Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.48.0-wmf.1 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 4 2133 1117991 1117779 2026-10-28T03:52:50Z SpBot 3178 Archiviere 5 Abschnitte: 5 nach [[Wikiversity:Cafeteria/Archiv/2026]] (ab Abschnitt [[Wikiversity:Cafeteria/Archiv/2026#Einbindung_des_Links_zu_den_Rechts-_und_Sicherheitskontakten_in_die_Fußzeile_Ihres_Wikis|Einbindung_des_Links_zu_den_Rechts-_und_Sicherheitskontakten_in_die_Fußzeile_Ihres_Wikis]]) - letzte Bearbeitung: [[:User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]], 2026-10-26 15:00 1117991 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == Server-Wechsel - Euer Wiki wird bald kurzzeitig im nur-lesbaren Modus sein == <section begin="server-switch"/><div class="plainlinks"> [[:m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|In einer anderen Sprache lesen]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-Tech%2FServer+switch&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}] Die [[foundation:|Wikimedia-Foundation]] wird den Datenverkehr zwischen ihren Rechenzentren wechseln. Dadurch sollen Wikipedia und die anderen Wikimedia-Wikis auch nach einem Notfall erreichbar bleiben. Der gesamte Datenverkehr wird am '''{{#time:j. F Y|2026-10-28|de}}''' umgeleitet. Der Test wird um '''[https://zonestamp.toolforge.org/{{#time:U|2026-10-28T15:00|en}} {{#time:H:i e|2026-10-28T15:00}}]''' (16:00 MESZ) beginnen. Leider können aufgrund einiger Einschränkungen der [[mw:Special:MyLanguage/Manual:What is MediaWiki?|MediaWiki]]-Software keine Bearbeitungen vorgenommen werden, während die Umschaltung duchgeführt wird. Wir entschuldigen uns für diese Unterbrechung, und wir werden uns bemühen, derartige Einschränkungen in der Zukunft auf ein Minimum zu beschränken. Auf allen Wikis wird 30 Minuten im Voraus ein Banner erscheinen. Dieses Banner bleibt bis zum Ende des Vorgangs sichtbar. Du kannst zur [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ATranslate&group=Centralnotice-tgroup-read_only_banner&task=view&language=&filter=&action=translate Übersetzung oder zum Korrekturlesen] dieses Bannertextes beitragen. '''Für eine kurze Zeit können zwar alle Wikis gelesen, aber nicht bearbeitet werden.''' * Am {{#time:j. F Y|2026-10-28|de}} wird bis zu eine Stunde lang das Bearbeiten nicht möglich sein. * In dieser Zeit wird beim Versuch, Bearbeitungen zu speichern, eine Fehlermeldung ausgegeben. Wir hoffen, dass dadurch keine Bearbeitungen verloren gehen, können das aber leider nicht garantieren. Falls eine Fehlermeldung erscheint, warte bitte, bis alles wieder normal ist. Dann sollte es möglich sein, die Bearbeitungen zu speichern. Sicherheitshalber empfehlen wir jedoch, dass du zunächst eine Kopie deiner Änderungen machst. ''Weitere Folgen:'' * Im Hintergrund ablaufende Prozesse (eingebundene Skripte beispielsweise) werden langsamer als sonst ablaufen, einige werden möglicherweise gar nicht ausgeführt. Es kann vorkommen, dass Rotlinks nicht so schnell wie üblich aktualisiert werden. Falls du einen Artikel erstellst, der bereits an einer anderen Stelle verlinkt ist, dann wird der Link an dieser Stelle länger rot bleiben als üblich. Einige lang laufende Skripte werden wir stoppen müssen. * Wir gehen davon aus, dass die Codebereitstellung wie in jeder anderen Woche erfolgen wird. Allerdings kann es von Fall zu Fall zu einem Code-Freeze kommen, wenn der Vorgang dies erfordert. * [[mw:Special:MyLanguage/GitLab|GitLab]] wird für etwa 90 Minuten nicht verfügbar sein. Falls nötig, kann der Test verschoben werden. Der Zeitplan ist [[wikitech:Switch_Datacenter|unter wikitech.wikimedia.org zu finden]]. Einzelheiten sind dem Plan zu entnehmen. '''Bitte gib diese Benachrichtigung an deine Community weiter!'''</div><section end="server-switch"/> [[user:Trizek_(WMF)|Trizek_(WMF)]] 15:00, 26. Okt. 2026 (CET) ptvrq80vqmgw7qs5m61a4lmokvytrlb 0 98625 1117890 1117772 2026-10-27T12:47:14Z PaFra 14559 /* 3.1.1. Die Provokation der Quraisch */ 1117890 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02|2 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 04|>>> 4]] {{TOC nonum}} = 3. Der Prophet von Yathrib und das neue Gemeinwesen (622-630) = Das Zentrum der neuen Religion verlagert sich in die Oase Yathrib, kriegerisches Handeln steht im Vordergrund. Muhammad und seine Anhänger kämpfen gegen das heidnische Mekka und geraten immer mehr in einen Konflikt mit den Juden von Yathrib, die schließlich aus der Oase vertrieben werden. Als Anführer des neuen Gemeinwesens führt Muhammad verschiedene rechtliche, soziale und kultische Reformen durch. == 3.1. Maghāzī – Die Kriegszüge Muhammads == === 3.1.1. Die Provokation der Quraisch === Die arabischen Quellen berichten übereinstimmend, dass Muhammad nach seiner Auswanderung aus Mekka am 24. September 622 die Oase von Yathrib erreichte. Da er aus Mekka vertrieben worden war, sah er es als gerechtfertigt an, gegen seine frühere Heimatstadt zu kämpfen. Das geht deutlich aus zwei Koranversen hervor, die nach allgemeiner Auffassung als älteste Offenbarung zum Thema des Kampfes gelten: {{Zitat|Denen, die kämpfen, ist das erlaubt, weil ihnen Unrecht angetan – siehe, Gott hat zu helfen ihnen die Macht! – Weil sie vertrieben wurden aus ihrer Heimat ohne Recht, nur weil sie sagten: Unser Herr ist Gott.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/39 Q 22:39f]}} Der Krieg mit Mekka, den Muhammad von seiner neuen Basis Yathrib aus führte, begann mit kleinen Nadelstichen. Nach der Chronologie [[w:al-Wāqidī|al-Wāqidīs]], der im frühen 9. Jahrhundert ein Werk über die Kriegszüge ([[w:Maghāzī|Maghāzī]]) Muhammads verfasste, schickte dieser schon sieben Monate nach seiner Ankunft seinen Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] mit einer Gruppe von Kriegern aus, um an der Küste eine aus Syrien heimkehrende mekkanische Handelskarawane unter Führung [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahls]] abzufangen, doch kam es zu keiner Kampfhandlung, weil ein Mann aus dem Stamm der [[w:Qudāʿa|Dschuhaina]], der mit beiden Seiten verbündet war, dazwischentrat. Bei einer zweiten Unternehmung im April 623 wurde „der erste Pfeil im Islam“ abgeschossen. Der Kampf gegen die Mekkaner setzte sich bald auch über altarabische religiöse Normen hinweg, wie das Friedensgebot in den heiligen Monaten (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). So überfiel ein von Muhammad beauftragtes Kommando im heiligen Monat [[w:Radschab|Radschab]] bei [[w:Nakhla_(Saudi-Arabien)|Nachla]] südlich von Mekka eine mekkanische Karawane. Das war nach der Überlieferung Anlass für die folgende Offenbarung: {{Zitat|Sie fragen dich nach dem heiligen Monat, ob Kampf in ihm erlaubt sei. Sprich: Kampf in ihm wiegt schwer, aber jemanden abzuhalten vom Wege Gottes, darin liegt Unglaube. Und sie vom heiligen Gebetsplatz abzuhalten, und dessen Volk daraus zu vertreiben, – das wiegt schwerer vor Gott. Und Verführung (zum Abfall vom Islam) wiegt schwerer als Töten. Sie werden nicht aufhören, euch zu bekriegen, bis sie euch von eurer Religion abbringen, wenn sie können.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/217 Q 2:217]}} Aus dem Koranwort geht hervor, dass das Weiterbestehen der alten Religion in Mekka für die Anhänger Muhammads eine ständige Versuchung war, von ihrem Glauben abzufallen. Da vielen von ihnen der militärische Kampf (''qitāl'') offenbar zuwider war, wurde er nun zur Pflicht erklärt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/216 Q 2:216]) und durch die Bezeichnung ''ǧihād fī sabīl Allāh'' („Bemühung [[w:Fī sabīli Llāh|für die Sache Gottes]]“, so schon im folgenden Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/218 Q 2:218]), auf eine religiöse Ebene gehoben. In der Form [[w:Dschihad|Dschihad]] hat dieser Begriff auch Eingang ins Deutsche gefunden. [[File:Balami - Tarikhnama - The Battle of Badr - The death of Abu Jahl, and the casting of the Meccan dead into dry wells (cropped).jpg|mini|Bildliche Darstellung der [[w:Schlacht von Badr|Schlacht von Badr]] in einer persischen Handschrift, frühes 14. Jahrhundert]] Die erste große Konfrontation zwischen Mekkanern und den Anhängern Muhammads ergab sich im März 624 bei dem Ort [[w:Badr_(Saudi-Arabien)|Badr]] ca. 130 km südwestlich von Yathrib. Muhammad hatte Informationen erhalten, dass eine reiche mekkanische Karawane aus Syrien zurückkehrte. Mit 300 Mann, unter denen sich auch Angehörige des mit den [[w:Aus (Stamm)|Aus]] verbündeten Stammes [[w:Muzaina|Muzaina]] befanden, zog er nach dem an der Küstenstraße liegenden Badr, um die Karawane abzufangen. Es kam zu einer Schlacht zwischen Muhammads Männern und einer etwa 950 Mann starken Armee der Mekkaner, die der Karawane zur Hilfe geeilt war und von Muhammads erbittertem Gegner [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahl] befehligt wurde. Muhammads Lager siegte überraschend. Die Mekkaner verloren zwischen 45 und 70 Mann, und eine ähnliche Anzahl von ihnen wurde gefangengenommen. Zu den gefallenen Mekkanern gehörten mehrere ihrer führenden Persönlichkeiten, darunter auch Abū Dschahl. Die Anhänger Muhammads hatten dagegen nur 14 Gefallene zu beklagen und machten große Beute. Nach der Schlacht ließ Muhammad einige der Gefangenen enthaupten, darunter seinen früheren Gegner [[w:an-Nadr ibn al-Hārith|an-Nadr ibn al-Hārith]]. Der [[w:Schlacht von Badr|Sieg bei Badr]] war sowohl in militärischer als auch in religiöser Hinsicht von größter Bedeutung für die Anhänger Muhammads. Offenbar hatten aber nicht alle von ihnen an diesem Sieg mitgewirkt. Das geht aus Versen hervor, die aus der Zeit nach Badr stammen und klarstellen, dass diejenigen unter den Gläubigen, die ohne Entschuldigung zu Hause „sitzenbleiben“ bei Gott nicht auf der gleichen Stufe stehen wie die Mudschāhidūn, also diejenigen, die den Dschihad führen und dabei Vermögen und Leben aufs Spiel setzen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/95 Q 4:95f]). === 3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags === Für die Quraisch von Mekka war die Niederlage bei Badr ein harter Schlag. Sie hatten in dem Ruf gestanden, ein besonders mächtiger Stamm in Arabien zu sein, und in gewissem Maße stützte sich auch der Erfolg ihrer Geschäfte auf diese Reputation, denn bei ihrem Handel waren sie auf die Zusammenarbeit mit vielen anderen Stämmen angewiesen, und von einigen von ihnen war nun Aufsässigkeit zu erwarten. Deshalb war es für die Quraisch von essentieller Bedeutung, zu beweisen, dass sie noch die Kraft hatten, für erlittenes Unrecht Rache zu nehmen. Zehn Wochen nach Badr unternahm [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]], der nach der Schlacht von Badr die Führung von Mekka übernommen hatte, einen Blitzüberfall auf Yathrib, zog sich aber, nachdem er zwei Häuser in Brand gesteckt hatte, rasch zurück. [[File:The Prophet Muhammad and the Muslim Army at the Battle of Uhud, from the Siyer-i Nebi, 1595.jpg|mini|Darstellung der Schlacht von Uhud in einem [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i Nebi]] von 1594, heute David Collection, Kopenhagen]] In den Monaten danach gelang es Abū Sufyān, 3000 gut ausgerüstete Krieger zu rekrutieren. Im März 625 rückte er mit diesen nach Yathrib vor und drang von der Nordwestecke in die Oase ein. Beim Berg Uhud kam es zu einem Kampf, der lange hin und her wogte. Als sich das Kriegsglück zu Gunsten der Anhänger Muhammads zu wenden begann, fingen diese an, die Beute einzusammeln. Das veranlasste eine Gruppe von Muhammads Bogenschützen, ihren Platz zu verlassen, um sich ebenfalls der Beute zuzuwenden. Auf der Seite der Mekkaner nutzte diese Situation der prominente Kämpfer [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] aus, um Verwirrung in den Reihen von Muhammads Anhängern zu stiften und sie niederzuringen. Allerdings gelang es Muhammads Anhängern zum Schluss, wichtige Stellungen zurückzugewinnen, so dass die Mekkaner abziehen mussten, ohne sich ihres Widersachers Muhammad endgültig entledigt zu haben. Für die Anhänger Muhammads war die [[w:Schlacht von Uhud|Schlacht von Uhud]] dennoch eine herbe Enttäuschung, nicht nur deshalb, weil sie 50 bis 70 Mann verloren hatten, Muhammads Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] gefallen und Muhammad selbst verwundet worden war, sondern auch deshalb, weil sie merkten, dass sie sich der Unterstützung Gottes doch nicht immer so sicher sein konnten, wie es ihnen nach dem Sieg von Badr schien. In verschiedenen Koranworten aus dieser Zeit wird bekräftigt, dass diejenigen, die „für die Sache Gottes“ getötet wurden, nicht wirklich tot sind, sondern weiter leben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/154 Q 2:154]), bei ihrem Herrn versorgt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/169 3:169]), ihnen die Sünden vergeben werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/157 3:157]) und sie direkt ins Paradies eingehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/195 3:195]). Der Konflikt zwischen Muhammad und den Mekkanern war mit der Schlacht von Uhud noch keineswegs beendet. Da Muhammad weiter den mekkanischen Handel störte und bei den arabischen Beduinen immer mehr Verbündete fand, sahen sich die Mekkaner genötigt, erneut gegen ihn vorzugehen. Dafür versuchten sie ihrerseits, eine Anzahl beduinischer Stämme auf ihre Seite zu ziehen. Diese Bündnisse zeigen, dass der Konflikt zwischen Mekka und Yathrib inzwischen das Umland der beiden Städte mit einschloss. Im Juli 625 massakrierten die [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]], ein mit den Quraisch verbündeter Stamm, bei Biʾr Maʿūna zwischen Mekka und Yathrib eine größere Anzahl von Muslimen. Muhammad soll daraufhin einen Monat lang die Banū Sulaim verflucht haben. In veränderter Form hat sich dieser Ritus bis heute im sogenannten [[w:Qunūt|Qunūt]] erhalten, einem Bittgebet, das beim Morgengebet oder beim nächtlichen Witr-Gebet gesprochen wird. Zu Beginn des Jahres 627 erschienen die Mekkaner und ihre Verbündeten mit einer Truppe von 10.000 Mann vor Yathrib. Dort hatte Muhammad allerdings um die weniger befestigten Stellen der Oasensiedlung einen Graben (''ḫandaq'') ausheben lassen, der so breit war, dass ein Pferd ihn nicht überspringen konnte. Diese Aktion kam für die Mekkaner offensichtlich so unerwartet, dass sie ihr kein geeignetes strategisches Mittel entgegensetzen konnten. Aus dem geplanten Angriff wurde so eine Belagerung. Aufgrund von Intrigen brach die Allianz der Mekkaner jedoch schon nach 14 Tagen zusammen, und die [[w:Grabenschlacht|Belagerung von Yathrib]] musste beendet werden. Die Mekkaner zogen schließlich ab, ohne etwas erreicht zu haben. === 3.1.3. Der militärische und politische Durchbruch === [[File:Dinar, Khusro II, 590, 591-628 AD, year 31 - Bode-Museum - DSC02737.JPG|mini|Der Sassanidenherrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] (reg. 590-628) auf einer Goldmünze, [[w:Bode-Museum|Bode-Museum]]]] Der Grabenkrieg war im Grunde genommen der letzte Defensivkrieg Muhammads. Hiernach begann die Offensivphase in seinem Leben, und gleichzeitig für das von ihm begründete Gemeinweisen die Zeit der Eroberungen. Zum Verständnis des folgenden militärischen Erfolgs von Muhammad ist es notwendig, sich die politische Situation im Vorderen Orient dieser Zeit zu vergegenwärtigen. Anfang des 7. Jahrhunderts hatte ein längerer Schlagabtausch zwischen dem [[w:Byzantinisches Reich|Byzantinischen Reich]] und den [[w:Sassanidenreich|Sassaniden]] begonnen. In den Jahren 603 bis 619 hatten zunächst die sassanidischen Truppen Syrien, Palästina und Ägypten erobert, 622 hatte der byzantinische Kaiser zum Gegenangriff ausgeholt. Es kam zu heftigen Auseinandersetzungen, bei denen die Sassaniden ebenfalls mehrere Niederlagen erlitten, und die 628 mit einem Friedensschluss endeten, der ihren Herrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] dazu verpflichtete, die eroberten Gebiete vollständig zurückzugeben. Hieraufhin wurde Chosrau von seinen Offizieren gestürzt, und es begannen im Sassanidenreich Thronwirren, die bis 633 andauerten und während derer das sassanidische Bündnissystem auf der arabischen Halbinsel zusammenbrach. Es war genau diese fünfjährige Periode des Machtvakuums, innerhalb derer Muhammad seinen neu gegründeten Staat zum militärischen und politischen Erfolg führte. Im Jahr nach der [[w:Grabenschlacht|Grabenschlacht]] unternahm er noch einige weitere kleinere Kriegszüge, von denen die beiden bedeutendsten derjenige gegen die Oase Dūmat al-Dschandal und derjenige gegen den westlich von Yathrib lebenden Stamm der Mustaliq waren. Im März 628 zog er dann mit einer Schar von Gläubigen nach Mekka, um eine [[w:ʿUmra|ʿUmra]] zu vollziehen. Die Mekkaner, die annahmen, dass er kriegerische Absichten hegte, sorgten allerdings dafür, dass er der Stadt nicht zu nahe kam. Von seinem Lager in al-Hudaibiya am Rande des [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]] nahm Muhammad Verhandlungen mit den Mekkanern auf, die mit einem Vertrag endeten. Er selbst musste in diesem Vertrag rein äußerlich einige Demütigungen hinnehmen, die zu Spannungen unter seinen Anhängern führten. So wurde er von dem mekkanischen Abgesandten nicht als „Muhammad, der Gesandte Gottes“ anerkannt, sondern nur als „Muhammad ibn ʿAbdallāh“. Bedeutender waren aber die getroffenen Vereinbarungen. Dazu gehörten ein zehnjähriger Waffenstillstand und das Versprechen der Mekkaner, Muhammad und seinen Anhängern im nächsten Jahr die Stadt für drei Tage zum Vollzug der ʿUmra zu überlassen. Umgekehrt verzichtete Muhammad für dieses Jahr auf die ʿUmra und zog sich mit seinen Männern nach Yathrib zurück. Der Vertrag von Hudaibiya war ein Triumph für den Propheten und seine Anhänger. Der Koran berichtet, dass Gott seine [[w:Sakīna|Sakīna]] in die Herzen der Gläubigen hinabsandte, so dass sie im Glauben zunahmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/4 Q 48:4], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/18 18]). Der Begriff ''sakīna'' geht eigentlich auf ein jüdisches Konzept, die [[w:Schechina|Schechina]], zurück, das die „Gegenwart“ Gottes bei seinem Volk bezeichnet. Hier bezeichnet er aber auch den psychischen Zustand der Gelassenheit und Ruhe. Nach dem Vertrag von Hudaibiya vollzogen mehrere Araber aus anderen Gebieten Arabiens, die sich schon früher Muhammad angeschlossen hatten, die [[w:Hidschra|Hidschra]], d.h. sie zogen nach Yathrib, um Muhammad militärisch zu unterstützen. Zu ihnen gehörten zum Beispiel auch die beiden Jemeniten [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]]. Im folgenden Jahr, im März 629, zog Muhammad dann mit etwa 2.000 Mann nach Mekka, um wie geplant die ʿUmra zu vollziehen. Bei dieser Gelegenheit heiratete er Maimūna, die Schwägerin seines Onkels [[w:al-ʿAbbās ibn ʿAbd al-Muttalib|ʿAbbās]], der zu dieser Zeit in Mekka die Führung der [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]] übernommen hatte. Immer mehr Mekkaner erkannten nun Muhammad als Propheten an und verließen die Stadt, um sich ihm anzuschließen, auch solche, die ihn kurz zuvor noch bekriegt hatten wie zum Beispiel der Kämpfer Chālid ibn al-Walīd, der bei der Schlacht von Uhud noch auf der gegnerischen Seite gestanden hatte (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]). Im Laufe des Jahres 629 ließ Muhammad noch einige weitere kriegerische Unternehmungen durchführen. So schickte er im September seinen ehemaligen Sklaven und Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] mit einer Armee nach Mu'ta auf dem Gebiet des heutigen Jordanien, östlich der Südspitze des Toten Meeres. Dann ergab sich eine Kette von Ereignissen, die letztlich zur friedlichen Kapitulation Mekkas führten. Muhammad heiratete Umm Habība, eine schon viele Jahre früher zum Islam übergetreten Tochter [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], deren muslimischer Ehemann gestorben war. Wenig später wurde ein Clan der [[w:Chuzāʿa|Chuzāʿa]], der in der Nähe von Mekka lebte und nach Hudaibiya einen Bund mit Muhammad geschlossen hatte, von einem Clan der [[w:Kināna|Kināna]], der mit den Mekkanern verbündet war, angegriffen. Der in Bedrängnis geratene Clan der Chuzāʿa wandte sich an Muhammad, der mit diesem Vorfall das Abkommen von Hudaibiya als gebrochen betrachtete. Zur Verhinderung einer militärischen Konfrontation reiste Abū Sufyan unter dem Vorwand, seine Tochter besuchen zu wollen, nach Yathrib und führte mit Muhammad Verhandlungen. Der genaue Hergang der nachfolgenden Ereignisse ist nicht klar, doch steht fest, dass es nach der Rückkehr Abū Sufyans nach Mekka zwischen ihm und Muhammad zum Austausch von Geschenken kam. In der Sache selbst war Muhammad allerdings zu keinen Zugeständnissen bereit. Er gab das Kommando zur Vorbereitung eines Feldzuges zur Einnahme von Mekka. Mit einer Armee von ca. 10.000 Mann, die neben seinen Anhängern aus Mekka und Yathrib auch Kämpfer von Stämmen der Umgebung wie den [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]] und [[w:Muzaina|Muzaina]] einschloss, zog er von Yathrib in Richtung Mekka. Abū Sufyān zog ihm entgegen und führte die Kontaktgespräche. Im Gegenzug für seine Konversion zum Islam erhielt er eine Sicherheitsgarantie für all diejenigen Bewohner Mekkas, die keinen bewaffneten Widerstand leisteten. Die weitreichenden Garantien führten dazu, dass Muhammads Armee bei ihrem von verschiedenen Seiten erfolgendem Einrücken im Januar 630 auf nur sehr geringen Widerstand stieß. In den arabischen Quellen wird die Einnahme Mekkas als ''fatḥ'', „Öffnung“ bezeichnet. Sie steht damit gewissermaßen archetypisch für alle späteren muslimischen Eroberungen ([[w:Futūh|Futūh]]) von Städten und Ländern, die die Muslime unter Muhammads Nachfolgern machten. Über sie wurden später eigene Texte und Werke zusammengestellt. == 3.2. Die interne Entwicklung der Gemeinschaft von Yathrib == === 3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“ === Die Anhängerschaft Muhammads bei seiner Ankunft in Yathrib setzte sich im Wesentlichen aus zwei Gruppen zusammen, den Angehörigen der Quraisch, die zusammen mit ihm die Hidschra aus Mekka vollzogen hatten, und den Clanen von [[w:Aus (Stamm)|Aus]] und [[w:Chazradsch|Chazradsch]], die diesen Auswanderern in Yathrib Aufnahme gewährt hatten. Um eine Gemeinschaft zwischen diesen beiden Gruppen herzustellen, war es dringend notwendig, ein Loyalitätsverhältnis zwischen ihnen zu begründen. Genau diesen Sachverhalt spricht ein Koranwort an, in dem es heißt: „Diejenigen, die den Glauben angenommen haben und ausgewandert sind und unter Einsatz ihres Vermögens und Lebens für die Sache Gottes gekämpft haben, und diejenigen, die Asyl und Hilfe gewährten, die sollen untereinander Freunde sein“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/72 Q 8:72]). Offensichtlich wurden sogar praktische Maßnahmen ergriffen, um dieses Ziel zu verwirklichen, denn es gibt Berichte, denen zufolge zwischen verschiedenen Angehörigen der beiden Gruppen eine „Verbrüderung“ (''muʾāḫāh'') hergestellt wurde. Die übliche Form dieser Verbrüderung sah so aus, dass dem betreffenden Auswanderer (''muhāǧir'') einer von den „Helfern“ (''anṣār'') zur Seite gestellt wurde und die beiden sich gegenseitig zu Brüdern erklärten. Wenn einer der beiden im Kampf fiel, beerbte ihn der andere. Der wichtigste Zweck der Verbrüderung war es, größeren Zusammenhalt im Kampf zu erreichen. Die Zweiteilung der Anhängerschaft Muhammads wurde allerdings auch durch diese Maßnahme nicht völlig überwunden. Vielmehr scheint sich der Gegensatz zwischen den mekkanischen „Auswanderern“ ([[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]]) und den „Helfern“ ([[w:Ansār|Ansār]]) aus Yathrib im Laufe der Zeit noch verfestigt zu haben, wie sich zwei Koranstellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/100 Q 9:100], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/117 117]) aus späterer Zeit entnehmen lässt, in denen die beiden Gruppen einander gegenübergestellt werden. Über die politischen Verhältnisse, die seit der Zeit von Muhammads Ankunft in Yathrib herrschten, gibt es ein historisches Dokument, das uns noch wesentlich genauer informiert als der Koran, nämlich die sogenannte [[w:Gemeindeordnung von Medina|Gemeindeordnung von Medina]]. In diesem Dokument, das bei [[w:Ibn Hischām|Ibn Hischām]] überliefert ist, erscheint auch zum ersten Mal die arabische Bezeichnung ''al-Madīna'' („die Stadt, der Gerichtsort“) für Yathrib. Sie wurde später als Name für diesen Ort allgemein üblich und erscheint auch in den letzten Suren des Korans (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/102 Q 9:102]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/8 63:8]). Was nun die politische Ordnung anlangt, so wird am Anfang des Dokuments festgestellt, dass es sich um „einen Vertrag Muhammads des Propheten zwischen den Gläubigen und Muslimen der Quraisch und von Yathrib und jenen, die ihnen folgen, ihnen verbunden sind und zusammen mit ihnen kämpfen“ (§ 1), handelt. Sie sollen „eine einzige Umma“ bilden, „die sich von anderen unterscheidet“ (§&nbsp;2). Der Begriff [[w:Umma|Umma]] wird im Koran noch an vielen anderen Stellen verwendet und bezeichnet dort verschiedene von Propheten angeführte Gemeinschaften. Die Umma von Medina war allerdings eher an tribalen Konzepten orientiert. Die neun wichtigsten Vertragsparteien waren die „Auswanderer der Quraisch“, die offensichtlich als ein einziger Clan verstanden wurden, und acht Clane aus Yathrib. Jede Gruppe, so heißt es, sollte ihre tribale Organisation beibehalten und für die Zahlung von [[w:Diya (Islam)|Blutgeld]] und Lösegeld unter ihren Angehörigen verantwortlich sein. Allerdings wurde diese Solidaritätspflicht auf die Gläubigen (''muʾminūn'') unter ihnen eingeschränkt. Der zweite Teil des Dokuments befasst sich mit den Beziehungen zu den jüdischen Stämmen von Yathrib und ihren beduinischen Verbündeten. Das Dokument zeigt, dass die Umma zu jener Zeit als etwas verstanden wurde, das Beziehungen zu Angehörigen anderer Religionen einschloss. Im Wesentlichen handelte es sich um einen Bündnisvertrag, der den traditionellen arabischen Rechtsvorstellungen entsprach. Dadurch, dass im ersten Teil die Solidaritätsverpflichtungen auf die „Gläubigen“ beschränkt wurden, kam jedoch eine religiöse Komponente ins Spiel. Muhammad selbst wurde in der Gemeindeordnung eine richterliche Funktion zugesprochen. So wurde festgelegt, dass diejenigen, die über eine Sache im Streit sind, diese vor Gott und Muhammad bringen sollten (§§ 26, 52). Am Ende des Dokuments wird erklärt, dass das Tal von Yathrib für alle Vertragspartner geheiligt (''ḥarām'') sei (§ 49), womit es wie Mekka den Status eines [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Heiligen Bezirks]] erhält. === 3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden === Muhammad hatte am Ende der mekkanischen Zeit dem Judentum äußerst positiv gegenübergestanden. Koranische Texte aus diesem Zeitabschnitt fordern dazu auf, nicht mit den „Leuten des Buches“ ([[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]]) – gemeint sind die Juden von Yathrib – zu disputieren, sondern die Gemeinsamkeiten zwischen den beiden offenbarten Religionen herauszustellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/29/vers/46 Q 29:46]). Der gute Kontakt mit den Juden in der frühen medinischen Zeit führte dazu, dass sich Muhammad und seine Anhänger noch stärker an die jüdischen Vorschriften annäherten. So wurde zu dieser Zeit nach jüdischem Vorbild ein drittes Tagesgebet eingeführt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/238 Q 2:238f]), und der Verzehr von Schweinefleisch und der Beischlaf während der [[w:Menstruation|Menstruation]] wurden verboten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/173 Q 2:173], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/222 222]). Ebenfalls in frühmedinischer Zeit wurde für Muhammad der Titel ''nabī'' gebräuchlich, der in der Bibel und in der jüdischen Tradition für Propheten verwendet wird. Möglicherweise wurde dieser Titel deswegen jetzt für Muhammad eingeführt, um die Juden von Yathrib dazu zu bewegen, seine religiöse Führerschaft anzuerkennen. Besonders interessant ist das Adjektiv ''ummī'', mit dem der Begriff ''nabī'' an der ersten Stelle, an der er vorkommt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/7/vers/157 Q 7:157f]), versehen ist. Wahrscheinlich handelt es sich um eine Ableitung des hebräischen Ausdrucks ''ummot ha-ʿolam'', mit dem im [[w:Talmud|Talmud]] die nicht-jüdischen Völker bezeichnet werden, in denen [[w:Gerechter unter den Völkern|Gerechte]] auftreten können. Die Bezugnahme auf diese heidenfreundliche Tradition war sehr wichtig, denn unter den Juden von Yathrib herrschte die Auffassung vor, dass es unter den Arabern keine Prophetie geben könne. Die Annäherung an das Judentum bedeutete allerdings nicht, dass Muhammad seine Religion darin aufgehen lassen wollte. Die Gemeindeordnung von Medina stellt ausdrücklich fest, „dass die Juden ihre Religion beibehalten und die Gläubigen die Ihrige.“ Eine gemeinsame religiöse Basis fand er im Monotheismus, wie sich dem folgenden Koranwort entnehmen lässt: {{Zitat|Sag: O Leute des Buches, kommt her zu einem Wort, das uns und euch gemeinsam ist. Ist es nicht so, dass wir Gott allein dienen, ihm nichts beigesellen und uns nicht untereinander anstelle Gottes zu Herren nehmen?|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/64 Q 3:64]}} Offenbar hegte Muhammad die Vorstellung, die Juden würden in seiner Botschaft schließlich ihre eigene Religion wiedererkennen. Das brachte ihn letztendlich auch zu der Erwartung, dass sie seinen religiösen Anspruch anerkennen müssten. An mehreren Stellen im Koran werden die [[w:Israeliten|Israeliten]] aufgefordert, an das, was ihm offenbart wurde, als Bestätigung ihrer Schrift zu glauben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/41 Q 2:41]) und ihn allgemein als Bestätiger der [[w:Tora|Tora]] zu verstehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/50 Q 3:50]). Es geschah wahrscheinlich auch im Rahmen der Auseinandersetzung mit den Juden von Medina, dass sich Muhammad zum ersten Mal auf den [[w:Erzengel|Erzengel]] [[w:Gabriel (Erzengel)|Gabriel]] als Vermittler der koranischen Offenbarung berief. Gabriel spielte schon in vorislamischer Zeit eine große Rolle in den jüdischen Überlieferungen über Abraham und Mose. In Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/97 2:97] wird ausgesagt, dass er es ist, der den Koran in Muhammads Herz hinabgesandt habe, „mit Erlaubnis Gottes, bestätigend, was vor ihm war, als rechte Leitung und als frohe Botschaft für die Gläubigen.“ Die Korankommentatoren erklären, dass diese Verse offenbart wurden, als die Juden von Medina Muhammad fragten, wer der Engel sei, der ihm die Offenbarungen brächte. Als er antwortete, dass dies Gabriel sei, der Freund eines jeden Propheten, sollen sie entgegnet haben, dass sie ihn dann nicht anerkennen könnten, weil ihr Freund der Engel [[w:Erzengel_Michael|Michael]] sei, Gabriel dagegen ihr Feind. In Sure 2:97-98 wird diese „Feindschaft“ zu Gabriel missbilligt. Koranstellen wie diese zeigen sehr deutlich, dass die Juden Medinas nicht bereit waren, Muhammad als Propheten in ihrer Tradition anzuerkennen. Andere Stellen erwähnen, dass es immer wieder zu Streitereien mit ihnen kam (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/139 Q 2:139]). Die historiographischen Quellen berichten, dass es damals in Medina nur einen einzigen namhaften Juden gab, der zum Islam übertrat: [[w:ʿAbdallāh ibn Salām|ʿAbdallāh ibn Salām]]. An seine Konversion knüpfen sich in der islamischen Tradition zahlreiche Legenden. Aus Enttäuschung darüber, dass ihn die Juden von Medina nicht unterstützen und ihm zunehmend feindlich gegenüberstanden, brach Muhammad nach der Badr-Schlacht mit dem Judentum. So forderte er die Juden auf, ihn nicht mehr als Schiedsrichter anzurufen, da sie sich nicht einmal an die Regeln ihrer Tora hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/43 Q 5:43-45]). Immer häufiger kam es nun auch zu verbalen Attacken gegen die Juden. So wird ihnen an verschiedenen Stellen Verstocktheit vorgeworfen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/87 Q 2:87-90]) und ihre strengen Speiseverbote werden damit begründet, dass die Juden sich in der Vergangenheit schwerer Sünden schuldig gemacht hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/160 Q 4:160]). An anderen Stellen werden sie beschuldigt, sie würden einen Teil ihrer Schriften zurückhalten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/11/vers/18 Q 11:18]). Schließlich gibt es vier Passagen, die besagen, die Juden hätten die Schriften absichtlich „entstellt“ oder „verdorben“ (so [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/75 Q 2:75-79], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/46 4:46], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/13 5:13], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/41 5:41]). Den verbalen Attacken folgten bald reelle Angriffe auf die Juden von Yathrib. Sie waren keine einheitliche Gemeinschaft, sondern gehörten drei verschiedenen Stämmen an, den [[w:Banū Qainuqāʿ|Banū Qainuqāʿ]], den [[w:Banū n-Nadīr|Banū n-Nadīr]] und den [[w:Banū Quraiza|Banū Quraiza]]. Der erste Angriff richtete sich gegen die Banū Qainuqāʿ, die in Yathrib einen eigenen Markt unterhielten. Als Anlass wird in der Überlieferung genannt, dass nach der Schlacht von Badr (624) auf ihrem Markt eine arabische Frau von einer Gruppe von Juden belästigt worden war. Ein Muslim, der die Begebenheit beobachtet hatte, tötete einen der Juden und wurde dann selbst umgebracht. Das war der Auslöser dafür, dass Muhammad die Banū Qainuqāʿ im April 624 in ihrem befestigten Stadtteil belagerte. Sie mussten ihre Habe zurücklassen und wanderten nach Adhriʿāt (dem heutigen [[w:Darʿā|Darʿā]] im [[w:Hauran|Hauran]], Syrien) aus. Die Vertreibung der Banū Qainuqāʿ hatte wahrscheinlich auch einen ökonomischen Hintergrund, denn Muhammad strebte in dieser Zeit danach, einen eigenen Markt aufzubauen, und der Markt der Qainuqāʿ war ihm dabei im Weg. [[File:Khaybar - deserted houses.jpg|mini|250px|Die Oase Chaibar heute]] Im August 625 ging Muhammad gegen den jüdischen Stamm der Banū n-Nadīr vor. Als Anlass für den Konflikt nennt die Überlieferung einerseits einen versuchten Mordanschlag auf Muhammad, andererseits den Vorwurf der Kollaboration mit den feindlichen Quraisch. Muhammad ließ sie in ihren befestigten Häusern belagern und außerdem ihre Palmenpflanzungen zerstören, womit er ein ungeschriebenes Gesetz der arabischen Kriegführung verletzte. Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/59/vers/5 Q 59:5] liefert nach der islamischen Tradition eine Rechtfertigung für dieses Vorgehen. Wie die Banū Qainuqāʿ, so wurden auch die Banū Nadīr vertrieben; sie fanden mehrheitlich in der jüdischen Oase [[w:Chaibar|Chaibar]] Zuflucht, in der sie über Grundbesitz und eigene Festungen verfügten. Nach der Grabenschlacht 627 kam es zu einer Konfrontation der Muslime mit dem dritten und letzten noch in Medina verbliebenen jüdischen Stamm, den Banū Quraiza, denen auch verschiedene andere Oasen im Norden der Halbinsel gehörten. Ihnen wurden der Bruch ihres Abkommens mit Muhammad und die Zusammenarbeit mit den Quraisch während der Grabenschlacht vorgeworfen. Es erfolgte eine mehrwöchige Belagerung ihres befestigten Stadtteil. Da die Banū Aus mit den Banū Quraiza verbündet waren und sich für sie einsetzten, legte Muhammad die Entscheidung über ihr Leben in die Hand von [[w:Saʿd ibn Muʿādh|Saʿd ibn Muʿādh]], dem Anführer der Banū Aus, der in der Grabenschlacht schwere Verwundungen erlitten hatte und dem Tode nahe war. Dieser sprach sich dafür aus, alle Männer umzubringen, Frauen und Kinder in die Gefangenschaft zu führen und ihren Besitz aufzuteilen, was trotz Protesten von Seiten anderer Verbündeter unverzüglich umgesetzt wurde. Auch nach diesem Vorfall dauerte die Auseinandersetzung mit den Juden noch an. Die Banū n-Nadīr rüsteten nach ihrer Vertreibung aus Medina in Chaibar zum Krieg gegen Muhammad, wobei sie mit den arabischen Stämmen der Nachbarschaft zusammenarbeiteten. Muhammad kam ihnen im Frühjahr 628 mit einem eigenen [[w:Chaibar (Feldzug)|Kriegszug]] zuvor. Das Koranwort aus [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/33 Sure 5:33], das denjenigen, die gegen Gott und seinen Gesandten Krieg führen, eine grausame Strafe (Tötung, Kreuzigung bzw. kreuzweise Amputation von Hand und Fuß) in Aussicht stellt, wird in diesen historischen Zusammenhang gestellt. Chaibar kapitulierte im Juni 628, und die Juden der Oase wurden verpflichtet, ihr Vermögen herauszugeben und jedes Jahr die Hälfte ihrer Ernte den muslimischen Eroberern zu übergeben. Zwei andere von Juden besiedelte Oasen, Fadak und [[w:Tayma|Taimāʾ]], unterstellten sich Muhammads Herrschaft kurze Zeit später freiwillig. === 3.2.3. Andere Gegner Muhammads === In den Koranversen, die in die Zeit nach der [[w:Schlacht von Uhud|Uhud-Schlacht]] eingeordnet werden, taucht noch eine weitere gegnerische Personengruppe auf, die [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]]. Sie werden beschrieben als Personen, die zuerst den Glauben angenommen haben, sich dann aber wieder davon abwandten und nur noch so taten, als würden sie an den Gottesgesandten glauben (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/1 Q 63:1-3]). Man kann insofern den arabischen Begriff ''munāfiqūn'' mit „Heuchler“ übersetzen. Der Koran bezeichnet diese Leute auch als „Menschen, die in ihrem Herzen eine Krankheit haben“ (''fī qulūbi-him maraḍ''; vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/52 5:52]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/49 8:49]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/125 9:125]) und droht ihnen an, dass sie dereinst auf den untersten Grund des Höllenfeuers verbannt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/145 Q 4:145]). Die Munāfiqūn stellten vor allem Muhammads richterliche Autorität in Frage. Der Koran spricht davon, dass einige von ihnen ihren Streit nicht durch Muhammad schlichten lassen wollten und sich von ihm abwandten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/60 Q 4:60f]). Gegen diese Abfallsbewegung richtet sich die Aufforderung an die Gläubigen, ihre Dispute auf jeden Fall Muhammad zur Entscheidung vorzulegen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]). Nur diejenigen sollten fortan noch als Gläubige gelten, die sich an dieses Gebot hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/65 Q 4:65]). Als Anführer der Munāfiqūn wird in den arabischen Quellen ʿAbdallāh ibn Ubaiy genannt. Von ihm wird berichtet, dass er ohne Muhammads Auftreten in Yathrib „König“ ([[w:Malik|Malik]]) der Stadt geworden wäre. Es ging also möglicherweise um konkurrierende Machtansprüche. Offenbar geriet in dieser Zeit aber auch die religiöse Autorität Muhammads in eine Krise. Die islamische Tradition hat den Bericht von einem Christen aus dem medinischen Clan der Banū n-Naddschār bewahrt, der zum Islam übergetreten war und dem Propheten während der Niederschrift der Suren [[w:Sure 2|2]] und [[w:Sure 3|3]] als Sekretär gedient hatte, nun aber zu seiner alten Religion zurückkehrte und sich bei seinen Glaubensbrüdern damit brüstete, Muhammad wisse nichts außer dem, was er für ihn niedergeschrieben habe. Auf skandalöse Weise fiel in dieser Zeit auch einer von Muhammads mekkanischen Schreibern ab, nämlich [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]]. Er begab sich ins heidnische Mekka und brüstete sich dort, er habe Muhammad auf die Probe gestellt, indem er nachträglich an einer Stelle den Wortlaut der Offenbarung geändert habe, ohne dass Muhammad diese Abänderung bemerkte. Gegenstand der Änderung waren Reimwörter, die in ähnlicher Form an anderen Stellen des Korans vorkommen. Der Koran selbst scheint von diesem Vorfall Zeugnis abzulegen. So werden Leute erwähnt, in deren Herzen Verirrung ist, die sich nicht an den festgefügten Versen (''āyāt muḥkamāt'') des Korans orientieren, sondern „das suchen, was einander ähnlich ist, um Zwietracht zu stiften“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/7 Q 3:7]). Nach der Überlieferung ist außerdem mit dem Mann, von dem der Koran berichtet, dass er den Unglauben ([[w:Kufr|Kufr]]) gegen den Glauben ([[w:Īmān|Īmān]]) eintauschte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/108 Q 2:108]), ʿAbdallāh ibn Abī Sarh gemeint. Gegen einige seiner Gegner ging Muhammad sehr grausam vor. So ließ er zum Beispiel den mit den Banū n-Nadīr verbundenen Dichter [[w:Kaʿb ibn al-Aschraf|Kaʿb ibn al-Aschraf]], der in Mekka die Quraisch zum Kampf gegen die Muslime angestachelt und nach einigen Berichten mit ihnen sogar eine Allianz gegen Muhammad geschlossen hatte, nach seiner Rückkehr nach Medina im September 624 heimtückisch ermorden. Bei der Einnahme von Mekka im Januar 630 war er dagegen sehr viel gutmütiger. Mit Ausnahme weniger Personen, die Tötungsdelikte begangen hatten, begnadete der Prophet alle seine früheren Gegner, die er in der Stadt vorfand, darunter auch seinen ehemaligen Schreiber Ibn Abī Sarh, der in Mekka Stimmung gegen ihn gemacht hatte. Er profitierte davon, dass sich sein Milchbruder [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān]] beim Propheten für ihn einsetzte. Muhammads Bereitschaft, früheren Gegnern zu verzeihen, spiegelt sich auch auf koranischer Ebene wieder. Wer die Umkehr ([[w:Tauba|Tauba]]) zu Gott vollzieht, so heißt es dort, kann damit rechnen, dass es ihm wohlergeht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/31 Q 24:31]). Gott selbst wird im Koran als derjenige beschrieben, der „die Umkehr von seinen Knechten annimmt“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/104 Q 9:104]). Wer umkehrt, dem wendet sich auch Gott wieder zu ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/39 Q 5:39]). Heuchlern und Apostaten, die die Tauba nicht vollziehen, droht jedoch das Höllenfeuer ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/74 Q 9:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/86 3:86-89]). === 3.2.4. Die Konstituierung als eigenständige Religionsgemeinschaft === Die Zusammenfügung der Gläubigen zu einem Loyalitätsverband und die Abgrenzung nach außen gegenüber anderen Gruppierungen gingen einher mit dem Bestreben, den Einfluss anderer Loyalitätsbeziehungen, die für den Zusammenhalt der Gläubigen eine Bedrohung darstellen könnten, zu beschränken. Dieses zeigt sich an verschiedenen Koranstellen der medinischen Periode, an denen die Gläubigen aufgefordert werden, sich keine Ungläubigen, sondern nur noch Gläubige zu Freunden zu nehmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/28 Q 3:28]). Nur diejenigen sollten noch als „Gläubige“ und damit vollwertige Mitglieder dieser Gemeinschaft gelten, die die Beziehungen zu den Gegnern des Gottesgesandten komplett abbrechen und sich dabei auch über Verwandtschaftsbande hinwegsetzen. Denjenigen, die sich an diese Grundsätze halten, wird im Koran Erfolg und jenseitiges Heil verheißen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/56 Q 5:56]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/58/vers/22 58:22]). Für Frauen, die in das muslimische Lager überwechseln wollten, erwähnt der Koran ein eigenes Aufnahmeverfahren: man solle sie prüfen, und wenn sie als gläubige Frauen erkannt seien, solle man sie nicht zu den Ungläubigen zurückkehren lassen, diesen aber den für sie entrichteten Brautpreis ersetzen, dann sei es erlaubt, mit diesen Frauen eheliche Beziehungen einzugehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/60/vers/10 Q 60:10]). Der Abgrenzung nach außen auf sozialer Ebene lief eine Abgrenzung auf religiöser Ebene parallel. Die Abgrenzung von den Juden betraf dabei insbesondere die religiösen Riten (vgl. unten [[#3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus|3.3.]]). Auf ideeller Ebene erfolgte gleichzeitig eine Rückbesinnung auf die Gestalt [[w:Abraham im Islam|Abrahams]]. Er wurde nun zum Prototypen der neuen Religionsgemeinschaft erhoben. An mehreren Koranstellen aus dieser Zeit findet sich die Aufforderung, der Religion der „Gemeinschaft Abrahams“ (''millat Ibrāhīm'') zu folgen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/130 Q 2:130]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/125 4:125]). Es wird betont, dass Abraham kein Jude, Christ oder [[w:Muschrik|Muschrik]] war, sondern ein Muslim und [[w:Hanīf|Hanīf]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/67 Q 3:67]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/95 3:95]). Eine Weile war Hanīf wohl auch die übliche Bezeichnung für Muhammads Anhänger und Hanīfīya („Hanīfentum“) der Name für die von ihm gegründete Religion. Mit den auf Abraham bezogenen koranischen Passagen ließ sich auch die kultische Wiederausrichtung auf das arabische Heiligtum in Mekka gut rechtfertigen. Sie wurde damit erklärt, dass „das Haus“ (''bait'') in Mekka das Jerusalemer Heiligtum an Alter übertreffe, weil es das erste sei, das für die Menschen errichtet wurde ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/96 Q 3:96]). Schon Abraham habe zusammen mit seinem Sohn [[w:Ismael|Ismāʿīl]] die Grundmauern dieses „Hauses“ aufgerichtet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/127 Q 2:127]). Muhammad scheint hier auf hanīfische Konzepte (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.6. Der religiöse Wandel und die Hanīfen|1.3.6.]]) zurückgegriffen zu haben. An zwei Stellen des Korans ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 2:125]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/97 3:97]) wird das mekkanische Heiligtum zudem als der „[[w:maqām Ibrāhīm|Standplatz Abrahams]]“ (''maqām Ibrāhīm'') bezeichnet. === 3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten === Muhammad war nach der Gemeindeordnung von Medina keineswegs der absolute Herrscher von Medina. Er wurde lediglich als Prophet (§ 1) und Schiedsrichter (§ 23, 42) anerkannt. In den Quellen werden mehrfach Vorfälle geschildert, die zeigen, dass er sich darum bemühen musste, die Unterstützung anderer Clanoberhäupter zu gewinnen. Im Zusammenhang mit den militärischen Aktivitäten veränderten sich jedoch die Machtstrukturen innerhalb der Gemeinschaft der Muslime. Eine Folge des Misserfolges von Uhud war die Aufforderung an die Gläubigen, zukünftig dem Gottesgesandten und „denjenigen, die zu befehlen haben“ (''ūlū l-amr''), unbedingt zu gehorchen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]) und vor Streuung von sicherheitsrelevanten Informationen erst diesen Personenkreis zu unterrichten, um eine Überprüfung dieser Informationen zu ermöglichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/83 Q 4:83]). Das militärische Nachrichtenwesen wurde auf diese Weise zentralisiert. Den Gläubigen wurde außerdem mitgeteilt, dass der Gottesgesandte das Vorrecht auf mindestens ein Fünftel (''ḫums'') der Beute habe, um es unter den Verwandten, Weisen, Armen und Wohnungslosen zu verteilen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]). Von seinen Anhängern, den gläubigen Männern und Frauen, forderte der Prophet nach der Vertreibung der jüdischen Stämme uneingeschränkten Gehorsam bei all den Dingen, die er selbst entschieden hatte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/36 Q 33:36]). Seine militärischen und diplomatischen Erfolge brachten ihm offenbar so viel Prestige und Autorität ein, dass auch seine Macht immer weiter zunahm. Von nicht geringer Bedeutung für Muhammads Machtzuwachs war die Tatsache, dass sich in Medina auch mehrere Dichter auf seine Seite stellten. Der bekannteste von ihnen war [[w:Hassān ibn Thābit|Hassān ibn Thābit]], der schon für [[w:Ghassaniden|ghassānidische]] und [[w:Lachmiden|lachmidische]] Prinzen Lobgedichte verfasst hatte. Vor diesem Hintergrund wurde die im Koran formulierte allgemeine Ablehnung gegenüber den Dichtern (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.2.5. Der Überbringer der Botschaft|2.2.5.]]) differenziert: Nur diejenigen von ihnen sollten der Verdammung anheimfallen, die Unrecht getan haben, nicht aber diejenigen, „die den Glauben angenommen haben, das Rechte tun und Partei ergreifen, nachdem ihnen Unrecht angetan worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/26/vers/227 Q 26:227]). Außerdem standen Muhammad jetzt auch mehr Schreiber zur Verfügung, die seine Korrespondenz führen und seinen Koranvortrag niederschreiben konnten. Zu nennen sind insbesondere [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], der vor der Hidschra auf einer jüdischen Schule die syrische oder hebräische Schrift erlernt hatte, und [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]]. Beide gehörten sie dem chazradschitischen Clan der Banū n-Naddschār an, in deren Viertel sich Muhammad niedergelassen hatte. Wie für einen arabischen Stammesfürsten seiner Zeit üblich, hatte Muhammad eine ganze Anzahl von Frauen nebeneinander. Viele dieser Ehen dienten vor allem politischen Zwecken. Mit ihnen wollte er zum Beispiel wichtige Anhänger enger an sich binden oder die Freundschaft des tribalen Verbands der Ehefrau gewinnen. Allerdings gab es andere Ehen, die er rein aus Zuneigung geschlossen haben soll. Dies gilt zum Beispiel für seine Ehe mit [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]]. Sie war ursprünglich die Gattin von Muhammads Adoptivsohn Zaid ibn Hāritha gewesen. Es wird berichtet, dass Muhammad, als er einmal mit Zaid sprechen wollte, diesen nicht zu Hause antraf, sondern nur Zainab, die gerade leicht bekleidet war, und daraufhin in heißer Liebe zu ihr entbrannte. Zainab berichtete Zaid von dem Besuch und den Andeutungen, die Muhammad beim Weggehen gemacht hatte. Zaid verstand diese Andeutungen und trennte sich von Zainab, um sie ihm zu überlassen. Muhammads Plan, Zainab zu heiraten, löste allerdings in der Gesellschaft von Medina Empörung aus, da die Ehe mit der früheren Ehefrau des eigenen Sohns, auch wenn er nur ein „Nennsohn“ (''daʿī'') war, als inzestuös betrachtet wurde. Muhammad setzte sich jedoch über diese Einwände hinweg und heiratete Zainab. Durch eine Offenbarung wurde diese Ehe nachträglich gerechtfertigt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/37 Q 33:37]) und als von Gott verhängtes Geschick ([[w:Qadar|Qadar]]) abgesegnet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/38 Q 33.38]). [[Datei:Mohamed peace be upon him.svg|mini|Eine [[w:Tasliya|Tasliya]] in kalligrafischer Ausführung]] Ein weiterer Fall ist [[w:Safīya bint Huyaiy|Safīya bint Huyaiy]]. Sie war die Tochter des Oberhaupts des jüdischen Clans der Banū n-Nadīr, der in Medina den Propheten bekämpft hatte und dann mit seinem Clan von dort vertrieben worden war. Nach dem Sieg über Chaibar war diese Safīya von den Muslimen gefangen genommen und bei der Beuteaufteilung einem anderen Kämpfer zugeteilt worden. Aufgrund ihrer Schönheit beanspruchte sie der Prophet aber für sich selbst. Unter der Bedingung, dass sie sich zum Islam bekehrte, kaufte er sie frei und nahm sie als reguläre Ehefrau. Die Eheschließung Muhammads mit Safīya war sehr konfliktgeladen, weil die anderen Gattinnen Muhammads auf die neue Nebenfrau eifersüchtig waren. Es wird angenommen, dass dies auch der Anlass für das seltsame Verbot war, das in [[w:Sure 33|Sure 33]] speziell für den Propheten ausgesprochen wird. Ihm wird dort verboten, weitere Frauen zu ehelichen, „auch wenn ihre Schönheit dir gefallen sollte“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/52 Q 33:52]). Neben seinen Ehefrauen besaß Muhammad noch verschiedene Sklavinnen, die ihm als Konkubinen dienten. Eine von ihnen, [[w:Māriya al-Qibtīya|Maria, die Koptin]], der Muhammad besonders zugetan war, löste in Muhammads Harem einen derart großen Eifersuchtskonflikt aus, dass Muhammad gelobte, sich zukünftig von ihr fernzuhalten. Dieses Versprechen nahm er aufgrund der Indiskretion einer seiner Ehefrauen allerdings später wieder zurück, ein Vorfall, auf den auch im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/66/vers/1 Q 66:1-5]) Bezug genommen wird. Wie sich an [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/32 Sure 33:32] ablesen lässt, wurden Muhammads Ehefrauen auch von anderen Männnern begehrt. Damit sie sich auf Avancen von dieser Seite nicht einließen, wurde ihnen eine hohe Strafe für Ehebruch angedroht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/30 Q 33:30]). Des Weiteren wurden sie aufgefordert, in ihrem Haus zu bleiben und sich nicht „nach Art der früheren [[w:Dschāhilīya|Dschāhilīya]]“ herauszuputzen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/33 Q 33:33]). Außerdem wurden sie durch einen Vorhang (''ḥiǧāb'') von anderen Männern abgeschirmt und für die Zeit nach Muhammads Tod mit einem ewigen Heiratsverbot belegt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/53 Q 33:53]). Anlass für diese Neuregelung soll Muhammads Hochzeit mit Zainab bint Dschahsch im Frühjahr 627 gewesen sein, bei der sich der Prophet durch Männer belästigt fühlte, die offenbar ohne Erlaubnis sein Haus betreten und mit seinen Frauen Kontakt aufgenommen hatten. Der Allgemeinheit der Gläubigen wurde um diese Zeit auferlegt, für den Propheten einen speziellen Segenswunsch zu sprechen, sobald er erwähnt wird ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/56 Q 33:56]). Dadurch erhielt seine Person immer mehr einen sakrosankten Charakter. Der [[w:Tasliya|Tasliya]]-Segenswunsch bei Muhammads Erwähnung gilt bis heute im Islam als Pflicht. === 3.2.6. Reformen der Rechts- und Geschlechterordnung === Muhammad erfüllte, wie oben ([[#3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“|3.2.1.]]) beschrieben, in Medina eine richterliche Funktion und entsprach damit in etwa dem Typ des altarabischen ''ḥakam''. Bei vielen Streitigkeiten, die vor ihn gebracht wurden, fällte er sein Urteil wahrscheinlich aufgrund früherer Rechtssetzung ([[w:Sunna|Sunna]]). Dort, wo sich das vorhandene System allerdings als unzulänglich erwies, lieferte er mit dem Koran neue Bestimmungen und Vorschriften. Die ersten Regelungen, die Muhammad nach der Hidschra traf, sind in [[w:al-Baqara|Sure 2]] festgehalten. Hier wird das altarabische [[w:Qisās|Qisās]]-System bestätigt, allerdings die Empfehlung ausgesprochen, die Wiedervergeltung durch Wergeld ([[w:Diya (Islam)|Diya]]) zu regeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/178 Q 2:178f]). Daneben wird Zinswucher ([[w:Ribā|Ribā]]) verboten (vgl. u.a. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/275 Q 2:275]). Auch der Bereich der Ehe wurde neu geordnet. Muhammad gab den Männern die Möglichkeit, ihre Frauen [[w:Talāq|zu verstoßen]], verbot ihnen aber für diesen Fall, etwas von ihrem Vermögen einzubehalten. Die Frau konnte selbst auch die Auflösung der Ehe verlangen, musste sich dann aber durch Rückgabe der [[w:Brautgabe|Brautgabe]] oder eines Teils davon loskaufen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/229 Q 2:229]). Diese Form des Selbstloskaufs der Ehefrau, die bis heute existiert, wird im islamischen Recht [[w:Chulʿ|Chulʿ]] genannt. Nach Verstoßung seiner Frau kann der Mann diese erst dann wieder heiraten, wenn sie zwischenzeitlich einen anderen Mann geheiratet hat ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/230 Q 2:230]). Außerdem wurde die Vorschrift eingeführt, dass die Frau zwischen ihren Ehen eine drei- bzw. viermonatige Wartezeit (''ʿidda'') einhalten muss ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/228 Q 2:228], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/234 2:234]). Auf diese Weise sollte die leibliche [[w:Vaterschaft|Vaterschaft]] sichergestellt werden. Eine weitere Regelung, die in diese Richtung zielt, ist das Verbot der [[w:Adoption|Adoption]] ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/4 Q 33:4f]), das wahrscheinlich im Zusammenhang mit Eheschließung mit Zainab eingeführt wurde. Des Weiteren führte Muhammad verschiedene strafrechtliche Regeln ein. So wurde bestimmt, dass männlichen und weiblichen Dieben „als Vergeltung für das, was sie begangen haben, und als Warnung vor Gott“ die Hand abgeschnitten werden sollte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/38 Q 5:38]). Verschiedene Überlieferungen verlegen auch das in [[w:Sure 5|Sure 5]] ausgesprochene allgemeine Weinverbot, das für den Islam [[w:Alkoholverbot im Islam|kennzeichnend]] geworden ist, in diese Zeit. An der Stelle selbst ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/90 Q 5:90f]) wird das Verbot damit begründet, dass der Weingenuss genauso wie das Losspiel Feindschaft und Hass zwischen den Anhängern Muhammads säe und sie vom Gebet abhalte. Die Berichte zum Anlass der Verhängung dieses Verbots erklären, dass zuvor Streitereien unter betrunkenen Prophetengefährten vorgefallen waren, bei denen einzelne von ihnen sogar schwer verletzt worden waren. Nach Uhud führte Muhammad im Bereich der Geschlechter- und Eheregeln weitere wichtige Änderungen und Reformen durch, die hauptsächlich in [[w:an-Nisāʾ|Sure 4]] festgehalten sind. Den männlichen Muslimen wurde erlaubt, bis zu vier Frauen gleichzeitig zu heiraten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/3 Q 4:3]), ihnen andererseits auferlegt, das Brautgeld den Ehefrauen selbst zu übergeben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/4 Q 4:4]). Darüber hinaus legte der Koran genaue Erbschaftsregelungen fest, die auch weibliche Verwandte und Witwen berücksichtigten, Frauen allerdings immer nur die Hälfte dessen zugestanden, das Männer desselben Verwandtschaftsgrades erhielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/7 Q 4:7-14]). Ehefrauen gehörten fortan nicht mehr zum Erbgut des Verstorbenen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/19 Q 4:19]) und durften auch nicht mehr von dessen Söhnen geheiratet werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/23 Q 4:23]). In Anbetracht ihrer Unterhaltspflicht gegenüber den Frauen wurde den Männern erlaubt, diese im Falle der Aufsässigkeit zu züchtigen ([[w:Sure 4:34|Q 4:34]]). Besuchsehen (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.2._Geschlechterverhältnisse|1.3.2.]]) wurden weiter zugelassen, allerdings daran gebunden, dass der Mann die Frau entlohnte und die Frau keine Beziehungen zu mehreren Männern gleichzeitig unterhielt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Q 4:24f]). Damit wurde die altarabische Institution der [[w:Polyandrie|Polyandrie]], die Ehe einer Frau mit mehreren Männern, verboten. Frauen, denen durch vier Zeugen sexuelles Fehlverhalten nachgewiesen werden konnte, sollten lebenslang unter Arrest gestellt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/15 Q 4:15]). Muhammads Haltung zum Institut der zeitlich begrenzten Besuchsehe scheint allerdings nicht ganz eindeutig gewesen zu sein. In verschiedenen islamischen Quellen wird überliefert, dass er solche Verhältnisse anlässlich der [[w:Chaibar_(Feldzug)|Schlacht von Chaibar]] verboten, später aber wieder erlaubt habe. Insgesamt lässt die neue Eheordnung den Willen erkennen, einen Ausgleich zwischen den beiden im alten Arabien existierenden Ehesystemen (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]) zu schaffen. {{Anker|Halskettenskandal}} Ein Skandal um Muhammads junge Ehefrau [[w:Aischa bint Abi Bakr|ʿĀ'ischa]] führte zu einer Verschärfung des Sexualstrafrechts. Hintergrund war ein Vorfall auf einem Feldzug im Januar 627. Es wird erzählt, dass sich ʿĀ'ischa auf dem Rückweg von diesem Feldzug nach Medina auf der Suche nach einer verlorenen Halskette vom Rastplatz entfernte, bei ihrer Rückkehr das Lager abgebrochen fand und am nächsten Tag von einem jungen Mann namens Safwān ibn al-Muʿattal zurückgebracht wurde. Der durch diesen Vorfall hervorgerufene Skandal spaltete die Gemeinschaft, weil einige prominente Muslime ʿĀʾischa öffentlich der Untreue beschuldigten. Muhammad schickte ʿĀʾischa zunächst in ihr Elternhaus zurück und erwog wohl ihre Verstoßung, überzeugte sich dann aber durch eine Eingebung ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/11 Q 24:11-20]) von der Grundlosigkeit dieser Verdächtigung und nahm sie wieder zu sich auf. Im Zusammenhang mit diesem Vorfall wurde die Regel eingeführt, dass diejenigen, die ehrbare Frauen in Verruf bringen, ohne vier Zeugen beizubringen, 80 Peitschenhiebe erhalten sollten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/4 Q 24:4]). Auf [[w:Zinā|außerehelichen Geschlechtsverkehr]] wurden als neue Strafe nun 100 Peitschenhiebe eingeführt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2]). In zwei anderen Versen derselben Sure werden die gläubigen Männer und Frauen dazu angehalten, ihre Blicke zu senken und ihre Scham zu bewahren. Frauen werden zusätzlich angewiesen, sich in Anwesenheit von heiratbaren Männern ihren Schal um den Ausschnitt zu schlagen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/30 Q 24:30-31]) und sich in der Öffentlichkeit zu verhüllen, damit sie nicht belästigt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/59 Q 33:59]). Dieses Verhüllungsgebot wurde später zu einem festen Bestandteil der traditionellen islamischen Geschlechterordnung. Allerdings wurden Frauen zur Zeit Muhammads nicht auf den häuslichen Bereich beschränkt. Von mehreren (z.B. [[w:Rufaida al-Aslamīya|Rufaida]] und [[w:Umm Sinān al-Aslamīya|Umm Sinān]]) wird berichtet, dass sie die Männer bei Kriegszügen begleiteten und die Versorgung von Verwundeten und Kranken übernahmen. == 3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus == === 3.3.1. Die Anfänge der Moschee und die Weiterentwicklung der Salāt === [[Bild:Oldquba.jpg|mini|Die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] zu Anfang des 20. Jahrhunderts]] Als Muhammad nach der Hidschra im September 622 in der Oase von Yathrib ankam, wohnte er die ersten Tage in Qubā', einem südlichen Vorort von Yathrib. Für die [[w:Salāt|Salāt]] nutzte er einen Masdschid, den Anhänger von ihm dort angelegt hatten. ''Masdschid'' hängt mit dem Wort [[w:Sudschūd|Sudschūd]] zusammen und bedeutet soviel wie „Ort der Prosternation“ (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). Es ist der gleiche Begriff, der auch für das Heiligtum in Mekka verwendet wurde, das für die Muslime nun nicht mehr erreichbar war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/34 Q 8:34]). Von ''Masdschid'' leitet sich auch das deutsche Wort „Moschee“ ab, das wahrscheinlich über das spanische ''mezquita'' und das italienische ''moschea'' aus dem Arabischen entlehnt wurde. Aufgrund ihrer besonderen Rolle in der islamischen Geschichte gilt die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] den Muslimen als besonders heilig. Sie soll auch mit dem im Koran genannten „Masdschid, der vom ersten Tag auf Gottesfurcht gegründet war“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/108 Q 9:108]) identisch sein. Bis heute wird sie bei der Wallfahrt von Scharen muslimischer Pilger zum Gebet aufgesucht. Neben dem Masdschid von Qubā' bestanden in Yathrib noch verschiedene andere private Gebetsplätze. Muhammad fasste nach kurzer Zeit den Entschluss, ebenfalls einen Masdschid zu errichten. Er wählte dafür einen Ort im Viertel der Banū n-Naddschār aus, in dem er Aufnahme gefunden hatte. Zusammen mit seinen Anhängern errichtete er dort einen Hof von etwa 35 x 30 m, der mit einer Ziegelmauer eingefasst war. Muhammad selbst schlief in einer der Kammern an der Außenmauer. Der Bau war also auch gewissermaßen Muhammads Haus. An der nördlichen Seite, wo zunächst gebetet wurde, schützte ein Schattendach (''ṣuffa'') aus Palmblättern und Lehm die Betenden vor der Sonne. Nach der Verlegung der Gebetsrichtung nach Mekka (siehe unten) nutzten mittellose Muhādschirūn und solche, die in Yathrib keine Unterkunft hatten, den Platz als Zufluchtsort und übernachteten hier. Aufgrund ihrer Armut und besonderen Nähe zum Propheten gelten diese „Leute des Schattendachs“ ([[w:Ahl as-Suffa|Ahl as-Suffa]]) bis heute vielen Muslimen als religiöses Vorbild. Die Moschee Muhammads entwickelte sich im Laufe der Zeit zum Zentrum des Gemeindelebens seiner Anhänger. Die Gebete wurden durch einen öffentlichen Ruf, [[w:Adhān|Adhān]] genannt, angekündigt. Als ersten Gebetsrufer (''muʾaḏḏin'', davon abgeleitet das deutsche Wort [[w:Muezzin|Muezzin]]) soll Muhammad den Äthiopier [[w:Bilāl ibn Rabāh|Bilāl ibn Rabāh]] eingesetzt haben, der deswegen gewissermaßen als Vorbild aller späteren Muezzine gilt. Man versammelte sich in Muhammads Moschee allerdings nicht nur zum Gebet, sondern hielt auch Beratungen ab, empfing Gesandtschaften und pflegte Verwundete. In den angrenzenden Räumlichkeiten wurden die Ehefrauen Muhammads untergebracht. Auf Grundlage des enormen ökonomischen Zugewinns, den die Gemeinschaft der Muslime nach der Schlacht von Chaibar erlebte, konnte der Bau 628 auf etwa 50 x 50 m erweitert werden. Auch im Gebetsritus erfolgten in den Jahren nach der Hidschra einige Änderungen. Parallel zur Einführung eines dritten Tagesgebets (vgl. oben [[#3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden|3.2.2.]]) wurde die Pflicht zur Abhaltung der Vigilien gelockert ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/73/vers/20 Q 73:20]). Nach dem Zerwürfnis mit den jüdischen Stämmen löste sich Muhammad von der Gebetsrichtung ([[w:Qibla|Qibla]]) nach Jerusalem, und es begann ein Prozess der schrittweisen Umorientierung. Zunächst wurde betont, wie gleichgültig es ist, nach welcher Richtung man betet, weil Gott überall ist ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/115 Q 2:115]). Schließlich wurde als neue Qibla die „Heilige Kultstätte“ ([[w:al-Masdschid al-Harām|al-Masdschid al-Harām]]) in Mekka festgelegt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/144 Q 2:144]), wobei offensichtlich die frühere Gebetsrichtung noch als gleichberechtigt anerkannt wurde (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/148 Q 2:148]). In der Mitte von Muhammads medinischer Periode wurden außerdem einige Bestimmungen für den Zustand erlassen, in dem sich die Gläubigen befinden mussten, wenn sie sich dem Gebet näherten: Wenn sie unrein (''ǧunub'') waren, sollten sie vorher eine Waschung vornehmen, und wenn sie vom Abort kamen oder eine Frau berührt hatten, sich vorher mit Wasser oder ersatzweise Erde über Gesicht und Hände streichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/43 Q 4:43]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/6 5:6]). Etwa um die gleiche Zeit wurde die Salāt für alle Muslime zu einer obligatorischen Pflicht. Das geht aus koranischen Passagen dieser Periode hervor, die beschreiben, dass die Munāfiqūn nur widerwillig an diesem Ritual teilnahmen (vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/142 Q 4:142]). === 3.3.2. Ramadān-Fasten und Festgebet === Eines der größten [[w:Jamim_Noraim|Feste im Judentum]] ist das Fasten am [[w:Jom Kippur|Jom Kippur]], dem zehnten Tag des Monats [[w:Tischri|Tischri]]. Die Juden in Yathrib nannten diesen Tag wegen seiner Stellung im Monat einfach den Zehnten ([[w:Aschura|ʿĀschūrā']]), so wie er auch im Alten Testament (Lev 16:29) genannt wird. Als sich nach Muhammads Ankunft in Yathrib zum ersten Mal der zehnte Tag des Tischri näherte, befahl er seinen Anhängern, zusammen mit den Juden an diesem Tag zu fasten. Der Koran legt davon noch Zeugnis ab: „Ihr Gläubigen! Euch ist vorgeschrieben worden zu fasten, so wie es auch denjenigen, die vor euch lebten, vorgeschrieben worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/183 Q 2:183]). Die Juden fasteten an diesem Tag von einem Abend zum nächsten, und auch die Muslime übernahmen diese Gewohnheit. Im Zuge seiner Abwendung von den Juden im Jahre 624 löste sich Muhammad aber auch von den jüdischen Fastenvorschriften und führte das dreißigtägige Tagesfasten im Monat [[w:Ramadan|Ramadān]] ein. Der Ramadān hatte spätestens seit der Schlacht von Badr, die in diesem Monat stattgefunden hatte, eine besondere Bedeutung bei den Muslimen. Er galt nun auch als Monat der Herabsendung des Korans (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/185 Q 2:185]) und wurde mit einem speziellen Fastenritus geehrt, der das frühere ʿĀschūrā'-Fasten ablöste. Die ersten Regelungen für das Ramadānfasten finden sich in den beiden Koranversen 2:185 und [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]. Diese beiden Verse liefern die Grundlage für die ausführlichen Fastenvorschriften, die die muslimischen Rechtsgelehrten in späterer Zeit ausarbeiteten. Zum Fasten gehörte neben dem Verzicht auf Speisen und Getränke auch die Enthaltung vom Geschlechtsverkehr. Geschlechtsverkehr in den Nächten des Ramadān wurde dagegen ausdrücklich erlaubt, mit der Begründung, dass Mann und Frau einander wie Kleider seien. Nur für die Zeit des [[w:Iʿtikāf|Iʿtikāf]], eine besondere Andachtszeit am Ende des Ramadāns, wurde das nächtliche Sexualverbot aufrechterhalten (Q [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]). Die letzten Ramadān-Nächte hatten schon früh eine Sonderstellung im religiösen Leben der Muslime, weil die Auffassung bestand, dass der Koran in einer dieser Nächte herabgesandt worden war. Diese Nacht der Herabsendung des Korans wird entsprechend [[w:Sure 97|Sure 97]] als [[w:Lailat al-Qadr|Lailat al-Qadr]] („Nacht der Vorsehung“) bezeichnet und gilt als besonders heilige Zeit. [[Datei:Eid Gaah Mahoba - panoramio - Dr. Nizam.jpg|mini|ʿĪdgāh in [[w:Mahoba|Mahoba]], Indien]] Eingeführt wurde in dieser Zeit auch ein [[w:Fest des Fastenbrechens|Fest des Fastenbrechens]] (''ʿīd al-fiṭr'') am Anfang des nachfolgenden Monats [[w:Schawwāl|Schauwāl]]. Bei dieser Gelegenheit, so wird überliefert, begab sich Muhammad mit den Gläubigen in einem prozessionsartigen Zug zu einem Platz außerhalb der Stadt, wobei ihnen Bilāl mit einer Lanze (''ʿanaza'') – ursprünglich ein Geschenk des äthiopischen [[w:Negus|Negus]] – vorauslief. Während des Gebetes wurde dann die Lanze als Markierung für die Qibla an einer Stelle in den Boden gesteckt. An diesem Gebetsplatz ([[w:Musallā|Musallā]]) fanden jetzt auch die Regengebete und das Gebet zum [[w:Islamisches Opferfest|Opferfest]] (''ʿīd al-aḍḥā'') am 10. [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] statt. Das Opferfest wurde zu dieser Zeit wahrscheinlich neu eingeführt und knüpfte an die Opferzeremonien an, die beim [[w:Haddsch|Haddsch]] an diesem Tag in [[w:Minā|Minā]] vollzogen wurden (siehe oben [[Bamberger_Einführung_in_die_Geschichte_des_Islams_(BEGI)_01#1.3.3._Das_altarabische_Heidentum_und_die_Heiligtümer_von_Mekka|1.3.3.]]). Üblicherweise hielt der Prophet nach Abschluss dieser Gebete eine Ansprache ([[w:Chutba|Chutba]]), in der er die Gläubigen dazu aufforderte, sich an gemeinsamen (kriegerischen) Unternehmungen zu beteiligen. Bis heute hat sich das vormittägliche Festgebet als Sonderritus erhalten. Auch ist es in vielen islamischen Ländern bis heute üblich, Festgebete und Regengebete an einem speziellen Festplatz ([[w:ʿĪdgāh|ʿĪdgāh]]) außerhalb der Stadt zu vollziehen. == 3.4. Weiterführende Literatur == * Andreas Görke: “Between History and Exegesis: The Origins and Transformation of the Story of Muḥammad and Zaynab Bt Ǧaḥš” in ''Arabica'' 65/1-2 (2018) 31–63. * [[w:Meir Jacob Kister|Meir Jacob Kister]]: “The Market of the Prophet”. In: ''Journal of the Economic and Social History of the Orient''. 8 (1965) 272–276. [http://www.kister.huji.ac.il/content/market-prophet Digitalisat] * Michael Lecker: ''The 'Constitution of Medina'. Muḥammad’s First Legal Document''. Darwin Press, Princeton NJ 2004. [https://archive.org/details/the-constitution-of-medina-muhammads-first-legal-document-by-micheal-lecker-2004/page/n1/mode/2up Digitalisat] * Michael Lecker: ''Muslims, Jews and Pagans. Studies on early Islamic Medina.'' Leiden: Brill 1995. * David S. Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men. The making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Hannah Rahman: "The Conflicts Between the Prophet and the Opposition in Madina" in ''Der Islam'' 62/2 (1985) 260-297. [https://doi.org/10.1515/islm.1985.62.2.260 Digitalisat] * Uri Rubin: “The Assassination of Kaʿb b. al-Ashraf”, in ''Oriens'' 32 (1990) 65–71. * Richard B. Serjeant: The Sunna Jāmiʿah, „Pacts with the Yathrib Jews, and the Taḥrīm of Yathrib. Analysis and Translation of the Documents Comprised in the So-Called ‘Constitution of Medina’“ in ''Bulletin of the School of Oriental and African Studies'' 41 (1978) 1–42. * [[w:William Montgomery Watt|William Montgomery Watt]]: ''Muhammad at Medina.'' Oxford: Oxford University Press 1956. [https://archive.org/details/muhammadatmedina029655mbp/page/n9/mode/2up Digitalisat] * William Montgomery Watt: ''Muḥammad: Prophet and Statesman''. London: Oxford University Press 1961. * [[w:Julius Wellhausen|Julius Wellhausen]]: ''Mohammeds Gemeindeordnung von Medina. Skizzen und Vorarbeiten''. Bd. IV. Reimer, Berlin, 1889. S. 65–83. [http://archive.org/stream/medinavordemisl00sagoog#page/n74/mode/2up Digitalisat] == 3.5. Aufgaben/Fragen == 1. Wie ist das Konzept des Dschihad entstanden? 2. Was beinhaltete der Vertrag von Hudaibiya und inwiefern stellte er einen Triumph für Muhammad dar? 3. Welche Regeln beinhaltete die Gemeindeordnung von Medina? 4. Ab dem Ende der mekkanischen Zeit näherte sich Muhammad dem Judentum an. Wie äußerte sich das auf religiöser Ebene? 5. Geben Sie einen Überblick über die militärische Auseinandersetzung Muhammads mit den Juden von Medina und Umgebung. 6. Muhammad erlebte während seiner Zeit in Medina einen allmählichen Machtzuwachs. Worin zeigte sich dieser? 7. Nennen Sie das Geschlechterverhältnis betreffende Regeln, die während der Zeit in Medina eingeführt wurden. 8. Erklären Sie, wie der Ramadān zum heiligen Monat der Muslime geworden ist und welche Vorstellungen und Praktiken mit ihm verbunden sind. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} 2b7iihu1pxq86h578bvtrmxs0o9a170 1117891 1117890 2026-10-27T12:47:36Z PaFra 14559 /* 3.1.1. Die Provokation der Quraisch */ 1117891 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02|2 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 04|>>> 4]] {{TOC nonum}} = 3. Der Prophet von Yathrib und das neue Gemeinwesen (622-630) = Das Zentrum der neuen Religion verlagert sich in die Oase Yathrib, kriegerisches Handeln steht im Vordergrund. Muhammad und seine Anhänger kämpfen gegen das heidnische Mekka und geraten immer mehr in einen Konflikt mit den Juden von Yathrib, die schließlich aus der Oase vertrieben werden. Als Anführer des neuen Gemeinwesens führt Muhammad verschiedene rechtliche, soziale und kultische Reformen durch. == 3.1. Maghāzī – Die Kriegszüge Muhammads == === 3.1.1. Die Provokation der Quraisch === Die arabischen Quellen berichten übereinstimmend, dass Muhammad nach seiner Auswanderung aus Mekka am 24. September 622 die Oase von Yathrib erreichte. Da er aus Mekka vertrieben worden war, sah er es als gerechtfertigt an, gegen seine frühere Heimatstadt zu kämpfen. Das geht deutlich aus zwei Koranversen hervor, die nach allgemeiner Auffassung als älteste Offenbarung zum Thema des Kampfes gelten: {{Zitat|Denen, die kämpfen, ist das erlaubt, weil ihnen Unrecht angetan – siehe, Gott hat zu helfen ihnen die Macht! – Weil sie vertrieben wurden aus ihrer Heimat ohne Recht, nur weil sie sagten: Unser Herr ist Gott.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/39 Q 22:39f]}} Der Krieg mit Mekka, den Muhammad von seiner neuen Basis Yathrib aus führte, begann mit kleinen Nadelstichen. Nach der Chronologie [[w:al-Wāqidī|al-Wāqidīs]], der im frühen 9. Jahrhundert ein Werk über die Kriegszüge ([[w:Maghāzī|Maghāzī]]) Muhammads verfasste, schickte dieser schon sieben Monate nach seiner Ankunft seinen Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] mit einer Gruppe von Kriegern aus, um an der Küste eine aus Syrien heimkehrende mekkanische Handelskarawane unter Führung [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahls]] abzufangen, doch kam es zu keiner Kampfhandlung, weil ein Mann aus dem Stamm der [[w:Qudāʿa|Dschuhaina]], der mit beiden Seiten verbündet war, dazwischentrat. Bei einer zweiten Unternehmung im April 623 wurde „der erste Pfeil im Islam“ abgeschossen. Der Kampf gegen die Mekkaner setzte sich bald auch über altarabische religiöse Normen hinweg, wie das Friedensgebot in den heiligen Monaten (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). So überfiel ein von Muhammad beauftragtes Kommando im heiligen Monat [[w:Radschab|Radschab]] bei [[w:Nakhla_(Saudi-Arabien)|Nachla]] südlich von Mekka eine mekkanische Karawane. Das war nach der Überlieferung Anlass für die folgende Offenbarung: {{Zitat|Sie fragen dich nach dem heiligen Monat, ob Kampf in ihm erlaubt sei. Sprich: Kampf in ihm wiegt schwer, aber jemanden abzuhalten vom Wege Gottes, darin liegt Unglaube. Und sie vom heiligen Gebetsplatz abzuhalten, und dessen Volk daraus zu vertreiben, – das wiegt schwerer vor Gott. Und Verführung (zum Abfall vom Islam) wiegt schwerer als Töten. Sie werden nicht aufhören, euch zu bekriegen, bis sie euch von eurer Religion abbringen, wenn sie können.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/217 Q 2:217]}} Aus dem Koranwort geht hervor, dass das Weiterbestehen der alten Religion in Mekka für die Anhänger Muhammads eine ständige Versuchung war, von ihrem Glauben abzufallen. Da vielen von ihnen der militärische Kampf (''qitāl'') offenbar zuwider war, wurde er nun zur Pflicht erklärt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/216 Q 2:216]) und durch die Bezeichnung ''ǧihād fī sabīl Allāh'' („Bemühung [[w:Fī sabīli Llāh|für die Sache Gottes]]“, so schon im folgenden Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/218 Q 2:218]), auf eine religiöse Ebene gehoben. In der Form [[w:Dschihad|Dschihad]] hat dieser Begriff auch Eingang ins Deutsche gefunden. [[File:Balami - Tarikhnama - The Battle of Badr - The death of Abu Jahl, and the casting of the Meccan dead into dry wells (cropped).jpg|mini|Bildliche Darstellung der [[w:Schlacht von Badr|Schlacht von Badr]] in einer persischen Handschrift, frühes 14. Jahrhundert]] Die erste große Konfrontation zwischen Mekkanern und den Anhängern Muhammads ergab sich im März 624 bei dem Ort [[w:Badr_(Saudi-Arabien)|Badr]] ca. 130 km südwestlich von Yathrib. Muhammad hatte Informationen erhalten, dass eine reiche mekkanische Karawane aus Syrien zurückkehrte. Mit 300 Mann, unter denen sich auch Angehörige des mit den [[w:Aus (Stamm)|Aus]] verbündeten Stammes [[w:Muzaina|Muzaina]] befanden, zog er nach dem an der Küstenstraße liegenden Badr, um die Karawane abzufangen. Es kam zu einer Schlacht zwischen Muhammads Männern und einer etwa 950 Mann starken Armee der Mekkaner, die der Karawane zur Hilfe geeilt war und von Muhammads erbittertem Gegner [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahl]] befehligt wurde. Muhammads Lager siegte überraschend. Die Mekkaner verloren zwischen 45 und 70 Mann, und eine ähnliche Anzahl von ihnen wurde gefangengenommen. Zu den gefallenen Mekkanern gehörten mehrere ihrer führenden Persönlichkeiten, darunter auch Abū Dschahl. Die Anhänger Muhammads hatten dagegen nur 14 Gefallene zu beklagen und machten große Beute. Nach der Schlacht ließ Muhammad einige der Gefangenen enthaupten, darunter seinen früheren Gegner [[w:an-Nadr ibn al-Hārith|an-Nadr ibn al-Hārith]]. Der [[w:Schlacht von Badr|Sieg bei Badr]] war sowohl in militärischer als auch in religiöser Hinsicht von größter Bedeutung für die Anhänger Muhammads. Offenbar hatten aber nicht alle von ihnen an diesem Sieg mitgewirkt. Das geht aus Versen hervor, die aus der Zeit nach Badr stammen und klarstellen, dass diejenigen unter den Gläubigen, die ohne Entschuldigung zu Hause „sitzenbleiben“ bei Gott nicht auf der gleichen Stufe stehen wie die Mudschāhidūn, also diejenigen, die den Dschihad führen und dabei Vermögen und Leben aufs Spiel setzen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/95 Q 4:95f]). === 3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags === Für die Quraisch von Mekka war die Niederlage bei Badr ein harter Schlag. Sie hatten in dem Ruf gestanden, ein besonders mächtiger Stamm in Arabien zu sein, und in gewissem Maße stützte sich auch der Erfolg ihrer Geschäfte auf diese Reputation, denn bei ihrem Handel waren sie auf die Zusammenarbeit mit vielen anderen Stämmen angewiesen, und von einigen von ihnen war nun Aufsässigkeit zu erwarten. Deshalb war es für die Quraisch von essentieller Bedeutung, zu beweisen, dass sie noch die Kraft hatten, für erlittenes Unrecht Rache zu nehmen. Zehn Wochen nach Badr unternahm [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]], der nach der Schlacht von Badr die Führung von Mekka übernommen hatte, einen Blitzüberfall auf Yathrib, zog sich aber, nachdem er zwei Häuser in Brand gesteckt hatte, rasch zurück. [[File:The Prophet Muhammad and the Muslim Army at the Battle of Uhud, from the Siyer-i Nebi, 1595.jpg|mini|Darstellung der Schlacht von Uhud in einem [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i Nebi]] von 1594, heute David Collection, Kopenhagen]] In den Monaten danach gelang es Abū Sufyān, 3000 gut ausgerüstete Krieger zu rekrutieren. Im März 625 rückte er mit diesen nach Yathrib vor und drang von der Nordwestecke in die Oase ein. Beim Berg Uhud kam es zu einem Kampf, der lange hin und her wogte. Als sich das Kriegsglück zu Gunsten der Anhänger Muhammads zu wenden begann, fingen diese an, die Beute einzusammeln. Das veranlasste eine Gruppe von Muhammads Bogenschützen, ihren Platz zu verlassen, um sich ebenfalls der Beute zuzuwenden. Auf der Seite der Mekkaner nutzte diese Situation der prominente Kämpfer [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] aus, um Verwirrung in den Reihen von Muhammads Anhängern zu stiften und sie niederzuringen. Allerdings gelang es Muhammads Anhängern zum Schluss, wichtige Stellungen zurückzugewinnen, so dass die Mekkaner abziehen mussten, ohne sich ihres Widersachers Muhammad endgültig entledigt zu haben. Für die Anhänger Muhammads war die [[w:Schlacht von Uhud|Schlacht von Uhud]] dennoch eine herbe Enttäuschung, nicht nur deshalb, weil sie 50 bis 70 Mann verloren hatten, Muhammads Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] gefallen und Muhammad selbst verwundet worden war, sondern auch deshalb, weil sie merkten, dass sie sich der Unterstützung Gottes doch nicht immer so sicher sein konnten, wie es ihnen nach dem Sieg von Badr schien. In verschiedenen Koranworten aus dieser Zeit wird bekräftigt, dass diejenigen, die „für die Sache Gottes“ getötet wurden, nicht wirklich tot sind, sondern weiter leben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/154 Q 2:154]), bei ihrem Herrn versorgt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/169 3:169]), ihnen die Sünden vergeben werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/157 3:157]) und sie direkt ins Paradies eingehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/195 3:195]). Der Konflikt zwischen Muhammad und den Mekkanern war mit der Schlacht von Uhud noch keineswegs beendet. Da Muhammad weiter den mekkanischen Handel störte und bei den arabischen Beduinen immer mehr Verbündete fand, sahen sich die Mekkaner genötigt, erneut gegen ihn vorzugehen. Dafür versuchten sie ihrerseits, eine Anzahl beduinischer Stämme auf ihre Seite zu ziehen. Diese Bündnisse zeigen, dass der Konflikt zwischen Mekka und Yathrib inzwischen das Umland der beiden Städte mit einschloss. Im Juli 625 massakrierten die [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]], ein mit den Quraisch verbündeter Stamm, bei Biʾr Maʿūna zwischen Mekka und Yathrib eine größere Anzahl von Muslimen. Muhammad soll daraufhin einen Monat lang die Banū Sulaim verflucht haben. In veränderter Form hat sich dieser Ritus bis heute im sogenannten [[w:Qunūt|Qunūt]] erhalten, einem Bittgebet, das beim Morgengebet oder beim nächtlichen Witr-Gebet gesprochen wird. Zu Beginn des Jahres 627 erschienen die Mekkaner und ihre Verbündeten mit einer Truppe von 10.000 Mann vor Yathrib. Dort hatte Muhammad allerdings um die weniger befestigten Stellen der Oasensiedlung einen Graben (''ḫandaq'') ausheben lassen, der so breit war, dass ein Pferd ihn nicht überspringen konnte. Diese Aktion kam für die Mekkaner offensichtlich so unerwartet, dass sie ihr kein geeignetes strategisches Mittel entgegensetzen konnten. Aus dem geplanten Angriff wurde so eine Belagerung. Aufgrund von Intrigen brach die Allianz der Mekkaner jedoch schon nach 14 Tagen zusammen, und die [[w:Grabenschlacht|Belagerung von Yathrib]] musste beendet werden. Die Mekkaner zogen schließlich ab, ohne etwas erreicht zu haben. === 3.1.3. Der militärische und politische Durchbruch === [[File:Dinar, Khusro II, 590, 591-628 AD, year 31 - Bode-Museum - DSC02737.JPG|mini|Der Sassanidenherrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] (reg. 590-628) auf einer Goldmünze, [[w:Bode-Museum|Bode-Museum]]]] Der Grabenkrieg war im Grunde genommen der letzte Defensivkrieg Muhammads. Hiernach begann die Offensivphase in seinem Leben, und gleichzeitig für das von ihm begründete Gemeinweisen die Zeit der Eroberungen. Zum Verständnis des folgenden militärischen Erfolgs von Muhammad ist es notwendig, sich die politische Situation im Vorderen Orient dieser Zeit zu vergegenwärtigen. Anfang des 7. Jahrhunderts hatte ein längerer Schlagabtausch zwischen dem [[w:Byzantinisches Reich|Byzantinischen Reich]] und den [[w:Sassanidenreich|Sassaniden]] begonnen. In den Jahren 603 bis 619 hatten zunächst die sassanidischen Truppen Syrien, Palästina und Ägypten erobert, 622 hatte der byzantinische Kaiser zum Gegenangriff ausgeholt. Es kam zu heftigen Auseinandersetzungen, bei denen die Sassaniden ebenfalls mehrere Niederlagen erlitten, und die 628 mit einem Friedensschluss endeten, der ihren Herrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] dazu verpflichtete, die eroberten Gebiete vollständig zurückzugeben. Hieraufhin wurde Chosrau von seinen Offizieren gestürzt, und es begannen im Sassanidenreich Thronwirren, die bis 633 andauerten und während derer das sassanidische Bündnissystem auf der arabischen Halbinsel zusammenbrach. Es war genau diese fünfjährige Periode des Machtvakuums, innerhalb derer Muhammad seinen neu gegründeten Staat zum militärischen und politischen Erfolg führte. Im Jahr nach der [[w:Grabenschlacht|Grabenschlacht]] unternahm er noch einige weitere kleinere Kriegszüge, von denen die beiden bedeutendsten derjenige gegen die Oase Dūmat al-Dschandal und derjenige gegen den westlich von Yathrib lebenden Stamm der Mustaliq waren. Im März 628 zog er dann mit einer Schar von Gläubigen nach Mekka, um eine [[w:ʿUmra|ʿUmra]] zu vollziehen. Die Mekkaner, die annahmen, dass er kriegerische Absichten hegte, sorgten allerdings dafür, dass er der Stadt nicht zu nahe kam. Von seinem Lager in al-Hudaibiya am Rande des [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]] nahm Muhammad Verhandlungen mit den Mekkanern auf, die mit einem Vertrag endeten. Er selbst musste in diesem Vertrag rein äußerlich einige Demütigungen hinnehmen, die zu Spannungen unter seinen Anhängern führten. So wurde er von dem mekkanischen Abgesandten nicht als „Muhammad, der Gesandte Gottes“ anerkannt, sondern nur als „Muhammad ibn ʿAbdallāh“. Bedeutender waren aber die getroffenen Vereinbarungen. Dazu gehörten ein zehnjähriger Waffenstillstand und das Versprechen der Mekkaner, Muhammad und seinen Anhängern im nächsten Jahr die Stadt für drei Tage zum Vollzug der ʿUmra zu überlassen. Umgekehrt verzichtete Muhammad für dieses Jahr auf die ʿUmra und zog sich mit seinen Männern nach Yathrib zurück. Der Vertrag von Hudaibiya war ein Triumph für den Propheten und seine Anhänger. Der Koran berichtet, dass Gott seine [[w:Sakīna|Sakīna]] in die Herzen der Gläubigen hinabsandte, so dass sie im Glauben zunahmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/4 Q 48:4], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/18 18]). Der Begriff ''sakīna'' geht eigentlich auf ein jüdisches Konzept, die [[w:Schechina|Schechina]], zurück, das die „Gegenwart“ Gottes bei seinem Volk bezeichnet. Hier bezeichnet er aber auch den psychischen Zustand der Gelassenheit und Ruhe. Nach dem Vertrag von Hudaibiya vollzogen mehrere Araber aus anderen Gebieten Arabiens, die sich schon früher Muhammad angeschlossen hatten, die [[w:Hidschra|Hidschra]], d.h. sie zogen nach Yathrib, um Muhammad militärisch zu unterstützen. Zu ihnen gehörten zum Beispiel auch die beiden Jemeniten [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]]. Im folgenden Jahr, im März 629, zog Muhammad dann mit etwa 2.000 Mann nach Mekka, um wie geplant die ʿUmra zu vollziehen. Bei dieser Gelegenheit heiratete er Maimūna, die Schwägerin seines Onkels [[w:al-ʿAbbās ibn ʿAbd al-Muttalib|ʿAbbās]], der zu dieser Zeit in Mekka die Führung der [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]] übernommen hatte. Immer mehr Mekkaner erkannten nun Muhammad als Propheten an und verließen die Stadt, um sich ihm anzuschließen, auch solche, die ihn kurz zuvor noch bekriegt hatten wie zum Beispiel der Kämpfer Chālid ibn al-Walīd, der bei der Schlacht von Uhud noch auf der gegnerischen Seite gestanden hatte (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]). Im Laufe des Jahres 629 ließ Muhammad noch einige weitere kriegerische Unternehmungen durchführen. So schickte er im September seinen ehemaligen Sklaven und Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] mit einer Armee nach Mu'ta auf dem Gebiet des heutigen Jordanien, östlich der Südspitze des Toten Meeres. Dann ergab sich eine Kette von Ereignissen, die letztlich zur friedlichen Kapitulation Mekkas führten. Muhammad heiratete Umm Habība, eine schon viele Jahre früher zum Islam übergetreten Tochter [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], deren muslimischer Ehemann gestorben war. Wenig später wurde ein Clan der [[w:Chuzāʿa|Chuzāʿa]], der in der Nähe von Mekka lebte und nach Hudaibiya einen Bund mit Muhammad geschlossen hatte, von einem Clan der [[w:Kināna|Kināna]], der mit den Mekkanern verbündet war, angegriffen. Der in Bedrängnis geratene Clan der Chuzāʿa wandte sich an Muhammad, der mit diesem Vorfall das Abkommen von Hudaibiya als gebrochen betrachtete. Zur Verhinderung einer militärischen Konfrontation reiste Abū Sufyan unter dem Vorwand, seine Tochter besuchen zu wollen, nach Yathrib und führte mit Muhammad Verhandlungen. Der genaue Hergang der nachfolgenden Ereignisse ist nicht klar, doch steht fest, dass es nach der Rückkehr Abū Sufyans nach Mekka zwischen ihm und Muhammad zum Austausch von Geschenken kam. In der Sache selbst war Muhammad allerdings zu keinen Zugeständnissen bereit. Er gab das Kommando zur Vorbereitung eines Feldzuges zur Einnahme von Mekka. Mit einer Armee von ca. 10.000 Mann, die neben seinen Anhängern aus Mekka und Yathrib auch Kämpfer von Stämmen der Umgebung wie den [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]] und [[w:Muzaina|Muzaina]] einschloss, zog er von Yathrib in Richtung Mekka. Abū Sufyān zog ihm entgegen und führte die Kontaktgespräche. Im Gegenzug für seine Konversion zum Islam erhielt er eine Sicherheitsgarantie für all diejenigen Bewohner Mekkas, die keinen bewaffneten Widerstand leisteten. Die weitreichenden Garantien führten dazu, dass Muhammads Armee bei ihrem von verschiedenen Seiten erfolgendem Einrücken im Januar 630 auf nur sehr geringen Widerstand stieß. In den arabischen Quellen wird die Einnahme Mekkas als ''fatḥ'', „Öffnung“ bezeichnet. Sie steht damit gewissermaßen archetypisch für alle späteren muslimischen Eroberungen ([[w:Futūh|Futūh]]) von Städten und Ländern, die die Muslime unter Muhammads Nachfolgern machten. Über sie wurden später eigene Texte und Werke zusammengestellt. == 3.2. Die interne Entwicklung der Gemeinschaft von Yathrib == === 3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“ === Die Anhängerschaft Muhammads bei seiner Ankunft in Yathrib setzte sich im Wesentlichen aus zwei Gruppen zusammen, den Angehörigen der Quraisch, die zusammen mit ihm die Hidschra aus Mekka vollzogen hatten, und den Clanen von [[w:Aus (Stamm)|Aus]] und [[w:Chazradsch|Chazradsch]], die diesen Auswanderern in Yathrib Aufnahme gewährt hatten. Um eine Gemeinschaft zwischen diesen beiden Gruppen herzustellen, war es dringend notwendig, ein Loyalitätsverhältnis zwischen ihnen zu begründen. Genau diesen Sachverhalt spricht ein Koranwort an, in dem es heißt: „Diejenigen, die den Glauben angenommen haben und ausgewandert sind und unter Einsatz ihres Vermögens und Lebens für die Sache Gottes gekämpft haben, und diejenigen, die Asyl und Hilfe gewährten, die sollen untereinander Freunde sein“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/72 Q 8:72]). Offensichtlich wurden sogar praktische Maßnahmen ergriffen, um dieses Ziel zu verwirklichen, denn es gibt Berichte, denen zufolge zwischen verschiedenen Angehörigen der beiden Gruppen eine „Verbrüderung“ (''muʾāḫāh'') hergestellt wurde. Die übliche Form dieser Verbrüderung sah so aus, dass dem betreffenden Auswanderer (''muhāǧir'') einer von den „Helfern“ (''anṣār'') zur Seite gestellt wurde und die beiden sich gegenseitig zu Brüdern erklärten. Wenn einer der beiden im Kampf fiel, beerbte ihn der andere. Der wichtigste Zweck der Verbrüderung war es, größeren Zusammenhalt im Kampf zu erreichen. Die Zweiteilung der Anhängerschaft Muhammads wurde allerdings auch durch diese Maßnahme nicht völlig überwunden. Vielmehr scheint sich der Gegensatz zwischen den mekkanischen „Auswanderern“ ([[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]]) und den „Helfern“ ([[w:Ansār|Ansār]]) aus Yathrib im Laufe der Zeit noch verfestigt zu haben, wie sich zwei Koranstellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/100 Q 9:100], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/117 117]) aus späterer Zeit entnehmen lässt, in denen die beiden Gruppen einander gegenübergestellt werden. Über die politischen Verhältnisse, die seit der Zeit von Muhammads Ankunft in Yathrib herrschten, gibt es ein historisches Dokument, das uns noch wesentlich genauer informiert als der Koran, nämlich die sogenannte [[w:Gemeindeordnung von Medina|Gemeindeordnung von Medina]]. In diesem Dokument, das bei [[w:Ibn Hischām|Ibn Hischām]] überliefert ist, erscheint auch zum ersten Mal die arabische Bezeichnung ''al-Madīna'' („die Stadt, der Gerichtsort“) für Yathrib. Sie wurde später als Name für diesen Ort allgemein üblich und erscheint auch in den letzten Suren des Korans (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/102 Q 9:102]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/8 63:8]). Was nun die politische Ordnung anlangt, so wird am Anfang des Dokuments festgestellt, dass es sich um „einen Vertrag Muhammads des Propheten zwischen den Gläubigen und Muslimen der Quraisch und von Yathrib und jenen, die ihnen folgen, ihnen verbunden sind und zusammen mit ihnen kämpfen“ (§ 1), handelt. Sie sollen „eine einzige Umma“ bilden, „die sich von anderen unterscheidet“ (§&nbsp;2). Der Begriff [[w:Umma|Umma]] wird im Koran noch an vielen anderen Stellen verwendet und bezeichnet dort verschiedene von Propheten angeführte Gemeinschaften. Die Umma von Medina war allerdings eher an tribalen Konzepten orientiert. Die neun wichtigsten Vertragsparteien waren die „Auswanderer der Quraisch“, die offensichtlich als ein einziger Clan verstanden wurden, und acht Clane aus Yathrib. Jede Gruppe, so heißt es, sollte ihre tribale Organisation beibehalten und für die Zahlung von [[w:Diya (Islam)|Blutgeld]] und Lösegeld unter ihren Angehörigen verantwortlich sein. Allerdings wurde diese Solidaritätspflicht auf die Gläubigen (''muʾminūn'') unter ihnen eingeschränkt. Der zweite Teil des Dokuments befasst sich mit den Beziehungen zu den jüdischen Stämmen von Yathrib und ihren beduinischen Verbündeten. Das Dokument zeigt, dass die Umma zu jener Zeit als etwas verstanden wurde, das Beziehungen zu Angehörigen anderer Religionen einschloss. Im Wesentlichen handelte es sich um einen Bündnisvertrag, der den traditionellen arabischen Rechtsvorstellungen entsprach. Dadurch, dass im ersten Teil die Solidaritätsverpflichtungen auf die „Gläubigen“ beschränkt wurden, kam jedoch eine religiöse Komponente ins Spiel. Muhammad selbst wurde in der Gemeindeordnung eine richterliche Funktion zugesprochen. So wurde festgelegt, dass diejenigen, die über eine Sache im Streit sind, diese vor Gott und Muhammad bringen sollten (§§ 26, 52). Am Ende des Dokuments wird erklärt, dass das Tal von Yathrib für alle Vertragspartner geheiligt (''ḥarām'') sei (§ 49), womit es wie Mekka den Status eines [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Heiligen Bezirks]] erhält. === 3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden === Muhammad hatte am Ende der mekkanischen Zeit dem Judentum äußerst positiv gegenübergestanden. Koranische Texte aus diesem Zeitabschnitt fordern dazu auf, nicht mit den „Leuten des Buches“ ([[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]]) – gemeint sind die Juden von Yathrib – zu disputieren, sondern die Gemeinsamkeiten zwischen den beiden offenbarten Religionen herauszustellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/29/vers/46 Q 29:46]). Der gute Kontakt mit den Juden in der frühen medinischen Zeit führte dazu, dass sich Muhammad und seine Anhänger noch stärker an die jüdischen Vorschriften annäherten. So wurde zu dieser Zeit nach jüdischem Vorbild ein drittes Tagesgebet eingeführt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/238 Q 2:238f]), und der Verzehr von Schweinefleisch und der Beischlaf während der [[w:Menstruation|Menstruation]] wurden verboten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/173 Q 2:173], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/222 222]). Ebenfalls in frühmedinischer Zeit wurde für Muhammad der Titel ''nabī'' gebräuchlich, der in der Bibel und in der jüdischen Tradition für Propheten verwendet wird. Möglicherweise wurde dieser Titel deswegen jetzt für Muhammad eingeführt, um die Juden von Yathrib dazu zu bewegen, seine religiöse Führerschaft anzuerkennen. Besonders interessant ist das Adjektiv ''ummī'', mit dem der Begriff ''nabī'' an der ersten Stelle, an der er vorkommt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/7/vers/157 Q 7:157f]), versehen ist. Wahrscheinlich handelt es sich um eine Ableitung des hebräischen Ausdrucks ''ummot ha-ʿolam'', mit dem im [[w:Talmud|Talmud]] die nicht-jüdischen Völker bezeichnet werden, in denen [[w:Gerechter unter den Völkern|Gerechte]] auftreten können. Die Bezugnahme auf diese heidenfreundliche Tradition war sehr wichtig, denn unter den Juden von Yathrib herrschte die Auffassung vor, dass es unter den Arabern keine Prophetie geben könne. Die Annäherung an das Judentum bedeutete allerdings nicht, dass Muhammad seine Religion darin aufgehen lassen wollte. Die Gemeindeordnung von Medina stellt ausdrücklich fest, „dass die Juden ihre Religion beibehalten und die Gläubigen die Ihrige.“ Eine gemeinsame religiöse Basis fand er im Monotheismus, wie sich dem folgenden Koranwort entnehmen lässt: {{Zitat|Sag: O Leute des Buches, kommt her zu einem Wort, das uns und euch gemeinsam ist. Ist es nicht so, dass wir Gott allein dienen, ihm nichts beigesellen und uns nicht untereinander anstelle Gottes zu Herren nehmen?|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/64 Q 3:64]}} Offenbar hegte Muhammad die Vorstellung, die Juden würden in seiner Botschaft schließlich ihre eigene Religion wiedererkennen. Das brachte ihn letztendlich auch zu der Erwartung, dass sie seinen religiösen Anspruch anerkennen müssten. An mehreren Stellen im Koran werden die [[w:Israeliten|Israeliten]] aufgefordert, an das, was ihm offenbart wurde, als Bestätigung ihrer Schrift zu glauben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/41 Q 2:41]) und ihn allgemein als Bestätiger der [[w:Tora|Tora]] zu verstehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/50 Q 3:50]). Es geschah wahrscheinlich auch im Rahmen der Auseinandersetzung mit den Juden von Medina, dass sich Muhammad zum ersten Mal auf den [[w:Erzengel|Erzengel]] [[w:Gabriel (Erzengel)|Gabriel]] als Vermittler der koranischen Offenbarung berief. Gabriel spielte schon in vorislamischer Zeit eine große Rolle in den jüdischen Überlieferungen über Abraham und Mose. In Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/97 2:97] wird ausgesagt, dass er es ist, der den Koran in Muhammads Herz hinabgesandt habe, „mit Erlaubnis Gottes, bestätigend, was vor ihm war, als rechte Leitung und als frohe Botschaft für die Gläubigen.“ Die Korankommentatoren erklären, dass diese Verse offenbart wurden, als die Juden von Medina Muhammad fragten, wer der Engel sei, der ihm die Offenbarungen brächte. Als er antwortete, dass dies Gabriel sei, der Freund eines jeden Propheten, sollen sie entgegnet haben, dass sie ihn dann nicht anerkennen könnten, weil ihr Freund der Engel [[w:Erzengel_Michael|Michael]] sei, Gabriel dagegen ihr Feind. In Sure 2:97-98 wird diese „Feindschaft“ zu Gabriel missbilligt. Koranstellen wie diese zeigen sehr deutlich, dass die Juden Medinas nicht bereit waren, Muhammad als Propheten in ihrer Tradition anzuerkennen. Andere Stellen erwähnen, dass es immer wieder zu Streitereien mit ihnen kam (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/139 Q 2:139]). Die historiographischen Quellen berichten, dass es damals in Medina nur einen einzigen namhaften Juden gab, der zum Islam übertrat: [[w:ʿAbdallāh ibn Salām|ʿAbdallāh ibn Salām]]. An seine Konversion knüpfen sich in der islamischen Tradition zahlreiche Legenden. Aus Enttäuschung darüber, dass ihn die Juden von Medina nicht unterstützen und ihm zunehmend feindlich gegenüberstanden, brach Muhammad nach der Badr-Schlacht mit dem Judentum. So forderte er die Juden auf, ihn nicht mehr als Schiedsrichter anzurufen, da sie sich nicht einmal an die Regeln ihrer Tora hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/43 Q 5:43-45]). Immer häufiger kam es nun auch zu verbalen Attacken gegen die Juden. So wird ihnen an verschiedenen Stellen Verstocktheit vorgeworfen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/87 Q 2:87-90]) und ihre strengen Speiseverbote werden damit begründet, dass die Juden sich in der Vergangenheit schwerer Sünden schuldig gemacht hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/160 Q 4:160]). An anderen Stellen werden sie beschuldigt, sie würden einen Teil ihrer Schriften zurückhalten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/11/vers/18 Q 11:18]). Schließlich gibt es vier Passagen, die besagen, die Juden hätten die Schriften absichtlich „entstellt“ oder „verdorben“ (so [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/75 Q 2:75-79], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/46 4:46], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/13 5:13], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/41 5:41]). Den verbalen Attacken folgten bald reelle Angriffe auf die Juden von Yathrib. Sie waren keine einheitliche Gemeinschaft, sondern gehörten drei verschiedenen Stämmen an, den [[w:Banū Qainuqāʿ|Banū Qainuqāʿ]], den [[w:Banū n-Nadīr|Banū n-Nadīr]] und den [[w:Banū Quraiza|Banū Quraiza]]. Der erste Angriff richtete sich gegen die Banū Qainuqāʿ, die in Yathrib einen eigenen Markt unterhielten. Als Anlass wird in der Überlieferung genannt, dass nach der Schlacht von Badr (624) auf ihrem Markt eine arabische Frau von einer Gruppe von Juden belästigt worden war. Ein Muslim, der die Begebenheit beobachtet hatte, tötete einen der Juden und wurde dann selbst umgebracht. Das war der Auslöser dafür, dass Muhammad die Banū Qainuqāʿ im April 624 in ihrem befestigten Stadtteil belagerte. Sie mussten ihre Habe zurücklassen und wanderten nach Adhriʿāt (dem heutigen [[w:Darʿā|Darʿā]] im [[w:Hauran|Hauran]], Syrien) aus. Die Vertreibung der Banū Qainuqāʿ hatte wahrscheinlich auch einen ökonomischen Hintergrund, denn Muhammad strebte in dieser Zeit danach, einen eigenen Markt aufzubauen, und der Markt der Qainuqāʿ war ihm dabei im Weg. [[File:Khaybar - deserted houses.jpg|mini|250px|Die Oase Chaibar heute]] Im August 625 ging Muhammad gegen den jüdischen Stamm der Banū n-Nadīr vor. Als Anlass für den Konflikt nennt die Überlieferung einerseits einen versuchten Mordanschlag auf Muhammad, andererseits den Vorwurf der Kollaboration mit den feindlichen Quraisch. Muhammad ließ sie in ihren befestigten Häusern belagern und außerdem ihre Palmenpflanzungen zerstören, womit er ein ungeschriebenes Gesetz der arabischen Kriegführung verletzte. Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/59/vers/5 Q 59:5] liefert nach der islamischen Tradition eine Rechtfertigung für dieses Vorgehen. Wie die Banū Qainuqāʿ, so wurden auch die Banū Nadīr vertrieben; sie fanden mehrheitlich in der jüdischen Oase [[w:Chaibar|Chaibar]] Zuflucht, in der sie über Grundbesitz und eigene Festungen verfügten. Nach der Grabenschlacht 627 kam es zu einer Konfrontation der Muslime mit dem dritten und letzten noch in Medina verbliebenen jüdischen Stamm, den Banū Quraiza, denen auch verschiedene andere Oasen im Norden der Halbinsel gehörten. Ihnen wurden der Bruch ihres Abkommens mit Muhammad und die Zusammenarbeit mit den Quraisch während der Grabenschlacht vorgeworfen. Es erfolgte eine mehrwöchige Belagerung ihres befestigten Stadtteil. Da die Banū Aus mit den Banū Quraiza verbündet waren und sich für sie einsetzten, legte Muhammad die Entscheidung über ihr Leben in die Hand von [[w:Saʿd ibn Muʿādh|Saʿd ibn Muʿādh]], dem Anführer der Banū Aus, der in der Grabenschlacht schwere Verwundungen erlitten hatte und dem Tode nahe war. Dieser sprach sich dafür aus, alle Männer umzubringen, Frauen und Kinder in die Gefangenschaft zu führen und ihren Besitz aufzuteilen, was trotz Protesten von Seiten anderer Verbündeter unverzüglich umgesetzt wurde. Auch nach diesem Vorfall dauerte die Auseinandersetzung mit den Juden noch an. Die Banū n-Nadīr rüsteten nach ihrer Vertreibung aus Medina in Chaibar zum Krieg gegen Muhammad, wobei sie mit den arabischen Stämmen der Nachbarschaft zusammenarbeiteten. Muhammad kam ihnen im Frühjahr 628 mit einem eigenen [[w:Chaibar (Feldzug)|Kriegszug]] zuvor. Das Koranwort aus [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/33 Sure 5:33], das denjenigen, die gegen Gott und seinen Gesandten Krieg führen, eine grausame Strafe (Tötung, Kreuzigung bzw. kreuzweise Amputation von Hand und Fuß) in Aussicht stellt, wird in diesen historischen Zusammenhang gestellt. Chaibar kapitulierte im Juni 628, und die Juden der Oase wurden verpflichtet, ihr Vermögen herauszugeben und jedes Jahr die Hälfte ihrer Ernte den muslimischen Eroberern zu übergeben. Zwei andere von Juden besiedelte Oasen, Fadak und [[w:Tayma|Taimāʾ]], unterstellten sich Muhammads Herrschaft kurze Zeit später freiwillig. === 3.2.3. Andere Gegner Muhammads === In den Koranversen, die in die Zeit nach der [[w:Schlacht von Uhud|Uhud-Schlacht]] eingeordnet werden, taucht noch eine weitere gegnerische Personengruppe auf, die [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]]. Sie werden beschrieben als Personen, die zuerst den Glauben angenommen haben, sich dann aber wieder davon abwandten und nur noch so taten, als würden sie an den Gottesgesandten glauben (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/1 Q 63:1-3]). Man kann insofern den arabischen Begriff ''munāfiqūn'' mit „Heuchler“ übersetzen. Der Koran bezeichnet diese Leute auch als „Menschen, die in ihrem Herzen eine Krankheit haben“ (''fī qulūbi-him maraḍ''; vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/52 5:52]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/49 8:49]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/125 9:125]) und droht ihnen an, dass sie dereinst auf den untersten Grund des Höllenfeuers verbannt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/145 Q 4:145]). Die Munāfiqūn stellten vor allem Muhammads richterliche Autorität in Frage. Der Koran spricht davon, dass einige von ihnen ihren Streit nicht durch Muhammad schlichten lassen wollten und sich von ihm abwandten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/60 Q 4:60f]). Gegen diese Abfallsbewegung richtet sich die Aufforderung an die Gläubigen, ihre Dispute auf jeden Fall Muhammad zur Entscheidung vorzulegen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]). Nur diejenigen sollten fortan noch als Gläubige gelten, die sich an dieses Gebot hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/65 Q 4:65]). Als Anführer der Munāfiqūn wird in den arabischen Quellen ʿAbdallāh ibn Ubaiy genannt. Von ihm wird berichtet, dass er ohne Muhammads Auftreten in Yathrib „König“ ([[w:Malik|Malik]]) der Stadt geworden wäre. Es ging also möglicherweise um konkurrierende Machtansprüche. Offenbar geriet in dieser Zeit aber auch die religiöse Autorität Muhammads in eine Krise. Die islamische Tradition hat den Bericht von einem Christen aus dem medinischen Clan der Banū n-Naddschār bewahrt, der zum Islam übergetreten war und dem Propheten während der Niederschrift der Suren [[w:Sure 2|2]] und [[w:Sure 3|3]] als Sekretär gedient hatte, nun aber zu seiner alten Religion zurückkehrte und sich bei seinen Glaubensbrüdern damit brüstete, Muhammad wisse nichts außer dem, was er für ihn niedergeschrieben habe. Auf skandalöse Weise fiel in dieser Zeit auch einer von Muhammads mekkanischen Schreibern ab, nämlich [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]]. Er begab sich ins heidnische Mekka und brüstete sich dort, er habe Muhammad auf die Probe gestellt, indem er nachträglich an einer Stelle den Wortlaut der Offenbarung geändert habe, ohne dass Muhammad diese Abänderung bemerkte. Gegenstand der Änderung waren Reimwörter, die in ähnlicher Form an anderen Stellen des Korans vorkommen. Der Koran selbst scheint von diesem Vorfall Zeugnis abzulegen. So werden Leute erwähnt, in deren Herzen Verirrung ist, die sich nicht an den festgefügten Versen (''āyāt muḥkamāt'') des Korans orientieren, sondern „das suchen, was einander ähnlich ist, um Zwietracht zu stiften“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/7 Q 3:7]). Nach der Überlieferung ist außerdem mit dem Mann, von dem der Koran berichtet, dass er den Unglauben ([[w:Kufr|Kufr]]) gegen den Glauben ([[w:Īmān|Īmān]]) eintauschte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/108 Q 2:108]), ʿAbdallāh ibn Abī Sarh gemeint. Gegen einige seiner Gegner ging Muhammad sehr grausam vor. So ließ er zum Beispiel den mit den Banū n-Nadīr verbundenen Dichter [[w:Kaʿb ibn al-Aschraf|Kaʿb ibn al-Aschraf]], der in Mekka die Quraisch zum Kampf gegen die Muslime angestachelt und nach einigen Berichten mit ihnen sogar eine Allianz gegen Muhammad geschlossen hatte, nach seiner Rückkehr nach Medina im September 624 heimtückisch ermorden. Bei der Einnahme von Mekka im Januar 630 war er dagegen sehr viel gutmütiger. Mit Ausnahme weniger Personen, die Tötungsdelikte begangen hatten, begnadete der Prophet alle seine früheren Gegner, die er in der Stadt vorfand, darunter auch seinen ehemaligen Schreiber Ibn Abī Sarh, der in Mekka Stimmung gegen ihn gemacht hatte. Er profitierte davon, dass sich sein Milchbruder [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān]] beim Propheten für ihn einsetzte. Muhammads Bereitschaft, früheren Gegnern zu verzeihen, spiegelt sich auch auf koranischer Ebene wieder. Wer die Umkehr ([[w:Tauba|Tauba]]) zu Gott vollzieht, so heißt es dort, kann damit rechnen, dass es ihm wohlergeht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/31 Q 24:31]). Gott selbst wird im Koran als derjenige beschrieben, der „die Umkehr von seinen Knechten annimmt“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/104 Q 9:104]). Wer umkehrt, dem wendet sich auch Gott wieder zu ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/39 Q 5:39]). Heuchlern und Apostaten, die die Tauba nicht vollziehen, droht jedoch das Höllenfeuer ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/74 Q 9:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/86 3:86-89]). === 3.2.4. Die Konstituierung als eigenständige Religionsgemeinschaft === Die Zusammenfügung der Gläubigen zu einem Loyalitätsverband und die Abgrenzung nach außen gegenüber anderen Gruppierungen gingen einher mit dem Bestreben, den Einfluss anderer Loyalitätsbeziehungen, die für den Zusammenhalt der Gläubigen eine Bedrohung darstellen könnten, zu beschränken. Dieses zeigt sich an verschiedenen Koranstellen der medinischen Periode, an denen die Gläubigen aufgefordert werden, sich keine Ungläubigen, sondern nur noch Gläubige zu Freunden zu nehmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/28 Q 3:28]). Nur diejenigen sollten noch als „Gläubige“ und damit vollwertige Mitglieder dieser Gemeinschaft gelten, die die Beziehungen zu den Gegnern des Gottesgesandten komplett abbrechen und sich dabei auch über Verwandtschaftsbande hinwegsetzen. Denjenigen, die sich an diese Grundsätze halten, wird im Koran Erfolg und jenseitiges Heil verheißen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/56 Q 5:56]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/58/vers/22 58:22]). Für Frauen, die in das muslimische Lager überwechseln wollten, erwähnt der Koran ein eigenes Aufnahmeverfahren: man solle sie prüfen, und wenn sie als gläubige Frauen erkannt seien, solle man sie nicht zu den Ungläubigen zurückkehren lassen, diesen aber den für sie entrichteten Brautpreis ersetzen, dann sei es erlaubt, mit diesen Frauen eheliche Beziehungen einzugehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/60/vers/10 Q 60:10]). Der Abgrenzung nach außen auf sozialer Ebene lief eine Abgrenzung auf religiöser Ebene parallel. Die Abgrenzung von den Juden betraf dabei insbesondere die religiösen Riten (vgl. unten [[#3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus|3.3.]]). Auf ideeller Ebene erfolgte gleichzeitig eine Rückbesinnung auf die Gestalt [[w:Abraham im Islam|Abrahams]]. Er wurde nun zum Prototypen der neuen Religionsgemeinschaft erhoben. An mehreren Koranstellen aus dieser Zeit findet sich die Aufforderung, der Religion der „Gemeinschaft Abrahams“ (''millat Ibrāhīm'') zu folgen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/130 Q 2:130]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/125 4:125]). Es wird betont, dass Abraham kein Jude, Christ oder [[w:Muschrik|Muschrik]] war, sondern ein Muslim und [[w:Hanīf|Hanīf]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/67 Q 3:67]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/95 3:95]). Eine Weile war Hanīf wohl auch die übliche Bezeichnung für Muhammads Anhänger und Hanīfīya („Hanīfentum“) der Name für die von ihm gegründete Religion. Mit den auf Abraham bezogenen koranischen Passagen ließ sich auch die kultische Wiederausrichtung auf das arabische Heiligtum in Mekka gut rechtfertigen. Sie wurde damit erklärt, dass „das Haus“ (''bait'') in Mekka das Jerusalemer Heiligtum an Alter übertreffe, weil es das erste sei, das für die Menschen errichtet wurde ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/96 Q 3:96]). Schon Abraham habe zusammen mit seinem Sohn [[w:Ismael|Ismāʿīl]] die Grundmauern dieses „Hauses“ aufgerichtet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/127 Q 2:127]). Muhammad scheint hier auf hanīfische Konzepte (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.6. Der religiöse Wandel und die Hanīfen|1.3.6.]]) zurückgegriffen zu haben. An zwei Stellen des Korans ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 2:125]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/97 3:97]) wird das mekkanische Heiligtum zudem als der „[[w:maqām Ibrāhīm|Standplatz Abrahams]]“ (''maqām Ibrāhīm'') bezeichnet. === 3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten === Muhammad war nach der Gemeindeordnung von Medina keineswegs der absolute Herrscher von Medina. Er wurde lediglich als Prophet (§ 1) und Schiedsrichter (§ 23, 42) anerkannt. In den Quellen werden mehrfach Vorfälle geschildert, die zeigen, dass er sich darum bemühen musste, die Unterstützung anderer Clanoberhäupter zu gewinnen. Im Zusammenhang mit den militärischen Aktivitäten veränderten sich jedoch die Machtstrukturen innerhalb der Gemeinschaft der Muslime. Eine Folge des Misserfolges von Uhud war die Aufforderung an die Gläubigen, zukünftig dem Gottesgesandten und „denjenigen, die zu befehlen haben“ (''ūlū l-amr''), unbedingt zu gehorchen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]) und vor Streuung von sicherheitsrelevanten Informationen erst diesen Personenkreis zu unterrichten, um eine Überprüfung dieser Informationen zu ermöglichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/83 Q 4:83]). Das militärische Nachrichtenwesen wurde auf diese Weise zentralisiert. Den Gläubigen wurde außerdem mitgeteilt, dass der Gottesgesandte das Vorrecht auf mindestens ein Fünftel (''ḫums'') der Beute habe, um es unter den Verwandten, Weisen, Armen und Wohnungslosen zu verteilen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]). Von seinen Anhängern, den gläubigen Männern und Frauen, forderte der Prophet nach der Vertreibung der jüdischen Stämme uneingeschränkten Gehorsam bei all den Dingen, die er selbst entschieden hatte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/36 Q 33:36]). Seine militärischen und diplomatischen Erfolge brachten ihm offenbar so viel Prestige und Autorität ein, dass auch seine Macht immer weiter zunahm. Von nicht geringer Bedeutung für Muhammads Machtzuwachs war die Tatsache, dass sich in Medina auch mehrere Dichter auf seine Seite stellten. Der bekannteste von ihnen war [[w:Hassān ibn Thābit|Hassān ibn Thābit]], der schon für [[w:Ghassaniden|ghassānidische]] und [[w:Lachmiden|lachmidische]] Prinzen Lobgedichte verfasst hatte. Vor diesem Hintergrund wurde die im Koran formulierte allgemeine Ablehnung gegenüber den Dichtern (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.2.5. Der Überbringer der Botschaft|2.2.5.]]) differenziert: Nur diejenigen von ihnen sollten der Verdammung anheimfallen, die Unrecht getan haben, nicht aber diejenigen, „die den Glauben angenommen haben, das Rechte tun und Partei ergreifen, nachdem ihnen Unrecht angetan worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/26/vers/227 Q 26:227]). Außerdem standen Muhammad jetzt auch mehr Schreiber zur Verfügung, die seine Korrespondenz führen und seinen Koranvortrag niederschreiben konnten. Zu nennen sind insbesondere [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], der vor der Hidschra auf einer jüdischen Schule die syrische oder hebräische Schrift erlernt hatte, und [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]]. Beide gehörten sie dem chazradschitischen Clan der Banū n-Naddschār an, in deren Viertel sich Muhammad niedergelassen hatte. Wie für einen arabischen Stammesfürsten seiner Zeit üblich, hatte Muhammad eine ganze Anzahl von Frauen nebeneinander. Viele dieser Ehen dienten vor allem politischen Zwecken. Mit ihnen wollte er zum Beispiel wichtige Anhänger enger an sich binden oder die Freundschaft des tribalen Verbands der Ehefrau gewinnen. Allerdings gab es andere Ehen, die er rein aus Zuneigung geschlossen haben soll. Dies gilt zum Beispiel für seine Ehe mit [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]]. Sie war ursprünglich die Gattin von Muhammads Adoptivsohn Zaid ibn Hāritha gewesen. Es wird berichtet, dass Muhammad, als er einmal mit Zaid sprechen wollte, diesen nicht zu Hause antraf, sondern nur Zainab, die gerade leicht bekleidet war, und daraufhin in heißer Liebe zu ihr entbrannte. Zainab berichtete Zaid von dem Besuch und den Andeutungen, die Muhammad beim Weggehen gemacht hatte. Zaid verstand diese Andeutungen und trennte sich von Zainab, um sie ihm zu überlassen. Muhammads Plan, Zainab zu heiraten, löste allerdings in der Gesellschaft von Medina Empörung aus, da die Ehe mit der früheren Ehefrau des eigenen Sohns, auch wenn er nur ein „Nennsohn“ (''daʿī'') war, als inzestuös betrachtet wurde. Muhammad setzte sich jedoch über diese Einwände hinweg und heiratete Zainab. Durch eine Offenbarung wurde diese Ehe nachträglich gerechtfertigt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/37 Q 33:37]) und als von Gott verhängtes Geschick ([[w:Qadar|Qadar]]) abgesegnet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/38 Q 33.38]). [[Datei:Mohamed peace be upon him.svg|mini|Eine [[w:Tasliya|Tasliya]] in kalligrafischer Ausführung]] Ein weiterer Fall ist [[w:Safīya bint Huyaiy|Safīya bint Huyaiy]]. Sie war die Tochter des Oberhaupts des jüdischen Clans der Banū n-Nadīr, der in Medina den Propheten bekämpft hatte und dann mit seinem Clan von dort vertrieben worden war. Nach dem Sieg über Chaibar war diese Safīya von den Muslimen gefangen genommen und bei der Beuteaufteilung einem anderen Kämpfer zugeteilt worden. Aufgrund ihrer Schönheit beanspruchte sie der Prophet aber für sich selbst. Unter der Bedingung, dass sie sich zum Islam bekehrte, kaufte er sie frei und nahm sie als reguläre Ehefrau. Die Eheschließung Muhammads mit Safīya war sehr konfliktgeladen, weil die anderen Gattinnen Muhammads auf die neue Nebenfrau eifersüchtig waren. Es wird angenommen, dass dies auch der Anlass für das seltsame Verbot war, das in [[w:Sure 33|Sure 33]] speziell für den Propheten ausgesprochen wird. Ihm wird dort verboten, weitere Frauen zu ehelichen, „auch wenn ihre Schönheit dir gefallen sollte“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/52 Q 33:52]). Neben seinen Ehefrauen besaß Muhammad noch verschiedene Sklavinnen, die ihm als Konkubinen dienten. Eine von ihnen, [[w:Māriya al-Qibtīya|Maria, die Koptin]], der Muhammad besonders zugetan war, löste in Muhammads Harem einen derart großen Eifersuchtskonflikt aus, dass Muhammad gelobte, sich zukünftig von ihr fernzuhalten. Dieses Versprechen nahm er aufgrund der Indiskretion einer seiner Ehefrauen allerdings später wieder zurück, ein Vorfall, auf den auch im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/66/vers/1 Q 66:1-5]) Bezug genommen wird. Wie sich an [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/32 Sure 33:32] ablesen lässt, wurden Muhammads Ehefrauen auch von anderen Männnern begehrt. Damit sie sich auf Avancen von dieser Seite nicht einließen, wurde ihnen eine hohe Strafe für Ehebruch angedroht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/30 Q 33:30]). Des Weiteren wurden sie aufgefordert, in ihrem Haus zu bleiben und sich nicht „nach Art der früheren [[w:Dschāhilīya|Dschāhilīya]]“ herauszuputzen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/33 Q 33:33]). Außerdem wurden sie durch einen Vorhang (''ḥiǧāb'') von anderen Männern abgeschirmt und für die Zeit nach Muhammads Tod mit einem ewigen Heiratsverbot belegt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/53 Q 33:53]). Anlass für diese Neuregelung soll Muhammads Hochzeit mit Zainab bint Dschahsch im Frühjahr 627 gewesen sein, bei der sich der Prophet durch Männer belästigt fühlte, die offenbar ohne Erlaubnis sein Haus betreten und mit seinen Frauen Kontakt aufgenommen hatten. Der Allgemeinheit der Gläubigen wurde um diese Zeit auferlegt, für den Propheten einen speziellen Segenswunsch zu sprechen, sobald er erwähnt wird ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/56 Q 33:56]). Dadurch erhielt seine Person immer mehr einen sakrosankten Charakter. Der [[w:Tasliya|Tasliya]]-Segenswunsch bei Muhammads Erwähnung gilt bis heute im Islam als Pflicht. === 3.2.6. Reformen der Rechts- und Geschlechterordnung === Muhammad erfüllte, wie oben ([[#3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“|3.2.1.]]) beschrieben, in Medina eine richterliche Funktion und entsprach damit in etwa dem Typ des altarabischen ''ḥakam''. Bei vielen Streitigkeiten, die vor ihn gebracht wurden, fällte er sein Urteil wahrscheinlich aufgrund früherer Rechtssetzung ([[w:Sunna|Sunna]]). Dort, wo sich das vorhandene System allerdings als unzulänglich erwies, lieferte er mit dem Koran neue Bestimmungen und Vorschriften. Die ersten Regelungen, die Muhammad nach der Hidschra traf, sind in [[w:al-Baqara|Sure 2]] festgehalten. Hier wird das altarabische [[w:Qisās|Qisās]]-System bestätigt, allerdings die Empfehlung ausgesprochen, die Wiedervergeltung durch Wergeld ([[w:Diya (Islam)|Diya]]) zu regeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/178 Q 2:178f]). Daneben wird Zinswucher ([[w:Ribā|Ribā]]) verboten (vgl. u.a. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/275 Q 2:275]). Auch der Bereich der Ehe wurde neu geordnet. Muhammad gab den Männern die Möglichkeit, ihre Frauen [[w:Talāq|zu verstoßen]], verbot ihnen aber für diesen Fall, etwas von ihrem Vermögen einzubehalten. Die Frau konnte selbst auch die Auflösung der Ehe verlangen, musste sich dann aber durch Rückgabe der [[w:Brautgabe|Brautgabe]] oder eines Teils davon loskaufen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/229 Q 2:229]). Diese Form des Selbstloskaufs der Ehefrau, die bis heute existiert, wird im islamischen Recht [[w:Chulʿ|Chulʿ]] genannt. Nach Verstoßung seiner Frau kann der Mann diese erst dann wieder heiraten, wenn sie zwischenzeitlich einen anderen Mann geheiratet hat ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/230 Q 2:230]). Außerdem wurde die Vorschrift eingeführt, dass die Frau zwischen ihren Ehen eine drei- bzw. viermonatige Wartezeit (''ʿidda'') einhalten muss ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/228 Q 2:228], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/234 2:234]). Auf diese Weise sollte die leibliche [[w:Vaterschaft|Vaterschaft]] sichergestellt werden. Eine weitere Regelung, die in diese Richtung zielt, ist das Verbot der [[w:Adoption|Adoption]] ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/4 Q 33:4f]), das wahrscheinlich im Zusammenhang mit Eheschließung mit Zainab eingeführt wurde. Des Weiteren führte Muhammad verschiedene strafrechtliche Regeln ein. So wurde bestimmt, dass männlichen und weiblichen Dieben „als Vergeltung für das, was sie begangen haben, und als Warnung vor Gott“ die Hand abgeschnitten werden sollte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/38 Q 5:38]). Verschiedene Überlieferungen verlegen auch das in [[w:Sure 5|Sure 5]] ausgesprochene allgemeine Weinverbot, das für den Islam [[w:Alkoholverbot im Islam|kennzeichnend]] geworden ist, in diese Zeit. An der Stelle selbst ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/90 Q 5:90f]) wird das Verbot damit begründet, dass der Weingenuss genauso wie das Losspiel Feindschaft und Hass zwischen den Anhängern Muhammads säe und sie vom Gebet abhalte. Die Berichte zum Anlass der Verhängung dieses Verbots erklären, dass zuvor Streitereien unter betrunkenen Prophetengefährten vorgefallen waren, bei denen einzelne von ihnen sogar schwer verletzt worden waren. Nach Uhud führte Muhammad im Bereich der Geschlechter- und Eheregeln weitere wichtige Änderungen und Reformen durch, die hauptsächlich in [[w:an-Nisāʾ|Sure 4]] festgehalten sind. Den männlichen Muslimen wurde erlaubt, bis zu vier Frauen gleichzeitig zu heiraten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/3 Q 4:3]), ihnen andererseits auferlegt, das Brautgeld den Ehefrauen selbst zu übergeben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/4 Q 4:4]). Darüber hinaus legte der Koran genaue Erbschaftsregelungen fest, die auch weibliche Verwandte und Witwen berücksichtigten, Frauen allerdings immer nur die Hälfte dessen zugestanden, das Männer desselben Verwandtschaftsgrades erhielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/7 Q 4:7-14]). Ehefrauen gehörten fortan nicht mehr zum Erbgut des Verstorbenen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/19 Q 4:19]) und durften auch nicht mehr von dessen Söhnen geheiratet werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/23 Q 4:23]). In Anbetracht ihrer Unterhaltspflicht gegenüber den Frauen wurde den Männern erlaubt, diese im Falle der Aufsässigkeit zu züchtigen ([[w:Sure 4:34|Q 4:34]]). Besuchsehen (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.2._Geschlechterverhältnisse|1.3.2.]]) wurden weiter zugelassen, allerdings daran gebunden, dass der Mann die Frau entlohnte und die Frau keine Beziehungen zu mehreren Männern gleichzeitig unterhielt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Q 4:24f]). Damit wurde die altarabische Institution der [[w:Polyandrie|Polyandrie]], die Ehe einer Frau mit mehreren Männern, verboten. Frauen, denen durch vier Zeugen sexuelles Fehlverhalten nachgewiesen werden konnte, sollten lebenslang unter Arrest gestellt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/15 Q 4:15]). Muhammads Haltung zum Institut der zeitlich begrenzten Besuchsehe scheint allerdings nicht ganz eindeutig gewesen zu sein. In verschiedenen islamischen Quellen wird überliefert, dass er solche Verhältnisse anlässlich der [[w:Chaibar_(Feldzug)|Schlacht von Chaibar]] verboten, später aber wieder erlaubt habe. Insgesamt lässt die neue Eheordnung den Willen erkennen, einen Ausgleich zwischen den beiden im alten Arabien existierenden Ehesystemen (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]) zu schaffen. {{Anker|Halskettenskandal}} Ein Skandal um Muhammads junge Ehefrau [[w:Aischa bint Abi Bakr|ʿĀ'ischa]] führte zu einer Verschärfung des Sexualstrafrechts. Hintergrund war ein Vorfall auf einem Feldzug im Januar 627. Es wird erzählt, dass sich ʿĀ'ischa auf dem Rückweg von diesem Feldzug nach Medina auf der Suche nach einer verlorenen Halskette vom Rastplatz entfernte, bei ihrer Rückkehr das Lager abgebrochen fand und am nächsten Tag von einem jungen Mann namens Safwān ibn al-Muʿattal zurückgebracht wurde. Der durch diesen Vorfall hervorgerufene Skandal spaltete die Gemeinschaft, weil einige prominente Muslime ʿĀʾischa öffentlich der Untreue beschuldigten. Muhammad schickte ʿĀʾischa zunächst in ihr Elternhaus zurück und erwog wohl ihre Verstoßung, überzeugte sich dann aber durch eine Eingebung ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/11 Q 24:11-20]) von der Grundlosigkeit dieser Verdächtigung und nahm sie wieder zu sich auf. Im Zusammenhang mit diesem Vorfall wurde die Regel eingeführt, dass diejenigen, die ehrbare Frauen in Verruf bringen, ohne vier Zeugen beizubringen, 80 Peitschenhiebe erhalten sollten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/4 Q 24:4]). Auf [[w:Zinā|außerehelichen Geschlechtsverkehr]] wurden als neue Strafe nun 100 Peitschenhiebe eingeführt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2]). In zwei anderen Versen derselben Sure werden die gläubigen Männer und Frauen dazu angehalten, ihre Blicke zu senken und ihre Scham zu bewahren. Frauen werden zusätzlich angewiesen, sich in Anwesenheit von heiratbaren Männern ihren Schal um den Ausschnitt zu schlagen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/30 Q 24:30-31]) und sich in der Öffentlichkeit zu verhüllen, damit sie nicht belästigt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/59 Q 33:59]). Dieses Verhüllungsgebot wurde später zu einem festen Bestandteil der traditionellen islamischen Geschlechterordnung. Allerdings wurden Frauen zur Zeit Muhammads nicht auf den häuslichen Bereich beschränkt. Von mehreren (z.B. [[w:Rufaida al-Aslamīya|Rufaida]] und [[w:Umm Sinān al-Aslamīya|Umm Sinān]]) wird berichtet, dass sie die Männer bei Kriegszügen begleiteten und die Versorgung von Verwundeten und Kranken übernahmen. == 3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus == === 3.3.1. Die Anfänge der Moschee und die Weiterentwicklung der Salāt === [[Bild:Oldquba.jpg|mini|Die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] zu Anfang des 20. Jahrhunderts]] Als Muhammad nach der Hidschra im September 622 in der Oase von Yathrib ankam, wohnte er die ersten Tage in Qubā', einem südlichen Vorort von Yathrib. Für die [[w:Salāt|Salāt]] nutzte er einen Masdschid, den Anhänger von ihm dort angelegt hatten. ''Masdschid'' hängt mit dem Wort [[w:Sudschūd|Sudschūd]] zusammen und bedeutet soviel wie „Ort der Prosternation“ (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). Es ist der gleiche Begriff, der auch für das Heiligtum in Mekka verwendet wurde, das für die Muslime nun nicht mehr erreichbar war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/34 Q 8:34]). Von ''Masdschid'' leitet sich auch das deutsche Wort „Moschee“ ab, das wahrscheinlich über das spanische ''mezquita'' und das italienische ''moschea'' aus dem Arabischen entlehnt wurde. Aufgrund ihrer besonderen Rolle in der islamischen Geschichte gilt die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] den Muslimen als besonders heilig. Sie soll auch mit dem im Koran genannten „Masdschid, der vom ersten Tag auf Gottesfurcht gegründet war“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/108 Q 9:108]) identisch sein. Bis heute wird sie bei der Wallfahrt von Scharen muslimischer Pilger zum Gebet aufgesucht. Neben dem Masdschid von Qubā' bestanden in Yathrib noch verschiedene andere private Gebetsplätze. Muhammad fasste nach kurzer Zeit den Entschluss, ebenfalls einen Masdschid zu errichten. Er wählte dafür einen Ort im Viertel der Banū n-Naddschār aus, in dem er Aufnahme gefunden hatte. Zusammen mit seinen Anhängern errichtete er dort einen Hof von etwa 35 x 30 m, der mit einer Ziegelmauer eingefasst war. Muhammad selbst schlief in einer der Kammern an der Außenmauer. Der Bau war also auch gewissermaßen Muhammads Haus. An der nördlichen Seite, wo zunächst gebetet wurde, schützte ein Schattendach (''ṣuffa'') aus Palmblättern und Lehm die Betenden vor der Sonne. Nach der Verlegung der Gebetsrichtung nach Mekka (siehe unten) nutzten mittellose Muhādschirūn und solche, die in Yathrib keine Unterkunft hatten, den Platz als Zufluchtsort und übernachteten hier. Aufgrund ihrer Armut und besonderen Nähe zum Propheten gelten diese „Leute des Schattendachs“ ([[w:Ahl as-Suffa|Ahl as-Suffa]]) bis heute vielen Muslimen als religiöses Vorbild. Die Moschee Muhammads entwickelte sich im Laufe der Zeit zum Zentrum des Gemeindelebens seiner Anhänger. Die Gebete wurden durch einen öffentlichen Ruf, [[w:Adhān|Adhān]] genannt, angekündigt. Als ersten Gebetsrufer (''muʾaḏḏin'', davon abgeleitet das deutsche Wort [[w:Muezzin|Muezzin]]) soll Muhammad den Äthiopier [[w:Bilāl ibn Rabāh|Bilāl ibn Rabāh]] eingesetzt haben, der deswegen gewissermaßen als Vorbild aller späteren Muezzine gilt. Man versammelte sich in Muhammads Moschee allerdings nicht nur zum Gebet, sondern hielt auch Beratungen ab, empfing Gesandtschaften und pflegte Verwundete. In den angrenzenden Räumlichkeiten wurden die Ehefrauen Muhammads untergebracht. Auf Grundlage des enormen ökonomischen Zugewinns, den die Gemeinschaft der Muslime nach der Schlacht von Chaibar erlebte, konnte der Bau 628 auf etwa 50 x 50 m erweitert werden. Auch im Gebetsritus erfolgten in den Jahren nach der Hidschra einige Änderungen. Parallel zur Einführung eines dritten Tagesgebets (vgl. oben [[#3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden|3.2.2.]]) wurde die Pflicht zur Abhaltung der Vigilien gelockert ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/73/vers/20 Q 73:20]). Nach dem Zerwürfnis mit den jüdischen Stämmen löste sich Muhammad von der Gebetsrichtung ([[w:Qibla|Qibla]]) nach Jerusalem, und es begann ein Prozess der schrittweisen Umorientierung. Zunächst wurde betont, wie gleichgültig es ist, nach welcher Richtung man betet, weil Gott überall ist ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/115 Q 2:115]). Schließlich wurde als neue Qibla die „Heilige Kultstätte“ ([[w:al-Masdschid al-Harām|al-Masdschid al-Harām]]) in Mekka festgelegt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/144 Q 2:144]), wobei offensichtlich die frühere Gebetsrichtung noch als gleichberechtigt anerkannt wurde (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/148 Q 2:148]). In der Mitte von Muhammads medinischer Periode wurden außerdem einige Bestimmungen für den Zustand erlassen, in dem sich die Gläubigen befinden mussten, wenn sie sich dem Gebet näherten: Wenn sie unrein (''ǧunub'') waren, sollten sie vorher eine Waschung vornehmen, und wenn sie vom Abort kamen oder eine Frau berührt hatten, sich vorher mit Wasser oder ersatzweise Erde über Gesicht und Hände streichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/43 Q 4:43]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/6 5:6]). Etwa um die gleiche Zeit wurde die Salāt für alle Muslime zu einer obligatorischen Pflicht. Das geht aus koranischen Passagen dieser Periode hervor, die beschreiben, dass die Munāfiqūn nur widerwillig an diesem Ritual teilnahmen (vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/142 Q 4:142]). === 3.3.2. Ramadān-Fasten und Festgebet === Eines der größten [[w:Jamim_Noraim|Feste im Judentum]] ist das Fasten am [[w:Jom Kippur|Jom Kippur]], dem zehnten Tag des Monats [[w:Tischri|Tischri]]. Die Juden in Yathrib nannten diesen Tag wegen seiner Stellung im Monat einfach den Zehnten ([[w:Aschura|ʿĀschūrā']]), so wie er auch im Alten Testament (Lev 16:29) genannt wird. Als sich nach Muhammads Ankunft in Yathrib zum ersten Mal der zehnte Tag des Tischri näherte, befahl er seinen Anhängern, zusammen mit den Juden an diesem Tag zu fasten. Der Koran legt davon noch Zeugnis ab: „Ihr Gläubigen! Euch ist vorgeschrieben worden zu fasten, so wie es auch denjenigen, die vor euch lebten, vorgeschrieben worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/183 Q 2:183]). Die Juden fasteten an diesem Tag von einem Abend zum nächsten, und auch die Muslime übernahmen diese Gewohnheit. Im Zuge seiner Abwendung von den Juden im Jahre 624 löste sich Muhammad aber auch von den jüdischen Fastenvorschriften und führte das dreißigtägige Tagesfasten im Monat [[w:Ramadan|Ramadān]] ein. Der Ramadān hatte spätestens seit der Schlacht von Badr, die in diesem Monat stattgefunden hatte, eine besondere Bedeutung bei den Muslimen. Er galt nun auch als Monat der Herabsendung des Korans (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/185 Q 2:185]) und wurde mit einem speziellen Fastenritus geehrt, der das frühere ʿĀschūrā'-Fasten ablöste. Die ersten Regelungen für das Ramadānfasten finden sich in den beiden Koranversen 2:185 und [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]. Diese beiden Verse liefern die Grundlage für die ausführlichen Fastenvorschriften, die die muslimischen Rechtsgelehrten in späterer Zeit ausarbeiteten. Zum Fasten gehörte neben dem Verzicht auf Speisen und Getränke auch die Enthaltung vom Geschlechtsverkehr. Geschlechtsverkehr in den Nächten des Ramadān wurde dagegen ausdrücklich erlaubt, mit der Begründung, dass Mann und Frau einander wie Kleider seien. Nur für die Zeit des [[w:Iʿtikāf|Iʿtikāf]], eine besondere Andachtszeit am Ende des Ramadāns, wurde das nächtliche Sexualverbot aufrechterhalten (Q [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]). Die letzten Ramadān-Nächte hatten schon früh eine Sonderstellung im religiösen Leben der Muslime, weil die Auffassung bestand, dass der Koran in einer dieser Nächte herabgesandt worden war. Diese Nacht der Herabsendung des Korans wird entsprechend [[w:Sure 97|Sure 97]] als [[w:Lailat al-Qadr|Lailat al-Qadr]] („Nacht der Vorsehung“) bezeichnet und gilt als besonders heilige Zeit. [[Datei:Eid Gaah Mahoba - panoramio - Dr. Nizam.jpg|mini|ʿĪdgāh in [[w:Mahoba|Mahoba]], Indien]] Eingeführt wurde in dieser Zeit auch ein [[w:Fest des Fastenbrechens|Fest des Fastenbrechens]] (''ʿīd al-fiṭr'') am Anfang des nachfolgenden Monats [[w:Schawwāl|Schauwāl]]. Bei dieser Gelegenheit, so wird überliefert, begab sich Muhammad mit den Gläubigen in einem prozessionsartigen Zug zu einem Platz außerhalb der Stadt, wobei ihnen Bilāl mit einer Lanze (''ʿanaza'') – ursprünglich ein Geschenk des äthiopischen [[w:Negus|Negus]] – vorauslief. Während des Gebetes wurde dann die Lanze als Markierung für die Qibla an einer Stelle in den Boden gesteckt. An diesem Gebetsplatz ([[w:Musallā|Musallā]]) fanden jetzt auch die Regengebete und das Gebet zum [[w:Islamisches Opferfest|Opferfest]] (''ʿīd al-aḍḥā'') am 10. [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] statt. Das Opferfest wurde zu dieser Zeit wahrscheinlich neu eingeführt und knüpfte an die Opferzeremonien an, die beim [[w:Haddsch|Haddsch]] an diesem Tag in [[w:Minā|Minā]] vollzogen wurden (siehe oben [[Bamberger_Einführung_in_die_Geschichte_des_Islams_(BEGI)_01#1.3.3._Das_altarabische_Heidentum_und_die_Heiligtümer_von_Mekka|1.3.3.]]). Üblicherweise hielt der Prophet nach Abschluss dieser Gebete eine Ansprache ([[w:Chutba|Chutba]]), in der er die Gläubigen dazu aufforderte, sich an gemeinsamen (kriegerischen) Unternehmungen zu beteiligen. Bis heute hat sich das vormittägliche Festgebet als Sonderritus erhalten. Auch ist es in vielen islamischen Ländern bis heute üblich, Festgebete und Regengebete an einem speziellen Festplatz ([[w:ʿĪdgāh|ʿĪdgāh]]) außerhalb der Stadt zu vollziehen. == 3.4. Weiterführende Literatur == * Andreas Görke: “Between History and Exegesis: The Origins and Transformation of the Story of Muḥammad and Zaynab Bt Ǧaḥš” in ''Arabica'' 65/1-2 (2018) 31–63. * [[w:Meir Jacob Kister|Meir Jacob Kister]]: “The Market of the Prophet”. In: ''Journal of the Economic and Social History of the Orient''. 8 (1965) 272–276. [http://www.kister.huji.ac.il/content/market-prophet Digitalisat] * Michael Lecker: ''The 'Constitution of Medina'. Muḥammad’s First Legal Document''. Darwin Press, Princeton NJ 2004. [https://archive.org/details/the-constitution-of-medina-muhammads-first-legal-document-by-micheal-lecker-2004/page/n1/mode/2up Digitalisat] * Michael Lecker: ''Muslims, Jews and Pagans. Studies on early Islamic Medina.'' Leiden: Brill 1995. * David S. Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men. The making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Hannah Rahman: "The Conflicts Between the Prophet and the Opposition in Madina" in ''Der Islam'' 62/2 (1985) 260-297. [https://doi.org/10.1515/islm.1985.62.2.260 Digitalisat] * Uri Rubin: “The Assassination of Kaʿb b. al-Ashraf”, in ''Oriens'' 32 (1990) 65–71. * Richard B. Serjeant: The Sunna Jāmiʿah, „Pacts with the Yathrib Jews, and the Taḥrīm of Yathrib. Analysis and Translation of the Documents Comprised in the So-Called ‘Constitution of Medina’“ in ''Bulletin of the School of Oriental and African Studies'' 41 (1978) 1–42. * [[w:William Montgomery Watt|William Montgomery Watt]]: ''Muhammad at Medina.'' Oxford: Oxford University Press 1956. [https://archive.org/details/muhammadatmedina029655mbp/page/n9/mode/2up Digitalisat] * William Montgomery Watt: ''Muḥammad: Prophet and Statesman''. London: Oxford University Press 1961. * [[w:Julius Wellhausen|Julius Wellhausen]]: ''Mohammeds Gemeindeordnung von Medina. Skizzen und Vorarbeiten''. Bd. IV. Reimer, Berlin, 1889. S. 65–83. [http://archive.org/stream/medinavordemisl00sagoog#page/n74/mode/2up Digitalisat] == 3.5. Aufgaben/Fragen == 1. Wie ist das Konzept des Dschihad entstanden? 2. Was beinhaltete der Vertrag von Hudaibiya und inwiefern stellte er einen Triumph für Muhammad dar? 3. Welche Regeln beinhaltete die Gemeindeordnung von Medina? 4. Ab dem Ende der mekkanischen Zeit näherte sich Muhammad dem Judentum an. Wie äußerte sich das auf religiöser Ebene? 5. Geben Sie einen Überblick über die militärische Auseinandersetzung Muhammads mit den Juden von Medina und Umgebung. 6. Muhammad erlebte während seiner Zeit in Medina einen allmählichen Machtzuwachs. Worin zeigte sich dieser? 7. Nennen Sie das Geschlechterverhältnis betreffende Regeln, die während der Zeit in Medina eingeführt wurden. 8. Erklären Sie, wie der Ramadān zum heiligen Monat der Muslime geworden ist und welche Vorstellungen und Praktiken mit ihm verbunden sind. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} c4chm0alqzshrm6czao8phwxsi73k7i 1117893 1117891 2026-10-27T12:55:42Z PaFra 14559 /* 3.1.3. Der militärische und politische Durchbruch */ 1117893 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02|2 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 04|>>> 4]] {{TOC nonum}} = 3. Der Prophet von Yathrib und das neue Gemeinwesen (622-630) = Das Zentrum der neuen Religion verlagert sich in die Oase Yathrib, kriegerisches Handeln steht im Vordergrund. Muhammad und seine Anhänger kämpfen gegen das heidnische Mekka und geraten immer mehr in einen Konflikt mit den Juden von Yathrib, die schließlich aus der Oase vertrieben werden. Als Anführer des neuen Gemeinwesens führt Muhammad verschiedene rechtliche, soziale und kultische Reformen durch. == 3.1. Maghāzī – Die Kriegszüge Muhammads == === 3.1.1. Die Provokation der Quraisch === Die arabischen Quellen berichten übereinstimmend, dass Muhammad nach seiner Auswanderung aus Mekka am 24. September 622 die Oase von Yathrib erreichte. Da er aus Mekka vertrieben worden war, sah er es als gerechtfertigt an, gegen seine frühere Heimatstadt zu kämpfen. Das geht deutlich aus zwei Koranversen hervor, die nach allgemeiner Auffassung als älteste Offenbarung zum Thema des Kampfes gelten: {{Zitat|Denen, die kämpfen, ist das erlaubt, weil ihnen Unrecht angetan – siehe, Gott hat zu helfen ihnen die Macht! – Weil sie vertrieben wurden aus ihrer Heimat ohne Recht, nur weil sie sagten: Unser Herr ist Gott.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/39 Q 22:39f]}} Der Krieg mit Mekka, den Muhammad von seiner neuen Basis Yathrib aus führte, begann mit kleinen Nadelstichen. Nach der Chronologie [[w:al-Wāqidī|al-Wāqidīs]], der im frühen 9. Jahrhundert ein Werk über die Kriegszüge ([[w:Maghāzī|Maghāzī]]) Muhammads verfasste, schickte dieser schon sieben Monate nach seiner Ankunft seinen Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] mit einer Gruppe von Kriegern aus, um an der Küste eine aus Syrien heimkehrende mekkanische Handelskarawane unter Führung [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahls]] abzufangen, doch kam es zu keiner Kampfhandlung, weil ein Mann aus dem Stamm der [[w:Qudāʿa|Dschuhaina]], der mit beiden Seiten verbündet war, dazwischentrat. Bei einer zweiten Unternehmung im April 623 wurde „der erste Pfeil im Islam“ abgeschossen. Der Kampf gegen die Mekkaner setzte sich bald auch über altarabische religiöse Normen hinweg, wie das Friedensgebot in den heiligen Monaten (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). So überfiel ein von Muhammad beauftragtes Kommando im heiligen Monat [[w:Radschab|Radschab]] bei [[w:Nakhla_(Saudi-Arabien)|Nachla]] südlich von Mekka eine mekkanische Karawane. Das war nach der Überlieferung Anlass für die folgende Offenbarung: {{Zitat|Sie fragen dich nach dem heiligen Monat, ob Kampf in ihm erlaubt sei. Sprich: Kampf in ihm wiegt schwer, aber jemanden abzuhalten vom Wege Gottes, darin liegt Unglaube. Und sie vom heiligen Gebetsplatz abzuhalten, und dessen Volk daraus zu vertreiben, – das wiegt schwerer vor Gott. Und Verführung (zum Abfall vom Islam) wiegt schwerer als Töten. Sie werden nicht aufhören, euch zu bekriegen, bis sie euch von eurer Religion abbringen, wenn sie können.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/217 Q 2:217]}} Aus dem Koranwort geht hervor, dass das Weiterbestehen der alten Religion in Mekka für die Anhänger Muhammads eine ständige Versuchung war, von ihrem Glauben abzufallen. Da vielen von ihnen der militärische Kampf (''qitāl'') offenbar zuwider war, wurde er nun zur Pflicht erklärt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/216 Q 2:216]) und durch die Bezeichnung ''ǧihād fī sabīl Allāh'' („Bemühung [[w:Fī sabīli Llāh|für die Sache Gottes]]“, so schon im folgenden Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/218 Q 2:218]), auf eine religiöse Ebene gehoben. In der Form [[w:Dschihad|Dschihad]] hat dieser Begriff auch Eingang ins Deutsche gefunden. [[File:Balami - Tarikhnama - The Battle of Badr - The death of Abu Jahl, and the casting of the Meccan dead into dry wells (cropped).jpg|mini|Bildliche Darstellung der [[w:Schlacht von Badr|Schlacht von Badr]] in einer persischen Handschrift, frühes 14. Jahrhundert]] Die erste große Konfrontation zwischen Mekkanern und den Anhängern Muhammads ergab sich im März 624 bei dem Ort [[w:Badr_(Saudi-Arabien)|Badr]] ca. 130 km südwestlich von Yathrib. Muhammad hatte Informationen erhalten, dass eine reiche mekkanische Karawane aus Syrien zurückkehrte. Mit 300 Mann, unter denen sich auch Angehörige des mit den [[w:Aus (Stamm)|Aus]] verbündeten Stammes [[w:Muzaina|Muzaina]] befanden, zog er nach dem an der Küstenstraße liegenden Badr, um die Karawane abzufangen. Es kam zu einer Schlacht zwischen Muhammads Männern und einer etwa 950 Mann starken Armee der Mekkaner, die der Karawane zur Hilfe geeilt war und von Muhammads erbittertem Gegner [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahl]] befehligt wurde. Muhammads Lager siegte überraschend. Die Mekkaner verloren zwischen 45 und 70 Mann, und eine ähnliche Anzahl von ihnen wurde gefangengenommen. Zu den gefallenen Mekkanern gehörten mehrere ihrer führenden Persönlichkeiten, darunter auch Abū Dschahl. Die Anhänger Muhammads hatten dagegen nur 14 Gefallene zu beklagen und machten große Beute. Nach der Schlacht ließ Muhammad einige der Gefangenen enthaupten, darunter seinen früheren Gegner [[w:an-Nadr ibn al-Hārith|an-Nadr ibn al-Hārith]]. Der [[w:Schlacht von Badr|Sieg bei Badr]] war sowohl in militärischer als auch in religiöser Hinsicht von größter Bedeutung für die Anhänger Muhammads. Offenbar hatten aber nicht alle von ihnen an diesem Sieg mitgewirkt. Das geht aus Versen hervor, die aus der Zeit nach Badr stammen und klarstellen, dass diejenigen unter den Gläubigen, die ohne Entschuldigung zu Hause „sitzenbleiben“ bei Gott nicht auf der gleichen Stufe stehen wie die Mudschāhidūn, also diejenigen, die den Dschihad führen und dabei Vermögen und Leben aufs Spiel setzen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/95 Q 4:95f]). === 3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags === Für die Quraisch von Mekka war die Niederlage bei Badr ein harter Schlag. Sie hatten in dem Ruf gestanden, ein besonders mächtiger Stamm in Arabien zu sein, und in gewissem Maße stützte sich auch der Erfolg ihrer Geschäfte auf diese Reputation, denn bei ihrem Handel waren sie auf die Zusammenarbeit mit vielen anderen Stämmen angewiesen, und von einigen von ihnen war nun Aufsässigkeit zu erwarten. Deshalb war es für die Quraisch von essentieller Bedeutung, zu beweisen, dass sie noch die Kraft hatten, für erlittenes Unrecht Rache zu nehmen. Zehn Wochen nach Badr unternahm [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]], der nach der Schlacht von Badr die Führung von Mekka übernommen hatte, einen Blitzüberfall auf Yathrib, zog sich aber, nachdem er zwei Häuser in Brand gesteckt hatte, rasch zurück. [[File:The Prophet Muhammad and the Muslim Army at the Battle of Uhud, from the Siyer-i Nebi, 1595.jpg|mini|Darstellung der Schlacht von Uhud in einem [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i Nebi]] von 1594, heute David Collection, Kopenhagen]] In den Monaten danach gelang es Abū Sufyān, 3000 gut ausgerüstete Krieger zu rekrutieren. Im März 625 rückte er mit diesen nach Yathrib vor und drang von der Nordwestecke in die Oase ein. Beim Berg Uhud kam es zu einem Kampf, der lange hin und her wogte. Als sich das Kriegsglück zu Gunsten der Anhänger Muhammads zu wenden begann, fingen diese an, die Beute einzusammeln. Das veranlasste eine Gruppe von Muhammads Bogenschützen, ihren Platz zu verlassen, um sich ebenfalls der Beute zuzuwenden. Auf der Seite der Mekkaner nutzte diese Situation der prominente Kämpfer [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] aus, um Verwirrung in den Reihen von Muhammads Anhängern zu stiften und sie niederzuringen. Allerdings gelang es Muhammads Anhängern zum Schluss, wichtige Stellungen zurückzugewinnen, so dass die Mekkaner abziehen mussten, ohne sich ihres Widersachers Muhammad endgültig entledigt zu haben. Für die Anhänger Muhammads war die [[w:Schlacht von Uhud|Schlacht von Uhud]] dennoch eine herbe Enttäuschung, nicht nur deshalb, weil sie 50 bis 70 Mann verloren hatten, Muhammads Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] gefallen und Muhammad selbst verwundet worden war, sondern auch deshalb, weil sie merkten, dass sie sich der Unterstützung Gottes doch nicht immer so sicher sein konnten, wie es ihnen nach dem Sieg von Badr schien. In verschiedenen Koranworten aus dieser Zeit wird bekräftigt, dass diejenigen, die „für die Sache Gottes“ getötet wurden, nicht wirklich tot sind, sondern weiter leben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/154 Q 2:154]), bei ihrem Herrn versorgt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/169 3:169]), ihnen die Sünden vergeben werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/157 3:157]) und sie direkt ins Paradies eingehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/195 3:195]). Der Konflikt zwischen Muhammad und den Mekkanern war mit der Schlacht von Uhud noch keineswegs beendet. Da Muhammad weiter den mekkanischen Handel störte und bei den arabischen Beduinen immer mehr Verbündete fand, sahen sich die Mekkaner genötigt, erneut gegen ihn vorzugehen. Dafür versuchten sie ihrerseits, eine Anzahl beduinischer Stämme auf ihre Seite zu ziehen. Diese Bündnisse zeigen, dass der Konflikt zwischen Mekka und Yathrib inzwischen das Umland der beiden Städte mit einschloss. Im Juli 625 massakrierten die [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]], ein mit den Quraisch verbündeter Stamm, bei Biʾr Maʿūna zwischen Mekka und Yathrib eine größere Anzahl von Muslimen. Muhammad soll daraufhin einen Monat lang die Banū Sulaim verflucht haben. In veränderter Form hat sich dieser Ritus bis heute im sogenannten [[w:Qunūt|Qunūt]] erhalten, einem Bittgebet, das beim Morgengebet oder beim nächtlichen Witr-Gebet gesprochen wird. Zu Beginn des Jahres 627 erschienen die Mekkaner und ihre Verbündeten mit einer Truppe von 10.000 Mann vor Yathrib. Dort hatte Muhammad allerdings um die weniger befestigten Stellen der Oasensiedlung einen Graben (''ḫandaq'') ausheben lassen, der so breit war, dass ein Pferd ihn nicht überspringen konnte. Diese Aktion kam für die Mekkaner offensichtlich so unerwartet, dass sie ihr kein geeignetes strategisches Mittel entgegensetzen konnten. Aus dem geplanten Angriff wurde so eine Belagerung. Aufgrund von Intrigen brach die Allianz der Mekkaner jedoch schon nach 14 Tagen zusammen, und die [[w:Grabenschlacht|Belagerung von Yathrib]] musste beendet werden. Die Mekkaner zogen schließlich ab, ohne etwas erreicht zu haben. === 3.1.3. Der militärische und politische Durchbruch === [[File:Dinar, Khusro II, 590, 591-628 AD, year 31 - Bode-Museum - DSC02737.JPG|mini|Der Sassanidenherrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] (reg. 590-628) auf einer Goldmünze, [[w:Bode-Museum|Bode-Museum]]]] Der Grabenkrieg war im Grunde genommen der letzte Defensivkrieg Muhammads. Hiernach begann die Offensivphase in seinem Leben, und gleichzeitig für das von ihm begründete Gemeinweisen die Zeit der Eroberungen. Zum Verständnis des folgenden militärischen Erfolgs von Muhammad ist es notwendig, sich die politische Situation im Vorderen Orient dieser Zeit zu vergegenwärtigen. Anfang des 7. Jahrhunderts hatte ein längerer Schlagabtausch zwischen dem [[w:Byzantinisches Reich|Byzantinischen Reich]] und den [[w:Sassanidenreich|Sassaniden]] begonnen. In den Jahren 603 bis 619 hatten zunächst die sassanidischen Truppen Syrien, Palästina und Ägypten erobert, 622 hatte der byzantinische Kaiser zum Gegenangriff ausgeholt. Es kam zu heftigen Auseinandersetzungen, bei denen die Sassaniden ebenfalls mehrere Niederlagen erlitten, und die 628 mit einem Friedensschluss endeten, der ihren Herrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] dazu verpflichtete, die eroberten Gebiete vollständig zurückzugeben. Hieraufhin wurde Chosrau von seinen Offizieren gestürzt, und es begannen im Sassanidenreich Thronwirren, die bis 633 andauerten und während derer das sassanidische Bündnissystem auf der arabischen Halbinsel zusammenbrach. Es war genau diese fünfjährige Periode des Machtvakuums, innerhalb derer Muhammad seinen neu gegründeten Staat zum militärischen und politischen Erfolg führte. Im Jahr nach der [[w:Grabenschlacht|Grabenschlacht]] unternahm er noch einige weitere kleinere Kriegszüge, von denen die beiden bedeutendsten derjenige gegen die Oase Dūmat al-Dschandal und derjenige gegen den westlich von Yathrib lebenden Stamm der Mustaliq waren. Im März 628 zog er dann mit einer Schar von Gläubigen nach Mekka, um eine [[w:ʿUmra|ʿUmra]] zu vollziehen. Die Mekkaner, die annahmen, dass er kriegerische Absichten hegte, sorgten allerdings dafür, dass er der Stadt nicht zu nahe kam. Von seinem Lager in al-Hudaibiya am Rande des [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]] nahm Muhammad Verhandlungen mit den Mekkanern auf, die mit einem Vertrag endeten. Er selbst musste in diesem Vertrag rein äußerlich einige Demütigungen hinnehmen, die zu Spannungen unter seinen Anhängern führten. So wurde er von dem mekkanischen Abgesandten nicht als „Muhammad, der Gesandte Gottes“ anerkannt, sondern nur als „Muhammad ibn ʿAbdallāh“. Bedeutender waren aber die getroffenen Vereinbarungen. Dazu gehörten ein zehnjähriger Waffenstillstand und das Versprechen der Mekkaner, Muhammad und seinen Anhängern im nächsten Jahr die Stadt für drei Tage zum Vollzug der ʿUmra zu überlassen. Umgekehrt verzichtete Muhammad für dieses Jahr auf die ʿUmra und zog sich mit seinen Männern nach Yathrib zurück. Der [[w:Vertrag von Hudaibiya|Vertrag von Hudaibiya]] war ein Triumph für den Propheten und seine Anhänger. Der Koran berichtet, dass Gott seine [[w:Sakīna|Sakīna]] in die Herzen der Gläubigen hinabsandte, so dass sie im Glauben zunahmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/4 Q 48:4], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/18 18]). Der Begriff ''sakīna'' geht eigentlich auf ein jüdisches Konzept, die [[w:Schechina|Schechina]], zurück, das die „Gegenwart“ Gottes bei seinem Volk bezeichnet. Hier bezeichnet er aber auch den psychischen Zustand der Gelassenheit und Ruhe. Nach dem Vertrag von Hudaibiya vollzogen mehrere Araber aus anderen Gebieten Arabiens, die sich schon früher Muhammad angeschlossen hatten, die [[w:Hidschra|Hidschra]], d.h. sie zogen nach Yathrib, um Muhammad militärisch zu unterstützen. Zu ihnen gehörten zum Beispiel auch die beiden Jemeniten [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]]. Im folgenden Jahr, im März 629, zog Muhammad dann mit etwa 2.000 Mann nach Mekka, um wie geplant die ʿUmra zu vollziehen. Bei dieser Gelegenheit heiratete er Maimūna, die Schwägerin seines Onkels [[w:al-ʿAbbās ibn ʿAbd al-Muttalib|ʿAbbās]], der zu dieser Zeit in Mekka die Führung der [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]] übernommen hatte. Immer mehr Mekkaner erkannten nun Muhammad als Propheten an und verließen die Stadt, um sich ihm anzuschließen, auch solche, die ihn kurz zuvor noch bekriegt hatten wie zum Beispiel der Kämpfer Chālid ibn al-Walīd, der bei der Schlacht von Uhud noch auf der gegnerischen Seite gestanden hatte (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]). Im Laufe des Jahres 629 ließ Muhammad noch einige weitere kriegerische Unternehmungen durchführen. So schickte er im September seinen ehemaligen Sklaven und Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] mit einer Armee nach Mu'ta auf dem Gebiet des heutigen Jordanien, östlich der Südspitze des Toten Meeres. Dann ergab sich eine Kette von Ereignissen, die letztlich zur friedlichen Kapitulation Mekkas führten. Muhammad heiratete Umm Habība, eine schon viele Jahre früher zum Islam übergetreten Tochter [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], deren muslimischer Ehemann gestorben war. Wenig später wurde ein Clan der [[w:Chuzāʿa|Chuzāʿa]], der in der Nähe von Mekka lebte und nach Hudaibiya einen Bund mit Muhammad geschlossen hatte, von einem Clan der [[w:Kināna|Kināna]], der mit den Mekkanern verbündet war, angegriffen. Der in Bedrängnis geratene Clan der Chuzāʿa wandte sich an Muhammad, der mit diesem Vorfall das Abkommen von Hudaibiya als gebrochen betrachtete. Zur Verhinderung einer militärischen Konfrontation reiste Abū Sufyan unter dem Vorwand, seine Tochter besuchen zu wollen, nach Yathrib und führte mit Muhammad Verhandlungen. Der genaue Hergang der nachfolgenden Ereignisse ist nicht klar, doch steht fest, dass es nach der Rückkehr Abū Sufyans nach Mekka zwischen ihm und Muhammad zum Austausch von Geschenken kam. In der Sache selbst war Muhammad allerdings zu keinen Zugeständnissen bereit. Er gab das Kommando zur Vorbereitung eines Feldzuges zur Einnahme von Mekka. Mit einer Armee von ca. 10.000 Mann, die neben seinen Anhängern aus Mekka und Yathrib auch Kämpfer von Stämmen der Umgebung wie den [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]] und [[w:Muzaina|Muzaina]] einschloss, zog er von Yathrib in Richtung Mekka. Abū Sufyān zog ihm entgegen und führte die Kontaktgespräche. Im Gegenzug für seine Konversion zum Islam erhielt er eine Sicherheitsgarantie für all diejenigen Bewohner Mekkas, die keinen bewaffneten Widerstand leisteten. Die weitreichenden Garantien führten dazu, dass Muhammads Armee bei ihrem von verschiedenen Seiten erfolgendem Einrücken im Januar 630 auf nur sehr geringen Widerstand stieß. In den arabischen Quellen wird die Einnahme Mekkas als ''fatḥ'', „Öffnung“ bezeichnet. Sie steht damit gewissermaßen archetypisch für alle späteren muslimischen Eroberungen ([[w:Futūh|Futūh]]) von Städten und Ländern, die die Muslime unter Muhammads Nachfolgern machten. Über sie wurden später eigene Texte und Werke zusammengestellt. == 3.2. Die interne Entwicklung der Gemeinschaft von Yathrib == === 3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“ === Die Anhängerschaft Muhammads bei seiner Ankunft in Yathrib setzte sich im Wesentlichen aus zwei Gruppen zusammen, den Angehörigen der Quraisch, die zusammen mit ihm die Hidschra aus Mekka vollzogen hatten, und den Clanen von [[w:Aus (Stamm)|Aus]] und [[w:Chazradsch|Chazradsch]], die diesen Auswanderern in Yathrib Aufnahme gewährt hatten. Um eine Gemeinschaft zwischen diesen beiden Gruppen herzustellen, war es dringend notwendig, ein Loyalitätsverhältnis zwischen ihnen zu begründen. Genau diesen Sachverhalt spricht ein Koranwort an, in dem es heißt: „Diejenigen, die den Glauben angenommen haben und ausgewandert sind und unter Einsatz ihres Vermögens und Lebens für die Sache Gottes gekämpft haben, und diejenigen, die Asyl und Hilfe gewährten, die sollen untereinander Freunde sein“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/72 Q 8:72]). Offensichtlich wurden sogar praktische Maßnahmen ergriffen, um dieses Ziel zu verwirklichen, denn es gibt Berichte, denen zufolge zwischen verschiedenen Angehörigen der beiden Gruppen eine „Verbrüderung“ (''muʾāḫāh'') hergestellt wurde. Die übliche Form dieser Verbrüderung sah so aus, dass dem betreffenden Auswanderer (''muhāǧir'') einer von den „Helfern“ (''anṣār'') zur Seite gestellt wurde und die beiden sich gegenseitig zu Brüdern erklärten. Wenn einer der beiden im Kampf fiel, beerbte ihn der andere. Der wichtigste Zweck der Verbrüderung war es, größeren Zusammenhalt im Kampf zu erreichen. Die Zweiteilung der Anhängerschaft Muhammads wurde allerdings auch durch diese Maßnahme nicht völlig überwunden. Vielmehr scheint sich der Gegensatz zwischen den mekkanischen „Auswanderern“ ([[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]]) und den „Helfern“ ([[w:Ansār|Ansār]]) aus Yathrib im Laufe der Zeit noch verfestigt zu haben, wie sich zwei Koranstellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/100 Q 9:100], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/117 117]) aus späterer Zeit entnehmen lässt, in denen die beiden Gruppen einander gegenübergestellt werden. Über die politischen Verhältnisse, die seit der Zeit von Muhammads Ankunft in Yathrib herrschten, gibt es ein historisches Dokument, das uns noch wesentlich genauer informiert als der Koran, nämlich die sogenannte [[w:Gemeindeordnung von Medina|Gemeindeordnung von Medina]]. In diesem Dokument, das bei [[w:Ibn Hischām|Ibn Hischām]] überliefert ist, erscheint auch zum ersten Mal die arabische Bezeichnung ''al-Madīna'' („die Stadt, der Gerichtsort“) für Yathrib. Sie wurde später als Name für diesen Ort allgemein üblich und erscheint auch in den letzten Suren des Korans (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/102 Q 9:102]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/8 63:8]). Was nun die politische Ordnung anlangt, so wird am Anfang des Dokuments festgestellt, dass es sich um „einen Vertrag Muhammads des Propheten zwischen den Gläubigen und Muslimen der Quraisch und von Yathrib und jenen, die ihnen folgen, ihnen verbunden sind und zusammen mit ihnen kämpfen“ (§ 1), handelt. Sie sollen „eine einzige Umma“ bilden, „die sich von anderen unterscheidet“ (§&nbsp;2). Der Begriff [[w:Umma|Umma]] wird im Koran noch an vielen anderen Stellen verwendet und bezeichnet dort verschiedene von Propheten angeführte Gemeinschaften. Die Umma von Medina war allerdings eher an tribalen Konzepten orientiert. Die neun wichtigsten Vertragsparteien waren die „Auswanderer der Quraisch“, die offensichtlich als ein einziger Clan verstanden wurden, und acht Clane aus Yathrib. Jede Gruppe, so heißt es, sollte ihre tribale Organisation beibehalten und für die Zahlung von [[w:Diya (Islam)|Blutgeld]] und Lösegeld unter ihren Angehörigen verantwortlich sein. Allerdings wurde diese Solidaritätspflicht auf die Gläubigen (''muʾminūn'') unter ihnen eingeschränkt. Der zweite Teil des Dokuments befasst sich mit den Beziehungen zu den jüdischen Stämmen von Yathrib und ihren beduinischen Verbündeten. Das Dokument zeigt, dass die Umma zu jener Zeit als etwas verstanden wurde, das Beziehungen zu Angehörigen anderer Religionen einschloss. Im Wesentlichen handelte es sich um einen Bündnisvertrag, der den traditionellen arabischen Rechtsvorstellungen entsprach. Dadurch, dass im ersten Teil die Solidaritätsverpflichtungen auf die „Gläubigen“ beschränkt wurden, kam jedoch eine religiöse Komponente ins Spiel. Muhammad selbst wurde in der Gemeindeordnung eine richterliche Funktion zugesprochen. So wurde festgelegt, dass diejenigen, die über eine Sache im Streit sind, diese vor Gott und Muhammad bringen sollten (§§ 26, 52). Am Ende des Dokuments wird erklärt, dass das Tal von Yathrib für alle Vertragspartner geheiligt (''ḥarām'') sei (§ 49), womit es wie Mekka den Status eines [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Heiligen Bezirks]] erhält. === 3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden === Muhammad hatte am Ende der mekkanischen Zeit dem Judentum äußerst positiv gegenübergestanden. Koranische Texte aus diesem Zeitabschnitt fordern dazu auf, nicht mit den „Leuten des Buches“ ([[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]]) – gemeint sind die Juden von Yathrib – zu disputieren, sondern die Gemeinsamkeiten zwischen den beiden offenbarten Religionen herauszustellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/29/vers/46 Q 29:46]). Der gute Kontakt mit den Juden in der frühen medinischen Zeit führte dazu, dass sich Muhammad und seine Anhänger noch stärker an die jüdischen Vorschriften annäherten. So wurde zu dieser Zeit nach jüdischem Vorbild ein drittes Tagesgebet eingeführt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/238 Q 2:238f]), und der Verzehr von Schweinefleisch und der Beischlaf während der [[w:Menstruation|Menstruation]] wurden verboten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/173 Q 2:173], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/222 222]). Ebenfalls in frühmedinischer Zeit wurde für Muhammad der Titel ''nabī'' gebräuchlich, der in der Bibel und in der jüdischen Tradition für Propheten verwendet wird. Möglicherweise wurde dieser Titel deswegen jetzt für Muhammad eingeführt, um die Juden von Yathrib dazu zu bewegen, seine religiöse Führerschaft anzuerkennen. Besonders interessant ist das Adjektiv ''ummī'', mit dem der Begriff ''nabī'' an der ersten Stelle, an der er vorkommt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/7/vers/157 Q 7:157f]), versehen ist. Wahrscheinlich handelt es sich um eine Ableitung des hebräischen Ausdrucks ''ummot ha-ʿolam'', mit dem im [[w:Talmud|Talmud]] die nicht-jüdischen Völker bezeichnet werden, in denen [[w:Gerechter unter den Völkern|Gerechte]] auftreten können. Die Bezugnahme auf diese heidenfreundliche Tradition war sehr wichtig, denn unter den Juden von Yathrib herrschte die Auffassung vor, dass es unter den Arabern keine Prophetie geben könne. Die Annäherung an das Judentum bedeutete allerdings nicht, dass Muhammad seine Religion darin aufgehen lassen wollte. Die Gemeindeordnung von Medina stellt ausdrücklich fest, „dass die Juden ihre Religion beibehalten und die Gläubigen die Ihrige.“ Eine gemeinsame religiöse Basis fand er im Monotheismus, wie sich dem folgenden Koranwort entnehmen lässt: {{Zitat|Sag: O Leute des Buches, kommt her zu einem Wort, das uns und euch gemeinsam ist. Ist es nicht so, dass wir Gott allein dienen, ihm nichts beigesellen und uns nicht untereinander anstelle Gottes zu Herren nehmen?|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/64 Q 3:64]}} Offenbar hegte Muhammad die Vorstellung, die Juden würden in seiner Botschaft schließlich ihre eigene Religion wiedererkennen. Das brachte ihn letztendlich auch zu der Erwartung, dass sie seinen religiösen Anspruch anerkennen müssten. An mehreren Stellen im Koran werden die [[w:Israeliten|Israeliten]] aufgefordert, an das, was ihm offenbart wurde, als Bestätigung ihrer Schrift zu glauben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/41 Q 2:41]) und ihn allgemein als Bestätiger der [[w:Tora|Tora]] zu verstehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/50 Q 3:50]). Es geschah wahrscheinlich auch im Rahmen der Auseinandersetzung mit den Juden von Medina, dass sich Muhammad zum ersten Mal auf den [[w:Erzengel|Erzengel]] [[w:Gabriel (Erzengel)|Gabriel]] als Vermittler der koranischen Offenbarung berief. Gabriel spielte schon in vorislamischer Zeit eine große Rolle in den jüdischen Überlieferungen über Abraham und Mose. In Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/97 2:97] wird ausgesagt, dass er es ist, der den Koran in Muhammads Herz hinabgesandt habe, „mit Erlaubnis Gottes, bestätigend, was vor ihm war, als rechte Leitung und als frohe Botschaft für die Gläubigen.“ Die Korankommentatoren erklären, dass diese Verse offenbart wurden, als die Juden von Medina Muhammad fragten, wer der Engel sei, der ihm die Offenbarungen brächte. Als er antwortete, dass dies Gabriel sei, der Freund eines jeden Propheten, sollen sie entgegnet haben, dass sie ihn dann nicht anerkennen könnten, weil ihr Freund der Engel [[w:Erzengel_Michael|Michael]] sei, Gabriel dagegen ihr Feind. In Sure 2:97-98 wird diese „Feindschaft“ zu Gabriel missbilligt. Koranstellen wie diese zeigen sehr deutlich, dass die Juden Medinas nicht bereit waren, Muhammad als Propheten in ihrer Tradition anzuerkennen. Andere Stellen erwähnen, dass es immer wieder zu Streitereien mit ihnen kam (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/139 Q 2:139]). Die historiographischen Quellen berichten, dass es damals in Medina nur einen einzigen namhaften Juden gab, der zum Islam übertrat: [[w:ʿAbdallāh ibn Salām|ʿAbdallāh ibn Salām]]. An seine Konversion knüpfen sich in der islamischen Tradition zahlreiche Legenden. Aus Enttäuschung darüber, dass ihn die Juden von Medina nicht unterstützen und ihm zunehmend feindlich gegenüberstanden, brach Muhammad nach der Badr-Schlacht mit dem Judentum. So forderte er die Juden auf, ihn nicht mehr als Schiedsrichter anzurufen, da sie sich nicht einmal an die Regeln ihrer Tora hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/43 Q 5:43-45]). Immer häufiger kam es nun auch zu verbalen Attacken gegen die Juden. So wird ihnen an verschiedenen Stellen Verstocktheit vorgeworfen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/87 Q 2:87-90]) und ihre strengen Speiseverbote werden damit begründet, dass die Juden sich in der Vergangenheit schwerer Sünden schuldig gemacht hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/160 Q 4:160]). An anderen Stellen werden sie beschuldigt, sie würden einen Teil ihrer Schriften zurückhalten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/11/vers/18 Q 11:18]). Schließlich gibt es vier Passagen, die besagen, die Juden hätten die Schriften absichtlich „entstellt“ oder „verdorben“ (so [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/75 Q 2:75-79], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/46 4:46], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/13 5:13], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/41 5:41]). Den verbalen Attacken folgten bald reelle Angriffe auf die Juden von Yathrib. Sie waren keine einheitliche Gemeinschaft, sondern gehörten drei verschiedenen Stämmen an, den [[w:Banū Qainuqāʿ|Banū Qainuqāʿ]], den [[w:Banū n-Nadīr|Banū n-Nadīr]] und den [[w:Banū Quraiza|Banū Quraiza]]. Der erste Angriff richtete sich gegen die Banū Qainuqāʿ, die in Yathrib einen eigenen Markt unterhielten. Als Anlass wird in der Überlieferung genannt, dass nach der Schlacht von Badr (624) auf ihrem Markt eine arabische Frau von einer Gruppe von Juden belästigt worden war. Ein Muslim, der die Begebenheit beobachtet hatte, tötete einen der Juden und wurde dann selbst umgebracht. Das war der Auslöser dafür, dass Muhammad die Banū Qainuqāʿ im April 624 in ihrem befestigten Stadtteil belagerte. Sie mussten ihre Habe zurücklassen und wanderten nach Adhriʿāt (dem heutigen [[w:Darʿā|Darʿā]] im [[w:Hauran|Hauran]], Syrien) aus. Die Vertreibung der Banū Qainuqāʿ hatte wahrscheinlich auch einen ökonomischen Hintergrund, denn Muhammad strebte in dieser Zeit danach, einen eigenen Markt aufzubauen, und der Markt der Qainuqāʿ war ihm dabei im Weg. [[File:Khaybar - deserted houses.jpg|mini|250px|Die Oase Chaibar heute]] Im August 625 ging Muhammad gegen den jüdischen Stamm der Banū n-Nadīr vor. Als Anlass für den Konflikt nennt die Überlieferung einerseits einen versuchten Mordanschlag auf Muhammad, andererseits den Vorwurf der Kollaboration mit den feindlichen Quraisch. Muhammad ließ sie in ihren befestigten Häusern belagern und außerdem ihre Palmenpflanzungen zerstören, womit er ein ungeschriebenes Gesetz der arabischen Kriegführung verletzte. Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/59/vers/5 Q 59:5] liefert nach der islamischen Tradition eine Rechtfertigung für dieses Vorgehen. Wie die Banū Qainuqāʿ, so wurden auch die Banū Nadīr vertrieben; sie fanden mehrheitlich in der jüdischen Oase [[w:Chaibar|Chaibar]] Zuflucht, in der sie über Grundbesitz und eigene Festungen verfügten. Nach der Grabenschlacht 627 kam es zu einer Konfrontation der Muslime mit dem dritten und letzten noch in Medina verbliebenen jüdischen Stamm, den Banū Quraiza, denen auch verschiedene andere Oasen im Norden der Halbinsel gehörten. Ihnen wurden der Bruch ihres Abkommens mit Muhammad und die Zusammenarbeit mit den Quraisch während der Grabenschlacht vorgeworfen. Es erfolgte eine mehrwöchige Belagerung ihres befestigten Stadtteil. Da die Banū Aus mit den Banū Quraiza verbündet waren und sich für sie einsetzten, legte Muhammad die Entscheidung über ihr Leben in die Hand von [[w:Saʿd ibn Muʿādh|Saʿd ibn Muʿādh]], dem Anführer der Banū Aus, der in der Grabenschlacht schwere Verwundungen erlitten hatte und dem Tode nahe war. Dieser sprach sich dafür aus, alle Männer umzubringen, Frauen und Kinder in die Gefangenschaft zu führen und ihren Besitz aufzuteilen, was trotz Protesten von Seiten anderer Verbündeter unverzüglich umgesetzt wurde. Auch nach diesem Vorfall dauerte die Auseinandersetzung mit den Juden noch an. Die Banū n-Nadīr rüsteten nach ihrer Vertreibung aus Medina in Chaibar zum Krieg gegen Muhammad, wobei sie mit den arabischen Stämmen der Nachbarschaft zusammenarbeiteten. Muhammad kam ihnen im Frühjahr 628 mit einem eigenen [[w:Chaibar (Feldzug)|Kriegszug]] zuvor. Das Koranwort aus [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/33 Sure 5:33], das denjenigen, die gegen Gott und seinen Gesandten Krieg führen, eine grausame Strafe (Tötung, Kreuzigung bzw. kreuzweise Amputation von Hand und Fuß) in Aussicht stellt, wird in diesen historischen Zusammenhang gestellt. Chaibar kapitulierte im Juni 628, und die Juden der Oase wurden verpflichtet, ihr Vermögen herauszugeben und jedes Jahr die Hälfte ihrer Ernte den muslimischen Eroberern zu übergeben. Zwei andere von Juden besiedelte Oasen, Fadak und [[w:Tayma|Taimāʾ]], unterstellten sich Muhammads Herrschaft kurze Zeit später freiwillig. === 3.2.3. Andere Gegner Muhammads === In den Koranversen, die in die Zeit nach der [[w:Schlacht von Uhud|Uhud-Schlacht]] eingeordnet werden, taucht noch eine weitere gegnerische Personengruppe auf, die [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]]. Sie werden beschrieben als Personen, die zuerst den Glauben angenommen haben, sich dann aber wieder davon abwandten und nur noch so taten, als würden sie an den Gottesgesandten glauben (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/1 Q 63:1-3]). Man kann insofern den arabischen Begriff ''munāfiqūn'' mit „Heuchler“ übersetzen. Der Koran bezeichnet diese Leute auch als „Menschen, die in ihrem Herzen eine Krankheit haben“ (''fī qulūbi-him maraḍ''; vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/52 5:52]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/49 8:49]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/125 9:125]) und droht ihnen an, dass sie dereinst auf den untersten Grund des Höllenfeuers verbannt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/145 Q 4:145]). Die Munāfiqūn stellten vor allem Muhammads richterliche Autorität in Frage. Der Koran spricht davon, dass einige von ihnen ihren Streit nicht durch Muhammad schlichten lassen wollten und sich von ihm abwandten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/60 Q 4:60f]). Gegen diese Abfallsbewegung richtet sich die Aufforderung an die Gläubigen, ihre Dispute auf jeden Fall Muhammad zur Entscheidung vorzulegen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]). Nur diejenigen sollten fortan noch als Gläubige gelten, die sich an dieses Gebot hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/65 Q 4:65]). Als Anführer der Munāfiqūn wird in den arabischen Quellen ʿAbdallāh ibn Ubaiy genannt. Von ihm wird berichtet, dass er ohne Muhammads Auftreten in Yathrib „König“ ([[w:Malik|Malik]]) der Stadt geworden wäre. Es ging also möglicherweise um konkurrierende Machtansprüche. Offenbar geriet in dieser Zeit aber auch die religiöse Autorität Muhammads in eine Krise. Die islamische Tradition hat den Bericht von einem Christen aus dem medinischen Clan der Banū n-Naddschār bewahrt, der zum Islam übergetreten war und dem Propheten während der Niederschrift der Suren [[w:Sure 2|2]] und [[w:Sure 3|3]] als Sekretär gedient hatte, nun aber zu seiner alten Religion zurückkehrte und sich bei seinen Glaubensbrüdern damit brüstete, Muhammad wisse nichts außer dem, was er für ihn niedergeschrieben habe. Auf skandalöse Weise fiel in dieser Zeit auch einer von Muhammads mekkanischen Schreibern ab, nämlich [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]]. Er begab sich ins heidnische Mekka und brüstete sich dort, er habe Muhammad auf die Probe gestellt, indem er nachträglich an einer Stelle den Wortlaut der Offenbarung geändert habe, ohne dass Muhammad diese Abänderung bemerkte. Gegenstand der Änderung waren Reimwörter, die in ähnlicher Form an anderen Stellen des Korans vorkommen. Der Koran selbst scheint von diesem Vorfall Zeugnis abzulegen. So werden Leute erwähnt, in deren Herzen Verirrung ist, die sich nicht an den festgefügten Versen (''āyāt muḥkamāt'') des Korans orientieren, sondern „das suchen, was einander ähnlich ist, um Zwietracht zu stiften“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/7 Q 3:7]). Nach der Überlieferung ist außerdem mit dem Mann, von dem der Koran berichtet, dass er den Unglauben ([[w:Kufr|Kufr]]) gegen den Glauben ([[w:Īmān|Īmān]]) eintauschte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/108 Q 2:108]), ʿAbdallāh ibn Abī Sarh gemeint. Gegen einige seiner Gegner ging Muhammad sehr grausam vor. So ließ er zum Beispiel den mit den Banū n-Nadīr verbundenen Dichter [[w:Kaʿb ibn al-Aschraf|Kaʿb ibn al-Aschraf]], der in Mekka die Quraisch zum Kampf gegen die Muslime angestachelt und nach einigen Berichten mit ihnen sogar eine Allianz gegen Muhammad geschlossen hatte, nach seiner Rückkehr nach Medina im September 624 heimtückisch ermorden. Bei der Einnahme von Mekka im Januar 630 war er dagegen sehr viel gutmütiger. Mit Ausnahme weniger Personen, die Tötungsdelikte begangen hatten, begnadete der Prophet alle seine früheren Gegner, die er in der Stadt vorfand, darunter auch seinen ehemaligen Schreiber Ibn Abī Sarh, der in Mekka Stimmung gegen ihn gemacht hatte. Er profitierte davon, dass sich sein Milchbruder [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān]] beim Propheten für ihn einsetzte. Muhammads Bereitschaft, früheren Gegnern zu verzeihen, spiegelt sich auch auf koranischer Ebene wieder. Wer die Umkehr ([[w:Tauba|Tauba]]) zu Gott vollzieht, so heißt es dort, kann damit rechnen, dass es ihm wohlergeht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/31 Q 24:31]). Gott selbst wird im Koran als derjenige beschrieben, der „die Umkehr von seinen Knechten annimmt“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/104 Q 9:104]). Wer umkehrt, dem wendet sich auch Gott wieder zu ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/39 Q 5:39]). Heuchlern und Apostaten, die die Tauba nicht vollziehen, droht jedoch das Höllenfeuer ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/74 Q 9:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/86 3:86-89]). === 3.2.4. Die Konstituierung als eigenständige Religionsgemeinschaft === Die Zusammenfügung der Gläubigen zu einem Loyalitätsverband und die Abgrenzung nach außen gegenüber anderen Gruppierungen gingen einher mit dem Bestreben, den Einfluss anderer Loyalitätsbeziehungen, die für den Zusammenhalt der Gläubigen eine Bedrohung darstellen könnten, zu beschränken. Dieses zeigt sich an verschiedenen Koranstellen der medinischen Periode, an denen die Gläubigen aufgefordert werden, sich keine Ungläubigen, sondern nur noch Gläubige zu Freunden zu nehmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/28 Q 3:28]). Nur diejenigen sollten noch als „Gläubige“ und damit vollwertige Mitglieder dieser Gemeinschaft gelten, die die Beziehungen zu den Gegnern des Gottesgesandten komplett abbrechen und sich dabei auch über Verwandtschaftsbande hinwegsetzen. Denjenigen, die sich an diese Grundsätze halten, wird im Koran Erfolg und jenseitiges Heil verheißen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/56 Q 5:56]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/58/vers/22 58:22]). Für Frauen, die in das muslimische Lager überwechseln wollten, erwähnt der Koran ein eigenes Aufnahmeverfahren: man solle sie prüfen, und wenn sie als gläubige Frauen erkannt seien, solle man sie nicht zu den Ungläubigen zurückkehren lassen, diesen aber den für sie entrichteten Brautpreis ersetzen, dann sei es erlaubt, mit diesen Frauen eheliche Beziehungen einzugehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/60/vers/10 Q 60:10]). Der Abgrenzung nach außen auf sozialer Ebene lief eine Abgrenzung auf religiöser Ebene parallel. Die Abgrenzung von den Juden betraf dabei insbesondere die religiösen Riten (vgl. unten [[#3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus|3.3.]]). Auf ideeller Ebene erfolgte gleichzeitig eine Rückbesinnung auf die Gestalt [[w:Abraham im Islam|Abrahams]]. Er wurde nun zum Prototypen der neuen Religionsgemeinschaft erhoben. An mehreren Koranstellen aus dieser Zeit findet sich die Aufforderung, der Religion der „Gemeinschaft Abrahams“ (''millat Ibrāhīm'') zu folgen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/130 Q 2:130]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/125 4:125]). Es wird betont, dass Abraham kein Jude, Christ oder [[w:Muschrik|Muschrik]] war, sondern ein Muslim und [[w:Hanīf|Hanīf]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/67 Q 3:67]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/95 3:95]). Eine Weile war Hanīf wohl auch die übliche Bezeichnung für Muhammads Anhänger und Hanīfīya („Hanīfentum“) der Name für die von ihm gegründete Religion. Mit den auf Abraham bezogenen koranischen Passagen ließ sich auch die kultische Wiederausrichtung auf das arabische Heiligtum in Mekka gut rechtfertigen. Sie wurde damit erklärt, dass „das Haus“ (''bait'') in Mekka das Jerusalemer Heiligtum an Alter übertreffe, weil es das erste sei, das für die Menschen errichtet wurde ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/96 Q 3:96]). Schon Abraham habe zusammen mit seinem Sohn [[w:Ismael|Ismāʿīl]] die Grundmauern dieses „Hauses“ aufgerichtet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/127 Q 2:127]). Muhammad scheint hier auf hanīfische Konzepte (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.6. Der religiöse Wandel und die Hanīfen|1.3.6.]]) zurückgegriffen zu haben. An zwei Stellen des Korans ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 2:125]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/97 3:97]) wird das mekkanische Heiligtum zudem als der „[[w:maqām Ibrāhīm|Standplatz Abrahams]]“ (''maqām Ibrāhīm'') bezeichnet. === 3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten === Muhammad war nach der Gemeindeordnung von Medina keineswegs der absolute Herrscher von Medina. Er wurde lediglich als Prophet (§ 1) und Schiedsrichter (§ 23, 42) anerkannt. In den Quellen werden mehrfach Vorfälle geschildert, die zeigen, dass er sich darum bemühen musste, die Unterstützung anderer Clanoberhäupter zu gewinnen. Im Zusammenhang mit den militärischen Aktivitäten veränderten sich jedoch die Machtstrukturen innerhalb der Gemeinschaft der Muslime. Eine Folge des Misserfolges von Uhud war die Aufforderung an die Gläubigen, zukünftig dem Gottesgesandten und „denjenigen, die zu befehlen haben“ (''ūlū l-amr''), unbedingt zu gehorchen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]) und vor Streuung von sicherheitsrelevanten Informationen erst diesen Personenkreis zu unterrichten, um eine Überprüfung dieser Informationen zu ermöglichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/83 Q 4:83]). Das militärische Nachrichtenwesen wurde auf diese Weise zentralisiert. Den Gläubigen wurde außerdem mitgeteilt, dass der Gottesgesandte das Vorrecht auf mindestens ein Fünftel (''ḫums'') der Beute habe, um es unter den Verwandten, Weisen, Armen und Wohnungslosen zu verteilen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]). Von seinen Anhängern, den gläubigen Männern und Frauen, forderte der Prophet nach der Vertreibung der jüdischen Stämme uneingeschränkten Gehorsam bei all den Dingen, die er selbst entschieden hatte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/36 Q 33:36]). Seine militärischen und diplomatischen Erfolge brachten ihm offenbar so viel Prestige und Autorität ein, dass auch seine Macht immer weiter zunahm. Von nicht geringer Bedeutung für Muhammads Machtzuwachs war die Tatsache, dass sich in Medina auch mehrere Dichter auf seine Seite stellten. Der bekannteste von ihnen war [[w:Hassān ibn Thābit|Hassān ibn Thābit]], der schon für [[w:Ghassaniden|ghassānidische]] und [[w:Lachmiden|lachmidische]] Prinzen Lobgedichte verfasst hatte. Vor diesem Hintergrund wurde die im Koran formulierte allgemeine Ablehnung gegenüber den Dichtern (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.2.5. Der Überbringer der Botschaft|2.2.5.]]) differenziert: Nur diejenigen von ihnen sollten der Verdammung anheimfallen, die Unrecht getan haben, nicht aber diejenigen, „die den Glauben angenommen haben, das Rechte tun und Partei ergreifen, nachdem ihnen Unrecht angetan worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/26/vers/227 Q 26:227]). Außerdem standen Muhammad jetzt auch mehr Schreiber zur Verfügung, die seine Korrespondenz führen und seinen Koranvortrag niederschreiben konnten. Zu nennen sind insbesondere [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], der vor der Hidschra auf einer jüdischen Schule die syrische oder hebräische Schrift erlernt hatte, und [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]]. Beide gehörten sie dem chazradschitischen Clan der Banū n-Naddschār an, in deren Viertel sich Muhammad niedergelassen hatte. Wie für einen arabischen Stammesfürsten seiner Zeit üblich, hatte Muhammad eine ganze Anzahl von Frauen nebeneinander. Viele dieser Ehen dienten vor allem politischen Zwecken. Mit ihnen wollte er zum Beispiel wichtige Anhänger enger an sich binden oder die Freundschaft des tribalen Verbands der Ehefrau gewinnen. Allerdings gab es andere Ehen, die er rein aus Zuneigung geschlossen haben soll. Dies gilt zum Beispiel für seine Ehe mit [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]]. Sie war ursprünglich die Gattin von Muhammads Adoptivsohn Zaid ibn Hāritha gewesen. Es wird berichtet, dass Muhammad, als er einmal mit Zaid sprechen wollte, diesen nicht zu Hause antraf, sondern nur Zainab, die gerade leicht bekleidet war, und daraufhin in heißer Liebe zu ihr entbrannte. Zainab berichtete Zaid von dem Besuch und den Andeutungen, die Muhammad beim Weggehen gemacht hatte. Zaid verstand diese Andeutungen und trennte sich von Zainab, um sie ihm zu überlassen. Muhammads Plan, Zainab zu heiraten, löste allerdings in der Gesellschaft von Medina Empörung aus, da die Ehe mit der früheren Ehefrau des eigenen Sohns, auch wenn er nur ein „Nennsohn“ (''daʿī'') war, als inzestuös betrachtet wurde. Muhammad setzte sich jedoch über diese Einwände hinweg und heiratete Zainab. Durch eine Offenbarung wurde diese Ehe nachträglich gerechtfertigt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/37 Q 33:37]) und als von Gott verhängtes Geschick ([[w:Qadar|Qadar]]) abgesegnet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/38 Q 33.38]). [[Datei:Mohamed peace be upon him.svg|mini|Eine [[w:Tasliya|Tasliya]] in kalligrafischer Ausführung]] Ein weiterer Fall ist [[w:Safīya bint Huyaiy|Safīya bint Huyaiy]]. Sie war die Tochter des Oberhaupts des jüdischen Clans der Banū n-Nadīr, der in Medina den Propheten bekämpft hatte und dann mit seinem Clan von dort vertrieben worden war. Nach dem Sieg über Chaibar war diese Safīya von den Muslimen gefangen genommen und bei der Beuteaufteilung einem anderen Kämpfer zugeteilt worden. Aufgrund ihrer Schönheit beanspruchte sie der Prophet aber für sich selbst. Unter der Bedingung, dass sie sich zum Islam bekehrte, kaufte er sie frei und nahm sie als reguläre Ehefrau. Die Eheschließung Muhammads mit Safīya war sehr konfliktgeladen, weil die anderen Gattinnen Muhammads auf die neue Nebenfrau eifersüchtig waren. Es wird angenommen, dass dies auch der Anlass für das seltsame Verbot war, das in [[w:Sure 33|Sure 33]] speziell für den Propheten ausgesprochen wird. Ihm wird dort verboten, weitere Frauen zu ehelichen, „auch wenn ihre Schönheit dir gefallen sollte“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/52 Q 33:52]). Neben seinen Ehefrauen besaß Muhammad noch verschiedene Sklavinnen, die ihm als Konkubinen dienten. Eine von ihnen, [[w:Māriya al-Qibtīya|Maria, die Koptin]], der Muhammad besonders zugetan war, löste in Muhammads Harem einen derart großen Eifersuchtskonflikt aus, dass Muhammad gelobte, sich zukünftig von ihr fernzuhalten. Dieses Versprechen nahm er aufgrund der Indiskretion einer seiner Ehefrauen allerdings später wieder zurück, ein Vorfall, auf den auch im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/66/vers/1 Q 66:1-5]) Bezug genommen wird. Wie sich an [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/32 Sure 33:32] ablesen lässt, wurden Muhammads Ehefrauen auch von anderen Männnern begehrt. Damit sie sich auf Avancen von dieser Seite nicht einließen, wurde ihnen eine hohe Strafe für Ehebruch angedroht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/30 Q 33:30]). Des Weiteren wurden sie aufgefordert, in ihrem Haus zu bleiben und sich nicht „nach Art der früheren [[w:Dschāhilīya|Dschāhilīya]]“ herauszuputzen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/33 Q 33:33]). Außerdem wurden sie durch einen Vorhang (''ḥiǧāb'') von anderen Männern abgeschirmt und für die Zeit nach Muhammads Tod mit einem ewigen Heiratsverbot belegt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/53 Q 33:53]). Anlass für diese Neuregelung soll Muhammads Hochzeit mit Zainab bint Dschahsch im Frühjahr 627 gewesen sein, bei der sich der Prophet durch Männer belästigt fühlte, die offenbar ohne Erlaubnis sein Haus betreten und mit seinen Frauen Kontakt aufgenommen hatten. Der Allgemeinheit der Gläubigen wurde um diese Zeit auferlegt, für den Propheten einen speziellen Segenswunsch zu sprechen, sobald er erwähnt wird ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/56 Q 33:56]). Dadurch erhielt seine Person immer mehr einen sakrosankten Charakter. Der [[w:Tasliya|Tasliya]]-Segenswunsch bei Muhammads Erwähnung gilt bis heute im Islam als Pflicht. === 3.2.6. Reformen der Rechts- und Geschlechterordnung === Muhammad erfüllte, wie oben ([[#3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“|3.2.1.]]) beschrieben, in Medina eine richterliche Funktion und entsprach damit in etwa dem Typ des altarabischen ''ḥakam''. Bei vielen Streitigkeiten, die vor ihn gebracht wurden, fällte er sein Urteil wahrscheinlich aufgrund früherer Rechtssetzung ([[w:Sunna|Sunna]]). Dort, wo sich das vorhandene System allerdings als unzulänglich erwies, lieferte er mit dem Koran neue Bestimmungen und Vorschriften. Die ersten Regelungen, die Muhammad nach der Hidschra traf, sind in [[w:al-Baqara|Sure 2]] festgehalten. Hier wird das altarabische [[w:Qisās|Qisās]]-System bestätigt, allerdings die Empfehlung ausgesprochen, die Wiedervergeltung durch Wergeld ([[w:Diya (Islam)|Diya]]) zu regeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/178 Q 2:178f]). Daneben wird Zinswucher ([[w:Ribā|Ribā]]) verboten (vgl. u.a. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/275 Q 2:275]). Auch der Bereich der Ehe wurde neu geordnet. Muhammad gab den Männern die Möglichkeit, ihre Frauen [[w:Talāq|zu verstoßen]], verbot ihnen aber für diesen Fall, etwas von ihrem Vermögen einzubehalten. Die Frau konnte selbst auch die Auflösung der Ehe verlangen, musste sich dann aber durch Rückgabe der [[w:Brautgabe|Brautgabe]] oder eines Teils davon loskaufen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/229 Q 2:229]). Diese Form des Selbstloskaufs der Ehefrau, die bis heute existiert, wird im islamischen Recht [[w:Chulʿ|Chulʿ]] genannt. Nach Verstoßung seiner Frau kann der Mann diese erst dann wieder heiraten, wenn sie zwischenzeitlich einen anderen Mann geheiratet hat ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/230 Q 2:230]). Außerdem wurde die Vorschrift eingeführt, dass die Frau zwischen ihren Ehen eine drei- bzw. viermonatige Wartezeit (''ʿidda'') einhalten muss ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/228 Q 2:228], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/234 2:234]). Auf diese Weise sollte die leibliche [[w:Vaterschaft|Vaterschaft]] sichergestellt werden. Eine weitere Regelung, die in diese Richtung zielt, ist das Verbot der [[w:Adoption|Adoption]] ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/4 Q 33:4f]), das wahrscheinlich im Zusammenhang mit Eheschließung mit Zainab eingeführt wurde. Des Weiteren führte Muhammad verschiedene strafrechtliche Regeln ein. So wurde bestimmt, dass männlichen und weiblichen Dieben „als Vergeltung für das, was sie begangen haben, und als Warnung vor Gott“ die Hand abgeschnitten werden sollte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/38 Q 5:38]). Verschiedene Überlieferungen verlegen auch das in [[w:Sure 5|Sure 5]] ausgesprochene allgemeine Weinverbot, das für den Islam [[w:Alkoholverbot im Islam|kennzeichnend]] geworden ist, in diese Zeit. An der Stelle selbst ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/90 Q 5:90f]) wird das Verbot damit begründet, dass der Weingenuss genauso wie das Losspiel Feindschaft und Hass zwischen den Anhängern Muhammads säe und sie vom Gebet abhalte. Die Berichte zum Anlass der Verhängung dieses Verbots erklären, dass zuvor Streitereien unter betrunkenen Prophetengefährten vorgefallen waren, bei denen einzelne von ihnen sogar schwer verletzt worden waren. Nach Uhud führte Muhammad im Bereich der Geschlechter- und Eheregeln weitere wichtige Änderungen und Reformen durch, die hauptsächlich in [[w:an-Nisāʾ|Sure 4]] festgehalten sind. Den männlichen Muslimen wurde erlaubt, bis zu vier Frauen gleichzeitig zu heiraten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/3 Q 4:3]), ihnen andererseits auferlegt, das Brautgeld den Ehefrauen selbst zu übergeben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/4 Q 4:4]). Darüber hinaus legte der Koran genaue Erbschaftsregelungen fest, die auch weibliche Verwandte und Witwen berücksichtigten, Frauen allerdings immer nur die Hälfte dessen zugestanden, das Männer desselben Verwandtschaftsgrades erhielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/7 Q 4:7-14]). Ehefrauen gehörten fortan nicht mehr zum Erbgut des Verstorbenen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/19 Q 4:19]) und durften auch nicht mehr von dessen Söhnen geheiratet werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/23 Q 4:23]). In Anbetracht ihrer Unterhaltspflicht gegenüber den Frauen wurde den Männern erlaubt, diese im Falle der Aufsässigkeit zu züchtigen ([[w:Sure 4:34|Q 4:34]]). Besuchsehen (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.2._Geschlechterverhältnisse|1.3.2.]]) wurden weiter zugelassen, allerdings daran gebunden, dass der Mann die Frau entlohnte und die Frau keine Beziehungen zu mehreren Männern gleichzeitig unterhielt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Q 4:24f]). Damit wurde die altarabische Institution der [[w:Polyandrie|Polyandrie]], die Ehe einer Frau mit mehreren Männern, verboten. Frauen, denen durch vier Zeugen sexuelles Fehlverhalten nachgewiesen werden konnte, sollten lebenslang unter Arrest gestellt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/15 Q 4:15]). Muhammads Haltung zum Institut der zeitlich begrenzten Besuchsehe scheint allerdings nicht ganz eindeutig gewesen zu sein. In verschiedenen islamischen Quellen wird überliefert, dass er solche Verhältnisse anlässlich der [[w:Chaibar_(Feldzug)|Schlacht von Chaibar]] verboten, später aber wieder erlaubt habe. Insgesamt lässt die neue Eheordnung den Willen erkennen, einen Ausgleich zwischen den beiden im alten Arabien existierenden Ehesystemen (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]) zu schaffen. {{Anker|Halskettenskandal}} Ein Skandal um Muhammads junge Ehefrau [[w:Aischa bint Abi Bakr|ʿĀ'ischa]] führte zu einer Verschärfung des Sexualstrafrechts. Hintergrund war ein Vorfall auf einem Feldzug im Januar 627. Es wird erzählt, dass sich ʿĀ'ischa auf dem Rückweg von diesem Feldzug nach Medina auf der Suche nach einer verlorenen Halskette vom Rastplatz entfernte, bei ihrer Rückkehr das Lager abgebrochen fand und am nächsten Tag von einem jungen Mann namens Safwān ibn al-Muʿattal zurückgebracht wurde. Der durch diesen Vorfall hervorgerufene Skandal spaltete die Gemeinschaft, weil einige prominente Muslime ʿĀʾischa öffentlich der Untreue beschuldigten. Muhammad schickte ʿĀʾischa zunächst in ihr Elternhaus zurück und erwog wohl ihre Verstoßung, überzeugte sich dann aber durch eine Eingebung ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/11 Q 24:11-20]) von der Grundlosigkeit dieser Verdächtigung und nahm sie wieder zu sich auf. Im Zusammenhang mit diesem Vorfall wurde die Regel eingeführt, dass diejenigen, die ehrbare Frauen in Verruf bringen, ohne vier Zeugen beizubringen, 80 Peitschenhiebe erhalten sollten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/4 Q 24:4]). Auf [[w:Zinā|außerehelichen Geschlechtsverkehr]] wurden als neue Strafe nun 100 Peitschenhiebe eingeführt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2]). In zwei anderen Versen derselben Sure werden die gläubigen Männer und Frauen dazu angehalten, ihre Blicke zu senken und ihre Scham zu bewahren. Frauen werden zusätzlich angewiesen, sich in Anwesenheit von heiratbaren Männern ihren Schal um den Ausschnitt zu schlagen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/30 Q 24:30-31]) und sich in der Öffentlichkeit zu verhüllen, damit sie nicht belästigt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/59 Q 33:59]). Dieses Verhüllungsgebot wurde später zu einem festen Bestandteil der traditionellen islamischen Geschlechterordnung. Allerdings wurden Frauen zur Zeit Muhammads nicht auf den häuslichen Bereich beschränkt. Von mehreren (z.B. [[w:Rufaida al-Aslamīya|Rufaida]] und [[w:Umm Sinān al-Aslamīya|Umm Sinān]]) wird berichtet, dass sie die Männer bei Kriegszügen begleiteten und die Versorgung von Verwundeten und Kranken übernahmen. == 3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus == === 3.3.1. Die Anfänge der Moschee und die Weiterentwicklung der Salāt === [[Bild:Oldquba.jpg|mini|Die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] zu Anfang des 20. Jahrhunderts]] Als Muhammad nach der Hidschra im September 622 in der Oase von Yathrib ankam, wohnte er die ersten Tage in Qubā', einem südlichen Vorort von Yathrib. Für die [[w:Salāt|Salāt]] nutzte er einen Masdschid, den Anhänger von ihm dort angelegt hatten. ''Masdschid'' hängt mit dem Wort [[w:Sudschūd|Sudschūd]] zusammen und bedeutet soviel wie „Ort der Prosternation“ (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). Es ist der gleiche Begriff, der auch für das Heiligtum in Mekka verwendet wurde, das für die Muslime nun nicht mehr erreichbar war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/34 Q 8:34]). Von ''Masdschid'' leitet sich auch das deutsche Wort „Moschee“ ab, das wahrscheinlich über das spanische ''mezquita'' und das italienische ''moschea'' aus dem Arabischen entlehnt wurde. Aufgrund ihrer besonderen Rolle in der islamischen Geschichte gilt die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] den Muslimen als besonders heilig. Sie soll auch mit dem im Koran genannten „Masdschid, der vom ersten Tag auf Gottesfurcht gegründet war“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/108 Q 9:108]) identisch sein. Bis heute wird sie bei der Wallfahrt von Scharen muslimischer Pilger zum Gebet aufgesucht. Neben dem Masdschid von Qubā' bestanden in Yathrib noch verschiedene andere private Gebetsplätze. Muhammad fasste nach kurzer Zeit den Entschluss, ebenfalls einen Masdschid zu errichten. Er wählte dafür einen Ort im Viertel der Banū n-Naddschār aus, in dem er Aufnahme gefunden hatte. Zusammen mit seinen Anhängern errichtete er dort einen Hof von etwa 35 x 30 m, der mit einer Ziegelmauer eingefasst war. Muhammad selbst schlief in einer der Kammern an der Außenmauer. Der Bau war also auch gewissermaßen Muhammads Haus. An der nördlichen Seite, wo zunächst gebetet wurde, schützte ein Schattendach (''ṣuffa'') aus Palmblättern und Lehm die Betenden vor der Sonne. Nach der Verlegung der Gebetsrichtung nach Mekka (siehe unten) nutzten mittellose Muhādschirūn und solche, die in Yathrib keine Unterkunft hatten, den Platz als Zufluchtsort und übernachteten hier. Aufgrund ihrer Armut und besonderen Nähe zum Propheten gelten diese „Leute des Schattendachs“ ([[w:Ahl as-Suffa|Ahl as-Suffa]]) bis heute vielen Muslimen als religiöses Vorbild. Die Moschee Muhammads entwickelte sich im Laufe der Zeit zum Zentrum des Gemeindelebens seiner Anhänger. Die Gebete wurden durch einen öffentlichen Ruf, [[w:Adhān|Adhān]] genannt, angekündigt. Als ersten Gebetsrufer (''muʾaḏḏin'', davon abgeleitet das deutsche Wort [[w:Muezzin|Muezzin]]) soll Muhammad den Äthiopier [[w:Bilāl ibn Rabāh|Bilāl ibn Rabāh]] eingesetzt haben, der deswegen gewissermaßen als Vorbild aller späteren Muezzine gilt. Man versammelte sich in Muhammads Moschee allerdings nicht nur zum Gebet, sondern hielt auch Beratungen ab, empfing Gesandtschaften und pflegte Verwundete. In den angrenzenden Räumlichkeiten wurden die Ehefrauen Muhammads untergebracht. Auf Grundlage des enormen ökonomischen Zugewinns, den die Gemeinschaft der Muslime nach der Schlacht von Chaibar erlebte, konnte der Bau 628 auf etwa 50 x 50 m erweitert werden. Auch im Gebetsritus erfolgten in den Jahren nach der Hidschra einige Änderungen. Parallel zur Einführung eines dritten Tagesgebets (vgl. oben [[#3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden|3.2.2.]]) wurde die Pflicht zur Abhaltung der Vigilien gelockert ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/73/vers/20 Q 73:20]). Nach dem Zerwürfnis mit den jüdischen Stämmen löste sich Muhammad von der Gebetsrichtung ([[w:Qibla|Qibla]]) nach Jerusalem, und es begann ein Prozess der schrittweisen Umorientierung. Zunächst wurde betont, wie gleichgültig es ist, nach welcher Richtung man betet, weil Gott überall ist ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/115 Q 2:115]). Schließlich wurde als neue Qibla die „Heilige Kultstätte“ ([[w:al-Masdschid al-Harām|al-Masdschid al-Harām]]) in Mekka festgelegt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/144 Q 2:144]), wobei offensichtlich die frühere Gebetsrichtung noch als gleichberechtigt anerkannt wurde (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/148 Q 2:148]). In der Mitte von Muhammads medinischer Periode wurden außerdem einige Bestimmungen für den Zustand erlassen, in dem sich die Gläubigen befinden mussten, wenn sie sich dem Gebet näherten: Wenn sie unrein (''ǧunub'') waren, sollten sie vorher eine Waschung vornehmen, und wenn sie vom Abort kamen oder eine Frau berührt hatten, sich vorher mit Wasser oder ersatzweise Erde über Gesicht und Hände streichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/43 Q 4:43]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/6 5:6]). Etwa um die gleiche Zeit wurde die Salāt für alle Muslime zu einer obligatorischen Pflicht. Das geht aus koranischen Passagen dieser Periode hervor, die beschreiben, dass die Munāfiqūn nur widerwillig an diesem Ritual teilnahmen (vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/142 Q 4:142]). === 3.3.2. Ramadān-Fasten und Festgebet === Eines der größten [[w:Jamim_Noraim|Feste im Judentum]] ist das Fasten am [[w:Jom Kippur|Jom Kippur]], dem zehnten Tag des Monats [[w:Tischri|Tischri]]. Die Juden in Yathrib nannten diesen Tag wegen seiner Stellung im Monat einfach den Zehnten ([[w:Aschura|ʿĀschūrā']]), so wie er auch im Alten Testament (Lev 16:29) genannt wird. Als sich nach Muhammads Ankunft in Yathrib zum ersten Mal der zehnte Tag des Tischri näherte, befahl er seinen Anhängern, zusammen mit den Juden an diesem Tag zu fasten. Der Koran legt davon noch Zeugnis ab: „Ihr Gläubigen! Euch ist vorgeschrieben worden zu fasten, so wie es auch denjenigen, die vor euch lebten, vorgeschrieben worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/183 Q 2:183]). Die Juden fasteten an diesem Tag von einem Abend zum nächsten, und auch die Muslime übernahmen diese Gewohnheit. Im Zuge seiner Abwendung von den Juden im Jahre 624 löste sich Muhammad aber auch von den jüdischen Fastenvorschriften und führte das dreißigtägige Tagesfasten im Monat [[w:Ramadan|Ramadān]] ein. Der Ramadān hatte spätestens seit der Schlacht von Badr, die in diesem Monat stattgefunden hatte, eine besondere Bedeutung bei den Muslimen. Er galt nun auch als Monat der Herabsendung des Korans (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/185 Q 2:185]) und wurde mit einem speziellen Fastenritus geehrt, der das frühere ʿĀschūrā'-Fasten ablöste. Die ersten Regelungen für das Ramadānfasten finden sich in den beiden Koranversen 2:185 und [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]. Diese beiden Verse liefern die Grundlage für die ausführlichen Fastenvorschriften, die die muslimischen Rechtsgelehrten in späterer Zeit ausarbeiteten. Zum Fasten gehörte neben dem Verzicht auf Speisen und Getränke auch die Enthaltung vom Geschlechtsverkehr. Geschlechtsverkehr in den Nächten des Ramadān wurde dagegen ausdrücklich erlaubt, mit der Begründung, dass Mann und Frau einander wie Kleider seien. Nur für die Zeit des [[w:Iʿtikāf|Iʿtikāf]], eine besondere Andachtszeit am Ende des Ramadāns, wurde das nächtliche Sexualverbot aufrechterhalten (Q [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]). Die letzten Ramadān-Nächte hatten schon früh eine Sonderstellung im religiösen Leben der Muslime, weil die Auffassung bestand, dass der Koran in einer dieser Nächte herabgesandt worden war. Diese Nacht der Herabsendung des Korans wird entsprechend [[w:Sure 97|Sure 97]] als [[w:Lailat al-Qadr|Lailat al-Qadr]] („Nacht der Vorsehung“) bezeichnet und gilt als besonders heilige Zeit. [[Datei:Eid Gaah Mahoba - panoramio - Dr. Nizam.jpg|mini|ʿĪdgāh in [[w:Mahoba|Mahoba]], Indien]] Eingeführt wurde in dieser Zeit auch ein [[w:Fest des Fastenbrechens|Fest des Fastenbrechens]] (''ʿīd al-fiṭr'') am Anfang des nachfolgenden Monats [[w:Schawwāl|Schauwāl]]. Bei dieser Gelegenheit, so wird überliefert, begab sich Muhammad mit den Gläubigen in einem prozessionsartigen Zug zu einem Platz außerhalb der Stadt, wobei ihnen Bilāl mit einer Lanze (''ʿanaza'') – ursprünglich ein Geschenk des äthiopischen [[w:Negus|Negus]] – vorauslief. Während des Gebetes wurde dann die Lanze als Markierung für die Qibla an einer Stelle in den Boden gesteckt. An diesem Gebetsplatz ([[w:Musallā|Musallā]]) fanden jetzt auch die Regengebete und das Gebet zum [[w:Islamisches Opferfest|Opferfest]] (''ʿīd al-aḍḥā'') am 10. [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] statt. Das Opferfest wurde zu dieser Zeit wahrscheinlich neu eingeführt und knüpfte an die Opferzeremonien an, die beim [[w:Haddsch|Haddsch]] an diesem Tag in [[w:Minā|Minā]] vollzogen wurden (siehe oben [[Bamberger_Einführung_in_die_Geschichte_des_Islams_(BEGI)_01#1.3.3._Das_altarabische_Heidentum_und_die_Heiligtümer_von_Mekka|1.3.3.]]). Üblicherweise hielt der Prophet nach Abschluss dieser Gebete eine Ansprache ([[w:Chutba|Chutba]]), in der er die Gläubigen dazu aufforderte, sich an gemeinsamen (kriegerischen) Unternehmungen zu beteiligen. Bis heute hat sich das vormittägliche Festgebet als Sonderritus erhalten. Auch ist es in vielen islamischen Ländern bis heute üblich, Festgebete und Regengebete an einem speziellen Festplatz ([[w:ʿĪdgāh|ʿĪdgāh]]) außerhalb der Stadt zu vollziehen. == 3.4. Weiterführende Literatur == * Andreas Görke: “Between History and Exegesis: The Origins and Transformation of the Story of Muḥammad and Zaynab Bt Ǧaḥš” in ''Arabica'' 65/1-2 (2018) 31–63. * [[w:Meir Jacob Kister|Meir Jacob Kister]]: “The Market of the Prophet”. In: ''Journal of the Economic and Social History of the Orient''. 8 (1965) 272–276. [http://www.kister.huji.ac.il/content/market-prophet Digitalisat] * Michael Lecker: ''The 'Constitution of Medina'. Muḥammad’s First Legal Document''. Darwin Press, Princeton NJ 2004. [https://archive.org/details/the-constitution-of-medina-muhammads-first-legal-document-by-micheal-lecker-2004/page/n1/mode/2up Digitalisat] * Michael Lecker: ''Muslims, Jews and Pagans. Studies on early Islamic Medina.'' Leiden: Brill 1995. * David S. Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men. The making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Hannah Rahman: "The Conflicts Between the Prophet and the Opposition in Madina" in ''Der Islam'' 62/2 (1985) 260-297. [https://doi.org/10.1515/islm.1985.62.2.260 Digitalisat] * Uri Rubin: “The Assassination of Kaʿb b. al-Ashraf”, in ''Oriens'' 32 (1990) 65–71. * Richard B. Serjeant: The Sunna Jāmiʿah, „Pacts with the Yathrib Jews, and the Taḥrīm of Yathrib. Analysis and Translation of the Documents Comprised in the So-Called ‘Constitution of Medina’“ in ''Bulletin of the School of Oriental and African Studies'' 41 (1978) 1–42. * [[w:William Montgomery Watt|William Montgomery Watt]]: ''Muhammad at Medina.'' Oxford: Oxford University Press 1956. [https://archive.org/details/muhammadatmedina029655mbp/page/n9/mode/2up Digitalisat] * William Montgomery Watt: ''Muḥammad: Prophet and Statesman''. London: Oxford University Press 1961. * [[w:Julius Wellhausen|Julius Wellhausen]]: ''Mohammeds Gemeindeordnung von Medina. Skizzen und Vorarbeiten''. Bd. IV. Reimer, Berlin, 1889. S. 65–83. [http://archive.org/stream/medinavordemisl00sagoog#page/n74/mode/2up Digitalisat] == 3.5. Aufgaben/Fragen == 1. Wie ist das Konzept des Dschihad entstanden? 2. Was beinhaltete der Vertrag von Hudaibiya und inwiefern stellte er einen Triumph für Muhammad dar? 3. Welche Regeln beinhaltete die Gemeindeordnung von Medina? 4. Ab dem Ende der mekkanischen Zeit näherte sich Muhammad dem Judentum an. Wie äußerte sich das auf religiöser Ebene? 5. Geben Sie einen Überblick über die militärische Auseinandersetzung Muhammads mit den Juden von Medina und Umgebung. 6. Muhammad erlebte während seiner Zeit in Medina einen allmählichen Machtzuwachs. Worin zeigte sich dieser? 7. Nennen Sie das Geschlechterverhältnis betreffende Regeln, die während der Zeit in Medina eingeführt wurden. 8. Erklären Sie, wie der Ramadān zum heiligen Monat der Muslime geworden ist und welche Vorstellungen und Praktiken mit ihm verbunden sind. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} ijz180vlnkdk7zj9larfxcbxtnkkanm 1117968 1117893 2026-10-27T17:23:00Z PaFra 14559 /* 3.1.3. Der militärische und politische Durchbruch */ Korrektur 1117968 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02|2 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 04|>>> 4]] {{TOC nonum}} = 3. Der Prophet von Yathrib und das neue Gemeinwesen (622-630) = Das Zentrum der neuen Religion verlagert sich in die Oase Yathrib, kriegerisches Handeln steht im Vordergrund. Muhammad und seine Anhänger kämpfen gegen das heidnische Mekka und geraten immer mehr in einen Konflikt mit den Juden von Yathrib, die schließlich aus der Oase vertrieben werden. Als Anführer des neuen Gemeinwesens führt Muhammad verschiedene rechtliche, soziale und kultische Reformen durch. == 3.1. Maghāzī – Die Kriegszüge Muhammads == === 3.1.1. Die Provokation der Quraisch === Die arabischen Quellen berichten übereinstimmend, dass Muhammad nach seiner Auswanderung aus Mekka am 24. September 622 die Oase von Yathrib erreichte. Da er aus Mekka vertrieben worden war, sah er es als gerechtfertigt an, gegen seine frühere Heimatstadt zu kämpfen. Das geht deutlich aus zwei Koranversen hervor, die nach allgemeiner Auffassung als älteste Offenbarung zum Thema des Kampfes gelten: {{Zitat|Denen, die kämpfen, ist das erlaubt, weil ihnen Unrecht angetan – siehe, Gott hat zu helfen ihnen die Macht! – Weil sie vertrieben wurden aus ihrer Heimat ohne Recht, nur weil sie sagten: Unser Herr ist Gott.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/39 Q 22:39f]}} Der Krieg mit Mekka, den Muhammad von seiner neuen Basis Yathrib aus führte, begann mit kleinen Nadelstichen. Nach der Chronologie [[w:al-Wāqidī|al-Wāqidīs]], der im frühen 9. Jahrhundert ein Werk über die Kriegszüge ([[w:Maghāzī|Maghāzī]]) Muhammads verfasste, schickte dieser schon sieben Monate nach seiner Ankunft seinen Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] mit einer Gruppe von Kriegern aus, um an der Küste eine aus Syrien heimkehrende mekkanische Handelskarawane unter Führung [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahls]] abzufangen, doch kam es zu keiner Kampfhandlung, weil ein Mann aus dem Stamm der [[w:Qudāʿa|Dschuhaina]], der mit beiden Seiten verbündet war, dazwischentrat. Bei einer zweiten Unternehmung im April 623 wurde „der erste Pfeil im Islam“ abgeschossen. Der Kampf gegen die Mekkaner setzte sich bald auch über altarabische religiöse Normen hinweg, wie das Friedensgebot in den heiligen Monaten (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). So überfiel ein von Muhammad beauftragtes Kommando im heiligen Monat [[w:Radschab|Radschab]] bei [[w:Nakhla_(Saudi-Arabien)|Nachla]] südlich von Mekka eine mekkanische Karawane. Das war nach der Überlieferung Anlass für die folgende Offenbarung: {{Zitat|Sie fragen dich nach dem heiligen Monat, ob Kampf in ihm erlaubt sei. Sprich: Kampf in ihm wiegt schwer, aber jemanden abzuhalten vom Wege Gottes, darin liegt Unglaube. Und sie vom heiligen Gebetsplatz abzuhalten, und dessen Volk daraus zu vertreiben, – das wiegt schwerer vor Gott. Und Verführung (zum Abfall vom Islam) wiegt schwerer als Töten. Sie werden nicht aufhören, euch zu bekriegen, bis sie euch von eurer Religion abbringen, wenn sie können.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/217 Q 2:217]}} Aus dem Koranwort geht hervor, dass das Weiterbestehen der alten Religion in Mekka für die Anhänger Muhammads eine ständige Versuchung war, von ihrem Glauben abzufallen. Da vielen von ihnen der militärische Kampf (''qitāl'') offenbar zuwider war, wurde er nun zur Pflicht erklärt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/216 Q 2:216]) und durch die Bezeichnung ''ǧihād fī sabīl Allāh'' („Bemühung [[w:Fī sabīli Llāh|für die Sache Gottes]]“, so schon im folgenden Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/218 Q 2:218]), auf eine religiöse Ebene gehoben. In der Form [[w:Dschihad|Dschihad]] hat dieser Begriff auch Eingang ins Deutsche gefunden. [[File:Balami - Tarikhnama - The Battle of Badr - The death of Abu Jahl, and the casting of the Meccan dead into dry wells (cropped).jpg|mini|Bildliche Darstellung der [[w:Schlacht von Badr|Schlacht von Badr]] in einer persischen Handschrift, frühes 14. Jahrhundert]] Die erste große Konfrontation zwischen Mekkanern und den Anhängern Muhammads ergab sich im März 624 bei dem Ort [[w:Badr_(Saudi-Arabien)|Badr]] ca. 130 km südwestlich von Yathrib. Muhammad hatte Informationen erhalten, dass eine reiche mekkanische Karawane aus Syrien zurückkehrte. Mit 300 Mann, unter denen sich auch Angehörige des mit den [[w:Aus (Stamm)|Aus]] verbündeten Stammes [[w:Muzaina|Muzaina]] befanden, zog er nach dem an der Küstenstraße liegenden Badr, um die Karawane abzufangen. Es kam zu einer Schlacht zwischen Muhammads Männern und einer etwa 950 Mann starken Armee der Mekkaner, die der Karawane zur Hilfe geeilt war und von Muhammads erbittertem Gegner [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahl]] befehligt wurde. Muhammads Lager siegte überraschend. Die Mekkaner verloren zwischen 45 und 70 Mann, und eine ähnliche Anzahl von ihnen wurde gefangengenommen. Zu den gefallenen Mekkanern gehörten mehrere ihrer führenden Persönlichkeiten, darunter auch Abū Dschahl. Die Anhänger Muhammads hatten dagegen nur 14 Gefallene zu beklagen und machten große Beute. Nach der Schlacht ließ Muhammad einige der Gefangenen enthaupten, darunter seinen früheren Gegner [[w:an-Nadr ibn al-Hārith|an-Nadr ibn al-Hārith]]. Der [[w:Schlacht von Badr|Sieg bei Badr]] war sowohl in militärischer als auch in religiöser Hinsicht von größter Bedeutung für die Anhänger Muhammads. Offenbar hatten aber nicht alle von ihnen an diesem Sieg mitgewirkt. Das geht aus Versen hervor, die aus der Zeit nach Badr stammen und klarstellen, dass diejenigen unter den Gläubigen, die ohne Entschuldigung zu Hause „sitzenbleiben“ bei Gott nicht auf der gleichen Stufe stehen wie die Mudschāhidūn, also diejenigen, die den Dschihad führen und dabei Vermögen und Leben aufs Spiel setzen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/95 Q 4:95f]). === 3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags === Für die Quraisch von Mekka war die Niederlage bei Badr ein harter Schlag. Sie hatten in dem Ruf gestanden, ein besonders mächtiger Stamm in Arabien zu sein, und in gewissem Maße stützte sich auch der Erfolg ihrer Geschäfte auf diese Reputation, denn bei ihrem Handel waren sie auf die Zusammenarbeit mit vielen anderen Stämmen angewiesen, und von einigen von ihnen war nun Aufsässigkeit zu erwarten. Deshalb war es für die Quraisch von essentieller Bedeutung, zu beweisen, dass sie noch die Kraft hatten, für erlittenes Unrecht Rache zu nehmen. Zehn Wochen nach Badr unternahm [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]], der nach der Schlacht von Badr die Führung von Mekka übernommen hatte, einen Blitzüberfall auf Yathrib, zog sich aber, nachdem er zwei Häuser in Brand gesteckt hatte, rasch zurück. [[File:The Prophet Muhammad and the Muslim Army at the Battle of Uhud, from the Siyer-i Nebi, 1595.jpg|mini|Darstellung der Schlacht von Uhud in einem [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i Nebi]] von 1594, heute David Collection, Kopenhagen]] In den Monaten danach gelang es Abū Sufyān, 3000 gut ausgerüstete Krieger zu rekrutieren. Im März 625 rückte er mit diesen nach Yathrib vor und drang von der Nordwestecke in die Oase ein. Beim Berg Uhud kam es zu einem Kampf, der lange hin und her wogte. Als sich das Kriegsglück zu Gunsten der Anhänger Muhammads zu wenden begann, fingen diese an, die Beute einzusammeln. Das veranlasste eine Gruppe von Muhammads Bogenschützen, ihren Platz zu verlassen, um sich ebenfalls der Beute zuzuwenden. Auf der Seite der Mekkaner nutzte diese Situation der prominente Kämpfer [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] aus, um Verwirrung in den Reihen von Muhammads Anhängern zu stiften und sie niederzuringen. Allerdings gelang es Muhammads Anhängern zum Schluss, wichtige Stellungen zurückzugewinnen, so dass die Mekkaner abziehen mussten, ohne sich ihres Widersachers Muhammad endgültig entledigt zu haben. Für die Anhänger Muhammads war die [[w:Schlacht von Uhud|Schlacht von Uhud]] dennoch eine herbe Enttäuschung, nicht nur deshalb, weil sie 50 bis 70 Mann verloren hatten, Muhammads Onkel [[w:Hamza ibn ʿAbd al-Muttalib|Hamza]] gefallen und Muhammad selbst verwundet worden war, sondern auch deshalb, weil sie merkten, dass sie sich der Unterstützung Gottes doch nicht immer so sicher sein konnten, wie es ihnen nach dem Sieg von Badr schien. In verschiedenen Koranworten aus dieser Zeit wird bekräftigt, dass diejenigen, die „für die Sache Gottes“ getötet wurden, nicht wirklich tot sind, sondern weiter leben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/154 Q 2:154]), bei ihrem Herrn versorgt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/169 3:169]), ihnen die Sünden vergeben werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/157 3:157]) und sie direkt ins Paradies eingehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/195 3:195]). Der Konflikt zwischen Muhammad und den Mekkanern war mit der Schlacht von Uhud noch keineswegs beendet. Da Muhammad weiter den mekkanischen Handel störte und bei den arabischen Beduinen immer mehr Verbündete fand, sahen sich die Mekkaner genötigt, erneut gegen ihn vorzugehen. Dafür versuchten sie ihrerseits, eine Anzahl beduinischer Stämme auf ihre Seite zu ziehen. Diese Bündnisse zeigen, dass der Konflikt zwischen Mekka und Yathrib inzwischen das Umland der beiden Städte mit einschloss. Im Juli 625 massakrierten die [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]], ein mit den Quraisch verbündeter Stamm, bei Biʾr Maʿūna zwischen Mekka und Yathrib eine größere Anzahl von Muslimen. Muhammad soll daraufhin einen Monat lang die Banū Sulaim verflucht haben. In veränderter Form hat sich dieser Ritus bis heute im sogenannten [[w:Qunūt|Qunūt]] erhalten, einem Bittgebet, das beim Morgengebet oder beim nächtlichen Witr-Gebet gesprochen wird. Zu Beginn des Jahres 627 erschienen die Mekkaner und ihre Verbündeten mit einer Truppe von 10.000 Mann vor Yathrib. Dort hatte Muhammad allerdings um die weniger befestigten Stellen der Oasensiedlung einen Graben (''ḫandaq'') ausheben lassen, der so breit war, dass ein Pferd ihn nicht überspringen konnte. Diese Aktion kam für die Mekkaner offensichtlich so unerwartet, dass sie ihr kein geeignetes strategisches Mittel entgegensetzen konnten. Aus dem geplanten Angriff wurde so eine Belagerung. Aufgrund von Intrigen brach die Allianz der Mekkaner jedoch schon nach 14 Tagen zusammen, und die [[w:Grabenschlacht|Belagerung von Yathrib]] musste beendet werden. Die Mekkaner zogen schließlich ab, ohne etwas erreicht zu haben. === 3.1.3. Der militärische und politische Durchbruch === [[File:Dinar, Khusro II, 590, 591-628 AD, year 31 - Bode-Museum - DSC02737.JPG|mini|Der Sassanidenherrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] (reg. 590-628) auf einer Goldmünze, [[w:Bode-Museum|Bode-Museum]]]] Der Grabenkrieg war im Grunde genommen der letzte Defensivkrieg Muhammads. Hiernach begann die Offensivphase in seinem Leben, und gleichzeitig für das von ihm begründete Gemeinweisen die Zeit der Eroberungen. Zum Verständnis des folgenden militärischen Erfolgs von Muhammad ist es notwendig, sich die politische Situation im Vorderen Orient dieser Zeit zu vergegenwärtigen. Anfang des 7. Jahrhunderts hatte ein längerer Schlagabtausch zwischen dem [[w:Byzantinisches Reich|Byzantinischen Reich]] und den [[w:Sassanidenreich|Sassaniden]] begonnen. In den Jahren 603 bis 619 hatten zunächst die sassanidischen Truppen Syrien, Palästina und Ägypten erobert, 622 hatte der byzantinische Kaiser zum Gegenangriff ausgeholt. Es kam zu heftigen Auseinandersetzungen, bei denen die Sassaniden ebenfalls mehrere Niederlagen erlitten, und die 628 mit einem Friedensschluss endeten, der ihren Herrscher [[w:Chosrau II.|Chosrau II.]] dazu verpflichtete, die eroberten Gebiete vollständig zurückzugeben. Hieraufhin wurde Chosrau von seinen Offizieren gestürzt, und es begannen im Sassanidenreich Thronwirren, die bis 633 andauerten und während derer das sassanidische Bündnissystem auf der arabischen Halbinsel zusammenbrach. Es war genau diese fünfjährige Periode des Machtvakuums, innerhalb derer Muhammad seinen neu gegründeten Staat zum militärischen und politischen Erfolg führte. Im Jahr nach der [[w:Grabenschlacht|Grabenschlacht]] unternahm er noch einige weitere kleinere Kriegszüge, von denen die beiden bedeutendsten derjenige gegen die Oase Dūmat al-Dschandal und derjenige gegen den westlich von Yathrib lebenden Stamm der Mustaliq waren. Im März 628 zog er dann mit einer Schar von Gläubigen nach Mekka, um eine [[w:ʿUmra|ʿUmra]] zu vollziehen. Die Mekkaner, die annahmen, dass er kriegerische Absichten hegte, sorgten allerdings dafür, dass er der Stadt nicht zu nahe kam. Von seinem Lager in al-Hudaibiya am Rande des [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]] nahm Muhammad Verhandlungen mit den Mekkanern auf, die mit einem Vertrag endeten. Er selbst musste in diesem Vertrag rein äußerlich einige Demütigungen hinnehmen, die zu Spannungen unter seinen Anhängern führten. So wurde er von dem mekkanischen Abgesandten nicht als „Muhammad, der Gesandte Gottes“ anerkannt, sondern nur als „Muhammad ibn ʿAbdallāh“. Bedeutender waren aber die getroffenen Vereinbarungen. Dazu gehörten ein zehnjähriger Waffenstillstand und das Versprechen der Mekkaner, Muhammad und seinen Anhängern im nächsten Jahr die Stadt für drei Tage zum Vollzug der ʿUmra zu überlassen. Umgekehrt verzichtete Muhammad für dieses Jahr auf die ʿUmra und zog sich mit seinen Männern nach Yathrib zurück. Der [[w:Vertrag von Hudaibiya|Vertrag von Hudaibiya]] war ein Triumph für den Propheten und seine Anhänger. Der Koran berichtet, dass Gott seine [[w:Sakīna|Sakīna]] in die Herzen der Gläubigen hinabsandte, so dass sie im Glauben zunahmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/4 Q 48:4], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/48/vers/18 18]). Der Begriff ''sakīna'' geht eigentlich auf ein jüdisches Konzept, die [[w:Schechina|Schechina]], zurück, das die „Gegenwart“ Gottes bei seinem Volk bezeichnet. Hier bezeichnet er aber auch den psychischen Zustand der Gelassenheit und Ruhe. Nach dem Vertrag von Hudaibiya vollzogen mehrere Araber aus anderen Gebieten Arabiens, die sich schon früher Muhammad angeschlossen hatten, die [[w:Hidschra|Hidschra]], d.h. sie zogen nach Yathrib, um Muhammad militärisch zu unterstützen. Zu ihnen gehörten zum Beispiel auch die beiden Jemeniten [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]]. Im folgenden Jahr, im März 629, zog Muhammad dann mit etwa 2.000 Mann nach Mekka, um wie geplant die ʿUmra zu vollziehen. Bei dieser Gelegenheit heiratete er Maimūna, die Schwägerin seines Onkels [[w:al-ʿAbbās ibn ʿAbd al-Muttalib|ʿAbbās]], der zu dieser Zeit in Mekka die Führung der [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]] übernommen hatte. Immer mehr Mekkaner erkannten nun Muhammad als Propheten an und verließen die Stadt, um sich ihm anzuschließen, auch solche, die ihn kurz zuvor noch bekriegt hatten wie zum Beispiel der Kämpfer Chālid ibn al-Walīd, der bei der Schlacht von Uhud noch auf der gegnerischen Seite gestanden hatte (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]). Im Laufe des Jahres 629 ließ Muhammad noch einige weitere kriegerische Unternehmungen durchführen. So schickte er im September seinen ehemaligen Sklaven und Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] mit einer Armee nach Mu'ta auf dem Gebiet des heutigen Jordanien, östlich der Südspitze des Toten Meeres. Dann ergab sich eine Kette von Ereignissen, die letztlich zur friedlichen Kapitulation Mekkas führten. Muhammad heiratete [[w:Umm Habiba|Umm Habība]], eine Tochter [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], die schon viele Jahre früher zum Islam übergetreten war. Wenig später wurde ein Clan der [[w:Chuzāʿa|Chuzāʿa]], der in der Nähe von Mekka lebte und nach Hudaibiya einen Bund mit Muhammad geschlossen hatte, von einem Clan der [[w:Kināna|Kināna]], der mit den Mekkanern verbündet war, angegriffen. Der in Bedrängnis geratene Clan der Chuzāʿa wandte sich an Muhammad, der mit diesem Vorfall das Abkommen von Hudaibiya als gebrochen betrachtete. Zur Verhinderung einer militärischen Konfrontation reiste Abū Sufyan unter dem Vorwand, seine Tochter besuchen zu wollen, nach Yathrib und führte mit Muhammad Verhandlungen. Der genaue Hergang der nachfolgenden Ereignisse ist nicht klar, doch steht fest, dass es nach der Rückkehr Abū Sufyans nach Mekka zwischen ihm und Muhammad zum Austausch von Geschenken kam. In der Sache selbst war Muhammad allerdings zu keinen Zugeständnissen bereit. Er gab das Kommando zur Vorbereitung eines Feldzuges zur Einnahme von Mekka. Mit einer Armee von ca. 10.000 Mann, die neben seinen Anhängern aus Mekka und Yathrib auch Kämpfer von Stämmen der Umgebung wie den [[w:Banū Sulaim|Banū Sulaim]] und [[w:Muzaina|Muzaina]] einschloss, zog er von Yathrib in Richtung Mekka. Abū Sufyān zog ihm entgegen und führte die Kontaktgespräche. Im Gegenzug für seine Konversion zum Islam erhielt er eine Sicherheitsgarantie für all diejenigen Bewohner Mekkas, die keinen bewaffneten Widerstand leisteten. Die weitreichenden Garantien führten dazu, dass Muhammads Armee bei ihrem von verschiedenen Seiten erfolgendem Einrücken im Januar 630 auf nur sehr geringen Widerstand stieß. In den arabischen Quellen wird die Einnahme Mekkas als ''fatḥ'', „Öffnung“ bezeichnet. Sie steht damit gewissermaßen archetypisch für alle späteren muslimischen Eroberungen ([[w:Futūh|Futūh]]) von Städten und Ländern, die die Muslime unter Muhammads Nachfolgern machten. Über sie wurden später eigene Texte und Werke zusammengestellt. == 3.2. Die interne Entwicklung der Gemeinschaft von Yathrib == === 3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“ === Die Anhängerschaft Muhammads bei seiner Ankunft in Yathrib setzte sich im Wesentlichen aus zwei Gruppen zusammen, den Angehörigen der Quraisch, die zusammen mit ihm die Hidschra aus Mekka vollzogen hatten, und den Clanen von [[w:Aus (Stamm)|Aus]] und [[w:Chazradsch|Chazradsch]], die diesen Auswanderern in Yathrib Aufnahme gewährt hatten. Um eine Gemeinschaft zwischen diesen beiden Gruppen herzustellen, war es dringend notwendig, ein Loyalitätsverhältnis zwischen ihnen zu begründen. Genau diesen Sachverhalt spricht ein Koranwort an, in dem es heißt: „Diejenigen, die den Glauben angenommen haben und ausgewandert sind und unter Einsatz ihres Vermögens und Lebens für die Sache Gottes gekämpft haben, und diejenigen, die Asyl und Hilfe gewährten, die sollen untereinander Freunde sein“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/72 Q 8:72]). Offensichtlich wurden sogar praktische Maßnahmen ergriffen, um dieses Ziel zu verwirklichen, denn es gibt Berichte, denen zufolge zwischen verschiedenen Angehörigen der beiden Gruppen eine „Verbrüderung“ (''muʾāḫāh'') hergestellt wurde. Die übliche Form dieser Verbrüderung sah so aus, dass dem betreffenden Auswanderer (''muhāǧir'') einer von den „Helfern“ (''anṣār'') zur Seite gestellt wurde und die beiden sich gegenseitig zu Brüdern erklärten. Wenn einer der beiden im Kampf fiel, beerbte ihn der andere. Der wichtigste Zweck der Verbrüderung war es, größeren Zusammenhalt im Kampf zu erreichen. Die Zweiteilung der Anhängerschaft Muhammads wurde allerdings auch durch diese Maßnahme nicht völlig überwunden. Vielmehr scheint sich der Gegensatz zwischen den mekkanischen „Auswanderern“ ([[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]]) und den „Helfern“ ([[w:Ansār|Ansār]]) aus Yathrib im Laufe der Zeit noch verfestigt zu haben, wie sich zwei Koranstellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/100 Q 9:100], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/117 117]) aus späterer Zeit entnehmen lässt, in denen die beiden Gruppen einander gegenübergestellt werden. Über die politischen Verhältnisse, die seit der Zeit von Muhammads Ankunft in Yathrib herrschten, gibt es ein historisches Dokument, das uns noch wesentlich genauer informiert als der Koran, nämlich die sogenannte [[w:Gemeindeordnung von Medina|Gemeindeordnung von Medina]]. In diesem Dokument, das bei [[w:Ibn Hischām|Ibn Hischām]] überliefert ist, erscheint auch zum ersten Mal die arabische Bezeichnung ''al-Madīna'' („die Stadt, der Gerichtsort“) für Yathrib. Sie wurde später als Name für diesen Ort allgemein üblich und erscheint auch in den letzten Suren des Korans (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/102 Q 9:102]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/8 63:8]). Was nun die politische Ordnung anlangt, so wird am Anfang des Dokuments festgestellt, dass es sich um „einen Vertrag Muhammads des Propheten zwischen den Gläubigen und Muslimen der Quraisch und von Yathrib und jenen, die ihnen folgen, ihnen verbunden sind und zusammen mit ihnen kämpfen“ (§ 1), handelt. Sie sollen „eine einzige Umma“ bilden, „die sich von anderen unterscheidet“ (§&nbsp;2). Der Begriff [[w:Umma|Umma]] wird im Koran noch an vielen anderen Stellen verwendet und bezeichnet dort verschiedene von Propheten angeführte Gemeinschaften. Die Umma von Medina war allerdings eher an tribalen Konzepten orientiert. Die neun wichtigsten Vertragsparteien waren die „Auswanderer der Quraisch“, die offensichtlich als ein einziger Clan verstanden wurden, und acht Clane aus Yathrib. Jede Gruppe, so heißt es, sollte ihre tribale Organisation beibehalten und für die Zahlung von [[w:Diya (Islam)|Blutgeld]] und Lösegeld unter ihren Angehörigen verantwortlich sein. Allerdings wurde diese Solidaritätspflicht auf die Gläubigen (''muʾminūn'') unter ihnen eingeschränkt. Der zweite Teil des Dokuments befasst sich mit den Beziehungen zu den jüdischen Stämmen von Yathrib und ihren beduinischen Verbündeten. Das Dokument zeigt, dass die Umma zu jener Zeit als etwas verstanden wurde, das Beziehungen zu Angehörigen anderer Religionen einschloss. Im Wesentlichen handelte es sich um einen Bündnisvertrag, der den traditionellen arabischen Rechtsvorstellungen entsprach. Dadurch, dass im ersten Teil die Solidaritätsverpflichtungen auf die „Gläubigen“ beschränkt wurden, kam jedoch eine religiöse Komponente ins Spiel. Muhammad selbst wurde in der Gemeindeordnung eine richterliche Funktion zugesprochen. So wurde festgelegt, dass diejenigen, die über eine Sache im Streit sind, diese vor Gott und Muhammad bringen sollten (§§ 26, 52). Am Ende des Dokuments wird erklärt, dass das Tal von Yathrib für alle Vertragspartner geheiligt (''ḥarām'') sei (§ 49), womit es wie Mekka den Status eines [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Heiligen Bezirks]] erhält. === 3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden === Muhammad hatte am Ende der mekkanischen Zeit dem Judentum äußerst positiv gegenübergestanden. Koranische Texte aus diesem Zeitabschnitt fordern dazu auf, nicht mit den „Leuten des Buches“ ([[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]]) – gemeint sind die Juden von Yathrib – zu disputieren, sondern die Gemeinsamkeiten zwischen den beiden offenbarten Religionen herauszustellen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/29/vers/46 Q 29:46]). Der gute Kontakt mit den Juden in der frühen medinischen Zeit führte dazu, dass sich Muhammad und seine Anhänger noch stärker an die jüdischen Vorschriften annäherten. So wurde zu dieser Zeit nach jüdischem Vorbild ein drittes Tagesgebet eingeführt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/238 Q 2:238f]), und der Verzehr von Schweinefleisch und der Beischlaf während der [[w:Menstruation|Menstruation]] wurden verboten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/173 Q 2:173], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/222 222]). Ebenfalls in frühmedinischer Zeit wurde für Muhammad der Titel ''nabī'' gebräuchlich, der in der Bibel und in der jüdischen Tradition für Propheten verwendet wird. Möglicherweise wurde dieser Titel deswegen jetzt für Muhammad eingeführt, um die Juden von Yathrib dazu zu bewegen, seine religiöse Führerschaft anzuerkennen. Besonders interessant ist das Adjektiv ''ummī'', mit dem der Begriff ''nabī'' an der ersten Stelle, an der er vorkommt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/7/vers/157 Q 7:157f]), versehen ist. Wahrscheinlich handelt es sich um eine Ableitung des hebräischen Ausdrucks ''ummot ha-ʿolam'', mit dem im [[w:Talmud|Talmud]] die nicht-jüdischen Völker bezeichnet werden, in denen [[w:Gerechter unter den Völkern|Gerechte]] auftreten können. Die Bezugnahme auf diese heidenfreundliche Tradition war sehr wichtig, denn unter den Juden von Yathrib herrschte die Auffassung vor, dass es unter den Arabern keine Prophetie geben könne. Die Annäherung an das Judentum bedeutete allerdings nicht, dass Muhammad seine Religion darin aufgehen lassen wollte. Die Gemeindeordnung von Medina stellt ausdrücklich fest, „dass die Juden ihre Religion beibehalten und die Gläubigen die Ihrige.“ Eine gemeinsame religiöse Basis fand er im Monotheismus, wie sich dem folgenden Koranwort entnehmen lässt: {{Zitat|Sag: O Leute des Buches, kommt her zu einem Wort, das uns und euch gemeinsam ist. Ist es nicht so, dass wir Gott allein dienen, ihm nichts beigesellen und uns nicht untereinander anstelle Gottes zu Herren nehmen?|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/64 Q 3:64]}} Offenbar hegte Muhammad die Vorstellung, die Juden würden in seiner Botschaft schließlich ihre eigene Religion wiedererkennen. Das brachte ihn letztendlich auch zu der Erwartung, dass sie seinen religiösen Anspruch anerkennen müssten. An mehreren Stellen im Koran werden die [[w:Israeliten|Israeliten]] aufgefordert, an das, was ihm offenbart wurde, als Bestätigung ihrer Schrift zu glauben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/41 Q 2:41]) und ihn allgemein als Bestätiger der [[w:Tora|Tora]] zu verstehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/50 Q 3:50]). Es geschah wahrscheinlich auch im Rahmen der Auseinandersetzung mit den Juden von Medina, dass sich Muhammad zum ersten Mal auf den [[w:Erzengel|Erzengel]] [[w:Gabriel (Erzengel)|Gabriel]] als Vermittler der koranischen Offenbarung berief. Gabriel spielte schon in vorislamischer Zeit eine große Rolle in den jüdischen Überlieferungen über Abraham und Mose. In Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/97 2:97] wird ausgesagt, dass er es ist, der den Koran in Muhammads Herz hinabgesandt habe, „mit Erlaubnis Gottes, bestätigend, was vor ihm war, als rechte Leitung und als frohe Botschaft für die Gläubigen.“ Die Korankommentatoren erklären, dass diese Verse offenbart wurden, als die Juden von Medina Muhammad fragten, wer der Engel sei, der ihm die Offenbarungen brächte. Als er antwortete, dass dies Gabriel sei, der Freund eines jeden Propheten, sollen sie entgegnet haben, dass sie ihn dann nicht anerkennen könnten, weil ihr Freund der Engel [[w:Erzengel_Michael|Michael]] sei, Gabriel dagegen ihr Feind. In Sure 2:97-98 wird diese „Feindschaft“ zu Gabriel missbilligt. Koranstellen wie diese zeigen sehr deutlich, dass die Juden Medinas nicht bereit waren, Muhammad als Propheten in ihrer Tradition anzuerkennen. Andere Stellen erwähnen, dass es immer wieder zu Streitereien mit ihnen kam (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/139 Q 2:139]). Die historiographischen Quellen berichten, dass es damals in Medina nur einen einzigen namhaften Juden gab, der zum Islam übertrat: [[w:ʿAbdallāh ibn Salām|ʿAbdallāh ibn Salām]]. An seine Konversion knüpfen sich in der islamischen Tradition zahlreiche Legenden. Aus Enttäuschung darüber, dass ihn die Juden von Medina nicht unterstützen und ihm zunehmend feindlich gegenüberstanden, brach Muhammad nach der Badr-Schlacht mit dem Judentum. So forderte er die Juden auf, ihn nicht mehr als Schiedsrichter anzurufen, da sie sich nicht einmal an die Regeln ihrer Tora hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/43 Q 5:43-45]). Immer häufiger kam es nun auch zu verbalen Attacken gegen die Juden. So wird ihnen an verschiedenen Stellen Verstocktheit vorgeworfen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/87 Q 2:87-90]) und ihre strengen Speiseverbote werden damit begründet, dass die Juden sich in der Vergangenheit schwerer Sünden schuldig gemacht hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/160 Q 4:160]). An anderen Stellen werden sie beschuldigt, sie würden einen Teil ihrer Schriften zurückhalten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/11/vers/18 Q 11:18]). Schließlich gibt es vier Passagen, die besagen, die Juden hätten die Schriften absichtlich „entstellt“ oder „verdorben“ (so [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/75 Q 2:75-79], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/46 4:46], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/13 5:13], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/41 5:41]). Den verbalen Attacken folgten bald reelle Angriffe auf die Juden von Yathrib. Sie waren keine einheitliche Gemeinschaft, sondern gehörten drei verschiedenen Stämmen an, den [[w:Banū Qainuqāʿ|Banū Qainuqāʿ]], den [[w:Banū n-Nadīr|Banū n-Nadīr]] und den [[w:Banū Quraiza|Banū Quraiza]]. Der erste Angriff richtete sich gegen die Banū Qainuqāʿ, die in Yathrib einen eigenen Markt unterhielten. Als Anlass wird in der Überlieferung genannt, dass nach der Schlacht von Badr (624) auf ihrem Markt eine arabische Frau von einer Gruppe von Juden belästigt worden war. Ein Muslim, der die Begebenheit beobachtet hatte, tötete einen der Juden und wurde dann selbst umgebracht. Das war der Auslöser dafür, dass Muhammad die Banū Qainuqāʿ im April 624 in ihrem befestigten Stadtteil belagerte. Sie mussten ihre Habe zurücklassen und wanderten nach Adhriʿāt (dem heutigen [[w:Darʿā|Darʿā]] im [[w:Hauran|Hauran]], Syrien) aus. Die Vertreibung der Banū Qainuqāʿ hatte wahrscheinlich auch einen ökonomischen Hintergrund, denn Muhammad strebte in dieser Zeit danach, einen eigenen Markt aufzubauen, und der Markt der Qainuqāʿ war ihm dabei im Weg. [[File:Khaybar - deserted houses.jpg|mini|250px|Die Oase Chaibar heute]] Im August 625 ging Muhammad gegen den jüdischen Stamm der Banū n-Nadīr vor. Als Anlass für den Konflikt nennt die Überlieferung einerseits einen versuchten Mordanschlag auf Muhammad, andererseits den Vorwurf der Kollaboration mit den feindlichen Quraisch. Muhammad ließ sie in ihren befestigten Häusern belagern und außerdem ihre Palmenpflanzungen zerstören, womit er ein ungeschriebenes Gesetz der arabischen Kriegführung verletzte. Vers [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/59/vers/5 Q 59:5] liefert nach der islamischen Tradition eine Rechtfertigung für dieses Vorgehen. Wie die Banū Qainuqāʿ, so wurden auch die Banū Nadīr vertrieben; sie fanden mehrheitlich in der jüdischen Oase [[w:Chaibar|Chaibar]] Zuflucht, in der sie über Grundbesitz und eigene Festungen verfügten. Nach der Grabenschlacht 627 kam es zu einer Konfrontation der Muslime mit dem dritten und letzten noch in Medina verbliebenen jüdischen Stamm, den Banū Quraiza, denen auch verschiedene andere Oasen im Norden der Halbinsel gehörten. Ihnen wurden der Bruch ihres Abkommens mit Muhammad und die Zusammenarbeit mit den Quraisch während der Grabenschlacht vorgeworfen. Es erfolgte eine mehrwöchige Belagerung ihres befestigten Stadtteil. Da die Banū Aus mit den Banū Quraiza verbündet waren und sich für sie einsetzten, legte Muhammad die Entscheidung über ihr Leben in die Hand von [[w:Saʿd ibn Muʿādh|Saʿd ibn Muʿādh]], dem Anführer der Banū Aus, der in der Grabenschlacht schwere Verwundungen erlitten hatte und dem Tode nahe war. Dieser sprach sich dafür aus, alle Männer umzubringen, Frauen und Kinder in die Gefangenschaft zu führen und ihren Besitz aufzuteilen, was trotz Protesten von Seiten anderer Verbündeter unverzüglich umgesetzt wurde. Auch nach diesem Vorfall dauerte die Auseinandersetzung mit den Juden noch an. Die Banū n-Nadīr rüsteten nach ihrer Vertreibung aus Medina in Chaibar zum Krieg gegen Muhammad, wobei sie mit den arabischen Stämmen der Nachbarschaft zusammenarbeiteten. Muhammad kam ihnen im Frühjahr 628 mit einem eigenen [[w:Chaibar (Feldzug)|Kriegszug]] zuvor. Das Koranwort aus [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/33 Sure 5:33], das denjenigen, die gegen Gott und seinen Gesandten Krieg führen, eine grausame Strafe (Tötung, Kreuzigung bzw. kreuzweise Amputation von Hand und Fuß) in Aussicht stellt, wird in diesen historischen Zusammenhang gestellt. Chaibar kapitulierte im Juni 628, und die Juden der Oase wurden verpflichtet, ihr Vermögen herauszugeben und jedes Jahr die Hälfte ihrer Ernte den muslimischen Eroberern zu übergeben. Zwei andere von Juden besiedelte Oasen, Fadak und [[w:Tayma|Taimāʾ]], unterstellten sich Muhammads Herrschaft kurze Zeit später freiwillig. === 3.2.3. Andere Gegner Muhammads === In den Koranversen, die in die Zeit nach der [[w:Schlacht von Uhud|Uhud-Schlacht]] eingeordnet werden, taucht noch eine weitere gegnerische Personengruppe auf, die [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]]. Sie werden beschrieben als Personen, die zuerst den Glauben angenommen haben, sich dann aber wieder davon abwandten und nur noch so taten, als würden sie an den Gottesgesandten glauben (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/63/vers/1 Q 63:1-3]). Man kann insofern den arabischen Begriff ''munāfiqūn'' mit „Heuchler“ übersetzen. Der Koran bezeichnet diese Leute auch als „Menschen, die in ihrem Herzen eine Krankheit haben“ (''fī qulūbi-him maraḍ''; vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/52 5:52]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/49 8:49]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/125 9:125]) und droht ihnen an, dass sie dereinst auf den untersten Grund des Höllenfeuers verbannt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/145 Q 4:145]). Die Munāfiqūn stellten vor allem Muhammads richterliche Autorität in Frage. Der Koran spricht davon, dass einige von ihnen ihren Streit nicht durch Muhammad schlichten lassen wollten und sich von ihm abwandten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/60 Q 4:60f]). Gegen diese Abfallsbewegung richtet sich die Aufforderung an die Gläubigen, ihre Dispute auf jeden Fall Muhammad zur Entscheidung vorzulegen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]). Nur diejenigen sollten fortan noch als Gläubige gelten, die sich an dieses Gebot hielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/65 Q 4:65]). Als Anführer der Munāfiqūn wird in den arabischen Quellen ʿAbdallāh ibn Ubaiy genannt. Von ihm wird berichtet, dass er ohne Muhammads Auftreten in Yathrib „König“ ([[w:Malik|Malik]]) der Stadt geworden wäre. Es ging also möglicherweise um konkurrierende Machtansprüche. Offenbar geriet in dieser Zeit aber auch die religiöse Autorität Muhammads in eine Krise. Die islamische Tradition hat den Bericht von einem Christen aus dem medinischen Clan der Banū n-Naddschār bewahrt, der zum Islam übergetreten war und dem Propheten während der Niederschrift der Suren [[w:Sure 2|2]] und [[w:Sure 3|3]] als Sekretär gedient hatte, nun aber zu seiner alten Religion zurückkehrte und sich bei seinen Glaubensbrüdern damit brüstete, Muhammad wisse nichts außer dem, was er für ihn niedergeschrieben habe. Auf skandalöse Weise fiel in dieser Zeit auch einer von Muhammads mekkanischen Schreibern ab, nämlich [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]]. Er begab sich ins heidnische Mekka und brüstete sich dort, er habe Muhammad auf die Probe gestellt, indem er nachträglich an einer Stelle den Wortlaut der Offenbarung geändert habe, ohne dass Muhammad diese Abänderung bemerkte. Gegenstand der Änderung waren Reimwörter, die in ähnlicher Form an anderen Stellen des Korans vorkommen. Der Koran selbst scheint von diesem Vorfall Zeugnis abzulegen. So werden Leute erwähnt, in deren Herzen Verirrung ist, die sich nicht an den festgefügten Versen (''āyāt muḥkamāt'') des Korans orientieren, sondern „das suchen, was einander ähnlich ist, um Zwietracht zu stiften“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/7 Q 3:7]). Nach der Überlieferung ist außerdem mit dem Mann, von dem der Koran berichtet, dass er den Unglauben ([[w:Kufr|Kufr]]) gegen den Glauben ([[w:Īmān|Īmān]]) eintauschte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/108 Q 2:108]), ʿAbdallāh ibn Abī Sarh gemeint. Gegen einige seiner Gegner ging Muhammad sehr grausam vor. So ließ er zum Beispiel den mit den Banū n-Nadīr verbundenen Dichter [[w:Kaʿb ibn al-Aschraf|Kaʿb ibn al-Aschraf]], der in Mekka die Quraisch zum Kampf gegen die Muslime angestachelt und nach einigen Berichten mit ihnen sogar eine Allianz gegen Muhammad geschlossen hatte, nach seiner Rückkehr nach Medina im September 624 heimtückisch ermorden. Bei der Einnahme von Mekka im Januar 630 war er dagegen sehr viel gutmütiger. Mit Ausnahme weniger Personen, die Tötungsdelikte begangen hatten, begnadete der Prophet alle seine früheren Gegner, die er in der Stadt vorfand, darunter auch seinen ehemaligen Schreiber Ibn Abī Sarh, der in Mekka Stimmung gegen ihn gemacht hatte. Er profitierte davon, dass sich sein Milchbruder [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān]] beim Propheten für ihn einsetzte. Muhammads Bereitschaft, früheren Gegnern zu verzeihen, spiegelt sich auch auf koranischer Ebene wieder. Wer die Umkehr ([[w:Tauba|Tauba]]) zu Gott vollzieht, so heißt es dort, kann damit rechnen, dass es ihm wohlergeht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/31 Q 24:31]). Gott selbst wird im Koran als derjenige beschrieben, der „die Umkehr von seinen Knechten annimmt“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/104 Q 9:104]). Wer umkehrt, dem wendet sich auch Gott wieder zu ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/39 Q 5:39]). Heuchlern und Apostaten, die die Tauba nicht vollziehen, droht jedoch das Höllenfeuer ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/74 Q 9:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/86 3:86-89]). === 3.2.4. Die Konstituierung als eigenständige Religionsgemeinschaft === Die Zusammenfügung der Gläubigen zu einem Loyalitätsverband und die Abgrenzung nach außen gegenüber anderen Gruppierungen gingen einher mit dem Bestreben, den Einfluss anderer Loyalitätsbeziehungen, die für den Zusammenhalt der Gläubigen eine Bedrohung darstellen könnten, zu beschränken. Dieses zeigt sich an verschiedenen Koranstellen der medinischen Periode, an denen die Gläubigen aufgefordert werden, sich keine Ungläubigen, sondern nur noch Gläubige zu Freunden zu nehmen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/28 Q 3:28]). Nur diejenigen sollten noch als „Gläubige“ und damit vollwertige Mitglieder dieser Gemeinschaft gelten, die die Beziehungen zu den Gegnern des Gottesgesandten komplett abbrechen und sich dabei auch über Verwandtschaftsbande hinwegsetzen. Denjenigen, die sich an diese Grundsätze halten, wird im Koran Erfolg und jenseitiges Heil verheißen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/56 Q 5:56]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/58/vers/22 58:22]). Für Frauen, die in das muslimische Lager überwechseln wollten, erwähnt der Koran ein eigenes Aufnahmeverfahren: man solle sie prüfen, und wenn sie als gläubige Frauen erkannt seien, solle man sie nicht zu den Ungläubigen zurückkehren lassen, diesen aber den für sie entrichteten Brautpreis ersetzen, dann sei es erlaubt, mit diesen Frauen eheliche Beziehungen einzugehen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/60/vers/10 Q 60:10]). Der Abgrenzung nach außen auf sozialer Ebene lief eine Abgrenzung auf religiöser Ebene parallel. Die Abgrenzung von den Juden betraf dabei insbesondere die religiösen Riten (vgl. unten [[#3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus|3.3.]]). Auf ideeller Ebene erfolgte gleichzeitig eine Rückbesinnung auf die Gestalt [[w:Abraham im Islam|Abrahams]]. Er wurde nun zum Prototypen der neuen Religionsgemeinschaft erhoben. An mehreren Koranstellen aus dieser Zeit findet sich die Aufforderung, der Religion der „Gemeinschaft Abrahams“ (''millat Ibrāhīm'') zu folgen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/130 Q 2:130]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/125 4:125]). Es wird betont, dass Abraham kein Jude, Christ oder [[w:Muschrik|Muschrik]] war, sondern ein Muslim und [[w:Hanīf|Hanīf]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/67 Q 3:67]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/95 3:95]). Eine Weile war Hanīf wohl auch die übliche Bezeichnung für Muhammads Anhänger und Hanīfīya („Hanīfentum“) der Name für die von ihm gegründete Religion. Mit den auf Abraham bezogenen koranischen Passagen ließ sich auch die kultische Wiederausrichtung auf das arabische Heiligtum in Mekka gut rechtfertigen. Sie wurde damit erklärt, dass „das Haus“ (''bait'') in Mekka das Jerusalemer Heiligtum an Alter übertreffe, weil es das erste sei, das für die Menschen errichtet wurde ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/96 Q 3:96]). Schon Abraham habe zusammen mit seinem Sohn [[w:Ismael|Ismāʿīl]] die Grundmauern dieses „Hauses“ aufgerichtet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/127 Q 2:127]). Muhammad scheint hier auf hanīfische Konzepte (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.6. Der religiöse Wandel und die Hanīfen|1.3.6.]]) zurückgegriffen zu haben. An zwei Stellen des Korans ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 2:125]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/97 3:97]) wird das mekkanische Heiligtum zudem als der „[[w:maqām Ibrāhīm|Standplatz Abrahams]]“ (''maqām Ibrāhīm'') bezeichnet. === 3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten === Muhammad war nach der Gemeindeordnung von Medina keineswegs der absolute Herrscher von Medina. Er wurde lediglich als Prophet (§ 1) und Schiedsrichter (§ 23, 42) anerkannt. In den Quellen werden mehrfach Vorfälle geschildert, die zeigen, dass er sich darum bemühen musste, die Unterstützung anderer Clanoberhäupter zu gewinnen. Im Zusammenhang mit den militärischen Aktivitäten veränderten sich jedoch die Machtstrukturen innerhalb der Gemeinschaft der Muslime. Eine Folge des Misserfolges von Uhud war die Aufforderung an die Gläubigen, zukünftig dem Gottesgesandten und „denjenigen, die zu befehlen haben“ (''ūlū l-amr''), unbedingt zu gehorchen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/59 Q 4:59]) und vor Streuung von sicherheitsrelevanten Informationen erst diesen Personenkreis zu unterrichten, um eine Überprüfung dieser Informationen zu ermöglichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/83 Q 4:83]). Das militärische Nachrichtenwesen wurde auf diese Weise zentralisiert. Den Gläubigen wurde außerdem mitgeteilt, dass der Gottesgesandte das Vorrecht auf mindestens ein Fünftel (''ḫums'') der Beute habe, um es unter den Verwandten, Weisen, Armen und Wohnungslosen zu verteilen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]). Von seinen Anhängern, den gläubigen Männern und Frauen, forderte der Prophet nach der Vertreibung der jüdischen Stämme uneingeschränkten Gehorsam bei all den Dingen, die er selbst entschieden hatte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/36 Q 33:36]). Seine militärischen und diplomatischen Erfolge brachten ihm offenbar so viel Prestige und Autorität ein, dass auch seine Macht immer weiter zunahm. Von nicht geringer Bedeutung für Muhammads Machtzuwachs war die Tatsache, dass sich in Medina auch mehrere Dichter auf seine Seite stellten. Der bekannteste von ihnen war [[w:Hassān ibn Thābit|Hassān ibn Thābit]], der schon für [[w:Ghassaniden|ghassānidische]] und [[w:Lachmiden|lachmidische]] Prinzen Lobgedichte verfasst hatte. Vor diesem Hintergrund wurde die im Koran formulierte allgemeine Ablehnung gegenüber den Dichtern (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.2.5. Der Überbringer der Botschaft|2.2.5.]]) differenziert: Nur diejenigen von ihnen sollten der Verdammung anheimfallen, die Unrecht getan haben, nicht aber diejenigen, „die den Glauben angenommen haben, das Rechte tun und Partei ergreifen, nachdem ihnen Unrecht angetan worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/26/vers/227 Q 26:227]). Außerdem standen Muhammad jetzt auch mehr Schreiber zur Verfügung, die seine Korrespondenz führen und seinen Koranvortrag niederschreiben konnten. Zu nennen sind insbesondere [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], der vor der Hidschra auf einer jüdischen Schule die syrische oder hebräische Schrift erlernt hatte, und [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]]. Beide gehörten sie dem chazradschitischen Clan der Banū n-Naddschār an, in deren Viertel sich Muhammad niedergelassen hatte. Wie für einen arabischen Stammesfürsten seiner Zeit üblich, hatte Muhammad eine ganze Anzahl von Frauen nebeneinander. Viele dieser Ehen dienten vor allem politischen Zwecken. Mit ihnen wollte er zum Beispiel wichtige Anhänger enger an sich binden oder die Freundschaft des tribalen Verbands der Ehefrau gewinnen. Allerdings gab es andere Ehen, die er rein aus Zuneigung geschlossen haben soll. Dies gilt zum Beispiel für seine Ehe mit [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]]. Sie war ursprünglich die Gattin von Muhammads Adoptivsohn Zaid ibn Hāritha gewesen. Es wird berichtet, dass Muhammad, als er einmal mit Zaid sprechen wollte, diesen nicht zu Hause antraf, sondern nur Zainab, die gerade leicht bekleidet war, und daraufhin in heißer Liebe zu ihr entbrannte. Zainab berichtete Zaid von dem Besuch und den Andeutungen, die Muhammad beim Weggehen gemacht hatte. Zaid verstand diese Andeutungen und trennte sich von Zainab, um sie ihm zu überlassen. Muhammads Plan, Zainab zu heiraten, löste allerdings in der Gesellschaft von Medina Empörung aus, da die Ehe mit der früheren Ehefrau des eigenen Sohns, auch wenn er nur ein „Nennsohn“ (''daʿī'') war, als inzestuös betrachtet wurde. Muhammad setzte sich jedoch über diese Einwände hinweg und heiratete Zainab. Durch eine Offenbarung wurde diese Ehe nachträglich gerechtfertigt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/37 Q 33:37]) und als von Gott verhängtes Geschick ([[w:Qadar|Qadar]]) abgesegnet ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/38 Q 33.38]). [[Datei:Mohamed peace be upon him.svg|mini|Eine [[w:Tasliya|Tasliya]] in kalligrafischer Ausführung]] Ein weiterer Fall ist [[w:Safīya bint Huyaiy|Safīya bint Huyaiy]]. Sie war die Tochter des Oberhaupts des jüdischen Clans der Banū n-Nadīr, der in Medina den Propheten bekämpft hatte und dann mit seinem Clan von dort vertrieben worden war. Nach dem Sieg über Chaibar war diese Safīya von den Muslimen gefangen genommen und bei der Beuteaufteilung einem anderen Kämpfer zugeteilt worden. Aufgrund ihrer Schönheit beanspruchte sie der Prophet aber für sich selbst. Unter der Bedingung, dass sie sich zum Islam bekehrte, kaufte er sie frei und nahm sie als reguläre Ehefrau. Die Eheschließung Muhammads mit Safīya war sehr konfliktgeladen, weil die anderen Gattinnen Muhammads auf die neue Nebenfrau eifersüchtig waren. Es wird angenommen, dass dies auch der Anlass für das seltsame Verbot war, das in [[w:Sure 33|Sure 33]] speziell für den Propheten ausgesprochen wird. Ihm wird dort verboten, weitere Frauen zu ehelichen, „auch wenn ihre Schönheit dir gefallen sollte“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/52 Q 33:52]). Neben seinen Ehefrauen besaß Muhammad noch verschiedene Sklavinnen, die ihm als Konkubinen dienten. Eine von ihnen, [[w:Māriya al-Qibtīya|Maria, die Koptin]], der Muhammad besonders zugetan war, löste in Muhammads Harem einen derart großen Eifersuchtskonflikt aus, dass Muhammad gelobte, sich zukünftig von ihr fernzuhalten. Dieses Versprechen nahm er aufgrund der Indiskretion einer seiner Ehefrauen allerdings später wieder zurück, ein Vorfall, auf den auch im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/66/vers/1 Q 66:1-5]) Bezug genommen wird. Wie sich an [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/32 Sure 33:32] ablesen lässt, wurden Muhammads Ehefrauen auch von anderen Männnern begehrt. Damit sie sich auf Avancen von dieser Seite nicht einließen, wurde ihnen eine hohe Strafe für Ehebruch angedroht ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/30 Q 33:30]). Des Weiteren wurden sie aufgefordert, in ihrem Haus zu bleiben und sich nicht „nach Art der früheren [[w:Dschāhilīya|Dschāhilīya]]“ herauszuputzen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/33 Q 33:33]). Außerdem wurden sie durch einen Vorhang (''ḥiǧāb'') von anderen Männern abgeschirmt und für die Zeit nach Muhammads Tod mit einem ewigen Heiratsverbot belegt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/53 Q 33:53]). Anlass für diese Neuregelung soll Muhammads Hochzeit mit Zainab bint Dschahsch im Frühjahr 627 gewesen sein, bei der sich der Prophet durch Männer belästigt fühlte, die offenbar ohne Erlaubnis sein Haus betreten und mit seinen Frauen Kontakt aufgenommen hatten. Der Allgemeinheit der Gläubigen wurde um diese Zeit auferlegt, für den Propheten einen speziellen Segenswunsch zu sprechen, sobald er erwähnt wird ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/56 Q 33:56]). Dadurch erhielt seine Person immer mehr einen sakrosankten Charakter. Der [[w:Tasliya|Tasliya]]-Segenswunsch bei Muhammads Erwähnung gilt bis heute im Islam als Pflicht. === 3.2.6. Reformen der Rechts- und Geschlechterordnung === Muhammad erfüllte, wie oben ([[#3.2.1. Die sogenannte „Gemeindeordnung von Medina“|3.2.1.]]) beschrieben, in Medina eine richterliche Funktion und entsprach damit in etwa dem Typ des altarabischen ''ḥakam''. Bei vielen Streitigkeiten, die vor ihn gebracht wurden, fällte er sein Urteil wahrscheinlich aufgrund früherer Rechtssetzung ([[w:Sunna|Sunna]]). Dort, wo sich das vorhandene System allerdings als unzulänglich erwies, lieferte er mit dem Koran neue Bestimmungen und Vorschriften. Die ersten Regelungen, die Muhammad nach der Hidschra traf, sind in [[w:al-Baqara|Sure 2]] festgehalten. Hier wird das altarabische [[w:Qisās|Qisās]]-System bestätigt, allerdings die Empfehlung ausgesprochen, die Wiedervergeltung durch Wergeld ([[w:Diya (Islam)|Diya]]) zu regeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/178 Q 2:178f]). Daneben wird Zinswucher ([[w:Ribā|Ribā]]) verboten (vgl. u.a. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/275 Q 2:275]). Auch der Bereich der Ehe wurde neu geordnet. Muhammad gab den Männern die Möglichkeit, ihre Frauen [[w:Talāq|zu verstoßen]], verbot ihnen aber für diesen Fall, etwas von ihrem Vermögen einzubehalten. Die Frau konnte selbst auch die Auflösung der Ehe verlangen, musste sich dann aber durch Rückgabe der [[w:Brautgabe|Brautgabe]] oder eines Teils davon loskaufen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/229 Q 2:229]). Diese Form des Selbstloskaufs der Ehefrau, die bis heute existiert, wird im islamischen Recht [[w:Chulʿ|Chulʿ]] genannt. Nach Verstoßung seiner Frau kann der Mann diese erst dann wieder heiraten, wenn sie zwischenzeitlich einen anderen Mann geheiratet hat ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/230 Q 2:230]). Außerdem wurde die Vorschrift eingeführt, dass die Frau zwischen ihren Ehen eine drei- bzw. viermonatige Wartezeit (''ʿidda'') einhalten muss ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/228 Q 2:228], [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/234 2:234]). Auf diese Weise sollte die leibliche [[w:Vaterschaft|Vaterschaft]] sichergestellt werden. Eine weitere Regelung, die in diese Richtung zielt, ist das Verbot der [[w:Adoption|Adoption]] ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/4 Q 33:4f]), das wahrscheinlich im Zusammenhang mit Eheschließung mit Zainab eingeführt wurde. Des Weiteren führte Muhammad verschiedene strafrechtliche Regeln ein. So wurde bestimmt, dass männlichen und weiblichen Dieben „als Vergeltung für das, was sie begangen haben, und als Warnung vor Gott“ die Hand abgeschnitten werden sollte ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/38 Q 5:38]). Verschiedene Überlieferungen verlegen auch das in [[w:Sure 5|Sure 5]] ausgesprochene allgemeine Weinverbot, das für den Islam [[w:Alkoholverbot im Islam|kennzeichnend]] geworden ist, in diese Zeit. An der Stelle selbst ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/90 Q 5:90f]) wird das Verbot damit begründet, dass der Weingenuss genauso wie das Losspiel Feindschaft und Hass zwischen den Anhängern Muhammads säe und sie vom Gebet abhalte. Die Berichte zum Anlass der Verhängung dieses Verbots erklären, dass zuvor Streitereien unter betrunkenen Prophetengefährten vorgefallen waren, bei denen einzelne von ihnen sogar schwer verletzt worden waren. Nach Uhud führte Muhammad im Bereich der Geschlechter- und Eheregeln weitere wichtige Änderungen und Reformen durch, die hauptsächlich in [[w:an-Nisāʾ|Sure 4]] festgehalten sind. Den männlichen Muslimen wurde erlaubt, bis zu vier Frauen gleichzeitig zu heiraten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/3 Q 4:3]), ihnen andererseits auferlegt, das Brautgeld den Ehefrauen selbst zu übergeben ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/4 Q 4:4]). Darüber hinaus legte der Koran genaue Erbschaftsregelungen fest, die auch weibliche Verwandte und Witwen berücksichtigten, Frauen allerdings immer nur die Hälfte dessen zugestanden, das Männer desselben Verwandtschaftsgrades erhielten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/7 Q 4:7-14]). Ehefrauen gehörten fortan nicht mehr zum Erbgut des Verstorbenen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/19 Q 4:19]) und durften auch nicht mehr von dessen Söhnen geheiratet werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/23 Q 4:23]). In Anbetracht ihrer Unterhaltspflicht gegenüber den Frauen wurde den Männern erlaubt, diese im Falle der Aufsässigkeit zu züchtigen ([[w:Sure 4:34|Q 4:34]]). Besuchsehen (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.2._Geschlechterverhältnisse|1.3.2.]]) wurden weiter zugelassen, allerdings daran gebunden, dass der Mann die Frau entlohnte und die Frau keine Beziehungen zu mehreren Männern gleichzeitig unterhielt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Q 4:24f]). Damit wurde die altarabische Institution der [[w:Polyandrie|Polyandrie]], die Ehe einer Frau mit mehreren Männern, verboten. Frauen, denen durch vier Zeugen sexuelles Fehlverhalten nachgewiesen werden konnte, sollten lebenslang unter Arrest gestellt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/15 Q 4:15]). Muhammads Haltung zum Institut der zeitlich begrenzten Besuchsehe scheint allerdings nicht ganz eindeutig gewesen zu sein. In verschiedenen islamischen Quellen wird überliefert, dass er solche Verhältnisse anlässlich der [[w:Chaibar_(Feldzug)|Schlacht von Chaibar]] verboten, später aber wieder erlaubt habe. Insgesamt lässt die neue Eheordnung den Willen erkennen, einen Ausgleich zwischen den beiden im alten Arabien existierenden Ehesystemen (vgl. oben [[#3.1.2. Die Abwehr des mekkanischen Gegenschlags|3.1.2.]]) zu schaffen. {{Anker|Halskettenskandal}} Ein Skandal um Muhammads junge Ehefrau [[w:Aischa bint Abi Bakr|ʿĀ'ischa]] führte zu einer Verschärfung des Sexualstrafrechts. Hintergrund war ein Vorfall auf einem Feldzug im Januar 627. Es wird erzählt, dass sich ʿĀ'ischa auf dem Rückweg von diesem Feldzug nach Medina auf der Suche nach einer verlorenen Halskette vom Rastplatz entfernte, bei ihrer Rückkehr das Lager abgebrochen fand und am nächsten Tag von einem jungen Mann namens Safwān ibn al-Muʿattal zurückgebracht wurde. Der durch diesen Vorfall hervorgerufene Skandal spaltete die Gemeinschaft, weil einige prominente Muslime ʿĀʾischa öffentlich der Untreue beschuldigten. Muhammad schickte ʿĀʾischa zunächst in ihr Elternhaus zurück und erwog wohl ihre Verstoßung, überzeugte sich dann aber durch eine Eingebung ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/11 Q 24:11-20]) von der Grundlosigkeit dieser Verdächtigung und nahm sie wieder zu sich auf. Im Zusammenhang mit diesem Vorfall wurde die Regel eingeführt, dass diejenigen, die ehrbare Frauen in Verruf bringen, ohne vier Zeugen beizubringen, 80 Peitschenhiebe erhalten sollten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/4 Q 24:4]). Auf [[w:Zinā|außerehelichen Geschlechtsverkehr]] wurden als neue Strafe nun 100 Peitschenhiebe eingeführt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2]). In zwei anderen Versen derselben Sure werden die gläubigen Männer und Frauen dazu angehalten, ihre Blicke zu senken und ihre Scham zu bewahren. Frauen werden zusätzlich angewiesen, sich in Anwesenheit von heiratbaren Männern ihren Schal um den Ausschnitt zu schlagen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/30 Q 24:30-31]) und sich in der Öffentlichkeit zu verhüllen, damit sie nicht belästigt werden ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/59 Q 33:59]). Dieses Verhüllungsgebot wurde später zu einem festen Bestandteil der traditionellen islamischen Geschlechterordnung. Allerdings wurden Frauen zur Zeit Muhammads nicht auf den häuslichen Bereich beschränkt. Von mehreren (z.B. [[w:Rufaida al-Aslamīya|Rufaida]] und [[w:Umm Sinān al-Aslamīya|Umm Sinān]]) wird berichtet, dass sie die Männer bei Kriegszügen begleiteten und die Versorgung von Verwundeten und Kranken übernahmen. == 3.3. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus == === 3.3.1. Die Anfänge der Moschee und die Weiterentwicklung der Salāt === [[Bild:Oldquba.jpg|mini|Die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] zu Anfang des 20. Jahrhunderts]] Als Muhammad nach der Hidschra im September 622 in der Oase von Yathrib ankam, wohnte er die ersten Tage in Qubā', einem südlichen Vorort von Yathrib. Für die [[w:Salāt|Salāt]] nutzte er einen Masdschid, den Anhänger von ihm dort angelegt hatten. ''Masdschid'' hängt mit dem Wort [[w:Sudschūd|Sudschūd]] zusammen und bedeutet soviel wie „Ort der Prosternation“ (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01#1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]). Es ist der gleiche Begriff, der auch für das Heiligtum in Mekka verwendet wurde, das für die Muslime nun nicht mehr erreichbar war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/34 Q 8:34]). Von ''Masdschid'' leitet sich auch das deutsche Wort „Moschee“ ab, das wahrscheinlich über das spanische ''mezquita'' und das italienische ''moschea'' aus dem Arabischen entlehnt wurde. Aufgrund ihrer besonderen Rolle in der islamischen Geschichte gilt die [[w:Qubāʾ-Moschee|Moschee von Qubā']] den Muslimen als besonders heilig. Sie soll auch mit dem im Koran genannten „Masdschid, der vom ersten Tag auf Gottesfurcht gegründet war“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/108 Q 9:108]) identisch sein. Bis heute wird sie bei der Wallfahrt von Scharen muslimischer Pilger zum Gebet aufgesucht. Neben dem Masdschid von Qubā' bestanden in Yathrib noch verschiedene andere private Gebetsplätze. Muhammad fasste nach kurzer Zeit den Entschluss, ebenfalls einen Masdschid zu errichten. Er wählte dafür einen Ort im Viertel der Banū n-Naddschār aus, in dem er Aufnahme gefunden hatte. Zusammen mit seinen Anhängern errichtete er dort einen Hof von etwa 35 x 30 m, der mit einer Ziegelmauer eingefasst war. Muhammad selbst schlief in einer der Kammern an der Außenmauer. Der Bau war also auch gewissermaßen Muhammads Haus. An der nördlichen Seite, wo zunächst gebetet wurde, schützte ein Schattendach (''ṣuffa'') aus Palmblättern und Lehm die Betenden vor der Sonne. Nach der Verlegung der Gebetsrichtung nach Mekka (siehe unten) nutzten mittellose Muhādschirūn und solche, die in Yathrib keine Unterkunft hatten, den Platz als Zufluchtsort und übernachteten hier. Aufgrund ihrer Armut und besonderen Nähe zum Propheten gelten diese „Leute des Schattendachs“ ([[w:Ahl as-Suffa|Ahl as-Suffa]]) bis heute vielen Muslimen als religiöses Vorbild. Die Moschee Muhammads entwickelte sich im Laufe der Zeit zum Zentrum des Gemeindelebens seiner Anhänger. Die Gebete wurden durch einen öffentlichen Ruf, [[w:Adhān|Adhān]] genannt, angekündigt. Als ersten Gebetsrufer (''muʾaḏḏin'', davon abgeleitet das deutsche Wort [[w:Muezzin|Muezzin]]) soll Muhammad den Äthiopier [[w:Bilāl ibn Rabāh|Bilāl ibn Rabāh]] eingesetzt haben, der deswegen gewissermaßen als Vorbild aller späteren Muezzine gilt. Man versammelte sich in Muhammads Moschee allerdings nicht nur zum Gebet, sondern hielt auch Beratungen ab, empfing Gesandtschaften und pflegte Verwundete. In den angrenzenden Räumlichkeiten wurden die Ehefrauen Muhammads untergebracht. Auf Grundlage des enormen ökonomischen Zugewinns, den die Gemeinschaft der Muslime nach der Schlacht von Chaibar erlebte, konnte der Bau 628 auf etwa 50 x 50 m erweitert werden. Auch im Gebetsritus erfolgten in den Jahren nach der Hidschra einige Änderungen. Parallel zur Einführung eines dritten Tagesgebets (vgl. oben [[#3.2.2. Die Auseinandersetzung mit den Juden|3.2.2.]]) wurde die Pflicht zur Abhaltung der Vigilien gelockert ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/73/vers/20 Q 73:20]). Nach dem Zerwürfnis mit den jüdischen Stämmen löste sich Muhammad von der Gebetsrichtung ([[w:Qibla|Qibla]]) nach Jerusalem, und es begann ein Prozess der schrittweisen Umorientierung. Zunächst wurde betont, wie gleichgültig es ist, nach welcher Richtung man betet, weil Gott überall ist ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/115 Q 2:115]). Schließlich wurde als neue Qibla die „Heilige Kultstätte“ ([[w:al-Masdschid al-Harām|al-Masdschid al-Harām]]) in Mekka festgelegt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/144 Q 2:144]), wobei offensichtlich die frühere Gebetsrichtung noch als gleichberechtigt anerkannt wurde (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/148 Q 2:148]). In der Mitte von Muhammads medinischer Periode wurden außerdem einige Bestimmungen für den Zustand erlassen, in dem sich die Gläubigen befinden mussten, wenn sie sich dem Gebet näherten: Wenn sie unrein (''ǧunub'') waren, sollten sie vorher eine Waschung vornehmen, und wenn sie vom Abort kamen oder eine Frau berührt hatten, sich vorher mit Wasser oder ersatzweise Erde über Gesicht und Hände streichen ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/43 Q 4:43]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/6 5:6]). Etwa um die gleiche Zeit wurde die Salāt für alle Muslime zu einer obligatorischen Pflicht. Das geht aus koranischen Passagen dieser Periode hervor, die beschreiben, dass die Munāfiqūn nur widerwillig an diesem Ritual teilnahmen (vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/142 Q 4:142]). === 3.3.2. Ramadān-Fasten und Festgebet === Eines der größten [[w:Jamim_Noraim|Feste im Judentum]] ist das Fasten am [[w:Jom Kippur|Jom Kippur]], dem zehnten Tag des Monats [[w:Tischri|Tischri]]. Die Juden in Yathrib nannten diesen Tag wegen seiner Stellung im Monat einfach den Zehnten ([[w:Aschura|ʿĀschūrā']]), so wie er auch im Alten Testament (Lev 16:29) genannt wird. Als sich nach Muhammads Ankunft in Yathrib zum ersten Mal der zehnte Tag des Tischri näherte, befahl er seinen Anhängern, zusammen mit den Juden an diesem Tag zu fasten. Der Koran legt davon noch Zeugnis ab: „Ihr Gläubigen! Euch ist vorgeschrieben worden zu fasten, so wie es auch denjenigen, die vor euch lebten, vorgeschrieben worden ist“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/183 Q 2:183]). Die Juden fasteten an diesem Tag von einem Abend zum nächsten, und auch die Muslime übernahmen diese Gewohnheit. Im Zuge seiner Abwendung von den Juden im Jahre 624 löste sich Muhammad aber auch von den jüdischen Fastenvorschriften und führte das dreißigtägige Tagesfasten im Monat [[w:Ramadan|Ramadān]] ein. Der Ramadān hatte spätestens seit der Schlacht von Badr, die in diesem Monat stattgefunden hatte, eine besondere Bedeutung bei den Muslimen. Er galt nun auch als Monat der Herabsendung des Korans (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/185 Q 2:185]) und wurde mit einem speziellen Fastenritus geehrt, der das frühere ʿĀschūrā'-Fasten ablöste. Die ersten Regelungen für das Ramadānfasten finden sich in den beiden Koranversen 2:185 und [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]. Diese beiden Verse liefern die Grundlage für die ausführlichen Fastenvorschriften, die die muslimischen Rechtsgelehrten in späterer Zeit ausarbeiteten. Zum Fasten gehörte neben dem Verzicht auf Speisen und Getränke auch die Enthaltung vom Geschlechtsverkehr. Geschlechtsverkehr in den Nächten des Ramadān wurde dagegen ausdrücklich erlaubt, mit der Begründung, dass Mann und Frau einander wie Kleider seien. Nur für die Zeit des [[w:Iʿtikāf|Iʿtikāf]], eine besondere Andachtszeit am Ende des Ramadāns, wurde das nächtliche Sexualverbot aufrechterhalten (Q [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/187 2:187]). Die letzten Ramadān-Nächte hatten schon früh eine Sonderstellung im religiösen Leben der Muslime, weil die Auffassung bestand, dass der Koran in einer dieser Nächte herabgesandt worden war. Diese Nacht der Herabsendung des Korans wird entsprechend [[w:Sure 97|Sure 97]] als [[w:Lailat al-Qadr|Lailat al-Qadr]] („Nacht der Vorsehung“) bezeichnet und gilt als besonders heilige Zeit. [[Datei:Eid Gaah Mahoba - panoramio - Dr. Nizam.jpg|mini|ʿĪdgāh in [[w:Mahoba|Mahoba]], Indien]] Eingeführt wurde in dieser Zeit auch ein [[w:Fest des Fastenbrechens|Fest des Fastenbrechens]] (''ʿīd al-fiṭr'') am Anfang des nachfolgenden Monats [[w:Schawwāl|Schauwāl]]. Bei dieser Gelegenheit, so wird überliefert, begab sich Muhammad mit den Gläubigen in einem prozessionsartigen Zug zu einem Platz außerhalb der Stadt, wobei ihnen Bilāl mit einer Lanze (''ʿanaza'') – ursprünglich ein Geschenk des äthiopischen [[w:Negus|Negus]] – vorauslief. Während des Gebetes wurde dann die Lanze als Markierung für die Qibla an einer Stelle in den Boden gesteckt. An diesem Gebetsplatz ([[w:Musallā|Musallā]]) fanden jetzt auch die Regengebete und das Gebet zum [[w:Islamisches Opferfest|Opferfest]] (''ʿīd al-aḍḥā'') am 10. [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] statt. Das Opferfest wurde zu dieser Zeit wahrscheinlich neu eingeführt und knüpfte an die Opferzeremonien an, die beim [[w:Haddsch|Haddsch]] an diesem Tag in [[w:Minā|Minā]] vollzogen wurden (siehe oben [[Bamberger_Einführung_in_die_Geschichte_des_Islams_(BEGI)_01#1.3.3._Das_altarabische_Heidentum_und_die_Heiligtümer_von_Mekka|1.3.3.]]). Üblicherweise hielt der Prophet nach Abschluss dieser Gebete eine Ansprache ([[w:Chutba|Chutba]]), in der er die Gläubigen dazu aufforderte, sich an gemeinsamen (kriegerischen) Unternehmungen zu beteiligen. Bis heute hat sich das vormittägliche Festgebet als Sonderritus erhalten. Auch ist es in vielen islamischen Ländern bis heute üblich, Festgebete und Regengebete an einem speziellen Festplatz ([[w:ʿĪdgāh|ʿĪdgāh]]) außerhalb der Stadt zu vollziehen. == 3.4. Weiterführende Literatur == * Andreas Görke: “Between History and Exegesis: The Origins and Transformation of the Story of Muḥammad and Zaynab Bt Ǧaḥš” in ''Arabica'' 65/1-2 (2018) 31–63. * [[w:Meir Jacob Kister|Meir Jacob Kister]]: “The Market of the Prophet”. In: ''Journal of the Economic and Social History of the Orient''. 8 (1965) 272–276. [http://www.kister.huji.ac.il/content/market-prophet Digitalisat] * Michael Lecker: ''The 'Constitution of Medina'. Muḥammad’s First Legal Document''. Darwin Press, Princeton NJ 2004. [https://archive.org/details/the-constitution-of-medina-muhammads-first-legal-document-by-micheal-lecker-2004/page/n1/mode/2up Digitalisat] * Michael Lecker: ''Muslims, Jews and Pagans. Studies on early Islamic Medina.'' Leiden: Brill 1995. * David S. Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men. The making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Hannah Rahman: "The Conflicts Between the Prophet and the Opposition in Madina" in ''Der Islam'' 62/2 (1985) 260-297. [https://doi.org/10.1515/islm.1985.62.2.260 Digitalisat] * Uri Rubin: “The Assassination of Kaʿb b. al-Ashraf”, in ''Oriens'' 32 (1990) 65–71. * Richard B. Serjeant: The Sunna Jāmiʿah, „Pacts with the Yathrib Jews, and the Taḥrīm of Yathrib. Analysis and Translation of the Documents Comprised in the So-Called ‘Constitution of Medina’“ in ''Bulletin of the School of Oriental and African Studies'' 41 (1978) 1–42. * [[w:William Montgomery Watt|William Montgomery Watt]]: ''Muhammad at Medina.'' Oxford: Oxford University Press 1956. [https://archive.org/details/muhammadatmedina029655mbp/page/n9/mode/2up Digitalisat] * William Montgomery Watt: ''Muḥammad: Prophet and Statesman''. London: Oxford University Press 1961. * [[w:Julius Wellhausen|Julius Wellhausen]]: ''Mohammeds Gemeindeordnung von Medina. Skizzen und Vorarbeiten''. Bd. IV. Reimer, Berlin, 1889. S. 65–83. [http://archive.org/stream/medinavordemisl00sagoog#page/n74/mode/2up Digitalisat] == 3.5. Aufgaben/Fragen == 1. Wie ist das Konzept des Dschihad entstanden? 2. Was beinhaltete der Vertrag von Hudaibiya und inwiefern stellte er einen Triumph für Muhammad dar? 3. Welche Regeln beinhaltete die Gemeindeordnung von Medina? 4. Ab dem Ende der mekkanischen Zeit näherte sich Muhammad dem Judentum an. Wie äußerte sich das auf religiöser Ebene? 5. Geben Sie einen Überblick über die militärische Auseinandersetzung Muhammads mit den Juden von Medina und Umgebung. 6. Muhammad erlebte während seiner Zeit in Medina einen allmählichen Machtzuwachs. Worin zeigte sich dieser? 7. Nennen Sie das Geschlechterverhältnis betreffende Regeln, die während der Zeit in Medina eingeführt wurden. 8. Erklären Sie, wie der Ramadān zum heiligen Monat der Muslime geworden ist und welche Vorstellungen und Praktiken mit ihm verbunden sind. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} epjk0yin86jjwfx0vknnhzta63pim3n 0 100700 1117965 1047535 2026-10-27T17:21:46Z Bocardodarapti 2041 1117965 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= (R, {{idealm|}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |lokaler regulärer Ring| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=Krull| |SZ= }} {{math|term= d |SZ=}} und seien {{ Relationskette | f_1 {{kommadots|}} f_n | \in | {{idealm|}} || || || |SZ= }} Elemente. |Voraussetzung= |Übergang= Dann sind folgende Aussagen äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Es gibt Elemente {{mathl|term= f_{n+1} {{kommadots|}} f_{d} |SZ=}} mit {{ Relationskette | {{makl| f_{1} {{kommadots|}} f_{d} |}} || {{idealm}} || || || |SZ=. }} |Die Restklassen von {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} in {{mathl|term= {{idealm|}} /{{idealm|}}^2 |SZ=}} sind {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Kontext=| |SZ= }} über {{ Relationskette | K || R/ {{idealm|}} || || || |SZ=. }} |Der Restklassenring {{mathl|term= R/ {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_n |}} |SZ=}} ist regulär der Dimension {{mathl|term= d-n |SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der lokalen regulären Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4e6ubx16k3tpfv60hs887w1q17yhghg 0 100701 1117967 1108041 2026-10-27T17:22:51Z Bocardodarapti 2041 1117967 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir beweisen zuerst die Äquivalenz zwischen (1) und (2). Der Restklassenmodul {{mathl|term= {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 |SZ=}} ist ein {{math|term= R /{{idealm|}} |SZ=-}}Vektorraum, der {{ Faktlink |Präwort=nach dem|Lemma von Nakayama|Faktseitenname= Lokaler Ring/Modulerzeuger und Erzeuger mod m/Fakt |Nr= |SZ= }} die {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} {{math|term= d |SZ=}} besitzt. Wenn {{ Relationskette/display | {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_n,f_{n+1} {{kommadots|}} f_d |}} || {{idealm|}} || || || |SZ= }} ist, so bilden die Restklassen eine Basis von {{mathl|term= {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 |SZ=}} und jedes Teilsystem davon ist linear unabhängig. Wenn umgekehrt die Restklassen von {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} in {{mathl|term= {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 |SZ=}} linear unabhängig sind, so lassen diese sich {{ Faktlink |Präwort=nach dem|Basisergänzungssatz|Faktseitenname= Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt |Nr= |SZ= }} durch {{ Relationskette | g_{n+1} {{kommadots|}} g_d | \in | {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 || || || |SZ= }} zu einer Basis von {{mathl|term= {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 |SZ=}} ergänzen. Diese Elemente werden wiederum durch Elemente {{ Relationskette | f_{n+1} {{kommadots|}} f_d | \in | {{idealm|}} || || || |SZ= }} repräsentiert, und nach dem Lemma von Nakayama gilt {{ Relationskette/display | {{makl| f_1 {{kommadots}} f_n, f_{n+1} {{kommadots|}} f_d |}} || {{idealm|}} || || || |SZ=. }} {{parskip}} Wir beweisen nun die Äquivalenz zwischen (1) und (3). Wir setzen {{ Relationskette/display | {{ideala|}} | {{defeq|}} | {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_n |}} || || || |SZ=. }} Es sei zunächst wieder durch {{mathl|term= f_{n+1} {{kommadots|}} f_d |SZ=}} eine Ergänzung zu einem vollen Erzeugendensystem von {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} gegeben. Dann sind die Restklassen von {{mathl|term= f_{n+1} {{kommadots|}} f_d |SZ=}} in {{mathl|term= R/{{ideala}} |SZ=}} ein Erzeugendensystem des maximalen Ideals {{ Relationskette/display | {{idealn|}} || {{idealm|}} / {{ideala|}} || || || |SZ= }} von {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=.}} Damit ist die {{ Definitionslink |Einbettungsdimension| |SZ= }} von {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} gleich {{mathl|term= d-n |SZ=}} und somit ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Noetherscher lokaler Ring/Einbettungsdimension/Dimension/Fakt |Nr= |SZ= }} die Dimension von {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} höchstens {{mathl|term= d-n |SZ=.}} Andererseits ist die Dimension aber auch zumindest {{math|term= d-n |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Lokal/Parameterrealisierung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Wäre nämlich die Dimension von {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} gleich {{ Relationskette/display | m | < | d-n || || || |SZ=, }} so würde es Parameter {{ Relationskette/display | g_1 {{kommadots|}} g_m | \in | R/ {{ideala|}} || || || |SZ= }} geben, und diese würden zusammen mit den {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} das maximale Ideal als Radikal beschreiben, was nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Allgemein/Fakt |Nr= |SZ= }} nicht sein kann. Wenn umgekehrt {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} regulär der Dimension {{mathl|term= d-n |SZ=}} ist, so sei {{ Relationskette/display | {{idealn|}} || (g_{n+1} {{kommadots}} g_d) || || || |SZ=. }} Diese {{math|term= g_i |SZ=}} werden durch {{ Relationskette | f_{n+1} {{kommadots}} f_d | \in | {{idealm}} || || || |SZ= }} repräsentiert und die {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} erzeugen {{math|term= {{idealm|}} |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} phuepoef78fzu2j4gvm656eri91fhhp 0 100738 1117969 1087506 2026-10-27T17:23:29Z Bocardodarapti 2041 1117969 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | P | \in | V ( {{ideala|}} ) | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K}} || || |SZ= }} ein Punkt der {{ Definitionslink |affin-algebraischen Menge| |Kontext=| |SZ= }} zum Ideal {{ Relationskette | {{ideala|}} || {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_m |}} || || || |SZ= }} mit dem lokalen Ring {{ Relationskette/display | R || {{makl| K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/{{ideala}} |}}_{ {{idealm}}_P } || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist der Punkt genau dann {{ Definitionslink |glatt| |Kontext=Jacobi| |SZ=, }} wenn {{math|term= R |SZ=}} {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=lokaler Ring| |SZ= }} ist. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der lokalen regulären Ringe |Kategorie2=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Glatt und regulär |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oznsu9y9q4uzmpgt9x4ovslmpszcwbo 0 100741 1117970 1100826 2026-10-27T17:26:16Z Bocardodarapti 2041 1117970 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Ohne Einschränkung sei {{math|term= P |SZ=}} der Nullpunkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal {{ Relationskette | {{idealn|}} || {{makl| X_1 {{kommadots |}} X_n |}} || || || |SZ= }} im Polynomring, dem zugehörigen maximalen Ideal {{ Relationskette | {{idealr|}} || {{idealn}}/{{ideala}} || || || |SZ= }} in {{mathl|term= K[ X_1 {{kommadots |}} X_n]/ {{ideala|}} |SZ=}} und dem zugehörigen maximalen Ideal {{ Relationskette | {{idealm|}} || {{idealm|}}_P || {{idealr}} {{makl| K[ X_1 {{kommadots |}} X_n]/ {{ideala|}} |}}_{{idealr}} || || |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=.}} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | K[X_1 {{kommadots |}} X_n ] | K^n | g | {{makl| {{makl| \partial_1 g |}} (P) {{kommadots|}} {{makl| \partial_n g |}} (P) |}} |SZ=. }} Dabei werden die Variablen {{math|term= X_i |SZ=}} auf die Standardvektoren {{math|term= e_i |SZ=}} abgebildet und die Abbildung ist surjektiv. Ein Element {{ Relationskette/display | g || c_0 +c_1X_1 {{plusdots|}} c_nX_n + \text{ höhere Terme} || || || |SZ= }} wird auf {{mathl|term= {{op:Zeilentupel| c_1 | \ldots | c_n }} |SZ=}} abgebildet. Ein homogenes Element {{ Relationskette/display | g | \in | {{idealn}}^2 || K[X_1 {{kommadots |}} X_n ]_{\geq 2} || || |SZ= }} besitzt zumindest den Grad {{math|term= 2 |SZ=}} und wird daher auf {{math|term= 0 |SZ=}} abgebildet, da die partiellen Ableitungen den Grad um {{math|term= 1 |SZ=}} reduzieren und somit ergibt sich jeweils ein Element von positivem Grad. Durch Einsetzen des Nullpunktes ergibt sich dann {{math|term= 0 |SZ=.}} Insgesamt induziert dies eine {{math|term= K |SZ=-}}lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{idealn|}} / {{idealn|}}^2 | K^n || |SZ=, }} die bijektiv ist, da die Räume die gleiche Vektorraumdimension besitzen. {{parskip}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Kotangentialraum direkt und über lokalen Ring/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette | {{idealr|}} / {{idealr|}}^2 | \cong| {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 || || || |SZ=. }} Unter der surjektiven Abbildung {{ Math/display|term= {{idealn|}} \longrightarrow {{idealr}} \longrightarrow {{idealr}}/{{idealr}}^2 |SZ= }} wird {{math|term= {{idealn|}}^2 |SZ=}} und {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} auf {{math|term= 0 |SZ=}} abgebildet, und zwar ist der Kern genau {{mathl|term= {{idealn|}}^2 + {{ideala|}} |SZ=.}} Somit gibt es eine {{math|term= K |SZ=-}}lineare Bijektion {{ Abbildung/display |name= | {{idealn|}}/ {{makl| {{idealn|}}^2 + {{ideala|}} |}} | {{idealr}}/{{idealr}}^2 || |SZ=. }} Wir betrachten die Abbildungen {{ Math/display|term= K^m \stackrel{\operatorname{Jak} }{\longrightarrow} K^n \cong {{idealn}}/{{idealn}}^2 \longrightarrow {{idealn}}/ {{makl| {{idealn}}^2+ {{ideala}} |}} |SZ=. }} Ein Element {{ Relationskette | [g] | \in | {{idealn}}/{{idealn}}^2 || || || || |SZ= }} wird rechts genau dann auf {{math|term= 0 |SZ=}} geschickt, wenn der lineare Anteil von {{math|term= g |SZ=}} zu {{mathl|term= {{idealn}}^2+ {{ideala}} |SZ=}} gehört. Dies bedeutet, dass eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display | g || \sum_{i{{=}} 1}^m h_i f_i || || || |SZ= }} modulo {{math|term= {{idealn|}}^2 |SZ=}} besteht und dies bedeutet {{ Zusatz/Klammer |text=für die {{math|term= h_i |SZ=}} ist nur der konstante Term relevant| |ISZ=|ESZ=, }} dass eine lineare Gleichung der Form {{ Relationskette/display | {{op:Spaltentupel| {{makl| \partial_1 g |}} (P) | \vdots | {{makl| \partial_n g |}} (P) }} || \sum_{i{{=}} 1}^m h_i {{op:Spaltentupel| {{makl| \partial_1 f_i |}} (P) | \vdots | {{makl| \partial_n f_i |}} (P) }} || || || |SZ= }} Dies ist genau dann der Fall, wenn {{mathl|term= {{op:Spaltentupel| {{makl| \partial_1 g |}} (P) | \vdots | {{makl| \partial_n g |}} (P) }} |SZ=}} im Bild der Jacobimatrix liegt. Daher ist das Bild der Jacobimatrix gleich dem Kern der surjektiven Abbildung rechts. Somit ist {{ Faktlink |Präwort=nach der|Dimensionsformel|Faktseitenname= Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display |n || {{op:Rang| (\operatorname{Jak}) |}} + {{op:Vektorraumdimension| {{idealn}}/ {{makl| {{idealn}}^2 + {{ideala}} |}} |}} || {{op:Rang| (\operatorname{Jak}) |}} + {{op:Vektorraumdimension| {{idealm}}/{{idealm}}^2 }} || || |SZ=. }} Es sei nun {{math|term= d |SZ=}} die Dimension von {{math|term= V( {{ideala|}} ) |SZ=}} im Punkt {{math|term= P |SZ=,}} die mit der Dimension des lokalen Ringes {{math|term= R |SZ=}} übereinstimmt. Nach Definition ist {{math|term= P |SZ=}} genau dann nichtsingulär, wenn {{ Relationskette | n || {{op:Rang| (\operatorname{Jak}) |}} + d || || || |SZ= }} ist. Dies ist daher genau dann der Fall, wenn {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension| {{idealm}}/{{idealm}}^2 }} || d || || || |SZ= }} ist, und dies ist die Definition eines regulären Ringes. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 67pq0n5ly3uzxg6emplgl5uaiooaj9h 0 101951 1117992 1068161 2026-10-28T07:15:03Z Jonahschuster 35626 /* MIT Beachtung der Reihenfolge - OHNE Zurücklegen */ 1117992 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kombinatorik'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kombinatorik&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kombinatorik&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden und gehört u.a. zum [[Kurs:Stochastik|Kurs Stochastik]]. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. === Zielsetzung === Diese Lernressource zum Thema ''Kombinatorik'' in der Wikiversity hat das Ziel, die grundlegenden Urnenmodelle als Grundwerkzeug zu Anzahlbestimmung von Mengen kennen zu lernen und diese in einem weiteren Schritt auf die Berechnung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen anzuwenden. === Teilaspekte der Lerneinheit === Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) grundlegende Urnenmodelle * (2) hypergeometrische Verteilung, ... als Anwendung von einem Urnenmodell * (3) Zufallsgrößen und kombinatorische Anzahlbestimmung von günstigen und möglichen Ereignissen. == Abzählende Kombinatorik == Die '''abzählende Kombinatorik'''<ref>„Abzählende Kombinatorik“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 6. Oktober 2018, 05:03 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Abz%C3%A4hlende_Kombinatorik&oldid=181538699 (Abgerufen: 5. November 2018, 15:27 UTC)</ref> ist ein Teilbereich der [[w:de:Kombinatorik|Kombinatorik]]. Sie beschäftigt sich mit der Bestimmung der [[w:de:Anzahl|Anzahl]] möglicher Anordnungen oder Auswahlen. * '''(Zurücklegen)''' „mit“ bzw. „ohne“ Zurücklegen der gezogenen [[w:de:Mathematisches Objekt|Objekte]] sowie * '''(Reihenfolge)''' „mit“ bzw. „ohne“ Beachtung ihrer [[w:de:Reihenfolge|Reihenfolge]] (d.&nbsp;h. „geordnet“ bzw. „ungeordnet“). === Zur Notation === In einer Urne befinden sich <math>n</math> Kugeln, aus der Elemente gezogen werden. <br> Allgemein bezeichnet <math>n</math> die Zahl der vorhandenen Elemente und <math>k</math> die Anzahl der Ziehungen bzw. <math>k_1,\ldots,k_n</math> die jeweiligen Anzahlen <math>k_i\in \mathbb{N}_0</math>, wie oft mit Zurücklegen das Element <math>i \in\{1,\ldots, n\}</math> gezogen wurde. === MIT Beachtung der Reihenfolge - MIT Zurücklegen === Es werden <math>k</math>-Tupel der Form <math>(\omega_1,\ldots,\omega_k)\in \Omega</math> gebildet. Verwendet man Kugeln mit Nummern von <math>1</math> bis <math>n</math> gilt: : <math>\Omega := \{1,\ldots , n\}^k</math> mit <math>|\Omega| = n^k</math> === Beispiel - MIT Beachtung der Reihenfolge - MIT Zurücklegen === Die Urne enthält 10 Kugeln. Es werden mit <math>k</math>=3 Tripel (3er-Tupel) der Form <math>(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\in \Omega</math> gebildet. Ein mögliches Ergebnis ist <math>(\omega_1,\omega_2,\omega_3) = (7,7,5) \in \Omega</math> Das bedeutet, dass in der 1. und 2. Ziehung die Kugel 7 gezogen wurde und in der 3. Ziehung die Kugel 5. Insgesamt gilt daher : <math>\Omega := \{1,\ldots , 10\}^3</math> mit <math>|\Omega| = 10^3 = 1000</math> === MIT Beachtung der Reihenfolge - OHNE Zurücklegen === Es werden <math>k</math>-Tupel der Form <math>(\omega_1,\ldots,\omega_k)\in \Omega</math> gebildet. Verwendet man Kugeln mit Nummern von <math>1</math> bis <math>n</math> gilt: : <math>\Omega := \{ (\omega_1,\ldots,\omega_k) \in \{1,\ldots , n\}^k\, | \, \forall_{i,j \in \{1,\ldots , k\}, i\not= j}\, : \, \omega_i \not= \omega_j \}</math> mit <math>|\Omega| := {n \choose k}\cdot {k!} = \frac{n!}{ \left( n-k \right) !}</math> === Bemerkung - MIT Beachtung der Reihenfolge - OHNE Zurücklegen === In der obigen Notation von <math>\Omega</math> für die <math>k</math>-Tupel der Form <math>(\omega_1,\ldots,\omega_k)\in \Omega</math> verlangt man, dass für zwei verschiedene Indizes <math>i,j, \, i\not= j</math> die gezogenen Elemente jeweils paarweise verschieden sind. Diese Definition gewährleistet, dass die Kugeln nicht zurückgelegt werden. : <math>\Omega := \{ (\omega_1,\ldots,\omega_k) \in \{1,\ldots , n\}^k\, | \, \forall_{i,j \in \{1,\ldots , n\}, i\not= j}\, : \, \omega_i \not= \omega_j \}</math> mit <math>|\Omega| := {n \choose k}\cdot {k!} = \frac{n!}{ \left( n-k \right) !}</math> === Beispiel - MIT Beachtung der Reihenfolge - OHNE Zurücklegen === Von 10 gestarteten Marathonläufer:innen mit den Startnummern 1 bis 10 kommen 4 ins Ziel. Wenn man kombinatorische Möglichkeiten für den Zieleinlauf angeben möchte, kann man das wie folgt berechnen. : <math>\Omega := \{ (\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4) \in \{1,\ldots , 10\}^4\, | \, \forall_{i,j \in \{1,\ldots , 10\}, i\not= j}\, : \, \omega_i \not= \omega_j \}</math> mit <math>|\Omega| := {10 \choose 4} \cdot 4!= \frac{10!}{ \left( 10-4 \right) !} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 </math> === OHNE Beachtung der Reihenfolge - OHNE Zurücklegen === Es werden <math>k</math>-elementige Teilmengen einer <math>n</math>-elementigen Grundmenge gebildet. Verwendet man Kugeln mit Nummern von <math>1</math> bis <math>n</math> gilt: : <math>\Omega := \{ A \subset \{1,\ldots , n\}\, | \, |A| = k\}</math> mit <math>|\Omega| := {n \choose k} = \frac{n!}{k! \left( n-k \right) !}</math> === Beispiel - OHNE Beachtung der Reihenfolge - OHNE Zurücklegen - Lotto 6 aus 49 === Es werden <math>6</math> Kugeln aus einer Grundmenge von <math>49</math> Kugeln gezogen, also <math>k = 6, n = 49</math>: : <math>\Omega := \{ A \subset \{1,\ldots , 49\}\, | \, |A| = 6\}</math> mit <math>|\Omega| := {49 \choose 6} = \frac{49!}{6!\ 43!} = 13983816</math> === Lotto-Schein === Mit einem Lottoschein kann man verschieden Tipps bzgl. einer Auswahl der 6 Kugeln aus den 49 Kugeln auswählen. [[Datei:Lottoschein.jpg|350px|Lottoschein]] === OHNE Beachtung der Reihenfolge - MIT Zurücklegen === Es wird mit den <math>\omega_1,\ldots, \omega_n</math> für jedes Element der <math>n</math>-elementigen Grundmenge <math>G</math> gezählt, wie oft es gezogen wurde. ==== Beispiel ==== Tupel <math>(0,3,4,0)</math> für eine Grundmenge der Form <math>G=\{a,b,c,d\}</math> besagt, dass <math>b</math> dreimal gezogen wurde, <math>c</math> viermal gezogen wurde und <math>a,d</math> überhaupt nicht gezogen wurden. ==== Anzahl von gezogenen Kugeln ==== Verwendet man Kugeln mit Nummern von <math>1</math> bis <math>n</math>, so zählt man z.B. <math>\omega_1</math>, wie oft die Kugel 1 gezogen wurde und nicht, die Nummer der ersten gezogenen Kugel. Dies ist in diesem Urnenmodell sinnvoll, da es nicht auf die Reihenfolge der Zahlen ankommt. ==== Definition von Omega ==== Man betrachtet nun die n-Tupel in <math>\Omega</math> mit folgenden Eigenschaften: : <math>\Omega := \left\{ (\omega_1,\ldots,\omega_n) \in \mathbb{N}_0^n\, \left| \, \sum_{i=1}^n \omega_i = k \right. \right\}</math> mit <math>|\Omega| := {n - 1 + k \choose n-1} = \frac{(n - 1 + k)!}{k! \left( n-1 \right) !}</math> ==== Beispiel: Trennstellen ziehen ==== * Man betrachtet nun eine Grundmenge <math>M:=\{a,b,c,d\}</math> mit <math>n=4</math> Elementen. * Da es nicht auf die Reihenfolge ankommt, werden die gezogenen Elemente mit gleichem Buchstaben zusammengefasst, z.B. mit <math>k=10</math> zu <math>(a,a,a,a,b,d,d,d,d,d)</math>. * Nun erweitert man das Tupel um <math>n-1</math> Trennstellen z.B. <math>(a,a,a,a,\Delta,b,\Delta,\Delta,d,d,d,d,d)</math>. * Positionen der Trennstellen werden mit Nummer belegt und z.B. die Trennstellen <math>\{5,7,8\}</math> gezogen. ==== Ersatzmodell: Trennstellen ziehen ==== Bei <math>n</math> Elementen aus der Grundmenge benötigt man <math>n-1</math> Trennstellen. Mit <math>k</math> Ziehungen wird aus einer Grundmenge von <math>n-1+k</math> Trennstellenpositionen gezogen. Damit führt man die kombinatorischen Möglichkeiten auf ein bekanntes Modell OHNE Beachtung der Reihenfolge - OHNE Zurücklegen zurück. : <math>{n - 1 + k \choose n-1} = {n + k -1 \choose k} = \frac{ \left( n + k -1 \right)! }{{\left( n-1 \right)! \cdot k!} }</math> In der Literatur findet man oft den zweiten Binomialkoeffizienten als Anzahl der Möglichkeiten. Für die Trennstellenherleitung wird der erste Binomialkoeffizient verwendet. == Urnenmodelle und Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Die hier dargestellten Urnenmodelle sind insbesondere hilfreich, um Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu berechnen. In dem folgenden Beispiel wird aus einer Urne mit <math> n </math> Kugeln nummeriert ( <math>\Omega := \{ 1, ..., n\}</math>) eine ungeordnete Stichprobe mit <math>k</math> Elementen ohne Zurücklegen gezogen. Die Grundgesamtheit wird in zwei Gruppen <math>\Omega_1 := \{ 1, ..., k \}</math> und <math>\Omega_2 := \{ k+1, ..., n\}</math> geteilt, von denen im Anwendungsfall <math>\Omega_1</math> eine bestimmte Eigenschaft besitzt und <math>\Omega_2</math> diese Eigenschaft nicht besitzt. === Modell === In einer Urne befinden sich <math> N= S+W</math> Kugeln, von denen <math> S </math> schwarze und <math> W </math> weiße Kugeln sind. Es werden <math> n \le N</math> Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Bezeichne s die Anzahl der schwarzen unter den <math> n </math> gezogenen (<math> 0 \le s \le n </math>), <math> A_s </math> das Ereignis, dass die Anzahl der schwarzen Kugeln genau gleich <math> s </math> ist und <math> h(s;n,N,S) </math> die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis <math>A_s </math>. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion <math> h(s;n,N,S), s = 0, ..., n</math> definiert die sogenannte [[Kurs:Stochastik/hypergeometrische_Verteilung|hypergeometrische Verteilung]] mit Paramtern <math>n, N, S </math> auf <math> \Omega' = \lbrace 0,1, ..., n \rbrace</math>. === Satz - Hypergeometrische Verteilung === Für <math> n \le N </math> und <math>S \le N</math> gilt: <br> :<math> h(s;n, N,S) = \frac {\binom {S}{s} \binom {N-S}{n-s}}{\binom {N}{n}}; s =0, ..., n </math> ==== Beweis (1)==== Sei <math> \Omega </math> die Menge aller ungeordneten Stichproben <math> \lbrace a_1, ..., a_n \rbrace </math> aus der Menge <math> \lbrace 1, ..., N \rbrace </math> ohne Wiederholung, <math> P </math> sei die Gleichverteilung auf <math> \Omega </math>. Es ist <math> | \Omega| = C_N^n = \binom {N}{n}</math>. Die <math> S </math> schwarzen Kugeln seien mit den Nummern <math> 1, ..., S </math> versehen, die <math> N-S = W </math> weißen Kugeln mit <math>S+1, ..., N</math>. Das Ereignis <math> A_k \subset \Omega </math> besteht dann aus allen <math> \lbrace a_1, ..., a_n \rbrace </math> mit genau <math> s </math> Elementen <math> a_i </math> aus <math> \Omega_1 = \lbrace 1, ..., S \rbrace </math>. <br> Heuristisch: Es gibt <math>\binom {S}{s}</math> Möglichkeiten, <math> s </math> Kugeln aus <math>S </math> schwarzen <math> [ \binom {N-S}{n-s}</math> Möglichkeiten, <math> n - s </math> Kugeln aus <math> N-S</math> weißen] ohne Zurüklegen zu ziehen. ==== Beweis (2)==== Jede Kombination einer der <math> \binom {S}{s} </math> Möglichkeiten mit einer der <math> \binom {N-S}{n-s}</math> Möglichkeiten ergibt genau ein Element aus <math> A_s</math>. Folglich <math>| A_s| = \binom {S}{s}\binom {N-S}{n-s}</math> und <math> P(A_n) = \frac {|A_s|}{|\Omega|}</math> wie behauptet. ==== Bemerkung ==== Im Spezialfall <math> n = s = S </math> (d.h. Anzahl der Züge gleich Anzahl der schwarzen Kugeln; alle schwarzen Kugeln werden gezogen) ist :<math> h = (S;S,N,S) = \frac {\binom {S}{S} \cdot \binom {N-S}{N-S} } {\binom {N}{S}} =\frac {1} {\binom {N}{S}}.</math> ==== Qualitätskontrolle (Beispiel) ==== Aus einer Sendung von <math> N = 10000</math> Glühbirnen, welche <math> S </math> defekte enthalten möge, werden <math> n = 100 </math> Stück (ohne Zurücklegen) entnommen und geprüft. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den <math> 100 </math> Proben genau <math> s </math> (höchstens <math>s</math>) defekt sind, ist :<math> h (s; 100, 10000, S) </math> oder :<math>\sum_{k=0} ^s h(k; 100, 10000, S) </math> ==== Skatspiel (Beispiel) ==== Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Austeilen der <math> N= 32 </math> Karten der Spieler <math> A </math> unter seinen <math> n = 10 </math> Karten genau <math> k = 3 [k=4]</math> der <math> S=4</math> Asse besitzt? :<math> h(3;10,32,4) = \frac {\binom{4}{3} \binom {28}{7}}{\binom {32}{10}} \approx 0,073 \approx \frac {1}{14}</math> :<math> [ h(4;10,32,4) = \frac {\binom{4}{4} \binom{28}{6}}{\binom{32}{10}} = \approx 0,0058 \approx \frac {1}{172} ] </math> ==== Skatbeispiel - Zerlegung der Grundmenge ==== Die Zerlegung der Grundmenge <math>\Omega </math> in <math>\Omega_1 </math> und <math>\Omega_2 </math> erfolgt im Skatbeispiel in die Menge der Asse <math>\Omega_1 </math> und die Menge Karten, die kein Ass sind <math>\Omega_2 </math>. == Zufallsgrößen, Zufallsvariablen (1)== In der [[Zufallsvariable|Lerneinheit zu Zufallsvariablen]] traten zwei Wahrscheinlichkeitsräume auf: * <math>\Omega </math> ist die Menge der ungeordneten Stichproben vom Umfang <math> n </math> aus <math> \lbrace 1, ..., X \rbrace </math>(ohne Wiederholung), <math> P </math> ist Gleichverteilung auf <math> \Omega </math>. * <math> \Omega' = \lbrace 0,1, ..., n \rbrace, P'</math> hypergeometrische Verteilung (Anzahl <math> k \in \Omega' </math> schwarzer Kugeln hypergeometrisch verteilt). Wir bezeichnen diese Anzahl als <math> X </math>. <math> X </math> ist eine Abbildung von <math>w = \lbrace a_1, ..., a_n \rbrace \in \Omega: X:\Omega \to \Omega', w \to X(w) = |w \cap \lbrace 1, ..., S \rbrace |</math>. == Zufallsgrößen, Zufallsvariablen (2)== Das in der [[Zufallsvariable|Lerneinheit zu Zufallsvariablen]] auftretende Ereignis <math> A_k </math> kann man als Urbild von Zufallsgrößen beschreiben: :<math> A_k = \lbrace w \in \Omega: X(w) = k \rbrace = X^{-1}( \lbrace k \rbrace) </math> ('Urbild der Menge <math> \lbrace k \rbrace </math>) <br> Durch die Definition :<math> P'(\lbrace k \rbrace )=P( \lbrace w: X(w) = k \rbrace ) = P(X^{-1} (\lbrace k \rbrace) ), k \in \Omega </math> erhalten wir eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega'</math> (im Beispiel gerade hypergeometrische Verteilung). Für beliebige Ereignisse <math> A' \in \Omega </math> setzt man in Verallgemeinerung der letzten Gleichung :<math> P' ( A') = P(\lbrace w: X(w) \in A' \rbrace ) = P(X^{-1} (A')).</math> === Bild (Definition) === Sei <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsfunktion über <math> \Omega</math>. <math> \Omega'</math> sei eine weitere (nicht-leere) höchstens abzählbare Menge. <br> * eine Abbildung <math> X: \Omega \to \Omega' </math> heißt Zufallsgröße (oder zufällige Größe). <br> * Die durch <math> P'(A') =P(X^{-1}(A'))</math>, <math> A' \in \Omega'</math>, definierte Abbildung von <math> \mathcal{S}'</math> in <math> [0,1]</math> heißt Bild von <math> P </math> unter <math> X </math>: :<math> (\Omega, \mathcal{S}, P) \stackrel{X}{\longrightarrow} (\Omega', \mathcal{S}', P') </math> und <math> (\Omega', \mathcal{S}', P') \stackrel{X^{-1}}{\longrightarrow} (\Omega, \mathcal{S}, P)</math> === Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum (Satz) === Mit dem in b) definierten <math> P' </math> gilt: <math> (\Omega', \mathcal{S}', P')</math> bildet einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. ==== Beweis (1)==== Es ist zu zeigen, dass <math> P' </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega' </math> ist mit <math>A:=X^{-1}(A') \in \mathcal{S}</math>. * <math> P'(A') = P(X^{-1}(A')) = P(A) \in [0,1] </math> gilt nach Definition * Normierung: <math> P'(\Omega') = P\left(X^{-1}(\Omega')\right) = P(\Omega)=1 </math> <br> * <math>\sigma </math> - Additivität: Für eine Folge <math>A_1', A_2', ...</math> von paarweise disjunkten Mengen aus <math> \Omega' </math> sind die Urbildmengen wieder paarweise disjunkt: <br> :<math> X^{-1} (A'_i) \cap X^{-1} (A_j') = X^{-1}( A_i' \cap A_j') = \varnothing </math> <br> ==== Beweis (2) ==== Ferner gilt für die Urbildfunktion: :<math> X^{-1} \left( \bigcup_{i = 1}^{\infty} A_i'\right) = \bigcup_{i = 1}^{\infty} X^{-1} (A_i')</math> <br> Dies gilt auch für beliebige Schnitte und Vereinigungen bzgl. des Urbilds einer Funktion. ==== Beweis (3) ==== Dann folgt: :<math> P'\left(\bigcup_{i = 1} ^{\infty} A_i'\right) = P\left(X^{-1}\left(\bigcup_{i = 1} ^{\infty} A_i'\right)\right) = P\left(\bigcup_{ i = 1} ^{\infty} X^{-1} (A_i')\right)</math> <br> :<math> = \sum_{i = 1}^{\infty} P(X^{-1} (A_i')) = \sum_{i = 1} ^{\infty} P'(A_i')</math> <br> === Wahrscheinlichkeitsverteilung (Definition) === Die durch <math> P'(A') := P(X^{-1}(A')), A' \in \mathcal{S}' </math> definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P' </math> auf <math> \Omega'</math> heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung von <math> X </math> und wird mit <math> P^X </math> bezeichnet. <math> X </math> heißt auf <math>P'</math>-verteilt. ==== Bemerkungen und Bezeichnungen (1)==== <math> X^{-1}(A') \equiv \lbrace w; X(w) \in A' \rbrace </math> schreibt man auch <math> \lbrace X \in A' \rbrace </math> ("Ereignis <math> X </math> in <math> A'</math>"). Entsprechend schreibt man statt <math> P^X(A') = P(X^{-1}(A'))</math> auch <math> P(X \in A')</math> ("Wahrscheinlichkeit, dass <math> X </math> in <math> A' </math> ist"). ==== Bemerkungen und Bezeichnungen (2)==== Die zu <math> P' \equiv P_X </math> gehörende Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega'</math> lautet <math> w \to P_X( \lbrace w' \rbrace ) = P(X= w')</math>. ==== Bemerkungen und Bezeichnungen (3)==== Zu jedem Wahrscheinlichkeitsraum <math> (\Omega, \mathcal{S} (\Omega), P)</math> gibt es die Zufallsgröße <math> Id: \Omega \to \Omega, w \to Id(w) = w </math>. in diesem Fall ist <math> \Omega' = \Omega, P'=P</math>. ==== Bemerkungen und Bezeichnungen (4) ==== Im Fall <math> \Omega' \subset \mathbb{R} </math> (z.B. <math> \Omega = \mathbb{R}^+ </math> o.ä.) spricht man auch von einer Zufallsvariablen (statt Zufallsgröße). Beachte, dass diese eine schiefe (aber eingebürgerte) bezeichnung ist: <math> w </math> ist die Variable, <math> X: \Omega \to \mathbb{R}</math> die Funktion. Im Fall <math> \Omega \subset \mathbb{R}^k </math> spricht man von einem Zufallsvektor. <br> ==== Bemerkungen zum Rechnen mit Zufallsvariablen (5) ==== Da Zufallsvariablen reellwertige Funktionen sind, kann man mit ihnen üblicherweise Rechnen: * <math>(X+Y) (w) = X(w) + Y(w)</math> * <math>(X \cdot Y) (w) = X(w) \cdot Y(w)</math> * <math>(e^X)(w) = e^{X(w)}</math> * <math>|X| (w) = |X(w)|</math> ==== Beispiel ==== <math>n</math>-maliges Würfeln. Auf <math> (\Omega, \mathcal{S}, P)</math>, <math> \Omega = {\lbrace 1, ..., 6 \rbrace} ^n = \lbrace (a_1, ..., a_n): a_i \in \lbrace 1, ..., 6 \rbrace \rbrace, P </math> Gleichverteilung auf <math>\Omega</math>, definiere <math> X: \Omega \to \Omega' = \lbrace 0, ..., n \rbrace </math> durch <math> X(w) = | \lbrace i \in \lbrace 1, ..., n \rbrace: a_i = 6 \rbrace |</math> ("Anzahl Sechser"). <br> Behauptung: <math> P^X (\lbrace k \rbrace) \equiv P(X=k) = \binom {n}{k} \left(\frac {1}{6}\right)^k \left(\frac {5}{6}\right)^{n-k}, k=0, ..., n </math> === Binomialverteilung (Definition) === Die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \lbrace 1, ..., n \rbrace </math> definiert durch :<math> P_k = \binom {n}{k} p^k \cdot (1-p)^{n-k} , k = 0, ..., n </math> heißt Binomialverteilung mit den Parametern <math> n </math> und <math> p </math>, kurz <math> B(n,p)</math>-Verteilung (<math> 0 \le p \le 1</math>). Die im Beispiel angegebene Zufallsvariable <math> X </math> ist also <math> B(n, \frac {1}{6})</math> -verteilt. === Indikatorvariablen (Beispiel) === Sei <math> A \subset \Omega </math>. Die Zufallsvariable <math>I_A: \Omega \to \lbrace 0,1 \rbrace</math>, :<math> I_A(w) = \left \{ \begin{array}{ll} 1, & w \in A \\ 0, & w \notin A \end{array}\right. </math> heißt Indikatorvariable oder Indikatorfunktion von <math> A </math>. Umgekehrt stellt jede <math> \lbrace 0,1 \rbrace </math> -wertige Zufallsvariable <math>X</math> eine Indikatorvariable <math>I_A</math> dar, nämlich :<math> A = \lbrace w \in \Omega: X(w)= 1 \rbrace = \lbrace X = 1 \rbrace. </math> ==== Bemerkung - Verwendung für Ereignisse ==== Sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> gegeben und setze <math> p = P(A)</math>. Dann ist die Verteilung von <math> X = I_A </math> gegeben durch <math> P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p </math>. <math> X </math> heißt bernoulliverteilt mit Paramter p, kurz <math> B(1,p)</math> -verteilt. ==== Rechenregeln ==== Für Indikatorvariablen: <br> * <math> I_{A \cap B} = I_A \cdot I_B </math> * <math> I_{A \cup B} = I_A + I_B - I_{A \cap B} </math> * <math> I_ {\bar A} = I_{\Omega}-I_A, (1 = I_{\Omega}) </math> <br> ==== Verwendung mehrerer Zufallsvariablen ==== Die nun folgenden Erläuterungen beziehen sich auf den Fall von mehreren, aber auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \mathcal{S} ,P)</math> definierten Zufallsvariablen. === Gemeinsame Verteilung (Definition) (1) === Gegeben <math> k </math> Zufallsvariablen <math> X_1, ... X_k, X_i: \Omega \to \Omega_i' \subset \mathbb{R} </math>. <br> Sei <math> X = (X_1, ..., X_k): \Omega \to \Omega' = \Omega_11' \times ... \times \Omega_k' \subset \mathbb{R}^k </math> der aus ihnen gegildete Zufallsvektor. Dann heißt die Verteilung <math> P_X = P_{(X_1, ..., X_k)}</math> auch gemeinsame Verteilung der <math> X_1, ..., X_k; P_{X_i}</math> heißt auch i-te Rand- oder Marginalverteilung. <br> Die Randverteilung <math> P_{X_i} </math> lässt sich aus der gemeinsamen Verteilung <math> P_X </math> wie folgt berechnen. Sei <math> A_i' \subset \Omega'_i</math>. Setze :<math> A' = \Omega'_1 \times ... \times \Omega'_{i-1} \times A'_i \times \Omega'_{i+1} \times ... \times \Omega_k'. </math> === Gemeinsame Verteilung (Definition) (2) === Dann ist :<math> X^{-1} (A') = \lbrace w: X_1(w) \in \Omega_1', ..., X_i(w) \in A_i', ..., X_k(w) \in \Omega_k' \rbrace </math> <br> :<math>= \lbrace w: X_i(w) \in A_i' \rbrace = X_i^{-1} (A_i')</math> :<math> P_{X_i} (A'_i )= P(X_i^{-1}(A_i')) = P(X^{-1} (A')) = P_X(A')</math> ==== Beispiel (1)==== Werfen zweier (unterschiedbarer) Würfel. Setze <math> \Omega = \lbrace 1, ..., 6 \rbrace ^2, w= \lbrace j,k \rbrace \in \Omega, 1 \le j,k \le 6</math> und definiere die Zufallsvariablen <math> X_i: \Omega \to \Omega'_i = \lbrace 1, ..., 6 \rbrace, i=1,2 </math> gemäß :<math> X_1 = ((j,k)) = j [ X_2 = ((j,k)) =k ] </math> die Augenzahl des 1. [2.] Würfels. ==== Beispiel (2) ==== Hier ist <math> \Omega' = \Omega_1' \times \Omega'_2 = \Omega</math> und die gemeinsamer Verteilung der <math> X_1, X_2</math> auf <math> \Omega'</math> ist :<math> P_{(X_1, X_2)}(\lbrace (j,k) \rbrace) = \frac {1}{|\Omega'|} = \frac {1}{36} </math> für alle <math> j,k = 1, ..., 6</math>. <br> Die Randverteilung von <math> X_1</math> erhalten wir aus der letzten Gleichung der Definition wie folgt: :<math> P_{X_1} (\lbrace j \rbrace = P_{(X_1, X_2)}( \lbrace j \rbrace \times \lbrace 1, ..., 6 \rbrace ) = \sum_{k = 1} ^6 P_{(X_1, X_2)} (\lbrace (j,k) \rbrace) = \frac {6}{36} = \frac {1}{6} </math> == Siehe auch == * [[w:de:Multimenge#Anzahl der möglichen Multimengen|Multimengen]] * [[w:de:n-Tupel|k-Tupel]] * [[w:de:Permutation|Permutation]] * [[w:de:Menge (Mathematik)|Mengen]] k-elementige Teilmengen * [[Textanalyse und Textgenerierung]] * [[/Variationen und Kombinationen/]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik/hypergeometrische_Verteilung|hypergeometrische Verteilung]] * [[Kurs:Statistik_für_Anwender/Kombinatorische_Hilfsmittel|Kombinatorische Hilfsmittel]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Statistik für Anwender]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kombinatorik&author=Kurs+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlende%20Kombinatorik Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlende%20Kombinatorik Abzählende Kombinatorik] https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlende%20Kombinatorik * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] == Quellen == [[Category:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] bct5euu2vr0udzy4abibg0owfvyh37u 0 104510 1117953 1099948 2026-10-27T17:03:40Z Bocardodarapti 2041 1117953 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch ein Polynom der Form {{ Relationskette/display | F || X^a +Y^b+Z^c || || || |SZ= }} gegebene Hyperfläche im Nullpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | a,b,c | \geq | 1 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Der Körper sei so, dass die Exponenten in {{math|term= K |SZ=}} von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden seien. Das {{ Definitionslink |Jacobiideal| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| aX^{a-1}, bY^{b-1}, cZ^{c-1} }} || {{makl| X^{a-1}, Y^{b-1}, Z^{c-1} }} || || || |SZ=. }} Im Restklassenring {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring/Global isolierte Singularität/Globale und lokale Milnoralgebra/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | K[X,Y,Z]_{(0,0,0)} / {{makl| X^{a-1}, Y^{b-1}, Z^{c-1} }} || K[X,Y,Z] / {{makl| X^{a-1}, Y^{b-1}, Z^{c-1} }} || || || |SZ= }} bilden die Monome {{ mathbed|term= X^iY^jZ^k |mit|bedterm1= 0 \leq i \leq a-1,\, 0 \leq j \leq b-1,\, 0 \leq k \leq c-1,\, ||bedterm2= |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} und somit ist die {{ Definitionslink |Milnorzahl| |Kontext=| |SZ= }} dieser Hyperfläche gleich {{mathl|term= (a-1)(b-1)(c-1) |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1rek1yhjb456pjmwnuqnn5fwbu7ru4v 0 104513 1117954 1099950 2026-10-27T17:04:03Z Bocardodarapti 2041 1117954 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch ein Polynom der Form {{ Relationskette/display | F || X_1 \cdots X_n || || || |SZ= }} gegebene Hyperfläche im Nullpunkt. Das {{ Definitionslink |Jacobiideal| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | J_F || {{makl| X_2 \cdots X_n , X_1 X_3 \cdots X_n {{kommadots|}} X_1 \cdots X_{n-1} }} || || || |SZ=. }} Wir betrachten den Restklassenring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]_{(0{{kommadots|}} 0)} / J_F |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | n || 2 || || || |SZ= }} ist dieser eindimensional und die Milnorzahl ist {{math|term= 1 |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | n | \geq | 3 || || || |SZ= }} hingegen sind die Monome {{ Math/display|term= X_1^n,\, n \in \N |SZ=, }} linear unabhängig und daher besitzt der Restklassenring die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} unendlich. Die {{ Definitionslink |Milnorzahl| |SZ= }} dieser Hyperfläche ist also unendlich. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6y67ee0nh8npltiy52a16msnaa7hb9z 0 105037 1117955 1107985 2026-10-27T17:05:40Z Bocardodarapti 2041 1117955 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es ist {{ Relationskette/display | f || \sum_{d {{=|}} 0}^m f_d || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | f_d || \sum_{\nu :\, {{op:Monomgrad| \nu|}} {{=|}} d} c_\nu X^\nu || || || |SZ=. }} Die Einsetzung für ein Monom {{math|term= X^\nu |SZ=}} ergibt nach dem Distributivgesetz {{ Relationskette/align/handlinks | \alpha_1^{\nu_1 } \cdots \alpha_n^{\nu_n } || {{makl| a_1t+b_1 |}}^{\nu_1 } \cdots {{makl| a_nt +b_n |}}^{\nu_n } || a_1^{\nu_1 } \cdots a_n^{\nu_n } t^{\nu_1 {{plusdots|}} \nu_n } + \sum_{j {{=}} 0}^{ {{op:Monomgrad|\nu|}} -1 } h_j(a_1 {{kommadots|}} a_n,b_1 {{kommadots|}} b_n) t^j || || |SZ= }} mit Polynomen {{math|term= h_j |SZ=}} in den {{mathl|term= a_i, b_i |SZ=.}} Die Monome von einem bestimmten Grad tragen nach der Einsetzung zu diesem Grad und zu den kleineren Graden bei, aber nicht zu einem höheren Grad. Daher hat {{math|term= f_\alpha |SZ=}} maximal den Grad {{math|term= m |SZ=}} und sein {{ Definitionslink |Leitkoeffizient| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=vorausgesetzt, dass dieser Term nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Relationskette/display | \sum_{ {{op:Monomgrad| \nu |}} {{=|}} m} c_\nu a^\nu || f_m {{op:Zeilenvektor| a_1 | \ldots | a_n }} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette | f_m |\neq| 0 || || || |SZ= }} gibt es {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{math|term= K |SZ=}} unendlich| |ISZ=|ESZ= }} Punkte {{ Relationskette | {{op:Zeilenvektor| a_1 | \ldots | a_n }} | \in | K^n || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | f_m {{op:Zeilenvektor| a_1 | \ldots | a_n }} |\neq| 0 || || || |SZ=, }} und dies gilt auf der Zariski-offenen Menge {{mathl|term= V {{makl| f_m |}} |SZ=}} im Parameterraum. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1dhmmbhp7hwaje8cs7qv2a21xckg47i 0 105042 1117957 1101277 2026-10-27T17:06:43Z Bocardodarapti 2041 1117957 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette/display | f || f_k +f_{k+1} {{plusdots|}} f_m || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | f_k || \sum_{ {{op:Monomgrad| \nu}} {{=|}} k} c_\nu X^\nu | \neq | 0 || || || |SZ=. }} Wie aus dem Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynom/Geradeneinsetzung/Formel/Fakt |Nr= |SZ= }} im homogenen Fall {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | b || 0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ersichtlich ist, hängen die homogenen Komponenten der Einsetzung nur von den homogenen Komponenten von {{math|term= f |SZ=}} ab. Insbesondere ist {{ Relationskette/display | (f \circ \alpha)_k || f_k \circ \alpha || \sum_{ {{op:Monomgrad|\nu|}} {{=|}} k } c_\nu a^\nu t^k || || |SZ= }} und {{ Relationskette | (f \circ \alpha)_\ell || 0 || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | \ell | < | k || || || |SZ=. }} Somit ist {{math|term= 0 |SZ=}} eine zumindest {{math|term= k |SZ=-}}fache Nullstelle von {{mathl|term= f \circ \alpha|SZ=,}} und genau dann eine {{math|term= k |SZ=-}}fache Nullstelle, wenn der Koeffizient {{mathl|term= \sum_{ {{op:Monomgrad|\nu|}} {{=|}} k } c_\nu a^\nu t^k |SZ=}} nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Diese Bedingung ist auf einer nichtleeren offenen Teilmenge des {{math|term= K^n |SZ=}} erfüllt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3jn9d823848wq1j0moabcrvuw44n38l 0 105043 1117959 1107989 2026-10-27T17:09:54Z Bocardodarapti 2041 1117959 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= m |SZ=}} der Grad von {{math|term= f |SZ=}} und {{math|term= k |SZ=}} der Untergrad von {{math|term= f |SZ=.}} Es sei {{ Relationskette | U | \subseteq | {{CC|}}^n || || || |SZ= }} eine Zariski-offene Menge mit der Eigenschaft, dass die Einsetzungen {{mathl|term= f \circ \alpha |SZ=}} zu den Geraden durch den Nullpunkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| a_1 | \vdots | a_n }} t |SZ=}} zum Parametertupel {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| a_1 | \vdots | a_n }} | \in | U || || || |SZ= }} den Grad {{math|term= m |SZ=}} und den Untergrad {{math|term= k |SZ=}} besitzen. Eine solche Menge gibt es aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynom/Geradeneinsetzung/Formel/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Hyperfläche/K unendlich/Untergrad/Geradenschnitt durch Punkt/Vielfachheit/Fakt |Nr= |SZ=. }} Das normierte eingesetzte Polynom hat die Gestalt {{ Math/display|term= \sum_{ j {{=}} 0}^m {{op:Bruch| g_j {{makl| a_1 {{kommadots|}} a_n, b_1 {{kommadots|}} b_n |}} | g_m {{makl| a_1 {{kommadots|}} a_n, b_1 {{kommadots|}} b_n |}} |}} t^j |SZ= }} wobei {{math|term= g_m |SZ=}} auf {{math|term= U |SZ=}} nullstellenfrei und unabhängig von den {{math|term= b_i |SZ=}} ist. Für einen fixierten Parameter {{mathl|term= {{makl| a_1 {{kommadots|}} a_n, 0 {{kommadots|}} 0 |}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | {{makl| a_1 {{kommadots|}} a_n |}} | \in | U || || || |SZ= }} besitzt dieses Polynom in {{math|term= 0 |SZ=}} eine Nullstelle der Vielfachheit {{math|term= k |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz über die Stetigkeit der Nullstellen|Faktseitenname= Polynom/C/Nullstellen/Stetigkeit/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es zu jedem {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} ein {{ Relationskette | \delta | > | 0 || || || |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass jedes normierte Polynom vom gleichen Grad, das {{ Zusatz/Klammer |text=durch {{math|term= U |SZ=}} parametrisiert ist und| |ISZ=|ESZ= }} die Koeffizientenbedingungen {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| {{op:Bruch| g_j {{makl| a_1 {{kommadots|}} a_n, 0 {{kommadots|}} 0 |}} |g_m {{makl| a_1 {{kommadots|}} a_n, 0 {{kommadots|}} 0 |}} |}} - {{op:Bruch| g_j {{makl| a_1' {{kommadots|}} a_n', b_1 {{kommadots|}} b_n |}} | g_m {{makl| a'_1 {{kommadots|}} a'_n, b_1 {{kommadots|}} b_n |}} |}} |}} | \leq | \delta || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | j || 0 {{ kommadots|}} m-1 || || || |SZ= }} erfüllt, in {{mathl|term= {{op:Offener Ball| 0 | \epsilon }} |SZ=}} mindestens {{math|term= k |SZ=}} Nullstellen mit Gesamtvielfachheit {{math|term= \geq k |SZ=}} besitzt. Da diese rationalen Koeffizientenfunktionen {{mathl|term= g_j/g_m |SZ=}} stetig sind, gibt es zu jedem {{ Relationskette | {{makl| a_1 {{kommadots|}} a_n |}} | \in | U || || || |SZ= }} ein {{ Relationskette | s | > | 0 || || || |SZ= }} derart, dass für {{ Relationskette/display | {{op:Abstand| {{makl| a_1 {{kommadots|}} a_n, 0 {{kommadots|}} 0 |}} | {{makl| a_1' {{kommadots|}} a_n', b_1 {{kommadots|}} b_n |}} |}} | \leq | s || || || |SZ= }} die zugehörigen Koeffizientenfunktionen diese Abstandsbedingung und die zugehörigen Geraden {{mathl|term= a't+b |SZ=}} daher die Schnittbedingung erfüllen, dass sie in der {{math|term= \epsilon |SZ=-}}Umgebung des Nullpunktes insgesamt zumindest {{math|term= k |SZ=}} Schnittpunkte haben. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c5ci1418lof380rfdtkv6szp91biyhj 0 105108 1117943 1107968 2026-10-27T16:56:21Z Bocardodarapti 2041 1117943 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Cusp|svg| 250px {{!}} {{!}} |Text=Das reelle Bild der Neilschen Parabel |Autor= |Benutzer=Satipatthana |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir betrachten die Nullstellenmenge {{ Relationskette/display | V || V {{makl| Z^a-W^b |}} | \subseteq| {{CC|}}^2 || || |SZ=, }} die bei {{ Relationskette | a,b | \geq | 2 || || || |SZ= }} eine isolierte Singularität im Nullpunkt besitzt. Wenn {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} teilerfremd sind, so ist das Polynom {{ Relationskette/display | Z^a-W^b | \in| {{CC|}} [Z,W] || || || |SZ= }} irreduzibel und damit ist auch {{math|term= V |SZ=}} irreduzibel. Diese Eigenschaft werden wir im Folgenden voraussetzen, das einfachste singuläre Beispiel ist die Neilsche Parabel. Eine andere wichtige Beschreibung von {{math|term= V |SZ=}} ergibt sich als Bild der polynomialen Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | {{CC|}} | V \subseteq {{CC|}}^2 | t | {{makl| t^b,t^a |}} |SZ=. }} Jeder Bildpunkt {{mathl|term= \varphi(t) |SZ=}} erfüllt offenbar die beschreibende Gleichung. Bei vorausgesetzter Teilerfremdheit der Exponenten kann man einfach zeigen, dass die Abbildung {{math|term= \varphi |SZ=}} sogar bijektiv ist. Es gibt also eine polynomiale Bijektion {{ Abbildung |name= \varphi | {{CC|}} | V || |SZ=, }} wobei {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} glatt und {{math|term= V |SZ=}} singulär ist. Von daher könnte man meinen, dass die Singularität von {{math|term= V |SZ=}} topologisch keine besondere Relevanz haben sollte. In der Tat liegt ein Homöomorphismus zwischen {{ Relationskette | {{CC|}} | \cong| \R^2 || || || |SZ= }} und {{math|term= V |SZ=}} vor. Wir werden aber zeigen, dass die Singularität sehr wohl eine topologische Relevanz besitzt, und zwar in der Art, wie sie im umgebenden Raum {{ Relationskette/display | {{CC|}}^2 | \cong| \R^4 || || || |SZ= }} eingebettet ist. Ein erster wichtiger Hinweis in diese Richtung ergibt sich, wenn man die Abbildung {{math|term= \varphi |SZ=}} mit dem Standarddurchlauf des Einheitskreises verknüpft. Dieser ist durch {{ Abbildung/display |name= | [0,1] | S^1 \subseteq {{CC|}} | s | e^{ 2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} s } |SZ=, }} gegeben. Verknüpft mit {{math|term= \varphi |SZ=}} erhält man die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | [0,1] | V \subseteq {{CC|}}^2 | s | {{op:Zeilenvektor| e^{ 2 b\pi {{Imaginäre Einheit|}} s } | e^{ 2 a \pi {{Imaginäre Einheit|}} s } ||}} |SZ=. }} Da eine Homöomorphie vorliegt, ist dieser Weg ein Erzeuger der Fundamentalgruppe von {{mathl|term= V \setminus \{ (0,0) \} |SZ=,}} ebenso wie der Standarddurchlauf des Einheitskreises ein Erzeuger der Fundamentalgruppe von {{mathl|term= {{CC|}} \setminus \{ 0 \} |SZ=}} ist. Ein Unterschied besteht aber in der Verschlingung dieses Weges im {{math|term= \R^4 |SZ=.}} Wir identifizieren den {{math|term= {{CC|}}^2 |SZ=}} mit dem {{math|term= \R^4 |SZ=}} und schreiben {{ Relationskette | z || x_1 + x_2 {{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | w || y_1 + y_2 {{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ=. }} Im {{math|term= \R^4 |SZ=}} arbeiten wir also mit den reellen Koordinaten {{mathl|term= x_1, x_2, y_1, y_2 |SZ=.}} Eine komplexe Zahl ist genau dann {{math|term= 0 |SZ=,}} wenn sowohl ihr Realteil als auch ihr Imaginärteil {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Die definierende Gleichung {{ Relationskette/display | z^a -w^b || 0 || || || |SZ= }} für ein komplexes Zahlenpaar {{mathl|term= (z,w) |SZ=}} bedeutet daher ins Reelle übersetzt, wegen {{ Relationskette/align/handlinks | z^a || {{makl| x_1 + x_2 {{Imaginäre Einheit|}} |}}^a || \sum_{j {{=}} 0}^a {{op:Binomialkoeffizient|a|j}} {{Imaginäre Einheit|}}^j x_1^{a-j} x_2^j || {{makl| \sum_{j \text{ gerade } } (-1)^{j/2} {{op:Binomialkoeffizient|a|j}} x_1^{a-j} x_2^j |}} + {{Imaginäre Einheit|}} {{makl| \sum_{j \text{ ungerade} } (-1)^{(j-1)/2} {{op:Binomialkoeffizient|a|j}} x_1^{a-j} x_2^j |}} || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und entsprechend für {{math|term= w^b |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} dass die beiden reellen Gleichungen {{ Relationskette/display/handlinks | \sum_{j \text{ gerade } } (-1)^{j/2} {{op:Binomialkoeffizient| a | j }} x_1^{a-j} x_2^j || \sum_{j \text{ gerade } } (-1)^{j/2} {{op:Binomialkoeffizient| b | j }} y_1^{b-j} y_2^j || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display/handlinks | \sum_{j \text{ ungerade} } (-1)^{(j-1)/2} {{op:Binomialkoeffizient| a | j }} x_1^{a-j} x_2^j || \sum_{j \text{ ungerade} } (-1)^{(j-1)/2} {{op:Binomialkoeffizient| b | j }} y_1^{b-j} y_2^j || || || |SZ= }} simultan erfüllt sein müssen. Für die Neilsche Parabel bedeutet das, dass die beiden Gleichungen {{ Relationskette/display | x_1^2-x_2^2 -y_1^3 +3 y_1y_2^2 || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | 2x_1x_2 -3y_1^2y_2 + y_2^3 || 0 || || || |SZ= }} erfüllt sein müssen. {{parskip}} Auf {{math|term= V |SZ=}} wirkt die multiplikative Gruppe {{math|term= {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} |SZ=}} durch die {{ Definitionslink |Operation| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} \times V | V | (u,z,w) | {{makl| u^bz, u^aw |}} |SZ=. }} Diese Gruppenwirkung hängt mit der {{ Definitionslink |Prämath=\N |Graduierung| |Kontext=| |SZ= }} des Restklassenringes {{mathl|term= {{CC|}}[Z,W]/ {{makl| Z^a-W^b |}} |SZ=}} durch {{ Relationskette | {{op:Grad|Z|}} || b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{op:Grad|W|}} || a || || || |SZ= }} zusammen. Wir schränken die Operation auf positive reelle Zahlen ein. Diese Operation setzt sich auf dem gesamten {{math|term= \R^4 |SZ=}} fort, durch {{ Relationskette/display | u {{op:Zeilenvektor| x_1 | x_2 | y_1 | y_2 }} || {{op:Zeilenvektor| u^b x_1 | u^b x_2 | u^a y_1 | u^a y_2 }} || || || |SZ=. }} Die Bahnen dieser Operation zu einem Punkt {{ Relationskette | {{op:Zeilenvektor| x_1 | x_2 | y_1 | y_2 }} | \neq | 0 || || || |SZ= }} sind selbst wieder reelle mit Koeffizienten versehene monomiale Kurven im Vierdimensionalen. Für {{mathl|term= u \rightarrow 0 |SZ=}} streben diese Bahnen gegen den Nullpunkt und für {{math|term= u \rightarrow + \infty |SZ=}} gegen Unendlich. Diese Bahnen sollte man in Analogie zu den Strahlen {{ Zusatz/Klammer |text=Halbgeraden| |ISZ=|ESZ= }} im {{math|term= \R^n |SZ=}} sehen, die vom Nullpunkt ausgehen. Jeder Strahl durchstößt die Sphäre in genau einem Punkt. Eine entsprechende Aussage gilt auch für die gegenwärtigen Bahnen. Es sei {{ Relationskette/display | S^3 || {{Mengebed| {{op:Zeilenvektor| x_1 | x_2 | y_1 | y_2 }} | x_1^2 + x_2^2+y_1^2 +y_2^2 {{=|}} 1 }} | \subseteq| \R^4 | \cong| {{CC|}}^2 || |SZ= }} die reell dreidimensionale Sphäre im reell vierdimensionalen Raum. Wir betrachten den Durchschnitt {{ Relationskette/display | L || V \cap S^3 || || || |SZ=. }} Da {{math|term= V |SZ=}} reell zweidimensional ist, erwartet man {{ Zusatz/Klammer |text=reelle Kodimensionen zählen| |ISZ=|ESZ= }} einen reell eindimensionalen Schnitt. {{math|term= L |SZ=}} steht hier für Link, auf Deutsch {{Stichwort|Umgebungsrand|SZ=.}} Es ist generell ein wichtiges topologisches Hilfsmittel, zu einer affin-algebraischen Varietät {{ Relationskette/display | V | \subseteq| {{CC|}}^n || || || |SZ= }} mit einer Singularität im Nullpunkt den Durchschnitt mit der reell {{math|term= 2n-1 |SZ=-}}dimensionalen Sphäre zu betrachten, also {{ Relationskette |L || V \cap S^{2n-1} | \subseteq| S^{2n-1} || || |SZ=. }} Dabei ist für geeignete Sphärenradien der Durchschnitt {{math|term= L |SZ=}} eine reelle Mannigfaltigkeit, deren Dimension um {{math|term= 1 |SZ=}} kleiner als die reelle Dimension von {{math|term= V |SZ=}} ist. In unserer Situation liegt insgesamt das kommutative Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| \R_+ \times S^1 | {{op:Einheiten|{{CC}}||}} | \R_+ \times L | V \setminus \{0\} }} von Homöomorphismen vor. Dabei steht oben die Polarkoordinantenabbildung, rechts steht {{mathl|term= t \mapsto {{op:Zeilenvektor|t^b|t^a}} |SZ=}} mit der Umkehrabbildung {{mathl|term= (z,w) \mapsto z^\beta w^\alpha |SZ=,}} wobei {{ Relationskette | \alpha a + \beta b || 1 || || || |SZ= }} gelte {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} ||ISZ=|ESZ=, }} und unten {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| u | x_1 | x_2 | y_1 | y_2}} \mapsto {{op:Zeilenvektor| u^bx_1 | u^bx_2 | u^ay_1 | u^ay_2 }} |SZ=,}} was wir gleich als bijektiv nachweisen werden. {{ inputfaktbeweis |Monomiale ebene Kurve/Umgebungsrand/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Wir betrachten nun das Paar bestehend aus der Sphäre {{math|term= S^3 |SZ=}} und {{math|term= L |SZ=,}} das homöomorph zu {{math|term= S^1 |SZ=}} ist. Wenn man aus {{math|term= S^3 |SZ=}} einen Punkt herausnimmt, der nicht auf dem eingebetteten {{math|term= S^1 |SZ=}} liegt, so erhält man eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Sphäre im {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Ein solches Gebilde nennt man einen Knoten. {{:Knoten/R^3/Äquivalenz/Einführung/Textabschnitt}} Zur Orientierung der im Folgenden zu besprechenden Knoten ist der Begriff des Torus und des Torusknotens hilfreich. {{ inputdefinition |Torus/Produktmannigfaltigkeit/Definition|| }} Der Torus ist in natürlicher Weise eine abgeschlossene zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des {{math|term= \R^4 |SZ=.}} Ein Torus lässt sich aber auch einfach als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des {{math|term= \R^3 |SZ=}} realisieren, beispielsweise, indem man einen Kreis um eine Gerade außerhalb des Kreises rotieren lässt. Ein Torus ist somit einfach ein Fahrradschlauch. {{ inputbild |TorusKnot-3-8|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Christian.Mercat |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Torusknoten/Definition|| }} Wir arbeiten nun mit Polarkoordinaten für die beiden {{math|term= {{CC|}} |SZ=,}} und zwar sei {{ Relationskette/display | z || \rho_1 e^{2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} \theta_1} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | w || \rho_2 e^{2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} \theta_2} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= V \setminus \{(0,0)\} |SZ=}} sind beiden Koordinaten nicht {{math|term= 0 |SZ=,}} und daher kann man mit diesen Koordinaten alles erfassen. In diesen Koordinaten ist {{ Relationskette/display | {{CC|}}^\times \times {{CC|}}^\times || \R_+ \times S^1 \times \R_+ \times S^1 || || || |SZ=. }} In der Polarkoordinatenbeschreibung wird {{mathl|term= V \setminus {(0,0)} |SZ=}} durch {{ Math/display|term= {{Mengebed| (\rho_1, \theta_1, \rho_2, \theta_2) | \rho_1^a {{=}} \rho_2^b | a \theta_1 {{=}} b \theta_2 }} |SZ= }} beschrieben. Dabei ist die zweite Gleichung {{ Relationskette | a \theta_1 || b \theta_2 || || || |SZ= }} als Winkelgleichung, also modulo {{math|term= \Z |SZ=}} zu verstehen. In dieser Darstellung erkennt man den positiven Quadranten der reellen monomialen Kurve, wenn man die Winkelgleichung vergisst. Die Lösungsmenge der Winkelgleichung, also {{ Math/display|term= {{Mengebed| {{makl| \theta_1,\theta_2 |}} | a \theta_1 {{=}} b \theta_2 \text{ modulo } \Z}} |SZ=, }} ist innerhalb von {{mathl|term= [0,1[ \times [0,1[ |SZ=}} der {{Anführung|Funktionsgraph}} zu {{ Relationskette/display | \theta_2 || {{op:Bruch|a|b}} \theta_1 || || || |SZ=, }} der allerdings aus verschiedenen parallelen Strecken besteht. Sie ist homöomorph zum {{math|term= S^1 |SZ=.}} Wenn man auch auf der Normalisierung {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} der Kurve Polarkoordinaten {{mathl|term= (\rho, \theta) |SZ=}} einführt, so ist die Normalisierungsabbildung durch {{ Math/display|term= ( \rho, \theta) \mapsto {{makl| \rho^b ,b \theta, \rho^a, a \theta |}} |SZ= }} gegeben. Der erzeugende Weg {{math|term= \gamma |SZ=}} der Fundamentalgruppe von {{math|term= V \setminus \{0\} |SZ=}} hat in beiden komplexen Koordinaten den Radius {{math|term= 1 |SZ=}} und ist daher ein Weg auf dem {{ Definitionslink |Torus| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= S^1 \times S^1 |SZ=.}} Er dreht sich um den ersten Kreis {{math|term= b |SZ=-}}fach und um den zweiten {{math|term= a |SZ=-}}fach. Um einen Weg auf dem Link {{math|term= L |SZ=}} zu erreichen, muss man den Weg {{ Abbildung/display |name= | S^1 | L | \theta | {{op:Zeilenvektor| u_0^b | b \theta | u_0^a | a \theta }} |SZ=, }} mit {{math|term= u_0 |SZ=}} wie im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Monomiale ebene Kurve/Umgebungsrand/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} nehmen. Dies ändert nichts daran, dass der Weg auf einem Torus verläuft {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die beiden Kreise jetzt unterschiedliche Radien haben| |ISZ=|ESZ= }} und wie oft sich der Weg in den beiden Richtungen dreht. Wenn man den {{math|term= S^3 |SZ=}} ohne einen Punkt {{math|term= N |SZ=}} auf den {{math|term= \R^3 |SZ=}} homöomorph abbildet {{ Zusatz/Klammer |text=etwa durch die {{ Definitionslink |stereographische Projektion| |Kontext=| |SZ=, }} | |ISZ=|ESZ= }} und der Projektionspunkt {{math|term= N |SZ=}} nicht auf diesem Torus und damit auch nicht auf {{math|term= L |SZ=}} liegt, so wird der Torus homöomorph auf einen Torus im {{math|term= \R^3 |SZ=}} abgebildet. Daraus ist ersichtlich, dass es sich bei {{mathl|term= (L,S^3) |SZ=}} um einen Torusknoten handelt. Bei {{ Relationskette | a || 2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | b || 3 || || || |SZ= }} ist dieser Knoten die sogenannte Kleeblattschlinge. {{ inputbild |Trefoil knot left|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Rybu |Domäne=en. Wikipedia |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Bei {{ Relationskette | a || 1 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | b || 1 || || || |SZ= }} ergibt sich ein Torusknoten, der einmal längs des einen Kreises und beliebig oft längs des anderen Kreises läuft. Das ist dann aber ein trivialer Knoten, man denke an die homöomorphe Projektion dieses Knotens auf die Ebene, die einen geschlängelten Kreis ergibt. Wir halten die folgende topologische Auswirkung einer Singularität fest: Die ebene monomiale Kurve ist genau dann regulär, wenn der zu ihr gehörende Link trivial ist. Wir behandeln abschließend noch den Fall, wo die Exponenten der Variablen nicht teilerfremd sind. Der Link besteht dann aus mehreren eindimensionalen Sphären, die im {{math|term= S^3 |SZ=}} in einer bestimmten charakteristischen Weise miteinander verschlungen sind. {{ inputfaktbeweis |Monomiale ebene Kurve/Exponent/Gemeinsamer Teiler/Fakt|Lemma|| || }} Dies bedeutet insbesondere, dass der Durchschnitt {{mathl|term= S^3 \cap V {{makl| Z^{ca}-W^{cb} |}} |SZ=}} aus {{math|term= c |SZ=}} disjunkten {{math|term= S^1 |SZ=}} bestehen. {{ inputbeispiel |Ebene monomiale Kurve/Gemeinsamer Teiler/2 und 2/Link/Knoten/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene monomiale Kurve/Gemeinsamer Teiler/2 und 4/Link/Knoten/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} l0z5epjurxh24oncflga1ghujgjyp5e 0 105111 1117949 1107966 2026-10-27T16:59:31Z Bocardodarapti 2041 1117949 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Abbildung {{math|term= \varphi |SZ=}} ist wohldefiniert und stetig. Zu einem fixierten, von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Punkt {{ Relationskette/display | {{makl| \tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\tilde{y}_1,\tilde{y}_2 |}} | \in | V || || || |SZ= }} zeigen wir, dass es ein eindeutiges Urbild gibt. Wir behaupten, dass die reelle Bahn {{ mathbed|term= {{makl| u^b \tilde{x}_1 , u^b \tilde{x}_2 , u^a \tilde{y}_1 , u^a \tilde{y}_2 |}} ||bedterm1= u \in \R_+ ||bedterm2= |SZ= }} durch diesen Punkt die dreidimensionale Sphäre in genau einem Punkt schneidet. Die Schnittbedingung ist {{ Relationskette/display/handlinks | {{makl| u^b \tilde{x}_1 |}}^2 + {{makl| u^b \tilde{x}_2 |}}^2 + {{makl| u^a \tilde{y}_1 |}}^2 + {{makl| u^a \tilde{y}_2 |}}^2 || u^{2b} {{makl| \tilde{x}_1^2+\tilde{x}_2^2 |}} +u^{2a} {{makl| \tilde{y}_1^2+\tilde{y}_2^2 |}} || 1 || || |SZ=. }} Wegen der monomialen Bedingung sind sowohl {{ mathkor|term1= {{makl| \tilde{x}_1,\tilde{x}_2 |}} |als auch|term2= {{makl| \tilde{y}_1,\tilde{y}_2 |}} |SZ= }} von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden und daher sind {{ Relationskette | c || \tilde{x}_1^2 +\tilde{x}_2^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | d || \tilde{y}_1^2+\tilde{y}_2^2 || || || |SZ= }} positive reelle Zahlen. Es liegt also eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display | c {{makl| u^b |}}^2 +d {{makl| u^a |}}^2 || 1 || || || |SZ= }} vor. Die Gleichung {{ Relationskette/display | c v^2 +d w^2 || 1 || || || |SZ= }} beschreibt eine Ellipse und es muss wegen der Positivität von {{mathl|term= u,v,w |SZ=}} {{ Relationskette/display | v || u^b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | w || u^a || || || |SZ= }} gelten. Dafür gibt es nur eine Lösung in {{math|term= u |SZ=.}} {{ Zusatz/Klammer |text=dies sieht man auch, wenn man {{mathl|term= c {{makl| u^b |}}^2 +d {{makl| u^a |}}^2 |SZ=}} nach {{math|term= u |SZ=}} ableitet und das asymptotische Verhalten dieser Funktion betrachtet| |ISZ=|ESZ=. }} Das legt über {{ Relationskette | x_1 | {{defeq}} | u^b \tilde{x}_1 || || || |SZ= }} etc. auch die anderen Koordinaten im Urbild fest. Die Norm von {{math|term= \gamma (s) |SZ=}} ist wegen {{ Relationskette/display | \gamma (s) || {{makl| e^{ 2 b\pi {{Imaginäre Einheit|}} s } , e^{ 2 a \pi {{Imaginäre Einheit|}} s } |}} || {{makl| {{op:cos| 2bs |}} , {{op:sin| 2bs |}} , {{op:cos| 2as |}} , {{op:sin| 2as |}} |}} || {{makl| \tilde{x}_1 , \tilde{x}_2, \tilde{y}_1, \tilde{y}_2 |}} || |SZ= }} gleich {{math|term= \sqrt{2} |SZ=.}} Es sei {{math|term= u_0 |SZ=}} die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl mit {{ Relationskette/display | u_0^{2b} + u_0^{2a} || 1 || || || |SZ=. }} Die beschriebene Hintereinanderschaltung ist dann {{ Abbildung/display |name= | S^1 | L | s | {{op:Zeilenvektor| u_0^b e^{ 2 b\pi {{Imaginäre Einheit|}} s } | u_0^a e^{ 2 a \pi {{Imaginäre Einheit|}} s } }} {{=|}} {{op:Zeilenvektor| u_0^b {{op:cos| 2bs |}} | u_0^b {{op:sin| 2bs |}} | u_0^a {{op:cos| 2as |}} | u_0^a {{op:sin| 2as |}} }} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dhvrwrq8d3u0oaezbi2x4hht9xgcv8r 0 105144 1117946 1107956 2026-10-27T16:57:34Z Bocardodarapti 2041 1117946 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{bildskip}} {{ inputbild |Love Heart symbol rings|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Love_Heart_symbol_rings| |Text= |Autor= |Benutzer=Nevit |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten die monomiale Gleichung {{ Relationskette/display | z^2 || w^2 || || || |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}}^2 |SZ=,}} wo also die beiden Exponenten nicht teilerfremd sind. Diese Kurve kann auch durch die Gleichung {{ Relationskette | zw || 0 || || || |SZ= }} beschrieben werden, es handelt sich also um das komplexe Achsenkreuz {{ Relationskette | V || V(zw) || V(z) \cup V(w) || || |SZ=. }} In diesem Fall besteht der Durchschnitt {{ Relationskette/display | L || V \cap S^3 || || || |SZ= }} aus zwei disjunkten Kreisen. Diese beiden Kreise sind einfach ineinander verschlungen. Man spricht von der {{Stichwort|Hopfverschlingung|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 80mt6cte21jkc5pc3qepee7dihsxxqe 0 105170 1117963 1043082 2026-10-27T17:20:22Z Bocardodarapti 2041 1117963 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Ein Punkt {{ Relationskette |P | \in | V( {{ideala|}} ) || || || |SZ= }} ist ein Tupel {{mathl|term= {{makl| x_1 {{kommadots|}} x_m |}} |SZ=,}} in dem alle Polynome aus {{ Relationskette | {{ideala|}} | \subseteq | K[X_1 {{kommadots|}} X_m] || || || |SZ= }} verschwinden. Ein Punkt {{ Relationskette/display | (P ,Q) | \in | V( {{ideala|}} ) \times V( {{idealb|}} ) || || || |SZ= }} ist entsprechend ein Tupel {{mathl|term= {{makl| x_1 {{kommadots|}} x_m ; y_1 {{kommadots|}} y_n |}} |SZ=,}} in dem sowohl alle Polynome aus {{ Relationskette | {{ideala|}} | \subseteq | K[X_1 {{kommadots|}} X_m] || || || |SZ= }} als auch alle Polynome aus {{ Relationskette | {{idealb|}} | \subseteq | K[Y_1 {{kommadots|}} Y_n] || || || |SZ= }} verschwinden, wobei diese Bedingungen jeweils nur vom vorderen bzw. vom hinteren Teiltupel abhängen. Dies ist äquivalent dazu, dass alle Polynome aus {{ Relationskette/display | {{ideala|}} K[X_1 {{kommadots|}} X_m, Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] + {{idealb|}} K[X_1 {{kommadots|}} X_m, Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] | \subseteq | K[X_1 {{kommadots|}} X_m, Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] || || || |SZ= }} verschwinden, da diese Eigenschaft durch ein Erzeugendensystem des Ideals festgelegt ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tezp87mugoopa3jmwtyu89e1hi7umpv 0 105205 1117961 1086511 2026-10-27T17:16:53Z Bocardodarapti 2041 1117961 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über {{math|term= n |SZ=,}} der Fall {{ Relationskette |n || 0 || || || |SZ= }} ist trivial und der Fall {{ Relationskette |n || 1 || || || |SZ= }} ist {{ Faktlink |Präwort=der|Krullsche Hauptidealsatz|Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Fakt |Nr= |SZ=. }} Es sei {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} das in Frage stehende Primideal. Wir können zur Lokalisierung übergehen und erhalten einen lokalen noetherschen Ring mit {{ Definitionslink |maximalem Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{idealm|}} |SZ=,}} das {{ Zusatz/Klammer |text=als Primideal| |ISZ=|ESZ= }} minimal über {{ Relationskette/display | {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_n |}} | \subseteq | {{idealm}} || || || |SZ= }} ist. Insbesondere ist {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} das einzige Primoberideal von {{mathl|term= {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_n |}} |SZ=.}} Es ist zu zeigen, dass die Dimension des Ringes höchstens {{math|term= n |SZ=}} ist. Sei {{ Relationskette/display | {{idealp|}}_0 | \subset | {{idealp|}}_1 | {{subsetdots}} | {{idealp|}}_{k-1} | \subset | {{idealp|}}_k || {{idealm|}} |SZ= }} eine Primidealkette. Es sei {{math|term= i |SZ=}} so gewählt, dass {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} kein minimales Primideal über {{mathl|term= {{idealp|}}_{k-1} + {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_{i-1} |}} |SZ=,}} aber ein minimales Primideal über {{mathl|term= {{idealp|}}_{k-1} + {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_{i-1 },f_{i} |}} |SZ=}} ist. Dabei ist {{math|term= i |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= n |SZ=. }} Wir betrachten die Situation modulo {{mathl|term= {{idealp|}}_{k-1} + {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_{i-1} |}} |SZ=.}} Das Primideal {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} ist in {{mathl|term= R /{{idealp|}}_{k-1} + {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_{i-1} |}} |SZ=}} ein minimales Primoberideal zu {{mathl|term= {{makl| f_i |}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Krullschen Hauptidealsatz|Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} besitzt {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} in diesem Ring die Höhe {{math|term= 1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Höhe {{math|term= 0 |SZ=}} ist wegen der Nichtminimalität ausgeschlossen| |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein minimales Primoberideal{{ Zusatz/{{{1|}}} |text=Wenn man weiß, dass die Primidealkette nicht verfeinerbar ist, so gilt {{ Relationskette/k | {{idealp}}_{k-1} || {{idealq}} || || || |SZ= }} und die {{math|term= f_j |SZ=,}} {{mathl|term= j \leq i-1 |SZ=,}} gehören zu {{math|term= {{idealp|}}_{k-1} |SZ=.}} Wir beweisen aber insbesondere die Endlichkeit der Primidealketten erst mit| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{idealp|}}_{k-1} + {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_{i-1} |}} | \subseteq | {{idealq}} | \subset | {{idealm|}} || || |SZ=. }} Da {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} minimal über {{mathl|term= {{idealq|}} + {{makl| f_i |}} |SZ=}} ist, besitzen diese beiden Ideale das gleiche Radikal. D.h. es gibt einen Exponenten {{math|term= m |SZ=}} derart, dass {{ Relationskette | f_j^m | \in | {{idealq|}} + {{makl| f_i |}} || || || |SZ= }} für alle {{math|term= j |SZ=}} gilt. Wir schreiben dies für {{ Relationskette | j | \neq | i || || || |SZ= }} als {{ Relationskette | f_j^m || g_j +h_jf_i || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | g_j | \in | {{idealq|}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten das Ideal {{ Relationskette/display | {{makl| g_j,\, j \neq i |}} | \subseteq | {{idealq|}} || || || |SZ=. }} Dabei muss {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein minimales Primoberideal sein, da {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} ein minimales Primoberideal zu {{mathl|term= {{makl| g_j,\, j \neq i |}} + {{makl| f_i |}} |SZ=}} ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist die Höhe von {{math|term= {{idealq}} |SZ=}} höchstens {{mathl|term= n-1 |SZ=}} und somit ist die Höhe von {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} höchstens {{math|term= n |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4wt0ghsoh7krs1qj7zwauhtoo6i4grx 0 105236 1117964 1086785 2026-10-27T17:21:01Z Bocardodarapti 2041 1117964 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die {{ Definitionslink |Einbettungsdimension| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} ist die {{ Definitionslink |minimale Erzeugendenzahl| |Kontext=Ideal| |SZ= }} des {{ Definitionslink |maximalen Ideals| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{idealm|}} |SZ=.}} Es sei also {{ Relationskette/display | {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_e |}} || {{idealm|}} || || || |SZ=. }} Dann ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Allgemein/Fakt |Nr= |SZ= }} die {{ Definitionslink |Höhe| |Kontext=Primideal| |SZ= }} von {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} höchstens gleich {{math|term= e |SZ=,}} und diese ist die {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=Krull| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hzgrgylztlt3jkne700mdgkpznlfdky 0 106056 1117951 1113141 2026-10-27T17:02:02Z Bocardodarapti 2041 1117951 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis=Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Fakt |Nr= |SZ= }} liegt eine exakte Sequenz {{ Math/display|term= {{idealm}}/ {{idealm|}}^2 \longrightarrow \Omega_{R \mid K} {{tensor|R}} R/ {{idealm|}} \longrightarrow \Omega_{ R/ {{idealm|}} \mid K} \longrightarrow 0 |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath=R/ {{idealm|}} |Modulhomomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} vor. Nach Voraussetzung ist {{ Relationskette | R/ {{idealm|}} || K || || || |SZ= }} und daher {{ Relationskette | \Omega_{ R/ {{idealm|}} \mid K} || 0 || || || |SZ=. }} Somit ist die angegebene Abbildung surjektiv. Zum Nachweis der Injektivität betrachten wir die {{ Definitionslink |Prämath=R/ {{idealm|}} |duale Abbildung| |Kontext=| |SZ=, }} also die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Hom| \Omega_{R \mid K} {{tensor|R}} R/ {{idealm|}} | R/ {{idealm|}} | R/ {{idealm|}} }} | {{op:Hom| {{idealm|}}/ {{idealm|}}^2 | R/ {{idealm|}} | R/ {{idealm|}} }} |\varphi| \varphi \circ d |SZ=, }} und müssen zeigen, dass diese surjektiv ist {{ Zusatz/Klammer |text=es geht um Vektorräume| |ISZ=|ESZ=. }} {{parskip}} Der linke Homomorphismenmodul ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Algebra/Modul/Homomorphismenraum und Tensorierung/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Universelle Eigenschaft/Fakt |Nr= |SZ= }} isomorph zu {{ Relationskette/display | {{op:Hom|\Omega_{R \mid K}|R/ {{idealm|}} | R}} | \cong| {{op:Derivationenziel| R | R/ {{idealm|}} | K}} || || || |SZ=. }} Die Gesamtabbildung ordnet einer {{math|term= K |SZ=-}}Derivation {{ Abbildung |name= \delta | R | R /{{idealm|}} || |SZ= }} die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 | R/ {{idealm|}} | [f] | \delta(f) |SZ=, }} zu. Es sei nun {{ Abbildung/display |name= | {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 | R/ {{idealm|}} | [f] | \epsilon (f) |SZ=, }} ein {{math|term= R/ {{idealm|}} |SZ=-}}Modulhomomorphismus. Wir müssen zeigen, dass dies von einer Derivation herkommt. Dazu betrachten wir die Abbildung {{ Abbildung/display |name= \delta | R | R / {{idealm|}} | f | \epsilon (f- \overline{f}) |SZ=, }} wobei {{math|term= \overline{f} |SZ=}} den Wert von {{math|term= f |SZ=}} im Restklassenkörper {{math|term= R/ {{idealm|}} |SZ=}} bezeichnet, den man über die Identifizierung {{ Relationskette | K || R/{{idealm}} || || || |SZ= }} wieder in {{math|term= R |SZ=}} auffasst. Somit gehört {{ Relationskette | f- \overline{f} | \in | {{idealm}} || || || |SZ= }} und die Abbildung ist wohldefiniert. Eine direkte Verifizierung ähnlich zum Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= K-Algebra/Algebraischer Kotangentialraum an K-Punkt/Direkte Derivation/Fakt |Nr= |SZ= }} zeigt, dass es sich um eine Derivation handelt. Diese bildet auf {{math|term= \epsilon |SZ=}} ab. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mfbwd98nzj25qb4o3w9lczxme5rbvbw 0 106225 1117950 1113116 2026-10-27T17:01:14Z Bocardodarapti 2041 1117950 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ=, }} {{ Relationskette/display | A || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_m |}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | P || {{makl| a_1 {{kommadots|}} a_n |}} | \in | V || V {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_m |}} || |SZ= }} ein Punkt des zugehörigen Nullstellengebildes mit zugehörigem maximalen Ideal {{ Relationskette | {{idealm}}_P | \subseteq | A || || || |SZ= }} und {{ Definitionslink |Lokalisierung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | R || A_{{idealm}} || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist der {{ Definitionslink |Tangentialraum| |Kontext=extrinsisch| |SZ= }} zu {{math|term= V |SZ=}} in {{math|term= P |SZ=}} in kanonischer Weise der {{ Definitionslink |duale Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Kählermodul| R | K }} {{tensor|R}} K |SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Tangentialräume an Fasern |Kategorie2=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Kählermodul und Tangentialraum |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f78fvzuaz4oryad8so8iuymu6o2onet 0 106232 1117952 1107971 2026-10-27T17:02:28Z Bocardodarapti 2041 1117952 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= In der Situation von {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Gleichungen/Extrinsischer Kotangentialraum/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man direkt eine Beziehung zwischen dem {{ Zusatz/Klammer |text=extrinsischen| |ISZ=|ESZ= }} Tangentialraum, der als Kern der Jacobi-Matrix gegeben ist, und dem Dualraum zu {{mathl|term= {{idealm}}_P/{{idealm}}_P^2 |SZ=}} stiften. Es sei {{ Relationskette/display | v || {{op:Spaltenvektor|v_1 |\vdots|v_n }} | \in | T_PV || {{op:Kern(| \operatorname{Jac} {{makl| f_1 {{ kommadots|}} f_m |}}_P |}} || || |SZ=. }} Dies definiert eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{idealm|}}_P | K | g | (dg)_P {{op:Spaltenvektor| v_1 | \vdots | v_n }} {{=|}} v_1 \partial_1 g (P) {{plusdots|}} v_n \partial_n g(P) |SZ=, }} dabei wird, in analytischer Sprache, einer Funktion {{math|term= g |SZ=}} die Auswertung in {{math|term= P |SZ=}} ihrer {{ Definitionslink |Richtungsableitung| |Kontext=| |SZ= }} in Richtung {{math|term= v |SZ=}} zugeordnet. Die Kernbedingung stellt dabei sicher, dass Funktionen aus dem Ideal {{mathl|term= (f_1 {{kommadots|}} f_m) |SZ=}} auf {{math|term= 0 |SZ=}} abgebildet werden und die Abbildung auf dem maximalen Ideal des Restklassenringes wohldefiniert ist. Nach der Produktregel wird dabei {{mathl|term= {{idealm}}_P^2 |SZ=}} auf {{math|term= 0 |SZ=}} abgebildet und es ergibt sich eine {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{idealm}}_P/{{idealm}}_P^2| K || |SZ=. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Tangentialräume an Fasern‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oc4h08bzi8apfuuz82g8vfq2n6cp7ee 0 106927 1117948 1039954 2026-10-27T16:58:09Z Bocardodarapti 2041 1117948 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Knoten| |Kontext=| |SZ=, }} der auf einem {{ Definitionslink |Torus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | T | \subseteq | \R^3 || || || |SZ= }} liegt, heißt {{ Definitionswort |Torusknoten| |msw=Torusknoten |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Knotentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Torusknoten |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f5cuxjpyorb1x79u7bz8o30p80ro5xf 0 106946 1117947 1088312 2026-10-27T16:57:52Z Bocardodarapti 2041 1117947 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette/display | V || V {{makl| Z^{ca}-W^{cb} |}} | \subseteq | {{CC|}}^2 || |SZ= }} mit {{mathl|term= a,b |SZ=}} {{ Definitionslink |teilerfremd| |Kontext=| |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es eine Faktorzerlegung {{ Relationskette/display | Z^{ca} -W^{cb} || \prod_{j {{=}} 0}^{c-1} {{makl| Z^a - \zeta^j W^b |}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \zeta|SZ=}} eine {{math|term= c |SZ=-}}te {{ Definitionslink |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} ist. Die Komponenten {{mathl|term= V {{makl| Z^a - \zeta^j W^b |}} |SZ=}} sind untereinander isomorph und schneiden sich paarweise im Nullpunkt. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r19ro171cji0aq6gwlxvl3hm8dxro0f 0 107184 1117958 1088025 2026-10-27T17:07:19Z Bocardodarapti 2041 1117958 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |unendlicher Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | f | \in | K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes Polynom mit {{ Relationskette | f(0) || 0 || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind folgende Aussagen äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung3 | {{math|term= 0 |SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |glatter Punkt| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=.}} |Der {{ Definitionslink |Untergrad| |Kontext=Polynom| |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} ist {{math|term= 1 |SZ=.}} |Für eine nichtleere {{ Definitionslink |Zariski-offene| |Kontext=| |SZ= }} Teilmenge {{ Relationskette | U | \subseteq | K^n || || || |SZ= }} ist für jede Gerade {{math|term= at |SZ=}} mit Richtungsvektor {{ Relationskette | a | \in | U || || || |SZ= }} die {{math|term= 0 |SZ=}} eine einfache Nullstelle des Polynoms {{mathl|term= f {{makl| a_1t {{kommadots|}} a_n t |}} |SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie3=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Glatter Punkt, Untergrad und Schnittverhalten mit Geraden |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6qup6pp0c833j8n8d81ixnfshfs0w3x 0 107425 1117960 1101520 2026-10-27T17:12:37Z Bocardodarapti 2041 1117960 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Ring/Maximales Ideale/Restekörper/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette | R/{{idealn}} | \cong| R_{{idealn}}/{{idealm}} || || || |SZ=, }} sodass der gleiche {{ Definitionslink |Restklassenkörper| |Kontext=| |SZ= }} vorliegt. Die natürlichen {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= | {{idealn}}^n | {{idealm}}^n || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= | M | M_{{idealn}} || |SZ= }} induzieren einen {{math|term= R |SZ=-}}Modulhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{idealn}}^n M | {{idealm}}^n M_{{idealm}} || |SZ= }} und einen {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{idealn}}^n M /{{idealn}}^{n+1} M | {{idealm}}^n M_{{idealn}} / {{idealm}}^{n+1} M_{{idealn}} || |SZ=. }} Dieser ist surjektiv, da {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulerzeuger| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= {{idealn}}^n M |SZ=}} auf ein {{math|term= R_{{idealn|}} |SZ=-}}Erzeugendensystem von {{math|term= {{idealm}}^n M_{{idealm}} |SZ=}} abbilden, und diese auf ein {{math|term= R_{{idealn}}/ {{idealm}} |SZ=-}}Erzeugendensystem von {{mathl|term= {{idealm}}^n M_{{idealn}} / {{idealm}}^{n+1} M_{{idealn}} |SZ=}} abbilden. {{parskip}} Zum Beweis der Injektivität sei {{ Relationskette | x | \in | {{idealn}}^n M || || || |SZ= }} ein Element, das rechts auf {{math|term= 0 |SZ=}} abgebildet wird. D.h. es gilt {{ Relationskette | x | \in | {{idealm}}^{n+1} M_{{idealn}} || || || |SZ= }} in der Lokalisierung {{math|term= M_{{idealn}} |SZ=.}} Dies bedeutet, dass es Elemente {{ Relationskette | y_1 {{kommadots|}} y_r | \in| {{idealn}}^{n+1} || || || || |SZ= }} und Elemente {{ Relationskette | q_i || {{op:Bruch| z_i |s_i }} | \in | M_{{idealn|}} || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also mit {{ Relationskette/k | s_i |\notin| {{idealn}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/k | z_i | \in | M || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Relationskette/display | x || y_1 {{op:Bruch|z_1 |s_1 }} {{plusdots|}} y_r {{op:Bruch|z_r|s_r}} || || || |SZ= }} gibt. Dies bedeutet zurückübersetzt nach {{math|term= M |SZ=,}} dass es ein Element {{ Relationskette | s |\notin| {{idealn}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | sx || y_1 w_1 {{plusdots|}} y_rw_r || || || |SZ= }} für gewisse {{ Relationskette | w_i | \in | M || || || |SZ= }} gibt. Da {{math|term= s |SZ=}} nicht zum maximalen Ideal {{math|term= {{idealn|}} |SZ=}} gehört, gibt es ein {{mathkon|c \in R|und|g \in {{idealn}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | g+cs || 1 || || || |SZ=. }} Wir multiplizieren die obige Gleichung mit {{math|term= c |SZ=}} und erhalten {{ Relationskette/display | (1-g)x || csx || c {{makl| y_1 w_1 {{plusdots|}} y_r w_r |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | x || c {{makl| y_1 w_1 {{plusdots|}} y_r w_r |}} +g x || || || |SZ=. }} Dabei gehört die rechte Seite offensichtlich zu {{mathl|term= {{idealn}}^{n+1} M |SZ=,}} und damit definiert {{math|term= x |SZ=}} das Nullelement in {{mathl|term= {{idealn}}^{n} M/ {{idealn}}^{n+1} M |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ad0qkgwdrx0hwklomc1t7guroh5rkct 0 107590 1117962 1116788 2026-10-27T17:18:55Z Bocardodarapti 2041 1117962 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei zunächst {{ Relationskette | {{idealm|}} || {{makl| X_1,X_2 {{kommadots|}} X_n |}} || || || |SZ=. }} Dann zeigt einerseits die Primidealkette {{ Relationskette/display | 0 | \subset | {{makl| X_1 |}} | \subset | {{makl| X_1,X_2 |}} | {{subsetdots|}} | {{makl| X_1,X_2 {{kommadots|}} X_n |}} || |SZ=, }} dass die Höhe von {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} zumindest {{math|term= n |SZ=}} ist. Da das Ideal {{math|term= n |SZ=}} Erzeuger besitzt, folgt andererseits aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Allgemein/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass die Höhe von {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} höchstens gleich {{math|term= n |SZ=}} ist. Die Höhe ist also genau {{math|term= n |SZ=.}} {{parskip}} Wenn ein maximales Ideal der Form {{ Relationskette/display | {{idealm}} || {{makl| X_1-a_1 {{kommadots|}} X_n-a_n |}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also ein Punktideal| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Relationskette | a_i | \in | K || || || |SZ= }} vorliegt, so zeigt die gleiche Argumentation, dass seine Höhe gleich {{math|term= n |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=oder man arbeitet mit einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraautomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathlk|term= K[X_1 {{kommadots}} X_n] |SZ=,}} der {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} in {{mathl|term= {{makl| X_1 {{kommadots}} X_n |}} |SZ=}} überführt. |ISZ=|ESZ=. }} Wenn {{math|term= K |SZ=}} {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossen| |Kontext=| |SZ= }} ist, so sind wir nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Algebren von endlichem Typ über Körper/Algebraisch abgeschlossen/Maximale Ideale sind Punktideal/Fakt |Nr= |SZ= }} fertig. {{parskip}} Wenn {{math|term= K |SZ=}} ein beliebiger Körper ist, so gibt es eine {{ Definitionslink |ganze| |Kontext=Algebra| |SZ= }} {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | K | \subseteq | \overline{K} || || || |SZ= }} mit {{math|term= \overline{K} |SZ=}} algebraisch abgeschlossen. Die Erweiterung {{ Relationskette/display | K[ X_1 {{kommadots|}} X_n ] | \subseteq | \overline{K}[ X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} ist ebenfalls ganz. Es sei {{ Relationskette | {{idealm|}} | \subseteq | K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} ein maximales Ideal. Dazu gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Ganzer Ringhomomorphismus/Injektiv/Surjektiv/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Ganzer Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Fasern nulldimensional/Fakt |Nr= |SZ= }} ein maximales Punktideal {{ Relationskette/display | {{idealn}} | \subseteq | \overline{K}[ X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ=, }} das auf {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} runterschneidet. Eine Primidealkette unterhalb von {{math|term= {{idealn}} |SZ=}} der Länge {{math|term= n |SZ=}} schneidet auf eine Primidealkette unterhalb von {{math|term= {{idealm}} |SZ=}} runter, sodass die Höhe von {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} zumindest {{math|term= n |SZ=}} ist. Umgekehrt gibt es zu einer Primidealkette unterhalb von {{math|term= {{idealm}} |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Ganzer Ringhomomorphismus/Going up/Fakt |Nr= |SZ= }} eine darüberliegende Primidealkette in {{mathl|term= \overline{K}[X_1 {{kommadots|}} X_n ] |SZ=.}} Da eine solche maximal die Länge {{math|term= n |SZ=}} besitzt, ist die Höhe von {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} gleich {{math|term= n |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d3lnwkb0ibg92pr93wpwfgl09e29ghq 106 111765 1117941 1067159 2026-10-27T16:55:22Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - mehrdimensionale stetige Verteilung */ 1117941 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die [[w:de:stetige (Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen (Wahrscheinlichkeits)verteilungen]], auch oder atomlose (Wahrscheinlichkeits)verteilungen bzw. Wahrscheinlichkeitsmaße genannt,<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 242. </ref> sind in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]] eine große Klasse von häufig auftretenden [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en auf den [[w:de:reelle Zahl|reellen Zahlen]]. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass kein isolierter Punkt eine große Wahrscheinlichkeit zugeordnet bekommt. Insofern bilden sie das Gegenstück zu den [[w:de:diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]. Die stetigen Verteilungen sind eng verbunden mit den [[w:de:absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|absolutstetigen Verteilungen]], aber nicht mit ihnen identisch. Sie sollten somit nicht verwechselt werden. == Definition - eindimensionale stetige Verteilung == Gegeben sei eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math> P </math> auf den reellen Zahlen <math> \mathbb{R} </math>, versehen mit der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] <math> \mathcal B (\mathbb{R} ) </math>. Dann heißt <math> P </math> eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] <math> F_P : \mathbb{R} \to [0,1] </math> von <math>P </math> mit :<math>F_P(x):= P((-\infty , x])</math> eine [[w:de:Stetige Funktion|stetige Funktion]] ist. == Definition - mehrdimensionale stetige Verteilung == Gegeben sei eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math> P </math> auf den reellen Zahlen <math> \mathbb{R}^n </math>, versehen mit der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] <math> \mathcal B (\mathbb{R}^n ) </math>. Dann heißt <math> P </math> eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] <math> F_P : \mathbb{R} \to [0,1] </math> von <math> P </math> mit :<math>F_P(x_1,\ldots , x_n):= P\big((-\infty , x_1]\times \ldots (-\infty , x_n] \big)</math> eine [[w:de:Stetige Funktion|stetige Funktion]] ist. === Äquivalentes Kriterium === Äquivalent dazu ist, dass <math> P </math> [[w:de:atomloses Maß|atomlos]] ist. Das bedeutet, es existiert kein <math> x \in \mathbb{R} </math>, so dass <math> P(\{ x \} ) > 0 </math> ist. === Bemerkung - Äquivalentes Kriterium === Das äquivalente Kriterium bedeutet, dass Einpunktmengen <math>\{ x \} </math> bei stetigen Verteilungen keine Wahrscheinlichkeitsmasse tragen dürfen. Die Verteilungsfunktion <math>F</math> hat dann an der Stelle <math> x \in \mathbb{R} </math> genau eine Sprungstelle in der "Höhe" der Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(\{ x \}) > 0 </math> === Aufgabe === Beweisen Sie, dass das oben angegebene Kriterium äquivalent zur Stetigkeit der Verteilungsfunktion ist! === Beispiele === * [[w:de:stetige Gleichverteilung|Rechteckverteilung bzw. stetige Gleichverteilung auf einem Intervall]] * [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] * [[w:de:Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]] == Weitere Unterteilung == Nach dem [[w:de:Darstellungssatz (Stochastik)|Darstellungssatz]] lässt sich jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung noch weiter zerlegen in * Eine [[w:de:absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]], für die eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] existiert. * Eine [[w:de:stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung]], deren Ableitung [[w:de:fast überall|fast überall]] verschwindet. == Abgrenzung zu den absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Wie oben bereits erwähnt, ist jede absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung immer auch eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, wie das [[w:de:pathologisches Beispiel|pathologische Beispiel]] der stetigsingulären [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]] zeigt. === Implikationen === * absolutstetige Verteilung <math>\Longrightarrow</math> stetige Verteilung * stetige Verteilung <math>\,\,\,\not\!\!\!\Longrightarrow</math> absolutstetige Verteilung === Unterscheidung - stetig und absolutstetige Verteilung === Somit sollten absolutstetige und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht verwechselt werden. Schon allein aufgrund der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist die Handhabung von absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen wesentlich leichter als die von stetigen. <span id="absolutstetig"></span> == Absolutstetige Verteilungen == Die '''absolutstetigen (Wahrscheinlichkeits-)Verteilungen''', auch '''absolutstetige Wahrscheinlichkeitsmaße''' genannt, sind eine spezielle Klasse von [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]]en in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]]. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie über ein [[w:de:Integralrechnung|Integral]] und eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] definiert bzw. dargestellt werden können. <span id="absolute_stetig"></span> === Definition - absolutstetige Verteilung === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P </math> auf dem [[Messraum]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B}) </math> heißt ''absolutstetig'', wenn es [[w:de:Absolut stetiges Maß|absolutstetig]] bezüglich des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]]es <math> \lambda </math> ist.<ref> Schmidt: ''Maß- und Wahrscheinlichkeit.'' 2011, S. 255. </ref> Das bedeutet, dass jede <math> \lambda </math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] auch eine <math> P </math>-Nullmenge ist. <span id="Wahrscheinlichkeitsdichte"></span> === Definition - Wahrscheinlichkeitsdichte === Sei <math> P:\mathcal{B} \to [0,1] </math> ein [[absolutstetige Verteilung|absolutstetiges Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B}) </math> heißt ''absolutstetig''. Eine messbare Abbildung <math>f_{_P}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> heißt Wahrscheinlichkeitsdichte von <math>P</math>, wenn für alle <math>a < b</math> gilt: :<math> P([a,b])= \int_a^b f_{_P}(x) \, \mathrm dx </math> ==== Bemerkung - Satz von Radon-Nikodým ==== Nach dem [[w:de:Satz von Radon-Nikodým|Satz von Radon-Nikodým]] ist dies äquivalent dazu, dass <math> P </math> eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] <math> f_{_P} </math> besitzt. Das bedeutet, es gilt für alle <math> [a,b] </math> mit <math> a < b </math> :<math> P([a,b])= \int_a^b f_{_P}(x) \, \mathrm dx </math>. ==== Bemerkung - Kennzeichnung des dominierendes Maß==== Streng genommen müsste man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion so definieren, dass klar ist, dass es sich um eine Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes handelt. In der Stochastik sind jedoch Dichten bezüglich anderer Maße als des Lebesgue-Maßes selten, daher wird oft auf die Angabe in der Regel verzichtet. === Riemann-Integral - Lebesgue-Integral === Bei dem Integral handelt es sich streng genommen um ein [[w:de:Lebesgue-Integral|Lebesgue-Integral]]. Häufig wird dieses jedoch wie hier durch ein [[w:de:Riemann-Integral|Riemann-Integral]] ersetzt, dann schreibt man <math> \mathrm d x </math> anstelle von <math> \mathrm d \lambda (x) </math>. === Abgrenzung zu den stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen === Als [[w:de:stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en werden diejenigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen bezeichnet, die eine stetige [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] besitzen.<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 242. </ref> Auf Maße übertragen bedeutet das, dass die stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen [[w:de:atomloses Maß|atomlos]] sind, also keine einzelnen Punkte <math> x \in \R </math> mit <math> P( \{ x \} ) > 0 </math> besitzen. Nach der [[w:de:Lebesgue-Zerlegung (Funktionen)|Lebesgue-Zerlegung]] lassen sich atomlose Maße weiter aufspalten: *In einen absolutstetigen Anteil. Dieser entspricht den absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. *In einen singulären Anteil. Dieser entspricht den [[w:de:Stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigsingulären Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]. Somit ist jede absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung immer eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Aber nicht jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Beispiel hierfür ist die [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]]: Ihre Verteilungsfunktion ist stetig, aber sie besitzt keine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung| ]] [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] == Literatur == *{{Literatur|Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler|Titel=Stochastik|TitelErg=Theorie und Anwendungen|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2005|ISBN=978-3-540-21676-6|DOI=10.1007/b137972}} *{{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}} *{{Literatur|Autor=Klaus D. Schmidt|Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit|Auflage=2., durchgesehene|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-21025-9|DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}} [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] == Siehe auch == * [[absolutstetige Verteilung]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] == Seiten-Information == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilung https://de.wikiversity.org/wiki/Stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilung] ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Absolutstetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung] https://de.wikipedia.org/wiki/Absolutstetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung] https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung * Datum: 5.11.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] oyiul1f7csd1uxpw0zkoysw01k8s6rd 1117942 1117941 2026-10-27T16:55:47Z Bert Niehaus 20843 /* Absolutstetige Verteilungen */ 1117942 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die [[w:de:stetige (Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen (Wahrscheinlichkeits)verteilungen]], auch oder atomlose (Wahrscheinlichkeits)verteilungen bzw. Wahrscheinlichkeitsmaße genannt,<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 242. </ref> sind in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]] eine große Klasse von häufig auftretenden [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en auf den [[w:de:reelle Zahl|reellen Zahlen]]. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass kein isolierter Punkt eine große Wahrscheinlichkeit zugeordnet bekommt. Insofern bilden sie das Gegenstück zu den [[w:de:diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]. Die stetigen Verteilungen sind eng verbunden mit den [[w:de:absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|absolutstetigen Verteilungen]], aber nicht mit ihnen identisch. Sie sollten somit nicht verwechselt werden. == Definition - eindimensionale stetige Verteilung == Gegeben sei eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math> P </math> auf den reellen Zahlen <math> \mathbb{R} </math>, versehen mit der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] <math> \mathcal B (\mathbb{R} ) </math>. Dann heißt <math> P </math> eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] <math> F_P : \mathbb{R} \to [0,1] </math> von <math>P </math> mit :<math>F_P(x):= P((-\infty , x])</math> eine [[w:de:Stetige Funktion|stetige Funktion]] ist. == Definition - mehrdimensionale stetige Verteilung == Gegeben sei eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math> P </math> auf den reellen Zahlen <math> \mathbb{R}^n </math>, versehen mit der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] <math> \mathcal B (\mathbb{R}^n ) </math>. Dann heißt <math> P </math> eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] <math> F_P : \mathbb{R} \to [0,1] </math> von <math> P </math> mit :<math>F_P(x_1,\ldots , x_n):= P\big((-\infty , x_1]\times \ldots (-\infty , x_n] \big)</math> eine [[w:de:Stetige Funktion|stetige Funktion]] ist. === Äquivalentes Kriterium === Äquivalent dazu ist, dass <math> P </math> [[w:de:atomloses Maß|atomlos]] ist. Das bedeutet, es existiert kein <math> x \in \mathbb{R} </math>, so dass <math> P(\{ x \} ) > 0 </math> ist. === Bemerkung - Äquivalentes Kriterium === Das äquivalente Kriterium bedeutet, dass Einpunktmengen <math>\{ x \} </math> bei stetigen Verteilungen keine Wahrscheinlichkeitsmasse tragen dürfen. Die Verteilungsfunktion <math>F</math> hat dann an der Stelle <math> x \in \mathbb{R} </math> genau eine Sprungstelle in der "Höhe" der Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(\{ x \}) > 0 </math> === Aufgabe === Beweisen Sie, dass das oben angegebene Kriterium äquivalent zur Stetigkeit der Verteilungsfunktion ist! === Beispiele === * [[w:de:stetige Gleichverteilung|Rechteckverteilung bzw. stetige Gleichverteilung auf einem Intervall]] * [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] * [[w:de:Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]] == Weitere Unterteilung == Nach dem [[w:de:Darstellungssatz (Stochastik)|Darstellungssatz]] lässt sich jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung noch weiter zerlegen in * Eine [[w:de:absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]], für die eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] existiert. * Eine [[w:de:stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung]], deren Ableitung [[w:de:fast überall|fast überall]] verschwindet. == Abgrenzung zu den absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Wie oben bereits erwähnt, ist jede absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung immer auch eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, wie das [[w:de:pathologisches Beispiel|pathologische Beispiel]] der stetigsingulären [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]] zeigt. === Implikationen === * absolutstetige Verteilung <math>\Longrightarrow</math> stetige Verteilung * stetige Verteilung <math>\,\,\,\not\!\!\!\Longrightarrow</math> absolutstetige Verteilung === Unterscheidung - stetig und absolutstetige Verteilung === Somit sollten absolutstetige und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht verwechselt werden. Schon allein aufgrund der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist die Handhabung von absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen wesentlich leichter als die von stetigen. <span id="absolutstetig"></span> == Absolutstetige Verteilungen == Die '''absolutstetigen (Wahrscheinlichkeits-)Verteilungen''', auch '''absolutstetige Wahrscheinlichkeitsmaße''' genannt, sind eine spezielle Klasse von [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]]en in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]]. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie über ein [[w:de:Integralrechnung|Integral]] und eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] definiert bzw. dargestellt werden können. <span id="absolute_stetig"></span> === Definition - absolutstetige Verteilung === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P </math> auf dem [[Messraum]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B}) </math> heißt ''absolutstetig'', wenn es [[w:de:Absolut stetiges Maß|absolutstetig]] bezüglich des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]]es <math> \lambda </math> ist.<ref> Schmidt: ''Maß- und Wahrscheinlichkeit.'' 2011, S. 255. </ref> Das bedeutet, dass jede <math> \lambda </math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] auch eine <math> P </math>-Nullmenge ist. <span id="Wahrscheinlichkeitsdichte"></span> === Definition - Wahrscheinlichkeitsdichte === Sei <math> P:\mathcal{B} \to [0,1] </math> ein [[absolutstetige Verteilung|absolutstetiges Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B}) </math> heißt ''absolutstetig''. Eine messbare Abbildung <math>f_{_P}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> heißt Wahrscheinlichkeitsdichte von <math>P</math>, wenn für alle <math>a < b</math> gilt: :<math> P([a,b])= \int_a^b f_{_P}(x) \, \mathrm dx </math> ==== Bemerkung - Satz von Radon-Nikodým ==== Nach dem [[w:de:Satz von Radon-Nikodým|Satz von Radon-Nikodým]] ist dies äquivalent dazu, dass <math> P </math> eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] <math> f_{_P} </math> besitzt. Das bedeutet, es gilt für alle <math> [a,b] </math> mit <math> a < b </math> :<math> P([a,b])= \int_a^b f_{_P}(x) \, \mathrm dx </math>. ==== Bemerkung - Kennzeichnung des dominierendes Maß==== Streng genommen müsste man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion so definieren, dass klar ist, dass es sich um eine Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes handelt. In der Stochastik sind jedoch Dichten bezüglich anderer Maße als des Lebesgue-Maßes selten, daher wird oft auf die Angabe in der Regel verzichtet. === Riemann-Integral - Lebesgue-Integral === Bei dem Integral handelt es sich streng genommen um ein [[w:de:Lebesgue-Integral|Lebesgue-Integral]]. Häufig wird dieses jedoch wie hier durch ein [[w:de:Riemann-Integral|Riemann-Integral]] ersetzt, dann schreibt man <math> \mathrm d x </math> anstelle von <math> \mathrm d \lambda (x) </math>. === Abgrenzung zu den stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen === Als [[w:de:stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en werden diejenigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen bezeichnet, die eine stetige [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] besitzen.<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 242. </ref> Auf Maße übertragen bedeutet das, dass die stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen [[w:de:atomloses Maß|atomlos]] sind, also keine einzelnen Punkte <math> x \in \R </math> mit <math> P( \{ x \} ) > 0 </math> besitzen. Nach der [[w:de:Lebesgue-Zerlegung (Funktionen)|Lebesgue-Zerlegung]] lassen sich atomlose Maße weiter aufspalten: *In einen absolutstetigen Anteil. Dieser entspricht den absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. *In einen singulären Anteil. Dieser entspricht den [[w:de:Stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigsingulären Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]. Somit ist jede absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung immer eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Aber nicht jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Beispiel hierfür ist die [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]]: Ihre Verteilungsfunktion ist stetig, aber sie besitzt keine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung| ]] [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] == Literatur == *{{Literatur|Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler|Titel=Stochastik|TitelErg=Theorie und Anwendungen|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2005|ISBN=978-3-540-21676-6|DOI=10.1007/b137972}} *{{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}} *{{Literatur|Autor=Klaus D. Schmidt|Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit|Auflage=2., durchgesehene|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-21025-9|DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}} [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] == Siehe auch == * [[absolutstetige Verteilung]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] == Seiten-Information == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilung https://de.wikiversity.org/wiki/Stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilung] ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Absolutstetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung] https://de.wikipedia.org/wiki/Absolutstetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung] https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung * Datum: 5.11.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] kb6wiy0xzdanhdoy2ojciaibbljyzr0 1117944 1117942 2026-10-27T16:56:55Z Bert Niehaus 20843 /* Abgrenzung zu den stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen */ 1117944 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die [[w:de:stetige (Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen (Wahrscheinlichkeits)verteilungen]], auch oder atomlose (Wahrscheinlichkeits)verteilungen bzw. Wahrscheinlichkeitsmaße genannt,<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 242. </ref> sind in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]] eine große Klasse von häufig auftretenden [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en auf den [[w:de:reelle Zahl|reellen Zahlen]]. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass kein isolierter Punkt eine große Wahrscheinlichkeit zugeordnet bekommt. Insofern bilden sie das Gegenstück zu den [[w:de:diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]. Die stetigen Verteilungen sind eng verbunden mit den [[w:de:absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|absolutstetigen Verteilungen]], aber nicht mit ihnen identisch. Sie sollten somit nicht verwechselt werden. == Definition - eindimensionale stetige Verteilung == Gegeben sei eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math> P </math> auf den reellen Zahlen <math> \mathbb{R} </math>, versehen mit der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] <math> \mathcal B (\mathbb{R} ) </math>. Dann heißt <math> P </math> eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] <math> F_P : \mathbb{R} \to [0,1] </math> von <math>P </math> mit :<math>F_P(x):= P((-\infty , x])</math> eine [[w:de:Stetige Funktion|stetige Funktion]] ist. == Definition - mehrdimensionale stetige Verteilung == Gegeben sei eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math> P </math> auf den reellen Zahlen <math> \mathbb{R}^n </math>, versehen mit der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] <math> \mathcal B (\mathbb{R}^n ) </math>. Dann heißt <math> P </math> eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] <math> F_P : \mathbb{R} \to [0,1] </math> von <math> P </math> mit :<math>F_P(x_1,\ldots , x_n):= P\big((-\infty , x_1]\times \ldots (-\infty , x_n] \big)</math> eine [[w:de:Stetige Funktion|stetige Funktion]] ist. === Äquivalentes Kriterium === Äquivalent dazu ist, dass <math> P </math> [[w:de:atomloses Maß|atomlos]] ist. Das bedeutet, es existiert kein <math> x \in \mathbb{R} </math>, so dass <math> P(\{ x \} ) > 0 </math> ist. === Bemerkung - Äquivalentes Kriterium === Das äquivalente Kriterium bedeutet, dass Einpunktmengen <math>\{ x \} </math> bei stetigen Verteilungen keine Wahrscheinlichkeitsmasse tragen dürfen. Die Verteilungsfunktion <math>F</math> hat dann an der Stelle <math> x \in \mathbb{R} </math> genau eine Sprungstelle in der "Höhe" der Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(\{ x \}) > 0 </math> === Aufgabe === Beweisen Sie, dass das oben angegebene Kriterium äquivalent zur Stetigkeit der Verteilungsfunktion ist! === Beispiele === * [[w:de:stetige Gleichverteilung|Rechteckverteilung bzw. stetige Gleichverteilung auf einem Intervall]] * [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] * [[w:de:Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]] == Weitere Unterteilung == Nach dem [[w:de:Darstellungssatz (Stochastik)|Darstellungssatz]] lässt sich jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung noch weiter zerlegen in * Eine [[w:de:absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]], für die eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] existiert. * Eine [[w:de:stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung]], deren Ableitung [[w:de:fast überall|fast überall]] verschwindet. == Abgrenzung zu den absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Wie oben bereits erwähnt, ist jede absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung immer auch eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, wie das [[w:de:pathologisches Beispiel|pathologische Beispiel]] der stetigsingulären [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]] zeigt. === Implikationen === * absolutstetige Verteilung <math>\Longrightarrow</math> stetige Verteilung * stetige Verteilung <math>\,\,\,\not\!\!\!\Longrightarrow</math> absolutstetige Verteilung === Unterscheidung - stetig und absolutstetige Verteilung === Somit sollten absolutstetige und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht verwechselt werden. Schon allein aufgrund der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist die Handhabung von absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen wesentlich leichter als die von stetigen. <span id="absolutstetig"></span> == Absolutstetige Verteilungen == Die '''absolutstetigen (Wahrscheinlichkeits-)Verteilungen''', auch '''absolutstetige Wahrscheinlichkeitsmaße''' genannt, sind eine spezielle Klasse von [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]]en in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]]. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie über ein [[w:de:Integralrechnung|Integral]] und eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] definiert bzw. dargestellt werden können. <span id="absolute_stetig"></span> === Definition - absolutstetige Verteilung === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P </math> auf dem [[Messraum]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B}) </math> heißt ''absolutstetig'', wenn es [[w:de:Absolut stetiges Maß|absolutstetig]] bezüglich des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]]es <math> \lambda </math> ist.<ref> Schmidt: ''Maß- und Wahrscheinlichkeit.'' 2011, S. 255. </ref> Das bedeutet, dass jede <math> \lambda </math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] auch eine <math> P </math>-Nullmenge ist. <span id="Wahrscheinlichkeitsdichte"></span> === Definition - Wahrscheinlichkeitsdichte === Sei <math> P:\mathcal{B} \to [0,1] </math> ein [[absolutstetige Verteilung|absolutstetiges Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B}) </math> heißt ''absolutstetig''. Eine messbare Abbildung <math>f_{_P}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> heißt Wahrscheinlichkeitsdichte von <math>P</math>, wenn für alle <math>a < b</math> gilt: :<math> P([a,b])= \int_a^b f_{_P}(x) \, \mathrm dx </math> ==== Bemerkung - Satz von Radon-Nikodým ==== Nach dem [[w:de:Satz von Radon-Nikodým|Satz von Radon-Nikodým]] ist dies äquivalent dazu, dass <math> P </math> eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] <math> f_{_P} </math> besitzt. Das bedeutet, es gilt für alle <math> [a,b] </math> mit <math> a < b </math> :<math> P([a,b])= \int_a^b f_{_P}(x) \, \mathrm dx </math>. ==== Bemerkung - Kennzeichnung des dominierendes Maß==== Streng genommen müsste man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion so definieren, dass klar ist, dass es sich um eine Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes handelt. In der Stochastik sind jedoch Dichten bezüglich anderer Maße als des Lebesgue-Maßes selten, daher wird oft auf die Angabe in der Regel verzichtet. === Riemann-Integral - Lebesgue-Integral === Bei dem Integral handelt es sich streng genommen um ein [[w:de:Lebesgue-Integral|Lebesgue-Integral]]. Häufig wird dieses jedoch wie hier durch ein [[w:de:Riemann-Integral|Riemann-Integral]] ersetzt, dann schreibt man <math> \mathrm d x </math> anstelle von <math> \mathrm d \lambda (x) </math>. === Abgrenzung zu den stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen === Als [[w:de:stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en werden diejenigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen bezeichnet, die eine stetige [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] besitzen.<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 242. </ref> Auf Maße übertragen bedeutet das, dass die stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen [[w:de:atomloses Maß|atomlos]] sind, also keine einzelnen Punkte <math> x \in \R </math> mit <math> P( \{ x \} ) > 0 </math> besitzen. ==== Lebesque-Zerlegung ==== Nach der [[w:de:Lebesgue-Zerlegung (Funktionen)|Lebesgue-Zerlegung]] lassen sich atomlose Maße weiter aufspalten: *In einen absolutstetigen Anteil. Dieser entspricht den absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. *In einen singulären Anteil. Dieser entspricht den [[w:de:Stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigsingulären Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]. ==== Zusammenhang - stetige und absolut stetige Verteilungen ==== Somit ist jede absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung immer eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Aber nicht jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Beispiel hierfür ist die [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]]: Ihre Verteilungsfunktion ist stetig, aber sie besitzt keine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung| ]] [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] == Literatur == *{{Literatur|Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler|Titel=Stochastik|TitelErg=Theorie und Anwendungen|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2005|ISBN=978-3-540-21676-6|DOI=10.1007/b137972}} *{{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}} *{{Literatur|Autor=Klaus D. Schmidt|Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit|Auflage=2., durchgesehene|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-21025-9|DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}} [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] == Siehe auch == * [[absolutstetige Verteilung]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] == Seiten-Information == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilung https://de.wikiversity.org/wiki/Stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilung] ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Absolutstetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung] https://de.wikipedia.org/wiki/Absolutstetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung] https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung * Datum: 5.11.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] aaoburvibyfp02ab4egn6uq9sku88k5 1117945 1117944 2026-10-27T16:57:31Z Bert Niehaus 20843 /* Einführung */ 1117945 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die [[w:de:stetige (Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen (Wahrscheinlichkeits)verteilungen]], auch oder atomlose (Wahrscheinlichkeits)verteilungen bzw. Wahrscheinlichkeitsmaße genannt,<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 242. </ref> sind in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] eine große Klasse von häufig auftretenden [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en auf den [[w:de:reelle Zahl|reellen Zahlen]]. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass kein isolierter Punkt eine große Wahrscheinlichkeit zugeordnet bekommt. Insofern bilden sie das Gegenstück zu den [[w:de:diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]. Die stetigen Verteilungen sind eng verbunden mit den [[w:de:absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|absolutstetigen Verteilungen]], aber nicht mit ihnen identisch. Sie sollten somit nicht verwechselt werden. == Definition - eindimensionale stetige Verteilung == Gegeben sei eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math> P </math> auf den reellen Zahlen <math> \mathbb{R} </math>, versehen mit der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] <math> \mathcal B (\mathbb{R} ) </math>. Dann heißt <math> P </math> eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] <math> F_P : \mathbb{R} \to [0,1] </math> von <math>P </math> mit :<math>F_P(x):= P((-\infty , x])</math> eine [[w:de:Stetige Funktion|stetige Funktion]] ist. == Definition - mehrdimensionale stetige Verteilung == Gegeben sei eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math> P </math> auf den reellen Zahlen <math> \mathbb{R}^n </math>, versehen mit der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] <math> \mathcal B (\mathbb{R}^n ) </math>. Dann heißt <math> P </math> eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] <math> F_P : \mathbb{R} \to [0,1] </math> von <math> P </math> mit :<math>F_P(x_1,\ldots , x_n):= P\big((-\infty , x_1]\times \ldots (-\infty , x_n] \big)</math> eine [[w:de:Stetige Funktion|stetige Funktion]] ist. === Äquivalentes Kriterium === Äquivalent dazu ist, dass <math> P </math> [[w:de:atomloses Maß|atomlos]] ist. Das bedeutet, es existiert kein <math> x \in \mathbb{R} </math>, so dass <math> P(\{ x \} ) > 0 </math> ist. === Bemerkung - Äquivalentes Kriterium === Das äquivalente Kriterium bedeutet, dass Einpunktmengen <math>\{ x \} </math> bei stetigen Verteilungen keine Wahrscheinlichkeitsmasse tragen dürfen. Die Verteilungsfunktion <math>F</math> hat dann an der Stelle <math> x \in \mathbb{R} </math> genau eine Sprungstelle in der "Höhe" der Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(\{ x \}) > 0 </math> === Aufgabe === Beweisen Sie, dass das oben angegebene Kriterium äquivalent zur Stetigkeit der Verteilungsfunktion ist! === Beispiele === * [[w:de:stetige Gleichverteilung|Rechteckverteilung bzw. stetige Gleichverteilung auf einem Intervall]] * [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] * [[w:de:Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]] == Weitere Unterteilung == Nach dem [[w:de:Darstellungssatz (Stochastik)|Darstellungssatz]] lässt sich jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung noch weiter zerlegen in * Eine [[w:de:absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]], für die eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] existiert. * Eine [[w:de:stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung]], deren Ableitung [[w:de:fast überall|fast überall]] verschwindet. == Abgrenzung zu den absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Wie oben bereits erwähnt, ist jede absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung immer auch eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, wie das [[w:de:pathologisches Beispiel|pathologische Beispiel]] der stetigsingulären [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]] zeigt. === Implikationen === * absolutstetige Verteilung <math>\Longrightarrow</math> stetige Verteilung * stetige Verteilung <math>\,\,\,\not\!\!\!\Longrightarrow</math> absolutstetige Verteilung === Unterscheidung - stetig und absolutstetige Verteilung === Somit sollten absolutstetige und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht verwechselt werden. Schon allein aufgrund der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist die Handhabung von absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen wesentlich leichter als die von stetigen. <span id="absolutstetig"></span> == Absolutstetige Verteilungen == Die '''absolutstetigen (Wahrscheinlichkeits-)Verteilungen''', auch '''absolutstetige Wahrscheinlichkeitsmaße''' genannt, sind eine spezielle Klasse von [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]]en in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]]. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie über ein [[w:de:Integralrechnung|Integral]] und eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] definiert bzw. dargestellt werden können. <span id="absolute_stetig"></span> === Definition - absolutstetige Verteilung === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P </math> auf dem [[Messraum]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B}) </math> heißt ''absolutstetig'', wenn es [[w:de:Absolut stetiges Maß|absolutstetig]] bezüglich des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]]es <math> \lambda </math> ist.<ref> Schmidt: ''Maß- und Wahrscheinlichkeit.'' 2011, S. 255. </ref> Das bedeutet, dass jede <math> \lambda </math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] auch eine <math> P </math>-Nullmenge ist. <span id="Wahrscheinlichkeitsdichte"></span> === Definition - Wahrscheinlichkeitsdichte === Sei <math> P:\mathcal{B} \to [0,1] </math> ein [[absolutstetige Verteilung|absolutstetiges Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B}) </math> heißt ''absolutstetig''. Eine messbare Abbildung <math>f_{_P}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> heißt Wahrscheinlichkeitsdichte von <math>P</math>, wenn für alle <math>a < b</math> gilt: :<math> P([a,b])= \int_a^b f_{_P}(x) \, \mathrm dx </math> ==== Bemerkung - Satz von Radon-Nikodým ==== Nach dem [[w:de:Satz von Radon-Nikodým|Satz von Radon-Nikodým]] ist dies äquivalent dazu, dass <math> P </math> eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] <math> f_{_P} </math> besitzt. Das bedeutet, es gilt für alle <math> [a,b] </math> mit <math> a < b </math> :<math> P([a,b])= \int_a^b f_{_P}(x) \, \mathrm dx </math>. ==== Bemerkung - Kennzeichnung des dominierendes Maß==== Streng genommen müsste man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion so definieren, dass klar ist, dass es sich um eine Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes handelt. In der Stochastik sind jedoch Dichten bezüglich anderer Maße als des Lebesgue-Maßes selten, daher wird oft auf die Angabe in der Regel verzichtet. === Riemann-Integral - Lebesgue-Integral === Bei dem Integral handelt es sich streng genommen um ein [[w:de:Lebesgue-Integral|Lebesgue-Integral]]. Häufig wird dieses jedoch wie hier durch ein [[w:de:Riemann-Integral|Riemann-Integral]] ersetzt, dann schreibt man <math> \mathrm d x </math> anstelle von <math> \mathrm d \lambda (x) </math>. === Abgrenzung zu den stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen === Als [[w:de:stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en werden diejenigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen bezeichnet, die eine stetige [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] besitzen.<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 242. </ref> Auf Maße übertragen bedeutet das, dass die stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen [[w:de:atomloses Maß|atomlos]] sind, also keine einzelnen Punkte <math> x \in \R </math> mit <math> P( \{ x \} ) > 0 </math> besitzen. ==== Lebesque-Zerlegung ==== Nach der [[w:de:Lebesgue-Zerlegung (Funktionen)|Lebesgue-Zerlegung]] lassen sich atomlose Maße weiter aufspalten: *In einen absolutstetigen Anteil. Dieser entspricht den absolutstetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. *In einen singulären Anteil. Dieser entspricht den [[w:de:Stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigsingulären Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]. ==== Zusammenhang - stetige und absolut stetige Verteilungen ==== Somit ist jede absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung immer eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Aber nicht jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Beispiel hierfür ist die [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]]: Ihre Verteilungsfunktion ist stetig, aber sie besitzt keine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung| ]] [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] == Literatur == *{{Literatur|Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler|Titel=Stochastik|TitelErg=Theorie und Anwendungen|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2005|ISBN=978-3-540-21676-6|DOI=10.1007/b137972}} *{{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}} *{{Literatur|Autor=Klaus D. Schmidt|Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit|Auflage=2., durchgesehene|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-21025-9|DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}} [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] == Siehe auch == * [[absolutstetige Verteilung]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] == Seiten-Information == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilung https://de.wikiversity.org/wiki/Stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilung] ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Absolutstetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung] https://de.wikipedia.org/wiki/Absolutstetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung] https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilung * Datum: 5.11.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] rnyp3cc04ksvw6hzhk3ybofkl99whdg 2 156288 1117979 971790 2026-10-27T18:43:36Z SpBot 3178 Updating the page 1117979 wikitext text/x-wiki {| class="wikitable" style="float:right; box-sizing: border-box; display: flex-root;" !colspan="2"| Archiving bot exists at |- !colspan="2"| [[File:Wikimedia-logo.svg|12px]] Meta: [[meta:User:SpBot|User page]] |- !colspan="2"| [[File:Commons-logo.svg|12px]] Commons: [[:c:User:SpBot|User page]] |- !colspan="2"| [[File:Wikidata-logo-en.svg|12px]] Wikidata: [[d:User:SpBot|User page]] |- !colspan="2"| [[File:Wikimania.svg|12px]] Wikimania: [[:wmania:User:SpBot|User page]] |- !colspan="2"| [[File:Wikispecies-logo.svg|12px]] Wikispecies: [[:species:User:SpBot|User page]] |- !colspan="2"| [[File:Wikifunctions-logo.svg|12px]] Wikifunctions: [[:wikifunctions:User:SpBot|User page]] |- !colspan="2"| [[File:Incubator-logo.svg|12px]] Incubator: [[:incubator:User:SpBot|User page]] |- |'''[[File:Wikipedia-logo.png|20px]] Wikipedia''' || [[:w:cs:User:SpBot|cs]], [[:w:de:User:SpBot|de]], [[:w:it:User:SpBot|it]], [[:w:ja:User:SpBot|ja]], [[:w:ko:User:SpBot|ko]], [[:w:simple:User:SpBot|simple]], [[:w:vi:User:SpBot|vi]] |- |'''[[File:Wikisource-logo.svg|16px]] Wikisource''' || [[:s:de:User:SpBot|de]], [[:s:en:User:SpBot|en]] |- |'''[[File:Wiktionary-ico-de.png|16px]] Wiktionary''' || [[:wikt:de:User:SpBot|de]] |- |'''[[File:Wikiversity-logo-de.svg|16px]] Wikiversity''' || [[:wikiversity:de:User:SpBot|de]] |- |colspan="2"|<small>[[Special:CentralAuth/SpBot|SUL account]] | [[:c:User:SpBot/Archivebot|edit templ]]</small> |} r8zsb16kt1td15d93nxf7oe1cgdsito 2 159460 1117894 944186 2026-10-27T13:07:48Z Bücherfresser 9626 Heimskringla 1117894 wikitext text/x-wiki Materialien zum Alt(west)nordisch-Lernen: * Sammlung v.a. älterer Werke auf [https://heimskringla.no/wiki/Norr%C3%B8ne_l%C3%A6remidler heimskringla.no] * für Leseübungen: [https://digital-humanities.uni-tuebingen.de/sjalfala/ sjalfala] q4mxpvo2ih328qoskjz76xtnap7lgi0 108 162272 1118006 1061093 2026-10-28T11:51:35Z Jeb 26942 /* Arbeitsmaterialien, Hinweise und Links */ GBV 1118006 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten |PROJEKTTITEL=Pilotprojekt zur digitalen Erschließung von Altbeständen des DHIP |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:Mareike König|Mareike König]] (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden), [https://scholia.toolforge.org/author/Q56880673 (Q56880673)] |LAUFZEIT=ab Mai 2025 |ZUSAMMENARBEIT=[[w:Deutsches Historisches Institut Paris|Deutsches Historisches Institut Paris]] |KURZBESCHREIBUNG=Doku, Mastodon: [https://openbiblio.social/tags/dhipGoesWikiversum #dhipGoesWikiversum], Wikisource: [[s:Historische Sammlungen des DHI Paris|Historische Sammlungen des DHI Paris]] |BILD=H%C3%B4tel_Duret_de_Chevry_(Paris,_april_2015).jpg |KEINEAUTOKATEGORIE=1 }} Die Bibliothek des DHIP möchte Teile ihrer Alt- und Sonderbestände sichtbar machen und diese Inhalte mit hochwertigen Bild- und Metadaten angereichert nachhaltig im Netz frei der Öffentlichkeit zur Verfügung stellen. Dieses Ziel reiht sich in das allgemeine Open Access- und Open Science-Engagement des DHIP ein. Um für diese Vorhaben einen dauerhaften und realistischen Workflow zu entwickeln und den Aufwand für die einzelnen Schritte genauer abzuschätzen, wollen wir mit einem Pilotprojekt starten: sieben Jahresberichte mit je 10-12 Seiten des deutschen Mädchenheims zum einen und des Erzieherinnen- bzw. Lehrerinnenheims in Paris der Jahre 1898-1902. === Projekt === Start: Mai 2025, Wikisource: '''[[s:Historische Sammlungen des DHI Paris|Historische Sammlungen des DHI Paris]]''' ; Bericht Mareike König: ''Bibliotheksbestände mit Wikisource sichtbar machen. Erste Schritte, Stolpersteine und Erfolge'', Digital Humanities am DHIP, 24. September 2025, https://dhdhi.hypotheses.org/11924 === Projektteilnehmer:innen === [[s:Benutzer:Ulrike Blumenthal|Ulrike Blumenthal]], [[s:Benutzer:Sven Koedel|Sven Koedel]], [[Benutzer:Kaja Anne|Kaja Antonowicz]], [[s:Benutzer:Rike dr|Friederike Drellmann]], [[s:Benutzer:|Adrianna Mlynarczyk]], [[Benutzer: Simon Karstens|Simon Karstens]], [[Benutzer: H Tulay|Hannah Tulay]], [[Benutzer:Gabriel Anhegger|Gabriel Anhegger]], [[Benutzer:Loic Oberdorfer|Loic Oberdorfer]], [[Benutzer: P. Spychala|Pauline Spychala]], [[s:Swantje Paulien|Swantje Paulien]], [[s:Benutzer:Anais-balek| Anaïs Balek]] === Arbeitsmaterialien, Hinweise und Links === * Wikisource: Projektseite [[s:Historische Sammlungen des DHI Paris]] * Wikipedia: [[w:Doppelheim für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen in Paris]], neu [[Datei:Die Gartenlaube (1886) b 845 1.jpg|mini|''Das „Heim“ für deutsche Erzieherinnen und Dienstmädchen in Paris'', in: Die Gartenlaube, 1886, Heft 48, S. 845.]] Bibliothek, DHIP: https://www.dhi-paris.fr/bibliothek/ueberblick.html * [[meta:WikiFAIR/Gestapo.Terror.Orte]] : Wikidata-Anleitung: https://www.gestapo-terror-orte.de/resources/Anleitung_seite_compressed.pdf * [[s:Paris]] * [[s:fr:Paris]] * [[w:Hilfe:Interwiki-Links]] * Vorlagen in Wikisource: [[s:Hilfe:Vorlagen]] * [[s:Vorlage:Annotate_QID]] auch für fünf weiterer Sprachen verfügbar (ar, en, fa, fr, pt): [[d:Q106805878]] * GBV-Katalogisat der Berichte: https://lbsvz2.gbv.de/DB=44/XMLPRS=N/PPN?PPN=1936789264 ; Lesetipps Projektberichte * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Projekt ZfS-SchallenderRauch]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Geschichten aus der Geschichte Podcast]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Stuttgart goes Wikimedia]] ; Die Gartenlaube, [[s:Die Gartenlaube (1886)|1886]] {{Wikisource|Heim für deutsche Erzieherinnen in Paris}} {{Wikisource|Ein Heim für deutsche Erzieherinnen in Paris}} {{Wikisource|Deutsche Elemente in Paris}} == Netzwerke == ; WikiKult * [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten]], Treffen Ende Juni in Berlin + online ; Bundesweites Treffen der Wikimedians in Bibliotheken in Köln 6. November 2025: [[Wikimedians in Bibliotheken]] == Galerie == <gallery> Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|mini|Wikidata-Broschüre, 2019 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022).pdf|Als Wissenschaftliche [[Projekt:Wikiversum, Wisskomm und Saxonica (2022)|Bibliothek im Wikiversum. Beispiele aus der SLUB Dresden]], 2022 2025-05-07 Vortrag Projekt Karl Stanka beim Deutschen Museumsbund in Chemnitz.pdf|Vortrag Projekt Karl Stanka beim Deutschen Museumsbund in Chemnitz, 2025 Banner_Wikidata_and_Sister_Projects_Days_2025.jpg|[[d:Event:Wikidata_and_Sister_Projects]] Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Jahresbericht des deutschen Erzieherinnnenheims zu Paris 1898-9.pdf|[[s:Vierzehnter Jahresbericht des deutschen Erzieherinnenheims zu Paris 1898/1899]] Jahresbericht des deutschen Maedchenheims zu Paris 1899-1900.pdf|[[s:Fünfzehnter Jahresbericht des deutschen Mädchenheims zu Paris 1899-1900]] Jahresbericht des deutschen Erzieherinnenheims zu Paris 1899-1900.pdf|[[s:Fünfzehnter Jahresbericht des deutschen Erzieherinnenheims zu Paris 1899-1900]] Jahresbericht des deutschen Erzieherinnenheims zu Paris 1900-01.pdf|[[s:Sechzehnter Jahresbericht des deutschen Erzieherinnenheims zu Paris 1900-1901]] Jahresbericht des deutschen Mädchenheims zu Paris 1900-1901.pdf|[[s:Sechzehnter Jahresbericht des deutschen Mädchenheims zu Paris 1900-1901]] Jahresbericht des deutschen Maedchenheims zu Paris 1901-2.pdf|[[s:Siebenzehnter Jahresbericht des deutschen Mädchenheims zu Paris 1901/1902]] Jahresbericht des deutschen Lehrerinnenheims zu Paris 1901-02.pdf|[[s:Siebenzehnter Jahresbericht des deutschen Lehrerinnenheims zu Paris 1901-1902]] Jahresbericht des deutschen Maedchenheims zu Paris 1902-1903.pdf|[[s:Achtzehnter Jahresbericht des deutschen Mädchenheims zu Paris 1902/1903]] </gallery> ; Pageviews Analysis Vergleiche Seitenaufrufe auf mehreren Seiten: https://pageviews.wmcloud.org/?project=de.wikiversity.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&range=latest-20&pages=Projekt:Deutsches_Historisches_Institut_Paris_2025. In de.Wikisource sind die Statistiken je Seite am unteren Seitenende verlinkt. [[Kategorie:Frankreich]] [[Kategorie:Europa]] [[Kategorie:Bibliothek]] 3kr0mvxakg7hvve3im14dx0f1cwivhi 106 167773 1117911 1061060 2026-10-27T14:45:56Z Bert Niehaus 20843 /* P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge */ 1117911 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == 1. Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. 2. Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. 3. Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zu klassischen Konvergenz für Funktionfolgen :<math>\forall_{x\in \mathbb{R}} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_o(x)</math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> <math>P</math>-fast sichere Konvergenz definieren. :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n(x) = f_o(x) \forall_{x\in \mathbb{R}\N} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_o(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. Fasst man dabei die Fälle zu einer Menge <math>N</math> zusammen, für die die Konvergenz nicht erfüllt ist, so ist <math>N</math> eine <math>P</math>-Nullmenge. == Aufgaben == Die Übungen beziehen sich auf die Überprüfung, ob eine Eigenschaft <math>P</math>-fast sicher gilt bzw. eine Menge eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Aufgabe 1 - induzierte Verteilung === Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Zufallsgröße. Man definiert nun <math>A = \{\omega \in \Omega | X(\omega) > 0\}</math> und betrachte die induzierte Verteilung <math>P^X</math> auf <math>\mathbb{R}</math>. Ferner gilt <math>P^X(([-1,0]) = \frac{1}{10}</math>. Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] qn6ic1dvuk3qiuttr4oa17g0vfdz6fo 0 167815 1117913 1062063 2026-10-27T14:47:11Z Bert Niehaus 20843 /* Konvergenz */ 1117913 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''borelsche σ-Algebra''' ist ein [[w:de:Mengensystem|Mengensystem]] in der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] und essentiell für den axiomatischen Aufbau der modernen [[w:de:Stochastik|Stochastik]] und [[w:de:Integralrechnung|Integrationstheorie]]. Die borelsche σ-Algebra ist eine [[w:de:σ-Algebra|σ-Algebra]], die alle Mengen enthält, denen man naiverweise ein Volumen oder eine Wahrscheinlichkeit zuordnen will. === Potenzmenge der reellen Zahlen === Die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] der reellen Zahlen erfüllt in natürlicher Weise die Eigenschaften <math>\sigma</math>-[[w:de:σ-Algebra|-Algebra]]. Allerdings gibt es [[w:de:Teilmenge|Teilmengen]] <math>M\subset \mathbb{R}</math>, die z.B. mit dem [[w:de:Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] nicht [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbar]] ist. === Maßproblem - Potenzmenge === Wenn die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] zu mächtig ist, um darauf ein translationsinvariantes Maß (''nicht Wahrscheinlichkeitsmaß'') zu definieren, dass dem Intervall <math>[a,b]</math> als abgeschlossene Menge die Länge <math>b-a</math> zuordnet, muss die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] <math>\wp(\mathbb{R})</math> erweitert werden kann, muss man ein soches Maß ein "kleineres" Mengensystem von messbaren Mengen verwenden, das zumindest die abgeschlossenen Mengen <math>[a,b]</math> enthält. === Topologie und Sigma-Algebren === Als Anforderung an eine solche <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\mathbb{R}</math> wird einführend festgehalten, dass diese zumindest die abgeschlossenen Intervalle <math>[a,b]</math> enthalten soll. Die Abgeschlossenheit ist ein Begriff aus der [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]], die als Komplement von offenen Mengen definiert werden. Man verlangt für eine solche Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra daher, dass diese zumindest alle offenen Mengen enthält. Über die Komplementstabilität enthält diese "minimale" <math>\sigma</math>-Algebra dann auch alle abgeschlossenen Mengen und damit auch die Intervalle <math>[a,b] \subseteq \mathbb{R}</math>. === Stetige Funktionen und Messbarkeit === Die besondere Bedeutung erhält die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra dadurch, dass sie auf natürliche Weise an die Struktur von [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Räumen]] und damit sowohl an [[w:de:Metrischer Raum|metrische]] <math>(X,d)</math>, [[Normen, Metriken, Topologie|normierte Räume]] <math>(X,\|\cdot \|)</math> oder allgemein [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] <math>(V,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> angepasst ist. Dies zeigt sich unter anderem darin, dass bezüglich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra alle [[w:de:Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] immer [[w:de:Messbare Funktion|messbar]] sind. === Geschichtliche Bemerkung === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden '''Borel-Mengen''', '''borelsche Mengen''' oder auch '''Borel-messbare Mengen''' genannt. Die Namensgebung der σ-Algebra und der Mengen folgt zu Ehren von [[w:de:Émile Borel|Émile Borel]], der sie im Jahre 1898 erstmals implizit verwendete.<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 17. </ref> == Definition - Borelsche Sigma-Algebra == Gegeben sei ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math> (X, \mathcal{T} )</math>, wobei <math> \mathcal{T} </math> das Mengensystem der [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]] ist. Dann heißt die von <math> \mathcal{T} </math> [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|erzeugte -Algebra]] die borelsche σ-Algebra. Sie wird mit <math> \mathcal B (X) </math> bezeichnet oder, wenn die Menge <math> X </math> aus dem Kontext ersichtlich ist, auch als <math> \mathcal B </math>. === Erzeugendensystem der Sigma-Algebra === Die Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra ist die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Man kann die :<math>\mathcal B (X):= \sigma (\mathcal{T} ) := \bigcap_{\mathcal{S} \supseteq \mathcal{T}\, \sigma-Algebra} \mathcal{S} </math> wobei hier <math> \sigma( \cdot) </math> den <math>\sigma</math>-[[w:de:Σ-Algebra#σ-Operator|Operator]] bezeichnet. === Aufgabe 1 - abgeschlossene Menge === Begründen Sie für <math>\mathcal B (X)</math>, warum dieses Mengensystem auch alle abgeschlossenen Mengen enthält. === Konvergenz - Stetigkeit - Verteilungsfunktion === Bei dem Begriff der [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] werden * [[Kurs:Stochastik/diskrete Verteilungen|diskrete]], * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|stetige]] und * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|absolut stetige]] Verteilungsfunktionen unterschieden. Um die Stetigkeit als Begriff für eine Abbildung <math>f: X \to Y</math> verwenden zu können, benötigt man im Definitionsbereich <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> und im Wertebereich <math>(Y,\mathcal{T}_Y)</math> jeweils einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]]. === Konvergenz === Aus der reellen Analysis kennt man den Begriff der Konvergenz. Diesen kann man auf unterschiedliche Klassen von topologischen Räumen ausdehnen. * (<math>\mathbb{R}</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{ }{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} | x_n - x_0 | < \varepsilon </math> * (<math>\mathbb{R}^n</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{\|\cdot \|}{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} \| x_n - x_0 \| < \varepsilon </math> * (<math>\mathcal{T}</math> - Topologischer Raum) <math> \stackrel{ \mathcal{T} }{\displaystyle \lim_{ i \to \infty }} x_i = x_o :\Longleftrightarrow \underset{U \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(x_o)}{\forall} \,\, \underset{i_{_U} \in I}{\exist} \,\, \underset{i \succ i_{_U}{\forall} x_i \in U </math> === Stetige Verteilung === Bei einer stetigen Verteilung benötigt man Stetigkeit als mathematische Eigenschaft der Verteilungsfunktion Sei <math>F:X \to [0,1]</math> die Verteilungsfunktion: :<math> \lim_{x \to x_o} F(x) = F(x_o) \mbox{ für alle } x_o \in X </math> === Bemerkungen === * Die borelsche σ-Algebra ist stets eindeutig bestimmt. * Eine borelsche σ-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines [[w:de:Messraum (Mathematik)|Messraums]] auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur wird der Raum dann auch Borel-Raum genannt. Es werden jedoch auch andere Messräume als Borel-Räume bezeichnet. * Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden Borel-Mengen genannt. Die Klasse der Borel-Mengen ist eine Unterklasse der Klasse der suslinschen oder auch [[w:de:Analytische Menge|analytischen Mengen]].<ref name="Al" /> == Die borelsche Sigma-Algebra auf den reellen Zahlen == Die Menge <math>\mathbb{R}</math> der reellen Zahlen wird üblicherweise mit der Topologie ausgestattet, die durch die offenen [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervalle]] <math>(a,b)</math> mit [[w:de:Rationale Zahl|rationalen]] Endpunkten <math>a,b\in \mathbb{Q}</math> aufgespannt wird. Damit ist die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra eine [[w:de:separable σ-Algebra|separable σ-Algebra]]. === Weitere Topologien auf den reellen Zahlen === Obwohl man in Einzelfällen auch andere Topologien auf <math>\mathbb{R}</math> betrachtet, gilt diese als die kanonische Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>, und die aus ihr abgeleitete borelsche σ-Algebra wird schlicht als ''die'' borelsche <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet. === Potenzmenge - Borelsche Sigma-Algebra === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> enthält nicht alle Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math>. Es lässt sich sogar zeigen, dass die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> gleichmächtig zu <math>\mathbb{R}</math> ist, während die Menge aller Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math> eine echt größere Mächtigkeit als <math>\mathbb{R}</math> besitzt. === Erzeuger als Mengensystem === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wird nicht direkt definiert, sondern implizit über einen Erzeuger. Dies ist ein vorgegebenes Mengensystem <math> \mathcal{E} </math>, das die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra in dem Sinne erzeugt, dass sie die kleinste σ-Algebra ist, die alle Mengen des Erzeugers erhält. Für Details siehe [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|Erzeuger einer <math>\sigma</math>-Algebra]]. Einige der möglichen Erzeuger sind die folgenden: * <math> \mathcal E_0= \{ A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist offen } \} </math> per Definition * <math> \mathcal E_1= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \}</math> oder <math> \mathcal E_2= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \}</math> * <math> \mathcal E_3= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b \} </math> oder <math> \mathcal E_4= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_5= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \} </math> oder <math> \mathcal E_6= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_7= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_8= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_9= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_{10}= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> Insbesondere existieren offensichtlich mehrere Erzeuger für die borelsche σ-Algebra. Die borelsche σ-Algebra ist aber durch die Angabe eines Erzeugers eindeutig bestimmt. Dabei ist die Wahl des konkreten Erzeugers oft situationsabhängig. Häufig wählt man [[w:de:π-System|durchschnittsstabile Mengensysteme]] als Erzeuger, da bei ihnen nach dem [[w:de:Maßeindeutigkeitssatz|Maßeindeutigkeitssatz]] ein Maß schon durch die Angabe der Werte auf dem Erzeuger eindeutig bestimmt ist. Bei Verwendung von Verteilungsfunktionen bieten sich die Erzeuger <math> \mathcal E_7 </math> bis <math> \mathcal E_{10} </math> an. Für Approximationsargumente werden oft die Intervalle mit rationalen Grenzen verwendet. Insbesondere sind die hier aufgeführten Erzeuger <math> \mathcal E_5 </math> und <math> \mathcal E_6 </math> [[w:de:Halbring (Mengensystem)|Halbringe]] (wenn man jeweils <math>(a,a]:= \emptyset</math> definiert, so dass die Erzeuger die [[w:de:leere Menge|leere Menge]] enthalten). === Enthaltene Mengen === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen sind reichhaltig. Sie enthält * alle [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]], alle [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Mengen]] und alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] * alle Intervalle der Form <math> (a,b), [a,b], (a,b], [a,b) </math> für <math> a,b \in \mathbb{R} </math> sowie <math> (- \infty, b), (- \infty, b], (a, \infty) </math> und <math> [a, \infty) </math> * alle Punktmengen, also Mengen der Form <math> \{a \} </math> für <math> a \in \mathbb{R} </math> und alle endlichen Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> und alle [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar unendlichen]] Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> * Aus den definierenden Eigenschaften von σ-Algebren folgt direkt, dass endliche und abzählbar unendliche Vereinigungen und Schnitte von Borelmengen wieder Borelmengen sind, ebenso die Differenz und das Komplement. * Ist <math> f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} </math> stetig, so sind auch [[w:de:Urbild (Mathematik)|Urbilder]] von Borelmengen wieder Borelmengen, insbesondere also auch [[w:de:Niveaumenge|Niveaumenge]]n, [[w:de:Subniveaumenge|Subniveaumenge]]n und [[w:de:Superniveaumenge|Superniveaumenge]]n. === Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen === Teils werden die reellen Zahlen um die Werte <math> \pm \infty </math> erweitert, man nennt dann entsprechend :<math>\overline{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{+ \infty, - \infty \} </math> die [[w:de:Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]]. Sie treten zum Beispiel bei der Untersuchung von [[w:de:Numerische Funktion|numerischen Funktionen]] auf. Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen wird dann erklärt durch :<math> \mathcal B(\overline{\mathbb{R}}):= \{ A \cup E \mid A \in \mathcal B (\mathbb{R}), \; E \subseteq \{- \infty, \infty\} \} </math>. Sie besteht demnach aus allen Borel-Mengen auf den reellen Zahlen sowie aus diesen Borel-Mengen vereinigt mit <math>\{\infty\}</math>, <math>\{-\infty\}</math> oder <math>\{\infty, -\infty\}</math>. == Weitere borelsche σ-Algebren == === Die borelsche σ-Algebra auf separablen metrischen Räumen === Gegeben sei ein [[w:de:Separabler Raum|separabler]] [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(X,d)</math>. Die offenen Kugeln erzeugen als Basis eine Topologie, diese wird von der Metrik erzeugte Topologie genannt. Jede offene Menge ist aufgrund der Separabilität (welche im metrischen Fall zum zweiten [[w:de:Abzählbarkeitsaxiom|Abzählbarkeitsaxiom]] äquivalent ist) als abzählbare Vereinigung von offenen Kugeln zu schreiben. Die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die die offenen Kugeln enthält, enthält daher alle offenen Mengen und ist somit gleich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra. Auf den Spezialfall <math>X\subseteq\mathbb{R}^n</math> und <math>d</math> die [[w:de:Euklidischer Abstand|euklidische Metrik]] wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen. === Die borelsche σ-Algebra auf endlichdimensionalen reellen Vektorräumen === Auf den endlichdimensionalen Vektorräumen <math>\mathbb{R}^n</math> wird die kanonische Topologie von den <math>n</math>-dimensionalen Quadern <math>(a_1,b_1)\times\dotsb\times (a_n,b_n)</math> mit rationalen Koordinaten <math>a_i</math> und <math>b_i</math> aufgespannt. Sie ist gleichzeitig die <math>n</math>-fache [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]] der kanonischen Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>. Die von ihr erzeugte borelsche σ-Algebra heißt analog zum eindimensionalen Fall die ''borelsche σ-Algebra auf <math>\mathbb{R}^n</math>''. Auf diese Art ist auch elegant die borelsche σ-Algebra der komplexen Zahlen erklärt: Man nutzt einfach die Vektorraumisomorphie zwischen <math>{C}</math> und <math>\mathbb{R}^2</math>. Teilmengen, die nicht zur borelschen σ-Algebra gehören, weisen in der Regel einen intuitiv exotischen Charakter auf. Im dreidimensionalen reellen Raum bilden die Mengen, die beim [[w:de:Banach-Tarski-Paradoxon|Banach-Tarski-Paradoxon]] Verwendung finden, ein Beispiel für solche, nicht zur borelschen σ-Algebra gehörende Teilmengen. == Die borelsche σ-Algebra auf allgemeinen topologischen Räumen == Die Eigenschaften der borelschen σ-Algebra in beliebigen [[w:de:Topologischer Raum|topologischen Räumen]] hängen wesentlich von der Struktur des topologischen Raumes ab. Allgemein lässt sich nur sagen, dass die borelsche σ-Algebra immer alle offenen (per Definition) und alle abgeschlossenen Mengen (aufgrund der Komplementstabilität) enthält. Je mehr Struktur der topologische Raum besitzt, umso mehr Mengen enthält dann auch die borelsche σ-Algebra. Es gilt: * Ist der topologische Raum ein [[w:de:T1-Raum|T1-Raum]], so sind alle einelementigen Mengen in der borelschen σ-Algebra enthalten. Damit sind auch alle endlichen Mengen, alle abzählbar unendlichen Mengen und alle Mengen mit endlichem oder abzählbar unendlichem Komplement in der borelschen σ-Algebra enthalten. * Ist der topologische Raum ein [[w:de:Hausdorff-Raum|Hausdorff-Raum]] (wie zum Beispiel ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]]), so sind alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] abgeschlossen und damit in der borelschen σ-Algebra enthalten. == Produkträume und die borelsche σ-Algebra == Sind zwei topologische Räume <math> (X_1, \mathcal O_1) </math> und <math> (X_2, \mathcal O_2)</math> gegeben, so lässt sich die borelsche σ-Algebra auf zweierlei Arten definieren: * Entweder man bildet den (topologischen) Produktraum <math> X_1 \times X_2 </math>, versehen mit der [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]], hier mit <math> \mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2 </math> bezeichnet. Die borelsche σ-Algebra auf <math> X_1 \times X_2 </math> kann dann als die borelsche σ-Algebra der Produkttopologie definiert werden, also als ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2) := \sigma (\mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2) </math> * oder man bildet zuerst die borelschen σ-Algebren der einzelnen topologischen Räume und dann deren [[w:de:Produkt-σ-Algebra|Produkt-σ-Algebra]], hier mit <math> \otimes </math> bezeichnet: ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2):= \sigma (\mathcal O_1) \otimes \sigma (\mathcal O_2) </math> Tatsächlich stimmen beide Konstruktionen in vielen Fällen überein, auch wenn die Fragestellung auf Familien von topologischen Räumen <math> (X_i)_{i \in I} </math> ausgeweitet wird. Es gilt:<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 115. </ref> : Ist <math> (X_i)_{i \in I} </math> eine abzählbare Familie von topologischen Räumen, von denen jeder eine abzählbare [[w:de:Basis (Topologie)|Basis]] besitzt (also das [[w:de:Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]] erfüllt), und sei <math> X </math> das topologische Produkt all dieser Räume, so ist ::<math> \mathcal B (X)= \bigotimes_{i \in I} \mathcal B (X_i) </math>. Die borelsche σ-Algebra des Produktes ist also die Produkt-σ-Algebra der borelschen σ-Algebren. Die Aussage gilt also insbesondere für alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] metrischen Räume und damit auch für <math> \mathbb{R} </math>. Somit ist :<math> \mathcal B(\mathbb{R}^2)= \mathcal B(\mathbb{R}) \otimes \mathcal B (\mathbb{R}) </math>. == Nomenklatur für bestimmte Borel-Mengen == {{Hauptartikel|Borel-Hierarchie}} * In der Literatur hat sich folgende von [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]] eingeführte Bezeichnung für manche einfache Klassen von Borelmengen durchgesetzt:<ref name="Koe2001">Vladimir Kanovei, Peter Koepke: ''Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre.'' 2001, [http://www.math.uni-bonn.de/people/koepke/Preprints/Deskriptive_Mengenlehre_in_Hausdorffs_Grundzuegen_der_Mengenlehre.pdf uni-bonn.de (pdf; 267&nbsp;kB)].</ref><ref name="Al">Pavel S. Alexandroff: ''Lehrbuch der Mengenlehre.'' 6., überarbeitete Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1994, ISBN 3-8171-1365-X.</ref><ref name="Nat">Isidor P. Natanson: ''Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen.'' Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf Russisch bei [http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3790 INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk]).</ref> :- mit <math>\operatorname F_\sigma</math> werden alle Vereinigungen von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen bezeichnet, :- mit <math>\operatorname G_\delta</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen offenen Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen : usw. : Alle <math>\operatorname F_\sigma</math>, <math>\operatorname G_\delta</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math>,...-Mengen sind Borelmengen. Dieses Schema ermöglicht aber nicht, alle Borelmengen zu beschreiben, weil die Vereinigung von allen diesen Klassen im Allgemeinen bezüglich der Axiome einer <math>\sigma</math>-Algebra noch nicht abgeschlossen ist.<ref name="abz">Bei <math>\mathbb{R}^n</math> z.&nbsp;B. ist es erst unter Zuhilfenahme von transfiniten [[w:de:Ordinalzahl|Ordinalzahl]]en möglich, dieses System auf solche Weise fortzusetzen, dass alle Borelmengen von ihm erfasst werden (s. [[Bairesche Klasse#Verbindung zu den borelschen Mengen|bairesche Klassen: Verbindung zu den borelschen Mengen]]). Es gibt aber auch topologische Räume, in denen bereits allein die <math>\operatorname F_\sigma</math>- und <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen die ganze Klasse der Borelmengen ausschöpfen, wie z.&nbsp;B. in einem [[w:de:T1-Raum|T₁-Raum]] mit abzählbar vielen Punkten. Mehr zu diesem Thema kann in [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]]: ''Mengenlehre.'' 2., neubearbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1927, nachgelesen werden.</ref> * In der [[w:de:Deskriptive Mengenlehre|deskriptiven Mengenlehre]] bezeichnet man die offenen Mengen auch als <math>\Sigma^0_1</math>-Mengen, die <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_2</math>-Mengen, die <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_3</math>-Mengen etc. Komplemente von <math>\Sigma^0_n</math>-Mengen heißen <math>\Pi^0_n</math>-Mengen; so sind etwa die <math>\Pi^0_2</math>-Mengen genau die <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen. == Anwendung == Die Menge <math>\Omega</math> zusammen mit der borelschen σ-Algebra ist ein Messraum und liegt den [[w:de:Borelmaß|Borelmaß]]en als solcher zugrunde. Alle Elemente der borelschen σ-Algebra (die selbst Mengen sind) werden Borel-messbar genannt; nur diesen werden durch ein Borel-Maß Werte zugeordnet. == Siehe auch == * [[w:de:Bairesche σ-Algebra|Bairesche σ-Algebra]] * [[Kurs:Stochastik]] == Einzelnachweise == <references /> == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik]] == Literatur == * Sashi M. Srivastava: ''A course on Borels sets'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 180). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98412-7. * {{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} * {{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Jürgen Elstrodt|Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}} [[Kategorie:Σ-Algebra]] [[Kategorie:Topologie]] [[Kategorie:Maßtheorie]] [[Kategorie:Deskriptive Mengenlehre]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Borelsche_Sigma-Algebra] https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra * Datum: 8.12.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] s534wq0ilx1kl3nyo1eqs3ggosllefp 1117914 1117913 2026-10-27T14:47:39Z Bert Niehaus 20843 /* Konvergenz */ 1117914 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''borelsche σ-Algebra''' ist ein [[w:de:Mengensystem|Mengensystem]] in der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] und essentiell für den axiomatischen Aufbau der modernen [[w:de:Stochastik|Stochastik]] und [[w:de:Integralrechnung|Integrationstheorie]]. Die borelsche σ-Algebra ist eine [[w:de:σ-Algebra|σ-Algebra]], die alle Mengen enthält, denen man naiverweise ein Volumen oder eine Wahrscheinlichkeit zuordnen will. === Potenzmenge der reellen Zahlen === Die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] der reellen Zahlen erfüllt in natürlicher Weise die Eigenschaften <math>\sigma</math>-[[w:de:σ-Algebra|-Algebra]]. Allerdings gibt es [[w:de:Teilmenge|Teilmengen]] <math>M\subset \mathbb{R}</math>, die z.B. mit dem [[w:de:Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] nicht [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbar]] ist. === Maßproblem - Potenzmenge === Wenn die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] zu mächtig ist, um darauf ein translationsinvariantes Maß (''nicht Wahrscheinlichkeitsmaß'') zu definieren, dass dem Intervall <math>[a,b]</math> als abgeschlossene Menge die Länge <math>b-a</math> zuordnet, muss die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] <math>\wp(\mathbb{R})</math> erweitert werden kann, muss man ein soches Maß ein "kleineres" Mengensystem von messbaren Mengen verwenden, das zumindest die abgeschlossenen Mengen <math>[a,b]</math> enthält. === Topologie und Sigma-Algebren === Als Anforderung an eine solche <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\mathbb{R}</math> wird einführend festgehalten, dass diese zumindest die abgeschlossenen Intervalle <math>[a,b]</math> enthalten soll. Die Abgeschlossenheit ist ein Begriff aus der [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]], die als Komplement von offenen Mengen definiert werden. Man verlangt für eine solche Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra daher, dass diese zumindest alle offenen Mengen enthält. Über die Komplementstabilität enthält diese "minimale" <math>\sigma</math>-Algebra dann auch alle abgeschlossenen Mengen und damit auch die Intervalle <math>[a,b] \subseteq \mathbb{R}</math>. === Stetige Funktionen und Messbarkeit === Die besondere Bedeutung erhält die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra dadurch, dass sie auf natürliche Weise an die Struktur von [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Räumen]] und damit sowohl an [[w:de:Metrischer Raum|metrische]] <math>(X,d)</math>, [[Normen, Metriken, Topologie|normierte Räume]] <math>(X,\|\cdot \|)</math> oder allgemein [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] <math>(V,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> angepasst ist. Dies zeigt sich unter anderem darin, dass bezüglich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra alle [[w:de:Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] immer [[w:de:Messbare Funktion|messbar]] sind. === Geschichtliche Bemerkung === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden '''Borel-Mengen''', '''borelsche Mengen''' oder auch '''Borel-messbare Mengen''' genannt. Die Namensgebung der σ-Algebra und der Mengen folgt zu Ehren von [[w:de:Émile Borel|Émile Borel]], der sie im Jahre 1898 erstmals implizit verwendete.<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 17. </ref> == Definition - Borelsche Sigma-Algebra == Gegeben sei ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math> (X, \mathcal{T} )</math>, wobei <math> \mathcal{T} </math> das Mengensystem der [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]] ist. Dann heißt die von <math> \mathcal{T} </math> [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|erzeugte -Algebra]] die borelsche σ-Algebra. Sie wird mit <math> \mathcal B (X) </math> bezeichnet oder, wenn die Menge <math> X </math> aus dem Kontext ersichtlich ist, auch als <math> \mathcal B </math>. === Erzeugendensystem der Sigma-Algebra === Die Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra ist die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Man kann die :<math>\mathcal B (X):= \sigma (\mathcal{T} ) := \bigcap_{\mathcal{S} \supseteq \mathcal{T}\, \sigma-Algebra} \mathcal{S} </math> wobei hier <math> \sigma( \cdot) </math> den <math>\sigma</math>-[[w:de:Σ-Algebra#σ-Operator|Operator]] bezeichnet. === Aufgabe 1 - abgeschlossene Menge === Begründen Sie für <math>\mathcal B (X)</math>, warum dieses Mengensystem auch alle abgeschlossenen Mengen enthält. === Konvergenz - Stetigkeit - Verteilungsfunktion === Bei dem Begriff der [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] werden * [[Kurs:Stochastik/diskrete Verteilungen|diskrete]], * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|stetige]] und * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|absolut stetige]] Verteilungsfunktionen unterschieden. Um die Stetigkeit als Begriff für eine Abbildung <math>f: X \to Y</math> verwenden zu können, benötigt man im Definitionsbereich <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> und im Wertebereich <math>(Y,\mathcal{T}_Y)</math> jeweils einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]]. === Konvergenz === Aus der reellen Analysis kennt man den Begriff der Konvergenz. Diesen kann man auf unterschiedliche Klassen von topologischen Räumen ausdehnen. * (<math>\mathbb{R}</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{ }{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} | x_n - x_0 | < \varepsilon </math> * (<math>\mathbb{R}^n</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{\|\cdot \|}{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} \| x_n - x_0 \| < \varepsilon </math> * (<math>\mathcal{T}</math> - Topologischer Raum) <math> \stackrel{ \mathcal{T} }{\displaystyle \lim_{ i \to \infty }} x_i = x_o :\Longleftrightarrow \underset{U \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(x_o)}{\forall} \,\, \underset{i_{_U} \in I}{\exist} \,\, \underset{i \succ i_{_U} }{\forall} x_i \in U </math> === Stetige Verteilung === Bei einer stetigen Verteilung benötigt man Stetigkeit als mathematische Eigenschaft der Verteilungsfunktion Sei <math>F:X \to [0,1]</math> die Verteilungsfunktion: :<math> \lim_{x \to x_o} F(x) = F(x_o) \mbox{ für alle } x_o \in X </math> === Bemerkungen === * Die borelsche σ-Algebra ist stets eindeutig bestimmt. * Eine borelsche σ-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines [[w:de:Messraum (Mathematik)|Messraums]] auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur wird der Raum dann auch Borel-Raum genannt. Es werden jedoch auch andere Messräume als Borel-Räume bezeichnet. * Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden Borel-Mengen genannt. Die Klasse der Borel-Mengen ist eine Unterklasse der Klasse der suslinschen oder auch [[w:de:Analytische Menge|analytischen Mengen]].<ref name="Al" /> == Die borelsche Sigma-Algebra auf den reellen Zahlen == Die Menge <math>\mathbb{R}</math> der reellen Zahlen wird üblicherweise mit der Topologie ausgestattet, die durch die offenen [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervalle]] <math>(a,b)</math> mit [[w:de:Rationale Zahl|rationalen]] Endpunkten <math>a,b\in \mathbb{Q}</math> aufgespannt wird. Damit ist die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra eine [[w:de:separable σ-Algebra|separable σ-Algebra]]. === Weitere Topologien auf den reellen Zahlen === Obwohl man in Einzelfällen auch andere Topologien auf <math>\mathbb{R}</math> betrachtet, gilt diese als die kanonische Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>, und die aus ihr abgeleitete borelsche σ-Algebra wird schlicht als ''die'' borelsche <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet. === Potenzmenge - Borelsche Sigma-Algebra === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> enthält nicht alle Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math>. Es lässt sich sogar zeigen, dass die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> gleichmächtig zu <math>\mathbb{R}</math> ist, während die Menge aller Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math> eine echt größere Mächtigkeit als <math>\mathbb{R}</math> besitzt. === Erzeuger als Mengensystem === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wird nicht direkt definiert, sondern implizit über einen Erzeuger. Dies ist ein vorgegebenes Mengensystem <math> \mathcal{E} </math>, das die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra in dem Sinne erzeugt, dass sie die kleinste σ-Algebra ist, die alle Mengen des Erzeugers erhält. Für Details siehe [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|Erzeuger einer <math>\sigma</math>-Algebra]]. Einige der möglichen Erzeuger sind die folgenden: * <math> \mathcal E_0= \{ A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist offen } \} </math> per Definition * <math> \mathcal E_1= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \}</math> oder <math> \mathcal E_2= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \}</math> * <math> \mathcal E_3= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b \} </math> oder <math> \mathcal E_4= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_5= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \} </math> oder <math> \mathcal E_6= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_7= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_8= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_9= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_{10}= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> Insbesondere existieren offensichtlich mehrere Erzeuger für die borelsche σ-Algebra. Die borelsche σ-Algebra ist aber durch die Angabe eines Erzeugers eindeutig bestimmt. Dabei ist die Wahl des konkreten Erzeugers oft situationsabhängig. Häufig wählt man [[w:de:π-System|durchschnittsstabile Mengensysteme]] als Erzeuger, da bei ihnen nach dem [[w:de:Maßeindeutigkeitssatz|Maßeindeutigkeitssatz]] ein Maß schon durch die Angabe der Werte auf dem Erzeuger eindeutig bestimmt ist. Bei Verwendung von Verteilungsfunktionen bieten sich die Erzeuger <math> \mathcal E_7 </math> bis <math> \mathcal E_{10} </math> an. Für Approximationsargumente werden oft die Intervalle mit rationalen Grenzen verwendet. Insbesondere sind die hier aufgeführten Erzeuger <math> \mathcal E_5 </math> und <math> \mathcal E_6 </math> [[w:de:Halbring (Mengensystem)|Halbringe]] (wenn man jeweils <math>(a,a]:= \emptyset</math> definiert, so dass die Erzeuger die [[w:de:leere Menge|leere Menge]] enthalten). === Enthaltene Mengen === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen sind reichhaltig. Sie enthält * alle [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]], alle [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Mengen]] und alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] * alle Intervalle der Form <math> (a,b), [a,b], (a,b], [a,b) </math> für <math> a,b \in \mathbb{R} </math> sowie <math> (- \infty, b), (- \infty, b], (a, \infty) </math> und <math> [a, \infty) </math> * alle Punktmengen, also Mengen der Form <math> \{a \} </math> für <math> a \in \mathbb{R} </math> und alle endlichen Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> und alle [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar unendlichen]] Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> * Aus den definierenden Eigenschaften von σ-Algebren folgt direkt, dass endliche und abzählbar unendliche Vereinigungen und Schnitte von Borelmengen wieder Borelmengen sind, ebenso die Differenz und das Komplement. * Ist <math> f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} </math> stetig, so sind auch [[w:de:Urbild (Mathematik)|Urbilder]] von Borelmengen wieder Borelmengen, insbesondere also auch [[w:de:Niveaumenge|Niveaumenge]]n, [[w:de:Subniveaumenge|Subniveaumenge]]n und [[w:de:Superniveaumenge|Superniveaumenge]]n. === Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen === Teils werden die reellen Zahlen um die Werte <math> \pm \infty </math> erweitert, man nennt dann entsprechend :<math>\overline{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{+ \infty, - \infty \} </math> die [[w:de:Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]]. Sie treten zum Beispiel bei der Untersuchung von [[w:de:Numerische Funktion|numerischen Funktionen]] auf. Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen wird dann erklärt durch :<math> \mathcal B(\overline{\mathbb{R}}):= \{ A \cup E \mid A \in \mathcal B (\mathbb{R}), \; E \subseteq \{- \infty, \infty\} \} </math>. Sie besteht demnach aus allen Borel-Mengen auf den reellen Zahlen sowie aus diesen Borel-Mengen vereinigt mit <math>\{\infty\}</math>, <math>\{-\infty\}</math> oder <math>\{\infty, -\infty\}</math>. == Weitere borelsche σ-Algebren == === Die borelsche σ-Algebra auf separablen metrischen Räumen === Gegeben sei ein [[w:de:Separabler Raum|separabler]] [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(X,d)</math>. Die offenen Kugeln erzeugen als Basis eine Topologie, diese wird von der Metrik erzeugte Topologie genannt. Jede offene Menge ist aufgrund der Separabilität (welche im metrischen Fall zum zweiten [[w:de:Abzählbarkeitsaxiom|Abzählbarkeitsaxiom]] äquivalent ist) als abzählbare Vereinigung von offenen Kugeln zu schreiben. Die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die die offenen Kugeln enthält, enthält daher alle offenen Mengen und ist somit gleich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra. Auf den Spezialfall <math>X\subseteq\mathbb{R}^n</math> und <math>d</math> die [[w:de:Euklidischer Abstand|euklidische Metrik]] wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen. === Die borelsche σ-Algebra auf endlichdimensionalen reellen Vektorräumen === Auf den endlichdimensionalen Vektorräumen <math>\mathbb{R}^n</math> wird die kanonische Topologie von den <math>n</math>-dimensionalen Quadern <math>(a_1,b_1)\times\dotsb\times (a_n,b_n)</math> mit rationalen Koordinaten <math>a_i</math> und <math>b_i</math> aufgespannt. Sie ist gleichzeitig die <math>n</math>-fache [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]] der kanonischen Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>. Die von ihr erzeugte borelsche σ-Algebra heißt analog zum eindimensionalen Fall die ''borelsche σ-Algebra auf <math>\mathbb{R}^n</math>''. Auf diese Art ist auch elegant die borelsche σ-Algebra der komplexen Zahlen erklärt: Man nutzt einfach die Vektorraumisomorphie zwischen <math>{C}</math> und <math>\mathbb{R}^2</math>. Teilmengen, die nicht zur borelschen σ-Algebra gehören, weisen in der Regel einen intuitiv exotischen Charakter auf. Im dreidimensionalen reellen Raum bilden die Mengen, die beim [[w:de:Banach-Tarski-Paradoxon|Banach-Tarski-Paradoxon]] Verwendung finden, ein Beispiel für solche, nicht zur borelschen σ-Algebra gehörende Teilmengen. == Die borelsche σ-Algebra auf allgemeinen topologischen Räumen == Die Eigenschaften der borelschen σ-Algebra in beliebigen [[w:de:Topologischer Raum|topologischen Räumen]] hängen wesentlich von der Struktur des topologischen Raumes ab. Allgemein lässt sich nur sagen, dass die borelsche σ-Algebra immer alle offenen (per Definition) und alle abgeschlossenen Mengen (aufgrund der Komplementstabilität) enthält. Je mehr Struktur der topologische Raum besitzt, umso mehr Mengen enthält dann auch die borelsche σ-Algebra. Es gilt: * Ist der topologische Raum ein [[w:de:T1-Raum|T1-Raum]], so sind alle einelementigen Mengen in der borelschen σ-Algebra enthalten. Damit sind auch alle endlichen Mengen, alle abzählbar unendlichen Mengen und alle Mengen mit endlichem oder abzählbar unendlichem Komplement in der borelschen σ-Algebra enthalten. * Ist der topologische Raum ein [[w:de:Hausdorff-Raum|Hausdorff-Raum]] (wie zum Beispiel ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]]), so sind alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] abgeschlossen und damit in der borelschen σ-Algebra enthalten. == Produkträume und die borelsche σ-Algebra == Sind zwei topologische Räume <math> (X_1, \mathcal O_1) </math> und <math> (X_2, \mathcal O_2)</math> gegeben, so lässt sich die borelsche σ-Algebra auf zweierlei Arten definieren: * Entweder man bildet den (topologischen) Produktraum <math> X_1 \times X_2 </math>, versehen mit der [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]], hier mit <math> \mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2 </math> bezeichnet. Die borelsche σ-Algebra auf <math> X_1 \times X_2 </math> kann dann als die borelsche σ-Algebra der Produkttopologie definiert werden, also als ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2) := \sigma (\mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2) </math> * oder man bildet zuerst die borelschen σ-Algebren der einzelnen topologischen Räume und dann deren [[w:de:Produkt-σ-Algebra|Produkt-σ-Algebra]], hier mit <math> \otimes </math> bezeichnet: ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2):= \sigma (\mathcal O_1) \otimes \sigma (\mathcal O_2) </math> Tatsächlich stimmen beide Konstruktionen in vielen Fällen überein, auch wenn die Fragestellung auf Familien von topologischen Räumen <math> (X_i)_{i \in I} </math> ausgeweitet wird. Es gilt:<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 115. </ref> : Ist <math> (X_i)_{i \in I} </math> eine abzählbare Familie von topologischen Räumen, von denen jeder eine abzählbare [[w:de:Basis (Topologie)|Basis]] besitzt (also das [[w:de:Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]] erfüllt), und sei <math> X </math> das topologische Produkt all dieser Räume, so ist ::<math> \mathcal B (X)= \bigotimes_{i \in I} \mathcal B (X_i) </math>. Die borelsche σ-Algebra des Produktes ist also die Produkt-σ-Algebra der borelschen σ-Algebren. Die Aussage gilt also insbesondere für alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] metrischen Räume und damit auch für <math> \mathbb{R} </math>. Somit ist :<math> \mathcal B(\mathbb{R}^2)= \mathcal B(\mathbb{R}) \otimes \mathcal B (\mathbb{R}) </math>. == Nomenklatur für bestimmte Borel-Mengen == {{Hauptartikel|Borel-Hierarchie}} * In der Literatur hat sich folgende von [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]] eingeführte Bezeichnung für manche einfache Klassen von Borelmengen durchgesetzt:<ref name="Koe2001">Vladimir Kanovei, Peter Koepke: ''Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre.'' 2001, [http://www.math.uni-bonn.de/people/koepke/Preprints/Deskriptive_Mengenlehre_in_Hausdorffs_Grundzuegen_der_Mengenlehre.pdf uni-bonn.de (pdf; 267&nbsp;kB)].</ref><ref name="Al">Pavel S. Alexandroff: ''Lehrbuch der Mengenlehre.'' 6., überarbeitete Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1994, ISBN 3-8171-1365-X.</ref><ref name="Nat">Isidor P. Natanson: ''Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen.'' Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf Russisch bei [http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3790 INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk]).</ref> :- mit <math>\operatorname F_\sigma</math> werden alle Vereinigungen von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen bezeichnet, :- mit <math>\operatorname G_\delta</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen offenen Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen : usw. : Alle <math>\operatorname F_\sigma</math>, <math>\operatorname G_\delta</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math>,...-Mengen sind Borelmengen. Dieses Schema ermöglicht aber nicht, alle Borelmengen zu beschreiben, weil die Vereinigung von allen diesen Klassen im Allgemeinen bezüglich der Axiome einer <math>\sigma</math>-Algebra noch nicht abgeschlossen ist.<ref name="abz">Bei <math>\mathbb{R}^n</math> z.&nbsp;B. ist es erst unter Zuhilfenahme von transfiniten [[w:de:Ordinalzahl|Ordinalzahl]]en möglich, dieses System auf solche Weise fortzusetzen, dass alle Borelmengen von ihm erfasst werden (s. [[Bairesche Klasse#Verbindung zu den borelschen Mengen|bairesche Klassen: Verbindung zu den borelschen Mengen]]). Es gibt aber auch topologische Räume, in denen bereits allein die <math>\operatorname F_\sigma</math>- und <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen die ganze Klasse der Borelmengen ausschöpfen, wie z.&nbsp;B. in einem [[w:de:T1-Raum|T₁-Raum]] mit abzählbar vielen Punkten. Mehr zu diesem Thema kann in [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]]: ''Mengenlehre.'' 2., neubearbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1927, nachgelesen werden.</ref> * In der [[w:de:Deskriptive Mengenlehre|deskriptiven Mengenlehre]] bezeichnet man die offenen Mengen auch als <math>\Sigma^0_1</math>-Mengen, die <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_2</math>-Mengen, die <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_3</math>-Mengen etc. Komplemente von <math>\Sigma^0_n</math>-Mengen heißen <math>\Pi^0_n</math>-Mengen; so sind etwa die <math>\Pi^0_2</math>-Mengen genau die <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen. == Anwendung == Die Menge <math>\Omega</math> zusammen mit der borelschen σ-Algebra ist ein Messraum und liegt den [[w:de:Borelmaß|Borelmaß]]en als solcher zugrunde. Alle Elemente der borelschen σ-Algebra (die selbst Mengen sind) werden Borel-messbar genannt; nur diesen werden durch ein Borel-Maß Werte zugeordnet. == Siehe auch == * [[w:de:Bairesche σ-Algebra|Bairesche σ-Algebra]] * [[Kurs:Stochastik]] == Einzelnachweise == <references /> == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik]] == Literatur == * Sashi M. Srivastava: ''A course on Borels sets'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 180). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98412-7. * {{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} * {{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Jürgen Elstrodt|Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}} [[Kategorie:Σ-Algebra]] [[Kategorie:Topologie]] [[Kategorie:Maßtheorie]] [[Kategorie:Deskriptive Mengenlehre]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Borelsche_Sigma-Algebra] https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra * Datum: 8.12.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 5uzou3eupap2au1pwlb07kta6auk669 1117934 1117914 2026-10-27T16:44:34Z Bert Niehaus 20843 /* Konvergenz - Stetigkeit - Verteilungsfunktion */ 1117934 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''borelsche σ-Algebra''' ist ein [[w:de:Mengensystem|Mengensystem]] in der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] und essentiell für den axiomatischen Aufbau der modernen [[w:de:Stochastik|Stochastik]] und [[w:de:Integralrechnung|Integrationstheorie]]. Die borelsche σ-Algebra ist eine [[w:de:σ-Algebra|σ-Algebra]], die alle Mengen enthält, denen man naiverweise ein Volumen oder eine Wahrscheinlichkeit zuordnen will. === Potenzmenge der reellen Zahlen === Die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] der reellen Zahlen erfüllt in natürlicher Weise die Eigenschaften <math>\sigma</math>-[[w:de:σ-Algebra|-Algebra]]. Allerdings gibt es [[w:de:Teilmenge|Teilmengen]] <math>M\subset \mathbb{R}</math>, die z.B. mit dem [[w:de:Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] nicht [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbar]] ist. === Maßproblem - Potenzmenge === Wenn die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] zu mächtig ist, um darauf ein translationsinvariantes Maß (''nicht Wahrscheinlichkeitsmaß'') zu definieren, dass dem Intervall <math>[a,b]</math> als abgeschlossene Menge die Länge <math>b-a</math> zuordnet, muss die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] <math>\wp(\mathbb{R})</math> erweitert werden kann, muss man ein soches Maß ein "kleineres" Mengensystem von messbaren Mengen verwenden, das zumindest die abgeschlossenen Mengen <math>[a,b]</math> enthält. === Topologie und Sigma-Algebren === Als Anforderung an eine solche <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\mathbb{R}</math> wird einführend festgehalten, dass diese zumindest die abgeschlossenen Intervalle <math>[a,b]</math> enthalten soll. Die Abgeschlossenheit ist ein Begriff aus der [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]], die als Komplement von offenen Mengen definiert werden. Man verlangt für eine solche Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra daher, dass diese zumindest alle offenen Mengen enthält. Über die Komplementstabilität enthält diese "minimale" <math>\sigma</math>-Algebra dann auch alle abgeschlossenen Mengen und damit auch die Intervalle <math>[a,b] \subseteq \mathbb{R}</math>. === Stetige Funktionen und Messbarkeit === Die besondere Bedeutung erhält die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra dadurch, dass sie auf natürliche Weise an die Struktur von [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Räumen]] und damit sowohl an [[w:de:Metrischer Raum|metrische]] <math>(X,d)</math>, [[Normen, Metriken, Topologie|normierte Räume]] <math>(X,\|\cdot \|)</math> oder allgemein [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] <math>(V,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> angepasst ist. Dies zeigt sich unter anderem darin, dass bezüglich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra alle [[w:de:Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] immer [[w:de:Messbare Funktion|messbar]] sind. === Geschichtliche Bemerkung === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden '''Borel-Mengen''', '''borelsche Mengen''' oder auch '''Borel-messbare Mengen''' genannt. Die Namensgebung der σ-Algebra und der Mengen folgt zu Ehren von [[w:de:Émile Borel|Émile Borel]], der sie im Jahre 1898 erstmals implizit verwendete.<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 17. </ref> == Definition - Borelsche Sigma-Algebra == Gegeben sei ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math> (X, \mathcal{T} )</math>, wobei <math> \mathcal{T} </math> das Mengensystem der [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]] ist. Dann heißt die von <math> \mathcal{T} </math> [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|erzeugte -Algebra]] die borelsche σ-Algebra. Sie wird mit <math> \mathcal B (X) </math> bezeichnet oder, wenn die Menge <math> X </math> aus dem Kontext ersichtlich ist, auch als <math> \mathcal B </math>. === Erzeugendensystem der Sigma-Algebra === Die Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra ist die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Man kann die :<math>\mathcal B (X):= \sigma (\mathcal{T} ) := \bigcap_{\mathcal{S} \supseteq \mathcal{T}\, \sigma-Algebra} \mathcal{S} </math> wobei hier <math> \sigma( \cdot) </math> den <math>\sigma</math>-[[w:de:Σ-Algebra#σ-Operator|Operator]] bezeichnet. === Aufgabe 1 - abgeschlossene Menge === Begründen Sie für <math>\mathcal B (X)</math>, warum dieses Mengensystem auch alle abgeschlossenen Mengen enthält. === Konvergenz - Stetigkeit - Verteilungsfunktion === Bei dem Begriff der [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] werden * [[Kurs:Stochastik/diskrete Verteilung|diskrete]], * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|stetige]] und * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|absolut stetige]] Verteilungsfunktionen unterschieden. Um die Stetigkeit als Begriff für eine Abbildung <math>f: X \to Y</math> verwenden zu können, benötigt man im Definitionsbereich <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> und im Wertebereich <math>(Y,\mathcal{T}_Y)</math> jeweils einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]]. === Konvergenz === Aus der reellen Analysis kennt man den Begriff der Konvergenz. Diesen kann man auf unterschiedliche Klassen von topologischen Räumen ausdehnen. * (<math>\mathbb{R}</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{ }{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} | x_n - x_0 | < \varepsilon </math> * (<math>\mathbb{R}^n</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{\|\cdot \|}{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} \| x_n - x_0 \| < \varepsilon </math> * (<math>\mathcal{T}</math> - Topologischer Raum) <math> \stackrel{ \mathcal{T} }{\displaystyle \lim_{ i \to \infty }} x_i = x_o :\Longleftrightarrow \underset{U \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(x_o)}{\forall} \,\, \underset{i_{_U} \in I}{\exist} \,\, \underset{i \succ i_{_U} }{\forall} x_i \in U </math> === Stetige Verteilung === Bei einer stetigen Verteilung benötigt man Stetigkeit als mathematische Eigenschaft der Verteilungsfunktion Sei <math>F:X \to [0,1]</math> die Verteilungsfunktion: :<math> \lim_{x \to x_o} F(x) = F(x_o) \mbox{ für alle } x_o \in X </math> === Bemerkungen === * Die borelsche σ-Algebra ist stets eindeutig bestimmt. * Eine borelsche σ-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines [[w:de:Messraum (Mathematik)|Messraums]] auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur wird der Raum dann auch Borel-Raum genannt. Es werden jedoch auch andere Messräume als Borel-Räume bezeichnet. * Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden Borel-Mengen genannt. Die Klasse der Borel-Mengen ist eine Unterklasse der Klasse der suslinschen oder auch [[w:de:Analytische Menge|analytischen Mengen]].<ref name="Al" /> == Die borelsche Sigma-Algebra auf den reellen Zahlen == Die Menge <math>\mathbb{R}</math> der reellen Zahlen wird üblicherweise mit der Topologie ausgestattet, die durch die offenen [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervalle]] <math>(a,b)</math> mit [[w:de:Rationale Zahl|rationalen]] Endpunkten <math>a,b\in \mathbb{Q}</math> aufgespannt wird. Damit ist die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra eine [[w:de:separable σ-Algebra|separable σ-Algebra]]. === Weitere Topologien auf den reellen Zahlen === Obwohl man in Einzelfällen auch andere Topologien auf <math>\mathbb{R}</math> betrachtet, gilt diese als die kanonische Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>, und die aus ihr abgeleitete borelsche σ-Algebra wird schlicht als ''die'' borelsche <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet. === Potenzmenge - Borelsche Sigma-Algebra === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> enthält nicht alle Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math>. Es lässt sich sogar zeigen, dass die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> gleichmächtig zu <math>\mathbb{R}</math> ist, während die Menge aller Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math> eine echt größere Mächtigkeit als <math>\mathbb{R}</math> besitzt. === Erzeuger als Mengensystem === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wird nicht direkt definiert, sondern implizit über einen Erzeuger. Dies ist ein vorgegebenes Mengensystem <math> \mathcal{E} </math>, das die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra in dem Sinne erzeugt, dass sie die kleinste σ-Algebra ist, die alle Mengen des Erzeugers erhält. Für Details siehe [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|Erzeuger einer <math>\sigma</math>-Algebra]]. Einige der möglichen Erzeuger sind die folgenden: * <math> \mathcal E_0= \{ A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist offen } \} </math> per Definition * <math> \mathcal E_1= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \}</math> oder <math> \mathcal E_2= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \}</math> * <math> \mathcal E_3= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b \} </math> oder <math> \mathcal E_4= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_5= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \} </math> oder <math> \mathcal E_6= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_7= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_8= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_9= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_{10}= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> Insbesondere existieren offensichtlich mehrere Erzeuger für die borelsche σ-Algebra. Die borelsche σ-Algebra ist aber durch die Angabe eines Erzeugers eindeutig bestimmt. Dabei ist die Wahl des konkreten Erzeugers oft situationsabhängig. Häufig wählt man [[w:de:π-System|durchschnittsstabile Mengensysteme]] als Erzeuger, da bei ihnen nach dem [[w:de:Maßeindeutigkeitssatz|Maßeindeutigkeitssatz]] ein Maß schon durch die Angabe der Werte auf dem Erzeuger eindeutig bestimmt ist. Bei Verwendung von Verteilungsfunktionen bieten sich die Erzeuger <math> \mathcal E_7 </math> bis <math> \mathcal E_{10} </math> an. Für Approximationsargumente werden oft die Intervalle mit rationalen Grenzen verwendet. Insbesondere sind die hier aufgeführten Erzeuger <math> \mathcal E_5 </math> und <math> \mathcal E_6 </math> [[w:de:Halbring (Mengensystem)|Halbringe]] (wenn man jeweils <math>(a,a]:= \emptyset</math> definiert, so dass die Erzeuger die [[w:de:leere Menge|leere Menge]] enthalten). === Enthaltene Mengen === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen sind reichhaltig. Sie enthält * alle [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]], alle [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Mengen]] und alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] * alle Intervalle der Form <math> (a,b), [a,b], (a,b], [a,b) </math> für <math> a,b \in \mathbb{R} </math> sowie <math> (- \infty, b), (- \infty, b], (a, \infty) </math> und <math> [a, \infty) </math> * alle Punktmengen, also Mengen der Form <math> \{a \} </math> für <math> a \in \mathbb{R} </math> und alle endlichen Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> und alle [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar unendlichen]] Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> * Aus den definierenden Eigenschaften von σ-Algebren folgt direkt, dass endliche und abzählbar unendliche Vereinigungen und Schnitte von Borelmengen wieder Borelmengen sind, ebenso die Differenz und das Komplement. * Ist <math> f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} </math> stetig, so sind auch [[w:de:Urbild (Mathematik)|Urbilder]] von Borelmengen wieder Borelmengen, insbesondere also auch [[w:de:Niveaumenge|Niveaumenge]]n, [[w:de:Subniveaumenge|Subniveaumenge]]n und [[w:de:Superniveaumenge|Superniveaumenge]]n. === Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen === Teils werden die reellen Zahlen um die Werte <math> \pm \infty </math> erweitert, man nennt dann entsprechend :<math>\overline{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{+ \infty, - \infty \} </math> die [[w:de:Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]]. Sie treten zum Beispiel bei der Untersuchung von [[w:de:Numerische Funktion|numerischen Funktionen]] auf. Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen wird dann erklärt durch :<math> \mathcal B(\overline{\mathbb{R}}):= \{ A \cup E \mid A \in \mathcal B (\mathbb{R}), \; E \subseteq \{- \infty, \infty\} \} </math>. Sie besteht demnach aus allen Borel-Mengen auf den reellen Zahlen sowie aus diesen Borel-Mengen vereinigt mit <math>\{\infty\}</math>, <math>\{-\infty\}</math> oder <math>\{\infty, -\infty\}</math>. == Weitere borelsche σ-Algebren == === Die borelsche σ-Algebra auf separablen metrischen Räumen === Gegeben sei ein [[w:de:Separabler Raum|separabler]] [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(X,d)</math>. Die offenen Kugeln erzeugen als Basis eine Topologie, diese wird von der Metrik erzeugte Topologie genannt. Jede offene Menge ist aufgrund der Separabilität (welche im metrischen Fall zum zweiten [[w:de:Abzählbarkeitsaxiom|Abzählbarkeitsaxiom]] äquivalent ist) als abzählbare Vereinigung von offenen Kugeln zu schreiben. Die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die die offenen Kugeln enthält, enthält daher alle offenen Mengen und ist somit gleich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra. Auf den Spezialfall <math>X\subseteq\mathbb{R}^n</math> und <math>d</math> die [[w:de:Euklidischer Abstand|euklidische Metrik]] wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen. === Die borelsche σ-Algebra auf endlichdimensionalen reellen Vektorräumen === Auf den endlichdimensionalen Vektorräumen <math>\mathbb{R}^n</math> wird die kanonische Topologie von den <math>n</math>-dimensionalen Quadern <math>(a_1,b_1)\times\dotsb\times (a_n,b_n)</math> mit rationalen Koordinaten <math>a_i</math> und <math>b_i</math> aufgespannt. Sie ist gleichzeitig die <math>n</math>-fache [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]] der kanonischen Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>. Die von ihr erzeugte borelsche σ-Algebra heißt analog zum eindimensionalen Fall die ''borelsche σ-Algebra auf <math>\mathbb{R}^n</math>''. Auf diese Art ist auch elegant die borelsche σ-Algebra der komplexen Zahlen erklärt: Man nutzt einfach die Vektorraumisomorphie zwischen <math>{C}</math> und <math>\mathbb{R}^2</math>. Teilmengen, die nicht zur borelschen σ-Algebra gehören, weisen in der Regel einen intuitiv exotischen Charakter auf. Im dreidimensionalen reellen Raum bilden die Mengen, die beim [[w:de:Banach-Tarski-Paradoxon|Banach-Tarski-Paradoxon]] Verwendung finden, ein Beispiel für solche, nicht zur borelschen σ-Algebra gehörende Teilmengen. == Die borelsche σ-Algebra auf allgemeinen topologischen Räumen == Die Eigenschaften der borelschen σ-Algebra in beliebigen [[w:de:Topologischer Raum|topologischen Räumen]] hängen wesentlich von der Struktur des topologischen Raumes ab. Allgemein lässt sich nur sagen, dass die borelsche σ-Algebra immer alle offenen (per Definition) und alle abgeschlossenen Mengen (aufgrund der Komplementstabilität) enthält. Je mehr Struktur der topologische Raum besitzt, umso mehr Mengen enthält dann auch die borelsche σ-Algebra. Es gilt: * Ist der topologische Raum ein [[w:de:T1-Raum|T1-Raum]], so sind alle einelementigen Mengen in der borelschen σ-Algebra enthalten. Damit sind auch alle endlichen Mengen, alle abzählbar unendlichen Mengen und alle Mengen mit endlichem oder abzählbar unendlichem Komplement in der borelschen σ-Algebra enthalten. * Ist der topologische Raum ein [[w:de:Hausdorff-Raum|Hausdorff-Raum]] (wie zum Beispiel ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]]), so sind alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] abgeschlossen und damit in der borelschen σ-Algebra enthalten. == Produkträume und die borelsche σ-Algebra == Sind zwei topologische Räume <math> (X_1, \mathcal O_1) </math> und <math> (X_2, \mathcal O_2)</math> gegeben, so lässt sich die borelsche σ-Algebra auf zweierlei Arten definieren: * Entweder man bildet den (topologischen) Produktraum <math> X_1 \times X_2 </math>, versehen mit der [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]], hier mit <math> \mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2 </math> bezeichnet. Die borelsche σ-Algebra auf <math> X_1 \times X_2 </math> kann dann als die borelsche σ-Algebra der Produkttopologie definiert werden, also als ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2) := \sigma (\mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2) </math> * oder man bildet zuerst die borelschen σ-Algebren der einzelnen topologischen Räume und dann deren [[w:de:Produkt-σ-Algebra|Produkt-σ-Algebra]], hier mit <math> \otimes </math> bezeichnet: ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2):= \sigma (\mathcal O_1) \otimes \sigma (\mathcal O_2) </math> Tatsächlich stimmen beide Konstruktionen in vielen Fällen überein, auch wenn die Fragestellung auf Familien von topologischen Räumen <math> (X_i)_{i \in I} </math> ausgeweitet wird. Es gilt:<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 115. </ref> : Ist <math> (X_i)_{i \in I} </math> eine abzählbare Familie von topologischen Räumen, von denen jeder eine abzählbare [[w:de:Basis (Topologie)|Basis]] besitzt (also das [[w:de:Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]] erfüllt), und sei <math> X </math> das topologische Produkt all dieser Räume, so ist ::<math> \mathcal B (X)= \bigotimes_{i \in I} \mathcal B (X_i) </math>. Die borelsche σ-Algebra des Produktes ist also die Produkt-σ-Algebra der borelschen σ-Algebren. Die Aussage gilt also insbesondere für alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] metrischen Räume und damit auch für <math> \mathbb{R} </math>. Somit ist :<math> \mathcal B(\mathbb{R}^2)= \mathcal B(\mathbb{R}) \otimes \mathcal B (\mathbb{R}) </math>. == Nomenklatur für bestimmte Borel-Mengen == {{Hauptartikel|Borel-Hierarchie}} * In der Literatur hat sich folgende von [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]] eingeführte Bezeichnung für manche einfache Klassen von Borelmengen durchgesetzt:<ref name="Koe2001">Vladimir Kanovei, Peter Koepke: ''Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre.'' 2001, [http://www.math.uni-bonn.de/people/koepke/Preprints/Deskriptive_Mengenlehre_in_Hausdorffs_Grundzuegen_der_Mengenlehre.pdf uni-bonn.de (pdf; 267&nbsp;kB)].</ref><ref name="Al">Pavel S. Alexandroff: ''Lehrbuch der Mengenlehre.'' 6., überarbeitete Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1994, ISBN 3-8171-1365-X.</ref><ref name="Nat">Isidor P. Natanson: ''Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen.'' Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf Russisch bei [http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3790 INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk]).</ref> :- mit <math>\operatorname F_\sigma</math> werden alle Vereinigungen von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen bezeichnet, :- mit <math>\operatorname G_\delta</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen offenen Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen : usw. : Alle <math>\operatorname F_\sigma</math>, <math>\operatorname G_\delta</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math>,...-Mengen sind Borelmengen. Dieses Schema ermöglicht aber nicht, alle Borelmengen zu beschreiben, weil die Vereinigung von allen diesen Klassen im Allgemeinen bezüglich der Axiome einer <math>\sigma</math>-Algebra noch nicht abgeschlossen ist.<ref name="abz">Bei <math>\mathbb{R}^n</math> z.&nbsp;B. ist es erst unter Zuhilfenahme von transfiniten [[w:de:Ordinalzahl|Ordinalzahl]]en möglich, dieses System auf solche Weise fortzusetzen, dass alle Borelmengen von ihm erfasst werden (s. [[Bairesche Klasse#Verbindung zu den borelschen Mengen|bairesche Klassen: Verbindung zu den borelschen Mengen]]). Es gibt aber auch topologische Räume, in denen bereits allein die <math>\operatorname F_\sigma</math>- und <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen die ganze Klasse der Borelmengen ausschöpfen, wie z.&nbsp;B. in einem [[w:de:T1-Raum|T₁-Raum]] mit abzählbar vielen Punkten. Mehr zu diesem Thema kann in [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]]: ''Mengenlehre.'' 2., neubearbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1927, nachgelesen werden.</ref> * In der [[w:de:Deskriptive Mengenlehre|deskriptiven Mengenlehre]] bezeichnet man die offenen Mengen auch als <math>\Sigma^0_1</math>-Mengen, die <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_2</math>-Mengen, die <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_3</math>-Mengen etc. Komplemente von <math>\Sigma^0_n</math>-Mengen heißen <math>\Pi^0_n</math>-Mengen; so sind etwa die <math>\Pi^0_2</math>-Mengen genau die <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen. == Anwendung == Die Menge <math>\Omega</math> zusammen mit der borelschen σ-Algebra ist ein Messraum und liegt den [[w:de:Borelmaß|Borelmaß]]en als solcher zugrunde. Alle Elemente der borelschen σ-Algebra (die selbst Mengen sind) werden Borel-messbar genannt; nur diesen werden durch ein Borel-Maß Werte zugeordnet. == Siehe auch == * [[w:de:Bairesche σ-Algebra|Bairesche σ-Algebra]] * [[Kurs:Stochastik]] == Einzelnachweise == <references /> == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik]] == Literatur == * Sashi M. Srivastava: ''A course on Borels sets'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 180). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98412-7. * {{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} * {{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Jürgen Elstrodt|Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}} [[Kategorie:Σ-Algebra]] [[Kategorie:Topologie]] [[Kategorie:Maßtheorie]] [[Kategorie:Deskriptive Mengenlehre]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Borelsche_Sigma-Algebra] https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra * Datum: 8.12.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] kqoeqi0y95y06aut9itreyjrf3xey39 1117935 1117934 2026-10-27T16:49:57Z Bert Niehaus 20843 /* Die borelsche σ-Algebra auf endlichdimensionalen reellen Vektorräumen */ 1117935 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''borelsche σ-Algebra''' ist ein [[w:de:Mengensystem|Mengensystem]] in der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] und essentiell für den axiomatischen Aufbau der modernen [[w:de:Stochastik|Stochastik]] und [[w:de:Integralrechnung|Integrationstheorie]]. Die borelsche σ-Algebra ist eine [[w:de:σ-Algebra|σ-Algebra]], die alle Mengen enthält, denen man naiverweise ein Volumen oder eine Wahrscheinlichkeit zuordnen will. === Potenzmenge der reellen Zahlen === Die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] der reellen Zahlen erfüllt in natürlicher Weise die Eigenschaften <math>\sigma</math>-[[w:de:σ-Algebra|-Algebra]]. Allerdings gibt es [[w:de:Teilmenge|Teilmengen]] <math>M\subset \mathbb{R}</math>, die z.B. mit dem [[w:de:Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] nicht [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbar]] ist. === Maßproblem - Potenzmenge === Wenn die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] zu mächtig ist, um darauf ein translationsinvariantes Maß (''nicht Wahrscheinlichkeitsmaß'') zu definieren, dass dem Intervall <math>[a,b]</math> als abgeschlossene Menge die Länge <math>b-a</math> zuordnet, muss die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] <math>\wp(\mathbb{R})</math> erweitert werden kann, muss man ein soches Maß ein "kleineres" Mengensystem von messbaren Mengen verwenden, das zumindest die abgeschlossenen Mengen <math>[a,b]</math> enthält. === Topologie und Sigma-Algebren === Als Anforderung an eine solche <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\mathbb{R}</math> wird einführend festgehalten, dass diese zumindest die abgeschlossenen Intervalle <math>[a,b]</math> enthalten soll. Die Abgeschlossenheit ist ein Begriff aus der [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]], die als Komplement von offenen Mengen definiert werden. Man verlangt für eine solche Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra daher, dass diese zumindest alle offenen Mengen enthält. Über die Komplementstabilität enthält diese "minimale" <math>\sigma</math>-Algebra dann auch alle abgeschlossenen Mengen und damit auch die Intervalle <math>[a,b] \subseteq \mathbb{R}</math>. === Stetige Funktionen und Messbarkeit === Die besondere Bedeutung erhält die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra dadurch, dass sie auf natürliche Weise an die Struktur von [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Räumen]] und damit sowohl an [[w:de:Metrischer Raum|metrische]] <math>(X,d)</math>, [[Normen, Metriken, Topologie|normierte Räume]] <math>(X,\|\cdot \|)</math> oder allgemein [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] <math>(V,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> angepasst ist. Dies zeigt sich unter anderem darin, dass bezüglich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra alle [[w:de:Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] immer [[w:de:Messbare Funktion|messbar]] sind. === Geschichtliche Bemerkung === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden '''Borel-Mengen''', '''borelsche Mengen''' oder auch '''Borel-messbare Mengen''' genannt. Die Namensgebung der σ-Algebra und der Mengen folgt zu Ehren von [[w:de:Émile Borel|Émile Borel]], der sie im Jahre 1898 erstmals implizit verwendete.<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 17. </ref> == Definition - Borelsche Sigma-Algebra == Gegeben sei ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math> (X, \mathcal{T} )</math>, wobei <math> \mathcal{T} </math> das Mengensystem der [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]] ist. Dann heißt die von <math> \mathcal{T} </math> [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|erzeugte -Algebra]] die borelsche σ-Algebra. Sie wird mit <math> \mathcal B (X) </math> bezeichnet oder, wenn die Menge <math> X </math> aus dem Kontext ersichtlich ist, auch als <math> \mathcal B </math>. === Erzeugendensystem der Sigma-Algebra === Die Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra ist die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Man kann die :<math>\mathcal B (X):= \sigma (\mathcal{T} ) := \bigcap_{\mathcal{S} \supseteq \mathcal{T}\, \sigma-Algebra} \mathcal{S} </math> wobei hier <math> \sigma( \cdot) </math> den <math>\sigma</math>-[[w:de:Σ-Algebra#σ-Operator|Operator]] bezeichnet. === Aufgabe 1 - abgeschlossene Menge === Begründen Sie für <math>\mathcal B (X)</math>, warum dieses Mengensystem auch alle abgeschlossenen Mengen enthält. === Konvergenz - Stetigkeit - Verteilungsfunktion === Bei dem Begriff der [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] werden * [[Kurs:Stochastik/diskrete Verteilung|diskrete]], * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|stetige]] und * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|absolut stetige]] Verteilungsfunktionen unterschieden. Um die Stetigkeit als Begriff für eine Abbildung <math>f: X \to Y</math> verwenden zu können, benötigt man im Definitionsbereich <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> und im Wertebereich <math>(Y,\mathcal{T}_Y)</math> jeweils einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]]. === Konvergenz === Aus der reellen Analysis kennt man den Begriff der Konvergenz. Diesen kann man auf unterschiedliche Klassen von topologischen Räumen ausdehnen. * (<math>\mathbb{R}</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{ }{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} | x_n - x_0 | < \varepsilon </math> * (<math>\mathbb{R}^n</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{\|\cdot \|}{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} \| x_n - x_0 \| < \varepsilon </math> * (<math>\mathcal{T}</math> - Topologischer Raum) <math> \stackrel{ \mathcal{T} }{\displaystyle \lim_{ i \to \infty }} x_i = x_o :\Longleftrightarrow \underset{U \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(x_o)}{\forall} \,\, \underset{i_{_U} \in I}{\exist} \,\, \underset{i \succ i_{_U} }{\forall} x_i \in U </math> === Stetige Verteilung === Bei einer stetigen Verteilung benötigt man Stetigkeit als mathematische Eigenschaft der Verteilungsfunktion Sei <math>F:X \to [0,1]</math> die Verteilungsfunktion: :<math> \lim_{x \to x_o} F(x) = F(x_o) \mbox{ für alle } x_o \in X </math> === Bemerkungen === * Die borelsche σ-Algebra ist stets eindeutig bestimmt. * Eine borelsche σ-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines [[w:de:Messraum (Mathematik)|Messraums]] auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur wird der Raum dann auch Borel-Raum genannt. Es werden jedoch auch andere Messräume als Borel-Räume bezeichnet. * Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden Borel-Mengen genannt. Die Klasse der Borel-Mengen ist eine Unterklasse der Klasse der suslinschen oder auch [[w:de:Analytische Menge|analytischen Mengen]].<ref name="Al" /> == Die borelsche Sigma-Algebra auf den reellen Zahlen == Die Menge <math>\mathbb{R}</math> der reellen Zahlen wird üblicherweise mit der Topologie ausgestattet, die durch die offenen [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervalle]] <math>(a,b)</math> mit [[w:de:Rationale Zahl|rationalen]] Endpunkten <math>a,b\in \mathbb{Q}</math> aufgespannt wird. Damit ist die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra eine [[w:de:separable σ-Algebra|separable σ-Algebra]]. === Weitere Topologien auf den reellen Zahlen === Obwohl man in Einzelfällen auch andere Topologien auf <math>\mathbb{R}</math> betrachtet, gilt diese als die kanonische Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>, und die aus ihr abgeleitete borelsche σ-Algebra wird schlicht als ''die'' borelsche <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet. === Potenzmenge - Borelsche Sigma-Algebra === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> enthält nicht alle Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math>. Es lässt sich sogar zeigen, dass die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> gleichmächtig zu <math>\mathbb{R}</math> ist, während die Menge aller Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math> eine echt größere Mächtigkeit als <math>\mathbb{R}</math> besitzt. === Erzeuger als Mengensystem === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wird nicht direkt definiert, sondern implizit über einen Erzeuger. Dies ist ein vorgegebenes Mengensystem <math> \mathcal{E} </math>, das die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra in dem Sinne erzeugt, dass sie die kleinste σ-Algebra ist, die alle Mengen des Erzeugers erhält. Für Details siehe [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|Erzeuger einer <math>\sigma</math>-Algebra]]. Einige der möglichen Erzeuger sind die folgenden: * <math> \mathcal E_0= \{ A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist offen } \} </math> per Definition * <math> \mathcal E_1= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \}</math> oder <math> \mathcal E_2= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \}</math> * <math> \mathcal E_3= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b \} </math> oder <math> \mathcal E_4= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_5= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \} </math> oder <math> \mathcal E_6= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_7= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_8= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_9= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_{10}= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> Insbesondere existieren offensichtlich mehrere Erzeuger für die borelsche σ-Algebra. Die borelsche σ-Algebra ist aber durch die Angabe eines Erzeugers eindeutig bestimmt. Dabei ist die Wahl des konkreten Erzeugers oft situationsabhängig. Häufig wählt man [[w:de:π-System|durchschnittsstabile Mengensysteme]] als Erzeuger, da bei ihnen nach dem [[w:de:Maßeindeutigkeitssatz|Maßeindeutigkeitssatz]] ein Maß schon durch die Angabe der Werte auf dem Erzeuger eindeutig bestimmt ist. Bei Verwendung von Verteilungsfunktionen bieten sich die Erzeuger <math> \mathcal E_7 </math> bis <math> \mathcal E_{10} </math> an. Für Approximationsargumente werden oft die Intervalle mit rationalen Grenzen verwendet. Insbesondere sind die hier aufgeführten Erzeuger <math> \mathcal E_5 </math> und <math> \mathcal E_6 </math> [[w:de:Halbring (Mengensystem)|Halbringe]] (wenn man jeweils <math>(a,a]:= \emptyset</math> definiert, so dass die Erzeuger die [[w:de:leere Menge|leere Menge]] enthalten). === Enthaltene Mengen === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen sind reichhaltig. Sie enthält * alle [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]], alle [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Mengen]] und alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] * alle Intervalle der Form <math> (a,b), [a,b], (a,b], [a,b) </math> für <math> a,b \in \mathbb{R} </math> sowie <math> (- \infty, b), (- \infty, b], (a, \infty) </math> und <math> [a, \infty) </math> * alle Punktmengen, also Mengen der Form <math> \{a \} </math> für <math> a \in \mathbb{R} </math> und alle endlichen Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> und alle [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar unendlichen]] Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> * Aus den definierenden Eigenschaften von σ-Algebren folgt direkt, dass endliche und abzählbar unendliche Vereinigungen und Schnitte von Borelmengen wieder Borelmengen sind, ebenso die Differenz und das Komplement. * Ist <math> f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} </math> stetig, so sind auch [[w:de:Urbild (Mathematik)|Urbilder]] von Borelmengen wieder Borelmengen, insbesondere also auch [[w:de:Niveaumenge|Niveaumenge]]n, [[w:de:Subniveaumenge|Subniveaumenge]]n und [[w:de:Superniveaumenge|Superniveaumenge]]n. === Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen === Teils werden die reellen Zahlen um die Werte <math> \pm \infty </math> erweitert, man nennt dann entsprechend :<math>\overline{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{+ \infty, - \infty \} </math> die [[w:de:Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]]. Sie treten zum Beispiel bei der Untersuchung von [[w:de:Numerische Funktion|numerischen Funktionen]] auf. Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen wird dann erklärt durch :<math> \mathcal B(\overline{\mathbb{R}}):= \{ A \cup E \mid A \in \mathcal B (\mathbb{R}), \; E \subseteq \{- \infty, \infty\} \} </math>. Sie besteht demnach aus allen Borel-Mengen auf den reellen Zahlen sowie aus diesen Borel-Mengen vereinigt mit <math>\{\infty\}</math>, <math>\{-\infty\}</math> oder <math>\{\infty, -\infty\}</math>. == Weitere borelsche σ-Algebren == === Die borelsche σ-Algebra auf separablen metrischen Räumen === Gegeben sei ein [[w:de:Separabler Raum|separabler]] [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(X,d)</math>. Die offenen Kugeln erzeugen als Basis eine Topologie, diese wird von der Metrik erzeugte Topologie genannt. Jede offene Menge ist aufgrund der Separabilität (welche im metrischen Fall zum zweiten [[w:de:Abzählbarkeitsaxiom|Abzählbarkeitsaxiom]] äquivalent ist) als abzählbare Vereinigung von offenen Kugeln zu schreiben. Die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die die offenen Kugeln enthält, enthält daher alle offenen Mengen und ist somit gleich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra. Auf den Spezialfall <math>X\subseteq\mathbb{R}^n</math> und <math>d</math> die [[w:de:Euklidischer Abstand|euklidische Metrik]] wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen. === Die borelsche σ-Algebra auf endlichdimensionalen reellen Vektorräumen === Auf den endlichdimensionalen Vektorräumen <math>\mathbb{R}^n</math> wird die kanonische Topologie von den <math>n</math>-dimensionalen Quadern <math>(a_1,b_1)\times\dotsb\times (a_n,b_n)</math> mit rationalen Koordinaten <math>a_i</math> und <math>b_i</math> aufgespannt. Sie ist gleichzeitig die <math>n</math>-fache [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]] der kanonischen Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>. Die von ihr erzeugte borelsche σ-Algebra heißt analog zum eindimensionalen Fall die ''borelsche σ-Algebra auf <math>\mathbb{R}^n</math>''. === Borelsche Sigma-Algebra über komplexen Zahlen === Auf diese Art ist auch elegant die borelsche σ-Algebra der komplexen Zahlen erklärt: Man nutzt einfach die Vektorraumisomorphie zwischen <math>\mathbb{C}</math> und <math>\mathbb{R}^2</math>. === nicht-borelsche Teilmengen des Grundraums === Teilmengen, die nicht zur borelschen <math>\sigma</math>-Algebra gehören, weisen in der Regel einen intuitiv "exotischen" Charakter auf. Im dreidimensionalen reellen Raum bilden die Mengen, die beim [[w:de:Banach-Tarski-Paradoxon|Banach-Tarski-Paradoxon]] Verwendung finden, ein Beispiel für solche, nicht zur borelschen <math>\sigma</math>-Algebra gehörende Teilmengen. == Die borelsche σ-Algebra auf allgemeinen topologischen Räumen == Die Eigenschaften der borelschen σ-Algebra in beliebigen [[w:de:Topologischer Raum|topologischen Räumen]] hängen wesentlich von der Struktur des topologischen Raumes ab. Allgemein lässt sich nur sagen, dass die borelsche σ-Algebra immer alle offenen (per Definition) und alle abgeschlossenen Mengen (aufgrund der Komplementstabilität) enthält. Je mehr Struktur der topologische Raum besitzt, umso mehr Mengen enthält dann auch die borelsche σ-Algebra. Es gilt: * Ist der topologische Raum ein [[w:de:T1-Raum|T1-Raum]], so sind alle einelementigen Mengen in der borelschen σ-Algebra enthalten. Damit sind auch alle endlichen Mengen, alle abzählbar unendlichen Mengen und alle Mengen mit endlichem oder abzählbar unendlichem Komplement in der borelschen σ-Algebra enthalten. * Ist der topologische Raum ein [[w:de:Hausdorff-Raum|Hausdorff-Raum]] (wie zum Beispiel ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]]), so sind alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] abgeschlossen und damit in der borelschen σ-Algebra enthalten. == Produkträume und die borelsche σ-Algebra == Sind zwei topologische Räume <math> (X_1, \mathcal O_1) </math> und <math> (X_2, \mathcal O_2)</math> gegeben, so lässt sich die borelsche σ-Algebra auf zweierlei Arten definieren: * Entweder man bildet den (topologischen) Produktraum <math> X_1 \times X_2 </math>, versehen mit der [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]], hier mit <math> \mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2 </math> bezeichnet. Die borelsche σ-Algebra auf <math> X_1 \times X_2 </math> kann dann als die borelsche σ-Algebra der Produkttopologie definiert werden, also als ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2) := \sigma (\mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2) </math> * oder man bildet zuerst die borelschen σ-Algebren der einzelnen topologischen Räume und dann deren [[w:de:Produkt-σ-Algebra|Produkt-σ-Algebra]], hier mit <math> \otimes </math> bezeichnet: ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2):= \sigma (\mathcal O_1) \otimes \sigma (\mathcal O_2) </math> Tatsächlich stimmen beide Konstruktionen in vielen Fällen überein, auch wenn die Fragestellung auf Familien von topologischen Räumen <math> (X_i)_{i \in I} </math> ausgeweitet wird. Es gilt:<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 115. </ref> : Ist <math> (X_i)_{i \in I} </math> eine abzählbare Familie von topologischen Räumen, von denen jeder eine abzählbare [[w:de:Basis (Topologie)|Basis]] besitzt (also das [[w:de:Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]] erfüllt), und sei <math> X </math> das topologische Produkt all dieser Räume, so ist ::<math> \mathcal B (X)= \bigotimes_{i \in I} \mathcal B (X_i) </math>. Die borelsche σ-Algebra des Produktes ist also die Produkt-σ-Algebra der borelschen σ-Algebren. Die Aussage gilt also insbesondere für alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] metrischen Räume und damit auch für <math> \mathbb{R} </math>. Somit ist :<math> \mathcal B(\mathbb{R}^2)= \mathcal B(\mathbb{R}) \otimes \mathcal B (\mathbb{R}) </math>. == Nomenklatur für bestimmte Borel-Mengen == {{Hauptartikel|Borel-Hierarchie}} * In der Literatur hat sich folgende von [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]] eingeführte Bezeichnung für manche einfache Klassen von Borelmengen durchgesetzt:<ref name="Koe2001">Vladimir Kanovei, Peter Koepke: ''Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre.'' 2001, [http://www.math.uni-bonn.de/people/koepke/Preprints/Deskriptive_Mengenlehre_in_Hausdorffs_Grundzuegen_der_Mengenlehre.pdf uni-bonn.de (pdf; 267&nbsp;kB)].</ref><ref name="Al">Pavel S. Alexandroff: ''Lehrbuch der Mengenlehre.'' 6., überarbeitete Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1994, ISBN 3-8171-1365-X.</ref><ref name="Nat">Isidor P. Natanson: ''Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen.'' Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf Russisch bei [http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3790 INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk]).</ref> :- mit <math>\operatorname F_\sigma</math> werden alle Vereinigungen von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen bezeichnet, :- mit <math>\operatorname G_\delta</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen offenen Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen : usw. : Alle <math>\operatorname F_\sigma</math>, <math>\operatorname G_\delta</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math>,...-Mengen sind Borelmengen. Dieses Schema ermöglicht aber nicht, alle Borelmengen zu beschreiben, weil die Vereinigung von allen diesen Klassen im Allgemeinen bezüglich der Axiome einer <math>\sigma</math>-Algebra noch nicht abgeschlossen ist.<ref name="abz">Bei <math>\mathbb{R}^n</math> z.&nbsp;B. ist es erst unter Zuhilfenahme von transfiniten [[w:de:Ordinalzahl|Ordinalzahl]]en möglich, dieses System auf solche Weise fortzusetzen, dass alle Borelmengen von ihm erfasst werden (s. [[Bairesche Klasse#Verbindung zu den borelschen Mengen|bairesche Klassen: Verbindung zu den borelschen Mengen]]). Es gibt aber auch topologische Räume, in denen bereits allein die <math>\operatorname F_\sigma</math>- und <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen die ganze Klasse der Borelmengen ausschöpfen, wie z.&nbsp;B. in einem [[w:de:T1-Raum|T₁-Raum]] mit abzählbar vielen Punkten. Mehr zu diesem Thema kann in [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]]: ''Mengenlehre.'' 2., neubearbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1927, nachgelesen werden.</ref> * In der [[w:de:Deskriptive Mengenlehre|deskriptiven Mengenlehre]] bezeichnet man die offenen Mengen auch als <math>\Sigma^0_1</math>-Mengen, die <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_2</math>-Mengen, die <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_3</math>-Mengen etc. Komplemente von <math>\Sigma^0_n</math>-Mengen heißen <math>\Pi^0_n</math>-Mengen; so sind etwa die <math>\Pi^0_2</math>-Mengen genau die <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen. == Anwendung == Die Menge <math>\Omega</math> zusammen mit der borelschen σ-Algebra ist ein Messraum und liegt den [[w:de:Borelmaß|Borelmaß]]en als solcher zugrunde. Alle Elemente der borelschen σ-Algebra (die selbst Mengen sind) werden Borel-messbar genannt; nur diesen werden durch ein Borel-Maß Werte zugeordnet. == Siehe auch == * [[w:de:Bairesche σ-Algebra|Bairesche σ-Algebra]] * [[Kurs:Stochastik]] == Einzelnachweise == <references /> == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik]] == Literatur == * Sashi M. Srivastava: ''A course on Borels sets'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 180). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98412-7. * {{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} * {{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Jürgen Elstrodt|Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}} [[Kategorie:Σ-Algebra]] [[Kategorie:Topologie]] [[Kategorie:Maßtheorie]] [[Kategorie:Deskriptive Mengenlehre]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Borelsche_Sigma-Algebra] https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra * Datum: 8.12.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] iawobsxo5ap3q7gfe21cg1ira0hfi4d 1117936 1117935 2026-10-27T16:50:12Z Bert Niehaus 20843 /* nicht-borelsche Teilmengen des Grundraums */ 1117936 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''borelsche σ-Algebra''' ist ein [[w:de:Mengensystem|Mengensystem]] in der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] und essentiell für den axiomatischen Aufbau der modernen [[w:de:Stochastik|Stochastik]] und [[w:de:Integralrechnung|Integrationstheorie]]. Die borelsche σ-Algebra ist eine [[w:de:σ-Algebra|σ-Algebra]], die alle Mengen enthält, denen man naiverweise ein Volumen oder eine Wahrscheinlichkeit zuordnen will. === Potenzmenge der reellen Zahlen === Die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] der reellen Zahlen erfüllt in natürlicher Weise die Eigenschaften <math>\sigma</math>-[[w:de:σ-Algebra|-Algebra]]. Allerdings gibt es [[w:de:Teilmenge|Teilmengen]] <math>M\subset \mathbb{R}</math>, die z.B. mit dem [[w:de:Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] nicht [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbar]] ist. === Maßproblem - Potenzmenge === Wenn die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] zu mächtig ist, um darauf ein translationsinvariantes Maß (''nicht Wahrscheinlichkeitsmaß'') zu definieren, dass dem Intervall <math>[a,b]</math> als abgeschlossene Menge die Länge <math>b-a</math> zuordnet, muss die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] <math>\wp(\mathbb{R})</math> erweitert werden kann, muss man ein soches Maß ein "kleineres" Mengensystem von messbaren Mengen verwenden, das zumindest die abgeschlossenen Mengen <math>[a,b]</math> enthält. === Topologie und Sigma-Algebren === Als Anforderung an eine solche <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\mathbb{R}</math> wird einführend festgehalten, dass diese zumindest die abgeschlossenen Intervalle <math>[a,b]</math> enthalten soll. Die Abgeschlossenheit ist ein Begriff aus der [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]], die als Komplement von offenen Mengen definiert werden. Man verlangt für eine solche Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra daher, dass diese zumindest alle offenen Mengen enthält. Über die Komplementstabilität enthält diese "minimale" <math>\sigma</math>-Algebra dann auch alle abgeschlossenen Mengen und damit auch die Intervalle <math>[a,b] \subseteq \mathbb{R}</math>. === Stetige Funktionen und Messbarkeit === Die besondere Bedeutung erhält die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra dadurch, dass sie auf natürliche Weise an die Struktur von [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Räumen]] und damit sowohl an [[w:de:Metrischer Raum|metrische]] <math>(X,d)</math>, [[Normen, Metriken, Topologie|normierte Räume]] <math>(X,\|\cdot \|)</math> oder allgemein [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] <math>(V,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> angepasst ist. Dies zeigt sich unter anderem darin, dass bezüglich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra alle [[w:de:Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] immer [[w:de:Messbare Funktion|messbar]] sind. === Geschichtliche Bemerkung === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden '''Borel-Mengen''', '''borelsche Mengen''' oder auch '''Borel-messbare Mengen''' genannt. Die Namensgebung der σ-Algebra und der Mengen folgt zu Ehren von [[w:de:Émile Borel|Émile Borel]], der sie im Jahre 1898 erstmals implizit verwendete.<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 17. </ref> == Definition - Borelsche Sigma-Algebra == Gegeben sei ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math> (X, \mathcal{T} )</math>, wobei <math> \mathcal{T} </math> das Mengensystem der [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]] ist. Dann heißt die von <math> \mathcal{T} </math> [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|erzeugte -Algebra]] die borelsche σ-Algebra. Sie wird mit <math> \mathcal B (X) </math> bezeichnet oder, wenn die Menge <math> X </math> aus dem Kontext ersichtlich ist, auch als <math> \mathcal B </math>. === Erzeugendensystem der Sigma-Algebra === Die Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra ist die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Man kann die :<math>\mathcal B (X):= \sigma (\mathcal{T} ) := \bigcap_{\mathcal{S} \supseteq \mathcal{T}\, \sigma-Algebra} \mathcal{S} </math> wobei hier <math> \sigma( \cdot) </math> den <math>\sigma</math>-[[w:de:Σ-Algebra#σ-Operator|Operator]] bezeichnet. === Aufgabe 1 - abgeschlossene Menge === Begründen Sie für <math>\mathcal B (X)</math>, warum dieses Mengensystem auch alle abgeschlossenen Mengen enthält. === Konvergenz - Stetigkeit - Verteilungsfunktion === Bei dem Begriff der [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] werden * [[Kurs:Stochastik/diskrete Verteilung|diskrete]], * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|stetige]] und * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|absolut stetige]] Verteilungsfunktionen unterschieden. Um die Stetigkeit als Begriff für eine Abbildung <math>f: X \to Y</math> verwenden zu können, benötigt man im Definitionsbereich <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> und im Wertebereich <math>(Y,\mathcal{T}_Y)</math> jeweils einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]]. === Konvergenz === Aus der reellen Analysis kennt man den Begriff der Konvergenz. Diesen kann man auf unterschiedliche Klassen von topologischen Räumen ausdehnen. * (<math>\mathbb{R}</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{ }{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} | x_n - x_0 | < \varepsilon </math> * (<math>\mathbb{R}^n</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{\|\cdot \|}{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} \| x_n - x_0 \| < \varepsilon </math> * (<math>\mathcal{T}</math> - Topologischer Raum) <math> \stackrel{ \mathcal{T} }{\displaystyle \lim_{ i \to \infty }} x_i = x_o :\Longleftrightarrow \underset{U \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(x_o)}{\forall} \,\, \underset{i_{_U} \in I}{\exist} \,\, \underset{i \succ i_{_U} }{\forall} x_i \in U </math> === Stetige Verteilung === Bei einer stetigen Verteilung benötigt man Stetigkeit als mathematische Eigenschaft der Verteilungsfunktion Sei <math>F:X \to [0,1]</math> die Verteilungsfunktion: :<math> \lim_{x \to x_o} F(x) = F(x_o) \mbox{ für alle } x_o \in X </math> === Bemerkungen === * Die borelsche σ-Algebra ist stets eindeutig bestimmt. * Eine borelsche σ-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines [[w:de:Messraum (Mathematik)|Messraums]] auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur wird der Raum dann auch Borel-Raum genannt. Es werden jedoch auch andere Messräume als Borel-Räume bezeichnet. * Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden Borel-Mengen genannt. Die Klasse der Borel-Mengen ist eine Unterklasse der Klasse der suslinschen oder auch [[w:de:Analytische Menge|analytischen Mengen]].<ref name="Al" /> == Die borelsche Sigma-Algebra auf den reellen Zahlen == Die Menge <math>\mathbb{R}</math> der reellen Zahlen wird üblicherweise mit der Topologie ausgestattet, die durch die offenen [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervalle]] <math>(a,b)</math> mit [[w:de:Rationale Zahl|rationalen]] Endpunkten <math>a,b\in \mathbb{Q}</math> aufgespannt wird. Damit ist die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra eine [[w:de:separable σ-Algebra|separable σ-Algebra]]. === Weitere Topologien auf den reellen Zahlen === Obwohl man in Einzelfällen auch andere Topologien auf <math>\mathbb{R}</math> betrachtet, gilt diese als die kanonische Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>, und die aus ihr abgeleitete borelsche σ-Algebra wird schlicht als ''die'' borelsche <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet. === Potenzmenge - Borelsche Sigma-Algebra === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> enthält nicht alle Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math>. Es lässt sich sogar zeigen, dass die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> gleichmächtig zu <math>\mathbb{R}</math> ist, während die Menge aller Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math> eine echt größere Mächtigkeit als <math>\mathbb{R}</math> besitzt. === Erzeuger als Mengensystem === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wird nicht direkt definiert, sondern implizit über einen Erzeuger. Dies ist ein vorgegebenes Mengensystem <math> \mathcal{E} </math>, das die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra in dem Sinne erzeugt, dass sie die kleinste σ-Algebra ist, die alle Mengen des Erzeugers erhält. Für Details siehe [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|Erzeuger einer <math>\sigma</math>-Algebra]]. Einige der möglichen Erzeuger sind die folgenden: * <math> \mathcal E_0= \{ A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist offen } \} </math> per Definition * <math> \mathcal E_1= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \}</math> oder <math> \mathcal E_2= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \}</math> * <math> \mathcal E_3= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b \} </math> oder <math> \mathcal E_4= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_5= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \} </math> oder <math> \mathcal E_6= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_7= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_8= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_9= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_{10}= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> Insbesondere existieren offensichtlich mehrere Erzeuger für die borelsche σ-Algebra. Die borelsche σ-Algebra ist aber durch die Angabe eines Erzeugers eindeutig bestimmt. Dabei ist die Wahl des konkreten Erzeugers oft situationsabhängig. Häufig wählt man [[w:de:π-System|durchschnittsstabile Mengensysteme]] als Erzeuger, da bei ihnen nach dem [[w:de:Maßeindeutigkeitssatz|Maßeindeutigkeitssatz]] ein Maß schon durch die Angabe der Werte auf dem Erzeuger eindeutig bestimmt ist. Bei Verwendung von Verteilungsfunktionen bieten sich die Erzeuger <math> \mathcal E_7 </math> bis <math> \mathcal E_{10} </math> an. Für Approximationsargumente werden oft die Intervalle mit rationalen Grenzen verwendet. Insbesondere sind die hier aufgeführten Erzeuger <math> \mathcal E_5 </math> und <math> \mathcal E_6 </math> [[w:de:Halbring (Mengensystem)|Halbringe]] (wenn man jeweils <math>(a,a]:= \emptyset</math> definiert, so dass die Erzeuger die [[w:de:leere Menge|leere Menge]] enthalten). === Enthaltene Mengen === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen sind reichhaltig. Sie enthält * alle [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]], alle [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Mengen]] und alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] * alle Intervalle der Form <math> (a,b), [a,b], (a,b], [a,b) </math> für <math> a,b \in \mathbb{R} </math> sowie <math> (- \infty, b), (- \infty, b], (a, \infty) </math> und <math> [a, \infty) </math> * alle Punktmengen, also Mengen der Form <math> \{a \} </math> für <math> a \in \mathbb{R} </math> und alle endlichen Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> und alle [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar unendlichen]] Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> * Aus den definierenden Eigenschaften von σ-Algebren folgt direkt, dass endliche und abzählbar unendliche Vereinigungen und Schnitte von Borelmengen wieder Borelmengen sind, ebenso die Differenz und das Komplement. * Ist <math> f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} </math> stetig, so sind auch [[w:de:Urbild (Mathematik)|Urbilder]] von Borelmengen wieder Borelmengen, insbesondere also auch [[w:de:Niveaumenge|Niveaumenge]]n, [[w:de:Subniveaumenge|Subniveaumenge]]n und [[w:de:Superniveaumenge|Superniveaumenge]]n. === Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen === Teils werden die reellen Zahlen um die Werte <math> \pm \infty </math> erweitert, man nennt dann entsprechend :<math>\overline{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{+ \infty, - \infty \} </math> die [[w:de:Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]]. Sie treten zum Beispiel bei der Untersuchung von [[w:de:Numerische Funktion|numerischen Funktionen]] auf. Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen wird dann erklärt durch :<math> \mathcal B(\overline{\mathbb{R}}):= \{ A \cup E \mid A \in \mathcal B (\mathbb{R}), \; E \subseteq \{- \infty, \infty\} \} </math>. Sie besteht demnach aus allen Borel-Mengen auf den reellen Zahlen sowie aus diesen Borel-Mengen vereinigt mit <math>\{\infty\}</math>, <math>\{-\infty\}</math> oder <math>\{\infty, -\infty\}</math>. == Weitere borelsche σ-Algebren == === Die borelsche σ-Algebra auf separablen metrischen Räumen === Gegeben sei ein [[w:de:Separabler Raum|separabler]] [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(X,d)</math>. Die offenen Kugeln erzeugen als Basis eine Topologie, diese wird von der Metrik erzeugte Topologie genannt. Jede offene Menge ist aufgrund der Separabilität (welche im metrischen Fall zum zweiten [[w:de:Abzählbarkeitsaxiom|Abzählbarkeitsaxiom]] äquivalent ist) als abzählbare Vereinigung von offenen Kugeln zu schreiben. Die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die die offenen Kugeln enthält, enthält daher alle offenen Mengen und ist somit gleich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra. Auf den Spezialfall <math>X\subseteq\mathbb{R}^n</math> und <math>d</math> die [[w:de:Euklidischer Abstand|euklidische Metrik]] wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen. === Die borelsche σ-Algebra auf endlichdimensionalen reellen Vektorräumen === Auf den endlichdimensionalen Vektorräumen <math>\mathbb{R}^n</math> wird die kanonische Topologie von den <math>n</math>-dimensionalen Quadern <math>(a_1,b_1)\times\dotsb\times (a_n,b_n)</math> mit rationalen Koordinaten <math>a_i</math> und <math>b_i</math> aufgespannt. Sie ist gleichzeitig die <math>n</math>-fache [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]] der kanonischen Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>. Die von ihr erzeugte borelsche σ-Algebra heißt analog zum eindimensionalen Fall die ''borelsche σ-Algebra auf <math>\mathbb{R}^n</math>''. === Borelsche Sigma-Algebra über komplexen Zahlen === Auf diese Art ist auch elegant die borelsche σ-Algebra der komplexen Zahlen erklärt: Man nutzt einfach die Vektorraumisomorphie zwischen <math>\mathbb{C}</math> und <math>\mathbb{R}^2</math>. === Nicht-borelsche Teilmengen des Grundraums === Teilmengen, die nicht zur borelschen <math>\sigma</math>-Algebra gehören, weisen in der Regel einen intuitiv "exotischen" Charakter auf. Im dreidimensionalen reellen Raum bilden die Mengen, die beim [[w:de:Banach-Tarski-Paradoxon|Banach-Tarski-Paradoxon]] Verwendung finden, ein Beispiel für solche, nicht zur borelschen <math>\sigma</math>-Algebra gehörende Teilmengen. == Die borelsche σ-Algebra auf allgemeinen topologischen Räumen == Die Eigenschaften der borelschen σ-Algebra in beliebigen [[w:de:Topologischer Raum|topologischen Räumen]] hängen wesentlich von der Struktur des topologischen Raumes ab. Allgemein lässt sich nur sagen, dass die borelsche σ-Algebra immer alle offenen (per Definition) und alle abgeschlossenen Mengen (aufgrund der Komplementstabilität) enthält. Je mehr Struktur der topologische Raum besitzt, umso mehr Mengen enthält dann auch die borelsche σ-Algebra. Es gilt: * Ist der topologische Raum ein [[w:de:T1-Raum|T1-Raum]], so sind alle einelementigen Mengen in der borelschen σ-Algebra enthalten. Damit sind auch alle endlichen Mengen, alle abzählbar unendlichen Mengen und alle Mengen mit endlichem oder abzählbar unendlichem Komplement in der borelschen σ-Algebra enthalten. * Ist der topologische Raum ein [[w:de:Hausdorff-Raum|Hausdorff-Raum]] (wie zum Beispiel ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]]), so sind alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] abgeschlossen und damit in der borelschen σ-Algebra enthalten. == Produkträume und die borelsche σ-Algebra == Sind zwei topologische Räume <math> (X_1, \mathcal O_1) </math> und <math> (X_2, \mathcal O_2)</math> gegeben, so lässt sich die borelsche σ-Algebra auf zweierlei Arten definieren: * Entweder man bildet den (topologischen) Produktraum <math> X_1 \times X_2 </math>, versehen mit der [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]], hier mit <math> \mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2 </math> bezeichnet. Die borelsche σ-Algebra auf <math> X_1 \times X_2 </math> kann dann als die borelsche σ-Algebra der Produkttopologie definiert werden, also als ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2) := \sigma (\mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2) </math> * oder man bildet zuerst die borelschen σ-Algebren der einzelnen topologischen Räume und dann deren [[w:de:Produkt-σ-Algebra|Produkt-σ-Algebra]], hier mit <math> \otimes </math> bezeichnet: ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2):= \sigma (\mathcal O_1) \otimes \sigma (\mathcal O_2) </math> Tatsächlich stimmen beide Konstruktionen in vielen Fällen überein, auch wenn die Fragestellung auf Familien von topologischen Räumen <math> (X_i)_{i \in I} </math> ausgeweitet wird. Es gilt:<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 115. </ref> : Ist <math> (X_i)_{i \in I} </math> eine abzählbare Familie von topologischen Räumen, von denen jeder eine abzählbare [[w:de:Basis (Topologie)|Basis]] besitzt (also das [[w:de:Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]] erfüllt), und sei <math> X </math> das topologische Produkt all dieser Räume, so ist ::<math> \mathcal B (X)= \bigotimes_{i \in I} \mathcal B (X_i) </math>. Die borelsche σ-Algebra des Produktes ist also die Produkt-σ-Algebra der borelschen σ-Algebren. Die Aussage gilt also insbesondere für alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] metrischen Räume und damit auch für <math> \mathbb{R} </math>. Somit ist :<math> \mathcal B(\mathbb{R}^2)= \mathcal B(\mathbb{R}) \otimes \mathcal B (\mathbb{R}) </math>. == Nomenklatur für bestimmte Borel-Mengen == {{Hauptartikel|Borel-Hierarchie}} * In der Literatur hat sich folgende von [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]] eingeführte Bezeichnung für manche einfache Klassen von Borelmengen durchgesetzt:<ref name="Koe2001">Vladimir Kanovei, Peter Koepke: ''Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre.'' 2001, [http://www.math.uni-bonn.de/people/koepke/Preprints/Deskriptive_Mengenlehre_in_Hausdorffs_Grundzuegen_der_Mengenlehre.pdf uni-bonn.de (pdf; 267&nbsp;kB)].</ref><ref name="Al">Pavel S. Alexandroff: ''Lehrbuch der Mengenlehre.'' 6., überarbeitete Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1994, ISBN 3-8171-1365-X.</ref><ref name="Nat">Isidor P. Natanson: ''Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen.'' Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf Russisch bei [http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3790 INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk]).</ref> :- mit <math>\operatorname F_\sigma</math> werden alle Vereinigungen von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen bezeichnet, :- mit <math>\operatorname G_\delta</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen offenen Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen : usw. : Alle <math>\operatorname F_\sigma</math>, <math>\operatorname G_\delta</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math>,...-Mengen sind Borelmengen. Dieses Schema ermöglicht aber nicht, alle Borelmengen zu beschreiben, weil die Vereinigung von allen diesen Klassen im Allgemeinen bezüglich der Axiome einer <math>\sigma</math>-Algebra noch nicht abgeschlossen ist.<ref name="abz">Bei <math>\mathbb{R}^n</math> z.&nbsp;B. ist es erst unter Zuhilfenahme von transfiniten [[w:de:Ordinalzahl|Ordinalzahl]]en möglich, dieses System auf solche Weise fortzusetzen, dass alle Borelmengen von ihm erfasst werden (s. [[Bairesche Klasse#Verbindung zu den borelschen Mengen|bairesche Klassen: Verbindung zu den borelschen Mengen]]). Es gibt aber auch topologische Räume, in denen bereits allein die <math>\operatorname F_\sigma</math>- und <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen die ganze Klasse der Borelmengen ausschöpfen, wie z.&nbsp;B. in einem [[w:de:T1-Raum|T₁-Raum]] mit abzählbar vielen Punkten. Mehr zu diesem Thema kann in [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]]: ''Mengenlehre.'' 2., neubearbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1927, nachgelesen werden.</ref> * In der [[w:de:Deskriptive Mengenlehre|deskriptiven Mengenlehre]] bezeichnet man die offenen Mengen auch als <math>\Sigma^0_1</math>-Mengen, die <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_2</math>-Mengen, die <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_3</math>-Mengen etc. Komplemente von <math>\Sigma^0_n</math>-Mengen heißen <math>\Pi^0_n</math>-Mengen; so sind etwa die <math>\Pi^0_2</math>-Mengen genau die <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen. == Anwendung == Die Menge <math>\Omega</math> zusammen mit der borelschen σ-Algebra ist ein Messraum und liegt den [[w:de:Borelmaß|Borelmaß]]en als solcher zugrunde. Alle Elemente der borelschen σ-Algebra (die selbst Mengen sind) werden Borel-messbar genannt; nur diesen werden durch ein Borel-Maß Werte zugeordnet. == Siehe auch == * [[w:de:Bairesche σ-Algebra|Bairesche σ-Algebra]] * [[Kurs:Stochastik]] == Einzelnachweise == <references /> == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik]] == Literatur == * Sashi M. Srivastava: ''A course on Borels sets'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 180). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98412-7. * {{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} * {{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Jürgen Elstrodt|Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}} [[Kategorie:Σ-Algebra]] [[Kategorie:Topologie]] [[Kategorie:Maßtheorie]] [[Kategorie:Deskriptive Mengenlehre]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Borelsche_Sigma-Algebra] https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra * Datum: 8.12.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] ks1brkggm1yc62o5xdf2er2cciuwnbb 1117937 1117936 2026-10-27T16:52:24Z Bert Niehaus 20843 /* Die borelsche σ-Algebra auf allgemeinen topologischen Räumen */ 1117937 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''borelsche σ-Algebra''' ist ein [[w:de:Mengensystem|Mengensystem]] in der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] und essentiell für den axiomatischen Aufbau der modernen [[w:de:Stochastik|Stochastik]] und [[w:de:Integralrechnung|Integrationstheorie]]. Die borelsche σ-Algebra ist eine [[w:de:σ-Algebra|σ-Algebra]], die alle Mengen enthält, denen man naiverweise ein Volumen oder eine Wahrscheinlichkeit zuordnen will. === Potenzmenge der reellen Zahlen === Die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] der reellen Zahlen erfüllt in natürlicher Weise die Eigenschaften <math>\sigma</math>-[[w:de:σ-Algebra|-Algebra]]. Allerdings gibt es [[w:de:Teilmenge|Teilmengen]] <math>M\subset \mathbb{R}</math>, die z.B. mit dem [[w:de:Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] nicht [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbar]] ist. === Maßproblem - Potenzmenge === Wenn die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] zu mächtig ist, um darauf ein translationsinvariantes Maß (''nicht Wahrscheinlichkeitsmaß'') zu definieren, dass dem Intervall <math>[a,b]</math> als abgeschlossene Menge die Länge <math>b-a</math> zuordnet, muss die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] <math>\wp(\mathbb{R})</math> erweitert werden kann, muss man ein soches Maß ein "kleineres" Mengensystem von messbaren Mengen verwenden, das zumindest die abgeschlossenen Mengen <math>[a,b]</math> enthält. === Topologie und Sigma-Algebren === Als Anforderung an eine solche <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\mathbb{R}</math> wird einführend festgehalten, dass diese zumindest die abgeschlossenen Intervalle <math>[a,b]</math> enthalten soll. Die Abgeschlossenheit ist ein Begriff aus der [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]], die als Komplement von offenen Mengen definiert werden. Man verlangt für eine solche Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra daher, dass diese zumindest alle offenen Mengen enthält. Über die Komplementstabilität enthält diese "minimale" <math>\sigma</math>-Algebra dann auch alle abgeschlossenen Mengen und damit auch die Intervalle <math>[a,b] \subseteq \mathbb{R}</math>. === Stetige Funktionen und Messbarkeit === Die besondere Bedeutung erhält die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra dadurch, dass sie auf natürliche Weise an die Struktur von [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Räumen]] und damit sowohl an [[w:de:Metrischer Raum|metrische]] <math>(X,d)</math>, [[Normen, Metriken, Topologie|normierte Räume]] <math>(X,\|\cdot \|)</math> oder allgemein [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] <math>(V,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> angepasst ist. Dies zeigt sich unter anderem darin, dass bezüglich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra alle [[w:de:Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] immer [[w:de:Messbare Funktion|messbar]] sind. === Geschichtliche Bemerkung === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden '''Borel-Mengen''', '''borelsche Mengen''' oder auch '''Borel-messbare Mengen''' genannt. Die Namensgebung der σ-Algebra und der Mengen folgt zu Ehren von [[w:de:Émile Borel|Émile Borel]], der sie im Jahre 1898 erstmals implizit verwendete.<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 17. </ref> == Definition - Borelsche Sigma-Algebra == Gegeben sei ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math> (X, \mathcal{T} )</math>, wobei <math> \mathcal{T} </math> das Mengensystem der [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]] ist. Dann heißt die von <math> \mathcal{T} </math> [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|erzeugte -Algebra]] die borelsche σ-Algebra. Sie wird mit <math> \mathcal B (X) </math> bezeichnet oder, wenn die Menge <math> X </math> aus dem Kontext ersichtlich ist, auch als <math> \mathcal B </math>. === Erzeugendensystem der Sigma-Algebra === Die Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra ist die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Man kann die :<math>\mathcal B (X):= \sigma (\mathcal{T} ) := \bigcap_{\mathcal{S} \supseteq \mathcal{T}\, \sigma-Algebra} \mathcal{S} </math> wobei hier <math> \sigma( \cdot) </math> den <math>\sigma</math>-[[w:de:Σ-Algebra#σ-Operator|Operator]] bezeichnet. === Aufgabe 1 - abgeschlossene Menge === Begründen Sie für <math>\mathcal B (X)</math>, warum dieses Mengensystem auch alle abgeschlossenen Mengen enthält. === Konvergenz - Stetigkeit - Verteilungsfunktion === Bei dem Begriff der [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] werden * [[Kurs:Stochastik/diskrete Verteilung|diskrete]], * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|stetige]] und * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|absolut stetige]] Verteilungsfunktionen unterschieden. Um die Stetigkeit als Begriff für eine Abbildung <math>f: X \to Y</math> verwenden zu können, benötigt man im Definitionsbereich <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> und im Wertebereich <math>(Y,\mathcal{T}_Y)</math> jeweils einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]]. === Konvergenz === Aus der reellen Analysis kennt man den Begriff der Konvergenz. Diesen kann man auf unterschiedliche Klassen von topologischen Räumen ausdehnen. * (<math>\mathbb{R}</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{ }{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} | x_n - x_0 | < \varepsilon </math> * (<math>\mathbb{R}^n</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{\|\cdot \|}{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} \| x_n - x_0 \| < \varepsilon </math> * (<math>\mathcal{T}</math> - Topologischer Raum) <math> \stackrel{ \mathcal{T} }{\displaystyle \lim_{ i \to \infty }} x_i = x_o :\Longleftrightarrow \underset{U \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(x_o)}{\forall} \,\, \underset{i_{_U} \in I}{\exist} \,\, \underset{i \succ i_{_U} }{\forall} x_i \in U </math> === Stetige Verteilung === Bei einer stetigen Verteilung benötigt man Stetigkeit als mathematische Eigenschaft der Verteilungsfunktion Sei <math>F:X \to [0,1]</math> die Verteilungsfunktion: :<math> \lim_{x \to x_o} F(x) = F(x_o) \mbox{ für alle } x_o \in X </math> === Bemerkungen === * Die borelsche σ-Algebra ist stets eindeutig bestimmt. * Eine borelsche σ-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines [[w:de:Messraum (Mathematik)|Messraums]] auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur wird der Raum dann auch Borel-Raum genannt. Es werden jedoch auch andere Messräume als Borel-Räume bezeichnet. * Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden Borel-Mengen genannt. Die Klasse der Borel-Mengen ist eine Unterklasse der Klasse der suslinschen oder auch [[w:de:Analytische Menge|analytischen Mengen]].<ref name="Al" /> == Die borelsche Sigma-Algebra auf den reellen Zahlen == Die Menge <math>\mathbb{R}</math> der reellen Zahlen wird üblicherweise mit der Topologie ausgestattet, die durch die offenen [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervalle]] <math>(a,b)</math> mit [[w:de:Rationale Zahl|rationalen]] Endpunkten <math>a,b\in \mathbb{Q}</math> aufgespannt wird. Damit ist die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra eine [[w:de:separable σ-Algebra|separable σ-Algebra]]. === Weitere Topologien auf den reellen Zahlen === Obwohl man in Einzelfällen auch andere Topologien auf <math>\mathbb{R}</math> betrachtet, gilt diese als die kanonische Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>, und die aus ihr abgeleitete borelsche σ-Algebra wird schlicht als ''die'' borelsche <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet. === Potenzmenge - Borelsche Sigma-Algebra === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> enthält nicht alle Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math>. Es lässt sich sogar zeigen, dass die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> gleichmächtig zu <math>\mathbb{R}</math> ist, während die Menge aller Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math> eine echt größere Mächtigkeit als <math>\mathbb{R}</math> besitzt. === Erzeuger als Mengensystem === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wird nicht direkt definiert, sondern implizit über einen Erzeuger. Dies ist ein vorgegebenes Mengensystem <math> \mathcal{E} </math>, das die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra in dem Sinne erzeugt, dass sie die kleinste σ-Algebra ist, die alle Mengen des Erzeugers erhält. Für Details siehe [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|Erzeuger einer <math>\sigma</math>-Algebra]]. Einige der möglichen Erzeuger sind die folgenden: * <math> \mathcal E_0= \{ A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist offen } \} </math> per Definition * <math> \mathcal E_1= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \}</math> oder <math> \mathcal E_2= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \}</math> * <math> \mathcal E_3= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b \} </math> oder <math> \mathcal E_4= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_5= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \} </math> oder <math> \mathcal E_6= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_7= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_8= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_9= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_{10}= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> Insbesondere existieren offensichtlich mehrere Erzeuger für die borelsche σ-Algebra. Die borelsche σ-Algebra ist aber durch die Angabe eines Erzeugers eindeutig bestimmt. Dabei ist die Wahl des konkreten Erzeugers oft situationsabhängig. Häufig wählt man [[w:de:π-System|durchschnittsstabile Mengensysteme]] als Erzeuger, da bei ihnen nach dem [[w:de:Maßeindeutigkeitssatz|Maßeindeutigkeitssatz]] ein Maß schon durch die Angabe der Werte auf dem Erzeuger eindeutig bestimmt ist. Bei Verwendung von Verteilungsfunktionen bieten sich die Erzeuger <math> \mathcal E_7 </math> bis <math> \mathcal E_{10} </math> an. Für Approximationsargumente werden oft die Intervalle mit rationalen Grenzen verwendet. Insbesondere sind die hier aufgeführten Erzeuger <math> \mathcal E_5 </math> und <math> \mathcal E_6 </math> [[w:de:Halbring (Mengensystem)|Halbringe]] (wenn man jeweils <math>(a,a]:= \emptyset</math> definiert, so dass die Erzeuger die [[w:de:leere Menge|leere Menge]] enthalten). === Enthaltene Mengen === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen sind reichhaltig. Sie enthält * alle [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]], alle [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Mengen]] und alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] * alle Intervalle der Form <math> (a,b), [a,b], (a,b], [a,b) </math> für <math> a,b \in \mathbb{R} </math> sowie <math> (- \infty, b), (- \infty, b], (a, \infty) </math> und <math> [a, \infty) </math> * alle Punktmengen, also Mengen der Form <math> \{a \} </math> für <math> a \in \mathbb{R} </math> und alle endlichen Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> und alle [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar unendlichen]] Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> * Aus den definierenden Eigenschaften von σ-Algebren folgt direkt, dass endliche und abzählbar unendliche Vereinigungen und Schnitte von Borelmengen wieder Borelmengen sind, ebenso die Differenz und das Komplement. * Ist <math> f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} </math> stetig, so sind auch [[w:de:Urbild (Mathematik)|Urbilder]] von Borelmengen wieder Borelmengen, insbesondere also auch [[w:de:Niveaumenge|Niveaumenge]]n, [[w:de:Subniveaumenge|Subniveaumenge]]n und [[w:de:Superniveaumenge|Superniveaumenge]]n. === Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen === Teils werden die reellen Zahlen um die Werte <math> \pm \infty </math> erweitert, man nennt dann entsprechend :<math>\overline{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{+ \infty, - \infty \} </math> die [[w:de:Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]]. Sie treten zum Beispiel bei der Untersuchung von [[w:de:Numerische Funktion|numerischen Funktionen]] auf. Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen wird dann erklärt durch :<math> \mathcal B(\overline{\mathbb{R}}):= \{ A \cup E \mid A \in \mathcal B (\mathbb{R}), \; E \subseteq \{- \infty, \infty\} \} </math>. Sie besteht demnach aus allen Borel-Mengen auf den reellen Zahlen sowie aus diesen Borel-Mengen vereinigt mit <math>\{\infty\}</math>, <math>\{-\infty\}</math> oder <math>\{\infty, -\infty\}</math>. == Weitere borelsche σ-Algebren == === Die borelsche σ-Algebra auf separablen metrischen Räumen === Gegeben sei ein [[w:de:Separabler Raum|separabler]] [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(X,d)</math>. Die offenen Kugeln erzeugen als Basis eine Topologie, diese wird von der Metrik erzeugte Topologie genannt. Jede offene Menge ist aufgrund der Separabilität (welche im metrischen Fall zum zweiten [[w:de:Abzählbarkeitsaxiom|Abzählbarkeitsaxiom]] äquivalent ist) als abzählbare Vereinigung von offenen Kugeln zu schreiben. Die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die die offenen Kugeln enthält, enthält daher alle offenen Mengen und ist somit gleich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra. Auf den Spezialfall <math>X\subseteq\mathbb{R}^n</math> und <math>d</math> die [[w:de:Euklidischer Abstand|euklidische Metrik]] wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen. === Die borelsche σ-Algebra auf endlichdimensionalen reellen Vektorräumen === Auf den endlichdimensionalen Vektorräumen <math>\mathbb{R}^n</math> wird die kanonische Topologie von den <math>n</math>-dimensionalen Quadern <math>(a_1,b_1)\times\dotsb\times (a_n,b_n)</math> mit rationalen Koordinaten <math>a_i</math> und <math>b_i</math> aufgespannt. Sie ist gleichzeitig die <math>n</math>-fache [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]] der kanonischen Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>. Die von ihr erzeugte borelsche σ-Algebra heißt analog zum eindimensionalen Fall die ''borelsche σ-Algebra auf <math>\mathbb{R}^n</math>''. === Borelsche Sigma-Algebra über komplexen Zahlen === Auf diese Art ist auch elegant die borelsche σ-Algebra der komplexen Zahlen erklärt: Man nutzt einfach die Vektorraumisomorphie zwischen <math>\mathbb{C}</math> und <math>\mathbb{R}^2</math>. === Nicht-borelsche Teilmengen des Grundraums === Teilmengen, die nicht zur borelschen <math>\sigma</math>-Algebra gehören, weisen in der Regel einen intuitiv "exotischen" Charakter auf. Im dreidimensionalen reellen Raum bilden die Mengen, die beim [[w:de:Banach-Tarski-Paradoxon|Banach-Tarski-Paradoxon]] Verwendung finden, ein Beispiel für solche, nicht zur borelschen <math>\sigma</math>-Algebra gehörende Teilmengen. == Die borelsche σ-Algebra auf allgemeinen topologischen Räumen == Die Eigenschaften der borelschen σ-Algebra in beliebigen [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]] hängen wesentlich von der Struktur des topologischen Raumes ab. Allgemein lässt sich nur sagen, dass die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra immer alle offenen (per Definition) und alle abgeschlossenen Mengen (aufgrund der Komplementstabilität) enthält. === Zusammenhang offen Mengen - Sigma-Algebra === Je mehr Struktur der topologische Raum besitzt, umso mehr Mengen enthält dann auch die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra. Es gilt: * Ist der topologische Raum ein [[w:de:T1-Raum|T1-Raum]], so sind alle einelementigen Mengen in der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra enthalten. Damit sind auch alle endlichen Mengen, alle abzählbar unendlichen Mengen und alle Mengen mit endlichem oder abzählbar unendlichem Komplement in der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra enthalten. * Ist der topologische Raum ein [[Hausdorff-Raum]] (wie zum Beispiel ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]]), so sind alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] abgeschlossen und damit in der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra enthalten. == Produkträume und die borelsche σ-Algebra == Sind zwei topologische Räume <math> (X_1, \mathcal O_1) </math> und <math> (X_2, \mathcal O_2)</math> gegeben, so lässt sich die borelsche σ-Algebra auf zweierlei Arten definieren: * Entweder man bildet den (topologischen) Produktraum <math> X_1 \times X_2 </math>, versehen mit der [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]], hier mit <math> \mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2 </math> bezeichnet. Die borelsche σ-Algebra auf <math> X_1 \times X_2 </math> kann dann als die borelsche σ-Algebra der Produkttopologie definiert werden, also als ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2) := \sigma (\mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2) </math> * oder man bildet zuerst die borelschen σ-Algebren der einzelnen topologischen Räume und dann deren [[w:de:Produkt-σ-Algebra|Produkt-σ-Algebra]], hier mit <math> \otimes </math> bezeichnet: ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2):= \sigma (\mathcal O_1) \otimes \sigma (\mathcal O_2) </math> Tatsächlich stimmen beide Konstruktionen in vielen Fällen überein, auch wenn die Fragestellung auf Familien von topologischen Räumen <math> (X_i)_{i \in I} </math> ausgeweitet wird. Es gilt:<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 115. </ref> : Ist <math> (X_i)_{i \in I} </math> eine abzählbare Familie von topologischen Räumen, von denen jeder eine abzählbare [[w:de:Basis (Topologie)|Basis]] besitzt (also das [[w:de:Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]] erfüllt), und sei <math> X </math> das topologische Produkt all dieser Räume, so ist ::<math> \mathcal B (X)= \bigotimes_{i \in I} \mathcal B (X_i) </math>. Die borelsche σ-Algebra des Produktes ist also die Produkt-σ-Algebra der borelschen σ-Algebren. Die Aussage gilt also insbesondere für alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] metrischen Räume und damit auch für <math> \mathbb{R} </math>. Somit ist :<math> \mathcal B(\mathbb{R}^2)= \mathcal B(\mathbb{R}) \otimes \mathcal B (\mathbb{R}) </math>. == Nomenklatur für bestimmte Borel-Mengen == {{Hauptartikel|Borel-Hierarchie}} * In der Literatur hat sich folgende von [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]] eingeführte Bezeichnung für manche einfache Klassen von Borelmengen durchgesetzt:<ref name="Koe2001">Vladimir Kanovei, Peter Koepke: ''Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre.'' 2001, [http://www.math.uni-bonn.de/people/koepke/Preprints/Deskriptive_Mengenlehre_in_Hausdorffs_Grundzuegen_der_Mengenlehre.pdf uni-bonn.de (pdf; 267&nbsp;kB)].</ref><ref name="Al">Pavel S. Alexandroff: ''Lehrbuch der Mengenlehre.'' 6., überarbeitete Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1994, ISBN 3-8171-1365-X.</ref><ref name="Nat">Isidor P. Natanson: ''Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen.'' Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf Russisch bei [http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3790 INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk]).</ref> :- mit <math>\operatorname F_\sigma</math> werden alle Vereinigungen von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen bezeichnet, :- mit <math>\operatorname G_\delta</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen offenen Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen : usw. : Alle <math>\operatorname F_\sigma</math>, <math>\operatorname G_\delta</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math>,...-Mengen sind Borelmengen. Dieses Schema ermöglicht aber nicht, alle Borelmengen zu beschreiben, weil die Vereinigung von allen diesen Klassen im Allgemeinen bezüglich der Axiome einer <math>\sigma</math>-Algebra noch nicht abgeschlossen ist.<ref name="abz">Bei <math>\mathbb{R}^n</math> z.&nbsp;B. ist es erst unter Zuhilfenahme von transfiniten [[w:de:Ordinalzahl|Ordinalzahl]]en möglich, dieses System auf solche Weise fortzusetzen, dass alle Borelmengen von ihm erfasst werden (s. [[Bairesche Klasse#Verbindung zu den borelschen Mengen|bairesche Klassen: Verbindung zu den borelschen Mengen]]). Es gibt aber auch topologische Räume, in denen bereits allein die <math>\operatorname F_\sigma</math>- und <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen die ganze Klasse der Borelmengen ausschöpfen, wie z.&nbsp;B. in einem [[w:de:T1-Raum|T₁-Raum]] mit abzählbar vielen Punkten. Mehr zu diesem Thema kann in [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]]: ''Mengenlehre.'' 2., neubearbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1927, nachgelesen werden.</ref> * In der [[w:de:Deskriptive Mengenlehre|deskriptiven Mengenlehre]] bezeichnet man die offenen Mengen auch als <math>\Sigma^0_1</math>-Mengen, die <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_2</math>-Mengen, die <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_3</math>-Mengen etc. Komplemente von <math>\Sigma^0_n</math>-Mengen heißen <math>\Pi^0_n</math>-Mengen; so sind etwa die <math>\Pi^0_2</math>-Mengen genau die <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen. == Anwendung == Die Menge <math>\Omega</math> zusammen mit der borelschen σ-Algebra ist ein Messraum und liegt den [[w:de:Borelmaß|Borelmaß]]en als solcher zugrunde. Alle Elemente der borelschen σ-Algebra (die selbst Mengen sind) werden Borel-messbar genannt; nur diesen werden durch ein Borel-Maß Werte zugeordnet. == Siehe auch == * [[w:de:Bairesche σ-Algebra|Bairesche σ-Algebra]] * [[Kurs:Stochastik]] == Einzelnachweise == <references /> == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik]] == Literatur == * Sashi M. Srivastava: ''A course on Borels sets'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 180). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98412-7. * {{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} * {{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Jürgen Elstrodt|Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}} [[Kategorie:Σ-Algebra]] [[Kategorie:Topologie]] [[Kategorie:Maßtheorie]] [[Kategorie:Deskriptive Mengenlehre]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Borelsche_Sigma-Algebra] https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra * Datum: 8.12.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] r73xqyy2bsaulor3p2s9kpgm6m46s1l 1117938 1117937 2026-10-27T16:53:16Z Bert Niehaus 20843 /* Nomenklatur für bestimmte Borel-Mengen */ 1117938 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''borelsche σ-Algebra''' ist ein [[w:de:Mengensystem|Mengensystem]] in der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] und essentiell für den axiomatischen Aufbau der modernen [[w:de:Stochastik|Stochastik]] und [[w:de:Integralrechnung|Integrationstheorie]]. Die borelsche σ-Algebra ist eine [[w:de:σ-Algebra|σ-Algebra]], die alle Mengen enthält, denen man naiverweise ein Volumen oder eine Wahrscheinlichkeit zuordnen will. === Potenzmenge der reellen Zahlen === Die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] der reellen Zahlen erfüllt in natürlicher Weise die Eigenschaften <math>\sigma</math>-[[w:de:σ-Algebra|-Algebra]]. Allerdings gibt es [[w:de:Teilmenge|Teilmengen]] <math>M\subset \mathbb{R}</math>, die z.B. mit dem [[w:de:Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] nicht [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbar]] ist. === Maßproblem - Potenzmenge === Wenn die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] zu mächtig ist, um darauf ein translationsinvariantes Maß (''nicht Wahrscheinlichkeitsmaß'') zu definieren, dass dem Intervall <math>[a,b]</math> als abgeschlossene Menge die Länge <math>b-a</math> zuordnet, muss die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] <math>\wp(\mathbb{R})</math> erweitert werden kann, muss man ein soches Maß ein "kleineres" Mengensystem von messbaren Mengen verwenden, das zumindest die abgeschlossenen Mengen <math>[a,b]</math> enthält. === Topologie und Sigma-Algebren === Als Anforderung an eine solche <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\mathbb{R}</math> wird einführend festgehalten, dass diese zumindest die abgeschlossenen Intervalle <math>[a,b]</math> enthalten soll. Die Abgeschlossenheit ist ein Begriff aus der [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]], die als Komplement von offenen Mengen definiert werden. Man verlangt für eine solche Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra daher, dass diese zumindest alle offenen Mengen enthält. Über die Komplementstabilität enthält diese "minimale" <math>\sigma</math>-Algebra dann auch alle abgeschlossenen Mengen und damit auch die Intervalle <math>[a,b] \subseteq \mathbb{R}</math>. === Stetige Funktionen und Messbarkeit === Die besondere Bedeutung erhält die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra dadurch, dass sie auf natürliche Weise an die Struktur von [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Räumen]] und damit sowohl an [[w:de:Metrischer Raum|metrische]] <math>(X,d)</math>, [[Normen, Metriken, Topologie|normierte Räume]] <math>(X,\|\cdot \|)</math> oder allgemein [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] <math>(V,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> angepasst ist. Dies zeigt sich unter anderem darin, dass bezüglich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra alle [[w:de:Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] immer [[w:de:Messbare Funktion|messbar]] sind. === Geschichtliche Bemerkung === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden '''Borel-Mengen''', '''borelsche Mengen''' oder auch '''Borel-messbare Mengen''' genannt. Die Namensgebung der σ-Algebra und der Mengen folgt zu Ehren von [[w:de:Émile Borel|Émile Borel]], der sie im Jahre 1898 erstmals implizit verwendete.<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 17. </ref> == Definition - Borelsche Sigma-Algebra == Gegeben sei ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math> (X, \mathcal{T} )</math>, wobei <math> \mathcal{T} </math> das Mengensystem der [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]] ist. Dann heißt die von <math> \mathcal{T} </math> [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|erzeugte -Algebra]] die borelsche σ-Algebra. Sie wird mit <math> \mathcal B (X) </math> bezeichnet oder, wenn die Menge <math> X </math> aus dem Kontext ersichtlich ist, auch als <math> \mathcal B </math>. === Erzeugendensystem der Sigma-Algebra === Die Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra ist die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Man kann die :<math>\mathcal B (X):= \sigma (\mathcal{T} ) := \bigcap_{\mathcal{S} \supseteq \mathcal{T}\, \sigma-Algebra} \mathcal{S} </math> wobei hier <math> \sigma( \cdot) </math> den <math>\sigma</math>-[[w:de:Σ-Algebra#σ-Operator|Operator]] bezeichnet. === Aufgabe 1 - abgeschlossene Menge === Begründen Sie für <math>\mathcal B (X)</math>, warum dieses Mengensystem auch alle abgeschlossenen Mengen enthält. === Konvergenz - Stetigkeit - Verteilungsfunktion === Bei dem Begriff der [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] werden * [[Kurs:Stochastik/diskrete Verteilung|diskrete]], * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|stetige]] und * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|absolut stetige]] Verteilungsfunktionen unterschieden. Um die Stetigkeit als Begriff für eine Abbildung <math>f: X \to Y</math> verwenden zu können, benötigt man im Definitionsbereich <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> und im Wertebereich <math>(Y,\mathcal{T}_Y)</math> jeweils einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]]. === Konvergenz === Aus der reellen Analysis kennt man den Begriff der Konvergenz. Diesen kann man auf unterschiedliche Klassen von topologischen Räumen ausdehnen. * (<math>\mathbb{R}</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{ }{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} | x_n - x_0 | < \varepsilon </math> * (<math>\mathbb{R}^n</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{\|\cdot \|}{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} \| x_n - x_0 \| < \varepsilon </math> * (<math>\mathcal{T}</math> - Topologischer Raum) <math> \stackrel{ \mathcal{T} }{\displaystyle \lim_{ i \to \infty }} x_i = x_o :\Longleftrightarrow \underset{U \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(x_o)}{\forall} \,\, \underset{i_{_U} \in I}{\exist} \,\, \underset{i \succ i_{_U} }{\forall} x_i \in U </math> === Stetige Verteilung === Bei einer stetigen Verteilung benötigt man Stetigkeit als mathematische Eigenschaft der Verteilungsfunktion Sei <math>F:X \to [0,1]</math> die Verteilungsfunktion: :<math> \lim_{x \to x_o} F(x) = F(x_o) \mbox{ für alle } x_o \in X </math> === Bemerkungen === * Die borelsche σ-Algebra ist stets eindeutig bestimmt. * Eine borelsche σ-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines [[w:de:Messraum (Mathematik)|Messraums]] auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur wird der Raum dann auch Borel-Raum genannt. Es werden jedoch auch andere Messräume als Borel-Räume bezeichnet. * Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden Borel-Mengen genannt. Die Klasse der Borel-Mengen ist eine Unterklasse der Klasse der suslinschen oder auch [[w:de:Analytische Menge|analytischen Mengen]].<ref name="Al" /> == Die borelsche Sigma-Algebra auf den reellen Zahlen == Die Menge <math>\mathbb{R}</math> der reellen Zahlen wird üblicherweise mit der Topologie ausgestattet, die durch die offenen [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervalle]] <math>(a,b)</math> mit [[w:de:Rationale Zahl|rationalen]] Endpunkten <math>a,b\in \mathbb{Q}</math> aufgespannt wird. Damit ist die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra eine [[w:de:separable σ-Algebra|separable σ-Algebra]]. === Weitere Topologien auf den reellen Zahlen === Obwohl man in Einzelfällen auch andere Topologien auf <math>\mathbb{R}</math> betrachtet, gilt diese als die kanonische Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>, und die aus ihr abgeleitete borelsche σ-Algebra wird schlicht als ''die'' borelsche <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet. === Potenzmenge - Borelsche Sigma-Algebra === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> enthält nicht alle Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math>. Es lässt sich sogar zeigen, dass die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> gleichmächtig zu <math>\mathbb{R}</math> ist, während die Menge aller Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math> eine echt größere Mächtigkeit als <math>\mathbb{R}</math> besitzt. === Erzeuger als Mengensystem === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wird nicht direkt definiert, sondern implizit über einen Erzeuger. Dies ist ein vorgegebenes Mengensystem <math> \mathcal{E} </math>, das die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra in dem Sinne erzeugt, dass sie die kleinste σ-Algebra ist, die alle Mengen des Erzeugers erhält. Für Details siehe [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|Erzeuger einer <math>\sigma</math>-Algebra]]. Einige der möglichen Erzeuger sind die folgenden: * <math> \mathcal E_0= \{ A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist offen } \} </math> per Definition * <math> \mathcal E_1= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \}</math> oder <math> \mathcal E_2= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \}</math> * <math> \mathcal E_3= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b \} </math> oder <math> \mathcal E_4= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_5= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \} </math> oder <math> \mathcal E_6= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_7= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_8= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_9= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_{10}= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> Insbesondere existieren offensichtlich mehrere Erzeuger für die borelsche σ-Algebra. Die borelsche σ-Algebra ist aber durch die Angabe eines Erzeugers eindeutig bestimmt. Dabei ist die Wahl des konkreten Erzeugers oft situationsabhängig. Häufig wählt man [[w:de:π-System|durchschnittsstabile Mengensysteme]] als Erzeuger, da bei ihnen nach dem [[w:de:Maßeindeutigkeitssatz|Maßeindeutigkeitssatz]] ein Maß schon durch die Angabe der Werte auf dem Erzeuger eindeutig bestimmt ist. Bei Verwendung von Verteilungsfunktionen bieten sich die Erzeuger <math> \mathcal E_7 </math> bis <math> \mathcal E_{10} </math> an. Für Approximationsargumente werden oft die Intervalle mit rationalen Grenzen verwendet. Insbesondere sind die hier aufgeführten Erzeuger <math> \mathcal E_5 </math> und <math> \mathcal E_6 </math> [[w:de:Halbring (Mengensystem)|Halbringe]] (wenn man jeweils <math>(a,a]:= \emptyset</math> definiert, so dass die Erzeuger die [[w:de:leere Menge|leere Menge]] enthalten). === Enthaltene Mengen === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen sind reichhaltig. Sie enthält * alle [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]], alle [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Mengen]] und alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] * alle Intervalle der Form <math> (a,b), [a,b], (a,b], [a,b) </math> für <math> a,b \in \mathbb{R} </math> sowie <math> (- \infty, b), (- \infty, b], (a, \infty) </math> und <math> [a, \infty) </math> * alle Punktmengen, also Mengen der Form <math> \{a \} </math> für <math> a \in \mathbb{R} </math> und alle endlichen Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> und alle [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar unendlichen]] Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> * Aus den definierenden Eigenschaften von σ-Algebren folgt direkt, dass endliche und abzählbar unendliche Vereinigungen und Schnitte von Borelmengen wieder Borelmengen sind, ebenso die Differenz und das Komplement. * Ist <math> f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} </math> stetig, so sind auch [[w:de:Urbild (Mathematik)|Urbilder]] von Borelmengen wieder Borelmengen, insbesondere also auch [[w:de:Niveaumenge|Niveaumenge]]n, [[w:de:Subniveaumenge|Subniveaumenge]]n und [[w:de:Superniveaumenge|Superniveaumenge]]n. === Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen === Teils werden die reellen Zahlen um die Werte <math> \pm \infty </math> erweitert, man nennt dann entsprechend :<math>\overline{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{+ \infty, - \infty \} </math> die [[w:de:Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]]. Sie treten zum Beispiel bei der Untersuchung von [[w:de:Numerische Funktion|numerischen Funktionen]] auf. Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen wird dann erklärt durch :<math> \mathcal B(\overline{\mathbb{R}}):= \{ A \cup E \mid A \in \mathcal B (\mathbb{R}), \; E \subseteq \{- \infty, \infty\} \} </math>. Sie besteht demnach aus allen Borel-Mengen auf den reellen Zahlen sowie aus diesen Borel-Mengen vereinigt mit <math>\{\infty\}</math>, <math>\{-\infty\}</math> oder <math>\{\infty, -\infty\}</math>. == Weitere borelsche σ-Algebren == === Die borelsche σ-Algebra auf separablen metrischen Räumen === Gegeben sei ein [[w:de:Separabler Raum|separabler]] [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(X,d)</math>. Die offenen Kugeln erzeugen als Basis eine Topologie, diese wird von der Metrik erzeugte Topologie genannt. Jede offene Menge ist aufgrund der Separabilität (welche im metrischen Fall zum zweiten [[w:de:Abzählbarkeitsaxiom|Abzählbarkeitsaxiom]] äquivalent ist) als abzählbare Vereinigung von offenen Kugeln zu schreiben. Die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die die offenen Kugeln enthält, enthält daher alle offenen Mengen und ist somit gleich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra. Auf den Spezialfall <math>X\subseteq\mathbb{R}^n</math> und <math>d</math> die [[w:de:Euklidischer Abstand|euklidische Metrik]] wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen. === Die borelsche σ-Algebra auf endlichdimensionalen reellen Vektorräumen === Auf den endlichdimensionalen Vektorräumen <math>\mathbb{R}^n</math> wird die kanonische Topologie von den <math>n</math>-dimensionalen Quadern <math>(a_1,b_1)\times\dotsb\times (a_n,b_n)</math> mit rationalen Koordinaten <math>a_i</math> und <math>b_i</math> aufgespannt. Sie ist gleichzeitig die <math>n</math>-fache [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]] der kanonischen Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>. Die von ihr erzeugte borelsche σ-Algebra heißt analog zum eindimensionalen Fall die ''borelsche σ-Algebra auf <math>\mathbb{R}^n</math>''. === Borelsche Sigma-Algebra über komplexen Zahlen === Auf diese Art ist auch elegant die borelsche σ-Algebra der komplexen Zahlen erklärt: Man nutzt einfach die Vektorraumisomorphie zwischen <math>\mathbb{C}</math> und <math>\mathbb{R}^2</math>. === Nicht-borelsche Teilmengen des Grundraums === Teilmengen, die nicht zur borelschen <math>\sigma</math>-Algebra gehören, weisen in der Regel einen intuitiv "exotischen" Charakter auf. Im dreidimensionalen reellen Raum bilden die Mengen, die beim [[w:de:Banach-Tarski-Paradoxon|Banach-Tarski-Paradoxon]] Verwendung finden, ein Beispiel für solche, nicht zur borelschen <math>\sigma</math>-Algebra gehörende Teilmengen. == Die borelsche σ-Algebra auf allgemeinen topologischen Räumen == Die Eigenschaften der borelschen σ-Algebra in beliebigen [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]] hängen wesentlich von der Struktur des topologischen Raumes ab. Allgemein lässt sich nur sagen, dass die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra immer alle offenen (per Definition) und alle abgeschlossenen Mengen (aufgrund der Komplementstabilität) enthält. === Zusammenhang offen Mengen - Sigma-Algebra === Je mehr Struktur der topologische Raum besitzt, umso mehr Mengen enthält dann auch die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra. Es gilt: * Ist der topologische Raum ein [[w:de:T1-Raum|T1-Raum]], so sind alle einelementigen Mengen in der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra enthalten. Damit sind auch alle endlichen Mengen, alle abzählbar unendlichen Mengen und alle Mengen mit endlichem oder abzählbar unendlichem Komplement in der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra enthalten. * Ist der topologische Raum ein [[Hausdorff-Raum]] (wie zum Beispiel ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]]), so sind alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] abgeschlossen und damit in der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra enthalten. == Produkträume und die borelsche σ-Algebra == Sind zwei topologische Räume <math> (X_1, \mathcal O_1) </math> und <math> (X_2, \mathcal O_2)</math> gegeben, so lässt sich die borelsche σ-Algebra auf zweierlei Arten definieren: * Entweder man bildet den (topologischen) Produktraum <math> X_1 \times X_2 </math>, versehen mit der [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]], hier mit <math> \mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2 </math> bezeichnet. Die borelsche σ-Algebra auf <math> X_1 \times X_2 </math> kann dann als die borelsche σ-Algebra der Produkttopologie definiert werden, also als ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2) := \sigma (\mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2) </math> * oder man bildet zuerst die borelschen σ-Algebren der einzelnen topologischen Räume und dann deren [[w:de:Produkt-σ-Algebra|Produkt-σ-Algebra]], hier mit <math> \otimes </math> bezeichnet: ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2):= \sigma (\mathcal O_1) \otimes \sigma (\mathcal O_2) </math> Tatsächlich stimmen beide Konstruktionen in vielen Fällen überein, auch wenn die Fragestellung auf Familien von topologischen Räumen <math> (X_i)_{i \in I} </math> ausgeweitet wird. Es gilt:<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 115. </ref> : Ist <math> (X_i)_{i \in I} </math> eine abzählbare Familie von topologischen Räumen, von denen jeder eine abzählbare [[w:de:Basis (Topologie)|Basis]] besitzt (also das [[w:de:Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]] erfüllt), und sei <math> X </math> das topologische Produkt all dieser Räume, so ist ::<math> \mathcal B (X)= \bigotimes_{i \in I} \mathcal B (X_i) </math>. Die borelsche σ-Algebra des Produktes ist also die Produkt-σ-Algebra der borelschen σ-Algebren. Die Aussage gilt also insbesondere für alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] metrischen Räume und damit auch für <math> \mathbb{R} </math>. Somit ist :<math> \mathcal B(\mathbb{R}^2)= \mathcal B(\mathbb{R}) \otimes \mathcal B (\mathbb{R}) </math>. == Nomenklatur für bestimmte Borel-Mengen == {{Hauptartikel|Borel-Hierarchie}} * In der Literatur hat sich folgende von [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]] eingeführte Bezeichnung für manche einfache Klassen von Borelmengen durchgesetzt:<ref name="Koe2001">Vladimir Kanovei, Peter Koepke: ''Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre.'' 2001, [http://www.math.uni-bonn.de/people/koepke/Preprints/Deskriptive_Mengenlehre_in_Hausdorffs_Grundzuegen_der_Mengenlehre.pdf uni-bonn.de (pdf; 267&nbsp;kB)].</ref><ref name="Al">Pavel S. Alexandroff: ''Lehrbuch der Mengenlehre.'' 6., überarbeitete Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1994, ISBN 3-8171-1365-X.</ref><ref name="Nat">Isidor P. Natanson: ''Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen.'' Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf Russisch bei [http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3790 INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk]).</ref> :- mit <math>\operatorname F_\sigma</math> werden alle Vereinigungen von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen bezeichnet, :- mit <math>\operatorname G_\delta</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen offenen Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen : usw. : Alle <math>\operatorname F_\sigma</math>, <math>\operatorname G_\delta</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math>,...-Mengen sind Borelmengen. Dieses Schema ermöglicht aber nicht, alle Borelmengen zu beschreiben, weil die Vereinigung von allen diesen Klassen im Allgemeinen bezüglich der Axiome einer <math>\sigma</math>-Algebra noch nicht abgeschlossen ist.<ref name="abz">Bei <math>\mathbb{R}^n</math> z.&nbsp;B. ist es erst unter Zuhilfenahme von transfiniten [[w:de:Ordinalzahl|Ordinalzahl]]en möglich, dieses System auf solche Weise fortzusetzen, dass alle Borelmengen von ihm erfasst werden (s. [[w:de:Bairesche Klasse#Verbindung zu den borelschen Mengen|bairesche Klassen: Verbindung zu den borelschen Mengen]]). Es gibt aber auch topologische Räume, in denen bereits allein die <math>\operatorname F_\sigma</math>- und <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen die ganze Klasse der Borelmengen ausschöpfen, wie z.&nbsp;B. in einem [[w:de:T1-Raum|T₁-Raum]] mit abzählbar vielen Punkten. Mehr zu diesem Thema kann in [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]]: ''Mengenlehre.'' 2., neubearbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1927, nachgelesen werden.</ref> * In der [[w:de:Deskriptive Mengenlehre|deskriptiven Mengenlehre]] bezeichnet man die offenen Mengen auch als <math>\Sigma^0_1</math>-Mengen, die <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_2</math>-Mengen, die <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_3</math>-Mengen etc. Komplemente von <math>\Sigma^0_n</math>-Mengen heißen <math>\Pi^0_n</math>-Mengen; so sind etwa die <math>\Pi^0_2</math>-Mengen genau die <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen. == Anwendung == Die Menge <math>\Omega</math> zusammen mit der borelschen σ-Algebra ist ein Messraum und liegt den [[w:de:Borelmaß|Borelmaß]]en als solcher zugrunde. Alle Elemente der borelschen σ-Algebra (die selbst Mengen sind) werden Borel-messbar genannt; nur diesen werden durch ein Borel-Maß Werte zugeordnet. == Siehe auch == * [[w:de:Bairesche σ-Algebra|Bairesche σ-Algebra]] * [[Kurs:Stochastik]] == Einzelnachweise == <references /> == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik]] == Literatur == * Sashi M. Srivastava: ''A course on Borels sets'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 180). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98412-7. * {{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} * {{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Jürgen Elstrodt|Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}} [[Kategorie:Σ-Algebra]] [[Kategorie:Topologie]] [[Kategorie:Maßtheorie]] [[Kategorie:Deskriptive Mengenlehre]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Borelsche_Sigma-Algebra] https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra * Datum: 8.12.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 4w0vqeadsa7v7kj63a4h8xe7518ltlo 1117939 1117938 2026-10-27T16:54:07Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1117939 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''borelsche σ-Algebra''' ist ein [[w:de:Mengensystem|Mengensystem]] in der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] und essentiell für den axiomatischen Aufbau der modernen [[w:de:Stochastik|Stochastik]] und [[w:de:Integralrechnung|Integrationstheorie]]. Die borelsche σ-Algebra ist eine [[w:de:σ-Algebra|σ-Algebra]], die alle Mengen enthält, denen man naiverweise ein Volumen oder eine Wahrscheinlichkeit zuordnen will. === Potenzmenge der reellen Zahlen === Die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] der reellen Zahlen erfüllt in natürlicher Weise die Eigenschaften <math>\sigma</math>-[[w:de:σ-Algebra|-Algebra]]. Allerdings gibt es [[w:de:Teilmenge|Teilmengen]] <math>M\subset \mathbb{R}</math>, die z.B. mit dem [[w:de:Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] nicht [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbar]] ist. === Maßproblem - Potenzmenge === Wenn die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] zu mächtig ist, um darauf ein translationsinvariantes Maß (''nicht Wahrscheinlichkeitsmaß'') zu definieren, dass dem Intervall <math>[a,b]</math> als abgeschlossene Menge die Länge <math>b-a</math> zuordnet, muss die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] <math>\wp(\mathbb{R})</math> erweitert werden kann, muss man ein soches Maß ein "kleineres" Mengensystem von messbaren Mengen verwenden, das zumindest die abgeschlossenen Mengen <math>[a,b]</math> enthält. === Topologie und Sigma-Algebren === Als Anforderung an eine solche <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\mathbb{R}</math> wird einführend festgehalten, dass diese zumindest die abgeschlossenen Intervalle <math>[a,b]</math> enthalten soll. Die Abgeschlossenheit ist ein Begriff aus der [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]], die als Komplement von offenen Mengen definiert werden. Man verlangt für eine solche Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra daher, dass diese zumindest alle offenen Mengen enthält. Über die Komplementstabilität enthält diese "minimale" <math>\sigma</math>-Algebra dann auch alle abgeschlossenen Mengen und damit auch die Intervalle <math>[a,b] \subseteq \mathbb{R}</math>. === Stetige Funktionen und Messbarkeit === Die besondere Bedeutung erhält die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra dadurch, dass sie auf natürliche Weise an die Struktur von [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Räumen]] und damit sowohl an [[w:de:Metrischer Raum|metrische]] <math>(X,d)</math>, [[Normen, Metriken, Topologie|normierte Räume]] <math>(X,\|\cdot \|)</math> oder allgemein [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] <math>(V,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> angepasst ist. Dies zeigt sich unter anderem darin, dass bezüglich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra alle [[w:de:Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] immer [[w:de:Messbare Funktion|messbar]] sind. === Geschichtliche Bemerkung === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden '''Borel-Mengen''', '''borelsche Mengen''' oder auch '''Borel-messbare Mengen''' genannt. Die Namensgebung der σ-Algebra und der Mengen folgt zu Ehren von [[w:de:Émile Borel|Émile Borel]], der sie im Jahre 1898 erstmals implizit verwendete.<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 17. </ref> == Definition - Borelsche Sigma-Algebra == Gegeben sei ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math> (X, \mathcal{T} )</math>, wobei <math> \mathcal{T} </math> das Mengensystem der [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]] ist. Dann heißt die von <math> \mathcal{T} </math> [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|erzeugte -Algebra]] die borelsche σ-Algebra. Sie wird mit <math> \mathcal B (X) </math> bezeichnet oder, wenn die Menge <math> X </math> aus dem Kontext ersichtlich ist, auch als <math> \mathcal B </math>. === Erzeugendensystem der Sigma-Algebra === Die Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra ist die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Man kann die :<math>\mathcal B (X):= \sigma (\mathcal{T} ) := \bigcap_{\mathcal{S} \supseteq \mathcal{T}\, \sigma-Algebra} \mathcal{S} </math> wobei hier <math> \sigma( \cdot) </math> den <math>\sigma</math>-[[w:de:Σ-Algebra#σ-Operator|Operator]] bezeichnet. === Aufgabe 1 - abgeschlossene Menge === Begründen Sie für <math>\mathcal B (X)</math>, warum dieses Mengensystem auch alle abgeschlossenen Mengen enthält. === Konvergenz - Stetigkeit - Verteilungsfunktion === Bei dem Begriff der [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] werden * [[Kurs:Stochastik/diskrete Verteilung|diskrete]], * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|stetige]] und * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|absolut stetige]] Verteilungsfunktionen unterschieden. Um die Stetigkeit als Begriff für eine Abbildung <math>f: X \to Y</math> verwenden zu können, benötigt man im Definitionsbereich <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> und im Wertebereich <math>(Y,\mathcal{T}_Y)</math> jeweils einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]]. === Konvergenz === Aus der reellen Analysis kennt man den Begriff der Konvergenz. Diesen kann man auf unterschiedliche Klassen von topologischen Räumen ausdehnen. * (<math>\mathbb{R}</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{ }{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} | x_n - x_0 | < \varepsilon </math> * (<math>\mathbb{R}^n</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{\|\cdot \|}{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} \| x_n - x_0 \| < \varepsilon </math> * (<math>\mathcal{T}</math> - Topologischer Raum) <math> \stackrel{ \mathcal{T} }{\displaystyle \lim_{ i \to \infty }} x_i = x_o :\Longleftrightarrow \underset{U \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(x_o)}{\forall} \,\, \underset{i_{_U} \in I}{\exist} \,\, \underset{i \succ i_{_U} }{\forall} x_i \in U </math> === Stetige Verteilung === Bei einer stetigen Verteilung benötigt man Stetigkeit als mathematische Eigenschaft der Verteilungsfunktion Sei <math>F:X \to [0,1]</math> die Verteilungsfunktion: :<math> \lim_{x \to x_o} F(x) = F(x_o) \mbox{ für alle } x_o \in X </math> === Bemerkungen === * Die borelsche σ-Algebra ist stets eindeutig bestimmt. * Eine borelsche σ-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines [[w:de:Messraum (Mathematik)|Messraums]] auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur wird der Raum dann auch Borel-Raum genannt. Es werden jedoch auch andere Messräume als Borel-Räume bezeichnet. * Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden Borel-Mengen genannt. Die Klasse der Borel-Mengen ist eine Unterklasse der Klasse der suslinschen oder auch [[w:de:Analytische Menge|analytischen Mengen]].<ref name="Al" /> == Die borelsche Sigma-Algebra auf den reellen Zahlen == Die Menge <math>\mathbb{R}</math> der reellen Zahlen wird üblicherweise mit der Topologie ausgestattet, die durch die offenen [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervalle]] <math>(a,b)</math> mit [[w:de:Rationale Zahl|rationalen]] Endpunkten <math>a,b\in \mathbb{Q}</math> aufgespannt wird. Damit ist die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra eine [[w:de:separable σ-Algebra|separable σ-Algebra]]. === Weitere Topologien auf den reellen Zahlen === Obwohl man in Einzelfällen auch andere Topologien auf <math>\mathbb{R}</math> betrachtet, gilt diese als die kanonische Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>, und die aus ihr abgeleitete borelsche σ-Algebra wird schlicht als ''die'' borelsche <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet. === Potenzmenge - Borelsche Sigma-Algebra === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> enthält nicht alle Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math>. Es lässt sich sogar zeigen, dass die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> gleichmächtig zu <math>\mathbb{R}</math> ist, während die Menge aller Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math> eine echt größere Mächtigkeit als <math>\mathbb{R}</math> besitzt. === Erzeuger als Mengensystem === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wird nicht direkt definiert, sondern implizit über einen Erzeuger. Dies ist ein vorgegebenes Mengensystem <math> \mathcal{E} </math>, das die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra in dem Sinne erzeugt, dass sie die kleinste σ-Algebra ist, die alle Mengen des Erzeugers erhält. Für Details siehe [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|Erzeuger einer <math>\sigma</math>-Algebra]]. Einige der möglichen Erzeuger sind die folgenden: * <math> \mathcal E_0= \{ A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist offen } \} </math> per Definition * <math> \mathcal E_1= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \}</math> oder <math> \mathcal E_2= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \}</math> * <math> \mathcal E_3= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b \} </math> oder <math> \mathcal E_4= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_5= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \} </math> oder <math> \mathcal E_6= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_7= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_8= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_9= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_{10}= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> Insbesondere existieren offensichtlich mehrere Erzeuger für die borelsche σ-Algebra. Die borelsche σ-Algebra ist aber durch die Angabe eines Erzeugers eindeutig bestimmt. Dabei ist die Wahl des konkreten Erzeugers oft situationsabhängig. Häufig wählt man [[w:de:π-System|durchschnittsstabile Mengensysteme]] als Erzeuger, da bei ihnen nach dem [[w:de:Maßeindeutigkeitssatz|Maßeindeutigkeitssatz]] ein Maß schon durch die Angabe der Werte auf dem Erzeuger eindeutig bestimmt ist. Bei Verwendung von Verteilungsfunktionen bieten sich die Erzeuger <math> \mathcal E_7 </math> bis <math> \mathcal E_{10} </math> an. Für Approximationsargumente werden oft die Intervalle mit rationalen Grenzen verwendet. Insbesondere sind die hier aufgeführten Erzeuger <math> \mathcal E_5 </math> und <math> \mathcal E_6 </math> [[w:de:Halbring (Mengensystem)|Halbringe]] (wenn man jeweils <math>(a,a]:= \emptyset</math> definiert, so dass die Erzeuger die [[w:de:leere Menge|leere Menge]] enthalten). === Enthaltene Mengen === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen sind reichhaltig. Sie enthält * alle [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]], alle [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Mengen]] und alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] * alle Intervalle der Form <math> (a,b), [a,b], (a,b], [a,b) </math> für <math> a,b \in \mathbb{R} </math> sowie <math> (- \infty, b), (- \infty, b], (a, \infty) </math> und <math> [a, \infty) </math> * alle Punktmengen, also Mengen der Form <math> \{a \} </math> für <math> a \in \mathbb{R} </math> und alle endlichen Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> und alle [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar unendlichen]] Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> * Aus den definierenden Eigenschaften von σ-Algebren folgt direkt, dass endliche und abzählbar unendliche Vereinigungen und Schnitte von Borelmengen wieder Borelmengen sind, ebenso die Differenz und das Komplement. * Ist <math> f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} </math> stetig, so sind auch [[w:de:Urbild (Mathematik)|Urbilder]] von Borelmengen wieder Borelmengen, insbesondere also auch [[w:de:Niveaumenge|Niveaumenge]]n, [[w:de:Subniveaumenge|Subniveaumenge]]n und [[w:de:Superniveaumenge|Superniveaumenge]]n. === Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen === Teils werden die reellen Zahlen um die Werte <math> \pm \infty </math> erweitert, man nennt dann entsprechend :<math>\overline{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{+ \infty, - \infty \} </math> die [[w:de:Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]]. Sie treten zum Beispiel bei der Untersuchung von [[w:de:Numerische Funktion|numerischen Funktionen]] auf. Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen wird dann erklärt durch :<math> \mathcal B(\overline{\mathbb{R}}):= \{ A \cup E \mid A \in \mathcal B (\mathbb{R}), \; E \subseteq \{- \infty, \infty\} \} </math>. Sie besteht demnach aus allen Borel-Mengen auf den reellen Zahlen sowie aus diesen Borel-Mengen vereinigt mit <math>\{\infty\}</math>, <math>\{-\infty\}</math> oder <math>\{\infty, -\infty\}</math>. == Weitere borelsche σ-Algebren == === Die borelsche σ-Algebra auf separablen metrischen Räumen === Gegeben sei ein [[w:de:Separabler Raum|separabler]] [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(X,d)</math>. Die offenen Kugeln erzeugen als Basis eine Topologie, diese wird von der Metrik erzeugte Topologie genannt. Jede offene Menge ist aufgrund der Separabilität (welche im metrischen Fall zum zweiten [[w:de:Abzählbarkeitsaxiom|Abzählbarkeitsaxiom]] äquivalent ist) als abzählbare Vereinigung von offenen Kugeln zu schreiben. Die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die die offenen Kugeln enthält, enthält daher alle offenen Mengen und ist somit gleich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra. Auf den Spezialfall <math>X\subseteq\mathbb{R}^n</math> und <math>d</math> die [[w:de:Euklidischer Abstand|euklidische Metrik]] wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen. === Die borelsche σ-Algebra auf endlichdimensionalen reellen Vektorräumen === Auf den endlichdimensionalen Vektorräumen <math>\mathbb{R}^n</math> wird die kanonische Topologie von den <math>n</math>-dimensionalen Quadern <math>(a_1,b_1)\times\dotsb\times (a_n,b_n)</math> mit rationalen Koordinaten <math>a_i</math> und <math>b_i</math> aufgespannt. Sie ist gleichzeitig die <math>n</math>-fache [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]] der kanonischen Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>. Die von ihr erzeugte borelsche σ-Algebra heißt analog zum eindimensionalen Fall die ''borelsche σ-Algebra auf <math>\mathbb{R}^n</math>''. === Borelsche Sigma-Algebra über komplexen Zahlen === Auf diese Art ist auch elegant die borelsche σ-Algebra der komplexen Zahlen erklärt: Man nutzt einfach die Vektorraumisomorphie zwischen <math>\mathbb{C}</math> und <math>\mathbb{R}^2</math>. === Nicht-borelsche Teilmengen des Grundraums === Teilmengen, die nicht zur borelschen <math>\sigma</math>-Algebra gehören, weisen in der Regel einen intuitiv "exotischen" Charakter auf. Im dreidimensionalen reellen Raum bilden die Mengen, die beim [[w:de:Banach-Tarski-Paradoxon|Banach-Tarski-Paradoxon]] Verwendung finden, ein Beispiel für solche, nicht zur borelschen <math>\sigma</math>-Algebra gehörende Teilmengen. == Die borelsche σ-Algebra auf allgemeinen topologischen Räumen == Die Eigenschaften der borelschen σ-Algebra in beliebigen [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]] hängen wesentlich von der Struktur des topologischen Raumes ab. Allgemein lässt sich nur sagen, dass die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra immer alle offenen (per Definition) und alle abgeschlossenen Mengen (aufgrund der Komplementstabilität) enthält. === Zusammenhang offen Mengen - Sigma-Algebra === Je mehr Struktur der topologische Raum besitzt, umso mehr Mengen enthält dann auch die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra. Es gilt: * Ist der topologische Raum ein [[w:de:T1-Raum|T1-Raum]], so sind alle einelementigen Mengen in der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra enthalten. Damit sind auch alle endlichen Mengen, alle abzählbar unendlichen Mengen und alle Mengen mit endlichem oder abzählbar unendlichem Komplement in der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra enthalten. * Ist der topologische Raum ein [[Hausdorff-Raum]] (wie zum Beispiel ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]]), so sind alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] abgeschlossen und damit in der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra enthalten. == Produkträume und die borelsche σ-Algebra == Sind zwei topologische Räume <math> (X_1, \mathcal O_1) </math> und <math> (X_2, \mathcal O_2)</math> gegeben, so lässt sich die borelsche σ-Algebra auf zweierlei Arten definieren: * Entweder man bildet den (topologischen) Produktraum <math> X_1 \times X_2 </math>, versehen mit der [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]], hier mit <math> \mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2 </math> bezeichnet. Die borelsche σ-Algebra auf <math> X_1 \times X_2 </math> kann dann als die borelsche σ-Algebra der Produkttopologie definiert werden, also als ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2) := \sigma (\mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2) </math> * oder man bildet zuerst die borelschen σ-Algebren der einzelnen topologischen Räume und dann deren [[w:de:Produkt-σ-Algebra|Produkt-σ-Algebra]], hier mit <math> \otimes </math> bezeichnet: ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2):= \sigma (\mathcal O_1) \otimes \sigma (\mathcal O_2) </math> Tatsächlich stimmen beide Konstruktionen in vielen Fällen überein, auch wenn die Fragestellung auf Familien von topologischen Räumen <math> (X_i)_{i \in I} </math> ausgeweitet wird. Es gilt:<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 115. </ref> : Ist <math> (X_i)_{i \in I} </math> eine abzählbare Familie von topologischen Räumen, von denen jeder eine abzählbare [[w:de:Basis (Topologie)|Basis]] besitzt (also das [[w:de:Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]] erfüllt), und sei <math> X </math> das topologische Produkt all dieser Räume, so ist ::<math> \mathcal B (X)= \bigotimes_{i \in I} \mathcal B (X_i) </math>. Die borelsche σ-Algebra des Produktes ist also die Produkt-σ-Algebra der borelschen σ-Algebren. Die Aussage gilt also insbesondere für alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] metrischen Räume und damit auch für <math> \mathbb{R} </math>. Somit ist :<math> \mathcal B(\mathbb{R}^2)= \mathcal B(\mathbb{R}) \otimes \mathcal B (\mathbb{R}) </math>. == Nomenklatur für bestimmte Borel-Mengen == {{Hauptartikel|Borel-Hierarchie}} * In der Literatur hat sich folgende von [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]] eingeführte Bezeichnung für manche einfache Klassen von Borelmengen durchgesetzt:<ref name="Koe2001">Vladimir Kanovei, Peter Koepke: ''Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre.'' 2001, [http://www.math.uni-bonn.de/people/koepke/Preprints/Deskriptive_Mengenlehre_in_Hausdorffs_Grundzuegen_der_Mengenlehre.pdf uni-bonn.de (pdf; 267&nbsp;kB)].</ref><ref name="Al">Pavel S. Alexandroff: ''Lehrbuch der Mengenlehre.'' 6., überarbeitete Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1994, ISBN 3-8171-1365-X.</ref><ref name="Nat">Isidor P. Natanson: ''Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen.'' Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf Russisch bei [http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3790 INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk]).</ref> :- mit <math>\operatorname F_\sigma</math> werden alle Vereinigungen von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen bezeichnet, :- mit <math>\operatorname G_\delta</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen offenen Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen : usw. : Alle <math>\operatorname F_\sigma</math>, <math>\operatorname G_\delta</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math>,...-Mengen sind Borelmengen. Dieses Schema ermöglicht aber nicht, alle Borelmengen zu beschreiben, weil die Vereinigung von allen diesen Klassen im Allgemeinen bezüglich der Axiome einer <math>\sigma</math>-Algebra noch nicht abgeschlossen ist.<ref name="abz">Bei <math>\mathbb{R}^n</math> z.&nbsp;B. ist es erst unter Zuhilfenahme von transfiniten [[w:de:Ordinalzahl|Ordinalzahl]]en möglich, dieses System auf solche Weise fortzusetzen, dass alle Borelmengen von ihm erfasst werden (s. [[w:de:Bairesche Klasse#Verbindung zu den borelschen Mengen|bairesche Klassen: Verbindung zu den borelschen Mengen]]). Es gibt aber auch topologische Räume, in denen bereits allein die <math>\operatorname F_\sigma</math>- und <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen die ganze Klasse der Borelmengen ausschöpfen, wie z.&nbsp;B. in einem [[w:de:T1-Raum|T₁-Raum]] mit abzählbar vielen Punkten. Mehr zu diesem Thema kann in [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]]: ''Mengenlehre.'' 2., neubearbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1927, nachgelesen werden.</ref> * In der [[w:de:Deskriptive Mengenlehre|deskriptiven Mengenlehre]] bezeichnet man die offenen Mengen auch als <math>\Sigma^0_1</math>-Mengen, die <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_2</math>-Mengen, die <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_3</math>-Mengen etc. Komplemente von <math>\Sigma^0_n</math>-Mengen heißen <math>\Pi^0_n</math>-Mengen; so sind etwa die <math>\Pi^0_2</math>-Mengen genau die <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen. == Anwendung == Die Menge <math>\Omega</math> zusammen mit der borelschen σ-Algebra ist ein Messraum und liegt den [[w:de:Borelmaß|Borelmaß]]en als solcher zugrunde. Alle Elemente der borelschen σ-Algebra (die selbst Mengen sind) werden Borel-messbar genannt; nur diesen werden durch ein Borel-Maß Werte zugeordnet. == Siehe auch == * [[w:de:Bairesche σ-Algebra|Bairesche σ-Algebra]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[stetig Verteilung]] == Einzelnachweise == <references /> == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik]] == Literatur == * Sashi M. Srivastava: ''A course on Borels sets'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 180). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98412-7. * {{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} * {{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Jürgen Elstrodt|Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}} [[Kategorie:Σ-Algebra]] [[Kategorie:Topologie]] [[Kategorie:Maßtheorie]] [[Kategorie:Deskriptive Mengenlehre]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Borelsche_Sigma-Algebra] https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra * Datum: 8.12.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] k43zz4n6aq04f9l8pe28ydo64im554y 1117940 1117939 2026-10-27T16:54:42Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1117940 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''borelsche σ-Algebra''' ist ein [[w:de:Mengensystem|Mengensystem]] in der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] und essentiell für den axiomatischen Aufbau der modernen [[w:de:Stochastik|Stochastik]] und [[w:de:Integralrechnung|Integrationstheorie]]. Die borelsche σ-Algebra ist eine [[w:de:σ-Algebra|σ-Algebra]], die alle Mengen enthält, denen man naiverweise ein Volumen oder eine Wahrscheinlichkeit zuordnen will. === Potenzmenge der reellen Zahlen === Die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] der reellen Zahlen erfüllt in natürlicher Weise die Eigenschaften <math>\sigma</math>-[[w:de:σ-Algebra|-Algebra]]. Allerdings gibt es [[w:de:Teilmenge|Teilmengen]] <math>M\subset \mathbb{R}</math>, die z.B. mit dem [[w:de:Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] nicht [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbar]] ist. === Maßproblem - Potenzmenge === Wenn die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] zu mächtig ist, um darauf ein translationsinvariantes Maß (''nicht Wahrscheinlichkeitsmaß'') zu definieren, dass dem Intervall <math>[a,b]</math> als abgeschlossene Menge die Länge <math>b-a</math> zuordnet, muss die [[w:de:Potenz|Potenzmenge]] <math>\wp(\mathbb{R})</math> erweitert werden kann, muss man ein soches Maß ein "kleineres" Mengensystem von messbaren Mengen verwenden, das zumindest die abgeschlossenen Mengen <math>[a,b]</math> enthält. === Topologie und Sigma-Algebren === Als Anforderung an eine solche <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\mathbb{R}</math> wird einführend festgehalten, dass diese zumindest die abgeschlossenen Intervalle <math>[a,b]</math> enthalten soll. Die Abgeschlossenheit ist ein Begriff aus der [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]], die als Komplement von offenen Mengen definiert werden. Man verlangt für eine solche Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra daher, dass diese zumindest alle offenen Mengen enthält. Über die Komplementstabilität enthält diese "minimale" <math>\sigma</math>-Algebra dann auch alle abgeschlossenen Mengen und damit auch die Intervalle <math>[a,b] \subseteq \mathbb{R}</math>. === Stetige Funktionen und Messbarkeit === Die besondere Bedeutung erhält die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra dadurch, dass sie auf natürliche Weise an die Struktur von [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Räumen]] und damit sowohl an [[w:de:Metrischer Raum|metrische]] <math>(X,d)</math>, [[Normen, Metriken, Topologie|normierte Räume]] <math>(X,\|\cdot \|)</math> oder allgemein [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] <math>(V,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> angepasst ist. Dies zeigt sich unter anderem darin, dass bezüglich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra alle [[w:de:Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] immer [[w:de:Messbare Funktion|messbar]] sind. === Geschichtliche Bemerkung === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden '''Borel-Mengen''', '''borelsche Mengen''' oder auch '''Borel-messbare Mengen''' genannt. Die Namensgebung der σ-Algebra und der Mengen folgt zu Ehren von [[w:de:Émile Borel|Émile Borel]], der sie im Jahre 1898 erstmals implizit verwendete.<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 17. </ref> == Definition - Borelsche Sigma-Algebra == Gegeben sei ein [[w:de:topologischer Raum|topologischer Raum]] <math> (X, \mathcal{T} )</math>, wobei <math> \mathcal{T} </math> das Mengensystem der [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]] ist. Dann heißt die von <math> \mathcal{T} </math> [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|erzeugte -Algebra]] die borelsche σ-Algebra. Sie wird mit <math> \mathcal B (X) </math> bezeichnet oder, wenn die Menge <math> X </math> aus dem Kontext ersichtlich ist, auch als <math> \mathcal B </math>. === Erzeugendensystem der Sigma-Algebra === Die Borelsche-<math>\sigma</math>-Algebra ist die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Man kann die :<math>\mathcal B (X):= \sigma (\mathcal{T} ) := \bigcap_{\mathcal{S} \supseteq \mathcal{T}\, \sigma-Algebra} \mathcal{S} </math> wobei hier <math> \sigma( \cdot) </math> den <math>\sigma</math>-[[w:de:Σ-Algebra#σ-Operator|Operator]] bezeichnet. === Aufgabe 1 - abgeschlossene Menge === Begründen Sie für <math>\mathcal B (X)</math>, warum dieses Mengensystem auch alle abgeschlossenen Mengen enthält. === Konvergenz - Stetigkeit - Verteilungsfunktion === Bei dem Begriff der [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] werden * [[Kurs:Stochastik/diskrete Verteilung|diskrete]], * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|stetige]] und * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|absolut stetige]] Verteilungsfunktionen unterschieden. Um die Stetigkeit als Begriff für eine Abbildung <math>f: X \to Y</math> verwenden zu können, benötigt man im Definitionsbereich <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> und im Wertebereich <math>(Y,\mathcal{T}_Y)</math> jeweils einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]]. === Konvergenz === Aus der reellen Analysis kennt man den Begriff der Konvergenz. Diesen kann man auf unterschiedliche Klassen von topologischen Räumen ausdehnen. * (<math>\mathbb{R}</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{ }{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} | x_n - x_0 | < \varepsilon </math> * (<math>\mathbb{R}^n</math> - reelle Zahlen) <math> \stackrel{\|\cdot \|}{\displaystyle \lim_{ n \to \infty }} x_n = x_o :\Longleftrightarrow \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\, \underset{n_\varepsilon \in \mathbb{N}}{\exist} \,\, \underset{n > n_\varepsilon}{\forall} \| x_n - x_0 \| < \varepsilon </math> * (<math>\mathcal{T}</math> - Topologischer Raum) <math> \stackrel{ \mathcal{T} }{\displaystyle \lim_{ i \to \infty }} x_i = x_o :\Longleftrightarrow \underset{U \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(x_o)}{\forall} \,\, \underset{i_{_U} \in I}{\exist} \,\, \underset{i \succ i_{_U} }{\forall} x_i \in U </math> === Stetige Verteilung === Bei einer stetigen Verteilung benötigt man Stetigkeit als mathematische Eigenschaft der Verteilungsfunktion Sei <math>F:X \to [0,1]</math> die Verteilungsfunktion: :<math> \lim_{x \to x_o} F(x) = F(x_o) \mbox{ für alle } x_o \in X </math> === Bemerkungen === * Die borelsche σ-Algebra ist stets eindeutig bestimmt. * Eine borelsche σ-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines [[w:de:Messraum (Mathematik)|Messraums]] auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur wird der Raum dann auch Borel-Raum genannt. Es werden jedoch auch andere Messräume als Borel-Räume bezeichnet. * Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden Borel-Mengen genannt. Die Klasse der Borel-Mengen ist eine Unterklasse der Klasse der suslinschen oder auch [[w:de:Analytische Menge|analytischen Mengen]].<ref name="Al" /> == Die borelsche Sigma-Algebra auf den reellen Zahlen == Die Menge <math>\mathbb{R}</math> der reellen Zahlen wird üblicherweise mit der Topologie ausgestattet, die durch die offenen [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervalle]] <math>(a,b)</math> mit [[w:de:Rationale Zahl|rationalen]] Endpunkten <math>a,b\in \mathbb{Q}</math> aufgespannt wird. Damit ist die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra eine [[w:de:separable σ-Algebra|separable σ-Algebra]]. === Weitere Topologien auf den reellen Zahlen === Obwohl man in Einzelfällen auch andere Topologien auf <math>\mathbb{R}</math> betrachtet, gilt diese als die kanonische Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>, und die aus ihr abgeleitete borelsche σ-Algebra wird schlicht als ''die'' borelsche <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet. === Potenzmenge - Borelsche Sigma-Algebra === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> enthält nicht alle Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math>. Es lässt sich sogar zeigen, dass die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra von <math>\mathbb{R}</math> gleichmächtig zu <math>\mathbb{R}</math> ist, während die Menge aller Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math> eine echt größere Mächtigkeit als <math>\mathbb{R}</math> besitzt. === Erzeuger als Mengensystem === Die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wird nicht direkt definiert, sondern implizit über einen Erzeuger. Dies ist ein vorgegebenes Mengensystem <math> \mathcal{E} </math>, das die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra in dem Sinne erzeugt, dass sie die kleinste σ-Algebra ist, die alle Mengen des Erzeugers erhält. Für Details siehe [[w:de:Erzeuger einer σ-Algebra|Erzeuger einer <math>\sigma</math>-Algebra]]. Einige der möglichen Erzeuger sind die folgenden: * <math> \mathcal E_0= \{ A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist offen } \} </math> per Definition * <math> \mathcal E_1= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \}</math> oder <math> \mathcal E_2= \{ [a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \}</math> * <math> \mathcal E_3= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b \} </math> oder <math> \mathcal E_4= \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_5= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b \} </math> oder <math> \mathcal E_6= \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \mid a \leq b, \; a,b \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_7= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_8= \{ (- \infty,a] \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> * <math> \mathcal E_9= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{R} \} </math> oder <math> \mathcal E_{10}= \{ (- \infty,a) \mid a \in \mathbb{Q} \} </math> Insbesondere existieren offensichtlich mehrere Erzeuger für die borelsche σ-Algebra. Die borelsche σ-Algebra ist aber durch die Angabe eines Erzeugers eindeutig bestimmt. Dabei ist die Wahl des konkreten Erzeugers oft situationsabhängig. Häufig wählt man [[w:de:π-System|durchschnittsstabile Mengensysteme]] als Erzeuger, da bei ihnen nach dem [[w:de:Maßeindeutigkeitssatz|Maßeindeutigkeitssatz]] ein Maß schon durch die Angabe der Werte auf dem Erzeuger eindeutig bestimmt ist. Bei Verwendung von Verteilungsfunktionen bieten sich die Erzeuger <math> \mathcal E_7 </math> bis <math> \mathcal E_{10} </math> an. Für Approximationsargumente werden oft die Intervalle mit rationalen Grenzen verwendet. Insbesondere sind die hier aufgeführten Erzeuger <math> \mathcal E_5 </math> und <math> \mathcal E_6 </math> [[w:de:Halbring (Mengensystem)|Halbringe]] (wenn man jeweils <math>(a,a]:= \emptyset</math> definiert, so dass die Erzeuger die [[w:de:leere Menge|leere Menge]] enthalten). === Enthaltene Mengen === Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen sind reichhaltig. Sie enthält * alle [[w:de:Offene Menge|offenen Mengen]], alle [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Mengen]] und alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] * alle Intervalle der Form <math> (a,b), [a,b], (a,b], [a,b) </math> für <math> a,b \in \mathbb{R} </math> sowie <math> (- \infty, b), (- \infty, b], (a, \infty) </math> und <math> [a, \infty) </math> * alle Punktmengen, also Mengen der Form <math> \{a \} </math> für <math> a \in \mathbb{R} </math> und alle endlichen Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> und alle [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar unendlichen]] Teilmengen von <math> \mathbb{R} </math> * Aus den definierenden Eigenschaften von σ-Algebren folgt direkt, dass endliche und abzählbar unendliche Vereinigungen und Schnitte von Borelmengen wieder Borelmengen sind, ebenso die Differenz und das Komplement. * Ist <math> f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} </math> stetig, so sind auch [[w:de:Urbild (Mathematik)|Urbilder]] von Borelmengen wieder Borelmengen, insbesondere also auch [[w:de:Niveaumenge|Niveaumenge]]n, [[w:de:Subniveaumenge|Subniveaumenge]]n und [[w:de:Superniveaumenge|Superniveaumenge]]n. === Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen === Teils werden die reellen Zahlen um die Werte <math> \pm \infty </math> erweitert, man nennt dann entsprechend :<math>\overline{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{+ \infty, - \infty \} </math> die [[w:de:Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]]. Sie treten zum Beispiel bei der Untersuchung von [[w:de:Numerische Funktion|numerischen Funktionen]] auf. Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen wird dann erklärt durch :<math> \mathcal B(\overline{\mathbb{R}}):= \{ A \cup E \mid A \in \mathcal B (\mathbb{R}), \; E \subseteq \{- \infty, \infty\} \} </math>. Sie besteht demnach aus allen Borel-Mengen auf den reellen Zahlen sowie aus diesen Borel-Mengen vereinigt mit <math>\{\infty\}</math>, <math>\{-\infty\}</math> oder <math>\{\infty, -\infty\}</math>. == Weitere borelsche σ-Algebren == === Die borelsche σ-Algebra auf separablen metrischen Räumen === Gegeben sei ein [[w:de:Separabler Raum|separabler]] [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]] <math>(X,d)</math>. Die offenen Kugeln erzeugen als Basis eine Topologie, diese wird von der Metrik erzeugte Topologie genannt. Jede offene Menge ist aufgrund der Separabilität (welche im metrischen Fall zum zweiten [[w:de:Abzählbarkeitsaxiom|Abzählbarkeitsaxiom]] äquivalent ist) als abzählbare Vereinigung von offenen Kugeln zu schreiben. Die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die die offenen Kugeln enthält, enthält daher alle offenen Mengen und ist somit gleich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra. Auf den Spezialfall <math>X\subseteq\mathbb{R}^n</math> und <math>d</math> die [[w:de:Euklidischer Abstand|euklidische Metrik]] wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen. === Die borelsche σ-Algebra auf endlichdimensionalen reellen Vektorräumen === Auf den endlichdimensionalen Vektorräumen <math>\mathbb{R}^n</math> wird die kanonische Topologie von den <math>n</math>-dimensionalen Quadern <math>(a_1,b_1)\times\dotsb\times (a_n,b_n)</math> mit rationalen Koordinaten <math>a_i</math> und <math>b_i</math> aufgespannt. Sie ist gleichzeitig die <math>n</math>-fache [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]] der kanonischen Topologie auf <math>\mathbb{R}</math>. Die von ihr erzeugte borelsche σ-Algebra heißt analog zum eindimensionalen Fall die ''borelsche σ-Algebra auf <math>\mathbb{R}^n</math>''. === Borelsche Sigma-Algebra über komplexen Zahlen === Auf diese Art ist auch elegant die borelsche σ-Algebra der komplexen Zahlen erklärt: Man nutzt einfach die Vektorraumisomorphie zwischen <math>\mathbb{C}</math> und <math>\mathbb{R}^2</math>. === Nicht-borelsche Teilmengen des Grundraums === Teilmengen, die nicht zur borelschen <math>\sigma</math>-Algebra gehören, weisen in der Regel einen intuitiv "exotischen" Charakter auf. Im dreidimensionalen reellen Raum bilden die Mengen, die beim [[w:de:Banach-Tarski-Paradoxon|Banach-Tarski-Paradoxon]] Verwendung finden, ein Beispiel für solche, nicht zur borelschen <math>\sigma</math>-Algebra gehörende Teilmengen. == Die borelsche σ-Algebra auf allgemeinen topologischen Räumen == Die Eigenschaften der borelschen σ-Algebra in beliebigen [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]] hängen wesentlich von der Struktur des topologischen Raumes ab. Allgemein lässt sich nur sagen, dass die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra immer alle offenen (per Definition) und alle abgeschlossenen Mengen (aufgrund der Komplementstabilität) enthält. === Zusammenhang offen Mengen - Sigma-Algebra === Je mehr Struktur der topologische Raum besitzt, umso mehr Mengen enthält dann auch die borelsche <math>\sigma</math>-Algebra. Es gilt: * Ist der topologische Raum ein [[w:de:T1-Raum|T1-Raum]], so sind alle einelementigen Mengen in der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra enthalten. Damit sind auch alle endlichen Mengen, alle abzählbar unendlichen Mengen und alle Mengen mit endlichem oder abzählbar unendlichem Komplement in der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra enthalten. * Ist der topologische Raum ein [[Hausdorff-Raum]] (wie zum Beispiel ein [[w:de:metrischer Raum|metrischer Raum]]), so sind alle [[w:de:Kompakte Menge|kompakten Mengen]] abgeschlossen und damit in der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra enthalten. == Produkträume und die borelsche σ-Algebra == Sind zwei topologische Räume <math> (X_1, \mathcal O_1) </math> und <math> (X_2, \mathcal O_2)</math> gegeben, so lässt sich die borelsche σ-Algebra auf zweierlei Arten definieren: * Entweder man bildet den (topologischen) Produktraum <math> X_1 \times X_2 </math>, versehen mit der [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]], hier mit <math> \mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2 </math> bezeichnet. Die borelsche σ-Algebra auf <math> X_1 \times X_2 </math> kann dann als die borelsche σ-Algebra der Produkttopologie definiert werden, also als ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2) := \sigma (\mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2) </math> * oder man bildet zuerst die borelschen σ-Algebren der einzelnen topologischen Räume und dann deren [[w:de:Produkt-σ-Algebra|Produkt-σ-Algebra]], hier mit <math> \otimes </math> bezeichnet: ::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2):= \sigma (\mathcal O_1) \otimes \sigma (\mathcal O_2) </math> Tatsächlich stimmen beide Konstruktionen in vielen Fällen überein, auch wenn die Fragestellung auf Familien von topologischen Räumen <math> (X_i)_{i \in I} </math> ausgeweitet wird. Es gilt:<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 115. </ref> : Ist <math> (X_i)_{i \in I} </math> eine abzählbare Familie von topologischen Räumen, von denen jeder eine abzählbare [[w:de:Basis (Topologie)|Basis]] besitzt (also das [[w:de:Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]] erfüllt), und sei <math> X </math> das topologische Produkt all dieser Räume, so ist ::<math> \mathcal B (X)= \bigotimes_{i \in I} \mathcal B (X_i) </math>. Die borelsche σ-Algebra des Produktes ist also die Produkt-σ-Algebra der borelschen σ-Algebren. Die Aussage gilt also insbesondere für alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] metrischen Räume und damit auch für <math> \mathbb{R} </math>. Somit ist :<math> \mathcal B(\mathbb{R}^2)= \mathcal B(\mathbb{R}) \otimes \mathcal B (\mathbb{R}) </math>. == Nomenklatur für bestimmte Borel-Mengen == {{Hauptartikel|Borel-Hierarchie}} * In der Literatur hat sich folgende von [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]] eingeführte Bezeichnung für manche einfache Klassen von Borelmengen durchgesetzt:<ref name="Koe2001">Vladimir Kanovei, Peter Koepke: ''Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre.'' 2001, [http://www.math.uni-bonn.de/people/koepke/Preprints/Deskriptive_Mengenlehre_in_Hausdorffs_Grundzuegen_der_Mengenlehre.pdf uni-bonn.de (pdf; 267&nbsp;kB)].</ref><ref name="Al">Pavel S. Alexandroff: ''Lehrbuch der Mengenlehre.'' 6., überarbeitete Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1994, ISBN 3-8171-1365-X.</ref><ref name="Nat">Isidor P. Natanson: ''Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen.'' Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf Russisch bei [http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3790 INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk]).</ref> :- mit <math>\operatorname F_\sigma</math> werden alle Vereinigungen von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen bezeichnet, :- mit <math>\operatorname G_\delta</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen offenen Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>-Mengen, :- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen : usw. : Alle <math>\operatorname F_\sigma</math>, <math>\operatorname G_\delta</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math>,...-Mengen sind Borelmengen. Dieses Schema ermöglicht aber nicht, alle Borelmengen zu beschreiben, weil die Vereinigung von allen diesen Klassen im Allgemeinen bezüglich der Axiome einer <math>\sigma</math>-Algebra noch nicht abgeschlossen ist.<ref name="abz">Bei <math>\mathbb{R}^n</math> z.&nbsp;B. ist es erst unter Zuhilfenahme von transfiniten [[w:de:Ordinalzahl|Ordinalzahl]]en möglich, dieses System auf solche Weise fortzusetzen, dass alle Borelmengen von ihm erfasst werden (s. [[w:de:Bairesche Klasse#Verbindung zu den borelschen Mengen|bairesche Klassen: Verbindung zu den borelschen Mengen]]). Es gibt aber auch topologische Räume, in denen bereits allein die <math>\operatorname F_\sigma</math>- und <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen die ganze Klasse der Borelmengen ausschöpfen, wie z.&nbsp;B. in einem [[w:de:T1-Raum|T₁-Raum]] mit abzählbar vielen Punkten. Mehr zu diesem Thema kann in [[w:de:Felix Hausdorff|Felix Hausdorff]]: ''Mengenlehre.'' 2., neubearbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1927, nachgelesen werden.</ref> * In der [[w:de:Deskriptive Mengenlehre|deskriptiven Mengenlehre]] bezeichnet man die offenen Mengen auch als <math>\Sigma^0_1</math>-Mengen, die <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_2</math>-Mengen, die <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_3</math>-Mengen etc. Komplemente von <math>\Sigma^0_n</math>-Mengen heißen <math>\Pi^0_n</math>-Mengen; so sind etwa die <math>\Pi^0_2</math>-Mengen genau die <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen. == Anwendung == Die Menge <math>\Omega</math> zusammen mit der borelschen σ-Algebra ist ein Messraum und liegt den [[w:de:Borelmaß|Borelmaß]]en als solcher zugrunde. Alle Elemente der borelschen σ-Algebra (die selbst Mengen sind) werden Borel-messbar genannt; nur diesen werden durch ein Borel-Maß Werte zugeordnet. == Siehe auch == * [[w:de:Bairesche σ-Algebra|Bairesche σ-Algebra]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|stetig Verteilungen]] == Einzelnachweise == <references /> == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik]] == Literatur == * Sashi M. Srivastava: ''A course on Borels sets'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 180). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98412-7. * {{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} * {{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}} * {{Literatur|Autor=[[w:de:Jürgen Elstrodt|Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}} [[Kategorie:Σ-Algebra]] [[Kategorie:Topologie]] [[Kategorie:Maßtheorie]] [[Kategorie:Deskriptive Mengenlehre]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Borelsche%20Sigma-Algebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra Borelsche_Sigma-Algebra] https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_Sigma-Algebra * Datum: 8.12.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] fd3b3tu2weehy2h5x67azfz81h86gj1 4 170347 1117990 1115078 2026-10-28T03:52:48Z SpBot 3178 Archiviere 5 Abschnitte von [[Wikiversity:Cafeteria]] (ab Abschnitt [[Wikiversity:Cafeteria/Archiv/2026#Einbindung_des_Links_zu_den_Rechts-_und_Sicherheitskontakten_in_die_Fußzeile_Ihres_Wikis|Einbindung_des_Links_zu_den_Rechts-_und_Sicherheitskontakten_in_die_Fußzeile_Ihres_Wikis]]) 1117990 wikitext text/x-wiki {{Archiv|Wikiversity:Cafeteria}} == Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 == Dear Wikimedia communities, We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year. ''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.'' In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects. We invite you to explore the ''Wiki Loves Ramadan 2026'' [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026|Meta page]] to learn how you can participate and [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026/Participating communities|sign up]] your community. 📷 ''Photo campaign on '' [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan 2026|Wikimedia Commons]] If you have questions about the project, please refer to the FAQs: * [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan/FAQ/|Meta-Wiki]] * [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan/FAQ|Wikimedia Commons]] ''Early registration for updates is now open via the '''[[m:Special:RegisterForEvent/2710|Event page]]''''' ''Stay connected and receive updates:'' * [https://t.me/WikiLovesRamadan Telegram channel] * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/wikilovesramadan.lists.wikimedia.org/ Mailing list] We look forward to collaborating with you and your community. '''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 20:44, 16. Jan. 2026 (CET) == Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) == Hello everyone, This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as <code>Module:Itemgroup/list</code>). '''The Change:'''<br /> Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''. '''What You Need To Do:'''<br /> To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search. '''Deadline:'''<br /> We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles. Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 19:11, 3. Apr. 2026 (CEST) == Jährliche Überprüfung des Universal Code of Conduct und der Durchsetzungsrichtlinien == <section begin="announcement-content" /> Ich möchte euch gerne darüber informieren, dass die jährliche Überprüfungsphase für den Universal Code of Conduct und die Durchsetzungsrichtlinien nun begonnen hat. Ihr könnt bis zum 9. Februar 2026 Änderungsvorschläge einreichen. Dies ist der erste von mehreren Teilschritten, die im Rahmen der jährlichen Überprüfung unternommen werden. Weitere Informationen und eine Diskussion, an der ihr teilnehmen könnt, finden sich auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|UCoC-Seite auf Meta]]. Das [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) ist eine globale Gruppe, die sich für eine gerechte und einheitliche Umsetzung des UCoC einsetzt. Diese jährliche Überprüfung wird vom U4C geplant und durchgeführt. Weitere Informationen und die Aufgaben des U4C findet ihr in der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|U4C-Satzung]]. Bitte leitet diese Informationen an andere Mitglieder aus eurer Community weiter, wo immer dies angemessen ist. -- In Zusammenarbeit mit dem U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|Diskussion]])<section end="announcement-content" /> 22:02, 19. Jan. 2026 (CET) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 17:37, 25. Mai 2026 (CEST)</small> == [[Benutzer:Methodios]]‘ Sperre in Wikipedia == Da der entsprechende Benutzer [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Vandalismusmeldung&diff=prev&oldid=264177803 in der Wikipedia wegen klarem Rassismus (11. Februar 2026) gesperrt] wurde, sollte man auch hier darüber nachdenken, ob man dem Benutzer die Schreibrechte entzieht. Ich meine, er ist ja auch hier oft wegen ähnlicher Aussagen aufgefallen. [[Spezial:Beiträge/&#126;2026-94362-3|&#126;2026-94362-3]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-94362-3|Diskussion]]) 13:43, 11. Feb. 2026 (CET) : Was hätte man anderes erwarten sollen? Das musste ja so kommen. -[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-12113-21|&#126;2026-12113-21]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-12113-21|Diskussion]]) 19:21, 23. Feb. 2026 (CET) :: Anscheinend versucht Herr Methodios die Diskussion zu stören. Kein Wunder, wo man jetzt seine Gesinnung entlarvt hat. Die falsche Unterschrift habe ich jedenfalls entfernt, da es Vandalismus war.-[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-19907-85|&#126;2026-19907-85]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-19907-85|Diskussion]]) 16:42, 31. Mär. 2026 (CEST) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 17:37, 25. Mai 2026 (CEST)</small> == Jährliche Überprüfung des Universal Code of Conduct und der Durchsetzungsrichtlinien == <section begin="announcement-content" /> Ich möchte euch gerne darüber informieren, dass die jährliche Überprüfungsphase für den Universal Code of Conduct und die Durchsetzungsrichtlinien nun begonnen hat. Ihr könnt bis zum 9. Februar 2026 Änderungsvorschläge einreichen. Dies ist der erste von mehreren Teilschritten, die im Rahmen der jährlichen Überprüfung unternommen werden. Weitere Informationen und eine Diskussion, an der ihr teilnehmen könnt, finden sich auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|UCoC-Seite auf Meta]]. Das [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) ist eine globale Gruppe, die sich für eine gerechte und einheitliche Umsetzung des UCoC einsetzt. Diese jährliche Überprüfung wird vom U4C geplant und durchgeführt. Weitere Informationen und die Aufgaben des U4C findet ihr in der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|U4C-Satzung]]. Bitte leitet diese Informationen an andere Mitglieder aus eurer Community weiter, wo immer dies angemessen ist. -- In Zusammenarbeit mit dem U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|Diskussion]])<section end="announcement-content" /> 22:02, 19. Jan. 2026 (CET) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 17:37, 25. Mai 2026 (CEST)</small> == [[Benutzer:Methodios]]‘ Sperre in Wikipedia == Da der entsprechende Benutzer [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Vandalismusmeldung&diff=prev&oldid=264177803 in der Wikipedia wegen klarem Rassismus (11. Februar 2026) gesperrt] wurde, sollte man auch hier darüber nachdenken, ob man dem Benutzer die Schreibrechte entzieht. Ich meine, er ist ja auch hier oft wegen ähnlicher Aussagen aufgefallen. [[Spezial:Beiträge/&#126;2026-94362-3|&#126;2026-94362-3]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-94362-3|Diskussion]]) 13:43, 11. Feb. 2026 (CET) : Was hätte man anderes erwarten sollen? Das musste ja so kommen. -[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-12113-21|&#126;2026-12113-21]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-12113-21|Diskussion]]) 19:21, 23. Feb. 2026 (CET) :: Anscheinend versucht Herr Methodios die Diskussion zu stören. Kein Wunder, wo man jetzt seine Gesinnung entlarvt hat. Die falsche Unterschrift habe ich jedenfalls entfernt, da es Vandalismus war.-[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-19907-85|&#126;2026-19907-85]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-19907-85|Diskussion]]) 16:42, 31. Mär. 2026 (CEST) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 17:37, 25. Mai 2026 (CEST)</small> == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:58, 26. Apr. 2026 (CEST) </bdi> Beim recherchieren vielen mir vor kurzem einige Lücken des Lexikon bei den englischsprachigen Wissenschaftlern auf. Vielleicht kann ich da demnächst ein paar Namen unter Relevanzaspekten ergänzen oder einen stub dazu verfassen. Schönen Mai.[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-26314-20|&#126;2026-26314-20]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-26314-20|Diskussion]]) 09:09, 1. Mai 2026 (CEST) == 2FA == Wikimedia hat beschlossen, daß für alle <s>Hausmeister</s> "Benutzer mit erweiterten Rechten" eine Zweifaktorenautorisierung erzwungen wird. Somit endet meine Tätigkeit hier als Pedell nach knapp 17 Jahren. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 18:48, 15. Mai 2026 (CEST) :Um Missverständnisse bei Mitlesenden zu vermeiden: "Benutzer mit erweiterten Rechten" beinhaltet (bisher) nicht normale Admins, sondern nur Gruppen, die darüber hinausgehen (also z.B. Bürokraten). Siehe [[:m:Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights/de]]. [[Benutzer:Johannnes89|Johannnes89]] ([[Benutzer Diskussion:Johannnes89|Diskussion]]) 07:14, 16. Mai 2026 (CEST) ::Hallo Ralf, ich hab da keine richtige Meinung zu, ob diese Änderung für Wikiversity sinnvoll, übertrieben, doof ist. Mir ist nicht klar, was du daran so schlimm findest, dass du dich als Pedell zurückziehen willst. Fänd ich jedenfalls schade. Gruß, [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:50, 30. Mai 2026 (CEST) :::Ich verstehe das Ganze einfach nicht. Versteh mich nicht falsch, ich habe Informatik unterrichtet, Assembler, Maschine, LISP, Fortran usw. Ich bin also nicht völlig ahnungslos, aber der ganze Hokuspokus erschließt sich mir nicht. Daß sowas bei Onlinebanking erforderlich ist, verstehe ich ja noch, aber da ist es auch einfach gemacht. Fingerabdruck eingeben und das wars. Jetzt soll ich einen Sicherheitsschlüssel kaufen, dafür extra Software installieren, um damit einen Fingerabdruck zu registrieren. Ich versuche es heute nochmal. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 19:41, 1. Jun. 2026 (CEST) ::::Hallo Ralf, ich fand es auch nicht einfach und nervig, da ich eigentlich kein Handy hab und für solche Sachen dann das alte von X nehme. Jedenfalls hab ich aufs Handy die App 'open authenticator' runtergeladen (meine erste App runterladen, NB: für die empfohlene App war das Handy schon zu alt!). Dann musste man dort aktivieren, dass die App Zugriff auf die Kamera hat (Dank an X), um damit dann diesen QR-Code aus den Einstellungen hier zu fotografieren. Das stellt die Verbindung zwischen der App und Wikiversity her. Wenn man dann sich anmeldet, fragt das Login noch nach dem Code, da muss man auf die App gehen und die zeigt einen sechstelligen Zahlencode an, den man eingeben muss. Das hat jedenfalls geklappt. Aber trivial find ich das Ganze auch nicht, wenn man sonst kein Handy verwendet. An der Uni konnte ich mich dann nicht einloggen, da ich es nicht dabei hatte. Zur anderen 2FA-Möglichkeit kann ich nix sagen. Ich frage mich aber schon, ob das dem inklusiven Gedanken der Wikipedia entspricht, solche technischen Hürden aufzubauen. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 09:00, 3. Jun. 2026 (CEST) :::::Ich habe zwar ein Telefon aber ich darf weder da drauf noch auf dem Laptop einfach irgendwelche Software installieren. Ich fahre Ende der Woche mal ins Büro von WMDE, vielleicht bekommen die es hin. Das ist aber dann der letzte Versuch. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 20:24, 8. Jun. 2026 (CEST) ::::::Vielen Dank an [[Benutzer:DerHexer|DerHexer]], alleine hätte ich das nie geschafft. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 16:45, 11. Jun. 2026 (CEST) :::::::Gut! [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 16:05, 12. Jun. 2026 (CEST) == Jetzt bei den U4C-Wahlen 2026 abstimmen == <section begin="announcement-content" /> Die stimmberechtigten Wähler werden gebeten, an der Wahl des [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] 2026 teilzunehmen. Weitere Informationen - einschließlich einer Prüfung der eigenen Stimmberechtigung, Informationen zum Abstimmungsprozess, Kandidateninformationen und einem Link zur Abstimmung - findest du auf Meta auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Informationsseite der Wahlen 2026]]. Die Abstimmung endet am 2. Juni 2026 um [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 Uhr UTC]. Bitte stimme ab, wenn dein Konto stimmberechtigt ist. Die Ergebnisse werden bis zum 14. Juni 2026 vorliegen.<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:15, 27. Mai 2026 (CEST) == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|Diskussion]])</bdi> 19:12, 23. Jun. 2026 (CEST) == Einbindung des Links zu den Rechts- und Sicherheitskontakten in die Fußzeile Ihres Wikis == <section begin="Message"/> '''Rechtliche Hinweise und Sicherheitshinweise''' Hallo Community, die Wikimedia Foundation hat eine [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|zentrale Kontaktseite für Rechts- und Sicherheitsfragen]] bereitgestellt, die in der Fußzeile eures Wikis verlinkt werden soll, um den Zugriff auf korrekte rechtliche Informationen zu gewährleisten. Dies ist eine gesetzliche Vorgabe. Wir haben bereits Links zu den englischen, deutschen, italienischen, spanischen und anderen Wikis eingerichtet und werden diese in Kürze auch in eurem Wiki einrichten. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|Bitte lest mehr dazu auf der Projektseite]] und hinterlasst eure Kommentare in diesem Thread oder auf der [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|Diskussionsseite]]. <section end="Message"/> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 15:31, 25. Jun. 2026 (CEST) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 13:36, 24. Okt. 2026 (CEST)</small> == Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies if this has not yet been translated into your wiki's language. {{int:Please-translate}} You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}} [[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]]) 14:25, 24. Jul. 2026 (CEST) </bdi> :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 13:36, 24. Okt. 2026 (CEST)</small> == Server-Wechsel - Euer Wiki wird bald kurzzeitig im nur-lesbaren Modus sein == <section begin="server-switch"/><div class="plainlinks"> [[:m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|In einer anderen Sprache lesen]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-Tech%2FServer+switch&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}] Die [[foundation:|Wikimedia-Foundation]] wird den Datenverkehr zwischen ihren Rechenzentren wechseln. Dadurch sollen Wikipedia und die anderen Wikimedia-Wikis auch nach einem Notfall erreichbar bleiben. Der gesamte Datenverkehr wird am '''{{#time:j. F Y|2026-09-23|de}}''' umgeleitet. Der Test wird um '''[https://zonestamp.toolforge.org/{{#time:U|2026-09-23T14:00|en}} {{#time:H:i e|2026-09-23T14:00}}]''' (17:00 MESZ) beginnen. Leider können aufgrund einiger Einschränkungen der [[mw:Special:MyLanguage/Manual:What is MediaWiki?|MediaWiki]]-Software keine Bearbeitungen vorgenommen werden, während die Umschaltung duchgeführt wird. Wir entschuldigen uns für diese Unterbrechung, und wir werden uns bemühen, derartige Einschränkungen in der Zukunft auf ein Minimum zu beschränken. Auf allen Wikis wird 30 Minuten im Voraus ein Banner erscheinen. Dieses Banner bleibt bis zum Ende des Vorgangs sichtbar. Du kannst zur [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ATranslate&group=Centralnotice-tgroup-read_only_banner&task=view&language=&filter=&action=translate Übersetzung oder zum Korrekturlesen] dieses Bannertextes beitragen. '''Für eine kurze Zeit können zwar alle Wikis gelesen, aber nicht bearbeitet werden.''' * Am {{#time:j. F Y|2026-09-23|de}} wird bis zu eine Stunde lang das Bearbeiten nicht möglich sein. * In dieser Zeit wird beim Versuch, Bearbeitungen zu speichern, eine Fehlermeldung ausgegeben. Wir hoffen, dass dadurch keine Bearbeitungen verloren gehen, können das aber leider nicht garantieren. Falls eine Fehlermeldung erscheint, warte bitte, bis alles wieder normal ist. Dann sollte es möglich sein, die Bearbeitungen zu speichern. Sicherheitshalber empfehlen wir jedoch, dass du zunächst eine Kopie deiner Änderungen machst. ''Weitere Folgen:'' * Im Hintergrund ablaufende Prozesse (eingebundene Skripte beispielsweise) werden langsamer als sonst ablaufen, einige werden möglicherweise gar nicht ausgeführt. Es kann vorkommen, dass Rotlinks nicht so schnell wie üblich aktualisiert werden. Falls du einen Artikel erstellst, der bereits an einer anderen Stelle verlinkt ist, dann wird der Link an dieser Stelle länger rot bleiben als üblich. Einige lang laufende Skripte werden wir stoppen müssen. * Wir gehen davon aus, dass die Codebereitstellung wie in jeder anderen Woche erfolgen wird. Allerdings kann es von Fall zu Fall zu einem Code-Freeze kommen, wenn der Vorgang dies erfordert. * [[mw:Special:MyLanguage/GitLab|GitLab]] wird für etwa 90 Minuten nicht verfügbar sein. Falls nötig, kann der Test verschoben werden. Der Zeitplan ist [[wikitech:Switch_Datacenter|unter wikitech.wikimedia.org zu finden]]. Einzelheiten sind dem Plan zu entnehmen. '''Bitte gib diese Benachrichtigung an deine Community weiter!'''</div><section end="server-switch"/> [[m:user:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] 14:58, 15. Sep. 2026 (CEST) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 13:36, 24. Okt. 2026 (CEST)</small> == Your feedback wanted: Remove ''(Language link added:) and similar'' edits from Special:RecentChanges == ''(Apologies for posting in English. You can help by translating it)'' Hello, I’m Danny from [[:en:w:Wikimedia_Deutschland|Wikimedia Deutschland’s]] [[m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects|Wikidata For Wikimedia Projects]] team.<br/> We have been investigating and examining how Wikidata’s use in the [[Special:RecentChanges]] and [[Special:Watchlist]] pages can be made to be more useful, or less ‘noisy’ (fewer edits that have little value to the reader). We are currently exploring to make a change in the volume and the type of Wikidata edits that appear in these pages, and '''we need your feedback''' to help us ensure this is a positive change for the Wikis and won’t disrupt your workflows.<br/> Language links are also known as sitelinks or interlanguage links and describe when a Wikidata item is connected to a Wiki, adding it to the language dropdown tool for other connected Wikis. [[File:Types of Lang Link changes.png|x350px|frame|A variety of "Language Link" edits as seen in the Recent Changes feed]] The request for feedback is whether you support the removal of these language link edits from the Recent Changes and Watchlist feed, or would you oppose such a change and if so, why? Please share you thoughts on the dedicated '''[[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|metawiki Talk page]]'''. Further information about this change: [[m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Hide_Language_Link_edits]] Thank you for any participation or feedback you give, -- [[m:User:Danny_Benjafield_(WMDE)|User:Danny Benjafield (WMDE)]] 14:23, 25. Sep. 2026 (CEST) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 13:36, 24. Okt. 2026 (CEST)</small> == Wikidata Sitelink changes in Recent Changes and Watchlist == ''(Apologies for cross-posting in English, translating it will help spread the message)'' Editors on group 1 wikis, including Wikiquote, Wikibooks, Wikiversity, Wikivoyage, and Wikisource, will no longer see notifications on [[Special:RecentChanges|Recent Changes]] and [[Special:Watchlist|Watchlist]] when a link to ''another'' language version of a page is added, removed, or changed in its Wikidata item. This change will begin on '''October 5 at 07:00 UTC''' as a two-week trial to reduce high-volume, low-value notifications and make higher-value changes easier to identify. Editors who rely on these notifications should be aware of the change and can share feedback or concerns on the [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|project]] or [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|talk page]].<br/>Please reach out if you have any questions, thank you! -- [[User:Danny_Benjafield_(WMDE)|Danny Benjafield (WMDE)]] ([[User_talk:Danny_Benjafield_(WMDE)|talk]]) sent via [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 14:42, 1. Okt. 2026 (CEST) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 13:36, 24. Okt. 2026 (CEST)</small> tkcnbq7onh4olciw1s8u34swalo6t4p 106 171041 1117977 1115365 2026-10-27T17:35:55Z Bocardodarapti 2041 1117977 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|25| {{Zwischenüberschrift|Faktorielle Ringe}} {{:Kommutativer Ring/Faktoriell/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Faktorzerlegung in noetherschen Integritätsbereichen}} {{ inputfaktbeweis |Noetherscher Integritätsbereich/Zerlegung in irreduzible Elemente/Fakt|Lemma|| }} Mit einem ähnlichen Argument kann man die folgende Aussage beweisen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Noetherscher Integritätsbereich/Faktorzerlegung/Exponentschranke/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Stetige Funktionen/R/Teilbarkeitseigenschaften/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Noetherscher Integritätsbereich/Faktoriell/Primideale der Höhe 1/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Integritätsbereich/Primelement/Nenneraufnahme/Rückübersetzung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Integritätsbereich/Primelement/Nenneraufnahme/Faktoriell/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfakt |Polynomring/Über faktoriellem Ring/Ist faktoriell/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Faktorialität regulärer Ringe}} {{:Lokaler regulärer Ring/Faktoriell/Textabschnitt}} In der Dimension {{math|term= 1 |SZ=}} ist faktoriell und regulär äquivalent, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt |Nr= |SZ=. }} In der Dimension {{math|term= 2 |SZ=}} gibt es neben den regulären Ringen nur noch einen {{ Zusatz/Klammer |text=nach Komplettierung| |ISZ=|ESZ= }} weiteren faktoriellen Ring. {{ inputfakt |E8-Singularität/Faktoriell/Fakt|Satz|| }} {{ inputbemerkung |Isolierte Singularität/Ideal/Invertierbar/Bemerkung||zusatz1=, siehe die 9. und die 10. Vorlesung. }} }} gk59x40ui9gsvtw69dmqp2t2kn522ud 106 172597 1117932 1114491 2026-10-27T15:41:31Z Paul Sutermeister 37610 "Lern-Story" eingefügt 1117932 wikitext text/x-wiki '''Einsetzen von Technologien der digitalen Arbeitswelt''' ist '''[[:w:Handlungskompetenzbereich|Handlungskompetenzbereich E]]''' der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Handlungskompetenzbereich|HKB]] zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Applikationen im kaufmännischen Bereich anwenden|E1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Informationen im wirtschaftlichen und kaufmännischen Bereich recherchieren und auswerten|E2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Markt- und betriebsbezogene Statistiken und Daten auswerten und aufbereiten|E3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebsbezogene Inhalte multimedial aufbereiten|E4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Technologien im kaufmännischen Bereich einrichten und betreuen (Option «Technologie»)|E5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Grosse Datenmengen im Unternehmen auftragsbezogen auswerten (Option «Technologie»)|E6]] +----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Applikationen im kaufmännischen Bereich anwenden|Applikationen im kaufmännischen Bereich anwenden]] -+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Informationen im wirtschaftlichen und kaufmännischen Bereich recherchieren und auswerten|Informationen im wirtschaftlichen und kaufmännischen Bereich recherchieren und auswerten]] --+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Markt- und betriebsbezogene Statistiken und Daten auswerten und aufbereiten|Markt- und betriebsbezogene Statistiken und Daten auswerten und aufbereiten]] ---+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebsbezogene Inhalte multimedial aufbereiten|Betriebsbezogene Inhalte multimedial aufbereiten]] ----+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Technologien im kaufmännischen Bereich einrichten und betreuen (Option «Technologie»)|Technologien im kaufmännischen Bereich einrichten und betreuen (Option «Technologie»)]] -----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Grosse Datenmengen im Unternehmen auftragsbezogen auswerten (Option «Technologie»)|Grosse Datenmengen im Unternehmen auftragsbezogen auswerten (Option «Technologie»)]] </quiz> = Story = Alle Storys spielen bei der Velo Meier AG in Bern, einem KMU mit Veloladen und Onlineshop. Die Hauptfigur ist Lea, Lernende im 1. Lehrjahr. Jede Story zeigt eine Situation, in der genau dieses eine Lernziel gefragt ist. Die Zeile «Der Unterschied» grenzt es von den ähnlichen Lernzielen ab. ==e1 – Applikationen anwenden == e1.bs1a – Office-Programme sicher anwenden Der Chef will bis Mittag 200 Kunden zum Frühlingsfest einladen, jeden mit seinem eigenen Namen. Lea schreibt nicht 200 Briefe, sondern macht einen Serienbrief und ist in 20 Minuten fertig. Der Unterschied: Hier geht es ums eigene Können mit dem Werkzeug, nicht ums Erklären, Reparieren oder Absichern. e1.bs1b – Cloud-Arbeit verstehen Lea speichert die Offerte in der Cloud und kann sie am Abend am Handy weiterbearbeiten. Dann fällt das Internet aus, und niemand kommt mehr an die Datei. Der Unterschied: Lea muss die Cloud nicht bedienen, sondern verstehen, was sie bringt und was sie kostet. e1.bs2a – Anderen Software erklären Der 60-jährige Buchhalter fragt Lea zum dritten Mal, wie man ein PDF erstellt. Lea macht ihm eine Anleitung mit fünf Screenshots, und er fragt nie wieder. Der Unterschied: Nicht Lea muss es können, sondern jemand anders. e1.bs3a – Updates erklären Der Lehrling im Lager klickt seit Monaten auf «Später erinnern». Lea erklärt ihm, warum ein Update Sicherheitslücken schliesst und wieso man vorher sichert. Der Unterschied: Erklären, warum und in welcher Reihenfolge, nicht selbst aktualisieren. e1.bs3b – Programme, Datenbanken und CMS aktualisieren Die neuen E-Bikes sind da, aber im Onlineshop stehen noch die alten Preise. Lea loggt sich im CMS ein, ändert Preise und Bilder und schaltet die Seite live. Der Unterschied: Hier macht Lea das Update selbst, an Inhalten und Programmen. e1.bs4a – Datensicherheit und Datenschutz umsetzen Eine Mail «Ihr Postfach ist voll – hier klicken» landet bei Lea. Sie klickt nicht, meldet sie der IT und merkt, dass ihr Passwort «Velo2024» auch keine gute Idee war. Der Unterschied: Es geht um Schutz vor Schaden, nicht um Bedienung oder Reparatur. e1.bs5a – Alltägliche IT-Probleme lösen Kurz vor Ladenschluss druckt der Drucker nicht mehr. Lea prüft Kabel, Papier und Warteschlange, startet neu, und es läuft wieder, ohne dass die IT kommen muss. Der Unterschied: Etwas funktioniert nicht, und Lea bringt es selbst wieder zum Laufen. e1.bs7a – Energie sparen am IT-Arbeitsplatz Am Montagmorgen merkt Lea, dass das ganze Wochenende sechs Bildschirme und der Drucker gelaufen sind. Sie richtet den Energiesparmodus ein und hängt einen Zettel an die Tür. Der Unterschied: Das einzige Lernziel, bei dem es um Strom und Umwelt geht, nicht um Daten. == e2 – Recherchieren und auswerten == e2.bs1a – Gezielt recherchieren Der Chef will wissen, was ein Lastenvelo bei der Konkurrenz kostet. Lea tippt nicht einfach «Velo» ein, sondern sucht mit «Lastenvelo Preis site:ch» und hat nach fünf Minuten zehn brauchbare Treffer. Der Unterschied: Es geht um das Wie des Suchens, nicht um die Prüfung der Treffer. e2.bs2a – Sicher im Internet recherchieren Bei der Suche öffnet sich eine Seite mit «Sie haben ein iPhone gewonnen!». Lea erkennt die falsche URL, schliesst den Tab und blockiert Cookies von Drittanbietern. Der Unterschied: Hier schützt Lea ihren Computer beim Suchen, nicht die Firmendaten allgemein. e2.bs3a – Quellen auf Qualität prüfen Ein Blog behauptet, E-Bikes seien ab 2027 verboten. Lea fragt sich: Wer schreibt das? Wann? Mit welchen Belegen? Der Blog gehört einem Autohändler und ist von 2019. Der Unterschied: Lea beurteilt die Quelle als Ganzes, nicht einzelne Zahlen. e2.bs3b – Relevantes im Auftrag erkennen Der Auftrag lautet: «Finde heraus, ob sich ein Stand an der Velomesse Zürich lohnt.» Lea notiert zuerst, was sie wirklich braucht: Standkosten, Besucherzahl, Datum, und sucht erst dann. Der Unterschied: Das passiert vor der Suche, beim Lesen des Auftrags. e2.bs3c – Ergebnisse plausibilisieren Lea findet: «In der Schweiz werden jährlich 3 Millionen E-Bikes verkauft.» Bei 9 Millionen Einwohnern stutzt sie, prüft eine zweite Quelle und findet rund 200'000. Der Unterschied: Die Quelle wirkt seriös, aber die Zahl kann trotzdem nicht stimmen. e2.bs4a – Informationen empfängergerecht aufbereiten Lea hat 15 Seiten Material zur Velomesse. Der Chef hat zwei Minuten Zeit. Sie macht eine halbe Seite mit drei Punkten, einer Tabelle und einer Empfehlung. Der Unterschied: Das Finden ist vorbei; jetzt zählt, was beim Empfänger ankommt. e2.bs5a – Urheberrecht und Datenschutz einhalten Für den Newsletter kopiert Lea ein tolles Velofoto von Google. Zum Glück fragt sie vorher: Das Bild gehört einem Fotografen, und die Rechnung wäre teurer als der Newsletter. Der Unterschied: Die Frage ist nicht, ob etwas stimmt, sondern ob man es verwenden darf. == e3 – Statistiken und Daten == e3.bs1a – Analysemethoden erklären Der Durchschnittspreis der verkauften Velos ist 2'400 Franken, weil ein Kunde ein Rennvelo für 15'000 gekauft hat. Lea erklärt dem Chef, warum hier der Median ehrlicher ist. Der Unterschied: Lea rechnet nicht, sie erklärt, welche Methode wann passt. e3.bs1b – Statistiken erstellen und lesen Aus der Verkaufsliste macht Lea ein Diagramm: Im März explodieren die Verkäufe, im November ist Flaute. Jetzt sieht man, was vorher in 300 Zeilen versteckt war. Der Unterschied: Aus Rohdaten eine Statistik bauen und ablesen, was sie zeigt. e3.bs1c – Daten auswerten Wie viele Reparaturen gab es letztes Jahr bei E-Bikes? Lea filtert die Liste, nutzt ZÄHLENWENN und hat die Antwort: 412. Der Unterschied: Eine konkrete Frage mit Excel aus den Daten herausrechnen. e3.bs2a – Statistiken zielgruppengerecht präsentieren Lea zeigt dem Verwaltungsrat ihre Verkaufszahlen. Statt einer Tabelle mit 12 Spalten zeigt sie ein Säulendiagramm mit einer roten Linie und dem Satz: «E-Bikes überholen klassische Velos.» Der Unterschied: Die Zahlen sind fertig; jetzt geht es darum, wie sie beim Publikum ankommen. e3.bs3a – Kennzahlen berechnen und deuten Der Umsatz ist um 10 Prozent gestiegen, alle jubeln. Lea berechnet die Marge und merkt: Wegen der Rabatte bleibt pro Velo weniger übrig als im Vorjahr. Der Unterschied: Eine Kennzahl allein sagt wenig; erst die Deutung zeigt, wie es dem Betrieb wirklich geht. == e4 – Multimedial aufbereiten == e4.bs1a – Bild, Ton und Film gestalten Leas erstes Produktvideo: Das Velo steht genau in der Mitte, im Hintergrund rauscht der Kompressor. Beim zweiten Versuch nutzt sie die Drittelregel, ein Ansteckmikrofon und warmes Licht, und plötzlich wirkt das Velo teuer. Der Unterschied: Es geht um die Wirkung, also wie etwas aussieht und klingt. e4.bs1b – Drehbuch erklären Lea will sofort filmen. Ihre Berufsbildnerin fragt: «Was sieht man in Szene 3? Was sagt wer? Wie lange?» Lea merkt, dass ohne Drehbuch der halbe Drehtag verloren geht. Der Unterschied: Planung vor dem Dreh, noch keine Kamera im Spiel. e4.bs1c – Passende Tools wählen Für die Einladung zum Frühlingsfest überlegt Lea: Word? PowerPoint? Canva? Ein Video? Sie wählt Canva, weil sie die Einladung als Post auf Instagram und als A5-Flyer braucht. Der Unterschied: Noch nichts gestalten, nur das richtige Werkzeug begründet auswählen. e4.bs1d – Gestaltungsentwurf erstellen Lea entwirft den Flyer: Titel oben, ein grosses Bild, drei Infos, Logo unten rechts. Bevor er gedruckt wird, zeigt sie den Entwurf dem Chef. Der Unterschied: Ein Entwurf für ein Dokument auf Papier oder Bildschirm, nicht ein Video. e4.bs1e – Multimediale Inhalte erstellen und präsentieren Lea nimmt einen Screencast auf, der zeigt, wie man im Onlineshop eine Reparatur bucht. Sie schneidet ihn, legt Musik darunter, exportiert ihn als MP4 und stellt ihn im Team vor. Der Unterschied: Von der Aufnahme bis zum fertigen Produkt, alles in einem. e4.bs3a – Vorlagen erarbeiten Jeder in der Firma macht Offerten anders: andere Schrift, anderes Logo, andere Farben. Lea baut eine Word-Vorlage mit Formatvorlagen und Logo, und ab jetzt sehen alle Offerten gleich aus. Der Unterschied: Lea gestaltet nicht ein Dokument, sondern die Grundlage für alle künftigen. == e5 – Technologien betreuen (Option Technologie) == e5.bs1a – Strukturen für Datenbanken und CMS anlegen Die Kundendaten liegen in drei Excel-Listen, jede anders aufgebaut. Lea plant eine Datenbank: eine Tabelle für Kunden, eine für Velos, eine für Reparaturen, sauber verknüpft. Der Unterschied: Lea entwirft das Gerüst, bevor überhaupt Daten drin sind. e5.bs2a – Datenbanken und CMS aufbauen und pflegen Die neue Website soll eine Rubrik «Occasionen» bekommen. Lea legt die Seite im CMS an, vergibt Rechte für die Werkstatt und hält sie danach jede Woche aktuell. Der Unterschied: Mehr als Inhalte ändern wie bei e1.bs3b; Lea baut das System selbst auf und betreut es. e5.bs3a – First-Level-Support leisten Seit Lea das CMS betreut, kommen alle Fragen zu ihr: «Warum ist mein Bild so riesig?» Lea löst es, schreibt die Lösung in eine FAQ und spart sich die nächsten zehn Anrufe. Der Unterschied: Lea ist die offizielle Anlaufstelle und beantwortet auch schwierige Fragen. e5.bs4a – Grundlogik des Programmierens erklären Der Onlineshop gibt automatisch 10 Prozent Rabatt ab 1'000 Franken. Lea erklärt dem Chef, was dahinter steckt: WENN Betrag > 1000, DANN Rabatt, SONST nicht. Der Unterschied: Lea programmiert nicht, sie versteht und erklärt die Logik dahinter. e5.bs5a – Kriterien zur Technologiewahl erklären Die Kasse ist alt. Bevor Lea Angebote anschaut, legt sie fest, worauf es ankommt: Preis, Anbindung an den Onlineshop, Support in der Schweiz, Datenschutz. Der Unterschied: Die Kriterien kommen zuerst, noch ohne konkrete Angebote. e5.bs5b – IT-Angebote vergleichen und empfehlen Drei Kassensysteme liegen auf dem Tisch. Lea bewertet jedes nach ihren Kriterien in einer Nutzwertanalyse und empfiehlt das zweitgünstigste, weil es den besten Support hat. Der Unterschied: Jetzt werden echte Angebote verglichen, und am Ende steht eine Empfehlung. == e6 – Grosse Datenmengen (Option Technologie) == e6.bs1a – Daten systematisch erfassen, verarbeiten und analysieren Lea bekommt Daten aus Onlineshop, Kasse und Werkstatt, teils mit «CHF», teils ohne, mit doppelten Kunden. Sie importiert, bereinigt und legt alles in einer sauberen Tabelle ab, bevor sie etwas auswertet. Der Unterschied: Der ganze Ablauf von roh bis analysebereit, nicht nur das Auswerten. e6.bs1b – Grosse Datenmengen auswerten 50'000 Verkäufe aus fünf Jahren. Lea macht eine Pivot-Tabelle und sieht in zwei Klicks den Umsatz pro Velotyp und Jahr. Der Unterschied: Wie e3.bs1c, aber in einer Grösse, bei der Filtern von Hand nicht mehr geht. e6.bs1c – Fortgeschritten im Internet suchen Lea braucht offizielle Zahlen zum Velomarkt Schweiz. Statt Google nutzt sie das Bundesamt für Statistik, Filter nach Jahr und Dateityp «filetype:xlsx». Der Unterschied: Wie e2.bs1a, aber mit Profi-Werkzeugen und Datenbanken. e6.bs2a – Relevantes aus grossen Datenmengen filtern Der Chef fragt nur: «Welche Kunden aus Bern haben seit drei Jahren nichts mehr gekauft?» Lea filtert aus 8'000 Kunden genau die 214 heraus. Der Unterschied: Aus der Masse das eine Stück herausholen, das gerade zählt. e6.bs3a – Datenauswertungen adressatengerecht präsentieren Der Verwaltungsrat bekommt ein Dashboard: drei Kennzahlen gross, ein Diagramm, eine Ampel. Die Werkstatt bekommt dieselben Daten als Liste zum Abarbeiten. Der Unterschied: Dieselbe Auswertung, je nach Publikum ganz anders verpackt. e6.bs4a – Ergebnisse analysieren und Schlüsse ziehen Die Auswertung zeigt: Kunden, die eine Reparatur buchen, kaufen zwei Jahre später oft ein neues Velo. Lea prüft, ob die Daten vollständig sind, und schlägt vor: Nach jeder Reparatur einen Gutschein mitgeben. Der Unterschied: Am Schluss steht eine begründete Schlussfolgerung, die etwas im Betrieb verändert. = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB E| ]] o3icruazaptk5ncj9jukt5xsuyaify0 106 172611 1117892 1114455 2026-10-27T12:52:26Z Paul Sutermeister 37610 1117892 wikitext text/x-wiki Leistungsziele [[Kurs:Kaufleute EFZ/Applikationen im kaufmännischen Bereich anwenden|E1]].1 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']] im [[:w:Lehrbetrieb|Betrieb]] sind:<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> '''Sie wenden die Software und die Systeme der betrieblichen Informations- und Kommunikationstechnologien ihres Arbeitsbereichs an.''' ([[:w:Blooms Taxonomie|K3]]) = Allgemeine Lernziele = Leistungsziele [[:w:Berufsfachschule (Schweiz)|Berufsfachschule]]: * Sie wenden gängige Applikationen im kaufmännischen Bereich an. ([[:w:Blooms Taxonomie|K3]]) * Sie erläutern die wesentlichen Aspekte und Herausforderungen beim Arbeiten in der Cloud. ([[:w:Blooms Taxonomie|K2]]) == Gängige Software == # [[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Betriebssystem|Betriebssystem]] # [[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Dateiverwaltung|Dateimanager]] # [[Kurs:Textverarbeitung|Textverarbeitung]] # [[Kurs:Tabellenkalkulation|Tabellenkalkulation]] # [[Kurs:Präsentationsprogramm|Präsentationsprogramm]] # [[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Outlook|Personal Information Manager]] # [[:w:Kategorie:Cloud Computing|Cloud]], z.B. [[:w:Microsoft OneDrive|OneDrive]] == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/Software und Systeme der betrieblichen Informations- und Kommunikationstechnologien anwenden| ]] g913sloz15x68793lagw9b5pq10mo6w 1117898 1117892 2026-10-27T14:26:02Z Paul Sutermeister 37610 1117898 wikitext text/x-wiki Leistungsziele [[Kurs:Kaufleute EFZ/Applikationen im kaufmännischen Bereich anwenden|E1]].1 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']] im [[:w:Lehrbetrieb|Betrieb]] sind:<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> '''Sie wenden die Software und die Systeme der betrieblichen Informations- und Kommunikationstechnologien ihres Arbeitsbereichs an.''' ([[:w:Blooms Taxonomie|K3]]) • Geschäftsbrief nach Norm (SN 010130) formatieren. • Serienbrief erstellen. • In Excel Grundfunktionen (SUMME, MITTELWERT, WENN) und absolute Bezüge anwenden. • Folien mit dem Folienmaster gestalten. • Je drei Vor- und Nachteile der Cloud nennen. • Erklären, wo Daten gespeichert sind und wer darauf zugreift. Leistungsziele [[:w:Berufsfachschule (Schweiz)|Berufsfachschule]]: * Sie wenden gängige Applikationen im kaufmännischen Bereich an. ([[:w:Blooms Taxonomie|K3]]) * Sie erläutern die wesentlichen Aspekte und Herausforderungen beim Arbeiten in der Cloud. ([[:w:Blooms Taxonomie|K2]]) == Gängige Software == # [[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Betriebssystem|Betriebssystem]] # [[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Dateiverwaltung|Dateimanager]] # [[Kurs:Textverarbeitung|Textverarbeitung]] # [[Kurs:Tabellenkalkulation|Tabellenkalkulation]] # [[Kurs:Präsentationsprogramm|Präsentationsprogramm]] # [[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Outlook|Personal Information Manager]] # [[:w:Kategorie:Cloud Computing|Cloud]], z.B. [[:w:Microsoft OneDrive|OneDrive]] == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/Software und Systeme der betrieblichen Informations- und Kommunikationstechnologien anwenden| ]] f39lel6zdg0pdodhgn0qcgn1c9bz2zh 14 172615 1117895 1113959 2026-10-27T14:22:03Z Paul Sutermeister 37610 1117895 wikitext text/x-wiki Diese Kategorie umfasst die Lerninhalte für die Leistungsziele '''[[Kurs:Kaufleute EFZ/Software und Systeme der betrieblichen Informations- und Kommunikationstechnologien anwenden|E1.1 (Software und Systeme der betrieblichen Informations- und Kommunikationstechnologien anwenden)]]''' der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> • Geschäftsbrief nach Norm (SN 010130) formatieren. • Serienbrief erstellen. • In Excel Grundfunktionen (SUMME, MITTELWERT, WENN) und absolute Bezüge anwenden. • Folien mit dem Folienmaster gestalten. == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E1]] 8p4yrhbn0y7q5z50orsurd9wxhty2tx 1117896 1117895 2026-10-27T14:22:57Z Paul Sutermeister 37610 1117896 wikitext text/x-wiki Diese Kategorie umfasst die Lerninhalte für die Leistungsziele '''[[Kurs:Kaufleute EFZ/Software und Systeme der betrieblichen Informations- und Kommunikationstechnologien anwenden|E1.1 (Software und Systeme der betrieblichen Informations- und Kommunikationstechnologien anwenden)]]''' der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> • Geschäftsbrief nach Norm (SN 010130) formatieren. • Serienbrief erstellen. • In Excel Grundfunktionen (SUMME, MITTELWERT, WENN) und absolute Bezüge anwenden. • Folien mit dem Folienmaster gestalten. • Je drei Vor- und Nachteile der Cloud nennen. • Erklären, wo Daten gespeichert sind und wer darauf zugreift. == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E1]] kdtuvsfcbcaf0cs9r7t0bm4tg4btov6 1117897 1117896 2026-10-27T14:24:53Z Paul Sutermeister 37610 1117897 wikitext text/x-wiki Diese Kategorie umfasst die Lerninhalte für die Leistungsziele '''[[Kurs:Kaufleute EFZ/Software und Systeme der betrieblichen Informations- und Kommunikationstechnologien anwenden|E1.1 (Software und Systeme der betrieblichen Informations- und Kommunikationstechnologien anwenden)]]''' der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E1]] rggyooqai771x65nmmd3qyshzd9mshh 0 172731 1117994 1117311 2026-10-28T07:30:13Z Bocardodarapti 2041 1117994 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ Abbildung/display |name= \delta |\Z^m | \Z || |SZ= }} die Standardgraduierung und {{ Abbildung/display |name=d | \Z^m | D || |SZ= }} mit {{math|term= D |SZ=}} endlich. Es ist {{ Relationskette/display | L_c || {{Mengebed| \nu \in \N^m| d( \nu) {{=}} c }} || || || |SZ= }} ein reflexiver Rang eins Modul über dem Invariantenring {{ Relationskette | L_0 || R || || || |SZ=. }} Die allgemeine Formel für die kumulative Hilbertfunktion von {{math|term= L_c |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | A_c(N) || {{op:Anzahl| {{Mengebed|\nu| d(\nu) {{=}} c | {{op:Betrag| \nu|}} \leq N }} }} || || || |SZ=. }} Für jedes {{math|term= n |SZ=}} verteilt sich der Wert {{math|term= h(n) |SZ=}} der Hilbertfunktion des Polynomringens auf endlich viele {{math|term= c |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | h(n) || \sum_{c \in D} {{op:Anzahl| {{Mengebed| \nu | d(\nu) {{=}} c | {{op:Betrag| \nu|}} {{=}} n }} }} || || || |SZ=. }} Es ist für den Polynomring {{ Relationskette/display | h (n) || {{op:Binomialkoeffizient|n+m-1|m-1}} || \alpha_{m-1} n^{m-1} + \alpha_{m-2} n^{m-2} {{plusdots}} \alpha_1 n+ \alpha_{0} || || |SZ= }} die nichtkumulative Hilbertfunktion für {{ Relationskette | n | \geq| 0 || || || |SZ=. }} Wir betrachten die starke Bedingung, dass {{math|term= c |SZ=}} durch {{math|term= \delta |SZ=}} faktorisiert. Dann ist, für die Moduln {{mathl|term= L_d |SZ=}} zu {{ Relationskette | d | \in | D || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | h_{L_d} (n) || \begin{cases} h (n), \text{ falls } c(n) {{=}} d \, ,\\ 0 \text{ sonst} . \end{cases} || || || |SZ= }} Die Summe von {{math|term= 0 |SZ=}} bis {{math|term= N |SZ=}} ist dann für die einzelnen Koeffizienten {{ Math/display|term= \alpha_i \sum_{ n \in \{1 {{kommadots|}} N\}, \, c(n) {{=}} d } n^i |SZ=. }} Es gibt die Beschreibung {{ Relationskette/display | A_c(N) || \sum_\zeta P_{c, \zeta } (N) \zeta^N || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \zeta |SZ=}} durch die Einheitswurzeln, die für {{math|term= D |SZ=}} relevant sind, läuft, und {{mathl|term= P_{c, \zeta } |SZ=}} Polynome sind. Eventuell direkt mit der erzeugenden Funktion arbeiten, die man als {{ Relationskette/display | F_c(t) || {{op:Bruch|1| {{op:Betrag|D|}} (1-t) }} \sum_{\chi \in {{op:Charakterdual|D|}} } {{op:Bruch| {{op:Komplexe Konjugation| \chi (c) }} | \prod_{i {{=}} 1}^m {{makl| 1 - \chi {{makl| d {{makl| e_i |}} |}} t |}} |}} || || || |SZ= }} schreiben kann. Feiner Ansatz {{ inputbemerkung |Polynomring/Standardgraduierung/Endliche_Graduierung/Aufteilung/Feiner Ansatz/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |A_1-Singularität/Hilbertfunktion/Aufteilung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |A_(k-1)-Singularität/Hilbertfunktion/Aufteilung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |A_(k-1)-Singularität/Moduln/Hilbertreihe/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Auflösung/Standardgraduierung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Grad 3/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Dreidimensional/Auflösung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 0pyfzmclp31tesifqjvtezqhy43sljt 0 173218 1118000 1117411 2026-10-28T08:15:43Z Bocardodarapti 2041 1118000 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Feiner Ansatz mit der feinen Graduierung {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= J |SZ=}} ein primäres monomiales Ideal| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{i_m \in I_m} S( - \nu_{i_m} ) \longrightarrow \ldots \longrightarrow \bigoplus_{i_2 \in I_2} S( - \nu_{i_2} ) \longrightarrow \bigoplus_{i_1 \in I_1} S( - \nu_{i_1} ) \longrightarrow S \longrightarrow S/ J |SZ=. }} Der Grad 0 Anteil zu {{mathl|term= S(-\nu) |SZ=}} ist {{mathl|term= L_{d (- \nu ) } (- \nu) |SZ=,}} wobei die feine Graduierung direkt übernommen wird. Die induzierte Pseudoauflösung ist also {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{i_m \in I_m} L_{ d(- \nu_{i_m} ) } ( - \nu_{i_m} ) \longrightarrow \ldots \longrightarrow \bigoplus_{i_2 \in I_2} L_{ d(-\nu_{i_2} ) } ( - \nu_{i_2} ) \longrightarrow \bigoplus_{i_1 \in I_1} R( - \nu_{i_1} ) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{idealm}} |SZ=. }} Die beteiligten Moduln sind {{math|term= L_c |SZ=,}} die Twiste sind nur zur Orientierung in den Abbildungen. Wenn man den Komplex in einem bestimmten feinen Grad auswertet, wird es natürlich sehr wichtig. Die feine Auswertung liefert einen {{math|term= 0 |SZ=-}} oder einen eindimensionalen Vektorraum. Man braucht die Summe bis zu {{math|term= N |SZ=}} hinreichend groß, um ganz rechts alles zu erfassen. Also betrachten wir {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | c || d(- \nu) || || || |SZ=, }} es werden nur effektive Tupel gezählt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align | \sum_{\mu ,\, {{op:Betrag| \mu |}} \leq N } {{op:Vektorraumdimension| {{makl| L_{ d(- \nu ) } ( - \nu ) |}}_\mu }} || \sum_{\mu , \, {{op:Betrag| \mu |}} \leq N ,\, d(\mu) {{=}} 0 } {{op:Vektorraumdimension| {{makl| S ( - \nu ) |}}_\mu }} || \sum_{\lambda , \, {{op:Betrag| \lambda |}} \leq N - {{op:Betrag| \nu |}} ,\, d(\lambda) {{=}} c } {{op:Vektorraumdimension| S_\lambda }} || {{op:Anzahl| \lambda , \, {{op:Betrag| \lambda |}} \leq N - {{op:Betrag| \nu |}} ,\, d(\lambda) {{=}} c }} || A_c (N- {{op:Betrag| \nu |}}) |SZ=. }} Die alternierende Formel ist dann {{ Math/display|term= \sum_{ j{{=}} 0}^m (-1)^j {{makl| \sum_{i_j \in I_j} A_{d {{makl| - \nu_{i_j} |}} } {{makl| N- {{op:Betrag| v_{i_j} |}} |}} |}} |SZ= }} für {{math|term= N |SZ=}} hinreichend groß {{ Zusatz/Klammer |text=oder kohomologisch| |ISZ=|ESZ=. }} Das hebt sich weg. Für {{math|term= q |SZ=}} hat man entsprechend {{ Math/display|term= \sum_{ j{{=}} 0}^m (-1)^j {{makl| \sum_{i_j \in I_j} A_{d {{makl| - q \nu_{i_j} |}} } {{makl| N- q {{op:Betrag| v_{i_j} |}} |}} |}} |SZ=, }} wobei die Schranke {{math|term= N |SZ=}} linear mit {{math|term= q |SZ=}} wächst. Aus {{ Relationskette/display | F_c(t) || \sum A_c(r) t^r || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette/display | F_c (t) t^{N-q {{op:Betrag| \nu_{i_j} }} } || || || || |SZ= }} In {{ Relationskette/display | F_c (t) t^{q+ q {{op:Betrag|\nu_{i_j} }}-N } || || || || |SZ= }} steht vor {{math|term= t^q |SZ=}} der Term {{mathl|term= A_c (N- q{{op:Betrag| \nu_{i_j} }} ) |SZ=}} Die totale Hilbert-Kunz-Reihe {{ Relationskette/align | HKS(t) || \sum_q {{makl| \sum_{ j{{=}} 0}^m (-1)^j {{makl| \sum_{i_j \in I_j} A_{d {{makl| - q \nu_{i_j} |}} } {{makl| N- q {{op:Betrag| v_{i_j} |}} |}} |}} |}} t^q || \sum_{ j{{=}} 0}^m (-1)^j {{makl| \sum_{i_j \in I_j} {{makl| \sum_q A_{d {{makl| - q \nu_{i_j} |}} } {{makl| N- q {{op:Betrag| v_{i_j} |}} |}} t^q |}} |}} || \sum_{ j{{=}} 0}^m (-1)^j {{makl| \sum_{i_j \in I_j} {{makl| F_{d {{makl| - q \nu_{i_j} |}} } (t) \cdot t^{q+ q {{op:Betrag|\nu_{i_j} }}-N } |}} |}} || |SZ=. }} Mit der erzeugenden Reihe für die {{math|term= A_c(N) |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | F_c(t) || {{op:Bruch| 1 | {{op:Betrag|D|}} (1-t) }} \sum_{\chi \in {{op:Charakterdual|D|}} } {{op:Bruch| {{op:Komplexe Konjugation| \chi (c) }} | \prod_{i {{=}} 1}^m {{makl| 1 - \chi {{makl| d {{makl| e_i |}} |}} t |}} |}} || || || |SZ=, }} ergibt sich für die totale Hilbert-Kunz-Reihe {{ Relationskette/align | HKS(t) || || || || |SZ= }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 2ttnos7g2utl4waoxcelsl06obr74uy 106 173221 1117917 1117888 2026-10-27T14:52:01Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen */ 1117917 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> === Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation === == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem überführen. == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] 4p8f5i3dl6rnfgifbiemv4eqiyxnold 1117919 1117917 2026-10-27T14:56:25Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendungsbeispiele */ 1117919 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> === Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation === == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe <math>q_0\neq 0</math> ist und damit <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math> erfüllt ist. == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] nl1qvle9jbt1gpcz8llanjmxna3d04g 1117956 1117919 2026-10-27T17:06:11Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation */ 1117956 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> == Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation == Das Beispiel behandelt ein Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{_A}</math> vom Grad 1 und es wird gezeigt, dass sich durch Multiplikation der Gleichung mit einem Element <math>a\in A\setminus \{0_{_A} \}</math> die Lösungsmenge von <math>q(z)=0_{_A}</math> zu <math>a\cdot q(z)=a\cdot 0_{_A} = 0_{_A}</math> verändert. === Teilaspekte === Insgesamt werden dabei in einer Algebra der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen * Nullteiler betrachtet, * Lösungsmenge von <math> p_1 \cdot z = 0_{_A} </math> * Lösungsmenge von <math> a \cdot q_1 \cdot z = 0_{_A} </math> Wir betrachten die '''Polynomalgebra''' <math> A[t] </math>, wobei <math> A </math> die Algebra der <math> 2 \times 2 </math>-Matrizen über den komplexen Zahlen <math> \mathbb{C} </math> ist, also: :<math> A = M_2(\mathbb{C}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> besteht aus Polynomen der Form: :<math> p(t) = \sum_{k=0}^n p_k t^k, \quad \text{mit } p_k \in A </math> Die Addition und Multiplikation in <math> A[t] </math> sind wie üblich definiert, wobei die Koeffizienten aus <math> A </math> stammen und die Multiplikation der Koeffizienten in <math> A </math> (also Matrixmultiplikation) verwendet wird. === Schritt 1: Konstruktion von Nullteilern in <math> A = M_2(\mathbb{C}) </math> === In <math> M_2(\mathbb{C}) </math> gibt es '''Nullteiler''', d.h. Matrizen <math> P, Q \neq 0 </math>, sodass <math> P Q = 0 </math>, aber <math> P \neq 0 </math>, <math> Q \neq 0 </math>. '''Beispiel:''' Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Dann: :<math> p_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> :<math> a \cdot p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> Also: <math> p_1 a = 0_A </math> und <math> a p_1 = 0_A </math>. In diesem Fall '''kommutiert''' der Nullteiler mit seinem "Komplementär". Aber wir wollen ein Beispiel, in dem '''nicht''' <math> p_1 a = 0_A </math> gilt, obwohl <math> a p_1 = 0_A </math>, um die '''Nicht-Kommutativität''' der Nullteiler-Eigenschaft zu zeigen. === Schritt 2: Nicht-kommutative Nullteiler === Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Berechne: :<math> a \cdot p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> :<math> p_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> Also: <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> Das zeigt: '''Die Nullteiler-Eigenschaft ist nicht notwendigerweise kommutativ'''. '''Hinweis:''' Hier ist <math> p_1 </math> ein '''rechter Nullteiler''' von <math> a </math>, aber <math> a </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> p_1 </math>, da <math> p_1 a \neq 0 </math>. === Schritt 3: Betrachte die Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> in <math> A[t] </math> === Wir betrachten das Polynom <math> p(t) = p_1 \cdot t \in A[t] </math>, also ein Polynom vom Grad 1 mit Koeffizient <math> p_1 </math>. Die Gleichung: :<math> p_1 \cdot t = 0_A </math> ist eine '''Gleichung in der Algebra <math> A[t] </math>''', aber eigentlich ist sie eine '''Gleichung für die Variable <math> t </math>''', wobei <math> t </math> eine formale Variable ist. Aber hier ist die Interpretation wichtig: Wir betrachten die '''Gleichung''' <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> als '''Gleichung in <math> A[t] </math>''', d.h. wir fragen nach den '''Lösungen''' <math> t \in A[t] </math>, sodass <math> p_1 \cdot t = 0_A </math>. Aber <math> t </math> ist eine '''formale Variable''', also ist <math> p_1 \cdot t </math> ein Polynom, und die Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> bedeutet, dass das Polynom <math> p_1 t </math> gleich dem Nullpolynom ist. Das ist '''nicht der Fall''', da <math> p_1 \neq 0 </math>, also <math> p_1 t \neq 0 </math> in <math> A[t] </math>. Aber der Sinn der Aufgabe scheint zu sein: '''Betrachte die Gleichung <math> p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math>''', also '''Lösungen in der Algebra <math> A </math>'''. Das macht mehr Sinn, da <math> p_1 </math> ein Nullteiler ist, und wir wollen die Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math> vergleichen mit <math> a p_1 x = 0_A </math>, wobei <math> a </math> ein komplementärer Nullteiler ist. === Korrekte Interpretation: === Wir betrachten die '''Gleichungen in der Algebra <math> A </math>''': 1. <math> p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> 2. <math> a \cdot p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> mit <math> p_1 </math> und <math> a </math> wie oben gewählt. === Schritt 4: Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math> === Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in A </math> Dann: :<math> p_1 x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Setze gleich <math> 0_A </math>: :<math> \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mathbb{R}ightarrow a = 0, b = 0 </math> Also: <math> x = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} </math>, beliebige <math> c,d \in \mathbb{C} </math> '''Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math>''' ist: :<math> S_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \mid c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> Dimension: 2 über <math> \mathbb{C} </math> === Schritt 5: Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math> === Wähle: :<math> a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Berechne <math> a p_1 </math>: :<math> a p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> Also: <math> a p_1 = 0_A </math> Dann ist <math> a p_1 x = 0_A \cdot x = 0_A </math> für '''jedes''' <math> x \in A </math> '''Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>''' ist '''ganz <math> A </math>''' :<math> S_2 = A = M_2(\mathbb{C}) </math> === Vergleich der Lösungsmengen: === * <math> S_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \right\} </math> → echte Teilmenge von <math> A </math> * <math> S_2 = A </math> → ganze Algebra Also: <math> S_1 \subsetneq S_2 </math> '''Die Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math> ist echt größer als die von <math> p_1 x = 0_A </math>''' Das zeigt: '''Multiplikation mit einem komplementären Nullteiler (hier <math> a </math>) kann die Lösungsmenge vergrößern''', weil <math> a p_1 = 0 </math>, also die Gleichung trivial wird. === Schritt 6: Nicht-Kommutativität der Nullteiler-Eigenschaft === Wir haben bereits gezeigt: * <math> a p_1 = 0_A </math> * <math> p_1 a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> Also: <math> a </math> ist ein '''rechter Nullteiler''' von <math> p_1 </math>, aber <math> p_1 </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> a </math> Die Nullteiler-Eigenschaft ist '''nicht kommutativ'''. === Zusammenfassung - Lösungsmengenvergleich === Insgesamt wurde mit den obigen Untersuchung der Matrizenalgebra gezeigt === Beweisschritt 1 - Existenz von Nullteilern === in <math> A = M_2(\mathbb{C}) </math>: <math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>, <math> a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>, mit <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> === Beweisschritt 2 - Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math>=== ist eine echte Teilmenge von <math> A </math>, nämlich alle Matrizen der Form <math> \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} </math> === Beweisschritt 3 - Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>=== ist '''ganz <math> A </math>''', da <math> a p_1 = 0_A </math> 4. Also: <math> \{ x \in A \mid p_1 x = 0_A \} \subsetneq \{ x \in A \mid a p_1 x = 0_A \} </math> 5. Die Nullteiler-Eigenschaft ist '''nicht kommutativ''': <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> === Abschließende Bemerkung: === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> ist hier nur als Kontext genutzt. Die eigentlichen Gleichungen werden in der Algebra <math> A </math> betrachtet. Die Aussage <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> ist in <math> A[t] </math> nur dann erfüllt, wenn <math> p_1 = 0 </math>, was nicht der Fall ist. Aber die '''Lösungsmenge''' der Gleichung <math> p_1 x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> ist der Kern der Linksmultiplikation mit <math> p_1 </math>, und diese ist '''nicht''' gleich der Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>, da <math> a p_1 = 0 </math>. '''Alle geforderten Eigenschaften sind erfüllt.''' == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe <math>q_0\neq 0</math> ist und damit <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math> erfüllt ist. == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] 7tqqjbbb13b4ys7jeywn9esidd6087g 1117966 1117956 2026-10-27T17:22:34Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation */ 1117966 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> == Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation == Das Beispiel behandelt ein Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> vom Grad 1 und es wird gezeigt, dass sich durch Multiplikation der Gleichung mit einem Element <math>a\in A\setminus \{0_{\!\!_A} \}</math> die Lösungsmenge von <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> zu <math>a\cdot q(z)=a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A}</math> verändert. === Teilaspekte === Insgesamt werden dabei in einer Algebra <math>A</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen * Nullteiler betrachtet, * Lösungsmenge von <math> q(z)= q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> * Lösungsmenge von <math> a \cdot q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> === Verknüfungen in der Algebra === Bzgl. der Algebra <math>A</math> betrachtet man die ''Polynomalgebra'' <math> A[t] </math>, wobei die Polynome <math>p\in A </math> Koeffizienten aus der Algebra der <math> 2 \times 2 </math>-Matrizen über den komplexen Zahlen <math> \mathbb{C} </math> besitzen. Die Addition der Matrizen erfolgt komponentenweise und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> wird analog zum Vektorraum <math>\mathbb{C}^n</math> komponentweise gestreckt. Die Multiplikation in <math>A</math> ist die Matrixmultiplikation als innere Verknüpfung. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. :<math> A = Mat(2\times 2 , \mathbb{C}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> besteht aus Polynomen der Form: :<math> q(t) = \sum_{k=0}^n q_k t^k, \quad \text{mit } q_k \in A </math> Die Addition und Multiplikation in <math> A[t] </math> sind wie üblich definiert, wobei die Koeffizienten aus <math> A </math> stammen und die Multiplikation der Koeffizienten in <math> A </math> (also Matrixmultiplikation) verwendet wird. === Schritt 1: Konstruktion von Nullteilern in <math> A = M_2(\mathbb{C}) </math> === In <math> M_2(\mathbb{C}) </math> gibt es '''Nullteiler''', d.h. Matrizen <math> P, Q \neq 0 </math>, sodass <math> P Q = 0 </math>, aber <math> P \neq 0 </math>, <math> Q \neq 0 </math>. '''Beispiel:''' Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Dann: :<math> p_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> :<math> a \cdot p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> Also: <math> p_1 a = 0_A </math> und <math> a p_1 = 0_A </math>. In diesem Fall '''kommutiert''' der Nullteiler mit seinem "Komplementär". Aber wir wollen ein Beispiel, in dem '''nicht''' <math> p_1 a = 0_A </math> gilt, obwohl <math> a p_1 = 0_A </math>, um die '''Nicht-Kommutativität''' der Nullteiler-Eigenschaft zu zeigen. === Schritt 2: Nicht-kommutative Nullteiler === Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Berechne: :<math> a \cdot p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> :<math> p_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> Also: <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> Das zeigt: '''Die Nullteiler-Eigenschaft ist nicht notwendigerweise kommutativ'''. '''Hinweis:''' Hier ist <math> p_1 </math> ein '''rechter Nullteiler''' von <math> a </math>, aber <math> a </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> p_1 </math>, da <math> p_1 a \neq 0 </math>. === Schritt 3: Betrachte die Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> in <math> A[t] </math> === Wir betrachten das Polynom <math> p(t) = p_1 \cdot t \in A[t] </math>, also ein Polynom vom Grad 1 mit Koeffizient <math> p_1 </math>. Die Gleichung: :<math> p_1 \cdot t = 0_A </math> ist eine '''Gleichung in der Algebra <math> A[t] </math>''', aber eigentlich ist sie eine '''Gleichung für die Variable <math> t </math>''', wobei <math> t </math> eine formale Variable ist. Aber hier ist die Interpretation wichtig: Wir betrachten die '''Gleichung''' <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> als '''Gleichung in <math> A[t] </math>''', d.h. wir fragen nach den '''Lösungen''' <math> t \in A[t] </math>, sodass <math> p_1 \cdot t = 0_A </math>. Aber <math> t </math> ist eine '''formale Variable''', also ist <math> p_1 \cdot t </math> ein Polynom, und die Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> bedeutet, dass das Polynom <math> p_1 t </math> gleich dem Nullpolynom ist. Das ist '''nicht der Fall''', da <math> p_1 \neq 0 </math>, also <math> p_1 t \neq 0 </math> in <math> A[t] </math>. Aber der Sinn der Aufgabe scheint zu sein: '''Betrachte die Gleichung <math> p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math>''', also '''Lösungen in der Algebra <math> A </math>'''. Das macht mehr Sinn, da <math> p_1 </math> ein Nullteiler ist, und wir wollen die Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math> vergleichen mit <math> a p_1 x = 0_A </math>, wobei <math> a </math> ein komplementärer Nullteiler ist. === Korrekte Interpretation: === Wir betrachten die '''Gleichungen in der Algebra <math> A </math>''': 1. <math> p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> 2. <math> a \cdot p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> mit <math> p_1 </math> und <math> a </math> wie oben gewählt. === Schritt 4: Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math> === Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in A </math> Dann: :<math> p_1 x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Setze gleich <math> 0_A </math>: :<math> \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mathbb{R}ightarrow a = 0, b = 0 </math> Also: <math> x = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} </math>, beliebige <math> c,d \in \mathbb{C} </math> '''Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math>''' ist: :<math> S_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \mid c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> Dimension: 2 über <math> \mathbb{C} </math> === Schritt 5: Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math> === Wähle: :<math> a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Berechne <math> a p_1 </math>: :<math> a p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> Also: <math> a p_1 = 0_A </math> Dann ist <math> a p_1 x = 0_A \cdot x = 0_A </math> für '''jedes''' <math> x \in A </math> '''Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>''' ist '''ganz <math> A </math>''' :<math> S_2 = A = M_2(\mathbb{C}) </math> === Vergleich der Lösungsmengen: === * <math> S_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \right\} </math> → echte Teilmenge von <math> A </math> * <math> S_2 = A </math> → ganze Algebra Also: <math> S_1 \subsetneq S_2 </math> '''Die Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math> ist echt größer als die von <math> p_1 x = 0_A </math>''' Das zeigt: '''Multiplikation mit einem komplementären Nullteiler (hier <math> a </math>) kann die Lösungsmenge vergrößern''', weil <math> a p_1 = 0 </math>, also die Gleichung trivial wird. === Schritt 6: Nicht-Kommutativität der Nullteiler-Eigenschaft === Wir haben bereits gezeigt: * <math> a p_1 = 0_A </math> * <math> p_1 a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> Also: <math> a </math> ist ein '''rechter Nullteiler''' von <math> p_1 </math>, aber <math> p_1 </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> a </math> Die Nullteiler-Eigenschaft ist '''nicht kommutativ'''. === Zusammenfassung - Lösungsmengenvergleich === Insgesamt wurde mit den obigen Untersuchung der Matrizenalgebra gezeigt === Beweisschritt 1 - Existenz von Nullteilern === in <math> A = M_2(\mathbb{C}) </math>: <math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>, <math> a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>, mit <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> === Beweisschritt 2 - Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math>=== ist eine echte Teilmenge von <math> A </math>, nämlich alle Matrizen der Form <math> \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} </math> === Beweisschritt 3 - Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>=== ist '''ganz <math> A </math>''', da <math> a p_1 = 0_A </math> 4. Also: <math> \{ x \in A \mid p_1 x = 0_A \} \subsetneq \{ x \in A \mid a p_1 x = 0_A \} </math> 5. Die Nullteiler-Eigenschaft ist '''nicht kommutativ''': <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> === Abschließende Bemerkung: === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> ist hier nur als Kontext genutzt. Die eigentlichen Gleichungen werden in der Algebra <math> A </math> betrachtet. Die Aussage <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> ist in <math> A[t] </math> nur dann erfüllt, wenn <math> p_1 = 0 </math>, was nicht der Fall ist. Aber die '''Lösungsmenge''' der Gleichung <math> p_1 x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> ist der Kern der Linksmultiplikation mit <math> p_1 </math>, und diese ist '''nicht''' gleich der Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>, da <math> a p_1 = 0 </math>. '''Alle geforderten Eigenschaften sind erfüllt.''' == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe <math>q_0\neq 0</math> ist und damit <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math> erfüllt ist. == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] q7f5brrnmexkz2ezkbbahp5auvrv6w1 1117993 1117966 2026-10-28T07:30:00Z Bert Niehaus 20843 /* Verknüfungen in der Algebra */ 1117993 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> == Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation == Das Beispiel behandelt ein Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> vom Grad 1 und es wird gezeigt, dass sich durch Multiplikation der Gleichung mit einem Element <math>a\in A\setminus \{0_{\!\!_A} \}</math> die Lösungsmenge von <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> zu <math>a\cdot q(z)=a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A}</math> verändert. === Teilaspekte === Insgesamt werden dabei in einer Algebra <math>A</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen * Nullteiler betrachtet, * Lösungsmenge von <math> q(z)= q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> * Lösungsmenge von <math> a \cdot q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> === Verknüfungen in der Algebra === Bzgl. der Algebra <math>A</math> betrachtet man die ''Polynomalgebra'' <math> A[t] </math>, wobei die Polynome <math>p\in A </math> Koeffizienten aus der Algebra der <math> 2 \times 2 </math>-Matrizen über den komplexen Zahlen <math> \mathbb{C} </math> besitzen. Die Addition der Matrizen erfolgt komponentenweise und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> wird analog zum Vektorraum <math>\mathbb{C}^n</math> komponentweise gestreckt. Die Multiplikation in <math>A</math> ist die Matrixmultiplikation als innere Verknüpfung. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. === Matrizenalgebra === Die Algebra <math>A</math> besteht aus quadratischen Matrizen, damit die Matrixmultiplikation eine innere Verknüpfung in der :<math> A = Mat(2\times 2 , \mathbb{C}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> ==== Addition - Matrixalgebra ==== Die Addition und Multiplikation in <math> A[t] </math> sind wie folgt definiert: :<math> \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation mit Skalar - Matrixalgebra ==== Multiplikation mit einem Skalar <math> \lambda \in \mathbb{C}</math> erfolgt komponentenweise: :<math> \lambda \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} \lambda \cdot a & \lambda \cdot b \\ \lambda \cdot c & \lambda \cdot d \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation in der Matrixalgebra ==== Matrixmultiplikation ist die innere Verknüpfung der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} \cdot : & A \times A & \rightarrow & A \\ & \left( \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \right) & \mapsto & \begin{pmatrix} a_1a_2 + b1c2 & a_1b2+b_1d_2 \\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2 \end{pmatrix} \end{array} </math>\begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} === Polynomalgebra mit Matrizenal als Koeffizienten === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> besteht aus Polynomen der Form: :<math> q(t) = \sum_{k=0}^n q_k t^k, \quad \text{mit } q_k \in A </math> Die Multiplikation von Polynomen ist die Cauchy-Multiplikation in der [[Polynomalgebra]], wobei die Verknüfungen mit den Koeffizienten bereits über die Matrizenalgebra definert sind (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Matrizenalgebra|Matrizenalgebra]]) ==== Aufgabe für Studierende ==== Verwenden Sie Ihre Vorwissen aus der Linearen Algebra und dem [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Caley-Hamilton]]. Erläutern Sie, welche Polynome verwendet werden, bei denen man Matrizen <math>x\in A</math> als Argumente für <math>p(x)</math> verwendet werden (siehe [[w:de:charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]]). Welche Unterschiede bestehen zu der hier verwendeten Polynomalgebra. === Schritt 1: Konstruktion von Nullteilern in <math> A = M_2(\mathbb{C}) </math> === In <math> M_2(\mathbb{C}) </math> gibt es '''Nullteiler''', d.h. Matrizen <math> P, Q \neq 0 </math>, sodass <math> P Q = 0 </math>, aber <math> P \neq 0 </math>, <math> Q \neq 0 </math>. '''Beispiel:''' Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Dann: :<math> p_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> :<math> a \cdot p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> Also: <math> p_1 a = 0_A </math> und <math> a p_1 = 0_A </math>. In diesem Fall '''kommutiert''' der Nullteiler mit seinem "Komplementär". Aber wir wollen ein Beispiel, in dem '''nicht''' <math> p_1 a = 0_A </math> gilt, obwohl <math> a p_1 = 0_A </math>, um die '''Nicht-Kommutativität''' der Nullteiler-Eigenschaft zu zeigen. === Schritt 2: Nicht-kommutative Nullteiler === Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Berechne: :<math> a \cdot p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> :<math> p_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> Also: <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> Das zeigt: '''Die Nullteiler-Eigenschaft ist nicht notwendigerweise kommutativ'''. '''Hinweis:''' Hier ist <math> p_1 </math> ein '''rechter Nullteiler''' von <math> a </math>, aber <math> a </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> p_1 </math>, da <math> p_1 a \neq 0 </math>. === Schritt 3: Betrachte die Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> in <math> A[t] </math> === Wir betrachten das Polynom <math> p(t) = p_1 \cdot t \in A[t] </math>, also ein Polynom vom Grad 1 mit Koeffizient <math> p_1 </math>. Die Gleichung: :<math> p_1 \cdot t = 0_A </math> ist eine '''Gleichung in der Algebra <math> A[t] </math>''', aber eigentlich ist sie eine '''Gleichung für die Variable <math> t </math>''', wobei <math> t </math> eine formale Variable ist. Aber hier ist die Interpretation wichtig: Wir betrachten die '''Gleichung''' <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> als '''Gleichung in <math> A[t] </math>''', d.h. wir fragen nach den '''Lösungen''' <math> t \in A[t] </math>, sodass <math> p_1 \cdot t = 0_A </math>. Aber <math> t </math> ist eine '''formale Variable''', also ist <math> p_1 \cdot t </math> ein Polynom, und die Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> bedeutet, dass das Polynom <math> p_1 t </math> gleich dem Nullpolynom ist. Das ist '''nicht der Fall''', da <math> p_1 \neq 0 </math>, also <math> p_1 t \neq 0 </math> in <math> A[t] </math>. Aber der Sinn der Aufgabe scheint zu sein: '''Betrachte die Gleichung <math> p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math>''', also '''Lösungen in der Algebra <math> A </math>'''. Das macht mehr Sinn, da <math> p_1 </math> ein Nullteiler ist, und wir wollen die Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math> vergleichen mit <math> a p_1 x = 0_A </math>, wobei <math> a </math> ein komplementärer Nullteiler ist. === Korrekte Interpretation: === Wir betrachten die '''Gleichungen in der Algebra <math> A </math>''': 1. <math> p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> 2. <math> a \cdot p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> mit <math> p_1 </math> und <math> a </math> wie oben gewählt. === Schritt 4: Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math> === Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in A </math> Dann: :<math> p_1 x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Setze gleich <math> 0_A </math>: :<math> \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mathbb{R}ightarrow a = 0, b = 0 </math> Also: <math> x = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} </math>, beliebige <math> c,d \in \mathbb{C} </math> '''Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math>''' ist: :<math> S_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \mid c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> Dimension: 2 über <math> \mathbb{C} </math> === Schritt 5: Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math> === Wähle: :<math> a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Berechne <math> a p_1 </math>: :<math> a p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> Also: <math> a p_1 = 0_A </math> Dann ist <math> a p_1 x = 0_A \cdot x = 0_A </math> für '''jedes''' <math> x \in A </math> '''Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>''' ist '''ganz <math> A </math>''' :<math> S_2 = A = M_2(\mathbb{C}) </math> === Vergleich der Lösungsmengen: === * <math> S_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \right\} </math> → echte Teilmenge von <math> A </math> * <math> S_2 = A </math> → ganze Algebra Also: <math> S_1 \subsetneq S_2 </math> '''Die Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math> ist echt größer als die von <math> p_1 x = 0_A </math>''' Das zeigt: '''Multiplikation mit einem komplementären Nullteiler (hier <math> a </math>) kann die Lösungsmenge vergrößern''', weil <math> a p_1 = 0 </math>, also die Gleichung trivial wird. === Schritt 6: Nicht-Kommutativität der Nullteiler-Eigenschaft === Wir haben bereits gezeigt: * <math> a p_1 = 0_A </math> * <math> p_1 a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> Also: <math> a </math> ist ein '''rechter Nullteiler''' von <math> p_1 </math>, aber <math> p_1 </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> a </math> Die Nullteiler-Eigenschaft ist '''nicht kommutativ'''. === Zusammenfassung - Lösungsmengenvergleich === Insgesamt wurde mit den obigen Untersuchung der Matrizenalgebra gezeigt === Beweisschritt 1 - Existenz von Nullteilern === in <math> A = M_2(\mathbb{C}) </math>: <math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>, <math> a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>, mit <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> === Beweisschritt 2 - Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math>=== ist eine echte Teilmenge von <math> A </math>, nämlich alle Matrizen der Form <math> \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} </math> === Beweisschritt 3 - Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>=== ist '''ganz <math> A </math>''', da <math> a p_1 = 0_A </math> 4. Also: <math> \{ x \in A \mid p_1 x = 0_A \} \subsetneq \{ x \in A \mid a p_1 x = 0_A \} </math> 5. Die Nullteiler-Eigenschaft ist '''nicht kommutativ''': <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> === Abschließende Bemerkung: === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> ist hier nur als Kontext genutzt. Die eigentlichen Gleichungen werden in der Algebra <math> A </math> betrachtet. Die Aussage <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> ist in <math> A[t] </math> nur dann erfüllt, wenn <math> p_1 = 0 </math>, was nicht der Fall ist. Aber die '''Lösungsmenge''' der Gleichung <math> p_1 x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> ist der Kern der Linksmultiplikation mit <math> p_1 </math>, und diese ist '''nicht''' gleich der Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>, da <math> a p_1 = 0 </math>. '''Alle geforderten Eigenschaften sind erfüllt.''' == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe <math>q_0\neq 0</math> ist und damit <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math> erfüllt ist. == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] mjjccg2likymd7b622xvwapp2whj7mw 1117995 1117993 2026-10-28T07:30:40Z Bert Niehaus 20843 /* Polynomalgebra mit Matrizenal als Koeffizienten */ 1117995 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> == Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation == Das Beispiel behandelt ein Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> vom Grad 1 und es wird gezeigt, dass sich durch Multiplikation der Gleichung mit einem Element <math>a\in A\setminus \{0_{\!\!_A} \}</math> die Lösungsmenge von <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> zu <math>a\cdot q(z)=a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A}</math> verändert. === Teilaspekte === Insgesamt werden dabei in einer Algebra <math>A</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen * Nullteiler betrachtet, * Lösungsmenge von <math> q(z)= q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> * Lösungsmenge von <math> a \cdot q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> === Verknüfungen in der Algebra === Bzgl. der Algebra <math>A</math> betrachtet man die ''Polynomalgebra'' <math> A[t] </math>, wobei die Polynome <math>p\in A </math> Koeffizienten aus der Algebra der <math> 2 \times 2 </math>-Matrizen über den komplexen Zahlen <math> \mathbb{C} </math> besitzen. Die Addition der Matrizen erfolgt komponentenweise und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> wird analog zum Vektorraum <math>\mathbb{C}^n</math> komponentweise gestreckt. Die Multiplikation in <math>A</math> ist die Matrixmultiplikation als innere Verknüpfung. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. === Matrizenalgebra === Die Algebra <math>A</math> besteht aus quadratischen Matrizen, damit die Matrixmultiplikation eine innere Verknüpfung in der :<math> A = Mat(2\times 2 , \mathbb{C}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> ==== Addition - Matrixalgebra ==== Die Addition und Multiplikation in <math> A[t] </math> sind wie folgt definiert: :<math> \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation mit Skalar - Matrixalgebra ==== Multiplikation mit einem Skalar <math> \lambda \in \mathbb{C}</math> erfolgt komponentenweise: :<math> \lambda \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} \lambda \cdot a & \lambda \cdot b \\ \lambda \cdot c & \lambda \cdot d \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation in der Matrixalgebra ==== Matrixmultiplikation ist die innere Verknüpfung der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} \cdot : & A \times A & \rightarrow & A \\ & \left( \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \right) & \mapsto & \begin{pmatrix} a_1a_2 + b1c2 & a_1b2+b_1d_2 \\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2 \end{pmatrix} \end{array} </math>\begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} === Polynomalgebra mit Matrizenal als Koeffizienten === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> besteht aus Polynomen der Form: :<math> q(t) = \sum_{k=0}^n q_k t^k, \quad \text{mit } q_k \in A </math> Die Multiplikation von Polynomen ist die Cauchy-Multiplikation in der [[Polynomalgebra]], wobei die Verknüfungen mit den Koeffizienten bereits über die Matrizenalgebra definert sind (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Matrizenalgebra|Matrizenalgebra]]) ==== Aufgabe für Studierende ==== Verwenden Sie Ihre Vorwissen aus der Linearen Algebra und dem [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Caley-Hamilton]]. Erläutern Sie, welche Polynome verwendet werden, bei denen man Matrizen <math>x\in A</math> als Argumente für <math>p(x)</math> verwendet werden (siehe [[w:de:charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]]). Welche Unterschiede bestehen zu der hier verwendeten Polynomalgebra? === Schritt 1: Konstruktion von Nullteilern in <math> A = M_2(\mathbb{C}) </math> === In <math> M_2(\mathbb{C}) </math> gibt es '''Nullteiler''', d.h. Matrizen <math> P, Q \neq 0 </math>, sodass <math> P Q = 0 </math>, aber <math> P \neq 0 </math>, <math> Q \neq 0 </math>. '''Beispiel:''' Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Dann: :<math> p_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> :<math> a \cdot p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> Also: <math> p_1 a = 0_A </math> und <math> a p_1 = 0_A </math>. In diesem Fall '''kommutiert''' der Nullteiler mit seinem "Komplementär". Aber wir wollen ein Beispiel, in dem '''nicht''' <math> p_1 a = 0_A </math> gilt, obwohl <math> a p_1 = 0_A </math>, um die '''Nicht-Kommutativität''' der Nullteiler-Eigenschaft zu zeigen. === Schritt 2: Nicht-kommutative Nullteiler === Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Berechne: :<math> a \cdot p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> :<math> p_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> Also: <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> Das zeigt: '''Die Nullteiler-Eigenschaft ist nicht notwendigerweise kommutativ'''. '''Hinweis:''' Hier ist <math> p_1 </math> ein '''rechter Nullteiler''' von <math> a </math>, aber <math> a </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> p_1 </math>, da <math> p_1 a \neq 0 </math>. === Schritt 3: Betrachte die Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> in <math> A[t] </math> === Wir betrachten das Polynom <math> p(t) = p_1 \cdot t \in A[t] </math>, also ein Polynom vom Grad 1 mit Koeffizient <math> p_1 </math>. Die Gleichung: :<math> p_1 \cdot t = 0_A </math> ist eine '''Gleichung in der Algebra <math> A[t] </math>''', aber eigentlich ist sie eine '''Gleichung für die Variable <math> t </math>''', wobei <math> t </math> eine formale Variable ist. Aber hier ist die Interpretation wichtig: Wir betrachten die '''Gleichung''' <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> als '''Gleichung in <math> A[t] </math>''', d.h. wir fragen nach den '''Lösungen''' <math> t \in A[t] </math>, sodass <math> p_1 \cdot t = 0_A </math>. Aber <math> t </math> ist eine '''formale Variable''', also ist <math> p_1 \cdot t </math> ein Polynom, und die Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> bedeutet, dass das Polynom <math> p_1 t </math> gleich dem Nullpolynom ist. Das ist '''nicht der Fall''', da <math> p_1 \neq 0 </math>, also <math> p_1 t \neq 0 </math> in <math> A[t] </math>. Aber der Sinn der Aufgabe scheint zu sein: '''Betrachte die Gleichung <math> p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math>''', also '''Lösungen in der Algebra <math> A </math>'''. Das macht mehr Sinn, da <math> p_1 </math> ein Nullteiler ist, und wir wollen die Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math> vergleichen mit <math> a p_1 x = 0_A </math>, wobei <math> a </math> ein komplementärer Nullteiler ist. === Korrekte Interpretation: === Wir betrachten die '''Gleichungen in der Algebra <math> A </math>''': 1. <math> p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> 2. <math> a \cdot p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> mit <math> p_1 </math> und <math> a </math> wie oben gewählt. === Schritt 4: Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math> === Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in A </math> Dann: :<math> p_1 x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Setze gleich <math> 0_A </math>: :<math> \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mathbb{R}ightarrow a = 0, b = 0 </math> Also: <math> x = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} </math>, beliebige <math> c,d \in \mathbb{C} </math> '''Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math>''' ist: :<math> S_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \mid c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> Dimension: 2 über <math> \mathbb{C} </math> === Schritt 5: Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math> === Wähle: :<math> a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Berechne <math> a p_1 </math>: :<math> a p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> Also: <math> a p_1 = 0_A </math> Dann ist <math> a p_1 x = 0_A \cdot x = 0_A </math> für '''jedes''' <math> x \in A </math> '''Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>''' ist '''ganz <math> A </math>''' :<math> S_2 = A = M_2(\mathbb{C}) </math> === Vergleich der Lösungsmengen: === * <math> S_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \right\} </math> → echte Teilmenge von <math> A </math> * <math> S_2 = A </math> → ganze Algebra Also: <math> S_1 \subsetneq S_2 </math> '''Die Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math> ist echt größer als die von <math> p_1 x = 0_A </math>''' Das zeigt: '''Multiplikation mit einem komplementären Nullteiler (hier <math> a </math>) kann die Lösungsmenge vergrößern''', weil <math> a p_1 = 0 </math>, also die Gleichung trivial wird. === Schritt 6: Nicht-Kommutativität der Nullteiler-Eigenschaft === Wir haben bereits gezeigt: * <math> a p_1 = 0_A </math> * <math> p_1 a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> Also: <math> a </math> ist ein '''rechter Nullteiler''' von <math> p_1 </math>, aber <math> p_1 </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> a </math> Die Nullteiler-Eigenschaft ist '''nicht kommutativ'''. === Zusammenfassung - Lösungsmengenvergleich === Insgesamt wurde mit den obigen Untersuchung der Matrizenalgebra gezeigt === Beweisschritt 1 - Existenz von Nullteilern === in <math> A = M_2(\mathbb{C}) </math>: <math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>, <math> a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>, mit <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> === Beweisschritt 2 - Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math>=== ist eine echte Teilmenge von <math> A </math>, nämlich alle Matrizen der Form <math> \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} </math> === Beweisschritt 3 - Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>=== ist '''ganz <math> A </math>''', da <math> a p_1 = 0_A </math> 4. Also: <math> \{ x \in A \mid p_1 x = 0_A \} \subsetneq \{ x \in A \mid a p_1 x = 0_A \} </math> 5. Die Nullteiler-Eigenschaft ist '''nicht kommutativ''': <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> === Abschließende Bemerkung: === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> ist hier nur als Kontext genutzt. Die eigentlichen Gleichungen werden in der Algebra <math> A </math> betrachtet. Die Aussage <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> ist in <math> A[t] </math> nur dann erfüllt, wenn <math> p_1 = 0 </math>, was nicht der Fall ist. Aber die '''Lösungsmenge''' der Gleichung <math> p_1 x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> ist der Kern der Linksmultiplikation mit <math> p_1 </math>, und diese ist '''nicht''' gleich der Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>, da <math> a p_1 = 0 </math>. '''Alle geforderten Eigenschaften sind erfüllt.''' == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe <math>q_0\neq 0</math> ist und damit <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math> erfüllt ist. == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] ogtksh6ygth8td5cdzucfr8fm2pyz61 1117996 1117995 2026-10-28T07:31:03Z Bert Niehaus 20843 /* Polynomalgebra mit Matrizenal als Koeffizienten */ 1117996 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> == Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation == Das Beispiel behandelt ein Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> vom Grad 1 und es wird gezeigt, dass sich durch Multiplikation der Gleichung mit einem Element <math>a\in A\setminus \{0_{\!\!_A} \}</math> die Lösungsmenge von <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> zu <math>a\cdot q(z)=a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A}</math> verändert. === Teilaspekte === Insgesamt werden dabei in einer Algebra <math>A</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen * Nullteiler betrachtet, * Lösungsmenge von <math> q(z)= q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> * Lösungsmenge von <math> a \cdot q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> === Verknüfungen in der Algebra === Bzgl. der Algebra <math>A</math> betrachtet man die ''Polynomalgebra'' <math> A[t] </math>, wobei die Polynome <math>p\in A </math> Koeffizienten aus der Algebra der <math> 2 \times 2 </math>-Matrizen über den komplexen Zahlen <math> \mathbb{C} </math> besitzen. Die Addition der Matrizen erfolgt komponentenweise und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> wird analog zum Vektorraum <math>\mathbb{C}^n</math> komponentweise gestreckt. Die Multiplikation in <math>A</math> ist die Matrixmultiplikation als innere Verknüpfung. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. === Matrizenalgebra === Die Algebra <math>A</math> besteht aus quadratischen Matrizen, damit die Matrixmultiplikation eine innere Verknüpfung in der :<math> A = Mat(2\times 2 , \mathbb{C}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> ==== Addition - Matrixalgebra ==== Die Addition und Multiplikation in <math> A[t] </math> sind wie folgt definiert: :<math> \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation mit Skalar - Matrixalgebra ==== Multiplikation mit einem Skalar <math> \lambda \in \mathbb{C}</math> erfolgt komponentenweise: :<math> \lambda \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} \lambda \cdot a & \lambda \cdot b \\ \lambda \cdot c & \lambda \cdot d \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation in der Matrixalgebra ==== Matrixmultiplikation ist die innere Verknüpfung der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} \cdot : & A \times A & \rightarrow & A \\ & \left( \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \right) & \mapsto & \begin{pmatrix} a_1a_2 + b1c2 & a_1b2+b_1d_2 \\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2 \end{pmatrix} \end{array} </math>\begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} === Polynomalgebra mit Matrizenal als Koeffizienten === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> besteht aus Polynomen der Form: :<math> q(t) = \sum_{k=0}^n q_k\cdot t^k, \quad \text{mit } q_k \in A </math> Die Multiplikation von Polynomen ist die Cauchy-Multiplikation in der [[Polynomalgebra]], wobei die Verknüfungen mit den Koeffizienten bereits über die Matrizenalgebra definert sind (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Matrizenalgebra|Matrizenalgebra]]) ==== Aufgabe für Studierende ==== Verwenden Sie Ihre Vorwissen aus der Linearen Algebra und dem [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Caley-Hamilton]]. Erläutern Sie, welche Polynome verwendet werden, bei denen man Matrizen <math>x\in A</math> als Argumente für <math>p(x)</math> verwendet werden (siehe [[w:de:charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]]). Welche Unterschiede bestehen zu der hier verwendeten Polynomalgebra? === Schritt 1: Konstruktion von Nullteilern in <math> A = M_2(\mathbb{C}) </math> === In <math> M_2(\mathbb{C}) </math> gibt es '''Nullteiler''', d.h. Matrizen <math> P, Q \neq 0 </math>, sodass <math> P Q = 0 </math>, aber <math> P \neq 0 </math>, <math> Q \neq 0 </math>. '''Beispiel:''' Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Dann: :<math> p_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> :<math> a \cdot p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> Also: <math> p_1 a = 0_A </math> und <math> a p_1 = 0_A </math>. In diesem Fall '''kommutiert''' der Nullteiler mit seinem "Komplementär". Aber wir wollen ein Beispiel, in dem '''nicht''' <math> p_1 a = 0_A </math> gilt, obwohl <math> a p_1 = 0_A </math>, um die '''Nicht-Kommutativität''' der Nullteiler-Eigenschaft zu zeigen. === Schritt 2: Nicht-kommutative Nullteiler === Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Berechne: :<math> a \cdot p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> :<math> p_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> Also: <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> Das zeigt: '''Die Nullteiler-Eigenschaft ist nicht notwendigerweise kommutativ'''. '''Hinweis:''' Hier ist <math> p_1 </math> ein '''rechter Nullteiler''' von <math> a </math>, aber <math> a </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> p_1 </math>, da <math> p_1 a \neq 0 </math>. === Schritt 3: Betrachte die Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> in <math> A[t] </math> === Wir betrachten das Polynom <math> p(t) = p_1 \cdot t \in A[t] </math>, also ein Polynom vom Grad 1 mit Koeffizient <math> p_1 </math>. Die Gleichung: :<math> p_1 \cdot t = 0_A </math> ist eine '''Gleichung in der Algebra <math> A[t] </math>''', aber eigentlich ist sie eine '''Gleichung für die Variable <math> t </math>''', wobei <math> t </math> eine formale Variable ist. Aber hier ist die Interpretation wichtig: Wir betrachten die '''Gleichung''' <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> als '''Gleichung in <math> A[t] </math>''', d.h. wir fragen nach den '''Lösungen''' <math> t \in A[t] </math>, sodass <math> p_1 \cdot t = 0_A </math>. Aber <math> t </math> ist eine '''formale Variable''', also ist <math> p_1 \cdot t </math> ein Polynom, und die Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> bedeutet, dass das Polynom <math> p_1 t </math> gleich dem Nullpolynom ist. Das ist '''nicht der Fall''', da <math> p_1 \neq 0 </math>, also <math> p_1 t \neq 0 </math> in <math> A[t] </math>. Aber der Sinn der Aufgabe scheint zu sein: '''Betrachte die Gleichung <math> p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math>''', also '''Lösungen in der Algebra <math> A </math>'''. Das macht mehr Sinn, da <math> p_1 </math> ein Nullteiler ist, und wir wollen die Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math> vergleichen mit <math> a p_1 x = 0_A </math>, wobei <math> a </math> ein komplementärer Nullteiler ist. === Korrekte Interpretation: === Wir betrachten die '''Gleichungen in der Algebra <math> A </math>''': 1. <math> p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> 2. <math> a \cdot p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> mit <math> p_1 </math> und <math> a </math> wie oben gewählt. === Schritt 4: Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math> === Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in A </math> Dann: :<math> p_1 x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Setze gleich <math> 0_A </math>: :<math> \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mathbb{R}ightarrow a = 0, b = 0 </math> Also: <math> x = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} </math>, beliebige <math> c,d \in \mathbb{C} </math> '''Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math>''' ist: :<math> S_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \mid c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> Dimension: 2 über <math> \mathbb{C} </math> === Schritt 5: Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math> === Wähle: :<math> a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Berechne <math> a p_1 </math>: :<math> a p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> Also: <math> a p_1 = 0_A </math> Dann ist <math> a p_1 x = 0_A \cdot x = 0_A </math> für '''jedes''' <math> x \in A </math> '''Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>''' ist '''ganz <math> A </math>''' :<math> S_2 = A = M_2(\mathbb{C}) </math> === Vergleich der Lösungsmengen: === * <math> S_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \right\} </math> → echte Teilmenge von <math> A </math> * <math> S_2 = A </math> → ganze Algebra Also: <math> S_1 \subsetneq S_2 </math> '''Die Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math> ist echt größer als die von <math> p_1 x = 0_A </math>''' Das zeigt: '''Multiplikation mit einem komplementären Nullteiler (hier <math> a </math>) kann die Lösungsmenge vergrößern''', weil <math> a p_1 = 0 </math>, also die Gleichung trivial wird. === Schritt 6: Nicht-Kommutativität der Nullteiler-Eigenschaft === Wir haben bereits gezeigt: * <math> a p_1 = 0_A </math> * <math> p_1 a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> Also: <math> a </math> ist ein '''rechter Nullteiler''' von <math> p_1 </math>, aber <math> p_1 </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> a </math> Die Nullteiler-Eigenschaft ist '''nicht kommutativ'''. === Zusammenfassung - Lösungsmengenvergleich === Insgesamt wurde mit den obigen Untersuchung der Matrizenalgebra gezeigt === Beweisschritt 1 - Existenz von Nullteilern === in <math> A = M_2(\mathbb{C}) </math>: <math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>, <math> a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>, mit <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> === Beweisschritt 2 - Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math>=== ist eine echte Teilmenge von <math> A </math>, nämlich alle Matrizen der Form <math> \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} </math> === Beweisschritt 3 - Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>=== ist '''ganz <math> A </math>''', da <math> a p_1 = 0_A </math> 4. Also: <math> \{ x \in A \mid p_1 x = 0_A \} \subsetneq \{ x \in A \mid a p_1 x = 0_A \} </math> 5. Die Nullteiler-Eigenschaft ist '''nicht kommutativ''': <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> === Abschließende Bemerkung: === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> ist hier nur als Kontext genutzt. Die eigentlichen Gleichungen werden in der Algebra <math> A </math> betrachtet. Die Aussage <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> ist in <math> A[t] </math> nur dann erfüllt, wenn <math> p_1 = 0 </math>, was nicht der Fall ist. Aber die '''Lösungsmenge''' der Gleichung <math> p_1 x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> ist der Kern der Linksmultiplikation mit <math> p_1 </math>, und diese ist '''nicht''' gleich der Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>, da <math> a p_1 = 0 </math>. '''Alle geforderten Eigenschaften sind erfüllt.''' == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe <math>q_0\neq 0</math> ist und damit <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math> erfüllt ist. == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] ct331ib230po061amvwdldhukytqciw 1117997 1117996 2026-10-28T07:36:50Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1: Konstruktion von Nullteilern in A = M_2(\mathbb{C}) */ 1117997 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> == Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation == Das Beispiel behandelt ein Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> vom Grad 1 und es wird gezeigt, dass sich durch Multiplikation der Gleichung mit einem Element <math>a\in A\setminus \{0_{\!\!_A} \}</math> die Lösungsmenge von <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> zu <math>a\cdot q(z)=a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A}</math> verändert. === Teilaspekte === Insgesamt werden dabei in einer Algebra <math>A</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen * Nullteiler betrachtet, * Lösungsmenge von <math> q(z)= q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> * Lösungsmenge von <math> a \cdot q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> === Verknüfungen in der Algebra === Bzgl. der Algebra <math>A</math> betrachtet man die ''Polynomalgebra'' <math> A[t] </math>, wobei die Polynome <math>p\in A </math> Koeffizienten aus der Algebra der <math> 2 \times 2 </math>-Matrizen über den komplexen Zahlen <math> \mathbb{C} </math> besitzen. Die Addition der Matrizen erfolgt komponentenweise und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> wird analog zum Vektorraum <math>\mathbb{C}^n</math> komponentweise gestreckt. Die Multiplikation in <math>A</math> ist die Matrixmultiplikation als innere Verknüpfung. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. === Matrizenalgebra === Die Algebra <math>A</math> besteht aus quadratischen Matrizen, damit die Matrixmultiplikation eine innere Verknüpfung in der :<math> A = Mat(2\times 2 , \mathbb{C}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> ==== Addition - Matrixalgebra ==== Die Addition und Multiplikation in <math> A[t] </math> sind wie folgt definiert: :<math> \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation mit Skalar - Matrixalgebra ==== Multiplikation mit einem Skalar <math> \lambda \in \mathbb{C}</math> erfolgt komponentenweise: :<math> \lambda \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} \lambda \cdot a & \lambda \cdot b \\ \lambda \cdot c & \lambda \cdot d \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation in der Matrixalgebra ==== Matrixmultiplikation ist die innere Verknüpfung der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} \cdot : & A \times A & \rightarrow & A \\ & \left( \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \right) & \mapsto & \begin{pmatrix} a_1a_2 + b1c2 & a_1b2+b_1d_2 \\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2 \end{pmatrix} \end{array} </math>\begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} === Polynomalgebra mit Matrizenal als Koeffizienten === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> besteht aus Polynomen der Form: :<math> q(t) = \sum_{k=0}^n q_k\cdot t^k, \quad \text{mit } q_k \in A </math> Die Multiplikation von Polynomen ist die Cauchy-Multiplikation in der [[Polynomalgebra]], wobei die Verknüfungen mit den Koeffizienten bereits über die Matrizenalgebra definert sind (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Matrizenalgebra|Matrizenalgebra]]) ==== Aufgabe für Studierende ==== Verwenden Sie Ihre Vorwissen aus der Linearen Algebra und dem [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Caley-Hamilton]]. Erläutern Sie, welche Polynome verwendet werden, bei denen man Matrizen <math>x\in A</math> als Argumente für <math>p(x)</math> verwendet werden (siehe [[w:de:charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]]). Welche Unterschiede bestehen zu der hier verwendeten Polynomalgebra? === Schritt 1 - Konstruktion von Nullteilern === In <math> Mat(2\times 2, \mathbb{C}) </math> gibt es '''Nullteiler''', d.h. Matrizen <math> P, Q \neq 0_{\!\!_A} </math>, sodass <math> P\cdot Q = 0_{\!\!_A} </math>, aber <math> P \neq 0_{\!\!_A} </math>, <math> Q \neq 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Beispiel wählt man die folgenden Matrizen: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} </math> === Schritt 2 - Nullteilereigenschaft === Mit der Definition der obigen Matrizen gilt dann mit der Definition der Matrixmultiplikation: :<math> p_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Die Nullteilereigenschaft kommutiert in diesem Fall :<math> a \cdot p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> Also: <math> p_1 a = 0_A </math> und <math> a p_1 = 0_A </math>. In diesem Fall '''kommutiert''' der Nullteiler mit seinem "Komplementär". Aber wir wollen ein Beispiel, in dem '''nicht''' <math> p_1 a = 0_A </math> gilt, obwohl <math> a p_1 = 0_A </math>, um die '''Nicht-Kommutativität''' der Nullteiler-Eigenschaft zu zeigen. === Schritt 2: Nicht-kommutative Nullteiler === Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Berechne: :<math> a \cdot p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> :<math> p_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> Also: <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> Das zeigt: '''Die Nullteiler-Eigenschaft ist nicht notwendigerweise kommutativ'''. '''Hinweis:''' Hier ist <math> p_1 </math> ein '''rechter Nullteiler''' von <math> a </math>, aber <math> a </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> p_1 </math>, da <math> p_1 a \neq 0 </math>. === Schritt 3: Betrachte die Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> in <math> A[t] </math> === Wir betrachten das Polynom <math> p(t) = p_1 \cdot t \in A[t] </math>, also ein Polynom vom Grad 1 mit Koeffizient <math> p_1 </math>. Die Gleichung: :<math> p_1 \cdot t = 0_A </math> ist eine '''Gleichung in der Algebra <math> A[t] </math>''', aber eigentlich ist sie eine '''Gleichung für die Variable <math> t </math>''', wobei <math> t </math> eine formale Variable ist. Aber hier ist die Interpretation wichtig: Wir betrachten die '''Gleichung''' <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> als '''Gleichung in <math> A[t] </math>''', d.h. wir fragen nach den '''Lösungen''' <math> t \in A[t] </math>, sodass <math> p_1 \cdot t = 0_A </math>. Aber <math> t </math> ist eine '''formale Variable''', also ist <math> p_1 \cdot t </math> ein Polynom, und die Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> bedeutet, dass das Polynom <math> p_1 t </math> gleich dem Nullpolynom ist. Das ist '''nicht der Fall''', da <math> p_1 \neq 0 </math>, also <math> p_1 t \neq 0 </math> in <math> A[t] </math>. Aber der Sinn der Aufgabe scheint zu sein: '''Betrachte die Gleichung <math> p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math>''', also '''Lösungen in der Algebra <math> A </math>'''. Das macht mehr Sinn, da <math> p_1 </math> ein Nullteiler ist, und wir wollen die Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math> vergleichen mit <math> a p_1 x = 0_A </math>, wobei <math> a </math> ein komplementärer Nullteiler ist. === Korrekte Interpretation: === Wir betrachten die '''Gleichungen in der Algebra <math> A </math>''': 1. <math> p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> 2. <math> a \cdot p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> mit <math> p_1 </math> und <math> a </math> wie oben gewählt. === Schritt 4: Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math> === Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in A </math> Dann: :<math> p_1 x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Setze gleich <math> 0_A </math>: :<math> \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mathbb{R}ightarrow a = 0, b = 0 </math> Also: <math> x = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} </math>, beliebige <math> c,d \in \mathbb{C} </math> '''Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math>''' ist: :<math> S_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \mid c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> Dimension: 2 über <math> \mathbb{C} </math> === Schritt 5: Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math> === Wähle: :<math> a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Berechne <math> a p_1 </math>: :<math> a p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> Also: <math> a p_1 = 0_A </math> Dann ist <math> a p_1 x = 0_A \cdot x = 0_A </math> für '''jedes''' <math> x \in A </math> '''Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>''' ist '''ganz <math> A </math>''' :<math> S_2 = A = M_2(\mathbb{C}) </math> === Vergleich der Lösungsmengen: === * <math> S_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \right\} </math> → echte Teilmenge von <math> A </math> * <math> S_2 = A </math> → ganze Algebra Also: <math> S_1 \subsetneq S_2 </math> '''Die Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math> ist echt größer als die von <math> p_1 x = 0_A </math>''' Das zeigt: '''Multiplikation mit einem komplementären Nullteiler (hier <math> a </math>) kann die Lösungsmenge vergrößern''', weil <math> a p_1 = 0 </math>, also die Gleichung trivial wird. === Schritt 6: Nicht-Kommutativität der Nullteiler-Eigenschaft === Wir haben bereits gezeigt: * <math> a p_1 = 0_A </math> * <math> p_1 a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> Also: <math> a </math> ist ein '''rechter Nullteiler''' von <math> p_1 </math>, aber <math> p_1 </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> a </math> Die Nullteiler-Eigenschaft ist '''nicht kommutativ'''. === Zusammenfassung - Lösungsmengenvergleich === Insgesamt wurde mit den obigen Untersuchung der Matrizenalgebra gezeigt === Beweisschritt 1 - Existenz von Nullteilern === in <math> A = M_2(\mathbb{C}) </math>: <math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>, <math> a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>, mit <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> === Beweisschritt 2 - Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math>=== ist eine echte Teilmenge von <math> A </math>, nämlich alle Matrizen der Form <math> \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} </math> === Beweisschritt 3 - Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>=== ist '''ganz <math> A </math>''', da <math> a p_1 = 0_A </math> 4. Also: <math> \{ x \in A \mid p_1 x = 0_A \} \subsetneq \{ x \in A \mid a p_1 x = 0_A \} </math> 5. Die Nullteiler-Eigenschaft ist '''nicht kommutativ''': <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> === Abschließende Bemerkung: === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> ist hier nur als Kontext genutzt. Die eigentlichen Gleichungen werden in der Algebra <math> A </math> betrachtet. Die Aussage <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> ist in <math> A[t] </math> nur dann erfüllt, wenn <math> p_1 = 0 </math>, was nicht der Fall ist. Aber die '''Lösungsmenge''' der Gleichung <math> p_1 x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> ist der Kern der Linksmultiplikation mit <math> p_1 </math>, und diese ist '''nicht''' gleich der Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>, da <math> a p_1 = 0 </math>. '''Alle geforderten Eigenschaften sind erfüllt.''' == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe <math>q_0\neq 0</math> ist und damit <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math> erfüllt ist. == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] g72gvrhk8ct4y9mu280hond5r1kebeu 1117998 1117997 2026-10-28T07:37:15Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 2 - Nullteilereigenschaft */ 1117998 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> == Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation == Das Beispiel behandelt ein Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> vom Grad 1 und es wird gezeigt, dass sich durch Multiplikation der Gleichung mit einem Element <math>a\in A\setminus \{0_{\!\!_A} \}</math> die Lösungsmenge von <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> zu <math>a\cdot q(z)=a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A}</math> verändert. === Teilaspekte === Insgesamt werden dabei in einer Algebra <math>A</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen * Nullteiler betrachtet, * Lösungsmenge von <math> q(z)= q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> * Lösungsmenge von <math> a \cdot q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> === Verknüfungen in der Algebra === Bzgl. der Algebra <math>A</math> betrachtet man die ''Polynomalgebra'' <math> A[t] </math>, wobei die Polynome <math>p\in A </math> Koeffizienten aus der Algebra der <math> 2 \times 2 </math>-Matrizen über den komplexen Zahlen <math> \mathbb{C} </math> besitzen. Die Addition der Matrizen erfolgt komponentenweise und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> wird analog zum Vektorraum <math>\mathbb{C}^n</math> komponentweise gestreckt. Die Multiplikation in <math>A</math> ist die Matrixmultiplikation als innere Verknüpfung. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. === Matrizenalgebra === Die Algebra <math>A</math> besteht aus quadratischen Matrizen, damit die Matrixmultiplikation eine innere Verknüpfung in der :<math> A = Mat(2\times 2 , \mathbb{C}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> ==== Addition - Matrixalgebra ==== Die Addition und Multiplikation in <math> A[t] </math> sind wie folgt definiert: :<math> \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation mit Skalar - Matrixalgebra ==== Multiplikation mit einem Skalar <math> \lambda \in \mathbb{C}</math> erfolgt komponentenweise: :<math> \lambda \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} \lambda \cdot a & \lambda \cdot b \\ \lambda \cdot c & \lambda \cdot d \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation in der Matrixalgebra ==== Matrixmultiplikation ist die innere Verknüpfung der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} \cdot : & A \times A & \rightarrow & A \\ & \left( \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \right) & \mapsto & \begin{pmatrix} a_1a_2 + b1c2 & a_1b2+b_1d_2 \\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2 \end{pmatrix} \end{array} </math>\begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} === Polynomalgebra mit Matrizenal als Koeffizienten === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> besteht aus Polynomen der Form: :<math> q(t) = \sum_{k=0}^n q_k\cdot t^k, \quad \text{mit } q_k \in A </math> Die Multiplikation von Polynomen ist die Cauchy-Multiplikation in der [[Polynomalgebra]], wobei die Verknüfungen mit den Koeffizienten bereits über die Matrizenalgebra definert sind (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Matrizenalgebra|Matrizenalgebra]]) ==== Aufgabe für Studierende ==== Verwenden Sie Ihre Vorwissen aus der Linearen Algebra und dem [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Caley-Hamilton]]. Erläutern Sie, welche Polynome verwendet werden, bei denen man Matrizen <math>x\in A</math> als Argumente für <math>p(x)</math> verwendet werden (siehe [[w:de:charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]]). Welche Unterschiede bestehen zu der hier verwendeten Polynomalgebra? === Schritt 1 - Konstruktion von Nullteilern === In <math> Mat(2\times 2, \mathbb{C}) </math> gibt es '''Nullteiler''', d.h. Matrizen <math> P, Q \neq 0_{\!\!_A} </math>, sodass <math> P\cdot Q = 0_{\!\!_A} </math>, aber <math> P \neq 0_{\!\!_A} </math>, <math> Q \neq 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Beispiel wählt man die folgenden Matrizen: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} </math> === Schritt 2 - Nullteilereigenschaft === Mit der Definition der obigen Matrizen gilt dann mit der Definition der Matrixmultiplikation: :<math> p_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Die Nullteilereigenschaft kommutiert in diesem Fall :<math> a \cdot p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Also: <math> p_1 a = 0_A </math> und <math> a p_1 = 0_A </math>. In diesem Fall '''kommutiert''' der Nullteiler mit seinem "Komplementär". Aber wir wollen ein Beispiel, in dem '''nicht''' <math> p_1 a = 0_A </math> gilt, obwohl <math> a p_1 = 0_A </math>, um die '''Nicht-Kommutativität''' der Nullteiler-Eigenschaft zu zeigen. === Schritt 2: Nicht-kommutative Nullteiler === Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Berechne: :<math> a \cdot p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> :<math> p_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> Also: <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> Das zeigt: '''Die Nullteiler-Eigenschaft ist nicht notwendigerweise kommutativ'''. '''Hinweis:''' Hier ist <math> p_1 </math> ein '''rechter Nullteiler''' von <math> a </math>, aber <math> a </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> p_1 </math>, da <math> p_1 a \neq 0 </math>. === Schritt 3: Betrachte die Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> in <math> A[t] </math> === Wir betrachten das Polynom <math> p(t) = p_1 \cdot t \in A[t] </math>, also ein Polynom vom Grad 1 mit Koeffizient <math> p_1 </math>. Die Gleichung: :<math> p_1 \cdot t = 0_A </math> ist eine '''Gleichung in der Algebra <math> A[t] </math>''', aber eigentlich ist sie eine '''Gleichung für die Variable <math> t </math>''', wobei <math> t </math> eine formale Variable ist. Aber hier ist die Interpretation wichtig: Wir betrachten die '''Gleichung''' <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> als '''Gleichung in <math> A[t] </math>''', d.h. wir fragen nach den '''Lösungen''' <math> t \in A[t] </math>, sodass <math> p_1 \cdot t = 0_A </math>. Aber <math> t </math> ist eine '''formale Variable''', also ist <math> p_1 \cdot t </math> ein Polynom, und die Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> bedeutet, dass das Polynom <math> p_1 t </math> gleich dem Nullpolynom ist. Das ist '''nicht der Fall''', da <math> p_1 \neq 0 </math>, also <math> p_1 t \neq 0 </math> in <math> A[t] </math>. Aber der Sinn der Aufgabe scheint zu sein: '''Betrachte die Gleichung <math> p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math>''', also '''Lösungen in der Algebra <math> A </math>'''. Das macht mehr Sinn, da <math> p_1 </math> ein Nullteiler ist, und wir wollen die Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math> vergleichen mit <math> a p_1 x = 0_A </math>, wobei <math> a </math> ein komplementärer Nullteiler ist. === Korrekte Interpretation: === Wir betrachten die '''Gleichungen in der Algebra <math> A </math>''': 1. <math> p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> 2. <math> a \cdot p_1 \cdot x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> mit <math> p_1 </math> und <math> a </math> wie oben gewählt. === Schritt 4: Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math> === Wähle: :<math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in A </math> Dann: :<math> p_1 x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Setze gleich <math> 0_A </math>: :<math> \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mathbb{R}ightarrow a = 0, b = 0 </math> Also: <math> x = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} </math>, beliebige <math> c,d \in \mathbb{C} </math> '''Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math>''' ist: :<math> S_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \mid c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> Dimension: 2 über <math> \mathbb{C} </math> === Schritt 5: Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math> === Wähle: :<math> a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Berechne <math> a p_1 </math>: :<math> a p_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_A </math> Also: <math> a p_1 = 0_A </math> Dann ist <math> a p_1 x = 0_A \cdot x = 0_A </math> für '''jedes''' <math> x \in A </math> '''Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>''' ist '''ganz <math> A </math>''' :<math> S_2 = A = M_2(\mathbb{C}) </math> === Vergleich der Lösungsmengen: === * <math> S_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \right\} </math> → echte Teilmenge von <math> A </math> * <math> S_2 = A </math> → ganze Algebra Also: <math> S_1 \subsetneq S_2 </math> '''Die Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math> ist echt größer als die von <math> p_1 x = 0_A </math>''' Das zeigt: '''Multiplikation mit einem komplementären Nullteiler (hier <math> a </math>) kann die Lösungsmenge vergrößern''', weil <math> a p_1 = 0 </math>, also die Gleichung trivial wird. === Schritt 6: Nicht-Kommutativität der Nullteiler-Eigenschaft === Wir haben bereits gezeigt: * <math> a p_1 = 0_A </math> * <math> p_1 a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> Also: <math> a </math> ist ein '''rechter Nullteiler''' von <math> p_1 </math>, aber <math> p_1 </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> a </math> Die Nullteiler-Eigenschaft ist '''nicht kommutativ'''. === Zusammenfassung - Lösungsmengenvergleich === Insgesamt wurde mit den obigen Untersuchung der Matrizenalgebra gezeigt === Beweisschritt 1 - Existenz von Nullteilern === in <math> A = M_2(\mathbb{C}) </math>: <math> p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>, <math> a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>, mit <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> === Beweisschritt 2 - Lösungsmenge von <math> p_1 x = 0_A </math>=== ist eine echte Teilmenge von <math> A </math>, nämlich alle Matrizen der Form <math> \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} </math> === Beweisschritt 3 - Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>=== ist '''ganz <math> A </math>''', da <math> a p_1 = 0_A </math> 4. Also: <math> \{ x \in A \mid p_1 x = 0_A \} \subsetneq \{ x \in A \mid a p_1 x = 0_A \} </math> 5. Die Nullteiler-Eigenschaft ist '''nicht kommutativ''': <math> a p_1 = 0_A </math>, aber <math> p_1 a \neq 0_A </math> === Abschließende Bemerkung: === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> ist hier nur als Kontext genutzt. Die eigentlichen Gleichungen werden in der Algebra <math> A </math> betrachtet. Die Aussage <math> p_1 \cdot t = 0_A </math> ist in <math> A[t] </math> nur dann erfüllt, wenn <math> p_1 = 0 </math>, was nicht der Fall ist. Aber die '''Lösungsmenge''' der Gleichung <math> p_1 x = 0_A </math> für <math> x \in A </math> ist der Kern der Linksmultiplikation mit <math> p_1 </math>, und diese ist '''nicht''' gleich der Lösungsmenge von <math> a p_1 x = 0_A </math>, da <math> a p_1 = 0 </math>. '''Alle geforderten Eigenschaften sind erfüllt.''' == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe <math>q_0\neq 0</math> ist und damit <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math> erfüllt ist. == Siehe auch == * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] dv9nr7030o22r95gxpmcriweatfjiay 0 173229 1117980 1117760 2026-10-27T21:48:54Z ~2026-56555-50 42021 1117980 wikitext text/x-wiki {{Infobox | Titel = CULTURELAB | Bildname = CULTURELAB-Logo.png | Bildbreite = 220px | Bildtext = Logo von CULTURELAB | Stil = 2 | Titelstyle = 5 | Abschnittsfarbe = | Farbe = #EAECF0 | Style = float:right; margin-left:1em; margin-top:0; border:1px solid #000000; background:#F8F9FA; width:300px; | Feldname1 = Unternehmensname | Daten1 = CULTURELAB | Feldname2 = Gründungsdatum | Daten2 = 22.10.2026 | Feldname3 = Unternehmenssitz | Daten3 = [[Darmstadt]], {{DEU}} | Feldname4 = Unternehmensform | Daten4 = GmbH | Feldname5 = Gründer | Daten5 = Julian Kantenstein<br>Malte Spalter | Feldname6 = Geschäftsführung | Daten6 = Kantenstein <br> Spalter | Feldname7 = Branche | Daten7 = Forschung und Beratung }} = Unternehmensprofil = CULTURELAB verbindet strategische Kommunikationsansätze mit gesundheitsbezogenen und kulturwissenschaftlichen Fragestellungen. Im Mittelpunkt stehen die Analyse von Zielgruppen, die Entwicklung wirkungsorientierter Strategien und die wissenschaftlich fundierte Beratung von Organisationen und Institutionen. = Organisationsstruktur = ___BITTE AUF EIGENE SEITE AUSLAGERN!___ Die Organisationsstruktur... == Gründer == ___BITTE AUF EIGENE SEITE AUSLAGERN! mit Abteilungsfnuktion!___ * Julian Kantenstein * Malte Spalter = Geschäftsbereiche = * Marketing/PR/Online-Kommunikation * betriebliche und öffentliche Gesundheit * Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., == Rechtsform == Als Rechtsform für dieses Unternehmen wurde die GmbH gewählt. Diese Rechtsform gibt dem Geschäftsführer die volle Weisungsberechtigung. Zudem gibt es die vollen Kontrollrechte für die Gesellschafterversammlung. Zudem konnte das Unternehmen die 25.000€ Startkapital aufbringen. Die Haftung hierbei ist für die Gesellschaft uneingeschränkt, allerdings für die Gesellschafter eingeschränkt, wodurch die Gesellschafter hierbei weniger Risiko tragen. Die Gewinn- sowie Verlustverteilung kann hierbei im Gesellschaftsvertrag flexibel festgehalten werden oder werden vom Stammkapitalanteil berechnet, wodurch fairness gegeben ist. = Strategische Ausrichtung = CULTURELAB verfolgt einen interdisziplinären Ansatz, der Kommunikation, Forschung und gesellschaftliche Wirkung miteinander verbindet. == FRAport Auftrag == [[/Fraport-Auftragskalkulation|Berechnung des Fraport-Auftrags]] s8yxbjodyb5nwrn9taev6uihekqfede 1117987 1117980 2026-10-27T22:02:07Z ~2026-56555-50 42021 /* Gründer */ 1117987 wikitext text/x-wiki {{Infobox | Titel = CULTURELAB | Bildname = CULTURELAB-Logo.png | Bildbreite = 220px | Bildtext = Logo von CULTURELAB | Stil = 2 | Titelstyle = 5 | Abschnittsfarbe = | Farbe = #EAECF0 | Style = float:right; margin-left:1em; margin-top:0; border:1px solid #000000; background:#F8F9FA; width:300px; | Feldname1 = Unternehmensname | Daten1 = CULTURELAB | Feldname2 = Gründungsdatum | Daten2 = 22.10.2026 | Feldname3 = Unternehmenssitz | Daten3 = [[Darmstadt]], {{DEU}} | Feldname4 = Unternehmensform | Daten4 = GmbH | Feldname5 = Gründer | Daten5 = Julian Kantenstein<br>Malte Spalter | Feldname6 = Geschäftsführung | Daten6 = Kantenstein <br> Spalter | Feldname7 = Branche | Daten7 = Forschung und Beratung }} = Unternehmensprofil = CULTURELAB verbindet strategische Kommunikationsansätze mit gesundheitsbezogenen und kulturwissenschaftlichen Fragestellungen. Im Mittelpunkt stehen die Analyse von Zielgruppen, die Entwicklung wirkungsorientierter Strategien und die wissenschaftlich fundierte Beratung von Organisationen und Institutionen. = Organisationsstruktur = ___BITTE AUF EIGENE SEITE AUSLAGERN!___ Die Organisationsstruktur... == Gründer == [[/Gruender-CULTURELAB|Zur Gründerseite]] = Geschäftsbereiche = * Marketing/PR/Online-Kommunikation * betriebliche und öffentliche Gesundheit * Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., == Rechtsform == Als Rechtsform für dieses Unternehmen wurde die GmbH gewählt. Diese Rechtsform gibt dem Geschäftsführer die volle Weisungsberechtigung. Zudem gibt es die vollen Kontrollrechte für die Gesellschafterversammlung. Zudem konnte das Unternehmen die 25.000€ Startkapital aufbringen. Die Haftung hierbei ist für die Gesellschaft uneingeschränkt, allerdings für die Gesellschafter eingeschränkt, wodurch die Gesellschafter hierbei weniger Risiko tragen. Die Gewinn- sowie Verlustverteilung kann hierbei im Gesellschaftsvertrag flexibel festgehalten werden oder werden vom Stammkapitalanteil berechnet, wodurch fairness gegeben ist. = Strategische Ausrichtung = CULTURELAB verfolgt einen interdisziplinären Ansatz, der Kommunikation, Forschung und gesellschaftliche Wirkung miteinander verbindet. == FRAport Auftrag == [[/Fraport-Auftragskalkulation|Berechnung des Fraport-Auftrags]] 1up88xemjgcm29mh0uxgi6eun79jvy5 1117988 1117987 2026-10-27T22:02:59Z ~2026-56555-50 42021 /* Organisationsstruktur */ 1117988 wikitext text/x-wiki {{Infobox | Titel = CULTURELAB | Bildname = CULTURELAB-Logo.png | Bildbreite = 220px | Bildtext = Logo von CULTURELAB | Stil = 2 | Titelstyle = 5 | Abschnittsfarbe = | Farbe = #EAECF0 | Style = float:right; margin-left:1em; margin-top:0; border:1px solid #000000; background:#F8F9FA; width:300px; | Feldname1 = Unternehmensname | Daten1 = CULTURELAB | Feldname2 = Gründungsdatum | Daten2 = 22.10.2026 | Feldname3 = Unternehmenssitz | Daten3 = [[Darmstadt]], {{DEU}} | Feldname4 = Unternehmensform | Daten4 = GmbH | Feldname5 = Gründer | Daten5 = Julian Kantenstein<br>Malte Spalter | Feldname6 = Geschäftsführung | Daten6 = Kantenstein <br> Spalter | Feldname7 = Branche | Daten7 = Forschung und Beratung }} = Unternehmensprofil = CULTURELAB verbindet strategische Kommunikationsansätze mit gesundheitsbezogenen und kulturwissenschaftlichen Fragestellungen. Im Mittelpunkt stehen die Analyse von Zielgruppen, die Entwicklung wirkungsorientierter Strategien und die wissenschaftlich fundierte Beratung von Organisationen und Institutionen. = Organisationsstruktur = [[/OrgaCULTURELAB|Zur Organisationsstruktur]] == Gründer == [[/Gruender-CULTURELAB|Zur Gründerseite]] = Geschäftsbereiche = * Marketing/PR/Online-Kommunikation * betriebliche und öffentliche Gesundheit * Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., == Rechtsform == Als Rechtsform für dieses Unternehmen wurde die GmbH gewählt. Diese Rechtsform gibt dem Geschäftsführer die volle Weisungsberechtigung. Zudem gibt es die vollen Kontrollrechte für die Gesellschafterversammlung. Zudem konnte das Unternehmen die 25.000€ Startkapital aufbringen. Die Haftung hierbei ist für die Gesellschaft uneingeschränkt, allerdings für die Gesellschafter eingeschränkt, wodurch die Gesellschafter hierbei weniger Risiko tragen. Die Gewinn- sowie Verlustverteilung kann hierbei im Gesellschaftsvertrag flexibel festgehalten werden oder werden vom Stammkapitalanteil berechnet, wodurch fairness gegeben ist. = Strategische Ausrichtung = CULTURELAB verfolgt einen interdisziplinären Ansatz, der Kommunikation, Forschung und gesellschaftliche Wirkung miteinander verbindet. == FRAport Auftrag == [[/Fraport-Auftragskalkulation|Berechnung des Fraport-Auftrags]] f72i7dbzihidp82p5hu0oq4yeyzqm1x 106 173280 1117889 1117754 2026-10-27T12:00:21Z Studi.m 41966 1117889 wikitext text/x-wiki IT & Controlling: Lisa Schmitt ist für IT und Controlling zuständig. Personal & Beschaffung: Da ich meinen Bachelor in Sozialwissenschaften abgeschlossen habe, bin ich perfekt geeignet für das Personal &Beschaffung, es ist mein Lebenssinn! Außerdem liegen meine Stärken ebenso im Einkauf, weshalb die Beschaffung meine Fähigkeiten optimal hervorhebt. Finanzen & Verkauf: Lola Schert ist für Finazen und Verkauf zuständig Ich bin für den Bereich Finanzen und Verkauf in unserer OHG geeignet, da ich ein gutes Verständnis für Finanzielle Entwicklungen, Kosten und wirtschaftliche Entscheidungen habe, welche ich während meines Bachelors in Sozialwissenschaften unter Beweis stellen konnte. Außerdem ist meine Aufgabe unseren Kundenstamm zu erhalten, weiter auszubauen und ihre Zufriedenheit zu gewährleisten. ksn94kipbkfv6lastq42ev8s8bacj8b 106 173301 1117899 2026-10-27T14:29:04Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117899 wikitext text/x-wiki Eine Schritt-für-Schritt-Anleitung mit Screenshots oder einen [[:w:Screencast|Screencast]] für einen Arbeitsablauf erstellen. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E1]] lmff38sbrvoewgctw39hx1laal2mtx1 106 173302 1117900 2026-10-27T14:31:05Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117900 wikitext text/x-wiki Den Ablauf eines Updates erklären: Backup, Installation, Neustart, Test. Begründen, warum Updates sicherheitsrelevant sind. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E1]] nni6x2yxkd7iej7ovkx61nf09oe4h5z 1117902 1117900 2026-10-27T14:35:13Z Paul Sutermeister 37610 1117902 wikitext text/x-wiki • Den Ablauf eines Updates erklären: Backup, Installation, Neustart, Test. Begründen, warum Updates sicherheitsrelevant sind. • Eine Webseite im [[:w:Content-Management-System|CMS]] bearbeiten, also Text, Bild und Link einfügen und veröffentlichen. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E1]] 33bh2o6zsof001fcl0zmboq6uf6ooe9 106 173303 1117901 2026-10-27T14:33:43Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117901 wikitext text/x-wiki Ein sicheres Passwort bilden und die [[:w:Zwei-Faktor-Authentifizierung|Zwei-Faktor-Authentifizierung]] einrichten. [[:w:Phishing|Phishing]]-Mails erkennen. Die [[:w:Datensicherung#3-2-1_Backup-Regel|3-2-1-Backup-Regel]] anwenden. Personendaten gemäss [[:w:Bundesgesetz über den Datenschutz|DSG]] schützen. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E1]] 6nbbmdwivyxi6nxvdggttxjryonj8qr 106 173304 1117903 2026-10-27T14:36:04Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117903 wikitext text/x-wiki Typische Probleme systematisch lösen, etwa Drucker, Netzwerk, Dateiformat oder ein nicht reagierendes Programm. Ein Problem korrekt an den Support melden. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E1]] qn2joekohb975ozsrmmzuzyjgkowlql 106 173305 1117904 2026-10-27T14:37:01Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117904 wikitext text/x-wiki Drei Massnahmen zum Energiesparen am Arbeitsplatz nennen und umsetzen, z. B. Standby, Energieoptionen und Druckverhalten. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E1]] eubappw3oue3lzw9q84f8qysazh6sr8 106 173306 1117905 2026-10-27T14:38:25Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117905 wikitext text/x-wiki Suchoperatoren wie Anführungszeichen, Minus und site: einsetzen. Je nach Auftrag eine passende Quelle wählen, z. B. Suchmaschine, Datenbank oder Fachportal. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E2]] 4uuvvf9zdhycyhyu5zumev74k0xpbv1 106 173307 1117906 2026-10-27T14:39:37Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117906 wikitext text/x-wiki Unsichere Webseiten erkennen (Zertifikat, URL). Cookies und Tracking im Browser einschränken. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E2]] 74rzdrpoharw6dn6w6bspe801smooz0 106 173308 1117907 2026-10-27T14:40:37Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117907 wikitext text/x-wiki • Quellen nach Kriterien wie Autor, Aktualität, Zweck und Belege beurteilen. • Aus einem Auftrag die gesuchten Informationen und Suchbegriffe ableiten. • Ergebnisse mit einer zweiten Quelle vergleichen und unplausible Werte erkennen. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E2]] hjztk1sol1lg089c5mvfcgbmf4o9s9g 106 173309 1117908 2026-10-27T14:41:00Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117908 wikitext text/x-wiki Rechercheergebnisse für die auftraggebende Stelle kurz, strukturiert und visuell aufbereiten. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E2]] akilcl10ur8d87yrdjtydo1pspqyf71 106 173310 1117909 2026-10-27T14:42:30Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117909 wikitext text/x-wiki Quellen korrekt angeben. Erkennen, welche Bilder und Texte verwendet werden dürfen ([[:w:Urheberrechtsgesetz (Schweiz)|Urheberrecht]], [[:w:Creative Commons|Creative Commons]]). [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E2]] oc1x3tp3pc780lcm9i7iom7at47ccl0 106 173311 1117910 2026-10-27T14:44:50Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117910 wikitext text/x-wiki • Analysemethoden wie Mittelwert, Median, Anteil und Veränderung in Prozent erklären und den passenden Einsatz begründen. • Aus Rohdaten eine Tabelle und ein passendes Diagramm erstellen und dieses korrekt interpretieren. • Daten in Excel mit Sortieren, Filtern, ZÄHLENWENN und SUMMEWENN auswerten. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E3]] gtgdi8en0uc5ojknppw9btjbyke8r87 1117931 1117910 2026-10-27T15:33:43Z Paul Sutermeister 37610 1117931 wikitext text/x-wiki • Analysemethoden wie Mittelwert, Median, Anteil und Veränderung in Prozent erklären und den passenden Einsatz begründen. • Aus Rohdaten eine Tabelle und ein passendes Diagramm erstellen und dieses korrekt interpretieren. • Daten in Excel mit Sortieren, Filtern, ZÄHLENWENN und SUMMEWENN auswerten. == Analysemethoden in Excel == In Excel lassen sich verschiedene statistische Kennzahlen mit einfachen Formeln berechnen. Zu den wichtigsten gehören der [[Mittelwert]], der [[Median]], der [[Anteil]] und die [[prozentuale Veränderung]]. {| class="wikitable" ! Gesucht ! Excel-Formel ! Einsatz |- | Mittelwert | <code>=MITTELWERT(A2:A11)</code> | Durchschnitt bestimmen |- | Median | <code>=MEDIAN(A2:A11)</code> | Mittleren Wert bestimmen, besonders bei Ausreißern |- | Anteil | <code>=ZÄHLENWENN(B2:B11;"Ja")/ANZAHL2(B2:B11)</code> | Teilmenge im Verhältnis zur Gesamtmenge bestimmen |- | Veränderung in Prozent | <code>=(B2-A2)/A2</code> | Entwicklung gegenüber einem Ausgangswert bestimmen |} <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="()" } | Mittelwert | Median | Anteil | Prozentuale Veränderung -+-- Was liegt in der Mitte? ---+ Wie stark hat sich etwas verändert? --+- Wie groß ist ein Teil im Verhältnis zum Ganzen? +--- Was ist der Durchschnitt? </quiz> === Mittelwert === Der Mittelwert beschreibt den Durchschnitt mehrerer Werte. '''Excel-Formel:''' <syntaxhighlight lang="text"> =MITTELWERT(A2:A11) </syntaxhighlight> Die Formel berechnet den Durchschnitt aller Werte im Bereich A2 bis A11. '''Beispiel:''' Wenn in A2:A4 die Werte 100, 120 und 140 stehen: <syntaxhighlight lang="text"> =MITTELWERT(A2:A4) </syntaxhighlight> Ergebnis: '''120''' '''Einsatz:''' Der Mittelwert eignet sich, wenn man einen typischen Durchschnittswert bestimmen möchte und keine starken Ausreißer vorhanden sind. === Median === Der Median ist der Wert, der in der Mitte einer nach Größe sortierten Datenreihe liegt. '''Excel-Formel:''' <syntaxhighlight lang="text"> =MEDIAN(A2:A11) </syntaxhighlight> '''Beispiel:''' Bei den Werten <syntaxhighlight lang="text"> 2, 3, 4, 8, 20 </syntaxhighlight> ist der Median '''4'''. '''Einsatz:''' Der Median ist besonders sinnvoll, wenn es starke Ausreißer gibt. Einzelne sehr große oder sehr kleine Werte beeinflussen den Median kaum. === Anteil === Der Anteil beschreibt, wie groß eine Teilmenge im Verhältnis zur Gesamtmenge ist. Die allgemeine Formel lautet: <math>\text{Anteil} = \frac{\text{Teilmenge}}{\text{Gesamtmenge}}</math> '''Beispiel in Excel:''' Angenommen, in B2:B11 stehen die Antworten ''Ja'' oder ''Nein''. Der Anteil der ''Ja''-Antworten kann mit folgender Formel berechnet werden: <syntaxhighlight lang="text"> =ZÄHLENWENN(B2:B11;"Ja")/ANZAHL2(B2:B11) </syntaxhighlight> Anschließend sollte die Zelle als '''Prozent''' formatiert werden. '''Beispiel:''' Von 250 Personen antworten 100 mit ''Ja'': <math>\frac{100}{250}=0{,}4=40\,\%</math> Der Anteil beträgt '''40 %'''. '''Einsatz:''' Ein Anteil eignet sich, wenn man zeigen möchte, wie groß eine bestimmte Gruppe im Verhältnis zur Gesamtgruppe ist. === Veränderung in Prozent === Die prozentuale Veränderung zeigt, wie stark sich ein Wert gegenüber einem Ausgangswert verändert hat. Die Formel lautet: <math>\text{Veränderung in Prozent} = \frac{\text{neuer Wert} - \text{alter Wert}}{\text{alter Wert}} \cdot 100</math> '''Excel-Formel:''' Angenommen: * A2 enthält den alten Wert. * B2 enthält den neuen Wert. Dann lautet die Formel: <syntaxhighlight lang="text"> =(B2-A2)/A2 </syntaxhighlight> Anschließend wird die Zelle als '''Prozent''' formatiert. '''Beispiel:''' Der Preis steigt von 80 € auf 100 €: <syntaxhighlight lang="text"> =(100-80)/80 </syntaxhighlight> Ergebnis: '''25 %''' Der Preis ist also um '''25 % gestiegen'''. '''Wichtig:''' Als Bezugspunkt wird immer der '''alte Wert''' verwendet. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E3]] 65nxne45mmzdsjhtobq75fbmt3rgmxv 1118002 1117931 2026-10-28T09:24:20Z Paul Sutermeister 37610 1118002 wikitext text/x-wiki Wir lernen, Mittelwert, Median und Standardabweichung zu unterscheiden. Als Beispiel dienen fünf Freunde in einer Bar und ihre Monatslöhne: '''5'000 · 5'500 · 6'000 · 6'500 · 7'000 Franken''' == [[:w:Mittelwert (Durchschnitt)|Mittelwert]]: «Alles in einen Topf und gerecht verteilen» == Alle legen ihren Lohn auf den Tisch. Dann teilt man den Haufen gleichmässig unter allen auf. 30'000 Fr. ÷ 5 Personen = '''6'000 Fr. pro Person''' '''Zweck:''' Er zeigt, wie viel jeder hätte, wenn alles gleich verteilt wäre. == [[:w:Median|Median]]: «Wer steht in der Mitte der Reihe?» == Alle stellen sich der Grösse nach in eine Reihe, vom kleinsten zum grössten Lohn. Der Median ist die Person, die genau in der Mitte steht. Hier ist das ebenfalls '''6'000 Fr.''' '''Zweck:''' Er zeigt, was ein «typischer» Fall ist. Die eine Hälfte hat weniger, die andere mehr. === Der entscheidende Unterschied: Ein Millionär betritt die Bar === Jetzt kommt ein Millionär mit 1'000'000 Fr. Monatslohn dazu. * '''Mittelwert:''' 1'030'000 ÷ 6 = '''rund 171'667 Fr.''' *: Plötzlich sieht es so aus, als wären alle in der Bar reich. Das stimmt für niemanden ausser einer Person. * '''Median:''' Die Reihe ist jetzt 5'000 · 5'500 · 6'000 · 6'500 · 7'000 · 1'000'000. In der Mitte liegen 6'000 und 6'500, also beträgt der Median '''6'250 Fr.''' *: Er hat sich kaum bewegt und beschreibt die Gruppe immer noch realistisch. '''Merksatz:''' Der Mittelwert lässt sich von Ausreissern stark ziehen, der Median bleibt stabil. Deshalb nennen Statistiker bei Löhnen oder Hauspreisen meist den Median. == [[:w:Varianz (Stochastik)|Standardabweichung]]: «Wie weit verstreut ist die Herde?» == Mittelwert und Median sagen, ''wo die Mitte'' ist. Die Standardabweichung sagt, ''wie stark die Werte um diese Mitte herum streuen''. '''Beispiel:''' Zwei Klassen haben beide einen Notendurchschnitt von '''4,5'''. {| class="wikitable" ! !! Noten !! Durchschnitt !! Standardabweichung |- | Klasse A || 4 · 4,5 · 4,5 · 5 || 4,5 || '''ca. 0,35''' (klein) |- | Klasse B || 3 · 3 · 6 · 6 || 4,5 || '''1,5''' (gross) |} Auf dem Papier haben beide Klassen dieselbe Durchschnittsnote, aber sie sind völlig verschieden: * '''Klasse A:''' Alle sind ungefähr gleich gut. Die Schafe stehen eng beieinander. * '''Klasse B:''' Die Klasse ist zweigeteilt, in Überflieger und Ungenügende. Die Herde ist weit verstreut. Die Standardabweichung ist grob gesagt '''der durchschnittliche Abstand der Werte vom Mittelwert'''. Klein bedeutet einheitlich, gross bedeutet sehr unterschiedlich. '''Zweck:''' Sie zeigt, ob man sich auf den Durchschnitt «verlassen» kann. Bei kleiner Streuung beschreibt der Durchschnitt fast jeden gut. Bei grosser Streuung beschreibt er eigentlich niemanden. == Kurz zusammengefasst == {| class="wikitable" ! Kennzahl !! Bild !! Beantwortet die Frage |- | '''Mittelwert''' || Alles in einen Topf, gleich verteilen || «Wie viel hätte jeder bei gerechter Verteilung?» |- | '''Median''' || Wer steht in der Mitte der Reihe? || «Was ist der typische Fall?» (robust gegen Ausreisser) |- | '''Standardabweichung''' || Wie verstreut ist die Herde? || «Sind sich die Werte ähnlich oder sehr unterschiedlich?» |} Eine gute Beschreibung braucht meist beides: eine '''Mitte''' (Mittelwert oder Median) und eine '''Streuung''' (Standardabweichung). Eine Mitte allein kann täuschen. <!-- • Analysemethoden wie Mittelwert, Median, Anteil und Veränderung in Prozent erklären und den passenden Einsatz begründen. • Aus Rohdaten eine Tabelle und ein passendes Diagramm erstellen und dieses korrekt interpretieren. • Daten in Excel mit Sortieren, Filtern, ZÄHLENWENN und SUMMEWENN auswerten. == Analysemethoden in Excel == In Excel lassen sich verschiedene statistische Kennzahlen mit einfachen Formeln berechnen. Zu den wichtigsten gehören der [[Mittelwert]], der [[Median]], der [[Anteil]] und die [[prozentuale Veränderung]]. {| class="wikitable" ! Gesucht ! Excel-Formel ! Einsatz |- | Mittelwert | <code>=MITTELWERT(A2:A11)</code> | Durchschnitt bestimmen |- | Median | <code>=MEDIAN(A2:A11)</code> | Mittleren Wert bestimmen, besonders bei Ausreißern |- | Anteil | <code>=ZÄHLENWENN(B2:B11;"Ja")/ANZAHL2(B2:B11)</code> | Teilmenge im Verhältnis zur Gesamtmenge bestimmen |- | Veränderung in Prozent | <code>=(B2-A2)/A2</code> | Entwicklung gegenüber einem Ausgangswert bestimmen |} <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="()" } | Mittelwert | Median | Anteil | Prozentuale Veränderung -+-- Was liegt in der Mitte? ---+ Wie stark hat sich etwas verändert? --+- Wie groß ist ein Teil im Verhältnis zum Ganzen? +--- Was ist der Durchschnitt? </quiz> === Mittelwert === Der Mittelwert beschreibt den Durchschnitt mehrerer Werte. '''Excel-Formel:''' <syntaxhighlight lang="text"> =MITTELWERT(A2:A11) </syntaxhighlight> Die Formel berechnet den Durchschnitt aller Werte im Bereich A2 bis A11. '''Beispiel:''' Wenn in A2:A4 die Werte 100, 120 und 140 stehen: <syntaxhighlight lang="text"> =MITTELWERT(A2:A4) </syntaxhighlight> Ergebnis: '''120''' '''Einsatz:''' Der Mittelwert eignet sich, wenn man einen typischen Durchschnittswert bestimmen möchte und keine starken Ausreißer vorhanden sind. === Median === Der Median ist der Wert, der in der Mitte einer nach Größe sortierten Datenreihe liegt. '''Excel-Formel:''' <syntaxhighlight lang="text"> =MEDIAN(A2:A11) </syntaxhighlight> '''Beispiel:''' Bei den Werten <syntaxhighlight lang="text"> 2, 3, 4, 8, 20 </syntaxhighlight> ist der Median '''4'''. '''Einsatz:''' Der Median ist besonders sinnvoll, wenn es starke Ausreißer gibt. Einzelne sehr große oder sehr kleine Werte beeinflussen den Median kaum. === Anteil === Der Anteil beschreibt, wie groß eine Teilmenge im Verhältnis zur Gesamtmenge ist. Die allgemeine Formel lautet: <math>\text{Anteil} = \frac{\text{Teilmenge}}{\text{Gesamtmenge}}</math> '''Beispiel in Excel:''' Angenommen, in B2:B11 stehen die Antworten ''Ja'' oder ''Nein''. Der Anteil der ''Ja''-Antworten kann mit folgender Formel berechnet werden: <syntaxhighlight lang="text"> =ZÄHLENWENN(B2:B11;"Ja")/ANZAHL2(B2:B11) </syntaxhighlight> Anschließend sollte die Zelle als '''Prozent''' formatiert werden. '''Beispiel:''' Von 250 Personen antworten 100 mit ''Ja'': <math>\frac{100}{250}=0{,}4=40\,\%</math> Der Anteil beträgt '''40 %'''. '''Einsatz:''' Ein Anteil eignet sich, wenn man zeigen möchte, wie groß eine bestimmte Gruppe im Verhältnis zur Gesamtgruppe ist. === Veränderung in Prozent === Die prozentuale Veränderung zeigt, wie stark sich ein Wert gegenüber einem Ausgangswert verändert hat. Die Formel lautet: <math>\text{Veränderung in Prozent} = \frac{\text{neuer Wert} - \text{alter Wert}}{\text{alter Wert}} \cdot 100</math> '''Excel-Formel:''' Angenommen: * A2 enthält den alten Wert. * B2 enthält den neuen Wert. Dann lautet die Formel: <syntaxhighlight lang="text"> =(B2-A2)/A2 </syntaxhighlight> Anschließend wird die Zelle als '''Prozent''' formatiert. '''Beispiel:''' Der Preis steigt von 80 € auf 100 €: <syntaxhighlight lang="text"> =(100-80)/80 </syntaxhighlight> Ergebnis: '''25 %''' Der Preis ist also um '''25 % gestiegen'''. '''Wichtig:''' Als Bezugspunkt wird immer der '''alte Wert''' verwendet. === Standardabweichung === * [[:w:Varianz (Stochastik)|Varianz (Stochastik)]] [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E3]] rapkff36b7e63y1bfi9bh4iefu7gr9h 1118003 1118002 2026-10-28T09:26:43Z Paul Sutermeister 37610 1118003 wikitext text/x-wiki Wir lernen, Mittelwert, Median und Standardabweichung zu unterscheiden. Als Beispiel dienen fünf Freunde in einer Bar und ihre Monatslöhne: '''5'000 · 5'500 · 6'000 · 6'500 · 7'000 Franken''' == [[:w:Mittelwert (Durchschnitt)|Mittelwert]]: «Alles in einen Topf und gerecht verteilen» == Alle legen ihren Lohn auf den Tisch. Dann teilt man den Haufen gleichmässig unter allen auf. 30'000 Fr. ÷ 5 Personen = '''6'000 Fr. pro Person''' '''Zweck:''' Er zeigt, wie viel jeder hätte, wenn alles gleich verteilt wäre. == [[:w:Median|Median]]: «Wer steht in der Mitte der Reihe?» == Alle stellen sich der Grösse nach in eine Reihe, vom kleinsten zum grössten Lohn. Der Median ist die Person, die genau in der Mitte steht. Hier ist das ebenfalls '''6'000 Fr.''' '''Zweck:''' Er zeigt, was ein «typischer» Fall ist. Die eine Hälfte hat weniger, die andere mehr. === Der entscheidende Unterschied: Ein Millionär betritt die Bar === Jetzt kommt ein Millionär mit 1'000'000 Fr. Monatslohn dazu. * '''Mittelwert:''' 1'030'000 ÷ 6 = '''rund 171'667 Fr.''' *: Plötzlich sieht es so aus, als wären alle in der Bar reich. Das stimmt für niemanden ausser einer Person. * '''Median:''' Die Reihe ist jetzt 5'000 · 5'500 · 6'000 · 6'500 · 7'000 · 1'000'000. In der Mitte liegen 6'000 und 6'500, also beträgt der Median '''6'250 Fr.''' *: Er hat sich kaum bewegt und beschreibt die Gruppe immer noch realistisch. '''Merksatz:''' Der Mittelwert lässt sich von Ausreissern stark ziehen, der Median bleibt stabil. Deshalb nennen Statistiker bei Löhnen oder Hauspreisen meist den Median. == [[:w:Varianz (Stochastik)|Standardabweichung]]: «Wie weit verstreut ist die Herde?» == Mittelwert und Median sagen, ''wo die Mitte'' ist. Die Standardabweichung sagt, ''wie stark die Werte um diese Mitte herum streuen''. '''Beispiel:''' Zwei Klassen haben beide einen Notendurchschnitt von '''4,5'''. {| class="wikitable" ! !! Noten !! Durchschnitt !! Standardabweichung |- | Klasse A || 4 · 4,5 · 4,5 · 5 || 4,5 || '''ca. 0,35''' (klein) |- | Klasse B || 3 · 3 · 6 · 6 || 4,5 || '''1,5''' (gross) |} Auf dem Papier haben beide Klassen dieselbe Durchschnittsnote, aber sie sind völlig verschieden: * '''Klasse A:''' Alle sind ungefähr gleich gut. Die Schafe stehen eng beieinander. * '''Klasse B:''' Die Klasse ist zweigeteilt, in Überflieger und Ungenügende. Die Herde ist weit verstreut. Die Standardabweichung ist grob gesagt '''der durchschnittliche Abstand der Werte vom Mittelwert'''. Klein bedeutet einheitlich, gross bedeutet sehr unterschiedlich. '''Zweck:''' Sie zeigt, ob man sich auf den Durchschnitt «verlassen» kann. Bei kleiner Streuung beschreibt der Durchschnitt fast jeden gut. Bei grosser Streuung beschreibt er eigentlich niemanden. == Kurz zusammengefasst == {| class="wikitable" ! Kennzahl !! Bild !! Beantwortet die Frage |- | '''Mittelwert''' || Alles in einen Topf, gleich verteilen || «Wie viel hätte jeder bei gerechter Verteilung?» |- | '''Median''' || Wer steht in der Mitte der Reihe? || «Was ist der typische Fall?» (robust gegen Ausreisser) |- | '''Standardabweichung''' || Wie verstreut ist die Herde? || «Sind sich die Werte ähnlich oder sehr unterschiedlich?» |} Eine gute Beschreibung braucht meist beides: eine '''Mitte''' (Mittelwert oder Median) und eine '''Streuung''' (Standardabweichung). Eine Mitte allein kann täuschen. = Übung = Kopiere Folgendes in Excel und wende die Formeln zu Mittelwert, Median und Standardabweichung in den richtigen Zellen an: {| class="wikitable" ! Person !! Lohn ! style="border:none; background:none;" | ! Person !! Lohn |- | Person A || 4000 | style="border:none;" | | Person F || 4000 |- | Person B || 3800 | style="border:none;" | | Person G || 3800 |- | Person C || 4500 | style="border:none;" | | Person H || 4500 |- | Person D || 150000 | style="border:none;" | | Person I || 4900 |- | Person E || 4100 | style="border:none;" | | Person J || 4100 |- ! Durchschnitt || | style="border:none;" | ! Durchschnitt || |- ! Median || | style="border:none;" | ! Median || |- ! Standardabweichung || | style="border:none;" | ! Standardabweichung || |} <!-- • Analysemethoden wie Mittelwert, Median, Anteil und Veränderung in Prozent erklären und den passenden Einsatz begründen. • Aus Rohdaten eine Tabelle und ein passendes Diagramm erstellen und dieses korrekt interpretieren. • Daten in Excel mit Sortieren, Filtern, ZÄHLENWENN und SUMMEWENN auswerten. == Analysemethoden in Excel == In Excel lassen sich verschiedene statistische Kennzahlen mit einfachen Formeln berechnen. Zu den wichtigsten gehören der [[Mittelwert]], der [[Median]], der [[Anteil]] und die [[prozentuale Veränderung]]. {| class="wikitable" ! Gesucht ! Excel-Formel ! Einsatz |- | Mittelwert | <code>=MITTELWERT(A2:A11)</code> | Durchschnitt bestimmen |- | Median | <code>=MEDIAN(A2:A11)</code> | Mittleren Wert bestimmen, besonders bei Ausreißern |- | Anteil | <code>=ZÄHLENWENN(B2:B11;"Ja")/ANZAHL2(B2:B11)</code> | Teilmenge im Verhältnis zur Gesamtmenge bestimmen |- | Veränderung in Prozent | <code>=(B2-A2)/A2</code> | Entwicklung gegenüber einem Ausgangswert bestimmen |} <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="()" } | Mittelwert | Median | Anteil | Prozentuale Veränderung -+-- Was liegt in der Mitte? ---+ Wie stark hat sich etwas verändert? --+- Wie groß ist ein Teil im Verhältnis zum Ganzen? +--- Was ist der Durchschnitt? </quiz> === Mittelwert === Der Mittelwert beschreibt den Durchschnitt mehrerer Werte. '''Excel-Formel:''' <syntaxhighlight lang="text"> =MITTELWERT(A2:A11) </syntaxhighlight> Die Formel berechnet den Durchschnitt aller Werte im Bereich A2 bis A11. '''Beispiel:''' Wenn in A2:A4 die Werte 100, 120 und 140 stehen: <syntaxhighlight lang="text"> =MITTELWERT(A2:A4) </syntaxhighlight> Ergebnis: '''120''' '''Einsatz:''' Der Mittelwert eignet sich, wenn man einen typischen Durchschnittswert bestimmen möchte und keine starken Ausreißer vorhanden sind. === Median === Der Median ist der Wert, der in der Mitte einer nach Größe sortierten Datenreihe liegt. '''Excel-Formel:''' <syntaxhighlight lang="text"> =MEDIAN(A2:A11) </syntaxhighlight> '''Beispiel:''' Bei den Werten <syntaxhighlight lang="text"> 2, 3, 4, 8, 20 </syntaxhighlight> ist der Median '''4'''. '''Einsatz:''' Der Median ist besonders sinnvoll, wenn es starke Ausreißer gibt. Einzelne sehr große oder sehr kleine Werte beeinflussen den Median kaum. === Anteil === Der Anteil beschreibt, wie groß eine Teilmenge im Verhältnis zur Gesamtmenge ist. Die allgemeine Formel lautet: <math>\text{Anteil} = \frac{\text{Teilmenge}}{\text{Gesamtmenge}}</math> '''Beispiel in Excel:''' Angenommen, in B2:B11 stehen die Antworten ''Ja'' oder ''Nein''. Der Anteil der ''Ja''-Antworten kann mit folgender Formel berechnet werden: <syntaxhighlight lang="text"> =ZÄHLENWENN(B2:B11;"Ja")/ANZAHL2(B2:B11) </syntaxhighlight> Anschließend sollte die Zelle als '''Prozent''' formatiert werden. '''Beispiel:''' Von 250 Personen antworten 100 mit ''Ja'': <math>\frac{100}{250}=0{,}4=40\,\%</math> Der Anteil beträgt '''40 %'''. '''Einsatz:''' Ein Anteil eignet sich, wenn man zeigen möchte, wie groß eine bestimmte Gruppe im Verhältnis zur Gesamtgruppe ist. === Veränderung in Prozent === Die prozentuale Veränderung zeigt, wie stark sich ein Wert gegenüber einem Ausgangswert verändert hat. Die Formel lautet: <math>\text{Veränderung in Prozent} = \frac{\text{neuer Wert} - \text{alter Wert}}{\text{alter Wert}} \cdot 100</math> '''Excel-Formel:''' Angenommen: * A2 enthält den alten Wert. * B2 enthält den neuen Wert. Dann lautet die Formel: <syntaxhighlight lang="text"> =(B2-A2)/A2 </syntaxhighlight> Anschließend wird die Zelle als '''Prozent''' formatiert. '''Beispiel:''' Der Preis steigt von 80 € auf 100 €: <syntaxhighlight lang="text"> =(100-80)/80 </syntaxhighlight> Ergebnis: '''25 %''' Der Preis ist also um '''25 % gestiegen'''. '''Wichtig:''' Als Bezugspunkt wird immer der '''alte Wert''' verwendet. === Standardabweichung === * [[:w:Varianz (Stochastik)|Varianz (Stochastik)]] [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E3]] s24ma9fwg9m9ixkur2djppdoeh34s1c 1118004 1118003 2026-10-28T09:28:33Z Paul Sutermeister 37610 1118004 wikitext text/x-wiki Wir lernen, Mittelwert, Median und Standardabweichung zu unterscheiden. Als Beispiel dienen fünf Freunde in einer Bar und ihre Monatslöhne: '''5'000 · 5'500 · 6'000 · 6'500 · 7'000 Franken''' == [[:w:Mittelwert (Durchschnitt)|Mittelwert]]: «Alles in einen Topf und gerecht verteilen» == Alle legen ihren Lohn auf den Tisch. Dann teilt man den Haufen gleichmässig unter allen auf. 30'000 Fr. ÷ 5 Personen = '''6'000 Fr. pro Person''' '''Zweck:''' Er zeigt, wie viel jeder hätte, wenn alles gleich verteilt wäre. == [[:w:Median|Median]]: «Wer steht in der Mitte der Reihe?» == Alle stellen sich der Grösse nach in eine Reihe, vom kleinsten zum grössten Lohn. Der Median ist die Person, die genau in der Mitte steht. Hier ist das ebenfalls '''6'000 Fr.''' '''Zweck:''' Er zeigt, was ein «typischer» Fall ist. Die eine Hälfte hat weniger, die andere mehr. === Der entscheidende Unterschied: Ein Millionär betritt die Bar === Jetzt kommt ein Millionär mit 1'000'000 Fr. Monatslohn dazu. * '''Mittelwert:''' 1'030'000 ÷ 6 = '''rund 171'667 Fr.''' *: Plötzlich sieht es so aus, als wären alle in der Bar reich. Das stimmt für niemanden ausser einer Person. * '''Median:''' Die Reihe ist jetzt 5'000 · 5'500 · 6'000 · 6'500 · 7'000 · 1'000'000. In der Mitte liegen 6'000 und 6'500, also beträgt der Median '''6'250 Fr.''' *: Er hat sich kaum bewegt und beschreibt die Gruppe immer noch realistisch. '''Merksatz:''' Der Mittelwert lässt sich von Ausreissern stark ziehen, der Median bleibt stabil. Deshalb nennen Statistiker bei Löhnen oder Hauspreisen meist den Median. == [[:w:Varianz (Stochastik)|Standardabweichung]]: «Wie weit verstreut ist die Herde?» == Mittelwert und Median sagen, ''wo die Mitte'' ist. Die Standardabweichung sagt, ''wie stark die Werte um diese Mitte herum streuen''. '''Beispiel:''' Zwei Klassen haben beide einen Notendurchschnitt von '''4,5'''. {| class="wikitable" ! !! Noten !! Durchschnitt !! Standardabweichung |- | Klasse A || 4 · 4,5 · 4,5 · 5 || 4,5 || '''ca. 0,35''' (klein) |- | Klasse B || 3 · 3 · 6 · 6 || 4,5 || '''1,5''' (gross) |} Auf dem Papier haben beide Klassen dieselbe Durchschnittsnote, aber sie sind völlig verschieden: * '''Klasse A:''' Alle sind ungefähr gleich gut. Die Schafe stehen eng beieinander. * '''Klasse B:''' Die Klasse ist zweigeteilt, in Überflieger und Ungenügende. Die Herde ist weit verstreut. Die Standardabweichung ist grob gesagt '''der durchschnittliche Abstand der Werte vom Mittelwert'''. Klein bedeutet einheitlich, gross bedeutet sehr unterschiedlich. '''Zweck:''' Sie zeigt, ob man sich auf den Durchschnitt «verlassen» kann. Bei kleiner Streuung beschreibt der Durchschnitt fast jeden gut. Bei grosser Streuung beschreibt er eigentlich niemanden. == Kurz zusammengefasst == {| class="wikitable" ! Kennzahl !! Bild !! Beantwortet die Frage |- | '''Mittelwert''' || Alles in einen Topf, gleich verteilen || «Wie viel hätte jeder bei gerechter Verteilung?» |- | '''Median''' || Wer steht in der Mitte der Reihe? || «Was ist der typische Fall?» (robust gegen Ausreisser) |- | '''Standardabweichung''' || Wie verstreut ist die Herde? || «Sind sich die Werte ähnlich oder sehr unterschiedlich?» |} Eine gute Beschreibung braucht meist beides: eine '''Mitte''' (Mittelwert oder Median) und eine '''Streuung''' (Standardabweichung). Eine Mitte allein kann täuschen. = Übung = Kopiere Folgendes in Excel und wende die Formeln zu Mittelwert, Median und Standardabweichung in den richtigen Zellen an: {| class="wikitable" ! Person !! Lohn ! style="border:none; background:none;" | ! Person !! Lohn |- | Person A || 4000 | style="border:none;" | | Person F || 4000 |- | Person B || 3800 | style="border:none;" | | Person G || 3800 |- | Person C || 4500 | style="border:none;" | | Person H || 4500 |- | Person D || 150000 | style="border:none;" | | Person I || 4900 |- | Person E || 4100 | style="border:none;" | | Person J || 4100 |- ! Durchschnitt || | style="border:none;" | ! Durchschnitt || |- ! Median || | style="border:none;" | ! Median || |- ! Standardabweichung || | style="border:none;" | ! Standardabweichung || |} <!-- • Analysemethoden wie Mittelwert, Median, Anteil und Veränderung in Prozent erklären und den passenden Einsatz begründen. • Aus Rohdaten eine Tabelle und ein passendes Diagramm erstellen und dieses korrekt interpretieren. • Daten in Excel mit Sortieren, Filtern, ZÄHLENWENN und SUMMEWENN auswerten. == Analysemethoden in Excel == In Excel lassen sich verschiedene statistische Kennzahlen mit einfachen Formeln berechnen. Zu den wichtigsten gehören der [[Mittelwert]], der [[Median]], der [[Anteil]] und die [[prozentuale Veränderung]]. {| class="wikitable" ! Gesucht ! Excel-Formel ! Einsatz |- | Mittelwert | <code>=MITTELWERT(A2:A11)</code> | Durchschnitt bestimmen |- | Median | <code>=MEDIAN(A2:A11)</code> | Mittleren Wert bestimmen, besonders bei Ausreißern |- | Anteil | <code>=ZÄHLENWENN(B2:B11;"Ja")/ANZAHL2(B2:B11)</code> | Teilmenge im Verhältnis zur Gesamtmenge bestimmen |- | Veränderung in Prozent | <code>=(B2-A2)/A2</code> | Entwicklung gegenüber einem Ausgangswert bestimmen |} <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="()" } | Mittelwert | Median | Anteil | Prozentuale Veränderung -+-- Was liegt in der Mitte? ---+ Wie stark hat sich etwas verändert? --+- Wie groß ist ein Teil im Verhältnis zum Ganzen? +--- Was ist der Durchschnitt? </quiz> === Mittelwert === Der Mittelwert beschreibt den Durchschnitt mehrerer Werte. '''Excel-Formel:''' <syntaxhighlight lang="text"> =MITTELWERT(A2:A11) </syntaxhighlight> Die Formel berechnet den Durchschnitt aller Werte im Bereich A2 bis A11. '''Beispiel:''' Wenn in A2:A4 die Werte 100, 120 und 140 stehen: <syntaxhighlight lang="text"> =MITTELWERT(A2:A4) </syntaxhighlight> Ergebnis: '''120''' '''Einsatz:''' Der Mittelwert eignet sich, wenn man einen typischen Durchschnittswert bestimmen möchte und keine starken Ausreißer vorhanden sind. === Median === Der Median ist der Wert, der in der Mitte einer nach Größe sortierten Datenreihe liegt. '''Excel-Formel:''' <syntaxhighlight lang="text"> =MEDIAN(A2:A11) </syntaxhighlight> '''Beispiel:''' Bei den Werten <syntaxhighlight lang="text"> 2, 3, 4, 8, 20 </syntaxhighlight> ist der Median '''4'''. '''Einsatz:''' Der Median ist besonders sinnvoll, wenn es starke Ausreißer gibt. Einzelne sehr große oder sehr kleine Werte beeinflussen den Median kaum. === Anteil === Der Anteil beschreibt, wie groß eine Teilmenge im Verhältnis zur Gesamtmenge ist. Die allgemeine Formel lautet: <math>\text{Anteil} = \frac{\text{Teilmenge}}{\text{Gesamtmenge}}</math> '''Beispiel in Excel:''' Angenommen, in B2:B11 stehen die Antworten ''Ja'' oder ''Nein''. Der Anteil der ''Ja''-Antworten kann mit folgender Formel berechnet werden: <syntaxhighlight lang="text"> =ZÄHLENWENN(B2:B11;"Ja")/ANZAHL2(B2:B11) </syntaxhighlight> Anschließend sollte die Zelle als '''Prozent''' formatiert werden. '''Beispiel:''' Von 250 Personen antworten 100 mit ''Ja'': <math>\frac{100}{250}=0{,}4=40\,\%</math> Der Anteil beträgt '''40 %'''. '''Einsatz:''' Ein Anteil eignet sich, wenn man zeigen möchte, wie groß eine bestimmte Gruppe im Verhältnis zur Gesamtgruppe ist. === Veränderung in Prozent === Die prozentuale Veränderung zeigt, wie stark sich ein Wert gegenüber einem Ausgangswert verändert hat. Die Formel lautet: <math>\text{Veränderung in Prozent} = \frac{\text{neuer Wert} - \text{alter Wert}}{\text{alter Wert}} \cdot 100</math> '''Excel-Formel:''' Angenommen: * A2 enthält den alten Wert. * B2 enthält den neuen Wert. Dann lautet die Formel: <syntaxhighlight lang="text"> =(B2-A2)/A2 </syntaxhighlight> Anschließend wird die Zelle als '''Prozent''' formatiert. '''Beispiel:''' Der Preis steigt von 80 € auf 100 €: <syntaxhighlight lang="text"> =(100-80)/80 </syntaxhighlight> Ergebnis: '''25 %''' Der Preis ist also um '''25 % gestiegen'''. '''Wichtig:''' Als Bezugspunkt wird immer der '''alte Wert''' verwendet. === Standardabweichung === * [[:w:Varianz (Stochastik)|Varianz (Stochastik)]] --> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E3]] rf093cckvyca3ssvd6dc30j982nr44o 106 173312 1117912 2026-10-27T14:47:09Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117912 wikitext text/x-wiki Den passenden Diagrammtyp wählen und das Diagramm beschriften (Titel, Achsen, Legende). Die Kernaussage präsentieren. * [https://doi.org/10.5281/zenodo.18144586 Aufwärmübung (Diagramm, Zenodo)] [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E3]] jpt4o43pm24s2ifpxntygod4bpcwp7i 106 173313 1117915 2026-10-27T14:48:28Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117915 wikitext text/x-wiki Kennzahlen wie Umsatzveränderung, Marge und Anteil berechnen und daraus eine Aussage ableiten. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E3]] lhetljoy0jj5jwuno1svvfjl4ivu8f5 106 173314 1117916 2026-10-27T14:51:00Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117916 wikitext text/x-wiki • Gestaltungsregeln wie Drittelregel, Farbwirkung, Kontrast und Tonqualität zielgruppengerecht anwenden. • Die Elemente eines Drehbuchs erklären (Szene, Bild, Ton, Text, Dauer) und ein einfaches Drehbuch erstellen. • Für einen Auftrag das passende Tool wählen und die Wahl begründen. • Einen Flyer, eine Folie oder ein Plakat nach Gestaltungsregeln entwerfen. • Ein Video oder einen Screencast aufnehmen, schneiden und im passenden Format exportieren. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E4]] aa4dkrtlpq6yrpy0h868y1kjyd8sg45 1117918 1117916 2026-10-27T14:54:41Z Paul Sutermeister 37610 1117918 wikitext text/x-wiki • Gestaltungsregeln wie [[:w:Drittel-Regel|Drittelregel]], Farbwirkung, Kontrast und Tonqualität zielgruppengerecht anwenden. • Die Elemente eines Drehbuchs erklären (Szene, Bild, Ton, Text, Dauer) und ein einfaches Drehbuch erstellen. • Für einen Auftrag das passende Tool wählen und die Wahl begründen. • Einen Flyer, eine Folie oder ein Plakat nach Gestaltungsregeln entwerfen. • Ein Video oder einen Screencast aufnehmen, schneiden und im passenden Format exportieren. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E4]] p2vanxw9qxb2oqwdkqt4p3s47915sg4 106 173315 1117920 2026-10-27T14:56:35Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117920 wikitext text/x-wiki Eine Vorlage für Word oder PowerPoint mit Formatvorlagen und [[:w:Corporate Identity|CI]]-Elementen erstellen. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E4]] lhv5uqi4m5gi3w90w959252yi67wz6f 106 173316 1117921 2026-10-27T14:58:16Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117921 wikitext text/x-wiki Eine einfache Datenbankstruktur mit Tabellen, Feldern und Beziehungen entwerfen. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E5]] 2byycjxq5okuf9mw0roip8rknorj9tv 106 173317 1117922 2026-10-27T14:59:12Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117922 wikitext text/x-wiki Ein [[:w:Content-Management-System|CMS]] mit Seitenstruktur und Benutzerrechten einrichten und pflegen. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E5]] rvws99n0nxijtwghpvomxxznuvuxo3h 106 173318 1117923 2026-10-27T14:59:46Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117923 wikitext text/x-wiki Anwenderfragen zu Office oder CMS beantworten und Lösungen dokumentieren. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E5]] bqyc9h3zkkvofn801qgxgygoiaqm90e 106 173319 1117924 2026-10-27T15:00:28Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117924 wikitext text/x-wiki Variablen, Bedingungen und Schleifen an einem Beispiel erklären. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E5]] 4z3ri98mkyepxoj5jqv13dlbq905wqk 106 173320 1117925 2026-10-27T15:01:42Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117925 wikitext text/x-wiki • Kriterien wie Kosten, Kompatibilität, Support und Sicherheit nennen und gewichten. • Zwei Angebote mit einer Nutzwertanalyse vergleichen und eine Empfehlung begründen. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E5]] h7yj6j14gbrr6qdhoy4pxs1loypm4na 106 173321 1117926 2026-10-27T15:04:52Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117926 wikitext text/x-wiki Daten importieren, bereinigen (Duplikate, Formate) und strukturiert ablegen. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E6]] 51win0jwurtl58i8zdxqod47rk6bntv 1117928 1117926 2026-10-27T15:06:01Z Paul Sutermeister 37610 1117928 wikitext text/x-wiki • Daten importieren, bereinigen (Duplikate, Formate) und strukturiert ablegen. • Grosse Datensätze mit Pivot-Tabellen auswerten. • Erweiterte Suchstrategien anwenden: Operatoren, Filter, Datenbanken. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E6]] 4cmq0tpwqxwzjtxpysowou878asfu5a 106 173322 1117927 2026-10-27T15:05:18Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117927 wikitext text/x-wiki Relevante Daten mit Filtern und Abfragen gezielt herausfiltern. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E6]] bjim918wo45tccuvp1ywltyz4100krl 106 173323 1117929 2026-10-27T15:07:07Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117929 wikitext text/x-wiki Ergebnisse in einem [[:w:Dashboard (Informationsmanagement)|Dashboard]] oder Bericht adressatengerecht darstellen. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E6]] hlh0uspvkq56j5gy2p84j5nfv0qm1fw 106 173324 1117930 2026-10-27T15:07:31Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117930 wikitext text/x-wiki Ergebnisse auf Vollständigkeit und Korrektheit prüfen und Schlussfolgerungen begründen. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK E6]] 71xev3tbshmjawiu09l0hhae60e74op 106 173326 1117971 2026-10-27T17:31:52Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117971 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Körper und Galoistheorie/Standardkurs|}} |}} tr1vn183isqtmabky1piwqxs1g0t85q 1117972 1117971 2026-10-27T17:32:07Z Bocardodarapti 2041 1117972 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Körper- und Galoistheorie/Standardkurs|}} |}} kckm5xksb582ntttrnqnt9m3y50pgf4 106 173327 1117973 2026-10-27T17:33:28Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117973 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Elemente der Algebra/Standardkurs|}} |}} rwi906fhwwp48n8tpxowpghetby6ufv 106 173328 1117974 2026-10-27T17:34:05Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117974 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs={{Algebraische Kurven/Standardkurs}}|}} cue8jiywv1lvzu8jazvyiz072rx6r35 106 173329 1117975 2026-10-27T17:34:57Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117975 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|Anhang 17|6|Kurs=|}} dfecsxy0xa5pqfiiezksjg3jcftyz2z 106 173330 1117976 2026-10-27T17:35:32Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117976 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs={{Algebraische Kurven/Standardkurs|}}|}} p505gtfhjq3viditszdtjpwavr41vgx 106 173331 1117978 2026-10-27T17:36:38Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117978 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|Anhang 17|7|Kurs=|}} 8pn12sv148tzalwjbw9i704t57x6k8z 0 173332 1117981 2026-10-27T21:50:06Z ~2026-56555-50 42021 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117981 wikitext text/x-wiki FRAport Berechnung: (Die Umfrage dauert 3 Monate) Personalkosten: Die Personalkosten sind als Fixkosten festgehalten, da sie ein Festgehalt erhalten 5 Studentische Hilfskräfte (Einzelkosten, Fixkosten) Gesamtkosten pro Hilfskraft im Monat 900€ = 13.500 Angestellter Wissenschaftler (Gemeinkosten, Fixkosten) Gesamtkosten im Monat 4.200€ = 12.600 Kalkulatorische Abschreibungen: Kosten Papier (Einzelkosten, Variable Kosten) 10.000 Papier 14€ = 14€ Kosten Druckmaterial (Einzelkosten, Variable Kosten) Diverses Druckerzubehör 150€ = 150€ Kosten Profi-Kopierer (Gemeinkosten, Fixkosten) Anschaffungskosten 4.000€ = (Wir gehen davon aus, dass der Kopierer 4 Jahre lang hält) = 250€ Kleines Büro in Darmstadt Miete (Gemeinkosten, Fixkosten) Miete im Monat 750€ = 2.250 6 Laptops (Gemeinkosten, Fixkosten) Anschaffungskosten pro Laptop 600€ = (Wir gehen davon aus, dass die Laptops 4 Jahre lang halten) = 225 6 SPSS Lizensen (Einzelkosten, Fixkosten) Pro Lizenz im Monat 100€ = 1.800€ Steuern Mehrwertsteuer Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (Ohne langfristig mit ähnlichen Projekten Verlust machen) ======================= Studentische Hilfskräfte 13.500 Wissenschaftliche Fachkraft 12.600 Kosten Papier 14 Kosten Druckmaterial 150 SPSS Lizenzen 1.800 Kopierer 250 Laptops 225 Büromiete 2.250 ———————————- 30.789€ x 1,19 = 36.638,91€ Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (Kein Unmittelbarer Verlust) ======================= Studentische Hilfskräfte 13.500 Wissenschaftliche Fachkraft 12.600 Kosten Papier 14 Kosten Druckmaterial 150 SPSS Lizenzen 1.800 ——————————————- 28.064€ x 1,19 = 33.396,16€ Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (20% Gewinn auf das Kapital des Unternehmens -> Gesamtumsatz = 200.000/Jahr) ======================= Studentische Hilfskräfte 13.500 Wissenschaftliche Fachkraft 12.600 Kosten Papier 14 Kosten Druckmaterial 150 SPSS Lizenzen 1.800 Kopierer 250 Laptops 225 Büromiete 2.250 ——————————————- 30.789€ x 1,19 = 36.638,91€ tbd 6cjhmejx1zifl0ttavdxnq382easoao 1117982 1117981 2026-10-27T21:51:52Z ~2026-56555-50 42021 1117982 wikitext text/x-wiki == FRAport Berechnung == ''(Die Umfrage dauert 3 Monate)'' === Personalkosten === Die Personalkosten sind als Fixkosten festgehalten, da sie ein Festgehalt erhalten. {| class="wikitable" style="width:100%" ! Posten !! Kostenart !! Berechnung !! Kosten |- | 5 Studentische Hilfskräfte | Einzelkosten, Fixkosten | Gesamtkosten pro Hilfskraft im Monat 900€ | style="text-align:right" | 13.500 |- | Angestellter Wissenschaftler | Gemeinkosten, Fixkosten | Gesamtkosten im Monat 4.200€ | style="text-align:right" | 12.600 |} === Kalkulatorische Abschreibungen === {| class="wikitable" style="width:100%" ! Posten !! Kostenart !! Berechnung !! Kosten |- | Kosten Papier | Einzelkosten, Variable Kosten | 10.000 Papier 14€ | style="text-align:right" | 14€ |- | Kosten Druckmaterial | Einzelkosten, Variable Kosten | Diverses Druckerzubehör 150€ | style="text-align:right" | 150€ |- | Kosten Profi-Kopierer | Gemeinkosten, Fixkosten | Anschaffungskosten 4.000€ (Wir gehen davon aus, dass der Kopierer 4 Jahre lang hält) | style="text-align:right" | 250€ |- | Kleines Büro in Darmstadt Miete | Gemeinkosten, Fixkosten | Miete im Monat 750€ | style="text-align:right" | 2.250 |- | 6 Laptops | Gemeinkosten, Fixkosten | Anschaffungskosten pro Laptop 600€ (Wir gehen davon aus, dass die Laptops 4 Jahre lang halten) | style="text-align:right" | 225 |- | 6 SPSS Lizensen | Einzelkosten, Fixkosten | Pro Lizenz im Monat 100€ | style="text-align:right" | 1.800€ |} === Steuern === * Mehrwertsteuer ---- === Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (Ohne langfristig mit ähnlichen Projekten Verlust machen) === {| class="wikitable" ! Posten !! Kosten |- | Studentische Hilfskräfte || style="text-align:right" | 13.500 |- | Wissenschaftliche Fachkraft || style="text-align:right" | 12.600 |- | Kosten Papier || style="text-align:right" | 14 |- | Kosten Druckmaterial || style="text-align:right" | 150 |- | SPSS Lizenzen || style="text-align:right" | 1.800 |- | Kopierer || style="text-align:right" | 250 |- | Laptops || style="text-align:right" | 225 |- | Büromiete || style="text-align:right" | 2.250 |- ! Summe !! style="text-align:right" | 30.789€ |} '''30.789€ x 1,19 = 36.638,91€''' ---- === Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (Kein Unmittelbarer Verlust) === {| class="wikitable" ! Posten !! Kosten |- | Studentische Hilfskräfte || style="text-align:right" | 13.500 |- | Wissenschaftliche Fachkraft || style="text-align:right" | 12.600 |- | Kosten Papier || style="text-align:right" | 14 |- | Kosten Druckmaterial || style="text-align:right" | 150 |- | SPSS Lizenzen || style="text-align:right" | 1.800 |- ! Summe !! style="text-align:right" | 28.064€ |} '''28.064€ x 1,19 = 33.396,16€''' ---- === Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (20% Gewinn auf das Kapital des Unternehmens -> Gesamtumsatz = 200.000/Jahr) === {| class="wikitable" ! Posten !! Kosten |- | Studentische Hilfskräfte || style="text-align:right" | 13.500 |- | Wissenschaftliche Fachkraft || style="text-align:right" | 12.600 |- | Kosten Papier || style="text-align:right" | 14 |- | Kosten Druckmaterial || style="text-align:right" | 150 |- | SPSS Lizenzen || style="text-align:right" | 1.800 |- | Kopierer || style="text-align:right" | 250 |- | Laptops || style="text-align:right" | 225 |- | Büromiete || style="text-align:right" | 2.250 |- ! Summe !! style="text-align:right" | 30.789€ |} '''30.789€ x 1,19 = 36.638,91€''' tbd aq2inwfjf5hxrpt279sc52pazt98qbs 1117983 1117982 2026-10-27T21:56:04Z ~2026-56555-50 42021 1117983 wikitext text/x-wiki == FRAport Berechnung == ''(Die Umfrage dauert 3 Monate)'' === Personalkosten === Die Personalkosten sind als Fixkosten festgehalten, da sie ein Festgehalt erhalten. {| class="wikitable" style="width:100%" ! Posten !! Kostenart !! Berechnung !! Kosten |- | 5 Studentische Hilfskräfte | Einzelkosten, Fixkosten | Gesamtkosten pro Hilfskraft im Monat 900€ | style="text-align:right" | 13.500 € |- | Angestellter Wissenschaftler | Gemeinkosten, Fixkosten | Gesamtkosten im Monat 4.200€ | style="text-align:right" | 12.600 € |} === Kalkulatorische Abschreibungen === {| class="wikitable" style="width:100%" ! Posten !! Kostenart !! Berechnung !! Kosten |- | Kosten Papier | Einzelkosten, Variable Kosten | 10.000 Papier 14€ | style="text-align:right" | 14 € |- | Kosten Druckmaterial | Einzelkosten, Variable Kosten | Diverses Druckerzubehör 150€ | style="text-align:right" | 150 € |- | Kosten Profi-Kopierer | Gemeinkosten, Fixkosten | Anschaffungskosten 4.000€ (Wir gehen davon aus, dass der Kopierer 4 Jahre lang hält) | style="text-align:right" | 250 € |- | Kleines Büro in Darmstadt Miete | Gemeinkosten, Fixkosten | Miete im Monat 750€ | style="text-align:right" | 2.250 € |- | 6 Laptops | Gemeinkosten, Fixkosten | Anschaffungskosten pro Laptop 600€ (Wir gehen davon aus, dass die Laptops 4 Jahre lang halten) | style="text-align:right" | 225 € |- | 6 SPSS Lizenzen | Einzelkosten, Fixkosten | Pro Lizenz im Monat 100€ | style="text-align:right" | 1.800 € |} === Steuern === * Mehrwertsteuer ---- === Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (Ohne langfristig mit ähnlichen Projekten Verlust machen) === {| class="wikitable" ! Posten !! Kosten |- | Studentische Hilfskräfte || style="text-align:right" | 13.500 € |- | Wissenschaftliche Fachkraft || style="text-align:right" | 12.600 € |- | Kosten Papier || style="text-align:right" | 14 € |- | Kosten Druckmaterial || style="text-align:right" | 150 € |- | SPSS Lizenzen || style="text-align:right" | 1.800 € |- | Kopierer || style="text-align:right" | 250 € |- | Laptops || style="text-align:right" | 225 € |- | Büromiete || style="text-align:right" | 2.250 € |- | '''Summe (Netto)''' || style="text-align:right" | '''30.789,00 €''' |- | Mehrwertsteuer (19%) || style="text-align:right" | 5.849,91 € |- ! Endpreis (Brutto) !! style="text-align:right" | 36.638,91 € |} ---- === Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (20% Gewinn auf das Kapital des Unternehmens -> Gesamtumsatz = 200.000/Jahr) === {| class="wikitable" ! Posten !! Kosten |- | Studentische Hilfskräfte || style="text-align:right" | 13.500 € |- | Wissenschaftliche Fachkraft || style="text-align:right" | 12.600 € |- | Kosten Papier || style="text-align:right" | 14 € |- | Kosten Druckmaterial || style="text-align:right" | 150 € |- | SPSS Lizenzen || style="text-align:right" | 1.800 € |- | Kopierer || style="text-align:right" | 250 € |- | Laptops || style="text-align:right" | 225 € |- | Büromiete || style="text-align:right" | 2.250 € |- | '''Summe (Netto)''' || style="text-align:right" | '''30.789,00 €''' |- | Mehrwertsteuer (19%) || style="text-align:right" | 5.849,91 € |- ! Endpreis (Brutto) !! style="text-align:right" | 36.638,91 € |} tbd fy0jpfg5qpm3f5794tu266yvnlbg685 1117984 1117983 2026-10-27T21:57:36Z ~2026-56555-50 42021 1117984 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ <div style="background:#edf4f7; border-left:6px solid #275D75; padding:22px; margin-bottom:25px;"> <div style="font-size:13px; color:#506978;">CULTURELAB | AUFTRAGSKALKULATION</div> <div style="font-size:27px; font-weight:bold; color:#203F50; margin:8px 0;">FRAport Berechnung:</div> '''(Die Umfrage dauert 3 Monate)''' </div> == <u>Personalkosten:</u> == '''Die Personalkosten sind als Fixkosten festgehalten, da sie ein Festgehalt erhalten''' {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Kostenposition !! Berechnung |- | '''5 Studentische Hilfskräfte'''<br />(Einzelkosten, Fixkosten) | Gesamtkosten pro Hilfskraft im Monat '''900€'''<br />= '''13.500''' |- | '''Angestellter Wissenschaftler'''<br />(Gemeinkosten, Fixkosten) | Gesamtkosten im Monat '''4.200€'''<br />= '''12.600''' |} == <u>Kalkulatorische Abschreibungen:</u> == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Kostenposition !! Berechnung |- | '''Kosten Papier'''<br />(Einzelkosten, Variable Kosten) | 10.000 Papier 14€<br />= '''14€''' |- | '''Kosten Druckmaterial'''<br />(Einzelkosten, Variable Kosten) | Diverses Druckerzubehör 150€<br />= '''150€''' |- | '''Kosten Profi-Kopierer'''<br />(Gemeinkosten, Fixkosten) | Anschaffungskosten '''4.000€'''<br />(Wir gehen davon aus, dass der Kopierer 4 Jahre lang hält)<br />= '''250€''' |- | '''Kleines Büro in Darmstadt Miete'''<br />(Gemeinkosten, Fixkosten) | Miete im Monat '''750€'''<br />= '''2.250''' |- | '''6 Laptops'''<br />(Gemeinkosten, Fixkosten) | Anschaffungskosten pro Laptop '''600€'''<br />(Wir gehen davon aus, dass die Laptops 4 Jahre lang halten)<br />= '''225''' |- | '''6 SPSS Lizensen'''<br />(Einzelkosten, Fixkosten) | Pro Lizenz im Monat '''100€'''<br />= '''1.800€''' |} == <u>Steuern</u> == '''Mehrwertsteuer''' ---- == <u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (Ohne langfristig mit ähnlichen Projekten Verlust machen)</u> == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Kostenposition !! Betrag |- | Studentische Hilfskräfte || '''13.500''' |- | Wissenschaftliche Fachkraft || '''12.600''' |- | Kosten Papier || '''14''' |- | Kosten Druckmaterial || '''150''' |- | SPSS Lizenzen || '''1.800''' |- | Kopierer || '''250''' |- | Laptops || '''225''' |- | Büromiete || '''2.250''' |} <div style="background:#edf4f7; border-left:5px solid #275D75; padding:20px; margin:16px 0;"> <div style="font-size:15px; font-weight:bold; color:#203F50;">Berechnung inklusive Mehrwertsteuer</div> <div style="font-size:22px; font-weight:bold; margin:12px 0;">30.789€ x 1,19 = 36.638,91€</div> <div style="border-top:1px solid #a9c0cc; padding-top:12px;"> '''<u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer: 36.638,91€</u>''' </div> </div> ---- == <u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (Kein Unmittelbarer Verlust)</u> == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Kostenposition !! Betrag |- | Studentische Hilfskräfte || '''13.500''' |- | Wissenschaftliche Fachkraft || '''12.600''' |- | Kosten Papier || '''14''' |- | Kosten Druckmaterial || '''150''' |- | SPSS Lizenzen || '''1.800''' |} <div style="background:#edf4f7; border-left:5px solid #275D75; padding:20px; margin:16px 0;"> <div style="font-size:15px; font-weight:bold; color:#203F50;">Berechnung inklusive Mehrwertsteuer</div> <div style="font-size:22px; font-weight:bold; margin:12px 0;">28.064€ x 1,19 = 33.396,16€</div> <div style="border-top:1px solid #a9c0cc; padding-top:12px;"> '''<u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer: 33.396,16€</u>''' </div> </div> ---- == <u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (20% Gewinn auf das Kapital des Unternehmens -> Gesamtumsatz = 200.000/Jahr)</u> == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Kostenposition !! Betrag |- | Studentische Hilfskräfte || '''13.500''' |- | Wissenschaftliche Fachkraft || '''12.600''' |- | Kosten Papier || '''14''' |- | Kosten Druckmaterial || '''150''' |- | SPSS Lizenzen || '''1.800''' |- | Kopierer || '''250''' |- | Laptops || '''225''' |- | Büromiete || '''2.250''' |} <div style="background:#edf4f7; border-left:5px solid #275D75; padding:20px; margin:16px 0;"> <div style="font-size:15px; font-weight:bold; color:#203F50;">Berechnung inklusive Mehrwertsteuer</div> <div style="font-size:22px; font-weight:bold; margin:12px 0;">30.789€ x 1,19 = 36.638,91€</div> <div style="border-top:1px solid #a9c0cc; padding-top:12px;"> '''<u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer: 36.638,91€</u>''' </div> </div> '''tbd''' rmry4ezkv3qrkozfqqjm2evchwfk6h6 1117985 1117984 2026-10-27T21:59:19Z ~2026-56555-50 42021 1117985 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ <div style="background:#edf4f7; border-left:6px solid #275D75; padding:22px; margin-bottom:25px;"> <div style="font-size:13px; color:#506978;">CULTURELAB | AUFTRAGSKALKULATION</div> <div style="font-size:27px; font-weight:bold; color:#203F50; margin:8px 0;">FRAport Berechnung:</div> '''(Die Umfrage dauert 3 Monate)''' </div> == <u>Personalkosten:</u> == '''Die Personalkosten sind als Fixkosten festgehalten, da sie ein Festgehalt erhalten''' {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Kostenposition !! Berechnung |- | '''5 Studentische Hilfskräfte'''<br />(Einzelkosten, Fixkosten) | Gesamtkosten pro Hilfskraft im Monat '''900€'''<br />= '''13.500''' |- | '''Angestellter Wissenschaftler'''<br />(Gemeinkosten, Fixkosten) | Gesamtkosten im Monat '''4.200€'''<br />= '''12.600''' |} == <u>Kalkulatorische Abschreibungen:</u> == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Kostenposition !! Berechnung |- | '''Kosten Papier'''<br />(Einzelkosten, Variable Kosten) | 10.000 Papier 14€<br />= '''14€''' |- | '''Kosten Druckmaterial'''<br />(Einzelkosten, Variable Kosten) | Diverses Druckerzubehör 150€<br />= '''150€''' |- | '''Kosten Profi-Kopierer'''<br />(Gemeinkosten, Fixkosten) | Anschaffungskosten '''4.000€'''<br />(Wir gehen davon aus, dass der Kopierer 4 Jahre lang hält)<br />= '''250€''' |- | '''Kleines Büro in Darmstadt Miete'''<br />(Gemeinkosten, Fixkosten) | Miete im Monat '''750€'''<br />= '''2.250''' |- | '''6 Laptops'''<br />(Gemeinkosten, Fixkosten) | Anschaffungskosten pro Laptop '''600€'''<br />(Wir gehen davon aus, dass die Laptops 4 Jahre lang halten)<br />= '''225''' |- | '''6 SPSS Lizensen'''<br />(Einzelkosten, Fixkosten) | Pro Lizenz im Monat '''100€'''<br />= '''1.800€''' |} == <u>Steuern</u> == '''Mehrwertsteuer''' ---- == <u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (Kein Unmittelbarer Verlust)</u> == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Kostenposition !! Betrag |- | Studentische Hilfskräfte || '''13.500''' |- | Wissenschaftliche Fachkraft || '''12.600''' |- | Kosten Papier || '''14''' |- | Kosten Druckmaterial || '''150''' |- | SPSS Lizenzen || '''1.800''' |} <div style="background:#edf4f7; border-left:5px solid #275D75; padding:20px; margin:16px 0;"> <div style="font-size:15px; font-weight:bold; color:#203F50;">Berechnung inklusive Mehrwertsteuer</div> <div style="font-size:22px; font-weight:bold; margin:12px 0;">28.064€ x 1,19 = 33.396,16€</div> <div style="border-top:1px solid #a9c0cc; padding-top:12px;"> '''<u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer: 33.396,16€</u>''' </div> </div> ---- == <u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (Ohne langfristig mit ähnlichen Projekten Verlust machen)</u> == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Kostenposition !! Betrag |- | Studentische Hilfskräfte || '''13.500''' |- | Wissenschaftliche Fachkraft || '''12.600''' |- | Kosten Papier || '''14''' |- | Kosten Druckmaterial || '''150''' |- | SPSS Lizenzen || '''1.800''' |- | Kopierer || '''250''' |- | Laptops || '''225''' |- | Büromiete || '''2.250''' |} <div style="background:#edf4f7; border-left:5px solid #275D75; padding:20px; margin:16px 0;"> <div style="font-size:15px; font-weight:bold; color:#203F50;">Berechnung inklusive Mehrwertsteuer</div> <div style="font-size:22px; font-weight:bold; margin:12px 0;">30.789€ x 1,19 = 36.638,91€</div> <div style="border-top:1px solid #a9c0cc; padding-top:12px;"> '''<u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer: 36.638,91€</u>''' </div> </div> ---- == <u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (20% Gewinn auf das Kapital des Unternehmens -> Gesamtumsatz = 200.000/Jahr)</u> == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Kostenposition !! Betrag |- | Studentische Hilfskräfte || '''13.500''' |- | Wissenschaftliche Fachkraft || '''12.600''' |- | Kosten Papier || '''14''' |- | Kosten Druckmaterial || '''150''' |- | SPSS Lizenzen || '''1.800''' |- | Kopierer || '''250''' |- | Laptops || '''225''' |- | Büromiete || '''2.250''' |} <div style="background:#edf4f7; border-left:5px solid #275D75; padding:20px; margin:16px 0;"> <div style="font-size:15px; font-weight:bold; color:#203F50;">Berechnung inklusive Mehrwertsteuer</div> <div style="font-size:22px; font-weight:bold; margin:12px 0;">30.789€ x 1,19 = 36.638,91€</div> <div style="border-top:1px solid #a9c0cc; padding-top:12px;"> '''<u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer: 36.638,91€</u>''' </div> </div> '''tbd''' feeeebc039ix5mfa29i99utmhdd6v9t 1117986 1117985 2026-10-27T22:00:11Z ~2026-56555-50 42021 1117986 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ <div style="background:#edf4f7; border-left:6px solid #275D75; padding:22px; margin-bottom:25px;"> <div style="font-size:13px; color:#506978;">CULTURELAB | AUFTRAGSKALKULATION</div> <div style="font-size:27px; font-weight:bold; color:#203F50; margin:8px 0;">FRAport Berechnung:</div> '''(Die Umfrage dauert 3 Monate)''' </div> == <u>Personalkosten:</u> == '''Die Personalkosten sind als Fixkosten festgehalten, da sie ein Festgehalt erhalten''' {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Kostenposition !! Berechnung |- | '''5 Studentische Hilfskräfte'''<br />(Einzelkosten, Fixkosten) | Gesamtkosten pro Hilfskraft im Monat '''900€'''<br />= '''13.500''' |- | '''Angestellter Wissenschaftler'''<br />(Gemeinkosten, Fixkosten) | Gesamtkosten im Monat '''4.200€'''<br />= '''12.600''' |} == <u>Kalkulatorische Abschreibungen:</u> == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Kostenposition !! Berechnung |- | '''Kosten Papier'''<br />(Einzelkosten, Variable Kosten) | 10.000 Papier 14€<br />= '''14€''' |- | '''Kosten Druckmaterial'''<br />(Einzelkosten, Variable Kosten) | Diverses Druckerzubehör 150€<br />= '''150€''' |- | '''Kosten Profi-Kopierer'''<br />(Gemeinkosten, Fixkosten) | Anschaffungskosten '''4.000€'''<br />(Wir gehen davon aus, dass der Kopierer 4 Jahre lang hält)<br />= '''250€''' |- | '''Kleines Büro in Darmstadt Miete'''<br />(Gemeinkosten, Fixkosten) | Miete im Monat '''750€'''<br />= '''2.250''' |- | '''6 Laptops'''<br />(Gemeinkosten, Fixkosten) | Anschaffungskosten pro Laptop '''600€'''<br />(Wir gehen davon aus, dass die Laptops 4 Jahre lang halten)<br />= '''225''' |- | '''6 SPSS Lizensen'''<br />(Einzelkosten, Fixkosten) | Pro Lizenz im Monat '''100€'''<br />= '''1.800€''' |} == <u>Steuern</u> == '''Mehrwertsteuer''' ---- == <u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (Kein Unmittelbarer Verlust)</u> == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Kostenposition !! Betrag |- | Studentische Hilfskräfte || '''13.500''' |- | Wissenschaftliche Fachkraft || '''12.600''' |- | Kosten Papier || '''14''' |- | Kosten Druckmaterial || '''150''' |- | SPSS Lizenzen || '''1.800''' |} <div style="background:#edf4f7; border-left:5px solid #275D75; padding:20px; margin:16px 0;"> <div style="font-size:15px; font-weight:bold; color:#203F50;">Berechnung inklusive Mehrwertsteuer</div> <div style="font-size:22px; font-weight:bold; margin:12px 0;">28.064€ x 1,19 = 33.396,16€</div> <div style="border-top:1px solid #a9c0cc; padding-top:12px;"> '''<u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer: 33.396,16€</u>''' </div> </div> ---- == <u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (Ohne langfristig mit ähnlichen Projekten Verlust machen)</u> == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Kostenposition !! Betrag |- | Studentische Hilfskräfte || '''13.500''' |- | Wissenschaftliche Fachkraft || '''12.600''' |- | Kosten Papier || '''14''' |- | Kosten Druckmaterial || '''150''' |- | SPSS Lizenzen || '''1.800''' |- | Kopierer || '''250''' |- | Laptops || '''225''' |- | Büromiete || '''2.250''' |} <div style="background:#edf4f7; border-left:5px solid #275D75; padding:20px; margin:16px 0;"> <div style="font-size:15px; font-weight:bold; color:#203F50;">Berechnung inklusive Mehrwertsteuer</div> <div style="font-size:22px; font-weight:bold; margin:12px 0;">30.789€ x 1,19 = 36.638,91€</div> <div style="border-top:1px solid #a9c0cc; padding-top:12px;"> '''<u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer: 36.638,91€</u>''' </div> </div> ---- == <u>Endpreis inkl. Mehrwertsteuer (20% Gewinn auf das Kapital des Unternehmens -> Gesamtumsatz = 200.000/Jahr)</u> == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Kostenposition !! Betrag |- | Studentische Hilfskräfte || '''13.500''' |- | Wissenschaftliche Fachkraft || '''12.600''' |- | Kosten Papier || '''14''' |- | Kosten Druckmaterial || '''150''' |- | SPSS Lizenzen || '''1.800''' |- | Kopierer || '''250''' |- | Laptops || '''225''' |- | Büromiete || '''2.250''' |} <div style="background:#edf4f7; border-left:5px solid #275D75; padding:20px; margin:16px 0;"> <div style="font-size:15px; font-weight:bold; color:#203F50;">Berechnung inklusive Mehrwertsteuer</div> <div style="font-size:22px; font-weight:bold; margin:12px 0;">30.789€ x 1,19 = 36.638,91€</div> <div style="border-top:1px solid #a9c0cc; padding-top:12px;"> '''<u>Noch nicht fertig</u>''' </div> </div> bthy284y58h3njb4q6r70qvsef134wy 0 173333 1117989 2026-10-27T22:04:58Z ~2026-56555-50 42021 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117989 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ <div style="background:#edf4f7; border-left:6px solid #275D75; padding:22px; margin-bottom:25px;"> <div style="font-size:13px; color:#506978;">CULTURELAB | UNTERNEHMENSORGANISATION</div> <div style="font-size:27px; font-weight:bold; color:#203F50; margin:8px 0;">Organisationsstruktur</div> </div> == <u>Unternehmensstruktur</u> == == <u>Abteilungen und ihre Funktionen</u> == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Abteilung !! Funktion |- | | |- | | |- | | |- | | |} == <u>Organigramm</u> == bw45jsu2s0bn0ur1ggofnoiz04i7ccg 0 173334 1117999 2026-10-28T07:53:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1117999 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Abbildung/display |name= | \Z^2 | {{op:Zmod|k|}} || |SZ= }} mit {{mathl|term= e_1 \mapsto 1 |SZ=,}} {{mathl|term= e_2 \mapsto k-1 |SZ=.}} Die Hilbertreihe zu {{ Relationskette | c | \in | {{op:Zmod|k|}} || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Charaktere werden mit {{mathl|term= 1 \mapsto \zeta |SZ=}} identifiziert, {{math|term= \zeta |SZ=}} eine {{math|term= k |SZ=-}}te Einheitswurzel| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | F_c(t) || {{op:Bruch| 1 | k (1-t) }} \sum_\zeta {{op:Bruch| {{op:Komplexe Konjugation| \zeta^c |}} | (1- \zeta t ) (1- \zeta^{-1} t) }} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | k || 2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | c || 0 || || || |SZ= }} ist dies {{ Relationskette/display | F_0(t) || {{op:Bruch| 1 |2 (1-t) }} {{makl| {{op:Bruch| 1 | (1- t ) (1 - t) }} + {{op:Bruch| 1 | (1 + t ) (1 + t) }} |}} || || || |SZ=, }} bei {{ Relationskette | c || 1 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | F_1(t) || {{op:Bruch| 1 |2 (1-t) }} {{makl| {{op:Bruch| 1 | (1- t ) (1 - t) }} - {{op:Bruch| 1 | (1 + t ) (1 + t) }} |}} || || || |SZ=. }} Die Summe ist {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | (1-t)^3 }} |SZ=, }} also die kumulative Hilbertreihe des Polynomringes. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} e7f728e789yvon773fsefltpaezn5bc 1118001 1117999 2026-10-28T08:33:25Z Bocardodarapti 2041 1118001 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Abbildung/display |name= | \Z^2 | {{op:Zmod|k|}} || |SZ= }} mit {{mathl|term= e_1 \mapsto 1 |SZ=,}} {{mathl|term= e_2 \mapsto k-1 |SZ=.}} Die Hilbertreihe zu {{ Relationskette | c | \in | {{op:Zmod|k|}} || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Charaktere werden mit {{mathl|term= 1 \mapsto \zeta |SZ=}} identifiziert, {{math|term= \zeta |SZ=}} eine {{math|term= k |SZ=-}}te Einheitswurzel| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | F_c(t) || {{op:Bruch| 1 | k (1-t) }} \sum_\zeta {{op:Bruch| {{op:Komplexe Konjugation| \zeta^c |}} | (1- \zeta t ) (1- \zeta^{-1} t) }} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | k || 2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | c || 0 || || || |SZ= }} ist dies {{ Relationskette/display | F_0(t) || {{op:Bruch| 1 |2 (1-t) }} {{makl| {{op:Bruch| 1 | (1- t ) (1 - t) }} + {{op:Bruch| 1 | (1 + t ) (1 + t) }} |}} || || || |SZ=, }} bei {{ Relationskette | c || 1 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | F_1(t) || {{op:Bruch| 1 |2 (1-t) }} {{makl| {{op:Bruch| 1 | (1- t ) (1 - t) }} - {{op:Bruch| 1 | (1 + t ) (1 + t) }} |}} || || || |SZ=. }} Die Summe ist {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | (1-t)^3 }} |SZ=, }} also die kumulative Hilbertreihe des Polynomringes. Mit der feinen Auflösung {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow S(-2, -1 ) \oplus S(-1,-2) \longrightarrow S( - 2,0 ) \oplus S(0,-2 ) \oplus S(- 1,-1 ) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^2,V^2,UV |}} |SZ= }} bzw. {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow S(-2q, -q ) \oplus S(-q,-2q) \longrightarrow S( - 2q,0 ) \oplus S(0,-2q ) \oplus S(- q,-q ) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^q,V^q,U^qV^q |}} |SZ= }} ist die Wechselsumme gleich {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= q |SZ=}} ungerade| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= F_0 (t) \cdot t^{q-N} - 3 {{makl| F_0 (t) \cdot t^{q+2q -N} |}} + 2 {{makl| F_{1}(t ) \cdot t^{q+3q -N} |}} |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 9dv7d163adz7fbjw61950yichfjt81e 1118005 1118001 2026-10-28T09:41:03Z Bocardodarapti 2041 1118005 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ Abbildung/display |name= | \Z^2 | {{op:Zmod|k|}} || |SZ= }} mit {{mathl|term= e_1 \mapsto 1 |SZ=,}} {{mathl|term= e_2 \mapsto k-1 |SZ=.}} Die Hilbertreihe zu {{ Relationskette | c | \in | {{op:Zmod|k|}} || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Charaktere werden mit {{mathl|term= 1 \mapsto \zeta |SZ=}} identifiziert, {{math|term= \zeta |SZ=}} eine {{math|term= k |SZ=-}}te Einheitswurzel| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | F_c(t) || {{op:Bruch| 1 | k (1-t) }} \sum_\zeta {{op:Bruch| {{op:Komplexe Konjugation| \zeta^c |}} | (1- \zeta t ) (1- \zeta^{-1} t) }} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | k || 2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | c || 0 || || || |SZ= }} ist dies {{ Relationskette/display | F_0(t) || {{op:Bruch| 1 |2 (1-t) }} {{makl| {{op:Bruch| 1 | (1- t ) (1 - t) }} + {{op:Bruch| 1 | (1 + t ) (1 + t) }} |}} || || || |SZ=, }} bei {{ Relationskette | c || 1 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | F_1(t) || {{op:Bruch| 1 |2 (1-t) }} {{makl| {{op:Bruch| 1 | (1- t ) (1 - t) }} - {{op:Bruch| 1 | (1 + t ) (1 + t) }} |}} || || || |SZ=. }} Die Summe ist {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | (1-t)^3 }} |SZ=, }} also die kumulative Hilbertreihe des Polynomringes. Mit der feinen Auflösung {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow S(-2, -1 ) \oplus S(-1,-2) \longrightarrow S( - 2,0 ) \oplus S(0,-2 ) \oplus S(- 1,-1 ) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^2,V^2,UV |}} |SZ= }} bzw. {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow S(-2q, -q ) \oplus S(-q,-2q) \longrightarrow S( - 2q,0 ) \oplus S(0,-2q ) \oplus S(- q,-q ) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^{2q}, V^{2q}, U^qV^q |}} |SZ= }} ist die Wechselsumme gleich {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= q |SZ=}} ungerade| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= F_0 (t) \cdot t^{q-N} - 3 {{makl| F_0 (t) \cdot t^{q+2q -N} |}} + 2 {{makl| F_{1}(t ) \cdot t^{q+3q -N} |}} |SZ=. }} Für {{math|term= N |SZ=}} kann man {{math|term= 3q |SZ=}} nehmen. Die Reihen sind als Potenzreihen zu lesen, Koeffizienten zu negativen Exponenten sind als {{math|term= 0 |SZ=}} zu interpretieren. Koeffizient zu {{math|term= t^q |SZ=}} in den Hilbertreihen des Polynomringes ist {{ Relationskette/align | {{op:Bruch|(3q+1)(3q+2)| 2 }} - 3 {{op:Bruch|(q+1)(q+2)| 2 }} + 2 || {{op:Bruch|9 q^2 +9q+2 | 2 }} - 3 {{op:Bruch|q^2+3q+2| 2 }} + 2 || 3 q^2 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} sdxv2czxnos8lyqfsz0u89wyq9xhmy9