Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.11 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 2464 1108014 1066746 2026-07-19T13:05:50Z ~2026-40551-35 41729 1108014 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Infobox Biologie''' | [[Bild:White_lipped_tree_frog_cairns_jan_8_2006.jpg|250px]] | '''BioBlog''' |<p> Neuigkeiten, Artikel, Zeitungsmeldungen - alles zu finden im [[Fachbereich Biologie/Blog|Fachbereichs-Blog]]. &nbsp;</p> | '''Gedankenaustausch''' | <p>Für den Gedankenaustausch zu Themen aus dem Bereich Biologie gibt es das [[Kolloquium Biologie]]. Dort können auch fachspezifische Fragen gestellt werden. &nbsp;</p> | '''Lehrmaterial''' | <p> * {{b|Pharmakologie und Toxikologie}} * {{b|Lehrbuch der Biochemie}} * {{b|Medizinische Mikrobiologie}} * {{b|Biologie für Mediziner}} * {{b|Regal:Biologie}} * [[Image:Wikibooks-logo.svg|18px]] [[b:en:Wikibooks:Biology_bookshelf|Regal:Biologie (Englisch)]] &nbsp;</p> | '''Mitglieder (Interessenten) des Fachbereichs''' | <p> * [[Benutzer:GrummelMC|GrummelMC]] * [[Benutzer:Almeida|Almeida]] * [[Benutzer:xtc.sanchez|xtc.sanchez]] * [[Benutzer:x.learner.x|x.learner.x]] * [[Benutzer:Cerox|Cerox]] * [[Benutzer:Cebe|Cebe]] * [[Benutzer:Micha-bs|Micha-bs]] * [[Benutzer:GeoBasti|GeoBasti]] * [[Benutzer:Souly|Souly]] * [[Benutzer:Hennyboy|Hennyboy]] * [[Benutzer:Bodhi-Baum|Bodhi-Baum]] * [[Benutzer:Noisma|Noisma]] * [[Benutzer:Turnvater Jahn|Turnvater Jahn]] * [[Benutzer:Gismo78|Gismo78]] * [[Benutzer:Mojo|Mojo]] * [[Benutzer:B.Mothes|B.Mothes]] * [[Benutzer:Ehrenstein|Ehrenstein]] * [[Benutzer:Cloud forest|Cloud forest]] * Du? &nbsp; </p>}} ---- < [[Alma Mater]] {| class="wikitable" style="background:#cfebc1;" |+ <big><big><big><big>[[Wikiversity:Willkommen|Willkommen]]!</big></big></big></big> |- | {| class="wikitable" style="background:#e0b0d0; width:100%;" |- | <big>"Wenn Du Ideen hast, wie dieser Bereich voran getrieben werden kann, Du neue Kurse erstellen oder Dich an der Schaffung eines gerade entstehenden Kurses beteiligen willst, oder wenn Du ein eigenes Forschungsprojekt starten möchtest und dafür noch andere Leute suchst, kannst Du sofort damit loslegen. Dies ist ein [[w:Wiki|Wiki]] - jede und jeder kann und soll daran mitarbeiten, denn nur so können wir Umfang und Qualität her- und sicherstellen."<br> "Du bist natürlich auch herzlich Willkommen, beim <mark>[[Kolloquium Biologie]]</mark> reinzuschauen - dem Platz für alle fachlichen Fragen und Diskussionen."</big> |} {| class="wikitable" style="background:#e0b0d0; width:100%;" |+ <big><big><big><big>[[Natur|Natura]]</big></big></big></big> |- | * <big><big>[[Natur|♣]]</big></big> [[Flora]] von / {{DEU|#}} [[Uniflora/Deutschland|Deutschland]] / * <big><big>[[Natur|♠]]</big></big> [[Funga]] von / {{DEU|#}} [[Unifunga/Deutschland|Deutschland]] / * <big><big>[[Natur|♥]]</big></big> [[Fauna]] / ... / [[Unifauna/Reptilia (Kriechtiere)|Reptilia (Kriechtiere)]] / [[Unifauna/Aves (Vögel)|Aves (Vögel)]] / [[Unifauna/Mammalia (Säugetiere)|Mammalia (Säugetiere)]] |} {| class="wikitable" style="background:#e0b0d0;" |+ <big><big><big><big>[[Biologie]]</big></big></big></big> |- | style="text-align:center;"| <big><big>[[Mikrobiologie]] | [[Meeresbiologie]] | [[Botanik]] | [[Mykologie]] | [[Inaktiv:Zoologie|Zoologie]] | [[Humanbiologie]] | [[Exobiologie]] | [[Biochemie]] | [[Biophysik]] | [[Bioinformatik]] | [[Molekularbiologie]] | [[Inaktiv:Cytologie|Zellbiologie]] | [[Entwicklungsbiologie]] | [[Physiologie]] | [[Genetik]] | [[Neurowissenschaften|Neurobiologie]] | [[Verhaltensbiolologie]] | [[Naturschutzbiologie]] | [[Ökologie]] | [[Evolution]] und [[Systematik]] | [[Synthetische Biologie]] | [[Thereotische Biologie]]</big></big> |} {| class="wikitable" style="background:#e0b0d0;" |+ <big><big><big><big>[[Fachbereich Biologie/Studienort|Studienort]]</big></big></big></big> |- | [[Fachbereich Biologie/Studienort#1|Aachen]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#2|Bayreuth]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#3|Berlin]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#4|Bielefeld]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#5|Bingen]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#6|Bochum]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#7|Bonn]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#8|Braunschweig]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#9|Bremen]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#10|Darmstadt]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#11|Dortmund]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#12|Dresden]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#13|Duisburg-Essen]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#14|Düsseldeorf]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#15|Erlangen-Nürnberg]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#16|Flensburg]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#17|Frankfurt am Main]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#18|Freiburg]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#19|Gelsenkirchen]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#20|Gießen]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#21|Göttingen]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#22|Greifswald]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#23|Halle-Wittenberg]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#24|Hamburg]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#25|Hannover]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#26|Heidelberg]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#27|Hildesheim]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#28|Idstein]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#29|Jena]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#30|Kaiserslautern]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#31|Karlsruhe]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#32|Kassel]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#33|Kiel]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#34|Koblenz-Landau]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#35|Köln]] - [[Fachbereich Biologie/Studienort#36|Konstanz]] - - [[Fachbereich Biologie/Studienort#37|Stuttgart]] |} |} == Kurse == *[[Bionik]] == Literatur == * Neil A. Campbell: ''Biologie'' Spektrum Akademischer Verlag, 6. Auflage (April 2003), ISBN 978-3827413529 * H.Lodisch: ''Molekulare Zellbiologie'' Spektrum Akademischer Verlag, 4. Auflage , ISBN 3-8274-1077-0 * Rüdiger Wehner, Walter Gehring: ''Zoologie'' Thieme, Stuttgart Verlag, 11. Auflage (Juni 2007), ISBN 978-3137727248 * Wilhelm Nultsch: ''Allgemeine Botanik'' Thieme, Stuttgart Verlag, 24. Auflage (Februar 2001), ISBN 978-3133833110 * David L. Nelson: ''Lehninger Biochemie'' Springer, Berlin, 3. Auflage (September 2001), ISBN 978-3540418139 ==Verwandte Wikimedia-Projekte zum Thema Biologie== * {{b|Regal:Biologie|Wikibooks: Regal Biologie}} – Bibliothek * {{w|Biologie|Wikipedia-Artikel: Biologie}} * {{w|Kategorie:Biologie|WP-Kategorie: Biologie}} * {{w|Portal:Biologie|WP-Portal: Biologie}} * {{w|Portal:Lebewesen|WP-Portal: Lebewesen}} * {{c|Category:Biology|Commons: Biologie}} – Bilder, Videos und Audiodateien * {{n|Kategorie:Biologie|Wikinews: Biologie}} – Wikinews * {{q|Biologie|Wikiquote: Biologie}} – Zitate * {{Wk|Biologie|Wiktionary: Biologie}} – Wortherkunft, Synonyme und Übersetzungen * {{s|Kategorie:Biologie|Wikisource: Biologie}} – Quellen * [[Bild:Wikispecies-logo.svg|20px|left]] [[Wikispecies:Hauptseite]] == Weblinks == * [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/entrez/query.fcgi?db=PubMed NCBI Homepage] - Literatursuche * [http://laborjournal.de/ Laborjournal online] * [http://tolweb.org/tree/ Tree of Life Web Project] * [https://www.gbif.de Deutscher Knoten der Global Biodiversity Information Facility (GBIF)] * [http://www.dnalc.org/home.html DNA Learning Center] * [http://www.dnalc.org/ddnalc/student_camps/ Student Campus - Fun with DNA] * [https://open-access.net/ open-access.net] Internetplattform der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) - Informationen rund ums Online-Publishing * [http://www.mikroskopie.de/index.php Mikroskopie.de] * [http://timms.uni-tuebingen.de/Browser/Browser01.aspx?path=%2fUniversit%c3%a4t+T%c3%bcbingen%2fFakult%c3%a4t+f%c3%bcr+Biologie%2f Timms - Tübinger Internet MultiMedia Server: Vorlesungen der Tübinger Biofakultät] * [http://www.eol.org/ Encyclopedia of Life] Auf dieser Plattform soll sämtliches Wissen über die 1,8 Millionen bekannten Tier- und Pflanzenarten frei zugänglich gemacht werden * [http://groups.google.com/group/HAPLIF-BLOGGING_Deutsch/web/definitionsversuch-evolutionrer-humanismus Evolutionärer Humanismus - Definitionsversuch] * [https://www.lichtmikroskop.net Lichtmikroskop.net] * [http://www.mikroskop-test.com/ Mikroskop Informationsportal] == Externe Forschungsprojekte == Im Bereich [[Fachbereich Biologie/Forschungsprojekte|Forschungsprojekte]] können Informationen zu eigenen aktuellen und abgeschlossenen Forschungsprojekten eingestellt werden. Die Projekte, ihre Ziele und Ergebnisse werden vorgestellt und somit anderen zugänglich gemacht. Diese können entsprechendes Feedback zu den Projekten geben, nachfragen und Verbesserungen vorschlagen. Auf diese Weise sollen die Projekte schneller vorangebracht werden und einem größeren Publikum vorgestellt werden. == weitere Seiten == * [[/Projektvorschläge|Projektvorschläge]] {{Vorlage:Navigationsleiste Fachbereiche}} [[Kategorie:Fachbereich Biologie|!]] [[Kategorie:Fach:Biologie|!]] [[Kategorie:Inaktiv]] 9qy5xp2i9mcknqudf4l6yfca8z2d8u0 0 10666 1108124 1045516 2026-07-20T11:08:33Z Bocardodarapti 2041 1108124 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die erste Aussage folgt direkt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname=Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt |SZ=. }} Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass, wenn {{ Relationskette/display | a || u \cdot p_1 \cdots p_k || v \cdot q_1 \cdots q_m || || |SZ= }} zwei Primfaktorzerlegungen sind, dann {{ Relationskette | k || m || || || |SZ= }} ist und es eine Permutation {{math|term= \tau |SZ=}} auf {{mathl|term= {{Menge1k}} |SZ=}} derart gibt, dass {{math|term= p_i |SZ=}} und {{math|term= q_{\tau(i)} |SZ=}} für alle {{ Relationskette | i | \in | {{Menge1k}} || || || |SZ= }} assoziiert sind. Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über {{math|term= k |SZ=.}} Es sei zuerst {{ Relationskette | k || 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das sei zugelassen| |ISZ=|ESZ=. }} Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was {{ Relationskette | m || 0 || || || |SZ= }} bedeutet. Es sei also {{ Relationskette | k | > | 0 || || || |SZ= }} und die Aussage sei für alle kleineren {{math|term= k |SZ=}} bewiesen. Die Gleichung {{math|term= (*) |SZ=}} bedeutet insbesondere, dass {{math|term= p_k |SZ=}} das Produkt rechts teilt. Da {{math|term= p_k |SZ=}} prim ist, muss {{math|term= p_k |SZ=}} einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass {{math|term= q_m |SZ=}} von {{math|term= p_k |SZ=}} geteilt wird. Da {{math|term= q_m |SZ=}} ebenfalls prim ist, sind {{math|term= q_m |SZ=}} und {{math|term= p_k |SZ=}} assoziiert. Also ist {{ Relationskette/display | q_m || wp_k || || || |SZ= }} mit einer Einheit {{math|term= w |SZ=}} und man kann die Gleichung {{math|term= (*) |SZ=}} nach {{math|term= p_k |SZ=}} kürzen und erhält {{ Relationskette/display | u \cdot p_1 \cdots p_{k-1} || (vw) \cdot q_1 \cdots q_{m-1} || || || |SZ=. }} Die Induktionsvoraussetzung liefert dann {{ Relationskette | k-1 || m-1 || || || |SZ= }} und dass jedes {{math|term= p_i |SZ=}} zu einem {{math|term= q_j |SZ=}} assoziiert ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 28u9ze4d7xkxrpuenb5xdihiod41ftm 0 12790 1108089 1087014 2026-07-20T09:05:56Z Bocardodarapti 2041 1108089 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette | s_i | \in | S_+ || || || |SZ= }} durch die Bedingung {{ Relationskette/display | i k || \epsilon_i s_i \mod p || || || |SZ= }} festgelegt. Wir betrachten alle Vielfachen {{math|term= j k |SZ=,}} {{ Relationskette | j | \in | S || {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| p |}} |}} || || |SZ=. }} Die Menge all dieser Vielfachen ist selbst ganz {{math|term= S |SZ=,}} da ja {{math|term= k |SZ=}} eine Einheit und daher die Multiplikation mit {{math|term= k |SZ=}} eine Bijektion ist. Es ist {{ Relationskette | (-i) k || -ik || - \epsilon_i s_i || || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | i | \in | S_+ || \{1,\ldots, t\} || || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette | S_+ || \{1 {{kommadots|}} t \} || \{s_1, \ldots ,s_t\} || || || || |SZ=. }} Deshalb gilt {{ Relationskette | t! || \prod_{i {{=|}} 1}^t s_i || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display/druckalign | t! k^t || {{makl| \prod_{i {{=|}} 1}^t i |}} {{makl| \prod_{i {{=|}} 1}^t k |}} || \prod_{i {{=|}} 1}^t i k || \prod_{i {{=|}} 1}^t \epsilon_i s_i || {{makl| \prod_{i {{=|}} 1}^t \epsilon_i |}} {{makl| \prod_{i {{=|}} 1}^t s_i |}} || {{makl| \prod_{i {{=|}} 1}^t \epsilon_i |}} t! \mod p |SZ=. }} Durch Kürzen mit {{math|term= t! |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das ist eine Einheit| |ISZ=|ESZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/display | k^t || \prod_{i {{=|}} 1}^t \epsilon_i \mod p || || || |SZ=, }} und {{ Faktlink |Präwort=das|Euler-Kriterium|Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt |Nr= |SZ=, }} nämlich {{ Relationskette/display | k^t || k^{\frac{p-1}{2} } || {{op:Legendre-Symbol| k |p}} \mod p || || |SZ=, }} liefert das Ergebnis. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Vorzeichen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ov7wufqma0xbstbxst4fu24w5t1gua3 0 13909 1108090 460199 2026-07-20T09:06:16Z Bocardodarapti 2041 1108090 wikitext text/x-wiki Es sei <math>s_i \in S_+</math> durch die Bedingung :<math> i k =\epsilon_i s_i \mod p </math> festgelegt. Wir betrachten alle Vielfachen <math>j k</math>, <math>j \in S= (\Z/(p))^ \times </math>. Die Menge all dieser Vielfachen ist selbst ganz <math>S</math>, da ja <math>k </math> eine Einheit und daher die Multiplikation mit <math>k</math> eine Bijektion ist. Es ist <math>(-i) k = -ik = - \epsilon_i s_i </math> für <math>i \in S_+=\{1,\ldots, t\}</math>. Daher ist <math>S_+ = \{1, \ldots ,t \} =\{s_1, \ldots ,s_t\}</math>. Deshalb gilt <math>t! = \prod_{i=1}^t s_i</math> und somit :<math> t! k^t</math> [[/Grund 1|=]] <math>(\prod_{i=1}^t i )(\prod_{i=1}^t k)</math> [[/Grund 2|=]] <math>\prod_{i=1}^t i k </math> [[/Grund 3|=]] <math>\prod_{i=1}^t \epsilon_i s_i</math> [[/Grund 4|=]] <math>(\prod_{i=1}^t \epsilon_i) (\prod_{i=1}^t s_i)</math> [[/Grund 5|=]] <math>(\prod_{i=1}^t \epsilon_i) t! \mod p </math>. Durch Kürzen mit <math>t!</math> (das ist eine Einheit) ergibt sich <math> k^t = \prod_{i=1}^t \epsilon_i \mod p </math>, und das [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt mit Beweisklappe|Eulersche Kriterium]], nämlich <math> k^t = k^{\frac{p-1}{2}} = \left(\frac{k}{p}\right) \mod p </math>, liefert das Ergebnis.<noinclude> [[Kategorie:Fachbereich Mathematik/Einzelgründe]]</noinclude> 051t71yku00bmr1aa6dhes06iqvf0by 0 16178 1108113 1106771 2026-07-20T11:00:39Z Bocardodarapti 2041 1108113 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt |SZ= }} besagt in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt |SZ=, }} dass, wenn man bei einem Dedekindbereich und speziell einem Zahlbereich {{math|term= R |SZ=}} zur Lokalisierung {{math|term= R_{{idealm|}} |SZ=}} an einem maximalen Ideal {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} übergeht, dort die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0wape9labfiptaarcqksrlfsa1utb82 106 18378 1108101 707073 2026-07-20T10:50:32Z Bocardodarapti 2041 1108101 wikitext text/x-wiki <div class="Aufgaben"> {{inputaufgabe|Polynomring in drei Variablen/Z/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe|p}} {{inputaufgabe|Polynomring in zwei Variablen/Z mod 5/Multipliziere x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 und x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2/Aufgabe|p}} {{inputaufgabe|Integritätsbereich/Polynomring/Einheiten/Aufgabe|p|zusatz=Zeige auch, dass diese Aussage nicht für beliebige kommutative Ringe gilt.}} {{inputaufgabe|Polynomring/Eine Variable/Z mod 7/Polynomdivision X^4+5X^2+3 durch 2X^2+X+6/Aufgabe|p}} {{inputaufgabe|Polynomring/Eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe|p}} {{inputaufgabe|Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakterisierung mit Linearfaktoren/Fakt/Beweis/Aufgabe|3}} {{inputaufgabe|Algebraisch abgeschlossener Körper/Unendlich/Aufgabe|p}} {{inputaufgabe|Ebene algebraische Kurven/Kreisgleichung/Punkte über endlichen Körpern/K ist F_2, F_5, F_11/Aufgabe|p}} <noinclude>[[Kategorie:Theorie der algebraischen Kurven/Arbeitsblätter]]</noinclude> </div> hy2mkkza3b43u3kvc8afq5udag7zup4 0 18762 1108095 833236 2026-07-20T09:11:11Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Polynomring in drei Variabeln/Z/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe]] nach [[Polynomring in drei Variablen/Z/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 833236 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Multipliziere in {{mathl|term= \Z[x,y,z]}} die beiden Polynome {{ Math/display|term= x^5+3x^2y^2-xyz^3 \text{ und } 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem kommutativen Ring |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2gzq4mxc5dp3g2jozuise18kjns75ih 0 22058 1108135 1100334 2026-07-20T11:17:40Z Bocardodarapti 2041 1108135 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Einheitskreis {{ Relationskette/display |S^1 || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| x^2+y^2{{=|}}1}} || || || |SZ=. }} Dieser wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert. Diese ordnen einem Winkel {{ Relationskette | \alpha | \in | [0, 2 \pi) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der {{math|term= x |SZ=-}}Achse, gegen den Uhrzeigersinn| |SZ= }} den zugehörigen Punkt {{ Math/display|term= (\cos \alpha, \sin \alpha) |SZ= }} auf dem Kreisbogen zu. Eine gleichmäßige Unterteilung des Intervalls {{mathl|term= [0, 2 \pi] |SZ=}} in {{math|term= n |SZ=}} gleichgroße Stücke, die durch die Grenzen {{ Math/display|term= 0,\, \frac{2 \pi}{n},\,2\frac{2 \pi}{n},\,3 \frac{2 \pi}{n} {{kommadots|}} (n-1) \frac{2 \pi}{n},\, n\frac{2 \pi}{n}=2 \pi |SZ= }} gegeben sind, führt zu einer gleichmäßigen Unterteilung des Kreises mit den Eckpunkten {{ Math/display|term= (1,0),\, {{op:Zeilenvektor| \cos \frac{2 \pi}{n} | \sin \frac{2 \pi}{n}||}} ,\, {{op:Zeilenvektor| \cos 2\frac{2 \pi}{n} | \sin 2\frac{2 \pi}{n} }},\, {{mathbruch|}} {{op:Zeilenvektor| \cos 3 \frac{2 \pi}{n} | \sin 3 \frac{2 \pi}{n} }} {{kommadots|}} {{op:Zeilenvektor| \cos (n-1) \frac{2 \pi}{n} | \sin (n-1) \frac{2 \pi}{n} }} |SZ=. }} Diese Punkte sind die Eckpunkte eines {{Stichwort|regelmäßigen|msw=Regelmäßiges n-Eck||SZ=}} {{math|term= n |SZ=-}}{{Stichwort|Ecks|msw=Regelmäßiges n-Eck|SZ=.}} Das regelmäßige {{Anführung|Zweieck}} besitzt die Ecken {{mathkon|(1,0)|und|(-1,0) |SZ=,}} das regelmäßige {{ Zusatz/Klammer |text= {{Stichwort|gleichseitige|msw=Gleichseitiges Dreieck|SZ=}} | |SZ= }} Dreieck besitzt die Ecken {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| 1 | 0}} ,\, {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch| 1 | 2}} | {{op:Bruch| \sqrt{3} | 2}} }} ,\, {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch| 1 | 2}} | - {{op:Bruch| \sqrt{3} | 2}} }} |SZ=, }} das regelmäßige Viereck (Quadrat) besitzt die Ecken {{ Math/display|term= (1,0),\, (0,1),\, (-1,0),\, (0,-1) |SZ=, }} usw. Wir fassen ein solches reguläres {{math|term= n |SZ=-}}Eck als ein in sich starres Gebilde auf und interessieren uns dafür, wie man es in sich selbst überführen kann. Der Nullpunkt ist der Mittelpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=Schwerpunkt| |ISZ=|ESZ= }} des {{math|term= n |SZ=-}}Eckes, und bleibt bei einer Bewegung des {{math|term= n |SZ=-}}Eckes auf sich selbst unverändert. Da eine solche Bewegung die Längen nicht ändert, muss der Punkt {{mathl|term= (1,0) |SZ=}} auf einen der Eckpunkte abgebildet werden, da nur diese Punkte des {{math|term= n |SZ=-}}Eckes vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen. Da eine Bewegung auch die Winkel nicht verändert, muss der Nachbarpunkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| \sin \frac{2 \pi}{n}| \cos \frac{2 \pi}{n} |}} |SZ=}} auf einen Nachbarpunkt des Bildpunktes von {{math|term= (1,0) |SZ=}} abgebildet werden. Bei einer eigentlichen {{ Zusatz/Klammer |text=physikalisch in der Ebene!| |ISZ=|ESZ= }} durchführbaren Bewegung bleibt auch die Reihenfolge {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Anführung|Orientierung}} | |SZ= }} der Ecken erhalten, sodass die einzigen eigentlichen Bewegungen eines regulären {{math|term= n |SZ=-}}Eckes die Drehungen um ein Vielfaches von {{math|term= 2 \pi/n |SZ=}} sind. Wenn man auch noch uneigentliche Bewegungen zulässt, so gibt es noch die Spiegelungen an einer Achse, und zwar geht bei {{math|term= n |SZ=}} gerade die Achse durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte, und bei {{math|term= n |SZ=}} ungerade durch einen Eckpunkt und einen gegenüberliegenden Seitenmittelpunkt. Es sei {{math|term= n |SZ=}} fixiert, und setze {{ Relationskette | \alpha || 2 \pi/n || || || |SZ= }} und sei {{math|term= \varphi|SZ=}} die Drehung des {{math|term= n |SZ=-}}Eckes um {{math|term= \alpha |SZ=}} gegen den Uhrzeigersinn. Dann kann man jede Drehung am {{math|term= n |SZ=-}}Eck schreiben als {{math|term= \varphi^k |SZ=}} mit einem eindeutig bestimmten {{math|term= k |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= n-1 |SZ=. }} Dabei ist {{ Relationskette |\varphi^0 || {{op:Identität||}} || || || |SZ= }} die Nulldrehung {{ Zusatz/Klammer |text=die identische Bewegung| |ISZ=|ESZ=, }} bei der nichts bewegt wird. Wenn man {{math|term= \varphi|SZ=}} {{math|term= n |SZ=-}}mal ausführt, so hat man physikalisch gesehen eine volle Umdrehung durchgeführt. Vom Ergebnis her stimmt das aber mit der Nulldrehung überein. Allgemeiner gilt, dass, wenn man {{math|term= \varphi|SZ=}} {{math|term= m |SZ=-}}mal ausführt, dann das Endergebnis {{ Zusatz/Klammer |text=also die effektive Bewegung| |SZ= }} nur vom {{Stichwort|Rest|SZ=}} {{math|term= m \mod n |SZ=}} abhängt. Die inverse Bewegung zu {{mathl|term= \varphi^k |SZ=}} ist {{mathl|term= \varphi^{-k} |SZ=,}} also {{math|term= k |SZ=-}}mal wieder zurück, oder gleichbedeutend {{mathl|term= \varphi^{(n-k) } |SZ=.}} {{parskip}} Es sei nun {{math|term= \psi |SZ=}} eine bestimmte Drehung am {{math|term= n |SZ=-}}Eck, also {{ Relationskette | \psi ||\varphi^k || || || |SZ= }} mit einem eindeutig bestimmten {{mathbed|term=k|bedterm1=0 \leq k \leq n-1 |SZ=.}} Dann kann man sich überlegen, welche Drehungen sich als Hintereinanderausführung von {{math|term= \psi |SZ=}} schreiben lassen, also zur Menge {{ Math/display|term= \psi^0=\operatorname{id} \, , \psi^1=\psi, \psi^2 , \psi^3, \ldots |SZ= }} gehören. Da die Menge der Drehungen endlich ist, muss es eine Wiederholung geben. Wie sieht diese aus, wann durchlaufen die Hintereinanderausführungen von {{math|term= \psi |SZ=}} sämtliche Drehungen am {{math|term= n |SZ=-}}Eck? Dafür gibt es recht einfache Antworten im Rahmen der elementaren Gruppentheorie. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der regulären n-Ecke |Kategorie3=Theorie der ebenen Drehungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hq5f06efx4zpqh13xjtpaxvtmk9ny4h 0 22240 1108120 952206 2026-07-20T11:06:29Z Bocardodarapti 2041 1108120 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei eine Situation gegeben, wo gewisse Orte {{ Zusatz/Klammer |text=oder Objekte| |ISZ=|ESZ= }} von gewissen anderen Orten aus erreichbar sind oder nicht. Die Erreichbarkeit kann dabei durch die Wahl eines Verkehrsmittels oder durch eine abstraktere {{ Zusatz/Klammer |text=Bewegungs| |ISZ=|ESZ=- }}Vorschrift festgelegt sein. Solche Erreichbarkeitsrelationen liefern häufig eine Äquivalenzrelation. Dass ein Ort von sich selbst aus erreichbar ist, sichert die Reflexivität. Die Symmetrie der Erreichbarkeit besagt, dass, wenn man von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} kommen kann, man dann auch von {{math|term= B |SZ=}} nach {{math|term= A |SZ=}} kommen kann. Das ist nicht für jede Erreichbarkeit selbstverständlich, für die meisten aber schon. Die Transitivität gilt immer dann, wenn man die Bewegungsvorgänge hintereinander ausführen kann, also zuerst von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} und dann von {{math|term= B |SZ=}} nach {{math|term= C |SZ=}}. {{parskip}} Wenn erreichbar beispielsweise dadurch gegeben ist, dass man auf dem Landweg von einem Ort zu einem anderen kommen kann, so sind zwei Ortspunkte genau dann äquivalent, wenn sie auf der gleichen Insel {{ Zusatz/Klammer |text=oder dem gleichen Kontinent| |ISZ=|ESZ= }} liegen. Inseln und Kontinente sind dann die {{ Definitionslink |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |SZ=.{{{zusatz1|}}} }} In der Topologie spielt der Begriff des {{ Definitionslink |Wegzusammenhangs| |Kontext=| |SZ= }} eine wichtige Rolle: Zwei Punkte sind wegzusammenhängend, wenn man sie durch einen stetigen Weg verbinden kann. Oder: Auf den ganzen Zahlen lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit {{ Zusatz/Klammer |text=in beide Richtungen| |ISZ=|ESZ=. }} Wie viele Flohpopulationen gibt es, welche Flöhe können sich begegnen? |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Erreichbarkeit |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ammykjehgfo7a31wonlsswur62rn62w 0 24518 1108063 1101324 2026-07-20T06:47:39Z Bocardodarapti 2041 1108063 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Ringbeweis |Strategie= |Richtung=123 |Beweis12= Es sei {{ Relationskette | f | \neq | 0 || || || |SZ= }} eine Nichteinheit. Die Faktorisierung in Primelemente ist insbesondere eine Zerlegung in irreduzible Elemente, sodass lediglich die Eindeutigkeit zu zeigen ist. {{ Induktionsbeweis |Strategie= Dies geschieht durch Induktion über die minimale Anzahl der Primelemente in einer Faktorzerlegung. |Anfang= Wenn es eine Darstellung {{ Relationskette | f || p || || || |SZ= }} mit einem Primelement gibt, und {{ Relationskette | f || q_1 {{cdots|}} q_r || || || |SZ= }} eine weitere Zerlegung in irreduzible Faktoren ist, so teilt {{math|term= p |SZ=}} einen der Faktoren {{math|term= q_i |SZ=}} und nach Kürzen durch {{math|term= p |SZ=}} erhält man, dass das Produkt der übrigen Faktoren rechts eine Einheit sein muss. Das bedeutet aber, dass es keine weiteren Faktoren geben kann. |Schluss= Es sei nun {{ Relationskette | f || p_1 {{cdots|}} p_s || || || |SZ= }} und diese Aussage sei für Elemente mit kleineren Faktorisierungen in Primelemente bereits bewiesen. Es sei {{ Relationskette/display |f || p_1 {{cdots|}} p_s || q_1 {{cdots|}} q_r || || |SZ= }} eine weitere Zerlegung mit irreduziblen Elementen. Dann teilt wieder {{math|term= p_1 |SZ=}} einen der Faktoren rechts, sagen wir {{ Relationskette |p_1 u || q_1 || || || |SZ=. }} Dann muss {{math|term= u |SZ=}} eine Einheit sein und wir können durch {{math|term= p_1 |SZ=}} kürzen, wobei wir {{mathl|term= u^{-1} |SZ=}} mit {{math|term= q_2 |SZ=}} verarbeiten können, was ein zu {{math|term= q_2 |SZ=}} assoziiertes Element ergibt. Das gekürzte Element {{mathl|term= p_2 \cdots p_s|SZ=}} hat eine Faktorzerlegung mit {{mathl|term= s-1 |SZ=}} Primelementen, sodass wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können. |Zusammenfassung= }} |Beweis23= Wir müssen zeigen, dass ein irreduzibles Element auch prim ist. Es sei also {{math|term= q |SZ=}} irreduzibel und es teile das Produkt {{math|term= fg|SZ=,}} sagen wir {{ Relationskette/display |qh || fg || || || |SZ=. }} Für {{ mathlist|term1= h ||term2= f |und|term3= g |SZ= }} gibt es Faktorzerlegungen in irreduzible Elemente, sodass sich insgesamt die Gleichung {{ Relationskette/display | qh_1 {{cdots|}} h_r || f_1 {{cdots|}} f_s g_1 {{cdots|}} g_t || || || |SZ= }} ergibt. Es liegen also zwei Zerlegungen in irreduzible Element vor, die nach Voraussetzung im Wesentlichen übereinstimmen müssen. D.h. insbesondere, dass es auf der rechten Seite einen Faktor gibt, sagen wir {{math|term= f_1 |SZ=,}} der assoziiert zu {{math|term= q |SZ=}} ist. Dann teilt {{math|term= q |SZ=}} auch den ursprünglichen Faktor {{math|term= f |SZ=.}} |Beweis31= Das ist trivial. |Abschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 28m8nfjdcili4mepzredi4gfi7b184a 0 25994 1108091 1095970 2026-07-20T09:06:56Z Bocardodarapti 2041 1108091 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= a) Angenommen, unter den angegebenen Voraussetzungen wäre nicht {{math|term= a \geq b |SZ=.}} Da eine totale Ordnung vorliegt, ist dann {{math|term= a < b |SZ=.}} D.h. insbesondere {{math|term= a \leq b |SZ=}} und daraus folgt {{math|term= ac \leq bc|SZ=.}} Wenn dies gleich wäre, würde wegen der Kürzbarkeit in einem Integritätsbereich und wegen {{math|term= c \neq 0 |SZ=}} sofort {{math|term= a= b |SZ=}} folgen, was ausgeschlossen ist. Daher ist {{math|term= ac <bc|SZ=}} im Widerspruch zur Voraussetzung. b) Die Eigenschaft {{math|term= 1>0 |SZ=}} ist aufgrund der ersten Eigenschaft äquivalent zu {{math|term= 0 > -1 |SZ=,}} sodass wir {{math|term= -1 \geq 0 |SZ=}} annehmen. Aufgrund der zweiten Eigenschaft ist dann {{math|term= 1=(-1)(-1) \geq (-1)0=0 |SZ=}} und wegen {{math|term= 1 \neq 0 |SZ=}} in einem Integritätsbereich folgt doch {{math|term= 1>0 |SZ=.}} c) Aus {{math|term= a<0 |SZ=}} folgt durch beidseitige Addition mit {{math|term= -a|SZ=}} sofort {{math|term= 0 \leq -a|SZ=.}} Würde {{math|term= 0=-a|SZ=}} gelten, so folgt {{math|term= a=0 |SZ=}} im Widerspruch zur Voraussetzung, also ist {{math|term= 0 < -a|SZ=.}} d) Ein Element im Quotientenkörper {{math|term= K=Q(R) |SZ=}} wird repräsentiert durch einen Bruch {{math|term= {{op:Bruch| a |b}} |SZ=}} mit {{ mathbed|term= a,b \in R ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=.}} Dabei ist {{math|term= {{op:Bruch| a |b}}= {{op:Bruch| c |d}} |SZ=}} definitionsgemäß genau dann, wenn {{math|term= ad=bc|SZ=}} ist. Da eine totale Ordnung vorliegt, kann man stets annehmen, dass die Nenner positiv sind, da man mit {{math|term= -1 |SZ=}} erweitern kann {{ Zusatz/Klammer |text=nach Teil (c)| |SZ=. }} Im Folgenden nehmen wir alle Nenner als positiv an. Wir definieren {{ Math/display|term= {{op:Bruch| a |b}} \leq {{op:Bruch| c |d}} \text{ wenn } ad \leq cb |SZ=. }} Man muss die Wohldefiniertheit dieser Definition nachweisen und dass die Eigenschaften eines geordneten Ringes erfüllt sind. Zur Wohldefiniertheit sei {{Math/display|term= {{op:Bruch| a |b}} \leq {{op:Bruch| c |d}} |SZ=}} und {{ mathkor/display|term1= {{op:Bruch| a |b}} = {{op:Bruch|a'|b'}} |und|term2= {{op:Bruch| c |d}} = {{op:Bruch|c'|d'}} |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display |a'd'cb || adb'c' |SZ=.}} Bei {{math|term= c > 0 |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | a'd'cb || adb'c' | \leq | c'b'cb |SZ= }} und daraus folgt durch Kürzen {{ Zusatz/Klammer |text=nach Teil (a)| |SZ= }} {{math|term= a'd' \leq c'b'|SZ=}} wie gewünscht. Bei {{math|term= c=0 |SZ=}} ist auch {{math|term= c'=0 |SZ=}} und {{math|term= {{op:Bruch| a |b}} \leq 0 |SZ=}} bedeutet {{math|term= a \leq 0 |SZ=}} und damit muss auch {{math|term= a' \leq 0 |SZ=}} und {{math|term= a'd' \leq 0 |SZ=}} sein. Bei {{math|term= c<0 |SZ=}} ist auch {{math|term= c'<0 |SZ=.}} Dann ist {{math|term= b'c'<0 |SZ=}} und {{math|term= -b'c' >0 |SZ=,}} also {{ Relationskette/display |a'd'(-cb) || ad(-b'c') | \leq | c'b'(-cb) |SZ=. }} Daraus ergibt sich {{math|term= a'd' \leq c'b'|SZ=.}} Daher ist die Ordnung wohldefiniert. Jetzt sind die Ordnungseigenschaften zu testen. Es seien {{math|term= x= {{op:Bruch| a |b}} |SZ=, }} {{math|term= y= {{op:Bruch| c |d}} |SZ=}} und {{math|term= z= {{op:Bruch| e |f}} |SZ=.}} Wir können stets zu einem Hauptnenner übergehen, also {{math|term= b=d=f >0 |SZ=}} annehmen. Aus dem bisher Bewiesenen folgt, dass {{math|term= {{op:Bruch| a |b}} \geq {{op:Bruch| c |b}} |SZ=}} genau dann gilt, wenn {{math|term= a \geq c |SZ=}} ist. Die Reflexivität ist trivial. Zur Transitivität sei {{ mathkor|term1= x= {{op:Bruch| a |b}} \leq y= {{op:Bruch| c |b}} |und|term2= y= {{op:Bruch| c |b}} \leq z= {{op:Bruch| e | b |}} |SZ=. }} Also ist {{ mathbed|term= a\leq c |und|bedterm1= c \leq e ||bedterm2= |SZ=}} und daher ist {{math|term= a \leq e |SZ=}} und somit auch {{math|term= x \leq z |SZ=.}} Zur Antisymmetrie sei {{ mathkor|term1= {{op:Bruch| a |b}} \leq {{op:Bruch| c | b |}} |und|term2= {{op:Bruch| a |b}} \geq {{op:Bruch| c | b |}} |SZ=. }} Dann ist direkt {{math|term= a= c |SZ=}} und die Brüche stimmen überein. Wir kommen nun zu den Eigenschaften eines geordneten Ringes. (1). Aus {{math|term= x= {{op:Bruch| a |b}} \geq y= {{op:Bruch| c |b}} |SZ=}} folgt sofort {{math|term= a \geq c |SZ=.}} Daher ist {{math|term= a+e \geq c +e|SZ=}} und somit wiederum {{ Relationskette/display | x+z || {{op:Bruch|a+e|b}} | \geq | {{op:Bruch|c+e|b}} || y+z |SZ=. }} (2). Es sei {{math|term= x \geq y |SZ=}} und {{math|term= z \geq 0 |SZ=.}} Dann ist {{math|term= a \geq c |SZ=}} und {{math|term= e \geq 0 |SZ=}} und somit {{math|term= ae \geq ce|SZ=.}} Also ist {{ Relationskette/display | xz || {{op:Bruch| a |b}} {{op:Bruch| e |b}} || {{op:Bruch|ae|b^2}} | \geq | {{op:Bruch|ce|b^2}} || {{op:Bruch| c |b}} {{op:Bruch| e |b}} || yz |SZ=. }} Es ist trivial, dass eine Fortsetzung der Ordnung und eine totale Ordnung vorliegt. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dsbhzaarmhn8z438uskxmh2jgp59x1m 0 26641 1108011 1016089 2026-07-19T12:20:14Z Bocardodarapti 2041 1108011 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine Funktion {{mathl|term= f: \R \rightarrow \R|SZ=}} wird manchmal nicht durch einen einzigen {{Anführung|geschlossenen Ausdruck|}} definiert, sondern durch mehrere verschiedene Ausdrücke, die abhängig vom Argument zum Zuge kommen. Typischerweise wird dabei der Definitionsmenge {{math|term= \R |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine Teilmenge davon| |SZ= }} in paarweise disjunkte{{{zusatz1|}}} Teilmengen {{ mathbed|term= M_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} unterteilt, auf denen dann die Funktion {{math|term= f |SZ=}} jeweils durch einen bestimmten funktionalen Ausdruck {{math|term= \varphi_i |SZ=}} definiert wird. Es ist also {{ Math/display|term= f(x)= \varphi_i(x), \text{ falls } x \in M_i |SZ=. }} Da die {{math|term= M_i |SZ=}} zusammen eine disjunkte Vereinigung der Definitionsmenge bilden, ist eine solche Funktion wohldefiniert. Zu jedem {{math|term= x |SZ=}} gibt es genau ein {{math|term= i |SZ=}} mit {{ Relationskette | x | \in | M_i || || || |SZ=, }} sodass das {{math|term= \varphi_i |SZ=}} und damit auch {{mathl|term= \varphi_i(x) |SZ=}} eindeutig bestimmt ist. Man spricht von einer {{Stichwort|Definition durch Fallunterscheidung|SZ=,}} wobei die Fälle eben durch die Bedingung {{ Relationskette | x | \in | M_i || || || |SZ= }} bestimmt sind. {{math|term= I |SZ=}} ist also die Indexmenge der Fallunterscheidung. Häufige Spezialfälle davon sind, dass {{math|term= \R |SZ=}} in verschiedene Intervalle zerlegt ist, auf denen unterschiedliche Funktionsvorschriften gelten sollen. Wenn es eine endliche Folge von aufsteigenden Zahlen {{mathl|term= a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n |SZ=}} gibt, sodass auf den dadurch begrenzten Intervallen unterschiedliche Definitionen gelten sollen, so wird das häufig in der Form {{ Math/display|term= f(x)= \begin{cases} \varphi_0(x) \text{ für } x < a_1 \\ \varphi_1(x) \text{ für } a_1 \leq x < a_2 \\ \varphi_2(x) \text{ für } a_2 \leq x < a_3 \\ \ldots \\ \varphi_{n-1}(x) \text{ für } a_{n-1} \leq x < a_n \\ \varphi_n(x) \text{ für } a_n \leq x \end{cases} |SZ= }} geschrieben. Dabei können auch andere Abschätzungszeichen vorkommen. Wichtig aber ist, dass die durch die Ungleichungen beschriebene Einteilung eine disjunkte Zerlegung liefert. Manchmal werden unkorrekterweise die Einteilungsbedingungen so gewählt, dass eine Intervallgrenze sowohl zum kleineren als auch zum größeren Intervall dazugenommen wird, was dann akzeptabel ist, wenn die beiden konkurrierenden Funktionswerte übereinstimmen. Wenn man mit einer durch eine Fallunterscheidung gegebenen Funktion arbeitet, wenn man beispielsweise etwas darüber beweisen möchte, muss man die Fallunterscheidung stets {{Anführung|mitschleppen|SZ=,}} d.h. man muss stets mit der gültigen Funktionsdefinition arbeiten. Wenn nicht klar ist, in welchem Intervall sich ein Argument {{math|term= x |SZ=}} befindet, über das man eine Aussage machen möchte, so muss man eben die möglichen Fälle getrennt abarbeiten. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7uzn16iqg141vigfjc1mc4xk89cb3kf 0 26708 1108022 1099737 2026-07-19T14:44:45Z Bocardodarapti 2041 1108022 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{Stichwort|konstante Folge|SZ=}} {{ Relationskette | x_n || c || || || |SZ= }} ist stets konvergent mit dem Grenzwert {{math|term= c |SZ=.}} Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} als Aufwandszahl {{ Relationskette |n_0 || 0 || || || |SZ= }} nehmen kann. Es ist ja {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-c}} || {{op:Betrag|c-c}} || {{op:Betrag| 0}} || 0 | < | \epsilon |SZ= }} für alle {{math|term= n |SZ=.}} Es sei nun {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |archimedisch angeordneter Körper| |Kontext=| |SZ=. }} Dann ist die Folge {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch| 1 |n}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=ang| |SZ= }} mit dem Grenzwert {{math|term= 0 |SZ=.}} Es sei dazu ein beliebiges {{ mathbed|term= \epsilon \in K ||bedterm1= \epsilon >0 ||bedterm2= |SZ=, }} vorgegeben. Aufgrund des Archimedes-Axioms {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} gibt es ein {{math|term= n_0 |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 |n_0 }} | \leq | \epsilon || || || |SZ=. }} Damit gilt für alle {{ Relationskette | n | \geq | n_0 || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch| 1 |n}} | \leq | {{op:Bruch| 1 |n_0 }} | \leq | \epsilon |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jreked2fy2ro9esfrc2khqi8mjog8jg 0 29507 1108112 1086650 2026-07-20T11:00:09Z Bocardodarapti 2041 1108112 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die meisten Aussagen sind direkt klar. (2) ergibt sich einfach daraus, dass, wenn {{ Relationskette/display | \sum_{i {{=|}} 1}^n a_i \xi_i || c || || || |SZ= }} gilt, dann auch {{ Relationskette/display | \sum_{i {{=|}} 1}^n ({{skalar}} a_i) \xi_i || {{skalar}} c || || || |SZ= }} für jedes {{ Relationskette | {{skalar}} | \in| K || || || || |SZ= }} gilt. Bei {{ Relationskette | {{skalar}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} kann man diesen Übergang durch Multiplikation mit {{math|term= {{skalar}}^{-1} |SZ=}} rückgängig machen. (6). Es sei {{math|term= G |SZ=}} die Gleichung {{ Relationskette/display | \sum_{i {{=|}} 1}^n a_ix_i || c || || || |SZ= }} und {{math|term= H |SZ=}} die Gleichung {{ Relationskette/display | \sum_{i {{=|}} 1}^n b_ix_i || d || || || |SZ=. }} Wenn ein Tupel {{ Relationskette | (\xi_1 {{kommadots|}} \xi_n) | \in| K^n || || || || |SZ= }} die beiden Gleichungen erfüllt, so erfüllt es auch die Gleichung {{ Relationskette |H' || G+H || || || |SZ=. }} Und wenn das Tupel die beiden Gleichungen {{ mathkor|term1= G |und|term2= H' |SZ= }} erfüllt, so auch die Gleichung {{ mathkor|term1= G |und|term2= H=H'-G |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5q8zta2czes18opaikteyia428zz2v6 0 29724 1108109 1083625 2026-07-20T10:58:44Z Bocardodarapti 2041 1108109 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Lineare Abbildung/Situation|SZ=}} und es sei {{ Abbildung/display |name=\triangle |W^m | K || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |multilineare Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die verknüpfte Abbildung {{ Abbildung/display |name= | V^m | K | {{op:Zeilenvektor1n| v |n=m}} | \triangle {{op:Zeilenvektor| \varphi(v_1)| \ldots |\varphi(v_m)}} |SZ=, }} multilinear ist. Zeige{{n Sie}} ebenfalls, dass, wenn {{math|term= \triangle |SZ=}} {{ Definitionslink |alternierend| |Kontext=| |SZ= }} ist, dann auch {{math|term= \triangle \circ \varphi^n |SZ=}} alternierend ist, und dass hiervon bei {{math|term= \varphi |SZ=}} bijektiv auch die Umkehrung gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Multilineare Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eealkmj10j8lt3qe501ewtd094s5wh8 0 36260 1108122 1102801 2026-07-20T11:07:36Z Bocardodarapti 2041 1108122 wikitext text/x-wiki {{ inputbild |Hexahedron|svg| 150px {{!}} right {{!}} | thumb {{!|}} |Text=... und ein [[w:Würfel|Würfel]]. Das sind die platonischen Körper. |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} <gallery> Image:Tetrahedron.svg|Ein [[w:Tetraeder|Tetraeder]] (eine Pyramide mit gleichseitigen Dreiecken als Seiten). Image:Octahedron.svg|Ein [[w:Oktaeder|Oktaeder]] (ein Achtflächner). Image:POV-Ray-Dodecahedron.svg|Ein [[w:Dodekaeder|Dodekaeder]], der hat zwölf Seiten. Image:Icosahedron.svg|Ein [[w:Ikosaeder|Ikosaeder]], mit 20 Seiten ... </gallery> {{Seitenüberschrift|Platonische Körper und platonische Liebe - Der Würfel und seine Gruppe}} {{ inputbild |Platon_altes_Museum2|jpg| 200px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Text=[[w:Plato|Plato (427-347 v. C.)]] sagte: {{Anführung|die Bedeutung der Geometrie beruht nicht auf ihrem praktischen Nutzen, sondern darauf, daß sie ewige und unwandelbare Gegenstände untersucht und danach strebt, die Seele zur Wahrheit zu erheben}}. |Autor= |Benutzer=GunnarBach |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Fussball|jpg| 200px {{!}} left {{!}} thumb {{!}} | |Text=Ein Fußball ist kein regulärer Polyeder. Die Seiten sind Fünfecke und Sechsecke, jedenfalls, wenn man ihn aus Lederstücken zusammennäht. In Wahrheit ist der Ball {{ Zusatz/Klammer |text=als Kugel| |ISZ=|ESZ= }} natürlich rund {{ Zusatz/Klammer |text=wie schon [[w:Sepp Herberger|Sepp Herberger]] wußte| |ISZ=|ESZ=, }} und überhaupt nicht von ebenen Stücken berandet. |Autor= |Benutzer=Indech |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Schon dem griechischen Philosophen Platon gefielen solche räumliche Figuren, die durch ebene gleichförmige Seitenstücke begrenzt sind, die selbst wieder regelmäßige Vielecke sind. Man nennt diese Figuren {{Stichwort|reguläre Polyeder|msw=Regulärer Polyeder|SZ=}} bzw. {{Stichwort|platonische Körper|msw=Platonischer Körper|SZ=.}} Davon gibt es fünf Stück, die alle von Platon in seinem Dialog [[w:Timaios|Timaios]] beschrieben werden, nämlich den Tetraeder, den Würfel, den Oktaeder, den Dodekaeder und den Ikosaeder. Da Platon ein Philosoph war, kam er auf die etwas merkwürdige Idee, die fünf platonischen Körper mit den Elementen in Beziehung zu setzen, nämlich mit Feuer (Tetraeder), Wasser (Ikosaeder), Luft (Oktaeder), Erde (Würfel); dem Dodekaeder wurde schließlich das Weltall zugeordnet. {{Seitenüberschrift|Platons Ideenlehre}} {{ inputbild |Banquet_cup-bearer_Louvre G467|jpg| 250px {{!}} left {{!}} | thumb {{!}} |Text=Bei einem antiken Symposium lag man, trank, lauschte den Flötenspielerinnen und sprach auch über den ... |Autor= |Benutzer=Jastrow |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Simmler-Deotyma|jpg| 200px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Text=Das Konzept der {{Anführung|platonischen Liebe|msw=Platonische Liebe}} wird in Platons Dialog [[W:Symposion (Platon)|Symposion]] von der Philosophin [[w:Diotima|Diotima aus Mantinea]] vorgestellt. |Autor=Jozef Simmler |Benutzer=Ejdzej |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Oinochoe_Shuvalov_Painter_Louvre_CA1289_n2|jpg| 250px {{!}} left {{!}} | thumb {{!}} |Text=... Eros. |Autor=Marie-Lan Nguyen |Benutzer=Jastrow |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Eine bessere Idee von Platon, und zugleich der Grundgedanke seiner Philosophie, war es, dass die sichtbaren Objekte nur unvollkommene Abbilder einer göttlichen Idee sind, die es zu erkennen gilt, um den wesentlichen Kern der Dinge zu erfassen. Dieser Gedanke liegt auch dem Konzept der {{Stichwort|platonischen Liebe|msw=Platonische Liebe|SZ=}} zugrunde, das im [[w:Symposion (Platon)|Symposion]] entwickelt wird. Darin wird von einem Gastmahl erzählt, bei dem die Anwesenden, die alle von der Feier am Abend zuvor einen kräftigen Kater haben, übereinkommen, ihr {{Anführung|Zusammensein nicht auf den Rausch anzulegen, sondern nur so zu trinken zum Vergnügen|SZ=,}} und stattdessen der Reihe nach Lobreden auf den [[w:Eros (Mythologie)|Eros]] vorzutragen, den griechischen Gott der Liebe. Der Höhepunkt dieser Ansprachen bildet die Rede des [[w:Sokrates|Sokrates]], der sich seinerseits auf [[w:Diotima|Diotima aus Mantinea]] beruft, mit der er vor vielen Jahren ein Gespräch über dieses Thema hatte. Ihr zur Folge ist Eros gar kein Gott, sondern ein Dämon, ein Vermittler zwischen Gott und den Menschen. Sie schildert mehrere Stufen der Liebe, die auch in einem menschlichen Leben durchlaufen werden können, von {{Anführung|schönen Gestalten nachzugehen}} über {{Anführung|die Schönheit in den Seelen für weit herrlicher [zu] halten als die in den Leibern}} bis hin zu {{Anführung|jenes Schöne selbst rein, lauter und unvermischt zu sehen, [...], das göttliche Schöne selbst in seiner Einartigkeit zu schauen|SZ=.}} Ziel ist es somit nicht, Abbilder des Guten und Schönen zu berühren, sondern das Wahre selbst, um so Glückseligkeit und damit Anteil an der Unsterblichkeit zu erlangen. Der Gedanke, dass sichtbare Dinge den Anstoß geben sollen, nach tiefer liegenden Wahrheiten zu suchen, von denen diese Dinge nur ein schwaches Abbild sind und durch die sie erst richtig verstanden werden können, ist auch für die {{ Zusatz/Klammer |text=reine| |ISZ=|ESZ= }} Mathematik von zentraler Bedeutung. Mathematisches Denken ist seiner Natur nach abstraktes Denken, das, manchmal ausgehend von konkreten Objekten, nach Strukturen, Gesetzmäßigkeiten, allgemeingültigen Regeln sucht. Es geht dadrum, mathematische Theorien zu entwicklen, um die gemeinsame Struktur verwandter Objekte zu verstehen. Was ist also die zugrunde liegende Idee hinter den platonischen Körpern, wie sieht ihre innere Struktur aus, zu welcher mathematischen Theorie geben sie Anlass? Wir beschränken uns auf den Würfel. {{Seitenüberschrift|Symmetrien}} {{ inputbild |Snijden_kruisen_evenwijdig|png| 300px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=MADe |Domäne=nl.wikipedia |Lizenz=cc-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bei den platonischen Körpern fällt natürlich ihre große Regelmäßigkeit auf, die ihre Schönheit und Anziehungskraft ausmachen. Die Regelmäßigkeit beinhaltet, dass in einem platonischen Körper jede Seite in jede andere Seite, jede Kante in jede andere Kante und jeder Eckpunkt in jeden Eckpunkt überführt werden kann. D.h., dass diese Körper eine reichhaltige Symmetrie aufweisen. In der Mathematik ist es gerade die Menge der Symmetrien, und ihre Beziehungen untereinander, für die man sich interessiert. Die körperlichen Objekte sind sozusagen der Anlass für die Theorie. Wenn man die Theorie entwickelt hat, so kann man die konkreten Objekte als eine konkrete Realisierung der Theorie verstehen. Unter einer {{Stichwort|(eigentlichen) Symmetrie|msw=Eigentliche Symmetrie|SZ=}} eines Körpers {{math|term= K |SZ=}} (im Raum) versteht man eine wirklich durchführbare {{Stichwort|Bewegung|SZ=,}} die den Körper in sich überführt, und bei der die innere Struktur des Körpers nicht verändert wird. Bei einer solchen Bewegung wird der Körper als ein starres Ganzes genommen, irgendwie gedreht und verschoben, aber weder zerrissen noch deformiert. Die Endlage des Körpers soll deckungsgleich mit der Ausgangslage sein. Wir interessieren uns bei einer solchen Bewegung lediglich für das Verhältnis von Ausgangslage zu Endlage, nicht für die Zwischenschritte und den realen Bewegungsvorgang. Ein Bewegung ist also dadurch festgelegt, dass für jeden Punkt des Körpers die neue Lage des Punktes bekannt ist. Insofern ist eine Symmetrie einfach eine {{ Definitionslink |Abbildung| |kon=|msw=| |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |K|K || |SZ= }} mit gewissen zusätzlichen Eigenschaften. Dass die Bewegung wirklich durchführbar sein soll schließt beispielsweise Spiegelungen an einer Ebene aus (sowas nennt man auch eine uneigentliche Bewegung). Dass die innere Struktur nicht verändert wird, kann man so ausdrücken, dass sich bei der Bewegung zu je zwei Punkten der Abstand nicht ändert, dass also für alle {{mathl|term= P,Q\in K |SZ=}} die Abstandsbeziehung {{Math/display|term= d(\varphi(P),\varphi(Q))=d(P,Q) |SZ=}} gilt. Man spricht auch von einer {{Stichwort|Isometrie|SZ=.}} {{Seitenüberschrift|Welche Symmetrien hat ein Würfel?}} Schauen wir uns einen Würfel an. Eine {{Stichwort|Würfelsymmetrie|SZ=}} führt den Würfel durch eine Bewegung in sich selbst über. Bei einer solchen Bewegung verändert der Würfelmittelpunkt seine Lage nicht, und es werden, aufgrund des {{Stichwort|Starrheitsprinzips|msw=Starrheitsprinzip|SZ=,}} Seiten auf Seiten, Kanten auf Kanten und Ecken auf Ecken abgebildet. Ebenso werden Seitenmittelpunkte auf Seitenmittelpunkte abgebildet, und gegenüberliegende Seitenmittelpunkte werden auf gegenüberliegende Seitenmittelpunkte abgebildet. Ferner werden Kantenmittelpunkte auf Kantenmittelpunkte abgebildet, Seitendiagonale auf Seitendiagonale, Raumdiagonale auf Raumdiagonale. Notieren wir einfach mal eine Liste von Würfelsymmetrien, wie sie uns in den Sinn kommen. {{Zwischenüberschrift|Drehungen um eine Seitenmittelpunktsachse}} {{ inputbild |Würfel.Tafel.Symmetrieserie.4|JPG| 320px {{!}} thumb {{!|}} right {{!}} |Text=Eine Vierteldrehung um die vertikale Achse. Betont wird die Wirkungsweise auf den Eckpunkten. |Autor=Brenner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Man kann beispielsweise durch den oberen Seitenmittelpunkt und den unteren Seitenmittelpunkt sich eine Achse {{math|term=\alpha|SZ=}} denken, und um diese Achse den Würfel drehen. Damit der Würfel mit seiner Ausgangslage zur Deckung gebracht wird, muss der Drehwinkel ein Vielfaches von neunzig Grad sein, also eine Vierteldrehung, eine Halbdrehung, eine Dreivierteldrehung oder eine Volldrehung. Bei einer Volldrehung, also einer Drehung um diese Achse um 360 Grad, wird jeder Punkt auf sich selbst abgebildet. Man könnte den Würfel genauso gut auch gar nicht drehen. Man spricht von der {{Stichwort|identischen Drehung|msw=Identische Drehung|SZ=,}} der {{Stichwort|Identität|SZ=}} oder der {{Stichwort|trivialen Symmetrie|msw=Triviale Symmetrie|SZ=.}} Wie die {{math|term=0 |SZ=}} eine enorm wichtige Zahl ist, obwohl die Addition mit ihr {{Anführung|nichts}} macht, so ist auch diese triviale Symmetrie enorm wichtig für die Theorie der (Würfel-)Symmetrien. {{Zwischenüberschrift|Drehungen um eine Kantenmittelpunktsachse}} {{ inputbild |Würfel.Tafel.Symmetrieserie.6|JPG| 320px {{!}} thumb {{!|}} right {{!}} |Text=Eine Halbdrehung um eine Kantenmittelpunktsachse. Betont wird die Wirkungsweise auf den Eckpunkten. |Autor=Brenner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Zu jeder der zwölf Würfelkanten gibt es einen {{Stichwort|Kantenmittelpunkt|SZ=.}} Ein solcher Kantenmittelpunkt definiert mit dem Mittelpunkt der gegenüber liegenden Kante eine Kantenmittelpunktsachse. Betrachten wir beispielsweise die Kantenmittelpunktsachse {{math|term=\beta|SZ=,}} die durch die Mittelpunkte der durch {{ mathkor|term1= A |und|term2= E |SZ= }} und durch {{ mathkor|term1= C |und|term2= G |SZ= }} gegebenen Kanten definiert ist. Gibt es um diese Achse eine Drehung {{ Zusatz/Klammer |text=abgesehen von der Identität| |ISZ=|ESZ=, }} die den Würfel in sich überführt? Wir haben gesagt, dass bei einer Würfelsymmetrie Eckpunkte auf Eckpunkte abgebildet werden. Die Kante von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= E |SZ=}} steht senkrecht auf der Drehachse, daher kommen als Bildpunkte von {{math|term= A |SZ=}} nur {{math|term= A |SZ=}} selbst oder {{math|term= E |SZ=}} in Frage. Im ersten Fall liegt die Identität vor, im zweiten Fall eine Halbdrehung um die angegebene Achse, die in der Tat den Würfel in sich überführt. Bei dieser Halbdrehung werden {{ mathkor|term1= A |und|term2= E |SZ=, }} {{ mathkor|term1= C |und|term2= G |SZ=, }} {{ mathkor|term1= D |und|term2= F |SZ= }} und schließlich {{ mathkor|term1= B |und|term2= H |SZ= }} vertauscht. {{Zwischenüberschrift|Drehungen um eine Raumdiagonale}} {{ inputbild |Würfel.Tafel.Symmetrieserie.8|JPG| 320px {{!}} thumb {{!|}} right {{!}} |Text=Eine Dritteldrehung um eine Raumdiagonale. Betont wird die Wirkungsweise auf den Eckpunkten. |Autor=Brenner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Jeder der acht Eckpunkte des Würfels definiert zusammen mit dem gegenüber liegenden Eckpunkt eine {{Stichwort|Raumdiagonale|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine {{Stichwort|Eckpunktsachse|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Betrachten wir beispielsweise die durch die Eckpunkte {{ mathkor|term1= E |und|term2= C |SZ= }} gegebene Raumdiagonale {{math|term=\gamma|SZ=.}} Gibt es Drehungen um diese Achse, die den Würfel in sich überführen? Das können wir uns wieder anhand der Eckpunkte klar machen. Die Punkte {{ mathkor|term1= E |und|term2= C |SZ= }} liegen auf der Drehachse und verändern daher nicht ihre Position. Wohin kann beispielsweise der Punkt {{math|term= A |SZ=}} durch eine solche Drehung abgebildet werden? {{math|term= A |SZ=}} ist ein zu {{math|term= E |SZ=}} {{Anführung|benachbarter}} Eckpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=d.h., {{ mathkor|term1= A |und|term2= E |SZ= }} sind durch eine Kante direkt verbunden| |ISZ=|ESZ=, }} und diese Eigenschaft bleibt bei einer Symmetrie erhalten. Die möglichen Bildpunkte müssen also ebenfalls zu {{math|term= E |SZ=}} benachbart sein, und das sind genau die Punkte {{ mathkor|term1= A,H |und|term2= F |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=Drehen Sie einen Würfel so hin, dass Sie einen Eckpunkt in der Mitte des Gesichtsfelds haben. Sie sehen dann drei Seiten und drei benachbarte Eckpunkte und drei nicht benachbarte Eckpunkte. Nur den gegenüber liegenden Eckpunkt sehen Sie nicht| |ISZ=|ESZ=. }} In der Tat gibt es drei Drehungen um eine Raumdiagonale, die den Würfel in sich überführen, nämlich die Drehung um {{math|term=0 |SZ=}} Grad {{ Zusatz/Klammer |text=also wieder die Identität| |ISZ=|ESZ=, }} die Drehung um {{math|term=120 |SZ=}} Grad und die Drehung um {{math|term=240 |SZ=}} Grad. Die Identität kann dabei als eine Achsendrehung um jede der drei Achsentypen um den Winkel {{math|term=0 |SZ=}} aufgefasst werden. Gibt es außer den genannten Drehungen noch weitere eigentliche Würfelsymmetrien? Wie kann man sich sicher sein, dass man alle Symmetrien gefunden hat? {{Seitenüberschrift|Verknüpfung von Symmetrien}} Wir haben nun eine Liste von einzelnen Würfelsymmetrien angeführt, doch wie verhalten sie sich zueinander, gibt es eine umfassende Struktur, in der all diese Symmetrien ihren Platz finden? Unser Ausgangspunkt ist, dass man zwei Bewegungen {{ Zusatz/Klammer |text=Abbildungen| |ISZ=|ESZ= }} {{mathkon|\varphi|und| \psi|SZ=}} {{Stichwort|verknüpfen|msw=Verknüpfung|SZ=}} kann, indem man sie {{Stichwort|hintereinander ausführt|msw=Hintereinanderausführung|SZ=,}} also zuerst die erste Würfelsymmetrie und dann die zweite Würfelsymmetrie anwendet. Diese {{Stichwort|Verkettung|SZ=}} erfüllt wieder alle Bedingungen, die wir an eine Symmetrie gestellt haben. Des weiteren gibt es zu einer Bewegung die {{Stichwort|entgegengesetzte Bewegung|SZ=,}} bei der die Bewegung rückläufig durchgeführt wird. Bei einer physikalischen Realisierung der Bewegung würde man einfach die Zeitrichtung umdrehen. Insgesamt erhalten wir, dass die Menge aller Symmetrien an einem Körper folgende drei strukturelle Eigenschaften aufweist. {{ Aufzählung3 |Bewegungen lassen sich hintereinander ausführen, d.h. wenn man zwei Bewegungen {{mathkon|\varphi|und| \psi|SZ=}} hat, so ist auch die {{Stichwort|Hintereinanderausführung|SZ=}} {{mathl|term= \psi \circ \varphi |SZ=,}} die zuerst {{math|term= \varphi |SZ=}} und dann {{math|term=\psi|SZ=}} durchführt, sinnvoll definiert und wieder eine Bewegung. |Die {{Stichwort|identische Bewegung|SZ=,}} die nichts bewegt, ist eine Bewegung. Wenn man zu einer beliebigen Bewegung die identische Bewegung davor oder danach durchführt, so ändert das die Bewegung nicht. |Zu einer Bewegung {{math|term=\varphi|SZ=}} gibt es die {{Stichwort|entgegengesetzte Bewegung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Anführung|Rückwärtsbewegung|}}| |SZ= }} {{math|term=\varphi^{-1} |SZ=,}} die die Eigenschaft besitzt, dass die Hintereinanderausführungen {{mathkon|\varphi^{-1} \circ \varphi|und| \varphi \circ \varphi^{-1} }} einfach die Identität sind. |}} Für eine Menge {{ Zusatz/Klammer |text=also beispielsweise die Menge der Bewegungen an einem Körper, nicht der Körper als Menge!| |ISZ=|ESZ=, }} auf der es eine Verknüpfung mit diesen drei Eigenschaften gibt, gibt es innerhalb der Mathematik einen eigenen Namen: man spricht von einer {{Stichwort|Gruppe|SZ=,}} ihre Definition sieht folgendermaßen aus. {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition|v=\circ| }} Wie sieht die Gruppe aller Würfelsymmetrien aus? Ist unsere obige Liste aus der Identität und den verschiedenen beschriebenen Achsendrehungen schon diese ganze Gruppe? Schauen wir uns ein Beispiel an, wo zwei solche Drehungen miteinander verknüpft werden. {{ inputbeispiel |Würfelsymmetrien/Einführung/Verknüpfung/Vierteldrehung um zwei Achsen/Beispiel|| }} In diesem Beispiel führte also die Verkettung von zwei Symmetrien wieder zu einer Symmetrie, und zwar zu einer Symmetrie, die schon in unserer Liste steht. Wir wissen noch nicht, ob unsere Liste in dem Sinne vollständig ist, dass mit je zwei Symmetrien auch deren Verknüpfung wieder zu dieser Liste gehört. Das könnten wir mit einigem Aufwand überprüfen, indem wir alle Kombinationen durchspielten. Wir werden aber einen einfacheren Weg gehen. {{Seitenüberschrift|Wie viele Symmetrien hat ein Würfel?}} Wie viele eigentliche Würfelsymmetrien gibt es? Um diese Frage beantworten zu können, ist es wieder hilfreich, die Wirkung der Symmetrien auf der Menge der Eckpunkte zu betrachten. Offenbar kann man den Punkt {{math|term= A |SZ=}} auf jeden anderen Eckpunkt, nennen wir ihn {{math|term= X |SZ=,}} bewegen. Dazu genügt es beispielsweise, einige Vierteldrehungen um verschiedene Seitenmittelpunktsachsen hintereinander durchzuführen. Es gibt dabei allerdings mehrere Bewegungen, die {{math|term= A |SZ=}} auf {{math|term= X |SZ=}} abbilden. Was kann beispielsweise mit {{math|term= B |SZ=}} unter einer solchen Bewegung geschehen? Da {{math|term= B |SZ=}} zu {{math|term= A |SZ=}} benachbart ist, muss auch der Bildpunkt von {{math|term= B |SZ=}} zum Bildpunkt von {{math|term= A |SZ=,}} also zu {{math|term= X |SZ=,}} benachbart sein. Dafür gibt es genau drei Möglichkeiten, da {{math|term= X |SZ=}} eben genau zu drei Eckpunkten benachbart ist. Durch eine Drehung um die Raumdiagonale durch {{math|term= X |SZ=}} kann auch jede dieser Möglichkeiten verwirklicht werden. Es gibt also {{mathl|term=8 \cdot 3 = 24 |SZ=}} verschiedene Möglichkeiten, für die beiden Eckpunkte {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} die Bildpunkte auszuwählen. Wenn für diese beiden Punkte die {{ Zusatz/Klammer |text=benachbarten| |ISZ=|ESZ= }} Bildpunkte {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} ausgewählt sind, gibt es dann immer noch verschiedene Möglichkeiten, eine solche Bewegung zu realisieren? Wir behaupten, dass es dann genau nur eine Möglichkeit gibt, dass also diese Auswahl die Symmetrie eindeutig festlegt. Wir müssen also zeigen, dass, wenn {{ mathkor|term1= \varphi_1 |und|term2= \varphi_2 |SZ= }} zwei Würfelsymmetrien sind, die {{ Mathkor/display|term1= \varphi_1(A) = \varphi_2(A)=X |und|term2= \varphi_1(B) = \varphi_2(B)=Y |SZ= }} erfüllen, dann überhaupt {{mathl|term=\varphi_1= \varphi_2 |SZ=}} ist. Um dies einzusehen, verwenden wir einen typischen Schluss der Gruppentheorie, der schon die Schlagkraft dieses Konzepts deutlich macht. Wir betrachten die Verknüpfung von {{math|term=\varphi_1 |SZ=}} mit der entgegengesetzten Bewegung zu {{math|term=\varphi_2 |SZ=,}} also {{ Math/display|term= \psi = \varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 |SZ=. }} {{ inputbild |Würfel.Tafel.Symmetrieserie.12|JPG| 320px {{!}} left {{!}} | thumb {{!|}} |Text=Wenn eine Symmetrie {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} nicht bewegt, so wird auch die Kante dazwischen nicht bewegt. |Autor=Brenner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Wuerfelstarr.6|JPG| 320px {{!}} right {{!}} | thumb {{!|}} |Text=Dann wird auch die ganze Ebene durch diese Kante und den Würfelmittelpunkt nicht bewegt. |Autor=Brenner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Unter dieser Bewegung {{math|term=\psi|SZ=}} geht zunächst {{math|term= A |SZ=}} auf {{math|term= X |SZ=}} und dann {{math|term= X |SZ=}} wiederum auf {{math|term= A |SZ=,}} ebenso geht insgesamt {{math|term= B |SZ=}} auf {{math|term= B |SZ=.}} Damit ist {{math|term=\psi|SZ=}} eine Bewegung, die die gesamte Kante zwischen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} unverändert lässt. Da bei einer Würfelsymmetrie der Würfelmittelpunkt {{math|term= M |SZ=}} unverändert bleibt, bleibt wegen der Starrheit auch das gesamte Dreieck zu den Punkten {{mathl|term= A,B,M|SZ=}} unverändert und damit auch die gesamte Ebene, in der dieses Dreieck liegt. Die Starrheit erzwingt weiter, dass dann bereits der gesamte Würfel unter {{math|term=\psi|SZ=}} unverändert bleibt {{ Zusatz/Klammer |text=die Spiegelung an dieser Ebene ist eine uneigentliche Symmetrie, die nicht durch eine Bewegung realisiert werden kann| |ISZ=|ESZ=, }} dass also {{ Math/display|term= \psi = \varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 = \operatorname{Id} \, |SZ= }} die Identität ist. Durch Anwenden von {{math|term=\varphi_2 |SZ=}} von links auf diese Gleichung ergibt sich daraus {{ Math/display|term= \varphi_1 = \varphi_2 |SZ=. }} Damit haben wir den folgenden Satz bewiesen. {{ inputfakt |Würfel/Eigentliche Symmetrien/24/Fakt|Satz|| || }} {{Seitenüberschrift|Alle Würfelsymmetrien sind Achsendrehungen}} Abschließend zeigen wir, dass unsere eingangs aufgestellte Liste von Würfelsymmetrien vollständig ist. Wir wissen nun, dass es überhaupt nur {{math|term=24 |SZ=}} Würfelsymmetrien gibt. Gehen wir also unsere Liste durch und schauen, wie viele Symmetrien wir dort schon erfasst haben. {{ Aufzählung4 |Es gibt die Identität. |Es gibt sechs Seiten und drei Seitenmittelpunktsachsen, wobei man jeweils um die drei Winkel {{mathl|term=90,180,270 |SZ=}} Grad drehen kann {{ Zusatz/Klammer |text=die Drehung um {{math|term=0 |SZ=}} Grad darf man nicht mitzählen, da dies die Identität ist| |ISZ=|ESZ=. }} Davon gibt es neun Stück. |Es gibt zwölf Kanten und daher sechs Kantenmittelpunktsachsen. Um diese Achsen gibt es jeweils eine Halbdrehung, macht sechs Stück. |Es gibt acht Eckpunkte und daher vier Raumdiagonalen. Um diese Achsen gibt es jeweils die Dritteldrehung und die Zweidritteldrehung, macht acht Stück. }} Wir müssen noch sicherstellen, dass wir dabei keine Bewegung doppelt gezählt haben. Wenn aber eine Bewegung zweimal auftaucht, so hat sie mindestens zwei verschiedene Drehachsen. Diese Drehachsen bleiben bei der Bewegung unverändert, daher bleibt die ganze von diesen Achsen erzeugte Ebene unverändert, und damit sogar der ganze Raum und es liegt die Identität vor. Wegen {{ Math/display|term= 1+9+6+8=24 |SZ= }} folgt der nächste Satz. {{ inputfakt |Würfel/Eigentliche Symmetrien/Achsendrehung/Fakt|Satz|| || }} {{Seitenüberschrift|Alle Fußballspiele sind Achsendrehungen}} Dieser letzte Satz besitzt eine weitgehende Verallgemeinerung, nämlich, dass jede lineare eigentliche Isometrie im Raum eine Drehung um eine Achse ist. Aus Anlass der Fußballweltmeisterschaft erwähnen wir folgende Version dieses Satzes. Denken Sie beim nächsten langweiligen Spiel daran. {{ inputbild |Anstoß_im_Finale_Confed-Cup_2005|JPG| 250px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Florian K |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfakt |Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt|Satz|Satz vom Fußball| || }} [[Medium:Platon und wuerfelsym.pdf|Zur Pdf-Version]] hevsxtv97bracwexxlxwmix5rx7wvs5 0 39812 1108044 1099795 2026-07-19T17:42:44Z Bocardodarapti 2041 1108044 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= An eindimensionalen {{ Definitionslink |Mannigfaltigkeiten| |Kontext=| |SZ= }} gibt es zunächst die offenen Teilmengen des {{math|term= \R^1 |SZ=.}} Diese sind Vereinigungen von offenen Intervallen, und sie sind genau dann {{ Definitionslink |zusammenhängend| |Kontext=Topologie| |SZ=, }} wenn sie ein offenes Intervall sind. Jedes offene, beschränkte oder unbeschränkte Intervall ist {{ Definitionslink |homöomorph| |Kontext=| |SZ= }} und auch {{ Definitionslink |diffeomorph| |Kontext=R^n | |SZ= }} zum {{ Definitionslink |offenen Einheitsintervall| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= ]0,1[ |SZ=}} und zu den reellen Zahlen {{math|term= \R |SZ=}} selbst. Die abgschlossenen Intervalle {{ mathbed|term= [a,b] |mit|bedterm1= a < b ||bedterm2= |SZ= }} sind keine Mannigfaltigkeiten, da es für die Randpunkte {{ Zusatz/Klammer |text=die Intervallgrenzen| |ISZ=|ESZ= }} keine offene Umgebung gibt, die homöomorph zu einem offenen Intervall ist {{ Zusatz/Klammer |text=sie sind aber sogenannte {{Stichwort|Mannigfaltigkeiten mit Rand|msw=Mannigfaltigkeit mit Rand|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Darüber hinaus gibt es noch den {{Stichwort|Kreis|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Stichwort|Sphäre|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= S^1 |SZ=}} als weitere zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeit. Es ist {{ Relationskette/display | S^1 || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| x^2+y^2 {{=|}} 1 }} || || || |SZ=. }} Für jeden Punkt {{ Relationskette | P | \in | S^1 || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= S^1 \setminus \{P \} |SZ=}} homöomorph zu {{math|term= \R |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=durch stereographische Projektion| |ISZ=|ESZ=. }} Der Kreis ist nicht homöomorph zu {{math|term= \R |SZ=,}} da der Kreis {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=| |SZ= {{{zusatz1|}}} }} ist, die reellen Zahlen aber nicht. Neben {{ mathkor|term1= S^1 |und|term2= \R |SZ= }} gibt es keine weiteren eindimensionalen zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten mit {{ Definitionslink |abzählbarer Basis der Topologie| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=was hier ohne Beweis erwähnt sei| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort=Eindimensional |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ioiigmns8nzvxg8j30v7l1h946e6b17 0 39915 1108118 988487 2026-07-20T11:04:39Z Bocardodarapti 2041 1108118 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | V | \neq | 0 || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass, wenn man einen Vektor {{math|term= v_i |SZ=}} durch sein Negatives {{math|term= -v_i |SZ=}} ersetzt, dann die neue Basis die {{ Definitionslink |entgegengesetzte Orientierung| |Kontext=| |SZ= }} repräsentiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k36b9wes0ywslzy46nlc8ju61aryifh 0 40022 1108127 1083431 2026-07-20T11:09:35Z Bocardodarapti 2041 1108127 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |abzählbarer Basis der Topologie| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, wie man unter Bezug auf Karten {{Anführung|Nullmengen|}} von {{math|term= M|SZ=}} erklären kann, ohne dass ein {{ Definitionslink |Maß| |Kontext=| |SZ= }} gegeben ist. Zeige{{n Sie}} ferner, dass, wenn eine {{ Definitionslink |positive Volumenform| |Kontext=| |SZ= }} gegeben ist, diese Nullmengen auch {{ Definitionslink |Nullmengen| |Kontext=| |SZ= }} im Sinne der Maßtheorie sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Maßtheorie |Kategorie3=Theorie der Volumenformen |Objektkategorie= |Stichwort=Nullmenge |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8lv3wphr17phd7yxf87xwjwu9uie637 0 47368 1108019 1101661 2026-07-19T14:40:15Z Bocardodarapti 2041 1108019 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (1). Wir betrachten {{mathl|term= y/x |SZ=.}} Aufgrund des {{ Definitionslink |Archimedes-Axioms| |Kontext=| |SZ= }} gibt es ein {{math|term= n |SZ=}} mit {{ Relationskette | n | \geq | y/x || || || |SZ=. }} Da {{math|term= x |SZ=}} positiv ist, gilt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Anordnungseigenschaften/Folgerungen/Fakt |Nr=2 |SZ= }} auch {{ Relationskette | nx | \geq | y || || || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (2). Es ist {{math|term= x^{-1} |SZ=}} eine wohldefinierte, nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Anordnungseigenschaften/Folgerungen/Fakt |Nr=7 |SZ= }} positive reelle Zahl. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es eine natürliche Zahl {{ Relationskette |n | \in |\N || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |n | > | x^{-1} || || || |SZ=. }} Dies ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Anordnungseigenschaften/Folgerungen/Fakt |Nr=8 |SZ= }} äquivalent zu{{{zusatz1|}}} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 |n}} || n^{-1} | < | (x^{-1})^{-1} || x |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (3). Wegen {{ Relationskette | y | > | x || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | y-x | > | 0 || || || |SZ= }} und daher gibt es nach (2) ein {{ Relationskette | k | \in | \N_+ || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Bruch| 1 |k}} | \leq | y-x || || || |SZ=. }} Wegen (1) gibt es auch ein {{ Relationskette | n' | \in | \N || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | n' {{op:Bruch| 1 |k}} | > | x || || || |SZ=. }} Wegen der Archimedes-Eigenschaft gibt es ein {{ Relationskette | \tilde{n} | \in | \N || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \tilde{n} | \geq | -xk || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Anordnungseigenschaften/Folgerungen/Fakt |Nr=3 |SZ= }} gilt daher {{ Relationskette | (- \tilde{n} ) {{op:Bruch| 1 |k}} | \leq | x || || || |SZ=. }} Daher gibt es auch ein {{ Relationskette | n | \in | \Z || || || |SZ= }} derart, dass {{ Math/display|term= n {{op:Bruch| 1 |k}} > x \text{ und } (n-1) {{op:Bruch| 1 |k}} \leq x |SZ= }} ist. Damit ist einerseits {{ Relationskette | x | < | {{op:Bruch| n |k}} || || || |SZ= }} und andererseits {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| n |k}} || {{op:Bruch|n-1|k}} + {{op:Bruch| 1 |k}} | < | x + y-x || y || |SZ=, }} wie gewünscht. |Teilabschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pg6pzzmp0x9k2x2yfz28q09tw5s0gp2 0 47379 1108021 1100256 2026-07-19T14:44:05Z Bocardodarapti 2041 1108021 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine {{Stichwort|konstante Folge|SZ=}}{{{zusatz1|}}} {{ Relationskette | x_n | {{defeq|}} | c || || || |SZ= }} ist stets konvergent mit dem Grenzwert {{math|term= c |SZ=.}} Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} als Aufwandszahl {{ Relationskette |n_0 || 0 || || || |SZ= }} nehmen kann. Es ist ja {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-c}} || {{op:Betrag|c-c}} || {{op:Betrag| 0}} || 0 | < | \epsilon |SZ= }} für alle {{math|term= n |SZ=.}} Die Folge {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch| 1 |n}} || || || |SZ= }} ist {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=R| |SZ= }} mit dem Grenzwert {{math|term= 0 |SZ=.}} Es sei dazu ein beliebiges positives {{math|term= \epsilon |SZ=}} vorgegeben. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein {{math|term= n_0 |SZ=}} mit {{ Relationskette | {{op:Bruch| 1 |n_0 }} | \leq | \epsilon || || || |SZ=. }} Insgesamt gilt damit für alle {{ Relationskette | n | \geq | n_0 || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch| 1 |n}} | \leq | {{op:Bruch| 1 |n_0 }} | \leq | \epsilon |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Abstraktere Version=Angeordneter Körper/Konvergente Standardfolgen/Beispiel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qb9ybw39fjavcrtl27jy4summpu561s 0 47399 1108025 1101668 2026-07-19T14:52:16Z Bocardodarapti 2041 1108025 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation=Es sei {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=}} eine konvergente Folge mit Grenzwert {{math|term= x |SZ=.}} |Beweis= Es sei {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf {{mathl|term= \epsilon/2 |SZ=}} an. Daher gibt es ein {{math|term= n_0 |SZ=}} mit {{ Math/display|term= {{op:Betrag| x_n-x}} \leq \epsilon/2 \text{ für alle } n \geq n_0 |SZ=. }} Für beliebige {{ Relationskette | n,m | \geq | n_0 || || || |SZ= }} gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-x_m |}} | \leq | {{op:Betrag| x_n-x|}} + {{op:Betrag| x-x_m |}} | \leq | \epsilon/2 + \epsilon/2 || \epsilon |SZ=. }} |Abschluss=Also liegt eine Cauchy-Folge vor. }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sg02c9c0eauh1mqi7vnozr8z34vzhus 0 47536 1108139 777791 2026-07-20T11:26:10Z Bocardodarapti 2041 1108139 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies ist klar, da bei gegebenem {{mathl|term= (x_{m+1} {{kommadots|}} x_n) |SZ=}} die Zeilen von unten nach oben sukzessive die Werte der anderen Variablen eindeutig festlegen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} adyewe1ic2szyd3fmpbyb1lj409k4lo 0 47564 1108108 1106591 2026-07-20T10:58:19Z Bocardodarapti 2041 1108108 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Zwischenüberschrift|Aussagen}} Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, das {{Stichwort|wahr|SZ=}} oder {{Stichwort|falsch|SZ=}} sein kann{{ Zusatz/Fußnote |text=Statt {{Anführung|wahr}} sagt man auch, dass die Aussage {{Stichwort|gilt|SZ=}} oder dass sie {{Stichwort|richtig|SZ=}} ist, statt {{Anführung|falsch}} auch, dass sie nicht gilt.| |ESZ=. }} Dazu müssen die in der Aussage verwendeten Begriffe in ihrer Bedeutung klar definiert sein, damit Einigkeit darüber besteht, was damit gemeint ist, dass die Aussage wahr {{ Zusatz/Klammer |text=oder eben falsch| |SZ= }} ist. Es ist dabei durchaus erlaubt, dass man nicht entscheiden kann, ob die Aussage wahr oder falsch ist, weil man dazu Zusatzinformationen benötigt. Wichtig ist allein, dass die Prädikate wahr und falsch sinnvolle Prädikate des Gebildes aufgrund seiner syntaktischen und semantischen Gestalt sind. Die Bedingung der Bedeutungsklarheit wird von natürlich-sprachlichen Aussagen selten erfüllt. Nehmen wir z.B. den Satz {{Beispielsatz|Dieses Pferd ist schnell}} Einerseits haben wir keine Information, um welches Pferd es sich handelt, von dem da die Rede ist, und die Gültigkeit der Aussage hängt vermutlich davon ab, welches Pferd gemeint ist. Andererseits ist die Bedeutung von {{Anführung|schnell}} nicht so fest umrissen, dass, selbst wenn es klar wäre, um welches Pferd es sich handelt, vermutlich Uneinigkeit herrscht, ob es als schnell gelten soll oder nicht. In der natürlichen Sprache besteht die Möglichkeit, durch Zusatzinformationen, Kontextbezug, intersubjektive Vereinbarungen und kommunikative Bedeutungsangleichungen eine Gesprächssituation zu erzeugen, in der man über die Gültigkeit von solchen nicht scharf definierten Aussagen weitgehende Einigkeit erzielen kann. In der Logik und in der Mathematik hingegen sind diese praktischen Notlösungen nicht erlaubt, sondern die Bedeutung einer Aussage soll allein aus der Bedeutung der in ihr verwendeten Begriffe erschließbar sein, wobei diese Begriffe zuvor klar und unmissverständlich definiert worden sein müssen. Einige mathematischen Aussagen {{ Zusatz/Klammer |text=egal ob wahr oder falsch| |SZ= }} sind {{Beispielsatz| {{math|term= 5>3 |SZ=}} }} {{Beispielsatz| {{math|term= 5<3 |SZ=}} }} {{Beispielsatz| 5 ist eine natürliche Zahl}} {{Beispielsatz|Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere Zahl}} {{Beispielsatz|Für jede natürliche Zahl gibt es eine kleinere Zahl}} {{Beispielsatz|Es gibt eine natürliche Zahl, die größer oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist}} {{Beispielsatz|Es gibt eine natürliche Zahl, die kleiner oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist}} {{Beispielsatz|Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen}} {{Beispielsatz|Jede natürliche Zahl ist eine Primzahl}} {{Beispielsatz|Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von drei {{ Zusatz/Klammer |text=natürlichen| |SZ= }} Quadratzahlen darstellen}} {{Beispielsatz|Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen}} {{Beispielsatz|Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von beliebig vielen Quadratzahlen darstellen}} {{Beispielsatz|Es gibt eine natürliche Zahl, die sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen lässt, aber nicht als Summe von drei Quadratzahlen}} {{Beispielsatz|Jede gerade natürliche Zahl lässt sich als Summe von zwei Primzahlen darstellen}} {{Beispielsatz|Jede gerade natürliche Zahl {{math|term= \geq 4 |SZ=}} lässt sich als Summe von zwei Primzahlen darstellen}} Wenn man diese Aussagen versteht, und insbesondere die in ihnen verwendeten Begriffe und Symbole kennt, so sieht man, dass es sich um Aussagen handelt, die entweder wahr oder falsch sind, und zwar unabhängig davon, ob der Leser weiß, ob sie wahr oder falsch sind. Es gibt darunter übrigens auch Aussagen, von denen niemand weiß, ob sie wahr oder falsch sind. Ob ein sprachliches Gebilde eine Aussage ist hängt eben nicht vom Wissen, ob sie wahr oder falsch ist, oder vom Aufwand ab, mit dem man durch zusätzliches Nachforschen, durch Experimente oder durch logisch-mathematisches Überlegen entscheiden könnte, ob sie wahr oder falsch ist. Bei den folgenden Beispielen handelt es sich zwar um mathematische Objekte, aber nicht um Aussagen: {{Beispielsatz| 5}} {{Beispielsatz| 5+11}} {{Beispielsatz|Die Menge der Primzahlen}} {{Beispielsatz|{{math|term= A \cap B |SZ=}} }} {{Beispielsatz|Eine Summe von fünf Quadraten}} {{Beispielsatz|{{math|term= \int_a^b f(t)dt|SZ=.}} }} Statt uns jetzt mit konkreten Aussagen auseinander zu setzen, nehmen wir im Folgenden den strukturellen Standpunkt ein, dass eine Aussage eine Aussagenvariable {{math|term= p |SZ=}} ist, die einen der beiden {{Stichwort|Wahrheitswerte|msw=Wahrheitswert|SZ=}} wahr oder falsch annehmen kann. Zunächst interessiert uns dann, wie sich diese Wahrheitsbelegungen bei einer Konstruktion von neuen Aussagen aus alten Aussagen verhalten. {{Zwischenüberschrift|Verknüpfungen von Aussagen}} Man kann aus verschiedenen Aussagen neue Aussagen bilden. Aus der Aussage {{Beispielsatz|Ich fresse einen Besen}} kann man die {{Stichwort|negierte Aussage|SZ=}} {{Beispielsatz|Ich fresse {{Betonung|nicht|}} einen Besen{{ Zusatz/Fußnote |text=Die sicherste Art, zur {{Stichwort|Negation|SZ=}} zu kommen, ist eine Konstruktion wie {{Anführung|es ist nicht der Fall, dass ...|}} zu verwenden. Dies ist insbesondere beim anderen Beispielsatz zu bedenken, die Aussage {{Anführung|Marsmenschen sind nicht grün}} kann man so verstehen, dass alle Marsmenschen nicht-grün sind, oder dass eben nicht alle Marsmenschen grün, es also Ausnahmen gibt. Siehe auch den Abschnitt über Quantoren weiter unten| |ISZ=. }} }} machen, und aus den beiden Aussagen {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün}} und {{Beispielsatz|Ich fresse einen Besen}} kann man beispielsweise die folgenden neuen Aussagen basteln {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün {{Betonung|und}} ich fresse einen Besen}} {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün {{Betonung|oder}} ich fresse keinen Besen}} {{Beispielsatz|{{Betonung|Wenn}} Marsmenschen grün sind, {{Betonung|dann}} fresse ich einen Besen}} {{Beispielsatz|Wenn nicht gilt, dass Marsmenschen grün sind, dann fresse ich einen Besen}} {{Beispielsatz|Wenn Marsmenschen grün sind, dann fresse ich keinen Besen}} {{Beispielsatz|Wenn nicht gilt, dass Marsmenschen grün sind, dann fresse ich keinen Besen}} {{Beispielsatz|Marsmenschen sind {{Betonung|genau dann}} grün, {{Betonung|wenn}} ich einen Besen fresse}} Hierbei werden die einzelnen Aussagen für sich genommen nicht verändert {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf gewisse grammatische Anpassungen| |SZ=, }} sondern lediglich in einen logischen Zusammenhang zueinander gebracht. Eine solche logische Verknüpfung ist dadurch gekennzeichnet, dass sich ihr Wahrheitsgehalt allein aus den Wahrheitsgehalten der beteiligten Aussagen und der Bedeutung der {{Stichwort/-|grammatischen Konjunktionen|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aussagenlogisch spricht man von {{Stichwort|Junktoren|msw=Junktor|SZ=}}| |SZ= }} ergibt und keine weitere Information dafür erforderlich ist. Die Aussage {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün und ich fresse keinen Besen}} ist beispielsweise genau dann wahr, wenn sowohl Marsmenschen grün sind und ich keinen Besen fresse. Das ist jedenfalls die Bedeutung der logischen {{Stichwort/anf|und|SZ=-}}Verknüpfung. Eine inhaltliche Beziehung zwischen den beiden Teilaussagen ist nicht nötig. Betrachten wir zum Vergleich eine Aussage wie {{Beispielsatz|Die grünen Marsmenschen fressen Besen}} Hier entsteht eine völlig neue Aussage, die lediglich einzelne Vokabeln oder Prädikate der vorgegebenen Aussagen verwendet, ihr Wahrheitsgehalt lässt sich aber keineswegs aus den Wahrheitsgehalten der vorgegebenen Aussagen erschließen. Eine logische Verknüpfung von Aussagen liegt vor, wenn sich der Wahrheitsgehalt der Gesamtaussage aus den Wahrheitsgehalten der Teilaussagen ergibt. Die beteiligten Verknüpfungen legen dabei fest, wie sich die Wahrheitswerte der Gesamtaussage bestimmen lassen. {{Zwischenüberschrift|Aussagenvariablen und Junktoren}} Um diese Abhängigkeit allein von den einzelnen Wahrheitsgehalten und den Junktoren, nicht aber von den konkreten Aussagen und ihren Bedeutungen klarer zu machen, ist es sinnvoll, mit Aussagenvariablen zu arbeiten und die Junktoren durch Symbole zu repräsentieren. Für Aussagen schreiben wir jetzt {{ Math/display|term= p,q, \ldots |SZ=, }} und wir interessieren und also nicht für den Gehalt von {{math|term= p |SZ=,}} sondern lediglich für die möglichen Wahrheitswerte {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Belegungen|msw=Belegung|SZ=}} | |SZ= }} von {{math|term= p |SZ=,}} die wir mit {{math|term= w |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= wahr| |SZ= }} oder {{math|term= f |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=falsch| |SZ= }} bezeichnen.{{ Zusatz/Fußnote |text=Aussagen und ihre Verknüpfungen werden im Folgenden in einer formalen Sprache behandelt, die aus einer Menge an Aussagensymbolen {{math|term= p,q, \ldots |SZ=,}} dem Negationszeichen {{math|term= \neg|SZ=}} und den Junktoren {{math|term= \wedge, \vee, \rightarrow |SZ=}} besteht. Dazu kommen die Klammern {{math|term= (,) |SZ=,}} die es erlauben, ausgehend von den Aussagensymbolen mittels der Junktoren neue formale Aussagen zu bilden{{ Zusatz/Klammer |text= die beiden Wahrheitswerten {{ mathkor|term1= w |und|term2= f |SZ= }} sind nicht Teil der Sprache, sondern die Wertemenge von Belegungsfunktionen, die auf den Aussagensymbolen erklärt werden können| |SZ=. }} In dieser extrem reduzierten Sprache hat man eine klar definierte Menge von erlaubten formalen Aussagen. Sie dient dazu, aussagenlogische Sachverhalte deutlicher zu machen. Über diese Sprache sprechen wir in unserer gewöhnlichen Sprache, wobei man diese Ebenen stets auseinanderhalten muss. In diesem Zusammenhang nennt man eine formallogische Sprache auch {{Stichwort|Objektsprache|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=weil sie das Objekt der Untersuchung ist| |SZ= }} und die {{ Zusatz/Klammer |text=natürliche| |SZ= }} Sprache, in der die Untersuchung durchgeführt wird, {{Stichwort|Metasprache|SZ=.}}| |SZ= }} Bei der {{Stichwort|Negation|SZ=}} werden einfach die Wahrheitswerte vertauscht, was man mit einer einfachen {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} ausdrückt: {{Wahrheitstabelle/1|Negation|\neg p |f|w}} Bei einer konkreten Aussage gibt es in der Regel mehrere sprachliche Möglichkeiten, die Negation zu formulieren. Um die Aussage {{Anführung|ich fresse einen Besen}} zu negieren, ist es egal, ob man sagt: {{Beispielsatz|ich fresse nicht einen Besen}} {{Beispielsatz|ich fresse keinen Besen}} {{Beispielsatz|es ist nicht der Fall, dass ich einen Besen fresse}} {{Beispielsatz|es trifft nicht zu, dass ich einen Besen fresse}} Die Negation wirkt auf eine einzige Aussage, man spricht von einem {{Stichwort|einstelligen Operator|msw=Einstelliger Operator|SZ=.}} Kommen wir nun zu {{Stichwort|mehrstelligen Operatoren|msw=Mehrstelliger Operator|SZ=,}} die von mindestens zwei Aussagen abhängen. Bei der Verknüpfung von zwei Aussagen gibt es insgesamt vier mögliche Kombinationen der Wahrheitswerte, sodass jede logische Verknüpfung dadurch festgelegt ist, wie sie diesen vier Kombinationen einen Wahrheitswert zuordnet. Daher gibt es insgesamt {{math|term= 16 |SZ=}} logische Verknüpfungen, die wichtigsten sind die folgenden vier. Die {{Stichwort|Konjunktion|SZ=}} ist die {{Stichwort|Und-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind; sie ist also falsch, sobald nur eine der beteiligten Aussagen falsch ist. Die {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} der Konjunktion sieht so aus. {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion|p \wedge q|w|f|f|f}} Die {{Stichwort|Disjunktion|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Alternation|SZ=}} | |SZ= }} ist die einschließende {{Stichwort|Oder-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist wahr sobald mindestens eine der Teilaussagen wahr ist, und insbesondere auch dann wahr, wenn beide Aussagen zugleich wahr sind. Sie ist nur in dem einzigen Fall falsch, dass beide Teilaussagen falsch sind. Offensichtlich sind bei einer Konjunktion und einer Disjunktion die beteiligten Teilaussagen gleichberechtigt. {{Wahrheitstabelle/2/1|Disjunktion|p \vee q |w|w|w|f}} Die {{Stichwort|Implikation|SZ=}} ist die in der Mathematik wichtigste Verknüpfung. Mathematische Sätze haben fast immer die Gestalt einer {{ Zusatz/Klammer |text=verschachtelten| |SZ= }} Implikation. Der logische Gehalt einer Implikation ist, dass aus der Gültigkeit einer {{Stichwort|Voraussetzung|SZ=}} die Gültigkeit einer {{Stichwort|Konklusion|SZ=}} folgt{{ Zusatz/Fußnote |text=Genauer gesagt haben mathematische Sätze fast immer die Gestalt {{math|term= p_1 \wedge p_2 \wedge \ldots \wedge p_n \rightarrow q |SZ=.}}| |ESZ=. }} Sie wird meistens durch {{Anführung|Wenn {{math|term= p |SZ=}} wahr ist, dann ist auch {{math|term= q |SZ=}} wahr}} ausgedrückt. Ihre Wahrheitsbedingung ist daher, dass, wenn {{math|term= p |SZ=}} mit wahr belegt ist, dann auch {{math|term= q |SZ=}} mit wahr belegt sein muss. Dies ist erfüllt, wenn {{math|term= p |SZ=}} falsch ist oder wenn {{math|term= q |SZ=}} wahr ist{{ Zusatz/Fußnote |text=An die Wahrheitsbelegung einer Implikation für den Fall, wo der Vordersatz falsch ist, muss man sich etwas gewöhnen. Der Punkt ist, dass wenn man eine Implikation {{math|term= p \rightarrow q |SZ=}} beweist, dass man dann {{math|term= p |SZ=}} als wahr annimmt und davon ausgehend zeigen muss, dass auch {{math|term= q |SZ=}} wahr ist. Der Fall, dass {{math|term= p |SZ=}} falsch ist, kommt also in einem Implikationsbeweis gar nicht explizit vor. In diesem Fall gilt die Implikation, obwohl sie keine {{Anführung|Schlusskraft}} besitzt. Nehmen wir als Beispiel die mathematische Aussage, dass wenn eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} durch vier teilbar ist, dann ist sie gerade. Dies ist eine wahre Aussage für alle natürlichen Zahlen, sie gilt insbesondere auch für alle Zahlen, die {{Betonung/Negation|nicht|SZ=}} durch vier teilbar sind. Es gibt auch jeweils für alle drei Wahrheitsbelegungen, die eine Implikation wahr machen, Beispiele von natürlichen Zahlen, die genau diese Wahrheitsbelegung repräsentieren, nicht aber für die vierte| |ISZ=. |ESZ=. }} Ihre Wahrheitstabelle ist daher {{Wahrheitstabelle/2/1|Implikation|p \rightarrow q|w|f|w|w}} Bei einer Implikation sind die beiden beteiligten Teilaussagen nicht gleichberechtigt, die Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} sind verschiedene Aussagen. Eine Implikation hat also eine {{Stichwort/anf|Richtung|SZ=}}{{ Zusatz/Fußnote |text=Bei einer Implikation {{math|term= p \rightarrow q |SZ=}} sagt man auch, dass {{math|term= p |SZ=}} eine {{Stichwort|hinreichende Bedingung|SZ=}} für {{math|term= q |SZ=}} und dass {{math|term= q |SZ=}} eine {{Stichwort|notwendige Bedingung|SZ=}} für {{math|term= p |SZ=}} ist. Siehe dazu auch die Wahrheitstabelle zur Kontraposition weiter unten.| |ESZ=. }} Im allgemeinen Gebrauch und auch in der Mathematik werden Implikationen zumeist dann verwendet, wenn der Vordersatz der Grund für die Konklusion ist, wenn die Implikation also einen kausalen Zusammenhang ausdrückt. Diese Interpretation spielt aber im aussagenlogischen Kontext keine Rolle. Wenn die beiden Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} zugleich gelten, so wird das durch {{Anführung|genau dann ist {{math|term= p |SZ=}} wahr, wenn {{math|term= q |SZ=}} wahr ist}} ausgedrückt. Man spricht von einer {{Stichwort|Äquivalenz|SZ=}} der beiden Aussagen, die Wahrheitstabelle ist {{Wahrheitstabelle/2/1|Äquivalenz|p \leftrightarrow q|w|f|f|w}} Unter Verwendung der Negation kann man jede logische Verknüpfung durch die angeführten Verknüpfungen ausdrücken, wobei man noch nicht mal alle braucht. Z.B. kann man die Konjunktion {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso die Implikation und die Äquivalenz| |SZ= }} auf die Disjunktion zurückführen, die Wahrheitstabelle{{ Zusatz/Fußnote |text=Im Folgenden verwenden wir, um Klammern zu sparen, die Konvention, dass die Negation stärker bindet als alle mehrstelligen Junktoren, und dass die Konjunktion stärker bindet als die anderen zweistelligen Junktoren.| |SZ= }} {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion als Disjunktion|\neg ( \neg p \vee \neg q) |w|f|f|f}} zeigt nämlich, dass die Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= \neg ( \neg p \vee \neg q) |SZ=}} mit der Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= p \wedge q |SZ=}} übereinstimmt. Daher sind die beiden Ausdrücke logisch gleichwertig. Bei einem solchen nur leicht verschachtelten Ausdruck kann man die Wahrheitswerte noch einfach berechnen und damit die Wahrheitsgleichheit mit der Konjunktion feststellen. Bei komplizierteren {{ Zusatz/Klammer |text=tiefer verschachtelten| |SZ= }} Ausdrücken ist es sinnvoll, abhängig von den Belegungen der beteiligten Aussagenvariablen die Wahrheitswerte der Zwischenausdrücke zu berechnen. Im angegebenen Beispiel würde dies zur Tabelle {{Wahrheitstabelle/2/4|Konjunktion als Disjunktion|\neg p | f|f|w|w| \neg q |f|w|f|w| \neg p \vee \neg q | f|w|w|w| \neg ( \neg p \vee \neg q) |w|f|f|f}} führen. Natürlich kann man statt zwei auch beliebig viele Aussagenvariablen verwenden und daraus über die Verknüpfungen neue Aussagen konstruieren. Die Wahrheitsbelegung der zusammengesetzten Aussagen lassen sich dann ebenfalls in entsprechend größeren Wahrheitstabellen darstellen. {{Zwischenüberschrift|Tautologien}} Bei Einzelaussagen und zusammengesetzten Aussagen ist jeder Wahrheitswert erlaubt, und die Wahrheitswerte bei den verknüpften Aussagen ergeben sich aus den Einzelbelegungen über die Wahrheitsregeln, die die Junktoren auszeichnen. Abhängig von den Belegungen können somit alle Aussagen wahr oder falsch sein. Besonders interessant sind aber solche Aussagen, die unabhängig von den Einzelbelegungen stets wahr sind. Solche Aussagen nennt man {{Stichwort|Tautologien|msw=Tautologie|SZ=.}} Sie sind für die Mathematik vor allem deshalb wichtig, weil sie erlaubten Schlussweisen entsprechen, wie sie in Beweisen häufig vorkommen. Wenn man beispielsweise schon die beiden Aussagen {{ mathkor|term1= p |und|term2= p \rightarrow q |SZ= }} bewiesen hat, wobei hier {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} für konkrete Aussagen stehen, so kann man daraus auf die Gültigkeit von {{math|term= q |SZ=}} schließen. Die zugrunde liegende aussagenlogische Tautologie ist {{ Math/display|term= (p \wedge ( p \rightarrow q)) \rightarrow q |SZ=. }} Wie gesagt, eine Tautologie ist durch den konstanten Wahrheitswert wahr gekennzeichnet. Der Nachweis, dass eine gegebene Aussage eine Tautologie ist, verläuft am einfachsten über eine Wahrheitstabelle. {{Wahrheitstabelle/2/3|{{Stichwort|Ableitungsregel|SZ=}}&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|Modus ponens|SZ=}}| |SZ= }}| p \rightarrow q | w|f|w|w|p \wedge ( p \rightarrow q) |w|f|f|f| (p \wedge ( p \rightarrow q)) \rightarrow q | w|w|w|w}} {{Wahrheitstabelle/1/3|Doppelnegation| \neg p |f|w | \neg (\neg p) |w|f| p \leftrightarrow \neg ( \neg p) | w|w}} {{Wahrheitstabelle/1/2|Tertium non datur| \neg p |f|w | p \vee \neg p |w|w|}} Die Regel {{Stichwort|Tertium non datur|SZ=}} geht auf Aristoteles zurück und besagt, dass eine Aussage {{ Zusatz/Klammer |text=entweder| |SZ= }} wahr oder falsch ist und es keine dritte Möglichkeit gibt. Die obige Regel drückt formal gesehen nur aus, dass mindestens ein Wahrheitswert gelten muss, die Regel davor sagt, dass {{math|term= p |SZ=}} wahr zugleich {{math|term= \neg p |SZ=}} wahr ausschließt, was man auch den {{Stichwort|Satz vom Widerspruch|SZ=}} nennt {{ Zusatz/Klammer |text=zusammenfassend spricht man auch vom {{Stichwort|Bivalenzprinzip|SZ=}} | |SZ=. }} Die Gültigkeit dieser Regeln ist bei vielen umgangssprachlichen Aussagen fragwürdig, im Rahmen der Aussagenlogik und der Mathematik haben sie aber uneingeschränkt Gültigkeit, was wiederum damit zusammenhängt, dass in diesen Gebieten nur solche Aussagen erlaubt sind, denen ein eindeutiger Wahrheitswert zukommt. Als Beweisprinzip schlägt sich dieses logische Prinzip als {{Stichwort|Beweis durch Fallunterscheidung|SZ=}} nieder, wobei die folgende Tautologie dieses Beweisprinzip noch deutlicher ausdrückt. {{Wahrheitstabelle/2/5|Fallunterscheidung| p \rightarrow q | w|f|w|w| \neg p |f|f|w|w| \neg p \rightarrow q | w|w|w|f |((p \rightarrow q) \wedge ( \neg p \rightarrow q)) | w|f|w|f | ((p \rightarrow q) \wedge ( \neg p \rightarrow q)) \rightarrow q | w|w|w|w }} Bei der Fallunterscheidung will man {{math|term= q |SZ=}} beweisen, und man beweist es dann einerseits {{ Zusatz/Klammer |text=Fall 1| |SZ= }} unter der zusätzlichen Annahme {{math|term= p |SZ=}} und andererseits {{ Zusatz/Klammer |text=Fall 2| |SZ= }} unter der zusätzlichen Annahme {{math|term= \neg p |SZ=.}} Man muss dabei zweimal was machen, der Vorteil ist aber, dass die zusätzlichen Annahmen zusätzliche Methoden und Techniken erlauben. Die {{Stichwort|Kontraposition|SZ=}} wird häufig in Beweisen verwendet, ohne dass dies immer explizit gemacht wird. In einem Beweis nimmt man einen pragmatischen Standpunkt ein, und manchmal ist es einfacher, von {{math|term= \neg q |SZ=}} nach {{math|term= \neg p |SZ=}} zu gelangen als von {{math|term= p |SZ=}} nach {{math|term= q |SZ=.}} {{Wahrheitstabelle/2/5|Kontraposition| p \rightarrow q | w|f|w|w| \neg p |f|f|w|w| \neg q |f|w|f|w| \neg q \rightarrow \neg p | w|f|w|w | (p \rightarrow q) \leftrightarrow ( \neg q \rightarrow \neg p) | w|w|w|w }} Eine übersichtliche Möglichkeit, um die Wahheitsfunktionen von zusammengesetzten Aussagen darzustellen, bietet die {{Stichwort|disjunktive Normalform|SZ=.}} Bei zwei Aussagenvariablen {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} gibt es vier mögliche Belegungen, wobei man jede von ihnen durch {{ Math/display|term= p \wedge q ,\, p \wedge \neg q , \, \neg p \wedge q, \, \neg p \wedge \neg q |SZ= }} ausdrücken kann, und zwar in dem Sinne, dass die Konjunktion diejenige Belegung repräsentiert, bei der die Konjunktion wahr ist. Die vier elementaren oder atomaren Belegungsmöglichkeiten werden also durch vier Konjunktionen repräsentiert. Eine Aussage wie die Implikation {{mathl|term= p \rightarrow q |SZ=}} ist nur bei der Belegung {{mathl|term= p \wedge \neg q |SZ=}} falsch, bei den drei anderen Belegungen wahr. Daher ist die Implikation gleichwertig mit der Disjunktion der drei erlaubten Konjunktionen, also mit{{ Zusatz/Fußnote |text=Diese Schreibweise beinhaltet implizit, dass die Konjunktion von mehr als drei Aussagen keine Klammerung bedarf, dass also die Aussagen {{math|term= (p \vee q) \vee r |SZ=}} und {{math|term= p \vee ( q \vee r) |SZ=}} äquivalent sind.| |SZ= }}{{ Math/display|term= (p \wedge q) \vee ( \neg p \wedge q) \vee ( \neg p \wedge \neg q) |SZ=. }} Einen solchen Ausdruck nennt man disjunktive Normalform, also eine Disjunktion von Konjunktionen, in denen nur die Aussagenvariablen und ihre Negation vorkommen. Im erwähnten Beispiel der Implikation liegt also eine Tautologie {{ Math/display|term= (p \rightarrow q) \leftrightarrow ((p \wedge q) \vee ( \neg p \wedge q) \vee ( \neg p \wedge \neg q)) |SZ= }} vor, und man kann zu jeder Aussageform einen dazu äquivalenten Ausdruck in disjunktiver Normalform angeben. Die Negation von einer Tautologie{{ Zusatz/Fußnote |text=Das bedeutet nicht, dass jede Aussage, die keine Tautologie ist, eine Kontradiktion sein muss, sondern dass die formale Negation einer formallogischen Tautologie eine Kontradiktion ist. Die Negation findet also innerhalb der Objektsprache statt, nicht auf der Metaebene.| |SZ= }} ist eine {{Stichwort|Kontradiktion|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Stichwort|widersprüchliche Aussage|SZ=}} | |SZ=. }} Sie ergibt bei jeder Belegung den Wahrheitswert falsch. Man spricht daher auch von unerfüllbaren Aussagen, da es keine Wahrheitsbelegung gibt, bei der eine Kontradiktion wahr wird. {{Zwischenüberschrift|Quantoren}} Betrachten wir nochmal unsere beiden Beispielaussagen {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün}} und {{Beispielsatz|Ich fresse einen Besen|SZ=,}} und schauen uns die innere Struktur genauer an. In der ersten Aussage wird einer gewissen Art von Lebewesen eine Eigenschaft zugesprochen, so wie wenn man sagt, dass Geparden schnell sind oder dass Faultiere faul sind. Damit kann man meinen, dass Marsmenschen {{Anführung|im Normalfall|SZ=}} oder {{Anführung|fast immer}} grün sind, oder aber im strengeren Sinn, dass wirklich alle Marsmenschen grün sind. In der Mathematik interessiert man sich für Aussagen, die ohne Ausnahmen gelten {{ Zusatz/Klammer |text=wobei man allerdings in einer mathematischen Aussage die Ausnahmen auch explizit machen kann| |SZ=, }} sodass wir die Aussage im strengen Sinn verstehen wollen. Es handelt sich um eine sogenannte {{Stichwort|Allaussage|SZ=.}} In ihr kommen zwei {{Stichwort|Prädikate|msw=Prädikat|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Eigenschaften, Attribute| |SZ= }} vor, nämlich einerseits, ein Marsmensch zu sein, andererseits, grün zu sein. Ein Prädikat {{math|term= P |SZ=}} ist etwas, was einem Objekt {{ Zusatz/Klammer |text=grammatisch spricht man von einem Subjekt| |SZ=, }} einem Gegenstand, einem Element zukommen oder nicht zukommen kann. Ein Prädikat ist für sich genommen keine Aussage; aus einem Prädikat kann man aber grundsätzlich auf zwei verschiedene Arten eine Aussage machen, indem man nämlich einerseits {{ Zusatz/Klammer |text=durch {{Stichwort|einsetzen|SZ=}}| |SZ= }} für ein konkretes Objekt {{math|term= a |SZ=}} die Aussage {{ Math/display|term= P(a) |SZ= }} bildet, die bedeutet, dass das Objekt {{math|term= a |SZ=}} die Eigenschaft {{math|term= P |SZ=}} besitzt, was wahr sein kann oder eben auch nicht. Andererseits kann man daraus durch {{Stichwort|Quantifizierung|SZ=}} eine Aussage gewinnen. So kann man die Aussage bilden, dass alle Objekte {{ Zusatz/Klammer |text=typischerweise aus einer bestimmten Grundmenge| |SZ= }} die Eigenschaft {{math|term= P |SZ=}} haben, was wiederum wahr oder falsch sein kann. Das drückt man formallogisch durch {{ Math/display|term= \forall x P(x) |SZ= }} aus. Das Symbol {{Math/display|term=\forall|SZ=}} ist eine abkürzende Schreibweise für {{Stichwort/anf|für alle|SZ=,}} und besitzt ansonsten keine tiefere Bedeutung. Es wird {{Stichwort|Allquantor|SZ=}} genannt. Die obige Marsmenschenaussage kann man als {{ Math/display|term= \forall x (M(x) \rightarrow G(x)) |SZ= }} schreiben. Das bedeutet, dass für alle Objekte ohne weitere Einschränkung gilt: wenn es sich um einen Marsmenschen handelt {{ Zusatz/Klammer |text=wenn also {{math|term= M |SZ=}} zutrifft| |SZ=, }} dann ist er auch grün. Für jedes {{math|term= x |SZ=}} steht in der großen Klammer eine Aussage in der Form einer Implikation, die eben besagt, dass wenn der Vordersatz wahr ist, dann auch der Nachsatz wahr sein muss. Die zweite Beispielaussage kann bedeuten, dass ich genau einen Besen fresse oder aber mindestens einen Besen. Die Wortbedeutung des unbestimmten Artikels ist nicht eindeutig, in einer Aussage wie {{Anführung|eine Pflanze braucht Wasser}} bedeutet {{Stichwort/anf|eine|SZ=}} sogar {{Stichwort/anf|alle|SZ=.}} In der Mathematik bedeutet es fast immer {{Stichwort/anf|mindestens einen|SZ=.}} Die Besenaussage kann man also paraphrasieren als {{Beispielsatz|Es gibt einen Besen, den ich fresse|SZ=.}} Eine formallogische Repräsentierung ist {{ Math/display|term= \exists x (B(x) \wedge F(x)) |SZ=, }} wobei {{mathl|term= B(x) |SZ=}} bedeutet, dass das Objekt {{math|term= x |SZ=}} ein Besen ist und wobei {{mathl|term= F(x) |SZ=}} bedeutet, dass ich dieses {{math|term= x |SZ=}} fresse. Man könnte genauso gut {{ Math/display|term= \exists x (F(x) \wedge B(x)) |SZ= }} schreiben. Das Zeichen {{Math/display|term=\exists|SZ=}} wird {{Anführung|es gibt|}} oder {{Anführung|es existiert}} gesprochen und wird der {{Stichwort|Existenzquantor|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Existenzoperator|SZ=}} | |SZ= }} genannt. Eine Allaussage behauptet, dass ein gewisses Prädikat allen Objekten {{ Zusatz/Klammer |text=aus einer gewissen Grundmenge| |SZ= }} zukommt. Wie alle Aussagen kann dies wahr oder falsch sein. Eine Allaussage ist genau dann falsch, wenn es mindestens ein Objekt {{ Zusatz/Klammer |text=aus der Grundmenge| |SZ= }} gibt, dem das Prädikat nicht zukommt. Daher sind die beiden Quantoren, also der Allquantor und der Existenzquantor, über die Negation eng miteinander verknüpft und lassen sich gegenseitig ersetzen, und zwar gelten die Regeln {{ Math/display|term= \neg ( \forall x P(x)) \text{ ist gleichbedeutend mit } \exists x ( \neg P(x)) |SZ=, }} {{ Math/display|term= \neg ( \exists x P(x)) \text{ ist gleichbedeutend mit } \forall x ( \neg P(x)) |SZ=, }} {{ Math/display|term= \forall x P(x) \text{ ist gleichbedeutend mit } \neg ( \exists x ( \neg P(x))) |SZ= }} und {{ Math/display|term= \exists x P(x) \text{ ist gleichbedeutend mit } \neg ( \forall x ( \neg P(x))) |SZ=. }} Neben einstelligen Prädikaten wie {{mathl|term= P(x) |SZ=}} gibt es auch mehrstellige Prädikate der Form {{ Math/display|term= P(x,y) \text{ oder } Q(x,y,z) \text{ etc. } |SZ=, }} die eine Beziehung zwischen mehreren Objekten ausdrücken, wie z.B. {{Anführung|ist verwandt mit|SZ=,}} {{Anführung|ist größer als|SZ=,}} {{Anführung|sind Eltern von|SZ=}} usw. Entsprechend kann dann über die verschiedenen Variablen quantifiziert werden, d.h. man hat mit Ausdrücken der Form {{ Math/display|term= \forall x (\exists y P(x,y)),\, \exists x (\forall y P(x,y)) ,\, \forall x (\exists y (\forall z Q(x,y,z))) \text{ usw. } |SZ= }} zu tun. Statt {{mathl|term= \forall x \forall y \forall z Q(x,y,z) |SZ=}} schreibt man manchmal auch {{mathl|term= \forall x y z Q(x,y,z) |SZ=.}} Die Variablenbezeichnung in einer quantifizierten Aussage ist grundsätzlich unwichtig, d.h. es ist egal, ob man {{mathl|term= \forall a P(a) |SZ=}} oder {{mathl|term= \forall t P(t) |SZ=}} schreibt. Man darf dabei aber nur Variablennamen {{ Zusatz/Klammer |text=also Buchstaben| |SZ= }} verwenden, die im gegenwärtigen Kontext nicht schon anderweitig verwendet sind. Eine Aussage wie {{mathl|term= \forall x (\forall x P(x,x)) |SZ=}} macht keinen Sinn. Auf jede Variable darf maximal nur ein Quantor Bezug nehmen. Die Logik, die sich mit quantifizierten Aussagen auseinandersetzt, heißt {{Stichwort|Prädikatenlogik|SZ=}} oder {{Stichwort|Quantorenlogik|SZ=.}} Wir werden sie nicht systematisch entwickeln, da sie in der Mathematik als Mengentheorie auftritt. Statt {{mathl|term= P(x) |SZ=,}} dass also ein Prädikat einem Objekt zukommt, schreiben wir {{mathl|term= x \in P |SZ=,}} wobei dann {{math|term= P |SZ=}} die Menge aller Objekte bezeichnet, die diese Eigenschaft haben. Die Sprache der Mathematik wird in der Sprache der Mengen formuliert. Mehrstellige Prädikate treten in der Mathematik als Relationen auf. Das nächste mal werden wir die Sprache der Mengen in ihren Grundzügen vorstellen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Logik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Fußnoten=x |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ssq7auvdzt81zvyj5e8bzr5sbqbd7zv 106 50736 1108105 793476 2026-07-20T10:52:26Z Bocardodarapti 2041 1108105 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblattgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Algebraische ebene Kurven/Beispiele/1/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraische ebene Kurven/Beispiele/1/Schnitte mit Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe|Polynomring in drei Variablen/Z/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe|}} {{inputaufgabe|Polynomring in zwei Variablen/Z mod 5/Multipliziere x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 und x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2/Aufgabe|}} {{inputaufgabe|Algebraisch abgeschlossener Körper/Unendlich/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurve/Satz über implizite Funktionen/Zusammenhang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale ebene Kurven/(t^3-1,t^2-1)/Kurvengleichung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraische Kurve/X^2Y + 2Y^3+3Y^2 ist 0/Punkte über Z mod 7/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe|Integritätsbereich/Polynomring/Einheiten/Aufgabe||}} {{inputaufgabe|Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakterisierung mit Linearfaktoren/Fakt/Beweis/Aufgabe|}} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{inputaufgabe|Ebene algebraische Kurven/Kubiken der Form x^2 ist F(y)/Skizziere für verschiedene Vorzeichen/Aufgabe|p}} {{inputaufgabe|Polynomring/Eine Variable/Z mod 7/Polynomdivision X^4+5X^2+3 durch 2X^2+X+6/Aufgabe|p}} {{inputaufgabe|Polynomring/Eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe|p}} {{inputaufgabe|Ebene algebraische Kurven/Kreisgleichung/Punkte über endlichen Körpern/K ist F_2, F_5, F_11/Aufgabe|p}} {{ inputaufgabe |Polynomiale ebene Kurven/(t^3-t^2+4t+3,-t^2+5t-1)/Kurvengleichung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitskreis/Rationale Parametrisierung/Funktionaler Ausdruck/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} hcx87dlni5ymppog3w0c3zconvy9dfg 0 50828 1108085 1052201 2026-07-20T08:58:37Z Bocardodarapti 2041 1108085 wikitext text/x-wiki {{ inputbild |Linear function|svg| 200px {{!}} {{!}} | |Zusname=Linear_function |Autor= |Benutzer=Luks |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Polynomialdeg4|png| 200px {{!}} {{!}} | |Autor= |Benutzer=Derbeth |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} {{ inputbild |RationalDegree2byXedi|gif| 200px {{!}} {{!}} | |Autor=Sam Derbyshire |Benutzer=Ylebru |Domäne=en-wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Disk 1|svg| 200px {{!}} {{!}} | |Zusname=Disk_1 |Autor= |Benutzer=Paris 16 |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Ellipse|svg| 200px {{!}} {{!}} | |Autor= |Benutzer=Zorgit |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Cusp|png| 200px {{!}} {{!}} | |Autor= |Benutzer=Satipatthana |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Elliptic curve simple|svg| 200px {{!}} {{!}} | |Zusname=Elliptic_curve_simple |Autor=Sean K. |Benutzer=Giro720 |Domäne=en-wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Tschirnhausen cubic|svg| 200px {{!}} {{!}} | |Zusname=Tschirnhausen_cubic |Autor=Oleg Alexandrov |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Eudoxus|png| 200px {{!}} {{!}} | |Autor=Donald Hosek |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Conchoid of Pascal|png| 200px {{!}} {{!}} | |Zusname=Conchoid_of_Pascal |Autor= |Benutzer=Luke33 |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Bifolium|png| 200px {{!}} {{!}} | |Autor=Oleg Alexandrov |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Limacon|png| 200px {{!}} {{!}} | |Autor= |Benutzer=Berto |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Quadrifolium|svg| 200px {{!}} {{!}} | |Autor= |Benutzer=Gunther |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Lemniscate of Bernoulli|svg| 200px {{!}} {{!}} | |Zusname=Lemniscate_of_Bernoulli |Autor= |Benutzer=Zorgit |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} <noinclude>[[Kategorie:Theorie der algebraischen Kurven]]</noinclude> 6ft0bspwqt2j82khuh07ymuqinxlxyx 0 55724 1108033 1103109 2026-07-19T15:23:35Z Bocardodarapti 2041 1108033 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einem {{math|term= n |SZ=-}}dimensionalen Vektorraum nennt man eine Kette von {{ Definitionslink |Untervektorräumen| |SZ= }} {{ Relationskette/display | 0 || V_0 | \subset| V_1 |{{subsetdots|}}| V_{n-1} | \subset |V_n ||V |SZ= }} eine {{Definitionswort|Fahne|SZ=}} in {{math|term= V |SZ=.}} Dabei ist notwendigerweise die Dimension von {{math|term= V_i |SZ=}} gleich {{math|term= i |SZ=}} und die Kette ist nicht verfeinerbar, d.h. zwischen {{ mathkor|term1= V_i |und|term2= V_{i+1} |SZ= }} gibt es keinen echten Untervektorraum. Von daher kann man sagen, dass die Dimension eines Vektorraumes durch die maximale Länge von Ketten von Untervektorräumen gegeben ist. Wir werden in analoger Weise die Dimension einer affinen Varietät bzw. ihres Koordinatenringes und allgemeiner eines beliebigen noetherschen Ringes einführen. {{{zusatz1|}}} Bei einer affinen Varietät {{ Relationskette/display | V || V {{makl| {{ideala|}} |}} | \subseteq | K^n || || |SZ= }} kann man nicht von Untervektorräumen sprechen. Vielmehr sind die abgeschlossenen Untervarietäten {{ Zusatz/Klammer |text=Nullstellengebilde| |ISZ=|ESZ= }} von {{mathl|term= V( {{ideala|}} ) |SZ=}} die strukturgleichen Unterobjekte. Wenn man allerdings die Gerade über einem unendlichen Körper {{math|term= K |SZ=}} betrachtet, so sind sämtliche endlichen Teilmengen abgeschlossen und daher gibt es beliebig lange Ketten der Form {{ Relationskette/display |\{P_1\} | \subset| \{P_1, P_2 \} | \subset| \{P_1, P_2, P_3 \} |{{subsetdots}} |\{P_1, P_2, P_3 {{kommadots|}} P_n \} |{{subsetdots}}| K || |SZ=. }} Eine sinnvolle Dimensionstheorie lässt sich aufbauen, wenn man statt Ketten von beliebigen abgeschlossenen Teilmengen nur Ketten von irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen nimmt. Man betrachtet also Ketten {{ Relationskette/display |V_0 ||\{P\} | \subset|V_1 | \subset|V_2 |{{subsetdots}}| V_n | \subseteq| V |SZ= }} von irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen {{math|term= V_i |SZ=}} in {{math|term= V |SZ=.}} Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper entsprechen sich irreduzible Varietäten und Primideale gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Hilbertscher Nullstellensatz/Korrespondenz/Primideal/Fakt |Nr= |SZ=. }} Von daher ist die folgende Definition für einen beliebigen Ring nicht mehr überraschend. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Primidealkette/Krulldimension/Definition|| }} Unter einer maximalen Primidealkette verstehen wir eine nicht weiter verfeinerbare Primidealkette, d.h. zu {{ Relationskette | {{idealp|}}_i | \subset| {{idealp|}}_{i+1} || || || |SZ= }} gibt es kein echtes Primideal dazwischen. Eine solche maximale Primidealkette ist nicht ohne weitere Voraussetzung eine Primidealkette maximaler Länge, an lezteren kann man eben die Krulldimension ablesen. Eine jede maximale Primidealkette startet in einem {{ Definitionslink |minimalen Primideal| |Kontext=| |SZ= }} und endet in einem maximalen Ideal. Bei einem Integritätsbereich ist das Nullideal das einzige minimale Primideal. Ein Körper hat die Krulldimension {{math|term= 0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=seine Vektorraumdimension über {{math|term= K |SZ=}} ist aber {{math|term= 1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Ein Hauptidealbereich, der kein Körper ist, besitzt die Krulldimension {{math|term= 1 |SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Krulldimension/Hauptidealbereich, kein Körper/Krulldimension 1/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Im Polynomring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} über einem Körper {{math|term= K |SZ=}} hat man direkt die Primidealkette {{ Relationskette/display | 0 | \subset| {{makl| X_1 |}} | \subset| {{makl| X_1,X_2 |}} | {{subsetdots|}} | {{makl| X_1,X_2 {{kommadots|}} X_n |}} || || |SZ=, }} sodass die Dimension des Polynomringes zumindest {{math|term= n |SZ=}} ist. Es ist aber keineswegs klar, warum es nicht noch längere Ketten geben kann. {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Primideal/Dimension/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Kommutativer Ring/Primideal/Dimension/Restklassenring/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Primideal/Höhe/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Kommutativer Ring/Primideal/Höhe/Lokaler Ring/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Krulldimension |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2bph7bxhfaedi4snieznjbi9yd2ehsf 1108034 1108033 2026-07-19T15:24:03Z Bocardodarapti 2041 1108034 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einem {{math|term= n |SZ=-}}dimensionalen Vektorraum nennt man eine Kette von {{ Definitionslink |Untervektorräumen| |SZ= }} {{ Relationskette/display | 0 || V_0 | \subset| V_1 |{{subsetdots|}}| V_{n-1} | \subset |V_n ||V |SZ= }} eine {{Definitionswort|Fahne|SZ=}} in {{math|term= V |SZ=.}} Dabei ist notwendigerweise die Dimension von {{math|term= V_i |SZ=}} gleich {{math|term= i |SZ=}} und die Kette ist nicht verfeinerbar, d.h. zwischen {{ mathkor|term1= V_i |und|term2= V_{i+1} |SZ= }} gibt es keinen echten Untervektorraum. Von daher kann man sagen, dass die Dimension eines Vektorraumes durch die maximale Länge von Ketten von Untervektorräumen gegeben ist. Wir werden in analoger Weise die Dimension einer affinen Varietät bzw. ihres Koordinatenringes und allgemeiner eines beliebigen noetherschen Ringes einführen. {{{zusatz1|}}} Bei einer affinen Varietät {{ Relationskette/display | V || V {{makl| {{ideala|}} |}} | \subseteq | K^n || || |SZ= }} kann man nicht von Untervektorräumen sprechen. Vielmehr sind die abgeschlossenen Untervarietäten {{ Zusatz/Klammer |text=Nullstellengebilde| |ISZ=|ESZ= }} von {{mathl|term= V( {{ideala|}} ) |SZ=}} die strukturgleichen Unterobjekte. Wenn man allerdings die Gerade über einem unendlichen Körper {{math|term= K |SZ=}} betrachtet, so sind sämtliche endlichen Teilmengen abgeschlossen und daher gibt es beliebig lange Ketten der Form {{ Relationskette/display |\{P_1\} | \subset| \{P_1, P_2 \} | \subset| \{P_1, P_2, P_3 \} |{{subsetdots}} |\{P_1, P_2, P_3 {{kommadots|}} P_n \} |{{subsetdots}}| K || |SZ=. }} Eine sinnvolle Dimensionstheorie lässt sich aufbauen, wenn man statt Ketten von beliebigen abgeschlossenen Teilmengen nur Ketten von irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen nimmt. Man betrachtet also Ketten {{ Relationskette/display |V_0 ||\{P\} | \subset|V_1 | \subset|V_2 |{{subsetdots}}| V_n | \subseteq| V |SZ= }} von irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen {{math|term= V_i |SZ=}} in {{math|term= V |SZ=.}} Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper entsprechen sich irreduzible Varietäten und Primideale gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Hilbertscher Nullstellensatz/Korrespondenz/Primideal/Fakt |Nr= |SZ=. }} Von daher ist die folgende Definition für einen beliebigen Ring nicht mehr überraschend. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Primidealkette/Krulldimension/Definition|| }} Unter einer maximalen Primidealkette verstehen wir eine nicht weiter verfeinerbare Primidealkette, d.h. zu {{ Relationskette | {{idealp|}}_i | \subset| {{idealp|}}_{i+1} || || || |SZ= }} gibt es kein echtes Primideal dazwischen. Eine solche maximale Primidealkette ist nicht ohne weitere Voraussetzung eine Primidealkette maximaler Länge, an letzteren kann man eben die Krulldimension ablesen. Eine jede maximale Primidealkette startet in einem {{ Definitionslink |minimalen Primideal| |Kontext=| |SZ= }} und endet in einem maximalen Ideal. Bei einem Integritätsbereich ist das Nullideal das einzige minimale Primideal. 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Es ist aber keineswegs klar, warum es nicht noch längere Ketten geben kann. {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Primideal/Dimension/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Kommutativer Ring/Primideal/Dimension/Restklassenring/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Primideal/Höhe/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Kommutativer Ring/Primideal/Höhe/Lokaler Ring/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Krulldimension |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8p6uxsi9gbxh89nrj66gknexvhiv6cg 0 61207 1108023 1103290 2026-07-19T14:48:26Z Bocardodarapti 2041 1108023 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Zifferndarstellung {{ Zusatz/Klammer |text=oder Ziffernentwicklung| |ISZ=|ESZ= }} einer natürlichen Zahl haben wir bereits besprochen, für eine negative ganze Zahl nimmt man einfach die zugehörige positive Zahl und schreibt ein Minuszeichen davor. Die zu einer Ziffernfolge gehörende Zahl gewinnt man, indem man aus der Ziffernfolge eine Vorschrift herausliest, was zu addieren, was zu multiplizieren, und was zu potenzieren ist {{ Zusatz/Klammer |text=wobei Potenzieren eine bestimmte Form der Multiplikation ist| |ISZ=|ESZ=. }} Beispielsweise ist die Ziffernfolge {{ Math/display|term= 5071 |SZ= }} zu verstehen als {{Math/display|term= 5 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 +7 \cdot 10^1 +1 \cdot 10^0 |SZ=.}} Man muss also lediglich die Ziffern {{mathl|term= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 |SZ=}} und die Zahl {{math|term= 10 |SZ=}} sowie Addition und Multiplikation kennen, um die Ziffernfolge richtig zu interpretieren. Die Zifferndarstellung beruht also auf einer Kodierung von Rechenvorschriften. Die Operationen Addition und Multiplikation sollte man dabei als fundamentaler für die Zahlen ansehen als das Ziffernsystem, das lediglich eine geschickte Benennung darstellt. Für eine jede reelle Zahlen gibt es ebenfalls eine solche Ziffernentwicklung, wobei diese allerdings im Allgemeinen mit unendlich vielen Ziffern beschrieben wird. Die Bedeutung dieser Ziffernentwicklung ergibt sich im Kontext von Folgen und Reihen in Zusammenhang mit der sogenannten {{Stichwort|Vollständigkeit|SZ=}} der reellen Zahlen. Es ist nicht möglich, eine Zifferndarstellung als reelle Zahl allein mittels Addition und Multiplikation zu interpretieren. Wir betrachten zunächst eine abbrechende Ziffernentwicklung, wobei wir uns erstmal auf das Dezimalsystem beschränken. Es sei die Zahl {{ Relationskette/display | x || 5071{,}89826 || || || |SZ= }} gegeben. Sie ist zu interpretieren als die Zahl {{ Math/display|term= 5 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0 + 8 \cdot 10^{-1} + 9 \cdot 10^{-2}+ 8 \cdot 10^{-3}+ 2 \cdot 10^{-4} +6 \cdot 10^{-5} |SZ=. }} Hier schreiben wir {{mathl|term= 10^{-k} |SZ=}} statt {{mathl|term= {{op:Bruch| 1| 10^k}} |SZ=.}} Diese Zahl kann man auch direkt als Bruch {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 507189826| 100000}} |SZ= }} auffassen, es liegt also insbesondere eine rationale Zahl vor, und zwar eine mit einer Zehnerpotenz im Nenner. Um also eine abbrechende Ziffernfolge richtig als Zahl zu interpretieren, muss man addieren, multiplizieren und auch durch Zehnerpotenzen teilen können. Welche Bedeutung hat nun eine unendliche Ziffernentwicklung, wie {{ Relationskette/display | x || 5071{,}89802649511160350095368527351203476006836203451723487\dotso || || || |SZ=? }} Zunächst mal gar keine, da ja gar nicht klar ist, was mit den Punkten zum Schluss gemeint ist, wie die Zifferndarstellung weiter geht. Eine solche Schreibweise ergibt allenfalls dann Sinn, wenn in den angeführten Ziffern ein Muster erkennbar ist, dessen Fortführung ins Unendliche dann die vollständige Ziffernfolge festlegt, wie bei {{ Relationskette/display | y || 5071{,}8980 89808980 8980 8980 89808980 8980 8980 89808980 8980\dotso || || || |SZ= }} oder bei {{ Relationskette/display |z || 5071{,}010110111011110111110111111011111110\dotso || || || |SZ=. }} Man kann ein Bildungsgesetz für die unendlich vielen Ziffern auf jede beliebige Weise angeben, solange nur jede Ziffer einen eindeutigen Wert bekommt. Es sei jetzt eine irgendwie festgelegte unendliche Ziffernfolge gegeben. Welche Zahl verbirgt sich dahinter? Bei den abbrechenden Zahlen haben wir schon verwendet, dass die {{math|term= k |SZ=-}}te Nachkommastelle sich auf {{ Relationskette | 10^{-k} || {{makl| {{op:Bruch| 1| 10}} |}}^k || || || |SZ= }} bezieht. Nach dem oben angeführten Gesetz, wie eine Ziffernfolge als Zahl zu interpretieren ist, sollte eine Ziffernfolge {{ Math/display|term= 0{,}z_{1} z_2 z_3 z_4 z_5 z_6... |SZ= }} als {{ Math/display|term= z_1 10^{-1} + z_2 10^{-2} + z_3 10^{-3} + z_4 10^{-4} + z_5 10^{-5} + z_6 10^{-6} + \cdots |SZ= }} zu interpretieren sein. Dies ist eine {{Anführung|unendliche Summe|SZ=,}} und sowas ist {{Betonung/Negation|nicht}} definiert. Ausdrücke wie {{ Math/display|term= 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ \cdots |SZ= }} oder {{ Math/display|term= 1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+ \cdots |SZ= }} lassen erkennen, dass man auch keine sinnvolle Interpretation für beliebige unendliche Summen erwarten darf. Allerdings ist es möglich, und zwar unter sehr restriktiven Voraussetzungen, gewisse unendliche Summen in sinnvoller Weise als reelle Zahlen zu interpretieren. Dies benötigt einige Vorbereitungen, doch dadurch werden letztlich auch die unendlichen Dezimalentwicklungen gerechtfertigt. Mit der Interpretation der {{math|term= k |SZ=-}}ten Nachkommastelle als {{mathl|term= 10^{-k} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{mathlk|term=z_k 10^{-k} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} die ja mit wachsendem {{math|term= k |SZ=}} kleiner werden, hängt zusammen, dass zu einer unendlichen Ziffernfolge die abgeschnittene Ziffernfolge bis zur {{math|term= k |SZ=-}}ten Nachkommastelle eine rationale {{Stichwort|Approximation|SZ=}} der Zahl liefert, und dass mit wachsendem {{math|term= k |SZ=}} die Approximationen immer besser werden. Für die Ziffernfolge {{ Relationskette/display | x || 5071{,}010110111011110111110111111011111110 || || || |SZ= }} sind also {{ Relationskette/display | x_0 || 5071 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | x_1 || 5071{,}0 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | x_2 || 5071{,}01 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | x_3 || 5071{,}010 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | x_4 || 5071{,}0101 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | x_5 || 5071{,}01011 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | x_6 || 5071{,}010110 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | x_7 || 5071{,}0101101 || || || |SZ= }} zunehmend bessere Approximationen {{ Zusatz/Klammer |text=wenn eine {{math|term= 0 |SZ=}} dazukommt, kann man sich darüber streiten| |ISZ=|ESZ=. }} All diese {{math|term= x_i |SZ=}} sind rationale Zahlen, die zunehmend genauere Information über die durch die unendliche Ziffernfolge anvisierte Zahl beinhalten. Wir können also Ziffernfolgen als eine Folge von rationalen Approximationen auffassen{{{zusatz1|.}}} Eine fundamentale Beobachtung ist nun, dass Ziffernfolgen im Allgemeinen nicht die schnellste oder die beste Approximation einer Zahl geben, sondern dass häufig anders gelagerte Folgen besser sind. Deshalb werden die Approximationseigenschaften der reellen Zahlen über die fundamentalen Begriffe {{Stichwort|Folge|SZ=}} und {{Stichwort|Konvergenz|SZ=}} erfasst. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} d23yisrb5lg63s8srexehifj215yo3a 0 61219 1108018 1102810 2026-07-19T14:38:37Z Bocardodarapti 2041 1108018 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Rationale Zahlen/Brüche/Definition|| }} Einen Ausdruck {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} nennt man Bruch, wobei {{math|term= a |SZ=}} der {{Stichwort|Zähler|SZ=}} und {{math|term= b |SZ=}} der {{Stichwort|Nenner|SZ=}} des Bruches heißt. Eine rationale Zahl wird durch verschiedene Brüche beschrieben, beispielsweise ist {{ Relationskette | {{op:Bruch| 5| 10}} || {{op:Bruch| 1| 2}} || || || |SZ=. }} Man sagt auch, dass diese beiden Brüche gleichwertig sind. Für die rationale Zahl {{math|term= {{op:Bruch|a| 1}} |SZ=}} schreibt man einfach {{math|term= a |SZ=.}} In diesem Sinne sind ganze Zahlen insbesondere auch rationale Zahlen. Es gelten die folgenden Identitäten {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{ Relationskette/k |c,d |\neq| 0 || || || |SZ=, }} ansonsten seien alle {{ Relationskette |a,b,c,d | \in|\Z || || || |SZ= }} beliebig| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung4 |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1| -1}} || -1 || || || |SZ=, }} |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 0|c}} || 0 || || || |SZ=, }} |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch|c|c}} || 1 || || || |SZ=, }} |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|c}} || {{op:Bruch|ad|cd}} || || || |SZ=. }} }} Die Addition und die Multiplikation auf rationalen Zahlen wird folgendermaßen festgelegt. {{ Aufzählung2 |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|c}} \cdot {{op:Bruch|b|d}} | {{defeq}} | {{op:Bruch|ab|cd}} || || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|c}} + {{op:Bruch|b|d}} | {{defeq}} | {{op:Bruch|ad+bc|cd}} || || || || |SZ=. }} }} Man addiert also zwei rationale Zahlen, indem man die Nenner gleichnamig macht. Diese Operationen sind wohldefiniert{{{zusatz1|}}} und wie in {{math|term= \Z|SZ=}} assoziativ, kommutativ und es gilt das Distributivgesetz. Diese Eigenschaften kann man auf die entsprechenden Eigenschaften der ganzen Zahlen zurückführen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Rationale Zahlen/Rechengesetze/Bezug auf Z/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Die {{ Relationskette | 0 || {{op:Bruch| 0| 1}} || || || |SZ= }} hat wieder die Eigenschaft {{ Relationskette/display | 0 + {{op:Bruch|a|b}} || {{op:Bruch|a|b}} || || || |SZ= }} und die {{ Relationskette | 1 || {{op:Bruch| 1| 1}} || || || |SZ= }} hat wieder die Eigenschaft {{ Relationskette/display | 1 \cdot {{op:Bruch|a|b}} || {{op:Bruch|a|b}} || || || |SZ=. }} Ferner gibt es wieder zu einer rationalen Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} die negative Zahl {{ Relationskette/display | - {{op:Bruch|a|b}} || {{op:Bruch| -a|b}} || || || |SZ=. }} Sie besitzt die charakteristische Eigenschaft {{ Relationskette/display | - {{op:Bruch|a|b}} + {{op:Bruch|a|b}} || {{op:Bruch| -a+a|b}} || 0 || || |SZ=. }} Zu einer rationalen Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} mit {{ Relationskette |a,b |\neq| 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also wenn Zähler und Nenner von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden sind| |ISZ=|ESZ= }} ist auch der umgedrehte Bruch {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=}} eine rationale Zahl, und es gilt {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|b}} \cdot {{op:Bruch|b|a}} || {{op:Bruch|ab|ab}} || 1 || || |SZ=. }} Man nennt {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=}} die {{Stichwort|inverse rationale Zahl|SZ=}} zu {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=.}}{{{zusatz2|}}} Man kann die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden platzieren {{ Zusatz/Klammer |text=die ganzen Zahlen seien dort schon platziert| |ISZ=|ESZ=. }} Die rationale Zahl {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | a,b | \in| \N_+ || || || |SZ= }} findet man so: Man unterteilt die Strecke von {{math|term= 0 |SZ=}} nach {{math|term= a |SZ=}} in {{math|term= b |SZ=}} gleichlange Teilstrecken. Die Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} ist dann die rechte Grenze der {{ Zusatz/Klammer |text=von links| |ISZ=|ESZ= }} ersten Teilstrecke. Insbesondere ist {{math|term= {{op:Bruch| 1|b}} |SZ=}} die Länge des Intervalls, das {{math|term= b |SZ=-}}fach nebeneinander gelegt die Einheitsstrecke {{ Zusatz/Klammer |text=oder das Einheitsintervall| |ISZ=|ESZ= }} ergibt{{ Zusatz/Fußnote |text=Die Frage, wie man diese Unterteilung elementar durchführt, besprechen wir hier nicht| |ISZ=.|ESZ=. }} Als Punkte auf der Zahlengeraden lassen sich rationale Zahlen ihrer Größe nach vergleichen. Dabei gilt für {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|a|b|}} |und|term2= {{op:Bruch|c|d|}} |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= a,c \in \Z |und|term2= b,d \in \N_+ |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|b|}} | \geq| {{op:Bruch|c|d|}} || || || |SZ= }} genau dann, wenn in {{math|term= \Z |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | ad | \geq|bc || || || |SZ= }} gilt. Um dies von der Zahlengerade her einzusehen, bringt man die beiden rationalen Zahlen auf den Hauptnenner, d.h. man vergleicht {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|ad|bd|}} |und|term2= {{op:Bruch|cb|bd|}} |SZ=. }} Die Größerbeziehung hängt dann, wegen {{mathl|term= bd|SZ=}} positiv, allein von den beiden Zählern ab. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Fußnoten=x |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} dnpyxmwkofc6bg3av3ql2tmv4tm34jl 0 61232 1108026 1100958 2026-07-19T14:53:16Z Bocardodarapti 2041 1108026 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei eine Zifferndarstellung {{ Zusatz/Klammer |text=oder Dezimalentwicklung| |ISZ=|ESZ= }} gegeben, wobei wir uns nur um Darstellungen der Form {{mathl|term= 0,z_1 z_2 z_3 {{ldots|}} |SZ=}} kümmern müssen. Es genügt zu zeigen, dass die zugehörige Folge {{ Relationskette/display | x_n || \sum_{i {{=|}} 1}^n z_i 10^{-i} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Cauchy-Folge| |Kontext=R| |SZ= }} ist. Aufgrund der {{ Definitionslink |Vollständigkeit| |Kontext=R| |SZ= }} von {{math|term= \R |SZ=}} besitzt dann die Zifferndarstellung einen eindeutigen Grenzwert, und dieser ist die durch die Zifferndarstellung bestimmte Zahl. Dazu betrachten wir die Differenz {{ Zusatz/Klammer |text=für {{mathlk|term=m \geq n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align | x_m -x_n || \sum_{i {{=|}} 1}^m z_i 10^{-i} - \sum_{i {{=|}} 1}^n z_i 10^{-i} || \sum_{i {{=|}} n+1}^m z_i 10^{-i} || 10^{-n-1} {{makl| \sum_{j {{=|}} 0}^{m-n-1} z_{j+ n+1} 10^{-j} |}} | \leq | 10^{-n} {{makl| \sum_{j {{=|}} 0}^{m-n-1} 10^{-j} |}} |SZ=, }} wobei wir in der letzten Abschätzung verwendet haben, dass die Ziffern kleiner als {{math|term= 10 |SZ=}} sind. Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Endliche geometrische Reihe/R/Aufgabe |Nr= |SZ= }} gilt für die Summe rechts die Gleichheit {{ Relationskette/align | \sum_{j {{=|}} 0}^{m-n-1} 10^{-j} || \sum_{j {{=|}} 0}^{m-n-1} {{makl| {{op:Bruch| 1 | 10}} |}}^{j} || {{op:Bruch| 1- {{makl| {{op:Bruch| 1 | 10}} |}}^{ m-n} | 1- {{op:Bruch| 1 | 10}} }} | \leq | {{op:Bruch| 1 |\, \, {{op:Bruch| 9 | 10}} \, \, }} || {{op:Bruch| 10| 9 }} |SZ=. }} Bei gegebenem {{math|term= n |SZ=}} haben wir also für jedes {{ Relationskette |m | \geq |n || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display | x_m -x_n | \leq | 10^{-n} {{op:Bruch| 10| 9}} || || || |SZ=. }} Zu einem beliebig vorgegebenen {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} finden wir zuerst ein {{math|term= n_0 |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | 10^{-n_0 } {{op:Bruch| 10| 9}} | \leq | \epsilon || || || |SZ= }} und für {{ Relationskette |m | \geq | n | \geq | n_0 || || |SZ= }} gilt dann {{ Relationskette/display | x_m -x_n | \leq | \epsilon || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9b6e1mn4v29w9eblbmh4zy175i6lan6 0 61241 1108029 1106577 2026-07-19T14:56:54Z Bocardodarapti 2041 1108029 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Es sei {{ Relationskette | x || {{op:Bruch| a |b}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |rationale Zahl| |Kontext=| |SZ=, }} von der wir annehmen können, dass sie in {{mathl|term= [0,1[ |SZ=}} liegt. Es sei {{ Math/display|term= 0,z_1z_2z_3 ... |SZ= }} die nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Intervallteilung/Fakt |Nr= |SZ= }} zugehörige Ziffernentwicklung gemäß dem Rekursionsschema {{ mathkor|term1= z_{i+1} = \lfloor 10 {{{s|s}}}_i \rfloor |und|term2= {{{s|s}}}_{i+1} = 10 {{{s|s}}}_i -z_{i+1} |SZ=. }} Es ist einerseits {{ Relationskette | {{{s|s}}}_i | \in | [0,1[ || || || |SZ= }} und andererseits sind die {{math|term= {{{s|s}}}_i |SZ=}} rationale Zahlen mit {{math|term= b |SZ=}} als Nenner. D.h. {{math|term= {{{s|s}}}_i |SZ=}} muss eine der {{math|term= b |SZ=}} Zahlen {{ Math/display|term= 0, \, {{op:Bruch| 1 |b}} ,\,{{op:Bruch| 2 |b}} ,\,{{op:Bruch| 3 |b}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|b-1|b}} |SZ= }} sein. Unter den {{mathl|term= {{{s|s}}}_1,{{{s|s}}}_2,{{{s|s}}}_3, {{ldots|}} |SZ=}} muss es also irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir {{ Relationskette | {{{s|s}}}_k || {{{s|s}}}_\ell || || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \ell | > | k || || || |SZ=. }} Da die Zahlen {{mathl|term= z_{i+1} |SZ=}} und {{mathl|term= {{{s|s}}}_{i+1} |SZ=}} nur von {{math|term= {{{s|s}}}_i |SZ=}} abhängen, ist {{ Relationskette | z_{\ell+1} || z_{k+1} || || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | z_{\ell+2} || z_{k+2} || || || || |SZ=, }} u.s.w, d.h., es liegt eine Periodizität vor. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl {{math|term= x |SZ=}} vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl {{math|term= \neq 0 |SZ=}} noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form {{ Math/display|term= 0, z_{m-1} z_{m-2} {{ldots|}} z_0 z_{m-1} z_{m-2} {{ldots|}} z_0 z_{m-1} z_{m-2} {{ldots|}} z_0 {{ldots|}} |SZ= }} besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als {{ Math/display|term= {{makl| \sum_{i{{=}} 0}^{m-1} z_i 10^{i} |}} \cdot 0, 00 {{ldots|}} 0 0 100 {{ldots|}} 0 0 100 {{ldots|}} 0 0 100 {{ldots|}} 0 0 1 {{ldots|}} |SZ= }} auffassen, wobei die Einsen an der {{math|term= m |SZ=-}}ten, {{math|term= 2m |SZ=-}}ten usw. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten die Folge {{ Relationskette/display | y_\ell || \sum_{j {{=}} 1}^\ell {{makl| {{op:Bruch| 1 | 10}} |}}^{j m } || || || |SZ=, }} deren Glieder approximierende abbrechende Ziffernentwicklungen von {{math|term= x |SZ=}} sind {{ Zusatz/Klammer |text=wobei manche übersprungen werden| |ISZ=|ESZ=. }} Aufgrund von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Endliche geometrische Reihe/R/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | \sum_{j {{=}} 1}^\ell {{makl| {{op:Bruch| 1 | 10}} |}}^{j m } || {{op:Bruch| 1- {{makl| {{op:Bruch| 1 | 10}} |}}^{(\ell +1) m }| 1- {{makl| {{op:Bruch| 1 | 10}} |}}^{ m } }} - 1 || || || |SZ=. }} Der Limes davon {{ Zusatz/Klammer |text=für {{math|term= \ell|SZ=}} gegen unendlich| |ISZ=|ESZ= }} ist, da ja {{mathl|term= {{makl| {{op:Bruch| 1 | 10}} |}}^{(\ell +1) m } |SZ=}} gegen {{math|term= 0 |SZ=}} konvergiert, gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 1- {{makl| {{op:Bruch| 1 | 10}} |}}^{ m } }} - 1 || {{op:Bruch| 1 | {{makl| {{op:Bruch| 99 {{cdots|}} 99 | 10^m}} |}} }} - 1 || {{op:Bruch| 10^m | 99 {{cdots|}} 99 }} -1 || {{op:Bruch| 1 | 99 {{cdots|}} 99 }} || |SZ=, }} wobei jeweils {{math|term= m |SZ=}} Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hnodiktyq17iz71w4fcw3ihtr4y44wm 0 61247 1108013 1107502 2026-07-19T12:28:15Z Bocardodarapti 2041 1108013 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die treibende Kraft der Mathematik ist es, Probleme zu lösen. Schwierige Probleme gibt es in allen Bereichen der Mathematik, besonders prägnant sind sie in der Zahlentheorie, da es dort eine Vielzahl von elementar formulierbaren, ungelösten Problemen gibt. Man spricht von {{Stichwort|offenen Problemen|msw=Offenes Problem |SZ=,}} oder, wenn man eine bestimmte Erwartung hat, von einer {{Stichwort|Vermutung|SZ=.}} Als Beispiel besprechen wir das Problem der Primzahlzwillinge, zu dem es vor einigen Jahren {{ Zusatz/Klammer |text=2013| |ISZ=|ESZ= }} einen wichtigen Fortschritt gab. {{ inputdefinition |Primzahlzwilling/Definition|| }} Die ersten Beispiele für Primzahlzwillinge sind {{ Math/display|term= (3,5),\, (5,7), \, (11,13),\, (17,19),\, (29,31), \ldots |SZ=. }} Übrigens ist {{mathl|term= 3, 5, 7 |SZ=}} der einzige Doppel-Primzahlzwilling {{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Unter einem Primzahldrilling versteht man eine Konfiguration, wo {{math|term= p, p+2, p+6 |SZ=}} oder {{math|term= p, p+4, p+6 |SZ=}} Primzahlen sind, wie beispielsweise {{math|term= 41, 43, 47 |SZ=}} |ISZ=.|ESZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Doppel-Primzahlzwilling/Nur eins/Aufgabe |SZ=. }} {{ inputproblem |Primzahlzwilling/Unendlich/Problem|| }} Eine Lösung dieses Problems wäre ein mathematischer Satz, der entweder besagt, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, oder dass es nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt. D.h. das eine oder das andere müsste bewiesen werden. Bei schwierigen Problemen erwartet man nicht, dass jemand plötzlich einen Beweis hinschreibt, sondern dass eine neue und weit verzweigte Theorie entwickelt wird, mit der man letztlich einen Beweis geben kann. {{ inputbemerkung |Primzahlzwillinge/Schranke 2013/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Primzahlzwillinge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8492nsis0sb2pix8yokeu1ygwn5uwhu 0 61281 1108031 1084107 2026-07-19T15:06:50Z Bocardodarapti 2041 1108031 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, und zwar allein unter Bezug auf Rechengesetze in {{math|term= \Z|SZ=,}} dass die durch {{ Aufzählung2 |{{Math/display|term= {{op:Bruch| a |c}} \cdot {{op:Bruch| b |d}} {{defeq}} {{op:Bruch|ab|cd}} |SZ=}} |{{Math/display|term= {{op:Bruch| a |c}} + {{op:Bruch| b |d}} {{defeq}} {{op:Bruch|ad+bc|cd}} |SZ=}} }} definierte Multiplikation und Addition auf den rationalen Zahlen wohldefiniert sind, und dass die Assoziativität, die Kommutativität und das Distributivgesetz gelten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bruchdarstellung rationaler Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} niwsz3heaptr6b9z2a9qox9wt35nm4x 0 63270 1108032 1104376 2026-07-19T15:12:49Z Bocardodarapti 2041 1108032 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=ang| |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |angeordneten Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} und es sei {{ Relationskette | x | \in | K || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung8 |Man sagt, dass die Folge gegen {{math|term= x |SZ=}} {{Definitionspseudowort|hypervergiert|SZ=,}} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem {{ mathbed|term= \epsilon \in K ||bedterm1= \epsilon > 0 ||bedterm2= |SZ=, }} und alle {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ= }} gilt die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-x}} | \leq | \epsilon || || || |SZ=. }} |Man sagt, dass die Folge gegen {{math|term= x |SZ=}} {{Definitionspseudowort|supervergiert|SZ=,}} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem {{ mathbed|term= \epsilon \in K ||bedterm1= \epsilon \geq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} gibt es ein {{mathl|term= n_0 \in \N|SZ=}} derart, dass für alle {{mathl|term= n \geq n_0 |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-x}} | \leq | \epsilon || || || |SZ= }} gilt. |Man sagt, dass die Folge gegen {{math|term= x |SZ=}} {{Definitionspseudowort|megavergiert|SZ=,}} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein {{mathl|term= n_0 \in \N|SZ=}} derart, dass für alle {{mathl|term= n \geq n_0 |SZ=}} und jedes {{ mathbed|term= \epsilon \in K ||bedterm1= \epsilon > 0 ||bedterm2= |SZ=, }} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-x}} | \leq | \epsilon || || || |SZ= }} gilt. |Man sagt, dass die Folge gegen {{math|term= x |SZ=}} {{Definitionspseudowort|pseudovergiert|SZ=,}} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem {{ mathbed|term= \epsilon \in K ||bedterm1= \epsilon > 0 ||bedterm2= |SZ=, }} gibt es ein {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} derart, dass die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-x}} | \leq | \epsilon || || || |SZ= }} gilt. |Man sagt, dass die Folge gegen {{math|term= x |SZ=}} {{Definitionspseudowort|semivergiert|SZ=,}} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem {{ mathbed|term= \epsilon \in K ||bedterm1= \epsilon > 0 ||bedterm2= |SZ=, }} und jedem {{mathl|term= n_0 \in \N|SZ=}} gibt es ein {{mathl|term= n \in \N|SZ=,}} {{mathl|term= n \geq n_0 |SZ=,}} derart, dass die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-x}} | \leq | \epsilon || || || |SZ= }} gilt. |Man sagt, dass die Folge gegen {{math|term= x |SZ=}} {{Definitionspseudowort|protovergiert|SZ=,}} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein {{ mathbed|term= \epsilon \in K ||bedterm1= \epsilon > 0 ||bedterm2= |SZ=, }} derart, dass für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-x}} | \leq | \epsilon || || || |SZ= }} gilt. |Man sagt, dass die Folge gegen {{math|term= x |SZ=}} {{Definitionspseudowort|quasivergiert|SZ=,}} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein {{ mathbed|term= \epsilon \in K ||bedterm1= \epsilon > 0 ||bedterm2= |SZ=, }} und ein {{mathl|term= n_0 \in \N|SZ=}} derart, dass für alle {{mathl|term= n \geq n_0 |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| x_n-x}} | \leq | \epsilon || || || |SZ= }} gilt. |Man sagt, dass die Folge gegen {{math|term= x |SZ=}} {{Definitionspseudowort|deuterovergiert|SZ=,}} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem {{ mathbed|term= \epsilon \in K ||bedterm1= \epsilon > 0 ||bedterm2= |SZ=, }} gibt es ein {{mathl|term= n_0 \in \N|SZ=}} derart, dass für alle {{mathl|term= n \geq n_0 |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | x_n-x | \leq | \epsilon || || || |SZ= }} gilt. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8awej221p82ms2a2v0ufher6xu4n3op 0 63845 1108115 1101887 2026-07-20T11:01:25Z Bocardodarapti 2041 1108115 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{ Relationskette |J || f(I) || || || |SZ=. }} Aus dem {{ Faktlink|Zwischenwertsatz| |Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |SZ= }} folgt sofort, dass, wenn {{ Relationskette | y,z | \in | J || || || |SZ= }} sind und {{ Relationskette |u | \in | \R || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | y | \leq |u | \leq |z || || |SZ= }} gegeben ist, auch {{ Relationskette |u | \in | J || || || |SZ= }} sein muss. Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Angeordneter Körper/Abschnitt/Reell/Intervall/Aufgabe |SZ= }} ist {{math|term= J }} ein Intervall. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72e6s5hvdjf7iumjio434zpciej76ww 0 65168 1108123 848580 2026-07-20T11:08:02Z Bocardodarapti 2041 1108123 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere{{n Sie}} mit dem zweistelligen Funktionssymbol {{math|term= \cdot|SZ=}} die Aussage, dass, wenn eine Zahl {{math|term= a|SZ=}} die Zahl {{math|term= b|SZ=}} teilt und {{math|term= b|SZ=}} die Zahl {{math|term= c|SZ=}} teilt, dann {{math|term= a|SZ=}} auch {{math|term= c|SZ=}} teilt. Erstelle{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=Prädikatenlogik| |SZ= }} für diese Aussage. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5allla0ib3lqxy9gx6ov71jcqkg1vge 0 66949 1108119 1013582 2026-07-20T11:05:10Z Bocardodarapti 2041 1108119 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= T_1 \subseteq \R^n |SZ=}} und {{mathl|term= T_2 \subseteq \R^m |SZ=}} Teilmengen und {{mathl|term= T_1 \times T_2 \subseteq \R^{n+m}|SZ=}} ihre Produktmenge. a) Zeige{{n Sie}}, dass, wenn {{ mathkor|term1= T_1 |und|term2= T_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=mr| |SZ= }} sind, dann auch {{mathl|term= T_1 \times T_2 |SZ=}} beschränkt ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass, wenn {{ mathkor|term1= T_1 |und|term2= T_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=Rn| |SZ= }} sind, dann auch {{mathl|term= T_1 \times T_2 |SZ=}} kompakt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kompakten Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h984otop8y0yxjjfkj973w3zya26gnp 0 66950 1108129 1089122 2026-07-20T11:12:57Z Bocardodarapti 2041 1108129 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= a) Da die Mengen beschränkt sind, gibt es reelle Zahlen {{ mathkor|term1= b |und|term2= c |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |d(x,y) | \leq | b || || || |SZ= }} für {{mathl|term= x,y \in T_1 |SZ=}} und mit {{ Relationskette/display |d(u,v) | \leq | c || || || |SZ= }} für {{mathl|term= u,v \in T_2 |SZ=.}} Ausgeschrieben bedeutet dies, dass {{ Relationskette/display | \sqrt{ (x_1-y_1)^2 {{plusdots|}} (x_n -y_n)^2 } | \leq | b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \sqrt{ (u_1-v_1)^2 {{plusdots|}} (u_m-v_m)^2 } | \leq | c || || || |SZ= }} sind. Durch Quadrieren erhält man für ein Punktepaar {{ mathkor|term1= P=(x_1 {{kommadots|}} x_n, u_1 {{kommadots|}} u_m ) \in T_1 \times T_2 ||term2= Q=(y_1 {{kommadots|}} y_n, v_1 {{kommadots|}} v_m ) \in T_1 \times T_2 |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display |d(P,Q)^2 || (x_1-y_1)^2 {{plusdots|}} (x_n-y_n)^2 +(u_1-v_1)^2 {{plusdots|}} (u_m-v_m)^2 | \leq | b^2 +c^2 || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | d(P,Q) | \leq | \sqrt{b^2 +c^2} || || || |SZ=. }} Also ist {{mathl|term= T_1 \times T_2 |SZ=}} beschränkt. b) Kompakt bedeutet beschränkt und abgeschlossen. Wir zeigen, dass, wenn {{ mathkor|term1= T_1 |und|term2= T_2 |SZ= }} abgeschlossen sind, dann auch das Produkt {{mathl|term= T_1 \times T_2 |SZ=}} abgeschlossen ist, woraus mit Teil (a) die Aussage folgt. Die Abgeschlossenheit einer Teilmenge im {{math|term= \R^k |SZ=}} kann man mit dem {{ Faktlink |Präwort=|Folgenkriterium|Faktseitenname= Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt |Nr= |SZ= }} überprüfen. Es sei also {{mathl|term= P_i =(x_i, u_i)=x_i =(x_{1i} {{kommadots|}} x_{ni}) |SZ=}} eine Folge in {{mathl|term= T_1 \times T_2 |SZ=,}} die in {{mathl|term= \R^{n+m} |SZ=}} konvergiere, sagen wir gegen den Grenzwert {{mathl|term= P= (x_{1} {{kommadots|}} x_{n} , u_{1} {{kommadots|}} u_{m} ) |SZ=}} . Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Folgen/Konvergenz im R^n/Komponentenweise/Fakt |Nr= |SZ= }} konvergiert dann jede Komponentenfolge und daher konvergieren die beiden Folgen {{ mathkor|term1= x_i =(x_{1i} {{kommadots|}} x_{ni}) |und|term2= v_i =(v_{1i} {{kommadots|}} v_{mi}) |SZ=, }} und zwar gegen {{mathl|term= x =(x_{1} {{kommadots|}} x_{n}) |SZ=}} und {{mathl|term= u =(u_{1} {{kommadots|}} u_{m}) |SZ=.}} Da diese Folgen in {{math|term= T_1 |SZ=}} bzw. {{math|term= T_2 |SZ=}} liegen und diese beiden Mengen abgeschlossen sind, ist {{mathl|term= x \in T_1 |SZ=}} und {{mathl|term= u \in T_2 |SZ=.}} Also ist {{mathl|term= P=(x,u) \in T_1 \times T_2 |SZ=}} und somit ist die Produktmenge abgeschlossen. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f0g9vnmmii18pifmchq8q2pkce53ve7 0 69278 1108116 1096700 2026-07-20T11:01:51Z Bocardodarapti 2041 1108116 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=des|Folgenkriteriums|Faktseitenname= Stetigkeit in einem Punkt/K/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} müssen wir zeigen, dass, wenn (2) erfüllt ist, dann der Grenzwert stets der Funktionswert des Grenzwertes ist. Es sei also {{mathl|term= {{Folge| x}} |SZ=}} eine Folge in {{math|term= T |SZ=,}} die gegen {{math|term= x |SZ=}} konvergiert. Die Bildfolge {{mathl|term= f(x_n) |SZ=}} konvergiert nach Voraussetzung, sagen wir gegen {{math|term= b |SZ=.}} Wir müssen {{ Relationskette |b || f(x) || || || |SZ= }} zeigen. Wir betrachten dann die Folge {{ Math/display|term= x_1,x, x_2,x, x_3,x, x_4, \ldots |SZ=. }} Diese Folge konvergiert offenbar gegen {{math|term= x |SZ=,}} deshalb muss nach Voraussetzung auch die Bildfolge konvergieren, sagen wir gegen {{math|term= c |SZ=.}} Jede Teilfolge davon muss ebenfalls gegen {{math|term= c |SZ=}} konvergieren. Die Teilfolge, die durch die ungeraden Folgenglieder gegeben ist, ist {{mathl|term= f(x_n) |SZ=,}} und diese konvergiert gegen {{math|term= b |SZ=.}} Also ist {{ Relationskette |b || c || || || |SZ=. }} Die Teilfolge, die durch die geraden Folgenglieder gegeben ist, ist die konstante Folge {{mathl|term= f(x) |SZ=,}} die gegen {{mathl|term= f(x) |SZ=}} konvergiert. Also ist {{ Relationskette |f(x) ||b || || || |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pc19m84ti5qws8zsekqw8y4tfgk0rsx 106 70221 1108103 960114 2026-07-20T10:51:30Z Bocardodarapti 2041 1108103 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblattgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Terme/Diskutiere/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/1/Multiplikationseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynome/Berechne 2X^3+4X+5 mal X^4+5X^2+6/Zmod7/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynome/C/Brechne (4+i)X^2-3X+9i mal (-3+7i)X^2+(2+2i)X+(-1+6i)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche geometrische Reihe/Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integritätsbereich/Polynomring/Einheiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unterring/Zugehörige Polynomringe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Einsetzung/R nach C/2x^3-5x^2-4x+7/2-5i/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Eine Variable/Körper/Einsetzungshomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Umentwicklung/x^3+2x^2-3x+4/u ist x+2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Umentwicklung/z^3-(2 i)z^2+3iz-(4 5i)/w ist z 2-i/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Lösungsformel/R/Formuliere/Beweise/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In welchen Körpern gilt diese Lösungsformel ebenso? {{ inputaufgabe |Quadratisches Grundstück mit Gartenzaum/Sonnenschein/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/f(-1)ist2,f(1)ist0,f(3)ist5/Gleichungssystem/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/f(0)ist1,f(1)ist2,f(2)ist0,f(-1)ist1/Gleichungssystem/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/f(i)ist1,f(1)ist1+i,f(1-2i)ist-i/Gleichungssystem/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring in zwei Variablen/Z mod 5/Multipliziere x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 und x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring in drei Variablen/Z/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomische Formel/Polynomring/ZXY/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Polynome/C/Brechne (4+i)X^3-iX^2+2X+(3+2i) mal (2-i)X^3+(3-5i)X^2+(2+i)X+(1+5i)/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynome/Formel für X^ungerade+1/Aufgabe|p+| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Nilpotente Elemente und Einheiten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/f(0) ist -1, f(1) ist 7,f(2) ist 21, f(-1) ist -3/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/N/Erfragen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} id298y0u0fctab7nq77yjoclz6vfhpz 0 73899 1108088 1045554 2026-07-20T09:05:26Z Bocardodarapti 2041 1108088 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es soll eine {{ Zusatz/Klammer |text=quaderförmige| |ISZ=|ESZ= }} Schachtel mit den Seitenlängen {{ Relationskette | a,b,c | \in | \R_+ || || || |SZ= }} angefertigt werden, deren Inhalt gleich {{ Relationskette/display |abc || 1000 \, \rm{cm}^3 || || || |SZ= }} sein soll. {{ Aufzählung3/a |Wie müssen {{mathl|term= a,b,c |SZ=}} gewählt werden, damit der Materialaufwand für die sechs Seiten kritisch {{ Zusatz/Klammer |text=also extremal sein könnte| |ISZ=|ESZ= }} wird? |Ist der Materialaufwand unter der in a) beschriebenen Situation minimal oder maximal? |Für die Luxusversion der Schachtel aus Teil a) soll die kleinste Seitenfläche {{ Zusatz/Klammer |text=vorne und hinten| |ISZ=|ESZ= }} mit einer Goldfolie bedeckt werden. Die Materialkosten für eine solche Seite sind dreimal so hoch wie für eine normale Seite. Für welche Seitenlängen sind nun die Materialkosten extremal? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |p1=4 |p2=4 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7nywh09uhup2vvdxpxmsvhbv90wmwhh 0 73900 1108086 1096435 2026-07-20T09:04:26Z Bocardodarapti 2041 1108086 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2/a |Wir schreiben die Inhaltsbedingung als {{ Relationskette/display |f(a,b,c) || abc || 1000 || || |SZ= }} und die Flächenfunktion {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf den Faktor {{math|term= 2 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} als {{ Relationskette/display | h(a,b,c) || ab+ac+bc || || || |SZ=. }} Die Ableitungen in einem Punkt {{ Relationskette |P || {{op:Zeilenvektor| a | b |c}} || || || |SZ= }} sind {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential| f |P}} || {{op:Zeilenvektor|bc|ac|ab}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential| h |P}} || {{op:Zeilenvektor|b+c|a+c|a+b}} || || || |SZ=. }} Den Ansatz für die lineare Abhängigkeit schreiben wir als {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|b+c|a+c|a+b}} || \lambda {{op:Spaltenvektor|bc|ac|ab}} || || || |SZ=. }} Die Differenz von je zwei der Gleichungen führt auf {{ Math/display|term= b-a = \lambda c (b-a) ,\, c-a = \lambda b ( c-a), \, c-b = \lambda a (c-b) \, . |SZ= }} Wären die drei Zahlen {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} alle untereinander verschieden, so würde sich durch Kürzen sofort der Widerspruch {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1| \lambda}} || a ||b || c || |SZ= }} ergeben. Bei {{ Relationskette/display |a ||b |\neq|c || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1| \lambda}} || a || || || |SZ= }} und daraus mit der zweiten Zeile {{ Relationskette/display |a+c || c || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display |a || 0 || || || |SZ=, }} was außerhalb des Definitionsbereiches liegt. Die einzige Möglichkeit für einen extremalen Punkt ist also {{ Relationskette/display |a ||b || c || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= und {{mathl|term= \lambda= {{op:Bruch| 2|a}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display |abc || 1000 || || || |SZ= }} ist dieser Punkt {{mathl|term= (10,10,10) |SZ=.}} |Wir arbeiten mit der Abbildung {{ Abbildung/display |name=\psi |\R_+^2| \R^3 |(a,b)| {{op:Zeilenvektor| a | b | {{op:Bruch| 1000|ab}} ||}} |SZ=. }} Diese stiftet eine lokale Bijektion zwischen einer offenen Umgebung von {{mathl|term= (10,10) |SZ=}} und einer offenen Umgebung von {{mathl|term= (10,10,10) |SZ=}} der Faser von {{math|term= f |SZ=,}} sodass es zu untersuchen genügt, ob die Funktion {{ Relationskette/display | \tilde{h} || h \circ \psi || || || |SZ= }} in {{mathl|term= (10,10) |SZ=}} ein Maximum oder ein Minimum besitzt. Es gilt {{ Relationskette/display |\tilde{h} (a,b) || ab + a {{op:Bruch| 1000|ab}} + b {{op:Bruch| 1000|ab}} || ab + {{op:Bruch| 1000| b}} + {{op:Bruch| 1000|a }} || || |SZ=. }} Das totale Differential davon ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| b - {{op:Bruch| 1000|a^2}} | a - {{op:Bruch| 1000|b^2}} |}} |SZ= }} mit dem kritischen Punkt {{mathl|term= (10,10) |SZ=.}} Die Hesse-Matrix dazu ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| {{op:Bruch| 2000|a^3}} | 1| 1| {{op:Bruch| 2000|b^3}} }} |SZ=. }} Für den kritischen Punkt ist der Eintrag links oben positiv und die Determinante ist {{ Relationskette/display | 4-1 || 3 | > | 0 || || |SZ=. }} Daher ist die Matrix positiv definit und somit liegt ein lokales Minimum vor. |Es sei {{ Relationskette/display | a | \leq | b | \leq | c || || |SZ=. }} Die Zielfunktion ist jetzt {{ Relationskette/display |g(a,b,c) || 3ab+ac+bc || || || |SZ=. }} Die Lagrange-Bedingung ist somit {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 3b+c| 3a+c|a+b}} || \lambda {{op:Spaltenvektor|bc|ac|ab}} || || || |SZ=. }} Die Differenz der ersten beiden Gleichungen ist {{ Relationskette/display | 3 (b-a) || \lambda c (b-a) || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |a |\neq|b || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/display | 3 || \lambda c || || || |SZ= }} und daraus mit {{ Relationskette/display | 3b+c || \lambda b c || 3b || || |SZ= }} der Wert {{ Relationskette/display |c || 0 || || || |SZ=, }} was nicht erlaubt ist. Also ist {{ Relationskette/display |a ||b || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette/display | 2a || \lambda a^2 || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette/display | \lambda || {{op:Bruch| 2|a}} || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette/display | 3a+c || \lambda ac || 2c || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/display |c || 3a || || || |SZ=. }} Aus der Volumenbedingung {{ Relationskette/display | 1000 || a a (3a) || 3 a^3 || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette/display |a ||b || {{op:Bruch| 10| \sqrt[3]{3} }} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |c || 10 \cdot 3^{ 2/3} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6c7rwwn2tpif4z8ye95onekpo28cbgz 1108087 1108086 2026-07-20T09:04:44Z Bocardodarapti 2041 1108087 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3/a |Wir schreiben die Inhaltsbedingung als {{ Relationskette/display |f(a,b,c) || abc || 1000 || || |SZ= }} und die Flächenfunktion {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf den Faktor {{math|term= 2 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} als {{ Relationskette/display | h(a,b,c) || ab+ac+bc || || || |SZ=. }} Die Ableitungen in einem Punkt {{ Relationskette |P || {{op:Zeilenvektor| a | b |c}} || || || |SZ= }} sind {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential| f |P}} || {{op:Zeilenvektor|bc|ac|ab}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential| h |P}} || {{op:Zeilenvektor|b+c|a+c|a+b}} || || || |SZ=. }} Den Ansatz für die lineare Abhängigkeit schreiben wir als {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|b+c|a+c|a+b}} || \lambda {{op:Spaltenvektor|bc|ac|ab}} || || || |SZ=. }} Die Differenz von je zwei der Gleichungen führt auf {{ Math/display|term= b-a = \lambda c (b-a) ,\, c-a = \lambda b ( c-a), \, c-b = \lambda a (c-b) \, . |SZ= }} Wären die drei Zahlen {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} alle untereinander verschieden, so würde sich durch Kürzen sofort der Widerspruch {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1| \lambda}} || a ||b || c || |SZ= }} ergeben. Bei {{ Relationskette/display |a ||b |\neq|c || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1| \lambda}} || a || || || |SZ= }} und daraus mit der zweiten Zeile {{ Relationskette/display |a+c || c || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display |a || 0 || || || |SZ=, }} was außerhalb des Definitionsbereiches liegt. Die einzige Möglichkeit für einen extremalen Punkt ist also {{ Relationskette/display |a ||b || c || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= und {{mathl|term= \lambda= {{op:Bruch| 2|a}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display |abc || 1000 || || || |SZ= }} ist dieser Punkt {{mathl|term= (10,10,10) |SZ=.}} |Wir arbeiten mit der Abbildung {{ Abbildung/display |name=\psi |\R_+^2| \R^3 |(a,b)| {{op:Zeilenvektor| a | b | {{op:Bruch| 1000|ab}} ||}} |SZ=. }} Diese stiftet eine lokale Bijektion zwischen einer offenen Umgebung von {{mathl|term= (10,10) |SZ=}} und einer offenen Umgebung von {{mathl|term= (10,10,10) |SZ=}} der Faser von {{math|term= f |SZ=,}} sodass es zu untersuchen genügt, ob die Funktion {{ Relationskette/display | \tilde{h} || h \circ \psi || || || |SZ= }} in {{mathl|term= (10,10) |SZ=}} ein Maximum oder ein Minimum besitzt. Es gilt {{ Relationskette/display |\tilde{h} (a,b) || ab + a {{op:Bruch| 1000|ab}} + b {{op:Bruch| 1000|ab}} || ab + {{op:Bruch| 1000| b}} + {{op:Bruch| 1000|a }} || || |SZ=. }} Das totale Differential davon ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| b - {{op:Bruch| 1000|a^2}} | a - {{op:Bruch| 1000|b^2}} |}} |SZ= }} mit dem kritischen Punkt {{mathl|term= (10,10) |SZ=.}} Die Hesse-Matrix dazu ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| {{op:Bruch| 2000|a^3}} | 1| 1| {{op:Bruch| 2000|b^3}} }} |SZ=. }} Für den kritischen Punkt ist der Eintrag links oben positiv und die Determinante ist {{ Relationskette/display | 4-1 || 3 | > | 0 || || |SZ=. }} Daher ist die Matrix positiv definit und somit liegt ein lokales Minimum vor. |Es sei {{ Relationskette/display | a | \leq | b | \leq | c || || |SZ=. }} Die Zielfunktion ist jetzt {{ Relationskette/display |g(a,b,c) || 3ab+ac+bc || || || |SZ=. }} Die Lagrange-Bedingung ist somit {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 3b+c| 3a+c|a+b}} || \lambda {{op:Spaltenvektor|bc|ac|ab}} || || || |SZ=. }} Die Differenz der ersten beiden Gleichungen ist {{ Relationskette/display | 3 (b-a) || \lambda c (b-a) || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |a |\neq|b || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/display | 3 || \lambda c || || || |SZ= }} und daraus mit {{ Relationskette/display | 3b+c || \lambda b c || 3b || || |SZ= }} der Wert {{ Relationskette/display |c || 0 || || || |SZ=, }} was nicht erlaubt ist. Also ist {{ Relationskette/display |a ||b || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette/display | 2a || \lambda a^2 || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette/display | \lambda || {{op:Bruch| 2|a}} || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette/display | 3a+c || \lambda ac || 2c || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/display |c || 3a || || || |SZ=. }} Aus der Volumenbedingung {{ Relationskette/display | 1000 || a a (3a) || 3 a^3 || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette/display |a ||b || {{op:Bruch| 10| \sqrt[3]{3} }} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |c || 10 \cdot 3^{ 2/3} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k8406omjlm8f1kii0nwoh106m65clo1 0 74175 1108117 1043957 2026-07-20T11:02:41Z Bocardodarapti 2041 1108117 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{ Abbildung/display |name=f | M | M || |SZ= }} eine Abbildung. Mit {{mathl|term= f^{\circ n}|SZ=}} bezeichnen wir die {{math|term= n|SZ=-}}fache Hintereinanderschaltung von {{math|term= f |SZ=}} mit sich selbst. a) Zeige{{n Sie}}, dass, wenn {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |Lipschitz-stetig| |Kontext=| |SZ= }} ist, dann auch {{mathl|term= f^{\circ n}|SZ=}} Lipschitz-stetig ist. b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung {{math|term= f |SZ=,}} die keine {{ Definitionslink |starke Kontraktion| |Kontext=| |SZ=, }} wo aber jedes {{mathl|term= f^{\circ n} |SZ=}} für {{mathl|term= n \geq 2|SZ=}} eine starke Kontraktion ist. c) Es sei {{math|term= f|SZ=}} Lipschitz-stetig und es sei {{mathl|term= f^{\circ k}|SZ=}} eine starke Kontraktion für ein gewisses {{math|term= k|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{math|term= n_0 |SZ=}} derart gibt, dass {{mathl|term= f^{\circ n}|SZ=}} für jedes {{mathl|term= n \geq n_0 |SZ=}} eine starke Kontraktion ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Lipschitz-stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=3 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iiuev1nr6ll0l2zn4j0jxelq96001ex 0 75108 1108132 1100014 2026-07-20T11:15:36Z Bocardodarapti 2041 1108132 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es stehen {{math|term= n |SZ=}} verschiedene Produkte zum Verkauf an, wobei das {{math|term= i |SZ=-}}te Produkt {{ Zusatz/Klammer |text=pro Einheit| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= a_i |SZ=}} kostet. Ein Einkauf wird durch das {{math|term= n |SZ=-}}Tupel {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| x_1 | x_2 | \ldots| x_n }} |SZ= }} repräsentiert, wobei {{math|term= x_i |SZ=}} die vom {{math|term= i |SZ=-}}ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch {{mathl|term= \sum_{i=1}^n a_ix_i |SZ=}} beschrieben. Die Preisabbildung {{ Abbildung/display |name= |\R^n |\R | {{op:Zeilenvektor| x_1 | x_2 | \ldots| x_n }} | \sum_{i {{=}} 1}^n a_ix_i |SZ=. }} ist {{ Definitionslink |linear| |Kontext=| |SZ=. }} Dies bedeutet beispielsweise, dass, wenn man zuerst den Einkauf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x_1 | x_2 | \ldots| x_n }} |SZ=}} tätigt und eine Woche später den Einkauf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| y_1 | y_2 | \ldots| y_n }} |SZ=,}} dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x_1+y_1 | x_2+y_2 | \ldots| x_n+y_n }} |SZ=}} gekauft hätte. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r4ec0n0gukks6f4llb2ujcjlpru68x8 0 81144 1107996 993211 2026-07-19T11:59:24Z Bocardodarapti 2041 1107996 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Unter einer {{Stichwort|Klassifikation|SZ=}} versteht man in der Mathematik, eine Menge an mathematischen Objekten vollständig und übersichtlich zu beschreiben, Kriterien anzugeben, wann zwei Objekte im Wesentlichen gleich {{ Zusatz/Klammer |text=oder äquivalent| |ISZ=|ESZ= }} sind und die verschiedenen Objekte durch numerische Invarianten zu erfassen und für die Objekte möglichst einfache Vertreter anzugeben. Beispielsweise werden endlichdimensionale Vektorräume durch ihre Dimension klassifiziert, gleichdimensionale Vektorräume sind zueinander isomorph. Lineare Abbildungen von {{math|term= {{CC}}^n |SZ=}} in sich werden über die jordansche Normalform klassifiziert. Die entscheidende Frage ist hierbei, welche Jordanblöcke mit welcher Länge und zu welchen Eigenwerten wie oft vorkommen? Hier besprechen wir den Typ einer reell-symmetrischen Bilinearform. Andere Klassifikationsresultate in der linearen Algebra beziehen sich auf quadratische Formen und auf endliche Bewegungsgruppen im Raum. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Lineare Algebra (Körper) |Kategorie2=Prinzipien der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0fbtaxzhzfr808yx776cc3enosra59c 0 81475 1108114 1088993 2026-07-20T11:01:03Z Bocardodarapti 2041 1108114 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Symbolmenge {{mathl|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} bestehe aus einem einstelligen Funktionssymbol {{math|term= f |SZ=}} und zwei einstelligen Relationssymbolen {{ mathkor|term1= D |und|term2= Z |SZ=. }} Wir betrachten den Ausdruck {{ Math/display|term= \forall x (Dx \rightarrow Zfx) {{logund|}} \forall x \forall y {{makl| Dx {{logund|}} Dy {{logund|}} \neg {{makl| x {{=|}} y |}} \rightarrow \neg {{makl| fx {{=|}} fy |}} |}} |SZ=. }} Bei einer Interpretation in einer Gesamtmenge {{math|term= M |SZ=}} besagt der linke Ausdruck, dass, wenn ein Element {{math|term= m |SZ=}} zu {{math|term= D^M|SZ=}} gehört, dann der Funktionswert {{mathl|term= f^M(m) |SZ=}} zu {{mathl|term= Z^M |SZ=}} gehört. Das bedeutet also, dass eine Abbildung {{ Abbildung/display |name=f^M |D^M|Z^M || |SZ= }} vorliegt. Der rechte Ausdruck besagt somit, dass für verschiedene Elemente aus {{math|term= D^M|SZ=}} die Bilder verschieden sind, was die Injektivität dieser Abbildung bedeutet. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r0s2e09rsmjag07audvgcnqqtr254vn 0 83867 1108010 1106627 2026-07-19T12:18:29Z Bocardodarapti 2041 1108010 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text=Unter {{Stichwort|Modellierung|SZ=}} versteht man in der Mathematik den Vorgang, realweltliche Phänomene mathematisch zu erfassen, zu verstehen und zu beeinflussen. Das Zählen ist ein allgegenwärtiger Vorgang, mit dem die Anzahl von Mengen bestimmt wird, um deren Größenordnung einordnen zu können, um sicherzustellen, dass alle Schüler da sind, um den Preis der Gesamtmenge zu bestimmen, usw. Dieser alltägliche Vorgang wird mit dem Begriff einer bijektiven Abbildung erfasst bzw. modelliert. Als Gewinn dieses Modellierungsvorgangs kann man nennen: Fehlerquellen erkennen, durch Rechnungen Zählvorgänge abkürzen, die prinzipielle Korrektheit der Zählidee begründen. Mathematisch modelliert werden physikalische Prozesse, Wetterphänomene, Finanzaktionen, etc. Die Prozesse können dabei beliebig komplex sein und die adäquaten mathematischen Mittel sind dann in der Regel entsprechend komplex. In diesen komplexeren Situationen liegt ein wichtiger Gewinn darin, Aussagen über den Verlauf der Prozesse in der Zukunft mathematisch vorherzusagen. Eine typische, in der Schule auftretende Form der Modellierung ist die {{Stichwort|Textaufgabe|SZ=.}} Aus einem mehr oder weniger langen Text muss der mathematische Gehalt herausgelesen und für eine Frage die Antwort gefunden werden. Allerdings ist hier typischerweise klar, mit welchen mathematischen Methoden an die Aufgabe herangegangen werden soll. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} heu8ez711h4e1bhgfo859jurmkd211l 0 85210 1108130 1023255 2026-07-20T11:13:21Z Bocardodarapti 2041 1108130 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |{{Verknüpfungstabelle2|Symbol= \cdot| p | n |a1,1=p|a1,2=n|a2,1=n|a2,2=p||}} |{{Verknüpfungstabelle2|Symbol= \operatorname{max} | p | n |a1,1=p|a1,2=p|a2,1=p|a2,2=n||}} |Die Verknüpfungstabellen für {{ mathkor|term1= + |und|term2= \cdot |SZ= }} auf {{mathl|term= \{g,u\} |SZ=}} sind {{Verknüpfungstabelle2|Symbol= + | g | u |a1,1=g|a1,2=u|a2,1=u|a2,2=g||}} und {{Verknüpfungstabelle2|Symbol= \cdot | g | u |a1,1=g|a1,2=g|a2,1=g|a2,2=u|}} Man erkennt, dass, wenn man {{math|term= p |SZ=}} mit {{math|term= g |SZ=}} und {{math|term= n |SZ=}} mit {{math|term= u |SZ=}} identifiziert, dann die obere Multiplikation der unteren Addition und das Maximumnehmen der unteren Multiplikation entspricht. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 98dq6y1l3oaqeaan6r7y1o0y37zmxc4 0 85854 1108111 1106665 2026-07-20T10:59:38Z Bocardodarapti 2041 1108111 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Ohne Einschränkung sei {{ Relationskette |a | \leq | b || || || |SZ=. }} Wir bezeichnen die Inhalte in den Eimern zu einem bestimmten Zeitpunkt in Paarschreibweise mit {{mathl|term= (u,v) |SZ=,}} wobei {{math|term= u |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= a |SZ= }} und {{math|term= v |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= b |SZ= }} liegt. Es sei {{math|term= r |SZ=}} der Rest von {{math|term= -b|SZ=}} bei Division durch {{math|term= a |SZ=.}} Wir behaupten, dass, wenn man die Belegung {{mathl|term= (u,0) |SZ=}} durch die erlaubten Schritte erzielen kann, man dann auch {{mathl|term= (u',0) |SZ=}} erzielen kann, wobei {{math|term= u' |SZ=}} den Rest von {{mathl|term= u+r|SZ=}} modulo {{math|term= a |SZ=}} bezeichnet. Wir starten also mit {{ Math/display|term= (u,0) |SZ=. }} Durch Umschüttung kann man {{ Math/display|term= (0,u) |SZ= }} erreichen. Durch Auffüllen des kleinen Eimers und anschließende Umfüllung in den großen kann man {{ Math/display|term= (0,u+a) |SZ= }} erreichen, und ebenso der Reihe nach {{ Math/display|term= (0,u+2a),\, (0,u+2a) {{kommadots}} (0,u+ k a) |SZ=, }} wobei {{math|term= k |SZ=}} so gewählt sei, dass {{ Relationskette/display | u+k a | \leq | b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |u+ (k+1)a | > | b || || || |SZ= }} sei. Von hier aus erreichen wir {{ Math/display|term= (a, u+ka) |SZ=. }} Wir füllen nun den Inhalt des ersten Eimers in den zweiten, bis dieser voll ist. Es sei {{math|term= m |SZ=}} die umgefüllte Menge. Diese erfüllt {{ Relationskette/display | u+ka +m ||b || || || |SZ=. }} Die im ersten Eimer verbleibende Wassermenge ist somit {{ Relationskette/display |a-m || a- ( b-u-ka) || u + (k+1) a-b || || |SZ=. }} Diese Menge ist also der Rest von {{ Relationskette |u-b || u+r || || || |SZ= }} modulo {{math|term= a |SZ=,}} wie behauptet. Aufgrund von dieser Beobachtung können wir der Reihe nach folgende Belegungen erzielen {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. die Reste davon modulo a| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Math/display|term= (0,0), (r,0), (2r,0), (3r,0), \ldots |SZ=. }} Da {{math|term= b |SZ=}} teilerfremd zu {{math|term= a |SZ=}} ist, gibt es nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Bézout|Faktseitenname= Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt |Nr= |SZ= }} positive ganze Zahlen {{math|term= n,m|SZ=}} mit {{ Relationskette/display | ma-nb || 1 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=Falls {{math|term= n,m |SZ=}} negativ sind, betrachtet man einfach {{ Relationskette/k | (sb+m)a-(sa+n)b || 1 || || || |SZ= }} für ein ausreichend großes {{math|term= s}} |ISZ=|ESZ=. }} Somit ist modulo {{math|term= a |SZ=}} {{ Relationskette/display | n r | \equiv| - nb || 1-ma || 1 || |SZ=, }} sodass bei Division durch {{math|term= a |SZ=}} für ein gewisses {{math|term= n |SZ=}} der Rest von {{math|term= nr |SZ=}} gleich {{math|term= 1 |SZ=}} ist. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7z7w5mafm5bdsmg07z76dqydjxw5se4 0 86192 1108126 1084708 2026-07-20T11:09:12Z Bocardodarapti 2041 1108126 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} und es seien {{ mathkor|term1= {{idealf|}} |und|term2= {{idealg|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |gebrochene Ideale| |Kontext=Zahlkörper| |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass, wenn es ein {{ mathbed|term= r \in Q(R) ||bedterm1= r \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Relationskette/display | {{idealg|}} || r {{idealf|}} || || || |SZ= }} gibt, dann die Multiplikation mit {{math|term= r |SZ=,}} also {{ Abbildung/display |name= | Q(R) | Q(R) | f | rf |SZ=, }} einen {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulisomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{idealf|}} | {{idealg|}} || |SZ= }} induziert. |Zeige{{n Sie}}, dass wenn es irgendeinen {{math|term= R |SZ=-}}Modulisomorphismus {{ Abbildung/display |name= \varphi | {{idealf|}} | {{idealg|}} || |SZ= }} gibt, dass es dann schon ein {{ Relationskette | r | \in | Q(R) || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{idealg|}} || r {{idealf|}} || || || |SZ= }} gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gebrochenen Ideale (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6hb8akzs63lxxh3bfv2o867dbi4ght9 0 87711 1108110 952204 2026-07-20T10:59:09Z Bocardodarapti 2041 1108110 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei eine Situation gegeben, wo gewisse Orte {{ Zusatz/Klammer |text=oder Objekte| |ISZ=|ESZ= }} von gewissen anderen Orten aus erreichbar sind oder nicht. Die Erreichbarkeit kann dabei durch die Wahl eines Verkehrsmittels oder durch eine abstraktere {{ Zusatz/Klammer |text=Bewegungs| |ISZ=|ESZ=- }}Vorschrift festgelegt sein. Solche Erreichbarkeitsrelationen liefern häufig eine Äquivalenzrelation. Dass ein Ort von sich selbst aus erreichbar ist, sichert die Reflexivität. Die Symmetrie der Erreichbarkeit besagt, dass, wenn man von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} kommen kann, man dann auch von {{math|term= B |SZ=}} nach {{math|term= A |SZ=}} kommen kann. Das ist nicht für jede Erreichbarkeit selbstverständlich, für die meisten aber schon. Die Transitivität gilt immer dann, wenn man die Bewegungsvorgänge hintereinander ausführen kann, also zuerst von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} und dann von {{math|term= B |SZ=}} nach {{math|term= C |SZ=}}. Wenn erreichbar beispielsweise dadurch gegeben ist, dass man auf dem Landweg von einem Ort zu einem anderen kommen kann, so sind zwei Ortspunkte genau dann äquivalent, wenn sie auf der gleichen Insel {{ Zusatz/Klammer |text=oder dem gleichen Kontinent| |ISZ=|ESZ= }} liegen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Erreichbarkeit |Autor= |Bearbeitungsstand= }} myt96f24ctmqaauzzawhc5iyci7ih00 0 87785 1108125 1100013 2026-07-20T11:08:51Z Bocardodarapti 2041 1108125 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es stehen {{math|term= n |SZ=}} verschiedene Produkte zum Verkauf, wobei das {{math|term= i |SZ=-}}te Produkt {{ Zusatz/Klammer |text=pro Einheit| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= a_i |SZ=}} kostet. Ein Einkauf wird durch das {{math|term= n |SZ=-}}Tupel {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| x_1 | x_2 | \ldots| x_n }} |SZ= }} repräsentiert, wobei {{math|term= x_i |SZ=}} die vom {{math|term= i |SZ=-}}ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch {{mathl|term= \sum_{i=1}^n a_ix_i |SZ=}} beschrieben. Die Preisabbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |\Q^n |\Q | {{op:Zeilenvektor| x_1 | x_2 | \ldots| x_n }} | \sum_{i {{=}} 1}^n a_ix_i |SZ=. }} ist {{ Definitionslink |linear| |Kontext=Zahlenraum| |SZ=. }} Dies beruht auf {{ Relationskette/display |\varphi(x+y) || \sum_{i {{=}} 1}^n a_i (x_i +y_i) || \sum_{i {{=}} 1}^n a_i x_i + \sum_{i {{=}} 1}^n a_i y_i ||\varphi(x) + \varphi (y) || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |\varphi(sx) || \sum_{i {{=}} 1}^n a_i sx_i || s \sum_{i {{=}} 1}^n a_i x_i || s \varphi(x) || |SZ=. }} Inhaltlich bedeutet dies beispielsweise, dass, wenn man zuerst den Einkauf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x_1 | x_2 | \ldots| x_n }} |SZ=}} tätigt und eine Woche später den Einkauf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| y_1 | y_2 | \ldots| y_n }} |SZ=,}} dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x_1+y_1 | x_2+y_2 | \ldots| x_n+y_n }} |SZ=}} gekauft hätte. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Projektion |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gl8seaaviyv420ecu7hric470ff458l 0 87814 1108107 1100123 2026-07-20T10:55:57Z Bocardodarapti 2041 1108107 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Lucy Sonnenschein befindet sich an einem Obststand und möchte für {{math|term= 10 |SZ=}} Euro Obst kaufen. Dabei kosten {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils pro hundert Gramm| |ISZ=|ESZ= }} die Kirschen {{math|term= 0{,}50 |SZ=}} Euro, die Heidelbeeren {{math|term= 1{,}20 |SZ=}} Euro, die Himbeeren {{math|term= 0{,}90 |SZ=}} Euro und die Trauben {{math|term= 0{,}60 |SZ=}} Euro. Ein Einkauf wird durch ein Tupel {{mathl|term= (x,y,z,w) |SZ=}} repräsentiert, wobei sich die einzelnen Zahlen auf die gekaufte Menge {{ Zusatz/Klammer |text=in hundert Gramm| |ISZ=|ESZ= }} der Obstsorten beziehen. Der Einkaufspreis ist somit {{ Math/display|term= 0{,}5 \cdot x +1{,}2 \cdot y+ 0{,}9 \cdot z+0{,}6 \cdot w |SZ= }} und die Bedingung, genau {{math|term= 10 |SZ=}} Euro auszugeben, führt auf die Gleichung {{ Relationskette/display | 0{,}5 \cdot x +1{,}2 \cdot y+ 0{,}9 \cdot z+0{,}6 \cdot w || 10 || || || |SZ= }} bzw. in Brüchen {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot x + {{op:Bruch| 6 | 5}} \cdot y+ {{op:Bruch| 9 | 10}} \cdot z+ {{op:Bruch| 3 | 5}} \cdot w || 10 || || || |SZ=. }} Es gibt hier sehr viele Lösungen. Sie kann beispielsweise nur Kirschen kaufen, dann wären das {{math|term= 20 |SZ=}} Einheiten von den Kirschen und {{math|term= 0 |SZ=}} von den anderen Sorten. Als Tupel geschrieben ist diese Lösung {{mathl|term= (20,0,0,0) |SZ=.}} Oder sie könnte für jede Sorte gleich viel, nämlich {{mathl|term= 2{,}50 |SZ=}} Euro, ausgeben wollen, das würde das Lösungstupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| 5 | {{op:Bruch| 25| 12}} | {{op:Bruch| 25| 9}} | {{op:Bruch| 25| 6}} }} |SZ=}} ergeben. Oder sie möchte von jeder Sorte gleich viel kaufen. Dann wäre {{ Relationskette | x || y || z || w || |SZ= }} und es ergibt sich die Bedingung {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch| 1 | 2}} + {{op:Bruch| 6 | 5}} + {{op:Bruch| 9 | 10}} + {{op:Bruch| 3 | 5}} |}} x || {{op:Bruch| 32| 10}} x || 10 || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | x || {{op:Bruch| 100| 32}} || {{op:Bruch| 25| 8}} || || |SZ= }} und das Lösungstupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| 25| 8}} | {{op:Bruch| 25| 8}} | {{op:Bruch| 25| 8}} | {{op:Bruch| 25| 8}} }} |SZ=.}} Die entscheidende Beobachtung an der Situation ist, dass man sich {{ Zusatz/Klammer |text=zumindest, wenn man auch negative Zahlen zulässt| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} frei vorgeben darf und dass dadurch der Wert {{math|term= w |SZ=}} über {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch| 5 | 3}} {{makl| 10 - {{op:Bruch| 1 | 2}} \cdot x + {{op:Bruch| 6 | 5}} \cdot y+ {{op:Bruch| 9 | 10}} \cdot z |}} || || || |SZ= }} bestimmt ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qy8f4wwtsnp9dzfabjjh8ulg85402z6 0 90037 1108128 1094543 2026-07-20T11:10:21Z Bocardodarapti 2041 1108128 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es ist {{ Relationskette/display | 0,523 107 34 | \leq | x | < | 0,523 107 35 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | 0,346 892 65 | \leq | y | < | 0,346 892 66 || || |SZ=. }} Von daher ist {{ Relationskette/display | 0,86 999 999 | \leq | x+y | < | 0,870 000 01 || || |SZ=. }} Somit steht fest, dass die Summe mit {{math|term= 0,8 |SZ=}} beginnt und dass die zweite Nachkommastelle gleich {{ mathkor|term1= 6 |oder|term2= 7 |SZ= }} ist. Die dritte bis zur achten Nachkommastelle sind entweder alle gleich {{math|term= 9 |SZ=}} oder alle gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Für die neunte und die weiteren Nachkommastellen weiß man nichts, nur, dass, wenn die neunte Nachkommastelle gleich {{math|term= 9 |SZ=}} ist, dann die vorhergehenden Ziffern auch gleich {{math|term= 9 |SZ=}} sind. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dttustytf23mp8zdmc8rec90gag7cuu 106 91710 1108106 793538 2026-07-20T10:53:01Z Bocardodarapti 2041 1108106 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Kurven_(Osnabrück_2017-2018)/Arbeitsblattgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Algebraische ebene Kurven/Beispiele/1/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraische ebene Kurven/Beispiele/1/Schnitte mit Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene affine Kurve/Y^2-X^3+2/Ganzzahliger Punkt und rationaler Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kubische Kurve/Finde einen Punkt/C/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Neilsche Parabel/Bildbeschreibung durch Gleichung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale ebene Kurven/(t^3-1,t^2-1)/Kurvengleichung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Kurve/t^2-1,t^3-t/y^2 ist x^2+x^3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurve/Satz über implizite Funktionen/Zusammenhang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraische Kurve/X^2Y + 2Y^3+3Y^2 ist 0/Punkte über Z mod 7/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fermat-Kubik/Affin/Gerade/Ein Schnittpunkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Neilsche Parabel/(1,1)/Gerade trifft/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Neilsche Parabel/Einheitskreis/Schnittpunkt numerisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale Kurve/Bild/Schnitt mit Gerade/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Polynomring in drei Variablen/Z/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Polynomring in zwei Variablen/Z mod 5/Multipliziere x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 und x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Integritätsbereich/Polynomring/Integer/Aufgabe||}} {{inputaufgabe |Integritätsbereich/Polynomring/Einheiten/Aufgabe||}} {{inputaufgabe |Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakterisierung mit Linearfaktoren/Fakt/Beweis/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Algebraisch abgeschlossen/Irreduzible Polynome/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Algebraisch abgeschlossener Körper/Unendlich/Aufgabe|}} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{inputaufgabe |Ebene algebraische Kurven/Kubiken der Form x^2 ist F(y)/Skizziere für verschiedene Vorzeichen/Aufgabe|p}} {{inputaufgabe |Polynomring/Eine Variable/Z mod 7/Polynomdivision X^4+5X^2+3 durch 2X^2+X+6/Aufgabe|p}} {{inputaufgabe |Polynomring/Eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe|p}} {{inputaufgabe |Ebene algebraische Kurven/Kreisgleichung/Punkte über endlichen Körpern/K ist F_2, F_5, F_11/Aufgabe|p}} {{ inputaufgabe |Polynomiale ebene Kurven/(t^3-t^2+4t+3,-t^2+5t-1)/Kurvengleichung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitskreis/Rationale Parametrisierung/Funktionaler Ausdruck/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 662uwblblltbj0z6grzuknakdr489zs 0 96917 1108121 1090263 2026-07-20T11:06:58Z Bocardodarapti 2041 1108121 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Partielles Ableiten bezüglich einer Variablen {{math|term= X |SZ=}} und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen {{math|term= Y |SZ=}} sind vertauschbar. Es sei {{ Relationskette | P | \in | V_+(F) || || || |SZ= }} ein Punkt der Kurve. Dieser Punkt liegt in einer der offenen affinen Mengen {{ mathkor|term1= D_+(X), D_+(Y) |oder|term2= D_+(Z) |SZ=, }} auf der wir die Glattheit testen können. Ohne Einschränkung können wir {{ Relationskette | P | \in | D_+(X) || || || |SZ= }} annehmen. Wir schreiben {{ Relationskette |P || (1,b,c) || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= G |SZ=}} die inhomogene Gleichung der Kurve, die aus {{math|term= F |SZ=}} entsteht, indem man {{math|term= X |SZ=}} gleich {{math|term= 1 |SZ=}} setzt. Wenn {{math|term= P |SZ=}} ein glatter Punkt von {{math|term= V(G) |SZ=}} ist, so bedeutet dies, dass die beiden partiellen Ableitungen {{ mathkor|term1= {{op:Partielle Ableitung| G |Y}} |und|term2= {{op:Partielle Ableitung| G |Z}} |SZ= }} nicht simultan im Punkt {{ Relationskette | P || (a,b) || || || |SZ= }} verschwinden. Sagen wir {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| G | Y |P}} |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Nach der Vorbemerkung ist dann auch {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| F | Y |a,b,1}} || {{op:Partielle Ableitung| G | Y |a,b}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} und das homogene Ableitungskriterium ist erfüllt. Wenn umgekehrt das homogene Kriterium erfüllt ist, und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| F | Y |a,b,1}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. die partielle Ableitung nach {{math|term= Z |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} so ergibt sich direkt {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung| G | Y |P}} |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Homogenes Polynom/Darstellung mit formalen partiellen Ableitungen/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Grad Polynom| F |}} \cdot F || X {{op:Partielle Ableitung| F |X}} + Y {{op:Partielle Ableitung| F |Y}} + Z {{op:Partielle Ableitung| F |Z}} || || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass, wenn die partiellen Ableitungen {{ mathkor|term1= {{op:Partielle Ableitung| F |Y}} |und|term2= {{op:Partielle Ableitung| F |Z}} |SZ= }} im Punkt {{math|term= P |SZ=}} verschwinden, dann auch {{mathl|term= {{op:Partielle Ableitung| F |X}} |SZ=}} in diesem Punkt verschwindet, und dass das homogene Kriterium nicht erfüllt sein kann. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n8bmgkpnw1cse7ddpmbmd61q1j7oygo 0 97722 1108027 845613 2026-07-19T14:56:15Z Bocardodarapti 2041 1108027 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Welche Ziffernentwicklung hat eine {{ Definitionslink |Mersennesche Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} im Dualsystem? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mersenneschen Primzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 23tix1lrvfsae4mdtifpwpyu531rxdq 0 100701 1108041 1086677 2026-07-19T17:30:09Z Bocardodarapti 2041 1108041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir beweisen zuerst die Äquivalenz zwischen (1) und (2). Der Restklassenmodul {{mathl|term= {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 |SZ=}} ist ein {{math|term= R /{{idealm|}} |SZ=-}}Vektorraum, der {{ Faktlink |Präwort=nach dem|Lemma von Nakayama|Faktseitenname= Lokaler Ring/Modulerzeuger und Erzeuger mod m/Fakt |Nr= |SZ= }} die {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} {{math|term= d |SZ=}} besitzt. Wenn {{ Relationskette/display |(f_1 {{kommadots|}} f_n,f_{n+1} {{kommadots|}} f_d) || {{idealm|}} || || || |SZ= }} ist, so bilden die Restklassen eine Basis von {{mathl|term= {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 |SZ=}} und jedes Teilsystem davon ist linear unabhängig. Wenn umgekehrt die Restklassen von {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} in {{mathl|term= {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 |SZ=}} linear unabhängig sind, so lassen diese sich {{ Faktlink |Präwort=nach dem|Basisergänzungssatz|Faktseitenname= Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt |Nr= |SZ= }} durch {{ Relationskette | g_{n+1} {{kommadots|}} g_d | \in | {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 || || || |SZ= }} zu einer Basis von {{mathl|term= {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 |SZ=}} ergänzen. Diese Elemente werden wiederum durch Elemente {{ Relationskette | f_{n+1} {{kommadots|}} f_d | \in | {{idealm|}} || || || |SZ= }} repräsentiert, und nach dem Lemma von Nakayama gilt {{ Relationskette/display | (f_1 {{kommadots}} f_n, f_{n+1} {{kommadots|}} f_d ) || {{idealm|}} || || || |SZ=. }} Wir beweisen nun die Äquivalenz zwischen (1) und (3). Wir setzen {{ Relationskette/display | {{ideala|}} | {{defeq|}} | (f_1 {{kommadots|}} f_n) || || || |SZ=. }} Es sei zunächst wieder durch {{mathl|term= f_{n+1} {{kommadots|}} f_d |SZ=}} eine Ergänzung zu einem vollen Erzeugendensystem von {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} gegeben. Dann sind die Restklassen von {{mathl|term= f_{n+1} {{kommadots|}} f_d |SZ=}} in {{mathl|term= R/{{ideala}} |SZ=}} ein Erzeugendensystem des maximalen Ideals {{ Relationskette/display | {{idealn|}} || {{idealm|}} / {{ideala|}} || || || |SZ= }} von {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=.}} Damit ist die {{ Definitionslink |Einbettungsdimension| |SZ= }} von {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} gleich {{mathl|term= d-n|SZ=}} und somit ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Noetherscher lokaler Ring/Einbettungsdimension/Dimension/Fakt |Nr= |SZ= }} die Dimension von {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} höchstens {{mathl|term= d-n |SZ=.}} Andererseits ist die Dimension aber auch zumindest {{math|term= d-n |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Lokal/Parameterrealisierung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Wäre nämlich die Dimension von {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} gleich {{ Relationskette/display | m | < | d-n || || || |SZ=, }} so würde es Parameter {{ Relationskette/display | g_1 {{kommadots|}} g_m | \in | R/ {{ideala|}} || || || |SZ= }} geben, und diese würden zusammen mit den {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} das maximale Ideal als Radikal beschreiben, was nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Allgemein/Fakt |Nr= |SZ= }} nicht sein kann. Wenn umgekehrt {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} regulär der Dimension {{mathl|term= d-n |SZ=}} ist, so sei {{ Relationskette/display | {{idealn|}} || (g_{n+1} {{kommadots}} g_d) || || || |SZ=. }} Diese {{math|term= g_i |SZ=}} werden durch {{ Relationskette | f_{n+1} {{kommadots}} f_d | \in | {{idealm}} || || || |SZ= }} repräsentiert und die {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} erzeugen {{math|term= {{idealm|}} |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jdea50dvtfaq7vg7bjvb7wxzfobid8b 0 101056 1108035 1101330 2026-07-19T15:25:02Z Bocardodarapti 2041 1108035 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette | f | \in | {{idealq}} || || || |SZ= }} ein minimales Primoberideal. Wir können an {{math|term= {{idealq}} |SZ=}} lokalisieren. Dann ist zu zeigen, dass ein lokaler noetherscher Ring, in dem das maximale Ideal minimal über einem Element {{math|term= f |SZ=}} ist, die Dimension {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ= }} besitzt. Da eine Primidealkette mit einem Primideal beginnt, können wir weiterhin annehmen, dass ein noetherscher lokaler Integritätsbereich vorliegt. Es sei jetzt angenommen, dass eine Primidealkette {{ Relationskette/display | 0 | \subseteq | {{idealp}} | \subset | {{idealm}} || || |SZ= }} vorliegt und dass {{math|term= {{idealm}} |SZ=}} minimal über {{ Relationskette |f |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist. Es ist {{ Relationskette | {{idealp}} || 0 || || || |SZ= }} zu zeigen. Der Restklassenring {{mathl|term= R/(f) |SZ=}} ist noethersch und besitzt die Dimension {{math|term= 0 |SZ=,}} da ja darin {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} das einzige Primideal ist. Somit ist nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Krulldimension/Noethersch/Charakterisierung von nulldimensional/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} der Ring {{mathl|term= R/(f) |SZ=}} auch {{ Definitionslink |artinsch| |Kontext=| |SZ=, }} d.h. jede absteigende Idealkette in {{math|term= R/(f) |SZ=}} wird stationär. Dies bedeutet wiederum, dass jede absteigende Idealkette in {{math|term= R |SZ=}} oberhalb von {{math|term= Rf|SZ=}} stationär wird. Wir betrachten die absteigende Idealkette {{ Relationskette/display | {{idealp}}^{(1)} +Rf | \supseteq | {{idealp}}^{(2)} +Rf | \supseteq | {{idealp}}^{(3)} +Rf | \subseteq | \ldots || |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=,}} wobei wir {{ Definitionslink |symbolische Potenzen| |Kontext=| |SZ= }} verwenden, und die entsprechende absteigende Kette in {{mathl|term= R/(f) |SZ=.}} Da dieser Ring artinsch ist, wird diese Kette konstant, d.h. es gibt ein {{math|term= n |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | {{idealp}}^{(n)} +Rf || {{idealp}}^{(n+1)} +Rf || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass sogar {{ Relationskette/display | {{idealp}}^{(n)} || {{idealp}}^{(n+1)} + {{idealp}}^{(n)} f || || || |SZ= }} gilt, wobei die Inklusion {{math|term= \supseteq |SZ=}} klar ist. Es sei also {{ Relationskette | g | \in | {{idealp}}^{(n)} || || || |SZ=. }} Wegen der ersten Gleichung ist {{ Relationskette/display |g || h +rf || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | h | \in | {{idealp}}^{(n+1)} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette | f |\notin| {{idealp|}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | r || {{op:Bruch|g-h|f}} | \in | {{idealp}}^{n}R_{{idealp}} \cap R || {{idealp}}^{(n)} || |SZ=. }} Die zuletzt bewiesene Gleichheit ergibt modulo {{math|term= {{idealp}}^{(n+1)} }} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{idealp}}^{(n)} / {{idealp}}^{(n+1)} || {{makl| {{idealp}}^{(n)}/ {{idealp}}^{(n+1)} |}} \cdot ( f) || || || |SZ=. }} Dies bedeutet wiederum {{ Relationskette/display | {{idealp}}^{(n)} || {{idealp}}^{(n+1)} || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Nakayama|Faktseitenname= Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt |Nr= |SZ=. }} Dies bedeutet in {{math|term= R_{{idealp}} |SZ=}} {{ Relationskette/display | {{makl| {{idealp}} R_{{idealp}} |}}^n || {{makl| {{idealp}} R_{{idealp}} |}}^{n+1} || || || |SZ=. }} Dies ergibt aber, wieder nach einer Version des Lemmas von Nakayama {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Lokaler Ring/Nakayama/Maximales Ideal/Potenzen/Aufgabe |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} zunächst {{ Relationskette/display | {{makl| {{idealp}} R_{{idealp}} |}}^n || 0 || || || |SZ= }} und, da {{math|term= R |SZ=}} integer ist, {{ Relationskette/display | {{idealp}} R_{{idealp}} || 0 || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | {{idealp|}} || 0 || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f3p5yl08whdgu6a5jn0if3cj3215bav 0 101130 1108061 1088238 2026-07-20T06:41:29Z Bocardodarapti 2041 1108061 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Für einen {{ Definitionslink |lokalen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |noetherschen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} sind folgende Aussagen äquivalent. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Aufzählung3 | {{math|term= R |SZ=}} ist {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=lokal| |SZ=. }} |Jeder endliche {{math|term= R |SZ=-}}Modul besitzt eine endliche {{ Definitionslink |projektive Dimension| |Kontext=lokal| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar {{math|term= \leq {{op:Krulldimension| R |}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Der {{ Definitionslink |Restklassenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | K || R/ {{idealm|}} || || || |SZ= }} besitzt endliche projektive Dimension. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der lokalen regulären Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Homologische Charakterisierung regulärer Ringe |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 62pjmzvl4m6flxyzq78oakksceqcr89 0 101132 1108057 1101442 2026-07-20T06:28:49Z Bocardodarapti 2041 1108057 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Ringbeweis |Strategie= |Richtung=123 |Beweis12= Wir führen Induktion über die Dimension {{math|term= d |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=.}} Wenn {{ Relationskette |d || 0 || || || |SZ= }} ist, so liegt ein Körper vor, und ein endlicher {{math|term= R |SZ=-}}Modul ist einfach ein endlichdimensionaler Vektorraum. Diese besitzen eine Basis und sind somit frei, besitzen also die projektive Dimension {{math|term= 0 |SZ=.}} Es sei also nun {{ Relationskette |d | \geq | 1 || || || |SZ= }} und die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. Wir nehmen ein {{ Relationskette | f | \in | {{idealm}} \setminus {{idealm}}^2 || || || |SZ=, }} was es {{ Faktlink |Präwort=nach dem|Lemma von Nakayama|Faktseitenname= Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt |Nr= |SZ= }} geben muss. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokaler regulärer Ring/Parameter/Regularität/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der Restklassenring {{mathl|term= R/(f) |SZ=}} ebenfalls regulär und hat kleinere Dimension. Es sei nun {{math|term= M |SZ=}} ein endlicher {{math|term= R |SZ=-}}Modul. Wenn {{math|term= M |SZ=}} frei ist, so ist die Aussage klar. Es sei {{math|term= M |SZ=}} nicht frei {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere nicht {{math|term= 0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und {{Math/display|term= \cdots \longrightarrow F_2 \longrightarrow F_1 \longrightarrow F_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0 |SZ=}} eine minimale freie Auflösung. Es ist zu zeigen, dass diese endlich ist. Es sei {{math|term= N |SZ=}} der Kern der Abbildung {{ Abbildung |name= |F_0 | M || |SZ=. }} Wir schneiden die Auflösung ab und erhalten eine minimale freie Auflösung {{Math/display|term= \cdots \longrightarrow F_2 \longrightarrow F_1 \longrightarrow N = {{op:Kern|\varphi_0 |}} \longrightarrow 0 |SZ=.}} Da {{math|term= M |SZ=}} nicht frei ist, ist {{math|term= N |SZ=}} nicht der Nullmodul. Da {{math|term= f |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokaler Ring/Regulär/Integer/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Nichtnullteiler in {{math|term= R |SZ=}} ist und {{math|term= N |SZ=}} ein Untermodul eines freien Moduls ist, folgt, dass {{math|term= f |SZ=}} auch ein Nichtnullteiler für {{math|term= N |SZ=}} ist. Wir können somit {{ Faktlink |Faktseitenname= Kurze exakte Sequenz/Modulo Nichtnullteiler/Fakt |Nr= |SZ= }} anwenden und erhalten einen exakten Komplex {{Math/display|term= \cdots \longrightarrow F_2/fF_2 \longrightarrow F_1/fF_1 \longrightarrow N /fN \longrightarrow 0 |SZ=.}} Dieser ist eine freie Auflösung des {{math|term= R/(f) |SZ=-}}Moduls {{mathl|term= N/fN |SZ=.}} Er ist minimal: Der Rang von {{math|term= F_1 |SZ=}} ist die minimale Erzeugendenzahl von {{math|term= N |SZ=}} über {{math|term= R |SZ=}} und diese ist die {{math|term= K |SZ=-}}Dimension von {{mathl|term= N/ {{idealm|}} N |SZ=,}} die wiederum die minimale Erzeugendenzahl von {{math|term= N/fN |SZ=}} über {{math|term= R/(f) |SZ=}} ist. Entsprechend muss man für {{mathl|term= F_2,F_3, \ldots|SZ=}} argumentieren. Nach Induktionsvoraussetzung ist {{ Relationskette/display | F_n/fF_n || 0 || || || |SZ= }} für ein {{math|term= n |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette | f | \in | {{idealm}} || || || |SZ= }} muss dann aber schon {{ Relationskette | F_n || 0 || || || |SZ= }} sein. |Beweis23= Das ist eine Einschränkung. |Beweis31= Es sei {{Math/display|term= 0 \longrightarrow F_n \longrightarrow \cdots \longrightarrow F_2 \longrightarrow F_1 \longrightarrow F_0 {{=}} R \longrightarrow R/{{idealm}} \longrightarrow 0 |SZ=}} eine minimale freie Auflösung des Restklassenkörpers. Wir zeigen durch Induktion über {{math|term= n |SZ=,}} dass {{math|term= R |SZ=}} regulär ist. Bei {{ Relationskette | n || 0 || || || |SZ= }} wird der exakte Komplex zu {{Math/display|term= 0 \longrightarrow F_0 {{=}} R \longrightarrow R/{{idealm}} \longrightarrow 0 |SZ=,}} d.h. {{math|term= R |SZ=}} ist isomorph zu seinem Restekörper und somit selbst ein Körper, also insbesondere regulär. Es sei nun {{ Relationskette | n | \geq | 1 || || || |SZ= }} und die Aussage für kleinere {{math|term= n |SZ=}} bewiesen. Wir betrachten das linke Ende der Auflösung {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow F_n \longrightarrow F_{n-1} \longrightarrow \ldots |SZ=, }} wobei {{ mathkor|term1= F_n |und|term2= F_{n-1} |SZ= }} frei und nicht {{math|term= 0 |SZ=}} sind. Das Bild liegt in {{mathl|term= {{idealm}} F_{n-1} |SZ=}} wegen der Minimalität und wegen {{ Relationskette | n | \geq | 1 || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass {{math|term= {{idealm}} |SZ=}} kein {{ Definitionslink |assoziiertes Primideal| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} ist. Andernfalls wäre {{ Relationskette/display | {{idealm|}} || {{op:Annullator| h |}} || || || |SZ= }} für ein {{ mathbed|term= h \in R ||bedterm1= h \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} und insbesondere wäre {{ Relationskette/display | h {{idealm|}} || 0 || || || |SZ=. }} Dann wäre auch {{ Relationskette | h {{idealm|}} F_{n-1} || 0 || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | h F_{n} || 0 || || || |SZ=, }} was aber bei einem freien Modul nicht sein kann. Dies bedeutet nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Modultheorie/Endlich erzeugt/Nullteiler/Assoziierte Primideale/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} einen {{ Definitionslink |Nichtnullteiler| |Kontext=| |SZ= }} enthalten muss. Daher ist die Dimension von {{math|term= R |SZ=}} zumindest {{math|term= 1 |SZ=.}} Daher ist die Inklusion {{ Relationskette/display | {{idealm}}^2 | \subset| {{idealm}} || || || |SZ= }} echt und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Primideal/Vermeidung/Zwei Ideale/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es ein {{ mathbed|term= f \in {{idealm}} |mit|bedterm1= f \notin {{idealm}}^2 \cup \bigcup_{ {{idealp|}} \in {{op:Assoziierte Primideale| R |}} } {{idealp}} ||bedterm2= |SZ=. }} Insbesondere ist {{math|term= f |SZ=}} ein Nichtnullteiler. Ähnlich wie im Beweis von (1) nach (2) ist dann auch der Komplex {{ Zusatz/Klammer |text=der Kern der nullten Abbildung ist hier das maximale Ideal| |ISZ=|ESZ= }} {{Math/display|term= 0 \longrightarrow F_n/f F_n\longrightarrow \cdots \longrightarrow F_2/f F_2 \longrightarrow F_1 /fF_1 \longrightarrow {{idealm}}/f {{idealm}} \longrightarrow 0 |SZ=}} exakt. Da {{mathl|term= {{idealm}}/f {{idealm}} |SZ=}} nicht der Restklassenkörper von {{mathl|term= F/(f) |SZ=}} ist, können wir nicht unmittelbar die Induktionsvoraussetzung anwenden. Unter dem {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | R | {{idealm|}} /f {{idealm|}} | 1 | [f] |SZ=, }} wird genau {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} auf {{math|term= 0 |SZ=}} abgebildet, wir haben also eine injektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= |R/ {{idealm|}} | {{idealm|}} /f {{idealm|}} || |SZ=. }} Wegen {{mathl|term= f \in {{idealm}} \setminus {{idealm}}^2 |SZ=}} können wir {{math|term= f |SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |minimalen Erzeugendensystem| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{mathl|term= f,g_2 {{kommadots|}} g_s |SZ=}} von {{math|term= {{idealm}} |SZ=}} ergänzen. Wir behaupten, dass es einen wohldefinierten Modulhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{idealm|}} /f {{idealm|}} | R/ {{idealm|}} || |SZ= }} gibt, der linksinvers zur obigen Einbettung ist. Dabei wird ein Element {{ Relationskette/display |h || af_1 +b_2g_2 {{plusdots|}} a_sg_s || || || |SZ= }} auf {{math|term= a |SZ=}} abgebildet. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei {{ Relationskette/display |h || a'f +b'_2g_2 {{plusdots|}} b'_sg_s || || || |SZ= }} eine weitere Darstellung. Dann ist {{ Relationskette/display | 0 || (a-a')f +(b_2-b_2')g_2 {{plusdots|}} (b_s-b'_s)g_s || || || |SZ= }} in {{mathl|term= {{idealm|}} /f {{idealm|}} |SZ=}} und das bedeutet {{ Relationskette/display | (a-a')f +(b_2-b_2')g_2 {{plusdots|}} (b_s-b'_s)g_s || f c || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | c | \in | {{idealm|}} || || || |SZ=. }} Wäre {{ Relationskette | a-a' | \notin | {{idealm}} || || || || |SZ=, }} so wäre dies eine Einheit und damit auch {{mathl|term= a-a'-c|SZ=.}} Doch dann könnte man {{math|term= f |SZ=}} als Linearkombination der {{mathl|term= g_2 {{kommadots|}} g_s |SZ=}} ausdrücken im Widerspruch zur Minimalität. Es gibt also eine direkte Zerlegung {{ Relationskette/display | {{idealm|}} /f {{idealm}} || R/{{idealm}} \oplus N || || || |SZ= }} mit einem weiteren {{math|term= R |SZ=-}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= R/(f) |SZ=-}} | |ISZ=|ESZ= }}Modul {{math|term= N |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokaler Ring/Endliche freie Auflösung/Direkter Summand/Fakt |Nr= |SZ= }} besitzen in einer solchen Situation auch die Summanden eine endliche projektive Dimension, die nicht größer als die projektive Dimension der Summe ist. Somit besitzt also der Restklassenkörper eine endliche projektive Dimension über {{mathl|term= R/(f) |SZ=.}} Nach Induktionsvoraussetzung ist somit {{math|term= R/(f) |SZ=}} regulär, und seine Dimension ist {{ Faktlink |Präwort=nach dem|Hauptidealsatz|Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} um {{math|term= 1 |SZ=}} kleiner als die von {{math|term= R |SZ=.}} Dies gilt auch für die Einbettungsdimension. Somit ist {{math|term= R |SZ=}} regulär. |Abschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ma0wg8u7sz5y0gb41rakotug6ka6hno 1108062 1108057 2026-07-20T06:45:17Z Bocardodarapti 2041 1108062 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Ringbeweis |Strategie= |Richtung=123 |Beweis12= Wir führen Induktion über die Dimension {{math|term= d |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=.}} Wenn {{ Relationskette |d || 0 || || || |SZ= }} ist, so liegt ein Körper vor, und ein endlicher {{math|term= R |SZ=-}}Modul ist einfach ein endlichdimensionaler Vektorraum. Diese besitzen eine Basis und sind somit frei, besitzen also die projektive Dimension {{math|term= 0 |SZ=.}} Es sei also nun {{ Relationskette |d | \geq | 1 || || || |SZ= }} und die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. 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Es sei {{math|term= N |SZ=}} der Kern der Abbildung {{ Abbildung |name= | F_0 | M || |SZ=. }} Wir schneiden die Auflösung ab und erhalten eine minimale freie Auflösung {{Math/display|term= \cdots \longrightarrow F_2 \longrightarrow F_1 \longrightarrow N = {{op:Kern|\varphi_0 |}} \longrightarrow 0 |SZ=.}} Da {{math|term= M |SZ=}} nicht frei ist, ist {{math|term= N |SZ=}} nicht der Nullmodul. Da {{math|term= f |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokaler Ring/Regulär/Integer/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Nichtnullteiler in {{math|term= R |SZ=}} ist und {{math|term= N |SZ=}} ein Untermodul eines freien Moduls ist, folgt, dass {{math|term= f |SZ=}} auch ein Nichtnullteiler für {{math|term= N |SZ=}} ist. Wir können somit {{ Faktlink |Faktseitenname= Kurze exakte Sequenz/Modulo Nichtnullteiler/Fakt |Nr= |SZ= }} anwenden und erhalten einen exakten Komplex {{Math/display|term= \cdots \longrightarrow F_2/fF_2 \longrightarrow F_1/fF_1 \longrightarrow N /fN \longrightarrow 0 |SZ=.}} Dieser ist eine freie Auflösung des {{math|term= R/(f) |SZ=-}}Moduls {{mathl|term= N/fN |SZ=.}} Er ist minimal: Der Rang von {{math|term= F_1 |SZ=}} ist die minimale Erzeugendenzahl von {{math|term= N |SZ=}} über {{math|term= R |SZ=}} und diese ist die {{math|term= K |SZ=-}}Dimension von {{mathl|term= N/ {{idealm|}} N |SZ=,}} die wiederum die minimale Erzeugendenzahl von {{math|term= N/fN |SZ=}} über {{math|term= R/(f) |SZ=}} ist. Entsprechend muss man für {{mathl|term= F_2,F_3, \ldots|SZ=}} argumentieren. 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Andernfalls wäre {{ Relationskette/display | {{idealm|}} || {{op:Annullator| h |}} || || || |SZ= }} für ein {{ mathbed|term= h \in R ||bedterm1= h \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} und insbesondere wäre {{ Relationskette/display | h {{idealm|}} || 0 || || || |SZ=. }} Dann wäre auch {{ Relationskette | h {{idealm|}} F_{n-1} || 0 || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | h F_{n} || 0 || || || |SZ=, }} was aber bei einem freien Modul nicht sein kann. Dies bedeutet nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Modultheorie/Endlich erzeugt/Nullteiler/Assoziierte Primideale/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} einen {{ Definitionslink |Nichtnullteiler| |Kontext=| |SZ= }} enthalten muss. 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Wir behaupten, dass es einen wohldefinierten Modulhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{idealm|}} /f {{idealm|}} | R/ {{idealm|}} || |SZ= }} gibt, der linksinvers zur obigen Einbettung ist. Dabei wird ein Element {{ Relationskette/display | h || af +b_2g_2 {{plusdots|}} a_sg_s || || || |SZ= }} auf {{math|term= a |SZ=}} abgebildet. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei {{ Relationskette/display | h || a'f +b'_2g_2 {{plusdots|}} b'_sg_s || || || |SZ= }} eine weitere Darstellung. 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Somit ist {{math|term= R |SZ=}} regulär. |Abschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2jmoh4ky419gyxpvmmxcz7t8ld3mmc 0 101154 1108049 1086793 2026-07-20T06:16:53Z Bocardodarapti 2041 1108049 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zunächst gibt es einen surjektiven {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\theta_{-1} |F{{=}} R^{r_0 }|M || |SZ=, }} wobei die Standardvektoren {{math|term= e_i |SZ=}} auf ein {{ Zusatz/Klammer |text=endliches| |ISZ=|ESZ= }} Erzeugendensystem {{math|term= m_i |SZ=}} von {{math|term= M |SZ=}} abgebildet werden. Somit hat man eine kurze exakte Sequenz {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow M_0 {{=}} {{op:Kern(|\theta_{-1} |}} \longrightarrow F_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0 |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{math|term= F_0 |SZ=}} ein {{ Definitionslink |noetherscher Modul| |Kontext=| |SZ= }} und somit ist {{math|term= M_0 |SZ=}} ebenfalls endlich erzeugt. Man findet daher wieder eine Surjektion {{ Abbildung/display |name= \theta_0 | F_1 | M_0 || |SZ= }} und so kann man induktiv fortfahren. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p618kwj35cyyx39lj5tcd7bukt4z4a0 0 101266 1108053 1103077 2026-07-20T06:22:58Z Bocardodarapti 2041 1108053 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Komplex/Definition||zusatz1={{{zusatz1|zusatz1}}} }} Dies bedeutet, dass an jeder Stelle {{ Relationskette/display | {{op:Bild|d_n |}} | \subseteq|{{op:Kern|d_{n-1}|}} || || || |SZ= }} gilt. {{ inputdefinition |Moduln/Kettenkomplex/Exaktheit/Definition|| }} Wenn ein Komplex vorliegt, so muss man für die Exaktheit die Inklusion {{ Relationskette/display | {{op:Bild| d_n |}} | \supseteq| {{op:Kern|d_{n-1}|}} || || || |SZ= }} an jeder Stelle {{math|term= n |SZ=}} nachweisen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Komplexe (homologische Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bpqjsfiaqcaky265kmvcpbh93opz0dm 0 101448 1108064 1043500 2026-07-20T06:50:09Z Bocardodarapti 2041 1108064 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Der Ring ist ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokaler Ring/Regulär/Integer/Fakt |Nr= |SZ=. }} Wir beweisen die Faktorialität durch Induktion über die Dimension {{math|term= d |SZ=}} des Ringes. Bei {{ Relationskette |d || 0 || || || |SZ= }} ist nichts zu zeigen, sei also die Faktorialität für lokale reguläre Ringe kleinerer Dimension bekannt. Es sei {{ Relationskette | f | \in | {{idealm}} \setminus {{idealm}}^2 || || || |SZ=. }} Dann ist {{math|term= R/(f) |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokaler regulärer Ring/Parameter/Regularität/Fakt |Nr= |SZ= }} regulär und insbesondere ist {{mathl|term= R/(f) |SZ=}} ein Integritätsbereich. Somit ist {{math|term= f |SZ=}} ein Primelement von {{math|term= R |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Integritätsbereich/Primelement/Nenneraufnahme/Faktoriell/Fakt |Nr= |SZ= }} genügt es zu zeigen, dass {{math|term= R_f |SZ=}} faktoriell ist. Dafür ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Noetherscher Integritätsbereich/Faktoriell/Primideale der Höhe 1/Fakt |Nr= |SZ= }} zu zeigen, dass jedes Primideal {{ Relationskette | {{idealp}} |\neq| (f) || || || |SZ= }} der Höhe {{math|term= 1 |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=}} in {{math|term= R_f|SZ=}} ein Hauptideal wird. Für jedes Primideal {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} von {{math|term= R_f |SZ=}} ist {{math|term= R_{{idealq}} |SZ=}} eine Lokalisierung von {{math|term= R |SZ=}} und somit regulär nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokaler Ring/Regulär/Lokalisierung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Da die Dimension von {{math|term= R_{{idealq}} |SZ=}} kleiner als {{math|term= d |SZ=}} ist, können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten, dass {{math|term= {{idealp|}} R_{{idealq}} |SZ=}} ein Hauptideal ist. Dies bedeutet, dass {{math|term= {{idealp|}}_f |SZ=}} lokal in {{math|term= R_f |SZ=}} ein Hauptideal ist, und zwar vom Rang {{math|term= 1 |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer Ring/Noethersch/Lokal frei/Projektiv/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{math|term= {{idealp|}}_f |SZ=}} ein {{ Definitionslink |projektiver| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{math|term= R_f |SZ=-}}Modul. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokaler Ring/Regulär/Homologische Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es eine endliche freie Auflösung {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow F_r \longrightarrow \cdots \longrightarrow F_1 \longrightarrow F_0 \longrightarrow {{idealp}} \longrightarrow 0 |SZ=. }} Dies führt mit der Nenneraufnahme an {{math|term= f |SZ=}} zu einer endlichen freien Auflösung {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow (F_r)_f \longrightarrow \cdots \longrightarrow (F_1)_f \longrightarrow (F_0)_f \longrightarrow {{idealp}}_f \longrightarrow 0 |SZ= }} auf {{math|term= R_f |SZ=.}} Somit sind die Bedingungen von {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer Ring/Projektiver Modul/Freie Auflösung/Stabil frei/Fakt |Nr= |SZ= }} erfüllt und man erhält, dass {{math|term= {{idealp}}_f |SZ=}} durch einen freien {{math|term= R_f |SZ=-}}Modul zu einem freien Modul ergänzt werden kann. Wegen der Rangeigenschaft folgt {{ Relationskette | {{idealp}}_f | \cong | R_f || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer Ring/Modul/Rang 1/Freie Ergänzung/Frei/Fakt |Nr= |SZ=, }} es liegt also ein Hauptideal vor. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a501fedv6r6y6rti7nz2kkkq925havv 0 103085 1107998 1024299 2026-07-19T12:02:28Z Bocardodarapti 2041 1107998 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Unter einem {{Stichwort|Algorithmus|SZ=}} versteht man ein durch bestimmte Regeln festgelegtes {{ Zusatz/Klammer |text=deterministisches| |ISZ=|ESZ= }} Verfahren, mit dem man in endlich vielen Schritten zu einem Ergebnis kommt. Ein Algorithmus bezieht sich auf eine Menge von möglichen Eingaben {{ Zusatz/Klammer |text=Input| |ISZ=|ESZ= }} und liefert eine Ausgabe, das Ergebnis {{ Zusatz/Klammer |text=Output| |ISZ=|ESZ=. }} Ein Algorithmus berechnet den Wert einer Abbildung {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich einer Verknüpfung| |ISZ=|ESZ=, }} überprüft, ob eine Relation zwischen Elementen vorliegt oder nicht, findet die Lösung zu einer Gleichung. Die Regeln sind präzise Handlungsanweisungen und müssen alle möglichen Fälle abdecken. Ein Algorithmus kann prinzipiell durch eine Maschine durchgeführt werden. Im Grundkurs werden wir die folgenden Algorithmen behandeln: Schriftliches{{ Zusatz/Fußnote |text=Es ist kein Zufall, dass man hier von schriftlich spricht, obwohl es für die Wirkungsweise der Verfahren selbst unerheblich ist, ob sie im Kopf, auf einem Papier oder in einer Maschine durchgeführt werden. Der explizite Einsatz eines Algorithmus lohnt sich erst dann, wenn die Aufgabe eine gewisse Komplexität besitzt, die ohne schriftliche Hilfsmittel das menschliche Speichervermögen übersteigt. Unter {{Stichwort|halbschriftlichem Rechnen|msw=Halbschriftliches Rechnen|SZ=}} versteht man übrigens Verfahren, bei denen die Rechnungen zwar durch schriftliche Notizen unterstützt werden, aber ohne dass ein Algorithmus systematisch durchlauft wird| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Faktlink |Zählen|Faktseitenname= Natürliche Zahl/Zehnersystem/Nachfolger/Algorithmus/Bemerkung |Nr= |SZ= {{ Zusatz/Fußnote |text=Dieses Zählen kann man auch gut mündlich durchführen| |ISZ=.|ESZ= }} }} {{ Zusatz/Klammer |text=Nachfolgernehmen| |ISZ=|ESZ=, }} {{ Faktlink |Präwort=|schriftliches Vergleichen|Faktseitenname= Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt |Nr= |SZ=, }} {{ Faktlink |Präwort=|schriftliches Addieren|Faktseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Verfahren |Nr= |SZ=, }} {{ Faktlink |Präwort=|schriftliches Multiplizieren|Faktseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Verfahren |Nr= |SZ=, }} {{ Faktlink |Präwort=| schriftliches Subtrahieren|Faktseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Verfahren |Nr= |SZ=, }} {{ Faktlink |Präwort=|schriftliches Dividieren|Faktseitenname= Schriftliche Division/Verfahren |Nr= |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in einem Stellenwertsystem| |ISZ=|ESZ=, }} der {{ Faktlink |Präwort=|euklidische Algorithmus|Faktseitenname= Euklidischer Algorithmus/Z/Einführung/Textabschnitt |Nr= |SZ= }} zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers, das {{ Faktlink |Präwort=|Gaußsche Eliminationsverfahren|Faktseitenname= Kurs:Grundkurs_Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_II/Vorlesung_32 |Nr= |SZ= }} zur Lösung linearer Gleichungssysteme, das {{ Faktlink |Präwort=|Invertierungsverfahren|Faktseitenname= Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren |Nr= |SZ= }} für Matrizen, das {{ Faktlink |Präwort=| Heron-Verfahren|Faktseitenname= Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Heron-Folge/Verfahren |Nr= |SZ=. }} Folgende Punkte sind charakteristisch für einen Algorithmus. {{ Aufzählung5 |Es gibt eine relativ kleine Zahl von Einzelschritten, auf die im Durchlauf des Algorithmus immer wieder Bezug genommen wird. |Die Einzelschritte verwenden eine endliche Liste von gespeicherten elementaren Teilergebnissen {{ Zusatz/Klammer |text=Datenbank| |ISZ=|ESZ=. }} |Es muss irgendwie verbucht werden, auf welche Stelle sich der Einzelschritt bzw. dessen Ergebnis bezieht {{ Zusatz/Klammer |text=Nummerierung, Indizierung, Anordnung| |ISZ=|ESZ=. }} |Die Einzelschritte verwenden Fallunterscheidung, entlang welcher sich das Verfahren verzweigt. |Es werden Hilfszahlen zwischengespeichert und verwendet. }} Beispielsweise werden im Additionsalgorithmus immer wieder zwei einstellige Zahlen miteinander addiert, dabei wird auf das kleine Einsundeins Bezug genommen und die Endziffer dieser Teilrechnung wird an der richtigen Stelle notiert. Die Weiterverarbeitung hängt davon ab, ob diese Einzelsummen kleiner als {{math|term= 10 |SZ=}} oder darüber sind, es werden Überträge notiert. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie2=Prinzipien der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k1q7isedox0fzaksuwfm52spqvcgmne 106 104572 1108037 1004451 2026-07-19T15:27:53Z Bocardodarapti 2041 1108037 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|19| {{Zwischenüberschrift|Dimension von endlich erzeugten Algebren}} {{:Algebra/Körper/Endlicher Typ/Dimensionseigenschaften/Textabschnitt|zusatz1=Ohne Beweis erwähnen wir den folgenden Satz. {{ inputfakt |Krulldimension/Dimension des Polynomringes/Noetherscher Ring/Fakt|Satz|| }} }} Die folgende Aussage setzt die Dimension einer integren Algebra vom endlichen Typ in Beziehung zum Transzendengrad des zugehörigen Quotientenkörpers. Für den Begriff Transzendenzgrad und seine wichtigsten Eigenschaften siehe die [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 28|Vorlesung]] zur Galoistheorie. {{ inputfaktbeweis |Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Dimension und Transzendenzgrad/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Nenneraufnahme/Dimension/Fakt|Korollar|| }} {{Zwischenüberschrift|Der Grad des Hilbert-Samuel Polynoms}} {{:Lokaler Ring/Hilbert-Samuel-Polynom/Grad und Dimension/Textabschnitt|}} }} aw3a6zj1jeeakqb1h91r92ft75aobdl 106 104576 1108055 1019931 2026-07-20T06:26:06Z Bocardodarapti 2041 1108055 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|23| {{Zwischenüberschrift|Komplexe}} In der nächsten Vorlesung wollen wir die homologische Charakterisierung von regulären Ringen beweisen. Dazu geben wir hier eine Einführung in die homologische Algebra und insbesondere zu freien Auflösungen. {{:Kommutativer Ring/Komplex/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Diese Indizierung wählen wir in Hinblick auf die freien Auflösungen weiter unten| |ISZ=.|ESZ= }}}} In der Form von kurzen exakten Sequenzen haben wir dieses Konzept bereits kennengelernt. {{Zwischenüberschrift|Flache Moduln}} {{:Kommutative Algebra/Flacher Modul/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Projektive Moduln}} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Projektiv/Universell/Definition|| }} Ähnlich wie flache Moduln werden projektive Moduln unter Bezug auf eine universelle Eigenschaft innerhalb der Kategorie aller Moduln definiert. Dies ist innerhalb der homologischen Algebra eine weitverbreitete Vorgehensweise. Eine unmittelbare Konsequenz der universellen Eigenschaft, die von projektiven Moduln gefordert wird, ergibt sich aus dem folgenden Spezialfall. Wir betrachten die Identität {{ Abbildung/display |name=\varphi |M|M || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{ Relationskette |B ||M || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} und eine surjektive Abbildung {{ Abbildung/display |name=p |F|M || |SZ= }} mit einem freien Modul {{math|term= F|SZ=.}} Für {{math|term= M|SZ=}} projektiv gibt es dann ein {{ Abbildung/display |name= \psi |M|F || |SZ= }} mit {{ Relationskette | p \circ \psi || {{op:Identität|M|}} || || || |SZ=. }} Dies bedeutet {{ Relationskette/display | M \oplus {{op:Kern|p|}} || F || || || |SZ= }} und das heißt, dass ein projektiver Modul ein direkter Summand eines freien Moduls ist. Umgekehrt ist ein direkter Summand eines freien Moduls selbst projektiv, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Kommutativer Ring/Projektiver Modul/Universell und direkter Summand/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Lokal/Projektiver Modul/Frei/Fakt|Lemma|| }} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Modul/Lokal frei/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Noethersch/Lokal frei/Projektiv/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Varietät/Glatt/Kählermodul/Lokal frei/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbeispiel |Zweidimensionale Sphäre/Kählermodul/Lokal frei/Nicht frei/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Freie Auflösungen}} {{:Kommutativer Ring/Freie Auflösung/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Endliche projektive Dimension}} {{ inputdefinition |Lokaler Ring/Modul/Projektive Dimension/Definition|| }} Die projektive Dimension eines Moduls ist also das Maximum des Indexes, wo in jeder freien Auflösung ein Modul {{math|term=\neq 0 |SZ=}} stehen muss. Ein endlich erzeugter freier Modul {{math|term= \neq 0 |SZ=}} besitzt demnach die projektive Dimension {{math|term= 0 |SZ=,}} der Nullmodul die projektive Dimension {{math|term= -1 |SZ=.}} Zu einem Nichtnullteiler {{ Relationskette | f | \in | {{idealm}} || || || |SZ= }} besitzt der Restklassenmodul {{math|term= R/(f) |SZ=}} die projektive Dimension {{math|term= 1 |SZ=,}} da eine freie Auflösung {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow R \stackrel{f}{ \longrightarrow} R \longrightarrow R/(f) \longrightarrow 0 |SZ= }} vorliegt, und {{mathl|term= R/(f) |SZ=}} selbst nicht frei ist. {{ inputbeispiel |Regulärer Ring/Zweidimensional/Koszul-Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Lokaler Ring/Endliche freie Auflösung/Direkter Summand/Fakt|Lemma|| }} {{Fußnotenliste|}} }} 6hhavmpqyitqc2ljzvs6jqvx07p8k00 106 104577 1108058 1019936 2026-07-20T06:33:34Z Bocardodarapti 2041 1108058 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|24| {{Zwischenüberschrift|Die homologische Charakterisierung von regulären Ringen}} {{:Lokaler regulärer Ring/Homologische Charakterisierung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Die analytische Situation}} Wenn man sich auf Polynome und die durch sie definierten Singularitäten beschränkt, so ergibt sich ein gewisses Defizit dadurch, dass der Satz über implizite Abbildungen nicht in dieser Kategorie gilt. In den regulären Punkten zu polynomialen Abbildungen gibt es gemäß dem Satz lokal Diffeomorphismen zwischen den Fasern und offen Bällen im {{math|term= {{KRC|}}^n |SZ=,}} aber diese Diffeomorphismen sind nur sehr selten durch Polynome gegeben. Insbesondere gibt es zwischen zwei glatten Punkten {{ mathkor|term1= P_1 \in V_1 |und|term2= P_2 \in V_2 |SZ= }} gleicher Dimension keinen polynomialen Isomorphismus, obwohl es einen Diffeomorphismus gibt. Das ist nicht immer befriedigend, und es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten, dies zu umgehen. Man kann mit formalen Potenzreihen arbeiten, mit denen man formale Isomorphismen ausdrücken kann und wofür die {{ Definitionslink |Prämath= |Komplettierung| |SZ= }} von lokalen Ringen entscheidend ist. Oder man kann, bei {{ Relationskette |K || {{CC|}} || || || |SZ=, }} holomorph arbeiten und ausnutzen, dass es eine holomorphe Version des Satzes über implizite Abbildungen gibt, so dass die Diffeomorphismen, wenn die definierenden Funktionen holomorph sind, lokal durch konvergente Potenzreihen beschrieben werden können. {{:Singularitäten/Analytische Situation/Lokaler Ring/Textabschnitt}} Ohne Beweis erwähnen wir den folgenden Satz. {{ inputfakt |Konvergenter_Potenzreihenring/Regulär/Fakt|Satz|| }} {{:Singularitäten/Analytische Situation/Verschiedene Beziehungen/Textabschnitt}} }} fao9k5ap3ux6cfl2uw4zrs3higfdny0 106 104579 1108065 793862 2026-07-20T06:51:49Z Bocardodarapti 2041 1108065 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|26| In den verbleibenden Vorlesungen konzentrieren wir uns auf den holomorphen Standpunkt, insbesondere deshalb, weil man in der holomorphen Kategorie deutlich mehr Isomorphismen zur Verfügung habt, mit deren Hilfe man nahe verwandte Situationen ineinander überführen kann. Der hier relevante Unterschied zwischen der polynomialen {{ Zusatz/Klammer |text=algebraischen| |ISZ=|ESZ= }} und der holomorphen Situation kommt schon darin zum Ausdruck, dass es zwar eine holomorphe Version des Satzes über implizite Abbildungen gibt, aber keine algebraische. Deshalb kann man rein algebraisch verschiedene glatte gleichdimensionale Punkte auf Varietäten nicht ineinander überführen, oft sind verschiedene Funktionenkörper der Varietäten ein Hindernis dafür {{ Zusatz/Klammer |text=formal algebraisch, wenn man mit Komplettierungen arbeitet, ist das wiederum möglich| |ISZ=|ESZ=. }} Wir besprechen hier die sogenannte Rechtsäquivalenz von holomorphen Funktionen {{ Zusatz/Klammer |text=und der Singularitäten auf den dadurch definierten Hyperflächen| |ISZ=|ESZ= }} und Kriterien dafür, wann Rechtsäquivalenz vorliegt. Die Theorie der endlichen Bestimmtheit erlaubt es in vielen Fällen, zu zeigen, dass {{Anführung|kleine}} algebraische Manipulationen den Rechtsäquivalenztyp nicht ändern. Die Frage, wie viele unterschiedliche Singularitäten bei einer Deformation einer holomorphen Funktion bzw. einer Hyperfläche auftreten können, führt zum Konzept der einfachen Singularitäten. Damit ergibt sich überraschenderweise eine neue Charakterisierung der ADE-Singularitäten. {{Zwischenüberschrift|Rechtsäquivalenz}} {{:Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbemerkung |Rechtsäquivalenz/Algebraische Variante/Glattheit/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Ebene monomiale Kurven/Rechtsäquivalenz/Rationale Durchführung/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Vektorfelder und Flüsse}} Um verschiedene Funktionen in kritischen Punkten als rechtsäquivalent nachweisen zu können, brauchen wir vor allem biholomorphe Abbildungen, die diese Rechtsäquivalenz vermitteln. Eine wichtige Quelle solcher Abbildungen ergibt sich mit der Hilfe von Vektorfeldern und den zugehörigen Flüssen. {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorfeld/Differentialgleichung/Diffeomorphismus/Textabschnitt}} }} r5vnpem00kas4i7801vr1wp1549vrey 1108066 1108065 2026-07-20T06:52:13Z Bocardodarapti 2041 1108066 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|26| In den verbleibenden Vorlesungen konzentrieren wir uns auf den holomorphen Standpunkt, insbesondere deshalb, weil man in der holomorphen Kategorie deutlich mehr Isomorphismen zur Verfügung hat, mit deren Hilfe man nahe verwandte Situationen ineinander überführen kann. Der hier relevante Unterschied zwischen der polynomialen {{ Zusatz/Klammer |text=algebraischen| |ISZ=|ESZ= }} und der holomorphen Situation kommt schon darin zum Ausdruck, dass es zwar eine holomorphe Version des Satzes über implizite Abbildungen gibt, aber keine algebraische. Deshalb kann man rein algebraisch verschiedene glatte gleichdimensionale Punkte auf Varietäten nicht ineinander überführen, oft sind verschiedene Funktionenkörper der Varietäten ein Hindernis dafür {{ Zusatz/Klammer |text=formal algebraisch, wenn man mit Komplettierungen arbeitet, ist das wiederum möglich| |ISZ=|ESZ=. }} Wir besprechen hier die sogenannte Rechtsäquivalenz von holomorphen Funktionen {{ Zusatz/Klammer |text=und der Singularitäten auf den dadurch definierten Hyperflächen| |ISZ=|ESZ= }} und Kriterien dafür, wann Rechtsäquivalenz vorliegt. Die Theorie der endlichen Bestimmtheit erlaubt es in vielen Fällen, zu zeigen, dass {{Anführung|kleine}} algebraische Manipulationen den Rechtsäquivalenztyp nicht ändern. Die Frage, wie viele unterschiedliche Singularitäten bei einer Deformation einer holomorphen Funktion bzw. einer Hyperfläche auftreten können, führt zum Konzept der einfachen Singularitäten. Damit ergibt sich überraschenderweise eine neue Charakterisierung der ADE-Singularitäten. {{Zwischenüberschrift|Rechtsäquivalenz}} {{:Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbemerkung |Rechtsäquivalenz/Algebraische Variante/Glattheit/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Ebene monomiale Kurven/Rechtsäquivalenz/Rationale Durchführung/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Vektorfelder und Flüsse}} Um verschiedene Funktionen in kritischen Punkten als rechtsäquivalent nachweisen zu können, brauchen wir vor allem biholomorphe Abbildungen, die diese Rechtsäquivalenz vermitteln. Eine wichtige Quelle solcher Abbildungen ergibt sich mit der Hilfe von Vektorfeldern und den zugehörigen Flüssen. {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorfeld/Differentialgleichung/Diffeomorphismus/Textabschnitt}} }} oar43lxing5sm5i82t7rlu4m8fhu30v 106 104581 1108074 793867 2026-07-20T07:29:44Z Bocardodarapti 2041 1108074 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|28| {{Zwischenüberschrift|Endliche Bestimmtheit}} {{:Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Endliche Bestimmtheit/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Nichtausgeartet/Morse-Lemma/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweisverweis |Holomorphe Funktion/Rangbedingung/Morse-Lemma/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktionen/Quadrik/Summe/Rechtsäquivalenz/Fakt|Satz|| }} }} ctjnk932prxwu7wzuo2mbmnx6l9yp3x 106 104583 1108081 1070199 2026-07-20T07:42:47Z Bocardodarapti 2041 1108081 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|30| {{Zwischenüberschrift|Einfache Singularitäten in höherer Dimension}} Wir möchten die Klassifikation der einfachen Singularitäten vom Kurvenfall auf höhere Dimensionen verallgemeinern. {{ inputfakt |Homogenes Polynom/Zumindest drei Variablen/Grad 3/Nicht einfach/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Einfach/Rangbedingung/Fakt|Lemma|| }} {{:Holomorphe Funktion/Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Textabschnitt|}} {{ inputfaktbeweishier |ADE-Singularität/Zweidimensional/Einfach und spezielle Quotientensingularität/Fakt|Satz||Beweistext= Dies folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt |Nr= |SZ= }} einerseits und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= SL2C/Endliche Untergruppen/Klassifikationsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} in Zusammenhang mit den Berechnungen aus der achten Vorlesung andererseits. }} }} iqm8u1iw0llfllxlhzrw02ab4owr3by 0 104737 1108067 1101271 2026-07-20T06:52:46Z Bocardodarapti 2041 1108067 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Da die Rechtsäquivalenz eine Äquivalenzrelation ist, können wir annehmen, dass {{math|term= f_2 |SZ=}} die Projektion {{ Abbildung/display |name= | {{CC|}}^n | {{CC|}} | {{op:Zeilenvektor| x_1 | \ldots| x_n }} | x_1 |SZ=, }} die Projektion auf die erste Koordinate ist. Dann folgt die Aussage direkt aus der holomorphen Version {{ Faktlink |Präwort=des|Satzes über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/Globale Diffeomorphismen/Induzierte Diffeomorphismen zwischen Faser und Achsenräumen/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rhnqwtrekm0v6g0azgbj57om05z89q8 0 104744 1108077 1103034 2026-07-20T07:33:21Z Bocardodarapti 2041 1108077 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine holomorphe Funktion {{ Abbildung |name=f |U| {{CC|}} || |SZ=, }} {{ Relationskette | 0 | \in | U | \subseteq| {{CC|}}^n || || |SZ= }} offen, besitzt im Nullpunkt eine {{ Definitionslink |Taylorentwicklung| |Kontext=n| |SZ=, }} die auf einer offenen Umgebung des Nullpunktes konvergiert und dort die Funktion darstellt. Durch Verkleinern können wir direkt annehmen, dass auf {{math|term= U |SZ=}} Konvergenz vorliegt. Insbesondere beschreibt die Taylorreihe die Funktion lokal vollständig und daher müssen auch Singularitätskonzepte wie Rechtsäquivalenz daraus ablesbar sein. Die Taylorreihe hat in Monomschreibweise die Form {{ Relationskette/display | \sum_\nu a_\nu X^\nu || \sum_{k {{=}} 0}^\infty {{makl| \sum_{ {{op:Tupelgrad|\nu}} {{=}} k} a_\nu X^\nu |}} || || || |SZ=. }} Die abgebrochene Taylorentwicklung {{ Math/display|term= \sum_{k {{=}} 0}^d {{makl| \sum_{ {{op:Tupelgrad|\nu}} {{=|}} k} a_\nu X^\nu |}} |SZ= }} heißt das Taylorpolynom von {{math|term= f |SZ=}} der Ordnung {{math|term= d |SZ=.}} Wir bezeichnen es mit {{mathl|term= T_d(f) |SZ=.}} Wenn wir, wie häufig, {{ Relationskette |f(0) || 0 || || || |SZ= }} voraussetzen, so ist {{ Relationskette/display |T_0(f) || a_0 || 0 || || |SZ= }} und wenn zusätzlich der Nullpunkt ein kritischer Punkt sein soll, so ist {{ Relationskette/display | T_1(f) || 0 || || || |SZ=. }} Wenn für zwei holomorphe Funktionen {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} die Taylorpolynome der Ordnung {{math|term= r |SZ=}} übereinstimmen {{ Zusatz/Klammer |text=was eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Potenreihen ist| |ISZ=|ESZ=, }} so erwartet man, dass auch sonst gewisse Eigenschaften der Funktionen bzw. der durch sie gegebenen singulären Hyperflächen übereinstimmen. {{ inputdefinition |Holomorphe Funktion/Endlich bestimmt/Definition|| }} Der folgende Satz heißt Satz von Mather. {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Fakt|Satz|| }} Daraus erhalten wir die folgenden Spezialfälle. {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Spezialfall 0/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Spezialfall m/Fakt|Korollar|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bv6ho0249tjfurdyy9m6671dw4ci04a 0 104753 1108080 957099 2026-07-20T07:38:54Z Bocardodarapti 2041 1108080 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Holomorphe Funktion/Einfache Singularität/Definition|| }} Zur Liste gehören natürlich stets {{math|term= f |SZ=}} selbst und der reguläre Funktionskeim. Es geht also darum, inwiefern die durch {{math|term= f |SZ=}} gegebene Singularität in nichtrechtsäquivalente Singularitäten deformiert werden kann, wie groß also die {{Anführung|Deformationsklasse}} ist. Aufgrund von {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Holomorphe Funktion/Entfaltung/Affine Entfaltung/Bemerkung |Nr= |SZ= }} geht es nur um das Verhalten von Entfaltungen in beliebig kleinen Umgebungen von {{math|term= f_0 |SZ=.}} Auf den ersten Blick scheint dieses Konzept ziemlich kompliziert und unmotiviert zu sein; das Erstaunliche ist, dass man diese einfachen Singularitäten explizit klassifizieren kann und dass diese Klasse mit auf andere Weisen charakterisierten Klassen von Singularitäten übereinstimmt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der einfachen Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} q0c6yoi4rzoawsbeqskqp0qz5q0k2qk 0 104772 1108079 1101386 2026-07-20T07:35:06Z Bocardodarapti 2041 1108079 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette | f |\neq| 0 || || || |SZ= }} ein homogenes Polynom vom Grad {{math|term= 3 |SZ=}} in {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Fundamentalsatz der Algebra|Faktseitenname= Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt |Nr= |SZ=, }} einer Streckung und einer Variablenumbenennung ist {{ Relationskette/display | f || x(x+ \alpha y) (x+ \beta y) || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | \alpha || \beta || 0 || || |SZ= }} sind wir im vierten Fall. Es sei also {{ Relationskette |\alpha | \neq| 0 || || || |SZ=, }} dann können wir auf {{ Relationskette/display |f || x y (x+ \gamma y) || || || |SZ= }} transformieren. Bei {{ Relationskette | \gamma || 0 || || || |SZ= }} sind wir im dritten Fall. Es sei also {{ Relationskette | \gamma |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Durch eine Diagonalmatrix kann man dies auf {{mathl|term= x y (x+ y) |SZ=}} bzw. sodann auf {{mathl|term= y(x+y)(x-y) |SZ=}} transformieren, was dem zweiten Fall entspricht. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hpq3ie5fqsmc32sc463b4sxvdgacj2r 0 104799 1108069 1099945 2026-07-20T06:56:30Z Bocardodarapti 2041 1108069 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Eine nichtkonstante {{ Definitionslink |holomorphe Funktion| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Abbildung |name=f | U | {{CC|}} || |SZ= }} in einer Variablen {{math|term= y |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette | 0 | \in | U | \subseteq | {{CC|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} ist im Nullpunkt {{ Definitionslink |rechtsäquivalent| |Kontext=| |SZ= }} zu einer Potenz {{mathl|term= y^k |SZ=.}} Die Potenzreihenentwicklung von {{math|term= f |SZ=}} im Nullpunkt hat die Form {{ Math/display|term= a y^k + g y^k |SZ= }} mit {{ mathbed|term= a \in {{CC|}} ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} und {{ Relationskette |g | \in | {{idealm|}} || (y) || || |SZ=. }} Dann ist in einer offenen Umgebung von {{math|term= 0 |SZ=}} die Funktion {{mathl|term= a+g|SZ=}} nullstellenfrei und daher ist auf einer offenen Umgebung der {{math|term= 0 |SZ=}} auch eine Wurzel {{mathl|term= \sqrt[k] {a+g} |SZ=}} wohldefiniert und holomorph. Daher ist dort durch {{mathl|term= y \mapsto y \sqrt[k]{a + g} |SZ=}} eine biholomorphe Abbildung gegeben, die {{math|term= f |SZ=}} und {{math|term= y^k |SZ=}} als rechtsäquivalent erweist. Verschiedene Potenzen sind untereinander nicht rechtsäquivalent nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Biholmorphe Nullstellenmenge/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s5kd933pp4vi9vfaseb8omfehsvt9ia 0 104803 1108082 1103035 2026-07-20T07:47:48Z Bocardodarapti 2041 1108082 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Klassifikation der einfachen Singularitäten in höheren Dimensionen ergibt sich aus dem ebenen Fall, also aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt |Nr= |SZ=, }} indem man die dortigen Funktionen um eine Summe von Quadraten ergänzt. {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt|Satz|| }} Für {{ Relationskette | n | \geq | 3 || || || |SZ= }} handelt es sich dabei um irreduzible normale Singularitäten {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k | n || 2 || || || |SZ= }} sind {{math|term= A_k |SZ=}} für {{math|term= k |SZ=}} ungerade, {{math|term= D_k |SZ=}} und {{math|term= E_7 |SZ=}} reduzibel| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der einfachen Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ibii4tee4skyi3ohnyspcvcxnx7ckya 0 104993 1108083 1086423 2026-07-20T07:50:02Z Bocardodarapti 2041 1108083 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Da es sich um eine einfache isolierte Singularität im Nullpunkt handeln soll, verschwinden alle partiellen Ableitungen von {{math|term= f |SZ=}} im Nullpunkt. Der Rang {{math|term= k |SZ=}} der Hesse-Matrix ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Einfach/Rangbedingung/Fakt |Nr= |SZ= }} zumindest {{mathl|term= n-2 |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Rangbedingung/Morse-Lemma/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{math|term= f |SZ=}} rechtsäquivalent zu einer Funktion der Form {{ Relationskette/display |g || x_1^2 {{plusdots|}} x_k^2 +h || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |h | \in | {{idealm|}}^3 || || || |SZ= }} und wobei {{math|term= h |SZ=}} nur von den Variablen {{mathl|term= x_{n-1}, x_n |SZ=}} abhängt. Wenn der Rang gleich {{ mathkor|term1= n-1 |oder|term2= n |SZ= }} ist, hängt {{math|term= h |SZ=}} sogar von weniger Variablen ab. In jedem Fall kann man {{math|term= h |SZ=}} in den beiden letzten Variablen und mit {{ Relationskette | h | \in | {{idealm|}}^2 || || || |SZ= }} schreiben. Jede {{ Definitionslink |Entfaltung| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= h_t|SZ=}} von {{math|term= h |SZ=}} ergibt unmittelbar eine Entfaltung von {{math|term= g |SZ=.}} Die dabei entstehenden {{ Zusatz/Klammer |text=deformierten| |ISZ=|ESZ= }} Funktionen haben die Form {{ Relationskette |\tilde{E} (-,t) || x_1^2 {{plusdots|}} x_k^2 + h_t(x_{n-1}, x_n) || || || |SZ=. }} Wegen der Einfachheit von {{math|term= g |SZ=}} treten dabei nur endlich viele Singularitätsklassen {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne der Rechtsäquivalenz| |ISZ=|ESZ= }} auf, sagen wir {{ mathbed|term= x_1^2 {{plusdots|}} x_k^2 + h_i(x_{n-1}, x_n) ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} mit einer endlichen Indexmenge {{math|term= I |SZ=.}} Für jedes {{math|term= h_t(x_{n-1}, x_n) |SZ=}} gibt es somit ein {{ Relationskette |i | \in | I || || || |SZ= }} derart, dass {{ mathkor|term1= x_1^2 {{plusdots|}} x_k^2 + h_t(x_{n-1}, x_n) |und|term2= x_1^2 {{plusdots|}} x_k^2 + h_i(x_{n-1}, x_n) |SZ= }} zueinander rechtsäquivalent sind. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Holomorphe Funktionen/Quadrik/Summe/Rechtsäquivalenz/Fakt |Nr= |SZ= }} sind dann {{ mathkor|term1= h_t(x_{n-1}, x_n) |und|term2= h_i(x_{n-1}, x_n) |SZ= }} zueinander rechtsäquivalent. Dies bedeutet, dass {{mathl|term= h(x_{n-1}, x_n) |SZ=}} ein einfacher Funktionskeim in zwei Variablen ist. Deren Rechtsäquivalenzklassen wurden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt |Nr= |SZ= }} klassifiziert. Wir müssen noch zeigen, dass die angegebenen Möglichkeiten wirklich einfach sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c6g9j0mxp3arlyawe9yqiorkhqtn3cx 0 105005 1108071 1101266 2026-07-20T07:21:49Z Bocardodarapti 2041 1108071 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es ist {{ Relationskette/display | \partial_{z_j } H || \partial_{z_j } f + t \partial_{z_j } h || || || |SZ= }} und somit auch {{ Relationskette/display | \partial_{z_j } f || \partial_{z_j } H - t \partial_{z_j } h || || || |SZ=. }} Wir fixieren ein {{ Relationskette |s | \in | [0,1] || || || |SZ= }} und arbeiten im Ring {{ Relationskette |R || {\mathcal O}_P || || || |SZ= }} der holomorphen Funktionen im Punkt {{ Relationskette/display |P || (s,0 ) | \in | {{CC|}} \times {{CC|}}^n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{mathlk|term=n+1 |SZ=}} Variablen| |ISZ=|ESZ=. }} Nach Voraussetzung ist {{ Relationskette/display | h | \in | {{makl| z_1 {{kommadots|}} z_n |}} {{makl| \partial_{z_1 } H {{kommadots|}} \partial_{z_n } H |}} || || || |SZ= }} in diesem Ring. Dies bedeutet, dass es holomorphe Funktionen {{ Relationskette | \alpha_j | \in | {{makl| z_1 {{kommadots|}} z_n |}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=als Ideal in {{math|term= R |SZ=,}} diese Funktionen hängen auch von {{math|term= t |SZ=}} ab| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Relationskette/display | -h || \sum_j \alpha_j \partial_{z_j } H || || || |SZ= }} gibt, die in einer offenen Umgebung {{math|term= V |SZ=}} von {{math|term= P |SZ=}} definiert sind. Wir können {{ Relationskette/display |V || ]s- \epsilon, s+ \epsilon[ \times W || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |W | \subseteq | {{CC|}}^n || || || |SZ= }} offen schreiben. Wir betrachten das holomorphe zeitabhängige {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man {{math|term= t |SZ=}} als Zeitparameter auffasst| |ISZ=|ESZ= }} Vektorfeld {{ Relationskette/display |F || \partial_t + \sum_{j {{=|}} 1}^n \alpha_j \partial_{z_j } || || || |SZ= }} auf {{math|term= V |SZ=.}} Nach Konstruktion gilt {{ Zusatz/Klammer |text=das Vektorfeld als Derivation aufgefasst| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | F(H) || \partial_t H + \sum_j \alpha_j \partial_{z_j } H || h-h || 0 || || |SZ=. }} Da die {{math|term= \alpha_j |SZ=}} zu {{mathl|term= {{makl| z_1 {{kommadots|}} z_n |}} |SZ=}} gehören, ist im Raumpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} die Raumkomponente des Vektorfeldes gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Für die nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorfeld/Diffeomorphismen/Lokal einparametrige Gruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} zugehörige holomorphe {{ Definitionslink |lokal einparametrige Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\Psi | ]s- \epsilon, s+ \epsilon[ \times W' | W || |SZ= }} gilt insbesondere {{ Relationskette |\Psi_t(0) || 0 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= t |SZ=.}} Die zugehörigen biholomorphen Abbildungen respektieren also den Nullpunkt. Die Eigenschaft {{ Relationskette | F(H) || 0 || || || |SZ= }} impliziert, dass die Funktion {{math|term= H |SZ=}} längs jeder Lösungskurve {{mathl|term= \Psi( - , z) |SZ=}} konstant ist. Daher ist {{mathl|term= H( t, \Psi_t(z) ) |SZ=}} unabhängig von {{ Relationskette |t | \in |]s- \epsilon,s+\epsilon[ || || || |SZ=. }} Die offenen Intervalle {{mathl|term= ]s- \epsilon,s+\epsilon [|SZ=}} zu den verschiedenen {{math|term= s |SZ=}} überdecken das Einheitsintervall, daher gibt es wegen dessen {{ Definitionslink |Kompaktheit| |Kontext=| |SZ= }} endlich viele Intervalle davon, die es überdecken. Daher gibt es Punkte {{ Relationskette/display | 0 | < | t_2 | < | t_3 |< \cdots <| t_{m-1} | < | 1 |SZ=, }} wobei je zwei aufeinanderfolgende Punkte in einem der Intervalle liegen, und biholomorphe Abbildungen {{mathl|term= \Psi_j |SZ=,}} die die Situation zum Zeitpunkt {{math|term= t_j |SZ=}} in die Situation zum Zeitpunkt {{mathl|term= t_{j+1} |SZ=}} überführen. Wegen {{ Relationskette/display | H( 0,z ) || f(z) || || || |SZ= }} und der Invarianz gilt auch {{ Relationskette/display | H( t_1, \Psi_{t_1 } (z) ) || f(z) || || || |SZ= }} und die entsprechende Gleichung folgt durch Induktion für alle weiteren Zeitpunkte {{math|term= t_j |SZ=.}} {{parskip}} Die Hintereinanderschaltung dieser biholomorphen Abbildungen transformiert die Funktion {{math|term= f |SZ=}} insgesamt in die Funktion {{ Relationskette | H(1,-) || f+ h || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jnktt3kqefvy8v4fg3vopzivhzwu6t0 1108072 1108071 2026-07-20T07:26:43Z Bocardodarapti 2041 1108072 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es ist {{ Relationskette/display | \partial_{z_j } H || \partial_{z_j } f + t \partial_{z_j } h || || || |SZ= }} und somit auch {{ Relationskette/display | \partial_{z_j } f || \partial_{z_j } H - t \partial_{z_j } h || || || |SZ=. }} Wir fixieren ein {{ Relationskette |s | \in | [0,1] || || || |SZ= }} und arbeiten im Ring {{ Relationskette |R || {\mathcal O}_P || || || |SZ= }} der holomorphen Funktionen im Punkt {{ Relationskette/display |P || (s,0 ) | \in | {{CC|}} \times {{CC|}}^n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{mathlk|term=n+1 |SZ=}} Variablen| |ISZ=|ESZ=. }} Nach Voraussetzung ist {{ Relationskette/display | h | \in | {{makl| z_1 {{kommadots|}} z_n |}} {{makl| \partial_{z_1 } H {{kommadots|}} \partial_{z_n } H |}} || || || |SZ= }} in diesem Ring. Dies bedeutet, dass es holomorphe Funktionen {{ Relationskette | \alpha_j | \in | {{makl| z_1 {{kommadots|}} z_n |}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=als Ideal in {{math|term= R |SZ=,}} diese Funktionen hängen auch von {{math|term= t |SZ=}} ab| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Relationskette/display | -h || \sum_j \alpha_j \partial_{z_j } H || || || |SZ= }} gibt, die in einer offenen Umgebung {{math|term= V |SZ=}} von {{math|term= P |SZ=}} definiert sind. Wir können {{ Relationskette/display | V || ]s- \epsilon, s+ \epsilon[ \times W || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | W | \subseteq | {{CC|}}^n || || || |SZ= }} offen schreiben. Wir betrachten das holomorphe zeitabhängige {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man {{math|term= t |SZ=}} als Zeitparameter auffasst| |ISZ=|ESZ= }} Vektorfeld {{ Relationskette/display | F || \partial_t + \sum_{j {{=|}} 1}^n \alpha_j \partial_{z_j } || || || |SZ= }} auf {{math|term= V |SZ=.}} Nach Konstruktion gilt {{ Zusatz/Klammer |text=das Vektorfeld als Derivation aufgefasst| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | F(H) || \partial_t H + \sum_j \alpha_j \partial_{z_j } H || h-h || 0 || || |SZ=. }} Da die {{math|term= \alpha_j |SZ=}} zu {{mathl|term= {{makl| z_1 {{kommadots|}} z_n |}} |SZ=}} gehören, ist im Raumpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} die Raumkomponente des Vektorfeldes gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Für die nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorfeld/Diffeomorphismen/Lokal einparametrige Gruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} zugehörige holomorphe {{ Definitionslink |lokal einparametrige Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\Psi | ] s- \epsilon, s+ \epsilon [ \times W' | W || |SZ= }} gilt insbesondere {{ Relationskette | \Psi_t(0) || 0 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= t |SZ=.}} Die zugehörigen biholomorphen Abbildungen respektieren also den Nullpunkt. Die Eigenschaft {{ Relationskette | F(H) || 0 || || || |SZ= }} impliziert, dass die Funktion {{math|term= H |SZ=}} längs jeder Lösungskurve {{mathl|term= \Psi( - , z) |SZ=}} konstant ist. Daher ist {{mathl|term= H( t, \Psi_t(z) ) |SZ=}} unabhängig von {{ Relationskette | t | \in | ]s- \epsilon,s+\epsilon[ || || || |SZ=. }} Die offenen Intervalle {{mathl|term= ]s- \epsilon,s+\epsilon [ |SZ=}} zu den verschiedenen {{math|term= s |SZ=}} überdecken das Einheitsintervall, daher gibt es wegen dessen {{ Definitionslink |Kompaktheit| |Kontext=| |SZ= }} endlich viele Intervalle davon, die es überdecken. Daher gibt es Punkte {{ Relationskette/display | 0 | < | t_2 | < | t_3 | < \cdots < | t_{m-1} | < | 1 |SZ=, }} wobei je zwei aufeinanderfolgende Punkte in einem der Intervalle liegen, und biholomorphe Abbildungen {{mathl|term= \Psi_j |SZ=,}} die die Situation zum Zeitpunkt {{math|term= t_j |SZ=}} in die Situation zum Zeitpunkt {{mathl|term= t_{j+1} |SZ=}} überführen. 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Wenn die beteiligten Mengen weitere Strukturen besitzen, so übertragen sich diese häufig direkt auf die Produktmenge. Beispielsweise ist das Produkt von Gruppen wieder eine Gruppe, das Produkt von Vektorräumen ist wieder ein Vektorraum, das Produkt von topologischen Räumen ist mit der {{ Definitionslink |Produkttopologie| |Kontext=| |SZ= }} wieder ein topologischer Raum, das {{ Definitionslink |Produkt von Mannigfaltigkeiten| |Kontext=| |SZ= }} ist wieder eine Mannigfaltigkeit. Hier interessieren wir uns für das Produkt von affin-algebraischen Mengen, wie dieses zu definieren ist, wie der Koordinatenring dazu aussieht und wie sich die Krulldimension dabei verhält. Für Vektorräume gilt {{ Relationskette |K^r \times K^s || K^{r+s} || || || |SZ=, }} das bedeutet, dass die Dimension des Produktraumes die Summe der beiden einzelnen Dimensionen ist. Dies wird sich auch für die Dimension von Produktvarietäten ergeben. Wir stellen eine allgemeine Vorüberlegung an, inwiefern auf den beteiligten Mengen {{ Zusatz/Klammer |text=Räumen, Mannigfaltigkeiten, Varietäten| |ISZ=|ESZ= }} definierte Funktionen auch Funktionen auf der Produktmenge ergeben. {{ inputbemerkung |Räume/Produkt/Funktionen/Bemerkung|| }} Im algebraischen Kontext sind die relevanten Funktionen die Polynomfunktionen auf dem affinen Raum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=}} und ihre Einschränkungen auf abgeschlossene Teilmengen und daraus konstruierte rationale Funktionen. Die natürliche Identität {{ Relationskette/display | {{op:Affiner Raum|m|K}} \times {{op:Affiner Raum|n|K}} || {{op:Affiner Raum|m+n|K}} || || || |SZ= }} kann man auf der Ebene der Polynomringe folgendermaßen interpretieren: Einerseits hat man für die beiden affinen Räume die Polynomringe {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_m ] |SZ=}} und {{mathl|term= K[Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] |SZ=,}} andererseits einen Polynomring in {{mathl|term= m+n|SZ=}} Variablen. Diesen kann man aber direkt als {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_m, Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] |SZ=}} ansetzen, da ein Polynom aus {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_m ] |SZ=}} über die Projektion {{ Abbildung/display |name= | {{op:Affiner Raum|m|K}} \times {{op:Affiner Raum|n|K}} | {{op:Affiner Raum|m|K}}| | ( x_1 {{kommadots|}} x_m, y_1 {{kommadots|}} y_n )| ( x_1 {{kommadots|}} x_m ) |SZ= }} zu einer polynomialen Funktion auf der Produktmenge wird. Über diesen Weg wird ein Polynom in den ersten {{math|term= m |SZ=}} Variablen einfach als ein Polynom in {{mathl|term= m+n|SZ=}} Variablen aufgefasst, in dem die hinteren Variablen nicht explizit vorkommen. Eine direkte Überlegung zeigt {{ Relationskette/display | K[X_1 {{kommadots|}} X_m] {{tensor|K}} K[ Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] | \cong| K[X_1 {{kommadots|}} X_m, Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe auch {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Polynomringe/Tensorprodukt/Beispiel |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Die oben formulierte naive funktionentheoretische Interpretation des Tensorzeichens stimmt mit der algebraischen Definition des Tensorproduktes überein. {{ inputfaktbeweis |Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Teilmenge affiner Raum/Fakt|Lemma|| || }} Wenn die beiden Ideale durch Erzeuger gegeben sind, sagen wir {{ Relationskette | {{ideala|}} || {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_r |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{idealb|}} || {{makl| g_1 {{kommadots|}} g_s |}} || || || |SZ=, }} so ist das Ideal, das die Produktmenge beschreibt, einfach gleich {{ Relationskette | {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_r , g_1 {{kommadots|}} g_s |}} | \subseteq| K[X_1 {{kommadots|}} X_m, Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Zariski-Topologie/Definition|| }} Nach Konstruktion ist das Produkt {{mathl|term= V( {{ideala|}} ) \times V( {{idealb|}} ) |SZ=}} als Punktmenge einfach die rein mengentheoretische Produktmenge. Allerdings kommt noch die Zariski-Topologie hinzu, die unter Bezug auf die umgebenden Räume definiert wird. Diese Topologie ist nicht die {{ Definitionslink |Produkttopologie| |Kontext=| |SZ= }} der beiden einzelnen Topologien auf den Varietäten {{ Zusatz/Klammer |text=dies stimmt schon nicht für {{ Relationskette/k | {{op:Affine Ebene|K}} || {{op:Affine Gerade|K}} \times {{op:Affine Gerade|K}} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Von daher ist es nicht selbstverständlich, dass diese Topologie auf der Produktmenge unabhängig von der Restklassenrepräsentierung der beiden Koordinatenringe ist, und wie man den Koordinatenring der Produktvarietät aus den beiden Koordinatenringen berechnet. Beide Probleme werden durch das folgende Lemma erledigt. {{ inputfaktbeweis |Kommutative Ringe/Restklassendarstellung/Tensorprodukt/Fakt|Lemma|| }} Da man {{math|term= V( {{ideala|}} ) |SZ=}} mitsamt der Topologie als das {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum aus dem Koordinatenring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{ideala|}} |SZ=}} rekonstruieren kann, kann man auch die Topologie der Produktvarietät aus dem Tensorprodukt der beiden Koordinanteringe rekonstruieren. Dass das Tensorprodukt auf der algebraischen Ebene die richtige Beschreibung des Produktes der geometrischen Mengen liefert, wird auch durch den folgenden Satz bestätigt. {{ inputfaktbeweis |K-Algebren/Tensorprodukt/K-Spektrum/Produktmenge/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Irreduzibel/Fakt|Lemma|| }} Den folgenden Satz formulieren wir nur für einen algebraisch abgeschlossenen Körper, da nur in diesem Fall die Übersetzung von Primidealen in irreduzible Teilmengen unproblematisch ist. {{ inputfaktbeweis |Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Fakt|Satz|| }} Diese Aussage gilt auch für beliebige affin-algebraische Mengen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Affin-algebraische Mengen/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Produkte von affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} d15iz5mqiimg9i3b15lhp20g9cwh842 0 105197 1108046 1101815 2026-07-19T17:45:23Z Bocardodarapti 2041 1108046 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten die Diagonaleinbettung {{ Abbildung/display |name= | V | V \times V | Q | (Q,Q) |SZ=, }} das Bild sei mit {{math|term= \Delta|SZ=}} bezeichnet. Es liegt dadurch nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Varietät/Diagonale/Abgeschlossene Einbettung/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Isomorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere ein {{ Definitionslink |Homöomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette |V | \cong|\Delta || || || |SZ= }} von Varietäten vor. Unter diesem Isomorphismus entsprechen sich die Mengen {{ mathkor|term1= Y \cap Z |und|term2= \Delta \cap (Y \times Z) |SZ=, }} wobei rechts das Produkt {{mathl|term= Y \times Z |SZ=}} in natürlicher Weise als abgeschlossene Untervarietät von {{mathl|term= V \times V |SZ=}} aufgefasst wird. Damit entsprechen sich auch die Komponenten des Schnittes {{mathl|term= Y \cap Z |SZ=}} im Punkt {{math|term= P |SZ=}} und die Komponenten des Schnittes {{mathl|term= \Delta \cap (Y \times Z) |SZ=}} im Punkt {{mathl|term= (P,P) |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Fakt |Nr= |SZ= }} besitzt {{mathl|term= Y \times Z |SZ=}} die Dimension {{mathl|term= r+s|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Varietät/Glatter Punkt/Selbstprodukt/Beschreibung der Diagonalen/Fakt |Nr= |SZ= }} wird {{math|term= \Delta|SZ=}} im Punkt {{mathl|term= (P,P) |SZ=}} lokal durch {{math|term= n |SZ=}} Funktionen beschrieben. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Untervarietät/Lokal durch Funktionen/Schnittverhalten/Fakt |Nr= |SZ= }} ist daher {{ Relationskette/display | \operatorname{dim}_{(P,P)} {{makl| \Delta \cap Y \times Z |}} | \geq | r+s-n || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ou78ga6lejrx1uskvb12cj3mgyhw2wt 0 105198 1108043 1087214 2026-07-19T17:41:55Z Bocardodarapti 2041 1108043 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette |P | \in | V | \subseteq | {{op:Affiner Raum| m | K}} || || || |SZ= }} wobei {{math|term= V |SZ=}} durch die Polynome {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_r|SZ=}} auf dem affinen Raum {{math|term= {{op:Affiner Raum| m | K}} |SZ=}} beschrieben werde, deren Jacobimatrix im Punkt {{math|term= P |SZ=}} einen Rang {{mathl|term= \geq m- {{op:Krulldimension| V |}} |SZ=}} besitze. Entsprechend sei {{ Relationskette | Q | \in | W | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K}} || || || |SZ= }} wobei {{math|term= W |SZ=}} durch die Polynome {{mathl|term= g_1 {{kommadots|}} g_s |SZ=}} auf dem affinen Raum {{math|term= {{op:Affiner Raum| n | K}} |SZ=}} beschrieben werde, deren Jacobimatrix im Punkt {{math|term= Q |SZ=}} einen Rang {{mathl|term= \geq n- {{op:Krulldimension| W |}} |SZ=}} besitze. Dann beschreiben die Polynome {{ Abbildung/display |name=(f,g) {{=}} (f_1 {{kommadots|}} f_r, g_1 {{kommadots|}} g_s) | {{op:Affiner Raum| m | K}} \times {{op:Affiner Raum| n | K}} | {{op:Affine Gerade| K |}} || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die {{math|term= f_i |SZ=}} nur von den vorderen und die {{math|term= g_j |SZ=}} nur von den hinteren Variablen abhängen| |ISZ=|ESZ= }} die Produktvarietät {{mathl|term= V \times W |SZ=.}} Die Jacobi-Matrix zu {{mathl|term= (f,g) |SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Blockmatrix| |Kontext=2| |SZ=, }} deshalb ist ihr Rang gleich der Summe der Einzelränge und insbesondere {{mathl|term= \geq m-{{op:Krulldimension|V |}} +n-{{op:Krulldimension|W |}} |SZ=.}} Die Dimension von {{math|term= V \times W |SZ=}} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{mathl|term= {{op:Krulldimension|V |}} + {{op:Krulldimension|W |}} |SZ=,}} daher erfüllen {{mathl|term= (f_1 {{kommadots|}} f_r, g_1 {{kommadots|}} g_s) |SZ=}} insgesamt die Rangbedingung und {{mathl|term= (P,Q) |SZ=}} ist ein glatter Punkt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mz6cm6wqvksa8kudd8pvmqzm41hflbd 0 105232 1108038 1085263 2026-07-19T15:29:52Z Bocardodarapti 2041 1108038 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Polynomring {{mathl|term= K[X,Y] |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |maximalen Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{idealm|}} || (X,Y) || || || |SZ= }} und dem {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{idealp|}} || (X-1) || || || |SZ=, }} das nicht in {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} liegt. Wir betrachten das {{ Definitionslink |multiplikative System| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | S || {{Mengebed| f \in K[X,Y] | f \notin {{idealm|}} \text{ und } f \notin {{idealp|}} }} || {{makl| K[X,Y] \setminus {{idealm}} |}} \cap {{makl| K[X,Y] \setminus {{idealp}} |}} || || |SZ=. }} In der {{ Definitionslink |Nenneraufnahme| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | R || K[X,Y]_S || || || |SZ= }} sind die Primideale {{ mathkor|term1= {{idealm|}} R |und|term2= {{idealp|}} R |SZ= }} die einzigen maximalen Ideale, das eine hat die {{ Definitionslink |Höhe| |Kontext=Primideal| |SZ= }} {{math|term= 2 |SZ=}} und das andere die Höhe {{math|term= 1 |SZ=.}} Die Aussage {{ Faktlink |Faktseitenname= Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Gleichlange Ketten/Fakt |Nr= |SZ= }} gilt also nicht für integre Algebren, die {{ Definitionslink |im Wesentlichen vom endlichen Typ| |Kontext=| |SZ= }} sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Krulldimension |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lzktbn6ibwau63mtqenbwxegjchqove 0 105889 1108073 1101272 2026-07-20T07:29:11Z Bocardodarapti 2041 1108073 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wenn {{ mathkor|term1= g_1 |und|term2= g_2 |SZ= }} zueinander rechtsäquivalent sind, so gibt es eine biholomorphe Abbildung {{ Abbildung |name= \psi | V | W || |SZ= }} auf offenen Umgebungen der {{math|term= 0 |SZ=}} in {{math|term= {{CC|}}^n |SZ=}} mit {{ Relationskette | g_1 || g_2 \circ \psi || || || |SZ=, }} und diese kann man durch die Identität zu einer biholomorphen Abbildung zwischen {{ mathkor|term1= {{CC|}}^k \times V |und|term2= {{CC|}}^k \times W |SZ= }} fortsetzen, die zeigt, dass auch {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} rechtsäquivalent sind. Es seien nun {{ Relationskette | f_1 || x_1^2 {{plusdots|}} x_k^2 + g_1 (y_1 {{kommadots|}} y_n) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | f_2 || z_1^2 {{plusdots|}} z_k^2 + g_2 (w_1 {{kommadots|}} w_n) || || || |SZ= }} zueinander rechtsäquivalent. Dann gibt es offene Umgebungen {{ Relationskette |U | \subseteq | {{CC|}}^k || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |V | \subseteq | {{CC|}}^n || || || |SZ=, }} der {{math|term= 0 |SZ=}} und eine biholomorphe Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |U \times V| W \subseteq {{CC|}}^{k+n} || |SZ= }} mit {{ Relationskette |f_1 || f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wir können nicht davon ausgehen, dass auf den ersten {{math|term= k |SZ=}} Variablen die Identität vorliegt, deshalb müssen wir die Variablen unabhängig voneinander ansetzen| |ISZ=|ESZ=. }} Es liegt also das kommutative Diagramm {{Kommutatives Dreieck/ru| U \times V | W | {{CC|}} |abb12= \varphi |abb13= f_1 |abb23= f_2 }} vor. Unter {{math|term= \varphi|SZ=}} entspricht der Unterraum {{mathl|term= 0 \times V |SZ=}} einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit {{ Relationskette | Z | \subseteq | W || || || |SZ=. }} Für einen Punkt {{ Relationskette | (0,y) | \in | 0 \times V || || || |SZ= }} gilt wegen der speziellen Gestalt von {{math|term= f_1 |SZ=}} bzw. {{math|term= f_2 |SZ=}} und der Kettenregel für jedes {{math|term= i |SZ=}} {{ Relationskette/align/handlinks | 0 || {{makl| \partial_{x_i } f_1 |}} (0,y) || {{makl| \partial_{x_i } {{makl| f_2 \circ \varphi |}} |}} (0,y) || \sum_{j {{=}} 1}^k {{makl| \partial_{z_j } f_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_i } ( z_j \circ \varphi ) |}} (0,y)+ \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } f_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_i } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y) || \sum_{j {{=}} 1}^k 2 z_j {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_i } (z_j \circ \varphi ) |}} (0,y)+ \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_i } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y) |SZ=. }} Mit Hilfe der {{math|term= k \times k |SZ=-}}Matrix {{ Relationskette/display | M(0,y) || {{makl| {{makl| \partial_{x_i } (z_j \circ \varphi ) |}} (0,y) |}}_{1 \leq i,j \leq k } || || || |SZ= }} können wir diese Gleichungen als {{ Relationskette/display/handlinks | -2 M(0,y) {{op:Spaltenvektor|\varphi_1 (0,y)| \vdots| \varphi_k (0,y)}} || {{op:Spaltenvektor| \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_1 } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y) |\vdots | \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_k } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y)}} || || || |SZ= }} schreiben. Die Matrix {{mathl|term= M(0,y) |SZ=}} ist nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Holomorphe_Funktionen/Quadrik/Summe/Rechtsäquivalenz/Invertierbarkeit/Aufgabe |Nr= |SZ= }} im Nullpunkt {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |SZ=. }} Damit ist sie auch in einer offenen Umgebung für {{ Relationskette | y | \in | V' | \subseteq | V || || |SZ= }} invertierbar. Es gilt also {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Spaltenvektor|z_1(y)| \vdots|z_k(y)}} || {{op:Spaltenvektor|\varphi_1 (0,y)| \vdots| \varphi_k (0,y)}} || N (y) {{op:Spaltenvektor| \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_1 } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y) |\vdots | \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_k } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y)}} || || |SZ= }} mit der von {{math|term= y |SZ=}} abhängigen inversen Matrix {{mathl|term= N(y) |SZ=.}} Somit sind die {{mathl|term= \varphi_{i}(0,y) |SZ=}} als Linearkombinationen der {{mathl|term= {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} |SZ=}} darstellbar und gehören insbesondere zum Jacobiideals zu den {{math|term= y_i |SZ=.}} {{ Relationskette/align |g_1 (y) || f_1(0,y) || ( f_2 \circ \varphi )(0,y) || f_2(\varphi_{1}(0,y) {{kommadots|}} \varphi_{k}(0,y), \varphi_{k+1}(0,y) {{kommadots|}} \varphi_{k+n}(0,y) ) || (\varphi_{1}(0,y) )^2 {{plusdots|}} ( \varphi_{k}(0,y) )^2 + g_2(\varphi_{k+1}(0,y) {{kommadots|}} \varphi_{k+n}(0,y) ) |SZ=. }} Dabei gehört die linke Summe zum Quadrat des Jacobiideals zu den {{math|term= y_i |SZ=}} und der rechte Summand gehört zur dritten Potenz des maximalen Ideals in den {{math|term= y_i |SZ=.}} Daher können wir {{ Faktlink |Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Dritte Potenz/Summe/Zweite Jacobiidealpotenz/Rechtsäquivalenz/Fakt |Nr= |SZ= }} anwenden und erhalten, dass {{math|term= g_1(y) |SZ=}} und {{mathl|term= g_2 ( w_1 {{kommadots|}} w_n ) |SZ=}} rechtsäquivalent ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qiy9it3qqc5e3c1vjapwtz834uczpwo 1108075 1108073 2026-07-20T07:32:02Z Bocardodarapti 2041 1108075 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wenn {{ mathkor|term1= g_1 |und|term2= g_2 |SZ= }} zueinander rechtsäquivalent sind, so gibt es eine biholomorphe Abbildung {{ Abbildung |name= \psi | V | W || |SZ= }} auf offenen Umgebungen der {{math|term= 0 |SZ=}} in {{math|term= {{CC|}}^n |SZ=}} mit {{ Relationskette | g_1 || g_2 \circ \psi || || || |SZ=, }} und diese kann man durch die Identität zu einer biholomorphen Abbildung zwischen {{ mathkor|term1= {{CC|}}^k \times V |und|term2= {{CC|}}^k \times W |SZ= }} fortsetzen, die zeigt, dass auch {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} rechtsäquivalent sind. Es seien nun {{ Relationskette | f_1 || x_1^2 {{plusdots|}} x_k^2 + g_1 (y_1 {{kommadots|}} y_n) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | f_2 || z_1^2 {{plusdots|}} z_k^2 + g_2 (w_1 {{kommadots|}} w_n) || || || |SZ= }} zueinander rechtsäquivalent. Dann gibt es offene Umgebungen {{ Relationskette |U | \subseteq | {{CC|}}^k || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |V | \subseteq | {{CC|}}^n || || || |SZ=, }} der {{math|term= 0 |SZ=}} und eine biholomorphe Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |U \times V| W \subseteq {{CC|}}^{k+n} || |SZ= }} mit {{ Relationskette |f_1 || f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wir können nicht davon ausgehen, dass auf den ersten {{math|term= k |SZ=}} Variablen die Identität vorliegt, deshalb müssen wir die Variablen unabhängig voneinander ansetzen| |ISZ=|ESZ=. }} Es liegt also das kommutative Diagramm {{Kommutatives Dreieck/ru| U \times V | W | {{CC|}} |abb12= \varphi |abb13= f_1 |abb23= f_2 }} vor. Unter {{math|term= \varphi|SZ=}} entspricht der Unterraum {{mathl|term= 0 \times V |SZ=}} einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit {{ Relationskette | Z | \subseteq | W || || || |SZ=. }} Für einen Punkt {{ Relationskette | (0,y) | \in | 0 \times V || || || |SZ= }} gilt wegen der speziellen Gestalt von {{math|term= f_1 |SZ=}} bzw. {{math|term= f_2 |SZ=}} und der Kettenregel für jedes {{math|term= i |SZ=}} {{ Relationskette/align/handlinks | 0 || {{makl| \partial_{x_i } f_1 |}} (0,y) || {{makl| \partial_{x_i } {{makl| f_2 \circ \varphi |}} |}} (0,y) || \sum_{j {{=}} 1}^k {{makl| \partial_{z_j } f_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_i } ( z_j \circ \varphi ) |}} (0,y)+ \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } f_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_i } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y) || \sum_{j {{=}} 1}^k 2 z_j {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_i } (z_j \circ \varphi ) |}} (0,y)+ \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_i } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y) |SZ=. }} Mit Hilfe der {{math|term= k \times k |SZ=-}}Matrix {{ Relationskette/display | M(0,y) || {{makl| {{makl| \partial_{x_i } (z_j \circ \varphi ) |}} (0,y) |}}_{1 \leq i,j \leq k } || || || |SZ= }} können wir diese Gleichungen als {{ Relationskette/display/handlinks | -2 M(0,y) {{op:Spaltenvektor|\varphi_1 (0,y)| \vdots| \varphi_k (0,y)}} || {{op:Spaltenvektor| \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_1 } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y) |\vdots | \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_k } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y)}} || || || |SZ= }} schreiben. Die Matrix {{mathl|term= M(0,y) |SZ=}} ist nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Holomorphe_Funktionen/Quadrik/Summe/Rechtsäquivalenz/Invertierbarkeit/Aufgabe |Nr= |SZ= }} im Nullpunkt {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |SZ=. }} Damit ist sie auch in einer offenen Umgebung für {{ Relationskette | y | \in | V' | \subseteq | V || || |SZ= }} invertierbar. Es gilt also {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Spaltenvektor|z_1(y)| \vdots|z_k(y)}} || {{op:Spaltenvektor|\varphi_1 (0,y)| \vdots| \varphi_k (0,y)}} || N (y) {{op:Spaltenvektor| \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_1 } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y) |\vdots | \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_k } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y)}} || || |SZ= }} mit der von {{math|term= y |SZ=}} abhängigen inversen Matrix {{mathl|term= N(y) |SZ=.}} Somit sind die {{mathl|term= \varphi_{i}(0,y) |SZ=}} als Linearkombinationen der {{mathl|term= {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} |SZ=}} darstellbar und gehören insbesondere zum Jacobiideals zu den {{math|term= y_i |SZ=.}} {{ Relationskette/align |g_1 (y) || f_1(0,y) || {{makl| f_2 \circ \varphi |}} (0,y) || f_2 {{makl| \varphi_{1}(0,y) {{kommadots|}} \varphi_{k}(0,y), \varphi_{k+1}(0,y) {{kommadots|}} \varphi_{k+n}(0,y) |}} || {{makl| \varphi_{1}(0,y) |}}^2 {{plusdots|}} ( \varphi_{k}(0,y) )^2 + g_2 {{makl| \varphi_{k+1}(0,y) {{kommadots|}} \varphi_{k+n}(0,y) |}} |SZ=. }} Dabei gehört die linke Summe zum Quadrat des Jacobiideals zu den {{math|term= y_i |SZ=}} und der rechte Summand gehört zur dritten Potenz des maximalen Ideals in den {{math|term= y_i |SZ=.}} Daher können wir {{ Faktlink |Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Dritte Potenz/Summe/Zweite Jacobiidealpotenz/Rechtsäquivalenz/Fakt |Nr= |SZ= }} anwenden und erhalten, dass {{math|term= g_1(y) |SZ=}} und {{mathl|term= g_2 {{makl| w_1 {{kommadots|}} w_n |}} |SZ=}} rechtsäquivalent sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pom427aavixoxj51abuanjh9hlm61kr 1108076 1108075 2026-07-20T07:33:16Z Bocardodarapti 2041 1108076 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wenn {{ mathkor|term1= g_1 |und|term2= g_2 |SZ= }} zueinander rechtsäquivalent sind, so gibt es eine biholomorphe Abbildung {{ Abbildung |name= \psi | V | W || |SZ= }} auf offenen Umgebungen der {{math|term= 0 |SZ=}} in {{math|term= {{CC|}}^n |SZ=}} mit {{ Relationskette | g_1 || g_2 \circ \psi || || || |SZ=, }} und diese kann man durch die Identität zu einer biholomorphen Abbildung zwischen {{ mathkor|term1= {{CC|}}^k \times V |und|term2= {{CC|}}^k \times W |SZ= }} fortsetzen, die zeigt, dass auch {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} rechtsäquivalent sind. Es seien nun {{ Relationskette | f_1 || x_1^2 {{plusdots|}} x_k^2 + g_1 (y_1 {{kommadots|}} y_n) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | f_2 || z_1^2 {{plusdots|}} z_k^2 + g_2 (w_1 {{kommadots|}} w_n) || || || |SZ= }} zueinander rechtsäquivalent. Dann gibt es offene Umgebungen {{ Relationskette |U | \subseteq | {{CC|}}^k || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |V | \subseteq | {{CC|}}^n || || || |SZ=, }} der {{math|term= 0 |SZ=}} und eine biholomorphe Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |U \times V| W \subseteq {{CC|}}^{k+n} || |SZ= }} mit {{ Relationskette |f_1 || f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wir können nicht davon ausgehen, dass auf den ersten {{math|term= k |SZ=}} Variablen die Identität vorliegt, deshalb müssen wir die Variablen unabhängig voneinander ansetzen| |ISZ=|ESZ=. }} Es liegt also das kommutative Diagramm {{Kommutatives Dreieck/ru| U \times V | W | {{CC|}} |abb12= \varphi |abb13= f_1 |abb23= f_2 }} vor. Unter {{math|term= \varphi|SZ=}} entspricht der Unterraum {{mathl|term= 0 \times V |SZ=}} einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit {{ Relationskette | Z | \subseteq | W || || || |SZ=. }} Für einen Punkt {{ Relationskette | (0,y) | \in | 0 \times V || || || |SZ= }} gilt wegen der speziellen Gestalt von {{math|term= f_1 |SZ=}} bzw. {{math|term= f_2 |SZ=}} und der Kettenregel für jedes {{math|term= i |SZ=}} {{ Relationskette/align/handlinks | 0 || {{makl| \partial_{x_i } f_1 |}} (0,y) || {{makl| \partial_{x_i } {{makl| f_2 \circ \varphi |}} |}} (0,y) || \sum_{j {{=}} 1}^k {{makl| \partial_{z_j } f_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_i } ( z_j \circ \varphi ) |}} (0,y)+ \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } f_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_i } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y) || \sum_{j {{=}} 1}^k 2 z_j {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_i } (z_j \circ \varphi ) |}} (0,y)+ \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_i } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y) |SZ=. }} Mit Hilfe der {{math|term= k \times k |SZ=-}}Matrix {{ Relationskette/display | M(0,y) || {{makl| {{makl| \partial_{x_i } (z_j \circ \varphi ) |}} (0,y) |}}_{1 \leq i,j \leq k } || || || |SZ= }} können wir diese Gleichungen als {{ Relationskette/display/handlinks | -2 M(0,y) {{op:Spaltenvektor|\varphi_1 (0,y)| \vdots| \varphi_k (0,y)}} || {{op:Spaltenvektor| \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_1 } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y) |\vdots | \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_k } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y)}} || || || |SZ= }} schreiben. Die Matrix {{mathl|term= M(0,y) |SZ=}} ist nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Holomorphe_Funktionen/Quadrik/Summe/Rechtsäquivalenz/Invertierbarkeit/Aufgabe |Nr= |SZ= }} im Nullpunkt {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |SZ=. }} Damit ist sie auch in einer offenen Umgebung für {{ Relationskette | y | \in | V' | \subseteq | V || || |SZ= }} invertierbar. Es gilt also {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Spaltenvektor| z_1(y) | \vdots | z_k(y)}} || {{op:Spaltenvektor| \varphi_1 (0,y) | \vdots | \varphi_k (0,y)}} || N (y) {{op:Spaltenvektor| \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_1 } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y) | \vdots | \sum_{j {{=}} 1}^n {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} \cdot {{makl| \partial_{x_k } (w_j \circ \varphi ) |}} (0,y)}} || || |SZ= }} mit der von {{math|term= y |SZ=}} abhängigen inversen Matrix {{mathl|term= N(y) |SZ=.}} Somit sind die {{mathl|term= \varphi_{i}(0,y) |SZ=}} als Linearkombinationen der {{mathl|term= {{makl| \partial_{w_j } g_2 |}} {{makl| \varphi(0,y) |}} |SZ=}} darstellbar und gehören insbesondere zum Jacobiidealen zu den {{math|term= y_i |SZ=.}} {{ Relationskette/align | g_1 (y) || f_1(0,y) || {{makl| f_2 \circ \varphi |}} (0,y) || f_2 {{makl| \varphi_{1}(0,y) {{kommadots|}} \varphi_{k}(0,y), \varphi_{k+1}(0,y) {{kommadots|}} \varphi_{k+n}(0,y) |}} || {{makl| \varphi_{1}(0,y) |}}^2 {{plusdots|}} ( \varphi_{k}(0,y) )^2 + g_2 {{makl| \varphi_{k+1}(0,y) {{kommadots|}} \varphi_{k+n}(0,y) |}} |SZ=. }} Dabei gehört die linke Summe zum Quadrat des Jacobiideals zu den {{math|term= y_i |SZ=}} und der rechte Summand gehört zur dritten Potenz des maximalen Ideals in den {{math|term= y_i |SZ=.}} Daher können wir {{ Faktlink |Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Dritte Potenz/Summe/Zweite Jacobiidealpotenz/Rechtsäquivalenz/Fakt |Nr= |SZ= }} anwenden und erhalten, dass {{math|term= g_1(y) |SZ=}} und {{mathl|term= g_2 {{makl| w_1 {{kommadots|}} w_n |}} |SZ=}} rechtsäquivalent sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hk899qku2o1hpxyiyr1bh4pfj72mpnp 0 105961 1108028 1096034 2026-07-19T14:56:37Z Bocardodarapti 2041 1108028 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es ist {{ Relationskette/display | x || a \cdot 10^{-m-1} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | y || b \cdot 10^{-n-1} || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/display | x \cdot y || a \cdot 10^{-m-1} \cdot b \cdot 10^{-n-1} || a \cdot b \cdot 10^{-m-n-2} || || |SZ=. }} Wenn {{ Relationskette/display | a \cdot b | < | 10 || || || |SZ=, }} so kann man daraus direkt die Ziffernentwicklung des Produktes ablesen, und dieses hat {{math|term= m+n+1 |SZ=}} Nullen hinter dem Komma. Bei {{ Relationskette | a \cdot b | \geq| 10 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display |a \cdot b || c \cdot 10 +d || || || |SZ= }} eine zweistellige Zahl im Dezimalsystem {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{ Relationskette/k |a,b | \leq | 9 || || || |SZ= }} kann das Produkt nocht höherstellig sein| |ISZ=|ESZ= }} und das Produkt besitzt {{math|term= m+n|SZ=}} Nullen hinter dem Komma. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 980nzq8jlovv81rtjrurie58iq1v1yf 0 106636 1108047 1044435 2026-07-19T17:47:23Z Bocardodarapti 2041 1108047 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |SZ=, }} sei {{ Relationskette | V | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |abgeschlossene Untervarietät| |Kontext=affin| |SZ= }} und {{ Relationskette | P | \in | V || || || |SZ= }} ein Punkt der lokalen {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=Varietät| |SZ= }} {{math|term= r |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann besitzt jede {{ Definitionslink |irreduzible Komponente| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= W |SZ=}} durch {{math|term= P |SZ=}} des Durchschnittes von {{math|term= V |SZ=}} mit jedem linearen Unterraum der Dimension {{mathl|term= \geq n+1-r |SZ=}} eine Dimension {{mathl|term= \geq 1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= P |SZ=}} ist also kein isolierter Punkt des Durchschnittes| |ISZ=|ESZ=, }} und es gibt lineare Unterräume der Dimension {{math|term= n-r |SZ=}} durch {{math|term= P |SZ=,}} deren Durchschnitte mit {{math|term= V |SZ=}} den Punkt {{math|term= P |SZ=}} isolieren. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Dimensionstheorie für affine Varietäten über Schnitte mit linearen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lxj4nuvwytpzf1etk5a0loqroaczlxx 0 107639 1108039 1085854 2026-07-19T15:31:48Z Bocardodarapti 2041 1108039 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} geometrische Objekte {{ Zusatz/Klammer |text=topologische Räume, Mannigfaltigkeiten, Varietäten, beringte Räume| |ISZ=|ESZ=, }} wobei klar sein soll, was die darauf adäquaten definierten Funktionen sein sollen. Jedenfalls soll eine Funktion von der Form {{ Abbildung |name=f | V | K || |SZ= }} in einen festgelegten Körper {{math|term= K |SZ=}} sein, wodurch eine Ringstruktur auf der Menge der Funktionen gestiftet wird. Über die Projektionen {{ Abbildung/display |name= p_V |V \times W|V || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= p_W |V \times W|W || |SZ= }} definiert eine Funktion auf {{math|term= V |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf {{math|term= W |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} direkt eine Funktion auf {{mathl|term= V \times W |SZ=,}} indem man einfach die Hintereinanderschaltung {{ Math/display|term= V \times W \stackrel{p_V}{\longrightarrow} V\stackrel{f}{\longrightarrow} K |SZ= }} betrachtet. Zu einer Funktion {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term= V |SZ=}} und einer Funktion {{math|term= g |SZ=}} auf {{math|term= W |SZ=}} kann man auf {{mathl|term= V \times W |SZ=}} die Funktion {{ Math/display|term= V \times W \stackrel{f \times g}{ \longrightarrow} K \times K \stackrel{ \cdot}{\longrightarrow} K |SZ= }} betrachten, wobei {{math|term= \cdot|SZ=}} die Multiplikation auf dem Körper bezeichnet. Diese Abbildung bezeichnen wir {{ Zusatz/Klammer |text=aus gutem Grund| |ISZ=|ESZ= }} mit {{mathl|term= f {{tensor|}} g |SZ=.}} Es ist also {{ Relationskette/display | {{makl| f {{tensor|}} g |}} (x,y) || f(x) \cdot g(y) || || || |SZ=. }} Dabei stimmt {{mathl|term= f {{tensor|}} 1 |SZ=}} mit der über die Projektion nach {{math|term= V |SZ=}} gewonnenen Funktion {{mathl|term= f \circ p_V |SZ=}} überein. Ferner gilt im Ring der Funktionen auf der Produktmenge die Beziehung {{ Relationskette/display | f {{tensor|}} g || {{makl| f {{tensor|}} 1 |}} \cdot {{makl| 1 {{tensor|}} g |}} || || || |SZ=. }} Keineswegs sind alle Funktionen auf {{mathl|term= V \times W |SZ=}} von diesem Produkttyp, beispielsweise kann man {{mathl|term= {{makl| f {{tensor|}} 1 |}} + {{makl| 1 {{tensor|}} g |}} |SZ=}} im Allgemeinen nicht auf diese Gestalt bringen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Produkte von affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie3=Theorie der Produktmenge |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6dfy4grjkgmzr0dpfhialu2hb5pt7nl 0 107682 1108036 1101331 2026-07-19T15:26:47Z Bocardodarapti 2041 1108036 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion nach {{math|term= d |SZ=,}} bei {{ Relationskette |d || 0 || || || |SZ= }} liegt ein minimales Primideal {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= 0 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} vor. Es sei {{ Relationskette | d | \geq | 1 || || || |SZ= }} und die Aussage für kleinere Höhen bewiesen. Es seien {{mathl|term= {{idealp|}}_1 {{kommadots|}} {{idealp|}}_r |SZ=}} die minimalen Primideale von {{math|term= R |SZ=,}} die in {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} enthalten sind. Dann gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Primideal/Vermeidung/Fakt |Nr= |SZ= }} ein {{ Relationskette/display | f | \in | {{idealp}} \setminus \bigcup_{j {{=}} 1}^r {{idealp|}}_j || || || |SZ=. }} Wir betrachten das Primideal {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} in {{mathl|term= R/(f) |SZ=.}} Da in {{math|term= R/(f) |SZ=}} nach Konstruktion die minimalen Primideale {{mathl|term= {{idealp|}}_1 {{kommadots|}} {{idealp|}}_r |SZ=}} nicht überleben, besitzt {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} dort eine Höhe {{mathl|term= \leq d-1 |SZ=.}} Nach Induktionsvoraussetzung gibt es Elemente {{ Relationskette | g_1 {{kommadots|}} g_{d-1} | \in | R/(f) || || || |SZ=, }} über denen {{mathl|term= {{idealp|}} |SZ=}} minimal ist. Es seien {{mathl|term= f_j |SZ=}} Repräsentanten der {{math|term= g_j |SZ=.}} Dann ist {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} minimal über {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_{d-1}, f |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q7hyhk4issng57ylbely8cfuawnzn1w 0 107840 1108042 1087209 2026-07-19T17:39:52Z Bocardodarapti 2041 1108042 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Ohne Einschränkung sei {{ Relationskette | Z || V( {{idealq|}} ) || || || |SZ= }} ebenfalls irreduzibel und entspreche einem Primideal {{ Relationskette | {{idealq|}} | \subseteq | R || || || |SZ= }} der Höhe {{math|term= s |SZ=.}} Es sei {{ Relationskette | W || V( {{idealr|}} ) || || || |SZ= }} mit einem Primideal {{ Relationskette | {{idealr|}} | \subseteq | R || || || |SZ= }} der Höhe {{math|term= m |SZ=,}} das {{ Definitionslink |minimal| |Kontext=Primideal| |SZ= }} über {{mathl|term= {{idealp|}} + {{idealq|}} |SZ=}} ist. Wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Algebra/Körper/Primideal/Dimension plus Höhe/Integer/Gleichlange Ketten/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette | m | \leq | r+s || || || |SZ= }} zu zeigen. In {{mathl|term= R_{{idealr}}/{{idealq}} |SZ=}} ist {{math|term= {{idealr|}} |SZ=}} minimal über {{ Relationskette/display | {{idealp|}} || {{op:Radikal|f_1 {{kommadots|}} f_r|}} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Allgemein/Fakt |Nr= |SZ= }} ist dort die Höhe von {{math|term= {{idealr|}} |SZ=}} höchstens {{math|term= r |SZ=.}} Zurückübersetzt nach {{math|term= R_{{idealr}} |SZ=}} bedeutet dies {{ Relationskette/display | {{op:Höhe| {{idealr|}} |}} | \leq | r+s || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b3kal4bqp8i7ni2xi2nbdy4jod1srn5 0 107866 1108045 1049993 2026-07-19T17:43:06Z Bocardodarapti 2041 1108045 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{math|term= V |SZ=}} eine {{ Definitionslink |affin-algebraische Menge| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= K |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die {{ Definitionslink |Diagonale| |Kontext=Varietät| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | V | V \times V | P | (P,P) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |abgeschlossene Einbettung| |Kontext=| |SZ=. }} |Zusatz=Insbesondere ist das Bild {{math|term= \Delta |SZ=}} der Diagonalen {{ Definitionslink |homöomorph| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= V |SZ=.}} }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Produkte von affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nel8c9rzbclk50gl0ouzisqyrrecxql 0 107880 1108054 1101335 2026-07-20T06:23:36Z Bocardodarapti 2041 1108054 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dass freie Moduln projektiv sind, wurde in {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer Ring/Freier Modul/Ist projektiv/Fakt |Nr= |SZ= }} bewiesen. Es sei also {{math|term= M |SZ=}} projektiv. Es sei {{mathl|term= m_1 {{kommadots|}} m_n |SZ=}} ein minimales Erzeugendensystem von {{math|term= M |SZ=}} und sei {{ Abbildung/display |name=p | R^n | M || |SZ= }} der zugehörige surjektive Modulhomomorphismus. Wegen der Minimalität ist {{ Abbildung/display |name= | {{makl| R/ {{idealm|}} |}}^n | M/ {{idealm|}} M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=R/ {{idealm|}} |lineare| |Kontext=| |SZ= }} bijektive Abbildung. Wegen der Projektivität gibt es einen Modulhomomorphismus {{ Abbildung |name= i | M | R^n || |SZ= }} mit {{ Relationskette | p \circ i || {{op:Identität| M |}} || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display |R^n | \cong| M \oplus N || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |N || {{op:Kern| p|}} || || || |SZ= }} und wobei wir {{math|term= M |SZ=}} mit {{mathl|term= i(M) |SZ=}} identifizieren. Wir betrachten nun {{ Math/display|term= R^n \stackrel{\cong}{ \longrightarrow } M \oplus N \longrightarrow M |SZ= }} und die induzierten {{math|term= R/ {{idealm|}} |SZ=-}}linearen Abbildungen {{ Math/display|term= {{makl| R/ {{idealm|}} |}}^n \longrightarrow M/ {{idealm|}} M \oplus N/ {{idealm|}} N \longrightarrow M/ {{idealm|}} M |SZ=. }} Hierbei ist sowohl die Abbildung links als auch die Gesamtabbildung bijektiv. Daher muss {{ Relationskette | N/ {{idealm|}} N || 0 || || || |SZ= }} sein. Aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt |Nr= |SZ= }} folgt {{ Relationskette |N || 0 || || || |SZ= }} und somit ist {{ Relationskette |R^n || M || || || |SZ= }} frei. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f5r6spdgtfgj26upzryizjxdzi4b8ca 0 107926 1108051 1088700 2026-07-20T06:19:31Z Bocardodarapti 2041 1108051 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | V | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |zusammenhängende| |Kontext=Topologie| |SZ= }} {{ Definitionslink |glatte Varietät| |Kontext=| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |vollkommenen Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} und es sei {{math|term= R |SZ=}} der {{ Definitionslink |affine Koordinatenring| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= V |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist der {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kählermodul| R | K}} |SZ=}} {{ Definitionslink |lokal frei| |Kontext=Modul| |SZ= }} von konstantem Rang {{math|term= {{op:Krulldimension| R |}} |SZ=}} und insbesondere ein {{ Definitionslink |projektiver Modul| |Kontext=| |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der lokal freien Moduln (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der projektiven Moduln |Kategorie3=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie4=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Algebraische Struktur des Moduls der Kählerdifferentiale zu glatter Varietät |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lja2pwzm0v98wrakgr0aunkjpgjqzce 0 108201 1108068 1099810 2026-07-20T06:54:56Z Bocardodarapti 2041 1108068 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das Polynom {{ Relationskette |f || X^3-Y^2 || || || |SZ= }} und das zugehörige Nullstellengebilde {{ Relationskette | V(f) | \subseteq | {{op:Affine Ebene| K |}} || || || |SZ=, }} also die zugehörige ebenen monomiale Kurve. Wir betrachten die polynomiale Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | {{op:Affine Ebene| K |}} | {{op:Affine Ebene| K |}} | (x,z)| (x,xz) {{=|}} (x,y) |SZ=, }} die einen Isomorphismus {{ Abbildung/display |name= |V_1 {{=|}} D(X)| V_2 {{=|}} D(X) || |SZ= }} induziert, die Umkehrabbildung ist durch {{ Relationskette/display | z || {{op:Bruch| y | x}} || || || |SZ= }} gegeben. Dabei ist {{ Relationskette/display | f \circ \varphi || X^3-X^2Z^2 || X^2 {{makl| X-Z^2 |}} || || |SZ=. }} Somit liefert {{math|term= \varphi,|SZ=}} eingeschränkt auf {{math|term= V_1 |SZ=}} bzw. {{math|term= V_2 |SZ=,}} einen Isomorphismus, der die monomiale Kurve ohne die Singularität in die Parabel {{mathl|term= V {{makl| X-Z^2 |}} |SZ=}} ohne den Nullpunkt überführt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3=Theorie der Aufblasungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pk7ay1hlxs85wc4rsxvpfz94lrqilvr 0 108512 1108070 1100610 2026-07-20T07:18:31Z Bocardodarapti 2041 1108070 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung |name=f | U | {{CC|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |holomorphe Funktion| |Kontext=n| |SZ= }} auf {{ Relationskette | U | \subseteq | {{CC|}}^n || || || |SZ= }} offen. Dann besitzt die {{ Definitionslink |Entfaltung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= E | U \times {{CC|}} | {{CC|}} | (x,t) | f(x) -t |SZ=, }} die Eigenschaft, dass die Nullstellenmenge zu {{ Relationskette | E( -,t) || f_t || || || |SZ= }} bei {{math|term= t |SZ=}} fixiert einfach das Urbild von {{math|term= t |SZ=}} unter {{math|term= f |SZ=}} ist. Es ist ja unmittelbar {{ Relationskette/display | E(-,t)^{-1} (0) || f_t^{-1} (0) || {{Mengebed| x \in U | f_t(x) {{=|}} 0 }} || {{Mengebed| x \in U | f (x) {{=|}} t }} || f^{-1}(t) |SZ=. }} D.h. in dieser Entfaltung treten die benachbarten Fasern {{mathl|term= f^{-1}(t) |SZ=}} zu {{ Relationskette | t | \in | {{CC|}} || || || |SZ= }} als deformierte Fasern auf. Mit Entfaltungen studiert man also insbesondere auch, wie sich die Nullstellenmenge zu {{math|term= f |SZ=}} bezogen auf die benachbarten Fasern verhält. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c5kqu2t7f4gnpucrelb3q3ral0ifalu 0 111277 1108133 1100768 2026-07-20T11:16:14Z Bocardodarapti 2041 1108133 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{Beweisstruktur |Strategie=Wir beweisen die Existenz durch Induktion über {{math|term= n|SZ=,}} und zwar betrachten wir die Aussage {{math|term= A(n)|SZ=,}} die besagt, dass jede natürliche Zahl {{math|term= m|SZ=}} mit {{ Relationskette | 2 | \leq |m | \leq |n || || |SZ= }} eine Primfaktorzerlegung besitzt. {{ Induktionsbeweis |Strategie= |Anfang= Für {{ Relationskette |n || 2 || || || |SZ= }} liegt eine Primzahl vor. |Schluss= Sei {{ Relationskette |n | \geq | 2 || || || |SZ= }} und sei, als Induktionsvoraussetzung, angenommen, dass jede Zahl {{ Relationskette |m | \leq |n || || || |SZ= }} eine Primfaktorzerlegung besitzt. Es ist zu zeigen, dass dann auch jede Zahl {{ Relationskette | m | \leq | n+1 || || || |SZ= }} eine Primfaktorzerlegung besitzt. Die einzig neue zu betrachtende Zahl ist {{math|term= n+1 |SZ=.}} Es ist also zu zeigen, dass, wenn jede Zahl echt kleiner als {{math|term= n+1 |SZ=}} eine Primfaktorzerlegung besitzt, dann auch {{math|term= n+1 |SZ=}} eine Primfaktorzerlegung besitzt. Wir betrachten also {{math|term= n+1 |SZ=.}} Im Beweis dieses Induktionsschrittes kommt ein weiteres wichtiges Argumentationsschema zum Tragen, nämlich {{Stichwort|Beweis durch Fallunterscheidung|SZ=.}} Dabei argumentiert man abhängig davon, ob eine zusätzliche Eigenschaft vorliegt oder nicht, in beiden Fällen muss man jeweils das nachweisen, was man zeigen will. Hier macht man die Fallunterscheidung, ob {{math|term= n+1 |SZ=}} eine Primzahl ist oder nicht. Wenn {{math|term= n+1|SZ=}} eine Primzahl ist, so liegt unmittelbar die Primfaktorzerlegung vor, die aus der Zahl selbst besteht. In diesem Fall wird also auf die Induktionsvoraussetzung gar nicht Bezug genommen. Somit betrachten wir den Fall, wo {{math|term= n+1 |SZ=}} keine Primzahl ist. Dies bedeutet, dass es eine nichttriviale Zerlegung {{ Relationskette |n+1 || ab || || || |SZ= }} mit kleineren Zahlen {{ Relationskette |a,b | < | n+1 || || || |SZ= }} gibt. Für diese Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für {{math|term= n+1|SZ=}} zusammen. |Zusammenfassung= }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sylwubqyi49frjx6m2dzflz843maahm 106 131193 1108012 1107636 2026-07-19T12:22:46Z Bocardodarapti 2041 1108012 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Vorlesungsgestaltung|2| Wir erinnern an einige weitere Begriffe. Man sagt, dass eine ganze Zahl {{math|term= a|SZ=}} eine ganze Zahl {{math|term= b|SZ=}} {{Stichwort|teilt|msw=Teiler|SZ=}} {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Scheinbar trivialer Stoff/Bemerkung|| }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder dass {{math|term= a |SZ=}} ein {{Stichwort|Teiler|SZ=}} von {{math|term= b |SZ=}} ist oder dass {{math|term= b |SZ=}} ein {{Stichwort|Vielfaches|SZ=}} von {{math|term= a |SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=, }} wenn es eine weitere ganze Zahl {{math|term= c|SZ=}} mit {{ Relationskette | b || ac || || || |SZ= }} gibt. {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Gleichung/Sachverhalt/Bemerkung|| }} Beispielsweise ist {{math|term= 3 |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= 15 |SZ=,}} aber {{math|term=2|SZ=}} ist kein Teiler von {{math|term= 15 |SZ=.}} Eine {{Stichwort|gerade Zahl|SZ=}} ist eine ganze Zahl, die ein Vielfaches von {{math|term= 2 |SZ=}} ist, eine {{Stichwort|ungerade Zahl|SZ=}} ist eine ganze Zahl, die kein Vielfaches von {{math|term= 2 |SZ=}} ist. Wenn {{math|term= a |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist, so verwenden wir die Bezeichnung {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=}} für diejenige {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmte| |ISZ=|ESZ= }} ganze Zahl {{math|term= c |SZ=,}} für die die Gleichheit {{ Relationskette |b ||ac || || || |SZ= }} gilt. {{Zwischenüberschrift|Primzahlen}} {{ inputbild |New Animation Sieve of Eratosthenes|gif|230px {{!}} right {{!}} |Text=Das {{Stichwort|Sieb des Eratosthenes}} liefert eine einfache Methode, eine Liste von Primzahlen unterhalb einer bestimmten Größe {{math|term= k|SZ=}} zu erstellen. Man streicht einfach die echten Vielfachen der kleinen {{ Zusatz/Klammer |text=kleiner als oder gleich {{math|term= \sqrt{k} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} schon etablierten Primzahlen durch, die verbleibenden Zahlen sind prim. |Autor= |Benutzer=M.qrius |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= n |SZ=, }} und diese müssen verschieden sein. {{math|term=1|SZ=}} ist also keine Primzahl. Die ersten Primzahlen sind {{mathl|term= 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, {{ldots}} |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt|Satz| |zusatz1=. {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Inklusion von Extremfällen/Bemerkung|| }} |zusatz2=. {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Beweis/Konstruktive Existenz/Bemerkung|| }}| }} Für {{mathl|term=105|SZ=}} beispielsweise findet man den Primfaktor {{math|term=3|SZ=}} und kann daher {{ Relationskette |105 ||3 \cdot 35 || || || |SZ= }} schreiben. Für {{math|term=35|SZ=}} hat man die Zerlegung {{ Relationskette |35 ||5 \cdot 7 || || || |SZ= }} und man erhält {{ Relationskette/display |105 || 3 \cdot 5 \cdot 7 || || || |SZ=. }} Wenn man mit dem Primfaktor {{math|term=5|SZ=}} startet, so ergibt sich {{ Relationskette | 105 || 5 \cdot 21 || 5 \cdot 3 \cdot 7 || || |SZ=, }} insgesamt kommen also die gleichen Primfaktoren vor. Weiter unten werden wir zeigen, dass die Primfaktorzerlegung bis auf Reihenfolge eindeutig ist, was keineswegs selbstverständlich ist und einiger Vorbereitungen bedarf. Der folgende Satz wird Euklid zugeschrieben. {{ inputbild |Euklid-von-Alexandria 1|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |Zusname=Euklid-von-Alexandria_1 |Text=[[w:Euklid|Euklid (4. Jahrhundert v. C.)]] |Autor= |Benutzer=Luestling |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www.bath.ac.uk/~ma1dp/Biography.html }} {{ inputfaktbeweis2 |Primzahlen/Unendlich viele/Fakt|Satz| |zusatz1=, {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Beweis durch Widerspruch/Bemerkung|| }} |zusatz3=Dies ist ein Widerspruch, da ein {{math|term= p_i |SZ=}} nicht gleichzeitig ein Teiler und kein Teiler von {{math|term= N|SZ=}} sein kann. Also muss die Annahme {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die Endlichkeit der Primzahlmenge| |ISZ=|ESZ= }} falsch gewesen sein. || }} {{Zwischenüberschrift|Teilerfremdheit}} {{ inputdefinition |Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition|| }} Beispielsweise sind {{ mathkor|term1= 12 |und|term2= 25 |SZ= }} teilerfremd, {{ mathkor|term1= 15 |und|term2= 25 |SZ= }} sind nicht teilerfremd, da {{math|term=5|SZ=}} ein gemeinsamer Teiler ist. Die {{math|term=1|SZ=}} ist zu jeder natürlichen Zahl {{ Zusatz/Klammer |text=auch zu {{math|term=0|SZ=}} und {{math|term=1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} teilerfremd. Für eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} und eine natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} gilt folgende Alternative: Entweder teilt {{math|term= p |SZ=}} die Zahl {{math|term= n|SZ=,}} oder aber {{ mathkor|term1= p |und|term2= n |SZ= }} sind teilerfremd. Ein gemeinsamer Teiler muss ja ein Teiler von {{math|term= p|SZ=}} sein, und da kommen nur {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= p |SZ= }} in Frage. {{ inputbild |Kielcanal|PNG|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Grunners |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die Aufgabe ist lösbar: Man macht dreimal den {{math|term=7|SZ=-}}Liter-Eimer in der Nordsee voll und transportiert dies in die Ostsee. Danach {{ Zusatz/Klammer |text=oder gleichzeitig| |ISZ=|ESZ= }} macht man zweimal den {{math|term=10|SZ=-}}Liter-Eimer in der Ostsee voll und transportiert dies in die Nordsee. Unterm Strich hat man dann {{ Relationskette/display | 3 \cdot 7 -2 \cdot 10 || 1 || || || |SZ= }} Liter transportiert {{ Zusatz/Klammer |text=eine andere Möglichkeit ist {{ Relationskette | 5 \cdot 10 - 7 \cdot 7 ||1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Die dieser Überlegung zugrunde liegende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz||| }} {{Zwischenüberschrift|Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie}} Wir möchten nun zur Primfaktorzerlegung, deren Existenz wir bereits gezeigt haben, beweisen, dass sie eindeutig ist. Natürlich kann man {{ Relationskette/display | 12 || 3 \cdot 2 \cdot 2 || 2 \cdot 3 \cdot 2 || 2 \cdot 2 \cdot 3 || |SZ= }} schreiben, mit eindeutig ist also eindeutig bis auf Reihenfolge gemeint. Um dies zu zeigen brauchen wir zunächst das sogenannte {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=,}} das eine wichtige Eigenschaft einer Primzahl beschreibt. {{ inputfaktbeweis3 |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz||zusatz1= {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Direkter Beweis/Bemerkung|| }} || }} Aus dem Lemma von Euklid folgt sofort die etwas stärkere Aussage: Wenn eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} ein beliebiges Produkt {{mathl|term= a_1 a_2 {{cdots|}} a_n |SZ=}} teilt, dann teilt {{math|term= p|SZ=}} mindestens einen Faktor. Man wendet das Lemma einfach auf {{mathl|term= (a_1 a_2 {{cdots|}} a_{n-1}) \cdot a_n |SZ=}} an {{ Zusatz/Klammer |text=formal ist das eine Induktion über die Anzahl der Faktoren| |ISZ=|ESZ=. }} Dies wird im Beweis des folgenden {{Stichwort|Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie|msw=Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie|SZ=}} verwendet. {{ inputfaktbeweis3 |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|Primzahlprobleme}} {{:Mathematische Probleme/Beispiel Primzahlzwillinge/Einführung/Textabschnitt}} }} j24qrsadr24jqk7rkwz2bn0pn9tskas 106 131194 1108017 1069999 2026-07-19T14:37:43Z Bocardodarapti 2041 1108017 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Vorlesungsgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|Die rationalen Zahlen}} {{:Rationale Zahlen/Brüche/Einführung/Textabschnitt|zusatz1= {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Wohldefiniertheit/Bemerkung|| }}|}} {{Zwischenüberschrift|Die reellen Zahlen}} {{ inputbild |Real number line|svg| 250px {{!}} right {{!}} |Zusname=Real_number_line |Text= |Autor= |Benutzer=Phrood |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir werden nun die reellen Zahlen besprechen, die wir uns durch alle Punkte der Zahlengeraden vorstellen. Diese Vorstellung ist keineswegs unproblematisch, sie ist aber intuitiv sehr wertvoll. Allerdings ist die Intuition in der Mathematik kein Beweismittel. Ferner wird die Intuition häufig überschätzt und mit Gewohnheit verwechselt. Haben Sie eine sichere intuitive Vorstellung zur Multiplikation auf der Zahlengeraden? {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Intuition/Bemerkung|| }} Unsere Vorgehensweise ist daher, grundlegende Eigenschaften der reellen Zahlen ein für allemal zu formulieren und dann alle weiteren Eigenschaften aus diesen Grundeigenschaften abzuleiten. Diese grundlegenden Eigenschaften decken sich mit unserer intuitiven Vorstellung einer kontinuierlichen Zahlengeraden und mit unserer Rechenerfahrung mit reellen Zahlen. Grundlegende Eigenschaften von mathematischen Strukturen werden als {{Stichwort|Axiome|msw=Axiom|SZ=}} bezeichnet. In der Mathematik werden sämtliche Eigenschaften aus den Axiomen logisch abgeleitet. Die Axiome für die reellen Zahlen gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Unter algebraischen Eigenschaften versteht man solche Eigenschaften, die sich auf die Rechenoperationen, also die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division, beziehen. Diese Operationen ordnen zwei reellen Zahlen eine weitere reelle Zahl zu, man spricht auch von {{Stichwort|Verknüpfungen|msw=Verknüpfung|SZ=.}} Es genügt, nur Gesetzmäßigkeiten für die Addition und die Multiplikation aufzulisten, Subtraktion und Division ergeben sich als abgeleitete Operationen. Die Existenz der Addition und der Multiplikation ist Teil der Axiome. {{ inputfakt |Reelle Zahlen/Algebraische Axiome/Fakt|Proposition| }} Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=und die rationalen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule vertraut. Diese Axiome nennt man auch die Körperaxiome, eine beliebige Struktur mit zwei Verknüpfungen, die diese Eigenschaften erfüllen, heißt {{Stichwort|Körper|msw=|SZ=.}} Zur Vereinfachung der Schreibweisen verwenden wir die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term= a \cdot b + c \cdot d |SZ=}} statt {{mathl|term= (a \cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Es ist Teil der Axiomatik, dass sie verschieden sind. Zu einer reellen Zahl {{math|term= a |SZ=}} nennt man das Element {{math|term= b |SZ=}} mit {{ Relationskette |a+b || 0 || || || |SZ= }} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term= a |SZ=.}} Es ist durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt und man bezeichnet es mit {{math|term= -a |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette | -(-a) || a || || || |SZ=, }} da wegen {{ Relationskette | a+(-a) || 0 || || || |SZ= }} das Element {{math|term= a |SZ=}} gleich dem {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmten| |ISZ=|ESZ= }} Negativen von {{math|term= -a |SZ=}} ist. Statt {{mathl|term= b +(-a) |SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term= b-a |SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt. Zu einer reellen Zahl {{ mathbed|term= a ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nennt man das Element {{math|term= c |SZ=}} mit {{ Relationskette |ac ||1 || || || |SZ= }} das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term= a |SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term= a^{-1} |SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in \R ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Relationskette/display | a/b | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a|b}} | {{defeq|}} | a b^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also Abkürzungen für den rechten Ausdruck. Zu einer reellen Zahl {{math|term= a |SZ=}} und {{ Relationskette | n |\in| \N || || || |SZ= }} wird die Potenz {{mathl|term= a^n |SZ=}} als das {{math|term= n |SZ=-}}fache Produkt von {{math|term= a |SZ=}} mit sich selbst definiert, und bei {{ Relationskette | a |\neq| 0 || || || |SZ= }} wird {{mathl|term= a^{-n} |SZ=}} als {{mathl|term= (a^{-1})^n |SZ=}} interpretiert. {{Zwischenüberschrift|Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen}} Bekanntlich kann man die reellen Zahlen mit einer Geraden identifizieren. Auf der Zahlengeraden liegen von zwei Punkten einer weiter rechts als der andere, was bedeutet, dass sein Wert größer ist. Wir besprechen nun diese Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen. {{:Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Intervalle/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text={{:Logische Äquivalenz/Kurzerläuterung/Bemerkung|opt=Text}}| |ISZ=|ESZ= }} |zusatz2= {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Abschätzungskette/Bemerkung|| }} }} {{Zwischenüberschrift|Der Betrag}} {{ inputbild |Absolute value|svg|250px {{!}} right {{!}} |Zusname=Absolute_value |Autor= |Benutzer= Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Betrag/Definition|| }} Der Betrag ist also nie negativ und hat nur bei {{ Relationskette |x ||0 || || || |SZ= }} den Wert {{math|term=0|SZ=,}} sonst ist er immer positiv. Die {{ Definitionslink |Abbildung| |kon=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |\R|\R |x|{{op:Betrag|x}} |SZ=, }} nennt man auch {{Stichwort|Betragsfunktion|SZ=.}} Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch {{Stichwort|stückweise linear|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Reelle Zahlen/Betragseigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{Fußnotenliste}} }} fhjwp3mpj2aah4mc9q9qa5xnuto3p8m 106 131195 1108020 1069810 2026-07-19T14:42:25Z Bocardodarapti 2041 1108020 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Vorlesungsgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|Zifferndarstellung reeller Zahlen}} {{:Reelle Zahlen/Rationale Zahlen/Zifferndarstellung/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Folgerungen/Fakt |Nr=3 |SZ= }} wissen wir bereits, dass man jede reelle Zahl durch rationale Zahlen approximieren kann | |ISZ=|ESZ=. }} }} {{ inputbild |Heron von Alexandria|jpg| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Heron_von_Alexandria |Text=[[w:Heron von Alexandria|Heron von Alexandria (1. Jahrhundert n.C.)]] |Autor= |Benutzer=Frank C. Müller |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|Reelle Zahlenfolgen}} Wir betrachten nun ein Beispiel, das ebenfalls zu Approximationen führt, aber nichts mit der Dezimalbruchentwicklung zu tun hat, nämlich Quadratwurzeln aus natürlichen {{ Zusatz/Klammer |text=oder reellen| |ISZ=|ESZ= }} Zahlen. Die Quadratwurzel zu {{ Relationskette | a | \in | \R_{\geq 0} || || || |SZ= }} ist diejenige {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmte| |ISZ=|ESZ= }} reelle nichtnegative Zahl, deren Quadrat {{math|term= a|SZ=}} ergibt. Innerhalb der rationalen Zahlen gibt es im Allgemeinen keine Wurzeln, so dass dies ein deutlicher Hinweis ist, dass sich viele Rechenoperationen nicht innerhalb der rationalen Zahlen durchführen lassen. Siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Rationale Zahlen/Quadratwurzel aus 2 ist irrational/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Quadratwurzel aus Primzahl/Irrationalität/Primfaktorzerlegung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/5/Startwert 3/Beispiel|| }} Allgemein ergibt sich das folgende Heron-Verfahren. {{ inputbeispiel |Wurzelziehen/Heronverfahren/Angeordneter Körper/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} Das eben beschriebene Verfahren liefert also zu jeder natürlichen Zahl {{math|term= n |SZ=}} eine reelle Zahl, die eine durch eine gewisse algebraische Eigenschaft charakterisierte Zahl beliebig gut approximiert. Bei vielen technischen Anwendungen genügt es, gewisse Zahlen nur hinreichend genau zu kennen, wobei allerdings die benötigte Güte der Approximation von der technischen Zielsetzung abhängt. Es gibt im Allgemeinen keine Güte, die für jede vorstellbare Anwendung ausreicht, so dass es wichtig ist zu wissen, wie man eine gute Approximation durch eine bessere Approximation ersetzen kann und wie viele Schritte man machen muss, um eine gewünschte Approximation zu erreichen. Dies führt zu den Begriffen Folge und Konvergenz. {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Folge/Definition|| }} Bei einer Folge wird also jeder natürlichen Zahl eine eindeutige reelle Zahl zugeordnet. Eine Folge wird zumeist als {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=,}} oder einfach nur kurz als {{mathl|term= (x_n)_n |SZ=}} geschrieben. Manchmal sind Folgen nicht für alle natürlichen Zahlen definiert, sondern nur für alle natürlichen Zahlen {{math|term= \geq N |SZ=.}} Alle Begriffe und Aussagen lassen sich dann sinngemäß auch auf diese Situation übertragen. Grundsätzlich gibt es Folgen in jeder Menge, für die meisten Eigenschaften, für die man sich im Kontext von Folgen interessiert, braucht man aber eine zusätzliche {{Anführung|topologische Struktur|SZ=,}} wie sie in {{math|term= \R |SZ=}} existiert. Dies gilt insbesondere für den folgenden Begriff. {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition||zusatz1=. {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Komplexität/Bemerkung|| }} }} Man sollte sich dabei das vorgegebene {{math|term= \epsilon |SZ=}} als eine kleine, aber positive Zahl vorstellen, die eine gewünschte {{Stichwort|Zielgenauigkeit|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder erlaubten Fehler| |ISZ=|ESZ= }} ausdrückt. Die natürliche Zahl {{math|term= n_0 |SZ=}} ist dann die {{Stichwort|Aufwandszahl|SZ=,}} die beschreibt, wie weit man gehen muss, um die gewünschte Zielgenauigkeit zu erreichen, und zwar so zu erreichen, dass alle ab {{math|term= n_0 |SZ=}} folgenden Glieder innerhalb dieser Zielgenauigkeit bleiben. Konvergenz bedeutet demnach, dass man jede gewünschte Genauigkeit bei hinreichend großem Aufwand auch erreichen kann. Je kleiner der Fehler, also je besser die Approximation sein soll, desto höher ist im Allgemeinen der Aufwand. Statt mit beliebigen positiven reellen Zahlen {{math|term= \epsilon |SZ=}} kann man auch mit den {{Stichwort|Stammbrüchen|msw=Stammbrüche|SZ=,}} also den rationalen Zahlen {{ mathbed|term= {{op:Bruch|1|k}} ||bedterm1= k \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} arbeiten, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Folge/Konvergenz/Mit Stammbrüchen/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Zu einem {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} und einer reellen Zahl {{math|term= x |SZ=}} nennt man das Intervall {{mathl|term= ]x- \epsilon, x + \epsilon[ |SZ=}} auch die {{math|term= \epsilon |SZ=-}}{{Stichwort|Umgebung|SZ=}} von {{math|term= x |SZ=.}} Eine Folge, die gegen {{math|term= 0 |SZ=}} konvergiert, heißt {{Stichwort|Nullfolge|SZ=.}} {{ inputbild |Konvergenz|svg| 400px {{!}} {{!}} | |Autor= |Benutzer=Matthias Vogelgesang |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Cauchy sequence - example|png| 300px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Cauchy_sequence_-_example |Autor= |Benutzer=Pred |Domäne=da.wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Reelle Zahlen/Konvergente Standardfolgen/Beispiel||zusatz1= {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Triviale Beispiele/Bemerkung|| }} }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Rechenregeln für Folgen}} Wir erwähnen wichtige Rechenregeln, mit denen man aus schon bekannten konvergenten Folgen auf das Konvergenzverhalten von neuen Folgen schließen kann. {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Kriterien/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt|Lemma|| |zusatz1=Wir beweisen nur (2) und (4), die anderen Teile sind als Übungen zu beweisen. }} }} 4em1gzdhuncq8rgvgkn8m3eq2d47rqu 106 131196 1108024 1069811 2026-07-19T14:51:48Z Bocardodarapti 2041 1108024 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Vorlesungsgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|Cauchy-Folgen}} Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen noch gar nicht kennt. Wenn man beispielsweise die durch das babylonische Wurzelziehen konstruierte Folge {{mathl|term= {{Folge|x}}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=sagen wir zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}}| |SZ= }} mit einem rationalen Startwert betrachtet, so ist dies eine Folge aus rationalen Zahlen. Wenn wir diese Folge in {{math|term=\R|SZ=}} betrachten, wo {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} existiert, so ist die Folge konvergent. Innerhalb der rationalen Zahlen ist sie aber definitiv nicht konvergent. Es ist wünschenswert, allein innerhalb der rationalen Zahlen den Sachverhalt formulieren zu können, dass die Folgenglieder beliebig nahe zusammenrücken, auch wenn man nicht sagen kann, dass die Folgenglieder einem Grenzwert beliebig nahe zustreben. Dazu dient der Begriff der Cauchy-Folge. {{ inputbild |Augustin Louis Cauchy|JPG| 150px {{!}} thumb {{!}} |Zusname=Augustin_Louis_Cauchy |Text= [[w:Augustin Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy (1789-1857)]] |Autor= |Benutzer=Anarkman |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Cauchy-Folge/Definition||zusatz1=. {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Vokabel/Ähnlichkeit/Bemerkung|| }} }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Konvergente Folge ist Cauchyfolge/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Vollständigkeit der reellen Zahlen}} {{ inputaxiom |Reelle Zahlen/Vollständigkeit/Erläutert/Axiom|| }} Damit haben wir alle Axiome der reellen Zahlen zusammengetragen: die algebraischen Axiome, die man auch die Körperaxiome nennt, die Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Diese Eigenschaften legen die reellen Zahlen eindeutig fest, d.h. wenn es zwei Modelle {{math|term= \R_1 |SZ=}} und {{math|term= \R_2 |SZ=}} gibt, die beide für sich genommen diese Axiome erfüllen, so kann man eine bijektive Abbildung von {{math|term= \R_1 |SZ=}} nach {{math|term= \R_2 |SZ=}} angeben, die alle mathematischen Strukturen erhält {{ Zusatz/Klammer |text=sowas nennt man einen {{Anführung|Isomorphismus|}}| |ESZ=. }} Die Existenz der reellen Zahlen ist nicht trivial. Vom naiven Standpunkt her kann man, und das haben wir bisher getan und werden wir auch weiterhin tun, die Vorstellung einer {{Anführung|kontinuierlichen lückenfreien Zahlengerade}} zugrunde legen, und dies als Existenznachweis akzeptieren. In einer strengeren mengentheoretischen Begründung der Existenz geht man von {{math|term=\Q|SZ=}} aus und konstruiert die reellen Zahlen als die Menge der Cauchy-Folgen in {{math|term=\Q|SZ=}} mit einer geeigneten Identifizierung. {{Netz oder Druck|Siehe [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil II/Vorlesung 46]].|}} {{Zwischenüberschrift|Intervallschachtelungen}} Aus der Vollständigkeit ergeben sich wichtige Resultate über die Existenz von Zahlen, nämlich in dem Sinne, dass Approximationsverfahren in der Tat reelle Zahlen liefern. Wir besprechen Intervallschachtelungen und Dezimalbruchentwicklung. {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt|Satz||| }} Wenn diese Intervalle durch {{ Relationskette | I_n || [a_n,b_n] || || || |SZ= }} gegeben sind, so ist {{ Relationskette/display | x || {{op:Folgenlimes|a|}} || {{op:Folgenlimes|b|}} || || |SZ=. }} Dies wird in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Intervallschachtelung/Folge/Konvergiert/Aufgabe |Nr= |SZ= }} bewiesen. {{Zwischenüberschrift|Konvergenz der Zifferndarstellung}} {{:Zifferndarstellung/Konvergenz/Cauchy-Folge/Rekursion/Periodizität/Textabschnitt|zusatz1=. {{ inputbemerkungsternklappe |Mathematik/Prinzipien/Analogien erkennen/Bemerkung|| }}}} }} ha7hxpwp3p99r4u2ukogcrjbift0owq 0 131560 1108009 1106626 2026-07-19T12:16:45Z Bocardodarapti 2041 1108009 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Ein wichtiges Prinzip der Mathematik wie einer jeden Wissenschaft ist, dass in ihr Fachbegriffe eine große Rolle spielen. Diese haben eine spezifische Bedeutung, die man im Allgemeinen nicht aus der zugrunde liegenden Wortbedeutung erschließen kann. Diese spezifische Bedeutung, der richtige Kontext usw. muss man lernen. Ohne die Kenntnis dieser Vokabeln ist eine wissenschaftliche Kommunikation nicht möglich. Deshalb gehört das Vokabellernen mit zum Studieren. Dies ist insbesondere in der Mathematik von der Schule her etwas ungewohnt, wo Mathematik eher nicht als {{Anführung|Lernfach}} gilt. Die mathematischen Fachbegriffe werden in der Regel in expliziten Definitionen präzise fixiert, seltener auch {{Anführung|en passant|SZ=.}} Der Anspruch an eine mathematische Definition ist, dass man in allen Situationen, wo sie grundsätzlich anwendbar ist, prinzipiell entscheiden kann, ob sie zutrifft oder nicht zutrifft. Die Begriffe sind daher logisch aufgebaut und können dabei Bezug auf zuvor definierte Begriffe nehmen. Sie haben eine völlig andere Struktur als normalsprachliche Begriffe wie beispielsweise {{Anführung|Strauch}} oder {{Anführung|Bach|SZ=,}} die durch typische Beispiele vermittelt werden {{ Zusatz/Klammer |text=so {{Anführung|lernt|}} auch die KI| |ISZ=|ESZ=, }} die für einen Großteil der Objekte die richtige Vorstellung vermitteln, in Grenzfällen aber zu Unklarheiten führen. Definitionen gehen einher mit typischen Sprechweisen. Häufig werden mathematische Begriffe von einer spezielleren Situation auf eine allgemeinere Situation ausgeweitet. So hat man die Addition von natürlichen Zahlen, von ganzen Zahlen, von reellen Zahlen, die Addition in Vektorräumen, etc. Die {{math|term= 0 |SZ=}} bezeichnet eine Zahl, dann aber auch das neutrale Element in einer Gruppe, die konstante Funktion mit dem Wert {{math|term= 0 |SZ=.}} Ein mathematischer Begriff kann unterschiedlich aber mit gleichem Inhalt definiert werden. So gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine gerade Zahl zu definieren, oder eine rationale Zahl, oder die Determinante einer quadratischen Matrix. Wenn man sich für eine Definition entschieden hat {{ Zusatz/Klammer |text=sagen wir in einem Kurs, in einem Buch| |ISZ=|ESZ=, }} so ist es ein wichtiges Anliegen zu zeigen, dass die gewählte Definition inhaltsgleich zu anderen möglichen Definitionen ist. Das mathematische Vokabular ist historisch gewachsen, es ist wenig ergiebig, sich Gedanken über die Ursprünge zu machen. Viele Begriffe wie etwa {{Anführung|irreduzibel}} kommen in verschiedenen mathematischen Gebieten vor und haben dort ihre jeweilige Bedeutung. Gelegentlich besteht Uneinigkeit, wie ein Begriff zu fassen ist, ob beispielsweise die {{math|term= 0 |SZ=}} zu den natürlichen Zahlen gehört oder nicht. Im Großen und Ganzen ist aber die Mathematik begrifflich einheitlich aufgebaut. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nac3az2fp0rp20mdbmg780frbs5tptb 0 131564 1107997 1085732 2026-07-19T12:00:57Z Bocardodarapti 2041 1107997 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Mathematische Aussagen werden häufig mit {{Stichwort|Variablen|msw=Variable|SZ=}} formuliert, typischerweise mit Buchstaben, die jede beliebige Zahl aus dem gegebenen Zahlenbereich oder allgemeiner beliebige Elemente aus einer Menge repräsentieren können. Solche Aussagen sind in der Regel {{Stichwort|Allaussagen|msw=Allaussage|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe aber auch {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Mathematik/Prinzipien/Existenz/Bemerkung |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} die eben für alle Objekte gelten. Eine Allaussage ist wahr, wenn bei jeder Einsetzung, in der die Variablen durch {{ Zusatz/Klammer |text=beliebige konkrete| |ISZ=|ESZ= }} Elemente der Menge ersetzt werden, eine wahre Aussage auf der Elementebene entsteht. Es finden sich Formulierungen wie {{Anführung|für alle|SZ=,}} {{Anführung|für jedes|SZ=,}} {{Anführung|für ein beliebiges|SZ=,}} wobei aber stets eine Menge, auf die sich die Allaussage bezieht, gegenwärtig ist. Manchmal wird die Allformulierung auch weggelassen und muss aus dem Kontext erschlossen werden. Dies ist zumeist unproblematisch, da man ja in der Mathematik an allgemeingültigen Aussagen interessiert ist. In formaler Schreibweise wird auch das Symbol {{math|term= \forall |SZ=,}} der {{Stichwort|Allquantor|SZ=,}} verwendet {{ Zusatz/Klammer |text=siehe hierzu auch {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Mathematik/Prinzipien/Formalismus/Bemerkung |Nr= |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wenn man eine {{Anführung|Formel}} mit Variablen formuliert, so kommen darin gewisse Variablen mehrfach vor. Die Gültigkeit für alle bedeutet dabei, dass man eine Variable überall dort, wo sie vorkommt, durch das gleiche Element ersetzen muss. Das Assoziativgesetz {{ Relationskette/display | a+(b+c) || (a+b)+c || || || |SZ= }} bedeutet, dass man für {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} jeweils beliebige Zahlen einsetzen darf, aber natürlich links und rechts für {{math|term= a |SZ=}} die gleiche Zahl einsetzen muss. Gelegentlich gilt eine Aussage für nahezu alle Elemente, aber mit gewissen Ausnahmen, die dann unbedingt explizit angegeben werden müssen. So kann man innerhalb der reellen Zahlen durch jede reelle Zahl {{math|term= \neq 0 |SZ=}} dividieren, aber eben nicht durch die {{math|term= 0 |SZ=.}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} frjl0prpr1dawtmzcot8ebpyarnapny 0 131566 1108003 981812 2026-07-19T12:09:04Z Bocardodarapti 2041 1108003 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Neben Allaussagen gibt es Existenzaussagen. Diese besagen, dass es in einem bestimmten Kontext ein Element mit einer bestimmten Eigenschaft gibt. In der Mathematik bedeutet Existenz immer die Existenz von mindestens einem Objekt. Neben {{Anführung|es gibt}} trifft man auf Formulierungen wie {{Anführung|es existiert|SZ=,}} {{Anführung|man findet|SZ=,}} {{Anführung|man kann finden|SZ=}} oder {{Anführung|wir wählen|SZ=.}} In formaler Schreibweise wird auch das Symbol {{math|term= \exists |SZ=,}} der {{Stichwort|Existenzquantor|SZ=,}} verwendet {{ Zusatz/Klammer |text=siehe hierzu auch {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Mathematik/Prinzipien/Formalismus/Bemerkung |Nr= |SZ= }} |ESZ=. }} Zum Beispiel gibt es innerhalb der natürlichen Zahlen eine Zahl, die addiert zu jeder beliebigen Zahl jene Zahl ergibt, nämlich die {{math|term= 0 |SZ=.}} Dass eine gegebene natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} gerade ist, kann man dadurch ausdrücken, dass es eine weitere natürliche Zahl {{math|term= k |SZ=}} mit der Beziehung {{ Relationskette |n || k+k || 2k || || |SZ=. }} gibt. Zu einer ganzen Zahl gibt es eine dazugehörige negative Zahl. Eine Gleichung kann eine Lösung besitzen, aber im Allgemeinen ist nicht jede Zahl eine Lösung. Die Existenz eines Objektes ergibt sich, wenn man ein solches explizit angeben kann. Sie kann aber auch anders, etwa durch die Existenz gewisser anderer Objekte erschlossen werden. Wenn die Existenz eines Objektes bekannt ist, so wird in einer mathematischen Argumentation häufig ein solches Element {{Anführung|hergenommen|SZ=,}} irgendwie bezeichnet und dann weiterverarbeitet. Dabei darf dann nur die reine Existenz des Objektes verwendet werden, keine weiteren Eigenschaften, die man ja nicht kennt. Man darf ein solches existierendes Objekt beliebig bezeichnen, allerdings nur mit einem Buchstaben, der im gegebenen Kontext nicht verbraucht ist. Von der reinen Existenz muss man die Frage unterscheiden, ob es mehrere Objekte gibt, die eine gewisse Eigenschaft erfüllen, oder aber nur ein einziges. Im letzteren Fall spricht man von der eindeutigen Existenz. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 16bzfxujoprvlsgdkutb3na6wikfn8x 0 131567 1108004 1100640 2026-07-19T12:10:16Z Bocardodarapti 2041 1108004 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Ein häufiges Missverständnis über die Mathematik ist, dass sie {{Anführung|formal}} sei bzw. dass eine Hauptschwierigkeit darin liege, ihren Formalismus zu verstehen. Die Mathematik ist präzise, begriffsorientiert, logisch, abstrakt, aber nicht formal. Im Rahmen der Prädikatenlogik lässt sie sich auch formalisieren, das entspricht aber nicht der eigentlichen mathematischen Arbeitsweise. Logische Symbole wie {{math|term= \Rightarrow, \Leftrightarrow, \forall, \exists |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=logische Implikation, logische Äquivalenz, Allquantor, Existenzquantor| |ISZ=|ESZ= }} sollten daher {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere von Studienanfängern| |ISZ=|ESZ= }} besser vermieden werden, da sie nicht {{Anführung|wissenschaftlicher}} sind als die direkten Wörter, eine Professionalität vortäuschen und eine unnötige Fehlerquelle darstellen. Allerdings sieht man in mathematischen Texten neben Zahlen und Variablen eine Reihe von Symbolen wie {{math|term= \sum, \prod, \int, {{op:Folgenlimes| x}}, \infty |SZ=,}} die Abkürzungen für mathematische Terme und Sachverhalte darstellen und deren Bedeutung man kennen muss. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r4qqbbg9cbwcz1m4gwwsm53yfq42hz4 0 131576 1108000 1085733 2026-07-19T12:04:28Z Bocardodarapti 2041 1108000 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Bei einem Beweis durch Fallunterscheidung geht man folgendermaßen vor: Man möchte eine Aussage {{math|term= P |SZ=}} beweisen. Man verwendet nun eine zusätzliche Eigenschaft {{math|term= E |SZ=,}} die nicht zu den Voraussetzungen gehört, bei den gegebenen Voraussetzungen gibt es Situationen, wo diese Eigenschaft gilt, und Situationen, wo diese Eigenschaft nicht gilt. Nun beweist man einerseits {{ Zusatz/Klammer |text=Fall 1| |ISZ=|ESZ= }} die Aussage {{math|term= P |SZ=}} unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} gilt, und sodann beweist man in einer davon unabhängigen Überlegung {{ Zusatz/Klammer |text=Fall 2| |ISZ=|ESZ= }} die Aussage {{math|term= P |SZ=}} unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} nicht gilt. Da {{math|term= E |SZ=}} gilt oder nicht gilt, hat man alle Möglichkeiten erfasst und generell {{math|term= P |SZ=}} bewiesen. Der Vorteil ist, dass man jeweils mit stärkeren Voraussetzungen arbeiten kann. Dabei können beide Fälle gleich schwer sein, es kann auch ein Fall deutlich einfacher als der andere Fall sein, oder ein Fall kann aus einem zuvor bewiesenen Satz folgen, im andern Fall muss man sich was Neues einfallen lassen. In einem Beweis durch Fallunterscheidung kann man die beiden Fälle mit der bestimmenden Eigenschaft explizit auflisten, oder aber durch Formulierungen wie {{Anführung|zunächst betrachten wir die Situation, dass ...|SZ=,}} {{Anführung|wenn ...|}} bzw. {{Anführung|... sei also nun ... |SZ=,}} {{Anführung|ist hingegen ... }} andeuten. Es gibt auch Fallunterscheidungen, wo die Situation in mehr als zwei Fälle aufgespaltet wird. Dieses Argumentationsmuster kann mit anderen Beweisschemata beliebig kombiniert werden. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j8m3762h4ffuk6038jpxjbp9clrzt2w 0 131577 1108002 981805 2026-07-19T12:08:01Z Bocardodarapti 2041 1108002 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Bei einem Eindeutigkeitsbeweis möchte man zeigen, dass ein mathematisches Objekt {{ Zusatz/Klammer |text=ein Element einer Menge| |ISZ=|ESZ= }} durch gewisse Eigenschaften eindeutig festgelegt ist, dass es also nur ein Objekt gibt, das diese Eigenschaften erfüllt. Dabei geht man so vor: Man {{Anführung|nimmt}} Elemente {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} her, die jeweils die Eigenschaften erfüllen, das sind lediglich Benennungen für Objekte, man weiß nichts über sie, außer dass sie die Eigenschaften erfüllen. Dann zeigt man, dass sie übereinstimmen, dass also {{ Relationskette | a || b || || || |SZ= }} gilt {{ Zusatz/Klammer |text=man kann sich das auch so vorstellen: eine erste Person denkt an ein Objekt mit den Eigenschaften, eine zweite Person denkt unabhängig davon an ein Objekt mit den Eigenschaften. Dann ist zu begründen, dass beide Personen an das gleiche Objekt denken| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist entscheidend, dass die beiden hypothetischen Objekte {{ Zusatz/Klammer |text=ihre Zweiheit ist hypothetisch| |ISZ=|ESZ= }} unterschiedlich bezeichnet werden, auch wenn sich in der Argumentation dann ergibt, dass sie gleich sind. Oft verwendet man in einer solchen Situation zueinander ähnliche Symbole, etwa {{ mathkor|term1= a |und|term2= a' |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{mathlk |term= \tilde{a}, \hat{a} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Dies macht man insbesondere dann, wenn in der Formulierung des Satzes, der bewiesen werden soll, das Element, dessen Eindeutigkeit erwiesen werden soll, mit {{math|term= a |SZ=}} bezeichnet wird. Dann unterstützt die Bezeichnung den Ansatz, dass es sich um Objekte handelt, die beide die Eigenschaften des Satzes erfüllen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pv7hkutfwd0g7p8u6c32mgqhfffmrxe 0 131586 1108008 1100642 2026-07-19T12:14:30Z Bocardodarapti 2041 1108008 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Mit der Formulierung {{Anführung|ohne Einschränkung|}} oder {{Anführung|ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit|}} {{ Zusatz/Klammer |text=o.B.d.A.| |ISZ=|ESZ= }} oder {{Anführung|wir dürfen annehmen|}} meint man, dass man in einem gegebenen Beweiskontext eine zusätzliche Annahme machen darf, die die folgende Argumentation abkürzt. Dabei darf keine substantiell neue Voraussetzung hinzugenommen werden, da die Voraussetzungen ja in der zu beweisenden Aussage fixiert sind. Typische Situationen liegen vor, wenn die Anordnung symmetrisch ist, also beispielsweise eine Aussage über zwei Zahlen, {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ=, }} gemacht wird, und die Zahlen in der Aussage gleichberechtigt vorkommen. Dann kann man direkt sagen, dass {{ Relationskette |a | \geq |b || || || |SZ= }} ist, da man dies ja durch eine Umbenennung erreichen könnte. Manchmal kann man {{math|term= a |SZ=}} durch {{math|term= -a|SZ=}} ersetzen, dann kann man annehmen, dass {{ Relationskette |a | \geq | 0 || || || |SZ= }} ist. Oder bei einer geometrischen Anordnung, wo sowohl die Voraussetzungen als auch die Folgerung unter einer Verschiebung beibehalten wird, kann man einen Punkt in den Nullpunkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} verschieben. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m8da1wa3gvxnc12szrn8tqqu7kx6wax 0 131645 1108007 742823 2026-07-19T12:13:47Z Bocardodarapti 2041 1108007 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Für ein mathematisches Objekt gibt es verschiedene Darstellungen. Es gibt in der Regel mehrere gleichberechtigte Darstellungen und man sollte nicht das Objekt mit einer bestimmten Darstellung verwechseln. Eine natürliche Zahl kann in der Ziffernentwicklung im Zehnersystem, in einem anderen Stellenwertsystem, durch eine Anzahl von Einkerbungen, durch ihre Primfaktorzerlegung dargestellt werden. Eine rationale Zahl kann als Bruch oder durch ihre periodische Ziffernentwicklung dargestellt werden, ein Vektor kann durch ein Koordinatentupel bezüglich einer gewählten Basis dargestellt werden, eine lineare Abbildung kann durch die Vorgabe von Werten an einer Basis oder durch eine Matrix bezüglich gewählter Basen beschrieben werden. In der Mathematik interessiert man sich vor allem für Eigenschaften, die wirklich dem Objekt zukommen, nicht einer bestimmten Darstellung, die ja gewechselt werden kann. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} emuzhsqeeuxa3njc9jxznuxij5r6ytm 0 131646 1108001 762896 2026-07-19T12:06:25Z Bocardodarapti 2041 1108001 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Man nennt einen Existenzbeweis {{Stichwort|konstruktiv|SZ=,}} wenn es die in ihm verwendete Methode für jede {{Anführung|Eingabe}} erlaubt, effektiv das im Satz behauptete zugehörige Objekt zu konstruieren. Ein konstruktiver Beweis liefert also zugleich eine Handlungsanweisung, wie das existierende Objekt zu finden ist. Dies schließt nicht aus, dass es einen Algorithmus gibt, mit dem man das Objekt schneller finden kann. Bei einem nichtkonstruktiven Existenzbeweis wird nur die reine Existenz gezeigt, ohne Hinweis, wie man das existierende Objekt finden könnte. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ej7wze40mdvl62p6d7bhn7wztsrd5z 0 131649 1108005 950339 2026-07-19T12:11:31Z Bocardodarapti 2041 1108005 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= In der Mathematik spielen Extremfälle eine gewichtige Rolle und werden in aller Regel miterfasst. So ist die leere Menge eine Menge, die {{math|term= 0 |SZ=}} eine natürliche Zahl, man arbeitet mit {{math|term= \geq|SZ=}} statt mit {{math|term= >|SZ=,}} es gibt den Nullraum und konstante Funktionen, ein Produkt darf auch aus einem einzelnen Faktor bestehen. Man erlaubt also erst mal möglichst viel und schließt Sachen nur aus, wenn es wirklich sein muss. Auf den ersten Blick sind solche Extremfälle untypisch, sie erfüllen aber häufig Eigenschaften, die für den strukturellen Aufbau wichtig sind. Die {{math|term= 0 |SZ=}} ist das neutrale Element der Addition und erfüllt somit eine zentrale algebraische Funktion, die Gleichheit von zwei Zahlen bedeutet, dass ihre Differenz gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist, die Disjunktheit von Mengen bedeutet, dass ihr Durchschnitt leer ist, mit dem Nullraum kann man über die Restklassenbildung die Übereinstimmung von Untervektorräumen ausdrücken. Dieser inklusive Aspekt spiegelt sich auch in den Begriffen wider, so ist ein Quadrat auch ein Rechteck, ein Rechteck ist auch ein Viereck, eine natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl, etc. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} so30nvb8pc3fluqo00hxexqnp0hsdnk 0 131703 1108030 1103449 2026-07-19T14:57:19Z Bocardodarapti 2041 1108030 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir zeigen nun, wie eine Ziffernentwicklung {{mathl|term= 0,z_1z_2z_3 \ldots |SZ=}} eine Cauchy-Folge {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= \Q|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ist und wie sie über die Vollständigkeit in der Tat eine reelle Zahl darstellt. {{ inputfaktbeweis |Dezimaldarstellung/Cauchy-Folge/Fakt|Satz|| || }} Wir besprechen nun, wie man zu einer irgendwie gegebenen reellen Zahl die Dezimalbruchentwicklung findet und zeigen, dass sie eindeutig bestimmt ist. Die Zahl kann als ein Bruch {{math|term= {{op:Bruch| 3| 7}} |SZ=,}} durch eine algebraische Eigenschaft, wie bei {{math|term= \sqrt{5} |SZ=,}} als das Inverse {{math|term= x^{-1} |SZ=}} einer irgendwie gegebenen Zahl {{math|term= x |SZ=,}} als Ergebnis einer Verknüpfung {{ mathkor|term1= x+y |oder|term2= x \cdot y |SZ= }} von irgendwie gegebenen Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ=, }} oder als Grenzwert einer Folge gegeben sein. In irgendeiner Weise muss die Zahl natürlich vorliegen. Der im folgenden Satz beschriebene Algorithmus zur Bestimmung der Ziffern benötigt lediglich, dass man die auftretenden Zahlen mit {{math|term= 10 |SZ=}} multiplizieren, Differenzen berechnen und mit ganzen Zahlen vergleichen kann. Für den letzten Punkt ist die folgende Überlegung hilfreich. Für die reellen Zahlen bilden die ganzzahligen halboffenen Intervalle {{ mathbed|term= [n,n+1[ ||bedterm1= n \in \Z ||bedterm2= |SZ=, }} aufgrund des Archimedes-Axioms eine disjunkte {{Stichwort|Überdeckung|SZ=.}} Jede reelle Zahl liegt also in genau einem dieser Intervalle. Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll. {{ inputbild |Floor function|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Floor_function |Autor= |Benutzer=Omegatron |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Gaußklammer/Definition|| }} Es ist also {{mathl|term= \lfloor x \rfloor |SZ=}} die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich {{math|term= x |SZ=}} ist. {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Intervallteilung/Fakt|Satz|| || }} Die im vorstehenden Satz formulierte Ziffernentwicklung nennt man auch die {{Stichwort|kanonische Ziffernentwicklung|SZ=;}} sie ist in eindeutiger Weise einer reellen Zahl zugeordnet. Die Ziffernentwicklung {{ Math/display|term= 0,99999999999999999999999999999999999999999999 ... |SZ= }} ist zwar eine erlaubte Ziffernentwicklung, aber keine kanonische Ziffernentwicklung. Die zugehörige reelle Zahl ist die {{math|term= 1 |SZ=,}} und deren kanonische Ziffernentwicklung ist {{ Math/display|term= 1,0000000000000000000000000000000000000000000 ... |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Divisionsalgorithmus als Spezialfall/Bemerkung||zusatz1={{{zusatz1|zusatz1}}} }} {{ inputfaktbeweis |Rationale Zahl/Charakterisierung mit periodischer Dezimalentwicklung/Fakt|Satz|| || }} Die entsprechende Aussage gilt für die Ziffernentwicklung zu jeder Basis, nicht nur im Dezimalsystem. Eine reelle Zahl mit einer periodischen Ziffernentwicklung wird so geschrieben, dass man einen Strich über die Periode macht, also beispielsweise {{ Math/display|term= 351, 0528 \overline{82700} |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2vy6s6kxmrrxkgbgi3zj97ipftshuub 0 131708 1107999 740937 2026-07-19T12:03:49Z Bocardodarapti 2041 1107999 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es ist für den Lernerfolg wichtig, Übereinstimmungen, Analogien, Parallelitäten, Querverbindungen zwischen aus der Schule vertrauten Formulierungen und akademischen Formulierungen zu erkennen. Zum Erkennen der Parallelitäten gehört auch das Erkennen der spezifischen Unterschiede. Es gibt genug wirklich neue Sachen, deshalb erleichtert man sich die Aneignung des Stoffes, wenn man Verbindungen zu vertrauten Sachen herstellen kann. Es liegt primär in der Verantwortung der Studierenden, diese Verbindungen herzustellen. Die Unterschiede werden oft als so stark wahrgenommen, dass die Gemeinsamkeiten gar nicht mehr erkannt werden, was zur Frustration führt. Typische Unterschiede zeigen sich in den folgenden Punkten. {{ Auflistung3 |In der Schule werden die Konzepte häufig operativ formuliert, wie findet man die Nachkommaziffern?, wie kann man die Ableitung berechnen?, während an der Universität eher der ontologische Gesichtspunkt im Vordergrund steht, was sind die Nachkommaziffern, welche Gleichungen erfüllen sie, was ist die Ableitung, welche Gesetzmäßigkeiten gelten? |Größere Allgemeinheit im akademischen Rahmen. |Formulierung mit Variablen und Symbolen statt die Bearbeitung von typischen Beispielen. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9v2d8wvbtq7yg4u8j97wvbt7p44ma0p 0 131725 1108006 762898 2026-07-19T12:12:19Z Bocardodarapti 2041 1108006 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= {{Stichwort|Intuition|SZ=}} ist ein schwieriger Begriff. In einigen Lebensbereichen {{ Zusatz/Klammer |text=persönliche Begegnungen| |ISZ=|ESZ= }} sollte man seiner Intuition vertrauen, in anderen {{ Zusatz/Klammer |text=Risikoeinschätzung bei gesellschaftlichen oder ökologischen Gefahren| |ISZ=|ESZ= }} eher nicht. Am Beginn des Studiums sollte man aber der eigenen Intuition kritisch gegenüberstehen, da sich diese an der schulischen Vorerfahrung und Gewohnheit orientiert, es sollen ja aber neue Aspekte gelernt werden. Zunächst ist in der Wissenschaft die Intuition kein Beweismittel. In der Wissenschaft geht es gerade darum, Aussagen unabhängig von subjektiven Befindlichkeiten begründen zu können, und die Begründungen explizit auf der Grundlage von wenigen explizit gemachten Grundtatsachen {{ Zusatz/Klammer |text=in der Mathematik sind das vor allem eine einfache Mengentheorie und Logik| |ISZ=|ESZ= }} aufzubauen. Intuition ist da oft eine Ausflucht, wenn man die Gründe nicht explizit machen kann. Allerdings entwickelt sich im Laufe der wissenschaftlichen Beschäftigung eine neue Intuition, die insbesondere strategischer Natur ist. Mit der Erfahrung wächst in der Tat das Gefühl, wie man ein Problem angehen könnte, in welche Richtung man etwas versuchen könnte, welcher Ansatz sich lohnen könnte und was man definitiv nicht versuchen sollte. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pbvmzf8g86vkkxjlpiurq8h2tky60ah 0 131945 1108092 1102843 2026-07-20T09:07:26Z Bocardodarapti 2041 1108092 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die beiden ersten Bilder sind {{Stichwort|Graphen|msw=Graph}} zu einer polynomialen Funktion in einer Variablen, sie werden beschrieben durch {{ Relationskette/display | Y || P(X) || || || |SZ=, }} wobei im ersten Bild {{ Relationskette | P(X) ||X || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=es liegt also ein lineares Polynom vor| |ISZ=|ESZ= }} und im zweiten Bild etwas wie {{ Relationskette/display | P(X) ||a_4X^4+a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0 || || || |SZ= }} mit gewissen Koeffizienten {{math|term= a_i}} aus einem Körper {{math|term= K}} vorliegt. In der algebraischen Geometrie fixiert man einen {{Stichwort|Grundkörper}} {{math|term= K |SZ=.}} Wichtige Körper sind für uns die {{Stichwort|reellen Zahlen|msw=Reelle Zahlen}} {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere sind die Bilder so zu verstehen| |ISZ=!|ESZ= }} oder die {{Stichwort|komplexen Zahlen|msw=Komplexe Zahlen}} {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Ein solcher Graph ist insofern ein einfaches Gebilde, dass es zu jedem Wert für {{math|term= X}} genau einen Wert für {{math|term= Y}} {{ Zusatz/Klammer |text=den Funktionswert| |ISZ=|ESZ= }} gibt, und den man auch noch einfach ausrechnen kann, wenn man im gegebenen Körper rechnen kann. Der Graph ist in gewissem Sinne eine {{anführung|gebogene}} Kopie der Grundlinie, der {{math|term= X |SZ=-}}Achse. Betrachten wir das dritte Bild. Das ist der Graph einer {{Stichwort|rationalen Funktion|msw=rationale Funktion|SZ=,}} d.h. man hat zwei Polynome {{math|term= P,Q }} in einer Variablen {{math|term= X}} und schaut sich den Quotienten {{mathl|term= {{op:Bruch|P(X)|Q(X)}} |SZ= }} an. Dieser Ausdruck ergibt nur dort Sinn, wo der Nenner nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist. An den Nullstellen des Nennerpolynoms ist die rationale Funktion nicht definiert {{ Zusatz/Klammer |text=wenn Nenner und Zähler an der gleichen Stelle {{math|term= 0 |SZ=}} sind, so kann man durch Kürzen manchmal erreichen, dass der Quotient auch an dieser Stelle einen Sinn bekommt| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn der Nenner {{math|term= 0 |SZ=}} ist, der Zähler aber nicht, so ist die Undefiniertheitsstelle ein {{anführung|Pol}} {{ Zusatz/Gs |text=der reelle Graph strebt nach {{math|term= + \infty }} bzw. {{math|term= -\infty}}| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist verlockend zu sagen, dass der Wert der rationalen Funktion an diesen undefinierten Stellen {{Anführung|unendlich}} ist, und im Kontext der projektiven Geometrie macht das durchaus Sinn, wie wir später sehen werden. Die {{Anführung|Graphengleichung}} {{ Relationskette |Y || {{op:Bruch|P(X)|Q(X)}} || || || |SZ= }} ist jedenfalls wegen den Undefinierbarkeitsstellen keine optimale Beschreibung für die Kurve. Wenn man sie hingegen mit dem Nenner multipliziert, so erhält man die Bedingung (oder {{Stichwort|Gleichung}}) {{ Math/display|term= Y Q(X) = P(X) \text{ bzw. genauer } {{Mengebed|(x,y) \in K^2| yQ(x) {{=|}} P(x) |}} |SZ=, }} in der links und rechts wohldefinierte Polynome stehen. Die {{Stichwort|Erfüllungsmenge}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Lösungsmenge|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ist eindeutig definiert, wobei bei {{ Relationskette | Q(x) || 0 || || || |SZ= }} für ein bestimmtes {{math|term= x}} die linke Seite null ist, und es dann dort bei {{ Relationskette | P(x) |\neq| 0 || || || |SZ= }} keine Lösung gibt {{ Zusatz/Klammer |text=wie im Bild| |ISZ=|ESZ= }} und bei {{ Relationskette | P(x) || 0 || || || |SZ= }} jeder {{math|term= Y |SZ=-}}Wert erlaubt ist. In letzterem Fall gehört also eine zur {{math|term= X |SZ=-}}Achse senkrechte Gerade durch {{mathl|term= (x,0) }} zu dem Gebilde. {{inputbeispiel|Ebene affine Kurven/Hyperbel/zur Einführung/Beispiel|}} Das vierte Bild ist ein {{Stichwort|Kreis|SZ=,}} seine Gleichung ist {{ Relationskette | K || {{Mengebed|(x,y)| x^2+y^2 {{=}} r^2}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= r}} den Radius des Kreises bezeichnet. Schon das Bild zeigt, dass dieses Gebilde nicht der Graph einer Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=Abbildung| |ISZ=|ESZ= }} sein kann, da bei einem Graphen zu einem {{math|term= x |SZ=-}}Wert stets genau ein {{math|term= y |SZ=-}}Wert gehört. Man kann aber keine Funktion finden mit {{ Relationskette | y || \varphi(x) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |K || {{Mengebed| (x,\varphi(x))| x \in \R }} || || || |SZ=. }} Die Frage, ob man ein algebraisches Lösungsgebilde als einen Graphen realisieren kann, ist äquivalent dazu, ob man die definierende Gleichung nach {{math|term= y}} {{anführung|auflösen}} kann. Im Beispiel kann man {{ Relationskette | y^2 ||r^2-x^2 || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette | y || \sqrt{r^2-x^2} || \sqrt{(r-x)(r+x)} || || |SZ= }} schreiben. Ist es also doch ein Graph? Hier gibt es zwei Interpretationen: {{ Auflistung2 |Wenn man sich auf reelle Zahlen und auf positive Wurzeln beschränkt, so hat man im letzten Schritt keine Äquivalenzumformung durchgeführt, und Information {{Anführung|hinzugefügt|SZ=,}} die in der ursprünglichen Gleichung nicht vorhanden war. Die positive Wurzel zu nehmen bedeutet, sich auf den oberen Halbkreis zu beschränken (Information, also Bedingungen hinzufügen, bewirkt, dass die Lösungsmenge verkleinert wird). |Wenn man stattdessen unter {{math|term= \sqrt{\, } }} alle Lösungen berücksichtigt {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. im Reellen die positive und die negative Quadratwurzel, was man häufig als {{math|term= \pm \sqrt{\, } }} schreibt| |ISZ=|ESZ=, }} so hat man keine Information dazugetan, aber auch nicht nach einer Funktion aufgelöst {{ Zusatz/Klammer |text=sondern nur, wie man manchmal sagt, nach einer {{Anführung|mehrwertigen Funktion|SZ=| |ISZ=|ESZ= }} |ESZ=.}} }} Beide Standpunkte haben etwas für sich. Dass man für einen Teil des geometrischen Objektes {{ Zusatz/Klammer |text=dem oberen Halbbogen| |ISZ=|ESZ= }} versucht, eine einfache Beschreibung als Graph zu finden, kehrt im Satz über implizite Funktionen, im Potenzreihenansatz, in Parametrisierungen und in der lokalen Theorie wieder. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ebenen affinen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nwd8vs4y1da17frhfbty4h13334hvk6 1108093 1108092 2026-07-20T09:08:41Z Bocardodarapti 2041 1108093 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die beiden ersten Bilder sind {{Stichwort|Graphen|msw=Graph}} zu einer polynomialen Funktion in einer Variablen, sie werden beschrieben durch {{ Relationskette/display | Y || P(X) || || || |SZ=, }} wobei im ersten Bild {{ Relationskette | P(X) ||X || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=es liegt also ein lineares Polynom vor| |ISZ=|ESZ= }} und im zweiten Bild etwas wie {{ Relationskette/display | P(X) ||a_4X^4+a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0 || || || |SZ= }} mit gewissen Koeffizienten {{math|term= a_i}} aus einem Körper {{math|term= K}} vorliegt. 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Das ist der Graph einer {{Stichwort|rationalen Funktion|msw=rationale Funktion|SZ=,}} d.h. man hat zwei Polynome {{math|term= P,Q }} in einer Variablen {{math|term= X}} und schaut sich den Quotienten {{mathl|term= {{op:Bruch|P(X)|Q(X)}} |SZ= }} an. Dieser Ausdruck ergibt nur dort Sinn, wo der Nenner nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist. An den Nullstellen des Nennerpolynoms ist die rationale Funktion nicht definiert {{ Zusatz/Klammer |text=wenn Nenner und Zähler an der gleichen Stelle {{math|term= 0 |SZ=}} sind, so kann man durch Kürzen manchmal erreichen, dass der Quotient auch an dieser Stelle einen Sinn bekommt| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn der Nenner {{math|term= 0 |SZ=}} ist, der Zähler aber nicht, so ist die Undefiniertheitsstelle ein {{anführung|Pol}} {{ Zusatz/Gs |text=der reelle Graph strebt nach {{math|term= + \infty }} bzw. {{math|term= -\infty}}| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist verlockend zu sagen, dass der Wert der rationalen Funktion an diesen undefinierten Stellen {{Anführung|unendlich}} ist, und im Kontext der projektiven Geometrie macht das durchaus Sinn, wie wir später sehen werden. Die {{Anführung|Graphengleichung}} {{ Relationskette |Y || {{op:Bruch|P(X)|Q(X)}} || || || |SZ= }} ist jedenfalls wegen der Undefinierbarkeitsstellen keine optimale Beschreibung für die Kurve. 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'''Staschko''' kann sehr viel und ist ein richtiger Tausendsassa. Er ist sehr hilfsbereit und freundlich zu allen Mitgesellen, außer zu Lyschko. Er sehr gewandt und geschickt. '''Kito''' hat meist schlechte Laune und er sieht aus, "als läge ihm immer ein Pfund Schusternägel im Magen." Er ist launisch und unauffällig. '''Kubo''' ist ein schweigsamer Bursche, der (fast) nur redet, wenn es wirklich nötig ist. Er ist sehr freundlich. '''Petar''' vertreibt sich den Feierabend mit Löffelschnitzen .Er ist sehr freundlich und hilfsbereit zu Krabat. '''Witko''' ist ein schmächtiger, blasser Lehrjunge. Er hat schmale Schultern und rote Haare. Er ist der neue Lehrjunge im zweiten Jahr. '''Lobosch''' ist 14 Jahre, als er an die Mühle kommt und sehr klein für sein Alter. Seine Haut ist mit Ruß beschmutzt. Er ist zurückhaltend und hilfsbereit. Er ist ein heller Kopf und guter Schauspieler. '''Hanzo''' ist ein unauffälliger Junge, der keine Besonderheiten aufweist. Er fällt nicht besonders auf und macht eigentlich alles mit. Er hat keine besonderen Merkmale oder Fähigkeiten. Wichtig ist, dass er nach Tondas Tod Altgeselle wird . Zusammen mit Petar ist er Witkos "Pate". Man nennt Hanzo auch den Bullen, wegen seines Stiernackens und seinen kurzgeschnittenen Haaren. '''Andrusch''': Andrusch ist anders. Er hebt sich selbst hervor und fällt gleich positiv auf. Er hat eigentlich immer gute Laune und ist der „Spaßvogel“ auf der Mühle. Er ist beliebt, da er sich für seine Mitgesellen + Freunde einsetzt. Er ist eine interessante Figur, über den viel im Buch erzählt wird, weil er so vielseitig und abwechslungsreich ist. '''Merten''' ist groß und ist "stark wie ein Bär" mit weichem Kern. Er verkraftet schwer MichalsTod. Seitdem ist er verschlossen, redet mit niemandem über seine Probleme und lässt sich auch nicht helfen . Er fängt an zu schweigen. Er verhält sich auch den anderen gegenüber seit Michals Tod komisch. Nur mit Lobosch, dem neuem Lehrling, ist er etwas freundlicher. '''Juro''' ist ein stämmiger Bursche mit kurzen Beinen und einem flachen, von Sommersprossen gesprenkelten Mondgesicht. Er ist in der Mühle als „Hausmann“ tätig. Er führt den Haushalt. Er stellt sich dumm, damit der Meister ihm nicht auf die Schliche kommt, denn Juro weiß mehr, als er wissen dürfte, weil er oft in der Schwarzen Kammer putzen muss. Wenn er dort putzt, liest er im [[Koraktor]] (einem geheimen Zauberbuch, das viele gefährliche Zaubersprüche enthält, die den Meister besiegen könnten). Wenn der Meister erfährt, dass Juro im Koraktor gelesen hat, muss Juro sterben. Juro rettet Krabats Leben des Öfteren. '''Tonda''' ist der Altgesell in der Mühle. Ein großer Ernst geht von seinen Augen aus. Er ist ein stattlicher Bursche. Er hat dichtes, eisgraues Haar. Er scheint nicht älter als dreisig zu sein. Er trägt Müllerskleidung. Er ist zu jedem nett und wirkt gelassen. Er hilft Krabat sehr viel und oft, aber Tonda stirbt am Ende des 1. Lehrjahres. '''Michal''' ist ungefähr 20 Jahre alt. Er ist stark und gutmütig. Michal hat dunkle Haare und dunkle Haut. Er hat immer das gleiche an: Eine Hose, ein Hemd, einen Kittel, den Leibgurt, das Schurztuch und eine Mütze. '''Lyschko''' ist ein zaundürrer und langer Bursche mit spitzer Nase und scheelem Blick. Er ist der Schnüffler des Meisters und spitzt immer die Ohren, schleicht immer und macht sich oft über andere lustig. Er ist hinterlistig und er schmeichelt sich bei dem Meister ein. '''Der Müller'''(Meister) ist Krabats Meister. Er ist ein massiger, dunkel gekleideter Mann. Er ist sehr bleich im Gesicht, und ein schwarzes Pflaster bedeckt sein linkes Auge. Er spricht wendisch (Dialekt in Sachsen ) und hat eine heisere Stimme. Er hat sich dem Teufel verkauft und muss jedes Jahr ein Opfer (Lehrjunge) umbringen, um selbst weiterleben zu können. '''Die Kantorka''' hat helles Haar, ist schmal und groß. Sie hat eine stolze Art und ist ungefähr so alt wie Krabat. Ihre großen sanften Augen fallen gleich auf. Sie hat die reinste Stimme von allen Mädchen aus dem Dorf und darf deshalb in der Osternacht vorsingen. Sie und Krabat verlieben sich ineinander. '''Pumphutt''' ist ein wendischer Mühlknappe (wie Krabat) und kommt aus der Gegend von Spohla (in der Lausitz). Er ist dürr, lang und so alt, dass niemand es bestimmen kann. Im linken Ohrläppchen hat er einen kleinen goldenen Ring. Sein Hut ist dafür umso größer, mit breiter Krempe und spitzem Kegel. Von seinem Hut hat er seinen Namen. Er ist ein Zauberer, der größte vielleicht, den es je in der Lausitz gegeben hat, und legt sich mit den Müllern an, wenn sie ihre Gesellen nicht gut behandeln. Er will sommers von Mühle zu Mühle ziehen, wie es ihm passt. Krabat, Lyschko und die anderen wären gerne so ein großer Zauberer wie er. '''Der Mann mit der Hahnenfeder''' (Herr Gevatter) kommt jede Neumondnacht mit schwerbeladenem Fuhrwerk an die Mühle und lässt die Mühlknappen schuften. Er trägt einen hochgeschlagenen Mantelkragen und ein in die Stirn gezogenen Hut. An seinem Hut hat er eine hellrote Hahnenfeder (deshalb sein Name: Der Mann mit der Hahnenfeder). Das ist sein einziges Kennzeichen. Man erfährt im Buch nicht, wie er heißt oder wo er herkommt. Er wird im Buch als böse dargesellt. Der Mann mit der Hahnenfeder muss sehr viel Macht haben, denn er herrscht über den Müller (ist sozusagen sein „Chef“). == Schülerurteile über den Roman == {{Zitat| '''schlecht:''' Der Schluss könnte etwas länger sein. Der Schluss war etwas zu kurz. Dass der Schluss so kurz ist. Unrealistisch, dass man nicht von der Mühle wegkommt. Dass der Meister die Mühlenknapppen auch nachts arbeiten ließ. Dass die Gesellen so schuften müssen. Dass die Müllerburschen schaffen müssen und der Meister immer nur zuguckt. Dass der Meister jedes Jahr einen Gesellen tötet. Dass Michal und Tonda dann nicht doch irgendwie wieder leben. Dass so viele sterben mussten und nur, weil sie den Neuen geholfen haben. Dass man aus der Mühle nicht weglaufen konnte. Dass sich kein Lehrjunge in ein Mädchen verlieben durfte und sie dann auch nur weiterleben konnte, wenn sie ihren Freund unter zwölf Raben herausfand. Dass der Meister so fies ist. Dass Lyschko alles dem Meister sagt. Dass kein Drudenfuß eingezeichnet ist. Dass in den Träumen der Meister in vielen Gestalten immer nur einäugig ist. Dass Krabat die Zukunft so umständlich träumt. Ich fand es traurig, als Tonda umkam. Es wird in dem Buch nichts erzählt über Krabats Eltern und wie er aufgewachsen ist. Den Anfang des Buches fand ich doof, schrecklich, ängstlich und langweilig. Ich hätte gern noch gewusst, was aus Krabat, der Kantorka und den anderen Gesellen geworden ist. Die ersten paar Geschichten sind spannend. Hinten wird es vereinzelt spannend. In manchen Geschichten wird zu viel gesprochen. '''langweilig:''' "Der Adler des Sultans". Ich fand Krabat am Anfang sehr langweilig. Ich finde das erste und das zweite Jahr langweilig, weil nichts Gescheites passiert. Ich fand den Anfang des Buches "Krabat" ganz schön langweilig. Das erste und zweite Jahr fand ich ein bisschen langweilig, weil Krabat das Geheimnis noch nicht gewusst hat und es nicht spannend war. In manchen Teilen langweilig, z.B. wie eine Kuh verkauft wurde. Ich meine, dass es erst im dritten Jahr so richtig spannend wird, und das finde ich nicht so gut. · '''gut:·''' Der Einband sagt dem Leser schon sehr viel. Weil viele Fragen auch offen bleiben, wenn man das Buch gelesen hat. Der Traum, wo Krabat fast im Moor versunken wäre. Am besten haben mir die Geschichten "Adler des Sultans" und "Das Angebot" gefallen. Am besten gefiel mir "Adler des Sultans"; "Der mit der Hahnenfeder" und "Husch auf die Stange"; "Ein Ring von Haar", weil die Kantorka endlich eingeweiht wird. Außerdem, wie Juro und Krabat abends üben und der Ring von Haar Krabat hilft, seinen Willen durchzusetzen. "Zwischen den Jahren", weil hier die Kantorka Krabat rettet und der Meister besiegt wird. Vor allem auch, dass Krabat aus den Mühlknappen herausgefunden wird. Es gefällt mir, dass alles gut ausgeht. Am besten gefiel mir das dritte Jahr. Denn es war meiner Meinung nach das spannendste, aufregendste und schönste Jahr. Besonders gut haben mir die Träume gefallen. Dass der Name des Kapitels nie zuviel von der Geschichte versprochen hat. Schön, dass Zauberei im Spiel war. Toll, dass die Träume, die Krabat träumte, fast alle passierten. Dass Lobosch in die Mühle kam und Krabat als Bezugsperson und Freund hatte. Dass Krabat zum Schluss doch noch gegen den Meister gewonnen hat. Dass die Kantorka Krabat befreit, gefällt mir am dritten Jahr besonders gut. Dass Juro nicht so dumm ist, wie er sich anstellte. Dass es Träume gibt und dass sie wahr werden. Die Osternacht finde ich gut, weil man über Nacht an dem Kreuz sitzen muss. Die Raben passen gut zu dem Gevatter. Dass der Meister manchmal an den Vollmondnächten auch schaffen muss. Dass der Meister am Schluss Krabat nach dem Pferdehandel wieder freigelassen hat. Die Namen sind lustig. Dass es spannend ist und es einen gruselt. Dass Krabat freikommt. Dass Krabat von Tonda Kraft bekommt. Dass Tonda Krabat in der Lehrzeit geholfen hat. Dass die Kantorka so mutig war. Weil dieses Buch schön spannend erzählt wird und eine tolle Handlung hat. Mit den vielen Träumen, die Krabat träumt, wird alles noch mehr und immer mehr spannender. '''spannend:·''' Der Traum, als Krabat den Hahn (Meister) mit List tötete. Der Versuch, von der Mühle wegzukommen. Die Geschichte "Der Adler des Sultans" hat mir am besten gefallen, denn sie war am spannendsten erzählt. Die Träume. Wenn der Gevatter kam. Wenn die Gesellen in Meisters Stube gehen. Das Kapitel "Zwischen den Jahren" war das spannendste Kapitel im ganzen Buch. (aus einer 5. Klasse eines Gymnasiums)}} == Behandlung im Unterricht == ===Beispiel für die Organisation einer [[w:Freiarbeit]]=== ====Materialien==== 1) Sorben :a) Karte und Geschichte :b) Brauchtum und Geschichte :c) Brauchtum :d) Sprachgebiet 2) Trachten der [[w:Sorben|Sorben]] 3) Umgebung der Mühle ([https://www.krabatregion.de/index.php?id=917&L=278 die Mühle heute]) :a) [http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Sorben.jpeg Karte] :b) [[w:Lausitz]] u. [[w:Hoyerswerda]] heute 4) Mühlen :a) Aufbau einer [[w:Mühle]] :b) Wasserräder, Mühlen, Müller :5) [[w:Drudenfuß]] 6) Spiel zu Krabat 7) [[w:Krabat (Sage)]] 8) Interview mit [[w:Otfried Preußler|Preußler]] 9) Schülergeschichten zum Sagenkreis um Krabat und Pumphutt Beispielgeschichte: ''Eine Geschichte aus dem Umkreis der [[w:Krabat|Krabatsage]]'' Der Lohtalmüller war nah am Verzweifeln, er wusste nicht, wie er die nächsten Steuern bezahlen sollte, seine Frau war krank, und er musste alle Arbeit allein machen. Da kam eines Abends ein alter Müllergeselle zu ihm und fragte ihn, ob er bei ihm übernachten dürfte. Der Müller wollte ihn schon abweisen, da fragte seine Frau: "Wer ist denn da? Was will er denn?" "Ach, ein alter Geselle, der über Nacht hier bleiben will. Es sind jetzt so viele unterwegs", sagte der Müller. "Er soll bei uns bleiben", sagte die Frau. Wo zwei satt werden, da langt es auch für drei. Ich esse ja sowieso nicht viel." Darauf meinte der alte Geselle: "Vergelt's Gott!" und fragte, ob er denn auch etwas arbeiten könne. Der Müller meinte, dass der Geselle zu alt sei, um noch viel zu schaffen; aber er meinte, er könne ja das Mehl aus dem Mahlwerk in die Säcke füllen. Am nächsten Morgen fühlte sich die Frau ganz gesund, und der Mann meinte: "Da haben wir ja eine Belohnung dafür, dass der Geselle bei uns übernachtet hat." Als er dem Gesellen die freudige Nachricht überbringen wollte, war der aber schon aufgebrochen. Der Müller sah ihm nach. Und als er seinen spitzen Hut sah und der goldene Ring in seinem Ohr blitzte, rief er: "Warum habe ich ihn denn vorher nicht erkannt, das muss der [[w:Martin Pumphut|Pumhutt]] gewesen sein. Jetzt weiß ich, warum meine Frau gesund geworden ist." Was er aber noch nicht wusste, war, dass zwölf voll gefüllte Mehlsäcke beim Mahlwerk standen, genug, um seine Steuern zu bezahlen. Dabei hätte das Korn im Mahlwerk nicht einmal für ''einen'' Sack gereicht. ====Aufgaben==== 1. Halte mindestens 3 Sachinformationen zu Sorben, Mühlen, zur Krabatsage oder zum Drudenfuß fest. (Entweder im Bild oder als Text - jeweils mindestens 100 Wörter) 2. Informiere dich über Otfried Preußler und seine Bücher und schreib einen kurzen Text dazu. 3. Male ein Bild oder eine Karte zu Krabat. 4. Lies das Buch „Krabat“ und erzähle ein Kapitel nach. 5. Schreib eine eigene erfundene Geschichte über Krabat, Pumphutt oder den Meister. Die Aufgaben können, wenn dir das Material vorliegt, in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. == Links zu Unterrichtsentwürfen und -materialien == * [http://www.gah.vs.bw.schule.de/krabat/index.htm Otfried Preußler: Krabat] :"Das Projekt entstand im Frühjahr 2001 in der damaligen Klasse 6d des Gymnasiums am Hoptbühl in Villingen-Schwenningen. Auf dieser Seite will sich die Klasse den Besucherinnen und Besuchern vorstellen und unser Deutschlehrer schreibt, wie das Projekt mit dem vorangegangenen Unterricht zusammenhängt und welchen Sinn eine Verbindung von herkömmlichem Deutschunterricht und modernen Medien macht." (R. Lindenhahn) :Inhalt: Mühle und Umgebung, Personen, Zwischengeschichten, Der Autor, Projektbeschreibung *[http://fsg-pfullingen.de/pages/projekte_old/s/krabat/home.htm Internetprojekt einer 7. Klasse in Pfullingen von 2007] *[http://goethe-bensheim.he.lo-net2.de/krabat071/.ws_gen/index.htm Videoprojekt einer 6. Klasse zu "Krabat"] :Vorproduktion mit Drehbuch und Dreharbeiten sind auf der Seite ausführlich vorgestellt, und der [[w:Trailer|Trailer]] kann heruntergeladen werden. - Projekt der 6e des [https://www.goethe-bensheim.de/ Goethe-Gymnasiums Bensheim]. *[http://www.lehrer-online.de/url/krabat Unterrichtsvorschläge] :Otfried Preußlers "Krabat" - ein klassisches Jugendbuch in Klasse 7 mit den neuen Medien erarbeiten (Claudia Mutter) *[http://www.krabatregion.de/index.php?id=15 Die Landschaft, in der Krabat lebte] :"Auf den Spuren des Krabat - Herzlich Willkommen in der zweisprachigen Lausitz: :Die KRABAT-Region stellt das Kerngebiet der sorbischen Oberlausitz (http://www.oberlausitz.com) mit Gemeinden im Landkreis Kamenz, Landkreis Bautzen, dörflich geprägten Ortsteilen der kreisfreien Stadt Hoyerswerda (http://www.hoyerswerda.de) in Verbindung mit dem brandenburgischen Dorf Proschim (http://www.proschim.de/index_frame.html) in der sorbischen Niederlausitz (http://www.niederlausitz.de) dar." *[http://www.inhaltsangabe.de/preussler/krabat/ Ausführliche Inhaltsangabe] *[http://www.krabatregion.de/index.php?id=910 Die Krabatsage] (Krabatowa powědka) *[http://www.parkaue.de/index.php?topic=22&playId=110 Krabattheaterstück] :"Im Begleitmaterial zur Inszenierung KRABAT in der Regie von Jasper Brandis finden Sie Anregungen für den Umgang mit dem Stoff in Ihrem Unterricht." (Theater an der Parkaue, Berlin) * [http://www.zum.de/Faecher/D/BW/gym/KJL/krabat.htm Otfried Preußler: Krabat (1981)] (Klaus Dautel, 2001) :Inhalt, Kurzkommentar, kommentierte Links == Zur Deutung des Romans == {{Zitat|"Doch "Krabat" lässt sich auch als Allegorie lesen über die Verstrickungen seiner eigenen Generation in den [[w:NS-Staat|Nationalsozialismus]]: "Es ist die Geschichte eines jungen Menschen, der sich mit finsteren Mächten einlässt, von denen er fasziniert ist, bis er erkennt, worauf er sich eingelassen hat. Es ist die Geschichte meiner Generation", sagte Preußler über das Buch."| Sebastian Hammelehle: [http://www.spiegel.de/kultur/literatur/nachruf-auf-otfried-preussler-a-884498.html Zum Tode Otfried Preußlers: Der große Hexer]}} == Verfilmungen == * [[w:Krabat_(1977)|Zeichentrickfilm zu Preußlers Krabat (1977)]] * [[w:Krabat_(2008)|Film zu Preußlers Krabat (2008)]], deutliche Änderungen gegenüber dem Buch == Linkliste == * [[w:Krabat (Roman)|Krabat]] * [https://schriftlicht.wordpress.com/2015/06/18/nacht-und-traume-notizen-zu-preuslers-krabat/ NACHT UND TRÄUME: NOTIZEN ZU PREUSSLERS »KRABAT] == Siehe auch == * [[w:Drudenfuß]] ckon6oiyhhq07ani8jsvzdy35z562sz 0 140028 1108134 1081857 2026-07-20T11:17:04Z Bocardodarapti 2041 1108134 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |riemannsche Fläche| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= P |SZ=}} ein {{ Definitionslink |normiertes Polynom| |Kontext=| |SZ= }} über {{mathl|term= {{op:SchnittringX| X |}} |SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |unverzweigten Nullstellengebilde| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= \tilde{V} |SZ=}} und der zugehörigen Fortsetzung {{ Abbildung |name= | Z | X || |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Endliche holomorphe Abbildung/Fortsetzung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass, wenn {{math|term= P |SZ=}} nicht {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=| |SZ= }} ist, dann {{math|term= Z |SZ=}} nicht {{ Definitionslink |zusammenhängend| |Kontext=Topologie| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nullstellengebilde über einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der endlichen holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} adv2tfkmgz4ghuen75xlu08qc6ercfq 0 141736 1108131 1096005 2026-07-20T11:15:16Z Bocardodarapti 2041 1108131 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |{{ inputbild |Billardkugelbewegung1|png| 230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} | {{math|term= \, |SZ=}} |Das Quadrat sei achsenparallel ausgerichtet. Die Bewegung hat stets eine Geschwindigkeit{{ Zusatz/Klammer |text=skomponente| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= x |SZ=-}}Richtung und eine in {{math|term= y |SZ=-}}Richtung. Bei einem Abprall in einem Punkt einer Seite ändert sich genau eine dieser Geschwindigkeiten ins Negative, die andere bleibt gleich. Es wird also aus dem Richtungsvektor {{math|term= {{op:Zeilenvektor| u |v}} |SZ=}} der Richtungsvektor {{math|term= {{op:Zeilenvektor| -u|v}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei Aufprall links oder rechts| |ISZ=|ESZ= }} oder der Richtungsvektor {{math|term= {{op:Zeilenvektor| u | -v}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei Aufprall oben oder unten| |ISZ=|ESZ=. }} Deshalb gibt es überhaupt nur die vier Bewegungsrichtungen {{math|term= {{op:Zeilenvektor| \pm u| \pm v}} |SZ=.}} Da ferner {{ mathkor|term1= {{op:Zeilenvektor| u| v}} ||term2= - {{op:Zeilenvektor| u| v}} |SZ= }} und {{ mathkor|term1= {{op:Zeilenvektor| - u| v}} ||term2= {{op:Zeilenvektor| u| -v}} = - {{op:Zeilenvektor| - u| v}} |SZ= }} die gleiche Gerade definieren, tauchen {{ Zusatz/Klammer |text=höchstens| |ISZ=|ESZ= }} zwei nichtparallele Richtungen auf. |Wegen des in (3) beschriebenen Verhaltens bei einem Abprall gilt, dass, wenn die Bewegung von der linken Seite startet und erstmalig die linke Seite wieder erreicht wird, dann dazwischen die rechte Seite genau einmal getroffen wurde. Dies bedeutet, dass die rechte Seite so oft getroffen wird wie die linke Seite. Da ferner, ebenfalls wegen (3), in einem Randpunkt nur zwei Bewegungsstränge anliegen, muss es auch auf der linken Seite genauso viele beteiligte Randpunkte geben wie auf der rechten Seite. Dies gilt auch für oben und unten, also ist die Gesamtzahl gerade. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aix2idkw6smn0wvu3xn6ikhzawizr3j 106 145140 1108136 1070015 2026-07-20T11:20:42Z Bocardodarapti 2041 1108136 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs_Mathematik_(Osnabrück_2022-2023)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|31| In den folgenden Vorlesungen werden wir uns mit {{Stichwort|linearer Algebra|msw=lineare Algebra|SZ=}} beschäftigen. Sie ist uns bereits in der [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesung 22|22. Vorlesung]] des ersten Semesters im Rahmen der Proportionalität und der linearen Funktionen begegnet. In der linearen Algebra wird stets ein Körper {{math|term= K |SZ=}} zugrunde gelegt, wobei man dabei grundsätzlich an die rationalen Zahlen {{math|term= \Q |SZ=}} denken kann. {{Zwischenüberschrift|Lineare Gleichungen}} {{:Lineare Gleichung/Von einer zu mehreren Variablen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Im Sinne der [[Kurs:Grundkurs_Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesung_17|17. Vorlesung]] des ersten Semesters handelt es sich um eine Bedingungsgleichung. Insbesondere soll nach den Tupeln gesucht werden, die die Gleichung erfüllen{{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist auch der Grund, warum wir Variablen {{math|term= x_i |SZ=}} verwendet haben, um die Gleichung zu formulieren, und die Lösungstupel mit {{math|term= \xi_i |SZ=}} angesetzt haben. Meistens schreibt man einfach nur {{math|term= x_i |SZ=}} und muss die Rolle der Variablen dem Kontext entnehmen| |ISZ=.|ESZ=. }}}} {{Zwischenüberschrift|Lineare Gleichungssysteme}} {{:Lineares Gleichungssystem/Motivation/Einführung/Textabschnitt|zusatz2=&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text=diesen Begriff werden wir in der übernächsten Vorlesung einführen| |ISZ=|ESZ=, }}}} {{Zwischenüberschrift|Lösungsverfahren für zwei Gleichungen in zwei Variablen}} In der nächsten Vorlesung werden wir ein allgemeines Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme kennenlernen, das {{Stichwort|Eliminationsverfahren|SZ=.}} Für eine einzige Gleichung in beliebig vielen Variablen haben wir ein Lösungsverfahren bereits in {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineare Gleichung/Bijektion/Fakt |Nr= |SZ= }} gesehen. Die grundlegende Beobachtung für jedes Lösungsverfahren für ein lineares Gleichungssystem ist, dass wenn {{mathl|term= (x_1 {{kommadots|}} x_n) |SZ=}} die beiden Gleichungen {{ Relationskette/display | a_1x_1 {{plusdots|}} a_nx_n || c || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | b_1x_1 {{plusdots|}} b_nx_n || d || || || |SZ= }} erfüllt, dann dieses Tupel dann auch die Gleichung {{ Relationskette/display | {{makl| a_1+ b_1 |}} x_1 {{plusdots|}} {{makl| a_n+ b_n |}} x_n || c+d || || || |SZ= }} erfüllt. Das bedeutet, dass man die Gleichungen umformen kann mit dem Ziel, ein vereinfachtes System zu finden, aus dem man die Lösungen direkt ablesen kann. Hier besprechen wir den Fall von zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen. {{ inputbeispiel |Lineares Gleichungssystem/2x2/1/Beispiel|| }} {{ inputverfahren |Lineares Gleichungssystem/2x2/Lösung/Verfahren|| }} {{Fußnotenliste}} }} 4vftobb3h670lg6loh7rykuudnh0r2o 106 145141 1108137 991608 2026-07-20T11:23:46Z Bocardodarapti 2041 1108137 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs_Mathematik_(Osnabrück_2022-2023)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|32| {{Motto| |Text=Verwandle große Schwierigkeiten in kleine und kleine in gar keine |Autor=Chinesische Weisheit }} {{Zwischenüberschrift|Das Lösen von linearen Gleichungssystemen}} {{:Lineares Gleichungssystem/Lösungsverfahren/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=&nbsp; Systeme mit zwei Gleichungen in zwei Variablen haben wir schon in der letzten Vorlesung behandelt.}} {{:Lineares Gleichungssystem/Lösungsverfahren/Verschiedene Bemerkungen/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Lineare Gleichungssysteme in Dreiecksgestalt}} {{ inputfaktbeweis |Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Strenge Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt|Satz|| }} Bei {{ Relationskette | m || n || || || |SZ= }} gibt es keine freien Variablen und es ist {{ Relationskette | K^0 || 0 || || || |SZ= }} und das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Ein beliebiges lineares Gleichungssystem formt man mit Hilfe des Eliminationslemmas in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem in Stufengestalt um. Dann stellt man fest, dass es entweder keine Lösung besitzt oder aber man kann aus der Stufengestalt eine Beschreibung der Lösungsmenge erhalten. {{Fußnotenliste}} }} mckyiruh0fvm29i8sbimzamj7tnaseo 0 145342 1108138 1102782 2026-07-20T11:24:43Z Bocardodarapti 2041 1108138 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es ist von vornherein gar nicht so klar, was man unter dem Lösen eines {{ Zusatz/Klammer |text=linearen| |ISZ=|ESZ= }} Gleichungssystems verstehen soll. Jedenfalls geht es um eine möglichst gute Beschreibung der Lösungsmenge. Wenn es nur eine Lösung gibt, so geht es darum, diese Lösung zu finden und anzugeben. Wenn es überhaupt keine Lösung gibt, geht es darum, dies festzustellen und zu begründen. Im Allgemeinen ist aber die Lösungsmenge eines Gleichungssystems groß. Dann versteht man unter der Lösung eines Systems, freie Variablen zu identifizieren, die beliebige Werte annehmen dürfen, und explizit zu beschreiben, wie die anderen {{ Zusatz/Klammer |text=abhängigen| |ISZ=|ESZ= }} Variablen von diesen freien Variablen abhängen. Man spricht auch von einer {{Stichwort|expliziten Beschreibung|msw=Explizite Beschreibung}} der Lösungsmenge. Lineare Gleichungssysteme können systematisch mit dem {{Stichwort|Eliminationsverfahren|SZ=}} gelöst werden, bei dem nach und nach Variablen eliminiert werden und schließlich ein besonders einfaches äquivalentes Gleichungssystem {{ Zusatz/Klammer |text=in Dreiecksgestalt| |ISZ=|ESZ= }} entsteht, das direkt gelöst werden kann {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. von dem gezeigt werden kann, dass es keine Lösung besitzt| |ISZ=|ESZ=. }}{{{zusatz1|}}} Wir betrachten ein typisches Beispiel mit vielen Variablen. {{ inputbeispiel |Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v ist 3, 3x-4y+u+2v ist 1, 4x -2z+2u ist 7/Beispiel||zusatz1=Fußnote }} {{ inputdefinition |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Manipulationen/Fakt|Lemma|| }} Für die praktische Lösung eines linearen Gleichungssystems sind die beiden Manipulationen (2) und (6) am wichtigsten, wobei man in aller Regel diese beiden Schritte kombiniert und eine Gleichung {{math|term= H |SZ=}} durch eine Gleichung der Form {{mathl|term= H + \lambda G |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=G \neq H |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ersetzt. Dabei wird {{ Relationskette | \lambda | \in| K || || || |SZ= }} so gewählt, dass die neue Gleichung eine Variable weniger besitzt als die alte. Man spricht von {{Stichwort|Elimination einer Variablen|SZ=.}} Diese Elimination wird nicht nur für eine Zeile durchgeführt, sondern für alle Zeilen mit Ausnahme von einer {{ Zusatz/Klammer |text=geeignet gewählten| |ISZ=|ESZ= }} {{Anführung|Arbeitszeile|SZ=}} {{math|term= G |SZ=}} und mit einer fixierten {{Anführung|Arbeitsvariablen|SZ=.}} Das folgende {{Stichwort|Eliminationslemma|SZ=}} beschreibt diesen Rechenschritt. {{ inputfaktbeweis |Lineares Gleichungssystem/Eliminationslemma/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote }} Das praktische Verfahren, bei dem man sukzessive das Verfahren im Beweis des vorstehenden Lemmas anwendet, um auf Dreiecksgestalt bzw. Stufengestalt zu kommen, nennt man {{Stichwort|Gaußsches Eliminationsverfahren|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Additionsverfahren|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Es werden also Variablen eliminiert, indem man geeignete Vielfache von Gleichungen zu anderen Gleichungen hinzuaddiert. {{ inputfaktbeweis |Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/Stufengestalt und Dreiecksgestalt/Fakt|Satz|| }} Es kann sein, dass die Variable {{math|term= x_1 |SZ=}} gar nicht in dem System mit einem von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Koeffizienten vorkommt, und, dass in einer Variablenelimination gleichzeitig mehrere Variablen eliminiert werden. Dann erhält man wie beschrieben ein Gleichungssystem in Stufenform, das erst durch Variablenvertauschungen in die Dreiecksform gebracht werden kann. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ncovj6gf5iloqg3412cnvv7wchfclub 106 157374 1108102 960103 2026-07-20T10:51:07Z Bocardodarapti 2041 1108102 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblattgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Polynomring/1/Multiplikationseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynome/Berechne 2X^3+4X+5 mal X^4+5X^2+6/Zmod7/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynome/C/Brechne (4+i)X^2-3X+9i mal (-3+7i)X^2+(2+2i)X+(-1+6i)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche geometrische Reihe/Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integritätsbereich/Polynomring/Einheiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unterring/Zugehörige Polynomringe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Einsetzung/R nach C/2x^3-5x^2-4x+7/2-5i/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Eine Variable/Körper/Einsetzungshomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Umentwicklung/x^3+2x^2-3x+4/u ist x+2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Umentwicklung/z^3-(2 i)z^2+3iz-(4 5i)/w ist z 2-i/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Lösungsformel/R/Formuliere/Beweise/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In welchen Körpern gilt diese Lösungsformel ebenso? {{ inputaufgabe |Quadratisches Grundstück mit Gartenzaum/Sonnenschein/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/f(-1)ist2,f(1)ist0,f(3)ist5/Gleichungssystem/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/f(0)ist1,f(1)ist2,f(2)ist0,f(-1)ist1/Gleichungssystem/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/f(i)ist1,f(1)ist1+i,f(1-2i)ist-i/Gleichungssystem/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring in zwei Variablen/Z mod 5/Multipliziere x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 und x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring in drei Variablen/Z/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomische Formel/Polynomring/ZXY/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Polynome/C/Brechne (4+i)X^3-iX^2+2X+(3+2i) mal (2-i)X^3+(3-5i)X^2+(2+i)X+(1+5i)/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynome/Formel für X^ungerade+1/Aufgabe|p+| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Nilpotente Elemente und Einheiten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/f(0) ist -1, f(1) ist 7,f(2) ist 21, f(-1) ist -3/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/N/Erfragen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} k04j5xen799coe6optd1ai8pyfhrnme 106 164482 1108056 1008169 2026-07-20T06:26:26Z Bocardodarapti 2041 1108056 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Kommutative Algebra/Teil III/Vorlesungsgestaltung|65| {{Zwischenüberschrift|Freie Auflösungen}} {{:Kommutativer Ring/Freie Auflösung/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Endliche projektive Dimension}} {{ inputdefinition |Lokaler Ring/Modul/Projektive Dimension/Definition|| }} Die projektive Dimension eines Moduls ist also das Maximum des Indexes, wo in jeder freien Auflösung ein Modul {{math|term=\neq 0 |SZ=}} stehen muss. Ein endlich erzeugter freier Modul {{math|term= \neq 0 |SZ=}} besitzt demnach die projektive Dimension {{math|term= 0 |SZ=,}} der Nullmodul die projektive Dimension {{math|term= -1 |SZ=.}} Zu einem Nichtnullteiler {{ Relationskette | f |\in| {{idealm}} || || || |SZ= }} besitzt der Restklassenmodul {{math|term= R/(f) |SZ=}} die projektive Dimension {{math|term= 1 |SZ=,}} da eine freie Auflösung {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow R \stackrel{f}{ \longrightarrow} R \longrightarrow R/(f) \longrightarrow 0 |SZ= }} vorliegt, und {{mathl|term= R/(f) |SZ=}} selbst nicht frei ist. {{ inputbeispiel |Regulärer Ring/Zweidimensional/Koszul-Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Lokaler Ring/Endliche freie Auflösung/Direkter Summand/Fakt|Lemma|| }} {{Fußnotenliste|}} }} 4z6o0pnt9rnupf4op2wztw8u3rwwcqr 106 165889 1108084 1055438 2026-07-20T08:57:22Z Bocardodarapti 2041 1108084 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Vorlesungsgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|Ebene algebraische Kurven}} Was ist eine algebraische Kurve? Zum Beispiel das, was auf den folgenden schönen Bildern zu sehen ist: {{:Algebraische Kurven/Einführung/Gallerie}} Nun kann man natürlich viel malen. Schön sind auch die folgenden Kurven, doch das sind keine algebraischen Kurven: {{ inputbild |Cicloide|svg| 200px {{!}} {{!}} | |Autor= |Benutzer=Elborgo |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Logarithmic spiral|png| 200px {{!}} {{!}} | |Zusname=Logarithmic_spiral |Autor= |Benutzer=Anarkman |Domäne=en.wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Sin|svg| 200px {{!}} {{!}} | |Autor=Keytotime |Benutzer=Ysae |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Quadratic Koch|png| 200px {{!}} {{!}} | |Zusname=Quadratic_Koch |Autor=Alexis Monnerot-Dumaine |Benutzer=Prokofiev |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} Das {{Anführung|algebraisch}} in algebraische Kurve kommt daher, dass zu ihrer Definition nur algebraische Operationen verwendet werden dürfen, d.h. Addition und Multiplikation, nicht aber analytische Prozesse wie Limes nehmen, unendliche Summen, Approximieren, Differenzieren und Integrieren. Die erlaubten Abbildungen in unserem Kontext sind durch Polynome in mehreren Variablen gegeben. In den obigen Bildern geht es um ebene algebraische Kurven, die durch ein Polynom in zwei Variablen definiert werden. {{:Algebraische Kurven/Einführung/Gallerie/Erläuterung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Gleichungen der Form {{mathl|term= Y^2 = G(X) |SZ=}} }} {{:Algebraische Kurven/Einführung/Gallerie/Erläuterung/Fortsetzung/Newton/Textabschnitt|zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=siehe die siebte Vorlesung| |ISZ=|ESZ=. }}}} Wir kommen zur ersten allgemeinen Definition. {{inputdefinition |Ebene affin-algebraische Kurve/Definition|}} {{:Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Lieblingspolynome/Textabschnitt}} Wir beweisen ein Lemma, aus dem direkt folgt, dass die oben zuletzt abgebildeten Kurven nicht algebraisch sind. {{inputfaktbeweis |Ebene algebraische Kurven/Schnitt mit Geraden/Ist endlich oder voll/Fakt|Lemma|}} In den obigen Beispielen gibt es aber Geraden, die die Kurven in unendlich vielen Punkten schneiden – deshalb sind sie nicht algebraisch. {{Zwischenüberschrift|Polynomringe}} Nach diesen einführenden Beispielen fixieren wir ein paar Begrifflichkeiten, die wahrscheinlich schon bekannt sind. {{:Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine und mehrere Variablen/Einführung/Textabschnitt}} Für uns, im Kontext der algebraischen Geometrie, ist hauptsächlich der Fall interessant, wo der Grundring {{math|term= R }} ein Körper ist. In der algebraischen Geometrie interessiert man sich für die Gestalt von Nullstellengebilden von Polynomen in mehreren Variablen. Wir werden später sehen, dass die Beziehung zwischen algebraischen und geometrischen Eigenschaften besonders stark ist, wenn der Grundkörper algebraisch abgeschlossen ist. {{inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition|}} {{ inputbild |Carl Friedrich Gauss|jpg|{{!}} thumb {{!}} |Zusname=Carl_Friedrich_Gauss |Text=[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss (1777–1855)]] |Autor= |Benutzer=Bcrowell |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der sogenannte {{Stichwort|Fundamentalsatz der Algebra}} wurde erstmals von Gauss bewiesen. {{inputfaktbeweisverweis|Fundamentalsatz der Algebra/Algebraisch abgeschlossen/Fakt|Satz|}} }} sbohlbklicv2bb3w2dxf1d2h6qa1ogt 106 165920 1108094 1056395 2026-07-20T09:10:29Z Bocardodarapti 2041 1108094 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblattgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Lineare Algebra/Nichtlineare Gleichungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraische ebene Kurven/Beispiele/1/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraische ebene Kurven/Beispiele/1/Schnitte mit Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene affine Kurve/Y^2-X^3+2/Ganzzahliger Punkt und rationaler Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kubische Kurve/Finde einen Punkt/C/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Neilsche Parabel/Bildbeschreibung durch Gleichung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale ebene Kurven/(t^2-t+2,t^2-3)/Kurvengleichung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale ebene Kurven/(t^3-1,t^2-1)/Kurvengleichung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Kurve/t^2-1,t^3-t/y^2 ist x^2+x^3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurve/Satz über implizite Funktionen/Zusammenhang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraische Kurve/X^2Y + 2Y^3+3Y^2 ist 0/Punkte über Z mod 7/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fermat-Kubik/Affin/Gerade/Ein Schnittpunkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Neilsche Parabel/(1,1)/Gerade trifft/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Neilsche Parabel/Einheitskreis/Schnittpunkt numerisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Ebene algebraische Kurven/Kubiken der Form x^2 ist F(y)/Skizziere für verschiedene Vorzeichen/Aufgabe|}} Die folgende Aussage folgt über {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene algebraische Kurven/Schnitt mit Geraden/Ist endlich oder voll/Fakt |Nr= |SZ= }} auch aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ebene polynomiale Parametrisierungen/Kurvengleichung/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Polynomiale Kurve/Bild/Schnitt mit Gerade/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Polynomring in drei Variablen/Z/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Polynomring in zwei Variablen/Z mod 5/Multipliziere x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 und x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2/Aufgabe/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Integritätsbereich/Polynomring/Integer/Aufgabe||}} {{inputaufgabe |Integritätsbereich/Polynomring/Einheiten/Aufgabe||}} {{inputaufgabe |Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakterisierung mit Linearfaktoren/Fakt/Beweis/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Algebraisch abgeschlossen/Irreduzible Polynome/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Algebraisch abgeschlossener Körper/Unendlich/Aufgabe|}} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{inputaufgabe |Polynomring/Eine Variable/Z mod 7/Polynomdivision X^4+5X^2+3 durch 2X^2+X+6/Aufgabe|p}} {{inputaufgabe |Polynomring/Eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe|p}} {{inputaufgabe |Ebene algebraische Kurven/Kreisgleichung/Punkte über endlichen Körpern/K ist F_2, F_5, F_11/Aufgabe|p}} {{ inputaufgabe |Polynomiale ebene Kurven/(t^3-t^2+4t+3,-t^2+5t-1)/Kurvengleichung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitskreis/Rationale Parametrisierung/Funktionaler Ausdruck/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} hzvec7tt7fj2wifvx25nclgvozt5if9 1108097 1108094 2026-07-20T09:11:56Z Bocardodarapti 2041 1108097 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblattgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Lineare Algebra/Nichtlineare Gleichungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraische ebene Kurven/Beispiele/1/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraische ebene Kurven/Beispiele/1/Schnitte mit Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene affine Kurve/Y^2-X^3+2/Ganzzahliger Punkt und rationaler Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kubische Kurve/Finde einen Punkt/C/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Neilsche Parabel/Bildbeschreibung durch Gleichung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale ebene Kurven/(t^2-t+2,t^2-3)/Kurvengleichung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe 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polynomiale Parametrisierungen/Kurvengleichung/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Polynomiale Kurve/Bild/Schnitt mit Gerade/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Polynomring in drei Variablen/Z/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Polynomring in zwei Variablen/Z mod 5/Multipliziere x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 und x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Integritätsbereich/Polynomring/Integer/Aufgabe||}} {{inputaufgabe |Integritätsbereich/Polynomring/Einheiten/Aufgabe||}} {{inputaufgabe |Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakterisierung mit Linearfaktoren/Fakt/Beweis/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Algebraisch abgeschlossen/Irreduzible Polynome/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Algebraisch abgeschlossener Körper/Unendlich/Aufgabe|}} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{inputaufgabe |Polynomring/Eine Variable/Z mod 7/Polynomdivision X^4+5X^2+3 durch 2X^2+X+6/Aufgabe|p}} {{inputaufgabe |Polynomring/Eine 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Satz einer Patientenvorstellung]] = Berichtsstruktur mit Beispielformulierungen = Siehe auch: [[Anamneseberichte/1._Satz|Reihenfolge der Symptome im 1. Satz]] == nur Stichworte (Blatt 1) == [VN NN] <br /> Sina Gowitz <br /> [A + GD] <br /> 22 J., 18.04.2002 <br /> [Gewicht] <br /> 80 kg <br /> [Größe] <br /> 184 cm <br /> [DE ist ein "Kommaland", also: 1,84 m (Dezimaltrennzeichen)] [All/Unv] <br /> Amoxicillin - Dyspnoe <br /> Apfel, Kiwi, Ananas - Pruritus, Hauterythem [Noxen] <br /> Nikotin: <br /> Nichtraucherin C2: <br /> | trinke 1 Bier geleg., alle 3 Wochen im Sommer, alle 6 Wochen im Winter <br /> | trinke 2-3 Fl. Bier alle 3-6 Wochen, teils alkoholfrei(es Bier) <br /> [+ Verb im Konjunktiv I, denn zu Alkoholsucht gehört, dass die Menge geleugnet wird, also sind Sie anamnestisch bei diesen Angaben vorsichtig, also auch bei Stichworten mit Konjunktiv I] Drogenkonsum: <br /> | wurde verneint [Passiv] <br /> | habe vor 1 Jahr einmal Cannabis probiert <br /> [+ Verb im Konjunktiv I] [SozA] <br /> Physikstudentin, wohnt in einer Wohngemeinschaft/ WG <br /> [FA] <br /> Mutter: Herzinsuffizienz <br /> Vater: M. Bechterew, Pyelonephritis (?) <br /> Bruder: Pyelonephritis (?) <br /> <-- Ende des Abschnitts im Stichwortstil <br /> ab hier --> == Aktuelle Anamnese (in ganzen Sätzen) == === Reihenfolge der Symptome im 1. Satz === - mit dem schlimmsten Symptom starten bzw. mit dem Symptom starten, weswegen jemand kommt (das zur Vorstellung geführt hat), <br /> - falls uneindeutig / viele Symptome / alle ähnlich "schlimm": dann mit dem starten, was die Patientin zuerst nannte, <br /> - die Leitsymptome sollten zur Diagnose passen <br /> - bei Polytrauma: lebensbedrohliche Symptome/Verletzungen zuerst. <br /> '''''C. ist am besten, weil es am schnellsten geht (wenn man die Syntax verstanden hat).''''' === 1. Satz (oder 1-3 Sätze) === ==== A. [Beginn: Variante 1 (mit + Dativ)] ==== [in 3 Sätzen] Die Patientin stellte sich mit akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts vor, die gestern Abend plötzlich aufgetreten seien. Ursprünglich waren die Schmerzen im Epigastrium lokalisiert, aber innerhalb von 2 Stunden seien sie in den rechten Unterbauch gewandert. Die Patientin gab die Schmerzen mit 7 von 10 NRS an. ==== B. [1. Satz: Variante 2 (wegen + Dativ)] ==== [im Relativsatz mit Konjunktiv I] Frau Gowitz kam heute zu uns wegen seit dem Vorabend bestehenden, akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), die zuerst um den Nabel herum gewesen seien. ==== C. [1. Satz: Variante 3 (aufgrund + Genitiv)] ==== [mit verkürztem Relativsatz und mehr FS] Die Patientin stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vorabend bestehender, akuter, progredienter, dumpfer Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), aus der Regio umbilicalis in die Regio inguinalis dextra gewandert. === darauffolgende Abschnitte === [BS] <br /> | Begleitend fand/en sich: [+ Nominativ] <br /> | Begleitend nannte sie: [+ Akkusativ] <br /> | Begleitend besteht: [+ Nominativ] <br /> | Die Patientin gab an, Fieber zu haben (bis 39,0 °C, axillar gemessen). Außerdem klagte sie über Nausea. <br /> | Die Frage nach ... wurde verneint. [wiss. Sing., auch mehrere Fragen werden hier als Paket gesehen] <br /> [VA] <br /> | Vegetativ bestehen ... <br /> | Die vegetative Anamnese ergab ... <br /> | In der VA bestehen ... <br /> | In der vegetativen Anamnese nannte sie/ er: ... <br /> | In der vegetativen Anamnese zeigten sich Insomnie sowie Inappetenz. Die sonstige vegetative Anamnese ist/ war unauffällig. <br /> | Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Insomnie und Inappetenz. <br /> [VE/VO] <br /> | In der Vorgeschichte (des Patienten/ der Patientin) fanden sich: <br/> | An Vorerkrankungen und Operationen sind folgende zu nennen: <br /> | Bei der Patientin sind folgende Vorerkrankungen bekannt: <br /> (| In der Vorgeschichte der Patientin finden sich:) <br /> | In der Vorgeschichte der Patientin fanden sich: <br /> Asthma bronchiale seit der Kindheit, Colon irritable seit 2 Jahren. | Keine Operationen sind bekannt. <br /> | Z.n Tibiafraktur 2021, Z.n Tonsillektomie mit 10 Jahren. <br /> | Bei der Patientin sind folgende Operationen durchgeführt worden: ..., ..., ... <br /> | Sie hat sich mit 10 Jahren einer Tonsillektomie '''unter'''zogen. <br /> | Sie hat sich 2021 eine Tibiafraktur '''zu'''gezogen, die operativ behandelt worden ist (Osteosynthese). <br /> [eine Kombination aus VE/VO + Med] <br /> An Vorerkrankungen und Operationen sind folgende zu nennen: [VE], behandelt mit [Name, Dosis, Frequenz], [VE], behandelt mit [Name, Dosis, Frequenz], Tibiafraktur vor 4 Jahren, mit Osteosynthese behandelt (komplikationslos). [Med] <br /> | Die Anamnese der Medikation ergab: <br /> | Die Medikation ergab: <br /> | Die Medikation besteht aus <br /> Atrovent, Duspatolin bB, Paracetamol vor 2 Wochen während 3 Tagen. [RA] <br /> | Eine Reise nach Südafrika bis vor einer Woche ist bekannt. <br /> | In der Reiseanamnese ist ein Aufenthalt in Südafrika bis vor einer Woche bekannt. <br /> | Ein Aufenthalt in Südafrika bis vor einer Woche ist bekannt. <br /> | Er sei vor einer Woche aus Südafrika zurückgekommen. <br /> [VD] <br /> | Meine VD lautet: akute Appendizitis. <br /> | Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine akute Appendizitis hin. <br /> | Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf [Artikel][VD] aus. <br /> [DD] <br /> | An Differenzialdiagnosen kommt Folgendes in Betracht: [Sing. + Pl.] <br /> | Als Differenzialdiagnosen kommen die folgenden in Betracht: <br /> | Differenzialdiagnostisch kommt Folgendes in Betracht: [Sing. + Pl.] <br /> | Differenzialdiagnostisch kommen in Betracht: <br /> Nephrolithiasis, Adnexitis, Eileiterschwangerschaft [M / diagnostische Maßnahmen] <br /> | Zur weiteren Abklärung werden empfohlen: <br /> | Zur weiteren Abklärung wäre Folgendes anzuraten: <br /> | An weiteren Maßnahmen empfehle ich: <br /> körperliche Untersuchung, Labor: großes, kleines Blutbild, Entzündungsparameter (CRP, BSG, Procalcitonin), Leber- und Nierenparameter, Elektrolyte, Abdomensonographie. [Th] <br /> | Therapeutisch empfehle ich: <br /> | Als Therapie empfehle ich bei Bestätigung der VD: <br /> | An therapeutischen Maßnahmen würde ich empfehlen: <br /> | Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: <br /> laparoskopische Appendektomie, Antibiotikatherapie, Flüssigkeitszufuhr. n5v6pu90bzalo3io0kv0buby2j6r4j8 106 171532 1108096 1105549 2026-07-20T09:11:32Z Lisa Haaf 41568 /* Grundidee */ 1108096 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ==Umsetzung== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet.# ==Umsetzung== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x+15) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> Berechnet man nun die lineare Interpolation zwischen allen Punkten, kann man eine Funktion abschnittsweise zwischen allen Punkten definieren, die die realen Punkte linear verbinden und so eine gute Approximation darstellt. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand für eine Funktion ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. * Durch eine lineare Interpolation zwischen je zwei Punkten, wird eine großer Rechenaufwand benötigt. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. thuuic5jwpmj5hjt1pbby9c4hsw5mt6 1108098 1108096 2026-07-20T09:25:05Z Lisa Haaf 41568 /* Anwendung auf die Standortbewertung */ 1108098 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ==Umsetzung== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet. ==Umsetzung== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x+15) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> Berechnet man nun die lineare Interpolation zwischen allen Punkten, kann man eine Funktion abschnittsweise zwischen allen Punkten definieren, die die realen Punkte linear verbinden und so eine gute Approximation darstellt. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand für eine Funktion ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. * Durch eine lineare Interpolation zwischen je zwei Punkten, wird eine großer Rechenaufwand benötigt. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. 9mtj4n5uf0dtiltlf7tmxbttl8xd3m6 1108099 1108098 2026-07-20T09:28:01Z Lisa Haaf 41568 /* Umsetzung */ 1108099 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ==Umsetzung== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet. ==Umsetzung== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> , <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x-(-15)) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> Berechnet man nun die lineare Interpolation zwischen allen Punkten, kann man eine Funktion abschnittsweise zwischen allen Punkten definieren, die die realen Punkte linear verbinden und so eine gute Approximation darstellt. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand für eine Funktion ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. * Durch eine lineare Interpolation zwischen je zwei Punkten, wird eine großer Rechenaufwand benötigt. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. lql1xhkebepaf5909oexct51nxi7dce 106 171533 1108100 1106199 2026-07-20T09:45:31Z Lisa Haaf 41568 /* 7.Fazit */ 1108100 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ''' Lösungen ''': <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sek2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei <math>x=11,22</math>, aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt eher bei <math>x=10</math> zu erwarten ist. Mit Hilfe der Regressionsfunktion lassen sich also die ungefähren Lagen charakteristischer Punkte gut einordnen, was jedoch nicht zwangsläufig bedeutet, dass die Ergebnisse mit den realen Werten exakt übereinstimmen. Abschließend besteht neben dem gewählten Vorgehen mit einer polynominalen Regression die Möglichkeit, die Datenpunkte über abschnittsweise definierte lineare Funktionen zu verbinden, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt wird. Zugunsten der Übersichtlichkeit sind die meisten Graphen hier jedoch nur als Strecken zwischen den Punkten und nicht als Geraden eingezeichnet. Letzteres wäre jedoch zur Ermittlung der jeweiligen Funktionsvorschrift in der praktischen Umsetzung sinnvoller: [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] Der Vorteil dieses Vorgehens besteht darin, dass bereits Kenntnisse aus der Sek1 ausreichend sind, um die Datenpunkte zu untersuchen, da es sich in jedem Fall lediglich um lineare Funktionen handelt. Die lineare Interpolation scheint bei einer geringen Anzahl von Datenpunkten möglicherweise sinnvoll und beschreibt die Eingabedaten vermutlich in Teilen sogar genauer als eine polynominale Regression. Bei zunehmender Anzahl an Daten steigt jedoch ebenso die Zahl der benötigten abschnittsweise definierten Funktionen linear mit an. In unserem Beispiel mit 31 Datenpunkten wären so bereits 30 verschiedene Funktionen nötig, die jeweils aufgestellt und bei denen der Definitionsbereich festgelegt werden müsste. Der Rechenaufwand wäre also um ein vielfaches größer als bei einer einzigen Polynomfunktion. Im Rahmen der Umsetzung in der Sek2 können die beiden Vorgehen also direkt nebeneinander gestellt und miteinander verglichen sowie auf diese Weise auch Nachteile bzw. Schwierigkeiten der linearen Interpolation diskutiert werden. hace9opksgkhstpu3h0b2e6t7t22gmp 106 171867 1108015 1107823 2026-07-19T13:31:09Z Jonas Dächert 41519 /* Bezug zum Gardientenabstiegsverfashren */ 1108015 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x_n,y_n)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x_n,y_n)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x_n,y_n)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x_n,y_n)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x_n,y_n)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x_n,y_n)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x_n,y_n)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x_n}=x_n </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y_n}=y_n </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x_n</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x_n} = -10(x_n-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y_n} = -4(y_n-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x_n,y_n) = \begin{pmatrix} -10(x_n-3)\\ -4(y_n-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x_n,y_n)=0{,}5x_n^2+0{,}5y_n^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x_n}=x_n </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y_n}=y_n. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x_n,y_n) = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y}(x_n,y_n) \right) </math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x_n,y_n)=E(x_n,y_n)-K(x_n,y_n) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2-0{,}5x_n^2-0{,}5y_n^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x_n}=-10(x_n-3)-x_n </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y_n}=-4(y_n-4)-y_n </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x_n,y_n)= \begin{pmatrix} -10(x_n-3)-x_n\\ -4(y_n-4)-y_n \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x_n,y_n)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. === Bezug zum Gardientenabstiegsverfashren=== Wege dahin Gradienten aufstieg statt [[Gradientenabstiegsverfahren|Abstieg]] ===weitere Einflussfaktoren=== In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. 9cx9esum5kpodp48tarvbv8l45atjm7 1108016 1108015 2026-07-19T13:45:26Z Jonas Dächert 41519 /* Ausblick */ 1108016 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x_n,y_n)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x_n,y_n)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x_n,y_n)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x_n,y_n)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x_n,y_n)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x_n,y_n)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x_n,y_n)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x_n}=x_n </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y_n}=y_n </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x_n</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x_n} = -10(x_n-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y_n} = -4(y_n-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x_n,y_n) = \begin{pmatrix} -10(x_n-3)\\ -4(y_n-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x_n,y_n)=0{,}5x_n^2+0{,}5y_n^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x_n}=x_n </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y_n}=y_n. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x_n,y_n) = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y}(x_n,y_n) \right) </math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x_n,y_n)=E(x_n,y_n)-K(x_n,y_n) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2-0{,}5x_n^2-0{,}5y_n^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x_n}=-10(x_n-3)-x_n </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y_n}=-4(y_n-4)-y_n </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x_n,y_n)= \begin{pmatrix} -10(x_n-3)-x_n\\ -4(y_n-4)-y_n \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x_n,y_n)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== === Bezug zum Gardientenabstiegsverfashren=== Wege dahin Gradienten aufstieg statt [[Gradientenabstiegsverfahren|Abstieg]] Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. [[File:Visualisierung des diskreten "Aufstiegverfahrens".png|thumb|Visualisierung anhand der Differenzfunktion nach 20 Jahren|800px|center]] ===weitere Einflussfaktoren=== In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. ofim3w05aw467v5ug8a61s3p077p8of 106 171961 1108050 2026-07-20T06:18:05Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108050 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Kommutative Algebra/Standardkurs|}} |}} ig9yz5ndzkwz2gv7d1zdc0oewxjmkq2 0 171962 1108052 2026-07-20T06:20:05Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108052 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=vollkommenen Körper|Anf=Vo| |Siehe=vollkommener Körper |Ziel=/Definition }} 3bl5thhiq54oiaeed83r615rfibae5x 0 171963 1108059 2026-07-20T06:35:02Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108059 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Holomorphe Funktionen {{ Abbildung |name= {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_m |}} | U | {{CC}}^m || |SZ= }} auf einer offenen {{ Zusatz/Klammer |text=in der euklidischen Topologie| |ISZ=|ESZ= }} Menge {{ Relationskette | U | \subseteq | {{CC|}}^n || || || |SZ= }} legen wie im algebraischen Fall eine {{ Zusatz/Klammer |text=analytische| |ISZ=|ESZ= }} Nullstellenmenge {{ Relationskette/display | Z || {{Mengebed| P \in U | f_j(P){{=}} 0 \text{ für alle } j }} |\subseteq| U || || |SZ= }} fest. Der lokale holomorphe Ring zu {{ Relationskette | P | \in | Z || || || |SZ= }} besteht aus allen in einer Umgebung von {{math|term= P |SZ=}} auf {{math|term= Z |SZ=}} definierten holomorphen Funktionen, und dieser ist nach Definition gleich {{ Relationskette/display | {\mathcal O}_{Z,P} ||{\mathcal O}_P/{{makl| f_1 {{kommadots|}} f_m |}} || || || |SZ=. }} {{parskip}} Die holomorphe Version des Satzes über implizite Abbildungen besagt, dass falls die Jacobimatrix zu den {{math|term= f_j |SZ=}} im Punkt {{math|term= P |SZ=}} surjektiv ist, dass es dann eine biholomorphe Abbildung zwischen einer offenen Umgebung {{ Relationskette | P | \in | U' | \subseteq | Z || || |SZ= }} und einer offenen Menge {{ Relationskette | U^{\prime \prime} | \subseteq | {{CC|}}^{n-m} || || || |SZ= }} gibt, die {{math|term= Z |SZ=}} als komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension {{mathl|term= n-m |SZ=}} nachweist. In diesem Fall induziert die {{ Definitionslink |biholomorphe Abbildung| |SZ= }} einen Ringisomorphismus {{ Relationskette/display | {\mathcal O}_{Z,P} |\cong| {\mathcal O}_{n-m} || || || |SZ=. }} Das bedeutet, dass der lokale holomorphe Ring zu einem glatten Punkt auf einer {{math|term= d |SZ=-}}dimensionalen analytischen Nullstellenmenge stets isomorph zum Ring der konvergenten Potenzreihen in {{math|term= d |SZ=}} Variablen ist. {{parskip}} Die folgende Aussage, die wichtige Beziehungen zwischen {{mathl|term= {{CC|}} [X_1 {{kommadots|}} X_n ]_{ {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} } |SZ=}} und dem lokalen Ring {{math|term= {\mathcal O}_n |SZ=}} der holomorphen Funktionen beschreibt, wird mit Hilfe der Komplettierung bewiesen. {{ inputfakt |Polynomring/C/Lokalisiert/Holomorpher Ring/Flach/Ideal/Fakt|Satz|| }} {{parskip}} Dies bedeutet beispielsweise, dass zu einem Polynom {{ Relationskette | f | \in | {{CC|}} [X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} mit einer isolierten Singularität die Milnorzahl wegen {{ Relationskette/display | {\mathcal O}_n/ J_f || {{CC|}} [X_1 {{kommadots|}} X_n ]_{ {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} }/J_f || || || |SZ= }} algebraisch und holomorph berechnet werden kann. Oder: Zu einem polynomialen Ideal {{ Relationskette | {{ideala|}} | \subseteq | {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{CC|}} [X_1 {{kommadots|}} X_n ]_{ {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} }/ {{ideala|}} + {{idealm|}}^k ||{\mathcal O}_n / {{makl| {{ideala|}} + {{idealm|}}^k |}} || || || |SZ=, }} was bedeutet, dass die Hilbert-Samuel-Funktion des lokalen Ringes {{mathl|term= {{CC|}} [X_1 {{kommadots|}} X_n ]_{ {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} }/ {{ideala|}} |SZ=}} mit ihrer holomorphen Version übereinstimmt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der konvergenten Potenzreihenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} fai3jxvl4wes04w5y4pzxhr1t7ov3qa 14 171964 1108060 2026-07-20T06:35:09Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108060 wikitext text/x-wiki {{Textabschnitts-Kategorie unter}} bl0v8l79nyghz6bnoof6be1czzigwqe