Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.48.0-wmf.1 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 17472 1118374 1085702 2026-11-01T13:53:42Z Bocardodarapti 2041 1118374 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Ein Element in einem {{ Definitionslink |Monoidring| |Kontext=| |SZ= }} lässt sich eindeutig als {{ Relationskette/display | f || {{summe/index|a_m e_m |m \in \tilde{M} }} || || || |SZ=, }} schreiben, wobei {{ Relationskette | \tilde{M} | \subseteq | M || || || |SZ= }} eine endliche Teilmenge ist und {{ Relationskette | a_m | \in | R || || || |SZ=. }} Addiert wird komponentenweise und die Multiplikation ist explizit durch {{ Relationskette/display | f \cdot g | | {{makl| \sum_{m \in \tilde{M} } a_m e_m |}} {{makl| \sum_{k \in \bar{M} } b_k e_k |}} | | \sum_{\ell \in M} {{makl| \sum_{m+k {{=}} \ell, m \in \tilde{M}, k \in \bar{M} } a_mb_k |}} e_\ell |SZ= }} gegeben. Dies ist mit distributiver Fortsetzung gemeint. Die Menge der {{math|term= \ell |SZ=,}} über die hier summiert wird, ist endlich, und auch die inneren Summen sind jeweils endlich. Es ist üblich, statt {{math|term= e_m }} suggestiver {{math|term= X^m }} zu schreiben, wobei {{math|term= X }} ein Symbol ist, das an eine Variable erinnern soll. Die Multiplikationsregel {{ Relationskette | X^m X^k || X^{m+k} || || || |SZ= }} erinnert an die entsprechende Regel für Polynomringe. In der Tat sind Polynomringe Spezialfälle von Monoidringen, und diese Notation stammt von dort. Auch ein exakter Beweis, dass in der Tat ein Ring mit assoziativer und distributiver Multiplikation vorliegt, funktioniert wie im Fall von Polynomringen. Meistens schreibt man ein Element einfach als {{mathl|term= \sum_{m \in M } a_m X^m |SZ=,}} wobei fast alle {{ Relationskette | a_m || 0 || || || |SZ= }} sind. Elemente der Form {{math|term= X^m }} nennt man {{Stichwort|Monome|msw=Monom |SZ=.}} Die Abbildung {{ Abbildung |name= | M | R[M] | m | X^m |SZ=, }} ist ein Monoidhomomorphismus, wobei rechts die multiplikative Monoidstruktur des Monoidringes genommen wird. Ein Monoidring ist in natürlicher Weise eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |SZ=, }} und zwar sind die Elemente {{math|term= f }} aus {{math|term= R }} aufgefasst in {{math|term= R[M] }} gleich {{ Relationskette/display | f || f \cdot 1 || fX^0 || || |SZ=. }} Man nennt daher auch {{math|term= R |SZ=}} den {{Stichwort|Grundring |SZ=}} des Monoidringes. Monoidringe sind bereits für {{ Definitionslink |Grundkörper| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition |SZ= }} interessant. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Erste Eigenschaften von Monoidringen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qwxpe2ap7zoglhnhj5gjkz7psz79bni 0 55794 1118410 1045901 2026-11-02T08:03:26Z Bocardodarapti 2041 1118410 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{:Körper/Situation|SZ=,}} {{math|term= D |SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= A |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=D|graduierte| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |kommutative| |Kontext=Ring| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K|Algebra| |Kontext=| |SZ=. }} |Voraussetzung= Der Körper enthalte hinreichend viele Einheitswurzeln, sodass die {{ Definitionslink |Prämath= |Charaktergruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |G || {{op:Charakterdual| D ||}} || || || |SZ= }} von {{math|term= D |SZ=}} isomorph zu {{math|term= D |SZ=}} sei. |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term= A_0 |SZ=}} der {{ Definitionslink |Invariantenring| |Kontext=| |SZ= }} unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe {{math|term= G |SZ=}} auf {{math|term= A |SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Invariantenring und Ring der nullten Stufe |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3r9uxyj5ujyngsdj2jq2j30wpsy8c9t 0 55795 1118412 1101231 2026-11-02T08:04:36Z Bocardodarapti 2041 1118412 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Für ein Element {{ Relationskette | f | \in | A_0 || || || |SZ= }} und einen beliebigen {{ Definitionslink |Charakter| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \chi |SZ=}} ist offenbar {{ Relationskette/display | \chi f || \varphi_\chi (f) || \chi(0) f || f || |SZ=, }} sodass {{ Relationskette | A_0 | \subseteq | A^G || || || |SZ= }} ist. Da die Operation der Charaktergruppe homogen ist, sind die homogenen Komponenten eines invarianten Elements {{ Relationskette | f | \in | A^G || || || |SZ= }} ebenfalls invariant. Es sei {{ Relationskette | f | \in | A_d \cap A^G || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | d | \neq | 0 || || || |SZ=. }} Aufgrund der Voraussetzung über die Einheitswurzeln gibt es einen Charakter {{ Abbildung/display |name= \chi | D | K^\times || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \chi(d) | \neq | 1 || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | \chi f || \varphi_\chi(f) || \chi(d) f | \neq | f || |SZ=, }} also sind solche Elemente nicht invariant. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s3bsq4gtcs476bis9c7056wt5v5m7ub 0 101035 1118614 1064417 2026-11-02T11:32:08Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele Zufallsexperiment */ 1118614 wikitext text/x-wiki ==Einführung und Beispiele== [[w:Stochastik|Stochastik]] = [[w:Wahrscheinlichkeitstheorie|Wahrscheinlichkeitstheorie]] + [[w:Mathematische Statistik|Statistik]]<br> In der Stochastik werden Vorgänge untersucht, deren Ablauf vom Zufall (mit-)bestimmt wird. Sofern sie einer [[Wahrscheinlichkeitsraum|objektiven Beschreibung]] zugänglich sind, werden diese im Folgenden [[w:Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]] genannt. === Beispiele Zufallsexperiment === * (B1) Geschlecht eines Neugeborenen <math>\Omega_1 := \{ m,w, d\} </math>, * (B2) Gewicht eines Neugeborenen in Gramm <math>\Omega_2 := \{1,\ldots , 6000\}</math>, * (B3) Anzahl der Würfe bis zur ersten 6 mit <math>\Omega_3 := \mathbb{N} </math> * (B4) Entnahme und Prüfung von Bauteilen (defekt/ in Ordnung) z.B. von 100 Glühbirnen aus einer Tagesproduktion <math>\Omega_4 := \{0,1\}^{100} </math> (0=defekt, 1=OK) * (B5) Augensumme beim Werfen von 3 Würfeln <math>\Omega_5:=\{3,\ldots , 18 \}</math> === Zufallsexperiment und mathematisches Modell === Wahrscheinlichkeitstheorie stellt für ein Zufallsexperiment unter Abzug der inhaltlichen Bedingungen (Abstraktion) ein [[w:mathematisches Modell|mathematisches Modell]] auf. Konkrete Fragestellungen können dann auf der Ebene dieses Modells bearbeitet werden. == Ergebnisraum, Ereignisse, Wahrscheinlichkeit == Alle möglichen [[w:Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisse]] (Werte), die bei der Durchführung eines Zufallsexperimentes auftreten können, werden zum [[Ergebnisraum|Ergebnisraum]] (Grundmenge) <math>\Omega</math> zusammen gefasst. Jedes [[w:Element (Mathematik)|Element]] <math>\omega \in \Omega</math> heißt Ergebnis oder Realisation. <math>\Omega</math> wird vor der Durchführung des Zufallsexperiments festgelegt. === Beispiele Ergebnisraum === * (B1) Geschlecht eines Neugeborenen: <math>\Omega = \{m,w\} </math>, mögliches Ergebnis <math>\omega = m </math> * (B2) Gewicht eines Neugeborenen in Gramm: <math>\Omega = \{1, 2,..., 10000\}</math>, mögliches Ergebnis <math>\omega = 2731 [g] </math> * (B3) 900-maliges Würfeln mit Auszählen der gewürfelten Sechser: <math>\Omega = \{0, 1,..., 900\}</math>, mögliches Ergebnis <math>\omega = 138 </math> * (B4) Prüfung von 100 Glühbirnen: <math>\Omega = \{0, 1,..., 100\}</math>, mögliches Ergebnis <math>\omega = 12 </math> Glühbirnen defekt bei Überprüfung von 100 Glühbirnen. * (B5) Anzahl der Augen (1,..,6) beim Werfen eines Würfels <math>\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math>, mögliches Ergebnis <math>\omega = 2 </math> === Alternative Festlegung des Ergebnisraum === Je nach Fragestellung / Interessenslage sind unterschiedliche Festlegungen von <math>\Omega</math> möglich.<br> Falls in (B3) die maximale Länge von '1er', '2er', ... , '6er' Sequenzen interessiert, so setzt man <math>\Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^{900}</math>. Ein mögliches Ergebnis wäre dann <math>\omega= (\underbrace{5, 6 , 1, 3,..., 6}_{900 \ mal}) \ \in \ \ \Omega</math>. === Ereignis === Häufig interessiert weniger das genaue Ergebnis <math>\omega</math> eines Zufallsexperiments, sondern mehr die Frage, ob die Realisation eine bestimmte Eigenschaft besitzt bzw. ob ein bestimmtes [[w:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignis]] eingetreten ist.<br> Die Ereignisse eines Zufallsexperimentes sind die Teilmengen der Grundmenge <math>\Omega</math>. 'Ereignis <math>A \subset \Omega</math> tritt ein' besagt, dass <math>\omega \in \Omega</math> als Ereignis eingetreten ist. === Unterschied: Ergebnis Ereignis === Sei <math>\Omega</math> der Ergebnisraum eines Zufallsexperiments <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math>, dann gilt: * <math>\omega \in \Omega</math> ist ein Ergebnis * <math>A \subset \Omega</math> ist ein Ereignis, wenn <math>A \in \mathcal{S} \subset \wp(\Omega)</math> ist ein Ereignis.<br> Ereignisse sind also Teilmengen von <math>\Omega</math>. ====Beispiel==== Bei einem Würfelexperiment ist ein Ergebnis <math>6\in \Omega</math>. Ein Ereignis "gerade Zahl gewürfelt" entspricht dann z.B. die Teilmenge <math>A:=\{2,4,6\} \subset \wp(\Omega)</math> === Bezeichnungen von Ereignissen (1)=== Seien <math> A, B \subset \Omega </math> Ereignisse, so bedeutet * <math> \overline{A} = \Omega \setminus A </math>: Komplementärereignis oder Gegenereignis von A ('A ist nicht eingetreten'). * <math> A \cup B </math>: Oder-Ereignis ('A und/ oder B ist/ sind eingetreten'). * <math> A \cap B </math>: Und-Ereignis ('A und B sind eingetreten'). * <math> \emptyset </math>: Unmögliches Ereignis. * <math> \Omega </math>: Sicheres Ereignis/Ergebnisraum (bzw. Grundmenge). * <math> \{\omega\} </math>: Elementarereignis, falls <math> \omega \in \Omega</math> ein Ergebnis ist. === Bezeichnungen von Ereignissen (2)=== * <math>\wp(\Omega)</math>: [[w:Potenzmenge|Potenzmenge]] von <math>\Omega</math> - Menge aller Teilmengen. * <math> w \in \Omega </math>: Ergebnis (Realisation). * <math> \mathcal{S} (\Omega)</math>: <math>\sigma</math>-Algebra, <math>A \in \mathcal{S} (\Omega)</math>, <math>[ A \subset \Omega ] </math> Ereignis. * <math> P(A) </math>: Wahrscheinlichkeit von <math> A </math>, <math> P </math> Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> (genauer <math> \mathcal {S} (\Omega) </math>). * <math> (\Omega, \mathcal{S} (\Omega), P)</math>: bildet ein mathematisches Modell für ein Zufallsexperiment (alternativ: <math> (\Omega, \mathcal{S}, P)</math>, wenn der Bezug zum Ergebnisraum <math>\Omega</math> klar ist). == Siehe auch == * [[stetiges Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[w:de:Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete_Wahrscheinlichkeitsräume&author=Kurs+Stochastik&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [[Wikipedia:Wahrscheinlichkeitsraum]] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsräume <!-- * Nächste Inhalte des Kurses sind [[Beispiele Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume]] --> 5pqn06owcalqkjds4gw87k0vt0tikfj 0 101046 1118601 1117882 2026-11-02T11:08:22Z Bert Niehaus 20843 /* Verteilungsfunktionen */ 1118601 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Unterscheidung von [[stetig oder diskret|diskrete und stetigen]] Wahrscheinlichkeitsverteilungen erfolgt über die [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]]. Der bereits aus der Analysis bekannte Begriff der [[w:de:Stetige Funktion|Stetigkeit]] wird dabei auf die [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] angewendet und [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|stetige]] Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen eine ''stetige Verteilungsfunktion''. Diskrete Verteilungen besitzen anschaulich Verteilungsfunktionen, die ''rechtsseitig stetige Treppenfunktionen bilden''. === Stetigkeit der Verteilungsfunktion === Die folgende Abbildung zeigt übereinander 3 Verteilungsfunktionen einer diskreten, einer stetigen und einer gemischten eindimensionalen Zufallsvariable. [[Datei:Discrete probability distribution illustration.svg|250px|center|Verteilungsfunktionen einer diskreten, einer stetigen und einer gemischten Zufallsvariable.]] === Eigenschaften der Verteilungsfunktion === Die Eigenschaften eine beliebigen (diskreten, stetigen) Verteilungsfunktion <math>F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math> sind: * '''(VT1)''' <math>F</math> ist [[w:de:Monoton steigende Funktion|monoton steigend]]. * '''(VT2)''' <math>F</math> ist [[w:de:Stetigkeit#Linksseitige/rechtsseitige Stetigkeit|rechtsseitig stetig]]. * '''(VT3)''' <math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} F(x) = 1</math>. === Bemerkung - rechtsseitig stetig - stetige Verteilungsfunktion === Man kann also im Allgemeinen mit (VT2) nur voraussetzen, dass jede Verteilungsfunktion rechtseitig stetig ist. Dies gilt also für jede diskrete, stetige und gemischte Verteilung. Die Menge der [[stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen Verteilung]] (wie z.B. [[Normalverteilung]] oder [[Exponentialverteilung]]) sind dann ein Spezialfall von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, bei denen die Verteilungsfunktion stetig ist. === Bemerkung - stetige Verteilung - unstetige Dichtefunktion === Bei [[stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] gilt nicht notwendigerweise, dass eine existierende Dichtefunktion ebenfalls stetig ist. Bei der [[Normalverteilung]] ist die Dichtefunktion stetig. Die [[Rechteckverteilung]] als [[stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] hat aber eine ''Dichtefunktion'', die ''nicht stetig'' ist. === Beispiel - stetige Verteilung === Beispiele für Verteilungsfunktionen von [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilungen]] mit unterschiedlichen Varianzen und Erwartungswerten. [[Datei:Normal Distribution CDF.svg|center|300px|Beispiele für Verteilungsfunktionen]] === Weder stetig noch diskret === Es gibt (eher unüblich) [[Verteilungsfunktion|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]], die weder diskret noch stetig sind. Diese nennt man dann ''gemischte Verteilungen''. === Einführendes Beispiel - diskret === Wir betrachten ein Würfelexperiment mit den möglichen Ergebgnissen <math>\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6 \}</math>. Ein Ereignis kann man in Worten z.B. mit Ereignis ''A "gerade Zahl gewürfelt"'' oder Ereignis ''B "Zahl kleiner 5 gewürfelt"'' beschreiben. Solche Ereignisse sind formal Teilmengen von der Menge aller Ergebnisse <math>\Omega</math> also <math>A = \{ 2,4,6 \} \subseteq \Omega</math> bzw. <math>B = \{ 1,2,3,4 \} \subseteq \Omega</math>. Jedem Ereignis wird dann ein Wahrscheinlichkeit <math>P(A) = \frac{3}{6}</math> bzw. <math>P(B) = \frac{4}{6}</math> zugeordnet. === Einführendes Beispiel - stetig === Eine Person wirft Dartscheibe und versucht dabei immer das den Mittelpunkt des Kreises (Bulls Eye) zu treffen. Die in Regel unbekannte Trefferverteilung auf der Dartscheibe ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einer Teilmenge <math>D \subset \mathbb{R}^2 </math>. == Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Eine '''diskrete (Wahrscheinlichkeits-)verteilung''' bzw. ein '''diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß''' ist ein spezielles [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]]. Im Gegensatz zu den allgemeinen Wahrscheinlichkeitsmaßen sind die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf einer endlichen bzw. abzählbaren Menge <math>M \subseteq \Omega</math> von [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignissen]] mit positiver Wahrscheinlichkeit (<math>P(\{\omega\}) > 0 </math> für alle <math>\omega \in M </math>) und <math>P(M)=1</math> definiert (siehe [[Wikipedia: Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]). === Weder stetig noch diskret - Summe der Wahrscheinlichkeiten von Einpunktmenge === Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die weder diskret noch stetig sind, kann man bei abzählbarem Träger an der Summe der Wahrscheinlichkeiten von Einpunktmengen ablesen. Mit Menge <math>M \subseteq \Omega</math> von [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignissen]] mit positiver Wahrscheinlichkeit (<math>P(\{\omega\}) > 0 </math> wäre <math>0 < P(M) < 1</math> ein Verteilung, die weder diskret noch stetig ist. === Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume === Im Gegensatz zu endlichen bzw. abzählbaren Trägermengen <math>\Omega</math> sind überabzählbare Grundmengen <math>\Omega</math> problematisch, um jeder Teilmenge von <math>\Omega</math> (Ereignissen) eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Z.B. auf dem Intervall <math>[0,1] \subset \mathbb{R}</math> der reellen Zahlen treten Paradoxien auf. Der [[w:de:Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] zeigt, dass die Potenzmenge von <math>\Omega</math> nicht geeignet ist als Definitionsbereich des W'Maßes und man zu einem komplexeren Mengensystem, wie der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] übergehen muss. === Wahrscheinlichkeitsraum === Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Positivität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math> A \in \Omega</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und paarweise disjunkt folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> und <math>(\Omega,\mathcal{S}, P) </math> Wahrscheinlichkeitsraum. ==== Bemerkung ==== Die Einschränkung 'paarweise disjunkt' ist wesentlich. Für die nicht paarweise disjunkte Mengen sieht man an folgenden Beispielen unmittelbar, dass die <math>\sigma</math>-Additivität hier nicht gilt: * <math> A_1 = A_2 = \Omega </math> und man erhält <math>1 = P (\Omega) = P(A_1 \cup A_2) \not= P(A_1) + P(A_2) = 2 </math>. * <math> A_i = \Omega </math> gilt: <math> P(\bigcup _{i = 1} ^{\infty} A_i) = 1 \not= \sum_{i =1} ^{\infty} P(A_i) = \infty </math>. ===Elementare Eigenschaften von P (1) === Allein aus der obigen Definition heraus leiten wir ab: * <math> P(\varnothing) = 0</math>, denn es folgt für alle <math> A_i = \varnothing </math>: <math> P(\varnothing) = \sum_{i=1} ^{\infty} P(\varnothing)</math>; die Ausnahme <math> P(\varnothing) > 0</math> liefert den Widerspruch. * <math>P(\bigcup _{i=1} ^n A_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i)</math> für paarweise disjunkte <math> A_1, ..., A_n </math>('Additivität'). Insbesondere: <math> P(A \cup B) = P(A) + P(B) </math> für disjunkte <math>A, B</math>, denn setzte: <math> A_{n+1} = A_{n+2} = ... = \varnothing </math> und beachte 1). ===Elementare Eigenschaften von P (2) === * <math> P( \bar A) = 1 - P(A)</math>, denn <math>1 = P(\Omega) = P(A \cup \bar A) = P(A) + P( \bar A)</math>. * <math> P(A) \le P(B) </math> für <math> A \subset B </math> ('Monotonie'), denn <math> B=B \cap \bar A \cup A </math> (disjunkt), also <math>P(B) = P(A) + P(B \cap \bar A) \ge P(A)</math>. * Zusätzlich gilt <math> P(B\setminus A) = P(B) - P( A \cap B)</math> mit <math>B \setminus A \equiv B \cap \bar A</math>. * Es gilt außerdem <math> P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math> <br> Allgemein: <math> P(A_i, ..., A_n) \le \sum_{i=1}^n P(A_i)</math> <br> Insbesondere: <math> P(A \cup B) \le P(A) + P(B) </math> ===Elementare Eigenschaften von P (3) === Für einelementige (Elementar-)Ereignisse <math> \lbrace w \rbrace </math> setzten wir <math> p_w = P(\lbrace w \rbrace )</math> und haben somit: * <math> p_w \ge 0</math>. * <math> \sum_{w \in \Omega} p_w = P(\Omega)=1</math>. * <math> \sum_{w \in A} p_w = P(A) </math> für jedes <math> A \in \Omega </math>. <br> Aus Letzerem folgt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> durch die Werte von <math> p_w </math> eindeutig festgelegt werden kann. === Diskreter W'Raum - Münzwurf === Einfachstes Beispiel einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung wäre ein Wurf mit einer möglicherweise gezinkten Münze: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet dem [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignis]] "Die Münze zeigt Kopf" eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Kopf zeigt. Ebenso ordnet sie dem Ergebnis "Die Münze zeigt Zahl" eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Zahl zeigt. Dem intuitiven Verständnis von Wahrscheinlichkeit entsprechend summieren sich diese Zahlen zu eins auf. === Einpunktmenge und stetige Verteilung === Für stetige Verteilung gilt, dass die Wahrscheinlichkeit <math>P(\{\omega\})=0</math> für beliebige Einpunktmengen <math>\{\omega\}</math> mit <math>\omega \in \Omega</math> gilt. Daher liefert die Wahrscheinlichkeitsmasse von Einpunktmengen keine Informationen für die stetige Verteilung <math>P</math>. == Verteilungsfunktionen == In dem folgenden Abschnitt werden Verteilungsfunktionen behandelt. Die Begriffsdefinition ist notwendig, um stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu definieren. Unterschieden werden dabei * der eindimensionale Fall <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> und * der mehrdimensionale Fall <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))</math>. In beiden Fällen wird als <math>\sigma</math>-Algebra die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)</math> verwendet. === Verteilungsfunktion - eindimensional === Bei reellwertigen Zufallsgrößen <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> wird die Verteilungsfunktion über die induzierte Verteilung auf <math>(\mathbb{R},\mathcal{B})</math> über <math>F(x):=P^X((-\infty,x])</math> angegeben. === Verteilungsfunktion - mehrdimensional === Bei Zufallsgrößen <math>X:\Omega \to \mathbb{R}^n </math> wird die Verteilungsfunktion über die induzierte Verteilung auf <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}^n)</math> über <math> F(x_1 ,\ldots , x_n) := P^X((-\infty,x_1] \times \cdots \times (-\infty,x_n]) </math> angegeben. == Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Verteilungsfunktion stetig. Daraus ergibt sich insbesondere, dass k Einpunktmengen im Gegensatz zu den diskrete Verteilungen keine Wahrscheinlichkeitsmasse tragen. Es ist wichtig zu bemerken, dass sich der Stetigkeitsbegriff nicht auf die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] bezieht. Die [[Rechteckverteilung]] ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, dessen Dichtefunktion nicht stetig ist. === Definition - Stetige Verteilung === Eine Verteilung auf <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}^n), P</math> heißt stetig, wenn die zugehörige Verteilungsfunktion <math>F: \mathbb{R}^n \to [0,1]</math> stetig ist. === Bemerkung 1 - Stetige Verteilung === Die Definition liefert aber nicht, dass eine unstetige Verteilung eine diskrete Verteilung ist. Diskrete Verteilung sind rechtsseitig stetige monoton steigende Treppenfunktionen. === Bemerkung 2 - Stetige Verteilung === Die Definition liefert ebenfalls nicht, dass eine stetige Verteilungen eine stetige [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]]. Die Rechteckverteilung ist eine stetige Verteilung, aber diese besitzt keine stetige [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]]. === Beispiel - stetige Verteilung === Die folgende Abbildung zeigt verschieden Wahrscheinlichkeitsdichten der [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|450px|zentriert|Wahrscheinlichkeitsdichten der Normalverteilung]] === Verteilungsfunktion (1) === [[Datei:Bernouli trial cdf p35.png|mini|]] Die Abbildung zeigt eine Verteilungsfunktion einer Bernoulli-Verteilung zum Parameter <math> p = 0{,}65 </math> mit charakteristischen Sprungstellen bei 0 und bei 1. === Verteilungsfunktion (2) === Bettet man diskrete Verteilungen auf <math> \mathbb N </math> (oder einer beliebigen höchstens abzählbaren Teilmenge der reellen Zahlen) in die reellen Zahlen <math> \mathbb R </math> ein, so kann der Verteilung eine [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] zugeordnet werden. Diese zeichnet sich bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen dadurch aus, dass sie stückweise konstant ist. An einer Stelle <math> i </math> mit <math> P(\{ i \}) > 0 </math> besitzt die Verteilungsfunktion immer einen „Sprung“ nach oben, und das um genau den Wert <math> P(\{ i \}) </math>. === Beispiel - stetige Verteilungsfunktion === Die folgende Abbildung zeigt unterschiedliche Verteilungsfunktionen der Normalverteilung. [[Datei:Normal-distribution-cumulative-distribution-function-many.svg|350px|center|Unterschiedliche Verteilungsfunktionen der Normalverteilung]] === Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion === Diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf <math> \mathbb N_0 </math> kann zusätzlich zu den klassischen erzeugenden Funktionen ([[w:de:Momenterzeugende Funktion|Momenterzeugende Funktion]], [[w:de:Kumulantenerzeugende Funktion|Kumulantenerzeugende Funktion]] und [[w:de:Charakteristische Funktion (Stochastik)|Charakteristische Funktion]]) noch eine [[w:de:wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion|wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] zugeordnet werden. Dabei handelt es sich um ein [[w:de:Polynom|Polynom]] oder um eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], die jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung eindeutig zugeordnet werden kann. Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen erleichtern beispielsweise das Berechnen der [[w:de:Moment (Stochastik)|Momente]] wie Erwartungswert oder Varianz oder liefern einfache [[w:de:Faltung (Stochastik)|Faltungsidentitäten]]. === Aufgabe - Weder stetig noch diskret === Konstruieren Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>, bei der * <math>P(\{-1\}) = \frac{1}{2}</math> * <math>P([0,1]) = \frac{1}{2}</math> mit stetiger Gleichverteilung. Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von <math>(P,\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>! == Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Folgend sind einige wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Konstruktion aufgezählt. Die Einteilung ist dabei nicht zwingend, manche Verteilungen können auch auf mehrere Arten konstruiert werden. === Aus der Bernoulli-Verteilung abgeleitet (1) === Ein Ausgangspunkt der Modellierung ist die [[w:de:Bernoulli-Verteilung|Bernoulli-Verteilung]]. Sie modelliert den Wurf einer Münze, wobei "Kopf" mit 1 codiert wird und "Zahl" mit 0. Die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" wird durch eine Zahl <math> p \in [0,1] </math> gegeben. Somit handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \{0,1\}. </math> <br> Aus dieser Verteilung lassen sich direkt ableiten: === Aus der Bernoulli-Verteilung abgeleitet (2) === * Die [[w:de:Binomialverteilung|Binomialverteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei <math>n</math> unabhängigen Würfen mit derselben Münze <math>k</math> Erfolge zu erhalten. Ihre [[w:de:Multivariate Verteilung|multivariate]] Entsprechung ist die [[w:de:Multinomialverteilung|Multinomialverteilung]]. * Die [[w:de:Verallgemeinerte Binomialverteilung|Verallgemeinerte Binomialverteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei <math>n</math> unabhängigen Würfen mit ''unterschiedlichen'' Münzen <math>k</math> Erfolge zu erhalten. * Die [[w:de:Geometrische Verteilung|Geometrische Verteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für die Wartezeit auf den ersten Erfolg beim sukzessiven, unabhängigen Werfen einer Münze an. * Die [[w:de:Negative Binomialverteilung|Negative Binomialverteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für die Wartezeit auf den <math>r</math>-ten Erfolg beim sukzessiven, unabhängigen Werfen einer Münze an. === Aus der Bernoulli-Verteilung abgeleitet (3) === Dabei werden geometrische und negative Binomialverteilung auch in verschiedenen Varianten definiert. <br> Weitere ableitbare Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind die [[w:de:Beta-Binomialverteilung|Beta-Binomialverteilung]] (die Erfolgswahrscheinlichkeit der Münze selbst wird als [[w:de:Betaverteilung|Betaverteilt]] angenommen) sowie die [[w:de:Rademacher-Verteilung|Rademacher-Verteilung]] und die [[w:de:Zweipunktverteilung|Zweipunktverteilung]] (Bernoulli-Verteilungen auf speziellen Werten) und die [[w:de:Dirac-Verteilung|Dirac-Verteilung]] (degeneriertet Grenzfall einer Münze, die immer dasselbe Ergebnis zeigt). === Aus dem Urnenmodell abgeleitet (1) === Ein weiterer Ausgangspunkt der Modellierung ist das [[w:de:Urnenmodell|Urnenmodell]], das auf der [[w:de:Diskrete Gleichverteilung|diskreten Gleichverteilung]] basiert. Dabei werden insgesamt <math> N </math> Kugeln in mehrere Gruppen geteilt (gefärbt, nummeriert, etc.), in eine Urne gelegt. Aus dieser wird dann gezogen, entweder mit zurücklegen oder ohne. Dabei soll (entsprechend der Gleichverteilung) jede Kugel gleich wahrscheinlich sein. So lassen sich beispielsweise konstruieren: === Aus dem Urnenmodell abgeleitet (2) === * die [[w:de:Hypergeometrische Verteilung|Hypergeometrische Verteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei <math>n</math>-maligem Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit zwei Sorten Kugeln genau <math>k</math> Kugeln einer Sorte zu erhalten. * ihr multivariates Pendant, die [[w:de:multivariate hypergeometrische Verteilung|multivariate hypergeometrische Verteilung]]. === Gleichverteilung (Definition) (1)=== Die Gleichverteilung über einer endlichen Grundmenge <math> \Omega </math> wird bestimmt durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion <br> :<math> p_w = \frac {1} {|\Omega|}</math> (für alle <math> w \in \Omega). </math> <br> Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis <math> A \subset \Omega </math> ist dann <br> :<math> P(A) = \sum_{w \in A} p_w = \frac {|A|} {|\Omega|}. </math> <br> === Gleichverteilung (Definition) (2)=== Die Gleichverteilung wird auch Laplaceverteilung genannt. Ein Zufallsexperiment, dem die Gleichverteilung zugeordnet wird, wird auch Laplaceexperiment genannt. <br> Interpretation der zweiten Formel: Sei <math> A \subset \Omega </math> gegeben. Ein Ereignis <math> w \in A </math> heißt "günstig" für <math>A</math>. Jedes <math> w \in \Omega </math> ist "möglich". <math> \frac {|A|} {|\Omega |} </math> ist dann die Anzahl der günstigen durch die Anzahl der möglichen Ereignisse. ==== Gleichverteilung (Beispiel) ==== Einmal werfen mit einem symmetrischen Würfel. Auf <math> \Omega = \lbrace 1, 2, ..., 6 \rbrace </math> definiert man die Wahrscheinlichkeitsfunktion <math> p_1 = p_2 = ... = p_6 = \frac {1} {6} </math> ("Gleichverteilung" über <math> \lbrace 1, 2, ..., 6\rbrace </math>). <br> Ist <math> A= \lbrace 1,3,5 \rbrace</math> das Ereignis "ungerade Augenzahl", so gilt <math> P(A) = p_1 + p_3 + p_5 = \frac {3} {6} = {1} {2} </math>. === Einpunktverteilung (Beispiel) === Seien <math> \Omega </math> und <math> w_0 \in \Omega </math> beliebig. Dann definiert :<math> p_{w_0} = 1, p_w = 0 </math> <br> (für alle <math> w \neq w_0</math>, "Einpunktverteilung") die in <math>w _0 </math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> \epsilon _{w_0}</math>. Es ist <br> :<math> \epsilon_{w_0} (A) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & w_0 \notin A \\ 1, & w_0 \in A \end{array}\right. .</math> === Geometrische Verteilung (Beispiel) (1) === Eine symmetrische Münze wird so oft geworfen, bis zum ersten Mal Kopf auftritt. Der Ergebnisraum <math> \Omega </math> besteht aus allen möglichen auftretenden Sequenzen: <br> <math> w_1 = K, w_2 = ZK, w_3 = ZZK..., w_{\infty} = ZZZZZ ... </math> <br> (Wir schreiben <math> p_k </math> anstatt <math> p_{w_k}</math>.) Es ist <math>p_1 = \frac {1} {2}</math>. Heuristische Überlegung zur Bestimmung der <math>p_k, k> 1</math>: === Geometrische Verteilung (Beispiel) (2)=== Wir betrachten <math>w_k = (Z ... ZK)</math> (k-1-mal Z) als Element der Menge <math>\Omega_k = \lbrace Z,K \rbrace^k</math>. Es ist <math>| \Omega_k| = 2^k</math>. Alle <math> 2^k </math> Elemente von <math> \Omega_k </math> sind gleichwahrscheinlich. Es folgt: <br> :<math> p_k = \frac {1} {2^k} , k \in \mathbb{N}</math> ('Geometrische Verteilung') <br> Normierung: <math> \sum_{k=1} ^{\infty} p_k = \sum_{k = 1} ^{\infty} \frac {1} {2^k} = 1 </math>. Somit hat man also <math> p_{\infty} = 0 </math> zu setzen. == Siehe auch == * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[w:de:Stetige Funktion|Stetigkeit in der Analysis]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[stetig oder diskret]] * [[Kurs:Stochastik]] == Literatur == * Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, doi:10.1515/9783110215274 * Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, doi:10.1007/978-3-642-21026-6 * David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, S. 90, doi:10.1007/b137972 == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete_und_stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilungen&author=Stochastik&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsverteilung https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsverteilung] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Normen,_Metriken,_Topologie * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] mses07frbecncgk8p468j4u2rd6gomf 1118602 1118601 2026-11-02T11:08:59Z Bert Niehaus 20843 /* Verteilungsfunktionen */ 1118602 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Unterscheidung von [[stetig oder diskret|diskrete und stetigen]] Wahrscheinlichkeitsverteilungen erfolgt über die [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]]. Der bereits aus der Analysis bekannte Begriff der [[w:de:Stetige Funktion|Stetigkeit]] wird dabei auf die [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] angewendet und [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|stetige]] Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen eine ''stetige Verteilungsfunktion''. Diskrete Verteilungen besitzen anschaulich Verteilungsfunktionen, die ''rechtsseitig stetige Treppenfunktionen bilden''. === Stetigkeit der Verteilungsfunktion === Die folgende Abbildung zeigt übereinander 3 Verteilungsfunktionen einer diskreten, einer stetigen und einer gemischten eindimensionalen Zufallsvariable. [[Datei:Discrete probability distribution illustration.svg|250px|center|Verteilungsfunktionen einer diskreten, einer stetigen und einer gemischten Zufallsvariable.]] === Eigenschaften der Verteilungsfunktion === Die Eigenschaften eine beliebigen (diskreten, stetigen) Verteilungsfunktion <math>F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math> sind: * '''(VT1)''' <math>F</math> ist [[w:de:Monoton steigende Funktion|monoton steigend]]. * '''(VT2)''' <math>F</math> ist [[w:de:Stetigkeit#Linksseitige/rechtsseitige Stetigkeit|rechtsseitig stetig]]. * '''(VT3)''' <math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} F(x) = 1</math>. === Bemerkung - rechtsseitig stetig - stetige Verteilungsfunktion === Man kann also im Allgemeinen mit (VT2) nur voraussetzen, dass jede Verteilungsfunktion rechtseitig stetig ist. Dies gilt also für jede diskrete, stetige und gemischte Verteilung. Die Menge der [[stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen Verteilung]] (wie z.B. [[Normalverteilung]] oder [[Exponentialverteilung]]) sind dann ein Spezialfall von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, bei denen die Verteilungsfunktion stetig ist. === Bemerkung - stetige Verteilung - unstetige Dichtefunktion === Bei [[stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] gilt nicht notwendigerweise, dass eine existierende Dichtefunktion ebenfalls stetig ist. Bei der [[Normalverteilung]] ist die Dichtefunktion stetig. Die [[Rechteckverteilung]] als [[stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] hat aber eine ''Dichtefunktion'', die ''nicht stetig'' ist. === Beispiel - stetige Verteilung === Beispiele für Verteilungsfunktionen von [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilungen]] mit unterschiedlichen Varianzen und Erwartungswerten. [[Datei:Normal Distribution CDF.svg|center|300px|Beispiele für Verteilungsfunktionen]] === Weder stetig noch diskret === Es gibt (eher unüblich) [[Verteilungsfunktion|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]], die weder diskret noch stetig sind. Diese nennt man dann ''gemischte Verteilungen''. === Einführendes Beispiel - diskret === Wir betrachten ein Würfelexperiment mit den möglichen Ergebgnissen <math>\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6 \}</math>. Ein Ereignis kann man in Worten z.B. mit Ereignis ''A "gerade Zahl gewürfelt"'' oder Ereignis ''B "Zahl kleiner 5 gewürfelt"'' beschreiben. Solche Ereignisse sind formal Teilmengen von der Menge aller Ergebnisse <math>\Omega</math> also <math>A = \{ 2,4,6 \} \subseteq \Omega</math> bzw. <math>B = \{ 1,2,3,4 \} \subseteq \Omega</math>. Jedem Ereignis wird dann ein Wahrscheinlichkeit <math>P(A) = \frac{3}{6}</math> bzw. <math>P(B) = \frac{4}{6}</math> zugeordnet. === Einführendes Beispiel - stetig === Eine Person wirft Dartscheibe und versucht dabei immer das den Mittelpunkt des Kreises (Bulls Eye) zu treffen. Die in Regel unbekannte Trefferverteilung auf der Dartscheibe ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einer Teilmenge <math>D \subset \mathbb{R}^2 </math>. == Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Eine '''diskrete (Wahrscheinlichkeits-)verteilung''' bzw. ein '''diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß''' ist ein spezielles [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]]. Im Gegensatz zu den allgemeinen Wahrscheinlichkeitsmaßen sind die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf einer endlichen bzw. abzählbaren Menge <math>M \subseteq \Omega</math> von [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignissen]] mit positiver Wahrscheinlichkeit (<math>P(\{\omega\}) > 0 </math> für alle <math>\omega \in M </math>) und <math>P(M)=1</math> definiert (siehe [[Wikipedia: Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]). === Weder stetig noch diskret - Summe der Wahrscheinlichkeiten von Einpunktmenge === Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die weder diskret noch stetig sind, kann man bei abzählbarem Träger an der Summe der Wahrscheinlichkeiten von Einpunktmengen ablesen. Mit Menge <math>M \subseteq \Omega</math> von [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignissen]] mit positiver Wahrscheinlichkeit (<math>P(\{\omega\}) > 0 </math> wäre <math>0 < P(M) < 1</math> ein Verteilung, die weder diskret noch stetig ist. === Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume === Im Gegensatz zu endlichen bzw. abzählbaren Trägermengen <math>\Omega</math> sind überabzählbare Grundmengen <math>\Omega</math> problematisch, um jeder Teilmenge von <math>\Omega</math> (Ereignissen) eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Z.B. auf dem Intervall <math>[0,1] \subset \mathbb{R}</math> der reellen Zahlen treten Paradoxien auf. Der [[w:de:Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] zeigt, dass die Potenzmenge von <math>\Omega</math> nicht geeignet ist als Definitionsbereich des W'Maßes und man zu einem komplexeren Mengensystem, wie der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] übergehen muss. === Wahrscheinlichkeitsraum === Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Positivität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math> A \in \Omega</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und paarweise disjunkt folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> und <math>(\Omega,\mathcal{S}, P) </math> Wahrscheinlichkeitsraum. ==== Bemerkung ==== Die Einschränkung 'paarweise disjunkt' ist wesentlich. Für die nicht paarweise disjunkte Mengen sieht man an folgenden Beispielen unmittelbar, dass die <math>\sigma</math>-Additivität hier nicht gilt: * <math> A_1 = A_2 = \Omega </math> und man erhält <math>1 = P (\Omega) = P(A_1 \cup A_2) \not= P(A_1) + P(A_2) = 2 </math>. * <math> A_i = \Omega </math> gilt: <math> P(\bigcup _{i = 1} ^{\infty} A_i) = 1 \not= \sum_{i =1} ^{\infty} P(A_i) = \infty </math>. ===Elementare Eigenschaften von P (1) === Allein aus der obigen Definition heraus leiten wir ab: * <math> P(\varnothing) = 0</math>, denn es folgt für alle <math> A_i = \varnothing </math>: <math> P(\varnothing) = \sum_{i=1} ^{\infty} P(\varnothing)</math>; die Ausnahme <math> P(\varnothing) > 0</math> liefert den Widerspruch. * <math>P(\bigcup _{i=1} ^n A_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i)</math> für paarweise disjunkte <math> A_1, ..., A_n </math>('Additivität'). Insbesondere: <math> P(A \cup B) = P(A) + P(B) </math> für disjunkte <math>A, B</math>, denn setzte: <math> A_{n+1} = A_{n+2} = ... = \varnothing </math> und beachte 1). ===Elementare Eigenschaften von P (2) === * <math> P( \bar A) = 1 - P(A)</math>, denn <math>1 = P(\Omega) = P(A \cup \bar A) = P(A) + P( \bar A)</math>. * <math> P(A) \le P(B) </math> für <math> A \subset B </math> ('Monotonie'), denn <math> B=B \cap \bar A \cup A </math> (disjunkt), also <math>P(B) = P(A) + P(B \cap \bar A) \ge P(A)</math>. * Zusätzlich gilt <math> P(B\setminus A) = P(B) - P( A \cap B)</math> mit <math>B \setminus A \equiv B \cap \bar A</math>. * Es gilt außerdem <math> P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math> <br> Allgemein: <math> P(A_i, ..., A_n) \le \sum_{i=1}^n P(A_i)</math> <br> Insbesondere: <math> P(A \cup B) \le P(A) + P(B) </math> ===Elementare Eigenschaften von P (3) === Für einelementige (Elementar-)Ereignisse <math> \lbrace w \rbrace </math> setzten wir <math> p_w = P(\lbrace w \rbrace )</math> und haben somit: * <math> p_w \ge 0</math>. * <math> \sum_{w \in \Omega} p_w = P(\Omega)=1</math>. * <math> \sum_{w \in A} p_w = P(A) </math> für jedes <math> A \in \Omega </math>. <br> Aus Letzerem folgt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> durch die Werte von <math> p_w </math> eindeutig festgelegt werden kann. === Diskreter W'Raum - Münzwurf === Einfachstes Beispiel einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung wäre ein Wurf mit einer möglicherweise gezinkten Münze: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet dem [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignis]] "Die Münze zeigt Kopf" eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Kopf zeigt. Ebenso ordnet sie dem Ergebnis "Die Münze zeigt Zahl" eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Zahl zeigt. Dem intuitiven Verständnis von Wahrscheinlichkeit entsprechend summieren sich diese Zahlen zu eins auf. === Einpunktmenge und stetige Verteilung === Für stetige Verteilung gilt, dass die Wahrscheinlichkeit <math>P(\{\omega\})=0</math> für beliebige Einpunktmengen <math>\{\omega\}</math> mit <math>\omega \in \Omega</math> gilt. Daher liefert die Wahrscheinlichkeitsmasse von Einpunktmengen keine Informationen für die stetige Verteilung <math>P</math>. == Verteilungsfunktionen == In dem folgenden Abschnitt werden Verteilungsfunktionen behandelt. Die Begriffsdefinition ist notwendig, um stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu definieren. Unterschieden werden dabei * der eindimensionale Fall <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> und * der mehrdimensionale Fall <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))</math>. In beiden Fällen wird als <math>\sigma</math>-Algebra die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)</math> verwendet. === Verteilungsfunktion - eindimensional === Bei reellwertigen Zufallsgrößen <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> wird die Verteilungsfunktion über die induzierte Verteilung auf <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> über <math>F(x):=P^X((-\infty,x])</math> angegeben. === Verteilungsfunktion - mehrdimensional === Bei Zufallsgrößen <math>X:\Omega \to \mathbb{R}^n </math> wird die Verteilungsfunktion über die induzierte Verteilung auf <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))</math> über <math> F(x_1 ,\ldots , x_n) := P^X((-\infty,x_1] \times \cdots \times (-\infty,x_n]) </math> angegeben. == Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Verteilungsfunktion stetig. Daraus ergibt sich insbesondere, dass k Einpunktmengen im Gegensatz zu den diskrete Verteilungen keine Wahrscheinlichkeitsmasse tragen. Es ist wichtig zu bemerken, dass sich der Stetigkeitsbegriff nicht auf die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] bezieht. Die [[Rechteckverteilung]] ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, dessen Dichtefunktion nicht stetig ist. === Definition - Stetige Verteilung === Eine Verteilung auf <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}^n), P</math> heißt stetig, wenn die zugehörige Verteilungsfunktion <math>F: \mathbb{R}^n \to [0,1]</math> stetig ist. === Bemerkung 1 - Stetige Verteilung === Die Definition liefert aber nicht, dass eine unstetige Verteilung eine diskrete Verteilung ist. Diskrete Verteilung sind rechtsseitig stetige monoton steigende Treppenfunktionen. === Bemerkung 2 - Stetige Verteilung === Die Definition liefert ebenfalls nicht, dass eine stetige Verteilungen eine stetige [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]]. Die Rechteckverteilung ist eine stetige Verteilung, aber diese besitzt keine stetige [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]]. === Beispiel - stetige Verteilung === Die folgende Abbildung zeigt verschieden Wahrscheinlichkeitsdichten der [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|450px|zentriert|Wahrscheinlichkeitsdichten der Normalverteilung]] === Verteilungsfunktion (1) === [[Datei:Bernouli trial cdf p35.png|mini|]] Die Abbildung zeigt eine Verteilungsfunktion einer Bernoulli-Verteilung zum Parameter <math> p = 0{,}65 </math> mit charakteristischen Sprungstellen bei 0 und bei 1. === Verteilungsfunktion (2) === Bettet man diskrete Verteilungen auf <math> \mathbb N </math> (oder einer beliebigen höchstens abzählbaren Teilmenge der reellen Zahlen) in die reellen Zahlen <math> \mathbb R </math> ein, so kann der Verteilung eine [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] zugeordnet werden. Diese zeichnet sich bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen dadurch aus, dass sie stückweise konstant ist. An einer Stelle <math> i </math> mit <math> P(\{ i \}) > 0 </math> besitzt die Verteilungsfunktion immer einen „Sprung“ nach oben, und das um genau den Wert <math> P(\{ i \}) </math>. === Beispiel - stetige Verteilungsfunktion === Die folgende Abbildung zeigt unterschiedliche Verteilungsfunktionen der Normalverteilung. [[Datei:Normal-distribution-cumulative-distribution-function-many.svg|350px|center|Unterschiedliche Verteilungsfunktionen der Normalverteilung]] === Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion === Diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf <math> \mathbb N_0 </math> kann zusätzlich zu den klassischen erzeugenden Funktionen ([[w:de:Momenterzeugende Funktion|Momenterzeugende Funktion]], [[w:de:Kumulantenerzeugende Funktion|Kumulantenerzeugende Funktion]] und [[w:de:Charakteristische Funktion (Stochastik)|Charakteristische Funktion]]) noch eine [[w:de:wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion|wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] zugeordnet werden. Dabei handelt es sich um ein [[w:de:Polynom|Polynom]] oder um eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], die jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung eindeutig zugeordnet werden kann. Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen erleichtern beispielsweise das Berechnen der [[w:de:Moment (Stochastik)|Momente]] wie Erwartungswert oder Varianz oder liefern einfache [[w:de:Faltung (Stochastik)|Faltungsidentitäten]]. === Aufgabe - Weder stetig noch diskret === Konstruieren Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>, bei der * <math>P(\{-1\}) = \frac{1}{2}</math> * <math>P([0,1]) = \frac{1}{2}</math> mit stetiger Gleichverteilung. Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von <math>(P,\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>! == Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Folgend sind einige wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Konstruktion aufgezählt. Die Einteilung ist dabei nicht zwingend, manche Verteilungen können auch auf mehrere Arten konstruiert werden. === Aus der Bernoulli-Verteilung abgeleitet (1) === Ein Ausgangspunkt der Modellierung ist die [[w:de:Bernoulli-Verteilung|Bernoulli-Verteilung]]. Sie modelliert den Wurf einer Münze, wobei "Kopf" mit 1 codiert wird und "Zahl" mit 0. Die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" wird durch eine Zahl <math> p \in [0,1] </math> gegeben. Somit handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \{0,1\}. </math> <br> Aus dieser Verteilung lassen sich direkt ableiten: === Aus der Bernoulli-Verteilung abgeleitet (2) === * Die [[w:de:Binomialverteilung|Binomialverteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei <math>n</math> unabhängigen Würfen mit derselben Münze <math>k</math> Erfolge zu erhalten. Ihre [[w:de:Multivariate Verteilung|multivariate]] Entsprechung ist die [[w:de:Multinomialverteilung|Multinomialverteilung]]. * Die [[w:de:Verallgemeinerte Binomialverteilung|Verallgemeinerte Binomialverteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei <math>n</math> unabhängigen Würfen mit ''unterschiedlichen'' Münzen <math>k</math> Erfolge zu erhalten. * Die [[w:de:Geometrische Verteilung|Geometrische Verteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für die Wartezeit auf den ersten Erfolg beim sukzessiven, unabhängigen Werfen einer Münze an. * Die [[w:de:Negative Binomialverteilung|Negative Binomialverteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für die Wartezeit auf den <math>r</math>-ten Erfolg beim sukzessiven, unabhängigen Werfen einer Münze an. === Aus der Bernoulli-Verteilung abgeleitet (3) === Dabei werden geometrische und negative Binomialverteilung auch in verschiedenen Varianten definiert. <br> Weitere ableitbare Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind die [[w:de:Beta-Binomialverteilung|Beta-Binomialverteilung]] (die Erfolgswahrscheinlichkeit der Münze selbst wird als [[w:de:Betaverteilung|Betaverteilt]] angenommen) sowie die [[w:de:Rademacher-Verteilung|Rademacher-Verteilung]] und die [[w:de:Zweipunktverteilung|Zweipunktverteilung]] (Bernoulli-Verteilungen auf speziellen Werten) und die [[w:de:Dirac-Verteilung|Dirac-Verteilung]] (degeneriertet Grenzfall einer Münze, die immer dasselbe Ergebnis zeigt). === Aus dem Urnenmodell abgeleitet (1) === Ein weiterer Ausgangspunkt der Modellierung ist das [[w:de:Urnenmodell|Urnenmodell]], das auf der [[w:de:Diskrete Gleichverteilung|diskreten Gleichverteilung]] basiert. Dabei werden insgesamt <math> N </math> Kugeln in mehrere Gruppen geteilt (gefärbt, nummeriert, etc.), in eine Urne gelegt. Aus dieser wird dann gezogen, entweder mit zurücklegen oder ohne. Dabei soll (entsprechend der Gleichverteilung) jede Kugel gleich wahrscheinlich sein. So lassen sich beispielsweise konstruieren: === Aus dem Urnenmodell abgeleitet (2) === * die [[w:de:Hypergeometrische Verteilung|Hypergeometrische Verteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei <math>n</math>-maligem Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit zwei Sorten Kugeln genau <math>k</math> Kugeln einer Sorte zu erhalten. * ihr multivariates Pendant, die [[w:de:multivariate hypergeometrische Verteilung|multivariate hypergeometrische Verteilung]]. === Gleichverteilung (Definition) (1)=== Die Gleichverteilung über einer endlichen Grundmenge <math> \Omega </math> wird bestimmt durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion <br> :<math> p_w = \frac {1} {|\Omega|}</math> (für alle <math> w \in \Omega). </math> <br> Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis <math> A \subset \Omega </math> ist dann <br> :<math> P(A) = \sum_{w \in A} p_w = \frac {|A|} {|\Omega|}. </math> <br> === Gleichverteilung (Definition) (2)=== Die Gleichverteilung wird auch Laplaceverteilung genannt. Ein Zufallsexperiment, dem die Gleichverteilung zugeordnet wird, wird auch Laplaceexperiment genannt. <br> Interpretation der zweiten Formel: Sei <math> A \subset \Omega </math> gegeben. Ein Ereignis <math> w \in A </math> heißt "günstig" für <math>A</math>. Jedes <math> w \in \Omega </math> ist "möglich". <math> \frac {|A|} {|\Omega |} </math> ist dann die Anzahl der günstigen durch die Anzahl der möglichen Ereignisse. ==== Gleichverteilung (Beispiel) ==== Einmal werfen mit einem symmetrischen Würfel. Auf <math> \Omega = \lbrace 1, 2, ..., 6 \rbrace </math> definiert man die Wahrscheinlichkeitsfunktion <math> p_1 = p_2 = ... = p_6 = \frac {1} {6} </math> ("Gleichverteilung" über <math> \lbrace 1, 2, ..., 6\rbrace </math>). <br> Ist <math> A= \lbrace 1,3,5 \rbrace</math> das Ereignis "ungerade Augenzahl", so gilt <math> P(A) = p_1 + p_3 + p_5 = \frac {3} {6} = {1} {2} </math>. === Einpunktverteilung (Beispiel) === Seien <math> \Omega </math> und <math> w_0 \in \Omega </math> beliebig. Dann definiert :<math> p_{w_0} = 1, p_w = 0 </math> <br> (für alle <math> w \neq w_0</math>, "Einpunktverteilung") die in <math>w _0 </math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> \epsilon _{w_0}</math>. Es ist <br> :<math> \epsilon_{w_0} (A) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & w_0 \notin A \\ 1, & w_0 \in A \end{array}\right. .</math> === Geometrische Verteilung (Beispiel) (1) === Eine symmetrische Münze wird so oft geworfen, bis zum ersten Mal Kopf auftritt. Der Ergebnisraum <math> \Omega </math> besteht aus allen möglichen auftretenden Sequenzen: <br> <math> w_1 = K, w_2 = ZK, w_3 = ZZK..., w_{\infty} = ZZZZZ ... </math> <br> (Wir schreiben <math> p_k </math> anstatt <math> p_{w_k}</math>.) Es ist <math>p_1 = \frac {1} {2}</math>. Heuristische Überlegung zur Bestimmung der <math>p_k, k> 1</math>: === Geometrische Verteilung (Beispiel) (2)=== Wir betrachten <math>w_k = (Z ... ZK)</math> (k-1-mal Z) als Element der Menge <math>\Omega_k = \lbrace Z,K \rbrace^k</math>. Es ist <math>| \Omega_k| = 2^k</math>. Alle <math> 2^k </math> Elemente von <math> \Omega_k </math> sind gleichwahrscheinlich. Es folgt: <br> :<math> p_k = \frac {1} {2^k} , k \in \mathbb{N}</math> ('Geometrische Verteilung') <br> Normierung: <math> \sum_{k=1} ^{\infty} p_k = \sum_{k = 1} ^{\infty} \frac {1} {2^k} = 1 </math>. Somit hat man also <math> p_{\infty} = 0 </math> zu setzen. == Siehe auch == * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[w:de:Stetige Funktion|Stetigkeit in der Analysis]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[stetig oder diskret]] * [[Kurs:Stochastik]] == Literatur == * Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, doi:10.1515/9783110215274 * Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, doi:10.1007/978-3-642-21026-6 * David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, S. 90, doi:10.1007/b137972 == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete_und_stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilungen&author=Stochastik&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsverteilung https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsverteilung] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Normen,_Metriken,_Topologie * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] pafnxoss7v2cbj4nokoiqm3hps26fbh 1118603 1118602 2026-11-02T11:09:17Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Stetige Verteilung */ 1118603 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Unterscheidung von [[stetig oder diskret|diskrete und stetigen]] Wahrscheinlichkeitsverteilungen erfolgt über die [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]]. Der bereits aus der Analysis bekannte Begriff der [[w:de:Stetige Funktion|Stetigkeit]] wird dabei auf die [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] angewendet und [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|stetige]] Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen eine ''stetige Verteilungsfunktion''. Diskrete Verteilungen besitzen anschaulich Verteilungsfunktionen, die ''rechtsseitig stetige Treppenfunktionen bilden''. === Stetigkeit der Verteilungsfunktion === Die folgende Abbildung zeigt übereinander 3 Verteilungsfunktionen einer diskreten, einer stetigen und einer gemischten eindimensionalen Zufallsvariable. [[Datei:Discrete probability distribution illustration.svg|250px|center|Verteilungsfunktionen einer diskreten, einer stetigen und einer gemischten Zufallsvariable.]] === Eigenschaften der Verteilungsfunktion === Die Eigenschaften eine beliebigen (diskreten, stetigen) Verteilungsfunktion <math>F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math> sind: * '''(VT1)''' <math>F</math> ist [[w:de:Monoton steigende Funktion|monoton steigend]]. * '''(VT2)''' <math>F</math> ist [[w:de:Stetigkeit#Linksseitige/rechtsseitige Stetigkeit|rechtsseitig stetig]]. * '''(VT3)''' <math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} F(x) = 1</math>. === Bemerkung - rechtsseitig stetig - stetige Verteilungsfunktion === Man kann also im Allgemeinen mit (VT2) nur voraussetzen, dass jede Verteilungsfunktion rechtseitig stetig ist. Dies gilt also für jede diskrete, stetige und gemischte Verteilung. Die Menge der [[stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen Verteilung]] (wie z.B. [[Normalverteilung]] oder [[Exponentialverteilung]]) sind dann ein Spezialfall von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, bei denen die Verteilungsfunktion stetig ist. === Bemerkung - stetige Verteilung - unstetige Dichtefunktion === Bei [[stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] gilt nicht notwendigerweise, dass eine existierende Dichtefunktion ebenfalls stetig ist. Bei der [[Normalverteilung]] ist die Dichtefunktion stetig. Die [[Rechteckverteilung]] als [[stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] hat aber eine ''Dichtefunktion'', die ''nicht stetig'' ist. === Beispiel - stetige Verteilung === Beispiele für Verteilungsfunktionen von [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilungen]] mit unterschiedlichen Varianzen und Erwartungswerten. [[Datei:Normal Distribution CDF.svg|center|300px|Beispiele für Verteilungsfunktionen]] === Weder stetig noch diskret === Es gibt (eher unüblich) [[Verteilungsfunktion|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]], die weder diskret noch stetig sind. Diese nennt man dann ''gemischte Verteilungen''. === Einführendes Beispiel - diskret === Wir betrachten ein Würfelexperiment mit den möglichen Ergebgnissen <math>\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6 \}</math>. Ein Ereignis kann man in Worten z.B. mit Ereignis ''A "gerade Zahl gewürfelt"'' oder Ereignis ''B "Zahl kleiner 5 gewürfelt"'' beschreiben. Solche Ereignisse sind formal Teilmengen von der Menge aller Ergebnisse <math>\Omega</math> also <math>A = \{ 2,4,6 \} \subseteq \Omega</math> bzw. <math>B = \{ 1,2,3,4 \} \subseteq \Omega</math>. Jedem Ereignis wird dann ein Wahrscheinlichkeit <math>P(A) = \frac{3}{6}</math> bzw. <math>P(B) = \frac{4}{6}</math> zugeordnet. === Einführendes Beispiel - stetig === Eine Person wirft Dartscheibe und versucht dabei immer das den Mittelpunkt des Kreises (Bulls Eye) zu treffen. Die in Regel unbekannte Trefferverteilung auf der Dartscheibe ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einer Teilmenge <math>D \subset \mathbb{R}^2 </math>. == Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Eine '''diskrete (Wahrscheinlichkeits-)verteilung''' bzw. ein '''diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß''' ist ein spezielles [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]]. Im Gegensatz zu den allgemeinen Wahrscheinlichkeitsmaßen sind die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf einer endlichen bzw. abzählbaren Menge <math>M \subseteq \Omega</math> von [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignissen]] mit positiver Wahrscheinlichkeit (<math>P(\{\omega\}) > 0 </math> für alle <math>\omega \in M </math>) und <math>P(M)=1</math> definiert (siehe [[Wikipedia: Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]). === Weder stetig noch diskret - Summe der Wahrscheinlichkeiten von Einpunktmenge === Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die weder diskret noch stetig sind, kann man bei abzählbarem Träger an der Summe der Wahrscheinlichkeiten von Einpunktmengen ablesen. Mit Menge <math>M \subseteq \Omega</math> von [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignissen]] mit positiver Wahrscheinlichkeit (<math>P(\{\omega\}) > 0 </math> wäre <math>0 < P(M) < 1</math> ein Verteilung, die weder diskret noch stetig ist. === Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume === Im Gegensatz zu endlichen bzw. abzählbaren Trägermengen <math>\Omega</math> sind überabzählbare Grundmengen <math>\Omega</math> problematisch, um jeder Teilmenge von <math>\Omega</math> (Ereignissen) eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Z.B. auf dem Intervall <math>[0,1] \subset \mathbb{R}</math> der reellen Zahlen treten Paradoxien auf. Der [[w:de:Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] zeigt, dass die Potenzmenge von <math>\Omega</math> nicht geeignet ist als Definitionsbereich des W'Maßes und man zu einem komplexeren Mengensystem, wie der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] übergehen muss. === Wahrscheinlichkeitsraum === Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Positivität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math> A \in \Omega</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und paarweise disjunkt folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> und <math>(\Omega,\mathcal{S}, P) </math> Wahrscheinlichkeitsraum. ==== Bemerkung ==== Die Einschränkung 'paarweise disjunkt' ist wesentlich. Für die nicht paarweise disjunkte Mengen sieht man an folgenden Beispielen unmittelbar, dass die <math>\sigma</math>-Additivität hier nicht gilt: * <math> A_1 = A_2 = \Omega </math> und man erhält <math>1 = P (\Omega) = P(A_1 \cup A_2) \not= P(A_1) + P(A_2) = 2 </math>. * <math> A_i = \Omega </math> gilt: <math> P(\bigcup _{i = 1} ^{\infty} A_i) = 1 \not= \sum_{i =1} ^{\infty} P(A_i) = \infty </math>. ===Elementare Eigenschaften von P (1) === Allein aus der obigen Definition heraus leiten wir ab: * <math> P(\varnothing) = 0</math>, denn es folgt für alle <math> A_i = \varnothing </math>: <math> P(\varnothing) = \sum_{i=1} ^{\infty} P(\varnothing)</math>; die Ausnahme <math> P(\varnothing) > 0</math> liefert den Widerspruch. * <math>P(\bigcup _{i=1} ^n A_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i)</math> für paarweise disjunkte <math> A_1, ..., A_n </math>('Additivität'). Insbesondere: <math> P(A \cup B) = P(A) + P(B) </math> für disjunkte <math>A, B</math>, denn setzte: <math> A_{n+1} = A_{n+2} = ... = \varnothing </math> und beachte 1). ===Elementare Eigenschaften von P (2) === * <math> P( \bar A) = 1 - P(A)</math>, denn <math>1 = P(\Omega) = P(A \cup \bar A) = P(A) + P( \bar A)</math>. * <math> P(A) \le P(B) </math> für <math> A \subset B </math> ('Monotonie'), denn <math> B=B \cap \bar A \cup A </math> (disjunkt), also <math>P(B) = P(A) + P(B \cap \bar A) \ge P(A)</math>. * Zusätzlich gilt <math> P(B\setminus A) = P(B) - P( A \cap B)</math> mit <math>B \setminus A \equiv B \cap \bar A</math>. * Es gilt außerdem <math> P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math> <br> Allgemein: <math> P(A_i, ..., A_n) \le \sum_{i=1}^n P(A_i)</math> <br> Insbesondere: <math> P(A \cup B) \le P(A) + P(B) </math> ===Elementare Eigenschaften von P (3) === Für einelementige (Elementar-)Ereignisse <math> \lbrace w \rbrace </math> setzten wir <math> p_w = P(\lbrace w \rbrace )</math> und haben somit: * <math> p_w \ge 0</math>. * <math> \sum_{w \in \Omega} p_w = P(\Omega)=1</math>. * <math> \sum_{w \in A} p_w = P(A) </math> für jedes <math> A \in \Omega </math>. <br> Aus Letzerem folgt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> durch die Werte von <math> p_w </math> eindeutig festgelegt werden kann. === Diskreter W'Raum - Münzwurf === Einfachstes Beispiel einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung wäre ein Wurf mit einer möglicherweise gezinkten Münze: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet dem [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignis]] "Die Münze zeigt Kopf" eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Kopf zeigt. Ebenso ordnet sie dem Ergebnis "Die Münze zeigt Zahl" eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Zahl zeigt. Dem intuitiven Verständnis von Wahrscheinlichkeit entsprechend summieren sich diese Zahlen zu eins auf. === Einpunktmenge und stetige Verteilung === Für stetige Verteilung gilt, dass die Wahrscheinlichkeit <math>P(\{\omega\})=0</math> für beliebige Einpunktmengen <math>\{\omega\}</math> mit <math>\omega \in \Omega</math> gilt. Daher liefert die Wahrscheinlichkeitsmasse von Einpunktmengen keine Informationen für die stetige Verteilung <math>P</math>. == Verteilungsfunktionen == In dem folgenden Abschnitt werden Verteilungsfunktionen behandelt. Die Begriffsdefinition ist notwendig, um stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu definieren. Unterschieden werden dabei * der eindimensionale Fall <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> und * der mehrdimensionale Fall <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))</math>. In beiden Fällen wird als <math>\sigma</math>-Algebra die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)</math> verwendet. === Verteilungsfunktion - eindimensional === Bei reellwertigen Zufallsgrößen <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> wird die Verteilungsfunktion über die induzierte Verteilung auf <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> über <math>F(x):=P^X((-\infty,x])</math> angegeben. === Verteilungsfunktion - mehrdimensional === Bei Zufallsgrößen <math>X:\Omega \to \mathbb{R}^n </math> wird die Verteilungsfunktion über die induzierte Verteilung auf <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))</math> über <math> F(x_1 ,\ldots , x_n) := P^X((-\infty,x_1] \times \cdots \times (-\infty,x_n]) </math> angegeben. == Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Verteilungsfunktion stetig. Daraus ergibt sich insbesondere, dass k Einpunktmengen im Gegensatz zu den diskrete Verteilungen keine Wahrscheinlichkeitsmasse tragen. Es ist wichtig zu bemerken, dass sich der Stetigkeitsbegriff nicht auf die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] bezieht. Die [[Rechteckverteilung]] ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, dessen Dichtefunktion nicht stetig ist. === Definition - Stetige Verteilung === Eine Verteilung auf <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)), P</math> heißt stetig, wenn die zugehörige Verteilungsfunktion <math>F: \mathbb{R}^n \to [0,1]</math> stetig ist. === Bemerkung 1 - Stetige Verteilung === Die Definition liefert aber nicht, dass eine unstetige Verteilung eine diskrete Verteilung ist. Diskrete Verteilung sind rechtsseitig stetige monoton steigende Treppenfunktionen. === Bemerkung 2 - Stetige Verteilung === Die Definition liefert ebenfalls nicht, dass eine stetige Verteilungen eine stetige [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]]. Die Rechteckverteilung ist eine stetige Verteilung, aber diese besitzt keine stetige [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]]. === Beispiel - stetige Verteilung === Die folgende Abbildung zeigt verschieden Wahrscheinlichkeitsdichten der [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|450px|zentriert|Wahrscheinlichkeitsdichten der Normalverteilung]] === Verteilungsfunktion (1) === [[Datei:Bernouli trial cdf p35.png|mini|]] Die Abbildung zeigt eine Verteilungsfunktion einer Bernoulli-Verteilung zum Parameter <math> p = 0{,}65 </math> mit charakteristischen Sprungstellen bei 0 und bei 1. === Verteilungsfunktion (2) === Bettet man diskrete Verteilungen auf <math> \mathbb N </math> (oder einer beliebigen höchstens abzählbaren Teilmenge der reellen Zahlen) in die reellen Zahlen <math> \mathbb R </math> ein, so kann der Verteilung eine [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] zugeordnet werden. Diese zeichnet sich bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen dadurch aus, dass sie stückweise konstant ist. An einer Stelle <math> i </math> mit <math> P(\{ i \}) > 0 </math> besitzt die Verteilungsfunktion immer einen „Sprung“ nach oben, und das um genau den Wert <math> P(\{ i \}) </math>. === Beispiel - stetige Verteilungsfunktion === Die folgende Abbildung zeigt unterschiedliche Verteilungsfunktionen der Normalverteilung. [[Datei:Normal-distribution-cumulative-distribution-function-many.svg|350px|center|Unterschiedliche Verteilungsfunktionen der Normalverteilung]] === Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion === Diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf <math> \mathbb N_0 </math> kann zusätzlich zu den klassischen erzeugenden Funktionen ([[w:de:Momenterzeugende Funktion|Momenterzeugende Funktion]], [[w:de:Kumulantenerzeugende Funktion|Kumulantenerzeugende Funktion]] und [[w:de:Charakteristische Funktion (Stochastik)|Charakteristische Funktion]]) noch eine [[w:de:wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion|wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] zugeordnet werden. Dabei handelt es sich um ein [[w:de:Polynom|Polynom]] oder um eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], die jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung eindeutig zugeordnet werden kann. Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen erleichtern beispielsweise das Berechnen der [[w:de:Moment (Stochastik)|Momente]] wie Erwartungswert oder Varianz oder liefern einfache [[w:de:Faltung (Stochastik)|Faltungsidentitäten]]. === Aufgabe - Weder stetig noch diskret === Konstruieren Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>, bei der * <math>P(\{-1\}) = \frac{1}{2}</math> * <math>P([0,1]) = \frac{1}{2}</math> mit stetiger Gleichverteilung. Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von <math>(P,\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>! == Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Folgend sind einige wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Konstruktion aufgezählt. Die Einteilung ist dabei nicht zwingend, manche Verteilungen können auch auf mehrere Arten konstruiert werden. === Aus der Bernoulli-Verteilung abgeleitet (1) === Ein Ausgangspunkt der Modellierung ist die [[w:de:Bernoulli-Verteilung|Bernoulli-Verteilung]]. Sie modelliert den Wurf einer Münze, wobei "Kopf" mit 1 codiert wird und "Zahl" mit 0. Die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" wird durch eine Zahl <math> p \in [0,1] </math> gegeben. Somit handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \{0,1\}. </math> <br> Aus dieser Verteilung lassen sich direkt ableiten: === Aus der Bernoulli-Verteilung abgeleitet (2) === * Die [[w:de:Binomialverteilung|Binomialverteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei <math>n</math> unabhängigen Würfen mit derselben Münze <math>k</math> Erfolge zu erhalten. Ihre [[w:de:Multivariate Verteilung|multivariate]] Entsprechung ist die [[w:de:Multinomialverteilung|Multinomialverteilung]]. * Die [[w:de:Verallgemeinerte Binomialverteilung|Verallgemeinerte Binomialverteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei <math>n</math> unabhängigen Würfen mit ''unterschiedlichen'' Münzen <math>k</math> Erfolge zu erhalten. * Die [[w:de:Geometrische Verteilung|Geometrische Verteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für die Wartezeit auf den ersten Erfolg beim sukzessiven, unabhängigen Werfen einer Münze an. * Die [[w:de:Negative Binomialverteilung|Negative Binomialverteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für die Wartezeit auf den <math>r</math>-ten Erfolg beim sukzessiven, unabhängigen Werfen einer Münze an. === Aus der Bernoulli-Verteilung abgeleitet (3) === Dabei werden geometrische und negative Binomialverteilung auch in verschiedenen Varianten definiert. <br> Weitere ableitbare Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind die [[w:de:Beta-Binomialverteilung|Beta-Binomialverteilung]] (die Erfolgswahrscheinlichkeit der Münze selbst wird als [[w:de:Betaverteilung|Betaverteilt]] angenommen) sowie die [[w:de:Rademacher-Verteilung|Rademacher-Verteilung]] und die [[w:de:Zweipunktverteilung|Zweipunktverteilung]] (Bernoulli-Verteilungen auf speziellen Werten) und die [[w:de:Dirac-Verteilung|Dirac-Verteilung]] (degeneriertet Grenzfall einer Münze, die immer dasselbe Ergebnis zeigt). === Aus dem Urnenmodell abgeleitet (1) === Ein weiterer Ausgangspunkt der Modellierung ist das [[w:de:Urnenmodell|Urnenmodell]], das auf der [[w:de:Diskrete Gleichverteilung|diskreten Gleichverteilung]] basiert. Dabei werden insgesamt <math> N </math> Kugeln in mehrere Gruppen geteilt (gefärbt, nummeriert, etc.), in eine Urne gelegt. Aus dieser wird dann gezogen, entweder mit zurücklegen oder ohne. Dabei soll (entsprechend der Gleichverteilung) jede Kugel gleich wahrscheinlich sein. So lassen sich beispielsweise konstruieren: === Aus dem Urnenmodell abgeleitet (2) === * die [[w:de:Hypergeometrische Verteilung|Hypergeometrische Verteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei <math>n</math>-maligem Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit zwei Sorten Kugeln genau <math>k</math> Kugeln einer Sorte zu erhalten. * ihr multivariates Pendant, die [[w:de:multivariate hypergeometrische Verteilung|multivariate hypergeometrische Verteilung]]. === Gleichverteilung (Definition) (1)=== Die Gleichverteilung über einer endlichen Grundmenge <math> \Omega </math> wird bestimmt durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion <br> :<math> p_w = \frac {1} {|\Omega|}</math> (für alle <math> w \in \Omega). </math> <br> Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis <math> A \subset \Omega </math> ist dann <br> :<math> P(A) = \sum_{w \in A} p_w = \frac {|A|} {|\Omega|}. </math> <br> === Gleichverteilung (Definition) (2)=== Die Gleichverteilung wird auch Laplaceverteilung genannt. Ein Zufallsexperiment, dem die Gleichverteilung zugeordnet wird, wird auch Laplaceexperiment genannt. <br> Interpretation der zweiten Formel: Sei <math> A \subset \Omega </math> gegeben. Ein Ereignis <math> w \in A </math> heißt "günstig" für <math>A</math>. Jedes <math> w \in \Omega </math> ist "möglich". <math> \frac {|A|} {|\Omega |} </math> ist dann die Anzahl der günstigen durch die Anzahl der möglichen Ereignisse. ==== Gleichverteilung (Beispiel) ==== Einmal werfen mit einem symmetrischen Würfel. Auf <math> \Omega = \lbrace 1, 2, ..., 6 \rbrace </math> definiert man die Wahrscheinlichkeitsfunktion <math> p_1 = p_2 = ... = p_6 = \frac {1} {6} </math> ("Gleichverteilung" über <math> \lbrace 1, 2, ..., 6\rbrace </math>). <br> Ist <math> A= \lbrace 1,3,5 \rbrace</math> das Ereignis "ungerade Augenzahl", so gilt <math> P(A) = p_1 + p_3 + p_5 = \frac {3} {6} = {1} {2} </math>. === Einpunktverteilung (Beispiel) === Seien <math> \Omega </math> und <math> w_0 \in \Omega </math> beliebig. Dann definiert :<math> p_{w_0} = 1, p_w = 0 </math> <br> (für alle <math> w \neq w_0</math>, "Einpunktverteilung") die in <math>w _0 </math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> \epsilon _{w_0}</math>. Es ist <br> :<math> \epsilon_{w_0} (A) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & w_0 \notin A \\ 1, & w_0 \in A \end{array}\right. .</math> === Geometrische Verteilung (Beispiel) (1) === Eine symmetrische Münze wird so oft geworfen, bis zum ersten Mal Kopf auftritt. Der Ergebnisraum <math> \Omega </math> besteht aus allen möglichen auftretenden Sequenzen: <br> <math> w_1 = K, w_2 = ZK, w_3 = ZZK..., w_{\infty} = ZZZZZ ... </math> <br> (Wir schreiben <math> p_k </math> anstatt <math> p_{w_k}</math>.) Es ist <math>p_1 = \frac {1} {2}</math>. Heuristische Überlegung zur Bestimmung der <math>p_k, k> 1</math>: === Geometrische Verteilung (Beispiel) (2)=== Wir betrachten <math>w_k = (Z ... ZK)</math> (k-1-mal Z) als Element der Menge <math>\Omega_k = \lbrace Z,K \rbrace^k</math>. Es ist <math>| \Omega_k| = 2^k</math>. Alle <math> 2^k </math> Elemente von <math> \Omega_k </math> sind gleichwahrscheinlich. Es folgt: <br> :<math> p_k = \frac {1} {2^k} , k \in \mathbb{N}</math> ('Geometrische Verteilung') <br> Normierung: <math> \sum_{k=1} ^{\infty} p_k = \sum_{k = 1} ^{\infty} \frac {1} {2^k} = 1 </math>. Somit hat man also <math> p_{\infty} = 0 </math> zu setzen. == Siehe auch == * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[w:de:Stetige Funktion|Stetigkeit in der Analysis]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[stetig oder diskret]] * [[Kurs:Stochastik]] == Literatur == * Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, doi:10.1515/9783110215274 * Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, doi:10.1007/978-3-642-21026-6 * David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, S. 90, doi:10.1007/b137972 == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete_und_stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilungen&author=Stochastik&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsverteilung https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsverteilung] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Normen,_Metriken,_Topologie * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] 1hp7e21i7nyufb0f44j3mxvyacbnzfa 1118604 1118603 2026-11-02T11:10:05Z Bert Niehaus 20843 /* Verteilungsfunktion - eindimensional */ 1118604 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Unterscheidung von [[stetig oder diskret|diskrete und stetigen]] Wahrscheinlichkeitsverteilungen erfolgt über die [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]]. Der bereits aus der Analysis bekannte Begriff der [[w:de:Stetige Funktion|Stetigkeit]] wird dabei auf die [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] angewendet und [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|stetige]] Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen eine ''stetige Verteilungsfunktion''. Diskrete Verteilungen besitzen anschaulich Verteilungsfunktionen, die ''rechtsseitig stetige Treppenfunktionen bilden''. === Stetigkeit der Verteilungsfunktion === Die folgende Abbildung zeigt übereinander 3 Verteilungsfunktionen einer diskreten, einer stetigen und einer gemischten eindimensionalen Zufallsvariable. [[Datei:Discrete probability distribution illustration.svg|250px|center|Verteilungsfunktionen einer diskreten, einer stetigen und einer gemischten Zufallsvariable.]] === Eigenschaften der Verteilungsfunktion === Die Eigenschaften eine beliebigen (diskreten, stetigen) Verteilungsfunktion <math>F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math> sind: * '''(VT1)''' <math>F</math> ist [[w:de:Monoton steigende Funktion|monoton steigend]]. * '''(VT2)''' <math>F</math> ist [[w:de:Stetigkeit#Linksseitige/rechtsseitige Stetigkeit|rechtsseitig stetig]]. * '''(VT3)''' <math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} F(x) = 1</math>. === Bemerkung - rechtsseitig stetig - stetige Verteilungsfunktion === Man kann also im Allgemeinen mit (VT2) nur voraussetzen, dass jede Verteilungsfunktion rechtseitig stetig ist. Dies gilt also für jede diskrete, stetige und gemischte Verteilung. Die Menge der [[stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen Verteilung]] (wie z.B. [[Normalverteilung]] oder [[Exponentialverteilung]]) sind dann ein Spezialfall von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, bei denen die Verteilungsfunktion stetig ist. === Bemerkung - stetige Verteilung - unstetige Dichtefunktion === Bei [[stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] gilt nicht notwendigerweise, dass eine existierende Dichtefunktion ebenfalls stetig ist. Bei der [[Normalverteilung]] ist die Dichtefunktion stetig. Die [[Rechteckverteilung]] als [[stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] hat aber eine ''Dichtefunktion'', die ''nicht stetig'' ist. === Beispiel - stetige Verteilung === Beispiele für Verteilungsfunktionen von [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilungen]] mit unterschiedlichen Varianzen und Erwartungswerten. [[Datei:Normal Distribution CDF.svg|center|300px|Beispiele für Verteilungsfunktionen]] === Weder stetig noch diskret === Es gibt (eher unüblich) [[Verteilungsfunktion|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]], die weder diskret noch stetig sind. Diese nennt man dann ''gemischte Verteilungen''. === Einführendes Beispiel - diskret === Wir betrachten ein Würfelexperiment mit den möglichen Ergebgnissen <math>\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6 \}</math>. Ein Ereignis kann man in Worten z.B. mit Ereignis ''A "gerade Zahl gewürfelt"'' oder Ereignis ''B "Zahl kleiner 5 gewürfelt"'' beschreiben. Solche Ereignisse sind formal Teilmengen von der Menge aller Ergebnisse <math>\Omega</math> also <math>A = \{ 2,4,6 \} \subseteq \Omega</math> bzw. <math>B = \{ 1,2,3,4 \} \subseteq \Omega</math>. Jedem Ereignis wird dann ein Wahrscheinlichkeit <math>P(A) = \frac{3}{6}</math> bzw. <math>P(B) = \frac{4}{6}</math> zugeordnet. === Einführendes Beispiel - stetig === Eine Person wirft Dartscheibe und versucht dabei immer das den Mittelpunkt des Kreises (Bulls Eye) zu treffen. Die in Regel unbekannte Trefferverteilung auf der Dartscheibe ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einer Teilmenge <math>D \subset \mathbb{R}^2 </math>. == Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Eine '''diskrete (Wahrscheinlichkeits-)verteilung''' bzw. ein '''diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß''' ist ein spezielles [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]]. Im Gegensatz zu den allgemeinen Wahrscheinlichkeitsmaßen sind die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf einer endlichen bzw. abzählbaren Menge <math>M \subseteq \Omega</math> von [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignissen]] mit positiver Wahrscheinlichkeit (<math>P(\{\omega\}) > 0 </math> für alle <math>\omega \in M </math>) und <math>P(M)=1</math> definiert (siehe [[Wikipedia: Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]). === Weder stetig noch diskret - Summe der Wahrscheinlichkeiten von Einpunktmenge === Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die weder diskret noch stetig sind, kann man bei abzählbarem Träger an der Summe der Wahrscheinlichkeiten von Einpunktmengen ablesen. Mit Menge <math>M \subseteq \Omega</math> von [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignissen]] mit positiver Wahrscheinlichkeit (<math>P(\{\omega\}) > 0 </math> wäre <math>0 < P(M) < 1</math> ein Verteilung, die weder diskret noch stetig ist. === Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume === Im Gegensatz zu endlichen bzw. abzählbaren Trägermengen <math>\Omega</math> sind überabzählbare Grundmengen <math>\Omega</math> problematisch, um jeder Teilmenge von <math>\Omega</math> (Ereignissen) eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Z.B. auf dem Intervall <math>[0,1] \subset \mathbb{R}</math> der reellen Zahlen treten Paradoxien auf. Der [[w:de:Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] zeigt, dass die Potenzmenge von <math>\Omega</math> nicht geeignet ist als Definitionsbereich des W'Maßes und man zu einem komplexeren Mengensystem, wie der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] übergehen muss. === Wahrscheinlichkeitsraum === Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Positivität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math> A \in \Omega</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und paarweise disjunkt folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> und <math>(\Omega,\mathcal{S}, P) </math> Wahrscheinlichkeitsraum. ==== Bemerkung ==== Die Einschränkung 'paarweise disjunkt' ist wesentlich. Für die nicht paarweise disjunkte Mengen sieht man an folgenden Beispielen unmittelbar, dass die <math>\sigma</math>-Additivität hier nicht gilt: * <math> A_1 = A_2 = \Omega </math> und man erhält <math>1 = P (\Omega) = P(A_1 \cup A_2) \not= P(A_1) + P(A_2) = 2 </math>. * <math> A_i = \Omega </math> gilt: <math> P(\bigcup _{i = 1} ^{\infty} A_i) = 1 \not= \sum_{i =1} ^{\infty} P(A_i) = \infty </math>. ===Elementare Eigenschaften von P (1) === Allein aus der obigen Definition heraus leiten wir ab: * <math> P(\varnothing) = 0</math>, denn es folgt für alle <math> A_i = \varnothing </math>: <math> P(\varnothing) = \sum_{i=1} ^{\infty} P(\varnothing)</math>; die Ausnahme <math> P(\varnothing) > 0</math> liefert den Widerspruch. * <math>P(\bigcup _{i=1} ^n A_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i)</math> für paarweise disjunkte <math> A_1, ..., A_n </math>('Additivität'). Insbesondere: <math> P(A \cup B) = P(A) + P(B) </math> für disjunkte <math>A, B</math>, denn setzte: <math> A_{n+1} = A_{n+2} = ... = \varnothing </math> und beachte 1). ===Elementare Eigenschaften von P (2) === * <math> P( \bar A) = 1 - P(A)</math>, denn <math>1 = P(\Omega) = P(A \cup \bar A) = P(A) + P( \bar A)</math>. * <math> P(A) \le P(B) </math> für <math> A \subset B </math> ('Monotonie'), denn <math> B=B \cap \bar A \cup A </math> (disjunkt), also <math>P(B) = P(A) + P(B \cap \bar A) \ge P(A)</math>. * Zusätzlich gilt <math> P(B\setminus A) = P(B) - P( A \cap B)</math> mit <math>B \setminus A \equiv B \cap \bar A</math>. * Es gilt außerdem <math> P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math> <br> Allgemein: <math> P(A_i, ..., A_n) \le \sum_{i=1}^n P(A_i)</math> <br> Insbesondere: <math> P(A \cup B) \le P(A) + P(B) </math> ===Elementare Eigenschaften von P (3) === Für einelementige (Elementar-)Ereignisse <math> \lbrace w \rbrace </math> setzten wir <math> p_w = P(\lbrace w \rbrace )</math> und haben somit: * <math> p_w \ge 0</math>. * <math> \sum_{w \in \Omega} p_w = P(\Omega)=1</math>. * <math> \sum_{w \in A} p_w = P(A) </math> für jedes <math> A \in \Omega </math>. <br> Aus Letzerem folgt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> durch die Werte von <math> p_w </math> eindeutig festgelegt werden kann. === Diskreter W'Raum - Münzwurf === Einfachstes Beispiel einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung wäre ein Wurf mit einer möglicherweise gezinkten Münze: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet dem [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignis]] "Die Münze zeigt Kopf" eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Kopf zeigt. Ebenso ordnet sie dem Ergebnis "Die Münze zeigt Zahl" eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Zahl zeigt. Dem intuitiven Verständnis von Wahrscheinlichkeit entsprechend summieren sich diese Zahlen zu eins auf. === Einpunktmenge und stetige Verteilung === Für stetige Verteilung gilt, dass die Wahrscheinlichkeit <math>P(\{\omega\})=0</math> für beliebige Einpunktmengen <math>\{\omega\}</math> mit <math>\omega \in \Omega</math> gilt. Daher liefert die Wahrscheinlichkeitsmasse von Einpunktmengen keine Informationen für die stetige Verteilung <math>P</math>. == Verteilungsfunktionen == In dem folgenden Abschnitt werden Verteilungsfunktionen behandelt. Die Begriffsdefinition ist notwendig, um stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu definieren. Unterschieden werden dabei * der eindimensionale Fall <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> und * der mehrdimensionale Fall <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))</math>. In beiden Fällen wird als <math>\sigma</math>-Algebra die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)</math> verwendet. === Verteilungsfunktion - eindimensional === Bei reellwertigen Zufallsgrößen <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> wird die Verteilungsfunktion über die induzierte Verteilung auf <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> über <math>F(x):=P^X((-\infty,x])</math> angegeben. === Verteilungsfunktion - mehrdimensional === Bei Zufallsgrößen <math>X:\Omega \to \mathbb{R}^n </math> wird die Verteilungsfunktion über die induzierte Verteilung auf <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))</math> über <math> F(x_1 ,\ldots , x_n) := P^X((-\infty,x_1] \times \cdots \times (-\infty,x_n]) </math> angegeben. == Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Verteilungsfunktion stetig. Daraus ergibt sich insbesondere, dass k Einpunktmengen im Gegensatz zu den diskrete Verteilungen keine Wahrscheinlichkeitsmasse tragen. Es ist wichtig zu bemerken, dass sich der Stetigkeitsbegriff nicht auf die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] bezieht. Die [[Rechteckverteilung]] ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, dessen Dichtefunktion nicht stetig ist. === Definition - Stetige Verteilung === Eine Verteilung auf <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)), P</math> heißt stetig, wenn die zugehörige Verteilungsfunktion <math>F: \mathbb{R}^n \to [0,1]</math> stetig ist. === Bemerkung 1 - Stetige Verteilung === Die Definition liefert aber nicht, dass eine unstetige Verteilung eine diskrete Verteilung ist. Diskrete Verteilung sind rechtsseitig stetige monoton steigende Treppenfunktionen. === Bemerkung 2 - Stetige Verteilung === Die Definition liefert ebenfalls nicht, dass eine stetige Verteilungen eine stetige [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]]. Die Rechteckverteilung ist eine stetige Verteilung, aber diese besitzt keine stetige [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]]. === Beispiel - stetige Verteilung === Die folgende Abbildung zeigt verschieden Wahrscheinlichkeitsdichten der [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|450px|zentriert|Wahrscheinlichkeitsdichten der Normalverteilung]] === Verteilungsfunktion (1) === [[Datei:Bernouli trial cdf p35.png|mini|]] Die Abbildung zeigt eine Verteilungsfunktion einer Bernoulli-Verteilung zum Parameter <math> p = 0{,}65 </math> mit charakteristischen Sprungstellen bei 0 und bei 1. === Verteilungsfunktion (2) === Bettet man diskrete Verteilungen auf <math> \mathbb N </math> (oder einer beliebigen höchstens abzählbaren Teilmenge der reellen Zahlen) in die reellen Zahlen <math> \mathbb R </math> ein, so kann der Verteilung eine [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] zugeordnet werden. Diese zeichnet sich bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen dadurch aus, dass sie stückweise konstant ist. An einer Stelle <math> i </math> mit <math> P(\{ i \}) > 0 </math> besitzt die Verteilungsfunktion immer einen „Sprung“ nach oben, und das um genau den Wert <math> P(\{ i \}) </math>. === Beispiel - stetige Verteilungsfunktion === Die folgende Abbildung zeigt unterschiedliche Verteilungsfunktionen der Normalverteilung. [[Datei:Normal-distribution-cumulative-distribution-function-many.svg|350px|center|Unterschiedliche Verteilungsfunktionen der Normalverteilung]] === Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion === Diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf <math> \mathbb N_0 </math> kann zusätzlich zu den klassischen erzeugenden Funktionen ([[w:de:Momenterzeugende Funktion|Momenterzeugende Funktion]], [[w:de:Kumulantenerzeugende Funktion|Kumulantenerzeugende Funktion]] und [[w:de:Charakteristische Funktion (Stochastik)|Charakteristische Funktion]]) noch eine [[w:de:wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion|wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] zugeordnet werden. Dabei handelt es sich um ein [[w:de:Polynom|Polynom]] oder um eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], die jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung eindeutig zugeordnet werden kann. Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen erleichtern beispielsweise das Berechnen der [[w:de:Moment (Stochastik)|Momente]] wie Erwartungswert oder Varianz oder liefern einfache [[w:de:Faltung (Stochastik)|Faltungsidentitäten]]. === Aufgabe - Weder stetig noch diskret === Konstruieren Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>, bei der * <math>P(\{-1\}) = \frac{1}{2}</math> * <math>P([0,1]) = \frac{1}{2}</math> mit stetiger Gleichverteilung. Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von <math>(P,\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>! == Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Folgend sind einige wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Konstruktion aufgezählt. Die Einteilung ist dabei nicht zwingend, manche Verteilungen können auch auf mehrere Arten konstruiert werden. === Aus der Bernoulli-Verteilung abgeleitet (1) === Ein Ausgangspunkt der Modellierung ist die [[w:de:Bernoulli-Verteilung|Bernoulli-Verteilung]]. Sie modelliert den Wurf einer Münze, wobei "Kopf" mit 1 codiert wird und "Zahl" mit 0. Die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" wird durch eine Zahl <math> p \in [0,1] </math> gegeben. Somit handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \{0,1\}. </math> <br> Aus dieser Verteilung lassen sich direkt ableiten: === Aus der Bernoulli-Verteilung abgeleitet (2) === * Die [[w:de:Binomialverteilung|Binomialverteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei <math>n</math> unabhängigen Würfen mit derselben Münze <math>k</math> Erfolge zu erhalten. Ihre [[w:de:Multivariate Verteilung|multivariate]] Entsprechung ist die [[w:de:Multinomialverteilung|Multinomialverteilung]]. * Die [[w:de:Verallgemeinerte Binomialverteilung|Verallgemeinerte Binomialverteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei <math>n</math> unabhängigen Würfen mit ''unterschiedlichen'' Münzen <math>k</math> Erfolge zu erhalten. * Die [[w:de:Geometrische Verteilung|Geometrische Verteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für die Wartezeit auf den ersten Erfolg beim sukzessiven, unabhängigen Werfen einer Münze an. * Die [[w:de:Negative Binomialverteilung|Negative Binomialverteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für die Wartezeit auf den <math>r</math>-ten Erfolg beim sukzessiven, unabhängigen Werfen einer Münze an. === Aus der Bernoulli-Verteilung abgeleitet (3) === Dabei werden geometrische und negative Binomialverteilung auch in verschiedenen Varianten definiert. <br> Weitere ableitbare Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind die [[w:de:Beta-Binomialverteilung|Beta-Binomialverteilung]] (die Erfolgswahrscheinlichkeit der Münze selbst wird als [[w:de:Betaverteilung|Betaverteilt]] angenommen) sowie die [[w:de:Rademacher-Verteilung|Rademacher-Verteilung]] und die [[w:de:Zweipunktverteilung|Zweipunktverteilung]] (Bernoulli-Verteilungen auf speziellen Werten) und die [[w:de:Dirac-Verteilung|Dirac-Verteilung]] (degeneriertet Grenzfall einer Münze, die immer dasselbe Ergebnis zeigt). === Aus dem Urnenmodell abgeleitet (1) === Ein weiterer Ausgangspunkt der Modellierung ist das [[w:de:Urnenmodell|Urnenmodell]], das auf der [[w:de:Diskrete Gleichverteilung|diskreten Gleichverteilung]] basiert. Dabei werden insgesamt <math> N </math> Kugeln in mehrere Gruppen geteilt (gefärbt, nummeriert, etc.), in eine Urne gelegt. Aus dieser wird dann gezogen, entweder mit zurücklegen oder ohne. Dabei soll (entsprechend der Gleichverteilung) jede Kugel gleich wahrscheinlich sein. So lassen sich beispielsweise konstruieren: === Aus dem Urnenmodell abgeleitet (2) === * die [[w:de:Hypergeometrische Verteilung|Hypergeometrische Verteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei <math>n</math>-maligem Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit zwei Sorten Kugeln genau <math>k</math> Kugeln einer Sorte zu erhalten. * ihr multivariates Pendant, die [[w:de:multivariate hypergeometrische Verteilung|multivariate hypergeometrische Verteilung]]. === Gleichverteilung (Definition) (1)=== Die Gleichverteilung über einer endlichen Grundmenge <math> \Omega </math> wird bestimmt durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion <br> :<math> p_w = \frac {1} {|\Omega|}</math> (für alle <math> w \in \Omega). </math> <br> Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis <math> A \subset \Omega </math> ist dann <br> :<math> P(A) = \sum_{w \in A} p_w = \frac {|A|} {|\Omega|}. </math> <br> === Gleichverteilung (Definition) (2)=== Die Gleichverteilung wird auch Laplaceverteilung genannt. Ein Zufallsexperiment, dem die Gleichverteilung zugeordnet wird, wird auch Laplaceexperiment genannt. <br> Interpretation der zweiten Formel: Sei <math> A \subset \Omega </math> gegeben. Ein Ereignis <math> w \in A </math> heißt "günstig" für <math>A</math>. Jedes <math> w \in \Omega </math> ist "möglich". <math> \frac {|A|} {|\Omega |} </math> ist dann die Anzahl der günstigen durch die Anzahl der möglichen Ereignisse. ==== Gleichverteilung (Beispiel) ==== Einmal werfen mit einem symmetrischen Würfel. Auf <math> \Omega = \lbrace 1, 2, ..., 6 \rbrace </math> definiert man die Wahrscheinlichkeitsfunktion <math> p_1 = p_2 = ... = p_6 = \frac {1} {6} </math> ("Gleichverteilung" über <math> \lbrace 1, 2, ..., 6\rbrace </math>). <br> Ist <math> A= \lbrace 1,3,5 \rbrace</math> das Ereignis "ungerade Augenzahl", so gilt <math> P(A) = p_1 + p_3 + p_5 = \frac {3} {6} = {1} {2} </math>. === Einpunktverteilung (Beispiel) === Seien <math> \Omega </math> und <math> w_0 \in \Omega </math> beliebig. Dann definiert :<math> p_{w_0} = 1, p_w = 0 </math> <br> (für alle <math> w \neq w_0</math>, "Einpunktverteilung") die in <math>w _0 </math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> \epsilon _{w_0}</math>. Es ist <br> :<math> \epsilon_{w_0} (A) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & w_0 \notin A \\ 1, & w_0 \in A \end{array}\right. .</math> === Geometrische Verteilung (Beispiel) (1) === Eine symmetrische Münze wird so oft geworfen, bis zum ersten Mal Kopf auftritt. Der Ergebnisraum <math> \Omega </math> besteht aus allen möglichen auftretenden Sequenzen: <br> <math> w_1 = K, w_2 = ZK, w_3 = ZZK..., w_{\infty} = ZZZZZ ... </math> <br> (Wir schreiben <math> p_k </math> anstatt <math> p_{w_k}</math>.) Es ist <math>p_1 = \frac {1} {2}</math>. Heuristische Überlegung zur Bestimmung der <math>p_k, k> 1</math>: === Geometrische Verteilung (Beispiel) (2)=== Wir betrachten <math>w_k = (Z ... ZK)</math> (k-1-mal Z) als Element der Menge <math>\Omega_k = \lbrace Z,K \rbrace^k</math>. Es ist <math>| \Omega_k| = 2^k</math>. Alle <math> 2^k </math> Elemente von <math> \Omega_k </math> sind gleichwahrscheinlich. Es folgt: <br> :<math> p_k = \frac {1} {2^k} , k \in \mathbb{N}</math> ('Geometrische Verteilung') <br> Normierung: <math> \sum_{k=1} ^{\infty} p_k = \sum_{k = 1} ^{\infty} \frac {1} {2^k} = 1 </math>. Somit hat man also <math> p_{\infty} = 0 </math> zu setzen. == Siehe auch == * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[w:de:Stetige Funktion|Stetigkeit in der Analysis]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[stetig oder diskret]] * [[Kurs:Stochastik]] == Literatur == * Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, doi:10.1515/9783110215274 * Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, doi:10.1007/978-3-642-21026-6 * David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, S. 90, doi:10.1007/b137972 == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete_und_stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilungen&author=Stochastik&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsverteilung https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsverteilung] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Normen,_Metriken,_Topologie * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] 6c6xi47paj4ggnjieelj9kh46yvmlxz 1118605 1118604 2026-11-02T11:10:32Z Bert Niehaus 20843 /* Diskreter W'Raum - Münzwurf */ 1118605 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Unterscheidung von [[stetig oder diskret|diskrete und stetigen]] Wahrscheinlichkeitsverteilungen erfolgt über die [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]]. Der bereits aus der Analysis bekannte Begriff der [[w:de:Stetige Funktion|Stetigkeit]] wird dabei auf die [[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] angewendet und [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|stetige]] Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen eine ''stetige Verteilungsfunktion''. Diskrete Verteilungen besitzen anschaulich Verteilungsfunktionen, die ''rechtsseitig stetige Treppenfunktionen bilden''. === Stetigkeit der Verteilungsfunktion === Die folgende Abbildung zeigt übereinander 3 Verteilungsfunktionen einer diskreten, einer stetigen und einer gemischten eindimensionalen Zufallsvariable. [[Datei:Discrete probability distribution illustration.svg|250px|center|Verteilungsfunktionen einer diskreten, einer stetigen und einer gemischten Zufallsvariable.]] === Eigenschaften der Verteilungsfunktion === Die Eigenschaften eine beliebigen (diskreten, stetigen) Verteilungsfunktion <math>F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math> sind: * '''(VT1)''' <math>F</math> ist [[w:de:Monoton steigende Funktion|monoton steigend]]. * '''(VT2)''' <math>F</math> ist [[w:de:Stetigkeit#Linksseitige/rechtsseitige Stetigkeit|rechtsseitig stetig]]. * '''(VT3)''' <math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} F(x) = 1</math>. === Bemerkung - rechtsseitig stetig - stetige Verteilungsfunktion === Man kann also im Allgemeinen mit (VT2) nur voraussetzen, dass jede Verteilungsfunktion rechtseitig stetig ist. Dies gilt also für jede diskrete, stetige und gemischte Verteilung. Die Menge der [[stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen Verteilung]] (wie z.B. [[Normalverteilung]] oder [[Exponentialverteilung]]) sind dann ein Spezialfall von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, bei denen die Verteilungsfunktion stetig ist. === Bemerkung - stetige Verteilung - unstetige Dichtefunktion === Bei [[stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] gilt nicht notwendigerweise, dass eine existierende Dichtefunktion ebenfalls stetig ist. Bei der [[Normalverteilung]] ist die Dichtefunktion stetig. Die [[Rechteckverteilung]] als [[stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] hat aber eine ''Dichtefunktion'', die ''nicht stetig'' ist. === Beispiel - stetige Verteilung === Beispiele für Verteilungsfunktionen von [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilungen]] mit unterschiedlichen Varianzen und Erwartungswerten. [[Datei:Normal Distribution CDF.svg|center|300px|Beispiele für Verteilungsfunktionen]] === Weder stetig noch diskret === Es gibt (eher unüblich) [[Verteilungsfunktion|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]], die weder diskret noch stetig sind. Diese nennt man dann ''gemischte Verteilungen''. === Einführendes Beispiel - diskret === Wir betrachten ein Würfelexperiment mit den möglichen Ergebgnissen <math>\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6 \}</math>. Ein Ereignis kann man in Worten z.B. mit Ereignis ''A "gerade Zahl gewürfelt"'' oder Ereignis ''B "Zahl kleiner 5 gewürfelt"'' beschreiben. Solche Ereignisse sind formal Teilmengen von der Menge aller Ergebnisse <math>\Omega</math> also <math>A = \{ 2,4,6 \} \subseteq \Omega</math> bzw. <math>B = \{ 1,2,3,4 \} \subseteq \Omega</math>. Jedem Ereignis wird dann ein Wahrscheinlichkeit <math>P(A) = \frac{3}{6}</math> bzw. <math>P(B) = \frac{4}{6}</math> zugeordnet. === Einführendes Beispiel - stetig === Eine Person wirft Dartscheibe und versucht dabei immer das den Mittelpunkt des Kreises (Bulls Eye) zu treffen. Die in Regel unbekannte Trefferverteilung auf der Dartscheibe ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einer Teilmenge <math>D \subset \mathbb{R}^2 </math>. == Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Eine '''diskrete (Wahrscheinlichkeits-)verteilung''' bzw. ein '''diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß''' ist ein spezielles [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]]. Im Gegensatz zu den allgemeinen Wahrscheinlichkeitsmaßen sind die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf einer endlichen bzw. abzählbaren Menge <math>M \subseteq \Omega</math> von [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignissen]] mit positiver Wahrscheinlichkeit (<math>P(\{\omega\}) > 0 </math> für alle <math>\omega \in M </math>) und <math>P(M)=1</math> definiert (siehe [[Wikipedia: Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]). === Weder stetig noch diskret - Summe der Wahrscheinlichkeiten von Einpunktmenge === Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die weder diskret noch stetig sind, kann man bei abzählbarem Träger an der Summe der Wahrscheinlichkeiten von Einpunktmengen ablesen. Mit Menge <math>M \subseteq \Omega</math> von [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignissen]] mit positiver Wahrscheinlichkeit (<math>P(\{\omega\}) > 0 </math> wäre <math>0 < P(M) < 1</math> ein Verteilung, die weder diskret noch stetig ist. === Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume === Im Gegensatz zu endlichen bzw. abzählbaren Trägermengen <math>\Omega</math> sind überabzählbare Grundmengen <math>\Omega</math> problematisch, um jeder Teilmenge von <math>\Omega</math> (Ereignissen) eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Z.B. auf dem Intervall <math>[0,1] \subset \mathbb{R}</math> der reellen Zahlen treten Paradoxien auf. Der [[w:de:Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] zeigt, dass die Potenzmenge von <math>\Omega</math> nicht geeignet ist als Definitionsbereich des W'Maßes und man zu einem komplexeren Mengensystem, wie der [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] übergehen muss. === Wahrscheinlichkeitsraum === Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Positivität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math> A \in \Omega</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und paarweise disjunkt folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> und <math>(\Omega,\mathcal{S}, P) </math> Wahrscheinlichkeitsraum. ==== Bemerkung ==== Die Einschränkung 'paarweise disjunkt' ist wesentlich. Für die nicht paarweise disjunkte Mengen sieht man an folgenden Beispielen unmittelbar, dass die <math>\sigma</math>-Additivität hier nicht gilt: * <math> A_1 = A_2 = \Omega </math> und man erhält <math>1 = P (\Omega) = P(A_1 \cup A_2) \not= P(A_1) + P(A_2) = 2 </math>. * <math> A_i = \Omega </math> gilt: <math> P(\bigcup _{i = 1} ^{\infty} A_i) = 1 \not= \sum_{i =1} ^{\infty} P(A_i) = \infty </math>. ===Elementare Eigenschaften von P (1) === Allein aus der obigen Definition heraus leiten wir ab: * <math> P(\varnothing) = 0</math>, denn es folgt für alle <math> A_i = \varnothing </math>: <math> P(\varnothing) = \sum_{i=1} ^{\infty} P(\varnothing)</math>; die Ausnahme <math> P(\varnothing) > 0</math> liefert den Widerspruch. * <math>P(\bigcup _{i=1} ^n A_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i)</math> für paarweise disjunkte <math> A_1, ..., A_n </math>('Additivität'). Insbesondere: <math> P(A \cup B) = P(A) + P(B) </math> für disjunkte <math>A, B</math>, denn setzte: <math> A_{n+1} = A_{n+2} = ... = \varnothing </math> und beachte 1). ===Elementare Eigenschaften von P (2) === * <math> P( \bar A) = 1 - P(A)</math>, denn <math>1 = P(\Omega) = P(A \cup \bar A) = P(A) + P( \bar A)</math>. * <math> P(A) \le P(B) </math> für <math> A \subset B </math> ('Monotonie'), denn <math> B=B \cap \bar A \cup A </math> (disjunkt), also <math>P(B) = P(A) + P(B \cap \bar A) \ge P(A)</math>. * Zusätzlich gilt <math> P(B\setminus A) = P(B) - P( A \cap B)</math> mit <math>B \setminus A \equiv B \cap \bar A</math>. * Es gilt außerdem <math> P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math> <br> Allgemein: <math> P(A_i, ..., A_n) \le \sum_{i=1}^n P(A_i)</math> <br> Insbesondere: <math> P(A \cup B) \le P(A) + P(B) </math> ===Elementare Eigenschaften von P (3) === Für einelementige (Elementar-)Ereignisse <math> \lbrace w \rbrace </math> setzten wir <math> p_w = P(\lbrace w \rbrace )</math> und haben somit: * <math> p_w \ge 0</math>. * <math> \sum_{w \in \Omega} p_w = P(\Omega)=1</math>. * <math> \sum_{w \in A} p_w = P(A) </math> für jedes <math> A \in \Omega </math>. <br> Aus Letzerem folgt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> durch die Werte von <math> p_w </math> eindeutig festgelegt werden kann. === Diskreter W'Raum - Münzwurf === Einfachstes Beispiel einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung wäre ein Wurf mit einer möglicherweise gezinkten Münze: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet dem [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignis]] "Die Münze zeigt Kopf" eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Kopf zeigt. Ebenso ordnet sie dem Ergebnis "Die Münze zeigt Zahl" eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Zahl zeigt. Dem intuitiven Verständnis von Wahrscheinlichkeit entsprechend summieren sich diese Zahlen zu eins auf. === Einpunktmenge und stetige Verteilung === Für stetige Verteilung gilt, dass die Wahrscheinlichkeit <math>P(\{\omega\})=0</math> für beliebige Einpunktmengen <math>\{\omega\}</math> mit <math>\omega \in \Omega</math> gilt. Daher liefert die Wahrscheinlichkeitsmasse von Einpunktmengen keine Informationen für die stetige Verteilung <math>P</math>. == Verteilungsfunktionen == In dem folgenden Abschnitt werden Verteilungsfunktionen behandelt. Die Begriffsdefinition ist notwendig, um stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu definieren. Unterschieden werden dabei * der eindimensionale Fall <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> und * der mehrdimensionale Fall <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))</math>. In beiden Fällen wird als <math>\sigma</math>-Algebra die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)</math> verwendet. === Verteilungsfunktion - eindimensional === Bei reellwertigen Zufallsgrößen <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> wird die Verteilungsfunktion über die induzierte Verteilung auf <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> über <math>F(x):=P^X((-\infty,x])</math> angegeben. === Verteilungsfunktion - mehrdimensional === Bei Zufallsgrößen <math>X:\Omega \to \mathbb{R}^n </math> wird die Verteilungsfunktion über die induzierte Verteilung auf <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))</math> über <math> F(x_1 ,\ldots , x_n) := P^X((-\infty,x_1] \times \cdots \times (-\infty,x_n]) </math> angegeben. == Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Verteilungsfunktion stetig. Daraus ergibt sich insbesondere, dass k Einpunktmengen im Gegensatz zu den diskrete Verteilungen keine Wahrscheinlichkeitsmasse tragen. Es ist wichtig zu bemerken, dass sich der Stetigkeitsbegriff nicht auf die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] bezieht. Die [[Rechteckverteilung]] ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, dessen Dichtefunktion nicht stetig ist. === Definition - Stetige Verteilung === Eine Verteilung auf <math>(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)), P</math> heißt stetig, wenn die zugehörige Verteilungsfunktion <math>F: \mathbb{R}^n \to [0,1]</math> stetig ist. === Bemerkung 1 - Stetige Verteilung === Die Definition liefert aber nicht, dass eine unstetige Verteilung eine diskrete Verteilung ist. Diskrete Verteilung sind rechtsseitig stetige monoton steigende Treppenfunktionen. === Bemerkung 2 - Stetige Verteilung === Die Definition liefert ebenfalls nicht, dass eine stetige Verteilungen eine stetige [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]]. Die Rechteckverteilung ist eine stetige Verteilung, aber diese besitzt keine stetige [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]]. === Beispiel - stetige Verteilung === Die folgende Abbildung zeigt verschieden Wahrscheinlichkeitsdichten der [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|450px|zentriert|Wahrscheinlichkeitsdichten der Normalverteilung]] === Verteilungsfunktion (1) === [[Datei:Bernouli trial cdf p35.png|mini|]] Die Abbildung zeigt eine Verteilungsfunktion einer Bernoulli-Verteilung zum Parameter <math> p = 0{,}65 </math> mit charakteristischen Sprungstellen bei 0 und bei 1. === Verteilungsfunktion (2) === Bettet man diskrete Verteilungen auf <math> \mathbb N </math> (oder einer beliebigen höchstens abzählbaren Teilmenge der reellen Zahlen) in die reellen Zahlen <math> \mathbb R </math> ein, so kann der Verteilung eine [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] zugeordnet werden. Diese zeichnet sich bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen dadurch aus, dass sie stückweise konstant ist. An einer Stelle <math> i </math> mit <math> P(\{ i \}) > 0 </math> besitzt die Verteilungsfunktion immer einen „Sprung“ nach oben, und das um genau den Wert <math> P(\{ i \}) </math>. === Beispiel - stetige Verteilungsfunktion === Die folgende Abbildung zeigt unterschiedliche Verteilungsfunktionen der Normalverteilung. [[Datei:Normal-distribution-cumulative-distribution-function-many.svg|350px|center|Unterschiedliche Verteilungsfunktionen der Normalverteilung]] === Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion === Diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf <math> \mathbb N_0 </math> kann zusätzlich zu den klassischen erzeugenden Funktionen ([[w:de:Momenterzeugende Funktion|Momenterzeugende Funktion]], [[w:de:Kumulantenerzeugende Funktion|Kumulantenerzeugende Funktion]] und [[w:de:Charakteristische Funktion (Stochastik)|Charakteristische Funktion]]) noch eine [[w:de:wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion|wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] zugeordnet werden. Dabei handelt es sich um ein [[w:de:Polynom|Polynom]] oder um eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], die jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung eindeutig zugeordnet werden kann. Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen erleichtern beispielsweise das Berechnen der [[w:de:Moment (Stochastik)|Momente]] wie Erwartungswert oder Varianz oder liefern einfache [[w:de:Faltung (Stochastik)|Faltungsidentitäten]]. === Aufgabe - Weder stetig noch diskret === Konstruieren Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>, bei der * <math>P(\{-1\}) = \frac{1}{2}</math> * <math>P([0,1]) = \frac{1}{2}</math> mit stetiger Gleichverteilung. Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von <math>(P,\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>! == Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen == Folgend sind einige wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Konstruktion aufgezählt. Die Einteilung ist dabei nicht zwingend, manche Verteilungen können auch auf mehrere Arten konstruiert werden. === Aus der Bernoulli-Verteilung abgeleitet (1) === Ein Ausgangspunkt der Modellierung ist die [[w:de:Bernoulli-Verteilung|Bernoulli-Verteilung]]. Sie modelliert den Wurf einer Münze, wobei "Kopf" mit 1 codiert wird und "Zahl" mit 0. Die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" wird durch eine Zahl <math> p \in [0,1] </math> gegeben. Somit handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \{0,1\}. </math> <br> Aus dieser Verteilung lassen sich direkt ableiten: === Aus der Bernoulli-Verteilung abgeleitet (2) === * Die [[w:de:Binomialverteilung|Binomialverteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei <math>n</math> unabhängigen Würfen mit derselben Münze <math>k</math> Erfolge zu erhalten. Ihre [[w:de:Multivariate Verteilung|multivariate]] Entsprechung ist die [[w:de:Multinomialverteilung|Multinomialverteilung]]. * Die [[w:de:Verallgemeinerte Binomialverteilung|Verallgemeinerte Binomialverteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei <math>n</math> unabhängigen Würfen mit ''unterschiedlichen'' Münzen <math>k</math> Erfolge zu erhalten. * Die [[w:de:Geometrische Verteilung|Geometrische Verteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für die Wartezeit auf den ersten Erfolg beim sukzessiven, unabhängigen Werfen einer Münze an. * Die [[w:de:Negative Binomialverteilung|Negative Binomialverteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für die Wartezeit auf den <math>r</math>-ten Erfolg beim sukzessiven, unabhängigen Werfen einer Münze an. === Aus der Bernoulli-Verteilung abgeleitet (3) === Dabei werden geometrische und negative Binomialverteilung auch in verschiedenen Varianten definiert. <br> Weitere ableitbare Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind die [[w:de:Beta-Binomialverteilung|Beta-Binomialverteilung]] (die Erfolgswahrscheinlichkeit der Münze selbst wird als [[w:de:Betaverteilung|Betaverteilt]] angenommen) sowie die [[w:de:Rademacher-Verteilung|Rademacher-Verteilung]] und die [[w:de:Zweipunktverteilung|Zweipunktverteilung]] (Bernoulli-Verteilungen auf speziellen Werten) und die [[w:de:Dirac-Verteilung|Dirac-Verteilung]] (degeneriertet Grenzfall einer Münze, die immer dasselbe Ergebnis zeigt). === Aus dem Urnenmodell abgeleitet (1) === Ein weiterer Ausgangspunkt der Modellierung ist das [[w:de:Urnenmodell|Urnenmodell]], das auf der [[w:de:Diskrete Gleichverteilung|diskreten Gleichverteilung]] basiert. Dabei werden insgesamt <math> N </math> Kugeln in mehrere Gruppen geteilt (gefärbt, nummeriert, etc.), in eine Urne gelegt. Aus dieser wird dann gezogen, entweder mit zurücklegen oder ohne. Dabei soll (entsprechend der Gleichverteilung) jede Kugel gleich wahrscheinlich sein. So lassen sich beispielsweise konstruieren: === Aus dem Urnenmodell abgeleitet (2) === * die [[w:de:Hypergeometrische Verteilung|Hypergeometrische Verteilung]]: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei <math>n</math>-maligem Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit zwei Sorten Kugeln genau <math>k</math> Kugeln einer Sorte zu erhalten. * ihr multivariates Pendant, die [[w:de:multivariate hypergeometrische Verteilung|multivariate hypergeometrische Verteilung]]. === Gleichverteilung (Definition) (1)=== Die Gleichverteilung über einer endlichen Grundmenge <math> \Omega </math> wird bestimmt durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion <br> :<math> p_w = \frac {1} {|\Omega|}</math> (für alle <math> w \in \Omega). </math> <br> Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis <math> A \subset \Omega </math> ist dann <br> :<math> P(A) = \sum_{w \in A} p_w = \frac {|A|} {|\Omega|}. </math> <br> === Gleichverteilung (Definition) (2)=== Die Gleichverteilung wird auch Laplaceverteilung genannt. Ein Zufallsexperiment, dem die Gleichverteilung zugeordnet wird, wird auch Laplaceexperiment genannt. <br> Interpretation der zweiten Formel: Sei <math> A \subset \Omega </math> gegeben. Ein Ereignis <math> w \in A </math> heißt "günstig" für <math>A</math>. Jedes <math> w \in \Omega </math> ist "möglich". <math> \frac {|A|} {|\Omega |} </math> ist dann die Anzahl der günstigen durch die Anzahl der möglichen Ereignisse. ==== Gleichverteilung (Beispiel) ==== Einmal werfen mit einem symmetrischen Würfel. Auf <math> \Omega = \lbrace 1, 2, ..., 6 \rbrace </math> definiert man die Wahrscheinlichkeitsfunktion <math> p_1 = p_2 = ... = p_6 = \frac {1} {6} </math> ("Gleichverteilung" über <math> \lbrace 1, 2, ..., 6\rbrace </math>). <br> Ist <math> A= \lbrace 1,3,5 \rbrace</math> das Ereignis "ungerade Augenzahl", so gilt <math> P(A) = p_1 + p_3 + p_5 = \frac {3} {6} = {1} {2} </math>. === Einpunktverteilung (Beispiel) === Seien <math> \Omega </math> und <math> w_0 \in \Omega </math> beliebig. Dann definiert :<math> p_{w_0} = 1, p_w = 0 </math> <br> (für alle <math> w \neq w_0</math>, "Einpunktverteilung") die in <math>w _0 </math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> \epsilon _{w_0}</math>. Es ist <br> :<math> \epsilon_{w_0} (A) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & w_0 \notin A \\ 1, & w_0 \in A \end{array}\right. .</math> === Geometrische Verteilung (Beispiel) (1) === Eine symmetrische Münze wird so oft geworfen, bis zum ersten Mal Kopf auftritt. Der Ergebnisraum <math> \Omega </math> besteht aus allen möglichen auftretenden Sequenzen: <br> <math> w_1 = K, w_2 = ZK, w_3 = ZZK..., w_{\infty} = ZZZZZ ... </math> <br> (Wir schreiben <math> p_k </math> anstatt <math> p_{w_k}</math>.) Es ist <math>p_1 = \frac {1} {2}</math>. Heuristische Überlegung zur Bestimmung der <math>p_k, k> 1</math>: === Geometrische Verteilung (Beispiel) (2)=== Wir betrachten <math>w_k = (Z ... ZK)</math> (k-1-mal Z) als Element der Menge <math>\Omega_k = \lbrace Z,K \rbrace^k</math>. Es ist <math>| \Omega_k| = 2^k</math>. Alle <math> 2^k </math> Elemente von <math> \Omega_k </math> sind gleichwahrscheinlich. Es folgt: <br> :<math> p_k = \frac {1} {2^k} , k \in \mathbb{N}</math> ('Geometrische Verteilung') <br> Normierung: <math> \sum_{k=1} ^{\infty} p_k = \sum_{k = 1} ^{\infty} \frac {1} {2^k} = 1 </math>. Somit hat man also <math> p_{\infty} = 0 </math> zu setzen. == Siehe auch == * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[w:de:Stetige Funktion|Stetigkeit in der Analysis]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[stetig oder diskret]] * [[Kurs:Stochastik]] == Literatur == * Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, doi:10.1515/9783110215274 * Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, doi:10.1007/978-3-642-21026-6 * David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, S. 90, doi:10.1007/b137972 == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete_und_stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilungen&author=Stochastik&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsverteilung https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsverteilung] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Normen,_Metriken,_Topologie * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] 3svpx515zhvml4xm3qjgbxtwu56szl8 106 111764 1118607 1117878 2026-11-02T11:15:02Z Bert Niehaus 20843 /* Definition mittels Zufallsvariable */ 1118607 wikitext text/x-wiki == Definition == Eine Verteilungsfunktion kann über * ein Wahrscheinlichkeitsmaß oder * eine Zufallsvariable definieren === Definition mittels Wahrscheinlichkeitsmaß === Gegeben sei ein [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P </math> auf dem [[w:de:Ereignissystem|Ereignisraum]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]], d.&nbsp;h., jede reelle Zahl kann als mögliches [[w:de:Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] aufgefasst werden. Dann heißt die Funktion :<math> F_P\colon \mathbb{R} \to [0,1] </math> definiert durch :<math> F_P(x)=P((- \infty, x]) </math> die Verteilungsfunktion von <math> P </math>. Mit anderen Worten: Die Funktion gibt an der Stelle <math> x </math> an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ergebnis aus der Menge <math> (- \infty, x] </math> (alle reellen Zahlen kleiner oder gleich <math> x </math>) eintritt. === Definition mittels Zufallsvariable === Ist <math> X </math> eine [[w:de:Zufallsvariable|reelle Zufallsvariable]], so nennt man die Funktion :<math> F_X(x)=P(X \leq x) </math> die Verteilungsfunktion von <math> X </math>. Dabei bezeichnet <math> P(X \leq x) </math> die Wahrscheinlichkeit, dass <math> X </math> einen Wert kleiner oder gleich <math> x </math> annimmt. Somit ist die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable genau die Verteilungsfunktion ihrer [[w:de:Verteilung einer Zufallsvariablen|Verteilung]]. === Definition mittels Zufallsvector === Ist <math> X = (X_1,\ldots , X_n) </math> eine [[w:de:Zufallsvektor|reelle Zufallsvektor]], so nennt man die Funktion :<math> F_X(x_1,\ldots , x_n)=P(X_1 \leq x,\ldots , X_n\leq x_n) </math> die Verteilungsfunktion von <math> X </math>. Dabei bezeichnet <math> P(X_1 \leq x_1 ,\ldots , X_n\leq x_n) </math> die Wahrscheinlichkeit, dass <math> X_k \leq x_k </math> einen Wert kleiner oder gleich <math> x_k </math> für alle Zufallsvariablen <math>X_k</math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> annimmt. == Beispiele == === Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten === Besitzt das [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P </math> eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] <math> f_P </math>, so gilt :<math> P((a,b])=\int_a^b f_P(x) \, \mathrm dx </math>. Somit hat in diesem Fall die Verteilungsfunktion die Darstellung :<math> F_P(x)=\int_{- \infty}^x f_P(t) \, \mathrm d t </math> Diese Integraldarstellung im Sinne der Analysis ist im Allgemeinen aber nicht gegeben. === Dichte der Exponentialverteilung === Beispielsweise hat die [[w:de:Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]] die Dichte :<math>f_{\lambda}(x)= \begin{cases}\displaystyle \lambda{\rm e}^{-\lambda x} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} </math>. Ist also die Zufallsvariable <math> X </math> exponentialverteilt, also <math> X \sim \operatorname{Exp}(\lambda) </math>, so ist :<math> F_X(x)= \int_{- \infty}^x f_\lambda(t)\, \mathrm dt =\begin{cases} 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}& x\geq 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases} </math>. === Allgemeine Dichtefunktion === Nicht alle Wahrscheinlichkeitsmaße auf den reellen Zahlen besitzen eine Dichtefunktion bzgl. des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]]. Beispielsweise haben diskrete Verteilungen, aufgefasst als Verteilungen in <math> \mathbb{R} </math>) keine integrable Dichtefunktion. Dafür muss man den Begriff der Dichte verallgemeinern und zu einer Dichte bzgl. eines dominierenden Maßes wählen. Für diskrete Verteilung kann man dann wieder eine Dichte bzgl. des Zählmaßes angeben. === Verteilungsfunktionen und Stammfunktionen === Für stetige Verteilungsfunktion muss nicht notwendigerweise über eine integrable Dichtefunktion als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] darstellbar sein (siehe [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]]). Ferner kann eine Stammfunktion der [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] als W-Maß auf <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> nicht notwendigerweise allein mit Methoden der reellen Analysis als Stammfunktion bestimmt werden. Mit [[Identitätssatz]] und [[Cauchy-Integralformel]] aus der Funktionentheorie kann man eine [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Stammfunktion als Potenzreihe]] darstellen. === Diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße === Betrachtet man zu einem Parameter <math> p \in (0,1) </math> eine [[w:de:Bernoulli-Verteilung|Bernoulli-verteilte]] Zufallsvariable <math> X </math>, so ist :<math> P(X=0) = 1-p \text{ und } P(X=1)=p </math> und für die Verteilungsfunktion folgt dann :<math> F(x) = \begin{cases} 0 & \text{ falls } x <0 \\ 1-p & \text{ falls } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{ falls } x \geq 1 \end{cases} </math> === Wahrscheinlichkeit durch Elementarreignissen ausdrücken === Ist allgemeiner <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable auf <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> mit Werten in den nichtnegativen ganzen Zahlen <math>\mathbb{N}_0</math>, dann gilt :<math>F_X(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} P(X=k) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} P\left(\{\omega \in \Omega | X(\omega)=k\}\right)</math>. Dabei bezeichnet <math>\lfloor \cdot \rfloor</math> die [[w:de:Abrundungsfunktion|Abrundungsfunktion]], das heißt <math>\lfloor x \rfloor</math> ist größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich <math>x</math> ist. == Eigenschaften und Zusammenhang zur Verteilung == [[Datei:Discrete probability distribution illustration.svg|mini|Verteilungsfunktionen einer diskreten, einer stetigen und einer gemischten Zufallsvariable.]] === Eigenschaften der Verteilungsfunktion === Jede Verteilungsfunktion <math>F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math> hat folgende Eigenschaften: * '''(VT1)''' <math>F</math> ist [[w:de:Monoton steigende Funktion|monoton steigend]]. * '''(VT2)''' <math>F</math> ist [[w:de:Stetigkeit#Linksseitige/rechtsseitige Stetigkeit|rechtsseitig stetig]]. * '''(VT3)''' <math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} F(x) = 1</math>. === Drei Eigenschaften liefern Verteilungsfunktion === Darüber hinaus ist jede Funktion <math>F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math>, die die Eigenschaften (VT1), (VT2) und (VT3) erfüllt, eine Verteilungsfunktion. Folglich ist eine Charakterisierung der Verteilungsfunktion mit Hilfe der drei Eigenschaften möglich. === Korrespondenzsatz === Es gibt zu jeder Verteilungsfunktion <math>F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math> genau solch ein Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P_F\colon\mathcal{B}(\mathbb{R})\to[0,1]</math>, dass für alle <math>x\in\mathbb{R}</math> gilt: :<math>P_F\left(]-\infty,x]\right)=F(x)</math> Umgekehrt gibt es zu jedem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P\colon\mathcal{B}(\mathbb{R})\to[0,1]</math> eine Verteilungsfunktion <math>F_P\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math> derart, dass für alle <math>x\in\mathbb{R}</math> gilt: :<math>P\left(]-\infty,x]\right)=F_P(x)</math> Daraus folgt die Korrespondenz von <math>P_{(F_P)}=P</math> und <math>F_{(P_F)}=F</math>. Dieser Sachverhalt wird in der Literatur auch ''[[w:de:Korrespondenzsatz (Stochastik)|Korrespondenzsatz]]'' genannt.<ref>N. Schmitz. ''Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie.'' Teubner, 1996.</ref> === Sprungstellen der Verteilungsfunktion === Jede Verteilungsfunktion besitzt höchstens abzählbar viele Sprungstellen. Da jede Verteilungsfunktion rechtsstetig ist, existiert auch der rechtsseitige Grenzwert und es gilt für alle <math>x\in\mathbb{R}</math>: :<math>P_F\left(\{x\}\right)=F(x)-\lim_{\varepsilon\to0+}F(x-\varepsilon)</math> Deswegen ist <math>F</math> genau dann stetig, wenn <math>P(\{x\})=0</math> für alle <math>x\in\mathbb{R}</math> gilt. == Rechnen mit Verteilungsfunktionen == Ist eine Verteilungsfunktion <math> F </math> gegeben, so kann man wie folgt die Wahrscheinlichkeiten bestimmen: :<math> P(X \leq a)= F(a) </math> sowie <math> P(X > a) = 1- F(a) </math> bzw. :<math> P((- \infty; a ])= F(a) </math> sowie <math> P((a ; + \infty )) = 1- F(a) </math>. === Berechnung der Wahrscheinlickeit von Intervallen === Insgesamt kann man mit Verteilungsfunktion auch die Wahrscheinlichkeit von halboffenen Intervallen berechnen: :<math> P( a < X \leq b ) = F(b)-F(a) </math> und <math> P((a,b])= F(b)-F(a) </math> für <math> a \leq b </math>. === Ungleichungen für diskrete Zufallsgröße === Im Allgemeinen kann hier die Art der Ungleichheitszeichen (<math> < </math> oder <math> \leq </math>) beziehungsweise die Art der Intervallgrenzen (offen, abgeschlossen, links/rechts halboffen) ''nicht'' vernachlässigt werden. Dies führt besonders bei [[w:de:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] zu Fehlern, da sich dort auch auf einzelnen Punkten eine Wahrscheinlichkeit befinden kann, die dann versehentlich dazugezählt oder vergessen wird. === Ungleichungen für stetige Zufallsgröße === Bei [[w:de:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen]], also insbesondere auch bei solchen, die über eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] definiert werden ([[w:de:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]), führt eine Abänderung der Ungleichheitszeichen oder Intervallgrenzen nicht zu Fehlern, d.h. <math> P( a \leq X\leq b ) = P( a < X < b ) </math> &nbsp; === Beispiel === Beim Würfeln errechnet sich die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 2 (exklusive) und einschließlich 5 zu würfeln, zu :<math>P(2 < X \leq 5) = F(5) - F(2) = {5 \over 6} - {2 \over 6} = {3 \over 6} = {1 \over 2}</math>. == Konvergenz == === Definition === Eine Folge von Verteilungsfunktionen <math> (F_n)_{n \in \N} </math> heißt schwach konvergent gegen die Verteilungsfunktion <math> F </math>, wenn :<math> \lim_{n \to \infty} F_n(x)=F(x) </math> gilt für alle <math> x \in \mathbb{R} </math>, an denen <math> F </math> stetig ist.<ref>Schmidt: ''Maß- und Wahrscheinlichkeit.'' 2011, S. 396.</ref> Für Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen finden sich auch die Bezeichnungen ''konvergent in Verteilung'' oder ''stochastisch konvergent''.<ref>Kusolitsch: ''Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2014, S. 287.</ref> === Eigenschaften === Über die schwache Konvergenz der Verteilungsfunktionen lässt sich mit dem [[w:de:Satz von Helly-Bray|Satz von Helly-Bray]] eine Brücke zur [[w:de:Schwache Konvergenz (Maßtheorie)|schwachen Konvergenz von Maßen]] schlagen. Denn eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist genau dann schwach konvergent, wenn die Folge ihrer Verteilungsfunktionen schwach konvergiert. Analog ist eine Folge von Zufallsvariablen genau denn [[w:de:Konvergenz in Verteilung|Konvergent in Verteilung]], wenn die Folge ihrer Verteilungsfunktionen schwach konvergiert. Für [[w:de:Verteilungsfunktion (Maßtheorie)|Verteilungsfunktionen im Sinne der Maßtheorie]] ist die oben angegebene Definition nicht korrekt, sondern entspricht der [[w:de:Vage Konvergenz von Verteilungsfunktionen|vagen Konvergenz von Verteilungsfunktionen (im Sinne der Maßtheorie)]]. Diese fällt aber für Wahrscheinlichkeitsmaßen mit der [[w:de:Schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen|schwachen Konvergenz von Verteilungsfunktionen]] zusammen. Die schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen wird von dem [[w:de:Lévy-Abstand|Lévy-Abstand]] metrisiert. === Klassifikation von Verteilungsfunktionen === Wahrscheinlichkeitsverteilungen, deren Verteilungsfunktion [[w:de:Stetigkeit|stetig]] ist, werden [[w:de:stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en genannt. Sie lassen sich noch weiter unterteilen in * [[w:de:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en, für die eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] existiert. Typische Beispiele hierfür wäre die [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] oder die [[w:de:Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]. * [[w:de:Stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung|Stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en, die keine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion besitzen. Beispiel hierfür wäre die [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]]. === Ableitung der Verteilungsfunktion === Für absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen entspricht die Ableitung der Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Zwar sind auch stetig singuläre Wahrscheinlichkeitsverteilungen fast überall differenzierbar, ihre Ableitung ist aber fast überall gleich null (Beispiel [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]]). === Verteilungsfunktion diskrete Zufallsexperimente === Verteilungsfunktionen von [[w:de:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] zeichnen sich durch ihre Sprünge zwischen den Bereichen mit konstanten Funktionswerten aus. Bei ihnen handelt es sich um [[w:de:Sprungfunktion (Maßtheorie)|Treppenfunktionen]]. == Alternative Definition == === Linksseitig stetige Verteilungsfunktionen === Im Einflussbereich der Tradition [[w:de:Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow|Kolmogorows]], namentlich der mathematischen Literatur des ehem. „[[w:de:Ostblock|Ostblock]]s“, findet sich parallel zur heute vorherrschenden „Kleiner-gleich“-Konvention der Verteilungsfunktion bis in die jüngere Vergangenheit eine weitere, die statt des Kleiner-gleich-Zeichens das Echt-kleiner-Zeichen verwendet,<ref>Alexandr Alexejewitsch Borowkow: ''Rachunek prawdopodobieństwa.'' Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977, S. 36&nbsp;ff.</ref><ref>[[w:de:Marek Fisz|Marek Fisz]]: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.'' VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Elfte Auflage, Berlin 1989, Definition 2.2.1, S. 51.</ref> also :<math>F(x) = P(X < x),\quad x\in\mathbb{R}</math> Bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen stimmen beide Definitionen überein, bei diskreten Verteilungen dagegen unterscheiden sie sich darin, dass die Verteilungsfunktion im Fall der „Echt-kleiner“-Konvention an den Sprungstellen nicht rechtsseitig, sondern linksseitig stetig ist. === Beispiel - Verteilungsfunktion Binomialverteilung === Es ergibt sich beispielsweise für die [[w:de:Binomialverteilung|Binomialverteilung]] bei der heute üblichen „Kleiner-gleich“-Konvention eine Verteilungsfunktion der Form :<math>F(x) = P(X \le x) = \sum_{k=0}^{min\{n,\lfloor x \rfloor\} }{n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}</math>, Dabei ist <math>\lfloor x \rfloor\}</math> die Gaußlkammer von <math>x</math> mit <math>\lfloor x \rfloor := \max \{k\in\Z \mid k \leq x\}</math>. Wenn Summationsindex <math> min\{n,\lfloor x \rfloor\} < 0 </math> ist, definiert man für die Summe <math>\sum_{k=0}^{min\{n,\lfloor x \rfloor\} } \ldots = 0</math>. === Bemerkung - Alternative Definition === Siehe auch Gellert, et.al. (1970)<ref>W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner (Hrsg.): ''Kleine Enzyklopädie Mathematik.'' VEB Verlag Enzyklopädie Leipzig 1970, OCLC 174754758, S. 659–660.</ref> für alternative linksseitig stetige Definition der Verteilungsfunktion. == Verwandte Konzepte == Wenn man Daten <math>\mathbb{D}=(x_1, \dots, x_n) </math> mit einer Stichprobe erhebt, dann kann man für eine unbekannte Verteilung <math>P</math> die empirische Verteilungsfunktion <math>F_\mathbb{D}</math> bestimmen. Analog zu den [[Kurs:Stochastik/Gesetz der großen Zahlen|Gesetzen der großen Zahlen]] liefert der [[w:de:Satz von Gliwenko-Cantelli|Satz von Gliwenko-Cantelli]] eine Konvergenz gegen die unbekannte Verteilungsfunktion <math>F_P</math>. === Empirische Verteilungsfunktion === Die [[w:de:empirische Verteilungsfunktion|empirische Verteilungsfunktion]] einer Stichprobe <math> (x_1, \dots, x_n) </math> spielt eine wichtige Rolle in der Statistik. Formal entspricht sie der Verteilungsfunktion einer [[w:de:Diskrete Gleichverteilung|diskreten Gleichverteilung]] auf den Punkten <math> (x_1, \dots, x_n) </math>. Ihre Bedeutung hat sie daher, dass nach dem [[w:de:Satz von Gliwenko-Cantelli|Satz von Gliwenko-Cantelli]] die empirische Verteilungsfunktion einer unabhängigen Stichprobe von Zufallszahlen gegen die Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung konvergiert, mittels der die Zufallszahlen erzeugt wurden. === Gemeinsame Verteilungsfunktion und Rand-Verteilungsfunktionen === Die [[w:de:Gemeinsame Verteilungsfunktion|Gemeinsame Verteilungsfunktion]] verallgemeinert das Konzept einer Verteilungsfunktion von der Verteilung einer Zufallsvariablen auf die [[w:de:Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen|Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen]]. Ebenso lässt sich das Konzept von der [[w:de:Randverteilung|Randverteilung]] zur [[w:de:Rand-Verteilungsfunktion|Rand-Verteilungsfunktion]] übertragen. Diese Verteilungsfunktionen haben gemeinsam, dass ihr Definitionsbereich der <math> \mathbb{R}^k </math> ist für <math> k \geq 1 </math> === Verallgemeinerte Inverse Verteilungsfunktion === Die [[w:de:Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion|Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion]] bildet unter Umständen eine Umkehrfunktion zur Verteilungsfunktion und ist wichtig zur Bestimmung von [[w:de:Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantilen]]. === Verteilungsfunktion im Sinne der Maßtheorie === Verteilungsfunktionen können nicht nur für Wahrscheinlichkeitsmaße definiert werden, sondern für beliebige endliche Maße auf den reellen Zahlen. In diesen [[w:de:Verteilungsfunktion (Maßtheorie)|Verteilungsfunktionen (im Sinne der Maßtheorie)]] spiegeln sich dann wichtige Eigenschaften der Maße wider. Sie bilden eine Verallgemeinerung der hier besprochenen Verteilungsfunktionen. === Überlebensfunktion === Die [[w:de:Überlebensfunktion|Überlebensfunktion]] gibt im Gegensatz zu einer Verteilungsfunktion an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, einen gewissen Wert zu überschreiten. Sie tritt beispielsweise bei der Modellierung von Lebensdauern auf und gibt dort an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, einen gewissen Zeitpunkt <math>t</math> zu „überleben“. Dabei liefert sich die Überlebensfunktion (Survival) <math>S(t)=1-F(t)</math> an der Stelle <math> t </math> der Wahrscheinlichkeit, dass ein [[w:de:Individuum|Individuum]] älter als <math> t </math> wird. <math>F(t)</math> gibt die Wahrscheinlichkeit an, bis zum Zeitpunkt <math>t</math> nicht überlebt zu haben (d.h. <math>F(t)=P((-\infty,t])</math>). === Multivariate und mehrdimensionale Verteilungsfunktion === Die [[w:de:Multivariate Verteilungsfunktion|Multivariate Verteilungsfunktion]] ist die Verteilungsfunktion, die multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zugeordnet wird. Als [[w:de:mehrdimensionale Verteilungsfunktion|mehrdimensionale Verteilungsfunktion]] wird hingegen meist die das höherdimensionale Pendant der Verteilungsfunktion im Sinne der Maßtheorie bezeichnet. == Allgemeine Informationen == Die '''Verteilungsfunktion''' ist eine spezielle [[w:de:reelle Funktion|reelle Funktion]] in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]] und ein zentrales Konzept bei der Untersuchung von [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en auf den [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]]. === Beziehung Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion === Jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung und jeder [[w:de:Zufallsvariable|reellwertigen Zufallsvariable]] kann eine Verteilungsfunktion zugeordnet werden. Anschaulich entspricht dabei der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle <math> x </math> der Wahrscheinlichkeit, dass die zugehörige Zufallsvariable <math> X </math> einen Wert kleiner oder gleich <math> x </math> annimmt. Ist beispielsweise die Verteilung der Schuhgrößen in Europa gegeben, so entspricht der Wert der entsprechenden Verteilungsfunktion bei 45 der Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Europäer die Schuhgröße 45 oder kleiner besitzt. === Korrespondenzsatz === Ihre Bedeutung erhält die Verteilungsfunktion durch den [[w:de:Korrespondenzsatz (Stochastik)|Korrespondenzsatz]], der besagt, dass jeder Verteilungsfunktion eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den reellen Zahlen zugeordnet werden kann und umgekehrt. Die Zuordnung ist [[w:de:Bijektive Funktion|bijektiv]]. Dies ermöglicht es, anstelle der Untersuchung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen als [[w:de:Mengenfunktion|Mengenfunktion]]en auf einem komplexen [[w:de:Mengensystem|Mengensystem]] mit Methoden der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] die entsprechenden Verteilungsfunktionen zu untersuchen. Diese sind reelle Funktionen und somit über die Methoden der [[w:de:Reelle Analysis|reellen Analysis]] leichter zugänglich. === Univerariate und multivariate Verteilungsfunktion === Als alternative Bezeichnungen finden sich unter anderem '''kumulierte Verteilungsfunktion''', da sie die Wahrscheinlichkeiten kleiner als <math> x </math> zu sein anhäuft, siehe auch [[w:de:kumulierte Häufigkeit|kumulierte Häufigkeit]]. Des Weiteren wird sie zur besseren Abgrenzung von ihrem höherdimensionalen Pendant, der [[w:de:Multivariate Verteilungsfunktion|multivariaten Verteilungsfunktion]], auch als '''univariate Verteilungsfunktion''' bezeichnet.<ref>Schmidt: ''Maß- und Wahrscheinlichkeit.'' 2011, S. 246.</ref> In Abgrenzung zum allgemeineren [[w:de:Verteilungsfunktion (Maßtheorie)|Maßtheoretischen Konzept einer Verteilungsfunktion]] finden sich die Bezeichnungen als '''wahrscheinlichkeitstheoretische Verteilungsfunktion''' oder als '''Verteilungsfunktion im engeren Sinn'''.<ref>Kusolitsch: ''Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2014, S. 62.</ref> === Empirische Verteilungsfunktion === Die Entsprechung der Verteilungsfunktion in der [[w:de:Deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]] ist die [[w:de:Empirische Verteilungsfunktion|''empirische'' Verteilungs- oder Summenhäufigkeitsfunktion]] == Literatur == * {{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Auflage=2., durchgesehene |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Heidelberg / Dordrecht / London / New York |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}} * {{Literatur |Autor=[[w:de:Achim Klenke|Achim Klenke]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Auflage=3. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} * {{Literatur |Autor=Norbert Kusolitsch |Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie |TitelErg=Eine Einführung |Auflage=2., überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-45386-1 |DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Stochastik]] == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Stammfunktion für die Normalverteilung]] - Bezug zur Funktionentheorie * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] == Seiten-Information == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion https://de.wikiversity.org/wiki/Verteilungsfunktion] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikiversity2Wikipedia === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion] https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion * Datum: 5.11.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 0t0d7dlmer4e9ksk743rohz0lou84ze 1118609 1118607 2026-11-02T11:17:35Z Bert Niehaus 20843 /* Definition mittels Zufallsvector */ 1118609 wikitext text/x-wiki == Definition == Eine Verteilungsfunktion kann über * ein Wahrscheinlichkeitsmaß oder * eine Zufallsvariable definieren === Definition mittels Wahrscheinlichkeitsmaß === Gegeben sei ein [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P </math> auf dem [[w:de:Ereignissystem|Ereignisraum]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]], d.&nbsp;h., jede reelle Zahl kann als mögliches [[w:de:Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] aufgefasst werden. Dann heißt die Funktion :<math> F_P\colon \mathbb{R} \to [0,1] </math> definiert durch :<math> F_P(x)=P((- \infty, x]) </math> die Verteilungsfunktion von <math> P </math>. Mit anderen Worten: Die Funktion gibt an der Stelle <math> x </math> an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ergebnis aus der Menge <math> (- \infty, x] </math> (alle reellen Zahlen kleiner oder gleich <math> x </math>) eintritt. === Definition mittels Zufallsvariable === Ist <math> X </math> eine [[w:de:Zufallsvariable|reelle Zufallsvariable]], so nennt man die Funktion :<math> F_X(x)=P(X \leq x) </math> die Verteilungsfunktion von <math> X </math>. Dabei bezeichnet <math> P(X \leq x) </math> die Wahrscheinlichkeit, dass <math> X </math> einen Wert kleiner oder gleich <math> x </math> annimmt. Somit ist die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable genau die Verteilungsfunktion ihrer [[w:de:Verteilung einer Zufallsvariablen|Verteilung]]. === Definition mittels Zufallsvektor === Ist <math> X = (X_1,\ldots , X_n) </math> eine [[w:de:Zufallsvektor|reelle Zufallsvektor]], so nennt man die Funktion :<math> F_X(x_1,\ldots , x_n)=P(X_1 \leq x,\ldots , X_n\leq x_n) </math> die Verteilungsfunktion von <math> X </math>. Dabei bezeichnet <math> P(X_1 \leq x_1 ,\ldots , X_n\leq x_n) </math> die Wahrscheinlichkeit, dass <math> X_k \leq x_k </math> einen Wert kleiner oder gleich <math> x_k </math> für alle Zufallsvariablen <math>X_k</math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> annimmt. ==== Beispiel - n Messwerte bei einer Beprobung ==== Sei<math>\omega \in \Omega </math> ein Ort und eine Zeitpunkt, an dem eine Messung von <math>n</math> verschiedenen Parameter erfolgt. <math>X(\omega)=(X_1(\omega),\ldots , X_n(\omega))\in \mathbb{R}^n</math> ist der Vektor der Messwerte. == Beispiele == === Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten === Besitzt das [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P </math> eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] <math> f_P </math>, so gilt :<math> P((a,b])=\int_a^b f_P(x) \, \mathrm dx </math>. Somit hat in diesem Fall die Verteilungsfunktion die Darstellung :<math> F_P(x)=\int_{- \infty}^x f_P(t) \, \mathrm d t </math> Diese Integraldarstellung im Sinne der Analysis ist im Allgemeinen aber nicht gegeben. === Dichte der Exponentialverteilung === Beispielsweise hat die [[w:de:Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]] die Dichte :<math>f_{\lambda}(x)= \begin{cases}\displaystyle \lambda{\rm e}^{-\lambda x} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} </math>. Ist also die Zufallsvariable <math> X </math> exponentialverteilt, also <math> X \sim \operatorname{Exp}(\lambda) </math>, so ist :<math> F_X(x)= \int_{- \infty}^x f_\lambda(t)\, \mathrm dt =\begin{cases} 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}& x\geq 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases} </math>. === Allgemeine Dichtefunktion === Nicht alle Wahrscheinlichkeitsmaße auf den reellen Zahlen besitzen eine Dichtefunktion bzgl. des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]]. Beispielsweise haben diskrete Verteilungen, aufgefasst als Verteilungen in <math> \mathbb{R} </math>) keine integrable Dichtefunktion. Dafür muss man den Begriff der Dichte verallgemeinern und zu einer Dichte bzgl. eines dominierenden Maßes wählen. Für diskrete Verteilung kann man dann wieder eine Dichte bzgl. des Zählmaßes angeben. === Verteilungsfunktionen und Stammfunktionen === Für stetige Verteilungsfunktion muss nicht notwendigerweise über eine integrable Dichtefunktion als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] darstellbar sein (siehe [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]]). Ferner kann eine Stammfunktion der [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] als W-Maß auf <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> nicht notwendigerweise allein mit Methoden der reellen Analysis als Stammfunktion bestimmt werden. Mit [[Identitätssatz]] und [[Cauchy-Integralformel]] aus der Funktionentheorie kann man eine [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Stammfunktion als Potenzreihe]] darstellen. === Diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße === Betrachtet man zu einem Parameter <math> p \in (0,1) </math> eine [[w:de:Bernoulli-Verteilung|Bernoulli-verteilte]] Zufallsvariable <math> X </math>, so ist :<math> P(X=0) = 1-p \text{ und } P(X=1)=p </math> und für die Verteilungsfunktion folgt dann :<math> F(x) = \begin{cases} 0 & \text{ falls } x <0 \\ 1-p & \text{ falls } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{ falls } x \geq 1 \end{cases} </math> === Wahrscheinlichkeit durch Elementarreignissen ausdrücken === Ist allgemeiner <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable auf <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> mit Werten in den nichtnegativen ganzen Zahlen <math>\mathbb{N}_0</math>, dann gilt :<math>F_X(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} P(X=k) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} P\left(\{\omega \in \Omega | X(\omega)=k\}\right)</math>. Dabei bezeichnet <math>\lfloor \cdot \rfloor</math> die [[w:de:Abrundungsfunktion|Abrundungsfunktion]], das heißt <math>\lfloor x \rfloor</math> ist größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich <math>x</math> ist. == Eigenschaften und Zusammenhang zur Verteilung == [[Datei:Discrete probability distribution illustration.svg|mini|Verteilungsfunktionen einer diskreten, einer stetigen und einer gemischten Zufallsvariable.]] === Eigenschaften der Verteilungsfunktion === Jede Verteilungsfunktion <math>F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math> hat folgende Eigenschaften: * '''(VT1)''' <math>F</math> ist [[w:de:Monoton steigende Funktion|monoton steigend]]. * '''(VT2)''' <math>F</math> ist [[w:de:Stetigkeit#Linksseitige/rechtsseitige Stetigkeit|rechtsseitig stetig]]. * '''(VT3)''' <math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} F(x) = 1</math>. === Drei Eigenschaften liefern Verteilungsfunktion === Darüber hinaus ist jede Funktion <math>F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math>, die die Eigenschaften (VT1), (VT2) und (VT3) erfüllt, eine Verteilungsfunktion. Folglich ist eine Charakterisierung der Verteilungsfunktion mit Hilfe der drei Eigenschaften möglich. === Korrespondenzsatz === Es gibt zu jeder Verteilungsfunktion <math>F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math> genau solch ein Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P_F\colon\mathcal{B}(\mathbb{R})\to[0,1]</math>, dass für alle <math>x\in\mathbb{R}</math> gilt: :<math>P_F\left(]-\infty,x]\right)=F(x)</math> Umgekehrt gibt es zu jedem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P\colon\mathcal{B}(\mathbb{R})\to[0,1]</math> eine Verteilungsfunktion <math>F_P\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math> derart, dass für alle <math>x\in\mathbb{R}</math> gilt: :<math>P\left(]-\infty,x]\right)=F_P(x)</math> Daraus folgt die Korrespondenz von <math>P_{(F_P)}=P</math> und <math>F_{(P_F)}=F</math>. Dieser Sachverhalt wird in der Literatur auch ''[[w:de:Korrespondenzsatz (Stochastik)|Korrespondenzsatz]]'' genannt.<ref>N. Schmitz. ''Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie.'' Teubner, 1996.</ref> === Sprungstellen der Verteilungsfunktion === Jede Verteilungsfunktion besitzt höchstens abzählbar viele Sprungstellen. Da jede Verteilungsfunktion rechtsstetig ist, existiert auch der rechtsseitige Grenzwert und es gilt für alle <math>x\in\mathbb{R}</math>: :<math>P_F\left(\{x\}\right)=F(x)-\lim_{\varepsilon\to0+}F(x-\varepsilon)</math> Deswegen ist <math>F</math> genau dann stetig, wenn <math>P(\{x\})=0</math> für alle <math>x\in\mathbb{R}</math> gilt. == Rechnen mit Verteilungsfunktionen == Ist eine Verteilungsfunktion <math> F </math> gegeben, so kann man wie folgt die Wahrscheinlichkeiten bestimmen: :<math> P(X \leq a)= F(a) </math> sowie <math> P(X > a) = 1- F(a) </math> bzw. :<math> P((- \infty; a ])= F(a) </math> sowie <math> P((a ; + \infty )) = 1- F(a) </math>. === Berechnung der Wahrscheinlickeit von Intervallen === Insgesamt kann man mit Verteilungsfunktion auch die Wahrscheinlichkeit von halboffenen Intervallen berechnen: :<math> P( a < X \leq b ) = F(b)-F(a) </math> und <math> P((a,b])= F(b)-F(a) </math> für <math> a \leq b </math>. === Ungleichungen für diskrete Zufallsgröße === Im Allgemeinen kann hier die Art der Ungleichheitszeichen (<math> < </math> oder <math> \leq </math>) beziehungsweise die Art der Intervallgrenzen (offen, abgeschlossen, links/rechts halboffen) ''nicht'' vernachlässigt werden. Dies führt besonders bei [[w:de:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] zu Fehlern, da sich dort auch auf einzelnen Punkten eine Wahrscheinlichkeit befinden kann, die dann versehentlich dazugezählt oder vergessen wird. === Ungleichungen für stetige Zufallsgröße === Bei [[w:de:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen]], also insbesondere auch bei solchen, die über eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] definiert werden ([[w:de:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]), führt eine Abänderung der Ungleichheitszeichen oder Intervallgrenzen nicht zu Fehlern, d.h. <math> P( a \leq X\leq b ) = P( a < X < b ) </math> &nbsp; === Beispiel === Beim Würfeln errechnet sich die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 2 (exklusive) und einschließlich 5 zu würfeln, zu :<math>P(2 < X \leq 5) = F(5) - F(2) = {5 \over 6} - {2 \over 6} = {3 \over 6} = {1 \over 2}</math>. == Konvergenz == === Definition === Eine Folge von Verteilungsfunktionen <math> (F_n)_{n \in \N} </math> heißt schwach konvergent gegen die Verteilungsfunktion <math> F </math>, wenn :<math> \lim_{n \to \infty} F_n(x)=F(x) </math> gilt für alle <math> x \in \mathbb{R} </math>, an denen <math> F </math> stetig ist.<ref>Schmidt: ''Maß- und Wahrscheinlichkeit.'' 2011, S. 396.</ref> Für Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen finden sich auch die Bezeichnungen ''konvergent in Verteilung'' oder ''stochastisch konvergent''.<ref>Kusolitsch: ''Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2014, S. 287.</ref> === Eigenschaften === Über die schwache Konvergenz der Verteilungsfunktionen lässt sich mit dem [[w:de:Satz von Helly-Bray|Satz von Helly-Bray]] eine Brücke zur [[w:de:Schwache Konvergenz (Maßtheorie)|schwachen Konvergenz von Maßen]] schlagen. Denn eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist genau dann schwach konvergent, wenn die Folge ihrer Verteilungsfunktionen schwach konvergiert. Analog ist eine Folge von Zufallsvariablen genau denn [[w:de:Konvergenz in Verteilung|Konvergent in Verteilung]], wenn die Folge ihrer Verteilungsfunktionen schwach konvergiert. Für [[w:de:Verteilungsfunktion (Maßtheorie)|Verteilungsfunktionen im Sinne der Maßtheorie]] ist die oben angegebene Definition nicht korrekt, sondern entspricht der [[w:de:Vage Konvergenz von Verteilungsfunktionen|vagen Konvergenz von Verteilungsfunktionen (im Sinne der Maßtheorie)]]. Diese fällt aber für Wahrscheinlichkeitsmaßen mit der [[w:de:Schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen|schwachen Konvergenz von Verteilungsfunktionen]] zusammen. Die schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen wird von dem [[w:de:Lévy-Abstand|Lévy-Abstand]] metrisiert. === Klassifikation von Verteilungsfunktionen === Wahrscheinlichkeitsverteilungen, deren Verteilungsfunktion [[w:de:Stetigkeit|stetig]] ist, werden [[w:de:stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en genannt. Sie lassen sich noch weiter unterteilen in * [[w:de:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en, für die eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] existiert. Typische Beispiele hierfür wäre die [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] oder die [[w:de:Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]. * [[w:de:Stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung|Stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en, die keine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion besitzen. Beispiel hierfür wäre die [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]]. === Ableitung der Verteilungsfunktion === Für absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen entspricht die Ableitung der Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Zwar sind auch stetig singuläre Wahrscheinlichkeitsverteilungen fast überall differenzierbar, ihre Ableitung ist aber fast überall gleich null (Beispiel [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]]). === Verteilungsfunktion diskrete Zufallsexperimente === Verteilungsfunktionen von [[w:de:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] zeichnen sich durch ihre Sprünge zwischen den Bereichen mit konstanten Funktionswerten aus. Bei ihnen handelt es sich um [[w:de:Sprungfunktion (Maßtheorie)|Treppenfunktionen]]. == Alternative Definition == === Linksseitig stetige Verteilungsfunktionen === Im Einflussbereich der Tradition [[w:de:Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow|Kolmogorows]], namentlich der mathematischen Literatur des ehem. „[[w:de:Ostblock|Ostblock]]s“, findet sich parallel zur heute vorherrschenden „Kleiner-gleich“-Konvention der Verteilungsfunktion bis in die jüngere Vergangenheit eine weitere, die statt des Kleiner-gleich-Zeichens das Echt-kleiner-Zeichen verwendet,<ref>Alexandr Alexejewitsch Borowkow: ''Rachunek prawdopodobieństwa.'' Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977, S. 36&nbsp;ff.</ref><ref>[[w:de:Marek Fisz|Marek Fisz]]: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.'' VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Elfte Auflage, Berlin 1989, Definition 2.2.1, S. 51.</ref> also :<math>F(x) = P(X < x),\quad x\in\mathbb{R}</math> Bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen stimmen beide Definitionen überein, bei diskreten Verteilungen dagegen unterscheiden sie sich darin, dass die Verteilungsfunktion im Fall der „Echt-kleiner“-Konvention an den Sprungstellen nicht rechtsseitig, sondern linksseitig stetig ist. === Beispiel - Verteilungsfunktion Binomialverteilung === Es ergibt sich beispielsweise für die [[w:de:Binomialverteilung|Binomialverteilung]] bei der heute üblichen „Kleiner-gleich“-Konvention eine Verteilungsfunktion der Form :<math>F(x) = P(X \le x) = \sum_{k=0}^{min\{n,\lfloor x \rfloor\} }{n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}</math>, Dabei ist <math>\lfloor x \rfloor\}</math> die Gaußlkammer von <math>x</math> mit <math>\lfloor x \rfloor := \max \{k\in\Z \mid k \leq x\}</math>. Wenn Summationsindex <math> min\{n,\lfloor x \rfloor\} < 0 </math> ist, definiert man für die Summe <math>\sum_{k=0}^{min\{n,\lfloor x \rfloor\} } \ldots = 0</math>. === Bemerkung - Alternative Definition === Siehe auch Gellert, et.al. (1970)<ref>W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner (Hrsg.): ''Kleine Enzyklopädie Mathematik.'' VEB Verlag Enzyklopädie Leipzig 1970, OCLC 174754758, S. 659–660.</ref> für alternative linksseitig stetige Definition der Verteilungsfunktion. == Verwandte Konzepte == Wenn man Daten <math>\mathbb{D}=(x_1, \dots, x_n) </math> mit einer Stichprobe erhebt, dann kann man für eine unbekannte Verteilung <math>P</math> die empirische Verteilungsfunktion <math>F_\mathbb{D}</math> bestimmen. Analog zu den [[Kurs:Stochastik/Gesetz der großen Zahlen|Gesetzen der großen Zahlen]] liefert der [[w:de:Satz von Gliwenko-Cantelli|Satz von Gliwenko-Cantelli]] eine Konvergenz gegen die unbekannte Verteilungsfunktion <math>F_P</math>. === Empirische Verteilungsfunktion === Die [[w:de:empirische Verteilungsfunktion|empirische Verteilungsfunktion]] einer Stichprobe <math> (x_1, \dots, x_n) </math> spielt eine wichtige Rolle in der Statistik. Formal entspricht sie der Verteilungsfunktion einer [[w:de:Diskrete Gleichverteilung|diskreten Gleichverteilung]] auf den Punkten <math> (x_1, \dots, x_n) </math>. Ihre Bedeutung hat sie daher, dass nach dem [[w:de:Satz von Gliwenko-Cantelli|Satz von Gliwenko-Cantelli]] die empirische Verteilungsfunktion einer unabhängigen Stichprobe von Zufallszahlen gegen die Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung konvergiert, mittels der die Zufallszahlen erzeugt wurden. === Gemeinsame Verteilungsfunktion und Rand-Verteilungsfunktionen === Die [[w:de:Gemeinsame Verteilungsfunktion|Gemeinsame Verteilungsfunktion]] verallgemeinert das Konzept einer Verteilungsfunktion von der Verteilung einer Zufallsvariablen auf die [[w:de:Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen|Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen]]. Ebenso lässt sich das Konzept von der [[w:de:Randverteilung|Randverteilung]] zur [[w:de:Rand-Verteilungsfunktion|Rand-Verteilungsfunktion]] übertragen. Diese Verteilungsfunktionen haben gemeinsam, dass ihr Definitionsbereich der <math> \mathbb{R}^k </math> ist für <math> k \geq 1 </math> === Verallgemeinerte Inverse Verteilungsfunktion === Die [[w:de:Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion|Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion]] bildet unter Umständen eine Umkehrfunktion zur Verteilungsfunktion und ist wichtig zur Bestimmung von [[w:de:Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantilen]]. === Verteilungsfunktion im Sinne der Maßtheorie === Verteilungsfunktionen können nicht nur für Wahrscheinlichkeitsmaße definiert werden, sondern für beliebige endliche Maße auf den reellen Zahlen. In diesen [[w:de:Verteilungsfunktion (Maßtheorie)|Verteilungsfunktionen (im Sinne der Maßtheorie)]] spiegeln sich dann wichtige Eigenschaften der Maße wider. Sie bilden eine Verallgemeinerung der hier besprochenen Verteilungsfunktionen. === Überlebensfunktion === Die [[w:de:Überlebensfunktion|Überlebensfunktion]] gibt im Gegensatz zu einer Verteilungsfunktion an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, einen gewissen Wert zu überschreiten. Sie tritt beispielsweise bei der Modellierung von Lebensdauern auf und gibt dort an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, einen gewissen Zeitpunkt <math>t</math> zu „überleben“. Dabei liefert sich die Überlebensfunktion (Survival) <math>S(t)=1-F(t)</math> an der Stelle <math> t </math> der Wahrscheinlichkeit, dass ein [[w:de:Individuum|Individuum]] älter als <math> t </math> wird. <math>F(t)</math> gibt die Wahrscheinlichkeit an, bis zum Zeitpunkt <math>t</math> nicht überlebt zu haben (d.h. <math>F(t)=P((-\infty,t])</math>). === Multivariate und mehrdimensionale Verteilungsfunktion === Die [[w:de:Multivariate Verteilungsfunktion|Multivariate Verteilungsfunktion]] ist die Verteilungsfunktion, die multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zugeordnet wird. Als [[w:de:mehrdimensionale Verteilungsfunktion|mehrdimensionale Verteilungsfunktion]] wird hingegen meist die das höherdimensionale Pendant der Verteilungsfunktion im Sinne der Maßtheorie bezeichnet. == Allgemeine Informationen == Die '''Verteilungsfunktion''' ist eine spezielle [[w:de:reelle Funktion|reelle Funktion]] in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]] und ein zentrales Konzept bei der Untersuchung von [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en auf den [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]]. === Beziehung Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion === Jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung und jeder [[w:de:Zufallsvariable|reellwertigen Zufallsvariable]] kann eine Verteilungsfunktion zugeordnet werden. Anschaulich entspricht dabei der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle <math> x </math> der Wahrscheinlichkeit, dass die zugehörige Zufallsvariable <math> X </math> einen Wert kleiner oder gleich <math> x </math> annimmt. Ist beispielsweise die Verteilung der Schuhgrößen in Europa gegeben, so entspricht der Wert der entsprechenden Verteilungsfunktion bei 45 der Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Europäer die Schuhgröße 45 oder kleiner besitzt. === Korrespondenzsatz === Ihre Bedeutung erhält die Verteilungsfunktion durch den [[w:de:Korrespondenzsatz (Stochastik)|Korrespondenzsatz]], der besagt, dass jeder Verteilungsfunktion eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den reellen Zahlen zugeordnet werden kann und umgekehrt. Die Zuordnung ist [[w:de:Bijektive Funktion|bijektiv]]. Dies ermöglicht es, anstelle der Untersuchung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen als [[w:de:Mengenfunktion|Mengenfunktion]]en auf einem komplexen [[w:de:Mengensystem|Mengensystem]] mit Methoden der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] die entsprechenden Verteilungsfunktionen zu untersuchen. Diese sind reelle Funktionen und somit über die Methoden der [[w:de:Reelle Analysis|reellen Analysis]] leichter zugänglich. === Univerariate und multivariate Verteilungsfunktion === Als alternative Bezeichnungen finden sich unter anderem '''kumulierte Verteilungsfunktion''', da sie die Wahrscheinlichkeiten kleiner als <math> x </math> zu sein anhäuft, siehe auch [[w:de:kumulierte Häufigkeit|kumulierte Häufigkeit]]. Des Weiteren wird sie zur besseren Abgrenzung von ihrem höherdimensionalen Pendant, der [[w:de:Multivariate Verteilungsfunktion|multivariaten Verteilungsfunktion]], auch als '''univariate Verteilungsfunktion''' bezeichnet.<ref>Schmidt: ''Maß- und Wahrscheinlichkeit.'' 2011, S. 246.</ref> In Abgrenzung zum allgemeineren [[w:de:Verteilungsfunktion (Maßtheorie)|Maßtheoretischen Konzept einer Verteilungsfunktion]] finden sich die Bezeichnungen als '''wahrscheinlichkeitstheoretische Verteilungsfunktion''' oder als '''Verteilungsfunktion im engeren Sinn'''.<ref>Kusolitsch: ''Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2014, S. 62.</ref> === Empirische Verteilungsfunktion === Die Entsprechung der Verteilungsfunktion in der [[w:de:Deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]] ist die [[w:de:Empirische Verteilungsfunktion|''empirische'' Verteilungs- oder Summenhäufigkeitsfunktion]] == Literatur == * {{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Auflage=2., durchgesehene |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Heidelberg / Dordrecht / London / New York |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}} * {{Literatur |Autor=[[w:de:Achim Klenke|Achim Klenke]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Auflage=3. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} * {{Literatur |Autor=Norbert Kusolitsch |Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie |TitelErg=Eine Einführung |Auflage=2., überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-45386-1 |DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Stochastik]] == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Stammfunktion für die Normalverteilung]] - Bezug zur Funktionentheorie * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] == Seiten-Information == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion https://de.wikiversity.org/wiki/Verteilungsfunktion] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikiversity2Wikipedia === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion] https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion * Datum: 5.11.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] ot9mpjjtq627cjsy7cwp0uv0oabkmkb 1118610 1118609 2026-11-02T11:20:18Z Bert Niehaus 20843 /* Definition mittels Zufallsvektor */ 1118610 wikitext text/x-wiki == Definition == Eine Verteilungsfunktion kann über * ein Wahrscheinlichkeitsmaß oder * eine Zufallsvariable definieren === Definition mittels Wahrscheinlichkeitsmaß === Gegeben sei ein [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P </math> auf dem [[w:de:Ereignissystem|Ereignisraum]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]], d.&nbsp;h., jede reelle Zahl kann als mögliches [[w:de:Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] aufgefasst werden. Dann heißt die Funktion :<math> F_P\colon \mathbb{R} \to [0,1] </math> definiert durch :<math> F_P(x)=P((- \infty, x]) </math> die Verteilungsfunktion von <math> P </math>. Mit anderen Worten: Die Funktion gibt an der Stelle <math> x </math> an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ergebnis aus der Menge <math> (- \infty, x] </math> (alle reellen Zahlen kleiner oder gleich <math> x </math>) eintritt. === Definition mittels Zufallsvariable === Ist <math> X </math> eine [[w:de:Zufallsvariable|reelle Zufallsvariable]], so nennt man die Funktion :<math> F_X(x)=P(X \leq x) </math> die Verteilungsfunktion von <math> X </math>. Dabei bezeichnet <math> P(X \leq x) </math> die Wahrscheinlichkeit, dass <math> X </math> einen Wert kleiner oder gleich <math> x </math> annimmt. Somit ist die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable genau die Verteilungsfunktion ihrer [[w:de:Verteilung einer Zufallsvariablen|Verteilung]]. === Definition mittels Zufallsvektor === Ist <math> X = (X_1,\ldots , X_n) </math> eine [[w:de:Zufallsvektor|reelle Zufallsvektor]], so nennt man die Funktion :<math> F_X(x_1,\ldots , x_n)=P(X_1 \leq x_1,\ldots , X_n\leq x_n) </math> die Verteilungsfunktion von <math> X </math>. Dabei bezeichnet <math> P(X_1 \leq x_1 ,\ldots , X_n\leq x_n) </math> die Wahrscheinlichkeit, dass <math> X_k \leq x_k </math> einen Wert kleiner oder gleich <math> x_k </math> für alle Zufallsvariablen <math>X_k</math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> annimmt. ==== Beispiel - n Messwerte bei einer Beprobung ==== Sei<math>\omega \in \Omega </math> ein Ort und eine Zeitpunkt, an dem eine Messung von <math>n</math> verschiedenen Parameter erfolgt. <math>X(\omega)=(X_1(\omega),\ldots , X_n(\omega))\in \mathbb{R}^n</math> ist der Vektor der Messwerte. == Beispiele == === Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten === Besitzt das [[w:de:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P </math> eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] <math> f_P </math>, so gilt :<math> P((a,b])=\int_a^b f_P(x) \, \mathrm dx </math>. Somit hat in diesem Fall die Verteilungsfunktion die Darstellung :<math> F_P(x)=\int_{- \infty}^x f_P(t) \, \mathrm d t </math> Diese Integraldarstellung im Sinne der Analysis ist im Allgemeinen aber nicht gegeben. === Dichte der Exponentialverteilung === Beispielsweise hat die [[w:de:Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]] die Dichte :<math>f_{\lambda}(x)= \begin{cases}\displaystyle \lambda{\rm e}^{-\lambda x} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} </math>. Ist also die Zufallsvariable <math> X </math> exponentialverteilt, also <math> X \sim \operatorname{Exp}(\lambda) </math>, so ist :<math> F_X(x)= \int_{- \infty}^x f_\lambda(t)\, \mathrm dt =\begin{cases} 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}& x\geq 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases} </math>. === Allgemeine Dichtefunktion === Nicht alle Wahrscheinlichkeitsmaße auf den reellen Zahlen besitzen eine Dichtefunktion bzgl. des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]]. Beispielsweise haben diskrete Verteilungen, aufgefasst als Verteilungen in <math> \mathbb{R} </math>) keine integrable Dichtefunktion. Dafür muss man den Begriff der Dichte verallgemeinern und zu einer Dichte bzgl. eines dominierenden Maßes wählen. Für diskrete Verteilung kann man dann wieder eine Dichte bzgl. des Zählmaßes angeben. === Verteilungsfunktionen und Stammfunktionen === Für stetige Verteilungsfunktion muss nicht notwendigerweise über eine integrable Dichtefunktion als [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] darstellbar sein (siehe [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]]). Ferner kann eine Stammfunktion der [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] als W-Maß auf <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> nicht notwendigerweise allein mit Methoden der reellen Analysis als Stammfunktion bestimmt werden. Mit [[Identitätssatz]] und [[Cauchy-Integralformel]] aus der Funktionentheorie kann man eine [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Stammfunktion als Potenzreihe]] darstellen. === Diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße === Betrachtet man zu einem Parameter <math> p \in (0,1) </math> eine [[w:de:Bernoulli-Verteilung|Bernoulli-verteilte]] Zufallsvariable <math> X </math>, so ist :<math> P(X=0) = 1-p \text{ und } P(X=1)=p </math> und für die Verteilungsfunktion folgt dann :<math> F(x) = \begin{cases} 0 & \text{ falls } x <0 \\ 1-p & \text{ falls } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{ falls } x \geq 1 \end{cases} </math> === Wahrscheinlichkeit durch Elementarreignissen ausdrücken === Ist allgemeiner <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable auf <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> mit Werten in den nichtnegativen ganzen Zahlen <math>\mathbb{N}_0</math>, dann gilt :<math>F_X(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} P(X=k) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} P\left(\{\omega \in \Omega | X(\omega)=k\}\right)</math>. Dabei bezeichnet <math>\lfloor \cdot \rfloor</math> die [[w:de:Abrundungsfunktion|Abrundungsfunktion]], das heißt <math>\lfloor x \rfloor</math> ist größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich <math>x</math> ist. == Eigenschaften und Zusammenhang zur Verteilung == [[Datei:Discrete probability distribution illustration.svg|mini|Verteilungsfunktionen einer diskreten, einer stetigen und einer gemischten Zufallsvariable.]] === Eigenschaften der Verteilungsfunktion === Jede Verteilungsfunktion <math>F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math> hat folgende Eigenschaften: * '''(VT1)''' <math>F</math> ist [[w:de:Monoton steigende Funktion|monoton steigend]]. * '''(VT2)''' <math>F</math> ist [[w:de:Stetigkeit#Linksseitige/rechtsseitige Stetigkeit|rechtsseitig stetig]]. * '''(VT3)''' <math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} F(x) = 1</math>. === Drei Eigenschaften liefern Verteilungsfunktion === Darüber hinaus ist jede Funktion <math>F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math>, die die Eigenschaften (VT1), (VT2) und (VT3) erfüllt, eine Verteilungsfunktion. Folglich ist eine Charakterisierung der Verteilungsfunktion mit Hilfe der drei Eigenschaften möglich. === Korrespondenzsatz === Es gibt zu jeder Verteilungsfunktion <math>F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math> genau solch ein Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P_F\colon\mathcal{B}(\mathbb{R})\to[0,1]</math>, dass für alle <math>x\in\mathbb{R}</math> gilt: :<math>P_F\left(]-\infty,x]\right)=F(x)</math> Umgekehrt gibt es zu jedem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P\colon\mathcal{B}(\mathbb{R})\to[0,1]</math> eine Verteilungsfunktion <math>F_P\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1]</math> derart, dass für alle <math>x\in\mathbb{R}</math> gilt: :<math>P\left(]-\infty,x]\right)=F_P(x)</math> Daraus folgt die Korrespondenz von <math>P_{(F_P)}=P</math> und <math>F_{(P_F)}=F</math>. Dieser Sachverhalt wird in der Literatur auch ''[[w:de:Korrespondenzsatz (Stochastik)|Korrespondenzsatz]]'' genannt.<ref>N. Schmitz. ''Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie.'' Teubner, 1996.</ref> === Sprungstellen der Verteilungsfunktion === Jede Verteilungsfunktion besitzt höchstens abzählbar viele Sprungstellen. Da jede Verteilungsfunktion rechtsstetig ist, existiert auch der rechtsseitige Grenzwert und es gilt für alle <math>x\in\mathbb{R}</math>: :<math>P_F\left(\{x\}\right)=F(x)-\lim_{\varepsilon\to0+}F(x-\varepsilon)</math> Deswegen ist <math>F</math> genau dann stetig, wenn <math>P(\{x\})=0</math> für alle <math>x\in\mathbb{R}</math> gilt. == Rechnen mit Verteilungsfunktionen == Ist eine Verteilungsfunktion <math> F </math> gegeben, so kann man wie folgt die Wahrscheinlichkeiten bestimmen: :<math> P(X \leq a)= F(a) </math> sowie <math> P(X > a) = 1- F(a) </math> bzw. :<math> P((- \infty; a ])= F(a) </math> sowie <math> P((a ; + \infty )) = 1- F(a) </math>. === Berechnung der Wahrscheinlickeit von Intervallen === Insgesamt kann man mit Verteilungsfunktion auch die Wahrscheinlichkeit von halboffenen Intervallen berechnen: :<math> P( a < X \leq b ) = F(b)-F(a) </math> und <math> P((a,b])= F(b)-F(a) </math> für <math> a \leq b </math>. === Ungleichungen für diskrete Zufallsgröße === Im Allgemeinen kann hier die Art der Ungleichheitszeichen (<math> < </math> oder <math> \leq </math>) beziehungsweise die Art der Intervallgrenzen (offen, abgeschlossen, links/rechts halboffen) ''nicht'' vernachlässigt werden. Dies führt besonders bei [[w:de:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] zu Fehlern, da sich dort auch auf einzelnen Punkten eine Wahrscheinlichkeit befinden kann, die dann versehentlich dazugezählt oder vergessen wird. === Ungleichungen für stetige Zufallsgröße === Bei [[w:de:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen]], also insbesondere auch bei solchen, die über eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] definiert werden ([[w:de:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]), führt eine Abänderung der Ungleichheitszeichen oder Intervallgrenzen nicht zu Fehlern, d.h. <math> P( a \leq X\leq b ) = P( a < X < b ) </math> &nbsp; === Beispiel === Beim Würfeln errechnet sich die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 2 (exklusive) und einschließlich 5 zu würfeln, zu :<math>P(2 < X \leq 5) = F(5) - F(2) = {5 \over 6} - {2 \over 6} = {3 \over 6} = {1 \over 2}</math>. == Konvergenz == === Definition === Eine Folge von Verteilungsfunktionen <math> (F_n)_{n \in \N} </math> heißt schwach konvergent gegen die Verteilungsfunktion <math> F </math>, wenn :<math> \lim_{n \to \infty} F_n(x)=F(x) </math> gilt für alle <math> x \in \mathbb{R} </math>, an denen <math> F </math> stetig ist.<ref>Schmidt: ''Maß- und Wahrscheinlichkeit.'' 2011, S. 396.</ref> Für Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen finden sich auch die Bezeichnungen ''konvergent in Verteilung'' oder ''stochastisch konvergent''.<ref>Kusolitsch: ''Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2014, S. 287.</ref> === Eigenschaften === Über die schwache Konvergenz der Verteilungsfunktionen lässt sich mit dem [[w:de:Satz von Helly-Bray|Satz von Helly-Bray]] eine Brücke zur [[w:de:Schwache Konvergenz (Maßtheorie)|schwachen Konvergenz von Maßen]] schlagen. Denn eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist genau dann schwach konvergent, wenn die Folge ihrer Verteilungsfunktionen schwach konvergiert. Analog ist eine Folge von Zufallsvariablen genau denn [[w:de:Konvergenz in Verteilung|Konvergent in Verteilung]], wenn die Folge ihrer Verteilungsfunktionen schwach konvergiert. Für [[w:de:Verteilungsfunktion (Maßtheorie)|Verteilungsfunktionen im Sinne der Maßtheorie]] ist die oben angegebene Definition nicht korrekt, sondern entspricht der [[w:de:Vage Konvergenz von Verteilungsfunktionen|vagen Konvergenz von Verteilungsfunktionen (im Sinne der Maßtheorie)]]. Diese fällt aber für Wahrscheinlichkeitsmaßen mit der [[w:de:Schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen|schwachen Konvergenz von Verteilungsfunktionen]] zusammen. Die schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen wird von dem [[w:de:Lévy-Abstand|Lévy-Abstand]] metrisiert. === Klassifikation von Verteilungsfunktionen === Wahrscheinlichkeitsverteilungen, deren Verteilungsfunktion [[w:de:Stetigkeit|stetig]] ist, werden [[w:de:stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en genannt. Sie lassen sich noch weiter unterteilen in * [[w:de:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung|Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en, für die eine [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] existiert. Typische Beispiele hierfür wäre die [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] oder die [[w:de:Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]. * [[w:de:Stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung|Stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en, die keine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion besitzen. Beispiel hierfür wäre die [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]]. === Ableitung der Verteilungsfunktion === Für absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen entspricht die Ableitung der Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Zwar sind auch stetig singuläre Wahrscheinlichkeitsverteilungen fast überall differenzierbar, ihre Ableitung ist aber fast überall gleich null (Beispiel [[w:de:Cantor-Verteilung|Cantor-Verteilung]]). === Verteilungsfunktion diskrete Zufallsexperimente === Verteilungsfunktionen von [[w:de:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] zeichnen sich durch ihre Sprünge zwischen den Bereichen mit konstanten Funktionswerten aus. Bei ihnen handelt es sich um [[w:de:Sprungfunktion (Maßtheorie)|Treppenfunktionen]]. == Alternative Definition == === Linksseitig stetige Verteilungsfunktionen === Im Einflussbereich der Tradition [[w:de:Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow|Kolmogorows]], namentlich der mathematischen Literatur des ehem. „[[w:de:Ostblock|Ostblock]]s“, findet sich parallel zur heute vorherrschenden „Kleiner-gleich“-Konvention der Verteilungsfunktion bis in die jüngere Vergangenheit eine weitere, die statt des Kleiner-gleich-Zeichens das Echt-kleiner-Zeichen verwendet,<ref>Alexandr Alexejewitsch Borowkow: ''Rachunek prawdopodobieństwa.'' Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977, S. 36&nbsp;ff.</ref><ref>[[w:de:Marek Fisz|Marek Fisz]]: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.'' VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Elfte Auflage, Berlin 1989, Definition 2.2.1, S. 51.</ref> also :<math>F(x) = P(X < x),\quad x\in\mathbb{R}</math> Bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen stimmen beide Definitionen überein, bei diskreten Verteilungen dagegen unterscheiden sie sich darin, dass die Verteilungsfunktion im Fall der „Echt-kleiner“-Konvention an den Sprungstellen nicht rechtsseitig, sondern linksseitig stetig ist. === Beispiel - Verteilungsfunktion Binomialverteilung === Es ergibt sich beispielsweise für die [[w:de:Binomialverteilung|Binomialverteilung]] bei der heute üblichen „Kleiner-gleich“-Konvention eine Verteilungsfunktion der Form :<math>F(x) = P(X \le x) = \sum_{k=0}^{min\{n,\lfloor x \rfloor\} }{n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}</math>, Dabei ist <math>\lfloor x \rfloor\}</math> die Gaußlkammer von <math>x</math> mit <math>\lfloor x \rfloor := \max \{k\in\Z \mid k \leq x\}</math>. Wenn Summationsindex <math> min\{n,\lfloor x \rfloor\} < 0 </math> ist, definiert man für die Summe <math>\sum_{k=0}^{min\{n,\lfloor x \rfloor\} } \ldots = 0</math>. === Bemerkung - Alternative Definition === Siehe auch Gellert, et.al. (1970)<ref>W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner (Hrsg.): ''Kleine Enzyklopädie Mathematik.'' VEB Verlag Enzyklopädie Leipzig 1970, OCLC 174754758, S. 659–660.</ref> für alternative linksseitig stetige Definition der Verteilungsfunktion. == Verwandte Konzepte == Wenn man Daten <math>\mathbb{D}=(x_1, \dots, x_n) </math> mit einer Stichprobe erhebt, dann kann man für eine unbekannte Verteilung <math>P</math> die empirische Verteilungsfunktion <math>F_\mathbb{D}</math> bestimmen. Analog zu den [[Kurs:Stochastik/Gesetz der großen Zahlen|Gesetzen der großen Zahlen]] liefert der [[w:de:Satz von Gliwenko-Cantelli|Satz von Gliwenko-Cantelli]] eine Konvergenz gegen die unbekannte Verteilungsfunktion <math>F_P</math>. === Empirische Verteilungsfunktion === Die [[w:de:empirische Verteilungsfunktion|empirische Verteilungsfunktion]] einer Stichprobe <math> (x_1, \dots, x_n) </math> spielt eine wichtige Rolle in der Statistik. Formal entspricht sie der Verteilungsfunktion einer [[w:de:Diskrete Gleichverteilung|diskreten Gleichverteilung]] auf den Punkten <math> (x_1, \dots, x_n) </math>. Ihre Bedeutung hat sie daher, dass nach dem [[w:de:Satz von Gliwenko-Cantelli|Satz von Gliwenko-Cantelli]] die empirische Verteilungsfunktion einer unabhängigen Stichprobe von Zufallszahlen gegen die Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung konvergiert, mittels der die Zufallszahlen erzeugt wurden. === Gemeinsame Verteilungsfunktion und Rand-Verteilungsfunktionen === Die [[w:de:Gemeinsame Verteilungsfunktion|Gemeinsame Verteilungsfunktion]] verallgemeinert das Konzept einer Verteilungsfunktion von der Verteilung einer Zufallsvariablen auf die [[w:de:Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen|Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen]]. Ebenso lässt sich das Konzept von der [[w:de:Randverteilung|Randverteilung]] zur [[w:de:Rand-Verteilungsfunktion|Rand-Verteilungsfunktion]] übertragen. Diese Verteilungsfunktionen haben gemeinsam, dass ihr Definitionsbereich der <math> \mathbb{R}^k </math> ist für <math> k \geq 1 </math> === Verallgemeinerte Inverse Verteilungsfunktion === Die [[w:de:Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion|Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion]] bildet unter Umständen eine Umkehrfunktion zur Verteilungsfunktion und ist wichtig zur Bestimmung von [[w:de:Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantilen]]. === Verteilungsfunktion im Sinne der Maßtheorie === Verteilungsfunktionen können nicht nur für Wahrscheinlichkeitsmaße definiert werden, sondern für beliebige endliche Maße auf den reellen Zahlen. In diesen [[w:de:Verteilungsfunktion (Maßtheorie)|Verteilungsfunktionen (im Sinne der Maßtheorie)]] spiegeln sich dann wichtige Eigenschaften der Maße wider. Sie bilden eine Verallgemeinerung der hier besprochenen Verteilungsfunktionen. === Überlebensfunktion === Die [[w:de:Überlebensfunktion|Überlebensfunktion]] gibt im Gegensatz zu einer Verteilungsfunktion an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, einen gewissen Wert zu überschreiten. Sie tritt beispielsweise bei der Modellierung von Lebensdauern auf und gibt dort an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, einen gewissen Zeitpunkt <math>t</math> zu „überleben“. Dabei liefert sich die Überlebensfunktion (Survival) <math>S(t)=1-F(t)</math> an der Stelle <math> t </math> der Wahrscheinlichkeit, dass ein [[w:de:Individuum|Individuum]] älter als <math> t </math> wird. <math>F(t)</math> gibt die Wahrscheinlichkeit an, bis zum Zeitpunkt <math>t</math> nicht überlebt zu haben (d.h. <math>F(t)=P((-\infty,t])</math>). === Multivariate und mehrdimensionale Verteilungsfunktion === Die [[w:de:Multivariate Verteilungsfunktion|Multivariate Verteilungsfunktion]] ist die Verteilungsfunktion, die multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zugeordnet wird. Als [[w:de:mehrdimensionale Verteilungsfunktion|mehrdimensionale Verteilungsfunktion]] wird hingegen meist die das höherdimensionale Pendant der Verteilungsfunktion im Sinne der Maßtheorie bezeichnet. == Allgemeine Informationen == Die '''Verteilungsfunktion''' ist eine spezielle [[w:de:reelle Funktion|reelle Funktion]] in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]] und ein zentrales Konzept bei der Untersuchung von [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en auf den [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]]. === Beziehung Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion === Jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung und jeder [[w:de:Zufallsvariable|reellwertigen Zufallsvariable]] kann eine Verteilungsfunktion zugeordnet werden. Anschaulich entspricht dabei der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle <math> x </math> der Wahrscheinlichkeit, dass die zugehörige Zufallsvariable <math> X </math> einen Wert kleiner oder gleich <math> x </math> annimmt. Ist beispielsweise die Verteilung der Schuhgrößen in Europa gegeben, so entspricht der Wert der entsprechenden Verteilungsfunktion bei 45 der Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Europäer die Schuhgröße 45 oder kleiner besitzt. === Korrespondenzsatz === Ihre Bedeutung erhält die Verteilungsfunktion durch den [[w:de:Korrespondenzsatz (Stochastik)|Korrespondenzsatz]], der besagt, dass jeder Verteilungsfunktion eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den reellen Zahlen zugeordnet werden kann und umgekehrt. Die Zuordnung ist [[w:de:Bijektive Funktion|bijektiv]]. Dies ermöglicht es, anstelle der Untersuchung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen als [[w:de:Mengenfunktion|Mengenfunktion]]en auf einem komplexen [[w:de:Mengensystem|Mengensystem]] mit Methoden der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] die entsprechenden Verteilungsfunktionen zu untersuchen. Diese sind reelle Funktionen und somit über die Methoden der [[w:de:Reelle Analysis|reellen Analysis]] leichter zugänglich. === Univerariate und multivariate Verteilungsfunktion === Als alternative Bezeichnungen finden sich unter anderem '''kumulierte Verteilungsfunktion''', da sie die Wahrscheinlichkeiten kleiner als <math> x </math> zu sein anhäuft, siehe auch [[w:de:kumulierte Häufigkeit|kumulierte Häufigkeit]]. Des Weiteren wird sie zur besseren Abgrenzung von ihrem höherdimensionalen Pendant, der [[w:de:Multivariate Verteilungsfunktion|multivariaten Verteilungsfunktion]], auch als '''univariate Verteilungsfunktion''' bezeichnet.<ref>Schmidt: ''Maß- und Wahrscheinlichkeit.'' 2011, S. 246.</ref> In Abgrenzung zum allgemeineren [[w:de:Verteilungsfunktion (Maßtheorie)|Maßtheoretischen Konzept einer Verteilungsfunktion]] finden sich die Bezeichnungen als '''wahrscheinlichkeitstheoretische Verteilungsfunktion''' oder als '''Verteilungsfunktion im engeren Sinn'''.<ref>Kusolitsch: ''Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2014, S. 62.</ref> === Empirische Verteilungsfunktion === Die Entsprechung der Verteilungsfunktion in der [[w:de:Deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]] ist die [[w:de:Empirische Verteilungsfunktion|''empirische'' Verteilungs- oder Summenhäufigkeitsfunktion]] == Literatur == * {{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Auflage=2., durchgesehene |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Heidelberg / Dordrecht / London / New York |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}} * {{Literatur |Autor=[[w:de:Achim Klenke|Achim Klenke]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Auflage=3. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} * {{Literatur |Autor=Norbert Kusolitsch |Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie |TitelErg=Eine Einführung |Auflage=2., überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-45386-1 |DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}} == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Stochastik]] == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Stammfunktion für die Normalverteilung]] - Bezug zur Funktionentheorie * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] == Seiten-Information == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion https://de.wikiversity.org/wiki/Verteilungsfunktion] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikiversity2Wikipedia === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion] https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion * Datum: 5.11.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] pqy5xyl4qxm9l65aj8iz593c312f7s4 0 128943 1118418 1117869 2026-11-02T08:55:10Z Jeb 26942 3.11. 1118418 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 3. November == {{Wikisource|Zedler:Butter-Stolle}} {{Wikisource|Damast}} {{Wikisource|Index:Lieder zum 14. October 1872.pdf}} == 27. Oktober == ; Handschriftliche Notizen lesen und ergänzen {{Wikisource|Tafellied der Freiwilligen Turner-Feuerwehr zu Neumünster|Tafellied der Freiwilligen Turner-Feuerwehr zu Neumünster, 1881}} CP: Dresden-Plauener Lieder? Durchsuchen: ''Broschüren- und Collectaneen-Sammlung des Sammlers Adolf Jädicke'', https://digital.slub-dresden.de/kollektionen/17 == 20. Oktober == ; Tafellieder Heute [[Datei:Tafellieder Verein für Erdkunde zu Dresden 1913.pdf|mini|Tafellieder des Vereins für Erdkunde zu Dresden, 14. März 1913]] * ''Des Bäuerleins Tageslauf : Dem Landwirtschaftlichen Verein Reinhardtsgrimma und Umgegend gewidmet zum Ball am 15. März 1921'', [https://cdn.reinhardtsgrimma.de/reinhardtsgrimma.de/images/heimatblatt/grimmsches_heimatblatt18.pdf Grimmsches Heimatblatt 18] * ''Tafellied zum 31. Stiftungsfest des Gewerbegehilfen-Vereins Reinhardtsgrimma u. Umg. Am 18. Januar 1923 Im „Goldnen Hirsch“ zu Reinhardtsgrimma'', [https://cdn.reinhardtsgrimma.de/reinhardtsgrimma.de/images/heimatblatt/grimmsches_heimatblatt21.pdf Grimmsches Heimatblatt 21] : Grimmsches Heimatblatt: https://reinhardtsgrimma.de/heimatblatt.html * Landesbibliothek Kiel: https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/SET=2/TTL=1/MAT=/NOMAT=T/CLK?IKT=1016&TRM=Tafellieder bzw. ''Tafel*lied'' == 13. Oktober == ; Neu aus Dresden [[s:Verein für Erdkunde zu Dresden]] == 6. Oktober == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter - Titel.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter - Titel]] ; Fertig [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], bis auf die geschützten Texte ; Zweitkorrektur {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} ; Wunschzettel [[d:Q4112660]], [[c:Category:Wish lists]] == 29. September == [[Datei:Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde.jpg|mini|Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde]] * Dundee City Archives: Burns Supper, Scotland-GDR Society, In The Red Flag, https://nearby.hypotheses.org/6524 * Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band - mindestens einmal korrigiert: {{Wikisource|Index:Mitteilungen_des_Vereins_für_Chemnitzer_Geschichte_Dritter_und_Vierter_Band.pdf}} * Geschichtswettbwerb: [[w:Lotte Hahm]] ; Neu {{Wikisource|Zur Kipper- und Wipperzeit in Kursachsen}} ; Handwerker-Heft (Dresdner Hefte) {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden}} * [[c:Category:Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks Dresden 1896]] * Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks 1896 baute einen kleinen Event-Erlebnis-Park im Stile einer frühneuzeitlichen Stadt auf das Areal der Güntzwiese, heutige Cockerwiese. "Die Alte Stadt" zog mehr Besucher an als die Ausstellungen des Handwerks im Ausstellungspalast. Wer möchte kann per Georeferenzierung die Bilder des Leporellos der Cockerwiese zuordnen, hier ist der genaue Plan aus dem Ausstellungskatalog: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/124455/24 == 22. September == * Leseholz transkribiert und in der Wikisource: {{Wikisource|Leseholz-Zettel_No_33}} * Korrekturlesen erwünscht: {{Wikisource|Index:Goldenes_Buch_Hotel_Bellevue_Dresden.pdf}} == 15. September == [[Datei:Leseholz-Zettel.pdf|Leseholz-Zettel, 1861|mini]] ; Leseholz-Zettel Neu: [[s:Leseholz-Zettel No 33]] ; Sächsisches Gaffee-Lied!, circa 1909 <poem>Und nimmt der Deifel einst mich beim Schlaffiddchen, Und trägt im Flug mich nach der Helle fort, So trink ich schnell vom Gaffee noch ä Schniddchen, Denn keenen giebts an jenem dunklen Ort. Nur trinkt mer Schwefelbliemchen Nur mit des Deifels Miehmchen; Kee Gaffee dort, o welche Hellenpein, Ich bin ä Sachse, will ä Sachse sein. (...)</poem> Quelle: Stadtarchiv Leipzig: 0290 (Handwerkerinnungen), Schornsteinfegerinnung Nr. C 13, 200-jähriges Bestehen [Jubelfeier!] der Schornsteinfegerkreisinnung Leipzig, (Dokument 81), Transkript: https://nearby.hypotheses.org/6448. Vielleicht von Lene Voigt? Vgl. https://www.mdr.de/kultur/literatur/lene-voigt-gedichte,lene-voigt-leipzig-sachsen-mundart-dichtung-104.html == 8. September == [[Datei:Typographen-Lied 1846.jpg|mini|Typographen-Lied 1846]] ; SPRECHSAAL ; Handwerksheft {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden|Tafellied bei dem zur 400jährigen Jubelfeier der Erfindung der Buchdruckerkunst den 21. Juni 1840 in Dresden stattfindenden Festmahle im Saale der Harmonie}} == 1. September == ; Elektrische-Tafellied-Archiv-Bibliothek (ETAB) : Neu 1913 {{Wikisource|Eröffnung Bahn Hohenstein–Gersdorf–Lugau–Oelsnitz}} Gesucht: Tafellieder der Textilindustrie, vielleicht auch mit Damast? ; 3 x Leipzig 1866 {{Wikisource|Tafellieder der Bäcker und Müller 1866}} == 25. August == [[Datei:Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895.jpg|mini|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895]] {{Wikisource|Tafellieder Eröffnungsfeier der Eisenbahn Wolkenstein-Jöhstadt 1892}} {{Wikisource|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895}} ; Digitalladen Aschaffenburg CF berichtet: ''Bürgerbeteiligung und Digitalladen der Stadt Aschaffenburg'', https://digital.aschaffenburg.de/digitalladen/ : ''Kommen Sie vorbei! Wir freuen uns darauf, Sie kennenzulernen.'' ; ''Anschließend'' [[meta:Event:Global GLAM call 2026-08-25]] : https://etherpad.wikimedia.org/p/Global_GLAM_Calls_%E2%80%94_2026_Notes == 18. August == Wir sprachen über KI-Fotos auf Einladungen von Gesichtsvereinen, über das attraktive Ambiente für gelegentlichen DatenlabeJam in der Zebradiele nahe dem [[w:Universitätsarchiv der Technischen Universität Dresden]] ... ; Neu ist ... die [[s:Forsche Naturforscherei]] aus Chemnitz. == 11. August == [[Datei:In Memoriam Moreauschaenke Liedtext.JPG|mini|In Memoriam ''Moreauschaenke'', Liedtext]] ; [[w:Moreauschänke|Moreauschänke]] in Dresden : In memoriam Moreauschänke <poem> 1. Schänke wir Dich grüßen, o Gambrinus hilf, Bald wirst Du Dich schließen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 2. Quelle unsrer Freude, o Gambrinus hilf, Trösterin in Leiden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 3. Kneipe ohnegleichen, o Gambrinus hilf, Mußt vom Platze weichen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 4. Stoff tat'st Du uns spenden, o Gambrinus hilf, Traurig mußt Du enden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 5. Gedenkt es miteinander, o Gambrinus hilf, Man rieb hier Salamander, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 6. Lieder hier erklangen, o Gambrinus hilf, Mützen wir hier schwangen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 7. Uns bleibt nur zu hoffen, o Gambrinus hilf, Du einst wieder offen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 8. Jetzt mit diesem Tranke, o Gambrinus hilf, Sagen wir Dir "Danke", o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 9. Altem Brauch gemäße, o Gambrinus hilf, Leert nun die Gefäße, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! </poem> : Worte: AH. Jürgen Modrzynski x S! xx O! zum 4. November 1988 : Melodie: altes fränkisches Wallfahrtslied ''Anmerkungen'' : "Man rieb hier Salamander", ein Ritus vor dem Ex-Trinken eines Glases Bieres, vgl. [[w:Salamander (Ritual)]]. : Parodie auf das katholische Marienlied "Meerstern, ich Dich grüße", [[w:Ave maris stella]] == 4. August == [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] {{Wikisource|Alt-Dresdner Gelegenheitsdichtung}} : "Ein fruchtbarer Boden für diese Erzeugnisse war unser Sachsen. In Dresden blühte die Gelegenheitsdichtung. Noch finden sich in alten Papieren wertvolle Reste. Das beste davon sollte gesammelt werden; ich bitte, mir solche Gedichte, ob gedruckt oder handschriftlich, zugänglich machen zu wollen." [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop).jpg|mini|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop)]] {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} : {{Wikisource|Gottlob Daniel Staberoh}} {{Wikisource|Tafellied der Abend-Zeitung 13.07.1842}} : "Dieses Zitat (''Die erste Strophe des Tafellieds'') stammt aus dem Gedicht „Die Kochkunst“ von Friedrich von Hagedorn (1708–1754), einem bekannten Dichter der deutschen Aufklärung", behauptet eine Suchmaschine. Stimmt das? Wer findet ggf.? : zur 2. Strophe: "Dieses Zitat stammt aus dem Gedicht „Der Küchengarten“ von Christian Fürchtegott Gellert (1715–1769), einem bedeutenden deutschen Dichter und Moralphilosophen der Aufklärungszeit." : zur 3. Strophe: "Ein wunderbarer Vierzeiler, der die perfekte Balance zwischen Trank und Schmaus beschreibt! Die Verse fangen das klassische Lebensgefühl von Genuss und Geselligkeit perfekt ein." : Tafellied gesamt mit Google: "Das ist ein wunderbares, historisches Gedicht, das die Kochkunst gegenüber dem Weinloben verteidigt! Es stammt aus dem Kochbuch-Klassiker „Praktisches Kochbuch“ von Henriette Davidis (erstmals erschienen 1844). Dort dient es traditionell als feierliches Entree (Einleitung) für das Kapitel über die Kochkunst." ; Notizen zur Methode ''DatenlaubeJam'' Was noch? * 2026: ''See the Unseen'': [[s:Chemnitzer Geschichtsverein|Verein für Chemnitzer Geschichte]] mit [[s:Kunsthütte Chemnitz]] :: Lern- und Lehrmittel (OER): [[s:Tafellieder#Sekundärliteratur]] :: Tafellieder und andere Gelegenheitsdichtung in sächsischen Sammlungen :: Neu: DatenlaubeJam [[d:Q140833912]] * 2024: [[DieDatenlaube/Notizen/Methode DatenlaubeJam|Methode DatenlaubeJam]] * 2023: [[DieDatenlaube/Lehre]] * 2022: [[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|GeNeMe]] == 27. Juli == ; Tatort Dresden Läuft gut, [[d:Q140136012]], https://www.dresdner-geschichtsverein.de/hefte/aktuelles-heft. ; Tafellieder : [[s:Tafellied Jubelfeier Schnellpresse König und Bauer|Tafellied bei der Jubelfeier zur Erbauung der 1000. Schnellpresse im König und Bauer’schen Etablissement Kloster Oberzell am 23. März 1865]] : [[s:Orthographisches Tafellied 1876|Orthographisches Tafellied]] == 21. Juli == [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop).jpg|thumb|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop)]] * [[s:Tafellied bei dem Hebeschmause Waldenburg 1878|Tafellied bei dem Hebeschmause des Seminar-Umbaues zu Waldenburg den 10. August 1878]] * feine Piktogramme [[c:Category:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran]] ; Sind Turmvasen = Turmknöpfe mit anderer Form? [[s:Der alte und neue urkundliche Inhalt der Turmvase des alten Rathauses zu Dresden]], in: [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], 1915 == 14. Juli == * [[s:Aus dem religiösen und kirchlichen Leben Dresdens mit besonderer Berücksichtigung früherer Kriegszeiten]], Dresdner Geschichtsblätter, 1916 * ''Ein Ausflug nach Waldenburg'' samt ''Volkslied, am Tauftage des erstgeborenen Durchlauchtigen Prinzen von Schönburg Waldenburg, gesungen den 5. November 1819'', 11. Juli 2026, https://www.museum-waldenburg.de/blog/detail/ein-ausflug-nach-waldenburg == 7. Juli == ; Mission Blüher 2.0 Janosch (SLUB) zeigt Kulinaria: https://www.slub-dresden.de/entdecken/deutsches-archiv-der-kulinarik/digitalisierung-und-erschliessung-kulinarischer-quellen/ocr-blueher * Blueher OCR Korrektur App https://blueher-korrektur.culinaria-online.de/ * Vokabulartdaten für https://skosmos.org/, https://demo.skosmos.org/euro/de/, Skosmos [[d:Q130281770]] ; Schon gewusst? [[w:Tafellied|Tafellied]] in der Wikipedia Dazu Saxorum: https://saxorum.hypotheses.org/15983, Zugriffsstatistik: https://pageviews.wmcloud.org/?project=de.wikipedia.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&range=latest-30&pages=Tafellied == 30. Juni == [[Datei:Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914.pdf|mini|Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt, 1914]] ; [[v:de:Kurs:Wikisource ASpB 2026|Spezialbestände aus Spezialbibliotheken]] {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914|''Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens (§§ 36 bis 43 des Versicherungsgesetzes für Angestellte)''}} == 23. Juni == ; Stadtansichten Alexander Winkler entdeckt (in & für) Berlin ''Wikidata Bildpositionen'': https://wd-image-positions.toolforge.org/, vgl. [[c:User:Awinkler3/Annotating_the_City]]. Austausch willkommen! ; Geschichtsvereinsbibliotheken linked open JB: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026|Projekt]] mit Daniel F. == 16. Juni == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter 1915 Nr. 1 Seite 110 Grafik.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter 1915, Nr. 1, [[s:Seite:Dresdner Geschichtsblätter Sechster Band.pdf/113|S. 110]]]] Neu ist der Artikel [[w:Tafellied]]. ; Lied der Töpfer Altstadtwaldenburg: https://nearby.hypotheses.org/6053 == 9. Juni == ; 180 Tage Zukunft [[Datei:Lepidoptera collection 01652.jpg|mini|Lepidoptera collection 01652]] * Naturalienkabinett Waldenburg: https://www.museum-waldenburg.de/forschen-bewahren/wunderkammer-digital, ... https://www.geschichtsverein-waldenburg.de * neu: [[s:Waldenburg (Sachsen)]], siehe auch: [[c:Category:Museum Waldenburg]] == 2. Juni == {{Wikisource|Ludwig Richter}} ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? ; Neu : [[c:Category:Elbhang-Kurier]] : Leipziger Ausstellungsdaten: [[c:Category:Strukturen der Macht (exhibition)]] == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource DDB im Wikiversum q.jpg|[[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Deutsche Digitale Bibliothek im Wikiversum]]]] </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] gepazd2gthfscoxwssxxtn0nfw7urcl 106 153521 1118619 1114144 2026-11-02T11:46:15Z Paul Sutermeister 37610 /* Watzlawick-Axiome */ Watzlawick ausgelagert nach [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Watzlawick]] 1118619 wikitext text/x-wiki <!--* [[:w:Kommunikationsmittel#Arten|Kommunikationsmittel]] * [[:w:Verständigung|Kommunikationsziel]] * [[:w:Stakeholder#Stakeholder_eines_Unternehmens|Zielgruppe]] Der Chef präsentiert stolz eine Folie mit 500 Wörtern und 15 Cliparts. Die Mitarbeiter nicken begeistert – bis einer einschläft und sein Kopf auf die Hupe der Büroweihnachtsdeko fällt: Tuuut! Die Präsentation endet abrupt. Ein Bäckermeister erklärt seinen Kunden in einem Video: „Unsere Brötchen sind knusprig, vegan, regional, glutenfrei, nachhaltig und esoterisch aufgeladen!“ Ein Kunde ruft: „Also... was sind sie jetzt?“ Der Bäcker überlegt – und weint. Ein junger Social-Media-Manager ruft auf einer Seniorenmesse: „Yo, holt euch diese freshe Rentenversicherung, Bros!“ Eine Oma zeigt ihm ihren Gehstock. Er flüchtet. Der Praktikant schickt eine E-Mail an den Vorstand: „Hey Leute, hoffe, alles fresh! Hier die Zahlen, glaub ich... Ciao Kakao!“ Der Vorstand antwortet nicht. Stattdessen taucht der Praktikant am nächsten Morgen ohne Firmen-Account auf. Ein Plakat für ein neues Fitnessstudio hat gelbe Schrift auf weißem Hintergrund: „Komm rein, werde stark!“ Niemand kann es lesen. Ein Passant fragt: „Was ist das?“ Ein anderer murmelt: „Ein Rorschach-Test?“ Ein Tante-Emma-Laden wirbt mit: „Wir liefern schneller als Amazon – per Fahrrad!“ Am nächsten Tag klingelt Emma völlig außer Atem beim Kunden, der fünf Dörfer weiter wohnt. „Hier... ist... Ihre Bestellung!“ Der Kunde fragt: „Das Brötchen?“ Ein Plakat wirbt für ein „Mega-Festival mit Stars!“. Die Besucher finden eine Turnhalle mit einem Alleinunterhalter, der auf der Blockflöte „Atemlos“ spielt. Ein Kind weint. Eine Jugendmarke schaltet eine Anzeige in der Kirchenzeitung: „Unser neuer Sneaker ist lit!“ Eine ältere Dame liest laut vor: „Was bedeutet *lit*? Und warum braucht der Herr Jesus neue Schuhe?“ Ein Restaurant wirbt in Japan mit einem Daumen-hoch-Smiley. Der Chef wundert sich, warum die Gäste ausbleiben. Schließlich erklärt ihm jemand: „Das heißt hier: ‚Loser‘.“ Der Chef wechselt das Plakat – und serviert danach nur noch Sushi-Burger. Eine Webseite bewirbt Ferienhäuser mit Pop-ups, blinkenden Bannern und einer animierten Krabbe, die schreit: „Klick mich!“ Der Nutzer klickt… und sein Computer gibt auf. Ein Klempnermeister bewirbt seine Dienste per Rauchzeichen. Nachbarn rufen die Feuerwehr – aber nicht den Klempner.--> Vorbereitung auf folgende Inhalte: [[:w:alpha-Lernen|alpha-Lernen]] zum Thema ''Kommunikation'' durcharbeiten. = [[:w:Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]] = <quiz display="simple"> { [[Bild:Sender-Empfänger-Modell nach Shannon und Weaver.jpg|400px| ]] | typ="[]" } | Sender | Kanal | Empfänger +-- codiert -+- verzerrt --+ decodiert { Ergänze: '''Botschaft''', '''Dekodierung''', '''Feedback''', '''Kanal''', '''Kodierung''', '''Sender'''. | type="{}" } { Sender } = Die Person oder Entität, die eine Botschaft sendet. { Botschaft } = Die Information oder Mitteilung, die der Sender dem Empfänger übermitteln möchte. { Kodierung } = Der Prozess, bei dem der Sender die Botschaft in ein für die Übertragung geeignetes Format umwandelt, z. B. in Worte, Bilder oder Gesten. { Kanal } = Das Medium oder der Weg, über den die Botschaft übertragen wird, z. B. gesprochene Sprache, Textnachrichten oder E-Mails. { Dekodierung } = Der Prozess, bei dem der Empfänger die empfangene Botschaft interpretiert und versucht zu verstehen, was der Sender mitteilen möchte. { Feedback } = Die Reaktion oder Antwort des Empfängers auf die Botschaft, die dem Sender Informationen darüber gibt, wie gut die Botschaft verstanden wurde. { Ergänze '''bedeuten''', '''Emotionen''', '''Kommunikationsmittel''', '''Kultur''', '''Rückmeldung''', '''Sprachen''', '''stören''', '''unklar''', '''Vorurteile''', '''Wissen'''. | type="{}" } Wörter oder Symbole { bedeuten } für Sender anderes als für Empfänger. Sender und Empfänger sprechen verschiedene { Sprachen }. Gesten, Symbole und Verhaltensweisen bedeuten je nach { Kultur } etwas anderes. Lärm und Ablenkung { stören } die Kommunikation. Sender und Empfänger haben { Emotionen|Vorurteile }. Sender formulieren ihre Botschaft { unklar } oder mehrdeutig. { Emotionen|Vorurteile } beeinflussen, wie Nachrichten interpretiert werden. Wenn Sender und Empfänger gemeinsames { Wissen } oder gemeinsame Erfahrungen teilen, verstehen sie sich besser. Empfänger zeigen mit einer { Rückmeldung }, ob sie Botschaften richtig verstanden haben. { Kommunikationsmittel } (zum Beispiel schriftliche Nachrichten, persönliche Gespräche oder visuelle Kommunikation) werden bewusst gewählt. </quiz> = [[:w:Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]] = <quiz display="simple"> { [[Bild:Vier-Seiten-Modell de 2.svg|400px| ]] | typ="[]" } | Sachinhalt | Selbstkundgabe | Beziehungshinweis | Appell ---+ Was soll die Empfängerin tun? --+- Was hält die Senderin von der Empfängerin? -+-- Was gibt die Senderin von sich preis? +--- Worüber wird informiert? </quiz> = Missverständnisse = <quiz display="simple"> { '''Um Störungen und Missverständnisse in der Kommunikation zu vermeiden, gibt es einige bewährte Praktiken.''' Ergänze: aktiv, Diversität, Emotionen, Feedback, Fragen, kanal, klar, korrekt, Mehrdeutigkeiten, schriftlich, Zielgruppe. | type="{}" } - Formulieren Sie Ihre Botschaften so '''{ klar } und präzise''' wie möglich. Vermeiden Sie { Mehrdeutigkeiten } und vage Ausdrücke. - Als Empfänger ist es wichtig, '''{ aktiv } zuzuhören''' und sicherzustellen, dass Sie die Botschaft des Senders { korrekt } verstanden haben. Stellen Sie { Fragen }, um Unklarheiten zu beseitigen. - Wählen Sie den '''Kommunikations{ kanal }''', der am besten zur Botschaft und zum Zweck passt. Manche Informationen sind besser { schriftlich }, während andere mündlich übermittelt werden sollten. - Denken Sie daran, wer Ihre '''{ Zielgruppe }''' ist, und passen Sie Ihre Kommunikation an deren Bedürfnisse und Vorkenntnisse an. - Als Sender sollten Sie aktiv '''{ Feedback }''' von Ihrem Empfänger einholen, um sicherzustellen, dass die Botschaft angekommen ist und verstanden wurde. - Beachten Sie '''kulturelle Unterschiede und { Diversität }''', die die Interpretation von Botschaften beeinflussen können. - Berücksichtigen Sie die '''{ Emotionen } und Gefühle''' der Empfänger Ihrer Nachricht, da sie die Kommunikation stark beeinflussen können. </quiz> <!--= Beispiel 1 = <quiz display="simple"> { Herr Müller: „Herr Meier, schön, dass Sie es heute pünktlich geschafft haben. Das ist ja eine Seltenheit.“ | typ="[]" } | Inhalt | Beziehung | Selbstoffenbarung | Appell +--- Du kommst normalerweise zu spät. -+-- Ich bin genervt und sehe dich als unzuverlässig. --+- Ich bin verärgert. ---+ Sei öfter pünktlich! { Herr Meier: „Ja, das hängt mit meinem neuen Wecker zusammen. Er funktioniert nicht richtig.“ | typ="[]" } | Appell | Beziehung | Inhalt | Selbstoffenbarung --+- Mein Wecker funktioniert nicht. -+-- Du verstehst bestimmt, dass ich nichts dafür kann. ---+ Ich habe meine Pünktlichkeit nicht unter Kontrolle. +--- Bitte hab Verständnis. { Herr Müller: „Das interessiert mich nicht, das ist doch Ihre Verantwortung! Sie müssen halt früher aufstehen!“ | typ="[]" } | Erstes Axiom | Zweites Axiom +- Der genervte Tonfall übermittelt Ablehnung, unabhängig vom Inhalt. -+ Die schlechte Beziehung dominiert das Gespräch, der Inhalt wird überdeckt. { Herr Meier: „Na toll, das ist ja typisch. Immer kriege ich den Ärger ab, egal was passiert.“ | typ="[]" } | Inhalt | Beziehung | Selbstoffenbarung | Appell ---+ Sei verständnisvoller. --+- Ich fühle mich missverstanden und ungerecht behandelt. -+-- Du behandelst mich unfair. +--- Ich bin frustriert. { Herr Müller: „Das ist Ihre Einstellung! Wenn Sie so weitermachen, können Sie sich gleich einen neuen Job suchen.“ | typ="[]" } | Drittes Axiom | Viertes Axiom -+ „Kommunikation ist Ursache und Wirkung“ – Der Vorwurf verstärkt die negative Stimmung, was Herrn Meier noch defensiver macht. +- „Menschliche Kommunikation bedient sich analoger und digitaler Modalitäten“ – Herr Müllers Worte (digital) sind hart, sein Tonfall (analog) zeigt starke Abneigung.) { Herr Meier (sarkastisch): „Ja klar, ich werde sofort kündigen und der Firma einen Gefallen tun.“ | typ="[]" } | Fünftes Axiom | Sechtes Axiom +- „Zwischenmenschliche Kommunikation ist symmetrisch oder komplementär“ – Die Beziehung kippt in einen destruktiven, symmetrischen Wettstreit um Macht und Schuld.) -+ Es gibt kein sechstes Axiom von Watzlawick. Es gibt nur fünf Axiome von Watzlawick. { Herr Müller: „Wissen Sie was? Wir brechen dieses Gespräch hier ab. Ich habe echt genug!“ | typ="[]" } | Inhalt | Beziehung | Selbstoffenbarung | Appell ---+ Geh mir aus dem Weg! -+-- Ich habe keine Lust mehr, mit dir zu reden. --+- Ich bin überfordert und frustriert. +--- Das Gespräch ist zu Ende. </quiz> * Inhaltsaspekt (Schulz von Thun): Beide Parteien reden aneinander vorbei, da der Inhaltsaspekt durch die Beziehungsebene verzerrt wird. * Beziehungsebene (Schulz von Thun): Es besteht ein deutliches Machtgefälle und wenig gegenseitiger Respekt. * Selbstoffenbarung (Schulz von Thun): Herr Müller gibt durch seine Aussagen Frustration preis, während Herr Meier sich missverstanden fühlt. * Appell (Schulz von Thun): Beide haben unausgesprochene Appelle, die vom anderen nicht wahrgenommen werden. * Axiom 1 (Watzlawick): Herr Müllers nonverbale Kommunikation (genervter Tonfall, Gestik) verstärkt die negative Atmosphäre. * Axiom 2 (Watzlawick): Der Beziehungsaspekt überlagert den Inhaltsaspekt komplett, da der Fokus auf gegenseitigen Vorwürfen liegt. * Axiom 3 (Watzlawick): Der negative Kreislauf von Aktion und Reaktion verschärft die Kommunikation. * Axiom 4 (Watzlawick): Analoge (Ton, Körpersprache) und digitale (Inhalt) Kommunikation widersprechen sich, was zu Missverständnissen führt. * Axiom 5 (Watzlawick): Die Beziehung eskaliert in einen symmetrischen Konflikt, da beide um die Oberhand kämpfen. = Beispiel 2 = Hier ist ein Beispiel für ein geschäftliches Gespräch, das aufgrund mangelnder Vorbereitung und Kommunikationsfehler komplett schiefgeht. Dabei werden die 5 Axiome von Watzlawick, das Kommunikationsquadrat von Schulz von Thun und das Sender-Empfänger-Modell von Shannon und Weaver berücksichtigt. '''Szene:''' Ein Mitarbeitergespräch '''Teilnehmer:''' * Chef (Herr Müller) * Mitarbeiterin (Frau Schulze) '''Ziel des Gesprächs:''' Feedback zur Leistung und Besprechung der zukünftigen Ziele '''Chef Herr Müller''' betritt unvorbereitet und ohne Plan das Büro von Frau Schulze. Der Raum ist laut, die Tür steht offen, und das Telefon von Frau Schulze klingelt während des Gesprächs. Herr Müller sagt: „Frau Schulze, gut, dass ich Sie hier treffe. Wir müssen über Ihre Arbeit sprechen.“ '''Mitarbeiterin Frau Schulze''' ist verwirrt, da sie nicht wusste, dass ein Gespräch ansteht: „Ähm, okay... Was genau möchten Sie besprechen?“ '''Herr Müller''' (redet schnell und ohne Augenkontakt, schaut auf seine Uhr): „Ja, also, ich habe einige Beschwerden von Kunden gehört. Ihre Arbeit in den letzten Wochen war... sagen wir mal, suboptimal.“ '''Frau Schulze''' (nimmt die Kritik persönlich und fühlt sich angegriffen): „Was meinen Sie damit? Ich habe mein Bestes gegeben! Das klingt so, als ob alles, was ich gemacht habe, schlecht wäre!“ Axiom 1 (Watzlawick - Man kann nicht nicht kommunizieren): Durch Herrn Müllers Körpersprache (Blick auf die Uhr, keine Vorbereitung) vermittelt er Desinteresse, was zu Missverständnissen führt. '''Herr Müller:''' „Das ist nicht das, was ich sagen wollte. Aber es ist offensichtlich, dass Verbesserungen notwendig sind.“ (Er ignoriert, dass Frau Schulze sich angegriffen fühlt, und spricht weiter ohne konkrete Beispiele.) Kommunikationsquadrat (Schulz von Thun - Selbstoffenbarung): Herr Müller vermittelt durch seine Haltung und die Art, wie er spricht, dass er wenig Zeit hat und unzufrieden ist. Die Beziehungsebene („Ich finde, Sie sind nicht gut genug.“) kommt jedoch stärker rüber als die Sachebene („Wir sollten Ihre Arbeitsweise verbessern.“). '''Frau Schulze:''' „Verbesserungen? Das ist viel zu vage! Wenn Sie mir nicht sagen können, was genau das Problem ist, wie soll ich dann wissen, was ich verbessern soll?“ Axiom 2 (Watzlawick - Jede Kommunikation hat einen Inhalts- und einen Beziehungsaspekt): Frau Schulze interpretiert die Kritik auf der Beziehungsebene als persönlichen Angriff, statt auf der Sachebene konstruktiv zu bleiben. '''Herr Müller (genervt):''' „Es geht nicht darum, dass ich Sie schlechtmachen will. Sie sind zu empfindlich. Hören Sie doch einfach zu!“ Axiom 4 (Watzlawick - Digitale und analoge Modalitäten): Die Worte von Herrn Müller (digitale Kommunikation) stehen im Widerspruch zu seiner Körpersprache und Tonfall (analoge Kommunikation), was Frau Schulze noch mehr verunsichert. '''Frau Schulze:''' „Vielleicht sollte ich einfach aufhören, wenn meine Arbeit sowieso nicht gut genug ist.“ Shannon und Weaver (Sender-Empfänger-Modell): Die Nachricht von Herrn Müller wird von Frau Schulze verzerrt empfangen. Der „Störfaktor“ in diesem Fall ist die mangelnde Klarheit und die emotional aufgeladene Beziehungsebene. '''Herr Müller''' (Wird ungeduldig und hört nicht richtig zu.): „Na ja, das müssen Sie wissen. Wenn Sie nicht motiviert sind, dann wird es natürlich schwer.“ Axiom 5 (Watzlawick - Symmetrische oder komplementäre Interaktion): Herr Müller und Frau Schulze geraten in ein symmetrisches Muster, in dem sie sich gegenseitig angreifen, anstatt Lösungen zu finden. --- Fehlerhafte Gesprächsvorbereitung: * Der Raum ist unruhig (Telefon klingelt, Tür offen), was die Konzentration stört. * Es gibt keine klare Struktur oder Vorbereitung seitens des Chefs. * Die äußeren Einflüsse (Zeitdruck, mangelnde Konzentration) verhindern ein produktives Gespräch. Schiefgelaufene Kommunikation: * Herr Müller nutzt das Gespräch vor allem zur Selbstoffenbarung (Unzufriedenheit), was die Beziehungsebene belastet. * Frau Schulze fühlt sich angegriffen, weil das Gespräch unsachlich und unstrukturiert ist. * Es fehlt an klarer, sachlicher Rückmeldung und konkreten Beispielen. --- Zusammenfassung: Dieses Gespräch zeigt, wie Missverständnisse durch mangelnde Vorbereitung und unausgewogene Kommunikation entstehen können. Beide Teilnehmer haben unterschiedliche Erwartungen und interpretieren die Botschaften des anderen falsch. Durch klare Gesprächsstruktur, konstruktives Feedback und Berücksichtigung der Beziehungsebene hätte das Gespräch deutlich erfolgreicher verlaufen können. --> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] hvunyw818db8ieaj43f0qmzvbdtbmra 1118621 1118619 2026-11-02T11:53:15Z Paul Sutermeister 37610 /* Vier-Seiten-Modell */ ausgelagert nach [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Vier-Seiten-Modell]] 1118621 wikitext text/x-wiki <!--* [[:w:Kommunikationsmittel#Arten|Kommunikationsmittel]] * [[:w:Verständigung|Kommunikationsziel]] * [[:w:Stakeholder#Stakeholder_eines_Unternehmens|Zielgruppe]] Der Chef präsentiert stolz eine Folie mit 500 Wörtern und 15 Cliparts. Die Mitarbeiter nicken begeistert – bis einer einschläft und sein Kopf auf die Hupe der Büroweihnachtsdeko fällt: Tuuut! Die Präsentation endet abrupt. Ein Bäckermeister erklärt seinen Kunden in einem Video: „Unsere Brötchen sind knusprig, vegan, regional, glutenfrei, nachhaltig und esoterisch aufgeladen!“ Ein Kunde ruft: „Also... was sind sie jetzt?“ Der Bäcker überlegt – und weint. Ein junger Social-Media-Manager ruft auf einer Seniorenmesse: „Yo, holt euch diese freshe Rentenversicherung, Bros!“ Eine Oma zeigt ihm ihren Gehstock. Er flüchtet. Der Praktikant schickt eine E-Mail an den Vorstand: „Hey Leute, hoffe, alles fresh! Hier die Zahlen, glaub ich... Ciao Kakao!“ Der Vorstand antwortet nicht. Stattdessen taucht der Praktikant am nächsten Morgen ohne Firmen-Account auf. Ein Plakat für ein neues Fitnessstudio hat gelbe Schrift auf weißem Hintergrund: „Komm rein, werde stark!“ Niemand kann es lesen. Ein Passant fragt: „Was ist das?“ Ein anderer murmelt: „Ein Rorschach-Test?“ Ein Tante-Emma-Laden wirbt mit: „Wir liefern schneller als Amazon – per Fahrrad!“ Am nächsten Tag klingelt Emma völlig außer Atem beim Kunden, der fünf Dörfer weiter wohnt. „Hier... ist... Ihre Bestellung!“ Der Kunde fragt: „Das Brötchen?“ Ein Plakat wirbt für ein „Mega-Festival mit Stars!“. Die Besucher finden eine Turnhalle mit einem Alleinunterhalter, der auf der Blockflöte „Atemlos“ spielt. Ein Kind weint. Eine Jugendmarke schaltet eine Anzeige in der Kirchenzeitung: „Unser neuer Sneaker ist lit!“ Eine ältere Dame liest laut vor: „Was bedeutet *lit*? Und warum braucht der Herr Jesus neue Schuhe?“ Ein Restaurant wirbt in Japan mit einem Daumen-hoch-Smiley. Der Chef wundert sich, warum die Gäste ausbleiben. Schließlich erklärt ihm jemand: „Das heißt hier: ‚Loser‘.“ Der Chef wechselt das Plakat – und serviert danach nur noch Sushi-Burger. Eine Webseite bewirbt Ferienhäuser mit Pop-ups, blinkenden Bannern und einer animierten Krabbe, die schreit: „Klick mich!“ Der Nutzer klickt… und sein Computer gibt auf. Ein Klempnermeister bewirbt seine Dienste per Rauchzeichen. Nachbarn rufen die Feuerwehr – aber nicht den Klempner.--> Vorbereitung auf folgende Inhalte: [[:w:alpha-Lernen|alpha-Lernen]] zum Thema ''Kommunikation'' durcharbeiten. = [[:w:Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]] = <quiz display="simple"> { [[Bild:Sender-Empfänger-Modell nach Shannon und Weaver.jpg|400px| ]] | typ="[]" } | Sender | Kanal | Empfänger +-- codiert -+- verzerrt --+ decodiert { Ergänze: '''Botschaft''', '''Dekodierung''', '''Feedback''', '''Kanal''', '''Kodierung''', '''Sender'''. | type="{}" } { Sender } = Die Person oder Entität, die eine Botschaft sendet. { Botschaft } = Die Information oder Mitteilung, die der Sender dem Empfänger übermitteln möchte. { Kodierung } = Der Prozess, bei dem der Sender die Botschaft in ein für die Übertragung geeignetes Format umwandelt, z. B. in Worte, Bilder oder Gesten. { Kanal } = Das Medium oder der Weg, über den die Botschaft übertragen wird, z. B. gesprochene Sprache, Textnachrichten oder E-Mails. { Dekodierung } = Der Prozess, bei dem der Empfänger die empfangene Botschaft interpretiert und versucht zu verstehen, was der Sender mitteilen möchte. { Feedback } = Die Reaktion oder Antwort des Empfängers auf die Botschaft, die dem Sender Informationen darüber gibt, wie gut die Botschaft verstanden wurde. { Ergänze '''bedeuten''', '''Emotionen''', '''Kommunikationsmittel''', '''Kultur''', '''Rückmeldung''', '''Sprachen''', '''stören''', '''unklar''', '''Vorurteile''', '''Wissen'''. | type="{}" } Wörter oder Symbole { bedeuten } für Sender anderes als für Empfänger. Sender und Empfänger sprechen verschiedene { Sprachen }. Gesten, Symbole und Verhaltensweisen bedeuten je nach { Kultur } etwas anderes. Lärm und Ablenkung { stören } die Kommunikation. Sender und Empfänger haben { Emotionen|Vorurteile }. Sender formulieren ihre Botschaft { unklar } oder mehrdeutig. { Emotionen|Vorurteile } beeinflussen, wie Nachrichten interpretiert werden. Wenn Sender und Empfänger gemeinsames { Wissen } oder gemeinsame Erfahrungen teilen, verstehen sie sich besser. Empfänger zeigen mit einer { Rückmeldung }, ob sie Botschaften richtig verstanden haben. { Kommunikationsmittel } (zum Beispiel schriftliche Nachrichten, persönliche Gespräche oder visuelle Kommunikation) werden bewusst gewählt. </quiz> = Missverständnisse = <quiz display="simple"> { '''Um Störungen und Missverständnisse in der Kommunikation zu vermeiden, gibt es einige bewährte Praktiken.''' Ergänze: aktiv, Diversität, Emotionen, Feedback, Fragen, kanal, klar, korrekt, Mehrdeutigkeiten, schriftlich, Zielgruppe. | type="{}" } - Formulieren Sie Ihre Botschaften so '''{ klar } und präzise''' wie möglich. Vermeiden Sie { Mehrdeutigkeiten } und vage Ausdrücke. - Als Empfänger ist es wichtig, '''{ aktiv } zuzuhören''' und sicherzustellen, dass Sie die Botschaft des Senders { korrekt } verstanden haben. Stellen Sie { Fragen }, um Unklarheiten zu beseitigen. - Wählen Sie den '''Kommunikations{ kanal }''', der am besten zur Botschaft und zum Zweck passt. Manche Informationen sind besser { schriftlich }, während andere mündlich übermittelt werden sollten. - Denken Sie daran, wer Ihre '''{ Zielgruppe }''' ist, und passen Sie Ihre Kommunikation an deren Bedürfnisse und Vorkenntnisse an. - Als Sender sollten Sie aktiv '''{ Feedback }''' von Ihrem Empfänger einholen, um sicherzustellen, dass die Botschaft angekommen ist und verstanden wurde. - Beachten Sie '''kulturelle Unterschiede und { Diversität }''', die die Interpretation von Botschaften beeinflussen können. - Berücksichtigen Sie die '''{ Emotionen } und Gefühle''' der Empfänger Ihrer Nachricht, da sie die Kommunikation stark beeinflussen können. </quiz> <!--= Beispiel 1 = <quiz display="simple"> { Herr Müller: „Herr Meier, schön, dass Sie es heute pünktlich geschafft haben. Das ist ja eine Seltenheit.“ | typ="[]" } | Inhalt | Beziehung | Selbstoffenbarung | Appell +--- Du kommst normalerweise zu spät. -+-- Ich bin genervt und sehe dich als unzuverlässig. --+- Ich bin verärgert. ---+ Sei öfter pünktlich! { Herr Meier: „Ja, das hängt mit meinem neuen Wecker zusammen. Er funktioniert nicht richtig.“ | typ="[]" } | Appell | Beziehung | Inhalt | Selbstoffenbarung --+- Mein Wecker funktioniert nicht. -+-- Du verstehst bestimmt, dass ich nichts dafür kann. ---+ Ich habe meine Pünktlichkeit nicht unter Kontrolle. +--- Bitte hab Verständnis. { Herr Müller: „Das interessiert mich nicht, das ist doch Ihre Verantwortung! Sie müssen halt früher aufstehen!“ | typ="[]" } | Erstes Axiom | Zweites Axiom +- Der genervte Tonfall übermittelt Ablehnung, unabhängig vom Inhalt. -+ Die schlechte Beziehung dominiert das Gespräch, der Inhalt wird überdeckt. { Herr Meier: „Na toll, das ist ja typisch. Immer kriege ich den Ärger ab, egal was passiert.“ | typ="[]" } | Inhalt | Beziehung | Selbstoffenbarung | Appell ---+ Sei verständnisvoller. --+- Ich fühle mich missverstanden und ungerecht behandelt. -+-- Du behandelst mich unfair. +--- Ich bin frustriert. { Herr Müller: „Das ist Ihre Einstellung! Wenn Sie so weitermachen, können Sie sich gleich einen neuen Job suchen.“ | typ="[]" } | Drittes Axiom | Viertes Axiom -+ „Kommunikation ist Ursache und Wirkung“ – Der Vorwurf verstärkt die negative Stimmung, was Herrn Meier noch defensiver macht. +- „Menschliche Kommunikation bedient sich analoger und digitaler Modalitäten“ – Herr Müllers Worte (digital) sind hart, sein Tonfall (analog) zeigt starke Abneigung.) { Herr Meier (sarkastisch): „Ja klar, ich werde sofort kündigen und der Firma einen Gefallen tun.“ | typ="[]" } | Fünftes Axiom | Sechtes Axiom +- „Zwischenmenschliche Kommunikation ist symmetrisch oder komplementär“ – Die Beziehung kippt in einen destruktiven, symmetrischen Wettstreit um Macht und Schuld.) -+ Es gibt kein sechstes Axiom von Watzlawick. Es gibt nur fünf Axiome von Watzlawick. { Herr Müller: „Wissen Sie was? Wir brechen dieses Gespräch hier ab. Ich habe echt genug!“ | typ="[]" } | Inhalt | Beziehung | Selbstoffenbarung | Appell ---+ Geh mir aus dem Weg! -+-- Ich habe keine Lust mehr, mit dir zu reden. --+- Ich bin überfordert und frustriert. +--- Das Gespräch ist zu Ende. </quiz> * Inhaltsaspekt (Schulz von Thun): Beide Parteien reden aneinander vorbei, da der Inhaltsaspekt durch die Beziehungsebene verzerrt wird. * Beziehungsebene (Schulz von Thun): Es besteht ein deutliches Machtgefälle und wenig gegenseitiger Respekt. * Selbstoffenbarung (Schulz von Thun): Herr Müller gibt durch seine Aussagen Frustration preis, während Herr Meier sich missverstanden fühlt. * Appell (Schulz von Thun): Beide haben unausgesprochene Appelle, die vom anderen nicht wahrgenommen werden. * Axiom 1 (Watzlawick): Herr Müllers nonverbale Kommunikation (genervter Tonfall, Gestik) verstärkt die negative Atmosphäre. * Axiom 2 (Watzlawick): Der Beziehungsaspekt überlagert den Inhaltsaspekt komplett, da der Fokus auf gegenseitigen Vorwürfen liegt. * Axiom 3 (Watzlawick): Der negative Kreislauf von Aktion und Reaktion verschärft die Kommunikation. * Axiom 4 (Watzlawick): Analoge (Ton, Körpersprache) und digitale (Inhalt) Kommunikation widersprechen sich, was zu Missverständnissen führt. * Axiom 5 (Watzlawick): Die Beziehung eskaliert in einen symmetrischen Konflikt, da beide um die Oberhand kämpfen. = Beispiel 2 = Hier ist ein Beispiel für ein geschäftliches Gespräch, das aufgrund mangelnder Vorbereitung und Kommunikationsfehler komplett schiefgeht. Dabei werden die 5 Axiome von Watzlawick, das Kommunikationsquadrat von Schulz von Thun und das Sender-Empfänger-Modell von Shannon und Weaver berücksichtigt. '''Szene:''' Ein Mitarbeitergespräch '''Teilnehmer:''' * Chef (Herr Müller) * Mitarbeiterin (Frau Schulze) '''Ziel des Gesprächs:''' Feedback zur Leistung und Besprechung der zukünftigen Ziele '''Chef Herr Müller''' betritt unvorbereitet und ohne Plan das Büro von Frau Schulze. Der Raum ist laut, die Tür steht offen, und das Telefon von Frau Schulze klingelt während des Gesprächs. Herr Müller sagt: „Frau Schulze, gut, dass ich Sie hier treffe. Wir müssen über Ihre Arbeit sprechen.“ '''Mitarbeiterin Frau Schulze''' ist verwirrt, da sie nicht wusste, dass ein Gespräch ansteht: „Ähm, okay... Was genau möchten Sie besprechen?“ '''Herr Müller''' (redet schnell und ohne Augenkontakt, schaut auf seine Uhr): „Ja, also, ich habe einige Beschwerden von Kunden gehört. Ihre Arbeit in den letzten Wochen war... sagen wir mal, suboptimal.“ '''Frau Schulze''' (nimmt die Kritik persönlich und fühlt sich angegriffen): „Was meinen Sie damit? Ich habe mein Bestes gegeben! Das klingt so, als ob alles, was ich gemacht habe, schlecht wäre!“ Axiom 1 (Watzlawick - Man kann nicht nicht kommunizieren): Durch Herrn Müllers Körpersprache (Blick auf die Uhr, keine Vorbereitung) vermittelt er Desinteresse, was zu Missverständnissen führt. '''Herr Müller:''' „Das ist nicht das, was ich sagen wollte. Aber es ist offensichtlich, dass Verbesserungen notwendig sind.“ (Er ignoriert, dass Frau Schulze sich angegriffen fühlt, und spricht weiter ohne konkrete Beispiele.) Kommunikationsquadrat (Schulz von Thun - Selbstoffenbarung): Herr Müller vermittelt durch seine Haltung und die Art, wie er spricht, dass er wenig Zeit hat und unzufrieden ist. Die Beziehungsebene („Ich finde, Sie sind nicht gut genug.“) kommt jedoch stärker rüber als die Sachebene („Wir sollten Ihre Arbeitsweise verbessern.“). '''Frau Schulze:''' „Verbesserungen? Das ist viel zu vage! Wenn Sie mir nicht sagen können, was genau das Problem ist, wie soll ich dann wissen, was ich verbessern soll?“ Axiom 2 (Watzlawick - Jede Kommunikation hat einen Inhalts- und einen Beziehungsaspekt): Frau Schulze interpretiert die Kritik auf der Beziehungsebene als persönlichen Angriff, statt auf der Sachebene konstruktiv zu bleiben. '''Herr Müller (genervt):''' „Es geht nicht darum, dass ich Sie schlechtmachen will. Sie sind zu empfindlich. Hören Sie doch einfach zu!“ Axiom 4 (Watzlawick - Digitale und analoge Modalitäten): Die Worte von Herrn Müller (digitale Kommunikation) stehen im Widerspruch zu seiner Körpersprache und Tonfall (analoge Kommunikation), was Frau Schulze noch mehr verunsichert. '''Frau Schulze:''' „Vielleicht sollte ich einfach aufhören, wenn meine Arbeit sowieso nicht gut genug ist.“ Shannon und Weaver (Sender-Empfänger-Modell): Die Nachricht von Herrn Müller wird von Frau Schulze verzerrt empfangen. Der „Störfaktor“ in diesem Fall ist die mangelnde Klarheit und die emotional aufgeladene Beziehungsebene. '''Herr Müller''' (Wird ungeduldig und hört nicht richtig zu.): „Na ja, das müssen Sie wissen. Wenn Sie nicht motiviert sind, dann wird es natürlich schwer.“ Axiom 5 (Watzlawick - Symmetrische oder komplementäre Interaktion): Herr Müller und Frau Schulze geraten in ein symmetrisches Muster, in dem sie sich gegenseitig angreifen, anstatt Lösungen zu finden. --- Fehlerhafte Gesprächsvorbereitung: * Der Raum ist unruhig (Telefon klingelt, Tür offen), was die Konzentration stört. * Es gibt keine klare Struktur oder Vorbereitung seitens des Chefs. * Die äußeren Einflüsse (Zeitdruck, mangelnde Konzentration) verhindern ein produktives Gespräch. Schiefgelaufene Kommunikation: * Herr Müller nutzt das Gespräch vor allem zur Selbstoffenbarung (Unzufriedenheit), was die Beziehungsebene belastet. * Frau Schulze fühlt sich angegriffen, weil das Gespräch unsachlich und unstrukturiert ist. * Es fehlt an klarer, sachlicher Rückmeldung und konkreten Beispielen. --- Zusammenfassung: Dieses Gespräch zeigt, wie Missverständnisse durch mangelnde Vorbereitung und unausgewogene Kommunikation entstehen können. Beide Teilnehmer haben unterschiedliche Erwartungen und interpretieren die Botschaften des anderen falsch. Durch klare Gesprächsstruktur, konstruktives Feedback und Berücksichtigung der Beziehungsebene hätte das Gespräch deutlich erfolgreicher verlaufen können. --> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] 85l4148eayuc37d1rfe2qzsxs09nkc2 106 164665 1118445 1116921 2026-11-02T09:52:26Z Bert Niehaus 20843 /* Lerneinheiten */ 1118445 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/algebraische Vervollständigung/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/Topologie im Wertebereich/]] des Logarithmus. * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \left(\ln\big(\sqrt{2}\big)+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) \\ & = & \ln(2)+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln(2)-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln (x) + \ln (y) = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \cdot \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln (1) = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig - negative Zahlen ==== Mit dem oben definierten [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweig des komplexen Logarithmus]] kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\log_{G_{1}}(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass in einem Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> eine Teilmenge <math>G_0</math> finden kann, die die Spur eine konkreten gegebenen [[w:de:injektive Funktion|injektiven]] Weges <math>\gamma</math> überdecken, wobei <math>G_0</math> einfach zusammenhängend ist. Mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> als gegebenes Gebiet mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein bestimmtes <math>z_0\in G</math> ist der gesamte [[Zweig des Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G</math> definiert. [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma]] definiert damit auf Teilmengen <math>G_0</math> eines '''nicht notwendigerweise''' [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> einen [[Zweig des Logarithmus]], während beim Identitätssatz das gegebene Gebiet bereits [[einfach zusammenhängend]] ist mit <math>0\notin G</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] aw5u5rq2y53jsljcsvj0l6kxvzycta5 106 167013 1118421 1117255 2026-11-02T09:08:10Z Paul Sutermeister 37610 Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Partizip 1118421 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (erstellt von [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 2 Lektionen à 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]]</small>[[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 17./18. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 24./25. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''' (Satzglieder sind nicht prüfungsrelevant): <small>Prädikat, Subjekt, Adverbial, [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt|Objekt]]</small> || Seiten 10-14 |- | 31. August / 1. September || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]]</small> → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 7./8. September || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 14./15. September || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 21./22. September || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:</br>Vier gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten (nicht Wortschatz) 2) Rechtschreibung, 3) Satzbau, 4) Satzzeichen.</small> || |- | 12./13. Oktober || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Adressatenorientierung|Adressatenorientierung]]</small>, '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]]''' || |- | 19./20. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 26./27. Oktober || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]]/[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Partizip|Partizip]]''' → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]]''' || Seiten 66-69 |- | 2./3. November || Indirekte Rede → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Protokoll|Protokoll]]''' || Seiten 66-69 |- | 9./10. November || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 16./17. November || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 23./24. November || Alte Diplomprüfung als Repetition für Textproduktion || |- | 30. November / 1. Dezember || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''Modus → Indirekte Rede → Protokoll''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br><!--2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>-->2. Aufgabe '''GESCHÄFTSBRIEF:''' Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl. Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 7./8. Dezember 2026 || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | '''14./15. Dezember 2026''' || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small>; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | <span style="color:red;">'''4./5. Januar 2027'''</span> || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: closed book, siehe Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (nur Duden erlaubt)<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] colg99ye6qniheo6bez6mhaod7bqv2k 1118597 1118421 2026-11-02T10:58:47Z Paul Sutermeister 37610 1118597 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (erstellt von [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 2 Lektionen à 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]]</small>[[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 17./18. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 24./25. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''' (Satzglieder sind nicht prüfungsrelevant): <small>Prädikat, Subjekt, Adverbial, [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt|Objekt]]</small> || Seiten 10-14 |- | 31. August / 1. September || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]]</small> → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 7./8. September || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 14./15. September || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 21./22. September || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:</br>Vier gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten (nicht Wortschatz) 2) Rechtschreibung, 3) Satzbau, 4) Satzzeichen.</small> || |- | 12./13. Oktober || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Adressatenorientierung|Adressatenorientierung]]</small>, '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]]''' || |- | 19./20. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 26./27. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]]/[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Partizip|Partizip]] → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]]''' || Seiten 66-69 |- | 2./3. November || Indirekte Rede → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Protokoll|Protokoll]]''' || Seiten 66-69 |- | 9./10. November || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 16./17. November || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 23./24. November || Alte Diplomprüfung als Repetition für Textproduktion || |- | 30. November / 1. Dezember || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''Modus → Indirekte Rede → Protokoll''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br><!--2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>-->2. Aufgabe '''GESCHÄFTSBRIEF:''' Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl. Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 7./8. Dezember 2026 || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | '''14./15. Dezember 2026''' || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small>; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | <span style="color:red;">'''4./5. Januar 2027'''</span> || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: closed book, siehe Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (nur Duden erlaubt)<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] axp8rmvl0mrpxpaez4w6z4bo1c0dwxc 106 167054 1118606 1115969 2026-11-02T11:12:30Z Paul Sutermeister 37610 1118606 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 | '''Office Knigge''':</br>Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke | Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18<ref>Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3</ref> |- | 17./18. August | '''Bekleidung und Auftreten'''</br> | Seiten 24-31 |- | 24./25. August | '''Arbeiten im Team''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Johari|Johari-Fenster]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Maslow|Maslows Bedürfnispyramide]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisberg|Eisbergmodell]], Teamrollen, Teamwerte, Wertschätzung | Seiten 35-43 |- | 31. August / 1. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Watzlawick-Axiome|Watzlawick-Axiome]] | Seiten 44-46 |- | 7./8. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], Distanzzonen | Seiten 46-48 |- | 14./15. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen (Tuckman)]] | Seiten 48-51 |- | 21./22. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen | Seiten 52-56 |- | 12./13. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Stressoren, Konflikt | Seiten 56-61 |- | 19./20. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern | Seiten 62-68 |- | 26./27. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Resilienz | Seiten 69-75 |- | 2./3. November | '''Eventmanagement''':</br> Konzept, Checkliste | Seiten 82-86 |- | 9./10. November | '''Selbstmanagement''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]] | Seiten 90-94 |- | 16./17. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve | Seiten 95-99 |- | 23./24. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken | Seiten 100-104 |- | 30. November / 1. Dezember | Selbstmanagement:</br>Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] | Seiten 104-108 |- | 7./8. Dezember | '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik | Seiten 113-119 |- | 14./15. Dezember 2026 | Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (& Protokoll), Checklisten erstellen | Seiten 119-126 |- | '''4./5. Januar 2027''' | colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: keine Hilfsmittel erlaubt (gemäss Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]])<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} <!-- = Ergänzendes Material = <small> :[[:en:Human capital|Human Capital]] :[[:en:Personal development|Personal development]] :[[:en:21st century skills|21st century skills]] :[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]] :[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]</small> == Kommunikation == * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] == Team == * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]] * <small>[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]</small> == [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] == # Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten? # Pareto – Was lohnt sich? # ABC – Was ist wichtig? # Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend? # SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel? # ALPEN – Wie plane ich meinen Tag? # IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch? === [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] === <gallery> Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]''' Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]] </gallery> Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag. Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden. === [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] === ; Zweck : '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung. ; Schritte : '''I'''nformieren – Situation klären : '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen : '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen : '''R'''ealisieren – ausführen : '''K'''ontrollieren – prüfen : '''A'''uswerten – lernen und verbessern ==== Beispiel: Spaghetti kochen ==== '''I – Informieren''' * Was will ich kochen? → Spaghetti * Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser * Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt '''P – Planen''' * Ich gehe zuerst kurz einkaufen. * Danach koche ich. * Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein. '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.''' '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce. * Ich koche Wasser. * Ich koche die Spaghetti. * Ich wärme die Sauce. '''K – Kontrollieren''' * Sind die Spaghetti gar? * Schmeckt die Sauce? * Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig? '''A – Auswerten''' * Hat alles gut geklappt? * War meine Planung realistisch? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen) ==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ==== '''I – Informieren''' * Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung * Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende * Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten * Gibt es einen Termin? → Noch nicht '''P – Planen''' * Ich schlage zwei mögliche Termine vor. * Ich reserviere einen Sitzungsraum. * Ich erstelle eine kurze Traktandenliste. * Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten). '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide mich für: ** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr ** Raum: Sitzungszimmer 2 * Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden. '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich verschicke die Einladung per E-Mail. * Ich drucke die Traktandenliste aus. * Ich leite die Sitzung. * Ich mache kurze Notizen während der Sitzung. '''K – Kontrollieren''' * Waren alle eingeladen? * Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet? * Wurden alle Traktanden besprochen? '''A – Auswerten''' * Hat die Sitzung etwas gebracht? * War sie gut vorbereitet? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen) === [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] === * [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]] * [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]] * [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--> =Lehrmittel= * Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] 4ldx0cbk218o8beraba0quohbq2eekl 1118615 1118606 2026-11-02T11:34:21Z Paul Sutermeister 37610 1118615 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 | '''Office Knigge''':</br>Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke | Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18<ref>Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3</ref> |- | 17./18. August | '''Bekleidung und Auftreten'''</br> | Seiten 24-31 |- | 24./25. August | '''Arbeiten im Team''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Johari|Johari-Fenster]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Maslow|Maslows Bedürfnispyramide]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisberg|Eisbergmodell]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teamrolle|Teamrollen]], Teamwerte, Wertschätzung | Seiten 35-43 |- | 31. August / 1. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Watzlawick-Axiome|Watzlawick-Axiome]] | Seiten 44-46 |- | 7./8. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], Distanzzonen | Seiten 46-48 |- | 14./15. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen (Tuckman)]] | Seiten 48-51 |- | 21./22. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen | Seiten 52-56 |- | 12./13. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Stressoren, Konflikt | Seiten 56-61 |- | 19./20. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern | Seiten 62-68 |- | 26./27. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Resilienz | Seiten 69-75 |- | 2./3. November | '''Eventmanagement''':</br> Konzept, Checkliste | Seiten 82-86 |- | 9./10. November | '''Selbstmanagement''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]] | Seiten 90-94 |- | 16./17. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve | Seiten 95-99 |- | 23./24. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken | Seiten 100-104 |- | 30. November / 1. Dezember | Selbstmanagement:</br>Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] | Seiten 104-108 |- | 7./8. Dezember | '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik | Seiten 113-119 |- | 14./15. Dezember 2026 | Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (& Protokoll), Checklisten erstellen | Seiten 119-126 |- | '''4./5. Januar 2027''' | colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: keine Hilfsmittel erlaubt (gemäss Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]])<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} <!-- = Ergänzendes Material = <small> :[[:en:Human capital|Human Capital]] :[[:en:Personal development|Personal development]] :[[:en:21st century skills|21st century skills]] :[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]] :[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]</small> == Kommunikation == * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] == Team == * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]] * <small>[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]</small> == [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] == # Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten? # Pareto – Was lohnt sich? # ABC – Was ist wichtig? # Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend? # SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel? # ALPEN – Wie plane ich meinen Tag? # IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch? === [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] === <gallery> Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]''' Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]] </gallery> Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag. Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden. === [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] === ; Zweck : '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung. ; Schritte : '''I'''nformieren – Situation klären : '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen : '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen : '''R'''ealisieren – ausführen : '''K'''ontrollieren – prüfen : '''A'''uswerten – lernen und verbessern ==== Beispiel: Spaghetti kochen ==== '''I – Informieren''' * Was will ich kochen? → Spaghetti * Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser * Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt '''P – Planen''' * Ich gehe zuerst kurz einkaufen. * Danach koche ich. * Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein. '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.''' '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce. * Ich koche Wasser. * Ich koche die Spaghetti. * Ich wärme die Sauce. '''K – Kontrollieren''' * Sind die Spaghetti gar? * Schmeckt die Sauce? * Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig? '''A – Auswerten''' * Hat alles gut geklappt? * War meine Planung realistisch? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen) ==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ==== '''I – Informieren''' * Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung * Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende * Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten * Gibt es einen Termin? → Noch nicht '''P – Planen''' * Ich schlage zwei mögliche Termine vor. * Ich reserviere einen Sitzungsraum. * Ich erstelle eine kurze Traktandenliste. * Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten). '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide mich für: ** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr ** Raum: Sitzungszimmer 2 * Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden. '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich verschicke die Einladung per E-Mail. * Ich drucke die Traktandenliste aus. * Ich leite die Sitzung. * Ich mache kurze Notizen während der Sitzung. '''K – Kontrollieren''' * Waren alle eingeladen? * Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet? * Wurden alle Traktanden besprochen? '''A – Auswerten''' * Hat die Sitzung etwas gebracht? * War sie gut vorbereitet? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen) === [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] === * [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]] * [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]] * [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--> =Lehrmittel= * Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] rg62a3yr37zjle73csevrkmmq7etuqh 1118617 1118615 2026-11-02T11:40:59Z Paul Sutermeister 37610 1118617 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 | '''Office Knigge''':</br>Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke | Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18<ref>Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3</ref> |- | 17./18. August | '''Bekleidung und Auftreten'''</br> | Seiten 24-31 |- | 24./25. August | '''Arbeiten im Team''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Johari|Johari-Fenster]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Maslow|Maslows Bedürfnispyramide]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisberg|Eisbergmodell]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teamrolle|Teamrollen]], Teamwerte, Wertschätzung | Seiten 35-43 |- | 31. August / 1. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Watzlawick|Watzlawick-Axiome]] | Seiten 44-46 |- | 7./8. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], Distanzzonen | Seiten 46-48 |- | 14./15. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen (Tuckman)]] | Seiten 48-51 |- | 21./22. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen | Seiten 52-56 |- | 12./13. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Stressoren, Konflikt | Seiten 56-61 |- | 19./20. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern | Seiten 62-68 |- | 26./27. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Resilienz | Seiten 69-75 |- | 2./3. November | '''Eventmanagement''':</br> Konzept, Checkliste | Seiten 82-86 |- | 9./10. November | '''Selbstmanagement''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]] | Seiten 90-94 |- | 16./17. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve | Seiten 95-99 |- | 23./24. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken | Seiten 100-104 |- | 30. November / 1. Dezember | Selbstmanagement:</br>Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] | Seiten 104-108 |- | 7./8. Dezember | '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik | Seiten 113-119 |- | 14./15. Dezember 2026 | Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (& Protokoll), Checklisten erstellen | Seiten 119-126 |- | '''4./5. Januar 2027''' | colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: keine Hilfsmittel erlaubt (gemäss Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]])<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} <!-- = Ergänzendes Material = <small> :[[:en:Human capital|Human Capital]] :[[:en:Personal development|Personal development]] :[[:en:21st century skills|21st century skills]] :[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]] :[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]</small> == Kommunikation == * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] == Team == * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]] * <small>[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]</small> == [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] == # Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten? # Pareto – Was lohnt sich? # ABC – Was ist wichtig? # Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend? # SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel? # ALPEN – Wie plane ich meinen Tag? # IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch? === [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] === <gallery> Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]''' Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]] </gallery> Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag. Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden. === [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] === ; Zweck : '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung. ; Schritte : '''I'''nformieren – Situation klären : '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen : '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen : '''R'''ealisieren – ausführen : '''K'''ontrollieren – prüfen : '''A'''uswerten – lernen und verbessern ==== Beispiel: Spaghetti kochen ==== '''I – Informieren''' * Was will ich kochen? → Spaghetti * Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser * Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt '''P – Planen''' * Ich gehe zuerst kurz einkaufen. * Danach koche ich. * Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein. '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.''' '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce. * Ich koche Wasser. * Ich koche die Spaghetti. * Ich wärme die Sauce. '''K – Kontrollieren''' * Sind die Spaghetti gar? * Schmeckt die Sauce? * Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig? '''A – Auswerten''' * Hat alles gut geklappt? * War meine Planung realistisch? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen) ==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ==== '''I – Informieren''' * Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung * Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende * Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten * Gibt es einen Termin? → Noch nicht '''P – Planen''' * Ich schlage zwei mögliche Termine vor. * Ich reserviere einen Sitzungsraum. * Ich erstelle eine kurze Traktandenliste. * Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten). '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide mich für: ** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr ** Raum: Sitzungszimmer 2 * Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden. '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich verschicke die Einladung per E-Mail. * Ich drucke die Traktandenliste aus. * Ich leite die Sitzung. * Ich mache kurze Notizen während der Sitzung. '''K – Kontrollieren''' * Waren alle eingeladen? * Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet? * Wurden alle Traktanden besprochen? '''A – Auswerten''' * Hat die Sitzung etwas gebracht? * War sie gut vorbereitet? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen) === [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] === * [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]] * [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]] * [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--> =Lehrmittel= * Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] ex5vmem8ve41mjvbhtqfeq0phbcm5gm 106 167482 1118417 1079366 2026-11-02T08:42:05Z Paul Sutermeister 37610 /* Vergangenheit */ 1118417 wikitext text/x-wiki = Theorie = Die indirekte Rede wird im Deutschen verwendet, um Aussagen, Gedanken oder Fragen einer anderen Person wiederzugeben – ohne wörtlich zu zitieren. Die indirekte Rede steht im '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus#Konjunktiv (Möglichkeitsform)|Konjunktiv]]'''. {| class="wikitable" |- | '''Direkte Rede''' || Kim sagt: „Ich bin krank.“ || Mit Anführungszeichen, wortwörtlich. |- | '''Indirekte Rede''' || Kim sagt, '''er sei krank'''. || Ohne Anführungszeichen, mit Konjunktiv. |} Typische Verben der indirekten Rede sind: ''sagen'', ''meinen'', ''erklären'', ''berichten'', ''behaupten'', ''fragen'', ''antworten'', ''versprechen''. '''Beispiele:''' {| class="wikitable" ! Infinitiv !! Konjunktiv I (3. Pers. Sg.) !! Beispiel in indirekter Rede |- | '''sein''' || er '''sei''' || Er sagt, er '''sei''' müde. |- | '''haben''' || er '''habe''' || Sie meint, sie '''habe''' keine Zeit. |- | '''gehen''' || er '''gehe''' || Der Lehrer sagt, der Schüler '''gehe''' nach Hause. |- | '''kommen''' || er '''komme''' || Sie erzählt, er '''komme''' später. |- | '''machen''' || er '''mache''' || Er behauptet, er '''mache''' alles richtig. |} == Wenn Konjunktiv I = Indikativ → Konjunktiv II benutzen == Wenn der Konjunktiv I '''gleich aussieht wie der Indikativ''', nimm den '''Konjunktiv II''', damit man den Unterschied '''sehen kann'''. : Er sagt, er '''komme''' morgen. ✅ : Aber: Er behauptet, ich '''arbeite''' langsam. ❌ (gleich wie Indikativ: „ich arbeite“) : '''Lösung:''' Er behauptet, ich '''würde''' langsam arbeiten. ✅ (Oder mit Konjunktiv II: Ich '''arbeitete''' langsam.) ⚠️ '''Für die indirekte Rede gilt: Wenn der Konjunktiv I anders aussieht als der Konjunktiv II, muss Konjunktiv I genommen werden!''' == Indirekte Fragen == : Sie fragt: „Wann kommst du?“ → Sie fragt, '''wann ich komme'''. : Er will wissen: „Hast du Hunger?“ → Er will wissen, '''ob ich Hunger habe'''. == Beispieltext == ; Direkte Rede: : Der Lehrer sagt: „Morgen schreiben wir einen Test.“ ; Indirekte Rede: : Der Lehrer sagt, '''wir schrieben''' morgen einen Test. : (alternativ: '''wir würden morgen einen Test schreiben'''.) = Übungen = == Gegenwart (in der Regel Konjunktiv I, aber wenn Konjunktiv I gleich aussieht wie Präsens, dann Konjunktiv II) == Forme die direkte Rede in die indirekte Rede um. <quiz display="simple"> { Lisa sagt: „Ich gehe heute ins Kino.“ | type="{}" } Lisa sagt, { sie gehe } heute ins Kino. { Peter meint: „Ich habe keine Zeit.“ | type="{}" } Peter meint, { er habe } keine Zeit. { Die Lehrerin erklärt: „Die Schüler schreiben morgen einen Test.“ | type="{}" } Die Lehrerin erklärt, { die Schüler schrieben } morgen einen Test. { Anna sagt: „Ich komme später.“ | type="{}" } Anna sagt, { sie komme } später. { Der Direktor sagt: „Die Schule bleibt geöffnet.“ | type="{}" } Der Direktor sagt, die Schule { bleibe } geöffnet. { Max erzählt: „Ich esse gern Pizza.“ | type="{}" } Max erzählt, { er esse } gern Pizza. { Julia sagt: „Ich wohne in Zürich.“ | type="{}" } Julia sagt, { sie wohne } in Zürich. { Die Ärztin erklärt dem Patienten: „Sie brauchen mehr Bewegung.“ | type="{}" } Die Ärztin erklärt dem Patienten, { er brauche } mehr Bewegung. { Der Vater meint: „Ich bin müde.“ | type="{}" } Der Vater meint, { er sei } müde. { Eva sagt: „Ich spiele Klavier.“ | type="{}" } Eva sagt, { sie spiele } Klavier. </quiz> == Vergangenheit == Ob Präteritum oder Perfekt: In der indirekten Rede steht immer : '''''habe / sei''' + '''Partizip II''''' === Beispiele === * «Ich kochte Kaffee.» / «Ich habe Kaffee gekocht.» *: → Sabine sagte, sie '''habe''' Kaffee '''gekocht'''. * «Ich ging nach Hause.» *: → Maria sagte, sie '''sei''' nach Hause '''gegangen'''. === Achtung === # '''Pronomen anpassen:''' ich → sie, mein → ihr # ''sie habe'' ist nicht dasselbe wie ''sie hat'': Nur ''habe'' ist korrekt. # '''Modalverben''' (müssen, können …): Statt des Partizips steht der Infinitiv. #: «Ich musste früher aufstehen.» #: → Maria sagte, sie '''habe''' früher '''aufstehen müssen'''. # '''Ersatzform:''' Klingt der Konjunktiv gleich wie die normale Form (z. B. ''sie haben''), nimmt man ''hätten / wären'': #: → Sie sagten, sie '''hätten''' Kaffee gekocht. == Übungen == Forme die direkte Rede in die indirekte Rede um. Achte auf die Zeitformen. <quiz display="simple"> { Er sagte: „Ich habe gestern gearbeitet.“ | type="{}" } Er sagte, { er habe } gestern gearbeitet. { Sie meinte: „Ich war in den Ferien.“ | type="{}" } Sie meinte, { sie sei in den Ferien gewesen }. { Paul erklärte: „Ich konnte nicht kommen.“ | type="{}" } Paul erklärte, { er habe nicht kommen können }. { Maria sagte: „Ich musste früh aufstehen.“ | type="{}" } Maria sagte, { sie habe früh aufstehen müssen }. { Der Lehrer erzählte: „Die Schüler hatten viele Hausaufgaben.“ | type="{}" } Der Lehrer erzählte, die Schüler { hätten viele Hausaufgaben gehabt }. { Sabine sagte: „Ich habe Kaffee gekocht.“ | type="{}" } Sabine sagte, { sie habe Kaffee gekocht }. { Der Nachbar berichtete mir: „Ich sah dich gestern.“ | type="{}" } Der Nachbar berichtete mir, { er habe mich gestern gesehen }. { Jonas erklärte: „Ich bin zu spät gekommen.“ | type="{}" } Jonas erklärte, { er sei zu spät gekommen }. { Die Chefin behauptete: „Ich hatte gestern ein Meeting.“ | type="{}" } Die Chefin behauptete, { sie habe gestern ein Meeting gehabt }. { Tom meinte: „Ich habe gut geschlafen.“ | type="{}" } Tom meinte, { er habe gut geschlafen }. </quiz> == Zukunft == Forme die direkte Rede in die indirekte Rede um. Verwende den Konjunktiv I der Zukunft. <quiz display="simple"> { Sie sagt: „Ich werde morgen verreisen.“ | type="{}" } Sie sagt, { sie werde morgen verreisen }. { Er rief ihr: „Ich werde dir helfen.“ | type="{}" } Er rief ihr, { er werde ihr helfen }. { Der Lehrer erklärt uns: „Wir werden nächste Woche ein Projekt beginnen.“ | type="{}" } Der Lehrer erklärt uns, { wir würden } nächste Woche ein Projekt beginnen. { Anna kündigt an: „Ich werde pünktlich kommen.“ | type="{}" } Anna kündigt an, { sie werde pünktlich kommen }. { Der Arzt sagt euch: „Ich werde Ihnen das Rezept schicken.“ | type="{}" } Der Arzt sagt euch, { er werde euch das Rezept schicken }. { Der Trainer behauptet von seiner Mannschaft: „Wir werden das Spiel gewinnen.“ | type="{}" } Der Trainer behauptet von seiner Mannschaft, { sie werde das Spiel gewinnen }. { Die Mutter sagt: „Ich werde kochen.“ | type="{}" } Die Mutter sagt, { sie werde kochen }. { Paul erklärt: „Ich werde nach Bern ziehen.“ | type="{}" } Paul erklärt, { er werde nach Bern ziehen }. { Sie sagt: „Ich werde es versuchen.“ | type="{}" } Sie sagt, { sie werde es versuchen }. { Der Mechaniker sagt: „Ich werde das Auto reparieren.“ | type="{}" } Der Mechaniker sagt, { er werde das Auto reparieren }. </quiz> == Fragen == Forme die Fragen in indirekte Rede um. Verwende „ob“ oder Fragewörter. <quiz display="simple"> { Er fragte dich: „Hast du die Hausaufgaben gemacht?“ | type="{}" } Er fragte dich, ob { du die Hausaufgaben gemacht habest }. { Sie fragte ihn: „Wo wohnst du?“ | type="{}" } Sie fragte ihn, wo { er wohne }. { Der Lehrer fragte uns: „Könnt ihr mir folgen?“ | type="{}" } Der Lehrer fragte uns, { ob wir ihm folgten|ob wir ihm folgen könnten }. { Maria wollte von mir wissen: „Wann kommst du?“ | type="{}" } Maria wollte wissen, { wann ich käme }. { Peter fragte sie: „Warum bist du traurig?“ | type="{}" } Peter fragte sie, { warum sie traurig sei }. { Der Reporter fragte: „Wie lange dauert das?“ | type="{}" } Der Reporter fragte, { wie lange das dauere }. { Sie fragte ihn: „Kannst du mir helfen?“ | type="{}" } Sie fragte, { ob er helfen könne }. { Er fragte dich: „Geht es dir gut?“ | type="{}" } Er fragte, { ob es dir gut gehe }. { Die Mutter fragte dich: „Wo warst du?“ | type="{}" } Die Mutter fragte, { wo du gewesen seist }. { Die Chefin fragte euch: „Habt ihr das Dokument schon gelesen?“ | type="{}" } Der Chef fragte, { ob ihr das Dokument schon gelesen habet }. </quiz> == Befehle/Aufforderungen == Forme die Sätze in indirekte Rede um. <quiz display="simple"> { Die Mutter sagt ihm: „Mach deine Hausaufgaben!“ | type="{}" } Die Mutter sagt, er solle { seine Hausaufgaben } machen. { Der Lehrer sagt euch: „Hört gut zu!“ | type="{}" } Der Lehrer sagt, ihr { sollet gut } zuhören. { Der Arzt sagt Ihnen: „Nehmen Sie diese Tabletten!“ | type="{}" } Der Arzt sagt, Sie { sollten } diese Tabletten nehmen. { Der Vater sagt dir: „Sei ruhig!“ | type="{}" } Der Vater sagt, { du sollest } ruhig sein. { Die Chefin sagt mir: „Rufen Sie mich morgen an!“ | type="{}" } Die Chefin sagt, { ich solle sie } morgen anrufen. { Der Trainer sagt uns: „Lauft schneller!“ | type="{}" } Der Trainer sagt, { wir sollten } schneller laufen. { Sie sagt ihr: „Vergiss deinen Regenschirm nicht!“ | type="{}" } Sie sagt, { sie solle ihren } Regenschirm nicht vergessen. { Der Polizist sagt ihnen: „Bleiben Sie stehen!“ | type="{}" } Der Polizist sagt, { sie sollten } stehenbleiben. { Er sagt dir: „Komm sofort her!“ | type="{}" } Er sagt, { du sollest sofort herkommen }. { Er sagt mir: „Komm sofort her!“ | type="{}" } Er sagt, { ich solle sofort herkommen }. { Die Lehrerin sagt euch: „Schreibt euren Namen auf das Blatt!“ | type="{}" } Die Lehrerin sagt, { ihr sollet euren Namen } auf das Blatt schreiben. </quiz> == Gemischte Zeitformen == Forme die direkte Rede in indirekte Rede um. Achte auf die korrekte Zeitform. <quiz display="simple"> { Er sagt: „Ich habe das Buch gelesen.“ | type="{}" } Er sagt, { er habe } das Buch gelesen. { Sie sagt: „Ich werde morgen kommen.“ | type="{}" } Sie sagt, { sie werde morgen kommen }. { Paul meinte: „Ich war krank.“ | type="{}" } Paul meinte, { er sei } krank gewesen . { Maria erklärte: „Ich hätte gern mehr Zeit.“ | type="{}" } Maria erklärte, { sie habe } gern mehr Zeit. { Der Lehrer sagte: „Ich bin zufrieden.“ | type="{}" } Der Lehrer sagte, { er sei zufrieden }. { Der Arzt meinte: „Ich habe keine Termine frei.“ | type="{}" } Der Arzt meinte, { er habe } keine Termine frei. { Sie erklärte: „Ich warte schon lange.“ | type="{}" } Sie erklärte, { sie warte } schon lange. { Tom sagte mir: „Ich könnte dir helfen.“ | type="{}" } Tom sagte, { er könne mir } helfen. { Er meinte: „Ich bin gestern angekommen.“ | type="{}" } Er meinte, { er sei } gestern angekommen. { Sie sagte: „Ich hätte kommen sollen.“ | type="{}" } Sie sagte, { sie habe|sie hätte } kommen sollen.“ </quiz> == Dialoge == Setze die folgenden kurzen Dialoge in die indirekte Rede um. <quiz display="simple"> { Lehrer: „Habt ihr die Hausaufgaben gemacht?“ – Schüler: „Wir hatten keine Zeit.“ | type="{}" } Der Lehrer fragte, ob sie die Hausaufgaben gemacht { hätten }. – Die Schüler antworteten, sie { hätten } keine Zeit gehabt. { Mutter: „Wann kommst du nach Hause?“ – Sohn: „Ich weiß es noch nicht.“ | type="{}" } Die Mutter fragte, wann { er nach Hause komme|der Sohn nach Hause komme }. – Der Sohn antwortete, { er wüsse es } noch nicht. { Arzt: „Wie fühlen Sie sich?“ – Patient: „Ich bin müde.“ | type="{}" } Der Arzt fragte, { wie er sich fühle|wie der Patient sich fühle }. – Der Patient antwortete, { er sei } müde. { Chefin: „Haben Sie den Bericht fertig?“ – Mitarbeiter: „Noch nicht, ich arbeite daran.“ | type="{}" } Die Chefin fragte, { ob er den Bericht fertig habe|ob der Mitarbeiter den Bericht fertig habe }. – Der Mitarbeiter antwortete, { er arbeite } noch daran. { Polizist: „Haben Sie den Unfall gesehen?“ – Zeugin: „Ich war dabei.“ | type="{}" } Die Polizistin fragte, { ob sie den Unfall gesehen habe|ob die Zeugin den Unfall gesehen habe }. – Die Zeugin antwortete, { sie sei dabei gewesen }. { Verkäuferin: „Kann ich Ihnen helfen?“ – Kunde: „Ich suche eine Jacke.“ | type="{}" } Die Verkäuferin fragte, { ob sie helfen könne }. – Der Kunde antwortete, { er suche } eine Jacke. { Lehrer: „Was ist die Hauptstadt von Frankreich?“ – Schüler: „Das ist Paris.“ | type="{}" } Der Lehrer fragte, { was die Hauptstadt von Frankreich sei }. – Der Schüler antwortete, { das sei Paris }. { Freundin: „Willst du mitkommen?“ – Kim: „Ich habe keine Lust.“ | type="{}" } Die Freundin fragte, { ob sie mitkommen wolle|ob er mitkommen wolle|ob Kim mitkommen wolle }. – Kim antwortete, { sie habe|er habe } keine Lust }. { Trainerin: „Warum bist du zu spät?“ – Spielerin: „Der Bus hatte Verspätung.“ | type="{}" } Die Trainerin fragte, { warum sie zu spät sei|warum die Spielerin zu spät sei }. – Die Spielerin antwortete, der Bus { habe Verspätung gehabt }. { Mutter: „Hast du dein Zimmer aufgeräumt?“ – Kind: „Ich habe es noch nicht aufgeräumt.“ | type="{}" } Die Mutter fragte, { ob das Kind sein Zimmer aufgeräumt habe }. – Das Kind antwortete, { es habe es noch nicht aufgeräumt }. </quiz> == Konjunktiv I oder II? == Setze die Sätze in die indirekte Rede. Verwende den richtigen Konjunktiv (I oder II). <quiz display="simple"> { Er sagt: „Ich bin müde.“ | type="{}" } Er sagt, er { sei } müde. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) { Sie sagt: „Ich bin glücklich.“ | type="{}" } Sie sagt, { sie sei } glücklich. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) { Die Lehrer meinen: „Wir haben alles erklärt.“ | type="{}" } Die Lehrer meinen, { sie hätten } alles erklärt. (Das ist Konjunktiv { II|2 }.) { Peter sagt mir: „Du weisst es nicht.“ | type="{}" } Peter sagt mir, { ich wisse } es nicht. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) { Anna sagt dir: „Du bist krank.“ | type="{}" } Anna sagt, { du seist } krank. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) { Der Chef sagte uns: „Ihr wartet auf das Ergebnis.“ | type="{}" } Der Chef sagte, { wir warteten auf das Ergebnis|wir würden auf das Ergebnis warten }.“ (Das ist Konjunktiv { II|2 }.) { Sie sagten: „Wir hätte gern Urlaub.“ | type="{}" } Sie sagten, { sie hätten gern Urlaub }. (Das ist Konjunktiv { II|2 }.) { Tom sagt: „Ich wäre lieber zu Hause.“ | type="{}" } Tom sagt, { er wäre lieber zu Hause }. (Das ist Konjunktiv { II|2 }.) { Die Ärztin sagt: „Ich habe keine Zeit.“ | type="{}" } Die Ärztin sagt, { sie habe keine Zeit }. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) { Er behauptete von mir: „Du warst schon dort.“ | type="{}" } Er behauptete, { ich sei } schon dort gewesen. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) </quiz> == Kombination mit Nebensätzen == Forme die folgenden komplexen Sätze in indirekte Rede. <quiz display="simple"> { Sie sagte: „Ich komme, wenn ich Zeit habe.“ | type="{}" } Sie sagte, { sie komme, wenn sie Zeit habe }. { Er erklärte: „Ich bleibe zu Hause, weil ich müde bin.“ | type="{}" } Er erklärte, { er bleibe zu Hause, weil er müde sei }. { Maria meinte: „Ich glaube, dass er recht hat.“ | type="{}" } Maria meinte, { sie glaube, er habe recht }. { Der Lehrer sagte uns: „Ich hoffe, ihr versteht den Text.“ | type="{}" } Der Lehrer sagte, { er hoffe, wir verständen|er hoffe, wir verstünden } den Text. { Die Chefin erklärte: „Ich bin zufrieden, obwohl es schwierig war.“ | type="{}" } Die Chefin erklärte, { sie sei } zufrieden, obwohl es schwierig { gewesen sei }. { Der Arzt sagte dir: „Ich denke, Sie sind gesund.“ | type="{}" } Der Arzt sagte, { er denke, du seist|er denke, du seiest } gesund. { Peter meinte zu euch: „Ich glaube, ihr lügt.“ | type="{}" } Peter meinte, er { glaube, ihr lüget }. { Anna sagte: „Ich komme nicht, weil ich krank bin.“ | type="{}" } Anna sagte, { sie komme nicht, weil sie krank sei }. { Der Trainer erklärte uns: „Wir hoffen, wir gewinnen.“ | type="{}" } Der Trainer erklärte, { wir hofften, wir gewännen|wir hofften, wir gewönnen|wir würden hoffen, wir würden gewinnen|wir hofften, wir würden gewinnen|wir würden hoffen, wir gewännen|wir würden hoffen, wir gewönnen }. { Der Vater meinte zu dir: „Du bleibst hier, bis es aufhört zu regnen.“ | type="{}" } Der Vater meinte, { du bleibest hier, bis es aufhöre } zu regnen. </quiz> == Freie Umwandlung == Schreibe die folgenden kurzen Mitteilungen in indirekte Rede um. <quiz display="simple"> { Die Mitarbeiterin liess verlauten: „Ich kann heute nicht kommen.“ | type="{}" } Die Mitarbeiterin liess verlauten, { sie könne heute nicht kommen }. { Sie schrien: „Wir haben das Problem gelöst.“ | type="{}" } Sie schrien, { sie hätten das Problem gelöst }. { Der Wetterfrosch meldete: „Morgen wird es regnen.“ | type="{}" } Der Wetterfrosch meldete, { morgen werde es regnen }. { Die Kollegen polterten: „Wir haben Hunger.“ | type="{}" } Die Kollegen polterten, { sie hätten Hunger }. { Die Frau schrieb: „Ich fahre nächste Woche nach Italien.“ | type="{}" } Die Frau schrieb, { sie fahre nächste Woche nach Italien }. { Du sagst: „Ich habe keine Lust.“ | type="{}" } Du sagst, { du habest keine Lust }. { Sie teilte mit: „Ich bin gerade beschäftigt.“ | type="{}" } Sie teilte mit, { sie sei gerade beschäftigt }. { Sie behaupteten: „Wir haben gewonnen!“ | type="{}" } Sie behaupteten, { sie hätten gewonnen }. { „Ich muss früh aufstehen.“ | type="{}" } { Er müsse früh aufstehen }. { „Ich werde dich anrufen.“ | type="{}" } { Er werde sie anrufen }. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] foivd1bzx1uqlmcgvosxdltqfn9vnlf 1118435 1118417 2026-11-02T09:41:43Z Paul Sutermeister 37610 /* Fragen */ 1118435 wikitext text/x-wiki = Theorie = Die indirekte Rede wird im Deutschen verwendet, um Aussagen, Gedanken oder Fragen einer anderen Person wiederzugeben – ohne wörtlich zu zitieren. Die indirekte Rede steht im '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus#Konjunktiv (Möglichkeitsform)|Konjunktiv]]'''. {| class="wikitable" |- | '''Direkte Rede''' || Kim sagt: „Ich bin krank.“ || Mit Anführungszeichen, wortwörtlich. |- | '''Indirekte Rede''' || Kim sagt, '''er sei krank'''. || Ohne Anführungszeichen, mit Konjunktiv. |} Typische Verben der indirekten Rede sind: ''sagen'', ''meinen'', ''erklären'', ''berichten'', ''behaupten'', ''fragen'', ''antworten'', ''versprechen''. '''Beispiele:''' {| class="wikitable" ! Infinitiv !! Konjunktiv I (3. Pers. Sg.) !! Beispiel in indirekter Rede |- | '''sein''' || er '''sei''' || Er sagt, er '''sei''' müde. |- | '''haben''' || er '''habe''' || Sie meint, sie '''habe''' keine Zeit. |- | '''gehen''' || er '''gehe''' || Der Lehrer sagt, der Schüler '''gehe''' nach Hause. |- | '''kommen''' || er '''komme''' || Sie erzählt, er '''komme''' später. |- | '''machen''' || er '''mache''' || Er behauptet, er '''mache''' alles richtig. |} == Wenn Konjunktiv I = Indikativ → Konjunktiv II benutzen == Wenn der Konjunktiv I '''gleich aussieht wie der Indikativ''', nimm den '''Konjunktiv II''', damit man den Unterschied '''sehen kann'''. : Er sagt, er '''komme''' morgen. ✅ : Aber: Er behauptet, ich '''arbeite''' langsam. ❌ (gleich wie Indikativ: „ich arbeite“) : '''Lösung:''' Er behauptet, ich '''würde''' langsam arbeiten. ✅ (Oder mit Konjunktiv II: Ich '''arbeitete''' langsam.) ⚠️ '''Für die indirekte Rede gilt: Wenn der Konjunktiv I anders aussieht als der Konjunktiv II, muss Konjunktiv I genommen werden!''' == Indirekte Fragen == : Sie fragt: „Wann kommst du?“ → Sie fragt, '''wann ich komme'''. : Er will wissen: „Hast du Hunger?“ → Er will wissen, '''ob ich Hunger habe'''. == Beispieltext == ; Direkte Rede: : Der Lehrer sagt: „Morgen schreiben wir einen Test.“ ; Indirekte Rede: : Der Lehrer sagt, '''wir schrieben''' morgen einen Test. : (alternativ: '''wir würden morgen einen Test schreiben'''.) = Übungen = == Gegenwart (in der Regel Konjunktiv I, aber wenn Konjunktiv I gleich aussieht wie Präsens, dann Konjunktiv II) == Forme die direkte Rede in die indirekte Rede um. <quiz display="simple"> { Lisa sagt: „Ich gehe heute ins Kino.“ | type="{}" } Lisa sagt, { sie gehe } heute ins Kino. { Peter meint: „Ich habe keine Zeit.“ | type="{}" } Peter meint, { er habe } keine Zeit. { Die Lehrerin erklärt: „Die Schüler schreiben morgen einen Test.“ | type="{}" } Die Lehrerin erklärt, { die Schüler schrieben } morgen einen Test. { Anna sagt: „Ich komme später.“ | type="{}" } Anna sagt, { sie komme } später. { Der Direktor sagt: „Die Schule bleibt geöffnet.“ | type="{}" } Der Direktor sagt, die Schule { bleibe } geöffnet. { Max erzählt: „Ich esse gern Pizza.“ | type="{}" } Max erzählt, { er esse } gern Pizza. { Julia sagt: „Ich wohne in Zürich.“ | type="{}" } Julia sagt, { sie wohne } in Zürich. { Die Ärztin erklärt dem Patienten: „Sie brauchen mehr Bewegung.“ | type="{}" } Die Ärztin erklärt dem Patienten, { er brauche } mehr Bewegung. { Der Vater meint: „Ich bin müde.“ | type="{}" } Der Vater meint, { er sei } müde. { Eva sagt: „Ich spiele Klavier.“ | type="{}" } Eva sagt, { sie spiele } Klavier. </quiz> == Vergangenheit == Ob Präteritum oder Perfekt: In der indirekten Rede steht immer : '''''habe / sei''' + '''Partizip II''''' === Beispiele === * «Ich kochte Kaffee.» / «Ich habe Kaffee gekocht.» *: → Sabine sagte, sie '''habe''' Kaffee '''gekocht'''. * «Ich ging nach Hause.» *: → Maria sagte, sie '''sei''' nach Hause '''gegangen'''. === Achtung === # '''Pronomen anpassen:''' ich → sie, mein → ihr # ''sie habe'' ist nicht dasselbe wie ''sie hat'': Nur ''habe'' ist korrekt. # '''Modalverben''' (müssen, können …): Statt des Partizips steht der Infinitiv. #: «Ich musste früher aufstehen.» #: → Maria sagte, sie '''habe''' früher '''aufstehen müssen'''. # '''Ersatzform:''' Klingt der Konjunktiv gleich wie die normale Form (z. B. ''sie haben''), nimmt man ''hätten / wären'': #: → Sie sagten, sie '''hätten''' Kaffee gekocht. == Übungen == Forme die direkte Rede in die indirekte Rede um. Achte auf die Zeitformen. <quiz display="simple"> { Er sagte: „Ich habe gestern gearbeitet.“ | type="{}" } Er sagte, { er habe } gestern gearbeitet. { Sie meinte: „Ich war in den Ferien.“ | type="{}" } Sie meinte, { sie sei in den Ferien gewesen }. { Paul erklärte: „Ich konnte nicht kommen.“ | type="{}" } Paul erklärte, { er habe nicht kommen können }. { Maria sagte: „Ich musste früh aufstehen.“ | type="{}" } Maria sagte, { sie habe früh aufstehen müssen }. { Der Lehrer erzählte: „Die Schüler hatten viele Hausaufgaben.“ | type="{}" } Der Lehrer erzählte, die Schüler { hätten viele Hausaufgaben gehabt }. { Sabine sagte: „Ich habe Kaffee gekocht.“ | type="{}" } Sabine sagte, { sie habe Kaffee gekocht }. { Der Nachbar berichtete mir: „Ich sah dich gestern.“ | type="{}" } Der Nachbar berichtete mir, { er habe mich gestern gesehen }. { Jonas erklärte: „Ich bin zu spät gekommen.“ | type="{}" } Jonas erklärte, { er sei zu spät gekommen }. { Die Chefin behauptete: „Ich hatte gestern ein Meeting.“ | type="{}" } Die Chefin behauptete, { sie habe gestern ein Meeting gehabt }. { Tom meinte: „Ich habe gut geschlafen.“ | type="{}" } Tom meinte, { er habe gut geschlafen }. </quiz> == Zukunft == Forme die direkte Rede in die indirekte Rede um. Verwende den Konjunktiv I der Zukunft. <quiz display="simple"> { Sie sagt: „Ich werde morgen verreisen.“ | type="{}" } Sie sagt, { sie werde morgen verreisen }. { Er rief ihr: „Ich werde dir helfen.“ | type="{}" } Er rief ihr, { er werde ihr helfen }. { Der Lehrer erklärt uns: „Wir werden nächste Woche ein Projekt beginnen.“ | type="{}" } Der Lehrer erklärt uns, { wir würden } nächste Woche ein Projekt beginnen. { Anna kündigt an: „Ich werde pünktlich kommen.“ | type="{}" } Anna kündigt an, { sie werde pünktlich kommen }. { Der Arzt sagt euch: „Ich werde Ihnen das Rezept schicken.“ | type="{}" } Der Arzt sagt euch, { er werde euch das Rezept schicken }. { Der Trainer behauptet von seiner Mannschaft: „Wir werden das Spiel gewinnen.“ | type="{}" } Der Trainer behauptet von seiner Mannschaft, { sie werde das Spiel gewinnen }. { Die Mutter sagt: „Ich werde kochen.“ | type="{}" } Die Mutter sagt, { sie werde kochen }. { Paul erklärt: „Ich werde nach Bern ziehen.“ | type="{}" } Paul erklärt, { er werde nach Bern ziehen }. { Sie sagt: „Ich werde es versuchen.“ | type="{}" } Sie sagt, { sie werde es versuchen }. { Der Mechaniker sagt: „Ich werde das Auto reparieren.“ | type="{}" } Der Mechaniker sagt, { er werde das Auto reparieren }. </quiz> == Fragen == Forme die Fragen in indirekte Rede um. Verwende „ob“ oder Fragewörter. <quiz display="simple"> { Er fragte dich: „Hast du die Hausaufgaben gemacht?“ | type="{}" } Er fragte dich, ob { du die Hausaufgaben gemacht habest }. { Sie fragte ihn: „Wo wohnst du?“ | type="{}" } Sie fragte ihn, wo { er wohne }. { Der Lehrer fragte uns: „Könnt ihr mir folgen?“ | type="{}" } Der Lehrer fragte uns, { ob wir ihm folgten|ob wir ihm folgen könnten }. { Maria wollte von mir wissen: „Wann kommst du?“ | type="{}" } Maria wollte wissen, { wann ich käme }. { Peter fragte sie: „Warum bist du traurig?“ | type="{}" } Peter fragte sie, { warum sie traurig sei }. { Der Reporter fragte: „Wie lange dauert das?“ | type="{}" } Der Reporter fragte, { wie lange das dauere }. { Sie fragte ihn: „Kannst du mir helfen?“ | type="{}" } Sie fragte, { ob er helfen könne }. { Er fragte dich: „Geht es dir gut?“ | type="{}" } Er fragte, { ob es dir gut gehe }. { Die Mutter fragte dich: „Wo warst du?“ | type="{}" } Die Mutter fragte, { wo du gewesen seist }. { Die Chefin fragte euch: „Habt ihr das Dokument schon gelesen?“ | type="{}" } Die Chefin fragte, { ob ihr das Dokument schon gelesen habet }. </quiz> == Befehle/Aufforderungen == Forme die Sätze in indirekte Rede um. <quiz display="simple"> { Die Mutter sagt ihm: „Mach deine Hausaufgaben!“ | type="{}" } Die Mutter sagt, er solle { seine Hausaufgaben } machen. { Der Lehrer sagt euch: „Hört gut zu!“ | type="{}" } Der Lehrer sagt, ihr { sollet gut } zuhören. { Der Arzt sagt Ihnen: „Nehmen Sie diese Tabletten!“ | type="{}" } Der Arzt sagt, Sie { sollten } diese Tabletten nehmen. { Der Vater sagt dir: „Sei ruhig!“ | type="{}" } Der Vater sagt, { du sollest } ruhig sein. { Die Chefin sagt mir: „Rufen Sie mich morgen an!“ | type="{}" } Die Chefin sagt, { ich solle sie } morgen anrufen. { Der Trainer sagt uns: „Lauft schneller!“ | type="{}" } Der Trainer sagt, { wir sollten } schneller laufen. { Sie sagt ihr: „Vergiss deinen Regenschirm nicht!“ | type="{}" } Sie sagt, { sie solle ihren } Regenschirm nicht vergessen. { Der Polizist sagt ihnen: „Bleiben Sie stehen!“ | type="{}" } Der Polizist sagt, { sie sollten } stehenbleiben. { Er sagt dir: „Komm sofort her!“ | type="{}" } Er sagt, { du sollest sofort herkommen }. { Er sagt mir: „Komm sofort her!“ | type="{}" } Er sagt, { ich solle sofort herkommen }. { Die Lehrerin sagt euch: „Schreibt euren Namen auf das Blatt!“ | type="{}" } Die Lehrerin sagt, { ihr sollet euren Namen } auf das Blatt schreiben. </quiz> == Gemischte Zeitformen == Forme die direkte Rede in indirekte Rede um. Achte auf die korrekte Zeitform. <quiz display="simple"> { Er sagt: „Ich habe das Buch gelesen.“ | type="{}" } Er sagt, { er habe } das Buch gelesen. { Sie sagt: „Ich werde morgen kommen.“ | type="{}" } Sie sagt, { sie werde morgen kommen }. { Paul meinte: „Ich war krank.“ | type="{}" } Paul meinte, { er sei } krank gewesen . { Maria erklärte: „Ich hätte gern mehr Zeit.“ | type="{}" } Maria erklärte, { sie habe } gern mehr Zeit. { Der Lehrer sagte: „Ich bin zufrieden.“ | type="{}" } Der Lehrer sagte, { er sei zufrieden }. { Der Arzt meinte: „Ich habe keine Termine frei.“ | type="{}" } Der Arzt meinte, { er habe } keine Termine frei. { Sie erklärte: „Ich warte schon lange.“ | type="{}" } Sie erklärte, { sie warte } schon lange. { Tom sagte mir: „Ich könnte dir helfen.“ | type="{}" } Tom sagte, { er könne mir } helfen. { Er meinte: „Ich bin gestern angekommen.“ | type="{}" } Er meinte, { er sei } gestern angekommen. { Sie sagte: „Ich hätte kommen sollen.“ | type="{}" } Sie sagte, { sie habe|sie hätte } kommen sollen.“ </quiz> == Dialoge == Setze die folgenden kurzen Dialoge in die indirekte Rede um. <quiz display="simple"> { Lehrer: „Habt ihr die Hausaufgaben gemacht?“ – Schüler: „Wir hatten keine Zeit.“ | type="{}" } Der Lehrer fragte, ob sie die Hausaufgaben gemacht { hätten }. – Die Schüler antworteten, sie { hätten } keine Zeit gehabt. { Mutter: „Wann kommst du nach Hause?“ – Sohn: „Ich weiß es noch nicht.“ | type="{}" } Die Mutter fragte, wann { er nach Hause komme|der Sohn nach Hause komme }. – Der Sohn antwortete, { er wüsse es } noch nicht. { Arzt: „Wie fühlen Sie sich?“ – Patient: „Ich bin müde.“ | type="{}" } Der Arzt fragte, { wie er sich fühle|wie der Patient sich fühle }. – Der Patient antwortete, { er sei } müde. { Chefin: „Haben Sie den Bericht fertig?“ – Mitarbeiter: „Noch nicht, ich arbeite daran.“ | type="{}" } Die Chefin fragte, { ob er den Bericht fertig habe|ob der Mitarbeiter den Bericht fertig habe }. – Der Mitarbeiter antwortete, { er arbeite } noch daran. { Polizist: „Haben Sie den Unfall gesehen?“ – Zeugin: „Ich war dabei.“ | type="{}" } Die Polizistin fragte, { ob sie den Unfall gesehen habe|ob die Zeugin den Unfall gesehen habe }. – Die Zeugin antwortete, { sie sei dabei gewesen }. { Verkäuferin: „Kann ich Ihnen helfen?“ – Kunde: „Ich suche eine Jacke.“ | type="{}" } Die Verkäuferin fragte, { ob sie helfen könne }. – Der Kunde antwortete, { er suche } eine Jacke. { Lehrer: „Was ist die Hauptstadt von Frankreich?“ – Schüler: „Das ist Paris.“ | type="{}" } Der Lehrer fragte, { was die Hauptstadt von Frankreich sei }. – Der Schüler antwortete, { das sei Paris }. { Freundin: „Willst du mitkommen?“ – Kim: „Ich habe keine Lust.“ | type="{}" } Die Freundin fragte, { ob sie mitkommen wolle|ob er mitkommen wolle|ob Kim mitkommen wolle }. – Kim antwortete, { sie habe|er habe } keine Lust }. { Trainerin: „Warum bist du zu spät?“ – Spielerin: „Der Bus hatte Verspätung.“ | type="{}" } Die Trainerin fragte, { warum sie zu spät sei|warum die Spielerin zu spät sei }. – Die Spielerin antwortete, der Bus { habe Verspätung gehabt }. { Mutter: „Hast du dein Zimmer aufgeräumt?“ – Kind: „Ich habe es noch nicht aufgeräumt.“ | type="{}" } Die Mutter fragte, { ob das Kind sein Zimmer aufgeräumt habe }. – Das Kind antwortete, { es habe es noch nicht aufgeräumt }. </quiz> == Konjunktiv I oder II? == Setze die Sätze in die indirekte Rede. Verwende den richtigen Konjunktiv (I oder II). <quiz display="simple"> { Er sagt: „Ich bin müde.“ | type="{}" } Er sagt, er { sei } müde. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) { Sie sagt: „Ich bin glücklich.“ | type="{}" } Sie sagt, { sie sei } glücklich. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) { Die Lehrer meinen: „Wir haben alles erklärt.“ | type="{}" } Die Lehrer meinen, { sie hätten } alles erklärt. (Das ist Konjunktiv { II|2 }.) { Peter sagt mir: „Du weisst es nicht.“ | type="{}" } Peter sagt mir, { ich wisse } es nicht. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) { Anna sagt dir: „Du bist krank.“ | type="{}" } Anna sagt, { du seist } krank. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) { Der Chef sagte uns: „Ihr wartet auf das Ergebnis.“ | type="{}" } Der Chef sagte, { wir warteten auf das Ergebnis|wir würden auf das Ergebnis warten }.“ (Das ist Konjunktiv { II|2 }.) { Sie sagten: „Wir hätte gern Urlaub.“ | type="{}" } Sie sagten, { sie hätten gern Urlaub }. (Das ist Konjunktiv { II|2 }.) { Tom sagt: „Ich wäre lieber zu Hause.“ | type="{}" } Tom sagt, { er wäre lieber zu Hause }. (Das ist Konjunktiv { II|2 }.) { Die Ärztin sagt: „Ich habe keine Zeit.“ | type="{}" } Die Ärztin sagt, { sie habe keine Zeit }. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) { Er behauptete von mir: „Du warst schon dort.“ | type="{}" } Er behauptete, { ich sei } schon dort gewesen. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) </quiz> == Kombination mit Nebensätzen == Forme die folgenden komplexen Sätze in indirekte Rede. <quiz display="simple"> { Sie sagte: „Ich komme, wenn ich Zeit habe.“ | type="{}" } Sie sagte, { sie komme, wenn sie Zeit habe }. { Er erklärte: „Ich bleibe zu Hause, weil ich müde bin.“ | type="{}" } Er erklärte, { er bleibe zu Hause, weil er müde sei }. { Maria meinte: „Ich glaube, dass er recht hat.“ | type="{}" } Maria meinte, { sie glaube, er habe recht }. { Der Lehrer sagte uns: „Ich hoffe, ihr versteht den Text.“ | type="{}" } Der Lehrer sagte, { er hoffe, wir verständen|er hoffe, wir verstünden } den Text. { Die Chefin erklärte: „Ich bin zufrieden, obwohl es schwierig war.“ | type="{}" } Die Chefin erklärte, { sie sei } zufrieden, obwohl es schwierig { gewesen sei }. { Der Arzt sagte dir: „Ich denke, Sie sind gesund.“ | type="{}" } Der Arzt sagte, { er denke, du seist|er denke, du seiest } gesund. { Peter meinte zu euch: „Ich glaube, ihr lügt.“ | type="{}" } Peter meinte, er { glaube, ihr lüget }. { Anna sagte: „Ich komme nicht, weil ich krank bin.“ | type="{}" } Anna sagte, { sie komme nicht, weil sie krank sei }. { Der Trainer erklärte uns: „Wir hoffen, wir gewinnen.“ | type="{}" } Der Trainer erklärte, { wir hofften, wir gewännen|wir hofften, wir gewönnen|wir würden hoffen, wir würden gewinnen|wir hofften, wir würden gewinnen|wir würden hoffen, wir gewännen|wir würden hoffen, wir gewönnen }. { Der Vater meinte zu dir: „Du bleibst hier, bis es aufhört zu regnen.“ | type="{}" } Der Vater meinte, { du bleibest hier, bis es aufhöre } zu regnen. </quiz> == Freie Umwandlung == Schreibe die folgenden kurzen Mitteilungen in indirekte Rede um. <quiz display="simple"> { Die Mitarbeiterin liess verlauten: „Ich kann heute nicht kommen.“ | type="{}" } Die Mitarbeiterin liess verlauten, { sie könne heute nicht kommen }. { Sie schrien: „Wir haben das Problem gelöst.“ | type="{}" } Sie schrien, { sie hätten das Problem gelöst }. { Der Wetterfrosch meldete: „Morgen wird es regnen.“ | type="{}" } Der Wetterfrosch meldete, { morgen werde es regnen }. { Die Kollegen polterten: „Wir haben Hunger.“ | type="{}" } Die Kollegen polterten, { sie hätten Hunger }. { Die Frau schrieb: „Ich fahre nächste Woche nach Italien.“ | type="{}" } Die Frau schrieb, { sie fahre nächste Woche nach Italien }. { Du sagst: „Ich habe keine Lust.“ | type="{}" } Du sagst, { du habest keine Lust }. { Sie teilte mit: „Ich bin gerade beschäftigt.“ | type="{}" } Sie teilte mit, { sie sei gerade beschäftigt }. { Sie behaupteten: „Wir haben gewonnen!“ | type="{}" } Sie behaupteten, { sie hätten gewonnen }. { „Ich muss früh aufstehen.“ | type="{}" } { Er müsse früh aufstehen }. { „Ich werde dich anrufen.“ | type="{}" } { Er werde sie anrufen }. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] 7mwyg2kuas52to9p4kvb3aicinbhj0r 106 167773 1118612 1117911 2026-11-02T11:27:36Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele */ 1118612 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zu klassischen Konvergenz für Funktionfolgen :<math>\forall_{x\in \mathbb{R}} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_o(x)</math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> <math>P</math>-fast sichere Konvergenz definieren. :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n(x) = f_o(x) \forall_{x\in \mathbb{R}\N} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_o(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. Fasst man dabei die Fälle zu einer Menge <math>N</math> zusammen, für die die Konvergenz nicht erfüllt ist, so ist <math>N</math> eine <math>P</math>-Nullmenge. == Aufgaben == Die Übungen beziehen sich auf die Überprüfung, ob eine Eigenschaft <math>P</math>-fast sicher gilt bzw. eine Menge eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Aufgabe 1 - induzierte Verteilung === Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Zufallsgröße. Man definiert nun <math>A = \{\omega \in \Omega | X(\omega) > 0\}</math> und betrachte die induzierte Verteilung <math>P^X</math> auf <math>\mathbb{R}</math>. Ferner gilt <math>P^X(([-1,0]) = \frac{1}{10}</math>. Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] py5xejz8xelbkk0yq4o199fw1yn9r3l 106 170005 1118389 1118214 2026-11-02T05:48:39Z Paul Sutermeister 37610 /* Übungen */ 1118389 wikitext text/x-wiki [[Datei:Plimpton 322.jpg|mini|Babylonische Tontafel [[:w:Plimpton 322|Plimpton 322]] (um 1800 v. Chr.): Zahlen in Zeilen und Spalten]] <div style=" border:1px solid #b7dfc8; background:#f1fbf5; padding:0.8em; border-radius:4px; "> '''Lernziel: Sie lernen, ein [[:w:Tabellenkalkulation|Tabellenkalkulationsprogramm]] (zum Beispiel [[:w:Microsoft Excel|Excel]]) anzuwenden:'''<ref>Logik u.a. nach [[:w:International Certification of Digital Literacy|ICDL]]-Syllabus: [https://www.ecdl.ch/fileadmin/ECDL/CH/Dokumente/ECDL-Syllabus-Base-de.pdf ''ECDL Base Syllabus''].</ref> '''[[Kurs:Tabellenkalkulation#Arbeiten_mit_Dokumenten|A - Programm bedienen]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Zelle|B - Zelle]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Arbeitsblatt|C - Arbeitsblatt]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formel und Funktion|D - Formeln und Funktionen]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formatierung|E - Übersichtlich gestalten (Formatierung)]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Diagramm|F - Diagramme]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Ausgabe|G - Dokument abgabefertig machen]].'''</div> = Geschichte der Tabellenkalkulation = [[Datei:Pacioli.jpg|mini|[[:w:Luca Pacioli|Luca Pacioli]], Begründer der [[:w:Doppelte Buchführung |doppelten Buchführung]] (Gemälde, 1495)]] Tabellenkalkulationen wie Excel sind keine Erfindung des Computerzeitalters. Sie digitalisieren eine Arbeitsweise, die Menschen seit Jahrtausenden nutzen: Zahlen in '''Zeilen und Spalten''' ordnen und daraus '''Summen''' bilden. == Meilensteine == * '''um 1800 v. Chr. – Mesopotamien:''' Schreiber halten [[:w:Plimpton 322|Zahlen in Tabellenform auf Tontafeln]] fest, etwa für Vorräte, Abgaben und Berechnungen. * '''1494 – [[:w:Luca Pacioli|Luca Pacioli]]:''' Der italienische Mönch und Mathematiker beschreibt in seiner ''Summa de arithmetica'' die [[:w:Doppelte Buchführung|doppelte Buchführung]]. Buchhalter arbeiten fortan mit grossen, linierten Papierbögen – auf Englisch ''spreadsheets''. * '''1961 – [[:w:en:Richard Mattessich|Richard Mattessich]]:''' Der Wirtschaftswissenschaftler entwickelt das Konzept einer computergestützten Tabellenkalkulation auf Grossrechnern. * '''1979 – [[:w:VisiCalc|VisiCalc]]:''' Dan Bricklin und Bob Frankston bringen die erste Tabellenkalkulation für Personal Computer (Apple II) heraus. Funktionen wie @SUM, @MIN, @MAX und @AVERAGE gibt es schon hier. * '''1983 – [[:w:Lotus 1-2-3|Lotus 1-2-3]]:''' Das Programm für IBM-PCs wird zum Marktführer der 1980er-Jahre. * '''1985/1987 – Microsoft Excel:''' Excel erscheint zuerst für den Mac, dann für Windows, und wird in den 1990er-Jahren zum Standard. * '''ab 2000 – Freie und Online-Programme:''' OpenOffice bzw. [[:w:LibreOffice Calc|LibreOffice Calc]] und Google Tabellen übernehmen die Funktionsnamen von Excel, damit Dateien kompatibel bleiben. '''Merke:''' Die älteste und wichtigste „Funktion“ ist die '''SUMME''' – Menschen zählen Spalten zusammen, seit es Buchhaltung gibt. <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''A - Programm bedienen'''</big> </div> = Lernquiz = <quiz display="simple"> { In welchem Register befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Datei | Start | Einfügen | Seitenlayout | Formeln | Daten | Überprüfen | Ansicht +------- Neu -------+ Zoom +------- Speichern unter +------- Schliessen </quiz> = Übungen = Ersetze in allen Dateinamen ''Nachname'' durch deinen eigenen Nachnamen. # '''Kopiere''' die untenstehende Tabelle in eine leere Excel-Arbeitsmappe (ab Zelle A1). # '''Speichere''' die Datei unter dem Namen ''Znüni_Nachname.xlsx'' in einem Ordner deiner Wahl auf Laufwerk C:. Schliesse die Datei. # '''Öffne''' die Datei ''Znüni_Nachname.xlsx''. # Stelle im Blatt ''Tabelle1'' den '''Zoom''' auf 120 %. Speichere die Datei als Excel-Vorlage unter ''Znüni_Nachname.xltx'' im vorgeschlagenen Ordner ''Benutzerdefinierte Office-Vorlagen''. Schliesse die Vorlage. # '''Erstelle''' eine neue Arbeitsmappe. Speichere sie unter ''☺_Znüni_Nachname.xlsx'' in einem Ordner deiner Wahl auf Laufwerk C:. Schliesse die Datei. # Erstelle eine neue Arbeitsmappe und gib ein X ein. '''Schliesse''' Excel, ohne zu speichern. # '''Nachweis:''' Öffne den Windows-Explorer und klicke auf ''Dieser PC''. Gib ''Znüni'' ins Suchfeld oben rechts ein und warte, bis die Suche fertig ist. Stelle die Ansicht auf ''Details'', damit der Speicherort sichtbar ist. Erstelle ein Bildschirmfoto (Windows-Taste + Umschalt + S) und sende es der Lehrperson. {| class="wikitable" ! Wochentag !! Znüni !! Preis (CHF) |- | Montag || Gipfeli || 1.80 |- | Dienstag || Apfel || 0.60 |- | Mittwoch || Schoggistängeli || 1.20 |- | Donnerstag || Sandwich || 5.50 |- | Freitag || Nussgipfel || 2.40 |} ==Einzelnachweise== <references/> [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation| ]] 1tbr1u8su6uf8365z2pb7m95r3g20gi 106 170015 1118390 1118297 2026-11-02T05:58:42Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1118390 wikitext text/x-wiki [[Datei:BoatGlider1.gif|thumb]] <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''B - Zellen</big>''' </div> = Lernquiz = <quiz display="simple"> { In welchem Register befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Datei | Start | Einfügen | Seitenlayout | Formeln | Daten | Überprüfen | Ansicht +------- Suchen +------- Ersetzen +------- Sortieren +------- Ausschneiden +------- Kopieren </quiz> <quiz display="simple"> { In welcher Gruppe innerhalb des Registers '''Start''' befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Zwischenablage | Schriftart | Ausrichtung | Zahl | Formatvorlagen | Zellen | Bearbeiten ------+ Suchen +------ Ausschneiden ------+ Ersetzen +------ Kopieren ------+ Sortieren </quiz> = Übung = Ersetze im Dateinamen ''Nachname'' durch deinen eigenen Nachnamen. # '''Kopiere''' die untenstehende Tabelle in eine leere Excel-Arbeitsmappe (ab Zelle A1). Speichere sie unter ''Bürowoche_Nachname.xlsx'' auf Laufwerk C:. # '''Korrigiere''' den Rechtschreibfehler in Zelle B3. # Korrigiere die Zahl in Zelle D4 auf 4. # Gib in Zelle G2 das heutige Datum ein (ohne Funktion). # '''Verschiebe''' den Bereich A1:G5 so, dass ''KW'' in Zelle B2 steht. # '''Lösche''' den Inhalt der Zelle H3. # '''Sortiere''' die Liste absteigend nach KW. # Verlängere in Spalte B die Datenreihe bis KW 1. # '''Kopiere''' die Formel aus Zelle F6 in Zelle F3. # '''Sortiere''' die Liste aufsteigend nach KW. # Fülle Spalte B bis KW 52 aus. # Kopiere die Formel aus Zelle F12 nach unten bis KW 52. Es erscheint korrekterweise die Fehlermeldung #DIV/0! # '''Verschiebe''' den Bereich C12:F15 nach C3:F6. # Fülle die Spalten C bis F bis Zeile 54 aus, sodass sich die Zeilen 3 bis 6 wiederholen. # '''Ersetze''' in den Spalten E und F «(h)» durch «(Stunde)». # '''Suche''' alle Zellen, die «Stunde» enthalten, und korrigiere auf «Stunden». # Ersetze im ganzen Tabellenblatt «Daten» durch «Zahlungen». # Erstelle ein neues Tabellenblatt ''Tabelle2''. '''Kopiere''' die sechs Überschriften samt den vier Zeilen darunter in Zelle B2 von ''Tabelle2''. # '''Nachweis:''' Wechsle zurück zu ''Tabelle1'' und erstelle ein Bildschirmfoto der Zeilen 1 bis 10 (Windows-Taste + Umschalt + S). Sende es der Lehrperson. # '''Speichere''' und schliesse die Datei, aber nicht Excel. {| class="wikitable" ! KW !! Tätigkeit !! Anzahl !! Zeit (h) !! Zeit pro Aufgabe (h) !! Bemerkungen |- | 10 || E-Mails beantworten || 35 || 3 || =D2/C2 || |- | 11 || Rechnungen kontrolieren || 20 || 2 || || |- | 12 || Daten erfassen || 50 || 40 || || |- | 13 || Kaffee kochen || 30 || 2.5 || || |} [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] m0qdozqb5r7t53es8u2nhsr4tj0f11l 1118391 1118390 2026-11-02T06:01:32Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1118391 wikitext text/x-wiki [[Datei:BoatGlider1.gif|thumb]] <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''B - Zellen</big>''' </div> = Lernquiz = <quiz display="simple"> { In welchem Register befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Datei | Start | Einfügen | Seitenlayout | Formeln | Daten | Überprüfen | Ansicht +------- Suchen +------- Ersetzen +------- Sortieren +------- Ausschneiden +------- Kopieren </quiz> <quiz display="simple"> { In welcher Gruppe innerhalb des Registers '''Start''' befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Zwischenablage | Schriftart | Ausrichtung | Zahl | Formatvorlagen | Zellen | Bearbeiten ------+ Suchen +------ Ausschneiden ------+ Ersetzen +------ Kopieren ------+ Sortieren </quiz> = Übung = Ersetze im Dateinamen ''Nachname'' durch deinen eigenen Nachnamen. # '''Kopiere''' die untenstehende Tabelle in eine leere Excel-Arbeitsmappe (ab Zelle A1). Speichere sie unter ''Bürowoche_Nachname.xlsx'' auf Laufwerk C:. # '''Korrigiere''' den Rechtschreibfehler in Zelle B3. # Korrigiere die Zahl in Zelle D4 auf 4. # Gib in Zelle G2 das heutige Datum ein (ohne Funktion). # '''Verschiebe''' den Bereich A1:G5 so, dass ''KW'' in Zelle B2 steht. # '''Lösche''' den Inhalt der Zelle H3. # '''Sortiere''' die Liste absteigend nach KW. # Verlängere in Spalte B die Datenreihe bis KW 1. # '''Kopiere''' die Formel aus Zelle F6 in Zelle F3. # '''Sortiere''' die Liste aufsteigend nach KW. # Fülle Spalte B bis KW 52 aus. # Kopiere die Formel aus Zelle F12 nach unten bis KW 52. Es erscheint korrekterweise die Fehlermeldung #DIV/0! # '''Verschiebe''' den Bereich C12:F15 nach C3:F6. # Fülle die Spalten C bis F bis Zeile 54 aus, sodass sich die Zeilen 3 bis 6 wiederholen. # '''Ersetze''' in den Spalten E und F «(h)» durch «(Stunde)». # '''Suche''' alle Zellen, die «Stunde» enthalten, und korrigiere auf «Stunden». # Ersetze im ganzen Tabellenblatt «Daten» durch «Zahlungen». # Erstelle ein neues Tabellenblatt ''Tabelle2''. '''Kopiere''' die sechs Überschriften samt den vier Zeilen darunter in Zelle B2 von ''Tabelle2''. # '''Nachweis:''' Wechsle zurück zu ''Tabelle1'' und erstelle ein Bildschirmfoto der Zeilen 1 bis 10 (Windows-Taste + Umschalt + S). Sende es der Lehrperson. # '''Speichere''' und schliesse die Datei, aber nicht Excel. {| class="wikitable" ! KW !! Tätigkeit !! Anzahl !! Zeit (h) !! Zeit pro Aufgabe (h) !! Bemerkungen |- | 10 || E-Mails beantworten || 35 || 3 || =D2/C2 || |- | 11 || Rechnungen kontrolieren || 20 || 2 || || |- | 12 || Daten erfassen || 50 || 40 || || |- | 13 || Kaffee kochen || 30 || 2.5 || || |} = Lösung = {| class="wikitable" style="text-align:left" ! !! A !! B !! C !! D !! E !! F !! G |- ! 1 | || || || || || || |- ! 2 | || KW || Tätigkeit || Anzahl || Zeit (Stunden) || Zeit pro Aufgabe (Stunden) || Bemerkungen |- ! 3 | || 1 || E-Mails beantworten || 35 || 3 || 0.085714286 || |- ! 4 | || 2 || Rechnungen kontrollieren || 20 || 2 || 0.1 || |- ! 5 | || 3 || Zahlungen erfassen || 50 || 4 || 0.08 || |- ! 6 | || 4 || Kaffee kochen || 30 || 2.5 || 0.083333333 || |- ! 7 | || 5 || E-Mails beantworten || 35 || 3 || 0.085714286 || |- ! 8 | || 6 || Rechnungen kontrollieren || 20 || 2 || 0.1 || |- ! 9 | || 7 || Zahlungen erfassen || 50 || 4 || 0.08 || |- ! 10 | || 8 || Kaffee kochen || 30 || 2.5 || 0.083333333 || |} [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] fdpubz6hvbuumfftgo1bf4dz9xb8mil 1118392 1118391 2026-11-02T06:05:49Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1118392 wikitext text/x-wiki [[Datei:BoatGlider1.gif|thumb]] <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''B - Zellen</big>''' </div> = Lernquiz = <quiz display="simple"> { In welchem Register befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Datei | Start | Einfügen | Seitenlayout | Formeln | Daten | Überprüfen | Ansicht +------- Suchen +------- Ersetzen +------- Sortieren +------- Ausschneiden +------- Kopieren </quiz> <quiz display="simple"> { In welcher Gruppe innerhalb des Registers '''Start''' befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Zwischenablage | Schriftart | Ausrichtung | Zahl | Formatvorlagen | Zellen | Bearbeiten ------+ Suchen +------ Ausschneiden ------+ Ersetzen +------ Kopieren ------+ Sortieren </quiz> = Übung = Ersetze im Dateinamen ''Nachname'' durch deinen eigenen Nachnamen. # '''Kopiere''' die untenstehende Tabelle in eine leere Excel-Arbeitsmappe (ab Zelle A1). Speichere sie unter ''Bürowoche_Nachname.xlsx'' auf Laufwerk C:. # '''Korrigiere''' den Rechtschreibfehler in Zelle B3. # Korrigiere die Zahl in Zelle D4 auf 2.5 und '''lösche''' den Kommentar in Zelle F4. # Gib in Zelle G1 das heutige Datum ein (ohne Funktion). # '''Verschiebe''' den Bereich A1:G5 so, dass ''KW'' in Zelle B2 steht. # '''Sortiere''' die Liste aufsteigend nach KW. # '''Kopiere''' die Formel aus Zelle F3 nach F4:F6. # Fülle Spalte B bis KW 52 aus. # Fülle die Spalten C bis F bis Zeile 54 aus, sodass sich die Zeilen 3 bis 6 wiederholen. Tipp: Halte beim Ziehen die Ctrl-Taste gedrückt. # '''Ersetze''' in den Spalten E und F «(h)» durch «(Stunden)». # '''Suche''' alle Zellen mit «Kaffee». Schreibe die Anzahl Treffer in Zelle B1. # Erstelle ein neues Tabellenblatt ''Tabelle2''. '''Kopiere''' den Bereich B2:G6 in Zelle B2 von ''Tabelle2''. # '''Nachweis:''' Wechsle zurück zu ''Tabelle1'' und erstelle ein Bildschirmfoto der Zeilen 1 bis 10 (Windows-Taste + Umschalt + S). Sende es der Lehrperson. # '''Speichere''' und schliesse die Datei, aber nicht Excel. {| class="wikitable" ! KW !! Tätigkeit !! Anzahl !! Zeit (h) !! Zeit pro Aufgabe (h) !! Bemerkungen |- | 3 || Zahlungen erfassen || 50 || 4 || || |- | 1 || E-Mials beantworten || 35 || 3 || =D3/C3 || |- | 4 || Kaffee kochen || 30 || 25 || || 25 Stunden Kaffee? Echt jetzt? |- | 2 || Rechnungen kontrollieren || 20 || 2 || || |} = Lösung = {| class="wikitable" style="text-align:left" ! !! A !! B !! C !! D !! E !! F !! G |- ! 1 | || || || || || || |- ! 2 | || KW || Tätigkeit || Anzahl || Zeit (Stunden) || Zeit pro Aufgabe (Stunden) || Bemerkungen |- ! 3 | || 1 || E-Mails beantworten || 35 || 3 || 0.085714286 || |- ! 4 | || 2 || Rechnungen kontrollieren || 20 || 2 || 0.1 || |- ! 5 | || 3 || Zahlungen erfassen || 50 || 4 || 0.08 || |- ! 6 | || 4 || Kaffee kochen || 30 || 2.5 || 0.083333333 || |- ! 7 | || 5 || E-Mails beantworten || 35 || 3 || 0.085714286 || |- ! 8 | || 6 || Rechnungen kontrollieren || 20 || 2 || 0.1 || |- ! 9 | || 7 || Zahlungen erfassen || 50 || 4 || 0.08 || |- ! 10 | || 8 || Kaffee kochen || 30 || 2.5 || 0.083333333 || |} [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] 6xsvjw3s0sy3ipuvdb0aj00zotvvi9u 1118393 1118392 2026-11-02T06:06:34Z Paul Sutermeister 37610 /* Lösung */ 1118393 wikitext text/x-wiki [[Datei:BoatGlider1.gif|thumb]] <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''B - Zellen</big>''' </div> = Lernquiz = <quiz display="simple"> { In welchem Register befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Datei | Start | Einfügen | Seitenlayout | Formeln | Daten | Überprüfen | Ansicht +------- Suchen +------- Ersetzen +------- Sortieren +------- Ausschneiden +------- Kopieren </quiz> <quiz display="simple"> { In welcher Gruppe innerhalb des Registers '''Start''' befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Zwischenablage | Schriftart | Ausrichtung | Zahl | Formatvorlagen | Zellen | Bearbeiten ------+ Suchen +------ Ausschneiden ------+ Ersetzen +------ Kopieren ------+ Sortieren </quiz> = Übung = Ersetze im Dateinamen ''Nachname'' durch deinen eigenen Nachnamen. # '''Kopiere''' die untenstehende Tabelle in eine leere Excel-Arbeitsmappe (ab Zelle A1). Speichere sie unter ''Bürowoche_Nachname.xlsx'' auf Laufwerk C:. # '''Korrigiere''' den Rechtschreibfehler in Zelle B3. # Korrigiere die Zahl in Zelle D4 auf 2.5 und '''lösche''' den Kommentar in Zelle F4. # Gib in Zelle G1 das heutige Datum ein (ohne Funktion). # '''Verschiebe''' den Bereich A1:G5 so, dass ''KW'' in Zelle B2 steht. # '''Sortiere''' die Liste aufsteigend nach KW. # '''Kopiere''' die Formel aus Zelle F3 nach F4:F6. # Fülle Spalte B bis KW 52 aus. # Fülle die Spalten C bis F bis Zeile 54 aus, sodass sich die Zeilen 3 bis 6 wiederholen. Tipp: Halte beim Ziehen die Ctrl-Taste gedrückt. # '''Ersetze''' in den Spalten E und F «(h)» durch «(Stunden)». # '''Suche''' alle Zellen mit «Kaffee». Schreibe die Anzahl Treffer in Zelle B1. # Erstelle ein neues Tabellenblatt ''Tabelle2''. '''Kopiere''' den Bereich B2:G6 in Zelle B2 von ''Tabelle2''. # '''Nachweis:''' Wechsle zurück zu ''Tabelle1'' und erstelle ein Bildschirmfoto der Zeilen 1 bis 10 (Windows-Taste + Umschalt + S). Sende es der Lehrperson. # '''Speichere''' und schliesse die Datei, aber nicht Excel. {| class="wikitable" ! KW !! Tätigkeit !! Anzahl !! Zeit (h) !! Zeit pro Aufgabe (h) !! Bemerkungen |- | 3 || Zahlungen erfassen || 50 || 4 || || |- | 1 || E-Mials beantworten || 35 || 3 || =D3/C3 || |- | 4 || Kaffee kochen || 30 || 25 || || 25 Stunden Kaffee? Echt jetzt? |- | 2 || Rechnungen kontrollieren || 20 || 2 || || |} = Lösung = {| class="wikitable" style="text-align:left" ! !! A !! B !! C !! D !! E !! F !! G !! H |- ! 1 | || 13 || || || || || || |- ! 2 | || KW || Tätigkeit || Anzahl || Zeit (Stunden) || Zeit pro Aufgabe (Stunden) || Bemerkungen || ''heutiges Datum'' |- ! 3 | || 1 || E-Mails beantworten || 35 || 3 || 0.085714286 || || |- ! 4 | || 2 || Rechnungen kontrollieren || 20 || 2 || 0.1 || || |- ! 5 | || 3 || Zahlungen erfassen || 50 || 4 || 0.08 || || |- ! 6 | || 4 || Kaffee kochen || 30 || 2.5 || 0.083333333 || || |- ! 7 | || 5 || E-Mails beantworten || 35 || 3 || 0.085714286 || || |- ! 8 | || 6 || Rechnungen kontrollieren || 20 || 2 || 0.1 || || |- ! 9 | || 7 || Zahlungen erfassen || 50 || 4 || 0.08 || || |- ! 10 | || 8 || Kaffee kochen || 30 || 2.5 || 0.083333333 || || |} [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] grdwtj8gowe610vhe613ma7rd0221rn 1118394 1118393 2026-11-02T07:03:43Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1118394 wikitext text/x-wiki [[Datei:BoatGlider1.gif|thumb]] <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''B - Zellen</big>''' </div> = Lernquiz = <quiz display="simple"> { In welchem Register befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Datei | Start | Einfügen | Seitenlayout | Formeln | Daten | Überprüfen | Ansicht +------- Suchen +------- Ersetzen +------- Sortieren +------- Ausschneiden +------- Kopieren </quiz> <quiz display="simple"> { In welcher Gruppe innerhalb des Registers '''Start''' befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Zwischenablage | Schriftart | Ausrichtung | Zahl | Formatvorlagen | Zellen | Bearbeiten ------+ Suchen +------ Ausschneiden ------+ Ersetzen +------ Kopieren ------+ Sortieren </quiz> = Übung = Ersetze im Dateinamen ''Nachname'' durch deinen eigenen Nachnamen. # '''Kopiere''' die untenstehende Tabelle in eine leere Excel-Arbeitsmappe (ab Zelle A1). Speichere sie unter ''Bürowoche_Nachname.xlsx'' auf Laufwerk C:. # '''Korrigiere''' den Rechtschreibfehler in Zelle B3 und die Zahl in Zelle D4 auf 2.5. '''Lösche''' den Kommentar in Zelle F4. # Gib in Zelle F1 das heutige Datum ein (ohne Funktion). # '''Verschiebe''' den Bereich A1:F5 so, dass ''KW'' in Zelle B2 steht. # '''Sortiere''' die Liste aufsteigend nach KW. # '''Kopiere''' die Formel aus Zelle F3 nach F4:F6. # Fülle Spalte B bis KW 12 aus. # Fülle die Spalten C bis F bis Zeile 14 aus, sodass sich die Zeilen 3 bis 6 wiederholen. Tipp: Halte beim Ziehen die Ctrl-Taste gedrückt. # '''Ersetze''' alle «Kaffee» durch «Tee». Schreibe die Anzahl Ersetzungen in Zelle B1. # Erstelle ein neues Tabellenblatt ''Tabelle2''. '''Kopiere''' den Bereich B2:F6 in Zelle B2 von ''Tabelle2''. # '''Nachweis:''' Wechsle zurück zu ''Tabelle1'' und erstelle ein Bildschirmfoto der Zeilen 1 bis 14 (Windows-Taste + Umschalt + S). Sende es der Lehrperson. # '''Speichere''' und schliesse die Datei, aber nicht Excel. {| class="wikitable" ! KW !! Tätigkeit !! Anzahl !! Zeit (h) !! Pro Stunde !! |- | 3 || Zahlungen erfassen || 40 || 4 || || |- | 1 || E-Mials beantworten || 30 || 3 || =C3/D3 || |- | 4 || Kaffee kochen || 5 || 25 || || 25 Stunden Kaffee? Echt jetzt? |- | 2 || Rechnungen kontrollieren || 10 || 2 || || |} = Lösung = {| class="wikitable" style="text-align:left" ! !! A !! B !! C !! D !! E !! F !! G !! H |- ! 1 | || 13 || || || || || || |- ! 2 | || KW || Tätigkeit || Anzahl || Zeit (Stunden) || Zeit pro Aufgabe (Stunden) || Bemerkungen || ''heutiges Datum'' |- ! 3 | || 1 || E-Mails beantworten || 35 || 3 || 0.085714286 || || |- ! 4 | || 2 || Rechnungen kontrollieren || 20 || 2 || 0.1 || || |- ! 5 | || 3 || Zahlungen erfassen || 50 || 4 || 0.08 || || |- ! 6 | || 4 || Kaffee kochen || 30 || 2.5 || 0.083333333 || || |- ! 7 | || 5 || E-Mails beantworten || 35 || 3 || 0.085714286 || || |- ! 8 | || 6 || Rechnungen kontrollieren || 20 || 2 || 0.1 || || |- ! 9 | || 7 || Zahlungen erfassen || 50 || 4 || 0.08 || || |- ! 10 | || 8 || Kaffee kochen || 30 || 2.5 || 0.083333333 || || |} [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] j3t4pnr830h8mvg4u8kn20cir158hz0 1118395 1118394 2026-11-02T07:08:35Z Paul Sutermeister 37610 /* Lösung */ 1118395 wikitext text/x-wiki [[Datei:BoatGlider1.gif|thumb]] <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''B - Zellen</big>''' </div> = Lernquiz = <quiz display="simple"> { In welchem Register befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Datei | Start | Einfügen | Seitenlayout | Formeln | Daten | Überprüfen | Ansicht +------- Suchen +------- Ersetzen +------- Sortieren +------- Ausschneiden +------- Kopieren </quiz> <quiz display="simple"> { In welcher Gruppe innerhalb des Registers '''Start''' befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Zwischenablage | Schriftart | Ausrichtung | Zahl | Formatvorlagen | Zellen | Bearbeiten ------+ Suchen +------ Ausschneiden ------+ Ersetzen +------ Kopieren ------+ Sortieren </quiz> = Übung = Ersetze im Dateinamen ''Nachname'' durch deinen eigenen Nachnamen. # '''Kopiere''' die untenstehende Tabelle in eine leere Excel-Arbeitsmappe (ab Zelle A1). Speichere sie unter ''Bürowoche_Nachname.xlsx'' auf Laufwerk C:. # '''Korrigiere''' den Rechtschreibfehler in Zelle B3 und die Zahl in Zelle D4 auf 2.5. '''Lösche''' den Kommentar in Zelle F4. # Gib in Zelle F1 das heutige Datum ein (ohne Funktion). # '''Verschiebe''' den Bereich A1:F5 so, dass ''KW'' in Zelle B2 steht. # '''Sortiere''' die Liste aufsteigend nach KW. # '''Kopiere''' die Formel aus Zelle F3 nach F4:F6. # Fülle Spalte B bis KW 12 aus. # Fülle die Spalten C bis F bis Zeile 14 aus, sodass sich die Zeilen 3 bis 6 wiederholen. Tipp: Halte beim Ziehen die Ctrl-Taste gedrückt. # '''Ersetze''' alle «Kaffee» durch «Tee». Schreibe die Anzahl Ersetzungen in Zelle B1. # Erstelle ein neues Tabellenblatt ''Tabelle2''. '''Kopiere''' den Bereich B2:F6 in Zelle B2 von ''Tabelle2''. # '''Nachweis:''' Wechsle zurück zu ''Tabelle1'' und erstelle ein Bildschirmfoto der Zeilen 1 bis 14 (Windows-Taste + Umschalt + S). Sende es der Lehrperson. # '''Speichere''' und schliesse die Datei, aber nicht Excel. {| class="wikitable" ! KW !! Tätigkeit !! Anzahl !! Zeit (h) !! Pro Stunde !! |- | 3 || Zahlungen erfassen || 40 || 4 || || |- | 1 || E-Mials beantworten || 30 || 3 || =C3/D3 || |- | 4 || Kaffee kochen || 5 || 25 || || 25 Stunden Kaffee? Echt jetzt? |- | 2 || Rechnungen kontrollieren || 10 || 2 || || |} = Lösung = {| class="wikitable" style="text-align:left" ! !! A !! B !! C !! D !! E !! F !! G |- ! 1 | || Ersetzungen || 3 || || || || |- ! 2 | || KW || Tätigkeit || Anzahl || Zeit (h) || Pro Stunde || ''heutiges Datum'' |- ! 3 | || 1 || E-Mails beantworten || 30 || 3 || 10 || |- ! 4 | || 2 || Rechnungen kontrollieren || 10 || 2 || 5 || |- ! 5 | || 3 || Zahlungen erfassen || 40 || 4 || 10 || |- ! 6 | || 4 || Tee kochen || 5 || 2.5 || 2 || |- ! 7 | || 5 || E-Mails beantworten || 30 || 3 || 10 || |- ! 8 | || 6 || Rechnungen kontrollieren || 10 || 2 || 5 || |- ! 9 | || 7 || Zahlungen erfassen || 40 || 4 || 10 || |- ! 10 | || 8 || Tee kochen || 5 || 2.5 || 2 || |- ! 11 | || 9 || E-Mails beantworten || 30 || 3 || 10 || |- ! 12 | || 10 || Rechnungen kontrollieren || 10 || 2 || 5 || |- ! 13 | || 11 || Zahlungen erfassen || 40 || 4 || 10 || |- ! 14 | || 12 || Tee kochen || 5 || 2.5 || 2 || |} [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] hl3aakqfjlgn973c3voy6u2zj30tz1k 1118396 1118395 2026-11-02T07:09:12Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1118396 wikitext text/x-wiki [[Datei:BoatGlider1.gif|thumb]] <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''B - Zellen</big>''' </div> = Lernquiz = <quiz display="simple"> { In welchem Register befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Datei | Start | Einfügen | Seitenlayout | Formeln | Daten | Überprüfen | Ansicht +------- Suchen +------- Ersetzen +------- Sortieren +------- Ausschneiden +------- Kopieren </quiz> <quiz display="simple"> { In welcher Gruppe innerhalb des Registers '''Start''' befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Zwischenablage | Schriftart | Ausrichtung | Zahl | Formatvorlagen | Zellen | Bearbeiten ------+ Suchen +------ Ausschneiden ------+ Ersetzen +------ Kopieren ------+ Sortieren </quiz> = Übung = Ersetze im Dateinamen ''Nachname'' durch deinen eigenen Nachnamen. # '''Kopiere''' die untenstehende Tabelle in eine leere Excel-Arbeitsmappe (ab Zelle A1). Speichere sie unter ''Bürowoche_Nachname.xlsx'' auf Laufwerk C:. # '''Korrigiere''' den Rechtschreibfehler in Zelle B3 und die Zahl in Zelle D4 auf 2.5. '''Lösche''' den Kommentar in Zelle F4. # Gib in Zelle F1 das heutige Datum ein (ohne Funktion). # '''Verschiebe''' den Bereich A1:F5 so, dass ''KW'' in Zelle B2 steht. # '''Sortiere''' die Liste aufsteigend nach KW. # '''Kopiere''' die Formel aus Zelle F3 nach F4:F6. # Fülle Spalte B bis KW 12 aus. # Fülle die Spalten C bis F bis Zeile 14 aus, sodass sich die Zeilen 3 bis 6 wiederholen. Tipp: Halte beim Ziehen die Ctrl-Taste gedrückt. # '''Ersetze''' alle «Kaffee» durch «Tee». Schreibe in Zelle B1 «Ersetzungen:» und in C1 die Anzahl Ersetzungen. # Erstelle ein neues Tabellenblatt ''Tabelle2''. '''Kopiere''' den Bereich B2:F6 in Zelle B2 von ''Tabelle2''. # '''Nachweis:''' Wechsle zurück zu ''Tabelle1'' und erstelle ein Bildschirmfoto der Zeilen 1 bis 14 (Windows-Taste + Umschalt + S). Sende es der Lehrperson. # '''Speichere''' und schliesse die Datei, aber nicht Excel. {| class="wikitable" ! KW !! Tätigkeit !! Anzahl !! Zeit (h) !! Pro Stunde !! |- | 3 || Zahlungen erfassen || 40 || 4 || || |- | 1 || E-Mials beantworten || 30 || 3 || =C3/D3 || |- | 4 || Kaffee kochen || 5 || 25 || || 25 Stunden Kaffee? Echt jetzt? |- | 2 || Rechnungen kontrollieren || 10 || 2 || || |} = Lösung = {| class="wikitable" style="text-align:left" ! !! A !! B !! C !! D !! E !! F !! G |- ! 1 | || Ersetzungen || 3 || || || || |- ! 2 | || KW || Tätigkeit || Anzahl || Zeit (h) || Pro Stunde || ''heutiges Datum'' |- ! 3 | || 1 || E-Mails beantworten || 30 || 3 || 10 || |- ! 4 | || 2 || Rechnungen kontrollieren || 10 || 2 || 5 || |- ! 5 | || 3 || Zahlungen erfassen || 40 || 4 || 10 || |- ! 6 | || 4 || Tee kochen || 5 || 2.5 || 2 || |- ! 7 | || 5 || E-Mails beantworten || 30 || 3 || 10 || |- ! 8 | || 6 || Rechnungen kontrollieren || 10 || 2 || 5 || |- ! 9 | || 7 || Zahlungen erfassen || 40 || 4 || 10 || |- ! 10 | || 8 || Tee kochen || 5 || 2.5 || 2 || |- ! 11 | || 9 || E-Mails beantworten || 30 || 3 || 10 || |- ! 12 | || 10 || Rechnungen kontrollieren || 10 || 2 || 5 || |- ! 13 | || 11 || Zahlungen erfassen || 40 || 4 || 10 || |- ! 14 | || 12 || Tee kochen || 5 || 2.5 || 2 || |} [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] osqfpuap2xa39qkldz3u85dtrhawts8 106 170016 1118397 1118296 2026-11-02T07:12:31Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1118397 wikitext text/x-wiki [[Datei:Folder-dynamic-color.png|thumb|mini|In der Arbeitsmappe (= .xlsx-Datei) stecken Arbeitsblätter.]] <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''C - Arbeitsblatt'''</big> </div> = Lernquiz = <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Synonym zu: | typ="[]" } | Datei | Blatt +- Mappe -+ Tabelle </quiz> <quiz display="simple"> { In welchem Register befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Datei | Start | Einfügen | Seitenlayout | Formeln | Daten | Überprüfen | Ansicht -+------ Ausfüllen -+------ Blatt einfügen -+------ Blatt löschen -+------ Blatt umbenennen -+------ Blatt verschieben -------+ Fixieren -+------ Spalte einfügen -+------ Spalte löschen -+------ Spaltenbreite anpassen -+------ Textumbruch -+------ Zeile einfügen -+------ Zeile löschen -+------ Zeilenhöhe anpassen -+------ Zeilenumbruch </quiz> <quiz display="simple"> { In welcher Gruppe innerhalb des Registers '''Start''' befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Zwischenablage | Schriftart | Ausrichtung | Zahl | Formatvorlagen | Zellen | Bearbeiten ------+ Ausfüllen -----+- Blatt einfügen -----+- Blatt löschen -----+- Blatt umbenennen -----+- Blatt verschieben ------- Fixieren -----+- Spaltenbreite anpassen -----+- Spalte einfügen -----+- Spalte löschen --+---- Textumbruch -----+- Zeile einfügen -----+- Zeile löschen -----+- Zeilenhöhe anpassen --+---- Zeilenumbruch </quiz> = Übung = # '''Kopiere''' die untenstehende Tabelle in eine leere Excel-Arbeitsmappe, und zwar ab Zelle B2. # Füge zwischen den Spalten D und E eine '''neue Spalte''' ein. Schreibe in die neue Zelle E2 «Bemerkungen». # Setze die '''Zeilenhöhe''' von Zeile 2 auf 50 und wähle für B2:F2 '''Textumbruch'''. # '''Optimiere''' die Breite der Spalten B bis F. Stelle danach die Breite von Spalte C auf 25. # Füge ein '''neues Blatt''' ein, benenne es ''Notizen'' und verschiebe es an die erste Stelle. # Erstelle eine '''Kopie''' des Blatts ''Tabelle1'' am Ende der Mappe und benenne sie ''Arbeitszeit''. # '''Lösche''' das Blatt ''Tabelle1''. # Lösche im Blatt ''Arbeitszeit'' eine Zeile und eine Spalte, sodass ''KW'' in Zelle A1 steht. # '''Fülle''' die Tabelle bis KW 52 aus: Spalte A als fortlaufende Reihe, die Spalten B bis E als Wiederholung der Zeilen 2 bis 5 (Ctrl-Taste). # '''Fixiere''' die erste Zeile, damit die Überschriften beim Scrollen sichtbar bleiben. # '''Nachweis:''' Scrolle ganz nach unten bis KW 52. Erstelle ein Bildschirmfoto, auf dem die Überschriften, die letzten Zeilen und die Blattregister unten sichtbar sind (Windows-Taste + Umschalt + S). Sende es der Lehrperson. # Speichere die Datei als Excel-Vorlage unter ''Wochenplan-Vorlage_Nachname.xltx'' im vorgeschlagenen Ordner ''Benutzerdefinierte Office-Vorlagen''. '''Schliesse''' Excel. {| class="wikitable" ! KW !! Tätigkeit !! Wer !! Zeitaufwand in Minuten |- | 1 || Pflanzen giessen || Anna || 10 |- | 2 || Drucker reparieren || Ben || 45 |- | 3 || Post holen || Chiara || 15 |- | 4 || Kuchen essen || Dario || 30 |} [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] 2tf9wm5ge1dc4fo7locus582ji8ivcu 1118398 1118397 2026-11-02T07:13:36Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1118398 wikitext text/x-wiki [[Datei:Folder-dynamic-color.png|thumb|mini|In der Arbeitsmappe (= .xlsx-Datei) stecken Arbeitsblätter.]] <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''C - Arbeitsblatt'''</big> </div> = Lernquiz = <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Synonym zu: | typ="[]" } | Datei | Blatt +- Mappe -+ Tabelle </quiz> <quiz display="simple"> { In welchem Register befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Datei | Start | Einfügen | Seitenlayout | Formeln | Daten | Überprüfen | Ansicht -+------ Ausfüllen -+------ Blatt einfügen -+------ Blatt löschen -+------ Blatt umbenennen -+------ Blatt verschieben -------+ Fixieren -+------ Spalte einfügen -+------ Spalte löschen -+------ Spaltenbreite anpassen -+------ Textumbruch -+------ Zeile einfügen -+------ Zeile löschen -+------ Zeilenhöhe anpassen -+------ Zeilenumbruch </quiz> <quiz display="simple"> { In welcher Gruppe innerhalb des Registers '''Start''' befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Zwischenablage | Schriftart | Ausrichtung | Zahl | Formatvorlagen | Zellen | Bearbeiten ------+ Ausfüllen -----+- Blatt einfügen -----+- Blatt löschen -----+- Blatt umbenennen -----+- Blatt verschieben ------- Fixieren -----+- Spaltenbreite anpassen -----+- Spalte einfügen -----+- Spalte löschen --+---- Textumbruch -----+- Zeile einfügen -----+- Zeile löschen -----+- Zeilenhöhe anpassen --+---- Zeilenumbruch </quiz> = Übung = # '''Kopiere''' die untenstehende Tabelle in eine leere Excel-Arbeitsmappe, und zwar ab Zelle B2. # Füge zwischen den Spalten D und E eine '''neue Spalte''' ein. Schreibe in die neue Zelle E2 «Bemerkungen». # Setze die '''Zeilenhöhe''' von Zeile 2 auf 50 und wähle für B2:F2 '''Textumbruch'''. # '''Optimiere''' die Breite der Spalten B bis F. Stelle danach die Breite von Spalte C auf 25. # Füge ein '''neues Blatt''' ein, benenne es ''Notizen'' und verschiebe es an die erste Stelle. # Erstelle eine '''Kopie''' des Blatts ''Tabelle1'' am Ende der Mappe und benenne sie ''Arbeitszeit''. # '''Lösche''' das Blatt ''Tabelle1''. # Lösche im Blatt ''Arbeitszeit'' eine Zeile und eine Spalte, sodass ''KW'' in Zelle A1 steht. # '''Fülle''' die Tabelle bis KW 52 aus: Spalte A als fortlaufende Reihe, die Spalten B bis E als Wiederholung der Zeilen 2 bis 5 (Ctrl-Taste). # '''Fixiere''' die erste Zeile, damit die Überschriften beim Scrollen sichtbar bleiben. # '''Nachweis:''' Scrolle ganz nach unten bis KW 52. Erstelle ein Bildschirmfoto, auf dem die Überschriften, die letzten Zeilen und die Blattregister unten sichtbar sind (Windows-Taste + Umschalt + S). Sende es der Lehrperson. # Speichere die Datei als Excel-Vorlage unter ''Wochenplan-Vorlage_Nachname.xltx'' im vorgeschlagenen Ordner ''Benutzerdefinierte Office-Vorlagen''. '''Schliesse''' Excel. {| class="wikitable" ! KW !! Tätigkeit !! Wer !! Zeitaufwand in Minuten |- | 1 || Pflanzen giessen || Anna || 10 |- | 2 || Drucker reparieren || Ben || 45 |- | 3 || Post holen || Chiara || 15 |- | 4 || Kuchen essen || Dario || 30 |} = Lösung = {| class="wikitable" style="text-align:left" ! !! A !! B !! C !! D !! E |- ! 1 | KW || Tätigkeit || Wer || Bemerkungen || Zeitaufwand in Minuten |- ! ⋮ | colspan="5" style="text-align:center" | ⋮ |- ! 50 | 49 || Pflanzen giessen || Anna || || 10 |- ! 51 | 50 || Drucker reparieren || Ben || || 45 |- ! 52 | 51 || Post holen || Chiara || || 15 |- ! 53 | 52 || Kuchen essen || Dario || || 30 |} Blattregister unten: '''Notizen''' | Arbeitszeit [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] 6e713qq8ib96oeopc4krvt33maqspar 106 170017 1118399 1118267 2026-11-02T07:23:10Z Paul Sutermeister 37610 1118399 wikitext text/x-wiki [[Datei:Spreadsheet animation.gif|thumb]] <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''D - Formel und Funktion'''</big> '''Formeln''' * [https://zenodo.org/records/15796617 Grundrechenarten] * [https://zenodo.org/records/16750288 Ausfüllen Rechnen Prozente] '''Funktionen''' * [https://zenodo.org/records/15033093 Summe Mittelwert] * [https://zenodo.org/records/18051993 Maximum Minimum] * [https://zenodo.org/records/21853923 Wenn] * [https://zenodo.org/records/15298974 Anzahl Zählenwenn] '''Fehler''' {| class="wikitable" ! Fehler !! Bedeutung !! Einfach erklärt !! Beispiel |- | #DIV/0! || [[:w:Division durch null|Division durch 0]] || Du teilst durch 0 oder eine leere Zelle || =10/A1 (A1 ist leer) |- | #NAME? || Name nicht erkannt || Funktion oder Name falsch geschrieben || =SUMMEE(A1:A5) |- | #WERT! || Falscher Datentyp || Text statt Zahl verwendet || ="Hallo"+5 |- | #BEZUG! || Ungültiger Bezug || Zelle wurde gelöscht || Bezug auf gelöschte Spalte |- | ###### || Anzeigeproblem || Spalte zu schmal || Spalte breiter machen |} <!-- {| class="wikitable" ! Fehler !! Bedeutung !! Einfach erklärt !! Beispiel |- | #ZAHL! || Ungültige Zahl || Rechenproblem (z. B. unmöglich) || Wurzel aus -1 |- | #NV || Wert nicht verfügbar || Gesuchter Wert nicht gefunden || SVERWEIS findet nichts |- | #NULL! || Schnittmenge leer || Bereiche passen nicht zusammen || =A1:A5 B1:B5 |}--> </div> = Lernquiz = <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | SUMME | MITTELWERT | MIN | MAX | ANZAHL | ANZAHL2 | WENN --+---- Kleinstes -+----- Durchschnitt -----+- Wie viele Wörter ------+ Falls… ---+--- Meistes +------ Plus ----+-- Wie viele Zahlen -+----- Summe durch Anzahl ---+--- Grösstes --+---- Wenigstes ----+-- Zellen mit Zahlen zählen -----+- Zellen mit Zahlen und Buchstaben zählen +------ Addieren -----+- Wie viele Wörter und Zahlen ------+ Bedingung </quiz> = Übung 1: Funktionen = # '''Kopiere''' die untenstehende Tabelle in eine leere Excel-Arbeitsmappe (ab Zelle A1). Speichere sie unter ''Kiosk_Nachname.xlsx''. # Formatiere C2:C5 im '''Währungsformat''' (CHF). # Berechne in B6 mit einer Funktion die '''Summe''' der verkauften Stück. # Berechne in D2 den '''Anteil''' der Gipfeli am Total (B2 dividiert durch B6). Setze die Bezüge so, dass du die Formel bis D5 kopieren kannst. Formatiere D2:D5 als '''Prozent'''. # Berechne in B8 bis B11 mit Funktionen den '''Durchschnitt''', den '''kleinsten''' Wert, den '''höchsten''' Wert und die '''Anzahl''' der Werte in B2:B5. # Gib in E2 eine '''WENN'''-Funktion ein: Sind 30 oder mehr Stück verkauft, erscheint «Renner», sonst «Ladenhüter». Kopiere sie bis E5. # '''Runde''' in F2 mit einer Funktion den Preis aus C2 auf 0 Dezimalstellen. Kopiere sie bis F5. # '''Nachweis:''' Erstelle zwei Bildschirmfotos der Tabelle: eines normal, eines mit ''Formeln › Formeln anzeigen''. Sende beide der Lehrperson. # '''Speichere''' und schliesse die Datei. {| class="wikitable" ! Snack !! Verkauft !! Preis !! Anteil !! Bewertung !! Preis gerundet |- | Gipfeli || 40 || 1.95 || || || |- | Schoggistängeli || 30 || 2.5 || || || |- | Sandwich || 20 || 4.4 || || || |- | Apfel || 10 || 0.8 || || || |- | Total || || || || || |- | || || || || || |- | Durchschnitt || || || || || |- | Minimum || || || || || |- | Maximum || || || || || |- | Anzahl Snacks || || || || || |} == Lösung 1: Funktionen (Normalansicht) == {| class="wikitable" style="text-align:left" ! !! A !! B !! C !! D !! E !! F |- ! 1 | Snack || Verkauft || Preis || Anteil || Bewertung || Preis gerundet |- ! 2 | Gipfeli || 40 || CHF 1.95 || 40% || Renner || CHF 2.00 |- ! 3 | Schoggistängeli || 30 || CHF 2.50 || 30% || Renner || CHF 3.00 |- ! 4 | Sandwich || 20 || CHF 4.40 || 20% || Ladenhüter || CHF 4.00 |- ! 5 | Apfel || 10 || CHF 0.80 || 10% || Ladenhüter || CHF 1.00 |- ! 6 | Total || 100 || || || || |- ! 7 | || || || || || |- ! 8 | Durchschnitt || 25 || || || || |- ! 9 | Minimum || 10 || || || || |- ! 10 | Maximum || 40 || || || || |- ! 11 | Anzahl Snacks || 4 || || || || |} == Lösung 1: Funktionen (Formelansicht)== {| class="wikitable" style="text-align:left" ! Zelle !! Formel |- | B6 || =SUMME(B2:B5) |- | D2 || =B2/$B$6 |- | B8 || =MITTELWERT(B2:B5) |- | B9 || =MIN(B2:B5) |- | B10 || =MAX(B2:B5) |- | B11 || =ANZAHL(B2:B5) |- | E2 || =WENN(B2>=30;"Renner";"Ladenhüter") |- | F2 || =RUNDEN(C2;0) |} = Übung Fehlermeldungen = # '''Kopiere''' die untenstehende Tabelle in eine leere Excel-Arbeitsmappe (ab Zelle A1). Falls in E4 oder E5 die Formel als Text erscheint: Zelle anklicken, F2 drücken, Enter. # Berechne in E2 das '''Total''': Menge '''mal''' Verkaufspreis. Kopiere die Formel nach E3. # Berechne in F2 den '''Gewinn''' pro Stück: Verkaufspreis '''minus''' Einkaufspreis. Kopiere die Formel bis F4. # Die Formel in E4 enthält keine Zellbezüge. Ändere sie so, dass sie der guten Praxis entspricht. # In E3 erscheint '''#WERT!'''. Korrigiere den Zellinhalt, der den Fehler verursacht. # In E5 erscheint '''#NAME?'''. Korrigiere die Funktion. # '''Nachweis:''' Erstelle zwei Bildschirmfotos der Tabelle: eines normal, eines mit ''Formeln › Formeln anzeigen''. Sende beide der Lehrperson. {| class="wikitable" ! Artikel !! Menge !! Einkaufspreis !! Verkaufspreis !! Total !! Gewinn pro Stück |- | Kugelschreiber || 20 || 1 || 2 || || |- | Ordner || zehn || 3 || 5 || || |- | Notizblock || 15 || 2 || 4 || =15*4 || |- | Total || || || || =SUME(E2:E4) || |} == Lösung Fehlermeldungen == {| class="wikitable" style="text-align:left" ! !! A !! B !! C !! D !! E !! F |- ! 1 | Artikel || Menge || Einkaufspreis || Verkaufspreis || Total || Gewinn pro Stück |- ! 2 | Kugelschreiber || 20 || 1 || 2 || 40 <small>(=B2*D2)</small> || 1 <small>(=D2-C2)</small> |- ! 3 | Ordner || 10 || 3 || 5 || 50 <small>(=B3*D3)</small> || 2 <small>(=D3-C3)</small> |- ! 4 | Notizblock || 15 || 2 || 4 || 60 <small>(=B4*D4)</small> || 2 <small>(=D4-C4)</small> |- ! 5 | Total || || || || 150 <small>(=SUMME(E2:E4))</small> || |} =Einzelnachweise= <references/> [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation/Formel und Funktion| ]] asaoapmhilixc7pioadfu0acwl5r1w2 106 170018 1118400 1118246 2026-11-02T07:25:30Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1118400 wikitext text/x-wiki [[Datei:Noto Emoji v2.034 1f4ca.svg|thumb]] [[Datei:Noto Emoji v2.034 1f4c8.svg|thumb]] <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''F - DIAGRAMM'''</big> Vorübung: [https://zenodo.org/records/18144586 Diagramm] </div> = Lernquiz = <quiz display="simple"> { Ordne Unterregister zu: | typ="[]" } | Entwurf | Format -+ Diagrammbereich +- Diagrammelement hinzufügen +- Diagrammformatvorlage +- Diagrammtyp ändern +- Diagramm verschieben -+ Formenarten -+ Grösse </quiz> = Übung = # Kopiere untenstehende Tabelle (Äpfel, Bananen, Orangen) in ein leeres Excel-Dokument ab Zelle A1. # Erstelle vom Bereich A1 bis B4 ein Balkendiagramm. Akzeptiere die Standardeinstellungen. Füge im Diagramm folgenden Diagrammtitel ein: Anzahl Früchte. Platziere das Diagramm als Objekt im selben Blatt zirka ab der Zelle D2. # Ändere im Balkendiagramm bei der Beschriftung der horizontalen Wert-Achse die Schriftgrösse auf 13.5 Pt. # Erstelle zusätzlich ein Säulendiagramm. Ändere im Säulendiagramm die Farbe der Balken in eine beliebige andere Farbe, z. B. Rot. # Lösche das Balkendiagramm. # Erstelle aus A1:B4 ein Kreisdiagramm. Füge im Kreisdiagramm als Datenbeschriftung die Prozentsätze hinzu. (Die Werte sollen nicht angezeigt werden.) # Ändere den Diagrammtyp in ein Balkendiagramm. # Verschiebe das Balkendiagramm in ein neues Tabellenblatt (sodass keine Tabelle sondern nur das Diagramm sichtbar ist) {| class="wikitable" ! Frucht !! Anzahl |- | Äpfel || 10 |- | Bananen || 7 |- | Orangen || 5 |} = Weiterführendes = * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Diagramm]] [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] nk8q1wcmfiscfh8qn1ck69b6xdz23hw 1118401 1118400 2026-11-02T07:25:58Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1118401 wikitext text/x-wiki [[Datei:Noto Emoji v2.034 1f4ca.svg|thumb]] [[Datei:Noto Emoji v2.034 1f4c8.svg|thumb]] <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''F - DIAGRAMM'''</big> Vorübung: [https://zenodo.org/records/18144586 Diagramm] </div> = Lernquiz = <quiz display="simple"> { Ordne Unterregister zu: | typ="[]" } | Entwurf | Format -+ Diagrammbereich +- Diagrammelement hinzufügen +- Diagrammformatvorlage +- Diagrammtyp ändern +- Diagramm verschieben -+ Formenarten -+ Grösse </quiz> = Übung = # Kopiere untenstehende Tabelle (Äpfel, Bananen, Orangen) in ein leeres Excel-Dokument ab Zelle A1. # Erstelle vom Bereich A1 bis B4 ein Balkendiagramm. Akzeptiere die Standardeinstellungen. Füge im Diagramm folgenden Diagrammtitel ein: Anzahl Früchte. Platziere das Diagramm als Objekt im selben Blatt zirka ab der Zelle D2. # Ändere im Balkendiagramm bei der Beschriftung der horizontalen Wert-Achse die Schriftgrösse auf 13.5 Pt. # Erstelle zusätzlich ein Säulendiagramm. Ändere im Säulendiagramm die Farbe der Balken in eine beliebige andere Farbe, z. B. Rot. # Lösche das Balkendiagramm. # Erstelle aus A1:B4 ein Kreisdiagramm. Füge im Kreisdiagramm als Datenbeschriftung die Prozentsätze hinzu. (Die Werte sollen nicht angezeigt werden.) # Ändere den Diagrammtyp in ein Balkendiagramm. # Verschiebe das Balkendiagramm in ein neues Tabellenblatt (sodass keine Tabelle sondern nur das Diagramm sichtbar ist) # Sende die Datei der Lehrperson. {| class="wikitable" ! Frucht !! Anzahl |- | Äpfel || 10 |- | Bananen || 7 |- | Orangen || 5 |} = Weiterführendes = * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Diagramm]] [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] 3oycrerwvhint0yt3w1u804vzw816x1 106 170999 1118365 1118322 2026-11-01T13:19:34Z Bocardodarapti 2041 1118365 wikitext text/x-wiki {{Vorlesungsaufzählung |Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)| |V1=Der Satz über implizite Abbildungen |V2=Algebraische Nullstellengebilde |V3=Monomiale Gleichungen und simpliziale Komplexe |V4=Glattheit |V5=Stanley-Reisner-Ringe |V6=Binomiale Gleichungen |V7=Monoidringe |V8=Monoidringe II |V9=Gruppenoperationen |V10=Quotientensingularitäten |V11=Quotientensingularitäten II |V12=Die lokale Fundamentalgruppe |V13=Die lokale Fundamentalgruppe für Monoidringe |V14=Knoten |V15=Derivationen und Differentiale |V16=Kähler-Differentiale und Jacobi-Matrix |V17=Jacobiideal und Milnorzahl |V18=Die Multiplizität |V19=Die Hilbertfunktion graduierter Moduln |V20=Die Hilbert-Samuel-Multiplizität |V21=Die Krulldimension |V22=Dimension von Varietäten |V23=Produktvarietäten |V24=Reguläre Ringe |V25=Schnitttheorie in glatten Punkten |V26=Freie Auflösungen |V27=Homologische Charakterisierung |V28=Faktorialität |V29= |V30= }}<noinclude>[[Kategorie:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungen]]</noinclude> fm6xpwphaf5498ycpx9m4y52zdkcled 106 171024 1118362 1118319 2026-11-01T12:43:31Z Bocardodarapti 2041 1118362 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|Universelle Eigenschaft der Monoidringe}} {{inputfaktbeweis|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|}} Die folgende Aussage bedeutet, in Zusammenhang mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} dass bei fixiertem Grundring {{math|term= R |SZ=}} die Zuordnung, die einem Monoid {{math|term= M |SZ=}} den Monoidring {{math|term= R[M] |SZ=}} zuordnet, ein {{Stichwort|Funktor|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung||}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt|Korollar||}} {{Zwischenüberschrift|Monoidring und binomiales Ideal}} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Affine Kurven/Monomiale Kurven/Beschreibende binomiale Gleichungen/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutatives Monoid/In Gitter/Spitz/Nullpunkt singulär/Fakt|Lemma|| }} }} s9o1e8y1zes72msbcn9q96olnnxixux 1118367 1118362 2026-11-01T13:27:05Z Bocardodarapti 2041 1118367 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|Universelle Eigenschaft der Monoidringe}} {{inputfaktbeweis|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|}} Die folgende Aussage bedeutet, in Zusammenhang mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} dass bei fixiertem Grundring {{math|term= R |SZ=}} die Zuordnung, die einem Monoid {{math|term= M |SZ=}} den Monoidring {{math|term= R[M] |SZ=}} zuordnet, ein {{Stichwort|Funktor|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung||}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt|Korollar||}} {{Zwischenüberschrift|Monoidring und binomiales Ideal}} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Kürzbar/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutatives Monoid/In Gitter/Spitz/Nullpunkt singulär/Fakt|Lemma|| }} }} ig561ihcfois5a68kp83vvprfxekqvb 106 171025 1118406 1118321 2026-11-02T07:47:56Z Bocardodarapti 2041 1118406 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|9| In den folgenden drei Vorlesungen möchten wir die endlichen Untergruppen {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Konjugation| |ISZ=|ESZ= }} und die zugehörigen Invariantenringe {{mathl|term= K[U,V]^G |SZ=}} bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren {{ Zusatz/Klammer |text=also die Bahnenräume| |ISZ=|ESZ= }} nennt man {{Stichwort|ADE-Singularitäten|SZ=.}} Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Die ADE-Singularitäten treten in vielen verschiedenen Kontexten immer wieder auf. {{Zwischenüberschrift|Gruppenoperationen}} {{:Gruppenoperation/Kurzeinführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Lineare Gruppenoperationen auf dem {{math|term= K^d |SZ=}} }} {{:Lineare Gruppenoperation/Polynomring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Invariantenringe}} {{:Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Invariantenring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Graduierungen}} {{ inputdefinition |Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel|| }} Die Ringe {{ Relationskette/display | K[U^n,V^n,UV] |\cong| K[X,Y,Z] {{makl| XY-Z^n |}} || || || |SZ= }} nennt man {{math|term= A_{n-1} |SZ=-}}{{Stichwort|Singularitäten|msw=A-Singularität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=man beachte die Indizierung| |ISZ=|ESZ=! }} }} 36w869crohmgvnq6fw6x1cusnh5sw0o 1118411 1118406 2026-11-02T08:03:33Z Bocardodarapti 2041 1118411 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|9| In den folgenden drei Vorlesungen möchten wir die endlichen Untergruppen {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Konjugation| |ISZ=|ESZ= }} und die zugehörigen Invariantenringe {{mathl|term= K[U,V]^G |SZ=}} bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren {{ Zusatz/Klammer |text=also die Bahnenräume| |ISZ=|ESZ= }} nennt man {{Stichwort|ADE-Singularitäten|SZ=.}} Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Die ADE-Singularitäten treten in vielen verschiedenen Kontexten immer wieder auf. {{Zwischenüberschrift|Gruppenoperationen}} {{:Gruppenoperation/Kurzeinführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Lineare Gruppenoperationen auf dem {{math|term= K^d |SZ=}} }} {{:Lineare Gruppenoperation/Polynomring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Invariantenringe}} {{:Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Invariantenring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Graduierungen}} Viele Monoidringe {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die torisch-normalen| |ISZ=|ESZ= }} kann man als Invariantenring zu einer Gruppenoperation {{ Zusatz/Klammer |text=einer endlichen oder unendlichen Gruppenoperation| |ISZ=|ESZ= }} auf dem Polynomring erhalten, sodass wir direkt ein Vielzahl an Invariantenringen zur Verfügung haben. Die Beziehung zwischen Monoidringen und Invariantenringen erfolgt über Graduierungen. {{ inputdefinition |Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt|Lemma|| }} Zur Graduierung durch die Gruppe {{math|term= D |SZ=}} gehört eine Gruppenoperation der dualen Gruppe {{mathl|term= {{op:Charakterdual| G |}} |SZ=.}} {{ inputdefinition |Gruppe/Charaktergruppe in Körper/Definition|| }} Die Aussagekraft der Charaktergruppe hängt wesentlich davon ab, wie viele Einheitswurzeln der Körper besitzt. Bei {{math|term= D |SZ=}} endlich und {{ Relationskette | K || {{CC}} || || || |SZ= }} sind {{math|term= D |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Charakterdual| G |}} |SZ=}} zueinander isomorph, aber nicht kanonisch. {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel|| }} }} q3yg70x6a9k7al9d250jmbxxlb01mwp 106 171027 1118405 1118316 2026-11-02T07:47:28Z Bocardodarapti 2041 1118405 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|11| Wir möchten typische Methoden beschreiben, mit denen man die Invariantenringe zu den Operationen der endlichen Untergruppen der speziellen linearen Gruppe berechnen kann. Berechnen heißt, invariante Polynome zu finden, davon ein endliches Algebraerzeugendensystem auszuwählen und Relationen zwischen diesen Erzeugern zu finden. Eine typische Besonderheit der speziellen Quotientensingularitäten in der Dimension zwei ist, dass sie sich mit einer einzigen Gleichung in drei Variablen beschreiben lassen. Diese Gleichungen wollen wir im Folgenden bestimmen. {{Zwischenüberschrift|Der Invariantenring der binären Diedergruppe}} Aufbauend auf die Berechnung des Invariantenringes zur zyklischen Gruppe können wir den Invariantenring zur binären Diedergruppen {{mathl|term= BD_{m}|SZ=}} bestimmen. {{ inputfaktbeweis |Invariantenring/Untergruppe/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Binäre Diedergruppe/Invariantenring über xy-z^n/Beispiel|| }} Man spricht von den {{math|term= D_{m+2} |SZ=-}}{{Stichwort|Singularitäten|msw=D-Singularität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=man beachte die Indizierung| |ISZ=|ESZ=. }} Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Diedersingularität/BD1/Zu Z mod 4/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist {{mathl|term= D_3 |SZ=}} isomorph zu {{math|term= A_3 |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| X^2 + YZ^2+Y^2 |}} |\cong| {{CC}}[S,T,U]/ {{makl| ST+U^4 |}} || || || |SZ=, }} so dass man diese {{math|term= D |SZ=-}}Liste bei {{math|term= D_4 |SZ=}} beginnen lässt. In den ursprünglichen Variablen {{ mathkor|term1= U |und|term2= V |SZ= }} sind {{ Math/display|term= U^{2m}+V^{2m}, \, U^2V^2 \text{ und } UV {{makl| U^{2m} - V^{2m} |}} |SZ= }} ein Algebraerzeugendensystem aus invarianten Polynomen. In Charakteristik {{mathl|term=\neq 2,3 |SZ=}} kann man die {{math|term= D_4 |SZ=-}}Gleichung, also {{ Relationskette | X^2 + YZ^2+Y^3 || 0 || || || |SZ= }} in {{ Relationskette | X^2 + Y^3+Z^3 || 0 || || || |SZ= }} transformieren. {{Zwischenüberschrift|Die Invarianten der binären Tetraedergruppe}} {{ inputbeispiel |Binäre Tetraedergruppe/Binäre Diedergruppe als Normalteiler/Charakter/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Invarianten der binären Oktaedergruppe}} Wir setzen die Berechnung der Invariantenringe zu den Operationen der endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SUG|2|{{CC}}}} |SZ=}} fort. {{ inputbeispiel |Binäre Oktaedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring mittels Tetraeder/Beispiel|| }} Diesen Invariantenring bezeichnet man als {{math|term= E_7|SZ=-}}{{Stichwort|Singularität|msw=E7-Singularität|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Die Invarianten der binären Ikosaedergruppe}} Der Invariantenring zur binären Ikosaedergruppe verhält sich in vielerlei Hinsicht anders als die bisher besprochenen Invariantenringe. Man braucht andere Methoden, um letztlich zu zeigen, dass der Invariantenring gleich {{ Math/display|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+Y^3+Z^5 |}} |SZ= }} ist. Man spricht von der {{math|term= E_8|SZ=-}}{{Stichwort|Singularität|msw=E8-Singularität|SZ=.}} }} lv0wzdd2iyizux7l8ogk0elfr9cxqu3 106 171054 1118357 1118343 2026-11-01T12:39:12Z Bocardodarapti 2041 1118357 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|7| {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Monoidhomomorphismus/Verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Verträgliche Äquivalenzrelation/Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Eine Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Verträgliche Äquivalenzrelation/Monoidstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/N^2 modulo 2e ist 4f/Untermonoidrealisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Y^2-X^4/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Obermonoid/Endlicher Abschluss/ist Monoid/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Untermonoid/N^2/Nicht endlich erzeugt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod 5/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Assoziativ und distributiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Idempotentes Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Gruppe/Monoidring/Idempotente Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenring/Endlich erzeugte kommutative Gruppe/Glatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standardkegel/C/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids. {{ inputaufgabe |Monoid/Einheit/Ring/Umkehrung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} jnzq5r7bou2ofqyk2bnhuhz8sbswuaa 1118359 1118357 2026-11-01T12:40:21Z Bocardodarapti 2041 1118359 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|7| {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Monoidhomomorphismus/Verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Verträgliche Äquivalenzrelation/Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Eine Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Verträgliche Äquivalenzrelation/Monoidstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/N^2 modulo 2e ist 4f/Untermonoidrealisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Y^2-X^4/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Obermonoid/Endlicher Abschluss/ist Monoid/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Untermonoid/N^2/Nicht endlich erzeugt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod 5/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Assoziativ und distributiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Idempotentes Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Gruppe/Monoidring/Idempotente Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenring/Endlich erzeugte kommutative Gruppe/Glatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standardkegel/C/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids. {{ inputaufgabe |Monoid/Einheit/Ring/Umkehrung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Ideal auf Monoidebene/Ergibt Ideal in R M/Aufgabe|| }} }} fqlldc9h73qeof54kbobga4x4ef8sm0 1118361 1118359 2026-11-01T12:42:32Z Bocardodarapti 2041 1118361 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|7| {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Monoidhomomorphismus/Verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Verträgliche Äquivalenzrelation/Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Eine Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Verträgliche Äquivalenzrelation/Monoidstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/N^2 modulo 2e ist 4f/Untermonoidrealisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Y^2-X^4/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Obermonoid/Endlicher Abschluss/ist Monoid/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Untermonoid/N^2/Nicht endlich erzeugt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod 5/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Assoziativ und distributiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Idempotentes Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Gruppe/Monoidring/Idempotente Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenring/Endlich erzeugte kommutative Gruppe/Glatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standardkegel/C/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids. {{ inputaufgabe |Monoid/Einheit/Ring/Umkehrung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Ideal auf Monoidebene/Ergibt Ideal in R M/Aufgabe|| }} Die folgenden Aufgaben haben mit der Differenzengruppe eines Monoids zu tun. {{ inputaufgabe |Kommutative Monoidtheorie/Differenzengruppe/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Universelle Eigenschaft/Aufgabe| }} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Charakterisierungen Kürzungsregel/Aufgabe| }} }} gdo5prdij660mnwu03bndq7u6him38q 1118373 1118361 2026-11-01T13:49:22Z Bocardodarapti 2041 1118373 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|7| {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Monoidhomomorphismus/Verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Verträgliche Äquivalenzrelation/Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Eine Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Verträgliche Äquivalenzrelation/Monoidstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/N^2 modulo 2e ist 4f/Untermonoidrealisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Y^2-X^4/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Obermonoid/Endlicher Abschluss/ist Monoid/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Untermonoid/N^2/Nicht endlich erzeugt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod 5/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Assoziativ und distributiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Idempotentes Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Gruppe/Monoidring/Idempotente Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenring/Endlich erzeugte kommutative Gruppe/Glatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standardkegel/C/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Singulärer Ort/Beispiel/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids. {{ inputaufgabe |Monoid/Einheit/Ring/Umkehrung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Ideal auf Monoidebene/Ergibt Ideal in R M/Aufgabe|| }} Die folgenden Aufgaben haben mit der Differenzengruppe eines Monoids zu tun. {{ inputaufgabe |Kommutative Monoidtheorie/Differenzengruppe/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Universelle Eigenschaft/Aufgabe| }} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Charakterisierungen Kürzungsregel/Aufgabe| }} }} pzqn2xyiltyadyo6opqaq1coqo06n9j 1118403 1118373 2026-11-02T07:43:52Z Bocardodarapti 2041 1118403 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|7| {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Monoidhomomorphismus/Verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Verträgliche Äquivalenzrelation/Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Eine Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Verträgliche Äquivalenzrelation/Monoidstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/N^2 modulo 2e ist 4f/Untermonoidrealisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Y^2-X^4/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Obermonoid/Endlicher Abschluss/ist Monoid/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Untermonoid/N^2/Nicht endlich erzeugt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod 5/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Assoziativ und distributiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Idempotentes Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Gruppe/Monoidring/Idempotente Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenring/Endlich erzeugte kommutative Gruppe/Glatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standardkegel/C/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Singulärer Ort/Beispiel/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids. {{ inputaufgabe |Monoid/Einheit/Ring/Umkehrung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutatives Monoid/Spitz/Definition|}} {{ inputaufgabe |Normales Monoid/Beschreibende Halbräume/2 und 3-dimensional/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Ideal auf Monoidebene/Ergibt Ideal in R M/Aufgabe|| }} Die folgenden Aufgaben haben mit der Differenzengruppe eines Monoids zu tun. {{ inputaufgabe |Kommutative Monoidtheorie/Differenzengruppe/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Universelle Eigenschaft/Aufgabe| }} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Charakterisierungen Kürzungsregel/Aufgabe| }} }} 2gp2xbz184kasiy4qh98v0bscmwchhl 106 171055 1118358 1118344 2026-11-01T12:39:48Z Bocardodarapti 2041 1118358 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|8| {{ inputaufgabe |Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutative Monoidringe/Zu Z^n ist Laurentring/Beweis mit universeller Eigenschaft/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Homomorphismus/Endlich Charakterisierung/Aufgabe|}} Die folgenden Aufgaben besprechen Monoidringe zu Monoiden, die nicht endlich erzeugt sind. {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Rechnungsbeispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Polynom in Wurzel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über R/Zerlegung von X^2+1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über C/Keine irreduziblen Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über K/Teiler von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q/Über K/Einheiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgenden Aufgaben mit dem {{math|term=K|SZ=-}}Spektrum eines kommutativen Monoids {{math|term=M|SZ=,}} also der Menge aller Monoidhomomorphismen von {{math|term=M|SZ=}} nach {{math|term=K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der multiplikativen Struktur| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/ef ist 5g/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches kommutatives Monoid/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/N^2 nach Z/e_1,e_2 nach 1,-1/Interpretiere/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Zyklische Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Singulärer Ort/Beispiel/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidringe/Funktorialität/K-Spektrum/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Rationale und reelle Zahlen als Monoid/Monoidhomomorphismen/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch Matrix über N zwischen N^r und N^s/Aufgabe||zusatz=Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch quadratische Matrix über N/Determinante und generisch surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Faser über 1 als Monoidring/Aufgabe|| |zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung {{math|term=M \mapsto 1|SZ=}} entspricht| |ISZ=|ESZ= }}|}} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/M und N/Beschreibung der Produktmorphismen/Aufgabe||}} Die folgenden Aufgaben haben mit der Differenzengruppe eines Monoids zu tun. {{ inputaufgabe |Kommutative Monoidtheorie/Differenzengruppe/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Universelle Eigenschaft/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Charakterisierungen Kürzungsregel/Aufgabe|}} }} 2x9d7k4x56gjbx0zqvrosaz4d14g7rt 1118360 1118358 2026-11-01T12:42:00Z Bocardodarapti 2041 1118360 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|8| {{ inputaufgabe |Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutative Monoidringe/Zu Z^n ist Laurentring/Beweis mit universeller Eigenschaft/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Homomorphismus/Endlich Charakterisierung/Aufgabe|}} Die folgenden Aufgaben besprechen Monoidringe zu Monoiden, die nicht endlich erzeugt sind. {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Rechnungsbeispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Polynom in Wurzel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über R/Zerlegung von X^2+1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über C/Keine irreduziblen Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über K/Teiler von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q/Über K/Einheiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgenden Aufgaben mit dem {{math|term=K|SZ=-}}Spektrum eines kommutativen Monoids {{math|term=M|SZ=,}} also der Menge aller Monoidhomomorphismen von {{math|term=M|SZ=}} nach {{math|term=K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der multiplikativen Struktur| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/ef ist 5g/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches kommutatives Monoid/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/N^2 nach Z/e_1,e_2 nach 1,-1/Interpretiere/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Zyklische Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Singulärer Ort/Beispiel/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidringe/Funktorialität/K-Spektrum/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Rationale und reelle Zahlen als Monoid/Monoidhomomorphismen/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch Matrix über N zwischen N^r und N^s/Aufgabe||zusatz=Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch quadratische Matrix über N/Determinante und generisch surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Faser über 1 als Monoidring/Aufgabe|| |zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung {{math|term=M \mapsto 1|SZ=}} entspricht| |ISZ=|ESZ= }}|}} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/M und N/Beschreibung der Produktmorphismen/Aufgabe||}} }} gmq99748vcmbzfpuyh540jw562jps4l 1118371 1118360 2026-11-01T13:47:13Z Bocardodarapti 2041 1118371 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|8| {{ inputaufgabe |Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutative Monoidringe/Zu Z^n ist Laurentring/Beweis mit universeller Eigenschaft/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Homomorphismus/Endlich Charakterisierung/Aufgabe|}} Die folgenden Aufgaben besprechen Monoidringe zu Monoiden, die nicht endlich erzeugt sind. {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Rechnungsbeispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Polynom in Wurzel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über R/Zerlegung von X^2+1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über C/Keine irreduziblen Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über K/Teiler von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q/Über K/Einheiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Bemerkung}} Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit dem {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum eines kommutativen Monoids {{math|term= M |SZ=,}} also der Menge aller Monoidhomomorphismen von {{math|term= M |SZ=}} nach {{math|term= K |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der multiplikativen Struktur| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/ef ist 5g/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches kommutatives Monoid/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/N^2 nach Z/e_1,e_2 nach 1,-1/Interpretiere/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Zyklische Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Singulärer Ort/Beispiel/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidringe/Funktorialität/K-Spektrum/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Rationale und reelle Zahlen als Monoid/Monoidhomomorphismen/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch Matrix über N zwischen N^r und N^s/Aufgabe||zusatz=Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch quadratische Matrix über N/Determinante und generisch surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Faser über 1 als Monoidring/Aufgabe|| |zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung {{math|term= M \mapsto 1 |SZ=}} entspricht| |ISZ=|ESZ= }}|}} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/M und N/Beschreibung der Produktmorphismen/Aufgabe||}} }} ct00caud2xvmop6dr03405nbitp1obu 1118372 1118371 2026-11-01T13:48:19Z Bocardodarapti 2041 1118372 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|8| {{ inputaufgabe |Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutative Monoidringe/Zu Z^n ist Laurentring/Beweis mit universeller Eigenschaft/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Homomorphismus/Endlich Charakterisierung/Aufgabe|}} Die folgenden Aufgaben besprechen Monoidringe zu Monoiden, die nicht endlich erzeugt sind. {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Rechnungsbeispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Polynom in Wurzel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über R/Zerlegung von X^2+1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über C/Keine irreduziblen Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über K/Teiler von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q/Über K/Einheiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Bemerkung}} Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit dem {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum eines kommutativen Monoids {{math|term= M |SZ=,}} also der Menge aller Monoidhomomorphismen von {{math|term= M |SZ=}} nach {{math|term= K |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der multiplikativen Struktur| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/ef ist 5g/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches kommutatives Monoid/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/N^2 nach Z/e_1,e_2 nach 1,-1/Interpretiere/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Zyklische Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidringe/Funktorialität/K-Spektrum/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Rationale und reelle Zahlen als Monoid/Monoidhomomorphismen/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch Matrix über N zwischen N^r und N^s/Aufgabe||zusatz=Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch quadratische Matrix über N/Determinante und generisch surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Faser über 1 als Monoidring/Aufgabe|| |zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung {{math|term= M \mapsto 1 |SZ=}} entspricht| |ISZ=|ESZ= }}|}} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/M und N/Beschreibung der Produktmorphismen/Aufgabe||}} }} 3u9f3r5l3xtbsq5ygs93yf9rglpyuo3 106 171056 1118404 1118346 2026-11-02T07:46:59Z Bocardodarapti 2041 1118404 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|9| {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Bahn/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Zahlen/Einheitswurzeln/Operation/Bahnen und Isotropiegruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Einheiten/Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reine quadratische Algebra/Gruppenoperation/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation auf Ring/Invariantes Ideal/Beziehungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unendlicher Körper/Endliche lineare Gruppe/Bahnen/Offene Menge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ Aufgabelink |Präwort=Gemäß||Aufgabeseitenname= Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ergibt eine Gruppenoperation für jedes {{ Relationskette | g | \in | G || || || |SZ= }} eine Bijektion {{mathl|term=x \mapsto gx|SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=.}} Wenn {{math|term=M|SZ=}} zusätzliche Strukturen besitzt, so verlangt man häufig, dass diese Bijektionen diese Strukturen respektieren, also beispielsweise linear oder stetig sind. Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert. {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Gruppenoperation/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktion/C nach C/Respektiert alle Einheitswurzeln/S^1/Durch Betrag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratisches Polynom/Diskriminante/Verträglich mit Operation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Gruppenring/Modul und Gruppendarstellung/Aufgabe||zusatz= Bemerkung: {{math|term= \rho |SZ=}} heißt dann eine {{Stichwort|Darstellung}} von {{math|term= G |SZ=.}} Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als {{math|term= G |SZ=}} und man kann mit Hilfe von {{math|term= \rho |SZ=}} oft hilfreiche Erkenntnisse über {{math|term= G |SZ=}} selbst gewinnen.}} {{ inputaufgabe |Polynomring/Graduierung/Z mod 5/123/Neutrale Stufe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kegel/(2,5) und (3,2)/Monoidring und neutrale Stufe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 6rxxpncecat693bpgyw9j7exkq7ybht 1118408 1118404 2026-11-02T07:50:50Z Bocardodarapti 2041 1118408 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|9| {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Bahn/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Zahlen/Einheitswurzeln/Operation/Bahnen und Isotropiegruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Einheiten/Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reine quadratische Algebra/Gruppenoperation/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation auf Ring/Invariantes Ideal/Beziehungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unendlicher Körper/Endliche lineare Gruppe/Bahnen/Offene Menge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ Aufgabelink |Präwort=Gemäß||Aufgabeseitenname= Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ergibt eine Gruppenoperation für jedes {{ Relationskette | g | \in | G || || || |SZ= }} eine Bijektion {{mathl|term=x \mapsto gx|SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=.}} Wenn {{math|term=M|SZ=}} zusätzliche Strukturen besitzt, so verlangt man häufig, dass diese Bijektionen diese Strukturen respektieren, also beispielsweise linear oder stetig sind. Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert. {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Gruppenoperation/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktion/C nach C/Respektiert alle Einheitswurzeln/S^1/Durch Betrag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratisches Polynom/Diskriminante/Verträglich mit Operation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Gruppenring/Modul und Gruppendarstellung/Aufgabe||zusatz= Bemerkung: {{math|term= \rho |SZ=}} heißt dann eine {{Stichwort|Darstellung}} von {{math|term= G |SZ=.}} Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als {{math|term= G |SZ=}} und man kann mit Hilfe von {{math|term= \rho |SZ=}} oft hilfreiche Erkenntnisse über {{math|term= G |SZ=}} selbst gewinnen.}} {{ inputaufgabe |Polynomring/Graduierung/Z mod 5/123/Neutrale Stufe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kegel/(2,5) und (3,2)/Monoidring und neutrale Stufe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition|}} {{ inputaufgabe |Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homogenes Polynom/Darstellung mit formalen partiellen Ableitungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten. Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition. {{:Graduierte kommutative Algebra/Homogener Automorphismus/Definition}} {{ inputaufgabe |Graduierte kommutative Algebra/Charakter/Definiert homogenen Automorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gerade und ungerade Funktionen/Stetig/Z mod 2 Algebra/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/2 Einheit/Z mod 2 Operation/Graduierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graduierte Körpererweiterung/Homogener Automorphismus/Von Charakter/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring in zwei Variablen/Z-Graduierung aus feiner Graduierung/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 66dnr4c2mfuruodujl89zb3f1u05s0t 106 171058 1118407 1118341 2026-11-02T07:50:31Z Bocardodarapti 2041 1118407 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|11| {{ inputaufgabe |Quotient/x_1+x_2i durch 1-x_3/Einheitskugel/(x_1,x_2) nach 0/Quotient gegen 0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kein Quadrat/Quadratisches Polynom/Irreduzibel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |KX,Y,Z/XY-Z^n/Irreduzibel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |An+1-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dn-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E6-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |X^2+YZ^2+Z^n/Singulärer Ort/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diedersingularität/BD1/Zu Z mod 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diedersingularität/Invarianten explizit/Gleichung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E7-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |ADE bis 7/Glatte Kurve durch singulären Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8-Singularität/Abbildung von A_1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir erinnern an einige weitere Graduierungsbegriffe. {{:Kommutativer Ring/Graduierung/Positiv/Definition|}} {{:Kommutativer Ring/Standard-graduiert/Definition|}} {{:Graduierter Ring/N/Irrelevantes Ideal/Definition|}} {{ inputaufgabe |ADE-Singularität/Positive Graduierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir erinnern an folgende Definition. {{:Kommutatorgruppe/Definition}} Die Kommutatorgruppe ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kommutatorgruppe/Normalteiler/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Normalteiler, die Restklassengruppe {{mathl|term=G/K(G)|SZ=}} nennt man auch die {{Stichwort|Abelianisierung|SZ=}} von {{math|term=G|SZ=.}} {{ inputaufgabe |Binäre Gruppen/Kommutatorgruppe und Abelianisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Operation/Lokaler Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler_Ring/Gruppenoperation/Fixring_lokal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} f78xeq9g68er9f3ykey2nwlx1azur1h 106 172153 1118413 1117822 2026-11-02T08:31:52Z Jonahschuster 35626 /* Themen */ 1118413 wikitext text/x-wiki == Themen == Mo 10-12 RPTU * [[Lawinenmodellierung]] * [[Infektionsausbreitung]] * [[Überflutungsdynamik]] * [[Waldbrandmodellierung]] - Mo 14-16 RPTU ==Begriffsklärung== Eine Begriffsklärung von [[mathematische Modellbildung|mathematischer Modellbildung]] soll dabei helfen, ein Grundverständnis für Modelle und deren Entwicklung und Verbesserung zu gewinnen. === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam<ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität, um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typische Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze, ...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitungsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik, ... * Bedarfs-, Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger (z.B. als [[Entscheidungsunterstützungssystem|Entscheidungsunterstützung]]). ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiderstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer realen Situation, die ein Problem aufwirft, zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung eines mathematischen Modells: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, geometrischen Objekten, ...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch Behebung von Limitationen kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte werden dabei bei Bedarf mehrfach durchlaufen, bis das Modell das abzubildende Problem adäquat beschreibt. Typische Gründe für zusätzliche Iterationsschleifen sind neue Erkenntnisse während der Entwicklung des Modells, sowohl in Bezug auf das reale System, als auch das Modell selbst. Der iterative Charakter des MBZ trägt somit der komplexen Natur vieler realer Problemstellungen Rechnung, die selten eine direkte adäquate oder gar optimale Lösung erlauben. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäß nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. <math> \, </math> Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{\ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{\ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080\cos(\alpha))^2+(y-1080\sin(\alpha))^2)}</math>. Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== * Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). * Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. * In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematische Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== * Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). * Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals (SDG) adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs * Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. * Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können/sollen passende Programme und computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden wird, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufenden Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem das Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen, in der Lehrveranstaltung erstellten, Portfolio abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== * Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! * Ausschliesslich während der Präsenzzeit im Seminar an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! * Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, sind z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dieses Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung. * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungsaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird im Allgemeinen nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' Enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die einzelne Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für manche Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' wird in Portfolios in der Regel zur Datenaufbereitung verwendet. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnungen in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 74twii61mj0r0lbelgnjeb79abcvbsq 1118414 1118413 2026-11-02T08:34:52Z Jonahschuster 35626 /* Themen */ 1118414 wikitext text/x-wiki == Themen == Mo 10-12 RPTU * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026-27 Wintersemester/Lawinenmodellierung]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026-27 Wintersemester/Infektionsausbreitung]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026-27 Wintersemester/Überflutungsdynamik]] * [[Waldbrandmodellierung]] - Mo 14-16 RPTU ==Begriffsklärung== Eine Begriffsklärung von [[mathematische Modellbildung|mathematischer Modellbildung]] soll dabei helfen, ein Grundverständnis für Modelle und deren Entwicklung und Verbesserung zu gewinnen. === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam<ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität, um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typische Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze, ...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitungsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik, ... * Bedarfs-, Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger (z.B. als [[Entscheidungsunterstützungssystem|Entscheidungsunterstützung]]). ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiderstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer realen Situation, die ein Problem aufwirft, zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung eines mathematischen Modells: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, geometrischen Objekten, ...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch Behebung von Limitationen kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte werden dabei bei Bedarf mehrfach durchlaufen, bis das Modell das abzubildende Problem adäquat beschreibt. Typische Gründe für zusätzliche Iterationsschleifen sind neue Erkenntnisse während der Entwicklung des Modells, sowohl in Bezug auf das reale System, als auch das Modell selbst. Der iterative Charakter des MBZ trägt somit der komplexen Natur vieler realer Problemstellungen Rechnung, die selten eine direkte adäquate oder gar optimale Lösung erlauben. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäß nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. <math> \, </math> Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{\ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{\ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080\cos(\alpha))^2+(y-1080\sin(\alpha))^2)}</math>. Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== * Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). * Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. * In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematische Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== * Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). * Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals (SDG) adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs * Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. * Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können/sollen passende Programme und computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden wird, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufenden Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem das Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen, in der Lehrveranstaltung erstellten, Portfolio abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== * Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! * Ausschliesslich während der Präsenzzeit im Seminar an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! * Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, sind z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dieses Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung. * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungsaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird im Allgemeinen nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' Enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die einzelne Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für manche Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' wird in Portfolios in der Regel zur Datenaufbereitung verwendet. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnungen in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 37un8ezfz6lld6k94oxgf97bomoxg1o 1118415 1118414 2026-11-02T08:36:04Z Jonahschuster 35626 1118415 wikitext text/x-wiki == Themen == Mo 10-12 RPTU * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026-27 Wintersemester/Lawinenmodellierung|'''Modellierungsthema 1: Risikomodell einer Lawine''']] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026-27 Wintersemester/Infektionsausbreitung]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026-27 Wintersemester/Überflutungsdynamik]] * [[Waldbrandmodellierung]] - Mo 14-16 RPTU ==Begriffsklärung== Eine Begriffsklärung von [[mathematische Modellbildung|mathematischer Modellbildung]] soll dabei helfen, ein Grundverständnis für Modelle und deren Entwicklung und Verbesserung zu gewinnen. === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam<ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität, um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typische Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze, ...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitungsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik, ... * Bedarfs-, Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger (z.B. als [[Entscheidungsunterstützungssystem|Entscheidungsunterstützung]]). ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiderstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer realen Situation, die ein Problem aufwirft, zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung eines mathematischen Modells: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, geometrischen Objekten, ...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch Behebung von Limitationen kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte werden dabei bei Bedarf mehrfach durchlaufen, bis das Modell das abzubildende Problem adäquat beschreibt. Typische Gründe für zusätzliche Iterationsschleifen sind neue Erkenntnisse während der Entwicklung des Modells, sowohl in Bezug auf das reale System, als auch das Modell selbst. Der iterative Charakter des MBZ trägt somit der komplexen Natur vieler realer Problemstellungen Rechnung, die selten eine direkte adäquate oder gar optimale Lösung erlauben. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäß nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. <math> \, </math> Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{\ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{\ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080\cos(\alpha))^2+(y-1080\sin(\alpha))^2)}</math>. Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== * Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). * Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. * In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematische Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== * Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). * Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals (SDG) adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs * Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. * Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können/sollen passende Programme und computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden wird, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufenden Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem das Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen, in der Lehrveranstaltung erstellten, Portfolio abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== * Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! * Ausschliesslich während der Präsenzzeit im Seminar an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! * Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, sind z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dieses Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung. * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungsaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird im Allgemeinen nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' Enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die einzelne Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für manche Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' wird in Portfolios in der Regel zur Datenaufbereitung verwendet. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnungen in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3rpg06g780cynd58piwv2xzr4xzdkmw 1118416 1118415 2026-11-02T08:37:33Z Jonahschuster 35626 /* Themen */ 1118416 wikitext text/x-wiki == Themen == Mo 10-12 RPTU * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026-27 Wintersemester/Lawinenmodellierung|'''Modellierungsthema 1: Risikomodell einer Lawine''']] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026-27 Wintersemester/Infektionsausbreitung|'''Modellierungsthema 2: Räumliche und zeitliche Dynamik einer überregionalen Virusausbreitung''']] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026-27 Wintersemester/Überflutungsdynamik |'''Modellierungsthema 3: Räumliche Ausbreitungsmodelle für Flutkatstrophen''' ]] * [[Waldbrandmodellierung]] - Mo 14-16 RPTU ==Begriffsklärung== Eine Begriffsklärung von [[mathematische Modellbildung|mathematischer Modellbildung]] soll dabei helfen, ein Grundverständnis für Modelle und deren Entwicklung und Verbesserung zu gewinnen. === Was ist mathematische Modellbildung? === Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>. === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam<ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität, um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typische Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze, ...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitungsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik, ... * Bedarfs-, Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger (z.B. als [[Entscheidungsunterstützungssystem|Entscheidungsunterstützung]]). ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiderstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdoberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden. ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer realen Situation, die ein Problem aufwirft, zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als möglichst allgemeine Vorgehensweise der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildungszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung eines mathematischen Modells: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschließend mathematisch übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, geometrischen Objekten, ...) ====Modellbildungsschleife==== * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch Behebung von Limitationen kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte werden dabei bei Bedarf mehrfach durchlaufen, bis das Modell das abzubildende Problem adäquat beschreibt. Typische Gründe für zusätzliche Iterationsschleifen sind neue Erkenntnisse während der Entwicklung des Modells, sowohl in Bezug auf das reale System, als auch das Modell selbst. Der iterative Charakter des MBZ trägt somit der komplexen Natur vieler realer Problemstellungen Rechnung, die selten eine direkte adäquate oder gar optimale Lösung erlauben. =====Integration von Software===== Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäß nicht zwingend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. <math> \, </math> Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{\ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{\ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080\cos(\alpha))^2+(y-1080\sin(\alpha))^2)}</math>. Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== * Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). * Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. * In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematische Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: * Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse) * Matrizenrechnung (zum Beispiel Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse oder Populationsentwicklung) * Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) ===Computereinsatz im Lehrplan=== Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16<ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. ====Bildung für Nachhaltige Entwicklung==== "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> ====BNE und Modellbildung==== Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik Entsprechend soll sich die Mathematik in der Modellierung steigern. ====Integration von Software==== In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== * Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). * Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals (SDG) adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs * Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. * Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: ====Inhalt Portfolio==== * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3: ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) ====Integration Computersoftware==== In allen Punkten der Modellzyklen können/sollen passende Programme und computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. ====Inhalt==== In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob * das eigene Modell verstanden wird, * das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, * die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, * die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, * die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, * ... . ====Präsentation==== Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufenden Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem das Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen, in der Lehrveranstaltung erstellten, Portfolio abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. ====Zeitplan==== * Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! * Ausschliesslich während der Präsenzzeit im Seminar an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! * Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. ==Hilfreiche Links== ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, sind z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dieses Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung. * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungsaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird im Allgemeinen nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' Enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die einzelne Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für manche Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' wird in Portfolios in der Regel zur Datenaufbereitung verwendet. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnungen in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ==Wiki2Reveal== * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * 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[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] smteinw9gtuvw4042x3zne3mrm6vp0b 106 172740 1118591 1117461 2026-11-02T10:52:43Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118591 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Korollar|8|2|Kurs=|}} 7qex500lgpo13s1xnm6v0pjm53dergh 106 172742 1118489 1117465 2026-11-02T10:37:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118489 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|10|2|Kurs=|}} 4jv8nfltfa0knlfiach4slfs1umqj1j 106 172743 1118492 1117468 2026-11-02T10:37:33Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118492 wikitext text/x-wiki {{Nummer im 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Referenznummer aktualisiert. 1118503 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|13|1|Kurs=|}} 38k0mg129bt54m8cpdchr3e41sot4x7 106 172773 1118504 1118035 2026-11-02T10:39:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118504 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|13|2|Kurs=|}} n4wstprhfuq3wk4u19ajo3qkuxpjsrl 106 172774 1118505 1118036 2026-11-02T10:39:33Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118505 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Bemerkung|13|3|Kurs=|}} 453foz3bddx3pvyjakrt1pcdo4wly8m 106 172775 1118509 1115346 2026-11-02T10:40:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118509 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|14|1|Kurs=|}} t6qcxi1048zb8jhl66m5fyr3xpiprg8 106 172776 1118512 1115348 2026-11-02T10:40:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118512 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|15|4|Kurs=|}} gmhr2zxkq0t5azssf20krakqsjw23d7 106 172777 1118519 1115350 2026-11-02T10:41:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118519 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|16|4|Kurs=|}} 8y3vvnamw1pm4wt13dlxb7235ibzbfo 106 172778 1118518 1115351 2026-11-02T10:41:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118518 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Bemerkung|16|3|Kurs=|}} is269r6b2f0hs7dcvxkkcybbqfmp760 106 172779 1118515 1115352 2026-11-02T10:40:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118515 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|16|1|Kurs=|}} emd331z4vyhl3iidfkfrmn3ggldt4vg 106 172780 1118510 1115353 2026-11-02T10:40:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118510 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|15|3|Kurs=|}} npuv4ms6gykacf7t7n7t5h86l4hjqyy 106 172781 1118517 1115354 2026-11-02T10:41:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118517 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Korollar|16|2|Kurs=|}} 4jnyisxncd4xj9z7naz68u18xi6gdw4 106 172783 1118513 1115356 2026-11-02T10:40:33Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118513 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|15|5|Kurs=|}} 5xb0nukd7hitkssbybu6zqc8kwvknos 106 172784 1118521 1115357 2026-11-02T10:41:43Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118521 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|17|2|Kurs=|}} 4zrwhnkgqcx9eeuc47r1qb1sc1x0nq2 106 172785 1118522 1115359 2026-11-02T10:41:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118522 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|17|4|Kurs=|}} i6zz2452i4juxp7gnxmsuvstyykbv1m 106 172786 1118520 1115360 2026-11-02T10:41:33Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118520 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|16|5|Kurs=|}} kmgrktw5izfih125j9xvpek4c80zp6f 106 172787 1118523 1115361 2026-11-02T10:42:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118523 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|17|5|Kurs=|}} l9bo53chapqi8r7dk30um7zf227cqtv 106 172788 1118524 1115363 2026-11-02T10:42:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118524 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|17|13|Kurs=|}} 7r4y42bgfrhdkzp9ygxh1a970rgoppp 106 172789 1118527 1115364 2026-11-02T10:42:43Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118527 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|18|4|Kurs=|}} ad77gmqelkfdj1mgg9qdn337i5vg35b 106 172790 1118528 1115366 2026-11-02T10:42:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118528 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Korollar|18|5|Kurs=|}} b6o2g4a28et2w4zeedle6dpieug54b4 106 172791 1118526 1115367 2026-11-02T10:42:33Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118526 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|18|2|Kurs=|}} ab9lu1gf68q42xp3yd00sub9dpzax97 106 172792 1118502 1118033 2026-11-02T10:39:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118502 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|12|7|Kurs=|}} 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Kurs{{{opt|}}}|Korollar|25|10|Kurs=|}} l1gdbgtdbuctgv3zi8zs5aystxegjn2 106 172798 1118487 1117456 2026-11-02T10:36:43Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118487 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|9|20|Kurs=|}} 6vboseylakv59iq5jcxsk0rna9pnnnz 106 172799 1118560 1115381 2026-11-02T10:47:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118560 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|24|6|Kurs=|}} 578cxmygtszghwezbxu73m3gni70sqv 106 172800 1118562 1115382 2026-11-02T10:48:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118562 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|24|7|Kurs=|}} 3no4blcj87ydkmxk45irsdojdf6l5hj 106 172802 1118530 1115386 2026-11-02T10:43:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118530 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|19|4|Kurs=|}} nbmb3fb3c2ty83o0nsqs0bad1vorfb4 106 172803 1118531 1115387 2026-11-02T10:43:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118531 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|19|6|Kurs=|}} 97yrkc2y0t1xistzbf70o3l1p00vkr5 106 172804 1118534 1115389 2026-11-02T10:43:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118534 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|19|10|Kurs=|}} 187cxxp9892mv6ks2avkcuul7yda9y7 106 172805 1118532 1115392 2026-11-02T10:43:33Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118532 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|19|7|Kurs=|}} 7btergtsg0d3q4mqxpw9cvas2sk2dn1 106 172806 1118533 1115395 2026-11-02T10:43:43Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118533 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|19|9|Kurs=|}} l4s8larwp2jdhztds47dtkubn5f6n23 106 172808 1118564 1115399 2026-11-02T10:48:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118564 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Korollar|24|9|Kurs=|}} hi0v0jyamsysdb0uyndb1rppvq3yhl2 106 172809 1118537 1115401 2026-11-02T10:44:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer 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Referenznummer aktualisiert. 1118538 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|21|7|Kurs=|}} htugyq50fxwsfn1gh8om9yg5z7h0w9c 106 172816 1118542 1115411 2026-11-02T10:45:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118542 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|22|3|Kurs=|}} axjd1e84pxcnxekwxnv38t9x5fkyp3c 106 172817 1118541 1115413 2026-11-02T10:45:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118541 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|22|1|Kurs=|}} axil4jvd3svoyfts68nch9t8l23h4iq 106 172818 1118553 1115414 2026-11-02T10:46:43Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118553 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|23|6|Kurs=|}} fc77424999dsms36fwogqr9rpb1oiji 106 172819 1118554 1115416 2026-11-02T10:46:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118554 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|23|7|Kurs=|}} 3vect0dmvncpv1j5b84wjvz5uadzxmo 106 172820 1118548 1115419 2026-11-02T10:46:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118548 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|22|10|Kurs=|}} rbkebc8mizwptiaqazvhzvw1mvob2ee 106 172821 1118540 1115420 2026-11-02T10:44:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118540 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Korollar|21|9|Kurs=|}} eeb8zcqmq1tj2qcddkqcygy1zwcy8xs 106 172822 1118563 1115422 2026-11-02T10:48:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118563 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|24|8|Kurs=|}} qs586nq992ep69glhltgzskbvdzsofk 106 172823 1118559 1115423 2026-11-02T10:47:43Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118559 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|24|5|Kurs=|}} ip4loxdn7ejub5mzipgy849ki5z2kxv 106 172824 1118558 1115424 2026-11-02T10:47:33Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118558 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|24|4|Kurs=|}} a5q4t7zlg2k8b9tszjz7xp1yn8zioz1 106 172825 1118556 1115426 2026-11-02T10:47:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118556 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|23|11|Kurs=|}} 1vj9zr1l3v43dgupmyrwgg96mxylzi2 106 172826 1118557 1115427 2026-11-02T10:47:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118557 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|23|12|Kurs=|}} 1d55tn8gu06glhbwgoglu22esoq6bn5 106 172827 1118535 1115428 2026-11-02T10:44:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118535 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|19|13|Kurs=|}} o9q7mx9ke3jy79lq1jy43efvyvw05iz 106 172829 1118555 1115430 2026-11-02T10:47:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118555 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|23|8|Kurs=|}} o1l9c1hp4jyhsl01n3jc1jizszv8rdk 106 172830 1118551 1115431 2026-11-02T10:46:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118551 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|23|2|Kurs=|}} eoiwu1ad1afhu6axij69d971btrpe25 106 172831 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text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|27|1|Kurs=|}} ouajeg7sdp20fdiho9bi7e76syrpx0a 106 172850 1118579 1115451 2026-11-02T10:50:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118579 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|27|2|Kurs=|}} i4pghhwywwdpd0jci0qb8pnffzzz4a4 106 172851 1118573 1115452 2026-11-02T10:49:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118573 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|26|4|Kurs=|}} jr2j4xbubw8mukugxy9nrsftrl8e5rz 106 172852 1118580 1115453 2026-11-02T10:51:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118580 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Bemerkung|27|4|Kurs=|}} kpliz55lh4m33mr1wrewlkdekhvzd02 106 172853 1118588 1115454 2026-11-02T10:52:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118588 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|28|10|Kurs=|}} 1r6zwtoznpms7bhle1azr4ya94ylu8s 106 172854 1118587 1115455 2026-11-02T10:52:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118587 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|28|9|Kurs=|}} eqdaqlav9w7gngt7fcihqkd8asrvi4a 106 172855 1118581 1115456 2026-11-02T10:51:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118581 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|28|2|Kurs=|}} 3cpbb4gjcvuyoxd1xxacu45p74ev2fj 106 172856 1118589 1115457 2026-11-02T10:52:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118589 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|28|12|Kurs=|}} 7aif3bg23z922nzafnin0ws1plgn2gy 106 172857 1118586 1115458 2026-11-02T10:51:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118586 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|28|8|Kurs=|}} 4raruyoc991n9r1y4uqpxkgpmhsidus 106 172858 1118583 1115459 2026-11-02T10:51:33Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118583 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|28|6|Kurs=|}} ifw6pzucu6zcovyngeq6uxuf557i44b 106 172859 1118582 1115460 2026-11-02T10:51:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer 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36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118464 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|19|11|Kurs=|}} 5576mv6sp9z6ktpag2h5a1ccuud1y5n 106 172868 1118547 1115470 2026-11-02T10:45:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118547 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Korollar|22|8|Kurs=|}} 58hqxaw52gbqfrd3s5ycpll3n9g0dij 106 172869 1118550 1115471 2026-11-02T10:46:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118550 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Bemerkung|23|1|Kurs=|}} ofeveegcw77d53bm4hxm4mvys4gulj3 106 172870 1118576 1115472 2026-11-02T10:50:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118576 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|26|17|Kurs=|}} qffdzkzzxjvfb9n13mcsam3b7t0l5jw 106 172871 1118584 1115473 2026-11-02T10:51:43Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118584 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|28|7|Kurs=|}} 7ly94tifobgvo564niwzxf14r4kwag8 106 172872 1118455 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Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|21|5|Kurs=|}} 3emtig5ak64ycdg0z5tumshvyvnh4to 106 172882 1118469 1115484 2026-11-02T10:33:43Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118469 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|21|6|Kurs=|}} 7q5qwh5qwzwxow8tcpvuewv4wy4gbrt 106 172883 1118467 1115485 2026-11-02T10:33:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118467 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|21|4|Kurs=|}} m0eulpkzfg4j35b56hlxgqu369w2daz 106 172884 1118470 1115486 2026-11-02T10:33:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118470 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|21|7|Kurs=|}} 9t8rb6vy73g40c40uz0efh3vwtdlk31 106 172885 1118471 1115487 2026-11-02T10:34:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118471 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|21|9|Kurs=|}} c4xf6biv6u3xnrzj1ekdvqhb7yubkop 106 172886 1118472 1115488 2026-11-02T10:34:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118472 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|22|9|Kurs=|}} hpdrtlky7d96bcw8hqicchf215b5ab7 106 172887 1118473 1115489 2026-11-02T10:34:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118473 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|23|17|Kurs=|}} 8ws01uuowhari4gnpa7o0i2ecdma5ur 106 172888 1118474 1115490 2026-11-02T10:34:33Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118474 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|24|12|Kurs=|}} 1zy40u33frhryqr0ibxe9b6x3oirdto 106 172889 1118476 1115491 2026-11-02T10:34:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118476 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|25|11|Kurs=|}} 4lfqk6hlcln35kptuzrsat6yz9zsiwv 106 172890 1118475 1115492 2026-11-02T10:34:43Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118475 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|25|7|Kurs=|}} 4ic9uvbjktdi4i6ywpzqad1m7xwf39q 106 172891 1118477 1115493 2026-11-02T10:35:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer 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36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118480 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|26|8|Kurs=|}} tnz4kiqw9wdqgn2lmz3p5zjdca3sqnb 106 172897 1118481 1115499 2026-11-02T10:35:43Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118481 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|26|11|Kurs=|}} ok4hcj19lp6cqtytrg4lij8v10mkvkc 106 172898 1118484 1115500 2026-11-02T10:36:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118484 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|28|17|Kurs=|}} jwzks8od1s4wzsweyg5gej7i1pfznen 106 172899 1118458 1115501 2026-11-02T10:31:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118458 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|12|22|Kurs=|}} mxlgxevbobw92wcujo196igdh2693ko 106 172900 1118457 1115502 2026-11-02T10:31:43Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118457 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|12|11|Kurs=|}} svnodnvw0dhox2018txzvo5yann51ae 106 173069 1118430 1116525 2026-11-02T09:33:47Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1118430 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur eines [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. Ferner liefert die imaginäre Periodizität um <math>k\cdot 2\pi i</math> der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] von [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]]durch die Normalisierung der Vervollständigung des Zweiges mit <math>\log_{_G}^\ast(1)=0</math> ist das <math>k\in \mathbb{Z}</math> bereits für den vervollständigten Zweig festgelegt. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Mengentheoretische algebraische Vervollständigung === Mengentheoretisch vervollständigt man z.B. bei den Hauptzweigen des [[komplexer Logarithmus|Logarithmus]] Funktionswerte auf dem entfernten Spurpunkten mit Ausnahme der 0. Beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]], beim die Spur von <math> \gamma_{-1}(t) = {\scriptstyle +}t </math> entfernt wurde, definiert man mit <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> nun auch Funktionswerte für die auf <math> \mathbb{R}^{+}</math> und erhält damit eine algebraische Vervollständigung des Logarithmus von <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Da die [[Holomorphie]] und sogar [[Stetigkeit]] bei diesem Schritt verloren gehen, versucht man zumindest eine Stetigkeit aus einer Normalenvektorrichtung zu erhalten (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung#Animation|Animation]]). Die beiden veranschaulichten Richtungen als [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] zeigen die beiden Optionen, eine einseitige Richtungsstetigkeit zu erreichen. === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben, zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor - archimedische Spirale === Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>{\scriptstyle +}\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>{\scriptstyle -}\gamma^{\bot}(t)</math> (blau).<span id="Animation"></span> [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Animation ==== Die in der Animation darstellte Spur <math>Spur(\gamma)</math> ist nur ein Ausschnitt eines [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\widetilde{\gamma\,} : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(0) = 0</math> und <math>\widetilde{\gamma\,}(t)=t\cdot e^{it}</math>, der durch Spurentfernung einen [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G=\mathbb{C}\setminus Spur(\widetilde{\gamma\,})</math> für einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] liefert. === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] q9mm5amgfd390rah27wbiljjzyrj8nt 1118433 1118430 2026-11-02T09:41:06Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ 1118433 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur eines [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. Ferner liefert die imaginäre Periodizität um <math>k\cdot 2\pi i</math> der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] von [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]]durch die Normalisierung der Vervollständigung des Zweiges mit <math>\log_{_G}^\ast(1)=0</math> ist das <math>k\in \mathbb{Z}</math> bereits für den vervollständigten Zweig festgelegt. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Mengentheoretische algebraische Vervollständigung === Mengentheoretisch vervollständigt man z.B. bei den Hauptzweigen des [[komplexer Logarithmus|Logarithmus]] Funktionswerte auf dem entfernten Spurpunkten mit Ausnahme der 0. Beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]], beim die Spur von <math> \gamma_{-1}(t) = {\scriptstyle +}t </math> entfernt wurde, definiert man mit <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> nun auch Funktionswerte für die auf <math> \mathbb{R}^{+}</math> und erhält damit eine algebraische Vervollständigung des Logarithmus von <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Da die [[Holomorphie]] und sogar [[Stetigkeit]] bei diesem Schritt verloren gehen, versucht man zumindest eine Stetigkeit aus einer Normalenvektorrichtung zu erhalten (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung#Animation|Animation]]). Die beiden veranschaulichten Richtungen als [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] zeigen die beiden Optionen, eine einseitige Richtungsstetigkeit zu erreichen. === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben, zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor - archimedische Spirale === Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>{\scriptstyle +}\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>{\scriptstyle -}\gamma^{\bot}(t)</math> (blau).<span id="Animation"></span> [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Animation ==== Die in der Animation darstellte Spur <math>Spur(\gamma)</math> ist nur ein Ausschnitt eines [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\widetilde{\gamma\,} : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(0) = 0</math> und <math>\widetilde{\gamma\,}(t)=t\cdot e^{it}</math>, der durch Spurentfernung einen [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G=\mathbb{C}\setminus Spur(\widetilde{\gamma\,})</math> für einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] liefert. === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Definition - Normalisierung eines Zweiges == Ein Zweig <math>\log_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>1\in G</math> eines Logarithmus auf einem [[einfach zusammenhängenden]] Gebietes heißt ''normalisiert'', wenn <math>\log_{_G}(1)=0</math> gilt. === Bemerkung - algebraische Vervollständigung === Eine algebraische Vervollständigung eines Logarithmus ist <math>\log_{_G}^{\ast} : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> ist auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>, daher gilt immer <math>1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Für die <math>rlog</math>[[rlog-Funktion|-Funktion]] ist die Normalisierung wesentlich, damit eine Terminierung der rekursiven Anwendung von <math>\log_{_G}^{\ast}</math> auf ein <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> möglich ist. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] pac0la0xx3j8ps63r7m49sfd9euvste 1118437 1118433 2026-11-02T09:42:30Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118437 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur eines [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. Ferner liefert die imaginäre Periodizität um <math>k\cdot 2\pi i</math> der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] von [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]]durch die Normalisierung der Vervollständigung des Zweiges mit <math>\log_{_G}^\ast(1)=0</math> ist das <math>k\in \mathbb{Z}</math> bereits für den vervollständigten Zweig festgelegt. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Mengentheoretische algebraische Vervollständigung === Mengentheoretisch vervollständigt man z.B. bei den Hauptzweigen des [[komplexer Logarithmus|Logarithmus]] Funktionswerte auf dem entfernten Spurpunkten mit Ausnahme der 0. Beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]], beim die Spur von <math> \gamma_{-1}(t) = {\scriptstyle +}t </math> entfernt wurde, definiert man mit <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> nun auch Funktionswerte für die auf <math> \mathbb{R}^{+}</math> und erhält damit eine algebraische Vervollständigung des Logarithmus von <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Da die [[Holomorphie]] und sogar [[Stetigkeit]] bei diesem Schritt verloren gehen, versucht man zumindest eine Stetigkeit aus einer Normalenvektorrichtung zu erhalten (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung#Animation|Animation]]). Die beiden veranschaulichten Richtungen als [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] zeigen die beiden Optionen, eine einseitige Richtungsstetigkeit zu erreichen. === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben, zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor - archimedische Spirale === Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>{\scriptstyle +}\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>{\scriptstyle -}\gamma^{\bot}(t)</math> (blau).<span id="Animation"></span> [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Animation ==== Die in der Animation darstellte Spur <math>Spur(\gamma)</math> ist nur ein Ausschnitt eines [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\widetilde{\gamma\,} : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(0) = 0</math> und <math>\widetilde{\gamma\,}(t)=t\cdot e^{it}</math>, der durch Spurentfernung einen [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G=\mathbb{C}\setminus Spur(\widetilde{\gamma\,})</math> für einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] liefert. === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Definition - Normalisierung eines Zweiges == Ein Zweig <math>\log_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>1\in G</math> eines Logarithmus auf einem [[einfach zusammenhängenden]] Gebietes heißt ''normalisiert'', wenn <math>\log_{_G}(1)=0</math> gilt. === Bemerkung - algebraische Vervollständigung === Eine algebraische Vervollständigung eines Logarithmus ist <math>\log_{_G}^{\ast} : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> ist auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>, daher gilt immer <math>1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Für die <math>rlog</math>[[rlog-Funktion|-Funktion]] ist die Normalisierung wesentlich, damit eine Terminierung der rekursiven Anwendung von <math>\log_{_G}^{\ast}</math> auf ein <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> möglich ist. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[rlog-Funktion]] * [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] fwm4ietlx8507w8sp2s8cf67orrvtzk 1118438 1118437 2026-11-02T09:43:13Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118438 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur eines [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. Ferner liefert die imaginäre Periodizität um <math>k\cdot 2\pi i</math> der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] von [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]]durch die Normalisierung der Vervollständigung des Zweiges mit <math>\log_{_G}^\ast(1)=0</math> ist das <math>k\in \mathbb{Z}</math> bereits für den vervollständigten Zweig festgelegt. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Mengentheoretische algebraische Vervollständigung === Mengentheoretisch vervollständigt man z.B. bei den Hauptzweigen des [[komplexer Logarithmus|Logarithmus]] Funktionswerte auf dem entfernten Spurpunkten mit Ausnahme der 0. Beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]], beim die Spur von <math> \gamma_{-1}(t) = {\scriptstyle +}t </math> entfernt wurde, definiert man mit <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> nun auch Funktionswerte für die auf <math> \mathbb{R}^{+}</math> und erhält damit eine algebraische Vervollständigung des Logarithmus von <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Da die [[Holomorphie]] und sogar [[Stetigkeit]] bei diesem Schritt verloren gehen, versucht man zumindest eine Stetigkeit aus einer Normalenvektorrichtung zu erhalten (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung#Animation|Animation]]). Die beiden veranschaulichten Richtungen als [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] zeigen die beiden Optionen, eine einseitige Richtungsstetigkeit zu erreichen. === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben, zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor - archimedische Spirale === Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>{\scriptstyle +}\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>{\scriptstyle -}\gamma^{\bot}(t)</math> (blau).<span id="Animation"></span> [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Animation ==== Die in der Animation darstellte Spur <math>Spur(\gamma)</math> ist nur ein Ausschnitt eines [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\widetilde{\gamma\,} : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(0) = 0</math> und <math>\widetilde{\gamma\,}(t)=t\cdot e^{it}</math>, der durch Spurentfernung einen [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G=\mathbb{C}\setminus Spur(\widetilde{\gamma\,})</math> für einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] liefert. === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Definition - Normalisierung eines Zweiges == Ein Zweig <math>\log_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>1\in G</math> eines Logarithmus auf einem [[einfach zusammenhängenden]] Gebietes heißt ''normalisiert'', wenn <math>\log_{_G}(1)=0</math> gilt. === Bemerkung - algebraische Vervollständigung === Eine algebraische Vervollständigung eines Logarithmus ist <math>\log_{_G}^{\ast} : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> ist auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>, daher gilt immer <math>1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Für die <math>rlog</math>[[rlog-Funktion|-Funktion]] ist die Normalisierung wesentlich, damit eine Terminierung der rekursiven Anwendung von <math>\log_{_G}^{\ast}</math> auf ein <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> möglich ist. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[rlog-Funktion]] * [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] s80ml859nxovp9vsic06yxcglg7vtul 0 173255 1118440 1117666 2026-11-02T09:48:16Z CMBFe 41969 /* Unser Team */ 1118440 wikitext text/x-wiki = HumanConnect – Menschen. Gesellschaft. Zukunft.= Wir sind HumanConnect, ein Beratungsunternehmen mit den Schwerpunkten Personalwesen, öffentliche Sicherheit und Nachhaltigkeit. Wir unterstützen Unternehmen und öffentliche Einrichtungen dabei, Herausforderungen zu erkennen und passende Lösungen zu entwickeln. Dabei beschäftigen wir uns mit Fragen rund um die Arbeitswelt, die Sicherheit im öffentlichen Raum und einen verantwortungsvollen Umgang mit Ressourcen. Unser Team bringt unterschiedliche Kenntnisse und Erfahrungen ein, um unsere Kunden bei der Planung und Umsetzung ihrer Vorhaben zu begleiten. HumanConnect ist eine [[Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/HumanConnect/GmbH|GmbH]] = Unser Team = Einzelheiten über unser HumanConnect-[[Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/HumanConnect/Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. = Unser Angebot = Bei HumanConnect beraten und unterstützen wir Unternehmen und öffentliche Einrichtungen in den Bereichen Personalwesen, öffentliche Sicherheit und Nachhaltigkeit. Dabei schauen wir gemeinsam mit unseren Kunden, welche Herausforderungen bestehen und wie sich diese am besten lösen lassen. Im Bereich Personalwesen beschäftigen wir uns unter anderem mit der Personalentwicklung, der Mitarbeiterführung und den Arbeitsbedingungen in Unternehmen. Wir beraten unsere Kunden bei unterschiedlichen Personalfragen und bieten bei Bedarf auch Workshops an. Ein weiterer Bereich unserer Arbeit ist die öffentliche Sicherheit. Hier unterstützen wir Kommunen und öffentliche Einrichtungen dabei, Probleme im öffentlichen Raum zu erkennen und Lösungen dafür zu finden. Dafür führen wir beispielsweise Bürgerbefragungen und Sicherheitsanalysen durch und erarbeiten Konzepte zur Kriminalprävention. Auch das Thema Nachhaltigkeit gehört zu unserem Angebot. Wir beraten Unternehmen und öffentliche Einrichtungen dazu, wie sie umweltfreundlicher arbeiten und Ressourcen einsparen können. Dazu gehört beispielsweise die nachhaltige Beschaffung von Materialien oder die Entwicklung von Konzepten zur Verringerung des Ressourcenverbrauchs. Von der ersten Beratung über die Entwicklung eines passenden Konzepts bis hin zur Unterstützung bei der Umsetzung begleiten wir unsere Kunden bei ihren Projekten. 7ksgt08t9f8916dgtbikbf7c9cdxn9g 1118441 1118440 2026-11-02T09:48:47Z CMBFe 41969 /* Unser Angebot */ 1118441 wikitext text/x-wiki = HumanConnect – Menschen. Gesellschaft. Zukunft.= Wir sind HumanConnect, ein Beratungsunternehmen mit den Schwerpunkten Personalwesen, öffentliche Sicherheit und Nachhaltigkeit. Wir unterstützen Unternehmen und öffentliche Einrichtungen dabei, Herausforderungen zu erkennen und passende Lösungen zu entwickeln. Dabei beschäftigen wir uns mit Fragen rund um die Arbeitswelt, die Sicherheit im öffentlichen Raum und einen verantwortungsvollen Umgang mit Ressourcen. Unser Team bringt unterschiedliche Kenntnisse und Erfahrungen ein, um unsere Kunden bei der Planung und Umsetzung ihrer Vorhaben zu begleiten. HumanConnect ist eine [[Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/HumanConnect/GmbH|GmbH]] = Unser Team = Einzelheiten über unser HumanConnect-[[Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/HumanConnect/Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. = Unser Angebot = Bei HumanConnect beraten und unterstützen wir Unternehmen und öffentliche Einrichtungen in den Bereichen Personalwesen, öffentliche Sicherheit und Nachhaltigkeit. Dabei schauen wir gemeinsam mit unseren Kunden, welche Herausforderungen bestehen und wie sich diese am besten lösen lassen. Im Bereich Personalwesen beschäftigen wir uns unter anderem mit der Personalentwicklung, der Mitarbeiterführung und den Arbeitsbedingungen in Unternehmen. Wir beraten unsere Kunden bei unterschiedlichen Personalfragen und bieten bei Bedarf auch Workshops an. Ein weiterer Bereich unserer Arbeit ist die öffentliche Sicherheit. Hier unterstützen wir Kommunen und öffentliche Einrichtungen dabei, Probleme im öffentlichen Raum zu erkennen und Lösungen dafür zu finden. Dafür führen wir beispielsweise Bürgerbefragungen und Sicherheitsanalysen durch und erarbeiten Konzepte zur Kriminalprävention. Auch das Thema Nachhaltigkeit gehört zu unserem Angebot. Wir beraten Unternehmen und öffentliche Einrichtungen dazu, wie sie umweltfreundlicher arbeiten und Ressourcen einsparen können. Dazu gehört beispielsweise die nachhaltige Beschaffung von Materialien oder die Entwicklung von Konzepten zur Verringerung des Ressourcenverbrauchs. 3whu8vdzf7uursswjfxf93s0pi0zrj5 1118444 1118441 2026-11-02T09:52:07Z CMBFe 41969 /* Unser Angebot */ 1118444 wikitext text/x-wiki = HumanConnect – Menschen. Gesellschaft. Zukunft.= Wir sind HumanConnect, ein Beratungsunternehmen mit den Schwerpunkten Personalwesen, öffentliche Sicherheit und Nachhaltigkeit. Wir unterstützen Unternehmen und öffentliche Einrichtungen dabei, Herausforderungen zu erkennen und passende Lösungen zu entwickeln. Dabei beschäftigen wir uns mit Fragen rund um die Arbeitswelt, die Sicherheit im öffentlichen Raum und einen verantwortungsvollen Umgang mit Ressourcen. Unser Team bringt unterschiedliche Kenntnisse und Erfahrungen ein, um unsere Kunden bei der Planung und Umsetzung ihrer Vorhaben zu begleiten. HumanConnect ist eine [[Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/HumanConnect/GmbH|GmbH]] = Unser Team = Einzelheiten über unser HumanConnect-[[Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/HumanConnect/Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. = Unser Angebot = Bei HumanConnect bieten wir unseren Kunden individuelle Beratungen, Workshops und die Entwicklung von Konzepten an. Im Personalbereich unterstützen wir beispielsweise bei der Mitarbeiterführung, Personalentwicklung und Verbesserung von Arbeitsbedingungen. Für Kommunen und öffentliche Einrichtungen führen wir unter anderem Bürgerbefragungen und Sicherheitsanalysen durch, um Probleme im öffentlichen Raum zu untersuchen und mögliche Lösungen zu entwickeln. Auch im Bereich Nachhaltigkeit bieten wir Beratungen an, beispielsweise zur umweltfreundlichen Beschaffung und zur Einsparung von Ressourcen. Je nach Auftrag begleiten wir unsere Kunden von der ersten Untersuchung bis zur Umsetzung der erarbeiteten Konzepte. p1esr6jar3hr0vsn0p0dge8yiwxhq1h 1118446 1118444 2026-11-02T09:52:41Z CMBFe 41969 /* Unser Angebot */ 1118446 wikitext text/x-wiki = HumanConnect – Menschen. Gesellschaft. Zukunft.= Wir sind HumanConnect, ein Beratungsunternehmen mit den Schwerpunkten Personalwesen, öffentliche Sicherheit und Nachhaltigkeit. Wir unterstützen Unternehmen und öffentliche Einrichtungen dabei, Herausforderungen zu erkennen und passende Lösungen zu entwickeln. Dabei beschäftigen wir uns mit Fragen rund um die Arbeitswelt, die Sicherheit im öffentlichen Raum und einen verantwortungsvollen Umgang mit Ressourcen. Unser Team bringt unterschiedliche Kenntnisse und Erfahrungen ein, um unsere Kunden bei der Planung und Umsetzung ihrer Vorhaben zu begleiten. HumanConnect ist eine [[Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/HumanConnect/GmbH|GmbH]] = Unser Team = Einzelheiten über unser HumanConnect-[[Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/HumanConnect/Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. = Unser Angebot = Bei HumanConnect bieten wir unseren Kunden individuelle Beratungen, Workshops und die Entwicklung von Konzepten an. Im Personalbereich unterstützen wir beispielsweise bei der Mitarbeiterführung, Personalentwicklung und Verbesserung von Arbeitsbedingungen. Für Kommunen und öffentliche Einrichtungen führen wir unter anderem Bürgerbefragungen und Sicherheitsanalysen durch, um Probleme im öffentlichen Raum zu untersuchen und mögliche Lösungen zu entwickeln. Auch im Bereich Nachhaltigkeit bieten wir Beratungen an, beispielsweise zur umweltfreundlichen Beschaffung und zur Einsparung von Ressourcen. Je nach Auftrag begleiten wir unsere Kunden von der ersten Untersuchung bis zur Umsetzung der erarbeiteten Konzepte. jtdwoohzsmf5xg5w0wqu5em07ktnb4e 1118448 1118446 2026-11-02T10:00:22Z CMBFe 41969 /* Unser Angebot */ 1118448 wikitext text/x-wiki = HumanConnect – Menschen. Gesellschaft. Zukunft.= Wir sind HumanConnect, ein Beratungsunternehmen mit den Schwerpunkten Personalwesen, öffentliche Sicherheit und Nachhaltigkeit. Wir unterstützen Unternehmen und öffentliche Einrichtungen dabei, Herausforderungen zu erkennen und passende Lösungen zu entwickeln. Dabei beschäftigen wir uns mit Fragen rund um die Arbeitswelt, die Sicherheit im öffentlichen Raum und einen verantwortungsvollen Umgang mit Ressourcen. Unser Team bringt unterschiedliche Kenntnisse und Erfahrungen ein, um unsere Kunden bei der Planung und Umsetzung ihrer Vorhaben zu begleiten. HumanConnect ist eine [[Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/HumanConnect/GmbH|GmbH]] = Unser Team = Einzelheiten über unser HumanConnect-[[Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/HumanConnect/Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. = Unser Angebot = Bei HumanConnect bieten wir unseren Kunden individuelle Beratungen, Workshops und die Entwicklung von Konzepten an. Im Personalbereich unterstützen wir beispielsweise bei der Mitarbeiterführung, Personalentwicklung und Verbesserung von Arbeitsbedingungen. Für Kommunen und öffentliche Einrichtungen führen wir unter anderem Bürgerbefragungen und Sicherheitsanalysen durch, um Probleme im öffentlichen Raum zu untersuchen und mögliche Lösungen zu entwickeln. Auch im Bereich Nachhaltigkeit bieten wir Beratungen an, beispielsweise zur umweltfreundlichen Beschaffung und zur Einsparung von Ressourcen. Je nach Auftrag begleiten wir unsere Kunden von der ersten Untersuchung bis zur Umsetzung der erarbeiteten Konzepte. = Individuelle Angebote = Wir passen unsere Angebote an die Wünsche und Anforderungen unserer Kunden an. Die jeweiligen Kalkulationen halten wir auf einer separaten Unternehmensseite fest. Dort finden Sie auch die Kalkulation für unseren ersten Auftrag, bei dem wir für die Fraport AG eine Haushaltsbefragung in Darmstadt durchführen. 2aa48e7z9z3swwc3lsvdm0vfkxy9y5g 1118449 1118448 2026-11-02T10:04:56Z CMBFe 41969 /* Individuelle Angebote */ 1118449 wikitext text/x-wiki = HumanConnect – Menschen. Gesellschaft. Zukunft.= Wir sind HumanConnect, ein Beratungsunternehmen mit den Schwerpunkten Personalwesen, öffentliche Sicherheit und Nachhaltigkeit. Wir unterstützen Unternehmen und öffentliche Einrichtungen dabei, Herausforderungen zu erkennen und passende Lösungen zu entwickeln. Dabei beschäftigen wir uns mit Fragen rund um die Arbeitswelt, die Sicherheit im öffentlichen Raum und einen verantwortungsvollen Umgang mit Ressourcen. Unser Team bringt unterschiedliche Kenntnisse und Erfahrungen ein, um unsere Kunden bei der Planung und Umsetzung ihrer Vorhaben zu begleiten. HumanConnect ist eine [[Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/HumanConnect/GmbH|GmbH]] = Unser Team = Einzelheiten über unser HumanConnect-[[Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/HumanConnect/Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. = Unser Angebot = Bei HumanConnect bieten wir unseren Kunden individuelle Beratungen, Workshops und die Entwicklung von Konzepten an. Im Personalbereich unterstützen wir beispielsweise bei der Mitarbeiterführung, Personalentwicklung und Verbesserung von Arbeitsbedingungen. Für Kommunen und öffentliche Einrichtungen führen wir unter anderem Bürgerbefragungen und Sicherheitsanalysen durch, um Probleme im öffentlichen Raum zu untersuchen und mögliche Lösungen zu entwickeln. Auch im Bereich Nachhaltigkeit bieten wir Beratungen an, beispielsweise zur umweltfreundlichen Beschaffung und zur Einsparung von Ressourcen. Je nach Auftrag begleiten wir unsere Kunden von der ersten Untersuchung bis zur Umsetzung der erarbeiteten Konzepte. = Individuelle Angebote = Wir passen unsere Angebote an die Wünsche und Anforderungen unserer Kunden an. Die jeweiligen Kalkulationen halten wir auf einer separaten Unternehmensseite fest. Dort finden Sie auch die Kalkulation für [[Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/HumanConnect/unseren ersten Auftrag|unseren ersten Auftrag]], bei dem wir für die Fraport AG eine Haushaltsbefragung in Darmstadt durchführen. 373cq937652bgszus24s9w58zvvokq9 0 173257 1118377 1117763 2026-11-01T18:09:12Z Sarquel.1129 41960 /* Unser Unternehmen */ 1118377 wikitext text/x-wiki = Unser Unternehmen = Globalfluence ist eine internationale Marketing- und Kommunikationsagentur, die Unternehmen dabei unterstützt, sich in einer global vernetzten Welt erfolgreich zu positionieren. Unser Leistungsspektrum reicht von kreativen Werbekampagnen und digitalem Marketing bis hin zu strategischer Unternehmensberatung und interkultureller Kommunikation. Wir entwickeln individuelle Lösungen, stärken Markenidentitäten und begleiten Unternehmen bei ihrer internationalen Ausrichtung. Dabei verbinden wir Kreativität mit strategischem Denken und schaffen neue Perspektiven für eine erfolgreiche Zusammenarbeit über Ländergrenzen hinweg. = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. HINWEIS: Der Link muss NICHT lauten auf "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team" SONDERN "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence/Team|Team" DOPPELTE [[ statt Anführungszeichen. b46fq44osnkzab2y1kierw9zh84mlvx 1118378 1118377 2026-11-01T18:12:33Z Sarquel.1129 41960 /* Unser Team */ 1118378 wikitext text/x-wiki = Unser Unternehmen = Globalfluence ist eine internationale Marketing- und Kommunikationsagentur, die Unternehmen dabei unterstützt, sich in einer global vernetzten Welt erfolgreich zu positionieren. Unser Leistungsspektrum reicht von kreativen Werbekampagnen und digitalem Marketing bis hin zu strategischer Unternehmensberatung und interkultureller Kommunikation. Wir entwickeln individuelle Lösungen, stärken Markenidentitäten und begleiten Unternehmen bei ihrer internationalen Ausrichtung. Dabei verbinden wir Kreativität mit strategischem Denken und schaffen neue Perspektiven für eine erfolgreiche Zusammenarbeit über Ländergrenzen hinweg. = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. HINWEIS: Der Link muss NICHT lauten auf "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team" SONDERN "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence/Team|Team" DOPPELTE [[ statt Anführungszeichen. = Rechtsform = Globalfluence wird als Gesellschaft mit beschränkter Haftung (GmbH) geführt. Das Unternehmen besteht aus fünf Gesellschafterinnen und verfügt über ein Stammkapital von 25.000 €. Die Geschäftsführung übernimmt die Leitung des Unternehmens und vertritt die GmbH nach außen. Die Gesellschafterinnen sind an wichtigen Unternehmensentscheidungen beteiligt und verfügen über entsprechende Kontrollrechte. Die Haftung der GmbH ist grundsätzlich auf das Gesellschaftsvermögen beschränkt, sodass das Privatvermögen der Gesellschafterinnen geschützt bleibt. Die Verteilung von Gewinnen und Verlusten richtet sich nach den Regelungen des Gesellschaftsvertrags. svys8nytdos1cvlzev0m8d6zut3pm49 1118380 1118378 2026-11-01T18:37:19Z Strucannn 41958 /* Unser Unternehmen */ 1118380 wikitext text/x-wiki = Unser Unternehmen = Globalfluence ist ein deutsches Unternehmen mit internationaler Marketing- und Kommunikationsagentur. Das 2010 gegründete Unternehmen mit Sitz in Darmstadt unterstützt andere Unternehmen dabei, sich in einer global vernetzten Welt erfolgreich zu positionieren. Unser Leistungsspektrum reicht von kreativen Werbekampagnen und digitalem Marketing bis hin zu strategischer Unternehmensberatung und interkultureller Kommunikation. Wir entwickeln individuelle Lösungen, stärken Markenidentitäten und begleiten Unternehmen bei ihrer internationalen Ausrichtung. Dabei verbinden wir Kreativität mit strategischem Denken und schaffen neue Perspektiven für eine erfolgreiche Zusammenarbeit über Ländergrenzen hinweg. = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. HINWEIS: Der Link muss NICHT lauten auf "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team" SONDERN "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence/Team|Team" DOPPELTE [[ statt Anführungszeichen. = Rechtsform = Globalfluence wird als Gesellschaft mit beschränkter Haftung (GmbH) geführt. Das Unternehmen besteht aus fünf Gesellschafterinnen und verfügt über ein Stammkapital von 25.000 €. Die Geschäftsführung übernimmt die Leitung des Unternehmens und vertritt die GmbH nach außen. Die Gesellschafterinnen sind an wichtigen Unternehmensentscheidungen beteiligt und verfügen über entsprechende Kontrollrechte. Die Haftung der GmbH ist grundsätzlich auf das Gesellschaftsvermögen beschränkt, sodass das Privatvermögen der Gesellschafterinnen geschützt bleibt. Die Verteilung von Gewinnen und Verlusten richtet sich nach den Regelungen des Gesellschaftsvertrags. tl6ccf0jqdj7pj0my9798f0zesmietx 1118381 1118380 2026-11-01T18:44:15Z Strucannn 41958 /* Unser Unternehmen */ 1118381 wikitext text/x-wiki = Unser Unternehmen = Globalfluence ist ein deutsches Unternehmen mit internationaler Marketing- und Kommunikationsagentur. Das 2010 gegründete Unternehmen mit Sitz in Darmstadt unterstützt andere Unternehmen dabei, sich in einer global vernetzten Welt erfolgreich zu positionieren. Unser Leistungsspektrum reicht von kreativen Werbekampagnen und digitalem Marketing bis hin zu strategischer Unternehmensberatung und interkultureller Kommunikation. Wir entwickeln individuelle Lösungen, stärken Markenidentitäten und unterstützen Unternehmen dabei, sich erfolgreich international zu positionieren. = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. HINWEIS: Der Link muss NICHT lauten auf "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team" SONDERN "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence/Team|Team" DOPPELTE [[ statt Anführungszeichen. = Rechtsform = Globalfluence wird als Gesellschaft mit beschränkter Haftung (GmbH) geführt. Das Unternehmen besteht aus fünf Gesellschafterinnen und verfügt über ein Stammkapital von 25.000 €. Die Geschäftsführung übernimmt die Leitung des Unternehmens und vertritt die GmbH nach außen. Die Gesellschafterinnen sind an wichtigen Unternehmensentscheidungen beteiligt und verfügen über entsprechende Kontrollrechte. Die Haftung der GmbH ist grundsätzlich auf das Gesellschaftsvermögen beschränkt, sodass das Privatvermögen der Gesellschafterinnen geschützt bleibt. Die Verteilung von Gewinnen und Verlusten richtet sich nach den Regelungen des Gesellschaftsvertrags. o3sg6gmw35o87e77okwdjl15msmge40 1118382 1118381 2026-11-01T18:46:32Z Strucannn 41958 /* Unser Unternehmen */ 1118382 wikitext text/x-wiki = Unser Unternehmen = Globalfluence ist ein deutsches Unternehmen mit internationaler Marketing- und Kommunikationsagentur. Das 2010 gegründete Unternehmen mit Sitz in Darmstadt unterstützt andere Unternehmen dabei, sich in einer global vernetzten Welt erfolgreich zu positionieren. Unser Leistungsspektrum reicht von kreativen Werbekampagnen und digitalem Marketing bis hin zu strategischer Unternehmensberatung und interkultureller Kommunikation. Wir entwickeln individuelle Lösungen, stärken Markenidentitäten und unterstützen Unternehmen dabei, sich erfolgreich international zu positionieren. Globalfluence ist eine [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Skyfall/Gmbh|GmbH]] = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. HINWEIS: Der Link muss NICHT lauten auf "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team" SONDERN "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence/Team|Team" DOPPELTE [[ statt Anführungszeichen. = Rechtsform = Globalfluence wird als Gesellschaft mit beschränkter Haftung (GmbH) geführt. Das Unternehmen besteht aus fünf Gesellschafterinnen und verfügt über ein Stammkapital von 25.000 €. Die Geschäftsführung übernimmt die Leitung des Unternehmens und vertritt die GmbH nach außen. Die Gesellschafterinnen sind an wichtigen Unternehmensentscheidungen beteiligt und verfügen über entsprechende Kontrollrechte. Die Haftung der GmbH ist grundsätzlich auf das Gesellschaftsvermögen beschränkt, sodass das Privatvermögen der Gesellschafterinnen geschützt bleibt. Die Verteilung von Gewinnen und Verlusten richtet sich nach den Regelungen des Gesellschaftsvertrags. tnxm5xwxliaf25r1g1ob90orxu14h0n 1118384 1118382 2026-11-01T18:48:24Z Strucannn 41958 /* Rechtsform */ 1118384 wikitext text/x-wiki = Unser Unternehmen = Globalfluence ist ein deutsches Unternehmen mit internationaler Marketing- und Kommunikationsagentur. Das 2010 gegründete Unternehmen mit Sitz in Darmstadt unterstützt andere Unternehmen dabei, sich in einer global vernetzten Welt erfolgreich zu positionieren. Unser Leistungsspektrum reicht von kreativen Werbekampagnen und digitalem Marketing bis hin zu strategischer Unternehmensberatung und interkultureller Kommunikation. Wir entwickeln individuelle Lösungen, stärken Markenidentitäten und unterstützen Unternehmen dabei, sich erfolgreich international zu positionieren. Globalfluence ist eine [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Skyfall/Gmbh|GmbH]] = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. HINWEIS: Der Link muss NICHT lauten auf "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team" SONDERN "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence/Team|Team" DOPPELTE [[ statt Anführungszeichen. on0vgwrcnxqiwalp2k097ig2njowj29 1118385 1118384 2026-11-01T18:50:26Z Strucannn 41958 /* Unser Unternehmen */ 1118385 wikitext text/x-wiki = Unser Unternehmen = Globalfluence ist ein deutsches Unternehmen mit internationaler Marketing- und Kommunikationsagentur. Das 2010 gegründete Unternehmen mit Sitz in Darmstadt unterstützt andere Unternehmen dabei, sich in einer global vernetzten Welt erfolgreich zu positionieren. Unser Leistungsspektrum reicht von kreativen Werbekampagnen und digitalem Marketing bis hin zu strategischer Unternehmensberatung und interkultureller Kommunikation. Wir entwickeln individuelle Lösungen, stärken Markenidentitäten und unterstützen Unternehmen dabei, sich erfolgreich international zu positionieren. = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. HINWEIS: Der Link muss NICHT lauten auf "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team" SONDERN "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence/Team|Team" DOPPELTE [[ statt Anführungszeichen. 4qonqdadycomumcwfwn2y53uussn65u 1118387 1118385 2026-11-01T19:06:48Z Strucannn 41958 1118387 wikitext text/x-wiki = Unser Unternehmen = Globalfluence ist ein deutsches Unternehmen mit internationaler Marketing- und Kommunikationsagentur. Das 2010 gegründete Unternehmen mit Sitz in Darmstadt unterstützt andere Unternehmen dabei, sich in einer global vernetzten Welt erfolgreich zu positionieren. Unser Leistungsspektrum reicht von kreativen Werbekampagnen und digitalem Marketing bis hin zu strategischer Unternehmensberatung und interkultureller Kommunikation. Wir entwickeln individuelle Lösungen, stärken Markenidentitäten und unterstützen Unternehmen dabei, sich erfolgreich international zu positionieren. = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Globalfluence-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. HINWEIS: Der Link muss NICHT lauten auf "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team" SONDERN "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence/Team|Team" DOPPELTE [[ statt Anführungszeichen. =Rechtsform= Globalfluence wird als Gesellschaft mit beschränkter Haftung (GmbH) geführt. Das Unternehmen besteht aus fünf Gesellschafterinnen und verfügt über ein Stammkapital von 25.000 €. Die Geschäftsführung übernimmt die Leitung des Unternehmens und vertritt die GmbH nach außen. Die Gesellschafterinnen sind an wichtigen Unternehmensentscheidungen beteiligt und verfügen über entsprechende Kontrollrechte. Die Haftung der GmbH ist grundsätzlich auf das Gesellschaftsvermögen beschränkt, sodass das Privatvermögen der Gesellschafterinnen geschützt bleibt. Die Verteilung von Gewinnen und Verlusten richtet sich nach den Regelungen des Gesellschaftsvertrags. m2vmmlhthxvtoqhiwawq9h7neo4yznp 1118388 1118387 2026-11-01T19:07:47Z Strucannn 41958 1118388 wikitext text/x-wiki = Unser Unternehmen = Globalfluence ist ein deutsches Unternehmen mit internationaler Marketing- und Kommunikationsagentur. Das 2010 gegründete Unternehmen mit Sitz in Darmstadt unterstützt andere Unternehmen dabei, sich in einer global vernetzten Welt erfolgreich zu positionieren. Unser Leistungsspektrum reicht von kreativen Werbekampagnen und digitalem Marketing bis hin zu strategischer Unternehmensberatung und interkultureller Kommunikation. Wir entwickeln individuelle Lösungen, stärken Markenidentitäten und unterstützen Unternehmen dabei, sich erfolgreich international zu positionieren. = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. HINWEIS: Der Link muss NICHT lauten auf "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team" SONDERN "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence/Team|Team" DOPPELTE [[ statt Anführungszeichen. =Rechtsform= Globalfluence wird als Gesellschaft mit beschränkter Haftung (GmbH) geführt. Das Unternehmen besteht aus fünf Gesellschafterinnen und verfügt über ein Stammkapital von 25.000 €. Die Geschäftsführung übernimmt die Leitung des Unternehmens und vertritt die GmbH nach außen. Die Gesellschafterinnen sind an wichtigen Unternehmensentscheidungen beteiligt und verfügen über entsprechende Kontrollrechte. Die Haftung der GmbH ist grundsätzlich auf das Gesellschaftsvermögen beschränkt, sodass das Privatvermögen der Gesellschafterinnen geschützt bleibt. Die Verteilung von Gewinnen und Verlusten richtet sich nach den Regelungen des Gesellschaftsvertrags. ahbhjyzp3dsmx9wytas7w44scd1qr3m 106 173258 1118379 1117671 2026-11-01T18:16:51Z Sarquel.1129 41960 /* Lernen Sie unser Team kennen ! */ 1118379 wikitext text/x-wiki = Lernen Sie unser Team kennen ! = Unser Unternehmen setzt sich aus den folgenden Kolleginnen zusammen. Sabine Adenauer - Marketing & Verkauf Marie Schulz & Nora Müller - Finanzen & Controlling Lena Sturm - Personal & Beschaffung Emilia Weiler - Management & IT mqrtrxq1w5bblne0ix33g6l2ds840mm 0 173259 1118402 1117685 2026-11-02T07:39:34Z ~2026-58164-96 42051 /* Unser Unternehmen */ 1118402 wikitext text/x-wiki {{Fiktives Unternehmen}} = Unser Unternehmen = PublicVision ist eine internationale Unternehmensberatung mit Schwerpunkt auf nachhaltiger Wirtschaftsentwicklung. Wir haben es uns zur Aufgabe gemacht, Unternehmen, Organisationen und institutionelle Akteure bei der Entwicklung und Umsetzung internationaler Strategien und Projekte zu unterstützen. Wir beraten sie in den Bereichen Human Recources, internationales Marketing, Entwicklungszusammenarbeit sowie die Gestaltung und Optimierung globaler Wertschöpfungsketten. gns4tffte8cu5mdm28plx05dlp2u1d7 0 173261 1118419 1117684 2026-11-02T08:57:34Z Wikisowi123 41977 /* Lernen Sie uns kennen! */ 1118419 wikitext text/x-wiki = Lernen Sie uns kennen! = # Aim Morgan (Finanzen und Controlling) # Eilra Collins (Peronal und Beschaffung) # Nivek Brooks (Managment und IT) # Simetra Valeris (Marketing und Verkauf) bfmrn0d1d45qaa8tzg6x8owz09jbfab 0 173264 1118432 1117738 2026-11-02T09:38:07Z ~2026-58264-39 42056 /* Unser Unternehmen */ 1118432 wikitext text/x-wiki {{Fiktives Unternehmen}} = Unser Unternehmen = Wir sind '''Anthropos''', ihr Büro für Unternemensführung! Im Jahr 1900 in der Nähe von Athen gegründet bieten wir ausgewählten Kundinnen und Kunden Unterstützung bei der Realisierung ihrer Unternehmensziele. Bis 1951 waren wir rein am Mittelmeer ansässig. Aber bereits kurz danach expandierten wir in die DACH-Region und etablierten mit unserer langen Erfahrung Konzepte für den Unternemer von morgen. Anthropos ist eine [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Anthropos/Gmbh|GmbH]]. [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)]] = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Anthropos-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. = Unser Angebot = Bei uns erhalten sie nach dem Motto des "One-Stop-Shopping" ein komplettes Rundum-Sorglos-Paket für die Realisierung Ihrer Spiele-Ideen. Wir untersuchen für Sie verschiedene Zielgruppen innerhalb der Gaming Community: Was wollen die Mitglieder der Zielgruppe spielen? Was gefällt ihnen besonders? Wie teuer dürfen die Spiele sein? Von der ersten Idee, über detaillierte UX-Studien bis hin zur Evaluation von Werbe- und PR-Maßnahmen stehen wir an Ihrer Seite! Kürzlich haben wir unser Angebot ausgeweitet auf Web-Anwendungen für den Kulturbereich. == Individuelle Angebote == Unsere internen Kalkulationen haben wir in unserem Infranet versteckt! Auch unsere Kalkulation für unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall|erstes Angebot]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] 5sya6egx6d7xkku4sb6p6syiaca0mc1 106 173275 1118424 1118064 2026-11-02T09:21:41Z ~2026-58299-28 42054 /* Management/IT */ 1118424 wikitext text/x-wiki = Lernen Sie uns kennen! = == Personal und Beschaffung == Suzan Geske: Ich kümmere mich um das Personal und die Beschaffung, da ich gerne mit Menschen arbeite und ein angenehmes Arbeitsklima schaffen möchte. == Finanzen und Controlling == Ella Sottke: Ich bin für die Finanzen und das Planen da, weil ich gerne alles im Blick habe. == Management/IT == Melike Kaygisiz: Ich interessiere mich für Management& IT, weil mich die Verbindung zwischen Wirtschaft und Technik interessiert. == Marketing und Verkauf == Blerina bck6x5zib6yqlf23hpju5p7w35nh587 106 173277 1118376 1117758 2026-11-01T14:17:02Z KlausBarkowsky 41946 1118376 wikitext text/x-wiki Marketing & Verkauf: '''Thomas Born''' Als Leiter Verkauf und Marketing bei Anthropos verbinde ich strategisches Denken mit Kommunikationsstärke und einem ausgeprägten Gespür für Menschen. Ich verstehe es, Chancen zu erkennen, Vertrauen aufzubauen und auch in anspruchsvollen Situationen überzeugend aufzutreten. Dass ich dabei einen kühlen Kopf bewahre und Verhandlungen souverän führe, dürfte nicht zuletzt an Erfahrungen liegen, die man nicht unbedingt im Büro sammelt. Schließlich hat jeder seine eigene Geschichte und manche davon schreibt man besser zwischen Tür und Tresen. Finanzen & Controlling: '''Boba Fett''' Ich bin für den Bereich Finanzen und Controlling in unserer GmbH geeignet, weil ich verantwortungsbewusst, strukturiert und zuverlässig arbeite. Ich habe ein gutes Zahlenverständnis und kann  finanzielle Entwicklungen analysieren, Kosten im Blick behalten und wirtschaftliche Entscheidungen unterstützen. Außerdem möchte ich aktiv dazu beitragen, die finanzielle Stabilität und den langfristigen Erfolg unserer GmbH zu sichern. Personal & Beschaffung: '''Vito Corleone''' Durch meine überaus, viel geprüften sehr diversen Menschenkenntnisse bin ich der perfekte Fit für die Leitung des Personals und der Beschaffung. Nebenberuflich hatte ich auch schon das ein oder andere Mal mit Menschen zu tun. Management & IT: '''El Suro''' Zuständig für das Management und die Organisation des Unternehmens, dabei bin ich auch zuständig für die It und aufkommende Probleme. Durch meine hohen Kompetenzen im Bereich des Managements und einem abgeschlossenen Informatik Studium ist diese Stelle perfekt für mich und meine Kompetenzen. j76qrl1s104qktfdryyu5m6nvtf8dk1 1118498 1118376 2026-11-02T10:38:31Z ~2026-58264-39 42056 1118498 wikitext text/x-wiki Marketing & Verkauf: '''Thomas Born''' Als Leiter Verkauf und Marketing bei Anthropos verbinde ich strategisches Denken mit Kommunikationsstärke und einem ausgeprägten Gespür für Menschen. Ich verstehe es, Chancen zu erkennen, Vertrauen aufzubauen und auch in anspruchsvollen Situationen überzeugend aufzutreten. Dass ich dabei einen kühlen Kopf bewahre und Verhandlungen souverän führe, dürfte nicht zuletzt an Erfahrungen liegen, die man nicht unbedingt im Büro sammelt. Schließlich hat jeder seine eigene Geschichte und manche davon schreibt man besser zwischen Tür und Tresen. Finanzen & Controlling: '''Boba Fett''' Ich bin für den Bereich Finanzen und Controlling in unserer GmbH geeignet, weil ich verantwortungsbewusst, strukturiert und zuverlässig arbeite. Ich habe ein gutes Zahlenverständnis und kann  finanzielle Entwicklungen analysieren, Kosten im Blick behalten und wirtschaftliche Entscheidungen unterstützen. Außerdem möchte ich aktiv dazu beitragen, die finanzielle Stabilität und den langfristigen Erfolg unserer GmbH zu sichern. Personal & Beschaffung: '''Vito Corleone''' Durch meine überaus, viel geprüften sehr diversen Menschenkenntnisse bin ich der perfekte Fit für die Leitung des Personals und der Beschaffung. Nebenberuflich hatte ich auch schon das ein oder andere Mal mit Menschen zu tun. Management & IT: '''Klaus Barkowsky''' Zuständig für das Management und die Organisation des Unternehmens, dabei bin ich auch zuständig für die It und aufkommende Probleme. Durch meine hohen Kompetenzen im Bereich des Managements und einem abgeschlossenen Informatik Studium ist diese Stelle perfekt für mich und meine Kompetenzen. 3kw0rlgyy43yqty54dlq7pxzifwyv3t 1118613 1118498 2026-11-02T11:27:39Z ~2026-58264-39 42056 1118613 wikitext text/x-wiki Marketing & Verkauf: '''Thomas Born''' Als Leiter Verkauf und Marketing bei Anthropos verbinde ich strategisches Denken mit Kommunikationsstärke und einem ausgeprägten Gespür für Menschen. Ich verstehe es, Chancen zu erkennen, Vertrauen aufzubauen und auch in anspruchsvollen Situationen überzeugend aufzutreten. Dass ich dabei einen kühlen Kopf bewahre und Verhandlungen souverän führe, dürfte nicht zuletzt an Erfahrungen liegen, die man nicht unbedingt im Büro sammelt. Schließlich hat jeder seine eigene Geschichte und manche davon schreibt man besser zwischen Tür und Tresen. Finanzen & Controlling: '''Boba Fett''' Ich bin für den Bereich Finanzen und Controlling in unserer GmbH geeignet, weil ich verantwortungsbewusst, strukturiert und zuverlässig arbeite. Ich habe ein gutes Zahlenverständnis und kann  finanzielle Entwicklungen analysieren, Kosten im Blick behalten und wirtschaftliche Entscheidungen unterstützen. Außerdem möchte ich aktiv dazu beitragen, die finanzielle Stabilität und den langfristigen Erfolg unserer GmbH zu sichern. Personal & Beschaffung: '''Vito Corleone''' Durch meine überaus, viel geprüften sehr diversen Menschenkenntnisse bin ich der perfekte Fit für die Leitung des Personals und der Beschaffung. Nebenberuflich hatte ich auch schon das ein oder andere Mal mit Menschen zu tun. Management & IT: '''Klaus Barkowsky''' Zuständig für das Management und die Organisation des Unternehmens, dabei bin ich auch zuständig für die It und aufkommende Probleme. Durch meine hohen Kompetenzen im Bereich des Managements und einem abgeschlossenen Informatik Studium ist diese Stelle perfekt für mich und meine Kompetenzen. Mit Thomas Born konnte ich bereits in anderen unternehmerischen Bereichen tätig sein und somit ein gutes erfahrungsbasiertes Fundament bilden a6c4qcmrioe2jxplw3ecim329hsi324 106 173288 1118426 1118180 2026-11-02T09:24:57Z Abdi BVB Lover 09 41942 1118426 wikitext text/x-wiki Marketing & Verkauf: Lilienriecher Finanzen & Controlling: BVBLover09 bin für die Finanzen und das Controlling zuständig, weil ich bei Zahlen und Finanzen so leidenschaftlich bin wie die Gelbe Wand bei Heimspielen. Personal & Beschaffung: Onkel Jafar (Barca>Real) Management & IT: Mansir abdu epjpi7b3mvm1bfvz60jymmv2rj5jpu6 1118428 1118426 2026-11-02T09:25:31Z Abdi BVB Lover 09 41942 1118428 wikitext text/x-wiki Marketing & Verkauf: Lilienriecher Finanzen & Controlling: BVBLover09 bin für die Finanzen und das Controlling zuständig, weil ich bei Zahlen und Finanzen so leidenschaftlich bin wie die Gelbe Wand bei Heimspielen. Personal & Beschaffung: Onkel Jafar Management & IT: Mansir abdu 9tzjekt4qaqgm3763avb4rowfydk8fm 106 173348 1118409 1118210 2026-11-02T07:56:01Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes */ 1118409 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> 6mxddn13j0qbbrym017sghxj4ejhpes 1118427 1118409 2026-11-02T09:25:26Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - rekursive Definition von rlog */ 1118427 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> kriyv2stcqipzo5blkmkbr55u0ggod0 1118429 1118427 2026-11-02T09:26:02Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele - rlog-Berechnung */ 1118429 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ib44xegirkfh181gqa52pvmo4edqrdp 1118439 1118429 2026-11-02T09:47:16Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rmod]] nach [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rlog]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen: falsche Titel rlog statt rmod verwenden. 1118429 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ib44xegirkfh181gqa52pvmo4edqrdp 1118442 1118439 2026-11-02T09:49:18Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele - rlog-Berechnung */ 1118442 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] e6mb3w9qfhjtvm1am823oyr25tepp8e 1118443 1118442 2026-11-02T09:50:11Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele - rlog-Berechnung */ 1118443 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. Die Abbildung <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{D}_1</math> ist bijektiv. == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] 7u5ss10vl1l5ylmwcg4z1kdz047x9ph 0 173349 1118375 1118220 2026-11-01T13:56:28Z Bocardodarapti 2041 1118375 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{bildskip|}} {{ inputbild |MonoidA2cone|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bodardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-sa-by 4.0 |Bemerkung= }} Wir realisieren die {{math|term= A |SZ=-}}Singularitäten aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= A-Singularität/XY-Z^n/Singulärer Ort/Beispiel |Nr= |SZ=, }} die durch eine Gleichung der Form {{ Relationskette | XY || Z^n || || || |SZ= }} bzw. als Restklassenring {{mathl|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| XY-Z^n |}} |SZ=}} gegeben sind, als einen {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidring| |Kontext=| |SZ=. }} Als Monoid {{math|term= M |SZ=}} nehmen wir das von den drei Tupeln {{mathl|term= e= (1,0),\, f=(0,1),\, g= (-1,n) |SZ=}} erzeugte {{ Zusatz/Klammer |text=additive| |ISZ=|ESZ= }} Untermonoid von {{math|term= \Z^2 |SZ=.}} Dies visualisiert man, indem man im {{math|term= \R^2 |SZ=}} den Sektor betrachtet, der durch die beiden Halbgeraden, die durch {{ mathkor|term1= e |und|term2= g |SZ= }} gegeben sind, begrenzt ist. Die in diesem Sektor liegenden Gitterpunkte sind genau die Punkte, die man als eine additive Kombination der drei Erzeuger erhalten kann. Wegen {{ Relationskette/display | M | \subseteq | \Z \times \N | \subseteq | \Z \times \Z || || |SZ= }} gibt es über jedem Körper direkt Einbettungen {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Allgemeine Hyperbel/Laurentring/Beispiel |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | K[M] | \subseteq | K[V,V^{-1},W] | \subseteq | K[V,V^{-1},W, W^{-1}] || || |SZ=, }} und der Unterring {{mathl|term= K[M] |SZ=}} wird von {{mathl|term= V,W,V^{-1}W^n |SZ=}} erzeugt. {{ inputbild |MonoidA2conemitGleichung|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bodardodarapti |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Die additive Identität im Gitter {{ Relationskette/display | e+g || nf || || || |SZ= }} wird direkt zur algebraischen Identität {{ Relationskette/display | V {{makl| V^{-1}W^n |}} || W^n || || || |SZ=. }} Mit {{ Relationskette | X || V || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | Y || V^{-1} W^n || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | Z || W || || || |SZ= }} erhält man die binomiale Gleichung {{ Relationskette | XY || Z^n || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} d4iibkibazv9pq4e9wq5sjmswhpsv4u 0 173350 1118507 1118353 2026-11-02T10:39:43Z Bocardodarapti 2041 1118507 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{bildskip|}} {{ inputbild |VeroneseDim2Generator4|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Es sei {{ Relationskette | {{{k|k}}} | \in | \N_{\geq 2} || || || |SZ= }} fixiert. Wir betrachten im {{math|term= \N^2 |SZ=}} das additive Untermonoid, das von den {{math|term= {{{k|k}}} +1 |SZ=}} Tupeln {{ Math/display|term= (0,1),\, (1,1), \, (2,1) {{kommadots}} (k,1) |SZ= }} erzeugt wird. Dieses Monoid stimmt mit der Menge der Gitterpunkte überein, die durch die {{math|term= y |SZ=-}}Achse und die Halbgerade des flachsten Tupels {{mathl|term= (k,1) |SZ=}} begrenzt wird. Es ist klar, dass man auf keinen der Erzeuger verzichten kann. Etwas schwieriger ist es, zu zeigen, dass alle Gitterpunkte innerhalb des zweidimensionalen Kegels als eine Summe dieser Erzeuger erhalten werden kann. Diese Darstellung ist hochgradig uneindeutig. Beispielsweise ist bei {{ Relationskette | k || 3 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | (3,3) || (0,1) + (0,1) + (3,1) || (0,1) + (1,1) + (2,1) || (1,1) + (1,1) + (1,1) || |SZ=. }} Der zugehörige Monoidring ist {{ Relationskette/display | K[Y, XY,X^2Y {{kommadots}} X^k Y] | \subseteq | K[X,Y] || || || |SZ=. }} Da diese Algebra {{mathl|term= k+1 |SZ=}} Erzeuger besitzt, gibt es einen surjektiven {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra{{drucktrenn}}homomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | K[T_0 {{kommadots|}} T_{k} ] | K[Y, XY,X^2Y {{kommadots}} X^k Y] | T_i | YX^k |SZ=. }} Es ist etwas mühsam, ein Erzeugendensystem des Kernes zu bestimmen. Er wird aber von binomialen Polynomen erzeugt, die von binomialen {{ Zusatz/Klammer |text=kombinatorischen| |ISZ=|ESZ= }} Gleichungen des Monoids bestimmt sind. Bei {{ Relationskette | {{{k|k}}} || 2 || || |SZ= }} handelt es sich um {{ Relationskette/display | K[Y,XY,X^2Y] | \cong | K[U,V,W]/ {{makl| UW-V^2 |}} || || |SZ=, }} dies ist also eine {{math|term= A |SZ=-}}Singularität. Bei {{ Relationskette | {{{k|k}}} || 3 || || |SZ= }} handelt es sich um {{ Relationskette/display/handlinks | K[Y , XY , X^2Y,X^3Y] | \cong | K[U,V,W,Z]/ {{makl| UZ-VW,UW - V^2,VZ -W^2 |}} || || || |SZ=. }} {{{zusatz1|}}} Eine weitere Beschreibungsmöglichkeit dieser Monoidringe ergibt sich als sogenannte {{ Definitionslink |Veronese-Ringe| |Kontext=| |SZ=. }} Man startet in {{mathl|term= K[S,T] |SZ=}} und betrachtet den Unterring, der von allen Monomen der Form {{mathl|term= S^iT^j |SZ=}} mit {{ Relationskette | i+j || k || || || |SZ= }} erzeugt wird. Diese Monome sind {{math/druckdisplay|term= S^{ {{{k|k}}} }, S^{ {{{k|k}}}-1}T {{kommadots|}} ST^{ {{{k|k}}}-1} , T^{ {{{k|k}}} } |SZ=.}} Auch diese Realisierung kann man auf der Ebene der Monoide verstehen, indem man im {{mathl|term= \N^2 |SZ=}} das von den {{ Math/display|term= (i,j),\, i+j =k |SZ=, }} erzeugte Untermonoid betrachtet. Diese Beschreibung ist offenbar symmetrischer. Ein Vorteil der ersten Beschreibung ist, dass dort das umgebende Gitter das Differenzengitter ist, was in der zweiten Beschreibung nicht gilt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Veronese-Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gfn9p0j4mf6fadb816q4fnq7c3g9sb7 0 173367 1118356 1118350 2026-11-01T12:21:47Z Bocardodarapti 2041 1118356 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{bildskip}} {{ inputbild |Standardquadricmonoidring|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir betrachten das Untermonoid im {{math|term= \N^3 |SZ=,}} das durch die vier Tupel {{ Math/display|term= (0,0,1) ,\, (1,0,1),\, (0,1,1) ,\, (1,1,1) |SZ= }} erzeugt wird. Diese bilden die Eckpunkte eines Quadrates in der {{ Relationskette | z || 1 || || || |SZ=- }} Ebene. Die Summe des ersten und des vierten Erzeugers stimmt mit der Summe des zweiten und des dritten Erzeugers überein, und dies ist die einzige nichttriviale Relation zwischen den Erzeugern. Der umgebende {{mathl|term= \Z^3 |SZ=}} ist das Differenzengitter, da ja der dritte Standardvektor direkt darin enthalten ist und man daraus mit dem zweiten und dritten Erzeuger auch die beiden anderen Standardvektoren als Differenzengitter erhalten kann. Die vier Eckpunkte erzeugen jeweils Halbgeraden und zwei benachbarte Halbgeraden definieren jeweils eine Seite, die einen durch vier Seiten festgelegten polyhedrischen Kegel festlegen. Die Punkte im Monoid sind genau die Gitterpunkte innerhalb dieses Kegels. {{parskip}} Den zugehörigen Monoidring kann man als {{ Relationskette/display | K[M] || K[U, SU, TU, STU ] | \subseteq | K[S,T,U] || || |SZ= }} auffassen. Als Restklassenbeschreibung erhält man {{ Relationskette/display | K[M] || K[U, SU, TU, STU ] | \cong| K[X,Y,Z,W]/(XW-YZ ) || || || |SZ=. }} Daran kann man erkennen, dass dieser Monoidring im Nullpunkt eine isolierte Singularität besitzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der dreidimensionalen kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Standardquadrik in vier Variablen |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 7egpiuj8mvtu5o5fvrcy2j17ssqa3vn 0 173369 1118511 1118355 2026-11-02T10:40:20Z Bocardodarapti 2041 1118511 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir zeigen, dass der Monoidring {{math/druckdisplay|term= K[U,V,W,Z]/ {{makl| UZ-VW,UW - V^2,VZ -W^2 |}} |SZ=}} im Nullpunkt eine {{ Definitionslink |Prämath= |isolierte Singularität| |Kontext=| |SZ= }} besitzt. Die Jacobimatrix ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix34| Z | -W | -V | U | W | -2V | U | 0 | 0 | Z | -2W | V }} |SZ=. }} Da der Monoidring zweidimensional ist, geht es um die Frage, wo der Rang dieser Matrix zumindest {{math|term= 2 |SZ=}} ist. Im Nullpunkt verschwindet die Matrix, dort ist der Rang gleich {{math|term= 0 |SZ=}} und es liegt eine Singularität vor. Bei {{ Relationskette | U | \neq | 0 || || || |SZ= }} zeigt die Untermatrix rechts oben und bei {{ Relationskette | Z | \neq | 0 || || || |SZ= }} zeigt die Untermatrix zu den beiden ersten Spalten und der ersten und dritten Zeile, dass der Rang zumindest {{math|term= 2 |SZ=}} ist. Bei {{ Relationskette | U || Z || 0 || || |SZ= }} folgt aber aus der zweiten und der dritten Gleichung, dass auch {{ Relationskette | V || W || 0 || || |SZ= }} ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Veronese-Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 8lnvov4oh6p792iz5dbuoazfq7ulim3 0 173370 1118363 2026-11-01T12:48:51Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118363 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | M | \subseteq | \Z^d || || || |SZ= }} ein endlich erzeugtes kommutatives Monoid, das {{ Definitionslink |Prämath= |spitz| |Kontext=Monoid| |SZ= }} sei und wobei {{mathl|term= \Z^d |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Differenzengitter| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= M |SZ=}} sei. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist der Monoidring {{math|term= K[M] |SZ=}} im Nullpunkt genau dann glatt, wenn {{ Relationskette | M | \cong | \N^d || || || |SZ= }} ist. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ddfgjgtsqvjia7l4mk75gmgt79hxxnf 0 173371 1118364 2026-11-01T13:09:26Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118364 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Aufgrund der Voraussetzung ist die Dimension des Monoidringes gleich {{math|term= d |SZ=.}} Bei {{ Relationskette/display | M | \cong| \N^d || || || |SZ= }} ist der zugehörige Monoidring der Polynomring in {{math|term= d |SZ=}} Variablen, dessen Nullstellengebilde in jedem Punkt glatt ist. Es sei also {{math|term= M |SZ=}} nicht isomorph zu {{math|term= \N^d |SZ=.}} Da das Differenzengiter von {{math|term= M |SZ=}} gleich {{math|term= \Z^d |SZ=}} ist, wird {{math|term= M |SZ=}} von zumindest {{mathl|term= d+1 |SZ=}} Erzeugern erzeugt, da {{math|term= d |SZ=}} Erzeuger im {{math|term= \R^d |SZ=}} linear unabhängig wären und dann das erzeugte Untermonoid gleich {{math|term= \N^d |SZ=}} wäre. Es sei {{math|term= n |SZ=}} die Anzahl eines minimlaen Monoiderzeugendensystems für {{math|term= M |SZ=.}} Es gibt dann einen surjektiven Monoidhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= |\N^n | M || |SZ= }} und den zugehörigen surjektiven {{math|term= K |SZ=-}}Algebrahomomorphismus {{ Abbildung/display |name= |K[X_1 {{kommadots}} X_n ] | K[M] || |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt |Nr= |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt |Nr= |SZ= }} wird der Kern dieser Abbildung durch binomiale Polynome erzeugt, die direkt vom Monoid herkommen. Über diese binomialen Gleichungen wird der Monoidring geometrisch im {{math|term= K^n |SZ=}} realisiert. Aufgrund der Voraussetzung gibt es zumindest eine binomiale GLeichung, und wegen der Spitzheit ist der Nullpunkt, bei dem alle Erzeuger auf {{math|term= 0 |SZ=}} abgebildet werden, ein Punkt des geometrischen Gebildes. Wir betrachten eine binomiale Gleichung {{ Relationskette/display | X^\nu || X^\mu || || || |SZ=. }} Da das Monoid ein Untermonoid des Differenzengitters ist, können wir kürzen, d.h. wir können davon ausgehen, dass links und rechts nur verschiedene Variablen vorkommen. Ferner wissen wir, dass auf keiner Seite eine Variable isoliert {{ Zusatz/Klammer |text=in der ersten Potenz| |ISZ=|ESZ= }} stehen kann, da andernfalls diese Variable bzw. der zugrunde liegende Monoiderzeuger überflüssig wäre. In der Zeile in der Jacobimatrix zu dieser binomialen Gleichung steht also zumindest eine Variable oder einfach {{math|term= 0 |SZ=.}} In jedem Fall ergibt sich im Nullpunkt die Nullmatrix und daher ist der Rang im Nullpunkt gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} und die Summe aus Dimension und Rang in diesem Punkt ist kleiner {{math|term= n |SZ=.}} Es liegt also ein sungulärer Punkt vor. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4hh53r4qjnmas68o8sk3mizj0att755 0 173372 1118366 2026-11-01T13:26:42Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118366 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur |Situation= |Voraussetzung= Es sei {{ Relationskette | M | \subseteq | \Gamma || || || |SZ= }} ein durch Elemente {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n }} erzeugtes Untermonoid einer {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \Gamma |SZ=}} und sei {{ Abbildung |name= | \N^n | M || |SZ= }} der zugehörige surjektive Monoidhomomorphismus mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus {{ Abbildung |name=\varphi | K[X_1 {{kommadots|}} X_n] | K[M] || |SZ=. }} |Übergang= |Folgerung= Dann wird das Kernideal durch {{ Relationskette/display/handlinks | \ker \varphi {{latexzieh|}} || {{latexzieh|}} {{makl| \prod_{i \in I_1 } X_i^{r_i } - \prod_{i \in I_2 } X_i^{s_i } :\, I_1, I_2 \subseteq \{1, \ldots ,n\} \text{ disjunkt }, \sum_{i \in I_1 } r_i a_i {{=}} \sum_{i \in I_2 } s_i a_i {{latexzieh|}} |}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | r_i, s_i | \geq | 1 || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} beschrieben. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Gleichungen für monomiale Kurven |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nfiq6u8aoq6s57arlqih3idnok6jw9w 1118368 1118366 2026-11-01T13:28:12Z Bocardodarapti 2041 1118368 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur |Situation= |Voraussetzung= Es sei {{ Relationskette | M | \subseteq | \Gamma || || || |SZ= }} ein durch Elemente {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n }} erzeugtes Untermonoid einer {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \Gamma |SZ=}} und sei {{ Abbildung |name= | \N^n | M || |SZ= }} der zugehörige surjektive Monoidhomomorphismus mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus {{ Abbildung |name=\varphi | R[X_1 {{kommadots|}} X_n] | R[M] || |SZ= }} zu einem kommutativen Ring {{math|term= R |SZ=.}} |Übergang= |Folgerung= Dann wird das Kernideal durch {{ Relationskette/display/handlinks | \ker \varphi {{latexzieh|}} || {{latexzieh|}} {{makl| \prod_{i \in I_1 } X_i^{r_i } - \prod_{i \in I_2 } X_i^{s_i } :\, I_1, I_2 \subseteq \{1, \ldots ,n\} \text{ disjunkt }, \sum_{i \in I_1 } r_i a_i {{=}} \sum_{i \in I_2 } s_i a_i {{latexzieh|}} |}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | r_i, s_i | \geq | 1 || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} beschrieben. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Gleichungen für monomiale Kurven |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6vs2qg2zntssg5o9fg65ga7bp4ktqy4 0 173373 1118369 2026-11-01T13:31:31Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118369 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die grundsätzliche Struktur des Kernideals ergibt sich aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt |Nr= |SZ=. }} Da wir in einer Gruppe sind, kann man in einer binomialen Gleichung {{ Relationskette/display | \sum_{i \in I } r_i a_i || \sum_{i \in I } s_i a_i || || || |SZ= }} durch Abziehen erreichen, dass die beiden beteiligten Indexmengen zueinander disjunkt sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 7s2awpwrmxxgxeooz7g9sj3ilhsshxn 1118370 1118369 2026-11-01T13:32:15Z Bocardodarapti 2041 1118370 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die grundsätzliche Struktur des Kernideals ergibt sich aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt |Nr= |SZ=. }} Da wir in einer Gruppe sind, kann man in einer binomialen Gleichung {{ Relationskette/display | \sum_{ i {{=}} 1 }^n r_i a_i || \sum_{ i {{=}} 1 }^n s_i a_i || || || |SZ= }} durch Abziehen erreichen, dass die beiden beteiligten Indexmengen zueinander disjunkt sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} sxx0f5rx17rlp9o0hmxj7tf8kszrq2j 106 173374 1118383 2026-11-01T18:47:44Z Strucannn 41958 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118383 wikitext text/x-wiki Globalfluence wird als Gesellschaft mit beschränkter Haftung (GmbH) geführt. Das Unternehmen besteht aus fünf Gesellschafterinnen und verfügt über ein Stammkapital von 25.000 €. Die Geschäftsführung übernimmt die Leitung des Unternehmens und vertritt die GmbH nach außen. Die Gesellschafterinnen sind an wichtigen Unternehmensentscheidungen beteiligt und verfügen über entsprechende Kontrollrechte. Die Haftung der GmbH ist grundsätzlich auf das Gesellschaftsvermögen beschränkt, sodass das Privatvermögen der Gesellschafterinnen geschützt bleibt. Die Verteilung von Gewinnen und Verlusten richtet sich nach den Regelungen des Gesellschaftsvertrags. 2g1d4zs0q8f5fkjqs8hrxpfb3pyneyg 1118386 1118383 2026-11-01T19:03:46Z Strucannn 41958 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde geleert. 1118386 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 106 173375 1118420 2026-11-02T08:57:42Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118420 wikitext text/x-wiki __TOC__ '''Partizip II – Schritt für Schritt''' ist eine einfache Lerneinheit zur deutschen Grammatik. Sie lernen hier, was ein Partizip II ist, wie man es bildet und wie man es im Alltag braucht. Jeder Schritt hat eine kurze Erklärung und danach ein kleines Quiz. {| class="wikitable" |- ! Lernziele |- | * Sie erkennen das Partizip II in einem Satz. * Sie können das Partizip II von regelmässigen und unregelmässigen Verben bilden. * Sie wissen, wann es '''kein''' ''ge-'' gibt und wann ''ge-'' in der Mitte steht. * Sie wissen, ob Sie '''haben''' oder '''sein''' brauchen. |} == Schritt 1: Was ist ein Partizip II? == Das '''Partizip II''' (auch ''Partizip 2'' oder ''Partizip Perfekt'') ist eine besondere Form des Verbs. Man braucht es vor allem, um über etwas zu sprechen, das '''schon passiert''' ist. Dazu kommt immer '''haben''' oder '''sein''': * Ich '''habe''' das Buch ''gelesen''. * Wir '''sind''' nach Bern ''gefahren''. * Sie '''hat''' die Rechnung ''bezahlt''. <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Das Partizip II steht im Satz meistens '''ganz am Ende'''. </div> === Quiz zu Schritt 1 === <quiz display=simple> {Welches Wort ist das Partizip II?<br />''Ich habe die Rechnung bezahlt.'' |type="()"} - habe || ''habe'' ist das Hilfsverb. - Rechnung || ''Rechnung'' ist ein Nomen. + bezahlt || Richtig! ''bezahlt'' steht am Ende, zusammen mit ''habe''. {Welches Wort ist das Partizip II?<br />''Sie ist gestern früh aufgestanden.'' |type="()"} - ist - gestern + aufgestanden {Wofür braucht man das Partizip II am häufigsten? |type="()"} - Um über die Zukunft zu sprechen + Um über Vergangenes zu sprechen - Um Fragen zu stellen </quiz> == Schritt 2: Regelmässige Verben == Bei '''regelmässigen''' Verben ist es einfach. Man nimmt den Stamm (das Verb ohne ''-en'') und baut einen «Rahmen» darum: <div style="border:1px dashed #2f6f8f; padding:0.4em 1em; margin:1em 0; display:inline-block; font-family:monospace;"> '''ge''' + Stamm + '''t''' </div> {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | machen || '''ge'''mach'''t''' |- | lernen || '''ge'''lern'''t''' |- | kaufen || '''ge'''kauf'''t''' |- | arbeiten || '''ge'''arbeit'''et''' |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Endet der Stamm auf '''-t''' oder '''-d''', kommt ein '''e''' dazu. Sonst kann man es nicht gut aussprechen: gearbeit'''e'''t, gered'''e'''t, gewart'''e'''t. </div> === Quiz zu Schritt 2 === <quiz display=simple> {Bilden Sie das Partizip II von '''kaufen'''. |type="{}"} { gekauft _12 } {Bilden Sie das Partizip II von '''spielen'''. |type="{}"} { gespielt _12 } {Bilden Sie das Partizip II von '''warten'''. |type="{}"} { gewartet _12 } {Welche Form ist richtig? (antworten) |type="()"} + geantwortet || Richtig! Der Stamm endet auf -t, darum kommt ein e dazu. - geantwortt - antwortet </quiz> == Schritt 3: Unregelmässige Verben == Viele Verben, die wir oft brauchen, sind '''unregelmässig'''. Sie enden auf '''-en''', und oft ändert sich der Vokal in der Mitte: <div style="border:1px dashed #2f6f8f; padding:0.4em 1em; margin:1em 0; display:inline-block; font-family:monospace;"> '''ge''' + (oft veränderter) Stamm + '''en''' </div> {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | lesen || '''ge'''les'''en''' |- | schreiben || '''ge'''schr''ie''b'''en''' |- | trinken || '''ge'''tr''u''nk'''en''' |- | gehen || '''ge'''g''ang'''''en''' |- | finden || '''ge'''f''u''nd'''en''' |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Diese Formen kann man nicht ausrechnen. Man muss sie '''lernen''', am besten mit einer Liste (siehe unten: «Wichtige unregelmässige Verben»). </div> === Quiz zu Schritt 3 === <quiz display=simple> {Partizip II von '''trinken'''? |type="()"} - getrinkt + getrunken - getrankt {Partizip II von '''schreiben'''? |type="()"} - geschreibt + geschrieben - geschrieben hat {Bilden Sie das Partizip II von '''sehen'''. |type="{}"} { gesehen _12 } {Partizip II von '''finden'''? |type="()"} - gefindet - gefanden + gefunden </quiz> == Schritt 4: Verben ohne ''ge-'' == Manche Verben bekommen '''kein''' ''ge-''. Das sind zwei Gruppen: '''1. Verben mit diesen Vorsilben:''' be-, er-, ver-, zer-, ent-, emp-, ge-, miss- {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | bezahlen || bezahlt |- | verstehen || verstanden |- | erklären || erklärt |- | besuchen || besucht |} '''2. Verben auf -ieren:''' {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | telefonieren || telefoniert |- | reservieren || reserviert |- | reparieren || repariert |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Tipp:''' Bei diesen Verben betont man '''nicht''' die erste Silbe: be'''zah'''len, ver'''ste'''hen, telefo'''nie'''ren. </div> === Quiz zu Schritt 4 === <quiz display=simple> {Welche Form ist richtig? (bezahlen) |type="()"} - gebezahlt + bezahlt || Richtig! ''be-'' ist eine Vorsilbe ohne ge-. - bezahlen {Bilden Sie das Partizip II von '''reparieren'''. |type="{}"} { repariert _12 } {Bilden Sie das Partizip II von '''besuchen'''. |type="{}"} { besucht _12 } {Welche Form ist richtig? (vergessen) |type="()"} - gevergessen + vergessen || Richtig! Hier sieht das Partizip gleich aus wie das Verb. - vergesst </quiz> == Schritt 5: Trennbare Verben == Manche Verben haben eine Vorsilbe, die man im Satz abtrennen kann: auf-, ein-, an-, ab-, mit-, aus-, zu- … ''Ich räume '''auf'''. Er ruft mich '''an'''.'' Bei diesen Verben steht ''ge-'' '''in der Mitte''': <div style="border:1px dashed #2f6f8f; padding:0.4em 1em; margin:1em 0; display:inline-block; font-family:monospace;"> Vorsilbe + '''ge''' + Stamm + t/en </div> {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | aufräumen || auf'''ge'''räumt |- | einkaufen || ein'''ge'''kauft |- | anrufen || an'''ge'''rufen |- | ausfüllen || aus'''ge'''füllt |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Tipp:''' Bei trennbaren Verben betont man die '''Vorsilbe''': '''auf'''räumen, '''an'''rufen, '''ein'''kaufen. </div> === Quiz zu Schritt 5 === <quiz display=simple> {Welche Form ist richtig? (einkaufen) |type="()"} - geeinkauft + eingekauft - einkauft {Bilden Sie das Partizip II von '''abholen'''. |type="{}"} { abgeholt _14 } {Bilden Sie das Partizip II von '''mitnehmen'''. |type="{}"} { mitgenommen _14 } {Welche Form ist richtig? (ausfüllen) |type="()"} + ausgefüllt - geausfüllt - ausfüllt </quiz> == Schritt 6: ''haben'' oder ''sein''? == Das Partizip II steht zusammen mit '''haben''' oder '''sein'''. Die meisten Verben brauchen ''haben''. '''sein''' braucht man bei: * '''Bewegung''' von A nach B: gehen, fahren, fliegen, kommen<br />→ Ich '''bin''' nach Zürich gefahren. * '''Veränderung''': aufwachen, einschlafen, wachsen, sterben<br />→ Das Kind '''ist''' eingeschlafen. * den Verben '''sein''', '''werden''', '''bleiben'''<br />→ Sie '''ist''' zu Hause geblieben. '''haben''' braucht man bei fast allen anderen Verben: * Ich '''habe''' gegessen. Wir '''haben''' gearbeitet. Er '''hat''' telefoniert. <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Bewegt sich etwas von A nach B oder verändert sich etwas? Dann meistens '''sein'''. Sonst '''haben'''. </div> === Quiz zu Schritt 6 === <quiz display=simple> {Ich ___ nach Zürich gefahren. |type="()"} - habe + bin || Richtig! Bewegung von A nach B → sein. {Wir ___ eine Pizza gegessen. |type="()"} + haben - sind {Das Kind ___ schnell eingeschlafen. |type="()"} - hat + ist || Richtig! Veränderung (wach → schlafend) → sein. {Sie ___ den ganzen Tag zu Hause geblieben. |type="()"} - hat + ist || Richtig! ''bleiben'' steht immer mit sein. </quiz> == Schritt 7: Das Partizip II als Adjektiv == Das Partizip II kann auch '''vor einem Nomen''' stehen, wie ein Adjektiv. Dann bekommt es eine Endung: * die Rechnung ist bezahlt → die '''bezahlt'''''e'' Rechnung * das Ei ist gekocht → das '''gekocht'''''e'' Ei * der Brief ist geschrieben → der '''geschrieben'''''e'' Brief === Quiz zu Schritt 7 === <quiz display=simple> {Die ___ Rechnung liegt auf dem Tisch. (bezahlen) |type="()"} - gebezahlte + bezahlte - bezahlt {Das ___ Fenster muss repariert werden. (zerbrechen) |type="()"} + zerbrochene - gezerbrochene - zerbrecht </quiz> == Schlusstest: alles gemischt == Überlegen Sie bei jedem Verb: # Regelmässig (''-t'') oder unregelmässig (''-en'')? # Mit ''ge-'', ohne ''ge-'' oder ''ge-'' in der Mitte? # ''haben'' oder ''sein''? <quiz display=simple> {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Ich habe den Brief schon { geschickt _12 }. (schicken) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Haben Sie die Aufgabe { verstanden _12 }? (verstehen) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Er hat mich gestern { angerufen _12 }. (anrufen) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Wir haben den Tisch { reserviert _12 }. (reservieren) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Sie hat das Zimmer { aufgeräumt _12 }. (aufräumen) {Der Zug ___ pünktlich angekommen. |type="()"} - hat + ist {Welcher Satz ist richtig? |type="()"} - Ich habe gestern Fussball gespielen. + Ich habe gestern Fussball gespielt. - Ich bin gestern Fussball gespielt. {Welche Sätze sind richtig? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Wir haben lange gewartet. - Er hat nach Basel gefahren. + Sie ist um 7 Uhr aufgewacht. - Ich habe die Rechnung gebezahlt. + Hast du den Film gesehen? </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Regel !! Bildung !! Beispiele |- | Regelmässige Verben || '''ge''' + Stamm + '''t''' || gemacht, gekauft, gearbeitet |- | Unregelmässige Verben || '''ge''' + Stamm + '''en''' (Vokal ändert oft) || gelesen, getrunken, geschrieben |- | Vorsilben be-, er-, ver-, zer-, ent-, emp-, ge-, miss- || '''kein''' ge- || bezahlt, verstanden, erklärt |- | Verben auf -ieren || '''kein''' ge- || telefoniert, repariert |- | Trennbare Verben || Vorsilbe + '''ge''' + Stamm + t/en || aufgeräumt, eingekauft, angerufen |- | Bewegung, Veränderung, sein/werden/bleiben || mit '''sein''' || ist gefahren, ist eingeschlafen |- | Alle anderen Verben || mit '''haben''' || hat gegessen, hat gelernt |} == Wichtige unregelmässige Verben == {| class="wikitable sortable" ! Verb !! Partizip II !! haben / sein |- | bleiben || geblieben || sein |- | bringen || gebracht || haben |- | essen || gegessen || haben |- | fahren || gefahren || sein |- | finden || gefunden || haben |- | fliegen || geflogen || sein |- | geben || gegeben || haben |- | gehen || gegangen || sein |- | helfen || geholfen || haben |- | kommen || gekommen || sein |- | lesen || gelesen || haben |- | nehmen || genommen || haben |- | schlafen || geschlafen || haben |- | schreiben || geschrieben || haben |- | sehen || gesehen || haben |- | sprechen || gesprochen || haben |- | trinken || getrunken || haben |- | werden || geworden || sein |- | wissen || gewusst || haben |} [[Kategorie:Deutsch]] [[Kategorie:Grammatik]] mg0w8j26o75xyyxei0zd79pws3qmlav 1118422 1118420 2026-11-02T09:09:07Z Paul Sutermeister 37610 1118422 wikitext text/x-wiki __TOC__ '''Partizip II – Schritt für Schritt''' ist eine einfache Lerneinheit zur deutschen Grammatik. Sie lernen hier, was ein Partizip II ist, wie man es bildet und wie man es im Alltag braucht. Jeder Schritt hat eine kurze Erklärung und danach ein kleines Quiz. {| class="wikitable" |- ! Lernziele |- | * Sie erkennen das Partizip II in einem Satz. * Sie können das Partizip II von regelmässigen und unregelmässigen Verben bilden. * Sie wissen, wann es '''kein''' ''ge-'' gibt und wann ''ge-'' in der Mitte steht. * Sie wissen, ob Sie '''haben''' oder '''sein''' brauchen. |} == Schritt 1: Was ist ein Partizip II? == Das '''Partizip II''' (auch ''Partizip 2'' oder ''Partizip Perfekt'') ist eine besondere Form des Verbs. Man braucht es vor allem, um über etwas zu sprechen, das '''schon passiert''' ist. Dazu kommt immer '''haben''' oder '''sein''': * Ich '''habe''' das Buch ''gelesen''. * Wir '''sind''' nach Bern ''gefahren''. * Sie '''hat''' die Rechnung ''bezahlt''. <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Das Partizip II steht im Satz meistens '''ganz am Ende'''. </div> === Quiz zu Schritt 1 === <quiz display=simple> {Welches Wort ist das Partizip II?<br />''Ich habe die Rechnung bezahlt.'' |type="()"} - habe || ''habe'' ist das Hilfsverb. - Rechnung || ''Rechnung'' ist ein Nomen. + bezahlt || Richtig! ''bezahlt'' steht am Ende, zusammen mit ''habe''. {Welches Wort ist das Partizip II?<br />''Sie ist gestern früh aufgestanden.'' |type="()"} - ist - gestern + aufgestanden {Wofür braucht man das Partizip II am häufigsten? |type="()"} - Um über die Zukunft zu sprechen + Um über Vergangenes zu sprechen - Um Fragen zu stellen </quiz> == Schritt 2: Regelmässige Verben == Bei '''regelmässigen''' Verben ist es einfach. Man nimmt den Stamm (das Verb ohne ''-en'') und baut einen «Rahmen» darum: <div style="border:1px dashed #2f6f8f; padding:0.4em 1em; margin:1em 0; display:inline-block; font-family:monospace;"> '''ge''' + Stamm + '''t''' </div> {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | machen || '''ge'''mach'''t''' |- | lernen || '''ge'''lern'''t''' |- | kaufen || '''ge'''kauf'''t''' |- | arbeiten || '''ge'''arbeit'''et''' |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Endet der Stamm auf '''-t''' oder '''-d''', kommt ein '''e''' dazu. Sonst kann man es nicht gut aussprechen: gearbeit'''e'''t, gered'''e'''t, gewart'''e'''t. </div> === Quiz zu Schritt 2 === <quiz display=simple> {Bilden Sie das Partizip II von '''kaufen'''. |type="{}"} { gekauft _12 } {Bilden Sie das Partizip II von '''spielen'''. |type="{}"} { gespielt _12 } {Bilden Sie das Partizip II von '''warten'''. |type="{}"} { gewartet _12 } {Welche Form ist richtig? (antworten) |type="()"} + geantwortet || Richtig! Der Stamm endet auf -t, darum kommt ein e dazu. - geantwortt - antwortet </quiz> == Schritt 3: Unregelmässige Verben == Viele Verben, die wir oft brauchen, sind '''unregelmässig'''. Sie enden auf '''-en''', und oft ändert sich der Vokal in der Mitte: <div style="border:1px dashed #2f6f8f; padding:0.4em 1em; margin:1em 0; display:inline-block; font-family:monospace;"> '''ge''' + (oft veränderter) Stamm + '''en''' </div> {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | lesen || '''ge'''les'''en''' |- | schreiben || '''ge'''schr''ie''b'''en''' |- | trinken || '''ge'''tr''u''nk'''en''' |- | gehen || '''ge'''g''ang'''''en''' |- | finden || '''ge'''f''u''nd'''en''' |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Diese Formen kann man nicht ausrechnen. Man muss sie '''lernen''', am besten mit einer Liste (siehe unten: «Wichtige unregelmässige Verben»). </div> === Quiz zu Schritt 3 === <quiz display=simple> {Partizip II von '''trinken'''? |type="()"} - getrinkt + getrunken - getrankt {Partizip II von '''schreiben'''? |type="()"} - geschreibt + geschrieben - geschrieben hat {Bilden Sie das Partizip II von '''sehen'''. |type="{}"} { gesehen _12 } {Partizip II von '''finden'''? |type="()"} - gefindet - gefanden + gefunden </quiz> == Schritt 4: Verben ohne ''ge-'' == Manche Verben bekommen '''kein''' ''ge-''. Das sind zwei Gruppen: '''1. Verben mit diesen Vorsilben:''' be-, er-, ver-, zer-, ent-, emp-, ge-, miss- {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | bezahlen || bezahlt |- | verstehen || verstanden |- | erklären || erklärt |- | besuchen || besucht |} '''2. Verben auf -ieren:''' {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | telefonieren || telefoniert |- | reservieren || reserviert |- | reparieren || repariert |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Tipp:''' Bei diesen Verben betont man '''nicht''' die erste Silbe: be'''zah'''len, ver'''ste'''hen, telefo'''nie'''ren. </div> === Quiz zu Schritt 4 === <quiz display=simple> {Welche Form ist richtig? (bezahlen) |type="()"} - gebezahlt + bezahlt || Richtig! ''be-'' ist eine Vorsilbe ohne ge-. - bezahlen {Bilden Sie das Partizip II von '''reparieren'''. |type="{}"} { repariert _12 } {Bilden Sie das Partizip II von '''besuchen'''. |type="{}"} { besucht _12 } {Welche Form ist richtig? (vergessen) |type="()"} - gevergessen + vergessen || Richtig! Hier sieht das Partizip gleich aus wie das Verb. - vergesst </quiz> == Schritt 5: Trennbare Verben == Manche Verben haben eine Vorsilbe, die man im Satz abtrennen kann: auf-, ein-, an-, ab-, mit-, aus-, zu- … ''Ich räume '''auf'''. Er ruft mich '''an'''.'' Bei diesen Verben steht ''ge-'' '''in der Mitte''': <div style="border:1px dashed #2f6f8f; padding:0.4em 1em; margin:1em 0; display:inline-block; font-family:monospace;"> Vorsilbe + '''ge''' + Stamm + t/en </div> {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | aufräumen || auf'''ge'''räumt |- | einkaufen || ein'''ge'''kauft |- | anrufen || an'''ge'''rufen |- | ausfüllen || aus'''ge'''füllt |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Tipp:''' Bei trennbaren Verben betont man die '''Vorsilbe''': '''auf'''räumen, '''an'''rufen, '''ein'''kaufen. </div> === Quiz zu Schritt 5 === <quiz display=simple> {Welche Form ist richtig? (einkaufen) |type="()"} - geeinkauft + eingekauft - einkauft {Bilden Sie das Partizip II von '''abholen'''. |type="{}"} { abgeholt _14 } {Bilden Sie das Partizip II von '''mitnehmen'''. |type="{}"} { mitgenommen _14 } {Welche Form ist richtig? (ausfüllen) |type="()"} + ausgefüllt - geausfüllt - ausfüllt </quiz> == Schritt 6: ''haben'' oder ''sein''? == Das Partizip II steht zusammen mit '''haben''' oder '''sein'''. Die meisten Verben brauchen ''haben''. '''sein''' braucht man bei: * '''Bewegung''' von A nach B: gehen, fahren, fliegen, kommen<br />→ Ich '''bin''' nach Zürich gefahren. * '''Veränderung''': aufwachen, einschlafen, wachsen, sterben<br />→ Das Kind '''ist''' eingeschlafen. * den Verben '''sein''', '''werden''', '''bleiben'''<br />→ Sie '''ist''' zu Hause geblieben. '''haben''' braucht man bei fast allen anderen Verben: * Ich '''habe''' gegessen. Wir '''haben''' gearbeitet. Er '''hat''' telefoniert. <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Bewegt sich etwas von A nach B oder verändert sich etwas? Dann meistens '''sein'''. Sonst '''haben'''. </div> === Quiz zu Schritt 6 === <quiz display=simple> {Ich ___ nach Zürich gefahren. |type="()"} - habe + bin || Richtig! Bewegung von A nach B → sein. {Wir ___ eine Pizza gegessen. |type="()"} + haben - sind {Das Kind ___ schnell eingeschlafen. |type="()"} - hat + ist || Richtig! Veränderung (wach → schlafend) → sein. {Sie ___ den ganzen Tag zu Hause geblieben. |type="()"} - hat + ist || Richtig! ''bleiben'' steht immer mit sein. </quiz> == Schritt 7: Das Partizip II als Adjektiv == Das Partizip II kann auch '''vor einem Nomen''' stehen, wie ein Adjektiv. Dann bekommt es eine Endung: * die Rechnung ist bezahlt → die '''bezahlt'''''e'' Rechnung * das Ei ist gekocht → das '''gekocht'''''e'' Ei * der Brief ist geschrieben → der '''geschrieben'''''e'' Brief === Quiz zu Schritt 7 === <quiz display=simple> {Die ___ Rechnung liegt auf dem Tisch. (bezahlen) |type="()"} - gebezahlte + bezahlte - bezahlt {Das ___ Fenster muss repariert werden. (zerbrechen) |type="()"} + zerbrochene - gezerbrochene - zerbrecht </quiz> == Schlusstest: alles gemischt == Überlegen Sie bei jedem Verb: # Regelmässig (''-t'') oder unregelmässig (''-en'')? # Mit ''ge-'', ohne ''ge-'' oder ''ge-'' in der Mitte? # ''haben'' oder ''sein''? <quiz display=simple> {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Ich habe den Brief schon { geschickt _12 }. (schicken) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Haben Sie die Aufgabe { verstanden _12 }? (verstehen) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Er hat mich gestern { angerufen _12 }. (anrufen) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Wir haben den Tisch { reserviert _12 }. (reservieren) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Sie hat das Zimmer { aufgeräumt _12 }. (aufräumen) {Der Zug ___ pünktlich angekommen. |type="()"} - hat + ist {Welcher Satz ist richtig? |type="()"} - Ich habe gestern Fussball gespielen. + Ich habe gestern Fussball gespielt. - Ich bin gestern Fussball gespielt. {Welche Sätze sind richtig? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Wir haben lange gewartet. - Er hat nach Basel gefahren. + Sie ist um 7 Uhr aufgewacht. - Ich habe die Rechnung gebezahlt. + Hast du den Film gesehen? </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Regel !! Bildung !! Beispiele |- | Regelmässige Verben || '''ge''' + Stamm + '''t''' || gemacht, gekauft, gearbeitet |- | Unregelmässige Verben || '''ge''' + Stamm + '''en''' (Vokal ändert oft) || gelesen, getrunken, geschrieben |- | Vorsilben be-, er-, ver-, zer-, ent-, emp-, ge-, miss- || '''kein''' ge- || bezahlt, verstanden, erklärt |- | Verben auf -ieren || '''kein''' ge- || telefoniert, repariert |- | Trennbare Verben || Vorsilbe + '''ge''' + Stamm + t/en || aufgeräumt, eingekauft, angerufen |- | Bewegung, Veränderung, sein/werden/bleiben || mit '''sein''' || ist gefahren, ist eingeschlafen |- | Alle anderen Verben || mit '''haben''' || hat gegessen, hat gelernt |} == Wichtige unregelmässige Verben == {| class="wikitable sortable" ! Verb !! Partizip II !! haben / sein |- | bleiben || geblieben || sein |- | bringen || gebracht || haben |- | essen || gegessen || haben |- | fahren || gefahren || sein |- | finden || gefunden || haben |- | fliegen || geflogen || sein |- | geben || gegeben || haben |- | gehen || gegangen || sein |- | helfen || geholfen || haben |- | kommen || gekommen || sein |- | lesen || gelesen || haben |- | nehmen || genommen || haben |- | schlafen || geschlafen || haben |- | schreiben || geschrieben || haben |- | sehen || gesehen || haben |- | sprechen || gesprochen || haben |- | trinken || getrunken || haben |- | werden || geworden || sein |- | wissen || gewusst || haben |} [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] 8hcnwes0uee5d801wcpjkidd5spbn3p 3 173376 1118423 2026-11-02T09:20:31Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1118423 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Frederik Frey}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:20, 2. Nov. 2026 (CET) kehzl291hxfogxmqp2rzipqyqk1mdv4 3 173377 1118425 2026-11-02T09:22:07Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1118425 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Heckendorf Kevin}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:22, 2. Nov. 2026 (CET) gqyznidx9zr35uxonp8ee1vykk67jit 0 173378 1118431 2026-11-02T09:36:46Z CMBFe 41969 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118431 wikitext text/x-wiki = Lernen Sie das Team hinter HumanConnect kennen!= 1. Emma Blau (25,Sozialwissenschaftlerin): Personal & Management 2. Rumi Kang (28, Sozialwissenschaften): Marketing & Verkauf 3. Jonas Weber (29, Betriebswirt): Finanzen & Controlling 4. Leon Hoffmann (27, Wirtschaftsinformatiker): Beschaffung & IT 5tco7dwjak31by9vfg240v5n8kwbvxo 0 173379 1118434 2026-11-02T09:41:31Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rlog]] erstellt 1118434 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rlog]] o00gmhn64nplluekn0vuasrw9jvlt8g 0 173380 1118436 2026-11-02T09:42:05Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/einfach zusammenhängend]] erstellt 1118436 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/einfach zusammenhängend]] 5bhtz504tcmu8cd8byvrczip0tqvkzf 3 173381 1118447 2026-11-02T10:00:20Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1118447 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Kirby-perfected}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 11:00, 2. Nov. 2026 (CET) 392u7lae6kem15q49ti8arzav47ogvp 106 173382 1118450 2026-11-02T10:30:33Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1118450 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|6|4|Kurs=|}} 57hunu76z1eeuo75h1ceal8zqke4q1l 106 173383 1118451 2026-11-02T10:30:43Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1118451 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|7|6|Kurs=|}} k8zbisi30alaqsmnong73lamqcxxcge 106 173384 1118452 2026-11-02T10:30:53Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1118452 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|7|7|Kurs=|}} lbfihj92z2zt3bv28lkpvmxz7gztu4i 106 173385 1118453 2026-11-02T10:31:03Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1118453 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Korollar|8|5|Kurs=|}} sf8shldbqm96xlr4578drh6uyb1l1e0 106 173386 1118516 2026-11-02T10:40:53Z Morrison-Moestar 41975 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118516 wikitext text/x-wiki [http://file:///C:/Users/schim/OneDrive/Desktop/Angebot%20Bettergreen%201.0.1.pdf file:///C:/Users/schim/OneDrive/Desktop/Angebot%20Bettergreen%201.0.1.pdf] rluuaconw3lhb15dznh45ov4p30y5db 1118546 1118516 2026-11-02T10:45:51Z Morrison-Moestar 41975 1118546 wikitext text/x-wiki Aufwand Kosten Darmstadt-Umfrage in 1000 zufällig ausgewählten Haushalten variable Fix Variable Fix Fix Fix Fix 5 studentische Hilfskräfte, 600 Std. 1 angestellte Wissenschaftler/-in, BAT 11, 22 J. analog (paper & pencil). (=> 1000 FraBos zu 4 Seiten) Auswertung: neue SPSS-Lizenzen (1 Jahr) 3 Laptops 3 Jahre Druck: neuer Profi-Kopierer 5 Jahre ein kleines Büro in Darmstadt gemietet (2 Jahre) 6 Monate 18,03 6000 150 1300 3600 1250 24000 Vor Steuern Endpreis Variable 1 Variable2 Variable3 Variable Fix+Variable 10968 13051,92 54343 64668,17 Fix+Variable+Gewinn 65211,6 77601,804 j8oh16nq5snuj74r26ulhn2z6bmbf6g 1118549 1118546 2026-11-02T10:46:04Z Morrison-Moestar 41975 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde geleert. 1118549 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 1118561 1118549 2026-11-02T10:47:53Z Morrison-Moestar 41975 1118561 wikitext text/x-wiki [[file:///C:/Users/schim/OneDrive/Desktop/Angebot%20Bettergreen%201.0.1.pdf]] 5ure91x79y2u3u3g9q1dketdkd3cdhc 1118585 1118561 2026-11-02T10:51:44Z Morrison-Moestar 41975 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde geleert. 1118585 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 1118596 1118585 2026-11-02T10:53:54Z Morrison-Moestar 41975 1118596 wikitext text/x-wiki [http://file:///C:/Users/schim/OneDrive/Desktop/Angebot%20Bettergreen%201.0.2.pdf Angebot ] j02p164tpn81lpr1plqaxsnme00xtdy 0 173387 1118598 2026-11-02T11:06:07Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung]] erstellt 1118598 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung]] 96d4g1egp51o6aip6rn90xr5mvxshlp 106 173388 1118599 2026-11-02T11:06:53Z ~2026-58264-39 42056 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118599 wikitext text/x-wiki '''Erster Auftrag''' Variable Kosten • Krankheits-/Urlaubstage: 480 h · 17,5 % = 84 Std. · 14 € = 1.176 € • 5 Studies: 480 h · 14 € · 5 = 33.600 € • Papier, Toner, Verschleiß: ca. 1.500 € Summe: 36.276 € Fixkosten (6 Monate) • Lohn Wissenschaftlerin: 6 · 4.800 € = 28.800 € • Büromiete Darmstadt: 6 · 800 € = 4.800 € • Profi-Kopierer: 3.000 € / 3 Jahre = 1.000 € pro Jahr → 500 € • Laptop + Lizenzen: 700 € / 3 Jahre ≈ 20 € pro Monat · 6 · 5 = 600 € Summe: 34.700 € Vollkosten = 36.276 + 34.700 = 70.976 € 1) Ohne unmittelbaren Verlust (nur variable Kosten) 36.276 · 1,19 = 43.168,44 € 2) Langfristig ohne Verlust (Vollkosten) 70.976 · 1,19 = 84.461,44 € 3) Mit 20 % Gewinn Gewinn: 70.976 · 0,20 = 14.195,20 € Netto: 70.976 + 14.195,20 = 85.171,20 € Brutto: 85.171,20 · 1,19 = 101.353,73 € s30n4wcnaa15ta1w81japq1914colsj 106 173389 1118600 2026-11-02T11:07:16Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118600 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ [[Datei:Einfache Bedürfnishierarchie nach Maslow.svg|thumb]] = [[:w:Maslowsche Bedürfnishierarchie|Maslows Bedürfnispyramide]] = In diesem Lernpfad lernen Sie Schritt für Schritt die fünf Stufen der Bedürfnispyramide kennen. Lesen Sie jeweils die Erklärung und beantworten Sie danach die Frage. Klicken Sie unten auf '''«Auswerten»''', um Ihre Antworten zu prüfen. == Schritt 1: Was motiviert Menschen? == Der US-amerikanische Psychologe '''Abraham Maslow''' stellte 1943 eine Theorie vor: Menschen haben Bedürfnisse, die sich in fünf Stufen ordnen lassen. Solange eine untere Stufe unbefriedigt ist, beschäftigt sie uns am stärksten. Erst wenn die Basis einigermassen gesichert ist, werden die höheren Bedürfnisse wichtig. Deshalb zeichnet man das Modell als Pyramide: unten das Fundament, oben die Spitze. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Stufe !! Bezeichnung |- | 5 || Selbstverwirklichung |- | 4 || Individualbedürfnisse (Wertschätzung) |- | 3 || Soziale Bedürfnisse |- | 2 || Sicherheitsbedürfnisse |- | 1 || Physiologische Bedürfnisse |} ''Gut zu wissen:'' Die Pyramidenform stammt nicht von Maslow selbst. Sie wurde später von anderen gezeichnet, um sein Modell zu veranschaulichen. <quiz display=simple> {Was ist die Grundidee von Maslows Modell? |type="()"} - Alle Bedürfnisse sind gleich wichtig und werden gleichzeitig erfüllt. || Nein. Maslow ordnet die Bedürfnisse in Stufen. + Unbefriedigte untere Bedürfnisse stehen im Vordergrund, höhere werden erst danach wichtig. || Richtig. Erst wenn die unteren Stufen einigermassen erfüllt sind, rücken die höheren in den Fokus. - Die Selbstverwirklichung ist das Fundament aller Bedürfnisse. || Nein. Die Selbstverwirklichung ist die Spitze, nicht das Fundament. - Nur Geld motiviert Menschen wirklich. || Nein. Maslow beschreibt ganz verschiedene Bedürfnisse. </quiz> == Schritt 2: Stufe 1 – Physiologische Bedürfnisse == Das Fundament: alles, was der Körper zum Überleben braucht. Wer hungrig, durstig oder völlig übermüdet ist, kann sich kaum auf etwas anderes konzentrieren. '''Beispiele:''' Essen, Trinken, Schlaf, Atmen, Wärme, Kleidung <quiz display=simple> {Eine Lernende hat am Morgen nichts gegessen und kann sich im Unterricht nicht konzentrieren. Welche Stufe ist betroffen? |type="()"} + Stufe 1: Physiologische Bedürfnisse || Richtig. Hunger ist ein körperliches Grundbedürfnis. Solange es unbefriedigt ist, hat Lernen kaum Platz. - Stufe 3: Soziale Bedürfnisse || Nein. Es geht hier nicht um Gemeinschaft, sondern um den Körper. - Stufe 4: Individualbedürfnisse || Nein. Es geht nicht um Anerkennung. - Stufe 5: Selbstverwirklichung || Nein. Hunger betrifft das Fundament der Pyramide. </quiz> == Schritt 3: Stufe 2 – Sicherheitsbedürfnisse == Sind die körperlichen Bedürfnisse gedeckt, wollen Menschen Schutz und Stabilität. Es geht darum, dass das Leben planbar ist und man sich nicht vor der Zukunft fürchten muss. '''Beispiele:''' Wohnung, fester Arbeitsplatz, Gesundheit, Versicherungen, Ordnung und Regeln, Schutz vor Gewalt <quiz display=simple> {Welches Beispiel gehört zu den Sicherheitsbedürfnissen? |type="()"} + Ein unbefristeter Arbeitsvertrag || Richtig. Ein unbefristeter Vertrag gibt finanzielle Stabilität und Planbarkeit. - Lob vom Chef für ein gutes Projekt || Nein. Lob gehört zu Stufe 4 (Individualbedürfnisse). - Ein Feierabendbier mit dem Team || Nein. Das Team gehört zu Stufe 3 (Soziale Bedürfnisse). - Ein Glas Wasser nach dem Sport || Nein. Trinken gehört zu Stufe 1 (Physiologische Bedürfnisse). </quiz> == Schritt 4: Stufe 3 – Soziale Bedürfnisse == Menschen sind soziale Wesen. Wir wollen dazugehören, Beziehungen pflegen und uns von anderen angenommen fühlen. Fehlt das, entstehen Einsamkeit und Ausgrenzung. '''Beispiele:''' Familie, Freundschaft, Partnerschaft, Teamgeist, Klassengemeinschaft, Vereine <quiz display=simple> {Ein neuer Mitarbeiter wird in der Mittagspause nie zum gemeinsamen Essen eingeladen. Welches Bedürfnis bleibt unerfüllt? |type="()"} - Sicherheitsbedürfnis || Nein. Seine Stelle und sein Einkommen sind nicht bedroht. + Soziales Bedürfnis || Richtig. Er fühlt sich nicht zugehörig. Das betrifft Stufe 3. - Physiologisches Bedürfnis || Nein. Essen kann er trotzdem. Es fehlt die Gemeinschaft. - Selbstverwirklichung || Nein. Es geht um Zugehörigkeit, nicht um persönliches Wachstum. </quiz> == Schritt 5: Stufe 4 – Individualbedürfnisse == Auch '''Wertschätzungsbedürfnisse''' genannt. Jetzt geht es um Anerkennung durch andere und um die eigene Selbstachtung. Wir möchten etwas leisten und dafür respektiert werden. '''Beispiele:''' Lob, Anerkennung, Status, Erfolg, Verantwortung, Selbstvertrauen <quiz display=simple> {Eine Lernende wird nach ihrer Präsentation vor der ganzen Klasse gelobt. Welche Stufe wird angesprochen? |type="()"} - Stufe 2: Sicherheit || Nein. Lob macht das Leben nicht sicherer oder planbarer. - Stufe 3: Soziale Bedürfnisse || Fast. Die Klasse spielt mit, aber im Zentrum steht die Anerkennung für eine Leistung. + Stufe 4: Individualbedürfnisse || Richtig. Lob ist Anerkennung für eine Leistung und stärkt das Selbstwertgefühl. - Stufe 1: Physiologische Bedürfnisse || Nein. Es geht nicht um den Körper. </quiz> == Schritt 6: Stufe 5 – Selbstverwirklichung == Die Spitze der Pyramide: das eigene Potenzial entfalten und das tun, was einem wirklich entspricht. Maslow meinte damit, der Mensch zu werden, der man sein kann. Dieses Bedürfnis hört nie ganz auf. Je mehr man sich entwickelt, desto mehr will man sich weiterentwickeln. '''Beispiele:''' Talente entfalten, Kreativität, Sinn finden, Weiterbildung aus Interesse, eigene Ziele verfolgen <quiz display=simple> {Welche Situation passt am besten zur Selbstverwirklichung? |type="()"} - Jemand nimmt einen Nebenjob an, um die Miete zahlen zu können. || Nein. Die Miete sichern gehört zu Stufe 2 (Sicherheit). - Jemand tritt einem Fussballclub bei, um Freunde zu finden. || Nein. Freunde finden gehört zu Stufe 3 (Soziale Bedürfnisse). + Jemand lernt in der Freizeit Malen, weil es ihn erfüllt. || Richtig. Malen aus innerer Erfüllung entfaltet die eigenen Fähigkeiten. - Jemand will befördert werden, damit alle ihn bewundern. || Nein. Bewunderung gehört zu Stufe 4 (Individualbedürfnisse). </quiz> == Schritt 7: Defizit- und Wachstumsbedürfnisse == Maslow unterschied zwei Arten von Bedürfnissen: * Die '''Stufen 1 bis 4 sind Defizitbedürfnisse''': Wenn sie fehlen, spüren wir einen Mangel. Sind sie erfüllt, motivieren sie nicht mehr weiter. * Die '''Stufe 5 ist ein Wachstumsbedürfnis''': Sie entsteht nicht aus Mangel, sondern aus dem Wunsch, sich zu entwickeln. Sie lässt sich nie vollständig befriedigen. <quiz display=simple> {Was unterscheidet ein Wachstumsbedürfnis von einem Defizitbedürfnis? |type="()"} - Wachstumsbedürfnisse sind immer wichtiger als Defizitbedürfnisse. || Nein. Im Gegenteil: Defizitbedürfnisse drängen sich zuerst vor. + Ein Wachstumsbedürfnis lässt sich nie ganz befriedigen, ein Defizitbedürfnis schon. || Richtig. Ein gedeckter Mangel (z. B. Durst) motiviert nicht mehr. Das Streben nach Entwicklung geht immer weiter. - Defizitbedürfnisse betreffen nur Geld. || Nein. Auch Schlaf, Freundschaft oder Anerkennung sind Defizitbedürfnisse. - Es gibt keinen Unterschied. || Nein. Maslow unterscheidet die beiden Arten bewusst. </quiz> <quiz display=simple> {Welche Stufen gehören zu den Defizitbedürfnissen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Physiologische Bedürfnisse + Sicherheitsbedürfnisse + Soziale Bedürfnisse + Individualbedürfnisse - Selbstverwirklichung || Die Selbstverwirklichung ist das einzige Wachstumsbedürfnis. </quiz> == Schritt 8: Maslow im Berufsalltag == Das Modell hilft zu verstehen, was Mitarbeitende motiviert. Ein Betrieb kann auf jeder Stufe etwas bieten: {| class="wikitable" ! Stufe !! Was der Betrieb bieten kann |- | 1 Physiologische Bedürfnisse || fairer Lohn, Pausen, Verpflegung |- | 2 Sicherheit || sicherer Vertrag, Arbeitsschutz, Pensionskasse |- | 3 Soziale Bedürfnisse || gutes Teamklima, Teamanlässe |- | 4 Individualbedürfnisse || Lob, Verantwortung, Titel |- | 5 Selbstverwirklichung || Weiterbildung, eigene Projekte |} ''Auch im Marketing wird Maslow genutzt:'' Werbung spricht gezielt ein Bedürfnis an, etwa Sicherheit bei Versicherungen oder Status bei Luxusautos. <quiz display=simple> {Ein Unternehmen bietet allen Angestellten bezahlte Weiterbildungen nach Wahl an. Welche Stufe spricht es vor allem an? |type="()"} - Stufe 1 || Nein. Weiterbildung deckt kein körperliches Bedürfnis. - Stufe 2 || Nicht in erster Linie. Weiterbildung kann zwar die Stelle sichern, aber frei gewählt geht es um persönliches Wachstum. - Stufe 3 || Nein. Es geht nicht um Zugehörigkeit. + Stufe 5 || Richtig. Frei gewählte Weiterbildung ermöglicht persönliches Wachstum. </quiz> <quiz display=simple> {Eine Versicherung wirbt mit dem Slogan «Damit Ihre Familie gut geschützt ist». Welches Bedürfnis spricht die Werbung an? |type="()"} - Physiologische Bedürfnisse || Nein. + Sicherheitsbedürfnisse || Richtig. Schutz und Absicherung gehören zu Stufe 2. - Individualbedürfnisse || Nein. Es geht nicht um Status oder Anerkennung. - Selbstverwirklichung || Nein. </quiz> == Schritt 9: Kritik am Modell == Maslows Pyramide ist sehr bekannt, aber auch umstritten: * Menschen folgen nicht immer der Reihenfolge. Manche Künstler verzichten auf Komfort für ihre Kunst. * Das Modell ist westlich-individualistisch geprägt. In anderen Kulturen ist die Gemeinschaft oft wichtiger als die Selbstverwirklichung. * Die Stufen sind wissenschaftlich schwach belegt. ''Maslow selbst sah die Stufen nicht als starre Treppe.'' Mehrere Bedürfnisse können gleichzeitig wirken. Das Modell ist eine Denkhilfe, kein Naturgesetz. <quiz display=simple> {Welcher Einwand ist ein typischer Kritikpunkt an Maslows Modell? |type="()"} - Es hat zu viele Stufen. || Nein. Die Anzahl der Stufen ist nicht der Hauptkritikpunkt. - Es kommt in der Wirtschaft nie zur Anwendung. || Nein. Das Modell wird in Führung und Marketing häufig verwendet. + Menschen verfolgen manchmal höhere Bedürfnisse, obwohl untere nicht erfüllt sind. || Richtig. Die starre Reihenfolge gilt nicht immer. - Es berücksichtigt den Körper gar nicht. || Nein. Der Körper ist sogar das Fundament (Stufe 1). </quiz> == Schritt 10: Abschlusstest == Ordnen Sie jedes Beispiel der richtigen Stufe zu. <quiz display=simple> {Ein Lehrling bekommt nach der Lehrabschlussprüfung einen festen Arbeitsvertrag. |type="()"} - Stufe 1 + Stufe 2 - Stufe 3 - Stufe 4 - Stufe 5 {Eine Mitarbeiterin wird zur Teamleiterin befördert. |type="()"} - Stufe 1 - Stufe 2 - Stufe 3 + Stufe 4 - Stufe 5 {Nach einer langen Wanderung möchte jemand nur noch schlafen. |type="()"} + Stufe 1 - Stufe 2 - Stufe 3 - Stufe 4 - Stufe 5 {Ein Austauschschüler sucht in der neuen Klasse Anschluss. |type="()"} - Stufe 1 - Stufe 2 + Stufe 3 - Stufe 4 - Stufe 5 {Eine Pensionierte schreibt endlich das Buch, von dem sie immer geträumt hat. |type="()"} - Stufe 1 - Stufe 2 - Stufe 3 - Stufe 4 + Stufe 5 </quiz> Ergänzen Sie die Pyramide. Achten Sie auf die genaue Schreibweise. <quiz display=simple> {Wie heissen die Stufen? |type="{}"} Stufe 1: { Physiologische Bedürfnisse|physiologische Bedürfnisse|Grundbedürfnisse|Körperliche Bedürfnisse|körperliche Bedürfnisse _28 } Stufe 2: { Sicherheitsbedürfnisse|Sicherheit _25 } Stufe 3: { Soziale Bedürfnisse|soziale Bedürfnisse|Zugehörigkeit _25 } Stufe 4: { Individualbedürfnisse|Wertschätzung|Wertschätzungsbedürfnisse|Anerkennung _25 } Stufe 5: { Selbstverwirklichung _25 } </quiz> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] mhmhxko4bhghrbj524hqr823d1vgk0v 106 173390 1118608 2026-11-02T11:15:17Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118608 wikitext text/x-wiki [[Datei:Iceberg.jpg|thumb]] Quiz über das [[:w:Eisbergmodell|Eisbergmodell]]: <quiz display=simple> {Welche Ebene der Kommunikation liegt beim Eisbergmodell «über der Wasseroberfläche»? |type="()"} + Die Sachebene - Die Beziehungsebene - Die Gefühlsebene - Die Unterbewusstseinsebene {Wie gross ist der sichtbare Teil des Eisbergs ungefähr? |type="()"} - ca. 50 % + ca. 20 % - ca. 80 % - ca. 5 % {Was gehört zur Sachebene? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Zahlen, Daten, Fakten + Sachargumente - Gefühle und Stimmungen - Vorurteile + Informationen zu einem Thema {Was gehört zur Beziehungsebene? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Gefühle + Wertvorstellungen - Statistiken + Sympathie und Antipathie + Ängste und Bedürfnisse {Welche Aussage zum Eisbergmodell ist richtig? |type="()"} - Die Sachebene bestimmt die Kommunikation am stärksten. + Die Beziehungsebene beeinflusst die Sachebene stark. - Beide Ebenen sind voneinander unabhängig. - Die Beziehungsebene ist für Gespräche unwichtig. {Ein Gespräch über ein Sachthema läuft schief, weil sich die Beteiligten nicht mögen. Auf welcher Ebene liegt das Problem? |type="()"} - Auf der Sachebene + Auf der Beziehungsebene - Auf beiden Ebenen gleich - Auf keiner Ebene </quiz> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] 9i6zi7o4lj9779mrz32rx9fiqg9s3oo 106 173391 1118611 2026-11-02T11:27:11Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118611 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ [[Datei:Johari2.svg|thumb]] [[Datei:Johari-Fenster 1.webm|thumb]] = Das [[:w:Johari-Fenster|Johari-Fenster]] = '''Lernziel:''' Sie können die vier Bereiche des Johari-Fensters erklären und wissen, wie man durch Feedback und Offenheit die Zusammenarbeit im Team verbessert. '''So gehen Sie vor:''' Arbeiten Sie die Schritte der Reihe nach durch. Lesen Sie zuerst die Erklärung und lösen Sie dann das kurze Quiz. Mit «Abschicken» sehen Sie sofort, ob Ihre Antworten stimmen. == Schritt 1: Worum geht es? == Das Johari-Fenster ist ein Modell aus der Kommunikationspsychologie. Es wurde 1955 von den amerikanischen Psychologen '''Jo'''seph Luft und '''Har'''rington '''I'''ngham entwickelt. Der Name «Johari» setzt sich aus ihren Vornamen zusammen. Das Modell zeigt, dass es über jeden Menschen Dinge gibt, die er selbst weiss oder nicht weiss, und Dinge, die andere wissen oder nicht wissen. Daraus entstehen vier Bereiche, die wie ein Fenster mit vier Scheiben dargestellt werden. Das Johari-Fenster hilft zu verstehen: * wie wir auf andere wirken, * warum es manchmal zu Missverständnissen kommt, * wie Feedback und Offenheit das Vertrauen im Team stärken. <quiz display=simple> { Ergänzen Sie den Satz. |type="{}" } Das Johari-Fenster wurde von Joseph { Luft _6 } und Harrington { Ingham _8 } entwickelt. { Woher kommt der Name «Johari»? |type="()" } - Von einer Stadt in den USA. || Nein, der Name hat nichts mit einem Ort zu tun. + Aus den Vornamen der beiden Erfinder. || Richtig: '''Jo'''seph + '''Har'''rington + '''I'''ngham. - Aus einem japanischen Wort für «Fenster». || Nein, das klingt zwar plausibel, stimmt aber nicht. </quiz> == Schritt 2: Die zwei Achsen == Das Fenster wird durch zwei Fragen aufgeteilt: # '''Was weiss ich über mich selbst?''' (mir bekannt / mir unbekannt) # '''Was wissen die anderen über mich?''' (anderen bekannt / anderen unbekannt) Kombiniert man diese beiden Fragen, ergeben sich vier Felder: {| class="wikitable" style="text-align:center; width:100%; max-width:600px;" ! style="width:20%;" | ! style="width:40%;" | mir bekannt ! style="width:40%;" | mir unbekannt |- ! anderen bekannt | style="background:#d9f2d9;" | '''A – Öffentliche Person'''<br />(Arena) | style="background:#fff2cc;" | '''B – Blinder Fleck''' |- ! anderen unbekannt | style="background:#dde8f7;" | '''C – Private Person'''<br />(Geheimnis, Fassade) | style="background:#eeeeee;" | '''D – Unbekanntes''' |} <quiz display=simple> { Welche zwei Fragen bilden die Achsen des Johari-Fensters? |type="[]" } + Was weiss ich über mich selbst? - Was mag ich an anderen? + Was wissen die anderen über mich? - Was möchte ich in Zukunft erreichen? || Es geht immer um das Wissen über die eigene Person: aus meiner Sicht und aus der Sicht der anderen. { Wie viele Bereiche hat das Johari-Fenster? |type="()" } - zwei - drei + vier - sechs </quiz> = Die vier Bereiche im Detail = === A – Öffentliche Person (Arena) === '''Mir bekannt und anderen bekannt.''' Das sind Dinge, die offen sichtbar sind oder über die man spricht: Name, Aussehen, Beruf, Hobbys, Verhalten, das alle beobachten können. ''Beispiel:'' Alle in der Klasse wissen, dass Lea gerne Fussball spielt, und Lea weiss es natürlich auch. === B – Blinder Fleck === '''Mir unbekannt, aber anderen bekannt.''' Das sind Eigenschaften oder Verhaltensweisen, die andere an mir wahrnehmen, ich selbst aber nicht bemerke. Oft geht es um Gewohnheiten, Tonfall oder Körpersprache. ''Beispiel:'' Tim unterbricht in Diskussionen oft andere. Seine Kolleginnen merken das, er selbst nicht. === C – Private Person (Geheimnis) === '''Mir bekannt, aber anderen unbekannt.''' Das sind Dinge, die ich bewusst für mich behalte: Gefühle, Ängste, persönliche Erfahrungen, Meinungen. ''Beispiel:'' Sara ist vor Präsentationen sehr nervös, zeigt das aber niemandem. === D – Unbekanntes === '''Mir unbekannt und anderen unbekannt.''' Das sind verborgene Fähigkeiten, Talente oder unbewusste Motive, die noch niemand entdeckt hat, weder ich noch die anderen. ''Beispiel:'' Jonas hat ein Talent zum Organisieren, das sich erst zeigt, als er im Lehrbetrieb ein Projekt leiten darf. <div style="border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; padding:0.8em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Der Bereich «Öffentliche Person» ist die Basis für gute Zusammenarbeit. Je grösser er ist, desto offener, ehrlicher und reibungsloser ist die Kommunikation. </div> <quiz display=simple> { Ordnen Sie zu: «Mein Arbeitskollege merkt, dass ich beim Telefonieren immer sehr laut spreche. Ich selbst merke es nicht.» |type="()" } - Öffentliche Person + Blinder Fleck || Richtig. Die anderen wissen es, ich weiss es nicht. - Private Person - Unbekanntes { Ordnen Sie zu: «Ich habe Angst vor Hunden, erzähle es aber niemandem.» |type="()" } - Öffentliche Person - Blinder Fleck + Private Person || Richtig. Ich weiss es, die anderen nicht. - Unbekanntes { Ordnen Sie zu: «Alle wissen, dass ich die Lehre als Kauffrau mache.» |type="()" } + Öffentliche Person || Richtig. Diese Information ist allen bekannt. - Blinder Fleck - Private Person - Unbekanntes { Ordnen Sie zu: «Ich habe ein Talent für Verhandlungen, aber das hat bisher noch niemand bemerkt, auch ich nicht.» |type="()" } - Öffentliche Person - Blinder Fleck - Private Person + Unbekanntes || Richtig. Weder ich noch die anderen wissen davon. { Welche Aussagen zum Bereich «Blinder Fleck» stimmen? |type="[]" } + Andere wissen etwas über mich, das ich selbst nicht weiss. - Ich verheimliche bewusst etwas vor anderen. || Das wäre die «Private Person». + Es geht oft um Gewohnheiten oder Körpersprache. - Niemand weiss etwas davon. || Das wäre das «Unbekannte». </quiz> = Wie verändert sich das Fenster? = Die vier Scheiben sind nicht gleich gross und bleiben auch nicht immer gleich. Sie verändern sich durch Kommunikation. Das Ziel ist, die '''öffentliche Person''' zu vergrössern. {| class="wikitable" ! Was ich tue !! Welcher Bereich wird kleiner? !! Wirkung |- | '''Feedback einholen''' (andere fragen, wie ich wirke) || Blinder Fleck || Ich lerne etwas über mich, das andere schon wussten. |- | '''Etwas von mir preisgeben''' (Selbstoffenbarung) || Private Person || Andere verstehen mich und mein Verhalten besser. |- | '''Neue Erfahrungen machen''' und darüber reden || Unbekanntes || Verborgene Fähigkeiten werden sichtbar. |} '''Wichtig:''' Man muss nicht alles über sich erzählen. Es ist normal und richtig, dass jeder Mensch einen privaten Bereich hat. Wie viel man preisgibt, hängt vom Vertrauen und von der Situation ab (z. B. Freundeskreis oder Lehrbetrieb). <quiz display=simple> { Mit welcher Methode verkleinert man den «Blinden Fleck»? |type="()" } + Feedback von anderen einholen || Richtig. Nur andere können mir sagen, was ich selbst nicht sehe. - Mehr Geheimnisse für sich behalten - Weniger mit anderen sprechen - Nur noch schriftlich kommunizieren { Mit welcher Methode verkleinert man die «Private Person»? |type="()" } - Feedback geben + Selbstoffenbarung: etwas von sich erzählen || Richtig. Wenn ich etwas von mir preisgebe, wird es den anderen bekannt. - Schweigen - Die anderen beobachten { Welcher Bereich soll im Team möglichst gross werden? |type="()" } + Öffentliche Person (Arena) - Blinder Fleck - Private Person - Unbekanntes { Stimmt diese Aussage? «Für gute Zusammenarbeit sollte man den Arbeitskolleginnen und -kollegen alles über sich erzählen.» |type="()" } - Ja, das stimmt. + Nein, das stimmt nicht. || Richtig. Ein privater Bereich ist normal und gesund. Man entscheidet selbst, wie viel man preisgibt. </quiz> = Feedback richtig geben und annehmen = Feedback ist das wichtigste Werkzeug, um den Blinden Fleck zu verkleinern. Damit es hilft und nicht verletzt, gibt es Regeln. '''Feedback geben:''' * in der '''Ich-Form''' sprechen («Mir ist aufgefallen, dass …») * '''konkretes Verhalten''' beschreiben, keine Eigenschaften bewerten («Du hast mich zweimal unterbrochen» statt «Du bist unhöflich») * '''zeitnah''' und unter vier Augen * mit etwas '''Positivem''' beginnen * einen '''Vorschlag''' machen, was die Person anders tun könnte '''Feedback annehmen:''' * '''zuhören''' und ausreden lassen * sich '''nicht rechtfertigen''' oder verteidigen * bei Unklarheiten '''nachfragen''' * sich '''bedanken''' * selbst entscheiden, was man daraus macht <quiz display=simple> { Welche Formulierungen sind gutes Feedback? |type="[]" } + «Mir ist aufgefallen, dass du in der Sitzung zweimal auf dein Handy geschaut hast.» || Gut: Ich-Form und konkretes Verhalten. - «Du bist immer so unaufmerksam.» || Pauschal («immer») und bewertend («unaufmerksam»). + «Ich fand deine Präsentation gut strukturiert. Bei den Folien wäre weniger Text für mich angenehmer.» || Gut: positiv beginnen, konkret, mit Vorschlag. - «Alle finden, dass du nervst.» || Keine Ich-Form, verallgemeinernd und verletzend. { Was sollten Sie tun, wenn Sie Feedback erhalten? |type="[]" } + Zuhören und ausreden lassen - Sofort erklären, warum die andere Person falsch liegt + Bei Unklarheiten nachfragen + Sich bedanken </quiz> = Abschlussquiz = Testen Sie jetzt Ihr ganzes Wissen. <quiz display=simple> { Was beschreibt das Johari-Fenster? |type="()" } - Die Rangordnung in einem Team + Wie Selbstwahrnehmung und Fremdwahrnehmung zusammenhängen - Wie man ein Bewerbungsgespräch führt - Die vier Phasen der Teamentwicklung { Ergänzen Sie die Namen der vier Bereiche. |type="{}" } Mir bekannt und anderen bekannt: { Öffentliche Person|Arena|öffentliche Person _18 } Mir unbekannt, anderen bekannt: { Blinder Fleck|blinder Fleck _14 } Mir bekannt, anderen unbekannt: { Private Person|private Person|Geheimnis|Fassade _14 } Mir unbekannt und anderen unbekannt: { Unbekanntes|Unbekannt|unbekannt _12 } { Eine neue Lernende kommt in Ihr Team. Was vergrössert die «Öffentliche Person» zwischen Ihnen am schnellsten? |type="()" } - Abwarten, bis man sich zufällig kennenlernt + Sich gegenseitig vorstellen, Fragen stellen und Feedback austauschen || Richtig. Selbstoffenbarung und Feedback vergrössern den gemeinsamen Bereich. - Nur über Arbeitsthemen sprechen - Die Kolleginnen über sie befragen { Ihr Teamleiter sagt Ihnen: «Mir ist aufgefallen, dass Sie bei Kundengesprächen oft die Arme verschränken.» Sie hatten das nie bemerkt. Welcher Bereich wird dadurch kleiner? |type="()" } - Öffentliche Person + Blinder Fleck || Richtig. Durch das Feedback erfahren Sie etwas, das andere schon wussten. - Private Person - Unbekanntes { Welche Aussagen sind richtig? |type="[]" } + Die Grösse der vier Bereiche kann sich verändern. - Der Bereich «Unbekanntes» kann nie kleiner werden. || Doch: Durch neue Erfahrungen können verborgene Fähigkeiten sichtbar werden. + Feedback und Selbstoffenbarung vergrössern die öffentliche Person. - Je grösser die private Person, desto besser die Zusammenarbeit. || Umgekehrt: Eine grosse öffentliche Person erleichtert die Zusammenarbeit. </quiz> = Zum Weiterdenken = Überlegen Sie für sich (oder besprechen Sie zu zweit): # Nennen Sie je ein Beispiel aus Ihrem Alltag für jeden der vier Bereiche. # Wann haben Sie zuletzt ein Feedback erhalten, das Ihnen einen «Blinden Fleck» gezeigt hat? Wie haben Sie reagiert? # Was erzählen Sie im Lehrbetrieb über sich, und was behalten Sie bewusst für sich? Warum? [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] hpmf2snkycsrobh4arp2y95z0gqb3de 106 173392 1118616 2026-11-02T11:37:48Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118616 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = [[:w:Teamrolle#Teamrollen_nach_Belbin|Teamrollen nach Belbin]] – Schritt für Schritt = Diese Seite erklärt die Teamrollen nach Meredith Belbin ohne Schnickschnack. Arbeiten Sie die Schritte der Reihe nach durch. Nach jedem Schritt folgt ein kurzes Quiz. == Worum geht es überhaupt? == Der britische Forscher '''Meredith Belbin''' hat in den 1970er-Jahren beobachtet, wie Teams in Managementplanspielen zusammenarbeiten. Er wollte wissen: '''Warum sind manche Teams erfolgreich und andere nicht?''' Sein wichtigster Befund: * Ein Team aus lauter klugen Köpfen ist '''nicht automatisch''' erfolgreich. Solche Teams haben oft endlos diskutiert und wenig erledigt. * Erfolgreich waren Teams, in denen '''verschiedene Aufgaben''' abgedeckt waren: Jemand bringt Ideen, jemand organisiert, jemand prüft, jemand bringt die Arbeit zu Ende usw. Kurz gesagt: '''In jedem Team fallen immer wieder die gleichen Arbeiten an. Belbin hat diesen Arbeiten Namen gegeben.''' Eine Teamrolle ist also '''ein typisches Verhalten im Team''' – kein Charakter und kein Schicksal. <quiz display=simple> {Was wollte Belbin herausfinden? |type="()"} - Welcher Mensch der intelligenteste im Team ist. || Nein. Intelligenz allein macht ein Team gerade nicht erfolgreich. + Warum manche Teams erfolgreicher sind als andere. || Richtig. Darum ging es in seiner Forschung. - Welches Sternzeichen am besten ins Team passt. || Nein. Belbin hat das Verhalten von Teams beobachtet, nichts anderes. {Was ist eine Teamrolle nach Belbin? |type="()"} + Ein typisches Verhalten, das jemand im Team zeigt. || Richtig. Es geht um Verhalten, also darum, was jemand im Team tut. - Eine Funktion im Organigramm, z. B. «Teamleiterin». || Nein. Die Funktion (Stelle) ist etwas anderes als die Teamrolle. - Eine angeborene Eigenschaft, die man nie ändern kann. || Nein. Rollen können sich je nach Team und Aufgabe verändern. {Ein Team besteht nur aus sehr klugen Köpfen. Was hat Belbin bei solchen Teams oft beobachtet? |type="()"} - Sie waren immer am erfolgreichsten. - Sie haben schnell und reibungslos gearbeitet. + Sie haben viel diskutiert und wenig erledigt. || Richtig. Es fehlten Leute, die organisieren, umsetzen und abschliessen. </quiz> == Drei Gruppen von Aufgaben == Belbin beschreibt '''neun Rollen'''. Man kann sie sich leichter merken, wenn man sie in '''drei Gruppen''' einteilt. Jede Gruppe beantwortet eine Frage: {| class="wikitable" ! Gruppe !! Leitfrage !! Rollen |- | '''Handlungsorientiert''' || Wer sorgt dafür, dass etwas '''passiert'''? || Macher, Umsetzer, Perfektionist |- | '''Kommunikationsorientiert''' || Wer kümmert sich um die '''Menschen'''? || Koordinator, Teamarbeiter, Wegbereiter |- | '''Wissensorientiert''' || Wer liefert '''Ideen und Wissen'''? || Neuerer, Beobachter, Spezialist |} ''Hinweis: In Lehrbüchern werden teilweise andere deutsche Namen verwendet (z. B. «Erfinder» statt «Neuerer», «Weichensteller» statt «Wegbereiter», «Abschliesser» statt «Perfektionist»). Gemeint sind dieselben Rollen.'' <quiz display=simple> {Wie viele Teamrollen beschreibt Belbin? |type="{}"} Belbin beschreibt { 9|neun _5 } Teamrollen. {Welche Gruppe beantwortet die Frage «Wer sorgt dafür, dass etwas passiert?» |type="()"} + handlungsorientierte Rollen - kommunikationsorientierte Rollen - wissensorientierte Rollen {Welche Rollen gehören zur wissensorientierten Gruppe? |type="[]"} + Neuerer + Beobachter + Spezialist - Macher || Der Macher gehört zu den handlungsorientierten Rollen. - Koordinator || Der Koordinator gehört zu den kommunikationsorientierten Rollen. </quiz> == Die handlungsorientierten Rollen == {| class="wikitable" ! Rolle !! Was tut diese Person im Team? !! Stärke !! Schwäche |- | '''Macher''' || treibt an, macht Druck, will Resultate || Tempo, Mut, Durchsetzungskraft || ungeduldig, kann andere verletzen |- | '''Umsetzer''' || macht aus Ideen konkrete Pläne und erledigt die Arbeit || zuverlässig, organisiert, praktisch || wenig flexibel bei neuen Ideen |- | '''Perfektionist''' || kontrolliert Details, sucht Fehler, schliesst sauber ab || genau, termintreu, gründlich || ängstlich, gibt ungern Arbeit ab |} <quiz display=simple> {Nadia sagt in der Projektsitzung: «Wir reden seit einer Stunde. Ich will heute noch einen Entscheid!» Welche Rolle zeigt sie? |type="()"} + Macher - Perfektionist - Umsetzer {Luca nimmt die Ideen des Teams und macht daraus einen Zeitplan mit klaren Aufgaben. Welche Rolle zeigt er? |type="()"} - Macher + Umsetzer - Perfektionist {Vor der Abgabe liest Sara die ganze Präsentation nochmals durch und findet drei Tippfehler. Welche Rolle zeigt sie? |type="()"} - Umsetzer - Macher + Perfektionist </quiz> == Die kommunikationsorientierten Rollen == {| class="wikitable" ! Rolle !! Was tut diese Person im Team? !! Stärke !! Schwäche |- | '''Koordinator''' || verteilt Aufgaben, leitet Sitzungen, behält das Ziel im Auge || ruhig, vertrauenswürdig, kann delegieren || delegiert evtl. zu viel, auch eigene Arbeit |- | '''Teamarbeiter''' || sorgt für gutes Klima, vermittelt bei Streit || hilfsbereit, diplomatisch, hört zu || entscheidet ungern, weicht Konflikten aus |- | '''Wegbereiter''' || knüpft Kontakte, holt Informationen von aussen || offen, kommunikativ, begeisterungsfähig || verliert schnell das Interesse |} <quiz display=simple> {Zwei Teammitglieder streiten sich. Elena beruhigt die Situation und sucht einen Kompromiss. Welche Rolle zeigt sie? |type="()"} - Koordinator + Teamarbeiter - Wegbereiter {Marco kennt jemanden bei einer Druckerei und holt drei Offerten ein. Welche Rolle zeigt er? |type="()"} + Wegbereiter - Teamarbeiter - Umsetzer {Zu Beginn der Gruppenarbeit sagt Jana: «Tim macht die Recherche, Lea die Folien, ich schreibe die Einleitung.» Welche Rolle zeigt sie? |type="()"} - Macher + Koordinator - Spezialist || Hinweis: Auch der Macher kann Aufgaben verteilen – aber eher mit Druck. Der Koordinator verteilt ruhig und nach den Stärken der Leute. </quiz> == Die wissensorientierten Rollen == {| class="wikitable" ! Rolle !! Was tut diese Person im Team? !! Stärke !! Schwäche |- | '''Neuerer''' || bringt neue, ungewöhnliche Ideen || kreativ, fantasievoll || verliert sich in Ideen, vergisst Details |- | '''Beobachter''' || prüft Vorschläge kritisch, wägt ab || nüchtern, urteilt sachlich || wirkt kühl, kann bremsen |- | '''Spezialist''' || bringt Fachwissen ein || grosses Wissen in einem Gebiet || interessiert sich nur für sein Fachgebiet |} <quiz display=simple> {«Und wenn wir statt einer Präsentation einen kurzen Film drehen?» Welche Rolle zeigt sich hier? |type="()"} + Neuerer - Beobachter - Wegbereiter {«Gute Idee, aber haben wir genug Zeit dafür? Und wer kann schneiden?» Welche Rolle zeigt sich hier? |type="()"} - Perfektionist + Beobachter - Teamarbeiter {Im Team weiss nur Ilir, wie man in Excel eine Pivot-Tabelle erstellt. Alle fragen ihn. Welche Rolle hat er? |type="()"} - Umsetzer - Neuerer + Spezialist </quiz> == Stärken haben Schattenseiten == Ein wichtiger Gedanke bei Belbin: '''Jede Stärke hat eine Kehrseite.''' Belbin nennt das '''zulässige Schwäche'''. Beispiele: * Wer viele Ideen hat (Neuerer), vergisst oft die Details. * Wer Druck macht (Macher), tritt anderen manchmal auf die Füsse. * Wer sehr genau ist (Perfektionist), wird manchmal nicht fertig. Das Team sollte solche Schwächen '''aushalten''', weil die Stärke dafür wertvoll ist. Die Schwäche wird erst zum Problem, wenn sie überhandnimmt. <quiz display=simple> {Was bedeutet «zulässige Schwäche»? |type="()"} - Eine Schwäche, die man sofort abtrainieren muss. + Die Kehrseite einer Stärke, die das Team aushalten sollte. - Ein Fehler, der im Arbeitszeugnis stehen darf. {Ordnen Sie zu: Welche Schwäche passt zu welcher Rolle? |type="()"} - Macher: vergisst Details + Macher: ungeduldig, kann andere verletzen - Teamarbeiter: will immer allein entscheiden || Teamarbeiter entscheiden eher ungern – sie wollen Harmonie. {Welche Aussagen stimmen? |type="[]"} + Ein Neuerer bringt viele Ideen, vergisst aber manchmal die Umsetzung. + Ein Perfektionist arbeitet genau, gibt aber ungern Arbeit ab. - Ein Koordinator hat keine Schwächen. || Jede Rolle hat eine Schwäche. Der Koordinator delegiert evtl. zu viel. - Ein Beobachter begeistert das Team mit spontanen Ideen. || Das wäre eher der Neuerer. Der Beobachter prüft kritisch. </quiz> == Wozu brauche ich das? == Belbins Modell ist '''kein Persönlichkeitstest''' und '''keine exakte Wissenschaft'''. Es ist eine '''Checkliste''' für Teams. Man kann damit: * prüfen, ob im Team '''alle wichtigen Aufgaben abgedeckt''' sind (Gibt es jemanden, der kontrolliert? Jemanden, der abschliesst?); * '''Konflikte besser verstehen''' (Der Macher und der Perfektionist ärgern sich übereinander – beide sind aber nützlich); * die '''eigenen Stärken''' im Team erkennen. Wichtig: * Die meisten Menschen zeigen '''zwei bis drei''' bevorzugte Rollen. * In einem kleinen Team übernimmt eine Person '''mehrere Rollen'''. * Rollen können sich je nach Aufgabe und Team '''verändern'''. * Der Fragebogen zum Modell ist wissenschaftlich '''umstritten'''. Das Modell eignet sich deshalb als Denkhilfe, nicht als Urteil über Menschen. <quiz display=simple> {Wozu kann man Belbins Modell sinnvoll verwenden? |type="[]"} + Um zu prüfen, ob im Team alle wichtigen Aufgaben abgedeckt sind. + Um Konflikte im Team besser zu verstehen. + Um die eigenen Stärken im Team zu erkennen. - Um zu entscheiden, wer entlassen wird. || Nein. Das Modell ist eine Denkhilfe, kein Urteil über Menschen. {Hat jeder Mensch genau eine Teamrolle? |type="()"} - Ja, jeder Mensch hat genau eine Rolle. + Nein, die meisten zeigen zwei bis drei bevorzugte Rollen. - Nein, jeder Mensch hat alle neun Rollen gleich stark. {Ihr Team hat einen Macher, einen Neuerer und einen Wegbereiter. Was fehlt am ehesten? |type="()"} - Jemand, der neue Ideen bringt. - Jemand, der Druck macht. + Jemand, der genau prüft und die Arbeit sauber abschliesst. || Richtig. Ein Beobachter, Umsetzer oder Perfektionist würde dem Team guttun. </quiz> == Schlusstest: Alle neun Rollen == <quiz display=simple> {Lückentext: Ergänzen Sie die fehlende Rolle. |type="{}"} Wer im Team kreative, neue Ideen bringt, ist der { Neuerer|Erfinder _15 }. Wer Kontakte nach aussen knüpft und Informationen holt, ist der { Wegbereiter|Weichensteller _15 }. Wer Fehler sucht und sauber abschliesst, ist der { Perfektionist|Abschliesser _15 }. Wer Sitzungen leitet und Aufgaben verteilt, ist der { Koordinator _15 }. Wer für gutes Klima im Team sorgt, ist der { Teamarbeiter|Mitspieler _15 }. {Welche Rolle passt? «Ich prüfe das zuerst sorgfältig, bevor wir entscheiden.» |type="()"} - Macher + Beobachter - Neuerer {Welche Rolle passt? «Gebt mir die Aufgabenliste, ich erledige das bis Freitag.» |type="()"} + Umsetzer - Wegbereiter - Spezialist {Welche Rolle passt? «Jetzt hört auf zu diskutieren – wir machen es so!» |type="()"} - Koordinator - Teamarbeiter + Macher {Welche Rolle passt? «Das Thema Mehrwertsteuer übernehme ich, das ist mein Gebiet.» |type="()"} - Beobachter + Spezialist - Umsetzer </quiz> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] md2sq4pmnanu78o9glucxnlyw3w7cfc 106 173393 1118618 2026-11-02T11:46:12Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118618 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = [[:w:Paul_Watzlawick#Axiome_der_Theorie|Watzlawick-Axiome]] = <quiz display="simple"> { Welches Watzlawick-Axiom passt? | typ="[]" } | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 -+--- Jede Nachricht hat einen '''Inhalt'''s- und einen '''Beziehung'''saspekt ----+ Kommuniziert wird '''symmetrisch''' (auf Augenhöhe) oder '''komplementär''' (von Hierarchie bestimmt) --+-- Kommunikation besteht aus '''Aktion''' (Ursache) und '''Reaktion''' (Wirkung) +---- Man kann '''nicht nicht''' kommunizieren ---+- Kommuniziert wird '''analog''' (nonverbal) und '''digital''' (Wörter, Symbole) </quiz> '''Lernpfad: Die fünf Axiome von Paul Watzlawick''' Paul Watzlawick (1921–2007) war ein österreichisch-amerikanischer Kommunikationswissenschaftler und Psychotherapeut. 1967 formulierte er zusammen mit Janet Beavin und Don Jackson fünf Grundregeln (Axiome), die erklären, warum Kommunikation gelingt oder misslingt. <div style="border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; padding:0.8em 1em; margin:1em 0;"> '''So arbeiten Sie mit diesem Lernpfad''' # Lesen Sie zu jedem Axiom die Erklärung und das Beispiel. # Beantworten Sie die Kontrollfrage und klicken Sie auf «Auswerten». Lesen Sie die Rückmeldung, auch wenn Ihre Antwort richtig war. # Machen Sie am Schluss den Schlusstest mit 6 Fragen. Zeitbedarf: ca. 15 Minuten </div> == Schritt 1: Man kann nicht nicht kommunizieren == <div style="border-left:4px solid #36c; padding:0.3em 1em; margin:1em 0; font-size:115%;"> '''Axiom 1:''' «Man kann nicht nicht kommunizieren.» </div> Sobald zwei Menschen einander wahrnehmen, kommunizieren sie. Auch Schweigen, Wegschauen oder Nicht-Antworten ist eine Botschaft. Es gibt kein «Nicht-Verhalten», und jedes Verhalten hat Mitteilungscharakter. <div style="background:#eaf3ff; padding:0.8em 1em; margin:1em 0;"> '''Beispiel:''' Eine Kundin betritt den Schalter. Die Lernende schaut weiter auf den Bildschirm und sagt nichts. Die Kundin versteht: «Ich bin hier gerade nicht willkommen.» </div> '''Stichworte:''' Schweigen · Verhalten · Körpersprache === Kontrollfrage zu Axiom 1 === <quiz display=simple> {Ein Lernender sitzt im Teammeeting, sagt kein Wort und hat die Arme verschränkt. Was trifft nach Watzlawick zu? |type="()"} - Er kommuniziert nicht, weil er nichts sagt. || Falsch. Auch ohne Worte nehmen die anderen ihn wahr und deuten sein Verhalten. + Er kommuniziert, denn auch sein Schweigen und seine Haltung sind Botschaften. || Richtig. Schweigen und Körperhaltung werden gedeutet. Darum kann man nicht nicht kommunizieren. - Er kommuniziert nur, wenn jemand ihn direkt anspricht. || Falsch. Kommunikation beginnt, sobald man wahrgenommen wird. - Kommunikation findet erst statt, wenn ein Satz fällt. || Falsch. Auch nichtsprachliches Verhalten ist Kommunikation. </quiz> == Schritt 2: Inhalts- und Beziehungsaspekt == <div style="border-left:4px solid #36c; padding:0.3em 1em; margin:1em 0; font-size:115%;"> '''Axiom 2:''' «Jede Kommunikation hat einen Inhalts- und einen Beziehungsaspekt, derart, dass Letzterer den Ersteren bestimmt.» </div> Der '''Inhaltsaspekt''' ist das «Was»: Fakten und Informationen. Der '''Beziehungsaspekt''' ist das «Wie»: wie ich zu Ihnen stehe und wie die Nachricht gemeint ist. Der Beziehungsaspekt steuert, wie der Inhalt verstanden wird. Wer über die Beziehung oder über die Art des Gesprächs spricht, betreibt '''Metakommunikation'''. <div style="background:#eaf3ff; padding:0.8em 1em; margin:1em 0;"> '''Beispiel:''' Die Chefin sagt: «Der Bericht liegt immer noch nicht auf meinem Tisch.» * Inhalt: Der Bericht fehlt. * Beziehung (je nach Tonfall): «Ich bin enttäuscht von Ihnen» oder «Ich brauche Ihre Hilfe». </div> '''Stichworte:''' Inhalt · Beziehung · Metakommunikation === Kontrollfrage zu Axiom 2 === <quiz display=simple> {«Können Sie das bitte noch einmal kopieren?», gesagt in genervtem Ton. Welcher Teil gehört zum Beziehungsaspekt? |type="()"} - Dass eine Kopie gebraucht wird. || Falsch. Das ist der Inhalt der Nachricht. - Dass der Kopierer funktioniert. || Falsch. Das ist eine Sachinformation. + Der genervte Ton, der Ungeduld gegenüber der Person ausdrückt. || Richtig. Der Ton zeigt, wie die sprechende Person zur anderen steht, und färbt damit den ganzen Satz. - Die Anzahl Seiten. || Falsch. Auch das gehört zum Inhalt. </quiz> == Schritt 3: Interpunktion == <div style="border-left:4px solid #36c; padding:0.3em 1em; margin:1em 0; font-size:115%;"> '''Axiom 3:''' «Die Natur einer Beziehung ist durch die Interpunktion der Kommunikationsabläufe seitens der Partner bedingt.» </div> Kommunikation ist ein Kreislauf ohne klaren Anfang. Jede Person setzt aber ihren eigenen Startpunkt (die «Interpunktion») und sieht ihr eigenes Verhalten als Reaktion auf das Verhalten der anderen. So entstehen Streits über Ursache und Wirkung, die nie aufgelöst werden. <div style="background:#eaf3ff; padding:0.8em 1em; margin:1em 0;"> '''Beispiel:''' * Teamleiter: «Ich kontrolliere so viel, weil er Fehler macht.» * Mitarbeiter: «Ich mache Fehler, weil er mich ständig kontrolliert und nervös macht.» Beide sehen den Anfang beim anderen. </div> '''Stichworte:''' Ursache und Wirkung · Kreislauf · Teufelskreis === Kontrollfrage zu Axiom 3 === <quiz display=simple> {Mutter: «Ich schimpfe, weil du nie aufräumst.» Sohn: «Ich räume nicht auf, weil du immer schimpfst.» Welches Axiom passt? |type="()"} - Axiom 1: nicht nicht kommunizieren || Falsch. Hier geht es darum, wo jemand den Anfang des Konflikts sieht. + Axiom 3: Interpunktion || Richtig. Beide setzen den Anfang der Kette beim anderen. Das ist eine unterschiedliche Interpunktion desselben Kreislaufs. - Axiom 4: digital und analog || Falsch. Es geht nicht um Worte gegenüber Körpersprache. - Axiom 5: symmetrisch und komplementär || Falsch. Entscheidend ist hier die Frage nach Ursache und Wirkung. </quiz> == Schritt 4: Digitale und analoge Kommunikation == <div style="border-left:4px solid #36c; padding:0.3em 1em; margin:1em 0; font-size:115%;"> '''Axiom 4:''' «Menschliche Kommunikation bedient sich digitaler und analoger Modalitäten.» </div> '''Digital''' ist die Sprache selbst: Wörter mit klarer, vereinbarter Bedeutung. Sie eignet sich gut für Inhalte. '''Analog''' ist alles Nichtsprachliche: Mimik, Gestik, Tonfall, Blickkontakt. Analoge Signale transportieren vor allem die Beziehung, sind aber oft mehrdeutig. <div style="background:#eaf3ff; padding:0.8em 1em; margin:1em 0;"> '''Beispiel:''' Ein Kollege sagt «Super gemacht!» (digital), verdreht dabei aber die Augen (analog). Die Botschaft wird ironisch und kippt ins Gegenteil. </div> '''Stichworte:''' Sprache · Mimik und Gestik · Tonfall === Kontrollfrage zu Axiom 4 === <quiz display=simple> {Welches Beispiel ist eine rein analoge Mitteilung? |type="()"} - Eine E-Mail mit dem Text «Termin bestätigt». || Falsch. Geschriebene Wörter sind digital. + Ein freundliches Lächeln und Nicken zur Begrüssung. || Richtig. Lächeln und Nicken sind nichtsprachlich und damit analog. - Ein Protokoll der Sitzung. || Falsch. Ein Protokoll besteht aus Sprache und ist digital. - Die Aussage «Ich bin einverstanden». || Falsch. Gesprochene Wörter sind digital. </quiz> == Schritt 5: Symmetrische und komplementäre Kommunikation == <div style="border-left:4px solid #36c; padding:0.3em 1em; margin:1em 0; font-size:115%;"> '''Axiom 5:''' «Zwischenmenschliche Kommunikationsabläufe sind entweder symmetrisch oder komplementär.» </div> '''Symmetrisch''' heisst: Die Partner verhalten sich gleich und streben nach Gleichheit, etwa zwei Arbeitskollegen auf gleicher Stufe. '''Komplementär''' heisst: Das Verhalten ergänzt sich, eine Person führt, die andere folgt, etwa Lehrperson und Lernende. Beides ist normal. Problematisch wird es, wenn eine Form erstarrt oder eskaliert. <div style="background:#eaf3ff; padding:0.8em 1em; margin:1em 0;"> '''Beispiele:''' * Zwei Lernende überbieten sich in einer Diskussion mit immer lauteren Argumenten: '''symmetrisch''', mit Eskalationsgefahr. * Eine Berufsbildnerin erklärt, der Lernende hört zu und fragt nach: '''komplementär'''. </div> '''Stichworte:''' gleichwertig · ergänzend · Eskalation === Kontrollfrage zu Axiom 5 === <quiz display=simple> {Eine Ärztin erklärt eine Behandlung, der Patient hört zu und stellt Fragen. Wie ist diese Beziehung? |type="()"} - Symmetrisch, weil beide sprechen. || Falsch. Dass beide sprechen, macht die Rollen noch nicht gleich. + Komplementär, weil sich die Rollen ergänzen. || Richtig. Die Ärztin hat Fachwissen und führt, der Patient nimmt auf. Die Rollen ergänzen sich. - Symmetrisch, weil beide erwachsen sind. || Falsch. Entscheidend sind die Rollen im Gespräch, nicht das Alter. - Weder noch, das Axiom gilt nur im Beruf. || Falsch. Das Axiom gilt für alle zwischenmenschlichen Beziehungen. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Nr. !! Axiom !! Kurz gesagt |- | 1 || Man kann nicht nicht kommunizieren. || Jedes Verhalten ist eine Botschaft. |- | 2 || Inhalts- und Beziehungsaspekt || Das «Wie» bestimmt, wie das «Was» ankommt. |- | 3 || Interpunktion || Jede Person sieht den Anfang beim anderen. |- | 4 || Digital und analog || Worte und Körpersprache |- | 5 || Symmetrisch und komplementär || gleichwertig oder ergänzend |} == Schlusstest == Die folgenden Fragen mischen alle fünf Axiome. Beantworten Sie alle Fragen und klicken Sie dann auf «Auswerten». <quiz display=simple> {Sie schreiben einer Kollegin eine Nachricht, sie antwortet zwei Tage lang nicht. Sie fühlen sich übergangen. Welches Axiom erklärt das am besten? |type="()"} + Axiom 1 || Richtig. Auch das Nicht-Antworten ist eine Botschaft, die gedeutet wird. - Axiom 2 || Nicht ganz. Es gibt hier gar keinen Inhalt, nur ausbleibendes Verhalten. - Axiom 4 || Falsch. Es geht nicht um Worte gegenüber Körpersprache. - Axiom 5 || Falsch. Es geht nicht um Gleichheit oder Ergänzung der Rollen. {Zwei gleichrangige Sachbearbeiter streiten, wer recht hat, und werden immer lauter. Was liegt vor? |type="()"} - Komplementäre Eskalation || Falsch. Bei komplementärer Beziehung ergänzen sich die Rollen. + Symmetrische Eskalation || Richtig. Beide verhalten sich gleich und wollen sich überbieten. - Unterschiedliche Interpunktion || Nicht ganz. Es geht hier um das Überbieten auf gleicher Stufe. - Reiner Inhaltskonflikt || Falsch. Das Lauterwerden zeigt einen Beziehungskonflikt. {Was bedeutet Metakommunikation? |type="()"} - Sehr schnelles Kommunizieren || Falsch. + Kommunikation über die Kommunikation bzw. über die Beziehung || Richtig. Zum Beispiel: «Mir kommt es vor, als würden wir aneinander vorbeireden.» - Kommunikation über digitale Medien || Falsch. «Digital» bei Watzlawick meint die Sprache, nicht Computer. - Kommunikation ohne Worte || Falsch. Das ist analoge Kommunikation. {Ein Kunde sagt «Kein Problem», klingt dabei aber gereizt und tippt mit dem Fuss. Was widerspricht sich? |type="()"} - Inhalt und Interpunktion || Falsch. + Digitale Ebene (Worte) und analoge Ebene (Ton, Körpersprache) || Richtig. Die Worte sagen etwas anderes als Stimme und Körper. Meist glauben wir dann dem analogen Signal. - Symmetrie und Komplementarität || Falsch. - Gar nichts || Falsch. Worte und Körpersprache passen hier nicht zusammen. {In einem Streit sagt jede Partei: «Du hast angefangen!» Wie löst man das nach Axiom 3 am ehesten? |type="()"} - Herausfinden, wer wirklich angefangen hat. || Falsch. Der Kreislauf hat keinen objektiven Anfang. + Die Frage nach dem Anfang loslassen und gemeinsam über das Muster sprechen. || Richtig. Hilfreich ist, den Kreislauf gemeinsam zu erkennen. - Lauter werden, bis eine Seite nachgibt. || Falsch. Das führt zur Eskalation. - Nicht mehr miteinander reden. || Falsch. Auch das ist eine Botschaft (Axiom 1) und löst nichts. {Welche Aussage zum Beziehungsaspekt stimmt? |type="()"} - Er ist unwichtig, solange der Inhalt stimmt. || Falsch. + Er bestimmt, wie der Inhalt verstanden wird. || Richtig. Ist die Beziehung gestört, kommt auch ein sachlich richtiger Inhalt schlecht an. - Er kommt nur in privaten Gesprächen vor. || Falsch. Er ist in jeder Kommunikation vorhanden. - Er wird nur über Worte vermittelt. || Falsch. Oft wird er gerade über Ton und Körpersprache vermittelt. </quiz> == Quelle == * Paul Watzlawick, Janet H. Beavin, Don D. Jackson: ''Menschliche Kommunikation. Formen, Störungen, Paradoxien.'' Huber, Bern 1969 (Original: ''Pragmatics of Human Communication'', 1967). * [[w:de:Paul Watzlawick|Paul Watzlawick]] in der deutschsprachigen Wikipedia [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] 77m3qco8t1zjukm1xiv2by5uyod5osj 106 173394 1118620 2026-11-02T11:53:00Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118620 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = [[:w:Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]] = <quiz display="simple"> { [[Bild:Vier-Seiten-Modell de 2.svg|400px| ]] | typ="[]" } | Sachinhalt | Selbstkundgabe | Beziehungshinweis | Appell ---+ Was soll die Empfängerin tun? --+- Was hält die Senderin von der Empfängerin? -+-- Was gibt die Senderin von sich preis? +--- Worüber wird informiert? </quiz> = Lern-Quiz: Das Vier-Seiten-Modell nach Schulz von Thun = Dieses Quiz ist '''aufbauend''': Es beginnt mit den Grundbegriffen und führt Schritt für Schritt bis zur Anwendung im Berufsalltag. Bearbeiten Sie die Stufen der Reihe nach. Nach jeder Stufe können Sie Ihre Antworten mit «Auswerten» überprüfen und die Rückmeldungen lesen. {| class="wikitable" ! Stufe !! Thema !! Ziel |- | 1 || Grundlagen || Sie kennen den Urheber und die Grundidee des Modells. |- | 2 || Die vier Seiten || Sie können die vier Seiten einer Nachricht benennen und beschreiben. |- | 3 || Zuordnen || Sie können Aussagen einer Seite zuordnen. |- | 4 || Die vier Ohren || Sie verstehen, wie Empfangende eine Nachricht unterschiedlich hören können. |- | 5 || Analyse || Sie können eine Nachricht vollständig auf allen vier Seiten analysieren. |- | 6 || Transfer || Sie wenden das Modell auf Situationen im kaufmännischen Berufsalltag an. |} == Stufe 1: Grundlagen == <quiz display=simple> {Wer hat das Vier-Seiten-Modell (Kommunikationsquadrat) entwickelt? |type="()"} + Friedemann Schulz von Thun || Richtig. Der Hamburger Psychologe stellte das Modell 1981 im Buch «Miteinander reden 1» vor. - Paul Watzlawick || Watzlawick stammt die Unterscheidung von Inhalts- und Beziehungsaspekt. Schulz von Thun hat darauf aufgebaut. - Sigmund Freud || Freud hat sich mit der Psychoanalyse beschäftigt, nicht mit diesem Kommunikationsmodell. - Karl Bühler || Bühlers Organon-Modell ist eine Grundlage, aber nicht das Vier-Seiten-Modell. {Was ist die Grundidee des Modells? |type="()"} - Eine Nachricht hat genau eine eindeutige Bedeutung. || Gerade das Gegenteil: Eine Nachricht enthält immer mehrere Botschaften gleichzeitig. + Jede Nachricht enthält gleichzeitig vier Botschaften. || Genau. Wer etwas sagt, sendet immer vier Botschaften zugleich – ob gewollt oder nicht. - Kommunikation besteht aus vier Gesprächsphasen. || Es geht nicht um zeitliche Phasen, sondern um gleichzeitige Seiten einer einzigen Nachricht. - Für gute Kommunikation braucht es vier Personen. || Das Modell bezieht sich bereits auf eine Nachricht zwischen zwei Personen. {Wie heissen die beiden Personen, die im Modell miteinander kommunizieren? |type="[]"} + Sender || Richtig: Die Person, die die Nachricht abschickt. + Empfänger || Richtig: Die Person, die die Nachricht aufnimmt. - Moderator || Ein Moderator kommt im Grundmodell nicht vor. - Übersetzer || Ein Übersetzer kommt im Grundmodell nicht vor. {Ergänzen Sie den Satz. |type="{}"} Das Modell wird auch Kommunikations{ quadrat|Quadrat _8 } oder Vier-Ohren-Modell genannt. </quiz> == Stufe 2: Die vier Seiten einer Nachricht == <quiz display=simple> {Welche vier Seiten hat eine Nachricht nach Schulz von Thun? |type="[]"} + Sachinhalt || Richtig. + Selbstkundgabe (Selbstoffenbarung) || Richtig. + Beziehung || Richtig. + Appell || Richtig. - Gefühlsebene || Gefühle spielen zwar mit, sind aber keine eigene der vier Seiten. - Körpersprache || Körpersprache ist ein Kanal, über den alle Seiten transportiert werden können – keine eigene Seite. {Die Seite '''Sachinhalt''' beantwortet die Frage … |type="()"} + … worüber informiere ich? || Richtig: Daten, Fakten, Sachverhalte. - … was gebe ich von mir preis? || Das ist die Selbstkundgabe. - … was halte ich von dir? || Das ist die Beziehungsseite. - … wozu möchte ich dich bringen? || Das ist der Appell. {Die Seite '''Selbstkundgabe''' beantwortet die Frage … |type="()"} - … worüber informiere ich? || Das ist der Sachinhalt. + … was gebe ich von mir zu erkennen? || Richtig: Gefühle, Stimmungen, Werte, Eigenarten des Senders. - … wie stehen wir zueinander? || Das ist die Beziehungsseite. - … was soll die andere Person tun? || Das ist der Appell. {Die Seite '''Beziehung''' beantwortet die Frage … |type="()"} - … welche Fakten teile ich mit? || Das ist der Sachinhalt. - … wie geht es mir gerade? || Das ist die Selbstkundgabe. + … was halte ich von dir und wie stehen wir zueinander? || Richtig. Diese Seite zeigt sich oft im Tonfall, in der Formulierung und in der Körpersprache. - … was erwarte ich von dir? || Das ist der Appell. {Die Seite '''Appell''' beantwortet die Frage … |type="()"} - … wie fühle ich mich? || Das ist die Selbstkundgabe. - … wie sehe ich dich? || Das ist die Beziehungsseite. - … was ist der Sachverhalt? || Das ist der Sachinhalt. + … wozu möchte ich dich veranlassen? || Richtig: Wünsche, Bitten, Aufforderungen, Ratschläge. {Welche Aussagen zu den vier Seiten sind richtig? |type="[]"} + Alle vier Seiten sind in jeder Nachricht gleichzeitig enthalten. || Richtig. Man kann nicht «nur sachlich» kommunizieren. - Eine sachliche Nachricht hat keine Beziehungsseite. || Falsch. Auch sachliche Nachrichten sagen etwas über die Beziehung aus. + Die Seiten können ausdrücklich (explizit) oder versteckt (implizit) gesendet werden. || Richtig. Oft wird z. B. der Appell nur angedeutet. - Der Sender bestimmt allein, wie die Nachricht ankommt. || Falsch. Die Empfängerin entscheidet mit, welche Seite sie hört. </quiz> == Stufe 3: Aussagen zuordnen == Ordnen Sie jede Aussage der Seite zu, die '''am deutlichsten''' darin zum Ausdruck kommt. <quiz display=simple> {Welche Seite steht im Vordergrund? |type="()"} | Sachinhalt | Selbstkundgabe | Beziehung | Appell +--- «Die Sitzung beginnt um 14 Uhr im Raum B2.» -+-- «Ich bin heute total erschöpft.» --+- «Sie sind die Einzige hier, auf die ich mich verlassen kann.» ---+ «Bitte schliessen Sie das Fenster.» -+-- «Ich freue mich riesig auf die Ferien.» --+- «Das hätte ich Ihnen gar nicht zugetraut.» +--- «Der Drucker im 2. Stock ist ausser Betrieb.» ---+ «Rufen Sie mich doch bitte nach der Pause zurück.» </quiz> <quiz display=simple> {In der Aussage «Ich bin ehrlich gesagt etwas nervös vor der Präsentation» steht vor allem die … im Vordergrund. |type="()"} - Sachseite || Es wird zwar etwas mitgeteilt, aber im Zentrum steht der innere Zustand des Senders. + Selbstkundgabe || Richtig. Der Sender gibt ein Gefühl von sich preis. - Beziehungsseite || Über die Beziehung zum Gegenüber wird hier kaum etwas gesagt. - Appellseite || Ein Appell könnte mitschwingen (z. B. «Mach mir Mut»), steht aber nicht im Vordergrund. {Ergänzen Sie: Der versteckte Appell in «Es zieht hier aber ziemlich» lautet sinngemäss: «Bitte schliessen Sie das { Fenster|Fenster. _8 }.» |type="{}"} </quiz> == Stufe 4: Die vier Ohren des Empfängers == <quiz display=simple> {Welche «Ohren» hat die Empfängerin nach Schulz von Thun? |type="[]"} + Sach-Ohr || Richtig: «Wie ist der Sachverhalt zu verstehen?» + Selbstkundgabe-Ohr || Richtig: «Was ist das für eine Person? Was ist mit ihr los?» + Beziehungs-Ohr || Richtig: «Wie redet sie mit mir? Was hält sie von mir?» + Appell-Ohr || Richtig: «Was soll ich tun, denken oder fühlen?» - Kritik-Ohr || Ein «Kritik-Ohr» gibt es im Modell nicht – Kritik wird meist mit dem Beziehungs-Ohr gehört. {Eine Kollegin sagt: «Der Bericht hat noch drei Tippfehler.» Sie antworten gekränkt: «Immer finden Sie etwas an meiner Arbeit auszusetzen!» Mit welchem Ohr haben Sie vor allem gehört? |type="()"} - Sach-Ohr || Mit dem Sach-Ohr hätten Sie einfach nach den Fehlern gefragt. - Selbstkundgabe-Ohr || Dann hätten Sie sich gefragt, was mit der Kollegin los ist. + Beziehungs-Ohr || Richtig. Sie haben die Nachricht als Angriff auf Ihre Person verstanden. - Appell-Ohr || Dann hätten Sie die Fehler einfach sofort korrigiert. {Was kann passieren, wenn jemand fast nur mit dem Appell-Ohr hört? |type="()"} - Er versteht alle Nachrichten rein sachlich. || Das wäre ein übergrosses Sach-Ohr. + Er versucht ständig, es allen recht zu machen, und erfüllt auch unausgesprochene Erwartungen. || Richtig. Wer nur noch Appelle hört, verliert leicht den Blick für die eigenen Bedürfnisse. - Er fühlt sich durch jede Bemerkung persönlich angegriffen. || Das ist typisch für ein übergrosses Beziehungs-Ohr. - Er interessiert sich vor allem für die Gefühle der anderen. || Das wäre das Selbstkundgabe-Ohr. {Welche Aussagen sind richtig? |type="[]"} + Missverständnisse entstehen oft, weil Sender und Empfänger unterschiedliche Seiten betonen. || Richtig. Gemeint und verstanden ist nicht dasselbe. + Es lohnt sich, bewusst mit allen vier Ohren zu hören. || Richtig. So kann man flexibler und gelassener reagieren. - Es gibt immer nur ein richtiges Ohr für eine Nachricht. || Falsch. Alle vier Ohren sind grundsätzlich gleichberechtigt. + Durch Nachfragen («Wie meinen Sie das?») lassen sich Missverständnisse klären. || Richtig. Das nennt man Metakommunikation – reden über die Art, wie man miteinander redet. </quiz> == Stufe 5: Eine Nachricht vollständig analysieren == '''Situation:''' Ein Mann sitzt am Steuer, seine Frau auf dem Beifahrersitz. An einer Kreuzung sagt sie: '''«Du, da vorne ist grün!»''' Er antwortet: «Fährst du oder fahre ich?» <quiz display=simple> {Welcher Teil gehört zum '''Sachinhalt''' dieser Nachricht? |type="()"} + Die Ampel ist grün. || Richtig: Das ist die reine Information. - Ich habe es eilig. || Das ist eine mögliche Selbstkundgabe. - Du brauchst meine Hilfe beim Fahren. || Das ist eine mögliche Beziehungsbotschaft. - Fahr los! || Das ist der Appell. {Welche Botschaft könnte die Frau auf der Seite der '''Selbstkundgabe''' senden? |type="()"} - Die Ampel ist grün. || Das ist der Sachinhalt. + Ich habe es eilig / Ich bin ungeduldig. || Richtig: Sie gibt etwas über ihren eigenen Zustand preis. - Fahr endlich los. || Das ist der Appell. - Du bist ein unaufmerksamer Fahrer. || Das ist eine mögliche Beziehungsbotschaft. {Welche Botschaft hat der Mann offenbar vor allem gehört? |type="()"} - Sachinhalt: Die Ampel ist grün. || Dann hätte er einfach «Ah, danke» gesagt. - Selbstkundgabe: Sie hat es eilig. || Dann hätte er vielleicht gefragt: «Bist du in Eile?» + Beziehung: Du brauchst meine Hilfe, du fährst nicht gut. || Richtig. Seine Antwort zeigt, dass er sich bevormundet fühlt. - Appell: Gib Gas. || Dann wäre er wahrscheinlich einfach losgefahren. {Ergänzen Sie den Appell der Frau in einem Wort: «Fahr { los|weiter|ab _6 }!» |type="{}"} {Was hätte der Mann tun können, um den Konflikt zu vermeiden? |type="[]"} + Die Nachricht auf der Sachebene annehmen: «Ja, ich habe es gesehen.» || Richtig. So wird der versteckte Vorwurf gar nicht erst zum Thema. + Nachfragen: «Hast du es eilig?» || Richtig. Damit spricht er die Selbstkundgabe an. - Ebenfalls einen Vorwurf machen, damit es ausgeglichen ist. || Damit würde der Streit eher eskalieren. + Ruhig ansprechen, wie die Bemerkung bei ihm angekommen ist. || Richtig. Das ist Metakommunikation. </quiz> == Stufe 6: Transfer in den Berufsalltag == <quiz display=simple> {Ihr Vorgesetzter sagt am Montagmorgen: «Die Offerte für Kunde Meier ist immer noch nicht verschickt.» Welche Reaktion zeigt ein gut eingesetztes '''Sach-Ohr'''? |type="()"} + «Stimmt, mir fehlt noch der Preis vom Lieferanten. Ich frage heute nach und schicke sie bis Mittwoch.» || Richtig. Sie gehen auf den Sachverhalt ein und bieten eine Lösung an. - «Sie trauen mir wohl gar nichts zu!» || Das ist eine Reaktion des Beziehungs-Ohrs – und wirkt eher defensiv. - «Sie wirken heute aber gestresst.» || Das ist eine Reaktion auf die Selbstkundgabe – im Moment wohl nicht passend. - Sie sagen nichts und arbeiten bis spät in die Nacht. || Das wäre ein übergrosses Appell-Ohr ohne Klärung. {Eine Kundin schreibt per E-Mail: «Ich warte nun schon seit drei Wochen auf meine Bestellung!» Welche Seiten sollten Sie in Ihrer Antwort berücksichtigen? |type="[]"} + Sachinhalt: Lieferstatus prüfen und konkret mitteilen. || Richtig. Die Kundin braucht eine sachliche Information. + Selbstkundgabe: Verständnis für ihren Ärger zeigen. || Richtig. Die Kundin gibt Ärger und Ungeduld preis. + Appell: Eine Lösung anbieten (z. B. Liefertermin, Expressversand). || Richtig. Der versteckte Appell lautet: «Kümmern Sie sich darum!» - Beziehung: Die Kundin auf ihren unfreundlichen Ton hinweisen. || Das würde die Situation verschärfen. Eine wertschätzende Antwort stärkt die Beziehung besser. {Sie möchten eine Arbeitskollegin bitten, Ihnen bei einer Excel-Auswertung zu helfen. Welche Formulierung ist auf allen vier Seiten am klarsten und freundlichsten? |type="()"} - «Excel kannst du ja sicher besser als ich, mach du das.» || Der Appell ist fordernd, und die Beziehungsseite wirkt abschiebend. - «Hm, diese Auswertung ist ziemlich kompliziert …» || Der Appell bleibt versteckt – die Kollegin muss erraten, was Sie wollen. + «Ich komme bei dieser Auswertung nicht weiter. Du kennst dich mit Formeln gut aus – hättest du heute 15 Minuten Zeit, mir zu helfen?» || Richtig. Sachinhalt, Selbstkundgabe, wertschätzende Beziehung und klarer Appell sind stimmig. - «Du musst mir jetzt sofort helfen.» || Der Appell ist zwar klar, aber die Beziehungsseite ist respektlos. {Was bedeutet es, wenn eine Nachricht '''kongruent''' ist? |type="()"} + Worte, Tonfall und Körpersprache passen zusammen. || Richtig. Kongruente Nachrichten wirken glaubwürdig. - Die Nachricht besteht nur aus einem Sachinhalt. || Eine Nachricht hat immer alle vier Seiten. - Der Empfänger hört nur mit einem Ohr. || Das hat mit Kongruenz nichts zu tun. - Die Nachricht enthält keinen Appell. || Auch kongruente Nachrichten können einen Appell enthalten. {Ergänzen Sie den Fachbegriff: Wenn zwei Personen darüber sprechen, ''wie'' sie miteinander reden, nennt man das { Metakommunikation|Meta-Kommunikation _18 }. |type="{}"} </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Seite !! Leitfrage des Senders !! Ohr des Empfängers |- | '''Sachinhalt''' || Worüber informiere ich? || Wie ist der Sachverhalt zu verstehen? |- | '''Selbstkundgabe''' || Was gebe ich von mir zu erkennen? || Was ist das für eine Person? Was ist mit ihr los? |- | '''Beziehung''' || Was halte ich von dir, wie stehen wir zueinander? || Wie redet sie mit mir? Wen glaubt sie vor sich zu haben? |- | '''Appell''' || Wozu möchte ich dich veranlassen? || Was soll ich tun, denken oder fühlen? |} == Quelle == * Friedemann Schulz von Thun: ''Miteinander reden 1. Störungen und Klärungen.'' Rowohlt, Reinbek 1981. * [https://www.schulz-von-thun.de/die-modelle/das-kommunikationsquadrat Schulz von Thun Institut: Das Kommunikationsquadrat] [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] gijh4bct40xldw182k7qs1vzxxciije