Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.11 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 12638 1107048 1103373 2026-07-14T17:28:06Z Bocardodarapti 2041 1107048 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition|Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Gitter/Definition|}} Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter. Als Gruppen sind sie isomorph zu {{math|term= \Z^n |SZ=,}} hier interessieren aber auch Eigenschaften der Einbettung in {{math|term= \R^n |SZ=.}} Ein Gitter heißt {{Stichwort|rational|msw=Rationales Gitter|SZ=,}} wenn die erzeugenden Vektoren zu {{math|term= \Q^n |SZ=}} gehören. {{inputdefinition|Konvexe Geometrie/Konvexe Teilmengen/konvex (R hoch n)/Definition|}} {{ inputbild |Convex set|svg| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=Convex_set |Autor=Oleg Alexandrov |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Convex polygon illustration2|svg| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=Non_Convex_set |Autor= Kilom691 |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Der Durchschnitt von konvexen Teilmengen ist wieder konvex{{{refa|}}}. Daher kann man definieren: {{inputdefinition|Konvexe Geometrie/Konvexe Hülle (R hoch n)/Definition|}} Die konvexe Hülle ist einfach der Durchschnitt von allen konvexen Teilmengen, die {{math|term= U |SZ=}} umfassen. {{ inputbild |ConvexHull|png| 200px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Maksim |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Im Zweidimensionalen kann man sich die konvexe Hülle so vorstellen, dass man eine Schnur um die fixierten Punkte aus {{math|term= U |SZ=}} legt und die Schnur dann zusammen zieht. {{inputdefinition|Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Grundmasche/Definition|}} Die in der vorstehenden Definition auftauchenden Vektoren sind die Eckpunkte des von den Basisvektoren {{math|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugten Parallelotops| |Kontext=| |SZ=. }} Die Elemente der Grundmasche selbst sind alle Vektoren der Form {{ Math/display|term= r_1v_1 {{plusdots}} r_nv_n \text{ mit } r_i \in [0,1] |SZ= }} Wir werden die Grundmasche häufig mit {{math|term= \mathfrak M |SZ=}} bezeichnen. Zu einem Gitterpunkt {{math|term= P |SZ=}} nennt man die Menge {{mathl|term= P+ {\mathfrak M} |SZ=}} eine {{Definitionswort/enp|Masche}} des Gitters. Ein beliebiger Punkt {{ Relationskette |Q | \in| \R^n || || || |SZ= }} hat eine eindeutige Darstellung {{ Relationskette |Q || t_1v_1 {{plusdots|}} t_nv_n || || || |SZ= }} und damit ist {{ Relationskette/display |Q || (\lfloor t_1 \rfloor v_1 {{plusdots|}} \lfloor t_n \rfloor v_n) + ( (t_1 - \lfloor t_1 \rfloor) v_1 {{plusdots|}} (t_n-\lfloor t_n \rfloor) v_n) || || || |SZ=, }} wobei der erste Summand zum Gitter gehört und der zweite Summand zur Grundmasche. Insbesondere haben zwei verschiedene Maschen nur Randpunkte, aber keine inneren Punkte gemeinsam. {{ inputbild |Determinant_parallelepiped|svg| 600px {{!}} {{!}} |Autor=Claudio Rocchini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{inputdefinition|Konvexe Geometrie/Zentralsymmetrisch/Definition|}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Konvexität (Geometrie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} hdifsuj1lva4ip2fbabpw2gsvnd60ha 0 13034 1107077 1104837 2026-07-15T06:36:54Z Bocardodarapti 2041 1107077 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{Definitionswort|Monoid}} ist eine Menge {{math|term= M |SZ=}} zusammen mit einer {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \circ | M \times M | M || |SZ= }} und einem ausgezeichneten Element {{ Relationskette | e | \in | M || || || |SZ= }} derart, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung2 |Die Verknüpfung ist {{Stichwort|assoziativ|SZ=,}} d.h. es gilt {{ Relationskette/display | (x \circ y) \circ z || x \circ (y \circ z) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x,y,z | \in | M || || || |SZ=. }} |{{math|term= e |SZ=}} ist {{Stichwort|neutrales Element|SZ=}} der Verknüpfung, d.h. es gilt {{ Relationskette/display | x \circ e || x || e \circ x || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Monoid |Definitionswort2=assoziativ |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o5aqn8vlc4tlrg3oolasnkl6qevhedp 0 13847 1107171 1106550 2026-07-15T11:01:47Z Bocardodarapti 2041 1107171 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (G,e,\circ) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |SZ=. }} Eine Teilmenge {{ Relationskette | H | \subseteq | G || || || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|Untergruppe|SZ=}} von {{math|term= G |SZ=,}} wenn Folgendes gilt. {{ Aufzählung3 |{{ Relationskette | e | \in | H || || || |SZ=. }} |Mit {{ Relationskette | g,h | \in | H || || || |SZ= }} ist auch {{ Relationskette | g \circ h | \in | H || || || |SZ=. }} |Mit {{ Relationskette | g | \in | H || || || |SZ= }} ist auch {{ Relationskette | g^{-1} | \in | H || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Untergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Untergruppe |Definitionswort2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} thzauxx98kvybqmzyjsrkykpmaqzsa0 10 14288 1107010 1074993 2026-07-14T14:25:44Z Bocardodarapti 2041 1107010 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=</br></br></br>\inputfakt{{{{file|{{{1}}}}}}}{{{{2}}}}{{{{3}}}} {{{:{{{file|{{{1}}}}}} |ref1={{#if: {{{ref1|}}}|{{{ref1}}}|Fakt}} |ref2={{#if: {{{ref2|}}}|{{{ref2}}}|Fakt}} |ref3={{#if: {{{ref3|}}}|{{{ref3}}}|Fakt}} |ref4={{#if: 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Es sei {{math|term= n |SZ=}} positiv. Da {{math|term= d |SZ=}} positiv ist, gibt es ein Vielfaches {{ Relationskette | ad | \geq | n || || || || |SZ=. }} Daher gibt es auch eine Zahl {{math|term= q |SZ=}} mit {{mathkon|qd \leq n|und|(q+1)d > n |SZ=.}} Es sei {{ Relationskette | r | {{defeq|}} | n-qd || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | qd | \leq| qd+r | < | qd+d || || |SZ= }} und daher ist {{ Relationskette | 0 | \leq | r | < | d || || |SZ= }} wie gewünscht. Bei {{math|term= n |SZ=}} negativ kann man {{ Relationskette | -n || \tilde{q} d+\tilde{r} || || || |SZ= }} schreiben nach dem Resultat für positive Zahlen. Daraus ergibt sich {{ Relationskette/display | n || (-\tilde{q})d -\tilde{r} || \begin{cases} (-\tilde{q}) d+0 \text{ bei } \tilde{r} {{=|}} 0 \\ (- \tilde{q} -1)d +d - \tilde{r} \text{ sonst}\, . \end{cases} || || |SZ= }} Im zweiten Fall erfüllen {{ mathkor|term1= q=- \tilde{q} -1 |und|term2= r=d - \tilde{r} |SZ= }} die Bedingungen. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=Zur Eindeutigkeit.|Teilstrategie= |Teilbeweis= Es sei {{ Relationskette/display | qd+r || n || \tilde{q}d + \tilde{r} || || |SZ=, }} wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung {{ Relationskette | \tilde{r} | \geq | r || || || |SZ=. }} Dann gilt {{ Relationskette | (q-\tilde{q})d || \tilde{r} -r || || || |SZ=. }} Diese Differenz ist nichtnegativ und kleiner als {{math|term= d |SZ=,}} links steht aber ein Vielfaches von {{math|term= d |SZ=,}} sodass die Differenz {{math|term= 0 |SZ=}} sein muss und die beiden Darstellungen übereinstimmen. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ri9ymvso3xju6tsvatty0ltujmbhg78 10 22402 1107107 1074428 2026-07-15T08:13:32Z Bocardodarapti 2041 1107107 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=\mathkor {{{{vor|}}}} {{{{terma|}}}{{{term1|}}}} {{{{1|}}}{{{text1|}}}} {{{{termo|}}}{{{term2|}}}} {{{{SZ||}}}} |wikicode=<nowiki><math></nowiki>{{{term1|}}}<nowiki></math></nowiki> {{{1|}}} {{{text1|}}} <nowiki><math></nowiki>{{{term2|}}}<nowiki></math></nowiki>{{{SZ|}}} |#default={{#if:{{{vor|}}}|{{{vor|}}}&nbsp;|}}{{#tag:math|{{}} {{{terma|}}} {{{term1|}}} }} {{{1|}}} {{{text1|}}} {{#tag:math| {{}} {{{termo|}}} {{{term2|}}} }}{{{SZ|}}} }}</includeonly><noinclude>{{Mathematische Umgebungsvorlage}}</noinclude> hhpapvexnwoemvdu2w7lugbctas9ybi 0 28578 1107149 1094972 2026-07-15T09:42:00Z Bocardodarapti 2041 1107149 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Bijektivität impliziert nach Definition stets die Surjektivität. Es sei {{math|term= \mui_f |SZ=}} surjektiv. Dann gibt es insbesondere ein Urbild der {{math|term= 1 |SZ=,}} also ein Element {{ Relationskette | g | \in | R || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | fg || 1 || || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass {{math|term= f |SZ=}} eine Einheit ist. Wegen der Distributivität ist die Abbildung {{math|term= \mu_f |SZ=}} ein Gruppenhomomorphismus der additiven Gruppe {{math|term= (R,+,0) |SZ=.}} Um die Injektivität zu zeigen wenden wir das Kernkriterium an. Es sei also {{ Relationskette | fg || 0 || || || |SZ=. }} Dann ist aber {{ Relationskette/display | 0 || g(fh) ||(fg)h || h || |SZ=,}} sodass der Kern nur aus einem Element besteht. Es sei {{ Relationskette | R || \Z || || || |SZ=. }} Dann ist die Multiplikation mit {{ Relationskette | f || 2 || || || |SZ= }} injektiv, aber nicht surjektiv, da nur gerade Zahlen im Bild liegen. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bi611rzp2bdal1pba1988euc2gjb51l 1107150 1107149 2026-07-15T09:42:09Z Bocardodarapti 2041 1107150 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Bijektivität impliziert nach Definition stets die Surjektivität. Es sei {{math|term= \mu_f |SZ=}} surjektiv. Dann gibt es insbesondere ein Urbild der {{math|term= 1 |SZ=,}} also ein Element {{ Relationskette | g | \in | R || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | fg || 1 || || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass {{math|term= f |SZ=}} eine Einheit ist. Wegen der Distributivität ist die Abbildung {{math|term= \mu_f |SZ=}} ein Gruppenhomomorphismus der additiven Gruppe {{math|term= (R,+,0) |SZ=.}} Um die Injektivität zu zeigen wenden wir das Kernkriterium an. Es sei also {{ Relationskette | fg || 0 || || || |SZ=. }} Dann ist aber {{ Relationskette/display | 0 || g(fh) ||(fg)h || h || |SZ=,}} sodass der Kern nur aus einem Element besteht. Es sei {{ Relationskette | R || \Z || || || |SZ=. }} Dann ist die Multiplikation mit {{ Relationskette | f || 2 || || || |SZ= }} injektiv, aber nicht surjektiv, da nur gerade Zahlen im Bild liegen. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} im9p4six40jmpvw5pwx8fhxxo9osvg0 10 41460 1107073 398925 2026-07-15T06:26:55Z Bocardodarapti 2041 1107073 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{#if:{{{Prämath|}}}|\stichwortpraemath {{{{Prämath|}}}} {{{{term|{{{1}}}}}}}{{{{SZ|}}}}|\stichwort {{{{term|{{{1}}}}}}} {{{{SZ|}}}}|}} |kontrolle={{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}<em>{{{term|{{{1}}}}}}</em>{{{SZ|}}} |wikicode={{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}<nowiki><em></nowiki>{{{term|{{{1}}}}}}<nowiki></em></nowiki>{{{SZ|}}} |#default={{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}<em>{{{term|{{{1}}}}}}</em>{{{SZ|}}} }}</includeonly><noinclude>{{Semantische Vorlage für Stichwort}}</noinclude> a304m2dpvvjglzok202myzzvoihxhdd 0 45131 1107033 1102953 2026-07-14T17:06:30Z Bocardodarapti 2041 1107033 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einem Schema {{math|term= X |SZ=}} kann man die Kategorie aller endlichen {{acutee}}talen Morphismen {{ Abbildung |name= |Y|X || |SZ= }} betrachten, wobei jeder Morphismus in dieser Kategorie die Basis {{math|term= X |SZ=}} festlässt. Die Idee ist dabei, die {{Anführung|universelle Überlagerung|SZ=,}} die es im algebraischen Kontext nicht gibt, durch das System aller endlichen Überlagerungen anzunähern. Sei {{math|term= X |SZ=}} eine komplexe Mannigfaltigkeit oder allgemeiner ein topologischer Raum. Die universelle Überlagerung {{ Abbildung/display |name=p |\tilde{X}|X || |SZ= }} hat die Eigenschaft, dass die Automorphismengruppe von {{math|term= \tilde{X} |SZ=}} über {{math|term= X |SZ=,}} also die Menge der {{ Definitionslink |Homöomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=Decktransformationen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Abbildung/display |name= \psi |\tilde{X}|\tilde{X} || |SZ=, }} die mit {{math|term= p |SZ=}} kommutieren, unter schwachen Bedingungen mit der topologischen Fundamentalgruppe von {{math|term= X |SZ=}} übereinstimmt. Dies beruht auf der folgenden Konstruktion: Es sei {{ Abbildung/display |name=p |Y|X || |SZ= }} eine Überlagerung und {{mathl|term= x \in X |SZ=}} ein Punkt. Die Faser von {{math|term= p |SZ=}} über {{math|term= x |SZ=}} sei mit {{math|term= F |SZ=}} bezeichnet. Dann gibt es eine natürliche Operation {{ Zusatz/Klammer |text=die sogenannte {{Stichwort|Monodromie|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} der topologischen Fundamentalgruppe {{mathl|term= \pi_1(X,x) |SZ=}} auf {{math|term= F |SZ=.}} Einem stetigen Weg {{ Abbildung/display |name=\gamma |[0,1]|X || |SZ= }} mit {{math|term= x |SZ=}} als Start- und Zielpunkt und einem Punkt {{mathl|term= y \in F |SZ=}} der Faser wird der eindeutig bestimmte Endpunkt des gelifteten Weges {{mathl|term= \tilde{\gamma} |SZ=}} zugeordnet, der im Punkt {{math|term= y |SZ=}} startet {{ Zusatz/Klammer |text= siehe hierzu auch [[Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Vorlesung 17]]| |ISZ=|ESZ=. }} Dies führt zu einem Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | \pi_1(X,x)| {{opsyn|Aut|F|tief=|hoch=}} | \gamma| (y \mapsto \tilde{\gamma} (1) ) |SZ= }} bzw. einer {{ Definitionslink |Operation| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} von {{mathl|term= \pi_1(X,x) |SZ=}} auf {{math|term= F |SZ=.}} Diese Zuordnung ist für {{math|term= X |SZ=}} zusammenhängend injektiv, da generell für einen zusammenhängenden topologischen Raum {{math|term= Z |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=z.B. {{math|term= X |SZ=}} selbst, oder {{math|term= Y |SZ=,}} oder das Einheitsintervall| |ISZ=|ESZ= }} und einer stetigen Abbildung {{ Abbildung/display |name=\gamma |Z|X || |SZ= }} zwei Liftungen {{ Abbildung/display |name=f_1,f_2 |Z|Y || |SZ= }} mit {{mathl|term= f_1(z) = f_2(z) |SZ=}} für einen einzelnen Punkt {{mathl|term= z \in Z |SZ=}} schon {{mathl|term= f_1=f_2 |SZ=}} gelten muss. Dieser Gruppenhomomorphismus ist nur in Ausnahmefällen surjektiv. Es muss im Allgemeinen auch keinen Automorphismus geben, der einen Punkt der Faser in einen anderen Punkt der Faser überführt. Diese Eigenschaft führt vielmehr zur folgenden Definition. {{ inputdefinition |Topologie/Normale Überlagerung/Definition|| }} Eine normale Überlagerung ist also dadurch gekennzeichnet, dass die Gruppe der Decktransformationen transitiv auf einer jeden Faser operiert. Jeder Punkt {{mathl|term= y_1 \in F |SZ=}} in einer Faser {{math|term= F |SZ=}} definiert eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{opsyn|Aut|Y|tief=X|hoch=}} |F | \psi| \psi (y_1) |SZ=, }} die stets injektiv und im normalen Fall auch bijektiv ist. Es ist eine wichtige Eigenschaft von Überlagerungen, dass man zu einer normalen Überlagerung übergehen kann. Diese topologische Eigenschaft ist analog dazu, dass man separable Körpererweiterungen in eine Galoiserweiterung {{ Zusatz/Klammer |text={{ Definitionslink |normale Hülle| |Kontext=| |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} einbetten kann. {{Zwischenüberschrift|Liftungseigenschaften von {{acutee|}}talen Abbildungen und Galoiserweiterungen}} Die beiden oben in Erinnerung gerufenen Eigenschaften von topologischen Überlagerungen, nämlich die eindeutige Liftungseigenschaft und die Normalität, kommen auch im Kontext der algebraischen Geometrie vor. {{ inputfakt |Etale/Zusammenhängende Basis/Schnitt ist offene Einbettung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfakt |Etale und separiert/Zusammenhängende Basis/Schnitt/Punkt bestimmt/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfakt |Etale und separiert/Zusammenhängende Basis/Lift durch Punkt bestimmt/Fakt|Satz|| || }} Ein endlicher Morphismus ist affin und insbesondere separiert. Die Gruppe der Decktransformationen wird im algebraisch-geometrischen Kontext folgendermaßen definiert. {{ inputdefinition |Schemamorphismus/Automorphismengruppe/Definition|| }} Die Automorphismengruppe {{ Zusatz/Klammer |text=oder Galoisgruppe| |ISZ=|ESZ= }} sollte man sich im Kontext von Fundamentalgruppen als Gruppe von Decktransformationen vorstellen. Besonders wichtig sind die galoisschen Morphismen, das sind die {{acutee}}talen Morphismen mit {{Anführung|großer|}} Automorphismengruppe und entsprechen den normalen Überlagerungen. Die folgende Definition lehnt sich an der der Normalität an. {{ inputdefinition |Galoiserweiterung/Etale und endlich/Zusammenhängend/Über transitiv/Definition|| }} Zu einem endlichen {{acutee}}talen Morphismus {{ Abbildung/display |name=\varphi |Y|X || |SZ= }} kann man i.A. einen Morphismus {{ Abbildung/display |name= |\tilde{Y}|Y || |SZ= }} finden derart, dass {{ Abbildung/display |name= |\tilde{Y}|X || |SZ= }} galoissch ist. Für die Konstruktion der {{acutee||}}talen Fundamentalgruppe kann man sich im Wesentlichen auf galoissche Überlagerungen beschränken. {{Zwischenüberschrift|Definition der {{acutee||}}talen Fundamentalgruppe}} Die Kategorie der endlichen {{Netz oder Druck|é|\'{e}|}}talen Morphismen {{ Abbildung/display |name= |Y|X || |SZ= }} wird mit {{mathl|term= {{op:FEt|X|}} |SZ=}} bezeichnet. Für eine Varietät über {{math|term= {{CC}} |SZ=}} entspricht das der Kategorie aller Überlagerungen mit endlichen Fasern. Es ist das Ziel, über die Kategorie aller {{acutee}}talen Morphismen bzw. aller dabei auftretenden Automorphismen einen sinnvollen Limes zu bilden. Dazu braucht man eine durch eine Menge indizierte hinreichend feine und reichhaltige Auswahl all dieser Morphismen. Dazu muss man die Morphismen in eine gewisse Ordnung bringen, was man durch ein zusätzliches Datum, eine Punktierung, erreicht. Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein zusammenhängendes Schema und {{math|term= \bar{x} |SZ=}} ein geometrischer Punkt von {{math|term= X |SZ=,}} also ein Punkt {{mathl|term= x \in X |SZ=}} zusammen mit einem Körperhomomorphismus {{ Abbildung |name= | \kappa(x)|{\kappa(x)}^{\rm sep} || |SZ= }} in einen separablen Abschluss {{mathl|term= {\kappa(x)}^{\rm sep} |SZ=}} des Restekörpers {{math|term= \kappa(x) |SZ=.}} Dies ist das Gleiche wie ein Schemamorphismus {{ Abbildung/display |name= |\bar{x} {{=|}} {{op:Spek| {\kappa(x)}^{\rm sep} |}} |X || |SZ= }} und bedeutet die Fixierung eines Basispunktes. Die Faser über {{math|term= x |SZ=}} zu einem endlichen {{acutee}}talen Morphismus {{ Abbildung |name= |Y|X || |SZ= }} ist endlich. Die Basispunktfixierung kann auf verschiedene Arten zu einer Fixierung in {{math|term= Y |SZ=}} geliftet werden. Eine solche Liftung ist einfach ein kommutatives Diagramm {{kommutatives Dreieck/ru|\bar{x}|Y|X|abb23=\varphi|SZ=.}} Wir setzen {{ Relationskette/display | F(Y) || {{op:Mor|\bar{x}|Y|X}} || || || |SZ=. }} Ein Element {{ Relationskette | f | \in| F(Y) || || || |SZ= }} ist also eine Liftung des geometrischen Basispunktes {{math|term= \bar{x} |SZ=,}} und {{mathl|term= F(Y) |SZ=}} ist die geometrische Faser über {{math|term= \bar{x} |SZ=.}} Wir betrachten die Zuordnung {{mathl|term= Y \mapsto F(Y) |SZ=}} als einen Funktor {{ Zusatz/Klammer |text=man spricht von dem {{Stichwort|Faserfunktor|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} von der Kategorie der {{acutee}}talen Überdeckungen in die Kategorie der Mengen. Dieser Funktor ist {{ Definitionslink/- |strikt prorepräsentierbar| |Kontext=| |SZ=, }} d.h. es gibt eine {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (I, \geq) |SZ=}} und eine durch {{math|term= I |SZ=}} induzierte Familie {{mathl|term= (Y_i,f_i) |SZ=,}} wobei {{math|term= Y_i \in {{op:FEt|X|}} |SZ=}} und {{mathl|term= f_i \in F(Y_i) |SZ=}} ist derart, dass diese Familie die folgenden Eigenschaften erfüllt. {{ Aufzählung3 |Zu {{mathl|term= i \geq j |SZ=}} gibt es einen surjektiven {{math|term= X |SZ=-}}Morphismen {{ Abbildung/display |name=\varphi_{ij} |Y_i |Y_j || |SZ= }} |Es ist {{mathl|term= \varphi_i = \varphi_j \circ \varphi_{ij} |SZ=}} und {{mathl|term= f_j = \varphi_{ij} \circ f_i |SZ=.}} |Zu jedem {{mathl|term= Y \in {{op:FEt|X|}} |SZ=}} ist die natürliche Abbildung {{ Abbildung/display |name= |{{op:Kolimes|{{op:Mor|Y_i |Y|sub=X}}|}} |F(Y) | \psi | \psi \circ f_i |SZ=, }} eine Bijektion. }} Die letzte Bedingung bedeutet dabei insbesondere, dass es zu jedem gegebenen {{mathl|term= Y \in {{op:FEt|X|}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{{h|h}}} \in F(Y) |SZ=}} ein {{mathl|term= Y_i |SZ=}} und einen {{math|term= X |SZ=-}}Morphismus {{ Abbildung/display |name=\psi_i |Y_i |Y || |SZ=, }} der {{math|term= f_i |SZ=}} auf {{math|term= {{{h|h}}} |SZ=}} abbildet. Die Automorphismengruppe {{mathl|term= {{op:Aut|Y|X}} |SZ=}} operiert auf {{mathl|term= F(Y) |SZ=}} durch {{ Abbildung/display |name= | {{op:Aut|Y|X}} \times F(Y) |F(Y) | ( \psi , {{{h|h}}})| \psi \circ {{{h|h}}} |SZ=. }} Diese Operation induziert für jedes {{mathl|term= {{{h|h}}} \in F(Y) |SZ=}} bei zusammenhängendem {{math|term= Y |SZ=}} eine injektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= |{{op:Aut|Y|X}} |F(Y) | \psi| \psi \circ {{{h|h}}} |SZ=, }} da ein Automorphismus {{ Abbildung |name=\psi |Y|Y || |SZ= }} mit {{mathl|term= \psi \circ {{{h|h}}} = {{op:Identität|Y|}} \circ {{{h|h}}} = {{{h|h}}} |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Etale und separiert/Zusammenhängende Basis/Lift durch Punkt bestimmt/Fakt |Nr= |SZ= }} die Identität sein muss. Insbesondere haben wir also für die Familie {{mathl|term= (Y_i,f_i) |SZ=}} injektive Abbildungen {{ Abbildung/display |name= | {{op:Aut|Y_i |X}} |F(Y_i) | \psi| \psi \circ f_i |SZ=. }} Nach obiger Definition ist {{math|term= Y |SZ=}} galoissch über {{math|term= X |SZ=,}} wenn diese Abbildung auch {{ Zusatz/Klammer |text=für jedes {{math|term= f_i |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} surjektiv ist. Für ein {{ Abbildung |name= |Y|X || |SZ= }} gibt es einen Morphismus {{ Abbildung |name= |Y'|Y || |SZ= }} derart, dass {{math|term= Y'|SZ=}} galoissch über {{math|term= X |SZ=}} ist. Daher kann man die gegebene Familie durch eine Familie ersetzen, bei der zusätzlich jedes {{math|term= Y_i |SZ=}} galoissch ist {{ Zusatz/Klammer |text=und auch zusammenhängend| |ISZ=|ESZ=. }} Das werden wir im folgenden tun und setzen {{Math/display|term=G_i= {{op:Aut|Y_i |X}} |SZ=}} und nennen diese Automorphismengruppen auch Galoisgruppen. Zu einem surjektiven Morphismus {{ Abbildung/display |name=\psi |Y'|Y || |SZ= }} zwischen galoisschen Überdeckungen gibt es ein kommutatives Diagramm {{kommutatives Quadrat/ru| {{op:Aut|Y'|X}} |F(Y')|{{op:Aut|Y|X}}|F(Y)|abb12=\cong|abb34=\cong |SZ=.}} Dabei geht {{mathl|term= f \in F(Y') |SZ=}} auf {{mathl|term= \psi \circ f \in F(Y) |SZ=}} und dies legt den surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= |{{op:Aut|Y'|X}} |{{op:Aut|Y|X}} || |SZ= }} fest. Insgesamt erhalten wir über diese Konstruktion einen Funktor {{ Abbildung/display |name= |I| {\mathcal Gruppe} |i|G_i |SZ=, }} wobei zu {{mathl|term= i \geq j |SZ=}} der soeben definierte Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name=\vartheta_{i j} |G_i |G_j || |SZ= }} gehört. Die surjektiven Gruppenhomomorphismen haben also die gleiche Richtung wie die Morphismen. Statt dem Kolimes betrachtet man aber jetzt den projektiven Limes über dieses System. Man setzt {{ Math/display|term= {{op:Fundamentalgruppeetale|X|\bar{x} }} = {{op:Limes projektiv| G_i |i \in I|}} |SZ= }} und nennt dies die {{Stichwort|{{acutee}}tale Fundamentalgruppe|msw=etale Fundamentalgruppe|SZ=}} von {{math|term= X |SZ=}} im Punkt {{math|term= \bar{x} |SZ=.}} Sie ist also eine Komplettierung von endlichen Gruppen, ihre Elemente bestehen aus Folgen {{ mathbed|term= g_i \in G ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} die die Bedingung {{mathl|term= \varphi_{ij}(g_i) =g_j |SZ=}} erfüllen. Zu jedem {{math|term= i |SZ=}} gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Fundamentalgruppeetale|X|\bar{x} }} |G_i || |SZ=. }} Für einen anderen Basispunkt ergibt sich eine isomorphe Gruppe {{ Zusatz/Klammer |text=es gibt aber keinen kanonischen Isomorphismus| |ISZ=|ESZ= }}, wobei die Basispunkte noch nicht einmal abgeschlossen sein müssen. {{ inputbemerkung |Etale Fundamentalgruppe/Galoistheorie/Körper/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Etale Fundamentalgruppe/Integres Schema/Indizierung durch Galoiserweiterungen des Funktionenkörpers/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Etale Fundamentalgruppe/Punktierte affine Gerade/Potenzen/Beispiel|| }} Die beiden folgenden Sätze zeigen, dass die {{acutee|}}tale Fundamentalgruppe wichtige erwünschte Eigenschaften erfüllt. {{ inputfakt |Zusammenhängendes Schema/Geometrischer Punkt/Faserfunktor/Etale Erweiterungen und stetige pi-Mengen/Fakt|Satz|| || }} Die Stetigkeit bedeutet dabei, dass die Operation über eine endliche Restklassengruppe faktorisiert. Aus dem Riemannschen Existenzsatz folgt für {{mathl|term= K={{CC}} |SZ=}} der folgende wichtige Vergleichssatz zwischen {{acutee|}}taler und topologischer Fundamentalgruppe. {{ inputfakt |Etale Fundamentalgruppe/C/Komplettierung/Vergleich/Fakt|Satz|| || }} Insbesondere definiert ein geschlossener Weg {{ Abbildung/display |name=\gamma |[0,1]|X || |SZ= }} ein Element in der {{acutee|}}talen Fundamentalgruppe, das man direkt angeben kann. Zu {{mathl|term= i \in I |SZ=}} und der zugehörigen galoisschen Überdeckung {{ Abbildung/display |name=\varphi_i |Y_i |X || |SZ= }} besitzt die Liftung {{math|term= \tilde{\gamma} |SZ=}} mit dem Startpunkt {{math|term= f_i |SZ=}} einen eindeutig bestimmten Endpunkt {{mathl|term= \tilde{\gamma}(1) \in F(Y) |SZ=,}} dem ein eindeutiger Automorphismus {{mathl|term= g_i \in G_i |SZ=}} entspricht. Die Familie {{ mathbed|term= g_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ist verträglich und definiert das zugehörige Element in der {{acutee|}}talen Fundamentalgruppe. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 16dhz6bjpzva8ds9r52qljk8cwkclyb 0 45164 1107029 1035594 2026-07-14T17:03:07Z Bocardodarapti 2041 1107029 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |normaler Integritätsbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | K || Q(R) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |K | \subseteq | L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Galoisgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= G |SZ=.}} Es sei {{math|term= S |SZ=}} der {{ Definitionslink |ganze Abschluss| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=.}} Dann operiert {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt |Nr= |SZ= }} {{math|term= G |SZ=}} auf {{math|term= S |SZ=}} und der {{ Definitionslink |Invariantenring| |Kontext=| |SZ= }} ist {{math|term= R |SZ=.}} Der {{ Definitionslink |Morphismus| |Kontext=Schema| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{op:Spek| S |}} | {{op:Spek| R |}} || |SZ= }} ist i.A. nicht {{ Definitionslink | {{acutee}}tale| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=weder flach noch unverzweigt| |ISZ=|ESZ=. }} Es gibt aber natürliche offene nichtleere Mengen {{ Relationskette | U | \subseteq | {{op:Spek| R |}} || || || |SZ=, }} sodass die Einschränkung {{ Abbildung/display |name= |\varphi^{-1}(U)|U || |SZ= }} {{acutee}}tale ist. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Galoistheorie für Integritätsbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} irnhhqg1ytkyc87yhngnng5b0jqy7aa 0 45864 1107030 1100578 2026-07-14T17:03:40Z Bocardodarapti 2041 1107030 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Zu einem integren normalen Schema {{math|term= X |SZ=}} ist es relativ einfach, eine geordnete Menge anzugeben, die sämtliche Galoisüberdeckungen von {{math|term= X |SZ=}} erfasst {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne der Prorepräsentierung| |ISZ=|ESZ=. }} Man betrachtet den Funktionenkörper {{ Relationskette | K || K(X) || || || |SZ= }} und startet wie in {{ Faktlink |Faktseitenname= Etale Fundamentalgruppe/Galoistheorie/Körper/Bemerkung |Nr= |SZ= }} mit der Menge aller {{ Definitionslink |endlichen| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} {{ Definitionslink |Galoiserweiterungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | K | \subseteq | L || |SZ= }} mit {{ Relationskette | L | \subseteq | K^{\rm sep} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= K^{\rm sep} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |separabler Abschluss| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} von {{math|term= K |SZ=}} ist. Man beschränkt sich dann auf diejenigen Erweiterungen {{ Relationskette | K | \subseteq | L || || || |SZ=, }} für die der integrale Abschluss von {{math|term= X |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=}} selbst {{acutee|}}tale {{ Zusatz/Klammer |text=und dann automatisch galoissch| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=diese Auswahl konstituiert also die Indexmenge, wobei die natürliche Inklusion die Ordnung festlegt| |ISZ=|ESZ=. }} Die Abbildung {{ Math/display|term= {{op:Spek| K^{\rm sep}|}} \longrightarrow {{op:Spek| L |}} \longrightarrow Y |SZ= }} definiert dabei die Punktierung von {{math|term= Y |SZ=}} über der Basispunktierung {{mathl|term= {{op:Spek| K^{\rm sep} |}} \rightarrow {{op:Spek| K |}} \rightarrow X |SZ=,}} d.h. man nimmt den generischen Punkt des Schemas als Basispunkt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6v1i9jqk0au89nypzukvzrvaqcqs8ns 0 67270 1107143 959444 2026-07-15T09:33:29Z Bocardodarapti 2041 1107143 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Das Pickelpaar und die drei übrigen einzelnen Pickel können als vier Pickelfelder betrachtet werden, die in beliebiger Reihenfolge beackert werden können. Dafür gibt es {{mathl|term= 4!=24 |SZ=}} Möglichkeiten. Bei jeder dieser Reihenfolge hat man beim Pickelpaar die freie Wahlmöglichkeit, welcher zuerst drankommt. Daher gibt es insgesamt {{ Relationskette/display | 2 \cdot 24 || 48 || || || |SZ= }} Möglichkeiten. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} icnq4klbqev5qfbo9c6wawo5ud9kbtf 10 70284 1107066 525841 2026-07-15T05:58:07Z Bocardodarapti 2041 1107066 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |Lösung= {{ Aufzählung6 |{{:{{{1|}}}/Begriff/Inhalt}} |{{:{{{3|}}}/Begriff/Inhalt}} |{{:{{{5|}}}/Begriff/Inhalt}} |{{:{{{7|}}}/Begriff/Inhalt}} |{{:{{{9|}}}/Begriff/Inhalt}} |{{:{{{11|}}}/Begriff/Inhalt}} }} |Aufgabe= Definiere{{n Sie}} die folgenden {{Zusatz/Klammer|text=kursiv gedruckten||ISZ=|ESZ=}} Begriffe.{{{zusatz1|}}} {{ Aufzählung6 |{{:{{{1|}}}/Begriff}} |{{:{{{3|}}}/Begriff}} |{{:{{{5|}}}/Begriff}} |{{:{{{7|}}}/Begriff}} |{{:{{{9|}}}/Begriff}} |{{:{{{11|}}}/Begriff}}| }} |Klausur= Definiere{{n Sie}} die folgenden {{Zusatz/Klammer|text=kursiv gedruckten||ISZ=|ESZ=}} Begriffe.{{{zusatz1|}}} {{ Aufzählung6 |{{:{{{1|}}}/Begriff}} |{{:{{{3|}}}/Begriff}} |{{:{{{5|}}}/Begriff}} |{{:{{{7|}}}/Begriff}} |{{:{{{9|}}}/Begriff}} |{{:{{{11|}}}/Begriff}} }} |Klausur mit Lösungen= Definiere{{n Sie}} die folgenden {{Zusatz/Klammer|text=kursiv gedruckten||ISZ=|ESZ=}} Begriffe.{{{zusatz1|}}} {{ Aufzählung6 |{{:{{{1|}}}/Begriff}} |{{:{{{3|}}}/Begriff}} |{{:{{{5|}}}/Begriff}} |{{:{{{7|}}}/Begriff}} |{{:{{{9|}}}/Begriff}} |{{:{{{11|}}}/Begriff}}| }} |wikicode |latex= Definiere{{n Sie}} die folgenden {{Zusatz/Klammer|text=kursiv gedruckten||ISZ=|ESZ=}} Begriffe.{{{zusatz1|}}} {{ Aufzählung6 |{{:{{{1|}}}/Begriff}} |{{:{{{3|}}}/Begriff}} |{{:{{{5|}}}/Begriff}} |{{:{{{7|}}}/Begriff}} |{{:{{{9|}}}/Begriff}} |{{:{{{11|}}}/Begriff}}| }} }}</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Materialien zur Mathematik/Sonstiges]]</noinclude> qhp5zg3dl3tv81wffn5ny7br3kh8f87 10 70286 1107067 525834 2026-07-15T05:58:53Z Bocardodarapti 2041 1107067 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |Lösung= {{ Aufzählung3 |{{:{{{1|}}}/Name/Inhalt}}|{{:{{{3|}}}/Name/Inhalt}}|{{:{{{5|}}}/Name/Inhalt}}|}} |Aufgabe= Formuliere{{n Sie}} die folgenden Sätze. {{ Aufzählung3 |{{:{{{1|}}}/Name}}|{{:{{{3}}}/Name}}|{{:{{{5}}}/Name}}|}} |Klausur= Formuliere{{n Sie}} die folgenden Sätze. {{ Aufzählung3 |{{:{{{1|}}}/Name}}|{{:{{{3}}}/Name}}|{{:{{{5}}}/Name}}|}} |Klausur mit Lösungen= Formuliere{{n Sie}} die folgenden Sätze. {{ Aufzählung3 |{{:{{{1|}}}/Name}}|{{:{{{3}}}/Name}}|{{:{{{5}}}/Name}}|}} |wikicode |latex= Formuliere{{n Sie}} die folgenden Sätze. {{ Aufzählung3 |{{:{{{1|}}}/Name}}|{{:{{{3}}}/Name}}|{{:{{{5}}}/Name}}|}} }}</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Materialien zur Mathematik/Sonstiges]]</noinclude> 972qncwnacuetku5cgvn0t4u3ilryd7 0 73864 1107076 1026141 2026-07-15T06:36:15Z Bocardodarapti 2041 1107076 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Ein {{Stichwort/Antwort|Monoid}} ist eine Menge {{math|term= M |SZ=}} zusammen mit einer {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \circ |M \times M| M || |SZ= }} und einem ausgezeichneten Element {{ Relationskette | e | \in | M || || || |SZ= }} derart, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung2 |Die Verknüpfung ist {{Stichwort/Antwort|assoziativ|SZ=,}} d.h. es gilt {{ Relationskette/display | (x \circ y) \circ z || x \circ (y \circ z) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x,y,z | \in | M || || || |SZ=. }} |{{math|term= e |SZ=}} ist {{Stichwort/Antwort|neutrales Element|SZ=}} der Verknüpfung, d.h. es gilt {{ Relationskette/display | x \circ e || x || e \circ x || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6fmg236449r7w1cqldhszw8c5wmcb7m 0 73868 1107170 1106678 2026-07-15T11:01:29Z Bocardodarapti 2041 1107170 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Eine Teilmenge {{mathl|term= H \subseteq G |SZ=}} heißt {{Stichwort/Abfrage|term=Untergruppe|SZ=}} von {{math|term= G |SZ=,}} wenn Folgendes gilt. {{ Aufzählung3 | {{math|term= e \in H |SZ=.}} |Mit {{math|term= g,h \in H |SZ=}} ist auch {{math|term= g \circ h \in H |SZ=.}} |Mit {{math|term= g \in H |SZ=}} ist auch {{math|term= g^{-1} \in H |SZ=.}} }} |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9yaij7e67q8lvvjf5yjtjjhzchgu829 10 74073 1107064 1014475 2026-07-15T05:51:09Z Bocardodarapti 2041 1107064 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{Diese Vorlage|wird für die Einbindung einer Aufgabe mit einer Lösung dazu. Sie hat einen unbenannten Paramter. # die Seite mit dem Inhalt der Aussage (die Seite mit der Lösung wird dann als Lösung eingebunden). }} </noinclude><includeonly>__NOEDITSECTION__</includeonly> {{#switch: {{SUBPAGENAME}} |latex=<br/><br/><br/>\inputaufgabeklausurloesung<br/>{{klaauf}}{{#if: {{{2|}}}|{{#switch:{{{2|}}}|p= {{#ifeq: {{:{{{1}}}|opt=p2}}||{{#ifeq:{{:{{{1}}}|opt=Punkte}}|1|{{:{{{1}}}|opt=Punkte}}|{{:{{{1}}}|opt=Punkte}}|}}|{{#ifeq: {{:{{{1}}}|opt=p3}}||{{ #expr: {{:{{{1}}}|opt=p1}}+{{:{{{1}}}|opt=p2}}|}} ({{:{{{1}}}|opt=p1}}+{{:{{{1}}}|opt=p2}})|{{#ifeq: {{:{{{1}}}|opt=p4}}||{{ #expr: {{:{{{1}}}|opt=p1}}+{{:{{{1}}}|opt=p2}}+{{:{{{1}}}|opt=p3}}|}} ({{:{{{1}}}|opt=p1}}+{{:{{{1}}}|opt=p2}}+{{:{{{1}}}|opt=p3}})| {{#ifeq: {{:{{{1}}}|opt=p5}}||{{ #expr: {{:{{{1}}}|opt=p1}}+{{:{{{1}}}|opt=p2}}+ {{:{{{1}}}|opt=p3}} + {{:{{{1}}}|opt=p4}}|}} ({{:{{{1}}}|opt=p1}}+{{:{{{1}}}|opt=p2}}+{{:{{{1}}}|opt=p3}}+{{:{{{1}}}|opt=p4}})| {{#ifeq: {{:{{{1}}}|opt=p6}}||{{ #expr: {{:{{{1}}}|opt=p1}} 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seien {{ Relationskette/display | T_1, T_2 {{kommadots|}} T_n | \subseteq | M || || || || |SZ= }} Teilmengen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | n | \geq | 1 || || || |SZ= }} |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten die Menge {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=,}} die aus allen Teilmengen von {{math|term= M |SZ=}} besteht, die man als Durchschnitte der Form {{ Math/display|term= S_1 {{capdots}} S_k |SZ= }} erhalten kann, wobei die Menge {{math|term= S_i |SZ=}} jeweils ein {{math|term= T_j |SZ=}} oder ein {{mathl|term= M \setminus T_j |SZ=}} ist. {{ Aufzählung3/a |Zeige{{n Sie}}, dass man auf diese Art nur endlich viele Teilmengen von {{math|term= M|SZ=}} erhalten kann. |Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=}} eindeutig bestimmte, nichtleere Mengen {{mathl|term= A_1 {{kommadots|}} A_m |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | M || \biguplus_{\ell {{=}} 1}^m A_\ell || || || |SZ= }} und mit der Eigenschaft gibt, dass jedes {{ mathbed|term= A \in {{Mengensystem|A}} ||bedterm1= A \neq \emptyset ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{math|term= A_\ell |SZ=}} umfasst. |Zeige{{n Sie}}, dass man jede Menge {{math|term= T_j |SZ=}} als {{ Relationskette/display | T_j || \biguplus_{\ell \in L_j } A_\ell || || || |SZ= }} mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge {{ Relationskette | L_j | \subseteq | \{1 {{kommadots|}} m \} || || || || |SZ= }} darstellen kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=4 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dyjm2dmxliyfrktl05lrkgnhzi9jr7l 0 78880 1107096 785405 2026-07-15T07:39:22Z Bocardodarapti 2041 1107096 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Professor Knopfloch kommt gelegentlich mit verschiedenen Socken und/oder mit verschiedenen Schuhen in die Universität. Er legt folgende Definitionen fest. {{ Aufzählung4 |Ein Tag heißt {{Stichwort|sockenzerstreut|SZ=,}} wenn er verschiedene Socken anhat. |Ein Tag heißt {{Stichwort|schuhzerstreut|SZ=,}} wenn er verschiedene Schuhe anhat. |Ein Tag heißt {{Stichwort|zerstreut|SZ=,}} wenn er sockenzerstreut oder schuhzerstreut ist. |Ein Tag heißt {{Stichwort|total zerstreut|SZ=,}} wenn er sowohl sockenzerstreut als auch schuhzerstreut ist. }} {{ Aufzählung3/a |Vom Jahr {{mathl|term= 2015|SZ=}} weiß man, dass {{math|term= 17|SZ=}} Tage sockenzerstreut und {{math|term= 11|SZ=}} Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal zerstreut? Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal total zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut? | Vom Jahr {{mathl|term= 2013|SZ=}} weiß man, dass {{math|term= 270|SZ=}} Tage sockenzerstreut und {{math|term= 120|SZ=}} Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut? |Erstelle{{n Sie}} eine Formel, die die Anzahl der sockenzerstreuten, der schuhzerstreuten, der zerstreuten und der total zerstreuten Tage in einem Jahr miteinander in Verbindung bringt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Alltagslogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Professor Knopfloch |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=1 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tj0h8z9f44tjvnqy83n0czeqnho54qt 1107097 1107096 2026-07-15T07:40:11Z Bocardodarapti 2041 1107097 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Professor Knopfloch kommt gelegentlich mit verschiedenen Socken und/oder mit verschiedenen Schuhen in die Universität. Er legt folgende Definitionen fest. {{ Aufzählung4 |Ein Tag heißt {{Stichwort|sockenzerstreut|SZ=,}} wenn er verschiedene Socken anhat. |Ein Tag heißt {{Stichwort|schuhzerstreut|SZ=,}} wenn er verschiedene Schuhe anhat. |Ein Tag heißt {{Stichwort|zerstreut|SZ=,}} wenn er sockenzerstreut oder schuhzerstreut ist. |Ein Tag heißt {{Stichwort|total zerstreut|SZ=,}} wenn er sowohl sockenzerstreut als auch schuhzerstreut ist. }} {{ Aufzählung3/a |Vom Jahr {{mathl|term= 2025 |SZ=}} weiß man, dass {{math|term= 17 |SZ=}} Tage sockenzerstreut und {{math|term= 11 |SZ=}} Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal zerstreut? Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal total zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut? | Vom Jahr {{mathl|term= 2023 |SZ=}} weiß man, dass {{math|term= 270 |SZ=}} Tage sockenzerstreut und {{math|term= 120 |SZ=}} Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut? |Erstelle{{n Sie}} eine Formel, die die Anzahl der sockenzerstreuten, der schuhzerstreuten, der zerstreuten und der total zerstreuten Tage in einem Jahr miteinander in Verbindung bringt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Alltagslogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Professor Knopfloch |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=1 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iyo3ij50rk6rbhkpegs9pdtgdrwiqc0 0 78881 1107094 1096529 2026-07-15T07:38:45Z Bocardodarapti 2041 1107094 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3/a |Zerstreutheit: Die sockenzerstreuten Tage sind jedenfalls zerstreut. Das Minimum ergibt sich, wenn alle schuhzerstreuten Tage auch sockenzerstreut waren, das sind {{math|term= 17 |SZ=.}} Das Maximum ergibt sich, wenn kein Tag gleichzeitig sockenzerstreut und schuhzerstreut war, das ergibt {{mathl|term= 28 |SZ=}} Tage. Totale Zerstreutheit: Die total zerstreuten Tage sind insbesondere schuhzerstreut. Das Maximum ergibt sich, wenn alle schuhzerstreuten Tage auch sockenzerstreut waren, das sind {{math|term= 11 |SZ=}} Tage. Das Minimum ergibt sich, wenn kein Tag gleichzeitig schuh- und sockenzerstreut war, also {{math|term= 0 |SZ=.}} |Wegen {{ Relationskette/display | 270 + 120 || 390 | \geq | 365 || || |SZ= }} können alle Tage des Jahres zerstreut gewesen sein, also {{mathl|term= 365 |SZ=.}} Minimal waren {{math|term= 25 |SZ=}} Tage total zerstreut. |Es sei {{math|term= s |SZ=}} die Anzahl der sockenzerstreuten Tage, {{math|term= x |SZ=}} die Anzahl der schuhzerstreuten Tage, {{math|term= z |SZ=}} die Anzahl der zerstreuten Tage und {{math|term= t |SZ=}} die Anzahl der total zerstreuten Tage. Dann gilt die Formel {{ Relationskette/display |s+x || z+t || || || |SZ=. }} Beide Seiten der Formel sind additiv in den Tagen, sie muss also nur für einen Tag nachgewiesen werden. Wenn der Tag nicht zerstreut ist, steht beidseitig {{math|term= 0 |SZ=.}} Wenn der Tag sockenzerstreut ist, aber nicht schuhzerstreut {{ Zusatz/Klammer |text=oder umgekehrt| |ISZ=|ESZ=, }} so ist der Tag zerstreut, aber nicht total zerstreut, und beidseitig steht {{math|term= 1 |SZ=.}} Wenn der Tag total zerstreut ist, so steht beidseitig {{math|term= 2 |SZ=.}} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s76wcv4zerozr9laq5ikpztj1ql54tf 10 83353 1107042 1075107 2026-07-14T17:18:24Z Bocardodarapti 2041 1107042 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{Diese Vorlage|wird für die Einbindung einer mathematischen Aussage und eines Beweises verwendet. Sie hat drei unbenannte Paramter. # die Seite mit dem Inhalt der Aussage (die Seite mit dem Beweis wird dann als Beweis eingebunden). Der Beweis wird dabei rechtsbündig mit einer {{math|term= \Box|SZ=}} abgeschlossen. # die Beschreibung des Aussagentyps (Satz, Lemma, Korollar), gleichzeitig ein Link zu der als erstem Parameter anzugebenden Seite. # eine zusätzliche inhaltliche Kennzeichnung für die Aussage, wie von Gauss oder (Gauss).}} </noinclude><includeonly>__NOEDITSECTION__</includeonly> {{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |wikicode=<nowiki>==</nowiki> {{{2|}}} <nowiki>==</nowiki><br><nowiki><div class="content" style="{{{STYLE|font-style:italic;}}}"></nowiki>{{:{{{1}}}|}}<nowiki></div></nowiki><br><nowiki>===</nowiki> Beweis <nowiki>===</nowiki><br>{{:{{{1|}}}/Beweis2}} |Übersetzungsvorbereitung=<nowiki> </nowiki> <nowiki>{{Übersetzung|</nowiki> <nowiki>DeTitel=<includeonly></nowiki>[[{{{1|}}}]]<nowiki></includeonly>|</nowiki> <nowiki>EnTitel=</nowiki> [[{{{1|}}}]] <nowiki>|</nowiki> <nowiki>EnText=abcd {{subst::</nowiki>{{{1|}}}<nowiki>|}} efgh</nowiki> <nowiki>|}}</nowiki> <nowiki> </nowiki> 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Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Relationskette/display | 12 || 3+3+3+3 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | 13 || 7+3+3 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | 14 || 7+7 || || || |SZ=, }} diese drei aufeinander folgenden Zahlen kann sie also begleichen. Alle höheren Zahlen kann sie auch begleichen, indem sie zur Darstellung von {{mathl|term= 12,13 |SZ=}} bzw. {{math|term= 14 |SZ=}} einfach eine gewisse Anzahl an {{math|term= 3 |SZ=-}}Euroscheinen hinzugibt. |Die {{math|term= 11 |SZ=}} ist nicht darstellbar. In einer möglichen Darstellung der {{math|term= 11 |SZ=}} mit {{math|term= 3 |SZ=}} und {{math|term= 7 |SZ=}} kann höchstens eine {{math|term= 7 |SZ=}} vorkommen, da {{ Relationskette | 7+7 || 14 || || || |SZ= }} schon zu groß ist. Es ist aber {{ Relationskette/display | 7+3 || 10 |\neq| 11 || || |SZ= }} und da {{math|term= 11 |SZ=}} kein Vielfaches von {{math|term= 3 |SZ=}} ist, kann man diese Zahl auch nicht nur mit {{math|term= 3 |SZ=}} darstellen. Alle Zahlen darüber kann sie nach Teil (1) begleichen. Also ist {{math|term= 11 |SZ=}} die größte Zahl, die sie nicht begleichen kann. |Nicht begleichbar sind {{ Math/display|term= 1,2,4,5,8,11 |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bgra3ylyje9r7fejrqhdjd066uswckr 0 85175 1107110 1030215 2026-07-15T08:22:35Z Bocardodarapti 2041 1107110 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wir können {{ Relationskette/display |a | < | b | < | c || || |SZ= }} annehmen. Das Produkt {{mathl|term= abc |SZ=}} hat zumindest die Teiler {{ Math/display|term= 1, a,b,c, ab,ac,bc,abc |SZ=, }} wobei allerdings welche identisch sein können. Da aber alle Zahlen {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} größer als {{math|term= 1 |SZ=}} und untereinander verschieden sind, sind auch die Produkte mit zwei Faktoren untereinander und auch vom Gesamtprodukt verschieden. Ferner sind die Zweierprodukte von allen Zahlen verschieden, die in ihnen vorkommen. Wegen den Größenverhältnissen ist {{ Relationskette |ac | > | b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |bc | > | a || || || |SZ=. }} Es kann allenfalls {{ Relationskette/display |c || ab || || || |SZ= }} sein. Es gibt also mindestens {{math|term= 7 |SZ=}} Teiler. Wählt man {{ Relationskette |a || 2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |b || 4 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |c || 8 || || || |SZ=, }} so ist {{ Relationskette/display |abc || 2 \cdot 4 \cdot 8 || 64 || 2^6 || |SZ=, }} und dies hat in der Tat sieben Teiler. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3td7563noj88z3y4dn7bgmxgxl3ygi0 1107115 1107110 2026-07-15T08:36:41Z Bocardodarapti 2041 1107115 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wir können {{ Relationskette/display |a | < | b | < | c || || |SZ= }} annehmen. Das Produkt {{mathl|term= abc |SZ=}} hat zumindest die Teiler {{ Math/display|term= 1, a, b, c, ab, ac, bc, abc |SZ=, }} von denen allerdings manche identisch sein können. Da aber alle Zahlen {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} größer als {{math|term= 1 |SZ=}} und untereinander verschieden sind, sind auch die Produkte mit zwei Faktoren untereinander und auch vom Gesamtprodukt verschieden. Ferner sind die Zweierprodukte von allen Zahlen verschieden, die in ihnen vorkommen. Wegen den Größenverhältnissen ist {{ Relationskette | ac | > | b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | bc | > | a || || || |SZ=. }} Es kann allenfalls {{ Relationskette/display | c || ab || || || |SZ= }} sein. Es gibt also mindestens {{math|term= 7 |SZ=}} Teiler. Wählt man {{ Relationskette | a || 2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | b || 4 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | c || 8 || || || |SZ=, }} so ist {{ Relationskette/display | abc || 2 \cdot 4 \cdot 8 || 64 || 2^6 || |SZ=, }} und dies hat in der Tat sieben Teiler. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 30ex3wiljq4hx5px7fmaflvua13d9l3 1107116 1107115 2026-07-15T08:37:26Z Bocardodarapti 2041 1107116 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wir können {{ Relationskette/display |a | < | b | < | c || || |SZ= }} annehmen. Das Produkt {{mathl|term= abc |SZ=}} hat zumindest die Teiler {{ Math/display|term= 1, a, b, c, ab, ac, bc, abc |SZ=, }} von denen allerdings manche identisch sein können. Da aber alle Zahlen {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} größer als {{math|term= 1 |SZ=}} und untereinander verschieden sind, sind auch die Produkte mit zwei Faktoren untereinander und auch vom Gesamtprodukt verschieden. Ferner sind die Zweierprodukte von allen Zahlen verschieden, die in ihnen vorkommen. Wegen der Größenverhältnisse ist {{ Relationskette | ac | > | b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | bc | > | a || || || |SZ=. }} Es kann allenfalls {{ Relationskette/display | c || ab || || || |SZ= }} sein. Es gibt also mindestens {{math|term= 7 |SZ=}} Teiler. Wählt man {{ Relationskette | a || 2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | b || 4 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | c || 8 || || || |SZ=, }} so ist {{ Relationskette/display | abc || 2 \cdot 4 \cdot 8 || 64 || 2^6 || |SZ=, }} und dies hat in der Tat sieben Teiler. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bnymkwaeqdlvu986fj59erbjvuam4so 0 85240 1107148 1095480 2026-07-15T09:39:44Z Bocardodarapti 2041 1107148 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display |a ||b^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |b || p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k} || || || |SZ= }} die Primfaktorzerlegung von {{math|term= b |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit verschiedenen Primfaktoren| |ISZ=|ESZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display |a || {{makl| p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k} |}}^2 || p_1^{2r_1} \cdots p_k^{2r_k} || || |SZ=. }} Die Teiler von {{math|term= a |SZ=}} haben die Form {{ Math/display|term= p_1^{i_1} \cdots p_k^{i_k} |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | 0 | \leq | i_j | \leq | 2r_j || || |SZ= }} für alle {{math|term= j |SZ=.}} Somit gibt es {{ Math/display|term= (2r_1 +1) \cdot (2r_2+1) \cdots (2r_k+1) |SZ= }} Teiler von {{math|term= a |SZ=,}} und dies ist als ein Produkt von ungeraden Zahlen wieder ungerade. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7v4os10epqtrj74ff4mn8v4li8ed4aq 0 85247 1107158 1106068 2026-07-15T10:14:09Z Bocardodarapti 2041 1107158 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Kommutativität und die Assoziativität der beiden Verknüpfungen sind klar. Das neutrale Element des Maximums ist {{math|term= 0 |SZ=}} und das neutrale Element des Minimums ist {{math|term= 1 |SZ=,}} da ja nur Elemente aus dem rationalen Einheitsintervall vorkommen. Es bleibt also noch das Distributivgesetz zu zeigen, welches bei den gegebenen Verknüpfungen {{ Zusatz/Klammer |text=wir setzen das Maximum als Addition und das Minimum als Multiplikation an| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | \operatorname{min} (a, \operatorname{max} (b,c)) || \operatorname{max} ( \operatorname{min} (a,b) , \operatorname{min} (a,c)) || || || |SZ= }} bedeutet. Dies beweisen wir durch eine Fallunterscheidung. Da die Situation in {{ mathkor|term1= b |und|term2= c |SZ= }} symmetrisch ist, können wir {{ Relationskette | b | \leq | c || || || |SZ= }} annehmen. Bei {{ Relationskette/display | a | \leq | b | \leq | c || || |SZ= }} ergibt sich links {{math|term= a |SZ=}} und rechts ebenfalls {{ Relationskette | \operatorname{max} ( a , a) || a || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette/display | b | \leq | a | \leq | c || || |SZ= }} ergibt sich links {{ Relationskette/display | \operatorname{min} (a, \operatorname{max} (b,c)) || \operatorname{min} (a,c) || a || || |SZ= }} und rechts ebenfalls {{ Relationskette/display | \operatorname{max} ( \operatorname{min} (a,b) , \operatorname{min} (a,c)) || \operatorname{max} ( b , a) || a || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette/display | b | \leq | c | \leq | a || || |SZ= }} ergibt sich links {{ Relationskette/display | \operatorname{min} (a, \operatorname{max} (b,c)) || \operatorname{min} (a,c) || c || || |SZ= }} und rechts ebenfalls {{ Relationskette/display | \operatorname{max} ( \operatorname{min} (a,b) , \operatorname{min} (a,c)) || \operatorname{max} ( b ,c) || c || || |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jm8hr751vv24semibmkiz45t4iu411d 0 87104 1107109 1094749 2026-07-15T08:22:03Z Bocardodarapti 2041 1107109 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Wenn nur zwei Farben verwendet werden, sagen wir die Farben {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ=, }} so legt die Farbe auf dem Zeigefinger alles weitere fest, nämlich {{mathl|term= XYXY|SZ=}} oder {{mathl|term= YXYX|SZ=.}} Da es drei Möglichkeiten gibt, aus drei Farben zwei Farben auszuwählen, gibt es sechs Möglichkeiten, die Nägel mit nur zwei Farben in der beschriebenen Weise zu lackieren. | Wenn alle drei Farben vorkommen sollen, so kommt genau eine doppelt und die beiden anderen Farben einfach vor. Für die Wahl der doppelt verwendeten Farbe gibt es drei Möglichkeiten. Für die Auswahl der zwei Finger für diese Farbe gibt es grundsätzlich {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient| 4| 2}} || 6 || || || |SZ= }} Möglichkeiten, davon sind aber drei Möglichkeiten durch die Nachbarschaftsbedingung ausgeschlossen. In jedem dieser Fälle hat man noch zwei Möglichkeiten, wie man die beiden anderen Farben verteilen soll. Also gibt es von diesem Typ {{ Relationskette/display | 3 \cdot 3 \cdot 2 || 18 || || || |SZ= }} Möglichkeiten. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ylyf98gkejn31oaiwlnb45i1w7a9qa 0 93262 1107117 1028083 2026-07-15T08:39:07Z Bocardodarapti 2041 1107117 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Es ist {{ Relationskette/align |((f+g) \circ h) (x) || (f+g)(h(x)) || f(h(x)) + g(h(x)) || (f \circ h) (x) + (g \circ h)(x) || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x | \in | \R || || || |SZ=, }} somit ist {{ Relationskette/display | (f+g) \circ h || f \circ h + g \circ h || || || |SZ= }} für beliebige {{ Relationskette | f,g,h | \in | {{op:Abbildungsmenge|\R|\R}} || || || |SZ=. }} |Es sei {{math|term= h |SZ=}} die Quadratabbildung, also {{ Relationskette/display | h(x) || x^2 || || || |SZ= }} und es sei {{ Relationskette/display | f || g || || || |SZ= }} die identische Abbildung, also {{ Relationskette/display | f(x) || g(x) || x || || |SZ=. }} Dann ist einerseits {{ Relationskette/align | ( h \circ (f+g) )(1) || h( (f+g)(1) ) || h( f(1) +g(1)) || h( 1+1) || h(2) || 4 |SZ= }} und andererseits {{ Relationskette/align | ( h \circ f+ h \circ g )(1) || ( h \circ f)(1) + (h \circ g )(1) || h( f(1)) +h(g(1)) || h( 1) +h(1) || 1+1 || 2 |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/display | h \circ (f+g) |\neq | h \circ f + h \circ g || || || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fnedm0ubnnvpiwegpxmycno67fq9e2j 0 99104 1107174 1096764 2026-07-15T11:11:31Z Bocardodarapti 2041 1107174 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= m |SZ=}} das Maximum der beteiligten vier Zahlen {{math|term= a,b,c,d|SZ=.}} Wir zeigen, dass dieses Maximum nach endlich vielen Iterationen kleiner wird. Da wir uns innerhalb der natürlichen Zahlen befinden, folgt daraus, dass das Maximum irgendwann {{math|term= 0 |SZ=}} wird, was bedeutet, dass dann alle vier Zahlen {{math|term= 0 |SZ=}} sind. Da alle Zahlen aus {{math|term= \N |SZ=}} sind und die nichtnegative Differenz genommen wird, wird das Maximum bei einer Iteration definitiv nicht größer. Allerdings kann das Maximum gleich bleiben. Dies kann aber nur dann sein, wenn ein Nachbar {{ Zusatz/Klammer |text=zyklisch gedacht, die vierte Zahl ist also auch ein Nachbar der ersten Zahl| |ISZ=|ESZ= }} des Maximums gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Wir müssen {{ Zusatz/Klammer |text=durch zyklisches Vertauschen und Spiegeln| |ISZ=|ESZ= }} nur noch die Situation anschauen, wo das Tupel die Form {{ Math/display|term= (m,0,x,y) |SZ= }} mit {{ Relationskette | x,y | \leq | m || || || |SZ= }} hat. Wenn {{ Relationskette | x || y || 0 || || |SZ= }} ist, so liefert die Abbildung {{ Math/display|term= (m,0,0,m) |SZ=. }} Wir müssen also nur noch die Situation anschauen, wo es höchstens zwei Nullen gibt. Bei {{ Math/display|term= (m,0,x,0) |SZ= }} mit {{ Relationskette | x |\neq| 0 || || || |SZ= }} ergibt sich im nächsten Schritt {{ Math/display|term= (m,x,x,m) |SZ=, }} was keine Nullen mehr hat. Bei {{ Math/display|term= (m,0,0,y) |SZ= }} mit {{ Relationskette | y |\neq| 0 || || || |SZ= }} ergibt sich im nächsten Schritt {{ Math/display|term= (m,0,y,m-y) |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | y | < | m || || || |SZ= }} besitzt dies nur eine Null, bei {{ Relationskette | y || m || || || |SZ= }} sind wir in einem schon behandelten Fall. Es sei das Tupel jetzt {{ Math/display|term= (m,0,x,y) |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | 0 | < | x,y | \leq | m || || |SZ=. }} Das Ergebnis ist {{ Math/display|term= (m,x, {{op:Betrag| x-y }}, m-y) |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || m || || || |SZ= }} ist dies {{ Math/display|term= (m,m,m-y,m-y) |SZ= }} mit dem Folgetupel {{ Math/display|term= (0, y,0,y) |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | y | < | m || || || |SZ= }} besitzt dies ein kleineres Maximum, bei {{ Relationskette | y || m || || || |SZ= }} ist das Folgetupel gleich {{ Math/display|term= (m,m,m,m) |SZ=, }} und davon ist das Folgetupel {{ Math/display|term= (0,0,0,0) |SZ=. }} Es sei also {{ Relationskette | x | < | m || || || |SZ=. }} Das Folgetupel ist bei {{ Relationskette | y || m || || || |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | (m,x, {{op:Betrag| x-y }}, m-y) || (m,x,m-x,0) || || || |SZ=, }} und dessen Folgetupel ist {{ Math/display|term= (m-x, {{op:Betrag|m-2x }} , m-x,m) |SZ=. }} Allenfalls in der dritten Position könnte eine {{math|term= 0 |SZ=}} stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von {{math|term= m |SZ=,}} sodass das Folgetupel keine Null besitzt. Das Folgetupel ist bei {{ Relationskette | y | < | m || || || |SZ= }} gleich {{ Math/display|term= (m,x, {{op:Betrag| x-y }}, m-y) |SZ=, }} und dabei ist wieder allenfalls in der dritten Position eine {{math|term= 0 |SZ=,}} doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von {{math|term= m |SZ=,}} sodass das Folgetupel keine Null besitzt. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Vier-Zahlen-Problem |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hnu5lh1e2uhba18tn0plrrrban8pln2 0 101364 1107139 1029551 2026-07-15T09:13:02Z Bocardodarapti 2041 1107139 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Da insbesondere der Betrag {{math|term= 1 |SZ=}} beglichen werden kann, muss es eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Riggating-Münze geben. Den Nennbetrag der zweiten Riggating-Münze nennen wir {{ Relationskette |d | > | 1 || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass man die Darstellung des Riggating-Preises {{math|term= n |SZ=}} mit der minimalen Anzahl von Münzen findet, wenn man {{ Relationskette/display |n || sd+r || || || |SZ= }} mit {{math|term= r |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= d-1 |SZ= }} berechnet. Die Münzanzahl ist dann {{mathl|term= s+r|SZ=.}} Die Darstellung kann man erhalten, indem man solange {{math|term= d |SZ=-}}Münzen anhäuft, solange man unterhalb von {{math|term= n |SZ=}} bleibt, mit der nächsten zusätzlichen {{math|term= d |SZ=-}}Münze wäre man also schon drüber. Was dann noch fehlt füllt man mit {{math|term= 1 |SZ=-}}Münzen auf. Zum Nachweis der Eindeutigkeit: Es sei {{ Relationskette/display |n || td + u || || || |SZ= }} eine weitere Darstellung mit {{ Relationskette/display |t |\neq|s || || || |SZ=. }} Wir behaupten zunächst {{ Relationskette/display |t | < | s || || || |SZ=. }} Denn andernfalls wäre {{ Relationskette/display |t | > | s || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display |t | \geq | s+1 || || || |SZ=, }} und dann wäre {{ Relationskette/display |td+u | \geq | (s+1)d || sd+d | > | sd+r || n |SZ=, }} das wäre also keine Darstellung von {{math|term= n |SZ=.}} Für die Anzahl der in der zweiten Darstellung verwendeten Münzen gilt somit {{ Zusatz/Klammer |text=dafür sei {{ Relationskette/k | n |\neq| 1 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | t+u || t + n-td || n - t(d-1) | > | n- s (d-1) || s+ n-sd || s+r |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | n || 1 || || || |SZ= }} ist die Darstellung sowieso eindeutig. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 15qw7ckrupiu0gazqgrv7gp3rxobwuq 0 101419 1107146 562455 2026-07-15T09:36:44Z Bocardodarapti 2041 1107146 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Forderung von Frau Maier-Sengupta bedeutet, dass die Sprechzeiten der Kinder paarweise disjunkt sein sollen. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n5ppsjggfbu15u4eot04eixj5a776l4 0 101797 1107121 1045413 2026-07-15T08:43:41Z Bocardodarapti 2041 1107121 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im {{math|term= n |SZ=-}}Land gibt es Münzen zum Nennwert {{mathl|term= 1, n, n+1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | n | \geq | 2 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die minimale Darstellung eines Geldbetrages im Allgemeinen nicht eindeutig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ahaj04vgydh3x5atw1rxq8ce08vlhi 0 101800 1107122 1023660 2026-07-15T08:44:13Z Bocardodarapti 2041 1107122 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sind {{ Relationskette/display |n^2 || n \cdot n || 1 \cdot 1+ (n-1) \cdot (n+1) || || |SZ= }} zwei Darstellungen des Betrages {{math|term= n^2 |SZ=,}} die beide {{math|term= n |SZ=}} Münzen verwenden {{ Zusatz/Klammer |text=und verschieden sind| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist zu zeigen, dass diese minimal sind, dass es also keine Darstellung von {{math|term= n^2 |SZ=}} mit weniger als {{math|term= n |SZ=}} Münzen gibt. Dies ist aber klar, da der höchste Münzwert gleich {{mathl|term= n+1 |SZ=}} ist und der höchste mit {{mathl|term= n-1 |SZ=}} Münzen zu erzielende Betrag gleich {{ Relationskette/display | (n-1) \¢dot (n+1) || n^2-1 | < | n^2 || || |SZ= }} ist. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9l035qwsjup1ec9k9wqiotmrrzfjtf1 1107123 1107122 2026-07-15T08:44:21Z Bocardodarapti 2041 1107123 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sind {{ Relationskette/display |n^2 || n \cdot n || 1 \cdot 1+ (n-1) \cdot (n+1) || || |SZ= }} zwei Darstellungen des Betrages {{math|term= n^2 |SZ=,}} die beide {{math|term= n |SZ=}} Münzen verwenden {{ Zusatz/Klammer |text=und verschieden sind| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist zu zeigen, dass diese minimal sind, dass es also keine Darstellung von {{math|term= n^2 |SZ=}} mit weniger als {{math|term= n |SZ=}} Münzen gibt. Dies ist aber klar, da der höchste Münzwert gleich {{mathl|term= n+1 |SZ=}} ist und der höchste mit {{mathl|term= n-1 |SZ=}} Münzen zu erzielende Betrag gleich {{ Relationskette/display | (n-1) \cdot (n+1) || n^2-1 | < | n^2 || || |SZ= }} ist. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} crct2royt9zkvit55mjggqjbdvxe24h 0 101858 1107032 1085218 2026-07-14T17:05:55Z Bocardodarapti 2041 1107032 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |kürzbaren| |Kontext=Monoid| |SZ= }} kommutativen Monoide {{ Relationskette/display |M || \langle f,g,h \rangle/(nh {{=|}} nf+ng) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |N || \langle a,b,f,g \rangle/(na {{=|}} nf, nb {{=|}} ng) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=zu fixiertem {{mathlk|term=n \in \N_+|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} mit dem natürlichen {{ Definitionslink |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | M | N | h | a+b |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= f,g|SZ=}} auf sich selbst gehen| |ISZ=|ESZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display |nh || n(a+b) || na+nb || nf+ng || |SZ= }} ist diese Abbildung wohldefiniert. Für die Nenneraufnahmen gelten {{ Relationskette/display |M_f || {{makl| \langle f,g,h \rangle/(nh {{=|}} nf+ng) |}}_f || {{makl| \langle b,g \rangle/(nb {{=|}} ng ) |}} \times \Z || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | h -f ||b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align |N_f || {{makl| \langle a,b,f,g \rangle/(na {{=|}} nf, nb {{=|}} ng) |}}_f || {{makl| \langle c,b,f,g \rangle/(nc {{=|}} 0, nb {{=|}} ng) |}}_f || {{makl| \langle b,g \rangle/(nb {{=|}} ng) |}} \times \Z \times {{op:Zmod| n |}} || M_f \times {{op:Zmod| n |}} |SZ=, }} wobei wir {{ Relationskette |c || f-a || || || |SZ= }} gesetzt haben. Entsprechendes gilt für {{ mathkor|term1= M_g |und|term2= N_g |SZ=. }} Somit ist auf dem punktierten Spektrum {{mathl|term= D(f,g) |SZ=}} die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Spek| N |}} | {{op:Spek| M |}} || |SZ= }} lokal trivial mit der Faser {{mathl|term= {{op:Spek| {{op:Zmod| n |}} |}} |SZ=.}} Es handelt sich um eine {{ Zusatz/Klammer |text=quasifaffine Realisierung einer| |ISZ=|ESZ= }} kombinatorische Überlagerung. Über einem Körper, der sämtliche {{math|term= n |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Einheitswurzeln| |Kontext=| |SZ= }} enthält, besteht {{mathl|term= {{op:KSpek| M |}} |SZ=}} aus {{math|term= n |SZ=}} Ebenen, da der Monoidring durch {{ Math/display|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| Z^n-X^nY^n |}} |SZ= }} gegeben ist und daher die Faktorisierung {{ Relationskette/display | Z^n -X^nY^n || {{makl| Z-XY |}} (Z- \zeta XY) \cdots (Z- \zeta^{n-1} XY) || || || |SZ= }} vorliegt, wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine {{math|term= n |SZ=-}}te primitive Einheitswurzel bezeichnet. Je zwei Ebenen schneiden sich in {{ Relationskette |Z || XY || 0 || || |SZ=, }} also im ebenen Achsenkreuz. Der Monoidring zu {{math|term= N |SZ=}} ist {{ Relationskette/display |K[N] || K[X,Y,V,W]/ {{makl| X^n-V^n,Y^n-W^n |}} || || || |SZ=. }} Dagegen besteht {{mathl|term= {{op:KSpek| N |}} |SZ=}} aus {{math|term= n^2 |SZ=}} Ebenen, die durch {{ Math/display|term= V( X-\zeta^{i} V, Y- \zeta^j W ),\, (i,j) \in {{op:Zmod| n |}} \times {{op:Zmod| n |}} |SZ= }} gegeben sind. Dabei schneiden sich zwei Ebenen {{ mathkor|term1= E_{ij} |und|term2= E_{rs} |SZ= }} in einer Geraden, wenn ein Index übereinstimmt, sonst im Nullpunkt. Insgesamt ist {{mathl|term= {{op:KSpek| N |}} |SZ=}} zusammenhängend. Über {{math|term= {{op:KSpek|M_f|}} |SZ=}} liegen {{math|term= n |SZ=}} disjunkte Kopien von {{math|term= {{op:KSpek|M_f|}} |SZ=.}} Das Monoid {{math|term= M |SZ=}} ist {{math|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ=-}}graduiert, wobei {{mathl|term= f,g,h |SZ=}} den Erzeugergrad {{math|term= 1 \in {{op:Zmod| n |}} |SZ=}} bekommen. Das Monoid {{math|term= N |SZ=}} ist {{math|term= {{op:Zmod| n |}} \times {{op:Zmod| n |}} |SZ=-}}graduiert, wobei {{mathl|term= a |SZ=}} den Grad {{math|term= (1,0) |SZ=,}} {{mathl|term= b |SZ=}} den Grad {{math|term= (0,1) |SZ=}} und {{mathl|term= f,g|SZ=}} den Grad {{mathl|term= (1,1) |SZ=}} bekommen. Die beiden Graduierungen sind über die Diagonale verträglich. Das Monoid {{math|term= M |SZ=}} ist das Grad {{math|term= 0 |SZ=-}}Untermonoid zur Diagonalgraduierung. Auf {{math|term= {{op:KSpek| M |}} |SZ=}} wirkt die Gruppe {{ Relationskette | {{op:Charakterdual(| {{op:Zmod| n |}} |}} || \mu_n || || || |SZ= }} und auf {{math|term= {{op:KSpek| N |}} |SZ=}} wirkt die Gruppe {{ Relationskette | {{op:Charakterdual(| {{op:Zmod| n |}} \times {{op:Zmod| n |}} |}} || \mu_n \times \mu_n || || || |SZ=, }} was den Graduierungen entspricht. Die Operation der Charaktergruppe zur Diagonalen besitzt {{mathl|term= K[M] |SZ=}} als Invariantenring. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kürzbaren kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nrkt3w341aytea1b0lz8wkyk0nqbtrs 0 101882 1107031 1100116 2026-07-14T17:04:34Z Bocardodarapti 2041 1107031 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display |M || \langle f,g,h \rangle/(nh {{=|}} nf+ng) || || || |SZ= }} das Monoid aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Nh ist nf+ng/Komomologie der Einheitengarbe/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Über einem Körper, der sämtliche {{math|term= n |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Einheitswurzeln| |Kontext=| |SZ= }} enthält, besteht {{mathl|term= {{op:KSpek| M |}} |SZ=}} aus {{math|term= n |SZ=}} Ebenen, da der Monoidring durch {{ Relationskette/display |R || K[X,Y,Z]/ {{makl| Z^n-X^nY^n |}} || || || |SZ= }} gegeben ist und daher die Faktorisierung {{ Relationskette/display |Z^n -X^nY^n || {{makl| Z-XY |}} (Z- \zeta XY) \cdots (Z- \zeta^{n-1} XY) || || || |SZ= }} vorliegt, wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine {{math|term= n |SZ=-}}te primitive Einheitswurzel bezeichnet. Je zwei Ebenen schneiden sich in {{ Relationskette |Z || XY || 0 || || |SZ=, }} also im ebenen Achsenkreuz. Die Einheitengarbe ist {{ Relationskette/display |\Gamma (D(X) , {\mathcal O}^\times) || K^\times \times \Z || || || |SZ=, }} da {{math|term= D(X) |SZ=}} zusammenhängend ist, und {{ Relationskette/display |\Gamma (D(XY) , {\mathcal O}^\times) || {{makl| K^\times |}}^n \times \Z \times \Z || || || |SZ=. }} Unter den Restriktionsabbildungen gehen die konstanten Einheiten auf die gleiche Untergarbe, als Kokern erhält man also {{ Relationskette/display | {{makl| K^\times |}}^n/{\rm Diagonale} | \cong| {{makl| K^\times |}}^{n-1} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der kürzbaren kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8glr27lyxah3ohnzr7cjl6dad9b15ih 0 102874 1107144 1094452 2026-07-15T09:33:57Z Bocardodarapti 2041 1107144 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4/a |Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient| {{op:Binomialkoeffizient| 3| 2}} | 1}} || {{op:Binomialkoeffizient| 3 | 1}} || 3 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient| 3| {{op:Binomialkoeffizient| 2| 1}} }} || {{op:Binomialkoeffizient| 3| 2 }} || 3 || || |SZ=. }} |Es kann kein neutrales Element von links geben, da für {{ Relationskette |k | > | n || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient| n | k}} || 0 |\neq| k || || |SZ=. }} |{{math|term= 1 |SZ=}} ist das neutrale Element von rechts. Für {{ Relationskette |n | \geq | 1 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient| n | 1}} || n || || || |SZ= }} und dies gilt auch für {{ Relationskette |n || 0 || || || |SZ=. }} |Die Verknüpfung ist nicht assoziativ, beispielsweise ist {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient| {{op:Binomialkoeffizient| 4| 3}} | 2}} || {{op:Binomialkoeffizient| 4 | 2}} || 6 || || |SZ=, }} aber {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient| 4| {{op:Binomialkoeffizient| 3| 2}} }} || {{op:Binomialkoeffizient| 4| 3 }} || 4 || || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h301gigi7jnme6ezfkdcxtxtwkahii5 0 103184 1107177 1040200 2026-07-15T11:16:35Z Bocardodarapti 2041 1107177 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (M, \leq) |SZ=}} mit der Eigenschaft, dass für je zwei Elemente {{ Relationskette | x,y | \in | M || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Infimum| |Kontext=Ordnung| |SZ= }} {{mathl|term= x \sqcap y |SZ=}} und ein {{ Definitionslink |Supremum| |Kontext=Ordnung| |SZ= }} {{mathl|term= x \sqcup y |SZ=}} existieren, heißt {{ Definitionswort |Verband| |msw= |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Verband |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0udqy98ds23b74yge7om44hm9phfth2 0 105261 1107068 1095864 2026-07-15T06:05:51Z Bocardodarapti 2041 1107068 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Der Mittelpunkt von {{ mathkor|term1= (a_1,a_2) |und|term2= (b_1,b_2) |SZ= }} besitzt die Koordinaten {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|a_1+b_1 | 2}} | {{op:Bruch|a_2 +b_2 | 2}} }} |SZ=.}} |Wir betrachten für jeden Punkt, ob die Koordinaten gerade oder ungerade sind. Dafür gibt es vier Möglichkeiten {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=(g,g),\, (g,u),\, (u,g), \, (u,u) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Da es {{math|term= 5 |SZ=}} Punkte gibt, kommt eine dieser Möglichkeiten zumindest zweimal vor. Seien {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} zwei Punkte, die hinsichtlich dieser Eigenschaft übereinstimmen. Da das {{ Definitionslink |arithmetische Mittel| |Kontext=| |SZ= }} von zwei geraden Zahlen und von zwei ungeraden Zahlen ganzzahlig ist, besitzt der Mittelpunkt von {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} ganzzahlige Koordinaten. |Die vier Punkte {{ Math/display|term= (0,0),\, (0,1),\, (1,0), \, (1,1) |SZ= }} zeigen, dass dies nicht gelten muss. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3t1uu093c2m5gcpskmbvmdojxipj087 0 106779 1107099 1098025 2026-07-15T07:49:04Z Bocardodarapti 2041 1107099 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Europäische Wasserscheiden|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Sansculotte |Domäne=de Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir nennen zwei Flüsse in Europa äquivalent, wenn sie letztlich in das gleiche Meer entwässern, wobei wir die Einteilungen der Karte übernehmen. {{ Aufzählung4 |Wie viele Äquialenzklassen gibt es? |Ist der Rhein zur Donau äquivalent? |Ist die Hase zur Themse äquivalent? |Man gebe zwei Repräsentanten für die Äquivalenzklasse Ostsee an! }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=0.5 |p2=0.5 |p3=0.5 |p4=0.5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5e70eo14xpewyarmkxe4y0zzf9o6hhf 0 106839 1107182 1082904 2026-07-15T11:32:33Z Bocardodarapti 2041 1107182 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Fußballmannschaft des TSV Wildberg verfügt über drei Torwarte, sieben Verteidigungsspieler, sechs Mittelfeldspieler und vier Angreifer. Im anstehenden Spiel gegen Effringen will sie {{ Zusatz/Klammer |text=neben einem Torwart| |ISZ=|ESZ= }} mit vier Verteidigern, drei Mittelfeldspielern und drei Angreifern agieren. {{ Aufzählung3 |Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es? |Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es, wenn man zusätzlich noch berücksichtigt, dass einer der eingesetzten Spieler der Kapitän sein soll? |Wildberg geht in der {{math|term= 80.|SZ=}} Minute mit {{mathl|term= 1:0 |SZ=}} in Führung und entschließt sich, die Verteidigung zu stärken, indem zwei Angreifer durch zwei Verteidiger ersetzt werden. Wie viele Auswechslungsmöglichkeiten gibt es dafür? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Kombinatorik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mndbekzlm9hsa1b6q4ghk1rfziu3ok2 0 108501 1107178 1090460 2026-07-15T11:17:37Z Bocardodarapti 2041 1107178 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Relation ist nicht reflexiv, da {{math|term= A |SZ=}} nicht zu sich selbst in Beziehung steht. Die Relation ist symmetrisch, da die einzigen Relationsbeziehungen zwischen verschiedenen Elementen die Relation zwischen {{ mathkor|term1= B |und|term2= D |SZ= }} ist, und diese in beide Richtungen gegeben ist. Daher ist die Relation auch nicht antisymmetrisch. Die Relation ist transitiv. Die einzige zu überprüfende nichttriviale Voraussetzung ist {{mathl|term= BRD |SZ=}} und {{mathl|term= DRB |SZ=,}} wobei die Konklusion wegen {{ mathkor|term1= BRB |und|term2= DRD |SZ= }} gilt. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kr6aemghf1pi9p6q4sqcjkm39nas0k1 1107180 1107178 2026-07-15T11:29:23Z Bocardodarapti 2041 1107180 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Relation ist nicht reflexiv, da {{math|term= A |SZ=}} nicht zu sich selbst in Beziehung steht. Die Relation ist symmetrisch, da die einzige Relationsbeziehung zwischen verschiedenen Elementen die Relation zwischen {{ mathkor|term1= B |und|term2= D |SZ= }} ist, und diese in beide Richtungen gegeben ist. Daher ist die Relation auch nicht antisymmetrisch. Die Relation ist transitiv. Die einzige zu überprüfende nichttriviale Voraussetzung ist {{mathl|term= BRD |SZ=}} und {{mathl|term= DRB |SZ=,}} wobei die Konklusion wegen {{ mathkor|term1= BRB |und|term2= DRD |SZ= }} gilt. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nhqnyybho8z1ljs05odogoo9c8gmhmv 0 109116 1107034 1088237 2026-07-14T17:06:59Z Bocardodarapti 2041 1107034 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Für einen {{ Definitionslink |lokalen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= ist die {{ Definitionslink |Picardgruppe| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Spek| R |}} |SZ=}} trivial. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7mfk0ndhmiwk8grztdutexlgjuo3o55 0 116849 1107088 1093737 2026-07-15T07:29:54Z Bocardodarapti 2041 1107088 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} und {{ Relationskette | e | \in | E || || || |SZ= }} eine Kante, die die Knotenpunkte {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} verbindet. Man nennt denjenigen Graphen mit der Knotenmenge {{ Relationskette | V' || V/e || || || |SZ=, }} bei der {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} miteinander identifiziert werden, und bei dem die Kantenmenge {{math|term= E' |SZ=}} aus den Bildkanten zur Kontraktionsabbildung {{ Abbildung |name= | V | V/e || |SZ= }} besteht, den {{ Definitionswort |Kontraktionsgraphen| |msw=Kontraktionsgraph |SZ= }} zu {{math|term= e |SZ=.}} Er wird mit {{mathl|term= G/e |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Quotientengraphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Kontraktionsgraph |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ojumwjymyb9zbpadnzjd42wu2utjxmd 0 118199 1107114 1101099 2026-07-15T08:35:01Z Bocardodarapti 2041 1107114 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir beweisen die Aussage durch Induktion über {{math|term= n |SZ=,}} wobei der Fall {{ Relationskette |n || 1 || || || |SZ= }} klar ist. Für {{ Relationskette |n || 2 || || || |SZ= }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Endliche Menge/Formel für Durchschnitt und Vereinigung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | {{op:Anzahl| \bigcup_{i {{=}} 1}^{n+1} A_i |}} || {{op:Anzahl| {{makl| \bigcup_{i {{=}} 1}^{n} A_i |}} \cup A_{n+1}|}} || {{op:Anzahl| \bigcup_{i {{=}} 1}^{n} A_i |}} + {{op:Anzahl| A_{n+1} |}} - {{op:Anzahl| {{makl| \bigcup_{i {{=}} 1}^{n} A_i |}} \cap A_{n+1}|}} || \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{makl| \sum_{J \subseteq \{1 {{kommadots}} n \} ,\, {{op:Anzahl| J |}} {{=}} k } {{op:Anzahl|A_J}} |}} + {{op:Anzahl| A_{n+1} |}} - {{op:Anzahl| \bigcup_{i {{=}} 1}^{n} {{makl| A_i \cap A_{n+1} |}} |}} || \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{makl| \sum_{J \subseteq \{1 {{kommadots}} n \} ,\, {{op:Anzahl| J |}} {{=}} k } {{op:Anzahl|A_J}} |}} + {{op:Anzahl| A_{n+1} |}} | 9teil2= - \sum_{\ell {{=}} 1}^n (-1)^{\ell+1} {{makl| \sum_{L \subseteq \{1 {{kommadots}} n \} ,\, {{op:Anzahl| L |}} {{=}} \ell } {{op:Anzahl|A_L \cap A_{n+1} }} |}} || \sum_{k {{=}} 1}^{n+1} (-1)^{k+1} {{makl| \sum_{J \subseteq \{1 {{kommadots}} n ,n+1 \} ,\, n+1 \notin J ,\, {{op:Anzahl| J |}} {{=}} k } {{op:Anzahl|A_J}} |}} | 11teil2= + \sum_{k {{=}} 1}^{n+1} (-1)^{k+1} {{makl| \sum_{J \subseteq \{1 {{kommadots}} n ,n+1 \} ,\, {{op:Anzahl| J |}} {{=}} k,\, n+1 \in J } {{op:Anzahl|A_J}} |}} || \sum_{k {{=}} 1}^{n+1} (-1)^{k+1} {{makl| \sum_{J \subseteq \{1 {{kommadots}} n ,n+1 \} ,\, {{op:Anzahl| J |}} {{=}} k } {{op:Anzahl|A_J}} |}} |SZ=, }} wobei wir für die zweite Gleichung den Fall von zwei Teilmengen und für die dritte und die vierte Gleichung die Induktionsvoraussetzung verwendet haben. Für die fünfte Gleichung führen wir hinten die Indexverschiebung {{ Relationskette | k || \ell +1 || || || |SZ= }} durch, und der mittlere Term wird in die rechte Summe integriert. Die sechste Gleichung ergibt sich von unten nach oben gelesen, wenn man die Teilmengen {{ Relationskette/display |J | \subseteq| \{1 {{kommadots}} n ,n+1 \} || || || |SZ= }} je nachdem aufspaltet, ob {{math|term= n+1 |SZ=}} dazu gehört oder nicht. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j52vso4xi9drlaenzr2pqrt1oajjvd4 0 118977 1107091 1087877 2026-07-15T07:33:01Z Bocardodarapti 2041 1107091 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation=Zu {{ Relationskette |n,k | \in |\N || || || |SZ= }} bezeichne {{mathl|term= {{op:Surjektionszahl| n |k}} |SZ=}} die Anzahl der {{ Definitionslink |surjektiven Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} von einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in eine {{math|term= k |SZ=-}}elementige Menge. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung=Dann gilt die Rekursionsformel {{ Relationskette/display | {{op:Surjektionszahl|n+1|k}} || k \cdot {{op:Surjektionszahl| n |k}} + k \cdot {{op:Surjektionszahl| n |k-1}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Anzahl von surjektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Rekursionsformel für die Anzahl der surjektiven Abbildungen |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1t58qjvl0u8hkboluoecbagz765lgeg 0 120596 1107127 1037845 2026-07-15T08:48:32Z Bocardodarapti 2041 1107127 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | v' || Mv || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Lösung des Anfangswertproblems mit der Anfangsbedingung {{ Relationskette | v(0) || w | \in |\R^d || || |SZ= }} durch {{ Relationskette/display | v(t) || {{makl| {{op:exp(|tM|}} |}} w || || || |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2=Theorie der Exponentialabbildung (Matrix) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72go8za4i7rlwwbk7byuta7o8fv43rw 0 120876 1107052 1106587 2026-07-14T17:38:22Z Bocardodarapti 2041 1107052 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Relationskette | \Q | \subseteq|K || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=.}} Gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es {{math|term= n |SZ=}} verschiedene Einbettungen von {{math|term= K |SZ=}} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Diese kann man zur komplexen Gesamteinbettung {{ Abbildung/display |name= \tau |K| {{CC|}}^n || |SZ= }} zusammenfassen. Insbesondere ist das Bild des Ganzheitsringes {{math|term= R |SZ=}} unter dieser Abbildung interessant und erlaubt einen Zugang zu {{math|term= R |SZ=,}} bei dem Methoden der diskreten Geometrie, der linearen Algebra, der Maßtheorie eingesetzt werden können. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display |R | \cong|\Z^n || || || |SZ=, }} wobei die Standardbasis einer {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=}} entspricht. Diese legt die komplexe {{ Definitionslink |Ganzheitsmatrix| |Kontext=komplex| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{makl| \tau_j(b_k) |}}_{1 \leq j,k \leq n} |SZ= }} fest. Sie definiert ein {{Anführung|komplexes Gitter}} im {{math|term= {{CC|}}^n |SZ=,}} das Quadrat ihrer Determinante ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/C/Basis/Diskriminante/Einbettungsbeschreibungen/Fakt |Nr= |SZ= }} die {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ=, }} usw. Allerdings entwickeln die angesprochenen Methoden ihre Schlagkraft deutlicher, wenn man zu der komplexen Gesamteinbettung eine reelle Version entwickelt. Bei einer Einbettung {{ Abbildung/display |name= \sigma | K | {{CC|}} || |SZ= }} unterscheidet man, ob das Bild innerhalb der reellen Zahlen liegt oder nicht. Im ersten Fall spricht man von einer {{Stichwort|reellen Einbettung|msw=Reelle Einbettung|SZ=.}} Wenn {{math|term= \sigma |SZ=}} keine reelle Einbettung ist, so spricht man von einer komplexen Einbettung, in diesem Sinn ist also eine reelle Einbettung nicht komplex. Zu einer komplexen Einbettung {{math|term= \sigma |SZ=}} ist auch die konjugiert-komplexe Einbettung {{ Math/display|term= {{op:Komplexe Konjugation| \sigma|}} : K \stackrel{\sigma }{ \longrightarrow} {{CC|}} \stackrel{ \text{komplexe Konjugation} }{\longrightarrow } {{CC|}} |SZ= }} eine komplexe Einbettung, und zwar ist {{ Relationskette | \sigma |\neq| {{op:Komplexe Konjugation| \sigma|}} || || || |SZ=, }} denn sonst wäre {{math|term= \sigma |SZ=}} eine reelle Einbettung. Komplexe Einbettungen treten also immer paarweise auf. Es sei {{math|term= r |SZ=}} die Anzahl der reellen Einbettungen und {{math|term= 2s |SZ=}} die Anzahl der komplexen Einbettungen; {{math|term= s |SZ=}} sei also die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen. Dann gilt {{ Relationskette/display | n || r+2s || || || |SZ=. }} Häufig fixiert man zu jedem Paar von komplexen Einbettungen eine Einbettung davon, da sich die andere daraus direkt ablesen lässt. Die Wahl ist dabei willkürlich. Alle numerisch möglichen Kombinationen von {{ mathkor|term1= r |und|term2= s |SZ= }} treten auch auf. Es seien {{ mathbed|term= \rho_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} r ||bedterm2= |SZ= }} die reellen Einbettungen und {{ mathbed|term= \sigma_j ||bedterm1= j = 1 {{kommadots|}} s ||bedterm2= |SZ= }} Repräsentanten der Paare von komplexen Einbettungen. Dies definiert eine Gesamteinbettung {{ Abbildung/display |name= | K | \R^r \times {{CC}}^s || |SZ=, }} die wir die {{Stichwort|reelle Gesamteinbettung|SZ=}} nennen. Wenn man einzelne komplexe Einbettungen durch ihre konjugierten Einbettungen ersetzt, so ergibt sich ein natürlicher {{math|term= \R |SZ=-}}linearer Automorphismus von {{mathl|term= \R^r \times {{CC}}^s |SZ=}} in sich. Dabei gilt als reeller Vektorraum {{ Relationskette/display | \R^r \times {{CC}}^s | \cong| \R^r \times \R^{2s} || \R^n || || |SZ=, }} d.h. die reelle Dimension des Einbettungsraumes stimmt mit dem Grad der Körpererweiterung überein. Zwischen der reellen Gesamteinbettung und der komplexen Gesamteinbettung besteht der Zusammenhang {{Kommutatives Dreieck/ru| K | \R^r \times {{CC}}^s | {{CC|}}^{r+2s} |abb12= {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} |abb13= \tau |abb23= \psi |SZ=,}} wobei {{math|term= \psi |SZ=}} in den ersten {{math|term= r |SZ=}} Komponenten die natürliche Einbettung {{ Relationskette | \R | \subset| {{CC}} || || || |SZ= }} und in den hinteren Komponenten die Abbildung {{ Abbildung |name= | {{CC|}} | {{CC|}} \times {{CC|}} | z | (z, {{op:Komplexe Konjugation|z|}} ) |SZ=, }} ist. Somit ist {{math|term= \psi |SZ=}} eine {{math|term= \R |SZ=-}}lineare Abbildung. Ein Element {{ Relationskette | b | \in| K || || || |SZ= }} wird unter der reellen Gesamteinbettung auf {{ Relationskette/display | {{op:Reelle Gesamteinbettung|}} (b) || {{op:Spaltenvektor| \rho_1(b) | \vdots | \rho_r(b) | {{op:Realteil| \sigma_1(b) |}} | {{op:Imaginärteil| \sigma_1(b) |}} | \vdots | {{op:Realteil| \sigma_s(b) |}} | {{op:Imaginärteil| \sigma_s(b)||}} |}} || || || |SZ= }} und unter der komplexen Gesamteinbettung auf {{ Relationskette/display | \tau (b) || {{op:Spaltenvektor| \rho_1(b) | \vdots | \rho_r(b) | \sigma_1(b) | {{op:Komplexe Konjugation| \sigma}}_1(b) | \vdots | \sigma_s(b) | {{op:Komplexe Konjugation| \sigma}}_s(b) |}} || || || |SZ= }} abgebildet. {{ inputbild |Wurzel5|png| 250px {{!}} right {{!}} | | |Text=Das Gitter zum Zahlbereich {{mathl|term= \Z[\sqrt{-5}] |SZ=}} und zum Ideal {{mathl|term= (2,1+ \sqrt{-5}) |SZ=}} (blau, mit einer Grundmasche). |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Die reelle Gesamtabbildung ist trivialerweise injektiv, da sie ja sogar in jeder einzelnen Komponente injektiv ist. Für die Gittertheorie der algebraischen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=Minkowski-Theorie| |ISZ=|ESZ= }} ist aber entscheidend, dass das Bild des Rings der ganzen Zahlen ein Gitter in diesem {{math|term= \R^n |SZ=}} ist, also nicht in einem reellen Untervektorraum kleinerer Dimension liegt. Der Zahlbereich wird auf ein Gitter abgebildet, eine Ganzheitsbasis auf eine Gitterbasis. {{ inputdefinition |Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Reelle Einbettungen/Reelle Ganzheitsmatrix/Definition|| }} Die reelle Ganzheitsmatrix steht mit der komplexen Ganzheitsmatrix in dem oben durch {{math|term= \psi|SZ=}} beschriebenen Zusammenhang. {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt|Satz|| }} Wir werden dieses Gitter im {{math|term= \R^n |SZ=}} zumeist mit {{math|term= \Gamma|SZ=}} oder {{math|term= \Gamma_R|SZ=}} oder {{math|term= \Gamma_K|SZ=}} bezeichnen. Die reelle Gesamteinbettung liefert einen Gruppenisomorphismus {{ Relationskette | R | \cong| \Gamma | \subseteq| \R^n || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Gitter-Einbettung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Quadratischer Zahlbereich/Reell/Gitter-Einbettung/Beispiel|| }} Wenn {{ Relationskette | \Q | \subseteq| K || || || |SZ= }} eine Galoiserweiterung mit einer fixierten reellen Einbettung {{math|term= \rho|SZ=}} ist, so sind alle Einbettungen reell, und die gesamte Gitterabbildung wird durch {{ Abbildung/display |name= | R | \R^n | f | ( \rho( \sigma(f)) , \sigma \in {{op:Galoisgruppe|\Q|K}} ) |SZ= }} realisiert. {{ inputbeispiel |Zahlbereich/X^3-3X+1/Gitterrealisierung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt|Satz|| }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Imaginär-quadratischer Fall/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Reell-quadratischer Fall/Beispiel||zusatz1=wieder }} {{ inputfaktbeweisverweis |Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Ideal/Diskriminante und Grundmasche/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Gittertheorie der Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mei9o8vgzcmi9ke9qfufm1d5mb7o2l7 0 121012 1107007 1087774 2026-07-14T14:11:21Z Bocardodarapti 2041 1107007 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Refname= |SZ= }} und {{ Relationskette | {{idealp|}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Primideal| |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=.}} Dann hat die {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Dedekindbereich| |SZ= }} an {{math|term= {{idealp}} |SZ=,}} also die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |R \setminus \{0\}| \N | f | {{op:Bewertungsordnung| f | {{idealp}} }} |SZ=, }} folgende Eigenschaften: {{Aufzählung3 |{{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung|fg| {{idealp}} }} || {{op:Bewertungsordnung| f | {{idealp}} }} + {{op:Bewertungsordnung| g | {{idealp}} }} || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung|f+g| {{idealp}} }} | \geq | {{op:min| {{op:Bewertungsordnung| f | {{idealp}} }} | {{op:Bewertungsordnung| g | {{idealp}} ||}} }} || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette | f | \in | {{idealp|}} || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung| f | {{idealp}} }} | \geq | 1 || || || |SZ=. }}|}} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qfylko7faqmuiozq1da6m0511xslsxi 0 121019 1107008 1079389 2026-07-14T14:14:25Z Bocardodarapti 2041 1107008 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |faktorieller| |SZ= }} {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |SZ=. }} Dann lässt sich der {{ Definitionslink |Hauptdivisor| |Kontext=Dedekindbereich effektiv| |SZ= }} zu einem Ringelement {{ mathbed|term= f \in R ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} unmittelbar aus der Primfaktorzerlegung ablesen. Wenn {{ Relationskette/display | f || u p_1^{r_1 } \cdots p_k^{ r_k } || || || |SZ= }} mit einer Einheit {{math|term= u |SZ=}} und paarweise nicht assoziierten Primelementen {{math|term= p_i |SZ=,}} so ist der Hauptdivisor zu {{math|term= f |SZ=}} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor| f |}} || \sum_{ i {{=}} 1}^k r_i (p_i) || || || |SZ=. }} Dies beruht einfach darauf, dass die Ordnung von {{math|term= f |SZ=}} in der Lokalisierung {{mathl|term= R_{(p_i)} |SZ=}} gleich {{math|term= r_i |SZ=}} ist. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mcz7p0xgk12dsd0lvkoy189u0u0opzf 1107009 1107008 2026-07-14T14:22:28Z Bocardodarapti 2041 1107009 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |faktorieller| |SZ= }} {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |SZ=. }} Dann lässt sich der {{ Definitionslink |Hauptdivisor| |Kontext=Dedekindbereich effektiv| |SZ= }} zu einem Ringelement {{ mathbed|term= f \in R ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} unmittelbar aus der Primfaktorzerlegung ablesen. 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Die Einheitengruppe von {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/Zyklisch/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Definitionslink |zyklisch| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} mit {{mathl|term= q-1 |SZ=}} Elementen, das {{math|term= n |SZ=-}}te Potenzieren {{mathl|term= u \mapsto u^n |SZ=}} wird unter dieser Identifizierung zum {{math|term= n |SZ=-}}ten Multiplizieren, {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod|q-1|}} | {{op:Zmod|q-1|}} | y |ny |SZ=. }} Die {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln entsprechen dabei dem Kern dieser Abbildung. Wenn {{math|term= n |SZ=}} ein Teiler von {{mathl|term= q-1 |SZ=}} ist, so sei {{ Relationskette | q-1 || na || || || |SZ=. }} In diesem Fall sind {{mathl|term= 0, a, 2a {{kommadots|}} (n-1)a |SZ=}} die verschiedenen Elemente des Kerns, was die Implikation von (1) nach (3) beweist. Umgekehrt besitzt der Kern wie jede Untergruppe von {{mathl|term= {{op:Zmod|q-1|}} |SZ=}} einen Erzeuger {{math|term= a |SZ=,}} der ein Teiler von {{mathl|term= q-1 |SZ=}} ist. Wenn der Kern aus {{math|term= n |SZ=}} Elementen besteht, so ist {{ Relationskette | an || q-1 || || || |SZ=, }} was die andere Implikation beweist. {{parskip|}} Von (4) nach (5) ist klar, da das Kreisteilungspolynom ein Teiler von {{mathl|term= X^n-1 |SZ=}} ist. Die Äquivalenz von (5) und (6) ist auch klar, da {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}}[X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |}} |SZ=}} der Faserring über {{mathl|term= (q) |SZ=}} ist und da das Kreisteilungspolynom den Grad {{mathl|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion| n |}} |SZ=}} besitzt. Die Eigenschaft (5) impliziert unmittelbar den ersten Teil von (7). Wäre {{math|term= q |SZ=}} verzweigt in {{math|term= R_n |SZ=,}} so wäre {{math|term= q |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Teiler von {{math|term= n |SZ=,}} sagen wir {{ Relationskette | n || qc || || || |SZ=, }} und dann wäre {{ Relationskette/display | X^n-1 || {{makl| X^c -1 |}}^q || || || |SZ= }} über {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=.}} Doch dann hätte das Kreisteilungspolynom mehrfache Nullstellen. {{parskip|}} Von (7) nach (3). Zunächst ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt |Nr= |SZ= }} {{math|term= q |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= n |SZ=,}} d.h. {{math|term= q |SZ=}} ist eine Einheit in {{mathl|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ=.}} Es sei {{math|term= f |SZ=}} die {{ Zusatz/Klammer |text=multiplikative| |ISZ=|ESZ= }} Ordnung von {{math|term= q |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} ||}} |SZ=.}} Dann gibt es in {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|q^f|}} |SZ=}} {{math|term= n |SZ=}} verschiedene {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzeln. Nach Voraussetzung gibt es eine Nullstelle {{math|term= \zeta |SZ=}} des Kreisteilungspolynoms {{math|term= {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |SZ=}} über {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=.}} Dessen Potenzen durchlaufen in {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper| q^f |}} |SZ=}} die {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln. Da die Potenzen aber zu {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} gehören, ist {{ Relationskette | f || 1 || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hxrdmv7tmw36ccv7cjuar5pb0hs8nbi 0 121243 1107040 1102885 2026-07-14T17:09:41Z Bocardodarapti 2041 1107040 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |K ||Q(R) || || || |SZ= }} und sei {{ Relationskette |K | \subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Galoisgruppe| |Kontext=| |SZ=, }} d.h. die Gruppe der {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraautomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= L |SZ=,}} besteht also aus {{math|term= n |SZ=}} Automorphismen. Die Untergruppen der Galoisgruppe entsprechen nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz über die Galoiskorrespondenz|Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Korrespondenz von Körpern und Gruppen/Fakt |Nr= |SZ= }} den Zwischenkörpern der Erweiterung. Die Galoisgruppe operiert nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt |Nr= |SZ= }} auch auf dem ganzen Abschluss {{math|term= S |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=.}} Hier besprechen wir Untergruppen, ihre zugehörigen Zwischenkörper und Zwischenringe, die mit dem Zerlegungsverhalten von Primidealen unter der Erweiterung {{ Relationskette |R | \subseteq|S || || || |SZ= }} zusammenhängen. Zuerst formulieren wir, wie sich die fundamentale Gleichung aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt |Nr= |SZ= }} im Galoisfall vereinfacht. {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt|Lemma|| || }} Es sei {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein Primideal aus {{math|term= R |SZ=}} und seien {{mathl|term= {{idealq|}}_1 {{kommadots|}} {{idealq|}}_k |SZ=}} die Primideale von {{math|term= S |SZ=}} oberhalb von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=.}} Gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Invariantenring/Endliche Gruppe/Faser ist Bahn/Fakt |Nr= |SZ= }} und wie eben verwendet lassen sich diese Primideale ineinander mit isomorphen Restekörpern überführen. Dies bedeutet natürlich nicht, dass der Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= |G| {{op:Permutationsgruppe|{{idealq|}}_1 {{kommadots|}} {{idealq|}}_k |}} || |SZ= }} bijektiv ist, wobei rechts die Permutationsgruppe zur Faser über {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} steht. Dabei ist die Bijektivität oft schon wegen der Anzahl ausgeschlossen. Wenn der Grad {{math|term= n |SZ=}} ist, und wenn, im {{ Definitionslink |total zerlegten| |Kontext=Primideal| |SZ= }} Fall, die Faser aus {{math|term= n |SZ=}} Primidealen besteht, so steht links {{ Zusatz/Klammer |text=im Galoisfall| |ISZ=|ESZ= }} eine Gruppe mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen und rechts eine Gruppe mit {{math|term= n!|SZ=}} Elementen, was nur bei {{ Relationskette |n | \leq| 2 || || || |SZ= }} übereinstimmt. Wenn hingegen, im {{ Definitionslink |unzerlegten| |Kontext=Primideal| |SZ= }} Fall, die Faser aus nur einem Primideal besteht, so steht rechts die triviale Gruppe. Ein Automorphismus {{ Relationskette | \sigma | \in|G || || || |SZ= }} gehört genau dann zum Kern, wenn jedes Primideal der Faser unter {{math|term= \sigma |SZ=}} auf sich selbst abgebildet wird. Diese Bedingung führt, auf ein einzelnes Primideal angewendet, zum Begriff der Zerlegungsgruppe. {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Definition|| }} Man spricht auch von der {{Stichwort|Isotropiegruppe|SZ=}} oder dem {{Stichwort|Stabilisator|SZ=}} zu {{math|term= {{idealq}} |SZ=.}} Man beachte, dass die Bedingung besagt, dass {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} auf sich selbst abgebildet wird, nicht, dass die Einschränkung auf {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} die Identität ist. {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungskörper/Definition|| }} Den {{ Definitionslink |Ganzheitsring| |Kontext=| |SZ= }} zum Zerlegungskörper nennt man {{Stichwort|Zerlegungsring|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Trägheitsgruppe/Definition|| }} Es liegt also eine Kette von Untergruppen {{ Relationskette/display | {{op:Trägheitsgruppe|{{idealq}} }} | \subseteq| {{op:Zerlegungsgruppe|G|{{idealq}} }} | \subseteq|G || || |SZ= }} vor. {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Trägheitskörper/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Trägheitsgruppe/Verzweigungsindex/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Galoistheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ca6l8l9srbu8teckej31d7t0hazi61d 0 121249 1107035 1090938 2026-07-14T17:08:28Z Bocardodarapti 2041 1107035 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |K || Q(R) || || || |SZ= }} und sei {{ Relationskette |K | \subseteq | L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Galoisgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= G |SZ=.}} Es sei {{math|term= S |SZ=}} der {{ Definitionslink |ganze Abschluss| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=}} und sei {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= S |SZ=.}} Dann nennt man {{ Relationskette/display | {{op:Zerlegungsgruppe| G | {{idealq|}} |}} || {{Mengebed| \sigma \in G| \sigma( {{idealq|}}) {{=|}} {{idealq|}} }} || || || |SZ= }} die {{ Definitionswort |Zerlegungsgruppe| |msw=Zerlegungsgruppe |SZ= }} zu {{math|term= {{idealq|}} |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Galoistheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Zerlegungsgruppe |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} du4wu71b2h4npwwsjmt15off2zy3daw 0 121260 1107037 1090939 2026-07-14T17:08:54Z Bocardodarapti 2041 1107037 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |K || Q(R) || || || |SZ= }} und sei {{ Relationskette |K | \subseteq | L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Galoisgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= G |SZ=.}} Es sei {{math|term= S |SZ=}} der {{ Definitionslink |ganze Abschluss| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=}} und sei {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= S |SZ=.}} Dann nennt man den {{ Definitionslink |Fixkörper| |Kontext=| |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Zerlegungsgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Zerlegungsgruppe| G | {{idealq|}} |}} |SZ=}} den {{ Definitionswort |Zerlegungskörper| |msw=Zerlegungskörper |SZ= }} zu {{math|term= {{idealq|}} |SZ=.}} Er wird mit {{mathl|term= Z_{{idealq}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Galoistheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Zerlegungskörper |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d7r3a9cdmffooogyuwpjjvi1s5kaemj 0 122059 1107071 1094862 2026-07-15T06:11:02Z Bocardodarapti 2041 1107071 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Adjazenzmatrix| |Kontext=symmetrisch| |SZ= }} ist gleich {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| 0| 1| 1| 1| 1| 0| 1| 1| 1| 1| 0| 1| 1| 1| 1| 0|}} }} und die Gradmatrix ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| 3| 0| 0| 0| 0| 3| 0| 0| 0| 0| 3| 0| 0| 0| 0| 3|}} |SZ=, }} somit ist die {{ Definitionslink |Laplace-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Matrix44| 3| 0| 0| 0| 0| 3| 0| 0| 0| 0| 3| 0| 0| 0| 0| 3|}} - {{op:Matrix44| 0| 1| 1| 1| 1| 0| 1| 1| 1| 1| 0| 1| 1| 1| 1| 0|}} || {{op:Matrix44| 3| -1| -1| -1| -1| 3| -1| -1| -1| -1| 3| -1| -1| -1| -1| 3|}} || || || |SZ=. }} Wenn man die erste Zeile und die erste Spalte streicht, so erhält man {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 3| -1| -1| -1| 3| -1| -1| -1| 3|}} |SZ=. }} Deren Determinante ist {{ Relationskette/display | 3 ( 9-1) + (-3-1) -1 (1 +3) || 24 -4-4 || 16 || || |SZ= }} die Anzahl der Spannbäume ist also {{math|term= 16 |SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s8bn6cjgfxfvilx9aap6vyxxy9js215 0 122290 1107070 1094550 2026-07-15T06:10:28Z Bocardodarapti 2041 1107070 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wir bezeichnen die Punkte im Uhrzeigersinn von oben mit {{mathl|term= 1,2,3,4 |SZ=.}} Die Punkte {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 3 |SZ= }} haben den {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= 3 |SZ=,}} die beiden anderen Punkte den Grad {{math|term= 2 |SZ=.}} Diese können nicht durch einen Automorphismus ineinander überführt werden. Allerdings können {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 3 |SZ= }} und {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 4 |SZ= }} untereinander vertauscht werden, und diese beiden Vertauschungen sind unabhängig voneinander. Deshalb ist die Automorphismengruppe gleich {{mathl|term= {{op:Zmod| 2|}} \times {{op:Zmod| 2|}} |SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ln71ofb8a0oot2ofxfonpkrxr8717pp 0 122291 1107069 1089510 2026-07-15T06:08:38Z Bocardodarapti 2041 1107069 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Zu Funktionen {{ Relationskette | f,g | \in | {{op:Abbildungsmenge|\R|\R}} || || || |SZ= }} kann man direkt die Funktion {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:sup| f |g}} |}} (x) | {{defeq|}} | {{op:sup|f(x)|g(x)}} || || || |SZ= }} punktweise definieren. Dabei gilt offenbar {{ Relationskette/display | h | \geq | {{op:sup| f |g}} || || || |SZ= }} für jede Funktion {{math|term= h |SZ=,}} die sowohl {{ Relationskette | h | \geq | f || || || |SZ= }} als auch {{ Relationskette | h | \geq | g || || || |SZ= }} erfüllt. Es handelt sich also wirklich um das ordnungstheoretische Supremum. Ebenso für das Infimum. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} syc79c9pq7j3bovl8762txq27srkbew 0 122504 1107092 1095682 2026-07-15T07:36:25Z Bocardodarapti 2041 1107092 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Wir nummerieren die Knotenpunkte von links nach rechts und von oben nach unten. Die Adjazenzmatrix ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix55| 0| 0| 1| 0| 0| 0| 0| 0| 1| 0| 1| 0| 0| 1| 1| 0| 1| 1| 0| 1| 0| 0| 1| 1| 0|}} |SZ=. }} Das charakteristische Polynom ist die Determinante von {{ Math/display|term= {{op:Matrix55| X | 0| -1| 0| 0| 0| X | 0| -1| 0| -1| 0| X | -1| -1| 0| -1| -1| X | -1| 0| 0| -1| -1| X |}} |SZ=. }} Wir entwickeln nach der ersten Spalte und erhalten {{ Relationskette/align | {{op:Charakteristisches Polynom||}} || X \cdot {{op:Determinante|{{op:Matrix44| X | 0| -1 | 0 | 0 | X | -1 | -1 | -1 | -1 | X | -1 | 0 | -1 | -1 | X |}} ||}} - {{op:Determinante|{{op:Matrix44| 0| -1| 0| 0| X | 0 | -1 | 0 | -1 | -1 | X | -1 | 0 | -1 | -1 | X |}} ||}} || X^2 \cdot {{op:Determinante|{{op:Matrix33| X | -1| -1| -1| X | -1| -1| -1| X |}} ||}} - X {{op:Determinante|{{op:Matrix33| 0| -1| 0| X | -1| -1| -1| -1| X |}} ||}} + X {{op:Determinante|{{op:Matrix33| -1| 0| 0| -1| X| -1| -1| -1| X |}} |}} + {{op:Determinante|{{op:Matrix33| -1| 0| 0| 0| -1| 0| -1| -1| X | }} ||}} || X^2 \cdot {{op:Determinante|{{op:Matrix33| X | -1| -1| -1| X | -1| -1| -1| X |}} ||}} + 2 X {{op:Determinante|{{op:Matrix33| -1| 0| 0| -1| X| -1| -1| -1| X |}} |}} + {{op:Determinante|{{op:Matrix33| -1| 0| 0| 0| -1| 0| -1| -1| X | }} ||}} || X^2 {{makl|X (X^2-1) + (-X-1) - (1+X) |}} -2 X (X^2-1) +X || X {{makl| X {{makl| X(X^2-1) -2X -2 |}} -2(X^2-1)+1 |}} || X {{makl| X^4 -5 X^2 -2X + 3 |}} || |SZ= }} |Eine zulässige Färbung ist insbesondere eine Färbung des Stierkopfes. Dieser ist ein vollständiger Graph mit drei Knotenpunkten und sein chromatisches Polynom ist {{mathl|term= X(X-1)(X-2) |SZ=.}} Jede zulässige Färbung kann man auf den ganzen Stier zulässig ausdehnen, wobei für die Hörner jeweils nur die Farbe der anliegenden Schläfe ausgeschlossen ist. Deshalb ist das chromatische Polynom gleich {{ Relationskette/display | X(X-1)(X-2) (X-1)^2 || X(X-1)^3(X-2) || || || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8rhioc2347rt1j9l83ccjqp7rooha81 0 122513 1107078 1020372 2026-07-15T06:37:39Z Bocardodarapti 2041 1107078 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Eine natürliche Zahl {{math|term= g |SZ=}} heißt {{Stichwort/Antwort|größter gemeinsamer Teiler}} der {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=,}} wenn {{math|term= g |SZ=}} ein gemeinsamer Teiler der {{math|term= a_i |SZ=}} ist und wenn jeder gemeinsame Teiler {{math|term= t |SZ=}} der {{math|term= a_i |SZ=}} dieses {{math|term= g |SZ=}} teilt. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d93tfjx80s7hhfgbw25oblgjnvi0dfo 0 122514 1107072 1091941 2026-07-15T06:17:57Z Bocardodarapti 2041 1107072 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Ein {{Stichwort/Antwort|Graphisomorphismus|SZ=}} ist ein Graphhomomorphismus {{ Abbildung |name= \varphi | G | H || |SZ=, }} für den es einen Graphhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= \psi | H | G || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Relationskette/display | \psi \circ \varphi || {{op:Identität| V |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \varphi \circ \psi || {{op:Identität| W |}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2udcgyioasxhdhwpk2q1onum2cdxrb 0 122534 1107090 1092953 2026-07-15T07:32:45Z Bocardodarapti 2041 1107090 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette | n,k | \in | \N || || || |SZ= }} bezeichne {{mathl|term= {{op:Surjektionszahl| n |k}} |SZ=}} die Anzahl der {{ Definitionslink |surjektiven Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} von einer {{math|term= n|SZ=-}}elementigen Menge in eine {{math|term= k|SZ=-}}elementige Menge. Dann gilt die Rekursionsformel {{ Relationskette/display | {{op:Surjektionszahl|n+1|k}} || k \cdot {{op:Surjektionszahl| n |k}} + k \cdot {{op:Surjektionszahl| n |k-1}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8nbo7vma40hfq8w9raymua3884h523o 0 122586 1107154 1095600 2026-07-15T09:46:26Z Bocardodarapti 2041 1107154 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Zum Turm betrachten wir die {{math|term= 5 |SZ=}} Felder einer fixierten Zeile, die alle untereinander durch einen Turmzug erreichbar sind. Das ist also ein vollständiger Untergraph mit {{math|term= 5 |SZ=}} Knotenpunkten. Nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Vollständiger Graph/5/Nicht planar/Beispiel |Nr= |SZ= }} ist dieser nicht planar und daher ist auch der Spielzuggraph zum Turm nicht planar. Für den Läufer betrachten wir {{math|term= 5 |SZ=}} Felder auf der Hauptdiagonalen {{ Zusatz/Klammer |text=oder Hauptnebendiagonalen| |ISZ=|ESZ=. }} Dies ist ebenfalls ein vollständiger Graph mit {{math|term= 5 |SZ=}} Knotenpunkten und somit nicht planar. Der Spielzuggraph zur Dame ist aus dem gleichen Grund nicht planar. Der Spielzuggraph zum König ist ebenfalls nicht planar. Er besitzt {{math|term= 56 |SZ=}} horizontale Kanten, {{math|term= 56 |SZ=}} vertikale Kanten und {{math|term= 2 \cdot 49 |SZ=}} diagonale Kanten. Deshalb gibt es insgesamt {{math|term= 210 |SZ=}} Kanten. Bei einem planaren Graphen mit {{math|term= 64 |SZ=}} Knoten darf es aber nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Abschätzungen/Fakt |Nr=1 |SZ= }} höchstens {{ Relationskette/display | 3 \cdot 64 -6 || 186 || || || |SZ= }} Kanten geben. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ecnwyw63bmdtsqiqimn4a7tqbcqo7mu 0 122708 1107138 1094515 2026-07-15T09:12:05Z Bocardodarapti 2041 1107138 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung9/a | {{math|term= \,|SZ=}} {{ inputbild |Four color theorem map of Germany 2|png| 230px {{!}} right {{!}} |Text=Achtung, im Bild fehlt Bremen und Berlin!!! |Autor= |Benutzer=Tomwsulcer |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} |Die Blätter sind Bremen, Berlin, Saarland. |Der Abstand von Niedersachsen zu Baden-Württemberg ist {{math|term= 2 |SZ=.}} {{ Zusatz/Klammer |text=über Hessen| |ISZ=|ESZ=. }} |Der Maximalgrad ist {{math|term= 9 |SZ=,}} er wird in Niedersachsen angenommen. |Die Exzentrizität ist {{math|term= 3 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=nach Berlin oder ins Saarland| |ISZ=|ESZ=. }} |Deutschland ist kein Baum, da es den Kreis Niedersachsen-Hessen-Thüringen enthält. |Deutschland ist nicht hamiltonsch, da es Blätter enthält. |Ohne die Blätter ist Deutschland hamiltonsch, ein Hamiltonkreis ist Niedersachsen - Hamburg - SchleswigHolstein - MecklenburgVorpommern - Brandenburg - SachsenAnhalt - Sachsen - Thüringen - Bayern - BadenWürttemberg - Hessen - RheinlandPfalz - NordrheinWestfalen. |Der Umfang ist {{math|term= 13 |SZ=.}} Wegen der drei Blätter kann er nicht größer sein, soeben wurde ein Kreis mit {{math|term= 13 |SZ=}} Ländern angegeben. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b4l9bk11wu670cr0zasbnyl68exp4l4 0 122866 1107157 1025816 2026-07-15T10:12:43Z Bocardodarapti 2041 1107157 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M, \leq) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Potenzmenge| M |}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= M|SZ=.}} Dann ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | M | {{op:Potenzmenge| M |}} | x | {{Mengebed|y \in M|y \leq x}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |ordnungsvolltreu| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ=, }} wobei die Potenzmenge mit der {{ Definitionslink |Inklusion| |Kontext=| |SZ= }} versehen ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oxpolqkojekhsiudqnc68fjfo109b9u 0 122878 1107141 1105255 2026-07-15T09:25:24Z Bocardodarapti 2041 1107141 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Zu einer minimalen Knotenüberdeckung dürfen nicht drei hintereinander liegende Knoten gehören, da man dann den mittleren Knoten herausnehmen könnte, ohne die Knotenüberdeckungseigenschaft zu verlieren. Am Ende des linearen Graphen dürfen nicht zwei Punkte zur Überdeckung dazugehören, da dann der Endpunkt überflüssig ist. Die maximale Anzahl in einer minimalen Knotenüberdeckung ergibt sich daher nach dem Muster {{ Math/display|term= 1 , 3, 4, 6, 7, 9, 10, \ldots |SZ=. }} Als Formel für die maximale Anzahl einer minimalen Knotenüberdeckung eines linearen Graphen {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= n |SZ=}} Kanten, {{math|term= n+1 |SZ=}} Knoten| |ISZ=|ESZ= }} ergibt sich {{ Math/display|term= {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch| 2 (n+1) | 3}} |}} |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4r35war0t1moig34ibu7p9tkfwvw45x 0 122924 1107185 1011317 2026-07-15T11:53:48Z Bocardodarapti 2041 1107185 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |isolierter Knoten| |msw= |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i2abqppzqhrtlprs9z5chja34j0mmuz 0 122931 1107125 1096220 2026-07-15T08:46:31Z Bocardodarapti 2041 1107125 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Die Äquivalenz von (a) und (b) ist klar. Es sei (b) erfüllt und sei {{math|term= \varphi |SZ=}} die angegebene Abbildung. Wenn {{ Relationskette | u,v |\neq| x || || || |SZ= }} sind, so werden sie auf sich selbst abgebildet und daher bleiben Kanten erhalten. Sei {{ Relationskette | u | \neq | x || || || |SZ=. }} Es wird {{math|term= u |SZ=}} auf sich selbst und {{math|term= x |SZ=}} auf {{math|term= y |SZ=}} abgebildet. Wenn es eine Kante zwischen {{ mathkor|term1= u |und|term2= x |SZ= }} gibt, dann nach (b) auch zwischen {{ mathkor|term1= u |und|term2= y |SZ=. }} Es sei umgekehrt (c) erfüllt und sei {{ Relationskette | z | \in | N(x) || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette | z |\neq| x || || || |SZ= }} und {{mathl|term= xz |SZ=}} ist eine Kante. Da ein Graphhomomorphismus vorliegt, folgt, dass auch {{ Relationskette/display | \varphi(x) \varphi(z) || y z || || || |SZ= }} eine Kante ist, also auch {{ Relationskette | z | \in | N(y) || || || |SZ=. }} |Wir argumentieren mit (1). Damit ist unmittelbar klar, dass diese Relation transitiv und reflexiv ist. Sie ist im Allgemeinen aber nicht antisymmetrisch. Betrachten wir den Graphen mit drei Punkten {{mathl|term= x,y,z |SZ=,}} wobei {{ mathkor|term1= xz |und|term2= yz |SZ= }} Kanten seien und {{math|term= xy |SZ=}} keine Kante. Dann ist {{ Relationskette/display | N(x) || N(y) || \{z\} || || |SZ= }} und {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} stehen in Relation zueinander, sie sind aber nicht gleich. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cepz99edizh1izt4owna7h9sgr5qjn4 0 123747 1107147 1094431 2026-07-15T09:37:25Z Bocardodarapti 2041 1107147 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung5 |Für {{ Relationskette |n || 1 || || || |SZ= }} ist die rekursive Bedingung gleich {{ Relationskette/align | 0 || \sum_{ j {{=}} 0}^1 {{op:Binomialkoeffizient| 2|j}} B_j || B_0 +2 B_1 || 1+2 B_1 || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette |B_1 || - {{op:Bruch| 1| 2}} || || || |SZ=. }} |Für {{ Relationskette |n || 2 || || || |SZ= }} ist die rekursive Bedingung gleich {{ Relationskette/align | 0 || \sum_{ j {{=}} 0}^2 {{op:Binomialkoeffizient| 3|j}} B_j || B_0 +3 B_1 +3 B_2 || 1 - {{op:Bruch| 3| 2}} +3 B_2 || - {{op:Bruch| 1| 2}} +3 B_2 |SZ=, }} also ist {{ Relationskette |B_2 || {{op:Bruch| 1| 6}} || || || |SZ=. }} |Für {{ Relationskette |n || 3 || || || |SZ= }} ist die rekursive Bedingung gleich {{ Relationskette/align | 0 || \sum_{ j {{=}} 0}^3 {{op:Binomialkoeffizient| 4|j}} B_j || B_0 +4 B_1 +6 B_2 +4B_3 || 1 - 2 +1 +4B_3 || 4 B_3 |SZ=, }} also ist {{ Relationskette |B_3 || 0 || || || |SZ=. }} |Für {{ Relationskette |n || 4 || || || |SZ= }} ist die rekursive Bedingung gleich {{ Relationskette/align | 0 || \sum_{ j {{=}} 0}^4 {{op:Binomialkoeffizient| 5|j}} B_j || B_0 +5 B_1 +10 B_2 +10B_3 +5B_4 || 1 - {{op:Bruch| 5| 2}} + {{op:Bruch| 10| 6}} +5B_4 || {{op:Bruch| 6 - 15 +10 | 6}} +5B_4 || {{op:Bruch| 1 | 6}} +5B_4 |SZ=, }} also ist {{ Relationskette |B_4 || - {{op:Bruch| 1 | 30}} || || || |SZ=. }} |Wir zeigen die Aussage durch Induktion nach {{math|term= n |SZ=,}} wobei der Induktionsanfang bereits erledigt ist. Zum Beweis des Induktionsschrittes nehmen wir an, dass die Rationalität von {{math|term= B_0,B_1 {{kommadots}} B_{n-1} |SZ=}} bereits bekannt sei. Die Rekursionsbedingung {{ Relationskette/display | \sum_{ j {{=}} 0}^n {{op:Binomialkoeffizient|n+1|j}} B_j || 0 || || || |SZ= }} schreiben wir als {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient|n+1|n}} B_n || - {{makl| \sum_{ j {{=}} 0}^{n-1} {{op:Binomialkoeffizient|n+1|j}} B_j |}} || || || |SZ= }} bzw. als {{ Relationskette/display | B_n || - {{op:Bruch| \sum_{ j {{=}} 0}^{n-1} {{op:Binomialkoeffizient|n+1|j}} B_j |{{op:Binomialkoeffizient|n+1|n}} }} || || || |SZ=. }} Da die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind, steht hier wieder eine rationale Zahl. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tarvslqnqdko9gjqtdmcg2ihrhzudq5 0 123836 1107062 1088770 2026-07-14T17:56:19Z Bocardodarapti 2041 1107062 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= R |SZ=}} der {{ Definitionslink |Ganzheitsring| |Kontext=| |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |endlichen Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | \Q | \subseteq | K || || || |SZ= }} mit {{math|term= r |SZ=}} reellen Einbettungen und {{math|term= s |SZ=}} Paaren von komplexen Einbettungen. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann besitzt die {{ Definitionslink |logarithmische Gesamtabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= L | {{op:Einheiten| K |}} | \R^{r+s} || |SZ= }} die folgenden Eigenschaften: {{ Aufzählung3 |Der {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= L |SZ=}} eingeschränkt auf {{math|term= {{op:Einheiten| R |}} |SZ=}} ist die Gruppe der Einheitswurzeln {{mathl|term= {{op:Einheitswurzelgruppe|| R|}} |SZ=}} und ist insbesondere eine endliche zyklische Gruppe. |Das Bild {{mathl|term= L( {{op:Einheiten| R |}} ) |SZ=}} liegt in der {{ Definitionslink |Hyperebene| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/druckdisplay | H || {{Mengebed| (v_1 {{kommadots|}} v_{r+s}) | \sum_{j {{=}} 1}^{r+s} v_j {{=}} 0 }} | \subset | \R^{r+s} || || || |SZ=. }} |Das Bild {{mathl|term= L( {{op:Einheiten| R |}} ) |SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |diskrete| |Kontext=Topologie| |SZ= }} {{ Definitionslink |Untergruppe| |Kontext=| |SZ= }} von {{ Relationskette |H | \subset | \R^{r+s} || || || |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pok8ldnsof2l05r8fkmzgbgjbit9i5i 0 123942 1107060 1087272 2026-07-14T17:53:07Z Bocardodarapti 2041 1107060 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir argumentieren in der endlichen Erweiterung {{ Relationskette |\Q | \subseteq | K || Q(R) || || |SZ=, }} die den Grad {{math|term= d |SZ=}} habe. Wir behaupten zunächst, dass die {{ Definitionslink |Ordnungen| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} der Elemente in {{math|term= {{op:Einheitswurzelgruppe|| K|}} |SZ=}} beschränkt sind. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist, und sei {{ mathbed|term= r_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} eine streng wachsende {{ Zusatz/Klammer |text=und damit unbeschränkte| |ISZ=|ESZ= }} Folge von natürlichen Zahlen, die als Ordnungen von Elementen aus {{math|term= {{op:Einheitswurzelgruppe|| K|}} |SZ=}} vorkommen. Dann gilt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Körper/Charakteristik 0/Einheitswurzeln/Kreisteilungskörper/Fakt |Nr= |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Kreisteilungskörper|r_n |}} | \subseteq | K || || || |SZ=. }} Für der Grad {{math|term= d |SZ=}} gilt dann unter Verwendung von {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Q/Minimalpolynom/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | d | \geq | {{op:Grad Körpererweiterung|\Q| {{op:Kreisteilungskörper|r_n |}} }} || {{op:Eulersche Phi-Funktion|r_n |}} || || || |SZ=. }} Wenn in den Primfaktorzerlegungen der Folgenglieder {{math|term= r_n |SZ=}} unendlich viele Primzahlen {{math|term= p_m |SZ=}} vorkommen, so ist {{ Relationskette/display |d | \geq |p_m-1 || || || |SZ=. }} Wenn hingegen in den Primfaktorzerlegungen nur endlich viele Primzahlen vorkommen, so gibt es darin eine Teilfolge mit Primzahlpotenzen {{mathl|term= p^{s_k } |SZ=}} als Teiler mit {{mathl|term= s_k \rightarrow \infty |SZ=.}} In diesem Fall ist {{ Relationskette | d | \geq |(p-1) p^{s_k-1} || || || |SZ=. }} In beiden Fällen ergibt sich ein Widerspruch zur Endlichkeit von {{math|term= d |SZ=.}} Die Endlichkeit der Gruppe folgt daher mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt |Nr= |SZ=. }} Die Zyklizität folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 26zfi3askhoo6gqp8reg9uxaeze78u0 1107061 1107060 2026-07-14T17:53:42Z Bocardodarapti 2041 1107061 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir argumentieren in der endlichen Erweiterung {{ Relationskette |\Q | \subseteq | K || Q(R) || || |SZ=, }} die den Grad {{math|term= d |SZ=}} habe. Wir behaupten zunächst, dass die {{ Definitionslink |Ordnungen| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} der Elemente in {{math|term= {{op:Einheitswurzelgruppe|| K|}} |SZ=}} beschränkt sind. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist, und sei {{ mathbed|term= r_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} eine streng wachsende {{ Zusatz/Klammer |text=und damit unbeschränkte| |ISZ=|ESZ= }} Folge von natürlichen Zahlen, die als Ordnungen von Elementen aus {{math|term= {{op:Einheitswurzelgruppe|| K|}} |SZ=}} vorkommen. Dann gilt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Körper/Charakteristik 0/Einheitswurzeln/Kreisteilungskörper/Fakt |Nr= |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Kreisteilungskörper|r_n |}} | \subseteq | K || || || |SZ=. }} Für den Grad {{math|term= d |SZ=}} gilt dann unter Verwendung von {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Q/Minimalpolynom/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | d | \geq | {{op:Grad Körpererweiterung|\Q| {{op:Kreisteilungskörper|r_n |}} }} || {{op:Eulersche Phi-Funktion|r_n |}} || || || |SZ=. }} Wenn in den Primfaktorzerlegungen der Folgenglieder {{math|term= r_n |SZ=}} unendlich viele Primzahlen {{math|term= p_m |SZ=}} vorkommen, so ist {{ Relationskette/display |d | \geq |p_m-1 || || || |SZ=. }} Wenn hingegen in den Primfaktorzerlegungen nur endlich viele Primzahlen vorkommen, so gibt es darin eine Teilfolge mit Primzahlpotenzen {{mathl|term= p^{s_k } |SZ=}} als Teiler mit {{mathl|term= s_k \rightarrow \infty |SZ=.}} In diesem Fall ist {{ Relationskette | d | \geq |(p-1) p^{s_k-1} || || || |SZ=. }} In beiden Fällen ergibt sich ein Widerspruch zur Endlichkeit von {{math|term= d |SZ=.}} Die Endlichkeit der Gruppe folgt daher mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt |Nr= |SZ=. }} Die Zyklizität folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lf7d3etc5ennvit1jahm4a1wz6nbbm0 0 123983 1107054 1100213 2026-07-14T17:39:38Z Bocardodarapti 2041 1107054 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |D | \geq | 2 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |quadratfrei| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette |A_D | \subseteq | \Q[ \sqrt{D} ] || K || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |reell-quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei {{math|term= \sqrt{D} |SZ=}} einerseits eine fixierte Quadratwurzel aus {{math|term= D |SZ=}} in {{math|term= A_D|SZ=}} und andererseits die positive reelle Quadratwurzel. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | K | \R^2 | (q_1+q_2 \sqrt{D}) | {{op:Spaltenvektor| q_1+q_2 \sqrt{D}| q_1-q_2 \sqrt{D} |}} |SZ=, }} ist dann die reelle Gesamteinbettung und liefert insbesondere eine explizite Realisierung von {{math|term= A_D|SZ=}} als Gitter im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt |Nr= |SZ=. }} Das Gitter hängt wie die Ganzheitsbasis für {{math|term= A_D|SZ=}} vom Rest von {{math|term= D |SZ=}} modulo {{math|term= 4 |SZ=}} ab, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= 1, \sqrt{D} |SZ=}} bei {{ Relationskette |D || 2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} bzw. {{mathl|term= 1, {{op:Bruch| 1+ \sqrt{D}| 2}} |SZ=}} bei {{ Relationskette |D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} wird unter der reellen Gesamteinbettung auf die {{ Definitionslink |reelle Ganzheitsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 1 | \sqrt{ D }| 1 | - \sqrt{ D } }} |SZ= }} bzw. {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| 1 | {{op:Bruch| 1 + \sqrt{ D }| 2}} | 1 | {{op:Bruch| 1 - \sqrt{ D }| 2}} }} |SZ= }} abgebildet. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reell-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h68e0uylm30jghz1fb0b4s9igwf0k8c 0 124149 1107055 1101849 2026-07-14T17:42:02Z Bocardodarapti 2041 1107055 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir nummerieren die Einbettungen mit {{mathl|term= 1 {{kommadots|}} r |SZ=}} für die reellen und {{mathl|term= r+1,r+2 {{kommadots|}} r+2s-1, r+2s |SZ=}} durch, wobei die konjugiert-komplexen Einbettungen nebeneinander stehen. Wir betrachten die Menge {{ Relationskette/display/handlinks |M || {{Mengebed| (x_1 {{kommadots|}} x_r, x_{r+1} {{kommadots|}} x_{r+2s} ) \in \R^{r+2s} | {{op:Betrag| x_j ||}} < d_j \text{ für } j {{=}} 1 {{kommadots|}} r | x_{ r+j}^2 + x_{r+j+1}^2 < d_{r+j}^2 \text{ für } j {{=}} 1, 3 {{kommadots|}} 2s-1 }} || || |SZ=. }} Dies ist eine Produktmenge aus {{math|term= r |SZ=}} Intervallen der Länge {{math|term= 2d_j |SZ=}} und {{math|term= s |SZ=}} Kreisscheiben mit den Radien {{math|term= d_j |SZ=.}} Diese Menge ist offensichtlich {{ Definitionslink |zentralsymmetrisch| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Definitionslink |konvex| |Kontext=| |SZ=. }} Die Menge ist so nicht kompakt. Wir können aber jedes {{math|term= r_j |SZ=}} derart verkleinern, dass die Bedingung nach wie vor erfüllt ist und dann in der entsprechenden Menge {{math|term= \leq|SZ=}} statt {{math|term= <|SZ=}} schreiben. Da die Menge ein Produkt aus Intervallen und Kreisen ist, ist ihr Volumen gleich {{ Relationskette/display | 2^r \prod_{j {{=}} 1}^r d_j \cdot \pi^s \prod_{j {{=}} r+1}^{r+2s} d_j || 2^r \pi^s \prod_{j {{=}} 1}^n d_j || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=man beachte, dass der Flächeninhalt des Kreises durch das zweifache Vorkommen der höheren {{math|term= d_j |SZ=}} berücksichtigt wird| |ISZ=|ESZ=. }} Nach Voraussetzung und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Ideal/Diskriminante und Grundmasche/Fakt |Nr= |SZ= }} ist dieses Volumen größer als {{ Relationskette/align/handlinks | 2^r \pi^s {{op:Bruch(| 2 | \pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag|\Delta|}} } N( {{ideala||}} ) || 2^{r+s} \sqrt{ {{op:Betrag|\Delta|}} } N( {{ideala||}} ) || 2^{r+s} 2^s \operatorname{Vol} (\mathfrak N ) || 2^n \operatorname{Vol} (\mathfrak N ) |SZ=, }} wobei {{math|term= \mathfrak N |SZ=}} die Grundmasche des Gitters zum Ideal {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} unter der reellen Gesamteinbettung bezeichnet. Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Gitterpunktsatz von Minkowski|Faktseitenname= Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz (Minkowski)/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es einen Gitterpunkt {{math|term= \neq 0 |SZ=,}} der in {{math|term= M |SZ=}} liegt. D.h. es gibt ein {{ Relationskette |f | \in | {{ideala|}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Betrag| \tau_j(f)||}} | < | d_j || || || |SZ= }} für alle {{math|term= j |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hpinhi9mpecp15kiowrunxj76vsyikr 0 124158 1107011 1085531 2026-07-14T14:27:19Z Bocardodarapti 2041 1107011 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Relationskette/display |\Z | \subseteq | R || \Z[X]/ {{makl| X^2+3 |}} | \subseteq | \Z[Y]/ {{makl| Y^2+Y+1 |}} ||S || || |SZ= }} mit {{mathl|term= X \mapsto 2Y+1 |SZ=,}} die beide quadratische Erweiterungen von {{math|term= \Z |SZ=}} sind und wobei {{math|term= S |SZ=}} der Ring der {{ Definitionslink |Eisenstein-Zahlen| |Kontext=| |SZ= }} ist und die Normalisierung von {{math|term= R |SZ=}} ist. Der {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= R |SZ=}} über {{math|term= 2 |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | R/(2) || {{op:Zmod| 2 |}} [X]/ {{makl| X^2+3 |}} || {{op:Zmod| 2 |}} [X]/ {{makl| X^2+1 |}} || {{op:Zmod| 2 |}} [X]/(X+1)^2 || || |SZ=, }} er ist also nicht reduziert. Der Faserring zu {{math|term= S |SZ=}} über {{math|term= 2 |SZ=}} ist {{ Math/display|term= {{op:Zmod| 2 |}} [Y]/ {{makl| Y^2+Y+1 |}} |SZ= }} und dies ist ein Körper mit vier Elementen. In {{math|term= S |SZ=}} liegt die Zerlegung in Primideale {{ Relationskette |(2) ||(2) || || || |SZ= }} vor. In {{math|term= R |SZ=}} kann man hingegen das Ideal {{math|term= (2) |SZ=}} nicht als ein Produkt von Primidealen schreiben. Das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (2) |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} ist {{mathl|term= (2,X+1) |SZ=.}} Das Quadrat davon ist aber bereits {{ Relationskette/align | (2,X+1) \cdot (2,X+1) || {{makl| 4,2X+2,X^2+2X+1 |}} || {{makl| 4,2X+2,X^2-1 |}} || {{makl| 4,2X+2 |}} | \subset | (2) |SZ=, }} wobei die letzte Inklusion echt ist. Der Restklassenring {{mathl|term= R/(4,2X+2) |SZ=}} besitzt nämlich {{math|term= 8 |SZ=}} Elemente, der Restklassenring modulo {{math|term= 2 |SZ=}} dagegen {{math|term= 4 |SZ=}} Elemente. |Textart=Beispiel |Kategorie=Idealtheorie in Zahlbereichen |Kategorie2=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(-3)) |Objektkategorie2=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cr31qar1gwf4owize8g7dfa2fb4866b 0 124248 1107024 1102845 2026-07-14T16:52:18Z Bocardodarapti 2041 1107024 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition|| }} Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien {{math|term= A |SZ=-}}Modul {{math|term= F |SZ=}} mit {{ mathbed|term= da ||bedterm1= a \in A ||bedterm2= |SZ= }} als Basis und bildet den {{ Definitionslink |Prämath=A |Restklassenmodul| |Kontext=| |SZ= }} zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen {{ Math/display|term= d(ab) - ad(b) - bd(a) \, (a,b \in A) |SZ= }} und {{ Math/display|term= d (ra +sb) - rd(a) -sd(b)\, (r,s \in R \text{ und } a,b \in A ) |SZ= }} erzeugt wird. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= d | A | {{op:Kählermodul|A|R}} | a | d(a) {{=|}} da |SZ=, }} heißt die {{Stichwort|universelle Derivation|SZ=.}} Man prüft sofort nach, dass es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Derivation| |Kontext=| |SZ= }} handelt. Grundlage für konkrete Berechnungen bilden die folgenden Lemmata. {{ inputfakt |Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfakt |Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfakt |Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Polynom/Einsetzung/Kähler-Differentiale/Fakt|Korollar|| }} Diese Isomorphie ist so zu verstehen, dass die {{math|term= 1 |SZ=}} in {{mathl|term= K[X]/ {{makl| P' |}} |SZ=}} dem Differential {{math|term= dX |SZ=}} entspricht. Man könnte den Sachverhalt auch als die Gleichung {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| K[X] | K[Y] }} || K[X]/ {{makl| P' |}} dX || || || |SZ= }} ausdrücken. Wenn {{math|term= K |SZ=}} algebraisch abgeschlossen ist, so ist {{ Relationskette | P' || {{makl| X-a_1 |}} \cdots {{makl| X-a_s |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | K[X]/ {{makl| P' |}} | \cong| K^s || || || |SZ=. }} Die vorstehende Aussage zeigt somit insbesondere, dass der Modul der Kähler-Differentiale nur lokalisiert an den maximalen Idealen {{mathl|term= {{makl| X-a_j |}} |SZ=,}} die den Nullstellen der Ableitung entsprechen, von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden ist. Ein entsprechendes Verhalten gilt generell im Fall einer separablen Erweiterung von Dedekindbereichen. {{Zwischenüberschrift|Kähler-Differentiale im zahlentheoretischen Kontext}} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} In der Aussage {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt |Nr=5 |SZ= }} könnte man auf den Exponenten {{math|term= m |SZ=}} verzichten, wenn man {{math|term= r |SZ=}} abändert. Aber aus Teil (3) ergibt sich die Aussage mit dem Exponenten. Man denke bei {{math|term= r |SZ=}} an eine Primzahl aus {{math|term= \Z |SZ=,}} man versucht dann, eine annullierende Potenz mit einem möglichst kleinen Exponenten zu finden. {{ inputfaktbeweis |Quadratischer Zahlbereich/Kähler-Modul/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Kreisteilungsring/p/Kähler-Differential/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/pte Wurzel aus p/Kähler-Differential/Differente/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/3te Wurzel aus q/pm 1 mod 9/Kähler-Differential/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Verzweigungstheorie (Differentiale) für Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} n1behkc3yh94xdjv27uxujex6ycmsfb 0 124255 1107025 1093784 2026-07-14T16:53:15Z Bocardodarapti 2041 1107025 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | R || \Z[X]/ {{makl| X^p-p |}} || || || |SZ=, }} vergleiche {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Zahlbereich/pte Wurzel aus p/Faserringe/Beschreibung/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| R |\Z}} || R/ {{makl| px^{p-1} |}} dx || || || |SZ= }} und das annullierende Ideal ist {{ Relationskette/display | {{makl| px^{p-1} |}} || {{makl| x^{2p-1} |}} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} dieses Ideals bzw. seines Erzeugers ist {{mathl|term= p^{2p-1} |SZ=,}} deshalb ist die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale gleich {{math|term= p^{2p-1} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der reinen Gleichungen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ozl75k0jqn0fk1bxc2yn9taa0crfxl 0 124321 1107021 1085676 2026-07-14T16:41:18Z Bocardodarapti 2041 1107021 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |SZ=. }} Wir betrachten den {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | K[Y] | K[X] | Y | X^n |SZ=, }} zu {{ Relationskette | n | \geq | 2 || || || |SZ=, }} der der Abbildung {{ Abbildung/display |name= | K | K | x | x^n {{=|}} y |SZ= }} entspricht. Zu einem maximalen Ideal {{mathl|term= (X-a) |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | \varphi^{-1} (X-a) || {{makl| Y-a^n |}} || || || |SZ=, }} und oberhalb von {{mathl|term= (Y-b) |SZ=}} liegen die maximalen Ideale {{mathl|term= (X-a) |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | a^n || b || || || |SZ=. }} Dies ist die idealtheoretische Interpretation der {{math|term= n |SZ=-}}ten Potenzierung. Insbesondere liegen die Ringhomomomorphismen {{ Abbildung/display |name= | K[Y]_{(Y-b)} | K[X]_{(X-a)} | Y | X^n |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |diskreten Bewertungsringen| |Kontext=| |SZ= }} vor. Dabei wird die Ortsuniformisierende {{mathl|term= (Y-b) |SZ=}} auf {{ Relationskette/display/handlinks | X^n-b || X^n-a^n || (X-a) {{makl| X^{n-1} + X^{n-2} a^1 {{plusdots|}} Xa^{n-2} +a^{n-1} |}} || || |SZ= }} abgebildet. In dieser Produktdarstellung ist der linke Faktor die Ortsuniformisierende des zweiten Bewertungsringes. Der zweite Faktor wird, wenn man für {{math|term= X |SZ=}} die Zahl {{math|term= a |SZ=}} einsetzt, zu {{mathl|term= na^{n-1} |SZ=.}} Wenn {{math|term= n |SZ=}} und {{math|term= a |SZ=}} beide Einheiten in {{math|term= K |SZ=}} sind, so ist dieser Faktor eine Einheit in {{mathl|term= K[X]_{(X-a)} |SZ=}} und daher ist die {{ Definitionslink |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{math|term= 1 |SZ=;}} es liegt also keine Verzweigung vor. Wenn hingegen {{math|term= n |SZ=}} keine Einheit ist, wenn also die {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= K |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} ist, so liegt Verzweigung vor. Wenn {{ Relationskette | n || p || || || |SZ= }} die positive Charakteristik ist, so ist {{ Relationskette || X^p-a^p || (X-a)^p || || || |SZ= }} und die Verzweigungsordnung ist in jedem Punkt gleich {{math|term= p |SZ=.}} Wenn {{ Relationskette | a || 0 || || || |SZ= }} ist, so ist die Verzweigungsordnung direkt gleich {{math|term= n |SZ=}} im Nullpunkt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Dedekindbereiche |Kategorie2=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Kategorie3=Theorie der Potenzierung in einem Ring |Kategorie4= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dl3on3z1isqpsluh0llctasnh0y1maw 1107023 1107021 2026-07-14T16:45:10Z Bocardodarapti 2041 1107023 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |SZ=. }} Wir betrachten den {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | K[Y] | K[X] | Y | X^n |SZ=, }} zu {{ Relationskette | n | \geq | 2 || || || |SZ=, }} der der Abbildung {{ Abbildung/display |name= | K | K | x | x^n {{=|}} y |SZ= }} entspricht. Zu einem maximalen Ideal {{mathl|term= (X-a) |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | \varphi^{-1} (X-a) || {{makl| Y-a^n |}} || || || |SZ=, }} und oberhalb von {{mathl|term= (Y-b) |SZ=}} liegen die maximalen Ideale {{mathl|term= (X-a) |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | a^n || b || || || |SZ=. }} Dies ist die idealtheoretische Interpretation der {{math|term= n |SZ=-}}ten Potenzierung. Insbesondere liegen die Ringhomomomorphismen {{ Abbildung/display |name= | K[Y]_{(Y-b)} | K[X]_{(X-a)} | Y | X^n |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |diskreten Bewertungsringen| |Kontext=| |SZ= }} vor. Dabei wird die Ortsuniformisierende {{mathl|term= (Y-b) |SZ=}} auf {{ Relationskette/display/handlinks | X^n-b || X^n-a^n || (X-a) {{makl| X^{n-1} + X^{n-2} a^1 {{plusdots|}} Xa^{n-2} +a^{n-1} |}} || || |SZ= }} abgebildet. In dieser Produktdarstellung ist der linke Faktor die Ortsuniformisierende des zweiten Bewertungsringes. Der zweite Faktor wird, wenn man für {{math|term= X |SZ=}} die Zahl {{math|term= a |SZ=}} einsetzt, zu {{mathl|term= na^{n-1} |SZ=.}} Wenn {{math|term= n |SZ=}} und {{math|term= a |SZ=}} beide Einheiten in {{math|term= K |SZ=}} sind, so ist dieser Faktor eine Einheit in {{mathl|term= K[X]_{(X-a)} |SZ=}} und daher ist die {{ Definitionslink |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{math|term= 1 |SZ=;}} es liegt also keine Verzweigung vor. Wenn hingegen {{math|term= n |SZ=}} keine Einheit ist, wenn also die {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= K |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} ist, so liegt Verzweigung vor. Wenn {{ Relationskette | n || p || || || |SZ= }} die positive Charakteristik ist, so ist {{ Relationskette | X^p-a^p || (X-a)^p || || || |SZ= }} und die Verzweigungsordnung ist in jedem Punkt gleich {{math|term= p |SZ=.}} Wenn {{ Relationskette | a || 0 || || || |SZ= }} ist, so ist die Verzweigungsordnung direkt gleich {{math|term= n |SZ=}} im Nullpunkt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Dedekindbereiche |Kategorie2=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Kategorie3=Theorie der Potenzierung in einem Ring |Kategorie4= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kco7mbqcljfs0dulhgdur7hdog9my9p 0 124927 1107173 656453 2026-07-15T11:06:51Z Bocardodarapti 2041 1107173 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Professor Knopfloch war schwimmen. Beim Auswringen seiner Badehose hat er sich ungeschickt angestellt und sich dabei drei Finger verstaucht {{ Zusatz/Klammer |text=er besitzt noch alle zehn Finger| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |Wie viele Möglichkeiten für die verstauchten Finger gibt es? |Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man weiß, dass genau ein Daumen verstaucht wurde? |Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn man weiß, dass genau ein Daumen verstaucht wurde und beide Hände betroffen sind? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Professor Knopfloch |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} np6i9zu303iurmu760jooinyht23ykh 0 125409 1107101 959856 2026-07-15T07:59:28Z Bocardodarapti 2041 1107101 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die beiden Blätter müssen entweder auf sich selbst oder auf das jeweils andere abgebildet werden. Die an den Blättern anliegenden Knoten werden immer zusammen mit den zugehörigen Blättern getauscht (oder eben nicht getauscht), da sonst die Eigenschaft eines Graphhomomorphismuses verletzt wird, dass adjazente Knoten auf adjazente Knoten abgebildet werden. Der unterste Knoten muss immer auf sich selbst abgebildet werden, da er mit den darüber liegenden Knoten verbunden bleiben muss. Der Typ der Automorphismengruppe ist also {{mathl|term= \Z/(2) |SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7iyi1qavrikaljtfjf70hxypzk11xzg 1107102 1107101 2026-07-15T07:59:59Z Bocardodarapti 2041 1107102 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die beiden Blätter müssen entweder auf sich selbst oder auf das jeweils andere abgebildet werden. Die an den Blättern anliegenden Knoten werden immer zusammen mit den zugehörigen Blättern getauscht (oder eben nicht getauscht), da sonst die Eigenschaft eines Graphhomomorphismus verletzt wird, dass adjazente Knoten auf adjazente Knoten abgebildet werden. Der unterste Knoten muss immer auf sich selbst abgebildet werden, da er mit den darüber liegenden Knoten verbunden bleiben muss. Der Typ der Automorphismengruppe ist also {{mathl|term= \Z/(2) |SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qb9hwt71s1ye7o238q0zdopyz0eeyoo 0 126065 1107166 1081486 2026-07-15T10:54:45Z Bocardodarapti 2041 1107166 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine {{math|term= n |SZ=-}}Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch {{mathl|term= a -1 |SZ=}} Längsrillen und {{mathl|term= b-1 |SZ=}} Querrillen in {{ Relationskette | n || a \cdot b || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | a,b | \in | \N_+ || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} mundgerechte kleinere Stücke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten {{ Zusatz/Klammer |text=an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade| |ISZ=|ESZ=, }} deren Endprodukt aus den einzelnen Stücken besteht. Bei einer gegebenen vollständigen Aufteilung {{math|term= A |SZ=}} einer Schokolade kann man sich für jedes Stück {{math|term= s |SZ=}} fragen, wie oft es bei einem Teilungsschritt der Aufteilung beteiligt war. Diese Zahl nennen wir die {{Betonung|Aufteilungstiefe|}} von {{math|term= s |SZ=.}} Die Summe aller Aufteilungstiefen zu allen Stücken nennen wir die {{Betonung|Gesamtaufteilungstiefe}} der Aufteilung. {{ Aufzählung3 |Es sei eine {{math|term= 4 \times 4 |SZ=-}}Schokolade gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass es eine vollständige Aufteilung gibt, bei der jedes Stück die Aufspaltungstiefe {{math|term= 4 |SZ=}} besitzt. |Wir betrachten ein Eckstück einer {{math|term= 4 \times 4 |SZ=-}}Schokolade. Was ist seine minimale Aufteilungstiefe und was ist seine maximale Aufteilungstiefe? |Hängt für eine fixierte Schokolade die Gesamtaufteilungstiefe von der Aufteilung ab? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Rechtecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=3 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ipfls02nb8revxurf9f2ha09veykdr 0 126066 1107167 1095607 2026-07-15T10:55:21Z Bocardodarapti 2041 1107167 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Man halbiert zuerst in der Mitte, die beiden {{mathl|term= 2 \times 4 |SZ=-}}Schokoladen halbiert man so, dass jeweils {{mathl|term= 2 \times 2 |SZ=-}}Schokoladen entstehen, diese halbiert man wieder und die entstehenden {{mathl|term= 2 \times 1 |SZ=-}}Schokoladen halbiert man noch mal. Bei diesem Aufteilungsprozess ist jedes Stück an {{math|term= 4 |SZ=}} Teilungen beteiligt. Die Aufspaltungstiefe ist also {{math|term= 4 |SZ=}} für jedes Stück. |Die minimale Aufteilungstiefe eines Eckstückes ist {{math|term= 2 |SZ=,}} diese erreicht man, indem man von der Gesamtschokolade eine Einerreihe mit der Ecke abtrennt und daraus dann die Ecke als Einzelstück abtrennt. Aufteilungstiefe {{math|term= 1 |SZ=}} ist sicher nicht möglich. Die maximale Aufteilungstiefe ist {{math|term= 6 |SZ=.}} Größer kann sie nicht sein, da es nur drei Quer- und drei Längsrillen gibt und die Anzahl der Rillen auf den Teilschokoladen bei jedem Teilungsschritt um zumindest {{math|term= 1 |SZ=}} kleiner wird. Unter der Aufteilung, bei der man stets eine die Ecke nicht enthaltende Einerrandreihe abtrennt, besitzt die Ecke die Aufteilungstiefe {{math|term= 6 |SZ=.}} |Die Gesamtaufteilungstiefe hängt von der Aufteilung ab. Betrachten wir eine {{math|term= 4 \times 1 |SZ=-}}Schokolade. Wenn man in der Mitte halbiert und dann noch die beiden Teilschokoladen halbiert, so ist jedes Stück an zwei Teilungsvorgängen beteiligt, die Gesamtaufteilungstiefe ist also {{math|term= 8 |SZ=.}} Wenn man hingegen jeweils ein Randstück abtrennt, so ist die Summe der Aufteilungstiefen gleich {{ Relationskette/display | 1+2+3+3 || 9 || || || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvvh4o3xwx4bv1dcbjg5dgcx7u1qncv 0 126425 1107183 985375 2026-07-15T11:41:23Z Bocardodarapti 2041 1107183 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wir gehen rekursiv vor, da jede Potenz sich durch Multiplikation einer zuvor erhaltenen Potenz ergibt. Wenn dabei die Faktoren gleiche Potenzen verwenden, müssen diese nicht doppelt gezählt werden, da man ja die Ergebnisse von Zwischenmultiplikationen wiederverwenden kann. Mit einer Multiplikation kann man offenbar nur {{ Relationskette |a^2 || a \cdot a || || || |SZ= }} erhalten. Mit zwei Multiplikationen kann man {{ Relationskette/display |a^3 || a \cdot a^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |a^4 || (a^2) \cdot (a^2) || || || |SZ= }} erhalten und sonst keine Potenz, da ja alle möglichen Multiplikationen notiert wurden. Mit drei Multiplikationen kann man {{ Relationskette/display |a^5 || (a^4) \cdot a || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |a^6 || (a^4) \cdot (a^2) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | a^8 || (a^4) \cdot (a^4) || || || |SZ= }} erhalten. {{math|term= a^7 |SZ=}} kann man nicht mit drei Multiplikationen erreichen, da in {{ Zusatz/Klammer |text=dem einzigen ernsthaften Kandidaten| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= (a^3) \cdot (a^4) |SZ=}} schon vier Multiplikationen drin sind. Mit vier Multiplikationen kann man {{ Relationskette/display | a^7 || (a^6) \cdot a || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |a^9 || (a^8) \cdot a || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |a^{10} || (a^8) \cdot (a^2) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |a^{12} || (a^8) \cdot (a^4) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |a^{16} || (a^8) \cdot (a^8) || || || |SZ= }} erhalten. Weitere Möglichkeiten gibt es nicht. Wenn nämlich {{math|term= a^8 |SZ=}} nicht als Faktor vorkommt, so gibt es von den noch nicht abgedeckten Potenzen nur {{mathl|term= (a^5) \cdot (a^6) |SZ=,}} doch dieser Aufbau braucht fünf Multiplikationen. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} elr6glr0yaawsdj2qaz2mx98oplgh0y 0 126694 1107014 1086050 2026-07-14T15:18:00Z Bocardodarapti 2041 1107014 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Injektivität links ist klar. Die Einheiten aus {{math|term= R |SZ=}} haben überhaupt an jedem Primideal die Ordnung {{math|term= 0 |SZ=,}} deshalb ist an der nächsten Stelle die Zusammensetzung die triviale Abbildung. Es sei {{ Relationskette | f | \in | {{op:Einheiten|R_S||}} || || || |SZ= }} derart, dass es unter der folgenden Abbildung auf {{math|term= 0 |SZ=}} geht. Das bedeutet, dass es an allen Primidealen, die nicht zu {{math|term= R_S|SZ=}} gehören, die Ordnung {{math|term= 0 |SZ=}} besitzt. Da es eine Einheit in {{math|term= R_S |SZ=}} ist, hat es auch an allen Primidealen, die zu {{math|term= R_S |SZ=}} gehören, und damit überhaupt an jedem Primideal von {{math|term= R |SZ=}} die Ordnung {{math|term= 0 |SZ=}} und ist somit eine Einheit in {{math|term= R |SZ=.}} Die dritte Abbildung ist einfach die Hauptdivisorabbildung, da in den Primidealen, die zu {{math|term= S |SZ=}} disjunkt sind, die Ordnung einer Einheit aus {{math|term= R_S |SZ=}} stets {{math|term= 0 |SZ=}} ist und sich der relevante Teil des Hauptdivisors in den angegebenen Primidealen abspielt. Die zusammengesetzte Abbildung ist daher die Nullabbildung, da in der Klassengruppe die Hauptdivisoren zu {{math|term= 0 |SZ=}} gemacht werden. Wenn ein Divisor {{mathl|term= \sum_{ {{idealp}},\, {{idealp}} \cap S \neq \emptyset} n_{{idealp|}} {{idealp|}} |SZ=}} in der Klassengruppe von {{math|term= R |SZ=}} zu {{math|term= 0 |SZ=}} wird, so bedeutet dies die Existenz eines {{ Relationskette | f | \in | Q(R) \setminus \{0 \} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor| f |}} || \sum_{ {{idealp}},\, {{idealp}} \cap S \neq \emptyset} n_ {{idealp|}} {{idealp|}} || || || |SZ=. }} Dabei sind dann insbesondere die Ordnungen von {{math|term= f |SZ=}} an den Primidealen, die mit {{math|term= S |SZ=}} einen leeren Durchschnitt haben, gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} und dann gehört {{math|term= f |SZ=}} zu {{math|term= R_S |SZ=}} und ist dort eine Einheit. Ein Divisor mit der angegebenen Trägermenge wird in der Klassengruppe von {{math|term= R_S |SZ=}} zu {{math|term= 0 |SZ=,}} da diese Primideale in der Nenneraufnahme nicht überleben. Es sei {{ Relationskette | [D] | \in | {{op:Divisorenklassengruppe| R |}} || || || |SZ= }} eine Divisorklasse, repräsentiert durch {{ Relationskette |D || \sum_{ {{idealp}} } n_{{idealp|}} {{idealp|}} || || || |SZ=, }} die in der Divisorenklassengruppe von {{math|term= R_S |SZ=}} zu {{math|term= 0 |SZ=}} wird. Wir schreiben {{ Relationskette/display | D || \sum_{ {{idealp}} } n_{{idealp|}} {{idealp|}} || \sum_{ {{idealp}},\, {{idealp}} \cap S \neq \emptyset } n_{{idealp|}} {{idealp|}} + \sum_{ {{idealp}},\, {{idealp}} \cap S {{=|}} \emptyset } n_{{idealp|}} {{idealp|}} || D_1 + D_2 || |SZ=. }} Unter der Abbildung wird dies nach {{mathl|term= [D_2] |SZ=}} abgebildet. Aus {{ Relationskette/display | D_2 || {{op:Hauptdivisor| f |}} || || || |SZ= }} in der Divisorengruppe zu {{math|term= R_S |SZ=}} folgt, dass die Differenz zwischen {{ mathkor|term1= D |und|term2= {{op:Hauptdivisor| f |}} |SZ= }} in der Divisorengruppe zu {{math|term= R |SZ=}} mit Primidealen geschrieben werden kann, die zu {{math|term= S |SZ=}} einen nichtleeren Durchschnitt haben. Diese Differenz kommt also von rechts. Die Surjektivität an der letzten Stelle ist klar. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mz2cjyez9tpkg447ows9zhirt9m1ip5 0 127000 1107012 1100936 2026-07-14T14:40:54Z Bocardodarapti 2041 1107012 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung3 |Der {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulisomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= | {{idealf|}} | {{idealg|}} | f |rf |SZ=, }} führt direkt zu einem Isomorphismus {{ Abbildung |name= | {{idealf|}}^{-1} | r^{-1} {{idealg|}}^{-1} | q |r^{-1} q |SZ=, }} da ja {{ Relationskette |q {{idealf|}} | \subseteq | R || || || |SZ= }} zu {{ Relationskette | {{makl| r^{-1} q |}} {{makl|r {{idealf|}} |}} | \subseteq | R || || || |SZ= }} äquivalent ist. |Es ist klar, dass {{math|term= {{idealf}}^{-1} |SZ=}} ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedener {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermodul| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= Q(R) |SZ=}} ist. Wenn {{math|term= {{idealf}} |SZ=}} durch {{mathl|term= {{op:Bruch|a_1 |b_1 }} {{kommadots|}} {{op:Bruch|a_n |b_n }} |SZ=}} erzeugt wird, so betrachten wir {{ Relationskette | {{idealg|}} || {{op:Bruch| {{idealf|}} | a }} || || || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |a || a_1 \cdots a_n || || || |SZ=, }} wobei jetzt {{math|term= {{idealg}} |SZ=}} ein Erzeugendensystem der Form {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 |c_1 }} {{kommadots}} {{op:Bruch| 1 |c_n }} |SZ=}} mit {{ Relationskette | c_i | \in | R || || || |SZ= }} besitzt. Die Bedingung {{ Relationskette/display | q {{op:Bruch| 1 |c_i }} | \in | R || || || |SZ= }} impliziert {{ Relationskette | q | \in | R || || || |SZ=. }} Daher ist das inverse gebrochene Ideal zu {{math|term= {{idealg}} |SZ=}} selbst ein Ideal, also endlich erzeugt. Dies überträgt sich wegen (1) auf {{math|term= {{idealf}} |SZ=.}} |Für das {{ Definitionslink |Produkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Dedekindbereich/Produkt von gebrochenen Idealen/Definition |SZ= }} ist offenbar {{ Relationskette/display | {{idealf|}} \cdot {{idealf|}}^{-1} | \subseteq | R || || || |SZ=. }} Wenn diese Inklusion echt wäre, so würde es auch ein maximales Ideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} oberhalb von {{mathl|term= {{idealf|}} \cdot {{idealf|}}^{-1} |SZ=}} geben. Es sei {{ Relationskette | {{idealf|}}_{{idealp}} || (\pi^n) || || || |SZ= }} mit einer Ortsuniformisierenden {{math|term= \pi |SZ=}} von {{math|term= R_{{idealp}} |SZ=}} und mit {{ Relationskette | n | \in | \Z || || || |SZ=. }} Es gibt dann auch ein Element {{ Relationskette | f | \in | {{idealf|}} || || || |SZ=, }} das an der Stelle {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} die Ordnung {{math|term= n |SZ=}} besitzt. Dazu gibt es auch ein {{ Relationskette | q | \in | Q(R) || || || |SZ=, }} das an der Stelle {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} die Ordnung {{math|term= -n |SZ=}} und sonst überall eine hinreichend große Ordnung derart besitzt, dass {{ Relationskette | fq | \in | R || || || |SZ= }} und sogar {{ Relationskette | {{idealf|}} q | \subseteq | R || || || |SZ= }} ist. Somit ist {{ Relationskette | q | \in | {{idealf|}}^{-1} || || || |SZ=. }} Dies ist ein Widerspruch, da einerseits {{math|term= fq |SZ=}} an der Stelle {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} die Ordnung {{math|term= 0 |SZ=}} besitzt aber andererseits {{ Relationskette | fq^{-1} | \in | {{idealp}} || || || |SZ= }} ist. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lx5xd5tynlmurtnq2gcof7ep3nr0xus 0 127041 1107020 1101862 2026-07-14T16:25:23Z Bocardodarapti 2041 1107020 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Das Polynom {{mathl|term= X^3-ab^2 |SZ=}} besitzt keine rationale Nullstelle, ist also irreduzibel und somit liegt eine Körpererweiterung vom Grad {{math|term= 3 |SZ=}} vor. {{ Aufzählung4 |Es ist unmittelbar klar, dass {{math|term= x |SZ=}} zu {{math|term= L |SZ=}} gehört und eine Ganzheitsgleichung erfüllt. Ferner ist {{ Relationskette/display | y || \sqrt[3]{a^2b} || {{op:Bruch| 1 | b }} \sqrt[3]{ab^2}^2 || {{op:Bruch| 1 | b }} x^2 || |SZ=, }} d.h. {{math|term= y |SZ=}} gehört ebenfalls zu {{math|term= L |SZ=,}} die Ganzheit ist klar. |Wegen {{ Relationskette | X^3 || bY X || ab^2 || || |SZ= }} liegen auch diese kubischen Terme in dem Ideal. Wir haben durch {{mathl|term= X \mapsto x |SZ=}} und {{mathl|term= Y \mapsto y |SZ=}} einen surjektiven Ringhomomorpismus {{ Abbildung/display |name= | S {{=|}} \Z[X,Y]/ {{makl| XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX |}} | \Z[x,y] || |SZ=, }} da {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} die angegebenen Relationen erfüllen. Diese Relationen zeigen auch, dass rechts die Gruppe {{mathl|term= \Z \oplus \Z x \oplus \Z y |SZ=}} steht, da man alle Produkte darin schon ausdrücken kann. Eine weitere Relation kann es nicht geben, da {{math|term= 1,x,y |SZ=}} über {{math|term= \Q |SZ=}} linear unabhängig sind. |Wir zeigen nun, dass {{math|term= S |SZ=}} unter der angegebenen Bedingung normal ist. Wenn eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} weder in {{ mathkor|term1= a |noch in|term2= b |SZ= }} vorkommt und nicht {{math|term= 3 |SZ=}} ist, so ist {{ Relationskette/display | S_{ \Z \setminus (p) } || \Z_{(p)} [X,Y]/ {{makl| XY-ab, X^2-bY, Y^2-aX |}} | \cong| \Z_{(p)} [X]/ {{makl| X^3-ab^2 |}} || || |SZ=, }} da man {{ Relationskette | Y || {{op:Bruch| X^2 | b }} || || || |SZ= }} schreiben und überall ersetzen kann, da {{math|term= b |SZ=}} in {{math|term= \Z_{(p)} |SZ=}} eine Einheit ist. Die entstehenden Erzeuger sind {{mathl|term= X^3-ab^2 |SZ=}} und Vielfache davon. Der Faserring über {{math|term= p |SZ=}} ist somit {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^3-u |}} |SZ=}} mit einer Einheit {{ Relationskette | u | \in | {{op:Zmod| p |}} || || || |SZ=. }} Das beschreibende Polynom {{math|term= X^3 -u |SZ=}} und seine Ableitung {{math|term= 3X^2 |SZ=}} erzeugen das Einheitsideal {{ Zusatz/Klammer |text= die Faser über {{math|term= p |SZ=}} ist also reduziert| |ISZ=|ESZ= }} und damit ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Ableitungsbedingung/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} die Nenneraufnahme von {{math|term= S |SZ=}} an {{math|term= \Z \setminus (p) |SZ=}} normal. Es sei nun {{math|term= p |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= a |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei der Fall {{ Relationskette/k | p || 3 || || || |SZ= }} erlaubt ist| |ISZ=|ESZ=. }} Dann ist wieder {{ Relationskette | S_{ \Z \setminus (p) } | \cong| \Z_{(p)} [X]/ {{makl| X^3-ab^2 |}} || || |SZ=. }} Modulo {{math|term= p |SZ=}} ist dies {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^3 |}} |SZ=,}} somit ist das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (p) |SZ=}} gleich {{mathl|term= (p,X) |SZ=.}} Da wir {{ Relationskette/display | a || p \cdot c || || || |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= a |und|term2= c |SZ= }} teilerfremd schreiben können, gilt {{ Relationskette/display | p || {{op:Bruch| X^2 | cb^2 }} X || || || |SZ= }} und daher wird dieses Primideal von {{math|term= X |SZ=}} erzeugt. Diese Nenneraufnahmen sind also auch normal. Der Fall, dass {{math|term= p |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist, geht analog. {{parskip}} Betrachten wir nun {{ Relationskette/display | p || 3 || || || |SZ= }} und nehmen weiter an, dass {{math|term= 3 |SZ=}} weder in {{ mathkor|term1= a |noch in|term2= b |SZ= }} vorkommt. Dann kann man wieder die Nenneraufnahme monogen als {{mathl|term= \Z_{(3)} [X]/ {{makl| X^3-ab^2 |}} |SZ=}} beschreiben. Modulo {{math|term= 3 |SZ=}} ist dies {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| 3 |}} [X] / {{makl| X^3-ab^2 |}} || {{op:Zmod| 3 |}} [X] / {{makl| X-ab^2 |}}^3 || || || |SZ= }} und somit liegt über {{math|term= (3) |SZ=}} das einzige Primideal {{mathl|term= {{makl| 3, X-ab^2 |}} |SZ=.}} Wir bestimmen, unter welchen Bedingungen {{mathl|term= X-ab^2 |SZ=}} ein Erzeuger dieses Ideals ist. Der Ring {{mathl|term= \Z_{(3)} [X]/ {{makl| X^3-ab^2 |}} |SZ=}} modulo {{mathl|term= X-ab^2 |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | \Z_{(3)} / {{makl| {{makl| ab^2 |}}^3-ab^2 |}} || \Z_{(3)} / {{makl| {{makl| ab^2 |}}^2-1 |}} || \Z_{(3)} / {{makl| {{makl| ab^2+1 |}} {{makl| ab^2-1 |}} |}} || || |SZ=, }} da in unserem Fall {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} Einheiten sind. Es geht darum, ob dieser Ring gleich {{math|term= {{op:Zmod| 3 |}} |SZ=}} ist oder nicht, und somit geht es darum, ob die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Bewertung| |SZ= }} von {{mathl|term= {{makl| ab^2+1 |}} {{makl| ab^2-1 |}} |SZ=}} in {{mathl|term= \Z_{(3)} |SZ=}} gleich {{math|term= 1 |SZ=}} oder höher ist. Wir schreiben {{ Relationskette | a || 9u +r || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | b || 9v +s || || || |SZ= }} und betrachten zuerst den Fall, wo {{ Relationskette | r || 1,4,7 || || || |SZ= }} ist. Dann ist {{ Relationskette | ab^2+1 |\neq| 0 \mod 3 || || || |SZ= }} und wir müssen {{ Relationskette | ab^2-1 || (9u +r)(9v +s )^2-1 || || || || || |SZ= }} betrachten. Modulo {{math|term= 9 |SZ=}} ist dies {{mathl|term= rs^2-1 |SZ=.}} Dabei gilt {{ Relationskette/display | rs^2 || 1 \mod 9 || || || |SZ= }} genau in den Fällen {{ Relationskette/display | (r,s) || (1, \pm 1), (4, \pm 4), (7, \pm 7 ) || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | r || 2,5,8 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | ab^2-1 |\neq| 0 \mod 3 || || || |SZ= }} und wir müssen {{ Relationskette | ab^2+1 || ( 9u +r )( 9v +s )^2+1 || rs^2 +1 \mod 9 || || || || |SZ= }} betrachten. Dabei gilt {{ Relationskette/display | rs^2 || -1 \mod 9 || || || |SZ= }} genau in den Fällen {{ Relationskette/display | (r,s) || (2, \pm 2), (5, \pm 5), (8, \pm 8 ) || || || |SZ=. }} Unter der Voraussetzung {{ Relationskette | a |\neq| \pm b \mod 9 || || || |SZ= }} ist also der Exponent der {{math|term= 3 |SZ=}} in {{mathl|term= {{makl| ab^2+1 |}} {{makl| ab^2-1 |}} |SZ=}} genau {{math|term= 1 |SZ=.}} Somit ist {{ Relationskette | 3 | \in | {{makl| X-ab^2 |}} || || || |SZ= }} und das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (3) |SZ=}} ist in der Lokalisierung auch ein Hauptideal. |Es ist {{ Relationskette/display | z || {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| 1+ax+by |}} || {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| 1+ax+x^2 |}} || || || |SZ=. }} Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms dieses Elementes sind nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reine kubische Gleichung/Z/Norm/Spur/Charakteristisches Polynom/Aufgabe |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette | {{op:Spur| z |}} || 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | {{op:Bruch| 1 | 9}} {{makl| 3 - 3 a ab^2 |}} || {{op:Bruch| 1 | 3}} {{makl| 1 - a^2 b^2 |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | N(z) || {{op:Bruch| 1 | 27}} {{makl| 1 - 3a ab^2 +a^3 ab^2 + {{makl| ab^2 |}}^2 |}} || {{op:Bruch| 1 | 27}} {{makl| 1 - 3a^2b^2 +a^4b^2 + a^2b^4 |}} || {{op:Bruch| 1 | 27}} {{makl| 1 + a^2b^2 {{makl| -3 + a^2 + b^2 |}} |}} || |SZ=. }} Gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereiche/Minimalpolynom mit ganzzahligen Koeffizienten/Fakt |Nr= |SZ= }} ist zu untersuchen, ob diese drei Koeffizienten ganzzahlig sind {{ Zusatz/Klammer |text=für jedes Element aus {{mathl|term= L \setminus \Q |SZ=}} ist das charakteristische Polynom das Minimalpolynom |ISZ=|ESZ=. }} Unter der Bedingung {{ Relationskette | a || \pm b \mod 9 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | a^2 || b^2 || 1,4,7 \mod 9 || |SZ=, }} wir setzen {{ Relationskette | a^2 || 9 m+t || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | b^2 || 9n+t || || || |SZ=. }} In diesen Fällen ist {{ Relationskette/display | 1 - a^2 b^2 || \begin{cases} 0 \text{ bei } t {{=|}} 1 \, , \\ - 15 \text{ bei } t {{=|}} 4 \, , \\ -48 \text{ bei } t {{=|}} 7\, , \end{cases} \mod 9 || || || |SZ=, }} also stets ein Vielfaches von {{math|term= 3 |SZ=.}} Ferner ist {{ Relationskette/align/drucklinks | 1 + a^2b^2 {{makl| a^2 + b^2-3 |}} || 1 + {{makl| 81mn +9(m+n)t +t^2 |}} {{makl| 9(m+n) + 2t -3 |}} || 1 + 81 A + 18 (m+n) t^2 - 27 (m+n) t +9(m+n) t^2 + 2t^3-3t^2 || 81 A +1 + 27 (m+n) t^2 - 27 (m+n) t + 2t^3-3t^2 || 81 A +1 + 27 (m+n) {{makl| t^2 -t |}} + 2t^3-3t^2 || 81 A' +1 + 2t^3-3t^2 |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | t || 1,4 || || || |SZ= }} ist dies zusammen sogar ein Vielfaches von {{math|term= 81 |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | t || 7 || || || |SZ= }} sind die hinteren Summanden zusammen gleich {{ Relationskette/display | 1+2 \cdot 7^3-3 \cdot 7^2 || 540 || 27 \cdot 20 || || |SZ=, }} also ein Vielfaches von {{math|term= 27 |SZ=}} und daher ist {{math|term= z |SZ=}} ganz. {{parskip}} Wir zeigen nun, dass die von {{math|term= x,y,z |SZ=}} erzeugte Algebra normal ist. Es sei {{ Relationskette/display | w || k + mx + nx^2 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | k,m,n | \in | \Q || || || |SZ= }} ein Element, das über {{math|term= \Z |SZ=}} eine Ganzheitsgleichung erfüllt, und wir müssen zeigen, dass es zu {{mathl|term= \Z [x,y,z] |SZ=}} gehört. Aufgrund der Spurbedingung ist {{math|term= 3k |SZ=}} ganzzahlig. Wir ziehen {{math|term= z |SZ=}} von {{math|term= w |SZ=}} ab und können dann {{ Relationskette | k || 0 || || || |SZ= }} annehmen. Die weiteren Koeffizientenbedingungen an das charakteristische Polynom besagen, dass {{ mathkor|term1= 3mn q |und|term2= m^3 q +n^3q^2 |SZ= }} ganzzahlig sind. Da {{math|term= q |SZ=}} kein Vielfaches von {{math|term= 3 |SZ=}} ist, ist {{ Relationskette/display | {{op:Bewertungsordnung|mn|(3)}} | \geq | -1 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung| m |(3)}} | \geq | 0 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung| n | (3) }} | \geq | 0 || || || |SZ=, }} und {{ Relationskette/display | {{op:Bewertungsordnung| m^3 +n^3q | (3) }} | \geq | 0 || || || |SZ=. }} Im ersten Fall folgt wegen der letzten Bedingung auch die Bedingung im zweiten Fall und umgekehrt, d.h. die Ordnung von {{ mathkor|term1= m |und|term2= n |SZ= }} an der Stelle {{math|term= (3) |SZ=}} ist {{math|term= \geq 1 |SZ=.}} Wegen der Normalität an den anderen Primzahlen folgt überhaupt, dass {{ mathkor|term1= m |und|term2= n |SZ= }} ganzzahlig sind. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fjxzffr1dzgog2wlk97so7f6a1xqodk 0 127520 1107019 1087812 2026-07-14T15:34:23Z Bocardodarapti 2041 1107019 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= B |SZ=}} ein {{ Definitionslink |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Ortsuniformisierender| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= p |SZ=}} und es sei {{ Relationskette | R || B[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{ideala|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{ Definitionslink |integre| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=B |Algebra| |Kontext=| |SZ=. }} |Voraussetzung=Der {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R/pR|SZ=}} sei {{ Definitionslink |reduziert| |Kontext=| |SZ=. }} |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term= R |SZ=}} {{ Definitionslink |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der endlichen freien Algebren über diskreten Bewertungsringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0z1loxbrmlikuzihsdfox6dlfeyfcyv 0 127928 1107041 1093946 2026-07-14T17:14:40Z Bocardodarapti 2041 1107041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | R_n || \Z[X]/ ({{op:Kreisteilungspolynom| n |}} ) || || || |SZ= }} der {{math|term= n |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind für eine ungerade Primzahl {{math|term= q |SZ=}} folgende Aussagen äquivalent: |Folgerung= {{ Aufzählung5 |{{math|term= q |SZ=}} ist ein Teiler von {{math|term= n |SZ=.}} |Das Primideal {{mathl|term= (q) |SZ=}} {{ Definitionslink |verzweigt| |Kontext=Ordnung| |SZ= }} in {{math|term= R_n |SZ=.}} |Das Kreisteilungspolynom {{mathl|term= {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |SZ=}} ist über {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} nicht {{ Definitionslink |separabel| |Kontext=Polynom| |SZ=. }} |Das Polynom {{mathl|term= X^n-1 |SZ=}} ist über {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} nicht separabel. |Der Ring {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} [X]/ {{makl| X^n-1 |}} |SZ=}} ist nicht {{ Definitionslink |reduziert| |Kontext=Ring| |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Charakterisierung der Verzweigung für Kreisteilungsringe |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mf1pdj5umhkk9pb89wqjmgm1k9xzwkr 0 128014 1107036 1035672 2026-07-14T17:08:41Z Bocardodarapti 2041 1107036 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |K || Q(R) || || || |SZ= }} und sei {{ Relationskette | K | \subseteq | L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Galoisgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= G |SZ=.}} Es sei {{math|term= S |SZ=}} der {{ Definitionslink |ganze Abschluss| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=}} und sei {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= S |SZ=.}} Dann nennt man {{ Relationskette/display | {{op:Trägheitsgruppe| {{idealq|}} |}} || {{Mengebed| \sigma \in {{op:Zerlegungsgruppe| G | {{idealq|}} |}} | \sigma {{|}}_{ {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} } {{=|}} {{op:Identität|}} }} || || || |SZ= }} die {{ Definitionswort |Trägheitsgruppe| |msw=Trägheitsgruppe |SZ= }} zu {{math|term= {{idealq|}} |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Galoistheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Trägheitsgruppe |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pb38ap5355zvlykmh945e4htssnoim9 0 128017 1107038 1100832 2026-07-14T17:09:05Z Bocardodarapti 2041 1107038 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |K || Q(R) || || || |SZ= }} und sei {{ Relationskette |K | \subseteq | L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Galoisgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= G |SZ=.}} Es sei {{math|term= S |SZ=}} der {{ Definitionslink |ganze Abschluss| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=}} und sei {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= S |SZ=.}} Dann nennt man den {{ Definitionslink |Fixkörper| |Kontext=| |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Trägheitsgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Trägheitsgruppe| {{idealq|}} |}} |SZ=}} den {{ Definitionswort |Trägheitskörper| |msw=Trägheitskörper |SZ= }} zu {{math|term= {{idealq|}} |SZ=.}} Er wird mit {{mathl|term= {{op:Trägheitskörper| {{idealq|}} |}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Galoistheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Trägheitskörper |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nni43wv2owgzh6ijpdlx2twl5adfo7j 0 128034 1107044 1093949 2026-07-14T17:20:01Z Bocardodarapti 2041 1107044 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach Voraussetzung ist {{math|term= q |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} und damit eine Einheit in {{mathl|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ=.}} Es gibt deshalb eine wohldefinierte Ordnung {{math|term= f |SZ=,}} also die kleinste positive Zahl mit {{ Relationskette | q^f || 1 \mod n || || || |SZ=. }} Dabei ist {{math|term= f |SZ=}} ein Teiler von {{mathl|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion|n}} |SZ=,}} der Ordnung der Einheitengruppe {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} |}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endlicher Körper/Einheitswurzeln/Anzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper| q^f |}} |SZ=}} der kleinste Erweiterungskörper von {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=,}} der {{math|term= n |SZ=}} verschiedene Einheitswurzeln enthält. Wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt |Nr= |SZ= }} ist lediglich zu zeigen, dass {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper| q^f |}} |SZ=}} der Restekörper der Primideale oberhalb von {{mathl|term= (q) |SZ=}} ist. Betrachten wir also {{math/druckdisplay|term= {{op:Zmod| q |}} [X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |}} |SZ=.}} Da {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper| q^f |}} |SZ=}} eine primitive {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzel enthält, gibt es eine surjektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| q |}} [X]/ {{makl| X^n-1 |}} | {{op:Endlicher Körper|q^f|}} || |SZ=. }} Diese faktorisiert nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungspolynom/Produkt ist X^n-1/Fakt |Nr= |SZ= }} durch {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| q |}} [X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| m |}} |}} | {{op:Endlicher Körper| q^f |}} || |SZ=, }} wobei {{math|term= m |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} ist; dann gibt es auch eine Surjektion {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| q |}} [X]/ {{makl| X^m-1 |}} | {{op:Endlicher Körper| q^f |}} || |SZ=. }} Wenn {{math|term= m |SZ=}} ein echter Teiler von {{math|term= n |SZ=}} wäre, so würde sich ein Widerspruch ergeben, da dann das Bild von {{math|term= X |SZ=}} eine Ordnung {{math|term= < n |SZ=}} hätte. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1loglumwp1s5495ud95yhaxtcyt1z2n 0 128041 1107046 1101381 2026-07-14T17:23:24Z Bocardodarapti 2041 1107046 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D/Faser über Primideal/Quadrat im Restekörper/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Von (2) nach (3). Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gaußsche Summe/Quadratisch/Legendre-Symbol/Quadratformel/Fakt |Nr= |SZ= }} gilt {{ Relationskette | S | \subseteq | R_p || || || |SZ=, }} sodass diese Richtung aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt |Nr= |SZ= }} folgt, da sich der nichttriviale Automorphismus der quadratischen Erweiterung zu einem Automorphismus des Kreisteilungsringes fortsetzt, der die beiden Fasern vertauscht. Von (3) nach (2). Es sei {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein Primideal über {{mathl|term= (q) |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| {{op:Zerlegungsgruppe| G | {{idealq|}} }} |}} || {{op:Grad Körpererweiterung| {{op:Zmod| q |}} | {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} }} || f || || |SZ= }} und nach Voraussetzung ist wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt |Nr= |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch| p-1 | f }} |SZ=}} gerade. Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Dedekindbereich/Galoistheorie/Zerlegungskörper/Restekörper/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Bruch| p-1 | f }} |SZ=}} auch die Anzahl der Primideale über {{mathl|term= (q) |SZ=}} im {{ Definitionslink |Zerlegungsring| |Kontext=| |SZ= }} zu {{mathl|term= (q) |SZ=}} in {{math|term= R_p |SZ=}} und die Restekörper sind {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=.}} Da der {{ Definitionslink |Index| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} der Zerlegungsgruppe in der zyklischen Galoisgruppe {{ Relationskette/display | {{op:Aut|(R_p)|}} | \cong | {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| p |}} ||}} | \cong | {{makl| {{op:Zmod|p-1|}}, +,0 |}} || || |SZ= }} gerade ist, umfasst der Zerlegungskörper den quadratischen Zahlbereich. Deshalb sind auch dessen Restekörper gleich dem Grundkörper und es liegt im Zahlbereich Zerlegung vor. {{parskip|}} Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt |Nr= |SZ=. }} (4) bedeutet, dass {{ Relationskette/display | q^{ {{op:Bruch|p-1| 2}} } || 1 \mod p || || || |SZ=, }} deshalb folgt die Äquivalenz von (4) und (5) aus {{ Faktlink |Präwort=dem|Euler-Kriterium|Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3zm24eiot1azv3ye9u0nniehkro2078 0 128081 1107039 1087764 2026-07-14T17:09:14Z Bocardodarapti 2041 1107039 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |SZ= }} {{ Relationskette |K || Q(R) || || || |SZ= }} und sei {{ Relationskette |K | \subseteq | L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Galoiserweiterung| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Galoisgruppe| |SZ= }} {{math|term= G |SZ=.}} Es sei {{math|term= S |SZ=}} der {{ Definitionslink |ganze Abschluss| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=}} und sei {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primideal| |SZ= }} von {{math|term= S |SZ=.}} |Voraussetzung= Die Erweiterung der {{ Definitionslink |Restekörper| |SZ= }} sei {{ Definitionslink |separabel| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ=. }} |Übergang= |Folgerung= Dann ist die {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Trägheitsgruppe| |SZ= }} {{math|term= {{op:Trägheitsgruppe| {{idealq|}} |}} |SZ=}} gleich dem {{ Definitionslink |Verzweigungsindex| |SZ= }} von {{math|term= {{idealq|}} |SZ=.}} |Zusatz=Insbesondere ist die Trägheitsgruppe genau dann trivial, wenn in {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} keine {{ Definitionslink |Verzweigung| |Kontext=Ordnung| |SZ= }} vorliegt. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Galoistheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cdsecdh3ebdp5puiroei132gv4myx9h 0 128178 1107057 1102630 2026-07-14T17:46:36Z Bocardodarapti 2041 1107057 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{math|term= \triangle|SZ=}} und {{math|term= s |SZ=}} Paaren von {{ Definitionslink |komplexen Einbettungen| |Kontext=Zahlkörper| |SZ=. }} |Voraussetzung= Es sei vorausgesetzt, dass jede {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= p |SZ=,}} die die Normbedingung {{ Relationskette/display | p | \leq | {{op:Bruch(| 2 | \pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag|\triangle|}} } || || || |SZ= }} erfüllt, ein Primfaktorzerlegung in {{math|term= R |SZ=}} besitzt. |Übergang= |Folgerung=Dann ist {{math|term= R |SZ=}} {{ Definitionslink |faktoriell| |Kontext=| |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Faktorialitätstest für Zahlbereiche |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 294mf29r1r287ri3897i69vlh9m7mxj 0 128260 1107049 1103104 2026-07-14T17:29:51Z Bocardodarapti 2041 1107049 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Konvexe Geometrie/Konvexe Teilmengen/konvex (R hoch n)/Definition|}} {{ inputbild |Convex set|svg| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=Convex_set |Autor=Oleg Alexandrov |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Non Convex set|svg| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Non_Convex_set |Autor= Kilom691 |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Der Durchschnitt von konvexen Teilmengen ist wieder konvex{{{refa|}}}. Daher kann man definieren. {{inputdefinition |Konvexe Geometrie/Konvexe Hülle (R hoch n)/Definition|}} Die konvexe Hülle ist einfach der Durchschnitt von allen konvexen Teilmengen, die {{math|term= U |SZ=}} umfassen. {{ inputbild |ConvexHull|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=Maksim |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Im Zweidimensionalen kann man sich die konvexe Hülle so vorstellen, dass man eine Schnur um die fixierten Punkte aus {{math|term= U |SZ=}} legt und die Schnur dann zusammen zieht. Dreidimensional nehme man ein Stofftuch. {{inputdefinition |Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Grundmasche/Definition|}} Die in der vorstehenden Definition auftauchenden Vektoren sind die Eckpunkte des von den Basisvektoren {{math|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugten Parallelotops| |Kontext=| |SZ=. }} Die Elemente der Grundmasche selbst sind alle Vektoren der Form {{ Math/display|term= r_1v_1 {{plusdots}} r_nv_n \text{ mit } r_i \in [0,1] |SZ= }} Wir werden die Grundmasche häufig mit {{math|term= \mathfrak M |SZ=}} bezeichnen. Zu einem Gitterpunkt {{math|term= P |SZ=}} nennt man die Menge {{mathl|term= P+ {\mathfrak M} |SZ=}} eine {{Definitionswort/enp|Masche}} des Gitters. Ein beliebiger Punkt {{ Relationskette |Q | \in| \R^n || || || |SZ= }} hat eine eindeutige Darstellung {{ Relationskette |Q || t_1v_1 {{plusdots|}} t_nv_n || || || |SZ= }} und damit ist {{ Relationskette/display/handlinks |Q || (\lfloor t_1 \rfloor v_1 {{plusdots|}} \lfloor t_n \rfloor v_n) + ( (t_1 - \lfloor t_1 \rfloor) v_1 {{plusdots|}} (t_n-\lfloor t_n \rfloor) v_n) || || || |SZ=, }} wobei der erste Summand zum Gitter gehört und der zweite Summand zur Grundmasche. Insbesondere haben zwei verschiedene Maschen nur Randpunkte, aber keine inneren Punkte gemeinsam. {{ inputbild |Determinant parallelepiped|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Determinant_parallelepiped |Text= |Autor= |Benutzer=Claudio Rocchini |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Da ein Gitter keine wohldefinierte Gitterbasis besitzt, gibt es eine wohldefinierte Grundmasche nur dann, wenn eine Gitterbasis fixiert wurde, siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Standardgitter/R^2/Andere Basis/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Allerdings, und dies ist entscheidend, ist das Volumen einer Grundmasche unabhängig von der Gitterbasis und hängt nur vom Gitter selbst ab. Dies folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Basis/Übergang/Fakt |Nr= |SZ= }} in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt |Nr= |SZ=. }} Das Volumen eines Parallelotops und insbesondere einer Grundmasche kann man mit den beiden folgenden Sätzen berechnen.{{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweishier |Standardraum/Basis/Erzeugte Parallelotop/Volumen/Determinante/Fakt|Satz||Beweistext=Dies ist der entscheidende Schritt zum Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt |Nr= |SZ=, }} siehe den Beweis dort.||}} {{ inputfaktbeweishier |Euklidischer Vektorraum/Volumen eines Parallelotops/Über Skalarproduktmatrix/Fakt|Satz||Beweistext=Für den Beweis siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Euklidischer Vektorraum/Volumen eines Parallelotops/Über Skalarproduktmatrix/Fakt |Nr= |SZ=. }} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Konvexität (Geometrie) |Kategorie2=Theorie der Gitter |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8x3chclfcls24ruu08by0q2by3mx0wf 1107050 1107049 2026-07-14T17:30:47Z Bocardodarapti 2041 1107050 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Konvexe Geometrie/Konvexe Teilmengen/konvex (R hoch n)/Definition|}} {{ inputbild |Convex set|svg| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=Convex_set |Autor=Oleg Alexandrov |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Non Convex set|svg| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Non_Convex_set |Autor= Kilom691 |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Der Durchschnitt von konvexen Teilmengen ist wieder konvex{{{refa|}}}. Daher kann man definieren. {{inputdefinition |Konvexe Geometrie/Konvexe Hülle (R hoch n)/Definition|}} Die konvexe Hülle ist einfach der Durchschnitt von allen konvexen Teilmengen, die {{math|term= U |SZ=}} umfassen. {{ inputbild |ConvexHull|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=Maksim |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Im Zweidimensionalen kann man sich die konvexe Hülle so vorstellen, dass man eine Schnur um die fixierten Punkte aus {{math|term= U |SZ=}} legt und die Schnur dann zusammen zieht. Im Dreidimensionalen nehme man ein Stofftuch. {{inputdefinition |Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Grundmasche/Definition|}} Die in der vorstehenden Definition auftauchenden Vektoren sind die Eckpunkte des von den Basisvektoren {{math|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugten Parallelotops| |Kontext=| |SZ=. }} Die Elemente der Grundmasche selbst sind alle Vektoren der Form {{ Math/display|term= r_1v_1 {{plusdots}} r_nv_n \text{ mit } r_i \in [0,1] |SZ= }} Wir werden die Grundmasche häufig mit {{math|term= \mathfrak M |SZ=}} bezeichnen. Zu einem Gitterpunkt {{math|term= P |SZ=}} nennt man die Menge {{mathl|term= P+ {\mathfrak M} |SZ=}} eine {{Definitionswort/enp|Masche}} des Gitters. Ein beliebiger Punkt {{ Relationskette |Q | \in| \R^n || || || |SZ= }} hat eine eindeutige Darstellung {{ Relationskette |Q || t_1v_1 {{plusdots|}} t_nv_n || || || |SZ= }} und damit ist {{ Relationskette/display/handlinks |Q || (\lfloor t_1 \rfloor v_1 {{plusdots|}} \lfloor t_n \rfloor v_n) + ( (t_1 - \lfloor t_1 \rfloor) v_1 {{plusdots|}} (t_n-\lfloor t_n \rfloor) v_n) || || || |SZ=, }} wobei der erste Summand zum Gitter gehört und der zweite Summand zur Grundmasche. Insbesondere haben zwei verschiedene Maschen nur Randpunkte, aber keine inneren Punkte gemeinsam. {{ inputbild |Determinant parallelepiped|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Determinant_parallelepiped |Text= |Autor= |Benutzer=Claudio Rocchini |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Da ein Gitter keine wohldefinierte Gitterbasis besitzt, gibt es eine wohldefinierte Grundmasche nur dann, wenn eine Gitterbasis fixiert wurde, siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Standardgitter/R^2/Andere Basis/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Allerdings, und dies ist entscheidend, ist das Volumen einer Grundmasche unabhängig von der Gitterbasis und hängt nur vom Gitter selbst ab. Dies folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Basis/Übergang/Fakt |Nr= |SZ= }} in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt |Nr= |SZ=. }} Das Volumen eines Parallelotops und insbesondere einer Grundmasche kann man mit den beiden folgenden Sätzen berechnen.{{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweishier |Standardraum/Basis/Erzeugte Parallelotop/Volumen/Determinante/Fakt|Satz||Beweistext=Dies ist der entscheidende Schritt zum Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt |Nr= |SZ=, }} siehe den Beweis dort.||}} {{ inputfaktbeweishier |Euklidischer Vektorraum/Volumen eines Parallelotops/Über Skalarproduktmatrix/Fakt|Satz||Beweistext=Für den Beweis siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Euklidischer Vektorraum/Volumen eines Parallelotops/Über Skalarproduktmatrix/Fakt |Nr= |SZ=. }} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Konvexität (Geometrie) |Kategorie2=Theorie der Gitter |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 643silomxddl86sof1wnjgwwzvs0d0y 0 128326 1107053 1101846 2026-07-14T17:39:09Z Bocardodarapti 2041 1107053 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir haben die Zusammenstellung zu allen komplexen Einbettungen {{ Abbildung/display |name= \tau | R | {{CC|}}^{r+2s} || |SZ= }} und die reelle Gittereinbettung {{ Abbildung/display |name= {{op:Reelle Gesamteinbettung|}} | R | \R^r \times {{CC|}}^s || |SZ=, }} die durch die Einbettung {{ Abbildung/display |name= | \R^r \times {{CC|}}^s | {{CC|}}^{r+2s} |(x_1 {{kommadots|}} x_r; z_1 {{kommadots|}} z_s) |(x_1 {{kommadots|}} x_r; z_1 , {{op:Komplexe Konjugation|z_1 |}} {{kommadots|}} z_s , {{op:Komplexe Konjugation|z_s|}} ) |SZ= }} miteinander verbunden sind. Zu einer {{math|term= \Q|SZ=-}}Basis {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} von {{math|term= Q(R) |SZ=}} haben wir einerseits die {{ Definitionslink |reelle Ganzheitsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{Reelle Ganzheitsmatrix}} |SZ= }} und andererseits die {{ Definitionslink |komplexe Ganzheitsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{Komplexe Ganzheitsmatrix}} |SZ=. }} Wenn man diese komplexe Matrix mit der Matrix {{ Zusatz/Klammer |text=diese steht links| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix88| 1 ||||||||| \ddots||||||||| 1||||||||| 1| 1 ||||||| - {{imaginäre Einheit}} | {{imaginäre Einheit}} ||||||||| 1||||||||| \ddots||||||||| 1 |}} |SZ= }} multipliziert, wobei der quadratische Block sich auf {{math|term= \sigma_j |SZ=}} und {{math|term= {{op:Komplexe Konjugation| \sigma|}}_j |SZ=}} bezieht, so erhält man in der Zeile zu {{math|term= \sigma_j |SZ=}} das Doppelte des Realteils von {{math|term= \sigma_j |SZ=}} und in der darauf folgenden Zeile das Doppelte des Imaginärteils von {{math|term= \sigma_j |SZ=.}} Die Determinante der zuletzt notierten Matrix ist {{math|term= 2 {{imaginäre Einheit|}} |SZ=.}} Wenn man diese Multiplikation für jede komplexe Doppelzeile durchführt {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= s |SZ=}} Multiplikationen| |ISZ=|ESZ=, }} so erhält man die Matrix, die aus der reellen Ganzheitsmatrix hervorgeht, indem man die hinteren {{math|term= 2s|SZ=}} Zeilen jeweils mit {{math|term= 2 |SZ=}} multipliziert. Deshalb gilt insgesamt {{ Relationskette/display | 2^{2s} {{makl| {{op:Determinante(| {{op:Reelle Gesamteinbettung|}}_j(b_k)|}} |}} || 2^s {{imaginäre Einheit}}^s {{makl| {{op:Determinante(| \tau_j (b_k)|}} |}} || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/C/Basis/Diskriminante/Einbettungsbeschreibungen/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Standardraum/Basis/Erzeugte Parallelotop/Volumen/Determinante/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/align | \sqrt{ {{op:Betrag|\triangle(b_1 {{kommadots|}} b_n)||}} } || {{op:Betrag| {{makl| {{op:Determinante(| \tau_j(b_k)|}} |}} ||}} || 2^{s} {{makl| {{op:Determinante(| {{op:Reelle Gesamteinbettung|}}_j(b_k)|}} |}} || 2^s \operatorname{Vol} (\mathfrak M ) || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hqwfuz4r2aanr3kbulykc4xabf6v58v 0 128372 1107059 1101379 2026-07-14T17:51:16Z Bocardodarapti 2041 1107059 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach Konstruktion der Kreisteilungskörper ist klar, dass {{math|term= K_n |SZ=}} die {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln enthält. Wenn {{math|term= n |SZ=}} ungerade und {{math|term= \zeta|SZ=}} eine primitive {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzel ist, so ist {{math|term= - \zeta|SZ=}} eine primitive {{math|term= 2n|SZ=-}}te Einheitswurzel und somit sind die Inklusionen {{math|term= \supseteq |SZ=}} klar. Es ist also noch zu zeigen, dass die Kreisteilungskörper keine weiteren Einheitswurzeln enthalten. Dazu können wir annehmen, dass {{math|term= n |SZ=}} gerade ist. Es sei {{math|term= \xi |SZ=}} eine zusätzliche Einheitswurzel der Ordnung {{math|term= m |SZ=.}} Wir können annehmen, dass {{math|term= m |SZ=}} gerade und ein echtes Vielfaches von {{math|term= n |SZ=}} ist, da die von {{math|term= \xi|SZ=}} und einer primitiven {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzel {{math|term= \zeta|SZ=}} erzeugte Untergruppe wieder endlich und zyklisch und ihre {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |SZ= }} ein Vielfaches der beiden Ordnungen sein muss. Aus {{ Relationskette | \mu_m | \subseteq | K_n || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette |K_m | \subseteq | K_n || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Körper/Charakteristik 0/Einheitswurzeln/Kreisteilungskörper/Fakt |Nr= |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette |m || 2^r p_1^{r_1 } \cdots p_k^{r_k } || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |n || 2^s p_1^{s_1 } \cdots p_k^{s_k } || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |r | \geq |s | \geq | 1 || || |SZ= }} und {{ Relationskette |r_j | \geq |s_j | \geq | 1 || || |SZ=. }} Da ein Exponent echt größer ist, ergibt sich ein Widerspruch zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Q/Minimalpolynom/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0z14y5x3gsvinbitnv7w0azbj2h5xfd 10 134968 1107043 1075106 2026-07-14T17:18:43Z Bocardodarapti 2041 1107043 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{Diese Vorlage|wird für die Einbindung einer mathematischen Aussage und eines Beweises verwendet. Sie hat drei unbenannte Paramter. # die Seite mit dem Inhalt der Aussage (die Seite mit dem Beweis wird dann als Beweis eingebunden). Der Beweis wird dabei rechtsbündig mit einer {{math|term= \Box|SZ=}} abgeschlossen. # die Beschreibung des Aussagentyps (Satz, Lemma, Korollar), gleichzeitig ein Link zu der als erstem Parameter anzugebenden Seite. # eine zusätzliche inhaltliche Kennzeichnung für die Aussage, wie von Gauss oder (Gauss).}} </noinclude><includeonly>__NOEDITSECTION__</includeonly> {{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |wikicode=<nowiki>==</nowiki> {{{2|}}} <nowiki>==</nowiki><br><nowiki><div class="content" style="{{{STYLE|font-style:italic;}}}"></nowiki>{{:{{{1}}}|}}<nowiki></div></nowiki><br><nowiki>===</nowiki> Beweis <nowiki>===</nowiki><br>{{:{{{1|}}}/Beweis3}} |Übersetzungsvorbereitung=<nowiki> </nowiki> <nowiki>{{Übersetzung|</nowiki> <nowiki>DeTitel=<includeonly></nowiki>[[{{{1|}}}]]<nowiki></includeonly>|</nowiki> <nowiki>EnTitel=</nowiki> [[{{{1|}}}]] <nowiki>|</nowiki> <nowiki>EnText=abcd {{subst::</nowiki>{{{1|}}}<nowiki>|}} efgh</nowiki> <nowiki>|}}</nowiki> <nowiki> </nowiki> 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{{Aktuellbox|Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück ss2022-2023)/Teil I/Aktuelles}} {{:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Navigation}} {{ inputbild |ZahlenAspekte|png|700px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Bocadodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Information/Inhalt}} [[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-w www2023)/Teil I]] [[Kategorie:Kurs an einer Universitä add aa qqat]]sa aa j00jii8eswf3mx7o3m4ef3rqales8nq 0 160389 1107104 1095909 2026-07-15T08:08:37Z Bocardodarapti 2041 1107104 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung8 |Das ist die Menge aller Mäuse, die dieses Loch benutzen. |Das ist die Menge derjenigen Mäuse, die jedes Loch benutzen. |Das ist die Menge derjenigen Löcher, die von allen Mäusen benutzt werden. |Es sei {{ Relationskette | m | \in | {{makl| S_2 |}}^\perp || || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass {{math|term= m |SZ=}} alle Löcher aus {{math|term= S_2 |SZ=}} benutzt. Dann benutzt {{math|term= m |SZ=}} erst recht alle Löcher aus der Teilmenge {{math|term= S_1 |SZ=,}} also gilt {{ Relationskette | m | \in | {{makl| S_1 |}}^\perp || || || |SZ=. }} |Es sei {{ Relationskette | \ell | \in | S || || || |SZ=. }} Die Menge {{math|term= S^\perp |SZ=}} besteht aus allen Mäusen, die alle Löcher aus {{math|term= S |SZ=}} benutzen. Diese Mäusemenge benutzt insbesondere {{math|term= \ell |SZ=,}} daher ist {{ Relationskette | \ell | \in | {{makl| S^\perp |}}^\perp || || || |SZ=. }} |Wegen {{ Relationskette | S_1 | \subseteq | S_1 \cup S_2 || || || |SZ= }} gilt nach Teil (4) {{ Relationskette/display | {{makl| S_1 \cup S_2 |}}^\perp | \subseteq | S_1^\perp || || || |SZ= }} und entsprechend für {{math|term= S_2 |SZ=.}} Dies ergibt die Inklusion {{ Relationskette | {{makl| S_1 \cup S_2 |}}^\perp | \subseteq| S_1^\perp \cap S_1^\perp || || || |SZ=. }} Es sei nun {{ Relationskette | m | \in | S_1^\perp \cap S_1^\perp || || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass {{math|term= m |SZ=}} alle Löcher aus {{math|term= S_1 |SZ=}} und alle Löcher aus {{math|term= S_2 |SZ=}} benutzt. Also benutzt {{math|term= m |SZ=}} alle Löcher aus {{math|term= S_1 \cup S_2 |SZ=,}} also {{ Relationskette | m | \in | {{makl| S_1 \cup S_2 |}}^\perp || || || |SZ=. }} |Dies muss nicht gelten. Es kann beispielsweise {{math|term= L |SZ=}} disjunkt zerlegt in {{math|term= S_1 |SZ=}} und {{math|term= S_2 |SZ=}} sein. Dann ist {{ Relationskette | S_1 \cap S_2 || \emptyset || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \emptyset^\perp || M || || || |SZ=. }} Es kann aber gleichzeitig sein, dass es sowohl in {{math|term= S_1 |SZ=}} als auch in {{math|term= S_2 |SZ=}} jeweils ein Loch gibt, das von keiner Mausbenutzt wird. Dann ist {{ Relationskette/display | {{makl| S_1 |}}^\perp || \emptyset || {{makl| S_2 |}}^\perp || || |SZ=. }} |Das gilt. Nach (4) ist {{ Relationskette | S | \subseteq | {{makl| S^\perp |}}^\perp || || || || |SZ=, }} woraus mit (5) die Inklusion {{ Relationskette/display | {{makl| {{makl| S^\perp |}}^\perp |}}^\perp | \subseteq | S^\perp || || || |SZ=. }} Die zu (4) analoge Eingenschaft gilt auch für Teilmengen {{ Relationskette | T | \subseteq | M || || || |SZ=. }} Angewendet auf {{ Relationskette | T || S^\perp || || || |SZ=, }} ergibt sich {{ Relationskette/display | S^\perp | \subseteq | {{makl| {{makl| S^\perp |}}^\perp |}}^\perp || || || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} pxihttt6xvsw6sl9c8kfc6uaia3igp5 1107106 1107104 2026-07-15T08:10:25Z Bocardodarapti 2041 1107106 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung8 |Das ist die Menge aller Mäuse, die dieses Loch benutzen. |Das ist die Menge derjenigen Mäuse, die jedes Loch benutzen. |Das ist die Menge derjenigen Löcher, die von allen Mäusen benutzt werden. |Es sei {{ Relationskette | m | \in | {{makl| S_2 |}}^\perp || || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass {{math|term= m |SZ=}} alle Löcher aus {{math|term= S_2 |SZ=}} benutzt. Dann benutzt {{math|term= m |SZ=}} erst recht alle Löcher aus der Teilmenge {{math|term= S_1 |SZ=,}} also gilt {{ Relationskette | m | \in | {{makl| S_1 |}}^\perp || || || |SZ=. }} |Es sei {{ Relationskette | \ell | \in | S || || || |SZ=. }} Die Menge {{math|term= S^\perp |SZ=}} besteht aus allen Mäusen, die alle Löcher aus {{math|term= S |SZ=}} benutzen. Diese Mäusemenge benutzt insbesondere {{math|term= \ell |SZ=,}} daher ist {{ Relationskette | \ell | \in | {{makl| S^\perp |}}^\perp || || || |SZ=. }} |Wegen {{ Relationskette | S_1 | \subseteq | S_1 \cup S_2 || || || |SZ= }} gilt nach Teil (4) {{ Relationskette/display | {{makl| S_1 \cup S_2 |}}^\perp | \subseteq | S_1^\perp || || || |SZ= }} und entsprechend für {{math|term= S_2 |SZ=.}} Dies ergibt die Inklusion {{ Relationskette | {{makl| S_1 \cup S_2 |}}^\perp | \subseteq| S_1^\perp \cap S_1^\perp || || || |SZ=. }} Es sei nun {{ Relationskette | m | \in | S_1^\perp \cap S_1^\perp || || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass {{math|term= m |SZ=}} alle Löcher aus {{math|term= S_1 |SZ=}} und alle Löcher aus {{math|term= S_2 |SZ=}} benutzt. Also benutzt {{math|term= m |SZ=}} alle Löcher aus {{math|term= S_1 \cup S_2 |SZ=,}} also {{ Relationskette | m | \in | {{makl| S_1 \cup S_2 |}}^\perp || || || |SZ=. }} |Dies muss nicht gelten. Es kann beispielsweise {{math|term= L |SZ=}} disjunkt zerlegt in {{math|term= S_1 |SZ=}} und {{math|term= S_2 |SZ=}} sein. Dann ist {{ Relationskette | S_1 \cap S_2 || \emptyset || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \emptyset^\perp || M || || || |SZ=. }} Es kann aber gleichzeitig sein, dass es sowohl in {{math|term= S_1 |SZ=}} als auch in {{math|term= S_2 |SZ=}} jeweils ein Loch gibt, das von keiner Mausbenutzt wird. Dann ist {{ Relationskette/display | {{makl| S_1 |}}^\perp || \emptyset || {{makl| S_2 |}}^\perp || || |SZ=. }} |Das gilt. Nach (4) ist {{ Relationskette | S | \subseteq | {{makl| S^\perp |}}^\perp || || || || |SZ=, }} woraus mit (5) die Inklusion {{ Relationskette/display | {{makl| {{makl| S^\perp |}}^\perp |}}^\perp | \subseteq | S^\perp || || || |SZ=. }} Die zu (4) analoge Eigenschaft gilt auch für Teilmengen {{ Relationskette | T | \subseteq | M || || || |SZ=. }} Angewendet auf {{ Relationskette | T || S^\perp || || || |SZ=, }} ergibt sich {{ Relationskette/display | S^\perp | \subseteq | {{makl| {{makl| S^\perp |}}^\perp |}}^\perp || || || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} d40odtqo6c2qiud1eice4w3cgm3mv8p 0 160408 1107103 1095915 2026-07-15T08:07:50Z Bocardodarapti 2041 1107103 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung8 |Das ist die Menge aller Personen, die diese Eigenschaft erfüllen. |Das ist die Menge aller Eigenschaften, die diese Person besitzt. |Es gibt vermutlich in {{math|term= E |SZ=}} Eigenschaften, die sich ausschließen, wie klein und groß {{ Zusatz/Klammer |text=oder Katzenfreund/Kein Katzenfreund| |ISZ=|ESZ=. }} |Es sei {{ Relationskette | m | \in | {{makl| W_2 |}}^\perp || || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass {{math|term= m |SZ=}} eine Person ist, die alle Eigenschaften aus {{math|term= W_2 |SZ=}} erfüllt. 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Es kann beispielsweise {{math|term= E |SZ=}} disjunkt zerlegt in {{math|term= W_1 |SZ=}} und {{math|term= W_2 |SZ=}} sein. Dann ist {{ Relationskette | W_1 \cap W_2 || \emptyset || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \emptyset^\perp || M || || || |SZ=. }} Es kann aber gleichzeitig sein, dass es sowohl in {{math|term= W_1 |SZ=}} als auch in {{math|term= W_2 |SZ=}} widersprüchliche Eigenschaften, sodass {{ Relationskette/display | {{makl| W_1 |}}^\perp || \emptyset || {{makl| W_2 |}}^\perp || || |SZ= }} gilt. |Das gilt. Nach (4) ist {{ Relationskette | W | \subseteq | {{makl| W^\perp |}}^\perp || || || || |SZ=, }} woraus mit (5) die Inklusion {{ Relationskette/display | {{makl| {{makl| W^\perp |}}^\perp |}}^\perp | \subseteq | W^\perp || || || |SZ=. }} Die zu (4) analoge Eingenschaft gilt auch für Teilmengen {{ Relationskette | T | \subseteq | M || || || |SZ=. }} Angewendet auf {{ Relationskette | T || W^\perp || || || |SZ=, }} ergibt sich {{ Relationskette/display | W^\perp | \subseteq | {{makl| {{makl| W^\perp |}}^\perp |}}^\perp || || || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} men90a3afs99p1s4ambyes35b3progi 1107105 1107103 2026-07-15T08:09:56Z Bocardodarapti 2041 1107105 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung8 |Das ist die Menge aller Personen, die diese Eigenschaft erfüllen. |Das ist die Menge aller Eigenschaften, die diese Person besitzt. |Es gibt vermutlich in {{math|term= E |SZ=}} Eigenschaften, die sich ausschließen, wie klein und groß {{ Zusatz/Klammer |text=oder Katzenfreund/Kein Katzenfreund| |ISZ=|ESZ=. }} |Es sei {{ Relationskette | m | \in | {{makl| W_2 |}}^\perp || || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass {{math|term= m |SZ=}} eine Person ist, die alle Eigenschaften aus {{math|term= W_2 |SZ=}} erfüllt. 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Es kann beispielsweise {{math|term= E |SZ=}} disjunkt zerlegt in {{math|term= W_1 |SZ=}} und {{math|term= W_2 |SZ=}} sein. Dann ist {{ Relationskette | W_1 \cap W_2 || \emptyset || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \emptyset^\perp || M || || || |SZ=. }} Es kann aber gleichzeitig sein, dass es sowohl in {{math|term= W_1 |SZ=}} als auch in {{math|term= W_2 |SZ=}} widersprüchliche Eigenschaften, sodass {{ Relationskette/display | {{makl| W_1 |}}^\perp || \emptyset || {{makl| W_2 |}}^\perp || || |SZ= }} gilt. |Das gilt. Nach (4) ist {{ Relationskette | W | \subseteq | {{makl| W^\perp |}}^\perp || || || || |SZ=, }} woraus mit (5) die Inklusion {{ Relationskette/display | {{makl| {{makl| W^\perp |}}^\perp |}}^\perp | \subseteq | W^\perp || || || |SZ=. }} Die zu (4) analoge Eigenschaft gilt auch für Teilmengen {{ Relationskette | T | \subseteq | M || || || |SZ=. }} Angewendet auf {{ Relationskette | T || W^\perp || || || |SZ=, }} ergibt sich {{ Relationskette/display | W^\perp | \subseteq | {{makl| {{makl| W^\perp |}}^\perp |}}^\perp || || || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} rr3xuvgx4uyrvqnxbs28j3ynf23nzwi 1107108 1107105 2026-07-15T08:19:27Z Bocardodarapti 2041 1107108 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung8 |Das ist die Menge aller Personen, die diese Eigenschaft erfüllen. |Das ist die Menge aller Eigenschaften, die diese Person besitzt. |Es gibt vermutlich in {{math|term= E |SZ=}} Eigenschaften, die sich ausschließen, wie klein und groß {{ Zusatz/Klammer |text=oder Katzenfreund/Kein Katzenfreund| |ISZ=|ESZ=. }} |Es sei {{ Relationskette | m | \in | {{makl| W_2 |}}^\perp || || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass {{math|term= m |SZ=}} eine Person ist, die alle Eigenschaften aus {{math|term= W_2 |SZ=}} erfüllt. 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Es kann beispielsweise {{math|term= E |SZ=}} disjunkt zerlegt in {{math|term= W_1 |SZ=}} und {{math|term= W_2 |SZ=}} sein. Dann ist {{ Relationskette | W_1 \cap W_2 || \emptyset || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \emptyset^\perp || M || || || |SZ=. }} Es kann aber gleichzeitig sein, dass es sowohl in {{math|term= W_1 |SZ=}} als auch in {{math|term= W_2 |SZ=}} widersprüchliche Eigenschaften gibt, sodass {{ Relationskette/display | {{makl| W_1 |}}^\perp || \emptyset || {{makl| W_2 |}}^\perp || || |SZ= }} gilt. |Das gilt. Nach (4) ist {{ Relationskette | W | \subseteq | {{makl| W^\perp |}}^\perp || || || || |SZ=, }} woraus mit (5) die Inklusion {{ Relationskette/display | {{makl| {{makl| W^\perp |}}^\perp |}}^\perp | \subseteq | W^\perp || || || |SZ=. }} Die zu (4) analoge Eigenschaft gilt auch für Teilmengen {{ Relationskette | T | \subseteq | M || || || |SZ=. }} Angewendet auf {{ Relationskette | T || W^\perp || || || |SZ=, }} ergibt sich {{ Relationskette/display | W^\perp | \subseteq | {{makl| {{makl| W^\perp |}}^\perp |}}^\perp || || || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} lzcv8arnl9pfc3ci8c48kfpaw5a4fo1 0 160585 1107181 1078858 2026-07-15T11:31:40Z Bocardodarapti 2041 1107181 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die erste Begegnung {{ Zusatz/Klammer |text=nach der Begegnung am Start| |ISZ=|ESZ= }} findet statt, wenn Knopfloch {{mathl|term= {{op:Bruch|5|9}} |SZ=}} und Eisenbeis {{mathl|term= {{op:Bruch|4|9}} |SZ=}} des Sees umrundet haben. 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|Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ru81dwste345ewjud0kneek0ubwxlub 0 165216 1107087 1026134 2026-07-15T07:29:13Z Bocardodarapti 2041 1107087 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Man nennt denjenigen Graphen mit der Knotenmenge {{ Relationskette |V' || V/e || || || |SZ=, }} bei der {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} miteinander identifiziert werden, und bei dem die Kantenmenge {{math|term=E'|SZ=}} aus den Bildkanten zur Kontraktionsabbildung {{ Abbildung |name= |V|V/e || |SZ= }} besteht, den {{ Stichwort/Antwort |Kontraktionsgraphen| }} zu {{ Relationskette | e |\in| E || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cbxnrpu3ft5q7y8aorln4fnbfs2x7kk 1107089 1107087 2026-07-15T07:30:25Z Bocardodarapti 2041 1107089 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Man nennt denjenigen Graphen mit der Knotenmenge {{ Relationskette |V' || V/e || || || |SZ=, }} bei der {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} miteinander identifiziert werden, und bei dem die Kantenmenge {{math|term=E'|SZ=}} aus den Bildkanten zur Kontraktionsabbildung {{ Abbildung |name= |V|V/e || |SZ= }} besteht, den {{ Stichwort/Antwort |Kontraktionsgraphen| }} zu {{math|term= e |SZ=.}} |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gtjg4wf62qvfh7cqym71muqdf2bqqzp 0 165272 1107179 1011480 2026-07-15T11:25:47Z Bocardodarapti 2041 1107179 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=F |M_1|M_2 |SZ=, }} heißt {{Stichwort/Antwort|antimonoton|SZ=,}} wenn für alle {{ Relationskette |x,x' |\in|M_1 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |x |\leq_1|x' || || || |SZ= }} stets {{ Relationskette |F(x) |\geq_2|F(x') || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7vfxjf3rs8nncsaw8qf2tuizdmc3jwa 0 165327 1107137 1011589 2026-07-15T09:10:47Z Bocardodarapti 2041 1107137 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Die {{Stichwort/Antwort|Exzentrizität|SZ=}} von {{math|term= v |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | e(v) || {{op:Maximum| d(u,v) | u \in V }} || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ew3wp77tznodouam3jeo5nyiswjjq4s 0 165370 1107155 1011693 2026-07-15T09:58:31Z Bocardodarapti 2041 1107155 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |Rundgang| |msw= |SZ= }} ist ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ=, }} in dem es einen {{ Definitionslink |Kreis| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{mathl|term= v_1, v_2 {{kommadots|}} v_m {{=}} v_1 |SZ=}} gibt, der alle Knotenpunkte und alle Kanten genau einmal durchläuft. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f2c19mbqh1wadlsbaaa8cotkp7g3woh 0 165400 1107176 1011791 2026-07-15T11:16:03Z Bocardodarapti 2041 1107176 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |Verband| |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (M, \leq) |SZ=}} mit der Eigenschaft, dass für je zwei Elemente {{ Relationskette | x,y |\in| M || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Infimum| |Kontext=Ordnung| |SZ= }} {{mathl|term= x \sqcap y |SZ=}} und ein {{ Definitionslink |Supremum| |Kontext=Ordnung| |SZ= }} {{mathl|term= x \sqcup y |SZ=}} existieren. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k2b8nbwk3igy2ymq9dm0gv172e031oy 0 165422 1107165 1014846 2026-07-15T10:51:04Z Bocardodarapti 2041 1107165 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |aufspannender Wald| |SZ= }} ist ein {{ Definitionslink |Untergraph| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | W |\subseteq| G || || || |SZ=, }} der ein {{ Definitionslink |Wald| |Kontext=Graph| |SZ= }} ist, dessen Bäume mit den Zusammenhangskomponenten von {{math|term= V |SZ=}} übereinstimmen. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6jflkd93abybjgvi5pttliww8crzfff 0 165447 1107172 1011912 2026-07-15T11:05:48Z Bocardodarapti 2041 1107172 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |aufspannender Baum| |SZ= }} ist ein {{ Definitionslink |Untergraph| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | B |\subseteq| G || || || |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=,}} der ein {{ Definitionslink |Baum| |Kontext=| |SZ= }} mit der vollen Knotenmenge {{math|term= V |SZ=}} ist. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9rnnihftcuv6qf6orz6fwhov6efsmsd 106 168844 1107013 1080856 2026-07-14T14:42:40Z Bocardodarapti 2041 1107013 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|14| {{Zwischenüberschrift|Die Divisorenklassengruppe}} In vielen Gebieten der Mathematik spielen homologische Methoden eine wichtige Rolle. Dabei wird den mathematischen Objekten eine Gruppe als Invariante zugeordnet, die relevante Information über das ursprüngliche Objekt beinhaltet, aber zugleich deutlich einfacher strukturiert ist. Beispiele hierfür sind die Fundamentalgruppe in der Topologie, Homotopie- und Homologiegruppen in der algebraischen Topologie, Kohomologiegruppen zu Garben in der algebraischen Geometrie, ... . Das Verschwinden dieser Gruppen charakterisiert dabei wichtige geometrische Eigenschaften. Die Konstruktion dieser Gruppen ist im Allgemeinen aufwändig und geht dabei häufig über den Weg von {{Anführung|sehr großen}} Gruppen modulo sehr großen Untergruppen {{ Zusatz/Klammer |text=Normalteilern| |ISZ=|ESZ=, }} wobei die Restklassengruppen dann {{Anführung|ziemlich klein}} sind. In diesen Zusammenhang fügt sich auch die Divisorenklassengruppe für algebraische Zahlbereiche ein. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Definition|}} Die Divisorenklassengruppe wird häufig auch als {{Stichwort|Idealklassengruppe}} oder einfach als {{Stichwort|Klassengruppe}} bezeichnet. Sie ist kommutativ und wird additiv geschrieben. Ihre Elemente sind Äquivalenzklassen und werden durch Divisoren repräsentiert, wobei zwei Divisoren genau dann die gleiche Klasse repräsentieren, wenn ihre Differenz ein Hauptdivisor ist. Sie heißen {{Stichwort|Divisorklassen|msw=Divisorklasse|SZ=}} oder {{Stichwort|Idealklassen|msw=Idealklasse|SZ=.}} Insbesondere werden Hauptdivisoren zu {{math|term= 0 |SZ=}} gemacht. Die Hauptdivisoren werden also innerhalb der Klassengruppe als trivial angesehen. Wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Gebrochene Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man die Divisorenklasse auch als die Restklassengruppe zur Gruppe der gebrochenen Ideale modulo der Untergruppe der gebrochenen Hauptideale erhalten. Ein späteres Hauptresultat, das aber einige Vorbereitungen braucht, wird sein, dass die Klassengruppe von Zahlbereichen endlich ist, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt |Nr= |SZ=. }} Sie ist eine wesentliche {{ Zusatz/Klammer |text=ko| |ISZ=|ESZ=- }}homologische Invariante eines Zahlbereichs und enthält wesentliche Informationen über diesen. Generell lässt sich sagen, dass ihre Größe zum Ausdruck bringt, wie weit ein Zahlbereich von der Faktorialität entfernt ist. Der nächste Satz charakterisiert die Faktorialität dadurch, dass die Klassengruppe trivial ist. {{inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt|Satz|}} Insofern ist die erste wichtige Frage bei einem Dedekindbereich, ob seine Klassengruppe gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist oder nicht. {{ inputbeispiel |Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Quadrat des Standardideals/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Divisorenklassengruppe unter Homomorphismen}} Ein wichtiger Aspekt von homologischen Invarianten ist, dass sie nicht nur den Objekten Gruppen zuordnen, sondern auch den richtigen Abbildungen zwischen den Objekten Gruppenhomomorphismen. Wir besprechen zuerst den Fall einer Nenneraufnahme {{ Abbildung |name= | R | R_S || |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |multiplikativen System| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | S | \subseteq | R || || || |SZ= }} in einem Dedekindbereich. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Abgeschlossene und offene Teilmengen/Fakt |Nr=2 |SZ= }} entsprechen die Primideale von {{math|term= R_S |SZ=}} den Primidealen von {{math|term= R |SZ=,}} die mit {{math|term= S |SZ=}} einen leeren Schnitt haben. Bei gegebenem {{math|term= S |SZ=}} kann man also die Primideale von {{math|term= R |SZ=}} dahingehend aufteilen, ob sie einen leeren oder einen nichtleeren Durchschnitt mit {{math|term= S |SZ=}} haben. {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Nenneraufnahme/Fakt|Lemma|| }} Die Abbildung {{ Abbildung |name= | {{op:Divisorenklassengruppe| R |}} | {{op:Divisorenklassengruppe| R_S |}} || |SZ= }} fügt sich in das kommutative Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| {{op:Divisorengruppe| R |}}| {{op:Divisorengruppe| R_S |}} |{{op:Divisorenklassengruppe| R |}} |{{op:Divisorenklassengruppe| R_S |}} }} ein, wobei die obere horizontale Abbildung einen Divisor {{mathl|term= \sum_{{idealp}} n_{{idealp}} {{idealp}} |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=}} einfach auf denjenigen Divisor von {{math|term= R_S |SZ=}} abbildet, bei dem die Primideale {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | {{idealp|}} \cap S |\neq| \emptyset || || || |SZ= }} ignoriert {{ Zusatz/Klammer |text={{Anführung|vergessen}}| |ISZ=|ESZ= }} werden. Dies entspricht der Abbildung, bei der ein {{ Definitionslink |gebrochenes Ideal| |Kontext=Dedekindbereich| |SZ= }} {{math|term= {{idealf|}} |SZ=}} auf das Erweiterungsideal {{math|term= {{idealf|}} R_S |SZ=}} abgebildet wird. {{:Dedekindbereich/Erweiterung/Klassengruppe/Rückzug/Textabschnitt}} {{ inputbeispiel |Einheitskreis/R/Möbiusband/Ideal/Beispiel|| }} }} iovsbes76s36sx10pydea6qz2phc8lo 106 168845 1107015 1106792 2026-07-14T15:19:34Z Bocardodarapti 2041 1107015 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Normalitätskriterien}} Es ist im Allgemeinen schwierig, den ganzen Abschluss von {{math|term= \Z |SZ=,}} also den Zahlbereich, in einer endlichen Körpererweiterung {{ Relationskette | \Q | \subseteq | L || || || |SZ= }} zu bestimmen bzw. eine vorliegende Ringerweiterung {{ Relationskette/display | \Z | \subseteq | S || \Z[X_1 {{kommadots|}} X_m ]/ {{makl| F_1 {{kommadots|}} F_n |}} | \subseteq | L || |SZ= }} als normal nachzuweisen. Es handelt sich aber um ein lokales Problem, d.h. {{math|term= S |SZ=}} ist genau dann normal, wenn {{math|term= S_{{idealp}} |SZ=}} für jedes Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} normal ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn für jede Primzahl {{math|term= p |SZ=}} die Nenneraufnahme {{mathl|term= S_{\Z \setminus \Z p }|SZ=}} normal ist, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Integritätsbereich/Normal/Lokale Eigenschaft/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Endliche Erweiterung/Z/Normal/Nenneraufnahme zu Faser/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Dies erlaubt den Übergang zu einem diskreten Bewertungsring als Basisring {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= \Z_{(p)} |SZ=}} statt {{math|term= \Z |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} was oft die Gleichungsbeschreibung vereinfacht und was es erlaubt, Eigenschaften der Faserringe {{math|term= S/pS |SZ=}} besser zu verarbeiten. Das typische Verhalten ist, dass sich die Ringe {{mathl|term= S_{\Z \setminus \Z p } |SZ=}} bis auf endliche viele Primzahlen direkt als normal erweisen, und dass man einen Teil der verbleibenden Ringe über Eigenschaften der Fasern erledigen kann, einen anderen Teil aber auch nicht. {{:Endliche Erweiterung/Z/Normalitätskriterien/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Monogene Algebren}} {{:Kommutative Algebra/Monogen/Zahlbereich/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Endliche separable Erweiterung/Generisch monogen/Fakt|Lemma|| }} }} 2dnmq1567gngdkq08sqxmiej6fjk9ft 1107016 1107015 2026-07-14T15:20:41Z Bocardodarapti 2041 1107016 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Normalitätskriterien}} Es ist im Allgemeinen schwierig, den ganzen Abschluss von {{math|term= \Z |SZ=,}} also den Zahlbereich, in einer endlichen Körpererweiterung {{ Relationskette | \Q | \subseteq | L || || || |SZ= }} zu bestimmen bzw. eine vorliegende Ringerweiterung {{ Relationskette/display | \Z | \subseteq | S || \Z[X_1 {{kommadots|}} X_m ]/ {{makl| F_1 {{kommadots|}} F_n |}} | \subseteq | L || |SZ= }} als normal nachzuweisen. Es handelt sich aber um ein lokales Problem, d.h. {{math|term= S |SZ=}} ist genau dann normal, wenn {{math|term= S_{{idealp}} |SZ=}} für jedes Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} normal ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn für jede Primzahl {{math|term= p |SZ=}} die Nenneraufnahme {{mathl|term= S_{\Z \setminus \Z p }|SZ=}} normal ist, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Integritätsbereich/Normal/Lokale Eigenschaft/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Endliche Erweiterung/Z/Normal/Nenneraufnahme zu Faser/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Dies erlaubt den Übergang zu einem diskreten Bewertungsring als Basisring {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= \Z_{(p)} |SZ=}} statt {{math|term= \Z |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} was oft die Gleichungsbeschreibung vereinfacht und was erlaubt, Eigenschaften der Faserringe {{math|term= S/pS |SZ=}} besser zu verarbeiten. Das typische Verhalten ist, dass sich die Ringe {{mathl|term= S_{\Z \setminus \Z p } |SZ=}} bis auf endliche viele Primzahlen direkt als normal erweisen, und dass man einen Teil der verbleibenden Ringe über Eigenschaften der Fasern erledigen kann, einen anderen Teil aber auch nicht. {{:Endliche Erweiterung/Z/Normalitätskriterien/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Monogene Algebren}} {{:Kommutative Algebra/Monogen/Zahlbereich/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Endliche separable Erweiterung/Generisch monogen/Fakt|Lemma|| }} }} e2za8bih6jq0hx24v7ywy1l6o7gclre 1107017 1107016 2026-07-14T15:21:16Z Bocardodarapti 2041 1107017 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Normalitätskriterien}} Es ist im Allgemeinen schwierig, den ganzen Abschluss von {{math|term= \Z |SZ=,}} also den Zahlbereich, in einer endlichen Körpererweiterung {{ Relationskette | \Q | \subseteq | L || || || |SZ= }} zu bestimmen bzw. eine vorliegende Ringerweiterung {{ Relationskette/display | \Z | \subseteq | S || \Z[X_1 {{kommadots|}} X_m ]/ {{makl| F_1 {{kommadots|}} F_n |}} | \subseteq | L || |SZ= }} als normal nachzuweisen. Es handelt sich aber um ein lokales Problem, d.h. {{math|term= S |SZ=}} ist genau dann normal, wenn {{math|term= S_{{idealp}} |SZ=}} für jedes Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} normal ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn für jede Primzahl {{math|term= p |SZ=}} die Nenneraufnahme {{mathl|term= S_{\Z \setminus \Z p }|SZ=}} normal ist, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Integritätsbereich/Normal/Lokale Eigenschaft/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Endliche Erweiterung/Z/Normal/Nenneraufnahme zu Faser/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Dies erlaubt den Übergang zu einem diskreten Bewertungsring als Basisring {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= \Z_{(p)} |SZ=}} statt {{math|term= \Z |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} was oft die Gleichungsbeschreibung vereinfacht und was erlaubt, Eigenschaften der Faserringe {{math|term= S/pS |SZ=}} besser zu verarbeiten. Das typische Verhalten ist, dass sich die Ringe {{mathl|term= S_{\Z \setminus \Z p } |SZ=}} bis auf endlich viele Primzahlen direkt als normal erweisen, und dass man einen Teil der verbleibenden Ringe über Eigenschaften der Fasern erledigen kann, einen anderen Teil aber auch nicht. {{:Endliche Erweiterung/Z/Normalitätskriterien/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Monogene Algebren}} {{:Kommutative Algebra/Monogen/Zahlbereich/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Endliche separable Erweiterung/Generisch monogen/Fakt|Lemma|| }} }} 32hpxtxpjuyxrvknqdsif67tdzf18nl 1107018 1107017 2026-07-14T15:32:33Z Bocardodarapti 2041 1107018 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Normalitätskriterien}} Es ist im Allgemeinen schwierig, den ganzen Abschluss von {{math|term= \Z |SZ=,}} also den Zahlbereich, in einer endlichen Körpererweiterung {{ Relationskette | \Q | \subseteq | L || || || |SZ= }} zu bestimmen bzw. eine vorliegende Ringerweiterung {{ Relationskette/display | \Z | \subseteq | S || \Z[X_1 {{kommadots|}} X_m ]/ {{makl| F_1 {{kommadots|}} F_n |}} | \subseteq | L || |SZ= }} als normal nachzuweisen. 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Das typische Verhalten ist, dass sich die Ringe {{mathl|term= S_{\Z \setminus \Z p } |SZ=}} bis auf endlich viele Primzahlen direkt als normal erweisen, und dass man einen Teil der verbleibenden Ringe über Eigenschaften der Fasern erledigen kann, einen anderen Teil aber auch nicht. {{:Endliche Erweiterung/Z/Normalitätskriterien/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Monogene Algebren}} {{:Kommutative Algebra/Monogen/Zahlbereich/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Endliche separable Erweiterung/Generisch monogen/Fakt|Lemma|| }} }} 36lpwge8rwcbjmrk5wdz5u9akilegdh 106 168851 1107027 1073691 2026-07-14T17:00:10Z Bocardodarapti 2041 1107027 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|21| {{Zwischenüberschrift|Invariantenringe}} Es sei {{ Relationskette | \Q | \subseteq | L || || || |SZ= }} eine endliche Körpererweiterung und {{ Relationskette | \Z | \subseteq | R || || || |SZ= }} der zugehörige Zahlbereich. Welche Besonderheiten gelten für {{math|term= R |SZ=,}} wenn die Körpererweiterung eine {{ Definitionslink |Galoiserweiterung| |Kontext=| |SZ= }} ist, wenn also die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= \Q |Algebraauto{{drucktrenn}}morphismen| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= L |SZ=}} mit dem Grad der Erweiterung übereinstimmt? Wir werden gleich sehen, dass die Körperautomorphismen auf {{math|term= R |SZ=}} Ringautomorphismen induzieren und dass daher die Galoisgruppe auch auf {{math|term= R |SZ=}} operiert. Dies bewirkt, dass es auf {{math|term= R |SZ=}} bzw. {{mathl|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=}} Symmetrien gibt. Wir fixieren einige Sprechweisen. Unter der Operation einer Gruppe {{math|term= G |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} als Gruppe von {{ Definitionslink |Ringautomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} versteht man einen {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= | G | {{op:Aut|R|}} || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Invariantenring/Definition|| }} Dies ist eine Verallgemeinerung des aus der Galoistheorie bekannten Konzeptes eines Fixkörpers. Eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |galoissch| |Kontext=| |SZ=, }} wenn der Fixkörper von {{math|term= L |SZ=}} unter der Operation der {{ Definitionslink |Galoisgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe|K|L}} |SZ=}} gleich {{math|term= K |SZ=}} ist. {{ inputfaktbeweis |Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Galoiserweiterung/Q/Ganzheitsring/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbeispiel |Quadratischer Zahlbereich/Galoisaktion/Invariantenring/Beispiel|| }} Wir beschreiben nun generell Eigenschaften von Invariantenringen zu einer Operation einer endlichen Gruppe. {{:Invariantentheorie/Integritätsbereich/Galoistheorie/Ganzheit/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Invariantenring und Quotientenraum}} {{:Invariantentheorie/Endliche_Gruppe/Zahlbereich/Topologische Eigenschaften/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Galoiserweiterung/Q/Ganzheitsring/Faserbeschreibung/Fakt|Korollar|| }} }} 3h0uvhuge59nafz53rh26id7tfiflne 106 168853 1107047 1096445 2026-07-14T17:24:35Z Bocardodarapti 2041 1107047 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|23| {{Zwischenüberschrift|Zerlegung im Kreisteilungsring}} Wir besprechen die Ergebnisse der letzten Vorlesungen genauer anhand der Kreisteilungsringe. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} liegt eine Galoiserweiterung vor. Auf das Verständnis der Kreisteilungsringe bauen wir einen Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes auf. {{:Kreisteilungsring/Verzweigung/Zerlegung/Textabschnitt|}} {{ inputbemerkung |Kreisteilungsring/Zerlegungsgruppe/Frobenius/Bemerkung|| }} Der in der letzten Vorlesung erwähnte Dichtigkeitssatz von Tschebotarjowsch beinhaltet unter Verwendung der vorstehenden Bemerkung im Fall von Kreisteilungsringen den Satz von Dirichlet über Primzahlen in einer arithmetischen Progression. Er besagt, dass die Primzahlen modulo den teilerfremden Resten zu einer gegebenen Zahl {{math|term= n |SZ=}} gleichverteilt sind. {{Zwischenüberschrift|Das quadratische Reziprozitätsgesetz}} Das quadratische Reziprozitätsgesetz haben wir schon in der {{math|term= 20 |SZ=.}}ten Vorlesung erwähnt. {{:Kreisteilungskörper/Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Gaußsumme/Textabschnitt|}} }} 6dud44zf6tn45all7gnh1vdhuqf3jbv 106 168854 1107051 1073697 2026-07-14T17:34:30Z Bocardodarapti 2041 1107051 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|24| {{Zwischenüberschrift|Gitter}} In der nächsten Vorlesung werden wir einen Zahlbereich über seine reellen und komplexen Einbettungen als Gitter in einem reellen Vektorraum realisieren. Hier besprechen wir die dazu notwendigen Begrifflichkeiten aus der konvexen Geometrie. {{inputdefinition |Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Gitter/Definition|}} Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter. Als Gruppen sind sie isomorph zu {{math|term= \Z^n |SZ=,}} hier interessieren aber auch Eigenschaften der Einbettung in {{math|term= \R^n |SZ=.}} Ein Gitter heißt {{Stichwort|rational|msw=Rationales Gitter|SZ=,}} wenn die erzeugenden Vektoren zu {{math|term= \Q^n |SZ=}} gehören. Das durch die {{ Definitionslink |Standardvektoren| |SZ= }} {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} erzeugte Gitter heißt {{Stichwort|Standardgitter|msw=|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Gitter/Basis/Übergang/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Standardgitter/R^2/Andere Basis/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Euklidischer Raum/Gitter/Restklassengruppe/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Konvexe Mengen}} {{:Konvexe Menge/Gitter/Grundmasche/Für Gitterpunksatz/Textabschnitt|zusatz1=&nbsp; Vergleiche die Definition der {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Basis| |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/C/Basis/Diskriminante/Einbettungsbeschreibungen/Fakt |Nr= |SZ= }} }} {{Zwischenüberschrift|Der Gitterpunktsatz von Minkowski}} {{ inputbild |De Raum zeit Minkowski Bild|jpg| 230px {{!}} right {{!}} |Zusname=De_Raum_zeit_Minkowski_Bild |Text=[[w:Hermann Minkowski|Hermann Minkowski (1864-1909)]] |Autor= |Benutzer=Feitscherg |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputdefinition |Konvexe Geometrie/Zentralsymmetrisch/Definition|}} {{ inputdefinition |Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition|| }} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz von Heine-Borel|Faktseitenname= Kompaktheit/Satz von Heine-Borel/Fakt |Nr= |SZ= }} ist eine Teilmenge des {{math|term= \R^n |SZ=}} genau dann kompakt, wenn sie {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=metrischer Raum| |SZ= }} und {{ Definitionslink |abgeschlossen| |SZ= }} ist. Ein weiterer im Folgenden wichtiger Aspekt ist, dass disjunkte kompakte Teilmengen {{ Relationskette | Y,Z |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} einen positiven Abstand haben, dass es also ein {{ Relationskette | d | > | 0 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | d(P,Q) | > | d || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | P | \in | Y || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | Q | \in | Z || || || |SZ= }} gibt, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Metrischer Raum/Kompakte Teilmengen/Disjunkt/Abstand/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Es wird auch der Minimalabstand angenommen, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Eukldischer Raum/Zwei disjunkte kompakte Teilmengen/Abstandsrealisierung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{:Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz (Minkowski)/Textabschnitt}} }} q7glgjvxqj3pj9sr1qh57gnguwdzhff 106 168857 1107058 1074038 2026-07-14T17:49:55Z Bocardodarapti 2041 1107058 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|27| {{Zwischenüberschrift|Einheitswurzeln in Zahlbereichen}} Eine Einheitswurzel in einem kommutativen Ring {{math|term= R |SZ=}} ist das gleiche wie eine Torsionseinheit, also ein Element {{ Relationskette | x |\in| R || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | x^n || 1 || || || |SZ= }} für ein {{ Relationskette | n |\in| \N_+ || || || |SZ=. }} Die Menge aller Einheitswurzeln bildet eine Untergruppe der Einheitengruppe {{math|term= {{op:Einheiten|R|}} |SZ=.}} Wir bezeichnen sie mit {{mathl|term= {{op:Einheitswurzelgruppe||R|}} |SZ=.}} Ebenso bildet die Menge aller {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln eine Untergruppe, die wir mit {{mathl|term= {{op:Einheitswurzelgruppe|n|R|}} |SZ=}} bezeichnen. Da eine {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzel eine Nullstelle des Polynoms {{math|term= X^n-1 |SZ=}} ist, gibt es über einem Körper und damit auch über einem Integritätsbereich nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} maximal {{math|term= n |SZ=}} Nullstellen. Für einen Integritätsbereich ist also {{mathl|term= {{op:Einheitswurzelgruppe|n|R|}} |SZ=}} eine endliche Gruppe mit höchstens {{math|term= n |SZ=}} Elementen. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt |Nr= |SZ= }} handelt es sich um eine zyklische Gruppe. Wenn sie die Ordnung {{math|term= n |SZ=}} besitzt, so nennt man einen Erzeuger eine {{Stichwort|primitive Einheitswurzel|msw=|SZ=.}} Für die abstrakte multiplikativ geschrieben zyklische Gruppe mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen schreiben wir {{math|term= \mu_n |SZ=}} und die Eigenschaft, dass ein Körper {{math|term= K |SZ=}} {{math|term= n |SZ=}} {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzeln besitzt, schreiben wir kurz als {{ Relationskette | \mu_n | \subseteq | K || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Normaler Integritätsbereich/Quotientenkörper/Einheitswurzeln/Fakt|Lemma|| }} Diese Beobachtung kann man für Zahlbereiche anwenden. Wir werden im Folgenden die Aussagen für die Zahlbereiche formulieren, wobei die Argumente teilweise über die Quotientenkörper, also über endliche Erweiterungen von {{math|term= \Q |SZ=,}} gehen, teilweise über den Zahlbereich selbst. Ohne die Voraussetzung normal ist die Aussage nicht richtig, wie das folgende Beispiel zeigt. {{ inputbeispiel |Z adjungiert 2i/Einheitswurzelgruppe/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Reelle Einbettung/Einheitswurzeln/Fakt|Lemma|| }} In den komplexen Zahlen gibt es alle Einheitswurzeln. Die Kreisteilungskörper und Kreisteilungsringe zeigen, dass man Einheitswurzeln in endlichen Erweiterungen von {{math|term= \Q |SZ=}} bzw. {{math|term= \Z |SZ=}} realisieren lassen. Die folgenden Aussagen zeigen, dass die Kreisteilungskörper im Wesentlichen durch ihre enthaltenen Einheitswurzeln bestimmt sind. {{ inputfaktbeweis |Körper/Charakteristik 0/Einheitswurzeln/Kreisteilungskörper/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Kreisteilungskörper/Einheitswurzeln/Gleichheit/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Einheitswurzeln/Endlich/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Einheitswurzeln/Fakt|Lemma|| }} Zu einer {{ Definitionslink |kommutativen Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= H |SZ=}} bezeichnen wir die Menge der {{ Definitionslink |Automorphismen| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} mit {{math|term= \operatorname{Aut} (H) |SZ=.}} Dies ist selbst eine Gruppe mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung. Für die kommutative Gruppe {{math|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} ist ein Gruppenhomomorphismus in sich durch das Bild des Erzeugers festgelegt, und ein Automorphismus liegt genau dann vor, wenn der Erzeuger auf einen Erzeuger abgebildet wird. Deshalb ist {{ Relationskette/display | \operatorname{Aut} {{makl| {{op:Zmod|n|}} |}} |\cong| {{op:Einheiten(| {{op:Zmod|n|}}|}} || || || |SZ=, }} einer Einheit {{math|term= a |SZ=}} rechts entspricht der Gruppenhomomorphismus {{mathl|term= x \mapsto ax |SZ=.}} Für {{math|term= \mu_n |SZ=,}} die multiplikativ geschriebene zyklische Gruppe der Ordnung {{math|term= n |SZ=,}} gilt entsprechend {{ Relationskette/display | \operatorname{Aut} {{makl| \mu_n |}} |\cong| {{op:Einheiten(| {{op:Zmod|n|}}|}} || || || |SZ=, }} und der Einheit {{math|term= a|SZ=}} entspricht das Potenzieren {{mathl|term= x \mapsto x^a |SZ=.}} Die Beschreibung der Galoisgruppe für Kreisteilungskörper aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man somit als einen Gruppenisomorphismus {{ Relationskette/display | {{op:Galoisgruppe|\Q|K_n}} |\cong| \operatorname{Aut} ( \mu_n ) || || || |SZ= }} verstehen. Zwischen diesen beiden Gruppen besteht nun stets der folgende Zusammenhang. {{ inputfaktbeweis |Zahlkörper/Galoissch/Wirkung auf Einheitswurzeln/Fakt|Lemma|| }} }} rvtd6n1vli1hailuyh4dexrwk2zczxx 0 169670 1107083 1073125 2026-07-15T07:07:47Z Bocardodarapti 2041 1107083 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung5/a |Die Rekursionsmatrix ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|3|7|1|0}} |SZ=. }} |Das charakteristische Polynom ist {{ Relationskette/display | {{op:Determinante| {{op:Matrix22|T-3|-7|-1|T}} |}} || T(T-3) -7 || T^2-3T-7 || || |SZ=. }} |Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind {{ Relationskette/display | \lambda_{1,2} || {{op:Bruch|3 \pm \sqrt{37}|2}} || || || |SZ=. }} |Eine Basis aus Eigenvektoren ist {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|3 + \sqrt{37} | 2}} |1}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|3 - \sqrt{37} | 2}} |1}} |SZ=. }} |Wir schreiben {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| -5| 2}} || a {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|3 + \sqrt{37} | 2}} |1}} +b {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|3 - \sqrt{37} | 2}} |1}} || || || |SZ=. }} Dieses lineare Gleichungssystem besitzt die Lösung {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|a|b}} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch| \sqrt{37} -11 | \sqrt{37} }} | {{op:Bruch| \sqrt{37} +11 | \sqrt{37} }} }} || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch(|3 + \sqrt{37}|2}}^n {{op:Bruch| \sqrt{37} -11 | \sqrt{37} }} + {{op:Bruch(|3 - \sqrt{37}|2}}^n {{op:Bruch| \sqrt{37} +11 | \sqrt{37} }} || || || |SZ= }} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Matrixrekursion/Basis aus Eigenvektoren/Lösungsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} die explizite Lösung. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 0yrtsrowdevt1eb71ni7iqk7n21jdhr 106 170010 1107128 1079250 2026-07-15T08:50:10Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen */ 1107128 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f^{(n)}(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} f(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} f(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> <span id="Orientierung"></span> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="Rechteckintegrallemma"></span> <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{3}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{2}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{3}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{2}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{3}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>a_1 < b_1</math> und <math>a_2 < b_2</math> * für konstante Funktionen <math>f</math> immer von 0 verschieden ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] o0m2bwen7bjo0v8xncy08o99piapad4 1107129 1107128 2026-07-15T08:51:06Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 2.1 - Dichtefunktion */ 1107129 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f^{(n)}(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} f(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} f(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> <span id="Orientierung"></span> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="Rechteckintegrallemma"></span> <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{3}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{2}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{3}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \iint_{R} 1 \, d^2\! z = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{2}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{3}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>a_1 < b_1</math> und <math>a_2 < b_2</math> * für konstante Funktionen <math>f</math> immer von 0 verschieden ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 26h93j5djie80whq2uxowdt42gzuiwk 106 170032 1107140 1078353 2026-07-15T09:18:59Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen */ 1107140 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(G))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Aufgabe - Schulmathematik ==== Welchen Zusammenhang besteht zwischen der obigen Darstellung und dem [[w:de:Strahlensatz|Strahlensatz]]? ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweis - Flächenintegralsatz === Der [[Beweis zum Flächenintegralsatz für Dreiecke]] nutzt die Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und die [[Definition Flächenintegrale]] für die Berechnung des Flächenintegrals über Dreiecke. === Bemerkung - Randwegintegrale für Dreiecksfläche === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wird damit das Integral über Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> als [[Randwegintegral für Dreiecke]] dargestellt und liefert damit eine Zusammenhang zwischen Flächenintegralen für <math>f</math> zu der Summe von zwei [[Wegintegral|Wegintegralen]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2z := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Gleichzeitig stellt die obige Summe von zwei Wegintegralen bzgl. der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von einem Dreieck]] über <math>F</math> auch das Flächenintegral über Dreiecke <math>f</math> über <math>\gamma_{_\Delta}</math> dar. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2 z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> berechnen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> gebildet werden und * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten und * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. zu dem Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math>. <span id="KorollarDreiecke"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lnjh0ryqkcuranz4xzfu5oftvndpgef 106 170179 1107074 1106954 2026-07-15T06:27:29Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte */ 1107074 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times[0,1]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ==== Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion betrachtet und <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> verwendet. ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ==== Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen <math>-1</math> und <math>+1</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in [0,1]</math> parametrisieren. Mit <math>t_1\in [0,1]</math> ist <math>2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]</math>: ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7u5hyg2k9v74fxfh8dm3656vr7y78sd 1107075 1107074 2026-07-15T06:28:11Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte */ 1107075 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ==== Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion betrachtet und <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> verwendet. ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ==== Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen <math>-1</math> und <math>+1</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in [0,1]</math> parametrisieren. Mit <math>t_1\in [0,1]</math> ist <math>2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]</math>: ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4uj1hoqrmeiyf9a6jt2u7u9m2i64550 106 170343 1107003 1105452 2026-07-14T12:09:57Z Patrick Rutz 41567 /* Reflexion und Weiterentwicklung des Modells */ 1107003 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen ** Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel * Modellierung der Feinstaubbelastung ** Vergleich des Modells mit der Realität * Reflexion und Weiterentwicklung des Modells ** Arbeitsaufträge * Kompetenzen und Lernziele * Didaktik und didaktische Reduktion ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. == Mathematische Idee == Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Frage, wie sich die Verkehrsbelastung an einer Straße oder Kreuzung mathematisch beschreiben lässt. Dazu wird die Anzahl der Fahrzeuge in regelmäßigen Zeitabständen erfasst. Aus den erhobenen Daten entsteht ein Graph, der die Verkehrsdichte im Tagesverlauf darstellt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass nicht nur einzelne Messwerte von Interesse sind, sondern insbesondere die gesamte Anzahl der Fahrzeuge innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Diese Gesamtmenge lässt sich durch die Fläche unter dem Graphen beschreiben. Da die genaue Fläche zunächst nicht bekannt ist, wird sie mithilfe von Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch lernen die Schülerinnen und Schüler eine grundlegende mathematische Methode kennen, mit der Gesamtmengen aus Änderungsraten abgeschätzt werden können. Die so ermittelte Fahrzeuganzahl bildet anschließend die Grundlage für die Entwicklung eines Modells zur Feinstaubbelastung. Dabei wird untersucht, welchen Einfluss verschiedene Fahrzeugarten auf die Luftqualität haben und wie mathematische Modelle zur Beschreibung realer Umweltprobleme genutzt werden können. Aus Sicht der Mathematik wird die Fläche unter einem Graphen in höheren Klassenstufen durch das bestimmte Integral beschrieben: :<math>\int_a^b v(t),dt</math> Die Unterrichtseinheit ermöglicht somit einen ersten anschaulichen Zugang zu zentralen Ideen der Integralrechnung, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird der jeweilige Wert dem Mittelpunkt dieses Intervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei <math>x=8{,}5</math> eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr bei <math>x=10{,}5</math> usw. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Sek1 Trapezflächen.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die vorherige Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite aller Trapeze b=2. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Zur Abschätzung der Gesamtzahl der Fahrzeuge wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 2, da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=2</math>. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Die x-Achse gibt die Zeit in Stunden an. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher: :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Die Einheit der Fläche wird im Folgenden mit F abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die zuvor bestimmte Fahrzeuganzahl beschreibt zunächst nur das Verkehrsaufkommen. Für die Untersuchung der Luftqualität muss anschließend betrachtet werden, in welchem Umfang verschiedene Fahrzeugarten zur Feinstaubbelastung beitragen. Im Rahmen einer Recherche werden zunächst die wichtigsten Quellen verkehrsbedingter Feinstaubemissionen betrachtet. Feinstaub entsteht nicht ausschließlich durch Abgase, sondern auch durch den Abrieb von Reifen und Bremsen. Moderne Studien zeigen, dass insbesondere die sogenannten Nicht-Abgas-Emissionen einen bedeutenden Anteil der verkehrsbedingten Feinstaubbelastung ausmachen.<ref>OECD (2020): ‘‘Non-Exhaust Particulate Emissions from Road Transport’’. OECD Publishing. https://www.oecd.org/en/publications/non-exhaust-particulate-emissions-from-road-transport_4a4dc6ca-en.html</ref> Während sowohl Verbrennerfahrzeuge als auch Elektroautos Reifen- und Bremsabrieb verursachen, entstehen direkte Abgasemissionen nur bei Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor. Elektrofahrzeuge besitzen dagegen keine direkten Auspuffemissionen. Allerdings tragen auch sie weiterhin durch Reifen- und Bremsabrieb zur Feinstaubbelastung bei.<ref>Amato et al. (2021): ''Non-exhaust traffic emissions: Sources, characterization and mitigation measures''.Atmospheric Environment. https://www.researchgate.net/publication/348276903_Non-exhaust_traffic_emissions_Sources_characterization_and_mitigation_measures (Zugriff am 24.06.2026).</ref> Zur Modellierung werden die verschiedenen Emissionsquellen zunächst vereinfacht gewichtet. Dabei wird jede Emissionsquelle mit einer Belastungseinheit angesetzt. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vereinfachte Gewichtung der Emissionsquellen |- ! Emissionsquelle !! Verbrenner !! Elektroauto |- | Reifenabrieb || 1 || 1 |- | Bremsabrieb || 1 || 1 |- | Abgasemissionen || 1 || 0 |- ! Summe !! 3 !! 2 |} Für einen Verbrenner ergibt sich damit eine Belastung von :<math>1+1+1=3</math> Belastungseinheiten. Für ein Elektroauto ergibt sich :<math>1+1=2</math> Belastungseinheiten. Die modellierte Feinstaubbelastung kann somit durch :<math>L = 3 \cdot V + 2 \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge, * <math>E</math> die Anzahl der Elektrofahrzeuge. Setzt man die zuvor berechneten Fahrzeugzahlen :<math>V = 644F</math> und :<math>E = 156F</math> ein, so erhält man :<math>L = 3 \cdot 644F + 2 \cdot 156F = 1932 + 312 = 2244</math> Belastungseinheiten. === Vergleich des Modells mit der Realität === Ein mathematisches Modell stellt stets eine Vereinfachung der Realität dar. Die berechneten 2244 Belastungseinheiten entsprechen daher keinem direkt messbaren Feinstaubwert, sondern dienen als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Um die Aussagekraft des Modells zu beurteilen, werden die Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten verglichen. Die folgende Karte des Umweltbundesamtes zeigt die Anzahl der Tage, an denen der Tagesmittelwert für Feinstaub (PM10) den Grenzwert von <math>50,\mu g/m^3</math> überschritten hat. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Feinstaub PM10 Deutschland: 2000 bis 2008 <ref> Umweltbundesamt (2024): ''Feinstaub-Belastung in Deutschland''. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/feinstaub-belastung (Zugriff am 24.06.2026). </ref> </div> [[Datei:3 karte pm10 tmw 2000 2008.png|zentriert|Anzahl der Überschreitungen des PM10-Tagesgrenzwertes in Deutschland von 2000 bis 2008. Quelle: Umweltbundesamt]] Auf der Karte ist zu erkennen, dass die Feinstaubbelastung regional unterschiedlich ausgeprägt ist. Besonders Ballungsräume und dicht besiedelte Regionen weisen häufig höhere Belastungen auf als ländliche Gebiete. Gleichzeitig wird deutlich, dass die Feinstaubbelastung von zahlreichen Einflussgrößen abhängt und nicht allein durch das Verkehrsaufkommen erklärt werden kann. Der Vergleich mit den Ergebnissen des entwickelten Modells zeigt, dass ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung grundsätzlich plausibel erscheint. Regionen mit hohem Verkehrsaufkommen weisen häufig auch erhöhte Feinstaubwerte auf. Die Schülerinnen und Schüler diskutieren anschließend, ob die im Modell gewählten Gewichtungsfaktoren die tatsächliche Feinstaubbelastung angemessen beschreiben. Hierzu können weitere wissenschaftliche Quellen recherchiert und mit den getroffenen Modellannahmen verglichen werden. Darüber hinaus werden bei der Betrachtung realer Messdaten weitere Einflussgrößen sichtbar, die im bisherigen Modell nicht berücksichtigt wurden. Dazu zählen beispielsweise: * Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * Niederschlag, * Temperatur und Wetterlage, * Topographie, * unterschiedliche Fahrzeugtypen, * Verkehrsfluss und Stausituationen, * Ampeln, Kreuzungen und Stoppschilder, * Industrieanlagen, * jahreszeitliche Einflüsse. Der Vergleich mit realen Messdaten verdeutlicht somit sowohl die Stärken als auch die Grenzen des entwickelten Modells. Während grundlegende Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar werden, kann die tatsächliche Feinstaubbelastung nur durch die Berücksichtigung weiterer Einflussgrößen genauer beschrieben werden. Die Gegenüberstellung von Modell und Realität stellt einen wichtigen Schritt im Modellierungsprozess dar. Erst durch diesen Vergleich kann überprüft werden, wie gut das Modell die Wirklichkeit beschreibt und an welchen Stellen es verbessert werden muss. == Reflexion und Weiterentwicklung des Modells == Die entwickelte Modellierung beschreibt den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Feinstaubbelastung anhand vereinfachter Annahmen. Wie jedes mathematische Modell bildet sie die Realität jedoch nur näherungsweise ab. Bereits die Auswahl der berücksichtigten Einflussgrößen sowie die mathematische Beschreibung der Messdaten beeinflussen die Ergebnisse. Im Folgenden werden daher verschiedene Möglichkeiten vorgestellt, wie das Modell weiterentwickelt und verbessert werden kann. === Fachliche Erweiterungen === Im entwickelten Modell wurden lediglich die Fahrzeuganzahl sowie vereinfachte Gewichtungsfaktoren für verschiedene Emissionsquellen berücksichtigt. Viele Einflussgrößen, die sich auf die tatsächliche Luftqualität auswirken, bleiben zunächst unberücksichtigt. Mögliche Erweiterungen des Modells sind beispielsweise: * die Berücksichtigung unterschiedlicher Fahrzeugarten, * die Einbeziehung von Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * die Berücksichtigung der Topographie, * die Einbindung realer Luftqualitätsdaten, * die Untersuchung weiterer Schadstoffe wie Stickstoffdioxid oder Kohlendioxid, * die Verbesserung der Gewichtungsfaktoren mithilfe wissenschaftlicher Studien. === Mathematische Weiterentwicklung === Auch die mathematische Beschreibung des Verkehrsverlaufs kann weiterentwickelt werden. Im entwickelten Modell (Modell A) werden die innerhalb eines kurzen Messzeitraums erhobenen Verkehrsdaten auf eine Stunde hochgerechnet und als momentane Verkehrsdichte zum jeweiligen Messzeitpunkt interpretiert. Die Messpunkte werden anschließend durch Geraden miteinander verbunden. Dadurch wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Ein alternatives Modell (Modell B) besteht darin, die hochgerechnete Verkehrsdichte während der gesamten folgenden Stunde als konstant anzunehmen. Die Verkehrsdichte wird dabei durch eine Treppenfunktion beschrieben. Beträgt die hochgerechnete Verkehrsdichte beispielsweise :<math>48\,\frac{\mathrm{Fahrzeuge}}{\mathrm{h}}</math>, so ergibt sich für das Zeitintervall von 08:00 Uhr bis 09:00 Uhr :<math>\int_8^9 48\,\mathrm dt = 48</math> Fahrzeuge. Damit entspricht die Fläche unter dem Graphen in jedem Zeitintervall exakt der hochgerechneten Fahrzeuganzahl. Beim linearen Modell entsteht dagegen lediglich eine Näherung, da zwischen zwei Messzeitpunkten eine lineare Veränderung angenommen wird. Beide Modellansätze besitzen Vor- und Nachteile. Während Modell A einen kontinuierlichen Verlauf beschreibt und den späteren Funktionsbegriff vorbereitet, liefert Modell B eine exakte Übereinstimmung zwischen den hochgerechneten Messwerten und der berechneten Fläche unter dem Graphen. Die Schülerinnen und Schüler können beide Modellierungen vergleichen und diskutieren, welche Annahmen den jeweiligen Modellen zugrunde liegen und welcher Ansatz die Verkehrssituation geeigneter beschreibt. === Fazit === Der Vergleich der verschiedenen Modellansätze verdeutlicht, dass mathematische Modellierung ein fortlaufender Prozess ist. Modelle werden entwickelt, überprüft, mit realen Daten verglichen und anschließend verbessert. Dabei gibt es häufig nicht nur ein einziges richtiges Modell, sondern mehrere sinnvolle Modellierungen, die jeweils auf unterschiedlichen Annahmen beruhen. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * erheben, dokumentieren und strukturieren reale Daten aus ihrer Lebenswelt. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung und Visualisierung von Daten. * interpretieren Tabellen, Diagramme und mathematische Graphen. * modellieren reale Situationen mithilfe mathematischer Darstellungen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * approximieren Flächen mithilfe der Trapezregel und interpretieren die Ergebnisse im Sachzusammenhang. * entwickeln und begründen mathematische Modelle zur Beschreibung von Umweltbelastungen. * vergleichen mathematische Modelle mit realen Messdaten und reflektieren deren Aussagekraft. * erkennen Chancen und Grenzen mathematischer Modelle. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. * erwerben Kompetenzen im Umgang mit digitalen Datenquellen und statistischen Informationen. * erfahren Mathematik als Werkzeug zur Untersuchung gesellschaftlich relevanter Fragestellungen. == Didaktik und didaktische Reduktion == Das Projekt orientiert sich an einer lebensnahen Fragestellung aus dem unmittelbaren Umfeld der Schülerinnen und Schüler. Durch die eigenständige Verkehrszählung wird ein direkter Bezug zur Lebenswelt hergestellt. Die Lernenden erleben dabei, wie reale Daten erhoben, ausgewertet und zur Beschreibung komplexer Zusammenhänge genutzt werden können. Im Mittelpunkt der Unterrichtseinheit steht der mathematische Modellierungskreislauf. Ausgehend von einer realen Situation werden Daten erhoben, mathematisch beschrieben, ausgewertet und anschließend mit realen Messdaten verglichen. Die Schülerinnen und Schüler erfahren dadurch, dass mathematische Modelle nicht die Realität selbst darstellen, sondern vereinfachte Abbilder der Wirklichkeit sind. Die mathematische Komplexität wird durch mehrere didaktische Reduktionen angepasst. Die Verkehrsdichte wird zunächst anhand weniger Messzeitpunkte erfasst und auf Stundenwerte hochgerechnet. Zwischen den Messpunkten wird eine lineare Entwicklung angenommen. Die Fläche unter dem Graphen wird mithilfe der Trapezregel angenähert, sodass die Grundidee der Integralrechnung bereits eingeführt werden kann, ohne auf formale Integrale oder Grenzwertbetrachtungen zurückgreifen zu müssen. Auch die Modellierung der Feinstaubbelastung erfolgt bewusst vereinfacht. Anstatt reale Emissionsmodelle zu verwenden, werden ausgewählte Einflussgrößen wie Reifenabrieb, Bremsabrieb und Abgasemissionen durch Gewichtungsfaktoren beschrieben. Dadurch bleibt das Modell für die Zielgruppe verständlich und ermöglicht gleichzeitig eine fachlich begründete Diskussion über die getroffenen Annahmen. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf dem Vergleich zwischen Modell und Realität. Durch die Gegenüberstellung der berechneten Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten erkennen die Schülerinnen und Schüler, dass mathematische Modelle stets Grenzen besitzen und kontinuierlich überprüft und verbessert werden müssen. Dieser Schritt stellt einen zentralen Bestandteil mathematischer Modellierungsprozesse dar. Die Unterrichtseinheit verbindet mathematische Inhalte mit Fragestellungen aus Umweltbildung, Nachhaltigkeit und gesellschaftlicher Verantwortung. Dadurch wird Mathematik nicht nur als abstrakte Wissenschaft, sondern als Werkzeug zur Analyse und Bewertung realer Probleme erfahrbar. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nfuahcllzrlqx3rbustwahm5ezyc5y0 1107004 1107003 2026-07-14T12:38:44Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 1 */ 1107004 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen ** Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel * Modellierung der Feinstaubbelastung ** Vergleich des Modells mit der Realität * Reflexion und Weiterentwicklung des Modells ** Arbeitsaufträge * Kompetenzen und Lernziele * Didaktik und didaktische Reduktion ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. == Mathematische Idee == Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Frage, wie sich die Verkehrsbelastung an einer Straße oder Kreuzung mathematisch beschreiben lässt. Dazu wird die Anzahl der Fahrzeuge in regelmäßigen Zeitabständen erfasst. Aus den erhobenen Daten entsteht ein Graph, der die Verkehrsdichte im Tagesverlauf darstellt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass nicht nur einzelne Messwerte von Interesse sind, sondern insbesondere die gesamte Anzahl der Fahrzeuge innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Diese Gesamtmenge lässt sich durch die Fläche unter dem Graphen beschreiben. Da die genaue Fläche zunächst nicht bekannt ist, wird sie mithilfe von Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch lernen die Schülerinnen und Schüler eine grundlegende mathematische Methode kennen, mit der Gesamtmengen aus Änderungsraten abgeschätzt werden können. Die so ermittelte Fahrzeuganzahl bildet anschließend die Grundlage für die Entwicklung eines Modells zur Feinstaubbelastung. Dabei wird untersucht, welchen Einfluss verschiedene Fahrzeugarten auf die Luftqualität haben und wie mathematische Modelle zur Beschreibung realer Umweltprobleme genutzt werden können. Aus Sicht der Mathematik wird die Fläche unter einem Graphen in höheren Klassenstufen durch das bestimmte Integral beschrieben: :<math>\int_a^b v(t)\,\mathrm dt</math> Die Unterrichtseinheit ermöglicht somit einen ersten anschaulichen Zugang zu zentralen Ideen der Integralrechnung, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung führen die Schülerinnen und Schüler an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durch. Dabei wird die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst. Um Unterschiede in der Feinstaubbelastung später modellieren zu können, wird zwischen Verbrennerfahrzeugen und Elektrofahrzeugen unterschieden. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und für die weitere Auswertung in LibreOffice Calc übertragen. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Messwerte auf eine Stunde hochgerechnet. Dadurch ergibt sich für jeden Messzeitpunkt eine geschätzte Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde, die als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung dient. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} Die hochgerechneten Verkehrsdaten werden zunächst in einem Balkendiagramm dargestellt. Dadurch lassen sich Unterschiede zwischen den einzelnen Messzeitpunkten unmittelbar erkennen. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] Anschließend werden dieselben Daten in einem Liniendiagramm dargestellt. Dieses erleichtert die Betrachtung des zeitlichen Verlaufs und bildet die Grundlage für die weitere Modellierung in GeoGebra. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Dadurch werden die zuvor tabellarisch erfassten Verkehrsdaten in ein mathematisches Modell überführt. Die x-Achse beschreibt die Zeit, die y-Achse die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird er dem Mittelpunkt dieses Zeitintervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei <math>x=8{,}5</math> eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr entsprechend bei <math>x=10{,}5</math>. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Diese Annahme stellt eine Vereinfachung der Realität dar und ermöglicht die Entwicklung eines mathematischen Modells. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. Die folgende Abbildung zeigt den aus den Messdaten entstandenen Graphen. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-07-14 um 14.35.26.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den zeitlichen Verlauf der Verkehrsdichte modelliert. Zwischen zwei Messzeitpunkten wird dabei eine lineare Veränderung angenommen. Dieses Modell dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel. === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die vorherige Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite aller Trapeze b=2. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Zur Abschätzung der Gesamtzahl der Fahrzeuge wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 2, da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=2</math>. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Die x-Achse gibt die Zeit in Stunden an. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher: :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Die Einheit der Fläche wird im Folgenden mit F abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die zuvor bestimmte Fahrzeuganzahl beschreibt zunächst nur das Verkehrsaufkommen. Für die Untersuchung der Luftqualität muss anschließend betrachtet werden, in welchem Umfang verschiedene Fahrzeugarten zur Feinstaubbelastung beitragen. Im Rahmen einer Recherche werden zunächst die wichtigsten Quellen verkehrsbedingter Feinstaubemissionen betrachtet. Feinstaub entsteht nicht ausschließlich durch Abgase, sondern auch durch den Abrieb von Reifen und Bremsen. Moderne Studien zeigen, dass insbesondere die sogenannten Nicht-Abgas-Emissionen einen bedeutenden Anteil der verkehrsbedingten Feinstaubbelastung ausmachen.<ref>OECD (2020): ‘‘Non-Exhaust Particulate Emissions from Road Transport’’. OECD Publishing. https://www.oecd.org/en/publications/non-exhaust-particulate-emissions-from-road-transport_4a4dc6ca-en.html</ref> Während sowohl Verbrennerfahrzeuge als auch Elektroautos Reifen- und Bremsabrieb verursachen, entstehen direkte Abgasemissionen nur bei Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor. Elektrofahrzeuge besitzen dagegen keine direkten Auspuffemissionen. Allerdings tragen auch sie weiterhin durch Reifen- und Bremsabrieb zur Feinstaubbelastung bei.<ref>Amato et al. (2021): ''Non-exhaust traffic emissions: Sources, characterization and mitigation measures''.Atmospheric Environment. https://www.researchgate.net/publication/348276903_Non-exhaust_traffic_emissions_Sources_characterization_and_mitigation_measures (Zugriff am 24.06.2026).</ref> Zur Modellierung werden die verschiedenen Emissionsquellen zunächst vereinfacht gewichtet. Dabei wird jede Emissionsquelle mit einer Belastungseinheit angesetzt. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vereinfachte Gewichtung der Emissionsquellen |- ! Emissionsquelle !! Verbrenner !! Elektroauto |- | Reifenabrieb || 1 || 1 |- | Bremsabrieb || 1 || 1 |- | Abgasemissionen || 1 || 0 |- ! Summe !! 3 !! 2 |} Für einen Verbrenner ergibt sich damit eine Belastung von :<math>1+1+1=3</math> Belastungseinheiten. Für ein Elektroauto ergibt sich :<math>1+1=2</math> Belastungseinheiten. Die modellierte Feinstaubbelastung kann somit durch :<math>L = 3 \cdot V + 2 \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge, * <math>E</math> die Anzahl der Elektrofahrzeuge. Setzt man die zuvor berechneten Fahrzeugzahlen :<math>V = 644F</math> und :<math>E = 156F</math> ein, so erhält man :<math>L = 3 \cdot 644F + 2 \cdot 156F = 1932 + 312 = 2244</math> Belastungseinheiten. === Vergleich des Modells mit der Realität === Ein mathematisches Modell stellt stets eine Vereinfachung der Realität dar. Die berechneten 2244 Belastungseinheiten entsprechen daher keinem direkt messbaren Feinstaubwert, sondern dienen als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Um die Aussagekraft des Modells zu beurteilen, werden die Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten verglichen. Die folgende Karte des Umweltbundesamtes zeigt die Anzahl der Tage, an denen der Tagesmittelwert für Feinstaub (PM10) den Grenzwert von <math>50,\mu g/m^3</math> überschritten hat. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Feinstaub PM10 Deutschland: 2000 bis 2008 <ref> Umweltbundesamt (2024): ''Feinstaub-Belastung in Deutschland''. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/feinstaub-belastung (Zugriff am 24.06.2026). </ref> </div> [[Datei:3 karte pm10 tmw 2000 2008.png|zentriert|Anzahl der Überschreitungen des PM10-Tagesgrenzwertes in Deutschland von 2000 bis 2008. Quelle: Umweltbundesamt]] Auf der Karte ist zu erkennen, dass die Feinstaubbelastung regional unterschiedlich ausgeprägt ist. Besonders Ballungsräume und dicht besiedelte Regionen weisen häufig höhere Belastungen auf als ländliche Gebiete. Gleichzeitig wird deutlich, dass die Feinstaubbelastung von zahlreichen Einflussgrößen abhängt und nicht allein durch das Verkehrsaufkommen erklärt werden kann. Der Vergleich mit den Ergebnissen des entwickelten Modells zeigt, dass ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung grundsätzlich plausibel erscheint. Regionen mit hohem Verkehrsaufkommen weisen häufig auch erhöhte Feinstaubwerte auf. Die Schülerinnen und Schüler diskutieren anschließend, ob die im Modell gewählten Gewichtungsfaktoren die tatsächliche Feinstaubbelastung angemessen beschreiben. Hierzu können weitere wissenschaftliche Quellen recherchiert und mit den getroffenen Modellannahmen verglichen werden. Darüber hinaus werden bei der Betrachtung realer Messdaten weitere Einflussgrößen sichtbar, die im bisherigen Modell nicht berücksichtigt wurden. Dazu zählen beispielsweise: * Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * Niederschlag, * Temperatur und Wetterlage, * Topographie, * unterschiedliche Fahrzeugtypen, * Verkehrsfluss und Stausituationen, * Ampeln, Kreuzungen und Stoppschilder, * Industrieanlagen, * jahreszeitliche Einflüsse. Der Vergleich mit realen Messdaten verdeutlicht somit sowohl die Stärken als auch die Grenzen des entwickelten Modells. Während grundlegende Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar werden, kann die tatsächliche Feinstaubbelastung nur durch die Berücksichtigung weiterer Einflussgrößen genauer beschrieben werden. Die Gegenüberstellung von Modell und Realität stellt einen wichtigen Schritt im Modellierungsprozess dar. Erst durch diesen Vergleich kann überprüft werden, wie gut das Modell die Wirklichkeit beschreibt und an welchen Stellen es verbessert werden muss. == Reflexion und Weiterentwicklung des Modells == Die entwickelte Modellierung beschreibt den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Feinstaubbelastung anhand vereinfachter Annahmen. Wie jedes mathematische Modell bildet sie die Realität jedoch nur näherungsweise ab. Bereits die Auswahl der berücksichtigten Einflussgrößen sowie die mathematische Beschreibung der Messdaten beeinflussen die Ergebnisse. Im Folgenden werden daher verschiedene Möglichkeiten vorgestellt, wie das Modell weiterentwickelt und verbessert werden kann. === Fachliche Erweiterungen === Im entwickelten Modell wurden lediglich die Fahrzeuganzahl sowie vereinfachte Gewichtungsfaktoren für verschiedene Emissionsquellen berücksichtigt. Viele Einflussgrößen, die sich auf die tatsächliche Luftqualität auswirken, bleiben zunächst unberücksichtigt. Mögliche Erweiterungen des Modells sind beispielsweise: * die Berücksichtigung unterschiedlicher Fahrzeugarten, * die Einbeziehung von Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * die Berücksichtigung der Topographie, * die Einbindung realer Luftqualitätsdaten, * die Untersuchung weiterer Schadstoffe wie Stickstoffdioxid oder Kohlendioxid, * die Verbesserung der Gewichtungsfaktoren mithilfe wissenschaftlicher Studien. === Mathematische Weiterentwicklung === Auch die mathematische Beschreibung des Verkehrsverlaufs kann weiterentwickelt werden. Im entwickelten Modell (Modell A) werden die innerhalb eines kurzen Messzeitraums erhobenen Verkehrsdaten auf eine Stunde hochgerechnet und als momentane Verkehrsdichte zum jeweiligen Messzeitpunkt interpretiert. Die Messpunkte werden anschließend durch Geraden miteinander verbunden. Dadurch wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Ein alternatives Modell (Modell B) besteht darin, die hochgerechnete Verkehrsdichte während der gesamten folgenden Stunde als konstant anzunehmen. Die Verkehrsdichte wird dabei durch eine Treppenfunktion beschrieben. Beträgt die hochgerechnete Verkehrsdichte beispielsweise :<math>48\,\frac{\mathrm{Fahrzeuge}}{\mathrm{h}}</math>, so ergibt sich für das Zeitintervall von 08:00 Uhr bis 09:00 Uhr :<math>\int_8^9 48\,\mathrm dt = 48</math> Fahrzeuge. Damit entspricht die Fläche unter dem Graphen in jedem Zeitintervall exakt der hochgerechneten Fahrzeuganzahl. Beim linearen Modell entsteht dagegen lediglich eine Näherung, da zwischen zwei Messzeitpunkten eine lineare Veränderung angenommen wird. Beide Modellansätze besitzen Vor- und Nachteile. Während Modell A einen kontinuierlichen Verlauf beschreibt und den späteren Funktionsbegriff vorbereitet, liefert Modell B eine exakte Übereinstimmung zwischen den hochgerechneten Messwerten und der berechneten Fläche unter dem Graphen. Die Schülerinnen und Schüler können beide Modellierungen vergleichen und diskutieren, welche Annahmen den jeweiligen Modellen zugrunde liegen und welcher Ansatz die Verkehrssituation geeigneter beschreibt. === Fazit === Der Vergleich der verschiedenen Modellansätze verdeutlicht, dass mathematische Modellierung ein fortlaufender Prozess ist. Modelle werden entwickelt, überprüft, mit realen Daten verglichen und anschließend verbessert. Dabei gibt es häufig nicht nur ein einziges richtiges Modell, sondern mehrere sinnvolle Modellierungen, die jeweils auf unterschiedlichen Annahmen beruhen. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * erheben, dokumentieren und strukturieren reale Daten aus ihrer Lebenswelt. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung und Visualisierung von Daten. * interpretieren Tabellen, Diagramme und mathematische Graphen. * modellieren reale Situationen mithilfe mathematischer Darstellungen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * approximieren Flächen mithilfe der Trapezregel und interpretieren die Ergebnisse im Sachzusammenhang. * entwickeln und begründen mathematische Modelle zur Beschreibung von Umweltbelastungen. * vergleichen mathematische Modelle mit realen Messdaten und reflektieren deren Aussagekraft. * erkennen Chancen und Grenzen mathematischer Modelle. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. * erwerben Kompetenzen im Umgang mit digitalen Datenquellen und statistischen Informationen. * erfahren Mathematik als Werkzeug zur Untersuchung gesellschaftlich relevanter Fragestellungen. == Didaktik und didaktische Reduktion == Das Projekt orientiert sich an einer lebensnahen Fragestellung aus dem unmittelbaren Umfeld der Schülerinnen und Schüler. Durch die eigenständige Verkehrszählung wird ein direkter Bezug zur Lebenswelt hergestellt. Die Lernenden erleben dabei, wie reale Daten erhoben, ausgewertet und zur Beschreibung komplexer Zusammenhänge genutzt werden können. Im Mittelpunkt der Unterrichtseinheit steht der mathematische Modellierungskreislauf. Ausgehend von einer realen Situation werden Daten erhoben, mathematisch beschrieben, ausgewertet und anschließend mit realen Messdaten verglichen. Die Schülerinnen und Schüler erfahren dadurch, dass mathematische Modelle nicht die Realität selbst darstellen, sondern vereinfachte Abbilder der Wirklichkeit sind. Die mathematische Komplexität wird durch mehrere didaktische Reduktionen angepasst. Die Verkehrsdichte wird zunächst anhand weniger Messzeitpunkte erfasst und auf Stundenwerte hochgerechnet. Zwischen den Messpunkten wird eine lineare Entwicklung angenommen. Die Fläche unter dem Graphen wird mithilfe der Trapezregel angenähert, sodass die Grundidee der Integralrechnung bereits eingeführt werden kann, ohne auf formale Integrale oder Grenzwertbetrachtungen zurückgreifen zu müssen. Auch die Modellierung der Feinstaubbelastung erfolgt bewusst vereinfacht. Anstatt reale Emissionsmodelle zu verwenden, werden ausgewählte Einflussgrößen wie Reifenabrieb, Bremsabrieb und Abgasemissionen durch Gewichtungsfaktoren beschrieben. Dadurch bleibt das Modell für die Zielgruppe verständlich und ermöglicht gleichzeitig eine fachlich begründete Diskussion über die getroffenen Annahmen. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf dem Vergleich zwischen Modell und Realität. Durch die Gegenüberstellung der berechneten Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten erkennen die Schülerinnen und Schüler, dass mathematische Modelle stets Grenzen besitzen und kontinuierlich überprüft und verbessert werden müssen. Dieser Schritt stellt einen zentralen Bestandteil mathematischer Modellierungsprozesse dar. Die Unterrichtseinheit verbindet mathematische Inhalte mit Fragestellungen aus Umweltbildung, Nachhaltigkeit und gesellschaftlicher Verantwortung. Dadurch wird Mathematik nicht nur als abstrakte Wissenschaft, sondern als Werkzeug zur Analyse und Bewertung realer Probleme erfahrbar. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rfokunaq38cl1qjczp5nyi5isq2yqwo 1107005 1107004 2026-07-14T13:08:52Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 1 */ 1107005 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen ** Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel * Modellierung der Feinstaubbelastung ** Vergleich des Modells mit der Realität * Reflexion und Weiterentwicklung des Modells ** Arbeitsaufträge * Kompetenzen und Lernziele * Didaktik und didaktische Reduktion ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. == Mathematische Idee == Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Frage, wie sich die Verkehrsbelastung an einer Straße oder Kreuzung mathematisch beschreiben lässt. Dazu wird die Anzahl der Fahrzeuge in regelmäßigen Zeitabständen erfasst. Aus den erhobenen Daten entsteht ein Graph, der die Verkehrsdichte im Tagesverlauf darstellt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass nicht nur einzelne Messwerte von Interesse sind, sondern insbesondere die gesamte Anzahl der Fahrzeuge innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Diese Gesamtmenge lässt sich durch die Fläche unter dem Graphen beschreiben. Da die genaue Fläche zunächst nicht bekannt ist, wird sie mithilfe von Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch lernen die Schülerinnen und Schüler eine grundlegende mathematische Methode kennen, mit der Gesamtmengen aus Änderungsraten abgeschätzt werden können. Die so ermittelte Fahrzeuganzahl bildet anschließend die Grundlage für die Entwicklung eines Modells zur Feinstaubbelastung. Dabei wird untersucht, welchen Einfluss verschiedene Fahrzeugarten auf die Luftqualität haben und wie mathematische Modelle zur Beschreibung realer Umweltprobleme genutzt werden können. Aus Sicht der Mathematik wird die Fläche unter einem Graphen in höheren Klassenstufen durch das bestimmte Integral beschrieben: :<math>\int_a^b v(t)\,\mathrm dt</math> Die Unterrichtseinheit ermöglicht somit einen ersten anschaulichen Zugang zu zentralen Ideen der Integralrechnung, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung führen die Schülerinnen und Schüler an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durch. Dabei wird die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst. Um Unterschiede in der Feinstaubbelastung später modellieren zu können, wird zwischen Verbrennerfahrzeugen und Elektrofahrzeugen unterschieden. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und für die weitere Auswertung in LibreOffice Calc übertragen. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Messwerte auf eine Stunde hochgerechnet. Dadurch ergibt sich für jeden Messzeitpunkt eine geschätzte Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde, die als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung dient. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} Die hochgerechneten Verkehrsdaten werden zunächst in einem Balkendiagramm dargestellt. Dadurch lassen sich Unterschiede zwischen den einzelnen Messzeitpunkten unmittelbar erkennen. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] Anschließend werden dieselben Daten in einem Liniendiagramm dargestellt. Dieses erleichtert die Betrachtung des zeitlichen Verlaufs und bildet die Grundlage für die weitere Modellierung in GeoGebra. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Dadurch werden die zuvor tabellarisch erfassten Verkehrsdaten in ein mathematisches Modell überführt. Die x-Achse beschreibt die Zeit, die y-Achse die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird er dem Mittelpunkt dieses Zeitintervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei <math>x=8{,}5</math> eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr entsprechend bei <math>x=10{,}5</math>. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Diese Annahme stellt eine Vereinfachung der Realität dar und ermöglicht die Entwicklung eines mathematischen Modells. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. Die folgende Abbildung zeigt den aus den Messdaten entstandenen Graphen. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-07-14 um 14.35.26.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den zeitlichen Verlauf der Verkehrsdichte modelliert. Zwischen zwei Messzeitpunkten wird dabei eine lineare Veränderung angenommen. Dieses Modell dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel. === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entsteht unter dem Graphen eine Folge von Trapezen. Die Fläche unter dem Graphen kann dadurch näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte zweier benachbarter Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite jedes Trapezes <math>b=2</math>. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> Dabei entspricht b der Zeitspanne zwischen zwei Messpunkten und h_1 sowie h_2 den beiden gemessenen Verkehrsdichten. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot2 =\frac{116}{2}\cdot2 =58\cdot2 =116 </math> Die Summe aller Trapezflächen liefert somit eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Trapezregel ermöglicht es, aus einzelnen Messwerten eine Gesamtgröße abzuschätzen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass sich reale Fragestellungen mithilfe mathematischer Modelle untersuchen lassen. Gleichzeitig erhalten sie einen ersten anschaulichen Zugang zur Idee des bestimmten Integrals, das in der Oberstufe als exakte Beschreibung der Fläche unter einem Graphen eingeführt wird. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Im Folgenden wird die Trapezregel auf die zuvor erhobenen Verkehrsdaten angewendet. Dadurch lässt sich die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum näherungsweise bestimmen. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes mit :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> berechnet. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Sie gibt an, wie viele Fahrzeuge durchschnittlich innerhalb einer Stunde einen Messpunkt passieren. Die x-Achse beschreibt die Zeit in Stunden. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Im Folgenden wird die Einheit „Fahrzeuge“ mit <math>\mathrm{F}</math> abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die zuvor bestimmte Fahrzeuganzahl beschreibt zunächst ausschließlich das Verkehrsaufkommen. Um Aussagen über die Luftqualität treffen zu können, muss zusätzlich berücksichtigt werden, in welchem Umfang verschiedene Fahrzeugarten zur Feinstaubbelastung beitragen. Zur Entwicklung eines geeigneten Modells recherchieren die Schülerinnen und Schüler zunächst, welche Quellen verkehrsbedingter Feinstaubemissionen wissenschaftlich beschrieben werden. Feinstaub entsteht nicht ausschließlich durch Abgase, sondern auch durch den Abrieb von Reifen und Bremsen. Moderne Studien zeigen, dass insbesondere die sogenannten Nicht-Abgas-Emissionen einen bedeutenden Anteil der verkehrsbedingten Feinstaubbelastung ausmachen.<ref>OECD (2020): ‘‘Non-Exhaust Particulate Emissions from Road Transport’’. OECD Publishing. https://www.oecd.org/en/publications/non-exhaust-particulate-emissions-from-road-transport_4a4dc6ca-en.html</ref> Während sowohl Verbrennerfahrzeuge als auch Elektroautos Reifen- und Bremsabrieb verursachen, entstehen direkte Abgasemissionen nur bei Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor. Elektrofahrzeuge besitzen dagegen keine direkten Auspuffemissionen. Allerdings tragen auch sie weiterhin durch Reifen- und Bremsabrieb zur Feinstaubbelastung bei.<ref>Amato et al. (2021): ''Non-exhaust traffic emissions: Sources, characterization and mitigation measures''.Atmospheric Environment. https://www.researchgate.net/publication/348276903_Non-exhaust_traffic_emissions_Sources_characterization_and_mitigation_measures (Zugriff am 24.06.2026).</ref> Zur Modellierung werden die verschiedenen Emissionsquellen zunächst vereinfacht gewichtet. Dabei wird jede Emissionsquelle mit einer Belastungseinheit angesetzt. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vereinfachte Gewichtung der Emissionsquellen |- ! Emissionsquelle !! Verbrenner !! Elektroauto |- | Reifenabrieb || 1 || 1 |- | Bremsabrieb || 1 || 1 |- | Abgasemissionen || 1 || 0 |- ! Summe !! 3 !! 2 |} Die Gewichtung stellt eine bewusste Vereinfachung dar. Ziel ist es nicht, die tatsächlichen Emissionen exakt abzubilden, sondern die unterschiedlichen Beiträge der Fahrzeugarten im Modell sichtbar zu machen. Die modellierte Feinstaubbelastung kann somit durch :<math>L = 3 \cdot V + 2 \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge, * <math>E</math> die Anzahl der Elektrofahrzeuge. Setzt man die zuvor berechneten Fahrzeugzahlen :<math>V = 644F</math> und :<math>E = 156F</math> ein, so erhält man :<math>L = 3 \cdot 644F + 2 \cdot 156F = 1932 + 312 = 2244</math> Belastungseinheiten. Die berechnete Größe besitzt keine physikalische Einheit wie beispielsweise <math>\mu g/m^3</math>, sondern dient ausschließlich als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Je höher der berechnete Wert ist, desto größer ist nach den getroffenen Modellannahmen die Feinstaubbelastung. === Vergleich des Modells mit der Realität === Ein mathematisches Modell stellt stets eine Vereinfachung der Realität dar und kann reale Zusammenhänge daher nur näherungsweise beschreiben. Die berechneten 2244 Belastungseinheiten entsprechen daher keinem direkt messbaren Feinstaubwert, sondern dienen als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Um die Aussagekraft des entwickelten Modells zu beurteilen, wird es mit realen Luftqualitätsdaten verglichen. Als Beispiel dient die folgende Übersicht des Umweltbundesamtes, die die räumliche Verteilung der PM10-Belastung in Deutschland zeigt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Feinstaub PM10 Deutschland: 2000 bis 2008 <ref> Umweltbundesamt (2024): ''Feinstaub-Belastung in Deutschland''. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/feinstaub-belastung (Zugriff am 24.06.2026). </ref> </div> [[Datei:3 karte pm10 tmw 2000 2008.png|zentriert|Anzahl der Überschreitungen des PM10-Tagesgrenzwertes in Deutschland von 2000 bis 2008. Quelle: Umweltbundesamt]] Auf der Karte ist zu erkennen, dass die Feinstaubbelastung regional unterschiedlich ausgeprägt ist. Besonders Ballungsräume und dicht besiedelte Regionen weisen häufig höhere Belastungen auf als ländliche Gebiete. Gleichzeitig wird deutlich, dass die Feinstaubbelastung von zahlreichen Einflussgrößen abhängt und nicht allein durch das Verkehrsaufkommen erklärt werden kann. Der Vergleich mit den Ergebnissen des entwickelten Modells zeigt, dass ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung grundsätzlich plausibel erscheint. Regionen mit hohem Verkehrsaufkommen weisen häufig auch erhöhte Feinstaubwerte auf. Gleichzeitig zeigen die Messdaten, dass dieser Zusammenhang allein nicht ausreicht, um die tatsächliche Feinstaubbelastung vollständig zu erklären. Die Schülerinnen und Schüler recherchieren anschließend weitere wissenschaftliche Quellen und diskutieren, ob die im Modell verwendeten Gewichtungsfaktoren die tatsächliche Feinstaubbelastung angemessen beschreiben. Hierzu können weitere wissenschaftliche Quellen recherchiert und mit den getroffenen Modellannahmen verglichen werden. Darüber hinaus werden bei der Betrachtung realer Messdaten weitere Einflussgrößen sichtbar, die im bisherigen Modell nicht berücksichtigt wurden. Dazu zählen beispielsweise: * Wind * Niederschlag * Temperatur * Topographie * Fahrzeugtypen * Verkehrsfluss * Ampeln * Industrie * Jahreszeit Der Vergleich mit realen Messdaten zeigt, dass das entwickelte Modell grundlegende Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar macht. Gleichzeitig wird deutlich, dass weitere Einflussgrößen berücksichtigt werden müssen, um die Realität genauer zu beschreiben. Die Gegenüberstellung von Modell und Realität stellt einen wichtigen Schritt im Modellierungsprozess dar. Erst der Vergleich mit realen Messdaten ermöglicht es, die Qualität eines mathematischen Modells zu beurteilen und gezielt weiterzuentwickeln. == Reflexion und Weiterentwicklung des Modells == Die entwickelte Modellierung beschreibt den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Feinstaubbelastung anhand vereinfachter Annahmen. Wie jedes mathematische Modell bildet sie die Realität jedoch nur näherungsweise ab. Bereits die Auswahl der berücksichtigten Einflussgrößen sowie die mathematische Beschreibung der Messdaten beeinflussen die Ergebnisse. Im Folgenden werden daher verschiedene Möglichkeiten vorgestellt, wie das Modell weiterentwickelt und verbessert werden kann. === Fachliche Erweiterungen === Im entwickelten Modell wurden lediglich die Fahrzeuganzahl sowie vereinfachte Gewichtungsfaktoren für verschiedene Emissionsquellen berücksichtigt. Viele Einflussgrößen, die sich auf die tatsächliche Luftqualität auswirken, bleiben zunächst unberücksichtigt. Mögliche Erweiterungen des Modells sind beispielsweise: * die Berücksichtigung unterschiedlicher Fahrzeugarten, * die Einbeziehung von Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * die Berücksichtigung der Topographie, * die Einbindung realer Luftqualitätsdaten, * die Untersuchung weiterer Schadstoffe wie Stickstoffdioxid oder Kohlendioxid, * die Verbesserung der Gewichtungsfaktoren mithilfe wissenschaftlicher Studien. === Mathematische Weiterentwicklung === Auch die mathematische Beschreibung des Verkehrsverlaufs kann weiterentwickelt werden. Im entwickelten Modell (Modell A) werden die innerhalb eines kurzen Messzeitraums erhobenen Verkehrsdaten auf eine Stunde hochgerechnet und als momentane Verkehrsdichte zum jeweiligen Messzeitpunkt interpretiert. Die Messpunkte werden anschließend durch Geraden miteinander verbunden. Dadurch wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Ein alternatives Modell (Modell B) besteht darin, die hochgerechnete Verkehrsdichte während der gesamten folgenden Stunde als konstant anzunehmen. Die Verkehrsdichte wird dabei durch eine Treppenfunktion beschrieben. Beträgt die hochgerechnete Verkehrsdichte beispielsweise :<math>48\,\frac{\mathrm{Fahrzeuge}}{\mathrm{h}}</math>, so ergibt sich für das Zeitintervall von 08:00 Uhr bis 09:00 Uhr :<math>\int_8^9 48\,\mathrm dt = 48</math> Fahrzeuge. Damit entspricht die Fläche unter dem Graphen in jedem Zeitintervall exakt der hochgerechneten Fahrzeuganzahl. Beim linearen Modell entsteht dagegen lediglich eine Näherung, da zwischen zwei Messzeitpunkten eine lineare Veränderung angenommen wird. Beide Modellansätze besitzen Vor- und Nachteile. Während Modell A einen kontinuierlichen Verlauf beschreibt und den späteren Funktionsbegriff vorbereitet, liefert Modell B eine exakte Übereinstimmung zwischen den hochgerechneten Messwerten und der berechneten Fläche unter dem Graphen. Die Schülerinnen und Schüler können beide Modellierungen vergleichen und diskutieren, welche Annahmen den jeweiligen Modellen zugrunde liegen und welcher Ansatz die Verkehrssituation geeigneter beschreibt. === Fazit === Der Vergleich der verschiedenen Modellansätze verdeutlicht, dass mathematische Modellierung ein fortlaufender Prozess ist. Modelle werden entwickelt, überprüft, mit realen Daten verglichen und anschließend verbessert. Dabei gibt es häufig nicht nur ein einziges richtiges Modell, sondern mehrere sinnvolle Modellierungen, die jeweils auf unterschiedlichen Annahmen beruhen. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * erheben, dokumentieren und strukturieren reale Daten aus ihrer Lebenswelt. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung und Visualisierung von Daten. * interpretieren Tabellen, Diagramme und mathematische Graphen. * modellieren reale Situationen mithilfe mathematischer Darstellungen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * approximieren Flächen mithilfe der Trapezregel und interpretieren die Ergebnisse im Sachzusammenhang. * entwickeln und begründen mathematische Modelle zur Beschreibung von Umweltbelastungen. * vergleichen mathematische Modelle mit realen Messdaten und reflektieren deren Aussagekraft. * erkennen Chancen und Grenzen mathematischer Modelle. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. * erwerben Kompetenzen im Umgang mit digitalen Datenquellen und statistischen Informationen. * erfahren Mathematik als Werkzeug zur Untersuchung gesellschaftlich relevanter Fragestellungen. == Didaktik und didaktische Reduktion == Das Projekt orientiert sich an einer lebensnahen Fragestellung aus dem unmittelbaren Umfeld der Schülerinnen und Schüler. Durch die eigenständige Verkehrszählung wird ein direkter Bezug zur Lebenswelt hergestellt. Die Lernenden erleben dabei, wie reale Daten erhoben, ausgewertet und zur Beschreibung komplexer Zusammenhänge genutzt werden können. Im Mittelpunkt der Unterrichtseinheit steht der mathematische Modellierungskreislauf. Ausgehend von einer realen Situation werden Daten erhoben, mathematisch beschrieben, ausgewertet und anschließend mit realen Messdaten verglichen. Die Schülerinnen und Schüler erfahren dadurch, dass mathematische Modelle nicht die Realität selbst darstellen, sondern vereinfachte Abbilder der Wirklichkeit sind. Die mathematische Komplexität wird durch mehrere didaktische Reduktionen angepasst. Die Verkehrsdichte wird zunächst anhand weniger Messzeitpunkte erfasst und auf Stundenwerte hochgerechnet. Zwischen den Messpunkten wird eine lineare Entwicklung angenommen. Die Fläche unter dem Graphen wird mithilfe der Trapezregel angenähert, sodass die Grundidee der Integralrechnung bereits eingeführt werden kann, ohne auf formale Integrale oder Grenzwertbetrachtungen zurückgreifen zu müssen. Auch die Modellierung der Feinstaubbelastung erfolgt bewusst vereinfacht. Anstatt reale Emissionsmodelle zu verwenden, werden ausgewählte Einflussgrößen wie Reifenabrieb, Bremsabrieb und Abgasemissionen durch Gewichtungsfaktoren beschrieben. Dadurch bleibt das Modell für die Zielgruppe verständlich und ermöglicht gleichzeitig eine fachlich begründete Diskussion über die getroffenen Annahmen. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf dem Vergleich zwischen Modell und Realität. Durch die Gegenüberstellung der berechneten Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten erkennen die Schülerinnen und Schüler, dass mathematische Modelle stets Grenzen besitzen und kontinuierlich überprüft und verbessert werden müssen. Dieser Schritt stellt einen zentralen Bestandteil mathematischer Modellierungsprozesse dar. Die Unterrichtseinheit verbindet mathematische Inhalte mit Fragestellungen aus Umweltbildung, Nachhaltigkeit und gesellschaftlicher Verantwortung. Dadurch wird Mathematik nicht nur als abstrakte Wissenschaft, sondern als Werkzeug zur Analyse und Bewertung realer Probleme erfahrbar. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3xonemevyd6grac7mtasoi6fo5a31dk 1107006 1107005 2026-07-14T13:13:02Z Patrick Rutz 41567 /* Reflexion und Weiterentwicklung des Modells */ 1107006 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen ** Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel * Modellierung der Feinstaubbelastung ** Vergleich des Modells mit der Realität * Reflexion und Weiterentwicklung des Modells ** Arbeitsaufträge * Kompetenzen und Lernziele * Didaktik und didaktische Reduktion ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. == Mathematische Idee == Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Frage, wie sich die Verkehrsbelastung an einer Straße oder Kreuzung mathematisch beschreiben lässt. Dazu wird die Anzahl der Fahrzeuge in regelmäßigen Zeitabständen erfasst. Aus den erhobenen Daten entsteht ein Graph, der die Verkehrsdichte im Tagesverlauf darstellt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass nicht nur einzelne Messwerte von Interesse sind, sondern insbesondere die gesamte Anzahl der Fahrzeuge innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Diese Gesamtmenge lässt sich durch die Fläche unter dem Graphen beschreiben. Da die genaue Fläche zunächst nicht bekannt ist, wird sie mithilfe von Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch lernen die Schülerinnen und Schüler eine grundlegende mathematische Methode kennen, mit der Gesamtmengen aus Änderungsraten abgeschätzt werden können. Die so ermittelte Fahrzeuganzahl bildet anschließend die Grundlage für die Entwicklung eines Modells zur Feinstaubbelastung. Dabei wird untersucht, welchen Einfluss verschiedene Fahrzeugarten auf die Luftqualität haben und wie mathematische Modelle zur Beschreibung realer Umweltprobleme genutzt werden können. Aus Sicht der Mathematik wird die Fläche unter einem Graphen in höheren Klassenstufen durch das bestimmte Integral beschrieben: :<math>\int_a^b v(t)\,\mathrm dt</math> Die Unterrichtseinheit ermöglicht somit einen ersten anschaulichen Zugang zu zentralen Ideen der Integralrechnung, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung führen die Schülerinnen und Schüler an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durch. Dabei wird die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst. Um Unterschiede in der Feinstaubbelastung später modellieren zu können, wird zwischen Verbrennerfahrzeugen und Elektrofahrzeugen unterschieden. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und für die weitere Auswertung in LibreOffice Calc übertragen. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Messwerte auf eine Stunde hochgerechnet. Dadurch ergibt sich für jeden Messzeitpunkt eine geschätzte Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde, die als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung dient. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} Die hochgerechneten Verkehrsdaten werden zunächst in einem Balkendiagramm dargestellt. Dadurch lassen sich Unterschiede zwischen den einzelnen Messzeitpunkten unmittelbar erkennen. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] Anschließend werden dieselben Daten in einem Liniendiagramm dargestellt. Dieses erleichtert die Betrachtung des zeitlichen Verlaufs und bildet die Grundlage für die weitere Modellierung in GeoGebra. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Dadurch werden die zuvor tabellarisch erfassten Verkehrsdaten in ein mathematisches Modell überführt. Die x-Achse beschreibt die Zeit, die y-Achse die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird er dem Mittelpunkt dieses Zeitintervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei <math>x=8{,}5</math> eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr entsprechend bei <math>x=10{,}5</math>. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Diese Annahme stellt eine Vereinfachung der Realität dar und ermöglicht die Entwicklung eines mathematischen Modells. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. Die folgende Abbildung zeigt den aus den Messdaten entstandenen Graphen. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-07-14 um 14.35.26.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den zeitlichen Verlauf der Verkehrsdichte modelliert. Zwischen zwei Messzeitpunkten wird dabei eine lineare Veränderung angenommen. Dieses Modell dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel. === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entsteht unter dem Graphen eine Folge von Trapezen. Die Fläche unter dem Graphen kann dadurch näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte zweier benachbarter Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite jedes Trapezes <math>b=2</math>. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> Dabei entspricht b der Zeitspanne zwischen zwei Messpunkten und h_1 sowie h_2 den beiden gemessenen Verkehrsdichten. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot2 =\frac{116}{2}\cdot2 =58\cdot2 =116 </math> Die Summe aller Trapezflächen liefert somit eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Trapezregel ermöglicht es, aus einzelnen Messwerten eine Gesamtgröße abzuschätzen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass sich reale Fragestellungen mithilfe mathematischer Modelle untersuchen lassen. Gleichzeitig erhalten sie einen ersten anschaulichen Zugang zur Idee des bestimmten Integrals, das in der Oberstufe als exakte Beschreibung der Fläche unter einem Graphen eingeführt wird. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Im Folgenden wird die Trapezregel auf die zuvor erhobenen Verkehrsdaten angewendet. Dadurch lässt sich die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum näherungsweise bestimmen. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes mit :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> berechnet. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Sie gibt an, wie viele Fahrzeuge durchschnittlich innerhalb einer Stunde einen Messpunkt passieren. Die x-Achse beschreibt die Zeit in Stunden. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Im Folgenden wird die Einheit „Fahrzeuge“ mit <math>\mathrm{F}</math> abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die zuvor bestimmte Fahrzeuganzahl beschreibt zunächst ausschließlich das Verkehrsaufkommen. Um Aussagen über die Luftqualität treffen zu können, muss zusätzlich berücksichtigt werden, in welchem Umfang verschiedene Fahrzeugarten zur Feinstaubbelastung beitragen. Zur Entwicklung eines geeigneten Modells recherchieren die Schülerinnen und Schüler zunächst, welche Quellen verkehrsbedingter Feinstaubemissionen wissenschaftlich beschrieben werden. Feinstaub entsteht nicht ausschließlich durch Abgase, sondern auch durch den Abrieb von Reifen und Bremsen. Moderne Studien zeigen, dass insbesondere die sogenannten Nicht-Abgas-Emissionen einen bedeutenden Anteil der verkehrsbedingten Feinstaubbelastung ausmachen.<ref>OECD (2020): ‘‘Non-Exhaust Particulate Emissions from Road Transport’’. OECD Publishing. https://www.oecd.org/en/publications/non-exhaust-particulate-emissions-from-road-transport_4a4dc6ca-en.html</ref> Während sowohl Verbrennerfahrzeuge als auch Elektroautos Reifen- und Bremsabrieb verursachen, entstehen direkte Abgasemissionen nur bei Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor. Elektrofahrzeuge besitzen dagegen keine direkten Auspuffemissionen. Allerdings tragen auch sie weiterhin durch Reifen- und Bremsabrieb zur Feinstaubbelastung bei.<ref>Amato et al. (2021): ''Non-exhaust traffic emissions: Sources, characterization and mitigation measures''.Atmospheric Environment. https://www.researchgate.net/publication/348276903_Non-exhaust_traffic_emissions_Sources_characterization_and_mitigation_measures (Zugriff am 24.06.2026).</ref> Zur Modellierung werden die verschiedenen Emissionsquellen zunächst vereinfacht gewichtet. Dabei wird jede Emissionsquelle mit einer Belastungseinheit angesetzt. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vereinfachte Gewichtung der Emissionsquellen |- ! Emissionsquelle !! Verbrenner !! Elektroauto |- | Reifenabrieb || 1 || 1 |- | Bremsabrieb || 1 || 1 |- | Abgasemissionen || 1 || 0 |- ! Summe !! 3 !! 2 |} Die Gewichtung stellt eine bewusste Vereinfachung dar. Ziel ist es nicht, die tatsächlichen Emissionen exakt abzubilden, sondern die unterschiedlichen Beiträge der Fahrzeugarten im Modell sichtbar zu machen. Die modellierte Feinstaubbelastung kann somit durch :<math>L = 3 \cdot V + 2 \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge, * <math>E</math> die Anzahl der Elektrofahrzeuge. Setzt man die zuvor berechneten Fahrzeugzahlen :<math>V = 644F</math> und :<math>E = 156F</math> ein, so erhält man :<math>L = 3 \cdot 644F + 2 \cdot 156F = 1932 + 312 = 2244</math> Belastungseinheiten. Die berechnete Größe besitzt keine physikalische Einheit wie beispielsweise <math>\mu g/m^3</math>, sondern dient ausschließlich als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Je höher der berechnete Wert ist, desto größer ist nach den getroffenen Modellannahmen die Feinstaubbelastung. === Vergleich des Modells mit der Realität === Ein mathematisches Modell stellt stets eine Vereinfachung der Realität dar und kann reale Zusammenhänge daher nur näherungsweise beschreiben. Die berechneten 2244 Belastungseinheiten entsprechen daher keinem direkt messbaren Feinstaubwert, sondern dienen als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Um die Aussagekraft des entwickelten Modells zu beurteilen, wird es mit realen Luftqualitätsdaten verglichen. Als Beispiel dient die folgende Übersicht des Umweltbundesamtes, die die räumliche Verteilung der PM10-Belastung in Deutschland zeigt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Feinstaub PM10 Deutschland: 2000 bis 2008 <ref> Umweltbundesamt (2024): ''Feinstaub-Belastung in Deutschland''. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/feinstaub-belastung (Zugriff am 24.06.2026). </ref> </div> [[Datei:3 karte pm10 tmw 2000 2008.png|zentriert|Anzahl der Überschreitungen des PM10-Tagesgrenzwertes in Deutschland von 2000 bis 2008. Quelle: Umweltbundesamt]] Auf der Karte ist zu erkennen, dass die Feinstaubbelastung regional unterschiedlich ausgeprägt ist. Besonders Ballungsräume und dicht besiedelte Regionen weisen häufig höhere Belastungen auf als ländliche Gebiete. Gleichzeitig wird deutlich, dass die Feinstaubbelastung von zahlreichen Einflussgrößen abhängt und nicht allein durch das Verkehrsaufkommen erklärt werden kann. Der Vergleich mit den Ergebnissen des entwickelten Modells zeigt, dass ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung grundsätzlich plausibel erscheint. Regionen mit hohem Verkehrsaufkommen weisen häufig auch erhöhte Feinstaubwerte auf. Gleichzeitig zeigen die Messdaten, dass dieser Zusammenhang allein nicht ausreicht, um die tatsächliche Feinstaubbelastung vollständig zu erklären. Die Schülerinnen und Schüler recherchieren anschließend weitere wissenschaftliche Quellen und diskutieren, ob die im Modell verwendeten Gewichtungsfaktoren die tatsächliche Feinstaubbelastung angemessen beschreiben. Hierzu können weitere wissenschaftliche Quellen recherchiert und mit den getroffenen Modellannahmen verglichen werden. Darüber hinaus werden bei der Betrachtung realer Messdaten weitere Einflussgrößen sichtbar, die im bisherigen Modell nicht berücksichtigt wurden. Dazu zählen beispielsweise: * Wind * Niederschlag * Temperatur * Topographie * Fahrzeugtypen * Verkehrsfluss * Ampeln * Industrie * Jahreszeit Der Vergleich mit realen Messdaten zeigt, dass das entwickelte Modell grundlegende Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar macht. Gleichzeitig wird deutlich, dass weitere Einflussgrößen berücksichtigt werden müssen, um die Realität genauer zu beschreiben. Die Gegenüberstellung von Modell und Realität stellt einen wichtigen Schritt im Modellierungsprozess dar. Erst der Vergleich mit realen Messdaten ermöglicht es, die Qualität eines mathematischen Modells zu beurteilen und gezielt weiterzuentwickeln. == Reflexion und Weiterentwicklung des Modells == Die entwickelte Modellierung beschreibt den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Feinstaubbelastung anhand vereinfachter Annahmen. Wie jedes mathematische Modell bildet sie die Realität jedoch nur näherungsweise ab. Bereits die Auswahl der berücksichtigten Einflussgrößen sowie die mathematische Beschreibung der Messdaten beeinflussen die Ergebnisse. Im Folgenden werden daher verschiedene Möglichkeiten vorgestellt, wie das Modell weiterentwickelt und verbessert werden kann. === Fachliche Erweiterungen === Im entwickelten Modell wurden lediglich die Fahrzeuganzahl sowie vereinfachte Gewichtungsfaktoren für verschiedene Emissionsquellen berücksichtigt. Viele Einflussgrößen, die sich auf die tatsächliche Luftqualität auswirken, bleiben zunächst unberücksichtigt. Mögliche Erweiterungen des Modells sind beispielsweise: * unterschiedliche Fahrzeugarten * wissenschaftlich begründete Gewichtungsfaktoren * Windrichtung und Windgeschwindigkeit * Topographie * reale Luftqualitätsdaten * weitere Schadstoffe (NO₂, CO₂ ...) === Mathematische Weiterentwicklung === Auch die mathematische Beschreibung des Verkehrsverlaufs kann weiterentwickelt werden. Dabei bleibt die Datengrundlage unverändert. Lediglich die Interpretation der Messwerte zwischen zwei Messzeitpunkten wird verändert. Im entwickelten Modell (Modell A) werden die innerhalb eines kurzen Messzeitraums erhobenen Verkehrsdaten auf eine Stunde hochgerechnet und als momentane Verkehrsdichte zum jeweiligen Messzeitpunkt interpretiert. Die Messpunkte werden anschließend durch Geraden miteinander verbunden. Dadurch wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Ein alternatives Modell (Modell B) besteht darin, die hochgerechnete Verkehrsdichte während der gesamten folgenden Stunde als konstant anzunehmen. Die Verkehrsdichte wird dabei durch eine Treppenfunktion beschrieben. Beträgt die hochgerechnete Verkehrsdichte beispielsweise :<math>48\,\frac{\mathrm{Fahrzeuge}}{\mathrm{h}}</math>, so ergibt sich für das Zeitintervall von 08:00 Uhr bis 09:00 Uhr :<math>\int_8^9 48\,\frac{\mathrm F}{\mathrm h}\,\mathrm dt=48\,\mathrm F</math>. Damit entspricht die Fläche unter dem Graphen in jedem Zeitintervall exakt der hochgerechneten Fahrzeuganzahl. Beim linearen Modell entsteht dagegen lediglich eine Näherung, da zwischen zwei Messzeitpunkten eine lineare Veränderung angenommen wird. Beide Modellansätze besitzen Vor- und Nachteile. Welches Modell geeigneter ist, hängt von der Fragestellung sowie von den zugrunde liegenden Annahmen ab. Während Modell A einen kontinuierlichen Verlauf beschreibt und den späteren Funktionsbegriff vorbereitet, liefert Modell B eine exakte Übereinstimmung zwischen den hochgerechneten Messwerten und der berechneten Fläche unter dem Graphen. Die Schülerinnen und Schüler können beide Modellierungen vergleichen und diskutieren, welche Annahmen den jeweiligen Modellen zugrunde liegen und welcher Ansatz die Verkehrssituation geeigneter beschreibt. === Fazit === Der Vergleich der verschiedenen Modellansätze verdeutlicht, dass mathematische Modellierung ein fortlaufender Prozess ist. Modelle werden entwickelt, überprüft, mit realen Daten verglichen und anschließend verbessert. Dabei existiert häufig nicht nur ein einziges richtiges Modell. Unterschiedliche Modellannahmen führen zu unterschiedlichen mathematischen Beschreibungen derselben Realität. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * erheben, dokumentieren und strukturieren reale Daten aus ihrer Lebenswelt. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung und Visualisierung von Daten. * interpretieren Tabellen, Diagramme und mathematische Graphen. * modellieren reale Situationen mithilfe mathematischer Darstellungen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * approximieren Flächen mithilfe der Trapezregel und interpretieren die Ergebnisse im Sachzusammenhang. * entwickeln und begründen mathematische Modelle zur Beschreibung von Umweltbelastungen. * vergleichen mathematische Modelle mit realen Messdaten und reflektieren deren Aussagekraft. * erkennen Chancen und Grenzen mathematischer Modelle. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. * erwerben Kompetenzen im Umgang mit digitalen Datenquellen und statistischen Informationen. * erfahren Mathematik als Werkzeug zur Untersuchung gesellschaftlich relevanter Fragestellungen. == Didaktik und didaktische Reduktion == Das Projekt orientiert sich an einer lebensnahen Fragestellung aus dem unmittelbaren Umfeld der Schülerinnen und Schüler. Durch die eigenständige Verkehrszählung wird ein direkter Bezug zur Lebenswelt hergestellt. Die Lernenden erleben dabei, wie reale Daten erhoben, ausgewertet und zur Beschreibung komplexer Zusammenhänge genutzt werden können. Im Mittelpunkt der Unterrichtseinheit steht der mathematische Modellierungskreislauf. Ausgehend von einer realen Situation werden Daten erhoben, mathematisch beschrieben, ausgewertet und anschließend mit realen Messdaten verglichen. Die Schülerinnen und Schüler erfahren dadurch, dass mathematische Modelle nicht die Realität selbst darstellen, sondern vereinfachte Abbilder der Wirklichkeit sind. Die mathematische Komplexität wird durch mehrere didaktische Reduktionen angepasst. Die Verkehrsdichte wird zunächst anhand weniger Messzeitpunkte erfasst und auf Stundenwerte hochgerechnet. Zwischen den Messpunkten wird eine lineare Entwicklung angenommen. Die Fläche unter dem Graphen wird mithilfe der Trapezregel angenähert, sodass die Grundidee der Integralrechnung bereits eingeführt werden kann, ohne auf formale Integrale oder Grenzwertbetrachtungen zurückgreifen zu müssen. Auch die Modellierung der Feinstaubbelastung erfolgt bewusst vereinfacht. Anstatt reale Emissionsmodelle zu verwenden, werden ausgewählte Einflussgrößen wie Reifenabrieb, Bremsabrieb und Abgasemissionen durch Gewichtungsfaktoren beschrieben. Dadurch bleibt das Modell für die Zielgruppe verständlich und ermöglicht gleichzeitig eine fachlich begründete Diskussion über die getroffenen Annahmen. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf dem Vergleich zwischen Modell und Realität. Durch die Gegenüberstellung der berechneten Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten erkennen die Schülerinnen und Schüler, dass mathematische Modelle stets Grenzen besitzen und kontinuierlich überprüft und verbessert werden müssen. Dieser Schritt stellt einen zentralen Bestandteil mathematischer Modellierungsprozesse dar. Die Unterrichtseinheit verbindet mathematische Inhalte mit Fragestellungen aus Umweltbildung, Nachhaltigkeit und gesellschaftlicher Verantwortung. Dadurch wird Mathematik nicht nur als abstrakte Wissenschaft, sondern als Werkzeug zur Analyse und Bewertung realer Probleme erfahrbar. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3l9a4qo1lipzvbkbuhkpzvg4ion9bi2 0 170387 1107159 1081039 2026-07-15T10:44:36Z Bocardodarapti 2041 1107159 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien zunächst die beiden Abbildungen zueinander isomorph. Das bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| L_1 | M_1 | L_2 | M_2 |abb12=f_1|abb34=f_2|abb13=\varphi {{netzziehziehzieh|}} |abb24=\psi}} mit bijektiven Abbildungen {{mathl|term= \varphi, \psi |SZ=}} vorliegt. Wegen {{ Relationskette | \psi \circ f_1 || f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} ist zu {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | f_1^{-1} {{makl| \psi^{-1} (w) |}} || {{makl| \psi \circ f_1 |}}^{-1} (w) || {{makl| f_2 \circ \varphi |}}^{-1} (w) || \varphi^{-1} {{makl| f_2^{-1} (w) |}} || |SZ= }} und insbesondere {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| f_1^{-1} {{makl| \psi^{-1} (w) |}} |}} || {{op:Anzahl| \varphi^{-1} {{makl| f_2^{-1} (w) |}} }} || || || |SZ=. }} Wegen der Bijektivität von {{math|term= \psi |SZ=}} ist {{mathl|term= \psi^{-1}(w) |SZ=}} einelementig. Wegen der Bijektivität von {{math|term= \varphi |SZ=}} bedeutet dies, dass die Faser zu {{math|term= f_1 |SZ=}} über {{mathl|term= \psi^{-1} (w) |SZ=}} die gleiche Anzahl besitzt wie die Faser zu {{math|term= f_2 |SZ=}} über {{math|term= w |SZ=.}} Da dies für jedes {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} gilt und jedes {{ Relationskette | y | \in | M_1 || || || |SZ= }} gleich dem Urbild zu einem {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} ist, folgt, dass die Faseranzahltupel übereinstimmen. {{parskip}} Es sei nun vorausgesetzt, dass die beiden Faseranzahltupel zu {{math|term= f_1 |SZ=}} und zu {{math|term= f_2 |SZ=}} übereinstimmen. Dies bedeutet insbesondere, dass ihre Längen und ihre Gesamtsummen übereinstimmen. Daher ist {{ Relationskette | {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{op:Anzahl|L_1|}} || {{op:Anzahl|L_2|}} || || || |SZ=. }} Wir führen Induktion über {{ Relationskette/display | m || {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | m || 1 || || || |SZ= }} sind beide Abbildungen konstant und surjektiv, und man kann für {{math|term= \varphi |SZ=}} eine beliebige Bijektion zwischen {{ mathkor|term1= L_1 |und|term2= L_2 |SZ= }} und für {{math|term= \psi |SZ=}} die einzige Abbildung zwischen den einelementigen Mengen {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= M_2 |SZ= }} nehmen. Es sei nun die Aussage für {{math|term= m |SZ=}} bewiesen und es sei {{ Relationskette | m +1 || {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || || |SZ=, }} das gemeinsame Faseranzahltupel sei {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1 | \ldots | r_m| r_{m+1} |}} |SZ=.}} Wir fixieren ein {{ Relationskette | y | \in | M_1 || || || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= f_1^{-1}(y) |SZ=}} aus {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} Elementen besteht und ein {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= f_2^{-1}(w) |SZ=}} ebenfalls aus {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} Elementen besteht. Wir betrachten {{ Relationskette | M_1' || M_1 \setminus \{y\} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | M_2' || M_2 \setminus \{w\} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | L_1' || L_1 \setminus f_1^{-1} (y) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | L_2' || L_2 \setminus f_2^{-1} (w) || || || |SZ=. }} Die Abbildungen {{mathl|term= f_1,f_2 |SZ=}} kann man zu Abbildungen {{ Abbildung |name= f_1' | L_1' | M_1' || |SZ= }} und {{ Abbildung |name=f_2' | L_2' | M_2' || |SZ= }} einschränken. Dabei entstehen die Faseranzahltupel zu {{ mathkor|term1= f_1' |bzw.|term2= f_2' |SZ= }} aus denen zu {{ mathkor|term1= f_1 |bzw.|term2= f_2 |SZ=, }} indem der letzte Eintrag {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} weggelassen wird. Insbesondere stimmen die Faseranzahltupel zu {{mathl|term= f_1',f_2' |SZ=}} wieder überein und man kann auf diese Situation die Induktionsvoraussetzung anwenden, da {{math|term= M_1' |SZ=}} und {{math|term= M_2' |SZ=}} genau {{math|term= m |SZ=}} Elemente besitzen. Es gibt also nach Induktionsvoraussetzung bijektive Abbildungen {{ Abbildung |name= \varphi' | L_1' | L_2' || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= \psi' | M_1' | M_2' || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | \psi' \circ f_1' || f_2' \circ \varphi' || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= \theta |SZ=}} eine bijektive Abbildung von {{mathl|term= f_1^{-1} (y) |SZ=}} nach {{mathl|term= f_2^{-1} (w) |SZ=,}} die es gibt, da beide Mengen die Anzahl {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} besitzen. Wir setzen {{math|term= \varphi' |SZ=}} mit Hilfe von {{math|term= \theta |SZ=}} zu einer bijektiven Abbildung {{ Abbildung |name= \varphi | L_1 | L_2 || |SZ= }} fort, und wir setzen {{math|term= \psi' |SZ=}} zu einer bijektiven Abbildung {{ Abbildung |name= \psi | M_1 | M_2 || |SZ= }} über {{ Relationskette | \psi(y) || w || || || |SZ= }} fort. Dann zeigen {{ mathkor|term1= \varphi |und|term2= \psi |SZ=, }} dass {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} isomorph sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} dj047iaufmhdekxbb7gjxkewku05sl4 0 170477 1107169 1079763 2026-07-15T10:57:32Z Bocardodarapti 2041 1107169 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die möglichen Faseranzahltupel sind {{mathl|term= (0,0,4),\, (0,1,3), \, (0,2,2) , \, (1,1,2) |SZ=.}} Zur Bestimmung der Anzahlen verwenden wir die Formel aus {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Abbildungen/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Anzahl/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} wonach die Anzahl der Abbildungen mit vorgegebenem Fasertupel gleich {{ Math/display|term= {{op:Bruch|k!| m_0 ! \cdots m_n !}} {{op:Multinomialkoeffizient|n|r_1 |r_k}} |SZ= }} ist, wobei {{math|term= m_j |SZ=}} die Anzahl angibt, wie oft der Wert {{mathl|term= j |SZ=}} im Faseranzahltupel vorkommt. {{mathl|term= (0,0,4) |SZ=.}} Dies wird durch eine konstante Abbildung realisiert, davon gibt es {{math|term= 3 |SZ=.}} {{mathl|term= (0, 1,3) |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|3!| 1 }} \cdot {{op:Bruch|4 ! | 3! }} || 6 \cdot 4 || 24 || || |SZ=. }} {{mathl|term= (0, 2,2) |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|3!| 2! }} \cdot {{op:Bruch|4 ! | 2! 2! }} || 3 \cdot 6 || 18 || || |SZ=. }} {{mathl|term= (1, 1, 2) |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|3!| 2! }} \cdot {{op:Bruch|4 ! | 2! }} || 3 \cdot 12 || 36 || || |SZ=. }} Ferner ist {{ Relationskette | 3+24+18+36 || 81 || 3^4 || || |SZ=, }} was mit der Anzahl der Abbildungen überhaupt übereinstimmt. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ansdsgvy1vopixzme7mkxszpu68f80n 0 171045 1107132 1103763 2026-07-15T08:59:57Z Bocardodarapti 2041 1107132 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Multiplikationsabbildung auf vierelementigen kommutativen Ringen. {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Faseranzahltupel| |Kontext=| |SZ= }} zur Multiplikationsabbildung {{ Abbildung/display |name= \cdot |R \times R | R || |SZ= }} für {{ Relationskette | R || {{op:Zmod| 4|}} || || || |SZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} das Faseranzahltupel zur Multiplikationsabbildung {{ Abbildung/display |name= \cdot |K \times K | K || |SZ= }} für den Körper {{math|term= K |SZ=}} mit vier Elementen. |Bestimme{{n Sie}} das Faseranzahltupel zur Multiplikationsabbildung {{ Abbildung/display |name= \cdot | S \times S | S || |SZ= }} für den Ring {{ Relationskette/display | S || {{op:Zmod| 2|}} [X]/ {{makl| X^2 |}} || || || |SZ=. }} |Sind die Multiplikationsabbildungen auf {{math|term= R,K,S |SZ=}} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Abbildung| |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} cfq1qjb6a0h4ku4fint8n4f9nfa4jy1 0 171161 1107133 1080806 2026-07-15T09:00:31Z Bocardodarapti 2041 1107133 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |Die Faser der Multiplikationsabbildung über {{math|term= 0 |SZ=}} ist {{ Math/display|term= (0,0),\,(1,0),\, (2,0),\, (3,0),\, (0,1),\, (0,2),\, (0,3),\, (2,2) |SZ=, }} die Faser der Multiplikationsabbildung über {{math|term= 1 |SZ=}} ist {{ Math/display|term= (1,1),\, (3,3) |SZ=, }} die Faser der Multiplikationsabbildung über {{math|term= 2 |SZ=}} ist {{ Math/display|term= (1,2),\, (2,1) ,\, (2,3) ,\, (3,2) |SZ=, }} die Faser der Multiplikationsabbildung über {{math|term= 3|SZ=}} ist {{ Math/display|term= (1,3),\, (3,1) |SZ=, }} das Faseranzahltupel ist also {{mathl|term= (2,2,4,8) |SZ=.}} |Die Elemente seien {{mathl|term= 0,1,x,y |SZ=.}} Die Faser der Multiplikationsabbildung über {{math|term= 0 |SZ=}} ist {{ Math/display|term= (0,0),\,(1,0),\, (x,0),\, (y,0),\, (0,1),\, (0,x),\, (0,y) |SZ=, }} die Fasern der Multiplikationsabbildung über den drei anderen Elementen, die ja Einheiten sind, sind von der Bauart {{ Zusatz/Klammer |text=Faser zu {{math|term= z |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{math/display|term= {{Mengebed| {{makl| x, x^{-1}z |}} | x \neq 0 }} |SZ=,}} sie besitzen also jeweils drei Elemente. Das Faseranzahltupel ist somit {{mathl|term= (3,3,3,7) |SZ=.}} |Die vier Elemente sind {{mathl|term= 0,1,x,1+x |SZ=,}} wobei {{math|term= x |SZ=}} die Restklasse von {{math|term= X |SZ=}} bezeichnet. Es gilt {{ Relationskette | x^2 || 0 || || || |SZ=. }} Die Faser der Multiplikationsabbildung über {{math|term= 0 |SZ=}} ist {{ Math/display|term= (0,0),\,(1,0),\, (x,0),\, (1+x,0),\, (0,1),\, (0,x),\, (0,1+x),\, (x,x) |SZ=, }} die Faser der Multiplikationsabbildung über {{math|term= 1 |SZ=}} ist {{ Math/display|term= (1,1),\, (1+x,1+x) |SZ=, }} die Faser der Multiplikationsabbildung über {{math|term= x |SZ=}} ist {{ Math/display|term= (1,x),\, (x,1) ,\, (x,1+x) ,\, (1+x,x) |SZ=, }} die Faser der Multiplikationsabbildung über {{math|term= 1+x|SZ=}} ist {{ Math/display|term= (1,1+x),\, (1+x,1) |SZ=, }} das Faseranzahltupel ist also {{mathl|term= (2,2,4,8) |SZ=.}} |Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Abbildung/Endliche Mengen/Isomorph und Faseranzahltupel/Fakt |Nr= |SZ= }} sind die Multiplikationsabbildungen von {{math|term= R |SZ=}} und von {{math|term= S |SZ=}} zueinander isomorph, aber nicht zur Multiplikationsabbidung auf {{math|term= K |SZ=.}} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} lghflkbmyebn6gr4hsqnxxaeljmyvp0 0 171353 1107081 1093225 2026-07-15T06:47:28Z Bocardodarapti 2041 1107081 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |Typ| |SZ= }} einer Permutation {{math|term= \pi |SZ=}} auf einer endlichen Menge {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tqw3uxmt255e0nyflsi7ihro7v91psn 0 171434 1107134 1093544 2026-07-15T09:01:26Z Bocardodarapti 2041 1107134 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung5 |Es seien {{ Relationskette | r_1,r_2 | \in | R || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette | r_1 r_2 || 0 || || || |SZ= }} folgt direkt {{ Relationskette/display | \varphi {{makl| r_1 }} \varphi {{makl| r_2 |}} || \varphi {{makl| r_1 r_2 |}} || \varphi {{makl| 0 |}} || 0 || |SZ=. }} Deshalb werden im Nullteilergraphen {{math|term= G |SZ=}} verbundene Knotenpunkte auf einem gemeinsamen Punkt abgebildet oder aber auf ein Punktepaar, das ebenfalls verbunden ist. Dies bedeutet schwacher Homomorphismus. |In injektiven Fall ist der Fall, dass zwei Punkte zusammenfallen, ausgeschlossen. Nach (1) liegt also ein injektiver Graphhomomorphismus vor, mit dem wir direkt {{math|term= G |SZ=}} als einen Untergraphen von {{math|term= H |SZ=}} auffassen können. Wenn in {{math|term= H |SZ=}} eine Kante zwischen {{ Relationskette | r_1,r_2 | \in | R | \subseteq | S || || |SZ= }} vorliegt, so ist {{ Relationskette | r_1 r_2 || 0 || || || |SZ= }} in {{math|term= S |SZ=,}} aber dann auch in {{math|term= R |SZ=.}} Deshalb ist {{math|term= G |SZ=}} ein voller Untergraph. |Es sei {{ Relationskette | S || 0 || || || |SZ= }} der Nullring und {{math|term= R |SZ=}} nicht der Nullring mit der Nullabbildung {{ Abbildung |name= \varphi | R | 0 || |SZ=. }} Dabei wird die Nullteilerkante zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} nicht auf eine Kante abgebildet, da die beiden Endpunkte vereinigt werden. |Dies folgt direkt aus (2). |Es sei {{ Relationskette | R || {{op:Zmod|3|}} || || || |SZ=, }} im zugehörigen Nullteilergraphen ist {{math|term= 0 |SZ=}} mit {{math|term= 1 |SZ=}} und mit {{math|term= 2 |SZ=}} verbunden. Die Vertauschung von {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= 2 |SZ=}} ist ein nichttrivialer Graphautomorphismus. Dagegen muss ein Ringautomorphismus die {{math|term= 1 |SZ=}} auf die {{math|term= 1 |SZ=}} abbilden und muss in diesem Fall bereits die Identität sein. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 8y5wwdvkcxpyvjn2v78p7wqmrfy7rgp 0 171498 1107022 1100934 2026-07-14T16:42:16Z Bocardodarapti 2041 1107022 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche separable Erweiterung/Generisch monogen/Fakt |Nr= |SZ= }} wissen wir, dass es ein {{ Relationskette | f | \in | R || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | f | \neq | 0 || || || |SZ=, }} derart gibt, dass {{ Relationskette | R_f | \subseteq | S_f || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |monogen| |Kontext=Algebra| |SZ= }} ist. Da es oberhalb von {{math|term= (f) |SZ=}} nur endlich viele Primideale in {{math|term= R |SZ=}} gibt, genügt es zu zeigen, dass in der offenen Menge {{mathl|term= D(f) |SZ=}} nur endlich viele Primideale verzweigen. Wir können also {{ Relationskette/display | S || R[x] || R[X] /(F) || || |SZ= }} direkt als monogen annehmen. Wir betrachten das von {{ mathkor|term1= F |und|term2= F' |SZ= }} erzeugte Ideal in {{mathl|term= R[X] |SZ=.}} Wegen der Separabilität der generischen Körpererweiterung erzeugen diese Polynome in {{mathl|term= K[X] |SZ=}} das Einheitsideal, was in {{mathl|term= R[X] |SZ=}} bedeutet, dass es Polynome {{math|term= P,Q |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | FP+F'Q || g | \in | R || || |SZ= }} und {{ Relationskette |g |\neq| 0 || || || |SZ= }} gibt. Dies heißt wiederum, dass in {{mathl|term= R_g[X] |SZ=}} die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen. Somit findet nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Monogene normale Erweiterung/Verzweigung/Ordnung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} auf {{mathl|term= D(g) |SZ=}} keine Verzweigung statt. Oberhalb von {{math|term= g |SZ=}} gibt es aber auch wieder nur endlich viele Primideale und die Primideale aus {{mathl|term= D(g) |SZ=}} verzweigen nicht. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eix8d6ig3uo0yb2ok7dhx8565a062hi 0 171558 1107026 1094025 2026-07-14T16:56:52Z Bocardodarapti 2041 1107026 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einer quadratischen Erweiterung kann man gut überblicken, wenn man das quadratische Reziprozitätsgesetz verwendet. Das quadratische Reziprozitätsgesetz gehört zu den Hauptresultaten der Zahlentheorie und wurde erstmals von Gauß bewiesen. Es seien {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} verschiedene ungerade Primzahlen. Es geht dann um die Frage, ob {{math|term= p |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|q|}} |SZ=}} ein Quadrat ist, also eine Quadratwurzel besitzt, oder eben nicht. Die Aussage des Satzes ist nun, dass dies in einer direkten Beziehung zu der {{Anführung|reziproken Eigenschaft}} steht, ob {{math|term= q |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} ein Quadrat ist. Es gibt eine Reihe von ziemlich verschiedenen Beweisen für diesen Satz, auch relativ elementare, siehe beispielsweise {{Netz oder Druck|[[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Vorlesung 8]].|die Einführung in die elementare und algebraische Zahlentheorie.|}} Der Nachteil dieser elementaren Beweise ist, dass sie konzeptionell eher undurchsichtig sind. Man kann die Beweise Zeile für Zeile nachprüfen, fragt sich letztlich aber dennoch, warum die Aussage überhaupt stimmt.{{{zusatz1|}}} {{ inputdefinition |Restklassenringe (Z)/Legendre Symbol/Definition|| }} Für einfache Eigenschaften des Legendre-Symbols siehe den [[Restklassenring/Z/Quadratische Reste/Ergänzungssätze/Einführung/Textabschnitt|Anhang]]. Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Quadratisches Reziprozitätsgesetz|msw=|SZ=.}} {{ inputfakt |Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Quadratischer Zahlbereich/Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Primidealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie2=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 8y9xa4znntm7jmzgrqepmuoybvpy8o3 0 171567 1107188 1094036 2026-07-15T11:57:47Z Bocardodarapti 2041 1107188 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die leere Menge besitzt kein Element, gehört also zu {{math|term= {{Mengensystem|M}} |SZ=.}} Wenn {{ Relationskette | A | \in | {{Mengensystem|M}} || || || |SZ= }} gehört, so besitzt {{math|term= A |SZ=}} höchstens {{math|term= r |SZ=}} Elemente. Jede Teilmenge {{ Relationskette | B | \subseteq | A || || || |SZ= }} besitzt ebenfalls höchstens {{math|term= r |SZ=}} Elemente und gehört daher ebenfalls zu {{math|term= {{Mengensystem|M}} |SZ=.}} Es seien nun {{ Relationskette | A,B | \in | {{Mengensystem|M}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| A |}} || {{op:Anzahl| B |}} +1 || || || |SZ=. }} Dies bedeutet insbesondere, dass {{math|term= A |SZ=}} höchstens {{math|term= r |SZ=}} Elemente besitzt, was wiederum bedeutet, dass {{math|term= B |SZ=}} höchstens {{mathl|term= r-1 |SZ=}} Elemente besitzt. Daher gibt es ein {{ Relationskette | a | \in | A \setminus B || || || |SZ= }} und {{mathl|term= B \cup \{a \} |SZ=}} besitzt höchstens {{math|term= r |SZ=}} Elemente, gehört also zu {{mathl|term= {{Mengensystem|M}} |SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} g0q6x4js9ac3x0at4eoqlkbvhl3krjk 0 171611 1107189 1097583 2026-07-15T11:58:33Z Bocardodarapti 2041 1107189 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Es sei {{math|term= v |SZ=}} ein isolierter Punkt. Dann ist die entsprechende Spalte in {{math|term= A |SZ=}} die Nullspalte und daher ist {{ Relationskette/display | A e_v || 0 || || || |SZ= }} und {{math|term= e_v |SZ=}} gehört zum Kern von {{math|term= A |SZ=.}} |Wir betrachten den linearen Graphen mit {{math|term= 3 |SZ=}} Punkten, die Adjazenzmatrix ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix33| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |}} |SZ=. }} Hier ist {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 | -1 }} |SZ=}} ein nichttriviales Kernelement. |Wir betrachten die disjunkte Vereinigung von zwei linearen Graphen mit zwei Punkten, also {{ Relationskette/display | V || \{1,2,3,4\} || || || |SZ= }} mit den Kanten {{mathl|term= \{1,2\}, \, \{3,4\} |SZ=.}} Die Adjazenzmatrix ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |0 | 1 | 0 }} |SZ=. }} Die beiden Zweierblöcke sind invertierbar, daher ist auch die Gesamtmatrix invertierbar und besitzt keinen nichttrivialen Kern. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} tbmg8ko3hse7vc64ixnq6tfzxyhry0q 0 171738 1107145 1104476 2026-07-15T09:34:29Z Bocardodarapti 2041 1107145 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Die Adjazenzmatrix {{math|term= A |SZ=}} ist die Blockmatrix aus den Blöcken {{ mathkor|term1= A_1 |und|term2= A_2 |SZ=, }} die in der Diagonalen stehen, ergänzt um Nullblöcke. |Das charakteristische Polynom zu {{math|term= G |SZ=}} ist aufgrund von Teil (1) das Produkt der beiden charakteristischen Polynome. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} dcomntzanrp28ze6dsi3wpxyxilj8d1 0 171750 1107184 1104895 2026-07-15T11:42:43Z Bocardodarapti 2041 1107184 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= In {{ Relationskette | A || {{makl| a_{uv} |}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | a_{uv} || 1 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} eine Kante von {{math|term= G |SZ=}} ist, und in {{ Relationskette | B || {{makl| b_{wz} |}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | b_{wz} || 1 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{mathl|term= \{w,z\} |SZ=}} eine Kante von {{math|term= H |SZ=}} ist. Es sei {{math|term= C |SZ=}} die Adjazenzmatrix von {{mathl|term= G \otimes H |SZ=.}} Nach Definition ist {{ Relationskette/display | C_{ (u,w) , (v,z) } || 1 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ mathkor|term1= (u,w) |und|term2= (v,z) |SZ= }} durch eine Kante verbunden sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} eine Kante in {{math|term= G |SZ=}} und {{mathl|term= \{ w,z\} |SZ=}} eine Kante in {{math|term= H |SZ=}} ist. Deshalb ist {{ Relationskette/display | C_{ (u,w) , (v,z) } || a_{uv} b_{wz} || || || |SZ=, }} was dem Kroneckerprodukt entspricht. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 8p21miyuab5udv8grkk8lkgjla8cgcp 0 171760 1107136 1104976 2026-07-15T09:07:49Z Bocardodarapti 2041 1107136 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Da die Adjazenzmatrix in der Hauptdiagonalen nur Nullen hat, ist das charakteristische Polynom gleich der Determinante der {{math|term= n \times n |SZ=-}}Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| x | -a_{12} | \ldots | -a_{1n} | -a_{12} | x | \ddots | -a_{2 n} | \vdots | \ddots | \ddots | \vdots | -a_{1 n} | \ldots | -a_{n-1 n} | x |}} |SZ=, }} wobei die {{mathl|term= a_{ij} |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} oder gleich {{math|term= 1 |SZ=}} sind. Nach dem Entwicklungssatz kommt der Faktor {{math|term= x^n |SZ=}} vor. Die anderen Summanden ergeben sich durch Multipikation von {{mathl|term= \pm a_{1i} |SZ=}} mit der Streichungsmatrix. In deren Determinante kommt höchstens die {{math|term= n-2 |SZ=-}}te Potenz von {{math|term= x |SZ=}} vor. Deshalb ist der Koeffizient vor {{math|term= x^{n-1} |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} |Es sei {{ Relationskette/display | P || {{makl| x- \lambda_1 |}} \cdots {{makl| x- \lambda_n |}} || || || |SZ= }} die Faktorzerlegung des charakteristischen Polynoms, wobei die {{math|term= \lambda_i |SZ=}} die Eigenwerte {{ Zusatz/Klammer |text=mit Wiederholungen| |ISZ=|ESZ= }} sind. Wenn man dies ausmultipliziert, so ergibt sich {{ Relationskette/display | P || x^n + {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^n \lambda_i |}} x^{n-1} + \ldots || || || |SZ=. }} Nach Teil (1) muss also die Summe der Eigenwerte gleich {{math|term= 0 |SZ=}} sein. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} o2l378w2up8lwj5cnmas15k25lw86p3 0 171796 1107175 1105090 2026-07-15T11:14:07Z Bocardodarapti 2041 1107175 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 | {{math|term= \, |SZ=}} |Kartoffeln in Beet {{math|term= E |SZ=,}} Radieschen in Beet {{math|term= D |SZ=,}} Tulpen in Beet {{math|term= A |SZ=.}} Für die Zwiebeln gibt es dann keine Möglichkeit mehr. |Kartoffeln in Beet {{math|term= E |SZ=,}} Radieschen in Beet {{math|term= B |SZ=,}} Tulpen in Beet {{math|term= A |SZ=,}} Zwiebeln in Beet {{math|term= D |SZ=.}} |Das Beet {{math|term= C |SZ=}} wird bei (3) nicht besetzt, dort kann man eine Pflanze einsetzen, die sonniges Licht und einen sauren Boden bevorzugt und die es trocken mag. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ljvyofptwagd1wt2ai9dk9odtm0i01d 0 171823 1107135 1105193 2026-07-15T09:02:14Z Bocardodarapti 2041 1107135 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | H || (W,F) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | e || \{u,v\} || || || |SZ=. }} Wir beschreiben eine explizite Bijektion {{ Abbildung/display |name= | \operatorname{Hom} (G \setminus \{ e\} , H) | \operatorname{Hom} (G , H) \uplus \operatorname{Hom} (G/e , H) || |SZ=. }} Es sei {{ Abbildung/display |name= f | V | W || |SZ= }} ein Graphhomomorphismus von {{mathl|term= G \setminus \{ e\} |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=.}} Wir unterscheiden die beiden Fälle, ob {{ Relationskette | f(u) | \neq | f(v) || || || |SZ= }} ist oder nicht. Im ersten Fall kann man {{math|term= f |SZ=}} direkt als einen Graphhomomorphismus von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=}} auffassen, da ja die einzige zusätzliche Kantenbedingung erfüllt ist, weil {{math|term= H |SZ=}} vollständig ist. Bei {{ Relationskette | f(u) || f(v) || || || |SZ= }} erhält man eine wohldefinierte Abbildung von {{mathl|term= V/e |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der Quotientenmenge, bei der {{ mathkor/k|term1= u |und|term2= v |SZ= }} identifiziert werden| |ISZ=|ESZ= }} nach {{math|term= W |SZ=,}} die ein Graphhomomorphismus von {{mathl|term= G/e |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=}} ist. Diese Gesamtabbildung ist offenbar injektiv. Zur Surjektivität. Wenn {{ Abbildung |name= f | V | W || |SZ= }} ein Homomorphismus von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=}} ist, so ist es direkt auch ein Homomorphismus von {{math|term= G \setminus \{e\} |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=.}} Wenn {{ Abbildung |name= f | V/e | W || |SZ= }} ein Homomorphismus von {{math|term= G /e |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=}} ist, so kann man es als eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= | V | W || |SZ= }} mit {{ Relationskette | f(u) || f(v) || || || |SZ= }} auffassen. Dies ist dann wiederum ein Homomorphismus von {{math|term= G / e |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 8p6oyvplfa7ptndf0tu1uvhf9r27ukl 0 171839 1107082 1105296 2026-07-15T06:56:10Z Bocardodarapti 2041 1107082 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |Ein Rundgang. |Der vollständige Graph mit {{math|term= 4 |SZ=}} Knoten ist hamiltonsch, aber nicht eulersch, da die Punkte den Grad {{math|term= 3 |SZ=}} besitzen. |{{ inputbild |Butterfly graph|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} Dieser Graph ist nicht hamiltonsch, da der Kreuzungspunkt doppelt durchlaufen werden müsste. |{{ inputbild |4 Node Not-Biconnected|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} Dieser Graph ist aufgrund des Blattes nicht hamiltonsch und aufgrund des Punktes mit Grad {{math|term= 3 |SZ=}} nicht eulersch. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} gdugi517g2btfbn95498sgdfuk8ygxm 106 171867 1107124 1106826 2026-07-15T08:45:22Z Nils Huck 41520 /* Realer Modellierungszyklus */ 1107124 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> jctl06gxipzvgd8iok1l332a6ln37p5 1107130 1107124 2026-07-15T08:57:01Z Nils Huck 41520 /* Realer Modellierungszyklus */ 1107130 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" (die Differenz zwischen den Flächen) ist hier an allen Punkten negativ. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). Die Differenz zwischen den beiden Flächen stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] lqavrz21xbo9a05r70lwduvqu9zzt4g 1107142 1107130 2026-07-15T09:31:54Z Nils Huck 41520 /* Realer Modellierungszyklus */ 1107142 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann. Nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative zahlen ein höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand, in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten, dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) massiv überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. Der "Nutzen" ist hier an fast allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Nach zehn Jahren zeigt sich ein deutlicher Wandel. Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zu Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach 10 ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> pq3qysxcongxhxv7z2eo98p84ok0oii 1107186 1107142 2026-07-15T11:55:19Z Nils Huck 41520 /* Realer Modellierungszyklus */ 1107186 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] [[File:Code zur Berechnung der Matrix B in Octave.png|thumb|Bildschirmaufnahme des Codes in Octave|400px|center]] [[File:Ausgabe der Matrix B.png|thumb|die mit Hilfe des Codes in Octave berechnete Matrix B|400px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachte. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann. Nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative zahlen ein höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand, in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten, dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zu Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach 10 ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> q9jtbqd0xi43kkjgg02e3lf2wenylib 106 171930 1107063 1106813 2026-07-14T20:05:24Z ~2026-38319-60 41704 /* Wählen der Physik */ 1107063 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen 4m x 5m x 2,5 m. Der Raum wurde relativ klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst klein zu halten. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 1.95m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig mit momentan einer Sekunde als Intervall. Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 6h6z8koz9k6dazi289rcc0qr8rysgqf 1107093 1107063 2026-07-15T07:38:08Z ~2026-38319-60 41704 /* Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch */ 1107093 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von **7 · 10⁻⁶ m²/s** (entspricht **0,07 cm²/s**) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen 4m x 5m x 2,5 m. Der Raum wurde relativ klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst klein zu halten. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 1.95m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig mit momentan einer Sekunde als Intervall. Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). fyf4hyqypqf90zcqt3yoelq8tmgm622 1107095 1107093 2026-07-15T07:38:58Z ~2026-38319-60 41704 /* Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch */ 1107095 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen 4m x 5m x 2,5 m. Der Raum wurde relativ klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst klein zu halten. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 1.95m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig mit momentan einer Sekunde als Intervall. Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). j42myyn4zts3j6kyac5gyq32j8gwyq1 1107098 1107095 2026-07-15T07:42:00Z ~2026-38319-60 41704 /* offenes Fenster im geschlossenen Raum */ 1107098 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen 4m x 5m x 2,5 m. Der Raum wurde relativ klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst klein zu halten. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 1.95m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig mit momentan einer Sekunde als Intervall. Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 9vg1uxn6qgi4wttt2g2dn81zdj2y74v 1107113 1107098 2026-07-15T08:25:57Z ~2026-38319-60 41704 /* Geometrie-Erstellung */ 1107113 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen 4m x 5m x 2,5 m. Der Raum wurde relativ klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst klein zu halten. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 1.95m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. * '''Raum mit Fenster:''' ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig mit momentan einer Sekunde als Intervall. Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 9t6m2pirf7p76oqajm3t57e4vq6uxmg 1107118 1107113 2026-07-15T08:40:40Z Magro96 41690 /* Geometrie-Erstellung */ 1107118 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen 4m x 5m x 2,5 m. Der Raum wurde relativ klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst klein zu halten. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 1.95m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Raum mit Fenster.png|thumb|Raum mit Fenster]] [[File:Zufluss durch das Fenster.png|thumb|Zufluss durch das Fenster]] * '''Raum mit Fenster:''' Der Raum wurde mit einem Fenster versehen, um die Rauchentwicklung mit einem geschlossenem Raum vergleichen zu können. Hier kommt nun noch ein Zufluss von außen (Wind) in den Raum hinzu. ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig mit momentan einer Sekunde als Intervall. Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). tcxm125shq9ladtjmr6cua7dumhktn2 1107119 1107118 2026-07-15T08:42:15Z Magro96 41690 /* Geometrie-Erstellung */ 1107119 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen 4m x 5m x 2,5 m. Der Raum wurde relativ klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst klein zu halten. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 1.95m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Zufluss durch das Fenster.png|thumb|Zufluss durch das Fenster]] * '''Raum mit Fenster:''' Der Raum wurde mit einem Fenster versehen, um die Rauchentwicklung mit einem geschlossenem Raum vergleichen zu können. Hier kommt nun noch ein Zufluss von außen (Wind) in den Raum hinzu. ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig mit momentan einer Sekunde als Intervall. Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 28os136lzbowudsbe1es1yftff3xdqn 1107120 1107119 2026-07-15T08:42:44Z Magro96 41690 /* Geometrie-Erstellung */ 1107120 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''mit der Formel nachschauen und abändern''' '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird der '''Nebenstromrauch''', sich ausbreitender Rauch einer qualmenden Zigarette, nicht berücksichtigt. Modelliert wird der '''Hauptstromrauch''' im Sinne des Zigarettenrauchs, der beim Ausatmen um einen Raucher entsteht. ==Wählen der Dimension== '''2D:''' * Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene. Vernachlässigung senkrechter Strömungen. Luft als inkompressibles Fluid. Dichte und Viskosität können aufgrund geringer * Strömungsgeschwindigkeit konstant * Laminare Strömung * Zigarettenrauch wird durch die Luftströmung transportiert. '''3D:''' Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ==Wählen der Physik== Die Modellierung erfolgt mit '''laminarer Strömung'''. Begründung sowie Abwägung Vor- und Nachteile vgl. Diskussion unten. Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden: ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. ==Geometrie-Erstellung== Es wird ein quaderförmiger Raum modelliert in welchem zwei erwachsene Personen angeordnet sind. Einer der Personen ist Raucher, der andere Nicht-Raucher. Die rauchende Person kennzeichnet sich durch einen aufmodellierten Mund aus, aus welchem Rauch in den Raum ausgeatmet wird. Ziel ist die Ausbreitung des Rauchs unter verschiedenen Bedingungen nachvollziehen zu können. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Raum:''' Der Raum besteht aus einem Quader mit den Maßen 4m x 5m x 2,5 m. Der Raum wurde relativ klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst klein zu halten. [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] * '''Modellierung Raucher und Nicht-Raucher im Raum:''' Die Köpfe der Personen werden durch je eine Kugel, die Körper durch ein Ellipsoid und die Hälse aus einem Zylinder modelliert. Beide Personen sind mit einer Körpergröße von 1.95m gleichgroß. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] Wie in Bild ''"Modell als Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)"'' zu erkennen ist, wurde der Mund des Rauchers zusätzlich mit einer Kugel modelliert. Diese bildet den Ausgangspunkt des in den Raum abweichenden Rauchs. [[File:Zufluss durch das Fenster.png|thumb|Zufluss durch das Fenster]] * '''Raum mit einem Fenster:''' Der Raum wurde mit einem Fenster versehen, um die Rauchentwicklung mit einem geschlossenem Raum vergleichen zu können. Hier kommt nun noch ein Zufluss von außen (Wind) in den Raum hinzu. ==Material-Auswahl== Als Material soll Luft in COMSOL gewählt werden, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauchs. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==Art der Studie== Zeitabhängig mit momentan einer Sekunde als Intervall. Die Ausatmungsgeschwindigkeit des Rauchs wird mit 0,15 m/s simuliert. ==Gittermesh== Durch die turbulenten Eigenschaften des Rauchs soll das Gitter partiell feiner und an anderen Stellen des betrachteten Raums gröber sein. So lässt sich der hohe Rechenaufwand nur für wichtige Betrachtungen der Rauchausbreitung im Raum reduzieren. = Ergebnisse = = Diskussion = Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Insgeheim wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung gegeben ist. Da für die Modellation ohnehin nur die laminare Strömung zur Verfügung steht und wir einen geschlossenen Raum ohne Klimanalage und zunächst auch ohne Fenster betrachten, reicht diese Physik aus. Wind, verursacht durch ein offenes Fenster oder die Modellation im Freien, würde sich auf die Konzentration und Ausbreitung des Rauchs auswirken. -> Laminare Strömung ist nicht ideal, aber ausreichend für diese Modellation. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 35j2ux2m2z8xinfyedbz9hwww4mzr8b 0 171935 1107111 1106034 2026-07-15T08:23:18Z Bocardodarapti 2041 1107111 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | V || A \uplus B || || || |SZ= }} eine bipartite Zerlegung und sei {{ Relationskette | a | \in | A || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass durch diese Anfangbedingung die Aufteilung bereits festgelegt ist. Alle Nachbarn von {{math|term= a |SZ=}} müssen zu {{math|term= B |SZ=}} gehören. Alle Nachbarn von diesen Elementen müssen wieder zu {{math|term= A |SZ=}} gehören. 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