+ \sqrt{-5} | 2}} || 3+ \sqrt{-5} | \in | {{idealq|}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | (1+ \sqrt{-5} ) \cdot {{op:Bruch| 3+ \sqrt{-5} | 2}} || {{op:Bruch| -2 +4 \sqrt{-5} | 2}} || -1+2 \sqrt{-5} || -7 +2 {{makl| 3+ \sqrt{-5} |}} | \in | {{idealq|}} || || |SZ= }} induziert dies einen injektiven {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{idealp|}} | {{idealq|}} || |SZ=, }} der wegen {{ Relationskette/display | 7 || - {{makl| -1+2 \sqrt{-5} |}} +2 {{makl| 3+\sqrt{-5} |}} || || || |SZ= }} auch surjektiv ist. Somit ist {{ Relationskette/display | {{idealp|}} \cdot {{makl| {{op:Bruch| 3+ \sqrt{-5} | 2 }} |}} || {{idealq|}} || || || |SZ= }} als gebrochene Ideale. In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Klassengruppe/Beispiel |Nr= |SZ= }} wird darüber hinaus gezeigt, dass die Klassengruppe von {{math|term= R |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod| 2 |}} |SZ=}} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} smlxtdzs8526wqpko0wdnntwsf71wm5 0 101903 1106754 564266 2026-07-12T13:25:35Z Bocardodarapti 2041 1106754 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung6 |Jede Person (hier und im Folgenden: Aus dem Kurs) hat heute (mindestens) einen Stift (irgendeiner Farbe) dabei. |Es gibt eine Person, die von allen Farben einen Stift dieser Farbe dabei hat. |Jede Person hat einen Stift von jeder Farbe dabei. |Es gibt eine Person, die einen Stift dabei hat. |Es gibt eine Farbe derart, dass jede Person einen Stift dieser Farbe dabei hat. |Für alle Farben gibt es eine Person, die einen Stift dieser Farbe dabei hat. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} htcy261g3linx0z82cgoeedlyzqe3ic 106 114915 1106805 1071819 2026-07-13T11:20:53Z Bocardodarapti 2041 1106805 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Vorlesungsgestaltung|8| {{ inputbild |Flickr - archer10 (Dennis) - Bolivia-91|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Als Alternative wurde über ein Vorlesungslama ... |Autor=Dennis Jarvis |Benutzer=Matanya |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} In dieser Vorlesung besprechen wir die Teilbarkeitsrelation innerhalb der natürlichen und der ganzen Zahlen genauer. Dies ist einerseits eine wichtige Ordnungsrelation, die darüber hinaus eng mit der additiven und der multiplikativen Struktur der ganzen Zahlen verbunden ist. Insbesondere werden wir die Untergruppen der ganzen Zahlen charakterisieren, was wiederum eine wichtige Voraussetzung für die Konstruktion von endlichen Ringen und Körpern in der zwölften Vorlesung ist, und wir werden die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in {{math|term= \Z |SZ=}} beweisen. Ferner führen die Überlegungen zum euklidischen Algorithmus. {{Zwischenüberschrift|Das Lemma von Bézout}} {{:Lemma von Bézout/Z/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=weiter unten| |ISZ=|ESZ= }}}} {{Zwischenüberschrift|Die Untergruppen von {{math|term= \Z |SZ=}} }} Die Division mit Rest für ganze Zahlen ist analog zur Polynomdivision. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Division mit Rest/Z/Fakt|Satz|| }} Wie im eingangs gegebenen Beispiel kann man sich eine Menge {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} von ganzen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=Eimergrößen| |ISZ=|ESZ= }} vorgeben und sich fragen, welche Zahlen man daraus mit Hilfe von ganzzahligen Koeffizienten bilden kann {{ Zusatz/Klammer |text=welche Wassermengen man transportieren kann| |ISZ=|ESZ=. }} Es geht also um die Menge aller Zahlen der Form {{ Math/display|term= n_1a_1 {{plusdots|}} n_ka_k \text{ mit } n_j \in \Z |SZ=. }} Diese Gesamtmenge bildet eine Untergruppe von {{math|term= \Z |SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Z/Erzeuger/Untergruppe/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} man spricht von der von den {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} {{Stichwort|erzeugten Untergruppe|msw=Erzeugte Untergruppe|SZ=}} von {{math|term= \Z |SZ=.}} Statt Eimern kann man sich auch eine Menge von ganzzahligen Pfeilen, die man hintereinanderlegen und umdrehen kann, vorstellen, oder eine vorgegebene Menge an Sprungmöglichkeiten, oder eine Menge an Gewichten. Der folgende Satz heißt auch {{Anführung|Ein-Eimer-Satz|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt|Korollar|| }} Dies besagt insbesondere, dass es stets einen größten gemeinsamen Teiler gibt. Im teilerfremden Fall bedeutet es, dass es eine Darstellung der {{math|term= 1 |SZ=}} als ganzzahlige Linearkombination der {{math|term= a_i |SZ=}} gibt. {{Zwischenüberschrift|Der Euklidische Algorithmus}} Der euklidische Algorithmus dient dazu, zu gegebenen Zahlen {{math|term= a,b |SZ=}} ihren größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen, und eine Darstellung dieses größten gemeinsamen Teilers ale eine Linearkombination der {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} explizit zu finden. {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Darstellung des größten gemeinsamen Teilers}} {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Darstellung des ggT/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler}} Zu einer ganzen Zahl {{math|term= a |SZ=}} besteht {{math|term= \Z a |SZ=}} aus allen Vielfachen von {{math|term= a |SZ=.}} Zu zwei Zahlen {{math|term= a,b |SZ=}} besteht somit der Durchschnitt {{mathl|term= \Z a \cap \Z b |SZ=}} aus allen Zahlen, die sowohl von {{math|term= a |SZ=}} als auch von {{math|term= b |SZ=}} Vielfache sind, also aus allen gemeinsamen Vielfachen von {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ=. }} In der Tat gilt die folgende Aussage. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma|| }} Für ganze Zahlen setzen wird den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache stets positiv an, um Eindeutigkeit zu erzielen. Grundsätzlich hat jeweils das Negative dazu die gleichen Eigenschaften. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt|Lemma|| }} Der Teil (4) der vorstehenden Aussage erlaubt es, das kleinste gemeinsame Vielfache zu zwei Zahlen algorithmisch dadurch zu bestimmen, dass man ihren größten gemeinsamen Teiler mit Hilfe des euklidischen Algorithmus bestimmt und das Produkt durch diesen teilt. {{Zwischenüberschrift|Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie}} Wir möchten nun zur Primfaktorzerlegung, deren Existenz wir bereits in {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt |Nr= |SZ= }} gezeigt haben, beweisen, dass sie eindeutig ist. Natürlich kann man {{ Relationskette/display | 12 || 3 \cdot 2 \cdot 2 || 2 \cdot 3 \cdot 2 || 2 \cdot 2 \cdot 3 || |SZ= }} schreiben, mit eindeutig ist also eindeutig bis auf die Reihenfolge gemeint. Um dies zu zeigen brauchen wir zunächst das sogenannte {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=,}} das eine wichtige Eigenschaft einer Primzahl beschreibt. {{ inputfaktbeweis3 |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz|| }} Aus dem Lemma von Euklid folgt sofort die etwas stärkere Aussage: Wenn eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} ein beliebiges Produkt {{mathl|term= a_1 a_2 {{cdots|}} a_n |SZ=}} teilt, dann teilt {{math|term= p|SZ=}} mindestens einen Faktor. Man wendet das Lemma einfach auf {{mathl|term= (a_1 a_2 {{cdots|}} a_{n-1}) \cdot a_n |SZ=}} an {{ Zusatz/Klammer |text=formal ist das eine Induktion über die Anzahl der Faktoren| |ISZ=|ESZ=. }} Dies wird im Beweis des folgenden {{Stichwort|Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie|msw=Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie|SZ=}} verwendet. {{ inputfaktbeweis3 |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz|| }} In der {{Stichwort|kanonischen Primfaktorzerlegung|msw=Kanonische Primfaktorzerlegung|SZ=}} schreibt man die beteiligten Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge mit ihrem jeweiligen Exponenten, also beispielsweise {{ Relationskette/display | 840 || 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 || || || |SZ=. }} {{Fußnotenliste}} }} mdtgx1potegafxwx4nnbiwh1dvw1q4h 0 117921 1106755 1092239 2026-07-12T13:27:26Z Bocardodarapti 2041 1106755 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/Frobenius/Definition|| }} Den Frobenius-Homomorphismus kann man iterieren, die {{math|term= e |SZ=-}}te Iteration ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |R|R |f|f^q |SZ=, }} mit {{ Relationskette |q ||p^e || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Endlicher Körper/Frobenius/Eigenschaften/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Körper/Charakteristik p/Algebraisch abgeschlossen/Frobeniuspotenz/Fixkörper/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Körper/Endliche Erweiterung von Fp/Galois und Frobenius/Fakt|Satz|| || }} Auf den Körper {{math|term= K |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | q || p^e || || || |SZ= }} ist die {{math|term= e |SZ=-}}te Frobeniusiteration {{math|term= F^e |SZ=}} die Identität. Im Folgenden arbeiten wir mit Ringen und Varietäten über einem Grundkörper {{math|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=,}} der Frobenius {{math|term= F^e |SZ=}} ist dann mit der Basis verträglich {{ Zusatz/Klammer |text=auf dem Grundring trivial| |ISZ=|ESZ=, }} hat aber auf den algebraischen oder geometrischen Objekten eine interessante Wirkung. {{ inputfaktbeweis |Endlicher Basiskörper/Algebra/Frobenius/Wirkungsweise auf K-Punkten/Fakt|Lemma|| }} Mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Endlicher Basiskörper/Algebra/Frobenius/Wirkungsweise auf K-Punkten/Fakt |Nr=2 |SZ= }} hängt unmittelbar die Tatsache zusammen, dass der Frobenius auf dem Spektrum von {{math|term= R |SZ=}} identisch wirkt. {{ inputdefinition |Endlicher Basiskörper/Algebra/Algebraischer Abschluss/Fortsetzung des Frobenius/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Endlicher Basiskörper/Polynomring/Frobenius/Lineare Fortsetzung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Endlicher Basiskörper/Restklassenalgebra/Frobenius/Lineare Fortsetzung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Endlicher Basiskörper/Restklassenalgebra/Linearer Frobenius/Fixpunktcharakterisierung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputdefinition |Affiner Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt_und_basistrivial/Koordinaten/Definition|| }} {{ inputdefinition |Endlicher Basiskörper/Varietät/Algebraischer Abschluss/Lineare Fortsetzung des Frobenius/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Affiner Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt_und_basistrivial/Koordinaten/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputdefinition |Projektiver Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt_und_basistrivial/Koordinaten/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Projektiver Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt_und_basistrivial/Koordinaten/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} cq0vo5uexgpfylrlqubohc5ftdu3smp 0 120834 1106764 1087281 2026-07-12T14:24:23Z Bocardodarapti 2041 1106764 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Das Hauptideal {{math|term= Rf|SZ=}} ist das Bild des injektiven Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | R | R | 1 |f |SZ=. }} Dieser wird unter einer Identifizierung {{ Relationskette |R ||\Z^n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also der Wahl einer {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} durch die zu {{math|term= f |SZ=}} gehörende Multiplikationsmatrix {{math|term= M_f|SZ=}} beschrieben. Es liegt insgesamt das kommutative Diagramm {{Kommutatives Rechteck/24/ru| R | R|R/fR| 0 |\Z^n |\Z^n |\Z^n/ {{op:Bild|M_f|}} | 0 |abb12=\mu_f|abb56=M_f}} mit vertikalen Isomorphien vor. Die Determinante von {{math|term= M_f|SZ=}} ist die Norm von {{math|term= f |SZ=,}} und die Anzahl der Elemente in der Restklassengruppe {{math|term= R/fR|SZ=}} ist die Norm des Hauptideals. Daher folgt die Aussage aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Ganzzahlige Matrix/Determinante/Restklassengruppe/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n6iwt3agtxdjrh238mqu8yjo4xr3akh 0 121021 1106772 1079391 2026-07-12T14:50:18Z Bocardodarapti 2041 1106772 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |SZ=. }} Dann hat die Abbildung, die einem Ringelement {{math|term= \neq 0 |SZ=}} den {{ Definitionslink |Hauptdivisor| |Kontext=Dedekindbereich effektiv| |SZ= }} zuordnet, also {{ Abbildung/display |name= | R \setminus \{0\} | \operatorname{Hauptdivisoren} | f | {{op:Hauptdivisor| f |}} |SZ=, }} folgende Eigenschaften. {{Aufzählung3| {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor|fg|}} || {{op:Hauptdivisor| f |}} + {{op:Hauptdivisor| g |}} || || || |SZ=. }} | {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor|f+g|}} | \geq | {{op:min| {{op:Hauptdivisor| f |}} | {{op:Hauptdivisor| g |}} ||}} || || || |SZ=. }} |Ein Element {{math|term= f |SZ=}} ist genau dann eine {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=| |SZ=, }} wenn {{ Relationskette | {{op:Hauptdivisor| f |}} || 0 || || || |SZ= }} ist. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hauptdivisor |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oxvjr3blu0um5lqdb0p97wodlumz0p6 0 121029 1106773 954945 2026-07-12T14:52:05Z Bocardodarapti 2041 1106773 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Der Ring {{math|term= R/(f) |SZ=}} ist nulldimensional, deshalb folgt die Aussage aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Krulldimension/Noethersch/Charakterisierung von nulldimensional/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} huoiin2881qg4gaewvnrmkwinsgm2wn 0 121044 1106775 1035662 2026-07-12T14:55:28Z Bocardodarapti 2041 1106775 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |SZ=. }} Ein {{Definitionswort|effektiver Divisor|msw=Effektiver Divisor}} ist eine formale Summe {{ Math/display|term= \sum_{{idealp}} n_{{idealp}} \cdot {{idealp}} |SZ=, }} die sich über alle {{ Definitionslink |Primideale| |SZ= }} {{ Relationskette | {{idealp}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} erstreckt und wobei {{math|term= n_{{idealp}} |SZ=}} natürliche Zahlen sind mit {{ Relationskette | n_{{idealp}} || 0 || || || |SZ= }} für fast alle {{math|term= {{idealp}} |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Effektiver Divisor |Definitionswort2= |Stichwort=Divisor |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3raylmpp2dhdz1k4z3tji22211x0dpg 0 121050 1106776 1100940 2026-07-12T14:58:42Z Bocardodarapti 2041 1106776 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung4 |Für jedes Element {{ Relationskette | f | \in | {{idealp|}} || || || |SZ= }} gilt auch {{ Relationskette | f | \in | {{idealp|}} R_{{idealp|}} || || || |SZ= }} und daher ist {{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung| f | {{idealp}} }} | \geq | 1 || || || |SZ=. }} Umgekehrt besitzt der diskrete Bewertungsring {{math|term= R_{{idealp|}} |SZ=}} ein Element {{math|term= p |SZ=,}} das das maximale Ideal {{mathl|term= {{idealp|}} R_{{idealp|}} |SZ=}} erzeugt und die Ordnung {{math|term= 1 |SZ=}} hat. Man kann {{ Relationskette | p || {{op:Bruch| a |b}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a,b | \in | R || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | b |\notin| {{idealp|}} || || || |SZ= }} schreiben. Dabei ist {{ Relationskette | a | \in | {{idealp|}} || || || |SZ= }} und {{math|term= a |SZ=}} hat in {{math|term= R_{{idealp|}} |SZ=}} die Ordnung {{math|term= 1 |SZ=.}} {{parskip|}} Es sei nun {{ Relationskette | {{idealq|}} | \neq | {{idealp|}} || || || |SZ= }} ein weiteres Primideal {{math|term= \neq 0 |SZ=.}} Da beide Ideale maximal sind, gibt es ein Element {{ Relationskette | g | \in | {{idealp|}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | g |\notin| {{idealq|}} || || || |SZ=. }} Dieses hat dann in {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} die Ordnung {{math|term= 0 |SZ=.}} |Fixiere ein Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=.}} Sei {{ Relationskette |h | \in | {{ideala|}} \cdot {{idealb|}} || || || |SZ= }} und schreibe {{ Relationskette | h || \sum_{i {{=|}} 1}^k f_ig_i || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | f_i | \in | {{ideala|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | g_i | \in | {{idealb|}} || || || |SZ=. }} Dann ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Hauptdivisor/Erste Eigenschaften/Fakt |SZ= }} {{ Relationskette/display/druckalign | {{op:Hauptdivisor| h |}} | \geq | \operatorname{min} \{ {{op:Hauptdivisor|f_ig_i |}} : i{{=|}}1 {{kommadots|}} k \} | \geq | \operatorname{min} \{ {{op:Hauptdivisor|f_i |}} + {{op:Hauptdivisor|g_i |}} : i {{=|}} 1 {{kommadots|}} k \} | \geq | {{op:Divisor zu Ideal| {{ideala|}} |}} + {{op:Divisor zu Ideal| {{idealb|}} |}} |SZ=. }} Für die Umkehrung schreiben wir {{ mathkor|term1= {{op:Divisor zu Ideal| {{ideala|}} |}} = \sum_{{idealq}} n_{{idealq}} \cdot {{idealq|}} |und|term2= {{op:Divisor zu Ideal| {{idealb|}} |}} = \sum_{{idealq}} m_{{idealq}} \cdot {{idealq|}} |SZ=. }} Zu fixiertem {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} gibt es ein {{ Relationskette | f | \in | {{ideala}} || || || |SZ= }} und ein {{ Relationskette | g | \in | {{idealb}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung| f | {{idealp}} }} || n_{{idealp}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung| g | {{idealp}} }} || m_{{idealp}} || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette | fg | \in | {{ideala}} {{idealb}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Bewertungsordnung|fg| {{idealp}} }} || {{op:Bewertungsordnung| f | {{idealp}} }} + {{op:Bewertungsordnung| g | {{idealp}} }} || n_{{idealp|}} + m_{{idealp|}} || || |SZ=. }} |Das ist trivial. |Die Abschätzung {{Anführung|term= {{math|term= \geq |SZ=}} |SZ=}} folgt aus {{ Relationskette | {{op:Hauptdivisor| f+g |}} | \geq | {{op:min| {{op:Hauptdivisor| f |}} | {{op:Hauptdivisor| g |}} }} || || || |SZ=. }} Die Abschätzung {{Anführung|term= {{math|term= \leq |SZ=}} |SZ=}} folgt aus Teil (3). }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dmqy2ks7d0japsn84jl26j85wluwguo 0 121163 1106777 1086518 2026-07-12T15:09:44Z Bocardodarapti 2041 1106777 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Der allgemeine Fall folgt aus dem Fall für {{ Relationskette |n || 2 || || || |SZ=, }} sodass wir uns darauf beschränken. Die natürliche Abbildung {{ Abbildung/display |name= | R | R/ {{ideala|}} \times R/{{idealb}} || |SZ= }} hat den Durchschnitt {{mathl|term= {{ideala}} \cap {{idealb}} |SZ=}} als Kern. Dieser stimmt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer Ring/Ideal/Teilerfremd/Durchschnitt und Produkt/Fakt |Nr= |SZ= }} mit dem Produkt {{mathl|term= {{ideala}} \cdot {{idealb}} |SZ=}} überein und wir erhalten einen injektiven Ringhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | R/ {{ideala}} \cdot {{idealb}} | R/ {{ideala|}} \times R/{{idealb}} || |SZ=. }} Es ist also noch die Surjektivität nachzuweisen. Es sei dazu {{mathl|term= (r,s) |SZ=}} rechts gegeben. Es seien {{ Relationskette |a | \in | {{ideala|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |b | \in | {{idealb|}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |a+b || 1 || || || |SZ=. }} Dann ist {{mathl|term= r-ar+s-sb|SZ=}} ein Urbild. Dieses Element wird ja in der ersten Komponente auf {{ Relationskette/display | r-ar+s-sb || r +s -s(1-a) || r+s-s || r || |SZ= }} abgebildet und entsprechend in der zweiten Komponente auf {{math|term= s |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 90ky6c4ea31bxxbxdouqgdfo1m76oe0 0 123956 1106763 1101844 2026-07-12T14:23:22Z Bocardodarapti 2041 1106763 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wenn {{ Relationskette |f | \in | R || || || |SZ= }} eine Einheit ist, so ist {{ Relationskette |fg || 1 || || || |SZ= }} mit einem {{ Relationskette |g | \in | R || || || |SZ= }} und aus {{ Faktlink |Präwort=der|Multiplikativität der Norm|Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} folgt {{ Relationskette/display | N(f) N(g) || N(1) || 1 || || |SZ=, }} woraus nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Norm und Spur/Z/Minimalpolynom/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette |N(f) || \pm 1 || || || |SZ= }} folgt. Die Umkehrung folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt |Nr= |SZ= }} und daraus, dass dann die Multiplikationsabbildung zu {{math|term= f |SZ=}} auf {{ Relationskette |R | \cong|\Z^n || || || |SZ= }} bijektiv ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efhy2pj18t227obnmwt2slrzpty7ig8 0 126008 1106798 1037431 2026-07-13T07:28:56Z Bocardodarapti 2041 1106798 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |Y | \subseteq |\R || || || |SZ= }} eine fixierte Teilmenge. Zeige{{n Sie}}, dass die Menge {{ Relationskette/display | S || {{Mengebed| f:\R \rightarrow \R | f \text{ stetig}|f \text{ besitzt in } Y \text{ keine Nullstelle} }} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |multiplikatives System| |SZ= }} im {{ Definitionslink |Ring der stetigen Funktionen| |SZ= }} auf {{math|term=\R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der multiplikativen Systeme |Kategorie2=Theorie der Ringe von stetigen reellwertigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8istuph9uyk0a3x7wf97q7f9toq9k7o 0 126232 1106750 1103127 2026-07-12T12:35:52Z Bocardodarapti 2041 1106750 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputfaktbeweis |Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt|Satz|| }} Statt von komplexen Einbettungen spricht man auch von komplexen Realisierungen. Man beachte im vorstehenden Satz, dass das Bild von verschiedenen Einbettungen {{ Abbildung/display |name= \rho_i |L| {{CC}} || |SZ= }} der gleiche Unterkörper von {{math|term= {{CC}} |SZ=}} sein kann. Dies gilt bereits für quadratische Erweiterungen wie {{mathl|term= \Q[ {{Imaginäre Einheit}} ] |SZ=.}} Man hat die beiden Einbettungen {{ Abbildung |name=\rho_1, \rho_2 | \Q[{{Imaginäre Einheit}}]|{{CC}} || |SZ=, }} wobei die eine Abbildung {{math|term= {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} auf {{math|term= {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} und die andere {{math|term= {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} auf {{math|term= - {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} schickt. Das Bild ist aber in beiden Fällen gleich. Wenn das Bild einer Einbettung ganz in den reellen Zahlen liegt, so spricht man auch von einer {{Stichwort|reellen Einbettung|msw=reelle Einbettung|SZ=.}} Die Anzahl der reellen Einbettungen und die Anzahl der imaginären Einbettungen spielt eine wichtige Rolle in der algebraischen Zahlentheorie. Zu einem Element {{ Relationskette |z | \in|L || || || |SZ= }} nennt man die verschiedenen komplexen Zahlen {{ Math/display|term= z_1=\rho_1(z) {{kommadots|}} z_n= \rho_n(z) |SZ= }} zueinander konjugiert. Diese sind allesamt Nullstellen eines irreduziblen Polynoms {{math|term= F |SZ=}} mit rationalen Koeffizienten vom Grad {{math|term= n |SZ=.}} {{inputfaktbeweis |Endliche Körpererweiterung von Q/Minimalpolynom aus konjugierten Elementen/Fakt|Lemma| }} {{inputfaktbeweis |Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt|Lemma|}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Die Norm bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2ngfxpgjxhnv7uit6z766h2b8awv0ub 0 126253 1106752 1103448 2026-07-12T12:43:58Z Bocardodarapti 2041 1106752 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Endliche Körpererweiterung/Elemente/Diskriminante/Definition|}} Die Produkte {{ mathbed|term= b_i b_j ||bedterm1= 1 \leq i,j \leq n ||bedterm2= |SZ=, }} sind dabei Elemente in {{math|term= L |SZ=,}} von denen man jeweils die Spur nimmt, die in {{math|term= K |SZ=}} liegt. Man erhält also eine quadratische {{mathl|term= n \times n |SZ=-}}Matrix über {{math|term= K |SZ=.}} Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im Folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante spezieller Basen interessiert sein, sodass sich die Diskriminante als Invariante eines Zahlkörpers erweist. Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt. {{inputfaktbeweis |Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt|Lemma||ref1={{math|term= |SZ=}} }} Bei einer endlichen Körpererweiterung {{ Relationskette |K | \subseteq|L || || || |SZ= }} in Charakteristik null ist die Spurabbildung {{ Abbildung |name= |L|K || |SZ= }} nicht die Nullabbildung, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Spur eines Elementes/Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |SZ=. }} Daraus ergibt sich auch das folgende Resultat. {{inputfakt |Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Separabel/Nicht null bei Basis/Fakt|Lemma||}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Die Diskriminante bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bl8df9yyc44ju34uk9ktmobstadckwf 0 126693 1106791 1087759 2026-07-13T06:54:15Z Bocardodarapti 2041 1106791 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Refname= |SZ= }} und es sei {{ Relationskette | S | \subseteq | R || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | 0 | \notin | S || || || |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |multiplikatives System| |Kontext=| |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Nenneraufnahme| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R_S |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann liegt ein {{ Definitionslink |exakter Komplex| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= 1 \longrightarrow {{op:Einheiten| R |}} \longrightarrow {{op:Einheiten|R_S|}} \longrightarrow \Z^{ ( {{Mengebed| {{idealp|}} | {{idealp|}} \cap S \neq \emptyset }} ) }\longrightarrow {{op:Divisorenklassengruppe| R |}} \longrightarrow {{op:Divisorenklassengruppe|R_S|}} \longrightarrow 0 |SZ= }} vor. |Zusatz= Dabei ordnet die dritte Abbildung einer Einheit {{ Relationskette | f | \in | {{op:Einheiten|R_S|}} || || || |SZ= }} die Einschrän{{drucktrenn}}kung des {{ Definitionslink |Hauptdivisors| |Kontext=Dedekindbereich| |SZ= }} auf die angegebene Primidealmenge zu. Die vierte Abbildung ordnet einem Divisor {{mathl|term= \sum_{ {{idealp}} \cap S \neq \emptyset} n_{{idealp|}} {{idealp|}} |SZ=}} die zugehörige Klasse in {{math|term= {{op:Divisorenklassengruppe| R |}} |SZ=}} zu. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (Dedekindbereich) |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Divisorenklassengruppe bei Nenneraufnahme |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jkfrusr1dvu7euuzk451rl9h5crp5if 0 126704 1106778 1102659 2026-07-12T15:20:45Z Bocardodarapti 2041 1106778 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Menge der effektiven Divisoren zu einem {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ= }} bilden mit der natürlichen Addition ein kommutatives Monoid, aber keine Gruppe, da ja die Koeffizienten {{math|term= n_{{idealp}} |SZ=}} alle nichtnegativ sind. Lässt man auch negative ganze Zahlen zu, so gelangt man zum Begriff des Divisors, die eine Gruppe bilden. Auch den Begriff des Hauptdivisors kann man so erweitern, dass er nicht nur für ganze Elemente aus {{math|term= R |SZ=,}} sondern auch für rationale Elemente, also Elemente aus dem Quotientenkörper {{mathl|term= Q(R) |SZ=,}} definiert ist. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Divisor/Definition|}} Für einen diskreten Bewertungsring {{math|term= R |SZ=}} lässt sich die Ordnung {{ Abbildung |name=\operatorname{ord} | R \setminus \{0\} | \N | q | \operatorname{ord}(q) |SZ=, }} zu einer Ordnungsfunktion auf dem Quotientenkörper fortsetzen, {{ Abbildung/display |name=\operatorname{ord} | Q(R) \setminus \{0\} | \Z | q | \operatorname{ord}(q) |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Diskreter Bewertungsring/Ordnung/Fortsetzung auf Quotientenkörper/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} wobei sich die Eigenschaften von {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Ordnungsfunktion/Erste Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} hierher übertragen. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition|}} Wenn man die rationale Funktion {{ Relationskette | q | \in| Q(R) || || || |SZ= }} als {{ Relationskette | q || {{op:Bruch|f|g}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | f,g | \in| R || || || |SZ= }} ansetzt, so gilt {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor|q|}} || {{op:Hauptdivisor|f|}} - {{op:Hauptdivisor|g|}} || || || |SZ=, }} da dies punktweise an jedem Primideal gilt. Bei {{ Relationskette/display | {{op:Bewertungsordnung|q| {{idealp|}} }} |<| 0 || || || |SZ= }} sagt man auch, dass {{math|term= q |SZ=}} einen {{Stichwort|Pol |SZ=}} an der Stelle {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} besitzt, und zwar mit der Polordnung {{mathl|term= - {{op:Bewertungsordnung|q| {{idealp|}} }} |SZ=.}} Die Menge der Divisoren bildet eine additive kommutative freie Gruppe, die wir mit {{mathl|term= {{op:Divisorengruppe|R|}} |SZ=}} bezeichnen. {{ inputfaktbeweisverweis |Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Es liegt also insbesondere ein Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Einheiten(|Q(R)|}} | {{op:Divisorengruppe|R|}} | q | {{op:Hauptdivisor|q|}} |SZ=, }} vor. Das Bild unter diesem Gruppenhomomorphismus ist die Untergruppe der Hauptdivisoren, die wir mit {{math|term= H |SZ=}} bezeichnen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} be298tot3xmqkqx8ijr1hgfg2elt3r8 1106794 1106778 2026-07-13T07:09:52Z Bocardodarapti 2041 1106794 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Menge der effektiven Divisoren zu einem {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ= }} bilden mit der natürlichen Addition ein kommutatives Monoid, aber keine Gruppe, da ja die Koeffizienten {{math|term= n_{{idealp}} |SZ=}} alle nichtnegativ sind. Lässt man auch negative ganze Zahlen zu, so gelangt man zum Begriff des Divisors; die Divisoren bilden eine Gruppe. Auch den Begriff des Hauptdivisors kann man so erweitern, dass er nicht nur für ganze Elemente aus {{math|term= R |SZ=,}} sondern auch für rationale Elemente, also Elemente aus dem Quotientenkörper {{mathl|term= Q(R) |SZ=,}} definiert ist. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Divisor/Definition|}} Für einen diskreten Bewertungsring {{math|term= R |SZ=}} lässt sich die Ordnung {{ Abbildung |name=\operatorname{ord} | R \setminus \{0\} | \N | q | \operatorname{ord}(q) |SZ=, }} zu einer Ordnungsfunktion auf dem Quotientenkörper fortsetzen, {{ Abbildung/display |name=\operatorname{ord} | Q(R) \setminus \{0\} | \Z | q | \operatorname{ord}(q) |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Diskreter Bewertungsring/Ordnung/Fortsetzung auf Quotientenkörper/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} wobei sich die Eigenschaften von {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Ordnungsfunktion/Erste Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} hierher übertragen. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition|}} Wenn man die rationale Funktion {{ Relationskette | q | \in| Q(R) || || || |SZ= }} als {{ Relationskette | q || {{op:Bruch|f|g}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | f,g | \in| R || || || |SZ= }} ansetzt, so gilt {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor|q|}} || {{op:Hauptdivisor|f|}} - {{op:Hauptdivisor|g|}} || || || |SZ=, }} da dies punktweise an jedem Primideal gilt. Bei {{ Relationskette/display | {{op:Bewertungsordnung|q| {{idealp|}} }} |<| 0 || || || |SZ= }} sagt man auch, dass {{math|term= q |SZ=}} einen {{Stichwort|Pol |SZ=}} an der Stelle {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} besitzt, und zwar mit der Polordnung {{mathl|term= - {{op:Bewertungsordnung|q| {{idealp|}} }} |SZ=.}} Die Menge der Divisoren bildet eine additive kommutative freie Gruppe, die wir mit {{mathl|term= {{op:Divisorengruppe|R|}} |SZ=}} bezeichnen. {{ inputfaktbeweisverweis |Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Es liegt also insbesondere ein Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Einheiten(|Q(R)|}} | {{op:Divisorengruppe|R|}} | q | {{op:Hauptdivisor|q|}} |SZ=, }} vor. Das Bild unter diesem Gruppenhomomorphismus ist die Untergruppe der Hauptdivisoren, die wir mit {{math|term= H |SZ=}} bezeichnen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} btnqgsvh63bag38rdchmo6513hfme99 1106796 1106794 2026-07-13T07:15:56Z Bocardodarapti 2041 1106796 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Menge der effektiven Divisoren zu einem {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ= }} bildet mit der natürlichen Addition ein kommutatives Monoid, aber keine Gruppe, da ja die Koeffizienten {{math|term= n_{{idealp}} |SZ=}} alle nichtnegativ sind. Lässt man auch negative ganze Zahlen zu, so gelangt man zum Begriff des Divisors; die Divisoren bilden eine Gruppe. Auch den Begriff des Hauptdivisors kann man so erweitern, dass er nicht nur für ganze Elemente aus {{math|term= R |SZ=,}} sondern auch für rationale Elemente, also Elemente aus dem Quotientenkörper {{mathl|term= Q(R) |SZ=,}} definiert ist. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Divisor/Definition|}} Für einen diskreten Bewertungsring {{math|term= R |SZ=}} lässt sich die Ordnung {{ Abbildung |name=\operatorname{ord} | R \setminus \{0\} | \N | q | \operatorname{ord}(q) |SZ=, }} zu einer Ordnungsfunktion auf dem Quotientenkörper fortsetzen, {{ Abbildung/display |name=\operatorname{ord} | Q(R) \setminus \{0\} | \Z | q | \operatorname{ord}(q) |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Diskreter Bewertungsring/Ordnung/Fortsetzung auf Quotientenkörper/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} wobei sich die Eigenschaften von {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Ordnungsfunktion/Erste Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} hierher übertragen. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition|}} Wenn man die rationale Funktion {{ Relationskette | q | \in| Q(R) || || || |SZ= }} als {{ Relationskette | q || {{op:Bruch|f|g}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | f,g | \in| R || || || |SZ= }} ansetzt, so gilt {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor|q|}} || {{op:Hauptdivisor|f|}} - {{op:Hauptdivisor|g|}} || || || |SZ=, }} da dies punktweise an jedem Primideal gilt. 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Das Bild unter diesem Gruppenhomomorphismus ist die Untergruppe der Hauptdivisoren, die wir mit {{math|term= H |SZ=}} bezeichnen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2aahu8bgqk5swsthwp0f3j5mz23d5o0 0 126730 1106774 1100206 2026-07-12T14:54:03Z Bocardodarapti 2041 1106774 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} zu {{ Relationskette | D || -5 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | R || A_{-5} || \Z[ \sqrt{-5}] || \Z[X]/(X^2+5) || |SZ=, }} das {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{idealp|}} || (2, 1+ \sqrt{-5}) || || || |SZ=. }} Nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Kein Hauptideal/Beispiel |Nr= |SZ= }} ist dies kein {{ Definitionslink |Hauptideal| |Kontext=| |SZ=. }} Wir wollen die Hauptdivisoren zu den beiden Idealerzeugern {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 1 + \sqrt{-5} |SZ= }} berechnen. Der erste Schritt ist dabei, die Primideale oberhalb dieser Elemente zu bestimmen, was am einfachsten durch eine Restklassenbetrachtung geschieht. Der Restklassenring modulo {{math|term= 2 |SZ=}} ist {{ Relationskette/display/druckalign | R/(2) || \Z[X]/ {{makl| X^2+5,2 |}} || {{op:Zmod| 2 |}} [X]/ {{makl| X^2+5 |}} || {{op:Zmod| 2 |}} [X]/ {{makl| X^2+1 |}} || {{op:Zmod| 2 |}} [X]/(X+1)^2 |SZ=. }} Dies ist ein {{ Definitionslink |nichtreduzierter Ring| |Kontext=| |SZ= }} mit nur einem maximalen Ideal. In der Lokalisierung {{math|term= R_{(2,1+\sqrt{-5} ) } |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | 2 || {{op:Bruch| 1 | {{makl| -2 + \sqrt{-5} |}} }} {{makl| 1+\sqrt{-5} |}}^2 || || || |SZ=, }} was zeigt, dass {{math|term= 1+\sqrt{-5} |SZ=}} dort ein Erzeuger des maximalen Ideals ist und dass die Ordnung von {{math|term= 2 |SZ=}} dort gleich {{math|term= 2 |SZ=}} ist. Deshalb gilt {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor| 2 |}} || 2 {{idealp|}} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display |R/(1+ \sqrt{-5}) || \Z [X]/ {{makl| X^2+5, 1+X |}} || {{op:Zmod| 6 |}} || {{op:Zmod| 2 |}} \times {{op:Zmod| 3 |}} || |SZ= }} ist {{mathl|term= 1+ \sqrt{-5} |SZ=}} auch noch im Primideal {{ Relationskette | {{idealq|}} || (3,1+ \sqrt{-5}) || || || |SZ= }} enthalten und besitzt dort ebenfalls die Ordnung {{math|term= 1 |SZ=.}} Daher ist {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor| 1+ \sqrt{-5}|}} || {{idealp|}} + {{idealq|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Hauptdivisoren (Zahlbereich) |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t6dl7d5x7rsyeeu9ngcmkeersddehzk 0 161590 1106765 1033524 2026-07-12T14:26:58Z Bocardodarapti 2041 1106765 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition|}} Wir wollen zeigen, dass zu einem Zahlbereich {{math|term= R |SZ=}} die Lokalisierung an jedem Primideal ein diskreter Bewertungsring ist. {{ inputfaktbeweis |Diskreter Bewertungsring/Erste Eigenschaften/Fakt|Lemma||}} {{inputdefinition |Diskreter Bewertungsring/Ordnung/Definition|}} Die Ordnung ist also nichts anderes als der Exponent zum {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Assoziiertheit| |ISZ=|ESZ= }} einzigen Primelement in der Primfaktorzerlegung. Sie hat folgende Eigenschaften. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Diskreter Bewertungsring/Ordnungsfunktion/Erste Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} Wir wollen eine wichtige Charakterisierung für diskrete Bewertungsringe beweisen, die insbesondere beinhaltet, dass ein normaler lokaler Integritätsbereich mit genau zwei Primidealen bereits ein diskreter Bewertungsring ist. Dazu benötigen wir einige Vorbereitungen. {{ inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/f nicht nilpotent/Existenz von Primidealen/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/Noethersch lokal nulldimensional/Potenz ist null/Fakt|Lemma||| }} {{ inputfaktbeweis |Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt|Satz|||optlink1=/link2 }} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt|Korollar|||optlink1=/link2 }} {{ inputbemerkung |Zahlbereich/Lokale Primfaktorzerlegung/Bemerkung|||| }} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Durchschnitt von diskreten Bewertungsringen/Fakt|Korollar|||| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} ed2brgtil7e7zjgscxku52wgzoplzjt 0 164244 1106800 1007361 2026-07-13T07:39:52Z Arbota 36910 Ersetzung 1106800 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Kommutativer Ring/Situation|SZ=,}} {{math|term= V |SZ=}} und {{math|term= W |SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{ Relationskette |n |\in|\N || || || |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |multilineare Abbildung| |Kontext=Ring| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \Phi |V^n {{=|}} \underbrace{V {{timesdots|}} V}_{n\text{-mal} } |W || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|alternierend|SZ=,}} wenn Folgendes gilt: Falls in {{ Relationskette | v || {{op:Zeilenvektor1n|v}} || || || |SZ= }} zwei Einträge übereinstimmen, also {{ Relationskette | v_i || v_j || || || |SZ= }} für ein Paar {{ Relationskette | i |\neq| j || || || |SZ=, }} so ist {{ Relationskette/display | \Phi (v) || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der alternierenden Abbildungen (kommutativer Ring) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Alternierende Abbildung |Definitionswort2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 90g70p3honyh3j3qxv43n2goyy81a8s 10 168477 1106793 1068491 2026-07-13T07:05:34Z Bocardodarapti 2041 1106793 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=<br />\mavergleichskettealigndrucklinks<br />{\vergleichskettealigndrucklinks<br />{{{{1|}}}}<br />{ {{#if:{{{2|}}}|{{{2|}}}|=}}} {{{{3|}}}}<br />{ {{#if:{{{5|}}}|{{#if:{{{4|}}}|{{{4|}}}|=}}|}}} {{{{5|}}}}<br />{ {{#if:{{{7|}}}|{{#if:{{{6|}}}|{{{6|}}}|=}}|}}} {{{{7|}}}}<br />{ {{#if:{{{9|}}}|{{#if:{{{8|}}}|{{{8|}}}|=}}|}}} {{{{9|}}}}<br />} {{#if:{{{11|}}}|{<br />\vergleichskettefortsetzungalign<br />{ {{#if:{{{10|}}}|{{{10|}}}|=}}} {{{{11|}}}}<br />{ {{#if:{{{13|}}}|{{#if:{{{12|}}}|{{{12|}}}|=}}|}}} {{{{13|}}}}<br />{ {{#if:{{{15|}}}|{{#if:{{{14|}}}|{{{14|}}}|=}}|}}} {{{{15|}}}}<br />{ {{#if:{{{17|}}}|{{#if:{{{16|}}}|{{{16|}}}|=}}|}}} {{{{17|}}}}<br />}{}{{{{SZ|}}}}|{}{}{{{{SZ|}}}} }} |wikicode=<br><nowiki>::<math></nowiki><span style="white-space:nowrap">{{#if:trim|<nowiki />{{{1|}}}|}} {{#if:trim|<nowiki />{{#if:{{{2|}}}|{{{2|}}}|=}}|}} {{#if:trim|<nowiki/>{{{3|}}}|}}{{#if:{{{5|}}}| {{#if:trim|<nowiki />{{#if:{{{4|}}}|{{{4|}}}|=}}|}} {{#if:trim|<nowiki/>{{{5|}}}|}}|}}{{#if:{{{7|}}}|{{#if:trim|<nowiki />{{#if:{{{6|}}}|{{{6|}}}|=}}|}} {{#if:trim|<nowiki/>{{{7|}}}|}}|}}{{#if:{{{9|}}}|{{#if:trim|<nowiki />{{#if:{{{8|}}}|{{{8|}}}|=}}|}} {{#if:trim|<nowiki/>{{{9|}}}|}}|}}{{#if:{{{11|}}}|{{#if:trim|<nowiki />{{#if:{{{10|}}}|{{{10|}}}|=}}|}} {{#if:trim|<nowiki/>{{{11|}}}|}}|}}{{#if:{{{13|}}}|{{#if:trim|<nowiki />{{#if:{{{12|}}}|{{{12|}}}|=}}|}} {{#if:trim|<nowiki/>{{{13|}}}|}}|}}{{#if:{{{15|}}}|{{#if:trim|<nowiki />{{#if:{{{14|}}}|{{{14|}}}|=}}|}} {{#if:trim|<nowiki/>{{{15|}}}|}}|}}{{#if:{{{17|}}}|{{#if:trim|<nowiki />{{#if:{{{16|}}}|{{{16|}}}|=}}|}} {{#if:trim|<nowiki/>{{{17|}}}|}}|}}{{{SZ|}}}</span><nowiki></math></nowiki><br> |#default= <dl><dd> {{#tag:math|{{}} {{{term|{{{1|}}} {{#if:{{{2|}}}|{{{2|}}}|=}} {{{3|}}} {{#if:{{{5|}}}|{{#if:{{{4|}}}|{{{4|}}}|=}} {{{5|}}}}} {{#if:{{{7|}}}|{{#if:{{{6|}}}|{{{6|}}}|=}} {{{7|}}}}} {{#if:{{{9|}}}|{{#if:{{{8|}}}|{{{8|}}}|=}} {{{9|}}}}} {{#if:{{{11|}}}|{{#if:{{{10|}}}|{{{10|}}}|=}} {{{11|}}}}} {{#if:{{{13|}}}|{{#if:{{{12|}}}|{{{12|}}}|=}} {{{13|}}}}} {{#if:{{{15|}}}|{{#if:{{{14|}}}|{{{14|}}}|=}} {{{15|}}}}} {{#if:{{{17|}}}|{{#if:{{{16|}}}|{{{16|}}}|=}} {{{17|}}}}} {{#if:{{{19|}}}|{{#if:{{{18|}}}|{{{18|}}}|=}} {{{19|}}}}} {{#if:{{{21|}}}|{{#if:{{{20|}}}|{{{20|}}}|=}} {{{21|}}}}} }}} \, {{{SZ|}}} }}</dd></dl> }}</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Materialien zur Mathematik/Strukturvorlagen|Vergleichskette]]</noinclude> 3bz46cebwre0bge5zok8yrn8vdlwptc 106 168616 1106802 1075079 2026-07-13T11:14:00Z Bocardodarapti 2041 1106802 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|Relationen}} {{:Relation/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputbild |Relation binaire|png|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Relation_binaire |Text= |Autor= |Benutzer=HB |Domäne=fr. Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|Relationen und Abbildungen}} {{:Relationen/Eigenschaften/Abbildungen/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Relationen auf einer Menge}} {{:Relation/Eine Menge/Motivation/Bemerkung}} {{:Menge/Relation/Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Relationserhaltende Abbildungen}} {{ inputdefinition |Menge/Relation/Relationstreue Abbildung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengen/Relation/Isomorphismus/Definition|| }} }} 91gu4kdyqfwfoqby4ksi9jo0u0uf8i7 106 168618 1106804 1073529 2026-07-13T11:20:33Z Bocardodarapti 2041 1106804 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|8| In dieser Vorlesung besprechen wir die Teilbarkeitsrelation innerhalb der natürlichen und der ganzen Zahlen genauer. Dies ist einerseits eine wichtige Ordnungsrelation, die darüber hinaus eng mit der additiven und der multiplikativen Struktur der ganzen Zahlen verbunden ist. Insbesondere werden wir die Untergruppen der ganzen Zahlen charakterisieren, was wiederum eine wichtige Voraussetzung für die Konstruktion von endlichen Ringen und Körpern in der zwölften Vorlesung ist, und wir werden die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in {{math|term= \Z |SZ=}} beweisen. Ferner führen die Überlegungen zum euklidischen Algorithmus. {{Zwischenüberschrift|Das Lemma von Bézout}} {{:Lemma von Bézout/Z/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=weiter unten| |ISZ=|ESZ= }}}} {{Zwischenüberschrift|Die Untergruppen von {{math|term= \Z |SZ=}}}} Die Division mit Rest für ganze Zahlen ist analog zur Polynomdivision. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Division mit Rest/Z/Fakt|Satz|| }} Wie im eingangs gegebenen Beispiel kann man sich eine Menge {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} von ganzen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=Eimergrößen| |ISZ=|ESZ= }} vorgeben und sich fragen, welche Zahlen man daraus mit Hilfe von ganzzahligen Koeffizienten bilden kann {{ Zusatz/Klammer |text=welche Wassermengen man transportieren kann| |ISZ=|ESZ=. }} Es geht also um die Menge aller Zahlen der Form {{ Math/display|term= n_1a_1 {{plusdots|}} n_ka_k \text{ mit } n_j \in \Z |SZ=. }} Diese Gesamtmenge bildet eine Untergruppe von {{math|term= \Z |SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Z/Erzeuger/Untergruppe/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} man spricht von der von den {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} {{Stichwort|erzeugten Untergruppe|msw=Erzeugte Untergruppe|SZ=}} von {{math|term= \Z |SZ=.}} Statt Eimern kann man sich auch eine Menge von ganzzahligen Pfeilen, die man hintereinanderlegen und umdrehen kann, vorstellen, oder eine vorgegebene Menge an Sprungmöglichkeiten, oder eine Menge an Gewichten. Der folgende Satz heißt auch {{Anführung|Ein-Eimer-Satz|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt|Korollar|| }} Dies besagt insbesondere, dass es stets einen größten gemeinsamen Teiler gibt. Im teilerfremden Fall bedeutet es, dass es eine Darstellung der {{math|term= 1 |SZ=}} als ganzzahlige Linearkombination der {{math|term= a_i |SZ=}} gibt. {{Zwischenüberschrift|Der Euklidische Algorithmus}} Der euklidische Algorithmus dient dazu, zu gegebenen Zahlen {{math|term= a,b |SZ=}} ihren größ{{drucktrenn}}ten gemeinsamen Teiler zu bestimmen, und eine Darstellung dieses größten gemeinsamen Teilers als eine Linearkombination der {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} explizit zu finden. {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Darstellung des größten gemeinsamen Teilers}} {{:Euklidischer Algorithmus/Z/Darstellung des ggT/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler}} Zu einer ganzen Zahl {{math|term= a |SZ=}} besteht {{math|term= \Z a |SZ=}} aus allen Vielfachen von {{math|term= a |SZ=.}} Zu zwei Zahlen {{math|term= a,b |SZ=}} besteht somit der Durchschnitt {{mathl|term= \Z a \cap \Z b |SZ=}} aus allen Zahlen, die sowohl von {{math|term= a |SZ=}} als auch von {{math|term= b |SZ=}} Vielfache sind, also aus allen gemeinsamen Vielfachen von {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ=. }} In der Tat gilt die folgende Aussage. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma|| }} Für ganze Zahlen setzen wird den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache stets positiv an, um Eindeutigkeit zu erzielen. Grundsätzlich hat jeweils das Negative dazu die gleichen Eigenschaften. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt|Lemma|| }} Der Teil (4) der vorstehenden Aussage erlaubt es, das kleinste gemeinsame Vielfache zu zwei Zahlen algorithmisch dadurch zu bestimmen, dass man ihren größten gemeinsamen Teiler mit Hilfe des euklidischen Algorithmus bestimmt und das Produkt durch diesen teilt. {{Zwischenüberschrift|Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie}} Wir möchten nun zur Primfaktorzerlegung, deren Existenz wir bereits in {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt |Nr= |SZ= }} gezeigt haben, beweisen, dass sie eindeutig ist. Natürlich kann man {{ Relationskette/display | 12 || 3 \cdot 2 \cdot 2 || 2 \cdot 3 \cdot 2 || 2 \cdot 2 \cdot 3 || |SZ= }} schreiben, mit eindeutig ist also eindeutig bis auf die Reihenfolge gemeint. Um dies zu zeigen brauchen wir zunächst das sogenannte {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=,}} das eine wichtige Eigenschaft einer Primzahl beschreibt. {{ inputfaktbeweis3 |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz|| }} Aus dem Lemma von Euklid folgt sofort die etwas stärkere Aussage: Wenn eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} ein beliebiges Produkt {{mathl|term= a_1 a_2 {{cdots|}} a_n |SZ=}} teilt, dann teilt {{math|term= p|SZ=}} mindestens einen Faktor. Man wendet das Lemma einfach auf {{mathl|term= (a_1 a_2 {{cdots|}} a_{n-1}) \cdot a_n |SZ=}} an {{ Zusatz/Klammer |text=formal ist das eine Induktion über die Anzahl der Faktoren| |ISZ=|ESZ=. }} Dies wird im Beweis des folgenden {{Stichwort|Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie|msw=Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie|SZ=}} verwendet. {{ inputfaktbeweis3 |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz|| }} In der {{Stichwort|kanonischen Primfaktorzerlegung|msw=Kanonische Primfaktorzerlegung|SZ=}} schreibt man die beteiligten Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge mit ihrem jeweiligen Exponenten, also beispielsweise {{ Relationskette/display | 840 || 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 || || || |SZ=. }} {{Fußnotenliste}} }} fcn4dhasvnoc896pictoafwf86lojfe 106 168843 1106795 1079388 2026-07-13T07:11:54Z Bocardodarapti 2041 1106795 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|13| {{Zwischenüberschrift|Divisoren}} {{:Dedekindbereich/Divisoren/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Gebrochene Ideale}} In {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt |Nr= |SZ= }} haben wir eine Bijektion zwischen effektiven Divisoren und von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Idealen {{ Zusatz/Klammer |text=und von effektiven Hauptdivisoren mit von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Hauptidealen| |ISZ=|ESZ= }} gestiftet. Von daher liegt die Frage nahe, welche {{Anführung|Ideal-ähnlichen}} Objekte den Divisoren entsprechen. Wir wollen also wissen, durch welche Objekte wir das Fragezeichen im folgenden Diagramm ersetzen müssen. {{Kommutatives Quadrat/ru| \operatorname{Ideale}(R) |abb12= \sim | {{op:Effektive Divisoren|R|}} | ? |abb34= \sim | {{op:Divisorengruppe|R|}} }} Da wir einen Divisor {{math|term= D |SZ=}} stets als {{ Relationskette | D || E-F || || || |SZ= }} mit effektiven Divisoren {{math|term= E |SZ=}} und {{math|term= F |SZ=}} schreiben können, liegt die Vermutung nahe, nach etwas wie dem Inversen {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der Multiplikation| |ISZ=|ESZ= }} eines Ideals zu suchen. Im Fall eines faktoriellen Dedekindbereichs entsprechen sich {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf die Einheiten| |ISZ=|ESZ= }} Elemente und Hauptdivisoren, und zwar sowohl auf der Ringebene {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Dedekindbereich/Faktoriell/Hauptdivisor/Bemerkung |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} als auch auf der Ebene des Quotientenkörpers. Zu einer rationalen Funktion {{math|term= q |SZ=}} bzw. dem Hauptdivisor {{mathl|term= {{op:Hauptdivisor|q|}} |SZ=}} gehört in diesem Fall einfach der von {{math|term= q |SZ=}} erzeugte {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermodul| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= q R |SZ=}} des Quotientenkörpers {{math|term= Q(R) |SZ=.}} Im Fall der rationalen Zahlen sind dies Untergruppen der Form {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10}} \Z |SZ=}} oder {{mathl|term= {{op:Bruch|7|3}} \Z |SZ=.}} Für allgemeine Integritätsbereiche führt man ganz allgemein die sogenannten gebrochenen Ideale ein. {{:Integritätsbereich/Gebrochenes Ideal/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist bei {{math|term= R |SZ=}} noethersch natürlich automatisch erfüllt| |ISZ=.|ESZ= }}}} In einem beliebigen Integritätsbereich bilden die gebrochenen Ideale {{math|term= \neq 0 |SZ=}} keine Gruppe. Für stärkere Aussagen müssen wir jetzt wieder voraussetzen, dass {{math|term= R |SZ=}} ein Dedekindbereich ist. {{:Dedekindbereich/Gebrochene Ideale/Bezug zu Divisoren/Korrespondenz/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} 5f3undyuyq11tbnwrev86xhgyiaqxhj 106 168845 1106792 1093772 2026-07-13T07:02:40Z Bocardodarapti 2041 1106792 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Normalitätskriterien}} Es ist im Allgemeinen schwierig, den ganzen Abschluss von {{math|term= \Z |SZ=,}} also den Zahlbereich, in einer endlichen Körpererweiterung {{ Relationskette | \Q | \subseteq | L || || || |SZ= }} zu bestimmen bzw. eine vorliegende Ringerweiterung {{ Relationskette/display | \Z | \subseteq | S || \Z[X_1 {{kommadots|}} X_m ]/ {{makl| F_1 {{kommadots|}} F_n |}} | \subseteq | L || |SZ= }} als normal nachzuweisen. Es handelt es sich aber um ein lokales Problem, d.h. {{math|term= S |SZ=}} ist genau dann normal, wenn {{math|term= S_{{idealp}} |SZ=}} für jedes Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} normal ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn für jede Primzahl {{math|term= p |SZ=}} die Nenneraufnahme {{mathl|term= S_{\Z \setminus \Z p }|SZ=}} normal ist, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Integritätsbereich/Normal/Lokale Eigenschaft/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Endliche Erweiterung/Z/Normal/Nenneraufnahme zu Faser/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Dies erlaubt den Übergang zu einem diskreten Bewertungsring als Basisring {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= \Z_{(p)} |SZ=}} statt {{math|term= \Z |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} was oft die Gleichungsbeschreibung vereinfacht und was es erlaubt, Eigenschaften der Faserringe {{math|term= S/pS |SZ=}} besser zu verarbeiten. Das typische Verhalten ist, dass sich die Ringe {{mathl|term= S_{\Z \setminus \Z p } |SZ=}} bis auf endliche viele Primzahlen direkt als normal erweisen, und dass man einen Teil der verbleibenden Ringe über Eigenschaften der Fasern erledigen kann, einen anderen Teil aber auch nicht. {{:Endliche Erweiterung/Z/Normalitätskriterien/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Monogene Algebren}} {{:Kommutative Algebra/Monogen/Zahlbereich/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Endliche separable Erweiterung/Generisch monogen/Fakt|Lemma|| }} }} lngk2yxnu30mehkr793dvu8llu6zj9z 0 169073 1106803 1106667 2026-07-13T11:20:13Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Lemma von Bezout/Z/Einführung/Textabschnitt]] nach [[Lemma von Bézout/Z/Einführung/Textabschnitt]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1106667 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Kielcanal|PNG| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Grunners |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Zille vorichte|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Zille_vorichte |Text= |Autor=Heinrich Zille |Benutzer=Hendrike |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} Die dieser Überlegung zugrunde liegende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} {{ inputfaktbeweishier |Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz||Beweistext=Dies ergibt sich{{{zusatz1|}}} als Korollar zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt |Nr= |SZ=, }} man kann es aber auch direkt durch Induktion über das Maximum von {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} beweisen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} }} Man sagt auch, dass {{ Relationskette | ra+sb || 1 || || || |SZ= }} eine {{Stichwort|Darstellung|msw=Darstellung der 1|SZ=}} der {{math|term= 1 |SZ=}} als eine {{Stichwort|Linearkombination|SZ=}} der {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} ist. Die {{mathl|term= r,s |SZ=}} heißen {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} der Darstellung. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Das Lemma von Bézout (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} nf70s1yh6fxspa9k5p2v5o205n5f0tq 14 169967 1106808 1075454 2026-07-13T11:22:01Z Bocardodarapti 2041 1106808 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der diophantischen Gleichungen|Linear |Das Lemma von Bézout (Z)|Gleichung |Theorie der linearen Gleichungssysteme (kommutativer Ring)|Z}} nxkwinrwue7yu4onpppce9zpjsxu430 0 170266 1106753 1103439 2026-07-12T13:22:53Z Bocardodarapti 2041 1106753 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Charakterisierung von Idealerzeugung mit Diskriminante/Fakt|Satz|||}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt|Korollar|||}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt|Korollar||}} Ein solches System von Erzeugern {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} nennt man auch eine {{Stichwort|Ganzheitsbasis|SZ=}} von {{math|term= R |SZ=.}} Insbesondere gibt es in einem Zahlbereich stets Ganzheitsbasen. Im Ring der Eisensteinzahlen ist {{math|term= 1, \sqrt{-3} |SZ=}} keine Ganzheitsbasis, {{math|term= 1, {{op:Bruch| -1+ \sqrt{-3} | 2}} |SZ=}} hingegen schon. Es ergibt sich ferner, dass man eine ganzzahlige Multiplikationsmatrix erhält, wenn man als Basis eine Ganzheitsbasis nimmt. Mit dieser kann man insbesondere die Spur und die Norm ausrechnen. {{inputdefinition |Zahlbereich/Diskriminante/Definition|}} Die Diskriminante eines Zahlbereichs {{ Zusatz/Klammer |text=oder eines Zahlkörpers| |ISZ=|ESZ= }} ist eine wohldefinierte ganze Zahl. Nach Definition ist die Diskriminante so gewählt, dass sie betragsmäßig minimal unter allen Diskriminanten zu {{math|term= \Z|SZ=-}}Basen aus {{math|term= R |SZ=}} ist. Zwei solche Diskriminanten unterscheiden sich um ein Quadrat einer Einheit aus {{math|term= \Z |SZ=,}} sodass auch das Vorzeichen wohldefiniert ist. Wir bezeichnen sie mit {{math|term= \triangle_L |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Idealtheorie in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} nry5tgjkru8fbf7yg7ym95vusja05cu 106 171930 1106779 1106357 2026-07-12T17:51:53Z Clara Schug 41691 /* Geometrie-Erstellung */ 1106779 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen xx m x XX m x xx m. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 2m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig mit momentan einer Sekunde als Intervall. Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). rr6sdgcpix2og7wqspxgmbc31t1n07j 1106780 1106779 2026-07-12T17:52:11Z Clara Schug 41691 /* Geometrie-Erstellung */ 1106780 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 20°C). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen xx m x XX m x xx m. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von Xm gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig mit momentan einer Sekunde als Intervall. Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 7htdqmfbbpv0kqbr4g3g55u44j63lbh 1106781 1106780 2026-07-12T17:52:47Z Clara Schug 41691 /* Anfangsbedingung */ 1106781 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen xx m x XX m x xx m. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von Xm gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig mit momentan einer Sekunde als Intervall. Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 1lv5cwdx7xba7brg99xrlvza3sdh3qg 106 171938 1106782 1106088 2026-07-12T20:14:29Z Julius.Stutzenberger 38549 /* Mathematische und physikalische Hintergründe */ 1106782 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger * Lena Erb = Thema = Meerestiere in einer Wasserströmung Betrachtung verschiedene Meerestiere in einer Wasserströmung. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Physikalische Annahmen == === Materialparameter === === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die ganze Thematik beruht auf der Navier-Stokes-Gleichung, welche im 3-Dimensionalen Fall oftmals in folgende Form bekannt und dargestellt ist: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \Delta \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = g72yfr7v2edjby4p690encrdx97sqxl 1106783 1106782 2026-07-12T20:15:20Z Julius.Stutzenberger 38549 /* Mathematische und physikalische Hintergründe */ 1106783 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger * Lena Erb = Thema = Meerestiere in einer Wasserströmung Betrachtung verschiedene Meerestiere in einer Wasserströmung. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Physikalische Annahmen == === Materialparameter === === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die ganze Thematik beruht auf der Navier-Stokes-Gleichung, welche im 3-Dimensionalen Fall oftmals in folgender Form bekannt ist und dargestellt wird: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \Delta \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = ltcd7wj0c6r79rf85e1sn0c6ho97dlz 1106784 1106783 2026-07-12T20:16:16Z Julius.Stutzenberger 38549 /* Physikalische Annahmen */ 1106784 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger * Lena Erb = Thema = Meerestiere in einer Wasserströmung Betrachtung verschiedene Meerestiere in einer Wasserströmung. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Physikalische Annahmen == === Materialparameter === === 2D-Modellierung === '''Simulation in 2D-Geometrie''': * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die ganze Thematik beruht auf der Navier-Stokes-Gleichung, welche im 3-Dimensionalen Fall oftmals in folgender Form bekannt ist und dargestellt wird: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \Delta \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = bvo63v9vkrismpyn6kevzejf39w24sx 1106785 1106784 2026-07-12T20:19:29Z Julius.Stutzenberger 38549 1106785 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger * Lena Erb = Thema = Meerestiere in einer Wasserströmung Betrachtung verschiedene Meerestiere in einer Wasserströmung. =Mathematische und physikalische Hintergründe = ===Navier-Stokes-Gleichungen=== Die ganze Thematik beruht auf der Navier-Stokes-Gleichung, welche im 3-Dimensionalen Fall oftmals in folgender Form bekannt ist und dargestellt wird: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \Delta \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> === Physikalische Annahmen === '''Simulation in 2D-Geometrie''': * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung und Erarbeitung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = qf356ylx0dtvekg2ghwr3o2ikiuvobf 1106786 1106785 2026-07-12T20:50:58Z Julius.Stutzenberger 38549 1106786 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger * Lena Erb = Thema = Meerestiere in einer Wasserströmung Dieses Projekt beschäftigt sich mit der Frage, wie sich Wasser um verschiedene Meerestiere bewegt. Dazu werden verschiedene Tiere, wie eine Forelle, auch Atlantische Forelle genannt und ein Wal betrachtet. =Mathematische und physikalische Hintergründe = ===Navier-Stokes-Gleichungen=== Die ganze Thematik beruht auf der Navier-Stokes-Gleichung, welche im 3-Dimensionalen Fall oftmals in folgender Form bekannt ist und dargestellt wird: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \Delta \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> === Physikalische Annahmen === '''Simulation in 2D-Geometrie''': * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Erarbeitung und Implementierung in Comsol = 2-Dimensionaler Fall Also Modell-Assistent wurde ein 2-dimensonaler Fall genommen, in welchem unter Fluid FLow die laminier Strömung als Basis ausgewählt wurde. Als Grundlage wurden für die räumliche Umgebung der zwei Meerestiere wurden große Rechtecke erstellt, in welchem die Tiere im nachfolgenden implementiert werden. Diese Rechtecke sollen den Querschnitt eines (sehr großen) Flusses simulieren, in welchem sich die Tiere diese aufhalten. Durch hochladen von ausgewählten Umrissbildern einer Forelle und eines Wal's in Comsol und durch Verwendung der ???AUSSCHNEIDEN OPTION konnten direkt realitätsnahe geometrische Figuren der zwei Tierarten im Comsol implementiert werden. Nun erfolgt der Einbau des strömenden Fluids. So wurde als Material für das Rechteck Wasser ausgewählt.</br> Auf der links Seiten des Rechtecks wurde dann der Einlass einer Strömung definiert und auf der Rechten Seite den Ausgang dieser Strömung. Die Tiere befinden sich jeweils im unteren Drittel des simulierten Flusses. Um die Stetigkeit der Flussgeschwindigkeit zu gewähren, ist eine Rampen Funktion nötig. Comsol hat ansonsten Probleme und kann keine Studie durchführen. Dazu wird also eine Rampenfunktin <math>rampe1</math> definiert, welche auf der Seite des Einlasses mit der gewünschten Flussgeschwindigkeit multipliziert wird. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = 5jfiflqfw4oo8tlw8jsdsgrdelz9es0 1106787 1106786 2026-07-12T20:54:51Z Julius.Stutzenberger 38549 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1106787 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger * Lena Erb = Thema = Meerestiere in einer Wasserströmung Dieses Projekt beschäftigt sich mit der Frage, wie sich Wasser um verschiedene Meerestiere bewegt. Dazu werden verschiedene Tiere, wie eine Forelle, auch Atlantische Forelle genannt und ein Wal betrachtet. =Mathematische und physikalische Hintergründe = ===Navier-Stokes-Gleichungen=== Die ganze Thematik beruht auf der Navier-Stokes-Gleichung, welche im 3-Dimensionalen Fall oftmals in folgender Form bekannt ist und dargestellt wird: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \Delta \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{F}}</math> === Physikalische Annahmen === '''Simulation in 2D-Geometrie''': * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Erarbeitung und Implementierung in Comsol = 2-Dimensionaler Fall Also Modell-Assistent wurde ein 2-dimensonaler Fall genommen, in welchem unter Fluid FLow die laminier Strömung als Basis ausgewählt wurde. Als Grundlage wurden für die räumliche Umgebung der zwei Meerestiere wurden große Rechtecke erstellt, in welchem die Tiere im nachfolgenden implementiert werden. Diese Rechtecke sollen den Querschnitt eines (sehr großen) Flusses simulieren, in welchem sich die Tiere diese aufhalten. Durch hochladen von ausgewählten Umrissbildern einer Forelle und eines Wal's in Comsol und durch Verwendung der ???AUSSCHNEIDEN OPTION konnten direkt realitätsnahe geometrische Figuren der zwei Tierarten im Comsol implementiert werden. Nun erfolgt der Einbau des strömenden Fluids. So wurde als Material für das Rechteck Wasser ausgewählt.</br> Auf der links Seiten des Rechtecks wurde dann der Einlass einer Strömung definiert und auf der Rechten Seite den Ausgang dieser Strömung. Die Tiere befinden sich jeweils im unteren Drittel des simulierten Flusses. Um die Stetigkeit der Flussgeschwindigkeit zu gewähren, ist eine Rampen Funktion nötig. Comsol hat ansonsten Probleme und kann keine Studie durchführen. Dazu wird also eine Rampenfunktin <math>rampe1</math> definiert, welche auf der Seite des Einlasses mit der gewünschten Flussgeschwindigkeit multipliziert wird. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = ruiwh6w2fyq6sa38qpoywmkdwbc0psx 1106788 1106787 2026-07-12T20:58:52Z Julius.Stutzenberger 38549 /* Erarbeitung und Implementierung in Comsol */ 1106788 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger * Lena Erb = Thema = Meerestiere in einer Wasserströmung Dieses Projekt beschäftigt sich mit der Frage, wie sich Wasser um verschiedene Meerestiere bewegt. Dazu werden verschiedene Tiere, wie eine Forelle, auch Atlantische Forelle genannt und ein Wal betrachtet. =Mathematische und physikalische Hintergründe = ===Navier-Stokes-Gleichungen=== Die ganze Thematik beruht auf der Navier-Stokes-Gleichung, welche im 3-Dimensionalen Fall oftmals in folgender Form bekannt ist und dargestellt wird: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \Delta \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{F}}</math> === Physikalische Annahmen === '''Simulation in 2D-Geometrie''': * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Erarbeitung und Implementierung in Comsol = 2-Dimensionaler Fall Also Modell-Assistent wurde ein 2-dimensonaler Fall genommen, in welchem unter Fluid FLow die laminier Strömung als Basis ausgewählt wurde. Als Grundlage wurden für die räumliche Umgebung der zwei Meerestiere wurden große Rechtecke erstellt, in welchem die Tiere im nachfolgenden implementiert werden. Diese Rechtecke sollen den Querschnitt eines (sehr großen) Flusses simulieren, in welchem sich die Tiere diese aufhalten. Durch hochladen von ausgewählten Umrissbildern einer Forelle und eines Wal's in Comsol und durch Verwendung der ???AUSSCHNEIDEN OPTION konnten direkt realitätsnahe geometrische Figuren der zwei Tierarten im Comsol implementiert werden. Nun erfolgt der Einbau des strömenden Fluids. So wurde als Material für das Rechteck Wasser ausgewählt.</br> Auf der links Seiten des Rechtecks wurde dann der Einlass einer Strömung definiert und auf der Rechten Seite den Ausgang dieser Strömung. Die Tiere befinden sich jeweils im unteren Drittel des simulierten Flusses. Um die Stetigkeit der Flussgeschwindigkeit zu gewähren, ist eine Rampen Funktion nötig. Comsol hat ansonsten Probleme und kann keine Studie durchführen. Dazu wird also eine Rampenfunktin <math>rampe1</math> definiert, welche auf der Seite des Einlasses mit der gewünschten Flussgeschwindigkeit multipliziert wird. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = n8bb1lfr4bvx7w8yp8fezdbsobwiybq 1106789 1106788 2026-07-12T21:13:47Z Julius.Stutzenberger 38549 /* Erarbeitung und Implementierung in Comsol */ 1106789 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger * Lena Erb = Thema = Meerestiere in einer Wasserströmung Dieses Projekt beschäftigt sich mit der Frage, wie sich Wasser um verschiedene Meerestiere bewegt. Dazu werden verschiedene Tiere, wie eine Forelle, auch Atlantische Forelle genannt und ein Wal betrachtet. =Mathematische und physikalische Hintergründe = ===Navier-Stokes-Gleichungen=== Die ganze Thematik beruht auf der Navier-Stokes-Gleichung, welche im 3-Dimensionalen Fall oftmals in folgender Form bekannt ist und dargestellt wird: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \Delta \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{F}}</math> === Physikalische Annahmen === '''Simulation in 2D-Geometrie''': * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Erarbeitung und Implementierung in Comsol = 2-Dimensionaler Fall Also Modell-Assistent wurde ein 2-dimensonaler Fall genommen, in welchem unter Fluid FLow die laminier Strömung als Basis ausgewählt wurde. Als Grundlage wurden für die räumliche Umgebung der zwei Meerestiere wurden große Rechtecke erstellt, in welchem die Tiere im nachfolgenden implementiert werden. Diese Rechtecke sollen den Querschnitt eines (sehr großen) Flusses simulieren, in welchem sich die Tiere diese aufhalten. Durch hochladen von ausgewählten Umrissbildern einer Forelle und eines Wal's in Comsol und durch Verwendung der ???AUSSCHNEIDEN OPTION konnten direkt realitätsnahe geometrische Figuren der zwei Tierarten im Comsol implementiert werden. Nun erfolgt der Einbau des strömenden Fluids. So wurde als Material für das Rechteck Wasser ausgewählt.</br> Auf der links Seiten des Rechtecks wurde dann der Einlass einer Strömung definiert und auf der Rechten Seite den Ausgang dieser Strömung. Die Tiere befinden sich jeweils im unteren Drittel des simulierten Flusses. Um die Stetigkeit der Flussgeschwindigkeit zu gewähren, ist eine Rampen Funktion nötig. Comsol hat ansonsten Probleme und kann keine Studie durchführen. Dazu wird also eine Rampenfunktin <math>rampe1</math> definiert, welche auf der Seite des Einlasses mit der gewünschten Flussgeschwindigkeit multipliziert wird. Zur Durchführung der Simulation wurden in Comsol eine zeitabhängige Studie implementiert. Comsol erstellte dann automatisch ein Gitternetz um die Wassertiere herum ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' ''' Studienart''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = b8v1bfx4mzhjjcqmbnke8ttc0ju7a94 14 171944 1106806 2026-07-13T11:21:23Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1106806 wikitext text/x-wiki {{Textabschnitts-Kategorie unter}} bl0v8l79nyghz6bnoof6be1czzigwqe