Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1117352 1116952 2026-10-22T12:29:43Z Bert Niehaus 20843 /* Funktionentheorie - Teil 1 */ 1117352 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[Komplexe Zahl#Orbitdarstellung|Orbitdarstellung von Operationen in komplexen Zahlen]] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung|algebraische Vervollständigung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] <math>z^n</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/exponentielle unktionen|exponentielle Funktionen]] <math>a^z</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rmod|rlog-Funktion]] beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiver Logarithmus|rekursiver Logarithmus]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> aignyut5i871a6o6wgv1uxu2wfhh7t7 0 61261 1117436 1102803 2026-10-23T10:16:17Z Bocardodarapti 2041 1117436 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Georg Cantor 1894|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=Georg_Cantor |Text= [[w:Georg Cantor|Georg Cantor (1845-1918)]] ist der Schöpfer der Mengentheorie. |Autor=unbekannt |Benutzer=Geometry guy |Domäne=en wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |David Hilbert 1886|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=David_Hilbert_1886 |Text= [[w:David Hilbert|David Hilbert (1862-1943)]] nannte sie ein {{Betonung|Paradies|SZ=,}} aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen. |Autor=unbekannt (1886) |Benutzer=Magnus Manske |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Eine {{Stichwort|Menge|SZ=}} ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die {{Stichwort|Elemente|msw=Element|SZ=}} der Menge heißen. Mit {{Stichwort/anf|wohlunterschieden|SZ=}} meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die {{Stichwort|Zugehörigkeit|SZ=}} eines Elementes {{math|term= x |SZ=}} zu einer Menge {{math|term= M |SZ=}} wird durch {{ Math/display|term= x \in M |SZ= }} ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch {{ Math/display|term= x \not\in M |SZ=. }} Für jedes Element{{ Zusatz/Klammer |text=symbol| |ISZ=|ESZ= }} gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten. Für Mengen gilt das {{Stichwort|Extensionalitätsprinzip|SZ=,}} d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten. Die Menge, die kein Element besitzt, heißt {{Definitionswort/enp|leere Menge|SZ=}} und wird mit {{ Math/display|term= \emptyset |SZ= }} bezeichnet. Eine Menge {{math|term= N |SZ=}} heißt {{Stichwort|Teilmenge|SZ=}} einer Menge {{math|term= M |SZ=,}} wenn jedes Element aus {{math|term= N |SZ=}} auch zu {{math|term= M |SZ=}} gehört. Man schreibt dafür {{ Relationskette | N | \subseteq| M || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=manche schreiben dafür {{ Relationskette/k | N | \subseteq| M || || || |SZ= }}| |SZ=. }} Man sagt dafür auch, dass eine {{Stichwort|Inklusion|SZ=}} {{mathl|term= N \subseteq M |SZ=}} vorliegt. Im Nachweis, dass {{mathl|term= N \subseteq M |SZ=}} ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element {{mathl|term= x \in N |SZ=}} ebenfalls die Beziehung {{ Relationskette | x | \in| M |SZ= }} gilt{{ Zusatz/Fußnote |text=In der Sprache der Quantorenlogik kann man eine Inklusion verstehen als die Aussage {{math|term= \forall x(x \in N \rightarrow x \in M) |SZ=.}} | |ESZ=. }} Dabei darf man lediglich die Eigenschaft {{mathl|term= x \in N |SZ=}} verwenden. Aufgrund des Extensionalitätsprinzips hat man das folgende wichtige {{Stichwort|Gleichheitsprinzip für Mengen|SZ=,}} dass {{ Math/display|term= M=N \text{ genau dann, wenn } N \subseteq M \text{ und } M \subseteq N |SZ= }} gilt. In der mathematischen Praxis bedeutet dies, dass man die Gleichheit von zwei Mengen dadurch nachweist, dass man {{ Zusatz/Klammer |text=in zwei voneinander unabhängigen Teilargumentationen| |SZ= }} die beiden Inklusionen zeigt. Dies hat auch den kognitiven Vorteil, dass das Denken eine Zielrichtung bekommt, dass klar die Voraussetzung, die man verwenden darf, von der gewünschten Schlussfolgerung, die man aufzeigen muss, getrennt wird. Hier wiederholt sich das Prinzip, dass die Äquivalenz von zwei Aussagen die wechselseitige Implikation bedeutet, und durch den Beweis der beiden einzelnen Implikationen bewiesen wird. {{Zwischenüberschrift|Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen}} Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist wohl, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. Betrachte die beiden Auflistungen {{ Math/display|term= \{ \text{Paris}, \text{London}, \text{Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck} \} |SZ= }} und {{ Math/display|term= \{ \text{Paris}, \text{London}, \text{Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck} , \text{die einwohnerreichste Stadt von Frankreich}, \text{die Hauptstadt von England}, \text{Londres}, \text{die Stadt in der wir leben} \} |SZ=. }} Handelt es sich um die gleiche Menge? Ein mathematisches Beispiel von dieser Art ist {{ Math/display|term= \{0,1,2,3\} |SZ= }} und {{ Math/display|term= \{0,0+1,1+1,1+(0+1), \text{der Nachfolger von } 1, 1 \cdot 2+1,3-1, \text{zwei}, 8-6\} |SZ=. }} Es ist keine triviale Frage, ob es sich um die gleiche Menge handelt oder nicht. Die Beantwortung hängt davon ab, ob wir bei den zweiten Mengen die bezeichneten Objekte oder die bezeichnenden Symbole {{ Zusatz/Klammer |text=also die Wörter, die Wortketten, die Beschreibungen| |SZ= }} selbst meinen. {{Stichwort/anf|Die einwohnerreichste Stadt von Frankreich|SZ=}} und {{Stichwort/anf|Paris|SZ=}} sind unterschiedliche Bezeichnungen für die gleiche Stadt. Insofern kann man sagen, dass das Problem nicht auf der Ebene der Mengen besteht, sondern auf der Ebene der Elemente und ihren Bezeichnungen, ob man beispielsweise mit {{Stichwort/anf|Paris|SZ=}} die zugehörige Stadt meint oder die zugehörige {{Stichwort/anf|Buchstabenfolge|SZ=.}} Von der Menge {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. den {{Stichwort/anf|umgebenden Elementen|SZ=}} | |SZ= }} hängt es allerdings schon ab, welcher Kontext erzeugt wird, von dem aus dann auch die einzelnen Elementbezeichner interpretiert werden. In der Menge {{ Math/display|term= \{ \text{Paris}, \text{London}, \text{Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck} \} |SZ= }} wird man das erste Element vermutlich spontan als die Stadt verstehen, in der Menge {{ Math/display|term= \{ \text{Paris}, \text{Parole} ,\text{Party} \} |SZ= }} wohl eher als Buchstabenfolge. Im Zweifelsfall muss eben der Kontext deutlich gemacht werden. In der Mathematik handelt es sich dabei selten um ein echtes Problem, in aller Regel meint man bei einer Auflistung die durch die Symbole gemeinten mathematischen Zahlen und sonstigen Objekte. In der mathematischen Logik ist zwar eine Menge wie z.B. {{Stichwort/anf|die Menge aller arithmetisch sinnvollen Ausdrücke|SZ=}} wichtig, in der Mathematik selbst aber nicht. Dort sind die Ausdrücke {{ Zusatz/Klammer |text= {{Stichwort|Terme|msw=Term|SZ=}} | |SZ= }} zumeist auf eine bestimmte {{ Zusatz/Klammer |text=Zahl| |SZ=- }}Menge bezogen und in diesen zu interpretieren. Im mathematischen Kontext gibt es eine Vielzahl von Möglichkeiten, um ein mathematisches Objekt {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise eine Zahl| |SZ= }} auszudrücken. Wenn zwei unterschiedliche Ausdrücke oder Terme die gleiche Zahl beschreiben, so meint man, dass es sich um das gleiche Element der entsprechenden Zahlenmenge handelt. Der Nachweis, dass zwei verschiedene Terme die gleiche Zahl bezeichnen, kann durchaus schwierig sein. Dieser Nachweis wird {{Stichwort|rechnen|SZ=}} genannt, insbesondere dann, wenn die Gleichheit eines mehr oder weniger komplizierten Ausdrucks {{ Zusatz/Klammer |text=wie z.B. {{math|term= 1\cdot 2 +1 |SZ=}} | |SZ= }} mit einem einfachen Repräsentaten {{ Zusatz/Klammer |text=z.B. {{math|term= 3 |SZ=}}| |SZ= }} nachgewiesen wird. Auflistungen mit Fortsetzung Neben endlichen Auflistungen gibt es auch noch solche Auflistungen, bei denen nach einer endlichen Auflistung eine unendliche Weiterführung durch Punkte {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= \ldots|SZ=}} | |SZ= }} angedeutet wird. Damit ist gemeint, dass die ersten Elemente der Auflistung einen Bildungsprozess erkennen lassen, mit dem man alle weiteren Elemente bestimmen kann. Beispiele sind {{ Math/display|term= \{1,3,5,7,9, \ldots \},\, \{1,2,4,8,16, \ldots \},\, \{ 9,99,999,9999, 99999, \ldots \} |SZ= }} und ähnliche. Dies ist grundsätzlich problematisch, da es für jede endliche Liste {{mathl|term= a_1,a_2 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} von {{math|term= n |SZ=}} Zahlen ein Polynom {{Math/display|term=P(k)=c_0 +c_1k+c_2k^2+c_3k^3 {{plusdots|}} c_d k^d|SZ=}} vom Grad {{mathl|term= d \leq n |SZ=}} gibt mit {{ Math/display|term= P(1)=a_1, \, P(2)=a_2 {{kommadots|}} P(n)=a_n |SZ=. }} Es gibt also stets ein mehr oder weniger einfaches polynomiales Bildungsgesetz, das aber oben nur im linken Beispiel die vermutlich gemeinte Vorschrift ist. Die wichtigste Menge, die man zumeist als eine fortgesetzte Auflistung einführt, ist die Menge der natürlichen Zahlen {{ Math/display|term= \N=\{ 0,1,2,3, \ldots \} |SZ=. }} Hier wird eine bestimmte Zahlenmenge durch die Anfangsglieder von erlaubten Zifferfolgen angedeutet. Wir werden diese Menge erstmal so akzeptieren und später noch eine Axiomatik dafür angeben{{ Zusatz/Fußnote |text=Und zwar werden wir später die natürlichen Zahlen mittels der Peano-Axiome axiomatisieren, bis dahin verwenden wir sie aber schon manchmal, vor allem in Beispielen, ebenso wie die Menge der ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=,}} die Menge der rationalen Zahlen {{math|term= \Q|SZ=}} und die Menge der reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=.}} | |ESZ=. }} Wichtig ist aber, dass mit {{math|term= \N|SZ=}} nicht eine Menge von bestimmten Ziffern gemeint ist, sondern die durch die Ziffern repräsentierten Zahlwerte. Eine natürliche Zahl hat viele Darstellungsarten, die Ziffernrepräsentation im Zehnersystem ist nur eine davon, wenn auch eine besonders übersichtliche. Mengenbeschreibung durch Eigenschaften Es sei eine Menge {{math|term= M |SZ=}} gegeben. In ihr gibt es gewisse Elemente, die gewisse Eigenschaften {{math|term= E |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Prädikate| |SZ= }} erfüllen können oder aber nicht. Zu einer Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} gehört innerhalb von {{math|term= M |SZ=}} die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus {{math|term= M |SZ=,}} die diese Eigenschaft erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als {{ Math/display|term= {{Mengebed| x \in M|E(x)}} = {{Mengebed| x \in M| x \text{ besitzt die Eigenschaft } E}} |SZ=. }} Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage {{math|term= E(x) |SZ=}} eine wohldefinierte Bedeutung hat. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen {{ Zusatz/Klammer |text=in dem auf die Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} Bezug genommen werden kann, aber nicht muss| |SZ=. }} Z.B. kann man einführen {{ Math/display|term= G= {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist gerade} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= U= {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist ungerade} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= Q= {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist eine Quadratzahl} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= \mathbb P= {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist eine Primzahl} }} |SZ=. }} Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge {{math|term= K |SZ=}} der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa {{ Math/display|term= O = {{Mengebed| x \in K| x \text{ kommt aus Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= P = {{Mengebed| x \in K| x \text{ studiert im Nebenfach Physik} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= D= {{Mengebed| x \in K| x \text{ hat im Dezember Geburtstag} }} |SZ=. }} Die Menge {{math|term= K |SZ=}} ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja {{ Math/display|term= K={{Mengebed| x| x \text{ ist Studierender in diesem Kurs} }} |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengenoperationen}} So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen. {{ Auflistung3 |{{Stichwort|Vereinigung|SZ=}} {{ Math/display|term= A \cup B {{defeq|}} {{Mengebed| x| x \in A \text{ oder } x \in B}} |SZ=, }} |{{Stichwort|Durchschnitt|SZ=}} {{ Math/display|term= A \cap B {{defeq|}} {{Mengebed| x| x \in A \text{ und } x \in B}} |SZ=, }} |{{Stichwort|Differenzmenge|SZ=}} {{ Math/display|term= A \setminus B {{defeq|}} {{Mengebed| x| x \in A \text{ und } x \not\in B}} |SZ=. }} }} Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das {{Stichwort|Komplement|SZ=}} einer Teilmenge {{mathl|term= A \subseteq G |SZ=,}} das durch {{ Relationskette/display | {{op:Mengenkomplement|A}} | {{defeq|}}| G \setminus A || {{Mengebed| x \in G| x \not\in A}} || || |SZ= }} definiert ist. Wenn zwei Mengen einen leeren Schnitt haben, also {{mathl|term= A \cap B= \emptyset|SZ=}} gilt, so nennen wir sie {{Definitionswort/enp|disjunkt|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Mengendiagramme}} Eine Möglichkeit, Mengen oder vielmehr die zwischen verschiedenen Mengen möglichen oder existierenden Verhältnisse zueinander abzubilden, liefern {{Stichwort|Mengendiagramme|msw=Mengendiagramm|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Venn-Diagramme|msw=Venn-Diagramm|SZ=}} | |SZ=. }} In ihnen werden Mengen durch gewisse Flächenstücke in der Ebene repräsentiert. Die Flächenstücke sollten eine möglichst einfache Form besitzen. Sie sind zumeist {{Stichwort/anf|zusammenhängend|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. je zwei Punkte des Stückes sind durch einen {{Stichwort/anf|stetigen Weg|SZ=}} miteinander verbindbar| |SZ=. }} Die Flächenstücke können sich überlappen, und der Überlappungsbereich repräsentiert die Schnittmenge. Idealerweise sind die auftretenden Überlappungsbereiche selbst wieder zusammenhängend. Die verschiedenen Flächenstücke werden häufig in unterschiedlichen Farben oder Schraffuren gezeichnet, wobei dann die Überlappungsbereiche durch die zugehörigen Farbmischungen bzw. Mischschraffuren wiedergegeben werden. Sie werden aber oft auch nur durch ihre Begrenzung wiedergegeben, wobei dann bei Überschneidungen der Grenzlinien das Problem auftritt, wie die Grenzlinien weiterlaufen. Hier gilt zumeist die {{ Zusatz/Klammer |text=unausgesprochene| |SZ= }} Konvention, dass die {{Stichwort/anf|geraden|}} bzw. {{Stichwort/anf|glatten|SZ=}} Kurven die Ränder der beteiligten Einzelmengen sind, während sich für die Schnittmengen {{Stichwort/anf|eckige|SZ=}} Ränder ergeben können. Einige Beispiele für abstrakte Mengendiagramme {{ inputbild |Absolute complement|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Absolute_complement |Autor= |Benutzer=BMF81 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Set intersection|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Set_intersection |Autor= |Benutzer=Marcelo Reis |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Diagrama1|gif| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Dante |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild | 4sets|png| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Stumps |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn Diagram ABCD|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_Diagram_ABCD |Autor= |Benutzer=Johannes Rössel |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-five|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-six|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Interiot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn6|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Kopophex |Domäne=en Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Diese Diagramme sind vollständig in dem Sinne, dass sie alle möglichen Schnitteigenschaften der beteiligten Mengen repräsentieren. In den folgenden Diagrammen wird nicht jede mögliche Schnitteigenschaft repräsentiert. {{ inputbild |Disyunción de clases2|JPG| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Disyuncion_de_clases |Autor= |Benutzer=Monimino |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Subset|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Petr K |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn diagram of three sets|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_diagram_of_three_sets |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4xa|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4a|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Standardsemantik klein|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Standardsemantik_klein |Autor= |Benutzer=Dhanyavaada |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Einige Beispiele für konkrete Mengen-Diagramme In diesem Fall repräsentieren die beteiligten Mengen einen bestimmten Begriff, das Schnittverhalten hängt dann von inhaltlichen Überlegungen ab. Solche Diagramme spielen in der Mathematik keine große Rolle. Wenn man allerdings z. B. verschiedene algebraische Begriffe wie Gruppe, Ring, kommutativer Ring, Divisionsbereich, Körper in ihrer Hierarchie veranschaulichen möchte, so ist ein solches Diagramm durchaus sinnvoll. {{ inputbild |Amino Acids Venn Diagram (de)|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Amino_Acids_Venn_Diagram_(de) |Autor= |Benutzer=Hoffmeier |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |British Isles Venn Diagram en|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=British_Isles_Venn_Diagram_en |Autor= |Benutzer=Sony-youth |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Geistiges Eigentum und Wettbewerbsrecht|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Geistiges_Eigentum_und_Wettbewerbsrecht |Autor= |Benutzer=3247 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|Konstruktion von Mengen}} Die meisten Mengen in der Mathematik ergeben sich ausgehend von einigen wenigen Mengen wie beispielsweise den endlichen Mengen und {{math|term= \N|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die man sicher auch ohne jede tiefere Rechtfertigung als Menge akzeptieren kann| |SZ= }} durch bestimmte Konstruktionen von neuen Mengen aus schon bekannten oder schon zuvor konstruierten Mengen{{ Zusatz/Fußnote |text=darunter fallen auch der Schnitt und die Vereinigung, doch bleiben diese innerhalb einer vorgegebenen Grundmenge, während es hier um Konstruktionen geht, die darüber hinaus gehen.| |ESZ=. }} Wir definieren{{ Zusatz/Fußnote |text={{:Definitionen/Rolle in Mathematik/Erläuterung/Bemerkung|opt=Text}}| |SZ=. }} {{ inputdefinition |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition||zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Man spricht auch vom {{Stichwort|kartesischen Produkt|msw=Kartesisches Produkt|SZ=}} der beiden Mengen| |SZ=. }} }} Die Elemente der Produktmenge nennt man {{Stichwort|Paare|msw=Paar|SZ=}} und schreibt {{mathl|term= (x,y) |SZ=.}} Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten {{Stichwort|Komponenten|msw=Komponente|SZ=}} ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponenten ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind. Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein. Dann ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun. Wenn es in der ersten Menge {{math|term= n |SZ=}} Elemente und in der zweiten Menge {{math|term= k |SZ=}} Elemente gibt, so gibt es in der Produktmenge {{mathl|term= n \cdot k |SZ=}} Elemente. Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. Man kann auch für mehr als nur zwei Mengen die Produktmenge bilden, worauf wir bald zurückkommen werden. {{ inputbeispiel |Produktmenge/Vornamen und Nachnamen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Schachbrett/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Reelle Intervalle und Rechtecke/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Rationale Zahlen als Brüche/Beispiel|| }} Eine andere wichtige Konstruktion, um aus einer Menge eine neue Menge zu erhalten, ist die Potenzmenge. {{ inputdefinition |Mengen/Potenzmenge/Definition|| }} Wenn eine Menge {{math|term= n |SZ=}} Elemente besitzt, so besitzt ihre Potenzmenge {{math|term= 2^n |SZ=}} Elemente. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= |Fußnoten=x }} 3fk0hvpzl7uzcozote1y7awuv5e2uxy 0 63177 1117444 1102814 2026-10-23T11:11:36Z Bocardodarapti 2041 1117444 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Aplicación|svg| 250px {{!}} {{!}} | |Zusname=Aplicacion |Autor= |Benutzer=HiTe |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Beliebteste Eissorten in Deutschland|svg| 250px {{!}} {{!}} | |Zusname=Beliebteste_Eissorten_in_Deutschland |Autor= |Benutzer=Doofi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Tiefkühlkonsum|svg| 250px {{!}} {{!}} | |Autor= |Benutzer=SInner1 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{Wertetabelle6 |text1={{math|term= x |SZ=}}| 1| 2| 3| 4| 5| 6|text2={{math|term= \pi(x) |SZ=}}| 2| 4| 6| 5| 3| 1}} {{ inputbild |Exp|svg| 250px {{!}} {{!}} | |Autor=Peter John Acklam |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{:Restklassenringe (Z)/mod 7/Multiplikationstafel}} {{ inputbild |Monkey Saddle Surface (Shaded)|png| 250px {{!}} {{!}} | |Zusname=Monkey_Saddle_Surface_(Shaded) |Autor= |Benutzer=Inductiveload |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Schoenberg-ebringen-isohypsen|png| 250px {{!}} {{!}} | |Autor= |Benutzer=W-j-s |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Elliptic orbit|gif| 250px {{!}} {{!}} | |Zusname=Elliptic_orbit |Autor= |Benutzer=Brandir |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA 2.5 |Bemerkung= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bbm38hw8yg8xp6hunqtb2lkaop38ze1 0 83118 1117478 1107499 2026-10-23T11:41:24Z Bocardodarapti 2041 1117478 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition|| }} Beispielsweise sind {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} die Teiler von {{math|term= 10 |SZ=}} und {{mathl|term= 1,3,9,27,81 |SZ=}} die Teiler von {{mathl|term= 81 |SZ=.}} Eine Zerlegung {{ Relationskette/display |n ||st || || || |SZ= }} nennt man auch eine {{Stichwort|Faktorzerlegung|SZ=}} von {{math|term= n |SZ=.}} Wenn {{math|term= a |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist und {{ Relationskette/display |a |\neq| 0 || || || |SZ=, }} so ist die Zahl {{math|term= c |SZ=}} mit {{ Relationskette |b ||ac || || || |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=nach der|Kürzungsregel|Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt |Nr= |SZ= }} eindeutig bestimmt. Man nennt diese Zahl den {{Stichwort|Gegenteiler|SZ=}} oder den {{Stichwort|komplementären Teiler|msw=Komplementärer Teiler|SZ=}} und schreibt dafür {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=.}} Da wir im Moment die rationalen Zahlen noch nicht zur Verfügung haben, ist dies nur dann eine erlaubte Schreibweise, wenn die Teilerbeziehung vorliegt und {{ Relationskette | a |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=so wie die Schreibweise {{mathlk|term= a-b |SZ=}} bisher nur erlaubt ist, wenn {{ Relationskette | b | \leq | a || || || |SZ= }} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist also {{math|term= 0 |SZ=}} ein Teiler der {{math|term= 0 |SZ=,}} der Ausdruck {{mathl|term= 0/0 |SZ=}} ist aber nicht definiert{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Orte können miteinander verbunden sein oder nicht. Man kann von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} gelangen, wenn es einen Weg von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} gibt. Aber nur, wenn es genau einen Weg von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} gibt, kann man von {{Betonung|dem}} Weg von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} sprechen| |ISZ=.|ESZ=. }} Wenn {{ Relationskette | a | \neq | 0 || || || |SZ= }} ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist, so nennt man die Bestimmung des eindeutig bestimmten {{math|term= c |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | b || ac || || || |SZ= }} Teilen. Man sagt, dass man {{math|term= b |SZ=}} durch {{math|term= a |SZ=}} teilt mit dem Ergebnis {{math|term= c |SZ=.}} {{inputfaktbeweis|Teilbarkeitstheorie (N)/Größenbeziehung/Fakt|Lemma||}} Wenn man also alle Teiler einer natürlichen Zahl {{math|term= n |SZ=}} finden möchte, so muss man einfach die Zahlen {{ Relationskette/display | a | \leq | n || || || |SZ= }} der Reihe nach durchgehen und ihre Vielfachen {{ Math/display|term= 1a =a, 2a, 3a, \ldots |SZ= }} durchgehen, bis die Zahl {{math|term= n |SZ=}} auftaucht {{ Zusatz/Klammer |text=in welchem Fall {{math|term= a |SZ=}} ein Teiler ist| |ISZ=|ESZ= }} oder eine Zahl {{math|term= >n |SZ=}} auftaucht {{ Zusatz/Klammer |text=dann liegt kein Teiler vor| |ISZ=|ESZ=. }} Übrigens muss man nicht die Zahlen bis {{math|term= n |SZ=}} durchprobieren, sondern lediglich bis zur ersten Zahl {{math|term= r |SZ=}} mit {{ Relationskette | r^2 | \geq | n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=man muss also nur bis zur Größenordnung der Quadratwurzel aus {{math|term= n |SZ=}} gehen| |ISZ=|ESZ=. }} Dann muss man aber für jeden Teiler {{ Relationskette/display | t | \leq | r || || || |SZ= }} auch den Gegenteiler mitanführen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Teilerauflistung/Quadratwurzelschranke/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Für {{mathl|term= 105 |SZ=}} muss man maximal bis {{math|term= 11 |SZ=}} gehen. Es ergeben sich die Zerlegungen {{ Relationskette/display | 105 || 1 \cdot 105 || 3 \cdot 35 || 5 \cdot 21 || 7 \cdot 15 |SZ= }} und die Teiler sind somit {{mathl|term= 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 |SZ=.}} Eine durch {{math|term= 2 |SZ=}} teilbare Zahl, also ein Vielfaches von {{math|term= 2 |SZ=,}} heißt {{Stichwort|gerade|msw=Gerade Zahl|SZ=,}} eine nicht durch {{math|term= 2 |SZ=}} teilbare Zahl heißt {{Stichwort|ungerade|msw=Ungerade Zahl|SZ=.}} Für einige Zahlen gibt es einfache Tests, ob sie ein Teiler einer gewissen Zahl sind, die allerdings auf dem Dezimalsystem beruhen. Eine weitere wichtige Möglichkeit ist die Division mit Rest. Auch der dritte Teil des folgenden Lemmas hilft: Wenn {{math|term= a |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} ist, so sind sämtliche Vielfache von {{math|term= a |SZ=}} ebenfalls keine Teiler von {{math|term= n |SZ=.}} {{inputfaktbeweis|Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt|Lemma||}} {{ inputbild |Verband Teiler30|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Verband_Teiler30 |Text= |Autor= |Benutzer=SirJective |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Teilbarkeit in N +/Ordnungsrelation/Variante 2/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gtrzlvoegp7mzpt8kf0x5wgixzsg72n 0 83131 1117446 1111543 2026-10-23T11:23:00Z Bocardodarapti 2041 1117446 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Addition auf den natürlichen Zahlen ist eine vertraute Operation und es gibt viele Möglichkeiten, sie einzuführen. Je nach Kontext und Absicht sind unterschiedliche Ansätze besser geeignet. Zur rechnerischen Definition der Addition ist etwa das schriftliche Addieren im Dezimalsystem besonders effektiv, während zum Nachweis der Assoziativität die inhaltliche Interpretation als disjunkte Vereinigung von Mengen sinnvoll ist. Um ein klares Fundament zu haben, muss man sich bei einem systematischen Aufbau der Mathematik dafür entscheiden, was man als Definition nimmt, und dann beweisen, dass der gewählte Zugang auch andere Charakterisierungen erlaubt und somit mit anderen Zugängen übereinstimmt. Wir wollen die Addition auf den natürlichen Zahlen definieren, und zwar allein unter Bezug auf das Nachfolgernehmen, das das Zählen charakterisiert. Das Nachfolgernehmen ist ein Prozess, den man iterieren kann. Sowohl der Startwert des Nachfolgernehmens als auch die Anzahl, wie oft ein Nachfolger genommen werden soll, wird durch natürliche Zahlen beschrieben. Die {{math|term= k |SZ=-}}fache Durchführung eines Prozesses bedeutet, dass er so oft durchgeführt wird, wie es die Menge {{mathl|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} vorgibt. {{ inputbild |Additionnachfolger6|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Definition||ref1= }} Die Operation heißt die {{Stichwort|Addition|SZ=}} und die beteiligten Zahlen nennt man die {{Stichwort|Summanden|msw=Summand|SZ=.}} Nach dieser Definition wird also ausgehend von {{math|term= n |SZ=}} der Nachfolgerprozess {{math|term= k |SZ=-}}fach durchgeführt {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term= n+k |SZ=}} ist also {{math|term= k |SZ=}} mehr als {{math|term= n |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Relationskette | k || 0 || || || |SZ= }} ist dies als der nullte Nachfolger, also als {{math|term= n |SZ=}} selbst, zu verstehen. Bei {{ Relationskette | k || 1 || || || |SZ= }} ist dies der erste Nachfolger, {{mathl|term= n+1 |SZ=}} ist also die erste Zahl {{math|term= n^\prime|SZ=}} nach {{math|term= n |SZ=.}} Die Summe {{mathl|term= n+k|SZ=}} ist also {{mathl|term= n^{\prime \prime \ldots \prime} |SZ=}} mit {{math|term= k |SZ=}} Nachfolgerstrichen. Wenn umgekehrt {{ Relationskette/display | n || 0 || || || |SZ= }} ist, so ist der {{math|term= k |SZ=-}}te Nachfolger der {{math|term= 0 |SZ=}} gleich {{math|term= k |SZ=.}} Man beachte, dass hier die Addition in einer Weise definiert wird, in der die Kommutativität keineswegs offensichtlich ist, das wird sich aber gleich ergeben. {{ inputbild |Addition Table|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Addition_Table |Text=Das {{Stichwort|kleine Einsundeins|msw=Kleines Einsundeins|SZ=.}} Das Umlegungsprinzip schlägt sich in der Additionstabelle darin nieder, dass in den Linksunten nach Rechtsoben-Diagonalen konstante Werte stehen. |Autor= |Benutzer=Indolences |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Hilfseigenschaften/Fakt|Lemma|| }} Für einige alternative Begründungen siehe die Aufgaben. Teil (2) kann man auch so verstehen, dass man eine Summe {{mathl|term= n+k|SZ=}} dadurch berechnen kann, dass man sukzessive den ersten Summanden um eins erhöht {{ Zusatz/Klammer |text=also den Nachfolger nimmt| |ESZ= }} und den zweiten um eins vermindert {{ Zusatz/Klammer |text=also den Vorgänger nimmt| |ESZ=, }} falls {{ Relationskette |k |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist. Dies macht man so lange, bis der zweite Summand {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Der dabei entstandene neue erste Summand ist die Summe. Statt Umlegungsregel sagt man auch {{Stichwort|Umlegungsprinzip|SZ=}} oder man spricht von einer {{Anführung|gegensinnigen Veränderung|SZ=,}} was auch oft bei Rechnungen effektiv eingesetzt wird, wenn man etwa {{ Relationskette | 19+41 || 20+40 || 60 || || |SZ= }} rechnet. Die folgende Aussage besagt, dass durch das Umlegungsprinzip die Addition bereits festgelegt ist. {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 0w63ki4v734gum6boc6m9jmeonneicm 0 83247 1117477 1102226 2026-10-23T11:38:42Z Bocardodarapti 2041 1117477 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Halbring| |Kontext=| |SZ= }} und es seien {{math/druckdisplay|term= a_1 {{kommadots|}} a_r, b_1 {{kommadots|}} b_s |SZ=}} Elemente aus {{math|term= R |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung=Dann gilt das {{Stichwort|allgemeine Distributivgesetz|msw=Allgemeines Distributivgesetz|SZ=}} {{ Relationskette/display | {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^r a_i |}} {{makl| \sum_{k {{=}} 1}^s b_k |}} || \sum_{ 1 \leq i \leq r,\, 1 \leq k \leq s } a_ib_k || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Allgemeines Distributivgesetz (kommutativer Halbring) |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c1yr14vg7ialfbqfsm3kyq8rby7hp5f 0 83254 1117449 1107456 2026-10-23T11:33:17Z Bocardodarapti 2041 1117449 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Definition|| }} {{ inputbild |Natural numbers|svg| 500px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Natural_numbers| |Text=Auf dem nach rechts verlaufenden Zahlenstrahl bedeutet {{ Relationskette/k | n | \geq | k || || || |SZ=, }} dass sich {{math|term= n |SZ=}} weiter rechts als {{math|term= k |SZ=}} befindet. Diese Interpretation gilt für alle reellen Zahlen. |Autor= |Benutzer=Junaidpv |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Statt {{ Relationskette | n | \geq | k || || || |SZ= }} schreibt man auch {{ Relationskette |k | \leq|n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=gesprochen kleinergleich| |ISZ=|ESZ=. }} Die Schreibweise {{ Relationskette | n | > | k || || || |SZ= }} bedeutet {{ Relationskette | n | \geq | k || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | n | \neq | k || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/01/Alternative/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt|Satz|| }} Wir begründen nun, dass die Ordnungsrelation mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist. {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 7cdq87ive0nugbsede07mdeogr0caoq 0 83288 1117437 1107207 2026-10-23T10:34:53Z Bocardodarapti 2041 1117437 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Georg Cantor 1894|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=Georg_Cantor |Text= [[w:Georg Cantor|Georg Cantor (1845-1918)]] ist der Schöpfer der Mengentheorie. |Autor=unbekannt |Benutzer=Geometry guy |Domäne=en wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |David Hilbert 1886|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=David_Hilbert_1886 |Text= [[w:David Hilbert|David Hilbert (1862-1943)]] nannte sie ein {{Betonung|Paradies}}, aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen. |Autor=unbekannt (1886) |Benutzer=Magnus Manske |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Eine {{Stichwort|Menge|SZ=}} ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die {{Stichwort|Elemente|msw=Element|SZ=}} der Menge heißen. Mit {{Stichwort/anf|wohlunterschieden|SZ=}} meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die {{Stichwort|Zugehörigkeit|SZ=}} eines Elementes {{math|term= x |SZ=}} zu einer Menge {{math|term= M |SZ=}} wird durch {{ Relationskette | x | \in|M || || || |SZ= }} ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch {{ Relationskette | x |\notin|M || || || |SZ=. }} Für jedes Element{{ Zusatz/Klammer |text=symbol| |ISZ=|ESZ= }} gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten. Die wichtigste mathematische Menge ist im Moment für uns die Menge der natürlichen Zahlen {{ Relationskette/display |\N || \{0, 1,2,3, \ldots\} || || || |SZ=. }} Für Mengen gilt das {{Stichwort|Extensionalitätsprinzip|SZ=,}} d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten. {{ inputdefinition |Mengenlehre/Leere Menge/Definition|| }} Eine Menge {{math|term= N |SZ=}} heißt {{Stichwort|Teilmenge|SZ=}} einer Menge {{math|term= M |SZ=,}} wenn jedes Element aus {{math|term= N |SZ=}} auch zu {{math|term= M |SZ=}} gehört. Man schreibt dafür {{ Relationskette |N | \subseteq|M || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=manche schreiben dafür {{ Relationskette/k | N | \subset| M || || || |SZ= }}| |SZ=. }} Beispielsweise ist die Menge aller durch {{math|term= 6 |SZ=}} teilbaren natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Menge aller geraden Zahlen. Bei einer Teilmengenbeziehung sagt man auch, dass eine {{Stichwort|Inklusion|SZ=}} {{ Relationskette |N | \subseteq|M || || || |SZ= }} vorliegt. Im Nachweis, dass {{ Relationskette |N | \subseteq|M || || || |SZ= }} ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element {{ Relationskette | x | \in| N || || || |SZ= }} ebenfalls die Beziehung {{ Relationskette | x | \in| M |SZ= }} gilt{{ Zusatz/Fußnote |text=In der Sprache der Quantorenlogik kann man eine Inklusion verstehen als die Aussage {{math|term= \forall x(x \in N \rightarrow x \in M) |SZ=.}}| |ESZ=. }} Dabei darf man lediglich die Eigenschaft {{ Relationskette | x | \in| N || || || |SZ= }} verwenden. Im Beispiel würde man so argumentieren: {{math|term= x |SZ=}} ist eine durch {{math|term= 6 |SZ=}} teilbare Zahl. Daher kann man {{ Relationskette/display | x || 6 y || || || |SZ= }} mit einer gewissen natürlichen Zahl {{math|term= y |SZ=}} schreiben. Dies kann man als {{ Relationskette/display | x || 6y || 2 (3y) || || || |SZ= }} schreiben, was eben bedeutet, dass {{math|term= x |SZ=}} gerade ist. Aufgrund des Extensionalitätsprinzips hat man das folgende wichtige {{Stichwort|Gleichheitsprinzip für Mengen|SZ=,}} dass {{ Math/display|term= M=N \text{ genau dann, wenn } N \subseteq M \text{ und } M \subseteq N |SZ= }} gilt. In der mathematischen Praxis bedeutet dies, dass man die Gleichheit von zwei Mengen dadurch nachweist, dass man {{ Zusatz/Klammer |text=in zwei voneinander unabhängigen Teilargumentationen| |SZ= }} die beiden Inklusionen zeigt. Dies hat auch den kognitiven Vorteil, dass das Denken eine Zielrichtung bekommt, dass die Voraussetzung, die man verwenden darf, von der gewünschten Schlussfolgerung, die man aufzeigen muss, klar getrennt wird. Hier wiederholt sich das Prinzip, dass die Äquivalenz von zwei Aussagen die wechselseitige Implikation bedeutet, und durch den Beweis der beiden einzelnen Implikationen bewiesen wird. {{Zwischenüberschrift|Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen}} Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist wohl, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. In der Abgabegruppe {{math|term= H |SZ=}} sind die Personen {{mathl|term= \{ F,Jo,Je, V, Z\} |SZ=.}} Dies sind genau die Personen, die Sonntags im Schwimmbad morgens um {{math|term= 7 |SZ=}} Uhr am Tisch unter der Ulme sitzen. Es handelt sich dann um zwei verschiedene Beschreibungen für die gleiche Menge. Die wichtigste Beschreibung einer Menge ist die durch eine Eigenschaft. Es sei eine Grundmenge {{math|term= M |SZ=}} gegeben {{ Zusatz/Klammer |text=wie die Menge der natürlichen Zahlen, die Leute im Kurs| |ISZ=|ESZ= }} und ferner eine gewisse Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Prädikat| |SZ=, }} die man auf alle Elemente der Grundmenge sinnvoll anwenden kann und die auf manche Elemente zutrifft, auf manche nicht {{ Zusatz/Klammer |text=wie gerade zu sein oder sich auf die Weihnachtsferien zu freuen| |ISZ=|ESZ=. }} Zu der Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} gehört innerhalb von {{math|term= M |SZ=}} die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus {{math|term= M |SZ=,}} die diese Eigenschaft, diese Bedingung, erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als {{ Relationskette/display | {{Mengebed| x \in M|E(x)}} || {{Mengebed| x \in M| x \text{ besitzt die Eigenschaft } E}} || {{Mengebed| x \in M| E \text{ trifft auf } x \text{ zu} }} || || |SZ=. }} Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage {{math|term= E(x) |SZ=}} eine wohldefinierte Bedeutung hat. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen {{ Zusatz/Klammer |text=in dem auf die Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} Bezug genommen werden kann, aber nicht muss| |SZ=. }} Z.B. kann man einführen {{ Relationskette/display | G || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist gerade} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | U || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist ungerade} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | Q || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist eine Quadratzahl} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {\mathbb P} || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist eine Primzahl} }} || || || |SZ=. }} Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge {{math|term= K |SZ=}} der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa {{ Relationskette/display | O || {{Mengebed| x \in K| x \text{ kommt aus Osnabrück} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | E || {{Mengebed| x \in K| x \text{ studiert im Nebenfach evangelische Theologie} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | D || {{Mengebed| x \in K| x \text{ hat im Dezember Geburtstag} }} || || || |SZ=. }} Die Menge {{math|term= K |SZ=}} ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja {{ Relationskette/display | K || {{Mengebed| x| x \text{ ist Studierender in diesem Kurs} }} || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengenoperationen}} So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man beachte, dass sich die ähnlich geformten Symbole {{mathl|term= \cap|SZ=}} und {{math|term= {{logund|}} }} und {{mathl|term= \cup|SZ=}} und {{math|term= {{logoder|}} |SZ=}} entsprechen| |ISZ=.|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition|| }} Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das {{Stichwort|Komplement|SZ=}} einer Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq| G || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Mengenlehre/Komplement/Definition||M=G }} Dafür schreibt man auch {{mathl|term= {{op:Mengenkomplement|T|}} |SZ=.}} Es gilt {{ Relationskette/display | G || G \cup (G \setminus T) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | G \cap (G \setminus T) || \emptyset || || || |SZ=. }} Beispielsweise ist das Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen. Die Eigenschaft, dass der Durchschnitt von zwei Mengen leer ist, bekommt einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Mengentheorie/Disjunkt/Definition|| }} Wenn Teilmengen durch geeignete Prädikate definiert sind, so stehen die Mengenoperationen unmittelbar in Zusammenhang mit den logischen Operationen für die Prädikate. Wenn {{ Zusatz/Klammer |text=in einer gewissen Grundmenge| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | M || {{Mengebed| x| \alpha (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | L || {{Mengebed| x| \beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ= }} vorliegt, so ist {{ Relationskette/display | M \cap L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ und } \beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | M \cup L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ oder }\beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | M \setminus L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ gilt aber }\beta (x) \text{ gilt nicht} }} || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengendiagramme}} Eine Möglichkeit, Mengen oder vielmehr die zwischen verschiedenen Mengen möglichen oder existierenden Verhältnisse zueinander abzubilden, liefern {{Stichwort|Mengendiagramme|msw=Mengendiagramm|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Venn-Diagramme|msw=Venn-Diagramm|SZ=}} | |SZ=. }} In ihnen werden Mengen durch gewisse Flächenstücke in der Ebene repräsentiert. Die Flächenstücke sollten eine möglichst einfache Form besitzen. Sie sind zumeist {{Stichwort/anf|zusammenhängend|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. je zwei Punkte des Stückes sind durch einen {{Stichwort/anf|stetigen Weg|SZ=}} miteinander verbindbar| |SZ=. }} Die Flächenstücke können sich überlappen, und der Überlappungsbereich repräsentiert die Schnittmenge. Idealerweise sind die auftretenden Überlappungsbereiche selbst wieder zusammenhängend. Die verschiedenen Flächenstücke werden häufig in unterschiedlichen Farben oder Schraffuren gezeichnet, wobei dann die Überlappungsbereiche durch die zugehörigen Farbmischungen bzw. Mischschraffuren wiedergegeben werden. Einige Beispiele für abstrakte Mengendiagramme {{ inputbild |Absolute complement|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Absolute_complement |Autor= |Benutzer=BMF81 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Set intersection|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Set_intersection |Autor= |Benutzer=Marcelo Reis |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Diagrama1|gif| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Dante |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |4sets|png| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Stumps |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn Diagram ABCD|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_Diagram_ABCD |Autor= |Benutzer=Johannes Rössel |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-five|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-six|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Interiot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn6|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Kopophex |Domäne=en Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Diese Diagramme sind vollständig in dem Sinne, dass sie alle möglichen Schnitteigenschaften der beteiligten Mengen repräsentieren. In den folgenden Diagrammen wird nicht jede mögliche Schnitteigenschaft repräsentiert. {{ inputbild |Disyunción de clases2|JPG| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Disyuncion_de_clases2 |Autor= |Benutzer=Monimino |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Subset|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Petr K |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn diagram of three sets|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_diagram_of_three_sets |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4xa|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4a|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Standardsemantik klein|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Standardsemantik_klein |Autor= |Benutzer=Dhanyavaada |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Einige Beispiele für konkrete Mengen-Diagramme In diesem Fall repräsentieren die beteiligten Mengen einen bestimmten Begriff, das Schnittverhalten hängt dann von inhaltlichen Überlegungen ab. Solche Diagramme spielen in der Mathematik keine große Rolle. Wenn man allerdings z. B. verschiedene algebraische Begriffe wie Gruppe, Ring, kommutativer Ring, Divisionsbereich, Körper in ihrer Hierarchie veranschaulichen möchte, so ist ein solches Diagramm durchaus sinnvoll. {{ inputbild |Amino Acids Venn Diagram (de)|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Amino_Acids_Venn_Diagram_(de) |Autor= |Benutzer=Hoffmeier |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |British Isles Venn Diagram en|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=British_Isles_Venn_Diagram en |Autor= |Benutzer=Sony-youth |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Geistiges Eigentum und Wettbewerbsrecht|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Geistiges_Eigentum_und_Wettbewerbsrecht |Autor= |Benutzer=3247 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= |Fußnoten=x }} 8uls70j326iafl7zzyco2d546l05016 1117438 1117437 2026-10-23T10:36:42Z Bocardodarapti 2041 1117438 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Georg Cantor 1894|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=Georg_Cantor |Text= [[w:Georg Cantor|Georg Cantor (1845-1918)]] ist der Schöpfer der Mengentheorie. |Autor=unbekannt |Benutzer=Geometry guy |Domäne=en wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |David Hilbert 1886|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=David_Hilbert_1886 |Text= [[w:David Hilbert|David Hilbert (1862-1943)]] nannte sie ein {{Betonung|Paradies}}, aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen. |Autor=unbekannt (1886) |Benutzer=Magnus Manske |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Eine {{Stichwort|Menge|SZ=}} ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die {{Stichwort|Elemente|msw=Element|SZ=}} der Menge heißen. Mit {{Stichwort/anf|wohlunterschieden|SZ=}} meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die {{Stichwort|Zugehörigkeit|SZ=}} eines Elementes {{math|term= x |SZ=}} zu einer Menge {{math|term= M |SZ=}} wird durch {{ Relationskette | x | \in|M || || || |SZ= }} ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch {{ Relationskette | x |\notin|M || || || |SZ=. }} Für jedes Element{{ Zusatz/Klammer |text=symbol| |ISZ=|ESZ= }} gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten. Die wichtigste mathematische Menge ist im Moment für uns die Menge der natürlichen Zahlen {{ Relationskette/display |\N || \{0, 1,2,3, \ldots\} || || || |SZ=. }} Für Mengen gilt das {{Stichwort|Extensionalitätsprinzip|SZ=,}} d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten. {{ inputdefinition |Mengenlehre/Leere Menge/Definition|| }} Eine Menge {{math|term= N |SZ=}} heißt {{Stichwort|Teilmenge|SZ=}} einer Menge {{math|term= M |SZ=,}} wenn jedes Element aus {{math|term= N |SZ=}} auch zu {{math|term= M |SZ=}} gehört. Man schreibt dafür {{ Relationskette |N | \subseteq|M || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=manche schreiben dafür {{ Relationskette/k | N | \subset| M || || || |SZ= }}| |SZ=. }} Beispielsweise ist die Menge aller durch {{math|term= 6 |SZ=}} teilbaren natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Menge aller geraden Zahlen. Bei einer Teilmengenbeziehung sagt man auch, dass eine {{Stichwort|Inklusion|SZ=}} {{ Relationskette |N | \subseteq|M || || || |SZ= }} vorliegt. Im Nachweis, dass {{ Relationskette |N | \subseteq|M || || || |SZ= }} ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element {{ Relationskette | x | \in| N || || || |SZ= }} ebenfalls die Beziehung {{ Relationskette | x | \in| M |SZ= }} gilt{{ Zusatz/Fußnote |text=In der Sprache der Quantorenlogik kann man eine Inklusion verstehen als die Aussage {{math|term= \forall x(x \in N \rightarrow x \in M) |SZ=.}}| |ESZ=. }} Dabei darf man lediglich die Eigenschaft {{ Relationskette | x | \in| N || || || |SZ= }} verwenden. Im Beispiel würde man so argumentieren: {{math|term= x |SZ=}} ist eine durch {{math|term= 6 |SZ=}} teilbare Zahl. Daher kann man {{ Relationskette/display | x || 6 y || || || |SZ= }} mit einer gewissen natürlichen Zahl {{math|term= y |SZ=}} schreiben. Dies kann man als {{ Relationskette/display | x || 6y || 2 (3y) || || || |SZ= }} schreiben, was eben bedeutet, dass {{math|term= x |SZ=}} gerade ist. Aufgrund des Extensionalitätsprinzips hat man das folgende wichtige {{Stichwort|Gleichheitsprinzip für Mengen|SZ=,}} dass {{ Math/display|term= M=N \text{ genau dann, wenn } N \subseteq M \text{ und } M \subseteq N |SZ= }} gilt. In der mathematischen Praxis bedeutet dies, dass man die Gleichheit von zwei Mengen dadurch nachweist, dass man {{ Zusatz/Klammer |text=in zwei voneinander unabhängigen Teilargumentationen| |SZ= }} die beiden Inklusionen zeigt. Dies hat auch den kognitiven Vorteil, dass das Denken eine Zielrichtung bekommt, dass die Voraussetzung, die man verwenden darf, von der gewünschten Schlussfolgerung, die man aufzeigen muss, klar getrennt wird. Hier wiederholt sich das Prinzip, dass die Äquivalenz von zwei Aussagen die wechselseitige Implikation bedeutet, und durch den Beweis der beiden einzelnen Implikationen bewiesen wird. {{Zwischenüberschrift|Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen}} Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist wohl, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. In der Abgabegruppe {{math|term= H |SZ=}} sind die Personen {{mathl|term= \{ F,Jo,Je, V, Z\} |SZ=.}} Dies sind genau die Personen, die Sonntags im Schwimmbad morgens um {{math|term= 7 |SZ=}} Uhr am Tisch unter der Ulme sitzen. Es handelt sich dann um zwei verschiedene Beschreibungen für die gleiche Menge. Die wichtigste Beschreibung einer Menge ist die durch eine Eigenschaft. Es sei eine Grundmenge {{math|term= M |SZ=}} gegeben {{ Zusatz/Klammer |text=wie die Menge der natürlichen Zahlen, die Leute im Kurs| |ISZ=|ESZ= }} und ferner eine gewisse Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Prädikat| |SZ=, }} die man auf alle Elemente der Grundmenge sinnvoll anwenden kann und die auf manche Elemente zutrifft, auf manche nicht {{ Zusatz/Klammer |text=wie gerade zu sein oder sich auf die Weihnachtsferien zu freuen| |ISZ=|ESZ=. }} Zu der Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} gehört innerhalb von {{math|term= M |SZ=}} die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus {{math|term= M |SZ=,}} die diese Eigenschaft, diese Bedingung, erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als {{ Relationskette/display/druckalign | {{Mengebed| x \in M | E(x)}} || {{Mengebed| x \in M | x \text{ besitzt die Eigenschaft } E }} || {{Mengebed| x \in M | E \text{ trifft auf } x \text{ zu} }} || || |SZ=. }} Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage {{math|term= E(x) |SZ=}} eine wohldefinierte Bedeutung hat. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen {{ Zusatz/Klammer |text=in dem auf die Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} Bezug genommen werden kann, aber nicht muss| |SZ=. }} Z.B. kann man einführen {{ Relationskette/display | G || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist gerade} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | U || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist ungerade} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | Q || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist eine Quadratzahl} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {\mathbb P} || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist eine Primzahl} }} || || || |SZ=. }} Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge {{math|term= K |SZ=}} der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa {{ Relationskette/display | O || {{Mengebed| x \in K| x \text{ kommt aus Osnabrück} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | E || {{Mengebed| x \in K| x \text{ studiert im Nebenfach evangelische Theologie} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | D || {{Mengebed| x \in K| x \text{ hat im Dezember Geburtstag} }} || || || |SZ=. }} Die Menge {{math|term= K |SZ=}} ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja {{ Relationskette/display | K || {{Mengebed| x| x \text{ ist Studierender in diesem Kurs} }} || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengenoperationen}} So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man beachte, dass sich die ähnlich geformten Symbole {{mathl|term= \cap|SZ=}} und {{math|term= {{logund|}} }} und {{mathl|term= \cup|SZ=}} und {{math|term= {{logoder|}} |SZ=}} entsprechen| |ISZ=.|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition|| }} Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das {{Stichwort|Komplement|SZ=}} einer Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq| G || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Mengenlehre/Komplement/Definition||M=G }} Dafür schreibt man auch {{mathl|term= {{op:Mengenkomplement|T|}} |SZ=.}} Es gilt {{ Relationskette/display | G || G \cup (G \setminus T) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | G \cap (G \setminus T) || \emptyset || || || |SZ=. }} Beispielsweise ist das Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen. Die Eigenschaft, dass der Durchschnitt von zwei Mengen leer ist, bekommt einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Mengentheorie/Disjunkt/Definition|| }} Wenn Teilmengen durch geeignete Prädikate definiert sind, so stehen die Mengenoperationen unmittelbar in Zusammenhang mit den logischen Operationen für die Prädikate. Wenn {{ Zusatz/Klammer |text=in einer gewissen Grundmenge| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | M || {{Mengebed| x| \alpha (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | L || {{Mengebed| x| \beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ= }} vorliegt, so ist {{ Relationskette/display | M \cap L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ und } \beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | M \cup L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ oder }\beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | M \setminus L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ gilt aber }\beta (x) \text{ gilt nicht} }} || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengendiagramme}} Eine Möglichkeit, Mengen oder vielmehr die zwischen verschiedenen Mengen möglichen oder existierenden Verhältnisse zueinander abzubilden, liefern {{Stichwort|Mengendiagramme|msw=Mengendiagramm|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Venn-Diagramme|msw=Venn-Diagramm|SZ=}} | |SZ=. }} In ihnen werden Mengen durch gewisse Flächenstücke in der Ebene repräsentiert. Die Flächenstücke sollten eine möglichst einfache Form besitzen. Sie sind zumeist {{Stichwort/anf|zusammenhängend|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. je zwei Punkte des Stückes sind durch einen {{Stichwort/anf|stetigen Weg|SZ=}} miteinander verbindbar| |SZ=. }} Die Flächenstücke können sich überlappen, und der Überlappungsbereich repräsentiert die Schnittmenge. Idealerweise sind die auftretenden Überlappungsbereiche selbst wieder zusammenhängend. Die verschiedenen Flächenstücke werden häufig in unterschiedlichen Farben oder Schraffuren gezeichnet, wobei dann die Überlappungsbereiche durch die zugehörigen Farbmischungen bzw. Mischschraffuren wiedergegeben werden. Einige Beispiele für abstrakte Mengendiagramme {{ inputbild |Absolute complement|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Absolute_complement |Autor= |Benutzer=BMF81 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Set intersection|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Set_intersection |Autor= |Benutzer=Marcelo Reis |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Diagrama1|gif| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Dante |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |4sets|png| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Stumps |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn Diagram ABCD|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_Diagram_ABCD |Autor= |Benutzer=Johannes Rössel |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-five|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-six|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Interiot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn6|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Kopophex |Domäne=en Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Diese Diagramme sind vollständig in dem Sinne, dass sie alle möglichen Schnitteigenschaften der beteiligten Mengen repräsentieren. In den folgenden Diagrammen wird nicht jede mögliche Schnitteigenschaft repräsentiert. {{ inputbild |Disyunción de clases2|JPG| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Disyuncion_de_clases2 |Autor= |Benutzer=Monimino |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Subset|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Petr K |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn diagram of three sets|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_diagram_of_three_sets |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4xa|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4a|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Standardsemantik klein|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Standardsemantik_klein |Autor= |Benutzer=Dhanyavaada |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Einige Beispiele für konkrete Mengen-Diagramme In diesem Fall repräsentieren die beteiligten Mengen einen bestimmten Begriff, das Schnittverhalten hängt dann von inhaltlichen Überlegungen ab. Solche Diagramme spielen in der Mathematik keine große Rolle. Wenn man allerdings z. B. verschiedene algebraische Begriffe wie Gruppe, Ring, kommutativer Ring, Divisionsbereich, Körper in ihrer Hierarchie veranschaulichen möchte, so ist ein solches Diagramm durchaus sinnvoll. {{ inputbild |Amino Acids Venn Diagram (de)|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Amino_Acids_Venn_Diagram_(de) |Autor= |Benutzer=Hoffmeier |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |British Isles Venn Diagram en|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=British_Isles_Venn_Diagram en |Autor= |Benutzer=Sony-youth |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Geistiges Eigentum und Wettbewerbsrecht|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Geistiges_Eigentum_und_Wettbewerbsrecht |Autor= |Benutzer=3247 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= |Fußnoten=x }} its33l6kplbpuxs8tgn3kcqbc09ow6q 1117439 1117438 2026-10-23T10:38:32Z Bocardodarapti 2041 1117439 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Georg Cantor 1894|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=Georg_Cantor |Text= [[w:Georg Cantor|Georg Cantor (1845-1918)]] ist der Schöpfer der Mengentheorie. |Autor=unbekannt |Benutzer=Geometry guy |Domäne=en wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |David Hilbert 1886|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=David_Hilbert_1886 |Text= [[w:David Hilbert|David Hilbert (1862-1943)]] nannte sie ein {{Betonung|Paradies}}, aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen. |Autor=unbekannt (1886) |Benutzer=Magnus Manske |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Eine {{Stichwort|Menge|SZ=}} ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die {{Stichwort|Elemente|msw=Element|SZ=}} der Menge heißen. Mit {{Stichwort/anf|wohlunterschieden|SZ=}} meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die {{Stichwort|Zugehörigkeit|SZ=}} eines Elementes {{math|term= x |SZ=}} zu einer Menge {{math|term= M |SZ=}} wird durch {{ Relationskette | x | \in|M || || || |SZ= }} ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch {{ Relationskette | x |\notin|M || || || |SZ=. }} Für jedes Element{{ Zusatz/Klammer |text=symbol| |ISZ=|ESZ= }} gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten. Die wichtigste mathematische Menge ist im Moment für uns die Menge der natürlichen Zahlen {{ Relationskette/display |\N || \{0, 1,2,3, \ldots\} || || || |SZ=. }} Für Mengen gilt das {{Stichwort|Extensionalitätsprinzip|SZ=,}} d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten. {{ inputdefinition |Mengenlehre/Leere Menge/Definition|| }} Eine Menge {{math|term= N |SZ=}} heißt {{Stichwort|Teilmenge|SZ=}} einer Menge {{math|term= M |SZ=,}} wenn jedes Element aus {{math|term= N |SZ=}} auch zu {{math|term= M |SZ=}} gehört. Man schreibt dafür {{ Relationskette |N | \subseteq|M || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=manche schreiben dafür {{ Relationskette/k | N | \subset| M || || || |SZ= }}| |SZ=. }} Beispielsweise ist die Menge aller durch {{math|term= 6 |SZ=}} teilbaren natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Menge aller geraden Zahlen. Bei einer Teilmengenbeziehung sagt man auch, dass eine {{Stichwort|Inklusion|SZ=}} {{ Relationskette |N | \subseteq|M || || || |SZ= }} vorliegt. 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Aufgrund des Extensionalitätsprinzips hat man das folgende wichtige {{Stichwort|Gleichheitsprinzip für Mengen|SZ=,}} dass {{ Math/display|term= M=N \text{ genau dann, wenn } N \subseteq M \text{ und } M \subseteq N |SZ= }} gilt. In der mathematischen Praxis bedeutet dies, dass man die Gleichheit von zwei Mengen dadurch nachweist, dass man {{ Zusatz/Klammer |text=in zwei voneinander unabhängigen Teilargumentationen| |SZ= }} die beiden Inklusionen zeigt. Dies hat auch den kognitiven Vorteil, dass das Denken eine Zielrichtung bekommt, dass die Voraussetzung, die man verwenden darf, von der gewünschten Schlussfolgerung, die man aufzeigen muss, klar getrennt wird. Hier wiederholt sich das Prinzip, dass die Äquivalenz von zwei Aussagen die wechselseitige Implikation bedeutet, und durch den Beweis der beiden einzelnen Implikationen bewiesen wird. {{Zwischenüberschrift|Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen}} Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist wohl, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. In der Abgabegruppe {{math|term= H |SZ=}} sind die Personen {{mathl|term= \{ F,Jo,Je, V, Z\} |SZ=.}} Dies sind genau die Personen, die Sonntags im Schwimmbad morgens um {{math|term= 7 |SZ=}} Uhr am Tisch unter der Ulme sitzen. Es handelt sich dann um zwei verschiedene Beschreibungen für die gleiche Menge. Die wichtigste Beschreibung einer Menge ist die durch eine Eigenschaft. Es sei eine Grundmenge {{math|term= M |SZ=}} gegeben {{ Zusatz/Klammer |text=wie die Menge der natürlichen Zahlen, die Leute im Kurs| |ISZ=|ESZ= }} und ferner eine gewisse Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Prädikat| |SZ=, }} die man auf alle Elemente der Grundmenge sinnvoll anwenden kann und die auf manche Elemente zutrifft, auf manche nicht {{ Zusatz/Klammer |text=wie gerade zu sein oder sich auf die Weihnachtsferien zu freuen| |ISZ=|ESZ=. }} Zu der Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} gehört innerhalb von {{math|term= M |SZ=}} die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus {{math|term= M |SZ=,}} die diese Eigenschaft, diese Bedingung, erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als {{ Relationskette/display/druckalign | {{Mengebed| x \in M | E(x)}} || {{Mengebed| x \in M | x \text{ besitzt die Eigenschaft } E }} || {{Mengebed| x \in M | E \text{ trifft auf } x \text{ zu} }} || || |SZ=. }} Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage {{math|term= E(x) |SZ=}} eine wohldefinierte Bedeutung hat. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen {{ Zusatz/Klammer |text=in dem auf die Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} Bezug genommen werden kann, aber nicht muss| |SZ=. }} Z.B. kann man einführen {{ Relationskette/display | G || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist gerade} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | U || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist ungerade} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | Q || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist eine Quadratzahl} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {\mathbb P} || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist eine Primzahl} }} || || || |SZ=. }} Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge {{math|term= K |SZ=}} der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa {{ Relationskette/display | O || {{Mengebed| x \in K| x \text{ kommt aus Osnabrück} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | E || {{Mengebed| x \in K| x \text{ studiert im Nebenfach evangelische Theologie} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | D || {{Mengebed| x \in K| x \text{ hat im Dezember Geburtstag} }} || || || |SZ=. }} Die Menge {{math|term= K |SZ=}} ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja {{ Relationskette/display | K || {{Mengebed| x| x \text{ ist Studierender in diesem Kurs} }} || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengenoperationen}} So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man beachte, dass sich die ähnlich geformten Symbole {{mathl|term= \cap|SZ=}} und {{math|term= {{logund|}} }} und {{mathl|term= \cup|SZ=}} und {{math|term= {{logoder|}} |SZ=}} entsprechen| |ISZ=.|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition|| }} Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das {{Stichwort|Komplement|SZ=}} einer Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq| G || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Mengenlehre/Komplement/Definition||M=G }} Dafür schreibt man auch {{mathl|term= {{op:Mengenkomplement|T|}} |SZ=.}} Es gilt {{ Relationskette/display | G || G \cup (G \setminus T) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | G \cap (G \setminus T) || \emptyset || || || |SZ=. }} Beispielsweise ist das Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen. Die Eigenschaft, dass der Durchschnitt von zwei Mengen leer ist, bekommt einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Mengentheorie/Disjunkt/Definition|| }} Wenn Teilmengen durch geeignete Prädikate definiert sind, so stehen die Mengenoperationen unmittelbar in Zusammenhang mit den logischen Operationen für die Prädikate. Wenn {{ Zusatz/Klammer |text=in einer gewissen Grundmenge| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | M || {{Mengebed| x| \alpha (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | L || {{Mengebed| x| \beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ= }} vorliegt, so ist {{ Relationskette/display | M \cap L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ und } \beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | M \cup L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ oder }\beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | M \setminus L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ gilt aber }\beta (x) \text{ gilt nicht} }} || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengendiagramme}} Eine Möglichkeit, Mengen oder vielmehr die zwischen verschiedenen Mengen möglichen oder existierenden Verhältnisse zueinander abzubilden, liefern {{Stichwort|Mengendiagramme|msw=Mengendiagramm|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Venn-Diagramme|msw=Venn-Diagramm|SZ=}} | |SZ=. }} In ihnen werden Mengen durch gewisse Flächenstücke in der Ebene repräsentiert. Die Flächenstücke sollten eine möglichst einfache Form besitzen. Sie sind zumeist {{Stichwort/anf|zusammenhängend|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. je zwei Punkte des Stückes sind durch einen {{Stichwort/anf|stetigen Weg|SZ=}} miteinander verbindbar| |SZ=. }} Die Flächenstücke können sich überlappen, und der Überlappungsbereich repräsentiert die Schnittmenge. Idealerweise sind die auftretenden Überlappungsbereiche selbst wieder zusammenhängend. Die verschiedenen Flächenstücke werden häufig in unterschiedlichen Farben oder Schraffuren gezeichnet, wobei dann die Überlappungsbereiche durch die zugehörigen Farbmischungen bzw. Mischschraffuren wiedergegeben werden. Einige Beispiele für abstrakte Mengendiagramme {{ inputbild |Absolute complement|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Absolute_complement |Autor= |Benutzer=BMF81 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Set intersection|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Set_intersection |Autor= |Benutzer=Marcelo Reis |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Diagrama1|gif| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Dante |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |4sets|png| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Stumps |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn Diagram ABCD|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_Diagram_ABCD |Autor= |Benutzer=Johannes Rössel |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-five|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-six|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Interiot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn6|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Kopophex |Domäne=en Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Diese Diagramme sind vollständig in dem Sinne, dass sie alle möglichen Schnitteigenschaften der beteiligten Mengen repräsentieren. In den folgenden Diagrammen wird nicht jede mögliche Schnitteigenschaft repräsentiert. {{ inputbild |Disyunción de clases2|JPG| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Disyuncion_de_clases2 |Autor= |Benutzer=Monimino |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Subset|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Petr K |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn diagram of three sets|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_diagram_of_three_sets |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4xa|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4a|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Standardsemantik klein|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Standardsemantik_klein |Autor= |Benutzer=Dhanyavaada |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Einige Beispiele für konkrete Mengen-Diagramme In diesem Fall repräsentieren die beteiligten Mengen einen bestimmten Begriff, das Schnittverhalten hängt dann von inhaltlichen Überlegungen ab. Solche Diagramme spielen in der Mathematik keine große Rolle. Wenn man allerdings z. B. verschiedene algebraische Begriffe wie Gruppe, Ring, kommutativer Ring, Divisionsbereich, Körper in ihrer Hierarchie veranschaulichen möchte, so ist ein solches Diagramm durchaus sinnvoll. {{ inputbild |Amino Acids Venn Diagram (de)|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Amino_Acids_Venn_Diagram_(de) |Autor= |Benutzer=Hoffmeier |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |British Isles Venn Diagram en|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=British_Isles_Venn_Diagram_en |Autor= |Benutzer=Sony-youth |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Geistiges Eigentum und Wettbewerbsrecht|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Geistiges_Eigentum_und_Wettbewerbsrecht |Autor= |Benutzer=3247 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= |Fußnoten=x }} qd5fl647mf4aesl0oblzm7mskkr79b6 0 83289 1117448 1103193 2026-10-23T11:26:06Z Bocardodarapti 2041 1117448 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{bildskip}} {{ inputbild |Commutative Addition|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Commutative_Addition| |Text=Das Vereinigungsprinzip und die Kommutativität der Addition |Autor= |Benutzer=Weston.pace~commonswiki |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} Die Standardinterpretation der und wichtigste Motivation für die Addition zweier natürlicher Zahlen ist, dass sie die Anzahl der Vereinigung von zwei disjunkten endlichen Mengen angibt. Wenn man zwei Körbe von Äpfeln hat und diese zusammenschüttet, so ist die Gesamtanzahl gerade die Summe der beiden Einzelanzahlen. Es ist möglich, die Addition von natürlichen Zahlen darüber zu definieren. Vorteile sind die unmittelbare Anschauung, Nachteile, dass man eine Zahl durch eine endliche Menge repräsentieren muss, und nicht klar ist, welche man nehmen soll und es nicht selbstverständlich ist, dass unterschiedliche gleichgroße disjunkte Mengen nach Vereinigung gleichgroß sind {{ Zusatz/Klammer |text=was heißt das| |ISZ=?|ESZ=. }} Der Vorteil bei unserer Definition ist, dass man die Addition auf einen elementareren Prozess, nämlich den Prozess des Zählens bzw. Nachfolgernehmens zurückführt. Dies erlaubt es, Gesetzmäßigkeiten zu beweisen, indem sie per Induktion auf elementare Schritte zurückgeführt werden. Beide Konzepte sind wichtig, und natürlich will man, unabhängig davon, wie man die Addition nun eingeführt hat, schnell wissen, dass die beiden Konzepte übereinstimmen. Dazu ist es hilfreich, im Vereinigungskonzept auch Einzelschritte zu erkennen. Dies ist wieder das Umlegungsprinzip: Die Vereinigung kann man sich so vorstellen, dass schrittweise ein Element {{ Zusatz/Klammer |text=ein Apfel| |ISZ=|ESZ= }} der zweiten Menge in die erste Menge umgelegt wird, siehe auch {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Disjunkte Mengen/Umlegung/Bijektion/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Endliche Menge/Eins dazu/Anzahl/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Bei einem solchen Einzelschritt erhöht sich die erste Anzahl um eins {{ Zusatz/Klammer |text=Nachfolger| |ISZ=|ESZ= }} und die zweite Anzahl verringert sich um eins {{ Zusatz/Klammer |text=Vorgänger| |ISZ=|ESZ=. }} Das deckt sich mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Hilfseigenschaften/Fakt |Nr=2 |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4i6r8ctn7nh8v8ysdr8lvyg2ama9xac 0 83693 1117441 1109753 2026-10-23T10:45:54Z Bocardodarapti 2041 1117441 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Mustafa Heinz Sandkasten|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Mustafa_Heinz_Sandkasten |Text=Heinz Ngolo und Mustafa Müller im Sandkasten. |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Die beiden Freunde Mustafa Müller und Heinz Ngolo sitzen im Sandkasten und wollen wissen, wer von ihnen mehr Buddelsachen dabei hat. Sie sind noch klein und können noch nicht zählen. Sie lösen das Problem, indem beide gleichzeitig je eine Sache aus ihrem Besitz aus dem Sandkasten hinauswerfen, und dies so lange wiederholen, bis ein Kind keine Sachen mehr im Sandkasten hat. Wenn das andere Kind noch Sachen übrig hat, so hat dieses insgesamt mehr Buddelsachen, andernfalls haben sie gleich viel. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Mächtigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Personenkategorie2=Heinz Ngolo |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hhw50v9pbq91tx9tp0dk47qqnhty54t 106 97659 1117396 674882 2026-10-22T14:18:01Z Xqt 9278 /* Termine und Themen */ Periode, nicht Dauer 1117396 wikitext text/x-wiki [[File:Hamburg-university-2005-05.png|thumb|Hauptgebäude der Universität Hamburg]]Das Seminar '''Wissenschaftskommunikation. Theorie und Praxis''' fand im Sommersemester 2018 an der [[w:Universität Hamburg|Universität Hamburg]] statt. Es wurde geleitet von [[Benutzer:Andreas Möllenkamp|Andreas Möllenkamp]] und war ein Angebot im Wahlbereich Kultur, der von Studierenden am Fachbereich Kulturwissenschaften besucht werden kann. Zu den Studiengängen und Fächern am Fachbereich Kulturwissenschaften gehören die [[w:Archäologie|Archäologie]], [[w:Ethnologie|Ethnologie]], [[w:Kunstgeschichte|Kunstgeschichte]], [[w:Musikwissenschaft|Musikwissenschaft]] und [[w:Volkskunde|Volkskunde]]/[[w:Kulturanthropologie|Kulturanthropologie]]. == Kurzbeschreibung == Das Seminar dient der Analyse, Reflektion und praktischen Übung unterschiedlicher Kommunikationsformen in, über und aus der Wissenschaft. Das Schreiben und Gestalten wissenschaftsinterner Kommunikationsformen wie Abstracts, Rezensionen und Poster wird dabei ebenso geübt wie Formen, die Wissenschaft in andere gesellschaftliche Felder und an eine breitere Öffentlichkeit kommunizieren (Blogs, soziale Medien, Pressemitteilungen, Online-Videos). Die Studierenden setzen sich im Seminar mit der Geschichte und Funktion von Wissenschaftskommunikation sowie aktuellen Entwicklungen wie [[w:Open Science|Open Science]] und [[w:Citizen Science|Citizen Science]] auseinander. Das Seminar ermöglicht den Erwerb und die Vertiefung von Medienkompetenzen im Bereich digitaler Mediengestaltung, Wissenschaftsjournalismus sowie der Presse- und Öffentlichkeitsarbeit. Es besteht die Möglichkeit, selbstgewählte Themen und Projekte im Rahmen des Seminars nach Rücksprache mit dem Seminarleiter zu bearbeiten. == Termine und Themen == Das Seminar findet 14-täglich statt. Jede Sitzung umfasst 4 Unterrichtseinheiten (4x45 Minuten). '''16.04.2018''' Vorstellung, Seminarplanung, Einführung: Geschichte und Funktionen der Wissenschaftskommunikation<br> '''30.04.2018''' Wissenschaftsinterne Kommunikation<br> '''07.05.2018''' Wissenschaftsvermittlung: Formate der Wissenschaftskommunikation<br> '''28.05.2018''' Digitalisierung und Open Science: Offenheit und Kollaboration<br> '''11.06.2018''' Wissensvermittlung über Poster und Ausstellungen: Zur Visualisierung wissenschaftlichen Wissens<br> '''25.06.2018''' Vorträge und Podiumsdiskussionen: Sprechen und Moderieren<br> '''09.07.2018''' Abschlusssitzung<br> == Teilnehmerinnen und Teilnehmer (Angabe nicht verpflichtend) == * [[Benutzer:Maire91|Maire91]] * [[Benutzer:Drwiki95|Drwiki95]] * [[Benutzer:RagnaQuellmann|RagnaQuellmann]] * [[Benutzer:Rosa629|Rosa629]] * [[Benutzer:LasseBohnsack|LasseBohnsack]] * [[Benutzer:Tanjamn|Tanjamn]] == Rezension == Im Rahmen des Seminars wird [[Kurs:Wissenschaftskommunikation (SoSe 2018)/Rezension|hier an einer gemeinsamen Rezension]] gearbeitet. == Ansprechpartner == [[Benutzer:Andreas Möllenkamp|Andreas Möllenkamp]] == Links == * [https://www.stine.uni-hamburg.de/scripts/mgrqispi.dll?APPNAME=CampusNet&PRGNAME=COURSEDETAILS&ARGUMENTS=-N000000000000001,-N000570,-N0,-N367326204023464,-N367326204015465,-N0,-N0,-N0 Vorlesungsverzeichnis] [[Kategorie:Universität Hamburg]] [[Kategorie:Fachbereich Kulturwissenschaften]] [[Kategorie:Wissenschaftskommunikation]] ddfnjdh698qcjyiypsrsbo7ixyudkyl 0 102132 1117447 1100649 2026-10-23T11:25:21Z Bocardodarapti 2041 1117447 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Natural numbers|svg| 500px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Natural_numbers| |Text= |Autor= |Benutzer=Junaidpv |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Das Zählen von natürlichen Zahlen kann man auch auf dem Zahlenstrahl realisieren, indem man ausgehend von einem Startpunkt schrittweise um eine Strecke einer fixierten Länge {{ Zusatz/Klammer |text=Einheitsstrecke| |ISZ=|ESZ= }} nach rechts hüpft{{{zusatz1|.}}} Die Addition {{mathl|term= n+k |SZ=}} bedeutet in diesem Modell, dass man vom Punkt {{math|term= n |SZ=}} ausgehend {{math|term= k |SZ=-}}mal nach rechts hüpft. Das Umlegeprinzip bedeutet in diesem Kontext, dass man von dem einen Punkt aus nach rechts und vom anderen Punkt aus simultan nach links hüpft, bis der letztere Punkt im Nullpunkt landet. Die Addition bedeutet hier einfach, dass man die beiden gegebenen Punkte mit ihren Pfeilen {{ Zusatz/Klammer |text=Vektoren| |ISZ=|ESZ= }} vom Nullpunkt aus identifiziert und dann diese Pfeile hintereinanderlegt. Dieses Modell hat den Vorteil, dass in ihm auch die Addition von rationalen Zahlen oder reellen Zahlen in gleicher Weise beschrieben werden kann. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n14cx94z4uktylgci4ftljd92vr2rab 0 106478 1117412 1107900 2026-10-23T07:59:06Z Bocardodarapti 2041 1117412 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Whitney unbrella|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Whitney_unbrella |Autor=Claudio Rocchini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung {{ Relationskette/display | X^2 Z || Y^2 || || || |SZ= }} gegeben ist, also {{ Relationskette |V || V {{makl| X^2Z-Y^2 |}} | \subseteq | {{op:Affiner Raum| 3 |K}} || || |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |affinen Koordinatenring| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | R || K[X,Y,Z]/ {{makl| X^2Z-Y^2 |}} || || || |SZ=. }} Diese Fläche heißt {{Stichwort|Whitney-Regenschirm|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} zur Funktion {{mathl|term= X^2Z-Y^2 |SZ=}} ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| 2XZ | -2Y | X^2}} |SZ=. }} Die Gerade {{ Relationskette/display | V(X,Y) || {{Mengebed| (0,0,z) |z \in K }} || || || |SZ= }} liegt auf {{math|term= V |SZ=}} und genau dort ist die Jacobi-Matrix die Nullmatrix. Der singuläre Ort ist also eine eindimensionale Untervarietät. Im {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= Q(R) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das Polynom ist irreduzibel| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Relationskette/display | Z || {{makl| {{op:Bruch| Y | X}} |}}^2 || || || |SZ= }} und der Quotientenkörper ist isomorph zum {{ Definitionslink |rationalen Funktionenkörper| |Kontext=n| |SZ= }} {{mathl|term= K(X,Y) |SZ=.}} Das Element {{mathl|term= Y/X |SZ=}} aus dem Quotientenkörper hat also die kuriose Eigenschaft, dass sein Quadrat, nämlich {{math|term= Z |SZ=,}} zu {{math|term= R |SZ=}} gehört, das Element selbst aber nicht. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | K^2 | V | (x,u) | {{op:Zeilenvektor| x | ux | u^2 }} |SZ=, }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=wohldefiniert und bei {{math|term= K |SZ=}} {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossen| |Kontext=| |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} surjektiv, die Punkte {{ mathkor|term1= (0,u) |und|term2= (0,-u) |SZ= }} werden beide auf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| 0 | 0 | u^2|}} |SZ=}} abgebildet und für {{ Relationskette | x | \neq | 0 || || || |SZ= }} liegt eine Bijektion vor, da sich dann {{math|term= u |SZ=}} aus {{math|term= ux |SZ=}} rekonstruieren lässt. Das bedeutet, dass {{math|term= V |SZ=}} aus der affinen Ebene entsteht, indem man auf einer Geraden durch den Nullpunkt gegenüberliegende Punkte miteinander identifiziert. Das Bild dieser Geraden ist die singuläre Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=im reellen Bild eine Halbgerade| |ISZ=|ESZ=. }} Die Gesamtabbildung heißt Normalisierung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Whitney-Regenschirm |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2xibl5ezxij0sax057gvskhv6ldvhvf 106 110456 1117416 1051892 2026-10-23T09:14:05Z Michaelkempe 11163 /* Termine WS2026/27 */ 1117416 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Betriebswirtschaftslehre}} <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lerngruppe'''</div> Der Kurs richtet sich vornehmlich an die Teilnehmer der Veranstaltungen '''Digital Marketing 2''', welche an der '''Universität Hildesheim''' stattfindet. Diskussionsbeiträge von interessierten Außenstehenden sind ebenfalls erwünscht. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Betreuer'''</div> <div style="text-align:center">[[Benutzer:Michaelkempe|Prof. Dr. Michael Kempe]]</div> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Ziele'''<ref>in Anlehnung an Tacke, O. (2011a): [[Kurs:Teams_SoSe10|Gemeinsam einsam oder wie? (Teams)]]</ref></div> Ein Themengebiet zum Digital Marketing vertieft kennenlernen und Schwerpunkte praktisch erproben (Sachkompetenz) Grundlagen des selbstständigen wissenschaftlichen Arbeitens und des Präsentierens beherrschen (Methodenkompetenz) Das Arbeiten im Team und die Diskussion in der Gruppe erfahren (Sozialkompetenz) optional: Wikis als brauchbares Werkzeug zur gemeinsamen Konstruktion von Wissen erkennen (Mediennutzungskompetenz) <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Methoden'''</div> '''Online:''' Erstellung einer Projekt-/Seminararbeit klassisch oder hier im Wiki '''In der Blockveranstaltung:''' Präsentation und Diskussion des Projektthemas Bearbeitung von Übungsaufgaben mit anschl. Kurzpräsentationen <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Links'''</div> [http://www.uni-hildesheim.de/index.php?id=bwl Universität Hildesheim] </div> ==Ziele und Idee des Kurses== Als Ergänzung zur Vorlesung Digital Marketing sollen die Kursteilnehmer/innen ... * ... ausgewählte [[#Projekt-/Seminarthemen | Themen zum Digital Marketing]] vertiefen, indem diese in Gruppen ausgearbeitet werden; * ... durch Übungsaufgaben inhaltliche Schwerpunkte praktisch erproben; * ... durch Vorträge, Kurzpräsentationen und Diskussionen methodische und soziale Kompetenzen erwerben und * ... an einem offenen und kritischen Wissensaustausch teilnehmen. Ein optionaler Bestandteil des Kurses ist die Ausarbeitung eines Themas/Projekts im Form eines '''Wikis'''. Welche '''Chancen''' bietet dieses Vorgehen v.a. gegenüber klassischen Seminaren?<ref>vgl. Tacke, O. (2011b): [[Benutzer:O.tacke/web_2_0_in_der_bwl/block3 | Öffentliche Seminare in Wikis]]</ref> [[Kurs:E-Marketing_2/Weiterlesen | weiterlesen]] ==Projekt-/Seminarthemen== Auswahl von Projekt-/Seminarthemen z.B. aus den folgenden Bereichen: * Digitales Konsumentenverhalten * Digitale Marktforschung * Social Media Marketing * Suchmaschinenmarketing * Mobile Marketing * Online-Werbung * Online-Handel/E-Commerce [[/ThemenWS2425 | Zu den '''aktuellen Themen''' mit weiteren Details]] [http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:E-Marketing_2/Themenseite Die alten Beiträge vorheriger Semester finden Sie hier.] Haben Sie eine Idee für ein Thema? Gerne nehme ich auch Ihre '''Vorschläge''' auf! ==Ablauf und Leistungsnachweise== Für einen positiven Abschluss werden folgende Punkte berücksichtigt: ====Überblick==== {| class="prettytable" |- ! style="text-align:left" | '''Leistung''' ! '''Basis''' ! '''Max. Punkte''' |- style="vertical-align:top; background-color:#fedbca" | [[#Anwesenheit | Anwesenheit (siehe unten)]] | Einzelner | |- style="vertical-align:top; background-color:#fedbca" | colspan="3" | [[#Präsentation | Präsentation]] (70% v. 100 P.) bestehend aus ... |- style="vertical-align:top" | Präsentationsfolien | Einzeln/Gruppe | 40 |- style="vertical-align:top" | Vortrag | Einzelner | 30 |- style="vertical-align:top; background-color:#fedbca" | colspan="3" | [[#Mitarbeit|Mitarbeit]] (30%) bestehend aus ... |- style="vertical-align:top" | 3 Übungsaufgaben | Gruppe | 3 x 8 = 24 |- style="vertical-align:top" | eine Kurzpräsentation | Gruppe | 6 |- style="vertical-align:top" ! style="text-align:left" | Gesamtpunkte ! ! 100 |} ====Anwesenheit==== Prinzipiell gilt Anwesenheitspflicht (Blockveranstaltung!) um von den Diskussionsbeiträgen und Präsentationen aller Teilnehmer profitieren zu können. Anwesenheit (wird überprüft) in der ersten Kursstunde sowie zu mindestens 50% bei den anderen Terminen ist Voraussetzung für einen positiven Abschluss. Eine mehr als 50%ige Abwesenheit bedeutet eine negative Gesamtbeurteilung. Die Anwesenheit während des eigenen Vortrags ist in jedem Fall zu gewährleisten. ====Präsentation==== 70% der Gesamtbeurteilung: Ein eigenständig zu behandelndes [[#Projekt-/Seminarthemen|Thema]] soll in Form einer Präsentation mit Hilfe von Fachliteratur und Online-Quellen ausgearbeitet und die zentralen Ergebnisse in der Veranstaltung präsentiert werden. Projektpunkte gibt es für die Erstellung der Präsentationsfolien (max. 30 Seiten, 40 P., in Abhängigkeit der Gesamtteilnehmerzahl auch in Teams bis max. 3 Personen möglich) und den Vortrag (ca. 20 min., 30 P.). Neben der inhaltlichen Aufbereitung fließen auch Form und Rhetorik in die Beurteilung mit ein. Die Beurteilung setzt sich aus einer individuellen Bewertung und einer Gruppenbewertung zusammen. Richtlinien zum wissenschaftlichen Arbeiten und zur Präsentation werden in der Einführungsveranstaltung (siehe [[#Termine|Termine]]) bekannt gegeben. In dieser findet auch die Gruppeneinteilung und Themenzuordnung statt, welche verbindlich sind. Bei mehreren Interessenten für ein Thema entscheidet das Los. Abgabetermin für die Präsentationen siehe [[#Termine|Termine]]. Die Festlegung der Präsentationstermine erfolgt rechtzeitig vor Beginn der Blockveranstaltung. Abgabe- und Präsentationstermin sind unbedingt einzuhalten! Verspätete Abgaben führen zu Punktabzügen. ====Mitarbeit==== 30% der Gesamtbeurteilung: Aktive Teilnahme bei Übungsaufgaben, Kurzpräsentationen und Diskussionen wird erwartet. Mitarbeitspunkte gibt es für Aufgabenabgaben (3 Stück) und eine Kurzpräsentation. Die Übungsaufgaben werden während der Blockveranstaltung bearbeitet. Alle Gruppenmitglieder erhalten dieselbe Beurteilung. ==Termine WS2026/27== [https://lsf.uni-hildesheim.de/qisserver/rds?state=verpublish&status=init&vmfile=no&publishid=124179&moduleCall=webInfo&publishConfFile=webInfo&publishSubDir=veranstaltung siehe LSF ] ==Nützliches== '''Wikibearbeitung:''' * [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Cheatsheet-de.pdf Cheatsheet für Einsteiger] * [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Hilfe Umfassende Wikipedia Hilfe] * [[Wikiversity:Bildrechte]] * [http://woerter-zaehlen.de/ Tool zum Zählen von Wörtern und Zeichen] * [http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:E-Marketing_2/Themenseite/Affiliate_Marketing Beispielausarbeitung] '''Recherche:''' * [http://scholar.google.de/ Google Scholar] * [http://www.harzing.com/pop.htm Publish or Perish] * [https://www.researchgate.net/ ResearchGate] ==Formalitäten== ===Anrechenbarkeit=== Details hierzu bitte beim Institut für BWL und Wirtschaftsinformatik erfragen. ===Voraussetzungen=== * Interesse am Digital Marketing * [[#Anwesenheit | Anwesenheit]] * Vorherige Anmeldung * Internetzugang/WLAN * ggf. Registrierung bei Wikiversity * Für die Übungen ist ein eigenes Notebook in die Veranstaltung mitzubringen * Empfehlenswert: Besuch der Vorlesung Digital Marketing ===Anmeldung=== Die '''Teilnehmerzahl''' ist auf '''30 Personen''' begrenzt. Anmeldung über das LSF/Learnweb. Bei Fragen zur Anmeldung bzw. Problemen damit wenden Sie sich bitte an sekretar@bwl.uni-hildesheim.de (Sekretariat Institut für BWL und Wirtschaftsinformatik). ==Betreuer== [[Benutzer:Michaelkempe|Prof. Dr. Michael Kempe]] ==Referenzen== <references /> [[Kategorie:Universität Wien]] dp6b00uekcpgiaicu3ojjyfl061vsgu 0 111238 1117350 1117349 2026-10-22T12:27:09Z Bert Niehaus 20843 /* Eigenschaften */ 1117350 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb C</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet. [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgabe === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> dg8di4hoxtbk6372hzijjzkgocbl1fj 1117351 1117350 2026-10-22T12:29:18Z Bert Niehaus 20843 /* Erweiterung des Zahlbereiches */ 1117351 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgabe === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> bfh1zv4rfmoyi6bf1pevm15tu8mjhdd 1117353 1117351 2026-10-22T12:31:05Z Bert Niehaus 20843 /* Eigenschaften */ 1117353 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgabe === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> e4kc2i02rdsxafzsk2bdx9glquhx8t3 1117354 1117353 2026-10-22T12:42:06Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe */ 1117354 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> o7260pqz7gy78pv1u59l2029sikj9ev 1117355 1117354 2026-10-22T12:43:07Z Bert Niehaus 20843 /* Realteil und Imaginärteil */ 1117355 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> agf5vv7b52eve0lhny4logv06z3m1t0 1117357 1117355 2026-10-22T12:45:22Z Bert Niehaus 20843 /* Seiteninformation */ 1117357 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Siehe auch == * [[Realteil]] * [[Imaginärteil]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> 3j5ftnza2q0rtfnlqt0qi0sv5hjsgrd 1117358 1117357 2026-10-22T12:45:37Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1117358 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> agf5vv7b52eve0lhny4logv06z3m1t0 1117359 1117358 2026-10-22T12:46:23Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1117359 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Realteil]] und [[Imaginärteil]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> stf6u8kjgif6qgt7kozgy5hxraw0oer 1117361 1117359 2026-10-22T12:48:25Z Bert Niehaus 20843 /* Realteil und Imaginärteil */ 1117361 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> (siehe auch Darstellung in [[komplexe Zahl#Polarkoordinaten|Polarkoordinaten für komplexe Zahlen]]) [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Realteil]] und [[Imaginärteil]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> 6j7qgpogo1bypbnuwh4cvj872i1s8jf 1117362 1117361 2026-10-22T12:49:16Z Bert Niehaus 20843 /* Polarkoordinaten */ 1117362 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> (siehe auch Darstellung in [[komplexe Zahl#Polarkoordinaten|Polarkoordinaten für komplexe Zahlen]]) [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Realteil]] und [[Imaginärteil]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> df4jy236yv1ehk5lpw6vmr52arhshza 1117363 1117362 2026-10-22T12:51:24Z Bert Niehaus 20843 /* e-Funktion und Trigonometrie */ 1117363 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> (siehe auch Darstellung in [[komplexe Zahl#Polarkoordinaten|Polarkoordinaten für komplexe Zahlen]]) [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === Exponentialfunktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi))</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). Diese Zerlegung basiert auf der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]]: :<math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi) </math> [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Realteil]] und [[Imaginärteil]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> 3hlsjphbgsjorps9cd8xoihofj4dhpk 1117364 1117363 2026-10-22T12:53:34Z Bert Niehaus 20843 /* Exponentialfunktion und Trigonometrie */ 1117364 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> (siehe auch Darstellung in [[komplexe Zahl#Polarkoordinaten|Polarkoordinaten für komplexe Zahlen]]) [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === Exponentialfunktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi))</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). Diese Zerlegung basiert auf der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]]: :<math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi) </math> Für ein beliebiges <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> \mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot\cos(y) + \mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^{x}\cdot\sin(y) </math> [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Realteil]] und [[Imaginärteil]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> sljwwps5d7rvub8ylqips69cdgbqxbf 1117365 1117364 2026-10-22T12:54:10Z Bert Niehaus 20843 /* Darstellung Polarkoordinaten */ 1117365 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> (siehe auch Darstellung in [[komplexe Zahl#Polarkoordinaten|Polarkoordinaten für komplexe Zahlen]]) [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|350px|center|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === Exponentialfunktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi))</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). Diese Zerlegung basiert auf der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]]: :<math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi) </math> Für ein beliebiges <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> \mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot\cos(y) + \mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^{x}\cdot\sin(y) </math> [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Realteil]] und [[Imaginärteil]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> f16qt1vt8987l1n7kibfysreubtz17v 1117366 1117365 2026-10-22T12:56:34Z Bert Niehaus 20843 /* Trigonometrische Form - Multiplikation */ 1117366 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> (siehe auch Darstellung in [[komplexe Zahl#Polarkoordinaten|Polarkoordinaten für komplexe Zahlen]]) [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|350px|center|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === Exponentialfunktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi))</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). Diese Zerlegung basiert auf der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]]: :<math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi) </math> Für ein beliebiges <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> \mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot\cos(y) + \mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^{x}\cdot\sin(y) </math> [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) } r \cdot s \cdot e^{i(\varphi+\psi)} </math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Realteil]] und [[Imaginärteil]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> kk9d9dj1187f3q9lxlr5pldi3h4tk4r 1117367 1117366 2026-10-22T12:57:08Z Bert Niehaus 20843 /* Trigonometrische Form - Multiplikation */ 1117367 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> (siehe auch Darstellung in [[komplexe Zahl#Polarkoordinaten|Polarkoordinaten für komplexe Zahlen]]) [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|350px|center|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === Exponentialfunktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi))</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). Diese Zerlegung basiert auf der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]]: :<math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi) </math> Für ein beliebiges <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> \mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot\cos(y) + \mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^{x}\cdot\sin(y) </math> [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) } = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi+\psi)} </math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Realteil]] und [[Imaginärteil]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> ah7qt06t3zg7e6ebqugiqb1icyrtnxo 1117368 1117367 2026-10-22T12:58:33Z Bert Niehaus 20843 /* Trigonometrische Form - Division */ 1117368 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> (siehe auch Darstellung in [[komplexe Zahl#Polarkoordinaten|Polarkoordinaten für komplexe Zahlen]]) [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|350px|center|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === Exponentialfunktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi))</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). Diese Zerlegung basiert auf der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]]: :<math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi) </math> Für ein beliebiges <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> \mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot\cos(y) + \mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^{x}\cdot\sin(y) </math> [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) } = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi+\psi)} </math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \big( \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \big) =\frac{r}{s} \cdot e^{i(\varphi-\psi)} </math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Realteil]] und [[Imaginärteil]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> jdtlxiz4ligvnwldua4em8dbymbo6v6 1117369 1117368 2026-10-22T12:59:40Z Bert Niehaus 20843 /* Verwandte Themen */ 1117369 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> (siehe auch Darstellung in [[komplexe Zahl#Polarkoordinaten|Polarkoordinaten für komplexe Zahlen]]) [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|350px|center|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === Exponentialfunktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi))</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). Diese Zerlegung basiert auf der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]]: :<math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi) </math> Für ein beliebiges <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> \mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot\cos(y) + \mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^{x}\cdot\sin(y) </math> [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) } = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi+\psi)} </math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \big( \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \big) =\frac{r}{s} \cdot e^{i(\varphi-\psi)} </math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Realteil]] und [[Imaginärteil]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> 9w14fmy0a8fgy2ax35y2pdxzidaio80 1117370 1117369 2026-10-22T12:59:57Z Bert Niehaus 20843 /* Literatur */ 1117370 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> (siehe auch Darstellung in [[komplexe Zahl#Polarkoordinaten|Polarkoordinaten für komplexe Zahlen]]) [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|350px|center|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === Exponentialfunktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi))</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). Diese Zerlegung basiert auf der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]]: :<math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi) </math> Für ein beliebiges <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> \mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot\cos(y) + \mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^{x}\cdot\sin(y) </math> [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) } = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi+\psi)} </math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \big( \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \big) =\frac{r}{s} \cdot e^{i(\varphi-\psi)} </math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Realteil]] und [[Imaginärteil]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> miakm7dpdq6akqdqpdme4wlrm56olkb 1117371 1117370 2026-10-22T13:00:13Z Bert Niehaus 20843 /* Literaturquellen */ 1117371 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> (siehe auch Darstellung in [[komplexe Zahl#Polarkoordinaten|Polarkoordinaten für komplexe Zahlen]]) [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|350px|center|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === Exponentialfunktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi))</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). Diese Zerlegung basiert auf der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]]: :<math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi) </math> Für ein beliebiges <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> \mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot\cos(y) + \mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^{x}\cdot\sin(y) </math> [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) } = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi+\psi)} </math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \big( \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \big) =\frac{r}{s} \cdot e^{i(\varphi-\psi)} </math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Realteil]] und [[Imaginärteil]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> 3n5s05ymi6akmatnmojtv10p97x5d63 1117372 1117371 2026-10-22T13:00:34Z Bert Niehaus 20843 /* Literatur */ 1117372 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> (siehe auch Darstellung in [[komplexe Zahl#Polarkoordinaten|Polarkoordinaten für komplexe Zahlen]]) [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|350px|center|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === Exponentialfunktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi))</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). Diese Zerlegung basiert auf der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]]: :<math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi) </math> Für ein beliebiges <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> \mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot\cos(y) + \mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^{x}\cdot\sin(y) </math> [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) } = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi+\psi)} </math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \big( \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \big) =\frac{r}{s} \cdot e^{i(\varphi-\psi)} </math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Realteil]] und [[Imaginärteil]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> mfsh9xnnaun3wdmnawh8gco43lzn1hu 1117373 1117372 2026-10-22T13:01:12Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1117373 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb{C}</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet (siehe [[Zahlbereichserweiterung]] und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexe Analysis]]). [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] <span id="Realteil"></span><span id="Imaginaerteil"></span> == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> (siehe auch Darstellung in [[komplexe Zahl#Polarkoordinaten|Polarkoordinaten für komplexe Zahlen]]) [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == In der Gaußschen Zahlenebene werden die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum bzw. [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert. Dabei wird die komplexe Zahl <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> in dem reellen Vektorraum <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> aufgefasst. [[Datei:2D Cartesian.svg|250px|center|Kartesische Koordinatensystem]] === Multiplikation in Gaußschen Zahlenebene === Mit der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine [[topologische Algebra]] in <math>\mathbb{R}^2</math> mit der Multiplikation: :<math> (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2\,\, , \,\, x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}^2 </math> Geometrisch ist die Multiplikation eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]] in dem [[euklidischer Vektorraum/Definition|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^2</math>. == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \mathfrak{Re}(z)</math> und <math>b = \mathfrak{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|350px|center|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === Exponentialfunktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi))</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). Diese Zerlegung basiert auf der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]]: :<math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi) </math> Für ein beliebiges <math>z=x+iy\in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> \mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x}\cdot\cos(y) + \mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^{x}\cdot\sin(y) </math> [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] <span id="Orbitdarstellung"></span> === Orbitdarstellung von algebraischen Operationen === Die folgenden Abbildung zeigt einen [[Integrationsweg]] über die man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] integriert: :<math>\gamma(t) = \underbrace{\underbrace{z_0 + r_1\cdot e^{v_1\cdot t+ t_1}}_{=z_1} + r_2\cdot e^{v_2\cdot t+ t_2}}_{=z_2} ,</math> wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Radien der Kreise sind, <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}</math> Winkelgeschwindigkeiten und * <math>s_0\in \mathbb{C}</math> der Mittelpunkte des Orbits 1. Ordnung ist (vgl. "Position der Sonne"), * <math>z_1\in \mathbb{C}</math> der Punkt der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_1</math> (vgl. "Position der Erde"), * <math>\gamma(t) = z_2\in \mathbb{C}</math> ist der Punkt, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit <math>v_2</math> und Radius <math>r_2</math> um den Mittelpunkte <math>z_1</math> des Orbits 1. Ordnung dreht (vgl. "Bewegung des Mondes um die Erde"). === Animation für die Orbitdarstellung === Die Spur des Weges <math>\gamma</math> ist in rot markiert und definiert Bahn von <math>\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene (siehe auch [[Orbitdarstellung von Polynomen]]). [[File:Orbit representation of operations in the complex numbers.gif|450px|center|Orbit representation of operations in the complex numbers - Orbit3 v2 - Geogebra GIF animation]] === Bemerkung - Orbits - Sonnensystem === In einer Lehrveranstaltung kann man den Begriff des Orbits mit mit der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegung des Mondes um die Erde motivieren. Man sollte allerdings ergänzen, dass die tatsächlichen Orbites von Himmelskörper sich nicht auf idealisierten Kreisbahnen bewegen, sondern sich die Bahnen u.a. durch Gravitation beeinflussen (siehe [[w:de:Merkur (Planet)|Merkurperihel]] und [[w:de:Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeine Relativitätstheorie]]) == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] <span id="Rechenregeln"></span> == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' <math>0</math> und <math>1</math> sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgaben - Rechenregeln === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Aufgaben - Veranschaulichung von Rechenregeln === Verwenden Sie [[Open Source]]-Version von [[Geogebra]] und wählen Sie Punkte in der Ebene, die die komplexen Zahlen veranschaulichen. Visualisieren Sie die Rechenregel dynamisch. Um mit den Realteil bzw. Imaginärteil algebraisch arbeiten zu können, verwenden Sie die Punkte <tt>x(A)</tt> ([[Realteil]]) und <tt>y(A)</tt> ([[Imaginärteil]]) algebraische Operationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. ==== Beispiel - Addition - Geogebra==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Addition: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)+x(B) , y(A)+y(B))</tt> stellt die Addition vektoriell dar. ==== Beispiel - Multiplikation ==== Verwenden Sie die folgende Punktdefinition in [[Geogebra]] für die Multiplikation: * <math>A,B\in \mathbb{R}^2</math> sind zwei beliebige verschiebbare Punkte in der Ebene. * <tt>C: (x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(B)*y(A)+y(B)*x(A))</tt> stellt die Multiplikation dar. === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) } = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi+\psi)} </math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \big( \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \big) =\frac{r}{s} \cdot e^{i(\varphi-\psi)} </math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Orbitdarstellung von Polynomen]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Quaternion]] * [[Realteil]] und [[Imaginärteil]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> m2o15datw5jzx0japu8djbi2xkfzhqc 106 111462 1117425 1114026 2026-10-23T09:40:41Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele für Folgen */ 1117425 wikitext text/x-wiki == Einführung == Als '''Folge''' oder '''Sequenz''' wird in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine Auflistung ([[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]]) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet. Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten. Das Objekt mit dem Index <math>n</math> wird <math>n</math>-tes Glied oder <math>n</math>-te Komponente der Folge genannt. Endliche wie unendliche Folgen finden sich in allen Bereichen der Mathematik. Mit unendlichen Folgen, deren Glieder reelle Zahlen sind, beschäftigt sich vor allem die [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Folgen als Abbildungen == Betrachtet man eine Indexmenge <math>I</math> und einen Grundraum <math>G</math>, aus dem die Komponenten gewählt werden, dann kann man eine Folge <math>a</math> als Abbildung verstehen, die jedem Index <math>n \in I</math> ein Element <math>a_n \in G</math> aus dem Grundraum <math>G</math> zuordnet. Folgen notiert man in der Regel <math>(a_n)_{n\in I} \in G^{I}</math> (z.B. <math>I = \mathbb{N})</math> == Beispiele für Folgen == * <math>(a_1,a_2,a_3) \in \mathbb{R}^{3}</math> als <math>n</math>-[[w:de:Tupel|Tupel]] bzw. endliche Zahlenfolgen sind dabei von Folgen <math>\mathbb{R}^{n}</math> zu unterscheiden von Folgen - Folge im <math>\mathbb{R}^{3}</math> ist dann z.B. ::<math>(x_n,y_n,z_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \big( \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\big)^{\mathbb{N}} = \big( \mathbb{R}^3\big)^{\mathbb{N}}</math> * <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} = \left( \frac{1}{n} \right)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> ist eine reelle Zahlenfolge. * <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} = \left( \frac{5+n}{n} + \frac{5+3n^2}{4n^2}i \right)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> ist eine komplexe Zahlenfolge. Im Folgenden betrachten wir unendliche Folgen mit der Indexmenge <math>I = \mathbb{N}</math> in den komplexen Zahlen. == Konvergenz von Folgen == Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer Metrik oder Längen von Vektoren mit einer Norm messen kann, kann man die Folgenkonvergenz definieren. Bei konvergenten Folgen <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen eine Grenzwert <math>a_0 \in G</math> läuft der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert gegen 0. === Notation === Für den Grenzwert <math>a_0 \in \mathbb{C}</math> einer Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> gibt es ein eigenes Symbol, man schreibt: : <math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 </math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math>. === Definition Folgenkonvergenz === Sei <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> eine komplexe Zahlenfolge und <math>a_0 \in \mathbb{C}</math>. Die Konvergenz von <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>a_0</math> wird dann wie folgt definiert: :<math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 \quad :\Longleftrightarrow \quad \forall \varepsilon>0 \; \exists n_{\varepsilon} \in\mathbb{N} \; \forall n \ge n_{\varepsilon}: \;\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>. === Notation - Schreibweise === Neben dieser Notation ist auch die Schreibweise * <math>a_n\to a_0</math> ''für'' <math>n \to \infty</math> (gelesen als ''<math>a_n\;</math> konvergiert gegen <math>a_0\in \mathbb{C}</math> für <math>n</math> gegen unendlich'') oder * kurz <math>a_n\to a_0 \in \mathbb{C}</math> bzw. <math>a_n {}_\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{n \to \infty} a_0 \in \mathbb{C} </math> üblich. === Visualisierung der Konvergenz === [[Datei:Epsilon umgebung konvergenz.gif|350px|Epsilon-Umgebung und Konvergenz]] Für alle <math>\varepsilon > 0</math> gibt es eine Indexschranke <math>n_{\varepsilon}</math>, ab der alle <math>a_n</math> mit <math>n \geq n_{\varepsilon}</math> in der <math>\varepsilon</math>-Umgebung liegen. === Semantik === Die Bedeutung der Definition kann man wie folgt versprachlichen: :<math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 :\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \; \exists n_{\varepsilon} \in\mathbb{N} \; \forall n \ge n_{\varepsilon}: \;\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>. Man kann ein beliebig kleines <math>\varepsilon >0</math> wählen und dennoch kann man zu diesem <math>\varepsilon</math> immer eine Indexschranke <math>n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}</math> finden, sodass alle Folgenglieder <math>a_n</math> mit größerem (oder gleichem) Index nicht weiter als <math>\varepsilon </math> von dem Grenzwert <math>a_0</math> entfernt sind (<math>\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>) == Reihen == Eine Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> ist eine spezielle Folgen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>, die aus einer gegebenen Folge <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> durch die Folge der Partialsummen <math>\left( \sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>s_n := \sum_{k=1}^n a_k</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> entsteht. === Konvergenz von Reihen === Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer [[Normen, Metriken, Topologie#Definition:_Metrik|Metrik]] oder Längen von Vektoren mit einer [[Normen, Metriken, Topologie#Definition:_Norm|Norm]] messen kann, kann man die Reihenkonvergenz analog zur Folgenkonvergenz definieren. Eine [[w:de:Reihe (Mathematik)|Reihe]] <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> konvergiert, wenn die zugehörige Folge der Partialsummen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}} := \left( \sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> konvergiert. === Absolute Konvergenz === Eine Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> heißt absolut konvergent, wenn die Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| </math> konvergiert, d.h., dass die Folge der Partialsummen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}} := \left( \sum_{k=1}^n |a_k| \right)_{n\in \mathbb{N}}</math> konvergiert. === Aufgabe === * Zeigen Sie, dass die komplexwertige Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{1}{k} \cdot i</math> konvergiert, aber nicht absolut konvergiert. Nutzen Sie dazu Sätze und Kenntnisse aus der reellen Analysis. * Überprüfen Sie die folgende Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} (i)^k \cdot 2^{-k+2}</math> auf Konvergenz. Berechnen Sie die ersten Folgenglieder und tragen Sie diese in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] ein. Erläutern Sie, warum die Folge der Partialsummen diese geometrische Eigenschaften besitzt. Berechnen Sie ggf. den Grenzwert der Reihe, wenn dieser existiert. === Reihe als mathematisches Objekt === Die Notation einer Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> bezeichnet algebraisch '''keine''' Folge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>, sondern im Falle einer Konvergenz eine komplexe Zahl als Grenzwert der Folge der Partialsummen <math>s_0 := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k</math>. : <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k = s_0 := \lim_{n \to \infty} s_n </math> mit <math>s_n := \sum_{k=1}^n a_k .</math> === Notation === Für den Grenzwert <math>s_0 \in \mathbb{C}</math> einer Reihe <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> mit <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> schreibt man: : <math> \sum_{n=1}^{\infty} a_n = s_0 </math> === Reihenkonvergenz === Sei <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> eine komplexe Zahlenfolge und <math>s_0 \in \mathbb{C}</math>. Die Konvergenz der Reihe bezeichnet die Konvergenz der Partialsummen <math>s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k</math> gegen <math>s_0</math>, d.h: :<math> \sum_{n=1}^{\infty} a_n = s_0 :\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \; \exists n_{\varepsilon} \in\mathbb{N} \; \forall n \ge n_{\varepsilon}: \;\left|s_n-s_0 \right| < \varepsilon .</math> Dabei gilt <math>\left|s_n-s_0 \right| = \left|\sum_{k=1}^{n} a_k - s_0 \right| < \varepsilon</math>. == Konvergenz von Reihen mit Koeffizienten aus einer Algebra == Die Betrachtung von Reihenkonvergenz ist eine Spezialfall der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Reihenkonvergenz]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] bzw. auf einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]]. === Topologischer Vektorraum === Dabei liefert der [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorraum]] <math>V</math> * eine additive Verknüpfung, um Vektoren für die Partialsummen <math> s_n := \sum_{k=1}^{n} a_n </math> berechnen und * eine [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]], um auf Konvergenz der Folge von Partialsummen <math> (s_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> untersuchen zu können. === Aufgabe - Reihenkonverenz in einem topologischen Vektorraum === Sei <math> a_n := \begin{pmatrix} 2^{-n} \\ 3^{-n} \\ 4^{-n} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 </math>. Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe <math> g:= \sum_{k=0}^\infty a_n \in \mathbb{R}^3 </math> als einführendes Beispiel mit den Werkzeugen der Analysis! Erläutern Sie die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Reihenkonvergenz in [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräume]] und dem Spezialfall <math>\mathbb{C}</math>. Übertragen Sie den Begriff der [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Konvergenz]] bzw. [[w:de:absolute Konvergenz|absoluten Konvergenz]] auf topologische Vektorräume, wenn der <math>(V,\|\cdot \|)</math> wie im Fall <math>V=\mathbb{R}^3 </math> ein normierte topologischer Vektorraum ist. === Topologische Algebra - Potenzreihen === Mit einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math> kann die Potenzreihenalgebra <math>\overline{A[t]}</math> * topologisiert werden und der topologische Abschluss der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>A[t]</math> betrachtet werden * eine [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] wird dabei über Summation der gewichteten Vektorlängen von Kooeffizienten erzeugt, um dann die Vervollständigung des Raumes betrachten zu können, * additive und multiplikative Verknüpfung liefert über das Cauchy-Produkt auch eine Multiplikation auf der Polynomalgebra <math>A[t]</math> und die Potenzreihenalgebra <math>\overline{A[t]}</math>. === Beispiel - Polynomalgebra und Konvexkombinationen === Betrachtet man [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Ordnung <math>n \in \mathbb{N}</math> in dem Vektorraum <math>\mathbb{R}^3 </math>, so stellen diese Polynome der Ordnung <math>n \in \mathbb{N}</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}^3 </math> dar. Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen [[Konvexkombination]] der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] == Literatur == * [[w:de:Nicolas Bourbaki|Bourbaki]]: ''Éléments de mathématique. Theorie des Ensembles'' II/ III, Paris 1970 * [[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Teubner Verlag, Stuttgart <references/> == Weblinks == * [http://oeis.org/?language=german Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen] * [http://www.mathematik-wissen.de/zahlenfolgen.htm Zahlenfolgen für Schüler erklärt] * [https://www.primaryresources.co.uk/maths/mathsB3.htm Folgen von numerischen und nicht-numerischen Objekten - Primary Resources] == Siehe auch == * [[w:de:Folge_(Mathematik)|Folgen in der Mathematik - Wikipedia]] * [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen bzw. komplexe Zahlenebene]] * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[topologische Algebra]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Seiten-Information == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen&author=Grundlagen&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Grundlagen Grundlagen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen&author=Grundlagen&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) Folge_(Mathematik)] https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) * Datum: 28.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?article=Folge_(Mathematik)&language=de&author=Kurs:Funktionentheorie https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Folgen und Reihen|!Folge]] <noinclude> [[en:Complex Analysis/Sequences and series]] </noinclude> jgl0r6acahvd8h5dx1b0y8e8h6p0lcb 1117426 1117425 2026-10-23T09:41:15Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele für Folgen */ 1117426 wikitext text/x-wiki == Einführung == Als '''Folge''' oder '''Sequenz''' wird in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine Auflistung ([[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]]) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet. Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten. Das Objekt mit dem Index <math>n</math> wird <math>n</math>-tes Glied oder <math>n</math>-te Komponente der Folge genannt. Endliche wie unendliche Folgen finden sich in allen Bereichen der Mathematik. Mit unendlichen Folgen, deren Glieder reelle Zahlen sind, beschäftigt sich vor allem die [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Folgen als Abbildungen == Betrachtet man eine Indexmenge <math>I</math> und einen Grundraum <math>G</math>, aus dem die Komponenten gewählt werden, dann kann man eine Folge <math>a</math> als Abbildung verstehen, die jedem Index <math>n \in I</math> ein Element <math>a_n \in G</math> aus dem Grundraum <math>G</math> zuordnet. Folgen notiert man in der Regel <math>(a_n)_{n\in I} \in G^{I}</math> (z.B. <math>I = \mathbb{N})</math> == Beispiele für Folgen == * <math>(a_1,a_2,a_3) \in \mathbb{R}^{3}</math> als <math>n</math>-[[w:de:Tupel|Tupel]] bzw. endliche Zahlenfolgen sind dabei von Folgen <math>\mathbb{R}^{n}</math> zu unterscheiden von Folgen. Eine Folge im <math>\mathbb{R}^{3}</math> wird dann z.B. wie folgt notiert: ::<math>(x_n,y_n,z_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \big( \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\big)^{\mathbb{N}} = \big( \mathbb{R}^3\big)^{\mathbb{N}}</math> * <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} = \left( \frac{1}{n} \right)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> ist eine reelle Zahlenfolge. * <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} = \left( \frac{5+n}{n} + \frac{5+3n^2}{4n^2}i \right)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> ist eine komplexe Zahlenfolge. Im Folgenden betrachten wir unendliche Folgen mit der Indexmenge <math>I = \mathbb{N}</math> in den komplexen Zahlen. == Konvergenz von Folgen == Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer Metrik oder Längen von Vektoren mit einer Norm messen kann, kann man die Folgenkonvergenz definieren. Bei konvergenten Folgen <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen eine Grenzwert <math>a_0 \in G</math> läuft der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert gegen 0. === Notation === Für den Grenzwert <math>a_0 \in \mathbb{C}</math> einer Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> gibt es ein eigenes Symbol, man schreibt: : <math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 </math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math>. === Definition Folgenkonvergenz === Sei <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> eine komplexe Zahlenfolge und <math>a_0 \in \mathbb{C}</math>. Die Konvergenz von <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>a_0</math> wird dann wie folgt definiert: :<math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 \quad :\Longleftrightarrow \quad \forall \varepsilon>0 \; \exists n_{\varepsilon} \in\mathbb{N} \; \forall n \ge n_{\varepsilon}: \;\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>. === Notation - Schreibweise === Neben dieser Notation ist auch die Schreibweise * <math>a_n\to a_0</math> ''für'' <math>n \to \infty</math> (gelesen als ''<math>a_n\;</math> konvergiert gegen <math>a_0\in \mathbb{C}</math> für <math>n</math> gegen unendlich'') oder * kurz <math>a_n\to a_0 \in \mathbb{C}</math> bzw. <math>a_n {}_\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{n \to \infty} a_0 \in \mathbb{C} </math> üblich. === Visualisierung der Konvergenz === [[Datei:Epsilon umgebung konvergenz.gif|350px|Epsilon-Umgebung und Konvergenz]] Für alle <math>\varepsilon > 0</math> gibt es eine Indexschranke <math>n_{\varepsilon}</math>, ab der alle <math>a_n</math> mit <math>n \geq n_{\varepsilon}</math> in der <math>\varepsilon</math>-Umgebung liegen. === Semantik === Die Bedeutung der Definition kann man wie folgt versprachlichen: :<math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 :\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \; \exists n_{\varepsilon} \in\mathbb{N} \; \forall n \ge n_{\varepsilon}: \;\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>. Man kann ein beliebig kleines <math>\varepsilon >0</math> wählen und dennoch kann man zu diesem <math>\varepsilon</math> immer eine Indexschranke <math>n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}</math> finden, sodass alle Folgenglieder <math>a_n</math> mit größerem (oder gleichem) Index nicht weiter als <math>\varepsilon </math> von dem Grenzwert <math>a_0</math> entfernt sind (<math>\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>) == Reihen == Eine Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> ist eine spezielle Folgen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>, die aus einer gegebenen Folge <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> durch die Folge der Partialsummen <math>\left( \sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>s_n := \sum_{k=1}^n a_k</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> entsteht. === Konvergenz von Reihen === Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer [[Normen, Metriken, Topologie#Definition:_Metrik|Metrik]] oder Längen von Vektoren mit einer [[Normen, Metriken, Topologie#Definition:_Norm|Norm]] messen kann, kann man die Reihenkonvergenz analog zur Folgenkonvergenz definieren. Eine [[w:de:Reihe (Mathematik)|Reihe]] <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> konvergiert, wenn die zugehörige Folge der Partialsummen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}} := \left( \sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> konvergiert. === Absolute Konvergenz === Eine Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> heißt absolut konvergent, wenn die Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| </math> konvergiert, d.h., dass die Folge der Partialsummen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}} := \left( \sum_{k=1}^n |a_k| \right)_{n\in \mathbb{N}}</math> konvergiert. === Aufgabe === * Zeigen Sie, dass die komplexwertige Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{1}{k} \cdot i</math> konvergiert, aber nicht absolut konvergiert. Nutzen Sie dazu Sätze und Kenntnisse aus der reellen Analysis. * Überprüfen Sie die folgende Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} (i)^k \cdot 2^{-k+2}</math> auf Konvergenz. Berechnen Sie die ersten Folgenglieder und tragen Sie diese in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] ein. Erläutern Sie, warum die Folge der Partialsummen diese geometrische Eigenschaften besitzt. Berechnen Sie ggf. den Grenzwert der Reihe, wenn dieser existiert. === Reihe als mathematisches Objekt === Die Notation einer Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> bezeichnet algebraisch '''keine''' Folge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>, sondern im Falle einer Konvergenz eine komplexe Zahl als Grenzwert der Folge der Partialsummen <math>s_0 := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k</math>. : <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k = s_0 := \lim_{n \to \infty} s_n </math> mit <math>s_n := \sum_{k=1}^n a_k .</math> === Notation === Für den Grenzwert <math>s_0 \in \mathbb{C}</math> einer Reihe <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> mit <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> schreibt man: : <math> \sum_{n=1}^{\infty} a_n = s_0 </math> === Reihenkonvergenz === Sei <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> eine komplexe Zahlenfolge und <math>s_0 \in \mathbb{C}</math>. Die Konvergenz der Reihe bezeichnet die Konvergenz der Partialsummen <math>s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k</math> gegen <math>s_0</math>, d.h: :<math> \sum_{n=1}^{\infty} a_n = s_0 :\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \; \exists n_{\varepsilon} \in\mathbb{N} \; \forall n \ge n_{\varepsilon}: \;\left|s_n-s_0 \right| < \varepsilon .</math> Dabei gilt <math>\left|s_n-s_0 \right| = \left|\sum_{k=1}^{n} a_k - s_0 \right| < \varepsilon</math>. == Konvergenz von Reihen mit Koeffizienten aus einer Algebra == Die Betrachtung von Reihenkonvergenz ist eine Spezialfall der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Reihenkonvergenz]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] bzw. auf einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]]. === Topologischer Vektorraum === Dabei liefert der [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorraum]] <math>V</math> * eine additive Verknüpfung, um Vektoren für die Partialsummen <math> s_n := \sum_{k=1}^{n} a_n </math> berechnen und * eine [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]], um auf Konvergenz der Folge von Partialsummen <math> (s_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> untersuchen zu können. === Aufgabe - Reihenkonverenz in einem topologischen Vektorraum === Sei <math> a_n := \begin{pmatrix} 2^{-n} \\ 3^{-n} \\ 4^{-n} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 </math>. Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe <math> g:= \sum_{k=0}^\infty a_n \in \mathbb{R}^3 </math> als einführendes Beispiel mit den Werkzeugen der Analysis! Erläutern Sie die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Reihenkonvergenz in [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräume]] und dem Spezialfall <math>\mathbb{C}</math>. Übertragen Sie den Begriff der [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Konvergenz]] bzw. [[w:de:absolute Konvergenz|absoluten Konvergenz]] auf topologische Vektorräume, wenn der <math>(V,\|\cdot \|)</math> wie im Fall <math>V=\mathbb{R}^3 </math> ein normierte topologischer Vektorraum ist. === Topologische Algebra - Potenzreihen === Mit einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math> kann die Potenzreihenalgebra <math>\overline{A[t]}</math> * topologisiert werden und der topologische Abschluss der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>A[t]</math> betrachtet werden * eine [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] wird dabei über Summation der gewichteten Vektorlängen von Kooeffizienten erzeugt, um dann die Vervollständigung des Raumes betrachten zu können, * additive und multiplikative Verknüpfung liefert über das Cauchy-Produkt auch eine Multiplikation auf der Polynomalgebra <math>A[t]</math> und die Potenzreihenalgebra <math>\overline{A[t]}</math>. === Beispiel - Polynomalgebra und Konvexkombinationen === Betrachtet man [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Ordnung <math>n \in \mathbb{N}</math> in dem Vektorraum <math>\mathbb{R}^3 </math>, so stellen diese Polynome der Ordnung <math>n \in \mathbb{N}</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}^3 </math> dar. Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen [[Konvexkombination]] der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] == Literatur == * [[w:de:Nicolas Bourbaki|Bourbaki]]: ''Éléments de mathématique. Theorie des Ensembles'' II/ III, Paris 1970 * [[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Teubner Verlag, Stuttgart <references/> == Weblinks == * [http://oeis.org/?language=german Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen] * [http://www.mathematik-wissen.de/zahlenfolgen.htm Zahlenfolgen für Schüler erklärt] * [https://www.primaryresources.co.uk/maths/mathsB3.htm Folgen von numerischen und nicht-numerischen Objekten - Primary Resources] == Siehe auch == * [[w:de:Folge_(Mathematik)|Folgen in der Mathematik - Wikipedia]] * [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen bzw. komplexe Zahlenebene]] * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[topologische Algebra]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Seiten-Information == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen&author=Grundlagen&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Grundlagen Grundlagen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen&author=Grundlagen&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) Folge_(Mathematik)] https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) * Datum: 28.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?article=Folge_(Mathematik)&language=de&author=Kurs:Funktionentheorie https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Folgen und Reihen|!Folge]] <noinclude> [[en:Complex Analysis/Sequences and series]] </noinclude> 7mf6qokgr6mlpyinyq7ryfm3yo2zosj 1117428 1117426 2026-10-23T09:43:33Z Bert Niehaus 20843 /* Definition Folgenkonvergenz */ 1117428 wikitext text/x-wiki == Einführung == Als '''Folge''' oder '''Sequenz''' wird in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine Auflistung ([[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]]) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet. Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten. Das Objekt mit dem Index <math>n</math> wird <math>n</math>-tes Glied oder <math>n</math>-te Komponente der Folge genannt. Endliche wie unendliche Folgen finden sich in allen Bereichen der Mathematik. Mit unendlichen Folgen, deren Glieder reelle Zahlen sind, beschäftigt sich vor allem die [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Folgen als Abbildungen == Betrachtet man eine Indexmenge <math>I</math> und einen Grundraum <math>G</math>, aus dem die Komponenten gewählt werden, dann kann man eine Folge <math>a</math> als Abbildung verstehen, die jedem Index <math>n \in I</math> ein Element <math>a_n \in G</math> aus dem Grundraum <math>G</math> zuordnet. Folgen notiert man in der Regel <math>(a_n)_{n\in I} \in G^{I}</math> (z.B. <math>I = \mathbb{N})</math> == Beispiele für Folgen == * <math>(a_1,a_2,a_3) \in \mathbb{R}^{3}</math> als <math>n</math>-[[w:de:Tupel|Tupel]] bzw. endliche Zahlenfolgen sind dabei von Folgen <math>\mathbb{R}^{n}</math> zu unterscheiden von Folgen. Eine Folge im <math>\mathbb{R}^{3}</math> wird dann z.B. wie folgt notiert: ::<math>(x_n,y_n,z_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \big( \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\big)^{\mathbb{N}} = \big( \mathbb{R}^3\big)^{\mathbb{N}}</math> * <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} = \left( \frac{1}{n} \right)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> ist eine reelle Zahlenfolge. * <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} = \left( \frac{5+n}{n} + \frac{5+3n^2}{4n^2}i \right)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> ist eine komplexe Zahlenfolge. Im Folgenden betrachten wir unendliche Folgen mit der Indexmenge <math>I = \mathbb{N}</math> in den komplexen Zahlen. == Konvergenz von Folgen == Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer Metrik oder Längen von Vektoren mit einer Norm messen kann, kann man die Folgenkonvergenz definieren. Bei konvergenten Folgen <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen eine Grenzwert <math>a_0 \in G</math> läuft der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert gegen 0. === Notation === Für den Grenzwert <math>a_0 \in \mathbb{C}</math> einer Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> gibt es ein eigenes Symbol, man schreibt: : <math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 </math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math>. === Definition Folgenkonvergenz === Sei <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> eine komplexe Zahlenfolge und <math>a_0 \in \mathbb{C}</math>. Die Konvergenz von <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>a_0</math> wird dann wie folgt definiert: :<math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 \quad :\Longleftrightarrow \quad \underset{\varepsilon>0}{\forall} \ \ \underset{n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}}{\exists} \ \ \underset{n \ge n_{\varepsilon}}{\forall}: \ \left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>. === Notation - Schreibweise === Neben dieser Notation ist auch die Schreibweise * <math>a_n\to a_0</math> ''für'' <math>n \to \infty</math> (gelesen als ''<math>a_n\;</math> konvergiert gegen <math>a_0\in \mathbb{C}</math> für <math>n</math> gegen unendlich'') oder * kurz <math>a_n\to a_0 \in \mathbb{C}</math> bzw. <math>a_n {}_\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{n \to \infty} a_0 \in \mathbb{C} </math> üblich. === Visualisierung der Konvergenz === [[Datei:Epsilon umgebung konvergenz.gif|350px|Epsilon-Umgebung und Konvergenz]] Für alle <math>\varepsilon > 0</math> gibt es eine Indexschranke <math>n_{\varepsilon}</math>, ab der alle <math>a_n</math> mit <math>n \geq n_{\varepsilon}</math> in der <math>\varepsilon</math>-Umgebung liegen. === Semantik === Die Bedeutung der Definition kann man wie folgt versprachlichen: :<math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 :\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \; \exists n_{\varepsilon} \in\mathbb{N} \; \forall n \ge n_{\varepsilon}: \;\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>. Man kann ein beliebig kleines <math>\varepsilon >0</math> wählen und dennoch kann man zu diesem <math>\varepsilon</math> immer eine Indexschranke <math>n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}</math> finden, sodass alle Folgenglieder <math>a_n</math> mit größerem (oder gleichem) Index nicht weiter als <math>\varepsilon </math> von dem Grenzwert <math>a_0</math> entfernt sind (<math>\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>) == Reihen == Eine Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> ist eine spezielle Folgen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>, die aus einer gegebenen Folge <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> durch die Folge der Partialsummen <math>\left( \sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>s_n := \sum_{k=1}^n a_k</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> entsteht. === Konvergenz von Reihen === Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer [[Normen, Metriken, Topologie#Definition:_Metrik|Metrik]] oder Längen von Vektoren mit einer [[Normen, Metriken, Topologie#Definition:_Norm|Norm]] messen kann, kann man die Reihenkonvergenz analog zur Folgenkonvergenz definieren. Eine [[w:de:Reihe (Mathematik)|Reihe]] <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> konvergiert, wenn die zugehörige Folge der Partialsummen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}} := \left( \sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> konvergiert. === Absolute Konvergenz === Eine Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> heißt absolut konvergent, wenn die Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| </math> konvergiert, d.h., dass die Folge der Partialsummen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}} := \left( \sum_{k=1}^n |a_k| \right)_{n\in \mathbb{N}}</math> konvergiert. === Aufgabe === * Zeigen Sie, dass die komplexwertige Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{1}{k} \cdot i</math> konvergiert, aber nicht absolut konvergiert. Nutzen Sie dazu Sätze und Kenntnisse aus der reellen Analysis. * Überprüfen Sie die folgende Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} (i)^k \cdot 2^{-k+2}</math> auf Konvergenz. Berechnen Sie die ersten Folgenglieder und tragen Sie diese in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] ein. Erläutern Sie, warum die Folge der Partialsummen diese geometrische Eigenschaften besitzt. Berechnen Sie ggf. den Grenzwert der Reihe, wenn dieser existiert. === Reihe als mathematisches Objekt === Die Notation einer Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> bezeichnet algebraisch '''keine''' Folge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>, sondern im Falle einer Konvergenz eine komplexe Zahl als Grenzwert der Folge der Partialsummen <math>s_0 := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k</math>. : <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k = s_0 := \lim_{n \to \infty} s_n </math> mit <math>s_n := \sum_{k=1}^n a_k .</math> === Notation === Für den Grenzwert <math>s_0 \in \mathbb{C}</math> einer Reihe <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> mit <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> schreibt man: : <math> \sum_{n=1}^{\infty} a_n = s_0 </math> === Reihenkonvergenz === Sei <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> eine komplexe Zahlenfolge und <math>s_0 \in \mathbb{C}</math>. Die Konvergenz der Reihe bezeichnet die Konvergenz der Partialsummen <math>s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k</math> gegen <math>s_0</math>, d.h: :<math> \sum_{n=1}^{\infty} a_n = s_0 :\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \; \exists n_{\varepsilon} \in\mathbb{N} \; \forall n \ge n_{\varepsilon}: \;\left|s_n-s_0 \right| < \varepsilon .</math> Dabei gilt <math>\left|s_n-s_0 \right| = \left|\sum_{k=1}^{n} a_k - s_0 \right| < \varepsilon</math>. == Konvergenz von Reihen mit Koeffizienten aus einer Algebra == Die Betrachtung von Reihenkonvergenz ist eine Spezialfall der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Reihenkonvergenz]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] bzw. auf einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]]. === Topologischer Vektorraum === Dabei liefert der [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorraum]] <math>V</math> * eine additive Verknüpfung, um Vektoren für die Partialsummen <math> s_n := \sum_{k=1}^{n} a_n </math> berechnen und * eine [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]], um auf Konvergenz der Folge von Partialsummen <math> (s_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> untersuchen zu können. === Aufgabe - Reihenkonverenz in einem topologischen Vektorraum === Sei <math> a_n := \begin{pmatrix} 2^{-n} \\ 3^{-n} \\ 4^{-n} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 </math>. Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe <math> g:= \sum_{k=0}^\infty a_n \in \mathbb{R}^3 </math> als einführendes Beispiel mit den Werkzeugen der Analysis! Erläutern Sie die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Reihenkonvergenz in [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräume]] und dem Spezialfall <math>\mathbb{C}</math>. Übertragen Sie den Begriff der [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Konvergenz]] bzw. [[w:de:absolute Konvergenz|absoluten Konvergenz]] auf topologische Vektorräume, wenn der <math>(V,\|\cdot \|)</math> wie im Fall <math>V=\mathbb{R}^3 </math> ein normierte topologischer Vektorraum ist. === Topologische Algebra - Potenzreihen === Mit einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math> kann die Potenzreihenalgebra <math>\overline{A[t]}</math> * topologisiert werden und der topologische Abschluss der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>A[t]</math> betrachtet werden * eine [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] wird dabei über Summation der gewichteten Vektorlängen von Kooeffizienten erzeugt, um dann die Vervollständigung des Raumes betrachten zu können, * additive und multiplikative Verknüpfung liefert über das Cauchy-Produkt auch eine Multiplikation auf der Polynomalgebra <math>A[t]</math> und die Potenzreihenalgebra <math>\overline{A[t]}</math>. === Beispiel - Polynomalgebra und Konvexkombinationen === Betrachtet man [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Ordnung <math>n \in \mathbb{N}</math> in dem Vektorraum <math>\mathbb{R}^3 </math>, so stellen diese Polynome der Ordnung <math>n \in \mathbb{N}</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}^3 </math> dar. Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen [[Konvexkombination]] der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] == Literatur == * [[w:de:Nicolas Bourbaki|Bourbaki]]: ''Éléments de mathématique. Theorie des Ensembles'' II/ III, Paris 1970 * [[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Teubner Verlag, Stuttgart <references/> == Weblinks == * [http://oeis.org/?language=german Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen] * [http://www.mathematik-wissen.de/zahlenfolgen.htm Zahlenfolgen für Schüler erklärt] * [https://www.primaryresources.co.uk/maths/mathsB3.htm Folgen von numerischen und nicht-numerischen Objekten - Primary Resources] == Siehe auch == * [[w:de:Folge_(Mathematik)|Folgen in der Mathematik - Wikipedia]] * [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen bzw. komplexe Zahlenebene]] * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[topologische Algebra]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Seiten-Information == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen&author=Grundlagen&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Grundlagen Grundlagen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen&author=Grundlagen&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) Folge_(Mathematik)] https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) * Datum: 28.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?article=Folge_(Mathematik)&language=de&author=Kurs:Funktionentheorie https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Folgen und Reihen|!Folge]] <noinclude> [[en:Complex Analysis/Sequences and series]] </noinclude> 20cj2lppjk8oqlefig7p8ouh4ew6s3t 1117429 1117428 2026-10-23T09:44:00Z Bert Niehaus 20843 /* Semantik */ 1117429 wikitext text/x-wiki == Einführung == Als '''Folge''' oder '''Sequenz''' wird in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine Auflistung ([[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]]) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet. Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten. Das Objekt mit dem Index <math>n</math> wird <math>n</math>-tes Glied oder <math>n</math>-te Komponente der Folge genannt. Endliche wie unendliche Folgen finden sich in allen Bereichen der Mathematik. Mit unendlichen Folgen, deren Glieder reelle Zahlen sind, beschäftigt sich vor allem die [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Folgen als Abbildungen == Betrachtet man eine Indexmenge <math>I</math> und einen Grundraum <math>G</math>, aus dem die Komponenten gewählt werden, dann kann man eine Folge <math>a</math> als Abbildung verstehen, die jedem Index <math>n \in I</math> ein Element <math>a_n \in G</math> aus dem Grundraum <math>G</math> zuordnet. Folgen notiert man in der Regel <math>(a_n)_{n\in I} \in G^{I}</math> (z.B. <math>I = \mathbb{N})</math> == Beispiele für Folgen == * <math>(a_1,a_2,a_3) \in \mathbb{R}^{3}</math> als <math>n</math>-[[w:de:Tupel|Tupel]] bzw. endliche Zahlenfolgen sind dabei von Folgen <math>\mathbb{R}^{n}</math> zu unterscheiden von Folgen. Eine Folge im <math>\mathbb{R}^{3}</math> wird dann z.B. wie folgt notiert: ::<math>(x_n,y_n,z_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \big( \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\big)^{\mathbb{N}} = \big( \mathbb{R}^3\big)^{\mathbb{N}}</math> * <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} = \left( \frac{1}{n} \right)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> ist eine reelle Zahlenfolge. * <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} = \left( \frac{5+n}{n} + \frac{5+3n^2}{4n^2}i \right)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> ist eine komplexe Zahlenfolge. Im Folgenden betrachten wir unendliche Folgen mit der Indexmenge <math>I = \mathbb{N}</math> in den komplexen Zahlen. == Konvergenz von Folgen == Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer Metrik oder Längen von Vektoren mit einer Norm messen kann, kann man die Folgenkonvergenz definieren. Bei konvergenten Folgen <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen eine Grenzwert <math>a_0 \in G</math> läuft der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert gegen 0. === Notation === Für den Grenzwert <math>a_0 \in \mathbb{C}</math> einer Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> gibt es ein eigenes Symbol, man schreibt: : <math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 </math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math>. === Definition Folgenkonvergenz === Sei <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> eine komplexe Zahlenfolge und <math>a_0 \in \mathbb{C}</math>. Die Konvergenz von <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>a_0</math> wird dann wie folgt definiert: :<math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 \quad :\Longleftrightarrow \quad \underset{\varepsilon>0}{\forall} \ \ \underset{n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}}{\exists} \ \ \underset{n \ge n_{\varepsilon}}{\forall}: \ \left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>. === Notation - Schreibweise === Neben dieser Notation ist auch die Schreibweise * <math>a_n\to a_0</math> ''für'' <math>n \to \infty</math> (gelesen als ''<math>a_n\;</math> konvergiert gegen <math>a_0\in \mathbb{C}</math> für <math>n</math> gegen unendlich'') oder * kurz <math>a_n\to a_0 \in \mathbb{C}</math> bzw. <math>a_n {}_\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{n \to \infty} a_0 \in \mathbb{C} </math> üblich. === Visualisierung der Konvergenz === [[Datei:Epsilon umgebung konvergenz.gif|350px|Epsilon-Umgebung und Konvergenz]] Für alle <math>\varepsilon > 0</math> gibt es eine Indexschranke <math>n_{\varepsilon}</math>, ab der alle <math>a_n</math> mit <math>n \geq n_{\varepsilon}</math> in der <math>\varepsilon</math>-Umgebung liegen. === Semantik === Die Bedeutung der Definition kann man wie folgt versprachlichen: :<math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 :\Leftrightarrow \underset{\varepsilon>0}{\forall} \ \ \underset{n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}}{\exists} \ \ \underset{n \ge n_{\varepsilon}}{\forall} \ : \;\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>. Man kann ein beliebig kleines <math>\varepsilon >0</math> wählen und dennoch kann man zu diesem <math>\varepsilon</math> immer eine Indexschranke <math>n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}</math> finden, sodass alle Folgenglieder <math>a_n</math> mit größerem (oder gleichem) Index nicht weiter als <math>\varepsilon </math> von dem Grenzwert <math>a_0</math> entfernt sind (<math>\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>) == Reihen == Eine Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> ist eine spezielle Folgen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>, die aus einer gegebenen Folge <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> durch die Folge der Partialsummen <math>\left( \sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>s_n := \sum_{k=1}^n a_k</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> entsteht. === Konvergenz von Reihen === Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer [[Normen, Metriken, Topologie#Definition:_Metrik|Metrik]] oder Längen von Vektoren mit einer [[Normen, Metriken, Topologie#Definition:_Norm|Norm]] messen kann, kann man die Reihenkonvergenz analog zur Folgenkonvergenz definieren. Eine [[w:de:Reihe (Mathematik)|Reihe]] <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> konvergiert, wenn die zugehörige Folge der Partialsummen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}} := \left( \sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> konvergiert. === Absolute Konvergenz === Eine Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> heißt absolut konvergent, wenn die Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| </math> konvergiert, d.h., dass die Folge der Partialsummen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}} := \left( \sum_{k=1}^n |a_k| \right)_{n\in \mathbb{N}}</math> konvergiert. === Aufgabe === * Zeigen Sie, dass die komplexwertige Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{1}{k} \cdot i</math> konvergiert, aber nicht absolut konvergiert. Nutzen Sie dazu Sätze und Kenntnisse aus der reellen Analysis. * Überprüfen Sie die folgende Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} (i)^k \cdot 2^{-k+2}</math> auf Konvergenz. Berechnen Sie die ersten Folgenglieder und tragen Sie diese in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] ein. Erläutern Sie, warum die Folge der Partialsummen diese geometrische Eigenschaften besitzt. Berechnen Sie ggf. den Grenzwert der Reihe, wenn dieser existiert. === Reihe als mathematisches Objekt === Die Notation einer Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> bezeichnet algebraisch '''keine''' Folge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>, sondern im Falle einer Konvergenz eine komplexe Zahl als Grenzwert der Folge der Partialsummen <math>s_0 := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k</math>. : <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k = s_0 := \lim_{n \to \infty} s_n </math> mit <math>s_n := \sum_{k=1}^n a_k .</math> === Notation === Für den Grenzwert <math>s_0 \in \mathbb{C}</math> einer Reihe <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> mit <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> schreibt man: : <math> \sum_{n=1}^{\infty} a_n = s_0 </math> === Reihenkonvergenz === Sei <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> eine komplexe Zahlenfolge und <math>s_0 \in \mathbb{C}</math>. Die Konvergenz der Reihe bezeichnet die Konvergenz der Partialsummen <math>s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k</math> gegen <math>s_0</math>, d.h: :<math> \sum_{n=1}^{\infty} a_n = s_0 :\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \; \exists n_{\varepsilon} \in\mathbb{N} \; \forall n \ge n_{\varepsilon}: \;\left|s_n-s_0 \right| < \varepsilon .</math> Dabei gilt <math>\left|s_n-s_0 \right| = \left|\sum_{k=1}^{n} a_k - s_0 \right| < \varepsilon</math>. == Konvergenz von Reihen mit Koeffizienten aus einer Algebra == Die Betrachtung von Reihenkonvergenz ist eine Spezialfall der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Reihenkonvergenz]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] bzw. auf einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]]. === Topologischer Vektorraum === Dabei liefert der [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorraum]] <math>V</math> * eine additive Verknüpfung, um Vektoren für die Partialsummen <math> s_n := \sum_{k=1}^{n} a_n </math> berechnen und * eine [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]], um auf Konvergenz der Folge von Partialsummen <math> (s_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> untersuchen zu können. === Aufgabe - Reihenkonverenz in einem topologischen Vektorraum === Sei <math> a_n := \begin{pmatrix} 2^{-n} \\ 3^{-n} \\ 4^{-n} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 </math>. Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe <math> g:= \sum_{k=0}^\infty a_n \in \mathbb{R}^3 </math> als einführendes Beispiel mit den Werkzeugen der Analysis! Erläutern Sie die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Reihenkonvergenz in [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräume]] und dem Spezialfall <math>\mathbb{C}</math>. Übertragen Sie den Begriff der [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Konvergenz]] bzw. [[w:de:absolute Konvergenz|absoluten Konvergenz]] auf topologische Vektorräume, wenn der <math>(V,\|\cdot \|)</math> wie im Fall <math>V=\mathbb{R}^3 </math> ein normierte topologischer Vektorraum ist. === Topologische Algebra - Potenzreihen === Mit einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math> kann die Potenzreihenalgebra <math>\overline{A[t]}</math> * topologisiert werden und der topologische Abschluss der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>A[t]</math> betrachtet werden * eine [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] wird dabei über Summation der gewichteten Vektorlängen von Kooeffizienten erzeugt, um dann die Vervollständigung des Raumes betrachten zu können, * additive und multiplikative Verknüpfung liefert über das Cauchy-Produkt auch eine Multiplikation auf der Polynomalgebra <math>A[t]</math> und die Potenzreihenalgebra <math>\overline{A[t]}</math>. === Beispiel - Polynomalgebra und Konvexkombinationen === Betrachtet man [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Ordnung <math>n \in \mathbb{N}</math> in dem Vektorraum <math>\mathbb{R}^3 </math>, so stellen diese Polynome der Ordnung <math>n \in \mathbb{N}</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}^3 </math> dar. Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen [[Konvexkombination]] der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] == Literatur == * [[w:de:Nicolas Bourbaki|Bourbaki]]: ''Éléments de mathématique. Theorie des Ensembles'' II/ III, Paris 1970 * [[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Teubner Verlag, Stuttgart <references/> == Weblinks == * [http://oeis.org/?language=german Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen] * [http://www.mathematik-wissen.de/zahlenfolgen.htm Zahlenfolgen für Schüler erklärt] * [https://www.primaryresources.co.uk/maths/mathsB3.htm Folgen von numerischen und nicht-numerischen Objekten - Primary Resources] == Siehe auch == * [[w:de:Folge_(Mathematik)|Folgen in der Mathematik - Wikipedia]] * [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen bzw. komplexe Zahlenebene]] * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[topologische Algebra]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Seiten-Information == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen&author=Grundlagen&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Grundlagen Grundlagen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen&author=Grundlagen&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) Folge_(Mathematik)] https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) * Datum: 28.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?article=Folge_(Mathematik)&language=de&author=Kurs:Funktionentheorie https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Folgen und Reihen|!Folge]] <noinclude> [[en:Complex Analysis/Sequences and series]] </noinclude> l7uur8xr135axoetpqneksr8m1qhs2p 2 117900 1117397 1108280 2026-10-22T14:29:34Z Ziv 39712 ([[c:GR|GR]]) [[File:Cardano.jpg]] → [[File:Gerolamo Cardano, self-portrait (1501–1576).jpg]] [[c:COM:FR#FR2|Criterion 2]] · More precise and not just a meaningless one word name 1117397 wikitext text/x-wiki =Geschichte der Philosophie für Anfänger= Die Übersicht habe ich aus der '''[[w:Zeittafel_zur_Philosophiegeschichte|Wikipedia]]''' entnommen und ich bin dabei, das Ganze auf das Wesentliche zu komprimieren. == Antike == Die antike europäische Philosophie hat in Verbindung mit anderen Hochkulturen des Altertums (der hebräischen, ägyptischen, mesopotamischen und persischen) das Anschauungsspektrum des Abendlandes begründet. Im Mittelpunkt steht dabei ein diesseitiges Leben in Harmonie mit der kosmischen Ordnung. === Vorsokratiker 600–400 v. Chr. === Die Vorsokratiker beschäftigten sich vor allem mit Naturphilosophie und formulierten die Grundfragen der Philosophie. Eine zentrale Frage, die vor allem die älteren Vorsokratiker beschäftigte, war die nach dem Urgrund oder Anfang, aus dem alles entstanden ist. Die Suche galt vor allem dem, was ungeschaffen, anfangs- und endlos und unbewegt ist. ==== Ionische Naturphilosophie ==== Der griechisch besiedelte kleinasiatische Ostrand der Ägäis mit der Hauptstadt Milet wurde zum Ausgangsbereich der antiken Philosophie. Diese setzt dem mythisch geprägten Weltbild der homerischen Epen eine naturphilosophische Welterklärung entgegen. Hierbei konzentrierte sich die Suche auf einen einzelnen (monistischen) Urgrund. '''Thales von Milet''' * Sagte Sonnenfinsternis voraus * Wasser als Urstoff '''Anaximander''' * Urstoff ist das räumlich und zeitlich Unbeschränkte (bereits Anaximander verwendete also einen über die Erfahrung hinausgehenden metaphysischen Erklärungsbegriff ==== Eleaten ==== Die Eleaten stellten eine der ältesten philosophischen Schulen der griechischen Antike dar. Benannt ist sie nach der von Griechen gegründeten, an der westitalienischen Küste gelegenen Stadt Elea. '''Xenophanes''' * Die Menschen schufen die Götter, Gott aber ist ewig * Wissen ist Vermutung, Wahrheit nicht erkennbar '''Parmenides''' * Denken und Sein sind identisch * Bewegung ist nur eine Illusion * Physisches Geschehen ist „Meinung der Sterblichen“ '''Zenon von Elea''' * Untersuchte das Raumzeit-Kontinuum * Paradoxien, u.a. Achilles und die Schildkröte und das Pfeil-Paradoxon ==== Andere Philosophen der Vorsokratik ==== '''Heraklit''' * Das Gemeinsame der Welt ist das sich ewig wandelnde Feuer * Der Logos ist das Eine, das im Wandel des Werdens Bestand hat ''(Panta rhei)'' * Der Streit (polemos) ist der Vater aller Dinge (Dialektik) * Das Wesen der Welt ist die unsichtbare Harmonie der Gegensätze ==== Pythagoreer ==== Ausgangspunkt ist eine von Pythagoras begründete, religionsähnliche Lebensgemeinschaft. '''Pythagoras''' * Zahl als universelles Prinzip, z. B. in der Musik * Die Erde hat Kugelgestalt '''Alkmaion''' * Fehlende Harmonie verursacht Krankheit * Das Gehirn ist das Organ der Wahrnehmung '''Philolaos von Kroton''' * Dokumentierte die Lehre des Pythagoras * Das Wesen der Dinge erkennt man erst, wenn man sie mathematisch beschreiben kann. '''Hiketas von Syrakus''' * Die Erde rotiert um ihre Achse ==== Atomisten ==== Der Atomismus bezeichnet eine kosmologische Theorie, der zufolge das Universum aus kleinsten Teilchen, den Atomen, zusammengesetzt ist. Spätere Atomisten waren Epikur und Lukrez. '''Demokrit''' [[Datei:Democritus2.jpg|60px]] * Wahres Sein (Materie) besteht aus unteilbaren Atomen im leeren Raum * In der Wahrnehmung ist die Wirklichkeit nur Erscheinung; diese hat aber eine Entsprechung zur wahren Welt. * Die Atome haben nur quantitative Eigenschaften (Größe, Gewicht, Härte, Gestalt) * Qualitative Eigenschaften (Farbe, Ton, Geruch, Geschmack) gibt es nur in der Erscheinung * Auch die Seele ist atomistisch (Materialismus); sie besteht aus besonders feinen „Feueratomen“, durch die die Welt belebt ist. * Von den Dingen gehen kleinste Abbilder (eidola = Bildchen) aus, die die Feueratome der Seele anstoßen und so Wahrnehmung erzeugen * Das Denken entsteht als Zusammenstoßen der eidola als Repräsentationen der Dinge und der Feueratome der Seele. * Das wahre Glück entsteht durch Maß und Harmonie, wenn die Feueratome nur sanft bewegt sind. ==== Sophisten ==== Als Sophisten bezeichnet man eine Gruppe von Philosophen, die als ''Lehrer der Weisheit und der schönen Rede'' z.B. gegen Bezahlung die Lehre der Sprechkunst, des Denkens und Prozessierens anboten. In den Hochzeiten der Sophistik haben ihre Vertreter die Menschen auf die Probleme des subjektiven Faktors im Erkennen und Werten hingewiesen, allerdings im Sinne eines Skeptizismus. In kritischer Sicht wurden Sophisten als „Wortverdreher“ betrachtet. Positiv bewertet kann man sie als Aufklärer des antiken Griechenland ansehen. Bei den Sophisten stand nicht mehr die Natur als Untersuchung im Vordergrund, sondern die Beziehungen der Menschen zueinander. '''Protagoras''' * Wahrheit gilt nur für den Wahrnehmenden (reiner Sensualismus) * Es gibt über jeden Gegenstand zwei sich widersprechende Aussagen. * „Der Mensch ist das Maß aller Dinge“ (Relativismus) * Religion und Staat sind natürliche Bedürfnisse * Gerechtigkeitssinn und sittliche Scheu sind Gaben der Götter. '''Gorgias''' * Berühmter Rhetoriker; es gibt kein Sein (Nihilismus) '''Hippias''' * Gesetze sind von Menschen gemacht und deshalb nicht allgemeingültig. '''Prodikos''' * Stellte die Ethik in den Mittelpunkt '''Xeniades''' * es gibt keine wahren Urteile und alle Aussagen der Menschen sind falsch. '''Archelaos''' * Schüler von Anaxagoras * Das Gerechte und das Schädliche sind Produkt der Konvention '''Kritias''' * Moralischer Relativismus * Der Glaube an die Götter beruht auf guter Staatskunst. '''Thrasymachos''' * „Gerechtigkeit ist der Nutzen des Stärkeren“ '''Lykophron''' * Soll Rechtsordnung als Ausgleich von Interessen aufgefasst haben * Es gibt keine hoch und niedrig Geborenen. === Griechische Klassik 450–300 v. Chr. === ==== Die drei großen Athener ==== Die drei großen Athener prägten das gesamte abendländische Denken. Sokrates zeigte durch den kritischen Dialog, dass kein Wissen gesichert ist und gilt durch seine persönliche Haltung als Vorbild eines Philosophen. Platon schuf die neue Gattung des schriftlichen Dialogs und setzte in der Breite seiner Themen in der Metaphysik und in der Erkenntnistheorie, in der Ethik, der Anthropologie, der Staatstheorie, der Kosmologie, der Kunsttheorie und der Sprachphilosophie neue Maßstäbe des Denkens. Im Gegensatz zu Platon sah Aristoteles die Ideen als ''in'' den Dingen befindlich und gab der realen Welt so wieder mehr Gewicht. Hierbei hat er u. a. für Biologie und Medizin, aber auch für die politische Empirie und Theorie Enormes geleistet. In seinem enzyklopädischen Wissensdrang als Philosoph beschäftigten ihn zudem u. a. Dynamik, Bewegung, Form und Stoff. Seine Tugendethik und seine Theorie zur Gerechtigkeit reichen bis in die Gegenwart. Aristoteles begründete die klassische Logik mit ihrer Syllogistik, die Wissenschaftssystematik und die Wissenschaftstheorie. '''Sokrates''' [[Datei:Socrates Louvre.jpg|60px]] * Überwindung des sophistischen Subjektivismus zugunsten eines sittlichen Individualismus * Begriffe beinhalten einen unveränderlichen Kern, als absoluter Wahrheit * Die Wahrheit muss Schritt für Schritt erkannt werden * Dazu bedient er sich der „Hebammenkunst“ (Mäeutik), indem er Fragen stellt, deren Antworten wiederum Fragen auslösen * Dadurch wird unsere Unwissenheit deutlich („Ich weiß, dass ich nichts weiß!“) * Folge dieses Mangels an Wissen sind moralische Irrtümer * Deshalb ist Wissen (Weisheit) die höchste zu erlangende Tugend * Tugend ist Einsicht in das Gute * Weisheit soll durch Aufklärung und Erziehung erlangt werden * Selbsterkenntnis ist die höchste sittliche Verpflichtung („Erkenne dich selbst“) * Wird als Kritik an den Grundprinzipien der Gesellschaft aufgefasst * Deshalb Hinrichtung durch den Schierlingsbecher '''Platon''' [[Datei:Head Platon Glyptothek Munich 548.jpg|60px]] * Kritik des Relativismus der Sophistik, der keine wahrhaften Tugenden anerkennt * In der Körperwelt, zu der auch das Seelische zählt, gibt es nur Wahrnehmung und Meinungen (doxa) * Daneben gibt es eine unkörperliche Ideenwelt, die durch Begriffe erkannt wird (Phaidros, Höhlengleichnis) und das wahrhaft Seiende ist. Sie ist einfach, veränderungslos, unentstanden und unvergänglich b)]] * Erkenntnis entsteht nicht in der Erfahrung, sondern in der Erinnerung (anamnesis) der Seele * Ideen sind hierarchisch geordnet mit allgemeinsten Begriffen (Sophistes), von denen die Idee des Guten die höchste ist * Die unsterbliche Seele verbindet Körperwelt (Mut und Begierde) mit der Ideenwelt (Vernunft) * Den Seelenteilen entsprechen Kardinaltugenden – Weisheit, Tapferkeit und Selbstbeherrschung. Das richtige Verhältnis wird durch Gerechtigkeit als oberste Tugend hergestellt * Die Rollen im Staat entsprechen den Seelenteilen: Lehrstand der Gebildeten, Wehrstand der Wächter sowie Nährstand der Handwerker und Bauern * Gerechtigkeit herrscht, wenn jeder das Seine tut und dadurch auch das Seine erhält '''Aristoteles''' [[Datei:Aristotle Altemps Inv8575.jpg|60px]] * Philosophie als erste Wissenschaft untersucht das Seiende als Seiendes * Lehrer Alexander des Großen * die kritische Auseinandersetzung mit der Philosophiegeschichte liefert eine Synthese bisheriger Theorien * kritisiert vor allem die Verdopplung der Welt durch Platon * systematische Einteilung der Wissenschaften * Begründung der formalen Logik als wissenschaftliche Methode gegen die Sophistik * Syllogistik als Schluss aus einer Prämisse und einem Oberbegriff, Mittelbegriff und Mittelsatz auf ein Besonderes (Deduktion) * Besonderes entsteht aus Allgemeinem, aber in der Erkenntnis muss empirisch von den einzelnen Dingen ausgegangen werden, die das Allgemeine bereits enthalten (Induktion) * Grundprinzip der Natur ist Bewegung, in dem die Materie die Form verändert (Werden und Vergehen) * Jedes Werden ist Verwirklichung einer Möglichkeit (Akt und Potenz) * Vier Wirkursachen: Stoff, Form, Bewirkendes, Ziel * Ursprung aller Bewegung und allen Seins ist ein (göttlicher) unbewegter Beweger * einzig die Gegenstände der Mathematik sind unveränderlich * Weil in der Praxis (Ethik, Poietik, Rhetorik) Prämissen nicht allgemeingültig sind, sondern vom Gesprächspartner anerkannt werden müssen, sind Syllogismen in diesem Bereich dialektische Argumente * In der Praxis geht es nicht um Wissen, sondern um Einsicht * Oberstes Ziel ist das Gute als Glückseligkeit (Eudämonismus), die man durch Ausbildung der Tugend erreicht * Tugend ist ein Mittleres zwischen zwei Extremen (Tugendethik) * Der Mensch ist nicht nur ein Vernunftwesen (zoon logon echon), sondern auch ein Gemeinschaftswesen (zoon politikon) * Eine ideale Staatsverfassung ist ohne Extreme (Tyrannis), allerdings auch nicht die Demokratie, sondern die Politie, in der die Einsichtigen und Tugendhaften regieren ===Nachklassische Antike=== ==== Epikureer ==== Der antike Epikureismus, auch "Garten“ genannt, war eine der vier großen philosophischen Schulen der nachklassischen Antike. Er wird auch als Agnostizismus charakterisiert. '''Epikur''' [[Datei:Epicurus Louvre.jpg|60px]] * Versammelte seine Schüler in einem Garten (Kepos) * Materialistische Grundauffassung (Atomist) * strebte nach dem inneren Seelenfrieden (Unerschütterlichkeit – [[Ataraxie|Ataraxía]]) * Glück ist Lust mit Maß (also kein reiner Hedonismus) * Das Schöne als geistiger Genuss steht höher als physischer Genuss, der Aufregung bringt. * Der Staat ist ein Vertrag, um sich nicht zu schädigen. Gesetze sind Übereinkunft zum gemeinsamen Nutzen (Utilitarismus) '''Lukrez''' * Philosophischer Schriftsteller * Bewusste Anknüpfung an Epikur ==== Stoa ==== Stoa bezeichnet eine Säulenhalle auf dem Marktplatz von Athen (Agora), in der Zenon von Kition lehrte. Die Philosophie ist auf die kosmologische, ganzheitliche Welterfassung gerichtet. Der Stoiker gelangt durch die Einübung emotionaler Selbstbeherrschung und mit Hilfe von Gelassenheit und Seelenruhe zur Weisheit. '''Zenon von Kition''' [[Datei:Paolo Monti - Servizio fotografico (Napoli, 1969) - BEIC 6353768.jpg|60px]] * Stellte die Logik an die erste Stelle, um Irrtümer zu beseitigen. * Empfindungen sind Abdrücke einzelner Gegenstände in der Seele (Nominalismus) * Gilt mit der Lehre der Evidenz als Begründer des Stoizismus * Der Staat ist eine vernünftige Lebensgemeinschaft aller Menschen '''Chrysippos''' [[Datei:Chrysippus of Soli.jpg|60px]] * Schuf mit 705 Büchern die maßgeblichen Grundlagen der Stoa. * Es gibt nur Naturnotwendigkeit (Determinismus) * Wahrnehmung ist eine Eigenschaftsveränderung in der Seele * Begriffe sind Verallgemeinerungen der in der Wahrnehmung vorhandenen Objekte. * Formulierte das stoische Ideal der Freiheit von Affekten * Die Natur ist zweckmäßig. Die Bewertung von Ereignissen als Übel (Unfälle, Krankheiten) erfolgt durch den Menschen * Gerechtigkeit und Menschenliebe sind oberste Pflichten aus der Vernunft '''Cicero''' [[Datei:M-T-Cicero.jpg|60px]] * Politiker, Anwalt, Rhetoriker * Vertrat eklektisch Lehren der Stoa und der neuen Akademie * Gilt als Inspirator des Humanismus * es gibt eingeborene Ideen, insbesondere die Grundbegriffe der Sittlichkeit und des Rechts sowie den Glauben an das Göttliche und an die Unsterblichkeit der Seele * Lehre vom allgemeinen Menschenverstand * Lehre vom Naturrecht. Unterschied wie später Kant Legalität und Moralität '''Seneca''' [[Datei:Seneca-berlinantikensammlung-1.jpg|60px]] * Schriftsteller, der sich auch mit praktischen Fragen der Ethik befasste. '''Epiktet''' * „Nicht die Dinge beunruhigen den Menschen, sondern seine Sicht der Dinge.“ '''Mark Aurel''' [[Datei:Marcus Aurelius Glyptothek Munich.jpg|60px]] * Mit seinen „Selbstbetrachtungen“ schuf er sich Leitlinien für sein praktisches Handeln. ==== Skeptiker ==== '''Pyrrhon von Elis * Begründer der Skepsis * Wahrheit ist weder durch Sinneswahrnehmung noch durch Urteile feststellbar. * Weil es kein Wissen gibt, gibt es auch keine Lehre vom rechten Handeln * Der Mensch kennt höchstens seine Gefühlszustände ==== Neuplatoniker ==== In der Spätantike wurde der Neuplatonismus maßgeblich, der auf das Denken der christlichen Kirchenväter einwirkte. Der Drang von Philosophen wie Plotin zur Vereinheitlichung (Suche nach dem Einen, dem Göttlichen) mündete in eine Rückwendung zu Platon und in eine Neuausrichtung der platonischen Ideenlehre. Daraus ergaben sich Verknüpfungsmöglichkeiten zwischen Neuplatonismus und christlicher Religion, die bis in den Beginn der mittelalterlichen Philosophie reichten. '''Plotin''' * Erforschte die Philosophie der Perser und Inder * Lehre: Urgrund ist das unbeschreiblichen Eine und dessen Emanation, durch die der Geist entsteht. * Die Weltseele steht als dritte Stufe zwischen dem wahren Sein und der Materie * Um mit dem Einen Eins zu werden, muss sich die menschliche Seele von der Sinnlichkeit reinigen (katharsis) == Mittelalter == Die Philosophie des Mittelalters umfasst sehr vielfältige Strömungen, die sich seit dem Ende der Antike bis zur Reformation in Europa entwickelt haben. Im abendländischen Kulturkreis wird sie in der Patristik durch das Christentum geprägt und getragen. Als „finstere“ Epoche verkannt, war im mittelalterlichen Denken schon vieles angelegt, was Renaissance, Humanismus und schließlich Aufklärung formulierten. Das Wissen der Antike wurde zunächst in Klostern bewahrt und weitergegeben. Entscheidender ist für den lateinischen Westen der Wissensschatz, der ihm vermittelt über Übersetzungen arabischer und teils auch jüdischer Philosophen zuwächst. Eine Blüte entsteht Ende des 11. Jahrhunderts begleitet von der Gründung der ersten Universitäten. Im 12. Jahrhundert war die byzantinische und islamische Welt Europa noch kulturell und wissenschaftlich hoch überlegen. Mit Untergang des Byzantinischen Reiches überlieferten Gelehrte dieses Wissen im 15. Jahrhundert vermehrt nach Westeuropa und wirkten so mit an der Entstehung der Renaissance. === Patristik === Als Patristik wird in der christlichen Theologie und Philosophie die Wissenschaft bezeichnet, die sich mit der Zeit der Kirchenväter beschäftigt, das heißt mit der Epoche der Alten Kirche vom 1. Jahrhundert bis zum 7. oder spätestens frühen 8. Jahrhundert. ==== Apostolische Väter ==== ==== Häretiker und Gnosis ==== Im Urchristentum gab es einen Pluralismus von theologischen Sichtweisen. Eines der frühen Probleme des Christentums war, sich in der Kultur des Hellenismus gegenüber synkretistischen Religionen wie Gnostizismus und Manichäismus abzugrenzen, die die christlichen Dogmen ganz oder teilweise mit anderen Religionen oder Eigenkonstruktionen vermischten. Gnostische Bewegungen wurden nach ihren Führern oder Gründern als Valentinianer, Simonianer oder Basilidianer benannt. '''Basilides''' * Die Seele ist ein auf der Erde verirrter Fremdling * Die Sphäre Gottes erreicht man durch die Lösung von allem Irdischen '''Mani''' * Persische Religion des Manichäismus * Erlösung durch den Sieg des Lichtes über die Finsternis ==== Apologeten ==== Die Apologeten haben die christliche Apologie, die das Christentum im Römischen Reich als vernünftige Religion aufzeigt, gegen Angriffe anderer Religionen und Philosophien verteidigt. '''Justin der Märtyrer''' * Die Philosophie führt zu Gott * Aber letzte Fragen beantwortet nur die Schrift '''Tertullian''' * Philosophie hat nur eine ergänzende Aufgabe * Der Offenbarungsglaube ist ein Glaube an etwas Übervernünftiges (credo quia absurdum) '''Cyprian''' * Vertrat die Kindstaufe * Entwickelte die Lehre vom Glauben als der Gnade Gottes ==== Theologische Systematisierungen ==== Erst schrittweise setzten sich die Trinitarier durch, entstand die allegorische Schriftauslegung und eine allmähliche Annäherung des Christentums an den Neuplatonismus. '''Augustinus''' [[Datei:AugustineBaptism.jpg|60px]] * Schuf die grundlegende Theologie für fast 1000 Jahre * Die Philosophie hat die Aufgabe, die Kirchenlehre (Dogmatik) wissenschaftlich darzustellen und zu begründen * Gnadenlehre: Erlösung von der Erbsünde durch Gottes Willkür (Prädestination) * In der Erlösung offenbart sich Gottes Barmherzigkeit, in der Verdammnis Gottes Gerechtigkeit (Lehre von der doppelten Prädestination) * Gott ist das Eine, Wahre, Gute, weshalb jede Vernunfterkenntnis Gotteserkenntnis ist. * Auch der Skeptiker muss das Vorhandensein von Empfindungen anerkennen (Innere Erfahrung = Dualismus von Leib und Seele). Die Seele ist das Ganze der Persönlichkeit. * Die Seelentätigkeiten sind Vorstellung, Urteil und Wille. Entsprechend ist die Wirklichkeit bestimmt durch Sein, Wissen und Wollen. * Der Antrieb des Menschen ist sein Wille. Die wahre Erfüllung des Willen ist die Anschauung Gottes. * Unterscheidet im ''Gottesstaat'' in ein diesseitiges weltliches Reich und einen jenseitigen Gottesstaat (Zwei-Reiche-Lehre) * Ziel ist die Überwindung des weltlichen Reiches zugunsten des Gottesstaates und damit der Überwindung der Entfremdung von Mensch und Gott * Philosophie der Zeit und Philosophie des Zweifels '''Pseudo-Dionysius Areopagita''' * Unbekannter Schreiber * Alles Sichtbare ist nur ein Gleichnis des Unsichtbaren * Den Aufstieg zum Einen erreicht man durch Reinigung, Erleuchtung und Kontemplation === Scholastik 500–1400 === ==== Frühes Mittelalter ==== Die Übergangszeit zwischen Patristik und Scholastik hat kein eigenständiges neues Denken hervorgebracht. Allerdings gab es eine Reihe wichtiger Personen, die an der Tradierung der antiken Bildung maßgeblichen Anteil hatten. '''Johannes Scotus Eriugena''' [[Datei:Johannes-Scotus-Erigena.jpg|60px]] * Irischer Naturphilosoph, der die Bedeutung der Vernunft betonte. * Eigenes System mit Gott als Ursache und Ziel alles Seienden * Übernahm die Emanationslehre Plotins und lehnte Augustinus’ Prädestination ab ==== Frühscholastik ==== Die Frühscholastik ist die Zeit der Schulphilosophie, in der herausragende Denker sich nicht mehr auf die klösterliche Kontemplation beschränken, sondern mit Argumenten der Vernunft offensichtliche Widersprüche in den kirchlichen Lehren hinterfragen und diskutieren wollten. Oft brachten solche Diskussionen sie in Gefahr. Sie wurden als Ketzer verurteilt und mussten ihre Thesen widerrufen, wenn sie keine Risiken für Leib und Leben eingehen wollten. Dennoch fanden sich immer wieder freie Geister, die aus Überzeugung für die Vernunft eintraten. '''Berengar von Tours''' * Sah im Abendmahlstreit Brot und Wein nur als sinnbildlich an. * Argumentierte, dass er in der Vernunft nach dem Bilde Gottes geschaffen sei. '''Petrus Damiani''' * Kämpfte gegen die Sittenlosigkeit der römischen Geistlichkeit. * Prägte den Spruch von der Philosophie als der Magd der Theologie. '''Anselm von Canterbury''' * Wandte die Dialektik als Methode auf die christliche Gotteslehre an. * führte den ontologischen Gottesbeweis * Bekannte mit Augustinus "ich glaube, um zu verstehen" '''Peter Abaelard''' [[Datei:Abelard and Heloise.jpeg|60px]] * Bedeutendster Philosoph der Frühscholastik * Vermittelte im Universalienstreit mit dem Konzeptualismus * Entwickelte die scholastische Methode fort ''(sic et non)'' * Empfindung als verworrene Vorstellung wird durch den Verstand zu Begriffen und Urteilen verarbeitet. * Schrieb zum Frieden zwischen den Religionen und entwickelte eine Gesinnungsethik (Die Moral liegt im inneren Entschluss.) * Hatte ein berühmtes Verhältnis zu Heloisa ==== Hochscholastik ==== Die Hochscholastik wurde zur Blüte des Aristotelismus. Verglichen mit der auf Augustinus zurückgehenden Ablehnung der Naturwissenschaften und der stark untergeordneten Rolle der Vernunft entstand nun eine weitere Öffnung und Liberalisierung. Es gab immer mehr einzelne Denker, die die Erkundung der Natur durch Experimente forderten, weil nur so wirkliche neue Erkenntnis zu gewinnen sei. Allerdings entstand in der Kirche auch Gegenwehr. Eine zu offene sich auf Aristoteles berufende kritische Vernunft wurde als [[Averroismus]] mit Verboten belegt. '''Albertus Magnus''' * Beeindruckte durch umfangreiches naturwissenschaftliches Wissen * Lehrte als einer der ersten Aristoteles * Das „natürliche Licht“ der Erkenntnis der Philosophie steht im Einklang mit der Offenbarung, welche aber umfassender ist. '''Thomas von Aquin''' [[Datei:St-thomas-aquinas.jpg|60px]] * Einklang von Wissenschaft und Vernunft * Wahrheit = adaequatio rei et intellectus * Vorrang der Offenbarungslehren (Sakramente, jüngstes Gericht, Jungfräuliche Geburt) * Gott als Verursacher (causa effiziens) und Endzweck (causa finalis) * Kardinaltugenden * Unsterblichkeit der Seele, die sowohl reiner Geist als auch Entelechie des Leibes ist. * Nach göttlichem Plan ist Zweck des Staates die Tugend unter dem Naturrecht (lex naturalis) zu verwirklichen. '''Siger von Brabant''' * Averroist * Wollte Aristoteles ohne Offenbarungslehren unterrichten '''Roger Bacon''' * Früher Emprist mit praktischen Experimenten * Wendete sich gegen Vorurteile, Gewohnheit und Mangel an Selbstkritik. * Autorität der Theologie ist allein Gottes Wille. ==== Spätscholastik ==== In der Spätscholastik schlug das Pendel erneut um. Viele Denker erkannten nun, dass eine rein auf Logik und Vernunft aufgebaute Glaubenslehre nicht mehr durchhaltbar war und forderten die Trennung von Glauben und Vernunft. Bildung verbreitete sich auch durch die fortschreitenden Universitätsneugründungen immer mehr und ging Schritt für Schritt auch auf bürgerliche Kreise über, die ihren Lebensunterhalt nicht mehr im Rahmen kirchlicher Institutionen verdienten. '''Johannes Duns Scotus''' [[Datei:JohnDunsScotus.jpg|60px]] * Gegenspieler von Thomas (Logiker und Mathematiker) * Der Wille hat Vorrang vor der Vernunft. Das Gute wird durch den Willen bestimmt und steht höher als das Wahre * Erste Schritte zur Trennung von Theologie und Philosophie: Weder der zeitliche Anfang der Welt noch die Unsterblichkeit der Seele lassen sich beweisen. '''Wilhelm von Ockham''' [[Datei:William of Ockham - Logica 1341.jpg|60px]] * Ockhams Rasiermesser * Beiträge zur Logik und zur Sprachphilosophie * Begriffe sind nicht Abbilder, sondern nur Zeichen (Nominalismus bzw. Terminismus) * Forderte Trennung von Kirche und Staat und musste deshalb nach München fliehen. ==== Mittelalterliche Mystik ==== Wie auch andere Zeiten war das Mittelalter stets begleitet von mystischem Denken, von der Überzeugung, dass die wahre Erfüllung nur in der Kontemplation und in einem unmittelbaren Glauben zu erreichen ist. '''Bernhard von Clairvaux''' [[Datei:Bernhard von Clairvaux (Initiale-B).jpg|60px]] * Die eigentliche Tugend des Christen ist die Demut * Gegenspieler Abaelards '''Hildegard von Bingen''' * Allgemeine Lebensregeln und medizinische Texte '''Meister Eckhart''' * Vernunft ohne Kontemplation ist nicht vollendet == Renaissance und Reformation 1400–1600 == Die Philosophie der Renaissance und des Humanismus und damit die studia humanitatis war in ihrer Arbeitsweise noch ganz mittelalterlichen Traditionen verbunden, arbeitete also spekulativ und textbezogen, sie öffnete sich aber mehr und mehr auch bereits vorhandenen naturwissenschaftlichen Fragestellungen und Methoden, die dann das beherrschende Thema der Philosophie der Neuzeit bilden werden. Für diese Epoche spricht man auch vom Renaissance-Humanismus. Renaissance bedeutet Wiedergeburt. Die Periode wird so bezeichnet, weil die Texte der antiken griechischen und römischen Philosophen neu rezipiert wurden und zugleich eine Loslösung von den mittelalterlichen Schulen der Scholastik erfolgte. === Dichter und Künstler === In einer Zeit immer stärker wachsender und von der Kirche immer unabhängiger werdender Städte Italiens waren es vor allem die Dichter und Künstler, die schon sehr früh die Freiräume nutzten und eigenständige Sichtweisen auf die Welt entwickelten. '''Francesco Petrarca''' [[Datei:Francesco Petrarca00.jpg|60px]] * Gegner der Scholastik und des Aristotelismus === Humanismus === Die Humanisten gingen von dem allgemeinen Grundsatz der universalen Vorbildlichkeit der Antike aus. Prägend für die Bewegung war das auf Cicero zurückgehende Konzept der Humanität. Dies verfolgte man durch das Studium des antiken Wissens, die besondere Pflege der Sprache und eine Betonung der Ästhetik. '''Erasmus von Rotterdam''' [[Datei:Desidrius Erasmus by Hans Holbein.jpg|60px]] * Kirchenkritischer Augustiner, aber gegen die Kirchenspaltung * Gegner Luthers in der Frage des Freien Willens * Für religiöse Toleranz und Ächtung von Nationalismus und Krieg. === Philosophen === Die Philosophie der Renaissance schwenkte insbesondere im republikanischen Umfeld der Medici verstärkt zum Platonismus, nachdem auch bisher unbekannte Schriften infolge des Falls von Konstantinopel nach Italien gelangt waren. Im Vordergrund standen weniger Themen der Metaphysik, sondern Fragen der Ethik (Toleranz, Freiheit) und der politischen Philosophie (Volkssouveränität, Völkerrecht). '''Nikolaus von Kues''' [[Datei:Nicholas of Cusa.jpg|60px]] * Die Mathematisierung der Gegenstände der Erfahrung sind Deutungen des Menschen. * Gott als Einheit der räumlich-zeitlichen Unendlichkeit * Zusammenfallen des Gegensätzlichen in der Vernunft '''Giovanni Pico della Mirandola''' [[Datei:Pico1.jpg|60px]] * Trat für die Menschenwürde ein. * Seine 900 Thesen wurden vom Papst verboten. '''Niccolò Machiavelli''' [[Datei:Santi di Tito - Niccolo Machiavelli's portrait headcrop.jpg|60px]] * Politische Herrschaft ist nicht unter moralischen, sondern unter nützlichen Aspekten zu beurteilen * Die drei Staatszwecke der Republik sind Freiheit der Bürger, Größe und Gemeinwohl '''Thomas Morus''' [[Datei:Hans Holbein, the Younger - Sir Thomas More - Google Art Project.jpg|60px]] * Schrieb eine Utopie über die beste Verfassung des Gemeinwesens ohne Privateigentum, mit Bildung für alle und Religionsfreiheit === Reformation === Die durch die Verkrustung der Kirche in der Scholastik ausgelöste Diskussion um ihre Reformbedürftigkeit führte unter der Überschrift „Zurück zur Schrift“ zur Reformation. Religiöse Riten wie Wallfahrten, Kasteiungen u.ä. wurden ebenso abgelehnt wie Ablassbriefe und Ämterkauf. Was alleine zählte, war das Wort, durch das der Mensch zu Gott findet. Dies war das Motiv zur wirkungsmächtigen Bibelübersetzung. '''John Wyclif''' * Bestritt den politischen Machtanspruch des Papstes * Papst Gregor XI. verlegt die Residenz zurück nach Rom * Doppelpapst und „großes Abendländisches Schisma“ '''Jan Hus''' [[Datei:BildnisJanHus1562.jpg|60px]] * Die Bibel ist die einzige Autorität * Begründete die Bewegung der Hussiten * 1415–1436 Hussitenkriege '''Martin Luther''' [[Datei:Lucas Cranach (I) workshop - Martin Luther (Uffizi).jpg|60px]] * Gilt als geistiger Vater der Reformation * Gegen Ablassbriefe, Ämterkauf, Wallfahrten und Kasteiungen * Allein der Glaube, Allein die Schrift, Allein die Gnade * Konzil von Konstanz beendet das Schisma * Deutscher Bauernkrieg '''Ulrich Zwingli''' [[Datei:Ulrich-Zwingli-1.jpg|60px]] * Wandte sich mit Luther gegen Ablasskrämer und mit Erasmus gegen den Krieg. * 1484 Bulle des Papstes zur Hexenverfolgung '''Johannes Calvin''' [[Datei:Jean Calvin.png|60px]] * Verfasste den Genfer [[Katechismus]] und eine Kirchenordnung mit strenger Kirchenzucht === Naturwissenschaftler === Den Übergang in die neue Zeit weisen auch sehr deutlich die italienischen Naturphilosophen, die erheblichen Mut beweisen mussten, weil sie immer wieder der Gefahr ausgesetzt waren, dass ihre neuen [[Erkenntnis]]se von der Kirche abgelehnt und sie von der [[Inquisition]] verfolgt wurden. Schrittweise setzten sie auch mit hohen persönlichen Opfern durch, dass die Ergebnisse empirischer Forschung nicht geleugnet werden konnten. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1473–1543 | [[Nikolaus Kopernikus]] [[Datei:Copernicus-Boissard.gif|60px]] | * [[Heliozentrisches Weltbild]] aufgrund von Beobachtungen | * 1487/88 [[Bartolomeu Diaz|Diaz]] entdeckt das [[Kap der guten Hoffnung]] |- | 1493–1541 | [[Paracelsus]] [[Datei:Paracelsus.jpg|60px]] | * Kritisierte die herkömmliche Medizin * Formulierte die [[Signaturenlehre]] zum Auffinden von Heilmittelträgern * Verwendete [[Alchemie|alchemistische]] Techniken zur Extraktion von Wirkstoffen * Entwickelte pharmazeutische Kenntnisse ([[Opiumtinktur|Laudanum]]) | * 1492 Kolumbus entdeckt [[Amerika]] |- | 1501–1576 | [[Gerolamo Cardano]] [[Datei:Gerolamo Cardano, self-portrait (1501–1576).jpg|60px]] | * Erfand als Mediziner und Mathematiker das [[Kreuzgelenk|Kardangelenk]] | * 1497–1499 [[Vasco da Gama]] entdeckt den Seeweg nach Indien |- | 1509–1588 | [[Bernardino Telesio]] [[Datei:Bernardino Telesio.jpg|60px]] | * Licht und Wärme sind bewegende Urkräfte * gründete eine Akademie der Naturforscher | * 1499 [[Amerigo Vespucci]] erforscht die Ostküste Südamerikas |- | 1519–1603 | [[Andrea Cesalpino]] [[Datei:Andrea Cesalpino.jpg|60px]] | * Botaniker und Physiologe | * [[Jesuiten|Societas Jesu, SJ]] gegründet am 15. August 1534 von einem Freundeskreis um [[Ignatius von Loyola|Íñigo López de Loyola]] |- | 1548–1600 | [[Giordano Bruno]] [[Datei:Giordano Phillipo Bruno - Livre du recteur - 1578.jpg|60px]] | * Starb wegen [[Pantheismus]] durch die Inquisition auf dem [[Scheiterhaufen]] * Verkündete die Unendlichkeit des [[Universum]]s als System zahlloser vergänglicher Welten und Gott als Quelle ewigen Wandels * Gott ist das Lebensprinzip jedes Einzeldings, des größten und des kleinsten * Theorie der [[Monade (Philosophie)|Monaden]] | * 1543 Spanien gründet das [[Vizekönigreich Peru]] |- | 1564–1642 | [[Galileo Galilei]] [[Datei:Galileo.arp.300pix.jpg|60px]] | * [[Freier Fall|Fallgesetze]] als Ausgangspunkt der [[Mechanik]] * Das Buch der Natur ist in der Sprache der [[Mathematik]] geschrieben. * Systematisches [[Experiment]] durch Eingriffe in die Natur * wahre Naturerkenntnis ist quantitativ | * 1602 Gründung der [[Niederländische Ostindien-Kompanie|Niederländischen Ostindien-Kompanie]] |- | 1568–1639 | [[Tommaso Campanella]] [[Datei:Campanella-2.png|60px]] | * Utopie: Der Sonnenstaat * Verbrachte durch die [[Inquisition]] 27 Jahre im Kerker * alles Wissen ist Wahrnehmung (Sensualismus) * alle Welterkenntnis hat ihren Ursprung in der Selbsterkenntnis | |- | 1571–1630 | [[Johannes Kepler]] | * Bestätigte Kopernikus mathematisch | |- | 1592–1655 | [[Pierre Gassendi]] [[Datei:PierreGassendi.jpg|60px]] | * Bestätigte als Astronom Berechnungen Keplers * Setzte sich als Atomist philosophisch mit Aristoteles und Epikur auseinander | * [[Robert Boyle]] (1627–1692) entwickelt einen modernen Elementbegriff und fordert eine systematische auf exakten Experimenten beruhende Naturwissenschaft |- |bgcolor="#DDDDDD" colspan="4"| == Frühe Neuzeit 1600–1800 == Die [[Philosophie der Neuzeit|Philosophie]] in der Zeit von [[Barock]] und [[Aufklärung]] ([[17. Jahrhundert|17.]] und [[18. Jahrhundert]]) ist ein Abschnitt der [[Philosophiegeschichte]], der einerseits vom neuen [[naturwissenschaft]]lichen [[Weltbild]] und den dazugehörigen mathematischen [[Methode (Erkenntnistheorie)|Methoden]] (analytische [[Geometrie]], [[Analysis]]) bestimmt war; andererseits trieb das Streben nach [[Freiheit]] und [[Bürgerrecht]]en auf Umwälzungen zu, die in der [[Französische Revolution|Französischen Revolution]] gipfelten. Der Ansatz des [[Rationalismus]], der das [[Subjekt (Philosophie)|Subjekt]] und die [[Vernunft]] in den Vordergrund stellte, stand im Widerstreit zu dem des [[Empirismus]], der in seiner philosophischen Welterklärung nur solche [[Hypothese]]n akzeptierte, die sich auf sinnliche [[Wahrnehmung]] zurückführen lassen. |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Rationalismus === Der [[Rationalismus]] (von [[latein]]isch ''ratio'' – [[Vernunft]]) ist eine Annahme, der zufolge der Verstand die objektive Struktur der [[Realität|Wirklichkeit]] zu erkennen vermag, und zwar sowohl auf physikalischem, metaphysischem als auch auf moralischem Gebiet. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1596–1650 | [[René Descartes]] [[Datei:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|60px]] | * Systematischer Zweifel verdrängt nicht die Gewissheit eigenen Bewusstseins ([[Cogito ergo sum]]) * es gibt evidente Vorstellungen (eingeborene Ideen), insbesondere das Dasein Gottes (eigener Gottesbeweis) und die Wahrheiten der Mathematik * begründet mit der Entgegensetzung von ausgedehnter Materie ''(res extensa)'' und Geist ''(res cogitans)'' eine [[Dualismus (Ontologie)|dualistische]] Weltsicht * Auch als Mathematiker ([[Analytische Geometrie]]) und Wissenschaftstheoretiker bedeutend | * 20. März 1602 Gründung der [[Niederländische Ostindien-Kompanie|Niederländischen Ostindien-Kompanie]] * 1618 [[Zweiter Prager Fenstersturz|Prager Fenstersturz]] * 1618–1648 [[Dreißigjähriger Krieg]] * 1630 Schweden tritt in den Krieg ein. |- | 1623–1662 | [[Blaise Pascal]] [[Datei:Blaise pascal.jpg|60px]] | * Mathematiker (Wahrscheinlichkeitsrechnung, [[Pascalsches Dreieck]]), Naturforscher (Vakuum) und Literat * erfand eine Rechenmaschine, die [[Pascaline]] * nahm mit den [[Lettres provinciales]] Stellung zugunsten der [[Jansenismus|Jansenisten]] * [[Pensées]] sind persönliche Gedanken über Leiden und Glauben | * 1634 Ermordung [[Wallenstein]]s |- | 1632–1677 | [[Baruch de Spinoza]] [[Datei:Spinoza.jpg|60px]] | * Begründer der [[Geschichte der modernen Bibelkritik|modernen Bibelkritik]] ** Die Erkenntnis Gottes aus der Vernunft hat Vorrang vor der [[Offenbarung]] (Bibel) * [[Metaphysik]] ** Eine Substanz ist Ursprung allen Seins ([[Monismus]]) ** Diese eine Substanz ist Gott ** Alles Sein hat Anteil an dieser Substanz ([[Pantheismus]]) ** Jeder körperliche Vorgang hat ein geistiges Pendant und umgekehrt (Parallelismus von Körper und Geist) * [[Erkenntnistheorie]] ** Nur adäquate Ideen führen zu wahrer Erkenntnis ** Nur auf Gott bezogene Ideen können adäquat sein * [[Ethik]] ** Erziehung zur Vernunft (nur diese liefert adäquate Ideen) ** Streben nach adäquaten Ideen ** Selbstbestimmung durch adäquate Handlungen ** Es gibt keine absolute Freiheit ** Freiheit heißt vielmehr Handeln aus adäquaten Ursachen und Ideen * [[Politische Philosophie]] ** Im [[Naturzustand]] strebt alles danach, sein Sein zu erhalten ** Eine staatliche Gemeinschaft erhöht die Chance auf Selbsterhaltung ** Der Staat strebt ebenfalls nach Selbsterhaltung ** Diese ist aber nur gewährleistet, wenn vernünftig (im Sinne der Bürger) regiert wird | * 1648 [[Westfälischer Friede]] * 1648 Anerkennung der Niederlande |- | 1646–1716 | [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] [[Datei:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|60px]] | * Kleinste Einheit aller Dinge sind die [[Monade (Philosophie)|Monaden]] * Eine Monade ist der Kraftpunkt einer Substanz * [[Mechanistisches Weltbild]] * [[Prästabilierte Harmonie|Prästabilierte universelle Harmonie]] * Die Welt ist die bestmögliche aller Welten * Gott als vollkommenstes Seiendes, als unendliches Ganzes ([[Infinitesimalrechnung|Infinitesimal]]) der Welt * [[Gottesbeweis]] nach dem alles, was vollkommen ist, auch existieren muss * Rechtfertigung des Übels in der Welt ([[Theodizee]]) * Kriterium menschlichen Handelns muss Gottes Wille sein * Entwickelt maßgeblich die mathematische [[Logik]] weiter * Entdecker der [[Infinitesimalrechnung]] (zeitgleich mit [[Isaac Newton]]) | * [[Robert Hooke]] (1635–1703) entwirft eine Luftpumpe zum Nachweis des luftleeren Raumes; für ihn ist Materie aus unsichtbar kleinen, schwingenden Teilchen aufgebaut |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Okkasionalismus === Der [[Okkasionalismus]] (von lateinisch occasio, Gelegenheit, Anlass) vertrat die zentrale These, dass [[Körper (Biologie)|Körper]] und [[Geist]] keinen [[Kausalität|kausalen]] Einfluss aufeinander haben, sondern durch [[Gott]] vermittelt sind. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1625–1699 | [[Arnold Geulincx]] [[Datei:Arnold Geulincx.gif|60px]] | * Gott ist „gelegentlich“ in jeder Handlung tätig * er verbindet [[Rationalismus]] und [[Mystizismus]] * er leugnet jeden kausalen oder auf Kausalität begründenden Zusammenhang zwischen Körper und Geist | * 1648–1653 [[Fronde]] |- | 1626–1684 | [[Géraud de Cordemoy]] [[Datei:Géraud de Cordemoy.jpg|60px]] | * Physiologe * [[Cartesianismus|Cartesianer]] und [[Okkasionalismus|Okkasionalist]] * Vertreter des [[Atomismus]] mit großen Einfluss auf die französischen Philosophen des Materialismus | * [[Hexenprozesse von Salem]] (Salem witch trials) im Jahr 1692 in [[Neuengland]] |- | 1638–1715 | [[Nicolas Malebranche]] [[Datei:Nicolas Malebranche.jpg|60px]] | * Das Zusammenspiel von [[Leib-Seele-Problem|Leib und Seele]] wird von Gott hervorgerufen | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Andere Philosophen === |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1557–1638 | [[Johannes Althusius]] [[Datei:JohannesAlthusius.png|60px]] | * Der Staat beruht auf einem [[Gesellschaftsvertrag]]. * Das Volk ist politisch und religiös autonom. | |- | 1575–1624 | [[Jakob Böhme]] [[Datei:Jacob-Böhme.jpg|60px]] | * [[Mystik]]er: Gott als Leben, Kraft und Wille * Die Welt ist wie ein Baum, von de Wurzel bis zur Blüte vom Lebenssaft des Einen durchdrungen. * Setzte sich für die Idee des [[Freier Wille|Freien Willens]] und die persönliche [[Freiheit]] ein. | |- | 1583–1645 | [[Hugo Grotius]] [[Datei:Michiel Jansz van Mierevelt - Hugo Grotius.jpg|60px]] | * Begründer des [[Völkerrecht]]s * unveräußerliches Recht an der Person | |- | 1624 getauft -1677 | [[Angelus Silesius]] [[Datei:Silesius.png|60px]] | * Mystiker, bekannt für seine [[Epigramm]]e | |- | 1632–1694 | [[Samuel von Pufendorf]] [[Datei:Pufendorf.kupfer.jpg|60px]] | * [[Rechtsphilosoph]], betonte die Menschenwürde * entwarf eine [[Pflichtethik]] | * [[Johann Joachim Becher]] (1635–1682) untersuchte Verbrennungsprozesse und entwickelte die Theorie des [[Phlogiston]]s |- | 1668–1744 | [[Giambattista Vico]] [[Datei:Giovan Battista Vico.jpg|60px]] | * Geschichtsphilosoph | * [[Georg Ernst Stahl]] (1659–1734) experimentierte mit chemischen Verbindungen und erweiterte die Phlogistontheorie |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Britischer und Schottischer Empirismus === Der [[Empirismus]] ([[Griechische Sprache|griechisch]] εμπειρισμός, Erfahrung) ist eine [[Erkenntnistheorie|erkenntnistheoretische]] Richtung in [[Philosophie]] und [[Psychologie]], die alle [[Erkenntnis]]se aus [[Sinn (Wahrnehmung)|Sinneserfahrungen]] ableitet. Als [[logischer Empirismus]] und [[Konstruktiver Empirismus]] wirkt er bis in die [[Philosophie der Gegenwart|Gegenwartsphilosophie]]. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1561–1626 | [[Francis Bacon]] [[Datei:Francis Bacon, Viscount St Alban from NPG (2).jpg|60px]] | * Wissen ist Macht * Forderte naturwissenschaftliche Forschung (ars inveniendi) * Induktion als Fortschritt vom Konkreten zum Allgemeinen * Schrieb die Utopie: Neu Atlantis | * 1599–1658 [[Oliver Cromwell]] |- | 1588–1679 | [[Thomas Hobbes]] [[Datei:Thomas Hobbes (portrait).jpg|60px]] | * Alle Naturerkenntnis basiert auf Geometrie * Philosophie ist die Lehre von der Bewegung der Körper * [[Staatsphilosophie]] ** Im [[Naturzustand]] herrscht ein Kampf aller gegen alle ''([[bellum omnium contra omnes]])'' ** Es gibt keine naturgegebenen Rechte, die das Miteinander regeln ''([[homo homini lupus est]])'' ** Die Sicherheit des Einzelnen ist permanent gefährdet ** Deshalb schließen die Menschen einen (unkündbaren) [[Gesellschaftsvertrag]] ** Ziel ist die Schaffung einer öffentlichen Ordnung ** Die individuelle Freiheit wird zugunsten der Sicherheit eingeschränkt ** Die Ausübung der Staatsgewalt wird auf einen Souverän übertragen ** Die Macht des Souveräns ist absolut und ungeteilt ([[Absolutistische Monarchie|absolutistische]] [[Staatstheorie]]) ** Widerstand ist nur bei einer Gefährdung des Selbstbehauptungsrechts des Einzelnen oder des Volkes legitim ** Seine Legitimation erhält der Souverän vom Volk und nicht mehr von Gott | * 1642–1649 [[Englischer Bürgerkrieg]] * 1660 [[Stuart-Restauration]] der Monarchie |- | 1611–1677 | [[James Harrington]] [[Datei:James Harrington opt.jpg|60px]] | * Politischer Philosoph * Utopie: ''The commonwealth of Oceana'' | |- | 1632–1704 | [[John Locke]] [[Datei:John Locke.jpg|60px]] | * Frage nach dem letzten Grund von Sein ist nicht beantwortbar * [[Empirismus]] ** Das Bewusstsein ist bei Geburt eine tabula rasa ** „Nichts ist im Verstand, was nicht vorher in den Sinnen gewesen ist“ ([[Sensualismus]]) ** Der Verstand verarbeitet die Sinneswahrnehmungen weiter * [[Mechanistisches Weltbild]] * [[Staatsphilosophie]] ** [[Privateigentum]], [[Freiheit]] und Leben sind von Gott verliehene [[Naturrecht]]e ** Jeder ist bei der Durchsetzung dieser Rechte aber auf sich allein gestellt ** Der [[Naturzustand]] ist also ein Rechtsraum ohne [[Rechtsgleichheit]] und Rechtssicherheit ** Zur Herstellung von Rechtsgleichheit und -sicherheit schließen die Menschen einen [[Gesellschaftsvertrag]] ** Die Aufgabe, die Naturrechte durchzusetzen wird darin treuhänderisch an die politische Gemeinschaft (Staat) delegiert ** Höchstes Organ ist die [[Legislative]] (die Regierung), sie repräsentiert das Volk ** und kontrolliert die [[Exekutive]], den Monarchen ([[konstitutionelle Monarchie]]) ** Die Legislative ist absetzbar, wenn sie den Gesellschaftsvertrag bricht ** Das Volk ist somit [[Souverän]], der Herrscher erhält seine Legitimation vom Volk und ist nicht mehr Herrscher von Gottes Gnaden ** Hatte wesentlichen Einfluss auf die [[Verfassung der Vereinigten Staaten]] | * 1679 [[Habeas Corpus Act]] * 1688 [[Glorious Revolution]] * 1689 [[Bill of Rights (England)|Bill of Rights]] * 1686 das [[Newtonsches Gravitationsgesetz|newtonsche Gravitationsgesetz]] wurde in seinem Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica formuliert |- | 1685–1753 | [[George Berkeley]] [[Datei:George Berkeley by John Smibert.jpg|60px]] | * Empirist ''und'' Idealist * Sein ist Wahrgenommen werden ''(esse est percipi)'' * Die Welt ist ein Phänomen menschlichen Bewusstseins | * 1707 Realunion von England und Schottland |- | 1694–1746 | [[Francis Hutcheson]] [[Datei:Francis Hutcheson b1694.jpg|60px]] | * Empirist und Ökonom, der die Moral in den Vordergrund stellte. | * 1757 [[Schlacht bei Plassey]] – Beginn der britischen Kolonialherrschaft in Indien |- | 1711–1776 | [[David Hume]] [[Datei:Allan Ramsay - David Hume, 1711 - 1776. Historian and philosopher - Google Art Project.jpg|60px]] | * Empirist mit Skepsis * Kausalanalyse: Untersucht das Wesen kausaler Beziehungen und die menschliche Erkenntnis darüber * [[Induktionsproblem]]: Problematisiert induktive Schlüsse aus der Erfahrung * Religionskritiker und Ökonom | * 1759/60 England erobert [[Provinz Québec (1763–1791)|Quebec]] und [[Montreal]] * 1773 [[Boston Tea Party]] |- | 1723–1790 | [[Adam Smith]] [[Datei:AdamSmith.jpg|60px]] | * Nicht nur bedeutender Ökonom und liberaler Staatstheoretiker sondern auch Moralist, der den externen Beobachter erfand. | * 1783 [[Frieden von Paris (1783)|Friede von Paris]] beendet [[Amerikanischer Unabhängigkeitskrieg|Amerikanischen Unabhängigkeitskrieg]] * 1759–1806 [[William Pitt der Jüngere]] |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Cambridger Platoniker === |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1614–1687 | [[Henry More]] [[Datei:Henry More.jpg|60px]] | * Briefwechsel mit Descartes * Kritisierte ein [[mechanistisches Weltbild]], den [[Materialismus]] und den [[Atheismus]] * auch der Geist hat räumliche Ausdehnung in einer eigenen Sphäre * der Raum ist absolut, homogen, immateriell und unendlich * Forderung nach rationaler Nachvollziehbarkeit der Glaubensinhalte und Ablehnung des religiösen Dogmatismus * Die grundlegenden ethischen Prinzipien sind sie dem Menschen angeboren und mathematischen Axiomen vergleichbar. * lehrte die Präexistenz der Seele | * [[Englischer Bürgerkrieg]] von 1642 bis 1649 zwischen König [[Karl I. (England)|Karl I.]] („[[Kavalier|Cavaliers]]“) gegen das [[Englisches Parlament|englische Parlament]] („[[Roundhead]]s“) |- | 1617–1688 | [[Ralph Cudworth]] [[Datei:Ralph Cudworth.jpg|60px]] | * Kritisierte Atheismus und Determinismus, auch die calvinistischen Lehre von der „doppelten [[Prädestination]]“ * Nahm die Unabhängigkeit des Intellekts von der Sinneswahrnehmung an | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Weitere britische Aufklärer === |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1643–1727 | [[Isaac Newton]] [[Datei:Sir Isaac Newton by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg|60px]] | * Herausragender Naturwissenschaftler, Hauptwerk: [[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica]] * Schuf mit den [[Newtonsche Gesetze|Newtonschen Gesetzen]] eine neue [[Bewegungsgesetze|Theorie der Bewegung]] mit der [[Gravitation]] als Grundlage der [[Klassische Mechanik|Klassischen Mechanik]] * gab im Bereich der Optik eine Erklärung des [[Lichtspektrum]]s und vertrat gegen [[Christiaan Huygens|Huygens]] eine Teilchentheorie des Lichts * Vertrat gegen Leibniz eine Theorie des absoluten Raumes und der absoluten Zeit * entwickelte parallel zu Leibniz die [[Infinitesimalrechnung]] * kritisierte den Rationalismus von Descartes und Leibniz * befürwortete in der Nachfolge Galileis stark die experimentelle, induktive Methode und wandte sich gegen eine [[Spekulation (Philosophie)|spekulative Philosophie]] („Hypothesen bilde ich nicht“) * formulierte als Regeln des Philosophierens Einfachheit, Anerkennung der Kausalität, Ableitung von Lehrsätzen aus der Erfahrung und Nachweis der Gesetzmäßigkeiten durch Experimente * Naturerscheinungen sind auf mathematische Gesetze zurückzuführen * Kritisierte die [[Dreifaltigkeit|Trinitätslehre]] und vertrat die Auffassung, dass Gott als geistiges Prinzip in der Wechselwirkung aller Körper präsent ist, wenn er dieses will. | |- | 1671–1713 | [[Anthony Ashley-Cooper, 3. Earl of Shaftesbury|Lord Shaftesbury]] [[Datei:Anthony Ashley Cooper, 3. Earl of Shaftesbury.jpg|60px]] | * Schrieb über Freiheit und Moral * Wandte sich gegen Hobbes' Egoismus | * [[Act of Union 1707]] Vereinigung des [[Königreich England|Königreichs England]] und des [[Königreich Schottland|Königreichs Schottland]] * [[Kleine Eiszeit]] Kälteperioden mit mehreren Temperaturminima, etwa von 1675 bis 1715 |- | 1675–1729 | [[Samuel Clarke]] [[Datei:Samuel Clarke NPG extract.jpg|60px]] | * versuchte die [[Natürliche Theologie]] und die Moral neu zu begründen * wandte sich ebenso gegen [[Pantheismus]] wie gegen Skeptizismus * stritt mit Leibniz in berühmten Briefen über den Atheismus-Vorwurf gegen Newton | |- | 1678–1751 | [[Henry St. John, 1. Viscount Bolingbroke|Lord Bolingbroke]] [[Datei:Henry St John, 1st Viscount Bolingbroke (1678-1751).jpg|60px]] | * Bewirtete Voltaire im Exil | * [[Thomas Newcomen]] konstruierte 1712 erste verwendbare Dampfmaschine |- | 1721–1793 | [[William Robertson (Historiker)|William Robertson]] [[Datei:WilliamRobertsonColour.jpg|60px]] | * Schottischer Historiker und Sozialethiker des [[Scottish Enlightenment]]. | |- | 1723–1816 | [[Adam Ferguson]] [[Datei:ProfAdamFerguson.jpg|60px]] | * Schottischer Historiker und Sozialethiker der Aufklärung * Mitbegründer der wissenschaftlichen Disziplin [[Soziologie]] | |- | 1728–1777 | [[Thomas Reid]] [[Datei:ThomasReid.jpg|60px]] | * Begründer der [[Common-Sense-Philosophie|schottischen Schule]] * [[Common-Sense-Philosophie]] als Kritik Humes | |- | 1729–1797 | [[Edmund Burke]] [[Datei:EdmundBurke1771.jpg|60px]] | * Antiaufklärer * Hierarchie im Staat ist natur- und gottgegeben. | |- | 1737–1794 | [[Edward Gibbon]] [[Datei:Edward Gibbon by Henry Walton cleaned.jpg|60px]] | * Historiker * ''The History of the Decline and Fall of the Roman Empire'' | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Französische Aufklärer === Das Zeitalter der Aufklärung ist eine [[Zeitalter|Epoche]] in der geistigen Entwicklung der westlichen Gesellschaft im [[17. Jahrhundert|17.]] bis [[18. Jahrhundert]], die besonders durch das Bestreben geprägt ist, das Denken mit den Mitteln der [[Vernunft]] von althergebrachten, starren und überholten Vorstellungen, Vorurteilen und [[Ideologie]]n zu befreien und Akzeptanz für neu erlangtes Wissen zu schaffen. Es ist die Bewegung der [[Säkularisierung]] und eine Abkehr von der [[Absolutismus|absolutistischen]] hin zu einer [[Demokratie|demokratischen]] Staatsauffassung. Der [[Liberalismus]] mit seinem Konzept der [[Menschenrechte|Menschen-]] und [[Bürgerrecht]]e kam auf. Aufklärung im Sinn einer Herrschaft der [[Vernunft]] fand schon im 17.&nbsp;Jahrhundert statt. Aufklärung als bürgerliche [[Emanzipation]] erstreckt sich etwa von 1730 bis 1800. Diese Periode wurde vor allem durch die von Diskussionen um die mehrfach verbotene [[Encyclopédie]] in Frankreich bestimmt („le siècle des lumières“: das Zeitalter der Lichter). Im Politischen hatte sie ihren Höhepunkt in der [[Französische Revolution|französischen Revolution]]. ==== Französische Frühaufklärer ==== Als [[Frühaufklärung]] bezeichnet man die Frühphase der [[Aufklärung]], in der das Gedankengut der [[Vordenker der Aufklärung|Aufklärer]] vornehmlich durch geheime und anonyme Texte verbreitet wurde sowie mündlich in exklusiven „cercles de pensées“. Einer ihrer radikalsten Vertreter in [[Frankreich]] war der atheistische Pfarrer Jean Meslier. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1612–1694 | [[Antoine Arnauld|Arnauld]] [[Datei:Antoine Arnauld Bibliste Prêtre.jpg|60px]] | * Vertreter des [[Jansenismus]] in [[Port Royal des Champs|Port Royal]] * schrieb über den Einfluss der Grammatik auf die Lautbildung * mit [[Pierre Nicole]] Verfasser der [[Logik von Port-Royal]] | * 1661 [[Ludwig XIV.]] übernimmt selbst die Regierung * [[Devolutionskrieg]] von 1667 bis 1668 |- | 1612–1694 | [[Jean Meslier|Meslier]] [[Datei:Meslier.jpg|60px]] | * katholischer Priester, (curé; [[abbé]]) * vertrat einen konsequent materialistischen, atheistischen Standpunkt * er schrieb eine radikale Kirchen- und Religionskritik |- | 1647–1706 | [[Pierre Bayle|Bayle]] [[Datei:Pierre Bayle 2.png|60px]] | * [[Hugenotten|hugenottischer]] Frühaufklärer, erforschte den [[Halleyscher Komet|Halleyschen Kometen]] * forderte Gewissensfreiheit und Toleranz in der Religion * Dictionnaire historique et critique | * 1618–1693 [[Jean-Baptiste Colbert|Colbert]], der „Erfinder“ des [[Merkantilismus]] * 1766 [[Lothringen]] kommt zu Frankreich |- | 1657–1757 | [[Bernard le Bovier de Fontenelle|de Fontenelle]] [[Datei:Fontenelle 2.jpg|60px]] | * Frühaufklärer und Schriftsteller * blieb der Cartesianischen Physik verhaftet, auch nachdem sie durch die Arbeiten Isaac Newtons überholt war * 1752 vertrat er in seiner ''Théorie des tourbillons cartésiens'' die [[Wirbeltheorie]] von Descartes aus dem Jahre 1644 | * [[Holländischer Krieg|Niederländisch-Französischer Krieg]] von 1672 bis 1678 |- | 1689–1755 | [[Charles de Secondat, Baron de Montesquieu|Montesquieu]] [[Datei:Montesquieu 1.png|60px]] | * Geschichtsphilosoph und Staatstheoretiker * Lieferte mit der Idee der Gewaltenteilung eine wichtige Grundlage für die amerikanische Verfassung | * [[Étienne François Geoffroy]] (1672–1731) veröffentlicht 1718 Tabellen chemischer Affinitäten, mit denen Stoffe nach ihrer relativen Bindungsstärke geordnet werden |- | colspan="4" style="background:#eee;" | ==== Französische Aufklärer und Enzyklopädisten ==== Als '''die Enzyklopädisten''' werden die 144 Beiträger der ''[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers]]'' bezeichnet. Aber nicht alle französischen Aufklärer waren [[Enzyklopädist (Encyclopédie)|Enzyklopädisten]]. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1694–1778 | [[Voltaire]] [[Datei:Atelier de Nicolas de Largillière, portrait de Voltaire, détail (musée Carnavalet) -001.jpg|60px]] | * Kritiker des Absolutismus, des Klerus und der Feudalherrschaft * [[Enzyklopädist (Encyclopédie)|Enzyklopädist]] | * 1673–1678 [[Holländischer Krieg]] * [[Erdbeben von Lissabon 1755]] |- | 1698–1759 | [[Pierre-Louis Moreau de Maupertuis|Maupertuis]] [[Datei:PierreLouisMaupertuis.jpg|60px]] | * Entdeckte das Prinzip der kleinsten Wirkung | * Krieg gegen die [[Liga von Augsburg]] 1688–1697 * [[Spanischer Erbfolgekrieg]] 1701–1713 |- | 1706–1749 | [[Émilie du Châtelet]] [[Datei:Inconnu, portrait de madame Du Châtelet à sa table de travail, détail (château de Breteuil) -002.jpg|60px]] | * Mathematikerin und Physikerin * Übersetzte Newtons ''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'' ins Französische, wobei sie die Notation von Leibniz verwendete * Schrieb mit Voltaire eine Einführung in die ''Principia Mathematica'' * Arbeitete mit [[Willem Jacob ’s Gravesande]] über [[kinetische Energie]], wobei sie die Position von Leibniz gegen Newton stützte * Beeinflusste Maupertuis und de La Mettrie mit ihren Überlegungen zur Bewegung, zum freien Willen, sowie zur denkenden Materie, zu Zahlen und dem Weg zu einer substantiellen Metaphysik * Ihr Werk ''Institutionen der Physik'' diente teilweise als Grundlage der [[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|Encyclopédie]] im Bereich der Physik * Lehnte wie Voltaire Offenbarungsreligionen ab * Forderte die Teilhabe von Frauen an allen Menschenrechten | |- | 1709–1751 | [[Julien Offray de La Mettrie|La Mettrie]] [[Datei:Julien Offray de La Mettrie.jpg|60px]] | * Materialist, Atheist und Religionskritiker * Die Seele ist eine Körperfunktion * Schuldgefühl („remords“) ist Erzübel des Menschen * Angefeindet von frz. Aufklärern (F.A. Lange: „Prügelknabe“) | |- | 1712–1778 | [[Jean-Jacques Rousseau|Rousseau]] [[Datei:Jean-Jacques Rousseau (painted portrait).jpg|60px]] | * Erziehungs- und Staatsphilosoph * Enzyklopädist * Wegbereiter der [[Französische Revolution|Französischen Revolution]] * Der Mensch ist von Natur aus gut * Friedfertiger, auf Freiheit und Gleichheit Aller beruhender [[Naturzustand]] * [[Entfremdung]] und Verfall des Naturzustandes, u.&nbsp;a.&nbsp;durch Entstehung von [[Privateigentum]] * [[Gesellschaftsvertrag]] ([[contrat social]]) hebt diese Entfremdung auf (zurück zur Natur) * [[Volonté générale]] (allgemeiner Wille) als Regulativ ist Hauptbestandteil des Vertrags * Modell einer [[Radikale Demokratie|radikalen Demokratie]] | * Ludwig XIV. ''Louis le Grand'' stirbt am 1. September 1715 |- | 1713–1784 | [[Denis Diderot|Diderot]] [[Datei:Greuze Portrait of Diderot.jpg|60px]] | * Mitherausgeber der [[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|Encyclopédie]] * Der Erkenntnisprozess als eine Wechselwirkung zwischen [[Beobachtung]], kombinierender [[Reflexion (Philosophie)|Reflexion]] und [[Experiment]] * Die ''sensibilité universelle'' ist der Materie zu eigen und ermöglicht den Übergang vom anorganisch, toten zum organisch, lebenden Zustand * Materialist * Enzyklopädist | * Regentschaft des [[Philippe II. de Bourbon, duc d’Orléans|Philippe II. d’Orléans]] von 1715 bis 1723 ([[Régence]]) * [[Ludwig XV.]] übernimmt 1726 die Regierungsgeschäfte Frankreichs * [[Louis Antoine de Bougainville]]s Weltumseglung 1766–1769 |- | 1715–1771 | [[Claude Adrien Helvétius|Helvétius]] [[Datei:AduC 006 Claude Adrien Helvétius (1715–1771).jpg|60px]] | * Sensualist und Materialist | * 1717–1780 [[Maria Theresia]] * Der Arzt, Apotheker, Chemiker [[Gabriel-François Venel]] (1723–1775) liefert in der ''Encyclopédie'' 673 Beiträge über die Themen Chemie, Pharmazie, Physiologie und Medizin |- | 1715–1780 | [[Étienne Bonnot de Condillac|Condillac]] [[Datei:Étienne Bonnot de Condillac.jpg|60px]] | * Sensualist wie John Locke * Unterschied natürliche Zeichen und künstliche Zeichen (Sprache und Schrift) | * [[Katharina II.|Katharina die Große]] 1729–1796 * [[Siebenjähriger Krieg]] 1756–1763 |- | 1717–1783 | [[Jean Baptiste le Rond d’Alembert|d’Alembert]] [[Datei:Maurice Quentin de La Tour - Portrait de Jean Le Rond d'Alembert.jpg|60px]] | * Mathematiker und Physiker * Mitherausgeber der Encyclopédie, [[Enzyklopädist (Encyclopédie)|Enzyklopädist]] | * Frühe Form des Rokoko (Regence) von 1715 bis 1730 * Frankreich kauft [[Korsika]] von der Republik [[Genua]] 1768 |- | 1723–1789 | [[Paul Henri Thiry d’Holbach|d'Holbach]] [[Datei:Paul Heinrich Dietrich Baron d'Holbach Roslin.jpg|60px]] | * Materialist, der die Religion als die größte Feindin der Moral sah. * Mitarbeiter der ''Encyclopédie''. * Wichtigstes Werk [[Système de la nature ou des loix du monde physique & du monde moral]] (1770) | * 1789 [[Französische Revolution]] |- | 1735–1820 | [[Jean-Baptiste-René Robinet|Robinet]] | * Sensualist * Enzyklopädist | * Blüte des [[Rokoko]] von 1730 bis 1770 * 1793 Hinrichtung [[Ludwig XVI.]] |- | 1740–1814 | [[Donatien Alphonse François de Sade|de Sade]] [[Datei:Marquis de Sade by Loo.jpg|60px]] | * radikalisierte den französischen Materialismus zum [[Amoralismus]] | |- | 1743–1794 | [[Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet|Condorcet]] [[Datei:Nicolas de Condorcet.PNG|60px]] | * Liberaler Enzyklopädist * Legte seinen Adelstitel ab. * Trat für das Frauenwahlrecht, die Abschaffung der Sklaverei und für den Freihandel ein | * Terrorregime [[Maximilien de Robespierre|Robespierres]] 1794 * [[Napoleon]] wird Oberbefehlshaber der französischen Streitkräfte 1796 |- | 1748–1836 | [[Emmanuel Joseph Sieyès|Sieyes]] [[Datei:Emmanuel Joseph Sieyès - crop.jpg|60px]] | * Vertreter des [[Dritter Stand|Dritten Standes]] * trug maßgeblich zur neuen Verfassung bei * vertrat eine repräsentative Demokratie * setzte Trennung von Staat und Kirche durch | |- | 1760–1797 | [[François Noël Babeuf|Babeuf]] [[Datei:Gracchus Babeuf.jpg|60px]] | * Ideengeber des [[Frühsozialismus]] * Kritiker des [[Direktorium (Frankreich)|Direktoriums]] und Begründer der ''[[Verschwörung der Gleichen]]'' | * Frankreich erklärt Preußen und Österreich den Krieg 1792 |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Deutsche Aufklärer === In der Nachfolge von Leibniz war die deutsche Aufklärung geprägt durch den Rationalismus und die von Christian Wolff ausgehende Schule des [[Wolffianismus]]. Ursprünglich selbst in dieser Tradition stehend, wurde Immanuel Kant zum Mahner, der in seinen drei Kritiken auf die Grenzen der Vernunft verwies. Indem er die spekulative Metaphysik aufhob und nach den Bedingungen der Möglichkeit von Erkenntnis fragte, gab er der abendländischen Philosophie eine neue Denkrichtung. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1632–1694 | [[Samuel von Pufendorf]] [[Datei:Pufendorf.kupfer.jpg|60px]] | * Naturrechtsphilosoph, Historiker sowie Natur- und Völkerrechtslehrer am Beginn des Zeitalters der Aufklärung * Befürwortung eines einheitlichen Völkerrechts * Beeinflusst die Naturrechtler Christian Thomasius, Christian Wolff und [[Karl Anton von Martini]] | * [[Dreißigjähriger Krieg]] von 1618 bis 1648, Friedensschluss im [[Westfälischer Friede|Friedenskongress von Münster und Osnabrück 1641–1648]] |- |- | 1655–1728 | [[Christian Thomasius]] [[Datei:Christian Thomasius.jpg|60px]] | * Mitinitiator der deutschen Aufklärung * hält als erster Philosoph Vorlesungen in deutscher Sprache | * 1701 Friedrich III. von Brandenburg wird [[Friedrich I. (Preußen)|Friedrich I.]] von Preußen * die 15-jährige Magd [[Dorothee Elisabeth Tretschlaff]] war das letzte Todesopfer der Hexenverfolgung in Brandenburg am 17. Februar 1701 |- | 1679–1754 | [[Christian Wolff (Aufklärer)|Christian Wolff]] [[Datei:Christian Wolff.jpg|60px]] | * rationalistische, in Deutschland im 18. Jahrhundert vorherrschende Lehre (in Austausch mit Leibniz fortentwickelt) * Schuf grundlegende Begriffe wie „Bedeutung“, „Aufmerksamkeit“, „an sich“ | * 1703 Gründung von [[Sankt Petersburg]] – [[Peter der Große]] |- | 1700–1766 | [[Johann Christoph Gottsched]] [[Datei:Johann Christoph Gottsched.jpg|60px]] | * Schüler Wolffs * Übersetzte das Lexikon von Bayle | * 1713–1740 [[Friedrich Wilhelm I. (Preußen)|Friedrich Wilhelm I.]], der Soldatenkönig |- | 1712–1775 | [[Christian August Crusius]] [[Datei:Christian August Crusius.jpg|60px]] | * Gegner Wollfs * Unterscheidung Erkenntnisgrund und Realgrund | * 1740–1786 [[Friedrich II. (Preußen)|Friedrich II.]], der alte Fritz oder Friedrich der Große |- | 1714–1762 | [[Alexander Gottlieb Baumgarten]] | * Begründer der Ästhetik (im Rahmen der Wolffschen Systematik) * Schrieb das Lehrbuch, nach dem Kant unterrichtete. | * 1756–1763 [[Siebenjähriger Krieg]] |- | 1724–1804 | [[Immanuel Kant]] [[Datei:Immanuel Kant (painted portrait).jpg|60px]] | * Vollender der [[Aufklärung]] * ''[[Kritik der reinen Vernunft]]'' ** Was kann ich wissen? ** Bestimmung der Grenzen menschlicher Erkenntnis ** Synthese von [[Empirismus]] und [[Rationalismus]] ** Das „[[Ding an sich]]“ ist für den Menschen nicht erkennbar ** [[Transzendental]]er [[Idealismus]] ** [[Kosmologie#Die kopernikanische Wende|Kopernikanische Wende]] * ''[[Kritik der praktischen Vernunft]]'' ** Was soll ich tun? ** [[Kategorischer Imperativ]] ** Vernunft- und [[Pflichtethik]] * ''[[Kritik der Urteilskraft]]'' ** Vermittlung zwischen Natur und Freiheit ** [[Teleologie]] ** [[Ästhetik]] * Geschichte, Politik, Religion ** Was darf ich hoffen? ** ''[[Die Religion innerhalb der Grenzen der bloßen Vernunft]]'' (Positive Religion ist „Afterdienst“) ** ''[[Zum ewigen Frieden]]'' (Philosophischer Entwurf zur Frage des Friedens zwischen Staaten in Form eines Friedensvertrages) ** ''[[Idee zu einer allgemeinen Geschichte in weltbürgerlicher Absicht]]'' (Ziel des Zusammenlebens ist eine bürgerliche 'Republik) | * 1772 erste [[Teilung Polens]] * 4. April 1775 im [[Fürststift Kempten]] wird der [[Anna Schwegelin]] wegen [[Teufelsbuhlschaft]] als letzter Hexe auf heutigem deutschen Boden der Prozess gemacht. |- |1753–1807 | [[Christian Jakob Kraus]] [[Datei:Christian Jakob Kraus.jpg|60px]] | * Philosoph und Ökonom in der Spätzeit der Aufklärung * Bedeutender Vertreter einer [[Liberalismus|liberalen]] geistigen Strömung und hinsichtlich auf die preußischen Verhältnisse mit einer radikalen Grundhaltung. * Unter dem Einfluss von Immanuel Kant und Johann Georg Hamann | |- | 1728–1777 | [[Johann Heinrich Lambert]] [[Datei:Johann Heinrich Lambert 1829 Engelmann.png|60px]] | * Mathematiker und Erkenntnistheoretiker * Stand mit Kant in regem Briefkontakt. | |- | 1729–1781 | [[Gotthold Ephraim Lessing|Lessing]] [[Datei:Gotthold Ephraim Lessing.PNG|60px]] | * Schriftsteller, der sich für Toleranz der Religionen einsetzte * Gab wichtige Impulse in der Ästhetik | |- | 1729–1786 | [[Moses Mendelssohn]] [[Datei:MendelssohnM.jpg|60px]] | * Wirkte für die Verbindung der Religionen * Freund Lessings | |- | 1736–1805 | [[Johannes Nikolaus Tetens]] [[Datei:Johan Nicolai Tetens (1736-1807).jpg|60px]] | * Nähe zu Leibniz und Wolff | * 1786–1797 [[Friedrich Wilhelm II. (Preußen)|Friedrich Wilhelm II.]] |- | 1742–1798 | [[Christian Garve]] [[Datei:ChristianGarveAntonGraff.jpg|60px]] | * Populärphilosoph und [[Empirismus|Empirist]] * Anonyme, verstümmelnde Rezension der „Kritik der reinen Vernunft“ | * 1797–1840 [[Friedrich Wilhelm III. (Preußen)|Friedrich Wilhelm III.]] |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Spanische bzw. Hispanoamerikanische Aufklärung === |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1676–1764 | [[Benito Jerónimo Feijoo]] [[Datei:Benito Jerónimo Feijoo.jpg|60px]] | * Förderte als Vorläufer der Aufklärung das wissenschaftliche Denken in Spanien. * Versuchte Aberglauben und Volksglauben zu widerlegen. | |- | 1725–1803 | [[Pablo de Olavide]] [[Datei:Pablo Olavide.jpg|60px]] | * ''Afrancesado'', hatte starke Beziehungen zu den Ideen der französischen Aufklärung * [[Philanthrop]] * Spätwerk ''El Evangelio en triunfo o historia de un filósofo desengañado'' (1797) ist eine Apologie des Christentums | * [[Polnischer Erbfolgekrieg]] (1733–1738) |- |- | 1723–1802 |[[Pedro Rodríguez de Campomanes]] [[Datei:Count of Campomanes.jpg|60px]] | * Übersetzte Werke von [[Adam Smith]] | * [[Österreichischer Erbfolgekrieg]] (1740–1748) |- | 1747–1795 |[[Eugenio Espejo]] [[Datei:Eugenioespejo.jpg|60px]] | * verbindet die Ideen der Aufklärung mit der sozialen und kulturellen Wirklichkeit des [[Spanisches Kolonialreich|kolonialen]] [[Quito]]. * tritt das Ideal der Gleichheit von [[Indigene Völker|Indígenas]], [[Mestize]]n und europäischen Kolonialisten ein | * Neuaufteilung der Hispanoamerikanischen Provinzen 1782 bis 1786 unter [[Karl III. (Spanien)|Karl III. von Spanien]] |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Russische Aufklärer === ''Prosveščenie'' oder Aufklärung erhielt ab der zweiten Hälfte des 18.&nbsp;Jahrhunderts im russischen Zarenreich, vor allem unter dem Einfluss von [[Katharina II.]] als Repräsentantin eines [[Aufgeklärter Absolutismus|aufgeklärten Absolutismus]], die Bedeutung für zentrale Begriffe wie ''Bildung'', ''europäische Zivilisation'', ''Emanzipation der menschlichen Verstandeskräfte'', ''Modernisierung und Organisation des russischen Staatswesens'' aber auch im engeren Sinne die Teilhabe Russlands an der europäischen Emanzipationsbewegung der ''Zeit der Aufklärung''. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1749–1802 | [[Alexander Nikolajewitsch Radischtschew]] [[Datei:Radishchev color.jpg|60px]] | * Gegner der Leibeigenschaft * Ideen der Aufklärung (Naturrecht) * Gegner des [[Obskurität|Obskurantismus]] | * [[Großer Nordischer Krieg]] von 1700 bis 1721 |- |- | 1711–1765 | [[Michail Wassiljewitsch Lomonossow]] [[Datei:Lomonosov.jpg|60px]] | * Dichter, Naturwissenschaftler und Reformer der russischen Sprache * Gegner der [[Phlogistontheorie]] * Geprägt durch [[Christian Wolff (Philosoph)|Christian Wolff]] | * [[Russisch-Türkischer Krieg (1768–1774)|Russisch-Türkischer Krieg von 1768 bis 1774]] |- |- | 1704–1795 | [[Iwan Iwanowitsch Bezkoi]] [[Datei:Betskoy Ivan Ivanovich.jpg|60px]] | * Gründung des ersten einheitlichen russischen Systems für die öffentlichen Bildung * Enge Kontakte zu den [[Enzyklopädist (Encyclopédie)|Enzyklopädisten]], so zu Jean-Jacques Rousseau, Denis Diderot | * [[Pugatschow-Aufstand]] oder auch Russischer Bauernkrieg von 1773 bis 1775 |- |bgcolor="#DDDDDD" colspan="4"| == 19. Jahrhundert == Die [[Philosophie des 19. Jahrhunderts]] reicht von der Romantik und dem Idealismus als einen der Höhepunkte der deutschen Philosophie über die vor allem in Frankreich und England starke Gegenbewegung des Positivismus, den Materialismus von Marx und Feuerbach und so starke Einzeldenker wie Schopenhauer, Nietzsche und Kierkegaard bis hin zum Neukantianismus, Pragmatismus und zur Lebensphilosophie. Sie zerfällt damit in so viele verschiedene Richtungen, dass sie nicht mehr mit einem zusammenfassenden Periodenbegriff bezeichnet und zusammengefasst werden kann. |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Romantik === Die [[Romantik]] ist als Gegenbewegung zur vernunftbetonten [[Zeitalter der Aufklärung|Zeit der Aufklärung]] zu verstehen. Bei [[Vernunft]] und [[Wissenschaftlichkeit]] kommen Gefühl, Harmoniebedürfnis und die [[Sehnsucht]] nach einer heilen Welt zu kurz. Neben einem hohen Interesse für [[Literatur]] und [[Musik]] waren Romantiker daher auch oftmals stark religiös orientiert. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1730–1788 | [[Johann Georg Hamann]] [[Datei:Hamann.jpg|60px]] | * Wandte sich nach seiner Bekehrung gegen die Differenz von Glaube und Vernunft in der Aufklärung * Sah gegen Kant die Sprache als Quelle des Erkenntnisvermögens | * [[Novalis]] (1772–1801) |- | 1743–1819 | [[Friedrich Heinrich Jacobi]] [[Datei:JacobiFH.jpg|60px]] | * Philosophie führt zu [[Atheismus]] und [[Fatalismus]] * Vernunft bezieht sich auf die Rezeption übersinnlicher Dinge, die man nur glauben kann. | * [[Caspar David Friedrich]] (1774–1840) * [[William Turner]] (1775–1851) |- | 1744–1803 | [[Johann Gottfried Herder]] [[Datei:Johann Gottfried Herder.jpg|60px]] | * Schüler, Bewunderer und später heftiger Kritiker Kants * Dichter, Humanist, Theologe und Philosoph * Gab wichtige Impulse für die [[Sprachphilosophie]] und die [[philosophische Anthropologie]] | * [[Ludwig van Beethoven]] (1770–1827) * [[Carl Maria von Weber]] (1786–1826) * [[Franz Schubert]] (1797–1828) |- | 1759–1805 | [[Friedrich Schiller]] [[Datei:Friedrich Schiller by Ludovike Simanowiz.jpg|60px]] | * Professor für Geschichte und/oder Philosophie in Jena * zunächst Universalgeschichte, dann Kunst und Natur als Themen | * [[Robert Schumann]] (1810–1856) * [[Frédéric Chopin]] (1810–1849) |- | 1765–1841 | [[Franz von Baader]] [[Datei:Franz Xaver von Baader.jpg|60px]] | * Versuchte mit dem Konzept einer Weltseele den Primat des Subjekts zu überwinden. | |- | 1772–1829 | [[Friedrich Schlegel]] [[Datei:Franz Gareis Portrait Friedrich Schlegel.jpg|60px]] | * Kultur- und Sprachphilosoph * Begründer der romantischen Schule | * [[Karl Friedrich Schinkel]] (1781–1841) prägt den [[Klassizismus]] in Preußen. |- | 1768–1834 | [[Friedrich Schleiermacher]] [[Datei:Friedrich Daniel Ernst Schleiermacher.jpg|60px]] | * Gegenspieler Hegels an der Berliner Universität * Bedeutende Impulse für die [[Hermeneutik]] | * [[Ludwig Tieck]] (1773–1853) * [[E. T. A. Hoffmann]] (1776–1822) * [[Heinrich Heine]] (1797–1856) |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Deutscher Idealismus === Der [[Deutscher Idealismus|Deutsche Idealismus]] ist gleichsam eine Überhöhung der romantischen Ideen und wird oft noch der Periode der Romantik zugerechnet (um 1790–1850), wobei weder Hegel noch Fichte der Romantik unmittelbar zuzurechnen sind. Kennzeichnend für die drei herausragenden Philosophen ist das spekulative System, in dem das [[Ich]], das Absolute bzw. der Geist die Grundlagen der Welt bestimmt. Das [[Ding an sich]] ist nicht wie noch bei Kant nicht erkennbar, vielmehr ist es dem Idealismus daran gelegen, diesen von Kant erstellten 'Block' vor dem absoluten Wissen verschwinden zu lassen. Die von Kant klar unterschiedenen Grenzen zwischen [[Glaube]]n und [[Wissen]], zwischen [[Sein]] und Sollen werden als ungelöste Fragen aufgefasst, die in einem [[System]] des [[Geist]]es überwunden werden müssen. Geist und Natur, Endliches und Unendliches, Subjekt und Objekt, Vernunft und [[Offenbarung]] sind als (rationale) Einheit zu denken und aus einem absoluten Prinzip zu begründen. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1762–1814 | [[Johann Gottlieb Fichte|Fichte]] [[Datei:Johann Gottlieb Fichte.jpg|60px]] | * Aus der Vernunft des Subjekts entstehen Materie, Geist und die Ideen als objektive Wirklichkeit * Das handelnde Ich produziert das Nicht-Ich, das Gegenstand der Naturwissenschaft ist. * Aus dem Bewusstsein um das aktive Ich entsteht das Wissen um die Freiheit. | * 1803 [[Reichsdeputationshauptschluss]] * 1805 [[Schlacht von Trafalgar]] * 1805 [[Schlacht bei Austerlitz]] * 1804 [[Code civil]] |- | 1775–1854 | [[Friedrich Wilhelm Joseph Schelling|Schelling]] [[Datei:Schelling 1848.jpg|60px]] | * Das Ich und die daseiende Welt sind vereint im Bewusstsein von Subjekt und Objekt * Alles enthält zwei gegensätzliche Kräfte – Endlichkeit und Unendlichkeit etc. | * 1806 [[Rheinbund]] * 1806 [[Kontinentalsperre]] |- | 1770–1831 | [[Georg Wilhelm Friedrich Hegel|Hegel]] [[Datei:Hegel portrait by Schlesinger 1831.jpg|60px]] | * Der gesamte Weltprozess ist Selbstentfaltung des [[Absoluter Geist|absoluten Geistes]] (Weltgeist) * Er entlässt sich in die fremde Form der Natur und kommt durch die Geschichte hindurch im Menschen zu sich * [[Dialektik]] als Entwicklungsprinzip: [[These]] – [[Antithese]] – [[Synthese]] * Logik (These) ** Wissenschaft von der reinen, noch nicht entäußerten, raum- und zeitlosen Idee (der Idee an sich) ** In der reinen Idee stellt sich Gott dar * Naturphilosophie (Antithese zur Logik) ** Wissenschaft von der Idee in ihrem Anders-sein als räumlichen und zeitlichen Bedingungen unterworfener entäußerter, entfremdeter Idee * Geistphilosophie (Synthese aus Logik und Naturphilosophie) ** Wissenschaft von der Idee, die aus dem Anders-sein zu sich zurückkehrt ** Subjektiver Geist (These) *** Betrachtet wird der einzelne Mensch *** Der Geist wird sich hier erstmals seiner selbst bewusst ** Objektiver Geist (Antithese) *** Betrachtet wird das Kollektiv (Familie, Gesellschaft, Staat) im geschichtlichen Kontext *** Ziel der Geschichte ist die Verwirklichung des Weltgeistes, er lenkt den Verlauf der Geschichte *** Der Verlauf der Geschichte muss also vernünftig sein *** Der subjektive Geist tritt in die objektive Ordnung ein, es gelten überindividuelle Gesetze ([[Ethik]]) *** Staat als konkrete Gestalt der sittlichen Idee ** Absoluter Geist (Synthese von subjektivem und objektivem Geist) *** Der Geist ist aus dem Anders-sein zurückgekehrt und ganz bei sich selbst **** [[Kunst]]: durch äußere Sinnlichkeit offenbarte Harmonie **** [[Religion]]: durch innere Gegenwart offenbarte Harmonie **** [[Philosophie]]: Synthese von Kunst und Religion, es herrscht der reine Gedanke, die Idee ist zu sich selbst gekommen | * 1807 Verbot des Sklavenhandels in Großbritannien und USA * 1807 [[Bauernbefreiung]] in Preußen * 1808 [[Städteordnung]] in Preußen * 1808 1. [[Brockhaus Enzyklopädie|Brockhaus]] * 1808 Russland annektiert Finland |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Hegelianismus === [[Hegelianismus]] ist eine Sammelbezeichnung für die sich an Hegel anschließenden oder sich auf ihn berufenden philosophischen Strömungen im 19. und 20. Jahrhundert. ==== Rechtshegelianer ==== Als [[Althegelianer]] oder Rechtshegelianer wird die Anhängerschaft Georg Wilhelm Friedrich Hegels bezeichnet, die konservativ orientiert den preußischen Staat bejahte und in Hegel den Vollender der christlichen Philosophie sah. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- |- | 1780–1846 | [[Philipp Konrad Marheineke]] [[Datei:Berlin, Kreuzberg, Bergmannstrasse, Dreifaltigkeitsfriedhof II, Grab Philipp Konrad Marheineke, Portrait-Tondo.jpg|60px]] | * Theologe, versuchte im Anschluss an das Systemdenken Hegels Glauben und Wissen in Einklang zu bringen | * 1809 [[Bildungsreform]] in Preußen ([[Wilhelm von Humboldt]]) |- | 1781–1861 | [[Carl Friedrich Göschel]] | * Suchte in den ''Aphorismen über Nichtwissen und absolutes Wissen'' Theologie und Philosophie zu verbinden | * 1810 [[Gewerbefreiheit]] in Preußen |- | 1786–1869 | [[Johannes Schulze (Theologe, 1786)|Johannes Schulze]] [[Datei:Johannes Schulze by Hans Meyer.jpg|60px]] | * vertrat als Verfechter des Neuhumanismus die Notwendigkeit enzyklopädischer Allgemeinbildung * verhalf als Kulturpolitiker vielen Hegelianern zu einer Stelle an den Universitäten Preußens | * 1811 [[Paraguay]] wird unabhängig |- | 1786–1853 | [[Georg Andreas Gabler]] | * verteidigte die Hegelsche Philosophie gegen [[Friedrich Adolf Trendelenburg|Trendelenburg]] | * 1811 [[Maschinenstürmer]] in England ([[Luddismus]]) |- | 1798–1839 | [[Eduard Gans]] [[Datei:Eduard Gans.jpg|60px]] | * Rechtsphilosoph, Begründer der [[Vergleichende Rechtswissenschaft|Vergleichenden Rechtswissenschaft]] in Deutschland * Gegner der [[Historische Rechtsschule|Historischen Rechtsschule]] um [[Friedrich Carl von Savigny|Savigny]] | * 1812 [[Judenemanzipation]] in Preußen |- | 1791–1866 | [[Leopold von Henning]] | * Redaktion der „Jahrbücher für wissenschaftliche Kritik“ („Berliner Jahrbücher“), des publizistischen Organs der Hegelschule | * 1813 [[Völkerschlacht bei Leipzig]] |- | 1801–1893 | [[Karl Ludwig Michelet]] | * gründete 1843 die ''Philosophische Gesellschaft zu Berlin'' * wendete Hegelscher Methoden und Prinzipien auf Fragen der antiken Philosophiegeschichte an * wollte Hegels Lehre zu einer die Wirklichkeit verändernden „Philosophie der Tat“ weiterentwickeln | * 1814 [[Napoleon]] geht nach [[Elba]] |- | 1801–1871 | [[Ludwig Boumann]] | * ästhetische Schriften * kritisierte Michelets Rechtsphilosophie | * 1815 [[Wiener Kongress]] ([[Deutscher Bund]], [[Restauration (Geschichte)|Restauration]]) |- | 1802–1873 | [[Heinrich Gustav Hotho]] | * setzte Hegels Philosophie insbesondere im Bereich der Ästhetik und Kunstgeschichte um | * 1815 [[Schlacht bei Waterloo]] |- | 1805–1873 | [[Karl Rosenkranz]] [[Datei:Johann Karl Friedrich Rosenkranz.png|60px]] | * Stellte im Gegensatz zu vielen Hegelianern gegen die Dialektik den Harmoniegedanken in den Vordergrund und wurde von Michelet und [[Ferdinand Lassalle]] heftig kritisiert | * 1815 [[Sri Lanka|Ceylon]] wird britische Kolonie |- | 1805–1892 | [[Johann Eduard Erdmann]] [[Datei:Johann Eduard Erdmann.jpg|60px]] | * Stellt die Philosophiegeschichte als eine kontinuierliche Fortschreibung der Aufgabe dar, die wesentlichen Fragen des Lebens von Anbeginn der Zeiten an zu beantworten. | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | ==== Linkshegelianer ==== Die [[Junghegelianer]] oder Linkshegelianer waren eine Gruppe deutscher Intellektueller in der Mitte des 19. Jahrhunderts. Von Hegel übernahmen die Junghegelianer die [[Dialektik]], verstanden als Prinzip der geschichtlichen Entwicklung und Methode, das Bestehende am Maßstab der Vernunft zu kritisieren. Dagegen wandten sie sich gegen den bei Hegel systemimmanenten [[Konservativismus]], wonach alles Bestehende als notwendig erklärt wird und im Grunde vernünftig ist. |- | 1808–1874 | [[David Friedrich Strauß]] [[Datei:David Friedrich Strauss 1.jpg|60px]] | * Sorgte mit dem Werk „Das Leben Jesu, kritisch bearbeitet“ für die Spaltung der Hegelianer | * 1816 Unabhängigkeit der Vereinigten Staaten am [[Río de la Plata]] ([[Argentinien]]) |- | 1804–1872 | [[Ludwig Feuerbach]] [[Datei:Feuerbach Ludwig.jpg|60px]] | * Materialist („Der Mensch ist, was er isst“) * Auch Gedanken und Ideen sind Erscheinungsformen der Materie * Religion ist ein anthropologisches Phänomen * „Der Mensch schuf Gott nach seinem Bilde“ | * 1836 Der große Trek in [[Südafrika]] * 1837 [[Göttinger 7]] * 1839–1842 [[Erster Opiumkrieg]] ([[Hongkong]] wird Kolonie) * 1839 Verbot der [[Kinderarbeit]] in Preußen |- | 1806–1856 | [[Max Stirner]] [[Datei:Stirner-kar1900.jpg|60px]] | * „Mir geht nichts über Mich“ * Geist, Religion, Werte sind nichts als „Sparren“ | * 1844 [[Weberaufstand]] * 1846 USA annektieren [[Texas]] |- | 1814–1876 | [[Michail Alexandrowitsch Bakunin|Bakunin]] [[Datei:Félix Nadar 1820-1910 portraits Makhail Bakounine.jpg|60px]] | * Begründer des politischen [[Anarchismus]] | |- | 1818–1883 | [[Karl Marx]] [[Datei:Karl Marx.jpg|60px]] | * [[Historischer Materialismus]] ** Die materielle Basis (Produktionsverhältnisse), bestimmt den ideologischen (geistigen) Überbau ([[Basis und Überbau|Basis-Überbau-Schema]]) ** Stellt damit die Philosophie [[Hegel]]s „vom Kopf auf die Füße“ ** Gesellschaftlicher Wandel ergibt sich aus der [[Dialektik]] des Geschichtsprozesses ** Nächste Stufe der geschichtlichen Entwicklung ist der [[Kommunismus]] ** Er beinhaltet u.&nbsp;a. die Aufhebung der [[Entfremdungstheorie|Entfremdung]] des Menschen * „Proletarier aller Länder, vereinigt euch!“ ''([[Kommunistisches Manifest]])'' * „Die Philosophen haben die Welt nur verschieden interpretiert; es kommt aber darauf an, sie zu verändern.“ (11. der [[Thesen über Feuerbach|Feuerbachthesen]]) * Hauptwerk ''[[Das Kapital]]'' befasst sich mit der Entstehung und dem Wesen des [[Kapitalismus]] | * 1846–1847 Ernteausfälle führen zu [[Hungersnot|Hungersnöten]] in Europa * 1848 Jahr der [[Europäische Revolutionen 1848/1849|Revolutionen]] * 1848 [[Nationalversammlung]] in der [[Frankfurter Paulskirche]] * 1851 Erste [[Weltausstellung]] in London |- | 1820–1895 | [[Friedrich Engels]] [[Datei:Engels 1856.jpg|60px]] | * Philosophischer Wegbegleiter und (auch finanzieller) Förderer von [[Karl Marx]] * Hat an der Theorie und den Werken von Karl Marx mitgearbeitet * Herausgeber von Marx-Werken nach dessen Tod | * 1854–1856 [[Krimkrieg]] |- | 1809–1882 | [[Bruno Bauer (Philosoph)|Bruno Bauer]] [[Datei:Bruno Bauer.jpg|60px]] | | |- | 1802–1880 | [[Arnold Ruge]] [[Datei:Arnold Ruge Schriftsteller.jpg|60px]] | | |- | 1807–1887 | [[Friedrich Theodor Vischer]] [[Datei:Vischer.jpg|60px]] | | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | ==== Ausland ==== |- | 1792–1867 | [[Victor Cousin]] [[Datei:Victorcousin.JPG|60px]] | * Verbreitete als erster Hegels Philosophie in Frankreich | |- | 1817–1883 | [[Bertrando Spaventa]] | * Italienischer Idealist | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Historismus === [[Historismus]] bezeichnet eine im 19. und 20. Jahrhundert in Deutschland einflussreiche philosophische und [[geschichtswissenschaft]]liche Strömung. Sie hebt die [[Geschichtlichkeit]] des Menschen hervor, seine Verankerung in einer [[Tradition]] und das [[Geschichtsbewusstsein|Bewusstsein]], durch die Vergangenheit geprägt zu sein, und betrachtet jegliche [[Idee]]n und Institutionen wie [[Staat]] und [[Nation]] nicht als rationale Ergebnisse gesellschaftlicher Prozesse, sondern als organische, geschichtlich hervorgebrachte Wesenhaftigkeiten. Geschichte soll im Historismus nicht durch philosophische oder metaphysische Überbauten erklärt werden, stattdessen soll ein Verständnis für die Individualität der einzelnen Epochen und Geschehnisse entwickelt werden. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1776–1831 | [[Barthold Georg Niebuhr]] [[Datei:Louise Seidler - Niebuhr - Uhde 222.jpg|60px]] | * Begründer der [[Geschichtsschreibung|Historiografie]] | * 1819 USA erwirbt [[Florida]] von Spanien |- | 1778–1841 | [[Friedrich Ast]] | * Systematische Geschichtsphilosophie, Platonforscher | |- | 1795–1886 | [[Leopold von Ranke]] [[Datei:Leopold Von Ranke 1877.jpg|60px]] | * [[Objektivität]] historischer Erkenntnisse | * 1821 [[Risorgimento]] in Italien |- | 1805–1859 | [[Alexis de Tocqueville]] [[Datei:DeTocque.jpg|60px]] | * begründete die [[Vergleichende Politikwissenschaft]] * politische [[Gleichheit]] führt zur Verringerung der [[Selbstverantwortung]] | |- | 1808–1884 | [[Johann Gustav Droysen]] [[Datei:Johann Gustav Droysen - Imagines philologorum.jpg|60px]] | * [[Hermeneutik]] in der [[Geschichtswissenschaft]] | * 1821 [[Mexiko]] wird unabhängig |- | 1834–1896 | [[Heinrich von Treitschke]] [[Datei:Heinrich von Treitschke.jpg|60px]] | * [[Preußen]]s Glanz und Gloria * [[Antisemitismus (bis 1945)|Antisemit]] | * 1829 Emanzipation der Katholiken in Großbritannien |- | 1817–1903 | [[Theodor Mommsen]] [[Datei:Theodor Mommsen 2.jpg|60px]] | * Liberaler Gegner im Antisemitismusstreit | * 1929 Frieden von [[Edirne]] bringt [[Griechenland]] die Unabhängigkeit |- | 1818–1897 | [[Jacob Burckhardt]] [[Datei:Carl Jacob Christoph Burckhardt im Jahr 1890-spiegelverkehrtes Photo.png|60px]] | * Bedeutender [[Kulturgeschichte|Kulturhistoriker]] | * 1830 Frankreich beginnt Eroberung von [[Algerien]] |- | 1826–1871 | [[Friedrich Ueberweg]] [[Datei:Leichlingen - Friedrich-Ueberweg-Platz 04 ies.jpg|60px]] | * Philosophiehistoriker und Aristoteliker | * 1832 [[Hambachfest]] |- | 1862–1954 | [[Friedrich Meinecke]] | * Begründer der [[Ideengeschichte]] | * 1834 [[Deutscher Zollverein]] |- | 1866–1952 | [[Benedetto Croce]] [[Datei:B.Croce.jpg|60px]] | * [[Sozialgeschichte|Sozialhistoriker]] | * 1835 Erste Eisenbahn in Deutschland ([[LEG – Adler und Pfeil|Adler]]) |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Positivismus und Naturwissenschaft === Während sich die Philosophie des deutschen Idealismus überwiegend mit Grundfragen des Geistes und der Erkenntnis beschäftigte, fanden in den [[Naturwissenschaft]]en und in der [[Technik]] deutlichere Fortschritte und ein rasanter Erkenntniszugewinn statt. Ein Gegengewicht zum Idealismus ist das Wiedererstarken des [[Empirismus]]. Seine spezifische Ausprägung im 19. Jahrhundert fand er vor allem in [[Frankreich]] und in [[England]] im sogenannten [[Positivismus]]. Hierunter ist eine Philosophie zu verstehen, in der die Welt durch die Naturwissenschaften und die in ihr definierten Objekte erklärt werden soll. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1775–1836 | [[André-Marie Ampère]] [[Datei:Ampere Andre 1825.jpg|60px]] | * unterschied [[Kosmologie|kosmologische]] und [[Noologie|noologische]] Wissenschaften * Relationsbegriffe wie Raum, Zeit, Zahl, Kausalität haben absolute Gültigkeit | |- | 1798–1857 | [[Auguste Comte]] [[Datei:Auguste Comte2.jpg|60px]] | * Vertrat einen strikten Determinismus und ein mechanistisches Weltbild * Weltdeutung nach den drei Stadien theologisch, metaphysisch, positiv | * [[Jöns Jakob Berzelius]] (1779–1848) |- | 1748–1832 | [[Jeremy Bentham]] [[Datei:Jeremy Bentham by Henry William Pickersgill detail.jpg|60px]] | * Begründer des [[Utilitarismus]] | * [[Friedrich Fröbel]] (1782–1852) |- | 1794–1866 | [[William Whewell]] [[Datei:William Whewell - Project Gutenberg eText 13103.jpg|60px]] | * breite naturwissenschaftliche Bildung, Wissenschaftstheoretiker * Seine Untersuchungen zur [[Induktion (Denken)|Induktion]] beeinflussten Charles S. Peirce' Theorie der [[Abduktion]]. | |- | 1806–1873 | [[John Stuart Mill]] [[Datei:JohnStuartMill.JPG|60px]] | * Ökonom und wichtiger Vertreter des Liberalismus * Erweiterte den Utilitarismus und forderte Wahlrecht für alle<br />[[Assoziationspsychologie]] und Induktionstheorie * Vertrat im Gegensatz zu [[Jeremy Bentham|Bentham]] keinen quantitativen, sondern einen qualitativen Utilitarismus * trat für die [[Gleichberechtigung]] ein | * [[Louis Daguerre]] (1787–1851) |- | 1825–1895 | [[Thomas Henry Huxley]] [[Datei:Thomas Henry Huxley.jpg|60px]] | * [[Agnostizismus]] und [[Epiphänomen]]alismus | * [[Michael Faraday]] (1791–1867) |- | 1820–1903 | [[Herbert Spencer]] [[Datei:Herbert Spencer 2.jpg|60px]] | * [[Evolutionismus]] als Anwendung Darwins auf die Gesellschaft | * [[Charles Lyell]] (1797–1875) |- | 1773–1843 | [[Jakob Friedrich Fries]] [[Datei:Jakob Friedrich Fries 2.jpg|60px]] | * Wollte die Philosophie Kants mit neueren psychologischen Erkenntnissen verbinden | * [[Justus von Liebig]] (1803–1873) |- | 1776–1841 | [[Johann Friedrich Herbart]] [[Datei:Johann F Herbart.jpg|60px]] | * Logik als Wissenschaft von den Bedingungen der Bedeutung der Begriffe * Herausragender Pädagoge | * [[Charles Darwin]] (1809–1882) |- | 1781–1848 | [[Bernard Bolzano]] [[Datei:Bernard Bolzano Kriehuber.jpg|60px]] | * Bedeutender Logiker | * [[Robert Wilhelm Bunsen]] (1811–1899) |- | 1808–1896 | [[Ernst Kapp]] [[Datei:Ernst Kapp.jpg|60px]] | * erstmals [[Technikphilosophie|Philosophie der Technik]] | * [[Werner von Siemens]] (1816–1892) |- | 1817–1895 | [[Carl Vogt]] [[Datei:Vogt, Carl (1817-1895).jpg|60px]] | * Mediziner, Zoologe, „1848er“, [[Materialismusstreit]] | * |- | 1822–1893 | [[Jakob Moleschott]] [[Datei:Jakob Moleschott.jpg|60px]] | * Energie als Naturkreislauf * Populärphilosoph | * 1857–1858 [[Sepoy-Aufstand]] in Indien |- | 1824–1899 | [[Ludwig Büchner]] [[Datei:Ludwig Friedrich Karl Christian Buechner.jpg|60px]] | * Sensualist und Populärphilosoph | * 1861–1865 [[Sezessionskrieg]] |- | 1818–1896 | [[Emil Heinrich Du Bois-Reymond]] [[Datei:Bois-Reymond.jpg|60px]] | * Über die Grenzen der Naturerkenntnis (mechanistische Naturerklärung) * [[ignoramus et ignorabimus]] | * [[James Prescott Joule]] (1818–1889) |- | 1836–1913 | [[Wilhelm Schuppe]] | * Einheit von Logik und Erkenntnistheorie * Begründer der [[Immanenzphilosophie|Immanenzschule]] | * [[William Thomson, 1. Baron Kelvin]] (1824–1907) |- | 1837–1885 | [[Ernst Laas]] | * Allein der Empirismus ist wissenschaftlich berechtigt. | * [[James Clerk Maxwell]] (1831–1879) |- | 1838–1916 | [[Ernst Mach]] [[Datei:Mach, Ernst (1905).jpg|60px]] | * bedeutender Naturwissenschaftler und Empirist * Die Bedeutung einer Theorie hängt von ihrem Nutzen ab. | * [[Alfred Nobel]] (1833–1896) |- | 1843–1896 | [[Richard Avenarius]] [[Datei:Avenarius Richard philosopher.png|60px]] | * Mit Mach Begründer des [[Empiriokritizismus]] | * [[Robert Koch]] (1843–1910) |- | 1834–1919 | [[Ernst Haeckel]] [[Datei:Ernst Haeckel 2.jpg|60px]] | * Verbreitete die Evolutionstheorie * Setzte Gott mit den Naturgesetzen gleich | * [[Alexander Graham Bell]] (1847–1922) |- | 1817–1881 | [[Rudolf Hermann Lotze]] [[Datei:Humboldt-Universitätsbibliothek-Lotze.jpg|60px]] | * Bekämpfte den [[Vitalismus]] * Der letzte Weltgrund ist die Persönlichkeit * Schuf mit dem Begriff der Geltung eine Grundlage für die [[Axiologie (Philosophie)|Wertphilosophie]] | * [[Thomas Alva Edison]] (1847–1931) |- | 1873–1942 | [[Heinrich Gomperz]] | * Später Vertreter des Empiriokritizismus | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Andere Philosophen des 19. Jahrhunderts === Das 19. Jahrhundert brachte einige große Philosophen hervor, deren Auffassungen gleichsam nicht in eine Schublade passen, also nicht einer der anderen Kategorien zugeordnet werden können. Vor allem sind es Philosophen, die mit neuen Gedanken und Konzepten wirkungsmächtig waren und viel stärker als die „Richtungsphilosophen“ Beachtung auch im 20. Jahrhundert fanden. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1767–1835 | [[Wilhelm von Humboldt]] [[Datei:WilhelmvonHumboldt.jpg|60px]] | * Humanist und Bildungspolitiker * Die Eigenart der Sprachgemeinschaft bestimmt das Selbstverständnis * Der Staatsmann ist Volksvertreter und nicht Erzieher | * 1862 [[Otto von Bismarck]] wird Ministerpräsident von Preußen |- | 1788–1860 | [[Arthur Schopenhauer]] [[Datei:Schopenhauer by Jules Lunteschütz.jpg|60px]] | * Die Außenwelt ist Erscheinung * Vorstellungen in Raum und Zeit sind durch den Willen erzeugt * Der Egoismus als Haupttriebfeder kann nur in der Kunst aufgehoben werden * Ethik auf Grundlage des Mitleids | * 1864 Gründung des [[Internationale Rotkreuz- und Rothalbmond-Bewegung|Roten Kreuzes]] * 1864–1867 [[Maximilian I. (Mexiko)|Maximilian]] als [[Kaiserreich Mexiko (1864–1867)|Kaiser von Mexiko]] |- | 1802–1872 | [[Friedrich Adolf Trendelenburg]] [[Datei:Trendelenburg.jpg|60px]] | * Aristoteliker | * 1864 [[Deutsch-Dänischer Krieg]] |- | 1813–1855 | [[Søren Kierkegaard]] [[Datei:Kierkegaard.jpg|60px]] | * (Mit-)Begründer der [[Existenzphilosophie]] * Religion ist keine Angelegenheit der [[Erkenntnis]], sondern des [[Glauben]]s * Gott ist tiefgehend anders * Jeder Mensch steht mit seinen existentiellen Problemen als Einzelner vor Gott * Grundkategorien sind [[Existenz]], [[Angst]], [[Freiheit]], [[Entscheidung]] * Es gibt keinen objektiven Halt, der Einzelne ist immer wieder auf seine eigene [[Existenz]] zurückgeworfen * Aufgabe des Menschen ist die Verwirklichung seines Selbst * Dabei Unterscheidung dreier Existenzformen ** Ästhetische Existenz: Zustand der Verzweiflung; der Mensch lebt vom Äußerlichen und Sinnlichen ** Ethische Existenz: Unabhängigkeit vom Äußeren; der Mensch führt ein ernstes bewusstes Leben, in dem er sich als Sünder erkennt und sich aus seiner Verzweiflung befreit ** Religiöse Existenz: Glaube an Gott, der allein den Menschen von der [[Sünde]] befreien kann; vollendete Existenz des Menschen als Selbst | * 1865 Ermordung [[Abraham Lincoln]]s * 1866 [[Deutscher Krieg]] – der [[Norddeutscher Bund|Norddeutsche Bund]] entsteht. |- | 1840–1912 | [[Gideon Spicker]] | * strebte nach einer Religion in philosophischer Form auf naturwissenschaftlicher Grundlage | |- | 1844–1900 | [[Friedrich Nietzsche]] [[Datei:Nietzsche187a.jpg|60px]] | * Verabscheut alle [[Ideologie]]n („[[Götze]]n“), insbesondere die der [[Moderne]] * Wegbereiter [[postmoderne]]n Denkens * Deutet das menschliche Leben als Kampf zwischen aktiver und reaktiver Kraft * Dieser Kampf schwächt den Menschen, das Leben verkümmert, es verliert an Macht * Kritik der herrschenden [[Moral]] * [[Herrenmoral]] vs. [[Sklavenmoral]] * Die herrschende christliche Moral ist [[Sklavenmoral]] * Stellt der jüdisch-christlichen Tradition die griechisch-antike Tradition gegenüber * und im Bereich der Kunst das appolinisch Rationale dem dionysisch Künstlerischen gegenüber * Fordert „[[Umwertung aller Werte]]“, also Herstellung einer [[Herrenmoral]], als natürlicher Weltordnung * Ziel ist der [[Übermensch]] (Affe – Mensch – [[Übermensch]]) * Der [[Übermensch]] ist gekennzeichnet durch ** den [[Wille zur Macht|Willen zur Macht]] ** den Glauben an die [[ewige Wiederkunft des Gleichen]] ** die Liebe zum Schicksal ([[amor fati]]) ** das Wissen um den Tod Gottes („[[Gott]] ist tot“) ** die Überwindung des Gegeneinander von reaktiver und aktiver Kraft, um die eigene Vitalität und Stärke (die aktive Kraft) zu steigern | * 1867 USA kauft [[Alaska]] von Russland * 1869 Eröffnung des [[Suez-Kanal]]s * 1869 [[Central Pacific Railroad]] und [[Union Pacific Railroad]] schließen die Lücke der Eisenbahnverbindung von Küste zu Küste. |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Neukantianismus === Als [[Neukantianismus]] wird eine [[Philosophie|philosophische]] Strömung bezeichnet, die sich nach dem Abebben des [[Idealismus]] als Gegenbewegung zu dem sich immer mehr ausbreitenden, stark in den [[Naturwissenschaft]]en verwurzelten [[Materialismus]] entwickelte. Hierbei wurde die Forderung erhoben, wieder direkt auf [[Immanuel Kant]] zurückzugehen und eine Philosophie zu entwickeln, die den Ansprüchen der damals modernen Wissenschaften genügte. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1814–1908 | [[Eduard Zeller]] [[Datei:EduardZeller.jpg|60px]] | * Begründer der Erkenntnistheorie als Disziplin | * 1869 Gründung der [[SPD]] |- | 1824–1907 | [[Kuno Fischer]] [[Datei:Kuno Fischer.jpg|60px]] | * Philosophiehistoriker | * 1870 [[Erstes Vatikanisches Konzil]] (Unfehlbarkeit des Papstes) |- | 1828–1878 | [[Friedrich Albert Lange]] [[Datei:Friedrich Albert Lange.jpg|60px]] | * kritische “Geschichte des Materialismus” | |- | 1840–1912 | [[Otto Liebmann]] | * Auf Kant muss zurückgegangen werden | * 1870 [[Heinrich Schliemann]]s erste Grabung nach [[Troja]] |- | 1842–1918 | [[Hermann Cohen]] [[Datei:Hermann Cohen (lithograph by Karl Doerbecker).jpg|60px]] | * Nicht Begriffe, sondern Urteile sind Grundlage menschlichen Denkens * Begründer der Marburger Schule | * 1870 Nach Kriegserklärung durch Frankreich siegt Preußen in der [[Schlacht bei Sedan]] |- | 1844–1924 | [[Alois Riehl]] [[Datei:Riehl Alois.jpg|60px]] | * [[Kritizismus]] zur Aktualisierung Kants | * 1871 Kaiserkrönung [[Wilhelm I. (Deutsches Reich)|Wilhelm I.]] |- | 1848–1915 | [[Wilhelm Windelband]] [[Datei:Wilhelm Windelband.jpg|60px]] | * Lehre von den allgemeingültigen Werten * Wahrheit im Denken, Gutheit im Wollen und Schönheit im Fühlen * Kant verstehen heißt über ihn hinausgehen | * 1871 [[Henry Morton Stanley]] findet [[David Livingstone]] |- | 1849–1921 | [[Franz Staudinger]] | * ethischer Marxist * Wegbereiter der Konsumgenossenschaft | * 1873 [[Gründerkrach|Wiener Börsenkrach]]: Große [[Depression]] mit 1. [[Weltwirtschaftskrise]] |- | 1852–1933 | [[Hans Vaihinger]] [[Datei:Vaihinger.jpg|60px]] | * [[Die Philosophie des Als Ob|Philosophie des Als Ob]] * Begründer der Kant-Studien | * 1873 [[Dreikaiserabkommen]] |- | 1854–1924 | [[Paul Natorp]] [[Datei:Paul Natorp.jpg|60px]] | * Befasst sich vor allem mit der Logik der Wissenschaften. * Lehnt die Existenz des Dings an sich und vom Verstand unabhängiger Anschauungen ab. | * 1875 [[Dritte Französische Republik]] |- | 1856–1938 | [[Rudolf Stammler]] | * Rechtsphilosophie | * 1876 [[Schlacht am Little Big Horn]] River endet mit der Niederlage von [[General Custer]] * 1976 ''[[Die Abenteuer des Tom Sawyer]]'' |- | 1860–1928 | [[Karl Vorländer]] | * Geschichtsphilosoph und Marxist * Kant Biograph und Herausgeber | * 1878 [[Berliner Kongress]] |- | 1863–1936 | [[Heinrich Rickert (Philosoph)|Heinrich Rickert]] [[Datei:Heinrich Rickert.jpg|60px]] | * Wertphilosophie * Kulturwissenschaft versus Naturwissenschaft | * 1878 Gesetz gegen die gemeingefährlichen Bestrebungen der Sozialdemokratie („[[Sozialistengesetz]]“) * 1878–1880 [[Fjodor Dostojewski]] schreibt ''[[Die Brüder Karamasow]]'' |- | 1869–1947 | [[Jonas Cohn]] | * Sache und Erkenntnis werden nur gemeinsam durch dialektisches Denken erkennbar * Wertethiker | * 1979 [[Zweibund]] zwischen Deutschland und Österreich |- | 1869–1955 | [[Robert Reininger]] | * Psychophysisches Problem und Wertphilosophie | * 1881 [[Dreikaiservertrag]] zwischen Deutschland, Österreich und Russland |- | 1875–1915 | [[Emil Lask]] | * Kategorienlehre und Urteilslehre | * 1881–1885 Herrschaft des [[Mahdi]] * 1882 [[Dreibund]] durch Beitritt Italiens zum Zweibund |- | 1874–1945 | [[Ernst Cassirer]] [[Datei:ErnstCassirer.jpg|60px]] | * Geschichte der Erkenntnistheorie * [[Philosophie der symbolischen Formen]] * Anthropologie | * 1883 [[Krankenversicherung]] für Arbeiter * 1883 Erstausgabe von ''[[Die Schatzinsel]]'' als Buch * 1883–1885 ''[[Also sprach Zarathustra]]'' erscheint |- | 1875–1947 | [[Richard Hönigswald]] | * Das Grundproblem des Gegebenen * Allgemeine Methodenlehre | * 1884 [[Salpeterkrieg]] * 1884 [[Mark Twain]] veröffentlicht ''[[Die Abenteuer des Huckleberry Finn]]'' |- | 1877–1942 | [[Bruno Bauch]] | * Rezipierte Frege * Vaterländische Position in der NS-Zeit | |- | 1878–1946 | [[Arthur Liebert]] | * Wie ist kritische Philosophie überhaupt möglich? | * 1884 Beginn der Publikation des [[Oxford English Dictionary]] |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Psychologismus === Die Vertreter des [[Psychologismus]] gehören nicht einer einheitlichen Schule an und sind in Aspekten ihrer Philosophie auch anderen Richtungen zuzuordnen. Ihnen gemeinsam ist, dass das Denken als psychische Funktion aufgefasst wird und dieser Aspekt in ihrer Philosophie eine wesentliche Rolle spielt. Beim [[Psychologismus]] im engeren Sinne sind Gedanken immer ein Ausdruck von [[Motivation]]. Infolgedessen können sie niemals wahr oder falsch sein. Diese Betrachtung führt zu einem Konflikt mit der Logik. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1798–1854 | [[Friedrich Eduard Beneke]] [[Datei:Friedrich Eduard Beneke.jpg|60px]] | * Forderte eine antiidealistische Philosophie auf Basis einer induktiven Psychologie. | |- | 1801–1887 | [[Gustav Theodor Fechner]] [[Datei:Fechner Portrait.jpg|60px]] | * Wollte nur physikalisch messbare Vorgänge in der Psychologie betrachten. | |- | 1818–1903 | [[Alexander Bain (Philosoph)|Alexander Bain]] [[Datei:AlexanderBain001.jpg|60px]] | * Mitbegründer der [[Assoziationspsychologie]] | |- | 1832–1920 | [[Wilhelm Wundt]] [[Datei:Wilhelm Wundt.jpg|60px]] | * Vertrat einen psychophysischen Parallelismus * Begründer des ersten Instituts für experimentelle Psychologie * Arbeiten zur Logik und zur Induktion | |- | 1838–1917 | [[Franz Brentano]] [[Datei:Franz Brentano.jpeg|60px]] | * Begründer der Aktpsychologie * Prägte den Begriff der [[Intentionalität]] | * 1884 Deutsches Reich erwirbt [[Deutsche Kolonien|Kolonien]] (Kamerun, Südwestafrika, Togo u.&nbsp;a.) |- | 1842–1906 | [[Eduard von Hartmann]] [[Datei:Karl Robert Eduard von Hartmann - Philosoph.jpg|60px]] | * Kritischer Realismus * Philosophie des Unbewussten | * 1885 Berliner [[Kongokonferenz]], weitere Kolonie in Ostafrika (Ruanda-Urundi) |- | 1847–1914 | [[Anton Marty]] [[Datei:Anton Marty.png|60px]] | * Schüler Brentanos, Studien zu den Sprachfunktionen | * 1886 [[Goldrausch]] in Südafrika |- | 1848–1936 | [[Carl Stumpf]] [[Datei:Carlstumpf.jpg|60px]] | * Schüler Brentanos und Lehrer Husserls | * 1886 Erstes [[Automobil]] von [[Carl Friedrich Benz]] * 1886 Einweihung der [[Freiheitsstatue]] |- | 1851–1914 | [[Theodor Lipps]] [[Datei:TLipps.jpg|60px]] | * Im Zentrum seiner Reflexionen stand die 'innere Erfahrung', die auch in seiner psychologischen Ästhetik der leitende Faktor seines Philosophierens war. | * 1887 Annexion von [[Macau]] durch Portugal |- | 1853–1920 | [[Alexius Meinong]] [[Datei:Meinong.jpg|60px]] | * Versuchte die Gegenständlichkeit von Gefühlen und Begehrungen zu zeigen. | |- | 1859–1932 | [[Christian von Ehrenfels]] | * Schüler Brentanos, Vordenker der [[Gestalttheorie]] | |- | 1861–1934 | [[James Mark Baldwin]] [[Datei:James Mark Baldwin 1917.jpg|60px]] | * übergreifendes ästhetisches Erleben, [[Baldwin-Effekt]] | |- | 1873–1926 | [[Rudolf Eisler (Philosoph)|Rudolf Eisler]] | * Anhänger Wundts, Lexikograph, Kantspezialist | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Pragmatismus === Der [[Pragmatismus]] (von [[Griechische Sprache|griech.]] ''pragma'' „Handlung“, „Sache“) bezeichnet eine philosophische Grundhaltung, die das Erkennen und die Wahrheitsbildung eng mit den Handlungen, die in der [[Lebenswelt]] ausgeführt werden, verbindet. Sie geht davon aus, dass auch das theoretische Wissen dem praktischen Umgang mit den Dingen entspringt und auf diesen angewiesen bleibt. Der Pragmatismus stellt die erste eigenständige US-amerikanische philosophische Strömung dar. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1839–1914 | [[Charles S. Peirce]] [[Datei:Charles Sanders Peirce theb3558.jpg|60px]] | * Herausragender Mathematiker und Logiker ([[Abduktion]] als dritte Schlussweise; [[Peirce-Funktion]]; Standardnotation der [[Prädikatenlogik]]; [[Existential Graphs]]) * [[Kategorie (Philosophie)|Kategorien]] der Erstheit, Zweitheit und Drittheit * Erkenntnis ist ein Wechsel zwischen Überzeugung und Zweifel ([[Pragmatische Maxime]]) * Formulierte den [[Fallibilismus]] * Schuf mit seiner [[Semiotik]] Grundlagen der [[Sprachphilosophie]] | * 1887 Frankreich begründet [[Indochina]] |- | 1842–1910 | [[William James]] [[Datei:William James b1842c.jpg|60px]] | * Skeptiker und strikter Empirist * Theorien sind wahr bei praktischer Relevanz * ''[[The Will to Believe]]'' * ''[[Der Pragmatismus]]'' | * 1888 [[Dreikaiserjahr]] |- | 1859–1952 | [[John Dewey]] [[Datei:John Dewey in 1902.jpg|60px]] | * Pragmatismus im Bereich der Pädagogik und Soziologie | * 1889 Alters- und Invalidenversicherung im Deutschen Reich |- | 1863–1931 | [[George Herbert Mead]] [[Datei:George Herbert Mead.jpg|60px]] | * Symbolischer Interaktionismus * Sozialbeheaviorismus | * 1890 Wilhelm II. entlässt [[Otto von Bismarck|Bismarck]] |- | 1864–1937 | [[F. C. S. Schiller]] [[Datei:FCSSchiller Slosson1917.jpg|60px]] | * Pragmatismus als „Humanismus“ zur Rechtfertigung des Fortschritts- und Freiheitsgedankens | * 1890 Deutschland tauscht [[Sansibar]] gegen [[Helgoland]] |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Lebensphilosophie === [[Lebensphilosophie]] ist eine Richtung der Philosophie, die in Frankreich und in Deutschland als Gegenentwurf zu den [[Naturwissenschaft]]en und der einseitigen Betonung der Rationalität entwickelt wurde. Das Werden des Lebens, die [[Ganzheitlichkeit]] kann demnach nicht allein mit [[Begriffen]] und [[Logik]] erfasst und beschrieben werden. Zu einem ''umgreifenden'' Leben gehören ebenso nicht-rationale, [[Kreativität|kreative]] und dynamische Elemente. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1833–1911 | [[Wilhelm Dilthey]] [[Datei:Dilthey1-4.jpg|60px]] | * Begründung der [[Geisteswissenschaften]] als eigenständigen Wissenschaftsbereich * Erleben von Zusammenhängen – Unterschied von Erklären und Verstehen * Ausweitung der [[Hermeneutik]] auch auf Kunst, Recht und Religion | * 1895 [[Nord-Ostsee-Kanal|Kaiser-Wilhelm-Kanal]] * 1895 [[Allgemeines Wahlrecht]] in [[Neuseeland]] – auch für Frauen * 1894–1895 [[Erster Japanisch-Chinesischer Krieg]]. Japan erhält im [[Vertrag von Shimonoseki|Frieden von Schmonoseki]] [[Taiwan (Insel)|Formosa]] * 1895 ''[[Die Zeitmaschine]]'' von [[H. G. Wells]] erscheint |- | 1846–1926 | [[Rudolf Eucken]] [[Datei:Eucken-im-Alter.png|60px]] | * arbeitete über ''Der Sinn und Wert des Lebens'' und ''Geistige Strömungen der Gegenwart'' * philosophischer Gegner des befreundeten Ernst Haeckel | * 1896 Frankreich annektiert [[Madagaskar]] |- | 1859–1941 | [[Henri Bergson]] [[Datei:Henri Bergson (Nobel).jpg|60px]] | * Erlebte [[Zeit (Philosophie)|Zeit]] als Seelenzustand * Erkenntnis des ganzheitlichen Wesens bedarf der [[Intuition]] | * 1896 [[Olympische Sommerspiele 1896|Erste Olympiade der Neuzeit]] |- | 1861–1949 | [[Maurice Blondel]] | * Entwickler der Philosophie der Aktion. * Seine Denkweise ist geprägt von der Offenbarung Gottes in katholischer Tradition. | |- | 1858–1918 | [[Georg Simmel]] [[Datei:Simmel 01.JPG|60px]] | * [[Wahrheit]] ist ein von der Psyche unabhängig geltendes Reich * Sollen ist eine ursprüngliche [[Kategorie (Philosophie)|Kategorie]] * ''[[Philosophie des Geldes]]:'' Geld wird Gott * Begründer der [[Stadtsoziologie]] | * 1896 Sieg [[Abessinien]]s über Italien * 1896 [[Theodor Herzl]]: [[Der Judenstaat]] * 1896 [[Türkisch-Griechischer Krieg]] * 1896 [[Utah]] wird 45. Bundesstaat der USA |- | 1867–1941 | [[Hans Driesch]] [[Datei:Driesch1.jpg|60px]] | * Vertreter des Neovitalismus | * 1897 [[Korea]] löst sich von China * 1897 [[Klondike-Goldrausch|Goldrausch zum Klondike River]] * 1897 1. [[Zionistenkongress|Zionistischer Weltkongress]] in Basel * 1897 Erfindung der [[Cornflakes]] * 1897 An der Universität Wien werden Frauen als ordentliche Hörerinnen an der Philosophischen Fakultät zugelassen |- | 1872–1956 | [[Ludwig Klages]] [[Datei:Kosmiker.jpg|60px]] | * Gegensatz von Leib und Seele * Erkenntnistheorie als Bewusstseinswissenschaft | * 1898 [[Spanisch-Amerikanischer Krieg]] * 1898 Annexion der Republik [[Hawaii]] durch die USA * 1898 [[Wilhelmina von Oranien-Nassau]] wird Königin der Niederlande * 1898 Pierre und [[Marie Curie]] entdecken gemeinsam mit Gustave Bémont das [[Radium]] |- | 1878–1965 | [[Georg Misch (Philosoph)|Georg Misch]] | * Dilthey-Schüler, Geschichte der [[Autobiographie]] | |- | 1882–1929 | [[Erich Becher]] [[Datei:Bundesarchiv Bild 116-119-22-03, Erich Becher.jpg|60px]] | * Es gibt überindividuell Seelisches | * 1899 [[Philippinisch-Amerikanischer Krieg]] * 1899 erste [[Haager Friedenskonferenzen|Haager Friedenskonferenz]] * 1899 Gründung der [[Emschergenossenschaft]] * 1899–1902 [[Zweiter Burenkrieg]] in Südafrika |- |bgcolor="#DDDDDD" colspan="4" | == 20. Jahrhundert == Mit den im Zuge der [[Industrialisierung]] sich immer mehr verstärkenden Phänomenen der [[Massengesellschaft]], mit den durch die explosionsartige Entwicklung der [[Wissenschaft]]en ausgelösten neuen [[Weltbild]]ern ([[Relativitätstheorie]], [[Quantenphysik]], [[Psychoanalyse]], [[Molekularbiologie]], [[Informationstechnik]], [[Gentechnik]]), den globalen Auswirkungen menschlichen Handelns ([[Völkermord]] durch den [[Nationalsozialismus]], [[Nord-Süd-Konflikt]], [[Umweltkatastrophe]]n, drohende [[Klimakatastrophe]]) war die [[Philosophie des 20. Jahrhunderts]] mit zum Teil grundlegend neuen Perspektiven befasst. Dies führte zu einer starken [[Heterogenität]] philosophischer Konzepte, die eine Einteilung in klassische Schulen kaum mehr möglich macht. Eine Klassifizierung des philosophischen Denkens in der [[Philosophie der Gegenwart]] verstößt immer gegen die tatsächlich vorhandene Vielfalt in der Kombination der einzelnen Positionen. Systematisch gemeinsam ist der Philosophie des 20. Jahrhunderts die Betonung der Bedeutung der [[Sprache]]. |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Naturwissenschaftler === Die dynamische Entwicklung der [[Naturwissenschaft]]en seit dem 19. Jahrhundert hatte zu einer grundlegenden Veränderung des allgemeinen [[Weltbild]]es geführt, die mit der [[Relativitätstheorie]] und der neuen [[Atomphysik]] ihren Höhepunkt erreichte. Die Vorstellung allgemeingültiger [[Physikalisches Gesetz|Naturgesetze]], die seit Isaac Newton herrschte, musste in Frage gestellt werden. Wenn auch für die Naturwissenschaftler in ihrer täglichen Arbeit die Frage der [[Weltanschauung]] im Hintergrund steht, haben sich doch eine Reihe prominenter Vertreter hierzu reflektierend geäußert. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1856–1939 | [[Sigmund Freud]] [[Datei:Sigmund Freud LIFE.jpg|60px]] | * Arzt, Neurologe, Begründer der [[Psychoanalyse]] * Begriffe wie das Ich, Es, Über-Ich | |- | 1858–1947 | [[Max Planck]] [[Datei:Max Planck (1858-1947).jpg|60px]] | * Entdeckte das [[Plancksches Wirkungsquantum|Wirkungsquantum]] * Wegbereiter Einsteins | * 1900 Boxeraufstand in China * 1900 In Deutschland treten das [[Bürgerliches Gesetzbuch|Bürgerliche Gesetzbuch]] (BGB) und das [[Handelsgesetzbuch]] (HGB) in Kraft. * 1900 Der Dichter und Politiker [[Paul Déroulède]] wird in Frankreich wegen Hochverrats zu zehn Jahren Verbannung verurteilt. * 1900 [[Weltausstellung Paris 1900|Pariser Weltausstellung]] * 1900 direkter Telegraphenverkehrs zwischen Deutschland und den USA mittels [[Überseekabel]] |- | 1870–1937 | [[Alfred Adler]] [[Datei:Alfred Adler1.png|60px]] | * Mediziner, Begründer der [[Individualpsychologie]] | * 1901 der einheitliche Bundesstaat [[Australien]] entsteht * 1901 Norwegen führt als erstes europäisches Land das allgemeine Frauenstimmrecht auf kommunaler Ebene ein. * 1901 Deutsche Truppen unterdrücken in der Kolonie Kamerun bei [[Garua]] einen Aufstand der [[Fulbe]]. * 1901 Der Anarchist [[Leon Czolgosz]] verübt auf der Panamerikanischen Ausstellung in Buffalo ein Attentat auf den US-Präsidenten [[William McKinley]]. * 1901 Die [[Wuppertaler Schwebebahn]] nimmt den Betrieb auf. |- | 1875–1961 | [[Carl Gustav Jung]] [[Datei:Carl-Jung-mod.jpg|60px]] | * Mediziner, Analytische Psychologie | * 1902 Ende des Burenkrieges mit dem [[Friedensvertrag von Vereeniging]] * 1902 Unabhängigkeit [[Kuba]]s mit Unterstützung der USA * 1902 [[Léon-Philippe Teisserenc de Bort]] entdeckt die [[Stratosphäre]] und die [[Tropopause]]. * 1902 Der [[Assuan-Staudamm]] wird offiziell eingeweiht. |- | 1875–1965 | [[Albert Schweitzer]] [[Datei:Albert Schweitzer, Etching by Arthur William Heintzelman.jpg|60px]] | * [[Lambaréné]] * Bedeutende moralphilosophische Arbeiten: Ehrfurcht vor dem Leben * [[Pazifismus]] statt [[Abschreckung]] | |- | 1879–1955 | [[Albert Einstein]] [[Datei:Einstein1921 by F Schmutzer 2.jpg|60px]] | * Seine [[Relativitätstheorie]] veränderte das Weltbild * „Gott würfelt nicht“ – suchte nach dem Nachweis für den Determinismus | * 1904 [[Entente Cordiale]] zwischen Großbritannien und Frankreich * 1904 [[Friedrich August III.]] wird [[Königreich Sachsen|König von Sachsen]]. * 1904 [[Aufstand der Herero und Nama]] * 1904 Die Pferdedroschken in Paris führen erstmals [[Taxameter]] ein. |- | 1879–1963 | [[Karl Bühler]] | * Bedeutender Sprachtheoretiker * Vertreter der [[Würzburger Schule]] | * 1905 [[Norwegen]] löst sich von [[Schweden]] * 1905 [[Russische Revolution 1905|Russische Revolution]] * 1905 In [[Deutsch-Ostafrika]] bricht der [[Maji-Maji-Aufstand]] aus. * 1905 Mit dem preußischen Wassergesetz wird der Bau des Mittellandkanals beschlossen. * 1905 [[Bertha von Suttner]] erhält als erste Frau den Friedensnobelpreis für ihr Werk ''[[Die Waffen nieder!]]''. |- | 1882–1961 | [[Percy Williams Bridgman]] [[Datei:Bridgman.jpg|60px]] | * Hochdruck-Physiker * [[Operationalismus]] | * 1906 [[Hauptmann von Köpenick|Wilhelm Voigt]] besetzt das Rathaus von [[Berlin-Köpenick|Köpenick]]. * 1906 Die Arbeit von Kindern unter 10 Jahren wird im Deutschen Reich in Familienbetrieben erlaubt. * 1906 [[Alois Alzheimer]] diagnostiziert erstmals die [[Alzheimer-Krankheit]]. |- | 1885–1962 | [[Niels Bohr]] [[Datei:Niels Bohr.jpg|60px]] | * Das Prinzip der Komplementarität zeigt, dass alle Forschung theoriegeladen ist. | * 1906 [[San-Francisco-Erdbeben von 1906|Erdbeben in San Francisco]] * 1906 [[Brücke (Künstlergruppe)|Die Brücke]] veranstaltet ihre erste Ausstellung in Dresden. * 1906 [[Grubenunglück von Courrières]] in Nordfrankreich * 1906 erste [[Montessori-Schule]] in [[Rom]] |- | 1887–1961 | [[Erwin Schrödinger]] | * Die Wellenmechanik als weitere Grundlage der modernen Physik * [[Schrödingers Katze]] und [[Quantensprung]] | * 1907 [[Gesetz betreffend das Urheberrecht an Werken der bildenden Künste und der Photographie]] * 1907 3.000 britische [[Suffragetten]] demonstrieren in London für die Einführung des [[Frauenwahlrecht]]s. |- | 1894–1964 | [[Norbert Wiener]] [[Datei:Norbert wiener.jpg|60px]] | * Begründer der [[Kybernetik]] | * 1908 [[Henry Ford]] baut das erste [[T-Modell]] * 1908/09 Aufstand der [[Jungtürken]] |- | 1900–1958 | [[Wolfgang Pauli]] [[Datei:Pauli.jpg|60px]] | * Trug wesentlich zur [[Quantenmechanik]] Heisenbergs bei * Briefwechsel mit [[Carl Gustav Jung|C. G. Jung]] zum psychophysischen Problem | * 1909 [[Robert Peary]] erreicht den [[Nordpol]] |- | 1901–1972 | [[Ludwig von Bertalanffy]] | * [[Theoretische Biologie]], allgemeine [[Systemtheorie]], [[Fließgleichgewicht]] | |- | 1901–1976 | [[Werner Heisenberg]] [[Datei:Bundesarchiv Bild183-R57262, Werner Heisenberg.jpg|60px]] | * Die [[Heisenbergsche Unschärferelation|Unbestimmtheitsrelation]] erschütterte den Determinismus | |- | 1903–1989 | [[Konrad Lorenz]] [[Datei:Konrad Lorenz.JPG|60px]] | * Vergleichende Verhaltensforschung ([[Ethologie]]) * Evolutionäre Erkenntnistheorie | |- | 1904–2005 | [[Ernst Mayr]] [[Datei:Ernst Mayr PLoS.jpg|60px]] | * [[Theoretische Biologie]], Hauptvertreter der [[Synthetische Evolutionstheorie|synthetischen Evolutionstheorie]] | * 1910 Japan annektiert Korea * 1910 Sturz der Monarchie in Portugal * 1910 Gründung der [[Odenwaldschule]] * 1910 ''[[Die Ratten]]'' von [[Gerhart Hauptmann]] |- | 1912–2007 | [[Carl Friedrich von Weizsäcker]] [[Datei:Carl Friedrich von Weizsaecker.jpg|60px]] | * Quantenphysiker, Astrophysiker und Philosoph * Verband Religion, asiatische Kontemplation und Philosophie * Philosophie der Zeit | * 1911 [[Mongolei]] proklamiert Unabhängigkeit von China * 1911 [[Roald Amundsen]] erreicht den [[Südpol]] * 1911 [[Alter Elbtunnel]] in Hamburg wird eingeweiht |- | 1923–2007 | [[Stephen Mason]] | * Geschichte der Naturwissenschaft in der Entwicklung ihrer Denkweisen | * 1912 Ende des [[Chinesisches Kaiserreich|Chinesischen Kaiserreichs]] * 1912 Untergang des britischen Luxusdampfers [[RMS Titanic]] * 1912 [[Anton Köllisch]] synthetisiert erstmals den [[Ecstasy]]-Wirkstoff [[MDMA]] |- | 1925–2005 | [[Rupert Riedl]] [[Datei:Rupert Riedl.jpg|60px]] | * Meeresforschung, Systemtheorie der Evolution * Evolutionäre Erkenntnistheorie | * Gründung der [[DLRG]] am 19. Oktober 1913 * 1914 Eröffnung des [[Panamakanal]]s |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Geschichts- und Kulturkritik === Die Erfolge der Naturwissenschaften führten einerseits zu einem nahezu ungehemmten [[Fortschritt]]sglauben. Gleichzeitig entstanden durch starkes [[Bevölkerungswachstum]] immer stärker ausgeprägte Phänomene der [[Massengesellschaft]] und Zweifel an den traditionellen [[Axiologie (Philosophie)|Werten]]. Vor allem die Erfahrungen des [[Erster Weltkrieg|Ersten Weltkrieges]] verstärkten [[Pessimismus|pessimistische]] Sichten auf die sich neu formierenden [[kultur]]ellen Verhältnisse. |- | 1856–1915 | [[Karl Lamprecht]] [[Datei:Karl Lamprecht.jpg|60px]] | * Sah gegen den Historismus Regelmäßigkeiten in der Geschichte. | * 1914 Beginn [[Erster Weltkrieg]] |- | 1861–1925 | [[Rudolf Steiner]] [[Datei:Steiner um 1905.jpg|60px]] | * [[Anthroposophie]] in [[Anthroposophische Medizin|Medizin]] ([[Weleda (Unternehmen)|Weleda]]), [[Anthroposophische Architektur|Architektur]] und [[Biologisch-dynamische Landwirtschaft|Landwirtschaft]] ([[Demeter (Anbauverband)|Demeter)]] * [[Waldorfpädagogik]], [[Heilpädagogik]], [[Eurythmie]] * voraussetzungslose Erkenntnistheorie („Wahrheit und Wissenschaft“ – 1891) * Menschen als Leib –Seele – Geist sowie als Empfindungsseele – Verstandesseele – Bewusstseinsseele * Ziel: Ich-Transformation vom vergänglichen Einzel-Ich zum ewigen All-Ich * Es gibt eine sinnliche und eine geistige Wirklichkeit * Unterscheidung der Erkenntnisstufen sinnlich – imaginativ – inspirativ – intuitiv * Die geistige Wirklichkeit kann mit unserem „geistigen Auge“ wahrgenommen werden ([[Theosophie]]) * Mystische Meditation als Methode zur Schulung der gesamtheitlichen Erkenntnisfähigkeit | |- | 1880–1936 | [[Oswald Spengler]] [[Datei:Bundesarchiv Bild 183-R06610, Oswald Spengler.jpg|60px]] | * ''[[Untergang des Abendlandes]]'' * Pessimistische Kulturphilosophie | * 1914 [[Schlacht bei Tannenberg (1914)|Schlacht bei Tannenberg]] * 1914 [[Schlacht an der Marne (1914)|Erste Schlacht an der Marne]] |- | 1872–1945 | [[Johan Huizinga]] [[Datei:JohanHuizinga.jpg|69px]] | * zeigt in ''[[Herbst des Mittelalters]]'' einen fließenden Übergang zur [[Renaissance]] * entwickelt in ''[[Homo ludens]]'' eine Theorie des [[Spiel]]s ([[Ludologie]]) | |- | 1872–1933 | [[Theodor Lessing]] [[Datei:Nicola Perscheid - Theodor Lessing nach 1925.jpg|60px]] | * Eigene Wertethik: Mindere den Schmerz * Philosophie der Tat (Bezüge zu Schopenhauer und Nietzsche) * Von Nationalsozialisten ermordet | |- | 1879–1960 | [[Herman Nohl]] | * Ästhetik und [[Geisteswissenschaftliche Pädagogik]] | * 1915 Deutsches [[U-Boot]] versenkt [[RMS Lusitania]] |- | 1880–1962 | [[Theodor Litt]] | * Kulturphilosoph und Pädagoge | * 1915 [[Zweite Flandernschlacht|Schlacht bei Ypern]] (erstmals [[Giftgas]]) |- | 1880–1948 | [[Ernst von Aster (Philosoph)|Ernst von Aster]] | * Geschichte der Philosophie, Psychoanalyse | * 1915–1917 [[Völkermord an den Armeniern]] |- | 1882–1963 | [[Eduard Spranger]] [[Datei:Eduard Spranger 001.jpg|60px]] | * Knüpfte an die Lebensphilosophie an | * 1917 [[Uneingeschränkter U-Boot-Krieg]] führt zum Kriegseintritt der USA |- | 1883–1953 | [[José Ortega y Gasset]] [[Datei:Jose Ortega y Gasset.jpg|60px]] | * Nähe zur Lebensphilosophie | * 1917 [[Balfour-Deklaration]] |- | 1885–1981 | [[William James Durant]] [[Datei:The Modern School in New York City, circa 1911-12.jpg|60px]] | * Kulturgeschichte der Menschheit aus ganzheitlicher Perspektive * menschliches Verhalten als Konstante | |- | 1889–1966 | [[Siegfried Kracauer]] | * Kennzeichnete Medien, insbesondere den Film, und Technik als ambivalent * Beurteilte die politische Orientierung des Kleinbürgertums bereits 1930 als labil * Kritisierte die Eindimensionalität und Geschlossenheit von Theorien | |- | 1889–1975 | [[Arnold J. Toynbee]] | * Geschichte ist evolutionär und ergebnisoffen * Abkehr vom Eurozentrismus | * 1917 [[Oktoberrevolution]] * 1918 [[14-Punkte-Programm]] von [[Woodrow Wilson]] |- | 1892–1964 | [[Alexandre Koyré]] | * Wissenschaftsgeschichte * Hegel | * 1918 [[Friede von Brest-Litowsk]] |- | 1895–1985 | [[Susanne K. Langer]] | * [[Kulturphilosophie]] als Symbolische [[Logik]] * Symbolphilosophie mit großer Nähe zu Ernst Cassirer | |- | 1903–1974 | [[Joachim Ritter]] | * Praktische Philosophie als Hermeneutik * ''[[Historisches Wörterbuch der Philosophie]]'' (Hrsg.) |4. November 1918 [[Kieler Matrosenaufstand]] * 9. November 1918 [[Philipp Scheidemann]]s [[Ausrufung der Republik in Deutschland]] |- | 1904–1965 | [[Hans Barth (Philosoph)|Hans Barth]] | * Ideengeschichte der Politik; ''Wahrheit und [[Ideologie]]'' | |- | 1907–1981 | [[Othmar Anderle]] | * „Theoretische Geschichte“ als Fach * Geschichtsforschung hat den wissenschaftstheoretischen Anforderungen aller empirischen Wissenschaften zu entsprechen | * 1918–1920 [[Russischer Bürgerkrieg]] |- | 1911–1995 | [[Emil Cioran]] [[Datei:Cioran1 by ironie.png|60px]] | * Aphoristiker und radikaler Kulturkritiker – von Nietzsche inspiriert * Vorwegnahme der Dekonstruktion | |- | 1920–1996 | [[Hans Blumenberg]] | * [[Metaphorologie]] * ''[[Schiffbruch mit Zuschauer (Blumenberg)|Schiffbruch mit Zuschauer]]'' | * 1919 Ermordung von [[Rosa Luxemburg]] und [[Karl Liebknecht]] |- | 1926–2006 | [[Clifford Geertz]] | * [[Ethnologe]] und [[Kulturphilosoph]] | |- | 1926 | [[Hermann Lübbe]] | * [[Transzendentalphilosophie]] und Geschichte | |- | 1927 | [[Robert Spaemann]] [[Datei:Robert.Spaemann.jpg|60px]] | * Ethik auf christlicher Grundlage | |- | 1928–2015 | [[Odo Marquard]] | * Skeptische Philosophie der Endlichkeit | |- | 1943–1998 | [[Panajotis Kondylis]] | * Begründung von Normen ist der vergebliche Versuch einem sinnlosen Leben einen Sinn zu geben * Betrachtungen zur Ideengeschichte der Aufklärung, des Konservativismus und des 20. Jahrhunderts | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Phänomenologie === Ist eine philosophische Strömung, die in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts von Edmund Husserl geprägt wurde. Ihre Vertreter sehen den Ursprung der [[Erkenntnis]]gewinnung in unmittelbar gegebenen Erscheinungen, eben den [[Phänomen]]en. Die formalen Beschreibungen der Phänomene geben grundsätzlich den Anspruch aller [[Phänomenologie|phänomenologischen]] Ansätze wieder, seien es philosophische oder naturwissenschaftliche, literarische oder psychische. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1859–1938 | [[Edmund Husserl]] [[Datei:Edmund Husserl 1900.jpg|60px]] | * Begründer der „[[Phänomenologie]]“ als strenge Wissenschaft * [[Wahrheit]] als [[Evidenz]] * Wesensphilosophie ** Untersuchung des Bewusstseins und seiner Produkte ([[Phänomen]]e) ** Bewusstseinsinhalte sind eigenständig und somit nicht bloß „ subjektiv verzerrte “ objektive Welt ** Bewusstsein ist immer [[Intentionalität|intentional]], d.&nbsp;h. auf etwas gerichtet ** Phänomene sind unmittelbar (intuitiv) voraussetzungslos erfahrbar ** Ablehnung des [[Psychologismus]] ** Methode der [[Eidetische Reduktion|eidetischen Reduktion]] (Wesensschau) ** Später Hinwendung zur [[transzendental]]en Phänomenologie, in der er [[Kant]]s Trennung von Verstand und Sinnlichkeit aufhebt ** Demzufolge ist Bewusstsein absolute welterzeugende Instanz (tranzendentales Bewusstsein) * Wertphilosophie ** Werte können phänomenologisch gefühlt werden | * 1919 [[Friedrich Ebert]] wird [[Reichspräsident]] * 1919 Gründung des [[Völkerbund]]es (ohne USA) * 1919 [[Versailler Vertrag]] |- | 1870–1941 | [[Alexander Pfänder]] | * Mensch als leiblich-seelisch-geistige Dreieinigkeit | * 1920 [[Kapp-Putsch]] |- | 1880–1937 | [[Moritz Geiger]] | * Phänomenologie des ästhetischen Genusses | * 1920 Teilung [[Irland]]s |- | 1881–1966 | [[Ludwig Binswanger]] | * psychiatrische [[Daseinsanalyse]], Orientierung auch an Heidegger | * 1921 Ermordung [[Matthias Erzberger]]s |- | 1883–1917 | [[Adolf Reinach]] | * Phänomenologie in der Rechtswissenschaft * entwickelte vor der Sprachphilosophie eine Theorie der Sprechakte | * 1922 [[Ägypten]] wird Königreich * 1922 Gründung der [[UdSSR]] * [[Benito Mussolini]]s Marsch auf Rom |- | 1886–1957 | [[Antonio Banfi]] [[Datei:Antoniobanfi01.jpg|60px]] | * Kulturphilosoph, Kritiker Croces * verbreitete die Ideen Husserls in Italien | * 1923 Gründung der [[Geschichte der Republik Türkei|Türkei]] unter [[Mustafa Kemal Atatürk]] |- | 1888–1966 | [[Hedwig Conrad-Martius]] | * Untersuchte das Problem der Realität | * 1923 [[Deutsche Inflation 1914 bis 1923|Hyperinflation in Deutschland]] |- | 1889–1977 | [[Dietrich von Hildebrand]] | * phänomenologische [[Wertphilosophie]] | * 1923 [[Hitlerputsch]] in [[München]] |- | 1889–1964 | [[Oskar Becker (Philosoph)|Oskar Becker]] | * Phänomenologie der Geometrie * negative Rolle in der NS-Zeit | * 1923–1925 [[Ruhrbesetzung]] |- | 1891–1942 | [[Edith Stein]] [[Datei:Saint Edith Stein.jpg|60px]] | * Katholische Nonne jüdischer Herkunft; in Auschwitz ermordet * Philosophische Begründung der Psychologie | * 1924 Tod [[Lenin]]s * 1924 [[Dawes-Plan]] |- | 1893–1970 | [[Roman Ingarden]] [[Datei:Witkacy Roman Ingarden 1937.jpg|60px]] | * Phänomenologie im Bereich der Kunst | * 1925 [[Vertrag von Locarno]] |- | 1896–1991 | [[Hans Reiner]] | * phänomenologisch fundierte Wertethik | * 1925 [[Reza Schah Pahlavi|Reza Khan Pahlavi]] wird Schah im Iran |- | 1899–1959 | [[Alfred Schütz]] | * Begründer der [[Phänomenologische Soziologie|phänomenologischen Soziologie]] | * 1926 Militärputsch [[Józef Piłsudski|Pilsudskis]] |- | 1900–1973 | [[Aurel Kolnai]] | * Fragen der Ethik * Phänomenologie der feindlichen Gefühle | |- | 1900–2002 | [[Hans-Georg Gadamer]] | * [[Hermeneutik]] | |- | 1902–1991 | [[Ludwig Landgrebe]] | * phänomenologisch fundierte Transzendentalphilosophie der Geschichte | * 1926 Aufnahme Deutschlands in den Völkerbund |- | 1905–1975 | [[Eugen Fink]] | * Arbeitete in der NZ-Zeit als Privatassistent von Husserl * untersuchte das Phänomen der „Welt“ | * 1926 [[Hirohito]] wird Kaiser in Japan |- | 1903–1991 | [[Otto Friedrich Bollnow]] | * Verband die Phänomenologie mit * Existenzphilosophie, Hermeneutik und Pädagogik | * 1927 [[Charles Lindbergh]] überquert den Atlantik * 1927 [[Metropolis (Film)|Metropolis]] von [[Fritz Lang]] |- | 1906–1994 | [[Max Müller (Philosoph)|Max Müller]] | * entwickelt ''„Metahistorik“'' aus [[Existenzphilosophie]], [[Phänomenologie]] und klassischer [[Metaphysik]] | |- | 1906–1995 | [[Emmanuel Levinas]] | * Kritik der Ontologie * Widerstand gegen die Totalität * Philosophie zum Anderen | * 1928 [[Der Zauberberg]] von [[Thomas Mann]] |- | 1907–1977 | [[Jan Patočka]] [[Datei:Patocka 1971.jpg|60px]] | * ''Die natürliche Welt als philosophisches Problem'' | * 1929 [[Young-Plan]] |- | 1908–1961 | [[Maurice Merleau-Ponty]] [[Datei:Maurice Merleau-Ponty.jpg|60px]] | * Phänomenologie des Leibes und der Wahrnehmung | * 1929 [[Schwarzer Freitag]] (25. 10.) läutet [[Weltwirtschaftskrise]] ein |- | 1918–2015 | [[Walter Biemel]] | * Philosophie der [[Kunst]], Heidegger-Schüler | |- | 1922–2002 | [[Michel Henry]] | * Begründer der „radikalen [[Lebensphänomenologie]]“ | |- | 1923–2004 | [[Heinrich Rombach]] | * Entwickelte eine Strukturontologie | |- | * 1928 | [[Hermann Schmitz (Philosoph)|Hermann Schmitz]] | * Die [[Neue Phänomenologie]] untersucht alltägliche und unmittelbare Erfahrungen | |- | * 1934 | [[Bernhard Waldenfels]] | * Phänomene der Leiblichkeit und die Herausforderung durch das Fremde | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Neuhegelianismus === Der [[Neuhegelianismus]] ist eine zusammenfassende Bezeichnung für eine Bestrebung zur Erneuerung der philosophischen Gedankengänge Hegels etwa ab dem ersten Drittel des 20. Jahrhunderts. Ihr Ziel ist die Abwehr des Positivismus in geisteswissenschaftlichen Gegenstandsbereichen. Diese uneinheitliche Strömung in der Philosophie ist besonders in Deutschland, aber auch in Frankreich, England, den Niederlanden, Italien, Russland, Skandinavien und den USA verbreitet. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1832–1917 | [[Adolf Lasson]] | * | |- | 1846–1924 | [[Francis Herbert Bradley]] [[Datei:Francis Herbert Bradley.jpg|60px]] | * [[Britischer Idealismus]] | |- | 1848–1923 | [[Bernard Bosanquet]] [[Datei:BernardBosanquetPhilosopher.jpg|60px]] | * | |- | 1849–1919 | [[Josef Kohler]] [[Datei:JosefKohler.jpg|60px]] | * | |- | 1854–1924 | [[G.J.P.J. Bolland]] | * | |- | 1855–1916 | [[Josiah Royce]] [[Datei:Josiah Royce.jpeg|60px]] | * | |- | 1862–1932 | [[Georg Lasson]] | * | |- | 1866–1925 | [[John McTaggart Ellis McTaggart]] | * ''The Unreality of Time'' | |- | 1866–1952 | [[Benedetto Croce]] [[Datei:B.Croce.jpg|60px]] | * | |- | 1869–1944 | [[Léon Brunschvicg]] | * | |- | 1874–1944 | [[Giovanni Gentile]] [[Datei:Giovanni Gentile.png|60px]] | * | |- | 1884–1974 | [[Richard Kroner]] | * | |- | 1884–1964 | [[Theodor Haering]] | * | |- | 1887–1969 | [[Hans Freyer]] | * | |- | 1902–1968 | [[Alexandre Kojève]] | * Wiederbelebung der Philosophie Hegels in Frankreich * wirkte auf den Existenzialismus und den Poststrukturalismus | |- | 1903–1993 | [[Karl Larenz]] | * | |- | 1907–1968 | [[Jean Hyppolite]] [[Datei:Jeanhyppolitejonzac.jpg|60px]] | * | |- | * 1952 | [[Pirmin Stekeler-Weithofer]] | * | |- | * 1960 | [[Vittorio Hösle]] | * | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Kritischer Realismus === |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1854–1923 | [[Wilhelm Jerusalem]] | * pragmatische Wahrheitstheorie * Prinzip der Denkökonomie * Übersetzer von James | |- | 1859–1938 | [[Samuel Alexander]] [[Datei:SamuelAlexander.gif|60px]] | * ''Space, Time, and Deity'' | |- | 1861–1947 | [[Alfred North Whitehead]] | * „[[Principia Mathematica]]“ mit Russell * Entwurf einer [[Spekulation (Philosophie)|spekulativen]] Metaphysik in [[Prozess und Realität]] * Begründer der [[Prozessphilosophie]] * Anreger der [[Prozesstheologie]] | |- | 1862–1915 | [[Oswald Külpe]] | * Vertreter der Würzburger Schule und der [[Denkpsychologie]] * Kantianer | |- | 1863–1952 | [[George Santayana]] [[Datei:George Santayana.jpg|60px]] | * Die Realitätsvorstellung beruht auf einem rationalen Instinkt („Animal Faith“) * vier Seinsebereiche: Wesen, Materie, Wahrheit und Geist * der Geist verleiht der Welt Sinn | |- | 1873–1922 | [[Arthur O. Lovejoy]] | | |- | 1882–1950 | [[Nicolai Hartmann]] | * [[Ontologie]] zur Überwindung des Gegensatzes von Materialismus und Idealismus (Schichtenstruktur des Seins) * Das ideale Sein (Mathematik, Wesenheiten, Werte) ist zeitlos und unbegrenzt. * Das reale Sein (Unorganisches, Leben, Seele, Geist) ist zeitlich und individuell * materiale [[Wertethik]] | |- | 1888–1967 | [[Aloys Wenzl]] | * Verschiedene Wirklichkeitsschichten | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Philosophische Anthropologie === |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1864–1944 | [[Jakob Johann von Uexküll]] [[Datei:Uex photo full.jpg|60px]] | * Schuf wesentliche Grundlagen in der Biologie und [[Medizintheorie]] * Unterscheidung von Merkwelt und Wirkwelt * [[Biosemiotik]] | |- | 1874–1928 | [[Max Scheler]] | * Materiale Wertethik * Wesen des Menschen ist der Geist | |- | 1888–1965 | [[Erich Rothacker]] | * Kulturanthropologie * problematische Nähe zum Nationalsozialismus | |- | 1892–1985 | [[Helmuth Plessner]] | * [[Exzentrische Positionalität]]: der Mensch ist Leib und hat einen Leib (Selbstbewusstsein) * anthropologische Gesetze von der natürlichen Künstlichkeit, vermittelten Unmittelbarkeit, dem utopischen Standort * ''[[Die verspätete Nation]]'' * ''[[Grenzen der Gemeinschaft]]'' * Der Mensch spielt in der Öffentlichkeit eine Rolle. Dort ist der Ort der Scham | |- | 1904–1976 | [[Arnold Gehlen]] | * Der Mensch als [[Mängelwesen]] * Kultur und Institutionen als Kompensation | |- | 1913–1994 | [[Michael Landmann]] | * Der Mensch als Schöpfer und Geschöpf der Kultur | |- | * 1928 | [[Helmut Fahrenbach]] | * Anthropologie und Existentialismus | |- | * 1943 | [[Karl-Siegbert Rehberg]] | * Knüpft an die Institutionenlehre Gehlens an | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Existenzphilosophie === [[Existenzphilosophie]] fasst eine Reihe von philosophischen Ansätze des 19. und 20. Jahrhunderts zusammen. Sie fragen nach dem Sinn und der Bedeutung der individuellen Existenz des Menschen den sie in den Mittelpunkt ihrer Betrachtung stellen. Die einzelnen [[Philosophem]]e wenden sich gegen eine einseitige [[Rationalismus|rationalistische]] Position und stellen ein existenzielles Denken, das ganzheitlich den [[Geist]], die [[Seele]] und den [[Körper (Biologie)|Körper]] einbezieht, in den Vordergrund. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1874–1948 | [[Nikolai Alexandrowitsch Berdjajew]] [[Datei:Berdiayev001.jpg|60px]] | * christlicher [[Existenzialist]], die „ungeschaffene Freiheit“ gründet im [[Nichts]] | |- | 1878–1960 | [[Paul Häberlin]] | * Philosophie des großen JA | |- | 1883–1969 | [[Karl Jaspers]] [[Datei:Karl Jaspers-BA.jpg|60px]] | * Der Mensch kann das Umgreifende in seiner Ganzheit nicht erfassen * [[Grenzsituation]]en zeigen die Fragwürdigkeit der wissenschaftlichen Weltauffassung | |- | 1883–1951 | [[Louis Lavelle]] [[Datei:louislavelle.jpg|60px]] | * verband Existenzphilosophie mit einer personalisierten [[Spiritualität]] | |- | 1889–1941 | [[Hans Lipps]] [[Datei:Hans Lipps.jpg|60px]] | * Existenzphilosophie auf sprachphilosophischer Basis | |- | 1889–1976 | [[Martin Heidegger]] [[Datei:Heidegger 4 (1960) cropped.jpg|60px]] | * phänomenologische Ontologie – Sein = In-der-Welt-Sein * [[ontologische Differenz]] zwischen Sein und Seiendem * [[Existenzialien]] – Freilegung der Sorge – Herausstellen der „Zeitlichkeit“ * [[Hermeneutischer Zirkel]] als Kritik an der Vorstellung einer exakten Erkenntnis | |- | 1888–1974 | [[Jean Wahl]] | * Verband Hegel, Kierkegaard und Heidegger * Impulsgeber für den französischen Existenzialismus | |- | 1890–1965 | [[Heinrich Barth (Philosoph)|Heinrich Barth]] | * Erscheinung und Wirklichkeit | |- | 1898–1983 | [[Xavier Zubiri]] | * forderte eine neue, an den naturwissenschaften orientierte Ontologie | |- | 1901–1990 | [[Nicola Abbagnano]] | * Existenz ist Seinssuche | |- | 1897–1973 | [[Karl Löwith]] | * stoische und skeptische Philosophie | |- | 1902–1968 | [[Alexandre Kojève]] | * von Marx beeinflusste Hegel-Interpretation | |- | 1902–1991 | [[Ernesto Grassi]] [[Datei:Bundesarchiv Bild 183-J04621, Berlin, Prof. Grassi am Rednerpult.jpg|60px]] | * Ohnmacht der rationalen Sprache | |- | 1903–1993 | [[Hans Jonas]] | * Philosophie des Organischen * ''[[Das Prinzip Verantwortung]]'' * ''[[Macht oder Ohnmacht der Subjektivität?]]'' | |- | 1905–1950 | [[Emmanuel Mounier]] [[Datei:Emmanuel mounier 1905–1950.jpg|50px]] | * maßgeblicher Vertreter des [[Personalismus]] | |- | 1905–1980 | [[Jean-Paul Sartre]] [[Datei:Jean-Paul Sartre FP.JPG|60px]] | * Beeinflusst von [[Hegel]], [[Edmund Husserl|Husserl]], [[Heidegger]] * Vertreter der [[Atheismus|atheistischen]] [[Existenzphilosophie]] * Hauptwerk: „[[Das Sein und das Nichts]]“ ** Der Mensch ist zur [[Freiheit]] verurteilt ** Er muss sich seine [[Wert]]e und [[Soziale Norm|Normen]] selbst schaffen ** Er ist für sein Handeln selbst [[Verantwortung|verantwortlich]] ** Sein Handeln ist nicht [[Determinismus|determiniert]] ** Er muss seinem Leben selbst einen [[Lebenssinn|Sinn]] geben ** Aus dieser Verantwortung resultiert die Grund[[angst]] des Menschen * Anhänger des [[Anarchismus]] ** Ablehnung einer jeden auf [[Macht]] basierenden Regierung (z. B. der Demokratie), da sie nicht herrschaftsfrei sind und somit nicht die Verwirklichung wahrer Freiheit erlauben ** Nur Anarchismus (=Herrschaftslosigkeit) ermöglicht wirkliche Freiheit des Menschen | * 1940 [[Westfeldzug|Niederlage Frankreichs]] |- | 1905–1975 | [[Wilhelm Weischedel]] | * Der Gott der Philosophen * Kritik am dogmatischen [[Skeptizismus]] und [[Nihilismus]] * Philosophieren ist radikales Fragen ohne Aussicht auf endgültige Antworten | |- | 1913–1960 | [[Albert Camus]] [[Datei:Albert Camus, gagnant de prix Nobel, portrait en buste, posé au bureau, faisant face à gauche, cigarette de tabagisme.jpg|60px]] | * Die Sinnlosigkeit der Welt ist Fakt * Sisyphos als Sinnbild der absurden Lebenssituation des Menschen | * 1954–1962 [[Algerienkrieg]] |- | 1921–2008 | [[Karl Albert (Philosoph)|Karl Albert]] | * „Ontologische Erfahrung“, Studien zu Platon | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Transzendentalphilosophie === Der Begriff [[Transzendentalphilosophie]] umfasst philosophische Systeme und Ansätze, die die Grundstrukturen des Seins nicht durch eine Ontologie, sondern im Rahmen des Entstehens und Begründens von Wissen über das Sein beschreiben. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1901–1974 | [[Wolfgang Cramer (Philosoph)|Wolfgang Cramer]] | * „Erleben“ als Grundform aller Subjektivität * Ontologie der Subjektivität * Idee des „Ich denke“ durch „Wegdenken von Denken“ | |- | 1913–2004 | [[Hermann Krings]] | * Transzendentalphilosoph * Die Idee der Freiheit als Basis menschlicher Vernunft | |- | 1917–2000 | [[Hans Wagner (Philosoph)|Hans Wagner]] | * Theorie der [[Reflexion (Philosophie)|Reflexion]] * Problem der [[Geltung]] | |- | 1922–2017 | [[Karl-Otto Apel]] | * Transformation der Transzendentalphilosophie * Diskursphilosophie | |- | * 1927 | [[Dieter Henrich (Philosoph)|Dieter Henrich]] | * Untersuchungen über das [[Selbstbewusstsein]] * Erforschung und Interpretation des Deutschen Idealismus und Immanuel Kants | |- | * 1930 | [[Harald Holz]] | * Transzendentaler Relationismus | |- | 1933–2002 | [[Henri Lauener]] | * Offene Transzendentalphilosophie * konstruktiver Dialog mit Quine und Davidson | |- | * 1936 | [[Gerold Prauss]] | * nichtempirische Theorie der auf Raum und Zeit beruhenden Subjektivität als Intentionalität | |- | * 1936 | [[Peter Rohs]] | * Feldtheorie der Zeit | |- | * 1939 | [[Wolfgang Kuhlmann]] | * bejaht die Möglichkeit einer [[Letztbegründung]] * Vertreter der [[Diskursethik]] | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Kyōto-Schule === Sie trägt den Namen für eine zu Beginn des 20. Jahrhunderts in [[Kyōto]] entstandenen [[Kyōto-Schule|Schulrichtung]] der [[Philosophie in Japan]] und markiert den Beginn der systematischen Auseinandersetzung mit der westlichen Geistestradition. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1870–1945 | [[Nishida Kitarō]] [[Datei:Portrait-of-Kitaro-Nishida.png|60px]] | * Begründer der Kyōto-Schule * Philosophie ist die Suche nach der „einen Wahrheit“ * Versuch einer Synthese von Philosophie und Religion | |- | 1885–1962 | [[Tanabe Hajime]] | * Philosophie als „Metanoetik“ (Der Weg der Reue) * Nur wenn alle philosophischen Methoden verneint worden sind, ist Philosophie erst möglich. | |- | 1900–1990 | [[Nishitani Keiji]] | * verband Erfahrungen aus der Praxis des [[Zen-Buddhismus]] mit dem Existentialismus | |- | * 1944 | [[Ryōsuke Ōhashi]] [[Datei:Ryosuke Ohashi.2.jpg|60px]] | * Philosophie der Leere und des Mitgefühls (Compassion) | |- | 1926–2019 | [[Shizuteru Ueda]] [[Datei:Shizuteru Ueda.jpg|60px]] | * Zentrales Thema das [[Absolutes Nichts|Absolute Nichts]] * Dissertation über die mystische Anthropologie Meister Eckharts und ihre Konfrontation mit der Mystik des Zen-Buddhismus | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Sozialphilosophie === Auch [[Sozialphilosophie|Gesellschaftsphilosophie]] beschäftigt sich mit Fragen zum Sinn und Wesen einer [[Gesellschaft (Soziologie)|Gesellschaft]]. Insbesondere beleuchtet sie das Verhältnis zwischen dem einzelnen [[Mensch]]en und der [[Gemeinschaft]] sowie die Strukturen des [[Zusammenleben]]s. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1855–1936 | [[Ferdinand Tönnies]] [[Datei:Ferdinand Toennies Bueste Husum-Ausschnitt.jpg|60px]] | * [[Gemeinschaft und Gesellschaft]] * [[Voluntarismus]] | |- | 1858–1917 | [[Émile Durkheim]] [[Datei:Emile Durkheim.jpg|60px]] | * [[Arbeitsteilung]] in der Industriegesellschaft – mechanische und organische Solidarität * soziologischen Methode – [[Sozialer Tatbestand]] * [[Die elementaren Formen des religiösen Lebens]] | |- | 1864–1920 | [[Max Weber]] [[Datei:Max Weber 1894.jpg|60px]] | * Werturteilsfreie Wissenschaft vom Sozialen Handeln * Gesinnungs- und Verantwortungsethik | |- | 1882–1927 | [[Leonard Nelson]] | * Wiederbegründung der Fries'schen Schule | |- | 1893–1947 | [[Karl Mannheim]] | * Krisenerscheinungen in der [[Massendemokratie]] | |- | 1897–1990 | [[Norbert Elias]] [[Datei:Norbert Elias (1987).jpg|60px]] | * Über den Prozess der Zivilisation * Von der Entstehung der Werte * Menschenwissenschaften | |- | 1900–1980 | [[Erich Fromm]] | * „[[Die Kunst des Liebens]]“ * Sozialkritiker | |- | 1925–1986 | [[Michel de Certeau]] | * „[[Die Kunst des Handels]]“ * Soziologie des Alltagslebens | |- | 1927–1998 | [[Niklas Luhmann]] [[Datei:Luhmann.png|60px]] | * Begründer der soziologischen Systemtheorie * Variante des radikalen Konstruktivismus * Kommunikation als kleinstes Element steuert soziale Systeme | |- | 1930–2002 | [[Pierre Bourdieu]] | * [[Poststrukturalismus]] * Konzepte wie [[Habitus (Soziologie)|Habitus]], [[Sozialer Raum]], [[Soziales Feld]] oder [[Raum der Lebensstile]] * Unterscheidung von [[Ökonomisches Kapital|ökonomischem]], [[Soziales Kapital|sozialem]], [[Symbolisches Kapital|symbolischem]] und [[Kulturelles Kapital|kulturellem Kapital]] * Theorie der [[Symbolische Gewalt|symbolischen Gewalt]] * ''[[Die feinen Unterschiede]]'' | |- | * 1934 | [[Oskar Negt]] [[Datei:Oskar Negt.jpg|60px]] | * Grundlagen der Gewerkschaften | |- | * 1936 | [[Herbert Schnädelbach]] [[Datei:HS Cover Bild1.jpg|60px]] | * Diskurspluralität und methodischer Rationalismus | |- | * 1953 | [[Wilhelm Schmid (Philosoph)|Wilhelm Schmid]] [[Datei:Wilhelm Schmid Buchmesse Leipzig 2013.jpg|60px]] | * [[Lebenskunstphilosophie|Philosophie der Lebenskunst]] | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Logischer Empirismus === Eines der Hauptanliegen des [[Logischer Empirismus|logischen Empirismus]] oder auch logischen [[Positivismus]] war es, genaue Kriterien angeben zu können, nach denen man philosophische Methoden als gültig bzw. ungültig beurteilen kann. Wichtiges Motiv dafür war der Vergleich zwischen der Entwicklung der empirischen Wissenschaften sowie der Mathematik einerseits und der Philosophie andererseits. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1882–1936 | [[Moritz Schlick]] [[Datei:Schlick sitting.jpg|60px]] | * Physiker und Wissenschaftstheoretiker * Begründer des [[Wiener Kreis]]es | |- | 1879–1934 | [[Hans Hahn]] | * Der [[Satz von Hahn-Banach]] * Sein berühmtester Schüler war [[Kurt Gödel]] | |- | 1880–1975 | [[Victor Kraft]] | | |- | 1882–1945 | [[Otto Neurath]] | * Mitverfasser der wissenschaftlichen Weltauffassung * Methode der Bildpädagogik | |- | 1884–1966 | [[Philipp Frank (Philosoph)|Philipp Frank]] | | |- | 1891–1970 | [[Rudolf Carnap]] | * Logische Analyse der Wissenschaftssprache * Scheinprobleme der Philosophie (Metaphysik) * [[Modallogik]] und wahrscheinlichkeitsbasierte Induktion | |- | 1891–1953 | [[Hans Reichenbach (Physiker)|Hans Reichenbach]] | * Wahrheit kann nicht aus Beobachtung geschlossen werden. * Erkenntnis beruht auf Wahrscheinlichkeitsschlüssen. | |- | 1895–1945 | [[Felix Kaufmann]] | | |- | 1896–1959 | [[Friedrich Waismann]] | * Arbeiten zur Logik und Sprachphilosophie | |- | 1902–1988 | [[Herbert Feigl]] | | |- | 1902–1985 | [[Karl Menger]] [[Datei:Karl Menger 1970 Shimer College Wiki.jpg|60px]] | | |- | 1905–1997 | [[Carl Gustav Hempel]] | * [[Deduktiv-nomologisches Modell|Hempel-Oppenheim–Schema]] * Eine Erklärung ist gegeben, wenn bestimmte Adäquatheitsbedingungen erfüllt sind. | |- | 1885–1977 | [[Paul Oppenheim]] | * Mitbegründer des Hempel-Oppenheim–Schemas * Gestaltpsychologie und Wissenschaftstheorie. | |- | 1906–1978 | [[Kurt Gödel]] | * [[Gödelscher Unvollständigkeitssatz]] * axiomatische Theorie kann nicht ihre Widerspruchsfreiheit beweisen | |- | 1910–1989 | [[Alfred Jules Ayer]] [[Datei:Alfred Jules Ayer.png|60px]] | * Sprache, Wahrheit und Logik * Britischer Vertreter des Wiener Kreises | |- | 1916–2003 | [[Georg Henrik von Wright]] [[Datei:GHvonWright.jpg|60px]] | * Entwicklung einer deontischen Logik aus der Modallogik * Norwegischer Vertreter des Wiener Kreises | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Analytische Philosophie === Ausgangspunkt der [[Analytische Philosophi|analytischen Philosophie]] ist die Auffassung, dass viele Probleme der Philosophie durch einen ungenügend präzisen Umgang mit der Sprache hervorgerufen werden. Daher sind zunächst eine Klärung von Begriffen und eine logische Analyse der Sprache erforderlich. Ähnliche Auffassungen finden sich parallel und in wechselseitigem Austausch bei den Vertretern des logischen Empirismus. Im Ursprung befassten sich die Vertreter der analytischen Philosophie ganz vorwiegend mit Themen der Sprachanalyse. Im Verlaufe der Zeit verbreiterte sich das Spektrum. Ende des 20. Jahrhunderts hatte sich die analytische Philosophie, nun eher als Methode verstanden, auf alle Themenbereiche der theoretischen und praktischen Philosophie ausgeweitet. Die meisten ihrer Vertreter behandeln neben der Sprache Fragen der Erkenntnistheorie, der Logik, der Philosophie des Geistes, metatheoretische Fragen sowie zugleich auch ethische Fragen. Eine Zuordnung zu einer der nachfolgenden Disziplin kann daher nur nach einem vorrangigen Schwerpunkt erfolgen. ==== Sprachphilosophie ==== |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1848–1925 | [[Gottlob Frege]] [[Datei:Young frege.jpg|60px]] | * [[Begriffsschrift]] (Sinn und Bedeutung), [[Funktion und Begriff]], [[Über Sinn und Bedeutung]], [[Über Begriff und Gegenstand]], * [[Frege-Prinzip]] * Grundlagen der neueren, [[Formale Logik|formalen Logik]] incl. [[Prädikatenlogik zweiter Stufe]] * Begründer des [[Logizismus]] in der [[Philosophie der Mathematik]] * Lehrer von [[Rudolf Carnap]] | |- | 1872–1970 | [[Bertrand Russell]] [[Datei:Russell1907-2.jpg|60px]] | * Rückführung der Mathematik auf die Logik * Paradoxon der Mengenlehre * sprachanalytischer Atomismus (Theorie der [[Kennzeichnung (Logik)|Kennzeichnung]]) | |- | 1873–1958 | [[George Edward Moore]] | * [[Naturalistischer Fehlschluss]] * Analytische Methode zur Begründung des [[Common Sense]] | |- | 1889–1951 | [[Ludwig Wittgenstein]] [[Datei:Ludwig Wittgenstein 1910.jpg|60px]] | * [[Tractatus logico-philosophicus]] * [[Philosophische Untersuchungen]] * Sprachanalyse zur Klärung von Sprachverwirrung * [[Sprachspiel]]e und "Familienähnlichkeiten" von Begriffen * „Die Bedeutung eines Wortes ist sein Gebrauch“ | |- | 1889–1957 | [[Charles Kay Ogden]] | * Entwickelte unter Bezugnahme auf Peirce das [[Semiotisches Dreieck|semiotische Dreieck]] | |- | 1900–1976 | [[Gilbert Ryle]] | * Mythos vom Geist als "Gespenst in der Maschine" * [[Kategorienfehler]] = falscher Begriff im Kontext | |- | 1909–1988 | [[Max Black]] | * Theorie der [[Metapher]], [[Philosophie der Mathematik]], Kunstphilosophie | |- | 1911–1960 | [[John Langshaw Austin]] | * [[Sprechakttheorie]] * Lokution = Äußerung; Illokution = Rolle der Äußerung; Perlokution = Folge der Äußerung | |- | 1913–1988 | [[Paul Grice]] | * Untersuchte die [[Sprecherbedeutung]] * führte die Begriffe [[Implikatur]] und [[Kooperationsprinzip (Sprache)|Kooperationsprinzip]] in die Sprachphilosophie ein. | |- | 1917–2003 | [[Donald Davidson]] | * Bedeutungstheorie | |- | 1925–2011 | [[Michael Dummett]] [[Datei:Michael Dummett September 2004.jpg|60px]] | * Grenzen der Theorie der Bedeutung | |- | * 1928 | [[Noam Chomsky]] [[Datei:Chomsky.jpg|60px]] | * [[Universalgrammatik]], [[Chomsky-Hierarchie]], [[generative Transformationsgrammatik]] * Scharfer Gesellschaftskritiker, der dem [[Anarchismus]] nahesteht | |- | 1930–1971 | [[Richard Montague]] | * Entwickelte eine [[formale Semantik]] | |- | * 1931 | [[Keith Donnellan]] | * Kritiker von Putnam und Strawson zum Thema [[Kennzeichnung (Logik)|Kennzeichnung]] | |- | * 1932 | [[Dagfinn Føllesdal]] | * sucht gezielt die Auseinandersetzung mit der [[Kontinentalphilosophie]] | |- | * 1932 | [[John Searle]] [[Datei:John searle2.jpg|60px]] | * Weiterentwicklung der Sprechakttheorie * Intentionalität als Bindeglied zwischen Sprachphilosophie und Philosophie des Geistes * Ablehnung des Reduktionismus in der Philosophie des Geistes * Gedankenexperiment des [[Chinesisches Zimmer|Chinesischen Zimmers]] * Realismus in Bezug auf beobachterunabhängige Phänomene * Konstruktion der Sozialen Wirklichkeit | |- | * 1933 | [[David Kaplan (Philosoph)|David Kaplan]] | * Arbeitete über [[Demonstrativpronomen]] | |- | * 1938 | [[Gilbert Harman]] | * Quine-Schüler, Antirealismus und ethischer Relativismus | |- | * 1940 | [[Saul Aaron Kripke]] [[Datei:Kripke.JPG|60px]] | * sprachphilosophischer Externalismus mit [[Kennzeichnung (Logik)|Kennzeichnung]] durch starre Designatoren | |- | * 1941 | [[Eike von Savigny]] | * Wittgenstein-Interpret | |- | * 1946 | [[Scott Soames]] | * Vertreter des Externalismus | |- | * 1946 | [[Tyler Burge]] | * gilt als Vertreter des Externalismus, Kritiker des [[Physikalismus (Ontologie)|Physikalismus]] | |- | * 1958 | [[Stephen Neale]] [[Datei:Stephen Neale, March 11, 2007.jpg|60px]] | * verteidigt Russells [[Kennzeichnungstheorie|Theorie der Kennzeichnung]] | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | ==== Logik ==== |- | 1858–1932 | [[Giuseppe Peano]] [[Datei:Giuseppe Peano.jpg|60px]] | * [[Natürliche Zahl#Peano-Axiome|Peano-Axiome]] * Latein als Plansprache ohne Beugung | |- | 1862–1943 | [[David Hilbert]] [[Datei:Hilbert.jpg|60px]] | * Begriffsdefinitionen und Beweisverfahren in der Mathematik | |- | 1878–1956 | [[Jan Łukasiewicz]] [[Datei:Jan Łukasiewicz.jpg|60px]] | * Formulierte eine viel diskutierte [[Wahrheit]]stheorie * Bestätigung auf der Ebene einer [[Metasprache]] | |- | 1901–1983 | [[Alfred Tarski]] [[Datei:Alfred Tarski.jpeg|60px]] | * Semantischer Begriff der [[Wahrheit]] | |- | 1902–1995 | [[Joseph Maria Bocheński]] [[Datei:BochenskiDez91.jpg|60px]] | * Logiker, Vertreter des [[Platonismus]] | |- | 1903–1930 | [[Frank Plumpton Ramsey]] | * Logiker und Freund Wittgensteins * Redundanztheorie der Wahrheit | |- | 1903–1995 | [[Alonzo Church]] | * Begründer der theoretischen [[Informatik]] * Platoniker im [[Universalienproblem|Universalienstreit]] | |- | 1919–2017 | [[Raymond Smullyan]] | * Mathematiker, spezialisiert auf [[Paradoxon|Paradoxien]] | |- | 1929–2015 | [[Jaakko Hintikka]] [[Datei:Hintikka 2.jpg|60px]] | * [[Logik]], [[Wissenschaftstheorie]], [[Mögliche Welt|Mögliche-Welt]]-Semantik | |- | * 1930 | [[Nuel Belnap]] | * [[Belnaps vierwertige Logik]] | |- | * 1949 | [[Johan van Benthem]] | * [[Modallogik]] | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | ==== Ontologie ==== |- | 1908–2000 | [[Willard Van Orman Quine]] | * Eine Theorie ist nur als Ganzes widerlegbar ([[Duhem-Quine-These]]) * Jedes Beobachtungselement und jede Aussage sind theoriebeladen * strikter Empirismus und Forderung eines [[Naturalismus (Philosophie)|Naturalismus]] = Abschaffung der Philosophie * sprachphilosophischer [[Holismus]] | |- | 1916–2013 | [[Peter Geach]] | * entwickelte einen „analytischen Thomismus“ | |- | 1919–2006 | [[Peter Strawson]] | * raumzeitlich bestimmbare Einzeldinge sind real * Die Gleichsetzung abstrakter Sachverhalte mit Realität ist Metaphysik * Theorien setzen sich aufgrund größeren Erfolgs durch * semantische Theorie der [[Präsupposition]]en * Theorie der [[Transzendentalphilosophie|Transzendentalen Argumente]] | |- | 1926–2014 | [[David Armstrong]] [[Datei:DavidMArmstrong.jpg|60px]] | * [[Universalienproblem|Universalienrealismus]] (Naturgesetze sind [[Relation]]en zwischen Universalien) | |- | 1931–2010 | [[Reinhardt Grossmann]] | * Kategoriale Ontologie * Tatsachen als Grundbausteine der Welt | |- | * 1932 | [[Franz von Kutschera]] | * Ontologischer Dualismus | |- | * 1942 | [[Peter van Inwagen]] | * Ontologie, Identität und Modalität; Indeterminist | |- | * 1951 | [[Kevin Mulligan]] | * arbeitet über [[Wahrmacher]] | |- | * 1952 | [[Edward N. Zalta]] | * Für jeden Satz von Eigenschaften (set of properties) gibt es genau ein [[Objekt (Philosophie)|Objekt]] * Herausgeber der [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]] | |- | * 1954 | [[Barry Smith (Ontologe)|Barry Smith]] [[Datei:Barry Smith.jpg|60px]] | * [[Formale Ontologie]] * [[Ontologie (Informatik)|Ontologie in der Informatik]] * Biomedical Ontology | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | ==== Ethik ==== |- | 1877–1971 | [[W. D. Ross]] | * deontologischer [[Intuitionistische Ethik|Intuitionismus]] * ''[[Das Richtige und das Gute]]'' * Befürworter eines [[Perfektionismus (Philosophie)|Perfektionismus]] | |- | 1908–1994 | [[William K. Frankena]] [[Datei:William K Frankena 1949 photo.jpg|60px]] | * Metaethik, Theorie der normativen Ethik | |- | 1908–1979 | [[Charles L. Stevenson]] | * Schwerpunkte in [[Ethik]] und [[Ästhetik]] * Vertreter des [[Emotivismus]] * sittliche Werturteile sind [[Non-Deskriptivismus|nicht deskriptiv]] | |- | 1912–2004 | [[Alan Gewirth]] | * deontologische, rationalistische Ethik * Letztbegründung der Moral aufgrund Selbstreflexion * Prinzip der natürlichen Konsistenz | |- | 1917–1981 | [[John Leslie Mackie]] | * antimetaphysische Moralphilosophie * [[Irrtumstheorie]] der Moral * ''Das Wunder des Theismus'' * [[INUS-Bedingung]] zur Erläuterung von Ursachen | |- | 1919–2002 | [[Richard Mervyn Hare]] | * Moralsprache ist vor allem [[Präskriptivismus|präskriptiv]] * Kombination von Universalität mit Präskriptivität führt zum [[Präferenzutilitarismus]] | |- | 1919–2001 | [[Elizabeth Anscombe]] | * Wiederbelebung der Tugendethik * Frühe feministische Philosophin * Mitherausgeberin von Wittgenstein | |- | 1920–2010 | [[Philippa Foot]] | * moderner [[Aristotelismus]] * [[Tugendethik]] mit [[Nächstenliebe]] als wichtigem Wert * moralische Urteile haben hypothetischen Charakter (sind nicht deontologisch) * Es gibt keine Dichotomie von Tatsachen und Werten * [[Trolley-Problem]] als [[ethisches Dilemma]] | |- | 1929–2003 | [[Bernard Williams]] | * Synthese aus verschiedenen historischen und kulturellen Positionen, Antireduktionismus * Kritiker des [[Utilitarismus]] * thematisierte moralisch [[Dichter Begriff|dichte Begriffe]] | |- | * 1930 | [[Ernst Tugendhat]] | * Sprachphilosophie und Philosophie des Selbst * Ethik und Anthropologie | |- | * 1937 | [[Cora Diamond]] | * "Resolute Lesart" [[Ludwig Wittgenstein|Wittgenstein]]s * Moralphilosophin | |- | * 1940 | [[Thomas M. Scanlon]] | * [[Kontraktualismus]] | |- | * 1942 | [[Derek Parfit]] | * Ethik, Vernunft und Person | |- | * 1946 | [[Peter Singer]] [[Datei:Peter Singer MIT Veritas.jpg|60px]] | * Begriff der Person als Problem der Ethik * Euthanasie und Abtreibung? | |- | * 1946 | [[Dieter Birnbacher]] [[Datei:Prof. Dr. Dieter Birnbacher.jpg|60px]] | * Angewandte Ethik, insbesondere [[Medizinethik]] und [[Neuroethik]] * [[Didaktik der Philosophie]] | |- | * 1947 | [[Martha Nussbaum]] [[Datei:Martha Nussbaum wikipedia 10-10.jpg|60px]] | * [[Tugendethik]] * [[Soziale Gerechtigkeit]] * [[Capability Approach|Verwirklichungschancen]] | |- | * 1952 | [[Susan R. Wolf]] | * [[Freier Wille]] und [[Vernunft]] | |- | * 1952 | [[Christine Korsgaard]] | * die Quellen der Normativität * Moralphilosophie Immanuel Kants | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | ==== Philosophie des Geistes ==== |- | 1887–1971 | [[Charlie Dunbar Broad]] | * [[Emergenz]]theorie | |- | 1903–1997 | [[John Carew Eccles]] | * Hirnforscher – Vertrat mit Popper einen Dualismus | |- | 1912–1989 | [[Wilfrid Sellars]] | * Mythos des Gegebenen | |- | 1916–1999 | [[Roderick Chisholm]] | * Primat des Intentionalen * apriorisches Wissen beruht auf Einsicht in notwendige Wahrheit | |- | 1920–2012 | [[John Jamieson Carswell Smart|J.J.C. Smart]] | * [[Identitätstheorie (Philosophie des Geistes)|Identitätstheorie]], [[Utilitarismus]], [[Atheismus]] | |- | * 1929 | [[Harry Frankfurt]] | * Analyse des Freiheitsbegriffs | |- | 1932–2013 | [[Fred Dretske]] [[Datei:Fred Dretske.jpg|60px]] | * Analyse des Informationsbegriffs * im Bereich der Erkenntnistheorie und der Philosophie des Geistes | |- | * 1933 | [[Joseph Levine]] | * Argument der Erklärungslücke | |- | * 1933 | [[Ruth Millikan]] | * [[Naturalismus (Philosophie)|naturalistische]] Erklärung der [[Intentionalität]] | |- | 1934–2019 | [[Jaegwon Kim]] | * Begriff der [[Supervenienz]] | |- | 1935–2017 | [[Jerry Fodor]] [[Datei:Jerry Fodor in 2007.jpg|60px]] | * Language of Thought (Sprache des Denkens) | |- | * 1937 | [[Thomas Nagel (Philosoph)|Thomas Nagel]] [[Datei:Thomas Nagel teaching Ethics.JPG|60px]] | * Antireduktionismus („What is it like to be a bat“) * erkenntnistheoretischer radikaler [[Realismus (Philosophie)|Realismus]] („View From Nowhere“) | |- | 1941–2001 | [[David Kellogg Lewis|David Lewis]] | * Beiträge zur [[Spieltheorie]] * Philosophie des Geistes | |- | * 1942 | [[Daniel Dennett]] [[Datei:Daniel Dennett in Venice 2006.png|60px]] | * Eliminativer Materialismus, vertritt das Konzept der [[Mem]]e * führendes Mitglied der [[Brights]] | |- | * 1942 | [[Ned Block]] [[Datei:Ned Block (cropped).jpg|60px]] | * Kritik des [[Funktionalismus (Philosophie)|Funktionalismus]] | |- | * 1942 | [[Paul Churchland]] | * Eliminativer Materialismus | |- | * 1943 | [[John Perry (Philosoph)|John Perry]] | * arbeitet über [[Indexikalität]] und [[Selbstbewusstsein]] | |- | * 1943 | [[Frank Cameron Jackson]] | * entwickelte mit dem [[Gedankenexperiment]] von [[Mary (Gedankenexperiment)|Mary]] ein antiphysikalistisches Argument in der Diskussion der [[Qualia]] | |- | * 1944 | [[Peter Bieri]] | * „Das Handwerk der Freiheit“ * [[Bieri-Trilemma]] | |- | * 1945 | [[Ansgar Beckermann]] | * Physikalismus | |- | * 1952 | [[Joseph Levine]] | * sieht eine [[Erklärungslücke]] in der Diskussion der Qualia | |- | * 1956 | [[Michael Pauen]] | * Vertreter der [[Identitätstheorie (Philosophie des Geistes)|Identitätstheorie]] | |- | * 1958 | [[Thomas Metzinger]] [[Datei:Thomas Metzinger.jpg|60px]] | * Theorie der Selbstmodelle | |- | * 1966 | [[David Chalmers]] [[Datei:David Chalmers TASC2008.JPG|60px]] | * Eigenschaftsdualismus * Kontroverse Position zu Dennett | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | ==== Erkenntnistheorie ==== |- | * 1927 | [[Edmund Gettier]] | * [[Gettier-Problem]] | |- | * 1936 | [[Keith Lehrer]] | * [[Kohärenztheorie]] der Rechtfertigung | |- | * 1940 | [[Ernest Sosa]] | * vertritt eine auf Tugenden bzw. Werten (virtues) basierende Epistemologie | |- | * 1941 | [[Robert Audi]] | * Erkenntnistheoretiker, befasst sich mit [[Wirtschaftsethik]] | |- | * 1943 | [[Laurence Bonjour]] | * Kohärenztheorie des Wissens | |- | * 1945 | [[Susan Haack]] [[Datei:Susan Haack.JPG|60px]] | * entwickelte eine Position als Kombination von Fundamentalismus und Kohärentismus * vertritt einen [[Pragmatismus]] in Anlehnung an [[Charles S. Peirce]] | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | ==== Neopragmatismus ==== |- | 1906–1998 | [[Nelson Goodman]] | * [[Goodmans neues Rätsel der Induktion]] * ''[[Sprachen der Kunst]]'' * Symboltheorie * Weisen der Welterzeugung – These „mehrerer Welten“ * Richtigkeit statt Wahrheit | |- | 1926–2016 | [[Hilary Putnam]] [[Datei:Hilary Putnam.jpg|60px]] | * Wechselte vom [[Funktionalismus (Philosophie)|Funktionalismus]] zum [[Naiver Realismus|Naiven Realismus]] * Philosophie des Geistes: Die Welt ist nicht nur im Kopf * Gedankenexperimente vom [[Gehirn im Tank]] und von der [[Zwillingserde]] * Universelle sprachliche Arbeitsteilung ([[Semantischer Externalismus]]) * sprachphilosophische Theorie der [[Stereotyp]]en | |- | * 1928 | [[Nicholas Rescher]] [[Datei:Nicholas Rescher.jpg|60px]] | * methodischer Pragmatismus * [[Kohärenztheorie]] der Wahrheit * [[Prozessphilosophie]] | |- | 1931–2007 | [[Richard Rorty]] | * Jede Fundamentalphilosophie ist zum Scheitern verurteilt * ''[[Der Spiegel der Natur]]'' * Der Wahrheitsbegriff ist nur kulturrelativ zu verstehen * Bestritt die Existenz mentaler Phänomene ([[Eliminativismus]]) * [[Historisierung]] erkenntnistheoretischer Fragen | |- | * 1942 | [[John McDowell (Philosoph)|John McDowell]] [[Datei:John McDowell.JPG|60px]] | * Zweite Natur * [[Externalismus]] in der Philosophie des Geistes * Undogmatischer Empirismus * empirische [[Epistemische Rechtfertigung|Rechtfertigung]] von Überzeugungen | |- | * 1950 | [[Robert Brandom]] [[Datei:Robert Brandom.jpg|60px]] | * Sprachpragmatiker, Inferenztheorie * ''[[Expessive Vernunft]]'' | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Kritischer Rationalismus === Der [[Kritischer Rationalismus|Kritische Rationalismus]] setzt sich mit der Frage auseinander, wie wissenschaftliche oder gesellschaftliche (aber prinzipiell auch alltägliche) Probleme undogmatisch, planmäßig (‚methodisch‘) und vernünftig (‚rational‘) untersucht und geklärt werden können, ohne der Wissenschaftsgläubigkeit (Positivismus) oder einem erkenntnistheoretischen Relativismus zu verfallen. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1902–1994 | [[Karl Popper]] [[Datei:Karl Popper.jpg|60px]] | * [[Erkenntnistheorie]]: ** Wissen ist weder sicher, noch wahrscheinlich oder auch nur begründet ([[Erkenntnisskeptizismus]]) ** Aussagen können dennoch in einem absoluten Sinn wahr sein (Absolutismus) ** rationale Unterscheidung wahrer und falscher Aussagen durch [[Falsifizierung]] und [[Kritik]] ** Es gibt keine erkenntnistheoretisch voneinander abgrenzbaren Wissensgebiete oder Fächer ** Versuch und Irrtum als Methode der Vernunft ([[evolutionäre Erkenntnistheorie]]). * Konzept der „[[Offene Gesellschaft|Offenen Gesellschaft]]“ ** Ablehnung jedes [[Historismus]] und jeder [[Utopie|utopischen]] Sozialplanung ** [[Wertvorstellung|Grundwerte]] sind Sicherheit, individuelle Freiheit und Gleichbehandlung, realisiert in der westlichen Demokratie ** Glück aller Bürger kann vom Staat nicht verwirklicht werden, stattdessen gilt es, Leiden und Unrecht zu vermindern ([[negativer Utilitarismus]]) ** [[Reform]]atorischer Ansatz: gesellschaftlicher Fortschritt in kleinen Schritten durch [[Sozialtechnologie]] * [[Ontologie]]: Drei Welten (physische, psychische Welt und Welt der Denkobjekte (z. B. Mathematik)) ** | |- | 1919–2003 | [[Ernst Topitsch]] | * Kritisiert vermeintliche Erkenntnisse aufgrund von Leerformeln * Freundschaft mit Albert, Distanz zu Popper | |- | * 1921 | [[Hans Albert]] [[Datei:Hans Albert 2005.jpg|60px]] | * Sozialphilosoph – [[Positivismusstreit]] * [[Münchhausen-Trilemma]] | |- | 1934–1990 | [[William Warren Bartley]] | * [[Pankritischer Rationalismus]] | |- | * 1939 | [[Hubert Kiesewetter]] | | |- | * 1940 | [[Alan Musgrave]] | | |- | * 1940 | [[Kurt Salamun]] [[Datei:KurtSalamun.jpg|60px]] | | |- | * 1942 | [[David Miller (Philosoph)|David Miller]] | | |- | * 1943 | [[Gerhard Vollmer]] | * verbindet den Kritischen Rationalismus mit einem gemäßigten [[Naturalismus (Philosophie)|Naturalismus]] * entwickelte die [[Evolutionäre Erkenntnistheorie]] | |- | 1955–2018 | [[Franz M. Wuketits]] [[Datei:Franz Wuketits.jpg|60px]] | * Vertreter der evolutionären Erkenntnistheorie | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Politische Philosophie === |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1867–1956 | [[Julien Benda]] | * Forderte ein Vereintes Europa (''Untersuchung über die europäische Nation'' (1933)) * Schrieb gegen den Nationalsozialismus (''Die Schicksalsprüfung der Demokratien'' (1942)) | |- | 1869–1966 | [[Friedrich Wilhelm Foerster]] | * Moralphilosoph * Kriegsgegner – NS-Gegner | |- | 1888–1985 | [[Carl Schmitt]] [[Datei:Carl Schmitt als Student 1912.jpg|60px]] | * antiliberaler Gegner des [[Pluralismus (Politik)|Pluralismus]] * dachte in der Tradition von Hobbes und Machiavelli * stand dem Nationalsozialismus nahe | |- | 1899–1973 | [[Leo Strauss]] | * Neokonservatismus | |- | 1899–1992 | [[Friedrich August von Hayek]] [[Datei:Friedrich Hayek portrait.jpg|60px]] | * sozioökonomische und politische Philosophie des Liberalismus * Verfassung einer Gesellschaft freier Menschen * Theorie der kulturellen Evolution und des menschlichen Zusammenlebens in arbeitsteiligen Gesellschaften * Kritiker der ''Anmaßung von Wissen'' und des Kollektivismus | |- | 1901–1985 | [[Eric Voegelin]] | * Staatstheorie | |- | 1901–1990 | [[Michael Oakeshott]] [[Datei:Michael Oakeshott.jpg|60px]] | * erkenntnistheoretischer Idealismus * es gibt keine objektiven Theorien (Interpretationismus) * politische Handlungen sind bestimmt durch gesellschaftliche Regeln („rule of law“), die als Maß des Guten und des Bösen gelten * der Staat ist eine Vereinigung, in der die moralische Autonomie im Rahmen der Regeln gewährleistet wird, und damit Voraussetzung distributiver Gerechtigkeit * ein staatlicher [[Perfektionismus (Philosophie)|Perfektionismus]] beinhaltet immer die Gefahr des Totalitarismus, deshalb gewährleistet allein politische Rationalität eine demokratische Gesellschaft | |- | 1902–1992 | [[Günther Anders]] | * Pazifist und Atomgegener * warnte vor der Zerstörung der Humanität | |- | 1905–1983 | [[Raymond Aron]] [[Datei:Raymond Aron (1966) by Erling Mandelmann.jpg|60px]] | * Kritiker des Totalitarismus * Dialektik von Frieden und Krieg * Analyse der modernen Industriegesellschaften | |- | 1906–1975 | [[Hannah Arendt]] | * ''[[Was ist Existenzphilosophie?]]'' * analysierte den [[Totalitarismus]] ''([[Elemente und Ursprünge totaler Herrschaft]])'' * schrieb über die „Banalität des Bösen“ im Denken Eichmanns ''([[Eichmann in Jerusalem]])'' * ''[[Macht und Gewalt]]'' * ''[[Vita activa oder Vom tätigen Leben]]'' * ''[[Über das Böse]]'' | |- | 1909–1997 | [[Isaiah Berlin]] [[Datei:IsaiahBerlin1983.jpg|60px]] | * Negative und Positive Freiheit | |- | 1921–2002 | [[John Rawls]] | * Herausragender politischer Philosoph des 20. Jahrhunderts * mit den Werken [[Theorie der Gerechtigkeit]] und Politischer [[Liberalismus]] vertrat er einen egalitären Liberalismus | |- | 1930–1992 | [[Allan Bloom]] | * Kulturkritiker, wandte sich gegen den [[Egoismus]] in der modernen Gesellschaft | |- | 1932–2003 | [[Ernst Vollrath]] | * Theorie des Politischen (in Anlehnung an Arendt) | |- | * 1933 | [[Amartya Sen]] [[Datei:Amartya Sen 20071128 cologne.jpg|60px]] | * Verknüpft Wirtschaftswissenschaften mit Ethik und politischer Philosophie * als Kritiker der [[Public Choice Theory]] leistete er maßgebliche Beiträge zur [[Theorie der kollektiven Entscheidungen]] * Anreger für den [[Index der menschlichen Entwicklung]]; Beiträge zur [[Wohlfahrtsfunktion]] * Ausgehend vom [[Lebensstandard]] schuf er das Konzept der [[Capability Approach|Verwirklichungschancen]] | |- | 1938–2002 | [[Robert Nozick]] | * Libertäre Gesellschaftstheorie als Kontrapunkt zu Rawls | |- | * 1943 | [[Otfried Höffe]] | * Kantianer, Rechts- und Staatsphilosophie | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Kommunitarismus === Unter [[Kommunitarismus]] versteht man eine politische Philosophie, die die Verantwortung des Individuums gegenüber seiner Umgebung und die soziale Rolle der Familie betont. Nur auf der Basis dieser gemeinsamen Wertvorstellungen, vor allem auf der Grundlage einer gemeinschaftlichen Konzeption des Guten, könne sinnvoll über die Grundsätze der Gerechtigkeit verhandelt werden. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | * 1929 | [[Amitai Etzioni]] | * Die aktive Gesellschaft | |- | * 1929 | [[Alasdair MacIntyre]] [[Datei:Alasdair MacIntyre.jpg|60px]] | * will an die Tugendlehre von Aristoteles anknüpfen | |- | * 1931 | [[Charles Taylor (Philosoph)|Charles Taylor]] [[Datei:Charles Taylor.jpg|60px]] | * “westliche Identität” | |- | * 1935 | [[Michael Walzer]] [[Datei:MichaelWalzer-USNA-Lecture.jpg|60px]] | * [[Sphären der Gerechtigkeit]] | |- | 1939–2017 | [[Benjamin R. Barber]] [[Datei:Benjamin R Barber in 2010.jpg|60px]] | * fordert eine [[partizipatorische Demokratie]] | |- | * 1953 | [[Michael Sandel]] [[Datei:Michael Sandel Me Judice.png|60px]] | * kritisiert das Fehlen sozialer Werte bei Rawls | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Neomarxismus und Kritische Theorie === |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1873–1937 | [[Max Adler (Jurist)|Max Adler]] | * [[Austromarxismus]] | |- | 1891–1937 | [[Antonio Gramsci]] [[Datei:Gramsci.png|60px]] | * Prägte den Begriff der Zivilgesellschaft * ''[[Gefängnishefte]]'' | |- | 1885–1971 | [[Georg Lukács]] [[Datei:Lukács György.jpg|60px]] | * entwarf den Gedanken einer „demokratischen Diktatur des Proletariats“ * Ästhetiker * ''[[Geschichte und Klassenbewusstsein]]'' * ''[[Die Zerstörung der Vernunft]]'' | |- | 1892–1940 | [[Walter Benjamin]] [[Datei:Walter Benjamin vers 1928.jpg|60px]] | * verknüpfte Kunst- und Kulturkritik mit dem historischen Materialismus * '' [[Deutsche Menschen]]'' * ''[[Der Autor als Produzent]]'' * '' [[Das Kunstwerk im Zeitalter seiner technischen Reproduzierbarkeit]]'' * '' [[Über den Begriff der Geschichte]]'' | |- | 1885–1975 | [[Ernst Bloch]] [[Datei:Bundesarchiv Bild 183-27348-0008, Berlin, Ernst Bloch auf Begegnung der Geistesschaffenden.jpg|60px]] | * ''[[Das Prinzip Hoffnung]]'' * lehrte eine humanistische Freiheitsidee * entwickelte die Konzepte der [[Ungleichzeitigkeit]] und der [[Konkrete Utopie|Konkreten Utopie]] | |- | 1895–1973 | [[Max Horkheimer]] [[Datei:AdornoHorkheimerHabermasbyJeremyJShapiro2.png|60px]] * | * grundsätzliche Kritik der „bürgerlichen Gesellschaft“ * prägte den Begriff der instrumentellen Vernunft * Begründer und Herausgeber der ''[[Zeitschrift für Sozialforschung]]'' | |- | 1898–1979 | [[Herbert Marcuse]] [[Datei:Herbert Marcuse in Newton, Massachusetts 1955.jpeg|60px]] | * Mitarbeiter des [[Institut für Sozialforschung]] * Kritik des Kapitalismus als ultimative Krise des menschlichen Wesens. * Problematik der [[Entfremdung]] | |- | 1899–1990 | [[Alfred Sohn-Rethel]] | * Materialistische Erkenntnistheorie * Abstraktes Denken als Folge des abstrakten Warentausches | |- | 1903–1969 | [[Theodor W. Adorno]] [[Datei:Adorno.jpg|60px]] | * ''[[Dialektik der Aufklärung]]'' mit Horkheimer * ''[[Minima Moralia]]'' * ''[[Philosophie der neuen Musik]]'' * '' [[Jargon der Eigentlichkeit]]'' * '' [[Negative Dialektik]]'' | |- | 1906–1985 | [[Wolfgang Abendroth]] | * Sozialgeschichte der europäischen Arbeiterbewegung; [[Marburger Schule (Politikwissenschaft)|Marburger Schule]] | |- | 1907–1995 | [[Leo Kofler]] | * eigenständige Kritische Theorie | |- | 1927–2009 | [[Leszek Kołakowski]] [[Datei:2007.10.23. -Leszek Kolakowski Foto Mariusz Kubik.jpg|60px]] | * [[Humanistischer Marxismus]] | |- | 1927–2011 | [[Hans Heinz Holz]] | * Herausgeber von [[Topos – Internationale Beiträge zur dialektischen Theorie]] | |- | * 1929 | [[Jürgen Habermas]] [[Datei:JuergenHabermas retouched.jpg|60px]] | * ''[[Erkenntnis und Interesse]]'' * ''[[Technik und Wissenschaft als „Ideologie“]]'' * ''[[Theorie des kommunikativen Handelns]]'' * ''[[Der philosophische Diskurs der Moderne]]'' * '' [[Diskurstheorie des Rechts]]'' | |- | 1931–2012 | [[Alfred Schmidt (Philosoph)|Alfred Schmidt]] [[Datei:Alfredschmidt.jpg|60px]] | * „Pionier einer undogmatisch-emanzipatorischen Marx-Rezeption“ | |- | * 1933 | [[Antonio Negri]] [[Datei:AntonioNegri SeminarioInternacionalMundo.jpg|60px]] | * [[Operaismus]] | |- | 1934–2004 | [[Peter Bulthaup]] | * | |- | * 1941 | [[Domenico Losurdo]] | * Kritiker des [[Geschichtsrevisionismus]] | |- | 1943–2013 | [[Costanzo Preve]] [[Datei:Costanzo Preve.jpg|60px]] | * Antiliberalismus | |- | * 1949 | [[Axel Honneth]] [[Datei:AxelHonneth2.JPG|60px]] | * Theorie der Anerkennung | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Jüdische Philosophie === Der Begriff [[Jüdische Philosophie]] bezeichnet die Verbindung philosophischer Studien mit Inhalten der jüdisch-religiösen Traditionen. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1878–1965 | [[Martin Buber]] [[Datei:Martin Buber.jpg|60px]] | * Philosophie des Du * [[Dialogphilosophie|Philosophie des Dialogs]] * ''[[Ich und Du (Buber)|Ich und Du]]'' * ''[[Die Schrift]]'', mit Franz Rosenzweig maßgebliche deutsche Übersetzung des [[Tanach]]s, der hebräischen Bibel | |- | 1880–1950 | [[Julius Guttmann]] | * Die ''Philosophie des Judentums'' (1933) gilt als judentumsgeschichtliches Standardwerk | |- | 1881–1992 | [[Mordechai M. Kaplan]] [[Datei:Mordecai Kaplan.jpg|60px]] | * Begründer des jüdischen [[Rekonstruktionismus]] in den USA * religiöser Naturalismus in Anlehnung an John Dewey | |- | 1886–1929 | [[Franz Rosenzweig]] [[Datei:Franz Rosenzweig1917.jpg|60px]] | * Interreligiöser Dialog | |- | 1897–1982 | [[Gershom Scholem]] [[Datei:Gershom Scholem 1935.jpg|60px]] | * Arbeitete insbesondere über die [[Kabbala]] |- | 1916–2003 | [[Emil Fackenheim]] | * Neben Darstellungen der jüdischen Philosophie Arbeiten über den Deutschen Idealismus | |- | 1923–1987 | [[Jacob Taubes]] | * [[Apokalyptik]] und [[Gnosis]] | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Religionsphilosophie === [[Religionsphilosophie|Sie]] ist eine philosophische Disziplin, die die Erscheinungsformen und den theoretischen Gehalt von [[Religion]] bzw. Religionen zum Gegenstand hat. Sie versucht, systematisch und rational Antwort zu geben auf Fragen nach der Vernünftigkeit religiöser Aussagen, nach Wesen und Formen von Religionen und ihrer praktischen Bedeutung im Leben des Menschen. Sie kann sich als [[Religionskritik]] manifestieren oder auch als [[Sprachphilosophie|sprachphilosophische]] Analyse der Form religiöser Sprachen. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1853–1924 | [[Clemens Baeumker]] | * katholischer Philosophiehistoriker | |- | 1865–1923 | [[Ernst Troeltsch]] [[Datei:Troeltsch 1907.jpg|60px]] | * Systematiker der Religionsgeschichtlichen Schule * ''Die Absolutheit des Christentums und die Religionsgeschichte'' | |- | 1875–1949 | [[Martin Grabmann]] | * Geschichte der mittelalterlichen Philosophie | |- | 1878–1944 | [[Joseph Maréchal]] [[Datei:Marechal philosopher.jpg|60px]] | * französischer Neuthomist | |- | 1881–1955 | [[Pierre Teilhard de Chardin]] [[Datei:Pierre Teilhard de Chardin.jpg|60px]] | * Leben und Kosmos sind in einer von Gott bewirkten kreativen Bewegung * [[Omegapunkt]] | |- | 1882–1937 | [[Pawel Florenski]] [[Datei:Pavel Florensky.jpg|60px]] | * Philosoph, Dichter, Theologe, Kunstwissenschaftler, Mathematiker, Naturwissenschaftler – „russischer Leonardo da Vinci“ * geprägt von der Naturauffassung Goethes und der späten Morallehre Tolstojs * Versuch einer Synthese von russischer Religions- und Kulturphilosophie mit den naturwissenschaftlichen Erkenntnissen des 20. Jahrhunderts * Ziel der Aufhebung der neuzeitlichen Trennung von Menschlichkeit und Wissenschaftlichkeit * Metaphysik symbolistischer Ästhetik | |- | 1882–1973 | [[Jacques Maritain]] | * Neuthomist, Christlicher Humanismus * Wirkte mit an der Formulierung der UN-Erklärung der Menschenrechte | |- | 1884–1940 | [[Peter Wust]] [[Datei:Saar 1950 290 Peter Wust.jpg|60px]] | * Christliche Dialog- und Existenzphilosophie | |- | 1884–1978 | [[Étienne Gilson]] | * Neuthomist, christliche Philosophie im Mittelalter | |- | 1885–1965 | [[Romano Guardini]] [[Datei:Romano Guardini um 1920.JPG|60px]] | * Existentielle Darstellungen des Lebens und des Denkens | |- | 1886–1965 | [[Paul Tillich]] [[Datei:Bust of Paul Johannes Tillich (daylight).JPG|60px]] | * Religiöser Sozialist * Nähe zur Kritischen Theorie | |- | 1886–1968 | [[Karl Barth]] | * Dialektische Theologie * Bekennende Kirche | |- | 1884–1976 | [[Rudolf Bultmann]] | * Entmythologisierung der Schrift * Existenzialontologie | |- | 1891–1982 | [[Alois Dempf]] | * Neuthomist | |- | 1889–1972 | [[Erich Przywara]] | * Jesuit, das endliche Erkenntnisvermögen des Menschen kann das unendliche Sein nie vollständig erfassen | |- | 1903–1992 | [[Johannes Baptist Lotz]] | * Neuthomist * Existenzialismus | |- | 1904–1997 | [[Josef Pieper]] | * Neuthomist * Philosophische Anthropologie | |- | 1904–1998 | [[Hans-Eduard Hengstenberg]] | * Jedes Seiende enthält Dasein, Wesen und Existenzprinzip | |- | 1909–1943 | [[Simone Weil]] [[Datei:Simone Weil 1921.jpg|60px]] | * Mystische Kontemplation und Sozialrevolution | |- | 1929–2005 | [[Béla Weissmahr]] [[Datei:Weissmahr.jpg|60px]] | * Begründung der Metaphysik durch das Argument der [[Retorsion]] | |- | * 1934 | [[Richard Swinburne]] [[Datei: Richard Swinburne.jpg|60px]] | * Argumentiert für die Existenz Gottes mit der Methode des induktiven Schließens (Gott als [[Hypothese]]) | |- | 1906–1959 | [[Daniil Leonidowitsch Andrejew]] [[Datei:Daniil Andreev Front.jpg|60px]] | * Dichter und Mystiker * entwarf mit ''Roza Mira'' ''([[Die Weltrose]])'' eine mythische Kosmogonie und Metaphilosophie der [[Menschheitsgeschichte]] | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Rechtsphilosophie === Als Grundlagendisziplin der Rechtswissenschaft wird in der [[Rechtsphilosophie]] nach dem Wesen des Rechts, dem Verhältnis von Recht zur Gerechtigkeit und zu sozialen Normen, zur Entstehung und Geltung von Recht gefragt. Im 20. Jahrhundert wurde insbesondere diskutiert, inwieweit Recht ausschließlich auf willkürlicher Setzung beruht ([[Rechtspositivismus]]) oder ob es übergeordnete Prinzipien und Normen gibt, die in der Rechtspraxis Anwendung finden ([[Rechtsrealismus]]). Beiden Positionen gemeinsam ist die Auffassung, dass auf eine metaphysische Begründung des Rechts verzichtet werden kann. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1851–1911 | [[Georg Jellinek]] [[Datei:Georg Jellinek.jpg|60px]] | * Kategorisierung von Grund- oder Menschenrechten in der [[Statuslehre (Recht)|Statuslehre]] * Prägte den Begriff von der „normativen Kraft des Faktischen“ * [[Drei-Elemente-Lehre]], nach der zur Anerkennung eines [[Staat]]es als [[Völkerrechtssubjekt]] die drei Merkmale „[[Staatsgebiet]]“, „[[Staatsvolk]]“ und „[[Staatsgewalt]]“ erforderlich sind | |- | 1858–1943 | [[Philipp Heck]] [[Datei:Philipp von Heck, Tübinger Professorengalerie.jpg|60px]] | * Vertrat das Konzept der [[Interessenjurisprudenz]] * Prägte den Ausdruck „[[Paschastellung]]“ für den Gläubiger in der [[Gesamtschuld]] | |- | 1872–1942 | [[Oskar Kraus]] | * Rechtsphilosoph, entwickelte eine eigene [[Axiologie (Philosophie)|Wertphilosophie]] | |- | 1878–1949 | [[Gustav Radbruch]] [[Datei:RadbruchGustav.jpg|60px]] | * Kantische [[Rechtsphilosophie]] * [[Radbruchsche Formel]]: Positives Recht wird bei (extremer) Ungerechtigkeit ungültig, | |- | 1881–1973 | [[Hans Kelsen]] [[Datei:Hans Kelsen1.jpg|60px]] | * Konsequenter Rechtspositivist * Nähe zu Kant und zum kritischen Rationalismus | |- | 1904–1977 | [[Hans Welzel]] | * begründete die [[Finale Handlungslehre]] | |- | 1907–1992 | [[H. L. A. Hart]] | * Rechtsphilosoph, gemäßigter Rechtspositivismus | |- | 1912–2000 | [[Helmut Coing]] | * knüpft an die Wertphilosophie Max Schelers und Nicolai Hartmanns an * schuf die Gerechtigkeitskategorie der „iustitia protectiva“, die den Staat zum Schutz des einzelnen in die Pflicht nimmt | |- | 1931–2013 | [[Ronald Dworkin]] [[Datei:Ronald Dworkin at the Brooklyn Book Festival.jpg|60px]] | * Rechtsphilosoph * egalitäre Gerechtigkeitstheorie | |- | * 1939 | [[Richard Posner]] [[Datei:Richard-A-Posner.jpg|60px]] | * Vertreter des [[Law and Economics|Law-and-Economics]]-Ansatzes mit der Forderung nach einer ökonomischen Analyse des Rechts | |- | * 1937 | [[Norbert Hoerster]] | * Interessenethik statt Menschenwürde, Rechtspositivismus wie H.L.A. Hart, skeptische Religionsphilosophie | |- | * 1945 | [[Robert Alexy]] | * Anwendung der [[Diskurstheorie des Rechts|Diskurstheorie]] auf den Bereich des Rechts | |- | * 1964 | [[Dietmar von der Pfordten]] | * Verbindet Rechtsphilosophie mit der Sozialphilosophie * „Normativer Individualismus“ in der Rechtsethik | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Medien- und Technikphilosophie === |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1910–1990 | [[Max Bense]] [[Datei:Max bense.jpg|60px]] | * [[Semiotik]]er, existentieller Rationalismus * Verknüpfung von Naturwissenschaft, Kunst und Philosophie, [[Medienphilosophie]] | |- | 1911–1980 | [[Marshall McLuhan]] [[Datei:Marshall McLuhan.jpg|60px]] | * Die Gutenberg-Galaxis: Das Ende des Buchzeitalters * Das globale Dorf * Understanding Media * The medium is the message. | |- | 1920–1991 | [[Vilém Flusser]] | * Neue Medien als Chance * Ausgang bei Heidegger | |- | * 1932 | [[Paul Virilio]] | * Medienkritiker * Einfluss der Geschwindigkeit auf die Gesellschaft ([[Dromologie]]) | |- | 1943–2011 | [[Friedrich Kittler]] | * Aufschreibesysteme 1800/1900 * Grammophon Film Typewriter | |- | * 1947 | [[Bruno Latour]] [[Datei:Bruno Latour Gothenburg 2006 cropped.jpg|60px]] | * Begründer der [[Akteur-Netzwerk-Theorie]] | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Wissenschaftstheorie === |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1896–1961 | [[Ludwik Fleck]] | * Einfluss des [[Denkstil]]s und des Denkkollektivs auf Theorien | |- | 1900–1990 | [[Richard Bevan Braithwaite]] | * Induktionist in Anlehnung an Hume * arbeitete auf den Gebieten der [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]] und [[Spieltheorie]] | |- | 1906–1987 | [[Gustav Bergmann (Wissenschaftstheoretiker)|Gustav Bergmann]] [[Datei:GustavBergmann berg1.jpg|60px]] | * [[Ontologie|ontologischer]] [[Realismus (Philosophie)|Realist]] | |- | * 1919 | [[Mario Bunge]] [[Datei:MarioBungesmall.jpg|60px]] | * Anschluss an Erkenntnisse des logischen Empirismus, des kritischen Rationalismus und der Systemtheorie * vertritt wissenschaftlichen Realismus und Rationalismus * Entwurf eines emergentistischen Materialismus * Verteidigung des Determinismusprinzips * Hauptwerk: Achtbändiger ''Treatise on Basic Philosophy'' (1974–1989) | |- | 1922–1996 | [[Thomas S. Kuhn|Thomas Samuel Kuhn]] | * ''The Structure of Scientific Revolutions'' – Paradigmenwechsel | |- | 1922–1974 | [[Imre Lakatos]] [[Datei:Professor Imre Lakatos, c1960s.jpg|60px]] | * Verband die Theorie Poppers mit Kuhn | |- | 1922–2014 | [[Patrick Suppes]] | * kritisiert das reduktionistischen Ideal der [[Einheitswissenschaft]] | |- | * 1923 | [[Adolf Grünbaum]] | * Wissenschaftstheorie der Physik | |- | 1923–1991 | [[Wolfgang Stegmüller]] | * Wissenschaftstheoretischer Strukturalismus | |- | 1924–1994 | [[Paul Feyerabend]] [[Datei:Paul Feyerabend Berkeley.jpg|60px]] | * ''[[anything goes]]'' * Erkenntnistheoretischer Anarchismus | |- | 1924–1967 | [[Norwood Russell Hanson]] | * empiristischer Holismus | |- | * 1936 | [[Ian Hacking]] [[Datei:Ian Hacking.jpg|60px]] | * [[Entitätenrealismus]] | |- | * 1938 | [[Joseph D. Sneed]] | * [[Wissenschaftstheoretischer Strukturalismus]] | |- | * 1939–2017 | [[Bernulf Kanitscheider]] | * kompromissloser [[Naturalismus (Philosophie)|Naturalist]] | |- | * 1941 | [[Larry Laudan]] | * vertritt einen „normativen [[Naturalismus (Philosophie)|Naturalismus]]“ | |- | * 1941 | [[Bas van Fraassen]] | * Konstruktiver Empirismus | |- | * 1943 | [[Nancy Cartwright (Philosophin)|Nancy Cartwright]] [[Datei:Nancy Cartwright 1990s.jpg|60px]] | * Physikalische Gesetze sind deskriptiv ([[Entitätenrealismus]], [[DN-Modell]]) | |- | * 1946 | [[Paul Hoyningen-Huene]] | * Arbeiten zur [[Inkommensurabilität (Wissenschaftstheorie)|Inkommensurabilität]], zum [[Reduktionismus]] und zur [[Wissenschaftsethik]] | |- | * 1951 | [[Sandra Mitchell]] | * erforscht [[Komplexes System|komplexe Systeme]] und tritt für einen „integrativen Pluralismus“ ein. | |- | * 1952 | [[John Dupré]] | * lehnt den [[Determinismus]] ab und tritt für eine pluralistische [[Metaphysik]] ein. | |- | 1954–2007 | [[Peter Lipton]] | * [[Schluss auf die beste Erklärung]] | |- | * 1960 | [[Nassim Nicholas Taleb]] [[Datei:Taleb mug.JPG|60px]] | * Erkenntnistheorie von [[Zufall]]sereignissen * skeptischer [[Empirist]], Kritik der [[Random Walk|Random-Walk]]-Theorie * [[Finanzmathematik]]er und [[Derivat (Wirtschaft)|Derivate-Spezialist]]; Theorie des [[Risikomanagement]]s | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Methodischer Konstruktivismus === Programm und Ziel des methodischen [[Erlanger Konstruktivismus|Konstruktivismus]] besteht darin, die Erzeugung der Gegenstände einer Wissenschaft durch die Angabe der methodisch nötigen Schritte und normgebenden Regeln zu rekonstruieren, die ihrer methodisch kontrollierten und regelgemäßen Konstruktion oder „Konstitution“ zugrunde liegen und beachtet werden müssen, wenn jene „in der Tat“ verwirklicht werden sollen. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1881–1954 | [[Hugo Dingler]] | * Ideengeber – Schöpfer der Protophysik * pragmatische Erkenntnistheorie * problematische Rolle in der NS-Zeit | |- | 1915–1994 | [[Paul Lorenzen]] [[Datei:Paullorenzen-2.jpg|60px]] | * Logische Propädeutik * [[Orthosprache]] * Konstruktive Mathematik * [[Dialogische Logik]] * [[Protophysik]] * konstruktive Wissenschaftstheorie und Politikberatung | |- | 1905–1976 | [[Wilhelm Kamlah]] | * Sprach- und Wissenschaftskritik * Philosophische Anthropologie | |- | * 1932 | [[Kuno Lorenz]] | * Dialogische Anthropologie | |- | * 1936 | [[Jürgen Mittelstraß]] [[Datei:Die Zukunft der Wissensspeicher - Jürgen Mittelstraß 1.JPG|60px]] | * Wissenschaftstheorie, Enzyklopädie, geschichtliche Konstanzer Schule | |- | * 1935 | [[Friedrich Kambartel]] | * Praktische Philosophie und konstruktive Wissenschaftstheorie | |- | * 1937 | [[Christian Thiel]] | * [[Grundlagenkrise der Mathematik]], Wissenschaftstheorie | |- | * 1942–2016 | [[Peter Janich]] [[Datei:Peter Janich 2011 by Justus Nussbaum.jpg|60px]] | * Protophysik von Raum, Zeit und Materie * [[Methodischer Kulturalismus]] | |- | * 1944 | [[Carl Friedrich Gethmann (Philosoph)|Carl Friedrich Gethmann]] | * [[Argumentationstheorie]], Technologiefolgenabschätzung | |- | * 1960 | [[Armin Grunwald]] [[Datei:Grunwald2013.jpg|60px]] | * arbeitet vor allem auf dem Gebiet der [[Technikfolgenabschätzung]] | |- | * 1964 | [[Dirk Hartmann]] | * Wissenschaftstheorie der Psychologie | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Radikaler Konstruktivismus === Die Kernaussage des [[Radikaler Konstruktivismus|radikalen Konstruktivismus]] ist, dass eine Wahrnehmung kein Abbild einer bewusstseinsunabhängigen Realität liefert, sondern dass Realität für jedes Individuum immer eine Konstruktion aus Sinnesreizen und Gedächtnisleistung darstellt. Deshalb ist Objektivität im Sinne einer Übereinstimmung von wahrgenommenem (konstruiertem) Bild und Realität unmöglich; jede Wahrnehmung ist vollständig subjektiv. Darin besteht die Radikalität (Kompromisslosigkeit) des radikalen Konstruktivismus. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1886–1980 | [[Jean Piaget]] [[Datei:Jean Piaget.jpg|60px]] | * Ideengeber für Glasersfeld * [[Genetische Epistemologie]] * Konstruktivismus als Grundlage der [[Entwicklungspsychologie]] | |- | 1911–2002 | [[Heinz von Foerster]] [[Datei:HvF 01.jpg|60px]] | * [[Rekursion]] als Grundlage einer [[Kybernetik zweiter Ordnung]] * formulierte den „[[Ethischer Imperativ|Ethischen Imperativ]]“: „Handle stets so, dass die Anzahl der Wahlmöglichkeiten größer wird!“ | |- | 1917–2010 | [[Ernst von Glasersfeld]] [[Datei:Ernst-von-Glasersfeld 2008 - 1.jpg|60px]] | * Wissen wird vom denkenden Subjekt aktiv aufgebaut * Die Funktion der Kognition ist im biologischen Sinn adaptiver Art und zielt auf Passung oder [[Viabilität]] * Kognition dient der Organisation der Erfahrungswelt des Subjekts und nicht der ‚Erkenntnis‘ einer objektiven, ontologischen Realität * Organismen neigen zur Wiederholung, zur Erinnerung, zum Vergleichen und zum Bewerten * Erkenntnis ist ein Prozess von [[Perturbation]] und [[Akkommodation (Lernpsychologie)|Akkommodation]] mit dem Gleichgewicht der [[Äquilibration]] | |- | 1921–2007 | [[Paul Watzlawick]] | * arbeitete als Psychologe mit [[Gregory Bateson]] an der [[Doppelbindungstheorie]] * Kommunikationstheoretiker: ** Jede Kommunikation hat einen Inhalts- und einen Beziehungsaspekt, wobei Letzterer den Ersteren bestimmt ** Die Natur einer Beziehung ist durch die Interpunktionen der Kommunikationsabläufe seitens der Partner bedingt ** Menschliche Kommunikation bedient sich digitaler und analoger Modalitäten ** Zwischenmenschliche Kommunikationsabläufe sind entweder symmetrisch oder komplementär * Förderte den radikalen Konstruktivismus mit populären Büchern: ''[[Die erfundene Wirklichkeit]]'', ''[[Anleitung zum Unglücklichsein]]'' | |- | * 1928 | [[Humberto Maturana]] [[Datei:Maturana podium.JPG|60px]] | * Direktor des [[Biological Computer Laboratory]] * Die Organisation des Lebendigen beruht auf einer Verknüpfung von organismischer Biologie und Kybernetik * schuf mit Varela den Begriff der [[Autopoiesis]] * Sprache ermöglicht den Menschen Bereiche der sogenannten [[Konsens]]ualität | |- | * 1940 | [[Siegfried J. Schmidt]] | * gilt als Begründer der [[Empirische Literaturwissenschaft|Empirischen Literaturwissenschaft]] * Verfechter des [[Soziokultureller Konstruktivismus|Soziokulturellen Konstruktivismus]] |- | 1946–2001 | [[Francisco Varela]] [[Datei:Varela (Biologist).jpg|60px]] | * schrieb mit Maturana: ''[[Der Baum der Erkenntnis]]'' * Mitinitiator des ersten [[Mind and Life Institute|Mind and Life Dialogs]] | |- | * 1948 | [[Kersten Reich]] | * begründete den Ansatz des [[Interaktionistischer Konstruktivismus|Interaktionistischen Konstruktivismus]] | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Strukturalismus und Poststrukturalismus === [[Strukturalismus]] ist ein Sammelbegriff für interdisziplinäre Methoden und Forschungsprogramme, die Strukturen und Beziehungsgefüge in den weitgehend unbewusst funktionierenden Mechanismen kultureller Symbolsysteme untersuchen. Im [[Poststrukturalismus]] stehen stärker historische Diskontinuitäten und die kritische Auseinandersetzung mit dem Verhältnis von sprachlicher Praxis und sozialer Wirklichkeit im Zentrum der Betrachtungen. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1857–1913 | [[Ferdinand de Saussure]] [[Datei:Ferdinand de Saussure.jpg|60px]] | * Sprachtheoretiker, dessen Methode philosophisch umgesetzt wurde | |- | 1896–1982 | [[Roman Jakobson]] [[Datei:Roman Jakobson.jpg|60px]] | * Jede sprachliche Mitteilung enthält die sechs Faktoren Kontext, Botschaft, Sender, Empfänger, Kontakt, Code * Prägte auch die Begriffe [[Ikonizität]] (Ähnlichkeit) und Kontrast ([[Indexikalität]]). * Lehnte die von Saussure postulierte [[Arbitrarität]] der Sprache ab, da Zeichen Teil eines Regelsystems sind. | |- | 1908–2009 | [[Claude Lévi-Strauss]] [[Datei:Levi-strauss 260.jpg|60px]] | * Ethnologe und Anthropologe * Setzte als erster den Strukturalismus ein. | |- | 1901–1981 | [[Jacques Lacan]] [[Datei:Jacques Lacan.jpg|60px]] | * Psychoanalytiker * Das Universum des Subjekts besteht aus dem Imaginären und dem Symbolischen | |- | 1902–1976 | [[Émile Benveniste]] | * Kategorien bei Aristoteles sind sprachabhängig. | |- | 1913–2005 | [[Paul Ricœur]] | * Phänomenologische Sprachanalyse mit Reflex auf Heidegger * Geschichtsphilosophie | |- | 1915–1980 | [[Roland Barthes]] | * strukturalistische [[Semiotik]]; Themen: moderne Medien * früher Vertreter des [[Poststrukturalismus]] | |- | 1918–1990 | [[Louis Althusser]] | * Interpretierte Marx strukturalistisch | |- | 1919–1983 | [[Paul de Man]] | * Amerikanischer Vertreter der Dekonstruktion | |- | 1926–1984 | [[Michel Foucault]] | * Kritisiert die Logik des fortgeschrittenen Kapitalismus * Diskursanalyse als Archäologie des Wissens | |- | 1930–2004 | [[Jacques Derrida]] [[Datei:Derrida-by-Pablo-Secca.jpg|60px]] | * ''différance'' | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Postmoderne === Die [[Postmoderne]] beleuchtet im allgemeinen Sinn den Zustand der abendländischen Gesellschaft, der Kultur und der Kunst „nach“ der [[Moderne]]. Im philosophischen Sinn wendet sie sich gegen bestimmte Institutionen, Methoden, Begriffe und Grundannahmen der Moderne und versucht diese aufzulösen bzw. reflektierend zu überwinden. Die Vertreter der Postmoderne kritisieren das Innovationsstreben der Moderne als lediglich habituell und automatisiert. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1917–2003 | [[Leslie Fiedler]] [[Datei:Leslie Fiedler (1967).jpg|60px]] | * Führte den Begriff Postmoderne in die Literaturwissenschaft ein | |- | 1925–1995 | [[Gilles Deleuze]] | * Die Welt als ein Nexus von [[Virtualität]]en | |- | 1924–1998 | [[Jean-François Lyotard]] [[Datei:Jean-Francois Lyotard cropped.jpg|60px]] | * Kommunikation als Spiel mit bestimmten Regeln * Liberalismus als System der zur Kooperation verurteilten Diskurse | |- | 1929–2007 | [[Jean Baudrillard]] [[Datei:WikipediaBaudrillard20040612.jpg|60px]] | * Antimedientheorie * Verführung des Konsumenten | |- | 1933–2004 | [[Susan Sontag]] | * gesellschaftskritische Kunstphilosophin | |- | 1937–2015 | [[André Glucksmann]] [[Datei:Andre Glucksmann2.jpg|60px]] | * Diskurs über den Krieg | |- |- | 1930–2019 | [[Michel Serres]] [[Datei:Michel Serres - Espace des sciences - 15-02-2011.JPG|60px]] | * Auf Basis des Informationsmodells von [[Claude Elwood Shannon|Claude E. Shannon]] und durch [[Kybernetik|kybernetische]] Ansätze wird eine [[Kommunikationstheorie]] entwickelt * ''Der Naturvertrag'' begründet eine philosophische Ökologie oder eine neue Beziehung zur Natur | |- | * 1942 | [[Giorgio Agamben]] | * Durch ihre Reaktionen auf ihre Gegner droht die Gesellschaft ihre demokratischen Grundlagen selbst zu zerstören | |- | * 1947 | [[Peter Sloterdijk]] [[Datei:Peter Sloterdijk, Karlsruhe 07-2009, IMGP3019.jpg|60px]] | * Kulturkritiker und Essayist * Existentialismus, Posthumanismus, Neonietzscheanismus * [[Kritik der zynischen Vernunft]] * Eurotaoismus – Kritik der politischen Kinetik * Neuerzählung der Menschheitsgeschichte in der [[Sphäre]]n-Trilogie * [[Regeln für den Menschenpark]] * [[Du mußt dein Leben ändern]] | |- | * 1952 | [[Francis Fukuyama]] [[Datei:Francis Fukuyama 2005.jpg|60px]] | * Das Ende der Geschichte | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Feministische Philosophie === [[Feministische Philosophie|Sie]] bezeichnet verschiedene, zumeist von Frauen vertretene Ansätze in der [[Philosophie des 20. Jahrhunderts]] und der [[Gegenwartsphilosophie]], die sich mit Fragen nach den Konstruktionen der natürlichen und der soziokulturellen Differenz der [[Gender|Geschlechter]] in der Geschichte und der Gegenwart und deren Auswirkungen auf [[Philosophie]], [[Kunst]], [[Wissenschaft]] sowie auf die Situation der Frau in einer männlich dominierten Welt beschäftigen. Grundlegend ist hierbei die Untersuchung der historisch-philosophischen Konzepte von „Weiblichkeit“ und „Männlichkeit“. |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1908–1986 | [[Simone de Beauvoir]] | * [[Das andere Geschlecht]], Existentialismus | |- | * 1930 | [[Luce Irigaray]] | * Psychoanalytikerin (Der Spiegel des anderen Geschlechts) | |- | * 1935 | [[Sandra Harding]] | * [[Feministische Wissenschaftstheorie]] | |- | * 1941 | [[Julia Kristeva]] [[Datei:Julia Kristeva à Paris en 2008.jpg|60px]] | * Poststrukturalistin | |- | * 1944 | [[Donna Haraway]] [[Datei:Donna Haraway and Cayenne.jpg|60px]] | * Naturwissenschaftshistorikerin, befasst sich mit Fragen von Macht und Lust | |- | * 1956 | [[Judith Butler]] [[Datei:Judith butler 2011-b.jpg|60px]] | * dekonstruktivistischer Feminismus | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Neuer Realismus === Der neue Realismus ist eine philosophische Schule des 21. Jahrhunderts mit Wurzeln im 20. Jahrhundert. Sie teilt signifikante Argumente des spekulativen Realismus und der Object-Oriented Ontology |- | * 1949 | [[Slavoj Žižek]] [[Datei:Slavoj Zizek in Liverpool 2.jpg|60px]] | * Beschäftigung mit [[Jacques Lacan]] * Distanziert sich von einer Einordnung in den [[Poststrukturalismus]] | |- | * 1980 | [[Markus Gabriel]] | * Sinnfeld-[[Ontologie]] – alles existiert nur, weil es in einem [[Sinnfeld (Philosophie)|Sinnfeld]] erscheint, von denen wiederum unbegrenzt viele existieren. * vergleiche mit dem [[Naiver Realismus]] * Kritik an den Überlegungen von Immanuel Kant zur Erkenntnis, etwa dem [[Ding an sich]]. * Etwa eine umfassende [[Weltformel]] – im Sinne, dass alles mit allem zusammenhänge – gibt es nicht. | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Afrikanische Philosophie === |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | * 1931 | [[John Mbiti]] | * anglikanischer Priester und Religionsphilosoph * Vertreter der [[Ethnophilosophie]] | |- | * 1931 | [[Kwasi Wiredu]] | * „Begriffliche Dekolonisation“ (Conceptual decolonialization) * Konsensethik | |- | * 1942 | [[Paulin J. Hountondji]] | * Es gibt kein nachvollziehbares, unwandelbares, kollektives Denksystem aller Afrikaner | |- | 1944–1995 | [[Henry Odera Oruka]] | * Projekt der „Sage-Philosophy“ (Weisheitsphilosophie) * „Parental Earth Ethics“ | |- | * 1954 | [[Anthony Appiah]] [[Datei:Kwame Anthony Appiah by David Shankbone.jpg|60px]] | * Philosophie des [[Weltbürgertum]]s * ([[Ghana]]) | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Indische Philosophie === |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1861–1941 | [[Rabindranath Thakur]] [[Datei:Bundesarchiv Bild 102-11643, Rabindranath Tagore.jpg|60px]] | * Nobelpreis für Literatur 1913 * Modernisierer der bengalischen Literatur und Kunst * Kultur- und Sozialreformer | |- | 1863–1902 | [[Vivekananda]] [[Datei:Swami Vivekananda Jaipur.jpg|60px]] | * sprach als erster Hindu vor dem [[Weltparlament der Religionen]] * Weiterentwicklung der Philosophie des [[Vedanta]] | |- | 1869–1948 | [[Mohandas Karamchand Gandhi]] [[Datei:Portrait Gandhi.jpg|60px]] | * politischer und geistiger Führer der indischen Unabhängigkeitsbewegung * Konzept des gewaltfreien Widerstands | |- | 1872–1950 | [[Aurobindo Ghose]] [[Datei:Sri aurobindo.jpg|60px]] | * Hindu-Mystiker und indischer Nationalist * Verbindung humanistischer Bildung mit spirituellen Weisheitslehren * [[Integraler Yoga]], Evolution des Bewusstseins, Übermensch | |- | 1877–1947 | [[Ananda Kentish Coomaraswamy]] [[Datei:Coomaraswamy.jpg|60px]] | * Philosophie der indischen Kunst * Metaphysiker und Traditionalist | |- | 1879–1950 | [[Ramana Maharshi]] [[Datei:Ramana 3 sw.jpg|60px]] | * Guru * Vertreter des Advaita-[[Vedanta]] * [[Atma Vichara]] | |- | 1888–1975 | [[Sarvepalli Radhakrishnan]] [[Datei:Radhakrishnan.jpg|60px]] | * Erster Vizepräsident und zweiter Präsident Indiens * Religionsphilosoph und Vordenker des [[Neohinduismus]] | |- | 1889–1950 | [[Sahajanand Saraswati]] | * Intellektueller und Sozialreformer * Linguist, Soziologe, Historiker * Politiker, Nationalist und Marxist | |- | 1893–1963 | [[Rahul Sankrityayan]] | * Linguist, Indologe, Soziologe, Historiker * Vater der indischen Reiseliteratur * Nationalist und Marxist | |- | 1895–1986 | [[Jiddu Krishnamurti]] [[Datei:Jiddu Krishnamurti 01.jpg|60px]] | * Theosoph * geistige Freiheit durch Meditation | |- | 1918–2008 | [[Maharishi Mahesh Yogi]] [[Datei:Maharishi Huntsville Jan 1978A.JPG|60px]] | * vedische Philosophie * [[Transzendentale Meditation]] | |- | 1931–1990 | [[Osho]] | * Begründer der [[Neo-Sannyas]]-Bewegung | |- | colspan="4" style="background:#eee;" | === Chinesische Philosophie === |- ! Periode ! Philosoph ! Philosophie ! Allgemeine Geschichte |- | 1866–1925 | [[Sun Yat-sen]] [[Datei:Sun Yat Sen portrait.jpg|60px]] | * chinesischer Revolutionsführer und Staatsmann * Gründer der [[Kuomintang]] und erster provisorischer Präsident der [[Republik China (1912–1949)|Republik China]] * politische Philosophie der [[Drei Prinzipien des Volkes]] (angeregt vom amerikanischen [[Progressivismus]]) | |- | 1873–1929 | [[Liang Qichao]] [[Datei:Liang qichao.jpg|60px]] | * Journalist, Dichter und Romancier * moderne Historiographie * Studium der Philosophen der westlichen Aufklärung * Verfechter einer Modernisierung Chinas und einer konstitutionellen Monarchie | |- | 1885–1968 | [[Xiong Shili]] | * beteiligt an der [[Xinhai-Revolution]], welche die [[Qing-Dynastie]] beendete * neuer Konfuzianismus | |- | 1886–1973 | [[Zhang Dongsun]] [[Datei:Zhang Dongsun2.jpg|60px]] | * studierte Kant und Bergson * Verfechter der Philosophie [[Bertrand Russell]]s * chinesischer Liberaler und Kritiker des Marxismus * Vertreter der ursprünglichen Chinesischen Demokratischen Liga | |- | 1891–1962 | [[Hu Shi]] [[Datei:Hu Shih 1960 color.jpg|60px]] | * Mitbegründer der Literarischen Revolution und „Vater“ der Intellektuellen Renaissance in China * Hauptvertreter des frühen chinesischen Liberalismus * Verfechter des [[Pragmatismus]] von [[John Dewey]] * Interpretation klassisch-chinesischer Philosophen als Erbe wissenschaftlicher Methode ohne legendenhaften Mystizismus | |- | 1895–1984 | [[Jin Yuelin]] [[Datei:金岳霖.jpg|60px]] | * moderne Logik | |- | 1895–1990 | [[Feng Youlan]] [[Datei:Feng Youlan.jpg|60px]] | * Geschichte der chinesischen Philosophie * rationalistische neo-konfuzianische Metaphysik | |- | 1909–1978 | [[Tang Junyi]] | * neuer Konfuzianismus * beeinflusst durch Platon und Hegel | |- | 1899–1977 | [[:en:Thomé H. Fang|Thomé H. Fang]] | * Vergleich und Verschmelzung der altgriechischen, abendländischen und chinesischen Philosophie * Geschichte des Buddhismus * neuer Konfuzianismus, wobei daoistische Gedanken einbezogen werden | |- | 1909–1995 | [[Mou Zongsan]] | * neuer Konfuzianismus * chinesischer Traditionalismus * übersetzte die drei Kritiken Kants ins Chinesische | |- | 1926–2002 | [[Wang Ruoshui]] | * zuerst Verfechter des Maoismus * später Vertreter eines [[Marxistischer Humanismus|marxistischen Humanismus]] und chinesischen Liberalismus | |- | * 1940 | [[Tu Wei-ming]] | * konfuzianische Ethik | |} == Siehe auch == * [[Portal:Philosophie]] * [[:Kategorie:Philosoph]] == Literatur == * [[Portal:Philosophie/Philosophiebibliographie#Geschichte der Philosophie|Allgemeine Literatur zur Geschichte der Philosophie]] * Johannes Hirschberger: ''Geschichte der Philosophie.'' 2 Bde., Herder, 14. Auflage, Freiburg i.&nbsp;Br. 1991, ISBN 3-451-22408-9. * Wolfgang Röd: ''Geschichte der Philosophie.'' 14 Bde., Beck, München 1986–2004. * Fritz Schultze: ''[https://www.fehcom.net/stammbaum/Start.html Stammbaum der Philosophie].'' 2., umgearb. und verm. Auflage, Haacke, Leipzig 1899. * Franz Schupp: ''Geschichte der Philosophie im Überblick.'' 3 Bde., Meiner, Hamburg 2005, ISBN 3-7873-1704-X. {{Navigationsleiste Philosophiegeschichte}} [[Kategorie:Geschichte der Philosophie|!]] [[Kategorie:Zeittafel (Wissenschaft)|Philosophie]] [[be:Філосафы]] [[be-tarask:Філёзаф]] g9arb6j2wvimvozdn4k6k5slgvax0ce 108 141093 1117423 1116941 2026-10-23T09:35:48Z ChristianSW 15793 korr. 1117423 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Tüftlerclub |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:ChristianSW|ChristianSW]] }} {{Fachbereich|Informatik}} == Blick in die Werkstatt == <gallery heights="200" widths="360" mode="nolines" class="center centered" > Tüftlerclub 22.10.22.jpg | <big><big><big> [[Kurs:Micro:bit und Super:bit|Super:bit]]</big></big></big> Tüftlerclub 2022-09 I.jpg | <big><big><big> [[Kurs:Micro:bit und Omni:bit|Omni:bit]]</big></big></big> Tüftlerclub 22.10.22 IV.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Trike|Trike]]</big></big></big> Tüftlerclub Infrarotfahrzeug 2022-11.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Infrarotfahrzeug|Infrarotfahrzeug]]</big></big></big> Fahrzeug mit Greifer III 2022-11.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Fahrzeug mit Greifer|Fahrzeug mit Greifer]]</big></big></big> Tüftlerclub_IR-Fahrzeug_mit_Smartphone_I.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Bagger|Infrarotfahrzeug II]]</big></big></big> Tüftlerclub Batterietester.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Arduino|Arduino]]</big></big></big> Tüftlerclub Arduino-Funk-Fahrzeug.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Funkfahrzeug|Funkfahrzeug]]</big></big></big> Tüftlerclub Greifarm-Prototyp II.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/GreifarmI|Greifarm]]</big></big></big> Tüftlerclub Funk-Fahrgestell mit Smartphone.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/FunkFahrgestell|Funk-Fahrgestell]]</big></big></big> Tüftlerclub Boot Juli 2023 I.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Boot|Boote]]</big></big></big> Tüftlerclub Spike Mech1.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Spike|Spike]]</big></big></big> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]</big></big></big> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Kranbrücke|Brückenkran]]</big></big></big> Tüftlerclub RollBot V2.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/RollBot|RollBot]]</big></big></big> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg| <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Plattformer|Mecanum Plattformer]]</big></big></big> SG-EMIB-01A Board.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/SG-EMIB-01A|SG-EMIB-01A Board]]</big></big></big> Tüftlerclub Videodrohne.jpg | <big><big><big>[https://www.youtube.com/playlist?list=PLV2C6SQY-Gc6mRK-aZ4jHMBTOvKgoGIAy YouTube]</big></big></big> Tüftlerclub Kran Steuerung.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Werkstatt|Werkstatt]]</big></big></big> Drehkran mit Magnethalterung.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Drehkran|Drehkran]]</big></big></big> Magnethalterung V1 a.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Bauteile|Bauteile]]</big></big></big> Luftdruckanzeige für Klemmbausteinmodelle.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Pneumatik|Pneumatik]]</big></big></big> Mecanum wheel control principle.svg | <big><big><big>[https://etherpad.wikimedia.org/p/Tueftlerclub Notizbuch]</big></big></big> Tüftlerclub Marssonde.jpg | <big><big><big>[[Projekt:Tüftlerclub/Medien|Ideen aus der Bücherei]]</big></big></big> </gallery> == Links == {{Commonscat|Tüftlerclub}} [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] 8zna1y042mc3qozl5n9504f3mdnjpki 0 142067 1117440 1107209 2026-10-23T10:45:02Z Bocardodarapti 2041 1117440 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Natural numbers|svg| 500px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Natural_numbers| |Text=Der natürliche Zahlenstrahl, die Gerade hat im Moment noch keine eigenständige Bedeutung. In diesem Zählmodell bedeutet das Zählen, um eine Schrittlänge nach rechts zu gehen. Die Beschriftung mit den Dezimalzahlen gibt die Identifizierung mit einem anderen Zählmodell. |Autor= |Benutzer=Junaidpv |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir halten die folgenden Eigenschaften eines sinnvollen Zählens fest. {{ Aufzählung5 |Es gibt ein Startelement, mit dem man das Zählen anfängt. |Zu jeder Zahl gibt es eine eindeutig bestimmte Nachfolgerzahl. |Das Startelement ist selbst kein Nachfolger. |Jede Zahl, die nicht das Startelement ist, besitzt einen eindeutig bestimmten Vorgänger. |Durch Zählen erhält man ausgehend vom Startelement früher oder später alle Zahlen. }} {{ inputbild |NachfolgermitSchleife|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Welche Eigenschaft erfüllt dieses {{Anführung|Zählsystem}} nicht? |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Damit schließen wir insbesondere aus, dass man im Kreis zählt, wie beispielsweise mit den Wochentagen Montag, Dienstag, ..., Sonntag, Montag. Da hat jeder Tag einen eindeutig bestimmten Vorgängertag und es gibt kein Startelement ohne Vorgänger. Die letzte Eigenschaft stellt sicher, dass man keine unnötigen Zahlen mitschleppt, die für das Zählen nicht gebraucht werden. Eine solche Zählmenge nennen wir ein Modell der natürlichen Zahlen oder schlicht natürliche Zahlen. Unabhängig vom Modell bezeichnen wir zu {{math|term= n |SZ=}} den Nachfolger als {{math|term= n^\prime |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=später auch mit {{math|term= n+1 |SZ=,}} im Moment haben wir aber die Addition noch nicht eingeführt| |ISZ=|ESZ=. }} Wir treffen noch eine wichtige Vereinbarung über das Startelement. In den Beispielen oben hatten wir das Zählen mit einem {{math|term= 1 |SZ=-}}ähnlichen Symbol begonnen. Von den soeben fixierten Eigenschaften ist die Bezeichnung des Startelements unerheblich. Im Folgenden werden wir allerdings die Zahlen dazu verwenden, Anzahlen von endlichen Mengen auszudrücken, also zu zählen in einem weiteren Sinne. Da es auch die leere Menge gibt, werden wir daher das Startelement {{math|term= 0 |SZ=}} nennen und den Nachfolger davon {{ Relationskette/display | 0' || 1 || || || |SZ=. }} Für uns ist also {{math|term= 0 |SZ=}} eine natürliche Zahl. Gründe dafür werden wir schon heute kennen lernen. Die natürlichen Zahlen werden mit {{math|term= \N |SZ=}} bezeichnet, die Menge der positiven natürlichen Zahlen bezeichnen wir mit {{math|term= \N_+ |SZ=,}} da gehört die {{math|term= 0 |SZ=}} nicht dazu. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2=Theorie des Zählvorganges (Nachfolgernehmen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} n9t1b6a7itol4cbm5wb6g8lzslu9uvc 0 142068 1117442 1106389 2026-10-23T10:49:02Z Bocardodarapti 2041 1117442 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} Bei einer Abbildung {{ Abbildung |name=F |L|M || |SZ= }} heißt {{math|term= L |SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Definitionsmenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Definitionsbereich| |SZ= }} der Abbildung und {{math|term= M |SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Wertemenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Wertevorrat|SZ=}} oder {{Stichwort|Zielbereich|SZ=}} | |SZ= }} der Abbildung. Zu einem Element {{ Relationskette | x | \in| L || || || |SZ= }} heißt das Element {{ Relationskette/display | F(x) | \in| M || || || |SZ= }} der {{Stichwort|Wert|SZ=}} von {{math|term= F |SZ=}} an der {{Stichwort|Stelle|SZ=}} {{math|term= x |SZ=.}} Statt Stelle sagt man auch häufig {{Stichwort|Argument|SZ=.}} Zwei Abbildungen {{ mathkor|term1= {{ abb |name=F |L_1 |M_1 || |SZ= }} |und|term2= {{ abb |name=G |L_2 |M_2 || |SZ= }} |SZ= }} sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle {{ Relationskette | x | \in| L_1 || L_2 || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette | F(x) || G(x) || || || |SZ= }} in {{ Relationskette | M_1 || M_2 || || || |SZ= }} gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch {{Stichwort|Funktionen|msw=Funktion|SZ=}} genannt. Der Abbildungsbegriff ist fundamental für die Mathematik, es gibt eine Vielzahl an verschiedenen Abbildungen und an Darstellungsmöglichkeiten von Abbildungen. Im jetzigen Kontext interessieren wir uns nur für Abbildungen zwischen endlichen Mengen, die stets durch eine vollständige Wertetabelle angegeben werden können. Für die Mengen {{ Relationskette/display | L || \{1,2,3,4,5,6,7,8\} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | M ||\{a,b,c,d,e,f,g\} || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{Wertetabelle8|text1={{math|term= x |SZ=}}| 1| 2| 3| 4| 5| 6| 7| 8|text2={{math|term= F(x) |SZ=}}|c|a|a|b|e|b|e|d|}} eine vollständige Wertetabelle. Aus ihr kann man unmittelbar den Wert {{math|term= F(3) |SZ=}} als {{math|term= a |SZ=}} ablesen. Es handelt sich aber offenbar nicht um eine korrekte Abzählung der Menge {{math|term= M |SZ=,}} da {{math|term= a |SZ=}} und {{math|term= e |SZ=}} mehrfach im Bild auftauchen {{ Zusatz/Klammer |text=mehrfach gezählt werden| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= f |SZ=}} überhaupt nicht im Bild auftaucht {{ Zusatz/Klammer |text=übersehen wird| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn die obigen Fehlerquellen (1) und (2) ausgeschlossen sind, so ist das {{ Zusatz/Klammer |text=versuchsweise| |ISZ=|ESZ= }} Abzählen einer Menge {{math|term= M |SZ=}} eine Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |{{Menge1n}} |M | i| \varphi(i) |SZ=. }} Jeder natürlichen Zahl {{math|term= i |SZ=}} wird also ein eindeutiges Element der Menge {{math|term= M |SZ=}} zugeordnet. Die beiden Fehlerquellen (3) und (4) sind durch den Abbildungsbegriff {{Betonung/Negation|nicht}} ausgeschlossen. Eine Abbildung {{math|term= F |SZ=}} kann für verschiedene Definitionsstellen, also beispielsweise Zahlen {{ Relationskette | i |\neq| j || || || |SZ= }} den gleichen Wert, also {{ Relationskette/display | F(i) || F(j) || || || |SZ= }} haben und sie muss nicht jedes Element der Menge {{math|term= M |SZ=}} erfassen {{ Zusatz/Klammer |text=treffen| |ISZ=|ESZ=. }} Es kann also Elemente {{ Relationskette | m | \in| M || || || |SZ= }} mit der Eigenschaft geben, dass für jedes {{math|term= i |SZ=}} aus dem Definitionsbereich stets {{ Relationskette/display | F(i) | \neq| m || || || |SZ= }} gilt. Diese beiden Fehlerquellen erfassen wir mit den folgenden Begriffen. {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Injektiv/Surjektiv/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputbild |Aplicación|svg| 230px {{!}} left {{!}} | |Text=Weder injektiv noch surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación inyectiva sobreyectiva|svg| 230px {{!}} left {{!}} | |Zusname=Aplicación_inyectiva_sobreyectiva |Text=Injektiv und surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación no inyectiva sobreyectiva|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Aplicación_no_inyectiva_sobreyectiva |Text=Nicht injektiv, aber surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación inyectiva no sobreyectiva|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Aplicación_inyectiva_no_sobreyectiva |Text=Injektiv, nicht surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Diese Begriffe sind fundamental! Beispielsweise ist die Nachfolgerabbildung {{ Abbildung/display |name= |\N|\N | x| x' |SZ=, }} auf der Menge der natürlichen Zahlen wegen der oben angeführten Eigenschaft (4) injektiv, aber wegen der Eigenschaft (3) nicht surjektiv, da das Startelement nicht der Nachfolger einer Zahl ist. Die Frage, ob eine Abbildung {{math|term= F |SZ=}} diese Eigenschaften besitzt, kann man anhand der Gleichung{{ Zusatz/Fußnote |text=Über Gleichungen und Variablen werden wir später ausführlicher sprechen| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Relationskette/display | F(x) || y || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in den beiden Variablen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }}| |SZ= }} erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Relationskette | y | \in| M || || || |SZ= }} mindestens eine Lösung {{ Relationskette | x | \in| L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Relationskette | y | \in | M || || || |SZ= }} maximal eine Lösung {{ Relationskette | x | \in | L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Relationskette | y | \in | M || || || |SZ= }} genau eine Lösung {{ Relationskette | x | \in | L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden. Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen {{ mathkor|term1= x |und|term2= x' |SZ= }} aus der Voraussetzung {{ Relationskette | F(x) || F(x') || || || |SZ= }} erschließt, dass {{ Relationskette | x || x' || || || |SZ= }} ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus {{ Relationskette | x |\neq| x' || || || |SZ= }} auf {{ Relationskette | F ( x) |\neq|F ( x' ) || || || |SZ= }} zu schließen. {{ inputbild |Appelbijektion1|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} Unser erstes Hauptanliegen ist es zu begründen, dass die natürliche Zahl {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} dabei eindeutig bestimmt ist. Wir werden nach einigen Vorbereitungen zeigen, dass, wenn {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{Menge1n|}} |M || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=\psi | {{Menge1k|}} |M || |SZ= }} bijektive Abbildungen sind, dann {{ Relationskette/display | n || k || || || |SZ= }} ist. Diese Zahl heißt die {{Stichwort|Anzahl|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder die {{Stichwort|Kardinalität|SZ=}}| |SZ= }} der Menge. Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Anzahl|M}} |SZ=}} oder mit {{mathl|term= {{op:Anzahl/Betrag|M}} |SZ=}} bezeichnet. Die bijektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \{1 {{kommadots|}} {{{n|n}}} \} | M || |SZ= }} kann man eine {{Stichwort|Nummerierung|SZ=}} der Menge {{math|term= M |SZ=}} nennen. Eine Menge besitzt also {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} Elemente, wenn man sie mit den natürlichen Zahlen von {{math|term= 1 |SZ=}} bis {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} durchnummerieren kann. Zwei endliche Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ=, }} für die es eine Bijektion {{ Abbildung/display |name= | M | N || |SZ= }} gibt, besitzen die gleiche Anzahl. Dies beruht einfach darauf, dass diese Bijektion verknüpft mit der bijektiven Nummerierung wieder eine Bijektion ist. Eine Menge, die nicht endlich ist, für die es also keine Bijektion mit {{mathl|term= {{Menge1n}} |SZ=}} für irgendein {{math|term= n |SZ=}} gibt, heißt {{Stichwort|unendlich|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Mathematik/Zählen/Modellierung/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Theorie des Zählvorganges (endliche Mengen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 334kge4518ngg0z9z7o9a7v8g8sztsm 0 142069 1117479 1103244 2026-10-23T11:43:13Z Bocardodarapti 2041 1117479 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{bildskip|}} {{ inputbild |New Animation Sieve of Eratosthenes|gif| 230px {{!}} right {{!}} | |New_Animation_Sieve_of_Eratosthenes |Text=Das {{Stichwort|Sieb des Eratosthenes}} liefert eine einfache Methode, eine Liste von Primzahlen unterhalb einer bestimmten Größe {{math|term= k |SZ=}} zu erstellen. Man streicht einfach die echten Vielfachen der kleinen {{ Zusatz/Klammer |text=kleiner als oder gleich {{math|term= \sqrt{k} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} schon etablierten Primzahlen durch, die verbleibenden Zahlen sind prim. |Autor= |Benutzer=M.qrius |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= n |SZ=, }} und die müssen verschieden sein. {{math|term= 1 |SZ=}} ist also keine Primzahl. Eine Zahl {{math|term= \geq 2 |SZ=,}} die keine Primzahl ist, heißt {{Stichwort|zusammengesetzt|msw=Zusammengesetzte Zahl|SZ=.}} Die ersten Primzahlen sind {{mathl|term= 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, {{ldots}} |SZ=.}} Für eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} und eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} gilt folgende Alternative: Entweder teilt {{math|term= p |SZ=}} die Zahl {{math|term= n |SZ=,}} oder aber {{ mathkor|term1= p |und|term2= n |SZ= }} sind teilerfremd. Ein gemeinsamer Teiler muss ja ein Teiler von {{math|term= p |SZ=}} sein, und da kommen nur {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= p |SZ= }} in Frage. Ein wichtiger Satz ist der Satz über die eindeutige Primfaktorzerlegung. Eine einfache Version davon ist der folgende Satz. {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt|Satz|| || }} Für {{mathl|term= 105 |SZ=}} beispielsweise findet man den Primfaktor {{math|term= 3 |SZ=}} und kann daher {{ Relationskette | 105 || 3 \cdot 35 || || || |SZ= }} schreiben. Für {{math|term= 35 |SZ=}} hat man die Zerlegung {{ Relationskette | 35 || 5 \cdot 7 || || || |SZ= }} und man erhält {{ Relationskette/display | 105 || 3 \cdot 5 \cdot 7 || || || |SZ=. }} Wenn man mit dem Primfaktor {{math|term= 5 |SZ=}} startet, so ergibt sich {{ Relationskette | 105 || 5 \cdot 21 || 5 \cdot 3 \cdot 7 || || |SZ=, }} insgesamt kommen also die gleichen Primfaktoren vor. Gelegentlich betrachten wir die Gleichung {{ Relationskette | 1 || 1 || || || |SZ= }} als die Primfaktorzerlegung der {{math|term= 1 |SZ=,}} hier tritt jeder Primfaktor mit dem Exponenten {{math|term= 0 |SZ=}} auf, das leere Produkt ist {{math|term= 1 |SZ=.}} Wir werden später in {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |SZ= }} zeigen, dass die Primfaktorzerlegung bis auf die Reihenfolge eindeutig ist, was keineswegs selbstverständlich ist, einiger Vorbereitungen bedarf und am besten innerhalb der ganzen Zahlen bewiesen wird. Der folgende Satz wird Euklid zugeschrieben. {{ inputbild |Euklid-von-Alexandria 1|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Euklid-von-Alexandria_1 |Text=[[w:Euklid|Euklid (4. Jahrhundert v. C.)]] |Autor= |Benutzer=Luestling |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www.bath.ac.uk/~ma1dp/Biography.html }} {{ inputfaktbeweis2 |Primzahlen/Unendlich viele/Fakt|Satz|zusatz2=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Teilerbeziehung/Differenz/Aufgabe |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} |zusatz3=Dies ist ein Widerspruch, da ein {{math|term= p_i |SZ=}} nicht gleichzeitig ein Teiler und kein Teiler von {{math|term= N |SZ=}} sein kann. Also muss die Annahme {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die Endlichkeit der Primzahlmenge| |ISZ=|ESZ= }} falsch gewesen sein. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Primzahlen |Kategorie2=Die Unendlichkeit der Primzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2313jcghix9lk4wjkspg0v9w5gtxj2n 1117481 1117479 2026-10-23T11:46:54Z Bocardodarapti 2041 1117481 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{bildskip|}} {{ inputbild |New Animation Sieve of Eratosthenes|gif| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=New_Animation_Sieve_of_Eratosthenes| |Text=Das {{Stichwort|Sieb des Eratosthenes}} liefert eine einfache Methode, eine Liste von Primzahlen unterhalb einer bestimmten Größe {{math|term= k |SZ=}} zu erstellen. Man streicht einfach die echten Vielfachen der kleinen {{ Zusatz/Klammer |text=kleiner als oder gleich {{math|term= \sqrt{k} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} schon etablierten Primzahlen durch, die verbleibenden Zahlen sind prim. |Autor= |Benutzer=M.qrius |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= n |SZ=, }} und die müssen verschieden sein. {{math|term= 1 |SZ=}} ist also keine Primzahl. Eine Zahl {{math|term= \geq 2 |SZ=,}} die keine Primzahl ist, heißt {{Stichwort|zusammengesetzt|msw=Zusammengesetzte Zahl|SZ=.}} Die ersten Primzahlen sind {{mathl|term= 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, {{ldots}} |SZ=.}} Für eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} und eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} gilt folgende Alternative: Entweder teilt {{math|term= p |SZ=}} die Zahl {{math|term= n |SZ=,}} oder aber {{ mathkor|term1= p |und|term2= n |SZ= }} sind teilerfremd. Ein gemeinsamer Teiler muss ja ein Teiler von {{math|term= p |SZ=}} sein, und da kommen nur {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= p |SZ= }} in Frage. Ein wichtiger Satz ist der Satz über die eindeutige Primfaktorzerlegung. 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Gelegentlich betrachten wir die Gleichung {{ Relationskette | 1 || 1 || || || |SZ= }} als die Primfaktorzerlegung der {{math|term= 1 |SZ=,}} hier tritt jeder Primfaktor mit dem Exponenten {{math|term= 0 |SZ=}} auf, das leere Produkt ist {{math|term= 1 |SZ=.}} Wir werden später in {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |SZ= }} zeigen, dass die Primfaktorzerlegung bis auf die Reihenfolge eindeutig ist, was keineswegs selbstverständlich ist, einiger Vorbereitungen bedarf und am besten innerhalb der ganzen Zahlen bewiesen wird. Der folgende Satz wird Euklid zugeschrieben. {{ inputbild |Euklid-von-Alexandria 1|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Euklid-von-Alexandria_1 |Text=[[w:Euklid|Euklid (4. Jahrhundert v. 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Akzeptanz Künstlicher Intelligenz im Marketing |- | Anwendung Künstlicher Intelligenz ... |- | 3. ... in der Marktforschung |- | 4. ... im Webdesign |- | 5. ... im Suchmaschinenmarketing |- | 6. ... im E-Mail-Marketing |- | 7. ... im Social Media Marketing |- | 8. ... im Online-Advertising |- | 9. ... im E-Commerce |- | 10. Die Zukunft Künstlicher Intelligenz im Digital Marketing |- |} '''Einführende Quellen zum Thema:'''<br> ''[https://www.bitkom.org/sites/main/files/2024-01/bitkom-whitepaper-kuenstliche-intelligenz-im-digitalen-marketing.pdf BITKOM (Hrsg.): Künstliche Intelligenz im digitalen Marketing ]<br> ''Bünte, C./Wecke, B.: Künstliche Intelligenz – die Zukunft des Marketings, Wiesbaden 2022<br> ''Kreutzer, R.: Künstliche Intelligenz verstehen, Wiesbaden 2023<br> ''Lammenett, E.: Praxiswissen Online-Marketing, neueste Aufl., Wiesbaden<br> ''Schäfer, P.: Künstliche Intelligenz und Marketing, Wiesbaden 2023<br> ''Wagener, A.: Künstliche Intelligenz im Marketing, 2. Aufl., Freiburg 2023<br> Bitte beachten Sie auch die [[Kurs:Digital Marketing#N.C3.BCtzliches | Recherchehinweise unter Nützliches]] [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] hieto4tp6877kpiwj1ykwsw5qqb3pcw 0 163676 1117469 1115593 2026-10-23T11:36:56Z Coc39ked 40763 /* Graph als Menge */ 1117469 wikitext text/x-wiki == Definition - Graph == Sei <math>f:\mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> eine Funktion mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und dem Wertebereich <math>\mathbb{W}</math>, dann ist der <math>Graph(f)</math> eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} </math>, die wie folgt definiert ist: :<math>Graph(f) := \left\{ (x,y) \in \mathbb{D} \times \mathbb{W} \, : \, f(x)=y \right\} </math> == Beispiel - Schulmathematik == Für die Definition einer Funktion sind 3 Elemente zu definieren: * Definitionsbereich <math> \mathbb{D} := \mathbb{R}</math> * Wertebereich <math> \mathbb{W} := \mathbb{R}</math> * Abbildungsvorschrift <math>f(x)=x^2 - 1 </math> === Standardnotation - Abbildung === In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f(x) = x^2 - 1 \end{array} </math> === Graph als Menge === Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} = \mathbb{R}^2 </math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} Graph(f) & := & \left\{ (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \, : \, f(x)=y=x^2 - 1 \right\} \\ & = & \left\{ (x,f(x)) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \, : \, f(x)=x^2 - 1 \right\} \\ & = & \left\{ (x,x^2-1) \, : \, x \in \mathbb{R} \right\} \\ \end{array} </math> === Graph als Plot === In der Regel verbindet man mit Graph einen Plot einer Funktion (z.B. mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=x^2-1</math> ). [[File:F x2-1 plot.png|350px|center|Graph der Funktion ]] In der Abbildung rechts ist der <math>Graph(f)</math> die rot markierte Punktmenge im <math>\mathbb{R}^2</math>. == Mehrdimensionaler Definitionsbereich == Für die Definition einer Funktion sind 3 Elemente zu definieren: * Definitionsbereich <math> \mathbb{D} := \mathbb{R}^2 </math> * Wertebereich <math> \mathbb{W} := \mathbb{R}</math> * Abbildungsvorschrift <math>f(x,y)=\sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) </math> === Standardnotation === In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f(x,y) = \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \end{array} </math> === Graph als Menge === Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} = \mathbb{R}^3 </math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} Graph(f) & := & \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \, : \, z = f(x,y)= \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \right\} \\ & = & \left\{ (x,y,f(x,y)) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R} \, : \, f(x,y)= \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \right\} \\ & = & \left\{ \bigg( x,y,\sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \bigg) \in \mathbb{R}^3 \, : \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \right\} \\ \end{array} </math> === Graph als Plot === Der folgenden Graph der Funktion <math>f(x,y) = \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right)</math> wird in der folgenden Abbildung dargestellt [[Datei:Three-dimensional graph.png|350px|center|Graph der Funktion]] == Mehrdimensionaler Wertebereich == Die folgende Funktion ist eine Kurve im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit einem Interval als Defintionsbereich. Der Wertebereich ist in diesem Beispiel zweidimensional gewählt, damit der Graph der Funktion als Teilmenge vom <math> \mathbb{R}^3 </math> in einem 3D-Plot dargestellt werden kann. * Definitionsbereich <math> \mathbb{D} := [0,6\pi] \subset \mathbb{R} </math> * Wertebereich <math> \mathbb{W} := \mathbb{R}^2</math> * Abbildungsvorschrift <math>f(t)=(cos(t),sin(t)) </math> In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [0,6\pi] & \rightarrow & \mathbb{R}^2 \\ & t & \mapsto & f(t) = (cos(t),sin(t)) \end{array} </math> Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} = \mathbb{R}^3 </math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} Graph(f) & := & \left\{ (t,x,y) \in [0,6\pi] \times \mathbb{R}^2 \, : \, (x,y):= f(t) = (cos(t),sin(t)) \right\} \\ & = & \left\{ (t,f(t)) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \, : \, \in [0,6\pi] \wedge f(t)= (cos(t),sin(t)) \right\} \\ & = & \left\{ \bigg( t,\cos(t),\sin(t) \bigg) \in \mathbb{R}^3 \, : \, t \in [0,6\pi] \subset \mathbb{R} \right\} \\ \end{array} </math> === Visualisierung - Spur und Graph === {| class="wikitable" |+ Unterschied - Spur - Graph |- ! Spur !! Graph |- | [[Datei:Unit circle.svg|300px|center|Spur der Funktion]] || [[File:Curve CAS4Wiki for (cos(t) sin(t)).png|300px|center|Graph der Funktion ]] |- | Spur der Funktion <math>f(t)=(\cos(t),\sin(t))</math> ist der Einheitskreis im <math>\mathbb{R}^2 </math> || Graph der Funktion <math>f(t):=(\cos(t),\sin(t))</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}:=[0,6\pi]</math> |} === Unterschied - Spur und Graph === Die Spur <math>Spur(f)</math> einer Kurve <math>f</math> ist die Bildmenge der Funktion <math>f</math>. :<math> \begin{array}{rcl} Spur(f) & = & \left\{ f(t) \in \mathbb{R}^2 \, : \, t \in [0,6\pi] \right\} \\ & = & \left\{ \big(\cos(t),\sin(t)\big) \in \mathbb{R}^2 \, : \, t \in [0,2\pi] \right\} \\ Graph(f) & = & \left\{ \bigg( t,\cos(t),\sin(t) \bigg) \in \mathbb{R}^3 \, : \, t \in [0,6\pi] \subset \mathbb{R} \right\} \\ \end{array} </math> Wenn man <math>t</math> als Zeitpunkt interpretiert enthält der Graph das Argument <math>t</math> der Funktion. Dadurch kann man mit dem Graphen rekonstruieren, an welchem Zeitpunkt <math>t</math> die Funktion <math>f</math> auf den "Ort" <math>f(t)\in \mathbb{R}^2</math> abgebildet hat. Mit der Spur der Funktion <math>f</math> kann man lediglich feststellen, ob der Bildpunkt <math>(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> als Bildpunkt der Funktion <math>f</math> aufgetreten ist. == Siehe auch == * [[w:de:Funktionsgraph|Funktionsgraph]] * [[w:de:Funktion|Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] - Graph der Dichte * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion https://de.wikiversity.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] flunme5qpxgor7glu6urzratuv0llec 1117480 1117469 2026-10-23T11:44:56Z Coc39ked 40763 /* Standardnotation */ 1117480 wikitext text/x-wiki == Definition - Graph == Sei <math>f:\mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> eine Funktion mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und dem Wertebereich <math>\mathbb{W}</math>, dann ist der <math>Graph(f)</math> eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} </math>, die wie folgt definiert ist: :<math>Graph(f) := \left\{ (x,y) \in \mathbb{D} \times \mathbb{W} \, : \, f(x)=y \right\} </math> == Beispiel - Schulmathematik == Für die Definition einer Funktion sind 3 Elemente zu definieren: * Definitionsbereich <math> \mathbb{D} := \mathbb{R}</math> * Wertebereich <math> \mathbb{W} := \mathbb{R}</math> * Abbildungsvorschrift <math>f(x)=x^2 - 1 </math> === Standardnotation - Abbildung === In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f(x) = x^2 - 1 \end{array} </math> === Graph als Menge === Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} = \mathbb{R}^2 </math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} Graph(f) & := & \left\{ (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \, : \, f(x)=y=x^2 - 1 \right\} \\ & = & \left\{ (x,f(x)) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \, : \, f(x)=x^2 - 1 \right\} \\ & = & \left\{ (x,x^2-1) \, : \, x \in \mathbb{R} \right\} \\ \end{array} </math> === Graph als Plot === In der Regel verbindet man mit Graph einen Plot einer Funktion (z.B. mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=x^2-1</math> ). [[File:F x2-1 plot.png|350px|center|Graph der Funktion ]] In der Abbildung rechts ist der <math>Graph(f)</math> die rot markierte Punktmenge im <math>\mathbb{R}^2</math>. == Mehrdimensionaler Definitionsbereich == Für die Definition einer Funktion sind 3 Elemente zu definieren: * Definitionsbereich <math> \mathbb{D} := \mathbb{R}^2 </math> * Wertebereich <math> \mathbb{W} := \mathbb{R}</math> * Abbildungsvorschrift <math>f(x,y)=\sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) </math> === Standardnotation === In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x,y & \mapsto & f(x,y) = \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \end{array} </math> === Graph als Menge === Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} = \mathbb{R}^3 </math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} Graph(f) & := & \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \, : \, z = f(x,y)= \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \right\} \\ & = & \left\{ (x,y,f(x,y)) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R} \, : \, f(x,y)= \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \right\} \\ & = & \left\{ \bigg( x,y,\sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \bigg) \in \mathbb{R}^3 \, : \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \right\} \\ \end{array} </math> === Graph als Plot === Der folgenden Graph der Funktion <math>f(x,y) = \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right)</math> wird in der folgenden Abbildung dargestellt [[Datei:Three-dimensional graph.png|350px|center|Graph der Funktion]] == Mehrdimensionaler Wertebereich == Die folgende Funktion ist eine Kurve im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit einem Interval als Defintionsbereich. Der Wertebereich ist in diesem Beispiel zweidimensional gewählt, damit der Graph der Funktion als Teilmenge vom <math> \mathbb{R}^3 </math> in einem 3D-Plot dargestellt werden kann. * Definitionsbereich <math> \mathbb{D} := [0,6\pi] \subset \mathbb{R} </math> * Wertebereich <math> \mathbb{W} := \mathbb{R}^2</math> * Abbildungsvorschrift <math>f(t)=(cos(t),sin(t)) </math> In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [0,6\pi] & \rightarrow & \mathbb{R}^2 \\ & t & \mapsto & f(t) = (cos(t),sin(t)) \end{array} </math> Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} = \mathbb{R}^3 </math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} Graph(f) & := & \left\{ (t,x,y) \in [0,6\pi] \times \mathbb{R}^2 \, : \, (x,y):= f(t) = (cos(t),sin(t)) \right\} \\ & = & \left\{ (t,f(t)) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \, : \, \in [0,6\pi] \wedge f(t)= (cos(t),sin(t)) \right\} \\ & = & \left\{ \bigg( t,\cos(t),\sin(t) \bigg) \in \mathbb{R}^3 \, : \, t \in [0,6\pi] \subset \mathbb{R} \right\} \\ \end{array} </math> === Visualisierung - Spur und Graph === {| class="wikitable" |+ Unterschied - Spur - Graph |- ! Spur !! Graph |- | [[Datei:Unit circle.svg|300px|center|Spur der Funktion]] || [[File:Curve CAS4Wiki for (cos(t) sin(t)).png|300px|center|Graph der Funktion ]] |- | Spur der Funktion <math>f(t)=(\cos(t),\sin(t))</math> ist der Einheitskreis im <math>\mathbb{R}^2 </math> || Graph der Funktion <math>f(t):=(\cos(t),\sin(t))</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}:=[0,6\pi]</math> |} === Unterschied - Spur und Graph === Die Spur <math>Spur(f)</math> einer Kurve <math>f</math> ist die Bildmenge der Funktion <math>f</math>. :<math> \begin{array}{rcl} Spur(f) & = & \left\{ f(t) \in \mathbb{R}^2 \, : \, t \in [0,6\pi] \right\} \\ & = & \left\{ \big(\cos(t),\sin(t)\big) \in \mathbb{R}^2 \, : \, t \in [0,2\pi] \right\} \\ Graph(f) & = & \left\{ \bigg( t,\cos(t),\sin(t) \bigg) \in \mathbb{R}^3 \, : \, t \in [0,6\pi] \subset \mathbb{R} \right\} \\ \end{array} </math> Wenn man <math>t</math> als Zeitpunkt interpretiert enthält der Graph das Argument <math>t</math> der Funktion. Dadurch kann man mit dem Graphen rekonstruieren, an welchem Zeitpunkt <math>t</math> die Funktion <math>f</math> auf den "Ort" <math>f(t)\in \mathbb{R}^2</math> abgebildet hat. Mit der Spur der Funktion <math>f</math> kann man lediglich feststellen, ob der Bildpunkt <math>(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> als Bildpunkt der Funktion <math>f</math> aufgetreten ist. == Siehe auch == * [[w:de:Funktionsgraph|Funktionsgraph]] * [[w:de:Funktion|Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] - Graph der Dichte * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion https://de.wikiversity.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6xn88cfz3gf5kwe62qm7icsjvxerrqx 0 165697 1117381 1066528 2026-10-22T13:06:41Z Bert Niehaus 20843 /* Einführung */ 1117381 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Quaternion'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Erweiterung eines Körpers und die algebraischen Eigenschaften * (2) Bezüge zu geometrischen Transformationen und 3D-Modellierung * (3) Quaternionen <math>\mathbb{H}</math> als 4-dimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Quaternionen'' in der Wikiversity hat das Ziel, die algebraischen und geometrischen Eigenschaften zu behandelt == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Quaternion'' sind * Studierende im Fach Mathematik (Algebra) * Studierende im Fach Informatik (Computergraphik) == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Quaternion'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''(Komplexe Zahl)''' Quaternionen als Erweiterung der komplexen Zahlen * '''(Gruppe)''' Die Einheiten der Quaternionen bilden eine nicht-kommuntative multiplikative Gruppe. == Einführung == Die '''Quaternionen''' (Singular ''die'' oder ''das Quaternion'', von {{laS|quaternio, -ionis}} [[w:de:Genus#Das Genussystem der deutschen Sprache|m.]] „Vierheit“) sind ein Zahlenbereich, der den Zahlenbereich der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] erweitert – ähnlich den [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]];<ref name="Beutelspacher-LA-7-30">{{Literatur |Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]] |Titel=Lineare Algebra |Auflage=7. |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=2010 |ISBN=978-3-528-66508-1 |Seiten=30}}</ref> sie werden deshalb auch ''hamiltonsche Quaternionen'' oder '''Hamilton-Zahlen''' genannt. [[w:de:Olinde Rodrigues|Olinde Rodrigues]] entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton.<ref>Bei Gauß findet sich eine Notiz über die Multiplikation und Konjugation von Quadrupeln im Kapitel ''Mutation des Raumes''. In: [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]]: ''Werke''. Achter Band. König. Gesell. Wissen., Göttingen 1900, S. 357–361, die auf das Jahr 1819 datiert wird. Die Unterschiede zu Hamilton gehen nicht über notationelle Konventionen hinaus (Zitiert nach [[w:de:#Lam|Lam]] S. 25).</ref> Trotzdem wird die [[w:de:Menge (Mathematik)|Menge]] der Quaternionen meistens mit <math>\mathbb H</math> bezeichnet. === Quaternionen als Schiefkörper === Die Quaternionen bilden einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation auch von der ''Reihenfolge'' der Faktoren abhängt, also ''nicht'' [[w:de:Kommutativgesetz|kommutativ]] ist. Das heißt, es gibt Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math>, bei denen : <math>x y \;\; \neq \;\; y x</math> ist. === Vergleich mit Rechenregeln in den reellen Zahlen === Einige aus dem [[w:de:Reelle Zahl|Reellen]] bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch gelten [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativ-]] und [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] sowie [[w:de:Ring (Algebra)#Invertierbarkeit, Einheit|multiplikative Invertierbarkeit]], d.&nbsp;h. die [[w:de:Körper (Algebra)|Existenz des Inversen]] <math>x^{-1}</math> zu jedem <math>x\neq 0</math>. Die Quaternionen waren das erste Beispiel eines nichtkommutativen Schiefkörpers.<ref>[[w:de:#Lam|Lam]] S. 1</ref> === Quaternionen im 3D-Raum === Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen sowie zur Auswertung [[w:de:Textur (Kristallographie)|kristallographischer Texturen]].<ref name="Lunze">{{cite journal |author=Karsten Kunze, Helmut Schaeben |title=The Bingham Distribution of Quaternions und Its Spherical Radon Transform in Texture Analysis |journal=Mathematical Geology |month=11 |year=2004 |volume=8 |pages=917–943 |doi=10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59 |language=en}}</ref> Sie sind aber auch als eigenständiges [[w:de:mathematisches Objekt|mathematisches Objekt]] von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des [[w:de:Vier-Quadrate-Satz|Vier-Quadrate-Satz]]es. == Konstruktion == Die Quaternionen entstehen aus den reellen Zahlen durch Hinzufügen ([[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]]) dreier neuer Zahlen, denen in Anlehnung an die komplex-imaginäre Einheit die Namen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> gegeben werden. So ergibt sich ein vierdimensionales Zahlensystem (mathematisch ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]) mit einem ''Realteil'', der aus ''einer'' reellen [[w:de:Matrix (Mathematik)#Elemente der Matrix|Komponente]] besteht, und einem ''Imaginärteil'' aus ''drei'' Komponenten, der auch Vektorteil genannt wird. Alle Quaternionen lassen sich eindeutig in der Form : <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> mit reellen Zahlen <math>x_0</math>, <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math> schreiben. Damit bilden die Elemente <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> eine [[w:de:Basis (Vektorraum)|Basis]], die Standardbasis der Quaternionen über <math>\R</math>. Die Addition erfolgt komponentenweise und wird vom Vektorraum geerbt. Multiplikativ werden die neuen Zahlen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math>, <math>\mathrm k</math> gemäß den ''Hamilton-Regeln'' {{Anker|Hamilton-Regeln}} : <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}=-1</math> verknüpft. Die [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]] <math>\R \times \mathbb H \to \mathbb H \, </math>, die ebenfalls vom Vektorraum geerbt wird<ref>Sie ist nicht mit dem [[w:de:#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] zu verwechseln.</ref> und bei der die Skalare als mit jedem Element vertauschbar angesehen werden, zusammen mit der Addition, dem [[w:de:Distributivgesetz#Formale Definition|Rechtsdistributivgesetz]] und den Hamilton-Regeln erlauben es, die Multiplikation von der Basis auf alle Quaternionen zu erweitern. Da so auch jeder Skalar <math>\lambda \in \R</math> als <math>\lambda+0\mathrm i+0\mathrm j+0\mathrm k</math> in <math>\mathbb H</math> eingebettet wird, kann <math>\R</math> als [[w:de:Unterring|Unterring]] von <math>\mathbb H</math> aufgefasst werden. Die so definierte Multiplikation ist [[w:de:Assoziativgesetz|assoziativ]], erfüllt die beiden [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]]e<ref>Wegen der fehlenden Kommutativität in der Multiplikation können die beiden Distributivgesetze nicht automatisch auf eines reduziert werden.</ref> und macht so die Quaternionen zu einem [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]]. Sie ist allerdings nicht [[w:de:Kommutativgesetz|kommutativ]], d.&nbsp;h., für zwei Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math> sind die beiden Produkte <math>x y</math> und <math> y x</math> im Allgemeinen verschieden (s.&nbsp;u.). Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H^\times</math>, also die Menge derjenigen Elemente der multiplikativen Gruppe von <math>\mathbb H</math>, die mit allen Elementen kommutieren, ist <math>\R^\times</math>. Die Quaternionen bilden einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] (Divisionsring), da es zu jeder Quaternion <math>x\ne0</math> eine [[w:de:#Inverses und Division|inverse Quaternion]] <math>x^{-1}</math> gibt mit : <math>x x^{-1}=x^{-1} x=1</math>&nbsp;. Wegen der fehlenden Kommutativität werden Notationen mit Bruchstrich, wie z.&nbsp;B. <math>\tfrac{y}x</math>, vermieden. Des Weiteren sind die Quaternionen eine [[w:de:Dimension (Mathematik)|vierdimensionale]] [[w:de:Divisionsalgebra|Divisionsalgebra]] über <math>\R</math> – und bis auf [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] die einzige. == Schreibweise == Im weiteren Text werden folgende Schreibweisen benutzt: Ist <math>x</math> eine Quaternion, dann werden ihre reellen Komponenten mit <math>x_0, x_1, x_2, x_3</math> bezeichnet, und diese sind der Basis <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> folgendermaßen zugeordnet: : <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k .</math> Gelegentlich wird eine vektorielle Schreibweise benötigt. Dabei werden bspw. die Komponenten <math>(x_1,x_2,x_3)</math> zu einem 3-dimensionalen Vektor <math>\vec x</math> zusammengefasst, sodass man <math>x</math> mit dem 4-dimensionalen Vektor <math>(x_0, \vec x) = (x_0, x_1, x_2, x_3)</math> identifizieren kann.<ref>NB: <math>\vec x</math> wird bei Bedarf auch als Spaltenvektor eingesetzt.</ref> Analoge Abmachungen sollen für andere Buchstaben wie <math>y</math> etc. gelten. In manch älterer Literatur wurden Quaternionen mit großen [[w:de:Fraktur (Schrift)|Frakturbuchstaben]] und die imaginären Einheiten als ''Einheitsvektoren'' mit kleinen <math>\mathfrak{e}_n</math> in Fraktur bezeichnet, z.&nbsp;B. so: : <math>\mathfrak{X} = x_0 + \mathfrak{e}_1 x_1 + \mathfrak{e}_2 x_2 + \mathfrak{e}_3 x_3 = \sum_{j=0}^3 \mathfrak{e}_j x_j</math> mit <math>\mathfrak{e}_0 = 1</math>. Komplexe Zahlen tragen meist den Namen <math>z</math> und haben die reellen Komponenten <math>\xi</math>, <math>\eta</math>. == Grundrechenarten == Die Konstruktion der Quaternionen ist der der komplexen Zahlen analog, allerdings wird nicht nur eine neue Zahl hinzugefügt, sondern derer drei, die mit <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> bezeichnet werden. Die [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]]en : <math>x_0\mathrm 1+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> über der Basis <math>\{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math> spannen mit reellen Komponenten <math>x_i</math> den 4-dimensionalen Vektorraum der Quaternionen <math>\mathbb H</math> auf. Als Vektorraum ist <math>\mathbb H</math> isomorph zu <math>\R^4</math>. Das Basiselement <math>\mathrm 1</math>, das die reellen Zahlen [[w:de:Injektivität|injektiv]] einbettet (und zugleich das neutrale Element der Multiplikation darstellt), wird in der Linearkombination meist weggelassen. Die Addition und Subtraktion geschieht komponentenweise. Vom Vektorraum wird auch die [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]] übernommen, also die linke und rechte Multiplikation mit einer reellen Zahl, die distributiv zu jeder Komponente multipliziert wird. Diese Skalarmultiplikation ist eine [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] der Hamilton-Multiplikation, die auf ganz <math>\mathbb H</math> definiert ist. Die Hamilton-Multiplikation der Basiselemente untereinander oder etwas umfassender innerhalb der Menge : <math>\mathrm{Q}_8 := \{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k, -\mathrm 1,-\mathrm i,-\mathrm j,-\mathrm k\}</math> geschieht nach den Hamilton-Regeln {| |- |style="width: 25em;"| * <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=-1</math> | <math>(1)</math> |- | * <math>\mathrm i\mathrm j=+\mathrm k,\quad \mathrm j\mathrm k=+\mathrm i,\quad \mathrm k\mathrm i=+\mathrm j</math> | <math>(2)</math> |- | * <math>\mathrm j\mathrm i=-\mathrm k,\quad \mathrm k\mathrm j=-\mathrm i,\quad \mathrm i\mathrm k=-\mathrm j</math> | <math>(\bar 2)</math>. |} Diese Regeln zusammen mit der Vertauschbarkeit von <math>\pm1</math> mit jedem anderen Element geben eine vollständige Tafel für eine Verknüpfung vor, die sich als [[w:de:Assoziativgesetz|assoziativ]] erweist und <math>\mathrm{Q}_8</math> zu einer [[w:de:Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] macht – der [[w:de:Quaternionengruppe|Quaternionengruppe]]. Unter Voraussetzung der Regel <math>(1)</math> (und der Gruppenaxiome) ist die Kombination aus <math>(2)</math> und <math>(\bar 2)</math>, in der das zyklische und antizyklische Verhalten der drei nicht-reellen Quaternionen-Einheiten zum Ausdruck kommt, ersetzbar durch die Einzelregel {| |- |style="width: 25em;"| * <math>\mathrm i\mathrm j\mathrm k=-1</math> | <math>(3)</math>. |} Diese Einzelregel <math>(3)</math> könnte auch durch jede der fünf alternativen Einzelregeln <math>\mathrm j\mathrm k\mathrm i=-1</math>, <math>\mathrm k\mathrm i\mathrm j=-1</math>, <math>\mathrm k\mathrm j\mathrm i=1</math>, <math>\mathrm j\mathrm i\mathrm k=1</math> oder <math>\mathrm i\mathrm k\mathrm j=1</math> ersetzt werden. Mithilfe dieser Ersetzungsregeln, des [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]]es und (linken sowie rechten) [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]]es lässt sich die Multiplikation auf ganz <math>\mathbb H</math> fortsetzen. Die <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> kann man wie [[w:de:Kommutativgesetz#Antikommutativität|''anti-kommutierende'']] Variablen behandeln. Treten Produkte von zweien von ihnen auf, so darf man sie nach den Hamilton-Regeln ersetzen. Die ausgearbeiteten Formeln für die zwei Verknüpfungen von zwei Quaternionen : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> &nbsp; und &nbsp; <math>y=y_0+y_1\mathrm i+y_2 \mathrm j+y_3\mathrm k</math> lauten :<math>\begin{alignat}{2} x+y & = (x_0+y_0)+(x_1+y_1)\mathrm i+(x_2+y_2)\mathrm j+(x_3+y_3)\mathrm k &\quad& \text{(Addition)} \end{alignat}</math> bzw. :<math>\begin{alignat}{2} x\;y & = (x_0 y_0 - x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3) &\quad& \text{(Multiplikation)}\\ & \quad + (x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{green} \; + \; x_2 y_3} {\color{red} \; - \; x_3 y_2}) \mathrm i && \\ & \quad + (x_0 y_2 {\color{red} \; - \; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{green} \; + \; x_3 y_1}) \mathrm j && \\ & \quad + (x_0 y_3 {\color{Green} \; + \; x_1 y_2} {\color{red} \; - \; x_2 y_1} + x_3 y_0) \mathrm k && \end{alignat}</math> Herleitung:<ref>{{Literatur |Autor=Brian L. Stevens, Frank L. Lewis, Eric N. Johnson |Titel=Aircraft Control and Simulation. Dynamics, Controls Design, and Autonomous Systems |Auflage=Third edition |Verlag=John Wiley & Sons, Inc. |Ort=Hoboken, New Jersey |Datum=2016 |ISBN=978-1-118-87098-3 |Seiten=46}}</ref> :<math>\begin{align} x\;y & = (x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k) \; (y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k)\\ & = x_0 y_0 + x_1 y_1 \mathrm i \mathrm i + x_2 y_2 \mathrm j \mathrm j + x_3 y_3 \mathrm k \mathrm k\\ & \quad + x_0 y_1 \mathrm i + x_1 y_0 \mathrm i +x_2 y_3 {\color{green} \mathrm j \mathrm k} +x_3 y_2 {\color{red}\mathrm k \mathrm j}\\ & \quad + x_0 y_2 \mathrm j + x_1 y_3 {\color{red} \mathrm i \mathrm k } + x_2 y_0 \mathrm j + x_3 y_1 {\color{green} \mathrm k \mathrm i}\\ & \quad + x_0 y_3 \mathrm k + x_1 y_2 {\color{green}\mathrm i \mathrm j} + x_2 y_1 {\color{red} \mathrm j \mathrm i} + x_3 y_0 \mathrm k\\ & = x_0 y_0 -x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3\\ & \quad + (x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{green}\;+\; x_2 y_3 } {\color{red} \; -\; x_3 y_2 }) \mathrm i\\ & \quad + (x_0 y_2 {\color{red}\;-\; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{green}\;+\; x_3 y_1} )\mathrm j \\ & \quad + (x_0 y_3 {\color{green}\;+ \; x_1 y_2} {\color{red}\;-\; x_2 y_1 } + x_3 y_0 ) \mathrm k. \end{align}</math> Damit sind die für einen Ring erforderlichen zwei Verknüpfungen definiert. Es ist leicht nachgerechnet, dass alle Ring-Axiome erfüllt sind. Das additive [[w:de:Inverses Element|Inverse]] ist (wie in jedem Vektorraum) das Produkt mit dem Skalar −1. Die ''Subtraktion'' ist die Addition dieses Inversen. Die für einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] erforderliche ''Division'' muss wegen der fehlenden Kommutativität durch eine Multiplikation mit dem (multiplikativen) Inversen ersetzt werden (siehe [[w:de:#Inverses und Division|Inverses und Division]]).<ref>Reelle Faktoren kommutieren mit <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> und damit mit allen Quaternionen, d.&nbsp;h., es gilt beispielsweise :<math>2\mathrm i\mathrm j=\mathrm i2\mathrm j=\mathrm i\mathrm j 2=2\mathrm k</math>, aber :<math>2\mathrm j\mathrm i=\mathrm j 2\mathrm i=\mathrm j\mathrm i 2=-2\mathrm k</math>. Nicht alle aus der elementaren Algebra bekannten Rechenregeln gelten für die Quaternionen, z.&nbsp;B. gilt :<math>(\mathrm i+\mathrm j)(\mathrm i-\mathrm j)=\mathrm i\mathrm i-\mathrm i\mathrm j+\mathrm j\mathrm i-\mathrm j \mathrm j=(-1)-\mathrm k+(-\mathrm k)-(-1)=-2\mathrm k</math>. Die [[w:de:Binomische Formel|binomischen Formeln]] <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> oder <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> sind hier also ''nicht'' anwendbar. Sie setzen voraus, dass <math>ab=ba</math> gilt.</ref> == Gegenring == Ist <math>(R,+,\cdot)</math> ein Ring, dann wird der mit der Multiplikation :<math>x \circ y \; := y \cdot x</math> ausgestattete Ring <math>R^{\operatorname{op}} := (R,+,\circ) </math> als [[w:de:Gegenring|Gegenring]] bezeichnet. Hier folgen alle Ringgesetze, das heißt das Assoziativgesetz sowie beide Distributivgesetze, aus den ursprünglichen Gesetzen. Im Gegenring <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math>, der wegen der Nicht-Kommutativität von <math>\mathbb H</math> von diesem verschieden ist, gelten alle im Abschnitt ''[[w:de:#Grundrechenarten|Grundrechenarten]]'' angeführten Rechenregeln bis auf die Multiplikation, bei der die Vorzeichen der Terme, die nur [[w:de:Koeffizient|Koeffizient]]en <math>x_m y_n</math> mit <math>m \ne n</math> und <math>m \ne 0 \ne n</math> haben, invertiert sind. Ferner gilt die Kurzform : <math>\mathrm i\circ \mathrm j\circ \mathrm k=+1</math>. Im Übrigen hat [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Gauß]] laut [[w:de:#Lam|Lam]]{{rp|Eq. (1.4)}} die Quaternionenmultiplikation im Jahr 1819 genau so definiert. Des Weiteren ist die [[w:de:Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] des [[w:de:Drei-Finger-Regel|Dreibeins]] <math>(\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k)</math> in <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math> gespiegelt. Die [[w:de:Identische Abbildung|Identität]] auf der Grundmenge <math>\R^4</math> ist ein [[w:de:Antiisomorphismus|Antiisomorphismus]] und die [[w:de:#QKonjugation|Konjugation]] ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. Die Nichtkommutativität ist gleichbedeutend mit der Verschiedenheit von <math>\mathbb H</math> und <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math>. Da beide Ringe die [[w:de:Ring (Algebra)#Ring|Ringaxiome]] der Quaternionen erfüllen, muss dieses Axiomensystem „unvollständig“ sein im Sinne [[w:de:#Hölder|Hölders]]. In diesem Sinn vollständig sind die Axiomensysteme der rationalen, reellen oder komplexen Zahlen. == Grundlegende Begriffe == === {{Anker|Realteil|Vektorteil}} Skalarteil und Vektorteil === Aufgrund der besonderen Stellung der Komponente <math>x_0</math> einer Quaternion : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> bezeichnet man sie – wie bei den komplexen Zahlen – als ''Realteil'' oder ''Skalarteil'' : <math>\operatorname{Re}\,x := x_0</math>&nbsp;, während die Komponenten <math>x_1,x_2,x_3</math> zusammen den ''Imaginärteil'' oder ''Vektorteil'' : <math>\operatorname{Im}\,x := x_1\mathrm i + x_2\mathrm j + x_3\mathrm k</math> bilden. Häufig identifiziert man den Vektorteil auch mit dem Vektor <math>\vec x:=(x_1,x_2,x_3) \in \R^3</math>. === {{Anker|QKonjugation}} Konjugation === Zu jeder Quaternion : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> ist die ''konjugierte Quaternion'' definiert als : <math>\bar x := x_0-x_1\mathrm i-x_2\mathrm j-x_3\mathrm k</math>&nbsp;. Da hier der Imaginärteil mit seinen Einheitsvektoren verknüpft bleibt und der Realteil als reelle Zahl eindeutig in die Quaternionen einzubetten ist, ergeben sich die einfachen Beziehungen : <math>x = \operatorname{Re}\,x + \operatorname{Im}\,x </math> und : <math>\bar{x} = \operatorname{Re}\,x - \operatorname{Im}\,x </math>&nbsp;, aus denen sich unmittelbar : <math>\operatorname{Re}\,x = \frac12(x+\bar{x})</math> und : <math>\operatorname{Im}\,x = \frac12(x-\bar{x})</math> ausrechnet.<ref>Im Komplexen gilt dagegen :<math>\operatorname{Im}\,z = \frac{1}{2\mathrm i_\Complex}(z-\bar{z})</math> mit Abspaltung der imaginären Einheit <math>\mathrm i_\Complex</math> von der rein-imaginären Komponente, sodass der Imaginärteil eine ''reelle'' Zahl ist. Und es gilt: :<math>z = \operatorname{Re}\,z + \mathrm i_\Complex \; \operatorname{Im}\,z.</math></ref> Ist eine Quaternion gleich ihrer Konjugierten, so ist sie reell, d.&nbsp;h., der Vektorteil ist null. Ist eine Quaternion gleich dem Negativen ihrer Konjugierten, so ist sie eine [[w:de:#Reine Quaternion|reine Quaternion]], d.&nbsp;h., der Skalarteil ist null. Weitere wichtige Eigenschaften der Konjugation sind: {| |- | * <math>\overline{(\bar x)}=x</math> | Die Konjugation ist eine [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]]. |- | * <math>\overline{x+y}=\bar x+\bar y</math> und<br /> <math>\overline{\lambda x}=\lambda\bar x</math> für reelle Zahlen <math>\lambda</math> | Die Konjugation ist <math>\R</math>-[[w:de:Lineare Abbildung|linear]]. |- | * <math>\overline{x y}=\bar y\bar x</math> | Die Konjugation ist ein [[w:de:Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]]. |- | * <math>\overline x = -\tfrac12(x + \mathrm i\,x\,\mathrm i + \mathrm j\,x\,\mathrm j + \mathrm k x \mathrm k)</math> &nbsp; &nbsp; | Die Konjugation lässt sich „mit arithmetischen Mitteln“ darstellen.<ref>Das gilt daher auch für den Betrag und die Teilmenge der reellen Zahlen. Bei den komplexen Zahlen gilt das nicht (s.&nbsp;a. [[w:de:Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie|Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie]]).</ref> |} === Skalarprodukt === Das [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon \mathbb H \times \mathbb H \to\R</math> zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im <math>\R^4</math>, ist definiert durch : <math>\langle x,y \rangle:= x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3</math>&nbsp;. Es gilt : <math>\langle x,y \rangle= \operatorname{Re}(\bar xy)=\operatorname{Re}(x\bar y) = \frac{1}{2} (x\bar y + y\bar x)</math>&nbsp;. Es ist eine [[w:de:Definitheit|positiv definite]] symmetrische [[w:de:Bilinearform#Beispiele|Bilinearform]], über die sich [[w:de:#Norm und Betrag|Norm und Betrag]] definieren lassen und mit der [[w:de:Skalarprodukt#Norm, Winkel und Orthogonalität|Winkel und Orthogonalität]] bestimmt werden können. Ferner kann man damit die einzelnen Komponenten einer Quaternion isolieren: : <math>x_0 = \langle\mathrm 1, x\rangle,\quad x_1 = \langle\mathrm i, x\rangle,\quad x_2 = \langle\mathrm j, x\rangle,\quad x_3 = \langle\mathrm k, x\rangle</math>&nbsp;. Das aus der Physik weit verbreitete Vorgehen, das Skalarprodukt abkürzend wie eine Multiplikation mit dem [[w:de:Mittepunkt|Mittepunkt]] {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} zu notieren, wird auch bei den Quaternionen häufig angewandt, wobei hier die Verwechslungsgefahr zwischen Quaternionenmultiplikation und Skalarprodukt hoch ist. Im Folgenden verwenden wir folgende Konvention: * Das Quaternionenprodukt wird stets ohne Benutzung des Mittepunkts durch Aneinanderreihung der Faktoren notiert. * Das Skalarprodukt, und zwar sowohl das 4- wie das 3-dimensionale, wird in Multiplikationsschreibweise mit dem Mittepunkt {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} notiert. === Kreuzprodukt === Das Kreuzprodukt zweier Quaternionen <math>x, y</math> ist das [[w:de:Kreuzprodukt|Kreuzprodukt]] (Vektorprodukt) ihrer Vektorteile und bis auf den Faktor&nbsp;2 ihr [[w:de:Kommutator (Mathematik)|Kommutator]]. Ist <math>x=:(x_0,\vec x)</math> und <math>y =: (y_0,\vec y)</math>, so ist : <math>\begin{align} x \times y & := \vec x\times\vec y \\ & \;= \tfrac12(x y-y x) \\ & \;= ( x_2 y_3 - x_3 y_2) \mathrm i +(x_3 y_1 - x_1 y_3) \mathrm j +( x_1 y_2 - x_2 y_1) \mathrm k \; . \end{align}</math> === Quaternionenmultiplikation als Skalar- und Kreuzprodukt === Identifiziert man Quaternionen {| |- |style="width: 25em;"| : <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> |style="width: 5em;"| und |style="width: 25em;"| <math>y = y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k</math> |} mit Paaren aus einem Skalar <math>\in \R</math> und einem Vektor <math>\in \R^3</math> {| |- |style="width: 25em;"| : <math>x=(x_0,\vec x)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec x :=(x_1,x_2,x_3)</math> |style="width: 5em;"| bzw. |style="width: 25em;"| <math>y=(y_0,\vec y)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec y :=(y_1,y_2,y_3)</math>&nbsp;, |} so lässt sich die Multiplikation mithilfe des (dreidimensionalen) [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]]s und [[w:de:Kreuzprodukt|Kreuzprodukt]]s beschreiben: : <math>xy = (x_0,\vec x) (y_0,\vec y)=\Big(x_0 y_0 -\vec x \cdot\vec y,\quad x_0 \vec y+\vec x y_0+\vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;. {{Anker|vertauschbar}} Zwei Quaternionen sind demnach genau dann miteinander ''vertauschbar'', wenn ihr Kreuzprodukt 0 ist, wenn also ihre Vektorteile als reelle Vektoren linear abhängig sind (s.&nbsp;a. [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettung der komplexen Zahlen]]). === {{Anker|Norm}} Norm und Betrag === Das Skalarprodukt einer Quaternion <math>x</math> mit sich selbst, welches gleich dem Quaternionenprodukt mit der Konjugierten ist, wird ''Norm'' genannt: : <math>\operatorname{Norm}(x) := \langle x,x \rangle = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 = x\bar x = \bar x x </math>&nbsp;<ref>Viele Autoren setzen jedoch Norm dem Betrag gleich.</ref> Insbesondere ist dieser Wert reell und nichtnegativ. {{Anker|Betrag}} Die [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] daraus : <math>\sqrt{{x_0}^2+{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2}=:|x|</math> wird ''Betrag'' oder ''Länge'' der Quaternion <math>x</math> genannt und stimmt überein mit Betrag oder [[w:de:Euklidische Norm|euklidischer Länge]] des Vektors <math>(x_0,x_1,x_2,x_3)</math>. Er erfüllt die wichtige Eigenschaft : <math>|x y|=|x|\;|y|</math>&nbsp;, die ''Multiplikativität des Betrags''. Mit dem Betrag werden die Quaternionen zu einer reellen [[w:de:Banachalgebra|Banachalgebra]]. === Inverses und Division === Bei einer nicht-kommutativen Multiplikation muss man die Gleichungen {| |- |style="width: 10em;"| : <math>x b=a</math> |style="width: 5em;"| und |style="width: 10em;"| <math>b y=a</math> |} unterscheiden. Wenn das [[w:de:Inverses Element|Inverse]] <math>b^{-1}</math> existiert, dann sind {| |- |style="width: 10em;"| : <math>x=a b^{-1}</math> |style="width: 5em;"| bzw. |style="width: 10em;"| <math>y=b^{-1} a</math> |} respektive Lösungen, die nur dann übereinstimmen, wenn <math>b</math> und <math>a</math> kommutieren, insbesondere wenn der Divisor <math>b</math> reell ist. In solch einem Fall kann die Schreibweise <math>\tfrac a b</math> verwendet werden – bei allgemeinen Divisionen wäre sie nicht eindeutig. Wenn zusätzlich <math>c^{-1}</math> existiert, gilt die Formel : <math>b^{-1} c^{-1}=(c b)^{-1}</math>, denn : <math>b^{-1} c^{-1} c b=1</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; und&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> (c b)^{-1} c b=1</math>&nbsp;. Für : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k\ne0</math> ist die Norm : <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = \bar x x = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2>0</math> reell und positiv. Die Quaternion : <math>x^{-1} := \frac{\bar x}{x \bar x} </math> erfüllt dann die Bedingungen des Rechts- : <math> x x^{-1} = x \frac{\bar x}{x \bar x} = 1</math> und des Links-Inversen : <math> x^{-1} x = \frac{\bar x}{\bar x x} x = 1</math> und kann deshalb als das Inverse schlechthin von <math>x</math> bezeichnet werden. === Reine Quaternion === Eine Quaternion, deren Vektorteil 0 ist, wird mit der ihrem Skalarteil entsprechenden reellen Zahl identifiziert. Eine Quaternion, deren Realteil 0 ist (äquivalent, deren Quadrat reell und nichtpositiv ist), nennt man ''rein'', ''rein imaginär'' oder ''vektoriell''. Die Menge der reinen Quaternionen wird als <math>\mathbb H _{\text{pure}}</math> oder <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> notiert. Sie ist ein [[w:de:Dimension (Mathematik)|dreidimensionaler]] reeller [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit Basis <math>\{\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math>. Für reine Quaternionen nimmt die Multiplikation eine besonders einfache Form an: : <math>(0,\vec x)(0,\vec y) \; = \; \Big({-\vec x \cdot \vec y}, \, \vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;. === Einheitsquaternion === Eine ''Einheitsquaternion'' (auch ''normierte Quaternion'', Quaternion ''der Länge&nbsp;1'') ist eine Quaternion, deren Betrag gleich&nbsp;1 ist. Für sie gilt (analog zu den komplexen Zahlen) : <math>|x|=1\iff x\bar x=1\iff \bar x=x^{-1}</math>. Für eine beliebige Quaternion <math>x\ne0</math> ist : <math>\frac x{|x|}=\frac{x_0}{|x|}+\frac{x_1}{|x|}\mathrm i+\frac{x_2}{|x|}\mathrm j+\frac{x_3}{|x|}\mathrm k</math> eine Einheitsquaternion, die man manchmal auch als das [[w:de:Signumfunktion|Signum]] oder den Versor von <math>x</math> bezeichnet. Das Produkt zweier Einheitsquaternionen und die Inverse einer Einheitsquaternion sind wieder Einheitsquaternionen. Die Einheitsquaternionen bilden also eine Gruppe. Geometrisch kann man die Menge der Einheitsquaternionen als die [[w:de:Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> im vierdimensionalen [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und damit als [[w:de:Lie-Gruppe|Lie-Gruppe]] interpretieren, mit dem Raum der [[w:de:#Reine Quaternion|reinen Quaternionen]] als zugehöriger [[w:de:Lie-Algebra|Lie-Algebra]]. Die Darstellung als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] verdeutlicht die umkehrbar eindeutige Entsprechung der Einheitsquaternionen mit der [[w:de:Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>. Die einzigen reellen Einheitsquaternionen sind <math>\pm 1</math>. Sie machen auch das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb{S}^3</math> aus. === Reine Einheitsquaternion === Einheitsquaternionen, die auch reine Quaternionen sind, lassen sich als diejenigen Quaternionen charakterisieren, deren Quadrate <math>-1</math> ergeben: : <math>\epsilon_0=0 \; \land \; {\epsilon_1}^2+{\epsilon_2}^2+{\epsilon_3}^2=1\qquad\iff\qquad \epsilon^2=-1</math>.<ref>Den unendlich vielen [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]]n des [[w:de:Polynom|Polynom]]s <math>X^2 + 1</math> steht das Fehlen einer Nullstelle beim Polynom <math>\mathrm i X - X \mathrm i + 1</math> vom [[w:de:Polynom|Grad]] 1 gegenüber. Letzteres besitzt 2 [[w:de:Monom|Monom]]e vom Grad 1, dem höchsten Grad seiner Monome. In nicht-kommutativen Ringen wird der Grad des Monoms <math>a_0 X a_1 \dots a_{n-1} X a_n</math> mit <math>a_i \neq 0</math> zu <math>n</math> definiert, und ein Monom dominiert ein Polynom, wenn es unter allen Monomen den höchsten Grad hat. Dann ist der Grad des Polynoms auch gleich dem Grad der dominierenden Monome. Hat ein Polynom über <math>\mathbb H</math> ein ''einziges'' dominierendes Monom von einem Grad > 0, dann hat es immer eine Nullstelle in <math>\mathbb H</math>. ([[w:de:#Eilenberg-Niven|Eilenberg-Niven]]).</ref> Sie liegen in der Äquatorhyperebene der 3-Sphäre <math>\mathbb{S}^3</math> und machen die Einheits-2-Sphäre <math>\mathbb{S}^2</math> des dreidimensionalen Raums <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus. === Einbettung der komplexen Zahlen === Jede Quaternion <math>\epsilon</math> mit Quadrat <math>-1</math> definiert einen Einbettungs[[w:de:isomorphismus|isomorphismus]] <math>\iota_{\epsilon}</math> der komplexen Zahlen in die Quaternionen : <math> \begin{array}{rccc} \iota_{\epsilon} \colon & \Complex & \to & \mathbb H \\ & u+v\mathrm i_\Complex & \mapsto & u+v \epsilon \end{array} </math> mit <math>u,v\in\R</math> und <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit der komplexen Zahlen. Dabei sind die [[w:de:Bild (Mathematik)|Bildmengen]] der <math>\epsilon</math> und <math>\bar \epsilon</math> entsprechenden Einbettungen identisch: <math>\iota_{\epsilon}(\Complex) = \iota_{\overline \epsilon}(\Complex)</math>. Eine jede solche Quaternion darf <math>\mathrm i</math> genannt werden, eine senkrechte dazu <math>\mathrm j</math> und ihr Produkt <math>\mathrm k</math>.<ref name="Conway">[[w:de:John Horton Conway|John H. Conway]], Derek A. Smith: ''On Quaternions and Octonions''. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch).</ref>{{rp|Seite 40.}} <ref>Ein [[w:de:#Automorphismen|Automorphismus]] definiert eine solche Einbettung (durch [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]]), die nur eine Einbettung von {{nowrap|<math>\R</math>-[[w:de:Algebra über einem Körper|Algebren]]}} ist. <math>\mathbb H</math> ist keine Algebra über <math>\Complex</math>.</ref> Jede nicht-reelle Quaternion liegt in genau einer solchen Einbettung von <math>\Complex</math>&nbsp;. Zwei Quaternionen sind genau dann vertauschbar, wenn es eine gemeinsame Einbettung gibt. Zwei verschiedene Bilder haben die reelle Achse zum Durchschnitt. So betrachtet, sind die Quaternionen eine [[w:de:Menge (Mathematik)#Vereinigung (Vereinigungsmenge)|Vereinigung]] komplexer Ebenen. == Polardarstellung == Jede [[w:de:#Einheitsquaternion|Einheitsquaternion]] <math>x^\circ = x_0 + x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k \; \ne \; \pm 1</math> kann auf eindeutige Weise in der Form : <math>x^\circ=\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math> :: mit dem ''Polarwinkel''<ref>[[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22. Der Polarwinkel ist das Analogon zum [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|komplexen Argument]] <math>\operatorname{arg}(z)</math>, allerdings ist bei dessen Hauptwert das Signum des Imaginärteils mit hinein genommen, was sich bei den Quaternionen nicht machen lässt, sodass <math>\operatorname{arg}</math> nicht eine einfache [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] des Polarwinkels ist.</ref> von <math>x^\circ</math> ::: <math>\phi := \arccos(x_0) = \arccos(\operatorname{Re} x^\circ) \in{]0,\pi[}</math> :: und der ''reinen'' Einheitsquaternion ::: <math>\epsilon := \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sqrt{1-x_0^2}} = \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sin \phi} = \frac{\operatorname{Im} x^\circ}{|\operatorname{Im} x^\circ|} = \frac{\vec x^\circ}{|\vec x^\circ|}</math> dargestellt werden. Mit der [[w:de:Exponentialfunktion#Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren|verallgemeinerten Exponentialfunktion]] lässt sich das wegen <math>\epsilon^2=-1\ </math> auch schreiben als : <math>x^\circ=\exp(\epsilon\phi)</math> mit der [[w:de:#Reine Quaternion|reinen Quaternion]] <math>\epsilon\phi =: x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H </math>. Will man also eine reine Quaternion <math>x^\prime\ne 0</math> exponentiieren, so ist ihr Betrag <math>\phi=|x^\prime|</math> und die [[w:de:#Reine Einheitsquaternion|reine Einheitsquaternion]] <math>\epsilon=x^\prime/\phi</math> zu bilden, und es ergibt sich die Einheitsquaternion : <math>\exp x^\prime = \cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math>. Der Fall &nbsp; <math>\exp 0 = 1</math> &nbsp; lässt sich [[w:de:Fortsetzung (Mathematik)#Stetige Fortsetzung|stetig ergänzen]]. Damit ist die [[w:de:Matrixexponential|Exponentialabbildung]] <math>\exp\colon \operatorname{Im}\,\mathbb H \to \mathbb{S}^3</math> [[w:de:surjektiv|surjektiv]]. Nun ist <math>\exp x^\prime = -1</math> für alle <math>x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math> mit <math>|x^\prime| = \pi</math>, und das sind unendlich viele. Gleichwohl ist die [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] <math>\exp\colon \{x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H \land |x^\prime| < \pi \} \; \to \; \mathbb{S}^3 \setminus \{-1\}</math> [[w:de:Bijektivität|bijektiv]]. Sie ist [[w:de:Stetige Funktion|stetig]], wegen der Nicht-Kommutativität der Multiplikation aber kein [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]]<ref name="exp-nicht-homomorph">Für <math>x^\prime:=\mathrm i\pi</math> und <math>y^\prime:=\mathrm j\pi</math> ist :<math>\exp x^\prime \exp y^\prime = \exp(\mathrm i\pi) \exp(\mathrm j\pi) = (-1)(-1)=1</math> :<math>\ne \exp(x^\prime+y^\prime) = \exp((\mathrm i+\mathrm j)\pi) = \cos(\pi \sqrt 2)+\frac{\mathrm i+\mathrm j}{\sqrt 2}\sin(\pi \sqrt 2)</math>.</ref>. {{Anker|reine_und_normierte}} Allgemein lässt sich jede nicht-reelle Quaternion eindeutig in der Form : <math>x=|x| \; (\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi)</math> :: mit dem ''Polarwinkel'' von <math>x</math> ::: <math>\phi = \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|}\right) \in{]0,\pi[} </math> :: und der reinen Einheitsquaternion (der ''reinen und normierten Quaternion von <math>x</math>'') ::: <math>\epsilon = \frac{\operatorname{Im} x}{\sqrt{|x|^2 - (\operatorname{Re} x)^2}} = \frac{\operatorname{Im} x}{|x| \, \sin \phi} = \frac{\vec x}{|\vec x|}</math> schreiben. Durch die Festlegung <math>\phi \in{]0,\pi[}</math> ist <math>\sin \phi > 0</math>, sodass <math>\epsilon</math> in dieselbe Richtung wie der Vektorteil <math>\operatorname{Im} x</math> zeigt. Jede nicht reell-negative Quaternion schreibt sich eindeutig als : <math>x=|x|\exp x^\prime</math> mit einer reinen Quaternion <math>x^\prime</math> mit &nbsp; <math>|x^\prime|<\pi</math>. Diese Darstellungen sind der Polarform komplexer Zahlen : <math>z=|z|(\cos\phi+\mathrm i_\Complex\sin\phi)=|z| \exp(\mathrm i_\Complex\phi)</math> (mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit) analog. Für die [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]] : <math>x y = |x| \; |y| \; \exp (x^\prime+y^\prime)</math> müssen <math>x,y</math> allerdings kommutieren.<ref name="exp-nicht-homomorph" /><ref>Laut [[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22 mag das Scheitern dieser Funktionalgleichung das größte Hindernis für eine quaternionische [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] gewesen sein.</ref> == Funktionentheorie == === Exponentialfunktion, Logarithmus === Das Exponential einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist: : <math>\exp (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \exp (\operatorname{Re} x) \left(\cos |\vec x|+\frac{\vec x}{|\vec x|} \sin |\vec x| \right) \isin \mathbb H</math> mit <math>\vec x:=\operatorname{Im} x</math>&nbsp;. Der (natürliche) [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist: : <math>\ln(x) = \ln |x| + \frac{\vec x}{|\vec x|} \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|} \right) \isin \mathbb H</math>&nbsp;<ref>{{Webarchiv |url=http://www.lce.hut.fi/~ssarkka/pub/quat.pdf |wayback=20130926165618 |text=Lce.hut.fi}} (PDF; 68&nbsp;kB)</ref> Für nicht-reelles <math>x</math> sind sie [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]]en voneinander : <math>\exp (\ln(x)) = x</math> und, falls <math>|\vec x| < \pi</math>, : <math>\ln(\exp (x)) = x</math>&nbsp;. Für nicht-reelles, mit <math>x</math> kommutierendes <math>y</math> gelten die [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en : <math>\exp (x+y) = \exp (x) \exp (y)</math> und : <math>\ln (x) + \ln (y) = \ln (x y)</math>&nbsp;, letzteres für <math>x,y</math> mit hinreichend kleinem Imaginärteil. === Fortsetzungen komplexer Funktionen === [[Datei:Lift Complex Function to Quaternions.svg|304px|mini|Im [[w:de:Kommutatives Diagramm|kommutativen Diagramm]] müssen sich <math>g_{\epsilon}</math> und <math> g_{\zeta}</math> auf <math>\iota_{\epsilon}\Complex \; \cap \; \iota_{\zeta}\Complex \; \subset \; \mathbb H</math> vertragen.]] Da <math>\mathbb H</math> als eine Vereinigung von Einbettungen komplexer Ebenen aufgefasst werden kann (s. Abschnitt [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|#Einbettung der komplexen Zahlen]]), kann man versuchen, Funktionen <math>g \colon \Complex \to \Complex</math><ref>Die Überlegungen gelten schon, wenn der Definitionsbereich von <math>g</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ist.</ref> mithilfe der genannten Einbettungsisomorphismen <math>\iota_{\epsilon}</math> vom Komplexen ins Quaternionische zu liften. Dabei ist zu fordern, dass die so gewonnenen Funktionen <math>g_{\epsilon} \colon \iota_{\epsilon} (\Complex) \to \iota_{\epsilon} (\Complex) \subset \mathbb H</math> mit <math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon} \circ g \circ {\iota_{\epsilon}}^{-1}(q) </math> bei Überschneidungen der [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsbereiche]] dasselbe Ergebnis liefern, sodass die vereinigte Funktion <math>\tilde g</math> auf der [[w:de:Vereinigungsmenge|Vereinigungsmenge]] <math>\cup_{\epsilon} \bigl( \iota_{\epsilon} (\Complex) \bigr) = \mathbb H</math> vermöge <math>\forall q \in \mathbb H \; \exists \epsilon : q \in \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> als <math>\tilde g(q) := g_{\epsilon} (q)</math> in [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefinierter]] Weise gebildet werden kann. Sei <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \ \mathrm i_\Complex</math> eine komplexwertige Funktion <math>\Complex \to \Complex</math> einer komplexen Variablen <math>z = \xi + \eta \, \mathrm i_\Complex</math> mit reellen <math>\xi,\eta</math> und reellen <math>u(\xi,\eta),v(\xi,\eta) .</math><br /> '''Einbettbarkeit:''' <math>g</math> ist genau dann einbettbar in die Quaternionen, wenn <math>u</math> eine [[w:de:Gerade Funktion|gerade]] und <math>v</math> eine [[w:de:ungerade Funktion|ungerade Funktion]] des jeweils zweiten Arguments <math>\eta</math> ist. {| class="wikitable left mw-collapsible mw-collapsed font-size: 105.3%;" |style="text-align:left; font-size: 95%;"| '''Beweis'''&nbsp; |- | Ist <math>q</math> eine beliebige nicht-reelle Quaternion, dann ist <math>\epsilon := \operatorname{Im} q / |\operatorname{Im} q| </math> eine [[w:de:#reine und normierte|reine und normierte Quaternion]] mit <math>\epsilon^2 = -1</math>. Seien ferner <math>\xi := \operatorname{Re} q </math> und <math>\eta := |\operatorname{Im} q| </math>, die beide reell sind. Sowohl <math>\iota_{\epsilon}</math> wie <math>\iota_{\overline \epsilon}</math> ist ein Einbettungsisomorphismus für das Bild <math>q</math>. Im ersteren Fall ist <math>z_{\epsilon} := \xi+\eta \, \mathrm i_\Complex \in \Complex</math> das Urbild von <math>q = \xi+\eta \, \epsilon </math>, im zweiten Fall haben wir wegen <math>q = \xi+\eta \, \epsilon = \xi-\eta \, \bar\epsilon </math> das Urbild <math>z_{\overline \epsilon} := \iota_{\overline \epsilon}^{-1} (\xi-\eta \, \epsilon) = \xi-\eta \, \mathrm i_\Complex </math>; jeweils mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als der imaginären Einheit von <math>\Complex</math>. Die Urbilder sind verschieden, das Bild, das bei der zu bildenden Funktion <math>\tilde g</math> als Argument fungieren soll, ist aber beidesmal <math>q</math>.<br /> Das „Liften“ wird durch die Einbettung der Funktionswerte als : <math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon}(g(z_{\epsilon})) = \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \epsilon</math> und : <math>g_{\overline \epsilon}(q) := \iota_{\overline \epsilon}(g(z_{\overline \epsilon})) = \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar\epsilon</math> vervollständigt (s. Diagramm). Nun ist nach Voraussetzung : <math>u(\xi,+\eta)=u(\xi,-\eta), \quad v(\xi,+\eta) = -v(\xi,-\eta),</math> sodass sich : <math>g_{\overline \epsilon}(q) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar \epsilon = u(\xi,-\eta) - v(\xi,-\eta) \epsilon = u(\xi,+\eta) + \ v(\xi,+\eta) \epsilon = g_{\epsilon}(q) </math> ergibt und <math>\tilde g(q)</math> nicht von der Wahl des Einbettungsisomorphismus abhängt. Die Bedingung ist auch notwendig. Denn lässt umgekehrt die Funktion <math>g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine Einbettung <math>\tilde g \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \tilde g(q) </math> in die Quaternionen zu, so gibt es zu jedem <math>q \in \mathbb H</math> eine geeignete reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> und reelle <math>\xi,\eta </math> mit <math>q = \xi\,+\,\eta \, \epsilon</math> und : <math>\begin{array}{llll} \tilde g(q) &= g_{\epsilon}(\xi\,+\,\eta \, \epsilon) = g_{\epsilon}(\iota_{\epsilon} (\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\epsilon}(g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\ &= \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \epsilon . \end{array}</math> Bei der konjugierten Quaternion <math>\bar \epsilon = -\epsilon</math> hat die Einbettung <math>\iota_{\overline \epsilon} </math> dasselbe Bild <math>\iota_{\overline \epsilon} (\Complex) = \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> wie <math>\iota_{\epsilon}</math> und also <math>g_{\overline \epsilon}</math> dieselbe [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsmenge]] wie <math>g_{\epsilon}</math>. Der Funktionswert : <math>\begin{array}{llll} \tilde g(q) &= g_{\overline \epsilon}(\xi\,-\,\eta \, \bar \epsilon) = g_{\overline \epsilon}(\iota_{\overline \epsilon} (\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\overline \epsilon}(g(\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\ &= \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \bar\epsilon \\ &&= u(\xi,-\eta)\,-\,v(\xi,-\eta) \epsilon \end{array}</math> muss also mit dem vorigen für alle <math>\xi,\eta \in \R</math> übereinstimmen. ■ |} Die eingebettete Funktion <math>\tilde g</math> stimmt auf ''allen'' Teilmengen <math>\iota_{\epsilon} (\Complex) \cong \Complex</math> mit <math>g</math> überein, kann also als [[w:de:Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzung]] von <math>g</math> angesehen werden und, wenn Verwechslungen nicht zu befürchten sind, wird auch der Funktionsname beibehalten. Ist <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine einbettbare Funktion, so ist <math>v(\xi,0) = -v(\xi,0)</math> wegen der Ungeradheit von <math>v</math> in der zweiten Variablen, also <math>v(\xi,0) = 0</math> und <math>g(z) \in \R</math> für <math>z \in \R</math>. Somit folgt aus der Einbettbarkeit, dass die [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] aufs Reelle reell ist.<ref>Letzteres ist aber nicht hinreichend, denn die Funktion <math>g(z) := \operatorname{Im} z</math> ist trotz <math>g\!\mid_\R \, = 0 \in \R</math> wegen <math>u(\xi,\eta) \equiv \eta \not\equiv -\eta \equiv u(\xi,-\eta) </math> nicht einbettbar.<br />Sind jedoch bei solchen Funktionen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt, so folgt aus der Ungeradheit von <math>v(\xi,\eta)</math> die Geradheit von <math>u(\xi,\eta)</math> (jeweils in der zweiten Variablen) und damit die Einbettbarkeit in die Quaternionen.<br />Im Gegensatz zu <math>g(z) = \operatorname{Im} z</math> ist die Funktion <math>h(z) := \mathrm i_\Complex \, \operatorname{Im} z </math> einbettbar mit der Fortsetzung <math>\tilde h \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \operatorname{Im} q.</math></ref> Zu dieser Klasse von komplexen Funktionen gehören Norm und Betrag, aber auch alle [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n <math>\textstyle \sum_{n=-\infty}^\infty a_n z^n</math> mit reellen Koeffizienten <math>a_n</math>, so die Exponential- und Logarithmusfunktion.<ref>Ein weiteres nicht einbettbares Beispiel ist <math>g(z) := \mathrm i_\Complex</math>, bei dem <math>v(\xi,\eta) = 1</math> ''nicht ungerade'' ist in <math>\eta</math>. Die Einbettung mithilfe des Einbettungsisomorphismus <math>\iota_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} </math> ergibt zwar die (konstante) Funktion <math>g_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} = \mathrm i_{\mathbb H} </math>, die aber mit anderen Einbettungen, z.&nbsp;B. <math>\iota_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} </math> mit dem (ebenfalls konstanten) Ergebnis <math>g_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} = \mathrm j_{\mathbb H} \ne \mathrm i_{\mathbb H},</math> nicht zusammenpasst.</ref> === Analysis === Schwieriger ist es, eine allgemeine quaternionische Analysis mit Differential- und/oder [[w:de:Integralrechnung|Integralrechnung]] aufzustellen. Ein Problem springt unmittelbar ins Auge: der Begriff des [[w:de:Differentialrechnung|Differenzenquotienten]] <math>\tfrac{f( x + h ) - f( x )} h </math>, der in der reellen wie der komplexen Analysis so erfolgreich ist, muss wegen der Nicht-Kommutativität als linke ''und'' rechte Version definiert werden. Legt man dann genauso strenge Maßstäbe wie bei der [[w:de:Holomorphe Funktion|komplexen Differenzierbarkeit]] an, dann stellt sich heraus, dass bestenfalls lineare Funktionen, und zwar <math>x \mapsto a + x b </math> links und <math>x \mapsto a + b x </math> rechts, differenzierbar sind.<ref>[https://www.zipcon.net/~swhite/docs/math/quaternions/analysis.html ''Quaternion Analysis, Functions of a Quaternion Variable''] (englisch).</ref> Immer definieren lässt sich aber eine [[w:de:Richtungsableitung|Richtungsableitung]] und das [[w:de:Gâteaux-Differential|Gâteaux-Differential]]. Ausgehend von den [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und dem [[w:de:Satz von Morera|Satz von Morera]] wurde folgender Regularitätsbegriff gefunden: Eine quaternionische Funktion ist regulär an der Stelle <math>x </math>, wenn ihr Integral über jeder hinreichend kleinen <math>x </math> umschließenden [[w:de:Hyperfläche|Hyperfläche]] verschwindet.<ref>{{cite journal |first=R. |last=Fueter |authorlink=Rudolf Fueter |title=Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen |journal=Comm. Math. Helv. |volume=8 |date=1936 |pages=371–378}}</ref><ref>{{cite journal |first=C.A. |last=Deavours |title=The Quaternion Calculus |journal=Amer. Math. Monthly |volume=80 |date=1973 |pages=995–1008 |language=en}}</ref><ref>{{cite journal |first=A. |last=Sudbery |title=Quaternionic Analysis |doi=10.1017/S0305004100055638 |journal=Math. Proc. Camb. Phil. Soc. |volume=85 |date=1979 |pages=199–225 |language=en}}</ref> == Beschreibung anderer Konstrukte mit Hilfe von Quaternionen == === Minkowski-Skalarprodukt === Das [[w:de:Minkowski-Raum|Minkowski-Skalarprodukt]] zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im Minkowski-Raum, ist der Skalarteil von <math>xy</math>: : <math>x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3=\operatorname{Re}(xy).</math> === Vektoranalysis === Im Folgenden werden Vektoren im dreidimensionalen Raum <math>\R^3</math> mit reinen Quaternionen <math>\in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math>, also die üblichen <math>(x,y,z)</math>-Koordinaten mit den <math>(x_1,x_2,x_3)</math>-Komponenten identifiziert. Definiert man den [[w:de:Nabla-Operator|Nabla-Operator]] (wie Hamilton) als : <math>\vec \nabla \;=\; \mathrm i \, \frac\partial{\partial x}+\mathrm j \, \frac\partial{\partial y}+\mathrm k \, \frac\partial{\partial z}</math> und wendet ihn auf eine skalare Funktion <math>f(x,y,z)</math> als (formale) Skalarmultiplikation an, erhält man den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] : <math>\vec \nabla f \;=\; \operatorname{grad} f \;=\; \mathrm i \, \frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm j \, \frac{\partial f}{\partial y}+\mathrm k \, \frac{\partial f}{\partial z}.</math> Die Anwendung auf ein Vektorfeld : <math>\vec F(x,y,z) \;=\; \mathrm i \, F_1(x,y,z)+\mathrm j \, F_2(x,y,z) +\mathrm k \, F_3(x,y,z)</math> als (formales) Skalarprodukt ergibt die [[w:de:Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] : <math>\vec \nabla \cdot \vec F \;=\; \operatorname{div} \vec F \;=\; \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y}+ \frac{\partial F_3}{\partial z}</math>&nbsp;. Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Kreuzprodukt ergibt die [[w:de:Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] : <math>\vec \nabla \times \vec F \;=\; \operatorname{rot} \vec F \;=\; \mathrm i \left ( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right ) + \mathrm j \left ( \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right ) + \mathrm k \left ( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right )</math>&nbsp;. Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Produkt zweier [[w:de:#Reine Quaternion|reiner Quaternionen]] ergibt : <math>\vec \nabla \vec F \;=\; -\operatorname{div} \vec F + \operatorname{rot} \vec F</math> mit <math>- \operatorname{div} \vec F</math> als Skalarteil und <math>\operatorname{rot} \vec F</math> als Vektorteil der Quaternion. Zweimalige Anwendung auf eine Funktion <math>f</math> ergibt den [[w:de:Laplace-Operator|Laplace-Operator]] <math>\triangle</math> : <math>\vec \nabla^2 \, f \;:=\; \vec \nabla \cdot (\vec \nabla \, f) \;=\; \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right) \;=\; -\triangle f \;=\; -\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}\right),</math> d.&nbsp;h., <math>\nabla</math> wirkt wie ein [[w:de:Dirac-Operator|Dirac-Operator]] als (formale) „Quadratwurzel“ des (negativen) Laplace-Operators. === Drehungen im dreidimensionalen Raum === Einheitsquaternionen können für eine elegante Beschreibung von [[w:de:Drehung|Drehung]]en im dreidimensionalen Raum verwendet werden: Für eine feste Einheitsquaternion <math>q</math> ist die Abbildung : <math>\rho_q\colon x\mapsto qxq^{-1}</math> &nbsp; bzw. &nbsp; <math>\rho_q\colon x\mapsto qx\overline{q}</math> auf <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> eine Drehung. (Hier, wie im Folgenden, ist nur von Drehungen die Rede, die den Ursprung festlassen, d.&nbsp;h., deren Drehachse durch den Ursprung verläuft.) Die [[w:de:#Polardarstellung|Polardarstellung]] stellt die Einheitsquaternion <math>q\neq\pm 1</math> durch einen Winkel <math>0<\alpha<2\pi</math> und eine reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> eindeutig dar als : <math>q = \cos\frac{\alpha}{2} + \epsilon\sin\frac{\alpha}{2}</math>&nbsp;. Dann ist <math>\rho_q\ </math> eine Drehung des <math>\R^3\ </math> um die Achse <math>\epsilon\in\R^3\ </math> mit Drehwinkel <math>\alpha</math>. Für jede Einheitsquaternion <math>q</math> definieren <math>q</math> und <math>-q</math> dieselbe Drehung; insbesondere entsprechen <math>1</math> und <math>-1</math> beide der identischen Abbildung (Drehung mit Drehwinkel&nbsp;0). Im Unterschied zur Beschreibung von Drehungen durch [[w:de:Orthogonale Matrix|orthogonale Matrizen]] handelt es sich also um keine 1:1-Entsprechung, zu jeder Drehung <math>\rho</math> gibt es genau ''zwei'' Einheitsquaternionen <math>q</math> mit <math>\rho_q=\rho</math>. Die [[w:de:Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] von Drehungen entspricht der Multiplikation der Quaternionen, d.&nbsp;h. : <math>\rho_{q_1}\circ\rho_{q_2}=\rho_{q_1 q_2}.</math> Die Umkehrung der Drehrichtung entspricht dem Inversen: : <math>\rho_{q^{-1}}=\rho_q^{-1}.</math> {{Anker|-1=2:1-Überlagerung}} Damit ist die Abbildung : <math> \begin{array}{rccc} \rho \colon & \mathbb{S}^3 & \to & \mathrm{SO}(3) \\ & q & \mapsto & \rho_q \end{array} </math> ein [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]] der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen in die [[w:de:Drehgruppe|Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Sie ist eine [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|Überlagerung der <math>\mathrm{SO}(3)</math>]], und da ein Bildelement <math>\rho_q</math> genau die zwei Urbilder <math>\pm q\in \mathbb{S}^3</math> hat, ''zwei''blättrig, weshalb der Homomorphismus auch ''2:1-Überlagerung(shomomorphismus)''<ref name="Conway" />{{rp|Seite 33.}} genannt wird. Ferner ist sie [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|universell]], da <math>\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist. ==== Bezug zu orthogonalen Matrizen ==== Explizit entspricht der Einheitsquaternion <math>q \in \mathbb{S}^3</math>, : <math>q=q_0+q_1\mathrm i+q_2\mathrm j+q_3\mathrm k</math> mit <math>q_i \in \R</math> und <math>\operatorname{Norm}(q) = q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1</math>, die [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrix]] : <math> \begin{array}{rlll} D_q := & \begin{bmatrix} q_0^2 + q_1^2 - q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_3+2q_1q_2 & 2q_0q_2+2q_1q_3 \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & q_0^2 - q_1^2 + q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & q_0^2 - q_1^2- q_2^2+ q_3^2 \end{bmatrix} \\[.3em] = & \begin{bmatrix} 1-2(q_2^2 + q_3^2) \;\;\;\; & -2q_0q_3+2q_1q_2 \;\;\;\, & 2q_0q_2+2q_1q_3 \;\;\quad \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & 1-2(q_1^2 + q_3^2) & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & 1-2(q_1^2 + q_2^2) \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3), \end{array} </math> diese Formel ist auch als [[w:de:Euler-Rodrigues-Formel|Euler-Rodrigues-Formel]] bekannt. Sie bildet eine reine Quaternion <math>\xi</math> auf <math>(0, D_q \; \vec \xi) = q \; \xi \; q^{-1}</math> ab. Ist umgekehrt die Drehmatrix : <math>D = \begin{bmatrix} d_{11} & d_{12} & d_{13} \\ d_{21} & d_{22} & d_{23} \\ d_{31} & d_{32} & d_{33} \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3)</math><ref>Zu <math>\mathrm{SO}(3)</math> siehe [[w:de:Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung|Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung]].</ref> gegeben und ist die [[w:de:Spur (Mathematik)|Spur]] : <math>T_D := d_{00} + d_{11} + d_{22} + d_{33} > 0</math> mit <math>d_{00} := 1</math>&nbsp;, dann bewerkstelligt die Quaternion : <math>q_D := T_D + (d_{32}-d_{23}) \mathrm i + (d_{13}-d_{31}) \mathrm j + (d_{21}-d_{12}) \mathrm k </math> die Drehung <math>D \; \vec \xi</math>, denn es ist <math>q_D \; \xi \; q_D^{-1} = (0, D \; \vec \xi)</math> für jede reine Quaternion <math>\xi</math>&nbsp;. Wenn man die [[w:de:Homogene Funktion|homogen]] formulierte Version von <math>D_q</math> als Eingabematrix nimmt, produziert die gezeigte Lösung mit <math>d_{00} := \operatorname{Norm}(q)</math> die Quaternion <math>q_D = 4 q_0 q</math>. Wegen <math>\operatorname{det}(D_q) = \operatorname{Norm}(q)^3</math> kann die Homogenität in den <math>d_{ij}</math> durch die Setzung <math>d_{00} := \sqrt[3]{\operatorname{det}(D)}</math> aufrechterhalten werden. Die <math>\mathrm{SO}(3)</math> hat wie die <math>\mathbb{S}^3</math> über <math>\R</math> die Dimension 3. Die neun Komponenten von <math>D</math> können also nicht alle frei wählbar sein. Da einer jeden Matrix <math>D\in\mathrm{SO}(3)</math> eine Quaternion <math>q</math> entspricht, decken die Drehmatrizen <math>D_q</math> die ganze <math>\mathrm{SO}(3)</math> ab. Bei <math>D_q</math> ist <math>T_{D_q} = 4 q_0^2</math>. Falls also wirklich <math>D \in \mathrm{SO}(3)</math>, ist auch <math>\frac{q_D}{2 \sqrt{T_D}}</math> die Einheitsquaternion zu <math>q_D</math>. ==== Bezug zu Eulerwinkeln ==== Für [[w:de:Eulerwinkel|Eulerwinkel]] gibt es verschiedene Konventionen; die folgende Darlegung bezieht sich auf die Drehung, die man erhält, wenn man zuerst um die <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Psi</math>, dann um die neue <math>x</math>-Achse um den Winkel <math>2\Theta</math> und schließlich um die neue <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Phi</math> dreht, d.&nbsp;i. die sog. [[w:de:Eulersche Winkel#Konventionen|„x-Konvention“ (z, x’, z’’)]] mit allen Winkeln ''doppelt''. Die Einzeldrehungen entsprechen den [[w:de:#Polardarstellung|Einheitsquaternionen]] : <math>\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi,\quad \cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta,\quad \cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi,</math> und da jeweils um die mitgedrehten Achsen gedreht wird, ist die Reihenfolge der Komposition umgekehrt. Die Gesamtdrehung entspricht also : <math>\left(\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi\right)\left(\cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta\right)\left(\cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi\right)</math> : <math>{}=\cos\Psi\cos\Theta\cos\Phi-\sin\Psi\cos\Theta\sin\Phi</math> :: <math>{}+\mathrm i\left(\cos\Psi\sin\Theta\cos\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\sin\Phi\right)</math> :: <math>{}+\mathrm j\left(-\cos\Psi\sin\Theta\sin\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\cos\Phi\right)</math> :: <math>{}+\mathrm k\left(\sin\Psi\cos\Theta\cos\Phi+\cos\Psi\cos\Theta\sin\Phi\right).</math> Für andere Konventionen ergeben sich ähnliche Formeln. Die Eulerwinkel zu einer gegebenen Quaternion lassen sich an der zugehörigen [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrix]] ablesen. ==== Universelle Überlagerung der Drehgruppe; Spingruppe ==== Wie im Abschnitt [[w:de:#Einheitsquaternion|Einheitsquaternionen]] gezeigt, gibt es einen durch die Hamiltonschen Zahlen vermittelten [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] zwischen der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen und der [[w:de:Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>. Diese beiden Gruppen sind isomorph zur [[w:de:Spingruppe|Spingruppe]] <math>\mathrm{Spin(3)}</math> (zur Physik: siehe [[w:de:Spin|Spin]]). Die [[#Drehungen im dreidimensionalen Raum|2:1-Überlagerung]] liefert also einen [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]] der Spingruppe <math>\mathrm{Spin(3)}</math> in die [[w:de:Drehgruppe|Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Diese Überlagerung ist zweiblättrig und [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|universell]], da <math>\mathrm{Spin(3)}\cong\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> im Gegensatz zur <math>\mathrm{SO}(3)</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist. Die natürliche Operation von <math>\mathrm{SU}(2)</math> auf <math>\Complex^2</math> ist eine sog. [[w:de:Spinor|Spinor]]darstellung. Die aus der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] bekannten sog. [[w:de:Pauli-Matrizen|Pauli-Matrizen]] <math>\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3</math> stehen in einfacher Beziehung zu den drei Erzeugenden <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> der [[w:de:#Einheitsquaternion|<math>\mathrm{SU}(2)</math>]]. Das wird besonders deutlich in der Darstellung als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]]: : <math> \sigma_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm k,\quad \sigma_2 = \begin{bmatrix} 0 & -\mathrm i_\Complex\\ \mathrm i_\Complex & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm j,\quad \sigma_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm i </math>&nbsp;, dabei ist <math>\mathrm i_\Complex</math> die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen. Die Pauli-Matrizen haben −1 zur Determinante (sind also keine Quaternionen), sind [[w:de:spurfrei|spurfrei]] und [[w:de:Hermitesche Matrix|hermitesch]] und kommen daher in der Quantenmechanik als ''messbare Größen'' in Frage, was sich für die Anwendungen (s. [[w:de:mathematische Struktur der Quantenmechanik|mathematische Struktur der Quantenmechanik]]) als wichtig erwiesen hat. Einzelheiten sind im Artikel [[w:de:SU(2)|SU(2)]] dargestellt. === Orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes === Analog zum dreidimensionalen Fall kann man jede orientierungserhaltende orthogonale Abbildung von <math>\mathbb H</math> in sich selbst in der Form : <math>\rho_{a,b}\colon x\mapsto ax\bar b</math> für Einheitsquaternionen <math>a,b</math> beschreiben. Es gilt : <math>\rho_{a_1,b_1}\circ\rho_{a_2,b_2}=\rho_{a_1a_2,b_1b_2}\quad\text{und}\quad\rho_{\bar a,\bar b}=\rho_{a,b}^{-1}.</math> Diese Konstruktion liefert eine Überlagerung : <math>\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(4)</math> mit [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] <math>\{(1,1),(-1,-1)\}</math>. == Die endlichen Untergruppen == Der [[#2:1-Überlagerung|2:1-Überlagerungshomomorphismus]] : <math>\rho\colon q \mapsto \rho_q</math>, der einer Einheitsquaternion <math>q\in \mathbb{S}^3</math> die [[w:de:#Drehungen im dreidimensionalen Raum|3D-Drehung]] : <math> \begin{array}{rccc} \rho_q \colon & \operatorname{Im}\,\mathbb H & \to & \operatorname{Im}\,\mathbb H \\ & x & \mapsto & qx\bar q \end{array} </math> zuordnet, muss eine endliche Gruppe <math>Q</math> von Quaternionen in eine endliche Gruppe <math>\rho(Q):=\{\rho_q \mid q \in Q\}</math> überführen, die dann eine endliche Drehgruppe im <math>\R^3</math> ist. Man findet [[w:de:zyklische Gruppe|zyklische Gruppe]]n <math>\mathrm{C}_n</math> und [[w:de:Drehgruppe#Drehgruppen von Figuren|Polyedergruppen]], also die [[w:de:Diedergruppe|Diedergruppe]]n <math>\mathrm{D}_n</math> ([[w:de:Diedergruppe#Bezeichnungen|Zählweise]] der ''n''-Ecke), die [[w:de:A4 (Gruppe)|Tetraedergruppe]] <math>\mathrm{T}</math>, die [[w:de:Oktaedergruppe|Oktaedergruppe]] <math>\mathrm{O}</math> und die [[w:de:Ikosaedergruppe|Ikosaedergruppe]] <math>\mathrm{I}</math>. Die Erzeugenden der zyklischen Gruppen sind [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettungen]] von [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n <math>\exp(2\pi \mathrm i_\Complex/n)</math>.<ref>Wie im referenzierten Abschnitt und im Abschnitt [[w:de:#Automorphismen|#Automorphismen]] bemerkt, gibt es zu jedem fixen Dreibein <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k </math> sehr viele verschiedene Einbettungen dieser endlichen Untergruppen in <math>\mathbb{H}</math>.</ref> Die Urbilder der <math>\mathrm{D}_n</math>, <math>\mathrm{T}</math>, <math>\mathrm{O}</math>, <math>\mathrm{I}</math> unter <math>\rho</math> werden mit <math>\mathrm{2D}_n</math>, {{Anker|binäre_Tetraedergruppe}}<math>\mathrm{2T}</math>, {{Anker|binäre_Oktaedergruppe}}<math>\mathrm{2O}</math>, {{Anker|binäre_Ikosaedergruppe}}<math>\mathrm{2I}</math> bezeichnet und heißen ''binäre'' Diedergruppe etc. Für eine Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math> ist also <math>\mathrm{2P}:=\{q \mid \rho_q \in \mathrm{P} \}</math>.<ref>Diese Gruppen firmieren – besonders in der englischen Literatur – auch als binäre Erweiterung <math>\mathrm{2P}</math> der Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math>, und die binären Diedergruppen <math>\mathrm{2D}_n</math> zusätzlich als [[w:de:Quaternionengruppe#Dizyklische Gruppen und verallgemeinerte Quaternionengruppen|verallgemeinerte Quaternionengruppen]], auch als [[w:de:Dizyklische Gruppe|dizyklische Gruppen]], in Zeichen <math>\mathrm{Dic}_n</math>.</ref> Die endlichen Gruppen von Quaternionen sind demnach:<ref name="Conway" />{{rp| 3.5 The Finite Groups of Quaternions, S. 33}} <math>(2 \leq n \in \Z)</math> {| class="wikitable left" style="text-align:center;" |- | Gruppe || erzeugt<br /> von ||style="text-align:right"| Ordnung || [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] im <math>\R^2</math> bzw. <math>\R^4</math> |- | <math>\mathrm{C}_n</math> || <math>\langle e_n\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>n</math> || [[w:de:Polygon|reguläres ''n''-Eck]] |- | <math>\mathrm{2D}_n</math> || <math>\langle e_{2n},\mathrm j\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>4n</math> || <math>\{2n\} \Box \{2n\}</math>,<ref name="perf4polyt"> Gabor Gévay: [http://www.emis.ams.org/journals/BAG/vol.43/no.1/b43h1gev.pdf ''On Perfect 4-Polytopes''] (PDF; 211&nbsp;kB) Contributions to Algebra and Geometry Volume 43 (2002), No. 1, 243–259: gibt auf S. 256 die 4-Polytope »<math>\{2p\} \Box \{2p\}</math>« für die <math>\mathrm{2D}_p</math> bzw. auf S. 252 Table 2 das 4-Polytop »<math> \text{f}_{1,2}\text{F}_4</math>« für <math>\mathrm{2O}</math>.</ref> bei ''n''=2 zugleich: [[w:de:Hurwitzquaternion#Reguläres 16-Zell (Hexadekachor)|reguläres 16-Zell]] |- | <math>\mathrm{2T}</math> || <math>\langle \mathrm i,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>24</math> || [[w:de:Hurwitzquaternion#Reguläres 24-Zell (Ikositetrachor)|reguläres 24-Zell]] |- | <math>\mathrm{2O}</math> || <math>\langle q_O,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>48</math> || <math>\text{f}_{1,2}\text{F}_4</math><ref name="perf4polyt" /> = Dihektaoktokontaoktochor (288-Zell) |- | <math>\mathrm{2I}</math> || <math>\langle q_I,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>120</math> || reguläres 600-Zell |} mit : <math>e_n:=\exp(2\pi \mathrm i/n)</math>&nbsp;, &nbsp; <math>\omega: = \frac{-1+\mathrm i+\mathrm j+\mathrm k}2</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_O:=\frac{\mathrm j+\mathrm k}{\sqrt 2}</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_I: = \frac{2 \mathrm i+(\sqrt 5+1) \mathrm j+(\sqrt 5-1) \mathrm k}4</math>&nbsp;. Die zyklischen Gruppen <math>\mathrm{C}_n</math> sind in naheliegender Weise Untergruppen von anderen Gruppen. Die [[w:de:Quaternionengruppe|Quaternionengruppe]] <math>\mathrm{Q}_8</math> = <math>\mathrm{2D}_2</math> ist eine Untergruppe der binären Tetraedergruppe <math>\mathrm{2T}</math>. Die [[w:de:Quaternionengruppe#Automorphismen|Automorphismengruppe]] von <math>\mathrm{Q}_8</math> ist isomorph zur Oktaedergruppe <math>\mathrm{O} = \mathrm{Sym}_4</math> ([[w:de:Symmetrische Gruppe|Symmetrische Gruppe]]). Ihre Elemente sind ebenfalls Automorphismen von <math>\mathrm{2T}</math>, <math>\mathrm{2O}</math>, <math>\mathrm{2I}</math> und <math>\mathbb H</math>. Die konvexen Hüllen sind (bis auf die Fälle <math>\mathrm{C}_n</math>, bei denen man mit 2 Dimensionen auskommt) [[w:de:Polytop (Geometrie)|4-Polytope]] und haben, da alle Gruppenelemente von der Länge 1 sind, die [[w:de:Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> als [[w:de:Umkugel|Um-3-Sphäre]]. Die Ränder dieser 4-Polytope, also die Zellen, sind Ansammlungen von [[w:de:Tetraeder|Tetraeder]]n – bis auf den Fall <math>\mathrm{2T}</math>, bei dem es [[w:de:Oktaeder|Oktaeder]] sind. Bei den regulären unter den konvexen Hüllen ist es klar, dass die Zellen ebenfalls regulär und zueinander kongruent sind und es eine [[w:de:Inkugel|In-3-Sphäre]] gibt, die alle Zellen (an ihrem Mittelpunkt) berührt. Die übrigen, nämlich <math>\mathrm{2D}_n</math> und <math>\mathrm{2O}</math>, spannen sog. perfekte<ref name="perf4polyt" /> 4-Polytope auf. Hier sind die Zellen [[w:de:Disphenoid#tetragonales Disphenoid|tetragonale Disphenoide]], welche ebenfalls alle zueinander kongruent sind und an ihrem Mittelpunkt von der In-3-Sphäre berührt werden. == Automorphismen == Ein jeder Ring-[[w:de:Automorphismus|Automorphismus]] <math>\sigma</math> von <math>\mathbb H</math> ist ein [[w:de:Automorphismus#Innere Automorphismen|innerer]],<ref>[[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 24.</ref> d.&nbsp;h., es gibt eine Quaternion <math>q</math>, sodass <math>\sigma(x) = qxq^{-1}</math> für alle <math>x \in \mathbb{H}</math>. Daraus folgt: * Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\R</math> bleibt fest, d.&nbsp;h. <math>\sigma(\lambda)=\lambda</math> für alle <math>\lambda\in \R</math>. * Man kann sich auf die Einheitsquaternionen <math>q\in \mathbb{S}^3</math> beschränken. * Ein Automorphismus ändert nicht das [[w:de:#Skalarprodukt|Skalarprodukt]], d.&nbsp;h. <math>\sigma(x) \cdot \sigma(y) = x \cdot y</math>. * Die Automorphismen sind genau die [[w:de:Winkeltreue|winkel-]] und [[w:de:längentreue|längentreue]]n Drehungen von <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus dem Abschnitt [[w:de:#Drehungen im dreidimensionalen Raum|Drehungen im dreidimensionalen Raum]]. * Wegen der Längentreue sind die Automorphismen [[w:de:Stetige Funktion|stetig]], somit zusätzlich [[w:de:Homöomorphismus|topologisch]]. * <math>\mathbb{S}^3</math> hat das Zentrum <math>\{\pm 1\}</math>. Folglich ist die [[w:de:Automorphismengruppe|Automorphismengruppe]] <math>\operatorname{Aut}(\mathbb H) \cong \mathbb{S}^3/\{\pm 1\}</math>. Die [[w:de:#Konjugation|Konjugation]] als Spiegelung an der reellen Achse ist ''anti''homomorph in der Multiplikation, d.&nbsp;h. <math>\overline{x y}=\bar y \bar x</math>, und wird als [[w:de:Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]] bezeichnet, weil sie zudem eine [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]] ist. == Andere Konstruktionen == === Matrixdarstellungen === ==== Komplexe Matrizen ==== Im [[w:de:Matrizenring|Ring]] <math>\Complex^{2\times 2}</math> der [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] 2×2-[[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] bildet man den von den Elementen : <math>1_H := \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \mathrm i_H := \begin{bmatrix} \mathrm i_\Complex & 0 \\ 0 & -\mathrm i_\Complex \end{bmatrix},\quad \mathrm j_H := \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix},\quad \mathrm k_H := \begin{bmatrix} 0 & \mathrm i_\Complex \\ \mathrm i_\Complex & 0 \end{bmatrix}</math> erzeugten [[w:de:Unterring|Unterring]] <math>H</math>,<ref><math>H</math> ist ein <math>\R</math>-Vektorraum, der aber weder <math>\Complex^{2\times 2}</math>-[[w:de:Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] noch <math>\Complex</math>-Vektorraum ist, da &nbsp; <math>\mathrm i_\Complex \, 1_H \notin H</math>.</ref> wobei die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen als <math>\mathrm i_\Complex</math> kenntlich gemacht ist.<ref>Die Matrizen <math>\mathrm i_H,\mathrm j_H,\mathrm k_H</math> sind [[w:de:spurfrei|spurfrei]] und [[w:de:Schiefhermitesche Matrix|schiefhermitesch]].</ref> Eine Matrix : <math>x_0 \, 1_H+x_1\,\mathrm i_H+x_2\,\mathrm j_H+x_3\,\mathrm k_H=\begin{bmatrix}x_0+x_1\,\mathrm i_\Complex \quad &x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex\\-x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex \quad &x_0-x_1\,\mathrm i_\Complex\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}w&z\\-\overline z&\overline w\end{bmatrix}</math> mit reellen <math>x_0,x_1,x_2,x_3</math> und komplexen <math>w:=x_0+x_1\mathrm i_\Complex,z:=x_2+x_3\mathrm i_\Complex</math> hat die [[w:de:Determinante|Determinante]] <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=|w|^2+|z|^2</math>, die nur dann 0 ist, wenn <math>(w,z)=(0,0)</math>. Somit sind alle von der [[w:de:Nullmatrix|Nullmatrix]] verschiedenen Matrizen [[w:de:Invertierbare Matrix|invertierbar]] – und der Ring <math>H</math> ist ein [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]].<ref>Nur Matrixringe der Dimensionen 1, 2 und 4 über <math>\R</math> sind [[w:de:nullteilerfrei|nullteilerfrei]] (siehe auch [[w:de:#Die Quaternionen als Algebra|#Die Quaternionen als Algebra]]).</ref> Der so konstruierte Schiefkörper erweist sich als [[w:de:isomorph|isomorph]] zu den Quaternionen. Denn die Abbildung <math>\mathbb H \to H</math> mit den Zuordnungen : <math>1 \mapsto 1_H,\quad \mathrm i \mapsto \mathrm i_H,\quad \mathrm j \mapsto \mathrm j_H,\quad \mathrm k \mapsto \mathrm k_H</math> ist [[w:de:homomorph|homomorph]] in den Verknüpfungen Addition und Multiplikation, wobei letztere der [[w:de:Matrizenmultiplikation|Matrizenmultiplikation]] zuzuordnen ist. Die konjugierte Quaternion geht auf die [[w:de:adjungierte Matrix|adjungierte Matrix]] und die [[w:de:#Norm|Norm]] auf die [[w:de:Determinante|Determinante]]. Darüber hinaus ist die Abbildung [[w:de:Injektivität|injektiv]] und stetig, also [[w:de:Homöomorphismus|topologisch]]. Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Einbettung <math>\mathbb H \to H</math>, die alle zueinander [[w:de:Konjugation (Gruppentheorie)|konjugiert]] und [[w:de:Homöomorphismus|homöomorph]] sind.<ref>Diese Möglichkeiten entsprechen der Vorschaltung eines [[w:de:#Automorphismen|Automorphismus]].</ref> ==== Reelle Matrizen ==== Ganz analog kann man die Quaternion <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> auch als reelle 4×4-Matrix : <math>\begin{bmatrix}\begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ -x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ -x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ -x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array}\end{bmatrix}</math> : <math>= x_0 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_1 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_2 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_3 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] </math> schreiben. Die Konjugation der Quaternion entspricht der [[w:de:Transponierte Matrix|Transposition der Matrix]] und der Betrag der vierten Wurzel aus der Determinante. Das Modell der reellen Matrizen ist bspw. dann vorteilhaft, wenn man eine Software für [[w:de:lineare Algebra|lineare Algebra]] mit Schwächen bei den komplexen Zahlen hat. === Quotientenalgebra === Eine elegante, aber zugleich abstrakte Konstruktion stellt der Weg über den [[w:de:Faktorring|Quotienten]] des [[w:de:Nichtkommutativer Polynomring|nichtkommutativen Polynomrings]] in drei [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n dar, deren Bilder <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> sind, modulo dem Ideal, das von den Hamilton-Regeln erzeugt wird. Alternativ kommt man auch mit nur zwei Unbestimmten aus. Auf diese Weise ergibt sich die Quaternionen-Algebra als [[w:de:Clifford-Algebra|Clifford-Algebra]] der zweidimensionalen, euklidischen Ebene mit Erzeugern <math>\mathrm i \mapsto e_1,\, \mathrm j \mapsto e_2,\, \mathrm k=\mathrm {ij} \mapsto e_1e_2</math>. Im Zusammenhang mit dreidimensionalen Drehungen ist auch die Interpretation als der gerade Anteil der Clifford-Algebra des dreidimensionalen, euklidischen Raumes wichtig. Die Erzeuger werden dann mit <math>\mathrm i \mapsto e_2e_3,\, \mathrm j \mapsto e_3e_1,\,\mathrm k \mapsto e_1e_2</math> identifiziert. == Die Quaternionen als Algebra == Es gibt bis auf Isomorphie genau vier [[w:de:Dimension (Mathematik)|endlichdimensionale]] <math>\R</math>-[[w:de:Algebra über einem Körper|Algebren]], deren Multiplikation ohne [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] ist, nämlich den Körper <math>\R</math> der reellen Zahlen selbst, den Körper <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen, den Schiefkörper <math>\mathbb H</math> der Quaternionen und den [[w:de:Alternativkörper|Alternativkörper]] <math>\mathbb O</math> der Cayleyschen [[w:de:Oktave (Mathematik)|Oktaven]].<ref>[[w:de:Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)|Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)]], Korollar 6.8 in Kapitel IX von Hungerford: Algebra (Springer 1974).</ref><ref>[[w:de:Divisionsalgebra#Sätze über reelle Divisionsalgebren|Satz von Hurwitz (normierte Divisionsalgebren)]].</ref><ref>Satz von [[w:de:Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Pontrjagin]] (1931) in [[w:de:#Pontrjagin|Pontrjagin]]: Jeder [[w:de:lokalkompakt|lokalkompakt]]e, [[w:de:zusammenhängend|zusammenhängend]]e topologische Schiefkörper ist entweder der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen oder der Schiefkörper der Quaternionen.</ref> Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H</math> ist <math>\R</math>; die Quaternionen sind also eine [[w:de:zentraleinfache Algebra|zentraleinfache Algebra]] über <math>\R</math>. [[w:de:Reduzierte|Reduzierte]] [[w:de:Norm (Körpererweiterung)|Norm]] und [[w:de:Spur (Mathematik)|Spur]] sind durch : <math>\mathrm{Nrd}(x)=|x|^2 = x \bar x = \bar x x = \langle x,x \rangle</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; bzw. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\mathrm{Trd}(x)=2\cdot\operatorname{Re}\,x</math> gegeben. Beim [[w:de:Tensorprodukt#Erweiterung der Skalare|Basiswechsel]] von <math>\R</math> zum algebraischen Abschluss <math>\Complex</math> werden die Quaternionen zu einer Matrizenalgebra: : <math>\mathbb H\otimes_{\R}\Complex\cong M_2(\Complex).</math> Die komplexe Konjugation auf dem Faktor <math>\Complex</math> des [[w:de:Tensorprodukt|Tensorprodukt]]es entspricht einer [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]] <math>v</math> der Matrizenalgebra. Die Invarianten von <math>v</math>, d.&nbsp;s. die von <math>v</math> fix gelassenen Elemente <math>x</math> mit <math>v(x)=x</math>, bilden eine zu <math>\mathbb H</math> isomorphe Algebra. Zur oben angegebenen Matrixdarstellung der Quaternionen als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] passt die Involution : <math>v(x):= \epsilon\bar x \epsilon^{-1}</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\epsilon:=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}</math>&nbsp;. Die Tatsache, dass die [[w:de:Brauergruppe|Brauergruppe]] von <math>\R</math> nur aus zwei Elementen besteht, spiegelt sich auch darin wider, dass : <math>\mathbb H\otimes_{\R}\mathbb H\cong M_4(\R)</math> ist. Allgemein bezeichnet man jede vierdimensionale [[w:de:zentraleinfache Algebra|zentraleinfache Algebra]] über einem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] als eine [[w:de:Quaternionenalgebra|Quaternionenalgebra]]. Die Quaternionen sind die [[w:de:Clifford-Algebra|Clifford-Algebra]] zum Raum <math>\R^2</math> mit einer [[w:de:Definitheit|negativ-definiten]] symmetrischen [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]]. == Andere Grundkörper == === Quaternionen über den rationalen Zahlen === Bei allen [[w:de:#Konstruktion|obigen]] Arten der Konstruktion spielt die [[w:de:Vollständiger Raum|Vollständigkeit]] des Koeffizientenvorrats keine Rolle. Deshalb kann man (anstatt von den [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R \, </math> über <math>\Complex = \R( \mathrm i ) \, </math> zu <math>\mathbb H \, </math>) auch von anderen Grundkörpern, z.&nbsp;B. den [[w:de:Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\Q \, </math>, ausgehen, um via [[w:de:gaußsche Zahl|gaußscher Zahlen]] <math>\Q( \mathrm i ) \, </math> bei den '''Quaternionen mit rationalen Koeffizienten''' : <math>G := \{ x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k \; \mid \; x_0,x_1,x_2,x_3 \in \Q \} \, </math> anzukommen mit formal denselben Rechenregeln. Danach kann, falls überhaupt erforderlich, die [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] für die [[w:de:#Norm und Betrag|Betrags]][[w:de:Metrischer Raum|metrik]] durchgeführt werden mit einem Endergebnis isomorph zu <math>\mathbb H</math>. Insofern können bei vielen Aussagen <math>\R</math> durch <math>\Q</math>, <math>\Complex</math> durch <math>\Q( \mathrm i )</math> und <math>\mathbb H</math> durch <math>G</math> ersetzt werden. Da es nach dem [[w:de:Satz von Wedderburn|Satz von Wedderburn]] keinen endlichen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] mit nicht-[[w:de:Kommutativität|kommutativer]] [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] gibt und die [[w:de:Dimension (Mathematik)|Dimension]] des [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]s <math>G</math> über seinem [[w:de:Primkörper|Primkörper]] und [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\Q</math> mit <math>2^2=4</math> minimal ist, gehört <math>G</math> als [[w:de:Abzählbarkeit|abzählbare]] Menge zu den „kleinsten“ Schiefkörpern mit nicht-kommutativer Multiplikation&nbsp;– auf jeden Fall enthält <math>G</math> keinen kleineren. Der Schiefkörper <math>G</math> besitzt einen sogenannten [[w:de:Ganzheitsring|Ganzheitsring]], d.&nbsp;h. eine [[w:de:Untermenge|Untermenge]] von Zahlen, genannt [[w:de:Hurwitzquaternion|Hurwitzquaternion]]en, die einen Ring bilden und <math>G</math> zum [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] haben, ganz ähnlich, wie es sich bei den ganzen Zahlen <math>\Z</math> und ihrem Quotientenkörper <math>\Q</math> verhält. In einem solchen Ring lassen sich bspw. [[w:de:Gitter (Mathematik)|Approximationsfragen]], [[w:de:Teilbarkeit|Teilbarkeit]]sfragen u.&nbsp;Ä. untersuchen. {{Hauptartikel|Hurwitzquaternion}} === Weitere Grundkörper === Auch Körper <math>K \ncong \Q \, </math> eignen sich als Ausgangspunkt zur Bildung nicht-kommutativer Erweiterungskörper nach Art der Quaternionen. Wichtig ist, dass in <math>K \, </math> die Summe aus vier Quadraten <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 \, </math> nur für <math>x_0=x_1=x_2=x_3=0 \, </math> verschwindet. Dann gibt es auch kein <math>\mathrm i \in K \, </math> mit <math>\mathrm i^2 + 1 = 0 \, </math> und <math>K( \mathrm i ) \, </math> ist eine echte quadratische [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterung]], die eine Konjugation definiert. Diese Bedingungen sind z.&nbsp;B. bei allen [[w:de:Geordneter Körper#Formal reelle Körper|formal reellen Körpern]] erfüllt. Aber auch bei Körpern, die nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden können, kann die obige Bedingung betreffend die Summe aus vier Quadraten erfüllt sein, bspw. im Körper <math>\Q_2</math> der [[w:de:p-adische Zahl|2-adischen Zahlen]]. Der so über <math>\Q_2</math> gebildete Quaternionenkörper ist isomorph zur Vervollständigung des (oben beschriebenen) Körpers <math>G</math> der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten für die folgende (nichtarchimedische diskrete) Bewertung <math>v</math>&nbsp;, dem [[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|2-Exponenten]] der Norm, : <math> \begin{array}{rccccc} v \colon & G^* & \xrightarrow{\operatorname{Norm}} & \Q^* & \xrightarrow{v_2} & \Z \\ & x & \mapsto & x \bar x & \mapsto & v_2(x \bar x) \end{array} </math> mit <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = 2^n m, n\in\Z, m\in\Q^*, 2\nmid m, 2\nmid m^{-1}</math>&nbsp;. Die Primzahl <math>p=2</math> ist die einzige, für die die [[w:de:Quaternionen-Algebra|Quaternionen-Algebra]] über <math>\Q_p</math> [[w:de:nullteilerfrei|nullteilerfrei]] und ein Schiefkörper ist. == Anwendungen == === Eulerscher Vier-Quadrate-Satz === Die Identität, die aus dem Produkt zweier ''Summen von vier Quadraten'' : <math>(x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_0^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2)</math> {| |- |style="width:3em;"| || <math>=(x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_1 + x_1y_0+ x_2y_3- x_3y_2)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_2- x_1y_3 + x_2y_0+ x_3y_1)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_3+ x_1y_2- x_2y_1 + x_3y_0)^2</math> |} wieder eine ''Summe von vier Quadraten'' macht, gilt universell&nbsp;– einschließlich aller Varianten, die durch Vorzeichenspiel und [[w:de:Permutation|Permutation]] entstehen&nbsp;– in jedem [[w:de:Polynomring|Polynomring]] <math> R[x_0,x_1,x_2,x_3,y_0,y_1,y_2,y_3] </math> über einem kommutativen unitären Ring <math> R </math> und kann im Nachhinein als „Abfallprodukt“ der Multiplikativität des [[w:de:#Betrag|quaternionischen Betrags]] angesehen werden. Ihre Entdeckung 1748, also lange ''vor'' der Quaternionenzeit, geht jedoch auf [[w:de:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] zurück, der mit ihrer Hilfe den 1770 erstmals erbrachten Beweis von [[w:de:Joseph-Louis Lagrange|Joseph-Louis Lagrange]] für den lange vermuteten [[w:de:Vier-Quadrate-Satz#Beweisskizze|Vier-Quadrate-Satz]] wesentlich vereinfachen konnte. (Anmerkung: Die algebraisch beweisbaren bilinearen 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten sind die Grundlagen der Kompositionsalgebren, nämlich der komplexen Zahlen, der Quaternionen, und der Oktonionen. Diese letzteren sind sozusagen die „Quadratwurzeln“ aus den ersteren. Alles, was somit korrekt mit Quaternionen berechnet wird, steht bocksteif auf elementaren algebraischen Identitäten. Wie Adolf Hurwitz 1898 bewies,<ref>{{Internetquelle |autor=[[w:de:Adolf Hurwitz|Adolf Hurwitz]] |url=https://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457811_1898 |titel=Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln |datum=1898-07-09 |seiten=309–316 |werk=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse (1898), Heft 3 |abruf=2023-01-23}}</ref> gibt es außer den erwähnten 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten keine weiteren bilinearen ''n''-Quadrate-Identitäten mehr.) === Informatik und Ingenieurwissenschaften === Die Darstellung von Drehungen mithilfe von Quaternionen wird im Bereich der interaktiven [[w:de:Computergrafik|Computergrafik]] genutzt, insbesondere bei [[w:de:Computerspiel|Computerspiel]]en, sowie bei der Steuerung von [[w:de:Satellit (Raumfahrt)|Satelliten]]. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrizen]] werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere wenn viele [[w:de:Drehung|Drehung]]en miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit. Des Weiteren werden Quaternionen, neben den [[w:de:Eulerwinkel|Eulerwinkel]]n, zur Programmierung von [[w:de:Industrieroboter|Industrieroboter]]n (z.&nbsp;B. [[w:de:ABB (Unternehmen)|ABB]]) genutzt. == Geschichte == [[Datei:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|mini|Gedenktafel an der Broom Bridge in Dublin, wo [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]] die Multiplikationsregeln im Oktober 1843 spontan in den Stein ritzte.]] [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]] hatte 1835 die Konstruktion der komplexen Zahlen als [[w:de:Geordnetes Paar|Zahlenpaare]] angegeben. Dadurch motiviert, suchte er lange nach einer entsprechenden Struktur auf dem Raum <math>\R^3</math> der Zahlentripel; heute weiß man, dass keine derartige Struktur existiert. 1843 schließlich gelangte er zu der Erkenntnis, dass es möglich ist, eine Multiplikation auf der Menge der 4-[[w:de:Tupel|Tupel]] zu konstruieren, wenn man dazu bereit ist, die [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativität]] aufzugeben. In einem Brief an seinen Sohn gibt er als Datum den 16. Oktober 1843 an und berichtet, er habe sich spontan dazu hinreißen lassen, die Multiplikationsregeln in einen Stein an der Brougham Bridge (heute Broombridge Road) in [[w:de:Dublin|Dublin]] zu ritzen; später wurde dort eine Gedenktafel angebracht. Die Rechenregeln für Quaternionen waren in Ansätzen schon früher bekannt, so findet sich die Formel für den [[w:de:Vier-Quadrate-Satz|Vier-Quadrate-Satz]] bereits bei [[w:de:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1748). Andere, auch allgemeinere Multiplikationsregeln wurden von [[w:de:Hermann Graßmann|Hermann Graßmann]] untersucht (1855). Schon kurz nach der Entdeckung der Quaternionen fand Hamilton die Darstellung von Drehungen des Raumes mithilfe von Quaternionen und damit eine erste Bestätigung der Bedeutung der neuen Struktur; [[w:de:Arthur Cayley|Arthur Cayley]] entdeckte 1855 die entsprechenden Aussagen über orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes. Die bloße Parametrisierung der <math>3\times3</math>-Drehmatrizen war hingegen schon Euler bekannt. Cayley gab 1858 in der Arbeit, in der er Matrizen einführte, auch die Möglichkeit der Darstellung von Quaternionen durch komplexe <math>2\times2</math>-Matrizen an. Hamilton widmete sich fortan ausschließlich dem Studium der Quaternionen; sie wurden in Dublin ein eigenes Examensfach. In seiner Nachfolge wurde 1895 sogar ein „Weltbund zur Förderung der Quaternionen“ gegründet. Der deutsche Mathematiker [[w:de:Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] schreibt rückblickend über diese anfängliche Euphorie: {{Zitat |Text=Wie ich schon andeutete, schloß sich Hamilton eine Schule an, die ihren Meister an Starrheit und Intoleranz noch überbot. […] Die Quaternionen sind gut und brauchbar an ihrem Platze; sie reichen aber in ihrer Bedeutung an die gewöhnlichen komplexen Zahlen nicht heran. […] Die Leichtigkeit und Eleganz, mit der sich hier die weittragendsten Theoreme ergeben, ist in der Tat überraschend, und es läßt sich wohl von hier aus die alles andere ablehnende Begeisterung der Quaternionisten für ihr System begreifen, die […] nun bald über vernünftige Grenzen hinauswuchs, in einer weder der Mathematik als Ganzem noch der Quaternionentheorie selbst förderlichen Weise. […] Die Verfolgung des angegebenen Weges – der neu sein will, obwohl er tatsächlich nur eine peinlich genaue Übertragung längst bekannter Gedanken auf ein einziges neues Objekt, also durchaus keine geniale Konzeption bedeutet&nbsp;– führt zu allerhand Erweiterungen der bekannten Sätze, die in ihrer Allgemeinheit das Hauptcharakteristikum verlieren und gegenstandslos werden, allenfalls zu Besonderheiten, die ein gewisses Vergnügen gewähren mögen. |Autor=Felix Klein |Quelle=Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert |ref=<ref>{{Literatur |Autor=Felix Klein |Titel=Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert |Band=Teil&nbsp;I. |Verlag=Verlag von Julius Springer |Ort=Berlin |Datum=1926 |Seiten=184 ff}}</ref>}} == Verwandte Themen == Ähnliche Konstruktionen wie die Quaternionen werden manchmal unter dem Begriff „[[w:de:hyperkomplexe Zahl|hyperkomplexe Zahl]]en“ zusammengefasst. Beispielsweise sind die ''Cayley-Zahlen'' oder ''[[w:de:Oktave (Mathematik)|Oktaven]]'' ein achtdimensionales Analogon zu den Quaternionen; ihre Multiplikation ist allerdings weder kommutativ noch assoziativ. == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Quaternion'' werden == Beispiel == Als einführendes Beispiel zum Thema ''Quaternion'' dient dabei == Literatur/Quellennachweise == <references/> === Weblinks === {{Commonscat|Quaternions|Quaternion}} * [https://world.std.com/~sweetser/quaternions/ps/book.pdf Doing Physics with Quaternions] (PDF; 563&nbsp;kB) * {{Anker|Lam}} [[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009 * [http://www.grundstudium.info/animation/node17.php Quaternionen in der Computeranimation] * [https://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node24.html Der Ort der Entdeckung der Quaternionen (mit Bildern)] === Literatur - Mathematik === * Jens Carsten Jantzen, [[w:de:Joachim Schwermer|Joachim Schwermer]]: ''Algebra''. Springer, 2006, ISBN 3-540-21380-5, [[doi:10.1007/3-540-29287-X]] * [[w:de:Serge Lang|Serge Lang]]: ''Algebra''. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X * [[w:de:Max Koecher|Max Koecher]], [[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]]: ''Hamiltonsche Quaternionen''. In: H.-D. Ebbinghaus et al.: ''Zahlen''. Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-12666-X * {{Anker|Conway}} [[w:de:John Horton Conway|John H. Conway]], Derek A. Smith: ''On Quaternions and Octonions''. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch) * Jack B. Kuipers: ''Quaternions and Rotation Sequences''. Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (englisch) * W. Bolton: ''Complex Numbers (Mathematics for Engineers)''. Addison-Wesley, 1996, ISBN 0-582-23741-6 (englisch) * Andrew J. Hanson: ''Visualizing Quaternions''. Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0-12-088400-3 (englisch) * {{Anker|Pontrjagin}} [[w:de:Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Lew Semjonowitsch Pontrjagin]]: ''Verallgemeinerungen der Zahlen''. Verlag Harri Deutsch, 1995 * {{Anker|Eilenberg-Niven}} S. Eilenberg, I. Niven: ''The „fundamental theorem of algebra“ for quaternions''. In: ''Bull. Amer. Soc.'', 50, 1944, S. 246–248 * {{Anker|Hölder}} Hölder: [[s:Bemerkung zur Quaternionentheorie|Bemerkung zur Quaternionentheorie]] ([[w:de:Wikisource|Wikisource]]) == Siehe auch == * [[Komplexe Zahl]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[3D-Modellierung]] * [[Wiki2Reveal]] * [[w:de:Quaternion|Quaternion]] * [[Open Educational Resources]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Wikipedia%20Authors Wikipedia Authors]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion Quaternion] https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion * Datum: 7.8.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity {{Normdaten|TYP=s|GND=4176653-2|LCCN=sh/85/109754|NDL=00570899}} [[Kategorie:Zahl]] [[Kategorie:Verallgemeinerter Körper]] [[Kategorie:Ringtheorie]] [[Category:Wiki2Reveal]] asgl89bry58czk3nbmddk684hh1gzw1 1117382 1117381 2026-10-22T13:07:46Z Bert Niehaus 20843 /* Analysis */ 1117382 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Quaternion'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Erweiterung eines Körpers und die algebraischen Eigenschaften * (2) Bezüge zu geometrischen Transformationen und 3D-Modellierung * (3) Quaternionen <math>\mathbb{H}</math> als 4-dimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Quaternionen'' in der Wikiversity hat das Ziel, die algebraischen und geometrischen Eigenschaften zu behandelt == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Quaternion'' sind * Studierende im Fach Mathematik (Algebra) * Studierende im Fach Informatik (Computergraphik) == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Quaternion'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''(Komplexe Zahl)''' Quaternionen als Erweiterung der komplexen Zahlen * '''(Gruppe)''' Die Einheiten der Quaternionen bilden eine nicht-kommuntative multiplikative Gruppe. == Einführung == Die '''Quaternionen''' (Singular ''die'' oder ''das Quaternion'', von {{laS|quaternio, -ionis}} [[w:de:Genus#Das Genussystem der deutschen Sprache|m.]] „Vierheit“) sind ein Zahlenbereich, der den Zahlenbereich der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] erweitert – ähnlich den [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]];<ref name="Beutelspacher-LA-7-30">{{Literatur |Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]] |Titel=Lineare Algebra |Auflage=7. |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=2010 |ISBN=978-3-528-66508-1 |Seiten=30}}</ref> sie werden deshalb auch ''hamiltonsche Quaternionen'' oder '''Hamilton-Zahlen''' genannt. [[w:de:Olinde Rodrigues|Olinde Rodrigues]] entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton.<ref>Bei Gauß findet sich eine Notiz über die Multiplikation und Konjugation von Quadrupeln im Kapitel ''Mutation des Raumes''. In: [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]]: ''Werke''. Achter Band. König. Gesell. Wissen., Göttingen 1900, S. 357–361, die auf das Jahr 1819 datiert wird. Die Unterschiede zu Hamilton gehen nicht über notationelle Konventionen hinaus (Zitiert nach [[w:de:#Lam|Lam]] S. 25).</ref> Trotzdem wird die [[w:de:Menge (Mathematik)|Menge]] der Quaternionen meistens mit <math>\mathbb H</math> bezeichnet. === Quaternionen als Schiefkörper === Die Quaternionen bilden einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation auch von der ''Reihenfolge'' der Faktoren abhängt, also ''nicht'' [[w:de:Kommutativgesetz|kommutativ]] ist. Das heißt, es gibt Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math>, bei denen : <math>x y \;\; \neq \;\; y x</math> ist. === Vergleich mit Rechenregeln in den reellen Zahlen === Einige aus dem [[w:de:Reelle Zahl|Reellen]] bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch gelten [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativ-]] und [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] sowie [[w:de:Ring (Algebra)#Invertierbarkeit, Einheit|multiplikative Invertierbarkeit]], d.&nbsp;h. die [[w:de:Körper (Algebra)|Existenz des Inversen]] <math>x^{-1}</math> zu jedem <math>x\neq 0</math>. Die Quaternionen waren das erste Beispiel eines nichtkommutativen Schiefkörpers.<ref>[[w:de:#Lam|Lam]] S. 1</ref> === Quaternionen im 3D-Raum === Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen sowie zur Auswertung [[w:de:Textur (Kristallographie)|kristallographischer Texturen]].<ref name="Lunze">{{cite journal |author=Karsten Kunze, Helmut Schaeben |title=The Bingham Distribution of Quaternions und Its Spherical Radon Transform in Texture Analysis |journal=Mathematical Geology |month=11 |year=2004 |volume=8 |pages=917–943 |doi=10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59 |language=en}}</ref> Sie sind aber auch als eigenständiges [[w:de:mathematisches Objekt|mathematisches Objekt]] von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des [[w:de:Vier-Quadrate-Satz|Vier-Quadrate-Satz]]es. == Konstruktion == Die Quaternionen entstehen aus den reellen Zahlen durch Hinzufügen ([[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]]) dreier neuer Zahlen, denen in Anlehnung an die komplex-imaginäre Einheit die Namen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> gegeben werden. So ergibt sich ein vierdimensionales Zahlensystem (mathematisch ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]) mit einem ''Realteil'', der aus ''einer'' reellen [[w:de:Matrix (Mathematik)#Elemente der Matrix|Komponente]] besteht, und einem ''Imaginärteil'' aus ''drei'' Komponenten, der auch Vektorteil genannt wird. Alle Quaternionen lassen sich eindeutig in der Form : <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> mit reellen Zahlen <math>x_0</math>, <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math> schreiben. Damit bilden die Elemente <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> eine [[w:de:Basis (Vektorraum)|Basis]], die Standardbasis der Quaternionen über <math>\R</math>. Die Addition erfolgt komponentenweise und wird vom Vektorraum geerbt. Multiplikativ werden die neuen Zahlen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math>, <math>\mathrm k</math> gemäß den ''Hamilton-Regeln'' {{Anker|Hamilton-Regeln}} : <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}=-1</math> verknüpft. Die [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]] <math>\R \times \mathbb H \to \mathbb H \, </math>, die ebenfalls vom Vektorraum geerbt wird<ref>Sie ist nicht mit dem [[w:de:#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] zu verwechseln.</ref> und bei der die Skalare als mit jedem Element vertauschbar angesehen werden, zusammen mit der Addition, dem [[w:de:Distributivgesetz#Formale Definition|Rechtsdistributivgesetz]] und den Hamilton-Regeln erlauben es, die Multiplikation von der Basis auf alle Quaternionen zu erweitern. Da so auch jeder Skalar <math>\lambda \in \R</math> als <math>\lambda+0\mathrm i+0\mathrm j+0\mathrm k</math> in <math>\mathbb H</math> eingebettet wird, kann <math>\R</math> als [[w:de:Unterring|Unterring]] von <math>\mathbb H</math> aufgefasst werden. Die so definierte Multiplikation ist [[w:de:Assoziativgesetz|assoziativ]], erfüllt die beiden [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]]e<ref>Wegen der fehlenden Kommutativität in der Multiplikation können die beiden Distributivgesetze nicht automatisch auf eines reduziert werden.</ref> und macht so die Quaternionen zu einem [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]]. Sie ist allerdings nicht [[w:de:Kommutativgesetz|kommutativ]], d.&nbsp;h., für zwei Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math> sind die beiden Produkte <math>x y</math> und <math> y x</math> im Allgemeinen verschieden (s.&nbsp;u.). Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H^\times</math>, also die Menge derjenigen Elemente der multiplikativen Gruppe von <math>\mathbb H</math>, die mit allen Elementen kommutieren, ist <math>\R^\times</math>. Die Quaternionen bilden einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] (Divisionsring), da es zu jeder Quaternion <math>x\ne0</math> eine [[w:de:#Inverses und Division|inverse Quaternion]] <math>x^{-1}</math> gibt mit : <math>x x^{-1}=x^{-1} x=1</math>&nbsp;. Wegen der fehlenden Kommutativität werden Notationen mit Bruchstrich, wie z.&nbsp;B. <math>\tfrac{y}x</math>, vermieden. Des Weiteren sind die Quaternionen eine [[w:de:Dimension (Mathematik)|vierdimensionale]] [[w:de:Divisionsalgebra|Divisionsalgebra]] über <math>\R</math> – und bis auf [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] die einzige. == Schreibweise == Im weiteren Text werden folgende Schreibweisen benutzt: Ist <math>x</math> eine Quaternion, dann werden ihre reellen Komponenten mit <math>x_0, x_1, x_2, x_3</math> bezeichnet, und diese sind der Basis <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> folgendermaßen zugeordnet: : <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k .</math> Gelegentlich wird eine vektorielle Schreibweise benötigt. Dabei werden bspw. die Komponenten <math>(x_1,x_2,x_3)</math> zu einem 3-dimensionalen Vektor <math>\vec x</math> zusammengefasst, sodass man <math>x</math> mit dem 4-dimensionalen Vektor <math>(x_0, \vec x) = (x_0, x_1, x_2, x_3)</math> identifizieren kann.<ref>NB: <math>\vec x</math> wird bei Bedarf auch als Spaltenvektor eingesetzt.</ref> Analoge Abmachungen sollen für andere Buchstaben wie <math>y</math> etc. gelten. In manch älterer Literatur wurden Quaternionen mit großen [[w:de:Fraktur (Schrift)|Frakturbuchstaben]] und die imaginären Einheiten als ''Einheitsvektoren'' mit kleinen <math>\mathfrak{e}_n</math> in Fraktur bezeichnet, z.&nbsp;B. so: : <math>\mathfrak{X} = x_0 + \mathfrak{e}_1 x_1 + \mathfrak{e}_2 x_2 + \mathfrak{e}_3 x_3 = \sum_{j=0}^3 \mathfrak{e}_j x_j</math> mit <math>\mathfrak{e}_0 = 1</math>. Komplexe Zahlen tragen meist den Namen <math>z</math> und haben die reellen Komponenten <math>\xi</math>, <math>\eta</math>. == Grundrechenarten == Die Konstruktion der Quaternionen ist der der komplexen Zahlen analog, allerdings wird nicht nur eine neue Zahl hinzugefügt, sondern derer drei, die mit <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> bezeichnet werden. Die [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]]en : <math>x_0\mathrm 1+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> über der Basis <math>\{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math> spannen mit reellen Komponenten <math>x_i</math> den 4-dimensionalen Vektorraum der Quaternionen <math>\mathbb H</math> auf. Als Vektorraum ist <math>\mathbb H</math> isomorph zu <math>\R^4</math>. Das Basiselement <math>\mathrm 1</math>, das die reellen Zahlen [[w:de:Injektivität|injektiv]] einbettet (und zugleich das neutrale Element der Multiplikation darstellt), wird in der Linearkombination meist weggelassen. Die Addition und Subtraktion geschieht komponentenweise. Vom Vektorraum wird auch die [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]] übernommen, also die linke und rechte Multiplikation mit einer reellen Zahl, die distributiv zu jeder Komponente multipliziert wird. Diese Skalarmultiplikation ist eine [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] der Hamilton-Multiplikation, die auf ganz <math>\mathbb H</math> definiert ist. Die Hamilton-Multiplikation der Basiselemente untereinander oder etwas umfassender innerhalb der Menge : <math>\mathrm{Q}_8 := \{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k, -\mathrm 1,-\mathrm i,-\mathrm j,-\mathrm k\}</math> geschieht nach den Hamilton-Regeln {| |- |style="width: 25em;"| * <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=-1</math> | <math>(1)</math> |- | * <math>\mathrm i\mathrm j=+\mathrm k,\quad \mathrm j\mathrm k=+\mathrm i,\quad \mathrm k\mathrm i=+\mathrm j</math> | <math>(2)</math> |- | * <math>\mathrm j\mathrm i=-\mathrm k,\quad \mathrm k\mathrm j=-\mathrm i,\quad \mathrm i\mathrm k=-\mathrm j</math> | <math>(\bar 2)</math>. |} Diese Regeln zusammen mit der Vertauschbarkeit von <math>\pm1</math> mit jedem anderen Element geben eine vollständige Tafel für eine Verknüpfung vor, die sich als [[w:de:Assoziativgesetz|assoziativ]] erweist und <math>\mathrm{Q}_8</math> zu einer [[w:de:Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] macht – der [[w:de:Quaternionengruppe|Quaternionengruppe]]. Unter Voraussetzung der Regel <math>(1)</math> (und der Gruppenaxiome) ist die Kombination aus <math>(2)</math> und <math>(\bar 2)</math>, in der das zyklische und antizyklische Verhalten der drei nicht-reellen Quaternionen-Einheiten zum Ausdruck kommt, ersetzbar durch die Einzelregel {| |- |style="width: 25em;"| * <math>\mathrm i\mathrm j\mathrm k=-1</math> | <math>(3)</math>. |} Diese Einzelregel <math>(3)</math> könnte auch durch jede der fünf alternativen Einzelregeln <math>\mathrm j\mathrm k\mathrm i=-1</math>, <math>\mathrm k\mathrm i\mathrm j=-1</math>, <math>\mathrm k\mathrm j\mathrm i=1</math>, <math>\mathrm j\mathrm i\mathrm k=1</math> oder <math>\mathrm i\mathrm k\mathrm j=1</math> ersetzt werden. Mithilfe dieser Ersetzungsregeln, des [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]]es und (linken sowie rechten) [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]]es lässt sich die Multiplikation auf ganz <math>\mathbb H</math> fortsetzen. Die <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> kann man wie [[w:de:Kommutativgesetz#Antikommutativität|''anti-kommutierende'']] Variablen behandeln. Treten Produkte von zweien von ihnen auf, so darf man sie nach den Hamilton-Regeln ersetzen. Die ausgearbeiteten Formeln für die zwei Verknüpfungen von zwei Quaternionen : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> &nbsp; und &nbsp; <math>y=y_0+y_1\mathrm i+y_2 \mathrm j+y_3\mathrm k</math> lauten :<math>\begin{alignat}{2} x+y & = (x_0+y_0)+(x_1+y_1)\mathrm i+(x_2+y_2)\mathrm j+(x_3+y_3)\mathrm k &\quad& \text{(Addition)} \end{alignat}</math> bzw. :<math>\begin{alignat}{2} x\;y & = (x_0 y_0 - x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3) &\quad& \text{(Multiplikation)}\\ & \quad + (x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{green} \; + \; x_2 y_3} {\color{red} \; - \; x_3 y_2}) \mathrm i && \\ & \quad + (x_0 y_2 {\color{red} \; - \; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{green} \; + \; x_3 y_1}) \mathrm j && \\ & \quad + (x_0 y_3 {\color{Green} \; + \; x_1 y_2} {\color{red} \; - \; x_2 y_1} + x_3 y_0) \mathrm k && \end{alignat}</math> Herleitung:<ref>{{Literatur |Autor=Brian L. Stevens, Frank L. Lewis, Eric N. Johnson |Titel=Aircraft Control and Simulation. Dynamics, Controls Design, and Autonomous Systems |Auflage=Third edition |Verlag=John Wiley & Sons, Inc. |Ort=Hoboken, New Jersey |Datum=2016 |ISBN=978-1-118-87098-3 |Seiten=46}}</ref> :<math>\begin{align} x\;y & = (x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k) \; (y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k)\\ & = x_0 y_0 + x_1 y_1 \mathrm i \mathrm i + x_2 y_2 \mathrm j \mathrm j + x_3 y_3 \mathrm k \mathrm k\\ & \quad + x_0 y_1 \mathrm i + x_1 y_0 \mathrm i +x_2 y_3 {\color{green} \mathrm j \mathrm k} +x_3 y_2 {\color{red}\mathrm k \mathrm j}\\ & \quad + x_0 y_2 \mathrm j + x_1 y_3 {\color{red} \mathrm i \mathrm k } + x_2 y_0 \mathrm j + x_3 y_1 {\color{green} \mathrm k \mathrm i}\\ & \quad + x_0 y_3 \mathrm k + x_1 y_2 {\color{green}\mathrm i \mathrm j} + x_2 y_1 {\color{red} \mathrm j \mathrm i} + x_3 y_0 \mathrm k\\ & = x_0 y_0 -x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3\\ & \quad + (x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{green}\;+\; x_2 y_3 } {\color{red} \; -\; x_3 y_2 }) \mathrm i\\ & \quad + (x_0 y_2 {\color{red}\;-\; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{green}\;+\; x_3 y_1} )\mathrm j \\ & \quad + (x_0 y_3 {\color{green}\;+ \; x_1 y_2} {\color{red}\;-\; x_2 y_1 } + x_3 y_0 ) \mathrm k. \end{align}</math> Damit sind die für einen Ring erforderlichen zwei Verknüpfungen definiert. Es ist leicht nachgerechnet, dass alle Ring-Axiome erfüllt sind. Das additive [[w:de:Inverses Element|Inverse]] ist (wie in jedem Vektorraum) das Produkt mit dem Skalar −1. Die ''Subtraktion'' ist die Addition dieses Inversen. Die für einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] erforderliche ''Division'' muss wegen der fehlenden Kommutativität durch eine Multiplikation mit dem (multiplikativen) Inversen ersetzt werden (siehe [[w:de:#Inverses und Division|Inverses und Division]]).<ref>Reelle Faktoren kommutieren mit <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> und damit mit allen Quaternionen, d.&nbsp;h., es gilt beispielsweise :<math>2\mathrm i\mathrm j=\mathrm i2\mathrm j=\mathrm i\mathrm j 2=2\mathrm k</math>, aber :<math>2\mathrm j\mathrm i=\mathrm j 2\mathrm i=\mathrm j\mathrm i 2=-2\mathrm k</math>. Nicht alle aus der elementaren Algebra bekannten Rechenregeln gelten für die Quaternionen, z.&nbsp;B. gilt :<math>(\mathrm i+\mathrm j)(\mathrm i-\mathrm j)=\mathrm i\mathrm i-\mathrm i\mathrm j+\mathrm j\mathrm i-\mathrm j \mathrm j=(-1)-\mathrm k+(-\mathrm k)-(-1)=-2\mathrm k</math>. Die [[w:de:Binomische Formel|binomischen Formeln]] <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> oder <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> sind hier also ''nicht'' anwendbar. Sie setzen voraus, dass <math>ab=ba</math> gilt.</ref> == Gegenring == Ist <math>(R,+,\cdot)</math> ein Ring, dann wird der mit der Multiplikation :<math>x \circ y \; := y \cdot x</math> ausgestattete Ring <math>R^{\operatorname{op}} := (R,+,\circ) </math> als [[w:de:Gegenring|Gegenring]] bezeichnet. Hier folgen alle Ringgesetze, das heißt das Assoziativgesetz sowie beide Distributivgesetze, aus den ursprünglichen Gesetzen. Im Gegenring <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math>, der wegen der Nicht-Kommutativität von <math>\mathbb H</math> von diesem verschieden ist, gelten alle im Abschnitt ''[[w:de:#Grundrechenarten|Grundrechenarten]]'' angeführten Rechenregeln bis auf die Multiplikation, bei der die Vorzeichen der Terme, die nur [[w:de:Koeffizient|Koeffizient]]en <math>x_m y_n</math> mit <math>m \ne n</math> und <math>m \ne 0 \ne n</math> haben, invertiert sind. Ferner gilt die Kurzform : <math>\mathrm i\circ \mathrm j\circ \mathrm k=+1</math>. Im Übrigen hat [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Gauß]] laut [[w:de:#Lam|Lam]]{{rp|Eq. (1.4)}} die Quaternionenmultiplikation im Jahr 1819 genau so definiert. Des Weiteren ist die [[w:de:Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] des [[w:de:Drei-Finger-Regel|Dreibeins]] <math>(\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k)</math> in <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math> gespiegelt. Die [[w:de:Identische Abbildung|Identität]] auf der Grundmenge <math>\R^4</math> ist ein [[w:de:Antiisomorphismus|Antiisomorphismus]] und die [[w:de:#QKonjugation|Konjugation]] ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. Die Nichtkommutativität ist gleichbedeutend mit der Verschiedenheit von <math>\mathbb H</math> und <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math>. Da beide Ringe die [[w:de:Ring (Algebra)#Ring|Ringaxiome]] der Quaternionen erfüllen, muss dieses Axiomensystem „unvollständig“ sein im Sinne [[w:de:#Hölder|Hölders]]. In diesem Sinn vollständig sind die Axiomensysteme der rationalen, reellen oder komplexen Zahlen. == Grundlegende Begriffe == === {{Anker|Realteil|Vektorteil}} Skalarteil und Vektorteil === Aufgrund der besonderen Stellung der Komponente <math>x_0</math> einer Quaternion : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> bezeichnet man sie – wie bei den komplexen Zahlen – als ''Realteil'' oder ''Skalarteil'' : <math>\operatorname{Re}\,x := x_0</math>&nbsp;, während die Komponenten <math>x_1,x_2,x_3</math> zusammen den ''Imaginärteil'' oder ''Vektorteil'' : <math>\operatorname{Im}\,x := x_1\mathrm i + x_2\mathrm j + x_3\mathrm k</math> bilden. Häufig identifiziert man den Vektorteil auch mit dem Vektor <math>\vec x:=(x_1,x_2,x_3) \in \R^3</math>. === {{Anker|QKonjugation}} Konjugation === Zu jeder Quaternion : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> ist die ''konjugierte Quaternion'' definiert als : <math>\bar x := x_0-x_1\mathrm i-x_2\mathrm j-x_3\mathrm k</math>&nbsp;. Da hier der Imaginärteil mit seinen Einheitsvektoren verknüpft bleibt und der Realteil als reelle Zahl eindeutig in die Quaternionen einzubetten ist, ergeben sich die einfachen Beziehungen : <math>x = \operatorname{Re}\,x + \operatorname{Im}\,x </math> und : <math>\bar{x} = \operatorname{Re}\,x - \operatorname{Im}\,x </math>&nbsp;, aus denen sich unmittelbar : <math>\operatorname{Re}\,x = \frac12(x+\bar{x})</math> und : <math>\operatorname{Im}\,x = \frac12(x-\bar{x})</math> ausrechnet.<ref>Im Komplexen gilt dagegen :<math>\operatorname{Im}\,z = \frac{1}{2\mathrm i_\Complex}(z-\bar{z})</math> mit Abspaltung der imaginären Einheit <math>\mathrm i_\Complex</math> von der rein-imaginären Komponente, sodass der Imaginärteil eine ''reelle'' Zahl ist. Und es gilt: :<math>z = \operatorname{Re}\,z + \mathrm i_\Complex \; \operatorname{Im}\,z.</math></ref> Ist eine Quaternion gleich ihrer Konjugierten, so ist sie reell, d.&nbsp;h., der Vektorteil ist null. Ist eine Quaternion gleich dem Negativen ihrer Konjugierten, so ist sie eine [[w:de:#Reine Quaternion|reine Quaternion]], d.&nbsp;h., der Skalarteil ist null. Weitere wichtige Eigenschaften der Konjugation sind: {| |- | * <math>\overline{(\bar x)}=x</math> | Die Konjugation ist eine [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]]. |- | * <math>\overline{x+y}=\bar x+\bar y</math> und<br /> <math>\overline{\lambda x}=\lambda\bar x</math> für reelle Zahlen <math>\lambda</math> | Die Konjugation ist <math>\R</math>-[[w:de:Lineare Abbildung|linear]]. |- | * <math>\overline{x y}=\bar y\bar x</math> | Die Konjugation ist ein [[w:de:Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]]. |- | * <math>\overline x = -\tfrac12(x + \mathrm i\,x\,\mathrm i + \mathrm j\,x\,\mathrm j + \mathrm k x \mathrm k)</math> &nbsp; &nbsp; | Die Konjugation lässt sich „mit arithmetischen Mitteln“ darstellen.<ref>Das gilt daher auch für den Betrag und die Teilmenge der reellen Zahlen. Bei den komplexen Zahlen gilt das nicht (s.&nbsp;a. [[w:de:Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie|Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie]]).</ref> |} === Skalarprodukt === Das [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon \mathbb H \times \mathbb H \to\R</math> zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im <math>\R^4</math>, ist definiert durch : <math>\langle x,y \rangle:= x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3</math>&nbsp;. Es gilt : <math>\langle x,y \rangle= \operatorname{Re}(\bar xy)=\operatorname{Re}(x\bar y) = \frac{1}{2} (x\bar y + y\bar x)</math>&nbsp;. Es ist eine [[w:de:Definitheit|positiv definite]] symmetrische [[w:de:Bilinearform#Beispiele|Bilinearform]], über die sich [[w:de:#Norm und Betrag|Norm und Betrag]] definieren lassen und mit der [[w:de:Skalarprodukt#Norm, Winkel und Orthogonalität|Winkel und Orthogonalität]] bestimmt werden können. Ferner kann man damit die einzelnen Komponenten einer Quaternion isolieren: : <math>x_0 = \langle\mathrm 1, x\rangle,\quad x_1 = \langle\mathrm i, x\rangle,\quad x_2 = \langle\mathrm j, x\rangle,\quad x_3 = \langle\mathrm k, x\rangle</math>&nbsp;. Das aus der Physik weit verbreitete Vorgehen, das Skalarprodukt abkürzend wie eine Multiplikation mit dem [[w:de:Mittepunkt|Mittepunkt]] {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} zu notieren, wird auch bei den Quaternionen häufig angewandt, wobei hier die Verwechslungsgefahr zwischen Quaternionenmultiplikation und Skalarprodukt hoch ist. Im Folgenden verwenden wir folgende Konvention: * Das Quaternionenprodukt wird stets ohne Benutzung des Mittepunkts durch Aneinanderreihung der Faktoren notiert. * Das Skalarprodukt, und zwar sowohl das 4- wie das 3-dimensionale, wird in Multiplikationsschreibweise mit dem Mittepunkt {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} notiert. === Kreuzprodukt === Das Kreuzprodukt zweier Quaternionen <math>x, y</math> ist das [[w:de:Kreuzprodukt|Kreuzprodukt]] (Vektorprodukt) ihrer Vektorteile und bis auf den Faktor&nbsp;2 ihr [[w:de:Kommutator (Mathematik)|Kommutator]]. Ist <math>x=:(x_0,\vec x)</math> und <math>y =: (y_0,\vec y)</math>, so ist : <math>\begin{align} x \times y & := \vec x\times\vec y \\ & \;= \tfrac12(x y-y x) \\ & \;= ( x_2 y_3 - x_3 y_2) \mathrm i +(x_3 y_1 - x_1 y_3) \mathrm j +( x_1 y_2 - x_2 y_1) \mathrm k \; . \end{align}</math> === Quaternionenmultiplikation als Skalar- und Kreuzprodukt === Identifiziert man Quaternionen {| |- |style="width: 25em;"| : <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> |style="width: 5em;"| und |style="width: 25em;"| <math>y = y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k</math> |} mit Paaren aus einem Skalar <math>\in \R</math> und einem Vektor <math>\in \R^3</math> {| |- |style="width: 25em;"| : <math>x=(x_0,\vec x)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec x :=(x_1,x_2,x_3)</math> |style="width: 5em;"| bzw. |style="width: 25em;"| <math>y=(y_0,\vec y)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec y :=(y_1,y_2,y_3)</math>&nbsp;, |} so lässt sich die Multiplikation mithilfe des (dreidimensionalen) [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]]s und [[w:de:Kreuzprodukt|Kreuzprodukt]]s beschreiben: : <math>xy = (x_0,\vec x) (y_0,\vec y)=\Big(x_0 y_0 -\vec x \cdot\vec y,\quad x_0 \vec y+\vec x y_0+\vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;. {{Anker|vertauschbar}} Zwei Quaternionen sind demnach genau dann miteinander ''vertauschbar'', wenn ihr Kreuzprodukt 0 ist, wenn also ihre Vektorteile als reelle Vektoren linear abhängig sind (s.&nbsp;a. [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettung der komplexen Zahlen]]). === {{Anker|Norm}} Norm und Betrag === Das Skalarprodukt einer Quaternion <math>x</math> mit sich selbst, welches gleich dem Quaternionenprodukt mit der Konjugierten ist, wird ''Norm'' genannt: : <math>\operatorname{Norm}(x) := \langle x,x \rangle = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 = x\bar x = \bar x x </math>&nbsp;<ref>Viele Autoren setzen jedoch Norm dem Betrag gleich.</ref> Insbesondere ist dieser Wert reell und nichtnegativ. {{Anker|Betrag}} Die [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] daraus : <math>\sqrt{{x_0}^2+{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2}=:|x|</math> wird ''Betrag'' oder ''Länge'' der Quaternion <math>x</math> genannt und stimmt überein mit Betrag oder [[w:de:Euklidische Norm|euklidischer Länge]] des Vektors <math>(x_0,x_1,x_2,x_3)</math>. Er erfüllt die wichtige Eigenschaft : <math>|x y|=|x|\;|y|</math>&nbsp;, die ''Multiplikativität des Betrags''. Mit dem Betrag werden die Quaternionen zu einer reellen [[w:de:Banachalgebra|Banachalgebra]]. === Inverses und Division === Bei einer nicht-kommutativen Multiplikation muss man die Gleichungen {| |- |style="width: 10em;"| : <math>x b=a</math> |style="width: 5em;"| und |style="width: 10em;"| <math>b y=a</math> |} unterscheiden. Wenn das [[w:de:Inverses Element|Inverse]] <math>b^{-1}</math> existiert, dann sind {| |- |style="width: 10em;"| : <math>x=a b^{-1}</math> |style="width: 5em;"| bzw. |style="width: 10em;"| <math>y=b^{-1} a</math> |} respektive Lösungen, die nur dann übereinstimmen, wenn <math>b</math> und <math>a</math> kommutieren, insbesondere wenn der Divisor <math>b</math> reell ist. In solch einem Fall kann die Schreibweise <math>\tfrac a b</math> verwendet werden – bei allgemeinen Divisionen wäre sie nicht eindeutig. Wenn zusätzlich <math>c^{-1}</math> existiert, gilt die Formel : <math>b^{-1} c^{-1}=(c b)^{-1}</math>, denn : <math>b^{-1} c^{-1} c b=1</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; und&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> (c b)^{-1} c b=1</math>&nbsp;. Für : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k\ne0</math> ist die Norm : <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = \bar x x = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2>0</math> reell und positiv. Die Quaternion : <math>x^{-1} := \frac{\bar x}{x \bar x} </math> erfüllt dann die Bedingungen des Rechts- : <math> x x^{-1} = x \frac{\bar x}{x \bar x} = 1</math> und des Links-Inversen : <math> x^{-1} x = \frac{\bar x}{\bar x x} x = 1</math> und kann deshalb als das Inverse schlechthin von <math>x</math> bezeichnet werden. === Reine Quaternion === Eine Quaternion, deren Vektorteil 0 ist, wird mit der ihrem Skalarteil entsprechenden reellen Zahl identifiziert. Eine Quaternion, deren Realteil 0 ist (äquivalent, deren Quadrat reell und nichtpositiv ist), nennt man ''rein'', ''rein imaginär'' oder ''vektoriell''. Die Menge der reinen Quaternionen wird als <math>\mathbb H _{\text{pure}}</math> oder <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> notiert. Sie ist ein [[w:de:Dimension (Mathematik)|dreidimensionaler]] reeller [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit Basis <math>\{\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math>. Für reine Quaternionen nimmt die Multiplikation eine besonders einfache Form an: : <math>(0,\vec x)(0,\vec y) \; = \; \Big({-\vec x \cdot \vec y}, \, \vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;. === Einheitsquaternion === Eine ''Einheitsquaternion'' (auch ''normierte Quaternion'', Quaternion ''der Länge&nbsp;1'') ist eine Quaternion, deren Betrag gleich&nbsp;1 ist. Für sie gilt (analog zu den komplexen Zahlen) : <math>|x|=1\iff x\bar x=1\iff \bar x=x^{-1}</math>. Für eine beliebige Quaternion <math>x\ne0</math> ist : <math>\frac x{|x|}=\frac{x_0}{|x|}+\frac{x_1}{|x|}\mathrm i+\frac{x_2}{|x|}\mathrm j+\frac{x_3}{|x|}\mathrm k</math> eine Einheitsquaternion, die man manchmal auch als das [[w:de:Signumfunktion|Signum]] oder den Versor von <math>x</math> bezeichnet. Das Produkt zweier Einheitsquaternionen und die Inverse einer Einheitsquaternion sind wieder Einheitsquaternionen. Die Einheitsquaternionen bilden also eine Gruppe. Geometrisch kann man die Menge der Einheitsquaternionen als die [[w:de:Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> im vierdimensionalen [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und damit als [[w:de:Lie-Gruppe|Lie-Gruppe]] interpretieren, mit dem Raum der [[w:de:#Reine Quaternion|reinen Quaternionen]] als zugehöriger [[w:de:Lie-Algebra|Lie-Algebra]]. Die Darstellung als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] verdeutlicht die umkehrbar eindeutige Entsprechung der Einheitsquaternionen mit der [[w:de:Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>. Die einzigen reellen Einheitsquaternionen sind <math>\pm 1</math>. Sie machen auch das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb{S}^3</math> aus. === Reine Einheitsquaternion === Einheitsquaternionen, die auch reine Quaternionen sind, lassen sich als diejenigen Quaternionen charakterisieren, deren Quadrate <math>-1</math> ergeben: : <math>\epsilon_0=0 \; \land \; {\epsilon_1}^2+{\epsilon_2}^2+{\epsilon_3}^2=1\qquad\iff\qquad \epsilon^2=-1</math>.<ref>Den unendlich vielen [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]]n des [[w:de:Polynom|Polynom]]s <math>X^2 + 1</math> steht das Fehlen einer Nullstelle beim Polynom <math>\mathrm i X - X \mathrm i + 1</math> vom [[w:de:Polynom|Grad]] 1 gegenüber. Letzteres besitzt 2 [[w:de:Monom|Monom]]e vom Grad 1, dem höchsten Grad seiner Monome. In nicht-kommutativen Ringen wird der Grad des Monoms <math>a_0 X a_1 \dots a_{n-1} X a_n</math> mit <math>a_i \neq 0</math> zu <math>n</math> definiert, und ein Monom dominiert ein Polynom, wenn es unter allen Monomen den höchsten Grad hat. Dann ist der Grad des Polynoms auch gleich dem Grad der dominierenden Monome. Hat ein Polynom über <math>\mathbb H</math> ein ''einziges'' dominierendes Monom von einem Grad > 0, dann hat es immer eine Nullstelle in <math>\mathbb H</math>. ([[w:de:#Eilenberg-Niven|Eilenberg-Niven]]).</ref> Sie liegen in der Äquatorhyperebene der 3-Sphäre <math>\mathbb{S}^3</math> und machen die Einheits-2-Sphäre <math>\mathbb{S}^2</math> des dreidimensionalen Raums <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus. === Einbettung der komplexen Zahlen === Jede Quaternion <math>\epsilon</math> mit Quadrat <math>-1</math> definiert einen Einbettungs[[w:de:isomorphismus|isomorphismus]] <math>\iota_{\epsilon}</math> der komplexen Zahlen in die Quaternionen : <math> \begin{array}{rccc} \iota_{\epsilon} \colon & \Complex & \to & \mathbb H \\ & u+v\mathrm i_\Complex & \mapsto & u+v \epsilon \end{array} </math> mit <math>u,v\in\R</math> und <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit der komplexen Zahlen. Dabei sind die [[w:de:Bild (Mathematik)|Bildmengen]] der <math>\epsilon</math> und <math>\bar \epsilon</math> entsprechenden Einbettungen identisch: <math>\iota_{\epsilon}(\Complex) = \iota_{\overline \epsilon}(\Complex)</math>. Eine jede solche Quaternion darf <math>\mathrm i</math> genannt werden, eine senkrechte dazu <math>\mathrm j</math> und ihr Produkt <math>\mathrm k</math>.<ref name="Conway">[[w:de:John Horton Conway|John H. Conway]], Derek A. Smith: ''On Quaternions and Octonions''. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch).</ref>{{rp|Seite 40.}} <ref>Ein [[w:de:#Automorphismen|Automorphismus]] definiert eine solche Einbettung (durch [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]]), die nur eine Einbettung von {{nowrap|<math>\R</math>-[[w:de:Algebra über einem Körper|Algebren]]}} ist. <math>\mathbb H</math> ist keine Algebra über <math>\Complex</math>.</ref> Jede nicht-reelle Quaternion liegt in genau einer solchen Einbettung von <math>\Complex</math>&nbsp;. Zwei Quaternionen sind genau dann vertauschbar, wenn es eine gemeinsame Einbettung gibt. Zwei verschiedene Bilder haben die reelle Achse zum Durchschnitt. So betrachtet, sind die Quaternionen eine [[w:de:Menge (Mathematik)#Vereinigung (Vereinigungsmenge)|Vereinigung]] komplexer Ebenen. == Polardarstellung == Jede [[w:de:#Einheitsquaternion|Einheitsquaternion]] <math>x^\circ = x_0 + x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k \; \ne \; \pm 1</math> kann auf eindeutige Weise in der Form : <math>x^\circ=\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math> :: mit dem ''Polarwinkel''<ref>[[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22. Der Polarwinkel ist das Analogon zum [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|komplexen Argument]] <math>\operatorname{arg}(z)</math>, allerdings ist bei dessen Hauptwert das Signum des Imaginärteils mit hinein genommen, was sich bei den Quaternionen nicht machen lässt, sodass <math>\operatorname{arg}</math> nicht eine einfache [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] des Polarwinkels ist.</ref> von <math>x^\circ</math> ::: <math>\phi := \arccos(x_0) = \arccos(\operatorname{Re} x^\circ) \in{]0,\pi[}</math> :: und der ''reinen'' Einheitsquaternion ::: <math>\epsilon := \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sqrt{1-x_0^2}} = \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sin \phi} = \frac{\operatorname{Im} x^\circ}{|\operatorname{Im} x^\circ|} = \frac{\vec x^\circ}{|\vec x^\circ|}</math> dargestellt werden. Mit der [[w:de:Exponentialfunktion#Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren|verallgemeinerten Exponentialfunktion]] lässt sich das wegen <math>\epsilon^2=-1\ </math> auch schreiben als : <math>x^\circ=\exp(\epsilon\phi)</math> mit der [[w:de:#Reine Quaternion|reinen Quaternion]] <math>\epsilon\phi =: x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H </math>. Will man also eine reine Quaternion <math>x^\prime\ne 0</math> exponentiieren, so ist ihr Betrag <math>\phi=|x^\prime|</math> und die [[w:de:#Reine Einheitsquaternion|reine Einheitsquaternion]] <math>\epsilon=x^\prime/\phi</math> zu bilden, und es ergibt sich die Einheitsquaternion : <math>\exp x^\prime = \cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math>. Der Fall &nbsp; <math>\exp 0 = 1</math> &nbsp; lässt sich [[w:de:Fortsetzung (Mathematik)#Stetige Fortsetzung|stetig ergänzen]]. Damit ist die [[w:de:Matrixexponential|Exponentialabbildung]] <math>\exp\colon \operatorname{Im}\,\mathbb H \to \mathbb{S}^3</math> [[w:de:surjektiv|surjektiv]]. Nun ist <math>\exp x^\prime = -1</math> für alle <math>x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math> mit <math>|x^\prime| = \pi</math>, und das sind unendlich viele. Gleichwohl ist die [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] <math>\exp\colon \{x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H \land |x^\prime| < \pi \} \; \to \; \mathbb{S}^3 \setminus \{-1\}</math> [[w:de:Bijektivität|bijektiv]]. Sie ist [[w:de:Stetige Funktion|stetig]], wegen der Nicht-Kommutativität der Multiplikation aber kein [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]]<ref name="exp-nicht-homomorph">Für <math>x^\prime:=\mathrm i\pi</math> und <math>y^\prime:=\mathrm j\pi</math> ist :<math>\exp x^\prime \exp y^\prime = \exp(\mathrm i\pi) \exp(\mathrm j\pi) = (-1)(-1)=1</math> :<math>\ne \exp(x^\prime+y^\prime) = \exp((\mathrm i+\mathrm j)\pi) = \cos(\pi \sqrt 2)+\frac{\mathrm i+\mathrm j}{\sqrt 2}\sin(\pi \sqrt 2)</math>.</ref>. {{Anker|reine_und_normierte}} Allgemein lässt sich jede nicht-reelle Quaternion eindeutig in der Form : <math>x=|x| \; (\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi)</math> :: mit dem ''Polarwinkel'' von <math>x</math> ::: <math>\phi = \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|}\right) \in{]0,\pi[} </math> :: und der reinen Einheitsquaternion (der ''reinen und normierten Quaternion von <math>x</math>'') ::: <math>\epsilon = \frac{\operatorname{Im} x}{\sqrt{|x|^2 - (\operatorname{Re} x)^2}} = \frac{\operatorname{Im} x}{|x| \, \sin \phi} = \frac{\vec x}{|\vec x|}</math> schreiben. Durch die Festlegung <math>\phi \in{]0,\pi[}</math> ist <math>\sin \phi > 0</math>, sodass <math>\epsilon</math> in dieselbe Richtung wie der Vektorteil <math>\operatorname{Im} x</math> zeigt. Jede nicht reell-negative Quaternion schreibt sich eindeutig als : <math>x=|x|\exp x^\prime</math> mit einer reinen Quaternion <math>x^\prime</math> mit &nbsp; <math>|x^\prime|<\pi</math>. Diese Darstellungen sind der Polarform komplexer Zahlen : <math>z=|z|(\cos\phi+\mathrm i_\Complex\sin\phi)=|z| \exp(\mathrm i_\Complex\phi)</math> (mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit) analog. Für die [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]] : <math>x y = |x| \; |y| \; \exp (x^\prime+y^\prime)</math> müssen <math>x,y</math> allerdings kommutieren.<ref name="exp-nicht-homomorph" /><ref>Laut [[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22 mag das Scheitern dieser Funktionalgleichung das größte Hindernis für eine quaternionische [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] gewesen sein.</ref> == Funktionentheorie == === Exponentialfunktion, Logarithmus === Das Exponential einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist: : <math>\exp (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \exp (\operatorname{Re} x) \left(\cos |\vec x|+\frac{\vec x}{|\vec x|} \sin |\vec x| \right) \isin \mathbb H</math> mit <math>\vec x:=\operatorname{Im} x</math>&nbsp;. Der (natürliche) [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist: : <math>\ln(x) = \ln |x| + \frac{\vec x}{|\vec x|} \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|} \right) \isin \mathbb H</math>&nbsp;<ref>{{Webarchiv |url=http://www.lce.hut.fi/~ssarkka/pub/quat.pdf |wayback=20130926165618 |text=Lce.hut.fi}} (PDF; 68&nbsp;kB)</ref> Für nicht-reelles <math>x</math> sind sie [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]]en voneinander : <math>\exp (\ln(x)) = x</math> und, falls <math>|\vec x| < \pi</math>, : <math>\ln(\exp (x)) = x</math>&nbsp;. Für nicht-reelles, mit <math>x</math> kommutierendes <math>y</math> gelten die [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en : <math>\exp (x+y) = \exp (x) \exp (y)</math> und : <math>\ln (x) + \ln (y) = \ln (x y)</math>&nbsp;, letzteres für <math>x,y</math> mit hinreichend kleinem Imaginärteil. === Fortsetzungen komplexer Funktionen === [[Datei:Lift Complex Function to Quaternions.svg|304px|mini|Im [[w:de:Kommutatives Diagramm|kommutativen Diagramm]] müssen sich <math>g_{\epsilon}</math> und <math> g_{\zeta}</math> auf <math>\iota_{\epsilon}\Complex \; \cap \; \iota_{\zeta}\Complex \; \subset \; \mathbb H</math> vertragen.]] Da <math>\mathbb H</math> als eine Vereinigung von Einbettungen komplexer Ebenen aufgefasst werden kann (s. Abschnitt [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|#Einbettung der komplexen Zahlen]]), kann man versuchen, Funktionen <math>g \colon \Complex \to \Complex</math><ref>Die Überlegungen gelten schon, wenn der Definitionsbereich von <math>g</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ist.</ref> mithilfe der genannten Einbettungsisomorphismen <math>\iota_{\epsilon}</math> vom Komplexen ins Quaternionische zu liften. Dabei ist zu fordern, dass die so gewonnenen Funktionen <math>g_{\epsilon} \colon \iota_{\epsilon} (\Complex) \to \iota_{\epsilon} (\Complex) \subset \mathbb H</math> mit <math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon} \circ g \circ {\iota_{\epsilon}}^{-1}(q) </math> bei Überschneidungen der [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsbereiche]] dasselbe Ergebnis liefern, sodass die vereinigte Funktion <math>\tilde g</math> auf der [[w:de:Vereinigungsmenge|Vereinigungsmenge]] <math>\cup_{\epsilon} \bigl( \iota_{\epsilon} (\Complex) \bigr) = \mathbb H</math> vermöge <math>\forall q \in \mathbb H \; \exists \epsilon : q \in \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> als <math>\tilde g(q) := g_{\epsilon} (q)</math> in [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefinierter]] Weise gebildet werden kann. Sei <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \ \mathrm i_\Complex</math> eine komplexwertige Funktion <math>\Complex \to \Complex</math> einer komplexen Variablen <math>z = \xi + \eta \, \mathrm i_\Complex</math> mit reellen <math>\xi,\eta</math> und reellen <math>u(\xi,\eta),v(\xi,\eta) .</math><br /> '''Einbettbarkeit:''' <math>g</math> ist genau dann einbettbar in die Quaternionen, wenn <math>u</math> eine [[w:de:Gerade Funktion|gerade]] und <math>v</math> eine [[w:de:ungerade Funktion|ungerade Funktion]] des jeweils zweiten Arguments <math>\eta</math> ist. {| class="wikitable left mw-collapsible mw-collapsed font-size: 105.3%;" |style="text-align:left; font-size: 95%;"| '''Beweis'''&nbsp; |- | Ist <math>q</math> eine beliebige nicht-reelle Quaternion, dann ist <math>\epsilon := \operatorname{Im} q / |\operatorname{Im} q| </math> eine [[w:de:#reine und normierte|reine und normierte Quaternion]] mit <math>\epsilon^2 = -1</math>. Seien ferner <math>\xi := \operatorname{Re} q </math> und <math>\eta := |\operatorname{Im} q| </math>, die beide reell sind. Sowohl <math>\iota_{\epsilon}</math> wie <math>\iota_{\overline \epsilon}</math> ist ein Einbettungsisomorphismus für das Bild <math>q</math>. Im ersteren Fall ist <math>z_{\epsilon} := \xi+\eta \, \mathrm i_\Complex \in \Complex</math> das Urbild von <math>q = \xi+\eta \, \epsilon </math>, im zweiten Fall haben wir wegen <math>q = \xi+\eta \, \epsilon = \xi-\eta \, \bar\epsilon </math> das Urbild <math>z_{\overline \epsilon} := \iota_{\overline \epsilon}^{-1} (\xi-\eta \, \epsilon) = \xi-\eta \, \mathrm i_\Complex </math>; jeweils mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als der imaginären Einheit von <math>\Complex</math>. Die Urbilder sind verschieden, das Bild, das bei der zu bildenden Funktion <math>\tilde g</math> als Argument fungieren soll, ist aber beidesmal <math>q</math>.<br /> Das „Liften“ wird durch die Einbettung der Funktionswerte als : <math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon}(g(z_{\epsilon})) = \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \epsilon</math> und : <math>g_{\overline \epsilon}(q) := \iota_{\overline \epsilon}(g(z_{\overline \epsilon})) = \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar\epsilon</math> vervollständigt (s. Diagramm). Nun ist nach Voraussetzung : <math>u(\xi,+\eta)=u(\xi,-\eta), \quad v(\xi,+\eta) = -v(\xi,-\eta),</math> sodass sich : <math>g_{\overline \epsilon}(q) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar \epsilon = u(\xi,-\eta) - v(\xi,-\eta) \epsilon = u(\xi,+\eta) + \ v(\xi,+\eta) \epsilon = g_{\epsilon}(q) </math> ergibt und <math>\tilde g(q)</math> nicht von der Wahl des Einbettungsisomorphismus abhängt. Die Bedingung ist auch notwendig. Denn lässt umgekehrt die Funktion <math>g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine Einbettung <math>\tilde g \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \tilde g(q) </math> in die Quaternionen zu, so gibt es zu jedem <math>q \in \mathbb H</math> eine geeignete reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> und reelle <math>\xi,\eta </math> mit <math>q = \xi\,+\,\eta \, \epsilon</math> und : <math>\begin{array}{llll} \tilde g(q) &= g_{\epsilon}(\xi\,+\,\eta \, \epsilon) = g_{\epsilon}(\iota_{\epsilon} (\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\epsilon}(g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\ &= \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \epsilon . \end{array}</math> Bei der konjugierten Quaternion <math>\bar \epsilon = -\epsilon</math> hat die Einbettung <math>\iota_{\overline \epsilon} </math> dasselbe Bild <math>\iota_{\overline \epsilon} (\Complex) = \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> wie <math>\iota_{\epsilon}</math> und also <math>g_{\overline \epsilon}</math> dieselbe [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsmenge]] wie <math>g_{\epsilon}</math>. Der Funktionswert : <math>\begin{array}{llll} \tilde g(q) &= g_{\overline \epsilon}(\xi\,-\,\eta \, \bar \epsilon) = g_{\overline \epsilon}(\iota_{\overline \epsilon} (\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\overline \epsilon}(g(\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\ &= \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \bar\epsilon \\ &&= u(\xi,-\eta)\,-\,v(\xi,-\eta) \epsilon \end{array}</math> muss also mit dem vorigen für alle <math>\xi,\eta \in \R</math> übereinstimmen. ■ |} Die eingebettete Funktion <math>\tilde g</math> stimmt auf ''allen'' Teilmengen <math>\iota_{\epsilon} (\Complex) \cong \Complex</math> mit <math>g</math> überein, kann also als [[w:de:Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzung]] von <math>g</math> angesehen werden und, wenn Verwechslungen nicht zu befürchten sind, wird auch der Funktionsname beibehalten. Ist <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine einbettbare Funktion, so ist <math>v(\xi,0) = -v(\xi,0)</math> wegen der Ungeradheit von <math>v</math> in der zweiten Variablen, also <math>v(\xi,0) = 0</math> und <math>g(z) \in \R</math> für <math>z \in \R</math>. Somit folgt aus der Einbettbarkeit, dass die [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] aufs Reelle reell ist.<ref>Letzteres ist aber nicht hinreichend, denn die Funktion <math>g(z) := \operatorname{Im} z</math> ist trotz <math>g\!\mid_\R \, = 0 \in \R</math> wegen <math>u(\xi,\eta) \equiv \eta \not\equiv -\eta \equiv u(\xi,-\eta) </math> nicht einbettbar.<br />Sind jedoch bei solchen Funktionen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt, so folgt aus der Ungeradheit von <math>v(\xi,\eta)</math> die Geradheit von <math>u(\xi,\eta)</math> (jeweils in der zweiten Variablen) und damit die Einbettbarkeit in die Quaternionen.<br />Im Gegensatz zu <math>g(z) = \operatorname{Im} z</math> ist die Funktion <math>h(z) := \mathrm i_\Complex \, \operatorname{Im} z </math> einbettbar mit der Fortsetzung <math>\tilde h \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \operatorname{Im} q.</math></ref> Zu dieser Klasse von komplexen Funktionen gehören Norm und Betrag, aber auch alle [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n <math>\textstyle \sum_{n=-\infty}^\infty a_n z^n</math> mit reellen Koeffizienten <math>a_n</math>, so die Exponential- und Logarithmusfunktion.<ref>Ein weiteres nicht einbettbares Beispiel ist <math>g(z) := \mathrm i_\Complex</math>, bei dem <math>v(\xi,\eta) = 1</math> ''nicht ungerade'' ist in <math>\eta</math>. Die Einbettung mithilfe des Einbettungsisomorphismus <math>\iota_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} </math> ergibt zwar die (konstante) Funktion <math>g_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} = \mathrm i_{\mathbb H} </math>, die aber mit anderen Einbettungen, z.&nbsp;B. <math>\iota_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} </math> mit dem (ebenfalls konstanten) Ergebnis <math>g_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} = \mathrm j_{\mathbb H} \ne \mathrm i_{\mathbb H},</math> nicht zusammenpasst.</ref> === Analysis === Schwieriger ist es, eine allgemeine quaternionische Analysis mit Differential- und/oder [[w:de:Integralrechnung|Integralrechnung]] aufzustellen. Ein Problem springt unmittelbar ins Auge: der Begriff des [[w:de:Differentialrechnung|Differenzenquotienten]] <math>\tfrac{f( x + h ) - f( x )} h </math>, der in der reellen wie der komplexen Analysis so erfolgreich ist, muss wegen der Nicht-Kommutativität als linke ''und'' rechte Version definiert werden. Legt man dann genauso strenge Maßstäbe wie bei der [[w:de:Holomorphe Funktion|komplexen Differenzierbarkeit]] an, dann stellt sich heraus, dass bestenfalls lineare Funktionen, und zwar <math>x \mapsto a + x b </math> links und <math>x \mapsto a + b x </math> rechts, differenzierbar sind.<ref>[https://www.zipcon.net/~swhite/docs/math/quaternions/analysis.html ''Quaternion Analysis, Functions of a Quaternion Variable''] (englisch).</ref> Immer definieren lässt sich aber eine [[w:de:Richtungsableitung|Richtungsableitung]] und das [[w:de:Gâteaux-Differential|Gâteaux-Differential]]. Ausgehend von den [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und dem [[w:de:Satz von Morera|Satz von Morera]] wurde folgender Regularitätsbegriff gefunden: Eine quaternionische Funktion ist regulär an der Stelle <math>x </math>, wenn ihr Integral über jeder hinreichend kleinen <math>x </math> umschließenden [[w:de:Hyperfläche|Hyperfläche]] verschwindet.<ref>{{cite journal |first=R. |last=Fueter |title=Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen |journal=Comm. Math. Helv. |volume=8 |date=1936 |pages=371–378}}</ref><ref>{{cite journal |first=C.A. |last=Deavours |title=The Quaternion Calculus |journal=Amer. Math. Monthly |volume=80 |date=1973 |pages=995–1008 |language=en}}</ref><ref>{{cite journal |first=A. |last=Sudbery |title=Quaternionic Analysis |doi=10.1017/S0305004100055638 |journal=Math. Proc. Camb. Phil. Soc. |volume=85 |date=1979 |pages=199–225 |language=en}}</ref> == Beschreibung anderer Konstrukte mit Hilfe von Quaternionen == === Minkowski-Skalarprodukt === Das [[w:de:Minkowski-Raum|Minkowski-Skalarprodukt]] zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im Minkowski-Raum, ist der Skalarteil von <math>xy</math>: : <math>x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3=\operatorname{Re}(xy).</math> === Vektoranalysis === Im Folgenden werden Vektoren im dreidimensionalen Raum <math>\R^3</math> mit reinen Quaternionen <math>\in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math>, also die üblichen <math>(x,y,z)</math>-Koordinaten mit den <math>(x_1,x_2,x_3)</math>-Komponenten identifiziert. Definiert man den [[w:de:Nabla-Operator|Nabla-Operator]] (wie Hamilton) als : <math>\vec \nabla \;=\; \mathrm i \, \frac\partial{\partial x}+\mathrm j \, \frac\partial{\partial y}+\mathrm k \, \frac\partial{\partial z}</math> und wendet ihn auf eine skalare Funktion <math>f(x,y,z)</math> als (formale) Skalarmultiplikation an, erhält man den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] : <math>\vec \nabla f \;=\; \operatorname{grad} f \;=\; \mathrm i \, \frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm j \, \frac{\partial f}{\partial y}+\mathrm k \, \frac{\partial f}{\partial z}.</math> Die Anwendung auf ein Vektorfeld : <math>\vec F(x,y,z) \;=\; \mathrm i \, F_1(x,y,z)+\mathrm j \, F_2(x,y,z) +\mathrm k \, F_3(x,y,z)</math> als (formales) Skalarprodukt ergibt die [[w:de:Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] : <math>\vec \nabla \cdot \vec F \;=\; \operatorname{div} \vec F \;=\; \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y}+ \frac{\partial F_3}{\partial z}</math>&nbsp;. Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Kreuzprodukt ergibt die [[w:de:Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] : <math>\vec \nabla \times \vec F \;=\; \operatorname{rot} \vec F \;=\; \mathrm i \left ( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right ) + \mathrm j \left ( \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right ) + \mathrm k \left ( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right )</math>&nbsp;. Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Produkt zweier [[w:de:#Reine Quaternion|reiner Quaternionen]] ergibt : <math>\vec \nabla \vec F \;=\; -\operatorname{div} \vec F + \operatorname{rot} \vec F</math> mit <math>- \operatorname{div} \vec F</math> als Skalarteil und <math>\operatorname{rot} \vec F</math> als Vektorteil der Quaternion. Zweimalige Anwendung auf eine Funktion <math>f</math> ergibt den [[w:de:Laplace-Operator|Laplace-Operator]] <math>\triangle</math> : <math>\vec \nabla^2 \, f \;:=\; \vec \nabla \cdot (\vec \nabla \, f) \;=\; \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right) \;=\; -\triangle f \;=\; -\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}\right),</math> d.&nbsp;h., <math>\nabla</math> wirkt wie ein [[w:de:Dirac-Operator|Dirac-Operator]] als (formale) „Quadratwurzel“ des (negativen) Laplace-Operators. === Drehungen im dreidimensionalen Raum === Einheitsquaternionen können für eine elegante Beschreibung von [[w:de:Drehung|Drehung]]en im dreidimensionalen Raum verwendet werden: Für eine feste Einheitsquaternion <math>q</math> ist die Abbildung : <math>\rho_q\colon x\mapsto qxq^{-1}</math> &nbsp; bzw. &nbsp; <math>\rho_q\colon x\mapsto qx\overline{q}</math> auf <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> eine Drehung. (Hier, wie im Folgenden, ist nur von Drehungen die Rede, die den Ursprung festlassen, d.&nbsp;h., deren Drehachse durch den Ursprung verläuft.) Die [[w:de:#Polardarstellung|Polardarstellung]] stellt die Einheitsquaternion <math>q\neq\pm 1</math> durch einen Winkel <math>0<\alpha<2\pi</math> und eine reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> eindeutig dar als : <math>q = \cos\frac{\alpha}{2} + \epsilon\sin\frac{\alpha}{2}</math>&nbsp;. Dann ist <math>\rho_q\ </math> eine Drehung des <math>\R^3\ </math> um die Achse <math>\epsilon\in\R^3\ </math> mit Drehwinkel <math>\alpha</math>. Für jede Einheitsquaternion <math>q</math> definieren <math>q</math> und <math>-q</math> dieselbe Drehung; insbesondere entsprechen <math>1</math> und <math>-1</math> beide der identischen Abbildung (Drehung mit Drehwinkel&nbsp;0). Im Unterschied zur Beschreibung von Drehungen durch [[w:de:Orthogonale Matrix|orthogonale Matrizen]] handelt es sich also um keine 1:1-Entsprechung, zu jeder Drehung <math>\rho</math> gibt es genau ''zwei'' Einheitsquaternionen <math>q</math> mit <math>\rho_q=\rho</math>. Die [[w:de:Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] von Drehungen entspricht der Multiplikation der Quaternionen, d.&nbsp;h. : <math>\rho_{q_1}\circ\rho_{q_2}=\rho_{q_1 q_2}.</math> Die Umkehrung der Drehrichtung entspricht dem Inversen: : <math>\rho_{q^{-1}}=\rho_q^{-1}.</math> {{Anker|-1=2:1-Überlagerung}} Damit ist die Abbildung : <math> \begin{array}{rccc} \rho \colon & \mathbb{S}^3 & \to & \mathrm{SO}(3) \\ & q & \mapsto & \rho_q \end{array} </math> ein [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]] der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen in die [[w:de:Drehgruppe|Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Sie ist eine [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|Überlagerung der <math>\mathrm{SO}(3)</math>]], und da ein Bildelement <math>\rho_q</math> genau die zwei Urbilder <math>\pm q\in \mathbb{S}^3</math> hat, ''zwei''blättrig, weshalb der Homomorphismus auch ''2:1-Überlagerung(shomomorphismus)''<ref name="Conway" />{{rp|Seite 33.}} genannt wird. Ferner ist sie [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|universell]], da <math>\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist. ==== Bezug zu orthogonalen Matrizen ==== Explizit entspricht der Einheitsquaternion <math>q \in \mathbb{S}^3</math>, : <math>q=q_0+q_1\mathrm i+q_2\mathrm j+q_3\mathrm k</math> mit <math>q_i \in \R</math> und <math>\operatorname{Norm}(q) = q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1</math>, die [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrix]] : <math> \begin{array}{rlll} D_q := & \begin{bmatrix} q_0^2 + q_1^2 - q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_3+2q_1q_2 & 2q_0q_2+2q_1q_3 \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & q_0^2 - q_1^2 + q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & q_0^2 - q_1^2- q_2^2+ q_3^2 \end{bmatrix} \\[.3em] = & \begin{bmatrix} 1-2(q_2^2 + q_3^2) \;\;\;\; & -2q_0q_3+2q_1q_2 \;\;\;\, & 2q_0q_2+2q_1q_3 \;\;\quad \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & 1-2(q_1^2 + q_3^2) & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & 1-2(q_1^2 + q_2^2) \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3), \end{array} </math> diese Formel ist auch als [[w:de:Euler-Rodrigues-Formel|Euler-Rodrigues-Formel]] bekannt. Sie bildet eine reine Quaternion <math>\xi</math> auf <math>(0, D_q \; \vec \xi) = q \; \xi \; q^{-1}</math> ab. Ist umgekehrt die Drehmatrix : <math>D = \begin{bmatrix} d_{11} & d_{12} & d_{13} \\ d_{21} & d_{22} & d_{23} \\ d_{31} & d_{32} & d_{33} \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3)</math><ref>Zu <math>\mathrm{SO}(3)</math> siehe [[w:de:Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung|Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung]].</ref> gegeben und ist die [[w:de:Spur (Mathematik)|Spur]] : <math>T_D := d_{00} + d_{11} + d_{22} + d_{33} > 0</math> mit <math>d_{00} := 1</math>&nbsp;, dann bewerkstelligt die Quaternion : <math>q_D := T_D + (d_{32}-d_{23}) \mathrm i + (d_{13}-d_{31}) \mathrm j + (d_{21}-d_{12}) \mathrm k </math> die Drehung <math>D \; \vec \xi</math>, denn es ist <math>q_D \; \xi \; q_D^{-1} = (0, D \; \vec \xi)</math> für jede reine Quaternion <math>\xi</math>&nbsp;. Wenn man die [[w:de:Homogene Funktion|homogen]] formulierte Version von <math>D_q</math> als Eingabematrix nimmt, produziert die gezeigte Lösung mit <math>d_{00} := \operatorname{Norm}(q)</math> die Quaternion <math>q_D = 4 q_0 q</math>. Wegen <math>\operatorname{det}(D_q) = \operatorname{Norm}(q)^3</math> kann die Homogenität in den <math>d_{ij}</math> durch die Setzung <math>d_{00} := \sqrt[3]{\operatorname{det}(D)}</math> aufrechterhalten werden. Die <math>\mathrm{SO}(3)</math> hat wie die <math>\mathbb{S}^3</math> über <math>\R</math> die Dimension 3. Die neun Komponenten von <math>D</math> können also nicht alle frei wählbar sein. Da einer jeden Matrix <math>D\in\mathrm{SO}(3)</math> eine Quaternion <math>q</math> entspricht, decken die Drehmatrizen <math>D_q</math> die ganze <math>\mathrm{SO}(3)</math> ab. Bei <math>D_q</math> ist <math>T_{D_q} = 4 q_0^2</math>. Falls also wirklich <math>D \in \mathrm{SO}(3)</math>, ist auch <math>\frac{q_D}{2 \sqrt{T_D}}</math> die Einheitsquaternion zu <math>q_D</math>. ==== Bezug zu Eulerwinkeln ==== Für [[w:de:Eulerwinkel|Eulerwinkel]] gibt es verschiedene Konventionen; die folgende Darlegung bezieht sich auf die Drehung, die man erhält, wenn man zuerst um die <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Psi</math>, dann um die neue <math>x</math>-Achse um den Winkel <math>2\Theta</math> und schließlich um die neue <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Phi</math> dreht, d.&nbsp;i. die sog. [[w:de:Eulersche Winkel#Konventionen|„x-Konvention“ (z, x’, z’’)]] mit allen Winkeln ''doppelt''. Die Einzeldrehungen entsprechen den [[w:de:#Polardarstellung|Einheitsquaternionen]] : <math>\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi,\quad \cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta,\quad \cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi,</math> und da jeweils um die mitgedrehten Achsen gedreht wird, ist die Reihenfolge der Komposition umgekehrt. Die Gesamtdrehung entspricht also : <math>\left(\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi\right)\left(\cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta\right)\left(\cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi\right)</math> : <math>{}=\cos\Psi\cos\Theta\cos\Phi-\sin\Psi\cos\Theta\sin\Phi</math> :: <math>{}+\mathrm i\left(\cos\Psi\sin\Theta\cos\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\sin\Phi\right)</math> :: <math>{}+\mathrm j\left(-\cos\Psi\sin\Theta\sin\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\cos\Phi\right)</math> :: <math>{}+\mathrm k\left(\sin\Psi\cos\Theta\cos\Phi+\cos\Psi\cos\Theta\sin\Phi\right).</math> Für andere Konventionen ergeben sich ähnliche Formeln. Die Eulerwinkel zu einer gegebenen Quaternion lassen sich an der zugehörigen [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrix]] ablesen. ==== Universelle Überlagerung der Drehgruppe; Spingruppe ==== Wie im Abschnitt [[w:de:#Einheitsquaternion|Einheitsquaternionen]] gezeigt, gibt es einen durch die Hamiltonschen Zahlen vermittelten [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] zwischen der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen und der [[w:de:Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>. Diese beiden Gruppen sind isomorph zur [[w:de:Spingruppe|Spingruppe]] <math>\mathrm{Spin(3)}</math> (zur Physik: siehe [[w:de:Spin|Spin]]). Die [[#Drehungen im dreidimensionalen Raum|2:1-Überlagerung]] liefert also einen [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]] der Spingruppe <math>\mathrm{Spin(3)}</math> in die [[w:de:Drehgruppe|Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Diese Überlagerung ist zweiblättrig und [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|universell]], da <math>\mathrm{Spin(3)}\cong\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> im Gegensatz zur <math>\mathrm{SO}(3)</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist. Die natürliche Operation von <math>\mathrm{SU}(2)</math> auf <math>\Complex^2</math> ist eine sog. [[w:de:Spinor|Spinor]]darstellung. Die aus der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] bekannten sog. [[w:de:Pauli-Matrizen|Pauli-Matrizen]] <math>\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3</math> stehen in einfacher Beziehung zu den drei Erzeugenden <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> der [[w:de:#Einheitsquaternion|<math>\mathrm{SU}(2)</math>]]. Das wird besonders deutlich in der Darstellung als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]]: : <math> \sigma_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm k,\quad \sigma_2 = \begin{bmatrix} 0 & -\mathrm i_\Complex\\ \mathrm i_\Complex & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm j,\quad \sigma_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm i </math>&nbsp;, dabei ist <math>\mathrm i_\Complex</math> die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen. Die Pauli-Matrizen haben −1 zur Determinante (sind also keine Quaternionen), sind [[w:de:spurfrei|spurfrei]] und [[w:de:Hermitesche Matrix|hermitesch]] und kommen daher in der Quantenmechanik als ''messbare Größen'' in Frage, was sich für die Anwendungen (s. [[w:de:mathematische Struktur der Quantenmechanik|mathematische Struktur der Quantenmechanik]]) als wichtig erwiesen hat. Einzelheiten sind im Artikel [[w:de:SU(2)|SU(2)]] dargestellt. === Orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes === Analog zum dreidimensionalen Fall kann man jede orientierungserhaltende orthogonale Abbildung von <math>\mathbb H</math> in sich selbst in der Form : <math>\rho_{a,b}\colon x\mapsto ax\bar b</math> für Einheitsquaternionen <math>a,b</math> beschreiben. Es gilt : <math>\rho_{a_1,b_1}\circ\rho_{a_2,b_2}=\rho_{a_1a_2,b_1b_2}\quad\text{und}\quad\rho_{\bar a,\bar b}=\rho_{a,b}^{-1}.</math> Diese Konstruktion liefert eine Überlagerung : <math>\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(4)</math> mit [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] <math>\{(1,1),(-1,-1)\}</math>. == Die endlichen Untergruppen == Der [[#2:1-Überlagerung|2:1-Überlagerungshomomorphismus]] : <math>\rho\colon q \mapsto \rho_q</math>, der einer Einheitsquaternion <math>q\in \mathbb{S}^3</math> die [[w:de:#Drehungen im dreidimensionalen Raum|3D-Drehung]] : <math> \begin{array}{rccc} \rho_q \colon & \operatorname{Im}\,\mathbb H & \to & \operatorname{Im}\,\mathbb H \\ & x & \mapsto & qx\bar q \end{array} </math> zuordnet, muss eine endliche Gruppe <math>Q</math> von Quaternionen in eine endliche Gruppe <math>\rho(Q):=\{\rho_q \mid q \in Q\}</math> überführen, die dann eine endliche Drehgruppe im <math>\R^3</math> ist. Man findet [[w:de:zyklische Gruppe|zyklische Gruppe]]n <math>\mathrm{C}_n</math> und [[w:de:Drehgruppe#Drehgruppen von Figuren|Polyedergruppen]], also die [[w:de:Diedergruppe|Diedergruppe]]n <math>\mathrm{D}_n</math> ([[w:de:Diedergruppe#Bezeichnungen|Zählweise]] der ''n''-Ecke), die [[w:de:A4 (Gruppe)|Tetraedergruppe]] <math>\mathrm{T}</math>, die [[w:de:Oktaedergruppe|Oktaedergruppe]] <math>\mathrm{O}</math> und die [[w:de:Ikosaedergruppe|Ikosaedergruppe]] <math>\mathrm{I}</math>. Die Erzeugenden der zyklischen Gruppen sind [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettungen]] von [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n <math>\exp(2\pi \mathrm i_\Complex/n)</math>.<ref>Wie im referenzierten Abschnitt und im Abschnitt [[w:de:#Automorphismen|#Automorphismen]] bemerkt, gibt es zu jedem fixen Dreibein <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k </math> sehr viele verschiedene Einbettungen dieser endlichen Untergruppen in <math>\mathbb{H}</math>.</ref> Die Urbilder der <math>\mathrm{D}_n</math>, <math>\mathrm{T}</math>, <math>\mathrm{O}</math>, <math>\mathrm{I}</math> unter <math>\rho</math> werden mit <math>\mathrm{2D}_n</math>, {{Anker|binäre_Tetraedergruppe}}<math>\mathrm{2T}</math>, {{Anker|binäre_Oktaedergruppe}}<math>\mathrm{2O}</math>, {{Anker|binäre_Ikosaedergruppe}}<math>\mathrm{2I}</math> bezeichnet und heißen ''binäre'' Diedergruppe etc. Für eine Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math> ist also <math>\mathrm{2P}:=\{q \mid \rho_q \in \mathrm{P} \}</math>.<ref>Diese Gruppen firmieren – besonders in der englischen Literatur – auch als binäre Erweiterung <math>\mathrm{2P}</math> der Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math>, und die binären Diedergruppen <math>\mathrm{2D}_n</math> zusätzlich als [[w:de:Quaternionengruppe#Dizyklische Gruppen und verallgemeinerte Quaternionengruppen|verallgemeinerte Quaternionengruppen]], auch als [[w:de:Dizyklische Gruppe|dizyklische Gruppen]], in Zeichen <math>\mathrm{Dic}_n</math>.</ref> Die endlichen Gruppen von Quaternionen sind demnach:<ref name="Conway" />{{rp| 3.5 The Finite Groups of Quaternions, S. 33}} <math>(2 \leq n \in \Z)</math> {| class="wikitable left" style="text-align:center;" |- | Gruppe || erzeugt<br /> von ||style="text-align:right"| Ordnung || [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] im <math>\R^2</math> bzw. <math>\R^4</math> |- | <math>\mathrm{C}_n</math> || <math>\langle e_n\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>n</math> || [[w:de:Polygon|reguläres ''n''-Eck]] |- | <math>\mathrm{2D}_n</math> || <math>\langle e_{2n},\mathrm j\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>4n</math> || <math>\{2n\} \Box \{2n\}</math>,<ref name="perf4polyt"> Gabor Gévay: [http://www.emis.ams.org/journals/BAG/vol.43/no.1/b43h1gev.pdf ''On Perfect 4-Polytopes''] (PDF; 211&nbsp;kB) Contributions to Algebra and Geometry Volume 43 (2002), No. 1, 243–259: gibt auf S. 256 die 4-Polytope »<math>\{2p\} \Box \{2p\}</math>« für die <math>\mathrm{2D}_p</math> bzw. auf S. 252 Table 2 das 4-Polytop »<math> \text{f}_{1,2}\text{F}_4</math>« für <math>\mathrm{2O}</math>.</ref> bei ''n''=2 zugleich: [[w:de:Hurwitzquaternion#Reguläres 16-Zell (Hexadekachor)|reguläres 16-Zell]] |- | <math>\mathrm{2T}</math> || <math>\langle \mathrm i,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>24</math> || [[w:de:Hurwitzquaternion#Reguläres 24-Zell (Ikositetrachor)|reguläres 24-Zell]] |- | <math>\mathrm{2O}</math> || <math>\langle q_O,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>48</math> || <math>\text{f}_{1,2}\text{F}_4</math><ref name="perf4polyt" /> = Dihektaoktokontaoktochor (288-Zell) |- | <math>\mathrm{2I}</math> || <math>\langle q_I,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>120</math> || reguläres 600-Zell |} mit : <math>e_n:=\exp(2\pi \mathrm i/n)</math>&nbsp;, &nbsp; <math>\omega: = \frac{-1+\mathrm i+\mathrm j+\mathrm k}2</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_O:=\frac{\mathrm j+\mathrm k}{\sqrt 2}</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_I: = \frac{2 \mathrm i+(\sqrt 5+1) \mathrm j+(\sqrt 5-1) \mathrm k}4</math>&nbsp;. Die zyklischen Gruppen <math>\mathrm{C}_n</math> sind in naheliegender Weise Untergruppen von anderen Gruppen. Die [[w:de:Quaternionengruppe|Quaternionengruppe]] <math>\mathrm{Q}_8</math> = <math>\mathrm{2D}_2</math> ist eine Untergruppe der binären Tetraedergruppe <math>\mathrm{2T}</math>. Die [[w:de:Quaternionengruppe#Automorphismen|Automorphismengruppe]] von <math>\mathrm{Q}_8</math> ist isomorph zur Oktaedergruppe <math>\mathrm{O} = \mathrm{Sym}_4</math> ([[w:de:Symmetrische Gruppe|Symmetrische Gruppe]]). Ihre Elemente sind ebenfalls Automorphismen von <math>\mathrm{2T}</math>, <math>\mathrm{2O}</math>, <math>\mathrm{2I}</math> und <math>\mathbb H</math>. Die konvexen Hüllen sind (bis auf die Fälle <math>\mathrm{C}_n</math>, bei denen man mit 2 Dimensionen auskommt) [[w:de:Polytop (Geometrie)|4-Polytope]] und haben, da alle Gruppenelemente von der Länge 1 sind, die [[w:de:Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> als [[w:de:Umkugel|Um-3-Sphäre]]. Die Ränder dieser 4-Polytope, also die Zellen, sind Ansammlungen von [[w:de:Tetraeder|Tetraeder]]n – bis auf den Fall <math>\mathrm{2T}</math>, bei dem es [[w:de:Oktaeder|Oktaeder]] sind. Bei den regulären unter den konvexen Hüllen ist es klar, dass die Zellen ebenfalls regulär und zueinander kongruent sind und es eine [[w:de:Inkugel|In-3-Sphäre]] gibt, die alle Zellen (an ihrem Mittelpunkt) berührt. Die übrigen, nämlich <math>\mathrm{2D}_n</math> und <math>\mathrm{2O}</math>, spannen sog. perfekte<ref name="perf4polyt" /> 4-Polytope auf. Hier sind die Zellen [[w:de:Disphenoid#tetragonales Disphenoid|tetragonale Disphenoide]], welche ebenfalls alle zueinander kongruent sind und an ihrem Mittelpunkt von der In-3-Sphäre berührt werden. == Automorphismen == Ein jeder Ring-[[w:de:Automorphismus|Automorphismus]] <math>\sigma</math> von <math>\mathbb H</math> ist ein [[w:de:Automorphismus#Innere Automorphismen|innerer]],<ref>[[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 24.</ref> d.&nbsp;h., es gibt eine Quaternion <math>q</math>, sodass <math>\sigma(x) = qxq^{-1}</math> für alle <math>x \in \mathbb{H}</math>. Daraus folgt: * Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\R</math> bleibt fest, d.&nbsp;h. <math>\sigma(\lambda)=\lambda</math> für alle <math>\lambda\in \R</math>. * Man kann sich auf die Einheitsquaternionen <math>q\in \mathbb{S}^3</math> beschränken. * Ein Automorphismus ändert nicht das [[w:de:#Skalarprodukt|Skalarprodukt]], d.&nbsp;h. <math>\sigma(x) \cdot \sigma(y) = x \cdot y</math>. * Die Automorphismen sind genau die [[w:de:Winkeltreue|winkel-]] und [[w:de:längentreue|längentreue]]n Drehungen von <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus dem Abschnitt [[w:de:#Drehungen im dreidimensionalen Raum|Drehungen im dreidimensionalen Raum]]. * Wegen der Längentreue sind die Automorphismen [[w:de:Stetige Funktion|stetig]], somit zusätzlich [[w:de:Homöomorphismus|topologisch]]. * <math>\mathbb{S}^3</math> hat das Zentrum <math>\{\pm 1\}</math>. Folglich ist die [[w:de:Automorphismengruppe|Automorphismengruppe]] <math>\operatorname{Aut}(\mathbb H) \cong \mathbb{S}^3/\{\pm 1\}</math>. Die [[w:de:#Konjugation|Konjugation]] als Spiegelung an der reellen Achse ist ''anti''homomorph in der Multiplikation, d.&nbsp;h. <math>\overline{x y}=\bar y \bar x</math>, und wird als [[w:de:Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]] bezeichnet, weil sie zudem eine [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]] ist. == Andere Konstruktionen == === Matrixdarstellungen === ==== Komplexe Matrizen ==== Im [[w:de:Matrizenring|Ring]] <math>\Complex^{2\times 2}</math> der [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] 2×2-[[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] bildet man den von den Elementen : <math>1_H := \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \mathrm i_H := \begin{bmatrix} \mathrm i_\Complex & 0 \\ 0 & -\mathrm i_\Complex \end{bmatrix},\quad \mathrm j_H := \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix},\quad \mathrm k_H := \begin{bmatrix} 0 & \mathrm i_\Complex \\ \mathrm i_\Complex & 0 \end{bmatrix}</math> erzeugten [[w:de:Unterring|Unterring]] <math>H</math>,<ref><math>H</math> ist ein <math>\R</math>-Vektorraum, der aber weder <math>\Complex^{2\times 2}</math>-[[w:de:Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] noch <math>\Complex</math>-Vektorraum ist, da &nbsp; <math>\mathrm i_\Complex \, 1_H \notin H</math>.</ref> wobei die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen als <math>\mathrm i_\Complex</math> kenntlich gemacht ist.<ref>Die Matrizen <math>\mathrm i_H,\mathrm j_H,\mathrm k_H</math> sind [[w:de:spurfrei|spurfrei]] und [[w:de:Schiefhermitesche Matrix|schiefhermitesch]].</ref> Eine Matrix : <math>x_0 \, 1_H+x_1\,\mathrm i_H+x_2\,\mathrm j_H+x_3\,\mathrm k_H=\begin{bmatrix}x_0+x_1\,\mathrm i_\Complex \quad &x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex\\-x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex \quad &x_0-x_1\,\mathrm i_\Complex\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}w&z\\-\overline z&\overline w\end{bmatrix}</math> mit reellen <math>x_0,x_1,x_2,x_3</math> und komplexen <math>w:=x_0+x_1\mathrm i_\Complex,z:=x_2+x_3\mathrm i_\Complex</math> hat die [[w:de:Determinante|Determinante]] <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=|w|^2+|z|^2</math>, die nur dann 0 ist, wenn <math>(w,z)=(0,0)</math>. Somit sind alle von der [[w:de:Nullmatrix|Nullmatrix]] verschiedenen Matrizen [[w:de:Invertierbare Matrix|invertierbar]] – und der Ring <math>H</math> ist ein [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]].<ref>Nur Matrixringe der Dimensionen 1, 2 und 4 über <math>\R</math> sind [[w:de:nullteilerfrei|nullteilerfrei]] (siehe auch [[w:de:#Die Quaternionen als Algebra|#Die Quaternionen als Algebra]]).</ref> Der so konstruierte Schiefkörper erweist sich als [[w:de:isomorph|isomorph]] zu den Quaternionen. Denn die Abbildung <math>\mathbb H \to H</math> mit den Zuordnungen : <math>1 \mapsto 1_H,\quad \mathrm i \mapsto \mathrm i_H,\quad \mathrm j \mapsto \mathrm j_H,\quad \mathrm k \mapsto \mathrm k_H</math> ist [[w:de:homomorph|homomorph]] in den Verknüpfungen Addition und Multiplikation, wobei letztere der [[w:de:Matrizenmultiplikation|Matrizenmultiplikation]] zuzuordnen ist. Die konjugierte Quaternion geht auf die [[w:de:adjungierte Matrix|adjungierte Matrix]] und die [[w:de:#Norm|Norm]] auf die [[w:de:Determinante|Determinante]]. Darüber hinaus ist die Abbildung [[w:de:Injektivität|injektiv]] und stetig, also [[w:de:Homöomorphismus|topologisch]]. Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Einbettung <math>\mathbb H \to H</math>, die alle zueinander [[w:de:Konjugation (Gruppentheorie)|konjugiert]] und [[w:de:Homöomorphismus|homöomorph]] sind.<ref>Diese Möglichkeiten entsprechen der Vorschaltung eines [[w:de:#Automorphismen|Automorphismus]].</ref> ==== Reelle Matrizen ==== Ganz analog kann man die Quaternion <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> auch als reelle 4×4-Matrix : <math>\begin{bmatrix}\begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ -x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ -x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ -x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array}\end{bmatrix}</math> : <math>= x_0 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_1 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_2 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_3 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] </math> schreiben. Die Konjugation der Quaternion entspricht der [[w:de:Transponierte Matrix|Transposition der Matrix]] und der Betrag der vierten Wurzel aus der Determinante. Das Modell der reellen Matrizen ist bspw. dann vorteilhaft, wenn man eine Software für [[w:de:lineare Algebra|lineare Algebra]] mit Schwächen bei den komplexen Zahlen hat. === Quotientenalgebra === Eine elegante, aber zugleich abstrakte Konstruktion stellt der Weg über den [[w:de:Faktorring|Quotienten]] des [[w:de:Nichtkommutativer Polynomring|nichtkommutativen Polynomrings]] in drei [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n dar, deren Bilder <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> sind, modulo dem Ideal, das von den Hamilton-Regeln erzeugt wird. Alternativ kommt man auch mit nur zwei Unbestimmten aus. Auf diese Weise ergibt sich die Quaternionen-Algebra als [[w:de:Clifford-Algebra|Clifford-Algebra]] der zweidimensionalen, euklidischen Ebene mit Erzeugern <math>\mathrm i \mapsto e_1,\, \mathrm j \mapsto e_2,\, \mathrm k=\mathrm {ij} \mapsto e_1e_2</math>. Im Zusammenhang mit dreidimensionalen Drehungen ist auch die Interpretation als der gerade Anteil der Clifford-Algebra des dreidimensionalen, euklidischen Raumes wichtig. Die Erzeuger werden dann mit <math>\mathrm i \mapsto e_2e_3,\, \mathrm j \mapsto e_3e_1,\,\mathrm k \mapsto e_1e_2</math> identifiziert. == Die Quaternionen als Algebra == Es gibt bis auf Isomorphie genau vier [[w:de:Dimension (Mathematik)|endlichdimensionale]] <math>\R</math>-[[w:de:Algebra über einem Körper|Algebren]], deren Multiplikation ohne [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] ist, nämlich den Körper <math>\R</math> der reellen Zahlen selbst, den Körper <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen, den Schiefkörper <math>\mathbb H</math> der Quaternionen und den [[w:de:Alternativkörper|Alternativkörper]] <math>\mathbb O</math> der Cayleyschen [[w:de:Oktave (Mathematik)|Oktaven]].<ref>[[w:de:Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)|Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)]], Korollar 6.8 in Kapitel IX von Hungerford: Algebra (Springer 1974).</ref><ref>[[w:de:Divisionsalgebra#Sätze über reelle Divisionsalgebren|Satz von Hurwitz (normierte Divisionsalgebren)]].</ref><ref>Satz von [[w:de:Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Pontrjagin]] (1931) in [[w:de:#Pontrjagin|Pontrjagin]]: Jeder [[w:de:lokalkompakt|lokalkompakt]]e, [[w:de:zusammenhängend|zusammenhängend]]e topologische Schiefkörper ist entweder der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen oder der Schiefkörper der Quaternionen.</ref> Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H</math> ist <math>\R</math>; die Quaternionen sind also eine [[w:de:zentraleinfache Algebra|zentraleinfache Algebra]] über <math>\R</math>. [[w:de:Reduzierte|Reduzierte]] [[w:de:Norm (Körpererweiterung)|Norm]] und [[w:de:Spur (Mathematik)|Spur]] sind durch : <math>\mathrm{Nrd}(x)=|x|^2 = x \bar x = \bar x x = \langle x,x \rangle</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; bzw. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\mathrm{Trd}(x)=2\cdot\operatorname{Re}\,x</math> gegeben. Beim [[w:de:Tensorprodukt#Erweiterung der Skalare|Basiswechsel]] von <math>\R</math> zum algebraischen Abschluss <math>\Complex</math> werden die Quaternionen zu einer Matrizenalgebra: : <math>\mathbb H\otimes_{\R}\Complex\cong M_2(\Complex).</math> Die komplexe Konjugation auf dem Faktor <math>\Complex</math> des [[w:de:Tensorprodukt|Tensorprodukt]]es entspricht einer [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]] <math>v</math> der Matrizenalgebra. Die Invarianten von <math>v</math>, d.&nbsp;s. die von <math>v</math> fix gelassenen Elemente <math>x</math> mit <math>v(x)=x</math>, bilden eine zu <math>\mathbb H</math> isomorphe Algebra. Zur oben angegebenen Matrixdarstellung der Quaternionen als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] passt die Involution : <math>v(x):= \epsilon\bar x \epsilon^{-1}</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\epsilon:=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}</math>&nbsp;. Die Tatsache, dass die [[w:de:Brauergruppe|Brauergruppe]] von <math>\R</math> nur aus zwei Elementen besteht, spiegelt sich auch darin wider, dass : <math>\mathbb H\otimes_{\R}\mathbb H\cong M_4(\R)</math> ist. Allgemein bezeichnet man jede vierdimensionale [[w:de:zentraleinfache Algebra|zentraleinfache Algebra]] über einem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] als eine [[w:de:Quaternionenalgebra|Quaternionenalgebra]]. Die Quaternionen sind die [[w:de:Clifford-Algebra|Clifford-Algebra]] zum Raum <math>\R^2</math> mit einer [[w:de:Definitheit|negativ-definiten]] symmetrischen [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]]. == Andere Grundkörper == === Quaternionen über den rationalen Zahlen === Bei allen [[w:de:#Konstruktion|obigen]] Arten der Konstruktion spielt die [[w:de:Vollständiger Raum|Vollständigkeit]] des Koeffizientenvorrats keine Rolle. Deshalb kann man (anstatt von den [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R \, </math> über <math>\Complex = \R( \mathrm i ) \, </math> zu <math>\mathbb H \, </math>) auch von anderen Grundkörpern, z.&nbsp;B. den [[w:de:Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\Q \, </math>, ausgehen, um via [[w:de:gaußsche Zahl|gaußscher Zahlen]] <math>\Q( \mathrm i ) \, </math> bei den '''Quaternionen mit rationalen Koeffizienten''' : <math>G := \{ x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k \; \mid \; x_0,x_1,x_2,x_3 \in \Q \} \, </math> anzukommen mit formal denselben Rechenregeln. Danach kann, falls überhaupt erforderlich, die [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] für die [[w:de:#Norm und Betrag|Betrags]][[w:de:Metrischer Raum|metrik]] durchgeführt werden mit einem Endergebnis isomorph zu <math>\mathbb H</math>. Insofern können bei vielen Aussagen <math>\R</math> durch <math>\Q</math>, <math>\Complex</math> durch <math>\Q( \mathrm i )</math> und <math>\mathbb H</math> durch <math>G</math> ersetzt werden. Da es nach dem [[w:de:Satz von Wedderburn|Satz von Wedderburn]] keinen endlichen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] mit nicht-[[w:de:Kommutativität|kommutativer]] [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] gibt und die [[w:de:Dimension (Mathematik)|Dimension]] des [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]s <math>G</math> über seinem [[w:de:Primkörper|Primkörper]] und [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\Q</math> mit <math>2^2=4</math> minimal ist, gehört <math>G</math> als [[w:de:Abzählbarkeit|abzählbare]] Menge zu den „kleinsten“ Schiefkörpern mit nicht-kommutativer Multiplikation&nbsp;– auf jeden Fall enthält <math>G</math> keinen kleineren. Der Schiefkörper <math>G</math> besitzt einen sogenannten [[w:de:Ganzheitsring|Ganzheitsring]], d.&nbsp;h. eine [[w:de:Untermenge|Untermenge]] von Zahlen, genannt [[w:de:Hurwitzquaternion|Hurwitzquaternion]]en, die einen Ring bilden und <math>G</math> zum [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] haben, ganz ähnlich, wie es sich bei den ganzen Zahlen <math>\Z</math> und ihrem Quotientenkörper <math>\Q</math> verhält. In einem solchen Ring lassen sich bspw. [[w:de:Gitter (Mathematik)|Approximationsfragen]], [[w:de:Teilbarkeit|Teilbarkeit]]sfragen u.&nbsp;Ä. untersuchen. {{Hauptartikel|Hurwitzquaternion}} === Weitere Grundkörper === Auch Körper <math>K \ncong \Q \, </math> eignen sich als Ausgangspunkt zur Bildung nicht-kommutativer Erweiterungskörper nach Art der Quaternionen. Wichtig ist, dass in <math>K \, </math> die Summe aus vier Quadraten <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 \, </math> nur für <math>x_0=x_1=x_2=x_3=0 \, </math> verschwindet. Dann gibt es auch kein <math>\mathrm i \in K \, </math> mit <math>\mathrm i^2 + 1 = 0 \, </math> und <math>K( \mathrm i ) \, </math> ist eine echte quadratische [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterung]], die eine Konjugation definiert. Diese Bedingungen sind z.&nbsp;B. bei allen [[w:de:Geordneter Körper#Formal reelle Körper|formal reellen Körpern]] erfüllt. Aber auch bei Körpern, die nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden können, kann die obige Bedingung betreffend die Summe aus vier Quadraten erfüllt sein, bspw. im Körper <math>\Q_2</math> der [[w:de:p-adische Zahl|2-adischen Zahlen]]. Der so über <math>\Q_2</math> gebildete Quaternionenkörper ist isomorph zur Vervollständigung des (oben beschriebenen) Körpers <math>G</math> der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten für die folgende (nichtarchimedische diskrete) Bewertung <math>v</math>&nbsp;, dem [[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|2-Exponenten]] der Norm, : <math> \begin{array}{rccccc} v \colon & G^* & \xrightarrow{\operatorname{Norm}} & \Q^* & \xrightarrow{v_2} & \Z \\ & x & \mapsto & x \bar x & \mapsto & v_2(x \bar x) \end{array} </math> mit <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = 2^n m, n\in\Z, m\in\Q^*, 2\nmid m, 2\nmid m^{-1}</math>&nbsp;. Die Primzahl <math>p=2</math> ist die einzige, für die die [[w:de:Quaternionen-Algebra|Quaternionen-Algebra]] über <math>\Q_p</math> [[w:de:nullteilerfrei|nullteilerfrei]] und ein Schiefkörper ist. == Anwendungen == === Eulerscher Vier-Quadrate-Satz === Die Identität, die aus dem Produkt zweier ''Summen von vier Quadraten'' : <math>(x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_0^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2)</math> {| |- |style="width:3em;"| || <math>=(x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_1 + x_1y_0+ x_2y_3- x_3y_2)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_2- x_1y_3 + x_2y_0+ x_3y_1)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_3+ x_1y_2- x_2y_1 + x_3y_0)^2</math> |} wieder eine ''Summe von vier Quadraten'' macht, gilt universell&nbsp;– einschließlich aller Varianten, die durch Vorzeichenspiel und [[w:de:Permutation|Permutation]] entstehen&nbsp;– in jedem [[w:de:Polynomring|Polynomring]] <math> R[x_0,x_1,x_2,x_3,y_0,y_1,y_2,y_3] </math> über einem kommutativen unitären Ring <math> R </math> und kann im Nachhinein als „Abfallprodukt“ der Multiplikativität des [[w:de:#Betrag|quaternionischen Betrags]] angesehen werden. Ihre Entdeckung 1748, also lange ''vor'' der Quaternionenzeit, geht jedoch auf [[w:de:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] zurück, der mit ihrer Hilfe den 1770 erstmals erbrachten Beweis von [[w:de:Joseph-Louis Lagrange|Joseph-Louis Lagrange]] für den lange vermuteten [[w:de:Vier-Quadrate-Satz#Beweisskizze|Vier-Quadrate-Satz]] wesentlich vereinfachen konnte. (Anmerkung: Die algebraisch beweisbaren bilinearen 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten sind die Grundlagen der Kompositionsalgebren, nämlich der komplexen Zahlen, der Quaternionen, und der Oktonionen. Diese letzteren sind sozusagen die „Quadratwurzeln“ aus den ersteren. Alles, was somit korrekt mit Quaternionen berechnet wird, steht bocksteif auf elementaren algebraischen Identitäten. Wie Adolf Hurwitz 1898 bewies,<ref>{{Internetquelle |autor=[[w:de:Adolf Hurwitz|Adolf Hurwitz]] |url=https://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457811_1898 |titel=Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln |datum=1898-07-09 |seiten=309–316 |werk=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse (1898), Heft 3 |abruf=2023-01-23}}</ref> gibt es außer den erwähnten 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten keine weiteren bilinearen ''n''-Quadrate-Identitäten mehr.) === Informatik und Ingenieurwissenschaften === Die Darstellung von Drehungen mithilfe von Quaternionen wird im Bereich der interaktiven [[w:de:Computergrafik|Computergrafik]] genutzt, insbesondere bei [[w:de:Computerspiel|Computerspiel]]en, sowie bei der Steuerung von [[w:de:Satellit (Raumfahrt)|Satelliten]]. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrizen]] werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere wenn viele [[w:de:Drehung|Drehung]]en miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit. Des Weiteren werden Quaternionen, neben den [[w:de:Eulerwinkel|Eulerwinkel]]n, zur Programmierung von [[w:de:Industrieroboter|Industrieroboter]]n (z.&nbsp;B. [[w:de:ABB (Unternehmen)|ABB]]) genutzt. == Geschichte == [[Datei:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|mini|Gedenktafel an der Broom Bridge in Dublin, wo [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]] die Multiplikationsregeln im Oktober 1843 spontan in den Stein ritzte.]] [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]] hatte 1835 die Konstruktion der komplexen Zahlen als [[w:de:Geordnetes Paar|Zahlenpaare]] angegeben. Dadurch motiviert, suchte er lange nach einer entsprechenden Struktur auf dem Raum <math>\R^3</math> der Zahlentripel; heute weiß man, dass keine derartige Struktur existiert. 1843 schließlich gelangte er zu der Erkenntnis, dass es möglich ist, eine Multiplikation auf der Menge der 4-[[w:de:Tupel|Tupel]] zu konstruieren, wenn man dazu bereit ist, die [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativität]] aufzugeben. In einem Brief an seinen Sohn gibt er als Datum den 16. Oktober 1843 an und berichtet, er habe sich spontan dazu hinreißen lassen, die Multiplikationsregeln in einen Stein an der Brougham Bridge (heute Broombridge Road) in [[w:de:Dublin|Dublin]] zu ritzen; später wurde dort eine Gedenktafel angebracht. Die Rechenregeln für Quaternionen waren in Ansätzen schon früher bekannt, so findet sich die Formel für den [[w:de:Vier-Quadrate-Satz|Vier-Quadrate-Satz]] bereits bei [[w:de:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1748). Andere, auch allgemeinere Multiplikationsregeln wurden von [[w:de:Hermann Graßmann|Hermann Graßmann]] untersucht (1855). Schon kurz nach der Entdeckung der Quaternionen fand Hamilton die Darstellung von Drehungen des Raumes mithilfe von Quaternionen und damit eine erste Bestätigung der Bedeutung der neuen Struktur; [[w:de:Arthur Cayley|Arthur Cayley]] entdeckte 1855 die entsprechenden Aussagen über orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes. Die bloße Parametrisierung der <math>3\times3</math>-Drehmatrizen war hingegen schon Euler bekannt. Cayley gab 1858 in der Arbeit, in der er Matrizen einführte, auch die Möglichkeit der Darstellung von Quaternionen durch komplexe <math>2\times2</math>-Matrizen an. Hamilton widmete sich fortan ausschließlich dem Studium der Quaternionen; sie wurden in Dublin ein eigenes Examensfach. In seiner Nachfolge wurde 1895 sogar ein „Weltbund zur Förderung der Quaternionen“ gegründet. Der deutsche Mathematiker [[w:de:Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] schreibt rückblickend über diese anfängliche Euphorie: {{Zitat |Text=Wie ich schon andeutete, schloß sich Hamilton eine Schule an, die ihren Meister an Starrheit und Intoleranz noch überbot. […] Die Quaternionen sind gut und brauchbar an ihrem Platze; sie reichen aber in ihrer Bedeutung an die gewöhnlichen komplexen Zahlen nicht heran. […] Die Leichtigkeit und Eleganz, mit der sich hier die weittragendsten Theoreme ergeben, ist in der Tat überraschend, und es läßt sich wohl von hier aus die alles andere ablehnende Begeisterung der Quaternionisten für ihr System begreifen, die […] nun bald über vernünftige Grenzen hinauswuchs, in einer weder der Mathematik als Ganzem noch der Quaternionentheorie selbst förderlichen Weise. […] Die Verfolgung des angegebenen Weges – der neu sein will, obwohl er tatsächlich nur eine peinlich genaue Übertragung längst bekannter Gedanken auf ein einziges neues Objekt, also durchaus keine geniale Konzeption bedeutet&nbsp;– führt zu allerhand Erweiterungen der bekannten Sätze, die in ihrer Allgemeinheit das Hauptcharakteristikum verlieren und gegenstandslos werden, allenfalls zu Besonderheiten, die ein gewisses Vergnügen gewähren mögen. |Autor=Felix Klein |Quelle=Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert |ref=<ref>{{Literatur |Autor=Felix Klein |Titel=Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert |Band=Teil&nbsp;I. |Verlag=Verlag von Julius Springer |Ort=Berlin |Datum=1926 |Seiten=184 ff}}</ref>}} == Verwandte Themen == Ähnliche Konstruktionen wie die Quaternionen werden manchmal unter dem Begriff „[[w:de:hyperkomplexe Zahl|hyperkomplexe Zahl]]en“ zusammengefasst. Beispielsweise sind die ''Cayley-Zahlen'' oder ''[[w:de:Oktave (Mathematik)|Oktaven]]'' ein achtdimensionales Analogon zu den Quaternionen; ihre Multiplikation ist allerdings weder kommutativ noch assoziativ. == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Quaternion'' werden == Beispiel == Als einführendes Beispiel zum Thema ''Quaternion'' dient dabei == Literatur/Quellennachweise == <references/> === Weblinks === {{Commonscat|Quaternions|Quaternion}} * [https://world.std.com/~sweetser/quaternions/ps/book.pdf Doing Physics with Quaternions] (PDF; 563&nbsp;kB) * {{Anker|Lam}} [[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009 * [http://www.grundstudium.info/animation/node17.php Quaternionen in der Computeranimation] * [https://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node24.html Der Ort der Entdeckung der Quaternionen (mit Bildern)] === Literatur - Mathematik === * Jens Carsten Jantzen, [[w:de:Joachim Schwermer|Joachim Schwermer]]: ''Algebra''. Springer, 2006, ISBN 3-540-21380-5, [[doi:10.1007/3-540-29287-X]] * [[w:de:Serge Lang|Serge Lang]]: ''Algebra''. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X * [[w:de:Max Koecher|Max Koecher]], [[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]]: ''Hamiltonsche Quaternionen''. In: H.-D. Ebbinghaus et al.: ''Zahlen''. Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-12666-X * {{Anker|Conway}} [[w:de:John Horton Conway|John H. Conway]], Derek A. Smith: ''On Quaternions and Octonions''. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch) * Jack B. Kuipers: ''Quaternions and Rotation Sequences''. Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (englisch) * W. Bolton: ''Complex Numbers (Mathematics for Engineers)''. Addison-Wesley, 1996, ISBN 0-582-23741-6 (englisch) * Andrew J. Hanson: ''Visualizing Quaternions''. Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0-12-088400-3 (englisch) * {{Anker|Pontrjagin}} [[w:de:Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Lew Semjonowitsch Pontrjagin]]: ''Verallgemeinerungen der Zahlen''. Verlag Harri Deutsch, 1995 * {{Anker|Eilenberg-Niven}} S. Eilenberg, I. Niven: ''The „fundamental theorem of algebra“ for quaternions''. In: ''Bull. Amer. Soc.'', 50, 1944, S. 246–248 * {{Anker|Hölder}} Hölder: [[s:Bemerkung zur Quaternionentheorie|Bemerkung zur Quaternionentheorie]] ([[w:de:Wikisource|Wikisource]]) == Siehe auch == * [[Komplexe Zahl]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[3D-Modellierung]] * [[Wiki2Reveal]] * [[w:de:Quaternion|Quaternion]] * [[Open Educational Resources]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Wikipedia%20Authors Wikipedia Authors]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion Quaternion] https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion * Datum: 7.8.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity {{Normdaten|TYP=s|GND=4176653-2|LCCN=sh/85/109754|NDL=00570899}} [[Kategorie:Zahl]] [[Kategorie:Verallgemeinerter Körper]] [[Kategorie:Ringtheorie]] [[Category:Wiki2Reveal]] nf723cvoch56o28bwo3fjwyvkb4vae3 1117383 1117382 2026-10-22T13:10:33Z Bert Niehaus 20843 /* Gegenring */ 1117383 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Quaternion'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Erweiterung eines Körpers und die algebraischen Eigenschaften * (2) Bezüge zu geometrischen Transformationen und 3D-Modellierung * (3) Quaternionen <math>\mathbb{H}</math> als 4-dimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Quaternionen'' in der Wikiversity hat das Ziel, die algebraischen und geometrischen Eigenschaften zu behandelt == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Quaternion'' sind * Studierende im Fach Mathematik (Algebra) * Studierende im Fach Informatik (Computergraphik) == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Quaternion'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''(Komplexe Zahl)''' Quaternionen als Erweiterung der komplexen Zahlen * '''(Gruppe)''' Die Einheiten der Quaternionen bilden eine nicht-kommuntative multiplikative Gruppe. == Einführung == Die '''Quaternionen''' (Singular ''die'' oder ''das Quaternion'', von {{laS|quaternio, -ionis}} [[w:de:Genus#Das Genussystem der deutschen Sprache|m.]] „Vierheit“) sind ein Zahlenbereich, der den Zahlenbereich der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] erweitert – ähnlich den [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]];<ref name="Beutelspacher-LA-7-30">{{Literatur |Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]] |Titel=Lineare Algebra |Auflage=7. |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=2010 |ISBN=978-3-528-66508-1 |Seiten=30}}</ref> sie werden deshalb auch ''hamiltonsche Quaternionen'' oder '''Hamilton-Zahlen''' genannt. [[w:de:Olinde Rodrigues|Olinde Rodrigues]] entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton.<ref>Bei Gauß findet sich eine Notiz über die Multiplikation und Konjugation von Quadrupeln im Kapitel ''Mutation des Raumes''. In: [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]]: ''Werke''. Achter Band. König. Gesell. Wissen., Göttingen 1900, S. 357–361, die auf das Jahr 1819 datiert wird. Die Unterschiede zu Hamilton gehen nicht über notationelle Konventionen hinaus (Zitiert nach [[w:de:#Lam|Lam]] S. 25).</ref> Trotzdem wird die [[w:de:Menge (Mathematik)|Menge]] der Quaternionen meistens mit <math>\mathbb H</math> bezeichnet. === Quaternionen als Schiefkörper === Die Quaternionen bilden einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation auch von der ''Reihenfolge'' der Faktoren abhängt, also ''nicht'' [[w:de:Kommutativgesetz|kommutativ]] ist. Das heißt, es gibt Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math>, bei denen : <math>x y \;\; \neq \;\; y x</math> ist. === Vergleich mit Rechenregeln in den reellen Zahlen === Einige aus dem [[w:de:Reelle Zahl|Reellen]] bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch gelten [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativ-]] und [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] sowie [[w:de:Ring (Algebra)#Invertierbarkeit, Einheit|multiplikative Invertierbarkeit]], d.&nbsp;h. die [[w:de:Körper (Algebra)|Existenz des Inversen]] <math>x^{-1}</math> zu jedem <math>x\neq 0</math>. Die Quaternionen waren das erste Beispiel eines nichtkommutativen Schiefkörpers.<ref>[[w:de:#Lam|Lam]] S. 1</ref> === Quaternionen im 3D-Raum === Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen sowie zur Auswertung [[w:de:Textur (Kristallographie)|kristallographischer Texturen]].<ref name="Lunze">{{cite journal |author=Karsten Kunze, Helmut Schaeben |title=The Bingham Distribution of Quaternions und Its Spherical Radon Transform in Texture Analysis |journal=Mathematical Geology |month=11 |year=2004 |volume=8 |pages=917–943 |doi=10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59 |language=en}}</ref> Sie sind aber auch als eigenständiges [[w:de:mathematisches Objekt|mathematisches Objekt]] von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des [[w:de:Vier-Quadrate-Satz|Vier-Quadrate-Satz]]es. == Konstruktion == Die Quaternionen entstehen aus den reellen Zahlen durch Hinzufügen ([[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]]) dreier neuer Zahlen, denen in Anlehnung an die komplex-imaginäre Einheit die Namen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> gegeben werden. So ergibt sich ein vierdimensionales Zahlensystem (mathematisch ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]) mit einem ''Realteil'', der aus ''einer'' reellen [[w:de:Matrix (Mathematik)#Elemente der Matrix|Komponente]] besteht, und einem ''Imaginärteil'' aus ''drei'' Komponenten, der auch Vektorteil genannt wird. Alle Quaternionen lassen sich eindeutig in der Form : <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> mit reellen Zahlen <math>x_0</math>, <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math> schreiben. Damit bilden die Elemente <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> eine [[w:de:Basis (Vektorraum)|Basis]], die Standardbasis der Quaternionen über <math>\R</math>. Die Addition erfolgt komponentenweise und wird vom Vektorraum geerbt. Multiplikativ werden die neuen Zahlen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math>, <math>\mathrm k</math> gemäß den ''Hamilton-Regeln'' {{Anker|Hamilton-Regeln}} : <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}=-1</math> verknüpft. Die [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]] <math>\R \times \mathbb H \to \mathbb H \, </math>, die ebenfalls vom Vektorraum geerbt wird<ref>Sie ist nicht mit dem [[w:de:#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] zu verwechseln.</ref> und bei der die Skalare als mit jedem Element vertauschbar angesehen werden, zusammen mit der Addition, dem [[w:de:Distributivgesetz#Formale Definition|Rechtsdistributivgesetz]] und den Hamilton-Regeln erlauben es, die Multiplikation von der Basis auf alle Quaternionen zu erweitern. Da so auch jeder Skalar <math>\lambda \in \R</math> als <math>\lambda+0\mathrm i+0\mathrm j+0\mathrm k</math> in <math>\mathbb H</math> eingebettet wird, kann <math>\R</math> als [[w:de:Unterring|Unterring]] von <math>\mathbb H</math> aufgefasst werden. Die so definierte Multiplikation ist [[w:de:Assoziativgesetz|assoziativ]], erfüllt die beiden [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]]e<ref>Wegen der fehlenden Kommutativität in der Multiplikation können die beiden Distributivgesetze nicht automatisch auf eines reduziert werden.</ref> und macht so die Quaternionen zu einem [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]]. Sie ist allerdings nicht [[w:de:Kommutativgesetz|kommutativ]], d.&nbsp;h., für zwei Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math> sind die beiden Produkte <math>x y</math> und <math> y x</math> im Allgemeinen verschieden (s.&nbsp;u.). Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H^\times</math>, also die Menge derjenigen Elemente der multiplikativen Gruppe von <math>\mathbb H</math>, die mit allen Elementen kommutieren, ist <math>\R^\times</math>. Die Quaternionen bilden einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] (Divisionsring), da es zu jeder Quaternion <math>x\ne0</math> eine [[w:de:#Inverses und Division|inverse Quaternion]] <math>x^{-1}</math> gibt mit : <math>x x^{-1}=x^{-1} x=1</math>&nbsp;. Wegen der fehlenden Kommutativität werden Notationen mit Bruchstrich, wie z.&nbsp;B. <math>\tfrac{y}x</math>, vermieden. Des Weiteren sind die Quaternionen eine [[w:de:Dimension (Mathematik)|vierdimensionale]] [[w:de:Divisionsalgebra|Divisionsalgebra]] über <math>\R</math> – und bis auf [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] die einzige. == Schreibweise == Im weiteren Text werden folgende Schreibweisen benutzt: Ist <math>x</math> eine Quaternion, dann werden ihre reellen Komponenten mit <math>x_0, x_1, x_2, x_3</math> bezeichnet, und diese sind der Basis <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> folgendermaßen zugeordnet: : <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k .</math> Gelegentlich wird eine vektorielle Schreibweise benötigt. Dabei werden bspw. die Komponenten <math>(x_1,x_2,x_3)</math> zu einem 3-dimensionalen Vektor <math>\vec x</math> zusammengefasst, sodass man <math>x</math> mit dem 4-dimensionalen Vektor <math>(x_0, \vec x) = (x_0, x_1, x_2, x_3)</math> identifizieren kann.<ref>NB: <math>\vec x</math> wird bei Bedarf auch als Spaltenvektor eingesetzt.</ref> Analoge Abmachungen sollen für andere Buchstaben wie <math>y</math> etc. gelten. In manch älterer Literatur wurden Quaternionen mit großen [[w:de:Fraktur (Schrift)|Frakturbuchstaben]] und die imaginären Einheiten als ''Einheitsvektoren'' mit kleinen <math>\mathfrak{e}_n</math> in Fraktur bezeichnet, z.&nbsp;B. so: : <math>\mathfrak{X} = x_0 + \mathfrak{e}_1 x_1 + \mathfrak{e}_2 x_2 + \mathfrak{e}_3 x_3 = \sum_{j=0}^3 \mathfrak{e}_j x_j</math> mit <math>\mathfrak{e}_0 = 1</math>. Komplexe Zahlen tragen meist den Namen <math>z</math> und haben die reellen Komponenten <math>\xi</math>, <math>\eta</math>. == Grundrechenarten == Die Konstruktion der Quaternionen ist der der komplexen Zahlen analog, allerdings wird nicht nur eine neue Zahl hinzugefügt, sondern derer drei, die mit <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> bezeichnet werden. Die [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]]en : <math>x_0\mathrm 1+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> über der Basis <math>\{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math> spannen mit reellen Komponenten <math>x_i</math> den 4-dimensionalen Vektorraum der Quaternionen <math>\mathbb H</math> auf. Als Vektorraum ist <math>\mathbb H</math> isomorph zu <math>\R^4</math>. Das Basiselement <math>\mathrm 1</math>, das die reellen Zahlen [[w:de:Injektivität|injektiv]] einbettet (und zugleich das neutrale Element der Multiplikation darstellt), wird in der Linearkombination meist weggelassen. Die Addition und Subtraktion geschieht komponentenweise. Vom Vektorraum wird auch die [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]] übernommen, also die linke und rechte Multiplikation mit einer reellen Zahl, die distributiv zu jeder Komponente multipliziert wird. Diese Skalarmultiplikation ist eine [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] der Hamilton-Multiplikation, die auf ganz <math>\mathbb H</math> definiert ist. Die Hamilton-Multiplikation der Basiselemente untereinander oder etwas umfassender innerhalb der Menge : <math>\mathrm{Q}_8 := \{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k, -\mathrm 1,-\mathrm i,-\mathrm j,-\mathrm k\}</math> geschieht nach den Hamilton-Regeln {| |- |style="width: 25em;"| * <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=-1</math> | <math>(1)</math> |- | * <math>\mathrm i\mathrm j=+\mathrm k,\quad \mathrm j\mathrm k=+\mathrm i,\quad \mathrm k\mathrm i=+\mathrm j</math> | <math>(2)</math> |- | * <math>\mathrm j\mathrm i=-\mathrm k,\quad \mathrm k\mathrm j=-\mathrm i,\quad \mathrm i\mathrm k=-\mathrm j</math> | <math>(\bar 2)</math>. |} Diese Regeln zusammen mit der Vertauschbarkeit von <math>\pm1</math> mit jedem anderen Element geben eine vollständige Tafel für eine Verknüpfung vor, die sich als [[w:de:Assoziativgesetz|assoziativ]] erweist und <math>\mathrm{Q}_8</math> zu einer [[w:de:Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] macht – der [[w:de:Quaternionengruppe|Quaternionengruppe]]. Unter Voraussetzung der Regel <math>(1)</math> (und der Gruppenaxiome) ist die Kombination aus <math>(2)</math> und <math>(\bar 2)</math>, in der das zyklische und antizyklische Verhalten der drei nicht-reellen Quaternionen-Einheiten zum Ausdruck kommt, ersetzbar durch die Einzelregel {| |- |style="width: 25em;"| * <math>\mathrm i\mathrm j\mathrm k=-1</math> | <math>(3)</math>. |} Diese Einzelregel <math>(3)</math> könnte auch durch jede der fünf alternativen Einzelregeln <math>\mathrm j\mathrm k\mathrm i=-1</math>, <math>\mathrm k\mathrm i\mathrm j=-1</math>, <math>\mathrm k\mathrm j\mathrm i=1</math>, <math>\mathrm j\mathrm i\mathrm k=1</math> oder <math>\mathrm i\mathrm k\mathrm j=1</math> ersetzt werden. Mithilfe dieser Ersetzungsregeln, des [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]]es und (linken sowie rechten) [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]]es lässt sich die Multiplikation auf ganz <math>\mathbb H</math> fortsetzen. Die <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> kann man wie [[w:de:Kommutativgesetz#Antikommutativität|''anti-kommutierende'']] Variablen behandeln. Treten Produkte von zweien von ihnen auf, so darf man sie nach den Hamilton-Regeln ersetzen. Die ausgearbeiteten Formeln für die zwei Verknüpfungen von zwei Quaternionen : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> &nbsp; und &nbsp; <math>y=y_0+y_1\mathrm i+y_2 \mathrm j+y_3\mathrm k</math> lauten :<math>\begin{alignat}{2} x+y & = (x_0+y_0)+(x_1+y_1)\mathrm i+(x_2+y_2)\mathrm j+(x_3+y_3)\mathrm k &\quad& \text{(Addition)} \end{alignat}</math> bzw. :<math>\begin{alignat}{2} x\;y & = (x_0 y_0 - x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3) &\quad& \text{(Multiplikation)}\\ & \quad + (x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{green} \; + \; x_2 y_3} {\color{red} \; - \; x_3 y_2}) \mathrm i && \\ & \quad + (x_0 y_2 {\color{red} \; - \; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{green} \; + \; x_3 y_1}) \mathrm j && \\ & \quad + (x_0 y_3 {\color{Green} \; + \; x_1 y_2} {\color{red} \; - \; x_2 y_1} + x_3 y_0) \mathrm k && \end{alignat}</math> Herleitung:<ref>{{Literatur |Autor=Brian L. Stevens, Frank L. Lewis, Eric N. Johnson |Titel=Aircraft Control and Simulation. Dynamics, Controls Design, and Autonomous Systems |Auflage=Third edition |Verlag=John Wiley & Sons, Inc. |Ort=Hoboken, New Jersey |Datum=2016 |ISBN=978-1-118-87098-3 |Seiten=46}}</ref> :<math>\begin{align} x\;y & = (x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k) \; (y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k)\\ & = x_0 y_0 + x_1 y_1 \mathrm i \mathrm i + x_2 y_2 \mathrm j \mathrm j + x_3 y_3 \mathrm k \mathrm k\\ & \quad + x_0 y_1 \mathrm i + x_1 y_0 \mathrm i +x_2 y_3 {\color{green} \mathrm j \mathrm k} +x_3 y_2 {\color{red}\mathrm k \mathrm j}\\ & \quad + x_0 y_2 \mathrm j + x_1 y_3 {\color{red} \mathrm i \mathrm k } + x_2 y_0 \mathrm j + x_3 y_1 {\color{green} \mathrm k \mathrm i}\\ & \quad + x_0 y_3 \mathrm k + x_1 y_2 {\color{green}\mathrm i \mathrm j} + x_2 y_1 {\color{red} \mathrm j \mathrm i} + x_3 y_0 \mathrm k\\ & = x_0 y_0 -x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3\\ & \quad + (x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{green}\;+\; x_2 y_3 } {\color{red} \; -\; x_3 y_2 }) \mathrm i\\ & \quad + (x_0 y_2 {\color{red}\;-\; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{green}\;+\; x_3 y_1} )\mathrm j \\ & \quad + (x_0 y_3 {\color{green}\;+ \; x_1 y_2} {\color{red}\;-\; x_2 y_1 } + x_3 y_0 ) \mathrm k. \end{align}</math> Damit sind die für einen Ring erforderlichen zwei Verknüpfungen definiert. Es ist leicht nachgerechnet, dass alle Ring-Axiome erfüllt sind. Das additive [[w:de:Inverses Element|Inverse]] ist (wie in jedem Vektorraum) das Produkt mit dem Skalar −1. Die ''Subtraktion'' ist die Addition dieses Inversen. Die für einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] erforderliche ''Division'' muss wegen der fehlenden Kommutativität durch eine Multiplikation mit dem (multiplikativen) Inversen ersetzt werden (siehe [[w:de:#Inverses und Division|Inverses und Division]]).<ref>Reelle Faktoren kommutieren mit <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> und damit mit allen Quaternionen, d.&nbsp;h., es gilt beispielsweise :<math>2\mathrm i\mathrm j=\mathrm i2\mathrm j=\mathrm i\mathrm j 2=2\mathrm k</math>, aber :<math>2\mathrm j\mathrm i=\mathrm j 2\mathrm i=\mathrm j\mathrm i 2=-2\mathrm k</math>. Nicht alle aus der elementaren Algebra bekannten Rechenregeln gelten für die Quaternionen, z.&nbsp;B. gilt :<math>(\mathrm i+\mathrm j)(\mathrm i-\mathrm j)=\mathrm i\mathrm i-\mathrm i\mathrm j+\mathrm j\mathrm i-\mathrm j \mathrm j=(-1)-\mathrm k+(-\mathrm k)-(-1)=-2\mathrm k</math>. Die [[w:de:Binomische Formel|binomischen Formeln]] <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> oder <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> sind hier also ''nicht'' anwendbar. Sie setzen voraus, dass <math>ab=ba</math> gilt.</ref> == Gegenring == Ist <math>(R,+,\cdot)</math> ein Ring, dann wird der mit der Multiplikation :<math>x \circ y \; := y \cdot x</math> ausgestattete Ring <math>R^{\operatorname{op}} := (R,+,\circ) </math> als [[w:de:Gegenring|Gegenring]] bezeichnet. Hier folgen alle Ringgesetze, das heißt das Assoziativgesetz sowie beide Distributivgesetze, aus den ursprünglichen Gesetzen. Im Gegenring <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math>, der wegen der Nicht-Kommutativität von <math>\mathbb H</math> von diesem verschieden ist, gelten alle im Abschnitt ''[[w:de:#Grundrechenarten|Grundrechenarten]]'' angeführten Rechenregeln bis auf die Multiplikation, bei der die Vorzeichen der Terme, die nur [[w:de:Koeffizient|Koeffizient]]en <math>x_m y_n</math> mit <math>m \ne n</math> und <math>m \ne 0 \ne n</math> haben, invertiert sind. Ferner gilt die Kurzform : <math>\mathrm i\circ \mathrm j\circ \mathrm k=+1</math>. === Definition von Gauß === Im Übrigen hat [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Gauß]] laut Lam (Eq. (1.4)) die Quaternionenmultiplikation im Jahr 1819 genau so definiert. Des Weiteren ist die [[w:de:Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] des [[w:de:Drei-Finger-Regel|Dreibeins]] <math>(\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k)</math> in <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math> gespiegelt. Die [[w:de:Identische Abbildung|Identität]] auf der Grundmenge <math>\R^4</math> ist ein [[w:de:Antiisomorphismus|Antiisomorphismus]] und die [[w:de:#QKonjugation|Konjugation]] ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. === Nichtkommutativität === Die Nichtkommutativität ist gleichbedeutend mit der Verschiedenheit von <math>\mathbb{H}</math> und <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math>. Da beide Ringe die [[w:de:Ring (Algebra)#Ring|Ringaxiome]] der Quaternionen erfüllen, muss dieses Axiomensystem „unvollständig“ sein im Sinne [[w:de:#Hölder|Hölders]]. In diesem Sinn vollständig sind die Axiomensysteme der rationalen, reellen oder komplexen Zahlen. == Grundlegende Begriffe == === {{Anker|Realteil|Vektorteil}} Skalarteil und Vektorteil === Aufgrund der besonderen Stellung der Komponente <math>x_0</math> einer Quaternion : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> bezeichnet man sie – wie bei den komplexen Zahlen – als ''Realteil'' oder ''Skalarteil'' : <math>\operatorname{Re}\,x := x_0</math>&nbsp;, während die Komponenten <math>x_1,x_2,x_3</math> zusammen den ''Imaginärteil'' oder ''Vektorteil'' : <math>\operatorname{Im}\,x := x_1\mathrm i + x_2\mathrm j + x_3\mathrm k</math> bilden. Häufig identifiziert man den Vektorteil auch mit dem Vektor <math>\vec x:=(x_1,x_2,x_3) \in \R^3</math>. === {{Anker|QKonjugation}} Konjugation === Zu jeder Quaternion : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> ist die ''konjugierte Quaternion'' definiert als : <math>\bar x := x_0-x_1\mathrm i-x_2\mathrm j-x_3\mathrm k</math>&nbsp;. Da hier der Imaginärteil mit seinen Einheitsvektoren verknüpft bleibt und der Realteil als reelle Zahl eindeutig in die Quaternionen einzubetten ist, ergeben sich die einfachen Beziehungen : <math>x = \operatorname{Re}\,x + \operatorname{Im}\,x </math> und : <math>\bar{x} = \operatorname{Re}\,x - \operatorname{Im}\,x </math>&nbsp;, aus denen sich unmittelbar : <math>\operatorname{Re}\,x = \frac12(x+\bar{x})</math> und : <math>\operatorname{Im}\,x = \frac12(x-\bar{x})</math> ausrechnet.<ref>Im Komplexen gilt dagegen :<math>\operatorname{Im}\,z = \frac{1}{2\mathrm i_\Complex}(z-\bar{z})</math> mit Abspaltung der imaginären Einheit <math>\mathrm i_\Complex</math> von der rein-imaginären Komponente, sodass der Imaginärteil eine ''reelle'' Zahl ist. Und es gilt: :<math>z = \operatorname{Re}\,z + \mathrm i_\Complex \; \operatorname{Im}\,z.</math></ref> Ist eine Quaternion gleich ihrer Konjugierten, so ist sie reell, d.&nbsp;h., der Vektorteil ist null. Ist eine Quaternion gleich dem Negativen ihrer Konjugierten, so ist sie eine [[w:de:#Reine Quaternion|reine Quaternion]], d.&nbsp;h., der Skalarteil ist null. Weitere wichtige Eigenschaften der Konjugation sind: {| |- | * <math>\overline{(\bar x)}=x</math> | Die Konjugation ist eine [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]]. |- | * <math>\overline{x+y}=\bar x+\bar y</math> und<br /> <math>\overline{\lambda x}=\lambda\bar x</math> für reelle Zahlen <math>\lambda</math> | Die Konjugation ist <math>\R</math>-[[w:de:Lineare Abbildung|linear]]. |- | * <math>\overline{x y}=\bar y\bar x</math> | Die Konjugation ist ein [[w:de:Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]]. |- | * <math>\overline x = -\tfrac12(x + \mathrm i\,x\,\mathrm i + \mathrm j\,x\,\mathrm j + \mathrm k x \mathrm k)</math> &nbsp; &nbsp; | Die Konjugation lässt sich „mit arithmetischen Mitteln“ darstellen.<ref>Das gilt daher auch für den Betrag und die Teilmenge der reellen Zahlen. Bei den komplexen Zahlen gilt das nicht (s.&nbsp;a. [[w:de:Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie|Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie]]).</ref> |} === Skalarprodukt === Das [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon \mathbb H \times \mathbb H \to\R</math> zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im <math>\R^4</math>, ist definiert durch : <math>\langle x,y \rangle:= x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3</math>&nbsp;. Es gilt : <math>\langle x,y \rangle= \operatorname{Re}(\bar xy)=\operatorname{Re}(x\bar y) = \frac{1}{2} (x\bar y + y\bar x)</math>&nbsp;. Es ist eine [[w:de:Definitheit|positiv definite]] symmetrische [[w:de:Bilinearform#Beispiele|Bilinearform]], über die sich [[w:de:#Norm und Betrag|Norm und Betrag]] definieren lassen und mit der [[w:de:Skalarprodukt#Norm, Winkel und Orthogonalität|Winkel und Orthogonalität]] bestimmt werden können. Ferner kann man damit die einzelnen Komponenten einer Quaternion isolieren: : <math>x_0 = \langle\mathrm 1, x\rangle,\quad x_1 = \langle\mathrm i, x\rangle,\quad x_2 = \langle\mathrm j, x\rangle,\quad x_3 = \langle\mathrm k, x\rangle</math>&nbsp;. Das aus der Physik weit verbreitete Vorgehen, das Skalarprodukt abkürzend wie eine Multiplikation mit dem [[w:de:Mittepunkt|Mittepunkt]] {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} zu notieren, wird auch bei den Quaternionen häufig angewandt, wobei hier die Verwechslungsgefahr zwischen Quaternionenmultiplikation und Skalarprodukt hoch ist. Im Folgenden verwenden wir folgende Konvention: * Das Quaternionenprodukt wird stets ohne Benutzung des Mittepunkts durch Aneinanderreihung der Faktoren notiert. * Das Skalarprodukt, und zwar sowohl das 4- wie das 3-dimensionale, wird in Multiplikationsschreibweise mit dem Mittepunkt {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} notiert. === Kreuzprodukt === Das Kreuzprodukt zweier Quaternionen <math>x, y</math> ist das [[w:de:Kreuzprodukt|Kreuzprodukt]] (Vektorprodukt) ihrer Vektorteile und bis auf den Faktor&nbsp;2 ihr [[w:de:Kommutator (Mathematik)|Kommutator]]. Ist <math>x=:(x_0,\vec x)</math> und <math>y =: (y_0,\vec y)</math>, so ist : <math>\begin{align} x \times y & := \vec x\times\vec y \\ & \;= \tfrac12(x y-y x) \\ & \;= ( x_2 y_3 - x_3 y_2) \mathrm i +(x_3 y_1 - x_1 y_3) \mathrm j +( x_1 y_2 - x_2 y_1) \mathrm k \; . \end{align}</math> === Quaternionenmultiplikation als Skalar- und Kreuzprodukt === Identifiziert man Quaternionen {| |- |style="width: 25em;"| : <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> |style="width: 5em;"| und |style="width: 25em;"| <math>y = y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k</math> |} mit Paaren aus einem Skalar <math>\in \R</math> und einem Vektor <math>\in \R^3</math> {| |- |style="width: 25em;"| : <math>x=(x_0,\vec x)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec x :=(x_1,x_2,x_3)</math> |style="width: 5em;"| bzw. |style="width: 25em;"| <math>y=(y_0,\vec y)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec y :=(y_1,y_2,y_3)</math>&nbsp;, |} so lässt sich die Multiplikation mithilfe des (dreidimensionalen) [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]]s und [[w:de:Kreuzprodukt|Kreuzprodukt]]s beschreiben: : <math>xy = (x_0,\vec x) (y_0,\vec y)=\Big(x_0 y_0 -\vec x \cdot\vec y,\quad x_0 \vec y+\vec x y_0+\vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;. {{Anker|vertauschbar}} Zwei Quaternionen sind demnach genau dann miteinander ''vertauschbar'', wenn ihr Kreuzprodukt 0 ist, wenn also ihre Vektorteile als reelle Vektoren linear abhängig sind (s.&nbsp;a. [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettung der komplexen Zahlen]]). === {{Anker|Norm}} Norm und Betrag === Das Skalarprodukt einer Quaternion <math>x</math> mit sich selbst, welches gleich dem Quaternionenprodukt mit der Konjugierten ist, wird ''Norm'' genannt: : <math>\operatorname{Norm}(x) := \langle x,x \rangle = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 = x\bar x = \bar x x </math>&nbsp;<ref>Viele Autoren setzen jedoch Norm dem Betrag gleich.</ref> Insbesondere ist dieser Wert reell und nichtnegativ. {{Anker|Betrag}} Die [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] daraus : <math>\sqrt{{x_0}^2+{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2}=:|x|</math> wird ''Betrag'' oder ''Länge'' der Quaternion <math>x</math> genannt und stimmt überein mit Betrag oder [[w:de:Euklidische Norm|euklidischer Länge]] des Vektors <math>(x_0,x_1,x_2,x_3)</math>. Er erfüllt die wichtige Eigenschaft : <math>|x y|=|x|\;|y|</math>&nbsp;, die ''Multiplikativität des Betrags''. Mit dem Betrag werden die Quaternionen zu einer reellen [[w:de:Banachalgebra|Banachalgebra]]. === Inverses und Division === Bei einer nicht-kommutativen Multiplikation muss man die Gleichungen {| |- |style="width: 10em;"| : <math>x b=a</math> |style="width: 5em;"| und |style="width: 10em;"| <math>b y=a</math> |} unterscheiden. Wenn das [[w:de:Inverses Element|Inverse]] <math>b^{-1}</math> existiert, dann sind {| |- |style="width: 10em;"| : <math>x=a b^{-1}</math> |style="width: 5em;"| bzw. |style="width: 10em;"| <math>y=b^{-1} a</math> |} respektive Lösungen, die nur dann übereinstimmen, wenn <math>b</math> und <math>a</math> kommutieren, insbesondere wenn der Divisor <math>b</math> reell ist. In solch einem Fall kann die Schreibweise <math>\tfrac a b</math> verwendet werden – bei allgemeinen Divisionen wäre sie nicht eindeutig. Wenn zusätzlich <math>c^{-1}</math> existiert, gilt die Formel : <math>b^{-1} c^{-1}=(c b)^{-1}</math>, denn : <math>b^{-1} c^{-1} c b=1</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; und&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> (c b)^{-1} c b=1</math>&nbsp;. Für : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k\ne0</math> ist die Norm : <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = \bar x x = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2>0</math> reell und positiv. Die Quaternion : <math>x^{-1} := \frac{\bar x}{x \bar x} </math> erfüllt dann die Bedingungen des Rechts- : <math> x x^{-1} = x \frac{\bar x}{x \bar x} = 1</math> und des Links-Inversen : <math> x^{-1} x = \frac{\bar x}{\bar x x} x = 1</math> und kann deshalb als das Inverse schlechthin von <math>x</math> bezeichnet werden. === Reine Quaternion === Eine Quaternion, deren Vektorteil 0 ist, wird mit der ihrem Skalarteil entsprechenden reellen Zahl identifiziert. Eine Quaternion, deren Realteil 0 ist (äquivalent, deren Quadrat reell und nichtpositiv ist), nennt man ''rein'', ''rein imaginär'' oder ''vektoriell''. Die Menge der reinen Quaternionen wird als <math>\mathbb H _{\text{pure}}</math> oder <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> notiert. Sie ist ein [[w:de:Dimension (Mathematik)|dreidimensionaler]] reeller [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit Basis <math>\{\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math>. Für reine Quaternionen nimmt die Multiplikation eine besonders einfache Form an: : <math>(0,\vec x)(0,\vec y) \; = \; \Big({-\vec x \cdot \vec y}, \, \vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;. === Einheitsquaternion === Eine ''Einheitsquaternion'' (auch ''normierte Quaternion'', Quaternion ''der Länge&nbsp;1'') ist eine Quaternion, deren Betrag gleich&nbsp;1 ist. Für sie gilt (analog zu den komplexen Zahlen) : <math>|x|=1\iff x\bar x=1\iff \bar x=x^{-1}</math>. Für eine beliebige Quaternion <math>x\ne0</math> ist : <math>\frac x{|x|}=\frac{x_0}{|x|}+\frac{x_1}{|x|}\mathrm i+\frac{x_2}{|x|}\mathrm j+\frac{x_3}{|x|}\mathrm k</math> eine Einheitsquaternion, die man manchmal auch als das [[w:de:Signumfunktion|Signum]] oder den Versor von <math>x</math> bezeichnet. Das Produkt zweier Einheitsquaternionen und die Inverse einer Einheitsquaternion sind wieder Einheitsquaternionen. Die Einheitsquaternionen bilden also eine Gruppe. Geometrisch kann man die Menge der Einheitsquaternionen als die [[w:de:Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> im vierdimensionalen [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und damit als [[w:de:Lie-Gruppe|Lie-Gruppe]] interpretieren, mit dem Raum der [[w:de:#Reine Quaternion|reinen Quaternionen]] als zugehöriger [[w:de:Lie-Algebra|Lie-Algebra]]. Die Darstellung als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] verdeutlicht die umkehrbar eindeutige Entsprechung der Einheitsquaternionen mit der [[w:de:Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>. Die einzigen reellen Einheitsquaternionen sind <math>\pm 1</math>. Sie machen auch das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb{S}^3</math> aus. === Reine Einheitsquaternion === Einheitsquaternionen, die auch reine Quaternionen sind, lassen sich als diejenigen Quaternionen charakterisieren, deren Quadrate <math>-1</math> ergeben: : <math>\epsilon_0=0 \; \land \; {\epsilon_1}^2+{\epsilon_2}^2+{\epsilon_3}^2=1\qquad\iff\qquad \epsilon^2=-1</math>.<ref>Den unendlich vielen [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]]n des [[w:de:Polynom|Polynom]]s <math>X^2 + 1</math> steht das Fehlen einer Nullstelle beim Polynom <math>\mathrm i X - X \mathrm i + 1</math> vom [[w:de:Polynom|Grad]] 1 gegenüber. Letzteres besitzt 2 [[w:de:Monom|Monom]]e vom Grad 1, dem höchsten Grad seiner Monome. In nicht-kommutativen Ringen wird der Grad des Monoms <math>a_0 X a_1 \dots a_{n-1} X a_n</math> mit <math>a_i \neq 0</math> zu <math>n</math> definiert, und ein Monom dominiert ein Polynom, wenn es unter allen Monomen den höchsten Grad hat. Dann ist der Grad des Polynoms auch gleich dem Grad der dominierenden Monome. Hat ein Polynom über <math>\mathbb H</math> ein ''einziges'' dominierendes Monom von einem Grad > 0, dann hat es immer eine Nullstelle in <math>\mathbb H</math>. ([[w:de:#Eilenberg-Niven|Eilenberg-Niven]]).</ref> Sie liegen in der Äquatorhyperebene der 3-Sphäre <math>\mathbb{S}^3</math> und machen die Einheits-2-Sphäre <math>\mathbb{S}^2</math> des dreidimensionalen Raums <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus. === Einbettung der komplexen Zahlen === Jede Quaternion <math>\epsilon</math> mit Quadrat <math>-1</math> definiert einen Einbettungs[[w:de:isomorphismus|isomorphismus]] <math>\iota_{\epsilon}</math> der komplexen Zahlen in die Quaternionen : <math> \begin{array}{rccc} \iota_{\epsilon} \colon & \Complex & \to & \mathbb H \\ & u+v\mathrm i_\Complex & \mapsto & u+v \epsilon \end{array} </math> mit <math>u,v\in\R</math> und <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit der komplexen Zahlen. Dabei sind die [[w:de:Bild (Mathematik)|Bildmengen]] der <math>\epsilon</math> und <math>\bar \epsilon</math> entsprechenden Einbettungen identisch: <math>\iota_{\epsilon}(\Complex) = \iota_{\overline \epsilon}(\Complex)</math>. Eine jede solche Quaternion darf <math>\mathrm i</math> genannt werden, eine senkrechte dazu <math>\mathrm j</math> und ihr Produkt <math>\mathrm k</math>.<ref name="Conway">[[w:de:John Horton Conway|John H. Conway]], Derek A. Smith: ''On Quaternions and Octonions''. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch).</ref>{{rp|Seite 40.}} <ref>Ein [[w:de:#Automorphismen|Automorphismus]] definiert eine solche Einbettung (durch [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]]), die nur eine Einbettung von {{nowrap|<math>\R</math>-[[w:de:Algebra über einem Körper|Algebren]]}} ist. <math>\mathbb H</math> ist keine Algebra über <math>\Complex</math>.</ref> Jede nicht-reelle Quaternion liegt in genau einer solchen Einbettung von <math>\Complex</math>&nbsp;. Zwei Quaternionen sind genau dann vertauschbar, wenn es eine gemeinsame Einbettung gibt. Zwei verschiedene Bilder haben die reelle Achse zum Durchschnitt. So betrachtet, sind die Quaternionen eine [[w:de:Menge (Mathematik)#Vereinigung (Vereinigungsmenge)|Vereinigung]] komplexer Ebenen. == Polardarstellung == Jede [[w:de:#Einheitsquaternion|Einheitsquaternion]] <math>x^\circ = x_0 + x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k \; \ne \; \pm 1</math> kann auf eindeutige Weise in der Form : <math>x^\circ=\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math> :: mit dem ''Polarwinkel''<ref>[[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22. Der Polarwinkel ist das Analogon zum [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|komplexen Argument]] <math>\operatorname{arg}(z)</math>, allerdings ist bei dessen Hauptwert das Signum des Imaginärteils mit hinein genommen, was sich bei den Quaternionen nicht machen lässt, sodass <math>\operatorname{arg}</math> nicht eine einfache [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] des Polarwinkels ist.</ref> von <math>x^\circ</math> ::: <math>\phi := \arccos(x_0) = \arccos(\operatorname{Re} x^\circ) \in{]0,\pi[}</math> :: und der ''reinen'' Einheitsquaternion ::: <math>\epsilon := \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sqrt{1-x_0^2}} = \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sin \phi} = \frac{\operatorname{Im} x^\circ}{|\operatorname{Im} x^\circ|} = \frac{\vec x^\circ}{|\vec x^\circ|}</math> dargestellt werden. Mit der [[w:de:Exponentialfunktion#Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren|verallgemeinerten Exponentialfunktion]] lässt sich das wegen <math>\epsilon^2=-1\ </math> auch schreiben als : <math>x^\circ=\exp(\epsilon\phi)</math> mit der [[w:de:#Reine Quaternion|reinen Quaternion]] <math>\epsilon\phi =: x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H </math>. Will man also eine reine Quaternion <math>x^\prime\ne 0</math> exponentiieren, so ist ihr Betrag <math>\phi=|x^\prime|</math> und die [[w:de:#Reine Einheitsquaternion|reine Einheitsquaternion]] <math>\epsilon=x^\prime/\phi</math> zu bilden, und es ergibt sich die Einheitsquaternion : <math>\exp x^\prime = \cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math>. Der Fall &nbsp; <math>\exp 0 = 1</math> &nbsp; lässt sich [[w:de:Fortsetzung (Mathematik)#Stetige Fortsetzung|stetig ergänzen]]. Damit ist die [[w:de:Matrixexponential|Exponentialabbildung]] <math>\exp\colon \operatorname{Im}\,\mathbb H \to \mathbb{S}^3</math> [[w:de:surjektiv|surjektiv]]. Nun ist <math>\exp x^\prime = -1</math> für alle <math>x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math> mit <math>|x^\prime| = \pi</math>, und das sind unendlich viele. Gleichwohl ist die [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] <math>\exp\colon \{x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H \land |x^\prime| < \pi \} \; \to \; \mathbb{S}^3 \setminus \{-1\}</math> [[w:de:Bijektivität|bijektiv]]. Sie ist [[w:de:Stetige Funktion|stetig]], wegen der Nicht-Kommutativität der Multiplikation aber kein [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]]<ref name="exp-nicht-homomorph">Für <math>x^\prime:=\mathrm i\pi</math> und <math>y^\prime:=\mathrm j\pi</math> ist :<math>\exp x^\prime \exp y^\prime = \exp(\mathrm i\pi) \exp(\mathrm j\pi) = (-1)(-1)=1</math> :<math>\ne \exp(x^\prime+y^\prime) = \exp((\mathrm i+\mathrm j)\pi) = \cos(\pi \sqrt 2)+\frac{\mathrm i+\mathrm j}{\sqrt 2}\sin(\pi \sqrt 2)</math>.</ref>. {{Anker|reine_und_normierte}} Allgemein lässt sich jede nicht-reelle Quaternion eindeutig in der Form : <math>x=|x| \; (\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi)</math> :: mit dem ''Polarwinkel'' von <math>x</math> ::: <math>\phi = \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|}\right) \in{]0,\pi[} </math> :: und der reinen Einheitsquaternion (der ''reinen und normierten Quaternion von <math>x</math>'') ::: <math>\epsilon = \frac{\operatorname{Im} x}{\sqrt{|x|^2 - (\operatorname{Re} x)^2}} = \frac{\operatorname{Im} x}{|x| \, \sin \phi} = \frac{\vec x}{|\vec x|}</math> schreiben. Durch die Festlegung <math>\phi \in{]0,\pi[}</math> ist <math>\sin \phi > 0</math>, sodass <math>\epsilon</math> in dieselbe Richtung wie der Vektorteil <math>\operatorname{Im} x</math> zeigt. Jede nicht reell-negative Quaternion schreibt sich eindeutig als : <math>x=|x|\exp x^\prime</math> mit einer reinen Quaternion <math>x^\prime</math> mit &nbsp; <math>|x^\prime|<\pi</math>. Diese Darstellungen sind der Polarform komplexer Zahlen : <math>z=|z|(\cos\phi+\mathrm i_\Complex\sin\phi)=|z| \exp(\mathrm i_\Complex\phi)</math> (mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit) analog. Für die [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]] : <math>x y = |x| \; |y| \; \exp (x^\prime+y^\prime)</math> müssen <math>x,y</math> allerdings kommutieren.<ref name="exp-nicht-homomorph" /><ref>Laut [[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22 mag das Scheitern dieser Funktionalgleichung das größte Hindernis für eine quaternionische [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] gewesen sein.</ref> == Funktionentheorie == === Exponentialfunktion, Logarithmus === Das Exponential einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist: : <math>\exp (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \exp (\operatorname{Re} x) \left(\cos |\vec x|+\frac{\vec x}{|\vec x|} \sin |\vec x| \right) \isin \mathbb H</math> mit <math>\vec x:=\operatorname{Im} x</math>&nbsp;. Der (natürliche) [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist: : <math>\ln(x) = \ln |x| + \frac{\vec x}{|\vec x|} \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|} \right) \isin \mathbb H</math>&nbsp;<ref>{{Webarchiv |url=http://www.lce.hut.fi/~ssarkka/pub/quat.pdf |wayback=20130926165618 |text=Lce.hut.fi}} (PDF; 68&nbsp;kB)</ref> Für nicht-reelles <math>x</math> sind sie [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]]en voneinander : <math>\exp (\ln(x)) = x</math> und, falls <math>|\vec x| < \pi</math>, : <math>\ln(\exp (x)) = x</math>&nbsp;. Für nicht-reelles, mit <math>x</math> kommutierendes <math>y</math> gelten die [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en : <math>\exp (x+y) = \exp (x) \exp (y)</math> und : <math>\ln (x) + \ln (y) = \ln (x y)</math>&nbsp;, letzteres für <math>x,y</math> mit hinreichend kleinem Imaginärteil. === Fortsetzungen komplexer Funktionen === [[Datei:Lift Complex Function to Quaternions.svg|304px|mini|Im [[w:de:Kommutatives Diagramm|kommutativen Diagramm]] müssen sich <math>g_{\epsilon}</math> und <math> g_{\zeta}</math> auf <math>\iota_{\epsilon}\Complex \; \cap \; \iota_{\zeta}\Complex \; \subset \; \mathbb H</math> vertragen.]] Da <math>\mathbb H</math> als eine Vereinigung von Einbettungen komplexer Ebenen aufgefasst werden kann (s. Abschnitt [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|#Einbettung der komplexen Zahlen]]), kann man versuchen, Funktionen <math>g \colon \Complex \to \Complex</math><ref>Die Überlegungen gelten schon, wenn der Definitionsbereich von <math>g</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ist.</ref> mithilfe der genannten Einbettungsisomorphismen <math>\iota_{\epsilon}</math> vom Komplexen ins Quaternionische zu liften. Dabei ist zu fordern, dass die so gewonnenen Funktionen <math>g_{\epsilon} \colon \iota_{\epsilon} (\Complex) \to \iota_{\epsilon} (\Complex) \subset \mathbb H</math> mit <math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon} \circ g \circ {\iota_{\epsilon}}^{-1}(q) </math> bei Überschneidungen der [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsbereiche]] dasselbe Ergebnis liefern, sodass die vereinigte Funktion <math>\tilde g</math> auf der [[w:de:Vereinigungsmenge|Vereinigungsmenge]] <math>\cup_{\epsilon} \bigl( \iota_{\epsilon} (\Complex) \bigr) = \mathbb H</math> vermöge <math>\forall q \in \mathbb H \; \exists \epsilon : q \in \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> als <math>\tilde g(q) := g_{\epsilon} (q)</math> in [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefinierter]] Weise gebildet werden kann. Sei <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \ \mathrm i_\Complex</math> eine komplexwertige Funktion <math>\Complex \to \Complex</math> einer komplexen Variablen <math>z = \xi + \eta \, \mathrm i_\Complex</math> mit reellen <math>\xi,\eta</math> und reellen <math>u(\xi,\eta),v(\xi,\eta) .</math><br /> '''Einbettbarkeit:''' <math>g</math> ist genau dann einbettbar in die Quaternionen, wenn <math>u</math> eine [[w:de:Gerade Funktion|gerade]] und <math>v</math> eine [[w:de:ungerade Funktion|ungerade Funktion]] des jeweils zweiten Arguments <math>\eta</math> ist. {| class="wikitable left mw-collapsible mw-collapsed font-size: 105.3%;" |style="text-align:left; font-size: 95%;"| '''Beweis'''&nbsp; |- | Ist <math>q</math> eine beliebige nicht-reelle Quaternion, dann ist <math>\epsilon := \operatorname{Im} q / |\operatorname{Im} q| </math> eine [[w:de:#reine und normierte|reine und normierte Quaternion]] mit <math>\epsilon^2 = -1</math>. Seien ferner <math>\xi := \operatorname{Re} q </math> und <math>\eta := |\operatorname{Im} q| </math>, die beide reell sind. Sowohl <math>\iota_{\epsilon}</math> wie <math>\iota_{\overline \epsilon}</math> ist ein Einbettungsisomorphismus für das Bild <math>q</math>. Im ersteren Fall ist <math>z_{\epsilon} := \xi+\eta \, \mathrm i_\Complex \in \Complex</math> das Urbild von <math>q = \xi+\eta \, \epsilon </math>, im zweiten Fall haben wir wegen <math>q = \xi+\eta \, \epsilon = \xi-\eta \, \bar\epsilon </math> das Urbild <math>z_{\overline \epsilon} := \iota_{\overline \epsilon}^{-1} (\xi-\eta \, \epsilon) = \xi-\eta \, \mathrm i_\Complex </math>; jeweils mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als der imaginären Einheit von <math>\Complex</math>. Die Urbilder sind verschieden, das Bild, das bei der zu bildenden Funktion <math>\tilde g</math> als Argument fungieren soll, ist aber beidesmal <math>q</math>.<br /> Das „Liften“ wird durch die Einbettung der Funktionswerte als : <math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon}(g(z_{\epsilon})) = \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \epsilon</math> und : <math>g_{\overline \epsilon}(q) := \iota_{\overline \epsilon}(g(z_{\overline \epsilon})) = \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar\epsilon</math> vervollständigt (s. Diagramm). Nun ist nach Voraussetzung : <math>u(\xi,+\eta)=u(\xi,-\eta), \quad v(\xi,+\eta) = -v(\xi,-\eta),</math> sodass sich : <math>g_{\overline \epsilon}(q) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar \epsilon = u(\xi,-\eta) - v(\xi,-\eta) \epsilon = u(\xi,+\eta) + \ v(\xi,+\eta) \epsilon = g_{\epsilon}(q) </math> ergibt und <math>\tilde g(q)</math> nicht von der Wahl des Einbettungsisomorphismus abhängt. Die Bedingung ist auch notwendig. Denn lässt umgekehrt die Funktion <math>g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine Einbettung <math>\tilde g \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \tilde g(q) </math> in die Quaternionen zu, so gibt es zu jedem <math>q \in \mathbb H</math> eine geeignete reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> und reelle <math>\xi,\eta </math> mit <math>q = \xi\,+\,\eta \, \epsilon</math> und : <math>\begin{array}{llll} \tilde g(q) &= g_{\epsilon}(\xi\,+\,\eta \, \epsilon) = g_{\epsilon}(\iota_{\epsilon} (\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\epsilon}(g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\ &= \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \epsilon . \end{array}</math> Bei der konjugierten Quaternion <math>\bar \epsilon = -\epsilon</math> hat die Einbettung <math>\iota_{\overline \epsilon} </math> dasselbe Bild <math>\iota_{\overline \epsilon} (\Complex) = \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> wie <math>\iota_{\epsilon}</math> und also <math>g_{\overline \epsilon}</math> dieselbe [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsmenge]] wie <math>g_{\epsilon}</math>. Der Funktionswert : <math>\begin{array}{llll} \tilde g(q) &= g_{\overline \epsilon}(\xi\,-\,\eta \, \bar \epsilon) = g_{\overline \epsilon}(\iota_{\overline \epsilon} (\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\overline \epsilon}(g(\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\ &= \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \bar\epsilon \\ &&= u(\xi,-\eta)\,-\,v(\xi,-\eta) \epsilon \end{array}</math> muss also mit dem vorigen für alle <math>\xi,\eta \in \R</math> übereinstimmen. ■ |} Die eingebettete Funktion <math>\tilde g</math> stimmt auf ''allen'' Teilmengen <math>\iota_{\epsilon} (\Complex) \cong \Complex</math> mit <math>g</math> überein, kann also als [[w:de:Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzung]] von <math>g</math> angesehen werden und, wenn Verwechslungen nicht zu befürchten sind, wird auch der Funktionsname beibehalten. Ist <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine einbettbare Funktion, so ist <math>v(\xi,0) = -v(\xi,0)</math> wegen der Ungeradheit von <math>v</math> in der zweiten Variablen, also <math>v(\xi,0) = 0</math> und <math>g(z) \in \R</math> für <math>z \in \R</math>. Somit folgt aus der Einbettbarkeit, dass die [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] aufs Reelle reell ist.<ref>Letzteres ist aber nicht hinreichend, denn die Funktion <math>g(z) := \operatorname{Im} z</math> ist trotz <math>g\!\mid_\R \, = 0 \in \R</math> wegen <math>u(\xi,\eta) \equiv \eta \not\equiv -\eta \equiv u(\xi,-\eta) </math> nicht einbettbar.<br />Sind jedoch bei solchen Funktionen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt, so folgt aus der Ungeradheit von <math>v(\xi,\eta)</math> die Geradheit von <math>u(\xi,\eta)</math> (jeweils in der zweiten Variablen) und damit die Einbettbarkeit in die Quaternionen.<br />Im Gegensatz zu <math>g(z) = \operatorname{Im} z</math> ist die Funktion <math>h(z) := \mathrm i_\Complex \, \operatorname{Im} z </math> einbettbar mit der Fortsetzung <math>\tilde h \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \operatorname{Im} q.</math></ref> Zu dieser Klasse von komplexen Funktionen gehören Norm und Betrag, aber auch alle [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n <math>\textstyle \sum_{n=-\infty}^\infty a_n z^n</math> mit reellen Koeffizienten <math>a_n</math>, so die Exponential- und Logarithmusfunktion.<ref>Ein weiteres nicht einbettbares Beispiel ist <math>g(z) := \mathrm i_\Complex</math>, bei dem <math>v(\xi,\eta) = 1</math> ''nicht ungerade'' ist in <math>\eta</math>. Die Einbettung mithilfe des Einbettungsisomorphismus <math>\iota_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} </math> ergibt zwar die (konstante) Funktion <math>g_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} = \mathrm i_{\mathbb H} </math>, die aber mit anderen Einbettungen, z.&nbsp;B. <math>\iota_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} </math> mit dem (ebenfalls konstanten) Ergebnis <math>g_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} = \mathrm j_{\mathbb H} \ne \mathrm i_{\mathbb H},</math> nicht zusammenpasst.</ref> === Analysis === Schwieriger ist es, eine allgemeine quaternionische Analysis mit Differential- und/oder [[w:de:Integralrechnung|Integralrechnung]] aufzustellen. Ein Problem springt unmittelbar ins Auge: der Begriff des [[w:de:Differentialrechnung|Differenzenquotienten]] <math>\tfrac{f( x + h ) - f( x )} h </math>, der in der reellen wie der komplexen Analysis so erfolgreich ist, muss wegen der Nicht-Kommutativität als linke ''und'' rechte Version definiert werden. Legt man dann genauso strenge Maßstäbe wie bei der [[w:de:Holomorphe Funktion|komplexen Differenzierbarkeit]] an, dann stellt sich heraus, dass bestenfalls lineare Funktionen, und zwar <math>x \mapsto a + x b </math> links und <math>x \mapsto a + b x </math> rechts, differenzierbar sind.<ref>[https://www.zipcon.net/~swhite/docs/math/quaternions/analysis.html ''Quaternion Analysis, Functions of a Quaternion Variable''] (englisch).</ref> Immer definieren lässt sich aber eine [[w:de:Richtungsableitung|Richtungsableitung]] und das [[w:de:Gâteaux-Differential|Gâteaux-Differential]]. Ausgehend von den [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und dem [[w:de:Satz von Morera|Satz von Morera]] wurde folgender Regularitätsbegriff gefunden: Eine quaternionische Funktion ist regulär an der Stelle <math>x </math>, wenn ihr Integral über jeder hinreichend kleinen <math>x </math> umschließenden [[w:de:Hyperfläche|Hyperfläche]] verschwindet.<ref>{{cite journal |first=R. |last=Fueter |title=Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen |journal=Comm. Math. Helv. |volume=8 |date=1936 |pages=371–378}}</ref><ref>{{cite journal |first=C.A. |last=Deavours |title=The Quaternion Calculus |journal=Amer. Math. Monthly |volume=80 |date=1973 |pages=995–1008 |language=en}}</ref><ref>{{cite journal |first=A. |last=Sudbery |title=Quaternionic Analysis |doi=10.1017/S0305004100055638 |journal=Math. Proc. Camb. Phil. Soc. |volume=85 |date=1979 |pages=199–225 |language=en}}</ref> == Beschreibung anderer Konstrukte mit Hilfe von Quaternionen == === Minkowski-Skalarprodukt === Das [[w:de:Minkowski-Raum|Minkowski-Skalarprodukt]] zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im Minkowski-Raum, ist der Skalarteil von <math>xy</math>: : <math>x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3=\operatorname{Re}(xy).</math> === Vektoranalysis === Im Folgenden werden Vektoren im dreidimensionalen Raum <math>\R^3</math> mit reinen Quaternionen <math>\in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math>, also die üblichen <math>(x,y,z)</math>-Koordinaten mit den <math>(x_1,x_2,x_3)</math>-Komponenten identifiziert. Definiert man den [[w:de:Nabla-Operator|Nabla-Operator]] (wie Hamilton) als : <math>\vec \nabla \;=\; \mathrm i \, \frac\partial{\partial x}+\mathrm j \, \frac\partial{\partial y}+\mathrm k \, \frac\partial{\partial z}</math> und wendet ihn auf eine skalare Funktion <math>f(x,y,z)</math> als (formale) Skalarmultiplikation an, erhält man den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] : <math>\vec \nabla f \;=\; \operatorname{grad} f \;=\; \mathrm i \, \frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm j \, \frac{\partial f}{\partial y}+\mathrm k \, \frac{\partial f}{\partial z}.</math> Die Anwendung auf ein Vektorfeld : <math>\vec F(x,y,z) \;=\; \mathrm i \, F_1(x,y,z)+\mathrm j \, F_2(x,y,z) +\mathrm k \, F_3(x,y,z)</math> als (formales) Skalarprodukt ergibt die [[w:de:Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] : <math>\vec \nabla \cdot \vec F \;=\; \operatorname{div} \vec F \;=\; \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y}+ \frac{\partial F_3}{\partial z}</math>&nbsp;. Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Kreuzprodukt ergibt die [[w:de:Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] : <math>\vec \nabla \times \vec F \;=\; \operatorname{rot} \vec F \;=\; \mathrm i \left ( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right ) + \mathrm j \left ( \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right ) + \mathrm k \left ( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right )</math>&nbsp;. Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Produkt zweier [[w:de:#Reine Quaternion|reiner Quaternionen]] ergibt : <math>\vec \nabla \vec F \;=\; -\operatorname{div} \vec F + \operatorname{rot} \vec F</math> mit <math>- \operatorname{div} \vec F</math> als Skalarteil und <math>\operatorname{rot} \vec F</math> als Vektorteil der Quaternion. Zweimalige Anwendung auf eine Funktion <math>f</math> ergibt den [[w:de:Laplace-Operator|Laplace-Operator]] <math>\triangle</math> : <math>\vec \nabla^2 \, f \;:=\; \vec \nabla \cdot (\vec \nabla \, f) \;=\; \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right) \;=\; -\triangle f \;=\; -\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}\right),</math> d.&nbsp;h., <math>\nabla</math> wirkt wie ein [[w:de:Dirac-Operator|Dirac-Operator]] als (formale) „Quadratwurzel“ des (negativen) Laplace-Operators. === Drehungen im dreidimensionalen Raum === Einheitsquaternionen können für eine elegante Beschreibung von [[w:de:Drehung|Drehung]]en im dreidimensionalen Raum verwendet werden: Für eine feste Einheitsquaternion <math>q</math> ist die Abbildung : <math>\rho_q\colon x\mapsto qxq^{-1}</math> &nbsp; bzw. &nbsp; <math>\rho_q\colon x\mapsto qx\overline{q}</math> auf <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> eine Drehung. (Hier, wie im Folgenden, ist nur von Drehungen die Rede, die den Ursprung festlassen, d.&nbsp;h., deren Drehachse durch den Ursprung verläuft.) Die [[w:de:#Polardarstellung|Polardarstellung]] stellt die Einheitsquaternion <math>q\neq\pm 1</math> durch einen Winkel <math>0<\alpha<2\pi</math> und eine reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> eindeutig dar als : <math>q = \cos\frac{\alpha}{2} + \epsilon\sin\frac{\alpha}{2}</math>&nbsp;. Dann ist <math>\rho_q\ </math> eine Drehung des <math>\R^3\ </math> um die Achse <math>\epsilon\in\R^3\ </math> mit Drehwinkel <math>\alpha</math>. Für jede Einheitsquaternion <math>q</math> definieren <math>q</math> und <math>-q</math> dieselbe Drehung; insbesondere entsprechen <math>1</math> und <math>-1</math> beide der identischen Abbildung (Drehung mit Drehwinkel&nbsp;0). Im Unterschied zur Beschreibung von Drehungen durch [[w:de:Orthogonale Matrix|orthogonale Matrizen]] handelt es sich also um keine 1:1-Entsprechung, zu jeder Drehung <math>\rho</math> gibt es genau ''zwei'' Einheitsquaternionen <math>q</math> mit <math>\rho_q=\rho</math>. Die [[w:de:Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] von Drehungen entspricht der Multiplikation der Quaternionen, d.&nbsp;h. : <math>\rho_{q_1}\circ\rho_{q_2}=\rho_{q_1 q_2}.</math> Die Umkehrung der Drehrichtung entspricht dem Inversen: : <math>\rho_{q^{-1}}=\rho_q^{-1}.</math> {{Anker|-1=2:1-Überlagerung}} Damit ist die Abbildung : <math> \begin{array}{rccc} \rho \colon & \mathbb{S}^3 & \to & \mathrm{SO}(3) \\ & q & \mapsto & \rho_q \end{array} </math> ein [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]] der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen in die [[w:de:Drehgruppe|Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Sie ist eine [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|Überlagerung der <math>\mathrm{SO}(3)</math>]], und da ein Bildelement <math>\rho_q</math> genau die zwei Urbilder <math>\pm q\in \mathbb{S}^3</math> hat, ''zwei''blättrig, weshalb der Homomorphismus auch ''2:1-Überlagerung(shomomorphismus)''<ref name="Conway" />{{rp|Seite 33.}} genannt wird. Ferner ist sie [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|universell]], da <math>\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist. ==== Bezug zu orthogonalen Matrizen ==== Explizit entspricht der Einheitsquaternion <math>q \in \mathbb{S}^3</math>, : <math>q=q_0+q_1\mathrm i+q_2\mathrm j+q_3\mathrm k</math> mit <math>q_i \in \R</math> und <math>\operatorname{Norm}(q) = q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1</math>, die [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrix]] : <math> \begin{array}{rlll} D_q := & \begin{bmatrix} q_0^2 + q_1^2 - q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_3+2q_1q_2 & 2q_0q_2+2q_1q_3 \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & q_0^2 - q_1^2 + q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & q_0^2 - q_1^2- q_2^2+ q_3^2 \end{bmatrix} \\[.3em] = & \begin{bmatrix} 1-2(q_2^2 + q_3^2) \;\;\;\; & -2q_0q_3+2q_1q_2 \;\;\;\, & 2q_0q_2+2q_1q_3 \;\;\quad \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & 1-2(q_1^2 + q_3^2) & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & 1-2(q_1^2 + q_2^2) \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3), \end{array} </math> diese Formel ist auch als [[w:de:Euler-Rodrigues-Formel|Euler-Rodrigues-Formel]] bekannt. Sie bildet eine reine Quaternion <math>\xi</math> auf <math>(0, D_q \; \vec \xi) = q \; \xi \; q^{-1}</math> ab. Ist umgekehrt die Drehmatrix : <math>D = \begin{bmatrix} d_{11} & d_{12} & d_{13} \\ d_{21} & d_{22} & d_{23} \\ d_{31} & d_{32} & d_{33} \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3)</math><ref>Zu <math>\mathrm{SO}(3)</math> siehe [[w:de:Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung|Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung]].</ref> gegeben und ist die [[w:de:Spur (Mathematik)|Spur]] : <math>T_D := d_{00} + d_{11} + d_{22} + d_{33} > 0</math> mit <math>d_{00} := 1</math>&nbsp;, dann bewerkstelligt die Quaternion : <math>q_D := T_D + (d_{32}-d_{23}) \mathrm i + (d_{13}-d_{31}) \mathrm j + (d_{21}-d_{12}) \mathrm k </math> die Drehung <math>D \; \vec \xi</math>, denn es ist <math>q_D \; \xi \; q_D^{-1} = (0, D \; \vec \xi)</math> für jede reine Quaternion <math>\xi</math>&nbsp;. Wenn man die [[w:de:Homogene Funktion|homogen]] formulierte Version von <math>D_q</math> als Eingabematrix nimmt, produziert die gezeigte Lösung mit <math>d_{00} := \operatorname{Norm}(q)</math> die Quaternion <math>q_D = 4 q_0 q</math>. Wegen <math>\operatorname{det}(D_q) = \operatorname{Norm}(q)^3</math> kann die Homogenität in den <math>d_{ij}</math> durch die Setzung <math>d_{00} := \sqrt[3]{\operatorname{det}(D)}</math> aufrechterhalten werden. Die <math>\mathrm{SO}(3)</math> hat wie die <math>\mathbb{S}^3</math> über <math>\R</math> die Dimension 3. Die neun Komponenten von <math>D</math> können also nicht alle frei wählbar sein. Da einer jeden Matrix <math>D\in\mathrm{SO}(3)</math> eine Quaternion <math>q</math> entspricht, decken die Drehmatrizen <math>D_q</math> die ganze <math>\mathrm{SO}(3)</math> ab. Bei <math>D_q</math> ist <math>T_{D_q} = 4 q_0^2</math>. Falls also wirklich <math>D \in \mathrm{SO}(3)</math>, ist auch <math>\frac{q_D}{2 \sqrt{T_D}}</math> die Einheitsquaternion zu <math>q_D</math>. ==== Bezug zu Eulerwinkeln ==== Für [[w:de:Eulerwinkel|Eulerwinkel]] gibt es verschiedene Konventionen; die folgende Darlegung bezieht sich auf die Drehung, die man erhält, wenn man zuerst um die <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Psi</math>, dann um die neue <math>x</math>-Achse um den Winkel <math>2\Theta</math> und schließlich um die neue <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Phi</math> dreht, d.&nbsp;i. die sog. [[w:de:Eulersche Winkel#Konventionen|„x-Konvention“ (z, x’, z’’)]] mit allen Winkeln ''doppelt''. Die Einzeldrehungen entsprechen den [[w:de:#Polardarstellung|Einheitsquaternionen]] : <math>\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi,\quad \cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta,\quad \cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi,</math> und da jeweils um die mitgedrehten Achsen gedreht wird, ist die Reihenfolge der Komposition umgekehrt. Die Gesamtdrehung entspricht also : <math>\left(\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi\right)\left(\cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta\right)\left(\cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi\right)</math> : <math>{}=\cos\Psi\cos\Theta\cos\Phi-\sin\Psi\cos\Theta\sin\Phi</math> :: <math>{}+\mathrm i\left(\cos\Psi\sin\Theta\cos\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\sin\Phi\right)</math> :: <math>{}+\mathrm j\left(-\cos\Psi\sin\Theta\sin\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\cos\Phi\right)</math> :: <math>{}+\mathrm k\left(\sin\Psi\cos\Theta\cos\Phi+\cos\Psi\cos\Theta\sin\Phi\right).</math> Für andere Konventionen ergeben sich ähnliche Formeln. Die Eulerwinkel zu einer gegebenen Quaternion lassen sich an der zugehörigen [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrix]] ablesen. ==== Universelle Überlagerung der Drehgruppe; Spingruppe ==== Wie im Abschnitt [[w:de:#Einheitsquaternion|Einheitsquaternionen]] gezeigt, gibt es einen durch die Hamiltonschen Zahlen vermittelten [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] zwischen der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen und der [[w:de:Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>. Diese beiden Gruppen sind isomorph zur [[w:de:Spingruppe|Spingruppe]] <math>\mathrm{Spin(3)}</math> (zur Physik: siehe [[w:de:Spin|Spin]]). Die [[#Drehungen im dreidimensionalen Raum|2:1-Überlagerung]] liefert also einen [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]] der Spingruppe <math>\mathrm{Spin(3)}</math> in die [[w:de:Drehgruppe|Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Diese Überlagerung ist zweiblättrig und [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|universell]], da <math>\mathrm{Spin(3)}\cong\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> im Gegensatz zur <math>\mathrm{SO}(3)</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist. Die natürliche Operation von <math>\mathrm{SU}(2)</math> auf <math>\Complex^2</math> ist eine sog. [[w:de:Spinor|Spinor]]darstellung. Die aus der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] bekannten sog. [[w:de:Pauli-Matrizen|Pauli-Matrizen]] <math>\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3</math> stehen in einfacher Beziehung zu den drei Erzeugenden <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> der [[w:de:#Einheitsquaternion|<math>\mathrm{SU}(2)</math>]]. Das wird besonders deutlich in der Darstellung als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]]: : <math> \sigma_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm k,\quad \sigma_2 = \begin{bmatrix} 0 & -\mathrm i_\Complex\\ \mathrm i_\Complex & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm j,\quad \sigma_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm i </math>&nbsp;, dabei ist <math>\mathrm i_\Complex</math> die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen. Die Pauli-Matrizen haben −1 zur Determinante (sind also keine Quaternionen), sind [[w:de:spurfrei|spurfrei]] und [[w:de:Hermitesche Matrix|hermitesch]] und kommen daher in der Quantenmechanik als ''messbare Größen'' in Frage, was sich für die Anwendungen (s. [[w:de:mathematische Struktur der Quantenmechanik|mathematische Struktur der Quantenmechanik]]) als wichtig erwiesen hat. Einzelheiten sind im Artikel [[w:de:SU(2)|SU(2)]] dargestellt. === Orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes === Analog zum dreidimensionalen Fall kann man jede orientierungserhaltende orthogonale Abbildung von <math>\mathbb H</math> in sich selbst in der Form : <math>\rho_{a,b}\colon x\mapsto ax\bar b</math> für Einheitsquaternionen <math>a,b</math> beschreiben. Es gilt : <math>\rho_{a_1,b_1}\circ\rho_{a_2,b_2}=\rho_{a_1a_2,b_1b_2}\quad\text{und}\quad\rho_{\bar a,\bar b}=\rho_{a,b}^{-1}.</math> Diese Konstruktion liefert eine Überlagerung : <math>\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(4)</math> mit [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] <math>\{(1,1),(-1,-1)\}</math>. == Die endlichen Untergruppen == Der [[#2:1-Überlagerung|2:1-Überlagerungshomomorphismus]] : <math>\rho\colon q \mapsto \rho_q</math>, der einer Einheitsquaternion <math>q\in \mathbb{S}^3</math> die [[w:de:#Drehungen im dreidimensionalen Raum|3D-Drehung]] : <math> \begin{array}{rccc} \rho_q \colon & \operatorname{Im}\,\mathbb H & \to & \operatorname{Im}\,\mathbb H \\ & x & \mapsto & qx\bar q \end{array} </math> zuordnet, muss eine endliche Gruppe <math>Q</math> von Quaternionen in eine endliche Gruppe <math>\rho(Q):=\{\rho_q \mid q \in Q\}</math> überführen, die dann eine endliche Drehgruppe im <math>\R^3</math> ist. Man findet [[w:de:zyklische Gruppe|zyklische Gruppe]]n <math>\mathrm{C}_n</math> und [[w:de:Drehgruppe#Drehgruppen von Figuren|Polyedergruppen]], also die [[w:de:Diedergruppe|Diedergruppe]]n <math>\mathrm{D}_n</math> ([[w:de:Diedergruppe#Bezeichnungen|Zählweise]] der ''n''-Ecke), die [[w:de:A4 (Gruppe)|Tetraedergruppe]] <math>\mathrm{T}</math>, die [[w:de:Oktaedergruppe|Oktaedergruppe]] <math>\mathrm{O}</math> und die [[w:de:Ikosaedergruppe|Ikosaedergruppe]] <math>\mathrm{I}</math>. Die Erzeugenden der zyklischen Gruppen sind [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettungen]] von [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n <math>\exp(2\pi \mathrm i_\Complex/n)</math>.<ref>Wie im referenzierten Abschnitt und im Abschnitt [[w:de:#Automorphismen|#Automorphismen]] bemerkt, gibt es zu jedem fixen Dreibein <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k </math> sehr viele verschiedene Einbettungen dieser endlichen Untergruppen in <math>\mathbb{H}</math>.</ref> Die Urbilder der <math>\mathrm{D}_n</math>, <math>\mathrm{T}</math>, <math>\mathrm{O}</math>, <math>\mathrm{I}</math> unter <math>\rho</math> werden mit <math>\mathrm{2D}_n</math>, {{Anker|binäre_Tetraedergruppe}}<math>\mathrm{2T}</math>, {{Anker|binäre_Oktaedergruppe}}<math>\mathrm{2O}</math>, {{Anker|binäre_Ikosaedergruppe}}<math>\mathrm{2I}</math> bezeichnet und heißen ''binäre'' Diedergruppe etc. Für eine Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math> ist also <math>\mathrm{2P}:=\{q \mid \rho_q \in \mathrm{P} \}</math>.<ref>Diese Gruppen firmieren – besonders in der englischen Literatur – auch als binäre Erweiterung <math>\mathrm{2P}</math> der Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math>, und die binären Diedergruppen <math>\mathrm{2D}_n</math> zusätzlich als [[w:de:Quaternionengruppe#Dizyklische Gruppen und verallgemeinerte Quaternionengruppen|verallgemeinerte Quaternionengruppen]], auch als [[w:de:Dizyklische Gruppe|dizyklische Gruppen]], in Zeichen <math>\mathrm{Dic}_n</math>.</ref> Die endlichen Gruppen von Quaternionen sind demnach:<ref name="Conway" />{{rp| 3.5 The Finite Groups of Quaternions, S. 33}} <math>(2 \leq n \in \Z)</math> {| class="wikitable left" style="text-align:center;" |- | Gruppe || erzeugt<br /> von ||style="text-align:right"| Ordnung || [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] im <math>\R^2</math> bzw. <math>\R^4</math> |- | <math>\mathrm{C}_n</math> || <math>\langle e_n\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>n</math> || [[w:de:Polygon|reguläres ''n''-Eck]] |- | <math>\mathrm{2D}_n</math> || <math>\langle e_{2n},\mathrm j\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>4n</math> || <math>\{2n\} \Box \{2n\}</math>,<ref name="perf4polyt"> Gabor Gévay: [http://www.emis.ams.org/journals/BAG/vol.43/no.1/b43h1gev.pdf ''On Perfect 4-Polytopes''] (PDF; 211&nbsp;kB) Contributions to Algebra and Geometry Volume 43 (2002), No. 1, 243–259: gibt auf S. 256 die 4-Polytope »<math>\{2p\} \Box \{2p\}</math>« für die <math>\mathrm{2D}_p</math> bzw. auf S. 252 Table 2 das 4-Polytop »<math> \text{f}_{1,2}\text{F}_4</math>« für <math>\mathrm{2O}</math>.</ref> bei ''n''=2 zugleich: [[w:de:Hurwitzquaternion#Reguläres 16-Zell (Hexadekachor)|reguläres 16-Zell]] |- | <math>\mathrm{2T}</math> || <math>\langle \mathrm i,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>24</math> || [[w:de:Hurwitzquaternion#Reguläres 24-Zell (Ikositetrachor)|reguläres 24-Zell]] |- | <math>\mathrm{2O}</math> || <math>\langle q_O,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>48</math> || <math>\text{f}_{1,2}\text{F}_4</math><ref name="perf4polyt" /> = Dihektaoktokontaoktochor (288-Zell) |- | <math>\mathrm{2I}</math> || <math>\langle q_I,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>120</math> || reguläres 600-Zell |} mit : <math>e_n:=\exp(2\pi \mathrm i/n)</math>&nbsp;, &nbsp; <math>\omega: = \frac{-1+\mathrm i+\mathrm j+\mathrm k}2</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_O:=\frac{\mathrm j+\mathrm k}{\sqrt 2}</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_I: = \frac{2 \mathrm i+(\sqrt 5+1) \mathrm j+(\sqrt 5-1) \mathrm k}4</math>&nbsp;. Die zyklischen Gruppen <math>\mathrm{C}_n</math> sind in naheliegender Weise Untergruppen von anderen Gruppen. Die [[w:de:Quaternionengruppe|Quaternionengruppe]] <math>\mathrm{Q}_8</math> = <math>\mathrm{2D}_2</math> ist eine Untergruppe der binären Tetraedergruppe <math>\mathrm{2T}</math>. Die [[w:de:Quaternionengruppe#Automorphismen|Automorphismengruppe]] von <math>\mathrm{Q}_8</math> ist isomorph zur Oktaedergruppe <math>\mathrm{O} = \mathrm{Sym}_4</math> ([[w:de:Symmetrische Gruppe|Symmetrische Gruppe]]). Ihre Elemente sind ebenfalls Automorphismen von <math>\mathrm{2T}</math>, <math>\mathrm{2O}</math>, <math>\mathrm{2I}</math> und <math>\mathbb H</math>. Die konvexen Hüllen sind (bis auf die Fälle <math>\mathrm{C}_n</math>, bei denen man mit 2 Dimensionen auskommt) [[w:de:Polytop (Geometrie)|4-Polytope]] und haben, da alle Gruppenelemente von der Länge 1 sind, die [[w:de:Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> als [[w:de:Umkugel|Um-3-Sphäre]]. Die Ränder dieser 4-Polytope, also die Zellen, sind Ansammlungen von [[w:de:Tetraeder|Tetraeder]]n – bis auf den Fall <math>\mathrm{2T}</math>, bei dem es [[w:de:Oktaeder|Oktaeder]] sind. Bei den regulären unter den konvexen Hüllen ist es klar, dass die Zellen ebenfalls regulär und zueinander kongruent sind und es eine [[w:de:Inkugel|In-3-Sphäre]] gibt, die alle Zellen (an ihrem Mittelpunkt) berührt. Die übrigen, nämlich <math>\mathrm{2D}_n</math> und <math>\mathrm{2O}</math>, spannen sog. perfekte<ref name="perf4polyt" /> 4-Polytope auf. Hier sind die Zellen [[w:de:Disphenoid#tetragonales Disphenoid|tetragonale Disphenoide]], welche ebenfalls alle zueinander kongruent sind und an ihrem Mittelpunkt von der In-3-Sphäre berührt werden. == Automorphismen == Ein jeder Ring-[[w:de:Automorphismus|Automorphismus]] <math>\sigma</math> von <math>\mathbb H</math> ist ein [[w:de:Automorphismus#Innere Automorphismen|innerer]],<ref>[[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 24.</ref> d.&nbsp;h., es gibt eine Quaternion <math>q</math>, sodass <math>\sigma(x) = qxq^{-1}</math> für alle <math>x \in \mathbb{H}</math>. Daraus folgt: * Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\R</math> bleibt fest, d.&nbsp;h. <math>\sigma(\lambda)=\lambda</math> für alle <math>\lambda\in \R</math>. * Man kann sich auf die Einheitsquaternionen <math>q\in \mathbb{S}^3</math> beschränken. * Ein Automorphismus ändert nicht das [[w:de:#Skalarprodukt|Skalarprodukt]], d.&nbsp;h. <math>\sigma(x) \cdot \sigma(y) = x \cdot y</math>. * Die Automorphismen sind genau die [[w:de:Winkeltreue|winkel-]] und [[w:de:längentreue|längentreue]]n Drehungen von <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus dem Abschnitt [[w:de:#Drehungen im dreidimensionalen Raum|Drehungen im dreidimensionalen Raum]]. * Wegen der Längentreue sind die Automorphismen [[w:de:Stetige Funktion|stetig]], somit zusätzlich [[w:de:Homöomorphismus|topologisch]]. * <math>\mathbb{S}^3</math> hat das Zentrum <math>\{\pm 1\}</math>. Folglich ist die [[w:de:Automorphismengruppe|Automorphismengruppe]] <math>\operatorname{Aut}(\mathbb H) \cong \mathbb{S}^3/\{\pm 1\}</math>. Die [[w:de:#Konjugation|Konjugation]] als Spiegelung an der reellen Achse ist ''anti''homomorph in der Multiplikation, d.&nbsp;h. <math>\overline{x y}=\bar y \bar x</math>, und wird als [[w:de:Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]] bezeichnet, weil sie zudem eine [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]] ist. == Andere Konstruktionen == === Matrixdarstellungen === ==== Komplexe Matrizen ==== Im [[w:de:Matrizenring|Ring]] <math>\Complex^{2\times 2}</math> der [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] 2×2-[[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] bildet man den von den Elementen : <math>1_H := \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \mathrm i_H := \begin{bmatrix} \mathrm i_\Complex & 0 \\ 0 & -\mathrm i_\Complex \end{bmatrix},\quad \mathrm j_H := \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix},\quad \mathrm k_H := \begin{bmatrix} 0 & \mathrm i_\Complex \\ \mathrm i_\Complex & 0 \end{bmatrix}</math> erzeugten [[w:de:Unterring|Unterring]] <math>H</math>,<ref><math>H</math> ist ein <math>\R</math>-Vektorraum, der aber weder <math>\Complex^{2\times 2}</math>-[[w:de:Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] noch <math>\Complex</math>-Vektorraum ist, da &nbsp; <math>\mathrm i_\Complex \, 1_H \notin H</math>.</ref> wobei die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen als <math>\mathrm i_\Complex</math> kenntlich gemacht ist.<ref>Die Matrizen <math>\mathrm i_H,\mathrm j_H,\mathrm k_H</math> sind [[w:de:spurfrei|spurfrei]] und [[w:de:Schiefhermitesche Matrix|schiefhermitesch]].</ref> Eine Matrix : <math>x_0 \, 1_H+x_1\,\mathrm i_H+x_2\,\mathrm j_H+x_3\,\mathrm k_H=\begin{bmatrix}x_0+x_1\,\mathrm i_\Complex \quad &x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex\\-x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex \quad &x_0-x_1\,\mathrm i_\Complex\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}w&z\\-\overline z&\overline w\end{bmatrix}</math> mit reellen <math>x_0,x_1,x_2,x_3</math> und komplexen <math>w:=x_0+x_1\mathrm i_\Complex,z:=x_2+x_3\mathrm i_\Complex</math> hat die [[w:de:Determinante|Determinante]] <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=|w|^2+|z|^2</math>, die nur dann 0 ist, wenn <math>(w,z)=(0,0)</math>. Somit sind alle von der [[w:de:Nullmatrix|Nullmatrix]] verschiedenen Matrizen [[w:de:Invertierbare Matrix|invertierbar]] – und der Ring <math>H</math> ist ein [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]].<ref>Nur Matrixringe der Dimensionen 1, 2 und 4 über <math>\R</math> sind [[w:de:nullteilerfrei|nullteilerfrei]] (siehe auch [[w:de:#Die Quaternionen als Algebra|#Die Quaternionen als Algebra]]).</ref> Der so konstruierte Schiefkörper erweist sich als [[w:de:isomorph|isomorph]] zu den Quaternionen. Denn die Abbildung <math>\mathbb H \to H</math> mit den Zuordnungen : <math>1 \mapsto 1_H,\quad \mathrm i \mapsto \mathrm i_H,\quad \mathrm j \mapsto \mathrm j_H,\quad \mathrm k \mapsto \mathrm k_H</math> ist [[w:de:homomorph|homomorph]] in den Verknüpfungen Addition und Multiplikation, wobei letztere der [[w:de:Matrizenmultiplikation|Matrizenmultiplikation]] zuzuordnen ist. Die konjugierte Quaternion geht auf die [[w:de:adjungierte Matrix|adjungierte Matrix]] und die [[w:de:#Norm|Norm]] auf die [[w:de:Determinante|Determinante]]. Darüber hinaus ist die Abbildung [[w:de:Injektivität|injektiv]] und stetig, also [[w:de:Homöomorphismus|topologisch]]. Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Einbettung <math>\mathbb H \to H</math>, die alle zueinander [[w:de:Konjugation (Gruppentheorie)|konjugiert]] und [[w:de:Homöomorphismus|homöomorph]] sind.<ref>Diese Möglichkeiten entsprechen der Vorschaltung eines [[w:de:#Automorphismen|Automorphismus]].</ref> ==== Reelle Matrizen ==== Ganz analog kann man die Quaternion <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> auch als reelle 4×4-Matrix : <math>\begin{bmatrix}\begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ -x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ -x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ -x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array}\end{bmatrix}</math> : <math>= x_0 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_1 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_2 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_3 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] </math> schreiben. Die Konjugation der Quaternion entspricht der [[w:de:Transponierte Matrix|Transposition der Matrix]] und der Betrag der vierten Wurzel aus der Determinante. Das Modell der reellen Matrizen ist bspw. dann vorteilhaft, wenn man eine Software für [[w:de:lineare Algebra|lineare Algebra]] mit Schwächen bei den komplexen Zahlen hat. === Quotientenalgebra === Eine elegante, aber zugleich abstrakte Konstruktion stellt der Weg über den [[w:de:Faktorring|Quotienten]] des [[w:de:Nichtkommutativer Polynomring|nichtkommutativen Polynomrings]] in drei [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n dar, deren Bilder <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> sind, modulo dem Ideal, das von den Hamilton-Regeln erzeugt wird. Alternativ kommt man auch mit nur zwei Unbestimmten aus. Auf diese Weise ergibt sich die Quaternionen-Algebra als [[w:de:Clifford-Algebra|Clifford-Algebra]] der zweidimensionalen, euklidischen Ebene mit Erzeugern <math>\mathrm i \mapsto e_1,\, \mathrm j \mapsto e_2,\, \mathrm k=\mathrm {ij} \mapsto e_1e_2</math>. Im Zusammenhang mit dreidimensionalen Drehungen ist auch die Interpretation als der gerade Anteil der Clifford-Algebra des dreidimensionalen, euklidischen Raumes wichtig. Die Erzeuger werden dann mit <math>\mathrm i \mapsto e_2e_3,\, \mathrm j \mapsto e_3e_1,\,\mathrm k \mapsto e_1e_2</math> identifiziert. == Die Quaternionen als Algebra == Es gibt bis auf Isomorphie genau vier [[w:de:Dimension (Mathematik)|endlichdimensionale]] <math>\R</math>-[[w:de:Algebra über einem Körper|Algebren]], deren Multiplikation ohne [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] ist, nämlich den Körper <math>\R</math> der reellen Zahlen selbst, den Körper <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen, den Schiefkörper <math>\mathbb H</math> der Quaternionen und den [[w:de:Alternativkörper|Alternativkörper]] <math>\mathbb O</math> der Cayleyschen [[w:de:Oktave (Mathematik)|Oktaven]].<ref>[[w:de:Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)|Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)]], Korollar 6.8 in Kapitel IX von Hungerford: Algebra (Springer 1974).</ref><ref>[[w:de:Divisionsalgebra#Sätze über reelle Divisionsalgebren|Satz von Hurwitz (normierte Divisionsalgebren)]].</ref><ref>Satz von [[w:de:Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Pontrjagin]] (1931) in [[w:de:#Pontrjagin|Pontrjagin]]: Jeder [[w:de:lokalkompakt|lokalkompakt]]e, [[w:de:zusammenhängend|zusammenhängend]]e topologische Schiefkörper ist entweder der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen oder der Schiefkörper der Quaternionen.</ref> Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H</math> ist <math>\R</math>; die Quaternionen sind also eine [[w:de:zentraleinfache Algebra|zentraleinfache Algebra]] über <math>\R</math>. [[w:de:Reduzierte|Reduzierte]] [[w:de:Norm (Körpererweiterung)|Norm]] und [[w:de:Spur (Mathematik)|Spur]] sind durch : <math>\mathrm{Nrd}(x)=|x|^2 = x \bar x = \bar x x = \langle x,x \rangle</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; bzw. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\mathrm{Trd}(x)=2\cdot\operatorname{Re}\,x</math> gegeben. Beim [[w:de:Tensorprodukt#Erweiterung der Skalare|Basiswechsel]] von <math>\R</math> zum algebraischen Abschluss <math>\Complex</math> werden die Quaternionen zu einer Matrizenalgebra: : <math>\mathbb H\otimes_{\R}\Complex\cong M_2(\Complex).</math> Die komplexe Konjugation auf dem Faktor <math>\Complex</math> des [[w:de:Tensorprodukt|Tensorprodukt]]es entspricht einer [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]] <math>v</math> der Matrizenalgebra. Die Invarianten von <math>v</math>, d.&nbsp;s. die von <math>v</math> fix gelassenen Elemente <math>x</math> mit <math>v(x)=x</math>, bilden eine zu <math>\mathbb H</math> isomorphe Algebra. Zur oben angegebenen Matrixdarstellung der Quaternionen als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] passt die Involution : <math>v(x):= \epsilon\bar x \epsilon^{-1}</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\epsilon:=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}</math>&nbsp;. Die Tatsache, dass die [[w:de:Brauergruppe|Brauergruppe]] von <math>\R</math> nur aus zwei Elementen besteht, spiegelt sich auch darin wider, dass : <math>\mathbb H\otimes_{\R}\mathbb H\cong M_4(\R)</math> ist. Allgemein bezeichnet man jede vierdimensionale [[w:de:zentraleinfache Algebra|zentraleinfache Algebra]] über einem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] als eine [[w:de:Quaternionenalgebra|Quaternionenalgebra]]. Die Quaternionen sind die [[w:de:Clifford-Algebra|Clifford-Algebra]] zum Raum <math>\R^2</math> mit einer [[w:de:Definitheit|negativ-definiten]] symmetrischen [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]]. == Andere Grundkörper == === Quaternionen über den rationalen Zahlen === Bei allen [[w:de:#Konstruktion|obigen]] Arten der Konstruktion spielt die [[w:de:Vollständiger Raum|Vollständigkeit]] des Koeffizientenvorrats keine Rolle. Deshalb kann man (anstatt von den [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R \, </math> über <math>\Complex = \R( \mathrm i ) \, </math> zu <math>\mathbb H \, </math>) auch von anderen Grundkörpern, z.&nbsp;B. den [[w:de:Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\Q \, </math>, ausgehen, um via [[w:de:gaußsche Zahl|gaußscher Zahlen]] <math>\Q( \mathrm i ) \, </math> bei den '''Quaternionen mit rationalen Koeffizienten''' : <math>G := \{ x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k \; \mid \; x_0,x_1,x_2,x_3 \in \Q \} \, </math> anzukommen mit formal denselben Rechenregeln. Danach kann, falls überhaupt erforderlich, die [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] für die [[w:de:#Norm und Betrag|Betrags]][[w:de:Metrischer Raum|metrik]] durchgeführt werden mit einem Endergebnis isomorph zu <math>\mathbb H</math>. Insofern können bei vielen Aussagen <math>\R</math> durch <math>\Q</math>, <math>\Complex</math> durch <math>\Q( \mathrm i )</math> und <math>\mathbb H</math> durch <math>G</math> ersetzt werden. Da es nach dem [[w:de:Satz von Wedderburn|Satz von Wedderburn]] keinen endlichen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] mit nicht-[[w:de:Kommutativität|kommutativer]] [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] gibt und die [[w:de:Dimension (Mathematik)|Dimension]] des [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]s <math>G</math> über seinem [[w:de:Primkörper|Primkörper]] und [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\Q</math> mit <math>2^2=4</math> minimal ist, gehört <math>G</math> als [[w:de:Abzählbarkeit|abzählbare]] Menge zu den „kleinsten“ Schiefkörpern mit nicht-kommutativer Multiplikation&nbsp;– auf jeden Fall enthält <math>G</math> keinen kleineren. Der Schiefkörper <math>G</math> besitzt einen sogenannten [[w:de:Ganzheitsring|Ganzheitsring]], d.&nbsp;h. eine [[w:de:Untermenge|Untermenge]] von Zahlen, genannt [[w:de:Hurwitzquaternion|Hurwitzquaternion]]en, die einen Ring bilden und <math>G</math> zum [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] haben, ganz ähnlich, wie es sich bei den ganzen Zahlen <math>\Z</math> und ihrem Quotientenkörper <math>\Q</math> verhält. In einem solchen Ring lassen sich bspw. [[w:de:Gitter (Mathematik)|Approximationsfragen]], [[w:de:Teilbarkeit|Teilbarkeit]]sfragen u.&nbsp;Ä. untersuchen. {{Hauptartikel|Hurwitzquaternion}} === Weitere Grundkörper === Auch Körper <math>K \ncong \Q \, </math> eignen sich als Ausgangspunkt zur Bildung nicht-kommutativer Erweiterungskörper nach Art der Quaternionen. Wichtig ist, dass in <math>K \, </math> die Summe aus vier Quadraten <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 \, </math> nur für <math>x_0=x_1=x_2=x_3=0 \, </math> verschwindet. Dann gibt es auch kein <math>\mathrm i \in K \, </math> mit <math>\mathrm i^2 + 1 = 0 \, </math> und <math>K( \mathrm i ) \, </math> ist eine echte quadratische [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterung]], die eine Konjugation definiert. Diese Bedingungen sind z.&nbsp;B. bei allen [[w:de:Geordneter Körper#Formal reelle Körper|formal reellen Körpern]] erfüllt. Aber auch bei Körpern, die nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden können, kann die obige Bedingung betreffend die Summe aus vier Quadraten erfüllt sein, bspw. im Körper <math>\Q_2</math> der [[w:de:p-adische Zahl|2-adischen Zahlen]]. Der so über <math>\Q_2</math> gebildete Quaternionenkörper ist isomorph zur Vervollständigung des (oben beschriebenen) Körpers <math>G</math> der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten für die folgende (nichtarchimedische diskrete) Bewertung <math>v</math>&nbsp;, dem [[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|2-Exponenten]] der Norm, : <math> \begin{array}{rccccc} v \colon & G^* & \xrightarrow{\operatorname{Norm}} & \Q^* & \xrightarrow{v_2} & \Z \\ & x & \mapsto & x \bar x & \mapsto & v_2(x \bar x) \end{array} </math> mit <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = 2^n m, n\in\Z, m\in\Q^*, 2\nmid m, 2\nmid m^{-1}</math>&nbsp;. Die Primzahl <math>p=2</math> ist die einzige, für die die [[w:de:Quaternionen-Algebra|Quaternionen-Algebra]] über <math>\Q_p</math> [[w:de:nullteilerfrei|nullteilerfrei]] und ein Schiefkörper ist. == Anwendungen == === Eulerscher Vier-Quadrate-Satz === Die Identität, die aus dem Produkt zweier ''Summen von vier Quadraten'' : <math>(x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_0^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2)</math> {| |- |style="width:3em;"| || <math>=(x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_1 + x_1y_0+ x_2y_3- x_3y_2)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_2- x_1y_3 + x_2y_0+ x_3y_1)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_3+ x_1y_2- x_2y_1 + x_3y_0)^2</math> |} wieder eine ''Summe von vier Quadraten'' macht, gilt universell&nbsp;– einschließlich aller Varianten, die durch Vorzeichenspiel und [[w:de:Permutation|Permutation]] entstehen&nbsp;– in jedem [[w:de:Polynomring|Polynomring]] <math> R[x_0,x_1,x_2,x_3,y_0,y_1,y_2,y_3] </math> über einem kommutativen unitären Ring <math> R </math> und kann im Nachhinein als „Abfallprodukt“ der Multiplikativität des [[w:de:#Betrag|quaternionischen Betrags]] angesehen werden. Ihre Entdeckung 1748, also lange ''vor'' der Quaternionenzeit, geht jedoch auf [[w:de:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] zurück, der mit ihrer Hilfe den 1770 erstmals erbrachten Beweis von [[w:de:Joseph-Louis Lagrange|Joseph-Louis Lagrange]] für den lange vermuteten [[w:de:Vier-Quadrate-Satz#Beweisskizze|Vier-Quadrate-Satz]] wesentlich vereinfachen konnte. (Anmerkung: Die algebraisch beweisbaren bilinearen 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten sind die Grundlagen der Kompositionsalgebren, nämlich der komplexen Zahlen, der Quaternionen, und der Oktonionen. Diese letzteren sind sozusagen die „Quadratwurzeln“ aus den ersteren. Alles, was somit korrekt mit Quaternionen berechnet wird, steht bocksteif auf elementaren algebraischen Identitäten. Wie Adolf Hurwitz 1898 bewies,<ref>{{Internetquelle |autor=[[w:de:Adolf Hurwitz|Adolf Hurwitz]] |url=https://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457811_1898 |titel=Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln |datum=1898-07-09 |seiten=309–316 |werk=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse (1898), Heft 3 |abruf=2023-01-23}}</ref> gibt es außer den erwähnten 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten keine weiteren bilinearen ''n''-Quadrate-Identitäten mehr.) === Informatik und Ingenieurwissenschaften === Die Darstellung von Drehungen mithilfe von Quaternionen wird im Bereich der interaktiven [[w:de:Computergrafik|Computergrafik]] genutzt, insbesondere bei [[w:de:Computerspiel|Computerspiel]]en, sowie bei der Steuerung von [[w:de:Satellit (Raumfahrt)|Satelliten]]. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrizen]] werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere wenn viele [[w:de:Drehung|Drehung]]en miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit. Des Weiteren werden Quaternionen, neben den [[w:de:Eulerwinkel|Eulerwinkel]]n, zur Programmierung von [[w:de:Industrieroboter|Industrieroboter]]n (z.&nbsp;B. [[w:de:ABB (Unternehmen)|ABB]]) genutzt. == Geschichte == [[Datei:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|mini|Gedenktafel an der Broom Bridge in Dublin, wo [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]] die Multiplikationsregeln im Oktober 1843 spontan in den Stein ritzte.]] [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]] hatte 1835 die Konstruktion der komplexen Zahlen als [[w:de:Geordnetes Paar|Zahlenpaare]] angegeben. Dadurch motiviert, suchte er lange nach einer entsprechenden Struktur auf dem Raum <math>\R^3</math> der Zahlentripel; heute weiß man, dass keine derartige Struktur existiert. 1843 schließlich gelangte er zu der Erkenntnis, dass es möglich ist, eine Multiplikation auf der Menge der 4-[[w:de:Tupel|Tupel]] zu konstruieren, wenn man dazu bereit ist, die [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativität]] aufzugeben. In einem Brief an seinen Sohn gibt er als Datum den 16. Oktober 1843 an und berichtet, er habe sich spontan dazu hinreißen lassen, die Multiplikationsregeln in einen Stein an der Brougham Bridge (heute Broombridge Road) in [[w:de:Dublin|Dublin]] zu ritzen; später wurde dort eine Gedenktafel angebracht. Die Rechenregeln für Quaternionen waren in Ansätzen schon früher bekannt, so findet sich die Formel für den [[w:de:Vier-Quadrate-Satz|Vier-Quadrate-Satz]] bereits bei [[w:de:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1748). Andere, auch allgemeinere Multiplikationsregeln wurden von [[w:de:Hermann Graßmann|Hermann Graßmann]] untersucht (1855). Schon kurz nach der Entdeckung der Quaternionen fand Hamilton die Darstellung von Drehungen des Raumes mithilfe von Quaternionen und damit eine erste Bestätigung der Bedeutung der neuen Struktur; [[w:de:Arthur Cayley|Arthur Cayley]] entdeckte 1855 die entsprechenden Aussagen über orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes. Die bloße Parametrisierung der <math>3\times3</math>-Drehmatrizen war hingegen schon Euler bekannt. Cayley gab 1858 in der Arbeit, in der er Matrizen einführte, auch die Möglichkeit der Darstellung von Quaternionen durch komplexe <math>2\times2</math>-Matrizen an. Hamilton widmete sich fortan ausschließlich dem Studium der Quaternionen; sie wurden in Dublin ein eigenes Examensfach. In seiner Nachfolge wurde 1895 sogar ein „Weltbund zur Förderung der Quaternionen“ gegründet. Der deutsche Mathematiker [[w:de:Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] schreibt rückblickend über diese anfängliche Euphorie: {{Zitat |Text=Wie ich schon andeutete, schloß sich Hamilton eine Schule an, die ihren Meister an Starrheit und Intoleranz noch überbot. […] Die Quaternionen sind gut und brauchbar an ihrem Platze; sie reichen aber in ihrer Bedeutung an die gewöhnlichen komplexen Zahlen nicht heran. […] Die Leichtigkeit und Eleganz, mit der sich hier die weittragendsten Theoreme ergeben, ist in der Tat überraschend, und es läßt sich wohl von hier aus die alles andere ablehnende Begeisterung der Quaternionisten für ihr System begreifen, die […] nun bald über vernünftige Grenzen hinauswuchs, in einer weder der Mathematik als Ganzem noch der Quaternionentheorie selbst förderlichen Weise. […] Die Verfolgung des angegebenen Weges – der neu sein will, obwohl er tatsächlich nur eine peinlich genaue Übertragung längst bekannter Gedanken auf ein einziges neues Objekt, also durchaus keine geniale Konzeption bedeutet&nbsp;– führt zu allerhand Erweiterungen der bekannten Sätze, die in ihrer Allgemeinheit das Hauptcharakteristikum verlieren und gegenstandslos werden, allenfalls zu Besonderheiten, die ein gewisses Vergnügen gewähren mögen. |Autor=Felix Klein |Quelle=Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert |ref=<ref>{{Literatur |Autor=Felix Klein |Titel=Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert |Band=Teil&nbsp;I. |Verlag=Verlag von Julius Springer |Ort=Berlin |Datum=1926 |Seiten=184 ff}}</ref>}} == Verwandte Themen == Ähnliche Konstruktionen wie die Quaternionen werden manchmal unter dem Begriff „[[w:de:hyperkomplexe Zahl|hyperkomplexe Zahl]]en“ zusammengefasst. Beispielsweise sind die ''Cayley-Zahlen'' oder ''[[w:de:Oktave (Mathematik)|Oktaven]]'' ein achtdimensionales Analogon zu den Quaternionen; ihre Multiplikation ist allerdings weder kommutativ noch assoziativ. == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Quaternion'' werden == Beispiel == Als einführendes Beispiel zum Thema ''Quaternion'' dient dabei == Literatur/Quellennachweise == <references/> === Weblinks === {{Commonscat|Quaternions|Quaternion}} * [https://world.std.com/~sweetser/quaternions/ps/book.pdf Doing Physics with Quaternions] (PDF; 563&nbsp;kB) * {{Anker|Lam}} [[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009 * [http://www.grundstudium.info/animation/node17.php Quaternionen in der Computeranimation] * [https://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node24.html Der Ort der Entdeckung der Quaternionen (mit Bildern)] === Literatur - Mathematik === * Jens Carsten Jantzen, [[w:de:Joachim Schwermer|Joachim Schwermer]]: ''Algebra''. Springer, 2006, ISBN 3-540-21380-5, [[doi:10.1007/3-540-29287-X]] * [[w:de:Serge Lang|Serge Lang]]: ''Algebra''. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X * [[w:de:Max Koecher|Max Koecher]], [[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]]: ''Hamiltonsche Quaternionen''. In: H.-D. Ebbinghaus et al.: ''Zahlen''. Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-12666-X * {{Anker|Conway}} [[w:de:John Horton Conway|John H. Conway]], Derek A. Smith: ''On Quaternions and Octonions''. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch) * Jack B. Kuipers: ''Quaternions and Rotation Sequences''. Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (englisch) * W. Bolton: ''Complex Numbers (Mathematics for Engineers)''. Addison-Wesley, 1996, ISBN 0-582-23741-6 (englisch) * Andrew J. Hanson: ''Visualizing Quaternions''. Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0-12-088400-3 (englisch) * {{Anker|Pontrjagin}} [[w:de:Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Lew Semjonowitsch Pontrjagin]]: ''Verallgemeinerungen der Zahlen''. Verlag Harri Deutsch, 1995 * {{Anker|Eilenberg-Niven}} S. Eilenberg, I. Niven: ''The „fundamental theorem of algebra“ for quaternions''. In: ''Bull. Amer. Soc.'', 50, 1944, S. 246–248 * {{Anker|Hölder}} Hölder: [[s:Bemerkung zur Quaternionentheorie|Bemerkung zur Quaternionentheorie]] ([[w:de:Wikisource|Wikisource]]) == Siehe auch == * [[Komplexe Zahl]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[3D-Modellierung]] * [[Wiki2Reveal]] * [[w:de:Quaternion|Quaternion]] * [[Open Educational Resources]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Wikipedia%20Authors Wikipedia Authors]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion Quaternion] https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion * Datum: 7.8.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity {{Normdaten|TYP=s|GND=4176653-2|LCCN=sh/85/109754|NDL=00570899}} [[Kategorie:Zahl]] [[Kategorie:Verallgemeinerter Körper]] [[Kategorie:Ringtheorie]] [[Category:Wiki2Reveal]] 5p32kiqlsl1rtnuaaajmbgnq69griov 1117384 1117383 2026-10-22T13:21:56Z Bert Niehaus 20843 /* {{Anker|Realteil|Vektorteil}} Skalarteil und Vektorteil */ 1117384 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Quaternion'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Erweiterung eines Körpers und die algebraischen Eigenschaften * (2) Bezüge zu geometrischen Transformationen und 3D-Modellierung * (3) Quaternionen <math>\mathbb{H}</math> als 4-dimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Quaternionen'' in der Wikiversity hat das Ziel, die algebraischen und geometrischen Eigenschaften zu behandelt == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Quaternion'' sind * Studierende im Fach Mathematik (Algebra) * Studierende im Fach Informatik (Computergraphik) == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Quaternion'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''(Komplexe Zahl)''' Quaternionen als Erweiterung der komplexen Zahlen * '''(Gruppe)''' Die Einheiten der Quaternionen bilden eine nicht-kommuntative multiplikative Gruppe. == Einführung == Die '''Quaternionen''' (Singular ''die'' oder ''das Quaternion'', von {{laS|quaternio, -ionis}} [[w:de:Genus#Das Genussystem der deutschen Sprache|m.]] „Vierheit“) sind ein Zahlenbereich, der den Zahlenbereich der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] erweitert – ähnlich den [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]];<ref name="Beutelspacher-LA-7-30">{{Literatur |Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]] |Titel=Lineare Algebra |Auflage=7. |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=2010 |ISBN=978-3-528-66508-1 |Seiten=30}}</ref> sie werden deshalb auch ''hamiltonsche Quaternionen'' oder '''Hamilton-Zahlen''' genannt. [[w:de:Olinde Rodrigues|Olinde Rodrigues]] entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton.<ref>Bei Gauß findet sich eine Notiz über die Multiplikation und Konjugation von Quadrupeln im Kapitel ''Mutation des Raumes''. In: [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]]: ''Werke''. Achter Band. König. Gesell. Wissen., Göttingen 1900, S. 357–361, die auf das Jahr 1819 datiert wird. Die Unterschiede zu Hamilton gehen nicht über notationelle Konventionen hinaus (Zitiert nach [[w:de:#Lam|Lam]] S. 25).</ref> Trotzdem wird die [[w:de:Menge (Mathematik)|Menge]] der Quaternionen meistens mit <math>\mathbb H</math> bezeichnet. === Quaternionen als Schiefkörper === Die Quaternionen bilden einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation auch von der ''Reihenfolge'' der Faktoren abhängt, also ''nicht'' [[w:de:Kommutativgesetz|kommutativ]] ist. Das heißt, es gibt Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math>, bei denen : <math>x y \;\; \neq \;\; y x</math> ist. === Vergleich mit Rechenregeln in den reellen Zahlen === Einige aus dem [[w:de:Reelle Zahl|Reellen]] bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch gelten [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativ-]] und [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] sowie [[w:de:Ring (Algebra)#Invertierbarkeit, Einheit|multiplikative Invertierbarkeit]], d.&nbsp;h. die [[w:de:Körper (Algebra)|Existenz des Inversen]] <math>x^{-1}</math> zu jedem <math>x\neq 0</math>. Die Quaternionen waren das erste Beispiel eines nichtkommutativen Schiefkörpers.<ref>[[w:de:#Lam|Lam]] S. 1</ref> === Quaternionen im 3D-Raum === Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen sowie zur Auswertung [[w:de:Textur (Kristallographie)|kristallographischer Texturen]].<ref name="Lunze">{{cite journal |author=Karsten Kunze, Helmut Schaeben |title=The Bingham Distribution of Quaternions und Its Spherical Radon Transform in Texture Analysis |journal=Mathematical Geology |month=11 |year=2004 |volume=8 |pages=917–943 |doi=10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59 |language=en}}</ref> Sie sind aber auch als eigenständiges [[w:de:mathematisches Objekt|mathematisches Objekt]] von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des [[w:de:Vier-Quadrate-Satz|Vier-Quadrate-Satz]]es. == Konstruktion == Die Quaternionen entstehen aus den reellen Zahlen durch Hinzufügen ([[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]]) dreier neuer Zahlen, denen in Anlehnung an die komplex-imaginäre Einheit die Namen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> gegeben werden. So ergibt sich ein vierdimensionales Zahlensystem (mathematisch ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]) mit einem ''Realteil'', der aus ''einer'' reellen [[w:de:Matrix (Mathematik)#Elemente der Matrix|Komponente]] besteht, und einem ''Imaginärteil'' aus ''drei'' Komponenten, der auch Vektorteil genannt wird. Alle Quaternionen lassen sich eindeutig in der Form : <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> mit reellen Zahlen <math>x_0</math>, <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math> schreiben. Damit bilden die Elemente <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> eine [[w:de:Basis (Vektorraum)|Basis]], die Standardbasis der Quaternionen über <math>\R</math>. Die Addition erfolgt komponentenweise und wird vom Vektorraum geerbt. Multiplikativ werden die neuen Zahlen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math>, <math>\mathrm k</math> gemäß den ''Hamilton-Regeln'' {{Anker|Hamilton-Regeln}} : <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}=-1</math> verknüpft. Die [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]] <math>\R \times \mathbb H \to \mathbb H \, </math>, die ebenfalls vom Vektorraum geerbt wird<ref>Sie ist nicht mit dem [[w:de:#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] zu verwechseln.</ref> und bei der die Skalare als mit jedem Element vertauschbar angesehen werden, zusammen mit der Addition, dem [[w:de:Distributivgesetz#Formale Definition|Rechtsdistributivgesetz]] und den Hamilton-Regeln erlauben es, die Multiplikation von der Basis auf alle Quaternionen zu erweitern. Da so auch jeder Skalar <math>\lambda \in \R</math> als <math>\lambda+0\mathrm i+0\mathrm j+0\mathrm k</math> in <math>\mathbb H</math> eingebettet wird, kann <math>\R</math> als [[w:de:Unterring|Unterring]] von <math>\mathbb H</math> aufgefasst werden. Die so definierte Multiplikation ist [[w:de:Assoziativgesetz|assoziativ]], erfüllt die beiden [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]]e<ref>Wegen der fehlenden Kommutativität in der Multiplikation können die beiden Distributivgesetze nicht automatisch auf eines reduziert werden.</ref> und macht so die Quaternionen zu einem [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]]. Sie ist allerdings nicht [[w:de:Kommutativgesetz|kommutativ]], d.&nbsp;h., für zwei Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math> sind die beiden Produkte <math>x y</math> und <math> y x</math> im Allgemeinen verschieden (s.&nbsp;u.). Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H^\times</math>, also die Menge derjenigen Elemente der multiplikativen Gruppe von <math>\mathbb H</math>, die mit allen Elementen kommutieren, ist <math>\R^\times</math>. Die Quaternionen bilden einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] (Divisionsring), da es zu jeder Quaternion <math>x\ne0</math> eine [[w:de:#Inverses und Division|inverse Quaternion]] <math>x^{-1}</math> gibt mit : <math>x x^{-1}=x^{-1} x=1</math>&nbsp;. Wegen der fehlenden Kommutativität werden Notationen mit Bruchstrich, wie z.&nbsp;B. <math>\tfrac{y}x</math>, vermieden. Des Weiteren sind die Quaternionen eine [[w:de:Dimension (Mathematik)|vierdimensionale]] [[w:de:Divisionsalgebra|Divisionsalgebra]] über <math>\R</math> – und bis auf [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] die einzige. == Schreibweise == Im weiteren Text werden folgende Schreibweisen benutzt: Ist <math>x</math> eine Quaternion, dann werden ihre reellen Komponenten mit <math>x_0, x_1, x_2, x_3</math> bezeichnet, und diese sind der Basis <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> folgendermaßen zugeordnet: : <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k .</math> Gelegentlich wird eine vektorielle Schreibweise benötigt. Dabei werden bspw. die Komponenten <math>(x_1,x_2,x_3)</math> zu einem 3-dimensionalen Vektor <math>\vec x</math> zusammengefasst, sodass man <math>x</math> mit dem 4-dimensionalen Vektor <math>(x_0, \vec x) = (x_0, x_1, x_2, x_3)</math> identifizieren kann.<ref>NB: <math>\vec x</math> wird bei Bedarf auch als Spaltenvektor eingesetzt.</ref> Analoge Abmachungen sollen für andere Buchstaben wie <math>y</math> etc. gelten. In manch älterer Literatur wurden Quaternionen mit großen [[w:de:Fraktur (Schrift)|Frakturbuchstaben]] und die imaginären Einheiten als ''Einheitsvektoren'' mit kleinen <math>\mathfrak{e}_n</math> in Fraktur bezeichnet, z.&nbsp;B. so: : <math>\mathfrak{X} = x_0 + \mathfrak{e}_1 x_1 + \mathfrak{e}_2 x_2 + \mathfrak{e}_3 x_3 = \sum_{j=0}^3 \mathfrak{e}_j x_j</math> mit <math>\mathfrak{e}_0 = 1</math>. Komplexe Zahlen tragen meist den Namen <math>z</math> und haben die reellen Komponenten <math>\xi</math>, <math>\eta</math>. == Grundrechenarten == Die Konstruktion der Quaternionen ist der der komplexen Zahlen analog, allerdings wird nicht nur eine neue Zahl hinzugefügt, sondern derer drei, die mit <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> bezeichnet werden. Die [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]]en : <math>x_0\mathrm 1+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> über der Basis <math>\{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math> spannen mit reellen Komponenten <math>x_i</math> den 4-dimensionalen Vektorraum der Quaternionen <math>\mathbb H</math> auf. Als Vektorraum ist <math>\mathbb H</math> isomorph zu <math>\R^4</math>. Das Basiselement <math>\mathrm 1</math>, das die reellen Zahlen [[w:de:Injektivität|injektiv]] einbettet (und zugleich das neutrale Element der Multiplikation darstellt), wird in der Linearkombination meist weggelassen. Die Addition und Subtraktion geschieht komponentenweise. Vom Vektorraum wird auch die [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]] übernommen, also die linke und rechte Multiplikation mit einer reellen Zahl, die distributiv zu jeder Komponente multipliziert wird. Diese Skalarmultiplikation ist eine [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] der Hamilton-Multiplikation, die auf ganz <math>\mathbb H</math> definiert ist. Die Hamilton-Multiplikation der Basiselemente untereinander oder etwas umfassender innerhalb der Menge : <math>\mathrm{Q}_8 := \{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k, -\mathrm 1,-\mathrm i,-\mathrm j,-\mathrm k\}</math> geschieht nach den Hamilton-Regeln {| |- |style="width: 25em;"| * <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=-1</math> | <math>(1)</math> |- | * <math>\mathrm i\mathrm j=+\mathrm k,\quad \mathrm j\mathrm k=+\mathrm i,\quad \mathrm k\mathrm i=+\mathrm j</math> | <math>(2)</math> |- | * <math>\mathrm j\mathrm i=-\mathrm k,\quad \mathrm k\mathrm j=-\mathrm i,\quad \mathrm i\mathrm k=-\mathrm j</math> | <math>(\bar 2)</math>. |} Diese Regeln zusammen mit der Vertauschbarkeit von <math>\pm1</math> mit jedem anderen Element geben eine vollständige Tafel für eine Verknüpfung vor, die sich als [[w:de:Assoziativgesetz|assoziativ]] erweist und <math>\mathrm{Q}_8</math> zu einer [[w:de:Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] macht – der [[w:de:Quaternionengruppe|Quaternionengruppe]]. Unter Voraussetzung der Regel <math>(1)</math> (und der Gruppenaxiome) ist die Kombination aus <math>(2)</math> und <math>(\bar 2)</math>, in der das zyklische und antizyklische Verhalten der drei nicht-reellen Quaternionen-Einheiten zum Ausdruck kommt, ersetzbar durch die Einzelregel {| |- |style="width: 25em;"| * <math>\mathrm i\mathrm j\mathrm k=-1</math> | <math>(3)</math>. |} Diese Einzelregel <math>(3)</math> könnte auch durch jede der fünf alternativen Einzelregeln <math>\mathrm j\mathrm k\mathrm i=-1</math>, <math>\mathrm k\mathrm i\mathrm j=-1</math>, <math>\mathrm k\mathrm j\mathrm i=1</math>, <math>\mathrm j\mathrm i\mathrm k=1</math> oder <math>\mathrm i\mathrm k\mathrm j=1</math> ersetzt werden. Mithilfe dieser Ersetzungsregeln, des [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]]es und (linken sowie rechten) [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]]es lässt sich die Multiplikation auf ganz <math>\mathbb H</math> fortsetzen. Die <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> kann man wie [[w:de:Kommutativgesetz#Antikommutativität|''anti-kommutierende'']] Variablen behandeln. Treten Produkte von zweien von ihnen auf, so darf man sie nach den Hamilton-Regeln ersetzen. Die ausgearbeiteten Formeln für die zwei Verknüpfungen von zwei Quaternionen : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> &nbsp; und &nbsp; <math>y=y_0+y_1\mathrm i+y_2 \mathrm j+y_3\mathrm k</math> lauten :<math>\begin{alignat}{2} x+y & = (x_0+y_0)+(x_1+y_1)\mathrm i+(x_2+y_2)\mathrm j+(x_3+y_3)\mathrm k &\quad& \text{(Addition)} \end{alignat}</math> bzw. :<math>\begin{alignat}{2} x\;y & = (x_0 y_0 - x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3) &\quad& \text{(Multiplikation)}\\ & \quad + (x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{green} \; + \; x_2 y_3} {\color{red} \; - \; x_3 y_2}) \mathrm i && \\ & \quad + (x_0 y_2 {\color{red} \; - \; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{green} \; + \; x_3 y_1}) \mathrm j && \\ & \quad + (x_0 y_3 {\color{Green} \; + \; x_1 y_2} {\color{red} \; - \; x_2 y_1} + x_3 y_0) \mathrm k && \end{alignat}</math> Herleitung:<ref>{{Literatur |Autor=Brian L. Stevens, Frank L. Lewis, Eric N. Johnson |Titel=Aircraft Control and Simulation. Dynamics, Controls Design, and Autonomous Systems |Auflage=Third edition |Verlag=John Wiley & Sons, Inc. |Ort=Hoboken, New Jersey |Datum=2016 |ISBN=978-1-118-87098-3 |Seiten=46}}</ref> :<math>\begin{align} x\;y & = (x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k) \; (y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k)\\ & = x_0 y_0 + x_1 y_1 \mathrm i \mathrm i + x_2 y_2 \mathrm j \mathrm j + x_3 y_3 \mathrm k \mathrm k\\ & \quad + x_0 y_1 \mathrm i + x_1 y_0 \mathrm i +x_2 y_3 {\color{green} \mathrm j \mathrm k} +x_3 y_2 {\color{red}\mathrm k \mathrm j}\\ & \quad + x_0 y_2 \mathrm j + x_1 y_3 {\color{red} \mathrm i \mathrm k } + x_2 y_0 \mathrm j + x_3 y_1 {\color{green} \mathrm k \mathrm i}\\ & \quad + x_0 y_3 \mathrm k + x_1 y_2 {\color{green}\mathrm i \mathrm j} + x_2 y_1 {\color{red} \mathrm j \mathrm i} + x_3 y_0 \mathrm k\\ & = x_0 y_0 -x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3\\ & \quad + (x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{green}\;+\; x_2 y_3 } {\color{red} \; -\; x_3 y_2 }) \mathrm i\\ & \quad + (x_0 y_2 {\color{red}\;-\; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{green}\;+\; x_3 y_1} )\mathrm j \\ & \quad + (x_0 y_3 {\color{green}\;+ \; x_1 y_2} {\color{red}\;-\; x_2 y_1 } + x_3 y_0 ) \mathrm k. \end{align}</math> Damit sind die für einen Ring erforderlichen zwei Verknüpfungen definiert. Es ist leicht nachgerechnet, dass alle Ring-Axiome erfüllt sind. Das additive [[w:de:Inverses Element|Inverse]] ist (wie in jedem Vektorraum) das Produkt mit dem Skalar −1. Die ''Subtraktion'' ist die Addition dieses Inversen. Die für einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] erforderliche ''Division'' muss wegen der fehlenden Kommutativität durch eine Multiplikation mit dem (multiplikativen) Inversen ersetzt werden (siehe [[w:de:#Inverses und Division|Inverses und Division]]).<ref>Reelle Faktoren kommutieren mit <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> und damit mit allen Quaternionen, d.&nbsp;h., es gilt beispielsweise :<math>2\mathrm i\mathrm j=\mathrm i2\mathrm j=\mathrm i\mathrm j 2=2\mathrm k</math>, aber :<math>2\mathrm j\mathrm i=\mathrm j 2\mathrm i=\mathrm j\mathrm i 2=-2\mathrm k</math>. Nicht alle aus der elementaren Algebra bekannten Rechenregeln gelten für die Quaternionen, z.&nbsp;B. gilt :<math>(\mathrm i+\mathrm j)(\mathrm i-\mathrm j)=\mathrm i\mathrm i-\mathrm i\mathrm j+\mathrm j\mathrm i-\mathrm j \mathrm j=(-1)-\mathrm k+(-\mathrm k)-(-1)=-2\mathrm k</math>. Die [[w:de:Binomische Formel|binomischen Formeln]] <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> oder <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> sind hier also ''nicht'' anwendbar. Sie setzen voraus, dass <math>ab=ba</math> gilt.</ref> == Gegenring == Ist <math>(R,+,\cdot)</math> ein Ring, dann wird der mit der Multiplikation :<math>x \circ y \; := y \cdot x</math> ausgestattete Ring <math>R^{\operatorname{op}} := (R,+,\circ) </math> als [[w:de:Gegenring|Gegenring]] bezeichnet. Hier folgen alle Ringgesetze, das heißt das Assoziativgesetz sowie beide Distributivgesetze, aus den ursprünglichen Gesetzen. Im Gegenring <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math>, der wegen der Nicht-Kommutativität von <math>\mathbb H</math> von diesem verschieden ist, gelten alle im Abschnitt ''[[w:de:#Grundrechenarten|Grundrechenarten]]'' angeführten Rechenregeln bis auf die Multiplikation, bei der die Vorzeichen der Terme, die nur [[w:de:Koeffizient|Koeffizient]]en <math>x_m y_n</math> mit <math>m \ne n</math> und <math>m \ne 0 \ne n</math> haben, invertiert sind. Ferner gilt die Kurzform : <math>\mathrm i\circ \mathrm j\circ \mathrm k=+1</math>. === Definition von Gauß === Im Übrigen hat [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Gauß]] laut Lam (Eq. (1.4)) die Quaternionenmultiplikation im Jahr 1819 genau so definiert. Des Weiteren ist die [[w:de:Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] des [[w:de:Drei-Finger-Regel|Dreibeins]] <math>(\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k)</math> in <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math> gespiegelt. Die [[w:de:Identische Abbildung|Identität]] auf der Grundmenge <math>\R^4</math> ist ein [[w:de:Antiisomorphismus|Antiisomorphismus]] und die [[w:de:#QKonjugation|Konjugation]] ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. === Nichtkommutativität === Die Nichtkommutativität ist gleichbedeutend mit der Verschiedenheit von <math>\mathbb{H}</math> und <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math>. Da beide Ringe die [[w:de:Ring (Algebra)#Ring|Ringaxiome]] der Quaternionen erfüllen, muss dieses Axiomensystem „unvollständig“ sein im Sinne [[w:de:#Hölder|Hölders]]. In diesem Sinn vollständig sind die Axiomensysteme der rationalen, reellen oder komplexen Zahlen. == Grundlegende Begriffe == === Quaternion - Realteil und Imaginärteil === Aufgrund der besonderen Stellung der Komponente <math>x_0</math> einer Quaternion : <math>x=\underbrace{x_0}_{\mbox{Realteil}}+\underbrace{(x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k)}_{\mbox{Imaginärteil}}</math> bezeichnet man sie – wie bei den komplexen Zahlen – als ''Realteil'' und die anderen 3 Summanden werden als ''Imaginärteil'' zusammengefasst. === {{Anker|Realteil|Skalarteil}} Realteil oder Skalarteil und Vektorteil === Die Realteilfunktion <math>\mathfrak{Re}</math> von einer Quaternion ordnet einem <math>x=x_0+(x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k)\in \mathbb{H}</math> für beliebige Quaterionen <math>x\in \mathbb{H}</math> den Realteil <math>x_0\in \mathbb{R}</math> von <math>x</math> zu. : <math>\mathfrak{Re}(x) := x_0</math>&nbsp;, === {{Anker|Imaginärteil|Vektorteil}} Realteil oder Skalarteil und Vektorteil === Die Komponenten <math>x_1,x_2,x_3</math> zusammen den ''Imaginärteil'' oder ''Vektorteil'' : <math>\mathfrak{Im}(x) := x_1\mathrm i + x_2\mathrm j + x_3\mathrm k</math> bilden. Häufig identifiziert man den Vektorteil auch mit dem Vektor <math>\vec x:=(x_1,x_2,x_3) \in \R^3</math>. === {{Anker|QKonjugation}} Konjugation === Zu jeder Quaternion : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> ist die ''konjugierte Quaternion'' definiert als : <math>\bar x := x_0-x_1\mathrm i-x_2\mathrm j-x_3\mathrm k</math>&nbsp;. Da hier der Imaginärteil mit seinen Einheitsvektoren verknüpft bleibt und der Realteil als reelle Zahl eindeutig in die Quaternionen einzubetten ist, ergeben sich die einfachen Beziehungen : <math>x = \operatorname{Re}\,x + \operatorname{Im}\,x </math> und : <math>\bar{x} = \operatorname{Re}\,x - \operatorname{Im}\,x </math>&nbsp;, aus denen sich unmittelbar : <math>\operatorname{Re}\,x = \frac12(x+\bar{x})</math> und : <math>\operatorname{Im}\,x = \frac12(x-\bar{x})</math> ausrechnet.<ref>Im Komplexen gilt dagegen :<math>\operatorname{Im}\,z = \frac{1}{2\mathrm i_\Complex}(z-\bar{z})</math> mit Abspaltung der imaginären Einheit <math>\mathrm i_\Complex</math> von der rein-imaginären Komponente, sodass der Imaginärteil eine ''reelle'' Zahl ist. Und es gilt: :<math>z = \operatorname{Re}\,z + \mathrm i_\Complex \; \operatorname{Im}\,z.</math></ref> Ist eine Quaternion gleich ihrer Konjugierten, so ist sie reell, d.&nbsp;h., der Vektorteil ist null. Ist eine Quaternion gleich dem Negativen ihrer Konjugierten, so ist sie eine [[w:de:#Reine Quaternion|reine Quaternion]], d.&nbsp;h., der Skalarteil ist null. Weitere wichtige Eigenschaften der Konjugation sind: {| |- | * <math>\overline{(\bar x)}=x</math> | Die Konjugation ist eine [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]]. |- | * <math>\overline{x+y}=\bar x+\bar y</math> und<br /> <math>\overline{\lambda x}=\lambda\bar x</math> für reelle Zahlen <math>\lambda</math> | Die Konjugation ist <math>\R</math>-[[w:de:Lineare Abbildung|linear]]. |- | * <math>\overline{x y}=\bar y\bar x</math> | Die Konjugation ist ein [[w:de:Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]]. |- | * <math>\overline x = -\tfrac12(x + \mathrm i\,x\,\mathrm i + \mathrm j\,x\,\mathrm j + \mathrm k x \mathrm k)</math> &nbsp; &nbsp; | Die Konjugation lässt sich „mit arithmetischen Mitteln“ darstellen.<ref>Das gilt daher auch für den Betrag und die Teilmenge der reellen Zahlen. Bei den komplexen Zahlen gilt das nicht (s.&nbsp;a. [[w:de:Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie|Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie]]).</ref> |} === Skalarprodukt === Das [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon \mathbb H \times \mathbb H \to\R</math> zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im <math>\R^4</math>, ist definiert durch : <math>\langle x,y \rangle:= x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3</math>&nbsp;. Es gilt : <math>\langle x,y \rangle= \operatorname{Re}(\bar xy)=\operatorname{Re}(x\bar y) = \frac{1}{2} (x\bar y + y\bar x)</math>&nbsp;. Es ist eine [[w:de:Definitheit|positiv definite]] symmetrische [[w:de:Bilinearform#Beispiele|Bilinearform]], über die sich [[w:de:#Norm und Betrag|Norm und Betrag]] definieren lassen und mit der [[w:de:Skalarprodukt#Norm, Winkel und Orthogonalität|Winkel und Orthogonalität]] bestimmt werden können. Ferner kann man damit die einzelnen Komponenten einer Quaternion isolieren: : <math>x_0 = \langle\mathrm 1, x\rangle,\quad x_1 = \langle\mathrm i, x\rangle,\quad x_2 = \langle\mathrm j, x\rangle,\quad x_3 = \langle\mathrm k, x\rangle</math>&nbsp;. Das aus der Physik weit verbreitete Vorgehen, das Skalarprodukt abkürzend wie eine Multiplikation mit dem [[w:de:Mittepunkt|Mittepunkt]] {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} zu notieren, wird auch bei den Quaternionen häufig angewandt, wobei hier die Verwechslungsgefahr zwischen Quaternionenmultiplikation und Skalarprodukt hoch ist. Im Folgenden verwenden wir folgende Konvention: * Das Quaternionenprodukt wird stets ohne Benutzung des Mittepunkts durch Aneinanderreihung der Faktoren notiert. * Das Skalarprodukt, und zwar sowohl das 4- wie das 3-dimensionale, wird in Multiplikationsschreibweise mit dem Mittepunkt {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} notiert. === Kreuzprodukt === Das Kreuzprodukt zweier Quaternionen <math>x, y</math> ist das [[w:de:Kreuzprodukt|Kreuzprodukt]] (Vektorprodukt) ihrer Vektorteile und bis auf den Faktor&nbsp;2 ihr [[w:de:Kommutator (Mathematik)|Kommutator]]. Ist <math>x=:(x_0,\vec x)</math> und <math>y =: (y_0,\vec y)</math>, so ist : <math>\begin{align} x \times y & := \vec x\times\vec y \\ & \;= \tfrac12(x y-y x) \\ & \;= ( x_2 y_3 - x_3 y_2) \mathrm i +(x_3 y_1 - x_1 y_3) \mathrm j +( x_1 y_2 - x_2 y_1) \mathrm k \; . \end{align}</math> === Quaternionenmultiplikation als Skalar- und Kreuzprodukt === Identifiziert man Quaternionen {| |- |style="width: 25em;"| : <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> |style="width: 5em;"| und |style="width: 25em;"| <math>y = y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k</math> |} mit Paaren aus einem Skalar <math>\in \R</math> und einem Vektor <math>\in \R^3</math> {| |- |style="width: 25em;"| : <math>x=(x_0,\vec x)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec x :=(x_1,x_2,x_3)</math> |style="width: 5em;"| bzw. |style="width: 25em;"| <math>y=(y_0,\vec y)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec y :=(y_1,y_2,y_3)</math>&nbsp;, |} so lässt sich die Multiplikation mithilfe des (dreidimensionalen) [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]]s und [[w:de:Kreuzprodukt|Kreuzprodukt]]s beschreiben: : <math>xy = (x_0,\vec x) (y_0,\vec y)=\Big(x_0 y_0 -\vec x \cdot\vec y,\quad x_0 \vec y+\vec x y_0+\vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;. {{Anker|vertauschbar}} Zwei Quaternionen sind demnach genau dann miteinander ''vertauschbar'', wenn ihr Kreuzprodukt 0 ist, wenn also ihre Vektorteile als reelle Vektoren linear abhängig sind (s.&nbsp;a. [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettung der komplexen Zahlen]]). === {{Anker|Norm}} Norm und Betrag === Das Skalarprodukt einer Quaternion <math>x</math> mit sich selbst, welches gleich dem Quaternionenprodukt mit der Konjugierten ist, wird ''Norm'' genannt: : <math>\operatorname{Norm}(x) := \langle x,x \rangle = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 = x\bar x = \bar x x </math>&nbsp;<ref>Viele Autoren setzen jedoch Norm dem Betrag gleich.</ref> Insbesondere ist dieser Wert reell und nichtnegativ. {{Anker|Betrag}} Die [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] daraus : <math>\sqrt{{x_0}^2+{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2}=:|x|</math> wird ''Betrag'' oder ''Länge'' der Quaternion <math>x</math> genannt und stimmt überein mit Betrag oder [[w:de:Euklidische Norm|euklidischer Länge]] des Vektors <math>(x_0,x_1,x_2,x_3)</math>. Er erfüllt die wichtige Eigenschaft : <math>|x y|=|x|\;|y|</math>&nbsp;, die ''Multiplikativität des Betrags''. Mit dem Betrag werden die Quaternionen zu einer reellen [[w:de:Banachalgebra|Banachalgebra]]. === Inverses und Division === Bei einer nicht-kommutativen Multiplikation muss man die Gleichungen {| |- |style="width: 10em;"| : <math>x b=a</math> |style="width: 5em;"| und |style="width: 10em;"| <math>b y=a</math> |} unterscheiden. Wenn das [[w:de:Inverses Element|Inverse]] <math>b^{-1}</math> existiert, dann sind {| |- |style="width: 10em;"| : <math>x=a b^{-1}</math> |style="width: 5em;"| bzw. |style="width: 10em;"| <math>y=b^{-1} a</math> |} respektive Lösungen, die nur dann übereinstimmen, wenn <math>b</math> und <math>a</math> kommutieren, insbesondere wenn der Divisor <math>b</math> reell ist. In solch einem Fall kann die Schreibweise <math>\tfrac a b</math> verwendet werden – bei allgemeinen Divisionen wäre sie nicht eindeutig. Wenn zusätzlich <math>c^{-1}</math> existiert, gilt die Formel : <math>b^{-1} c^{-1}=(c b)^{-1}</math>, denn : <math>b^{-1} c^{-1} c b=1</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; und&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> (c b)^{-1} c b=1</math>&nbsp;. Für : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k\ne0</math> ist die Norm : <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = \bar x x = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2>0</math> reell und positiv. Die Quaternion : <math>x^{-1} := \frac{\bar x}{x \bar x} </math> erfüllt dann die Bedingungen des Rechts- : <math> x x^{-1} = x \frac{\bar x}{x \bar x} = 1</math> und des Links-Inversen : <math> x^{-1} x = \frac{\bar x}{\bar x x} x = 1</math> und kann deshalb als das Inverse schlechthin von <math>x</math> bezeichnet werden. === Reine Quaternion === Eine Quaternion, deren Vektorteil 0 ist, wird mit der ihrem Skalarteil entsprechenden reellen Zahl identifiziert. Eine Quaternion, deren Realteil 0 ist (äquivalent, deren Quadrat reell und nichtpositiv ist), nennt man ''rein'', ''rein imaginär'' oder ''vektoriell''. Die Menge der reinen Quaternionen wird als <math>\mathbb H _{\text{pure}}</math> oder <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> notiert. Sie ist ein [[w:de:Dimension (Mathematik)|dreidimensionaler]] reeller [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit Basis <math>\{\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math>. Für reine Quaternionen nimmt die Multiplikation eine besonders einfache Form an: : <math>(0,\vec x)(0,\vec y) \; = \; \Big({-\vec x \cdot \vec y}, \, \vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;. === Einheitsquaternion === Eine ''Einheitsquaternion'' (auch ''normierte Quaternion'', Quaternion ''der Länge&nbsp;1'') ist eine Quaternion, deren Betrag gleich&nbsp;1 ist. Für sie gilt (analog zu den komplexen Zahlen) : <math>|x|=1\iff x\bar x=1\iff \bar x=x^{-1}</math>. Für eine beliebige Quaternion <math>x\ne0</math> ist : <math>\frac x{|x|}=\frac{x_0}{|x|}+\frac{x_1}{|x|}\mathrm i+\frac{x_2}{|x|}\mathrm j+\frac{x_3}{|x|}\mathrm k</math> eine Einheitsquaternion, die man manchmal auch als das [[w:de:Signumfunktion|Signum]] oder den Versor von <math>x</math> bezeichnet. Das Produkt zweier Einheitsquaternionen und die Inverse einer Einheitsquaternion sind wieder Einheitsquaternionen. Die Einheitsquaternionen bilden also eine Gruppe. Geometrisch kann man die Menge der Einheitsquaternionen als die [[w:de:Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> im vierdimensionalen [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und damit als [[w:de:Lie-Gruppe|Lie-Gruppe]] interpretieren, mit dem Raum der [[w:de:#Reine Quaternion|reinen Quaternionen]] als zugehöriger [[w:de:Lie-Algebra|Lie-Algebra]]. Die Darstellung als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] verdeutlicht die umkehrbar eindeutige Entsprechung der Einheitsquaternionen mit der [[w:de:Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>. Die einzigen reellen Einheitsquaternionen sind <math>\pm 1</math>. Sie machen auch das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb{S}^3</math> aus. === Reine Einheitsquaternion === Einheitsquaternionen, die auch reine Quaternionen sind, lassen sich als diejenigen Quaternionen charakterisieren, deren Quadrate <math>-1</math> ergeben: : <math>\epsilon_0=0 \; \land \; {\epsilon_1}^2+{\epsilon_2}^2+{\epsilon_3}^2=1\qquad\iff\qquad \epsilon^2=-1</math>.<ref>Den unendlich vielen [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]]n des [[w:de:Polynom|Polynom]]s <math>X^2 + 1</math> steht das Fehlen einer Nullstelle beim Polynom <math>\mathrm i X - X \mathrm i + 1</math> vom [[w:de:Polynom|Grad]] 1 gegenüber. Letzteres besitzt 2 [[w:de:Monom|Monom]]e vom Grad 1, dem höchsten Grad seiner Monome. In nicht-kommutativen Ringen wird der Grad des Monoms <math>a_0 X a_1 \dots a_{n-1} X a_n</math> mit <math>a_i \neq 0</math> zu <math>n</math> definiert, und ein Monom dominiert ein Polynom, wenn es unter allen Monomen den höchsten Grad hat. Dann ist der Grad des Polynoms auch gleich dem Grad der dominierenden Monome. Hat ein Polynom über <math>\mathbb H</math> ein ''einziges'' dominierendes Monom von einem Grad > 0, dann hat es immer eine Nullstelle in <math>\mathbb H</math>. ([[w:de:#Eilenberg-Niven|Eilenberg-Niven]]).</ref> Sie liegen in der Äquatorhyperebene der 3-Sphäre <math>\mathbb{S}^3</math> und machen die Einheits-2-Sphäre <math>\mathbb{S}^2</math> des dreidimensionalen Raums <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus. === Einbettung der komplexen Zahlen === Jede Quaternion <math>\epsilon</math> mit Quadrat <math>-1</math> definiert einen Einbettungs[[w:de:isomorphismus|isomorphismus]] <math>\iota_{\epsilon}</math> der komplexen Zahlen in die Quaternionen : <math> \begin{array}{rccc} \iota_{\epsilon} \colon & \Complex & \to & \mathbb H \\ & u+v\mathrm i_\Complex & \mapsto & u+v \epsilon \end{array} </math> mit <math>u,v\in\R</math> und <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit der komplexen Zahlen. Dabei sind die [[w:de:Bild (Mathematik)|Bildmengen]] der <math>\epsilon</math> und <math>\bar \epsilon</math> entsprechenden Einbettungen identisch: <math>\iota_{\epsilon}(\Complex) = \iota_{\overline \epsilon}(\Complex)</math>. Eine jede solche Quaternion darf <math>\mathrm i</math> genannt werden, eine senkrechte dazu <math>\mathrm j</math> und ihr Produkt <math>\mathrm k</math>.<ref name="Conway">[[w:de:John Horton Conway|John H. Conway]], Derek A. Smith: ''On Quaternions and Octonions''. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch).</ref>{{rp|Seite 40.}} <ref>Ein [[w:de:#Automorphismen|Automorphismus]] definiert eine solche Einbettung (durch [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]]), die nur eine Einbettung von {{nowrap|<math>\R</math>-[[w:de:Algebra über einem Körper|Algebren]]}} ist. <math>\mathbb H</math> ist keine Algebra über <math>\Complex</math>.</ref> Jede nicht-reelle Quaternion liegt in genau einer solchen Einbettung von <math>\Complex</math>&nbsp;. Zwei Quaternionen sind genau dann vertauschbar, wenn es eine gemeinsame Einbettung gibt. Zwei verschiedene Bilder haben die reelle Achse zum Durchschnitt. So betrachtet, sind die Quaternionen eine [[w:de:Menge (Mathematik)#Vereinigung (Vereinigungsmenge)|Vereinigung]] komplexer Ebenen. == Polardarstellung == Jede [[w:de:#Einheitsquaternion|Einheitsquaternion]] <math>x^\circ = x_0 + x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k \; \ne \; \pm 1</math> kann auf eindeutige Weise in der Form : <math>x^\circ=\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math> :: mit dem ''Polarwinkel''<ref>[[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22. Der Polarwinkel ist das Analogon zum [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|komplexen Argument]] <math>\operatorname{arg}(z)</math>, allerdings ist bei dessen Hauptwert das Signum des Imaginärteils mit hinein genommen, was sich bei den Quaternionen nicht machen lässt, sodass <math>\operatorname{arg}</math> nicht eine einfache [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] des Polarwinkels ist.</ref> von <math>x^\circ</math> ::: <math>\phi := \arccos(x_0) = \arccos(\operatorname{Re} x^\circ) \in{]0,\pi[}</math> :: und der ''reinen'' Einheitsquaternion ::: <math>\epsilon := \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sqrt{1-x_0^2}} = \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sin \phi} = \frac{\operatorname{Im} x^\circ}{|\operatorname{Im} x^\circ|} = \frac{\vec x^\circ}{|\vec x^\circ|}</math> dargestellt werden. Mit der [[w:de:Exponentialfunktion#Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren|verallgemeinerten Exponentialfunktion]] lässt sich das wegen <math>\epsilon^2=-1\ </math> auch schreiben als : <math>x^\circ=\exp(\epsilon\phi)</math> mit der [[w:de:#Reine Quaternion|reinen Quaternion]] <math>\epsilon\phi =: x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H </math>. Will man also eine reine Quaternion <math>x^\prime\ne 0</math> exponentiieren, so ist ihr Betrag <math>\phi=|x^\prime|</math> und die [[w:de:#Reine Einheitsquaternion|reine Einheitsquaternion]] <math>\epsilon=x^\prime/\phi</math> zu bilden, und es ergibt sich die Einheitsquaternion : <math>\exp x^\prime = \cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math>. Der Fall &nbsp; <math>\exp 0 = 1</math> &nbsp; lässt sich [[w:de:Fortsetzung (Mathematik)#Stetige Fortsetzung|stetig ergänzen]]. Damit ist die [[w:de:Matrixexponential|Exponentialabbildung]] <math>\exp\colon \operatorname{Im}\,\mathbb H \to \mathbb{S}^3</math> [[w:de:surjektiv|surjektiv]]. Nun ist <math>\exp x^\prime = -1</math> für alle <math>x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math> mit <math>|x^\prime| = \pi</math>, und das sind unendlich viele. Gleichwohl ist die [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] <math>\exp\colon \{x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H \land |x^\prime| < \pi \} \; \to \; \mathbb{S}^3 \setminus \{-1\}</math> [[w:de:Bijektivität|bijektiv]]. Sie ist [[w:de:Stetige Funktion|stetig]], wegen der Nicht-Kommutativität der Multiplikation aber kein [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]]<ref name="exp-nicht-homomorph">Für <math>x^\prime:=\mathrm i\pi</math> und <math>y^\prime:=\mathrm j\pi</math> ist :<math>\exp x^\prime \exp y^\prime = \exp(\mathrm i\pi) \exp(\mathrm j\pi) = (-1)(-1)=1</math> :<math>\ne \exp(x^\prime+y^\prime) = \exp((\mathrm i+\mathrm j)\pi) = \cos(\pi \sqrt 2)+\frac{\mathrm i+\mathrm j}{\sqrt 2}\sin(\pi \sqrt 2)</math>.</ref>. {{Anker|reine_und_normierte}} Allgemein lässt sich jede nicht-reelle Quaternion eindeutig in der Form : <math>x=|x| \; (\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi)</math> :: mit dem ''Polarwinkel'' von <math>x</math> ::: <math>\phi = \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|}\right) \in{]0,\pi[} </math> :: und der reinen Einheitsquaternion (der ''reinen und normierten Quaternion von <math>x</math>'') ::: <math>\epsilon = \frac{\operatorname{Im} x}{\sqrt{|x|^2 - (\operatorname{Re} x)^2}} = \frac{\operatorname{Im} x}{|x| \, \sin \phi} = \frac{\vec x}{|\vec x|}</math> schreiben. Durch die Festlegung <math>\phi \in{]0,\pi[}</math> ist <math>\sin \phi > 0</math>, sodass <math>\epsilon</math> in dieselbe Richtung wie der Vektorteil <math>\operatorname{Im} x</math> zeigt. Jede nicht reell-negative Quaternion schreibt sich eindeutig als : <math>x=|x|\exp x^\prime</math> mit einer reinen Quaternion <math>x^\prime</math> mit &nbsp; <math>|x^\prime|<\pi</math>. Diese Darstellungen sind der Polarform komplexer Zahlen : <math>z=|z|(\cos\phi+\mathrm i_\Complex\sin\phi)=|z| \exp(\mathrm i_\Complex\phi)</math> (mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit) analog. Für die [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]] : <math>x y = |x| \; |y| \; \exp (x^\prime+y^\prime)</math> müssen <math>x,y</math> allerdings kommutieren.<ref name="exp-nicht-homomorph" /><ref>Laut [[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22 mag das Scheitern dieser Funktionalgleichung das größte Hindernis für eine quaternionische [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] gewesen sein.</ref> == Funktionentheorie == === Exponentialfunktion, Logarithmus === Das Exponential einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist: : <math>\exp (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \exp (\operatorname{Re} x) \left(\cos |\vec x|+\frac{\vec x}{|\vec x|} \sin |\vec x| \right) \isin \mathbb H</math> mit <math>\vec x:=\operatorname{Im} x</math>&nbsp;. Der (natürliche) [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist: : <math>\ln(x) = \ln |x| + \frac{\vec x}{|\vec x|} \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|} \right) \isin \mathbb H</math>&nbsp;<ref>{{Webarchiv |url=http://www.lce.hut.fi/~ssarkka/pub/quat.pdf |wayback=20130926165618 |text=Lce.hut.fi}} (PDF; 68&nbsp;kB)</ref> Für nicht-reelles <math>x</math> sind sie [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]]en voneinander : <math>\exp (\ln(x)) = x</math> und, falls <math>|\vec x| < \pi</math>, : <math>\ln(\exp (x)) = x</math>&nbsp;. Für nicht-reelles, mit <math>x</math> kommutierendes <math>y</math> gelten die [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en : <math>\exp (x+y) = \exp (x) \exp (y)</math> und : <math>\ln (x) + \ln (y) = \ln (x y)</math>&nbsp;, letzteres für <math>x,y</math> mit hinreichend kleinem Imaginärteil. === Fortsetzungen komplexer Funktionen === [[Datei:Lift Complex Function to Quaternions.svg|304px|mini|Im [[w:de:Kommutatives Diagramm|kommutativen Diagramm]] müssen sich <math>g_{\epsilon}</math> und <math> g_{\zeta}</math> auf <math>\iota_{\epsilon}\Complex \; \cap \; \iota_{\zeta}\Complex \; \subset \; \mathbb H</math> vertragen.]] Da <math>\mathbb H</math> als eine Vereinigung von Einbettungen komplexer Ebenen aufgefasst werden kann (s. Abschnitt [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|#Einbettung der komplexen Zahlen]]), kann man versuchen, Funktionen <math>g \colon \Complex \to \Complex</math><ref>Die Überlegungen gelten schon, wenn der Definitionsbereich von <math>g</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ist.</ref> mithilfe der genannten Einbettungsisomorphismen <math>\iota_{\epsilon}</math> vom Komplexen ins Quaternionische zu liften. Dabei ist zu fordern, dass die so gewonnenen Funktionen <math>g_{\epsilon} \colon \iota_{\epsilon} (\Complex) \to \iota_{\epsilon} (\Complex) \subset \mathbb H</math> mit <math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon} \circ g \circ {\iota_{\epsilon}}^{-1}(q) </math> bei Überschneidungen der [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsbereiche]] dasselbe Ergebnis liefern, sodass die vereinigte Funktion <math>\tilde g</math> auf der [[w:de:Vereinigungsmenge|Vereinigungsmenge]] <math>\cup_{\epsilon} \bigl( \iota_{\epsilon} (\Complex) \bigr) = \mathbb H</math> vermöge <math>\forall q \in \mathbb H \; \exists \epsilon : q \in \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> als <math>\tilde g(q) := g_{\epsilon} (q)</math> in [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefinierter]] Weise gebildet werden kann. Sei <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \ \mathrm i_\Complex</math> eine komplexwertige Funktion <math>\Complex \to \Complex</math> einer komplexen Variablen <math>z = \xi + \eta \, \mathrm i_\Complex</math> mit reellen <math>\xi,\eta</math> und reellen <math>u(\xi,\eta),v(\xi,\eta) .</math><br /> '''Einbettbarkeit:''' <math>g</math> ist genau dann einbettbar in die Quaternionen, wenn <math>u</math> eine [[w:de:Gerade Funktion|gerade]] und <math>v</math> eine [[w:de:ungerade Funktion|ungerade Funktion]] des jeweils zweiten Arguments <math>\eta</math> ist. {| class="wikitable left mw-collapsible mw-collapsed font-size: 105.3%;" |style="text-align:left; font-size: 95%;"| '''Beweis'''&nbsp; |- | Ist <math>q</math> eine beliebige nicht-reelle Quaternion, dann ist <math>\epsilon := \operatorname{Im} q / |\operatorname{Im} q| </math> eine [[w:de:#reine und normierte|reine und normierte Quaternion]] mit <math>\epsilon^2 = -1</math>. Seien ferner <math>\xi := \operatorname{Re} q </math> und <math>\eta := |\operatorname{Im} q| </math>, die beide reell sind. Sowohl <math>\iota_{\epsilon}</math> wie <math>\iota_{\overline \epsilon}</math> ist ein Einbettungsisomorphismus für das Bild <math>q</math>. Im ersteren Fall ist <math>z_{\epsilon} := \xi+\eta \, \mathrm i_\Complex \in \Complex</math> das Urbild von <math>q = \xi+\eta \, \epsilon </math>, im zweiten Fall haben wir wegen <math>q = \xi+\eta \, \epsilon = \xi-\eta \, \bar\epsilon </math> das Urbild <math>z_{\overline \epsilon} := \iota_{\overline \epsilon}^{-1} (\xi-\eta \, \epsilon) = \xi-\eta \, \mathrm i_\Complex </math>; jeweils mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als der imaginären Einheit von <math>\Complex</math>. Die Urbilder sind verschieden, das Bild, das bei der zu bildenden Funktion <math>\tilde g</math> als Argument fungieren soll, ist aber beidesmal <math>q</math>.<br /> Das „Liften“ wird durch die Einbettung der Funktionswerte als : <math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon}(g(z_{\epsilon})) = \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \epsilon</math> und : <math>g_{\overline \epsilon}(q) := \iota_{\overline \epsilon}(g(z_{\overline \epsilon})) = \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar\epsilon</math> vervollständigt (s. Diagramm). Nun ist nach Voraussetzung : <math>u(\xi,+\eta)=u(\xi,-\eta), \quad v(\xi,+\eta) = -v(\xi,-\eta),</math> sodass sich : <math>g_{\overline \epsilon}(q) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar \epsilon = u(\xi,-\eta) - v(\xi,-\eta) \epsilon = u(\xi,+\eta) + \ v(\xi,+\eta) \epsilon = g_{\epsilon}(q) </math> ergibt und <math>\tilde g(q)</math> nicht von der Wahl des Einbettungsisomorphismus abhängt. Die Bedingung ist auch notwendig. Denn lässt umgekehrt die Funktion <math>g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine Einbettung <math>\tilde g \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \tilde g(q) </math> in die Quaternionen zu, so gibt es zu jedem <math>q \in \mathbb H</math> eine geeignete reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> und reelle <math>\xi,\eta </math> mit <math>q = \xi\,+\,\eta \, \epsilon</math> und : <math>\begin{array}{llll} \tilde g(q) &= g_{\epsilon}(\xi\,+\,\eta \, \epsilon) = g_{\epsilon}(\iota_{\epsilon} (\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\epsilon}(g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\ &= \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \epsilon . \end{array}</math> Bei der konjugierten Quaternion <math>\bar \epsilon = -\epsilon</math> hat die Einbettung <math>\iota_{\overline \epsilon} </math> dasselbe Bild <math>\iota_{\overline \epsilon} (\Complex) = \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> wie <math>\iota_{\epsilon}</math> und also <math>g_{\overline \epsilon}</math> dieselbe [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsmenge]] wie <math>g_{\epsilon}</math>. Der Funktionswert : <math>\begin{array}{llll} \tilde g(q) &= g_{\overline \epsilon}(\xi\,-\,\eta \, \bar \epsilon) = g_{\overline \epsilon}(\iota_{\overline \epsilon} (\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\overline \epsilon}(g(\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\ &= \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \bar\epsilon \\ &&= u(\xi,-\eta)\,-\,v(\xi,-\eta) \epsilon \end{array}</math> muss also mit dem vorigen für alle <math>\xi,\eta \in \R</math> übereinstimmen. ■ |} Die eingebettete Funktion <math>\tilde g</math> stimmt auf ''allen'' Teilmengen <math>\iota_{\epsilon} (\Complex) \cong \Complex</math> mit <math>g</math> überein, kann also als [[w:de:Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzung]] von <math>g</math> angesehen werden und, wenn Verwechslungen nicht zu befürchten sind, wird auch der Funktionsname beibehalten. Ist <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine einbettbare Funktion, so ist <math>v(\xi,0) = -v(\xi,0)</math> wegen der Ungeradheit von <math>v</math> in der zweiten Variablen, also <math>v(\xi,0) = 0</math> und <math>g(z) \in \R</math> für <math>z \in \R</math>. Somit folgt aus der Einbettbarkeit, dass die [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] aufs Reelle reell ist.<ref>Letzteres ist aber nicht hinreichend, denn die Funktion <math>g(z) := \operatorname{Im} z</math> ist trotz <math>g\!\mid_\R \, = 0 \in \R</math> wegen <math>u(\xi,\eta) \equiv \eta \not\equiv -\eta \equiv u(\xi,-\eta) </math> nicht einbettbar.<br />Sind jedoch bei solchen Funktionen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt, so folgt aus der Ungeradheit von <math>v(\xi,\eta)</math> die Geradheit von <math>u(\xi,\eta)</math> (jeweils in der zweiten Variablen) und damit die Einbettbarkeit in die Quaternionen.<br />Im Gegensatz zu <math>g(z) = \operatorname{Im} z</math> ist die Funktion <math>h(z) := \mathrm i_\Complex \, \operatorname{Im} z </math> einbettbar mit der Fortsetzung <math>\tilde h \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \operatorname{Im} q.</math></ref> Zu dieser Klasse von komplexen Funktionen gehören Norm und Betrag, aber auch alle [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n <math>\textstyle \sum_{n=-\infty}^\infty a_n z^n</math> mit reellen Koeffizienten <math>a_n</math>, so die Exponential- und Logarithmusfunktion.<ref>Ein weiteres nicht einbettbares Beispiel ist <math>g(z) := \mathrm i_\Complex</math>, bei dem <math>v(\xi,\eta) = 1</math> ''nicht ungerade'' ist in <math>\eta</math>. Die Einbettung mithilfe des Einbettungsisomorphismus <math>\iota_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} </math> ergibt zwar die (konstante) Funktion <math>g_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} = \mathrm i_{\mathbb H} </math>, die aber mit anderen Einbettungen, z.&nbsp;B. <math>\iota_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} </math> mit dem (ebenfalls konstanten) Ergebnis <math>g_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} = \mathrm j_{\mathbb H} \ne \mathrm i_{\mathbb H},</math> nicht zusammenpasst.</ref> === Analysis === Schwieriger ist es, eine allgemeine quaternionische Analysis mit Differential- und/oder [[w:de:Integralrechnung|Integralrechnung]] aufzustellen. Ein Problem springt unmittelbar ins Auge: der Begriff des [[w:de:Differentialrechnung|Differenzenquotienten]] <math>\tfrac{f( x + h ) - f( x )} h </math>, der in der reellen wie der komplexen Analysis so erfolgreich ist, muss wegen der Nicht-Kommutativität als linke ''und'' rechte Version definiert werden. Legt man dann genauso strenge Maßstäbe wie bei der [[w:de:Holomorphe Funktion|komplexen Differenzierbarkeit]] an, dann stellt sich heraus, dass bestenfalls lineare Funktionen, und zwar <math>x \mapsto a + x b </math> links und <math>x \mapsto a + b x </math> rechts, differenzierbar sind.<ref>[https://www.zipcon.net/~swhite/docs/math/quaternions/analysis.html ''Quaternion Analysis, Functions of a Quaternion Variable''] (englisch).</ref> Immer definieren lässt sich aber eine [[w:de:Richtungsableitung|Richtungsableitung]] und das [[w:de:Gâteaux-Differential|Gâteaux-Differential]]. Ausgehend von den [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und dem [[w:de:Satz von Morera|Satz von Morera]] wurde folgender Regularitätsbegriff gefunden: Eine quaternionische Funktion ist regulär an der Stelle <math>x </math>, wenn ihr Integral über jeder hinreichend kleinen <math>x </math> umschließenden [[w:de:Hyperfläche|Hyperfläche]] verschwindet.<ref>{{cite journal |first=R. |last=Fueter |title=Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen |journal=Comm. Math. Helv. |volume=8 |date=1936 |pages=371–378}}</ref><ref>{{cite journal |first=C.A. |last=Deavours |title=The Quaternion Calculus |journal=Amer. Math. Monthly |volume=80 |date=1973 |pages=995–1008 |language=en}}</ref><ref>{{cite journal |first=A. |last=Sudbery |title=Quaternionic Analysis |doi=10.1017/S0305004100055638 |journal=Math. Proc. Camb. Phil. Soc. |volume=85 |date=1979 |pages=199–225 |language=en}}</ref> == Beschreibung anderer Konstrukte mit Hilfe von Quaternionen == === Minkowski-Skalarprodukt === Das [[w:de:Minkowski-Raum|Minkowski-Skalarprodukt]] zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im Minkowski-Raum, ist der Skalarteil von <math>xy</math>: : <math>x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3=\operatorname{Re}(xy).</math> === Vektoranalysis === Im Folgenden werden Vektoren im dreidimensionalen Raum <math>\R^3</math> mit reinen Quaternionen <math>\in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math>, also die üblichen <math>(x,y,z)</math>-Koordinaten mit den <math>(x_1,x_2,x_3)</math>-Komponenten identifiziert. Definiert man den [[w:de:Nabla-Operator|Nabla-Operator]] (wie Hamilton) als : <math>\vec \nabla \;=\; \mathrm i \, \frac\partial{\partial x}+\mathrm j \, \frac\partial{\partial y}+\mathrm k \, \frac\partial{\partial z}</math> und wendet ihn auf eine skalare Funktion <math>f(x,y,z)</math> als (formale) Skalarmultiplikation an, erhält man den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] : <math>\vec \nabla f \;=\; \operatorname{grad} f \;=\; \mathrm i \, \frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm j \, \frac{\partial f}{\partial y}+\mathrm k \, \frac{\partial f}{\partial z}.</math> Die Anwendung auf ein Vektorfeld : <math>\vec F(x,y,z) \;=\; \mathrm i \, F_1(x,y,z)+\mathrm j \, F_2(x,y,z) +\mathrm k \, F_3(x,y,z)</math> als (formales) Skalarprodukt ergibt die [[w:de:Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] : <math>\vec \nabla \cdot \vec F \;=\; \operatorname{div} \vec F \;=\; \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y}+ \frac{\partial F_3}{\partial z}</math>&nbsp;. Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Kreuzprodukt ergibt die [[w:de:Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] : <math>\vec \nabla \times \vec F \;=\; \operatorname{rot} \vec F \;=\; \mathrm i \left ( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right ) + \mathrm j \left ( \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right ) + \mathrm k \left ( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right )</math>&nbsp;. Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Produkt zweier [[w:de:#Reine Quaternion|reiner Quaternionen]] ergibt : <math>\vec \nabla \vec F \;=\; -\operatorname{div} \vec F + \operatorname{rot} \vec F</math> mit <math>- \operatorname{div} \vec F</math> als Skalarteil und <math>\operatorname{rot} \vec F</math> als Vektorteil der Quaternion. Zweimalige Anwendung auf eine Funktion <math>f</math> ergibt den [[w:de:Laplace-Operator|Laplace-Operator]] <math>\triangle</math> : <math>\vec \nabla^2 \, f \;:=\; \vec \nabla \cdot (\vec \nabla \, f) \;=\; \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right) \;=\; -\triangle f \;=\; -\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}\right),</math> d.&nbsp;h., <math>\nabla</math> wirkt wie ein [[w:de:Dirac-Operator|Dirac-Operator]] als (formale) „Quadratwurzel“ des (negativen) Laplace-Operators. === Drehungen im dreidimensionalen Raum === Einheitsquaternionen können für eine elegante Beschreibung von [[w:de:Drehung|Drehung]]en im dreidimensionalen Raum verwendet werden: Für eine feste Einheitsquaternion <math>q</math> ist die Abbildung : <math>\rho_q\colon x\mapsto qxq^{-1}</math> &nbsp; bzw. &nbsp; <math>\rho_q\colon x\mapsto qx\overline{q}</math> auf <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> eine Drehung. (Hier, wie im Folgenden, ist nur von Drehungen die Rede, die den Ursprung festlassen, d.&nbsp;h., deren Drehachse durch den Ursprung verläuft.) Die [[w:de:#Polardarstellung|Polardarstellung]] stellt die Einheitsquaternion <math>q\neq\pm 1</math> durch einen Winkel <math>0<\alpha<2\pi</math> und eine reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> eindeutig dar als : <math>q = \cos\frac{\alpha}{2} + \epsilon\sin\frac{\alpha}{2}</math>&nbsp;. Dann ist <math>\rho_q\ </math> eine Drehung des <math>\R^3\ </math> um die Achse <math>\epsilon\in\R^3\ </math> mit Drehwinkel <math>\alpha</math>. Für jede Einheitsquaternion <math>q</math> definieren <math>q</math> und <math>-q</math> dieselbe Drehung; insbesondere entsprechen <math>1</math> und <math>-1</math> beide der identischen Abbildung (Drehung mit Drehwinkel&nbsp;0). Im Unterschied zur Beschreibung von Drehungen durch [[w:de:Orthogonale Matrix|orthogonale Matrizen]] handelt es sich also um keine 1:1-Entsprechung, zu jeder Drehung <math>\rho</math> gibt es genau ''zwei'' Einheitsquaternionen <math>q</math> mit <math>\rho_q=\rho</math>. Die [[w:de:Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] von Drehungen entspricht der Multiplikation der Quaternionen, d.&nbsp;h. : <math>\rho_{q_1}\circ\rho_{q_2}=\rho_{q_1 q_2}.</math> Die Umkehrung der Drehrichtung entspricht dem Inversen: : <math>\rho_{q^{-1}}=\rho_q^{-1}.</math> {{Anker|-1=2:1-Überlagerung}} Damit ist die Abbildung : <math> \begin{array}{rccc} \rho \colon & \mathbb{S}^3 & \to & \mathrm{SO}(3) \\ & q & \mapsto & \rho_q \end{array} </math> ein [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]] der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen in die [[w:de:Drehgruppe|Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Sie ist eine [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|Überlagerung der <math>\mathrm{SO}(3)</math>]], und da ein Bildelement <math>\rho_q</math> genau die zwei Urbilder <math>\pm q\in \mathbb{S}^3</math> hat, ''zwei''blättrig, weshalb der Homomorphismus auch ''2:1-Überlagerung(shomomorphismus)''<ref name="Conway" />{{rp|Seite 33.}} genannt wird. Ferner ist sie [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|universell]], da <math>\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist. ==== Bezug zu orthogonalen Matrizen ==== Explizit entspricht der Einheitsquaternion <math>q \in \mathbb{S}^3</math>, : <math>q=q_0+q_1\mathrm i+q_2\mathrm j+q_3\mathrm k</math> mit <math>q_i \in \R</math> und <math>\operatorname{Norm}(q) = q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1</math>, die [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrix]] : <math> \begin{array}{rlll} D_q := & \begin{bmatrix} q_0^2 + q_1^2 - q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_3+2q_1q_2 & 2q_0q_2+2q_1q_3 \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & q_0^2 - q_1^2 + q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & q_0^2 - q_1^2- q_2^2+ q_3^2 \end{bmatrix} \\[.3em] = & \begin{bmatrix} 1-2(q_2^2 + q_3^2) \;\;\;\; & -2q_0q_3+2q_1q_2 \;\;\;\, & 2q_0q_2+2q_1q_3 \;\;\quad \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & 1-2(q_1^2 + q_3^2) & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & 1-2(q_1^2 + q_2^2) \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3), \end{array} </math> diese Formel ist auch als [[w:de:Euler-Rodrigues-Formel|Euler-Rodrigues-Formel]] bekannt. Sie bildet eine reine Quaternion <math>\xi</math> auf <math>(0, D_q \; \vec \xi) = q \; \xi \; q^{-1}</math> ab. Ist umgekehrt die Drehmatrix : <math>D = \begin{bmatrix} d_{11} & d_{12} & d_{13} \\ d_{21} & d_{22} & d_{23} \\ d_{31} & d_{32} & d_{33} \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3)</math><ref>Zu <math>\mathrm{SO}(3)</math> siehe [[w:de:Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung|Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung]].</ref> gegeben und ist die [[w:de:Spur (Mathematik)|Spur]] : <math>T_D := d_{00} + d_{11} + d_{22} + d_{33} > 0</math> mit <math>d_{00} := 1</math>&nbsp;, dann bewerkstelligt die Quaternion : <math>q_D := T_D + (d_{32}-d_{23}) \mathrm i + (d_{13}-d_{31}) \mathrm j + (d_{21}-d_{12}) \mathrm k </math> die Drehung <math>D \; \vec \xi</math>, denn es ist <math>q_D \; \xi \; q_D^{-1} = (0, D \; \vec \xi)</math> für jede reine Quaternion <math>\xi</math>&nbsp;. Wenn man die [[w:de:Homogene Funktion|homogen]] formulierte Version von <math>D_q</math> als Eingabematrix nimmt, produziert die gezeigte Lösung mit <math>d_{00} := \operatorname{Norm}(q)</math> die Quaternion <math>q_D = 4 q_0 q</math>. Wegen <math>\operatorname{det}(D_q) = \operatorname{Norm}(q)^3</math> kann die Homogenität in den <math>d_{ij}</math> durch die Setzung <math>d_{00} := \sqrt[3]{\operatorname{det}(D)}</math> aufrechterhalten werden. Die <math>\mathrm{SO}(3)</math> hat wie die <math>\mathbb{S}^3</math> über <math>\R</math> die Dimension 3. Die neun Komponenten von <math>D</math> können also nicht alle frei wählbar sein. Da einer jeden Matrix <math>D\in\mathrm{SO}(3)</math> eine Quaternion <math>q</math> entspricht, decken die Drehmatrizen <math>D_q</math> die ganze <math>\mathrm{SO}(3)</math> ab. Bei <math>D_q</math> ist <math>T_{D_q} = 4 q_0^2</math>. Falls also wirklich <math>D \in \mathrm{SO}(3)</math>, ist auch <math>\frac{q_D}{2 \sqrt{T_D}}</math> die Einheitsquaternion zu <math>q_D</math>. ==== Bezug zu Eulerwinkeln ==== Für [[w:de:Eulerwinkel|Eulerwinkel]] gibt es verschiedene Konventionen; die folgende Darlegung bezieht sich auf die Drehung, die man erhält, wenn man zuerst um die <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Psi</math>, dann um die neue <math>x</math>-Achse um den Winkel <math>2\Theta</math> und schließlich um die neue <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Phi</math> dreht, d.&nbsp;i. die sog. [[w:de:Eulersche Winkel#Konventionen|„x-Konvention“ (z, x’, z’’)]] mit allen Winkeln ''doppelt''. Die Einzeldrehungen entsprechen den [[w:de:#Polardarstellung|Einheitsquaternionen]] : <math>\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi,\quad \cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta,\quad \cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi,</math> und da jeweils um die mitgedrehten Achsen gedreht wird, ist die Reihenfolge der Komposition umgekehrt. Die Gesamtdrehung entspricht also : <math>\left(\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi\right)\left(\cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta\right)\left(\cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi\right)</math> : <math>{}=\cos\Psi\cos\Theta\cos\Phi-\sin\Psi\cos\Theta\sin\Phi</math> :: <math>{}+\mathrm i\left(\cos\Psi\sin\Theta\cos\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\sin\Phi\right)</math> :: <math>{}+\mathrm j\left(-\cos\Psi\sin\Theta\sin\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\cos\Phi\right)</math> :: <math>{}+\mathrm k\left(\sin\Psi\cos\Theta\cos\Phi+\cos\Psi\cos\Theta\sin\Phi\right).</math> Für andere Konventionen ergeben sich ähnliche Formeln. Die Eulerwinkel zu einer gegebenen Quaternion lassen sich an der zugehörigen [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrix]] ablesen. ==== Universelle Überlagerung der Drehgruppe; Spingruppe ==== Wie im Abschnitt [[w:de:#Einheitsquaternion|Einheitsquaternionen]] gezeigt, gibt es einen durch die Hamiltonschen Zahlen vermittelten [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] zwischen der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen und der [[w:de:Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>. Diese beiden Gruppen sind isomorph zur [[w:de:Spingruppe|Spingruppe]] <math>\mathrm{Spin(3)}</math> (zur Physik: siehe [[w:de:Spin|Spin]]). Die [[#Drehungen im dreidimensionalen Raum|2:1-Überlagerung]] liefert also einen [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]] der Spingruppe <math>\mathrm{Spin(3)}</math> in die [[w:de:Drehgruppe|Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Diese Überlagerung ist zweiblättrig und [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|universell]], da <math>\mathrm{Spin(3)}\cong\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> im Gegensatz zur <math>\mathrm{SO}(3)</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist. Die natürliche Operation von <math>\mathrm{SU}(2)</math> auf <math>\Complex^2</math> ist eine sog. [[w:de:Spinor|Spinor]]darstellung. Die aus der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] bekannten sog. [[w:de:Pauli-Matrizen|Pauli-Matrizen]] <math>\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3</math> stehen in einfacher Beziehung zu den drei Erzeugenden <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> der [[w:de:#Einheitsquaternion|<math>\mathrm{SU}(2)</math>]]. Das wird besonders deutlich in der Darstellung als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]]: : <math> \sigma_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm k,\quad \sigma_2 = \begin{bmatrix} 0 & -\mathrm i_\Complex\\ \mathrm i_\Complex & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm j,\quad \sigma_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm i </math>&nbsp;, dabei ist <math>\mathrm i_\Complex</math> die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen. Die Pauli-Matrizen haben −1 zur Determinante (sind also keine Quaternionen), sind [[w:de:spurfrei|spurfrei]] und [[w:de:Hermitesche Matrix|hermitesch]] und kommen daher in der Quantenmechanik als ''messbare Größen'' in Frage, was sich für die Anwendungen (s. [[w:de:mathematische Struktur der Quantenmechanik|mathematische Struktur der Quantenmechanik]]) als wichtig erwiesen hat. Einzelheiten sind im Artikel [[w:de:SU(2)|SU(2)]] dargestellt. === Orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes === Analog zum dreidimensionalen Fall kann man jede orientierungserhaltende orthogonale Abbildung von <math>\mathbb H</math> in sich selbst in der Form : <math>\rho_{a,b}\colon x\mapsto ax\bar b</math> für Einheitsquaternionen <math>a,b</math> beschreiben. Es gilt : <math>\rho_{a_1,b_1}\circ\rho_{a_2,b_2}=\rho_{a_1a_2,b_1b_2}\quad\text{und}\quad\rho_{\bar a,\bar b}=\rho_{a,b}^{-1}.</math> Diese Konstruktion liefert eine Überlagerung : <math>\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(4)</math> mit [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] <math>\{(1,1),(-1,-1)\}</math>. == Die endlichen Untergruppen == Der [[#2:1-Überlagerung|2:1-Überlagerungshomomorphismus]] : <math>\rho\colon q \mapsto \rho_q</math>, der einer Einheitsquaternion <math>q\in \mathbb{S}^3</math> die [[w:de:#Drehungen im dreidimensionalen Raum|3D-Drehung]] : <math> \begin{array}{rccc} \rho_q \colon & \operatorname{Im}\,\mathbb H & \to & \operatorname{Im}\,\mathbb H \\ & x & \mapsto & qx\bar q \end{array} </math> zuordnet, muss eine endliche Gruppe <math>Q</math> von Quaternionen in eine endliche Gruppe <math>\rho(Q):=\{\rho_q \mid q \in Q\}</math> überführen, die dann eine endliche Drehgruppe im <math>\R^3</math> ist. Man findet [[w:de:zyklische Gruppe|zyklische Gruppe]]n <math>\mathrm{C}_n</math> und [[w:de:Drehgruppe#Drehgruppen von Figuren|Polyedergruppen]], also die [[w:de:Diedergruppe|Diedergruppe]]n <math>\mathrm{D}_n</math> ([[w:de:Diedergruppe#Bezeichnungen|Zählweise]] der ''n''-Ecke), die [[w:de:A4 (Gruppe)|Tetraedergruppe]] <math>\mathrm{T}</math>, die [[w:de:Oktaedergruppe|Oktaedergruppe]] <math>\mathrm{O}</math> und die [[w:de:Ikosaedergruppe|Ikosaedergruppe]] <math>\mathrm{I}</math>. Die Erzeugenden der zyklischen Gruppen sind [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettungen]] von [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n <math>\exp(2\pi \mathrm i_\Complex/n)</math>.<ref>Wie im referenzierten Abschnitt und im Abschnitt [[w:de:#Automorphismen|#Automorphismen]] bemerkt, gibt es zu jedem fixen Dreibein <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k </math> sehr viele verschiedene Einbettungen dieser endlichen Untergruppen in <math>\mathbb{H}</math>.</ref> Die Urbilder der <math>\mathrm{D}_n</math>, <math>\mathrm{T}</math>, <math>\mathrm{O}</math>, <math>\mathrm{I}</math> unter <math>\rho</math> werden mit <math>\mathrm{2D}_n</math>, {{Anker|binäre_Tetraedergruppe}}<math>\mathrm{2T}</math>, {{Anker|binäre_Oktaedergruppe}}<math>\mathrm{2O}</math>, {{Anker|binäre_Ikosaedergruppe}}<math>\mathrm{2I}</math> bezeichnet und heißen ''binäre'' Diedergruppe etc. Für eine Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math> ist also <math>\mathrm{2P}:=\{q \mid \rho_q \in \mathrm{P} \}</math>.<ref>Diese Gruppen firmieren – besonders in der englischen Literatur – auch als binäre Erweiterung <math>\mathrm{2P}</math> der Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math>, und die binären Diedergruppen <math>\mathrm{2D}_n</math> zusätzlich als [[w:de:Quaternionengruppe#Dizyklische Gruppen und verallgemeinerte Quaternionengruppen|verallgemeinerte Quaternionengruppen]], auch als [[w:de:Dizyklische Gruppe|dizyklische Gruppen]], in Zeichen <math>\mathrm{Dic}_n</math>.</ref> Die endlichen Gruppen von Quaternionen sind demnach:<ref name="Conway" />{{rp| 3.5 The Finite Groups of Quaternions, S. 33}} <math>(2 \leq n \in \Z)</math> {| class="wikitable left" style="text-align:center;" |- | Gruppe || erzeugt<br /> von ||style="text-align:right"| Ordnung || [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] im <math>\R^2</math> bzw. <math>\R^4</math> |- | <math>\mathrm{C}_n</math> || <math>\langle e_n\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>n</math> || [[w:de:Polygon|reguläres ''n''-Eck]] |- | <math>\mathrm{2D}_n</math> || <math>\langle e_{2n},\mathrm j\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>4n</math> || <math>\{2n\} \Box \{2n\}</math>,<ref name="perf4polyt"> Gabor Gévay: [http://www.emis.ams.org/journals/BAG/vol.43/no.1/b43h1gev.pdf ''On Perfect 4-Polytopes''] (PDF; 211&nbsp;kB) Contributions to Algebra and Geometry Volume 43 (2002), No. 1, 243–259: gibt auf S. 256 die 4-Polytope »<math>\{2p\} \Box \{2p\}</math>« für die <math>\mathrm{2D}_p</math> bzw. auf S. 252 Table 2 das 4-Polytop »<math> \text{f}_{1,2}\text{F}_4</math>« für <math>\mathrm{2O}</math>.</ref> bei ''n''=2 zugleich: [[w:de:Hurwitzquaternion#Reguläres 16-Zell (Hexadekachor)|reguläres 16-Zell]] |- | <math>\mathrm{2T}</math> || <math>\langle \mathrm i,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>24</math> || [[w:de:Hurwitzquaternion#Reguläres 24-Zell (Ikositetrachor)|reguläres 24-Zell]] |- | <math>\mathrm{2O}</math> || <math>\langle q_O,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>48</math> || <math>\text{f}_{1,2}\text{F}_4</math><ref name="perf4polyt" /> = Dihektaoktokontaoktochor (288-Zell) |- | <math>\mathrm{2I}</math> || <math>\langle q_I,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>120</math> || reguläres 600-Zell |} mit : <math>e_n:=\exp(2\pi \mathrm i/n)</math>&nbsp;, &nbsp; <math>\omega: = \frac{-1+\mathrm i+\mathrm j+\mathrm k}2</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_O:=\frac{\mathrm j+\mathrm k}{\sqrt 2}</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_I: = \frac{2 \mathrm i+(\sqrt 5+1) \mathrm j+(\sqrt 5-1) \mathrm k}4</math>&nbsp;. Die zyklischen Gruppen <math>\mathrm{C}_n</math> sind in naheliegender Weise Untergruppen von anderen Gruppen. Die [[w:de:Quaternionengruppe|Quaternionengruppe]] <math>\mathrm{Q}_8</math> = <math>\mathrm{2D}_2</math> ist eine Untergruppe der binären Tetraedergruppe <math>\mathrm{2T}</math>. Die [[w:de:Quaternionengruppe#Automorphismen|Automorphismengruppe]] von <math>\mathrm{Q}_8</math> ist isomorph zur Oktaedergruppe <math>\mathrm{O} = \mathrm{Sym}_4</math> ([[w:de:Symmetrische Gruppe|Symmetrische Gruppe]]). Ihre Elemente sind ebenfalls Automorphismen von <math>\mathrm{2T}</math>, <math>\mathrm{2O}</math>, <math>\mathrm{2I}</math> und <math>\mathbb H</math>. Die konvexen Hüllen sind (bis auf die Fälle <math>\mathrm{C}_n</math>, bei denen man mit 2 Dimensionen auskommt) [[w:de:Polytop (Geometrie)|4-Polytope]] und haben, da alle Gruppenelemente von der Länge 1 sind, die [[w:de:Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> als [[w:de:Umkugel|Um-3-Sphäre]]. Die Ränder dieser 4-Polytope, also die Zellen, sind Ansammlungen von [[w:de:Tetraeder|Tetraeder]]n – bis auf den Fall <math>\mathrm{2T}</math>, bei dem es [[w:de:Oktaeder|Oktaeder]] sind. Bei den regulären unter den konvexen Hüllen ist es klar, dass die Zellen ebenfalls regulär und zueinander kongruent sind und es eine [[w:de:Inkugel|In-3-Sphäre]] gibt, die alle Zellen (an ihrem Mittelpunkt) berührt. Die übrigen, nämlich <math>\mathrm{2D}_n</math> und <math>\mathrm{2O}</math>, spannen sog. perfekte<ref name="perf4polyt" /> 4-Polytope auf. Hier sind die Zellen [[w:de:Disphenoid#tetragonales Disphenoid|tetragonale Disphenoide]], welche ebenfalls alle zueinander kongruent sind und an ihrem Mittelpunkt von der In-3-Sphäre berührt werden. == Automorphismen == Ein jeder Ring-[[w:de:Automorphismus|Automorphismus]] <math>\sigma</math> von <math>\mathbb H</math> ist ein [[w:de:Automorphismus#Innere Automorphismen|innerer]],<ref>[[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 24.</ref> d.&nbsp;h., es gibt eine Quaternion <math>q</math>, sodass <math>\sigma(x) = qxq^{-1}</math> für alle <math>x \in \mathbb{H}</math>. Daraus folgt: * Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\R</math> bleibt fest, d.&nbsp;h. <math>\sigma(\lambda)=\lambda</math> für alle <math>\lambda\in \R</math>. * Man kann sich auf die Einheitsquaternionen <math>q\in \mathbb{S}^3</math> beschränken. * Ein Automorphismus ändert nicht das [[w:de:#Skalarprodukt|Skalarprodukt]], d.&nbsp;h. <math>\sigma(x) \cdot \sigma(y) = x \cdot y</math>. * Die Automorphismen sind genau die [[w:de:Winkeltreue|winkel-]] und [[w:de:längentreue|längentreue]]n Drehungen von <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus dem Abschnitt [[w:de:#Drehungen im dreidimensionalen Raum|Drehungen im dreidimensionalen Raum]]. * Wegen der Längentreue sind die Automorphismen [[w:de:Stetige Funktion|stetig]], somit zusätzlich [[w:de:Homöomorphismus|topologisch]]. * <math>\mathbb{S}^3</math> hat das Zentrum <math>\{\pm 1\}</math>. Folglich ist die [[w:de:Automorphismengruppe|Automorphismengruppe]] <math>\operatorname{Aut}(\mathbb H) \cong \mathbb{S}^3/\{\pm 1\}</math>. Die [[w:de:#Konjugation|Konjugation]] als Spiegelung an der reellen Achse ist ''anti''homomorph in der Multiplikation, d.&nbsp;h. <math>\overline{x y}=\bar y \bar x</math>, und wird als [[w:de:Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]] bezeichnet, weil sie zudem eine [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]] ist. == Andere Konstruktionen == === Matrixdarstellungen === ==== Komplexe Matrizen ==== Im [[w:de:Matrizenring|Ring]] <math>\Complex^{2\times 2}</math> der [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] 2×2-[[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] bildet man den von den Elementen : <math>1_H := \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \mathrm i_H := \begin{bmatrix} \mathrm i_\Complex & 0 \\ 0 & -\mathrm i_\Complex \end{bmatrix},\quad \mathrm j_H := \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix},\quad \mathrm k_H := \begin{bmatrix} 0 & \mathrm i_\Complex \\ \mathrm i_\Complex & 0 \end{bmatrix}</math> erzeugten [[w:de:Unterring|Unterring]] <math>H</math>,<ref><math>H</math> ist ein <math>\R</math>-Vektorraum, der aber weder <math>\Complex^{2\times 2}</math>-[[w:de:Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] noch <math>\Complex</math>-Vektorraum ist, da &nbsp; <math>\mathrm i_\Complex \, 1_H \notin H</math>.</ref> wobei die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen als <math>\mathrm i_\Complex</math> kenntlich gemacht ist.<ref>Die Matrizen <math>\mathrm i_H,\mathrm j_H,\mathrm k_H</math> sind [[w:de:spurfrei|spurfrei]] und [[w:de:Schiefhermitesche Matrix|schiefhermitesch]].</ref> Eine Matrix : <math>x_0 \, 1_H+x_1\,\mathrm i_H+x_2\,\mathrm j_H+x_3\,\mathrm k_H=\begin{bmatrix}x_0+x_1\,\mathrm i_\Complex \quad &x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex\\-x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex \quad &x_0-x_1\,\mathrm i_\Complex\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}w&z\\-\overline z&\overline w\end{bmatrix}</math> mit reellen <math>x_0,x_1,x_2,x_3</math> und komplexen <math>w:=x_0+x_1\mathrm i_\Complex,z:=x_2+x_3\mathrm i_\Complex</math> hat die [[w:de:Determinante|Determinante]] <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=|w|^2+|z|^2</math>, die nur dann 0 ist, wenn <math>(w,z)=(0,0)</math>. Somit sind alle von der [[w:de:Nullmatrix|Nullmatrix]] verschiedenen Matrizen [[w:de:Invertierbare Matrix|invertierbar]] – und der Ring <math>H</math> ist ein [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]].<ref>Nur Matrixringe der Dimensionen 1, 2 und 4 über <math>\R</math> sind [[w:de:nullteilerfrei|nullteilerfrei]] (siehe auch [[w:de:#Die Quaternionen als Algebra|#Die Quaternionen als Algebra]]).</ref> Der so konstruierte Schiefkörper erweist sich als [[w:de:isomorph|isomorph]] zu den Quaternionen. Denn die Abbildung <math>\mathbb H \to H</math> mit den Zuordnungen : <math>1 \mapsto 1_H,\quad \mathrm i \mapsto \mathrm i_H,\quad \mathrm j \mapsto \mathrm j_H,\quad \mathrm k \mapsto \mathrm k_H</math> ist [[w:de:homomorph|homomorph]] in den Verknüpfungen Addition und Multiplikation, wobei letztere der [[w:de:Matrizenmultiplikation|Matrizenmultiplikation]] zuzuordnen ist. Die konjugierte Quaternion geht auf die [[w:de:adjungierte Matrix|adjungierte Matrix]] und die [[w:de:#Norm|Norm]] auf die [[w:de:Determinante|Determinante]]. Darüber hinaus ist die Abbildung [[w:de:Injektivität|injektiv]] und stetig, also [[w:de:Homöomorphismus|topologisch]]. Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Einbettung <math>\mathbb H \to H</math>, die alle zueinander [[w:de:Konjugation (Gruppentheorie)|konjugiert]] und [[w:de:Homöomorphismus|homöomorph]] sind.<ref>Diese Möglichkeiten entsprechen der Vorschaltung eines [[w:de:#Automorphismen|Automorphismus]].</ref> ==== Reelle Matrizen ==== Ganz analog kann man die Quaternion <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> auch als reelle 4×4-Matrix : <math>\begin{bmatrix}\begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ -x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ -x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ -x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array}\end{bmatrix}</math> : <math>= x_0 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_1 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_2 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_3 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] </math> schreiben. Die Konjugation der Quaternion entspricht der [[w:de:Transponierte Matrix|Transposition der Matrix]] und der Betrag der vierten Wurzel aus der Determinante. Das Modell der reellen Matrizen ist bspw. dann vorteilhaft, wenn man eine Software für [[w:de:lineare Algebra|lineare Algebra]] mit Schwächen bei den komplexen Zahlen hat. === Quotientenalgebra === Eine elegante, aber zugleich abstrakte Konstruktion stellt der Weg über den [[w:de:Faktorring|Quotienten]] des [[w:de:Nichtkommutativer Polynomring|nichtkommutativen Polynomrings]] in drei [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n dar, deren Bilder <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> sind, modulo dem Ideal, das von den Hamilton-Regeln erzeugt wird. Alternativ kommt man auch mit nur zwei Unbestimmten aus. Auf diese Weise ergibt sich die Quaternionen-Algebra als [[w:de:Clifford-Algebra|Clifford-Algebra]] der zweidimensionalen, euklidischen Ebene mit Erzeugern <math>\mathrm i \mapsto e_1,\, \mathrm j \mapsto e_2,\, \mathrm k=\mathrm {ij} \mapsto e_1e_2</math>. Im Zusammenhang mit dreidimensionalen Drehungen ist auch die Interpretation als der gerade Anteil der Clifford-Algebra des dreidimensionalen, euklidischen Raumes wichtig. Die Erzeuger werden dann mit <math>\mathrm i \mapsto e_2e_3,\, \mathrm j \mapsto e_3e_1,\,\mathrm k \mapsto e_1e_2</math> identifiziert. == Die Quaternionen als Algebra == Es gibt bis auf Isomorphie genau vier [[w:de:Dimension (Mathematik)|endlichdimensionale]] <math>\R</math>-[[w:de:Algebra über einem Körper|Algebren]], deren Multiplikation ohne [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] ist, nämlich den Körper <math>\R</math> der reellen Zahlen selbst, den Körper <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen, den Schiefkörper <math>\mathbb H</math> der Quaternionen und den [[w:de:Alternativkörper|Alternativkörper]] <math>\mathbb O</math> der Cayleyschen [[w:de:Oktave (Mathematik)|Oktaven]].<ref>[[w:de:Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)|Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)]], Korollar 6.8 in Kapitel IX von Hungerford: Algebra (Springer 1974).</ref><ref>[[w:de:Divisionsalgebra#Sätze über reelle Divisionsalgebren|Satz von Hurwitz (normierte Divisionsalgebren)]].</ref><ref>Satz von [[w:de:Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Pontrjagin]] (1931) in [[w:de:#Pontrjagin|Pontrjagin]]: Jeder [[w:de:lokalkompakt|lokalkompakt]]e, [[w:de:zusammenhängend|zusammenhängend]]e topologische Schiefkörper ist entweder der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen oder der Schiefkörper der Quaternionen.</ref> Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H</math> ist <math>\R</math>; die Quaternionen sind also eine [[w:de:zentraleinfache Algebra|zentraleinfache Algebra]] über <math>\R</math>. [[w:de:Reduzierte|Reduzierte]] [[w:de:Norm (Körpererweiterung)|Norm]] und [[w:de:Spur (Mathematik)|Spur]] sind durch : <math>\mathrm{Nrd}(x)=|x|^2 = x \bar x = \bar x x = \langle x,x \rangle</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; bzw. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\mathrm{Trd}(x)=2\cdot\operatorname{Re}\,x</math> gegeben. Beim [[w:de:Tensorprodukt#Erweiterung der Skalare|Basiswechsel]] von <math>\R</math> zum algebraischen Abschluss <math>\Complex</math> werden die Quaternionen zu einer Matrizenalgebra: : <math>\mathbb H\otimes_{\R}\Complex\cong M_2(\Complex).</math> Die komplexe Konjugation auf dem Faktor <math>\Complex</math> des [[w:de:Tensorprodukt|Tensorprodukt]]es entspricht einer [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]] <math>v</math> der Matrizenalgebra. Die Invarianten von <math>v</math>, d.&nbsp;s. die von <math>v</math> fix gelassenen Elemente <math>x</math> mit <math>v(x)=x</math>, bilden eine zu <math>\mathbb H</math> isomorphe Algebra. Zur oben angegebenen Matrixdarstellung der Quaternionen als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] passt die Involution : <math>v(x):= \epsilon\bar x \epsilon^{-1}</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\epsilon:=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}</math>&nbsp;. Die Tatsache, dass die [[w:de:Brauergruppe|Brauergruppe]] von <math>\R</math> nur aus zwei Elementen besteht, spiegelt sich auch darin wider, dass : <math>\mathbb H\otimes_{\R}\mathbb H\cong M_4(\R)</math> ist. Allgemein bezeichnet man jede vierdimensionale [[w:de:zentraleinfache Algebra|zentraleinfache Algebra]] über einem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] als eine [[w:de:Quaternionenalgebra|Quaternionenalgebra]]. Die Quaternionen sind die [[w:de:Clifford-Algebra|Clifford-Algebra]] zum Raum <math>\R^2</math> mit einer [[w:de:Definitheit|negativ-definiten]] symmetrischen [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]]. == Andere Grundkörper == === Quaternionen über den rationalen Zahlen === Bei allen [[w:de:#Konstruktion|obigen]] Arten der Konstruktion spielt die [[w:de:Vollständiger Raum|Vollständigkeit]] des Koeffizientenvorrats keine Rolle. Deshalb kann man (anstatt von den [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R \, </math> über <math>\Complex = \R( \mathrm i ) \, </math> zu <math>\mathbb H \, </math>) auch von anderen Grundkörpern, z.&nbsp;B. den [[w:de:Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\Q \, </math>, ausgehen, um via [[w:de:gaußsche Zahl|gaußscher Zahlen]] <math>\Q( \mathrm i ) \, </math> bei den '''Quaternionen mit rationalen Koeffizienten''' : <math>G := \{ x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k \; \mid \; x_0,x_1,x_2,x_3 \in \Q \} \, </math> anzukommen mit formal denselben Rechenregeln. Danach kann, falls überhaupt erforderlich, die [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] für die [[w:de:#Norm und Betrag|Betrags]][[w:de:Metrischer Raum|metrik]] durchgeführt werden mit einem Endergebnis isomorph zu <math>\mathbb H</math>. Insofern können bei vielen Aussagen <math>\R</math> durch <math>\Q</math>, <math>\Complex</math> durch <math>\Q( \mathrm i )</math> und <math>\mathbb H</math> durch <math>G</math> ersetzt werden. Da es nach dem [[w:de:Satz von Wedderburn|Satz von Wedderburn]] keinen endlichen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] mit nicht-[[w:de:Kommutativität|kommutativer]] [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] gibt und die [[w:de:Dimension (Mathematik)|Dimension]] des [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]s <math>G</math> über seinem [[w:de:Primkörper|Primkörper]] und [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\Q</math> mit <math>2^2=4</math> minimal ist, gehört <math>G</math> als [[w:de:Abzählbarkeit|abzählbare]] Menge zu den „kleinsten“ Schiefkörpern mit nicht-kommutativer Multiplikation&nbsp;– auf jeden Fall enthält <math>G</math> keinen kleineren. Der Schiefkörper <math>G</math> besitzt einen sogenannten [[w:de:Ganzheitsring|Ganzheitsring]], d.&nbsp;h. eine [[w:de:Untermenge|Untermenge]] von Zahlen, genannt [[w:de:Hurwitzquaternion|Hurwitzquaternion]]en, die einen Ring bilden und <math>G</math> zum [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] haben, ganz ähnlich, wie es sich bei den ganzen Zahlen <math>\Z</math> und ihrem Quotientenkörper <math>\Q</math> verhält. In einem solchen Ring lassen sich bspw. [[w:de:Gitter (Mathematik)|Approximationsfragen]], [[w:de:Teilbarkeit|Teilbarkeit]]sfragen u.&nbsp;Ä. untersuchen. {{Hauptartikel|Hurwitzquaternion}} === Weitere Grundkörper === Auch Körper <math>K \ncong \Q \, </math> eignen sich als Ausgangspunkt zur Bildung nicht-kommutativer Erweiterungskörper nach Art der Quaternionen. Wichtig ist, dass in <math>K \, </math> die Summe aus vier Quadraten <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 \, </math> nur für <math>x_0=x_1=x_2=x_3=0 \, </math> verschwindet. Dann gibt es auch kein <math>\mathrm i \in K \, </math> mit <math>\mathrm i^2 + 1 = 0 \, </math> und <math>K( \mathrm i ) \, </math> ist eine echte quadratische [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterung]], die eine Konjugation definiert. Diese Bedingungen sind z.&nbsp;B. bei allen [[w:de:Geordneter Körper#Formal reelle Körper|formal reellen Körpern]] erfüllt. Aber auch bei Körpern, die nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden können, kann die obige Bedingung betreffend die Summe aus vier Quadraten erfüllt sein, bspw. im Körper <math>\Q_2</math> der [[w:de:p-adische Zahl|2-adischen Zahlen]]. Der so über <math>\Q_2</math> gebildete Quaternionenkörper ist isomorph zur Vervollständigung des (oben beschriebenen) Körpers <math>G</math> der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten für die folgende (nichtarchimedische diskrete) Bewertung <math>v</math>&nbsp;, dem [[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|2-Exponenten]] der Norm, : <math> \begin{array}{rccccc} v \colon & G^* & \xrightarrow{\operatorname{Norm}} & \Q^* & \xrightarrow{v_2} & \Z \\ & x & \mapsto & x \bar x & \mapsto & v_2(x \bar x) \end{array} </math> mit <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = 2^n m, n\in\Z, m\in\Q^*, 2\nmid m, 2\nmid m^{-1}</math>&nbsp;. Die Primzahl <math>p=2</math> ist die einzige, für die die [[w:de:Quaternionen-Algebra|Quaternionen-Algebra]] über <math>\Q_p</math> [[w:de:nullteilerfrei|nullteilerfrei]] und ein Schiefkörper ist. == Anwendungen == === Eulerscher Vier-Quadrate-Satz === Die Identität, die aus dem Produkt zweier ''Summen von vier Quadraten'' : <math>(x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_0^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2)</math> {| |- |style="width:3em;"| || <math>=(x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_1 + x_1y_0+ x_2y_3- x_3y_2)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_2- x_1y_3 + x_2y_0+ x_3y_1)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_3+ x_1y_2- x_2y_1 + x_3y_0)^2</math> |} wieder eine ''Summe von vier Quadraten'' macht, gilt universell&nbsp;– einschließlich aller Varianten, die durch Vorzeichenspiel und [[w:de:Permutation|Permutation]] entstehen&nbsp;– in jedem [[w:de:Polynomring|Polynomring]] <math> R[x_0,x_1,x_2,x_3,y_0,y_1,y_2,y_3] </math> über einem kommutativen unitären Ring <math> R </math> und kann im Nachhinein als „Abfallprodukt“ der Multiplikativität des [[w:de:#Betrag|quaternionischen Betrags]] angesehen werden. Ihre Entdeckung 1748, also lange ''vor'' der Quaternionenzeit, geht jedoch auf [[w:de:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] zurück, der mit ihrer Hilfe den 1770 erstmals erbrachten Beweis von [[w:de:Joseph-Louis Lagrange|Joseph-Louis Lagrange]] für den lange vermuteten [[w:de:Vier-Quadrate-Satz#Beweisskizze|Vier-Quadrate-Satz]] wesentlich vereinfachen konnte. (Anmerkung: Die algebraisch beweisbaren bilinearen 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten sind die Grundlagen der Kompositionsalgebren, nämlich der komplexen Zahlen, der Quaternionen, und der Oktonionen. Diese letzteren sind sozusagen die „Quadratwurzeln“ aus den ersteren. Alles, was somit korrekt mit Quaternionen berechnet wird, steht bocksteif auf elementaren algebraischen Identitäten. Wie Adolf Hurwitz 1898 bewies,<ref>{{Internetquelle |autor=[[w:de:Adolf Hurwitz|Adolf Hurwitz]] |url=https://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457811_1898 |titel=Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln |datum=1898-07-09 |seiten=309–316 |werk=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse (1898), Heft 3 |abruf=2023-01-23}}</ref> gibt es außer den erwähnten 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten keine weiteren bilinearen ''n''-Quadrate-Identitäten mehr.) === Informatik und Ingenieurwissenschaften === Die Darstellung von Drehungen mithilfe von Quaternionen wird im Bereich der interaktiven [[w:de:Computergrafik|Computergrafik]] genutzt, insbesondere bei [[w:de:Computerspiel|Computerspiel]]en, sowie bei der Steuerung von [[w:de:Satellit (Raumfahrt)|Satelliten]]. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrizen]] werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere wenn viele [[w:de:Drehung|Drehung]]en miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit. Des Weiteren werden Quaternionen, neben den [[w:de:Eulerwinkel|Eulerwinkel]]n, zur Programmierung von [[w:de:Industrieroboter|Industrieroboter]]n (z.&nbsp;B. [[w:de:ABB (Unternehmen)|ABB]]) genutzt. == Geschichte == [[Datei:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|mini|Gedenktafel an der Broom Bridge in Dublin, wo [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]] die Multiplikationsregeln im Oktober 1843 spontan in den Stein ritzte.]] [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]] hatte 1835 die Konstruktion der komplexen Zahlen als [[w:de:Geordnetes Paar|Zahlenpaare]] angegeben. Dadurch motiviert, suchte er lange nach einer entsprechenden Struktur auf dem Raum <math>\R^3</math> der Zahlentripel; heute weiß man, dass keine derartige Struktur existiert. 1843 schließlich gelangte er zu der Erkenntnis, dass es möglich ist, eine Multiplikation auf der Menge der 4-[[w:de:Tupel|Tupel]] zu konstruieren, wenn man dazu bereit ist, die [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativität]] aufzugeben. In einem Brief an seinen Sohn gibt er als Datum den 16. Oktober 1843 an und berichtet, er habe sich spontan dazu hinreißen lassen, die Multiplikationsregeln in einen Stein an der Brougham Bridge (heute Broombridge Road) in [[w:de:Dublin|Dublin]] zu ritzen; später wurde dort eine Gedenktafel angebracht. Die Rechenregeln für Quaternionen waren in Ansätzen schon früher bekannt, so findet sich die Formel für den [[w:de:Vier-Quadrate-Satz|Vier-Quadrate-Satz]] bereits bei [[w:de:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1748). Andere, auch allgemeinere Multiplikationsregeln wurden von [[w:de:Hermann Graßmann|Hermann Graßmann]] untersucht (1855). Schon kurz nach der Entdeckung der Quaternionen fand Hamilton die Darstellung von Drehungen des Raumes mithilfe von Quaternionen und damit eine erste Bestätigung der Bedeutung der neuen Struktur; [[w:de:Arthur Cayley|Arthur Cayley]] entdeckte 1855 die entsprechenden Aussagen über orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes. Die bloße Parametrisierung der <math>3\times3</math>-Drehmatrizen war hingegen schon Euler bekannt. Cayley gab 1858 in der Arbeit, in der er Matrizen einführte, auch die Möglichkeit der Darstellung von Quaternionen durch komplexe <math>2\times2</math>-Matrizen an. Hamilton widmete sich fortan ausschließlich dem Studium der Quaternionen; sie wurden in Dublin ein eigenes Examensfach. In seiner Nachfolge wurde 1895 sogar ein „Weltbund zur Förderung der Quaternionen“ gegründet. Der deutsche Mathematiker [[w:de:Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] schreibt rückblickend über diese anfängliche Euphorie: {{Zitat |Text=Wie ich schon andeutete, schloß sich Hamilton eine Schule an, die ihren Meister an Starrheit und Intoleranz noch überbot. […] Die Quaternionen sind gut und brauchbar an ihrem Platze; sie reichen aber in ihrer Bedeutung an die gewöhnlichen komplexen Zahlen nicht heran. […] Die Leichtigkeit und Eleganz, mit der sich hier die weittragendsten Theoreme ergeben, ist in der Tat überraschend, und es läßt sich wohl von hier aus die alles andere ablehnende Begeisterung der Quaternionisten für ihr System begreifen, die […] nun bald über vernünftige Grenzen hinauswuchs, in einer weder der Mathematik als Ganzem noch der Quaternionentheorie selbst förderlichen Weise. […] Die Verfolgung des angegebenen Weges – der neu sein will, obwohl er tatsächlich nur eine peinlich genaue Übertragung längst bekannter Gedanken auf ein einziges neues Objekt, also durchaus keine geniale Konzeption bedeutet&nbsp;– führt zu allerhand Erweiterungen der bekannten Sätze, die in ihrer Allgemeinheit das Hauptcharakteristikum verlieren und gegenstandslos werden, allenfalls zu Besonderheiten, die ein gewisses Vergnügen gewähren mögen. |Autor=Felix Klein |Quelle=Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert |ref=<ref>{{Literatur |Autor=Felix Klein |Titel=Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert |Band=Teil&nbsp;I. |Verlag=Verlag von Julius Springer |Ort=Berlin |Datum=1926 |Seiten=184 ff}}</ref>}} == Verwandte Themen == Ähnliche Konstruktionen wie die Quaternionen werden manchmal unter dem Begriff „[[w:de:hyperkomplexe Zahl|hyperkomplexe Zahl]]en“ zusammengefasst. Beispielsweise sind die ''Cayley-Zahlen'' oder ''[[w:de:Oktave (Mathematik)|Oktaven]]'' ein achtdimensionales Analogon zu den Quaternionen; ihre Multiplikation ist allerdings weder kommutativ noch assoziativ. == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Quaternion'' werden == Beispiel == Als einführendes Beispiel zum Thema ''Quaternion'' dient dabei == Literatur/Quellennachweise == <references/> === Weblinks === {{Commonscat|Quaternions|Quaternion}} * [https://world.std.com/~sweetser/quaternions/ps/book.pdf Doing Physics with Quaternions] (PDF; 563&nbsp;kB) * {{Anker|Lam}} [[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009 * [http://www.grundstudium.info/animation/node17.php Quaternionen in der Computeranimation] * [https://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node24.html Der Ort der Entdeckung der Quaternionen (mit Bildern)] === Literatur - Mathematik === * Jens Carsten Jantzen, [[w:de:Joachim Schwermer|Joachim Schwermer]]: ''Algebra''. Springer, 2006, ISBN 3-540-21380-5, [[doi:10.1007/3-540-29287-X]] * [[w:de:Serge Lang|Serge Lang]]: ''Algebra''. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X * [[w:de:Max Koecher|Max Koecher]], [[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]]: ''Hamiltonsche Quaternionen''. In: H.-D. Ebbinghaus et al.: ''Zahlen''. Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-12666-X * {{Anker|Conway}} [[w:de:John Horton Conway|John H. Conway]], Derek A. Smith: ''On Quaternions and Octonions''. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch) * Jack B. Kuipers: ''Quaternions and Rotation Sequences''. Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (englisch) * W. Bolton: ''Complex Numbers (Mathematics for Engineers)''. Addison-Wesley, 1996, ISBN 0-582-23741-6 (englisch) * Andrew J. Hanson: ''Visualizing Quaternions''. Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0-12-088400-3 (englisch) * {{Anker|Pontrjagin}} [[w:de:Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Lew Semjonowitsch Pontrjagin]]: ''Verallgemeinerungen der Zahlen''. Verlag Harri Deutsch, 1995 * {{Anker|Eilenberg-Niven}} S. Eilenberg, I. Niven: ''The „fundamental theorem of algebra“ for quaternions''. In: ''Bull. Amer. Soc.'', 50, 1944, S. 246–248 * {{Anker|Hölder}} Hölder: [[s:Bemerkung zur Quaternionentheorie|Bemerkung zur Quaternionentheorie]] ([[w:de:Wikisource|Wikisource]]) == Siehe auch == * [[Komplexe Zahl]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[3D-Modellierung]] * [[Wiki2Reveal]] * [[w:de:Quaternion|Quaternion]] * [[Open Educational Resources]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Wikipedia%20Authors Wikipedia Authors]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion Quaternion] https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion * Datum: 7.8.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity {{Normdaten|TYP=s|GND=4176653-2|LCCN=sh/85/109754|NDL=00570899}} [[Kategorie:Zahl]] [[Kategorie:Verallgemeinerter Körper]] [[Kategorie:Ringtheorie]] [[Category:Wiki2Reveal]] gw1jvjse24o2g8ctgj1a33yqxyrtwm0 1117385 1117384 2026-10-22T13:26:20Z Bert Niehaus 20843 /* {{Anker|QKonjugation}} Konjugation */ 1117385 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Quaternion'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Erweiterung eines Körpers und die algebraischen Eigenschaften * (2) Bezüge zu geometrischen Transformationen und 3D-Modellierung * (3) Quaternionen <math>\mathbb{H}</math> als 4-dimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Quaternionen'' in der Wikiversity hat das Ziel, die algebraischen und geometrischen Eigenschaften zu behandelt == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Quaternion'' sind * Studierende im Fach Mathematik (Algebra) * Studierende im Fach Informatik (Computergraphik) == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Quaternion'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''(Komplexe Zahl)''' Quaternionen als Erweiterung der komplexen Zahlen * '''(Gruppe)''' Die Einheiten der Quaternionen bilden eine nicht-kommuntative multiplikative Gruppe. == Einführung == Die '''Quaternionen''' (Singular ''die'' oder ''das Quaternion'', von {{laS|quaternio, -ionis}} [[w:de:Genus#Das Genussystem der deutschen Sprache|m.]] „Vierheit“) sind ein Zahlenbereich, der den Zahlenbereich der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] erweitert – ähnlich den [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]];<ref name="Beutelspacher-LA-7-30">{{Literatur |Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]] |Titel=Lineare Algebra |Auflage=7. |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=2010 |ISBN=978-3-528-66508-1 |Seiten=30}}</ref> sie werden deshalb auch ''hamiltonsche Quaternionen'' oder '''Hamilton-Zahlen''' genannt. [[w:de:Olinde Rodrigues|Olinde Rodrigues]] entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton.<ref>Bei Gauß findet sich eine Notiz über die Multiplikation und Konjugation von Quadrupeln im Kapitel ''Mutation des Raumes''. In: [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]]: ''Werke''. Achter Band. König. Gesell. Wissen., Göttingen 1900, S. 357–361, die auf das Jahr 1819 datiert wird. Die Unterschiede zu Hamilton gehen nicht über notationelle Konventionen hinaus (Zitiert nach [[w:de:#Lam|Lam]] S. 25).</ref> Trotzdem wird die [[w:de:Menge (Mathematik)|Menge]] der Quaternionen meistens mit <math>\mathbb H</math> bezeichnet. === Quaternionen als Schiefkörper === Die Quaternionen bilden einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation auch von der ''Reihenfolge'' der Faktoren abhängt, also ''nicht'' [[w:de:Kommutativgesetz|kommutativ]] ist. Das heißt, es gibt Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math>, bei denen : <math>x y \;\; \neq \;\; y x</math> ist. === Vergleich mit Rechenregeln in den reellen Zahlen === Einige aus dem [[w:de:Reelle Zahl|Reellen]] bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch gelten [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativ-]] und [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] sowie [[w:de:Ring (Algebra)#Invertierbarkeit, Einheit|multiplikative Invertierbarkeit]], d.&nbsp;h. die [[w:de:Körper (Algebra)|Existenz des Inversen]] <math>x^{-1}</math> zu jedem <math>x\neq 0</math>. Die Quaternionen waren das erste Beispiel eines nichtkommutativen Schiefkörpers.<ref>[[w:de:#Lam|Lam]] S. 1</ref> === Quaternionen im 3D-Raum === Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen sowie zur Auswertung [[w:de:Textur (Kristallographie)|kristallographischer Texturen]].<ref name="Lunze">{{cite journal |author=Karsten Kunze, Helmut Schaeben |title=The Bingham Distribution of Quaternions und Its Spherical Radon Transform in Texture Analysis |journal=Mathematical Geology |month=11 |year=2004 |volume=8 |pages=917–943 |doi=10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59 |language=en}}</ref> Sie sind aber auch als eigenständiges [[w:de:mathematisches Objekt|mathematisches Objekt]] von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des [[w:de:Vier-Quadrate-Satz|Vier-Quadrate-Satz]]es. == Konstruktion == Die Quaternionen entstehen aus den reellen Zahlen durch Hinzufügen ([[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]]) dreier neuer Zahlen, denen in Anlehnung an die komplex-imaginäre Einheit die Namen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> gegeben werden. So ergibt sich ein vierdimensionales Zahlensystem (mathematisch ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]) mit einem ''Realteil'', der aus ''einer'' reellen [[w:de:Matrix (Mathematik)#Elemente der Matrix|Komponente]] besteht, und einem ''Imaginärteil'' aus ''drei'' Komponenten, der auch Vektorteil genannt wird. Alle Quaternionen lassen sich eindeutig in der Form : <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> mit reellen Zahlen <math>x_0</math>, <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math> schreiben. Damit bilden die Elemente <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> eine [[w:de:Basis (Vektorraum)|Basis]], die Standardbasis der Quaternionen über <math>\R</math>. Die Addition erfolgt komponentenweise und wird vom Vektorraum geerbt. Multiplikativ werden die neuen Zahlen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math>, <math>\mathrm k</math> gemäß den ''Hamilton-Regeln'' {{Anker|Hamilton-Regeln}} : <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}=-1</math> verknüpft. Die [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]] <math>\R \times \mathbb H \to \mathbb H \, </math>, die ebenfalls vom Vektorraum geerbt wird<ref>Sie ist nicht mit dem [[w:de:#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] zu verwechseln.</ref> und bei der die Skalare als mit jedem Element vertauschbar angesehen werden, zusammen mit der Addition, dem [[w:de:Distributivgesetz#Formale Definition|Rechtsdistributivgesetz]] und den Hamilton-Regeln erlauben es, die Multiplikation von der Basis auf alle Quaternionen zu erweitern. Da so auch jeder Skalar <math>\lambda \in \R</math> als <math>\lambda+0\mathrm i+0\mathrm j+0\mathrm k</math> in <math>\mathbb H</math> eingebettet wird, kann <math>\R</math> als [[w:de:Unterring|Unterring]] von <math>\mathbb H</math> aufgefasst werden. Die so definierte Multiplikation ist [[w:de:Assoziativgesetz|assoziativ]], erfüllt die beiden [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]]e<ref>Wegen der fehlenden Kommutativität in der Multiplikation können die beiden Distributivgesetze nicht automatisch auf eines reduziert werden.</ref> und macht so die Quaternionen zu einem [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]]. Sie ist allerdings nicht [[w:de:Kommutativgesetz|kommutativ]], d.&nbsp;h., für zwei Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math> sind die beiden Produkte <math>x y</math> und <math> y x</math> im Allgemeinen verschieden (s.&nbsp;u.). Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H^\times</math>, also die Menge derjenigen Elemente der multiplikativen Gruppe von <math>\mathbb H</math>, die mit allen Elementen kommutieren, ist <math>\R^\times</math>. Die Quaternionen bilden einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] (Divisionsring), da es zu jeder Quaternion <math>x\ne0</math> eine [[w:de:#Inverses und Division|inverse Quaternion]] <math>x^{-1}</math> gibt mit : <math>x x^{-1}=x^{-1} x=1</math>&nbsp;. Wegen der fehlenden Kommutativität werden Notationen mit Bruchstrich, wie z.&nbsp;B. <math>\tfrac{y}x</math>, vermieden. Des Weiteren sind die Quaternionen eine [[w:de:Dimension (Mathematik)|vierdimensionale]] [[w:de:Divisionsalgebra|Divisionsalgebra]] über <math>\R</math> – und bis auf [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] die einzige. == Schreibweise == Im weiteren Text werden folgende Schreibweisen benutzt: Ist <math>x</math> eine Quaternion, dann werden ihre reellen Komponenten mit <math>x_0, x_1, x_2, x_3</math> bezeichnet, und diese sind der Basis <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> folgendermaßen zugeordnet: : <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k .</math> Gelegentlich wird eine vektorielle Schreibweise benötigt. Dabei werden bspw. die Komponenten <math>(x_1,x_2,x_3)</math> zu einem 3-dimensionalen Vektor <math>\vec x</math> zusammengefasst, sodass man <math>x</math> mit dem 4-dimensionalen Vektor <math>(x_0, \vec x) = (x_0, x_1, x_2, x_3)</math> identifizieren kann.<ref>NB: <math>\vec x</math> wird bei Bedarf auch als Spaltenvektor eingesetzt.</ref> Analoge Abmachungen sollen für andere Buchstaben wie <math>y</math> etc. gelten. In manch älterer Literatur wurden Quaternionen mit großen [[w:de:Fraktur (Schrift)|Frakturbuchstaben]] und die imaginären Einheiten als ''Einheitsvektoren'' mit kleinen <math>\mathfrak{e}_n</math> in Fraktur bezeichnet, z.&nbsp;B. so: : <math>\mathfrak{X} = x_0 + \mathfrak{e}_1 x_1 + \mathfrak{e}_2 x_2 + \mathfrak{e}_3 x_3 = \sum_{j=0}^3 \mathfrak{e}_j x_j</math> mit <math>\mathfrak{e}_0 = 1</math>. Komplexe Zahlen tragen meist den Namen <math>z</math> und haben die reellen Komponenten <math>\xi</math>, <math>\eta</math>. == Grundrechenarten == Die Konstruktion der Quaternionen ist der der komplexen Zahlen analog, allerdings wird nicht nur eine neue Zahl hinzugefügt, sondern derer drei, die mit <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> bezeichnet werden. Die [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]]en : <math>x_0\mathrm 1+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> über der Basis <math>\{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math> spannen mit reellen Komponenten <math>x_i</math> den 4-dimensionalen Vektorraum der Quaternionen <math>\mathbb H</math> auf. Als Vektorraum ist <math>\mathbb H</math> isomorph zu <math>\R^4</math>. Das Basiselement <math>\mathrm 1</math>, das die reellen Zahlen [[w:de:Injektivität|injektiv]] einbettet (und zugleich das neutrale Element der Multiplikation darstellt), wird in der Linearkombination meist weggelassen. Die Addition und Subtraktion geschieht komponentenweise. Vom Vektorraum wird auch die [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]] übernommen, also die linke und rechte Multiplikation mit einer reellen Zahl, die distributiv zu jeder Komponente multipliziert wird. Diese Skalarmultiplikation ist eine [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] der Hamilton-Multiplikation, die auf ganz <math>\mathbb H</math> definiert ist. Die Hamilton-Multiplikation der Basiselemente untereinander oder etwas umfassender innerhalb der Menge : <math>\mathrm{Q}_8 := \{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k, -\mathrm 1,-\mathrm i,-\mathrm j,-\mathrm k\}</math> geschieht nach den Hamilton-Regeln {| |- |style="width: 25em;"| * <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=-1</math> | <math>(1)</math> |- | * <math>\mathrm i\mathrm j=+\mathrm k,\quad \mathrm j\mathrm k=+\mathrm i,\quad \mathrm k\mathrm i=+\mathrm j</math> | <math>(2)</math> |- | * <math>\mathrm j\mathrm i=-\mathrm k,\quad \mathrm k\mathrm j=-\mathrm i,\quad \mathrm i\mathrm k=-\mathrm j</math> | <math>(\bar 2)</math>. |} Diese Regeln zusammen mit der Vertauschbarkeit von <math>\pm1</math> mit jedem anderen Element geben eine vollständige Tafel für eine Verknüpfung vor, die sich als [[w:de:Assoziativgesetz|assoziativ]] erweist und <math>\mathrm{Q}_8</math> zu einer [[w:de:Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] macht – der [[w:de:Quaternionengruppe|Quaternionengruppe]]. Unter Voraussetzung der Regel <math>(1)</math> (und der Gruppenaxiome) ist die Kombination aus <math>(2)</math> und <math>(\bar 2)</math>, in der das zyklische und antizyklische Verhalten der drei nicht-reellen Quaternionen-Einheiten zum Ausdruck kommt, ersetzbar durch die Einzelregel {| |- |style="width: 25em;"| * <math>\mathrm i\mathrm j\mathrm k=-1</math> | <math>(3)</math>. |} Diese Einzelregel <math>(3)</math> könnte auch durch jede der fünf alternativen Einzelregeln <math>\mathrm j\mathrm k\mathrm i=-1</math>, <math>\mathrm k\mathrm i\mathrm j=-1</math>, <math>\mathrm k\mathrm j\mathrm i=1</math>, <math>\mathrm j\mathrm i\mathrm k=1</math> oder <math>\mathrm i\mathrm k\mathrm j=1</math> ersetzt werden. Mithilfe dieser Ersetzungsregeln, des [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]]es und (linken sowie rechten) [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]]es lässt sich die Multiplikation auf ganz <math>\mathbb H</math> fortsetzen. Die <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> kann man wie [[w:de:Kommutativgesetz#Antikommutativität|''anti-kommutierende'']] Variablen behandeln. Treten Produkte von zweien von ihnen auf, so darf man sie nach den Hamilton-Regeln ersetzen. Die ausgearbeiteten Formeln für die zwei Verknüpfungen von zwei Quaternionen : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> &nbsp; und &nbsp; <math>y=y_0+y_1\mathrm i+y_2 \mathrm j+y_3\mathrm k</math> lauten :<math>\begin{alignat}{2} x+y & = (x_0+y_0)+(x_1+y_1)\mathrm i+(x_2+y_2)\mathrm j+(x_3+y_3)\mathrm k &\quad& \text{(Addition)} \end{alignat}</math> bzw. :<math>\begin{alignat}{2} x\;y & = (x_0 y_0 - x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3) &\quad& \text{(Multiplikation)}\\ & \quad + (x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{green} \; + \; x_2 y_3} {\color{red} \; - \; x_3 y_2}) \mathrm i && \\ & \quad + (x_0 y_2 {\color{red} \; - \; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{green} \; + \; x_3 y_1}) \mathrm j && \\ & \quad + (x_0 y_3 {\color{Green} \; + \; x_1 y_2} {\color{red} \; - \; x_2 y_1} + x_3 y_0) \mathrm k && \end{alignat}</math> Herleitung:<ref>{{Literatur |Autor=Brian L. Stevens, Frank L. Lewis, Eric N. Johnson |Titel=Aircraft Control and Simulation. Dynamics, Controls Design, and Autonomous Systems |Auflage=Third edition |Verlag=John Wiley & Sons, Inc. |Ort=Hoboken, New Jersey |Datum=2016 |ISBN=978-1-118-87098-3 |Seiten=46}}</ref> :<math>\begin{align} x\;y & = (x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k) \; (y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k)\\ & = x_0 y_0 + x_1 y_1 \mathrm i \mathrm i + x_2 y_2 \mathrm j \mathrm j + x_3 y_3 \mathrm k \mathrm k\\ & \quad + x_0 y_1 \mathrm i + x_1 y_0 \mathrm i +x_2 y_3 {\color{green} \mathrm j \mathrm k} +x_3 y_2 {\color{red}\mathrm k \mathrm j}\\ & \quad + x_0 y_2 \mathrm j + x_1 y_3 {\color{red} \mathrm i \mathrm k } + x_2 y_0 \mathrm j + x_3 y_1 {\color{green} \mathrm k \mathrm i}\\ & \quad + x_0 y_3 \mathrm k + x_1 y_2 {\color{green}\mathrm i \mathrm j} + x_2 y_1 {\color{red} \mathrm j \mathrm i} + x_3 y_0 \mathrm k\\ & = x_0 y_0 -x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3\\ & \quad + (x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{green}\;+\; x_2 y_3 } {\color{red} \; -\; x_3 y_2 }) \mathrm i\\ & \quad + (x_0 y_2 {\color{red}\;-\; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{green}\;+\; x_3 y_1} )\mathrm j \\ & \quad + (x_0 y_3 {\color{green}\;+ \; x_1 y_2} {\color{red}\;-\; x_2 y_1 } + x_3 y_0 ) \mathrm k. \end{align}</math> Damit sind die für einen Ring erforderlichen zwei Verknüpfungen definiert. Es ist leicht nachgerechnet, dass alle Ring-Axiome erfüllt sind. Das additive [[w:de:Inverses Element|Inverse]] ist (wie in jedem Vektorraum) das Produkt mit dem Skalar −1. Die ''Subtraktion'' ist die Addition dieses Inversen. Die für einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] erforderliche ''Division'' muss wegen der fehlenden Kommutativität durch eine Multiplikation mit dem (multiplikativen) Inversen ersetzt werden (siehe [[w:de:#Inverses und Division|Inverses und Division]]).<ref>Reelle Faktoren kommutieren mit <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> und damit mit allen Quaternionen, d.&nbsp;h., es gilt beispielsweise :<math>2\mathrm i\mathrm j=\mathrm i2\mathrm j=\mathrm i\mathrm j 2=2\mathrm k</math>, aber :<math>2\mathrm j\mathrm i=\mathrm j 2\mathrm i=\mathrm j\mathrm i 2=-2\mathrm k</math>. Nicht alle aus der elementaren Algebra bekannten Rechenregeln gelten für die Quaternionen, z.&nbsp;B. gilt :<math>(\mathrm i+\mathrm j)(\mathrm i-\mathrm j)=\mathrm i\mathrm i-\mathrm i\mathrm j+\mathrm j\mathrm i-\mathrm j \mathrm j=(-1)-\mathrm k+(-\mathrm k)-(-1)=-2\mathrm k</math>. Die [[w:de:Binomische Formel|binomischen Formeln]] <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> oder <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> sind hier also ''nicht'' anwendbar. Sie setzen voraus, dass <math>ab=ba</math> gilt.</ref> == Gegenring == Ist <math>(R,+,\cdot)</math> ein Ring, dann wird der mit der Multiplikation :<math>x \circ y \; := y \cdot x</math> ausgestattete Ring <math>R^{\operatorname{op}} := (R,+,\circ) </math> als [[w:de:Gegenring|Gegenring]] bezeichnet. Hier folgen alle Ringgesetze, das heißt das Assoziativgesetz sowie beide Distributivgesetze, aus den ursprünglichen Gesetzen. Im Gegenring <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math>, der wegen der Nicht-Kommutativität von <math>\mathbb H</math> von diesem verschieden ist, gelten alle im Abschnitt ''[[w:de:#Grundrechenarten|Grundrechenarten]]'' angeführten Rechenregeln bis auf die Multiplikation, bei der die Vorzeichen der Terme, die nur [[w:de:Koeffizient|Koeffizient]]en <math>x_m y_n</math> mit <math>m \ne n</math> und <math>m \ne 0 \ne n</math> haben, invertiert sind. Ferner gilt die Kurzform : <math>\mathrm i\circ \mathrm j\circ \mathrm k=+1</math>. === Definition von Gauß === Im Übrigen hat [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Gauß]] laut Lam (Eq. (1.4)) die Quaternionenmultiplikation im Jahr 1819 genau so definiert. Des Weiteren ist die [[w:de:Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] des [[w:de:Drei-Finger-Regel|Dreibeins]] <math>(\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k)</math> in <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math> gespiegelt. Die [[w:de:Identische Abbildung|Identität]] auf der Grundmenge <math>\R^4</math> ist ein [[w:de:Antiisomorphismus|Antiisomorphismus]] und die [[w:de:#QKonjugation|Konjugation]] ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. === Nichtkommutativität === Die Nichtkommutativität ist gleichbedeutend mit der Verschiedenheit von <math>\mathbb{H}</math> und <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math>. Da beide Ringe die [[w:de:Ring (Algebra)#Ring|Ringaxiome]] der Quaternionen erfüllen, muss dieses Axiomensystem „unvollständig“ sein im Sinne [[w:de:#Hölder|Hölders]]. In diesem Sinn vollständig sind die Axiomensysteme der rationalen, reellen oder komplexen Zahlen. == Grundlegende Begriffe == === Quaternion - Realteil und Imaginärteil === Aufgrund der besonderen Stellung der Komponente <math>x_0</math> einer Quaternion : <math>x=\underbrace{x_0}_{\mbox{Realteil}}+\underbrace{(x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k)}_{\mbox{Imaginärteil}}</math> bezeichnet man sie – wie bei den komplexen Zahlen – als ''Realteil'' und die anderen 3 Summanden werden als ''Imaginärteil'' zusammengefasst. === {{Anker|Realteil|Skalarteil}} Realteil oder Skalarteil und Vektorteil === Die Realteilfunktion <math>\mathfrak{Re}</math> von einer Quaternion ordnet einem <math>x=x_0+(x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k)\in \mathbb{H}</math> für beliebige Quaterionen <math>x\in \mathbb{H}</math> den Realteil <math>x_0\in \mathbb{R}</math> von <math>x</math> zu. : <math>\mathfrak{Re}(x) := x_0</math>&nbsp;, === {{Anker|Imaginärteil|Vektorteil}} Realteil oder Skalarteil und Vektorteil === Die Komponenten <math>x_1,x_2,x_3</math> zusammen den ''Imaginärteil'' oder ''Vektorteil'' : <math>\mathfrak{Im}(x) := x_1\mathrm i + x_2\mathrm j + x_3\mathrm k</math> bilden. Häufig identifiziert man den Vektorteil auch mit dem Vektor <math>\vec x:=(x_1,x_2,x_3) \in \R^3</math>. === {{Anker|QKonjugation}} Konjugation === Zu jeder Quaternion : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> ist die ''konjugierte Quaternion'' definiert als : <math>\bar x := x_0-x_1\mathrm i-x_2\mathrm j-x_3\mathrm k</math>&nbsp;. ==== Konjungation bei Quaternionen ==== Da hier der Imaginärteil mit seinen Einheitsvektoren verknüpft bleibt und der Realteil als reelle Zahl eindeutig in die Quaternionen einzubetten ist, ergeben sich die einfachen Beziehungen : <math>x = \mathfrak{Re}(x) + \mathfrak{Im}(x) </math> und : <math>\bar{x} = \mathfrak{Re}(x) - \mathfrak{Im}(x) </math>&nbsp;, ==== Realteil und Imaginärteil über Konjungation darstellen==== aus denen sich unmittelbar : <math>\mathfrak{Re}(x) = \frac12(x+\bar{x})</math> und : <math>\mathfrak{Im}(x) = \frac12(x-\bar{x})</math> ausrechnet.<ref>Im Komplexen gilt dagegen :<math>\operatorname{Im}\,z = \frac{1}{2\mathrm i_\Complex}(z-\bar{z})</math> mit Abspaltung der imaginären Einheit <math>\mathrm i_\Complex</math> von der rein-imaginären Komponente, sodass der Imaginärteil eine ''reelle'' Zahl ist. Und es gilt: :<math>z = \operatorname{Re}\,z + \mathrm i_\Complex \; \operatorname{Im}\,z.</math></ref> ==== Reiner Realteil und reiner Imaginärteil ==== Ist eine Quaternion gleich ihrer Konjugierten, so ist sie reell, d.&nbsp;h., der Vektorteil ist null. Ist eine Quaternion gleich dem Negativen ihrer Konjugierten, so ist sie eine [[w:de:#Reine Quaternion|reine Quaternion]], d.&nbsp;h., der Skalarteil ist null. Weitere wichtige Eigenschaften der Konjugation sind: {| |- | * <math>\overline{(\bar x)}=x</math> | Die Konjugation ist eine [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]]. |- | * <math>\overline{x+y}=\bar x+\bar y</math> und<br /> <math>\overline{\lambda x}=\lambda\bar x</math> für reelle Zahlen <math>\lambda</math> | Die Konjugation ist <math>\R</math>-[[w:de:Lineare Abbildung|linear]]. |- | * <math>\overline{x y}=\bar y\bar x</math> | Die Konjugation ist ein [[w:de:Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]]. |- | * <math>\overline x = -\tfrac12(x + \mathrm i\,x\,\mathrm i + \mathrm j\,x\,\mathrm j + \mathrm k x \mathrm k)</math> &nbsp; &nbsp; | Die Konjugation lässt sich „mit arithmetischen Mitteln“ darstellen.<ref>Das gilt daher auch für den Betrag und die Teilmenge der reellen Zahlen. Bei den komplexen Zahlen gilt das nicht (s.&nbsp;a. [[w:de:Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie|Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie]]).</ref> |} === Skalarprodukt === Das [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon \mathbb H \times \mathbb H \to\R</math> zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im <math>\R^4</math>, ist definiert durch : <math>\langle x,y \rangle:= x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3</math>&nbsp;. Es gilt : <math>\langle x,y \rangle= \operatorname{Re}(\bar xy)=\operatorname{Re}(x\bar y) = \frac{1}{2} (x\bar y + y\bar x)</math>&nbsp;. Es ist eine [[w:de:Definitheit|positiv definite]] symmetrische [[w:de:Bilinearform#Beispiele|Bilinearform]], über die sich [[w:de:#Norm und Betrag|Norm und Betrag]] definieren lassen und mit der [[w:de:Skalarprodukt#Norm, Winkel und Orthogonalität|Winkel und Orthogonalität]] bestimmt werden können. Ferner kann man damit die einzelnen Komponenten einer Quaternion isolieren: : <math>x_0 = \langle\mathrm 1, x\rangle,\quad x_1 = \langle\mathrm i, x\rangle,\quad x_2 = \langle\mathrm j, x\rangle,\quad x_3 = \langle\mathrm k, x\rangle</math>&nbsp;. Das aus der Physik weit verbreitete Vorgehen, das Skalarprodukt abkürzend wie eine Multiplikation mit dem [[w:de:Mittepunkt|Mittepunkt]] {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} zu notieren, wird auch bei den Quaternionen häufig angewandt, wobei hier die Verwechslungsgefahr zwischen Quaternionenmultiplikation und Skalarprodukt hoch ist. Im Folgenden verwenden wir folgende Konvention: * Das Quaternionenprodukt wird stets ohne Benutzung des Mittepunkts durch Aneinanderreihung der Faktoren notiert. * Das Skalarprodukt, und zwar sowohl das 4- wie das 3-dimensionale, wird in Multiplikationsschreibweise mit dem Mittepunkt {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} notiert. === Kreuzprodukt === Das Kreuzprodukt zweier Quaternionen <math>x, y</math> ist das [[w:de:Kreuzprodukt|Kreuzprodukt]] (Vektorprodukt) ihrer Vektorteile und bis auf den Faktor&nbsp;2 ihr [[w:de:Kommutator (Mathematik)|Kommutator]]. Ist <math>x=:(x_0,\vec x)</math> und <math>y =: (y_0,\vec y)</math>, so ist : <math>\begin{align} x \times y & := \vec x\times\vec y \\ & \;= \tfrac12(x y-y x) \\ & \;= ( x_2 y_3 - x_3 y_2) \mathrm i +(x_3 y_1 - x_1 y_3) \mathrm j +( x_1 y_2 - x_2 y_1) \mathrm k \; . \end{align}</math> === Quaternionenmultiplikation als Skalar- und Kreuzprodukt === Identifiziert man Quaternionen {| |- |style="width: 25em;"| : <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> |style="width: 5em;"| und |style="width: 25em;"| <math>y = y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k</math> |} mit Paaren aus einem Skalar <math>\in \R</math> und einem Vektor <math>\in \R^3</math> {| |- |style="width: 25em;"| : <math>x=(x_0,\vec x)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec x :=(x_1,x_2,x_3)</math> |style="width: 5em;"| bzw. |style="width: 25em;"| <math>y=(y_0,\vec y)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec y :=(y_1,y_2,y_3)</math>&nbsp;, |} so lässt sich die Multiplikation mithilfe des (dreidimensionalen) [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]]s und [[w:de:Kreuzprodukt|Kreuzprodukt]]s beschreiben: : <math>xy = (x_0,\vec x) (y_0,\vec y)=\Big(x_0 y_0 -\vec x \cdot\vec y,\quad x_0 \vec y+\vec x y_0+\vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;. {{Anker|vertauschbar}} Zwei Quaternionen sind demnach genau dann miteinander ''vertauschbar'', wenn ihr Kreuzprodukt 0 ist, wenn also ihre Vektorteile als reelle Vektoren linear abhängig sind (s.&nbsp;a. [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettung der komplexen Zahlen]]). === {{Anker|Norm}} Norm und Betrag === Das Skalarprodukt einer Quaternion <math>x</math> mit sich selbst, welches gleich dem Quaternionenprodukt mit der Konjugierten ist, wird ''Norm'' genannt: : <math>\operatorname{Norm}(x) := \langle x,x \rangle = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 = x\bar x = \bar x x </math>&nbsp;<ref>Viele Autoren setzen jedoch Norm dem Betrag gleich.</ref> Insbesondere ist dieser Wert reell und nichtnegativ. {{Anker|Betrag}} Die [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] daraus : <math>\sqrt{{x_0}^2+{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2}=:|x|</math> wird ''Betrag'' oder ''Länge'' der Quaternion <math>x</math> genannt und stimmt überein mit Betrag oder [[w:de:Euklidische Norm|euklidischer Länge]] des Vektors <math>(x_0,x_1,x_2,x_3)</math>. Er erfüllt die wichtige Eigenschaft : <math>|x y|=|x|\;|y|</math>&nbsp;, die ''Multiplikativität des Betrags''. Mit dem Betrag werden die Quaternionen zu einer reellen [[w:de:Banachalgebra|Banachalgebra]]. === Inverses und Division === Bei einer nicht-kommutativen Multiplikation muss man die Gleichungen {| |- |style="width: 10em;"| : <math>x b=a</math> |style="width: 5em;"| und |style="width: 10em;"| <math>b y=a</math> |} unterscheiden. Wenn das [[w:de:Inverses Element|Inverse]] <math>b^{-1}</math> existiert, dann sind {| |- |style="width: 10em;"| : <math>x=a b^{-1}</math> |style="width: 5em;"| bzw. |style="width: 10em;"| <math>y=b^{-1} a</math> |} respektive Lösungen, die nur dann übereinstimmen, wenn <math>b</math> und <math>a</math> kommutieren, insbesondere wenn der Divisor <math>b</math> reell ist. In solch einem Fall kann die Schreibweise <math>\tfrac a b</math> verwendet werden – bei allgemeinen Divisionen wäre sie nicht eindeutig. Wenn zusätzlich <math>c^{-1}</math> existiert, gilt die Formel : <math>b^{-1} c^{-1}=(c b)^{-1}</math>, denn : <math>b^{-1} c^{-1} c b=1</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; und&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> (c b)^{-1} c b=1</math>&nbsp;. Für : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k\ne0</math> ist die Norm : <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = \bar x x = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2>0</math> reell und positiv. Die Quaternion : <math>x^{-1} := \frac{\bar x}{x \bar x} </math> erfüllt dann die Bedingungen des Rechts- : <math> x x^{-1} = x \frac{\bar x}{x \bar x} = 1</math> und des Links-Inversen : <math> x^{-1} x = \frac{\bar x}{\bar x x} x = 1</math> und kann deshalb als das Inverse schlechthin von <math>x</math> bezeichnet werden. === Reine Quaternion === Eine Quaternion, deren Vektorteil 0 ist, wird mit der ihrem Skalarteil entsprechenden reellen Zahl identifiziert. Eine Quaternion, deren Realteil 0 ist (äquivalent, deren Quadrat reell und nichtpositiv ist), nennt man ''rein'', ''rein imaginär'' oder ''vektoriell''. Die Menge der reinen Quaternionen wird als <math>\mathbb H _{\text{pure}}</math> oder <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> notiert. Sie ist ein [[w:de:Dimension (Mathematik)|dreidimensionaler]] reeller [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit Basis <math>\{\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math>. Für reine Quaternionen nimmt die Multiplikation eine besonders einfache Form an: : <math>(0,\vec x)(0,\vec y) \; = \; \Big({-\vec x \cdot \vec y}, \, \vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;. === Einheitsquaternion === Eine ''Einheitsquaternion'' (auch ''normierte Quaternion'', Quaternion ''der Länge&nbsp;1'') ist eine Quaternion, deren Betrag gleich&nbsp;1 ist. Für sie gilt (analog zu den komplexen Zahlen) : <math>|x|=1\iff x\bar x=1\iff \bar x=x^{-1}</math>. Für eine beliebige Quaternion <math>x\ne0</math> ist : <math>\frac x{|x|}=\frac{x_0}{|x|}+\frac{x_1}{|x|}\mathrm i+\frac{x_2}{|x|}\mathrm j+\frac{x_3}{|x|}\mathrm k</math> eine Einheitsquaternion, die man manchmal auch als das [[w:de:Signumfunktion|Signum]] oder den Versor von <math>x</math> bezeichnet. Das Produkt zweier Einheitsquaternionen und die Inverse einer Einheitsquaternion sind wieder Einheitsquaternionen. Die Einheitsquaternionen bilden also eine Gruppe. Geometrisch kann man die Menge der Einheitsquaternionen als die [[w:de:Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> im vierdimensionalen [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und damit als [[w:de:Lie-Gruppe|Lie-Gruppe]] interpretieren, mit dem Raum der [[w:de:#Reine Quaternion|reinen Quaternionen]] als zugehöriger [[w:de:Lie-Algebra|Lie-Algebra]]. Die Darstellung als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] verdeutlicht die umkehrbar eindeutige Entsprechung der Einheitsquaternionen mit der [[w:de:Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>. Die einzigen reellen Einheitsquaternionen sind <math>\pm 1</math>. Sie machen auch das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb{S}^3</math> aus. === Reine Einheitsquaternion === Einheitsquaternionen, die auch reine Quaternionen sind, lassen sich als diejenigen Quaternionen charakterisieren, deren Quadrate <math>-1</math> ergeben: : <math>\epsilon_0=0 \; \land \; {\epsilon_1}^2+{\epsilon_2}^2+{\epsilon_3}^2=1\qquad\iff\qquad \epsilon^2=-1</math>.<ref>Den unendlich vielen [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]]n des [[w:de:Polynom|Polynom]]s <math>X^2 + 1</math> steht das Fehlen einer Nullstelle beim Polynom <math>\mathrm i X - X \mathrm i + 1</math> vom [[w:de:Polynom|Grad]] 1 gegenüber. Letzteres besitzt 2 [[w:de:Monom|Monom]]e vom Grad 1, dem höchsten Grad seiner Monome. In nicht-kommutativen Ringen wird der Grad des Monoms <math>a_0 X a_1 \dots a_{n-1} X a_n</math> mit <math>a_i \neq 0</math> zu <math>n</math> definiert, und ein Monom dominiert ein Polynom, wenn es unter allen Monomen den höchsten Grad hat. Dann ist der Grad des Polynoms auch gleich dem Grad der dominierenden Monome. Hat ein Polynom über <math>\mathbb H</math> ein ''einziges'' dominierendes Monom von einem Grad > 0, dann hat es immer eine Nullstelle in <math>\mathbb H</math>. ([[w:de:#Eilenberg-Niven|Eilenberg-Niven]]).</ref> Sie liegen in der Äquatorhyperebene der 3-Sphäre <math>\mathbb{S}^3</math> und machen die Einheits-2-Sphäre <math>\mathbb{S}^2</math> des dreidimensionalen Raums <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus. === Einbettung der komplexen Zahlen === Jede Quaternion <math>\epsilon</math> mit Quadrat <math>-1</math> definiert einen Einbettungs[[w:de:isomorphismus|isomorphismus]] <math>\iota_{\epsilon}</math> der komplexen Zahlen in die Quaternionen : <math> \begin{array}{rccc} \iota_{\epsilon} \colon & \Complex & \to & \mathbb H \\ & u+v\mathrm i_\Complex & \mapsto & u+v \epsilon \end{array} </math> mit <math>u,v\in\R</math> und <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit der komplexen Zahlen. Dabei sind die [[w:de:Bild (Mathematik)|Bildmengen]] der <math>\epsilon</math> und <math>\bar \epsilon</math> entsprechenden Einbettungen identisch: <math>\iota_{\epsilon}(\Complex) = \iota_{\overline \epsilon}(\Complex)</math>. Eine jede solche Quaternion darf <math>\mathrm i</math> genannt werden, eine senkrechte dazu <math>\mathrm j</math> und ihr Produkt <math>\mathrm k</math>.<ref name="Conway">[[w:de:John Horton Conway|John H. Conway]], Derek A. Smith: ''On Quaternions and Octonions''. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch).</ref>{{rp|Seite 40.}} <ref>Ein [[w:de:#Automorphismen|Automorphismus]] definiert eine solche Einbettung (durch [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]]), die nur eine Einbettung von {{nowrap|<math>\R</math>-[[w:de:Algebra über einem Körper|Algebren]]}} ist. <math>\mathbb H</math> ist keine Algebra über <math>\Complex</math>.</ref> Jede nicht-reelle Quaternion liegt in genau einer solchen Einbettung von <math>\Complex</math>&nbsp;. Zwei Quaternionen sind genau dann vertauschbar, wenn es eine gemeinsame Einbettung gibt. Zwei verschiedene Bilder haben die reelle Achse zum Durchschnitt. So betrachtet, sind die Quaternionen eine [[w:de:Menge (Mathematik)#Vereinigung (Vereinigungsmenge)|Vereinigung]] komplexer Ebenen. == Polardarstellung == Jede [[w:de:#Einheitsquaternion|Einheitsquaternion]] <math>x^\circ = x_0 + x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k \; \ne \; \pm 1</math> kann auf eindeutige Weise in der Form : <math>x^\circ=\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math> :: mit dem ''Polarwinkel''<ref>[[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22. Der Polarwinkel ist das Analogon zum [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|komplexen Argument]] <math>\operatorname{arg}(z)</math>, allerdings ist bei dessen Hauptwert das Signum des Imaginärteils mit hinein genommen, was sich bei den Quaternionen nicht machen lässt, sodass <math>\operatorname{arg}</math> nicht eine einfache [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] des Polarwinkels ist.</ref> von <math>x^\circ</math> ::: <math>\phi := \arccos(x_0) = \arccos(\operatorname{Re} x^\circ) \in{]0,\pi[}</math> :: und der ''reinen'' Einheitsquaternion ::: <math>\epsilon := \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sqrt{1-x_0^2}} = \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sin \phi} = \frac{\operatorname{Im} x^\circ}{|\operatorname{Im} x^\circ|} = \frac{\vec x^\circ}{|\vec x^\circ|}</math> dargestellt werden. Mit der [[w:de:Exponentialfunktion#Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren|verallgemeinerten Exponentialfunktion]] lässt sich das wegen <math>\epsilon^2=-1\ </math> auch schreiben als : <math>x^\circ=\exp(\epsilon\phi)</math> mit der [[w:de:#Reine Quaternion|reinen Quaternion]] <math>\epsilon\phi =: x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H </math>. Will man also eine reine Quaternion <math>x^\prime\ne 0</math> exponentiieren, so ist ihr Betrag <math>\phi=|x^\prime|</math> und die [[w:de:#Reine Einheitsquaternion|reine Einheitsquaternion]] <math>\epsilon=x^\prime/\phi</math> zu bilden, und es ergibt sich die Einheitsquaternion : <math>\exp x^\prime = \cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math>. Der Fall &nbsp; <math>\exp 0 = 1</math> &nbsp; lässt sich [[w:de:Fortsetzung (Mathematik)#Stetige Fortsetzung|stetig ergänzen]]. Damit ist die [[w:de:Matrixexponential|Exponentialabbildung]] <math>\exp\colon \operatorname{Im}\,\mathbb H \to \mathbb{S}^3</math> [[w:de:surjektiv|surjektiv]]. Nun ist <math>\exp x^\prime = -1</math> für alle <math>x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math> mit <math>|x^\prime| = \pi</math>, und das sind unendlich viele. Gleichwohl ist die [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] <math>\exp\colon \{x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H \land |x^\prime| < \pi \} \; \to \; \mathbb{S}^3 \setminus \{-1\}</math> [[w:de:Bijektivität|bijektiv]]. Sie ist [[w:de:Stetige Funktion|stetig]], wegen der Nicht-Kommutativität der Multiplikation aber kein [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]]<ref name="exp-nicht-homomorph">Für <math>x^\prime:=\mathrm i\pi</math> und <math>y^\prime:=\mathrm j\pi</math> ist :<math>\exp x^\prime \exp y^\prime = \exp(\mathrm i\pi) \exp(\mathrm j\pi) = (-1)(-1)=1</math> :<math>\ne \exp(x^\prime+y^\prime) = \exp((\mathrm i+\mathrm j)\pi) = \cos(\pi \sqrt 2)+\frac{\mathrm i+\mathrm j}{\sqrt 2}\sin(\pi \sqrt 2)</math>.</ref>. {{Anker|reine_und_normierte}} Allgemein lässt sich jede nicht-reelle Quaternion eindeutig in der Form : <math>x=|x| \; (\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi)</math> :: mit dem ''Polarwinkel'' von <math>x</math> ::: <math>\phi = \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|}\right) \in{]0,\pi[} </math> :: und der reinen Einheitsquaternion (der ''reinen und normierten Quaternion von <math>x</math>'') ::: <math>\epsilon = \frac{\operatorname{Im} x}{\sqrt{|x|^2 - (\operatorname{Re} x)^2}} = \frac{\operatorname{Im} x}{|x| \, \sin \phi} = \frac{\vec x}{|\vec x|}</math> schreiben. Durch die Festlegung <math>\phi \in{]0,\pi[}</math> ist <math>\sin \phi > 0</math>, sodass <math>\epsilon</math> in dieselbe Richtung wie der Vektorteil <math>\operatorname{Im} x</math> zeigt. Jede nicht reell-negative Quaternion schreibt sich eindeutig als : <math>x=|x|\exp x^\prime</math> mit einer reinen Quaternion <math>x^\prime</math> mit &nbsp; <math>|x^\prime|<\pi</math>. Diese Darstellungen sind der Polarform komplexer Zahlen : <math>z=|z|(\cos\phi+\mathrm i_\Complex\sin\phi)=|z| \exp(\mathrm i_\Complex\phi)</math> (mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit) analog. Für die [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]] : <math>x y = |x| \; |y| \; \exp (x^\prime+y^\prime)</math> müssen <math>x,y</math> allerdings kommutieren.<ref name="exp-nicht-homomorph" /><ref>Laut [[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22 mag das Scheitern dieser Funktionalgleichung das größte Hindernis für eine quaternionische [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] gewesen sein.</ref> == Funktionentheorie == === Exponentialfunktion, Logarithmus === Das Exponential einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist: : <math>\exp (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \exp (\operatorname{Re} x) \left(\cos |\vec x|+\frac{\vec x}{|\vec x|} \sin |\vec x| \right) \isin \mathbb H</math> mit <math>\vec x:=\operatorname{Im} x</math>&nbsp;. Der (natürliche) [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist: : <math>\ln(x) = \ln |x| + \frac{\vec x}{|\vec x|} \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|} \right) \isin \mathbb H</math>&nbsp;<ref>{{Webarchiv |url=http://www.lce.hut.fi/~ssarkka/pub/quat.pdf |wayback=20130926165618 |text=Lce.hut.fi}} (PDF; 68&nbsp;kB)</ref> Für nicht-reelles <math>x</math> sind sie [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]]en voneinander : <math>\exp (\ln(x)) = x</math> und, falls <math>|\vec x| < \pi</math>, : <math>\ln(\exp (x)) = x</math>&nbsp;. Für nicht-reelles, mit <math>x</math> kommutierendes <math>y</math> gelten die [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en : <math>\exp (x+y) = \exp (x) \exp (y)</math> und : <math>\ln (x) + \ln (y) = \ln (x y)</math>&nbsp;, letzteres für <math>x,y</math> mit hinreichend kleinem Imaginärteil. === Fortsetzungen komplexer Funktionen === [[Datei:Lift Complex Function to Quaternions.svg|304px|mini|Im [[w:de:Kommutatives Diagramm|kommutativen Diagramm]] müssen sich <math>g_{\epsilon}</math> und <math> g_{\zeta}</math> auf <math>\iota_{\epsilon}\Complex \; \cap \; \iota_{\zeta}\Complex \; \subset \; \mathbb H</math> vertragen.]] Da <math>\mathbb H</math> als eine Vereinigung von Einbettungen komplexer Ebenen aufgefasst werden kann (s. Abschnitt [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|#Einbettung der komplexen Zahlen]]), kann man versuchen, Funktionen <math>g \colon \Complex \to \Complex</math><ref>Die Überlegungen gelten schon, wenn der Definitionsbereich von <math>g</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ist.</ref> mithilfe der genannten Einbettungsisomorphismen <math>\iota_{\epsilon}</math> vom Komplexen ins Quaternionische zu liften. Dabei ist zu fordern, dass die so gewonnenen Funktionen <math>g_{\epsilon} \colon \iota_{\epsilon} (\Complex) \to \iota_{\epsilon} (\Complex) \subset \mathbb H</math> mit <math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon} \circ g \circ {\iota_{\epsilon}}^{-1}(q) </math> bei Überschneidungen der [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsbereiche]] dasselbe Ergebnis liefern, sodass die vereinigte Funktion <math>\tilde g</math> auf der [[w:de:Vereinigungsmenge|Vereinigungsmenge]] <math>\cup_{\epsilon} \bigl( \iota_{\epsilon} (\Complex) \bigr) = \mathbb H</math> vermöge <math>\forall q \in \mathbb H \; \exists \epsilon : q \in \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> als <math>\tilde g(q) := g_{\epsilon} (q)</math> in [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefinierter]] Weise gebildet werden kann. Sei <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \ \mathrm i_\Complex</math> eine komplexwertige Funktion <math>\Complex \to \Complex</math> einer komplexen Variablen <math>z = \xi + \eta \, \mathrm i_\Complex</math> mit reellen <math>\xi,\eta</math> und reellen <math>u(\xi,\eta),v(\xi,\eta) .</math><br /> '''Einbettbarkeit:''' <math>g</math> ist genau dann einbettbar in die Quaternionen, wenn <math>u</math> eine [[w:de:Gerade Funktion|gerade]] und <math>v</math> eine [[w:de:ungerade Funktion|ungerade Funktion]] des jeweils zweiten Arguments <math>\eta</math> ist. {| class="wikitable left mw-collapsible mw-collapsed font-size: 105.3%;" |style="text-align:left; font-size: 95%;"| '''Beweis'''&nbsp; |- | Ist <math>q</math> eine beliebige nicht-reelle Quaternion, dann ist <math>\epsilon := \operatorname{Im} q / |\operatorname{Im} q| </math> eine [[w:de:#reine und normierte|reine und normierte Quaternion]] mit <math>\epsilon^2 = -1</math>. Seien ferner <math>\xi := \operatorname{Re} q </math> und <math>\eta := |\operatorname{Im} q| </math>, die beide reell sind. Sowohl <math>\iota_{\epsilon}</math> wie <math>\iota_{\overline \epsilon}</math> ist ein Einbettungsisomorphismus für das Bild <math>q</math>. Im ersteren Fall ist <math>z_{\epsilon} := \xi+\eta \, \mathrm i_\Complex \in \Complex</math> das Urbild von <math>q = \xi+\eta \, \epsilon </math>, im zweiten Fall haben wir wegen <math>q = \xi+\eta \, \epsilon = \xi-\eta \, \bar\epsilon </math> das Urbild <math>z_{\overline \epsilon} := \iota_{\overline \epsilon}^{-1} (\xi-\eta \, \epsilon) = \xi-\eta \, \mathrm i_\Complex </math>; jeweils mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als der imaginären Einheit von <math>\Complex</math>. Die Urbilder sind verschieden, das Bild, das bei der zu bildenden Funktion <math>\tilde g</math> als Argument fungieren soll, ist aber beidesmal <math>q</math>.<br /> Das „Liften“ wird durch die Einbettung der Funktionswerte als : <math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon}(g(z_{\epsilon})) = \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \epsilon</math> und : <math>g_{\overline \epsilon}(q) := \iota_{\overline \epsilon}(g(z_{\overline \epsilon})) = \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar\epsilon</math> vervollständigt (s. Diagramm). Nun ist nach Voraussetzung : <math>u(\xi,+\eta)=u(\xi,-\eta), \quad v(\xi,+\eta) = -v(\xi,-\eta),</math> sodass sich : <math>g_{\overline \epsilon}(q) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar \epsilon = u(\xi,-\eta) - v(\xi,-\eta) \epsilon = u(\xi,+\eta) + \ v(\xi,+\eta) \epsilon = g_{\epsilon}(q) </math> ergibt und <math>\tilde g(q)</math> nicht von der Wahl des Einbettungsisomorphismus abhängt. Die Bedingung ist auch notwendig. Denn lässt umgekehrt die Funktion <math>g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine Einbettung <math>\tilde g \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \tilde g(q) </math> in die Quaternionen zu, so gibt es zu jedem <math>q \in \mathbb H</math> eine geeignete reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> und reelle <math>\xi,\eta </math> mit <math>q = \xi\,+\,\eta \, \epsilon</math> und : <math>\begin{array}{llll} \tilde g(q) &= g_{\epsilon}(\xi\,+\,\eta \, \epsilon) = g_{\epsilon}(\iota_{\epsilon} (\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\epsilon}(g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\ &= \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \epsilon . \end{array}</math> Bei der konjugierten Quaternion <math>\bar \epsilon = -\epsilon</math> hat die Einbettung <math>\iota_{\overline \epsilon} </math> dasselbe Bild <math>\iota_{\overline \epsilon} (\Complex) = \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> wie <math>\iota_{\epsilon}</math> und also <math>g_{\overline \epsilon}</math> dieselbe [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsmenge]] wie <math>g_{\epsilon}</math>. Der Funktionswert : <math>\begin{array}{llll} \tilde g(q) &= g_{\overline \epsilon}(\xi\,-\,\eta \, \bar \epsilon) = g_{\overline \epsilon}(\iota_{\overline \epsilon} (\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\overline \epsilon}(g(\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\ &= \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \bar\epsilon \\ &&= u(\xi,-\eta)\,-\,v(\xi,-\eta) \epsilon \end{array}</math> muss also mit dem vorigen für alle <math>\xi,\eta \in \R</math> übereinstimmen. ■ |} Die eingebettete Funktion <math>\tilde g</math> stimmt auf ''allen'' Teilmengen <math>\iota_{\epsilon} (\Complex) \cong \Complex</math> mit <math>g</math> überein, kann also als [[w:de:Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzung]] von <math>g</math> angesehen werden und, wenn Verwechslungen nicht zu befürchten sind, wird auch der Funktionsname beibehalten. Ist <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine einbettbare Funktion, so ist <math>v(\xi,0) = -v(\xi,0)</math> wegen der Ungeradheit von <math>v</math> in der zweiten Variablen, also <math>v(\xi,0) = 0</math> und <math>g(z) \in \R</math> für <math>z \in \R</math>. Somit folgt aus der Einbettbarkeit, dass die [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] aufs Reelle reell ist.<ref>Letzteres ist aber nicht hinreichend, denn die Funktion <math>g(z) := \operatorname{Im} z</math> ist trotz <math>g\!\mid_\R \, = 0 \in \R</math> wegen <math>u(\xi,\eta) \equiv \eta \not\equiv -\eta \equiv u(\xi,-\eta) </math> nicht einbettbar.<br />Sind jedoch bei solchen Funktionen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt, so folgt aus der Ungeradheit von <math>v(\xi,\eta)</math> die Geradheit von <math>u(\xi,\eta)</math> (jeweils in der zweiten Variablen) und damit die Einbettbarkeit in die Quaternionen.<br />Im Gegensatz zu <math>g(z) = \operatorname{Im} z</math> ist die Funktion <math>h(z) := \mathrm i_\Complex \, \operatorname{Im} z </math> einbettbar mit der Fortsetzung <math>\tilde h \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \operatorname{Im} q.</math></ref> Zu dieser Klasse von komplexen Funktionen gehören Norm und Betrag, aber auch alle [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n <math>\textstyle \sum_{n=-\infty}^\infty a_n z^n</math> mit reellen Koeffizienten <math>a_n</math>, so die Exponential- und Logarithmusfunktion.<ref>Ein weiteres nicht einbettbares Beispiel ist <math>g(z) := \mathrm i_\Complex</math>, bei dem <math>v(\xi,\eta) = 1</math> ''nicht ungerade'' ist in <math>\eta</math>. Die Einbettung mithilfe des Einbettungsisomorphismus <math>\iota_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} </math> ergibt zwar die (konstante) Funktion <math>g_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} = \mathrm i_{\mathbb H} </math>, die aber mit anderen Einbettungen, z.&nbsp;B. <math>\iota_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} </math> mit dem (ebenfalls konstanten) Ergebnis <math>g_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} = \mathrm j_{\mathbb H} \ne \mathrm i_{\mathbb H},</math> nicht zusammenpasst.</ref> === Analysis === Schwieriger ist es, eine allgemeine quaternionische Analysis mit Differential- und/oder [[w:de:Integralrechnung|Integralrechnung]] aufzustellen. Ein Problem springt unmittelbar ins Auge: der Begriff des [[w:de:Differentialrechnung|Differenzenquotienten]] <math>\tfrac{f( x + h ) - f( x )} h </math>, der in der reellen wie der komplexen Analysis so erfolgreich ist, muss wegen der Nicht-Kommutativität als linke ''und'' rechte Version definiert werden. Legt man dann genauso strenge Maßstäbe wie bei der [[w:de:Holomorphe Funktion|komplexen Differenzierbarkeit]] an, dann stellt sich heraus, dass bestenfalls lineare Funktionen, und zwar <math>x \mapsto a + x b </math> links und <math>x \mapsto a + b x </math> rechts, differenzierbar sind.<ref>[https://www.zipcon.net/~swhite/docs/math/quaternions/analysis.html ''Quaternion Analysis, Functions of a Quaternion Variable''] (englisch).</ref> Immer definieren lässt sich aber eine [[w:de:Richtungsableitung|Richtungsableitung]] und das [[w:de:Gâteaux-Differential|Gâteaux-Differential]]. Ausgehend von den [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und dem [[w:de:Satz von Morera|Satz von Morera]] wurde folgender Regularitätsbegriff gefunden: Eine quaternionische Funktion ist regulär an der Stelle <math>x </math>, wenn ihr Integral über jeder hinreichend kleinen <math>x </math> umschließenden [[w:de:Hyperfläche|Hyperfläche]] verschwindet.<ref>{{cite journal |first=R. |last=Fueter |title=Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen |journal=Comm. Math. Helv. |volume=8 |date=1936 |pages=371–378}}</ref><ref>{{cite journal |first=C.A. |last=Deavours |title=The Quaternion Calculus |journal=Amer. Math. Monthly |volume=80 |date=1973 |pages=995–1008 |language=en}}</ref><ref>{{cite journal |first=A. |last=Sudbery |title=Quaternionic Analysis |doi=10.1017/S0305004100055638 |journal=Math. Proc. Camb. Phil. Soc. |volume=85 |date=1979 |pages=199–225 |language=en}}</ref> == Beschreibung anderer Konstrukte mit Hilfe von Quaternionen == === Minkowski-Skalarprodukt === Das [[w:de:Minkowski-Raum|Minkowski-Skalarprodukt]] zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im Minkowski-Raum, ist der Skalarteil von <math>xy</math>: : <math>x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3=\operatorname{Re}(xy).</math> === Vektoranalysis === Im Folgenden werden Vektoren im dreidimensionalen Raum <math>\R^3</math> mit reinen Quaternionen <math>\in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math>, also die üblichen <math>(x,y,z)</math>-Koordinaten mit den <math>(x_1,x_2,x_3)</math>-Komponenten identifiziert. Definiert man den [[w:de:Nabla-Operator|Nabla-Operator]] (wie Hamilton) als : <math>\vec \nabla \;=\; \mathrm i \, \frac\partial{\partial x}+\mathrm j \, \frac\partial{\partial y}+\mathrm k \, \frac\partial{\partial z}</math> und wendet ihn auf eine skalare Funktion <math>f(x,y,z)</math> als (formale) Skalarmultiplikation an, erhält man den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] : <math>\vec \nabla f \;=\; \operatorname{grad} f \;=\; \mathrm i \, \frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm j \, \frac{\partial f}{\partial y}+\mathrm k \, \frac{\partial f}{\partial z}.</math> Die Anwendung auf ein Vektorfeld : <math>\vec F(x,y,z) \;=\; \mathrm i \, F_1(x,y,z)+\mathrm j \, F_2(x,y,z) +\mathrm k \, F_3(x,y,z)</math> als (formales) Skalarprodukt ergibt die [[w:de:Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] : <math>\vec \nabla \cdot \vec F \;=\; \operatorname{div} \vec F \;=\; \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y}+ \frac{\partial F_3}{\partial z}</math>&nbsp;. Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Kreuzprodukt ergibt die [[w:de:Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] : <math>\vec \nabla \times \vec F \;=\; \operatorname{rot} \vec F \;=\; \mathrm i \left ( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right ) + \mathrm j \left ( \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right ) + \mathrm k \left ( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right )</math>&nbsp;. Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Produkt zweier [[w:de:#Reine Quaternion|reiner Quaternionen]] ergibt : <math>\vec \nabla \vec F \;=\; -\operatorname{div} \vec F + \operatorname{rot} \vec F</math> mit <math>- \operatorname{div} \vec F</math> als Skalarteil und <math>\operatorname{rot} \vec F</math> als Vektorteil der Quaternion. Zweimalige Anwendung auf eine Funktion <math>f</math> ergibt den [[w:de:Laplace-Operator|Laplace-Operator]] <math>\triangle</math> : <math>\vec \nabla^2 \, f \;:=\; \vec \nabla \cdot (\vec \nabla \, f) \;=\; \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right) \;=\; -\triangle f \;=\; -\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}\right),</math> d.&nbsp;h., <math>\nabla</math> wirkt wie ein [[w:de:Dirac-Operator|Dirac-Operator]] als (formale) „Quadratwurzel“ des (negativen) Laplace-Operators. === Drehungen im dreidimensionalen Raum === Einheitsquaternionen können für eine elegante Beschreibung von [[w:de:Drehung|Drehung]]en im dreidimensionalen Raum verwendet werden: Für eine feste Einheitsquaternion <math>q</math> ist die Abbildung : <math>\rho_q\colon x\mapsto qxq^{-1}</math> &nbsp; bzw. &nbsp; <math>\rho_q\colon x\mapsto qx\overline{q}</math> auf <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> eine Drehung. (Hier, wie im Folgenden, ist nur von Drehungen die Rede, die den Ursprung festlassen, d.&nbsp;h., deren Drehachse durch den Ursprung verläuft.) Die [[w:de:#Polardarstellung|Polardarstellung]] stellt die Einheitsquaternion <math>q\neq\pm 1</math> durch einen Winkel <math>0<\alpha<2\pi</math> und eine reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> eindeutig dar als : <math>q = \cos\frac{\alpha}{2} + \epsilon\sin\frac{\alpha}{2}</math>&nbsp;. Dann ist <math>\rho_q\ </math> eine Drehung des <math>\R^3\ </math> um die Achse <math>\epsilon\in\R^3\ </math> mit Drehwinkel <math>\alpha</math>. Für jede Einheitsquaternion <math>q</math> definieren <math>q</math> und <math>-q</math> dieselbe Drehung; insbesondere entsprechen <math>1</math> und <math>-1</math> beide der identischen Abbildung (Drehung mit Drehwinkel&nbsp;0). Im Unterschied zur Beschreibung von Drehungen durch [[w:de:Orthogonale Matrix|orthogonale Matrizen]] handelt es sich also um keine 1:1-Entsprechung, zu jeder Drehung <math>\rho</math> gibt es genau ''zwei'' Einheitsquaternionen <math>q</math> mit <math>\rho_q=\rho</math>. Die [[w:de:Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] von Drehungen entspricht der Multiplikation der Quaternionen, d.&nbsp;h. : <math>\rho_{q_1}\circ\rho_{q_2}=\rho_{q_1 q_2}.</math> Die Umkehrung der Drehrichtung entspricht dem Inversen: : <math>\rho_{q^{-1}}=\rho_q^{-1}.</math> {{Anker|-1=2:1-Überlagerung}} Damit ist die Abbildung : <math> \begin{array}{rccc} \rho \colon & \mathbb{S}^3 & \to & \mathrm{SO}(3) \\ & q & \mapsto & \rho_q \end{array} </math> ein [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]] der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen in die [[w:de:Drehgruppe|Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Sie ist eine [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|Überlagerung der <math>\mathrm{SO}(3)</math>]], und da ein Bildelement <math>\rho_q</math> genau die zwei Urbilder <math>\pm q\in \mathbb{S}^3</math> hat, ''zwei''blättrig, weshalb der Homomorphismus auch ''2:1-Überlagerung(shomomorphismus)''<ref name="Conway" />{{rp|Seite 33.}} genannt wird. Ferner ist sie [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|universell]], da <math>\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist. ==== Bezug zu orthogonalen Matrizen ==== Explizit entspricht der Einheitsquaternion <math>q \in \mathbb{S}^3</math>, : <math>q=q_0+q_1\mathrm i+q_2\mathrm j+q_3\mathrm k</math> mit <math>q_i \in \R</math> und <math>\operatorname{Norm}(q) = q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1</math>, die [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrix]] : <math> \begin{array}{rlll} D_q := & \begin{bmatrix} q_0^2 + q_1^2 - q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_3+2q_1q_2 & 2q_0q_2+2q_1q_3 \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & q_0^2 - q_1^2 + q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & q_0^2 - q_1^2- q_2^2+ q_3^2 \end{bmatrix} \\[.3em] = & \begin{bmatrix} 1-2(q_2^2 + q_3^2) \;\;\;\; & -2q_0q_3+2q_1q_2 \;\;\;\, & 2q_0q_2+2q_1q_3 \;\;\quad \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & 1-2(q_1^2 + q_3^2) & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & 1-2(q_1^2 + q_2^2) \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3), \end{array} </math> diese Formel ist auch als [[w:de:Euler-Rodrigues-Formel|Euler-Rodrigues-Formel]] bekannt. Sie bildet eine reine Quaternion <math>\xi</math> auf <math>(0, D_q \; \vec \xi) = q \; \xi \; q^{-1}</math> ab. Ist umgekehrt die Drehmatrix : <math>D = \begin{bmatrix} d_{11} & d_{12} & d_{13} \\ d_{21} & d_{22} & d_{23} \\ d_{31} & d_{32} & d_{33} \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3)</math><ref>Zu <math>\mathrm{SO}(3)</math> siehe [[w:de:Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung|Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung]].</ref> gegeben und ist die [[w:de:Spur (Mathematik)|Spur]] : <math>T_D := d_{00} + d_{11} + d_{22} + d_{33} > 0</math> mit <math>d_{00} := 1</math>&nbsp;, dann bewerkstelligt die Quaternion : <math>q_D := T_D + (d_{32}-d_{23}) \mathrm i + (d_{13}-d_{31}) \mathrm j + (d_{21}-d_{12}) \mathrm k </math> die Drehung <math>D \; \vec \xi</math>, denn es ist <math>q_D \; \xi \; q_D^{-1} = (0, D \; \vec \xi)</math> für jede reine Quaternion <math>\xi</math>&nbsp;. Wenn man die [[w:de:Homogene Funktion|homogen]] formulierte Version von <math>D_q</math> als Eingabematrix nimmt, produziert die gezeigte Lösung mit <math>d_{00} := \operatorname{Norm}(q)</math> die Quaternion <math>q_D = 4 q_0 q</math>. Wegen <math>\operatorname{det}(D_q) = \operatorname{Norm}(q)^3</math> kann die Homogenität in den <math>d_{ij}</math> durch die Setzung <math>d_{00} := \sqrt[3]{\operatorname{det}(D)}</math> aufrechterhalten werden. Die <math>\mathrm{SO}(3)</math> hat wie die <math>\mathbb{S}^3</math> über <math>\R</math> die Dimension 3. Die neun Komponenten von <math>D</math> können also nicht alle frei wählbar sein. Da einer jeden Matrix <math>D\in\mathrm{SO}(3)</math> eine Quaternion <math>q</math> entspricht, decken die Drehmatrizen <math>D_q</math> die ganze <math>\mathrm{SO}(3)</math> ab. Bei <math>D_q</math> ist <math>T_{D_q} = 4 q_0^2</math>. Falls also wirklich <math>D \in \mathrm{SO}(3)</math>, ist auch <math>\frac{q_D}{2 \sqrt{T_D}}</math> die Einheitsquaternion zu <math>q_D</math>. ==== Bezug zu Eulerwinkeln ==== Für [[w:de:Eulerwinkel|Eulerwinkel]] gibt es verschiedene Konventionen; die folgende Darlegung bezieht sich auf die Drehung, die man erhält, wenn man zuerst um die <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Psi</math>, dann um die neue <math>x</math>-Achse um den Winkel <math>2\Theta</math> und schließlich um die neue <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Phi</math> dreht, d.&nbsp;i. die sog. [[w:de:Eulersche Winkel#Konventionen|„x-Konvention“ (z, x’, z’’)]] mit allen Winkeln ''doppelt''. Die Einzeldrehungen entsprechen den [[w:de:#Polardarstellung|Einheitsquaternionen]] : <math>\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi,\quad \cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta,\quad \cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi,</math> und da jeweils um die mitgedrehten Achsen gedreht wird, ist die Reihenfolge der Komposition umgekehrt. Die Gesamtdrehung entspricht also : <math>\left(\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi\right)\left(\cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta\right)\left(\cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi\right)</math> : <math>{}=\cos\Psi\cos\Theta\cos\Phi-\sin\Psi\cos\Theta\sin\Phi</math> :: <math>{}+\mathrm i\left(\cos\Psi\sin\Theta\cos\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\sin\Phi\right)</math> :: <math>{}+\mathrm j\left(-\cos\Psi\sin\Theta\sin\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\cos\Phi\right)</math> :: <math>{}+\mathrm k\left(\sin\Psi\cos\Theta\cos\Phi+\cos\Psi\cos\Theta\sin\Phi\right).</math> Für andere Konventionen ergeben sich ähnliche Formeln. Die Eulerwinkel zu einer gegebenen Quaternion lassen sich an der zugehörigen [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrix]] ablesen. ==== Universelle Überlagerung der Drehgruppe; Spingruppe ==== Wie im Abschnitt [[w:de:#Einheitsquaternion|Einheitsquaternionen]] gezeigt, gibt es einen durch die Hamiltonschen Zahlen vermittelten [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] zwischen der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen und der [[w:de:Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>. Diese beiden Gruppen sind isomorph zur [[w:de:Spingruppe|Spingruppe]] <math>\mathrm{Spin(3)}</math> (zur Physik: siehe [[w:de:Spin|Spin]]). Die [[#Drehungen im dreidimensionalen Raum|2:1-Überlagerung]] liefert also einen [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]] der Spingruppe <math>\mathrm{Spin(3)}</math> in die [[w:de:Drehgruppe|Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Diese Überlagerung ist zweiblättrig und [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|universell]], da <math>\mathrm{Spin(3)}\cong\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> im Gegensatz zur <math>\mathrm{SO}(3)</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist. Die natürliche Operation von <math>\mathrm{SU}(2)</math> auf <math>\Complex^2</math> ist eine sog. [[w:de:Spinor|Spinor]]darstellung. Die aus der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] bekannten sog. [[w:de:Pauli-Matrizen|Pauli-Matrizen]] <math>\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3</math> stehen in einfacher Beziehung zu den drei Erzeugenden <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> der [[w:de:#Einheitsquaternion|<math>\mathrm{SU}(2)</math>]]. Das wird besonders deutlich in der Darstellung als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]]: : <math> \sigma_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm k,\quad \sigma_2 = \begin{bmatrix} 0 & -\mathrm i_\Complex\\ \mathrm i_\Complex & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm j,\quad \sigma_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm i </math>&nbsp;, dabei ist <math>\mathrm i_\Complex</math> die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen. Die Pauli-Matrizen haben −1 zur Determinante (sind also keine Quaternionen), sind [[w:de:spurfrei|spurfrei]] und [[w:de:Hermitesche Matrix|hermitesch]] und kommen daher in der Quantenmechanik als ''messbare Größen'' in Frage, was sich für die Anwendungen (s. [[w:de:mathematische Struktur der Quantenmechanik|mathematische Struktur der Quantenmechanik]]) als wichtig erwiesen hat. Einzelheiten sind im Artikel [[w:de:SU(2)|SU(2)]] dargestellt. === Orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes === Analog zum dreidimensionalen Fall kann man jede orientierungserhaltende orthogonale Abbildung von <math>\mathbb H</math> in sich selbst in der Form : <math>\rho_{a,b}\colon x\mapsto ax\bar b</math> für Einheitsquaternionen <math>a,b</math> beschreiben. Es gilt : <math>\rho_{a_1,b_1}\circ\rho_{a_2,b_2}=\rho_{a_1a_2,b_1b_2}\quad\text{und}\quad\rho_{\bar a,\bar b}=\rho_{a,b}^{-1}.</math> Diese Konstruktion liefert eine Überlagerung : <math>\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(4)</math> mit [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] <math>\{(1,1),(-1,-1)\}</math>. == Die endlichen Untergruppen == Der [[#2:1-Überlagerung|2:1-Überlagerungshomomorphismus]] : <math>\rho\colon q \mapsto \rho_q</math>, der einer Einheitsquaternion <math>q\in \mathbb{S}^3</math> die [[w:de:#Drehungen im dreidimensionalen Raum|3D-Drehung]] : <math> \begin{array}{rccc} \rho_q \colon & \operatorname{Im}\,\mathbb H & \to & \operatorname{Im}\,\mathbb H \\ & x & \mapsto & qx\bar q \end{array} </math> zuordnet, muss eine endliche Gruppe <math>Q</math> von Quaternionen in eine endliche Gruppe <math>\rho(Q):=\{\rho_q \mid q \in Q\}</math> überführen, die dann eine endliche Drehgruppe im <math>\R^3</math> ist. Man findet [[w:de:zyklische Gruppe|zyklische Gruppe]]n <math>\mathrm{C}_n</math> und [[w:de:Drehgruppe#Drehgruppen von Figuren|Polyedergruppen]], also die [[w:de:Diedergruppe|Diedergruppe]]n <math>\mathrm{D}_n</math> ([[w:de:Diedergruppe#Bezeichnungen|Zählweise]] der ''n''-Ecke), die [[w:de:A4 (Gruppe)|Tetraedergruppe]] <math>\mathrm{T}</math>, die [[w:de:Oktaedergruppe|Oktaedergruppe]] <math>\mathrm{O}</math> und die [[w:de:Ikosaedergruppe|Ikosaedergruppe]] <math>\mathrm{I}</math>. Die Erzeugenden der zyklischen Gruppen sind [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettungen]] von [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n <math>\exp(2\pi \mathrm i_\Complex/n)</math>.<ref>Wie im referenzierten Abschnitt und im Abschnitt [[w:de:#Automorphismen|#Automorphismen]] bemerkt, gibt es zu jedem fixen Dreibein <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k </math> sehr viele verschiedene Einbettungen dieser endlichen Untergruppen in <math>\mathbb{H}</math>.</ref> Die Urbilder der <math>\mathrm{D}_n</math>, <math>\mathrm{T}</math>, <math>\mathrm{O}</math>, <math>\mathrm{I}</math> unter <math>\rho</math> werden mit <math>\mathrm{2D}_n</math>, {{Anker|binäre_Tetraedergruppe}}<math>\mathrm{2T}</math>, {{Anker|binäre_Oktaedergruppe}}<math>\mathrm{2O}</math>, {{Anker|binäre_Ikosaedergruppe}}<math>\mathrm{2I}</math> bezeichnet und heißen ''binäre'' Diedergruppe etc. Für eine Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math> ist also <math>\mathrm{2P}:=\{q \mid \rho_q \in \mathrm{P} \}</math>.<ref>Diese Gruppen firmieren – besonders in der englischen Literatur – auch als binäre Erweiterung <math>\mathrm{2P}</math> der Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math>, und die binären Diedergruppen <math>\mathrm{2D}_n</math> zusätzlich als [[w:de:Quaternionengruppe#Dizyklische Gruppen und verallgemeinerte Quaternionengruppen|verallgemeinerte Quaternionengruppen]], auch als [[w:de:Dizyklische Gruppe|dizyklische Gruppen]], in Zeichen <math>\mathrm{Dic}_n</math>.</ref> Die endlichen Gruppen von Quaternionen sind demnach:<ref name="Conway" />{{rp| 3.5 The Finite Groups of Quaternions, S. 33}} <math>(2 \leq n \in \Z)</math> {| class="wikitable left" style="text-align:center;" |- | Gruppe || erzeugt<br /> von ||style="text-align:right"| Ordnung || [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] im <math>\R^2</math> bzw. <math>\R^4</math> |- | <math>\mathrm{C}_n</math> || <math>\langle e_n\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>n</math> || [[w:de:Polygon|reguläres ''n''-Eck]] |- | <math>\mathrm{2D}_n</math> || <math>\langle e_{2n},\mathrm j\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>4n</math> || <math>\{2n\} \Box \{2n\}</math>,<ref name="perf4polyt"> Gabor Gévay: [http://www.emis.ams.org/journals/BAG/vol.43/no.1/b43h1gev.pdf ''On Perfect 4-Polytopes''] (PDF; 211&nbsp;kB) Contributions to Algebra and Geometry Volume 43 (2002), No. 1, 243–259: gibt auf S. 256 die 4-Polytope »<math>\{2p\} \Box \{2p\}</math>« für die <math>\mathrm{2D}_p</math> bzw. auf S. 252 Table 2 das 4-Polytop »<math> \text{f}_{1,2}\text{F}_4</math>« für <math>\mathrm{2O}</math>.</ref> bei ''n''=2 zugleich: [[w:de:Hurwitzquaternion#Reguläres 16-Zell (Hexadekachor)|reguläres 16-Zell]] |- | <math>\mathrm{2T}</math> || <math>\langle \mathrm i,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>24</math> || [[w:de:Hurwitzquaternion#Reguläres 24-Zell (Ikositetrachor)|reguläres 24-Zell]] |- | <math>\mathrm{2O}</math> || <math>\langle q_O,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>48</math> || <math>\text{f}_{1,2}\text{F}_4</math><ref name="perf4polyt" /> = Dihektaoktokontaoktochor (288-Zell) |- | <math>\mathrm{2I}</math> || <math>\langle q_I,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>120</math> || reguläres 600-Zell |} mit : <math>e_n:=\exp(2\pi \mathrm i/n)</math>&nbsp;, &nbsp; <math>\omega: = \frac{-1+\mathrm i+\mathrm j+\mathrm k}2</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_O:=\frac{\mathrm j+\mathrm k}{\sqrt 2}</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_I: = \frac{2 \mathrm i+(\sqrt 5+1) \mathrm j+(\sqrt 5-1) \mathrm k}4</math>&nbsp;. Die zyklischen Gruppen <math>\mathrm{C}_n</math> sind in naheliegender Weise Untergruppen von anderen Gruppen. Die [[w:de:Quaternionengruppe|Quaternionengruppe]] <math>\mathrm{Q}_8</math> = <math>\mathrm{2D}_2</math> ist eine Untergruppe der binären Tetraedergruppe <math>\mathrm{2T}</math>. Die [[w:de:Quaternionengruppe#Automorphismen|Automorphismengruppe]] von <math>\mathrm{Q}_8</math> ist isomorph zur Oktaedergruppe <math>\mathrm{O} = \mathrm{Sym}_4</math> ([[w:de:Symmetrische Gruppe|Symmetrische Gruppe]]). Ihre Elemente sind ebenfalls Automorphismen von <math>\mathrm{2T}</math>, <math>\mathrm{2O}</math>, <math>\mathrm{2I}</math> und <math>\mathbb H</math>. Die konvexen Hüllen sind (bis auf die Fälle <math>\mathrm{C}_n</math>, bei denen man mit 2 Dimensionen auskommt) [[w:de:Polytop (Geometrie)|4-Polytope]] und haben, da alle Gruppenelemente von der Länge 1 sind, die [[w:de:Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> als [[w:de:Umkugel|Um-3-Sphäre]]. Die Ränder dieser 4-Polytope, also die Zellen, sind Ansammlungen von [[w:de:Tetraeder|Tetraeder]]n – bis auf den Fall <math>\mathrm{2T}</math>, bei dem es [[w:de:Oktaeder|Oktaeder]] sind. Bei den regulären unter den konvexen Hüllen ist es klar, dass die Zellen ebenfalls regulär und zueinander kongruent sind und es eine [[w:de:Inkugel|In-3-Sphäre]] gibt, die alle Zellen (an ihrem Mittelpunkt) berührt. Die übrigen, nämlich <math>\mathrm{2D}_n</math> und <math>\mathrm{2O}</math>, spannen sog. perfekte<ref name="perf4polyt" /> 4-Polytope auf. Hier sind die Zellen [[w:de:Disphenoid#tetragonales Disphenoid|tetragonale Disphenoide]], welche ebenfalls alle zueinander kongruent sind und an ihrem Mittelpunkt von der In-3-Sphäre berührt werden. == Automorphismen == Ein jeder Ring-[[w:de:Automorphismus|Automorphismus]] <math>\sigma</math> von <math>\mathbb H</math> ist ein [[w:de:Automorphismus#Innere Automorphismen|innerer]],<ref>[[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 24.</ref> d.&nbsp;h., es gibt eine Quaternion <math>q</math>, sodass <math>\sigma(x) = qxq^{-1}</math> für alle <math>x \in \mathbb{H}</math>. Daraus folgt: * Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\R</math> bleibt fest, d.&nbsp;h. <math>\sigma(\lambda)=\lambda</math> für alle <math>\lambda\in \R</math>. * Man kann sich auf die Einheitsquaternionen <math>q\in \mathbb{S}^3</math> beschränken. * Ein Automorphismus ändert nicht das [[w:de:#Skalarprodukt|Skalarprodukt]], d.&nbsp;h. <math>\sigma(x) \cdot \sigma(y) = x \cdot y</math>. * Die Automorphismen sind genau die [[w:de:Winkeltreue|winkel-]] und [[w:de:längentreue|längentreue]]n Drehungen von <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus dem Abschnitt [[w:de:#Drehungen im dreidimensionalen Raum|Drehungen im dreidimensionalen Raum]]. * Wegen der Längentreue sind die Automorphismen [[w:de:Stetige Funktion|stetig]], somit zusätzlich [[w:de:Homöomorphismus|topologisch]]. * <math>\mathbb{S}^3</math> hat das Zentrum <math>\{\pm 1\}</math>. Folglich ist die [[w:de:Automorphismengruppe|Automorphismengruppe]] <math>\operatorname{Aut}(\mathbb H) \cong \mathbb{S}^3/\{\pm 1\}</math>. Die [[w:de:#Konjugation|Konjugation]] als Spiegelung an der reellen Achse ist ''anti''homomorph in der Multiplikation, d.&nbsp;h. <math>\overline{x y}=\bar y \bar x</math>, und wird als [[w:de:Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]] bezeichnet, weil sie zudem eine [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]] ist. == Andere Konstruktionen == === Matrixdarstellungen === ==== Komplexe Matrizen ==== Im [[w:de:Matrizenring|Ring]] <math>\Complex^{2\times 2}</math> der [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] 2×2-[[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] bildet man den von den Elementen : <math>1_H := \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \mathrm i_H := \begin{bmatrix} \mathrm i_\Complex & 0 \\ 0 & -\mathrm i_\Complex \end{bmatrix},\quad \mathrm j_H := \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix},\quad \mathrm k_H := \begin{bmatrix} 0 & \mathrm i_\Complex \\ \mathrm i_\Complex & 0 \end{bmatrix}</math> erzeugten [[w:de:Unterring|Unterring]] <math>H</math>,<ref><math>H</math> ist ein <math>\R</math>-Vektorraum, der aber weder <math>\Complex^{2\times 2}</math>-[[w:de:Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] noch <math>\Complex</math>-Vektorraum ist, da &nbsp; <math>\mathrm i_\Complex \, 1_H \notin H</math>.</ref> wobei die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen als <math>\mathrm i_\Complex</math> kenntlich gemacht ist.<ref>Die Matrizen <math>\mathrm i_H,\mathrm j_H,\mathrm k_H</math> sind [[w:de:spurfrei|spurfrei]] und [[w:de:Schiefhermitesche Matrix|schiefhermitesch]].</ref> Eine Matrix : <math>x_0 \, 1_H+x_1\,\mathrm i_H+x_2\,\mathrm j_H+x_3\,\mathrm k_H=\begin{bmatrix}x_0+x_1\,\mathrm i_\Complex \quad &x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex\\-x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex \quad &x_0-x_1\,\mathrm i_\Complex\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}w&z\\-\overline z&\overline w\end{bmatrix}</math> mit reellen <math>x_0,x_1,x_2,x_3</math> und komplexen <math>w:=x_0+x_1\mathrm i_\Complex,z:=x_2+x_3\mathrm i_\Complex</math> hat die [[w:de:Determinante|Determinante]] <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=|w|^2+|z|^2</math>, die nur dann 0 ist, wenn <math>(w,z)=(0,0)</math>. Somit sind alle von der [[w:de:Nullmatrix|Nullmatrix]] verschiedenen Matrizen [[w:de:Invertierbare Matrix|invertierbar]] – und der Ring <math>H</math> ist ein [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]].<ref>Nur Matrixringe der Dimensionen 1, 2 und 4 über <math>\R</math> sind [[w:de:nullteilerfrei|nullteilerfrei]] (siehe auch [[w:de:#Die Quaternionen als Algebra|#Die Quaternionen als Algebra]]).</ref> Der so konstruierte Schiefkörper erweist sich als [[w:de:isomorph|isomorph]] zu den Quaternionen. Denn die Abbildung <math>\mathbb H \to H</math> mit den Zuordnungen : <math>1 \mapsto 1_H,\quad \mathrm i \mapsto \mathrm i_H,\quad \mathrm j \mapsto \mathrm j_H,\quad \mathrm k \mapsto \mathrm k_H</math> ist [[w:de:homomorph|homomorph]] in den Verknüpfungen Addition und Multiplikation, wobei letztere der [[w:de:Matrizenmultiplikation|Matrizenmultiplikation]] zuzuordnen ist. Die konjugierte Quaternion geht auf die [[w:de:adjungierte Matrix|adjungierte Matrix]] und die [[w:de:#Norm|Norm]] auf die [[w:de:Determinante|Determinante]]. Darüber hinaus ist die Abbildung [[w:de:Injektivität|injektiv]] und stetig, also [[w:de:Homöomorphismus|topologisch]]. Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Einbettung <math>\mathbb H \to H</math>, die alle zueinander [[w:de:Konjugation (Gruppentheorie)|konjugiert]] und [[w:de:Homöomorphismus|homöomorph]] sind.<ref>Diese Möglichkeiten entsprechen der Vorschaltung eines [[w:de:#Automorphismen|Automorphismus]].</ref> ==== Reelle Matrizen ==== Ganz analog kann man die Quaternion <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> auch als reelle 4×4-Matrix : <math>\begin{bmatrix}\begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ -x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ -x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ -x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array}\end{bmatrix}</math> : <math>= x_0 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_1 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_2 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_3 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] </math> schreiben. Die Konjugation der Quaternion entspricht der [[w:de:Transponierte Matrix|Transposition der Matrix]] und der Betrag der vierten Wurzel aus der Determinante. Das Modell der reellen Matrizen ist bspw. dann vorteilhaft, wenn man eine Software für [[w:de:lineare Algebra|lineare Algebra]] mit Schwächen bei den komplexen Zahlen hat. === Quotientenalgebra === Eine elegante, aber zugleich abstrakte Konstruktion stellt der Weg über den [[w:de:Faktorring|Quotienten]] des [[w:de:Nichtkommutativer Polynomring|nichtkommutativen Polynomrings]] in drei [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n dar, deren Bilder <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> sind, modulo dem Ideal, das von den Hamilton-Regeln erzeugt wird. Alternativ kommt man auch mit nur zwei Unbestimmten aus. Auf diese Weise ergibt sich die Quaternionen-Algebra als [[w:de:Clifford-Algebra|Clifford-Algebra]] der zweidimensionalen, euklidischen Ebene mit Erzeugern <math>\mathrm i \mapsto e_1,\, \mathrm j \mapsto e_2,\, \mathrm k=\mathrm {ij} \mapsto e_1e_2</math>. Im Zusammenhang mit dreidimensionalen Drehungen ist auch die Interpretation als der gerade Anteil der Clifford-Algebra des dreidimensionalen, euklidischen Raumes wichtig. Die Erzeuger werden dann mit <math>\mathrm i \mapsto e_2e_3,\, \mathrm j \mapsto e_3e_1,\,\mathrm k \mapsto e_1e_2</math> identifiziert. == Die Quaternionen als Algebra == Es gibt bis auf Isomorphie genau vier [[w:de:Dimension (Mathematik)|endlichdimensionale]] <math>\R</math>-[[w:de:Algebra über einem Körper|Algebren]], deren Multiplikation ohne [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] ist, nämlich den Körper <math>\R</math> der reellen Zahlen selbst, den Körper <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen, den Schiefkörper <math>\mathbb H</math> der Quaternionen und den [[w:de:Alternativkörper|Alternativkörper]] <math>\mathbb O</math> der Cayleyschen [[w:de:Oktave (Mathematik)|Oktaven]].<ref>[[w:de:Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)|Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)]], Korollar 6.8 in Kapitel IX von Hungerford: Algebra (Springer 1974).</ref><ref>[[w:de:Divisionsalgebra#Sätze über reelle Divisionsalgebren|Satz von Hurwitz (normierte Divisionsalgebren)]].</ref><ref>Satz von [[w:de:Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Pontrjagin]] (1931) in [[w:de:#Pontrjagin|Pontrjagin]]: Jeder [[w:de:lokalkompakt|lokalkompakt]]e, [[w:de:zusammenhängend|zusammenhängend]]e topologische Schiefkörper ist entweder der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen oder der Schiefkörper der Quaternionen.</ref> Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H</math> ist <math>\R</math>; die Quaternionen sind also eine [[w:de:zentraleinfache Algebra|zentraleinfache Algebra]] über <math>\R</math>. [[w:de:Reduzierte|Reduzierte]] [[w:de:Norm (Körpererweiterung)|Norm]] und [[w:de:Spur (Mathematik)|Spur]] sind durch : <math>\mathrm{Nrd}(x)=|x|^2 = x \bar x = \bar x x = \langle x,x \rangle</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; bzw. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\mathrm{Trd}(x)=2\cdot\operatorname{Re}\,x</math> gegeben. Beim [[w:de:Tensorprodukt#Erweiterung der Skalare|Basiswechsel]] von <math>\R</math> zum algebraischen Abschluss <math>\Complex</math> werden die Quaternionen zu einer Matrizenalgebra: : <math>\mathbb H\otimes_{\R}\Complex\cong M_2(\Complex).</math> Die komplexe Konjugation auf dem Faktor <math>\Complex</math> des [[w:de:Tensorprodukt|Tensorprodukt]]es entspricht einer [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]] <math>v</math> der Matrizenalgebra. Die Invarianten von <math>v</math>, d.&nbsp;s. die von <math>v</math> fix gelassenen Elemente <math>x</math> mit <math>v(x)=x</math>, bilden eine zu <math>\mathbb H</math> isomorphe Algebra. Zur oben angegebenen Matrixdarstellung der Quaternionen als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] passt die Involution : <math>v(x):= \epsilon\bar x \epsilon^{-1}</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\epsilon:=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}</math>&nbsp;. Die Tatsache, dass die [[w:de:Brauergruppe|Brauergruppe]] von <math>\R</math> nur aus zwei Elementen besteht, spiegelt sich auch darin wider, dass : <math>\mathbb H\otimes_{\R}\mathbb H\cong M_4(\R)</math> ist. Allgemein bezeichnet man jede vierdimensionale [[w:de:zentraleinfache Algebra|zentraleinfache Algebra]] über einem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] als eine [[w:de:Quaternionenalgebra|Quaternionenalgebra]]. Die Quaternionen sind die [[w:de:Clifford-Algebra|Clifford-Algebra]] zum Raum <math>\R^2</math> mit einer [[w:de:Definitheit|negativ-definiten]] symmetrischen [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]]. == Andere Grundkörper == === Quaternionen über den rationalen Zahlen === Bei allen [[w:de:#Konstruktion|obigen]] Arten der Konstruktion spielt die [[w:de:Vollständiger Raum|Vollständigkeit]] des Koeffizientenvorrats keine Rolle. Deshalb kann man (anstatt von den [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R \, </math> über <math>\Complex = \R( \mathrm i ) \, </math> zu <math>\mathbb H \, </math>) auch von anderen Grundkörpern, z.&nbsp;B. den [[w:de:Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\Q \, </math>, ausgehen, um via [[w:de:gaußsche Zahl|gaußscher Zahlen]] <math>\Q( \mathrm i ) \, </math> bei den '''Quaternionen mit rationalen Koeffizienten''' : <math>G := \{ x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k \; \mid \; x_0,x_1,x_2,x_3 \in \Q \} \, </math> anzukommen mit formal denselben Rechenregeln. Danach kann, falls überhaupt erforderlich, die [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] für die [[w:de:#Norm und Betrag|Betrags]][[w:de:Metrischer Raum|metrik]] durchgeführt werden mit einem Endergebnis isomorph zu <math>\mathbb H</math>. Insofern können bei vielen Aussagen <math>\R</math> durch <math>\Q</math>, <math>\Complex</math> durch <math>\Q( \mathrm i )</math> und <math>\mathbb H</math> durch <math>G</math> ersetzt werden. Da es nach dem [[w:de:Satz von Wedderburn|Satz von Wedderburn]] keinen endlichen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] mit nicht-[[w:de:Kommutativität|kommutativer]] [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] gibt und die [[w:de:Dimension (Mathematik)|Dimension]] des [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]s <math>G</math> über seinem [[w:de:Primkörper|Primkörper]] und [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\Q</math> mit <math>2^2=4</math> minimal ist, gehört <math>G</math> als [[w:de:Abzählbarkeit|abzählbare]] Menge zu den „kleinsten“ Schiefkörpern mit nicht-kommutativer Multiplikation&nbsp;– auf jeden Fall enthält <math>G</math> keinen kleineren. Der Schiefkörper <math>G</math> besitzt einen sogenannten [[w:de:Ganzheitsring|Ganzheitsring]], d.&nbsp;h. eine [[w:de:Untermenge|Untermenge]] von Zahlen, genannt [[w:de:Hurwitzquaternion|Hurwitzquaternion]]en, die einen Ring bilden und <math>G</math> zum [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] haben, ganz ähnlich, wie es sich bei den ganzen Zahlen <math>\Z</math> und ihrem Quotientenkörper <math>\Q</math> verhält. In einem solchen Ring lassen sich bspw. [[w:de:Gitter (Mathematik)|Approximationsfragen]], [[w:de:Teilbarkeit|Teilbarkeit]]sfragen u.&nbsp;Ä. untersuchen. {{Hauptartikel|Hurwitzquaternion}} === Weitere Grundkörper === Auch Körper <math>K \ncong \Q \, </math> eignen sich als Ausgangspunkt zur Bildung nicht-kommutativer Erweiterungskörper nach Art der Quaternionen. Wichtig ist, dass in <math>K \, </math> die Summe aus vier Quadraten <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 \, </math> nur für <math>x_0=x_1=x_2=x_3=0 \, </math> verschwindet. Dann gibt es auch kein <math>\mathrm i \in K \, </math> mit <math>\mathrm i^2 + 1 = 0 \, </math> und <math>K( \mathrm i ) \, </math> ist eine echte quadratische [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterung]], die eine Konjugation definiert. Diese Bedingungen sind z.&nbsp;B. bei allen [[w:de:Geordneter Körper#Formal reelle Körper|formal reellen Körpern]] erfüllt. Aber auch bei Körpern, die nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden können, kann die obige Bedingung betreffend die Summe aus vier Quadraten erfüllt sein, bspw. im Körper <math>\Q_2</math> der [[w:de:p-adische Zahl|2-adischen Zahlen]]. Der so über <math>\Q_2</math> gebildete Quaternionenkörper ist isomorph zur Vervollständigung des (oben beschriebenen) Körpers <math>G</math> der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten für die folgende (nichtarchimedische diskrete) Bewertung <math>v</math>&nbsp;, dem [[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|2-Exponenten]] der Norm, : <math> \begin{array}{rccccc} v \colon & G^* & \xrightarrow{\operatorname{Norm}} & \Q^* & \xrightarrow{v_2} & \Z \\ & x & \mapsto & x \bar x & \mapsto & v_2(x \bar x) \end{array} </math> mit <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = 2^n m, n\in\Z, m\in\Q^*, 2\nmid m, 2\nmid m^{-1}</math>&nbsp;. Die Primzahl <math>p=2</math> ist die einzige, für die die [[w:de:Quaternionen-Algebra|Quaternionen-Algebra]] über <math>\Q_p</math> [[w:de:nullteilerfrei|nullteilerfrei]] und ein Schiefkörper ist. == Anwendungen == === Eulerscher Vier-Quadrate-Satz === Die Identität, die aus dem Produkt zweier ''Summen von vier Quadraten'' : <math>(x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_0^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2)</math> {| |- |style="width:3em;"| || <math>=(x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_1 + x_1y_0+ x_2y_3- x_3y_2)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_2- x_1y_3 + x_2y_0+ x_3y_1)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_3+ x_1y_2- x_2y_1 + x_3y_0)^2</math> |} wieder eine ''Summe von vier Quadraten'' macht, gilt universell&nbsp;– einschließlich aller Varianten, die durch Vorzeichenspiel und [[w:de:Permutation|Permutation]] entstehen&nbsp;– in jedem [[w:de:Polynomring|Polynomring]] <math> R[x_0,x_1,x_2,x_3,y_0,y_1,y_2,y_3] </math> über einem kommutativen unitären Ring <math> R </math> und kann im Nachhinein als „Abfallprodukt“ der Multiplikativität des [[w:de:#Betrag|quaternionischen Betrags]] angesehen werden. Ihre Entdeckung 1748, also lange ''vor'' der Quaternionenzeit, geht jedoch auf [[w:de:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] zurück, der mit ihrer Hilfe den 1770 erstmals erbrachten Beweis von [[w:de:Joseph-Louis Lagrange|Joseph-Louis Lagrange]] für den lange vermuteten [[w:de:Vier-Quadrate-Satz#Beweisskizze|Vier-Quadrate-Satz]] wesentlich vereinfachen konnte. (Anmerkung: Die algebraisch beweisbaren bilinearen 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten sind die Grundlagen der Kompositionsalgebren, nämlich der komplexen Zahlen, der Quaternionen, und der Oktonionen. Diese letzteren sind sozusagen die „Quadratwurzeln“ aus den ersteren. Alles, was somit korrekt mit Quaternionen berechnet wird, steht bocksteif auf elementaren algebraischen Identitäten. Wie Adolf Hurwitz 1898 bewies,<ref>{{Internetquelle |autor=[[w:de:Adolf Hurwitz|Adolf Hurwitz]] |url=https://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457811_1898 |titel=Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln |datum=1898-07-09 |seiten=309–316 |werk=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse (1898), Heft 3 |abruf=2023-01-23}}</ref> gibt es außer den erwähnten 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten keine weiteren bilinearen ''n''-Quadrate-Identitäten mehr.) === Informatik und Ingenieurwissenschaften === Die Darstellung von Drehungen mithilfe von Quaternionen wird im Bereich der interaktiven [[w:de:Computergrafik|Computergrafik]] genutzt, insbesondere bei [[w:de:Computerspiel|Computerspiel]]en, sowie bei der Steuerung von [[w:de:Satellit (Raumfahrt)|Satelliten]]. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrizen]] werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere wenn viele [[w:de:Drehung|Drehung]]en miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit. Des Weiteren werden Quaternionen, neben den [[w:de:Eulerwinkel|Eulerwinkel]]n, zur Programmierung von [[w:de:Industrieroboter|Industrieroboter]]n (z.&nbsp;B. [[w:de:ABB (Unternehmen)|ABB]]) genutzt. == Geschichte == [[Datei:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|mini|Gedenktafel an der Broom Bridge in Dublin, wo [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]] die Multiplikationsregeln im Oktober 1843 spontan in den Stein ritzte.]] [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]] hatte 1835 die Konstruktion der komplexen Zahlen als [[w:de:Geordnetes Paar|Zahlenpaare]] angegeben. Dadurch motiviert, suchte er lange nach einer entsprechenden Struktur auf dem Raum <math>\R^3</math> der Zahlentripel; heute weiß man, dass keine derartige Struktur existiert. 1843 schließlich gelangte er zu der Erkenntnis, dass es möglich ist, eine Multiplikation auf der Menge der 4-[[w:de:Tupel|Tupel]] zu konstruieren, wenn man dazu bereit ist, die [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativität]] aufzugeben. In einem Brief an seinen Sohn gibt er als Datum den 16. Oktober 1843 an und berichtet, er habe sich spontan dazu hinreißen lassen, die Multiplikationsregeln in einen Stein an der Brougham Bridge (heute Broombridge Road) in [[w:de:Dublin|Dublin]] zu ritzen; später wurde dort eine Gedenktafel angebracht. Die Rechenregeln für Quaternionen waren in Ansätzen schon früher bekannt, so findet sich die Formel für den [[w:de:Vier-Quadrate-Satz|Vier-Quadrate-Satz]] bereits bei [[w:de:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1748). Andere, auch allgemeinere Multiplikationsregeln wurden von [[w:de:Hermann Graßmann|Hermann Graßmann]] untersucht (1855). Schon kurz nach der Entdeckung der Quaternionen fand Hamilton die Darstellung von Drehungen des Raumes mithilfe von Quaternionen und damit eine erste Bestätigung der Bedeutung der neuen Struktur; [[w:de:Arthur Cayley|Arthur Cayley]] entdeckte 1855 die entsprechenden Aussagen über orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes. Die bloße Parametrisierung der <math>3\times3</math>-Drehmatrizen war hingegen schon Euler bekannt. Cayley gab 1858 in der Arbeit, in der er Matrizen einführte, auch die Möglichkeit der Darstellung von Quaternionen durch komplexe <math>2\times2</math>-Matrizen an. Hamilton widmete sich fortan ausschließlich dem Studium der Quaternionen; sie wurden in Dublin ein eigenes Examensfach. In seiner Nachfolge wurde 1895 sogar ein „Weltbund zur Förderung der Quaternionen“ gegründet. Der deutsche Mathematiker [[w:de:Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] schreibt rückblickend über diese anfängliche Euphorie: {{Zitat |Text=Wie ich schon andeutete, schloß sich Hamilton eine Schule an, die ihren Meister an Starrheit und Intoleranz noch überbot. […] Die Quaternionen sind gut und brauchbar an ihrem Platze; sie reichen aber in ihrer Bedeutung an die gewöhnlichen komplexen Zahlen nicht heran. […] Die Leichtigkeit und Eleganz, mit der sich hier die weittragendsten Theoreme ergeben, ist in der Tat überraschend, und es läßt sich wohl von hier aus die alles andere ablehnende Begeisterung der Quaternionisten für ihr System begreifen, die […] nun bald über vernünftige Grenzen hinauswuchs, in einer weder der Mathematik als Ganzem noch der Quaternionentheorie selbst förderlichen Weise. […] Die Verfolgung des angegebenen Weges – der neu sein will, obwohl er tatsächlich nur eine peinlich genaue Übertragung längst bekannter Gedanken auf ein einziges neues Objekt, also durchaus keine geniale Konzeption bedeutet&nbsp;– führt zu allerhand Erweiterungen der bekannten Sätze, die in ihrer Allgemeinheit das Hauptcharakteristikum verlieren und gegenstandslos werden, allenfalls zu Besonderheiten, die ein gewisses Vergnügen gewähren mögen. |Autor=Felix Klein |Quelle=Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert |ref=<ref>{{Literatur |Autor=Felix Klein |Titel=Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert |Band=Teil&nbsp;I. |Verlag=Verlag von Julius Springer |Ort=Berlin |Datum=1926 |Seiten=184 ff}}</ref>}} == Verwandte Themen == Ähnliche Konstruktionen wie die Quaternionen werden manchmal unter dem Begriff „[[w:de:hyperkomplexe Zahl|hyperkomplexe Zahl]]en“ zusammengefasst. Beispielsweise sind die ''Cayley-Zahlen'' oder ''[[w:de:Oktave (Mathematik)|Oktaven]]'' ein achtdimensionales Analogon zu den Quaternionen; ihre Multiplikation ist allerdings weder kommutativ noch assoziativ. == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Quaternion'' werden == Beispiel == Als einführendes Beispiel zum Thema ''Quaternion'' dient dabei == Literatur/Quellennachweise == <references/> === Weblinks === {{Commonscat|Quaternions|Quaternion}} * [https://world.std.com/~sweetser/quaternions/ps/book.pdf Doing Physics with Quaternions] (PDF; 563&nbsp;kB) * {{Anker|Lam}} [[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009 * [http://www.grundstudium.info/animation/node17.php Quaternionen in der Computeranimation] * [https://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node24.html Der Ort der Entdeckung der Quaternionen (mit Bildern)] === Literatur - Mathematik === * Jens Carsten Jantzen, [[w:de:Joachim Schwermer|Joachim Schwermer]]: ''Algebra''. Springer, 2006, ISBN 3-540-21380-5, [[doi:10.1007/3-540-29287-X]] * [[w:de:Serge Lang|Serge Lang]]: ''Algebra''. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X * [[w:de:Max Koecher|Max Koecher]], [[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]]: ''Hamiltonsche Quaternionen''. In: H.-D. Ebbinghaus et al.: ''Zahlen''. Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-12666-X * {{Anker|Conway}} [[w:de:John Horton Conway|John H. Conway]], Derek A. Smith: ''On Quaternions and Octonions''. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch) * Jack B. Kuipers: ''Quaternions and Rotation Sequences''. Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (englisch) * W. Bolton: ''Complex Numbers (Mathematics for Engineers)''. Addison-Wesley, 1996, ISBN 0-582-23741-6 (englisch) * Andrew J. Hanson: ''Visualizing Quaternions''. Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0-12-088400-3 (englisch) * {{Anker|Pontrjagin}} [[w:de:Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Lew Semjonowitsch Pontrjagin]]: ''Verallgemeinerungen der Zahlen''. Verlag Harri Deutsch, 1995 * {{Anker|Eilenberg-Niven}} S. Eilenberg, I. Niven: ''The „fundamental theorem of algebra“ for quaternions''. In: ''Bull. Amer. Soc.'', 50, 1944, S. 246–248 * {{Anker|Hölder}} Hölder: [[s:Bemerkung zur Quaternionentheorie|Bemerkung zur Quaternionentheorie]] ([[w:de:Wikisource|Wikisource]]) == Siehe auch == * [[Komplexe Zahl]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[3D-Modellierung]] * [[Wiki2Reveal]] * [[w:de:Quaternion|Quaternion]] * [[Open Educational Resources]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Wikipedia%20Authors Wikipedia Authors]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion Quaternion] https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion * Datum: 7.8.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity {{Normdaten|TYP=s|GND=4176653-2|LCCN=sh/85/109754|NDL=00570899}} [[Kategorie:Zahl]] [[Kategorie:Verallgemeinerter Körper]] [[Kategorie:Ringtheorie]] [[Category:Wiki2Reveal]] pod9akbbwaj53tsyou0linscrwpxtjj 1117386 1117385 2026-10-22T13:31:19Z Bert Niehaus 20843 /* Grundrechenarten */ 1117386 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Quaternion'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Erweiterung eines Körpers und die algebraischen Eigenschaften * (2) Bezüge zu geometrischen Transformationen und 3D-Modellierung * (3) Quaternionen <math>\mathbb{H}</math> als 4-dimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Quaternionen'' in der Wikiversity hat das Ziel, die algebraischen und geometrischen Eigenschaften zu behandelt == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Quaternion'' sind * Studierende im Fach Mathematik (Algebra) * Studierende im Fach Informatik (Computergraphik) == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Quaternion'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''(Komplexe Zahl)''' Quaternionen als Erweiterung der komplexen Zahlen * '''(Gruppe)''' Die Einheiten der Quaternionen bilden eine nicht-kommuntative multiplikative Gruppe. == Einführung == Die '''Quaternionen''' (Singular ''die'' oder ''das Quaternion'', von {{laS|quaternio, -ionis}} [[w:de:Genus#Das Genussystem der deutschen Sprache|m.]] „Vierheit“) sind ein Zahlenbereich, der den Zahlenbereich der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] erweitert – ähnlich den [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]];<ref name="Beutelspacher-LA-7-30">{{Literatur |Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]] |Titel=Lineare Algebra |Auflage=7. |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=2010 |ISBN=978-3-528-66508-1 |Seiten=30}}</ref> sie werden deshalb auch ''hamiltonsche Quaternionen'' oder '''Hamilton-Zahlen''' genannt. [[w:de:Olinde Rodrigues|Olinde Rodrigues]] entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton.<ref>Bei Gauß findet sich eine Notiz über die Multiplikation und Konjugation von Quadrupeln im Kapitel ''Mutation des Raumes''. In: [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]]: ''Werke''. Achter Band. König. Gesell. Wissen., Göttingen 1900, S. 357–361, die auf das Jahr 1819 datiert wird. Die Unterschiede zu Hamilton gehen nicht über notationelle Konventionen hinaus (Zitiert nach [[w:de:#Lam|Lam]] S. 25).</ref> Trotzdem wird die [[w:de:Menge (Mathematik)|Menge]] der Quaternionen meistens mit <math>\mathbb H</math> bezeichnet. === Quaternionen als Schiefkörper === Die Quaternionen bilden einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation auch von der ''Reihenfolge'' der Faktoren abhängt, also ''nicht'' [[w:de:Kommutativgesetz|kommutativ]] ist. Das heißt, es gibt Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math>, bei denen : <math>x y \;\; \neq \;\; y x</math> ist. === Vergleich mit Rechenregeln in den reellen Zahlen === Einige aus dem [[w:de:Reelle Zahl|Reellen]] bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch gelten [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativ-]] und [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] sowie [[w:de:Ring (Algebra)#Invertierbarkeit, Einheit|multiplikative Invertierbarkeit]], d.&nbsp;h. die [[w:de:Körper (Algebra)|Existenz des Inversen]] <math>x^{-1}</math> zu jedem <math>x\neq 0</math>. Die Quaternionen waren das erste Beispiel eines nichtkommutativen Schiefkörpers.<ref>[[w:de:#Lam|Lam]] S. 1</ref> === Quaternionen im 3D-Raum === Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen sowie zur Auswertung [[w:de:Textur (Kristallographie)|kristallographischer Texturen]].<ref name="Lunze">{{cite journal |author=Karsten Kunze, Helmut Schaeben |title=The Bingham Distribution of Quaternions und Its Spherical Radon Transform in Texture Analysis |journal=Mathematical Geology |month=11 |year=2004 |volume=8 |pages=917–943 |doi=10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59 |language=en}}</ref> Sie sind aber auch als eigenständiges [[w:de:mathematisches Objekt|mathematisches Objekt]] von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des [[w:de:Vier-Quadrate-Satz|Vier-Quadrate-Satz]]es. == Konstruktion == Die Quaternionen entstehen aus den reellen Zahlen durch Hinzufügen ([[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]]) dreier neuer Zahlen, denen in Anlehnung an die komplex-imaginäre Einheit die Namen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> gegeben werden. So ergibt sich ein vierdimensionales Zahlensystem (mathematisch ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]) mit einem ''Realteil'', der aus ''einer'' reellen [[w:de:Matrix (Mathematik)#Elemente der Matrix|Komponente]] besteht, und einem ''Imaginärteil'' aus ''drei'' Komponenten, der auch Vektorteil genannt wird. Alle Quaternionen lassen sich eindeutig in der Form : <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> mit reellen Zahlen <math>x_0</math>, <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math> schreiben. Damit bilden die Elemente <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> eine [[w:de:Basis (Vektorraum)|Basis]], die Standardbasis der Quaternionen über <math>\R</math>. Die Addition erfolgt komponentenweise und wird vom Vektorraum geerbt. Multiplikativ werden die neuen Zahlen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math>, <math>\mathrm k</math> gemäß den ''Hamilton-Regeln'' {{Anker|Hamilton-Regeln}} : <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}=-1</math> verknüpft. Die [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]] <math>\R \times \mathbb H \to \mathbb H \, </math>, die ebenfalls vom Vektorraum geerbt wird<ref>Sie ist nicht mit dem [[w:de:#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] zu verwechseln.</ref> und bei der die Skalare als mit jedem Element vertauschbar angesehen werden, zusammen mit der Addition, dem [[w:de:Distributivgesetz#Formale Definition|Rechtsdistributivgesetz]] und den Hamilton-Regeln erlauben es, die Multiplikation von der Basis auf alle Quaternionen zu erweitern. Da so auch jeder Skalar <math>\lambda \in \R</math> als <math>\lambda+0\mathrm i+0\mathrm j+0\mathrm k</math> in <math>\mathbb H</math> eingebettet wird, kann <math>\R</math> als [[w:de:Unterring|Unterring]] von <math>\mathbb H</math> aufgefasst werden. Die so definierte Multiplikation ist [[w:de:Assoziativgesetz|assoziativ]], erfüllt die beiden [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]]e<ref>Wegen der fehlenden Kommutativität in der Multiplikation können die beiden Distributivgesetze nicht automatisch auf eines reduziert werden.</ref> und macht so die Quaternionen zu einem [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]]. Sie ist allerdings nicht [[w:de:Kommutativgesetz|kommutativ]], d.&nbsp;h., für zwei Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math> sind die beiden Produkte <math>x y</math> und <math> y x</math> im Allgemeinen verschieden (s.&nbsp;u.). Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H^\times</math>, also die Menge derjenigen Elemente der multiplikativen Gruppe von <math>\mathbb H</math>, die mit allen Elementen kommutieren, ist <math>\R^\times</math>. Die Quaternionen bilden einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] (Divisionsring), da es zu jeder Quaternion <math>x\ne0</math> eine [[w:de:#Inverses und Division|inverse Quaternion]] <math>x^{-1}</math> gibt mit : <math>x x^{-1}=x^{-1} x=1</math>&nbsp;. Wegen der fehlenden Kommutativität werden Notationen mit Bruchstrich, wie z.&nbsp;B. <math>\tfrac{y}x</math>, vermieden. Des Weiteren sind die Quaternionen eine [[w:de:Dimension (Mathematik)|vierdimensionale]] [[w:de:Divisionsalgebra|Divisionsalgebra]] über <math>\R</math> – und bis auf [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] die einzige. == Schreibweise == Im weiteren Text werden folgende Schreibweisen benutzt: Ist <math>x</math> eine Quaternion, dann werden ihre reellen Komponenten mit <math>x_0, x_1, x_2, x_3</math> bezeichnet, und diese sind der Basis <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> folgendermaßen zugeordnet: : <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k .</math> Gelegentlich wird eine vektorielle Schreibweise benötigt. Dabei werden bspw. die Komponenten <math>(x_1,x_2,x_3)</math> zu einem 3-dimensionalen Vektor <math>\vec x</math> zusammengefasst, sodass man <math>x</math> mit dem 4-dimensionalen Vektor <math>(x_0, \vec x) = (x_0, x_1, x_2, x_3)</math> identifizieren kann.<ref>NB: <math>\vec x</math> wird bei Bedarf auch als Spaltenvektor eingesetzt.</ref> Analoge Abmachungen sollen für andere Buchstaben wie <math>y</math> etc. gelten. In manch älterer Literatur wurden Quaternionen mit großen [[w:de:Fraktur (Schrift)|Frakturbuchstaben]] und die imaginären Einheiten als ''Einheitsvektoren'' mit kleinen <math>\mathfrak{e}_n</math> in Fraktur bezeichnet, z.&nbsp;B. so: : <math>\mathfrak{X} = x_0 + \mathfrak{e}_1 x_1 + \mathfrak{e}_2 x_2 + \mathfrak{e}_3 x_3 = \sum_{j=0}^3 \mathfrak{e}_j x_j</math> mit <math>\mathfrak{e}_0 = 1</math>. Komplexe Zahlen tragen meist den Namen <math>z</math> und haben die reellen Komponenten <math>\xi</math>, <math>\eta</math>. == Grundrechenarten == Die Konstruktion der Quaternionen ist der der komplexen Zahlen analog, allerdings wird nicht nur eine neue Zahl hinzugefügt, sondern derer drei, die mit <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> bezeichnet werden. === Darstellung als Linearkombination === Die [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]]en : <math>x_0\mathrm 1+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> über der Basis <math>\{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math> spannen mit reellen Komponenten <math>x_i</math> den 4-dimensionalen Vektorraum der Quaternionen <math>\mathbb H</math> auf. === 4-dimensionaler reeller Vektorraum === Als Vektorraum ist <math>\mathbb H</math> isomorph zu <math>\mathbb{R}^4</math>. Das Basiselement <math>\mathrm 1</math>, das die reellen Zahlen [[w:de:Injektivität|injektiv]] einbettet (und zugleich das neutrale Element der Multiplikation darstellt), wird in der Linearkombination meist weggelassen. Die Addition und Subtraktion geschieht komponentenweise. === Skalarmultiplikation - Hamilton-Multiplikation === Vom Vektorraum wird auch die [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]] übernommen, also die linke und rechte Multiplikation mit einer reellen Zahl, die distributiv zu jeder Komponente multipliziert wird. Diese Skalarmultiplikation ist eine [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] der Hamilton-Multiplikation, die auf ganz <math>\mathbb H</math> definiert ist. ==== Hamilton-Multiplikation der Basiselemente ==== Die Hamilton-Multiplikation der Basiselemente untereinander oder etwas umfassender innerhalb der Menge : <math>\mathrm{Q}_8 := \{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k, -\mathrm 1,-\mathrm i,-\mathrm j,-\mathrm k\}</math> geschieht nach den Hamilton-Regeln {| |- |style="width: 25em;"| * <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=-1</math> | <math>(1)</math> |- | * <math>\mathrm i\mathrm j=+\mathrm k,\quad \mathrm j\mathrm k=+\mathrm i,\quad \mathrm k\mathrm i=+\mathrm j</math> | <math>(2)</math> |- | * <math>\mathrm j\mathrm i=-\mathrm k,\quad \mathrm k\mathrm j=-\mathrm i,\quad \mathrm i\mathrm k=-\mathrm j</math> | <math>(\bar 2)</math>. |} ==== Quaternionengruppe ==== Diese Regeln zusammen mit der Vertauschbarkeit von <math>\pm1</math> mit jedem anderen Element geben eine vollständige Tafel für eine Verknüpfung vor, die sich als [[w:de:Assoziativgesetz|assoziativ]] erweist und <math>\mathrm{Q}_8</math> zu einer [[w:de:Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] macht – der [[w:de:Quaternionengruppe|Quaternionengruppe]]. ==== Formulierung der Einzelnregeln ==== Unter Voraussetzung der Regel <math>(1)</math> (und der Gruppenaxiome) ist die Kombination aus <math>(2)</math> und <math>(\bar 2)</math>, in der das zyklische und antizyklische Verhalten der drei nicht-reellen Quaternionen-Einheiten zum Ausdruck kommt, ersetzbar durch die Einzelregel {| |- |style="width: 25em;"| * <math>\mathrm i\mathrm j\mathrm k=-1</math> | <math>(3)</math>. |} Diese Einzelregel <math>(3)</math> könnte auch durch jede der fünf alternativen Einzelregeln <math>\mathrm j\mathrm k\mathrm i=-1</math>, <math>\mathrm k\mathrm i\mathrm j=-1</math>, <math>\mathrm k\mathrm j\mathrm i=1</math>, <math>\mathrm j\mathrm i\mathrm k=1</math> oder <math>\mathrm i\mathrm k\mathrm j=1</math> ersetzt werden. Mithilfe dieser Ersetzungsregeln, des [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]]es und (linken sowie rechten) [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]]es lässt sich die Multiplikation auf ganz <math>\mathbb H</math> fortsetzen. Die <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> kann man wie [[w:de:Kommutativgesetz#Antikommutativität|''anti-kommutierende'']] Variablen behandeln. Treten Produkte von zweien von ihnen auf, so darf man sie nach den Hamilton-Regeln ersetzen. Die ausgearbeiteten Formeln für die zwei Verknüpfungen von zwei Quaternionen : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> &nbsp; und &nbsp; <math>y=y_0+y_1\mathrm i+y_2 \mathrm j+y_3\mathrm k</math> lauten :<math>\begin{alignat}{2} x+y & = (x_0+y_0)+(x_1+y_1)\mathrm i+(x_2+y_2)\mathrm j+(x_3+y_3)\mathrm k &\quad& \text{(Addition)} \end{alignat}</math> bzw. :<math>\begin{alignat}{2} x\;y & = (x_0 y_0 - x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3) &\quad& \text{(Multiplikation)}\\ & \quad + (x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{green} \; + \; x_2 y_3} {\color{red} \; - \; x_3 y_2}) \mathrm i && \\ & \quad + (x_0 y_2 {\color{red} \; - \; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{green} \; + \; x_3 y_1}) \mathrm j && \\ & \quad + (x_0 y_3 {\color{Green} \; + \; x_1 y_2} {\color{red} \; - \; x_2 y_1} + x_3 y_0) \mathrm k && \end{alignat}</math> Herleitung:<ref>{{Literatur |Autor=Brian L. Stevens, Frank L. Lewis, Eric N. Johnson |Titel=Aircraft Control and Simulation. Dynamics, Controls Design, and Autonomous Systems |Auflage=Third edition |Verlag=John Wiley & Sons, Inc. |Ort=Hoboken, New Jersey |Datum=2016 |ISBN=978-1-118-87098-3 |Seiten=46}}</ref> :<math>\begin{align} x\;y & = (x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k) \; (y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k)\\ & = x_0 y_0 + x_1 y_1 \mathrm i \mathrm i + x_2 y_2 \mathrm j \mathrm j + x_3 y_3 \mathrm k \mathrm k\\ & \quad + x_0 y_1 \mathrm i + x_1 y_0 \mathrm i +x_2 y_3 {\color{green} \mathrm j \mathrm k} +x_3 y_2 {\color{red}\mathrm k \mathrm j}\\ & \quad + x_0 y_2 \mathrm j + x_1 y_3 {\color{red} \mathrm i \mathrm k } + x_2 y_0 \mathrm j + x_3 y_1 {\color{green} \mathrm k \mathrm i}\\ & \quad + x_0 y_3 \mathrm k + x_1 y_2 {\color{green}\mathrm i \mathrm j} + x_2 y_1 {\color{red} \mathrm j \mathrm i} + x_3 y_0 \mathrm k\\ & = x_0 y_0 -x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3\\ & \quad + (x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{green}\;+\; x_2 y_3 } {\color{red} \; -\; x_3 y_2 }) \mathrm i\\ & \quad + (x_0 y_2 {\color{red}\;-\; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{green}\;+\; x_3 y_1} )\mathrm j \\ & \quad + (x_0 y_3 {\color{green}\;+ \; x_1 y_2} {\color{red}\;-\; x_2 y_1 } + x_3 y_0 ) \mathrm k. \end{align}</math> Damit sind die für einen Ring erforderlichen zwei Verknüpfungen definiert. Es ist leicht nachgerechnet, dass alle Ring-Axiome erfüllt sind. Das additive [[w:de:Inverses Element|Inverse]] ist (wie in jedem Vektorraum) das Produkt mit dem Skalar −1. Die ''Subtraktion'' ist die Addition dieses Inversen. Die für einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] erforderliche ''Division'' muss wegen der fehlenden Kommutativität durch eine Multiplikation mit dem (multiplikativen) Inversen ersetzt werden (siehe [[w:de:#Inverses und Division|Inverses und Division]]).<ref>Reelle Faktoren kommutieren mit <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> und damit mit allen Quaternionen, d.&nbsp;h., es gilt beispielsweise :<math>2\mathrm i\mathrm j=\mathrm i2\mathrm j=\mathrm i\mathrm j 2=2\mathrm k</math>, aber :<math>2\mathrm j\mathrm i=\mathrm j 2\mathrm i=\mathrm j\mathrm i 2=-2\mathrm k</math>. Nicht alle aus der elementaren Algebra bekannten Rechenregeln gelten für die Quaternionen, z.&nbsp;B. gilt :<math>(\mathrm i+\mathrm j)(\mathrm i-\mathrm j)=\mathrm i\mathrm i-\mathrm i\mathrm j+\mathrm j\mathrm i-\mathrm j \mathrm j=(-1)-\mathrm k+(-\mathrm k)-(-1)=-2\mathrm k</math>. Die [[w:de:Binomische Formel|binomischen Formeln]] <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> oder <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> sind hier also ''nicht'' anwendbar. Sie setzen voraus, dass <math>ab=ba</math> gilt.</ref> == Gegenring == Ist <math>(R,+,\cdot)</math> ein Ring, dann wird der mit der Multiplikation :<math>x \circ y \; := y \cdot x</math> ausgestattete Ring <math>R^{\operatorname{op}} := (R,+,\circ) </math> als [[w:de:Gegenring|Gegenring]] bezeichnet. Hier folgen alle Ringgesetze, das heißt das Assoziativgesetz sowie beide Distributivgesetze, aus den ursprünglichen Gesetzen. Im Gegenring <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math>, der wegen der Nicht-Kommutativität von <math>\mathbb H</math> von diesem verschieden ist, gelten alle im Abschnitt ''[[w:de:#Grundrechenarten|Grundrechenarten]]'' angeführten Rechenregeln bis auf die Multiplikation, bei der die Vorzeichen der Terme, die nur [[w:de:Koeffizient|Koeffizient]]en <math>x_m y_n</math> mit <math>m \ne n</math> und <math>m \ne 0 \ne n</math> haben, invertiert sind. Ferner gilt die Kurzform : <math>\mathrm i\circ \mathrm j\circ \mathrm k=+1</math>. === Definition von Gauß === Im Übrigen hat [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Gauß]] laut Lam (Eq. (1.4)) die Quaternionenmultiplikation im Jahr 1819 genau so definiert. Des Weiteren ist die [[w:de:Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] des [[w:de:Drei-Finger-Regel|Dreibeins]] <math>(\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k)</math> in <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math> gespiegelt. Die [[w:de:Identische Abbildung|Identität]] auf der Grundmenge <math>\R^4</math> ist ein [[w:de:Antiisomorphismus|Antiisomorphismus]] und die [[w:de:#QKonjugation|Konjugation]] ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. === Nichtkommutativität === Die Nichtkommutativität ist gleichbedeutend mit der Verschiedenheit von <math>\mathbb{H}</math> und <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math>. Da beide Ringe die [[w:de:Ring (Algebra)#Ring|Ringaxiome]] der Quaternionen erfüllen, muss dieses Axiomensystem „unvollständig“ sein im Sinne [[w:de:#Hölder|Hölders]]. In diesem Sinn vollständig sind die Axiomensysteme der rationalen, reellen oder komplexen Zahlen. == Grundlegende Begriffe == === Quaternion - Realteil und Imaginärteil === Aufgrund der besonderen Stellung der Komponente <math>x_0</math> einer Quaternion : <math>x=\underbrace{x_0}_{\mbox{Realteil}}+\underbrace{(x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k)}_{\mbox{Imaginärteil}}</math> bezeichnet man sie – wie bei den komplexen Zahlen – als ''Realteil'' und die anderen 3 Summanden werden als ''Imaginärteil'' zusammengefasst. === {{Anker|Realteil|Skalarteil}} Realteil oder Skalarteil und Vektorteil === Die Realteilfunktion <math>\mathfrak{Re}</math> von einer Quaternion ordnet einem <math>x=x_0+(x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k)\in \mathbb{H}</math> für beliebige Quaterionen <math>x\in \mathbb{H}</math> den Realteil <math>x_0\in \mathbb{R}</math> von <math>x</math> zu. : <math>\mathfrak{Re}(x) := x_0</math>&nbsp;, === {{Anker|Imaginärteil|Vektorteil}} Realteil oder Skalarteil und Vektorteil === Die Komponenten <math>x_1,x_2,x_3</math> zusammen den ''Imaginärteil'' oder ''Vektorteil'' : <math>\mathfrak{Im}(x) := x_1\mathrm i + x_2\mathrm j + x_3\mathrm k</math> bilden. Häufig identifiziert man den Vektorteil auch mit dem Vektor <math>\vec x:=(x_1,x_2,x_3) \in \R^3</math>. === {{Anker|QKonjugation}} Konjugation === Zu jeder Quaternion : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> ist die ''konjugierte Quaternion'' definiert als : <math>\bar x := x_0-x_1\mathrm i-x_2\mathrm j-x_3\mathrm k</math>&nbsp;. ==== Konjungation bei Quaternionen ==== Da hier der Imaginärteil mit seinen Einheitsvektoren verknüpft bleibt und der Realteil als reelle Zahl eindeutig in die Quaternionen einzubetten ist, ergeben sich die einfachen Beziehungen : <math>x = \mathfrak{Re}(x) + \mathfrak{Im}(x) </math> und : <math>\bar{x} = \mathfrak{Re}(x) - \mathfrak{Im}(x) </math>&nbsp;, ==== Realteil und Imaginärteil über Konjungation darstellen==== aus denen sich unmittelbar : <math>\mathfrak{Re}(x) = \frac12(x+\bar{x})</math> und : <math>\mathfrak{Im}(x) = \frac12(x-\bar{x})</math> ausrechnet.<ref>Im Komplexen gilt dagegen :<math>\operatorname{Im}\,z = \frac{1}{2\mathrm i_\Complex}(z-\bar{z})</math> mit Abspaltung der imaginären Einheit <math>\mathrm i_\Complex</math> von der rein-imaginären Komponente, sodass der Imaginärteil eine ''reelle'' Zahl ist. Und es gilt: :<math>z = \operatorname{Re}\,z + \mathrm i_\Complex \; \operatorname{Im}\,z.</math></ref> ==== Reiner Realteil und reiner Imaginärteil ==== Ist eine Quaternion gleich ihrer Konjugierten, so ist sie reell, d.&nbsp;h., der Vektorteil ist null. Ist eine Quaternion gleich dem Negativen ihrer Konjugierten, so ist sie eine [[w:de:#Reine Quaternion|reine Quaternion]], d.&nbsp;h., der Skalarteil ist null. Weitere wichtige Eigenschaften der Konjugation sind: {| |- | * <math>\overline{(\bar x)}=x</math> | Die Konjugation ist eine [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]]. |- | * <math>\overline{x+y}=\bar x+\bar y</math> und<br /> <math>\overline{\lambda x}=\lambda\bar x</math> für reelle Zahlen <math>\lambda</math> | Die Konjugation ist <math>\R</math>-[[w:de:Lineare Abbildung|linear]]. |- | * <math>\overline{x y}=\bar y\bar x</math> | Die Konjugation ist ein [[w:de:Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]]. |- | * <math>\overline x = -\tfrac12(x + \mathrm i\,x\,\mathrm i + \mathrm j\,x\,\mathrm j + \mathrm k x \mathrm k)</math> &nbsp; &nbsp; | Die Konjugation lässt sich „mit arithmetischen Mitteln“ darstellen.<ref>Das gilt daher auch für den Betrag und die Teilmenge der reellen Zahlen. Bei den komplexen Zahlen gilt das nicht (s.&nbsp;a. [[w:de:Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie|Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie]]).</ref> |} === Skalarprodukt === Das [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon \mathbb H \times \mathbb H \to\R</math> zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im <math>\R^4</math>, ist definiert durch : <math>\langle x,y \rangle:= x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3</math>&nbsp;. Es gilt : <math>\langle x,y \rangle= \operatorname{Re}(\bar xy)=\operatorname{Re}(x\bar y) = \frac{1}{2} (x\bar y + y\bar x)</math>&nbsp;. Es ist eine [[w:de:Definitheit|positiv definite]] symmetrische [[w:de:Bilinearform#Beispiele|Bilinearform]], über die sich [[w:de:#Norm und Betrag|Norm und Betrag]] definieren lassen und mit der [[w:de:Skalarprodukt#Norm, Winkel und Orthogonalität|Winkel und Orthogonalität]] bestimmt werden können. Ferner kann man damit die einzelnen Komponenten einer Quaternion isolieren: : <math>x_0 = \langle\mathrm 1, x\rangle,\quad x_1 = \langle\mathrm i, x\rangle,\quad x_2 = \langle\mathrm j, x\rangle,\quad x_3 = \langle\mathrm k, x\rangle</math>&nbsp;. Das aus der Physik weit verbreitete Vorgehen, das Skalarprodukt abkürzend wie eine Multiplikation mit dem [[w:de:Mittepunkt|Mittepunkt]] {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} zu notieren, wird auch bei den Quaternionen häufig angewandt, wobei hier die Verwechslungsgefahr zwischen Quaternionenmultiplikation und Skalarprodukt hoch ist. Im Folgenden verwenden wir folgende Konvention: * Das Quaternionenprodukt wird stets ohne Benutzung des Mittepunkts durch Aneinanderreihung der Faktoren notiert. * Das Skalarprodukt, und zwar sowohl das 4- wie das 3-dimensionale, wird in Multiplikationsschreibweise mit dem Mittepunkt {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} notiert. === Kreuzprodukt === Das Kreuzprodukt zweier Quaternionen <math>x, y</math> ist das [[w:de:Kreuzprodukt|Kreuzprodukt]] (Vektorprodukt) ihrer Vektorteile und bis auf den Faktor&nbsp;2 ihr [[w:de:Kommutator (Mathematik)|Kommutator]]. Ist <math>x=:(x_0,\vec x)</math> und <math>y =: (y_0,\vec y)</math>, so ist : <math>\begin{align} x \times y & := \vec x\times\vec y \\ & \;= \tfrac12(x y-y x) \\ & \;= ( x_2 y_3 - x_3 y_2) \mathrm i +(x_3 y_1 - x_1 y_3) \mathrm j +( x_1 y_2 - x_2 y_1) \mathrm k \; . \end{align}</math> === Quaternionenmultiplikation als Skalar- und Kreuzprodukt === Identifiziert man Quaternionen {| |- |style="width: 25em;"| : <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> |style="width: 5em;"| und |style="width: 25em;"| <math>y = y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k</math> |} mit Paaren aus einem Skalar <math>\in \R</math> und einem Vektor <math>\in \R^3</math> {| |- |style="width: 25em;"| : <math>x=(x_0,\vec x)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec x :=(x_1,x_2,x_3)</math> |style="width: 5em;"| bzw. |style="width: 25em;"| <math>y=(y_0,\vec y)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec y :=(y_1,y_2,y_3)</math>&nbsp;, |} so lässt sich die Multiplikation mithilfe des (dreidimensionalen) [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]]s und [[w:de:Kreuzprodukt|Kreuzprodukt]]s beschreiben: : <math>xy = (x_0,\vec x) (y_0,\vec y)=\Big(x_0 y_0 -\vec x \cdot\vec y,\quad x_0 \vec y+\vec x y_0+\vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;. {{Anker|vertauschbar}} Zwei Quaternionen sind demnach genau dann miteinander ''vertauschbar'', wenn ihr Kreuzprodukt 0 ist, wenn also ihre Vektorteile als reelle Vektoren linear abhängig sind (s.&nbsp;a. [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettung der komplexen Zahlen]]). === {{Anker|Norm}} Norm und Betrag === Das Skalarprodukt einer Quaternion <math>x</math> mit sich selbst, welches gleich dem Quaternionenprodukt mit der Konjugierten ist, wird ''Norm'' genannt: : <math>\operatorname{Norm}(x) := \langle x,x \rangle = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 = x\bar x = \bar x x </math>&nbsp;<ref>Viele Autoren setzen jedoch Norm dem Betrag gleich.</ref> Insbesondere ist dieser Wert reell und nichtnegativ. {{Anker|Betrag}} Die [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] daraus : <math>\sqrt{{x_0}^2+{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2}=:|x|</math> wird ''Betrag'' oder ''Länge'' der Quaternion <math>x</math> genannt und stimmt überein mit Betrag oder [[w:de:Euklidische Norm|euklidischer Länge]] des Vektors <math>(x_0,x_1,x_2,x_3)</math>. Er erfüllt die wichtige Eigenschaft : <math>|x y|=|x|\;|y|</math>&nbsp;, die ''Multiplikativität des Betrags''. Mit dem Betrag werden die Quaternionen zu einer reellen [[w:de:Banachalgebra|Banachalgebra]]. === Inverses und Division === Bei einer nicht-kommutativen Multiplikation muss man die Gleichungen {| |- |style="width: 10em;"| : <math>x b=a</math> |style="width: 5em;"| und |style="width: 10em;"| <math>b y=a</math> |} unterscheiden. Wenn das [[w:de:Inverses Element|Inverse]] <math>b^{-1}</math> existiert, dann sind {| |- |style="width: 10em;"| : <math>x=a b^{-1}</math> |style="width: 5em;"| bzw. |style="width: 10em;"| <math>y=b^{-1} a</math> |} respektive Lösungen, die nur dann übereinstimmen, wenn <math>b</math> und <math>a</math> kommutieren, insbesondere wenn der Divisor <math>b</math> reell ist. In solch einem Fall kann die Schreibweise <math>\tfrac a b</math> verwendet werden – bei allgemeinen Divisionen wäre sie nicht eindeutig. Wenn zusätzlich <math>c^{-1}</math> existiert, gilt die Formel : <math>b^{-1} c^{-1}=(c b)^{-1}</math>, denn : <math>b^{-1} c^{-1} c b=1</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; und&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> (c b)^{-1} c b=1</math>&nbsp;. Für : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k\ne0</math> ist die Norm : <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = \bar x x = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2>0</math> reell und positiv. Die Quaternion : <math>x^{-1} := \frac{\bar x}{x \bar x} </math> erfüllt dann die Bedingungen des Rechts- : <math> x x^{-1} = x \frac{\bar x}{x \bar x} = 1</math> und des Links-Inversen : <math> x^{-1} x = \frac{\bar x}{\bar x x} x = 1</math> und kann deshalb als das Inverse schlechthin von <math>x</math> bezeichnet werden. === Reine Quaternion === Eine Quaternion, deren Vektorteil 0 ist, wird mit der ihrem Skalarteil entsprechenden reellen Zahl identifiziert. Eine Quaternion, deren Realteil 0 ist (äquivalent, deren Quadrat reell und nichtpositiv ist), nennt man ''rein'', ''rein imaginär'' oder ''vektoriell''. Die Menge der reinen Quaternionen wird als <math>\mathbb H _{\text{pure}}</math> oder <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> notiert. Sie ist ein [[w:de:Dimension (Mathematik)|dreidimensionaler]] reeller [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit Basis <math>\{\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math>. Für reine Quaternionen nimmt die Multiplikation eine besonders einfache Form an: : <math>(0,\vec x)(0,\vec y) \; = \; \Big({-\vec x \cdot \vec y}, \, \vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;. === Einheitsquaternion === Eine ''Einheitsquaternion'' (auch ''normierte Quaternion'', Quaternion ''der Länge&nbsp;1'') ist eine Quaternion, deren Betrag gleich&nbsp;1 ist. Für sie gilt (analog zu den komplexen Zahlen) : <math>|x|=1\iff x\bar x=1\iff \bar x=x^{-1}</math>. Für eine beliebige Quaternion <math>x\ne0</math> ist : <math>\frac x{|x|}=\frac{x_0}{|x|}+\frac{x_1}{|x|}\mathrm i+\frac{x_2}{|x|}\mathrm j+\frac{x_3}{|x|}\mathrm k</math> eine Einheitsquaternion, die man manchmal auch als das [[w:de:Signumfunktion|Signum]] oder den Versor von <math>x</math> bezeichnet. Das Produkt zweier Einheitsquaternionen und die Inverse einer Einheitsquaternion sind wieder Einheitsquaternionen. Die Einheitsquaternionen bilden also eine Gruppe. Geometrisch kann man die Menge der Einheitsquaternionen als die [[w:de:Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> im vierdimensionalen [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und damit als [[w:de:Lie-Gruppe|Lie-Gruppe]] interpretieren, mit dem Raum der [[w:de:#Reine Quaternion|reinen Quaternionen]] als zugehöriger [[w:de:Lie-Algebra|Lie-Algebra]]. Die Darstellung als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] verdeutlicht die umkehrbar eindeutige Entsprechung der Einheitsquaternionen mit der [[w:de:Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>. Die einzigen reellen Einheitsquaternionen sind <math>\pm 1</math>. Sie machen auch das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb{S}^3</math> aus. === Reine Einheitsquaternion === Einheitsquaternionen, die auch reine Quaternionen sind, lassen sich als diejenigen Quaternionen charakterisieren, deren Quadrate <math>-1</math> ergeben: : <math>\epsilon_0=0 \; \land \; {\epsilon_1}^2+{\epsilon_2}^2+{\epsilon_3}^2=1\qquad\iff\qquad \epsilon^2=-1</math>.<ref>Den unendlich vielen [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]]n des [[w:de:Polynom|Polynom]]s <math>X^2 + 1</math> steht das Fehlen einer Nullstelle beim Polynom <math>\mathrm i X - X \mathrm i + 1</math> vom [[w:de:Polynom|Grad]] 1 gegenüber. Letzteres besitzt 2 [[w:de:Monom|Monom]]e vom Grad 1, dem höchsten Grad seiner Monome. In nicht-kommutativen Ringen wird der Grad des Monoms <math>a_0 X a_1 \dots a_{n-1} X a_n</math> mit <math>a_i \neq 0</math> zu <math>n</math> definiert, und ein Monom dominiert ein Polynom, wenn es unter allen Monomen den höchsten Grad hat. Dann ist der Grad des Polynoms auch gleich dem Grad der dominierenden Monome. Hat ein Polynom über <math>\mathbb H</math> ein ''einziges'' dominierendes Monom von einem Grad > 0, dann hat es immer eine Nullstelle in <math>\mathbb H</math>. ([[w:de:#Eilenberg-Niven|Eilenberg-Niven]]).</ref> Sie liegen in der Äquatorhyperebene der 3-Sphäre <math>\mathbb{S}^3</math> und machen die Einheits-2-Sphäre <math>\mathbb{S}^2</math> des dreidimensionalen Raums <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus. === Einbettung der komplexen Zahlen === Jede Quaternion <math>\epsilon</math> mit Quadrat <math>-1</math> definiert einen Einbettungs[[w:de:isomorphismus|isomorphismus]] <math>\iota_{\epsilon}</math> der komplexen Zahlen in die Quaternionen : <math> \begin{array}{rccc} \iota_{\epsilon} \colon & \Complex & \to & \mathbb H \\ & u+v\mathrm i_\Complex & \mapsto & u+v \epsilon \end{array} </math> mit <math>u,v\in\R</math> und <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit der komplexen Zahlen. Dabei sind die [[w:de:Bild (Mathematik)|Bildmengen]] der <math>\epsilon</math> und <math>\bar \epsilon</math> entsprechenden Einbettungen identisch: <math>\iota_{\epsilon}(\Complex) = \iota_{\overline \epsilon}(\Complex)</math>. Eine jede solche Quaternion darf <math>\mathrm i</math> genannt werden, eine senkrechte dazu <math>\mathrm j</math> und ihr Produkt <math>\mathrm k</math>.<ref name="Conway">[[w:de:John Horton Conway|John H. Conway]], Derek A. Smith: ''On Quaternions and Octonions''. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch).</ref>{{rp|Seite 40.}} <ref>Ein [[w:de:#Automorphismen|Automorphismus]] definiert eine solche Einbettung (durch [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]]), die nur eine Einbettung von {{nowrap|<math>\R</math>-[[w:de:Algebra über einem Körper|Algebren]]}} ist. <math>\mathbb H</math> ist keine Algebra über <math>\Complex</math>.</ref> Jede nicht-reelle Quaternion liegt in genau einer solchen Einbettung von <math>\Complex</math>&nbsp;. Zwei Quaternionen sind genau dann vertauschbar, wenn es eine gemeinsame Einbettung gibt. Zwei verschiedene Bilder haben die reelle Achse zum Durchschnitt. So betrachtet, sind die Quaternionen eine [[w:de:Menge (Mathematik)#Vereinigung (Vereinigungsmenge)|Vereinigung]] komplexer Ebenen. == Polardarstellung == Jede [[w:de:#Einheitsquaternion|Einheitsquaternion]] <math>x^\circ = x_0 + x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k \; \ne \; \pm 1</math> kann auf eindeutige Weise in der Form : <math>x^\circ=\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math> :: mit dem ''Polarwinkel''<ref>[[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22. Der Polarwinkel ist das Analogon zum [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|komplexen Argument]] <math>\operatorname{arg}(z)</math>, allerdings ist bei dessen Hauptwert das Signum des Imaginärteils mit hinein genommen, was sich bei den Quaternionen nicht machen lässt, sodass <math>\operatorname{arg}</math> nicht eine einfache [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] des Polarwinkels ist.</ref> von <math>x^\circ</math> ::: <math>\phi := \arccos(x_0) = \arccos(\operatorname{Re} x^\circ) \in{]0,\pi[}</math> :: und der ''reinen'' Einheitsquaternion ::: <math>\epsilon := \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sqrt{1-x_0^2}} = \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sin \phi} = \frac{\operatorname{Im} x^\circ}{|\operatorname{Im} x^\circ|} = \frac{\vec x^\circ}{|\vec x^\circ|}</math> dargestellt werden. Mit der [[w:de:Exponentialfunktion#Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren|verallgemeinerten Exponentialfunktion]] lässt sich das wegen <math>\epsilon^2=-1\ </math> auch schreiben als : <math>x^\circ=\exp(\epsilon\phi)</math> mit der [[w:de:#Reine Quaternion|reinen Quaternion]] <math>\epsilon\phi =: x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H </math>. Will man also eine reine Quaternion <math>x^\prime\ne 0</math> exponentiieren, so ist ihr Betrag <math>\phi=|x^\prime|</math> und die [[w:de:#Reine Einheitsquaternion|reine Einheitsquaternion]] <math>\epsilon=x^\prime/\phi</math> zu bilden, und es ergibt sich die Einheitsquaternion : <math>\exp x^\prime = \cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math>. Der Fall &nbsp; <math>\exp 0 = 1</math> &nbsp; lässt sich [[w:de:Fortsetzung (Mathematik)#Stetige Fortsetzung|stetig ergänzen]]. Damit ist die [[w:de:Matrixexponential|Exponentialabbildung]] <math>\exp\colon \operatorname{Im}\,\mathbb H \to \mathbb{S}^3</math> [[w:de:surjektiv|surjektiv]]. Nun ist <math>\exp x^\prime = -1</math> für alle <math>x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math> mit <math>|x^\prime| = \pi</math>, und das sind unendlich viele. Gleichwohl ist die [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] <math>\exp\colon \{x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H \land |x^\prime| < \pi \} \; \to \; \mathbb{S}^3 \setminus \{-1\}</math> [[w:de:Bijektivität|bijektiv]]. Sie ist [[w:de:Stetige Funktion|stetig]], wegen der Nicht-Kommutativität der Multiplikation aber kein [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]]<ref name="exp-nicht-homomorph">Für <math>x^\prime:=\mathrm i\pi</math> und <math>y^\prime:=\mathrm j\pi</math> ist :<math>\exp x^\prime \exp y^\prime = \exp(\mathrm i\pi) \exp(\mathrm j\pi) = (-1)(-1)=1</math> :<math>\ne \exp(x^\prime+y^\prime) = \exp((\mathrm i+\mathrm j)\pi) = \cos(\pi \sqrt 2)+\frac{\mathrm i+\mathrm j}{\sqrt 2}\sin(\pi \sqrt 2)</math>.</ref>. {{Anker|reine_und_normierte}} Allgemein lässt sich jede nicht-reelle Quaternion eindeutig in der Form : <math>x=|x| \; (\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi)</math> :: mit dem ''Polarwinkel'' von <math>x</math> ::: <math>\phi = \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|}\right) \in{]0,\pi[} </math> :: und der reinen Einheitsquaternion (der ''reinen und normierten Quaternion von <math>x</math>'') ::: <math>\epsilon = \frac{\operatorname{Im} x}{\sqrt{|x|^2 - (\operatorname{Re} x)^2}} = \frac{\operatorname{Im} x}{|x| \, \sin \phi} = \frac{\vec x}{|\vec x|}</math> schreiben. Durch die Festlegung <math>\phi \in{]0,\pi[}</math> ist <math>\sin \phi > 0</math>, sodass <math>\epsilon</math> in dieselbe Richtung wie der Vektorteil <math>\operatorname{Im} x</math> zeigt. Jede nicht reell-negative Quaternion schreibt sich eindeutig als : <math>x=|x|\exp x^\prime</math> mit einer reinen Quaternion <math>x^\prime</math> mit &nbsp; <math>|x^\prime|<\pi</math>. Diese Darstellungen sind der Polarform komplexer Zahlen : <math>z=|z|(\cos\phi+\mathrm i_\Complex\sin\phi)=|z| \exp(\mathrm i_\Complex\phi)</math> (mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit) analog. Für die [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]] : <math>x y = |x| \; |y| \; \exp (x^\prime+y^\prime)</math> müssen <math>x,y</math> allerdings kommutieren.<ref name="exp-nicht-homomorph" /><ref>Laut [[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22 mag das Scheitern dieser Funktionalgleichung das größte Hindernis für eine quaternionische [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] gewesen sein.</ref> == Funktionentheorie == === Exponentialfunktion, Logarithmus === Das Exponential einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist: : <math>\exp (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \exp (\operatorname{Re} x) \left(\cos |\vec x|+\frac{\vec x}{|\vec x|} \sin |\vec x| \right) \isin \mathbb H</math> mit <math>\vec x:=\operatorname{Im} x</math>&nbsp;. Der (natürliche) [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist: : <math>\ln(x) = \ln |x| + \frac{\vec x}{|\vec x|} \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|} \right) \isin \mathbb H</math>&nbsp;<ref>{{Webarchiv |url=http://www.lce.hut.fi/~ssarkka/pub/quat.pdf |wayback=20130926165618 |text=Lce.hut.fi}} (PDF; 68&nbsp;kB)</ref> Für nicht-reelles <math>x</math> sind sie [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]]en voneinander : <math>\exp (\ln(x)) = x</math> und, falls <math>|\vec x| < \pi</math>, : <math>\ln(\exp (x)) = x</math>&nbsp;. Für nicht-reelles, mit <math>x</math> kommutierendes <math>y</math> gelten die [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en : <math>\exp (x+y) = \exp (x) \exp (y)</math> und : <math>\ln (x) + \ln (y) = \ln (x y)</math>&nbsp;, letzteres für <math>x,y</math> mit hinreichend kleinem Imaginärteil. === Fortsetzungen komplexer Funktionen === [[Datei:Lift Complex Function to Quaternions.svg|304px|mini|Im [[w:de:Kommutatives Diagramm|kommutativen Diagramm]] müssen sich <math>g_{\epsilon}</math> und <math> g_{\zeta}</math> auf <math>\iota_{\epsilon}\Complex \; \cap \; \iota_{\zeta}\Complex \; \subset \; \mathbb H</math> vertragen.]] Da <math>\mathbb H</math> als eine Vereinigung von Einbettungen komplexer Ebenen aufgefasst werden kann (s. Abschnitt [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|#Einbettung der komplexen Zahlen]]), kann man versuchen, Funktionen <math>g \colon \Complex \to \Complex</math><ref>Die Überlegungen gelten schon, wenn der Definitionsbereich von <math>g</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ist.</ref> mithilfe der genannten Einbettungsisomorphismen <math>\iota_{\epsilon}</math> vom Komplexen ins Quaternionische zu liften. Dabei ist zu fordern, dass die so gewonnenen Funktionen <math>g_{\epsilon} \colon \iota_{\epsilon} (\Complex) \to \iota_{\epsilon} (\Complex) \subset \mathbb H</math> mit <math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon} \circ g \circ {\iota_{\epsilon}}^{-1}(q) </math> bei Überschneidungen der [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsbereiche]] dasselbe Ergebnis liefern, sodass die vereinigte Funktion <math>\tilde g</math> auf der [[w:de:Vereinigungsmenge|Vereinigungsmenge]] <math>\cup_{\epsilon} \bigl( \iota_{\epsilon} (\Complex) \bigr) = \mathbb H</math> vermöge <math>\forall q \in \mathbb H \; \exists \epsilon : q \in \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> als <math>\tilde g(q) := g_{\epsilon} (q)</math> in [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefinierter]] Weise gebildet werden kann. Sei <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \ \mathrm i_\Complex</math> eine komplexwertige Funktion <math>\Complex \to \Complex</math> einer komplexen Variablen <math>z = \xi + \eta \, \mathrm i_\Complex</math> mit reellen <math>\xi,\eta</math> und reellen <math>u(\xi,\eta),v(\xi,\eta) .</math><br /> '''Einbettbarkeit:''' <math>g</math> ist genau dann einbettbar in die Quaternionen, wenn <math>u</math> eine [[w:de:Gerade Funktion|gerade]] und <math>v</math> eine [[w:de:ungerade Funktion|ungerade Funktion]] des jeweils zweiten Arguments <math>\eta</math> ist. {| class="wikitable left mw-collapsible mw-collapsed font-size: 105.3%;" |style="text-align:left; font-size: 95%;"| '''Beweis'''&nbsp; |- | Ist <math>q</math> eine beliebige nicht-reelle Quaternion, dann ist <math>\epsilon := \operatorname{Im} q / |\operatorname{Im} q| </math> eine [[w:de:#reine und normierte|reine und normierte Quaternion]] mit <math>\epsilon^2 = -1</math>. Seien ferner <math>\xi := \operatorname{Re} q </math> und <math>\eta := |\operatorname{Im} q| </math>, die beide reell sind. Sowohl <math>\iota_{\epsilon}</math> wie <math>\iota_{\overline \epsilon}</math> ist ein Einbettungsisomorphismus für das Bild <math>q</math>. Im ersteren Fall ist <math>z_{\epsilon} := \xi+\eta \, \mathrm i_\Complex \in \Complex</math> das Urbild von <math>q = \xi+\eta \, \epsilon </math>, im zweiten Fall haben wir wegen <math>q = \xi+\eta \, \epsilon = \xi-\eta \, \bar\epsilon </math> das Urbild <math>z_{\overline \epsilon} := \iota_{\overline \epsilon}^{-1} (\xi-\eta \, \epsilon) = \xi-\eta \, \mathrm i_\Complex </math>; jeweils mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als der imaginären Einheit von <math>\Complex</math>. Die Urbilder sind verschieden, das Bild, das bei der zu bildenden Funktion <math>\tilde g</math> als Argument fungieren soll, ist aber beidesmal <math>q</math>.<br /> Das „Liften“ wird durch die Einbettung der Funktionswerte als : <math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon}(g(z_{\epsilon})) = \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \epsilon</math> und : <math>g_{\overline \epsilon}(q) := \iota_{\overline \epsilon}(g(z_{\overline \epsilon})) = \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar\epsilon</math> vervollständigt (s. Diagramm). Nun ist nach Voraussetzung : <math>u(\xi,+\eta)=u(\xi,-\eta), \quad v(\xi,+\eta) = -v(\xi,-\eta),</math> sodass sich : <math>g_{\overline \epsilon}(q) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar \epsilon = u(\xi,-\eta) - v(\xi,-\eta) \epsilon = u(\xi,+\eta) + \ v(\xi,+\eta) \epsilon = g_{\epsilon}(q) </math> ergibt und <math>\tilde g(q)</math> nicht von der Wahl des Einbettungsisomorphismus abhängt. Die Bedingung ist auch notwendig. Denn lässt umgekehrt die Funktion <math>g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine Einbettung <math>\tilde g \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \tilde g(q) </math> in die Quaternionen zu, so gibt es zu jedem <math>q \in \mathbb H</math> eine geeignete reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> und reelle <math>\xi,\eta </math> mit <math>q = \xi\,+\,\eta \, \epsilon</math> und : <math>\begin{array}{llll} \tilde g(q) &= g_{\epsilon}(\xi\,+\,\eta \, \epsilon) = g_{\epsilon}(\iota_{\epsilon} (\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\epsilon}(g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\ &= \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \epsilon . \end{array}</math> Bei der konjugierten Quaternion <math>\bar \epsilon = -\epsilon</math> hat die Einbettung <math>\iota_{\overline \epsilon} </math> dasselbe Bild <math>\iota_{\overline \epsilon} (\Complex) = \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> wie <math>\iota_{\epsilon}</math> und also <math>g_{\overline \epsilon}</math> dieselbe [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsmenge]] wie <math>g_{\epsilon}</math>. Der Funktionswert : <math>\begin{array}{llll} \tilde g(q) &= g_{\overline \epsilon}(\xi\,-\,\eta \, \bar \epsilon) = g_{\overline \epsilon}(\iota_{\overline \epsilon} (\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\overline \epsilon}(g(\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\ &= \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \bar\epsilon \\ &&= u(\xi,-\eta)\,-\,v(\xi,-\eta) \epsilon \end{array}</math> muss also mit dem vorigen für alle <math>\xi,\eta \in \R</math> übereinstimmen. ■ |} Die eingebettete Funktion <math>\tilde g</math> stimmt auf ''allen'' Teilmengen <math>\iota_{\epsilon} (\Complex) \cong \Complex</math> mit <math>g</math> überein, kann also als [[w:de:Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzung]] von <math>g</math> angesehen werden und, wenn Verwechslungen nicht zu befürchten sind, wird auch der Funktionsname beibehalten. Ist <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine einbettbare Funktion, so ist <math>v(\xi,0) = -v(\xi,0)</math> wegen der Ungeradheit von <math>v</math> in der zweiten Variablen, also <math>v(\xi,0) = 0</math> und <math>g(z) \in \R</math> für <math>z \in \R</math>. Somit folgt aus der Einbettbarkeit, dass die [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] aufs Reelle reell ist.<ref>Letzteres ist aber nicht hinreichend, denn die Funktion <math>g(z) := \operatorname{Im} z</math> ist trotz <math>g\!\mid_\R \, = 0 \in \R</math> wegen <math>u(\xi,\eta) \equiv \eta \not\equiv -\eta \equiv u(\xi,-\eta) </math> nicht einbettbar.<br />Sind jedoch bei solchen Funktionen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt, so folgt aus der Ungeradheit von <math>v(\xi,\eta)</math> die Geradheit von <math>u(\xi,\eta)</math> (jeweils in der zweiten Variablen) und damit die Einbettbarkeit in die Quaternionen.<br />Im Gegensatz zu <math>g(z) = \operatorname{Im} z</math> ist die Funktion <math>h(z) := \mathrm i_\Complex \, \operatorname{Im} z </math> einbettbar mit der Fortsetzung <math>\tilde h \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \operatorname{Im} q.</math></ref> Zu dieser Klasse von komplexen Funktionen gehören Norm und Betrag, aber auch alle [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n <math>\textstyle \sum_{n=-\infty}^\infty a_n z^n</math> mit reellen Koeffizienten <math>a_n</math>, so die Exponential- und Logarithmusfunktion.<ref>Ein weiteres nicht einbettbares Beispiel ist <math>g(z) := \mathrm i_\Complex</math>, bei dem <math>v(\xi,\eta) = 1</math> ''nicht ungerade'' ist in <math>\eta</math>. Die Einbettung mithilfe des Einbettungsisomorphismus <math>\iota_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} </math> ergibt zwar die (konstante) Funktion <math>g_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} = \mathrm i_{\mathbb H} </math>, die aber mit anderen Einbettungen, z.&nbsp;B. <math>\iota_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} </math> mit dem (ebenfalls konstanten) Ergebnis <math>g_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} = \mathrm j_{\mathbb H} \ne \mathrm i_{\mathbb H},</math> nicht zusammenpasst.</ref> === Analysis === Schwieriger ist es, eine allgemeine quaternionische Analysis mit Differential- und/oder [[w:de:Integralrechnung|Integralrechnung]] aufzustellen. Ein Problem springt unmittelbar ins Auge: der Begriff des [[w:de:Differentialrechnung|Differenzenquotienten]] <math>\tfrac{f( x + h ) - f( x )} h </math>, der in der reellen wie der komplexen Analysis so erfolgreich ist, muss wegen der Nicht-Kommutativität als linke ''und'' rechte Version definiert werden. Legt man dann genauso strenge Maßstäbe wie bei der [[w:de:Holomorphe Funktion|komplexen Differenzierbarkeit]] an, dann stellt sich heraus, dass bestenfalls lineare Funktionen, und zwar <math>x \mapsto a + x b </math> links und <math>x \mapsto a + b x </math> rechts, differenzierbar sind.<ref>[https://www.zipcon.net/~swhite/docs/math/quaternions/analysis.html ''Quaternion Analysis, Functions of a Quaternion Variable''] (englisch).</ref> Immer definieren lässt sich aber eine [[w:de:Richtungsableitung|Richtungsableitung]] und das [[w:de:Gâteaux-Differential|Gâteaux-Differential]]. Ausgehend von den [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und dem [[w:de:Satz von Morera|Satz von Morera]] wurde folgender Regularitätsbegriff gefunden: Eine quaternionische Funktion ist regulär an der Stelle <math>x </math>, wenn ihr Integral über jeder hinreichend kleinen <math>x </math> umschließenden [[w:de:Hyperfläche|Hyperfläche]] verschwindet.<ref>{{cite journal |first=R. |last=Fueter |title=Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen |journal=Comm. Math. Helv. |volume=8 |date=1936 |pages=371–378}}</ref><ref>{{cite journal |first=C.A. |last=Deavours |title=The Quaternion Calculus |journal=Amer. Math. Monthly |volume=80 |date=1973 |pages=995–1008 |language=en}}</ref><ref>{{cite journal |first=A. |last=Sudbery |title=Quaternionic Analysis |doi=10.1017/S0305004100055638 |journal=Math. Proc. Camb. Phil. Soc. |volume=85 |date=1979 |pages=199–225 |language=en}}</ref> == Beschreibung anderer Konstrukte mit Hilfe von Quaternionen == === Minkowski-Skalarprodukt === Das [[w:de:Minkowski-Raum|Minkowski-Skalarprodukt]] zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im Minkowski-Raum, ist der Skalarteil von <math>xy</math>: : <math>x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3=\operatorname{Re}(xy).</math> === Vektoranalysis === Im Folgenden werden Vektoren im dreidimensionalen Raum <math>\R^3</math> mit reinen Quaternionen <math>\in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math>, also die üblichen <math>(x,y,z)</math>-Koordinaten mit den <math>(x_1,x_2,x_3)</math>-Komponenten identifiziert. Definiert man den [[w:de:Nabla-Operator|Nabla-Operator]] (wie Hamilton) als : <math>\vec \nabla \;=\; \mathrm i \, \frac\partial{\partial x}+\mathrm j \, \frac\partial{\partial y}+\mathrm k \, \frac\partial{\partial z}</math> und wendet ihn auf eine skalare Funktion <math>f(x,y,z)</math> als (formale) Skalarmultiplikation an, erhält man den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] : <math>\vec \nabla f \;=\; \operatorname{grad} f \;=\; \mathrm i \, \frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm j \, \frac{\partial f}{\partial y}+\mathrm k \, \frac{\partial f}{\partial z}.</math> Die Anwendung auf ein Vektorfeld : <math>\vec F(x,y,z) \;=\; \mathrm i \, F_1(x,y,z)+\mathrm j \, F_2(x,y,z) +\mathrm k \, F_3(x,y,z)</math> als (formales) Skalarprodukt ergibt die [[w:de:Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] : <math>\vec \nabla \cdot \vec F \;=\; \operatorname{div} \vec F \;=\; \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y}+ \frac{\partial F_3}{\partial z}</math>&nbsp;. Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Kreuzprodukt ergibt die [[w:de:Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] : <math>\vec \nabla \times \vec F \;=\; \operatorname{rot} \vec F \;=\; \mathrm i \left ( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right ) + \mathrm j \left ( \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right ) + \mathrm k \left ( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right )</math>&nbsp;. Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Produkt zweier [[w:de:#Reine Quaternion|reiner Quaternionen]] ergibt : <math>\vec \nabla \vec F \;=\; -\operatorname{div} \vec F + \operatorname{rot} \vec F</math> mit <math>- \operatorname{div} \vec F</math> als Skalarteil und <math>\operatorname{rot} \vec F</math> als Vektorteil der Quaternion. Zweimalige Anwendung auf eine Funktion <math>f</math> ergibt den [[w:de:Laplace-Operator|Laplace-Operator]] <math>\triangle</math> : <math>\vec \nabla^2 \, f \;:=\; \vec \nabla \cdot (\vec \nabla \, f) \;=\; \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right) \;=\; -\triangle f \;=\; -\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}\right),</math> d.&nbsp;h., <math>\nabla</math> wirkt wie ein [[w:de:Dirac-Operator|Dirac-Operator]] als (formale) „Quadratwurzel“ des (negativen) Laplace-Operators. === Drehungen im dreidimensionalen Raum === Einheitsquaternionen können für eine elegante Beschreibung von [[w:de:Drehung|Drehung]]en im dreidimensionalen Raum verwendet werden: Für eine feste Einheitsquaternion <math>q</math> ist die Abbildung : <math>\rho_q\colon x\mapsto qxq^{-1}</math> &nbsp; bzw. &nbsp; <math>\rho_q\colon x\mapsto qx\overline{q}</math> auf <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> eine Drehung. (Hier, wie im Folgenden, ist nur von Drehungen die Rede, die den Ursprung festlassen, d.&nbsp;h., deren Drehachse durch den Ursprung verläuft.) Die [[w:de:#Polardarstellung|Polardarstellung]] stellt die Einheitsquaternion <math>q\neq\pm 1</math> durch einen Winkel <math>0<\alpha<2\pi</math> und eine reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> eindeutig dar als : <math>q = \cos\frac{\alpha}{2} + \epsilon\sin\frac{\alpha}{2}</math>&nbsp;. Dann ist <math>\rho_q\ </math> eine Drehung des <math>\R^3\ </math> um die Achse <math>\epsilon\in\R^3\ </math> mit Drehwinkel <math>\alpha</math>. Für jede Einheitsquaternion <math>q</math> definieren <math>q</math> und <math>-q</math> dieselbe Drehung; insbesondere entsprechen <math>1</math> und <math>-1</math> beide der identischen Abbildung (Drehung mit Drehwinkel&nbsp;0). Im Unterschied zur Beschreibung von Drehungen durch [[w:de:Orthogonale Matrix|orthogonale Matrizen]] handelt es sich also um keine 1:1-Entsprechung, zu jeder Drehung <math>\rho</math> gibt es genau ''zwei'' Einheitsquaternionen <math>q</math> mit <math>\rho_q=\rho</math>. Die [[w:de:Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] von Drehungen entspricht der Multiplikation der Quaternionen, d.&nbsp;h. : <math>\rho_{q_1}\circ\rho_{q_2}=\rho_{q_1 q_2}.</math> Die Umkehrung der Drehrichtung entspricht dem Inversen: : <math>\rho_{q^{-1}}=\rho_q^{-1}.</math> {{Anker|-1=2:1-Überlagerung}} Damit ist die Abbildung : <math> \begin{array}{rccc} \rho \colon & \mathbb{S}^3 & \to & \mathrm{SO}(3) \\ & q & \mapsto & \rho_q \end{array} </math> ein [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]] der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen in die [[w:de:Drehgruppe|Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Sie ist eine [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|Überlagerung der <math>\mathrm{SO}(3)</math>]], und da ein Bildelement <math>\rho_q</math> genau die zwei Urbilder <math>\pm q\in \mathbb{S}^3</math> hat, ''zwei''blättrig, weshalb der Homomorphismus auch ''2:1-Überlagerung(shomomorphismus)''<ref name="Conway" />{{rp|Seite 33.}} genannt wird. Ferner ist sie [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|universell]], da <math>\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist. ==== Bezug zu orthogonalen Matrizen ==== Explizit entspricht der Einheitsquaternion <math>q \in \mathbb{S}^3</math>, : <math>q=q_0+q_1\mathrm i+q_2\mathrm j+q_3\mathrm k</math> mit <math>q_i \in \R</math> und <math>\operatorname{Norm}(q) = q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1</math>, die [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrix]] : <math> \begin{array}{rlll} D_q := & \begin{bmatrix} q_0^2 + q_1^2 - q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_3+2q_1q_2 & 2q_0q_2+2q_1q_3 \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & q_0^2 - q_1^2 + q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & q_0^2 - q_1^2- q_2^2+ q_3^2 \end{bmatrix} \\[.3em] = & \begin{bmatrix} 1-2(q_2^2 + q_3^2) \;\;\;\; & -2q_0q_3+2q_1q_2 \;\;\;\, & 2q_0q_2+2q_1q_3 \;\;\quad \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & 1-2(q_1^2 + q_3^2) & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & 1-2(q_1^2 + q_2^2) \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3), \end{array} </math> diese Formel ist auch als [[w:de:Euler-Rodrigues-Formel|Euler-Rodrigues-Formel]] bekannt. Sie bildet eine reine Quaternion <math>\xi</math> auf <math>(0, D_q \; \vec \xi) = q \; \xi \; q^{-1}</math> ab. Ist umgekehrt die Drehmatrix : <math>D = \begin{bmatrix} d_{11} & d_{12} & d_{13} \\ d_{21} & d_{22} & d_{23} \\ d_{31} & d_{32} & d_{33} \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3)</math><ref>Zu <math>\mathrm{SO}(3)</math> siehe [[w:de:Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung|Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung]].</ref> gegeben und ist die [[w:de:Spur (Mathematik)|Spur]] : <math>T_D := d_{00} + d_{11} + d_{22} + d_{33} > 0</math> mit <math>d_{00} := 1</math>&nbsp;, dann bewerkstelligt die Quaternion : <math>q_D := T_D + (d_{32}-d_{23}) \mathrm i + (d_{13}-d_{31}) \mathrm j + (d_{21}-d_{12}) \mathrm k </math> die Drehung <math>D \; \vec \xi</math>, denn es ist <math>q_D \; \xi \; q_D^{-1} = (0, D \; \vec \xi)</math> für jede reine Quaternion <math>\xi</math>&nbsp;. Wenn man die [[w:de:Homogene Funktion|homogen]] formulierte Version von <math>D_q</math> als Eingabematrix nimmt, produziert die gezeigte Lösung mit <math>d_{00} := \operatorname{Norm}(q)</math> die Quaternion <math>q_D = 4 q_0 q</math>. Wegen <math>\operatorname{det}(D_q) = \operatorname{Norm}(q)^3</math> kann die Homogenität in den <math>d_{ij}</math> durch die Setzung <math>d_{00} := \sqrt[3]{\operatorname{det}(D)}</math> aufrechterhalten werden. Die <math>\mathrm{SO}(3)</math> hat wie die <math>\mathbb{S}^3</math> über <math>\R</math> die Dimension 3. Die neun Komponenten von <math>D</math> können also nicht alle frei wählbar sein. Da einer jeden Matrix <math>D\in\mathrm{SO}(3)</math> eine Quaternion <math>q</math> entspricht, decken die Drehmatrizen <math>D_q</math> die ganze <math>\mathrm{SO}(3)</math> ab. Bei <math>D_q</math> ist <math>T_{D_q} = 4 q_0^2</math>. Falls also wirklich <math>D \in \mathrm{SO}(3)</math>, ist auch <math>\frac{q_D}{2 \sqrt{T_D}}</math> die Einheitsquaternion zu <math>q_D</math>. ==== Bezug zu Eulerwinkeln ==== Für [[w:de:Eulerwinkel|Eulerwinkel]] gibt es verschiedene Konventionen; die folgende Darlegung bezieht sich auf die Drehung, die man erhält, wenn man zuerst um die <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Psi</math>, dann um die neue <math>x</math>-Achse um den Winkel <math>2\Theta</math> und schließlich um die neue <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Phi</math> dreht, d.&nbsp;i. die sog. [[w:de:Eulersche Winkel#Konventionen|„x-Konvention“ (z, x’, z’’)]] mit allen Winkeln ''doppelt''. Die Einzeldrehungen entsprechen den [[w:de:#Polardarstellung|Einheitsquaternionen]] : <math>\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi,\quad \cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta,\quad \cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi,</math> und da jeweils um die mitgedrehten Achsen gedreht wird, ist die Reihenfolge der Komposition umgekehrt. Die Gesamtdrehung entspricht also : <math>\left(\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi\right)\left(\cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta\right)\left(\cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi\right)</math> : <math>{}=\cos\Psi\cos\Theta\cos\Phi-\sin\Psi\cos\Theta\sin\Phi</math> :: <math>{}+\mathrm i\left(\cos\Psi\sin\Theta\cos\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\sin\Phi\right)</math> :: <math>{}+\mathrm j\left(-\cos\Psi\sin\Theta\sin\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\cos\Phi\right)</math> :: <math>{}+\mathrm k\left(\sin\Psi\cos\Theta\cos\Phi+\cos\Psi\cos\Theta\sin\Phi\right).</math> Für andere Konventionen ergeben sich ähnliche Formeln. Die Eulerwinkel zu einer gegebenen Quaternion lassen sich an der zugehörigen [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrix]] ablesen. ==== Universelle Überlagerung der Drehgruppe; Spingruppe ==== Wie im Abschnitt [[w:de:#Einheitsquaternion|Einheitsquaternionen]] gezeigt, gibt es einen durch die Hamiltonschen Zahlen vermittelten [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] zwischen der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen und der [[w:de:Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>. Diese beiden Gruppen sind isomorph zur [[w:de:Spingruppe|Spingruppe]] <math>\mathrm{Spin(3)}</math> (zur Physik: siehe [[w:de:Spin|Spin]]). Die [[#Drehungen im dreidimensionalen Raum|2:1-Überlagerung]] liefert also einen [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]] der Spingruppe <math>\mathrm{Spin(3)}</math> in die [[w:de:Drehgruppe|Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Diese Überlagerung ist zweiblättrig und [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|universell]], da <math>\mathrm{Spin(3)}\cong\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> im Gegensatz zur <math>\mathrm{SO}(3)</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist. Die natürliche Operation von <math>\mathrm{SU}(2)</math> auf <math>\Complex^2</math> ist eine sog. [[w:de:Spinor|Spinor]]darstellung. Die aus der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] bekannten sog. [[w:de:Pauli-Matrizen|Pauli-Matrizen]] <math>\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3</math> stehen in einfacher Beziehung zu den drei Erzeugenden <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> der [[w:de:#Einheitsquaternion|<math>\mathrm{SU}(2)</math>]]. Das wird besonders deutlich in der Darstellung als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]]: : <math> \sigma_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm k,\quad \sigma_2 = \begin{bmatrix} 0 & -\mathrm i_\Complex\\ \mathrm i_\Complex & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm j,\quad \sigma_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm i </math>&nbsp;, dabei ist <math>\mathrm i_\Complex</math> die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen. Die Pauli-Matrizen haben −1 zur Determinante (sind also keine Quaternionen), sind [[w:de:spurfrei|spurfrei]] und [[w:de:Hermitesche Matrix|hermitesch]] und kommen daher in der Quantenmechanik als ''messbare Größen'' in Frage, was sich für die Anwendungen (s. [[w:de:mathematische Struktur der Quantenmechanik|mathematische Struktur der Quantenmechanik]]) als wichtig erwiesen hat. Einzelheiten sind im Artikel [[w:de:SU(2)|SU(2)]] dargestellt. === Orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes === Analog zum dreidimensionalen Fall kann man jede orientierungserhaltende orthogonale Abbildung von <math>\mathbb H</math> in sich selbst in der Form : <math>\rho_{a,b}\colon x\mapsto ax\bar b</math> für Einheitsquaternionen <math>a,b</math> beschreiben. Es gilt : <math>\rho_{a_1,b_1}\circ\rho_{a_2,b_2}=\rho_{a_1a_2,b_1b_2}\quad\text{und}\quad\rho_{\bar a,\bar b}=\rho_{a,b}^{-1}.</math> Diese Konstruktion liefert eine Überlagerung : <math>\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(4)</math> mit [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] <math>\{(1,1),(-1,-1)\}</math>. == Die endlichen Untergruppen == Der [[#2:1-Überlagerung|2:1-Überlagerungshomomorphismus]] : <math>\rho\colon q \mapsto \rho_q</math>, der einer Einheitsquaternion <math>q\in \mathbb{S}^3</math> die [[w:de:#Drehungen im dreidimensionalen Raum|3D-Drehung]] : <math> \begin{array}{rccc} \rho_q \colon & \operatorname{Im}\,\mathbb H & \to & \operatorname{Im}\,\mathbb H \\ & x & \mapsto & qx\bar q \end{array} </math> zuordnet, muss eine endliche Gruppe <math>Q</math> von Quaternionen in eine endliche Gruppe <math>\rho(Q):=\{\rho_q \mid q \in Q\}</math> überführen, die dann eine endliche Drehgruppe im <math>\R^3</math> ist. Man findet [[w:de:zyklische Gruppe|zyklische Gruppe]]n <math>\mathrm{C}_n</math> und [[w:de:Drehgruppe#Drehgruppen von Figuren|Polyedergruppen]], also die [[w:de:Diedergruppe|Diedergruppe]]n <math>\mathrm{D}_n</math> ([[w:de:Diedergruppe#Bezeichnungen|Zählweise]] der ''n''-Ecke), die [[w:de:A4 (Gruppe)|Tetraedergruppe]] <math>\mathrm{T}</math>, die [[w:de:Oktaedergruppe|Oktaedergruppe]] <math>\mathrm{O}</math> und die [[w:de:Ikosaedergruppe|Ikosaedergruppe]] <math>\mathrm{I}</math>. Die Erzeugenden der zyklischen Gruppen sind [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettungen]] von [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n <math>\exp(2\pi \mathrm i_\Complex/n)</math>.<ref>Wie im referenzierten Abschnitt und im Abschnitt [[w:de:#Automorphismen|#Automorphismen]] bemerkt, gibt es zu jedem fixen Dreibein <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k </math> sehr viele verschiedene Einbettungen dieser endlichen Untergruppen in <math>\mathbb{H}</math>.</ref> Die Urbilder der <math>\mathrm{D}_n</math>, <math>\mathrm{T}</math>, <math>\mathrm{O}</math>, <math>\mathrm{I}</math> unter <math>\rho</math> werden mit <math>\mathrm{2D}_n</math>, {{Anker|binäre_Tetraedergruppe}}<math>\mathrm{2T}</math>, {{Anker|binäre_Oktaedergruppe}}<math>\mathrm{2O}</math>, {{Anker|binäre_Ikosaedergruppe}}<math>\mathrm{2I}</math> bezeichnet und heißen ''binäre'' Diedergruppe etc. Für eine Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math> ist also <math>\mathrm{2P}:=\{q \mid \rho_q \in \mathrm{P} \}</math>.<ref>Diese Gruppen firmieren – besonders in der englischen Literatur – auch als binäre Erweiterung <math>\mathrm{2P}</math> der Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math>, und die binären Diedergruppen <math>\mathrm{2D}_n</math> zusätzlich als [[w:de:Quaternionengruppe#Dizyklische Gruppen und verallgemeinerte Quaternionengruppen|verallgemeinerte Quaternionengruppen]], auch als [[w:de:Dizyklische Gruppe|dizyklische Gruppen]], in Zeichen <math>\mathrm{Dic}_n</math>.</ref> Die endlichen Gruppen von Quaternionen sind demnach:<ref name="Conway" />{{rp| 3.5 The Finite Groups of Quaternions, S. 33}} <math>(2 \leq n \in \Z)</math> {| class="wikitable left" style="text-align:center;" |- | Gruppe || erzeugt<br /> von ||style="text-align:right"| Ordnung || [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] im <math>\R^2</math> bzw. <math>\R^4</math> |- | <math>\mathrm{C}_n</math> || <math>\langle e_n\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>n</math> || [[w:de:Polygon|reguläres ''n''-Eck]] |- | <math>\mathrm{2D}_n</math> || <math>\langle e_{2n},\mathrm j\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>4n</math> || <math>\{2n\} \Box \{2n\}</math>,<ref name="perf4polyt"> Gabor Gévay: [http://www.emis.ams.org/journals/BAG/vol.43/no.1/b43h1gev.pdf ''On Perfect 4-Polytopes''] (PDF; 211&nbsp;kB) Contributions to Algebra and Geometry Volume 43 (2002), No. 1, 243–259: gibt auf S. 256 die 4-Polytope »<math>\{2p\} \Box \{2p\}</math>« für die <math>\mathrm{2D}_p</math> bzw. auf S. 252 Table 2 das 4-Polytop »<math> \text{f}_{1,2}\text{F}_4</math>« für <math>\mathrm{2O}</math>.</ref> bei ''n''=2 zugleich: [[w:de:Hurwitzquaternion#Reguläres 16-Zell (Hexadekachor)|reguläres 16-Zell]] |- | <math>\mathrm{2T}</math> || <math>\langle \mathrm i,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>24</math> || [[w:de:Hurwitzquaternion#Reguläres 24-Zell (Ikositetrachor)|reguläres 24-Zell]] |- | <math>\mathrm{2O}</math> || <math>\langle q_O,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>48</math> || <math>\text{f}_{1,2}\text{F}_4</math><ref name="perf4polyt" /> = Dihektaoktokontaoktochor (288-Zell) |- | <math>\mathrm{2I}</math> || <math>\langle q_I,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>120</math> || reguläres 600-Zell |} mit : <math>e_n:=\exp(2\pi \mathrm i/n)</math>&nbsp;, &nbsp; <math>\omega: = \frac{-1+\mathrm i+\mathrm j+\mathrm k}2</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_O:=\frac{\mathrm j+\mathrm k}{\sqrt 2}</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_I: = \frac{2 \mathrm i+(\sqrt 5+1) \mathrm j+(\sqrt 5-1) \mathrm k}4</math>&nbsp;. Die zyklischen Gruppen <math>\mathrm{C}_n</math> sind in naheliegender Weise Untergruppen von anderen Gruppen. Die [[w:de:Quaternionengruppe|Quaternionengruppe]] <math>\mathrm{Q}_8</math> = <math>\mathrm{2D}_2</math> ist eine Untergruppe der binären Tetraedergruppe <math>\mathrm{2T}</math>. Die [[w:de:Quaternionengruppe#Automorphismen|Automorphismengruppe]] von <math>\mathrm{Q}_8</math> ist isomorph zur Oktaedergruppe <math>\mathrm{O} = \mathrm{Sym}_4</math> ([[w:de:Symmetrische Gruppe|Symmetrische Gruppe]]). Ihre Elemente sind ebenfalls Automorphismen von <math>\mathrm{2T}</math>, <math>\mathrm{2O}</math>, <math>\mathrm{2I}</math> und <math>\mathbb H</math>. Die konvexen Hüllen sind (bis auf die Fälle <math>\mathrm{C}_n</math>, bei denen man mit 2 Dimensionen auskommt) [[w:de:Polytop (Geometrie)|4-Polytope]] und haben, da alle Gruppenelemente von der Länge 1 sind, die [[w:de:Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> als [[w:de:Umkugel|Um-3-Sphäre]]. Die Ränder dieser 4-Polytope, also die Zellen, sind Ansammlungen von [[w:de:Tetraeder|Tetraeder]]n – bis auf den Fall <math>\mathrm{2T}</math>, bei dem es [[w:de:Oktaeder|Oktaeder]] sind. Bei den regulären unter den konvexen Hüllen ist es klar, dass die Zellen ebenfalls regulär und zueinander kongruent sind und es eine [[w:de:Inkugel|In-3-Sphäre]] gibt, die alle Zellen (an ihrem Mittelpunkt) berührt. Die übrigen, nämlich <math>\mathrm{2D}_n</math> und <math>\mathrm{2O}</math>, spannen sog. perfekte<ref name="perf4polyt" /> 4-Polytope auf. Hier sind die Zellen [[w:de:Disphenoid#tetragonales Disphenoid|tetragonale Disphenoide]], welche ebenfalls alle zueinander kongruent sind und an ihrem Mittelpunkt von der In-3-Sphäre berührt werden. == Automorphismen == Ein jeder Ring-[[w:de:Automorphismus|Automorphismus]] <math>\sigma</math> von <math>\mathbb H</math> ist ein [[w:de:Automorphismus#Innere Automorphismen|innerer]],<ref>[[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 24.</ref> d.&nbsp;h., es gibt eine Quaternion <math>q</math>, sodass <math>\sigma(x) = qxq^{-1}</math> für alle <math>x \in \mathbb{H}</math>. Daraus folgt: * Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\R</math> bleibt fest, d.&nbsp;h. <math>\sigma(\lambda)=\lambda</math> für alle <math>\lambda\in \R</math>. * Man kann sich auf die Einheitsquaternionen <math>q\in \mathbb{S}^3</math> beschränken. * Ein Automorphismus ändert nicht das [[w:de:#Skalarprodukt|Skalarprodukt]], d.&nbsp;h. <math>\sigma(x) \cdot \sigma(y) = x \cdot y</math>. * Die Automorphismen sind genau die [[w:de:Winkeltreue|winkel-]] und [[w:de:längentreue|längentreue]]n Drehungen von <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus dem Abschnitt [[w:de:#Drehungen im dreidimensionalen Raum|Drehungen im dreidimensionalen Raum]]. * Wegen der Längentreue sind die Automorphismen [[w:de:Stetige Funktion|stetig]], somit zusätzlich [[w:de:Homöomorphismus|topologisch]]. * <math>\mathbb{S}^3</math> hat das Zentrum <math>\{\pm 1\}</math>. Folglich ist die [[w:de:Automorphismengruppe|Automorphismengruppe]] <math>\operatorname{Aut}(\mathbb H) \cong \mathbb{S}^3/\{\pm 1\}</math>. Die [[w:de:#Konjugation|Konjugation]] als Spiegelung an der reellen Achse ist ''anti''homomorph in der Multiplikation, d.&nbsp;h. <math>\overline{x y}=\bar y \bar x</math>, und wird als [[w:de:Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]] bezeichnet, weil sie zudem eine [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]] ist. == Andere Konstruktionen == === Matrixdarstellungen === ==== Komplexe Matrizen ==== Im [[w:de:Matrizenring|Ring]] <math>\Complex^{2\times 2}</math> der [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] 2×2-[[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] bildet man den von den Elementen : <math>1_H := \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \mathrm i_H := \begin{bmatrix} \mathrm i_\Complex & 0 \\ 0 & -\mathrm i_\Complex \end{bmatrix},\quad \mathrm j_H := \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix},\quad \mathrm k_H := \begin{bmatrix} 0 & \mathrm i_\Complex \\ \mathrm i_\Complex & 0 \end{bmatrix}</math> erzeugten [[w:de:Unterring|Unterring]] <math>H</math>,<ref><math>H</math> ist ein <math>\R</math>-Vektorraum, der aber weder <math>\Complex^{2\times 2}</math>-[[w:de:Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] noch <math>\Complex</math>-Vektorraum ist, da &nbsp; <math>\mathrm i_\Complex \, 1_H \notin H</math>.</ref> wobei die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen als <math>\mathrm i_\Complex</math> kenntlich gemacht ist.<ref>Die Matrizen <math>\mathrm i_H,\mathrm j_H,\mathrm k_H</math> sind [[w:de:spurfrei|spurfrei]] und [[w:de:Schiefhermitesche Matrix|schiefhermitesch]].</ref> Eine Matrix : <math>x_0 \, 1_H+x_1\,\mathrm i_H+x_2\,\mathrm j_H+x_3\,\mathrm k_H=\begin{bmatrix}x_0+x_1\,\mathrm i_\Complex \quad &x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex\\-x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex \quad &x_0-x_1\,\mathrm i_\Complex\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}w&z\\-\overline z&\overline w\end{bmatrix}</math> mit reellen <math>x_0,x_1,x_2,x_3</math> und komplexen <math>w:=x_0+x_1\mathrm i_\Complex,z:=x_2+x_3\mathrm i_\Complex</math> hat die [[w:de:Determinante|Determinante]] <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=|w|^2+|z|^2</math>, die nur dann 0 ist, wenn <math>(w,z)=(0,0)</math>. Somit sind alle von der [[w:de:Nullmatrix|Nullmatrix]] verschiedenen Matrizen [[w:de:Invertierbare Matrix|invertierbar]] – und der Ring <math>H</math> ist ein [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]].<ref>Nur Matrixringe der Dimensionen 1, 2 und 4 über <math>\R</math> sind [[w:de:nullteilerfrei|nullteilerfrei]] (siehe auch [[w:de:#Die Quaternionen als Algebra|#Die Quaternionen als Algebra]]).</ref> Der so konstruierte Schiefkörper erweist sich als [[w:de:isomorph|isomorph]] zu den Quaternionen. Denn die Abbildung <math>\mathbb H \to H</math> mit den Zuordnungen : <math>1 \mapsto 1_H,\quad \mathrm i \mapsto \mathrm i_H,\quad \mathrm j \mapsto \mathrm j_H,\quad \mathrm k \mapsto \mathrm k_H</math> ist [[w:de:homomorph|homomorph]] in den Verknüpfungen Addition und Multiplikation, wobei letztere der [[w:de:Matrizenmultiplikation|Matrizenmultiplikation]] zuzuordnen ist. Die konjugierte Quaternion geht auf die [[w:de:adjungierte Matrix|adjungierte Matrix]] und die [[w:de:#Norm|Norm]] auf die [[w:de:Determinante|Determinante]]. Darüber hinaus ist die Abbildung [[w:de:Injektivität|injektiv]] und stetig, also [[w:de:Homöomorphismus|topologisch]]. Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Einbettung <math>\mathbb H \to H</math>, die alle zueinander [[w:de:Konjugation (Gruppentheorie)|konjugiert]] und [[w:de:Homöomorphismus|homöomorph]] sind.<ref>Diese Möglichkeiten entsprechen der Vorschaltung eines [[w:de:#Automorphismen|Automorphismus]].</ref> ==== Reelle Matrizen ==== Ganz analog kann man die Quaternion <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> auch als reelle 4×4-Matrix : <math>\begin{bmatrix}\begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ -x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ -x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ -x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array}\end{bmatrix}</math> : <math>= x_0 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_1 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_2 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_3 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] </math> schreiben. Die Konjugation der Quaternion entspricht der [[w:de:Transponierte Matrix|Transposition der Matrix]] und der Betrag der vierten Wurzel aus der Determinante. Das Modell der reellen Matrizen ist bspw. dann vorteilhaft, wenn man eine Software für [[w:de:lineare Algebra|lineare Algebra]] mit Schwächen bei den komplexen Zahlen hat. === Quotientenalgebra === Eine elegante, aber zugleich abstrakte Konstruktion stellt der Weg über den [[w:de:Faktorring|Quotienten]] des [[w:de:Nichtkommutativer Polynomring|nichtkommutativen Polynomrings]] in drei [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n dar, deren Bilder <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> sind, modulo dem Ideal, das von den Hamilton-Regeln erzeugt wird. Alternativ kommt man auch mit nur zwei Unbestimmten aus. Auf diese Weise ergibt sich die Quaternionen-Algebra als [[w:de:Clifford-Algebra|Clifford-Algebra]] der zweidimensionalen, euklidischen Ebene mit Erzeugern <math>\mathrm i \mapsto e_1,\, \mathrm j \mapsto e_2,\, \mathrm k=\mathrm {ij} \mapsto e_1e_2</math>. Im Zusammenhang mit dreidimensionalen Drehungen ist auch die Interpretation als der gerade Anteil der Clifford-Algebra des dreidimensionalen, euklidischen Raumes wichtig. Die Erzeuger werden dann mit <math>\mathrm i \mapsto e_2e_3,\, \mathrm j \mapsto e_3e_1,\,\mathrm k \mapsto e_1e_2</math> identifiziert. == Die Quaternionen als Algebra == Es gibt bis auf Isomorphie genau vier [[w:de:Dimension (Mathematik)|endlichdimensionale]] <math>\R</math>-[[w:de:Algebra über einem Körper|Algebren]], deren Multiplikation ohne [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] ist, nämlich den Körper <math>\R</math> der reellen Zahlen selbst, den Körper <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen, den Schiefkörper <math>\mathbb H</math> der Quaternionen und den [[w:de:Alternativkörper|Alternativkörper]] <math>\mathbb O</math> der Cayleyschen [[w:de:Oktave (Mathematik)|Oktaven]].<ref>[[w:de:Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)|Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)]], Korollar 6.8 in Kapitel IX von Hungerford: Algebra (Springer 1974).</ref><ref>[[w:de:Divisionsalgebra#Sätze über reelle Divisionsalgebren|Satz von Hurwitz (normierte Divisionsalgebren)]].</ref><ref>Satz von [[w:de:Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Pontrjagin]] (1931) in [[w:de:#Pontrjagin|Pontrjagin]]: Jeder [[w:de:lokalkompakt|lokalkompakt]]e, [[w:de:zusammenhängend|zusammenhängend]]e topologische Schiefkörper ist entweder der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen oder der Schiefkörper der Quaternionen.</ref> Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H</math> ist <math>\R</math>; die Quaternionen sind also eine [[w:de:zentraleinfache Algebra|zentraleinfache Algebra]] über <math>\R</math>. [[w:de:Reduzierte|Reduzierte]] [[w:de:Norm (Körpererweiterung)|Norm]] und [[w:de:Spur (Mathematik)|Spur]] sind durch : <math>\mathrm{Nrd}(x)=|x|^2 = x \bar x = \bar x x = \langle x,x \rangle</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; bzw. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\mathrm{Trd}(x)=2\cdot\operatorname{Re}\,x</math> gegeben. Beim [[w:de:Tensorprodukt#Erweiterung der Skalare|Basiswechsel]] von <math>\R</math> zum algebraischen Abschluss <math>\Complex</math> werden die Quaternionen zu einer Matrizenalgebra: : <math>\mathbb H\otimes_{\R}\Complex\cong M_2(\Complex).</math> Die komplexe Konjugation auf dem Faktor <math>\Complex</math> des [[w:de:Tensorprodukt|Tensorprodukt]]es entspricht einer [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]] <math>v</math> der Matrizenalgebra. Die Invarianten von <math>v</math>, d.&nbsp;s. die von <math>v</math> fix gelassenen Elemente <math>x</math> mit <math>v(x)=x</math>, bilden eine zu <math>\mathbb H</math> isomorphe Algebra. Zur oben angegebenen Matrixdarstellung der Quaternionen als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] passt die Involution : <math>v(x):= \epsilon\bar x \epsilon^{-1}</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\epsilon:=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}</math>&nbsp;. Die Tatsache, dass die [[w:de:Brauergruppe|Brauergruppe]] von <math>\R</math> nur aus zwei Elementen besteht, spiegelt sich auch darin wider, dass : <math>\mathbb H\otimes_{\R}\mathbb H\cong M_4(\R)</math> ist. Allgemein bezeichnet man jede vierdimensionale [[w:de:zentraleinfache Algebra|zentraleinfache Algebra]] über einem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] als eine [[w:de:Quaternionenalgebra|Quaternionenalgebra]]. Die Quaternionen sind die [[w:de:Clifford-Algebra|Clifford-Algebra]] zum Raum <math>\R^2</math> mit einer [[w:de:Definitheit|negativ-definiten]] symmetrischen [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]]. == Andere Grundkörper == === Quaternionen über den rationalen Zahlen === Bei allen [[w:de:#Konstruktion|obigen]] Arten der Konstruktion spielt die [[w:de:Vollständiger Raum|Vollständigkeit]] des Koeffizientenvorrats keine Rolle. Deshalb kann man (anstatt von den [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R \, </math> über <math>\Complex = \R( \mathrm i ) \, </math> zu <math>\mathbb H \, </math>) auch von anderen Grundkörpern, z.&nbsp;B. den [[w:de:Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\Q \, </math>, ausgehen, um via [[w:de:gaußsche Zahl|gaußscher Zahlen]] <math>\Q( \mathrm i ) \, </math> bei den '''Quaternionen mit rationalen Koeffizienten''' : <math>G := \{ x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k \; \mid \; x_0,x_1,x_2,x_3 \in \Q \} \, </math> anzukommen mit formal denselben Rechenregeln. Danach kann, falls überhaupt erforderlich, die [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] für die [[w:de:#Norm und Betrag|Betrags]][[w:de:Metrischer Raum|metrik]] durchgeführt werden mit einem Endergebnis isomorph zu <math>\mathbb H</math>. Insofern können bei vielen Aussagen <math>\R</math> durch <math>\Q</math>, <math>\Complex</math> durch <math>\Q( \mathrm i )</math> und <math>\mathbb H</math> durch <math>G</math> ersetzt werden. Da es nach dem [[w:de:Satz von Wedderburn|Satz von Wedderburn]] keinen endlichen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] mit nicht-[[w:de:Kommutativität|kommutativer]] [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] gibt und die [[w:de:Dimension (Mathematik)|Dimension]] des [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]s <math>G</math> über seinem [[w:de:Primkörper|Primkörper]] und [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\Q</math> mit <math>2^2=4</math> minimal ist, gehört <math>G</math> als [[w:de:Abzählbarkeit|abzählbare]] Menge zu den „kleinsten“ Schiefkörpern mit nicht-kommutativer Multiplikation&nbsp;– auf jeden Fall enthält <math>G</math> keinen kleineren. Der Schiefkörper <math>G</math> besitzt einen sogenannten [[w:de:Ganzheitsring|Ganzheitsring]], d.&nbsp;h. eine [[w:de:Untermenge|Untermenge]] von Zahlen, genannt [[w:de:Hurwitzquaternion|Hurwitzquaternion]]en, die einen Ring bilden und <math>G</math> zum [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] haben, ganz ähnlich, wie es sich bei den ganzen Zahlen <math>\Z</math> und ihrem Quotientenkörper <math>\Q</math> verhält. In einem solchen Ring lassen sich bspw. [[w:de:Gitter (Mathematik)|Approximationsfragen]], [[w:de:Teilbarkeit|Teilbarkeit]]sfragen u.&nbsp;Ä. untersuchen. {{Hauptartikel|Hurwitzquaternion}} === Weitere Grundkörper === Auch Körper <math>K \ncong \Q \, </math> eignen sich als Ausgangspunkt zur Bildung nicht-kommutativer Erweiterungskörper nach Art der Quaternionen. Wichtig ist, dass in <math>K \, </math> die Summe aus vier Quadraten <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 \, </math> nur für <math>x_0=x_1=x_2=x_3=0 \, </math> verschwindet. Dann gibt es auch kein <math>\mathrm i \in K \, </math> mit <math>\mathrm i^2 + 1 = 0 \, </math> und <math>K( \mathrm i ) \, </math> ist eine echte quadratische [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterung]], die eine Konjugation definiert. Diese Bedingungen sind z.&nbsp;B. bei allen [[w:de:Geordneter Körper#Formal reelle Körper|formal reellen Körpern]] erfüllt. Aber auch bei Körpern, die nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden können, kann die obige Bedingung betreffend die Summe aus vier Quadraten erfüllt sein, bspw. im Körper <math>\Q_2</math> der [[w:de:p-adische Zahl|2-adischen Zahlen]]. Der so über <math>\Q_2</math> gebildete Quaternionenkörper ist isomorph zur Vervollständigung des (oben beschriebenen) Körpers <math>G</math> der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten für die folgende (nichtarchimedische diskrete) Bewertung <math>v</math>&nbsp;, dem [[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|2-Exponenten]] der Norm, : <math> \begin{array}{rccccc} v \colon & G^* & \xrightarrow{\operatorname{Norm}} & \Q^* & \xrightarrow{v_2} & \Z \\ & x & \mapsto & x \bar x & \mapsto & v_2(x \bar x) \end{array} </math> mit <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = 2^n m, n\in\Z, m\in\Q^*, 2\nmid m, 2\nmid m^{-1}</math>&nbsp;. Die Primzahl <math>p=2</math> ist die einzige, für die die [[w:de:Quaternionen-Algebra|Quaternionen-Algebra]] über <math>\Q_p</math> [[w:de:nullteilerfrei|nullteilerfrei]] und ein Schiefkörper ist. == Anwendungen == === Eulerscher Vier-Quadrate-Satz === Die Identität, die aus dem Produkt zweier ''Summen von vier Quadraten'' : <math>(x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_0^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2)</math> {| |- |style="width:3em;"| || <math>=(x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_1 + x_1y_0+ x_2y_3- x_3y_2)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_2- x_1y_3 + x_2y_0+ x_3y_1)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_3+ x_1y_2- x_2y_1 + x_3y_0)^2</math> |} wieder eine ''Summe von vier Quadraten'' macht, gilt universell&nbsp;– einschließlich aller Varianten, die durch Vorzeichenspiel und [[w:de:Permutation|Permutation]] entstehen&nbsp;– in jedem [[w:de:Polynomring|Polynomring]] <math> R[x_0,x_1,x_2,x_3,y_0,y_1,y_2,y_3] </math> über einem kommutativen unitären Ring <math> R </math> und kann im Nachhinein als „Abfallprodukt“ der Multiplikativität des [[w:de:#Betrag|quaternionischen Betrags]] angesehen werden. Ihre Entdeckung 1748, also lange ''vor'' der Quaternionenzeit, geht jedoch auf [[w:de:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] zurück, der mit ihrer Hilfe den 1770 erstmals erbrachten Beweis von [[w:de:Joseph-Louis Lagrange|Joseph-Louis Lagrange]] für den lange vermuteten [[w:de:Vier-Quadrate-Satz#Beweisskizze|Vier-Quadrate-Satz]] wesentlich vereinfachen konnte. (Anmerkung: Die algebraisch beweisbaren bilinearen 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten sind die Grundlagen der Kompositionsalgebren, nämlich der komplexen Zahlen, der Quaternionen, und der Oktonionen. Diese letzteren sind sozusagen die „Quadratwurzeln“ aus den ersteren. Alles, was somit korrekt mit Quaternionen berechnet wird, steht bocksteif auf elementaren algebraischen Identitäten. Wie Adolf Hurwitz 1898 bewies,<ref>{{Internetquelle |autor=[[w:de:Adolf Hurwitz|Adolf Hurwitz]] |url=https://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457811_1898 |titel=Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln |datum=1898-07-09 |seiten=309–316 |werk=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse (1898), Heft 3 |abruf=2023-01-23}}</ref> gibt es außer den erwähnten 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten keine weiteren bilinearen ''n''-Quadrate-Identitäten mehr.) === Informatik und Ingenieurwissenschaften === Die Darstellung von Drehungen mithilfe von Quaternionen wird im Bereich der interaktiven [[w:de:Computergrafik|Computergrafik]] genutzt, insbesondere bei [[w:de:Computerspiel|Computerspiel]]en, sowie bei der Steuerung von [[w:de:Satellit (Raumfahrt)|Satelliten]]. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrizen]] werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere wenn viele [[w:de:Drehung|Drehung]]en miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit. Des Weiteren werden Quaternionen, neben den [[w:de:Eulerwinkel|Eulerwinkel]]n, zur Programmierung von [[w:de:Industrieroboter|Industrieroboter]]n (z.&nbsp;B. [[w:de:ABB (Unternehmen)|ABB]]) genutzt. == Geschichte == [[Datei:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|mini|Gedenktafel an der Broom Bridge in Dublin, wo [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]] die Multiplikationsregeln im Oktober 1843 spontan in den Stein ritzte.]] [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]] hatte 1835 die Konstruktion der komplexen Zahlen als [[w:de:Geordnetes Paar|Zahlenpaare]] angegeben. Dadurch motiviert, suchte er lange nach einer entsprechenden Struktur auf dem Raum <math>\R^3</math> der Zahlentripel; heute weiß man, dass keine derartige Struktur existiert. 1843 schließlich gelangte er zu der Erkenntnis, dass es möglich ist, eine Multiplikation auf der Menge der 4-[[w:de:Tupel|Tupel]] zu konstruieren, wenn man dazu bereit ist, die [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativität]] aufzugeben. In einem Brief an seinen Sohn gibt er als Datum den 16. Oktober 1843 an und berichtet, er habe sich spontan dazu hinreißen lassen, die Multiplikationsregeln in einen Stein an der Brougham Bridge (heute Broombridge Road) in [[w:de:Dublin|Dublin]] zu ritzen; später wurde dort eine Gedenktafel angebracht. Die Rechenregeln für Quaternionen waren in Ansätzen schon früher bekannt, so findet sich die Formel für den [[w:de:Vier-Quadrate-Satz|Vier-Quadrate-Satz]] bereits bei [[w:de:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1748). Andere, auch allgemeinere Multiplikationsregeln wurden von [[w:de:Hermann Graßmann|Hermann Graßmann]] untersucht (1855). Schon kurz nach der Entdeckung der Quaternionen fand Hamilton die Darstellung von Drehungen des Raumes mithilfe von Quaternionen und damit eine erste Bestätigung der Bedeutung der neuen Struktur; [[w:de:Arthur Cayley|Arthur Cayley]] entdeckte 1855 die entsprechenden Aussagen über orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes. Die bloße Parametrisierung der <math>3\times3</math>-Drehmatrizen war hingegen schon Euler bekannt. Cayley gab 1858 in der Arbeit, in der er Matrizen einführte, auch die Möglichkeit der Darstellung von Quaternionen durch komplexe <math>2\times2</math>-Matrizen an. Hamilton widmete sich fortan ausschließlich dem Studium der Quaternionen; sie wurden in Dublin ein eigenes Examensfach. In seiner Nachfolge wurde 1895 sogar ein „Weltbund zur Förderung der Quaternionen“ gegründet. Der deutsche Mathematiker [[w:de:Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] schreibt rückblickend über diese anfängliche Euphorie: {{Zitat |Text=Wie ich schon andeutete, schloß sich Hamilton eine Schule an, die ihren Meister an Starrheit und Intoleranz noch überbot. […] Die Quaternionen sind gut und brauchbar an ihrem Platze; sie reichen aber in ihrer Bedeutung an die gewöhnlichen komplexen Zahlen nicht heran. […] Die Leichtigkeit und Eleganz, mit der sich hier die weittragendsten Theoreme ergeben, ist in der Tat überraschend, und es läßt sich wohl von hier aus die alles andere ablehnende Begeisterung der Quaternionisten für ihr System begreifen, die […] nun bald über vernünftige Grenzen hinauswuchs, in einer weder der Mathematik als Ganzem noch der Quaternionentheorie selbst förderlichen Weise. […] Die Verfolgung des angegebenen Weges – der neu sein will, obwohl er tatsächlich nur eine peinlich genaue Übertragung längst bekannter Gedanken auf ein einziges neues Objekt, also durchaus keine geniale Konzeption bedeutet&nbsp;– führt zu allerhand Erweiterungen der bekannten Sätze, die in ihrer Allgemeinheit das Hauptcharakteristikum verlieren und gegenstandslos werden, allenfalls zu Besonderheiten, die ein gewisses Vergnügen gewähren mögen. |Autor=Felix Klein |Quelle=Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert |ref=<ref>{{Literatur |Autor=Felix Klein |Titel=Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert |Band=Teil&nbsp;I. |Verlag=Verlag von Julius Springer |Ort=Berlin |Datum=1926 |Seiten=184 ff}}</ref>}} == Verwandte Themen == Ähnliche Konstruktionen wie die Quaternionen werden manchmal unter dem Begriff „[[w:de:hyperkomplexe Zahl|hyperkomplexe Zahl]]en“ zusammengefasst. Beispielsweise sind die ''Cayley-Zahlen'' oder ''[[w:de:Oktave (Mathematik)|Oktaven]]'' ein achtdimensionales Analogon zu den Quaternionen; ihre Multiplikation ist allerdings weder kommutativ noch assoziativ. == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Quaternion'' werden == Beispiel == Als einführendes Beispiel zum Thema ''Quaternion'' dient dabei == Literatur/Quellennachweise == <references/> === Weblinks === {{Commonscat|Quaternions|Quaternion}} * [https://world.std.com/~sweetser/quaternions/ps/book.pdf Doing Physics with Quaternions] (PDF; 563&nbsp;kB) * {{Anker|Lam}} [[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009 * [http://www.grundstudium.info/animation/node17.php Quaternionen in der Computeranimation] * [https://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node24.html Der Ort der Entdeckung der Quaternionen (mit Bildern)] === Literatur - Mathematik === * Jens Carsten Jantzen, [[w:de:Joachim Schwermer|Joachim Schwermer]]: ''Algebra''. Springer, 2006, ISBN 3-540-21380-5, [[doi:10.1007/3-540-29287-X]] * [[w:de:Serge Lang|Serge Lang]]: ''Algebra''. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X * [[w:de:Max Koecher|Max Koecher]], [[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]]: ''Hamiltonsche Quaternionen''. In: H.-D. Ebbinghaus et al.: ''Zahlen''. Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-12666-X * {{Anker|Conway}} [[w:de:John Horton Conway|John H. Conway]], Derek A. Smith: ''On Quaternions and Octonions''. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch) * Jack B. Kuipers: ''Quaternions and Rotation Sequences''. Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (englisch) * W. Bolton: ''Complex Numbers (Mathematics for Engineers)''. Addison-Wesley, 1996, ISBN 0-582-23741-6 (englisch) * Andrew J. Hanson: ''Visualizing Quaternions''. Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0-12-088400-3 (englisch) * {{Anker|Pontrjagin}} [[w:de:Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Lew Semjonowitsch Pontrjagin]]: ''Verallgemeinerungen der Zahlen''. Verlag Harri Deutsch, 1995 * {{Anker|Eilenberg-Niven}} S. Eilenberg, I. Niven: ''The „fundamental theorem of algebra“ for quaternions''. In: ''Bull. Amer. Soc.'', 50, 1944, S. 246–248 * {{Anker|Hölder}} Hölder: [[s:Bemerkung zur Quaternionentheorie|Bemerkung zur Quaternionentheorie]] ([[w:de:Wikisource|Wikisource]]) == Siehe auch == * [[Komplexe Zahl]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[3D-Modellierung]] * [[Wiki2Reveal]] * [[w:de:Quaternion|Quaternion]] * [[Open Educational Resources]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Wikipedia%20Authors Wikipedia Authors]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion Quaternion] https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion * Datum: 7.8.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity {{Normdaten|TYP=s|GND=4176653-2|LCCN=sh/85/109754|NDL=00570899}} [[Kategorie:Zahl]] [[Kategorie:Verallgemeinerter Körper]] [[Kategorie:Ringtheorie]] [[Category:Wiki2Reveal]] qg4qk37ew9osynbh21haolhi1dv6tg0 1117388 1117386 2026-10-22T13:37:18Z Bert Niehaus 20843 /* Formulierung der Einzelnregeln */ 1117388 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Quaternion'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Erweiterung eines Körpers und die algebraischen Eigenschaften * (2) Bezüge zu geometrischen Transformationen und 3D-Modellierung * (3) Quaternionen <math>\mathbb{H}</math> als 4-dimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Quaternionen'' in der Wikiversity hat das Ziel, die algebraischen und geometrischen Eigenschaften zu behandelt == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Quaternion'' sind * Studierende im Fach Mathematik (Algebra) * Studierende im Fach Informatik (Computergraphik) == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Quaternion'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''(Komplexe Zahl)''' Quaternionen als Erweiterung der komplexen Zahlen * '''(Gruppe)''' Die Einheiten der Quaternionen bilden eine nicht-kommuntative multiplikative Gruppe. == Einführung == Die '''Quaternionen''' (Singular ''die'' oder ''das Quaternion'', von {{laS|quaternio, -ionis}} [[w:de:Genus#Das Genussystem der deutschen Sprache|m.]] „Vierheit“) sind ein Zahlenbereich, der den Zahlenbereich der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] erweitert – ähnlich den [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]];<ref name="Beutelspacher-LA-7-30">{{Literatur |Autor=[[w:de:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]] |Titel=Lineare Algebra |Auflage=7. |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=2010 |ISBN=978-3-528-66508-1 |Seiten=30}}</ref> sie werden deshalb auch ''hamiltonsche Quaternionen'' oder '''Hamilton-Zahlen''' genannt. [[w:de:Olinde Rodrigues|Olinde Rodrigues]] entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton.<ref>Bei Gauß findet sich eine Notiz über die Multiplikation und Konjugation von Quadrupeln im Kapitel ''Mutation des Raumes''. In: [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]]: ''Werke''. Achter Band. König. Gesell. Wissen., Göttingen 1900, S. 357–361, die auf das Jahr 1819 datiert wird. Die Unterschiede zu Hamilton gehen nicht über notationelle Konventionen hinaus (Zitiert nach [[w:de:#Lam|Lam]] S. 25).</ref> Trotzdem wird die [[w:de:Menge (Mathematik)|Menge]] der Quaternionen meistens mit <math>\mathbb H</math> bezeichnet. === Quaternionen als Schiefkörper === Die Quaternionen bilden einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation auch von der ''Reihenfolge'' der Faktoren abhängt, also ''nicht'' [[w:de:Kommutativgesetz|kommutativ]] ist. Das heißt, es gibt Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math>, bei denen : <math>x y \;\; \neq \;\; y x</math> ist. === Vergleich mit Rechenregeln in den reellen Zahlen === Einige aus dem [[w:de:Reelle Zahl|Reellen]] bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch gelten [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativ-]] und [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] sowie [[w:de:Ring (Algebra)#Invertierbarkeit, Einheit|multiplikative Invertierbarkeit]], d.&nbsp;h. die [[w:de:Körper (Algebra)|Existenz des Inversen]] <math>x^{-1}</math> zu jedem <math>x\neq 0</math>. Die Quaternionen waren das erste Beispiel eines nichtkommutativen Schiefkörpers.<ref>[[w:de:#Lam|Lam]] S. 1</ref> === Quaternionen im 3D-Raum === Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen sowie zur Auswertung [[w:de:Textur (Kristallographie)|kristallographischer Texturen]].<ref name="Lunze">{{cite journal |author=Karsten Kunze, Helmut Schaeben |title=The Bingham Distribution of Quaternions und Its Spherical Radon Transform in Texture Analysis |journal=Mathematical Geology |month=11 |year=2004 |volume=8 |pages=917–943 |doi=10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59 |language=en}}</ref> Sie sind aber auch als eigenständiges [[w:de:mathematisches Objekt|mathematisches Objekt]] von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des [[w:de:Vier-Quadrate-Satz|Vier-Quadrate-Satz]]es. == Konstruktion == Die Quaternionen entstehen aus den reellen Zahlen durch Hinzufügen ([[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]]) dreier neuer Zahlen, denen in Anlehnung an die komplex-imaginäre Einheit die Namen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> gegeben werden. So ergibt sich ein vierdimensionales Zahlensystem (mathematisch ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]) mit einem ''Realteil'', der aus ''einer'' reellen [[w:de:Matrix (Mathematik)#Elemente der Matrix|Komponente]] besteht, und einem ''Imaginärteil'' aus ''drei'' Komponenten, der auch Vektorteil genannt wird. Alle Quaternionen lassen sich eindeutig in der Form : <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> mit reellen Zahlen <math>x_0</math>, <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math> schreiben. Damit bilden die Elemente <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> eine [[w:de:Basis (Vektorraum)|Basis]], die Standardbasis der Quaternionen über <math>\R</math>. Die Addition erfolgt komponentenweise und wird vom Vektorraum geerbt. Multiplikativ werden die neuen Zahlen <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math>, <math>\mathrm k</math> gemäß den ''Hamilton-Regeln'' {{Anker|Hamilton-Regeln}} : <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}=-1</math> verknüpft. Die [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]] <math>\R \times \mathbb H \to \mathbb H \, </math>, die ebenfalls vom Vektorraum geerbt wird<ref>Sie ist nicht mit dem [[w:de:#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] zu verwechseln.</ref> und bei der die Skalare als mit jedem Element vertauschbar angesehen werden, zusammen mit der Addition, dem [[w:de:Distributivgesetz#Formale Definition|Rechtsdistributivgesetz]] und den Hamilton-Regeln erlauben es, die Multiplikation von der Basis auf alle Quaternionen zu erweitern. Da so auch jeder Skalar <math>\lambda \in \R</math> als <math>\lambda+0\mathrm i+0\mathrm j+0\mathrm k</math> in <math>\mathbb H</math> eingebettet wird, kann <math>\R</math> als [[w:de:Unterring|Unterring]] von <math>\mathbb H</math> aufgefasst werden. Die so definierte Multiplikation ist [[w:de:Assoziativgesetz|assoziativ]], erfüllt die beiden [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]]e<ref>Wegen der fehlenden Kommutativität in der Multiplikation können die beiden Distributivgesetze nicht automatisch auf eines reduziert werden.</ref> und macht so die Quaternionen zu einem [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]]. Sie ist allerdings nicht [[w:de:Kommutativgesetz|kommutativ]], d.&nbsp;h., für zwei Quaternionen <math>x</math> und <math>y</math> sind die beiden Produkte <math>x y</math> und <math> y x</math> im Allgemeinen verschieden (s.&nbsp;u.). Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H^\times</math>, also die Menge derjenigen Elemente der multiplikativen Gruppe von <math>\mathbb H</math>, die mit allen Elementen kommutieren, ist <math>\R^\times</math>. Die Quaternionen bilden einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] (Divisionsring), da es zu jeder Quaternion <math>x\ne0</math> eine [[w:de:#Inverses und Division|inverse Quaternion]] <math>x^{-1}</math> gibt mit : <math>x x^{-1}=x^{-1} x=1</math>&nbsp;. Wegen der fehlenden Kommutativität werden Notationen mit Bruchstrich, wie z.&nbsp;B. <math>\tfrac{y}x</math>, vermieden. Des Weiteren sind die Quaternionen eine [[w:de:Dimension (Mathematik)|vierdimensionale]] [[w:de:Divisionsalgebra|Divisionsalgebra]] über <math>\R</math> – und bis auf [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] die einzige. == Schreibweise == Im weiteren Text werden folgende Schreibweisen benutzt: Ist <math>x</math> eine Quaternion, dann werden ihre reellen Komponenten mit <math>x_0, x_1, x_2, x_3</math> bezeichnet, und diese sind der Basis <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> folgendermaßen zugeordnet: : <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k .</math> Gelegentlich wird eine vektorielle Schreibweise benötigt. Dabei werden bspw. die Komponenten <math>(x_1,x_2,x_3)</math> zu einem 3-dimensionalen Vektor <math>\vec x</math> zusammengefasst, sodass man <math>x</math> mit dem 4-dimensionalen Vektor <math>(x_0, \vec x) = (x_0, x_1, x_2, x_3)</math> identifizieren kann.<ref>NB: <math>\vec x</math> wird bei Bedarf auch als Spaltenvektor eingesetzt.</ref> Analoge Abmachungen sollen für andere Buchstaben wie <math>y</math> etc. gelten. In manch älterer Literatur wurden Quaternionen mit großen [[w:de:Fraktur (Schrift)|Frakturbuchstaben]] und die imaginären Einheiten als ''Einheitsvektoren'' mit kleinen <math>\mathfrak{e}_n</math> in Fraktur bezeichnet, z.&nbsp;B. so: : <math>\mathfrak{X} = x_0 + \mathfrak{e}_1 x_1 + \mathfrak{e}_2 x_2 + \mathfrak{e}_3 x_3 = \sum_{j=0}^3 \mathfrak{e}_j x_j</math> mit <math>\mathfrak{e}_0 = 1</math>. Komplexe Zahlen tragen meist den Namen <math>z</math> und haben die reellen Komponenten <math>\xi</math>, <math>\eta</math>. == Grundrechenarten == Die Konstruktion der Quaternionen ist der der komplexen Zahlen analog, allerdings wird nicht nur eine neue Zahl hinzugefügt, sondern derer drei, die mit <math>\mathrm i</math>, <math>\mathrm j</math> und <math>\mathrm k</math> bezeichnet werden. === Darstellung als Linearkombination === Die [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]]en : <math>x_0\mathrm 1+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> über der Basis <math>\{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math> spannen mit reellen Komponenten <math>x_i</math> den 4-dimensionalen Vektorraum der Quaternionen <math>\mathbb H</math> auf. === 4-dimensionaler reeller Vektorraum === Als Vektorraum ist <math>\mathbb H</math> isomorph zu <math>\mathbb{R}^4</math>. Das Basiselement <math>\mathrm 1</math>, das die reellen Zahlen [[w:de:Injektivität|injektiv]] einbettet (und zugleich das neutrale Element der Multiplikation darstellt), wird in der Linearkombination meist weggelassen. Die Addition und Subtraktion geschieht komponentenweise. === Skalarmultiplikation - Hamilton-Multiplikation === Vom Vektorraum wird auch die [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]] übernommen, also die linke und rechte Multiplikation mit einer reellen Zahl, die distributiv zu jeder Komponente multipliziert wird. Diese Skalarmultiplikation ist eine [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] der Hamilton-Multiplikation, die auf ganz <math>\mathbb H</math> definiert ist. ==== Hamilton-Multiplikation der Basiselemente ==== Die Hamilton-Multiplikation der Basiselemente untereinander oder etwas umfassender innerhalb der Menge : <math>\mathrm{Q}_8 := \{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k, -\mathrm 1,-\mathrm i,-\mathrm j,-\mathrm k\}</math> geschieht nach den Hamilton-Regeln {| |- |style="width: 25em;"| * <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=-1</math> | <math>(1)</math> |- | * <math>\mathrm i\mathrm j=+\mathrm k,\quad \mathrm j\mathrm k=+\mathrm i,\quad \mathrm k\mathrm i=+\mathrm j</math> | <math>(2)</math> |- | * <math>\mathrm j\mathrm i=-\mathrm k,\quad \mathrm k\mathrm j=-\mathrm i,\quad \mathrm i\mathrm k=-\mathrm j</math> | <math>(\bar 2)</math>. |} ==== Quaternionengruppe ==== Diese Regeln zusammen mit der Vertauschbarkeit von <math>\pm1</math> mit jedem anderen Element geben eine vollständige Tafel für eine Verknüpfung vor, die sich als [[w:de:Assoziativgesetz|assoziativ]] erweist und <math>\mathrm{Q}_8</math> zu einer [[w:de:Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] macht – der [[w:de:Quaternionengruppe|Quaternionengruppe]]. ==== Formulierung der Einzelnregeln ==== Unter Voraussetzung der Regel <math>(1)</math> (und der Gruppenaxiome) ist die Kombination aus <math>(2)</math> und <math>(\bar 2)</math>, in der das zyklische und antizyklische Verhalten der drei nicht-reellen Quaternionen-Einheiten zum Ausdruck kommt, ersetzbar durch die Einzelregel {| |- |style="width: 25em;"| * <math>\mathrm i\mathrm j\mathrm k=-1</math> | <math>(3)</math>. |} Diese Einzelregel <math>(3)</math> könnte auch durch jede der fünf alternativen Einzelregeln <math>\mathrm j\mathrm k\mathrm i=-1</math>, <math>\mathrm k\mathrm i\mathrm j=-1</math>, <math>\mathrm k\mathrm j\mathrm i=1</math>, <math>\mathrm j\mathrm i\mathrm k=1</math> oder <math>\mathrm i\mathrm k\mathrm j=1</math> ersetzt werden. ==== Fortsetzung der Ersetzung auf die Menge der Quaterionen ==== Mithilfe dieser Ersetzungsregeln, des [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]]es und (linken sowie rechten) [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]]es lässt sich die Multiplikation auf ganz <math>\mathbb H</math> fortsetzen. Die <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> kann man wie [[w:de:Kommutativgesetz#Antikommutativität|''anti-kommutierende'']] Variablen behandeln. Treten Produkte von zweien von ihnen auf, so darf man sie nach den Hamilton-Regeln ersetzen. ==== Addition von Quaternionen ==== Die ausgearbeiteten Formeln für die zwei Verknüpfungen von zwei Quaternionen : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> &nbsp; und &nbsp; <math>y=y_0+y_1\mathrm i+y_2 \mathrm j+y_3\mathrm k</math> lauten :<math>\begin{alignat}{2} x+y & = (x_0+y_0)+(x_1+y_1)\mathrm i+(x_2+y_2)\mathrm j+(x_3+y_3)\mathrm k &\quad& \text{(Addition)} \end{alignat}</math> bzw. ==== Multiplikation von Quaternionen ==== Die Multiplikation von Quaternionen ergibt aus den Rechenregeln für die Basiselemente wie folgt: :<math>\begin{alignat}{2} x\cdot y & := (x_0 y_0 - x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3) &\quad& \text{(Multiplikation)}\\ & \quad + (x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{green} \; + \; x_2 y_3} {\color{red} \; - \; x_3 y_2}) \mathrm i && \\ & \quad + (x_0 y_2 {\color{red} \; - \; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{green} \; + \; x_3 y_1}) \mathrm j && \\ & \quad + (x_0 y_3 {\color{Green} \; + \; x_1 y_2} {\color{red} \; - \; x_2 y_1} + x_3 y_0) \mathrm k && \end{alignat}</math> ==== Herleitung der Multiplikation von Quaternionen ==== Herleitung der Multiplikation von zwei Quaternionen:<ref>{{Literatur |Autor=Brian L. Stevens, Frank L. Lewis, Eric N. Johnson |Titel=Aircraft Control and Simulation. Dynamics, Controls Design, and Autonomous Systems |Auflage=Third edition |Verlag=John Wiley & Sons, Inc. |Ort=Hoboken, New Jersey |Datum=2016 |ISBN=978-1-118-87098-3 |Seiten=46}}</ref> :<math>\begin{align} x\;y & = (x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k) \; (y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k)\\ & = x_0 y_0 + x_1 y_1 \mathrm i \mathrm i + x_2 y_2 \mathrm j \mathrm j + x_3 y_3 \mathrm k \mathrm k\\ & \quad + x_0 y_1 \mathrm i + x_1 y_0 \mathrm i +x_2 y_3 {\color{green} \mathrm j \mathrm k} +x_3 y_2 {\color{red}\mathrm k \mathrm j}\\ & \quad + x_0 y_2 \mathrm j + x_1 y_3 {\color{red} \mathrm i \mathrm k } + x_2 y_0 \mathrm j + x_3 y_1 {\color{green} \mathrm k \mathrm i}\\ & \quad + x_0 y_3 \mathrm k + x_1 y_2 {\color{green}\mathrm i \mathrm j} + x_2 y_1 {\color{red} \mathrm j \mathrm i} + x_3 y_0 \mathrm k\\ & = x_0 y_0 -x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3\\ & \quad + (x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{green}\;+\; x_2 y_3 } {\color{red} \; -\; x_3 y_2 }) \mathrm i\\ & \quad + (x_0 y_2 {\color{red}\;-\; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{green}\;+\; x_3 y_1} )\mathrm j \\ & \quad + (x_0 y_3 {\color{green}\;+ \; x_1 y_2} {\color{red}\;-\; x_2 y_1 } + x_3 y_0 ) \mathrm k. \end{align}</math> ==== Ring als algebraische Struktur ==== Damit sind die für einen (nicht-kommutativen) Ring erforderlichen zwei Verknüpfungen definiert. Ferner kann man als Aufgabe für Studierende leicht nachgerechnen, dass alle Ring-Axiome erfüllt sind. ==== Addititves Inverses ==== Das additive [[w:de:Inverses Element|Inverse]] ist (wie in jedem Vektorraum) das Produkt mit dem Skalar −1. Die ''Subtraktion'' ist die Addition dieses Inversen. ==== Multiplikatives Inverses ==== Die für einen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] erforderliche ''Division'' muss wegen der fehlenden Kommutativität durch eine Multiplikation mit dem (multiplikativen) Inversen ersetzt werden (siehe [[w:de:#Inverses und Division|Inverses und Division]]).<ref>Reelle Faktoren kommutieren mit <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> und damit mit allen Quaternionen, d.&nbsp;h., es gilt beispielsweise :<math>2\mathrm i\mathrm j=\mathrm i2\mathrm j=\mathrm i\mathrm j 2=2\mathrm k</math>, aber :<math>2\mathrm j\mathrm i=\mathrm j 2\mathrm i=\mathrm j\mathrm i 2=-2\mathrm k</math>. Nicht alle aus der elementaren Algebra bekannten Rechenregeln gelten für die Quaternionen, z.&nbsp;B. gilt :<math>(\mathrm i+\mathrm j)(\mathrm i-\mathrm j)=\mathrm i\mathrm i-\mathrm i\mathrm j+\mathrm j\mathrm i-\mathrm j \mathrm j=(-1)-\mathrm k+(-\mathrm k)-(-1)=-2\mathrm k</math>. Die [[w:de:Binomische Formel|binomischen Formeln]] <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math> oder <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> sind hier also ''nicht'' anwendbar. Sie setzen voraus, dass <math>ab=ba</math> gilt.</ref> == Gegenring == Ist <math>(R,+,\cdot)</math> ein Ring, dann wird der mit der Multiplikation :<math>x \circ y \; := y \cdot x</math> ausgestattete Ring <math>R^{\operatorname{op}} := (R,+,\circ) </math> als [[w:de:Gegenring|Gegenring]] bezeichnet. Hier folgen alle Ringgesetze, das heißt das Assoziativgesetz sowie beide Distributivgesetze, aus den ursprünglichen Gesetzen. Im Gegenring <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math>, der wegen der Nicht-Kommutativität von <math>\mathbb H</math> von diesem verschieden ist, gelten alle im Abschnitt ''[[w:de:#Grundrechenarten|Grundrechenarten]]'' angeführten Rechenregeln bis auf die Multiplikation, bei der die Vorzeichen der Terme, die nur [[w:de:Koeffizient|Koeffizient]]en <math>x_m y_n</math> mit <math>m \ne n</math> und <math>m \ne 0 \ne n</math> haben, invertiert sind. Ferner gilt die Kurzform : <math>\mathrm i\circ \mathrm j\circ \mathrm k=+1</math>. === Definition von Gauß === Im Übrigen hat [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Gauß]] laut Lam (Eq. (1.4)) die Quaternionenmultiplikation im Jahr 1819 genau so definiert. Des Weiteren ist die [[w:de:Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] des [[w:de:Drei-Finger-Regel|Dreibeins]] <math>(\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k)</math> in <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math> gespiegelt. Die [[w:de:Identische Abbildung|Identität]] auf der Grundmenge <math>\R^4</math> ist ein [[w:de:Antiisomorphismus|Antiisomorphismus]] und die [[w:de:#QKonjugation|Konjugation]] ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. === Nichtkommutativität === Die Nichtkommutativität ist gleichbedeutend mit der Verschiedenheit von <math>\mathbb{H}</math> und <math>\mathbb H^{\operatorname{op}}</math>. Da beide Ringe die [[w:de:Ring (Algebra)#Ring|Ringaxiome]] der Quaternionen erfüllen, muss dieses Axiomensystem „unvollständig“ sein im Sinne [[w:de:#Hölder|Hölders]]. In diesem Sinn vollständig sind die Axiomensysteme der rationalen, reellen oder komplexen Zahlen. == Grundlegende Begriffe == === Quaternion - Realteil und Imaginärteil === Aufgrund der besonderen Stellung der Komponente <math>x_0</math> einer Quaternion : <math>x=\underbrace{x_0}_{\mbox{Realteil}}+\underbrace{(x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k)}_{\mbox{Imaginärteil}}</math> bezeichnet man sie – wie bei den komplexen Zahlen – als ''Realteil'' und die anderen 3 Summanden werden als ''Imaginärteil'' zusammengefasst. === {{Anker|Realteil|Skalarteil}} Realteil oder Skalarteil und Vektorteil === Die Realteilfunktion <math>\mathfrak{Re}</math> von einer Quaternion ordnet einem <math>x=x_0+(x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k)\in \mathbb{H}</math> für beliebige Quaterionen <math>x\in \mathbb{H}</math> den Realteil <math>x_0\in \mathbb{R}</math> von <math>x</math> zu. : <math>\mathfrak{Re}(x) := x_0</math>&nbsp;, === {{Anker|Imaginärteil|Vektorteil}} Realteil oder Skalarteil und Vektorteil === Die Komponenten <math>x_1,x_2,x_3</math> zusammen den ''Imaginärteil'' oder ''Vektorteil'' : <math>\mathfrak{Im}(x) := x_1\mathrm i + x_2\mathrm j + x_3\mathrm k</math> bilden. Häufig identifiziert man den Vektorteil auch mit dem Vektor <math>\vec x:=(x_1,x_2,x_3) \in \R^3</math>. === {{Anker|QKonjugation}} Konjugation === Zu jeder Quaternion : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> ist die ''konjugierte Quaternion'' definiert als : <math>\bar x := x_0-x_1\mathrm i-x_2\mathrm j-x_3\mathrm k</math>&nbsp;. ==== Konjungation bei Quaternionen ==== Da hier der Imaginärteil mit seinen Einheitsvektoren verknüpft bleibt und der Realteil als reelle Zahl eindeutig in die Quaternionen einzubetten ist, ergeben sich die einfachen Beziehungen : <math>x = \mathfrak{Re}(x) + \mathfrak{Im}(x) </math> und : <math>\bar{x} = \mathfrak{Re}(x) - \mathfrak{Im}(x) </math>&nbsp;, ==== Realteil und Imaginärteil über Konjungation darstellen==== aus denen sich unmittelbar : <math>\mathfrak{Re}(x) = \frac12(x+\bar{x})</math> und : <math>\mathfrak{Im}(x) = \frac12(x-\bar{x})</math> ausrechnet.<ref>Im Komplexen gilt dagegen :<math>\operatorname{Im}\,z = \frac{1}{2\mathrm i_\Complex}(z-\bar{z})</math> mit Abspaltung der imaginären Einheit <math>\mathrm i_\Complex</math> von der rein-imaginären Komponente, sodass der Imaginärteil eine ''reelle'' Zahl ist. Und es gilt: :<math>z = \operatorname{Re}\,z + \mathrm i_\Complex \; \operatorname{Im}\,z.</math></ref> ==== Reiner Realteil und reiner Imaginärteil ==== Ist eine Quaternion gleich ihrer Konjugierten, so ist sie reell, d.&nbsp;h., der Vektorteil ist null. Ist eine Quaternion gleich dem Negativen ihrer Konjugierten, so ist sie eine [[w:de:#Reine Quaternion|reine Quaternion]], d.&nbsp;h., der Skalarteil ist null. Weitere wichtige Eigenschaften der Konjugation sind: {| |- | * <math>\overline{(\bar x)}=x</math> | Die Konjugation ist eine [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]]. |- | * <math>\overline{x+y}=\bar x+\bar y</math> und<br /> <math>\overline{\lambda x}=\lambda\bar x</math> für reelle Zahlen <math>\lambda</math> | Die Konjugation ist <math>\R</math>-[[w:de:Lineare Abbildung|linear]]. |- | * <math>\overline{x y}=\bar y\bar x</math> | Die Konjugation ist ein [[w:de:Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]]. |- | * <math>\overline x = -\tfrac12(x + \mathrm i\,x\,\mathrm i + \mathrm j\,x\,\mathrm j + \mathrm k x \mathrm k)</math> &nbsp; &nbsp; | Die Konjugation lässt sich „mit arithmetischen Mitteln“ darstellen.<ref>Das gilt daher auch für den Betrag und die Teilmenge der reellen Zahlen. Bei den komplexen Zahlen gilt das nicht (s.&nbsp;a. [[w:de:Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie|Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie]]).</ref> |} === Skalarprodukt === Das [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon \mathbb H \times \mathbb H \to\R</math> zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im <math>\R^4</math>, ist definiert durch : <math>\langle x,y \rangle:= x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3</math>&nbsp;. Es gilt : <math>\langle x,y \rangle= \operatorname{Re}(\bar xy)=\operatorname{Re}(x\bar y) = \frac{1}{2} (x\bar y + y\bar x)</math>&nbsp;. Es ist eine [[w:de:Definitheit|positiv definite]] symmetrische [[w:de:Bilinearform#Beispiele|Bilinearform]], über die sich [[w:de:#Norm und Betrag|Norm und Betrag]] definieren lassen und mit der [[w:de:Skalarprodukt#Norm, Winkel und Orthogonalität|Winkel und Orthogonalität]] bestimmt werden können. Ferner kann man damit die einzelnen Komponenten einer Quaternion isolieren: : <math>x_0 = \langle\mathrm 1, x\rangle,\quad x_1 = \langle\mathrm i, x\rangle,\quad x_2 = \langle\mathrm j, x\rangle,\quad x_3 = \langle\mathrm k, x\rangle</math>&nbsp;. Das aus der Physik weit verbreitete Vorgehen, das Skalarprodukt abkürzend wie eine Multiplikation mit dem [[w:de:Mittepunkt|Mittepunkt]] {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} zu notieren, wird auch bei den Quaternionen häufig angewandt, wobei hier die Verwechslungsgefahr zwischen Quaternionenmultiplikation und Skalarprodukt hoch ist. Im Folgenden verwenden wir folgende Konvention: * Das Quaternionenprodukt wird stets ohne Benutzung des Mittepunkts durch Aneinanderreihung der Faktoren notiert. * Das Skalarprodukt, und zwar sowohl das 4- wie das 3-dimensionale, wird in Multiplikationsschreibweise mit dem Mittepunkt {{nowrap|„<math>\cdot</math>“}} notiert. === Kreuzprodukt === Das Kreuzprodukt zweier Quaternionen <math>x, y</math> ist das [[w:de:Kreuzprodukt|Kreuzprodukt]] (Vektorprodukt) ihrer Vektorteile und bis auf den Faktor&nbsp;2 ihr [[w:de:Kommutator (Mathematik)|Kommutator]]. Ist <math>x=:(x_0,\vec x)</math> und <math>y =: (y_0,\vec y)</math>, so ist : <math>\begin{align} x \times y & := \vec x\times\vec y \\ & \;= \tfrac12(x y-y x) \\ & \;= ( x_2 y_3 - x_3 y_2) \mathrm i +(x_3 y_1 - x_1 y_3) \mathrm j +( x_1 y_2 - x_2 y_1) \mathrm k \; . \end{align}</math> === Quaternionenmultiplikation als Skalar- und Kreuzprodukt === Identifiziert man Quaternionen {| |- |style="width: 25em;"| : <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> |style="width: 5em;"| und |style="width: 25em;"| <math>y = y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k</math> |} mit Paaren aus einem Skalar <math>\in \R</math> und einem Vektor <math>\in \R^3</math> {| |- |style="width: 25em;"| : <math>x=(x_0,\vec x)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec x :=(x_1,x_2,x_3)</math> |style="width: 5em;"| bzw. |style="width: 25em;"| <math>y=(y_0,\vec y)</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\vec y :=(y_1,y_2,y_3)</math>&nbsp;, |} so lässt sich die Multiplikation mithilfe des (dreidimensionalen) [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]]s und [[w:de:Kreuzprodukt|Kreuzprodukt]]s beschreiben: : <math>xy = (x_0,\vec x) (y_0,\vec y)=\Big(x_0 y_0 -\vec x \cdot\vec y,\quad x_0 \vec y+\vec x y_0+\vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;. {{Anker|vertauschbar}} Zwei Quaternionen sind demnach genau dann miteinander ''vertauschbar'', wenn ihr Kreuzprodukt 0 ist, wenn also ihre Vektorteile als reelle Vektoren linear abhängig sind (s.&nbsp;a. [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettung der komplexen Zahlen]]). === {{Anker|Norm}} Norm und Betrag === Das Skalarprodukt einer Quaternion <math>x</math> mit sich selbst, welches gleich dem Quaternionenprodukt mit der Konjugierten ist, wird ''Norm'' genannt: : <math>\operatorname{Norm}(x) := \langle x,x \rangle = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 = x\bar x = \bar x x </math>&nbsp;<ref>Viele Autoren setzen jedoch Norm dem Betrag gleich.</ref> Insbesondere ist dieser Wert reell und nichtnegativ. {{Anker|Betrag}} Die [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] daraus : <math>\sqrt{{x_0}^2+{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2}=:|x|</math> wird ''Betrag'' oder ''Länge'' der Quaternion <math>x</math> genannt und stimmt überein mit Betrag oder [[w:de:Euklidische Norm|euklidischer Länge]] des Vektors <math>(x_0,x_1,x_2,x_3)</math>. Er erfüllt die wichtige Eigenschaft : <math>|x y|=|x|\;|y|</math>&nbsp;, die ''Multiplikativität des Betrags''. Mit dem Betrag werden die Quaternionen zu einer reellen [[w:de:Banachalgebra|Banachalgebra]]. === Inverses und Division === Bei einer nicht-kommutativen Multiplikation muss man die Gleichungen {| |- |style="width: 10em;"| : <math>x b=a</math> |style="width: 5em;"| und |style="width: 10em;"| <math>b y=a</math> |} unterscheiden. Wenn das [[w:de:Inverses Element|Inverse]] <math>b^{-1}</math> existiert, dann sind {| |- |style="width: 10em;"| : <math>x=a b^{-1}</math> |style="width: 5em;"| bzw. |style="width: 10em;"| <math>y=b^{-1} a</math> |} respektive Lösungen, die nur dann übereinstimmen, wenn <math>b</math> und <math>a</math> kommutieren, insbesondere wenn der Divisor <math>b</math> reell ist. In solch einem Fall kann die Schreibweise <math>\tfrac a b</math> verwendet werden – bei allgemeinen Divisionen wäre sie nicht eindeutig. Wenn zusätzlich <math>c^{-1}</math> existiert, gilt die Formel : <math>b^{-1} c^{-1}=(c b)^{-1}</math>, denn : <math>b^{-1} c^{-1} c b=1</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; und&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> (c b)^{-1} c b=1</math>&nbsp;. Für : <math>x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k\ne0</math> ist die Norm : <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = \bar x x = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2>0</math> reell und positiv. Die Quaternion : <math>x^{-1} := \frac{\bar x}{x \bar x} </math> erfüllt dann die Bedingungen des Rechts- : <math> x x^{-1} = x \frac{\bar x}{x \bar x} = 1</math> und des Links-Inversen : <math> x^{-1} x = \frac{\bar x}{\bar x x} x = 1</math> und kann deshalb als das Inverse schlechthin von <math>x</math> bezeichnet werden. === Reine Quaternion === Eine Quaternion, deren Vektorteil 0 ist, wird mit der ihrem Skalarteil entsprechenden reellen Zahl identifiziert. Eine Quaternion, deren Realteil 0 ist (äquivalent, deren Quadrat reell und nichtpositiv ist), nennt man ''rein'', ''rein imaginär'' oder ''vektoriell''. Die Menge der reinen Quaternionen wird als <math>\mathbb H _{\text{pure}}</math> oder <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> notiert. Sie ist ein [[w:de:Dimension (Mathematik)|dreidimensionaler]] reeller [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit Basis <math>\{\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}</math>. Für reine Quaternionen nimmt die Multiplikation eine besonders einfache Form an: : <math>(0,\vec x)(0,\vec y) \; = \; \Big({-\vec x \cdot \vec y}, \, \vec x\times\vec y\Big)</math>&nbsp;. === Einheitsquaternion === Eine ''Einheitsquaternion'' (auch ''normierte Quaternion'', Quaternion ''der Länge&nbsp;1'') ist eine Quaternion, deren Betrag gleich&nbsp;1 ist. Für sie gilt (analog zu den komplexen Zahlen) : <math>|x|=1\iff x\bar x=1\iff \bar x=x^{-1}</math>. Für eine beliebige Quaternion <math>x\ne0</math> ist : <math>\frac x{|x|}=\frac{x_0}{|x|}+\frac{x_1}{|x|}\mathrm i+\frac{x_2}{|x|}\mathrm j+\frac{x_3}{|x|}\mathrm k</math> eine Einheitsquaternion, die man manchmal auch als das [[w:de:Signumfunktion|Signum]] oder den Versor von <math>x</math> bezeichnet. Das Produkt zweier Einheitsquaternionen und die Inverse einer Einheitsquaternion sind wieder Einheitsquaternionen. Die Einheitsquaternionen bilden also eine Gruppe. Geometrisch kann man die Menge der Einheitsquaternionen als die [[w:de:Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> im vierdimensionalen [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und damit als [[w:de:Lie-Gruppe|Lie-Gruppe]] interpretieren, mit dem Raum der [[w:de:#Reine Quaternion|reinen Quaternionen]] als zugehöriger [[w:de:Lie-Algebra|Lie-Algebra]]. Die Darstellung als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] verdeutlicht die umkehrbar eindeutige Entsprechung der Einheitsquaternionen mit der [[w:de:Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>. Die einzigen reellen Einheitsquaternionen sind <math>\pm 1</math>. Sie machen auch das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb{S}^3</math> aus. === Reine Einheitsquaternion === Einheitsquaternionen, die auch reine Quaternionen sind, lassen sich als diejenigen Quaternionen charakterisieren, deren Quadrate <math>-1</math> ergeben: : <math>\epsilon_0=0 \; \land \; {\epsilon_1}^2+{\epsilon_2}^2+{\epsilon_3}^2=1\qquad\iff\qquad \epsilon^2=-1</math>.<ref>Den unendlich vielen [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]]n des [[w:de:Polynom|Polynom]]s <math>X^2 + 1</math> steht das Fehlen einer Nullstelle beim Polynom <math>\mathrm i X - X \mathrm i + 1</math> vom [[w:de:Polynom|Grad]] 1 gegenüber. Letzteres besitzt 2 [[w:de:Monom|Monom]]e vom Grad 1, dem höchsten Grad seiner Monome. In nicht-kommutativen Ringen wird der Grad des Monoms <math>a_0 X a_1 \dots a_{n-1} X a_n</math> mit <math>a_i \neq 0</math> zu <math>n</math> definiert, und ein Monom dominiert ein Polynom, wenn es unter allen Monomen den höchsten Grad hat. Dann ist der Grad des Polynoms auch gleich dem Grad der dominierenden Monome. Hat ein Polynom über <math>\mathbb H</math> ein ''einziges'' dominierendes Monom von einem Grad > 0, dann hat es immer eine Nullstelle in <math>\mathbb H</math>. ([[w:de:#Eilenberg-Niven|Eilenberg-Niven]]).</ref> Sie liegen in der Äquatorhyperebene der 3-Sphäre <math>\mathbb{S}^3</math> und machen die Einheits-2-Sphäre <math>\mathbb{S}^2</math> des dreidimensionalen Raums <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus. === Einbettung der komplexen Zahlen === Jede Quaternion <math>\epsilon</math> mit Quadrat <math>-1</math> definiert einen Einbettungs[[w:de:isomorphismus|isomorphismus]] <math>\iota_{\epsilon}</math> der komplexen Zahlen in die Quaternionen : <math> \begin{array}{rccc} \iota_{\epsilon} \colon & \Complex & \to & \mathbb H \\ & u+v\mathrm i_\Complex & \mapsto & u+v \epsilon \end{array} </math> mit <math>u,v\in\R</math> und <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit der komplexen Zahlen. Dabei sind die [[w:de:Bild (Mathematik)|Bildmengen]] der <math>\epsilon</math> und <math>\bar \epsilon</math> entsprechenden Einbettungen identisch: <math>\iota_{\epsilon}(\Complex) = \iota_{\overline \epsilon}(\Complex)</math>. Eine jede solche Quaternion darf <math>\mathrm i</math> genannt werden, eine senkrechte dazu <math>\mathrm j</math> und ihr Produkt <math>\mathrm k</math>.<ref name="Conway">[[w:de:John Horton Conway|John H. Conway]], Derek A. Smith: ''On Quaternions and Octonions''. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch).</ref>{{rp|Seite 40.}} <ref>Ein [[w:de:#Automorphismen|Automorphismus]] definiert eine solche Einbettung (durch [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]]), die nur eine Einbettung von {{nowrap|<math>\R</math>-[[w:de:Algebra über einem Körper|Algebren]]}} ist. <math>\mathbb H</math> ist keine Algebra über <math>\Complex</math>.</ref> Jede nicht-reelle Quaternion liegt in genau einer solchen Einbettung von <math>\Complex</math>&nbsp;. Zwei Quaternionen sind genau dann vertauschbar, wenn es eine gemeinsame Einbettung gibt. Zwei verschiedene Bilder haben die reelle Achse zum Durchschnitt. So betrachtet, sind die Quaternionen eine [[w:de:Menge (Mathematik)#Vereinigung (Vereinigungsmenge)|Vereinigung]] komplexer Ebenen. == Polardarstellung == Jede [[w:de:#Einheitsquaternion|Einheitsquaternion]] <math>x^\circ = x_0 + x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k \; \ne \; \pm 1</math> kann auf eindeutige Weise in der Form : <math>x^\circ=\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math> :: mit dem ''Polarwinkel''<ref>[[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22. Der Polarwinkel ist das Analogon zum [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|komplexen Argument]] <math>\operatorname{arg}(z)</math>, allerdings ist bei dessen Hauptwert das Signum des Imaginärteils mit hinein genommen, was sich bei den Quaternionen nicht machen lässt, sodass <math>\operatorname{arg}</math> nicht eine einfache [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] des Polarwinkels ist.</ref> von <math>x^\circ</math> ::: <math>\phi := \arccos(x_0) = \arccos(\operatorname{Re} x^\circ) \in{]0,\pi[}</math> :: und der ''reinen'' Einheitsquaternion ::: <math>\epsilon := \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sqrt{1-x_0^2}} = \frac{x_1 \mathrm i + x_2 \mathrm j + x_3 \mathrm k}{\sin \phi} = \frac{\operatorname{Im} x^\circ}{|\operatorname{Im} x^\circ|} = \frac{\vec x^\circ}{|\vec x^\circ|}</math> dargestellt werden. Mit der [[w:de:Exponentialfunktion#Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren|verallgemeinerten Exponentialfunktion]] lässt sich das wegen <math>\epsilon^2=-1\ </math> auch schreiben als : <math>x^\circ=\exp(\epsilon\phi)</math> mit der [[w:de:#Reine Quaternion|reinen Quaternion]] <math>\epsilon\phi =: x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H </math>. Will man also eine reine Quaternion <math>x^\prime\ne 0</math> exponentiieren, so ist ihr Betrag <math>\phi=|x^\prime|</math> und die [[w:de:#Reine Einheitsquaternion|reine Einheitsquaternion]] <math>\epsilon=x^\prime/\phi</math> zu bilden, und es ergibt sich die Einheitsquaternion : <math>\exp x^\prime = \cos\phi+\epsilon\,\sin\phi</math>. Der Fall &nbsp; <math>\exp 0 = 1</math> &nbsp; lässt sich [[w:de:Fortsetzung (Mathematik)#Stetige Fortsetzung|stetig ergänzen]]. Damit ist die [[w:de:Matrixexponential|Exponentialabbildung]] <math>\exp\colon \operatorname{Im}\,\mathbb H \to \mathbb{S}^3</math> [[w:de:surjektiv|surjektiv]]. Nun ist <math>\exp x^\prime = -1</math> für alle <math>x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math> mit <math>|x^\prime| = \pi</math>, und das sind unendlich viele. Gleichwohl ist die [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] <math>\exp\colon \{x^\prime \in \operatorname{Im}\,\mathbb H \land |x^\prime| < \pi \} \; \to \; \mathbb{S}^3 \setminus \{-1\}</math> [[w:de:Bijektivität|bijektiv]]. Sie ist [[w:de:Stetige Funktion|stetig]], wegen der Nicht-Kommutativität der Multiplikation aber kein [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]]<ref name="exp-nicht-homomorph">Für <math>x^\prime:=\mathrm i\pi</math> und <math>y^\prime:=\mathrm j\pi</math> ist :<math>\exp x^\prime \exp y^\prime = \exp(\mathrm i\pi) \exp(\mathrm j\pi) = (-1)(-1)=1</math> :<math>\ne \exp(x^\prime+y^\prime) = \exp((\mathrm i+\mathrm j)\pi) = \cos(\pi \sqrt 2)+\frac{\mathrm i+\mathrm j}{\sqrt 2}\sin(\pi \sqrt 2)</math>.</ref>. {{Anker|reine_und_normierte}} Allgemein lässt sich jede nicht-reelle Quaternion eindeutig in der Form : <math>x=|x| \; (\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi)</math> :: mit dem ''Polarwinkel'' von <math>x</math> ::: <math>\phi = \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|}\right) \in{]0,\pi[} </math> :: und der reinen Einheitsquaternion (der ''reinen und normierten Quaternion von <math>x</math>'') ::: <math>\epsilon = \frac{\operatorname{Im} x}{\sqrt{|x|^2 - (\operatorname{Re} x)^2}} = \frac{\operatorname{Im} x}{|x| \, \sin \phi} = \frac{\vec x}{|\vec x|}</math> schreiben. Durch die Festlegung <math>\phi \in{]0,\pi[}</math> ist <math>\sin \phi > 0</math>, sodass <math>\epsilon</math> in dieselbe Richtung wie der Vektorteil <math>\operatorname{Im} x</math> zeigt. Jede nicht reell-negative Quaternion schreibt sich eindeutig als : <math>x=|x|\exp x^\prime</math> mit einer reinen Quaternion <math>x^\prime</math> mit &nbsp; <math>|x^\prime|<\pi</math>. Diese Darstellungen sind der Polarform komplexer Zahlen : <math>z=|z|(\cos\phi+\mathrm i_\Complex\sin\phi)=|z| \exp(\mathrm i_\Complex\phi)</math> (mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als imaginärer Einheit) analog. Für die [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]] : <math>x y = |x| \; |y| \; \exp (x^\prime+y^\prime)</math> müssen <math>x,y</math> allerdings kommutieren.<ref name="exp-nicht-homomorph" /><ref>Laut [[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22 mag das Scheitern dieser Funktionalgleichung das größte Hindernis für eine quaternionische [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] gewesen sein.</ref> == Funktionentheorie == === Exponentialfunktion, Logarithmus === Das Exponential einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist: : <math>\exp (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \exp (\operatorname{Re} x) \left(\cos |\vec x|+\frac{\vec x}{|\vec x|} \sin |\vec x| \right) \isin \mathbb H</math> mit <math>\vec x:=\operatorname{Im} x</math>&nbsp;. Der (natürliche) [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] einer nicht-reellen Quaternion <math>x</math> ist: : <math>\ln(x) = \ln |x| + \frac{\vec x}{|\vec x|} \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|} \right) \isin \mathbb H</math>&nbsp;<ref>{{Webarchiv |url=http://www.lce.hut.fi/~ssarkka/pub/quat.pdf |wayback=20130926165618 |text=Lce.hut.fi}} (PDF; 68&nbsp;kB)</ref> Für nicht-reelles <math>x</math> sind sie [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]]en voneinander : <math>\exp (\ln(x)) = x</math> und, falls <math>|\vec x| < \pi</math>, : <math>\ln(\exp (x)) = x</math>&nbsp;. Für nicht-reelles, mit <math>x</math> kommutierendes <math>y</math> gelten die [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en : <math>\exp (x+y) = \exp (x) \exp (y)</math> und : <math>\ln (x) + \ln (y) = \ln (x y)</math>&nbsp;, letzteres für <math>x,y</math> mit hinreichend kleinem Imaginärteil. === Fortsetzungen komplexer Funktionen === [[Datei:Lift Complex Function to Quaternions.svg|304px|mini|Im [[w:de:Kommutatives Diagramm|kommutativen Diagramm]] müssen sich <math>g_{\epsilon}</math> und <math> g_{\zeta}</math> auf <math>\iota_{\epsilon}\Complex \; \cap \; \iota_{\zeta}\Complex \; \subset \; \mathbb H</math> vertragen.]] Da <math>\mathbb H</math> als eine Vereinigung von Einbettungen komplexer Ebenen aufgefasst werden kann (s. Abschnitt [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|#Einbettung der komplexen Zahlen]]), kann man versuchen, Funktionen <math>g \colon \Complex \to \Complex</math><ref>Die Überlegungen gelten schon, wenn der Definitionsbereich von <math>g</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ist.</ref> mithilfe der genannten Einbettungsisomorphismen <math>\iota_{\epsilon}</math> vom Komplexen ins Quaternionische zu liften. Dabei ist zu fordern, dass die so gewonnenen Funktionen <math>g_{\epsilon} \colon \iota_{\epsilon} (\Complex) \to \iota_{\epsilon} (\Complex) \subset \mathbb H</math> mit <math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon} \circ g \circ {\iota_{\epsilon}}^{-1}(q) </math> bei Überschneidungen der [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsbereiche]] dasselbe Ergebnis liefern, sodass die vereinigte Funktion <math>\tilde g</math> auf der [[w:de:Vereinigungsmenge|Vereinigungsmenge]] <math>\cup_{\epsilon} \bigl( \iota_{\epsilon} (\Complex) \bigr) = \mathbb H</math> vermöge <math>\forall q \in \mathbb H \; \exists \epsilon : q \in \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> als <math>\tilde g(q) := g_{\epsilon} (q)</math> in [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefinierter]] Weise gebildet werden kann. Sei <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \ \mathrm i_\Complex</math> eine komplexwertige Funktion <math>\Complex \to \Complex</math> einer komplexen Variablen <math>z = \xi + \eta \, \mathrm i_\Complex</math> mit reellen <math>\xi,\eta</math> und reellen <math>u(\xi,\eta),v(\xi,\eta) .</math><br /> '''Einbettbarkeit:''' <math>g</math> ist genau dann einbettbar in die Quaternionen, wenn <math>u</math> eine [[w:de:Gerade Funktion|gerade]] und <math>v</math> eine [[w:de:ungerade Funktion|ungerade Funktion]] des jeweils zweiten Arguments <math>\eta</math> ist. {| class="wikitable left mw-collapsible mw-collapsed font-size: 105.3%;" |style="text-align:left; font-size: 95%;"| '''Beweis'''&nbsp; |- | Ist <math>q</math> eine beliebige nicht-reelle Quaternion, dann ist <math>\epsilon := \operatorname{Im} q / |\operatorname{Im} q| </math> eine [[w:de:#reine und normierte|reine und normierte Quaternion]] mit <math>\epsilon^2 = -1</math>. Seien ferner <math>\xi := \operatorname{Re} q </math> und <math>\eta := |\operatorname{Im} q| </math>, die beide reell sind. Sowohl <math>\iota_{\epsilon}</math> wie <math>\iota_{\overline \epsilon}</math> ist ein Einbettungsisomorphismus für das Bild <math>q</math>. Im ersteren Fall ist <math>z_{\epsilon} := \xi+\eta \, \mathrm i_\Complex \in \Complex</math> das Urbild von <math>q = \xi+\eta \, \epsilon </math>, im zweiten Fall haben wir wegen <math>q = \xi+\eta \, \epsilon = \xi-\eta \, \bar\epsilon </math> das Urbild <math>z_{\overline \epsilon} := \iota_{\overline \epsilon}^{-1} (\xi-\eta \, \epsilon) = \xi-\eta \, \mathrm i_\Complex </math>; jeweils mit <math>\mathrm i_\Complex</math> als der imaginären Einheit von <math>\Complex</math>. Die Urbilder sind verschieden, das Bild, das bei der zu bildenden Funktion <math>\tilde g</math> als Argument fungieren soll, ist aber beidesmal <math>q</math>.<br /> Das „Liften“ wird durch die Einbettung der Funktionswerte als : <math>g_{\epsilon}(q) := \iota_{\epsilon}(g(z_{\epsilon})) = \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \epsilon</math> und : <math>g_{\overline \epsilon}(q) := \iota_{\overline \epsilon}(g(z_{\overline \epsilon})) = \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex ) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar\epsilon</math> vervollständigt (s. Diagramm). Nun ist nach Voraussetzung : <math>u(\xi,+\eta)=u(\xi,-\eta), \quad v(\xi,+\eta) = -v(\xi,-\eta),</math> sodass sich : <math>g_{\overline \epsilon}(q) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar \epsilon = u(\xi,-\eta) - v(\xi,-\eta) \epsilon = u(\xi,+\eta) + \ v(\xi,+\eta) \epsilon = g_{\epsilon}(q) </math> ergibt und <math>\tilde g(q)</math> nicht von der Wahl des Einbettungsisomorphismus abhängt. Die Bedingung ist auch notwendig. Denn lässt umgekehrt die Funktion <math>g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine Einbettung <math>\tilde g \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \tilde g(q) </math> in die Quaternionen zu, so gibt es zu jedem <math>q \in \mathbb H</math> eine geeignete reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> und reelle <math>\xi,\eta </math> mit <math>q = \xi\,+\,\eta \, \epsilon</math> und : <math>\begin{array}{llll} \tilde g(q) &= g_{\epsilon}(\xi\,+\,\eta \, \epsilon) = g_{\epsilon}(\iota_{\epsilon} (\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\epsilon}(g(\xi + \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\ &= \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \epsilon . \end{array}</math> Bei der konjugierten Quaternion <math>\bar \epsilon = -\epsilon</math> hat die Einbettung <math>\iota_{\overline \epsilon} </math> dasselbe Bild <math>\iota_{\overline \epsilon} (\Complex) = \iota_{\epsilon} (\Complex) </math> wie <math>\iota_{\epsilon}</math> und also <math>g_{\overline \epsilon}</math> dieselbe [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsmenge]] wie <math>g_{\epsilon}</math>. Der Funktionswert : <math>\begin{array}{llll} \tilde g(q) &= g_{\overline \epsilon}(\xi\,-\,\eta \, \bar \epsilon) = g_{\overline \epsilon}(\iota_{\overline \epsilon} (\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) = \iota_{\overline \epsilon}(g(\xi - \eta \, \mathrm i_\Complex)) \\ &= \iota_{\overline \epsilon}(u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \mathrm i_\Complex) &= u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \bar\epsilon \\ &&= u(\xi,-\eta)\,-\,v(\xi,-\eta) \epsilon \end{array}</math> muss also mit dem vorigen für alle <math>\xi,\eta \in \R</math> übereinstimmen. ■ |} Die eingebettete Funktion <math>\tilde g</math> stimmt auf ''allen'' Teilmengen <math>\iota_{\epsilon} (\Complex) \cong \Complex</math> mit <math>g</math> überein, kann also als [[w:de:Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzung]] von <math>g</math> angesehen werden und, wenn Verwechslungen nicht zu befürchten sind, wird auch der Funktionsname beibehalten. Ist <math>g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\Complex</math> eine einbettbare Funktion, so ist <math>v(\xi,0) = -v(\xi,0)</math> wegen der Ungeradheit von <math>v</math> in der zweiten Variablen, also <math>v(\xi,0) = 0</math> und <math>g(z) \in \R</math> für <math>z \in \R</math>. Somit folgt aus der Einbettbarkeit, dass die [[w:de:Einschränkung|Einschränkung]] aufs Reelle reell ist.<ref>Letzteres ist aber nicht hinreichend, denn die Funktion <math>g(z) := \operatorname{Im} z</math> ist trotz <math>g\!\mid_\R \, = 0 \in \R</math> wegen <math>u(\xi,\eta) \equiv \eta \not\equiv -\eta \equiv u(\xi,-\eta) </math> nicht einbettbar.<br />Sind jedoch bei solchen Funktionen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt, so folgt aus der Ungeradheit von <math>v(\xi,\eta)</math> die Geradheit von <math>u(\xi,\eta)</math> (jeweils in der zweiten Variablen) und damit die Einbettbarkeit in die Quaternionen.<br />Im Gegensatz zu <math>g(z) = \operatorname{Im} z</math> ist die Funktion <math>h(z) := \mathrm i_\Complex \, \operatorname{Im} z </math> einbettbar mit der Fortsetzung <math>\tilde h \colon \mathbb H \to \mathbb H; q \mapsto \operatorname{Im} q.</math></ref> Zu dieser Klasse von komplexen Funktionen gehören Norm und Betrag, aber auch alle [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n <math>\textstyle \sum_{n=-\infty}^\infty a_n z^n</math> mit reellen Koeffizienten <math>a_n</math>, so die Exponential- und Logarithmusfunktion.<ref>Ein weiteres nicht einbettbares Beispiel ist <math>g(z) := \mathrm i_\Complex</math>, bei dem <math>v(\xi,\eta) = 1</math> ''nicht ungerade'' ist in <math>\eta</math>. Die Einbettung mithilfe des Einbettungsisomorphismus <math>\iota_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} </math> ergibt zwar die (konstante) Funktion <math>g_{{\mathrm i}_{\mathbb H}} = \mathrm i_{\mathbb H} </math>, die aber mit anderen Einbettungen, z.&nbsp;B. <math>\iota_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} </math> mit dem (ebenfalls konstanten) Ergebnis <math>g_{{\mathrm j}_{\mathbb H}} = \mathrm j_{\mathbb H} \ne \mathrm i_{\mathbb H},</math> nicht zusammenpasst.</ref> === Analysis === Schwieriger ist es, eine allgemeine quaternionische Analysis mit Differential- und/oder [[w:de:Integralrechnung|Integralrechnung]] aufzustellen. Ein Problem springt unmittelbar ins Auge: der Begriff des [[w:de:Differentialrechnung|Differenzenquotienten]] <math>\tfrac{f( x + h ) - f( x )} h </math>, der in der reellen wie der komplexen Analysis so erfolgreich ist, muss wegen der Nicht-Kommutativität als linke ''und'' rechte Version definiert werden. Legt man dann genauso strenge Maßstäbe wie bei der [[w:de:Holomorphe Funktion|komplexen Differenzierbarkeit]] an, dann stellt sich heraus, dass bestenfalls lineare Funktionen, und zwar <math>x \mapsto a + x b </math> links und <math>x \mapsto a + b x </math> rechts, differenzierbar sind.<ref>[https://www.zipcon.net/~swhite/docs/math/quaternions/analysis.html ''Quaternion Analysis, Functions of a Quaternion Variable''] (englisch).</ref> Immer definieren lässt sich aber eine [[w:de:Richtungsableitung|Richtungsableitung]] und das [[w:de:Gâteaux-Differential|Gâteaux-Differential]]. Ausgehend von den [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und dem [[w:de:Satz von Morera|Satz von Morera]] wurde folgender Regularitätsbegriff gefunden: Eine quaternionische Funktion ist regulär an der Stelle <math>x </math>, wenn ihr Integral über jeder hinreichend kleinen <math>x </math> umschließenden [[w:de:Hyperfläche|Hyperfläche]] verschwindet.<ref>{{cite journal |first=R. |last=Fueter |title=Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen |journal=Comm. Math. Helv. |volume=8 |date=1936 |pages=371–378}}</ref><ref>{{cite journal |first=C.A. |last=Deavours |title=The Quaternion Calculus |journal=Amer. Math. Monthly |volume=80 |date=1973 |pages=995–1008 |language=en}}</ref><ref>{{cite journal |first=A. |last=Sudbery |title=Quaternionic Analysis |doi=10.1017/S0305004100055638 |journal=Math. Proc. Camb. Phil. Soc. |volume=85 |date=1979 |pages=199–225 |language=en}}</ref> == Beschreibung anderer Konstrukte mit Hilfe von Quaternionen == === Minkowski-Skalarprodukt === Das [[w:de:Minkowski-Raum|Minkowski-Skalarprodukt]] zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im Minkowski-Raum, ist der Skalarteil von <math>xy</math>: : <math>x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3=\operatorname{Re}(xy).</math> === Vektoranalysis === Im Folgenden werden Vektoren im dreidimensionalen Raum <math>\R^3</math> mit reinen Quaternionen <math>\in \operatorname{Im}\,\mathbb H</math>, also die üblichen <math>(x,y,z)</math>-Koordinaten mit den <math>(x_1,x_2,x_3)</math>-Komponenten identifiziert. Definiert man den [[w:de:Nabla-Operator|Nabla-Operator]] (wie Hamilton) als : <math>\vec \nabla \;=\; \mathrm i \, \frac\partial{\partial x}+\mathrm j \, \frac\partial{\partial y}+\mathrm k \, \frac\partial{\partial z}</math> und wendet ihn auf eine skalare Funktion <math>f(x,y,z)</math> als (formale) Skalarmultiplikation an, erhält man den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] : <math>\vec \nabla f \;=\; \operatorname{grad} f \;=\; \mathrm i \, \frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm j \, \frac{\partial f}{\partial y}+\mathrm k \, \frac{\partial f}{\partial z}.</math> Die Anwendung auf ein Vektorfeld : <math>\vec F(x,y,z) \;=\; \mathrm i \, F_1(x,y,z)+\mathrm j \, F_2(x,y,z) +\mathrm k \, F_3(x,y,z)</math> als (formales) Skalarprodukt ergibt die [[w:de:Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] : <math>\vec \nabla \cdot \vec F \;=\; \operatorname{div} \vec F \;=\; \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y}+ \frac{\partial F_3}{\partial z}</math>&nbsp;. Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Kreuzprodukt ergibt die [[w:de:Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] : <math>\vec \nabla \times \vec F \;=\; \operatorname{rot} \vec F \;=\; \mathrm i \left ( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right ) + \mathrm j \left ( \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right ) + \mathrm k \left ( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right )</math>&nbsp;. Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Produkt zweier [[w:de:#Reine Quaternion|reiner Quaternionen]] ergibt : <math>\vec \nabla \vec F \;=\; -\operatorname{div} \vec F + \operatorname{rot} \vec F</math> mit <math>- \operatorname{div} \vec F</math> als Skalarteil und <math>\operatorname{rot} \vec F</math> als Vektorteil der Quaternion. Zweimalige Anwendung auf eine Funktion <math>f</math> ergibt den [[w:de:Laplace-Operator|Laplace-Operator]] <math>\triangle</math> : <math>\vec \nabla^2 \, f \;:=\; \vec \nabla \cdot (\vec \nabla \, f) \;=\; \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right) \;=\; -\triangle f \;=\; -\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}\right),</math> d.&nbsp;h., <math>\nabla</math> wirkt wie ein [[w:de:Dirac-Operator|Dirac-Operator]] als (formale) „Quadratwurzel“ des (negativen) Laplace-Operators. === Drehungen im dreidimensionalen Raum === Einheitsquaternionen können für eine elegante Beschreibung von [[w:de:Drehung|Drehung]]en im dreidimensionalen Raum verwendet werden: Für eine feste Einheitsquaternion <math>q</math> ist die Abbildung : <math>\rho_q\colon x\mapsto qxq^{-1}</math> &nbsp; bzw. &nbsp; <math>\rho_q\colon x\mapsto qx\overline{q}</math> auf <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> eine Drehung. (Hier, wie im Folgenden, ist nur von Drehungen die Rede, die den Ursprung festlassen, d.&nbsp;h., deren Drehachse durch den Ursprung verläuft.) Die [[w:de:#Polardarstellung|Polardarstellung]] stellt die Einheitsquaternion <math>q\neq\pm 1</math> durch einen Winkel <math>0<\alpha<2\pi</math> und eine reine Einheitsquaternion <math>\epsilon</math> eindeutig dar als : <math>q = \cos\frac{\alpha}{2} + \epsilon\sin\frac{\alpha}{2}</math>&nbsp;. Dann ist <math>\rho_q\ </math> eine Drehung des <math>\R^3\ </math> um die Achse <math>\epsilon\in\R^3\ </math> mit Drehwinkel <math>\alpha</math>. Für jede Einheitsquaternion <math>q</math> definieren <math>q</math> und <math>-q</math> dieselbe Drehung; insbesondere entsprechen <math>1</math> und <math>-1</math> beide der identischen Abbildung (Drehung mit Drehwinkel&nbsp;0). Im Unterschied zur Beschreibung von Drehungen durch [[w:de:Orthogonale Matrix|orthogonale Matrizen]] handelt es sich also um keine 1:1-Entsprechung, zu jeder Drehung <math>\rho</math> gibt es genau ''zwei'' Einheitsquaternionen <math>q</math> mit <math>\rho_q=\rho</math>. Die [[w:de:Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] von Drehungen entspricht der Multiplikation der Quaternionen, d.&nbsp;h. : <math>\rho_{q_1}\circ\rho_{q_2}=\rho_{q_1 q_2}.</math> Die Umkehrung der Drehrichtung entspricht dem Inversen: : <math>\rho_{q^{-1}}=\rho_q^{-1}.</math> {{Anker|-1=2:1-Überlagerung}} Damit ist die Abbildung : <math> \begin{array}{rccc} \rho \colon & \mathbb{S}^3 & \to & \mathrm{SO}(3) \\ & q & \mapsto & \rho_q \end{array} </math> ein [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]] der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen in die [[w:de:Drehgruppe|Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Sie ist eine [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|Überlagerung der <math>\mathrm{SO}(3)</math>]], und da ein Bildelement <math>\rho_q</math> genau die zwei Urbilder <math>\pm q\in \mathbb{S}^3</math> hat, ''zwei''blättrig, weshalb der Homomorphismus auch ''2:1-Überlagerung(shomomorphismus)''<ref name="Conway" />{{rp|Seite 33.}} genannt wird. Ferner ist sie [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|universell]], da <math>\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist. ==== Bezug zu orthogonalen Matrizen ==== Explizit entspricht der Einheitsquaternion <math>q \in \mathbb{S}^3</math>, : <math>q=q_0+q_1\mathrm i+q_2\mathrm j+q_3\mathrm k</math> mit <math>q_i \in \R</math> und <math>\operatorname{Norm}(q) = q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1</math>, die [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrix]] : <math> \begin{array}{rlll} D_q := & \begin{bmatrix} q_0^2 + q_1^2 - q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_3+2q_1q_2 & 2q_0q_2+2q_1q_3 \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & q_0^2 - q_1^2 + q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & q_0^2 - q_1^2- q_2^2+ q_3^2 \end{bmatrix} \\[.3em] = & \begin{bmatrix} 1-2(q_2^2 + q_3^2) \;\;\;\; & -2q_0q_3+2q_1q_2 \;\;\;\, & 2q_0q_2+2q_1q_3 \;\;\quad \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & 1-2(q_1^2 + q_3^2) & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & 1-2(q_1^2 + q_2^2) \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3), \end{array} </math> diese Formel ist auch als [[w:de:Euler-Rodrigues-Formel|Euler-Rodrigues-Formel]] bekannt. Sie bildet eine reine Quaternion <math>\xi</math> auf <math>(0, D_q \; \vec \xi) = q \; \xi \; q^{-1}</math> ab. Ist umgekehrt die Drehmatrix : <math>D = \begin{bmatrix} d_{11} & d_{12} & d_{13} \\ d_{21} & d_{22} & d_{23} \\ d_{31} & d_{32} & d_{33} \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3)</math><ref>Zu <math>\mathrm{SO}(3)</math> siehe [[w:de:Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung|Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung]].</ref> gegeben und ist die [[w:de:Spur (Mathematik)|Spur]] : <math>T_D := d_{00} + d_{11} + d_{22} + d_{33} > 0</math> mit <math>d_{00} := 1</math>&nbsp;, dann bewerkstelligt die Quaternion : <math>q_D := T_D + (d_{32}-d_{23}) \mathrm i + (d_{13}-d_{31}) \mathrm j + (d_{21}-d_{12}) \mathrm k </math> die Drehung <math>D \; \vec \xi</math>, denn es ist <math>q_D \; \xi \; q_D^{-1} = (0, D \; \vec \xi)</math> für jede reine Quaternion <math>\xi</math>&nbsp;. Wenn man die [[w:de:Homogene Funktion|homogen]] formulierte Version von <math>D_q</math> als Eingabematrix nimmt, produziert die gezeigte Lösung mit <math>d_{00} := \operatorname{Norm}(q)</math> die Quaternion <math>q_D = 4 q_0 q</math>. Wegen <math>\operatorname{det}(D_q) = \operatorname{Norm}(q)^3</math> kann die Homogenität in den <math>d_{ij}</math> durch die Setzung <math>d_{00} := \sqrt[3]{\operatorname{det}(D)}</math> aufrechterhalten werden. Die <math>\mathrm{SO}(3)</math> hat wie die <math>\mathbb{S}^3</math> über <math>\R</math> die Dimension 3. Die neun Komponenten von <math>D</math> können also nicht alle frei wählbar sein. Da einer jeden Matrix <math>D\in\mathrm{SO}(3)</math> eine Quaternion <math>q</math> entspricht, decken die Drehmatrizen <math>D_q</math> die ganze <math>\mathrm{SO}(3)</math> ab. Bei <math>D_q</math> ist <math>T_{D_q} = 4 q_0^2</math>. Falls also wirklich <math>D \in \mathrm{SO}(3)</math>, ist auch <math>\frac{q_D}{2 \sqrt{T_D}}</math> die Einheitsquaternion zu <math>q_D</math>. ==== Bezug zu Eulerwinkeln ==== Für [[w:de:Eulerwinkel|Eulerwinkel]] gibt es verschiedene Konventionen; die folgende Darlegung bezieht sich auf die Drehung, die man erhält, wenn man zuerst um die <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Psi</math>, dann um die neue <math>x</math>-Achse um den Winkel <math>2\Theta</math> und schließlich um die neue <math>z</math>-Achse um den Winkel <math>2\Phi</math> dreht, d.&nbsp;i. die sog. [[w:de:Eulersche Winkel#Konventionen|„x-Konvention“ (z, x’, z’’)]] mit allen Winkeln ''doppelt''. Die Einzeldrehungen entsprechen den [[w:de:#Polardarstellung|Einheitsquaternionen]] : <math>\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi,\quad \cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta,\quad \cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi,</math> und da jeweils um die mitgedrehten Achsen gedreht wird, ist die Reihenfolge der Komposition umgekehrt. Die Gesamtdrehung entspricht also : <math>\left(\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi\right)\left(\cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta\right)\left(\cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi\right)</math> : <math>{}=\cos\Psi\cos\Theta\cos\Phi-\sin\Psi\cos\Theta\sin\Phi</math> :: <math>{}+\mathrm i\left(\cos\Psi\sin\Theta\cos\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\sin\Phi\right)</math> :: <math>{}+\mathrm j\left(-\cos\Psi\sin\Theta\sin\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\cos\Phi\right)</math> :: <math>{}+\mathrm k\left(\sin\Psi\cos\Theta\cos\Phi+\cos\Psi\cos\Theta\sin\Phi\right).</math> Für andere Konventionen ergeben sich ähnliche Formeln. Die Eulerwinkel zu einer gegebenen Quaternion lassen sich an der zugehörigen [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrix]] ablesen. ==== Universelle Überlagerung der Drehgruppe; Spingruppe ==== Wie im Abschnitt [[w:de:#Einheitsquaternion|Einheitsquaternionen]] gezeigt, gibt es einen durch die Hamiltonschen Zahlen vermittelten [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] zwischen der Gruppe <math>\mathbb{S}^3</math> der Einheitsquaternionen und der [[w:de:Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>. Diese beiden Gruppen sind isomorph zur [[w:de:Spingruppe|Spingruppe]] <math>\mathrm{Spin(3)}</math> (zur Physik: siehe [[w:de:Spin|Spin]]). Die [[#Drehungen im dreidimensionalen Raum|2:1-Überlagerung]] liefert also einen [[w:de:Homomorphismus|Homomorphismus]] der Spingruppe <math>\mathrm{Spin(3)}</math> in die [[w:de:Drehgruppe|Drehgruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math>. Diese Überlagerung ist zweiblättrig und [[w:de:Orthogonale Gruppe#Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre|universell]], da <math>\mathrm{Spin(3)}\cong\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3</math> im Gegensatz zur <math>\mathrm{SO}(3)</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]] ist. Die natürliche Operation von <math>\mathrm{SU}(2)</math> auf <math>\Complex^2</math> ist eine sog. [[w:de:Spinor|Spinor]]darstellung. Die aus der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] bekannten sog. [[w:de:Pauli-Matrizen|Pauli-Matrizen]] <math>\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3</math> stehen in einfacher Beziehung zu den drei Erzeugenden <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k</math> der [[w:de:#Einheitsquaternion|<math>\mathrm{SU}(2)</math>]]. Das wird besonders deutlich in der Darstellung als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]]: : <math> \sigma_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm k,\quad \sigma_2 = \begin{bmatrix} 0 & -\mathrm i_\Complex\\ \mathrm i_\Complex & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm j,\quad \sigma_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\Complex \mathrm i </math>&nbsp;, dabei ist <math>\mathrm i_\Complex</math> die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen. Die Pauli-Matrizen haben −1 zur Determinante (sind also keine Quaternionen), sind [[w:de:spurfrei|spurfrei]] und [[w:de:Hermitesche Matrix|hermitesch]] und kommen daher in der Quantenmechanik als ''messbare Größen'' in Frage, was sich für die Anwendungen (s. [[w:de:mathematische Struktur der Quantenmechanik|mathematische Struktur der Quantenmechanik]]) als wichtig erwiesen hat. Einzelheiten sind im Artikel [[w:de:SU(2)|SU(2)]] dargestellt. === Orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes === Analog zum dreidimensionalen Fall kann man jede orientierungserhaltende orthogonale Abbildung von <math>\mathbb H</math> in sich selbst in der Form : <math>\rho_{a,b}\colon x\mapsto ax\bar b</math> für Einheitsquaternionen <math>a,b</math> beschreiben. Es gilt : <math>\rho_{a_1,b_1}\circ\rho_{a_2,b_2}=\rho_{a_1a_2,b_1b_2}\quad\text{und}\quad\rho_{\bar a,\bar b}=\rho_{a,b}^{-1}.</math> Diese Konstruktion liefert eine Überlagerung : <math>\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(4)</math> mit [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] <math>\{(1,1),(-1,-1)\}</math>. == Die endlichen Untergruppen == Der [[#2:1-Überlagerung|2:1-Überlagerungshomomorphismus]] : <math>\rho\colon q \mapsto \rho_q</math>, der einer Einheitsquaternion <math>q\in \mathbb{S}^3</math> die [[w:de:#Drehungen im dreidimensionalen Raum|3D-Drehung]] : <math> \begin{array}{rccc} \rho_q \colon & \operatorname{Im}\,\mathbb H & \to & \operatorname{Im}\,\mathbb H \\ & x & \mapsto & qx\bar q \end{array} </math> zuordnet, muss eine endliche Gruppe <math>Q</math> von Quaternionen in eine endliche Gruppe <math>\rho(Q):=\{\rho_q \mid q \in Q\}</math> überführen, die dann eine endliche Drehgruppe im <math>\R^3</math> ist. Man findet [[w:de:zyklische Gruppe|zyklische Gruppe]]n <math>\mathrm{C}_n</math> und [[w:de:Drehgruppe#Drehgruppen von Figuren|Polyedergruppen]], also die [[w:de:Diedergruppe|Diedergruppe]]n <math>\mathrm{D}_n</math> ([[w:de:Diedergruppe#Bezeichnungen|Zählweise]] der ''n''-Ecke), die [[w:de:A4 (Gruppe)|Tetraedergruppe]] <math>\mathrm{T}</math>, die [[w:de:Oktaedergruppe|Oktaedergruppe]] <math>\mathrm{O}</math> und die [[w:de:Ikosaedergruppe|Ikosaedergruppe]] <math>\mathrm{I}</math>. Die Erzeugenden der zyklischen Gruppen sind [[w:de:#Einbettung der komplexen Zahlen|Einbettungen]] von [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n <math>\exp(2\pi \mathrm i_\Complex/n)</math>.<ref>Wie im referenzierten Abschnitt und im Abschnitt [[w:de:#Automorphismen|#Automorphismen]] bemerkt, gibt es zu jedem fixen Dreibein <math>\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k </math> sehr viele verschiedene Einbettungen dieser endlichen Untergruppen in <math>\mathbb{H}</math>.</ref> Die Urbilder der <math>\mathrm{D}_n</math>, <math>\mathrm{T}</math>, <math>\mathrm{O}</math>, <math>\mathrm{I}</math> unter <math>\rho</math> werden mit <math>\mathrm{2D}_n</math>, {{Anker|binäre_Tetraedergruppe}}<math>\mathrm{2T}</math>, {{Anker|binäre_Oktaedergruppe}}<math>\mathrm{2O}</math>, {{Anker|binäre_Ikosaedergruppe}}<math>\mathrm{2I}</math> bezeichnet und heißen ''binäre'' Diedergruppe etc. Für eine Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math> ist also <math>\mathrm{2P}:=\{q \mid \rho_q \in \mathrm{P} \}</math>.<ref>Diese Gruppen firmieren – besonders in der englischen Literatur – auch als binäre Erweiterung <math>\mathrm{2P}</math> der Polyedergruppe <math>\mathrm{P}</math>, und die binären Diedergruppen <math>\mathrm{2D}_n</math> zusätzlich als [[w:de:Quaternionengruppe#Dizyklische Gruppen und verallgemeinerte Quaternionengruppen|verallgemeinerte Quaternionengruppen]], auch als [[w:de:Dizyklische Gruppe|dizyklische Gruppen]], in Zeichen <math>\mathrm{Dic}_n</math>.</ref> Die endlichen Gruppen von Quaternionen sind demnach:<ref name="Conway" />{{rp| 3.5 The Finite Groups of Quaternions, S. 33}} <math>(2 \leq n \in \Z)</math> {| class="wikitable left" style="text-align:center;" |- | Gruppe || erzeugt<br /> von ||style="text-align:right"| Ordnung || [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] im <math>\R^2</math> bzw. <math>\R^4</math> |- | <math>\mathrm{C}_n</math> || <math>\langle e_n\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>n</math> || [[w:de:Polygon|reguläres ''n''-Eck]] |- | <math>\mathrm{2D}_n</math> || <math>\langle e_{2n},\mathrm j\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>4n</math> || <math>\{2n\} \Box \{2n\}</math>,<ref name="perf4polyt"> Gabor Gévay: [http://www.emis.ams.org/journals/BAG/vol.43/no.1/b43h1gev.pdf ''On Perfect 4-Polytopes''] (PDF; 211&nbsp;kB) Contributions to Algebra and Geometry Volume 43 (2002), No. 1, 243–259: gibt auf S. 256 die 4-Polytope »<math>\{2p\} \Box \{2p\}</math>« für die <math>\mathrm{2D}_p</math> bzw. auf S. 252 Table 2 das 4-Polytop »<math> \text{f}_{1,2}\text{F}_4</math>« für <math>\mathrm{2O}</math>.</ref> bei ''n''=2 zugleich: [[w:de:Hurwitzquaternion#Reguläres 16-Zell (Hexadekachor)|reguläres 16-Zell]] |- | <math>\mathrm{2T}</math> || <math>\langle \mathrm i,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>24</math> || [[w:de:Hurwitzquaternion#Reguläres 24-Zell (Ikositetrachor)|reguläres 24-Zell]] |- | <math>\mathrm{2O}</math> || <math>\langle q_O,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>48</math> || <math>\text{f}_{1,2}\text{F}_4</math><ref name="perf4polyt" /> = Dihektaoktokontaoktochor (288-Zell) |- | <math>\mathrm{2I}</math> || <math>\langle q_I,\omega\rangle</math> ||style="text-align:right"| <math>120</math> || reguläres 600-Zell |} mit : <math>e_n:=\exp(2\pi \mathrm i/n)</math>&nbsp;, &nbsp; <math>\omega: = \frac{-1+\mathrm i+\mathrm j+\mathrm k}2</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_O:=\frac{\mathrm j+\mathrm k}{\sqrt 2}</math>&nbsp;, &nbsp; <math>q_I: = \frac{2 \mathrm i+(\sqrt 5+1) \mathrm j+(\sqrt 5-1) \mathrm k}4</math>&nbsp;. Die zyklischen Gruppen <math>\mathrm{C}_n</math> sind in naheliegender Weise Untergruppen von anderen Gruppen. Die [[w:de:Quaternionengruppe|Quaternionengruppe]] <math>\mathrm{Q}_8</math> = <math>\mathrm{2D}_2</math> ist eine Untergruppe der binären Tetraedergruppe <math>\mathrm{2T}</math>. Die [[w:de:Quaternionengruppe#Automorphismen|Automorphismengruppe]] von <math>\mathrm{Q}_8</math> ist isomorph zur Oktaedergruppe <math>\mathrm{O} = \mathrm{Sym}_4</math> ([[w:de:Symmetrische Gruppe|Symmetrische Gruppe]]). Ihre Elemente sind ebenfalls Automorphismen von <math>\mathrm{2T}</math>, <math>\mathrm{2O}</math>, <math>\mathrm{2I}</math> und <math>\mathbb H</math>. Die konvexen Hüllen sind (bis auf die Fälle <math>\mathrm{C}_n</math>, bei denen man mit 2 Dimensionen auskommt) [[w:de:Polytop (Geometrie)|4-Polytope]] und haben, da alle Gruppenelemente von der Länge 1 sind, die [[w:de:Sphäre (Mathematik)|Einheits-3-Sphäre]] <math>\mathbb{S}^3</math> als [[w:de:Umkugel|Um-3-Sphäre]]. Die Ränder dieser 4-Polytope, also die Zellen, sind Ansammlungen von [[w:de:Tetraeder|Tetraeder]]n – bis auf den Fall <math>\mathrm{2T}</math>, bei dem es [[w:de:Oktaeder|Oktaeder]] sind. Bei den regulären unter den konvexen Hüllen ist es klar, dass die Zellen ebenfalls regulär und zueinander kongruent sind und es eine [[w:de:Inkugel|In-3-Sphäre]] gibt, die alle Zellen (an ihrem Mittelpunkt) berührt. Die übrigen, nämlich <math>\mathrm{2D}_n</math> und <math>\mathrm{2O}</math>, spannen sog. perfekte<ref name="perf4polyt" /> 4-Polytope auf. Hier sind die Zellen [[w:de:Disphenoid#tetragonales Disphenoid|tetragonale Disphenoide]], welche ebenfalls alle zueinander kongruent sind und an ihrem Mittelpunkt von der In-3-Sphäre berührt werden. == Automorphismen == Ein jeder Ring-[[w:de:Automorphismus|Automorphismus]] <math>\sigma</math> von <math>\mathbb H</math> ist ein [[w:de:Automorphismus#Innere Automorphismen|innerer]],<ref>[[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 24.</ref> d.&nbsp;h., es gibt eine Quaternion <math>q</math>, sodass <math>\sigma(x) = qxq^{-1}</math> für alle <math>x \in \mathbb{H}</math>. Daraus folgt: * Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\R</math> bleibt fest, d.&nbsp;h. <math>\sigma(\lambda)=\lambda</math> für alle <math>\lambda\in \R</math>. * Man kann sich auf die Einheitsquaternionen <math>q\in \mathbb{S}^3</math> beschränken. * Ein Automorphismus ändert nicht das [[w:de:#Skalarprodukt|Skalarprodukt]], d.&nbsp;h. <math>\sigma(x) \cdot \sigma(y) = x \cdot y</math>. * Die Automorphismen sind genau die [[w:de:Winkeltreue|winkel-]] und [[w:de:längentreue|längentreue]]n Drehungen von <math>\operatorname{Im}\,\mathbb H</math> aus dem Abschnitt [[w:de:#Drehungen im dreidimensionalen Raum|Drehungen im dreidimensionalen Raum]]. * Wegen der Längentreue sind die Automorphismen [[w:de:Stetige Funktion|stetig]], somit zusätzlich [[w:de:Homöomorphismus|topologisch]]. * <math>\mathbb{S}^3</math> hat das Zentrum <math>\{\pm 1\}</math>. Folglich ist die [[w:de:Automorphismengruppe|Automorphismengruppe]] <math>\operatorname{Aut}(\mathbb H) \cong \mathbb{S}^3/\{\pm 1\}</math>. Die [[w:de:#Konjugation|Konjugation]] als Spiegelung an der reellen Achse ist ''anti''homomorph in der Multiplikation, d.&nbsp;h. <math>\overline{x y}=\bar y \bar x</math>, und wird als [[w:de:Antiautomorphismus#Involutiver Antiautomorphismus|involutiver Antiautomorphismus]] bezeichnet, weil sie zudem eine [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]] ist. == Andere Konstruktionen == === Matrixdarstellungen === ==== Komplexe Matrizen ==== Im [[w:de:Matrizenring|Ring]] <math>\Complex^{2\times 2}</math> der [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen]] 2×2-[[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] bildet man den von den Elementen : <math>1_H := \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \mathrm i_H := \begin{bmatrix} \mathrm i_\Complex & 0 \\ 0 & -\mathrm i_\Complex \end{bmatrix},\quad \mathrm j_H := \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix},\quad \mathrm k_H := \begin{bmatrix} 0 & \mathrm i_\Complex \\ \mathrm i_\Complex & 0 \end{bmatrix}</math> erzeugten [[w:de:Unterring|Unterring]] <math>H</math>,<ref><math>H</math> ist ein <math>\R</math>-Vektorraum, der aber weder <math>\Complex^{2\times 2}</math>-[[w:de:Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] noch <math>\Complex</math>-Vektorraum ist, da &nbsp; <math>\mathrm i_\Complex \, 1_H \notin H</math>.</ref> wobei die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen als <math>\mathrm i_\Complex</math> kenntlich gemacht ist.<ref>Die Matrizen <math>\mathrm i_H,\mathrm j_H,\mathrm k_H</math> sind [[w:de:spurfrei|spurfrei]] und [[w:de:Schiefhermitesche Matrix|schiefhermitesch]].</ref> Eine Matrix : <math>x_0 \, 1_H+x_1\,\mathrm i_H+x_2\,\mathrm j_H+x_3\,\mathrm k_H=\begin{bmatrix}x_0+x_1\,\mathrm i_\Complex \quad &x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex\\-x_2+x_3\,\mathrm i_\Complex \quad &x_0-x_1\,\mathrm i_\Complex\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}w&z\\-\overline z&\overline w\end{bmatrix}</math> mit reellen <math>x_0,x_1,x_2,x_3</math> und komplexen <math>w:=x_0+x_1\mathrm i_\Complex,z:=x_2+x_3\mathrm i_\Complex</math> hat die [[w:de:Determinante|Determinante]] <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=|w|^2+|z|^2</math>, die nur dann 0 ist, wenn <math>(w,z)=(0,0)</math>. Somit sind alle von der [[w:de:Nullmatrix|Nullmatrix]] verschiedenen Matrizen [[w:de:Invertierbare Matrix|invertierbar]] – und der Ring <math>H</math> ist ein [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]].<ref>Nur Matrixringe der Dimensionen 1, 2 und 4 über <math>\R</math> sind [[w:de:nullteilerfrei|nullteilerfrei]] (siehe auch [[w:de:#Die Quaternionen als Algebra|#Die Quaternionen als Algebra]]).</ref> Der so konstruierte Schiefkörper erweist sich als [[w:de:isomorph|isomorph]] zu den Quaternionen. Denn die Abbildung <math>\mathbb H \to H</math> mit den Zuordnungen : <math>1 \mapsto 1_H,\quad \mathrm i \mapsto \mathrm i_H,\quad \mathrm j \mapsto \mathrm j_H,\quad \mathrm k \mapsto \mathrm k_H</math> ist [[w:de:homomorph|homomorph]] in den Verknüpfungen Addition und Multiplikation, wobei letztere der [[w:de:Matrizenmultiplikation|Matrizenmultiplikation]] zuzuordnen ist. Die konjugierte Quaternion geht auf die [[w:de:adjungierte Matrix|adjungierte Matrix]] und die [[w:de:#Norm|Norm]] auf die [[w:de:Determinante|Determinante]]. Darüber hinaus ist die Abbildung [[w:de:Injektivität|injektiv]] und stetig, also [[w:de:Homöomorphismus|topologisch]]. Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Einbettung <math>\mathbb H \to H</math>, die alle zueinander [[w:de:Konjugation (Gruppentheorie)|konjugiert]] und [[w:de:Homöomorphismus|homöomorph]] sind.<ref>Diese Möglichkeiten entsprechen der Vorschaltung eines [[w:de:#Automorphismen|Automorphismus]].</ref> ==== Reelle Matrizen ==== Ganz analog kann man die Quaternion <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> auch als reelle 4×4-Matrix : <math>\begin{bmatrix}\begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ -x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ -x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ -x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array}\end{bmatrix}</math> : <math>= x_0 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_1 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_2 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] + x_3 \left[\begin{smallmatrix}\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\end{smallmatrix}\right] </math> schreiben. Die Konjugation der Quaternion entspricht der [[w:de:Transponierte Matrix|Transposition der Matrix]] und der Betrag der vierten Wurzel aus der Determinante. Das Modell der reellen Matrizen ist bspw. dann vorteilhaft, wenn man eine Software für [[w:de:lineare Algebra|lineare Algebra]] mit Schwächen bei den komplexen Zahlen hat. === Quotientenalgebra === Eine elegante, aber zugleich abstrakte Konstruktion stellt der Weg über den [[w:de:Faktorring|Quotienten]] des [[w:de:Nichtkommutativer Polynomring|nichtkommutativen Polynomrings]] in drei [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n dar, deren Bilder <math>\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> sind, modulo dem Ideal, das von den Hamilton-Regeln erzeugt wird. Alternativ kommt man auch mit nur zwei Unbestimmten aus. Auf diese Weise ergibt sich die Quaternionen-Algebra als [[w:de:Clifford-Algebra|Clifford-Algebra]] der zweidimensionalen, euklidischen Ebene mit Erzeugern <math>\mathrm i \mapsto e_1,\, \mathrm j \mapsto e_2,\, \mathrm k=\mathrm {ij} \mapsto e_1e_2</math>. Im Zusammenhang mit dreidimensionalen Drehungen ist auch die Interpretation als der gerade Anteil der Clifford-Algebra des dreidimensionalen, euklidischen Raumes wichtig. Die Erzeuger werden dann mit <math>\mathrm i \mapsto e_2e_3,\, \mathrm j \mapsto e_3e_1,\,\mathrm k \mapsto e_1e_2</math> identifiziert. == Die Quaternionen als Algebra == Es gibt bis auf Isomorphie genau vier [[w:de:Dimension (Mathematik)|endlichdimensionale]] <math>\R</math>-[[w:de:Algebra über einem Körper|Algebren]], deren Multiplikation ohne [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] ist, nämlich den Körper <math>\R</math> der reellen Zahlen selbst, den Körper <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen, den Schiefkörper <math>\mathbb H</math> der Quaternionen und den [[w:de:Alternativkörper|Alternativkörper]] <math>\mathbb O</math> der Cayleyschen [[w:de:Oktave (Mathematik)|Oktaven]].<ref>[[w:de:Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)|Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)]], Korollar 6.8 in Kapitel IX von Hungerford: Algebra (Springer 1974).</ref><ref>[[w:de:Divisionsalgebra#Sätze über reelle Divisionsalgebren|Satz von Hurwitz (normierte Divisionsalgebren)]].</ref><ref>Satz von [[w:de:Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Pontrjagin]] (1931) in [[w:de:#Pontrjagin|Pontrjagin]]: Jeder [[w:de:lokalkompakt|lokalkompakt]]e, [[w:de:zusammenhängend|zusammenhängend]]e topologische Schiefkörper ist entweder der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen oder der Schiefkörper der Quaternionen.</ref> Das [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>\mathbb H</math> ist <math>\R</math>; die Quaternionen sind also eine [[w:de:zentraleinfache Algebra|zentraleinfache Algebra]] über <math>\R</math>. [[w:de:Reduzierte|Reduzierte]] [[w:de:Norm (Körpererweiterung)|Norm]] und [[w:de:Spur (Mathematik)|Spur]] sind durch : <math>\mathrm{Nrd}(x)=|x|^2 = x \bar x = \bar x x = \langle x,x \rangle</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; bzw. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\mathrm{Trd}(x)=2\cdot\operatorname{Re}\,x</math> gegeben. Beim [[w:de:Tensorprodukt#Erweiterung der Skalare|Basiswechsel]] von <math>\R</math> zum algebraischen Abschluss <math>\Complex</math> werden die Quaternionen zu einer Matrizenalgebra: : <math>\mathbb H\otimes_{\R}\Complex\cong M_2(\Complex).</math> Die komplexe Konjugation auf dem Faktor <math>\Complex</math> des [[w:de:Tensorprodukt|Tensorprodukt]]es entspricht einer [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]] <math>v</math> der Matrizenalgebra. Die Invarianten von <math>v</math>, d.&nbsp;s. die von <math>v</math> fix gelassenen Elemente <math>x</math> mit <math>v(x)=x</math>, bilden eine zu <math>\mathbb H</math> isomorphe Algebra. Zur oben angegebenen Matrixdarstellung der Quaternionen als [[w:de:#Komplexe Matrizen|komplexe Matrizen]] passt die Involution : <math>v(x):= \epsilon\bar x \epsilon^{-1}</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>\epsilon:=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}</math>&nbsp;. Die Tatsache, dass die [[w:de:Brauergruppe|Brauergruppe]] von <math>\R</math> nur aus zwei Elementen besteht, spiegelt sich auch darin wider, dass : <math>\mathbb H\otimes_{\R}\mathbb H\cong M_4(\R)</math> ist. Allgemein bezeichnet man jede vierdimensionale [[w:de:zentraleinfache Algebra|zentraleinfache Algebra]] über einem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] als eine [[w:de:Quaternionenalgebra|Quaternionenalgebra]]. Die Quaternionen sind die [[w:de:Clifford-Algebra|Clifford-Algebra]] zum Raum <math>\R^2</math> mit einer [[w:de:Definitheit|negativ-definiten]] symmetrischen [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]]. == Andere Grundkörper == === Quaternionen über den rationalen Zahlen === Bei allen [[w:de:#Konstruktion|obigen]] Arten der Konstruktion spielt die [[w:de:Vollständiger Raum|Vollständigkeit]] des Koeffizientenvorrats keine Rolle. Deshalb kann man (anstatt von den [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R \, </math> über <math>\Complex = \R( \mathrm i ) \, </math> zu <math>\mathbb H \, </math>) auch von anderen Grundkörpern, z.&nbsp;B. den [[w:de:Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\Q \, </math>, ausgehen, um via [[w:de:gaußsche Zahl|gaußscher Zahlen]] <math>\Q( \mathrm i ) \, </math> bei den '''Quaternionen mit rationalen Koeffizienten''' : <math>G := \{ x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k \; \mid \; x_0,x_1,x_2,x_3 \in \Q \} \, </math> anzukommen mit formal denselben Rechenregeln. Danach kann, falls überhaupt erforderlich, die [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] für die [[w:de:#Norm und Betrag|Betrags]][[w:de:Metrischer Raum|metrik]] durchgeführt werden mit einem Endergebnis isomorph zu <math>\mathbb H</math>. Insofern können bei vielen Aussagen <math>\R</math> durch <math>\Q</math>, <math>\Complex</math> durch <math>\Q( \mathrm i )</math> und <math>\mathbb H</math> durch <math>G</math> ersetzt werden. Da es nach dem [[w:de:Satz von Wedderburn|Satz von Wedderburn]] keinen endlichen [[w:de:Schiefkörper|Schiefkörper]] mit nicht-[[w:de:Kommutativität|kommutativer]] [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] gibt und die [[w:de:Dimension (Mathematik)|Dimension]] des [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]s <math>G</math> über seinem [[w:de:Primkörper|Primkörper]] und [[w:de:Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>\Q</math> mit <math>2^2=4</math> minimal ist, gehört <math>G</math> als [[w:de:Abzählbarkeit|abzählbare]] Menge zu den „kleinsten“ Schiefkörpern mit nicht-kommutativer Multiplikation&nbsp;– auf jeden Fall enthält <math>G</math> keinen kleineren. Der Schiefkörper <math>G</math> besitzt einen sogenannten [[w:de:Ganzheitsring|Ganzheitsring]], d.&nbsp;h. eine [[w:de:Untermenge|Untermenge]] von Zahlen, genannt [[w:de:Hurwitzquaternion|Hurwitzquaternion]]en, die einen Ring bilden und <math>G</math> zum [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] haben, ganz ähnlich, wie es sich bei den ganzen Zahlen <math>\Z</math> und ihrem Quotientenkörper <math>\Q</math> verhält. In einem solchen Ring lassen sich bspw. [[w:de:Gitter (Mathematik)|Approximationsfragen]], [[w:de:Teilbarkeit|Teilbarkeit]]sfragen u.&nbsp;Ä. untersuchen. {{Hauptartikel|Hurwitzquaternion}} === Weitere Grundkörper === Auch Körper <math>K \ncong \Q \, </math> eignen sich als Ausgangspunkt zur Bildung nicht-kommutativer Erweiterungskörper nach Art der Quaternionen. Wichtig ist, dass in <math>K \, </math> die Summe aus vier Quadraten <math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 \, </math> nur für <math>x_0=x_1=x_2=x_3=0 \, </math> verschwindet. Dann gibt es auch kein <math>\mathrm i \in K \, </math> mit <math>\mathrm i^2 + 1 = 0 \, </math> und <math>K( \mathrm i ) \, </math> ist eine echte quadratische [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterung]], die eine Konjugation definiert. Diese Bedingungen sind z.&nbsp;B. bei allen [[w:de:Geordneter Körper#Formal reelle Körper|formal reellen Körpern]] erfüllt. Aber auch bei Körpern, die nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden können, kann die obige Bedingung betreffend die Summe aus vier Quadraten erfüllt sein, bspw. im Körper <math>\Q_2</math> der [[w:de:p-adische Zahl|2-adischen Zahlen]]. Der so über <math>\Q_2</math> gebildete Quaternionenkörper ist isomorph zur Vervollständigung des (oben beschriebenen) Körpers <math>G</math> der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten für die folgende (nichtarchimedische diskrete) Bewertung <math>v</math>&nbsp;, dem [[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|2-Exponenten]] der Norm, : <math> \begin{array}{rccccc} v \colon & G^* & \xrightarrow{\operatorname{Norm}} & \Q^* & \xrightarrow{v_2} & \Z \\ & x & \mapsto & x \bar x & \mapsto & v_2(x \bar x) \end{array} </math> mit <math>\operatorname{Norm}(x) = x \bar x = 2^n m, n\in\Z, m\in\Q^*, 2\nmid m, 2\nmid m^{-1}</math>&nbsp;. Die Primzahl <math>p=2</math> ist die einzige, für die die [[w:de:Quaternionen-Algebra|Quaternionen-Algebra]] über <math>\Q_p</math> [[w:de:nullteilerfrei|nullteilerfrei]] und ein Schiefkörper ist. == Anwendungen == === Eulerscher Vier-Quadrate-Satz === Die Identität, die aus dem Produkt zweier ''Summen von vier Quadraten'' : <math>(x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_0^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2)</math> {| |- |style="width:3em;"| || <math>=(x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_1 + x_1y_0+ x_2y_3- x_3y_2)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_2- x_1y_3 + x_2y_0+ x_3y_1)^2</math> |- | || <math>+ \; (x_0y_3+ x_1y_2- x_2y_1 + x_3y_0)^2</math> |} wieder eine ''Summe von vier Quadraten'' macht, gilt universell&nbsp;– einschließlich aller Varianten, die durch Vorzeichenspiel und [[w:de:Permutation|Permutation]] entstehen&nbsp;– in jedem [[w:de:Polynomring|Polynomring]] <math> R[x_0,x_1,x_2,x_3,y_0,y_1,y_2,y_3] </math> über einem kommutativen unitären Ring <math> R </math> und kann im Nachhinein als „Abfallprodukt“ der Multiplikativität des [[w:de:#Betrag|quaternionischen Betrags]] angesehen werden. Ihre Entdeckung 1748, also lange ''vor'' der Quaternionenzeit, geht jedoch auf [[w:de:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] zurück, der mit ihrer Hilfe den 1770 erstmals erbrachten Beweis von [[w:de:Joseph-Louis Lagrange|Joseph-Louis Lagrange]] für den lange vermuteten [[w:de:Vier-Quadrate-Satz#Beweisskizze|Vier-Quadrate-Satz]] wesentlich vereinfachen konnte. (Anmerkung: Die algebraisch beweisbaren bilinearen 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten sind die Grundlagen der Kompositionsalgebren, nämlich der komplexen Zahlen, der Quaternionen, und der Oktonionen. Diese letzteren sind sozusagen die „Quadratwurzeln“ aus den ersteren. Alles, was somit korrekt mit Quaternionen berechnet wird, steht bocksteif auf elementaren algebraischen Identitäten. Wie Adolf Hurwitz 1898 bewies,<ref>{{Internetquelle |autor=[[w:de:Adolf Hurwitz|Adolf Hurwitz]] |url=https://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457811_1898 |titel=Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln |datum=1898-07-09 |seiten=309–316 |werk=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse (1898), Heft 3 |abruf=2023-01-23}}</ref> gibt es außer den erwähnten 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten keine weiteren bilinearen ''n''-Quadrate-Identitäten mehr.) === Informatik und Ingenieurwissenschaften === Die Darstellung von Drehungen mithilfe von Quaternionen wird im Bereich der interaktiven [[w:de:Computergrafik|Computergrafik]] genutzt, insbesondere bei [[w:de:Computerspiel|Computerspiel]]en, sowie bei der Steuerung von [[w:de:Satellit (Raumfahrt)|Satelliten]]. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von [[w:de:Drehmatrix|Drehmatrizen]] werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere wenn viele [[w:de:Drehung|Drehung]]en miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit. Des Weiteren werden Quaternionen, neben den [[w:de:Eulerwinkel|Eulerwinkel]]n, zur Programmierung von [[w:de:Industrieroboter|Industrieroboter]]n (z.&nbsp;B. [[w:de:ABB (Unternehmen)|ABB]]) genutzt. == Geschichte == [[Datei:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|mini|Gedenktafel an der Broom Bridge in Dublin, wo [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]] die Multiplikationsregeln im Oktober 1843 spontan in den Stein ritzte.]] [[w:de:William Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]] hatte 1835 die Konstruktion der komplexen Zahlen als [[w:de:Geordnetes Paar|Zahlenpaare]] angegeben. Dadurch motiviert, suchte er lange nach einer entsprechenden Struktur auf dem Raum <math>\R^3</math> der Zahlentripel; heute weiß man, dass keine derartige Struktur existiert. 1843 schließlich gelangte er zu der Erkenntnis, dass es möglich ist, eine Multiplikation auf der Menge der 4-[[w:de:Tupel|Tupel]] zu konstruieren, wenn man dazu bereit ist, die [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativität]] aufzugeben. In einem Brief an seinen Sohn gibt er als Datum den 16. Oktober 1843 an und berichtet, er habe sich spontan dazu hinreißen lassen, die Multiplikationsregeln in einen Stein an der Brougham Bridge (heute Broombridge Road) in [[w:de:Dublin|Dublin]] zu ritzen; später wurde dort eine Gedenktafel angebracht. Die Rechenregeln für Quaternionen waren in Ansätzen schon früher bekannt, so findet sich die Formel für den [[w:de:Vier-Quadrate-Satz|Vier-Quadrate-Satz]] bereits bei [[w:de:Leonhard Euler|Leonhard Euler]] (1748). Andere, auch allgemeinere Multiplikationsregeln wurden von [[w:de:Hermann Graßmann|Hermann Graßmann]] untersucht (1855). Schon kurz nach der Entdeckung der Quaternionen fand Hamilton die Darstellung von Drehungen des Raumes mithilfe von Quaternionen und damit eine erste Bestätigung der Bedeutung der neuen Struktur; [[w:de:Arthur Cayley|Arthur Cayley]] entdeckte 1855 die entsprechenden Aussagen über orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes. Die bloße Parametrisierung der <math>3\times3</math>-Drehmatrizen war hingegen schon Euler bekannt. Cayley gab 1858 in der Arbeit, in der er Matrizen einführte, auch die Möglichkeit der Darstellung von Quaternionen durch komplexe <math>2\times2</math>-Matrizen an. Hamilton widmete sich fortan ausschließlich dem Studium der Quaternionen; sie wurden in Dublin ein eigenes Examensfach. In seiner Nachfolge wurde 1895 sogar ein „Weltbund zur Förderung der Quaternionen“ gegründet. Der deutsche Mathematiker [[w:de:Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] schreibt rückblickend über diese anfängliche Euphorie: {{Zitat |Text=Wie ich schon andeutete, schloß sich Hamilton eine Schule an, die ihren Meister an Starrheit und Intoleranz noch überbot. […] Die Quaternionen sind gut und brauchbar an ihrem Platze; sie reichen aber in ihrer Bedeutung an die gewöhnlichen komplexen Zahlen nicht heran. […] Die Leichtigkeit und Eleganz, mit der sich hier die weittragendsten Theoreme ergeben, ist in der Tat überraschend, und es läßt sich wohl von hier aus die alles andere ablehnende Begeisterung der Quaternionisten für ihr System begreifen, die […] nun bald über vernünftige Grenzen hinauswuchs, in einer weder der Mathematik als Ganzem noch der Quaternionentheorie selbst förderlichen Weise. […] Die Verfolgung des angegebenen Weges – der neu sein will, obwohl er tatsächlich nur eine peinlich genaue Übertragung längst bekannter Gedanken auf ein einziges neues Objekt, also durchaus keine geniale Konzeption bedeutet&nbsp;– führt zu allerhand Erweiterungen der bekannten Sätze, die in ihrer Allgemeinheit das Hauptcharakteristikum verlieren und gegenstandslos werden, allenfalls zu Besonderheiten, die ein gewisses Vergnügen gewähren mögen. |Autor=Felix Klein |Quelle=Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert |ref=<ref>{{Literatur |Autor=Felix Klein |Titel=Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert |Band=Teil&nbsp;I. |Verlag=Verlag von Julius Springer |Ort=Berlin |Datum=1926 |Seiten=184 ff}}</ref>}} == Verwandte Themen == Ähnliche Konstruktionen wie die Quaternionen werden manchmal unter dem Begriff „[[w:de:hyperkomplexe Zahl|hyperkomplexe Zahl]]en“ zusammengefasst. Beispielsweise sind die ''Cayley-Zahlen'' oder ''[[w:de:Oktave (Mathematik)|Oktaven]]'' ein achtdimensionales Analogon zu den Quaternionen; ihre Multiplikation ist allerdings weder kommutativ noch assoziativ. == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Quaternion'' werden == Beispiel == Als einführendes Beispiel zum Thema ''Quaternion'' dient dabei == Literatur/Quellennachweise == <references/> === Weblinks === {{Commonscat|Quaternions|Quaternion}} * [https://world.std.com/~sweetser/quaternions/ps/book.pdf Doing Physics with Quaternions] (PDF; 563&nbsp;kB) * {{Anker|Lam}} [[w:de:Tsit Yuen Lam|Tsit Yuen Lam]] ([[w:de:University of California, Berkeley|Berkeley]]): [https://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps ''Hamilton’s Quaternions''] ([[w:de:PostScript|PostScript]], englisch). Abgerufen am 30. August 2009 * [http://www.grundstudium.info/animation/node17.php Quaternionen in der Computeranimation] * [https://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node24.html Der Ort der Entdeckung der Quaternionen (mit Bildern)] === Literatur - Mathematik === * Jens Carsten Jantzen, [[w:de:Joachim Schwermer|Joachim Schwermer]]: ''Algebra''. Springer, 2006, ISBN 3-540-21380-5, [[doi:10.1007/3-540-29287-X]] * [[w:de:Serge Lang|Serge Lang]]: ''Algebra''. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X * [[w:de:Max Koecher|Max Koecher]], [[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]]: ''Hamiltonsche Quaternionen''. In: H.-D. Ebbinghaus et al.: ''Zahlen''. Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-12666-X * {{Anker|Conway}} [[w:de:John Horton Conway|John H. Conway]], Derek A. Smith: ''On Quaternions and Octonions''. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch) * Jack B. Kuipers: ''Quaternions and Rotation Sequences''. Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (englisch) * W. 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Soc.'', 50, 1944, S. 246–248 * {{Anker|Hölder}} Hölder: [[s:Bemerkung zur Quaternionentheorie|Bemerkung zur Quaternionentheorie]] ([[w:de:Wikisource|Wikisource]]) == Siehe auch == * [[Komplexe Zahl]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[3D-Modellierung]] * [[Wiki2Reveal]] * [[w:de:Quaternion|Quaternion]] * [[Open Educational Resources]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Wikipedia%20Authors Wikipedia Authors]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Quaternion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Quaternion&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Quaternion&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion Quaternion] https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion * Datum: 7.8.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity {{Normdaten|TYP=s|GND=4176653-2|LCCN=sh/85/109754|NDL=00570899}} [[Kategorie:Zahl]] [[Kategorie:Verallgemeinerter Körper]] [[Kategorie:Ringtheorie]] [[Category:Wiki2Reveal]] 8g3u5pwzc2vd4w5puh2pv2xta4a50j2 108 170333 1117413 1117099 2026-10-23T08:22:33Z ChristianSW 15793 txt 1117413 wikitext text/x-wiki == Kranprojekt == Der Kran besteht aus einer ortsfesten Kranbrücke und einer darauf verfahrbaren Laufkatze mit Hubwerk. Die Laufkatze bewegt sich entlang der Kranbrücke, während diese selbst an ihrem Platz bleibt. An der Kranbrücke und an der Laufkatze befinden sich LEDs, die über ein Relais geschaltet werden können. === Aufbau mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg </gallery> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 1.jpg </gallery> === Aufbau mit Beleuchtung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Beleuchtung.jpg </gallery> == Laufkatze == Die Laufkatze wird über vier Laufrollen auf der Kranbrücke geführt. Ihr Fahrantrieb besteht aus zwei Elektromotoren, die jeweils mit einem Schneckengetriebe ausgestattet sind. Auf der Laufkatze befinden sich außerdem das Hubwerk, ein ESP32-Mikrocontroller und ein RFID-Modul. Ein eigener Akku versorgt den Motortreiber, der die Motoren des Fahrantriebs und des Hubwerks ansteuert. Der Motortreiber stellt auch die Versorgung des Mikrocontrollers bereit; dieser versorgt seinerseits das RFID-Modul. === Alter Antrieb === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail3.jpg </gallery> === Neuer Antrieb mit Schneckengetrieben === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Oberseite.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Unterseite.jpg </gallery> === RFID === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Verdrahtung.jpg Tüftlerclub Laufkatze 2.jpg </gallery> === Laufkatze betriebsbereit === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Laufkatze 1.jpg Tüftlerclub Laufkatze 3.jpg </gallery> == Hubwerk == Mit einer Seilwinde kann ein Hubseil auf- und abgewickelt werden. Dadurch lässt sich die daran befestigte Last heben und senken. Am Hubseil ist ein Lastaufnahmemittel mit zwei nebeneinander angeordneten Elektromagneten befestigt. Beide Elektromagnete werden gemeinsam über ein Relais ein- und ausgeschaltet. So können geeignete ferromagnetische Gegenstände aufgenommen und durch Abschalten der Magnete wieder freigegeben werden. === Schneckengetriebe und Seilführung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Seilwinde.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail2.jpg </gallery> === Seilwinde mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Unterseite.jpg Tüftlerclub Laufkatze Beleuchtung.jpg </gallery> === Relais für Licht und Magnete === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Relais.jpg Verbindung Magnet Klemmbausteine.jpg </gallery> == Steuerung == Ein ESP32-Mikrocontroller auf der Laufkatze steuert den Fahrantrieb und das Hubwerk. Das RFID-Modul ermöglicht es dem Mikrocontroller, RFID-Tags zu erkennen und ihre gespeicherten Kennungen auszulesen. Solche Kennungen können beispielsweise dazu verwendet werden, bestimmte Positionen oder Bereiche des Krans zu identifizieren. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Tastatur DUE.jpg Tüftlerclub Kranbrücke ESP32.jpg </gallery> a17obn9zav7vhl3qqdjzlvcoilq41cy 1117414 1117413 2026-10-23T08:41:33Z ChristianSW 15793 ... 1117414 wikitext text/x-wiki == Kranprojekt == Der Kran besteht aus einer ortsfesten Kranbrücke und einer darauf verfahrbaren Laufkatze mit Hubwerk. Die Laufkatze bewegt sich entlang der Kranbrücke, während diese selbst an ihrem Platz bleibt. An der Kranbrücke und an der Laufkatze befinden sich LEDs, die über ein Relais geschaltet werden können. === Aufbau mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg </gallery> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 1.jpg </gallery> === Aufbau mit Beleuchtung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Beleuchtung.jpg </gallery> == Laufkatze == Die Laufkatze wird über vier Laufrollen auf der Kranbrücke geführt. Ihr Fahrantrieb besteht aus zwei Elektromotoren, die jeweils mit einem Schneckengetriebe ausgestattet sind. Auf der Laufkatze befinden sich außerdem das Hubwerk, ein ESP32-Mikrocontroller und ein RFID-Modul. Ein eigener Akku versorgt den Motortreiber, der die Motoren des Fahrantriebs und des Hubwerks ansteuert. Der Motortreiber stellt auch die Versorgung des Mikrocontrollers bereit; dieser versorgt seinerseits das RFID-Modul. === Erste Version des Antriebs === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail3.jpg </gallery> === neuer Antrieb mit Schneckengetrieben === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Oberseite.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Unterseite.jpg </gallery> === RFID === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Verdrahtung.jpg Tüftlerclub Laufkatze 2.jpg </gallery> === Laufkatze betriebsbereit === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Laufkatze 1.jpg Tüftlerclub Laufkatze 3.jpg </gallery> == Hubwerk == Mit einer Seilwinde kann ein Hubseil auf- und abgewickelt werden. Dadurch lässt sich die daran befestigte Last heben und senken. Am Hubseil ist ein Lastaufnahmemittel mit zwei nebeneinander angeordneten Elektromagneten befestigt. Beide Elektromagnete werden gemeinsam über ein Relais ein- und ausgeschaltet. So können geeignete Gegenstände aufgenommen und durch Abschalten der Magnete wieder freigegeben werden. === Schneckengetriebe und Seilführung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Seilwinde.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail2.jpg </gallery> === Seilwinde mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Unterseite.jpg Tüftlerclub Laufkatze Beleuchtung.jpg </gallery> === Relais für Licht und Magnete === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Relais.jpg Verbindung Magnet Klemmbausteine.jpg </gallery> == Steuerung == Ein ESP32-Mikrocontroller auf der Laufkatze steuert den Fahrantrieb und das Hubwerk. Das RFID-Modul ermöglicht es dem Mikrocontroller, RFID-Tags zu erkennen und ihre gespeicherten Kennungen auszulesen. Solche Kennungen können beispielsweise dazu verwendet werden, bestimmte Positionen oder Bereiche des Krans zu identifizieren. === Erste Version der Steuerung === In der ersten Version wurde der Kran über eine kleine Tastatur gesteuert. Ein Arduino DUE las die Tastatureingaben aus und übermittelte sie an einen ESP32. Dieser gab die Steuerbefehle über eine Funkverbindung an den ESP32 auf der Laufkatze weiter. Die Relais für die Beleuchtung und die beiden Elektromagneten waren in dieser Version nicht auf der Laufkatze montiert. Sie wurden direkt vom ersten ESP32 geschaltet. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Tastatur DUE.jpg Tüftlerclub Kranbrücke ESP32.jpg </gallery> 8cpicz4l8b610qz0684lodkrbyao1je 1117415 1117414 2026-10-23T08:46:48Z ChristianSW 15793 txt 1117415 wikitext text/x-wiki == Kranprojekt == Der Kran besteht aus einer ortsfesten Kranbrücke und einer darauf verfahrbaren Laufkatze mit Hubwerk. Die Laufkatze bewegt sich entlang der Kranbrücke, während diese selbst an ihrem Platz bleibt. An der Kranbrücke und an der Laufkatze befinden sich LEDs, die über ein Relais geschaltet werden können. === Aufbau mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg </gallery> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 1.jpg </gallery> === Aufbau mit Beleuchtung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Beleuchtung.jpg </gallery> == Laufkatze == Die Laufkatze wird über vier Laufrollen auf der Kranbrücke geführt. Ihr Fahrantrieb besteht aus zwei Elektromotoren, die jeweils mit einem Schneckengetriebe ausgestattet sind. Auf der Laufkatze befinden sich außerdem das Hubwerk, ein ESP32-Mikrocontroller und ein RFID-Modul. Ein eigener Akku versorgt den Motortreiber, der die Motoren des Fahrantriebs und des Hubwerks ansteuert. Der Motortreiber stellt auch die Versorgung des Mikrocontrollers bereit; dieser versorgt seinerseits das RFID-Modul. === erste Version des Antriebs === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail3.jpg </gallery> === neuer Antrieb mit Schneckengetrieben === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Oberseite.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Unterseite.jpg </gallery> === RFID === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Verdrahtung.jpg Tüftlerclub Laufkatze 2.jpg </gallery> === Laufkatze betriebsbereit === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Laufkatze 1.jpg Tüftlerclub Laufkatze 3.jpg </gallery> == Hubwerk == Mit einer Seilwinde kann ein Hubseil auf- und abgewickelt werden. Dadurch lässt sich die daran befestigte Last heben und senken. Am Hubseil ist ein Lastaufnahmemittel mit zwei nebeneinander angeordneten Elektromagneten befestigt. Beide Elektromagnete werden gemeinsam über ein Relais ein- und ausgeschaltet. So können geeignete Gegenstände aufgenommen und durch Abschalten der Magnete wieder freigegeben werden. === Schneckengetriebe und Seilführung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Seilwinde.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail2.jpg </gallery> === Seilwinde mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Unterseite.jpg Tüftlerclub Laufkatze Beleuchtung.jpg </gallery> === Relais für Licht und Magnete === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Relais.jpg Verbindung Magnet Klemmbausteine.jpg </gallery> == Steuerung == Ein ESP32-Mikrocontroller auf der Laufkatze steuert den Fahrantrieb und das Hubwerk. Das RFID-Modul ermöglicht es dem Mikrocontroller, RFID-Tags zu erkennen und ihre gespeicherten Kennungen auszulesen. Solche Kennungen können beispielsweise dazu verwendet werden, bestimmte Positionen oder Bereiche des Krans zu identifizieren. === erste Version der Steuerung === In der ersten Version wurde der Kran über eine kleine Tastatur gesteuert. Ein Arduino DUE las die Tastatureingaben aus und übermittelte sie an einen ESP32. Dieser gab die Steuerbefehle über eine Funkverbindung an den ESP32 auf der Laufkatze weiter. Die Relais für die Beleuchtung und die beiden Elektromagneten waren in dieser Version nicht auf der Laufkatze montiert. Sie wurden direkt vom ersten ESP32 geschaltet. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Tastatur DUE.jpg Tüftlerclub Kranbrücke ESP32.jpg </gallery> 5tlp13ehsnyp7p5u7l19orklgvkop9r 1117418 1117415 2026-10-23T09:29:24Z ChristianSW 15793 ... 1117418 wikitext text/x-wiki == Kranprojekt == Der Kran besteht aus einer ortsfesten Kranbrücke und einer darauf verfahrbaren Laufkatze mit Hubwerk. Die Laufkatze bewegt sich entlang der Kranbrücke, während diese selbst an ihrem Platz bleibt. An der Kranbrücke und an der Laufkatze befinden sich LEDs, die über ein Relais geschaltet werden können. === Aufbau mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg </gallery> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 1.jpg </gallery> === Aufbau mit Beleuchtung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Beleuchtung.jpg </gallery> == Laufkatze == Die Laufkatze wird über vier Laufrollen auf der Kranbrücke geführt. Ihr Fahrantrieb besteht aus zwei Elektromotoren, die jeweils mit einem Schneckengetriebe ausgestattet sind. Auf der Laufkatze befinden sich außerdem das Hubwerk, ein ESP32-Mikrocontroller und ein RFID-Modul. Ein eigener Akku versorgt den Motortreiber, der die Motoren des Fahrantriebs und des Hubwerks ansteuert. Der Motortreiber stellt auch die Versorgung des Mikrocontrollers bereit; dieser versorgt seinerseits das RFID-Modul. === erste Version des Antriebs === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail3.jpg </gallery> == Filmaufnahmen === * [https://www.youtube.com/watch?v=fGXrOYqyCss YouTube: Unser Brückenkran bei der Arbeit] lll3zvvcwzdke2o77wspmu9fkq5f1hv 1117422 1117418 2026-10-23T09:35:15Z ChristianSW 15793 Videoclips 1117422 wikitext text/x-wiki == Kranprojekt == Der Kran besteht aus einer ortsfesten Kranbrücke und einer darauf verfahrbaren Laufkatze mit Hubwerk. Die Laufkatze bewegt sich entlang der Kranbrücke, während diese selbst an ihrem Platz bleibt. An der Kranbrücke und an der Laufkatze befinden sich LEDs, die über ein Relais geschaltet werden können. === Aufbau mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg </gallery> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 1.jpg </gallery> === Aufbau mit Beleuchtung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Beleuchtung.jpg </gallery> == Laufkatze == Die Laufkatze wird über vier Laufrollen auf der Kranbrücke geführt. Ihr Fahrantrieb besteht aus zwei Elektromotoren, die jeweils mit einem Schneckengetriebe ausgestattet sind. Auf der Laufkatze befinden sich außerdem das Hubwerk, ein ESP32-Mikrocontroller und ein RFID-Modul. Ein eigener Akku versorgt den Motortreiber, der die Motoren des Fahrantriebs und des Hubwerks ansteuert. Der Motortreiber stellt auch die Versorgung des Mikrocontrollers bereit; dieser versorgt seinerseits das RFID-Modul. === erste Version des Antriebs === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail3.jpg </gallery> == Videoclips == * [https://www.youtube.com/watch?v=fGXrOYqyCss YouTube: Unser Brückenkran bei der Arbeit] m2ut8b2mza830b9azyzuh7tgytnhu62 1117431 1117422 2026-10-23T09:48:12Z ChristianSW 15793 korr. 1117431 wikitext text/x-wiki == Kranprojekt == Der Kran besteht aus einer ortsfesten Kranbrücke und einer darauf verfahrbaren Laufkatze mit Hubwerk. Die Laufkatze bewegt sich entlang der Kranbrücke, während diese selbst an ihrem Platz bleibt. An der Kranbrücke und an der Laufkatze befinden sich LEDs, die über ein Relais geschaltet werden können. === Aufbau mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg </gallery> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 1.jpg </gallery> === Aufbau mit Beleuchtung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Beleuchtung.jpg </gallery> == Laufkatze == Die Laufkatze wird über vier Laufrollen auf der Kranbrücke geführt. Ihr Fahrantrieb besteht aus zwei Elektromotoren, die jeweils mit einem Schneckengetriebe ausgestattet sind. Auf der Laufkatze befinden sich außerdem das Hubwerk, ein ESP32-Mikrocontroller und ein RFID-Modul. Ein eigener Akku versorgt den Motortreiber, der die Motoren des Fahrantriebs und des Hubwerks ansteuert. Der Motortreiber stellt auch die Versorgung des Mikrocontrollers bereit; dieser versorgt seinerseits das RFID-Modul. === erste Version des Antriebs === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail3.jpg </gallery> === neuer Antrieb mit Schneckengetrieben === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Oberseite.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Unterseite.jpg </gallery> === RFID === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Verdrahtung.jpg Tüftlerclub Laufkatze 2.jpg </gallery> === Laufkatze betriebsbereit === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Laufkatze 1.jpg Tüftlerclub Laufkatze 3.jpg </gallery> == Hubwerk == Mit einer Seilwinde kann ein Hubseil auf- und abgewickelt werden. Dadurch lässt sich die daran befestigte Last heben und senken. Am Hubseil ist ein Lastaufnahmemittel mit zwei nebeneinander angeordneten Elektromagneten befestigt. Beide Elektromagnete werden gemeinsam über ein Relais ein- und ausgeschaltet. So können geeignete Gegenstände aufgenommen und durch Abschalten der Magnete wieder freigegeben werden. === Schneckengetriebe und Seilführung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Seilwinde.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail2.jpg </gallery> === Seilwinde mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Unterseite.jpg Tüftlerclub Laufkatze Beleuchtung.jpg </gallery> === Relais für Licht und Magnete === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Relais.jpg Verbindung Magnet Klemmbausteine.jpg </gallery> == Steuerung == Ein ESP32-Mikrocontroller auf der Laufkatze steuert den Fahrantrieb und das Hubwerk. Das RFID-Modul ermöglicht es dem Mikrocontroller, RFID-Tags zu erkennen und ihre gespeicherten Kennungen auszulesen. Solche Kennungen können beispielsweise dazu verwendet werden, bestimmte Positionen oder Bereiche des Krans zu identifizieren. === erste Version der Steuerung === In der ersten Version wurde der Kran über eine kleine Tastatur gesteuert. Ein Arduino DUE las die Tastatureingaben aus und übermittelte sie an einen ESP32. Dieser gab die Steuerbefehle über eine Funkverbindung an den ESP32 auf der Laufkatze weiter. Die Relais für die Beleuchtung und die beiden Elektromagneten waren in dieser Version nicht auf der Laufkatze montiert. Sie wurden direkt vom ersten ESP32 geschaltet. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Tastatur DUE.jpg Tüftlerclub Kranbrücke ESP32.jpg </gallery> == Videoclips == * [https://www.youtube.com/watch?v=fGXrOYqyCss YouTube: Unser Brückenkran bei der Arbeit] fa95ai79u4r8yaw1kpnhdf8a0i480fa 1117432 1117431 2026-10-23T09:53:11Z ChristianSW 15793 +++ 1117432 wikitext text/x-wiki == Kranprojekt == <big><big>Der Kran besteht aus einer ortsfesten Kranbrücke und einer darauf verfahrbaren Laufkatze mit Hubwerk. Die Laufkatze bewegt sich entlang der Kranbrücke, während diese selbst an ihrem Platz bleibt. An der Kranbrücke und an der Laufkatze befinden sich LEDs, die über ein Relais geschaltet werden können.</big></big> === Aufbau mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg </gallery> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 1.jpg </gallery> === Aufbau mit Beleuchtung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Beleuchtung.jpg </gallery> == Laufkatze == <big><big>Die Laufkatze wird über vier Laufrollen auf der Kranbrücke geführt. Ihr Fahrantrieb besteht aus zwei Elektromotoren, die jeweils mit einem Schneckengetriebe ausgestattet sind.</big></big> <big><big>Auf der Laufkatze befinden sich außerdem das Hubwerk, ein ESP32-Mikrocontroller und ein RFID-Modul. Ein eigener Akku versorgt den Motortreiber, der die Motoren des Fahrantriebs und des Hubwerks ansteuert. Der Motortreiber stellt auch die Versorgung des Mikrocontrollers bereit; dieser versorgt seinerseits das RFID-Modul.</big></big> === erste Version des Antriebs === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail3.jpg </gallery> === neuer Antrieb mit Schneckengetrieben === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Oberseite.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Unterseite.jpg </gallery> === RFID === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Verdrahtung.jpg Tüftlerclub Laufkatze 2.jpg </gallery> === Laufkatze betriebsbereit === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Laufkatze 1.jpg Tüftlerclub Laufkatze 3.jpg </gallery> == Hubwerk == <big><big>Mit einer Seilwinde kann ein Hubseil auf- und abgewickelt werden. Dadurch lässt sich die daran befestigte Last heben und senken.</big></big> <big><big>Am Hubseil ist ein Lastaufnahmemittel mit zwei nebeneinander angeordneten Elektromagneten befestigt. Beide Elektromagnete werden gemeinsam über ein Relais ein- und ausgeschaltet. So können geeignete Gegenstände aufgenommen und durch Abschalten der Magnete wieder freigegeben werden.</big></big> === Schneckengetriebe und Seilführung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Seilwinde.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail2.jpg </gallery> === Seilwinde mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Unterseite.jpg Tüftlerclub Laufkatze Beleuchtung.jpg </gallery> == Steuerung == <big><big>Ein ESP32-Mikrocontroller auf der Laufkatze steuert den Fahrantrieb und das Hubwerk.</big></big> <big><big>Das RFID-Modul ermöglicht es dem Mikrocontroller, RFID-Tags zu erkennen und ihre gespeicherten Kennungen auszulesen. Solche Kennungen können beispielsweise dazu verwendet werden, bestimmte Positionen oder Bereiche des Krans zu identifizieren.</big></big> === erste Version der Steuerung === <big><big>In der ersten Version wurde der Kran über eine kleine Tastatur gesteuert. Ein Arduino DUE las die Tastatureingaben aus und übermittelte sie an einen ESP32. Dieser gab die Steuerbefehle über eine Funkverbindung an den ESP32 auf der Laufkatze weiter.</big></big> <big><big>Die Relais für die Beleuchtung und die beiden Elektromagneten waren in dieser Version nicht auf der Laufkatze montiert. Sie wurden direkt vom ersten ESP32 geschaltet.</big></big> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Tastatur DUE.jpg Tüftlerclub Kranbrücke ESP32.jpg </gallery> === Relais für Licht und Magnete === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Relais.jpg Verbindung Magnet Klemmbausteine.jpg </gallery> == Videoclips == * [https://www.youtube.com/watch?v=fGXrOYqyCss YouTube: Unser Brückenkran bei der Arbeit] eb277tdocvagekx5ljm3bj9kgugfscb 1117433 1117432 2026-10-23T09:55:41Z ChristianSW 15793 korr. 1117433 wikitext text/x-wiki == Kranprojekt == <big><big>Der Kran besteht aus einer ortsfesten Kranbrücke und einer darauf verfahrbaren Laufkatze mit Hubwerk. Die Laufkatze bewegt sich entlang der Kranbrücke, während diese selbst an ihrem Platz bleibt. An der Kranbrücke und an der Laufkatze befinden sich LEDs, die über ein Relais geschaltet werden können.</big></big> === Aufbau mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg </gallery> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 1.jpg </gallery> === Aufbau mit Beleuchtung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Beleuchtung.jpg </gallery> == Laufkatze == <big><big>Die Laufkatze wird über vier Laufrollen auf der Kranbrücke geführt. Ihr Fahrantrieb besteht aus zwei Elektromotoren, die jeweils mit einem Schneckengetriebe ausgestattet sind.</big></big> <big><big>Auf der Laufkatze befinden sich außerdem das Hubwerk, ein ESP32-Mikrocontroller und ein RFID-Modul. Ein eigener Akku versorgt den Motortreiber, der die Motoren des Fahrantriebs und des Hubwerks ansteuert. Der Motortreiber stellt auch die Versorgung des Mikrocontrollers bereit. Dieser Mikrocontroller versorgt das RFID-Modul.</big></big> === erste Version des Antriebs === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail3.jpg </gallery> === neuer Antrieb mit Schneckengetrieben === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Oberseite.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Unterseite.jpg </gallery> === RFID === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Verdrahtung.jpg Tüftlerclub Laufkatze 2.jpg </gallery> === Laufkatze betriebsbereit === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Laufkatze 1.jpg Tüftlerclub Laufkatze 3.jpg </gallery> == Hubwerk == <big><big>Mit einer Seilwinde kann ein Hubseil auf- und abgewickelt werden. Dadurch lässt sich die daran befestigte Last heben und senken.</big></big> <big><big>Am Hubseil ist ein Lastaufnahmemittel mit zwei nebeneinander angeordneten Elektromagneten befestigt. Beide Elektromagnete werden gemeinsam über ein Relais ein- und ausgeschaltet. So können geeignete Gegenstände aufgenommen und durch Abschalten der Magnete wieder freigegeben werden.</big></big> === Schneckengetriebe und Seilführung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Seilwinde.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail2.jpg </gallery> === Seilwinde mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Unterseite.jpg Tüftlerclub Laufkatze Beleuchtung.jpg </gallery> == Steuerung == <big><big>Ein ESP32-Mikrocontroller auf der Laufkatze steuert den Fahrantrieb und das Hubwerk.</big></big> <big><big>Das RFID-Modul ermöglicht es dem Mikrocontroller, RFID-Tags zu erkennen und ihre gespeicherten Kennungen auszulesen. Solche Kennungen können beispielsweise dazu verwendet werden, bestimmte Positionen oder Bereiche des Krans zu identifizieren.</big></big> === erste Version der Steuerung === <big><big>In der ersten Version wurde der Kran über eine kleine Tastatur gesteuert. Ein Arduino DUE las die Tastatureingaben aus und übermittelte sie an einen ESP32. Dieser gab die Steuerbefehle über eine Funkverbindung an den ESP32 auf der Laufkatze weiter.</big></big> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Tastatur DUE.jpg Tüftlerclub Kranbrücke ESP32.jpg </gallery> === Relais für Licht und Magnete === <big><big>Die Relais für die Beleuchtung und die beiden Elektromagneten waren zuerst nicht auf der Laufkatze montiert. Sie wurden direkt vom ersten ESP32 geschaltet.</big></big> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Relais.jpg Verbindung Magnet Klemmbausteine.jpg </gallery> == Videoclips == * [https://www.youtube.com/watch?v=fGXrOYqyCss YouTube: Unser Brückenkran bei der Arbeit] ghp79bpi1ioe2919yk5pc5j03erkh5q 1117434 1117433 2026-10-23T09:58:36Z ChristianSW 15793 RFID 1117434 wikitext text/x-wiki == Kranprojekt == <big><big>Der Kran besteht aus einer ortsfesten Kranbrücke und einer darauf verfahrbaren Laufkatze mit Hubwerk. Die Laufkatze bewegt sich entlang der Kranbrücke, während diese selbst an ihrem Platz bleibt. An der Kranbrücke und an der Laufkatze befinden sich LEDs, die über ein Relais geschaltet werden können.</big></big> === Aufbau mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg </gallery> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 1.jpg </gallery> === Aufbau mit Beleuchtung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Beleuchtung.jpg </gallery> == Laufkatze == <big><big>Die Laufkatze wird über vier Laufrollen auf der Kranbrücke geführt. Ihr Fahrantrieb besteht aus zwei Elektromotoren, die jeweils mit einem Schneckengetriebe ausgestattet sind.</big></big> <big><big>Auf der Laufkatze befinden sich außerdem das Hubwerk, ein ESP32-Mikrocontroller und ein RFID-Modul. Ein eigener Akku versorgt den Motortreiber, der die Motoren des Fahrantriebs und des Hubwerks ansteuert. Der Motortreiber stellt auch die Versorgung des Mikrocontrollers bereit. Dieser Mikrocontroller versorgt das RFID-Modul.</big></big> === erste Version des Antriebs === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail3.jpg </gallery> === neuer Antrieb mit Schneckengetrieben === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Oberseite.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Unterseite.jpg </gallery> === Laufkatze betriebsbereit === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Laufkatze 1.jpg Tüftlerclub Laufkatze 3.jpg </gallery> == Hubwerk == <big><big>Mit einer Seilwinde kann ein Hubseil auf- und abgewickelt werden. Dadurch lässt sich die daran befestigte Last heben und senken.</big></big> <big><big>Am Hubseil ist ein Lastaufnahmemittel mit zwei nebeneinander angeordneten Elektromagneten befestigt. Beide Elektromagnete werden gemeinsam über ein Relais ein- und ausgeschaltet. So können geeignete Gegenstände aufgenommen und durch Abschalten der Magnete wieder freigegeben werden.</big></big> === Schneckengetriebe und Seilführung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Seilwinde.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail2.jpg </gallery> === Seilwinde mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Unterseite.jpg Tüftlerclub Laufkatze Beleuchtung.jpg </gallery> == Steuerung == <big><big>Ein ESP32-Mikrocontroller auf der Laufkatze steuert den Fahrantrieb und das Hubwerk.</big></big> === RFID === <big><big>Das RFID-Modul ermöglicht es dem Mikrocontroller, RFID-Tags zu erkennen und ihre gespeicherten Kennungen auszulesen. Solche Kennungen können beispielsweise dazu verwendet werden, bestimmte Positionen oder Bereiche des Krans zu identifizieren.</big></big> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Verdrahtung.jpg Tüftlerclub Laufkatze 2.jpg </gallery> === erste Version der Steuerung === <big><big>In der ersten Version wurde der Kran über eine kleine Tastatur gesteuert. Ein Arduino DUE las die Tastatureingaben aus und übermittelte sie an einen ESP32. Dieser gab die Steuerbefehle über eine Funkverbindung an den ESP32 auf der Laufkatze weiter.</big></big> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Tastatur DUE.jpg Tüftlerclub Kranbrücke ESP32.jpg </gallery> === Relais für Licht und Magnete === <big><big>Die Relais für die Beleuchtung und die beiden Elektromagneten waren zuerst nicht auf der Laufkatze montiert. Sie wurden direkt vom ersten ESP32 geschaltet.</big></big> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Relais.jpg Verbindung Magnet Klemmbausteine.jpg </gallery> == Videoclips == * [https://www.youtube.com/watch?v=fGXrOYqyCss YouTube: Unser Brückenkran bei der Arbeit] nbosxjw53rurg3sg0lg3jrwxg2sx4af 1117435 1117434 2026-10-23T10:00:58Z ChristianSW 15793 /* Hubwerk */ 1117435 wikitext text/x-wiki == Kranprojekt == <big><big>Der Kran besteht aus einer ortsfesten Kranbrücke und einer darauf verfahrbaren Laufkatze mit Hubwerk. Die Laufkatze bewegt sich entlang der Kranbrücke, während diese selbst an ihrem Platz bleibt. An der Kranbrücke und an der Laufkatze befinden sich LEDs, die über ein Relais geschaltet werden können.</big></big> === Aufbau mit Elektromagnet === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 2.jpg </gallery> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranaufbau 1.jpg </gallery> === Aufbau mit Beleuchtung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Beleuchtung.jpg </gallery> == Laufkatze == <big><big>Die Laufkatze wird über vier Laufrollen auf der Kranbrücke geführt. Ihr Fahrantrieb besteht aus zwei Elektromotoren, die jeweils mit einem Schneckengetriebe ausgestattet sind.</big></big> <big><big>Auf der Laufkatze befinden sich außerdem das Hubwerk, ein ESP32-Mikrocontroller und ein RFID-Modul. Ein eigener Akku versorgt den Motortreiber, der die Motoren des Fahrantriebs und des Hubwerks ansteuert. Der Motortreiber stellt auch die Versorgung des Mikrocontrollers bereit. Dieser Mikrocontroller versorgt das RFID-Modul.</big></big> === erste Version des Antriebs === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail1.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail3.jpg </gallery> === neuer Antrieb mit Schneckengetrieben === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Oberseite.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Unterseite.jpg </gallery> === Laufkatze betriebsbereit === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Laufkatze 1.jpg Tüftlerclub Laufkatze 3.jpg </gallery> == Hubwerk == <big><big>Mit einer Seilwinde kann ein Hubseil auf- und abgewickelt werden. Dadurch lässt sich die daran befestigte Last heben und senken.</big></big> <big><big>Am Hubseil ist ein Lastaufnahmemittel mit zwei nebeneinander angeordneten Elektromagneten befestigt. Beide Elektromagnete werden gemeinsam über ein Relais ein- und ausgeschaltet. So können geeignete Gegenstände aufgenommen und durch Abschalten der Magnete wieder freigegeben werden.</big></big> === Seilwinde mit Schneckengetrieben === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Seilwinde.jpg Tüftlerclub Kranbrücke Schlitten Detail2.jpg </gallery> === Hubseil mit Elektromagneten === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Unterseite.jpg Tüftlerclub Laufkatze Beleuchtung.jpg </gallery> == Steuerung == <big><big>Ein ESP32-Mikrocontroller auf der Laufkatze steuert den Fahrantrieb und das Hubwerk.</big></big> === RFID === <big><big>Das RFID-Modul ermöglicht es dem Mikrocontroller, RFID-Tags zu erkennen und ihre gespeicherten Kennungen auszulesen. Solche Kennungen können beispielsweise dazu verwendet werden, bestimmte Positionen oder Bereiche des Krans zu identifizieren.</big></big> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Verdrahtung.jpg Tüftlerclub Laufkatze 2.jpg </gallery> === erste Version der Steuerung === <big><big>In der ersten Version wurde der Kran über eine kleine Tastatur gesteuert. Ein Arduino DUE las die Tastatureingaben aus und übermittelte sie an einen ESP32. Dieser gab die Steuerbefehle über eine Funkverbindung an den ESP32 auf der Laufkatze weiter.</big></big> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Tastatur DUE.jpg Tüftlerclub Kranbrücke ESP32.jpg </gallery> === Relais für Licht und Magnete === <big><big>Die Relais für die Beleuchtung und die beiden Elektromagneten waren zuerst nicht auf der Laufkatze montiert. Sie wurden direkt vom ersten ESP32 geschaltet.</big></big> <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Kranbrücke Relais.jpg Verbindung Magnet Klemmbausteine.jpg </gallery> == Videoclips == * [https://www.youtube.com/watch?v=fGXrOYqyCss YouTube: Unser Brückenkran bei der Arbeit] gbqyd43digflv5mdfmirgn6iq1n9kx9 108 170335 1117420 1079943 2026-10-23T09:32:34Z ChristianSW 15793 ... 1117420 wikitext text/x-wiki == Mecanum Plattformer == <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg Tüftlerclub Plattformer Ladefläche2.jpg </gallery> == Steuerung == === Antrieb mit Mecanum-Rädern === [[Datei:Mecanum wheel control principle.svg|mini|600px|zentriert|Antrieb mit vier Mecanum-Rädern.<br>''blau:'' Antriebsrichtung des Rades; ''rot:'' Bewegungsrichtung des Fahrzeugs<br>'''a)''' Geradeausfahrt, '''b)''' Seitwärtsfahrt, '''c)''' Diagonalfahrt, '''d)''' Kurvenfahrt, '''e)''' Drehung, '''f)''' Drehung um den Mittelpunkt einer Achse]] === SG-EMIB-01A Erweiterungsplatine === <gallery mode=packed heights=360> SG-EMIB-01A Board.jpg </gallery> Das ''SG-EMIB-01A'' ist ein Breakout Board (eine Erweiterungsplatine) für den ''Micro:bit''. Auf dem Board sind unter anderem mehrfarbige LEDs, ein Lautsprecher und Anschlüsse für verschiedene Motoren montiert. * Seengreat: [https://seengreat.com/wiki/122/micro-bit-expansion-board?srsltid=AfmBOorhERFPouHC00kujtbJ6Ro4uEoLgqKDoBWflXtDZyMT6CzhVRp0 Dokumentation des Herstellers] mit Erläuterungen und Übungen === Anschließen der Fahrmotoren === Das Fahrzeug wird von vier Gleichstrommotoren bewegt. Die Motoren werden nach folgendem Schema an das ''SG-EMIB-01A'' Board angeschlossen: * M2A: Motor vorn-links * M2B: Motor vorn-rechts * M1A: Motor hinten-links * M1B: Motor hinten-rechts === Programmieren === Wir nutzen die Entwicklungsumgebung ''Microsoft MakeCode''. * Microsoft: [https://www.microsoft.com/de-de/makecode/about Was ist Microsoft MakeCode?] Um die ''SG-EMIB-01A'' Erweiterungsplatine nutzen zu können, muss in [https://makecode.microbit.org Microsoft MakeCode for micro:bit] zuerst die passende Erweiterung geladen werden. * Erstelle dazu ein neues Projekt, um in den Editor zu gelangen. * Wähle "Erweiterungen" unter dem Zahnrad-Menü oder unter der Kategorie "Fortgeschritten". * Kopiere folgende Zeile in das Suchfeld: <code><nowiki>https://github.com/seengreat/SG-EMIB-01A</nowiki></code> * Klicke auf "server - Javascript version demo codes for SG-EMIB-01A board". Im Editor erscheinen nun die Kategorien ''sound_volume'', ''ServoMotor'' und ''NeoPixel''. === Fernsteuerung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg </gallery> Wir nutzen eine Gaming-Halterung mit einem weiteren ''Micro:bit'' als [[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]. Zwischen beiden ''Micro:bits'' wird eine Funkverbindung aufgebaut. === Bedienung === Nach dem Start wird kurz die Funkgruppe angezeigt. Danach befindet sich das Fahrzeug im ''Fahrbetrieb'': Das Fahrzeug kann mit dem Joystick sowie "A" und "B" gefahren werden. Mit "F" werden alle LEDs an- oder ausgeschaltet. Mit "D" wird zwischen ''Fahrbetrieb'' und ''Ladebetrieb'' gewechselt. Dazu wechselt die LED-Anzeige auf dem ''Micro:bit''. Im ''Ladebetrieb'' kann die Plattform mit dem Joystick hoch- oder heruntergefahren werden. Das Fahrzeug lässt sich dann noch mit "A" und "B" drehen. === Programmiercodes === * Fernsteuerung: [https://makecode.microbit.org/S05165-70354-29816-95292 Makecode für Micro:bit] * Fahrzeugsteuerung: ** alt: [https://makecode.microbit.org/S79203-26548-76622-61965 Makecode für Micro:bit] ** neu: [https://makecode.microbit.org/_WfJ3KtFrrY90 Makecode für Micro:bit] == Technik == === Fahrgestell mit Mecanum-Rädern === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Mecanum Plattformer SuperBit Detail1.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail3.jpg </gallery> === Seitenansicht und Frontansicht === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Technikansicht.jpg </gallery> Die Ladeplattform ist zur Seite hin ausgerichtet. Das obige Foto zeigt die Seitenansicht. Zu sehen sind ganz oben der ''Micro:bit'' auf das ''SG-EMIB-01A'' Board. Darunter ist ein Fach für den Akku - hier in grüner Farbe - gebaut. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Detail2.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail1.jpg </gallery> Die Ladeplattform wird über einen Linearantrieb gehoben oder gesenkt. Auf jeder Seite ist ein linearer Aktuator verbaut, die beide durch einen Motor ein- oder ausgefahren werden. <gallery mode=packed heights=360> L293D motor driver module.jpg Tüftlerclub Plattformer Motortreiber.jpg </gallery> Der 9,6 Volt Akku ist an einen Motortreiber angeschlossen. Der Motortreiber liefert 5 Volt für das ''SG-EMIB-01A'' Board mit dem ''Micro:bit''. Über den Motortreiber wird der Motor zum Heben und Senken der Ladeplattform gesteuert und mit Strom versorgt. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Vorderseite.jpg Tüftlerclub Plattformer Frontlampen.jpg </gallery> Vier LEDs sind anstatt eines zweiten Motors am Motortreiber angeschlossen. Sie können wie ein zweiter Motor mit genug Strom versorgt und an- oder ausgeschaltet werden. === Verdrahtung des Motortreibers === * VIN/GND - Anschluss an +/- am Akku * A-/A+ - Anschluss des Motors für die Ladeplattform * B-/B+ - Anschluss der LEDs * VCC/GND - Anschluss an 5V+/- des ''SG-EMIB-01A'' Boards * IN1 - Anschluss an PIN 15 am ''SG-EMIB-01A'' Board * IN2 - Anschluss an PIN 14 am ''SG-EMIB-01A'' Board * IN3 - Anschluss an PIN 13 am ''SG-EMIB-01A'' Board == Videoclips === * [https://www.youtube.com/watch?v=yXucoMppdhI YouTube: Mecanum Plattformer] rffrwnv5h5096515xqhp9wvm2glfl6w 1117421 1117420 2026-10-23T09:34:44Z ChristianSW 15793 + Videoclips 1117421 wikitext text/x-wiki == Mecanum Plattformer == <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg Tüftlerclub Plattformer Ladefläche2.jpg </gallery> == Steuerung == === Antrieb mit Mecanum-Rädern === [[Datei:Mecanum wheel control principle.svg|mini|600px|zentriert|Antrieb mit vier Mecanum-Rädern.<br>''blau:'' Antriebsrichtung des Rades; ''rot:'' Bewegungsrichtung des Fahrzeugs<br>'''a)''' Geradeausfahrt, '''b)''' Seitwärtsfahrt, '''c)''' Diagonalfahrt, '''d)''' Kurvenfahrt, '''e)''' Drehung, '''f)''' Drehung um den Mittelpunkt einer Achse]] === SG-EMIB-01A Erweiterungsplatine === <gallery mode=packed heights=360> SG-EMIB-01A Board.jpg </gallery> Das ''SG-EMIB-01A'' ist ein Breakout Board (eine Erweiterungsplatine) für den ''Micro:bit''. Auf dem Board sind unter anderem mehrfarbige LEDs, ein Lautsprecher und Anschlüsse für verschiedene Motoren montiert. * Seengreat: [https://seengreat.com/wiki/122/micro-bit-expansion-board?srsltid=AfmBOorhERFPouHC00kujtbJ6Ro4uEoLgqKDoBWflXtDZyMT6CzhVRp0 Dokumentation des Herstellers] mit Erläuterungen und Übungen === Anschließen der Fahrmotoren === Das Fahrzeug wird von vier Gleichstrommotoren bewegt. Die Motoren werden nach folgendem Schema an das ''SG-EMIB-01A'' Board angeschlossen: * M2A: Motor vorn-links * M2B: Motor vorn-rechts * M1A: Motor hinten-links * M1B: Motor hinten-rechts === Programmieren === Wir nutzen die Entwicklungsumgebung ''Microsoft MakeCode''. * Microsoft: [https://www.microsoft.com/de-de/makecode/about Was ist Microsoft MakeCode?] Um die ''SG-EMIB-01A'' Erweiterungsplatine nutzen zu können, muss in [https://makecode.microbit.org Microsoft MakeCode for micro:bit] zuerst die passende Erweiterung geladen werden. * Erstelle dazu ein neues Projekt, um in den Editor zu gelangen. * Wähle "Erweiterungen" unter dem Zahnrad-Menü oder unter der Kategorie "Fortgeschritten". * Kopiere folgende Zeile in das Suchfeld: <code><nowiki>https://github.com/seengreat/SG-EMIB-01A</nowiki></code> * Klicke auf "server - Javascript version demo codes for SG-EMIB-01A board". Im Editor erscheinen nun die Kategorien ''sound_volume'', ''ServoMotor'' und ''NeoPixel''. === Fernsteuerung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg </gallery> Wir nutzen eine Gaming-Halterung mit einem weiteren ''Micro:bit'' als [[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]. Zwischen beiden ''Micro:bits'' wird eine Funkverbindung aufgebaut. === Bedienung === Nach dem Start wird kurz die Funkgruppe angezeigt. Danach befindet sich das Fahrzeug im ''Fahrbetrieb'': Das Fahrzeug kann mit dem Joystick sowie "A" und "B" gefahren werden. Mit "F" werden alle LEDs an- oder ausgeschaltet. Mit "D" wird zwischen ''Fahrbetrieb'' und ''Ladebetrieb'' gewechselt. Dazu wechselt die LED-Anzeige auf dem ''Micro:bit''. Im ''Ladebetrieb'' kann die Plattform mit dem Joystick hoch- oder heruntergefahren werden. Das Fahrzeug lässt sich dann noch mit "A" und "B" drehen. === Programmiercodes === * Fernsteuerung: [https://makecode.microbit.org/S05165-70354-29816-95292 Makecode für Micro:bit] * Fahrzeugsteuerung: ** alt: [https://makecode.microbit.org/S79203-26548-76622-61965 Makecode für Micro:bit] ** neu: [https://makecode.microbit.org/_WfJ3KtFrrY90 Makecode für Micro:bit] == Technik == === Fahrgestell mit Mecanum-Rädern === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Mecanum Plattformer SuperBit Detail1.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail3.jpg </gallery> === Seitenansicht und Frontansicht === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Technikansicht.jpg </gallery> Die Ladeplattform ist zur Seite hin ausgerichtet. Das obige Foto zeigt die Seitenansicht. Zu sehen sind ganz oben der ''Micro:bit'' auf das ''SG-EMIB-01A'' Board. Darunter ist ein Fach für den Akku - hier in grüner Farbe - gebaut. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Detail2.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail1.jpg </gallery> Die Ladeplattform wird über einen Linearantrieb gehoben oder gesenkt. Auf jeder Seite ist ein linearer Aktuator verbaut, die beide durch einen Motor ein- oder ausgefahren werden. <gallery mode=packed heights=360> L293D motor driver module.jpg Tüftlerclub Plattformer Motortreiber.jpg </gallery> Der 9,6 Volt Akku ist an einen Motortreiber angeschlossen. Der Motortreiber liefert 5 Volt für das ''SG-EMIB-01A'' Board mit dem ''Micro:bit''. Über den Motortreiber wird der Motor zum Heben und Senken der Ladeplattform gesteuert und mit Strom versorgt. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Vorderseite.jpg Tüftlerclub Plattformer Frontlampen.jpg </gallery> Vier LEDs sind anstatt eines zweiten Motors am Motortreiber angeschlossen. Sie können wie ein zweiter Motor mit genug Strom versorgt und an- oder ausgeschaltet werden. === Verdrahtung des Motortreibers === * VIN/GND - Anschluss an +/- am Akku * A-/A+ - Anschluss des Motors für die Ladeplattform * B-/B+ - Anschluss der LEDs * VCC/GND - Anschluss an 5V+/- des ''SG-EMIB-01A'' Boards * IN1 - Anschluss an PIN 15 am ''SG-EMIB-01A'' Board * IN2 - Anschluss an PIN 14 am ''SG-EMIB-01A'' Board * IN3 - Anschluss an PIN 13 am ''SG-EMIB-01A'' Board == Videoclips == * [https://www.youtube.com/watch?v=yXucoMppdhI YouTube: Mecanum Plattformer] 6djsik6bu127auxyt6ryyaod0ga4vt2 106 170574 1117443 1108530 2026-10-23T11:10:34Z Bocardodarapti 2041 1117443 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|Zählen}} {{:Zählen/Nacheinander/Einführung/Textabschnitt}} {{:Zählen/Nacheinander/Ergänzungen/Einführung/Textabschnitt}} Mit dem Abbildungsbegriff werden wir die bisherigen Beobachtungen in der übernächsten Vorlesung im Rahmen der Dedekind-Peano-Axiome präzisieren und insbesondere beweisen, dass je zwei Modelle der natürlichen Zahlen übereinstimmen. {{Zwischenüberschrift|Zählen ohne Zahlen}} Bevor wir Mengen mit Hilfe der natürlichen Zahlen abzählen, betrachten wir kurz eine noch fundamentalere Idee, wie man Mengen auch ohne Zählkenntnisse untereinander vergleichen kann. {{ inputbeispiel |Kinder/Sandkasten/Vergleichsidee/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Zählen von endlichen Mengen}} {{:Zählen/Endliche Mengen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Man beachte, dass hier die in der letzten Vorlesung eingeführten Konzepte {{Anführung|für alle}} und {{Anführung|es gibt (genau) eines}} eine entscheidende Rolle spielen| |ISZ=.|ESZ= }}|}} {{Zwischenüberschrift|Abbildungen}} {{:Abbildungen/Zählen/Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} dkxq1364x4n0658gbd1oix9s94j5dgm 106 170579 1117460 1108537 2026-10-23T11:35:36Z Bocardodarapti 2041 1117460 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|11| {{Zwischenüberschrift|Die Ordnungsrelation}} Wir wollen auf den natürlichen Zahlen die Größer- bzw. genauer die Größer{{drucktrenn|}}gleich-Ordnung einführen. {{ inputdefinition |Mengentheorie/Relation auf einer Menge/Definition|| }} Statt {{ Relationskette | (x,y) | \in | R || || || |SZ= }} schreibt man {{mathl|term= xRy |SZ=,}} man sagt, dass {{math|term= x |SZ=}} in der Relation {{math|term= R |SZ=}} zu {{math|term= y |SZ=}} steht, typische Symbole für {{math|term= R |SZ=}} sind {{mathl|term= \leq, \geq, \sim, \preccurlyeq |SZ=.}} {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|| }} Diese Eigenschaften heißen der Reihe nach {{Stichwort|Reflexivität|SZ=,}} {{Stichwort|Transitivität|SZ=}} und {{Stichwort|Antisymmetrie|SZ=.}} {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Ordnung auf den natürlichen Zahlen}} {{:Natürliche Zahlen/Ordnung/Einführung/Textabschnitt}} Die algorithmische Bestimmung der Ordnungsrelation im Dezimalsystem werden wir in {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt |Nr= |SZ= }} beschreiben. {{Zwischenüberschrift|Maxima und Minima}} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Endliche Teilmenge/Maximum/Definition|| }} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmenge/Minimum/Definition|| }} Die leere Menge besitzt weder ein Maximum noch ein Minimum. Die Gesamtmenge {{math|term= \N |SZ=}} besitzt das Minimum {{math|term= 0 |SZ=}} und kein Maximum. Aus dem Induktionsprinzip folgt die nächste wichtige Eigenschaft, die besagt, dass die natürlichen Zahlen {{Stichwort|wohlgeordnet|msw=Wohlordnung|SZ=}} sind. Vom intuitiven Standpunkt her ist sie selbstverständlich, wir führen sie aber trotzdem auf das Induktionsprinzip zurück. Es geht in diesem Beweis weniger dadrum, sich über die Satzaussage zu vergewissern, sondern vielmehr Einblicke in mathematisches Argumentieren zu gewinnen. Es ist auch ein Beispiel dafür, wie man eine Aussage über Teilmengen zu einer Aussage über natürliche Zahlen macht, um das Induktionsprinzip anwenden zu können. {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Differenz von natürlichen Zahlen}} {{:Natürliche Zahlen/Differenz/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=aufgabe}} {{Fußnotenliste}} }} nw04b8hmkjmpt6ygg720lilcw2axd5z 106 170999 1117377 1117089 2026-10-22T13:03:37Z Bocardodarapti 2041 1117377 wikitext text/x-wiki {{Vorlesungsaufzählung |Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)| |V1=Der Satz über implizite Abbildungen |V2=Algebraische Nullstellengebilde |V3=Monomiale Gleichungen und simpliziale Komplexe |V4=Glattheit |V5=Stanley-Reisner-Ringe |V6=Binomiale Gleichungen |V7=Monoidringe |V8=Gruppenoperationen |V9=Quotientensingularitäten |Vx=Die lokale Fundamentalgruppe |V10=Die lokale Fundamentalgruppe für Monoidringe |V11=Knoten |V12=Derivationen und Differentiale |V13=Kähler-Differentiale und Jacobi-Matrix |V14=Jacobiideal und Milnorzahl |V15=Die Multiplizität |V16=Die Hilbertfunktion graduierter Moduln |V17=Die Hilbert-Samuel-Multiplizität |V18=Die Krulldimension |V19=Dimension von Varietäten |V20=Produktvarietäten |V21=Reguläre Ringe |V22=Schnitttheorie in glatten Punkten |V23=Freie Auflösungen |V24=Homologische Charakterisierung |V25=Faktorialität |V26= |V27= |V28= |V29= |V30= }}<noinclude>[[Kategorie:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungen]]</noinclude> 8z6pghsjqzcge8o7ua5zh85n6ajcbi1 106 171022 1117374 1117085 2026-10-22T13:01:58Z Bocardodarapti 2041 1117374 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|Binomiale Gleichungen}} {{:Singularitäten/Binomiale Gleichungen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=siehe allerdings die [[Kurs:Singularitätentheorie_(Osnabrück_2026-2027)/Vorlesung_11|elfte Vorlesung]], wo topologische Eigenschaften besprochen werden, die mit der Einbettung zusammenhängen, aber nicht mit der intrinsischen topologischen Struktur der Kurve| |ISZ=|ESZ=. }} }} {{ inputbeispiel |Binomiale Gleichung/x^2-x/xy-y/Glattheit/Dimension/Diskussion/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Minoren/2x2/Glattheit/Dimension/Diskussion/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Monoidstruktur auf binomialen Nullstellengebilden}} Der affine Raum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum| n | K }} |SZ=}} ist ein Vektorraum und insbesondere mit der komponentenweisen Addition eine kommutative Gruppe. Es gibt aber auch die komponentenweise Multiplikation, mit der der affine Raum allerdings nur ein Monoid und keine Gruppe ist. Andererseits ist {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Einheiten|K}} |}}^n || D {{makl| X_1 \cdots X_n |}} || D {{makl| X_1 |}} {{capdots}} D {{makl| X_n |}} || || |SZ= }} eine Gruppe. {{ inputfaktbeweis |Binomiale Gleichungen/Nullstellengebilde/Monoidstruktur/Fakt|Lemma|| }} }} b9ieomyspnrkn2okl32xoxn96nx2xmn 106 171023 1117375 1115249 2026-10-22T13:02:30Z Bocardodarapti 2041 1117375 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|7| {{Zwischenüberschrift|Von binomialen Gleichungen zu Exponentengleichungen}} {{:Binomiale Gleichungen/Exponentengleichungen/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Monoidringe}} {{:Monoidring/Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputbeispiel |Allgemeine Hyperbel/Laurentring/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Universelle Eigenschaft der Monoidringe}} {{inputfaktbeweis|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|}} Die folgende Aussage bedeutet, in Zusammenhang mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} dass bei fixiertem Grundring {{math|term= R |SZ=}} die Zuordnung, die einem Monoid {{math|term= M |SZ=}} den Monoidring {{math|term= R[M] |SZ=}} zuordnet, ein {{Stichwort|Funktor|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung||}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt|Korollar||}} {{Zwischenüberschrift|Monoidring und binomiales Ideal}} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Lemma|| }} Die folgende Aussage knüpft an {{ Faktlink |Faktseitenname= Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} an. {{ inputfaktbeweis |Ebene monomiale Kurve/Teilerfremd/Ideal/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Das {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum eines Monoidringes}} {{inputdefinition |Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Definition|}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Bemerkung|}} }} ljehu7agmzk1m2c3vbg4mickj5900wg 106 171024 1117376 1115324 2026-10-22T13:02:47Z Bocardodarapti 2041 1117376 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|8| In den folgenden beiden Vorlesungen möchten wir die endlichen Untergruppen {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Konjugation| |ISZ=|ESZ= }} und die zugehörigen Invariantenringe {{mathl|term= K[U,V]^G |SZ=}} bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren {{ Zusatz/Klammer |text=also die Bahnenräume| |ISZ=|ESZ= }} nennt man {{Stichwort|ADE-Singularitäten|SZ=.}} Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Die ADE-Singularitäten treten in vielen verschiedenen Kontexten immer wieder auf. {{Zwischenüberschrift|Gruppenoperationen}} {{:Gruppenoperation/Kurzeinführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Lineare Gruppenoperationen auf dem {{math|term= K^d |SZ=}} }} {{:Lineare Gruppenoperation/Polynomring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Invariantenringe}} {{:Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Invariantenring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Eine Liste von Untergruppen der {{mathlk|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}}}} |SZ=}}}} Wir betrachten die folgenden Beispiele von endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}}}} |SZ=.}} Wir werden später sehen, dass diese Liste bis auf Konjugation vollständig ist. {{:Binäre polyedrische Gruppen/Realisierung in SL2C/Liste/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |SLnC/Endliche Untergruppe/Konjugiert zu SUnC/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Beziehung zwischen {{mathlk|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} |SZ=}} und {{mathlk|term= {{op:SOG| 3 | \R }} |SZ=}} }} Für die Klassifikation der endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}} }}|SZ=}} werden wir die platonische Klassifikation der endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SOG| 3 | \R }} |SZ=}} heranziehen. Die Beziehung zwischen diesen beiden Fragestellungen beruht darauf, dass einerseits die {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} |SZ=}} auf der komplex-projektiven Geraden {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC}} }} |SZ=}} und andererseits die Isometrien des {{math|term= \R^3 |SZ=}} auf der 2-Sphäre {{ Relationskette/display | S^2 |\subseteq| \R^3 || || || |SZ= }} operiert. Die Homöomorphie {{ Relationskette | {{op:Projektive Gerade| {{CC}} }} | \cong | S^2 || || || || |SZ= }} ermöglicht einen Zusammenhang zwischen diesen Gruppen und ihren endlichen Untergruppen. {{:SL2C und SO3R/Vorbereitungen/2/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |SL2C/Endliche Untergruppen/Klassifikationsatz/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Quotientensingularitäten}} {{ inputdefinition |Quotientensingularität/Endlich/Definition|| }} {{ inputdefinition |Spezielle Quotientensingularität/Endlich/Definition|| }} Diese beiden Definitionen umfassen als Extremfall auch die Situation, wo der Invariantenring regulär ist, also im strengen Sinn überhaupt keine Singularität vorliegt. Es kann sein, dass ein kommutativer Ring sowohl zum Invariantenring zu {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:GLG| n | K }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |G | \not\subseteq | {{op:SLG| n | K }} || || || |SZ=, }} als auch zum Invariantenring zu {{ Relationskette/display | H | \subseteq | {{op:SLG| n | K }} || || || |SZ= }} isomorph ist. Ein Beispiel dafür ist der Polynomring selbst. Ein Beispiel für eine Quotientensingularität, die keine spezielle Quotientensingularität ist, ist der Veronesering {{ Relationskette/display | K [U,V]^{( \ell)} || K[U^\ell, U^{\ell -1} V, U^{\ell -2} V^2 {{kommadots}} UV^ {\ell -1}, V^ \ell ] | \subseteq | K[U,V] || || |SZ= }} bei {{ Relationskette | \ell |\geq| 3 || || || |SZ=. }} ............. Wir möchten typische Methoden beschreiben, mit denen man die Invariantenringe zu den Operationen der endlichen Untergruppen der speziellen linearen Gruppe berechnen kann. Berechnen heißt, invariante Polynome zu finden, davon ein endliches Algebraerzeugendensystem auszuwählen und Relationen zwischen diesen Erzeugern zu finden. Eine typische Besonderheit der speziellen Quotientensingularitäten in der Dimension zwei ist, dass sie sich mit einer einzigen Gleichung in drei Variablen beschreiben lassen. Diese Gleichungen wollen wir im Folgenden bestimmen. {{Zwischenüberschrift|Graduierungen}} {{ inputdefinition |Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel|| }} Die Ringe {{ Relationskette/display | K[U^n,V^n,UV] |\cong| K[X,Y,Z] {{makl| XY-Z^n |}} || || || |SZ= }} nennt man {{math|term= A_{n-1} |SZ=-}}{{Stichwort|Singularitäten|msw=A-Singularität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=man beachte die Indizierung| |ISZ=|ESZ=! }} {{Zwischenüberschrift|Der Invariantenring der binären Diedergruppe}} Aufbauend auf die Berechnung des Invariantenringes zur zyklischen Gruppe können wir den Invariantenring zur binären Diedergruppen {{mathl|term= BD_{m}|SZ=}} bestimmen. {{ inputfaktbeweis |Invariantenring/Untergruppe/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Binäre Diedergruppe/Invariantenring über xy-z^n/Beispiel|| }} Man spricht von den {{math|term= D_{m+2} |SZ=-}}{{Stichwort|Singularitäten|msw=D-Singularität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=man beachte die Indizierung| |ISZ=|ESZ=. }} Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Diedersingularität/BD1/Zu Z mod 4/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist {{mathl|term= D_3 |SZ=}} isomorph zu {{math|term= A_3 |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| X^2 + YZ^2+Y^2 |}} |\cong| {{CC}}[S,T,U]/ {{makl| ST+U^4 |}} || || || |SZ=, }} so dass man diese {{math|term= D |SZ=-}}Liste bei {{math|term= D_4 |SZ=}} beginnen lässt. In den ursprünglichen Variablen {{ mathkor|term1= U |und|term2= V |SZ= }} sind {{ Math/display|term= U^{2m}+V^{2m}, \, U^2V^2 \text{ und } UV {{makl| U^{2m} - V^{2m} |}} |SZ= }} ein Algebraerzeugendensystem aus invarianten Polynomen. In Charakteristik {{mathl|term=\neq 2,3 |SZ=}} kann man die {{math|term= D_4 |SZ=-}}Gleichung, also {{ Relationskette | X^2 + YZ^2+Y^3 || 0 || || || |SZ= }} in {{ Relationskette | X^2 + Y^3+Z^3 || 0 || || || |SZ= }} transformieren. {{Zwischenüberschrift|Die Invarianten der binären Tetraedergruppe}} {{ inputbeispiel |Binäre Tetraedergruppe/Binäre Diedergruppe als Normalteiler/Charakter/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Invarianten der binären Oktaedergruppe}} Wir setzen die Berechnung der Invariantenringe zu den Operationen der endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SUG|2|{{CC}}}} |SZ=}} fort. {{ inputbeispiel |Binäre Oktaedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring mittels Tetraeder/Beispiel|| }} Diesen Invariantenring bezeichnet man als {{math|term= E_7|SZ=-}}{{Stichwort|Singularität|msw=E7-Singularität|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Die Invarianten der binären Ikosaedergruppe}} Der Invariantenring zur binären Ikosaedergruppe verhält sich in vielerlei Hinsicht anders als die bisher besprochenen Invariantenringe. Man braucht andere Methoden, um letztlich zu zeigen, dass der Invariantenring gleich {{ Math/display|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+Y^3+Z^5 |}} |SZ= }} ist. Man spricht von der {{math|term= E_8|SZ=-}}{{Stichwort|Singularität|msw=E8-Singularität|SZ=.}} }} 3q1ad3uatylcp8qdhmmwdh37rr4muu2 106 171053 1117378 1117086 2026-10-22T13:04:29Z Bocardodarapti 2041 1117378 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|6| {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/2 Variablen/Gleich 1/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/2 Variablen/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitswurzeln/Binomiale Gleichung/C/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affine ebene Kurven/x^d+1 ist y^d/Parametrisierung mit Nullpunkt und Gerade x ist 1/Erläutert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Lokale Ringe/Isomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Dimensionstheorie/Varietät/Lokal/Lineares Schnittverhalten/Bemerkung|}} Dieser Ansatz wird in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dimensionstheorie/Affiner Raum/Schnitt mit linearen Unterräumen/Fakt |Nr= |SZ= }} begründet. Einige der folgenden Aufgaben beruhen auf dieser Sichtweise. Man überprüfe diesen Ansatz auch für die Achsenraumkonfigurationen. {{ inputaufgabe |A-Singularitäten/Schnitt mit Ebenen/Mit Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standardkegel/R/Trennende Ebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomialer Standardkegel/R/Trennende Ebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomialer Standardkegel/R/Topologischer Homöomorphietyp/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomialer Standardkegel/Standardkegel/R/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraisch Abgeschlossener Körper/Hyperfläche/Geradenschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/3 Variablen/Glattheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir besprechen eine andere Sichtweise auf {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Monomiale Raumkurve/X ist YZ/Y ist XZ/Beispiel |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Monomiale Raumkurve/X ist YZ/Y ist XZ/Elimination/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomiale Raumkurve/XY ist Z^3/X^2Z ist Y^2/Irreduzible Komponenten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraische Raumkurven/Monomial/u^5-v^3,u^11-w^3,v^11-w^5/w-u^2v im Radikal/Realisierung in zwei Variablen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidringe/Idealerzeuger für Neilsche Parabel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomiale Abbildung/S,ST^2,ST/Gleichung für Bild/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/K/Zusammenhängend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/K/Schnitt mit linearen Räumen/Dimensionstest/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/Einbettung in vierdimensionalen Polynomring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/Primideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Funktion/Allgemeine Hyperbel/Beispiel/Gruppenisomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Ein Element/Restklassendarstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} pm4edgps0cy9kbb0hmronlb1ei3ckgi 106 171054 1117379 1115263 2026-10-22T13:04:57Z Bocardodarapti 2041 1117379 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|7| {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Monoidhomomorphismus/Verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Verträgliche Äquivalenzrelation/Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Eine Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Verträgliche Äquivalenzrelation/Monoidstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/N^2 modulo 2e ist 4f/Untermonoidrealisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Obermonoid/Endlicher Abschluss/ist Monoid/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Untermonoid/N^2/Nicht endlich erzeugt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod 5/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Assoziativ und distributiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Idempotentes Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Gruppe/Monoidring/Idempotente Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenring/Endlich erzeugte kommutative Gruppe/Glatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standardkegel/C/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Quadrik in vier Variablen/ux-vy/Finde Realisierung als Monoidring/Aufgabe|| }} Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids. {{ inputaufgabe |Monoid/Einheit/Ring/Umkehrung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Ideal auf Monoidebene/Ergibt Ideal in R M/Aufgabe||}} {{inputaufgabe |Kommutative Monoidringe/Zu Z^n ist Laurentring/Beweis mit universeller Eigenschaft/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Homomorphismus/Endlich Charakterisierung/Aufgabe|}} Die folgenden Aufgaben besprechen Monoidringe zu Monoiden, die nicht endlich erzeugt sind. {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Rechnungsbeispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Polynom in Wurzel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über R/Zerlegung von X^2+1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über C/Keine irreduziblen Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über K/Teiler von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q/Über K/Einheiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgenden Aufgaben mit dem {{math|term=K|SZ=-}}Spektrum eines kommutativen Monoids {{math|term=M|SZ=,}} also der Menge aller Monoidhomomorphismen von {{math|term=M|SZ=}} nach {{math|term=K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der multiplikativen Struktur| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/ef ist 5g/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches kommutatives Monoid/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/N^2 nach Z/e_1,e_2 nach 1,-1/Interpretiere/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Zyklische Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Singulärer Ort/Beispiel/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidringe/Funktorialität/K-Spektrum/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Rationale und reelle Zahlen als Monoid/Monoidhomomorphismen/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch Matrix über N zwischen N^r und N^s/Aufgabe||zusatz=Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch quadratische Matrix über N/Determinante und generisch surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Faser über 1 als Monoidring/Aufgabe|| |zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung {{math|term=M \mapsto 1|SZ=}} entspricht| |ISZ=|ESZ= }}|}} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/M und N/Beschreibung der Produktmorphismen/Aufgabe||}} Die folgenden Aufgaben haben mit der Differenzengruppe eines Monoids zu tun. {{ inputaufgabe |Kommutative Monoidtheorie/Differenzengruppe/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Universelle Eigenschaft/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Charakterisierungen Kürzungsregel/Aufgabe|}} }} 72do1wwitgblz28x4rwc7fc9sxha2km 106 171055 1117380 1115373 2026-10-22T13:05:19Z Bocardodarapti 2041 1117380 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|8| {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Bahn/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Zahlen/Einheitswurzeln/Operation/Bahnen und Isotropiegruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Einheiten/Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reine quadratische Algebra/Gruppenoperation/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation auf Ring/Invariantes Ideal/Beziehungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unendlicher Körper/Endliche lineare Gruppe/Bahnen/Offene Menge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ Aufgabelink |Präwort=Gemäß||Aufgabeseitenname= Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ergibt eine Gruppenoperation für jedes {{ Relationskette | g | \in | G || || || |SZ= }} eine Bijektion {{mathl|term=x \mapsto gx|SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=.}} Wenn {{math|term=M|SZ=}} zusätzliche Strukturen besitzt, so verlangt man häufig, dass diese Bijektionen diese Strukturen respektieren, also beispielsweise linear oder stetig sind. Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert. {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Gruppenoperation/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktion/C nach C/Respektiert alle Einheitswurzeln/S^1/Durch Betrag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratisches Polynom/Diskriminante/Verträglich mit Operation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Gruppenring/Modul und Gruppendarstellung/Aufgabe||zusatz= Bemerkung: {{math|term=\rho|SZ=}} heißt dann eine {{Stichwort|Darstellung}} von {{math|term=G|SZ=.}} Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als {{math|term=G|SZ=}} und man kann mit Hilfe von {{math|term=\rho|SZ=}} oft hilfreiche Erkenntnisse über {{math|term=G|SZ=}} selbst gewinnen.}} {{ inputaufgabe |Zyklische Gruppe/SL2C/Wirkung auf Punkten und Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/1/Zyklisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/Matrix B erzeugt keinen Normalteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/Wirkung auf Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppen/SL2C/Unitär/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8/Erzeugende Matrix der Ordnung 4/Unitär/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Gruppenoperation/C^n/Endlich/Neues Skalarprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unitäre Abbildung/Charakterisierung mit Matrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Oktaedergruppe/C/Eigenvektoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Oktaedergruppe/1 durch sqrt 2i -i zeta -i/Gehört dazu/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/120 Elemente/Darstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene reelle Drehungen/Komplex/Konjugiert zu Z_n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Operation/Körperwechsel/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Ebene/Vierteldrehung/Reeller und Komplexer Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Spezielle unitäre Matrix/2/Eigenwerte und Eigenvektoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Spezielle unitäre Matrix/2/Eigenvektoren/Auf S^2 antipodal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche unitäre Gruppe/n/Offener Ball/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Spezielle lineare Matrix/2/Eigenvektoren auf S^2 nicht antipodal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplex-projektive Gerade/S^2/Explizite Homöomorphie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Operation der SL2C/Auf P^1/Nicht längentreu/Nicht linear/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |SU2C nach SO3R/Matrix/Determinante 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |SU2C nach SO3R/Komplexe Konjugation/Konjugation mit Spiegelungsmatrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kleinsche Vierergruppe/Nicht in SL2C/GL2C/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppe/GL2C/Isomorph/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppe/SL3C/Isomorph/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Nicht isomorph zu S5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Ordnungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Gruppen/Urbild der reellen Gruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/R^2 oder C^2/Hyperbolisch/Bahnen und Quotient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} .............. {{ inputaufgabe |Quotient/x_1+x_2i durch 1-x_3/Einheitskugel/(x_1,x_2) nach 0/Quotient gegen 0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition|}} {{ inputaufgabe |Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homogenes Polynom/Darstellung mit formalen partiellen Ableitungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten. Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition. {{:Graduierte kommutative Algebra/Homogener Automorphismus/Definition}} {{ inputaufgabe |Graduierte kommutative Algebra/Charakter/Definiert homogenen Automorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gerade und ungerade Funktionen/Stetig/Z mod 2 Algebra/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/2 Einheit/Z mod 2 Operation/Graduierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graduierte Körpererweiterung/Homogener Automorphismus/Von Charakter/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring in zwei Variablen/Z-Graduierung aus feiner Graduierung/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kein Quadrat/Quadratisches Polynom/Irreduzibel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |KX,Y,Z/XY-Z^n/Irreduzibel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |An+1-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dn-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E6-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |X^2+YZ^2+Z^n/Singulärer Ort/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diedersingularität/BD1/Zu Z mod 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diedersingularität/Invarianten explizit/Gleichung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E7-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |ADE bis 7/Glatte Kurve durch singulären Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8-Singularität/Abbildung von A_1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir erinnern an einige weitere Graduierungsbegriffe. {{:Kommutativer Ring/Graduierung/Positiv/Definition|}} {{:Kommutativer Ring/Standard-graduiert/Definition|}} {{:Graduierter Ring/N/Irrelevantes Ideal/Definition|}} {{ inputaufgabe |ADE-Singularität/Positive Graduierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir erinnern an folgende Definition. {{:Kommutatorgruppe/Definition}} Die Kommutatorgruppe ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kommutatorgruppe/Normalteiler/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Normalteiler, die Restklassengruppe {{mathl|term=G/K(G)|SZ=}} nennt man auch die {{Stichwort|Abelianisierung|SZ=}} von {{math|term=G|SZ=.}} {{ inputaufgabe |Binäre Gruppen/Kommutatorgruppe und Abelianisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Operation/Lokaler Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler_Ring/Gruppenoperation/Fixring_lokal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} pu0xdfs0nactms8kgchvdm0nzlq4o3l 106 171942 1117387 1117064 2026-10-22T13:37:08Z Jeb 26942 /* Bibliothek */ Tafellieder 1117387 wikitext text/x-wiki [[Datei:Die Gartenlaube (1864) b 045.jpg|mini|Matthäus Friedrich Chemnitz, der Dichter des Liedes [[s:„Schleswig-Holstein, meerumschlungen!“|„Schleswig-Holstein, meerumschlungen“]], in: [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube, 1864, S. 45.]]|left]] {{Kurs Box | '''Impulse''' | ''Wir starten in den Tag mit einem einführenden Vortrag zu Citizen Science und aktuellen Entwicklungen. Zudem stellen wir verschiedene Projekte vor, die digitale Methoden wie Transkribus, Wikidata und vieles mehr nutzen. Am Nachmittag gibt es Einsteiger-Workshops zu Transkribus, Wikidata und zur Projektplanung eines Citizen-Science-Projekts. (...)'' |'''Veranstalter'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Kulturspeicher] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen. {{In Arbeit}} | '''Termin'''| 26. Oktober 2026 |'''Ort'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Schleswig-Holsteinische Landesbibliothek], Kiel | '''Referent''' | [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] }} ; Was bisher geschah [[Datei:Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021.png|mini|[https://codingdavinci.de/events/schleswig-holstein/ Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021]]] : [[Kurs:Linked Open Storytelling (2021)/Coding da Vinci SH]] : [[Kurs:KultDig-Lunch im Wikiversum]], 2025 == Open Citizen Science mit Wikidata == === [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube]] === ... mit Wikisource + Wikidata ; [[DieDatenlaube|Die Datenlaube]] ... beschrieben in [[d:Q61943025#P1343]]. : ''[[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|Hackathon ist immer (dienstags)]]'', 8:15 Uhr (seit 2021). Offenes Onlinetreffen mit Dresdner*innen, Gästen und dem [[s:Dresdner Geschichtsverein]], siehe [[DieDatenlaube/Notizen]]. ; Themenseite [[s:Schleswig Holstein]] in Wikisource [[Datei:Die Gartenlaube (1889) b 623.jpg|mini|[[s:Carl Falkenhorst|Carl Falkenhorst]]: [[s:Rettung Ertrinkender und Wiederbelebung Scheintodter|''Rettung Ertrinkender und Wiederbelebung Scheintodter'']], in: Die Gartenlaube, 1889, S. 623.|left]] * [[s:Kiel]] ... * [[s:Gesellschaft zur Rettung Schiffbrüchiger]] * [[s:Friedrich von Esmarch]] ; Methodentransfer: === [[s:Malerwerke des 19. Jahrhunderts|Malerwerke des 19. Jahrhunderts]] === Wie viele Bezüge (Künstler*innen, Kunstvereine, Publikationen) in, aus und über Schleswig Holstein stecken im ''Boetticher''? Vgl. [[Kurs:Provenance loves Wiki (2024)|''Provenance loves Wiki'']], 2024. * ''Boettichers „Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts”, Kunstbände und Illustrierte zitieren, um alte und neue Datenberge linked open zu verknüpfen'' (2023), https://saxorum.hypotheses.org/9471 === Archive, Bibliotheken === ''Open GLAM-Netze: Schleswig-Holstein'', https://nearby.hypotheses.org/1180 {{SPARQL|query= #defaultView:Map,Table SELECT distinct ?item ?itemLabel ?itemDescription ?image ?coord ?verwaltungseinheitLabel ?streetLabel ?zip ?adress ?blog ?layerLabel WITH { SELECT distinct ?region # Unterabfrage für alle Verwaltungseinheiten (Kreise, Städte, Gemeinden, Ortsteile, etc.) WHERE { hint:Query hint:optimizer "None" . BIND(wd:Q1194 AS ?state). # liegt in Schleswig Holstein ?region wdt:P131* ?state. MINUS { ?region wdt:P576 _:b0. } # Verwaltungseinheit ohne Auflösungsdatum } } AS %region WHERE { INCLUDE %region. ?item wdt:P131 ?region. ?item (wdt:P31/wdt:P279*) wd:Q166118 . # ist ein Archiv oder Subklasse davon ?item wdt:P31 ?layer. OPTIONAL { ?item wdt:P18 ?image . } OPTIONAL { ?item wdt:P625 ?coord. } OPTIONAL { ?item wdt:P6375 ?adress. } OPTIONAL { ?item wdt:P131 ?verwaltungseinheit. } OPTIONAL { ?item wdt:P1581 ?blog. } SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],de,en". } } ORDER BY ?layerLabel }} == Bibliothek == * Lesen, transkribieren, detailliert erschließen: [[c:Category:Gesellschaft für schleswig-holsteinische Geschichte]], [[c:Category:Zeitschrift der Gesellschaft für Schleswig-Holsteinische Geschichte]] * [[w:Nordelbingen (Zeitschrift)]]? Nordelbingen: Beiträge zur Geschichte der Kunst und Kultur, Literatur und Musik in Schleswig-Holstein, [[d:Q1310392]] ; [[s:Tafellieder]] * ''Tafel-Lieder beim Schiller-Feste in Meldorf am 10ten November 1859'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=880816066 * ''Tafellieder für die schleswig-holsteinische Lehrerversammlung in Kiel 1878'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=1724140388 * ''Tafel-Lied der freiwilligen Turner-Feuerwehr zu Neumünster am 10jähr. Stiftungstage kameradschaftlich gewidmet : Neumünster, d. 20. April 1881'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=1853869228 * ''Tafel-Lieder zum 50jähr. Bestehen d. Innung am Dienstag, dem 11. Nov. 1930 im Konzerthaus Flora'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=1870432606 <gallery> </gallery> [[Kategorie:Citizen Science]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Kiel]] [[Kategorie:Schleswig-Holstein]] 0imrly7wb3wbth1i7q4ktfwbvv2crcj 1117419 1117387 2026-10-23T09:29:48Z Jeb 26942 Wikidata's 14th birthday banner 1117419 wikitext text/x-wiki [[Datei:Die Gartenlaube (1864) b 045.jpg|mini|Matthäus Friedrich Chemnitz, der Dichter des Liedes [[s:„Schleswig-Holstein, meerumschlungen!“|„Schleswig-Holstein, meerumschlungen“]], in: [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube, 1864, S. 45.]]|left]] {{Kurs Box | '''Impulse''' | ''Wir starten in den Tag mit einem einführenden Vortrag zu Citizen Science und aktuellen Entwicklungen. Zudem stellen wir verschiedene Projekte vor, die digitale Methoden wie Transkribus, Wikidata und vieles mehr nutzen. Am Nachmittag gibt es Einsteiger-Workshops zu Transkribus, Wikidata und zur Projektplanung eines Citizen-Science-Projekts. (...)'' |'''Veranstalter'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Kulturspeicher] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen. {{In Arbeit}} | '''Termin'''| 26. Oktober 2026 |'''Ort'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Schleswig-Holsteinische Landesbibliothek], Kiel | '''Referent''' | [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] }} ; Was bisher geschah [[Datei:Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021.png|mini|[https://codingdavinci.de/events/schleswig-holstein/ Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021]]] : [[Kurs:Linked Open Storytelling (2021)/Coding da Vinci SH]] : [[Kurs:KultDig-Lunch im Wikiversum]], 2025 == Open Citizen Science mit Wikidata == === [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube]] === ... mit Wikisource + Wikidata ; [[DieDatenlaube|Die Datenlaube]] ... beschrieben in [[d:Q61943025#P1343]]. : ''[[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|Hackathon ist immer (dienstags)]]'', 8:15 Uhr (seit 2021). Offenes Onlinetreffen mit Dresdner*innen, Gästen und dem [[s:Dresdner Geschichtsverein]], siehe [[DieDatenlaube/Notizen]]. ; Themenseite [[s:Schleswig Holstein]] in Wikisource [[Datei:Die Gartenlaube (1889) b 623.jpg|mini|[[s:Carl Falkenhorst|Carl Falkenhorst]]: [[s:Rettung Ertrinkender und Wiederbelebung Scheintodter|''Rettung Ertrinkender und Wiederbelebung Scheintodter'']], in: Die Gartenlaube, 1889, S. 623.|left]] * [[s:Kiel]] ... * [[s:Gesellschaft zur Rettung Schiffbrüchiger]] * [[s:Friedrich von Esmarch]] ; Methodentransfer: === [[s:Malerwerke des 19. Jahrhunderts|Malerwerke des 19. Jahrhunderts]] === Wie viele Bezüge (Künstler*innen, Kunstvereine, Publikationen) in, aus und über Schleswig Holstein stecken im ''Boetticher''? Vgl. [[Kurs:Provenance loves Wiki (2024)|''Provenance loves Wiki'']], 2024. * ''Boettichers „Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts”, Kunstbände und Illustrierte zitieren, um alte und neue Datenberge linked open zu verknüpfen'' (2023), https://saxorum.hypotheses.org/9471 === Archive, Bibliotheken === ''Open GLAM-Netze: Schleswig-Holstein'', https://nearby.hypotheses.org/1180 {{SPARQL|query= #defaultView:Map,Table SELECT distinct ?item ?itemLabel ?itemDescription ?image ?coord ?verwaltungseinheitLabel ?streetLabel ?zip ?adress ?blog ?layerLabel WITH { SELECT distinct ?region # Unterabfrage für alle Verwaltungseinheiten (Kreise, Städte, Gemeinden, Ortsteile, etc.) WHERE { hint:Query hint:optimizer "None" . BIND(wd:Q1194 AS ?state). # liegt in Schleswig Holstein ?region wdt:P131* ?state. MINUS { ?region wdt:P576 _:b0. } # Verwaltungseinheit ohne Auflösungsdatum } } AS %region WHERE { INCLUDE %region. ?item wdt:P131 ?region. ?item (wdt:P31/wdt:P279*) wd:Q166118 . # ist ein Archiv oder Subklasse davon ?item wdt:P31 ?layer. OPTIONAL { ?item wdt:P18 ?image . } OPTIONAL { ?item wdt:P625 ?coord. } OPTIONAL { ?item wdt:P6375 ?adress. } OPTIONAL { ?item wdt:P131 ?verwaltungseinheit. } OPTIONAL { ?item wdt:P1581 ?blog. } SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],de,en". } } ORDER BY ?layerLabel }} == Bibliothek == * Lesen, transkribieren, detailliert erschließen: [[c:Category:Gesellschaft für schleswig-holsteinische Geschichte]], [[c:Category:Zeitschrift der Gesellschaft für Schleswig-Holsteinische Geschichte]] * [[w:Nordelbingen (Zeitschrift)]]? Nordelbingen: Beiträge zur Geschichte der Kunst und Kultur, Literatur und Musik in Schleswig-Holstein, [[d:Q1310392]] ; [[s:Tafellieder]] * ''Tafel-Lieder beim Schiller-Feste in Meldorf am 10ten November 1859'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=880816066 * ''Tafellieder für die schleswig-holsteinische Lehrerversammlung in Kiel 1878'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=1724140388 * ''Tafel-Lied der freiwilligen Turner-Feuerwehr zu Neumünster am 10jähr. Stiftungstage kameradschaftlich gewidmet : Neumünster, d. 20. April 1881'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=1853869228 * ''Tafel-Lieder zum 50jähr. Bestehen d. Innung am Dienstag, dem 11. Nov. 1930 im Konzerthaus Flora'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=1870432606 <gallery> Wikidata's 14th birthday banner.png|[[d:Wikidata:Fourteenth Birthday|Wikidata turns 14 on 29 October 2026]] </gallery> [[Kategorie:Citizen Science]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Kiel]] [[Kategorie:Schleswig-Holstein]] 4mheya9ilbjlqfz41at8bfr33e16z1y 1117424 1117419 2026-10-23T09:39:46Z ChristianSW 15793 Link korrigiert 1117424 wikitext text/x-wiki [[Datei:Die Gartenlaube (1864) b 045.jpg|mini|Matthäus Friedrich Chemnitz, der Dichter des Liedes [[s:„Schleswig-Holstein, meerumschlungen!“|„Schleswig-Holstein, meerumschlungen“]], in: [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube, 1864, S. 45.]]|left]] {{Kurs Box | '''Impulse''' | ''Wir starten in den Tag mit einem einführenden Vortrag zu Citizen Science und aktuellen Entwicklungen. Zudem stellen wir verschiedene Projekte vor, die digitale Methoden wie Transkribus, Wikidata und vieles mehr nutzen. Am Nachmittag gibt es Einsteiger-Workshops zu Transkribus, Wikidata und zur Projektplanung eines Citizen-Science-Projekts. (...)'' |'''Veranstalter'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Kulturspeicher] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen. {{In Arbeit}} | '''Termin'''| 26. Oktober 2026 |'''Ort'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Schleswig-Holsteinische Landesbibliothek], Kiel | '''Referent''' | [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] }} ; Was bisher geschah [[Datei:Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021.png|mini|[https://codingdavinci.de/events/schleswig-holstein/ Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021]]] : [[Kurs:Linked Open Storytelling (2021)/Coding da Vinci SH]] : [[Kurs:KultDig-Lunch im Wikiversum]], 2025 == Open Citizen Science mit Wikidata == === [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube]] === ... mit Wikisource + Wikidata ; [[DieDatenlaube|Die Datenlaube]] ... beschrieben in [[d:Q61943025#P1343]]. : ''[[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|Hackathon ist immer (dienstags)]]'', 8:15 Uhr (seit 2021). Offenes Onlinetreffen mit Dresdner*innen, Gästen und dem [[s:Dresdner Geschichtsverein]], siehe [[DieDatenlaube/Notizen]]. ; Themenseite [[s:Schleswig-Holstein]] in Wikisource [[Datei:Die Gartenlaube (1889) b 623.jpg|mini|[[s:Carl Falkenhorst|Carl Falkenhorst]]: [[s:Rettung Ertrinkender und Wiederbelebung Scheintodter|''Rettung Ertrinkender und Wiederbelebung Scheintodter'']], in: Die Gartenlaube, 1889, S. 623.|left]] * [[s:Kiel]] ... * [[s:Gesellschaft zur Rettung Schiffbrüchiger]] * [[s:Friedrich von Esmarch]] ; Methodentransfer: === [[s:Malerwerke des 19. Jahrhunderts|Malerwerke des 19. Jahrhunderts]] === Wie viele Bezüge (Künstler*innen, Kunstvereine, Publikationen) in, aus und über Schleswig Holstein stecken im ''Boetticher''? Vgl. [[Kurs:Provenance loves Wiki (2024)|''Provenance loves Wiki'']], 2024. * ''Boettichers „Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts”, Kunstbände und Illustrierte zitieren, um alte und neue Datenberge linked open zu verknüpfen'' (2023), https://saxorum.hypotheses.org/9471 === Archive, Bibliotheken === ''Open GLAM-Netze: Schleswig-Holstein'', https://nearby.hypotheses.org/1180 {{SPARQL|query= #defaultView:Map,Table SELECT distinct ?item ?itemLabel ?itemDescription ?image ?coord ?verwaltungseinheitLabel ?streetLabel ?zip ?adress ?blog ?layerLabel WITH { SELECT distinct ?region # Unterabfrage für alle Verwaltungseinheiten (Kreise, Städte, Gemeinden, Ortsteile, etc.) WHERE { hint:Query hint:optimizer "None" . BIND(wd:Q1194 AS ?state). # liegt in Schleswig Holstein ?region wdt:P131* ?state. MINUS { ?region wdt:P576 _:b0. } # Verwaltungseinheit ohne Auflösungsdatum } } AS %region WHERE { INCLUDE %region. ?item wdt:P131 ?region. ?item (wdt:P31/wdt:P279*) wd:Q166118 . # ist ein Archiv oder Subklasse davon ?item wdt:P31 ?layer. OPTIONAL { ?item wdt:P18 ?image . } OPTIONAL { ?item wdt:P625 ?coord. } OPTIONAL { ?item wdt:P6375 ?adress. } OPTIONAL { ?item wdt:P131 ?verwaltungseinheit. } OPTIONAL { ?item wdt:P1581 ?blog. } SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],de,en". } } ORDER BY ?layerLabel }} == Bibliothek == * Lesen, transkribieren, detailliert erschließen: [[c:Category:Gesellschaft für schleswig-holsteinische Geschichte]], [[c:Category:Zeitschrift der Gesellschaft für Schleswig-Holsteinische Geschichte]] * [[w:Nordelbingen (Zeitschrift)]]? Nordelbingen: Beiträge zur Geschichte der Kunst und Kultur, Literatur und Musik in Schleswig-Holstein, [[d:Q1310392]] ; [[s:Tafellieder]] * ''Tafel-Lieder beim Schiller-Feste in Meldorf am 10ten November 1859'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=880816066 * ''Tafellieder für die schleswig-holsteinische Lehrerversammlung in Kiel 1878'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=1724140388 * ''Tafel-Lied der freiwilligen Turner-Feuerwehr zu Neumünster am 10jähr. Stiftungstage kameradschaftlich gewidmet : Neumünster, d. 20. April 1881'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=1853869228 * ''Tafel-Lieder zum 50jähr. Bestehen d. Innung am Dienstag, dem 11. Nov. 1930 im Konzerthaus Flora'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=1870432606 <gallery> Wikidata's 14th birthday banner.png|[[d:Wikidata:Fourteenth Birthday|Wikidata turns 14 on 29 October 2026]] </gallery> [[Kategorie:Citizen Science]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Kiel]] [[Kategorie:Schleswig-Holstein]] el9wka5lge2z45i2tk08nj0dy7kd769 1117427 1117424 2026-10-23T09:41:30Z ChristianSW 15793 Link korrigiert 1117427 wikitext text/x-wiki [[Datei:Die Gartenlaube (1864) b 045.jpg|mini|Matthäus Friedrich Chemnitz, der Dichter des Liedes [[s:„Schleswig-Holstein, meerumschlungen!“|„Schleswig-Holstein, meerumschlungen“]], in: [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube, 1864, S. 45.]]|left]] {{Kurs Box | '''Impulse''' | ''Wir starten in den Tag mit einem einführenden Vortrag zu Citizen Science und aktuellen Entwicklungen. Zudem stellen wir verschiedene Projekte vor, die digitale Methoden wie Transkribus, Wikidata und vieles mehr nutzen. Am Nachmittag gibt es Einsteiger-Workshops zu Transkribus, Wikidata und zur Projektplanung eines Citizen-Science-Projekts. (...)'' |'''Veranstalter'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Kulturspeicher] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen. {{In Arbeit}} | '''Termin'''| 26. Oktober 2026 |'''Ort'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Schleswig-Holsteinische Landesbibliothek], Kiel | '''Referent''' | [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] }} ; Was bisher geschah [[Datei:Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021.png|mini|[https://codingdavinci.de/events/schleswig-holstein/ Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021]]] : [[Kurs:Linked Open Storytelling (2021)/Coding da Vinci SH]] : [[Kurs:KultDig-Lunch im Wikiversum]], 2025 == Open Citizen Science mit Wikidata == === [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube]] === ... mit Wikisource + Wikidata ; [[DieDatenlaube|Die Datenlaube]] ... beschrieben in [[d:Q61943025#P1343]]. : ''[[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|Hackathon ist immer (dienstags)]]'', 8:15 Uhr (seit 2021). Offenes Onlinetreffen mit Dresdner*innen, Gästen und dem [[s:Dresdner Geschichtsverein]], siehe [[DieDatenlaube/Notizen]]. ; Themenseite [[s:Schleswig-Holstein]] in Wikisource [[Datei:Die Gartenlaube (1889) b 623.jpg|mini|[[s:Carl Falkenhorst|Carl Falkenhorst]]: [[s:Rettung Ertrinkender und Wiederbelebung Scheintodter|''Rettung Ertrinkender und Wiederbelebung Scheintodter'']], in: Die Gartenlaube, 1889, S. 623.|left]] * [[s:Kiel]] ... * [[s:Gesellschaft zur Rettung Schiffbrüchiger]] * [[s:Friedrich von Esmarch]] ; Methodentransfer: === [[s:Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts|Malerwerke des 19. Jahrhunderts]] === Wie viele Bezüge (Künstler*innen, Kunstvereine, Publikationen) in, aus und über Schleswig Holstein stecken im ''Boetticher''? Vgl. [[Kurs:Provenance loves Wiki (2024)|''Provenance loves Wiki'']], 2024. * ''Boettichers „Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts”, Kunstbände und Illustrierte zitieren, um alte und neue Datenberge linked open zu verknüpfen'' (2023), https://saxorum.hypotheses.org/9471 === Archive, Bibliotheken === ''Open GLAM-Netze: Schleswig-Holstein'', https://nearby.hypotheses.org/1180 {{SPARQL|query= #defaultView:Map,Table SELECT distinct ?item ?itemLabel ?itemDescription ?image ?coord ?verwaltungseinheitLabel ?streetLabel ?zip ?adress ?blog ?layerLabel WITH { SELECT distinct ?region # Unterabfrage für alle Verwaltungseinheiten (Kreise, Städte, Gemeinden, Ortsteile, etc.) WHERE { hint:Query hint:optimizer "None" . BIND(wd:Q1194 AS ?state). # liegt in Schleswig Holstein ?region wdt:P131* ?state. 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Nordelbingen: Beiträge zur Geschichte der Kunst und Kultur, Literatur und Musik in Schleswig-Holstein, [[d:Q1310392]] ; [[s:Tafellieder]] * ''Tafel-Lieder beim Schiller-Feste in Meldorf am 10ten November 1859'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=880816066 * ''Tafellieder für die schleswig-holsteinische Lehrerversammlung in Kiel 1878'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=1724140388 * ''Tafel-Lied der freiwilligen Turner-Feuerwehr zu Neumünster am 10jähr. Stiftungstage kameradschaftlich gewidmet : Neumünster, d. 20. April 1881'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=1853869228 * ''Tafel-Lieder zum 50jähr. Bestehen d. Innung am Dienstag, dem 11. Nov. 1930 im Konzerthaus Flora'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=1870432606 <gallery> Wikidata's 14th birthday banner.png|[[d:Wikidata:Fourteenth Birthday|Wikidata turns 14 on 29 October 2026]] </gallery> [[Kategorie:Citizen Science]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Kiel]] [[Kategorie:Schleswig-Holstein]] m0s4jycat94vhcmikca6bpodrykk5qe 1117430 1117427 2026-10-23T09:45:53Z Jeb 26942 Wikidata's 14th birthday logo 0.svg 1117430 wikitext text/x-wiki [[Datei:Die Gartenlaube (1864) b 045.jpg|mini|Matthäus Friedrich Chemnitz, der Dichter des Liedes [[s:„Schleswig-Holstein, meerumschlungen!“|„Schleswig-Holstein, meerumschlungen“]], in: [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube, 1864, S. 45.]]|left]] {{Kurs Box | '''Impulse''' | ''Wir starten in den Tag mit einem einführenden Vortrag zu Citizen Science und aktuellen Entwicklungen. Zudem stellen wir verschiedene Projekte vor, die digitale Methoden wie Transkribus, Wikidata und vieles mehr nutzen. Am Nachmittag gibt es Einsteiger-Workshops zu Transkribus, Wikidata und zur Projektplanung eines Citizen-Science-Projekts. (...)'' |'''Veranstalter'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Kulturspeicher] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen. {{In Arbeit}} | '''Termin'''| 26. Oktober 2026 |'''Ort'''| [https://www.schleswig-holstein.de/DE/landesregierung/ministerien-behoerden/LBSH/Veranstaltungen/_Aktuell/20261026_TagDesCitizenSience Schleswig-Holsteinische Landesbibliothek], Kiel | '''Referent''' | [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] }} ; Was bisher geschah [[Datei:Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021.png|mini|[https://codingdavinci.de/events/schleswig-holstein/ Coding da Vinci Schleswig-Holstein 2021]]] : [[Kurs:Linked Open Storytelling (2021)/Coding da Vinci SH]] : [[Kurs:KultDig-Lunch im Wikiversum]], 2025 == Open Citizen Science mit Wikidata == === [[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube]] === ... mit Wikisource + Wikidata ; [[DieDatenlaube|Die Datenlaube]] ... beschrieben in [[d:Q61943025#P1343]]. : ''[[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|Hackathon ist immer (dienstags)]]'', 8:15 Uhr (seit 2021). Offenes Onlinetreffen mit Dresdner*innen, Gästen und dem [[s:Dresdner Geschichtsverein]], siehe [[DieDatenlaube/Notizen]]. ; Themenseite [[s:Schleswig-Holstein]] in Wikisource [[Datei:Die Gartenlaube (1889) b 623.jpg|mini|[[s:Carl Falkenhorst|Carl Falkenhorst]]: [[s:Rettung Ertrinkender und Wiederbelebung Scheintodter|''Rettung Ertrinkender und Wiederbelebung Scheintodter'']], in: Die Gartenlaube, 1889, S. 623.|left]] * [[s:Kiel]] ... * [[s:Gesellschaft zur Rettung Schiffbrüchiger]] * [[s:Friedrich von Esmarch]] ; Methodentransfer: === [[s:Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts|Malerwerke des 19. Jahrhunderts]] === Wie viele Bezüge (Künstler*innen, Kunstvereine, Publikationen) in, aus und über Schleswig Holstein stecken im ''Boetticher''? Vgl. [[Kurs:Provenance loves Wiki (2024)|''Provenance loves Wiki'']], 2024. * ''Boettichers „Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts”, Kunstbände und Illustrierte zitieren, um alte und neue Datenberge linked open zu verknüpfen'' (2023), https://saxorum.hypotheses.org/9471 === Archive, Bibliotheken === ''Open GLAM-Netze: Schleswig-Holstein'', https://nearby.hypotheses.org/1180 {{SPARQL|query= #defaultView:Map,Table SELECT distinct ?item ?itemLabel ?itemDescription ?image ?coord ?verwaltungseinheitLabel ?streetLabel ?zip ?adress ?blog ?layerLabel WITH { SELECT distinct ?region # Unterabfrage für alle Verwaltungseinheiten (Kreise, Städte, Gemeinden, Ortsteile, etc.) WHERE { hint:Query hint:optimizer "None" . BIND(wd:Q1194 AS ?state). # liegt in Schleswig Holstein ?region wdt:P131* ?state. 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Nordelbingen: Beiträge zur Geschichte der Kunst und Kultur, Literatur und Musik in Schleswig-Holstein, [[d:Q1310392]] ; [[s:Tafellieder]] * ''Tafel-Lieder beim Schiller-Feste in Meldorf am 10ten November 1859'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=880816066 * ''Tafellieder für die schleswig-holsteinische Lehrerversammlung in Kiel 1878'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=1724140388 * ''Tafel-Lied der freiwilligen Turner-Feuerwehr zu Neumünster am 10jähr. Stiftungstage kameradschaftlich gewidmet : Neumünster, d. 20. April 1881'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=1853869228 * ''Tafel-Lieder zum 50jähr. Bestehen d. Innung am Dienstag, dem 11. Nov. 1930 im Konzerthaus Flora'', https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/XMLPRS=N/PPN?PPN=1870432606 <gallery> Wikidata's 14th birthday logo 0.svg Wikidata's 14th birthday banner.png|[[d:Wikidata:Fourteenth Birthday|Wikidata turns 14 on 29 October 2026]] </gallery> [[Kategorie:Citizen Science]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Kiel]] [[Kategorie:Schleswig-Holstein]] 91y4f5kxbwauycq7je0rqakudpbsnve 106 172715 1117398 1116900 2026-10-22T18:13:43Z Nicole.pander 39567 /* Auswertung */ 1117398 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Für die aktuell betrachtete Modellvariante beträgt der eingestellte Stenosegrad 80 %. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Die Geschwindigkeitsverteilung der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation wurde mithilfe des Geschwindigkeitsbetrags ''spf.U'' in COMSOL Multiphysics untersucht. Die berechneten Geschwindigkeiten liegen gemäß der dargestellten Farbskala zwischen nahezu 0 m/s an den Gefäßwänden und ungefähr 0,32 m/s im Strömungsgebiet. Im gemeinsamen Zuflussgefäß zeigt sich eine erhöhte Strömungsgeschwindigkeit im zentralen Bereich, während die Geschwindigkeit zu den Gefäßwänden hin abnimmt. An der Gefäßverzweigung teilt sich die Strömung auf die beiden Tochtergefäße auf. Im oberen Gefäßast führt die lokale Querschnittsverengung zu einer Veränderung der Geschwindigkeitsverteilung. Im Bereich der Engstelle sind erhöhte Geschwindigkeiten zu erkennen, während in wandnahen Bereichen geringere Geschwindigkeiten auftreten. Die zusätzlich dargestellten Stromlinien verdeutlichen den Verlauf der Strömung durch die Gefäßverzweigung. In der vorliegenden Darstellung sind keine eindeutig ausgeprägten geschlossenen Rückströmungsgebiete zu erkennen. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Gefäßgeometrie die lokale Geschwindigkeitsverteilung beeinflusst. Insbesondere die Verengung verändert die Strömung im betroffenen Gefäßast. Aus der Geschwindigkeitsdarstellung allein lässt sich jedoch noch nicht beurteilen, ob hinter der Stenose eine Strömungsablösung auftritt. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Geschwindigkeit spf.png|700px|zentriert|Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.]] <small>'''Abbildung 1:''' Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.</small> </div> ==== Auswertung ==== Die quantitative Auswertung des Geschwindigkeitsfeldes mittels der COMSOL-Funktion ''Oberflächenmaximum'' ergibt für das gesamte zweidimensionale Strömungsgebiet eine maximale Geschwindigkeit von '''0,31853 m/s'''. Dieser Wert bestätigt die aus der Farbskala abgelesene Größenordnung von etwa '''0,32 m/s'''. Die maximale Geschwindigkeit beschreibt den höchsten lokal auftretenden Geschwindigkeitsbetrag im untersuchten Modell mit einer ACI-Stenose von ''80 %''. Aus dem Maximalwert allein lässt sich jedoch noch nicht bestimmen, an welcher Position innerhalb des Gefäßes dieser auftritt. Auch eine mögliche Rückströmung kann damit nicht nachgewiesen werden. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>u_\mathrm{max}</math> [m/s] ! Position <math>x</math> [mm] ! Position <math>y</math> [mm] |- | 0 % | 0,284 | ? | ? |- | 30 % | 0,271 | ? | ? |- | 60 % | 0,349 | ... | … |- | 80 % | 0,394 | … | … |} ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. === Wandschubspannung === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Für den untersuchten Stenosebereich ergibt sich eine maximale Wandschubspannung von '''3,2282 Pa'''. Der Wert beschreibt das Maximum auf den ausgewählten Wandkanten der 80-%-Stenose. Da für diese Auswertung der Betrag der Wandschubspannung verwendet wurde, lässt sich daraus allein keine Aussage über eine mögliche Umkehr der wandnahen Strömungsrichtung ableiten. Zur Untersuchung möglicher Ablösebereiche ist zusätzlich eine Auswertung der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung erforderlich. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Wandschubspannung.png|800px|zentriert|Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.]] <small>'''Abbildung 4:''' Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.</small> </div> ==== Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung ==== Zur weiteren Untersuchung möglicher Strömungsablösungen wurde die vorzeichenbehaftete tangentiale Wandschubspannung entlang der oberen und unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose ausgewertet. An der oberen Gefäßwand steigt die berechnete Spannung von ungefähr −0,05 Pa auf +0,47 Pa an. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm auf. An der unteren Gefäßwand steigt die Spannung von ungefähr −0,48 Pa auf +0,06 Pa an. Hier erfolgt ein Vorzeichenwechsel bei einer Bogenlänge von etwa 20 mm. Die Ergebnisse zeigen somit auf beiden untersuchten Wandabschnitten einen Vorzeichenwechsel der tangentialen Spannungskomponente. Dies kann auf Änderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen und ist mit möglichen Ablöse- oder Wiederanlagerungsvorgängen vereinbar. Die Bogenlängen beziehen sich jeweils auf den untersuchten Wandabschnitt und können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Zudem hängt das Vorzeichen von der Orientierung der lokalen Wandtangente ab. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet lässt sich aus den Vorzeichenwechseln allein nicht eindeutig nachweisen. <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Oberer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.]] <small>'''Abbildung 5:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.</small> </div> <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Unterer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.]] <small>'''Abbildung 6:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.</small> </div> === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> jdmj6gr0q6gau7kdoluygo2qpzhgqbt 1117399 1117398 2026-10-22T18:17:56Z Nicole.pander 39567 /* Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz */ 1117399 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde.<ref name="holdsworth" /> # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Für die aktuell betrachtete Modellvariante beträgt der eingestellte Stenosegrad 80 %. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Die Geschwindigkeitsverteilung der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation wurde mithilfe des Geschwindigkeitsbetrags ''spf.U'' in COMSOL Multiphysics untersucht. Die berechneten Geschwindigkeiten liegen gemäß der dargestellten Farbskala zwischen nahezu 0 m/s an den Gefäßwänden und ungefähr 0,32 m/s im Strömungsgebiet. Im gemeinsamen Zuflussgefäß zeigt sich eine erhöhte Strömungsgeschwindigkeit im zentralen Bereich, während die Geschwindigkeit zu den Gefäßwänden hin abnimmt. An der Gefäßverzweigung teilt sich die Strömung auf die beiden Tochtergefäße auf. Im oberen Gefäßast führt die lokale Querschnittsverengung zu einer Veränderung der Geschwindigkeitsverteilung. Im Bereich der Engstelle sind erhöhte Geschwindigkeiten zu erkennen, während in wandnahen Bereichen geringere Geschwindigkeiten auftreten. Die zusätzlich dargestellten Stromlinien verdeutlichen den Verlauf der Strömung durch die Gefäßverzweigung. In der vorliegenden Darstellung sind keine eindeutig ausgeprägten geschlossenen Rückströmungsgebiete zu erkennen. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Gefäßgeometrie die lokale Geschwindigkeitsverteilung beeinflusst. Insbesondere die Verengung verändert die Strömung im betroffenen Gefäßast. Aus der Geschwindigkeitsdarstellung allein lässt sich jedoch noch nicht beurteilen, ob hinter der Stenose eine Strömungsablösung auftritt. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Geschwindigkeit spf.png|700px|zentriert|Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.]] <small>'''Abbildung 1:''' Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.</small> </div> ==== Auswertung ==== Die quantitative Auswertung des Geschwindigkeitsfeldes mittels der COMSOL-Funktion ''Oberflächenmaximum'' ergibt für das gesamte zweidimensionale Strömungsgebiet eine maximale Geschwindigkeit von '''0,31853 m/s'''. Dieser Wert bestätigt die aus der Farbskala abgelesene Größenordnung von etwa '''0,32 m/s'''. Die maximale Geschwindigkeit beschreibt den höchsten lokal auftretenden Geschwindigkeitsbetrag im untersuchten Modell mit einer ACI-Stenose von ''80 %''. Aus dem Maximalwert allein lässt sich jedoch noch nicht bestimmen, an welcher Position innerhalb des Gefäßes dieser auftritt. Auch eine mögliche Rückströmung kann damit nicht nachgewiesen werden. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>u_\mathrm{max}</math> [m/s] ! Position <math>x</math> [mm] ! Position <math>y</math> [mm] |- | 0 % | 0,284 | ? | ? |- | 30 % | 0,271 | ? | ? |- | 60 % | 0,349 | ... | … |- | 80 % | 0,394 | … | … |} ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | … | … | … |- | 30 % | … | … | … |- | 60 % | … | … | … |- | 80 % | … | … | … |} === Wandschubspannung === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Für den untersuchten Stenosebereich ergibt sich eine maximale Wandschubspannung von '''3,2282 Pa'''. Der Wert beschreibt das Maximum auf den ausgewählten Wandkanten der 80-%-Stenose. Da für diese Auswertung der Betrag der Wandschubspannung verwendet wurde, lässt sich daraus allein keine Aussage über eine mögliche Umkehr der wandnahen Strömungsrichtung ableiten. Zur Untersuchung möglicher Ablösebereiche ist zusätzlich eine Auswertung der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung erforderlich. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Wandschubspannung.png|800px|zentriert|Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.]] <small>'''Abbildung 4:''' Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.</small> </div> ==== Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung ==== Zur weiteren Untersuchung möglicher Strömungsablösungen wurde die vorzeichenbehaftete tangentiale Wandschubspannung entlang der oberen und unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose ausgewertet. An der oberen Gefäßwand steigt die berechnete Spannung von ungefähr −0,05 Pa auf +0,47 Pa an. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm auf. An der unteren Gefäßwand steigt die Spannung von ungefähr −0,48 Pa auf +0,06 Pa an. Hier erfolgt ein Vorzeichenwechsel bei einer Bogenlänge von etwa 20 mm. Die Ergebnisse zeigen somit auf beiden untersuchten Wandabschnitten einen Vorzeichenwechsel der tangentialen Spannungskomponente. Dies kann auf Änderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen und ist mit möglichen Ablöse- oder Wiederanlagerungsvorgängen vereinbar. Die Bogenlängen beziehen sich jeweils auf den untersuchten Wandabschnitt und können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Zudem hängt das Vorzeichen von der Orientierung der lokalen Wandtangente ab. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet lässt sich aus den Vorzeichenwechseln allein nicht eindeutig nachweisen. <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Oberer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.]] <small>'''Abbildung 5:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.</small> </div> <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Unterer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.]] <small>'''Abbildung 6:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.</small> </div> === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> 5tj3whj1mdkxo3a8i2rrmfnlb5oxgc6 106 172736 1117450 1117111 2026-10-23T11:34:04Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117450 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|5|23|Kurs=|}} cpf9w4i16xqxk5epaelbg67eiuva57a 106 172740 1117461 1117132 2026-10-23T11:35:44Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117461 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Korollar|7|8|Kurs=|}} flfm76dzrgmvlcv2z3xso22nbn8d1ud 106 172742 1117465 1115297 2026-10-23T11:36:24Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117465 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|8|8|Kurs=|}} 26gv7sm3h3wzqvucrz5vpc57dgmup9k 106 172743 1117468 1115298 2026-10-23T11:36:54Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117468 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|8|11|Kurs=|}} 9qpy3a0tptnolu0mkjwk05hgidblg6j 106 172744 1117466 1115299 2026-10-23T11:36:34Z Arbota 36910 Bot: 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2026-10-23T11:35:54Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117462 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|7|10|Kurs=|}} sh9o332w8c70mw3rubxl3h2hhcowbia 106 172762 1117458 1117130 2026-10-23T11:35:24Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117458 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|7|4|Kurs=|}} iy8kvbsms076uajuhs8y52foc8nbe3b 106 172763 1117459 1117131 2026-10-23T11:35:34Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117459 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|7|7|Kurs=|}} b93toqldm6fwqhr5bqe8y47sejps049 106 172764 1117451 1117120 2026-10-23T11:34:14Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117451 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|7|5|Kurs=|}} e8hf9atqweosmr6630ph01lpukg29sb 106 172765 1117463 1117134 2026-10-23T11:36:04Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117463 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|7|12|Kurs=|}} ftlx9mjfvqkdeuib3x45umz2r6ei4pn 106 172766 1117452 1117121 2026-10-23T11:34:24Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117452 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|7|18|Kurs=|}} tsi4mwr7dwrdv4aj85pz3qtam6b0qj7 106 172767 1117454 1115322 2026-10-23T11:34:44Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117454 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|8|18|Kurs=|}} lk1c3fqb0b6b7qr6ww726tjgdrhti37 106 172768 1117470 1115323 2026-10-23T11:37:04Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117470 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|8|12|Kurs=|}} prumlwr50bbocyqr7qw70yzrrfliicg 106 172769 1117473 1115336 2026-10-23T11:37:34Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117473 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|8|19|Kurs=|}} nvy24sf5ibfqjorwr239v6whyvw4zan 106 172771 1117472 1115340 2026-10-23T11:37:24Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117472 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|8|18|Kurs=|}} ism93inflvmvcvfsei06hkxmzwjzsnl 106 172793 1117475 1115369 2026-10-23T11:37:54Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117475 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|8|21|Kurs=|}} njuwv87259y1gg1sl6qbv3wkzt2n504 106 172794 1117476 1115370 2026-10-23T11:38:04Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117476 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|8|23|Kurs=|}} 41pafmz350cz8c853dwol0wpp7600fr 106 172795 1117474 1115371 2026-10-23T11:37:44Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117474 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|8|20|Kurs=|}} lsxt690ql66cbj41n2q32pau8bx1v5u 106 172798 1117456 1115379 2026-10-23T11:35:04Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117456 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|8|48|Kurs=|}} 2lkjkq6etl38bwi4og9qv32qkox5jvy 106 172861 1117457 1115462 2026-10-23T11:35:14Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1117457 wikitext text/x-wiki {{Nummer im 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Die induzierte Pseudoauflösung ist also {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{i_m \in I_m} L_{ d(- \nu_{i_m} ) } ( - \nu_{i_m} ) \longrightarrow \ldots \longrightarrow \bigoplus_{i_2 \in I_2} L_{ d(-\nu_{i_2} ) } ( - \nu_{i_2} ) \longrightarrow \bigoplus_{i_1 \in I_1} R( - \nu_{i_1} ) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{idealm}} |SZ=. }} Die beteiligten Moduln sind {{math|term= L_c |SZ=,}} die Twiste sind nur zur Orientierung in den Abbildungen. Wenn man den Komplex in einem bestimmten feinen Grad auswertet, wird es natürlich sehr wichtig. Die feien Auswertung liefert einen {{math|term= 0 |SZ=-}} oder einen eindimensionalen Vektorraum. Man braucht die Summe bis zu {{math|term= N |SZ=}} hinreichend groß, um ganz rechts alles zu erfassen. Also betrachten wir {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | c || d(- \nu) || || || |SZ=, }} es werden nur effektive Tupel gezählt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align | \sum_{\mu ,\, {{op:Betrag| \mu |}} \leq N } {{op:Vektorraumdimension| {{makl| L_{ d(- \nu ) } ( - \nu ) |}}_\mu }} || \sum_{\mu , \, {{op:Betrag| \mu |}} \leq N ,\, d(\mu) {{=}} 0 } {{op:Vektorraumdimension| {{makl| S ( - \nu ) |}}_\mu }} || \sum_{\lambda , \, {{op:Betrag| \lambda |}} \leq N - {{op:Betrag| \nu |}} ,\, d(\lambda) {{=}} c } {{op:Vektorraumdimension| S_\lambda }} || {{op:Anzahl| \lambda , \, {{op:Betrag| \lambda |}} \leq N - {{op:Betrag| \nu |}} ,\, d(\lambda) {{=}} c }} || A_c (N- {{op:Betrag| \nu |}}) |SZ=. }} Die alternierende Formel ist dann {{ Math/display|term= \sum_{ j{{=}} 0}^m (-1)^j {{makl| \sum_{i_j \in I_j} A_{d {{makl| - \nu_{i_j} |}} } {{makl| N- {{op:Betrag| v_{i_j} |}} |}} |}} |SZ= }} für {{math|term= N |SZ=}} hinreichend groß {{ Zusatz/Klammer |text=oder kohomologisch| |ISZ=|ESZ=. }} Das hebt sich weg. Für {{math|term= q |SZ=}} hat man entsprechend {{ Math/display|term= \sum_{ j{{=}} 0}^m (-1)^j {{makl| \sum_{i_j \in I_j} A_{d {{makl| - q \nu_{i_j} |}} } {{makl| N- q {{op:Betrag| v_{i_j} |}} |}} |}} |SZ=, }} wobei die Schranke {{math|term= N |SZ=}} linear mit {{math|term= q |SZ=}} wächst. Aus {{ Relationskette/display | F_c(t) || \sum A_c(r) t^r || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette/display | F_c (t) t^{N-q {{op:Betrag| \nu_{i_j} }} } || || || || |SZ= }} In {{ Relationskette/display | F_c (t) t^{q+ q {{op:Betrag|\nu_{i_j} }}-N } || || || || |SZ= }} steht vor {{math|term= t^q |SZ=}} der Term {{mathl|term= A_c (N- q{{op:Betrag| \nu_{i_j} }} ) |SZ=}} Die totale Hilbert-Kunz-Reihe {{ Relationskette/align | HKS(t) || \sum_q {{makl| \sum_{ j{{=}} 0}^m (-1)^j {{makl| \sum_{i_j \in I_j} A_{d {{makl| - q \nu_{i_j} |}} } {{makl| N- q {{op:Betrag| v_{i_j} |}} |}} |}} |}} t^q || \sum_{ j{{=}} 0}^m (-1)^j {{makl| \sum_{i_j \in I_j} {{makl| \sum_q A_{d {{makl| - q \nu_{i_j} |}} } {{makl| N- q {{op:Betrag| v_{i_j} |}} |}} t^q |}} |}} || \sum_{ j{{=}} 0}^m (-1)^j {{makl| \sum_{i_j \in I_j} {{makl| F_{d {{makl| - q \nu_{i_j} |}} } (t) \cdot t^{q+ q {{op:Betrag|\nu_{i_j} }}-N } |}} |}} || |SZ=. }} Mit der erzeugenden Reihe für die {{math|term= A_c(N) |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | F_c(t) || {{op:Bruch| 1 | {{op:Betrag|D|}} (1-t) }} \sum_{\chi \in {{op:Charakterdual|D|}} } {{op:Bruch| {{op:Komplexe Konjugation| \chi (c) }} | \prod_{i {{=}} 1}^m {{makl| 1 - \chi {{makl| d {{makl| e_i |}} |}} t |}} |}} || || || |SZ=, }} ergibt sich für die totale Hilbert-Kunz-Reihe {{ Relationskette/align | HKS(t) || || || || |SZ= }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 0eakwenjmu3ntx4oio0274rjq4ccqvr 106 173221 1117389 1117343 2026-10-22T13:40:14Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation */ 1117389 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist, gilt die folgende Gleichung wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> mit <math>p_0=q_0^{-1}</math>: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> Die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0</math> ist damit unlösbar. == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] k6pt6gewa0pbuf45qki9zr5nm9cxhkq 1117390 1117389 2026-10-22T13:46:24Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1 - Grad(p) 0 */ 1117390 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt keine polynomiale Inversendarstelung. == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] 7tnlptx7lrpdka9tbsqg8ldr03rum65 1117391 1117390 2026-10-22T13:47:21Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1 - Grad(p) 0 */ 1117391 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] tbv3yf8vkcn30nbynuvm2vylcng8fq7 1117392 1117391 2026-10-22T14:03:45Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1 - Grad(p) 0 */ 1117392 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] 5b5gmnqvq6v6pa9v79ia2sa8k39ztht 1117393 1117392 2026-10-22T14:04:50Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz */ 1117393 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit das == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] sd856rwe7ls9pg42xmyeisoor987owv 1117394 1117393 2026-10-22T14:05:53Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem */ 1117394 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). 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A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] 7qgomxims1wtg5zai8bzrji68gm5239 1117395 1117394 2026-10-22T14:07:50Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem */ 1117395 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. <math>\quad \Box</math> == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem überführen. == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] 8nf763dtla2vp5378iyqjl3btjtd352 0 173227 1117356 2026-10-22T12:43:47Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Komplexe Zahl#Realteil]] erstellt 1117356 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[komplexe Zahl#Realteil]] 0kcc1rw1l6437k6d5htwvmnwkideg19 0 173228 1117360 2026-10-22T12:46:50Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Komplexe Zahl#Imaginaerteil]] erstellt 1117360 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[komplexe Zahl#Imaginaerteil]] n3lu89w2pllbu9npgzpnzucka7dlri3 0 173229 1117401 2026-10-22T19:32:35Z ~2026-56555-50 42021 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117401 wikitext text/x-wiki {{Infobox | Titel = CULTURELAB | Bildname = CULTURELAB-Logo.png | Bildbreite = 220px | Bildtext = Logo von CULTURELAB | Stil = 2 | Titelstyle = 5 | Abschnittsfarbe = | Farbe = #EAECF0 | Style = float:right; margin-left:1em; margin-top:0; border:1px solid #000000; background:#F8F9FA; width:300px; | Feldname1 = Unternehmensname | Daten1 = CULTURELAB | Feldname2 = Gründungsdatum | Daten2 = 22.10.2026 | Feldname3 = Unternehmenssitz | Daten3 = [[Darmstadt]], {{DEU}} | Feldname4 = Unternehmensform | Daten4 = tbd | Feldname5 = Gründer | Daten5 = Julian Eckenfels<br>Malte Schulte | Feldname6 = Geschäftsführung | Daten6 = tbd | Feldname7 = Branche | Daten7 = Forschung und Beratung }} = Unternehmensprofil = CULTURELAB verbindet strategische Kommunikationsansätze mit gesundheitsbezogenen und kulturwissenschaftlichen Fragestellungen. Im Mittelpunkt stehen die Analyse von Zielgruppen, die Entwicklung wirkungsorientierter Strategien und die wissenschaftlich fundierte Beratung von Organisationen und Institutionen. = Organisationsstruktur = tbd == Gründer == * Julian Eckenfels * Malte Schulte = Geschäftsbereiche = * Marketing/PR/Online-Kommunikation * betriebliche und öffentliche Gesundheit * Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., = Strategische Ausrichtung = CULTURELAB verfolgt einen interdisziplinären Ansatz, der Kommunikation, Forschung und gesellschaftliche Wirkung miteinander verbindet. 9sb8airityfqgwn0qgjiiuqrrioemkg 1117402 1117401 2026-10-22T19:33:43Z ~2026-56555-50 42021 1117402 wikitext text/x-wiki {{Infobox | Titel = CULTURELAB | Bildname = CULTURELAB-Logo.png | Bildbreite = 220px | Bildtext = Logo von CULTURELAB | Stil = 2 | Titelstyle = 5 | Abschnittsfarbe = | Farbe = #EAECF0 | Style = float:right; margin-left:1em; margin-top:0; border:1px solid #000000; background:#F8F9FA; width:300px; | Feldname1 = Unternehmensname | Daten1 = CULTURELAB | Feldname2 = Gründungsdatum | Daten2 = 22.10.2026 | Feldname3 = Unternehmenssitz | Daten3 = [[Darmstadt]], {{DEU}} | Feldname4 = Unternehmensform | Daten4 = GmbH | Feldname5 = Gründer | Daten5 = Julian Eckenfels<br>Malte Schulte | Feldname6 = Geschäftsführung | Daten6 = Eckenfels <br> Schulte | Feldname7 = Branche | Daten7 = Forschung und Beratung }} = Unternehmensprofil = CULTURELAB verbindet strategische Kommunikationsansätze mit gesundheitsbezogenen und kulturwissenschaftlichen Fragestellungen. Im Mittelpunkt stehen die Analyse von Zielgruppen, die Entwicklung wirkungsorientierter Strategien und die wissenschaftlich fundierte Beratung von Organisationen und Institutionen. = Organisationsstruktur = tbd == Gründer == * Julian Eckenfels * Malte Schulte = Geschäftsbereiche = * Marketing/PR/Online-Kommunikation * betriebliche und öffentliche Gesundheit * Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., = Strategische Ausrichtung = CULTURELAB verfolgt einen interdisziplinären Ansatz, der Kommunikation, Forschung und gesellschaftliche Wirkung miteinander verbindet. liqct498ruykos0d1nnxkcwve94fkgm 1117403 1117402 2026-10-22T19:36:49Z ~2026-56555-50 42021 /* Organisationsstruktur */ 1117403 wikitext text/x-wiki {{Infobox | Titel = CULTURELAB | Bildname = CULTURELAB-Logo.png | Bildbreite = 220px | Bildtext = Logo von CULTURELAB | Stil = 2 | Titelstyle = 5 | Abschnittsfarbe = | Farbe = #EAECF0 | Style = float:right; margin-left:1em; margin-top:0; border:1px solid #000000; background:#F8F9FA; width:300px; | Feldname1 = Unternehmensname | Daten1 = CULTURELAB | Feldname2 = Gründungsdatum | Daten2 = 22.10.2026 | Feldname3 = Unternehmenssitz | Daten3 = [[Darmstadt]], {{DEU}} | Feldname4 = Unternehmensform | Daten4 = GmbH | Feldname5 = Gründer | Daten5 = Julian Eckenfels<br>Malte Schulte | Feldname6 = Geschäftsführung | Daten6 = Eckenfels <br> Schulte | Feldname7 = Branche | Daten7 = Forschung und Beratung }} = Unternehmensprofil = CULTURELAB verbindet strategische Kommunikationsansätze mit gesundheitsbezogenen und kulturwissenschaftlichen Fragestellungen. Im Mittelpunkt stehen die Analyse von Zielgruppen, die Entwicklung wirkungsorientierter Strategien und die wissenschaftlich fundierte Beratung von Organisationen und Institutionen. = Organisationsstruktur = Die Organisationsstruktur... == Gründer == * Julian Eckenfels * Malte Schulte = Geschäftsbereiche = * Marketing/PR/Online-Kommunikation * betriebliche und öffentliche Gesundheit * Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., = Strategische Ausrichtung = CULTURELAB verfolgt einen interdisziplinären Ansatz, der Kommunikation, Forschung und gesellschaftliche Wirkung miteinander verbindet. 9z58kj8vjc0u23s75xwu4gtwjp4fa6p 1117404 1117403 2026-10-22T19:40:02Z ~2026-56555-50 42021 1117404 wikitext text/x-wiki {{Infobox | Titel = CULTURELAB | Bildname = CULTURELAB-Logo.png | Bildbreite = 220px | Bildtext = Logo von CULTURELAB | Stil = 2 | Titelstyle = 5 | Abschnittsfarbe = | Farbe = #EAECF0 | Style = float:right; margin-left:1em; margin-top:0; border:1px solid #000000; background:#F8F9FA; width:300px; | Feldname1 = Unternehmensname | Daten1 = CULTURELAB | Feldname2 = Gründungsdatum | Daten2 = 22.10.2026 | Feldname3 = Unternehmenssitz | Daten3 = [[Darmstadt]], {{DEU}} | Feldname4 = Unternehmensform | Daten4 = GmbH | Feldname5 = Gründer | Daten5 = Julian Kantenstein<br>Malte Schorle | Feldname6 = Geschäftsführung | Daten6 = Eckenfels <br> Schulte | Feldname7 = Branche | Daten7 = Forschung und Beratung }} = Unternehmensprofil = CULTURELAB verbindet strategische Kommunikationsansätze mit gesundheitsbezogenen und kulturwissenschaftlichen Fragestellungen. Im Mittelpunkt stehen die Analyse von Zielgruppen, die Entwicklung wirkungsorientierter Strategien und die wissenschaftlich fundierte Beratung von Organisationen und Institutionen. = Organisationsstruktur = Die Organisationsstruktur... == Gründer == * Julian Eckenfels * Malte Schulte = Geschäftsbereiche = * Marketing/PR/Online-Kommunikation * betriebliche und öffentliche Gesundheit * Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., = Strategische Ausrichtung = CULTURELAB verfolgt einen interdisziplinären Ansatz, der Kommunikation, Forschung und gesellschaftliche Wirkung miteinander verbindet. 2i3q8uwccguw1kf1mdhljuae1xc6vbg 1117405 1117404 2026-10-22T19:40:18Z ~2026-56555-50 42021 1117405 wikitext text/x-wiki {{Infobox | Titel = CULTURELAB | Bildname = CULTURELAB-Logo.png | Bildbreite = 220px | Bildtext = Logo von CULTURELAB | Stil = 2 | Titelstyle = 5 | Abschnittsfarbe = | Farbe = #EAECF0 | Style = float:right; margin-left:1em; margin-top:0; border:1px solid #000000; background:#F8F9FA; width:300px; | Feldname1 = Unternehmensname | Daten1 = CULTURELAB | Feldname2 = Gründungsdatum | Daten2 = 22.10.2026 | Feldname3 = Unternehmenssitz | Daten3 = [[Darmstadt]], {{DEU}} | Feldname4 = Unternehmensform | Daten4 = GmbH | Feldname5 = Gründer | Daten5 = Julian Kantenstein<br>Malte Schorle | Feldname6 = Geschäftsführung | Daten6 = Kantenstein <br> Schorle | Feldname7 = Branche | Daten7 = Forschung und Beratung }} = Unternehmensprofil = CULTURELAB verbindet strategische Kommunikationsansätze mit gesundheitsbezogenen und kulturwissenschaftlichen Fragestellungen. Im Mittelpunkt stehen die Analyse von Zielgruppen, die Entwicklung wirkungsorientierter Strategien und die wissenschaftlich fundierte Beratung von Organisationen und Institutionen. = Organisationsstruktur = Die Organisationsstruktur... == Gründer == * Julian Eckenfels * Malte Schulte = Geschäftsbereiche = * Marketing/PR/Online-Kommunikation * betriebliche und öffentliche Gesundheit * Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., = Strategische Ausrichtung = CULTURELAB verfolgt einen interdisziplinären Ansatz, der Kommunikation, Forschung und gesellschaftliche Wirkung miteinander verbindet. 8d4svztxzsy9aeoq663pc679c4y6lcb 1117406 1117405 2026-10-22T19:45:26Z ~2026-56555-50 42021 1117406 wikitext text/x-wiki {{Infobox | Titel = CULTURELAB | Bildname = CULTURELAB-Logo.png | Bildbreite = 220px | Bildtext = Logo von CULTURELAB | Stil = 2 | Titelstyle = 5 | Abschnittsfarbe = | Farbe = #EAECF0 | Style = float:right; margin-left:1em; margin-top:0; border:1px solid #000000; background:#F8F9FA; width:300px; | Feldname1 = Unternehmensname | Daten1 = CULTURELAB | Feldname2 = Gründungsdatum | Daten2 = 22.10.2026 | Feldname3 = Unternehmenssitz | Daten3 = [[Darmstadt]], {{DEU}} | Feldname4 = Unternehmensform | Daten4 = GmbH | Feldname5 = Gründer | Daten5 = Julian Kantenstein<br>Malte Spalter | Feldname6 = Geschäftsführung | Daten6 = Kantenstein <br> Spalter | Feldname7 = Branche | Daten7 = Forschung und Beratung }} = Unternehmensprofil = CULTURELAB verbindet strategische Kommunikationsansätze mit gesundheitsbezogenen und kulturwissenschaftlichen Fragestellungen. Im Mittelpunkt stehen die Analyse von Zielgruppen, die Entwicklung wirkungsorientierter Strategien und die wissenschaftlich fundierte Beratung von Organisationen und Institutionen. = Organisationsstruktur = Die Organisationsstruktur... == Gründer == * Julian Eckenfels * Malte Schulte = Geschäftsbereiche = * Marketing/PR/Online-Kommunikation * betriebliche und öffentliche Gesundheit * Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., = Strategische Ausrichtung = CULTURELAB verfolgt einen interdisziplinären Ansatz, der Kommunikation, Forschung und gesellschaftliche Wirkung miteinander verbindet. ay7hu2z0jj75sd93ad73wddgvc90r5s 1117407 1117406 2026-10-22T19:45:46Z ~2026-56555-50 42021 1117407 wikitext text/x-wiki {{Infobox | Titel = CULTURELAB | Bildname = CULTURELAB-Logo.png | Bildbreite = 220px | Bildtext = Logo von CULTURELAB | Stil = 2 | Titelstyle = 5 | Abschnittsfarbe = | Farbe = #EAECF0 | Style = float:right; margin-left:1em; margin-top:0; border:1px solid #000000; background:#F8F9FA; width:300px; | Feldname1 = Unternehmensname | Daten1 = CULTURELAB | Feldname2 = Gründungsdatum | Daten2 = 22.10.2026 | Feldname3 = Unternehmenssitz | Daten3 = [[Darmstadt]], {{DEU}} | Feldname4 = Unternehmensform | Daten4 = GmbH | Feldname5 = Gründer | Daten5 = Julian Kantenstein<br>Malte Spalter | Feldname6 = Geschäftsführung | Daten6 = Kantenstein <br> Spalter | Feldname7 = Branche | Daten7 = Forschung und Beratung }} = Unternehmensprofil = CULTURELAB verbindet strategische Kommunikationsansätze mit gesundheitsbezogenen und kulturwissenschaftlichen Fragestellungen. Im Mittelpunkt stehen die Analyse von Zielgruppen, die Entwicklung wirkungsorientierter Strategien und die wissenschaftlich fundierte Beratung von Organisationen und Institutionen. = Organisationsstruktur = Die Organisationsstruktur... == Gründer == * Julian Kantenstein * Malte Spalter = Geschäftsbereiche = * Marketing/PR/Online-Kommunikation * betriebliche und öffentliche Gesundheit * Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., = Strategische Ausrichtung = CULTURELAB verfolgt einen interdisziplinären Ansatz, der Kommunikation, Forschung und gesellschaftliche Wirkung miteinander verbindet. s225kfh92m8jcp0lwv3lr8z3fbhd57y 1117408 1117407 2026-10-22T20:46:26Z ~2026-56555-50 42021 1117408 wikitext text/x-wiki {{Infobox | Titel = CULTURELAB | Bildname = CULTURELAB-Logo.png | Bildbreite = 220px | Bildtext = Logo von CULTURELAB | Stil = 2 | Titelstyle = 5 | Abschnittsfarbe = | Farbe = #EAECF0 | Style = float:right; margin-left:1em; margin-top:0; border:1px solid #000000; background:#F8F9FA; width:300px; | Feldname1 = Unternehmensname | Daten1 = CULTURELAB | Feldname2 = Gründungsdatum | Daten2 = 22.10.2026 | Feldname3 = Unternehmenssitz | Daten3 = [[Darmstadt]], {{DEU}} | Feldname4 = Unternehmensform | Daten4 = GmbH | Feldname5 = Gründer | Daten5 = Julian Kantenstein<br>Malte Spalter | Feldname6 = Geschäftsführung | Daten6 = Kantenstein <br> Spalter | Feldname7 = Branche | Daten7 = Forschung und Beratung }} = Unternehmensprofil = CULTURELAB verbindet strategische Kommunikationsansätze mit gesundheitsbezogenen und kulturwissenschaftlichen Fragestellungen. Im Mittelpunkt stehen die Analyse von Zielgruppen, die Entwicklung wirkungsorientierter Strategien und die wissenschaftlich fundierte Beratung von Organisationen und Institutionen. = Organisationsstruktur = Die Organisationsstruktur... == Gründer == * Julian Kantenstein * Malte Spalter = Geschäftsbereiche = * Marketing/PR/Online-Kommunikation * betriebliche und öffentliche Gesundheit * Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., == Rechtsform == Als Rechtsform für dieses Unternehmen wurde die GmbH gewählt. Diese Rechtsform gibt dem Geschäftsführer die volle Weisungsberechtigung. Zudem gibt es die vollen Kontrollrechte für die Gesellschafterversammlung. Zudem konnte das Unternehmen die 25.000€ Startkapital aufbringen. Die Haftung hierbei ist für die Gesellschaft uneingeschränkt, allerdings für die Gesellschafter eingeschränkt, wodurch die Gesellschafter hierbei weniger Risiko tragen. Die Gewinn- sowie Verlustverteilung kann hierbei im Gesellschaftsvertrag flexibel festgehalten werden oder werden vom Stammkapitalanteil berechnet, wodurch fairness gegeben ist. = Strategische Ausrichtung = CULTURELAB verfolgt einen interdisziplinären Ansatz, der Kommunikation, Forschung und gesellschaftliche Wirkung miteinander verbindet. mwer7xfp656hyfqa9rsk0t4gkwlskrk 1117409 1117408 2026-10-22T20:51:35Z ~2026-56555-50 42021 1117409 wikitext text/x-wiki {{Infobox | Titel = CULTURELAB | Bildname = CULTURELAB-Logo.png | Bildbreite = 220px | Bildtext = Logo von CULTURELAB | Stil = 2 | Titelstyle = 5 | Abschnittsfarbe = | Farbe = #EAECF0 | Style = float:right; margin-left:1em; margin-top:0; border:1px solid #000000; background:#F8F9FA; width:300px; | Feldname1 = Unternehmensname | Daten1 = CULTURELAB | Feldname2 = Gründungsdatum | Daten2 = 22.10.2026 | Feldname3 = Unternehmenssitz | Daten3 = [[Darmstadt]], {{DEU}} | Feldname4 = Unternehmensform | Daten4 = GmbH | Feldname5 = Gründer | Daten5 = Julian Kantenstein<br>Malte Spalter | Feldname6 = Geschäftsführung | Daten6 = Kantenstein <br> Spalter | Feldname7 = Branche | Daten7 = Forschung und Beratung }} = Unternehmensprofil = CULTURELAB verbindet strategische Kommunikationsansätze mit gesundheitsbezogenen und kulturwissenschaftlichen Fragestellungen. Im Mittelpunkt stehen die Analyse von Zielgruppen, die Entwicklung wirkungsorientierter Strategien und die wissenschaftlich fundierte Beratung von Organisationen und Institutionen. = Organisationsstruktur = Die Organisationsstruktur... == Gründer == * Julian Kantenstein * Malte Spalter = Geschäftsbereiche = * Marketing/PR/Online-Kommunikation * betriebliche und öffentliche Gesundheit * Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., == Rechtsform == Als Rechtsform für dieses Unternehmen wurde die GmbH gewählt. Diese Rechtsform gibt dem Geschäftsführer die volle Weisungsberechtigung. Zudem gibt es die vollen Kontrollrechte für die Gesellschafterversammlung. Zudem konnte das Unternehmen die 25.000€ Startkapital aufbringen. Die Haftung hierbei ist für die Gesellschaft uneingeschränkt, allerdings für die Gesellschafter eingeschränkt, wodurch die Gesellschafter hierbei weniger Risiko tragen. Die Gewinn- sowie Verlustverteilung kann hierbei im Gesellschaftsvertrag flexibel festgehalten werden oder werden vom Stammkapitalanteil berechnet, wodurch fairness gegeben ist. = Strategische Ausrichtung = CULTURELAB verfolgt einen interdisziplinären Ansatz, der Kommunikation, Forschung und gesellschaftliche Wirkung miteinander verbindet. == FRAport Auftrag == 2s97qivkc5xrudtj3tqcd5y3j3gu3wb 1117410 1117409 2026-10-22T21:08:32Z ~2026-56555-50 42021 1117410 wikitext text/x-wiki {{Infobox | Titel = CULTURELAB | Bildname = CULTURELAB-Logo.png | Bildbreite = 220px | Bildtext = Logo von CULTURELAB | Stil = 2 | Titelstyle = 5 | Abschnittsfarbe = | Farbe = #EAECF0 | Style = float:right; margin-left:1em; margin-top:0; border:1px solid #000000; background:#F8F9FA; width:300px; | Feldname1 = Unternehmensname | Daten1 = CULTURELAB | Feldname2 = Gründungsdatum | Daten2 = 22.10.2026 | Feldname3 = Unternehmenssitz | Daten3 = [[Darmstadt]], {{DEU}} | Feldname4 = Unternehmensform | Daten4 = GmbH | Feldname5 = Gründer | Daten5 = Julian Kantenstein<br>Malte Spalter | Feldname6 = Geschäftsführung | Daten6 = Kantenstein <br> Spalter | Feldname7 = Branche | Daten7 = Forschung und Beratung }} = Unternehmensprofil = CULTURELAB verbindet strategische Kommunikationsansätze mit gesundheitsbezogenen und kulturwissenschaftlichen Fragestellungen. Im Mittelpunkt stehen die Analyse von Zielgruppen, die Entwicklung wirkungsorientierter Strategien und die wissenschaftlich fundierte Beratung von Organisationen und Institutionen. = Organisationsstruktur = Die Organisationsstruktur... == Gründer == * Julian Kantenstein * Malte Spalter = Geschäftsbereiche = * Marketing/PR/Online-Kommunikation * betriebliche und öffentliche Gesundheit * Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., == Rechtsform == Als Rechtsform für dieses Unternehmen wurde die GmbH gewählt. Diese Rechtsform gibt dem Geschäftsführer die volle Weisungsberechtigung. Zudem gibt es die vollen Kontrollrechte für die Gesellschafterversammlung. Zudem konnte das Unternehmen die 25.000€ Startkapital aufbringen. Die Haftung hierbei ist für die Gesellschaft uneingeschränkt, allerdings für die Gesellschafter eingeschränkt, wodurch die Gesellschafter hierbei weniger Risiko tragen. Die Gewinn- sowie Verlustverteilung kann hierbei im Gesellschaftsvertrag flexibel festgehalten werden oder werden vom Stammkapitalanteil berechnet, wodurch fairness gegeben ist. = Strategische Ausrichtung = CULTURELAB verfolgt einen interdisziplinären Ansatz, der Kommunikation, Forschung und gesellschaftliche Wirkung miteinander verbindet. == FRAport Auftrag == *Personalkosten: (Einzelkosten, Gemeinkosten) 5 Studentische Hilfskräfte, Angestellter Wissenschaftler *Kalkulatorische Abschreibungen: Kosten Profi-Kopierer, Kleines Büro in Darmstadt Miete, 6 Laptops, 6 SPSS Lizensen, *Steuern Mehrwertsteuer lq76c5ca342mvkuk2lp3hafbvh6kr2v