Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.48.0-wmf.1 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1118139 1118102 2026-10-30T09:30:42Z Bert Niehaus 20843 /* Integralkorrespondenzsatz */ 1118139 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[Komplexe Zahl#Orbitdarstellung|Orbitdarstellung von Operationen in komplexen Zahlen]] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz%20von%20Folgen%20und%20Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen%20und%20Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung|algebraische Vervollständigung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] <math>z^n</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/exponentielle unktionen|exponentielle Funktionen]] <math>a^z</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rmod|rlog-Funktion]] beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiver Logarithmus|rekursiver Logarithmus]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz (*) === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 2lhtrcno7obbx83a02k44k9qte45hr7 1118140 1118139 2026-10-30T09:32:46Z Bert Niehaus 20843 /* Funktionentheorie - Teil 2 */ 1118140 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[Komplexe Zahl#Orbitdarstellung|Orbitdarstellung von Operationen in komplexen Zahlen]] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz%20von%20Folgen%20und%20Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen%20und%20Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung|algebraische Vervollständigung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] <math>z^n</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/exponentielle unktionen|exponentielle Funktionen]] <math>a^z</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rmod|rlog-Funktion]] beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiver Logarithmus|rekursiver Logarithmus]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 (*) == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz (*) === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 3n1bvg49ybfw3pf9t1915161mtdjtqf 1118141 1118140 2026-10-30T09:36:21Z Bert Niehaus 20843 /* Grundlagen */ 1118141 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * '''[[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]]''' - ohne stochastische Konvergenz * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[Komplexe Zahl#Orbitdarstellung|Orbitdarstellung von Operationen in komplexen Zahlen]] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz%20von%20Folgen%20und%20Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen%20und%20Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung|algebraische Vervollständigung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] <math>z^n</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/exponentielle unktionen|exponentielle Funktionen]] <math>a^z</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rmod|rlog-Funktion]] beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiver Logarithmus|rekursiver Logarithmus]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 (*) == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz (*) === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> sswdui9gxl3w6c6qwekixvto27k95r9 0 84484 1118137 1106391 2026-10-30T08:51:04Z Bocardodarapti 2041 1118137 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Nummerierung der Schüler durch Heino {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Abzählungen/Bezug/Aufgabe |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ=, }} {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= n |SZ=}} |text2= {{math|term= \varphi(n) |SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | M | T | A | L | S | B | G | R | H | C }} ist bijektiv und hat daher eine eindeutig bestimmte {{ Definitionslink |Umkehrabbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Die Wertetabelle dieser Umkehrabbildung ist {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= P |SZ=}} |text2= {{math|term= \varphi^{-1} (P) |SZ=}} | A | B | C | G | H | L| M | R | S | T | 3 | 6 | 10 | 7 | 9 | 4 | 1 | 8 | 5 | 2 }} Bei einem natürlichen Zählvorgang kann man sich darüber streiten, ob die Zahlen {{Anführung|eher}} den Personen oder die Personen eher den Zahlen zugeordnet werden. Bei einer bijektiven Abbildung liegt eine Entsprechung vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Umkehrabbildungen |Kategorie2=Theorie der bijektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1spluldzvwjhcgo60pfa2nijpdytbxi 106 101820 1118116 896478 2026-10-29T15:36:56Z Bocardodarapti 2041 1118116 wikitext text/x-wiki {{ Klausur21 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |Zählen/Einsilbensystem/Umrechnungen/1/Aufgabe|p||| |Produktmenge/Durchschnitt/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Ordnung/Differenz/Verschiebung/Aufgabe|p||| |Zweistellige Zahlen/Ziffern finden/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Fußball/8 zu 3/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Diagonale und Gegendiagonale/Aufgabe|p||| |Primzahlen/Unendlich viele/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/49 über 6/Aufgabe|p||| |Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p||| |Atome im Universum/Beschriftung/Negative Zahl/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p||| |Zusammengesetzte Zahl/Nicht prim/Kein Teiler unter 10/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Mögliche Multiplikationen/Aufgabe|p||| |Q/Archimedes-Prinzip/Zwerge und Riese/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Widerspruchsbeweis/Einwand/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} kt9mgn253ijfk5v788ejl3cw448lwky 1118117 1118116 2026-10-29T15:37:41Z Bocardodarapti 2041 1118117 wikitext text/x-wiki {{ Klausur22 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe|p||| |Zählen/Einsilbensystem/Umrechnungen/1/Aufgabe|p||| |Produktmenge/Durchschnitt/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Ordnung/Differenz/Verschiebung/Aufgabe|p||| |Zweistellige Zahlen/Ziffern finden/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Fußball/8 zu 3/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Diagonale und Gegendiagonale/Aufgabe|p||| |Primzahlen/Unendlich viele/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/49 über 6/Aufgabe|p||| |Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p||| |Atome im Universum/Beschriftung/Negative Zahl/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p||| |Zusammengesetzte Zahl/Nicht prim/Kein Teiler unter 10/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Mögliche Multiplikationen/Aufgabe|p||| |Q/Archimedes-Prinzip/Zwerge und Riese/Aufgabe|p||| |Widerspruchsbeweis/Einwand/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 76uu7nggan2q8m3ydzjudocvmpqhlx3 0 106682 1118149 1113146 2026-10-30T10:54:52Z Bocardodarapti 2041 1118149 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Der surjektive {{ Definitionslink |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | \N^n | M {{=}} \N^n/\sim || |SZ= }} induziert nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt |Nr= |SZ= }} einen surjektiven {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebraho{{drucktrenn|}}momorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi |R[\N^n] {{=}} R[X_1 {{kommadots|}} X_n] | R[M] || |SZ=. }} Wir müssen zeigen, dass der Kern dieser Abbildung gleich dem von den binomialen Polynomen {{mathl|term= X^\mu- X^\nu|SZ=}} zu {{mathl|term= \mu \sim \nu|SZ=}} in {{math|term= \N^n |SZ=}} erzeugten Ideal ist. Diese werden auf {{math|term= 0 |SZ=}} abgebildet und gehören somit zum Kern. Die andere Inklusion beweisen wir mittels einer {{ Definitionslink |Wohlordnung| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= \N^n |SZ=,}} z.B. der {{ Definitionslink |gradlexikographischen Ordnung| |Kontext=| |SZ=. }} Zunächst besitzt jedes Element aus {{math|term= M |SZ=}} einen eindeutig bestimmten minimalen Repräsentanten aus {{math|term= \N^n |SZ=.}} Wir beweisen die Inklusion {{ Relationskette/display | {{op:Kern|\varphi|}} | \subseteq | {{makl| X^\mu -X^\nu \mid \mu \sim \nu }} || || || |SZ= }} durch Induktion über die Wohlordnung, bezogen auf das Leitmonom zu einem Polynom {{ Relationskette |F | \in | {{op:Kern|\varphi|}} || || || |SZ=. }} Der Induktionsanfang ist klar, da Monome und erst recht einzelne Variablen im Monoidring nicht {{math|term= 0 |SZ=}} sind. Sei {{ Relationskette/display | F || a_\mu X^\mu + \text{ Summe kleinerer Monome} || || || |SZ=. }} Wenn {{math|term= \mu |SZ=}} der kleinste Vertreter in seiner Äquivalenzklasse wäre, so könnte sich {{mathl|term= a_\mu X^\mu |SZ=}} nicht mit anderen Termen in {{mathl|term= R[M] |SZ=}} wegheben. Also ist {{ Relationskette | \mu | \sim |\nu || || || |SZ= }} mit einem kleineren Monom {{math|term= \nu|SZ=}} und somit kann man {{ Relationskette/display |F || a_\mu(X^\mu-X^\nu) + {{makl| F- a_\mu(X^\mu-X^\nu) |}} || || || |SZ= }} schreiben. Der linke Summand gehört zum binomialen Ideal, der rechte Summand gehört zum Kern und gehört somit aufgrund der Induktionsvoraussetzung ebenfalls zum binomialen Ideal. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72ioacviwvwsspwx07l2488kx2w0qif 106 135622 1118109 1117638 2026-10-29T15:33:03Z Bocardodarapti 2041 1118109 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |/Aufgabe|p||| |Dezimalentwicklung/Periodisch/Zeitung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Inverses von b/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie_(Z)/Beziehungen_zwischen_ggT_und_kgV/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Abstraktionsstufe/Reflexionsstufe/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} roxeh794x5fr1dhvxb0ib83fnw8bnbc 1118112 1118109 2026-10-29T15:34:44Z Bocardodarapti 2041 1118112 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |/Aufgabe|p||| |Dezimalentwicklung/Periodisch/Zeitung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie_(Z)/Beziehungen_zwischen_ggT_und_kgV/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Abstraktionsstufe/Reflexionsstufe/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} q09ssiv59zzh3t65gtsv93v8z6waypd 1118114 1118112 2026-10-29T15:35:51Z Bocardodarapti 2041 1118114 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |/Aufgabe|p||| |Dezimalentwicklung/Periodisch/Zeitung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Abstraktionsstufe/Reflexionsstufe/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} t9f0nst8tppspd0f3spdfwis0hy2d9d 1118115 1118114 2026-10-29T15:36:21Z Bocardodarapti 2041 1118115 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |/Aufgabe|p||| |Dezimalentwicklung/Periodisch/Zeitung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Abstraktionsstufe/Reflexionsstufe/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} fgnyv83yecj94nueargqf678ev07f0s 106 158234 1118107 1117804 2026-10-29T15:31:29Z Bocardodarapti 2041 1118107 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/31/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/31/Aufgabe|p||| |Flußüberquerung/Wolf Schaf Kohl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Fallunterscheidungsregel/Tautologie/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Pause/Essen/Mengen/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} do9piaa6p5s7b8vyyh73rg3uho7t9kb 1118108 1118107 2026-10-29T15:32:41Z Bocardodarapti 2041 1118108 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 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Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/32/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/32/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Flug/Tokio/Frankfurt/Zeitzonen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} jb78qcs3tkripsp6fxkwu7xuhmdnp94 106 158237 1118113 969429 2026-10-29T15:35:20Z Bocardodarapti 2041 1118113 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/34/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/34/Aufgabe|p||| |Knopfloch und Eisenbeis/Seeumrundung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/3456/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Eisenbeis/Bauer/Most/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 5dij7v8kmtazy9y0iizdu92b6b8vjp8 106 158238 1118111 1117639 2026-10-29T15:34:23Z Bocardodarapti 2041 1118111 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/35/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/35/Aufgabe|p||| |Fußball-WM/Top 4/Spielreihenfolge/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Inverses von b/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Regen Schnee Hagel/Umrechnung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Corona/Impfung/Herdenimmunität/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} riapr6wegiix75d458ud6kb0wqmh0ke 0 161900 1118125 1066742 2026-10-29T20:24:30Z Nodinos 42045 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Texel netherland beach equirectangular.png]] → [[File:Texel (the Netherlands) beach, equirectangular.png]] #3 1118125 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lernressource ist das Erstellen einer equirektangulären Projektion das Ziel. Die Lernressource ist anwendungsbasiert, [https://niebert.github.io/HuginSample/ AFrame-Beispiel Durlach] ist das erste Anwendungsfall der equirektangulären Projektion. Sie können sich umsehen, indem Sie die Richtung des Blicks mit der Maus ziehen, während Sie die linke Maustaste gedrückt halten. [[File:Hugin result in aframe.png|center|300px|Equirektanguläre Abbildung, die in einer Browser-Sphäre verwendet wird]] [https://niebert.github.io/HuginSample/ Voransicht der equirektangulären Projektion in AFrame] - Ziehen Sie die Voransicht der equirektangulären Abbildung mit der Maus, während Sie die linke Maustaste gedrückt halten. === Beispiel der equirektangulären Abbildung === [[File:Texel (the Netherlands) beach, equirectangular.png|thumb|Niederlande - Texel - equirektanguläres Bild vom Strand]] Betrachten Sie die [[c:File:Texel (the Netherlands) beach, equirectangular.png|equirektanguläre PNG-Abbildung aus WikiCommons]] und analysieren Sie die Verzerrung der Abbildung am oberen und unteren Bildrand. In [https://niebert.github.io/HuginSample/texel_netherlands_beach.html Aframe] kann man sich am Strand umsehen, da das rechteckige Bild auf eine Kugeloberfläche projiziert wird. === Navigation mit mehreren equirektangulären Abbildungen === Die [https://niebert.github.io/aframe360navigation/rhein3_rodenkirchen.html AFrame-Navigation-Beispiel vom Rhein in Deutschland] ermöglicht es, von einem Ort am Rhein zu einem anderen Ort in der equirektangulären Voransicht zu springen. [[File:River rhine spheric preview.png|center|300px| - Anwendungsfall der equirektangulären Projektion - Fluss Rhein-Beispiel mit mehreren Orten]] == Unterthemen == * [[/Landkarten und Verzerrung/]] * [[3D-Modellierung]] == Anwendungsbereich == Aus einer Menge von Standardabbildungen der Kamera, die einen vollständigen Kreis von 360 Grad um den Mittelpunkt des Blicks abdecken, können Sie eine equirektanguläre Abbildung erstellen, die eine [[w:de:Vollständige Sphäre|vollständige Sphäre]] darstellt. Diese Abbildung kann beispielsweise in [https://aframe.io/sky Aframe] oder anderen panoramischen Open-Source-Anwendungen betrachtet werden, die equirektanguläre Abbildungen unterstützen. === EQUI2SPH-Projektion === Die zugrunde liegende Projektionsart ist die equirektanguläre Projektion EQUI2SPH, die beispielsweise im geografischen Kontext verwendet wird, wobei eine Kugeloberfläche auf ein rechteckiges Flächenbild projiziert wird. Zunächst möchten wir in dieser Lerneinheit den Anwendungsfall in der [[3D-Modellierung]] über die Verwendung einer vollsphärischen Panoramabildabildung betrachten (siehe [https://niebert.github.io/HuginSample Beispiel] - bewegen Sie das Blickfeld mit gedrückter Maus). == Ursprung der Terminologie und Geschichte == Die ''equirektanguläre Projektion'' (auch ''äquidistante Zylindrische Projektion'' genannt) und die darin enthaltene spezielle ''Platte Carrée-Projektion'' (auch ''geografische Projektion'', ''Lat/Lon-Projektion'' oder ''Ebene Karte'' genannt) ist eine einfache [[w:de:Kartografische Projektion|Kartografische Projektion]], die Marinus von Tyros zugeschrieben wird, der [[w:de:Ptolemäus|Ptolemäus]] um etwa 100 n. Chr. erfunden haben soll.<ref>''Die Erde flach machen: Zwei Jahrtausende Kartografischer Projektionen'', John P. Snyder, 1993, S. 5–8, {{ISBN|0-226-76747-7}}.</ref> Die Projektion projiziert [[w:de:Meridian (Geographie)|Meridiane]] auf vertikale gerade Linien mit konstanter Abstand (für konstante Meridionalintervalle), und [[w:de:Kreise der Breite|Kreise der Breite]] auf horizontale gerade Linien mit konstanter Abstand (für konstante Breitengradintervalle). Die Projektion ist weder [[w:de:Flächengleichmäßige Projektion|flächengleichmäßig]] noch [[w:de:Konforme Projektion|konform]]. === Implikationen der Verzerrung für die Navigation === Aufgrund der durch diese Projektion eingeführten Verzerrungen hat sie nur wenig Verwendung in der [[w:de:Navigation|Navigation]] oder [[w:de:Kadastral|Kadastral]]-Kartografie und findet ihre Hauptanwendung in der [[w:de:Themenkarte|Themenkarte]]. === Anwendung in globalen Raster-Datasets === Insbesondere hat die Platte Carrée sich zu einem Standard für globale [[w:de:Geoinformationssystem|Geoinformationssystem]]-Raster-Datasets entwickelt, wie [[w:de:Celestia|Celestia]], [[w:de:NASA World Wind|NASA World Wind]], das [[w:de:USGS|USGS]]-[[w:de:Astrogeologie|Astrogeologie]]-Forschungsprogramm und [[w:de:Null_Island#Natural_Earth|Natural Earth]], aufgrund der besonders einfachen Beziehung zwischen der Position eines [[w:de:Pixel|Bildpunkts]] auf der Karte und seiner entsprechenden geografischen Position auf der Erde oder anderen kugelförmigen Himmelskörpern. === Anwendung in der Panoramafotografie === Darüber hinaus wird sie häufig in der Panoramafotografie verwendet, um eine sphärische Panoramabildabildung darzustellen.<ref>{{cite web |title=Equirectangular-Projektion - PanoTools.org-Wiki |url=https://wiki.panotools.org/Equirectangular-Projektion |access-date=2021-05-04 |website=wiki.panotools.org}}</ref> == Definition - Equirektanguläre Projektion == * '''([[/SPH2EQUI/]])''' Die Vorwärtsprojektion transformiert sphärische Koordinaten in planare Koordinaten der equirektangulären Projektion. * '''([[/EQUI2SPH/]])''' Die Rückprojektion transformiert equirektanguläre Koordinaten aus der Ebene zurück auf die Kugel. Die Formeln gehen von einem [[w:de:Kugelmodell|sphärischen Modell]] aus === Sphärische - Länge und Breite - SPH === * Länge <math>\lambda \in [ -180^\circ , +180^\circ ] </math> * Breite <math>\phi \in [ -90^\circ , +90^\circ ] </math> === Visualisierung === Ein perspektivischer Blick auf die Erde zeigt, wie Breite (<math>\phi</math>) und Länge (<math>\lambda</math>) auf einem sphärischen Modell definiert sind. Die Graticule-Abstände betragen 10 Grad. [[File:Latitude_and_longitude_graticule_on_a_sphere.svg|center|350px|Perspektivischer Blick auf die Erde, der zeigt, wie Breite und Länge definiert sind]] ==== Länge - SPH ==== Die Länge wird als [[w:de:Winkel|Winkel]] angegeben, der sich auf die 0°-Greenwich-Meridian als den [[w:de:Primärmeridian|Primärmeridian]] bezieht und sich bis <math>+180^o</math> nach Osten und <math>-180^o</math> nach Westen erstreckt. Die griechische Buchstabe <math>\lambda</math> (lambda)<ref>{{cite web|url=http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/datum/gif/llhxyz.gif|title=Coordinate Conversion|website=colorado.edu|access-date=14 March 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20090929121405/http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/datum/gif/llhxyz.gif|archive-date=29 September 2009|url-status=dead}}</ref><ref>"<math>\lambda</math> = Länge östlich von Greenwich (für Länge westlich von Greenwich verwenden Sie einen Minuszeichen)."<br />John P. Snyder, ''[https://pubs.er.usgs.gov/usgspubs/pp/pp1395 Kartenprojektionen, ein Arbeitsmanual] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100701103721/http://pubs.er.usgs.gov/usgspubs/pp/pp1395 |date=2010-07-01 }}'', [[w:de:USGS|USGS]]-Professional Paper 1395, Seite ix</ref> wird verwendet, um die Position eines Ortes auf der Erde östlich oder westlich des Primärmeridians anzugeben. ==== Breite - SPH ==== Die Breite wird als [[w:de:Winkel|Winkel]] angegeben, der sich auf die 0°-Äquatorlinie bezieht und sich bis <math>+90^o</math> nach Norden und <math>-90^o</math> nach Süden erstreckt. * <math>+90^o</math> verweist auf den Nordpol und * <math>-90^o</math> entspricht dem Südpol. Die griechische Buchstabe <math>\phi</math> oder <math>\varphi</math> (phi) wird verwendet, um diesen Winkel anzugeben. ==== Mnemotechnik - Griechische Buchstabe - Phi ==== Es gibt zwei verschiedene Notationen für die griechische Buchstabe <math> \phi </math> und <math> \varphi </math>. In dieser Lernressource wird die Notation <math> \phi </math> verwendet, um anzugeben, dass es sich um den Winkel handelt, der den Kreis trifft, der sich mit dem Nordpol und dem Südpol schneidet. === Definition der sphärischen Variablen === Die Projektionen sind [[w:de:Funktion (Mathematik)|mathematische Funktionen/Mappings]]. Für die Definition dieser Projektionen werden die folgenden Variablen definiert: * <math>\lambda</math> ist die [[w:de:Länge|Länge]] der zu projektierenden Position; * <math>\phi</math> ist die [[w:de:Breite|Breite]] der zu projektierenden Position; * <math>\phi_1</math> sind die Standardparallelen (Nord und Süd des Äquators), an denen die Skala der Projektion wahr ist; * <math>\phi_0</math> ist die Mittelbreite der Karte (z. B. <math>\phi_0 = 0^\circ </math> Äquator); * <math>\lambda_0</math> ist die Mittellänge der Karte; * <math>R</math> ist der Radius der Kugel. Länge und Breite werden hier in Radianten definiert. === Definition der equirektangulären planaren Variablen - EQUI === * <math>x_e</math> ist die horizontale Koordinate der projizierten Position auf der Karte; * <math>y_e</math> ist die vertikale Koordinate der projizierten Position auf der Karte; === Vorwärtsprojektion - Sphärisch zu planar - SPH2EQUI === <math>\begin{align} x &= R \cdot (\lambda - \lambda_0) \cdot \cos (\phi_1)\\ y &= R \cdot (\phi - \phi_0) \end{align}</math> === Spezieller Fall - Vorwärtsprojektion === Die {{lang|fr|Platte Carrée}} ([[w:de:Frz.|Französisch]], für ''flache Quadrat''),<ref>{{Cite web |title=Platte Carrée - ein einfaches Beispiel |last=Farkas |first=Gábor |work=O’Reilly Online Learning |date= |access-date=31 December 2022 |url= https://www.oreilly.com/library/view/practical-gis/9781787123328/Text/b21938a9-09f7-46fa-b905-58a0a4ed7d8f.xhtml}}</ref> ist der spezielle Fall, bei dem <math>\varphi_1</math> Null ist. Diese Projektion projiziert ''x'' auf die Länge und ''y'' auf die Breite,<ref>{{cite book |url=https://books.google.co.uk/books?id=-FbVI-2tSuYC&pg=PA119 |p=119 |title=Geografische Informationssysteme und Wissenschaft |author1=Paul A. Longley |author2=Michael F. Goodchild |author3=David J. Maguire |author4=David W. Rhind |publisher=John Wiley & Sons |year=2005}}</ref> und wird deshalb manchmal als [[w:de:Breitengrad/Längengrad-Projektion|Breitengrad/Längengrad-Projektion]] oder [[w:de:Lat/Lon-Projektion|Lat/Lon-Projektion]] bezeichnet. Wenn <math>\phi_1</math> nicht Null ist, wie bei [[w:de:Marinus von Tyros|Marinus]]' <math>\phi_1=36</math>,<ref>''Die Erde flach machen: Zwei Jahrtausende Kartografischer Projektionen'', John P. Snyder, 1993, S. 7, {{ISBN|0-226-76747-7}}.</ref> oder [[w:de:Ronald Miller|Ronald Millers]] <math>\phi_1=(37,5, 43,5, 50,5)</math>,<ref>{{cite web |title=Äquidistante Zylindrische (Platte Carrée) |url=https://proj.org/operations/projections/eqc.html |website=PROJ-Koordinatentransformationssoftwarebibliothek |access-date=25 August 2020}}</ref> kann die Projektion bestimmte Breiten von Interesse bei wahrer Skala darstellen. === Bemerkung - Ellipsoidisches Modell === Während eine Projektion mit gleichmäßig abgestuften Parallelen für ein [[w:de:Ellipsoidisches Modell|ellipsoidisches Modell]] möglich ist, wäre sie nicht mehr äquidistant, da die Entfernung zwischen Parallelen auf einem Ellipsoid nicht konstant ist. Komplexere Formeln können verwendet werden, um eine äquidistante Karte zu erstellen, deren Parallelen die wahren Abstände widerspiegeln. === Rückprojektion - Planar zu Sphärisch - EQUI2SPH === <math>\begin{align} \lambda &= \frac{x} {R \cdot \cos (\phi_1)} + \lambda_0\\ \phi &= \frac{y} {R} + \phi_0 \end{align}</math> === Alternativnamen === In sphärischen Panoramabildern werden üblicherweise: * <math>\lambda</math> als "Drehung" bezeichnet;<ref>{{cite web |title=Drehung - PanoTools.org-Wiki |url=https://wiki.panotools.org/Drehung |access-date=2021-05-04 |website=wiki.panotools.org}}</ref> * <math>\phi</math> als "Neigung" bezeichnet;<ref>{{cite web |title=Neigung - PanoTools.org-Wiki |url=https://wiki.panotools.org/Neigung |access-date=2021-05-04 |website=wiki.panotools.org}}</ref> wobei beide in Grad definiert sind. == Lernaktivitäten == Die folgenden Lernaktivitäten befassen sich mit der [[w:de:Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] von einem Standard-Snapshot, das mit der Kamera aufgenommen wurde, auf eine Fläche auf der Kugel nach der equirektangulären Projektion. Beachten Sie, dass Sie zwischen den folgenden projektierten Umrechnern unterscheiden müssen: * '''(SPH2EQUI / EQUI2SPH):''' ''(Breite, Länge)''-Koordinaten der Kugel <math>\Longleftrightarrow </math> <math>(x_e,y_e)</math>-Koordinaten der equirektangulären Abbildung * '''(SPH2IMG / IMG2SPH):''' <math>(x_e,y_e)</math>-equirektanguläre Koordinaten <math>\Longleftrightarrow </math> <math>(x,y)</math>-Koordinaten der Standardabbildung Ihrer Smartphone- oder Kameraabbildung. * '''(EQUI2IMG / IMG2EQUI):''' ''(Breite, Länge)''-Koordinaten der Kugel <math>\Longleftrightarrow </math> <math>(x,y)</math>-Koordinaten der Standardabbildung Ihrer Smartphone- oder Kameraabbildung. === Bildwinkel === Für die Lernaktivitäten ist es wichtig, den * '''(HAV)''' horizontalen Bildwinkel (Horizontal Angle of View) und * '''(VAV)''' vertikalen Bildwinkel (Vertical Angle of View) zu verstehen. === Lernaufgabe - Winkel des Blicks === Der HAV und VAV unterscheiden sich von Kamera zu Kamera. Erklären Sie, warum der HAV und VAV für die Berechnung der IMG2EQUI-Projektion relevant sind. Verwenden Sie die folgende Abbildung, um die Anforderungen für die Projektion zu erklären. === Visualisierung des Winkels des Blicks === Die folgende Abbildung zeigt den HAV und VAV sowie den diagonalen Winkel des Blicks (DAV). [[File:Angle_of_view.svg|350px|center|Horizontal, vertikaler und diagonaler Winkel des Blicks]] === Bemerkung - IMG2EQUI-Projektion === Die aktuelle Projektionsart der Lernaktivitäten ist die (IMG2EQUI)-Projektion zwischen den <math>(x,y)</math>-Koordinaten der Standardabbildung und den verzerrten <math>(x_e,y_e)</math>-Koordinaten der equirektangulären Abbildung und umgekehrt. === HAV und VAV als Kameraeigenschaften === Aufgrund der Tatsache, dass verschiedene Kamerahauptstücke unterschiedliche Winkel des Blicks (HAV und VAV) haben, kann die sichtbare Fläche der Standardabbildung (aufgenommen mit Ihrem Smartphone) variieren. Die folgende Animation zeigt verschiedene horizontale Winkel des Blicks (HAV) z. B. für die Aufnahme eines Schnappschusses senkrecht nach oben zum Himmel oder zur blauen Decke. [[File:Horizontal_angle_of_view.gif|350px|center|Dynamische Visualisierung des horizontalen Winkels des Blicks]] == Polare Region - Verzerrung == Die Projektion verursacht besonders an den "Nordpol" und dem "Südpol" die [[/Landkarten und Verzerrung/|schwerste Verzerrung im Vergleich zu den Entfernungen, die auf der Oberfläche der Kugel gemessen werden]]. Für Panoramabilder ist die Verzerrung nur eine Frage der Speicherung der sphärischen Pixelinformationen in einem rechteckigen Format. Auf dem Bild eines Marktplatzes sehen Sie, dass die Panoramabilder die rechteckigen Bilder in eine natürliche Ansicht überführen, in der Sie sich umsehen und die Lage von verschiedenen Winkeln und mit mehreren equirektangulären Bildern aus vielen Orten (siehe [https://niebert.github.io/aframe360navigation/rhein3_rodenkirchen.html Fluss Rhein-Beispiel Köln]) erkunden können. === IMG2EQUI-Projektion - Polare Regionen === In diesem Lernschritt nehmen wir Bilder mit einer Standardkamera oder einem Smartphone auf und möchten die ''(Breite, Länge)''-Koordinaten der Kugel von den ''(x,y)''-Koordinaten der Standardabbildung berechnen. In der ersten Lernschritt betrachten wir die Kugel in den Polaregionen. Diese Regionen sind die am stärksten verzerrten Bereiche in den equirektangulären Projektionen. === IMG2SPH-Projektion - Schnappschüsse für Lernaufgabe === * Nehmen Sie Ihr Mobiltelefon und nehmen Sie zwei Schnappschüsse senkrecht nach unten und senkrecht nach oben von Ihrem Boden und von Ihrer Decke. Wählen Sie eine Position in Ihrem Raum, an der sich oben und unten sichtbare Elemente befinden (z. B. eine Lampe, Holzdekorationen, ...). Alternativ können Sie die beiden Bilder außerhalb mit einem bewölkten Himmel und Objekten auf dem Boden erstellen. * Wählen Sie einen Mittelpunkt eines Kreises und einen Radius, der in beide Bilder passt (maximieren Sie den Radius des Kreises, * In diesem Modul werden diese beiden Bilder auf die Polaregionen der Kugel innerhalb des rechteckigen Koordinatensystems der Abbildung projiziert. ==== Anfangszustand - Bild Himmel ==== Die folgende Abbildung zeigt den Anfangszustand, indem ein Bild vom Himmel aufgenommen wird. Die Kamera befindet sich im Zentrum des roten Kugel und nimmt ein Bild der blauen Decke oder des Himmels auf. Die Lernaufgabe besteht nun darin, die Winkel der equirektangulären Projektion für den entsprechenden Punkt auf der Kugel zu berechnen. [[File:Circle_plane_equirectangular.png|350px|Equirektanguläre Projektion - Himmel - Polare Projektion]] ==== Seitenansicht mit polarem Bild ==== Die Seitenansicht kann verwendet werden, um die Berechnung der grünen Winkel mit <math>\alpha:=\arctan(x)</math> zu ermitteln. Der relevante Winkel für die equirektanguläre Projektion der Polaregion ist rot markiert. [[File:Equirectangular_polar_side_view.gif|350px|Equirektanguläre Projektion - Seitenansicht - relevanter Winkel ist der rote Winkel]] ==== Verwendung trigonometrischer Funktionen ==== Um trigonometrische Funktionen anwenden zu können, muss man in der obigen Animation ein [[w:de:rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkliges Dreieck]] identifizieren. Dazu bezeichnet man zunächst den folgenden Punkt <math display="inline"> M_P := \frac{1}{2} \cdot (P_1 + P_2) </math> in der obigen Animation (<math display="inline"> M_P := \binom{0}{4} \in \mathbb{R}^2 </math>). Das Polygon <math display="inline"> \langle M, P_2 , M_P \rangle </math> ist dann [[w:de:rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkliges Dreieck]]. Nach Definition des Tangens erhält man folgende Gleichung: :<math display="block"> \tan(\alpha):=\frac{|M_PP_2|}{|M_PM|} </math> ==== Bildwinkel für ein Bild ==== Der komplette [[Bildwinkel]] ist <math>2\cdot \alpha </math>. Wenn man die Distanz zum Objekt <math>|M_PM|</math> (z.B. zu einer Tür) kennt, die Tür in der Breite das gesamte Kamerabild bis zum Bildrand ausfüllt und man auch die Breite der Tür <math>|P_1P_2|</math> gemessen hat, dann kann man den Bildwinkel wie folgt berechnen: :<math> 2\cdot \alpha :=2\cdot \arctan\left(\frac{|M_PP_2|}{|M_PM|}\right) = 2\cdot \arctan\left(\frac{|P_1P_2|}{2\cdot |M_PM|}\right) </math> ==== Verwendete Teil des Schnappschusses mit Kamera ==== Das erste Bild ist ein Schnappschuss mit einer Kamera, der senkrecht nach oben zum Himmel (in den Himmel) aufgenommen wurde. Der rote Kreis ist die projizierte Fläche aus dem Bild (Himmel/Decke) auf einen Teil der equirektangulären Abbildung, die in der nächsten Abschnitt der Lernressource dargestellt wird. [[File:Equirectangular_polar_image.svg|350px|Equirektanguläre Quelle-Abbildung mit Kreis, der projiziert werden soll]] ==== Aufgabe - Equirektanguläre Projektion des Kreises - Rechteck ==== Erklären Sie, warum die obige Kreisscheibe in dem Kamerabild zu einem Rechteck in der equirektangulären Projektion transformiert wird. [[File:Equirectangular_polar_image_projection.svg|350px|Projektion der Kreisschreibe in der equirektangulären Projektion]] ==== y-Komponente der Bildkoordinaten ==== Die Bildkoordinaten eines Fotos beginnen oben links mit dem Koordinaten ''(0,0)'' und enden unter rechts ''(Bildbreite-1,Bildhöhe-1)''. Man kann daher * die <math>x</math>-Koordinaten im equirectangulären Bild direkt als [[w:de:Länge|Länge]] <math>\lambda=2\cdot \pi \cdot \frac{x}{\mbox{Bildbreite}} \in [0 , 2\pi] </math> und * die <math>y</math>-Koordinaten kann man als [[w:de:Breite|Breite]] <math>\phi = \pi \cdot \frac{ x - \frac{\mbox{Bildhöhe}}{2} }{\mbox{Bildhöhe}} \in [-\pi , +\pi] </math> interpretiert. ==== Bildwinkel für equirektanguläre Projektion ==== Der [[Bildwinkel]] des obigen roten Streifens kann man an der <math>y</math>-Achse ablesen. Durch die zentrierte Darstellung des Rechtecks sind hier die Differenz der <math>y</math>-Achsenabschnitte der waagerechten Gerade <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{FG}</math> relevant. * Der <math>y</math>-Achsenabschnitt von <math>\overline{AB}</math> sei <math>y_{_{AB}} \in \mathbb{R} </math> * Der <math>y</math>-Achsenabschnitt von <math>\overline{FG}</math> sei <math>y_{_{FG}} \in \mathbb{R} </math> Der [[Bildwinkel]] für den roten Streifen lässt sich daher wie folgt berechnen: :<math> \phi_{_{VAV}} := \pi \cdot \left(\frac{y_{_{AB}} - y_{_{FG}} }{y_{_{AB}}}\right) </math> ==== Aufgabe - Bildwinkel equirectanguläre Rechteck ==== Erläutern Sie, warum der zurgehöriger Bildwinkel für das obige rote Rechteck <math> \alpha </math> über die Formel :<math> \phi_{_{VAV}} := \pi \cdot \left(\frac{y_{_{AB}} - y_{_{FG}} }{y_{_{AB}}}\right) </math> berechnet werden kann! ==== Schnittpunkt der senkrechten Geraden mit x-Achse ==== Nun werden die Schnittpunkte mit der <math>x</math>-Achse betrachtet. Durch die zentrierte Darstellung des Rechtecks sind hier die Differenz der <math>y</math>-Achsenabschnitte der waagerechten Gerade <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{FG}</math> relevant. * Der <math>y</math>-Achsenabschnitt von <math>\overline{AB}</math> sei <math>y_{_{AB}} \in \mathbb{R} </math> * Der <math>y</math>-Achsenabschnitt von <math>\overline{FG}</math> sei <math>y_{_{FG}} \in \mathbb{R} </math> Der [[Bildwinkel]] für den roten Streifen lässt sich daher wie folgt berechnen: :<math> \alpha := \pi \cdot \left(\frac{y_{_{AB}} - y_{_{FG}} }{y_{_{AB}}}\right) </math> ==== Lernaufgabe - Funktion für Koordinatentransformation IMG2EQUI ==== Wir bezeichnen die Farbinformation eines Bildpunkts in der Quelle-Abbildung (IMG) mit <math>P_{IMG}(x,y)</math> und die Farbinformation des Bildpunkts in der Zielabbildung (EQUI) mit <math>P_{EQUI}(x_e,y_e)</math>. Definieren Sie die Funktion <math>P_{EQUI}(x_e,y_e)</math>, indem Sie die entsprechenden <math>(x,y)</math>-Koordinaten in der Quelle-Abbildung berechnen. Diese Berechnung wird verwendet, um die Pixel in der Zielabbildung zu setzen, indem Sie :<math display="block">P_{EQUI}(x_e,y_e):=P_{IMG}(x,y).</math> '''Bemerkung:''' Sie benötigen grundlegende Kenntnisse in der [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]], um diese Lernaufgabe umzusetzen. ==== Koordinatensystem der Grafik ==== [[File:Graphics_coordinate_system.svg|thumb|Koordinatensystem der Grafik]] Das Koordinatensystem einer Abbildung hat eine andere Orientierung in der y-Achse. Dies wird in der Abbildung gezeigt. * <math>x_{max}</math> ist der maximale Wert auf der x-Achse der Abbildung * <math>y_{max}</math> ist der maximale Wert auf der y-Achse der Abbildung * Das Ursprung des Koordinatensystems befindet sich oben links. Beachten Sie dies, wenn Sie das Koordinatensystem für Ihre Experimente mit Projektionen verwenden (siehe auch equirektanguläre Projektion). ==== Rechteckiges zu Sphärisch - Projektion ==== [[File:Equirectangular_ceiling_floor.jpg|thumb|Equirektanguläre Projektion mit markierter Decke und Boden]] Jetzt verwenden wir die Standardrechteckabbildung auf der rechten Seite als Eingabe für die equirektanguläre Projektion auf die Kugel und betrachten die [https://panoviewer.toolforge.org/#Equirectanguläre_ceiling_floor.jpg Abbildung in der panoramischen Voransicht auf der Kugel]. Was kann beobachtet werden, wenn man die projizierte Fläche des roten [https://panoviewer.toolforge.org/#Equirectanguläre_ceiling_floor.jpg Decken und eines markierten grünen Rechtecks auf dem Boden] analysiert? * Ziehen Sie die [https://panoviewer.toolforge.org/#Equirectanguläre_ceiling_floor.jpg Abbildung nach oben zur Decke] * und [https://panoviewer.toolforge.org/#Equirectanguläre_ceiling_floor.jpg nach unten zum Boden]. ==== Screenshots - Projektion auf Kugel der Standardabbildung ==== Die folgenden beiden Beispiele zeigen, wie ein Standardbild (Graphics Coordinate System) als equirektanguläres Bild an den Polen interpretriert wird. Aus Rechtecken werden Kreise. {| class="wikitable" |+ Screenshot der Projektion |- ! Decke/Himmel !! Boden |- | [[File:Equirectangular_screenshot_ceiling.png|320px|Screenshot Decke/Himmel der Standardabbildung, die auf der Kugel projiziert wird]] || [[File:Equirectangular_screenshot_floor.png|320px|Screenshot Boden der Standardabbildung, die auf der Kugel projiziert wird]] |} ==== Lernaufgabe - Projektion des Himmels in Grafik-Koordinatensystem ==== [[File:Equirectangular_coordinate_system_sky.svg|thumb|Equirektanguläre Koordinatensystem Himmel/Decke]] Grafiken haben ein eigenes Koordinatensystem, um Punkte in Pixelgrafiken oder geometrische Objekte wie Linien, Polygone und Kreise im Koordinatensystem darzustellen. Die Abbildung zeigt das Koordinatensystem der Abbildung. Beachten Sie, dass die Koordinate der y-Achse eine andere Orientierung als die y-Achse im standardmäßigen 2D-[[w:de:Cartesisches Koordinatensystem|Cartesisches Koordinatensystem]] hat. Diese Information ist relevant, wenn Sie mit equirektangulären Projektionen in [[w:de:Projektive Geometrie Playground|Projektive Geometrie Playground]] experimentieren. Berechnen Sie den <math>y_{Himmel}</math> für einen bestimmten Winkel des Blicks Ihrer Kamera. ==== Lernaufgabe - Berechnung ==== [[File:Door height for calculatiion of angle of view.png|thumb|Kamerabild einer Tür für die Berechnung des vertikalen Bildwinkels VAV]] [[File:Door width for calculatiion of angle of view.png|thumb|Türbreite als Bild zur Berechnung des horizontalen Bildwinkels HAV]] [[File:Horizontal_angle_of_view_meaure_distance.jpg|thumb|Messung der Distanz vom Kamerastandort bis zur Tür]]Berechnen Sie die equirektanguläre Projektion für jeden <math>(x,y)</math>-Punkt im roten Kreis der Quelle-Abbildung (IMG) in die Zielabbildung (EQUI) mit: * '''LibreOffice - HAV/VAV:''' Nehmen Sie ein Bild eines Tores und berechnen Sie den horizontalen und vertikalen Winkel des Blicks (HAV und VAV) * '''LibreOffice - Koordinaten:''' Erstellen Sie ein Tabellenkalkulationsdokument für die Berechnung der Koordinaten aus einer gegebenen Koordinate in der equirektangulären Abbildung die entsprechenden Koordinaten in der Quelle-Abbildung Ihrer Kamera. * [[Lernumgebung für projektive Geometrie|Javascript und HTML-Canvas]] - (siehe [[Lernumgebung für projektive Geometrie|Lernumgebung für projektive Geometrie|]]), * [[w:de:GNU Octave|Octave]] mit [https://gnu-octave.github.io/packages/image/ image-Paket]<ref> Carnë Draug, Hartmut Gimpel, Avinoam Kalma (2022) Image-Paket Octave URL: https://gnu-octave.github.io/packages/image/ (28. März 2024)</ref>, oder * Python mit [https://github.com/python-pillow/Pillow Image-Processing-Bibliothek pillow] von Jeffrey A. Clark Wählen Sie eine Implementierung Ihrer Wahl. LibreOffice hat die minimalen Anforderungen an Programmierkenntnisse, aber nur die Koordinatentransformation kann ohne visuelle Ausgabe durchgeführt werden. === Lernaufgabe - Himmel - Nordpol === [[File:Sky_image_for_equirectangular_projection.jpg|thumb|Himmel für die Nutzung in einer equirektanguläre Projektion als Nordpol - Extraktion einer Kreisschreibe]] Ein Himmelbild kann verwendet werden, um einen kreisförmigen Bereich in der Quelle-Abbildung auf den rechteckigen Teil an der oberen Seite der generierten equirektangulären Abbildung zu projizieren. Importieren Sie die equirektanguläre Projektion in Aframe, um das Ergebnis zu betrachten. ==== Lernaufgabe - Boden - Südpol ==== [[File:Floor_sand_for_equirectangular.jpg|thumb|Boden-Abbildung - Sand als Demo-Eingabe für equirektanguläre Projektion]] Übertragen Sie das Gelernte vom Nordpol auf den Südpol und projizieren Sie das Strandbild als Boden auf den Südpol. * Was sind die Unterschiede und Ähnlichkeiten zwischen beiden Projektionen? == Resultate - equirektanguläre Bildnutzung == [[File:Aldara_parks.jpg|thumb|[https://niebert.github.io/HuginSample/Aldara_parks.html Equirektanguläre Abbildung aus Wikiversity, die für Aframe verwendet wird] (siehe [[w:de:3D-Modellierung/Create 3D-Modelle/Hugin|Hugin]])]] [[Datei:Frary Dining Hall 360-degree view.jpg|mini|Frary Dining Hall als [https://panoviewer.toolforge.org/#Frary_Dining_Hall_360-degree_view.jpg 360-Gradbild im Panoviewer] ]] * [https://panoviewer.toolforge.org/#Frary_Dining_Hall_360-degree_view.jpg Frary-Dining-Hall-360-Grad-Ansicht.jpg - PanoViewer] * [https://niebert.github.io/HuginSample/ Endgültige Ergebnisse] können in Aframe (siehe [https://www.github.com/HuginSample HuginSample-Dateien auf Github]) oder mit der Wiki betrachtet werden, * [https://niebert.github.com/HuginSample/Aldara_parks.html Aldara-Parks-360-Grad-Ansicht in Aframe] mit einer bereits hochgeladenen equirektangulären Abbildung in Wikimediakommons von U.Bardins * [https://panoviewer.toolforge.org/#Aldara_parks.jpg PanoViewer-360-Grad-Ansicht von Aldara-Parks-Abbildung] == Siehe auch == * [[w:de:Projektive Geometrie Playground]] * [[w:de:GeoGebra/Perspektivische Zeichnung auf Spiegel|Perspektivische Zeichnung auf Spiegel]] * [[w:de:3D-Modellierung]] * [[w:de:Kartografie]] * [[w:de:Cassini-Projektion|Cassini-Projektion]] * [[w:de:Gall-Peters-Projektion|Gall-Peters-Projektion]] mit Auflösung bezüglich der Verwendung von rechteckigen Weltkarten * [[w:de:Liste von Kartoprojektionen|Liste von Kartoprojektionen]] * [[w:de:Mercator-Projektion|Mercator-Projektion]] * [[w:de:360-Grad-Video-Projektion|360-Grad-Video-Projektion]] * [[w:de:3D-Modellierung/Beispiele/Panorama_360|3D-Modellierung - 360-Grad-Panorama]] * [[w:de:Geometrie]] * [[w:de:Projektive Geometrie]] * [[w:de:Portal:Mathematik]] * [[w:de:GNU Octave|Octave]] * [[w:de:Geogebra]] * [[w:de:Javascript|Wikibuch: Javascript]] * [[w:de:Portal:Mathematik]] == Literaturverzeichnis == <references/> == Externe Links == * [https://visibleearth.nasa.gov/view.php?id=57730 Globale MODIS-basierte Satellitenkarte] Die blaue Kugel: Landoberfläche, Ozeanfarbe und Meereis. * [http://www.radicalcartography.net/?projectionref Tabelle mit Beispielen und Eigenschaften aller gängigen Projektionen], von radicalcartography.net. * [https://wiki.panotools.org/Equirectangular Panoramic Equirectangular-Projektion], PanoTools-Wiki. * [https://proj4.org/operations/projections/eqc.html Äquidistante Zylindrische (Platte Carrée) in proj4] == Seiten-Information == === Übersetzung und Versionierung === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://en.wikiversity.org/wiki/Equirectangular%20projection Wikiversity-Quelle] übersetzt und berücksichtigt die [[Übersetzungen und Versionierungssysteme|Versionierung von Dokumenten]] für einen transparenten Versionsverlauf auch zwischen Übersetzungen mit Bezug zur Quelle: * Quelle [[v:en:Equirectangular projection|Equirectangular projection]] * URL: https://en.wikiversity.org/wiki/Equirectangular%20projection * Datum: 27.2.2025 14:53 <span type="translate" src="Equirectangular projection" srclang="en" date="27.2.2025" time="14:53" status="inprogress"></span> <noinclude> [[en:Equirectangular projection]] </noinclude> [[Kategorie:Kartografische Projektionen]] [[Kategorie:Äquidistante Projektionen]] [[Kategorie:Zylindrische Projektionen]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] dwr7bujer9j7kmg3x3ib4onmbimx0q5 0 168277 1118142 1116693 2026-10-30T10:09:59Z Bert Niehaus 20843 /* Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion */ 1118142 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und der [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie]] gegeneinander ab (siehe [[Konvergenz Übersicht]] (K1)-(K5)) und ordnet diese in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaften an. Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr werden angeführt. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz:<span id="Uebersicht"></span> * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird ein Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. <span id="gleichmaessige_Konvergenz"></span> == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so ab dieser Indexschranke die gesamte Funktion <math>f_n</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion <math>f</math>. In der Animation ist diese <math>\varepsilon</math>-Umgebung der rot markierte Bereich ohne den Rand. Formal drückt man diese Eigenschaft so aus, dass für ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> bereits jedes <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> im ganze Definitionsbereich <math>\mathbb{D} </math> erfüllt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> mit <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz mit Sinusfunktion === Es werden zwei grundlegende Beispiele von gleichmäßiger Konvergenz mit Sinusfunktion veranschaulicht: * eine Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von gestauchten Sinusfunktionen konvergiert gleichmäßig gegen eine konstante Funktion <math>f_0</math>. * ein Funktionenfolgen <math>(g_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus verschobenen Sinusfunktionen konvergiert gleichmäßig gegen eine nicht-konstante trigonometrische erzeugte Grenzfunktion <math>g_0</math>. ==== Animation K1.4.1 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion ==== In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Animation K1.4.2 - Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren muss, also der folgende Grenzwert existiert: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die [[Rechteckverteilung]] hat sich bzgl. des [[Träger des Wahrscheinlichkeitsmaßes|Trägers]] des [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]es geändert. Damit misst das Wahrscheinlichkeitsmaß auch in einem Intervallbereich, in dem Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> nicht konvergiert. Durch die Veränderung der W-Maßes bei gleicher Funktionenfolge gilt nicht mehr die [[P-fast sichere Konvergenz]]. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+4]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergenten Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P(X_n\in (-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] (K1) ist der stärkste Konvergenzbegriff und (K5) ist der schwächste Konvergenzbegriff in dieser Ordnung. == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] cu3i6cc29882kt18xz3lsysoy64f8s8 1118143 1118142 2026-10-30T10:10:29Z Bert Niehaus 20843 /* Animation K1.4.1 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion */ 1118143 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und der [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie]] gegeneinander ab (siehe [[Konvergenz Übersicht]] (K1)-(K5)) und ordnet diese in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaften an. Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr werden angeführt. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz:<span id="Uebersicht"></span> * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird ein Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. <span id="gleichmaessige_Konvergenz"></span> == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so ab dieser Indexschranke die gesamte Funktion <math>f_n</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion <math>f</math>. In der Animation ist diese <math>\varepsilon</math>-Umgebung der rot markierte Bereich ohne den Rand. Formal drückt man diese Eigenschaft so aus, dass für ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> bereits jedes <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> im ganze Definitionsbereich <math>\mathbb{D} </math> erfüllt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> mit <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz mit Sinusfunktion === Es werden zwei grundlegende Beispiele von gleichmäßiger Konvergenz mit Sinusfunktion veranschaulicht: * eine Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von gestauchten Sinusfunktionen konvergiert gleichmäßig gegen eine konstante Funktion <math>f_0</math>. * ein Funktionenfolgen <math>(g_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus verschobenen Sinusfunktionen konvergiert gleichmäßig gegen eine nicht-konstante trigonometrische erzeugte Grenzfunktion <math>g_0</math>. ==== Animation K1.4.1 - Gleichmäßige Konvergenz gegen konstante Funktion ==== In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Animation K1.4.2 - Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren muss, also der folgende Grenzwert existiert: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die [[Rechteckverteilung]] hat sich bzgl. des [[Träger des Wahrscheinlichkeitsmaßes|Trägers]] des [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]es geändert. Damit misst das Wahrscheinlichkeitsmaß auch in einem Intervallbereich, in dem Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> nicht konvergiert. Durch die Veränderung der W-Maßes bei gleicher Funktionenfolge gilt nicht mehr die [[P-fast sichere Konvergenz]]. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+4]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergenten Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P(X_n\in (-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] (K1) ist der stärkste Konvergenzbegriff und (K5) ist der schwächste Konvergenzbegriff in dieser Ordnung. == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 7ko9tntqq0841bg9770tfkauj2fir98 1118144 1118143 2026-10-30T10:13:00Z Bert Niehaus 20843 /* Animation K1.4.2 - Nicht konstante Grenzfunktion */ 1118144 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und der [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie]] gegeneinander ab (siehe [[Konvergenz Übersicht]] (K1)-(K5)) und ordnet diese in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaften an. Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr werden angeführt. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz:<span id="Uebersicht"></span> * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird ein Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. <span id="gleichmaessige_Konvergenz"></span> == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so ab dieser Indexschranke die gesamte Funktion <math>f_n</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion <math>f</math>. In der Animation ist diese <math>\varepsilon</math>-Umgebung der rot markierte Bereich ohne den Rand. Formal drückt man diese Eigenschaft so aus, dass für ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> bereits jedes <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> im ganze Definitionsbereich <math>\mathbb{D} </math> erfüllt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> mit <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz mit Sinusfunktion === Es werden zwei grundlegende Beispiele von gleichmäßiger Konvergenz mit Sinusfunktion veranschaulicht: * eine Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von gestauchten Sinusfunktionen konvergiert gleichmäßig gegen eine konstante Funktion <math>f_0</math>. * ein Funktionenfolgen <math>(g_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus verschobenen Sinusfunktionen konvergiert gleichmäßig gegen eine nicht-konstante trigonometrische erzeugte Grenzfunktion <math>g_0</math>. ==== Animation K1.4.1 - Gleichmäßige Konvergenz gegen konstante Funktion ==== In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Animation K1.4.2 - Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt mit <math>g_n(x) := \sin(x)+1 +\tfrac{3}{n}</math>. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren muss, also der folgende Grenzwert existiert: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die [[Rechteckverteilung]] hat sich bzgl. des [[Träger des Wahrscheinlichkeitsmaßes|Trägers]] des [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]es geändert. Damit misst das Wahrscheinlichkeitsmaß auch in einem Intervallbereich, in dem Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> nicht konvergiert. Durch die Veränderung der W-Maßes bei gleicher Funktionenfolge gilt nicht mehr die [[P-fast sichere Konvergenz]]. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+4]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergenten Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P(X_n\in (-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] (K1) ist der stärkste Konvergenzbegriff und (K5) ist der schwächste Konvergenzbegriff in dieser Ordnung. == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] gotdl1omiopae1t1uq6t4r3pyempx1l 1118145 1118144 2026-10-30T10:14:27Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118145 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und der [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie]] gegeneinander ab (siehe [[Konvergenz Übersicht]] (K1)-(K5)) und ordnet diese in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaften an. Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr werden angeführt. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz:<span id="Uebersicht"></span> * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird ein Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. <span id="gleichmaessige_Konvergenz"></span> == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so ab dieser Indexschranke die gesamte Funktion <math>f_n</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion <math>f</math>. In der Animation ist diese <math>\varepsilon</math>-Umgebung der rot markierte Bereich ohne den Rand. Formal drückt man diese Eigenschaft so aus, dass für ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> bereits jedes <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> im ganze Definitionsbereich <math>\mathbb{D} </math> erfüllt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> mit <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz mit Sinusfunktion === Es werden zwei grundlegende Beispiele von gleichmäßiger Konvergenz mit Sinusfunktion veranschaulicht: * eine Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von gestauchten Sinusfunktionen konvergiert gleichmäßig gegen eine konstante Funktion <math>f_0</math>. * ein Funktionenfolgen <math>(g_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus verschobenen Sinusfunktionen konvergiert gleichmäßig gegen eine nicht-konstante trigonometrische erzeugte Grenzfunktion <math>g_0</math>. ==== Animation K1.4.1 - Gleichmäßige Konvergenz gegen konstante Funktion ==== In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Animation K1.4.2 - Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt mit <math>g_n(x) := \sin(x)+1 +\tfrac{3}{n}</math>. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren muss, also der folgende Grenzwert existiert: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die [[Rechteckverteilung]] hat sich bzgl. des [[Träger des Wahrscheinlichkeitsmaßes|Trägers]] des [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]es geändert. Damit misst das Wahrscheinlichkeitsmaß auch in einem Intervallbereich, in dem Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> nicht konvergiert. Durch die Veränderung der W-Maßes bei gleicher Funktionenfolge gilt nicht mehr die [[P-fast sichere Konvergenz]]. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+4]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergenten Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P(X_n\in (-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] (K1) ist der stärkste Konvergenzbegriff und (K5) ist der schwächste Konvergenzbegriff in dieser Ordnung. == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 715z2izdo858ib82m8d3pyys4wspunp 106 168587 1118119 1114915 2026-10-29T16:38:28Z Bocardodarapti 2041 1118119 wikitext text/x-wiki {{Textmitschalter/{{{opt|}}} |An=x |Text= [[media:DiskreteMathematik26Gesamtskript.pdf|Gesamtskript]] [[Diskrete Mathematik/Fußball/Textabschnitt|WM und diskrete Mathematik]] }} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Information]]</noinclude> 0eyh2579z813b2sbgz4pnkpgrhztvtf 106 170005 1118134 1076176 2026-10-30T07:56:51Z Paul Sutermeister 37610 Geschichte 1118134 wikitext text/x-wiki <div style=" border:1px solid #b7dfc8; background:#f1fbf5; padding:0.8em; border-radius:4px; "> '''Lernziel: Sie lernen, ein [[:w:Tabellenkalkulation|Tabellenkalkulationsprogramm]] (zum Beispiel [[:w:Microsoft Excel|Excel]]) anzuwenden:'''<ref>Logik u.a. nach [[:w:International Certification of Digital Literacy|ICDL]]-Syllabus: [https://www.ecdl.ch/fileadmin/ECDL/CH/Dokumente/ECDL-Syllabus-Base-de.pdf ''ECDL Base Syllabus''].</ref> '''[[Kurs:Tabellenkalkulation#Arbeiten_mit_Dokumenten|A - Programm bedienen]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Zelle|B - Zelle]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Arbeitsblatt|C - Arbeitsblatt]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formel und Funktion|D - Formeln und Funktionen]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formatierung|E - Übersichtlich gestalten (Formatierung)]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Diagramm|F - Diagramme]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Ausgabe|G - Dokument abgabefertig machen]].'''</div> = Geschichte der Tabellenkalkulation = [[Datei:Plimpton 322.jpg|mini|Babylonische Tontafel „Plimpton 322“ (um 1800 v. Chr.): Zahlen in Zeilen und Spalten]] Tabellenkalkulationen wie Excel sind keine Erfindung des Computerzeitalters. Sie digitalisieren eine Arbeitsweise, die Menschen seit Jahrtausenden nutzen: Zahlen in '''Zeilen und Spalten''' ordnen und daraus '''Summen''' bilden. == Meilensteine == * '''um 1800 v. Chr. – [[:w:Mesopotamien|Mesopotamien]]:''' Schreiber halten Zahlen in Tabellenform auf Tontafeln fest, etwa für Vorräte, Abgaben und Berechnungen. * '''1494 – [[:w:Luca Pacioli|Luca Pacioli]]:''' Der italienische Mönch und Mathematiker beschreibt in seiner ''Summa de arithmetica'' die [[:w:Doppelte Buchführung|doppelte Buchführung]]. Buchhalter arbeiten fortan mit grossen, linierten Papierbögen – auf Englisch ''spreadsheets''. * '''1961 – [[:w:Richard Mattessich|Richard Mattessich]]:''' Der Wirtschaftswissenschaftler entwickelt das Konzept einer computergestützten Tabellenkalkulation auf Grossrechnern. * '''1979 – [[:w:VisiCalc|VisiCalc]]:''' Dan Bricklin und Bob Frankston bringen die erste Tabellenkalkulation für Personal Computer (Apple II) heraus. Funktionen wie @SUM, @MIN, @MAX und @AVERAGE gibt es schon hier. * '''1983 – [[:w:Lotus 1-2-3|Lotus 1-2-3]]:''' Das Programm für IBM-PCs wird zum Marktführer der 1980er-Jahre. * '''1985/1987 – Microsoft Excel:''' Excel erscheint zuerst für den Mac, dann für Windows, und wird in den 1990er-Jahren zum Standard. * '''ab 2000 – Freie und Online-Programme:''' OpenOffice bzw. [[:w:LibreOffice Calc|LibreOffice Calc]] und Google Tabellen übernehmen die Funktionsnamen von Excel, damit Dateien kompatibel bleiben. [[Datei:Pacioli.jpg|mini|[[:w:Luca Pacioli|Luca Pacioli]], Begründer der [[:w:Doppelte Buchführung |doppelten Buchführung]] (Gemälde, 1495)]] '''Merke:''' Die älteste und wichtigste „Funktion“ ist die '''SUMME''' – Menschen zählen Spalten zusammen, seit es Buchhaltung gibt. <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''A - Programm bedienen'''</big> </div> == Übungen == # Kopiere untenstehende Tabelle in ein leeres Excel-Dokument (in diesem neuen Dokument ab Zelle A1). # Speichere diese Datei unter dem Namen Zeitaufwand in C: im Ordner deiner Wahl. Schliesse die Datei. # Öffne die Datei Zeitaufwand.xls aus Laufwerk C:. # Ändere im Blatt Tabelle1 den Zoommodus auf den Wert 100%. Speichere die Datei als Excel-Vorlage unter Zeitaufwand.xltx in C: im Ordner deiner Wahl. Schliesse die Vorlage. # Erstelle eine neue Arbeitsmappe. Speichere die Mappe unter ☺.xlsx in C:\ im Unterordner deiner Wahl. Schliesse die Datei. # Erstelle ein neues Excel-Dokument. Gib Folgendes ein: X. Schliesse die Anwendung, ohne die Datei zu speichern. {| class="wikitable" ! KW !! Tätigkeit !! Anzahl !! Zeit (h) !! Zeit pro Aufgabe (h) !! Viel Arbeit? |- | 10 || E-Mails schreiben || 35 || 3 || =D2/C2 || |- | 11 || Rechnungen kontrolieren || 20 || 2 || || |- | 12 || Daten eingeben || 50 || 40 || || |- | 13 || Ordner sortieren || 30 || 2.5 || || |} ==Einzelnachweise== <references/> [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation| ]] o55z6xfubkedfw3hberacff8fwiof11 1118135 1118134 2026-10-30T08:00:27Z Paul Sutermeister 37610 1118135 wikitext text/x-wiki [[Datei:Plimpton 322.jpg|mini|Babylonische Tontafel „Plimpton 322“ (um 1800 v. Chr.): Zahlen in Zeilen und Spalten]] <div style=" border:1px solid #b7dfc8; background:#f1fbf5; padding:0.8em; border-radius:4px; "> '''Lernziel: Sie lernen, ein [[:w:Tabellenkalkulation|Tabellenkalkulationsprogramm]] (zum Beispiel [[:w:Microsoft Excel|Excel]]) anzuwenden:'''<ref>Logik u.a. nach [[:w:International Certification of Digital Literacy|ICDL]]-Syllabus: [https://www.ecdl.ch/fileadmin/ECDL/CH/Dokumente/ECDL-Syllabus-Base-de.pdf ''ECDL Base Syllabus''].</ref> '''[[Kurs:Tabellenkalkulation#Arbeiten_mit_Dokumenten|A - Programm bedienen]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Zelle|B - Zelle]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Arbeitsblatt|C - Arbeitsblatt]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formel und Funktion|D - Formeln und Funktionen]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formatierung|E - Übersichtlich gestalten (Formatierung)]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Diagramm|F - Diagramme]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Ausgabe|G - Dokument abgabefertig machen]].'''</div> = Geschichte der Tabellenkalkulation = [[Datei:Pacioli.jpg|mini|[[:w:Luca Pacioli|Luca Pacioli]], Begründer der [[:w:Doppelte Buchführung |doppelten Buchführung]] (Gemälde, 1495)]] Tabellenkalkulationen wie Excel sind keine Erfindung des Computerzeitalters. Sie digitalisieren eine Arbeitsweise, die Menschen seit Jahrtausenden nutzen: Zahlen in '''Zeilen und Spalten''' ordnen und daraus '''Summen''' bilden. == Meilensteine == * '''um 1800 v. Chr. – [[:w:Mesopotamien|Mesopotamien]]:''' Schreiber halten Zahlen in Tabellenform auf Tontafeln fest, etwa für Vorräte, Abgaben und Berechnungen. * '''1494 – [[:w:Luca Pacioli|Luca Pacioli]]:''' Der italienische Mönch und Mathematiker beschreibt in seiner ''Summa de arithmetica'' die [[:w:Doppelte Buchführung|doppelte Buchführung]]. Buchhalter arbeiten fortan mit grossen, linierten Papierbögen – auf Englisch ''spreadsheets''. * '''1961 – [[:w:Richard Mattessich|Richard Mattessich]]:''' Der Wirtschaftswissenschaftler entwickelt das Konzept einer computergestützten Tabellenkalkulation auf Grossrechnern. * '''1979 – [[:w:VisiCalc|VisiCalc]]:''' Dan Bricklin und Bob Frankston bringen die erste Tabellenkalkulation für Personal Computer (Apple II) heraus. Funktionen wie @SUM, @MIN, @MAX und @AVERAGE gibt es schon hier. * '''1983 – [[:w:Lotus 1-2-3|Lotus 1-2-3]]:''' Das Programm für IBM-PCs wird zum Marktführer der 1980er-Jahre. * '''1985/1987 – Microsoft Excel:''' Excel erscheint zuerst für den Mac, dann für Windows, und wird in den 1990er-Jahren zum Standard. * '''ab 2000 – Freie und Online-Programme:''' OpenOffice bzw. [[:w:LibreOffice Calc|LibreOffice Calc]] und Google Tabellen übernehmen die Funktionsnamen von Excel, damit Dateien kompatibel bleiben. '''Merke:''' Die älteste und wichtigste „Funktion“ ist die '''SUMME''' – Menschen zählen Spalten zusammen, seit es Buchhaltung gibt. <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''A - Programm bedienen'''</big> </div> == Übungen == # Kopiere untenstehende Tabelle in ein leeres Excel-Dokument (in diesem neuen Dokument ab Zelle A1). # Speichere diese Datei unter dem Namen Zeitaufwand in C: im Ordner deiner Wahl. Schliesse die Datei. # Öffne die Datei Zeitaufwand.xls aus Laufwerk C:. # Ändere im Blatt Tabelle1 den Zoommodus auf den Wert 100%. Speichere die Datei als Excel-Vorlage unter Zeitaufwand.xltx in C: im Ordner deiner Wahl. Schliesse die Vorlage. # Erstelle eine neue Arbeitsmappe. Speichere die Mappe unter ☺.xlsx in C:\ im Unterordner deiner Wahl. Schliesse die Datei. # Erstelle ein neues Excel-Dokument. Gib Folgendes ein: X. Schliesse die Anwendung, ohne die Datei zu speichern. {| class="wikitable" ! KW !! Tätigkeit !! Anzahl !! Zeit (h) !! Zeit pro Aufgabe (h) !! Viel Arbeit? |- | 10 || E-Mails schreiben || 35 || 3 || =D2/C2 || |- | 11 || Rechnungen kontrolieren || 20 || 2 || || |- | 12 || Daten eingeben || 50 || 40 || || |- | 13 || Ordner sortieren || 30 || 2.5 || || |} ==Einzelnachweise== <references/> [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation| ]] jav0c5c0ddcj2o6x3ubum0yymlec5k4 1118136 1118135 2026-10-30T08:05:02Z Paul Sutermeister 37610 1118136 wikitext text/x-wiki [[Datei:Plimpton 322.jpg|mini|Babylonische Tontafel [[:w:Plimpton 322|Plimpton 322]] (um 1800 v. Chr.): Zahlen in Zeilen und Spalten]] <div style=" border:1px solid #b7dfc8; background:#f1fbf5; padding:0.8em; border-radius:4px; "> '''Lernziel: Sie lernen, ein [[:w:Tabellenkalkulation|Tabellenkalkulationsprogramm]] (zum Beispiel [[:w:Microsoft Excel|Excel]]) anzuwenden:'''<ref>Logik u.a. nach [[:w:International Certification of Digital Literacy|ICDL]]-Syllabus: [https://www.ecdl.ch/fileadmin/ECDL/CH/Dokumente/ECDL-Syllabus-Base-de.pdf ''ECDL Base Syllabus''].</ref> '''[[Kurs:Tabellenkalkulation#Arbeiten_mit_Dokumenten|A - Programm bedienen]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Zelle|B - Zelle]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Arbeitsblatt|C - Arbeitsblatt]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formel und Funktion|D - Formeln und Funktionen]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formatierung|E - Übersichtlich gestalten (Formatierung)]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Diagramm|F - Diagramme]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Ausgabe|G - Dokument abgabefertig machen]].'''</div> = Geschichte der Tabellenkalkulation = [[Datei:Pacioli.jpg|mini|[[:w:Luca Pacioli|Luca Pacioli]], Begründer der [[:w:Doppelte Buchführung |doppelten Buchführung]] (Gemälde, 1495)]] Tabellenkalkulationen wie Excel sind keine Erfindung des Computerzeitalters. Sie digitalisieren eine Arbeitsweise, die Menschen seit Jahrtausenden nutzen: Zahlen in '''Zeilen und Spalten''' ordnen und daraus '''Summen''' bilden. == Meilensteine == * '''um 1800 v. Chr. – Mesopotamien:''' Schreiber halten [[:w:Plimpton 322|Zahlen in Tabellenform auf Tontafeln]] fest, etwa für Vorräte, Abgaben und Berechnungen. * '''1494 – [[:w:Luca Pacioli|Luca Pacioli]]:''' Der italienische Mönch und Mathematiker beschreibt in seiner ''Summa de arithmetica'' die [[:w:Doppelte Buchführung|doppelte Buchführung]]. Buchhalter arbeiten fortan mit grossen, linierten Papierbögen – auf Englisch ''spreadsheets''. * '''1961 – [[:w:Richard Mattessich|Richard Mattessich]]:''' Der Wirtschaftswissenschaftler entwickelt das Konzept einer computergestützten Tabellenkalkulation auf Grossrechnern. * '''1979 – [[:w:VisiCalc|VisiCalc]]:''' Dan Bricklin und Bob Frankston bringen die erste Tabellenkalkulation für Personal Computer (Apple II) heraus. Funktionen wie @SUM, @MIN, @MAX und @AVERAGE gibt es schon hier. * '''1983 – [[:w:Lotus 1-2-3|Lotus 1-2-3]]:''' Das Programm für IBM-PCs wird zum Marktführer der 1980er-Jahre. * '''1985/1987 – Microsoft Excel:''' Excel erscheint zuerst für den Mac, dann für Windows, und wird in den 1990er-Jahren zum Standard. * '''ab 2000 – Freie und Online-Programme:''' OpenOffice bzw. [[:w:LibreOffice Calc|LibreOffice Calc]] und Google Tabellen übernehmen die Funktionsnamen von Excel, damit Dateien kompatibel bleiben. '''Merke:''' Die älteste und wichtigste „Funktion“ ist die '''SUMME''' – Menschen zählen Spalten zusammen, seit es Buchhaltung gibt. <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''A - Programm bedienen'''</big> </div> == Übungen == # Kopiere untenstehende Tabelle in ein leeres Excel-Dokument (in diesem neuen Dokument ab Zelle A1). # Speichere diese Datei unter dem Namen Zeitaufwand in C: im Ordner deiner Wahl. Schliesse die Datei. # Öffne die Datei Zeitaufwand.xls aus Laufwerk C:. # Ändere im Blatt Tabelle1 den Zoommodus auf den Wert 100%. Speichere die Datei als Excel-Vorlage unter Zeitaufwand.xltx in C: im Ordner deiner Wahl. Schliesse die Vorlage. # Erstelle eine neue Arbeitsmappe. Speichere die Mappe unter ☺.xlsx in C:\ im Unterordner deiner Wahl. Schliesse die Datei. # Erstelle ein neues Excel-Dokument. Gib Folgendes ein: X. Schliesse die Anwendung, ohne die Datei zu speichern. {| class="wikitable" ! KW !! Tätigkeit !! Anzahl !! Zeit (h) !! Zeit pro Aufgabe (h) !! Viel Arbeit? |- | 10 || E-Mails schreiben || 35 || 3 || =D2/C2 || |- | 11 || Rechnungen kontrolieren || 20 || 2 || || |- | 12 || Daten eingeben || 50 || 40 || || |- | 13 || Ordner sortieren || 30 || 2.5 || || |} ==Einzelnachweise== <references/> [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation| ]] 4du6y4r6sr2nd4amknv3g8bwbm2p10e 1118146 1118136 2026-10-30T10:24:21Z Paul Sutermeister 37610 1118146 wikitext text/x-wiki [[Datei:Plimpton 322.jpg|mini|Babylonische Tontafel [[:w:Plimpton 322|Plimpton 322]] (um 1800 v. Chr.): Zahlen in Zeilen und Spalten]] <div style=" border:1px solid #b7dfc8; background:#f1fbf5; padding:0.8em; border-radius:4px; "> '''Lernziel: Sie lernen, ein [[:w:Tabellenkalkulation|Tabellenkalkulationsprogramm]] (zum Beispiel [[:w:Microsoft Excel|Excel]]) anzuwenden:'''<ref>Logik u.a. nach [[:w:International Certification of Digital Literacy|ICDL]]-Syllabus: [https://www.ecdl.ch/fileadmin/ECDL/CH/Dokumente/ECDL-Syllabus-Base-de.pdf ''ECDL Base Syllabus''].</ref> '''[[Kurs:Tabellenkalkulation#Arbeiten_mit_Dokumenten|A - Programm bedienen]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Zelle|B - Zelle]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Arbeitsblatt|C - Arbeitsblatt]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formel und Funktion|D - Formeln und Funktionen]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formatierung|E - Übersichtlich gestalten (Formatierung)]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Diagramm|F - Diagramme]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Ausgabe|G - Dokument abgabefertig machen]].'''</div> = Geschichte der Tabellenkalkulation = [[Datei:Pacioli.jpg|mini|[[:w:Luca Pacioli|Luca Pacioli]], Begründer der [[:w:Doppelte Buchführung |doppelten Buchführung]] (Gemälde, 1495)]] Tabellenkalkulationen wie Excel sind keine Erfindung des Computerzeitalters. Sie digitalisieren eine Arbeitsweise, die Menschen seit Jahrtausenden nutzen: Zahlen in '''Zeilen und Spalten''' ordnen und daraus '''Summen''' bilden. == Meilensteine == * '''um 1800 v. Chr. – Mesopotamien:''' Schreiber halten [[:w:Plimpton 322|Zahlen in Tabellenform auf Tontafeln]] fest, etwa für Vorräte, Abgaben und Berechnungen. * '''1494 – [[:w:Luca Pacioli|Luca Pacioli]]:''' Der italienische Mönch und Mathematiker beschreibt in seiner ''Summa de arithmetica'' die [[:w:Doppelte Buchführung|doppelte Buchführung]]. Buchhalter arbeiten fortan mit grossen, linierten Papierbögen – auf Englisch ''spreadsheets''. * '''1961 – [[:w:en:Richard Mattessich|Richard Mattessich]]:''' Der Wirtschaftswissenschaftler entwickelt das Konzept einer computergestützten Tabellenkalkulation auf Grossrechnern. * '''1979 – [[:w:VisiCalc|VisiCalc]]:''' Dan Bricklin und Bob Frankston bringen die erste Tabellenkalkulation für Personal Computer (Apple II) heraus. Funktionen wie @SUM, @MIN, @MAX und @AVERAGE gibt es schon hier. * '''1983 – [[:w:Lotus 1-2-3|Lotus 1-2-3]]:''' Das Programm für IBM-PCs wird zum Marktführer der 1980er-Jahre. * '''1985/1987 – Microsoft Excel:''' Excel erscheint zuerst für den Mac, dann für Windows, und wird in den 1990er-Jahren zum Standard. * '''ab 2000 – Freie und Online-Programme:''' OpenOffice bzw. [[:w:LibreOffice Calc|LibreOffice Calc]] und Google Tabellen übernehmen die Funktionsnamen von Excel, damit Dateien kompatibel bleiben. '''Merke:''' Die älteste und wichtigste „Funktion“ ist die '''SUMME''' – Menschen zählen Spalten zusammen, seit es Buchhaltung gibt. <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''A - Programm bedienen'''</big> </div> == Übungen == # Kopiere untenstehende Tabelle in ein leeres Excel-Dokument (in diesem neuen Dokument ab Zelle A1). # Speichere diese Datei unter dem Namen Zeitaufwand in C: im Ordner deiner Wahl. Schliesse die Datei. # Öffne die Datei Zeitaufwand.xls aus Laufwerk C:. # Ändere im Blatt Tabelle1 den Zoommodus auf den Wert 100%. Speichere die Datei als Excel-Vorlage unter Zeitaufwand.xltx in C: im Ordner deiner Wahl. Schliesse die Vorlage. # Erstelle eine neue Arbeitsmappe. Speichere die Mappe unter ☺.xlsx in C:\ im Unterordner deiner Wahl. Schliesse die Datei. # Erstelle ein neues Excel-Dokument. Gib Folgendes ein: X. Schliesse die Anwendung, ohne die Datei zu speichern. {| class="wikitable" ! KW !! Tätigkeit !! Anzahl !! Zeit (h) !! Zeit pro Aufgabe (h) !! Viel Arbeit? |- | 10 || E-Mails schreiben || 35 || 3 || =D2/C2 || |- | 11 || Rechnungen kontrolieren || 20 || 2 || || |- | 12 || Daten eingeben || 50 || 40 || || |- | 13 || Ordner sortieren || 30 || 2.5 || || |} ==Einzelnachweise== <references/> [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation| ]] 90s05y8xkl1th87yjjbd44pt92kzwr1 106 170544 1118150 1116068 2026-10-30T10:57:44Z Λυκας 38324 1118150 wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Navigation}}[https://studip.uni-osnabrueck.de/dispatch.php/course/overview?cid=1dab5ea5a5b85d5d2a4eaa6590fee433] Kursseite auf Stud.IP (zugangsbeschränkt) [https://moodle.mathematik.uni-osnabrueck.de/] Lernbegleitungsquiz (Nur aus dem Uni-Netz bzw. mit VPN erreichbar) <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Hilfsstruktur]]</noinclude> tc9mihlyqct91lifwv4qklqdq0omynw 106 170545 1118106 1118012 2026-10-29T12:09:11Z Bocardodarapti 2041 1118106 wikitext text/x-wiki {{Textmitschalter/{{{opt|}}} |An= |Text= }} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information]]</noinclude> sy7fjsuakjg0t7bj3w2nh36j70iiqis 1118151 1118106 2026-10-30T10:59:54Z Λυκας 38324 1118151 wikitext text/x-wiki {{Textmitschalter/{{{opt|}}} |An= |Text=Link zum Lernbegleitungsquiz für die erste Testklausur: https://moodle.mathematik.uni-osnabrueck.de/ (nur aus dem Uni-Netz bzw. mit VPN erreichbar, Details dazu [[Kurs:Grundkurs_Mathematik_(Osnabrück_2026-2027)/Teil_I/Information/Lernbegleitungsquiz|hier]]) }} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information]]</noinclude> phabexl97zm314qg2rfvzpgjy4uiy56 1118152 1118151 2026-10-30T11:03:52Z Λυκας 38324 1118152 wikitext text/x-wiki {{Textmitschalter/{{{opt|}}} |An=x |Text=Link zum Lernbegleitungsquiz für die erste Testklausur: https://moodle.mathematik.uni-osnabrueck.de/ (nur aus dem Uni-Netz bzw. mit VPN erreichbar, Details dazu [[Kurs:Grundkurs_Mathematik_(Osnabrück_2026-2027)/Teil_I/Information/Lernbegleitungsquiz|hier]]) }} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information]]</noinclude> aqf391dhlj5mvcpk466hatmjjy7boqb 106 170550 1118120 1115625 2026-10-29T17:11:20Z Bocardodarapti 2041 1118120 wikitext text/x-wiki Testklausuren 6. November 2026 11. Dezember 2026 29. Januar 2027 jeweils Freitag um 10:00 im dritten Vorlesungstermin. Klausur Freitag, 5. März 2027, 10:30-12:40 Nachklausur Freitag, 7. Mai 2027, 14:20-16:30 <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information]]</noinclude> 7ra2ei6halzaf62odosui673cltpscs 106 170557 1118148 1116991 2026-10-30T10:53:15Z Λυκας 38324 1118148 wikitext text/x-wiki *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Definitionsliste|Definitionsliste]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Definitionsabfrage|Definitionsabfrage]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Liste der Hauptsätze|Wichtigste Aussagen]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage|Aussagen (Abfrage)]] *[[Mathematik/Hilfsmittel/Griechisches Alphabet|Griechisches Alphabet]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1. Drittel/1/Klausur|Beispiel für eine erste Testklausur]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1. Drittel/2/Klausur|Beispiel für eine erste Testklausur]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1. Drittel/3/Klausur|Beispiel für eine erste Testklausur]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/Klausuren|Beispielklausuren]] *[[Benutzer:Bocardodarapti/Klausurbewertung/Linear|Klausurbewertung]] * [[Kurs:Grundkurs_Mathematik_(Osnabrück_2026-2027)/Teil_I/Information/Lernbegleitungsquiz|Lernbegleitungsquiz]] <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Hilfsstruktur]]</noinclude> 5jd6xhjyvfw0gczgmutwr0pzixip6gd 106 170604 1118118 1117602 2026-10-29T16:09:50Z Bocardodarapti 2041 1118118 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgaben}} {{ inputaufgabe |Zählen/Selektive Aufmerksamkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Klatschen/Rhythmus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Zählen/Zweiersystem/Bis 100000/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Bauer Ernst/Und noch eins/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kellner/Bierdeckel/Striche/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Silbenanzahl/Zählen/Finger/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kleine Eins nach Null/Erstelle/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Heute und Morgen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Oma und Uroma/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Alleinherrscher/Sohnnamen/Zählen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |UFO/Straßenseite/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Euromünzen/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe sollte man nicht bearbeiten, sondern zum Anlass nehmen, sich über unser Ziffernsystem zu freuen. {{ inputaufgabe |Zählen/Nachfolgerzählen im römischen Zählsystem/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Telefonnummern/Nachfolger/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Anfangsmenge/6/Zählbeispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/1_bis_n/n_Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Eins dazu/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Alltag/Abbildungen/Aufgabe|| |zusatz=Bemerkung: Um alltägliche Vorgänge als Abbildungen aufzufassen, muss man häufig gewisse naheliegende Annahmen machen. |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vorlesung/Sitzverteilung/Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wertetabelle/Geldbetrag/Minimale Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Injektiv/Surjektiv/Prädikatenlogisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Länder/Hauptstädte/Bijektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fingerspitzen/Bijektionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildung/Mutter/Erstgeborenes Kind/Aspekte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Punkte/Anzahl/Bestimme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zahlbeispiele/Anzahl/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Absetzmulde/Austausch/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildung/Bijektiv/Vokabeln/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Größenvergleich/Anzahlvergleich/Analogie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildung/Bijektion zwischen N und Z/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionen/R/Streng monoton wachsend/Mit Definition/Injektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Zählen/Euromünzen/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Digitale Uhr/Definiere Nachfolgerabbildung/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abzählungen/Bezug/Aufgabe|p|zusatz1=&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text=oder Schenkperioden| |ISZ=|ESZ= }} |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Borussia Dortmund/5 zu 2/Möglichkeiten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzzahlen/Bis 100/Aufgabe|p|zusatz1=&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text=also Zahlen der Form {{mathl|term= n^k |SZ=}} mit {{ Relationskette/k | k | \geq | 2 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} |zusatz= |tipp= }} }} 2gywho6w83boxg7hewkq6zy9i4xj5u0 106 172114 1118138 1118085 2026-10-30T08:52:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118138 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|6|17|Kurs=|}} l1i0e93crak160roga64imu1cdxpb8b 0 172731 1118130 1118044 2026-10-30T07:25:50Z Bocardodarapti 2041 1118130 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ Abbildung/display |name= \delta |\Z^m | \Z || |SZ= }} die Standardgraduierung und {{ Abbildung/display |name=d | \Z^m | D || |SZ= }} mit {{math|term= D |SZ=}} endlich. Es ist {{ Relationskette/display | L_c || {{Mengebed| \nu \in \N^m| d( \nu) {{=}} c }} || || || |SZ= }} ein reflexiver Rang eins Modul über dem Invariantenring {{ Relationskette | L_0 || R || || || |SZ=. }} Die allgemeine Formel für die kumulative Hilbertfunktion von {{math|term= L_c |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | A_c(N) || {{op:Anzahl| {{Mengebed|\nu| d(\nu) {{=}} c | {{op:Betrag| \nu|}} \leq N }} }} || || || |SZ=. }} Für jedes {{math|term= n |SZ=}} verteilt sich der Wert {{math|term= h(n) |SZ=}} der Hilbertfunktion des Polynomringens auf endlich viele {{math|term= c |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | h(n) || \sum_{c \in D} {{op:Anzahl| {{Mengebed| \nu | d(\nu) {{=}} c | {{op:Betrag| \nu|}} {{=}} n }} }} || || || |SZ=. }} Es ist für den Polynomring {{ Relationskette/display | h (n) || {{op:Binomialkoeffizient|n+m-1|m-1}} || \alpha_{m-1} n^{m-1} + \alpha_{m-2} n^{m-2} {{plusdots}} \alpha_1 n+ \alpha_{0} || || |SZ= }} die nichtkumulative Hilbertfunktion für {{ Relationskette | n | \geq| 0 || || || |SZ=. }} Es gibt die Beschreibung {{ Relationskette/display | A_c(N) || \sum_\zeta P_{c, \zeta } (N) \zeta^N || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \zeta |SZ=}} durch die Einheitswurzeln, die für {{math|term= D |SZ=}} relevant sind, läuft, und {{mathl|term= P_{c, \zeta } |SZ=}} Polynome sind. Eventuell direkt mit der erzeugenden Funktion arbeiten, die man als {{ Relationskette/display | F_c(t) || {{op:Bruch|1| {{op:Betrag|D|}} (1-t) }} \sum_{\chi \in {{op:Charakterdual|D|}} } {{op:Bruch| {{op:Komplexe Konjugation| \chi (c) }} | \prod_{i {{=}} 1}^m {{makl| 1 - \chi {{makl| d {{makl| e_i |}} |}} t |}} |}} || || || |SZ= }} schreiben kann. {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Folge/C/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Explizite Darstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ inputbemerkung |Polynomring/Standardgraduierung/Primäres Ideal/Totale Hilbert-Kunz Reihe/Bemerkung|| }} Feiner Ansatz {{ inputbemerkung |Polynomring/Standardgraduierung/Endliche_Graduierung/Aufteilung/Feiner Ansatz/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |A_1-Singularität/Hilbertfunktion/Aufteilung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |A_(k-1)-Singularität/Hilbertfunktion/Aufteilung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |A_(k-1)-Singularität/Moduln/Hilbertreihe/Beispiel|| }} Wir betrachten die starke Bedingung, dass {{math|term= c |SZ=}} durch {{math|term= \delta |SZ=}} faktorisiert. Dann ist, für die Moduln {{mathl|term= L_d |SZ=}} zu {{ Relationskette | d | \in | D || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | h_{L_d} (n) || \begin{cases} h (n), \text{ falls } c(n) {{=}} d \, ,\\ 0 \text{ sonst} . \end{cases} || || || |SZ= }} Die Summe von {{math|term= 0 |SZ=}} bis {{math|term= N |SZ=}} ist dann für die einzelnen Koeffizienten {{ Math/display|term= \alpha_i \sum_{ n \in \{1 {{kommadots|}} N\}, \, c(n) {{=}} d } n^i |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Auflösung/Standardgraduierung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Grad 3/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Dreidimensional/Auflösung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 9oduauljpgfjnjadtrv5sm45xv1f00p 1118131 1118130 2026-10-30T07:27:03Z Bocardodarapti 2041 1118131 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ Abbildung/display |name= \delta |\Z^m | \Z || |SZ= }} die Standardgraduierung und {{ Abbildung/display |name=d | \Z^m | D || |SZ= }} mit {{math|term= D |SZ=}} endlich. Es ist {{ Relationskette/display | L_c || {{Mengebed| \nu \in \N^m| d( \nu) {{=}} c }} || || || |SZ= }} ein reflexiver Rang eins Modul über dem Invariantenring {{ Relationskette | L_0 || R || || || |SZ=. }} Die allgemeine Formel für die kumulative Hilbertfunktion von {{math|term= L_c |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | A_c(N) || {{op:Anzahl| {{Mengebed|\nu| d(\nu) {{=}} c | {{op:Betrag| \nu|}} \leq N }} }} || || || |SZ=. }} Für jedes {{math|term= n |SZ=}} verteilt sich der Wert {{math|term= h(n) |SZ=}} der Hilbertfunktion des Polynomringens auf endlich viele {{math|term= c |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | h(n) || \sum_{c \in D} {{op:Anzahl| {{Mengebed| \nu | d(\nu) {{=}} c | {{op:Betrag| \nu|}} {{=}} n }} }} || || || |SZ=. }} Es ist für den Polynomring {{ Relationskette/display | h (n) || {{op:Binomialkoeffizient|n+m-1|m-1}} || \alpha_{m-1} n^{m-1} + \alpha_{m-2} n^{m-2} {{plusdots}} \alpha_1 n+ \alpha_{0} || || |SZ= }} die nichtkumulative Hilbertfunktion für {{ Relationskette | n | \geq| 0 || || || |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Polynomring/Standardgraduierung/Endliche Graduierung/Aufteilung/Hilbertfunktionen/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Polynomring/Standardgraduierung/Primäres Ideal/Totale Hilbert-Kunz Reihe/Bemerkung|| }} Feiner Ansatz {{ inputbemerkung |Polynomring/Standardgraduierung/Endliche_Graduierung/Aufteilung/Feiner Ansatz/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |A_1-Singularität/Hilbertfunktion/Aufteilung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |A_(k-1)-Singularität/Hilbertfunktion/Aufteilung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |A_(k-1)-Singularität/Moduln/Hilbertreihe/Beispiel|| }} Wir betrachten die starke Bedingung, dass {{math|term= c |SZ=}} durch {{math|term= \delta |SZ=}} faktorisiert. Dann ist, für die Moduln {{mathl|term= L_d |SZ=}} zu {{ Relationskette | d | \in | D || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | h_{L_d} (n) || \begin{cases} h (n), \text{ falls } c(n) {{=}} d \, ,\\ 0 \text{ sonst} . \end{cases} || || || |SZ= }} Die Summe von {{math|term= 0 |SZ=}} bis {{math|term= N |SZ=}} ist dann für die einzelnen Koeffizienten {{ Math/display|term= \alpha_i \sum_{ n \in \{1 {{kommadots|}} N\}, \, c(n) {{=}} d } n^i |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Auflösung/Standardgraduierung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Grad 3/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Dreidimensional/Auflösung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} msea1zb9thht629kuu9ti87n0apjtgk 106 173214 1118147 1117248 2026-10-30T10:37:43Z Paul Sutermeister 37610 1118147 wikitext text/x-wiki * [[:w:en:Structure follows Strategy|Structure follows Strategy]] * die Umweltsphären als Ursachen von Veränderungen (das [[:w:St. Galler Management-Modell#Umweltsphären|St. Galler Management-Modell]] hat die vier Umweltsphären Gesellschaft>Natur>Technologie>Wirtschaft). * [[:w:Trendforschung|Trendforschung]] versus [[:w:Zukunftsforschung|Zukunftsforschung]] {{Zitat|Es ist nicht die stärkste Spezies, die überlebt, auch nicht die intelligenteste, es ist diejenige, die sich am ehesten dem Wandel anpassen kann.|[[:w:Charles Darwin|Darwin]]}} [[Datei:3-Phasenmodell_von_Lewin.png|thumb|mini|[[:w:3-Phasen-Modell von Lewin|3-Phasen-Modell von Lewin]]]] [[Datei:7_Phasen_der_Veränderung_nach_Streich.png|thumb|mini|[[:w:7-Phasen-Modell (Veränderungsmanagement)|7 Phasen der Veränderung nach Streich]]]] [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B5]] miv1fttl7z1ggjfxisprso9shquoqzb 0 173229 1118128 1118071 2026-10-29T20:28:42Z CULTURELAB2627 42044 /* Aufträge */ 1118128 wikitext text/x-wiki {{Infobox | Titel = CULTURELAB | Bildname = CULTURELAB-Logo.png | Bildbreite = 220px | Bildtext = Logo von CULTURELAB | Stil = 2 | Titelstyle = 5 | Abschnittsfarbe = | Farbe = #EAECF0 | Style = float:right; margin-left:1em; margin-top:0; border:1px solid #000000; background:#F8F9FA; width:300px; | Feldname1 = Unternehmensname | Daten1 = CULTURELAB | Feldname2 = Gründungsdatum | Daten2 = 22.10.2026 | Feldname3 = Unternehmenssitz | Daten3 = [[Darmstadt]], {{DEU}} | Feldname4 = Unternehmensform | Daten4 = GmbH | Feldname5 = Gründer | Daten5 = Julian Kantenstein<br>Malte Spalter | Feldname6 = Geschäftsführung | Daten6 = Kantenstein <br> Spalter | Feldname7 = Branche | Daten7 = Forschung und Beratung }} = Unternehmensprofil = CULTURELAB verbindet strategische Kommunikationsansätze mit gesundheitsbezogenen und kulturwissenschaftlichen Fragestellungen. Im Mittelpunkt stehen die Analyse von Zielgruppen, die Entwicklung wirkungsorientierter Strategien und die wissenschaftlich fundierte Beratung von Organisationen und Institutionen. = Organisationsstruktur = [[/OrgaCULTURELAB|Zur Organisationsstruktur]] == Gründer == [[/Gruender-CULTURELAB|Zur Gründerseite]] = Geschäftsbereiche = * Marketing/PR/Online-Kommunikation * betriebliche und öffentliche Gesundheit * Besucherforschung, Audience Research für Theater, Opern, Museen, Kulturveranstaltungen etc., == Rechtsform == Als Rechtsform für dieses Unternehmen wurde die GmbH gewählt. Diese Rechtsform gibt dem Geschäftsführer die volle Weisungsberechtigung. Zudem gibt es die vollen Kontrollrechte für die Gesellschafterversammlung. Zudem konnte das Unternehmen die 25.000€ Startkapital aufbringen. Die Haftung hierbei ist für die Gesellschaft uneingeschränkt, allerdings für die Gesellschafter eingeschränkt, wodurch die Gesellschafter hierbei weniger Risiko tragen. Die Gewinn- sowie Verlustverteilung kann hierbei im Gesellschaftsvertrag flexibel festgehalten werden oder werden vom Stammkapitalanteil berechnet, wodurch fairness gegeben ist. = Strategische Ausrichtung = CULTURELAB verfolgt einen interdisziplinären Ansatz, der Kommunikation, Forschung und gesellschaftliche Wirkung miteinander verbindet. == Aufträge == [[/FRAport-Auftragskalkulation|Berechnung des Fraport-Auftrags]]<br> [[/NUEport-Auftragskalkulation|Berechnung eines Auftrags mit sichereren Kalkulationen (NUEport)]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] i8oc4rhykgqylou5c9xhw6vqn3jle6x 0 173342 1118121 2026-10-29T20:18:45Z CULTURELAB2627 42044 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118121 wikitext text/x-wiki == b) NUEport: Sicher kalkuliertes Angebot == Das zweite Angebot beträgt '''58.105,53&nbsp;€ brutto''' (48.828,18&nbsp;€ netto). Es soll einige Risiken kalkulieren um sicherzustellen, dass das Angebot mit Sicherheit stattfinden kann. === Änderungen gegenüber Angebot 1 === {| class="wikitable" style="text-align:left" ! Annahme !! Angebot 1 !! Angebot 2 !! Begründung !! Herkunft |- | Laufzeit || 3 Monate || 3,5 Monate || Urlaub und Feiertage (ca. 40 Tage pro Jahr) sowie Krankenstand mindern die nutzbare Arbeitszeit. 40 von etwa 260 Arbeitstagen sind rund 15&nbsp;%, 3 Monate Arbeit brauchen dann rechnerisch etwa 3,5 Monate. || Skript: 40 Tage, Krankenstand. Eigene Annahme: 260 Arbeitstage, Rundung auf 3,5 |- | Nutzungsdauer Kopierer || 4 Jahre || 3 Jahre || Der Kopierer wird wie ein Drucker als Peripheriegerät behandelt. Die kürzere Nutzungsdauer ergibt höhere Abschreibung und damit eine vorsichtigere Kalkulation. || Skript: 3 Jahre für Drucker. Eigene Annahme: Gleichsetzung |- | Zinssatz || 7&nbsp;% || 8&nbsp;% || Oberes Ende der üblichen Spanne. || Skript: 6–8&nbsp;% |- | Wagnisaufschlag || 5&nbsp;% || 7&nbsp;% || Oberes Ende der Spanne. Deckt Zahlungsausfall und Kostensteigerungen zwischen Angebot und Durchführung ab. || Skript: 4–7&nbsp;% |- | Material (Papier, Druckerzubehör) || 164,00&nbsp;€ || 196,80&nbsp;€ (+20&nbsp;%) || Mehrbedarf durch Nachdrucke und Ersatz. || Eigene Annahme |- | Gewinn || 10.000,00&nbsp;€ || 10.000,00&nbsp;€ || Unverändert, damit nur der Kostenpuffer den Preis verändert und nicht der Gewinn. Alternativ 3,5/12 des Jahresgewinns: 11.666,67&nbsp;€. || Eigene Entscheidung |} === Berechnung Angebot 2 === Die Selbstkosten betragen 36.288,02&nbsp;€, mit Wagnisaufschlag 38.828,18&nbsp;€ netto. Das ist zugleich die langfristige Preisuntergrenze von Angebot 2. {| class="wikitable" style="text-align:left" ! Kostenart !! Position !! Rechenweg !! style="text-align:right" | Betrag (€) |- | Personal || 5 studentische Hilfskräfte || 5 × 900&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 15.750,00 |- | Personal || Wissenschaftler (angestellt) || 4.200&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 14.700,00 |- | Material || Papier || 14&nbsp;€ × 1,2 || style="text-align:right" | 16,80 |- | Material || Druckerzubehör || 150&nbsp;€ × 1,2 || style="text-align:right" | 180,00 |- | Betriebskosten || Büromiete Darmstadt || 750&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 2.625,00 |- | Betriebskosten || 6 SPSS-Lizenzen || 6 × 100&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 2.100,00 |- | Abschreibung || 6 Laptops || 3.600&nbsp;€ / 3 Jahre / 12 × 3,5 || style="text-align:right" | 350,00 |- | Abschreibung || Profi-Kopierer || 4.000&nbsp;€ / 3 Jahre / 12 × 3,5 || style="text-align:right" | 388,89 |- | Kalkulatorische Zinsen || gebundenes Kapital || 8&nbsp;% × 7.600&nbsp;€ × 3,5/12 || style="text-align:right" | 177,33 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Selbstkosten ! style="text-align:right" | 36.288,02 |- | Wagnisaufschlag || 7&nbsp;% auf die Selbstkosten || 36.288,02&nbsp;€ × 7&nbsp;% || style="text-align:right" | 2.540,16 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Vollkosten inkl. Wagnis (netto) ! style="text-align:right" | 38.828,18 |- | Gewinn || 20&nbsp;% vom Jahresumsatz, anteilig || 20&nbsp;% × 200.000&nbsp;€ × 3/12 || style="text-align:right" | 10.000,00 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Nettopreis ! style="text-align:right" | 48.828,18 |- | Umsatzsteuer 19&nbsp;% || || 48.828,18&nbsp;€ × 0,19 || style="text-align:right" | 9.277,35 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Bruttopreis ! style="text-align:right" | 58.105,53 |} === Vergleich beider Angebote === Angebot 2 ist mit 58.105,53&nbsp;€ brutto um 7.474,78&nbsp;€ (14,8&nbsp;%) teurer als Angebot 1. Den größten Anteil trägt die längere Laufzeit: Allein beim Personal sind es 4.350&nbsp;€, bei den Betriebskosten 675&nbsp;€. {| class="wikitable" ! Position !! style="text-align:right" | Angebot 1 (€) !! style="text-align:right" | Angebot 2 (€) !! style="text-align:right" | Differenz (€) |- | Personal || style="text-align:right" | 26.100,00 || style="text-align:right" | 30.450,00 || style="text-align:right" | +4.350,00 |- | Material || style="text-align:right" | 164,00 || style="text-align:right" | 196,80 || style="text-align:right" | +32,80 |- | Betriebskosten || style="text-align:right" | 4.050,00 || style="text-align:right" | 4.725,00 || style="text-align:right" | +675,00 |- | Abschreibung || style="text-align:right" | 550,00 || style="text-align:right" | 738,89 || style="text-align:right" | +188,89 |- | Kalkulatorische Zinsen || style="text-align:right" | 133,00 || style="text-align:right" | 177,33 || style="text-align:right" | +44,33 |- ! Selbstkosten ! style="text-align:right" | 30.997,00 ! style="text-align:right" | 36.288,02 ! style="text-align:right" | +5.291,02 |- | Wagnisaufschlag || style="text-align:right" | 1.549,85 || style="text-align:right" | 2.540,16 || style="text-align:right" | +990,31 |- ! Vollkosten (netto) ! style="text-align:right" | 32.546,85 ! style="text-align:right" | 38.828,18 ! style="text-align:right" | +6.281,33 |- | Gewinn || style="text-align:right" | 10.000,00 || style="text-align:right" | 10.000,00 || style="text-align:right" | 0,00 |- ! Nettopreis ! style="text-align:right" | 42.546,85 ! style="text-align:right" | 48.828,18 ! style="text-align:right" | +6.281,33 |- | Umsatzsteuer 19&nbsp;% || style="text-align:right" | 8.083,90 || style="text-align:right" | 9.277,35 || style="text-align:right" | +1.193,45 |- ! Bruttopreis ! style="text-align:right" | 50.630,75 ! style="text-align:right" | 58.105,53 ! style="text-align:right" | +7.474,78 |} tiwfl1y51kopm5q0gcqcmeuf7jbi47y 1118122 1118121 2026-10-29T20:20:09Z CULTURELAB2627 42044 /* Änderungen gegenüber Angebot 1 */ 1118122 wikitext text/x-wiki == b) NUEport: Sicher kalkuliertes Angebot == Das zweite Angebot beträgt '''58.105,53&nbsp;€ brutto''' (48.828,18&nbsp;€ netto). Es soll einige Risiken kalkulieren um sicherzustellen, dass das Angebot mit Sicherheit stattfinden kann. === Änderungen gegenüber Angebot 1 === {| class="wikitable" style="text-align:left" ! Annahme !! Angebot 1 !! Angebot 2 !! Begründung !! |- | Laufzeit || 3 Monate || 3,5 Monate || Der Puffer von einem halben Monat ist gewählt, um den Ausfall von Kranken- und Urlaubstagen zu decken || |- | Nutzungsdauer Kopierer || 4 Jahre || 3 Jahre || Der Kopierer wird wie ein Drucker als Peripheriegerät behandelt. Die kürzere Nutzungsdauer ergibt höhere Abschreibung und damit eine vorsichtigere Kalkulation. || |- | Zinssatz || 7&nbsp;% || 8&nbsp;% || Oberes Ende der üblichen Spanne. || |- | Wagnisaufschlag || 5&nbsp;% || 7&nbsp;% || Oberes Ende der Spanne. Deckt Zahlungsausfall und Kostensteigerungen zwischen Angebot und Durchführung ab. || |- | Material (Papier, Druckerzubehör) || 164,00&nbsp;€ || 196,80&nbsp;€ (+20&nbsp;%) || Mehrbedarf durch Nachdrucke und Ersatz. || |- | Gewinn || 10.000,00&nbsp;€ || 10.000,00&nbsp;€ || Unverändert, damit nur der Kostenpuffer den Preis verändert und nicht der Gewinn. Alternativ 3,5/12 des Jahresgewinns: 11.666,67&nbsp;€. || |} === Berechnung Angebot 2 === Die Selbstkosten betragen 36.288,02&nbsp;€, mit Wagnisaufschlag 38.828,18&nbsp;€ netto. Das ist zugleich die langfristige Preisuntergrenze von Angebot 2. {| class="wikitable" style="text-align:left" ! Kostenart !! Position !! Rechenweg !! style="text-align:right" | Betrag (€) |- | Personal || 5 studentische Hilfskräfte || 5 × 900&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 15.750,00 |- | Personal || Wissenschaftler (angestellt) || 4.200&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 14.700,00 |- | Material || Papier || 14&nbsp;€ × 1,2 || style="text-align:right" | 16,80 |- | Material || Druckerzubehör || 150&nbsp;€ × 1,2 || style="text-align:right" | 180,00 |- | Betriebskosten || Büromiete Darmstadt || 750&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 2.625,00 |- | Betriebskosten || 6 SPSS-Lizenzen || 6 × 100&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 2.100,00 |- | Abschreibung || 6 Laptops || 3.600&nbsp;€ / 3 Jahre / 12 × 3,5 || style="text-align:right" | 350,00 |- | Abschreibung || Profi-Kopierer || 4.000&nbsp;€ / 3 Jahre / 12 × 3,5 || style="text-align:right" | 388,89 |- | Kalkulatorische Zinsen || gebundenes Kapital || 8&nbsp;% × 7.600&nbsp;€ × 3,5/12 || style="text-align:right" | 177,33 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Selbstkosten ! style="text-align:right" | 36.288,02 |- | Wagnisaufschlag || 7&nbsp;% auf die Selbstkosten || 36.288,02&nbsp;€ × 7&nbsp;% || style="text-align:right" | 2.540,16 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Vollkosten inkl. Wagnis (netto) ! style="text-align:right" | 38.828,18 |- | Gewinn || 20&nbsp;% vom Jahresumsatz, anteilig || 20&nbsp;% × 200.000&nbsp;€ × 3/12 || style="text-align:right" | 10.000,00 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Nettopreis ! style="text-align:right" | 48.828,18 |- | Umsatzsteuer 19&nbsp;% || || 48.828,18&nbsp;€ × 0,19 || style="text-align:right" | 9.277,35 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Bruttopreis ! style="text-align:right" | 58.105,53 |} === Vergleich beider Angebote === Angebot 2 ist mit 58.105,53&nbsp;€ brutto um 7.474,78&nbsp;€ (14,8&nbsp;%) teurer als Angebot 1. Den größten Anteil trägt die längere Laufzeit: Allein beim Personal sind es 4.350&nbsp;€, bei den Betriebskosten 675&nbsp;€. {| class="wikitable" ! Position !! style="text-align:right" | Angebot 1 (€) !! style="text-align:right" | Angebot 2 (€) !! style="text-align:right" | Differenz (€) |- | Personal || style="text-align:right" | 26.100,00 || style="text-align:right" | 30.450,00 || style="text-align:right" | +4.350,00 |- | Material || style="text-align:right" | 164,00 || style="text-align:right" | 196,80 || style="text-align:right" | +32,80 |- | Betriebskosten || style="text-align:right" | 4.050,00 || style="text-align:right" | 4.725,00 || style="text-align:right" | +675,00 |- | Abschreibung || style="text-align:right" | 550,00 || style="text-align:right" | 738,89 || style="text-align:right" | +188,89 |- | Kalkulatorische Zinsen || style="text-align:right" | 133,00 || style="text-align:right" | 177,33 || style="text-align:right" | +44,33 |- ! Selbstkosten ! style="text-align:right" | 30.997,00 ! style="text-align:right" | 36.288,02 ! style="text-align:right" | +5.291,02 |- | Wagnisaufschlag || style="text-align:right" | 1.549,85 || style="text-align:right" | 2.540,16 || style="text-align:right" | +990,31 |- ! Vollkosten (netto) ! style="text-align:right" | 32.546,85 ! style="text-align:right" | 38.828,18 ! style="text-align:right" | +6.281,33 |- | Gewinn || style="text-align:right" | 10.000,00 || style="text-align:right" | 10.000,00 || style="text-align:right" | 0,00 |- ! Nettopreis ! style="text-align:right" | 42.546,85 ! style="text-align:right" | 48.828,18 ! style="text-align:right" | +6.281,33 |- | Umsatzsteuer 19&nbsp;% || style="text-align:right" | 8.083,90 || style="text-align:right" | 9.277,35 || style="text-align:right" | +1.193,45 |- ! Bruttopreis ! style="text-align:right" | 50.630,75 ! style="text-align:right" | 58.105,53 ! style="text-align:right" | +7.474,78 |} tgzxonxa1wscsudap30urobxxx7tli7 1118123 1118122 2026-10-29T20:22:01Z CULTURELAB2627 42044 /* Änderungen gegenüber Angebot 1 */ 1118123 wikitext text/x-wiki == b) NUEport: Sicher kalkuliertes Angebot == Das zweite Angebot beträgt '''58.105,53&nbsp;€ brutto''' (48.828,18&nbsp;€ netto). Es soll einige Risiken kalkulieren um sicherzustellen, dass das Angebot mit Sicherheit stattfinden kann. === Änderungen gegenüber Angebot 1 === {| class="wikitable" style="text-align:left" ! Annahme !! Angebot 1 !! Angebot 2 !! Begründung !! |- | Laufzeit || 3 Monate || 3,5 Monate || Der Puffer von einem halben Monat ist gewählt, um den Ausfall von Kranken- und Urlaubstagen zu decken || |- | Nutzungsdauer Kopierer || 4 Jahre || 3 Jahre || Die Nutzungsdauer wurde verringert, um sicherzustellen, dass bei früherem Ausfall des Gerätes es mit einkalkuliert ist. || |- | Zinssatz || 7&nbsp;% || 8&nbsp;% || Oberes Ende des vorgegebenen Rahmens || |- | Wagnisaufschlag || 5&nbsp;% || 7&nbsp;% || Oberes Ende des vorgegebenen Rahmens || |- | Material (Papier, Druckerzubehör) || 164,00&nbsp;€ || 196,80&nbsp;€ (+20&nbsp;%) || Mehr Druck eingerechnet, falls Fehler passieren || |- | Gewinn || 10.000,00&nbsp;€ || 10.000,00&nbsp;€ || Der Gewinn bleibt gleich. Es soll nicht mehr gewinn gemacht werden, sondern nur eine sichere Kalkulation stattfinden|| |} === Berechnung Angebot 2 === Die Selbstkosten betragen 36.288,02&nbsp;€, mit Wagnisaufschlag 38.828,18&nbsp;€ netto. Das ist zugleich die langfristige Preisuntergrenze von Angebot 2. {| class="wikitable" style="text-align:left" ! Kostenart !! Position !! Rechenweg !! style="text-align:right" | Betrag (€) |- | Personal || 5 studentische Hilfskräfte || 5 × 900&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 15.750,00 |- | Personal || Wissenschaftler (angestellt) || 4.200&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 14.700,00 |- | Material || Papier || 14&nbsp;€ × 1,2 || style="text-align:right" | 16,80 |- | Material || Druckerzubehör || 150&nbsp;€ × 1,2 || style="text-align:right" | 180,00 |- | Betriebskosten || Büromiete Darmstadt || 750&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 2.625,00 |- | Betriebskosten || 6 SPSS-Lizenzen || 6 × 100&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 2.100,00 |- | Abschreibung || 6 Laptops || 3.600&nbsp;€ / 3 Jahre / 12 × 3,5 || style="text-align:right" | 350,00 |- | Abschreibung || Profi-Kopierer || 4.000&nbsp;€ / 3 Jahre / 12 × 3,5 || style="text-align:right" | 388,89 |- | Kalkulatorische Zinsen || gebundenes Kapital || 8&nbsp;% × 7.600&nbsp;€ × 3,5/12 || style="text-align:right" | 177,33 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Selbstkosten ! style="text-align:right" | 36.288,02 |- | Wagnisaufschlag || 7&nbsp;% auf die Selbstkosten || 36.288,02&nbsp;€ × 7&nbsp;% || style="text-align:right" | 2.540,16 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Vollkosten inkl. Wagnis (netto) ! style="text-align:right" | 38.828,18 |- | Gewinn || 20&nbsp;% vom Jahresumsatz, anteilig || 20&nbsp;% × 200.000&nbsp;€ × 3/12 || style="text-align:right" | 10.000,00 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Nettopreis ! style="text-align:right" | 48.828,18 |- | Umsatzsteuer 19&nbsp;% || || 48.828,18&nbsp;€ × 0,19 || style="text-align:right" | 9.277,35 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Bruttopreis ! style="text-align:right" | 58.105,53 |} === Vergleich beider Angebote === Angebot 2 ist mit 58.105,53&nbsp;€ brutto um 7.474,78&nbsp;€ (14,8&nbsp;%) teurer als Angebot 1. Den größten Anteil trägt die längere Laufzeit: Allein beim Personal sind es 4.350&nbsp;€, bei den Betriebskosten 675&nbsp;€. {| class="wikitable" ! Position !! style="text-align:right" | Angebot 1 (€) !! style="text-align:right" | Angebot 2 (€) !! style="text-align:right" | Differenz (€) |- | Personal || style="text-align:right" | 26.100,00 || style="text-align:right" | 30.450,00 || style="text-align:right" | +4.350,00 |- | Material || style="text-align:right" | 164,00 || style="text-align:right" | 196,80 || style="text-align:right" | +32,80 |- | Betriebskosten || style="text-align:right" | 4.050,00 || style="text-align:right" | 4.725,00 || style="text-align:right" | +675,00 |- | Abschreibung || style="text-align:right" | 550,00 || style="text-align:right" | 738,89 || style="text-align:right" | +188,89 |- | Kalkulatorische Zinsen || style="text-align:right" | 133,00 || style="text-align:right" | 177,33 || style="text-align:right" | +44,33 |- ! Selbstkosten ! style="text-align:right" | 30.997,00 ! style="text-align:right" | 36.288,02 ! style="text-align:right" | +5.291,02 |- | Wagnisaufschlag || style="text-align:right" | 1.549,85 || style="text-align:right" | 2.540,16 || style="text-align:right" | +990,31 |- ! Vollkosten (netto) ! style="text-align:right" | 32.546,85 ! style="text-align:right" | 38.828,18 ! style="text-align:right" | +6.281,33 |- | Gewinn || style="text-align:right" | 10.000,00 || style="text-align:right" | 10.000,00 || style="text-align:right" | 0,00 |- ! Nettopreis ! style="text-align:right" | 42.546,85 ! style="text-align:right" | 48.828,18 ! style="text-align:right" | +6.281,33 |- | Umsatzsteuer 19&nbsp;% || style="text-align:right" | 8.083,90 || style="text-align:right" | 9.277,35 || style="text-align:right" | +1.193,45 |- ! Bruttopreis ! style="text-align:right" | 50.630,75 ! style="text-align:right" | 58.105,53 ! style="text-align:right" | +7.474,78 |} n0ki1p922f2903hvbdnf0moj3watuup 1118124 1118123 2026-10-29T20:22:31Z CULTURELAB2627 42044 /* Berechnung Angebot 2 */ 1118124 wikitext text/x-wiki == b) NUEport: Sicher kalkuliertes Angebot == Das zweite Angebot beträgt '''58.105,53&nbsp;€ brutto''' (48.828,18&nbsp;€ netto). Es soll einige Risiken kalkulieren um sicherzustellen, dass das Angebot mit Sicherheit stattfinden kann. === Änderungen gegenüber Angebot 1 === {| class="wikitable" style="text-align:left" ! Annahme !! Angebot 1 !! Angebot 2 !! Begründung !! |- | Laufzeit || 3 Monate || 3,5 Monate || Der Puffer von einem halben Monat ist gewählt, um den Ausfall von Kranken- und Urlaubstagen zu decken || |- | Nutzungsdauer Kopierer || 4 Jahre || 3 Jahre || Die Nutzungsdauer wurde verringert, um sicherzustellen, dass bei früherem Ausfall des Gerätes es mit einkalkuliert ist. || |- | Zinssatz || 7&nbsp;% || 8&nbsp;% || Oberes Ende des vorgegebenen Rahmens || |- | Wagnisaufschlag || 5&nbsp;% || 7&nbsp;% || Oberes Ende des vorgegebenen Rahmens || |- | Material (Papier, Druckerzubehör) || 164,00&nbsp;€ || 196,80&nbsp;€ (+20&nbsp;%) || Mehr Druck eingerechnet, falls Fehler passieren || |- | Gewinn || 10.000,00&nbsp;€ || 10.000,00&nbsp;€ || Der Gewinn bleibt gleich. Es soll nicht mehr gewinn gemacht werden, sondern nur eine sichere Kalkulation stattfinden|| |} === Berechnung === Die Selbstkosten betragen 36.288,02&nbsp;€, mit Wagnisaufschlag 38.828,18&nbsp;€ netto. Das ist zugleich die langfristige Preisuntergrenze von Angebot 2. {| class="wikitable" style="text-align:left" ! Kostenart !! Position !! Rechenweg !! style="text-align:right" | Betrag (€) |- | Personal || 5 studentische Hilfskräfte || 5 × 900&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 15.750,00 |- | Personal || Wissenschaftler (angestellt) || 4.200&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 14.700,00 |- | Material || Papier || 14&nbsp;€ × 1,2 || style="text-align:right" | 16,80 |- | Material || Druckerzubehör || 150&nbsp;€ × 1,2 || style="text-align:right" | 180,00 |- | Betriebskosten || Büromiete Darmstadt || 750&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 2.625,00 |- | Betriebskosten || 6 SPSS-Lizenzen || 6 × 100&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 2.100,00 |- | Abschreibung || 6 Laptops || 3.600&nbsp;€ / 3 Jahre / 12 × 3,5 || style="text-align:right" | 350,00 |- | Abschreibung || Profi-Kopierer || 4.000&nbsp;€ / 3 Jahre / 12 × 3,5 || style="text-align:right" | 388,89 |- | Kalkulatorische Zinsen || gebundenes Kapital || 8&nbsp;% × 7.600&nbsp;€ × 3,5/12 || style="text-align:right" | 177,33 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Selbstkosten ! style="text-align:right" | 36.288,02 |- | Wagnisaufschlag || 7&nbsp;% auf die Selbstkosten || 36.288,02&nbsp;€ × 7&nbsp;% || style="text-align:right" | 2.540,16 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Vollkosten inkl. Wagnis (netto) ! style="text-align:right" | 38.828,18 |- | Gewinn || 20&nbsp;% vom Jahresumsatz, anteilig || 20&nbsp;% × 200.000&nbsp;€ × 3/12 || style="text-align:right" | 10.000,00 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Nettopreis ! style="text-align:right" | 48.828,18 |- | Umsatzsteuer 19&nbsp;% || || 48.828,18&nbsp;€ × 0,19 || style="text-align:right" | 9.277,35 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Bruttopreis ! style="text-align:right" | 58.105,53 |} === Vergleich beider Angebote === Angebot 2 ist mit 58.105,53&nbsp;€ brutto um 7.474,78&nbsp;€ (14,8&nbsp;%) teurer als Angebot 1. Den größten Anteil trägt die längere Laufzeit: Allein beim Personal sind es 4.350&nbsp;€, bei den Betriebskosten 675&nbsp;€. {| class="wikitable" ! Position !! style="text-align:right" | Angebot 1 (€) !! style="text-align:right" | Angebot 2 (€) !! style="text-align:right" | Differenz (€) |- | Personal || style="text-align:right" | 26.100,00 || style="text-align:right" | 30.450,00 || style="text-align:right" | +4.350,00 |- | Material || style="text-align:right" | 164,00 || style="text-align:right" | 196,80 || style="text-align:right" | +32,80 |- | Betriebskosten || style="text-align:right" | 4.050,00 || style="text-align:right" | 4.725,00 || style="text-align:right" | +675,00 |- | Abschreibung || style="text-align:right" | 550,00 || style="text-align:right" | 738,89 || style="text-align:right" | +188,89 |- | Kalkulatorische Zinsen || style="text-align:right" | 133,00 || style="text-align:right" | 177,33 || style="text-align:right" | +44,33 |- ! Selbstkosten ! style="text-align:right" | 30.997,00 ! style="text-align:right" | 36.288,02 ! style="text-align:right" | +5.291,02 |- | Wagnisaufschlag || style="text-align:right" | 1.549,85 || style="text-align:right" | 2.540,16 || style="text-align:right" | +990,31 |- ! Vollkosten (netto) ! style="text-align:right" | 32.546,85 ! style="text-align:right" | 38.828,18 ! style="text-align:right" | +6.281,33 |- | Gewinn || style="text-align:right" | 10.000,00 || style="text-align:right" | 10.000,00 || style="text-align:right" | 0,00 |- ! Nettopreis ! style="text-align:right" | 42.546,85 ! style="text-align:right" | 48.828,18 ! style="text-align:right" | +6.281,33 |- | Umsatzsteuer 19&nbsp;% || style="text-align:right" | 8.083,90 || style="text-align:right" | 9.277,35 || style="text-align:right" | +1.193,45 |- ! Bruttopreis ! style="text-align:right" | 50.630,75 ! style="text-align:right" | 58.105,53 ! style="text-align:right" | +7.474,78 |} 84xp0jw371bae94m5qaxoxn2rs6eysl 1118126 1118124 2026-10-29T20:25:24Z CULTURELAB2627 42044 1118126 wikitext text/x-wiki == b) NUEport: Sicher kalkuliertes Angebot == Das zweite Angebot beträgt '''58.105,53&nbsp;€ brutto''' (48.828,18&nbsp;€ netto). Es soll einige Risiken kalkulieren um sicherzustellen, dass das Angebot mit Sicherheit stattfinden kann. === Änderungen gegenüber Angebot 1 === {| class="wikitable" style="text-align:left" ! Annahme !! Angebot 1 !! Angebot 2 !! Begründung !! |- | Laufzeit || 3 Monate || 3,5 Monate || Der Puffer von einem halben Monat ist gewählt, um den Ausfall von Kranken- und Urlaubstagen zu decken || |- | Nutzungsdauer Kopierer || 4 Jahre || 3 Jahre || Die Nutzungsdauer wurde verringert, um sicherzustellen, dass bei früherem Ausfall des Gerätes es mit einkalkuliert ist. || |- | Zinssatz || 7&nbsp;% || 8&nbsp;% || Oberes Ende des vorgegebenen Rahmens || |- | Wagnisaufschlag || 5&nbsp;% || 7&nbsp;% || Oberes Ende des vorgegebenen Rahmens || |- | Material (Papier, Druckerzubehör) || 164,00&nbsp;€ || 196,80&nbsp;€ (+20&nbsp;%) || Mehr Druck eingerechnet, falls Fehler passieren || |- | Gewinn || 10.000,00&nbsp;€ || 10.000,00&nbsp;€ || Der Gewinn bleibt gleich. Es soll nicht mehr gewinn gemacht werden, sondern nur eine sichere Kalkulation stattfinden|| |} === Berechnung === Die Selbstkosten betragen 36.288,02&nbsp;€, mit Wagnisaufschlag 38.828,18&nbsp;€ netto. Das ist zugleich die langfristige Preisuntergrenze von Angebot 2. {| class="wikitable" style="text-align:left" ! Kostenart !! Position !! Rechenweg !! style="text-align:right" | Betrag (€) |- | Personal || 5 studentische Hilfskräfte || 5 × 900&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 15.750,00 |- | Personal || Wissenschaftler (angestellt) || 4.200&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 14.700,00 |- | Material || Papier || 14&nbsp;€ × 1,2 || style="text-align:right" | 16,80 |- | Material || Druckerzubehör || 150&nbsp;€ × 1,2 || style="text-align:right" | 180,00 |- | Betriebskosten || Büromiete Darmstadt || 750&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 2.625,00 |- | Betriebskosten || 6 SPSS-Lizenzen || 6 × 100&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 2.100,00 |- | Abschreibung || 6 Laptops || 3.600&nbsp;€ / 3 Jahre / 12 × 3,5 || style="text-align:right" | 350,00 |- | Abschreibung || Profi-Kopierer || 4.000&nbsp;€ / 3 Jahre / 12 × 3,5 || style="text-align:right" | 388,89 |- | Kalkulatorische Zinsen || gebundenes Kapital || 8&nbsp;% × 7.600&nbsp;€ × 3,5/12 || style="text-align:right" | 177,33 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Selbstkosten ! style="text-align:right" | 36.288,02 |- | Wagnisaufschlag || 7&nbsp;% auf die Selbstkosten || 36.288,02&nbsp;€ × 7&nbsp;% || style="text-align:right" | 2.540,16 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Vollkosten inkl. Wagnis (netto) ! style="text-align:right" | 38.828,18 |- | Gewinn || 20&nbsp;% vom Jahresumsatz, anteilig || 20&nbsp;% × 200.000&nbsp;€ × 3/12 || style="text-align:right" | 10.000,00 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Nettopreis ! style="text-align:right" | 48.828,18 |- | Umsatzsteuer 19&nbsp;% || || 48.828,18&nbsp;€ × 0,19 || style="text-align:right" | 9.277,35 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Bruttopreis ! style="text-align:right" | 58.105,53 |} 51rpeoh0hcyue7swpl7epatejmw33xz 1118127 1118126 2026-10-29T20:26:03Z CULTURELAB2627 42044 /* Berechnung */ 1118127 wikitext text/x-wiki == b) NUEport: Sicher kalkuliertes Angebot == Das zweite Angebot beträgt '''58.105,53&nbsp;€ brutto''' (48.828,18&nbsp;€ netto). Es soll einige Risiken kalkulieren um sicherzustellen, dass das Angebot mit Sicherheit stattfinden kann. === Änderungen gegenüber Angebot 1 === {| class="wikitable" style="text-align:left" ! Annahme !! Angebot 1 !! Angebot 2 !! Begründung !! |- | Laufzeit || 3 Monate || 3,5 Monate || Der Puffer von einem halben Monat ist gewählt, um den Ausfall von Kranken- und Urlaubstagen zu decken || |- | Nutzungsdauer Kopierer || 4 Jahre || 3 Jahre || Die Nutzungsdauer wurde verringert, um sicherzustellen, dass bei früherem Ausfall des Gerätes es mit einkalkuliert ist. || |- | Zinssatz || 7&nbsp;% || 8&nbsp;% || Oberes Ende des vorgegebenen Rahmens || |- | Wagnisaufschlag || 5&nbsp;% || 7&nbsp;% || Oberes Ende des vorgegebenen Rahmens || |- | Material (Papier, Druckerzubehör) || 164,00&nbsp;€ || 196,80&nbsp;€ (+20&nbsp;%) || Mehr Druck eingerechnet, falls Fehler passieren || |- | Gewinn || 10.000,00&nbsp;€ || 10.000,00&nbsp;€ || Der Gewinn bleibt gleich. Es soll nicht mehr gewinn gemacht werden, sondern nur eine sichere Kalkulation stattfinden|| |} === Berechnung === Die Selbstkosten betragen 36.288,02&nbsp;€, mit Wagnisaufschlag 38.828,18&nbsp;€ netto. Das ist zugleich die langfristige Preisuntergrenze von NUEport. {| class="wikitable" style="text-align:left" ! Kostenart !! Position !! Rechenweg !! style="text-align:right" | Betrag (€) |- | Personal || 5 studentische Hilfskräfte || 5 × 900&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 15.750,00 |- | Personal || Wissenschaftler (angestellt) || 4.200&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 14.700,00 |- | Material || Papier || 14&nbsp;€ × 1,2 || style="text-align:right" | 16,80 |- | Material || Druckerzubehör || 150&nbsp;€ × 1,2 || style="text-align:right" | 180,00 |- | Betriebskosten || Büromiete Darmstadt || 750&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 2.625,00 |- | Betriebskosten || 6 SPSS-Lizenzen || 6 × 100&nbsp;€ × 3,5 Monate || style="text-align:right" | 2.100,00 |- | Abschreibung || 6 Laptops || 3.600&nbsp;€ / 3 Jahre / 12 × 3,5 || style="text-align:right" | 350,00 |- | Abschreibung || Profi-Kopierer || 4.000&nbsp;€ / 3 Jahre / 12 × 3,5 || style="text-align:right" | 388,89 |- | Kalkulatorische Zinsen || gebundenes Kapital || 8&nbsp;% × 7.600&nbsp;€ × 3,5/12 || style="text-align:right" | 177,33 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Selbstkosten ! style="text-align:right" | 36.288,02 |- | Wagnisaufschlag || 7&nbsp;% auf die Selbstkosten || 36.288,02&nbsp;€ × 7&nbsp;% || style="text-align:right" | 2.540,16 |- ! colspan="3" style="text-align:left" | Vollkosten inkl. 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Okt. 2026 (CET) c6duucb94vetncun4tag4lj0xx50yjt 0 173344 1118132 2026-10-30T07:33:03Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118132 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es gibt die Beschreibung {{ Relationskette/display | A_c(N) || \sum_\zeta P_{c, \zeta } (N) \zeta^N || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \zeta |SZ=}} durch die Einheitswurzeln, die für {{math|term= D |SZ=}} relevant sind, läuft, und {{mathl|term= P_{c, \zeta } |SZ=}} Polynome sind. Eventuell direkt mit der erzeugenden Funktion arbeiten, die man als {{ Relationskette/display | F_c(t) || {{op:Bruch|1| {{op:Betrag|D|}} (1-t) }} \sum_{\chi \in {{op:Charakterdual|D|}} } {{op:Bruch| {{op:Komplexe Konjugation| \chi (c) }} | \prod_{i {{=}} 1}^m {{makl| 1 - \chi {{makl| d {{makl| e_i |}} |}} t |}} |}} || || || |SZ= }} schreiben kann. 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Insgesamt kommen {{mathl|term= {{op:Anzahl|D|}} \cdot m |SZ=}} lineare Terme mit Einheitswurzeln vor, {{math|term= 1 - \xi t |SZ=}} kommt so oft vor, wie es die Werte an den {{math|term= d(e_i) |SZ=}} für alle Charaktere vorgeben. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} d7cvqi94mdfery1ne4xw3km2nikp0lz